This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
j rcos2^+yr^ + zf и для краткости введено обозначение г \dV > , 2
2
2
(3.31)
2
Rad = yjR + г + х 4- 2Rrcos2
(3.32)
Далее понадобятся величины 2
2
2
2
а = (Я + г ) + ж ,
2
2
Ь = (Я - г ) + я .
(3.33)
Интеграл Д из (3.31) берём по частям и приводим его к виду / 1 = / + /з + / , 2
(3.34)
4
где 7Г h - -г / - -§ ( v ^ T 5 J у/г + #§ 4-г cos 2^ ^ \ 2
9
2
v
г -^2 ? sin 2y?rfy? ~ у л Т Т ^ Т Ш ' О
- w)
;
(3.35)
/
2
/
з
г
2
(
3
3
6
)
2
sin2y?
Для нахождения h числитель и знаменатель в нём домножим на R + г cos 2<р — Rad и исключим затем sin 2(р из числителя. Часть интегралов тоща берётся, и мы получаем 2
3
/ = - f Я + а • Е (fc) + f f j * ' ^ v r + х\ 3
z
3
(3.38)
2
Далее обозначения интегралов через l\, I2 предназначены только для данного подраздела.
3.2.
ПОТЕНЦИАЛЫ НЕОДНОРОДНЫХ КРУГЛЫХ
где
дисков
7Г
2 2
2
г sin 2у? + ж?'
о а модуль к
~~ а * Для взятия /3 заменим у? на новую переменную х 2
2
х = Rad = yjR + г + х§ 4- 2Дг cos 2, так что
2_ 2^ — 2^ 2 ;
Х
cos 2^ =
Д
Г
Х
2Яг
'
xdx 2Rr sin 2^
^-X )
(х ~6 )
2
sin2
2
Д
2
2
г
xdx 2
2
2
2
^ ( a - x ) (x - 6 )
Приводим I3 к виду Я3 = w4 Я 2
/ ^-т УJь (а (а -- хх ) (х - /?) V(а - х ) (х - б )'
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
где а и /? — корни квадратного уравнения 4
2
2
2
2
2
2
2
х - (а + Ь ) х + а Ь - Ш х
= О,
3
вида (0>)
=
в
\ [*
+
6 2 ±
V(
f l 2
-
6 2
)
2 +
16i?2
^] = (
Д
±
г 2 +
\/
^)'
Представляя 2
2
2
1 f а - fP \а 2
2
(а -х )(х -0 )
2
2
а - х
2
Р 2
2
находим (Щп к) 4ДУ а (а -/? ) \ а - Ь где параметры полных интегралов третьего рода суть V
_
2
2
2
2
2
2
2
2
~а (а -Ь )
2
2
2
2
а (а - Ь ) П 1
Щп ,к]\ /? -6 /'
и
2
2
_Уа
тот же самый и дан в (3.40).
2
2
2
2
2
2
" ~а (/? -6 )'
а модуль к, в силу очевидного, я К
2
_ /? ( а - Ь ) :
2
- Ь _ 2у/Ш а а >
\ р-х )'
84
3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ГЛАВА
ПОТЕНЦИАЛЫ
плоских ТЕЛ
Подставляя теперь в (3.38), находим интеграл /з (3.36). Очередь за интегралом / из (3.37). Действуя, как и в случае с / з , приводим Ц к виду 4
Раскрывая скобки под интегралом, находим - f * ( i - ^ ) - * - K W - f - " W
+
(3.51) К(*) + Ля^ ( Я / + г / ) , 5
2а
б
где интегралы
2 А =/
. ^ (г sin 2у> -f я§) Rad 2
о
(3.52)
2
7Г
2
cos 2^d^ (г sin 2<р + аг§) Rad 2
/
(3.53)
2
остаются пока неизвестными. После замен (3.41) и (3.42) находим 2
2
h = ^[l^-(R
+ r +xl)h],
(3.54)
поэтому входящая в (3.51) искомая комбинация двух интегралов Я х (RI + rh) = y И + (Я* " 2
7 - 2
5
~ з ) Л] х
(3.55)
выражается через уже известный нам Г и другой интеграл Д . Последний имеет вид 3
а 2
d x
1 = 4Д / 5
У
2
2
2
( а - ж ) (х -
/?) 2
, V ( a - * ) (х - Ь ) 2
2
2
(3.56)
2
и равен 2
/ = 5
4Я о ( а - /? ) \ 2
2
К
(
к
)
\^-0*)
+
2
2
2
а ( а - б ) " Pif-V))
•
(
3
5
7
)
Собирая известное, находим /4 из (3.50)
(3.58)
85
3.3. КОЛЬЦО И ДИСК, ЗАПОЛНЕННЫЕ РОЗЕТОЧНОЙ ОРБИТОЙ
Объединяя / , h, h, находим h из (3.31): 2
2
R А = | ( Ы 2
2
, -/ + (Д -г -х1)/ 3
+х (д -г -х ) 2
3
3
2
2
1
R
2
3 j
5
2
г -: 2
+
2а
__
2
2
2
Д 6
2
Е
!
<*> +
fn[m,fc] _ П[п ,А:]] 2
I (fc)f-L--0 +
2 Д 2
'
2
W
a(a -/? )\
\ a
2
2
/3 )
+
-
fc2n[ni fcl
K
2
2
'Ц
\
9п[П2
2
2
*(а -Ъ )
2
|ЗЦf3 -Ъ ))^ (3.59) В итоге, с учётом формулы (3.11), получим пространственный потенциал однородного круглого диска а
(3.60)
Слиска (г, х ) = 4GaI 3
в виде 2
V W a (г, х ) = 4G<7 ^ - | х 3
3
+
Л -
г -х 2
2а
2
2
1+
4Д а 2
a /?
2
K(fc) + fE(fc) + / " ' 2 v
v
(3.61) Щп к]
+х ^ 2
Щп ,к]
и
(а - Ь ) (д + 2
2
2
(Р - Ь ) (д- v / ? ^ ^ ) J J 2
2
1
В частных случаях: на оси симметрии (при г = 0) и в плоскости хз = 0 мы легко приходим в (3.61) к известным нам выражениям потенциала однородного круглого диска. Вообще, в этой книге выражение потенциала однородного круглого диска получено тремя разными способами (применение в этой книге принципиально разных способов — это не самоцель, а важный способ проверки более общих формул!). Здесь тонкий момент: три выражения ((3.61), (9.56) и (9.67)) различаются по форме; тем не менее, все они описывают пространственный потенциал однородного круглого диска и эквивалентны друг другу! Т З а д а ч а 3.5. Доказать эквивалентность выражений (3.61),(9.56) и (9.67). Разумеется, сказанное выше доказывает также справедливость общей формулы для потенциала неоднородного диска (3.11). В § 9.10 будет дан метод нахождения эквигравитирующих мнимых стержней для неод нородных круглых дисков.
§3.3. Широкое кольцо или диск, заполненные розеточной орбитой или множеством кеплеровских эллипсов 3.3.1. Введение Ещё Гаусс в 1814 г. в теории вековых возмущений предложил применять метод, не тре бующий разложения пертурбационной функции по степеням эксцентриситетов и наклонов орбит. Суть метода Гаусса — в остроумном усреднения массы возмущающей планеты. Ее орбита заменяется материальным эллиптическим кольцом, линейная плотность которого /х (масса на единицу длины) пропорциональна времени dt прохождения телом данного участка орбиты. Другими словами, линейная плотность колечка обратно пропорциональна скорости
86
ГЛАВА
3.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
плоских ТЕЛ
тела в данной точке орбиты. Полная масса эллиптического гауссова кольца совпадает с массой самого движущегося тела. Данный метод позволил уверенно вычислять вековые возмущения первого порядка. Пространственный потенциал отдельного гауссова кольца в точке (г, хз) даётся интегралом
2*г , (3.62) 4>(r,V,Xz) — N / : dv' J (1 + ecost/) v<*cos v' +• /Jsinv' cost/ H- 7 cos г/ 4-<Jsinv' + /x 2
где 2
a =
2
2
e (xl + r )
r
r
2 - е cost;;
в = —2-е sin v;
7=
2е(я§ + г ) 5
r
2-cosv;
P
(3.63)
* = -2§sint;;
+
2
p = a(l-e );
N=
^x/TT
В частном случае кругового кольца всё значительно упрощается: кольцо становится одно родным, причём при е = 0, v = О, а = 0 = 0 интеграл (3.62) легко берётся, см. формулу (3.4). Однако для эллиптического кольца интеграл (3.62) не выражается через какие-либо известные функции . Учитывая сложность задачи с отдельным кольцом Гаусса можно было бы заранее по считать бесперспективным любое усложнение данной задачи. Однако это не так: как мы сейчас покажем, конфигурация из очень большого числа таких колечек, образующая сплош ное неоднородное широкое кольцо, поддается анализу! Подчеркнём, что сейчас речь идёт о более общей, нежели у Гаусса, задаче. Дана система из одинаковых компланарных эллиптических орбит, имеющих один и тот же фокус, равномерно распределённых по азиму тальному углу оси апсид. Методом, указанным выше, масса каждого из движущихся по эллип сам тел (считаем массы всех тел одинаковыми) «размазывается» по соответствующей ей орби те и получается совокупность гауссовских эллип тических колечек. Переходя к пределу большого » r/r. числа таких колечек, мы получим материальное Рис. 27. Плотность в кольце, заполненном неоднородное широкое круговое кольцо. И здесь важно заметить: именно такое широкое кольцо розеточной орбитой (или даже сплошной круглый диск) получается также в результате определённого ниже двумерного усреднения массы пробного тела, дви жущегося по известной в физике и астрономии розеточной орбите. Поэтому знание гра витационные свойства таких колец или дисков в небесной механике оказывается столь же важным, как и в случае с одномерным гауссовым колечком. 4
3.3.2. Постановка задачи Мы исходим из классического интеграла энергии в задаче двух тел. Бели центральная масса М достаточно велика, то интеграл энергии для малого, движущегося по кеплеровскому эллипсу тела имеет вид 4
Однако частные производные от потенциала кольца Гаусса всё же выражаются через эллиптические инт
87
3.3. КОЛЬЦО И ДИСК, ЗАПОЛНЕННЫЕ РОЗЕТОЧНОЙ ОРБИТОЙ
2
r; = G M ( £ - i ) .
(3.64)
Так как движение плоское, квадрат полной скорости тела есть сумма двух составляю щих 2
v = v? + vl
(3.65)
причём азимутальная компонента скорости находится из закона сохранения углового мо мента материальной точки (е — эксцентриситет эллипса) 2
WQ = VGMy/a{l-e ).
(3.66)
Подставляя (3.66) в (3.65), а последнее в (3.64), найдём радиальную компоненту скорости тела как функцию г УШу/{г -г)
{т-т )
а
v
r =
J r = a ( l + e), 1 S v \ r = a (1 - e)
р
a
—7= ry/a
(3.67)
p
В кольце на расстоянии (г, г + dr) от притягивающего центра движущееся тело находится в интервале времени r
dt ~ доля*.
d
r
у/{г
(3.68) -г){г-г )
а
р
Составим теперь отношение dt к площади этого элементарного колечка 2nrdr; тогда, имея в виду уже множество указанных эллипсов с равномерно распределёнными по азимутальному углу линиями апсид, будем интерпретировать (в вековом приближении!) это отношение как поверхностную плотность <т(г) = - — = £ — — V ( r - г) (г - г ) a
(3.69)
р
неоднородного материального широкого кольца с внешним г и внутренним г радиусами. На краях кольца плотность обращается в бесконечность (рис. 27), однако масса данного кольца конечна и легко вычисляется: а
rd
р
2
= 2тгС / l = = ir C(r + г ) . J V(r -r)(r-r ) a
a
р
(3.70)
p
Это соотношение позволяет выразить постоянную С через массу диска. Подчеркнём, что именно такое кольцо (или даже сплошной круглый диск) будет заполняться со временем и при движении отдельного тела по розеточной орбите. 3.3.3. Пространственный потенциал кольца Итак, рассмотрим «изготовленное» двумя указанными выше способами материальное ши рокое кольцо с поверхностной плотностью (3.69). Найдём его гравитационный простран ственный потенциал. Для этого обратимся к общей формуле для потенциала плоского тела (1.22). Декартовы и цилиндрические координаты пробной точки и точки интегрирования связаны выражениями Xi = rcos0, х[ = r'cosfl, Х2 = т sin 0, Хз
= Хз,
х' = r'sinfl, 2
Хз = 0.
(3.71)
88
ГЛАВА
3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ПОТЕНЦИАЛЫ
плоских ТЕЛ
Применим здесь следующий упрощающий приём: ничего не теряя в общности, в этих формулах можно положить 0 = 0, так что расстояние между указанными точками будет равно 2
(3.72)
2
D = у/г + х\ + г' - 2rr' cos 0'. Тогда потенциал кольца (1.22) записывается так:
t—fgL=
„(г, )«с.<7 з д
1
rJ у/(Га ~ Г ) (г>
Г—=Ж=
(3.73)
2
ОJ s/r +Xi + Г' - 2rr' cos О* 2
- Г ) Р
p
Внутренний интеграл здесь равен :/
^
/
V
2
4
= 2
+ *§ + r ' - 2 r r ' cos в'
0
г
+
г
.
/)а
+ а
к
(
4г'г
/
2
л
(3.74) 2
\]j (г' + г ) + х
где К(...) есть полный эллиптический интеграл первого рода. Следовательно, приводим выражение потенциала кольца к виду Го
,
г )^
0
3
^ZllIZY VV( ' + ) + *§/
1
r'dr —
Р
1
+ г )
-ТС Л / 2
2
r
+ ж
(3.75)
r
Первая форма потенциала Делая в (3.75) замену переменной интегрирования (3.76)
S111
Г —
после некоторых упрощений преобразуем (3.75) к виду
? (Га-Г
р
/ V>(r,* ) = 4 G - C J
.
Га+Г \ р
,
3
V-R + *з 2
I I
/Г - Г . а
р
Г +Г \ а
р
гт; о Л 4-х?
•К IлI
2
N
(3.77) где для краткости обозначено Д(7,г) =
7*а + Г
р
•sm7+ — г
Ы.
(3.78)
Такая форма потенциала кольца данного типа весьма компактна и удобна для численных расчётов. Вместе с тем, для изучения частных случаев выражению пространственного потенциал кольца (3.75) можно придать и другой вид. Но достигается это ценой весьма сложных преобразований.
3.3. КОЛЬЦО И ДИСК, ЗАПОЛНЕННЫЕ РОЗЕТОЧНОЙ ОРБИТОЙ
89
Вторая форма потенциала Вернёмся к (3.75) и заменяя К (...) его стандартным интегральным представлением, при ведём выражение для потенциала кольца к виду 7
dr
р (г, хз) = 4G • С 1
r' '
d
,
l
.
(3.79)
£ у/(Га-г')(г'-Г ) J v / ( r ,+ r ) 2 + r c 2 ^ 4 r , r s i n 2 7 Во внутреннем интеграле квадратное алгебраическое уравнение под знаком последнего радикала р
г' - 2rV (2sin 7 - 1) + г + х\ = 0
(3.80)
г' = - г cos 27 ± iyjr sin 27 + х§,
(3.81)
2
2
2
имеет комплексные корни 2
2
то выражение (3.79) запишем в требуемом для анализа виде r dr
V (г, хз) = 4G • С [ dj [
У
У V(r
- г') (г' -
a
''
г ) [г' -
(А + iВ)] [г' - (Л - iB)]
р
(3.82)
где Л = - г cos 27;
2
2
13 = yjr sin 27 + х § .
(3.83)
Далее внутренний интеграл в (3.82) заменой t
g
|
2
£ 2 * ! ^
=
(3.84,
COS 02 Г' - Гр
I где tg0
1
^
=
A
tg0 = ^ f A
tg0
2
2
3
85
*
С ' )
^
С- )
b
2
может быть приведён к виду i = М/
у
^
== =
•> Vl-fc sin 0 2
2
5
*
причём модуль здесь "Я"
/
у
=.
^ \/l-fc sm 0 2
3
86
2
U
P
=
s i n
2£L^.
(3.87)
Кроме того, из (3.84) находим величину г' как функцию от переменной 0:
оЙ Г
а
COS 01 + Гр COS 0 tg к Z
2
г' (0)
.
cos 011- cos 02*Б 2
(3.88)
3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ГЛАВА
плоских ТЕЛ
ПОТЕНЦИАЛЫ
Выразив здесь в 2
2 6
1-cosfl l + cos0'
=
запишем г' (в) в необходимом для интегрирования виде
COS 01 COS 02
r'(0) = 6 - 2 ( r - r ) e
(3.89)
p
2a
(cOS0i-COS0 ) +
C O S
2
0'
где
COS 01 + COS 02 ^ OS 02< -1, а = COS 01 — C—
л
(3.90)
r COS0i +r COS02 6= COS 01 — COS 02 a
p
Ввиду очевидного 2 3
-1 =
4 COS 01 COS 02 (cos в\ — cos 0г)
(3.91)
2
вместо (3.89) имеем / (д\
Г
и
Г
2
( »- Р)
г(в)-Ь
2
a -l a
+
c a s £ >
(3.92)
-
С учётом вида г' (в) из (3.92), интеграл (3.86) принимает вид \Zcos0i COS 02 <2Ь в
2
±ZlL(a -l)
т/2
/
сШ 2
2
\/\ - к sin в
\ I < L = \J (a + cos0) V l - f c s i
г
-.+
2
ж/2 f
d£
(3.93) 2
2
{ (a-cos0)V7 fc sin 0 <
IT/2 2
-(r -r )(a -l)a / { * a
p
2
\/\-k si d0 — (a - c
2
2
2
Vl-k sin в
Это 7 удаётся выразить через полные эллиптические интегралы первого и третьего рода { ЙС (*) - (г. - г„)«П [ - ^ к ] } • 2
(3.94)
3.3. КОЛЬЦО И ДИСК, ЗАПОЛНЕННЫЕ РОЗЕТОЧНОЙ ОРБИТОЙ
91
Таким образом, гравитационный пространственный потенциал кольца (3.82) принимает вид (
а
^
г
т
\ -
1 Г , Х з )
1Г//2 /
^СМкмьца 2
^тг (г
COS 01 COS 0
2
+ г )У V ^ s i n 2 + ^ 2
а
р
о
xJ26K(fe)-a(r ~r )n
-_i_,fc]|d
p
e
(3.95)
7
7 e
где а и Ь из (3.90). Есть ещё полезное соотношение между а и Ь a
+
I / =
_2$_,
v
=
Il±l£>i.
'"о "~
(3.96)
'"а ~ Гр
С учётом (3.96) исключим величину 2Ь из (3.95), и тогда гравитационный пространственный потенциал кольца (3.82) можно представить также в форме (
,
=
4 G A ^ Л
Т /
> ^ Г ^ { а ( К ft) - П 2
2
^ / r s i n 2 + x§
1
V
7
W
Д1) + „К (k) } L
a
-
1
"
W
d
r
J
(3.97) В силу соотношений (3.85) углы 0 и 02 в общем случае зависят от переменной интегриро вания 7; то же относится и к модулю к. Выражение (3.97) (или эквивалентное ему (3.95)) представляет вторую форму записи пространственного потенциала кольца. Напомним, что первая форма была дана в (3.77). Хотя вторая форма выглядит даже более громоздкой, чем первая, однако это впечатление обманчиво; те преобразования, которые мы делали над интегралом (3.79) отнюдь не лишние и в некоторых предельных случаях (см. ниже) работать с выражением (3.97) значительно удобнее, чем с (3.77). Х
На рис.28 показаны кривые равного потенциала, рассчитанные по формуле (3.77). 3.3.4. Потенциал кольца на оси симметрии Если испытуемая точка находится на оси симметрии кольца Охз, то г = 0 и Л = 0,
В = хз,
cos 01 = J
Х з
A )
cos 02
W O V ^
=
Х з
,
(3.98) а= Тогда подынтегральная функция в (3.97) от 7 вообще не зависит, и мы имеем значительное упрощение
(3.99) В частности, при больших хз асимптотика величин такова: Л^О,
|в|-»оо,
к(*)-»|,
П-»|.
(3.100)
92
ГЛАВА
3.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
плоских ТЕЛ Рис 28. Линии равного по тенциала кольца (сечение кольца — жирной лини ей), заполняемого розеточной орбитой. Отношение внутреннего радиуса коль ца г к внешнему г рав но 3 : 5. Потенциал р
а
4СМ льца КО
нормирован на —
. 1/Г Двенадцать изолиний (от внешних к внутренним) рассчитаны для потенци ала, начиная со значения 6.127125 и кончая зна чением 15.8855 с шагом 0.887125 7Г
Рис. 29. Потенциал кольца на оси симметрии
а
Рис 30. Сила притяжения на оси симметрии кольца. Модуль имеет максимум при некотохз ром-
Член в квадратных скобках в (3.99) исчезает, и тогда * > Ы * ^ р ,
(З.Ю1)
что и подтверждает правильность выражения потенциала (3.99). График функции (3.99) показан на рис. 29. На рис. 30 показана зависимость силы притяжения кольца на оси симметрии от х ; характерно здесь наличие точки максимума силы (по модулю). О разложении в ряд потенциала кольца данного типа см. § 15.3. З а д а ч а 3.6. Попытайтесь найти потенциал диска на оси хз и прямо из выражения (3.77). При г = 0 имеем, казалось бы, значительное упрощение К (0) = ^ , но далее путь к цели преграждает интеграл 3
3.3. КОЛЬЦО И ДИСК, ЗАПОЛНЕННЫЕ РОЗЕТОЧНОЙ ОРБИТОЙ
93
2 <р{х ) = 27гв-С 3
/
Д(7,0)^7
( 3 1 0 2 )
~2 где R (7,0) следует из (3.78) л/ш г = 0. Взять его — значит выполнить те преобразования, какие мы проделали выше над общим интегралом (3.79). Замечания Материал главы разработан автором. Первоисточник: Б. П. Кондратьев [21]. § 3.1. Формула для пространственного потенциала тонкого круглого кольца — сравни тельно простая, но полезная для приложений. В следующем параграфе мы применим её для нахождения потенциала неоднородных круглых дисков, а в § 7.3 воспользуемся ею и для нахождения потенциала пустотелого кругового тора. § 3.2. Хотя потенциалы неоднородных круглых дисков необходимы во многих задачах астрономии и физики, в общетеоретическом плане в этой области до сих пор мало что было сделано. Здесь, применяя формулу (3.4), впервые дано общее решение для дисков с произвольным распределением поверхностной плотности а (г). § 3.3. Решение задачи о потенциале материального широкого кольца с плотностью (3.69) ранее не было известно: оно получено в работе автора [67]. На двумерный случай здесь обобщается идея Гаусса об эллиптических кольцах, однако в отличие от одномерной задачи Гаусса, двумерная проблема неожиданно оказывается более доступной для анализа.
ГЛАВА 4
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Великолепный аналитик Кирхгоф в классической задаче о логарифмическом потенциале однородного эллиптического цилиндра не дал, однако, ничего нового. Потенциалы таких цилиндров он находил стандартным косвенным методом — из потенциалов однородных трёхосных эллипсоидов, устремляя большую полуось к бесконечности [18]. Другими сло вами, эллиптические цилиндры рассматривались у него как предельный случай трёхосного эллипсоида. И в этом Кирхгоф не одинок: на этот метод неизменно ссылаются и другие исследователи. Так обстоит дело, например, в современном руководстве [33]. Однако ука занный косвенный метод весьма ограничен и вообще не работает, если сечение изучаемого цилиндра не эллипс! Здесь разработан другой, более универсальный метод решения задач для цилиндров с бесконечной образующей. Метод этот—прямой в том смысле, что опирается он на исходные формулы (4.10) или (4.13); суть его заключается в интегрировании выражения логарифми ческого потенциала по области, ограниченной сечением цилиндрической фигуры тела. Но конкретное проведение вычислений требует даже для эллиптического цилиндра применения нестандартных приёмов нахождения интегралов. Напомним вначале, в чём состоит косвенный, или асимптотический метод.
§ 4.1. Однородный эллиптический цилиндр: косвенный метод Дан неограниченный вдоль оси х\ эллиптический цилиндр с сечением 1 «2
(а > а ). 2
3
(4.1)
а
з
Полагая этот цилиндр однородным, поставим задачу: исследовать его гравитационные свой ства. Теорема 1* Уровенные поверхности полной силы притяжения вне однородного эллип тического цилиндра представляются семейством софокусных с ним цилиндрических поверх ностей. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Выполним предельный переход а\ —• оо в формулах (6.10) для компонент притяжения (Fi,i*2, F3) трёхосного эллипсоида во внешней точке. Вначале убеждаемся, что F\ — > 0и задача для цилиндра действительно становится двумерной. Сложнее обстоит дело с вычис лением двух остальных компонент силы притяжения. Делая предельный переход в интеграле оо
F2 = — 2irGpa2a3X2 lim ai—>oo
01
(4.2)
4.1. ОДНОРОДНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР: КОСВЕННЫЙ МЕТОД
95
в итоге получим выражение ^
=
- 4 7 ^ - ^ * 2 ( 1 -
4 +Х \|а§ + А
(4.3)
Тем же методом находим и компоненту oj + A Г
=
3
- 4 7 Г ^ - ^ * 3 ,1
«2 + А
-1
(4.4)
Формулы (4.3) и (4.4) представляют собой компоненты силы притяжения однородного ци линдра во внешней точке ж,-; здесь А — эллиптическая координата точки ж,-, являющаяся положительным корнем уравнения
/¥•2
/у»2
2
3
а| + А
а§ 4- А
= 1.
(4.5)
Полная сила притяжения вне цилиндра равна IF^I
= 4 т г С р ^ _ (y/aJ+X-
y/aJ+X^j ,
где мы вновь учли уравнение (4.5). Итак, сила действительно зависит лишь от А . ЗАМЕЧАНИЕ 1. На поверхности цилиндра данного типа А имеет одно и то же значение
=
(4.6) •
0 и полная сила притяжения всюду
Q2Q3 (4.7) 0.2 + Q>3 Теорема 2. Внутри однородного эллиптического цилиндра уровенные поверхности пол = AitGp
ной силы притяжения представляются семейством цилиндров, подобных геометрической границе тела. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно легко следует из того, что внутри цилиндра компоненты силы линейно зависят от координат. Действительно, на поверхности и внутри цилиндра выражения (4.3) и (4.4) сводятся (при А = 0) к F = -27Г(7/>Л2Я2 2
?
^з = -27гОрЛзХз,
(4.8)
где коэффициенты даны в ( Ь З З ) . Тогда
| * V i p | = 4тгСр
«2 \
(4.9)
а
что, с учётом (4.3), и требовалось доказать. • В согласии с (4.8), гравитационный потенциал внутри однородного эллиптического цилиндра является квадратичной функцией от координат пробной точки и даётся известной формулой (1.32).
96
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
§4.2. Однородный эллиптический цилиндр: прямой метод Вначале выведем общие формулы, на которые далее будем опираться. Для однородных тел с логарифмическим потенциалом формула (1.30) даёт <р = Gp [2тга а In (2Я) 4- J], 2
(4.10)
3
где Н —> оо. Вычислению подлежит здесь только интеграл по площади сечения цилиндра J = — J J In ^(x2 - x ) + (хз - Xg) j dx dx* . f
2
(4.11)
2
2
2
z
В случае внутренней точки выражение (4.11) представим контурным интегралом. Вводя поляр ные координаты с началом в испытуемой точке (см. рис. 31), а именно, х[ = х\ + £>cos0'; х = х% + + D sin 0' и отбрасывая несущественную постоянную, приводим потенциал к виду 2
2,
*(*')
4> = -2GpJde' J о о
D\nDdD
=
2тг 2
= -Gp J (R In R о Ho Rd6' = cos 7' Рис. 31. Схема к нахождению лога рифмического потенциала
• dV
y
d9'.
(4.12)
так что
4>{?2,хъ) = -Gp j ^ Й Ь й - | |
cosV&L\ (4.13)
где интегрирование проводится по контуру сечения фигуры. Выражение (4.13) можно рассматривать как некоторый аналог формулы (2.7) для случая логарифмического потенциала. Развитый выше прямой подход приложим к широкому классу задач. Например, его можно применять к однородным цилиндрам не только с эллиптическим, но и с более слож ными сечениями. И с методической точки зрения он необходим для проверки уже известных результатов. 4.2.1. Внутренний потенциал Эта задача сводится к вычислению интеграла (4.11) по площади сечения (4.1). Исходим из тождества
-21nD = 1 + £г [(х - я£)1п Л] + 2
дх'
[(х - 4)In/?] 3
(4.14)
2
и, подставляя (4.14) в (4.11), находим J = тга аз -f JV, 2
(4.15)
4.2. ОДНОРОДНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
97
где обозначено N=
JJ '2 a2
l^[(x -x )lnD] 2
+ ^[(x -x' )^D]\dx dx .
2
3
3
2
(4.16)
3
/2
аз*
Применяя формулу Грина (см. гл. 2, примеч. 1), получим контурный интеграл N=
j>
lnD[-(x -x' )dx' 3
3
+ (х - х' ) dx' ].
2
2
2
3
(4.17)
12 /2 ^2 . 3 2' 2— Практическая ценность предлагаемого метода зависит от возможности выполнения инте аз грирования в последнейагформуле. Делая здесь подстановку Х
х = а cos 0, х' = a sin 0 (0 ^ 0 < 27г), 2
2
3
(4.18)
3
получим 2тг
N = i ^ [аз cos 0 • х -f а sin 0 • х - а а ] 2
2
3
2
х
3
о
(4.19) 2
2
х In ^(х — а cos 0) + (хз - аз sin 0) de. 2
2
Задача сводится к вычислению определённого интеграла (4.19). Но обычным способом такой интеграл не берётся. Эта задача требует творческого подхода. Чтобы вычислить (4.19) в конечном виде, обратимся к методам функций комплексного переменного. Введём мнимую единицу и представим D в виде 2
D = [(х - a cos 0) 4- г (хз - аз sin 0)] • [(х - а cos 0) - i (хз - аз sin 0)]. 2
2
2
2
(4.20)
Обозначив комплексную координату испытуемой точки через z = x +ix 2
(4.21)
3y
запишем 2
In D = In [a cos 0 + га sin 0 - z] 4- In [a cos 0 - ia sin 0 — z*], где * — символ комплексного сопряжения. Интеграл (4.19) принимает форму 2
3
2
(4.22)
3
2N = - a a {Ri + flj) + a x (R + Д£) 4- a x ( Д + #5) i
( - )
Ri = У In (a cos 0 + га sin 0 - z) с!0,
(4.24)
2
3
3
2
2
2
3
3
4
23
где 2
3
о
2тт
R — J cos 0 In (a cos 0 4- га sin 0 - z) d0, 2
2
3
(4.25)
о 2тг
Аз = j sin 0 In (a cos 0 4- газ sin 0 - z) d0. 2
О Итак, требуется взять интегралы
Д и Дз. 2
(4.26)
98
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Вычисление интеграла (4.24) 1
Перед нами стоит непростая задача, и в лоб она не решается . Будем рассматривать этот интеграл как функцию параметра z. Производная от него по z равна 2тг
dRi dz
f J
о
dJB a cos в -f газ sin в - z'
(4.27)
2
С помощью формул cos в = ?—±r—;
* sin в = - — ^ —
(4.28)
приводим (4.27) к виду dQ =2i<£ dz / l
; г - ^ , (аг + аз) и - 2ги + {а - а ) 2
(4.29)
3
гв
где и = е и интеграл берётся по единичной окружности. Корни квадратного уравнения в знаменателе равны 4
а +а 2
7
3
При нахождении внутреннего потенциала цилиндра пробная точка z должна находиться внутри исходного эллипса. Легко понять, что корни и\ лежат тогда внутри единичной окружности. Учитывая это, находим вычеты подынтегрального выражения (4.29); они равны >2
u
res/=——L=—; 2
="i
2y/z -al
+ di
1
res / =
(4.31)
(4.32)
Сумма вычетов (4.31) и (4.32) равна нулю, и в итоге получим ^ 1 = 0. (4.33) dz Этот результат удивителен: интеграл (4.24), оказывается, вообще не зависит от пара метра 2, что изначально было вовсе не очевидно. Ввиду важности результата (4.33), докажем его ещё и другим способом. А именно, с помощью замен (4.28) представим подынтегральную функцию в (4.27) в виде / =
s * (а + а ) е + (а - а ) е~ - 2z гв
2
3
4
34
( - )
гв
2
3
гв
и разложим её в ряд по степеням е~
оо /=£>„е-"*
71=1 1
Найти вычет подынтегральной функции в (4.24) не удаётся.
(4.35)
4.2. ОДНОРОДНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
99
Подставляя ряд (4.35) под знак интеграла в (4.24) и учитывая, что ine
J e~ de = О
(n = 1,2,...),
(4.36)
о мы вновь приходим к выводу (4.33). Таким образом, основываясь на замечательном свойстве (4.33), при вычислении инте грала (4.24) величину z под знаком логарифма можно положить равной нулю. Тогда находим 2тг
Ri (z) = Ri (0) = J In (a cos в 4- m sin в) d6 = 2
3
(4.37)
тг/2 2
2
2
= 2 J In (a£ cos в 4- a sin 0) d0 = 2тг In 2* + * ^ Следовательно, а 2
а з
fii-h Я? = 4 т г 1 п ^ .
(4.38)
Вычисление интеграла (4.25) Вначале интегрируем его по частям. Проинтегрированный член исчезает, и мы получим 2тг 2
у a sin g-m3singco ^
=
2
у
о
S
g
а cos 0 4- газ sin в - г 2
Интеграл (4.39) можно представить в таком виде 27Г
д () 2
2
=
/ у
а 2
о
27Г
У й 2 cos 0 4- газ sin в — z
У" созбШ J а cos 0 4- газ sin в — z
г
о
( 4
4 0 )
2
Но первый из интегралов в (4.40), который мы обозначим через Р , равен нулю: dRi lz) Р=--ЛП = 0, (4.41) поскольку по доказанному выше R\ из (4.24) не зависит от z. Следовательно, вместо (4.40) останется только интеграл 2тг с
о
Ш
в
Я (*) = -z ( . . J а cos 9 4" газ sin в — z 2
п
о
(4.42)
а
2
Подынтегральную часть в (4.42) с учётом подстановок (4.28) можно представить в виде i0
=
ie
e +e~ (a + a )e + (a -a )e- -2z ie
2
3
ie
2
<* + a
3
i f g
1
2
ш
с~
(443)
n 3
Но в силу (4.36) интеграл от ряда в (4.43) тоже равен нулю, так что R2(z) = - ^ z2тг. а + а 2
(4.44) 3
100
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Таким образом, находим Д2 + Д2 =
х.
(4.45) '
з + Яз = - ^ * з .
(4.46)
2
1
а + аз 2
Вычисление интеграла (4.26) Поступая аналогично и с Д (>г) из (4.26), находим 3
Д
Объединение (4.38), (4.45) и (4.46) даёт величину N из (4.23) * , _
f
c
{ ^
t
a
« 4 S
+
_ 2 _ *
_ 2 _ ^ } .
+
<4.47)
Подставляя это N в формулу (4.15), в итоге приходим к выражению для внутреннего потен циала эллиптического цилиндра Йнутр (*2, хз) = nGp ^2а а 2
3
In
- Л х| - Л х ^ , 2
(4.48)
3
где коэффициенты А и Аз даны в (1.33). 2
Формулы для потенциала <р из (4.48) и (1.32) эквивалентны. 4.2.2. Внешний потенциал Вновь обращаемся к вычислению интеграла (4.11), но действуем теперь иначе. С учётом (4.21), запишем D в виде D = \J{z- z') (z* - г'*). Тогда J = - jj
1
[In (z - z ) + In {z* - z'*)\ dx' dx' = Re J , 2
(4.49)
3
где J = -2 ^
In (z - *') а ^ а У . 3
(4.50)
5
Ho ln(z - ^') = lnz + In ( l - т ) >
(
4
5
1
)
так что для случая внешней точки, т. е. при условии ^ логарифм можно разложить в ряд
<1
(4.52)
4.2. ОДНОРОДНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
и представить
(4.50)
в виде оо
,m
J J z dx' dx' .s
m
Z~ т
2
m=l Формула
(4.10)
3
примет вид 1п
~
s s f c s
Чтобы найти сумму
J
(
2
Я
-2
) =
l n
+
&
®
+
R
d ^
e
J
-
из ( 4 . 5 4 ) , рассмотрим вспомогательный интеграл I
=
Z MDX
II
DX
' * '*-
S
Преобразуем его к контурному Ш
/ = J J (х + 1Х ) dx dx =<j>(x + г х з ) s 2
3
2
и после параметризации уравнения эллипса
3
т + 1
2
dx , 3
приводим к такому
(4.18)
2тт
/ = —^Ц- / (а cos в + га sin 0 ) m+1 J 2
m + 1
3
cos Odd.
о Здесь мы имеем дело с интегралом вида N
1 = J(Acos9
+ Bsin0)
cos9d9 (N - нечётное),
о который берётся смещением начала отсчёта по 9 и оказывается равным полиному ,
Л
2
2
(А + В )% • 2тг—
Следовательно, а
+
а
а
д
m
+
;
^2i/
л
I = na a j^-ja 2
3
!!
( т + 2)! II'
1
г
1
2
v2 з; и после преобразований этого выражения получим
где
А
2? - 2 \ Т г», V"* У, ^37 .Т Л2 /[йо > "т — > - з^) ? '.27Г-
г * =
л
и ,
102
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
причём биномиальный коэффициент равен г-
2
V
(4.64)
[
М
' W
Тогда сумма (4.54) записывается в виде J = тго аз > с комплексным х =
(4.65)
—,——тх
2
Очевидно, при условии (4.52) выполняется (4.66)
Для нахождения суммы J используем вспомогательный ряд оо (4.67)
v
J\ = ^
C^ x — v
с помощью которого J можно представить в виде г
( г
J = 7га а / 2
\
(4.68)
I I (J\ - 1) dx j dx.
3
о
\o
Таким образом, мы находим J = 7га а 2
1 , л/1 - 4.x , 1 - V I - 4х -lnx-f + 1п У 2.т 2х 1 + ^1 - 4 х
3
(4.69)
А так как
УГ-4х , , 1-ч/Г-4х = - l + 7П,
1
lim
(4.70)
я—О -т;
1пх— Ып 2z 2х 1 + VI - 4 х то величина J оказывается в итоге равной J = 7га а 2
3
. , V I ~ 4т - 1 , 1 - V I - 4х 1-7гг-1пж+hln 2х 1 + V I ~ 4х
(4.71)
Теперь необходимо подставить найденное выражение J из (4.71) в (4.55). Делая это, после преобразований получим искомый внешний потенциал однородного эллиптического цилиндра
2
2
у/а:2 - п "3 2
2
(K-l)(x -x )-2L\x x \ 2
Ч
и
3
п
(4.72) 1
2
2
2
Ь )'
(К - I ) + L
h "7 111 •
4
(К + 1) +
2
4.2. ОДНОРОДНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР
103
где обозначено K = J*±±.,L
= J * ^ ,
(4.73)
= Va + б ; 2
R
2
Х
1-4а '
'
(4.74)
V I -Ах = К + iL,
(4.75)
г
6 = 8а 2
4
х хз| 2
2
Здесь г = х + х§. Кроме того,
и имеют место вспомогательные тождества 2
(К - \у\ +. Lт2= 1 - 2К + R; 2
2
2
(К + I ) + L = 1 + 2К + R;
(4.76)
Формула (4.72) решает поставленную задачу. Заметим, что внешний логарифмический потенциал однородного эллиптического цилин
дра (4.72) может быть представлен также в виде Увнеши (х , х ) = 2irGpa a /in 2
3
2
3
4
Я
" ^ (4.77)
xl -_х| 4
ЛГ(1- Д)г
4
_ 1
2 2
(4-а )
1 + R + 2K П
4 1 + Д - 2 ^
4.2.3. Свойства потенциала эллиптического цилиндра Заметим следующее. а) Хотя внешний потенциал (4.72) и был получен нами при ограничении (4.52), т. е. при г > а , тем не менее сам потенциал не терпит разрыва на круге этого радиуса. Таким образом, потенциал (4.72), как и (4.77) существует всюду во внешнем пространстве эллиптического цилиндра. 2
Далее: б) На границе цилиндра потенциал не терпит разрыва и внешний потенциал (4.72) сшивается с потенциалом внутренним (4.48). З а д а ч а 4.1. Доказать утверждение (б).
