Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях

Р.Уэллс ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НА КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ Издательство «Мир» Москва 1976

Хорошее введение в современную теорию компактных комплексных многообразий. В небольшой по объему книге автору удалось наряду с основной темой изложить обширный вспомогательный материал, необходимый для исследования комплексных многообразий и впервые собранный в одной книге. Многочисленные хорошо подобранные примеры, четкие формулировки и обсуждения теорем, выходящих за рамки введения, значительно увеличивают объем информации и знакомят с самыми последними достижениями в теории комплексных многообразий. Книга интересна математикам различных специальностей, особенно специалистам по теории функций, дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и топологии. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов. ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора перевода 5 Предисловие 7 ГЛАВА I. МНОГООБРАЗИЯ И ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 9 1. Многообразия 10 2. Векторные расслоения 23 40 3. Почти комплексные многообразия и ∂ -оператор ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ПУЧКОВ 52 1. Предпучки и пучки 52 2. Резольвенты пучков 59 3. Теория когомологий 70 Приложение А. Когомологий Чеха с коэффициентами в пучке 83 ГЛАВА III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 86 1. Эрмитова дифференциальная геометрия 86 2. Каноническая связность и кривизна эрмитова голоморфного векторного 100 расслоения 3. Классы Чжэня дифференцируемого векторного расслоения 107 4. Комплексные линейные расслоения 121 ГЛАВА IV. ТЕОРИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 134 1. Пространства Соболева 134 2. Дифференциальные операторы 141 3. Псевдодифференциальные операторы 148 4. Параметриксы эллиптических дифференциальных операторов 167 5. Эллиптические комплексы 177 ГЛАВА V. КОМПАКТНЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 188 1. Эрмитова внешняя алгебра на эрмитовом векторном пространстве 188 2. Гармоническая теория на компактных многообразиях 202 3. Дифференциальные операторы на кэлеровом многообразии 212

4. Теорема Ходжа о разложении на компактных кэлеровых многообразиях 222 5. Билинейные соотношения Ходжа — Римана на кэлеровом многообразии 228 ГЛАВА VI. теорема кодаиры о проективном вложении 246 1. Многообразия Ходжа 246 2. Теорема Кодаиры о тривиальности когомологий 253 3. Квадратичные преобразования 260 4. Теорема Кодаиры о вложении 266 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 274 Предметный указатель 280 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Гриффитса область 238 Абелевы многообразия 266 Группа автоморфизмов 225 Абстрактная теорема де Рама 79 — — без неподвижных точек 225 Автоморфизм 225 — — вполне разрывная 225 Алгебраическое подмногообразие 18 Группы когомологий 76 Аналитический пучок 56 Группы когомологий комплекса 177 База расслоения 23 — — Чеха 84 Бергмана керн-функция 249 Двойственность Пуанкаре 210 — метрика 249 — Серра 210 Бетти числа 183, 224 Де Рама комплекс 144 Биголоморфное отображение 12 — теорема 81 Бокштейна оператор 78 Дивизор 133 Бьянки тождество 97 Диффеоморфизм 12 Вариация структуры Ходжа 238 Дифференциальные формы 35 Векторное расслоение 23 — — примитивные 216 — сопряженное 31 — — со значениями в расслоении 83 Вложение 19 — — типа (p, q) 46 Внешнее дифференцирование 35 Дифференциальный оператор 141 Вполне разрывная группа 225 — пучок 65 Гармоническая форма 174, 183, 184, Дифференцируемая структура 12 220 Дольбо комплекс 145 Гармоническое представление 180 — теорема 82 — сечение 174 Замена репера 87 Геодезическая координатная система — — голоморфная 88 222 Зигеля верхнее полупространство 244 Гиперплоскость проективная 18 Изоморфизм пучков 54 Глобальный m-символ 155 — расслоений 30 Голоморфное касательное Индекс оператора 174 пространство 28 Каноническая резольвента 75 — отображение 12 — связность 100 Гомоморфизм G-расслоений 30 Касательное отображение 26 — резольвент 68 — пространство 25 Градуированный пучок 65 — — голоморфное 28 Грассманово многообразие 17 — расслоение 25, 28, 35 Грина оператор 174

Квадратичное преобразование 260 Класс Тодда 187 — Чжэня 115 Ковариантное дифференцирование 96, 258 Когерентный аналитический пучок 58 Когомологии Чеха 84 Кограничный оператор 76 — — Чеха 84 Комплекс 177 — де Рама 144 — Дольбо 145 — эллиптический 177 Комплексная размерность 11 — структура 40 Комплексный тор 213 Координаты однородные 14 Кривизны матрица 94 — тензор 93 — форма 95 Кэлерова метрика 212 Кэлерово многообразие 212 Лапласа оператор (лапласиан) 174, 178 Лемма Реллиха 137, 139 — Соболева 137, 138 Лере покрытие 85, 129 Локальная тривиализация 23 Локально свободный пучок 56 Локальный m-символ 154 — репер 47 Матрица кривизны 94 — периодов 237 — — большая 250 — риманова 250 — связности 92 Метрика Бергмана 249 — кэлерова 212 — сферическая 120 — Фубини — Штуди 214 — Ходжа 247 — эрмитова 88 Многообразие 10

