Вычислительные методы в физике

Д.Поттер ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ Настоящая книга является одной из первых в мировой литературе монографий по новому разделу физики, возникшему в последние годы в связи с автоматизацией научных исследований и машинной обработкой информации. Основное содержание книги составляют алгоритмы методов вычислительной математики в применении к ряду конкретных физических задач. Главным достоинством ее является подробное обсуждение математических моделей, выбор правильной системы уравнений и дополнительных условий для описания сложных физических процессов. Много внимания уделено различным аспектам проблемы многих тел. Книга предназначена для физиков, теоретиков и экспериментаторов, которым приходится самим программировать решения интересующих их физических задач. Она будет полезна и интересна, кроме того, аспирантам и студентам старших курсов, желающим подготовить себя к научной работе в современной лаборатории, оснащенной электронно-вычислительными машинами. Содержание Предисловие редактора перевода 5 Предисловие к английскому изданию 7 Глава 1. Введение 9 § 1. Природа вычислительной физики 9 § 2. Вычислительные машины в физической теории 11 § 3. Ограниченность математического аппарата 13 § 4. Дискретная природа вычислительной машины 15 § 5. Краткое изложение содержания 18 Глава 2. Элементы метода конечных разностей 22 § 1. Введение. Конечные элементы в физике 22 § 2. Дискретное представление непрерывной переменной 23 § 3. Разностные производные по пространству 28 § 4. Общая постановка задачи с начальными условиями 32 § 5. Требования к разностному решению задачи с начальными условиями 37 § 6. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 44 § 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков 60 Глава 3. Уравнения в частных производных для сплошных сред 63 § 1. Происхождение и некоторые свойства уравнений математической 63 физики § 2. Устойчивость разностных схем для уравнений в частных 75 производных § 3. Уравнение диффузии: явная схема интегрирования первого порядка 79 точности § 4. Уравнение переноса: явная схема интегрирования первого порядка 82 точности § 5. Дисперсия и диффузия на разностной сетке 84 § 6. Консервативность на разностной сетке 88

§ 7. Консервативные методы для гиперболических уравнений § 8. Многомерные явные методы § 9. Обзор методов для параболических уравнений Глава 4. Численные методы матричной алгебры § 1. Введение § 2. Матричные уравнения в конечно-разностном исчислении § 3. Матрицы специального вида: метод прогонки для уравнения с трехдиагональной матрицей § 4. Матрицы специального вида: «точное». решение уравнения Пуассона § 5. Точное решение общего матричного уравнения § 6. «Неточные», или итерационные, методы решения матричных уравнений § 7. Два приближенных метода определения собственных векторов и собственных значений Глава 5. Частицы: дальнодействие в проблеме N тел § 1. Частицы и системы частиц § 2. Движение отдельной частицы в потенциальном поле § 3. Движение отдельной частицы в плоскости, перпендикулярной магнитному полю § 4. Прямое моделирование дальнодействия в системе N тел § 5. Равновесные статистические свойства в моделях с двухчастичным взаимодействием Глава 6. Расчет поля частиц § 1. Среднее поле системы частиц § 2. Бесстолкновительная модель частиц в ячейке § 3. Применение бесстолкновительной модели частиц в ячейке к моделированию плазмы § 4. Применение бесстолкновительной модели частиц в ячейке к моделированию галактик § 5. Столкновательная PIC-модель в гидродинамике Глава 7. Частицы в самосогласованном поле: атомы и твердые тела § 1. Самосогласованные поля в квантовой теории систем частиц § 2. Тождественность частиц и обменный потенциал § 3. Атом как система нескольких частиц § 4. Твердое тело как пример системы многих электронов § 5. Разложение уравнений Хартри — Фока для волн Блоха Глава 8. Фазовые среды § 1. Плотность частиц в фазовом пространстве и уравнение Власова § 2. Некоторые замечания и примеры применения уравнения Власова § 3. Разностное решение уравнения Власова § 4. Несжимаемость фазовой среды § 5. Метод «водяного мешка» Глава 9. Классическая гидродинамика

91 103 107 113 113 116 123 128 138 141 159 162 162 163 166 170 172 183 183 193 201 204 211 220 220 227 232 243 247 253 253 256 259 262 264 271