в) Во внешней точке потенциал цилиндра (4.72) удовлетворяет уравнению Лапласа; внутренний же потенциал (1.32) удовлетворяет уравнению Пуассона. З а д а ч а 4.2. Доказать утверждение (в).
104
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
г) Компоненты силы притяжения во внешней точке эллиптического цилиндра, согласно (4.72), оказываются равными F
=
2
-4TTG>
а аз
х [1 - S],
2
2
(4.78) F
3
- -p«L-
=
4nGp
CLn
i-
X3
— at
1
где (4.79) З а д а ч а 4.3. Доказать, что выражения (4.3), (4.4) и (4.78) эквивалентны. Решение. Для этого сначала надо доказать вспомогательное равенство а <5 - 03
2
5 =
а + A _ _
2
т.е.А=
2
.
(4.80)
Остальное очевидно. • 4.2.4.
Цилиндр с круглым сечением
В пределе аз —• а эллипс сечения превращается в круг с радиусом R. В этом случае внутренний потенциал (4.48) принимает вид 2
(г) = «Gp (2R* In ЫВ.
_
.
(4.81)
Внешний логарифмический потенциал однородного круглого цилиндра следует из вы ражения (4.77): 2
^„e „W = 27rG > R ln^. I11
/
J
(4.82)
2
При сохранении массы на единицу длины М = npR этот потенциал не зависит от радиуса сечения цилиндра R. Следовательно, все такие цилиндры, включая и бесконечно тонкую нить, — эквигравитирующие.
§ 4.3. Однородный цилиндр с лемнискатным сечением: внутренний потенциал На этой задаче, изложенной далее в двух параграфах, покажем, как работает предложенный выше прямой метод в тех случаях, когда цилиндр имеет более сложное, чем эллипс, сечение. Перед нами — однородный цилиндр с сечением в форме лемнискаты! Некоторые формулы для лемнискаты 2
Лемниската, открытая Якобом Бернулли, является кривой 4-го порядка. В полярных коор динатах её уравнение 2
Лемниската Бернулли — кривая, у которой произведение расстояний от каждой её точки до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины фокального расстояния. По форме напоминает восьмёрку на боку. Название восходит к античному Риму; ще так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.
4.3.
ОДНОРОДНЫЙ
цилиндр,
105
ВНУТРЕННИЙ ПОТЕНЦИАЛ
г = aVcos20,
(4.83)
где для правой и левой петель лемнискаты соответственно
-f<*<5
-т
и
<
в
<
т-
(4
-
84)
2
Полная площадь лемнискаты равна S = а . В параметрическом виде форма лемнискаты описывается двумя уравнениями х[ = acos0\/cos20, х = asin0Vcos20.
(4.85)
2
Для дальнейшего существенно, что интегрирование вдоль левой петли лемнискаты заменой 0 = 0 - 7г сводится к интегрированию по первому интервалу — ^ ^ 0 ^ ^ при одновремен ной замене знака величины а в формуле (4.85), т. е. при х[ = — acos0Vcos 20, х — — a sin 0-\/cos20.
(4.86)
2
4.3.1. Постановка задачи Цилиндр с лемнискатным сечением заполним однородным гравитирующим веществом. Фор мулу (4.10) запишем сейчас в виде 3
зЗг-(и«н*)-&
«*>
где N из (4.17) с интегрированием по площади лемнискаты. Высота цилиндра 2Н ^> а, и далее эта постоянная рассматривается как величина, удобная для нормировки потенциала (р. Используя (4.85) и (4.86), после некоторых преобразований получим интеграл для N из (4.17): М
=
_ ^
+
а
Д
1
^л
+
2
)
(
4. 8) 8
а где введены обозначения i?Q
= RQ +
R$,
R[ = Лх + Rt,
(4.89)
R = R2 ~h R , 2
2
причём сами вспомогательные интегралы 7Г /? = ^ cos 20 In (z - а е 2
0
Д 1
Я
=
ш
cos 20) d0;
П j ^ b z - a e y ^ M . Vcos20 Inz 4- ae*Vcos20 4
2
2
= f
•J^In^ae^v^og^
Vcos20 In2 + ae*Vcos20 3
Для лемнискатного цилиндра оси декартовых координат имеют индексы «1» и «2».
(4.90)
(
4
9
1
)
(
4
9
2
)
106
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Здесь z = х\ +гх2 (г — мнимая единица), х\ и # есть координаты испытуемой точки внутри лемнискаты. Символ << + >> обозначает комплексное сопряжение. В формуле (4.88) учтён вклад в потенциал в испытуемой точке от обеих (левой и правой) петель лемнискаты. Таким образом, поставленная задача сводится к вычислению сложных (справочники здесь абсолютно не помогают) определённых интегралов (4.90) — (4.92). 2
4.3.2. Нахождение вспомогательных интегралов Преобразование интегралов До и R'
Q
Вначале рассмотрим интеграл До из (4.90). Интегрируя его по частям, при замене 2
2
ш
и = In (z - а е
cos 20);
sin 20
(4.93)
имеем z —a e
cos 20
Полагая теперь а; = sin 20,
(4.95)
приводим Д к виду 0
1
/+
2
-2х>/Т^о?
До = 2 1 п * + /
+ 1 (1 - 2х )
r
d
r
—-Г
У_!
1
C + iD
4
( -96)
y/T^tf
где введены следующие обозначения: 2
2
2
2
С = Ь -р -2(1-х );
D = 2(bp-x\/l-x ^
,
а нормированные координаты испытуемой точки таковы: Ъ=£ ; р=^х . Х1
(4.97)
(4.98)
2
Умножим подынтегральную часть в (4.96) на С — iD. Затем, чтобы избавиться от мни мости, найдём комплексно-сопряжённый интеграл Rg и сложим оба выражения; получим 2
2
2(b + p ) Я£ = Яо + До = 2 1 п
2
а
(4.99) 2
+2
^D(l-2x )-2CxVT^ 2
C + Dh2
x
d
x
V T ^
2
"
Интеграл (4.99) является уже вещественной величиной. Преобразование интегралов R\ и R[ Делая подстановки и
=
^ ж - ae'-'Vcosg. „ 2 + ae \/cos2^ ,9
=
/ j p | J ^ У Vcos20
=
^^faffi
( 4 Л 0 0 )
4.3. ОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР, ВНУТРЕННИЙ ПОТЕНЦИАЛ
107
и интегрируя по частям интеграл Ri из (4.91), находим .
sin sin0e
4
f
Ri = 2ш; 7-£
22
3ie
2ie
i e cos2e z -a 2
(4.101)
-d6.
Вновь делая здесь подстановку (4.95) и принимая во внимание, что ie
sin в —
ie
e - e~ 2i '
(4.102)
после некоторых преобразований имеем + 1 A
i
xdx Vl-x
B
R =J - У + V2J-1 C + iD 1
(4.103)
2
где 2
x
2
2
A = b (l - 2x - v l - х- ) - px (2\/1 ~ x - l ) ; 2
2
2
В — bx (2y/l~x -l) (l-2* -\/l
- s ),
+P
(4.104)
причём С и D даны в (4.97). Избавляясь от мнимости в знаменателе (4.103) и складывая с R*, мы вновь получим вещественный интеграл р ' --
R
l
Rр
_l 1
+
R
0+ -V2J_^ - л/о / l
c
АС Л- BP 2 +
d
2
xdx VI-x
(4.105)
2
Преобразование интегралов R и R' 2
2
После несложных преобразований, для R из (4.92) имеем 2
г+1 А±гВ 1_ Г ^ У . , C + iD 1
Д
2
xdx
(4.106)
так что В#
xdx
уТ^?'
2
D
(4.107)
Здесь 2
2
2
А = р (l - 2х + \/1 - ж ) + 6х (2\/1 - х + l ) , (4.108) 2
2
2
В = рх (2\/\ - х + l ) - Ь ( l - 2х + у/1 - х ) . Преобразование N из (4.88) и
з
Подставляя (4-99), i?' из (4.103) и R' из (4.107) в (4.88) и сокращая на общий знаменатель, получим 2(б +р ) (4.109) ^ =/-21п x
2
2
2
108
ГЛАВА 4 . ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
где интеграл I имеет вид т.
Г J-i
V T ^ у/Т^х*
i
2 2
^ + (С + D D )) 2
с дополнительными обозначениями 2
2
2х (l - 2х ) .
(4.111)
+ DT{,
(4.112)
2
Т = ЬА + рА + 4 x \ / l - x ; Ti = bB + pBС учётом известного можно записать: 2
2
2
Т = -y/l-x C
2
+ СТ"; Ti = -yJ\-x D
где 2
2
2
2
2
Т' = ( р + б ) (1 - 2х ) + 26рх - 2 \ / l - х (1 - Зх ) ; 2
2
2
2
2
Т{ = х [-2 (2 - З х ) + 2 (Ь +Р ) VlTx
+р -
(4.113)
2
б].
Тогда для / получим r+i
с
,
т
+
D
,
T
1
1=-2+
) -dx. у/1 - х (С + D ) 2
J-i
2
(4.114)
2
Числитель в подынтегральной части (4.114) допускает дальнейшее упрощение T' = xD + T";Tl = -x + T"
(4.115)
с обозначениями 2
Г" = 2 х л / Г ^
2
2
2
2
2
+ (р + Ь ) (1 - 2х ) - 2 л / Г ^ 2 (1 - Зх ) , 2
2
2
2
2
Т{' = - 2 х (1 - х ) + 2 х s / T ^ x (Ь + р ) - 2х (2 - З х ) .
(4.116) (4.117)
В результате, 2
J-i
2
VT=t*(C
+ D)
Числитель в (4.118) равен 2
2
2
2
к = С + D = F ( х ) - 86р • x v ^ l - х ,
(4.119)
где 2
2
2
2
2
2
2
F ( х ) = (Ь + р ) + 4 (1 + р - Ъ ) (1 - х ) .
(4.120)
Необходимо, однако, сделать этот знаменатель чётной функцией от х, для чего умножим подынтегральное выражение в (4.118) на фактор fe' =
F(x )+8bp-xVl-x . 2
2
(4.121)
Тогда в (4.118) все интегралы от чётных функций исчезают, и после преобразований мы получим i l = -i
2
+I
1
+
2
(b +p )l , 2
(4.122)
4.3. ОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР, ВНУТРЕННИЙ ПОТЕНЦИАЛ
109
где 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
F (х ) • [(4s - 1) (Ь - р ) + 2 (1 - 2х )] + Ш р х (4д - 3)
dx;
(4.123)
Ь ) х - U + 2 ^ ) 1 + 16ft p x (1 - х ) Ь L1 А VT=1? [F (х ) - 6 4 6 W (1 - х ) ] '
(А 124)
2
2
2
2
2
2
F ( х ) - 64Ь р х (1 - х ) 2
2
2
. F ( х ) • [(1 +р -
7,
= /
-
2
2
2
2
2
х
2
Jo
2
2
Таким образом, для N из (4.109) мы теперь имеем 2
N ^
=
1
2
2
а (б + р )
1 11„ -2"2
(4.125)
+ / i + h-
п
Нахождение интегралов 1\ и 1
2
После многих преобразований подынтегральные части в 1\ из (4.123) и 1 из (4.124) можно представить в форме 2
j,
4
2
х - aix + bi х — а х + 62
=
=
1
4
2
1
(fl2 - Q i ) x H - 6 i -Ь х — агх + Ь
+
2
2
4
2
4
2
1 х -ах +/? ^ ±х -а х +Ъ
4« 7
2
А
2
2
(4.126)
'
2
2
1/ 1^
2
2
(а -а)а: + (^-6 )\ 4_ 2 J 2
2
х
а 2 Х
+
(4.127)
б 2
со следующими коэффициентами: _ Q{5Q + W + 1) + 3E ai = 4 (Q + Е)
(1 + Q) (4Q + W)
2
2
16 (Q + E) 2
_ Q (4Q + Ж) + 2Д 2
° ~
'
. (4Q + W) u = 1б(С? —г + Я)г
2
2 (Q + Я)
2
(4.128)
И
2
Q(6Q + W + 2) + 4 £ (1 + Q)(4Q + W) 4(Q + tf) ^ ~ 8(
2
°
OL
2
_ 2 f t 1
'
где для краткости мы переобозначили некоторые функции от нормированных координат 6 и р испытуемой точки 2
2
2
2
2
Q = l+p -6 ; W=(6 +p ) ;
2
2
2
S = 46p.
(4.129)
С учётом вида подынтегральных частей /{ из (4.126) и 1 из (4.127) находим выражения интегралов 1\ и 1 : h = 1 + (а - oi) Ф2 + {bi - Ы * i ; (4.130) 2
2
2
/2 = 4 где
| f + (а -а)Ф 2
ф
1=
+
2
^
Ф* 4
2
Jo х - а х 2
(/3-Ь )Ф' 2
; + 62'
1
(4.131) (4.132)
110
ГЛАВА 4 . ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
1
2
f x rfx Jo х - d X + i
Ф2
4
(4.133)
2
2
dx 2
(4.134)
4
2
Jo \ / l - x (x - a x + 6 ) ' 2
l
2
2
f
Jo y/l —
x dx a x1 + b ) x (x(x- — 4
2
(4.135)
2
4
2
2
4.3.3. Внутренний потенциал Подставляя интегралы из (4.130) и (4.131) в (4.125) и затем в (4.88), после громоздких, но элементарных преобразований, получим следующее выражение нормированного потенциала цилиндра:
(4.136) 2
2
+ (02 - а ) Ф - i (б + р ) I f + (аз - а) Ф + (/? - Ь ) Ф[ х
2
2
2
Зависимость £>н тр от координат испытуемой точки 6 и р проявляется двояким образом: Ву в явном виде и неявно, через коэффициенты o i , «2,61,62, а, /?. Заметим, что последние величины входят также в интегралы Ф\> Ф Ф[ Ф из (4.132)—(4.135). Важно отметить, что указанные интегралы Фь Фг, Ф[ Ф из (4.132)—(4.135) выражают ся через элементарные функции. 2у
у
2
}
Нахождение интегралов Ф\, Ф , Ф^, Ф 2
2
2
Для этого необходимо исследовать биквадратное уравнение 4
2
х - ах 2
+ 6 = О,
(4.137)
2
имеющее решение _ а ± i/o| -46 х = 2
2
2
(4.138)
Дискриминант здесь равен 2
d=aj-Ab
2
=
2
2
-р Ь
2
2
2
(р + Ъ ) + 2
2
2
2(р -Ь ) 2
2
( 1 + р - 6 ) + 46 р
<0.
(4.139)
2
На оси симметрии при р = 0 и на границе лемнискаты этот определитель оказывается равным нулю: d = 0 ДЛЯ
{'7°i2x2
0/12
2чЬ
( 4 Л 4 0 )
Во всех других внутренних точках лемнискаты он оказывается отрицательным. Такимобразом, в общем случае уравнение (4.137) имеет внутри лемнискаты комплексные корни, за исключением двух вырожденных случаев (4.140), где корни вещественные. Необходимо рассмотреть эти три случая по отдельности.
4.3. ОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР, ВНУТРЕННИЙ ПОТЕНЦИАЛ
Первый вариант вырожденного случая р = О В этом случае, как мы выяснили, d = 0 и поэтому А
4- Ь = (х - 7) = О,
2
2
х - ах 2
2
2
где
2
2
4(1 - б ) <
В данном вырожденном варианте
f=
2
6
2
., <1; 0 < Ь < \ / 2 . 2\/Ь^Т
Ясно, что точка 6 = 1 является сингулярной. Теперь находим интегралы: Т
dx
2
3
=<
Jo (х -чУ 2
г- Н — — a r c t a n 4: 2
2f (f
2
+ l)
2Г
1 2 ( Т - 1) 2
2
ф
1
1 + _1_ь + 2 Г ( Г - 1) 4Г Т-1 2
x dx
4Т
3
Т
Г- 1
2
Jo
+ - — a r c t a n 4:
[
2
2 ( Г Ч-1)
2Т 2
(ж
1 + 2Т I 3/2 4 3 ( 2 _ j) Г
*i =
f
dx 2
2
Jo л/1 - x (x -
7)"
=<
тг 4
Т
Г
2
1 - 2Т
f3(f
2 +
l)
3 / 2
J
112
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Если мы подставим теперь полученные интегралы (4.145)—(4.148) в (4.136) и учтём разности коэффициентов (2-б*)
3 2
_
f e 2
(4.149) 2
2
2
Ь (2-6 )
2
Ь (2-Ь )
2
2
4 (1 - Ь ) ' "
2
16 ( 1 - й ) '
тогда после преобразований и дальнейших упрощений получим простую формулу 2
9 = in | + * i - г £ (2 + 6 а: ) ,
(4.150)
2
где 7
г, ДЛЯ Ь <
1П
1
*i = {
>, ^
(4.151)
arcctgT, для о > 1
*
= £ ,Ь^1.
2
(4.152)
Второй вариант вырожденного случая в (4.140) В этом случае испытуемые точки находятся на границе лемнискаты. Тогда коэффициенты (4.128) заметно упрощаются: 2
2
ai = | sin 20;
a = 2 sin 20; 2
(4.153) 4
4
6i = i sin 20;
6 = sin 20. 2
Таким образом, действительно d = a — 4ft = 0. Угол 0 изменяется в тех же пределах (4.84). Далее, х - а х + Ь = (х - Г ) (4.154) 2
2
4
2
2
2
2
2
2
с 2
2
T = ^=sin 20
(4.155)
так что интегралы (4.132)—(4.135) оказываются такими: ф 2 _ 1 l + sin2fl, sin 40 4 sin 20 1 - s i n 20' 1 =
+
2
1 2cos 20 Ф; = 0; Ф' = 0. ф
=
2
l
n
3
2
1 . 1 +sin 20. 4sin20 l-sin20'
(4.156)
2
Подставляя выражения (4.153) и (4.156) в (4.136), после преобразований мы получаем потенциал на границе цилиндра ~ 7г пл 11 cos 20 1 • пп 1 1 + sin 20 Увнуф = - 1 cos 20 - | In - - sm 20 • In _ • 1
g
i
n
2
g
, (4-157) / А
с
ч
4.3. ОДНОРОДНЫЙ цилиндр,
113
ВНУТРЕННИЙ ПОТЕНЦИАЛ
Общий случай d < О Рассматривая случай комплексных корней в уравнении (4.137), введём следующие обозна чения: q = 6 ; cos а = «2 = _£2_ 1 (4.158) 2Vh 2q 4
2
2
Ясно, что уравнение 4
2
х - ах 2
2
4
2
2
(4.159)
4
+ Ь = х - 2g x cos а + д = О
имеет корни 2
(4.160)
±,a
7i,2 =
к = 4
ж -
1 ж - 2д ж cos a + q
02Ж2 + 62
4
2
2
(4.161)
4
мы можем представить в виде 1 _ 1 ( 1 (ж - 71) (ж - 72) 2ig sina \^ж - q e 2
2
2
2
2
1 ж - qe
ia
2
2
(4.162)
l a
Дальнейшее разложение на простейшие дроби даёт здесь к=
3
4iq sin а
\х — qe
2
2
-qe
J
2
^x + ge*
x + qe
%2
)J (4.163)
qsma — xsin a ^
g sin a -f x sin ^
3
2q sin a
(x-gcos|)
2
2
+^ sin |
(x + g c o s | )
2
2
-hg sin |
Если мы подставим теперь к под знак интеграла (4.132), то получим (4.164)
Aq° sin а Тем же самым способом мы находим и выражение для функции к' =
^2 4
2
х - ах 2
+Ь
2
И в конечном итоге получим интеграл (4.133) в виде ,
Ф = 2
v —и
: . Aq sin a
(4.165)
В формулах (4.164) и (4.165) мы обозначили 2
g + 2gcos£ + l и — sin
77 2
(4.166)
In 2
g -2gcos| + l
114
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
l-gcos| v = 2 cos ~
arctan
h arctan
l + gcos|\ I.
9Sinf
2 1
(4.167)
qsinf j
В отличие от Ф и Ф , интегралы Ф' из (4.134) и Ф из (4.135) содержат в знаменателе радикал \/1 — х , вследствие чего эти последние интегралы найти труднее, чем два первых. Тем не менее, и для интегралов Ф[ и Ф находится способ вычисления. Нахождение Ф' х
2
х
2
2
2
г
Вначале вернемся к Ф[ и представим ее в форме p
* i = Т1Г^- ( i (Я) - Pi (-Я)), 2q* sin а
(4Л68)
где , g s i n a - x - s i n ос ^ ах * Г - ^ ё ^ — у/1 - х х - 2gxcos ^ + q Jo r
Рг (Я) =
i
2
2
<
2
4 1 6 9
>
2
От радикала у/1 — х избавимся подстановкой
!
-Vr^f'
TT?'
I =
< 4
'
7 0 )
После преобразований получим Px(g) = 2 ^g sin a - s i n ^
Ф + ^gsina + s i n ^ Ф | ,
(4.171)
= —, +C t + С
(4.172)
х
2
где мы ввели обозначения ?! = / = Jo с г
4
2
г
2
3
1
ф - / — Jo C t + C t + C
(4.173)
=
4
2
1
2
3
с коэффициентами 2
2
2
С = 1 + 2gcos | + g ; С = - 2 ( l - g ) ; С = 1 - 2gcos | + g . г
2
3
(4.174)
Таким образом, мы сводим интеграл (4.169) к комбинации двух определённых интегра лов типа Фх и Ф из (4.132) и (4.133). Конкретно, мы имеем дело со случаем 2
4С С >С 1
когда уравнение
3
2 2
)
_ C t -hC t +C =0 4
1
2
2
3
(4.175)
(4.176)
115
4.3. ОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР, ВНУТРЕННИЙ ПОТЕНЦИАЛ
имеет комплексные корни. Введём обозначения (см. также (4.158)) С
l-2gcos| + g
2
(4.177) 2
С
l + 2gcos§ + q
г
2
1-я
cos a = — 2\Jc C X
4
(4.178)
2
\/9 -2g cosa + l
Z
после чего с учётом решений (4.164) и (4.165) сразу получаем для интегралов (4.172) и (4.173) следующие выражения: Ф
1
=
и+V > AC q sin a
v
V—U — 4C gsina
2
x
(4.179)
1
Здесь 2
_ q + 2qcos% + l и = sin — In g -2gcos| + l
(4.180)
=
1
2
1 -gcos| l + gcos| v = 2cos^ arctan 4- arctan • ?sin| ?sin|
(4.181)
Далее, для второго члена в (4.168) сразу имеем Pi
= ~
^gsina + s i n ^ Ф +
sin a - s i n ^
х
Фг| ,
(4.182)
где интегралы Ф\ и Фг получаются из Ф1 и Фг соответственно изменением знака величины q. Конкретно, при q->-q (4.183) мы также имеем q->h Я причём а = а;
Сх^Сз,
(4.184)
_ и— и
(4.185)
и v заменяется на v. Следовательно, мы имеем решения Фх = — ; 4Cigsina
Ф =
где v получается из v заменой q —* =, а именно
2
(4.186) ACiq sin а
116
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Если теперь подставить Ф Ф , Ф1 и Ф из (4.179) и (4.186) в Р\ (q) из (4.171) и P i (-q) из (4.182), и затем последние в (4.168), тогда имеем ь
2
2
Ф'х = - r - i — gsina ( Фх+ Ф + Ф + Ф ) + q*sina I \ ) 2
+ sin| ^-Ф + х
Х
2
(4.188)
Ф2 + Ф! - Ф г ^ | ,
или, после простых преобразований и упрощений, 2
2
2gcosf ( l + g ) + g - l Ф'х = =J-\ — (v + v). SCiq q cos I -sin a J
3
4
(4,189)
y
Следует подчеркнуть, что величины и в (4.189) взаимно сократились. Нахождение Ф
2
Прежде всего, для Ф из (4.135) мы теперь имеем 2
*2 = — Ц г [Ъ (?) - ^2 (-9)] • Aq cos ^
(4.190)
Здесь P (q) = Г . Jo V I - x (ж - 2 g x c o s | + q \ 2
T
2
2
(4.191)
2
Делая подстановку (4.170), получаем /И«) = 2(Ф!-Ф )
(4-192)
2
с известными уже Ф1 и Ф2 из (4.179). Таким образом, интеграл xdx ./0
2
VI-х
(4.193)
2
2
(х + 2gicos | + g )
сводится к Р (-9) = 2 ^ Ф - Ф ) 2
1
(4.194)
2
с известными Ф1 и Ф из (4.186). В результате мы находим 2
Ф = 2
Ц- (Ф1 - Ф - Фа + Фг) , 2
(4.195)
L^L (и + 5) . 8gcos^Cig 8 g c o s | ^ - sin — -а
(4.196)
2
или Ф = 2
3
Здесь взаимно уничтожаются величины гГ.
V
J
4.3.
ОДНОРОДНЫЙ
цилиндр,
ВНУТРЕННИЙ ПОТЕНЦИАЛ
117
Как нам известно, ?<1,
(4.197)
тогда, как легко видеть, величины v из (4.181) и v из (4.187) определяются следующими равенствами V = 2 COS 77± 7 г — arctan
(4.198)
l-q
„ 2 sin| v = 2 cos т£ • arctan —, 1-g где знак берётся в соответствии с 9
2
(4.199)
2
+7г для sin % > О (4.200) -
—я для sin 77 < 0. Следовательно, U + V =
Подставляя здесь (v +
(4.201)
±27TCOS^.
из (4.201) в (4.189) и (4.196), после очевидных преобразова-
нии имеем 2
2
2gcosf ( l + ? ) + g - l (4.202) 3
sinf
3
8Ci g cos| 9
-2
i
(4.203)
1-9
s i n f SCiqq cos I Таким образом, подставляя найденные интегралы ФьФг из (4.164), (4.165) и инте гралы Ф^Фг из (4.202), (4.203) в основную формулу (4.136), мы получим окончательное выражение для потенциала однородного цилиндра с лемнискатным сечением в произволь ной внутренней точке. Основная формула (4.136) с двумя её специальными вариантами (4.150) и (4.157) и даёт общее решение поставленной задачи в элементарных функциях. Обсуждение Из предыдущих формул легко видеть, что найденный потенциал является симметрической функцией по отношению как к оси Ох\> так и к оси Ох . Действительно, 2
2
2
(4.204)
Это свойство потенциала является прямым следствием геометрической симметрии лемнис каты.
118
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
В центральной точке dfa db
^внутр — О,
= 0,
— = dp
0,
при Ь = р = 0,
(4.205)
т. е. в центре лемнискаты приведённый потенциал и компоненты силы притяжения равны нулю. Кривые равного потенциала внутри гщлиндра показаны на рис. 32.
Рис. 32. Кривые равного потенциала £> нугр = const. Два семейства кривых разделены сепаратрисой 5 : внутри неё изопотенциали замкнутые, а вне — разомкнуты и выходят на контур цилиндра. Потенциал возрастает от внутренних кривых к внешним (цифры от 7 до 1) В
§4.4. Однородный цилиндр с лемнискатным сечением: внешний потенциал Дан однородный гравитирующий цилиндр с лемнискатным сечением (4.83). Его потенциал в точке (хьхг) даётся выражением (2.1). Расстояние между испытуемой точкой (х^Хг) и точкой интегрирования (х'^х^) представим так D = \z-z'\ = \/{z-z'){z*
-z'*),
(4.206)
где (4.207) z = xi + ixi\ z = x'i + ix и * — символ комплексного сопряжения. Потенциал (2.1) приводится тогда к виду 1
f
2
^
2
- a In (2Я) = -\JJ{\n{z-z')
+ In (z* - z'*)}dx[dx' = (4.208)
= - R e JJ\n{z-
z') dx\dx'.
1
In (z - z ) запишем в форме l n ( z - z ' ) = lnz + ln ( I - Y ) '
(4.209)
и в случае внешней точки ^ 2
<1
(4.210)
119
4.4. ОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР, ВНЕШНИЙ ПОТЕНЦИАЛ
используем разложение в степенной ряд (4.211) Подставляя (4.211) в (4.209) и (4.208), имеем - a In (2Я) = - R e L 2
2
m
Inz -
±z~
Jf
z'™dx\dx'
2
(4.212)
В полярных координатах для интеграла в скобках имеем
,rn
m
J = J J z dx\dx'
iw
ime
= J J r e *rdrdB
2
= J e dO J о
r
m + 1
dr,
(4.213)
или, с учётом (4.83), J•
=т -+—« /со8 2у 2
2+ 4
гш
7
(2в)е Чв.
(4.214)
После замены г т
е * = cos ( т 0 ) + г sin (га0)
(4.215)
имеем 5тг т
J =
У
2
а+ т +2
cos
2
+
1
(20) cos ( т 0 ) d0 + ^ cos
2 + 1
(29) cos (m0) d0 > ,
(4.216)
Зтг 4
Г4 так как
cos
2
(2в) sin (тв) d6 = 0.
(4.217)
Подстановка <9 =
(4.218)
0 - 7 Г
приводит последний в (4.216) интеграл к виду 5тг 4
J cos™ (20) cos (тв) d0 = (-1)"* J cos™* (20) cos ( т в ) dB. +1
1
(4.219)
120
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Следовательно,
т+2
п
Г
т
cos
2
+
1
(20) cos (m6)d0.
(4.220)
Полагая здесь (4.221)
т = 2IA v = 1,2,3,..., получим
Q
4
J=2 ^
(4.222)
1
/ cos" " (20)cos(2i/0)d0.
+ 1
После новой замены гр = 2в
(4.223)
имеем J
=
^
COS^
1
(4.224)
COS (!/•
Этот интеграл равен
(у+1)1 (2и + 1)!!
2(*+D
fl
v + 1
pv
=
u
2
(4.225)
(2i/+ 1)!"
Подставляя J из (4.225) в (4.212), мы, с учётом (4.221), получим потенциал в виде ^внешн k
2Gpd A
«
-
k
(
-
!
i
|
f
(
f
)
]
.
<«*>
или же в:
-
2
^ "
1
П
(
<
— J
=
-
где
1
- 2
l
n
- ^
2а
2
s—
+
2 \5l2^TjT ' R
S
( 4 2 2 7 )
(4.228) (Ь + гр) (4.229)
Таким образом, следует просуммировать ряд,
(2^+1)! который входит в потенциал (4.227).
(4.230)
4 . 4 . ОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР, ВНЕШНИЙ ПОТЕНЦИАЛ
121
Нахождение суммы N Чтобы просуммировать рад N из (4.230), обратимся к известному ряду 0 0
2
2и
(v\) 2
(arc inx)^2X: S
( 2 t /
;
; i
2
) ! ( t / + 1 )
Дифференцируя его по х, найдём < « - » > ' - *± f ^ T X - _ * {, dx
+
x -
+ 2
,
х<1.
£ - M L .
(
4
Т
(4.231)
} ,
(4.2,2,
где «г arcsinx xvT^F
/ ,ч2
£j(2i/+l)!
2
Разделив это выражение на 4 х : arcsm х - ^ = Е 7 ^ М 4x T^ ' 4х £ j ( 2 v + l)! 3
2
2
"
-
(4.234)
v
2
и интегрируя по s = 4 х , получим
Обратим теперь внимание, что в правой части выражения (4.235) стоит ряд для N из (4.230) при конкретных 2
5
= 4х =
^—; х= т - ^ . (6 + гр) Ь + гр
(4.236)
2
Таким образом, для N имеем уже приемлемую формулу
N
=
2
I
| _ й Я £ ^_ ,xVl-x
.
(4.237)
2
которая легко интегрируется: [_zx<02 У xVl-x
=dx= 2
/jnx-ilZZarceinxl , J
[
(4.238)
0
так что искомая сумма будет равна 7V = - 2 | ^
1
x 2 Д
arcsmx|
=-2
arcsinx - l | .
(4.239)
122
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Итоговое выражение для потенциала цилиндра С учётом (4.239), для потенциала <£нешн из (4.227) имеем В
2
1,
2
Ь +р
^внешн — ~2
4
- Re | v T ^ ^ P } .
(4.240)
2
(4.241)
Но так как (см. (4.236))
A r
2
^ = \/(b + ip) -l
= i\Jl-(b
+ ipf
ТО a r c s i n a : = 4 In
г
Ь
1 (Ь + ip)'
V
+ *Р
1
4-In
i + i\Jl:
t
{Ъ + ipf :
(4.242)
o-t-гр
и выражение в фигурных скобках (4.240) равно I
i + iJl-(b
+ ipf (4.243)
После очевидных преобразований \Jl
-
(b + гр)2 = \Jx - iy = К - iL,
(4.244)
где \T — X 2
2
r = \Jx + y \
x = l-
2
2
b +p ;
(4.245) (4.246)
у = 2bp,
логарифм запишем в виде 2
i + i\Jl - (Ь + ip) In
= -ln(b + ip) + ln{L + i(l + K)}
Ц — .
}
b + ip
(4.247)
так что ^/^^axc|n£
=
(к _ ) iL
2
2
-Iln(b +p )-iarctan
+ (4.248)
2
2
+ | In [ i + (1 + AT) ] + г arctan и поэтому Re (4.249) +L I arctan * " t ^ — arctan ? Окончательно, потенциал фкяешя из (4.240) выражается через элементарные функции
§ 4 . 5 . ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ОБОЛОЧЕК 2
2
2
1 , Ь +Р Увнешн = ~ о 2
К
л
П
4
2
-L (arctan *
2
! ^ , L + (1 + K)
п
1 п
123
1 п
" +
, 4 . 2 5 0 ,
— arctan
Обратим внимание, что величины L из (4.245) и у из (4.246) имеют одинаковые знаки. Именно поэтому в формулах (4.248)—(4.250) при условии L > 0 аргумент ^ взят по модулю. Важно следующее: хотя формула (4.250) и была получена при условии (4.210), т. е. при Ь + р ^ 2, но на границе лемнискаты 2
2
2
2
ft +p
= 2
(4.251)
внешний потенциал, как легко видеть, не имеет разрыва. Следовательно, формула (4.250) представляет потенциал однородного лемнискатного цилиндра во всём внешнем для него пространстве. На бесконечности lim ф
шешн
= -оо,
(4.252)
что при используемой нормировке и следовало ожидать. При «посадке» испытуемой точки на центр лемнискатного сечения, т. е. при (ft, р) —> 0, выполняются соотношения х->1,
у-*0,
г->1;ДГ-»1,
L->0,
(4.253)
и потенциал в центральной точке равен lim ^ нешн = 0. В
(4.254)
Разумеется, этот результат не противоречит заключению (4.205).
§ 4.5. Логарифмические потенциалы оболочек 4.5.1. Метод дифференциации для цилиндров Тонкие оболочки возникают, как мы знаем из § 2.10, при эллиптической стратификации сечения цилиндров бесконечной длины. Внешний или внутренний логарифмический потен циал элементарных цилиндрических оболочек плотности рис полуосями эллиптического сечения а ^ аз находим по формуле (ср. с (2.197)) 2
dm, (4.255) m=l где ^цил(ж2,^з) есть соответственно внешний (4.72) или внутренний (4.48) потенциал однородного эллиптического цилиндра, причём в исходных потенциалах предварительно делается замена <А>б (ж) =
т
о-2 —* а2 > <*з —• азтпаз ( т ) .
(4.256)
124
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
4.5.2. Элементарный цилиндрический гомеоид При произвольном а з ( т ) нахождение потенциалов оболочек, и внешнего особенно, явля ются трудоёмким делом. В некоторых важных частных случаях вычисления всё же удаётся довести до конца. В итоге приходим к следующим результатам. Теорема 3. Логарифмический потенциал в полости однородного цилиндрического гомеоида не зависит от координат испытуемой точки. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
В данном случае or (га) = 1, так что при гомотетической замене полуосей коэффици енты потенциала 2а ^ _ 2а А = 3
3
А
2
2
не будут зависеть от параметра га; следовательно, при взятии производной от потенциала (4.48) по га в (4.255) исчезнут оба члена, зависящие от координат (х хз) • • 2у
Следствие 1. В полости двумерного однородного цилиндрического гомеоида (как тол стого, так и тонкого) сила притяжения отсутствует. Для цилиндрических гомеоидов, как и для трёхмерных эллипсоидальных, выполняется, следовательно, аналог теоремы Ньюто на для трёхмерного случая (§ 5.8). Теорема 4. Логарифмический потенциал однородного элементарного цилиндрического гомеоида с полуосями а ^ аз и массой на единицу длины М во внешней точке (х2,хз) даётся выражением 2
гом
4>га* (Х ,Х ) = М С 2
3
(4.257)
jconst + In ^ | } '
гаи
где а\
5=
+
А
а А — эллиптическая координата точки (х ,х ), квадратного уравнения /у.2 /м2 + а\ + А а\ + 2
2
(4.258) являющаяся положительным корнем
3
3
_ i
(4.259)
А
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
В правую часть общей формулы (4.255) следует подставить внешний потенциал одно родного эллиптического цилиндра из (4.72). Делая в последнем замену полуосей (2.192), получим (*§-*з)£-2|*2*з|^ <рп>м (яг>#з) = 2irGpa asdm I 2
const Н
aj-aj s
1(4.260)
2
(ai-ol) L
d
m
где К, /у, R даются в (4.73) и (4.74).
d
m
+
, 1.1 + R-2K 2 1 + Д + 2ЛГ f' Ш
125
§ 4.5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ОБОЛОЧЕК
Все производные вычисляются в точке т = 1. Конкретно, находим dK
4 - а\ (4.261)
dL dm
Ч-Ч [2K\x x \ Дг
=
2
4
3
+
L(xl-xl)],
причём здесь учитывались соотношения Ь = 2Kb, ^ = dm
-2(а1-4)^~Л,
v
dm
2
з
;
г
(4.262)
4
Подставляя производные (4.262) в (4.261), после многих преобразований получим VW, (* *з) = MG jconst + i In i ± | ^ M + 2)
,К
\. , .„
,^1-4]
(4.263)
2L\x2X \I + R\ 3
Разность последних членов в (4.263) можно записать в виде гр К_ ~ R
х<5 2 ~~ Д/д \ с
1 +
i
R
-
1
У»4
х
)
{
R
a
H
R
- ^ - 7 f - l ^ 2 з (а?> - а§) Выделяя внутри квадратных скобок члены при R, с учётом тождества
1
)
l
(4.264)
G
а
а
(4.265)
г можно доказать, что эти члены в сумме (которую обозначим через J) исчезают:
I =R
4
х\ - х\
г (1 - о)
4 - 4
(4 - 4)
(4.266)
= о.
2
Оставшееся от (4.264) выражение имеет вид 4
гр К_ ~ R
1 _
х
х
2
2
r (a + 6 )
4
2 ~ \ , г о г% г» I «2-е! (a^-ai)
2
2
(a -a§)
2
(4.267)
Подставляя сюда а и 6 из (4.74), после тождественных преобразований доказываем, что Т = 0.
(4.268)
126
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Таким образом, вид потенциала (4.263) значительно упрощается: У>п>м ( х , х ) = M 2
3
r o M
G jconst + i
где величины К = К (х , хз) и Д = R (х ,хз) тождество 2
2
2
г (1 + R ± 2К) = ^
l
n
(4.269)
i + д + 2JT} '
даны в (4.73) и (4.74). Остаётся доказать ещё
+ а%±у/\
(4.270)
2
+а ) ,
после чего потенциал гомеоида приводится к требуемому (4.257).