— абелево 266 — грассманово 17 — дифференцируемое 11 — комплексное 11 — — эрмитово 212 — кэлерова типа 212 — кэлерово 212 — почти комплексное 44 — проективное алгебраическое 19 — R-аналитическое 11 — флагов 239 — Ходжа 247 Морфизм предпучков 53 — пучков 54 — расслоений 36 Накрывающее пространство 59 Нулевое сечение 34 Область Гриффитса 238 Оператор Бокштейна 78 — вполне непрерывный 137, 168 — Грина 174 — дифференциальный 141 — комплексный 137, 168 — Лапласа 174, 178 — порядка k 141 — псевдодифференциальный 153, 154 — — канонический 151 — — эллиптический 167 — псевдообратный 168 — сглаживающий 150, 167 — сопряженный 140 — формально сопряженный 140 — Фредгольма 170 — * Ходжа 189 Отображение касательное 26 — периодов 237 Параметрикс 168 Поверхность K3 224 Подмногообразие 13 Подпредпучок 53 Покрытие Лере 85, 129 Положительная форма 253 Положительное расслоение 253

Порядок оператора 141 — — псевдо дифференциального 162 Последовательность пучков 63, 65 — точная 33, 63 — — короткая 33, 63 Почти комплексная структура 44 — — — интегрируемая 49 — комплексное многообразие 44 Предпучок 53 — R-модулей 55 Преобразование квадратичное 260 — Фурье 136 Примитивная форма 216 Примитивный класс когомологий 229 Проективная гиперплоскость 18 Пространство базы 23 — касательное 25 — кокасательное 35 — накрывающее 59 — проективное 14 — — комплексное 14 — расслоения 23 — Соболева 134 — эрмитово 189 Псевдодифференциальный оператор 153, 154 Пуанкаре двойственность 210 Пучок 53 — абелевых групп 53 — аналитический 56 — вялый 75 — голоморфных p-форм 67 — — функций 54 — градуированный 65 — дивизоров 133 — дифференциальный 65 — дифференцируемых функций 54 — когерентный аналитический 58 — локально свободный 56 — мягкий 70 — порожденный предпучком 61, 62 — постоянный 55 — разрывных сечений 74 — R-модулей 55

— G-сечений 55 — свободный 56 — структурный 54 — тонкий 72 Разбиение единицы для пучка 72 Размерность вещественная 11 — комплексная 11 Расслоение 23 — внешний алгебры 35 — гиперплоского сечения 254 — голоморфное 24 — дивизора 133 — дифференцируемое 24 — каноническое 224, 248, 254 — касательное 25 — кокасательное 35 — K-векторное 23 — отрицательное 253 — положительное 253 — симметрической алгебры 35 — сопряженное 31 — тривиальное 25 — универсальное 28, 254 — эрмитово 100 Резольвента пучка 65 — ацикличная 79 — каноническая 75 — мягкая 75 Реллиха лемма 137, 139 Репер расслоения 47 — голоморфный 88 — локальный 47 — унитарный 99 Римана — Роха теорема 187 Риманова матрица 250 Росток голоморфных функций 28 — дифференцируемых функций 25 Росток сечений предпучка 59 Свободный пучок 56 Связности матрица 92 Связность 91 — каноническая 100 — совместная с метрикой 98 Сглаживающий оператор 150, 167

Серра двойственность 210 Сечение накрывающего пространства 59 — нулевое 34 — расслоения 33 Символ 142, 163 — эллиптический 167 Слой пучка 59 — расслоения 23 Соболева лемма 137, 138 — норма 136 — пространство 134 Сопряженное расслоение 31 Сопряженный оператор 140, 191 Структура вещественно аналитическая 12 — дифференцируемая 12 — комплексная 12, 40 — — стандартная 41 Структурный пучок 54 G-вложение 19 — изоморфизм 12 — морфизм 12 — подмногообразие 13 — подрасслоение 32 — расслоение 24 — сечение 33 — структура 11 — функции 11 Тензор кривизны 93 Тензорное произведение расслоений 31 — — пучков 82 Теорема Атьи — Зингера 174 — Вейля 110 — Гартогса 271 — Гаусса — Бонне 120 — де Рама 81 — — абстрактная 79 — Дольбо 82 — Кодаиры о вложении 266 — —о тривиальности когомологий 257 — Римана — Роха — Хирцебруха

187 — Уитни 20 Теорема Чжоу 21 Тодда класс 187 Тождество Бьянки 97 Тор комплексный 213 Точная последовательность пучков 63 — — расслоений 33 Тривиализующая окрестность 23 Уитни теорема 20 Универсальное расслоение 28, 254 Унитарный репер 99 Факторпучок 63 Форма кривизны 95 — кэлерова 212 — примитивная 216 — фундаментальная 190 — Чжэня 115 Фредгольма оператор 170 Фубини — Штуди метрика 214 Функции перехода 24 Ходжа метрика 247 — многообразие 247 — оператор * 189 Ходжа скалярное произведение 205 — фильтрация 239 — форма 247 — числа 184 Хопфа поверхность 227 Целочисленная форма 247 Чеха когомологии 84 Чжэня класс 115 — форма 115 — характер 187 Числа Бетти 183, 224 — Ходжа 184, 224 Эйлера характеристика 184, 186 Эквивалентность G-расслоений 37 Элемент объема 134, 203 Эллиптический комплекс 177 — оператор 167 — символ 167 Эрмитова метрика 88

Эрмитово векторное пространство 189

— — расслоение 89, 100 — комплексное многообразие 212