§ 1. Вводные замечания об уравнениях гидродинамики § 2. Разностное решение уравнений несжимаемой среды § 3. Несжимаемое течение как система вихревых частиц § 4. Метод маркеров на сетке для описания поверхностей и тяжелых сред: всплески, водопады, опрокидывание волн § 5. Разностное решение уравнений гидродинамики сжимаемых сред § 6. Расчет ударных волн и разрывов § 7. Гидростатическое равновесие в моделях атмосферы и мирового океана Глава 10. Гидродинамика с дальнодействующими силами: звезды, § 1. Самосогласованные поля в сплошной среде § 2. Уравнения магнитной гидродинамики и их основные свойства § 3. Методы одномерной магнитной гидродинамики § 4. Многомерная магнитная гидродинамика § 5. Гравитационная гидродинамика Литература Предметный указатель

271 278 290 298 309 323 328 340 340 345 352 363 374 382 387

Предметный указатель — — кристалла 244, 250 Адамса — Башфорта метод 59, 99, — — радиальная 240 283, 319 вязкости коэффициент 276, 346, 351 альфвеновские волны 355, 363, 371 — тензор 275, 328, 346, Ампера закон 342 вязкость искусственная 324, 335, 365 анизотропия среды 364, 373 — кинематическая 278 ансамбль канонический 179 Гамильтониан 222, 234, 248, 293 аппроксимация непрерывной Гаусса метод 137, 139 функции 24 Гаусса — Зайделя метод 149, 156 — оператора Лапласа 120 гидродинамики уравнения 212, 271, — производной по времени 35 299 — — по пространству 29 — — в консервативной форме 274, Безразмерная форма уравнений 197 311, 318 Блоха теорема 246 — — в лагранжевой форме 273, 310. — функция 247 312 Бриллюэна зоны 247 — — в эйлеровой форме 272, 311. Буссинеска приближение 337 315 «Вакуумная» область в МГД 355, гравитационная система многих тел 362, 366, 371 61, 184, 210 вариационный принцип 223 гравитационной гидродинамики вектор ошибки 41, 143 уравнения 341, 375 — решетки 244 граничные условия 118, 131, 240, 303, Власова уравнение 256 320, 335 «водяного мешка» метод 262 — — периодические 132, 197 волновая функция 221 Давление 272, 284, 341, 361, 376 — — антисимметричная 228

— излучения 376 — магнитное 343 движения уравнения 163, 166, 170, 183, 195, 265 двухслойная схема 51 дебаевская длина 189 — сфера 189, 200 динамика атмосферы 329 дисперсионное соотношение 70, 76, 86 дисперсия разностная 84, 103, 320, 356 диффузия искусственная 106, 321, 326 — нелинейная 357, 380 — радиационная 380 — разностная 84, 103, 262, 356, 365 Доплера эффект 317, 355 дрейф в скрещенных полях 169 Дюфора — Френкеля метод 110 Завихренность 278, 293, 337 задача с начальными условиями 33, 122 Интерполирование 24, 302 источника функция 74, 125, 375 итерационный метод 141, 156, 241 358, 361, 381 Калибровка 279, 369 Кармана вихревая дорожка 296 квантовое число 237 коллапс гравитационный 374 коллективные свойства системы частиц 190 консервативная схема 90 консервативное уравнение 65, 69, 214, 274, 291, 300, 311, 318, 364 консервативные силы 256 кориолисова сила 284, 331 краевая задача 118 Кранка — Никольсона метод 108, 122, 358, 381 Куранта — Фридрихса — Леви условие 84, 96, 103, 106, 215, 283, 290, 317, 326, 355

Лаграпжа множитель 225, 243 лагранжева производная по времени 72, 212, 273, 312, 333 — сетка 313, 356, 380 — форма уравнений 212, 264, 273, 310, 312, 334 Лакса метод 83, 101, 104, 260, 316, 353 —— — консервативный 92, 288 Лакса — Вендроффа метод 262, 319 —— — — двушаговый 97, 101, 281 —— — — однош.аговый 102 Лежандра уравнение 235 — функции 236 Лелевье метод 101 Ленарда — Джонса потенциал 174 Лоренца сила 166 Магнитной гидродинамики уравнения 341 — — — в лагранжевой форме 349, 356, 360 — — — в консервативной форме 348, 364 — — — в эйлеровой форме 345 — — — одномерные 353 магнитный звук 355, 359 Максвелла уравнения 342 «маркеров на сетке» метод 302 Маркова процесс 179 матричное уравнение 114 матрица итерационная 142 — обратная 114 — разреженная 118 — трехдиагональная 116, 118, 127, 135, 154, 240, 334, 360 Маха числа 363 мелкой воды уравнения 300 моделирование галактик 204 Монте-Карло метод 178 Навье — Стокса тензор 275 — — уравнение 285, 300, 338 нагрев вязкостный 323, 347 — джоулев 347, 358 натяжение силовых линий 343, 349