•
З а д а ч а 4.4. Доказать тождество (4.270). Следствие 2. Поскольку внешний потенциал цилиндрического гомеоида зависит толь ко от А, геометрическое место точек равного потенциала даётся семейством эллипсов, софокусных границе (4.1). В частности, на самой границе А = 0 и (р обращается в постоянную. гом
4.5.3. Элементарный цилиндрический фокалоид Рассмотрим элементарные цилиндрические фокалоиды. При софокусном расслоении полу оси промежуточного эллипса в сечении, согласно § 2.10, таковы: а —> а т, 2
2
2
(4.271)
2
аз —» а у/т — е 2
а масса тонкого фокалоида при т = 1 на единицу длины цилиндра 2
Мфок = т г / } ^ | (а\ + a )
аз
(4.272)
dm.
Рис. 33. Кривые равного потенциала внутри эле ментарного плоского фокалоида. Центр — неустой чивая седловая точка: потенциал возрастает от центра к поверхности в секторах с осью симмет рии Ох2, но убывает в секторах с осью симметрии Охз
Теорема 5. Потенциал однородного элементарного цилиндрического фокалоида с полуосями аз < 02 и массой на единицу длины Мфо на внутреннюю точку (х хз) равен 4
К
Ч>фок (х ,Хз) 2
4
2у
= Мфакв < Const -
Поэтому с размерностью в формуле (4.273) всё в порядке.
(
2е
Х
2
•"'З
g) «2 + * a
1 +
2 2
(4.273)
§ 4.5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ОБОЛОЧЕК
127
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Берём внутренний потенциал однородного эллиптического цилиндра (4.48) и делаем в нем замену полуосей (4.271). При этом коэффициенты v
А (га) =
т
; А (т) = * , (4.274) т + ym — e т + \Jm — е в отличие от гомеоида, уже зависят отга.Применяя метод дифференциации (4.255), после несложных выкладок с учётом выражения массы М^ из (4.272), из общей формулы (4.255) получим требуемый результат. • 2
3
z
z
z
г
к
Следствие 3. Согласно (4.273), геометрическим местом точек равного потенциала внутри фокалоида будет семейство равносторонних гипербол. Следствие 4. Сила притяжения внутри цилиндрического фокалоида линейно зависит от координат точки F = —х\ ( l + g ) ( а + а§) 2
2
2
F =i х . ( l+ g) (а -fa ) 3
(4.275)
3
2
2
Направление силы гравитации совпадает с вектором градиента потенциала. При е = О получается оболочка кругового цилиндра, внутри которой силы отсутствуют. Теорема 6. Потенциал однородного элементарного цилиндрического фокалоида с по луосями аз < а и массой на единицу длины Мфо на внешнюю точку (х хз) равен 2
К
2)
Ч>фок (х , х ) = 2GM<po (га) • F (х , х ), 2
3
K
2
(4.276)
3
где ,
К
, ,
)
=
^
у/Щ^Ц
4
4 2
2
+
И ^ . к (a -a ) 2
а -а
2
1
±
2
| ± 1+
4
»
.
(4.277,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Замена (4.271) приводит внешний потенциал (4.77) к виду ^внешн ( т , х , хз) = 2GM (га) • F (х , х ) , 2
2
2
(4.278)
3
2
где М(т) = 7гр а | ту/т - е — масса на единицу высоты цилиндра. Мы не ошиблись написав, что функция F(x x ) не зависит от параметра га: действительно, входящая в (4.77) комбинация а - а после замены (4.271) не изменяет своего значения. Остальное просто: применяя метод дифференциации (4.255), с учётом выражения массы Мфо из (4.272) сразу получим требуемый результат (4.276). • Результат (4.276) примечателен: функция F(x ,X3) входит и в выражение внешнего потенциала (4.77) сплошного цилиндра. Следовательно, при одинаковых массах софокусный слой и сплошной цилиндр одинаково притягивают внешние предметы. При разных массах двумерных однородных софокусных тел следует говорить о пропорциональности их внешних потенциалов. Вернёмся к выражению (4.276); интегрируя его от дога»> щ, получаем соотношения 2l
2
3
2
К
2
2GM(m ) x
2GM(m ) 2
*''
2GM(ra<)
1
2 >
3 )
(М(гщ) есть масса г-той оболочки). Тем самым доказана следующая теорема:
1
'
}
128
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Теорема 7. Потенциалы произвольных по размерам двумерных соосных однородных софокусных оболочек (как толстых, так и тонких) на фиксированную внешнюю точку относятся как массы этих тел. ЗАМЕЧАНИЕ 2. В частном случае п = е = л 1
1 при интегрировании в (4.276) по интерва
лу е ^ га ^ rrti учитываются все оболочки сплошного цилиндра. Таким образом, понимая под М (га») массу сплошного однородного эллиптического цилиндра, приходим в (4.279) к двумерному аналогу классической теореме Маклорена — Лапласа . 5
Замечания Глава разработана автором. Первоисточник: [20] и [21]. § 4.1. В литературе сведения о притяжении однородного эллиптического цилиндра неполны и разрознены. Содержание теоремы 7 представляется новым. § 4.2. Внимание учёных прошлого в применении прямого подхода концентрировалось на эллипсоиде, а цилиндр находился в тени. Возможно, ввиду важности и принципиально сти темы попытки делались и для цилиндра, но безрезультатные. Так или иначе, но отсут ствие прямых методов в исследовании притяжения тел с логарифмическим потенциалом — существенный пробел в теории. Развитый здесь прямой метод нахождения потенциалов однородного цилиндра эффективен не только с методической точки зрения. Он применим, например, и к цилиндрам с более сложными, чем эллипсы, сечениями. §§ 4.3,4.4. Рассмотрена ещё одна задача на применение прямого метода, развитого вы ше. Вычисления трудоёмкие, но результат приятен: внешний и внутренний потенциалы для однородного цилиндра с лемнискатным сечением выражаются через элементарные функции. § 4.5. Поставлены и решаются новые задачи о потенциалах тонких цилиндрических оболочек. Доказана теорема, являющаяся расширенным вариантом классической теоремы Маклорена — Лапласа для двумерных цилиндрических тел. Интересно сравнить гравитирующие свойства таких оболочек со свойствами плоских гомеоидов и фокалоидов, изученных в гл. 2.
5
См. теорему 6 в главе 5.
ГЛАВА 5
П О Т Е Н Ц И А Л Ы СЛОЕВ И ОБОЛОЧЕК
Вначале мы рассматриваем однородные (плотность объёмная!) эллипсоидальные оболочки. Вводится понятие элементарной эллипсоидальной оболочки и исследуются её геометриче ские свойства. Затем оболочка наполняется однородным веществом и изучаются её грави тационные свойства. Как объект исследования тонкие оболочки интересны, конечно, сами по себе. Кроме того, последующий их синтез позволяет получать оболочки конечной толщины и слои сто-неоднородные эллипсоиды в целом. Общие формулы иллюстрируются не только на гомеоидах и фокалоидах, но и на других типах элементарных эллипсоидальных оболочек. 1
§ 5.1. Эллипсоидальная стратификация т е л Рассмотрим однопараметрическое семейство соосных (и, следовательно, концентрических) эллипсоидальных поверхностей S (т) А
а\а\ (т)
+ ^ 4 ^ + ^ 4 г ^ = ™ \ а^о^ ( ) з з ( ) т
а
а
ш
(5.1)
где параметр га непрерывно изменяется в интервале О^ m
m i n
< m ^ 1.
(5.2)
Пусть семейство (5.1) ограничивается сверху эллипсоидом 5 (1) Л
JI „2 Хо Хо Н—| Н—1 = 1; а{ а\ а\
а ^а ^а . 1
2
3
(5.3)
Тогда функции а* (т) должны удовлетворять граничному условию а<(1) = 1,
1 = 1,2,3.
(5.4)
При любом допустимом га должны выполняться очевидные неравенства oti (га) > 0,
mai (т) < 1.
(5.5)
Потребуем теперь, чтобы через каждую внутреннюю точку проходила одна, и только одна поверхность семейства (5.1). В связи с этим: а) все oti (wi) должны быть однозначными функциями от га, не имеющими точек раз рыва; допускается лишь конечное число точек разрыва у производных этих функций; 1
Конечно, гомеоиды и фокалоиды были известны ещё классикам. Но подчеркнём: здесь мы говорим именно о расширенном семействе элементарных эллипсоидальных оболочек, где гомеоиды и фокалоиды — лишь частный
130
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ и ОБОЛОЧЕК
б) все три полуоси сцга а* (га) промежуточной поверхности S (га) должны монотонно возрастать с увеличениемгаи £-[таг(т)]
> 0.
(5.6)
Из трёх функций cti (га) независимых будет только две (так как из трёх отношений полуосей эллипсоида только два отношения являются независимыми), и далее без огра ничения общности положим a i = 1. Полуоси промежуточного эллипсоида 5 (га) будут соответственно aira, а т а (га), а$т аз (га). (5.7) 2
2
Если ra i = 0, объём эллипсоида (5.3) расслаивается семейством (5.1) полностью, но если хотя бы одна из функций с*2 (га) или а з (га) обращается в нуль при некото ром т > 0 — расслоение объёма будет неполным. Далее мы встретимся со случаями как полного, так и неполного расслоения. Геометрическую форму эллипсоида S (га) будем характеризовать сжатиями и эксцен триситетами трёх главных его сечений m n
тт
(
\
dj (га) "3 V"*7
1
, ч V
W
\
a
( j(™>)\
л
e
9
Mm)' ^ ' V ~ V ^ / (t,j) = (1.2);(2,3);(l,3).
( 5
'
8 )
По аналогии с отношениями полуосей, независимыми из трёх являются только два сжатия (или два эксцентриситета). Например, eis (m)-ei2 (т)
£23 ( т ) = — - — — Т Г ч — •
1-
£"12 (га)
5
9
С-)
При указанном расслоении форма эллипсоида S (га) может изменяться шестью спо собами. С двумя из них мы имеем дело, если все три производные от эксцентриситетов промежуточного сечения имеют одинаковые знаки (убедитесь, что это возможно!), т. е. ^е^(га)>0
или -^е ^ (га) < 0.
(5.10)
ц
А именно, в первом случае имеет место тотальное сплющивание поверхности S (га) одно временно по всем трём главным сечениям, а во втором — тотальная сферизация. Фактически одинаковые знаки у производных от ei2 (га) и е з (wi) (только в таком сочетании индексов!) 2
уже гарантируют тот же знак и для -у^е\з (га). Но могут быть и такие случаи эллипсоидальной стратификации, когда вдоль серии оболочек сферизация по одному сечению сопровождается сплющиванием по двум другим (и наоборот). Характерным для этих слу чаев является то, что производные функций ei2 (га) и егз (тп) должны иметь разные знаки; конкртено, различаем четыре случая неполной сферизации (сплющивания): £
Л
e
i
2
(
m
)
>
0
)
e i 2 ( m ) < 0 ,
dm
£e (m)<0,
£e
i^
ik
23
6 2 3 ( m ) > 0 ,
1 3
(m)}>° '
e i 3 ( m )
0
}
(5.11)
( 5 1 2 )
"
Все варианты стратификации с осевой симметрией (сфероидальных) следуют из рассмот ренных выше.
131
§ 5.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ОБОЛОЧКИ
§ 5.2. Элементарные эллипсоидальные оболочки Определение 1. Две поверхности семейства (5.1), разделённые бесконечно малым значением параметра dm, образуют элементарную эллипсоидальную оболочку. Геометрические свойства элементарной оболочки определяются видом функций а 2 ( т ) и а (т). Уравнение нормали к внешней стороне оболочки S (т) в точке х\ ^: 3
0
-1
,(°)
К - * ) (*?)"'-(*•-'•)
2
а^т о^ (т)
1
-1
(5.13)
(т) Толщина элементарной оболочки в месте протыкания её нормалью равна отрезку нормали между граничными поверхностями, т. е.
^Е(*Г>-*<) =
dr =
2
(5.14) 1+
0 )
=(*i -*l)
ar
(0)
,<°) + \ W)
4 <4<4(т)
Ю)
Х
a*a£(m)'
X
где Xi — точка, в которой нормаль «протыкает» внутреннюю поверхность. Преобразу ем (5.14). Подставляя соотношения (5.13) в уравнение внутренней стороны S(m-dm) рассматриваемой оболочки, в линейном по координатам приближении найдём величину dx\ = х^ — х\ =
2 c
r
m
+
(
/
dlna2(m)
CL2QC2 (т) dm
of
a?
d In аз (m) dm • dm,
/
ДО)
ДО
a^al (т.)
O3Q3 (m)
(5.15)
с помощью которой искомое выражение записывается в виде ,(°)
771 + 0
dr(m, ж ) =
(
In аг (m) +
\
X
\ J /-lna (m) a a (m) / dm •dm. 8
3
3
(5.16)
,(0) 2
aloft (m)
+ aial (m)
Объём элементарной оболочки и её главные моменты инерции 4 71411a 2 a 3
dV (m) = 3
d
^^ [
m3a2
( ) 3 (^1)] dm, m a
(5.17)
132
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ И ОБОЛОЧЕК
n
a a
a
a
ъ
din (га) = ^ P i 2 s i"^
2
[т а
(га) а (га) а (га)] dm.
2
3
(5.18)
Если заполнить элементарную оболочку однородным веществом с плотностью р(т), то масса её будет равна dM (m) = р (га) dV (га). (5.19) Далее остановимся подробнее на трёх конкретных типах оболочек: гомеоид, фокалоид и оболочка равной толщины на осях симметрии.
§5.3. Гомеоид Гомеоид есть оболочка, ограниченная подобными эллипсоидами. Расслоение объёма эллип соида (5.3) на элементарные гомеоиды осуществляется при а (т) = а (га) = 1; в этом случае уравнение семейства эллипсоидальных поверхностей (5.1) имеет вид 2
/т»2
—2
х
х
х
1 , 2 , 3 Т + Т + "Т aj a2
2
ЙПП = m
Ш
3
(5.20)
'
полуоси промежуточной эллипсоидальной поверхности S (га) при этом просто равны а^т и эксцентриситеты (5.8)
ei2 =
\
1
оf
е
13 =
1 _
*|
(5.21)
а',2
а?
от га не зависят. Толщина элементарного гомеоида с поверхностью S (га), как это легко видно из общей формулы (5.16), равна (5.22) Л"гом (то) = / (га) • где -1/2 г
(о)
0
/(га, ж ) =
a?ra
+
2
2
ат
2
aim
2
(5.23)
есть длина перпендикуляра, опущенного из центра оболочки на плоскость, касательную в точке х\ ^ к эллипсоиду с полуосями а{т. Следовательно, согласно формуле (5.22), толщина гомеоида пропорциональна длине этого перпендикуляра ; в частности, на осях симметрии dr{ = ai dm. Объём и главные моменты инерции гомеоида суть 0
2
dVroM (га) = Ьжа\а аъ1г?dm 2
[din (га)]
гом
= idM
(5.24)
y
2
r o M
(га) • a?ra ,
(5.25)
где dM^ — масса однородной элементарной оболочки, полученной при подстановке (5.24) в (5.19). 2
Принимая такую пропорциональность за характерное свойство, мы далее распространяем понятие гомотетической оболочки и на тела неэллипсоидальной формы, см. об этом § 8.1.
§ 5.4.
толщины в ГОМЕОИДЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА РАВНОЙ
133
З а д а ч а 5.1. Доказать, что косинус угла между внешней нормалью N ( ^ , Щ, Щ-) к V а{ а\ а з / поверхности гомеоида S (1) в точке Х{ и радиусом-вектором г (xi, х , х ) пропорционален толщине оболочки в этой точке и равен 2
соз(г,Л0 = 1 ^ т
=4.
г о м
3
(5.26)
З а д а ч а 5.2. Доказать, что объём элементарного гомеоида с поверхностью 5(1), вычисленный по формуле dV (1) = Jj
ы dS,
(5.27)
совпадает с величиной 47raia2a dm, полученной из (5.24) при т = 1. Решение. Заметим, что элемент поверхности равен 3
2
dS =
r dw cos (г, N)
(5.28)
1
где а\о — телесный угол бесконечно малого конуса с вершиной в начале координат, a cos(r,iV) даётся формулой (5.26). Вводя сферические координаты, уравнение эллипсои дальной поверхности 5(1) запишем в виде (5.29)
= 1. Тогда для объёма оболочки получаем выражение •к/2 я/2 3
dV(l)=dmJJr du,
= 8dmJ
2
J s i n f l f s i n
+
*L*)
+
""W,
интегрируя его сначала по 0, а затем по <р, получаем искомый результат. Т Расслоение эллипсоида (5.3) на элементарные гомеоиды осуществляется полностью, без появления особых отрезков или площадок.
§ 5.4. Геометрические места равной толщины в гомеоиде Представляет интерес следующая задача. З а д а ч а 5.3. Исследовать геометрические места точек равной толщины элементар ного гомеоида. Решение. Искомые места представляют собой пересечение двух соосных эллипсоидов: эллипсоида, получаемого из формул (5.22), (5.23):
4 + 4 + 4 = Ь г т Ы
2
-
c o n s t
-
( 5
-
3 0 )
и эллипсоида (5.3), являющегося поверхностью оболочки. Места пересечения этих двух эллипсоидов будут представлены кривыми четвёртого порядка. Для квадрата обратной тол щины гомеоида имеют место неравенства
134
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ И ОБОЛОЧЕК т2 2
i < c
=
dm dTi™ (1,ж)
(5.31)
1_ 2
Умножим теперь (5.3) на с и вычтем из (5.30):
(5.32) ^0
^0
Это уравнение конической поверхности с вершиной в центре гомеоида. Направляющая кривая такого конуса и есть линия равной толщины оболочки. Знаки коэффициентов в (5.32) определены с учётом неравенств (5.31). Средний коэффициент может иметь разные знаки: конус (5.32) будет охватывать ось Ох\ (если с < 1/а ) или ось Ох (если с > 1/а ). В промежуточном случае 1/с = а конус распадается на две плоскости 2
3
2
2
х = 3
I
±х«з
1
(5.33)
1щ
проходящие через среднюю ось Ох ; соответствующие кривые равной толщины оболочки вырождаются в два эллипса. Рис. 34 кривых равной толщины гомеоида очень напоминает рисунок полодий на эллипсоиде инерции, хорошо известный в динамике твёрдого тела. Совершенно разные задачи иллюстрируются одним и тем же рисунком! 2
Рис. 34. Семейства замкнутых кривых четвёртого порядка на эллипсоидальной поверхности, разде лённых двумя проходящими через среднюю ось Х2 плоскими эллипсами. Расчёты сделаны по формуле (5.32) для семи значений параметра т и полуосях ai = 7, 0.2 = 5, аз = 3
С физической точки зрения однородный гравитирующий гомеоид на эллипсоиде замечателен тем, что он представляет поверхностный слой равного потенциала (так называемый уровенный слой, см. § 5.8). Именно по этой причине электрический заряд в проводящем эллипсоиде «всплывает» и распределяется на его границе с поверхностной плотностью, пропорциональной толщине элементарного гомеоида . Очевидно, найденные линии равной толщины гомеоида суть не что иное, как линии равного заряда на поверхности заряженного проводящего эллипсоида. Если же условиться, что каждый элемент гомеоида светится, это будут и кривые равной светимости. Т 3
§5*5. Фокалоид Элементарным фокалоидом называется оболочка, ограниченная двумя бесконечно близкими софокусными эллипсоидами. В нашем случае для совпадения фокусов у всех трёх главных 3
В связи с этим см. пример в § 8.4.
§5.5.
ФОКАЛОИД
135
эллипсов промежуточной поверхности S (т) должны выполняться следующие соотноше ния: a
i [ ( + dm) - га J = а m
2
2
т
m
2
(m + dm) ^а ( ) + ~ | ^ ^ ^
2
2
~~ rn ot\ (т)
2
(5.34) 2
2
(т + dm) ^аз (т) + ~ ^ ~ ^ т ^
2
- га а (т)
откуда следуют дифференциальные уравнения для функций а (га) и аз (ш) 2
ai (m) &% (га) + m - p - a i (m) = ^ am
(5.35)
(* = 2,3).
Решая их, находим (5.36) Поверхность 5 (m) при софокусном расслоении имеет полуоси aim,
2
2
aiy^rn - е ? ( 1 ) ,
a Jm
2
iy
-е\
ъ
(1),
(5.37)
причём для эксцентриситетов главных сечений граничной поверхности неравенство e i (1) > e i (1). Очевидно также, что 3
(1) справедливо
2
е з(1) < a (га) < 1, eis(l)
0 < а (га) < 1,
2
2
(5.38)
3
где ехз (1) ^ т ^ 1. Эксцентриситеты промежуточной поверхности таковы: , ч ei (l) , , ei (l) ei2 (т) = , ехз (m) = — — , е 2
3
m
, (m) = ч
2 3
(5.39)
2
m -e? (l) • 2
Легко убедиться, что здесь мы имеем дело со вторым в (5.10) случаем, описывающим сферизацию поверхностей 5 ( т ) по всем трём сечениям. При софокусном расслоении эллипсоида (5.3) площадь, ограниченная эллипсом Я/о
ЯГ? 1
а\е\
3
(1)
• +
2
•
а\е\ (1)
(5.40)
= 1,
г
остаётся нерасслоенной. В частных случаях вытянутого (ai > а = аз) или сжатого (ai = a > a ) сфероидов этот эллиптический диск вырождается в отрезок х\ = ± \ / i ~~ а* или в круг радиусом у/а — a . 2
a
2
3
2
4
24
Уже здесь важно подчеркнуть (подробнее см. в гл. 9), что указанные нерасслоённые геометрические места в виде дисков и отрезков после заполнения их веществом по определённому закону плотности могут представлять собой эквигравитирующие тела для исходных эллипсоидов и сфероидов.
2
136
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ И ОБОЛОЧЕК
Толщина элементарного фокалоида с внешней поверхностью 5 (га) согласно формулам (5.16) и (5.36) даётся выражением
(aim
- а\ + а\)
2
б^Гфок ( т , х ° )
(а\т -а\+
2
а\)
2
2
dm т
= .(0)2 4
^ а т
.(0)2
Л0)2
4
2
( ?rn - a? + al) a
2
+ (a\m - a? + a § ) 2
(5.41)
2
Толщина на осях симметрии удовлетворяет неравенствам 2
a mdm
a\dm ^
2
2
a\mdm
2
2
<*/a ra - a + a^
\Ja\m
-
(5.42)
а\-\-а\
Следовательно, у фокалоида наибольшая толщина — на конце короткой оси, а наименьшая — на конце длинной (у гомеоида — наоборот!). В частном случае для фокалоида с границей 5 (1) из (5.41) следует
(5.43) an
a
a
3
Очевидно, что толщина фокалоида на эллипсоиде обратно пропорциональна длине перпен дикуляра I . Согласно формулам (5.43) и (5.22), для фокалоида и гомеоида с конгруэнтными внешними поверхностями 5(1) толщины связаны простым соотношением s
dr
r0M
(5.44)
(1) • с!гф (1) = const = (aidm) , ОК
т. е. обратно пропорциональны друг другу. Объём элементарного фокалоида с поверхностью 5 (т): эллипсоидального dm;
(5.45)
с формой сжатого сфероида (а\ — а ^ аз, ехз = е) 2
с^фок (m) = ^
7
r
a
2
i ^ ~ [т у/т
2
2
— е j dm.
(5.46)
Объём элементарного эллипсоидального фокалоида с поверхностью 5 (1) а?
с?Ц)ок (1) = ^а\а а 2
3
а?
1 + -4- + -4 1 dm,
(5.47)
очевидно, больше объёма гомеоида из (5.24). 5
Забегая вперёд, заметим, что именно по этому признаку в § 5.13 понятие фокалоида удаётся обобщить и на оболочки неэллипсоидальной формы.
§ 5.6.
ОБОЛОЧКА РАВНОЙ
толщины НА ОСЯХ СИММЕТРИИ
137
Главные моменты инерции однородного элементарного фокалоида Wu (1)]фок = \<Ш**
•«? + § Wit (1)U •
(5-48)
З а д а ч а 5.4. Вычислить объём элементарного фокалоида другим методом, используя формулу (5.27) с подстановкой в неё выражения (5.43). 3 а д а ч а 5.5. Рассмотреть на поверхности фокалоида изолинии равной толщины этой оболочки. Решение. Оно аналогично решению задачи 5.3 для гомеоида. С помощью формул (5.3) и (5.43) найдём уравнение конической поверхности:
al
a
V
а
iJ > О
2
V
а
а
2/
*
з
^0
2
=
- А )
а
(5.49)
<0
где величина К пропорциональна толщине фокалоида и 1
*г * *
1 (
*
5
5
0
)
Рис. 34 иллюстрирует решение данной задачи. •
§ 5.6. Оболочка равной толщины на осях симметрии Этот тип оболочки является промежуточным между гомеоидом и фокалоидом. Чтобы эллип соид (5.3) расслаивался на такие оболочки, функции а ( т ) и аз (ш) должны удовлетворять дифференциальным уравнениям 2
т JLа. (m) + am
a
(ш) =
i
(г = 2,3),
и г
(5.51)
решения которых «
2
М = ё - Й -
1
) 4 -
«з(-)= ё - ( Й - 1 ) 4 -
(«2)
З а д а ч а 5.6. Вывести уравнения (5.51). Поверхность S (т) имеет полуоси aim,
ai (m - e i (1)), 2
а {тг
e
u
(1)) •
(5.53)
Очевидно (ср. с (5.38)), ^S
0
eis(l)<m
(5.54)
Профили сжатий слоев задаются функциями £
£
1
12(!) „ // _\\ _ 1 ( ) , 12V / 133 К*; ^12 (m) = — £ 1 3 (т) = ——, C
ч
A
с
, , / _чч _ ^13 g!3W (1)—^12 - ^12V (1) ; х
£
2 3
(т) =
m _ - £ :_i ,( l ) 2
1
Ч
демонстрирующими тотальную сферизацию поверхности S (т) с ростом т.
,
/г сс\ (5.55)
138
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ И ОБОЛОЧЕК
Расслоение на такие оболочки является неполным. Нерасслоенной остаётся площадь, ограниченная эллипсом X
2
(5.56) = 1. а\е\ (1) а\е\ (1) В частных случаях сжатого и вытянутого сфероидов этот эллипс вырождается в круг пло щадью 7г (а\ — аз) или в отрезок на оси Ох\ длиной 2 (а\ - аз). Толщина оболочки рассматриваемого типа даётся выражением 3
ъ
2
1 +(aim
dr 6 (га, х°) =
х
г<°)
(o)2 ai — аз (aim — ai -f аз)з х 3
2
r
— ai -f аг)з 2
0
,(°) N
2
2
(aim — a i
,(0)
4-
+
аг)
dm п2 m
(5.57)
(aim — ai + аз)
З а д а ч а 5.7. Доказать, что толщина оболочки на осях симметрии действительно одинакова и равна a\dm, а вне осей всюду меньше этого значения. Попробуйте исследовать геометрические места равной толщины. Резюмируем: если гомеоид, фокалоид и оболочка заданного типа с конгруэнтными внешними поверхностями имеют одинаковую толщину на конце длинной оси, то для толщин во всех других точках выполняется неравенство dx™ (т) < dr (т) < dr$ (m). o6
(5.58)
0K
При этом объём оболочки, эквидистантной на осях симметрии, dV« (1) = f waives ( l +
+
(5.59)
dm
будет больше объёма гомеоида (5.24), но меньше объёма фокалоида (5.47). З а д а ч а 5.8. С помощью формул (5.18) и (5.52) найти моменты инерции однородной оболочки рассматриваемого типа.
§ 5.7. Другие типы элементарных эллипсоидальных оболочек Естественно спросить: нельзя ли оболочку, имеющую одинаковую толщину только на осях симметрии, превратить в оболочку эквидистантную, т.е. в такую, толщина которой одина кова повсюду? Сделать это не удастся! В рамках эллипсоидальной стратификации таких эквидистантных оболочек просто не существует. Действительно, если внешняя поверх ность эквидистантной оболочки есть сжатый, например, сфероид, то внутренняя её сторона есть поверхность восьмого порядка. З а д а ч а 5.9. Докажите это! Есть, однако, много других способов находить новые эллипсоидальные оболочки. Вот один из них. Зададимся вопросом: какой должна быть стратификация сжатого сфероида, чтобы объём оболочек уменьшался к центру по закону dV ос km' . В этом случае формула (5.17) даёт уравнение 1
^
3
7
[ m a (m)] =
fcm .
3
(5.60)
Интегрируя его, находим функцию а (т) = 3
771
1
,
(5.61)
5.8. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕМЕНТАРНОГО ГОМЕОИДА И СТЕРЖНЯ
139
задающую соответствующую стратификацию слоев. Полуоси промежуточной сфероидаль ной поверхности и их отношение будут 7
aim, а з т
\ п = ^~т
7
2
.
(5.62)
Подстановка (5.61) в (5.16) даёт толщину такой оболочки 1+ (
7
- 2 ) ^ а\т
2
3
dr(m, х) = /4 4( -2) т
7
2y
3
m ~ dm.
(5.63)
£|
+
у а\
аз
В особом случае 7 = 2 эта оболочка превращается в гомеоид. Вообще же, чтобы расслоение сфероида на оболочки данного типа было полным, надо потребовать 7 > 5/2. Согласно (5.62), при такой стратификации сплюснутость слоев е ( т ) возрастает к центру и, поскольку в асимптотическом пределе т —• 0, полуоси промежуточной поверхности имеют разный порядок малости, слои близ центра становятся плоскими лепёшками . Но важно подчеркнуть, что кроме эллипсоидальных, возможны и другие типы оболочек (о важнейших из них см. ниже § 5.13). 6
§ 5.8. Потенциал однородного элементарного гомеоида и стержня Известна следующая теорема. Теорема 1. Потенциал однородного элементарного гомеоида с полуосями а* и массой йМгом во внешней точке Xi равен оо
V W . (Л) = \СаМ
f
гам
f
.
(5.64)
Здесь А — эллипсоидальная координата точки ж», являющаяся положительным корнем урав нения Х ? 2
а +А
+ - 4 т + - 4 т = 1. а + А а 4- А 2
2
(5-65)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
В эллипсоидальных координатах поверхность оболочки задаётся условием А = 0. Учи тывая это, а также уровенный характер поверхности гомеоида, его потенциал во внешней точке надо искать как функцию одной переменной А. Это упрощает уравнение Лапласа: = 0,
2
Д (А) = (а? + A) (al + А) (а§ + А),
(5.66)
решение которого ОО
<р(А) = const- J^Ly.
(5.67)
Верхний предел интеграла выбран из условия, чтобы на бесконечности поле исчезало; по стоянная же, как легко видеть, равна ^GdM^. • 6
Такое внутреннее строение имеют, например, некоторые эллиптические галактики.
140
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ и ОБОЛОЧЕК
ЗАМЕЧАНИЕ 1. В частном случае, когда а\ > а = аз и граничные поверхности гомеоида принимают форму вытянутого сфероида, внешний потенциал (5.64) выражается через элементарные функции 2
G • dMppM >АУ idm + А + Vtf м - 2 п>м = = = = = 1П — ========= . Q
Л
M
ГО
У>гом (л) —
(5.05)
У г м - !пш л/ ? м + - v i м L ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для сжатого a i = а > аз тонкого гомеоида потенциал во всём пространстве даётся выражением 2
а
а
а
Г О
л
a
ГО
fl
Го
2
¥>«.*». (Л) =
1-4'
arctg -
5 69
<' )
причём на поверхности и внутри гомеоида Л = 0 и потенциал обращается в постоянную оо ¥ W p = \G • d M
r o M
У
;
(5.70)
о вне же гомеоида цилиндрические координаты точки ( Я , хз) связаны с эллипсоидальной Л уравнением R 2
а? + Л
+-Т4Т = аз + Л
1.
координатой
(5.71)
Теорема 2 (Ньютон). Сила притяжения внутри эллипсоидального гомеоида равна нулю. З а д а ч а 5.10. Найти геометрические места одинаковой силы притяжения на поверх ности однородного элементарного гомеоида. Решение. С помощью (5.64) находим компоненты и модуль силы * =4 ^ 3 - <
2
( 1 ) .
1*1 = Т Й З ^ - « 1 ) .
(^2)
"г
где / (1) — из (5.23). Следовательно, искомая сила притяжения пропорциональна толщине оболочки в данной точке (на концах осей гомеоида сила притяжения пропорциональна их длине). Это означает, что на гомеоиде геометрические места одинаковой силы и одинако вой толщины совпадают (см. рис. 34). • Уровенные поверхности вне гравитирующего гомеоида суть софокусные с ним эллип соиды, так как потенциал зависит только от А. Но таким же свойством уровенных поверх ностей обладает и потенциал однородного одномерного прута (стержня). В связи с этим важно заметить, что два софокусных гомеоида одинаковой массы будут эквигравитирующими во внешнем пространстве (доказательство см. ниже в § 10.2, теорема 1). Интересен предельный случай, когда из двух эквитравитирующих софокусных гомеоидов внутренний вырождается в эллиптический диск (исходный гомеоид имеет три оси) или — для вытянутого сфероида (две оси) — в однородный стержень. Последнее означает, что однородный стержень не является чем-то самостоятельным, а представляет собой предельный случай сфероидальной гомотетической оболочки. Резюмируем это. Теорема 3. Внешние потенциалы однородного элементарного гомеоида, имеющего форму вытянутого сфероида, и прямого однородного прута, концы которого совпадают с фокусами поверхности гомеоида, пропорциональны массам этих тел и имеют одинаковые уровенные поверхности.
5.9.
ОБОЛОЧКА КАК БЕСКОНЕЧНО тонкий
тонкий ПРОСТОЙ слой
141
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если длина прута 2а\ , то п р
а
1 пр =
У 1гом- 2п>м> а
5
7
( ' 3)
а
и потенциал прута стержня даётся выражением (5.68) с учётом (5.73).
•
ЗАМЕЧАНИЕ 3. При условиях теоремы 3 силы притяжения этих тел пропорциональны их массам и совпадают по направлению. ЗАМЕЧАНИЕ 4. Силовые поверхности гравитирующего стержня суть двуполостные гиперболоиды вращения, ортогональные уровенным софокусным сфероидам и имеющие общие с ними фокусы.
§ 5.9. Оболочка как бесконечно тонкий простой слой Однородная элементарная оболочка эквивалентна бесконечно тонкому простому слою с поверхностной плотностью a(x) = pdr(x),
(5.74)
7
где dr — данная в (5.16) толщина оболочки . Поэтому потенциал оболочки в принципе можно находить и прямо из формулы (1.9), которая с учётом (5.74) принимает вид
(r(x')dS' \х-х'\ '
(5.75)
Однако решению таким способом поддаются лишь частные типы задач. З а д а ч а 5.11. С помощью формулы (5.75) доказать, что на поверхности и внутри гомеоида потенциал даётся выражением (5.70). Решение. Достаточно определить значение потенциала в центре оболочки. С учётом выражений (5.28) и (5.26) интеграл (5.75) приводим к виду 2
<р{0) = Gpdm jj
r dw
(5.76)
}
где г = | х ' | — радиус-вектор из центра до точки интегрирования на поверхности. Переходя к сферическим координатам (см. задачу 5.2), легко получим искомую формулу. • 3 а д а ч а 5.12. Исходя из формулы (5.75) доказать, что значения потенциалов в центре однородного фокалоида и оболочки равной толщины на осях симметрии соответственно равны <Рфо«(0) = 4 -а^аГ [
1
-Т—Т \ > иг
^ ( 0 ) = f Щ£
(i \
77
аз
+^ ах + а 2
5
(- >
+ +
а
, 3
(5.78)
/
где использованы хорошо известные в теории потенциала обозначения величин Ai из (1.38) и / из (1.39). 7
И при постоянной объёмной плотности поверхностная плотность элементарной оболочки в общем случае зависит, конечно, от координат.
142
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ и ОБОЛОЧЕК
В связи с отмеченной трудностью нахождения потенциалов оболочек с помощью ин теграла (5.75), в § 5.11 разработан другой, более приемлемый метод решения подобных задач. Потенциал является всюду непрерывной функцией и при переходе через элементарную оболочку разрыва не имеет, в то время как производные от него терпят при этом разрыв (в связи с этим см. задачи 5.16 и 5.17 в § 5.12). З а д а ч а 5.13. Дан однородный эллиптический диск плотности а с полуосями а\^а . Найти потенциал на оси симметрии О х . Решение. Согласно (5.75), потенциал на оси Охз даётся интегралом по площади такого диска 2
3
*> Ы
-Gaff . **** JJ . L>. л. ^'1 _i_ -г?
•
(5.79)
2
Введём полярные координаты х' = а\г cos 0, х' = a r sin в. Тогда х
2
2тг
2
i
rdr (р(хз) = Goa\a Jd0 J { { yjx + r (a\ cos в + a\ sin в) 2
2
2
2
2
(5.80) тг/2
2
2
Jx
2
2
4- a cos в + a\ sin в — | x | 3
1
о
n
/
n
2
d6.
о £
a\ cos 0 + a\ sm 0
Второй интеграл с радикалом в числителе вычисляется домножением и делением на этот радикал. В итоге, приходим к выражению
ц> (хз) = 2TTGO I nV 3 + 1 x
2
[aJK{k) + xjU [e ,k]] — |аг | > ,
(5.81)
3
а
где используются стандартные полные эллиптические интегралы первого и третьего рода, 2
«2
J1
е — эксцентриситет диска, к = ^\—~. В частности, полагая в (5.81) х = 0, получим 3
потенциал в центре эллиптического диска, совпадающий с (2.161). • В пределе а\ = а = R из (5.81) следует выражение потенциала однородного круглого диска на оси его симметрии 2
2
Gor
<Рмт*шЫ = «
R2
(yJ
+ 4 - 1*з|) .
(5.82)
§ 5.10. О притяжении гомеоидом конечной толщины Вначале обратим внимание: поверхность однородного гомеоида конечной толщины, в отли чие от гомеоида тонкого, уже не является уровенной. Рассмотрим гомеоид с переменной внутренней границей S (т); для сил притяжения на концах его осей а» (а\ > а > аз) имеем 2
8
8
Ускорение измеряется в единицах —4KGра.2а>з / <ч •
5.11. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБОЛОЧЕК
143
2
Fi(m)=
/ —--
„
га dm
„
—,
l
F (m) = 2
/
2
m dm V [ l - e( (1 - m*)] [1 - ei - m* (ej - e? )]' 2
2
8
(5.83)
2
1 2
*Hm)
m dm y/[l - e* (1 - m )] [1 - e? + m (e 2
2
3
3
На рис. 35 показаны графики функций F (га). Как и следовало ожидать, у достаточно тонкого го меоида (0.80 < m < 1) сила притяжения больше там, где ось длиннее, и возрастание силы почти пропорционально росту толщины оболочки. При ощутимой толщине оболочки видно, что силы — явно нелинейные функции от га; F (га) растёт бы стрее, чем F\ (га), и при т < 0.63 превосходит последнюю; при га « 0.54 достигается равенство Fx (га) = Fs (га). Чтобы равны были силы на кон цах малой и средней осей, оболочка должна быть ещё толще (ш « 0.41). Заметим, что в интервале 0.54 ^ га ^ 0.63 наибольшей будет сила на конце средней оси. При дальнейшем возрастании толщи ны гомеоида соотношение между силами на концах осей будет таким, как у сплошного эллипсоида (у которого сила тем больше, чем короче полуось) .
2 3
- ef )]' 2
t
2
9
3 0.6
_
1 0.4 h
0.2
)7 1
1
j
0.63 0.54
j 0.41
m
0
Рис. 35. Притяжение на концах осей сим метрии однородного гомеоида как функ ция его толщины. Эксцентриситеты се чений равны е ? = 0.51 и е ? = 0.75. Цифрами (1, 2, 3) отмечен график для со ответствующей полуоси 2
3
Итак, для каждого из трёх главных сечений су ществует критическая толщина оболочки, при кото рой силы притяжения на концах длинной и корот кой осей уравниваются. Сила на концах осей является при этом минимумом в сравнении с силой в любой другой точке сечения. Если толщина не сильно отличается от критической, на каждой четверти сечения по-прежнему существуют две точки с равной в них силой при тяжения, причём эти две точки не совпадают с концами осей, а сдвинуты навстречу друг Другу. Потенциалы толстых неоднородных оболочек рассматриваются в § 6.10.
§5.11. Потенциал однородных элементарных оболочек: общий случай Пока мы не имели приемлемого способа для нахождения потенциала оболочек разных типов. Действительно, случай с гомеоидом в § 5.8 был особый, а с помощью формулы (5.75) удаётся решать лишь частные задачи. Более эффективен метод, основанный на идее расслоения однородного эллипсоида. Будем рассматривать однородный эллипсоид с переменной внешней поверхно стью 5 (га) как состоящий из бесконечной серии элементарных оболочек интересующей 9
Любопытно следующее: если сила притяжения на поверхности элементарного гомеоида больше там, где длиннее ось, то для сплошного однородного эллипсоида (см. ниже) ситуация противоположная.
144
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ И ОБОЛОЧЕК
нас формы. Потенциал эллипсоида во внешней точке получим, заменив в выражении (6.1) полуоси ai величинами (5.7): оо
A«("»)
= |G3f(m) J
2
F(m ,v)dv,
(5.84)
М (m) = ^7roia203"i a2 (то) а з (то) р;
(5.85)
A(m»)
где полная масса эллипсоида равна 3
функция
,
о 2
ч
F ( т , v) =
Х\
1 -
2
a\m oil (т) + v
2
yfia{m
х
х
а?т + v
3
2
а § т п а | (m) + v
2
2
•;
(5.86)
2
+ v) (af га а^ (га) + v) ( а | г а а § ( т ) + v)
2
2
А (га ) - положительный корень уравнения Х ?
Х 2
2
2
af m + A
ата 2
(m) + А
2
•
2
2
а з т а (га) + А
=1,
(5.87)
являющийся эллипсоидальной координатой точки а:» относительно поверхности S (га). Теперь, чтобы получить потенциал элементарной оболочки с граничной поверхностью S (га), геометрию которой задают функции а (га) и аз (га), достаточно применить метод дифференциации, для чего следует найти полный дифференциал от выражения (5.84): 2
10
оо ,
оо 2
^»н1шнМ = |с |бгМ(га) J
F(m v)dv i
+ M{m)dm J
2
( г а
2
, .
(5.88)
2
A(m )
A(m )
Следует отметить, что при дифференцировании интеграла в (5.84) нижний пре дел А (га ) можно считать постоянным в силу уравнения (5.87). Аналогично, взяв вме сто (6.1) выражение (6.11) и заменив в нём ai на (5.7), мы найдём потенциал элементарной оболочки во внутренней точке: 2
оо
оо 2
ApJSU(m) = | G J d M ( r a ) JF (га ,ti) dv + M(m)dm J
о
2
(ra ,v)J d v j .
(5.89)
о
З а д а ч а 5.14. Найти внешний и внутренний потенциалы для однородных оболочек типа (5.61). Итак, потенциалы элементарных однородных оболочек в общем виде представляются в виде суммы однократных интегралов . И надо подчеркнуть, что в важных частных случаях выражения (5.88) и (5.89) могут дополнительно упрощаться. Рассмотрим это на примере однородного фокалоида. 11
1 0
1 1
Определение метода дифференциации дано в § 2.11. К аналогичным результатам приводит и формула (6.124).
5.12. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
и толстых ОДНОРОДНЫХ
ФОКАЛОИДОВ
145
§ 5.12. Потенциал элементарных и толстых однородных фокалоидов Для этой оболочки (см. § 5.5, формулу (5.36)) 2
а\т а\
2
2
2
(га) = а\т - а + a ,
2
2
а\т а\
2
(га) = а\т - а\ + а .
(5.90)
Важно обратить внимание на то что при софокусном расслоении интеграл в (5.84) имеет одно замечательное свойство: этот интеграл вообще не зависит от параметра расслоения га и, следовательно, оо ^
2
j
F(m ,v)dv = 0.
(5.91)
A(m»)
Действительно, 00
dm
j
F(m\v)dv= 2
j
£[F(m*,v)}dv
=
2
A(m )
A A(m=>) (m ) oo
/ [^ ( ' )]
= 2tt?m
F
m2
V
dt,= 2a
?
TOF
( ' ')Cma)' < > m2
1
592
2
A(m ) 2
2
2
и, так как F (m , оо) = 0 и F (m , A (m )) = 0 (последнее — в силу уравнения (5.87)), мы убеждаемся в справедливости (5.91). Тем самым доказана следующая теорема. Теорема 4. Потенциал во внешней точке Х{ однородного элементарного фокалоида с внешней поверхностью S (т) даётся выражением оо )
^ о к М = |сйМ
ф о к
(т)
2
J
¥(m ,v)dv,
(5.93)
2
А(т ) где dM<po (m) — масса фокалоида, функция F (m ,v) дана в (5.86) и А ( т ) удовлетво ряет уравнению (5.87). 2
2
K
ЗАМЕЧАНИЕ 5. В частном случае т = 1 из (5.93) следует
* e < « - J « ^ - « / i f e ( i - t ^ ) где сШфок (1) = pdV (1) (см. (5.47)), а А удовлетворяет уравнению (5.65). ЗАМЕЧАНИЕ 6. Потенциал и притяжение однородного элементарного фокалоида конечной массы во внешней точке будут такими же, как и у однородного эллипсоида с граничной поверхностью, софокусной (или конгруэнтной) поверхности фокалоида (массы оболочки и эллипсоида одинаковы). Это доказывается прямым сравнением выражений (5.93) и (5.84). То же самое относится и к фокалоиду конечной толщины.
Именно поэтому на поверхности как толстого, так и тонкого однородного фокало ида распределение потенциала и силы притяжения будет такое же, как на поверхности сплошного однородного эллипсоида (в связи с чем см. задачу 6.7 и рис. 34).
146
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ и ОБОЛОЧЕК
З а д а ч а 5.15. Показать, что при равномерном распределении вещества однородного фокалоида по внутренней полости оболочки потенциал и сила притяжения во внешней точке не изменяются. При разных массах однородных софокусных тел следует говорить о пропорциональ ности их внешних потенциалов. Вернёмся к выражению (5.93); интегрируя его от до rrti > rii, с учётом (5.91) получаем соотношения <р(т ) г
fGM(mi)
оо
<р(т ) 2
const х {
2
(5.95)
2
-= ^J |GM(ra*)
\GM(m )
2 )
F(m ,v)dv =
(M(rrii) есть масса г-той оболочки). Тем самым доказана следующая теорема Теорема 5. Потенциалы произвольных по размерам соосных однородных софокусных оболочек (как толстых, так и тонких) на фиксированную внешнюю точку относятся как массы этих тел. ЗАМЕЧАНИЕ 7. В частном случае п = е\з при интегрировании в (5.93) по интерва лу ei3 ^ m ^ Шг учитываются все оболочки сплошного эллипсоида. Таким образом, понимая в (5.95) под М (mi) массу сплошного однородного эллипсоида, мы приходим в (5.95) к классической теореме Маклорена — Лапласа.
Теорема 6 (Маклорен — Лаплас). Потенциалы однородных софокусных эллипсоидов на внешнюю точку относятся как массы этих эллипсоидов. ЗАМЕЧАНИЕ 8. Как видно, наша теорема 5 несколько шире классической теоремы Маклорена — Лапласа . 12
В частности, потенциал во внешней пробной точке однородного фокалоида, ограничен ного внешней и внутренней поверхностями с полуосями (ах,а2,аз) и ( а ^ а ^ а ^ ) такими, что 2 /2 _ 9 /2 _ 9 /2 (5.96) л
имеет вид a
QlQ2 3
1- а\а2аз
х
^фок ( ) = ^внешн (х)
(5.97)
где потенциал внешнего эллипсоида дан в (1.41) или в (5.84). Разумеется, формула (5.97) следует из (1.62). Свойства потенциалов слоисто-неоднородных эллипсоидов и оболочек с софокусными слоями рассматриваются в § 6.12. Для них имеет место важное обобщение формулы (5.95). Обратимся к нахождению потенциала внутри фокалоида. Теорема 7. Потенциал во внутренней точке Xi однородного элементарного фокалоида с поверхностью S (га) даётся выражением з
ZGdMfa* (га) 3
Аа1а2азтп а2 (га) аз (га) -2irGpa\ 1 - Е 1 2
1
м
-
^2
A
Т
i
т
х
( )*
(5.98)
тп dm, а?т о% (га) 2
В § 6.12 эти результаты ещё более обобщаются и распространяются и на неоднородные оболочки и сплошные эллипсоиды с софокусным преобразованием слоев.
5.12. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
и толстых
ОДНОРОДНЫХ ФОКАЛОИДОВ
147
где I (ш) и Ai (га) получены из (1.39), (1.38) заменой ai на (5.7) и имеют вид Ai (га) = а 1[1*21*3'" а а з т. 3 ,а (га) а (га) х 3
2
2
3
оо
^ (5.99) + v) ( а | г а а | ( т ) -f v) ( а § т а § (га) + v) ' э
X
2
a
( а ? т а ? ( т ) + v) v ^ ( i
т 2
2
2
О 3
/ (га) = а1а2азт а2 (га) а з (га) х оо
X |
dv 2
22
__. 2 2
2
У ^ / ( а \т ^ " + v) (а\т (п%гп2/у2 А- v) п)\ [а(птгг&г* а ((гп\ т) + а\ (га) + v) 2
2
2
(5.100)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Обратимся к формуле (5.89); интегрирование последнего в ней члена даёт fi = -2тгС/9а 1 - V mdra. i afm af (m)
2
2
| C M ( m ) • 2ma\dm [F (m ,
(5.101)
2
С учётом (5.95) и введённых в (5.99), (5.100) величин мы получим отсюда требуемое выра жение (5.98). • Обратим внимание, что выражение (5.91) для случая внутренней точки уже не равно нулю (см. (5.101)). В частном случае га = 1 выражение (5.98) приводится к виду
- '(е--)" - ?[* -
*и>> • ^ ^ { '
2
( * Ф Т ] 4
( 5 , 0 2 )
Но с учётом (6.75) можно доказать, что справедливы следующие неравенства -1 2
2
А -2[а >а- \ 1
> 0,
1
(5.103)
2
поэтому коэффициенты перед х в (5.102) всегда будут иметь знаки в соответствии с (5.103). Таким образом, поверхности равного потенциала внутри элементарного фокалоида пред ставлены семействами однополостных и двуполостных гиперболоидов, разделённых асим птотическим конусом с вершиной в начале координат. Заметим: такими же интересными свойствами обладает потенциал и внутри других оболочек (кроме, конечно, гомеоида!), см. об этом § 6.10. З а д а ч а 5.16. С помощью формул (5.94) и (5.102) доказать, что для элементарного фокалоида выполняется условие сшивки потенциала. З а д а ч а 5.17. Доказать, что при переходе из внешнего пространства внутрь (в по лость!) элементарного фокалоида нормальная компонента силы скачком
[( 2 0
-(20
/ внеш \
L / ёнутр 1 ~» а{ ,
--«•**».
(5.104)
148
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ и ОБОЛОЧЕК
уменьшается на величину AnGcr. Здесь толщина элементарного фокалоида даётся фор мулой (5.43). Разумеется, формула Пуассона (5.104) о скачке нормальных производных от потенциала справедлива и для элементарных оболочек произвольного вида. О притяжении внутри эллипсоидальных оболочек см. также § 6.10.
§ 5.13. Неэллипсоидальные оболочки — обобщённый гомеоид и фокалоид Введём два важных класса тонких оболочек нового типа. 5.13.1.
Обобщённый гомеоид
Обобщённый гомотетический слой — не обязательно уровенный Рассмотрим на поверхности однородного тела плотности р (форма тела — не обязательно эллипсоид) слой с поверхностной плотностью ( ) = \Р
0
R
a
x
( i i +
22
а
+ <*з#з),
х
(5.105)
где, напомним, величины щ — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности тела. Эту плотность можно рассматривать как поверхностную плотность бесконечно тонкого обобщённого гомотетического слоя электрического заряда или вещества. Такой слой будет именно гомотетическим, так как его толщина, в согласии с геометрическим определением гомотетической оболочки берётся пропорциональной длине перпендикуляра I = aix\ +
012X2
+ азяз,
(5.106)
проведённого из центра к касательной плоскости в той точке, где эта толщина измеряется. Численный коэффициент в формуле (5.105) может быть произвольным; здесь взято значение 1/3 с тем расчётом, что тогда масса этого слоя оказывается равной массе исходного тела, на поверхности которого лежит слой . З а д а ч а 5.18. Доказать, что известное преобразование гомотетии, описывающее переход от поверхности S (xi, х , хз) = 0 к поверхности 13
2
S [хг (14-/?), х (1 + 0), х (1 + 0)] = 0, 2
(5.107)
3
при малом значении параметра 0 даёт элементарный слой такого же типа, как и в случае (5.105). Решение. Разложим в ряд Тейлора функцию (5.107). В линейном приближении тогда имеем S [х (1 + 0), х (1 + 0), хз (1 + 0)} « S ( х х , х ) + 0 ^ х . г
2
ь
2
3
г
(5.108)
Следовательно, толщина dr создаваемого слоя удовлетворяет равенству ^
8
^
=е {
х
> й
+
Х
2
й
+
Х
з
Ш ) '
( 5 Л 0 9 )
так что в силу определения направляющих косинусов нормали 1 3
Такой слой создаётся, следовательно, выметанием всей массы тела на его поверхность. В § 12.6 этот множитель —уже по другим соображениям — будет взят равным 1/5.
5.13. НЕЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ОБОЛОЧКИ
149
as dxi oti = |gradS|
(5.110)
приходим к формуле dr = 0L (5.111) Итак, здесь мы действительно имеем дело с гомотетическим слоем и при /3 — р/3 получим выражение (5.105). Доказательство закончено. ¥ З а д а ч а 5.19. Формулы (5.23) и (5.106) эквивалентны. Докажите это. Решение. Оно получается сразу при подстановке уравнения эллипсоида в выражение (5.110). • Обратимся теперь к вопросу о потенциале гомотетического слоя с поверхностной плот ностью (5.105). Формально этот потенциал в точке г даётся поверхностным интегралом 1
о (г) dS К
}
2
X i ) + (X 2
(5.112) 2
X' )
+ (X - X' )
2
3
2
3
Подставляя сюда плотность слоя из (5.105) и преобразовывая этот интеграл по формуле Остроградского—Гаусса в объёмный, получим 3_ _ D
1 ( 1 ~ \) + 2 ( 2
Х
Х
Х
Х
х
~ А) D
+ Х (Х ~ 3
3
х' )
dV =
3
3
2_ _ x j ( x i - x j ) + х ( х - х ) + х^ ( х - х' ) dV, D D 2
2
2
3
3
3
(5.113)
Т где D — расстояние между пробной точкой и точкой интегрирования из (1.10). Но так как
т т искомый потенциал слоя с поверхностной плотностью (5.105) оказывается связанным с потенциалом тела <р (г) формулой т
(5.115)
^сл (г) = | (2(рт - rgradv? ). T
Формула (5.115) имеет важное значение. Это становится очевидным, ибо: при заданном по тенциале однородного тела <р (г) её можно рассматривать как способ нахождения разме щённого на нём потенциала обобщённого гомотетического слоя (р [г), или же наоборот, рассматривать (5.115) как линейное дифференциальное уравнение в частных производных для потенциала тела ip (г), когда задан потенциал такого слоя <р (г). Первый вариант есть прямое применение формулы (5.115). Если задан потенциал тела, то, подставляя его в правую часть (5.115) и совершая указанные там операции, находим потенциал слоя. Итак, формулой (5.115) выражается ещё одно замечательное свойство рассматриваемого обобщённого гомотетического слоя вещества (заряда): если требуется знать внутренний потенциал такого слоя, то в правую часть (5.115) следует подставить внутренний потенциал исходного тела; и наоборот, чтобы получить внешний его потен циал, в правую часть (5.115) надо подставить соответственно и внешний потенциал тела. Т
сл
T
сл
150
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ и ОБОЛОЧЕК
Второй вариант — это обратное применение (5.115): по заданному из каких-то дополни тельных соображений выражению потенциала (внешнего или внутреннего) слоя <р п можно, решая дифференциальное уравнение (5.115), найти потенциал (внешний или, соответствен но, внутренний) исходного тела, на котором находится данный слой. Здесь имеем дело с типичной обратной задачей. И в этом подходе заключается первое применение обобщенного гомотетического слоя. Есть ещё один существенный фактор в пользу введения понятия обобщенного гомоте тического слоя. Пусть дано однородное тело произвольной формы. Мысленно вообразим, что на его поверхности лежит слой с поверхностной плотностью С
° () R
~ \Р (#1^1 + 2^2 а
+
СезХ ) 3
,
(5.116)
отличающийся от (5.105) лишь множителем ^ вместо прежнего i . И здесь мы делаем важ ное утверждение: взаимная гравитационная энергия этого воображаемого слоя и лежащего под ним реального однородного тела будет равна гравитационной энергии самого этого тела). Об этом применении слоя мы будем говорить в § 12.6. Продемонстрируем сказанное на примерах. Прямое применение формулы (5.115). Как мы уже знаем из § 5.8, элементарный го мотетический слой на эллипсоиде является уровенным. Сейчас в этом можно убедиться прямо, подставив внутренний потенциал эллипсоида (6.14) в формулу (5.115): тогда, как легко видеть, У>сл = §тгСр/,
(5.117)
т. е. внутри эллипсоидального гомеоида потенциал заведомо от координат не зависит. А вот задача на обратное применение формулы (5.115). З а д а ч а 5.20. Доказать, что обобщённый гомеоидальный слой на эллипсоиде является уровенным. Решение. Предполагая слой на однородной фигуре (пока мы не знаем, что это эллип соид!) уровенным, обозначим потенциал на слое через <ро. Вводя сферические координаты, запишем дифференциальное уравнение в частных производных (5.115) в виде 2 ^
т
- г ^ = 3^о,
(5.П8)
где <ро от координат не зависит. Его решение можно записать в виде 2
^ = ^+r F(0,A),
(5.119)
T
где Р (в, А) зависит только от углов. Полученное решение означает, что внутренний потен циал исходного тела должен быть квадратичной функцией координат (xi, х , хз) и, согласно известной (см, например, [44] или [15]) теореме Дива (1931) (дивная теорема!), это тело и есть эллипсоид . Следовательно, мы имеем дело с эллипсоидальным гомеоидом. Доказа тельство закончено. Т Но надо помнить: неэллипсоидальный обобщённый гомотетический слой не является уровенным (об уровенных слоях см. § 5.14). З а д а ч а 5.21. Найти обобщённый гомотетический слой на однородном шаре, когда центр гомотетии находится на границе сферы. Решение. Уравнение сферы радиусом R в цилиндрических координатах (г, хз) с началом на границе этой сферы (см.рис.(Зб)) суть 2
14
Согласно Тодхантеру [46], п. 1429, Айвори доказал эту теорему веком раньше.
5.13. НЕЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ОБОЛОЧКИ
2
2
2
151
2
г + ( х - Д ) = Д , или г + х§ = 2Дх . (5.120) Направляющие косинусы нормали к поверхности точки (г, хз) будут равны 3
3
х -Д Д ' 3
(5.121)
Следовательно, расстояние / до касательной к ша ру плоскости
/
=
^
+
( f -
1
)
X
3
(
-
5
1
2
2
Рис. 36. Обобщенный гомотетический слой на шаре со смещённым центром гомотетии
)
Согласно (5.105) и (5.121, поверхностная плот ность обобщенного гомотетического слоя будет равна
(5.123) где мы учли уравнение сферы (5.120) и пробная точка лежит на её поверхности. Для проверки, интегрируя (5.120) по поверхности сферы (5.120) легко находим, что полная масса слоя действительно равна массе исходного шара М = |тгД р. Найдем теперь внутренний потенциал данного слоя, для чего обратимся к формуле (5.115). Очевидно, внутренний потенциал однородного шара в принятых координатах равен 3
2
Ушара = \*G
P
2
2
[ЗД - Г - ( l - Л ) ] . 3
(5.124)
Подставляя (5.124) в правую часть формулы (5.115), легко получим внутренний потенциал данного слоя Ч>™ = pGpR{2R + x ), 3
(5.125)
который линейно зависит лишь от хз. Внутри данного слоя на единичную массу действуют силы д<Рсл = 0. дг
(5.126)
Следовательно, слой действует как пылесос и все тела, попавшие внутрь полости «залипа ют» к толстой части слоя. Т Используя теперь найденный внутренний потенциал слоя (5.125), вычислим взаимную гравитационную энергию этого слоя с однородным гравитирующим шаром, на котором он лежит. Для этого, согласно формуле (8.2), достаточно проинтегрировать с множителем р внутренний потенциал слоя по объему шара. Для удобства перенесем начало отсчета в центр сферы и запишем (5.125) в виде ^ С Л . = §7ГС/>Д(ЗД + Х ) . 3
152
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ и ОБОЛОЧЕК
Тогда взаимная гравитационная энергия этого слоя с однородным гравитируюгцим шаром будет равна R
7Г
W
2
2
2
5
= J r dr J ( З Д + x ) sin вйв = -^ir Gp R . (5.127) о 0 Но эта взаимная энергия одновременно есть и гравитационная энергия однородного шара! Наглядная демонстрация замечательных свойств обобщенного гомотетического слоя. Ещё один пример обобщённого гомотетического слоя на круговом торе см. в § 7.1. lt2
3
5.13.2. Обобщённый фокалоид Эквигравитирующий слой на однородном теле Дано однородное тело плотности р и объёмом V . Оно имеет пространственный потенциал V? (ж). Наметим на его поверхности геометрический слой толщиной T
T
где п — единичная внешняя нормаль к поверхности тела, а функция s(x) удовлетворяет условиям: As = —47г — внутри тела, (5.129) s= О — на поверхности и вне тела. Толщина dr оказывается обратно пропорциональной длине перпендикуляра I до каса тельной поверхности, и именно по данному признаку такой слой является обобщённым фокалоидом. Так, если тело — сжатый сфероид, то 1 _ г ! _ £ з 2
s(g) = 27r
0 1
2 а з
,
—+—
(5.130)
1 1 а{ аз и в этом случае слой превращается в обычный фокалоид (см. формулу (5.43)). Итак, выметание массы исходного тела создаёт материальный слой с поверхностной плотностью в точке ж', а именно ( 5 Л 3 1 )
так что Мф = М . ок
т
Теорема 8. Пространственный потенциал обобщённого фокалоида с поверхностной плотностью (5.131) в точке х имеет потенциал (х) = <рт(х) -Gp-s(x),
Ч>фок
(5.132)
где (x)
9T
= GpJJJ V
T
— потенциал однородного тела, на котором лежит данный слой.
(5.133)
5.13. НБЭПЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ОБОЛОЧКИ
153
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
По второй формуле Грина
S
V
T
(производная по внешней нормали) в силу условий (5.129) на функцию s (х) сразу можно записать
S
V
T
где
V
T
Таким образом, ¥>фок(*)
= ^:г
+
(5-137)
и нам необходимо найти интеграл J. Когда пробная точка х находится вне тела Т, то, очевидно О
(5.138)
и, следовательно, / = 0. Поэтому для внешней точки х Щ
Щ
{х) = tpr {х).
(5.139)
Если же пробная точка х находится внутри тела Т, то интеграл / оказывается несоб ственным из-за обращения в нуль D при совпадении пробной точки с точкой интегрирова ния. Но, как легко видеть, если s (x ) - ограниченная функция внутри тела, то интеграл I является всё же конечным. Окружим пробную точку х сферой радиусом е (е — бесконечно малая величина). Тогда всюду вне этой сферы по прежнему выполняется уравнение Лапласа (5.138) и остаётся рассмотреть только интеграл / по V . В силу малости её радиуса, f
e
I = s(x)JJjA
(jj)
dV = s(x)AJJJ^
= -47Г*(x).
(5.140)
Следовательно, для внутренней точки действительно выполняется уравнение (5.132). • Мы обнаружили удивительный результат: если выметанием массы однородного тела на его поверхность создаётся слой с плотностью (5.131), то именно такой слой являет ся эквигравитирующим исходному телу во внешнем пространстве. Это важное свойство обобщённого фокалоида прямо следует из формулы (5.139), а также из формулы (5.132), где для внешнего пространства, по определению, s = 0. З а д а ч а 5.22. Покажите, что для сжатого сфероида формула (5.132) действительно даёт известный нам из (5.102) внутренний потенциал фокалоида. Физическая интерпретация обобщённого фокалоида даётся в § 15.8. Вопрос о гравитационной энергии обобщённых гомеоидов и фокалоидов мы рассмот рим в § 8.6.
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ и ОБОЛОЧЕК
§ 5.14. Теорема Арнольда Простой слой, лежащий на замкнутой поверхности называется уровенным или нейтральным, если он не оказывает притяжения на внутренние точки. Глубокий вопрос о существовании уровенных слоев на произвольных поверхностях интересовал Гаусса, Вейерштрасса, Ша ля, Ламэ, Пуанкаре и других математиков. Проблема создания на заданной поверхности уровенного слоя приводит к интегральному уравнению Робэна (1887) f
a (x ) cosxb \х - X \ S где ф есть угол между нормалью к поверхности S в точке х и направлением хорды между этой точкой и точкой интегрирования. Задача Робэна связана с функциями Грина, а са мо уравнение Робэна решается методом последовательных приближений (см., например, в книге [12], стр. 420, очерк о Стеклове, или Сретенский [44], гл. 4, § 1). Пока не известно ни одного нейтрального слоя — кроме шарового и эллипсоидального — уравнение которого можно было бы выразить в замкнутой форме. В. И. Арнольд несколько обобщил теорему Ньютона (см. [49]), но не для гравитирующих слоев, а для заряженных электрическим зарядом. Пусть имеется заряженная поверхность S (х\ , #2, #з) = 0, заданная полиномом степени п. Тогда заряженные слои 1
1
0^S(x x ,x )<e u
2
(5.142)
3
с учётом ориентации поверхностей 5(х1,Х2,хз) = 0 м 5(х1,Х2,хз) — е не оказывают притяжения на внутреннюю точку. Знак заряда чередуется: положителен на ближайшем к испытуемой точке куске поверхности, отрицателен на следующем, и т. д. Теорема Арнольда применима к внутренней области не любой, а только такой поверх ности степени п, которая распадается на п/2 вложенных друг в друга связанных частей. Распадение же поверхности происходит не всегда, и это заметно ограничивает рамки дей ствия данной теоремы. Так, поверхность четвёртого порядка, ограниченная вращающимся овалом Кассини, уже не распадается на две связные части и на ней указанным методом нельзя создать эквипотенциальный слой. Кстати, легко показать, что толщина слоя между поверхностями (5.142) будет равна * - s f e r На эллипсоиде этот слой становится гомотетическим, а значит и уровенным.
(
5
1
4
3
)
§ 5.15. Потенциал и притяжение трехмерной круговой цилиндрической оболочки Дана тонкая боковая цилиндрическая поверхность радиусом R и высотой 2 Я (рис. 125) с поверхностной плотностью вещества о = const. Для нахождения гравитационного потенци ала этого тела обратимся к потенциалу элементарного колечка, представленного сечением цилиндрической поверхности на высоте х' . Согласно (3.4), потенциал такого колечка с плотностью ро будет равен 3
К | *w(r,*s)
/
4гЯ
уусд+'О'+ц-*,)^
(
5
1
4
4
)
§5.15. ПОТЕНЦИАЛ И ПРИТЯЖЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
155
где К (...) — полный эллиптический интеграл первого рода. Заменяя до = о dx 3 и интегри руя от —Я до Я вклады от всех колечек, находим пространственный потенциал боковой цилиндрической поверхности в произвольной, как внешней, так и внутренней точках (г, х ) : 3
*р*«.(г,*з) 4GWI
- ? + ( + г) "
?,
д
Н
2
4 г Д s i n 2
Я
* +
" «з
(5.145)
)/(*з + # ) + (Л + г ) - 4гД sin 0 — Н — Х3 2
о
2
2
Потенциал (5.145) в общем случае выразить в конечном виде не удаётся. Только на оси
Рис.37. Зависимость потенциала (5.146) цилиндрической оболочки на оси симметрии от хз. Отношение — = 1.25
И
симметрии цилиндра Охз, полагая в (5.145) г = О, получим выражение потенциала через элементарные функции (рис. 37) 2
2
1/(0:3 - Я ) + Д + Н - х з
^цил. пов. ( х ) = 2irGoR In
.
3
У(хз + Я ) + Д 2
2
- # - х
(5.146)
3
Отметим, что в формулах (5.146) и (5.145) функция под знаком логарифма является чётной относительно переменной х ; этого и следовало ожидать в силу симметрии данной оболочки относительно плоскости хз = 0. З а д а ч а 5.23. Доказать в формулах (5.146) и (5.145) чётность функции под знаком логарифма от переменной х . Но в отношении конечных формул решением на оси симметрии всё и исчерпывается; даже в экваториальной плоскости цилиндра, где х = 0, потенциал (5.145) 3
3
3
пов. (г) 4
G
°
R
=
Д I
Vl-k sin e 2
п
+C
2
det
>/l-k*sm e-C 2
к
'
4rR
2 = 2
Н
Я + (Д + г ) "
'
JH*
+ (R
2
+ г)
(5.147) в конечном виде выразить не удаётся. На рис. 38 показаны кривые равного потенциала, рассчитанные по формуле (5.145). Эти кривые имеют весьма интересный (есть гиперболы и даже асимптоты!) вид. Тем не менее, компоненты силы притяжения однородной боковой цилиндрической по верхности удаётся найти в конечном виде. Дифференцируя выражение (5.145) вначале по х , получим 3
156
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ И ОБОЛОЧЕК РИС. 38. Кривые равного потен циала круговой цилиндрической оболочки (выделена жирными
Li ri
линиями) с — = 1.25. Значение потенциала убывает от 3.517 для самой внутренней кривой (ветви гипербол) до 1.46 для округлой внешней
4rR ( х з - # Г + (Я + г )
К $^цил. пов.
=
4гД
К
2
(хз + # )
2
+ (Д + г )
2
-4GaR У(Л + г ) + ( 1 - Я ) 2
У(Д + г ) + (х + Я )
2
2
3
2
3
V
(5 Л 48)
Дифференцируя затем потенциал (5.145) по г, после преобразований находим 7Г
7Г
2
1 д&цил. пов. 1= / ^ 4GaR дг У /?! о где для краткости обозначено
2 г р
- у > + Я - х) 3
2
- / fl + r - 2 W f l J R (R -H-x ) о 2
2
2
2
Да = y/{R + г ) + (х - Я ) - 4гД sin в, 2
2
2
(5.150) 2
R = Ri ( - Я ) = y/(R + г) + (х + Я ) - 4гД sin (9. 2
(5.149)
к
3
2
§ 5 . 1 5 . ПОТЕНЦИАЛ И ПРИТЯЖЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
157
Умножим и поделим подынтегральные выражения в (5.149) соответственно на (Ri - Я + х ) и (R\ + Я + хз). Дальнейшие преобразования дают 3
1 д^цил.пов. AGoR dr
_ Г R + r-2Rsm e J (R 0 (Я + r) г ) -4rRsm -4r\Rsin
(Н-хз \ Ri
2
=
22
2
2
Н +х \ 2 J 3
d
Q
( $
1 5 J )
R
Здесь, как легко видеть, R + r-2Rs\xi e (R + r) -4rRsm e 2
2
Л
Г
i 1- " 2? ^ " R + r\
=
2
2
Д = \ / ( Д + г ) + ( х + H) y/l-k
2
2
2
Р =
4г Д < ^ ,1;. (Д + гУ
к,.2 = 2
(5.152)
2
sin 0,
3
где
j
sin 0;
3
2
2
2
Дх = у^(Д + г ) + ( х -Hfyjl-kl 2
2
-p sin 6
4г Д ^ 1. (д + г) + ( х - Я ) 2
(5.153)
2
3
В итоге находим выражение Н-хз
2GoR
дг
2
yJ(R + r)
+
+ (x3-H)
2
L
(5.154) Я + х
K(fe)-f^n^ *i]
3
f
2
^/(Я + г ) + (х + Я )
2
3
З а д а ч а 5.24. Изобразить графически: а) компоненту силы притяжения ^ V * *°«
;
С/Хз
ф меридиональные сечения поверхностей v
ОФцид. пов.
в) компоненту —
"** = const; ~ ОФцил пов
и сечения поверхностей — ^ от
.
= const.
от
Замечания Глава разработана автором. §§ 5.1, 5.2. Разработаны элементы общего метода эллипсоидальной стратификации и даны некоторые характеристики элементарных эллипсоидальных оболочек. Метод важен для различных приложении. Следует обратить внимание на некоторые тонкости стратификации в случаях полной сферизации или полного ужатия слоев в точку. §§ 5.3,5.4. Наряду с классическим, здесь имеется и новый материал о гомеоиде. Такова, например, задача о геометрических местах на поверхности слоя точек равной толщины гомеоида, совпадающих, кстати, с линиями равного заряда на поверхности заряженного проводящего эллипсоида! §§ 5.5, 5.6. Фокалоид обладает важными гравитационными свойствами, однако он из вестен не столь широко, как гомеоид. Новыми, в частности, являются: дифференциальное
158
ГЛАВА 5. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЕВ И ОБОЛОЧЕК
уравнение (5.35), выражение для толщины фокалоида (5.41), важное неравенство (5.44), постановка и решение задачи об изолиниях на поверхности фокалоида. Оболочка равной толщины на осях симметрии ранее вообще не рассматривалась. § 5.7. Дан метод нахождения новых типов эллипсоидальных оболочек. §§ 5.8, 5.10. Притяжение гомеоида хорошо изучено. К новым результатам относится теорема 3, а также расчёт притяжения от гомеоида переменной толщины. § 5.9. Имеет вспомогательное значение. Все три задачи — новые. § 5.11. Разработан общий метод нахождения потенциалов гравитирующих однородных элементарных эллипсоидальных оболочек. § 5.12. Новым методом получены как хорошо известные (теорема Маклорена — Лапла са), так и новые (всё остальное) результаты. § 5.13. И вновь мы вне рамок классических трактатов. Вводятся понятия обобщённого гомеоида и фокалоида, обладающих интересными гравитационными свойствами. Эти неэл липсоидальные (в общем случае) слои используются далее: обобщённый фокалоид — для доказательства одной важной теоремы (см. § 8.7) и при исследовании фигур равновесия в § 15.8, обобщённый гомеоид — при разработке новых фундаментальных методов нахожде нии гравитационной энергии тел, в том числе и тел неэллипсоидальной формы (см. § 12.6). Именно обобщённый фокалоид даёт ответ на вопрос: какой слой, созданный выметанием массы однородного тела на его поверхность, оказывается эквигравитирующим исходному телу во всём внешнем пространстве. Отметим, что здесь сделан вывод важной формулы (5.132) для потенциала обобщённого фокалоида. § 5.14. Введение в сложную и интересную проблему уровенных неэллипсоидальных слоев. § 5.15. Потенциал и силы притяжения от тонкой боковой поверхности кругового ци линдра ранее не изучались. Первоисточник по всей главе 5: Б. П. Кондратьев [20], [21].
ГЛАВА П О Т Е Н Ц И А Л Ы
6
О Д Н О Р О Д Н Ы Х
Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Х
И
Э Л Л И П С О И Д О В
Трёхмерные эллипсоидальные тела часто встречаются в природе, и знать их потенциалы необходимо как в астрономии, так и в физике. Но чтобы решать новые задачи для неодно родных эллипсоидов, требуется расширить прежние и создать новые методы. Основными в этой главе являются методы дифференциации (о нём см. § 2.11) и синтеза оболочек. Именно методом синтеза можно получать потенциалы оболочек конечной толщины и слоисто-неод нородных эллипсоидов в целом.
§ 6.1. П о т е н ц и а л ы однородного эллипсоида Хотя однородные эллипсоиды хорошо изучены, этот параграф включен в книгу с целью логического полного изложения материала (включая многие методические детали), а также с учётом того, что немало нового по этой теме дано у нас во всех последующих параграфах.
Теорема L Потенциал однородного эллипсоида с полуосями а, во внешней точке я* равен
(6.1)
^ 2 L i ( * ) = wGpaia2a3
где А — эллипсоидальная координата рассматриваемой поверхности эллипсоида, а А дано в (5.66).
точки относительно
граничной
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Приводим его в целях иллюстрации метода синтеза элементарных оболочек, широко используемого нами далее. Однородный эллипсоид можно сконструировать из бесконечной серии элементарных оболочек разного типа. Пусть сейчас это будут гомеоиды. Из (5.64) вытекает, что вклад в потенциал эллипсоида от одного такого гомеоида с полуосями а » т равен
оо х
2
^внешн ( ) — 2nGpaia2a rn dm 3
2
•
J
ds 2
(6.2) 2
2
\J(a*ra + s) {a^rn + s) {a\m
+ s) '
где А (га ) — эллипсоидальная координата точки Х{ относительно выделенного промежуточ ного гомеоида; она является положительным корнем уравнения
160
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ
Интегрируя по всем оболочкам
1
2
= 2nGpa a a 1
2
3
[m dm
d
f
s
(6.4)
A(m*)
и делая замену 2
2
s = m v,
2
2
A (m ) = m / i ( m ) ,
(6.5)
получим 2
А ж ( * ) = = жвра^аз
dm
[
f
,
(6.6)
2
где fi (m ) находится из уравнения Л
*
2
Меняя порядок интегрирования в (6.6) (см. рис. 39 в § 6.9), находим
ос A m И = ^Gp a a ai
2
3
1
J
У
Л
m2( )
2
dm ,
(6.8)
V
2
где га (v) определяется уравнением
В итоге (6.8) даёт выражение (6.1).
•
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Компоненты притяжения однородного эллипсоида во внешней точке ж> равны • *< 7 — ^ - — У (a? + v ) A ( v )
З е = = = -2nGp a a ai
2
3
Теорема 2. Потенциал во внутренней точке однородного эллипсоида
(6.10)
Xi
даётся
фор
мулой
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Через заданную точку проведём эллипсоид с полуосями о ц т . По теореме 4 (из § 6.9) притяжение от внешнего гомеоида равно нулю. Для испытуемой точки формула (6.10) при А = 0 даёт
ft*
— —2,7TGОЛЛССОО'З ' Х{7п? I J (of m + v) s/{d{m 2
2
_ _ + v) (a$m? + v) (a§m + v) 2
(6.12)
.
6.2. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ 2
Вводя новую переменную v = m v', (0) Су'внутр
161
приведём выражение (6.12) к виду
Я л
= -2nGpAiXi
dXi
= -2>KGpa a ab . x
2
d v
X i
f ' . 7 (o? + t / ) A ( t / )
Интегрируя (6.13) по Xi и опуская штрих, получим выражение (6.11). С помощью введённых обозначений величин Л* из (1.38) и / из (1.39) потенциал эллипсоида (6.11) записывается в виде V>2&P (*) = *<3р (I - А х\ х
- А х\ 2
2
- А х ). 3
3
(6.13) • внутренний
(6.14)
Коэффициенты потенциала Ai в общем случае выражаются через эллиптические интегралы и даны в § 6.2.