Неймана условие 78, 81, 84, 94, 99, 106, 317, 355 неразличимость частиц 227 несжимаемость 277, 287 — фазовой среды 262 неустойчивость безусловная 82, 110 — двухпучковая 202, 269 — Кельвина — Гельмгольца 296 — разностного решения 48, 53, 167 неявный метод 37, 352 — — второго порядка точности 55, 108 — — Хейна 359 нормировки условие 240 «Облако в ячейке» 201 обратимость времени 164 океана модель 329, 336 Ома закон 343 Паули принцип 228 переменных направлений метод 153, 157, 373 переноса коэффициенты 351 перехода матрица 42, 77, 93, 316, 354, 360 — множитель 41, 46, 50, 53, 57, 80, 82, 96, 100 — оператор 37, 76 пинч 367 плазма бесстолкновительная 202, 259 плазменный фокус 368 подоболочка электронная 237 последовательной верхней релаксации метод 150, 157, 371 — — — — циклический 152 потенциал векторный 366, 369 — обменный 230 — — усредненный 232 — поля частиц 184, 194 — — — самосогласованный 195, 226, 231 — ядер в кристалле 244 — ядра атома 233 «почти второго порядка» метод 99, 102, 319

прогноз погоды 335 прогонки метод 123 псевдопотенциал 252 Пуассона уравнение 74, 117, 185, 230, 261 —— — в интегральной форме 226 — — двумерное 120, 199, 282 — — для давления 285, 290 пульсация звезд 342, 374 Распределение заряда частицы на сетке 186, 195, 201 Рейнольдса число 326, 347, 365 «С перешагиванием» метод 51, 102, 104, 164, 167, 171, 195, 262, 266, 295, 319 — — — консервативный 94 сетка разностная по времени 35 — — по пространству 23 система частиц 170 — —бесстолкновительиая192,257 — — в квантовой механике 220 — — термодинамическая 173, 181 скорость звука 277, 317, 355 — сходимости итерационного процесса 148, 154, 156 Слэтера определитель 228 согласованность разностной аппроксимации 38 соленоидальность магнитного поля 343, 366, 369 — поля скоростей 277, 331 состояния уравнение 213, 273, 315, 333, 346, 375 сохранения законы 63, 66, 89, 164, 169, 200, 212, 255, 291, 343 спектральная норма матрицы 144 спектральный радиус матрицы 145, 158 Стефана — Больцмана закон 376 столкновения 191, 193, 271, 351 Теплопроводность 275, 311, 346, 351 точность разностной аппроксимации 30, 39, 61 трехслойная схема 95, 100

турбулентность 309, 335 Ударная волна 310, 323, 357, 372 усреднение по ансамблю 178 — по времени 176 устойчивости условие 78, 81, 85, 199, 261, 277, 283, 290, 300, 317 устойчивость разностного решения 49 — разностной схемы 40 — — — безусловная 59, 109, 110 Фазовое пространство 166, 172, 178, 203, 253 фазовые переходы 177 Фарадея закон 343, 369 флуктуации поля частиц 187, 192, 199, 214 функция распределения 253 — — «горб на хвосте» — — двухпучковая 202 — тока 279, 293, 337 фурье-анализ 25, 73, 86, 98, 248 — — двумерный 104 фурье-преобразование 129 — — быстрое 132 Хартри уравнения 225

Хартри — Фока уравнения 230, 244 Хейна метод 359 Центробежная сила 284, 331 циклическая редукция 135 — — двойная 136 «Частицы в ячейке» 187, 193, 210, 214, 219, 293 частота альфвеновская 344 — гравитационная 192, 342 — звука 342 — плазменная 191 — столкновений 351 — циклотронная 167 Чебышева метод 152, 157, 371 Шредингера уравнение 221 Эйлера метод 45, 55, 305 эйлерова сетка 214, 259, 281, 299, 311, 316, 333 энтропия системы 165, 213, 257, 262 эффективность алгоритма 113 — разностной схемы 43, 61 Явный метод 37, 45, 79, 82, 101. 107 — — двухшаговый 55 Якоби матрица блочная 146 — метод"148, 156