§ 6.2. Д р у г а я форма п о т е н ц и а л о в однородных эллипсоидов и сфероидов В предыдущем разделе (см. также п. 1.2.8) потенциалы однородных эллипсоидов и сфе роидов были записаны в интегральной форме. Возможна, однако, и другая их запись. А именно, внешний потенциал однородного трёхосного эллипсоида (6.1) можно представить как функцию от координат пробной точки через неполные эллиптические интегралы первого и второго рот Л е ш и (А, X) = TTGp ^1 (А) - £
Ai (А) Х\
(6.15)
оо
где
$.\€>
оо *
(A) = a ! a a 2
так что
d
3
/ " , У (a; + w) Д (u)
2a 10,20,-$
Л (A) х
2
2
=
(6.18)
ai) V ^ i " в'з
2aia a3^/aj A (X)
[F{ ,k)-E{
(«i -
(6.17)
-
a? — a.
(a? - al) (al - o§) af - a\
a, - a . (6.19)
a2 + A
V ^ T T ^ M (o? + A) (al + A)
(a? - a§) (a| + A) (ajj - a§) v/af - a| \l (a? + A)(a§ + A) 2а\а2йзл/а1
Аз(А) =
— a§
(6.20)
Здесь a i ^ аг ^ 03; A — наибольший положительный корень уравнения
#2 а\ + A
a| + A
-г2
= 1. х + А 3
(6.21)
162
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ и НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
Кроме того,
I о tp = arcsin
о
[ 2 а
\J A + . J ' * -
2
1 ~~ 2
^12
а
Стандартные неполные эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода имеют вид
1
2
V 1 — /с sin
^
2
Е{<р,к) = j
2
yjl-k sm tpd
(6.23)
о
ПЬ,п,*]= / J
^ 2
( l —гсs i n ip) \/l
2
— к sin
2
Полные эллиптические интегралы следуют из (6.23) при верхнем пределе ip =
обычно
их обозначают просто как К (fe), Е (fc) и П [п, /с]. Пример см. в (7.23). Заметим, что коэффициенты А\ могут быть получены и из записанных нами более общих выражений (6.180)—(6.185). Действительно, полагая в них /
р(т) v
ч у
, ( \ л Г 1 (для внешнего потенциала) = const; а* (т) = 1; я = < ) ' ' ^ ^ 0 (для внутреннего потенциала) 4
;
n
ч
,
,
(6.24) 7
также получим искомые выражения Ai и / для потенциалов однородного трёхосного эллип соида. Внутренний потенциал эллипсоида получим, положив в этих формулах А = 0. Обозна чив I (А = 0) = / ; Ai (А = 0) = А г = 1,2,3, (6.25) и
вновь приходим к выражению потенциала (6.14). Этот потенциал — квадратичная функция координат. Запись внешнего потенциала трёхосного эллипсоида в форме (6.15) удобна тем, что для эллиптических интегралов первого и второго рода существуют подробные таблицы, а также есть удобные схемы расчётов на компьютерах. Для однородных сфероидов с граничной поверхностью
4 + 4 =
1
б
2б
(- >
такая форма записи потенциалов также удобна, так как и внешние потенциалы можно выразить через элементарные функции. Прежде всего, следует различать случаи сжатого (а\ = а > а ) и вытянутого (аз > a i = > аг) сфероидов. 2
3
Рассмотрим сначала внешний потенциал однородного сжатого сфероида. В принципе, коэффициенты для потенциала сфероида А\ = Л2 и Лз можно получить и прямо из фор мул (6.18)—(6.20), но тогда надо дополнительно раскрывать в них неопределённость типа ~. Проще, однако, обратиться прямо к формуле (1.46). Вычисляя в ней соответствующие интегралы, находим 1
Свойства эллиптического интеграла третьего рода существенно зависят от величины характеристики п. Обра тим внимание на знак «-» перед п; в некоторых справочниках по интегралам, например, у Двайта [13], здесь стоит знак «+».
163
6.2. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
Л
г
3GM
х
^нешн( > . з) =
/(A)-
2
2у/а'{ — а .
/(А) 2 (а? - а§) (6.27)
y/W-ai) (<*з + А)" а?+ А
а? — а . а? - а §
-/(А)
где а-х = а > а з , М = -жа\а р, 2
I (А) = arctg,
3
(6.28)
2
а, + \ '
a А — эллипсоидальная координата пробной точки, являющаяся положительным корнем уравнения 2
2
a + A
al + А
Аналогично, в случае вытянутого ,о /\ „ \ <Д>нешн (А, Г, Х ) = Л
3
2
2
= 1 (г = х + х ).
(6.29)
сфероида получим: 2
V(<*3 - о?) ( о + А) г
3GM
J-2 Ok
ai
—
/
2
(6.30)
al-a\ A
\
a\ + \
где аз > a i = a2, J = In
\Д*1 + A + \/a\ - a\
(6.31)
Здесь A — также положительный корень уравнения (6.29). В частности, на оси симметрии (г = 0, А = х§ - а\) внешние потенциалы сжатого и вытянутого однородных сфероидов будут соответственно
х\
3GM 2^/af - а'| [
У?выт
h
_ 3
M G
v/a'f - o§
f
2|g |
+
1+
Л _
3
arctg
- <*з
(6.32)
а, - а% *з
\ ,
Ы +
Уа'з-^Л
(6.33)
Внутренний потенциал однородного сфероида равен 2
ip (аз) = irGp (I - Air
-
(6.34)
A xl), 3
причём коэффициенты А% и A3 для сжатого сфероида даны в (1.44), а для вытянутого вдоль оси £3 сфероида аз > ai = а с эксцентриситетом е= у 1 — а\/а\ они таковы: 2
Аз = At = А = 4 2
1-е
-
6
2е
2 1
п
1 + е „ 1 - е -21-е
1+6 •In 1-е '
(6.35) 2
1-е ,
1+ е In 1-е
164
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ и НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов ЗАМЕЧАНИЕ 2. Внутренний потенциал однородного шара с радиусом R имеет вид 2
2
<Ртщ* (г) = \*Gp (ЗЯ - г ) .
(6.36)
Подчеркнём, что внешний и внутренний пространственные потенциалы однородного сжатого и вытянутого сфероидов представлены в (6.27), (6.30) и (6.34) через элементарные функции. З а д а ч а 6.1. Покажите, что внутренний потенциал однородного полушара в точках своего плоского основания (и только в них!) будет равен 2
2
«Аюлушара (г) = | т г С р ( З Д - Г ) .
(6.37)
Практически интересна следующая задача. З а д а ч а 6.2. Найти внутренний потенциал в полости однородной оболочки конечной толщины, представленной разностью двух неконцентрических сфер с радиусами R\ > R2 (рис. 62 в § 8.3). Расстояние между центрами сфер равно Д, причём 0 < Д ^ R\ - /?2Решение. Внутренний потенциал в точке х от внешнего однородного шара даётся фор мулой (6.36). При переносе начала координат вдоль оси Ох в центр малой сферы 0\ этот потенциал можно записать в виде 3
2
<р = ZnGp [ЗЯ? - х\ - х\ - ( х - Д ) ] • г
(6.38)
3
Внутренний потенциал в полости однородной оболочки, ограниченной двумя указанными сферами, даётся тогда разностью внутренних потенциалов обоих шаров. Как легко показать, он будет равен 2
2
^об = \vGp [3 [R\ - R\) - Д + 2 Д • х ] .
(6.39)
3
•
З а д а ч а 6.3. Найти силу притяжения дв)х половинок однородного гравитирующего эллипсоида с внутренним потенциалом (6.14), рассечённого одной из координатных плоско стей симметрии (например, плоскостью Ох 1X2). Решение. Согласно (6.14), компонента силы притяжения на единицу массы вдоль оси Охз есть F = -27rGpA x . (6.40) Чтобы найти искомую силу притяжения половинок эллипсоида, надо домножить эту компо ненту на р и проинтегрировать по одной из этих половинок: искомая сила будет равна 3
3
F = \п*Ср*А ага а1 3
3
=
2
(6.41)
•
В частности, притяжение двух половинок однородного шара определяется следующим выражением:
F
2
= w w -
Силовое поле внутри такой оболочки оказывается одномерным и не зависящим от координат: Fi = F = 0; F = |?rGp • Д . 2
3
(
6
4
2
)
6.3. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА В ПРЕДЕЛЕ
165
З а д а ч а 6.4. Найти силу притяжения двух половинок однорооной гравитирующей сферической оболочки, рассеченной одной из координатных плоскостей симметрии (напри мер, плоскостью Ох\х ). Решение. Пусть внешний и внутренний радиусы оболочки есть R\ ^ R а полная 2
2i
масса сферической оболочки М — ~7гр [Rf — R%). Тогда внутренний потенциал оболочки есть 2
V o 6
(г) = \«Gp (ЗД? - г ) - f т г С р ^ ,
(6.43)
а компонента силы вдоль оси Ох
3
F = | g = -^irGpx 3
+ i^Gp^xz.
3
(6.44)
Умножив F на р и интегрируя в сферических координатах по верхней, например, половине оболочки, находим 3
, . ' 1 * 0
" » + <*+*>•.
,6.45,
Это и есть искомая сила притяжения половинок оонородной сферической оболочки. В част ности, при R —> 0 из этой формулы получим притяжение половинок сплошного шара (6.42). Кроме того, при R —> R\ получим 2
2
2
Р
_ М (?
...
Это — сила притяжения половинок однородной тонкой сферической оболочки. Сравнивая с формулой (6.42) видим: при одинаковой массе и внешнем радиусе Я притяжение по ловинок однородного шара в 1,5 раза больше притяжения половинок тонкой сферической оболочки. Т ь
§ 6.3. П о т е н ц и а л ы однородного эллипсоида в пределе б о л ь ш о й вытяну гости и л и сжатия Рассмотрим некоторые предельные случаи, которые могут быть полезными для практи ческих применений. Обратим внимание: хотя исходными являются формулы, написанные выше, поначалу удобнее будет исходить из интегральной формы представления потенциалов однородного эллипсоида. 6.3.1. С и л ь н о в ы т я н у т ы й (иглообразный) эллипсоид (а
^> а , а )
±
2
3
Рассмотрим вначале Внутренний
потенциал
Как известно, общая выражение для внутреннею потенциала однородного эллипсоида да ётся формулой Д р
<*) = ^ра а 1а2
3
] - ^ -
О
(l - ±
\
1
*
/
.
(6.47)
Нормированный потенциал в центре эллипсоида выражен интегралом (для краткости здесь и ниже множитель а\а а временно опущен) 2
3
166
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ и НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
оо
оо
т
^
0
(6.48)
В области v > r j можно пренебречь о | , щ в сравнении с v. Тогда первое слагаемое
(6.49)
Во втором слагаемом в (6.48), наоборот, можно пренебречь w в сравнении с
«1
— a
i
/
v / ( a l + t;) (al + v
a + o 2
, что даёт
(6.50) 3
Таким образом, a
/ = тгa i In
а
i + \Ai+^*o
г
а
г
\/ 1 + о + \ / з+ о аг + аз
(6.51)
2r , (i2 + аз (
Аналогично находится и коэффициент
=
7 /
*> 2
(al + vf ^№
+ v)(ai + v)
/
/...+ / . . . . /
(6.52)
2
Здесь первое
оо
dv
/
(6.53)
го
l v (а\ + v) 3/2 2
и второе слагаемое г
2 (6.54)
вместе дают
J_
/
cfa
^ 2
Q
l
n
r
r
\/ 2 + o + V o l + o .
^a -f-a 2
(6.55) 3
Два других коэффициента оказываются следующими:
оо /
a?
a
V 2
+ a
3
У (6.56)
1/2
{aj + v)
2
3/2
{a + v) (al 2
1/2
+ v)
«i«2 ( a + a ) ' 2
3
167
6.3. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА В ПРЕДЕЛЕ оо
(6.57) 1/2
/
1/2
(а? + v)
2
(4 + v)
a
(а§ + vf
~ i " 3 («2 + a ) ' 3
Таким образом, в полном виде внутренний потенциал иглообразного зывается равным
эллипсоида
ока
А Р ( * ) «
: 2пСра а* р
{in
[
2
a +а 2
- 4 3
а
Ы
? V 2 +а
" 0 3
2 + аз? а;
- (t \^2
у
а
(«2 + а ) -1
(6.58)
3
Рассматривая внешний потенциал, следует различать случаи близкой и дальней пробной точки. Внешний потенциал.
Удалённая
точка
В этом случае иглообразный эллипсоид можно представить одномерным стержнем с плот ностью а = па а р (1 — — ]. Внешний потенциал V а У 2
3
2
2
J a.
ai
zdl.
(6.59)
I Делая здесь замену I = x\ — s, находим внешний потенциал в удаленной A m
х
()
точке
« ж
•KGpa^az V
о?
2a?
J
n x
i
_
a
i
+
v
/
( ; r i
_
a i )
2
+
2
X
c
^3
•2
3 (6.60)
Внешний потенциал. Близкая пробная точка В этом случае
(6.61) В заданном приближении А<а?, и для эллипсоидальной координаты имеем квадратное уравнение
(6.62)
168
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ и НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
или 2
1 - ^
А +
(а\ + af)
1 - Ц ) - х\ - х\
А +
а\а\ ^1 - - j j - а\х\ - а\х\ = 0. (6.64)
Это уравнение имеет дискриминант 2
D =
2x1
(6.65)
так что + xl-(al
+ ai)
(l-d^j+D (6.66)
2
И
)
*
Знак «+» перед выражением £> взят потому, что в качестве А берётся наибольший корень уравнения. Отдельные интегралы опять представляем суммой двух членов, и затем каждый из них вычисляем с учётом приближения (6.62). Получим (множитель а\а а вновь опущен): 2
А
г*
ai
г
А
' ai
0
3
(6.67)
1
sja , + А + sja\ + А
0
1
+ А+
y/aj + А
Аналогично: ОО
/
dv
(af +1;)
+«)(«§+*)
3/2
ОС
^
_ 2
a
?V
(6.68)
ОС
/
^
l
Г
(4 + v)A (V) ~ «1 /
~J
4<2i + v/afTA/ ' dv
(fl
2
+
v)
3/2
( a 2+
v 1/2 -
(6.69)
2
a yja\ + A ( y a . + A + ^/af + A ) x
(6.70) oiд/aJ+A ^v/aJ+A + Л А 1 Т А ) Следовательно, потенциал вблизи иглообразного х
<4hLh ( )
~
2irGpa a 2
3
{in ^
/
_ _ T
s/af+
4
4ai Q
1
эллипсоида оказывается равным 4ai
- = - 4 (in-
A + Vaft + A
af \
л/aJ+X
+ y/aj+
A
2
VVaf + A
х/«з + А>
a, + A+ \Ai+A) (6.71)
где эллипсоидальная координата пробной точки дана в (6.66), а D в (6.65).
§ 6.4.
169
СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ Ai
6.3.2. Сильно сжатый эллипсоид (ai, a
2
^> а з )
Потенциалы эллипсоида в этом пределе получаются прямо из формул § 6.2. И хотя тогда при o-i Ф о>2 эти формулы существенно не упрощаются (эллиптические интегралы сохраняются), всё же данный пример вырождения трёхосного эллипсоида практически важен. Решение этой задачи для внутреннего потенциала дано ниже в § 6.6. Дело ещё в том, что сильно сжатый однородный эллипсоид моделируется плоским неоднородным эллиптическим диском с распределением поверхностной плотности (6.93). Следовательно, решая задачу для сильно сжатого эллипсоида, мы тем самым находим про странственные потенциалы и для неоднородного эллиптического диска (а ведь последняя, как отдельная задача теории потенциала — весьма непростая задача!). З а д а ч а 6.5. Записать в пределе а з —> 0 формулы § 6.2 для внешнего потенциала.
§ 6.4. Свойства к о э ф ф и ц и е н т о в А ; Потенциал внутри однородного эллипсоида, как мы только что убедились, является по ложительной квадратичной функцией от координат пробной точки; этот потенциал имеет максимум в центре фигуры. Величина nGpI, по физическому смыслу, есть работа по пере носу материальной точки единичной массы из центра эллипсоида на бесконечность, причём в любом направлении относительно главных осей эллипсоида. З а д а ч а 6.6. Доказать, что эта работа равна сумме работ по переносу материаль ной точки вдоль трёх главных осей из центра на поверхность эллипсоида. Решение. Из (1.38) и (1.39) следует, что (6.72)
/ = A aj + Л а + Л а з , x
2
2
3
где каждая величина Aia\, умноженная на nGp, как раз и представляет собой, соглас но (6.13), работу по переносу материальной точки вдоль оси а . Т В частности, работа по переносу из центра на поверхность однородного шара (любо го радиуса) так относится к работе переноса с поверхности на бесконечность, как 1:2. С неоднородным шаром дело обстоит иначе: для него такое отношение уже возрастает и при определённой концентрации вещества (см. задачу 6.9 в § 6.9) становится даже равным 1! Коэффициенты потенциала Ai из (1.38) играют важную роль в дальнейшем; поэтому рассмотрим их подробнее. Прежде всего, эти величины при условии а\ > a ^ аз удовле творяют трём типам неравенств: г
2
(6.73) (6.74) А\а\ Доказательство.
^ А а\ 2
^
(6.75)
А$а\.
Оно простое для (6.73) и (6.75), а именно: в силу (a^ ^ aj) (6.76) а] a? +v
_
a?-+v
а\ - а) (а? + v) (а^ + v)
(6.77) '
Для доказательства же неравенства (6.74) рассмотрим выражение
оо
(6.78)
170
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ и НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
Интервал интегрирования разобьём на два: при этом интеграл от нули до будет положи тельный, но интеграл от aidj до оо — отрицательный. Однако, как легко убедиться, в сумме эти два интеграла дадут положительный результат. Действительно, замена во втором инте грале sv = afoj и простые преобразования, включающие переобозначение s = v приводят к требуемому. Очевидно, коэффициенты Ai являются функциями только двух независимых эксцен триситетов трёх главных сечений эллипсоида. Можно считать, например, что A i зависят от эксцентриситетов именно тех двух главных эллипсов, на пересечении которых находится сама ось ас }
оо Ai ( е , e i ) = у ( 1 - е ? ) ( 1 - 2 ) /
1 2
3
е
2
ds
J
3
s
/2
Из + f
(6.79)
V * (е? " е ? + s) 3
2
ОО
е
* ~
М (егг.егз) =
N
/
23 2
1-е
ОО
ds А, ( е
1 3 )
е ) = [(1 - е?,) ( l - е * , ) ] ~
1 / 2
2 3
J
—
2 ^23 + s (1-е1з) л
,3/2
+ 5
(6.80) Нетрудно доказать следующие неравенства: ^ 9е
<
0
12
и Э - < 0 ; 9ei3
дА ^ &4 ^ - — > 0, но - — < 0; Се 12 0^23 2
п
2
п
| ^ > 0 и ^ > 0 . аехз ое з
(6.81)
2
Поскольку из трёх аргументов у функций Ai только два независимых, то и из трёх Ai лишь две должны быть независимыми. Дополнительное соотношение между Ai имеет вид
Ах + А + Л = 2 a i a a 2
3
2
3
/
т
^--
(
о
V
d д /ч )^
M
Q1Q2Q3
9 =
-
2
= 2.
(6.82)
A W
Его можно интерпретировать так: если внутри однородного эллипсоида мысленно построить концентрическую с ним сферу, то сумма работ по переносу точки из центра на поверхность данной сферы вдоль трёх осей симметрии будет пропорциональна квадрату радиуса сферы и не должна зависеть от геометрической формы самого эллипсоида. При вырождении эллипсоида в сжатый или вытянутый сфероиды коэффициенты Ai выражаются, как показано в предыдущем параграфе, через элементарные функции от экс центриситета сфероида. В частном случае шара 2
А
г
= А = А = | , / = 2Д . 2
Внутренний потенциал шара дан в (6.36).
3
(6.83)
6.5. ИЗОПОВЕРХНОСТИ ВНУТРИ ОДНОРОДНОГО ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
171
ЗАМЕЧАНИЕ 3. В дальнейшем нам понадобятся разложения коэффициентов потенциала по сте пеням малых е. Например, для А\ и Аз из (1.44) имеем
§ 6.5. И з о п о в е р х н о с т и в н у т р и однородного гравитирующего эллипсоида Для ответа на вопрос, какими должны быть те геометрические места точек, двигаясь по которым мы не совершали бы работы против сил тяготения внутри однородного эллипсоида, следует рассмотреть семейство поверхностей равного потенциала. Из формулы (6.14) следует, что внутри однородного гравитирующего эллипсоида уровенные поверхности
12
{j
З а д а ч а 6.7. Исследовать геометрические места точек равного потенциала на по верхности однородного гравитирующего эллипсоида. Решение. Искомые места представляют собой пересечения соосных эллипсоидов (5.3) и эллипсоида, получаемого из (6.14) (ср в единицах nGp): А\х\
+ А х\
+ A xl
2
= 1-
(6.86)
^ А а\ 4- А а\,
(6.87)
3
На поверхности, как мы только что выяснили, А а\ 2
+ А а\ 3
0)
^ <^
х
2
и это неравенство гарантирует нам пересечение данных эллипсоидов. Итак, мы имеем дело с кривыми четвёртого порядка. Умножим (5.3) на J — ip^ и вычтем из (6.86), тогда с учётом (6.72) получим
|
0>
(^
- А а\ - А а>) 2
3
+
|
(^°> - А,а\ -
А а>) 3
(6.88) +4
)
(
<0
2
172
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
Это уравнение конической поверхности с вершиной в центре эллипсоида, направля ющая кривая которой и есть линия равного потенциала; знаки коэффициентов в (6.88) найдены с учётом (6.87) и (6.75). Средний коэффициент может иметь два знака: ес ли < А\а\ - f А а — конус охватывает ось х если <Д ^ > А\а\ + Аза — конус охватывает ось х з . В промежуточном случае (р^ = А\а\ + А а конус распадается на две плоскости, проходящие через среднюю ось эллипсоида х \ уравнения плоскостей 2
0
3
2
ь
2
3
2
Ма\ - А а\ , а = ±х — i\\A a -A al2
3
х
3
г
А
a
(
6
g
9
)
2
2
2
3
Соответствующие кривые равного потенциала вырождаются в два эллипса (см. выше рис. 34). Легко убедиться, что данная задача родственна задачам 5.3, 5.5 и 6.8. • Рассмотрим теперь внутри эллипсоида поверхности равной силы притяжения. Соглас но (6.13), они образуют семейство подобных друг другу эллипсоидальных поверхностей, описываемых уравнением А\х\
2
+ А\х\ + А\х\ = F
(6.90)
( F в единицах 2itGp). Эксцентриситеты их главных сечений таковы: 2
А
Ец = * ' - \ Г
(6.9i)
А]
и, согласно (6.74), Е\ > Е\ . Следовательно, поверхности равной силы притяжения вы тянуты относительно так ж е , как и сама граничная поверхность (5.3); более того, в силу неравенств (6.73)—(6.75) должно быть 3
2
EijZeijZE'tj.
(6.92)
Поэтому внутри однородного эллипсоида поверхности равной силы притяжения гомотетич ны, но сжаты сильнее, чем граничная поверхность материального эллипсоида, и заведомо сильнее, чем поверхности равного потенциала. Сила притяжения имеет максимум (мини мум) на конце малой (большой) оси. З а д а ч а 6.8. На поверхности однородного эллипсоида найти геометрические места точек равной силы притяжения. Решение. Оно полностью аналогично решению задач 5.3, 5.5 и 6.7. Конечно, уравнение направляющего конуса будет уже иным, однако в целом картина соответствует рис. 34 из § 5.4. Т
§ 6.6. Д и с к о в ы й предел однородного эллипсоида Следует различать два случая дисковых переходов. 1. В простом дисковом пределе е = а /а\ —> 0 однородный эллипсоид (5.3) превраща ется в неоднородный эллиптический диск с границей (4.1) и поверхностной плотностью 3
o(xi,x ) 2
= оо
1 - 4 " 4 ' af
а%
^о = 2Ш(ра ). 3
а
з->°
(6.93)
6.6. ДИСКОВЫЙ ПРЕДЕЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
173
Полная масса этого диска о
Мдиска = ^(T aia 0
.
2
(6.94)
С точки зрения существования потенциала сил притяжения внутри такого диска важно, что интеграл
оо / - УСаоагЪ
d
[
v о
-
(6.95)
остаётся конечным. Если же диск вырождается при а* —> 0 в иглу, интеграл (6.95) расхо дится и потенциал как физическая величина перестаёт существовать. Очевидно, внутри диска потенциал остаётся квадратичным по координатам: Мдиска ( x i , х ) = I - A x\ 2
- А х\,
x
где
(6.96)
2
оо Ai = \жва^а
2
d
j {
v
= . ^t;(o? + t ; ) ( o ? + « )
(6.97)
s
При a i ^ 02 / = К(е), 7
К(е)-Е(е) Ai = 7a?e 2
(6.98)
2
=7
А
2
Е(е)-(1-е )К(е) 2
ale
где для краткости обозначено 7 = 7гСстоа2 = - 2 ^ .
(6-99)
Здесь К (е) и Е (е) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода:
тг/2 К(е)=
/ J
тг/2 ^
s/l-e
2
. sm
; v>
Е(е)=
/ j(
yjl-e**m vdp, 2
(6.100)
а эксцентриситет диска е = yjl - a^/af. В данном случае Л2 ^ Л ь В частности, потенциал внутри круглого диска данного типа равен Слиска (r) = 2 = j j ^ ( 2 - ^ ) .
(6.101)
Согласно (6.96), линии равного гравитационного потенциала внутри эллиптического диска даются уравнением
174
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
и представлены семейством подобных друг другу эллипсов (которые, однако не подобны эллиптической границе материального диска (4.1)!) . Геометрический характер этих уровенных линий в диске, как и эллипсов равной полной силы притяжения в нём, напоминает ситуацию с уровенными поверхностями в трёхмерном эллипсоиде (см. § 6.5). 2. В софокусном дисковом пределе однородный эллипсоид с сохранением массы превра щается в неоднородный эллиптический диск с границей (5.40) и поверхностной плотностью 2а\а а р 2
<т ( z i , x ) =
3
(6.103)
1-
2
Такой диск является эквигравитирующим во внешнем пространстве исходному эллипсоиду. Распределение плотности в нём такое же, как и в диске (6.93), поэтому он имеет те же самые характеристики, при других, конечно, значениях полуосей и эксцентриситета:
Ri = \Ja\-al,
R = \ja\-a\,
R
612
_
2
е= ^
2
(6.104)
а также центральной плотности. Отношение центральных плотностей у дисков в случаях 1 и 2 равно (?о aia (6.105) о RR 2
а
X
2
§ 6.7. Свойства ф у н к ц и й I ( г а ) и Ai ( г а ) Применяя методы расслоения и синтеза гравитирующих эллипсоидальных оболочек, надо знать, как с изменением параметра т ведут себя функции (5.99) и (5.100). Поскольку, в силу неравенства (5.6),
а? ( т )
d
dm {af (m) + vj
( 2 а
(
т
)
f
v
+
dm
(6.106)
2
a (m)>0,
то и работа вдоль г-й оси, записываемая в виде /•
3/2
a? (m)
/лот 1
/
Ai (m) af (m) =
2
a j{m)
I
2
a (m)
\J a (m) + v al (m) + v 2
2
a {m) + v)
dv
(6.107)
(суммирование слева отменено, ъф j ф к), должна удовлетворять неравенству _d_ [Ai{m)a (m)] dm 2
> 0.
(6.108)
Следовательно, независимо от того, как с ростом m изменяется форма граничной поверхно сти эллипсоида S (т), всегда
dm ^
dm
Y^Ai
(го) a? (го) > 0 .
(6.109)
L1
Пропорционально / (го) возрастает и потенциал в центре эллипсоида. Более сложными являются функции Ai (го). Для производных от них имеем выражения
175
§ 6.8. СИНТЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБОЛОЧЕК
dAj __ дА\ den dm де\2 dm dM dm
d^deu de\2 dm
=
дА\ de\ deis dm ' 3
+
dAu dew дв2ъ dm '
dAs _ dA$ dei3 dm 9ei3 dm
(6 110)
dA$ de 3 дегз dm ' 2
знаки частных производных в которых нам уже известны из (6.81). Прежде всего отметим, m
что при любом допустимом сочетании знаков у величин ^ ~ £ t j i ) см. в (5.10)—(5.12)) производные
(шесть таких вариантов
(иг) не могут иметь одинаковые знаки ввиду (6.82).
Конкретно: в случае тотального сплющивания трёх главных сечений с ростом т , т. е. когда e
все производные ^ ~ t j (иг) > 0, выполняются неравенства
^ ! < dm
0
|
4*1*0, dm
^ > 0 ; dm е
(6.111)
ш
в противоположном этому варианте, когда все ^ ~ и ( ) < 0, имеем
d
-t>°'
f ? < ° -
« "
2
>
Характерно, что из трёх производных неизвестным остаётся знак только у d A / d m . Иначе обстоит дело в четырёх оставшихся случаях (5.11) и (5.12), где только две из трёх производ ных от эксцентриситета имеют одинаковые знаки. Тогда заранее может быть известен знак только у d ^ / d m ; в случаях (5.11) имеем d ^ / d m > 0, а в (5.12) dA2Jdm < 0. 2
§ 6.8. Синтез э л е м е н т а р н ы х оболочек Переходим к рассмотрению слоисто-неоднородных эллипсоидальных тел. Для этого нам потребуется математический аппарат первых параграфов главы 5. В слоисто-неоднородном эллипсоиде плотность распределения массы зависит от одного параметра т , т. е. р = р(т). Будем считать, что при расслоении эллипсоида на оболочки особых геометрических мест в нём не остаётся . Аддитивные по массе величины L (к ним относятся сама масса, моменты инерции и потенциалы) будем находить методом синтеза оболочек. А с ним мы уже знакомы по § 6 . 1 . Внутри данного эллипсоида выделим подсистему с граничной поверхностью S(m) и вычислим для неё искомую величину L ( т ) в предположении однородности подсистемы. Затем по формуле 3
dL = dmp(m) J - [ L ( m ) | 3
p = 1
]
(6.113)
В противном случае (при софокусном, например, расслоении) нижний предел интегрирования по т будет отличен от нуля.
176
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ и НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
находим вклад в искомую величину L (т) от отдельной элементарной оболочки заранее заданной плотности. В итоге, интегрируя по всем оболочкам эллипсоида, находим 7ГЬ L(m) = J dmp(m)-£^
(6.114)
[l<(m)\ ]. p=1
Для начала вычислим массу и моменты инерции слоисто-неоднородного эллипсоида с поверхностью S(m), определяемые общими формулами М (т)=
J
p{x')dV,
1ч(т)
= 6ц
J
2
р{х')х' <1У'. г
(6.115)
Легко находим
(6.116) m
5
A? ( ) l = i = ^ij * - ^ 7 г а 1 а а з а г а ^ т а г (m) p
2
(m) J J a * (m).
l Подставляя теперь выражения (6.116) в основную формулу (6.114), приходим к з
М (т) = ^ка\а а 2
J
3
dmр (m)
_d_ Y[<*i dm m
(m)
(6.117)
m 5
Iij (m) = ^7га,1а а а?5ц 2
3
J
dmp(m)
^
2
т а (т)^[а (т) {
(6.118)
В частности, масса эллипсоида с подобными слоями, согласно (6.117), равна
1 z2
М = Апа\а а 2
3
t
тp р J m
(m)i (m)dm;
(6.119)
о i 2
Iij = ^Ka\a a a 8ij 2
3
J
4
m p(m)dm.
(6.120)
Таким образом, для определения характеристик слоисто-неоднородного эллипсоида, аддитивных по массе, мы имеем весьма эффективный метод — метод синтеза оболочек. Применяя его, достаточно знать, как вычисляются эти характеристики для однородного эллипсоида; далее всё сводится к одной квадратуре.
§ 6.9. П о т е н ц и а л ы слоисто-неоднородных эллипсоидов. Общий случай стратификации Эти потенциалы имеют важное теоретическое и практическое значение. Теорема 3. Потенциал в точке Xi, внешней по отношению к неоднородному описанного типа, равен
эллипсоиду
177
6.9. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов 1
4>внешн(я) = nGa^a^
2
J du J
2
dm p(m )x
2
m (u) П<2г(т) / ' m 2
dm 2
где функция m (и) неявно определяется
2
з 4 - £ "i a a (m) 4- и 2
2
а
(6.121)
уравнением (6.122)
= 771
V
,
а
* * (™)+
w
А е с т ь эллипсоидальная координата точки относительно граничной поверхности эллип соида, являющаяся положительным корнем уравнения (5.65), а з Д ( т , и ) = Д (а?а? ( т ) + и ) . (6.123) 2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Рассматриваем сплошной эллипсоид как состоящий из бесконечной серии элементар ных эллипсоидальных оболочек. Вклад в общий потенциал от одной такой оболочки, огра ниченной поверхностями S (т) и S (т + dm), даётся (см. (6.113)) формулой
2
(0)
2
с^внешн (m) = dm p
(т )
(6.124)
где в качестве <£внешн (га) нужно взять потенциал <рвнешн из (6.1), заменив в нём а« на полуоси промежуточного эллипсоида aimai (m). Тогда А в формуле (6.1) становится эллипсоидаль ной координатой пробной точки Х{ относительно промежуточной поверхности S(m); её обозначим через А ( г а ) . 2
Последняя определяется как положительный корень уравнения (5.87), Д — из 2
2
2
Д (m, v) = Д ( a ? m a ( т ) + v).
(6.125)
Полагая 2
2
v = т и,
2
(6.126)
2
А( т ) = m /i( т ) ,
/х(т-) А(т=1)
2
где /л ( т ) неявно определяется уравнением з ^
J2
а\а\ ( m ) + / z
выражение для
т(и)
(6.127)
= т
п
1
т
Рис. 39. Область интегрирования в двойном интеграле
запишем в виде
|/>=1
з <£в2ешн
(m) = 7rGaio a 2
3
Д (тп, и) 2
M(m )
12. Кондратьев Б П
т
- Е ;
(6.128)
178
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ и НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
Подставляя (6.128) в формулу (6.124) и интегрируя от 0 до 1, получим выражение для полного потенциала эллипсоида:
1 ^внешн = irGa\a a3 2
оо 2
2
Jdm p(m )
П ^ И
J
du dm
Л (m, u)
2
/ ' m
2
з - £ i a-a- (m) + и
2
/i(m )
(6.129) В двойном интеграле можно изменить порядок интегрирования (рис. 39) и вместо прежних пределов считать, что переменная и изменяется от А (га = 1) до оо, а переменная т — от определяемого уравнением (6.122) значения т (и) до 1. Поскольку А (га — 1) есть положи тельный корень уравнения (5.65), то изменение порядка интегрирования в (6.129) и приводит к требуемому результату (6.121). • ЗАМЕЧАНИЕ 4. Потенциал во внешней для эллипсоида точке (6.121) зависит от её координат х* явно и неявно (неявно — через нижние пределы интегрирования А и т (и)). 2
Внешний потенциал эллипсоида с гомотетическими Когда слои плотности подобны друг другу, то все и принимает вид
слоями (га) = 1. Выражение (6.121) упрощается
ОО ^внешн (#) = 7rGaia a 2
j
3
1
-£iL-
J
2
(6.130)
dm p ( г а ) . 2
2
m (u)
Теорема 4. Потенциал во внутренней точке Xi полости неоднородной оболочки, ограниченной эллипсоидами S (1) и S (п), даётся выражением ОО х
Фвнутр. об V ) = 7rGaia a3 2
эллипсоидальной
1 2
jdu
2
J dm p ( m )
2
dm
Д(га, и)
' m
2
~ £ . f af Qi (m) + и
(6.131)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Вклад в потенциал у> от внешней для Xi элементарной оболочки мы получим, если в формулу (6.124) в качестве ip^ (га) подставим данный в (6.11) потенциал однородного эллипсоида
В
3 Л р' ( т ) | lp=i =1гСв1а2азПМ™) /1 Г г Ч \ J А(т,и) 00
х
/ 3 2 \ (у ^ ~ Е а\(х\ 2 2 (т) Г \ +^ и)\
(
6Л32
>
где Д (га, гг) определено в (6.123). Подставляя (6.132) в (6.124) и интегрируя по всем слоям оболочки от п до 1, находим полный потенциал от всей оболочки: 2
179
6.9. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
t[<*i(m) /
оо
1
' m
A(m, u) (p = irGaia2(is
J dm p
2
(m )
2
з 2
- £
1 а а (т) 2
2
(6.133)
+u
Jdii-j—^
Изменив порядок интегрирования (что легко сделать, так как пределы по т не зависят от и), мы получим требуемый результат (6.131). • ЗАМЕЧАНИЕ 5. С помощью выражений (5.99) и (5.100) потенциал (6.131) можно записать ком пактнее: <Л»нутр. об (х) = TTG I dm p (т ) J dm* 2
2
m
i ( ) ~^2
Ai
m
(6.134)
x
( )*
ЗАМЕЧАНИЕ 6. В общем случае, когда сплюснутость слоев равной плотности зависит от т , потенциал внутри полости оболочки явно зависит от координат. Зависимость эта — квадратичная по Xi. Лишь в частном случае расслоения толстой оболочки на гомеоидальные слои (в этом случае коэффициенты Ai от т уже не зависят) потенциал внутри оболочки (6.131) или (6.134) вообще не зависит от координат пробной точки.
Теорема 5. Потенциал во внутренней 7*-:-. но го типа даётся выражением
= 7rGaia2as
t
1
оо
/ da / J J 0 m («) 2
точке гг неоднородного
эллипсоида
г
f[a (m) 2
2
L
f
2
з
t
dm p(m )—^ dm'
A(m, u)
rrr
\
рассмот-
Xi
a (m) + и t
(6.135) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Полный потенциал во внутренней точке складывается из потенциала от сплошного эл липсоида, для которого рассматриваемая точка не является внутренней, и потенциала от эллипсоидальной оболочки, для которой точка не является внешней. Пусть а^па^ (п) суть полуоси поверхности равной плотности, проходящей через точку ж». Тогда, в силу равенств (6.121) (где положим А = 0) и (6.131), эти слагаемые полного потенциала слоисто-неодно родного эллипсоида будут <р* = 7YGaia as 2
J du J
Ф (т ,г/) dm 2
2
rn-(u) 1 ip
11
= TxGa\a as J du J Ф(т ,гх) dm 2
2
2
где Ф ( m , u ) — интегрируемая функция. Складывая потенциалы и ip , получим выра жение (6.135). • 2
J
11
ЗАМЕЧАНИЕ 7. Потенциал во внутренней точке слоисто-неоднородного эллипсоида зависит от координат х явно и неявно (в последнем случае — через нижний предел интегрирования). г
Внутренний потенциал эллипсоида с гомотетическими
слоями
Когда слои равной плотности подобны друг другу, то, как нетрудно показать, выражение * 6 135) заметно упрощается и принимает вид (1.51). Разумеется, в случае слоисто-неоднородного сфероида, а также шара со сферически симметричным распределением вещества (для него см. интегральную формулу (1.55) эти зормулы ещё более упрощаются.
180
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
З а д а ч а 6.9. Дан неоднородный шар радиусом R с распределением плотно сти р = ро(1 — r /R ) , п — любое вещественное число. Найти внутренний потенциал такого шара и отношение работы 6 по переносу материальной точки из центра на его поверхность к работе переноса с поверхности на бесконечность. Ответ. 2
2
n
^ ( x J - ^ t f ^ ^ . a F ^ f . - n . l . ^ + l ^ ^ j
( x
S
i ) ,
(6.136)
где 2-Fi (• ••) — гипергеометрическая функция; тогда искомое отношение работ оказывается равным 2г(п+§) у ^ Г (п + 2) В частности, отношение этих работ равно единице при п = 1.38175 (ср. со случаем одно родного шара в § 6.4). • Теорема 6. Потенциал во внешней точке х неоднородной толстой эллипсоидальной оболочки рассматриваемого типа, ограниченной эллипсоидами с полуосями ai и а^год (п), даётся выражением ь
3
1
П«*М / _1 [ 2
оо
m
2
Увнешн об (х) = nGaia a3 2
2
2
dm du-j^
J p(m )dm M(m J) 2
A(m,u)
у
3
2
x
i i a?a?(m) + t*
_ V-
y
(6.138) 2
где p ( m ) неявно определяется уравнением (6.127). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Оно проводится известным нам методом.
•
ЗАМЕЧАНИЕ 8. Чтобы изменить порядок интегрирования в двойном интеграле (6.138), разобьём последний на два; тогда получаем
К *)
1
71
ip =
j A
du j
оо 2
2
Ф ( m , и) dm +
2
m (tx)
p
j ( 2) n
1 du j
2
2
Ф ( m , u) d m ,
(6.139)
n2
2
где Ф (m ,u) — известная нам интегрируемая функция.
§ 6.10. О притяжении и у р о н е н н ы х поверхностях в полостях э л л и п с о и д а л ь н ы х оболочек Для исследования поверхностей равного потенциала внутри слоисто-неоднородной оболоч ки выражение (6.134) представим в виде, напоминающем формулу (6.14) для потенциала однородного эллипсоида во внутренней точке: з 2
У>внутр. об (n) = J (fi) - 53 Л (п) X , 1
(6.140)
6.10. О ПРИТЯЖЕНИИ И УРОВЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
181
где обозначено 1
dl(m) Т(п) = TTG J dm p ( m ) dm 2
2
2
n
2
(6.141)
l 4* (га)
=
7
r
G
dAj{m) d
2
J ™> P
m2
( )
2
dm
Отсюда ясно, что искомые уровенные поверхности внутри оболочки, как и в эллипсоиде, яв ляются поверхностями второго порядка. Но важный момент: в отличие от коэффициентов Ai из (1.38), все три величины Ai не могут иметь одинаковые знаки; как было доказано в § 6.7, только две из трёх производных dAi/dm могут иметь одинаковые знаки. Следовательно, по верхности равного потенциала в полости оболочки должны принципиально отличаться от исследованных в § 6.5 уровенных поверхностей внутри однородного эллипсоида. Конкретно, они не могут уже быть эллипсоидальными. Достаточно рассмотреть распределение знаков у величин Ai в каком-либо частном случае; пусть это будет случай (6.112). Что касается знака у / , то мы уже знаем из § 6.7, что он всегда положительный. Имеем Аа\±
х\ — I - ip = const.
(6.142)
Итак, поверхности равного потенциала в полостях оболочек представляют собой в общем случае сопряжённые семейства однополостных и двуполостных гиперболоидов. Ра нее, в § 5.12, это было доказано для частного случая элементарной оболочки с формой фокалоида. Семейства однополостных и двуполостных гипер болоидов разделены асимптотическим конусом второго порядка (рис. 40) AiX± i
xl -
2
А, х
= 0.
На поверхности этого конуса / - (р = 0; при переходе от двуполостных к однополостным гиперболоидам мы переходим из области больших <р (где / - <р < 0) в область малых <р (где / - <р > 0). Рис. 40. Семейства однополостных Сила притяжения перпендикулярна к уровенным и двуполостных гиперболоидов, раз поверхностям, и при переносе материальной точки по делённые асимптотическим кону любой из них работа не совершается. Поэтому работа сом ABCD. Это поверхности рав по переносу тела из любой точки асимптотического ко ного потенциала в полостях произ нуса на бесконечность будет одной и той же, равной вольных (кроме гомеоида) однород 1(п). ных или слоисто-неоднородных эл В области однополостных гиперболоидов сила липсоидальных оболочек. Стрелками притяжения направлена к поверхности оболочки (и чем показано направление сил для случаближе к поверхности, тем больше сила), а в области ев А1 > 0, А < 0 и Аз < 0 двуполостных — направлена от неё. Этот эффект двух направлений сил существует внутри любой слоисто-неоднородной оболочке, кроме гомео ида. Важно и то, что сами силы внутри эллипсоидальных оболочек из-за квадратичности потенциала (6.140) линейно зависят от координат. 2
Нет оснований заранее считать силы притяжения в полостях оболочек §еличинами второго порядка малости. У однородных оболочек величины Л ; (п) = nGp [А (1) - Ai (п)] {
182
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
(а с ними — и силы) могут заметно отличаться от нуля; влияние же неоднородности оболочек надо учитывать конкретно в каждой задаче. Одно из приложений данной теории оболочек к Земле см. в § 15.1.
§ 6 . 1 1 . Свойства п о т е н ц и а л о в слоисто-неоднородного эллипсоида 1. Докажем, что потенциал эллипсоида во внешней точке (6.121) удовлетворяет уравнению Лапласа
(6.143)
-0.
Вначале из уравнения (6.122) находим, что 2x
t
2
afa
(т) + и
1 - Е
(6.144)
2'
(6.145)
где для краткости обозначено
Е ^ Е
к b=i (^afc (m) + и) Дифференцируя <^ нешн из (6,121) по Xi и учитывая равенство (6.122) и то, что m (и = А) = 1 (это даёт возможность считать А постоянной при взятии производной от интегралов типа В
оо
1
J du
J
2
2
Ф (тп ,г/) dm ), получим
2
Л
т' (и)
dtp* dxi
2
2
-f
J
2
2
dm p (ra ) x
2
J du j p (ra )
-27rGaia (i3Xi
2
2
dm
2
ai (m) x [Д (m, w) (a a (m) -f г*)]
2
Y[ &i (m) [A (ra, u) {a a
1
+
(6.146)
(m) + u)]
2
m' (u) Дифференцируя по х выражение (6.146) и учитывая формулу (6.144), а также равен ства c*i(l) = 1 и т(а = А) = 1, находим (опуская элементарные промежуточные преоб разования) г
/ _!
2
а У?внещн
= —2irGaici2
еи 2
У А
Д (1, и) (а + «)
у
*2
У Д ( т , « ) (а?а? ( т ) 4- «) 2
т (и)
\
2
П а , ( т ) -*Цр(т ) 1
2
dm
am
-
2
Д (га, м) (а?а ( т ) + гх) т=т(и)
д\ Xi OxiA(l,\)
Ро ( а + А) 2
)
(6.147) где р„ = р (т = 1). Суммируя вторые производные и учитывая равенства (которые нетрудно доказать)
6.11.
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
(а?а? (m) + u)'
^
J m=ra(it)
n=m(u)
а?а? (L) + u
Д (m, u) du
A
(
m
'
u
)
"СЛУЧИМ
— - ^ — ^ — = 47r&aia2u3 2
дх
l
A(1,A)
d
x
p
\~ «Tu Г з
2
|_ Д(т,и)
2
2
J
+
1
3
t m (u)
( д ( Ь
Д « г ( ш ) dm du \ A(m, и) I
du
ra=m(u)
p[m {u)}
Легко показать, что 3 т
/ Г Ь (
)
dp d I 1 dm du у A (га, и)
2
dm =
2
1
2(u)
rt
3 i
П М " 0
= -SL / i du
J m (u)
П^г
, 2
-%dm A (m, u) dm
+
2
(m)
2
dm (u)
dp
[ Д (m,ix) dm ] m=m(u)
du
2
2
Поэтому (6.151) можно представить в виде
£ a ^ ^
=
4 j r G a i a 2 a 3
/
P n
Д(1,А) 1
+ / 2
m (ti)
П " г М
11 dp dm -i Д(га, гг0 dra^
2
Взяв по частям интеграл в фигурных скобках, получим о 2
Х[оа{т)р £ ^ = = 4 т г С а дх]
1
а
2
а
3
Д(1,А)
(т )
J.
+
А(т,и) 3
+
I т (и)
IWm) 1
2
dm
}] }
_ А{т,и) _
2
1
184
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
Обратим теперь внимание на то, что
П <*i (m)
1
_i
Д
2
dm
(т, и) J
dm
2
\jn (и)
(6.155)
= 0. и=Х
1
2
Действительно, при и = оо имеем Д = 0, а при и = А будет тп (и) = 1, что и доказывает равенство (6.155). Оставшийся в (6.154) интеграл даёт П<*г [т {и)] -р [т (и)] 1А[т(и),и]'
Рп Д(1,А)
2
(6.156)
С учётом (6.155) и (6.156) мы приходим в (6.154) к доказательству теоремы Лапласа. 2. Докажем, что потенциал эллипсоида во внутренней точке (6.135) удовлетворяет уравне нию Пуассона =
1
(6.157)
Эх?
Учитывая равенства (6.122) и (6.144), находим первую производную 2
внутр
dXi
ОО
Цсч (m)p(m )
I
= —27rGaia2(i3 %
2
2
Д (т, и) (а а (тп) + и) I (6.158)
Па» (m)
1
d dm
l
2
2
Д (m, гг) ( а a (m) + u)
2
2
m (u) Дифференцируя (6.158) no x*, суммируем полученные производные и, учитывая равенства (6.144), (6.148) и (6.149), так же, как и выше, получаем выражение для лапласиана 3
2
d ip E - g F B
1
= -^Ga
i a 2
a
*
3
a i
~ J
m
• J lU ( > P (m ) du£ Д (m,u) 2
о
+
m—m(u)
(6.159) Y[ai (m) l dm [ А (m,u)
+ / 2
m (u) Нетрудно видеть, что П « г (m)
i
1
dm
(6.160)
= 0.
2
Lm(u)
гх=0
Действительно, при и = оо имеем Д
1
= 0, а при и = 0 будет Д = a^a^Ylat
(тп), 1
вследствие чего ' з
U
d dm
2
что и доказывает равенство (6.160).
он {тп)
= 0, Д(т,0)
§ 6.12. НЕОДНОРОДНЫЕ ОБОЛОЧКИ И СПЛОШНЫЕ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫЕ эллипсоиды
185
Окончательно получаем 3
П«г
2
д у>внутр
Е1 — 2 —
= ^гОцадо
[т (и)]
Д [ т (u),t*]J
= -4TTG/9,
(6.161)
и=0
что и доказывает теорему Пуассона. ЗАМЕЧАНИЕ 9. Потенциал у? эллипсоида является непрерывной функцией координат ж» во всём пространстве. ЗАМЕЧАНИЕ 10. Потенциал (р эллипсоида всюду в пространстве имеет непрерывные первые производные. В частности, величины dip/dxi не имеют разрыва на границе эллипсоида, что следует из сравнения выражений (6.146) (где нужно положить А = 0) и (6.158). ЗАМЕЧАНИЕ 11. Потенциал эллипсоида и его первые производные на бесконечности обращаются в нуль.
Итак, найденные потенциалы слоисто-неоднородного эллипсоида имеют все свойства обычного ньютоновского потенциала.
§ 6 Л 2 . Н е о д н о р о д н ы е оболочки и с п л о ш н ы е слоисто-неоднородные э л л и п с о и д ы с с о ф о к у с н ы м расслоением слоев В § 5.12 были рассмотрены однородные фокалоиды. Но формула (5.93) также выражает замечательные свойства и неоднородного софокусного распределения масс. Имеет место важная (и неизвестная ранее) Теорема 7. При софокусном распределении масс внешние потенциалы соосных слои сто-неоднородных толстых оболочек а также сплошных эллипсоидов относятся друг к другу как массы этих тел. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Исходим из формулы (5.84), записав её для краткости в виде оо
^ ф о к (™>) = §<2еШф к • ft, где К = 0
j
2
F ( m , v) dv.
(6.162)
2
A(m )
Подставим это выражение вместо dL (га) под знак интеграла из (6.114) и применим метод синтеза элементарных оболочек. Тогда внешний потенциал толстой оболочки (Кщ — объём эллипсоида с поверхностью S (га)) находим в виде (ср. с (6.138)): m
2
YW™ (m) = | G J
2
dm p(m )-£^[V (m)-TZ}. 3!l
(6.163)
Полагая теперь стратификацию софокусной и опираясь на доказанное нами ранее важ ное свойство (5.91) независимости величины R от га, приводим (6.163) к виду оо
¥>внешн(т) = | ( ? М ( т о ) -
2
j
F(m ,v)dv
= ^GM{m)-R.
(6.164)
A(m»)
Здесь масса толстой оболочки или сплошного эллипсоида М (т) равна 2
т М(т)=
j W
Hiin
2
2
dm p(m )-£^[V }. 3n
(6.165)
186
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
Тем самым мы доказали, что соотношения (5.95) распространяются и на случай сло исто-неоднородных толстых и тонких фокалоидов , а также (при т = е\ (1)) и на сплошные эллипсоиды с софокусной стратификацией. • Формула (6.164) по внешнему виду в точности совпадает с потенциалом однородно го эллипсоида (5.84). Следовательно, при софокусной стратификации соосных оболочек и сплошных слоисто-неоднородных эллипсоидов значение потенциала этих тел на фиксиро ванную внешнюю точку Х{ зависит только от полной массы тела М (га), но совершенно не зависит от самого закона распределения масс р ( г а ) в них. Другими словами, гравитаци онный потенциал вне слоисто-неоднородного эллипсоида, состоящего из софокусных слоев, никак не изменится при любой перестановке этих слоев и, кроме того, потенциал остаётся неизменным даже при выравнивании плотности вещества в нём до однородного состояния. В этом отношении софокусные эллипсоидальные слои ведут себя совершенно так, как и простые сферические слои. В частности, когда неоднородная, вообще говоря, эллипсоидальная оболочка с софокусным расслоением (и с граничными значениями параметра га ^ га') получается из сплошного эллипсоида с массой М путём выреза из него соосного внутреннего эллипсоида массой М ' , то имеет место обобщение формулы (5.97): т
ш
3
2
^фок fa) — ^внешн (я?)
ML м
1 _
(6.166)
Итак установленные в § 5.12 теоремы полностью переносятся и на слоисто-неод нородные оболочки и эллипсоиды с софокусной стратификацией. Поэтому, например, при равенстве полных масс и конгруэнтных (или софокусных) граничных поверхностях внеш ние потенциалы однородного эллипсоида и слоисто-неоднородного эллипсоида (при любом распределении масс в последнем, лишь бы он имел софокусную стратификацию!) будут равны. Теорема 7 значительно расширяет рамки классической теоремы Маклорена — Лапла са, ведь в последней говорилось лишь о притяжении сплошных однородных софокусных эллипсоидов.
§ 6.13» П о т е н ц и а л ы слоисто-неоднородных эллипсоидов в ином виде Найденным выше потенциалам слоисто-неоднородного эллипсоида (6.121) и (6.135) можно придать более компактную форму. С этой целью введём следующие обобщения величин (5.99) и (5.100): 0 0
з 2
A [m,p(m )]=a a a Y[a (m) i
l
2
3
[ J
i
i
d
— " A (m, и) • (а а 2
(6.167) 2
(га) + и)
2
ц(т ) 2
l[m,p(m )}
з
= aia a J j M m ) 2
3
1
7 J
3
d д ^ ^ у =
A
2
i
т
т2
[ >**( )]
a
a
i i
ш
( )>
1
M(m )
(6.168) 2
где р (га ) находится из уравнения (6.127), и составим выражение з 2
R [ г а , ц ( г а ) ] = I [т,р
2
(га )] - £
1
Д
2
2
[га,// ( г а ) ] х .
(6.169)
Тогда потенциал элементарной эллипсоидальной оболочки (вне и внутри) в общем случае имеет вид
6.13.
187
ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ В ИНОМ ВИДЕ
2
2
2
б^внешн (ж) = TTGdm p (m ) - ^ r R fm, / i (m )l , (6.170) dm* а потенциал во внешней и во внутренней точках слоисто-неоднородного эллипсоида можно записать одной формулой 1 2
2
2
(p(x) = nG J dm p(m )-^R[m,u(m )].
(6.171)
о Конкретно, потенциал во внешней точке мы получаем при / i ( m = 1) = А,
(6.172)
а для случая внутренней точки
/
i
(
m
=
l)
=
=
0.
(6.173)
Легко убедиться, что в силу уравнения (6.127) 2
•£.R[m,fi(m )}
=0,
(6.174)
поэтому при дифференцировании функции (6.169) в подынтегральном выражении (6.171) следует принимать во внимание лишь явную зависимость этой функции от параметра га. Взяв по частям интеграл (6.171), получим 1 2
2
<р(х) = тгС [р (т ) R [m,/* ( m ) ] ] ™ : ; -*Gj
2
£^R
2
[ТПФ ( т ) ] dm .
о Но при т = 0 величина /л (0) = о о , поэтому / (0) = Ai (0) = 0 и проинтегриро ванный член будет равен /э (1) • R [1,^(1)]. Последнее выражение представляет со бой хорошо известный потенциал однородного эллипсоида (как во внешней, так и во внутренней точках), конгруэнтного с внешней граничной поверхностью слоисто-неодно родного эллипсоида, причём плотность этого однородного эллипсоида равна плотности на границе неоднородного. Таким образом, п
1 {0)
(р(х) = <р (ж)
2
- nG [ -%R J dm о
\m,fx(m )]
1
p (m-i) n
2
dm ,
(6.175)
где для внешней точки в качестве первого члена следует взять потенциал (6.1) и учесть ра венство (6.172); для внутренней точки — потенциал (6.11) и нижний предел для /х из (6.173). Это и есть искомая форма записи потенциала слоисто-неоднородного эллипсоида. Представление потенциала в виде (6.175) удобно, так как: а) полный потенциал разбит на две части, из которых первая хорошо известна (потен циал однородного эллипсоида) и даже исчезает при р (m = 1) = 0; в последнем случае п
1 2
2
<р(х) = - т г С [ - ^ г Я \т,и (т )] dm ] J dm z
(6.176)
188
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
б) второй член в (6.175) содержит производную dp/dm?\ для однородного эллипсоида член (6.176) исчезает; в) при нахождении сил, дифференцируя у?, можно сразу проникать во втором члене под знак интеграла; так, для сил внутри эллипсоида 1 внутр
=
dXi
-2irGxi
(6.177)
Подчеркнём, что слагаемые в (6.177) могут иметь как разные, так и одинаковые знаки. Если плотность в эллипсоиде распределена по закону 2
2
n
р ( т ) = ро (1 - m ) ,
п > 0,
(6.178)
то выражение для потенциала принимает вид 1 2
V>(x) = nGpon j
(l-m )
7 1
"
1
2
2
R(m^(m ))dm .
(6.179)
о В заключение приведём выражения для величин (6.167) и (6.168), в которые входят неполные эллиптические интегралы : 4
2 a i a a n a i (га) 2
3
2
Ai (m, fx (т )) = 2
2
2
q ( a - a otl (ra)) 2a\a2a Y[oLi A
2
(m,u(m ))
2
1
= 2
[Ffod-Efi/,*)],
(6.180)
(ra)
3
2
3/2
2
q q' (af - a§a§ (ra))
3/2
2
E(^W F(^)-,
^ucosu V l — q sin v 2
(6.181) 2а\а аз]\аг
(ra)
2
2
A
3
(m,u(m ))
l
=
2
9
2
tg vyjl - q sin
2
' (a?-alai(m))
(6.182)
v - E [y, q)
3 / 2
где af - a\<x\ (ra)
v (m) = arcsin
2
fi (га ) -b af
2
a - ajal (ra)
, q (ra) =
^
2 =
1
_
g
af - a § a | (ra)'
2
(6.183)
Вспомогательные величины: 2
2
/u (ra ) + a§a§ (га) c o s
v
=
5
7—
/x (ra ) + a\ot\ (ra)
>
1
~ Я snr ^ =
/~~«T
\i (rrr) +a\
5
.
(6.184)
pi (rrr) + af
С помощью найденных величин получим также /
г
/ 2\\
2
2 a i a a r a a (га) а (га) 2
3
2
3
2
/ (т, /х (га )) = Vaf - а | а | (га) Сами эллиптические интегралы даны в (6.23). 4
Определение неполных эллиптических интегралов дано в (6.23).
F (t/, д ) .
(6.185)
6.13. ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ В ином ВИДЕ
В важном частном случае эллипсоидов с подобными <*2
189
5
слоями
(га) = а з (га) = 1 2
выражения (6.180)—(6.185) хотя и упрощаются, однако зависимость в них от /х (га ) не исчезает: 2
/(m,M(m )) =
Аг ( т , р М ) =
H ^ l ^ F
Р
,
.
M
(6.186)
«> - В
(6.187)
«)],
Я (<*? - а § ) 2а1а2^з
2
Л (ra,/i(ra )) =
E ( i / ) - g ' F ( ^ g ) - g ,2 2
2
9
2
2
У (а -а )
3 / 2
2 a
M
9
й
;°
2 a
Sin I/ COS f V 1 — q sin 1/ 2
2aia2d
2
A (m, (ra )) = 3
:
) 9
2
3
2
t g ^ l - g W ^ - E M
3 / 2
(6.188)
2
(6.189)
(a?-a|)
где
a -Q§ (m ) + of
2
2
n - n
2
i/ (m) = arcsin
q'
= l - q \
2
2
\a\-aV
(6.190)
Вспомогательные величины: 2
_ ц (m ) + a% COS f = 2
г . г
1 — q sin ^ (m ) + a?' 2
i/ =
M + °i // (m ) + 2
(6.191)
2
Здесь ц (m ) находится из уравнения 3
x?
ra
(6.192)
В ещё более частном случае однородного эллипсоида, полагая га = 1 и а (га) = А, из (6.180)—(6.185) получим известные проинтегрированные выражения для величин / и Ai из (6.16) и (6.18)-(6.20). Замечания Наряду с хорошо известными источниками, отметим замечательную статью Феррерса [58] о потенциалах, малодоступную для читателей. Феррерс расслаивает эллипсоиды на гомеоидальные слои, и поэтому его работа не пересекается с нашей. Обзор некоторых результатов Феррерса можно найти в [37]. §§ 6.1,6.2,6.3 и 6.4. Классический материал, но есть и новые результаты. У Чандрасекхара [47], например, отсутствуют формулы для внешнего потенциала однородного сфероида через элементарные функции. У Г. Н. Дубошина [15] эти формулы есть, но даются они в другой, нежели у нас в § 6.2, форме. Новое и в § 6.3, где через элементарные функции получены потенциалы однородных иглообразных эллипсоидов. 5
Напомним, у нас всюду принято, что ai (т) = 1.
190
ГЛАВА 6. ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ эллипсоидов
Насколько нам известно, третье из важных неравенств (6.73)—(6.75) ранее в литературе не было доказано. Неравенства (6.81) также будут нужны для приложений метода. § 6.5. Поверхности равного потенциала внутри однородного эллипсоида рассматрива ются (но менее детально, чем у нас) и в книге Аппеля [8]. Другие результаты параграфа и, в частности, задачи 6.7 и 6.8 о геометрических местах точек равного потенциала и притяжения на поверхности однородного эллипсоида — новые. Первоисточники: [20] и [21]. § 6.6. Дисковый предел однородного эллипсоида часто используется в астрофизических приложениях. Диск, получаемый из эллипсоида в софокусном пределе, понадобится нам и далее. Первоисточник: [21]. § 6.7. Имеет вспомогательное значение. Первоисточники: [20] и [21]. § 6.8. Идея метода синтеза взята из статьи [69]. Некоторые намётки метода синтеза есть и в книге М. Ф. Субботина [45]. §§ 6.9-6.11. Формулы для потенциалов слоисто-неоднородного эллипсоида были вы ведены автором с целью исследования Е-галактик, но они имеют и общетеоретическое значение. Одно замечание. Как уже говорилось, рассматриваемые слоисто-неоднородные эллип соиды отличаются от неоднородных эллипсоидов Феррерса. И хотя, как известно, любую аналитическую функцию можно представить степенным рядом, тем не менее о связи между распределением плотности в слоисто-неоднородном эллипсоиде и в эллипсоиде Феррерса можно говорить только в асимптотическом пределе бесконечных рядов. Поэтому изучение слоисто-неоднородных эллипсоидов — это большая самостоятельная и интересная задача. Изучение потенциалов в полостях оболочек и тел представляет не только теоретический интерес, но и важно для приложений в физике и планетологии. Так, формула (6.140) приме няется в § 15.1 для оценки гравитационного влияния мантии Земли на её внутреннее ядро. Первоисточники: [21] и [3]. § 6.12. Один из ключевых моментов нашего подхода. Все результаты параграфа новые. Софокусные слои обладают важными гравитационными свойствами. Теорема 7 значитель но расширяет рамки теоремы Маклорена — Лапласа (в последней говорится лишь о при тяжении сплошных однородных софокусных эллипсоидов, а у нас — это и элементарные эллипсоидальные оболочки разного (!) типа, однородные и слоисто-неоднородные толстые оболочки, наконец, однородные и слоисто-неоднородные сплошные эллипсоиды). Открыва ется перспектива для нахождения эквигравитирующих тел не эллипсоидальной формы. Первоисточник: [21]. § 6.13. Представление потенциалов слоисто-неоднородных эллипсоидов в новой форме расширяет область приложений теории. Первоисточники: [20] и [21].
ГЛАВА П О Т Е Н Ц И А Л Ы
7
Т О Р А
И
К У Б О И Д А
Притяжение этих тел до сих пор оставалось неизученным. Дело не в отсутствии интереса (с тором то как раз наоборот!), а в математической сложности этих задач.
§ 7.1. П р о с т р а н с т в е н н ы й п о т е н ц и а л однородного кругового т о р а
Рис. 41. Изображение половины кругового тора Круговой тор образуется вращением вспомогательной окружности радиуса го вокруг оси симметрии Охз (рис. 41); осевая окружность тора имеет радиус До и подразумевается, что то ^ # 0 » Уравнение его поверхности есть квадратичная функция координат точки 2
(R-R ) 0
+ xl = rl
R = yjx*+a%,
(7.1)
так что объём тора 2
V a = 2тг г2Ло. (7.2) Тор — фигура с красивой пространственной симметрией. С точки зрения топологии круговой тор представляет собой произведение двух окружностей. Диаметр вспомогатель ной окружности, параллельный оси гг , разделит эту окружность на два полукруга и часть поверхности тора, которая образуется левым полукругом, имеет отрицательную гауссову кривизну, правым — положительную. Тор обладает интересными, но до сих пор малоизученными гравитационными свой ствами* . В литературе, кроме [21], почти ничего нет на эту тему. Правда, ещё Риман посвя тил притяжению тора работу [42], где, однако, не учёл в задаче Дирихле граничные условия и не довёл до конца разложение потенциала тора в ряд Фурье. Zuge [72] выразил потенциал TOp
3
1
Краевая задача для проводящего тора в электростатике хотя и рассматривалась [32], но в силу уровенного характера слоя электрических зарядов она несравненно проще, чем проблема гравитирующего тора.
192
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА и КУБОИДА
тора (и вертикальную компоненту его градиента) через двойные интегралы, но далее не пошел; чёткой и сколько-нибудь полной картины исследования у него нет, эллиптические интегралы (как у нас) Zuge не использует, потенциал не изучает и ссылку на Римана не даёт. Наше исследование начнём с задачи, имеющей точное решение. 7.1.1. Потенциал однородного тора на оси симметрии. Прямой метод Заполним тор однородным веществом плотности р; потенциал на его оси симметрии Ох$ выражается двойным интегралом = 2nGp f
r
j
d
X
3
d
r
, 2
-ro&
\ Л * з - * з ) + г'
(7.3)
2
причём внутренний и наружный радиусы кольцевого сечения тора на высоте х' таковы: г
2
7
Я1,2 = Я о ± \ А о - * з -
4
(-)
Внутренний интеграл в (7.3) легко берётся m 2
UR
Ч> ( х ) = 2nGp J 3
2
(X' -X )
+
2
3
- ^Я
3
2
+ (х -х ) 3
2
dx' . 3
(7.5)
3
Делая замену, =
r
#з o sin 0, R\ 2 = Ro i после простых преобразований приводим (7.5) к виду
cos 0,
y
(7.6)
тг/2 (р (а?з) = 2irGpr
0
j
2
\^Jx\
4- Д 4- rl 4- 2 r (Ro cos 0 - x sin 0) 0
3
-тг/2 - yjx% 4- Rl 4- rl - 2 r (До cos 0 4- Хз sin 0) cos 0 dO. 0
Полагая во втором интеграле 0 = 7г — 9\ и отбрасывая затем индекс «I», оба интеграла можно объединить и записать выражение у? (хз) более просто
2тг ip (хз) = 2nGpr J \Jxl + R% + rl + 2r (Ro cos 0 - x sin 6) cos 0 d9. 0
0
3
(7.7)
о Далее — дело техники. Чтобы взять этот интеграл, сделаем в (7.7) замены sin0 = ^ ;
cos0=^,
1
1
До cos в - Хз sin в — I cos -0;
(7.8)
I = \JR* +#§>
где ^ = 0 4- 0, а / — расстояние пробной точки от осевой окружности тора. Важно, что dty = dO и пределы по углу ^ те же самые (0,27г), что и для угла 0. Очевидно, . iiosint/; - £ c o s V sm0 = ; cos0 = 3
и (7.7) принимает вид
Л
fi cosV>4-a;3sinV> , 0
.«о. (7.9)
7.1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА
193
2тг V? ( х ) =
2
7
3
r
ф2 _|_ 2
r
^ ° j
r
2 r / c o s ^ ( Д cos ^ + х sin V>)
+
0
0
Отсюда, в силу нечётности sin ф (и чётности cos
3
следует
7Г
AnGpRoro I j \jl
2
+ rl + 2r l cos ^ cos гр dtf>. 0
(7.10)
После элементарных преобразований в (7.10) потенциал однородного тора на оси симмет рии в интегральном виде записывается так: (р ( х ) = AnGpRoro
-f AcosV>cosi/>dt/>,
3
А =
(7.11)
Далее (7.11) можно выразить через полные эллиптические интегралы: 2
l + rl
1 f\ х
¥>( з) =
(7.12)
-z-nGpRoro Ц1 + го) /с И 2
где квадрат модуля 2
к
=
4г / 0
(го +
(7.13)
<1, 0
2
a / = у/R + х§ — расстояние пробной точки от осевой окружности тора. График потенциала тора на оси симмет рии показан на рис. 42. Его максимум — в геометрическом центре тора (г = 0 , х з = 0). Заметим, что при г < Д это ещё не аб солютный максимум пространственного по тенциала; абсолютный максимум потенциала тора при го < RQ находится, как мы вскоре убедимся, в точках особой окружности, лежа Рис. 42. Нормированный гравитационный по щей в экваториальной плоскости и располо тенциал однородного кругового тора на оси женной внутри самого тора. Только в предель симметрии Охз. Расчёт по формуле (7.12) при ном случае, когда Го = Ro и тор образуется значении параметров ~ - = -L Симметрия гравращением окружности радиусом г вокруг касающейся её оси О х з , этот особый кружок фика относительно оси ординат очевидна вслед стягивается в точку и абсолютный максимум ствие симметрии фигуры тора относительно его экваториальной плоскости хз = 0 потенциала совпадает с геометрическим цен тром тора (см. § 7.1.5). З а д а ч а 1 Л. Доказать, что на больших от тора расстояниях х$ обе формулы (7.12) :« (".18) имеют нужную асимптотику (М — масса кругового тора): ()
0
0
тора
Мтора G <£тора ( Х ) 3
Z3
'
Мтора =
Z
2ir r£Rop
(7.14)
Решение. При больших х величина А из (7.11) мала и раскладывая радикал под инте гралом в ряд и удерживая члены до первого порядка по А включительно, находим 3
194
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА И КУБОИДА
2
4 * С , Я Ь п . | jcos^di,=
n
2
C x
f°
R
=¥ ^ ,
(7.15)
О что и требовалось доказать. Т З а д а ч а 7.2. Доказать, что при г —> 0, когда тор вырождается потенциал (7.12) принимает вид
в тонкое
0
у=
2
G
^
R
»
=
М
т
о
р
а
С
кольцо,
(7.16)
:
где и = 7TTQP — одномерная плотность колечка. Этот результат — частный случай известного нам выражения (3.4). Потенциал тора на оси симметрии (7.12) можно записать и более компактно. Для этого представим квадрат модуля (7.13) в виде
и тогда, с учётом известных формул преобразования эллиптических интегралов (2.22), по тенциал (7.12) примет более удобный вид тора (Д%) =
|тгб7>гоДо
+
B
K
£
(i *) (*)"(i"*) ( )
f
( 7 Л 8 )
где модуль к дан в (7.17). При заданной массе тора формулу (7.18) можно записать и так:
^ н ^ { ( Н
Е
к
( ' ) - ( Н
® } '
к
' -т-
(
7
л
9
)
7.1.2. Пространственный потенциал однородного тора: нахождение через круговые диски Напомним, что фигура кругового тора образуется вращением окружности радиусом го вокруг оси симметрии О ж . Радиус его внутренней осевой линии равен До ^ го (см. рис. 41). В сечении тора плоскостью х' = const < г образуется широкое круговое кольцо, внешний и внутренний радиусы которого даны в (7.4). Через вспомогательный угол 0, такой, что х = ro sin 0, имеем 3
3
0
3
о i Го cos 0.
(7.20)
Толщина выделенного элементарного кольца равна dx = r cos 6dQ. Заполним тор однородным гравитирующим веществом плотности р, тогда поверхностная плотность выделенного элементарного плоского кольца будет равна о — р ro cos 0d6. Вклад в потенциал тора на пробную точку ( г , £ з ) — причём, подчеркнём, пробная точка по отношению к тору может быть как внешней, так и внутренней! — от такого широкого кольца даётся разностью потенциалов от однородных 3
0
7.1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА
195
круговых дисков с радиусами R\ (в) и R (0). Таким образом, развиваемый здесь подход к потенциалу тора опирается на знание пространственного потенциала однородного круглого диска радиусом R\ (0), расположенного на высоте х' . Согласно (9.56), потенциал такого диска в точке (г,хз) выражается через стандартные полные эллиптические интегралы: 2
3
2
Слиска (Г, Х ) =
2
{ [с + 2 ( Л - Г )] К(к )
3
+
1
у/а — с
(7.21) a—b
2
+ (а - с) Е (А*) - 2 ( х - го sin в) П 3
где величины а, Ь, с таковы: a = 2(r
2
3
( *) = ±у(г
2
2
+ (x -r sm0) ); г 2
o
+ (*з "
+ (х
3
го sin в) - Д?± 2
- г sin 0 ) 0
2
- Д?)
( 7
+ 4Д
2
(х
причём а ^ 6 > с. Стандартные полные эллиптические третьего рода имеют вид:
2
3
2 2 )
2
- г sin
в) ,
0
интегралы
первого, второго и
2 d ( P
К(*)= / . . ; Е(*) = J y/l - к sin у? о
2
/
Jl-k**m tpdkp;
2
(7.23)
7Г
2
П[п,*]= / ^J (1 ( l ——nn sir s i n
2
2
Модуль у всех эллиптических интегралов в этом выражении один и тот же:
( r - ^ + fa-n.eh.*)' 1 + /с'
*
2
(r + ^ i ) 4 - ( x - r s i n ( 9 ) 3
(
у
2
0
Итак, мы рассматриваем тор состоящим из «стопки» элементарных широких круг лых колец с поверхностной плотностью а = pro cos0d0 и со специально подобранными для каждого кольца внешним и внутренним радиусами (7.20). Важно подчеркнуть, что для нахождения гравитационного потенциала тора на пробную точку (г, х ) достаточно исполь зовать только потенциал внешнего элементарного диска с радиусом Ri (в) и интегрировать выражение этого потенциала по углу в в пределах 3
0 < в < 2тг. При таком способе нахождения потенциала очевидно, что в интервале - т г / 2 < в < тг/2 вклад (со знаком «+») в потенциал тора даёт внешний диск, а при
(7.25)
196
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА и КУБОИДА
тг/2 ^ в ^ Зтг/2 — уже внутренний диск, вклад которого в потенциал тора входит со знаком «—» из-за отрицательного знака cos в. Фактически, интегрируя по второму интервалу мы вырезаем из сплошного диска внутренний кружок радиусом R.2 (0). Подставляя в (7.21) выражение для Ri (в) из (7.20) и интегрируя вклад от диска по интервалу (7.25), получаем искомый пространственный потенциал тора на пробную точку ( г , х ) в виде 3
У?тора (г, Х ) _ 3
с+2
K(fci) +
R \ -
2y/2GpR r 0
{)
(7.26) + (a-c)E(fci)-2
( ^ 3 - r o s m ^
n
[
n
^ l
c
o
s
^
у/а
RQ Здесь, после нормировки на RQ, 2
2
2(r
+ (x - ro sin б ) ) 3
R\ = 1 Н—=j— cos 6\ а = Ко
Rl
п = Rl
(7.27)
a модуль кг дан в (7.24). Таким образом, потенциал тора даётся интегралами от стандартных полных эллиптических интегралов . Подчеркнём — пробная точка для найденного потен циала тора (7.26) может быть как внешней, так и внутренней. Причиной столь нестан дартной ситуации является то, что вклад в полный потенциал тора дают круглые диски, потенциал которых существует всюду в пространстве. 2
3
7.1.3. Проверка: переход в (7.26) к потенциалу на оси симметрии тора Для проверки полученного в (7.26) пространственного потенциала полезно рассмотреть известный нам случай, когда испытуемая точка находится на оси симметрии тора О х . Полагая во всех формулах г = 0, находим 3
2 (х
3
—
г sin О)* 0
; с=-2Д2; (7.28)
*' = ! , Ал = 0; К ( 0 ) = Е ( 0 ) = | . С интегралом же третьего рода П [п, 0] дело обстоит сложнее, так как в пределе г = = 0 для параметра п возникает неопределённость п = ^ . Ситуация требует отдельного рассмотрения. Прежде всего, при к\ = 0 2
Следует указать на относительную простоту развитого здесь метода, основанного на представлении тора «стопкой» плоских широких колец. Попытки применить другие подходы, например, метод расслоения тора на торообразные оболочки, приводят к ещё большим усложнениям. Действительно, прямой метод, основанный на формуле (1.9), естественно разделяет потенциал на внешний и 3
197
7.1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА
П[п,0] =
(7.29) 2л/1
п
причём в данном случае, как легко видеть, lim п = т—>о г>2 , ( з - r s i n 0 ) х
(7.30) 2
o
1 +
В целом, для рассматриваемого случая потенциала тора на оси х
3
имеем
2тг , Ртора ( х ) = 27rGpr R 3
0
(х
- r sin в)
3
j
0
х
0
3
- г sin в 0
R()
cos 6d6.
(7.31)
Последний член при интегрировании исчезает, а оставшийся интеграл приводится к виду
тоа ( х ) = Р
+ A cos ^ cos ^ ch/>,
1+
4nGproR
3
0
(7.32)
1 где введён новый угол ^ и параметр Л: cos ^ -f ~ - sin -0 cos 0 -
/to
sin 0 =
lH—|-cos^;
cos# =
A =
2
2
(7.33)
R
0
Интеграл (7.32) уже легко выражается через стандартные эллиптические интегралы, и для потенциала тора на оси симметрии получим выражение
V^ropa (Хз) = ^7ГО/)Г К 0
0
1 +
р
Е(*)
(7.34)
^ 0 т- х |
где модуль эллиптических интегралов 1-2
2А ^ 1 +А
1.
(7.35)
Таким образом, на оси симметрии тора из общего выражения потенциала (7.26) мы действительно получили формулу (7.34), совпадающую с выражением (7.12), найденным выше прямым методом. График потенциала тора на оси симметрии показан на рис. 42. 7.1.4. О переходе к потенциалу тонкого круглого кольца Серьёзной проверкой формулы (7.26) является и предельный переход от объемного тора к тонкому круговому обручу при г —> 0. В этом пределе объёмная плотность р обращается в бесконечность, но одномерная плотность кольца будет конечной величиной: для этого, очевидно, следует потребовать 7гг р —> до, где — ро плотность обруча. З а д а ч а 7.3. (Поисковая.) Представить потенциал (7.26) однородного кругового тора, близкого по форме к тонкому круглому кольцу в виде ряда по степеням малого 0
2
параметра
v — -~. Получить хотя бы два отличных от нуля члена такого ряда. Но выполнить предельный переход v —> 0 к потенциалу (3.4) тонкого кольца.
Затем
198
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА и КУБОИДА
7.1.5. Тор без сквозного отверстия. Потенциал как сумма ряда Лапласа В предельном случае ro = До (7.36) тор образуется вращением окружности радиусом г вокруг касающейся её оси О х . Сквоз ное отверстие у такого тора отсутствует («муха не пролезет!») и для этой фигуры продемон стрируем два метода нахождения потенциала. Прежде всего, потенциал однородного тора и в этом случае дается известными нам выражениями: на оси симметрии эк вивалентными формулами (7.12), (7.18) или (7.19), а в общем пространственном слу чае — формулой (7.26). Заметных упроще ний в этих формулах в случае (7.36) нет. Но одна особенность у такого тора всё же есть: окружность, на которой потенциал имеет абсолютный максимум, стягивает ся у него в точку геометрического центра. Абсолютный максимум потенциала (см. рис. 43) находится в геометрическом цен тре такого тора (при го < До центр являлся точкой относительного максимума потен Рис. 43. Зависимость гравитационного потенциа циала на оси симметрии тора) и сам потен ла однородного кругового тора от на разных циал в экваториальной плоскости монотон Ro но убывает от центра. высотах — от экваториальной плоскости симКо Величина абсолютного максимума лег ко находится из (7.19): при условии (7.36), метрии. Фигура тора имеет отношение = 1. по а также х = 0,fc = 1,£"(1) = 1, хотя Цифрами отмечены значения При = 0.5 К (I) —> оо и расходится, в целом выра Ro Ro жение в фигурных скобках равно 2; следо максимум заметно смещен с оси симметрии вательно, 0
3
3
8 Автора
(7.37)
Q
Найдём в явном виде ряд Лапласа (1.17) для внешнего потенциала такого тора. Вначале определим коэффициенты Дгп- Согласно (1.19), в цилиндрических координатах ( г , х ) 3
Ro
&2п = 4пр J с1хз < j о F = r . /
2
F (г, хз) dr - J F (r, x ) dr > ; 3
lo
- P
2
n
J
о
^ ;
r
l>2
= Ro±^R*-xl
I=
(7.38) y^+:
Действуя методом индукции и обобщая на произвольное п результаты расчётов для началь ных значений п = 0 , 2 , 4 , 6 , п о л у ч и м : ч п
D
2n
-
r
R
P
0
(-1)
Тогда потенциал в сферических координатах
4
а
я
(2п)!(2п + 3)! , +
1
п
2
(
п
+
1 ) ! 2
(г, в) представляется рядом
(7.39)
199
7.1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА
^
J
, ч 2 * W ? ^ , ра(г,0)=з—р—^(-1) Д
Т о
4
2
(2п)!(2п + 3)! „ ^ o V " , , -P2n(cosg) ^ - y j . n
+
l
n
2
(
n
+
1)
2
,74m (7.40)
Важно, что в частных случаях этот ряд можно просуммировать. На оси симметрии в — 0, Ргп(1) = 1> т
.
.
М
т о р а
а
к ч
т
Л
С
о
5
2
(Ro\ \
У>тора(х ) = — J ^ — • 2^1 I 2' 2 ' ' ~ \b) 2
3
4M
TOp
aGx
J
=
(7.41)
3
Зтг (flg + z§) Эта формула действует на всей оси х$ (а не только вне сферы, объемлющей тор) и экви валентна выражению потенциала (7.18) (взятому при г о = До) через эллиптические ин тегралы от вещественного модуля. На больших х для потенциала тора (7.41) действует асимптотика 3
(7.42) В экваториальной
плоскости, когда в = ~ и r o w 1Г ( - ) - (2п)!! ' 2 п
Р Р
2
п
(
0
)
(
1
1
! !
)
ряд (7.40) даёт M
T O p a
/ i 5 3 ^ 2 I 2' 2
G
V^ropa W =
H
9
, l
, 1 , 1 , 2 ;
/'МЛ 4 I Т~ J 1
П
А
^-
~ 4 3
)
с асимптотикой на больших расстояниях + & ( * ) ' + _.).
,7.44)
Формула (7.43) работает только вне объемлющей данный тор сфер. Задача 7.4. Выразить в (1Л\) потенциал тора через полные эллиптические инте гралы от вещественного модуля. З а д а ч а 7.5. (Поисковая.) Рассмотреть методом разложения в ряд внутренний по тенциал тора. 7.1.6. Представление эллиптического интеграла третьего рода через неполные интегралы первого и второго рода При численных расчётах потенциала тора по формуле (7.23) полный эллиптический интеграл третьего рода представляет некоторые неудобства. Но его можно выразить через неполные интегралы первого и второго рода из (7.23). В зависимости интервала, в который попадает параметр п, третьего интеграла возникают три варианта замены. Первый вариант: 1 < п < оо.
(7.45)
200
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА и КУБОИДА
Делаем замену 2
sin в = i ;
sin в =
71
; 0 = arcsin -7=; у/п
у/п
tg 0 =
1
. , \Jn - 1
(7.46)
и в итоге 1
П [n, fci] =
=
{Е (*0 F (0, к\) - К (An) Е (0, к )} .
(7.47)
г
faВторой
вариант: fc? < n < 1.
(7.48)
Здесь
1 2
n = 1- к
г
2
s i n 0;
,
*i
2
2
2
2
1
n
= 1 - P / n = 1 - (1 - к ) s i n 0; s i n 0 = " . ' 1 - fe г
9
v
7
(7.49)
2
x
Следовательно, (1 — n H l
M'
/1
2
—
A: ) fc
K
;2X Р К d -
= 5 - [E (fci) - К (fci)] F (0,fci)- К (*i) F (0, k[). (7.50)
Третий вариант: 2
О^п^кг .
(7.51)
Заменой 2
n =
2
fc sin fl;
sin0 = ^ ;
«1
1
t 0= g
/ - ^ — kf - n
(7.52)
- E ( h ) F (0, A*)} .
(7.53)
]l
получаем
П [n,fci]= К (fci) +
/-г {К (fci) Е(в кг) (1 — П ) [k - П ) у
И
x
7.1.7. Расчёт пространственного потенциала однородного кругового тора по найденным формулам Как ведет себя потенциал однородного кругового тора на оси симметрии, нам уже известно. Сейчас, опираясь на формулу (7.26), выясним поведение потенциала тора в пространстве вне оси симметрии. В экваториальной плоскости тора численный расчёт по формуле (7.26) приводит к результату, показанному на рис. 44. Немонотонный характер зависимости потенциала от радиального расстояния можно, конечно, было ожидать, если вспомнить поведение потен циала для тонкого круглого кольца из рис. 26, когда потенциал в его геометрическом центре был значительно меньше, чем вблизи обруча. Однако для потенциала тора характерно отсутствие той сингулярности, которая существует на одиночном тонком кольце\
7.1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА
Рис. 44. ременной
Зависимость г
го ^
^
от певнешнего
Ro ^ ^ | ) ^
201
и внутреннегравитационных
потенциалов однородного кругового тора в его экваториальной плоскости. Расчёт выполнен по формуле (7.26) при хз
=
0 и
=
|.
Кружком
показано сечение рукава тора. Верти кальным пунктиром отмечены места входа пробной точки внутрь тора и выхода из него
Из рис. 44 видно, что в экваториальной плоскости тора при движении пробной точки по T.izn>cy от центра ( х = 0,г = 0) потенциал сначала монотонно возрастает до некоторого максимального значения (абсолютный максимум .). Заметим, возрастание потенциала (при - < Ro, в случае же ro = Ro — тор особый, см ниже!) начинается ещё вне тора и продолжается на первых порах и при входе в него, причем точка этого максимума находится 3
1
и при выходе за пределы фигуры продолжает уменьшаться до нуля на бесконечности. Так как сила притяжения направлена всегда в сторону роста гравитационного потенциала, то очевидно, на интервале, где потенциал тора растёт, эта сила направлена от центра к осевой круговой линии тора; там же, где потенциал убывает (на рис. 44 — правее точки максимума), сила притяжения направлена в обратную сторону — к оси симметрии тора О х з . В точке внутри тора, где потенциал достигает своего максимума, сила притяжения тора в экваториальной плоскости обращается в нуль (точка невесомости!). Дополнительные сведения о потенциале тора находим на рис. 45, где представлены результаты расчётов по формуле (7.26) вдоль нескольких горизонтальных срезов. Понятно, что все эти кривые лежат ниже графика потенциала, вычисленного в точках экваториальной плоскости тора. Для более полной картины, весьма интересно рассмотреть меридиональные сечения некоторых эквипотенциальных поверхностей однородного кругового тора. Рассчитываем их также по общей формуле (7.26). Отметим те вычислительные трудности, которые можно встретить при расчётах по тенциала тора из-за присутствия в (7.26) полного эллиптического интеграла третьего рода. Действительно, как можно показать, структура параметра п из (7.27) у этого интеграла та кова, что при нахождении пробной точки внутри объемлющей данный тор сферы радиусом Ro + го для некоторых значений т? данный параметр интеграла п =
Q
~ ^ обращается в
Ro единицу, и тогда сам интеграл П [n, fci] расходится. Вне данной объемлющей сферы расходимостей не возникает. З а д а ч а 7.6. (Поисковая.) Выяснить более тщательно ситуацию с расходимостью интеграла третьего рода в формуле для потенциала тора (7.26), Конкретно, надо найти те геометрические места, где п(9) = 1. Как зависит число случаев п = 1 от расположения пробной точки внутри объемлющей сферы? Как такие сингулярные точки соотносятся с эквигравитирующими элементами однородного кругового тора, найденными в § 7 ?
202
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА И КУБОИДА
Рис. 45. Зависимость гравитационного потенциала однородного кругового тора от расстояния до оси на разных высотах от его экваториальной плоскости симметрии. Цифрами на кривых отмечены Ко
значения
Фигура тора имеет отношение Ко
= ~ . Вертикальными штриховыми линиями отмечены Ко
о
места входа пробной точки внутрь тора и выхода из него в экваториальной плоскости. Четыре верхние кривые представляют поведение потенциала как вне, так и внутри тора. Точка максимума попадает на них внутрь фигуры. Две нижние кривые представляют потенциал исключительно вне тора 2а А
Рис. 46. Меридиональные сечения экви потенциальных поверхностей однородного
1
Го
кругового тора — Ко
=
Цифрами
1,
о
2, 3, 4 обозначены кривые, соответствую щие значениям нормированного потенциала £ = 0.92, 0.76, 0.6, 0.44. Кружки
|тг<2рДог
0
жирной линией — сечения плоскостью ри сунка самого тора. Внутрь тора попадают из рассчитанных только эквипотенциаль 1 (полностью), и часть эквипотенциали под номером 2
Эту трудность с расходимостью интеграла третьего рода можно обойти, не включая в расчёт указанные точки (кроме того, интеграл третьего рода можно, как показано выше, исключить из выражения потенциала тора, выразив его через неполные интегралы первого и второго рода). В итоге расчётов, получаются кривые равного потенциала, показанные на рис. 46. Более подробную информацию об эквипотенциалях тора можно получить из рис. 47. Вблизи тора они имеют сложную форму. Но чем дальше расположена эквипотенциальная поверхность, тем сильнее округляется её меридиональное сечение. На рис. 48 показано изменение потенциала вдоль «ободка» сечения рукава кругового тора. На этом ободке потенциал имеет максимум в точке, ближайшей к оси симметрии тора.
203
7.1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА Рис. 47. Меридиональные сечения экви потенциальных поверхностей однородно го кругового тора. Как и на рис. 46, браГо 1 лось отношение — = Цифрами от 1 Ко о до 17 обозначены кривые, соответствую щие значениям нормированного потенци ала
£
- 0.92, 0.88, 0.84,
0.80,
^nGpRoro 0.76, 0.72, 0.68, 0.64, 0.60, 0.56, 0.52, 0.48, 0.44, 0.40, 0.36, 0.32, 0.28. Жирные круж ки — меридиональные сечения самого то ра. Внутрь тора попадают (полностью) эквипотенциали 1 и (почти полностью) 2. Разомкнутость внешних кривых на ри сунке — кажущаяся
• л G pr R 0
Q
0.8 0.6 0.4 0.2
Рис. 48. Зависимость потенциала на по верхности меридионального сечения од нородного тора от угла в
О
0.5/г
1.5*
2л
в
7.1.8. Обобщённый гомотетический слой на круговом торе Интересен вопрос об обобщённом гомотетическом слое на круговом торе. В § 5.13.1 мы рас сматривали обобщённые слои, но в конкретных примерах ограничились лишь выпуклыми телами. С тором, как известно, ситуация иная: одна половина его поверхности имеет всюду положительную гауссову кривизну, а другая — отрицательную. Пусть центр гомотетии совпадает с точкой симметрии тора (рис. 49). К поверхности тора (7.1) проведём касательную в точке (г',Хз). Уравнение этой касательной (г' - R ) г + х' х 0
3
- ROT' + R* - rg = 0,
3
(7.54)
а её расстояние от начала координат I = r + Rocos6. 0
(7.55)
Следовательно, плотность обобщенного гомотетического слоя на круговом торе будет равна а [в) = \р ( г + Ro cos в). 0
(7.56)
204
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА И КУБОИДА
Рис. 49. Меридиональное сечение обобщённого гомотетического слоя на круговом торе (показано пунктиром). В правой «лунке» толщина слоя положительная, в левой — отрицательная
Обратим внимание на то, что толщина слоя в одних точках поверхности положительная, в других же — отрицательная. Для проверки, интегрируя по всей поверхности тора плотность (7.56) и учитывая, что кольцевой элемент площади есть также функция угла в dS = 2тгг ( Д + г cos в) d6 (7.57) находим, что масса М данного слоя оказывается равной, как и следовало ожидать, массе исходного однородного тора М — 27г г Д /9. Форма этого слоя показана на рис. 49. З а д а ч а 7.7. (Поисковая). Найти гравитационный потенциал обобщенного гомоте тического слоя на круговом торе. Указание. Первый способ. Потенциал однородного тора (7.26) следует подставить в пра вую часть уравнения (5.115). Но потенциал слоя можно искать и вторым методом, подставляя его поверхностную плотность (7.56) в интеграл (122). Второй способ труднее первого. 0
0
0
y
с л
2
2
т о р а
0
§ 1.2. В н е ш н и й п о т е н ц и а л однородного кругового тора. Решение первой краевой задачи Тороидальные координаты (<7, т, в) связаны с цилиндрическими формулами shr _ sin <т . , х = а , (7.58) г = аспт — cos о chr — cos о где а = у/Щ - 7*о — масштабный множитель, 0 < т < оо, -7г ^ о ^ 7г. Семейство торов задаётся уравнением л
3
2 2
(r-acthr) + ^
=
(7.59)
sh г С учётом азимутальной симметрии фигуры уравнение Лапласа принимает вид до
dip dtp shr shr + А = 0. дт chr — cos а дт chr — cos о до
Переменные с и г здесь разделяются с помощью замены
(7.60)
205
7.2. ВНЕШНИЙ ПОТЕНЦИАЛ КРУГОВОГО ТОРА. РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
<р = Ф (а)Ф (т)у/2сЬт - 2 cos ст. (7.61) После разделения переменных и решения дифференциальных уравнений выясняется [32], что уравнение Лапласа допускает бесконечное множество решений вида 1
1
ip = \/2chr - 2coscr [М cos па + N sin па] P n
п
n
n
где M
n
и i V — постоянные, n = 0, 1, 2, ... , а Р n
(chr),
(7.62)
" 2
— сферические функции Лежандра
г
П
г
~2
первого рода. М и АГ находим из граничных условий задачи, в качестве которых берём значение потенциала тора (7.18) на оси симметрии. Очевидно, на оси симметрии тора т = 0, chr = l , Р ! (1) = 1. (7.63) п
П
П
~2
Тор имеет экваториальную плоскость симметрии х з = 0 и поэтому далее следует положить N — 0, так что внешний потенциал однородного кругового тора будет равен n
оо <Ртора (сг, г ) = ^TrGproRo • \/2chr — 2 cos а •
M cos пет • Р n
г
(chr).
(7.64)
п - *
п=0
Коэффициенты М в (7.64) выражаются интегралами п
* - * / { ( И ( fe = ^
S
в
( * ) - ( И * ( * ) Ь £ г +
i
(
i n | . [ l - ^ c o
2 S
i
-*)*(*)}
S i t
<
7
6
5
)
2
_ I | ] " ; 2
v = 2fc / = 1,2,3....
Эти коэффициенты можно представить и в виде ряда. Для этого разложим подынте гральную функцию в Мо в ряд по степеням и и затем проинтегрируем по а. Получим
Интересно, что М можно представить ещё и в виде такого ряда 0
Остальные коэффициенты из (7.65) будут представлены рядами вида 1
м M l = 7 r
5
„ г / „ з , \T28 I /
+
75 ,,5 , 14025 , , ш Г 262144^ +
7 +
, \ ~ / '
п (
» _ ^ ( 105 ..5 , 3675 т , 110985 q , \ ^ -^(4096^ Ш 9 7 Г + 4Т9430Г '"/' и т. д., но и их можно выразить в совершенно другом виде
7
6
+
2
3
И, = V v * У* £j ^ 2
+1
4
n! 2
4 s + 2 i + 2
7
+
s (2n)! (2s)!(2s + 2 / - 2 n ) ! - F ( - l , n + ± Л - l ; L n - l 2
)
, *оч
f
2
ш 8
(
7
6
9
)
- в+
— " ( l - 2 n ) ( n + l)(s-(-Z-n)!(5 + 0!5!(*-n)!
—
.
(7.70) Формула (7.64) и даёт решение поставленной задачи.
206
§ 7.3.
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА И КУБОИДА
П о т е н ц и а л оболочки кругового тора
Дан пустотелый тор, имеющий поверхность (7.1) с постоянной на ней плотностью а, см. рис. 41. Обозначения § 7.1 сохраняем. Для нахождения пространственного потенциала пустотелого тора тела применим метод синтеза, сходный с тем, который применялся в § 7.1.2. В сечении фигуры плоскостью х = const ^ го (см. рис. 50) образуются два тонких круглых кольца с радиусами (7.4). Но обратим внимание, что в отличие от случая сплошного тора, сейчас внутреннее кольцо — самостоятельный элемент, который не входит в состав внешнего коль ца; следовательно, вклад в потенциал всего тела от внутреннего колечка не будет иметь отрицательного знака, как это было ранее с вкладом внутреннего диска в потенциал сплош ного тора. Вновь удобно ввести вспомогательный угол в такой, что х = rosin0; радиусы внешнего и внутреннего кольца нам известны и даны в (7.20). Будем рассматривать пустотелый тор состоящим из множества элементарных круглых колец, имеющих радиусы (7.20) и постоянную на них одномерную плотность 3
3
(7.71)
/хо = or ode.
Вклад в полный потенциал на точку ( г , х з ) от одного из таких элементарных колец, рас положенного на высоте ro sin в и имеющего радиус Ri (0), согласно формуле (3.4), будет равен Рис. 50. Сечение кругового тора плоскостью х' — const ^ Го 3
AGar Ri
^кольца (Г,#з) =
0
y/[
Rl
(0)
(в) d6
4 r f l i (0)
:К
2
+
r] + [z -roSin0]2
Vi
3
№ W
+
+
Интегрируя по всем таким колечкам, в итоге получим пространственный телого тора в точке (г, хз) в виде
2тг Рпуст. тора (Г, Х ) = 3
Ri
(в)-К(к)
:d6, (0) + r ] + x§(0)
4GOT /
—=
0
3
t* -
Г 0
S l n
потенциал
^ (7.72) пусто
(7.73)
2
где вводятся обозначения Ri (в) = Ro + r cos в, 0
х (в) = х 3
3
- r sm0, o
(7.74) 4гДх (в)
к = ^[RiW
+ rf +
xUe)
Подчеркнём, что в применяемом методе — вследствие использования уже готовых выраже ний для элементарных колец — испытуемая точка в формуле (7.73) может быть как внешней, так и внутренней по отношению к поверхности тора. З а д а ч а 7.8. Опираясь на формулу (7.73), изучить численно меридиональные сечения эквипотенциальных поверхностей (р (г, х з ) = const, гравитирующего пустотелого тора и сравнить их с теми, которые имеет сплошной однородный тор.
7.3. ПОТЕНЦИАЛ ОБОЛОЧКИ КРУГОВОГО ТОРА
207
Далее формулу (7.73) полезно преобразовать. Для этого представим эллиптический интеграл К через интеграл по переменной х и запишем (7.73) в форме 7Г
ч „ <Рпуст. ра(г,хз) =4Gerr л
ТО
0
2 2тг f , f dx J J yjA
(R +
r cos6)de
0
Q
, 2
(7.75)
+ 2 r [(До + r cos 2x) cos в - x sin в] 0
3
где Л
2
2
2
= ( Д 4- г ) + х\ +
- 4 Д г s i n х;
(7.76)
(До + г cos 2х) cos в — хз sin 0 = / cos ^ ,
(7.77)
2
0
Сделаем теперь замену
где 2
^ = 0 + 0; / = ^/(/2o + r c o s 2 x ) + x§.
(7.78)
При этом cos0 =
(fi + rcos2x)cos^ + x s i n V : , 0
, dO = dip.
3
,__ (7.79)
л
л ч
Тогда ?
г
/ о
2
2ДД г J dx dx J ± ± tp{r,x ) = AGaro J J о 0
0
о (До +
r
c
o
s
2#) cos -0 + гохз sin ф \
+
dф
}
_ _ _ _ _F у/A -f 2roZ cos ф
0
3
-
•
2
(
7 8
°)
Так как 2тг J f (cosф,smф)dф
= J [f (соБф^тф)
+ f (cosф,-smф)]dф,
(7.81)
О то вместо (7.81) имеем
2 <р(г,х ) 3
= Юаго
/
r (tfo + rcos2:r) \ j соъф J dф
2тг [ До + — -
I dx j ± J J о о
0
i 22
\JA \JA
.
0
Заменой ф = 2t внутренний интеграл может быть вычислен, и в итоге получим пустотелого тора во всём пространстве
^ . « Р (г,х ) = WGaroj-^^^^ 3
О где
а функции Л (х) и / (х) даны в (7.76) и (7.77).
(7.82)
2 г "/ cos ф +?
г
|яо + °
r
+ ^ ^ }
потенциал
( 7 8 3 )
208
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА И КУБОИДА
В (7.73) и (7.83) получен потенциал пустотелого тора во всём пространстве, т. е. как внутри оболочки тора, так и вне её. Несмотря на разный вид, обе формулы эквивалентны друг другу. Но вторая форма потенциала удобна для рассмотрения частных случаев. Рассмотрим в (7.83) два частных случая: а), предельный переход к тонкому обручу При
0
го будет
£->о,
к (it)
=
Е(£) = f•
Интересно заметить, что в этом пределе (7.85)
lim 27гго<т = //о, го—»о
и формула (7.83) действительно возвращает нас к исходному потенциалу обруча (3.4); б), потенциал на оси симметрии г = 0. В величинах (7.86) исчезает зависимость от х и после некоторых преооразовании потенциал пустотелого на оси симметрии выражается более простой, нежели (7.83), формулой:
тора
\ го
, . _ STTGOTQ V^nycT. тора \ 3) —
,
х
+1
Ro
(7.87)
•&
§
Rl)
У
З а д а ч а 7.9. Произведя в потенциале (7.87) замену о —> pdro и интегрируя его по параметру го в интервале (0, го), получить потенциал сплошного однородного тора на оси симметрии в форме (7.18). Решение. Делая указанную замену и обозначая k
—
-j-.
го = / • fc, dro — I • dk,
действительно получим искомый потенциал сплошного тора на оси симметрии (7.18): к <Лт> а Р
Ы = SnGpRol • J кЕ (к) dk = ^nGpRol {(l + к ) Е (к) ~ ( l - fc ) К (к)} . (7.88) 2
2
З а д а ч а 7Л0. Действуя обратным способом: дифференцируя выражение (7.18) по параметру го, получить потенциал пустотелого тора на оси симметрии х з (7.87). З а д а ч а 1Л\. Рассмотреть, опираясь на (7.83), потенциал пустотелого тора в экваториальной плоскости х = 0, г
7.4. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ТОРА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ СЕЧЕНИЕМ РУКАВА
209
Рис. 51. Зависимость потенциала пустотелого тора на оси симметрии от хз- Расчет по формуле (7.87) когда
I = | Д + г cos 2 х | ; 0
2
2
2
А = (До + г ) + rl - 4 Д г s i n х. 0
(7.89)
Важно также определить то геометрическое место точек, где потенциал пустотелого тора имеет свой абсолютный максимум. Из того, что мы уже знаем о потенциале сплошного однородного тора (см. предыдущий параграф) становится очевидным: это будет некоторая окружность, лежащая в экваториальной плоскости тора. Радиус г этой окружности будет зависеть от геометрии тора. Фактически, нас интересует зависимость г от величины м а к с
м а к с >
отношения v =
В частности, расчеты показывают: при Ко
v =
0.408184 (7.90) Ко выполняется соотношение г . = До - г , т.е. окружность, проходящая через точку максимума, совпадает с внутренней границей тора. Если тор «разбухает» по сравнению с данным и и > 0.408184, то г > Д , - г — тогда точки максимума потенциала попадают внутрь поверхности тора В противном случае, когда тор «худеет» по сравнению с вышеуказанным критическим, точки максимума потенциала смещаются к геометрическому центру фигуры и находятся уже вне поверхности тора. м а к с
0
м а к с
(
()
§ 7.4. П р о с т р а н с т в е н н ы й потенциал однородного тора с эллиптическим сечением рукава Рассмотрим обобщённый вариант задачи о торе, когда в меридиональном сечении рукава тора уже эллипс
/2
х'1 + —г = а\ ai
г
1,
ai ^ о . 3
Параметризуем уравнение эллипса, вводя вспомогательный угол в: г' = а\ cos 0,
Х3 = аз sin 0,
0 ^ 0 < 27т.
210
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА и КУБОИДА
Далее, как и в разделе 7.1.2, выделяем в сечении тора плоскостью х = const широкое круглое кольцо с внешним радиусом Ri = 1 + а\ cos в и полагаем его толщину равной dx = аз cos OdO. Тор, заполненный веществом плотностью р, и сейчас состоит из «стопки» таких широких колец. Интегрируя вклад в потенциал от них, в итоге получим потенциал всего тора данного типа в виде 3
3
Утора \Г, 2
2
^ = / { h
(
R
?
- l ) ]
K
j
(
+
)
< ° - '
)
E
( ' ) -
(7.91)
где о 1 , 1 л r + (x - a s i n 0 ) K i = 1 + -=±- cos 0, a = 2 Ro RQ а
2
3
3
(7.92)
n =
a—b RQ
З а д а ч а 7.12. Доказать, что на оси симметрии потенциал данного тора интегралом
2тг
Утора ( х ) 3
\
2nGpa Ro 3
выражается
2
( х - аз sin в) R + — ^ — cos 0d0. R л 0 2
3
(7.93)
Q
§ 7.5. П о т е н ц и а л на о с и с и м м е т р и и однородного тора с сечением в виде овала К а с с и н и Вращая овал Кассини вокруг оси хз, получим торообразную фигуру с поверхностью четвёртого порядка 2
2
2
2
2
( Л + х ) - 2 с (R
2
4
4
- х) = а - с .
(7.94)
В зависимости от соотношения между параметрами а и с различают три типа форм овалов Кассини (в данном случае — осесимметричных объёмных фигур): О а — фигура чисто тороидального типа; с = а — горообразная фигура с сечением в виде лемнискаты Бернулли; с < a — односвязные фигуры сфероидального вида, имеющие «вмятины» на полюсах. Далее рассмотрим только первый и второй варианты (см. рис. 52). Полагая фигуры однородными и применяя формулу (7.3), представим потенциал на оси симметрии в виде однократного интеграла
211
7.5. ТОР С СЕЧЕНИЕМ В ВИДЕ ОВАЛА КАССИНИ Рис. 52. Сечения торов в виде двух частных форм овалов Кассини: с = а — лемниската Бернулли, с > а — два разомкнутых овала
А >{x ) = 2G Gp
4
z
2
J
V
( у ( х - х' ) 3
3
2
+ Щ-у/( -
')
Хз
Х 3
+
dx' , 3
(7.95)
где наименьший и наибольший радиусы кольца на высоте х ' з таковы: д
2
1 | 2
2
= с - х'
- )/а
3
4
2
2
-4с 4 ,
(7.96)
а предел интегрирования
Х з
-
(7.97)
2с'
Подставляя Дх, Д2 и х§ в (7.95) и делая замену х
=
з
х
(7.98)
з ' COS0,
после преобразований, сходных с использованными выше для кругового тора, имеем (г= у/РТЦ) 2тг
^ (хз) = nGp^
.2
J Г у Iг . - ^о 2- (X3COS0 - csin0) sin0d0. 2
(7.99)
о С помощью подстановки хз cos 0
—
с sin 0 = г cos 0,
0i = 0 — (7.100)
cos'0 = ^ , так что sin0 =
sin^=--p,
sin0i - £ cos0i, интеграл (7.99) приводится к 7Г
2
<^(х ) = -2-nGpa 3
j
л/1 - Acos0 cos0d0,
(7.101)
причем
А=
^ 1.
После ещё одной замены 0 —» 7г - 0 (7.101) записывается так:
(7.102)
212
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА И КУБОИДА
7Г 2
у ( х ) = 2nGpa 3
j
v T T X c o s ? cos0e/0,
(7.103)
о как это имело место и для кругового тора (7.11). 2
На больших расстояниях х асимптотику
величина А ~
3
мала, так что (7.103) имеет нужную
где М — масса тела; действительно, объём заданного тора равен Х
Х
3
3
2
V = 2ir J (R -
2
2
Rj) dx' =4TTJ ^a* - Ac x' dx' 3
= 2ufil.
3
о
(7.105)
0
Как и в случае с круговым тором (7.12), потенциал (7.103) также выражается через полные эллиптические интегралы
2
V (хз) = I f ^ z
2
{(2 " * ) Е (к) - 2 (1 - fc ) К (к)}
(7.106)
с модулем 2
2а
к = — 2
a
[
(7.107)
+ су/с
2
2
+
хз
§ 7.6. Внутренний п о т е н ц и а л однородного кубоида Дан прямоугольный однородный параллелепипед (кубоид) с началом системы координат в его центре (рис. 53). Для нахождения внутреннего потенциала кубоида применим к нему формулу Гаус са (1.11), где модуль радиуса-вектора г между двумя точками равен 2
r = V ^ + r^ + C ,
(7.108)
и введены обозначения £ = xi - x i , 7] = х
2
- х' , С = * з - х' . 2
(7.109)
3
Пределы интегрирования для введённых переменных суть <0
£ i = * i - y < 0 ,
VI=X2-Y >
& = *1 + ^ 0 ,
Г7 =Х + ^ 0 ,
Ci=*3-y<0, (7.110)
2
2
Вклад в полный потенциал кубоида от грани ABCD, даётся двойным интегралом
С2 = х + ^ ^ 0 . 3
когда х ' = —аз/2 и c o s y ' = 3
213
7.6. ВНУТРЕННИЙ ПОТЕНЦИАЛ КУБОИДА
Рис. 53. Прямоугольный параллелепипед (кубоид). Обозначения см. в тексте
•II
d^drj.
(7.111)
Интеграл (7.111) выражается в элементарных функциях VABCD = С2 | б 1П -*7i In
2
?
Б
4- hfill
ъ
G 6C2
arctg
Т
+ ?72 In
-z 4f+
+С
- & 1П ^
(7.112)
6C2
- arctg
7?i-br/^c + C!, -C2
arctg
6C2
6C2
— arctg
/72 + + C| 42 + V2 D + C| / J ' где фигурируют расстояния от внутренней пробной точки до всех восьми кубоида: r
V
ГА =
r
=
E
гВ = V ^ + ^ + C ,
r
ГС
Гс
2
=
TD =
2
вершин
F
=
(7.113) =x A f + t f + c ,
ги = \ А
2
2
2
+Ъ +С . 2
2
Исходя из (7.111), вклады от остальных пяти граней кубоида получаются цепочкой следующих перестановок:
214
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА И КУБОИДА
Vi),
VABFE~ 4>EFGH VADHE= VBCGF
{ У Л В С Р + VEFGH
+ VABFE
(7.114) Ы ,
однородного кубоида будет равен сумме всех
+ 4>DGGH + VBCGF
+
(7.115)
Таким образом, полный внутренний потенциал однородного кубоида выражается че рез элементарные функции: сложные логарифмы и арктангенсы. Отметим, что рассчиты вая потенциал по найденной формуле (7.115), следует, конечно, учитывать многозначность функции a r c t g ( . . . ) . На рис. 54 приводится график потенциала кубоида (7.115) вдоль одной из главных его диа гоналей. Отметим универсальность этого графи ка, так как в принятых переменных его форма не зависит от отношения длин рёбер и плотности тела и характеризует любой однородный кубоид или куб. Как и следовало ожидать, данный потенциал имеет max в центре. Его величина, рассчитанная по формуле (7.115), оказывается равной
Рис. 54. Зависимость потенциала в однород ном кубоиде (нормирован на у? ) от рассто яния вдоль главной диагонали зс = 2r/L. Штрихами отмечено значение потенциала в вершине кубоида
Уо = Gp
^2
a a ln±±^ 2
+
3
$(Q-P)
0
{Я-
arctg
2
а + a ± a L' 2
(7.116)
2
причём все остальные члены суммы получаются из данного путём круговой перестановки индексов у рёбер. В любой же из вершин кубоида потенциал равен
CL2CL3 In
L + а\
«ia -arctg — а\ + a L + а\
(7.117) з где для получения остальных членов суммы также используется круговая перестановка ин дексов и L = у/а\ 4- а + а | — длина главной диагонали кубоида. Таким образом: значение потенциала в центре однородного кубоида всегда в два раза больше значения потенциала в каждой из его вершин: Уо (7.118) = 2. Уверш = =
Gp
V2 a
+
arctg
а
3
2
2
Уверш
Таким свойством обладает всякий однородный кубоид, при любой массе и произвольном у него отношении длин рёбер (и куб в частности). На рис. 55 показано сечение эквипотенциальных поверхностей плоскостью ar = 0. Расчёты проводились по формуле (7.115). Характерно — чем дальше кривая от центра, тем заметней её отклонение от эллипса. 3
7.7. ПОТЕНЦИАЛЫ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ПРИ СПЛЮЩИВАНИИ ОБЪЁМНЫХ ПРИЗМ и цилиндров
215
Рис. 55. Семейство сечений эквипотенциальных поверхно стей плоскостью хз = 0 в кубоиде с относительными дли нами рёбер 7:4:2. Цифрами 1,2, . . . , 7 обозначены кри вые для нормированного значения потенциала v?/Vцентр = = 0.98; 0.95; 0.90; 0.85; 0.80; 0.75; 0.70
Заметим, что в формулу (7.115) входит, согласно (7.112), 24 члена с логарифмами и 24 члена с арктангенсами. Члены с логарифмами после многих пре образований приводятся к изящному виду вкладов в эту часть потенциала от каждого из двенадцати рёбер: 4V mCiln^£-4iC2ln. £i ~Ь гр
6
+
r
o
(7.119)
J
Рис. 56. Схема круговой перестановки
- ^ 0 Ь с , + 772С2 In 6 + т 6 + м
Е
где восемь остальных членов суммы получаются из данных круговой перестановкой по правилам рис. 56. § 1.1. О п о т е н ц и а л е п л о с к и х ф и г у р , п о л у ч а е м ы х п р и с п л ю щ и в а н и и однородных объёмных призм и цилиндров Неожиданная и полезная проверка соотношения (7.118) для кубоида получается на основе проведённых в § 2.8 исследо ваний для потенциала однородной прямоугольной пластины. Вспомним, что, согласно формуле (2.106), у пластины также = 2. Что это — случайное совпадение? Нет! Вдума емся: такая пластина как раз и получается из кубоида в пределе бесконечно малой длины четырёх его рёбер. По аналогии с кубоидом, для каждой пары тел «прямая однородная объёмная призма (или цилиндр с любым сече нием) — плоская пластина с той же формой основания» есть конкретное, присущее только этой паре отношение указан ных потенциалов. Следует лишь следить за тем, чтобы вер шины у сравниваемых пластины и призмы соответствовали друг другу.
Рис. 57. Пояснение к теореме 1
Теорема 1. В любой прямой однородной призме с основаниями в виде произвольных многоугольников (рис. 51) отношение потенциалов в центре и в угловой точке, равное Тпризмы
равно и аналогичному отношению
^верш
(7.120)
потенциалов Тплоской фигуры
у соответствующей
= 2,
^0 ^верш
однородной плоской пластины, имеющей форму оснований
(7.121) призмы.
216
ГЛАВА 7. ПОТЕНЦИАЛЫ ТОРА и КУБОИДА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Оно наглядно: уменьшаем длину вертикальных рёбер, и в пределе бесконечно малого их значения получаем однородную плоскую пластину с постоянной поверхностной плотно стью а. Тогда рассматриваемое соотношение потенциалов «вершина — центр» для призмы переходит в соотношение потенциалов «угол — центр» у пластины. Это соотношение оста ётся тем же независимо от того, сохраняется или нет постоянной в указанном предельном переходе масса каждого элементарного столбика Hp = о = const. • Примеры. По доказанному ранее, для треугольной призмы и треугольной пластины отношение 7 = 2.3975; для кубоида и прямоугольной пластины 7 = 2; для прямого одно родного кругового цилиндра и соответствующего ему однородного диска 7 = | и т. д. Таким образом, теорема выражает красивый общий результат. Замечания Материал главы полностью разработан автором. § 7.1. Пространственный (внутренний и внешний) потенциал однородного кругового тора — цель заманчивая, но трудная для исследования. Знание этого потенциала имеет важное теоретическое и прикладное значение в гидродинамике, астрономии и физике. Потенциал тора на оси симметрии в конечном виде (7.12) — т. е. через полные эллип тические интегралы первого и второго рода — впервые получен в [21]. Важное применение формула (7.12) найдёт в § 9.15, где основываясь на знании потенциала на оси симметрии, будет найдена полная система эквигравитирующих элементов тора. Их использование от крывает ещё один перспективный (в дополнение к изложенным в данном параграфе) подход к решению задачи о потенциале тора в пространстве. Подчеркнём, что найденное здесь общее выражение (7.26) гравитационного потенциала кругового тора пригодно для описания силового поля как внутри тора, так и вне его. Ситуация не стандартная, так как, к примеру, потенциалы эллипсоида для случаев внешней и внутренней точек строго различаются. Исследование обобщенного гомотетического слоя на торе — новая задача. Через потен циал такого слоя в принципе можно найти и гравитационную энергию тора. В разделе 7.1.5 найдены выражения потенциала тора через суммирование ряда Лапласа. § 7.2. Краевая задача решается посредством разложения потенциала в ряд по торои дальным функциям. Своеобразие её в том , что здесь в качестве граничного условия для определения коэффициентов ряда берётся значение потенциала не на границе фигуры (как обычно), а на оси симметрии тора. Данный подход открывает новый путь к изучению сило вых полей гравитирующих или заряженных электрическим зарядом торообразных тел. § 7.3. Потенциал пустотелого тора получен методом синтеза вкладов от элементарных колец. Но его можно найти и методом дифференцирования по параметру го выражения потенциала сплошного тора (7.26)! Интересно выяснить при разных и =
взаимное Ко расположение точек максимума потенциала для сплошного и полого кругового тора. § 7.5. Потенциал однородного лемнискатного тора получен здесь только на оси симметрии. § 7.6. Новинка: внутренний потенциал однородного кубоида выражается через элемен тарные функции! Ранее Плейфер (как отмечает Тодхантер [46, 1591]) решил лишь совер шенно частную задачу о притяжении кубоида на точку, расположенную на его грани. Наше решение имеет значительно более общий характер. Первоисточник: [21]. § 7.7. Полезная проверка основного результата предыдущего параграфа. Здесь также установлено и одно нетривиальное соответствие между потенциалами прямых однородных призм и потенциалами пластин, получаемых при сплющивании этих призм.
Глава
8
ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
§8.1. Первое знакомство Важное значение в теории потенциала имеет задача о вычислении гравитационной (потен циальной, она же ньютоновская) энергии тел (см. п. 1.2.11). Говоря о потенциальной энергии, напомним, что силовое взаимодействие между эле ментами массы подчиняется закону обратных квадратов. Поэтому здесь мы говорим не только о телах, гравитирующих по закону Ньютона, но и о телах с электрическим зарядом, элементы которого притягиваются или отталкиваются по закону Кулона . Даны две массы М и М , распределённые в объёмах 7\ и Т с плотностями pi (х) и р2 (х) соответственно. Любая из масс является источником гравитационного поля с потен циалом 1
г
2
2
(x)
= GjJJ-£^LdV',
Vi
* = 1,2,
(8.1)
Ti и, находясь в поле притяжения партнёра, имеет гравитационную энергию
W
i
,
j
=
~ Ш
р
т
d
V
i
i
j
=
i
f
2
{8
*
2)
*
Ti Так, W\ 2 есть энергия первой массы в силовом гравитационном поле второй. Как отмече но в (8.22), W\ 2 = W i , т. е. взаимные потенциальные энергии тел равны. Это важное равенство следует рассматривать как проявление фундаментального принципа механики: «действие равно по величине противодействию». Но рассматриваемые тела вовсе не обязательно должны быть разделёнными в простран стве, — они могут частично или полностью проникать друг в друга . Теперь мы подготов лены к важному качественному переходу: в частном случае, когда оба тела одинаковы и тождественно совпадают, мы имеем право рассматривать их уже как одно тело, все эле менты массы которого воздействуют друг на друга (такое тело называют изолированным). Ньютоновская энергия изолированной гравитирующей массы в собственном поле дается интегралом t
t
2y
2
3
W = W
i%i
1
= - I jjjpipdV.
(8.3)
Далее для краткости говорится только о гравитирующих телах, но все выводы будут верны и для электрического поля неподвижных зарядов при условии G = 1: тогда под pdV понимается заряд в объёме dV, а знак потенциальной энергии меняется на обратный. Такое взаимное проникновение нередко демонстрируют, например, звёздные системы и галактики. Не исклю чено ведь, что некоторые эллиптические галактики образовались при слиянии двух спиральных. Но независимо от конкретного физического содержания, рассуждая абстрактно, всегда можно полагать, что некая среда (тело) состоит из смеси частиц двух (или нескольких) сортов. Множитель 1/2 в формуле (8.3) появился потому, что при вычислении потенциальной энергии тела на самого 2
3
218
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
Эта величина и есть гравитационная энергия данного тела. Подчеркнём следующее: при такой форме записи неявно предполагается, что эта энергия локализована внутри тела (ср. с формулой (8.5)). С физической точки зрения гравитационная энергия массы есть та работа, которую надо совершить, чтобы удалить все мельчайшие частицы «распылённой» массы на бесконечность друг от друга (фактически, на расстояние, когда взаимодействием частиц можно полностью пренебречь). Выражение (8.3), после замены в нём р с помощью уравнения Пуассона и применения формулы Грина, приводится, как известно, к виду W = -
где ^
— производная по внутренней нормали п к граничной поверхности S. Распространяя
интегрирование на всё пространство, получим W =
1 dxij
\дх )
\дхз)
2
dV.
(8.5)
Подчеркнём: это — другая форма представления гравитационной энергии тела, использую щая понятие гравитационного поля массы, распространённого на всё пространство. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Общие формулы (8.3) и (8.5) оказываются малопригодными для решения боль шинства конкретных задач. Развитию новых методов посвящены главы 12, 13 и 14. В дополнение к указанным общим формулам там выведены новые специальные формулы. С некоторыми из них мы познакомились в п. § 1.3.5. Заметим, что для логарифмического потенциала (1.30) аналогичные преобразования не дают столь простого результата. Действительно, в двумерном случае
* - - i f c / / [ ( & ) 4 £ ) V
+
& / * S >
™
и при г —> оо силовой поток через линейную границу L логарифмически расходится:
•Щр2
lim 1 п £ . г—оо
(8.7)
'О
Следовательно, второй член в (8.6) теперь не исчезает. Кроме сплошных, нас будут интересовать тела с полостями. Рассмотрим элементарные оболочки с поверхностной плотностью а (х) и внешней поверхностью 5. Для них энергия вычисляется (вместо (8.3)) по формуле =
-\jj°*dS.
(8.8)
s Потенциал на поверхности оболочки находится или прямо по формуле (5.75), или же спо собом, указанным в § 5.11.
8.1. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
219
Формула (8.8) применима и к плоским телам. З а д а ч а 8.1. Дано широкое однородное круговое кольцо (рис. 58). Найти его грави тационную энергию. Решение. Обратимся к формуле (8.8), которая имеет теперь вид К шир. кольца
2
= - - | J J
(8.9)
rip dr. K
r
Внутренний потенциал кольца равен (8.10)
<£к =
причём здесь, согласно (2.23) и (2.18),
„ „ - ^ { л ^ - ^ - л а к ^ ) } , (8.11)
(*)• Таким образом, согласно (8.9) имеем: W,шир. кольца = w -
w.
2
(8.12)
x
Находим, прежде всего, интеграл я
2
= — 7ГСГ Jr
(8.13)
2
Ri Записав в у?я полный эллиптический интеграл второго рода в тригонометрической форме и меняя затем в (8.13) порядок интегрирования, получим 2
4
2
2
Рис. 58. Широкое круговое кольцо
2
W = -|тг<7<т Д2 {2 + (1 - к ) К (к) - (1 + к ) К (к)}, 2
(8.14) причём модуль здесь равен (8.15) Затем вычисляем W] я
2
Wi
(8.16) = —7Г<7 ^ ripR dr. Ri Вновь представляя в
2
]У = -\nGo Rl г
2
2
3
[(1 + к ) Е (к) - (1 - /с ) К (fc) - 2к ]
(8.17)
с тем же самым модулем к. 4
При вычислении этого интеграла появляются расходимости типа ^ , которые, однако, гасят друг друга.
220
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
Подставляя найденные компоненты Wi и W в формулу (8.12), в итоге находим грави тационную энергию широкого кругового кольца 2
^.кольца =
2
-§тгС<7 Я* { l +
3
А; +
2
( l - fc )
К (fc)
2
- (1 + fc )
Е (fc)} .
(8.18)
•
В пределе R\ —> 0 (т. е. при к —> 0) из (8.18) следует выражение для энергии полного однородного кругового диска 7
И„ска = - | 7 г С а д
2
/?
3
(8.19)
5
где R — радиус этого диска. На рис. 59 показан график формулы (8.18). Другой предельный случай для формулы (8.18) — это переход от широкого кольца (когда масса его М = па - R\) сохраняется) к бесконечно тонкому круглому колечку при i ? —* Д ь Однако, исключая в данном случае в (8.18) поверхностную плотность а и 2
делая предельный переход к колечку, мы наталкиваемся на неопределённость ^ . Раскрывая эту неопределённость, убеждаемся в следующем: 3
lim ^
2
2
14- fc + ( l - fc ) К (fc) - (1 + fc ) E(fc) (1 -
= оо,
2 2
fc )
и гравитационная энергия тонкого колечка оказывается бесконечно большой. И это не слу чайно — как мы увидим в главе 13, потенциальная энергия любых одномерных тел имеет логарифмическую расходимость. В связи с этим заметим, что обращение в нуль энергии кольца в пределе fc —* 1 на рис. 59 происходит лишь из-за отсутствия там дополнительного условия сохранения массы кольца. З а д а ч а 8.2. Доказать расходимость последнего выражения. Но независимо от математической формы представления гравитационной энергии, с физической точки зрения эта энергия есть работа, которую необходимо совершить для удаления всех элементов массы на бесконечное расстояние друг от друга (состояние пол ной распылённости массы принимается за нуль — пункт отсчёта энергии). Справедливо и обратное: W есть энергия, выделяемая при образовании тела из первоначально распылённой материи . Взаимную же потенциальную энергию W\ двух тел следует понимать как работу по их разнесению на бесконечность (или энергию, выделяющуюся при сближении данных тел из бесконечности до финального положения). Так, образование двойных звёзд на позднем этапе эволюции шаровых звёздных скоплений приводит к разогреву и расширению этих 5
y2
5
Гравитационная энергия тела зависит от формы, размеров, степени концентрации в нём массы. В конце XIX ве ка, т. е. до открытия ядерной энергии, крупные учёные Г. Гельмгольц и У. Томсон (Кельвин) полагали, что Солнце светит за счёт собственного постепенного сжатия и высвобождающейся при этом гравитационной энергии. Расчё ты показали: в современную эпоху расход энергии Солнца на излучение (3.8 • 10 Дж/с) можно компенсировать уменьшением его радиуса на 6R « 50 метров в год. Это позволило бы ему светить на нынешнем уровне с момента зарождения 26
около пятнадцати миллионов лет, считая Солнце однородным шаром. Но даже с учётом неоднородности Солнца (плотность в его центре по крайне мере в 54 раза больше средней плотности) время траты гравитационной энергии хотя и возрастает примерно д о » 5- 10 лет, но и тогда оно оказывается чрезвычайно коротким: ведь возраст некоторых пород на Земле — около 4 миллиардов лет. В тридцатых годах двадцатого века стало ясно, что без термояда здесь не обойтись. Однако на ранних и финальных стадиях эволюции звёзд — при сжатии газового облака и при коллапсе ядра звезды — высвобождение гравитационной энергии действительно играет важную роль. 7
8.1. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
221
звёздных систем за счёт превращения части гравитационной энергии в кинетическую энер гию хаотического движения других звёзд. Гравитационная энергия не относится к величинам, аддитивным по массе. Поэтому если какое-либо гравитирующее тело состоит из двух, например, частей, то его полная энергия может быть представлена в виде
W
- - -
PiipidV+ Jp 4>idV+ Jpi
(8.21)
2
T
t
Ti
2
)
2
где индексами отмечены величины, относящиеся соответственно к первой и ко второй ча стям тела. В сумме два последних интеграла дают взаимную гравитационную энергию двух частей тела. Известно, что имеет место замечательное свойство равенства друг другу этих интегралов - И ю = j PiVzdV = J Ti
т
p y\dV.
(8.22)
2
2
Два первых же интеграла в (8.21) дают гравитационную энергию частей тела, взятых отдельно друг от друга. В краткой записи, следовательно,
^полн = W
x
+ W +W . 2
(8.23)
B3
Итак, зная энергию W\ и W отдельных частей тела, а также их взаимную энергию И *,» по формуле (8.23) можно найти полную гравитационную энер гию тела. Если разделить тело на несколько частей, то полная работа по их удалению друг от друга и будет равна взаимной энергии . В качестве примера приведём выражение пол ной энергии двух однородных, раздельно располо женных на расстоянии 2D шаров: 2
7
6
W W n o m ,
~
3M?G Ь ^
ЩС 5 R
Ъ
2
MMG 2D • 2
2
0.2
Перейдём теперь к вириалу гравитационных сил? По определению, вириал равен
' - / / / ' ( ^ ё - ё ) " -
0.4
0.6
0.8
1k
Рис. 59. Зависимость нормированной по тенциальной энергии кольца от его отно сительной ширины к = /12
(8.25) Заметим, что здесь tp — полный потенциал, действующий на элементы рассматриваемой мас сы. Важно, что в изолированном теле вклад в потенциал
К слову, в программе «Астероидная опасность» есть проекты по уничтожению потенциально опасных для Земли астероидов с помощью доставленных к ним ядерных бомб. Проблема эта комплексная, и без точного расчёта гравитационной энергии у астероида она не может быть решена. Что, если взрыв окажется недостаточно мощным, тогда рой осколков, двигающихся по близким орбитам, окажется не менее (если не более!) опасным для нашей планеты. Термин «вириал» (от латинского viris — «энергия») в теории газов ввёл в 1870 г. Клаузиус, понимая под ним сумму скалярных произведений векторов положений молекул на действующие на эти молекулы векторы сил [9]. 7
222
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
этого тела. А именно, для изолированного тела, как доказал Чандрасекхар, выполняется замечательное равенство Z = W:
/ т
p X i
lbl
d V
=
p i p d V
4
/ т
( 8
'
*
2 6 )
Обратим внимание — потенциальная энергия W изолированного от внешнего влияния тела равна вириалу сил притяжения внутри него. И это — совершенно нетривиальное обстоя тельство! В другом, альтернативном случае, когда область Т не совпадает с областью интегриро вания для потенциала ср, тело не является изолированным и мы имеем дело с подсистемой. Вычисление вириала подсистемы, как и вычисление гравитационной энергии часто пред ставляет собой весьма сложную задачу. И важно подчеркнуть — для подсистемы связь между вириалом и гравитационной энергией не будет, как правило, уже столь простой, как в (8.26). Конкретно, для эллипсоидальной подсистемы такая связь будет установлена ниже в § 8.5, см. там формулу (8.97).
§ 8.2. Подсистемы, у которых вириал и потенциальная энергия равны Дано сферически-симметричное гравитирующее тело, радиус-вектор г у которого удовле творяет неравенствам (8.27)
О < Ri ^ г < Д < оо. 2
Выделим в этом теле подсистему с промежуточным г и по данным выше формулам запишем для неё в сферически симметричном случае вириал и гравитационную энергию: г
г
z
Z (г) = 4тг J r p (г) ^dr,
2
W (г) = -2тг J r p (г) <р (г) dr.
(8.28)
Здесь у> (г) — полный потенциал на элементы подсистемы: так как подсистема не изоли рована, то потенциал внутри неё создаётся как массой самой подсистемы, так и внешней оболочкой рассматриваемого тела. Интересуясь теперь разностью величин г 2
Ф (г) = Z (г) - W (г) = 4тг j г р (г) (г^
+ }р> ( г ) ^ dr,
(8.29)
Hi заменим здесь подынтегральное р (г) через ip (г) с помощью уравнения Пуассона:
Тогда получим соотношение
dr = 0. Ri Рассмотрим его физический смысл.
(8.31)
8.2. ПОДСИСТЕМЫ, У КОТОРЫХ ВИРИАЛ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ РАВНЫ
223
Как нам уже известно, величина W (г) представляет собой работу по рассеянию на бесконечность вещества рассматриваемой подсистемы, причём учитывается гравитацион ное поле не только подсистемы, но и поле от внешней к ней оболочки. Величина же вириала Z (г) по смыслу есть та работа, которую надо затратить, чтобы рассеять элементы подсистемы, находящиеся под действием только сил взаимного притяжения (сферическая оболочка силового воздействия на элементы подсистемы, конечно, не оказывает). Во всех физически разумных случаях функция Ф (г) неотрицательна. Интуитивно её можно рассмат ривать как величину, которая характеризует интенсивность перемешивания вещества между подсистемой и внешней оболочкой (ядром и периферией в звёздных системах, галактиках и скоплениях галактик). Конкретный физический механизм перемешивания нас сейчас не интересует, так как мы говорим только об энергетических оценках. При малых Ф (г) по тенциальный барьер для возможного перемешивания будет также мал, и тогда существует благоприятный энергетический режим для перемешивания вещества по всей системе в це лом. Наоборот, большие значения Ф (г) говорят о высоком потенциальном барьере, который препятствует интенсивному перемешиванию вещества в системе. Из этих соображений, уравнение (8.31) может быть применено для исследования дина мики галактик. В частности, по известному из наблюдений распределению плотности р (г) с помощью (8.31) можно оценить возможность существования сверхплотных ядер у некоторых сферических галактик, а также их предрасположенность к гравитермической катастрофе. Рассмотрим, например, сферическую галактику, погружённую в корону с распределением плотности р(г) ос г ~ . Такой короне соответствует логарифмический потенциал 2
*(r) = a ( l + I n ^ )
(8.32)
f
где i?2 — характерный пространственный масштаб системы, а a — некоторая посто янная. В этом случае уравнение (8.31) даёт Ф(г) = ^ ь ф
(0<г^Д ). 2
(8.33)
Отсюда следует (см. также рис. 60), что ра диус плотных ядер в такой короне должен удовлетворять неравенству г < R^je. Но из уравнения (8.31) можно извлечь ещё и другую важную информацию. Диффе ренцируя (8.31) по г, получим выражение
Рис. 60. Зависимость от радиуса сферической подсистемы г величины энергетического «зазо ра» Ф между её вириалом и гравитационной энергией. Расчёт сделан для закона плотности р (г) ос г" 2
(8.34) которое можно рассматривать как дифферен циальное уравнение для потенциала (р(г) если функция Ф (г) задана из каких-то дополнительных соображений. Если положить, на пример, Ф = const (= 0 ) , (8.35) 9
то возможны такие варианты: jZ^jL = const; dr
dr
(8.36)
224
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
В первом из них, согласно (8.30), р (г) = 0, и мы приходим к известному случаю Чандрасекхара (8.26); во втором же варианте (8.36), который ранее не был известен, уравнению (8.34) удовлетворяют следующие простые, но интересные решения: 1
2
if (г) ос г " / ,
5
2
р (г) ос г " / ,
(8.37)
где для нахождения р (г) мы вновь использовали уравнение Пуассона. Для проверки най денного решения (8.37) заметим, что оно действительно обращает функцию Ф (г) на данном интервале в некоторую постоянную (или величину, равную нулю). 5
2
Итак, распределение плотности в гравитирующей системе по закону р{г) ос г " / замечательно в том отношении, что при нём для любой внутренней сферической подсистемы вириал и гравитационная энергия равны друг другу. Подчеркнём, что это единственный случай, когда такое равенство имеет место для неизолированной гравитирующей конфигурации; ведь Чандрасекхар установил равенство (8.26) только в тривиальном случае — для изолированных тел. У нас же подсистема не изолирована и имеет верхнюю оболочку. Из свойств решения (8.37) заметим ещё, что при нём масса внутри шара радиусом г оказывается M(r)~v/r
(8-38)
(заметим, что в изотермическом газовом шаре М (г) ~ г, т. е. в нашем случае плотность падает с расстоянием от центра быстрее). Поэтому в случае (8.37) имеет место замечательное равенство М(г)чр{г)
= const.
(8.39)
Квадрат эпициклической частоты в данной модели 2
к (г) = | г
2
> 0,
(8.40)
и круговые орбиты, следовательно, оказываются устойчивыми. Ещё один фактор в пользу приемлемости закона (8.37) — в умеренном падении квадрата угловой скорости в такой звёздной системе: 2
2
П (г) - / с (г) ~р (г) ~ г
2.
(8.41) _1 4
Легко видеть, скорость вращения будет падать по закону v t ~ г , т. е. довольно медленно. Но самое интересное, и это уже подчеркивалось: в модели с (8.37) тензор вириала под системы любой формы (не обязательно сферической!) оказывается равен гравитационной энергии этой подсистемы. Интерпретируя равенство Ф = 0 как отсутствие потенциального барьера для перемешивания вещества в пределах всей конфигурации, интересно отметить, что, по данным наблюдений реальных галактик и шаровых звёздных скоплений, распреде ление плотности в них оказывается довольно близким к указанному здесь закону «—5/2». Следовательно, у большинства галактик потенциальный барьер для перемешивания веще ства оказывается очень низким. Отсутствие же потенциального барьера может быть простым следствием так называемой бурной релаксации по Линден-Беллу [68]. Если это так, то имен но бурная релаксация и является главной причиной образования тех радиальных профилей распределения вещества в звёздных системах, которые повсюду наблюдаются. ro
8
Сравните с распределением плотности по астрофизическому закону (15.67).
8.3. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ТЕЛ
225
С физической точки зрения заметим также, что распределение плотности по закону «— 5 / 2 » близко к таковому в политропном газовом шаре с индексом п = 5, когда радиус шара стремится к бесконечному и внешняя часть гравитационной энергии обращается в нуль (см. ниже формулу (8.146)).
§ 8.3. Гравитационная энергия некоторых эллипсоидальных тел Нахождению гравитационной энергии тел в этой книге целиком посвящены главы 12, 13 и 14. Однако отдельные результаты в этой большой и сложной проблеме мы изложим уже сейчас. 1. Элементарный гомеоид и фокалоид Среди оболочек простейшей будет элементарный гомеоид, на поверхности и внутри которого потенциал равен постоянной (5.70); для него с помощью формулы (8.8) получим 9
dW^M = - j l (1)
,
Q l Q 2 Q 3
(8.42)
где / (1) дано в (1.39); для сжатого и вытянутого сфероидальных гомеоидов величина / дана в (1.44) и (1.45). Энергия элементарного фокалоида, потенциал на поверхности которого даётся форму лой (5.94) при А = 0, будет равна 2
мхг 3 С(й(Мф ) / ^Фок = -1Q a a [ '(1) ~ 0К
Q l
2
3
х
1
±
2
2
CL\ Q.2
\ 1 V 2
(8.43)
а>з
Поскольку масса оболочек не равна нулю, то и гравитационная энергия их также будет конечной величиной. З а д а ч а 8.3. Доказать, что в общем случае гравитационная энергия однородной эле ментарной эллипсоидальной оболочки с поверхностью S (га) равна
dW (га) = - Щ?- i^dl (m) dM o6
o6
(m) - ^
dAi (m) din (m)^ ,
(8.44)
где используются выражения (5.17), (5.18) и (5.99), (5.100). 2. Однородный эллипсоид, шар и сфероид Для сплошного однородного эллипсоида с внутренним потенциалом (6.11) результат изве стен: прямое применение формулы (8.3) даёт выражение (1.65). Из (165), с учётом конкретного значения / из формул (1.44) или (1.45), следуют выраже ния гравитационной энергии сразу для трёх однородных тел: шара (R = а\ = а = а з ) , см. формулу (1.64), а также сжатого (ai = а ^ аз) и вытянутого (а\ ^ а = аз) сфероидов, см. формулу (1.66). 2
2
9
2
Заметим, что в точках самогогомеоида<р — const и вычисление W по формуле (8.25) даёт нуль. Но этот резуль тат не соответствует истине. Действительно, постоянство потенциала на поверхности вовсе не означает равенство нулю на ней его производных, и для правильного применения данной формулы следует найти на поверхности оболочки градиент потенциала.
226
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
Представляет интерес разложить в ряд по степеням е выражения для гравитационной энергии сжатого и вытянутого однородных сфероидов. Для этого необходимо учесть то тонкое обстоятельство, что у сжатого и вытянутого сфероидов (соответственно) большая полуось а\ следующим образом выражается через эксцентриситет е и радиус эквивалентной сферы Д : I a i = До (1 - е ) 6 ^ = Д (l - е ) з . (8.45) 0
1
2
2
;
0
Подставляя эти выражения а\ в формулы (1.66), получим
^
с ж а т
~
2
(л _ Л\\ ' 1
5 До
arcsine _ _ 3 GM ( _ 1 4 _ 62 6 _ 11 я е ~ 5 До V 45 2835 567 1
6
е
е
ч
^ . "7 ' (8.46)
1 2
3 G M (* " 10 Д
е 2
)
3 1 т |
е
0
1+ е _ 1-е""
3GM 5 Д
0
2
Л V
1 д 45
64 в 2835
58 « 2835
^ "'J' (8.47)
З а д а ч а 8.4. Получить разложения (8.46) и (8.47). Важно обратить внимание на следующее. Согласно формуле (1.65), эллипсоиды, имею щие одинаковую массу и одинаковый центральный потенциал nGpI, хотя и обладающие при этом разной геометрической формой, будут иметь, тем не менее, равные гравитационные энергии. Подчеркнём: указанное равенство гравитационных энергий выполняется для одно родных эллипсоидальных тел разной формы! Ранее это интересное свойство однородных гравитирующих эллипсоидов не было известно. Выясним, какие конкретно геометрические места на плоскости (0,2/0,1, занимают эллипсоиды с одинаковой ньютоновской энергией. Для ответа на поставленный вопрос составим, используя формулы (1.65) и (1.64), отношение энергий
arccos?/, 7 =
= к к
• уУ" —
—
т
=
- .
8
48
<- >
Л/ 1 — г/-*
2
шара
где F(...) — неполный эллиптический интеграл первого рода, и для краткости обозначено х = а г / a i , у = а^/а\. Очевидно, по смыслу здесь 0 ^ 7 < 1. Геометрические места точек W = const мы ищем, таким образом, на плоскости отношений полуосей трёхосного эл липсоида. В частности, при х = у и х = 1 (т. е., соответственно, для вытянутого и сжатого сфероидов) 3Sl
7=
— d L I n
1
+ v
^Zf!; 7 = У
' ^ У .
(8.49)
Вид семейства кривых у = у(х) одинаковой гравитационной энергии однородного трёхосного эллипсоида (объём и масса которого фиксированы), рассчитанных из неявного уравнения (8.48) при некоторых значениях 7, показан на рис. 61. Любопытно отметить, что для любого 0 < 7 < 1 существует как вытянутый, так и сжатый сфероид. Переход от объёмных тел к дискам на этой диаграмме невозможен. 3. Дисковый предел однородных
эллипсоидов
Совершая предельный переход ~ - > 0 в выражении (1.65) и учитывая (6.16), получим
8.3. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ТЕЛ
Рис. 61. Семейство кривых одинако вой гравитационной энергии однород ного трёхосного эллипсоида (его объ ём и масса фиксированы). Цифры над кривыми дают величину OTHOIUeWM ния 7 = — — нормированной энерWшара гии эллипсоида. Вытянутые сферои ды находятся на главной диагонали, сжатые — на правой и верхней сторо нах квадрата. Шар, в согласии с теоре мой Ляпунова [35], имеет наибольшее (по модулю) значение потенциальной энергии
сжатый сфероид
1 _ М 2' ai где К (е) — полный эллиптический интеграл 1-го рода, энергию неоднородного ского диска с плотностью (6.93) (см. § 6.6, случай 1). W
——К (е), р-5 «1
е =
''лиска —
\
227 сфера
(8.50) эллиптиче
При софокусном дисковом переходе от однородного эллипсоида (см. § 6.6, случай 2) гравитационную энергию такого диска можно прямо получить из (8.50) заменой там а\ —• у/а — а\ и е на е из (6.104) 2
3
M*G ?
'
5
К(е),
е =
л/5?
\
at — cio
(8.51)
a?
Любопытно заметить: вследствие большего ужатия эллипсоида в диск в софокусном случае (очевидно, софокусный кружок имеет меньший радиус в сравнении со случаем диска при переходе ^ —> 0 ), эта величина энергии превышает энергию (8.50). 4. Политропный шар Для неоднородных газовых шаров, а иногда и для сферических звёздных систем в астрофи зике применяется формула Риттера и Бетти [48] 2
Winapa —
3 MG 5- n R
(8.52)
где n — показатель политропы. В частности, при п = 0 возвращаемся к энергии одно родного шара (1.64). Для Солнца и для газовых звёзд конкретно принимают п = 3. При п = 5 расходимость величины гравитационной энергии в (8.52) лишь кажущаяся: на са мом деле радиус R конфигурации при этом стремится к бесконечности, так что произве дение Игл [(п - 5) R] является конечным (заметим, что политропа с п = 5 описывает так п—>5
называемый шар Пламмера, о нём см. таблицу 3 в конце книги). О политропных шарах см.
228
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
5. Оболочки конечной
толщины
а) Гомеоид З а д а ч а 8.5. Дан однородный гомеоид конечной толщины, ограниченный стями S (1) и S (га). Вычислить его гравитационную энергию.
поверхно
Решение. Мысленно заполним внутреннюю полость рассматриваемого гомеоида одно родным веществом той же плотности и применим ко всему эллипсоиду формулу (8.21). Имеем W
(1) = W
(m) + W
w
V2 = М
r0M
{m)- J P
2
2
Й
к
т
= nGp (1 - m ) / (1)
(8.54)
не зависит от координат и выносится за знак объёмного интеграла. С учётом сказанного, а также выражения (1.65) и очевидного соотношения М (т)= Г0М
3
(l-m )M(l),
(8.55)
получаем в итоге требуемый результат: 2
GM
(т)
3
1-§™ + |™
5
•
Из формулы (8.56) в пределе га —> 0 следует выражение гравитационной энергии (1.65) для сплошного однородного эллипсоида, а в пределе га —> 1 — выражение (8.42) для эле ментарного тонкого гомеоида. б) Фокалоид З а д а ч а 8.6. Найти гравитационную нечной толщины.
энергию однородной фокалоидной оболочки ко
Решение. Уравнение граничных поверхностей толстой фокалоидной оболочки имеет вид ~~2 2 ^ 2 2 2 '. 2 ^ 2 2 2~~! 2 a{mr a{m — а\ + а а\тг - а\ + а\
=
^'
(8-57)
z
2
где для внешней поверхности га = 1, для внутренней i / l - ^ f < m < l . При однородной
У
at
плотности оболочки потенциал в ее полости равен ^внутр (m, х ) = nGp (1' - A[xj - А! х\ - А^х\), 2
(8.58)
где Г = /(1)-Д(га);
А[ = Аг(1)-Аг(т),
(г = 1,2,3).
Искомая величина И^ф б. входит в уравнение типа (8.53) и мы находим 0К 0
(8.59)
229
8.3. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ТЕЛ
т
2
Мф к.об. ( ) = -\nGp
I | т г а 1 а а з / (1) - V (га) I (га) +
0
2
(8.60) 2
2
+ V (ш) [Ы' - а\т Х
2
2
- (а т
х
- а\ + а\) А' - ( а т
2
2
2
- а + а ) А' ] \ ,
2
3
где 2
2
2
V ( т ) = | 7 r o i m y ( a m - a? + а\) (а\т - а\ + а\)
(8.61)
— объем ПОЛОСТИ оболочки. Здесь величины h (1), А\ (1), А (1) и A3 (1)) берутся из формул (6.16), (6.18), (6.19), (6.20) соответственно, а Д (га) и все Л ; (ш)) получаются из данных заменой полуосей 2
2
2
а —> a i m ; a —• \Jа\т х
2
- a + а\\ аз - » \Ja\m
2
2
- а\ + а .
(8.62)
•
в) Оболочки со сферическими
поверхностями.
Простой и интересной является следующая задача. З а д а ч а 8.7. Найти энергию однородной оболочки конечной толщины, представлен ной разностью двух не концентрических сфер с радиусами R\ > R (рис. 62). Расстояние между центрами сфер равно Д, причём 0 < Д ^ R\ - R . 2
2
Решение. Внутренний потенциал внешней сферы даётся формулой (6.36). При переносе начала координат вдоль оси Охз в центр малой сферы 0\ этот потенциал можно записать в виде (6.38). Внутренний потенциал в полости однородной оболочки, ограниченной двумя сферами, равный разности внутренних потенциалов обоих шаров, даётся тогда формулой (6.39). Таким образом, взаимная энергия однородного вну треннего шара с оболочкой оказывается равной w
dV
» = ~pjjjv<* =
2
2
2
~l* Gp Rl[3(Д?
- R\) - Д ] •
(8.63) Представим теперь внешний шар состоящим из внутрен него шара и указанной однородной оболочки; применяя к этой системе двух тел формулу (8.23), находим грави тационную энергию самой оболочки 2
2
W<* = ~^* GP
+ 9Я^ - lbR\Rl
2
+ 5Д Я*].
(8.64) • Важнейшие частные случаи формулы (8.64): при Д = = Д т т = 0, когда сферы становятся концентрическими, оболочка становится эквидистантной и 2
W
o6
2
= -j£K Gp
5
Рис. 62. Однородный шар со сфе рической каверной. Центры внеш ней и внутренней поверхностей оболочки в общем случае не сов падают 2
3
[2R\ + 3R - bR R ] ; 2
2
(8.65)
если же Д = Д = R\ — R , то одна сфера касается изнутри другой и при этом образу ется предельная фигура «лунки» со сведёнными «рожками», потенциальная энергия которой т а х
2
230
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
будет равна 2
2
= -j£n Gp
+ R2)]
[3Rl + 7Rl - 5R R% (Ri X
(8.66)
•
В дальнейшем (см. § 12.10) этот пример окажет неоценимую помощь для проверки в пре дельном случае одной новой интересной формулы. Кроме того, при R = 0 внутренняя полость заполняется и мы имеем в (8.64) энергию однородного шара (1.64). 2
6. Эллиптический
цилиндр
Обратимся к нахождению гравитационной энергии на единицу длины для бесконечного од нородного эллиптического цилиндра. Подчеркнём, что для решения этой задачи в литературе обычно делается предельный переход в выражении для энергии однородного эллипсоида, устремляя одну из полуосей к бесконечности. Однако энергии эллипсоида и цилиндра прин ципиально не могут быть сравнимы между собой, так как при указанном переходе потенциал (см. § 1.2) и энергия расходятся. Требуется перенормировка (исключение бесконечностей) энергии, после которой цилиндры можно сравнивать между собой по этой величине. Здесь мы получим выражение гравитационной энергии цилиндра иным, прямым спо собом, для чего обратимся к формуле (8.6). Ясно, что последний член в ней надо сразу отбросить из-за его расходимости. Оставшийся интеграл берётся по всей плоскости. Инте грируя сначала по площади сечения цилиндра (4.1) и используя при этом компоненты силы (4.8), получим 2
W
а 2 а з
= -2M G
x
(8.67)
(а + а ) 2
3
Интеграл по остальной площади вычисляется с учётом компонент силы (4.3), (4.4); выглядит этот интеграл следующим образом: W = 2
(8.68)
2
-4nGp
2
(а
2
2
-а )
2
После перехода к специальным координатам эллиптического цилиндра
2
(8.69)
2
dS = (а — a!) (ch v — sin и) dudv\ 2
0 < и ^ 27г; находим
ахХЪ(аз/а ) 2
< v < 00,
со (8.70) апЬ(аз/аг)
Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки th v = t: (8.71) [
(a + a ) 2
2
3
a
2~"3
I"*/
2
Постоянная — ~ роли не играет, так что 2
Wi +W
2
= M G [in
a + аз + lim In (1-х) a — аз 2
2
.
(8.72)
231
8.4. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ЭНЕРГИИ ГОМЕОИДОВ и ФОКАЛОИДОВ
От расходимости в последнем выражении корректно избавляемся, поскольку расходимость первого члена в пределе а —> аз кругового цилиндра компенсируется расходимостью во 1—х втором члене: In _ = 0. В итоге гравитационная энергия цилиндра на единицу длины равна 2
2
W
nm
= M G In ( а + о ) . 2
(8.73)
3
§ 8.4. Замечания об энергии гомеоидов и фокалоидов Согласно формулам (1.65) и (8.56), отношение энергии однородного толстого гомеоида к энергии однородного эллипсоида при конгруэнтных внешних поверхностях не зависит от размеров и формы этих тел и равно W
roM
(т)
/М M
W„(l)
Г 0 М
V »W
(т) \
2
1
" 2
т
3
+
т
2 " 3
J
(1-т )
(8.74)
2
В частности, если берём тела одинаковой массы, отношение энергий изменяется от
|
(гомеоид бесконечно тонкий) до 1 (гомеоид превращается в сплошной эллипсоид). Отсюда ясно: при равномерном распылении части вещества внутри полости однородного гравитирующего гомеоида произвольной толщины выделяется некоторая часть энергии, которую легко найти с помощью формулы (8.74). Если вещество (например, жид кость) может проникать внутрь эквиповерхности, то это обязательно и произойдёт, т.е. эквипотенциальный слой в этом случае будет неустойчивым. И наоборот: образование каверн в гравитирующем теле является энергетически не выгодным. Любопытно обращение этой задачи. Как известно, закон Кулона подобен закону тяготения Ньютона, и поэтому формулы для гравитационной энергии с точностью до знака и единиц измерения пригодны для на хождения электростатической энергии заряженных тел. Представим теперь, что эллипсоид из диэлектрика с однородным распределением зарядов одного знака по какой-либо внешней причине становится проводящим. Произойдёт передвижение зарядов к поверхности эллип соида с образованием на нём уровенного слоя в виде элементарного гомеоида с однородным объёмным распределением источников поля. При этом, ввиду сохранения заряда, итоговое отношение электростатических энергий будет равно | . Очевидно, энергия ^ ^ э л в точно сти равна той работе, которую совершает электрическое поле в данном примере. Очевидно, уровенноераспределение электрических зарядов устойчиво и образование электрически ней тральных каверн энергетически выгодно. З а д а ч а 8.8. Вычислить энергию, необходимую для выметания вещества сплошного однородного гравитирующего эллипсоида в элементарный фокалоид на его поверхности, и показать, что - » w w
=
,
— 1
г
.
( 8
.
7 5 )
3!
2 а\
2 ai
2 ai J
Из последней формулы видно, что работа по выметанию зависит от формы эллипсоида. Так, в частном случае сжатого сфероида формула (8.75) принимает вид
232
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
± = ±
•
<МЧ
Из (8.76) легко видеть, что для сфероидов с разным сжатием работа по выметанию вещества в элементарную фокалоидную оболочку на их поверхность оказывается различной: в самом деле, по мере перехода от шара через сфероиды к диску слева направо пробегается неравенство к
dWb
0K
5 < i
t
<
L
( 8
'
7 7 )
§ 8.5. Гравитационная энергия и вириал слоисто-неоднородного эллипсоида В §§ 6.9—6.11 были получены выражения и изучены свойства потенциалов слоистонеоднородных эллипсоидов. Однако для теоретических и практических исследований надо знать не только потенциалы, но и другие величины, характеризующие слоисто-неоднород ный эллипсоид. Ранее, заметим, масса и тензор моментов инерции уже были получены в (6.117) и (6.118). Более сложные свойства эллипсоида характеризует его тензор гравитаци онной энергии. 8.5.1. Тензорный потенциал Прежде всего нам понадобятся индексные символы Чандрасекхара ос
Aijk = a i a u 3 / "Г? ПГЪ—^\ / i , — Г Т Т Т > J (a? + v) (a* + v) (al + v) A(v) 2
оо
r>
л
n
„
f
(8.78)
v dv
&ijk = aitt2«3 / 7-7
77-5
77-5
ГТТТ'
обобщающие величины Ai из (1.38); для них, например, Ai - Aj a
a
j - i
Aiaf - AjO?*l - aj
и тензорное обобщение потенциала (1.9)
ш
/
Р (*')
V причём полный потенциал равен свертке
(xi - х'Л (XJ - х'Л , „з dV, \х - X \
(8.80)
Заменой а* на (т) мы получим теперь обобщения этих символов Aij на Ац (га). Тогда внутри однородного эллипсоида тензорный потенциал принимает вид (запишем это выра жение сразу для эллипсоида с границей S (га))
233
8.5. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ ЭЛЛИПСОИДА
2
2 (Aj (га) - а (га) Ац (га)) XiXj +
2
+ a (m) Sij (а
{
(га)
Ац (т) х?
(8.82)
i=i 8.5.2. Г р а в и т а ц и о н н а я энергия Переходим к главному. Исходя из физического смысла понятия ньютоновской энергии (ра бота по рассеянию!) полезно заметить, что выражение для гравитационной энергии будет иметь самый простой вид, когда конфигурация собирается переносом из бесконечности сло ев равной плотности, начиная с наружного. Символическая формула, выражающая этот подход, выглядит так [69]:
W = J
j
dV'p{x')d
(8.83)
,m <m 0
где dip (х*) берётся из (6.124), причём ip^ ' (га) дано в (6.132). Проведённые нами вычисления ,(0), дают 1
M(m)^™2 2
W(m) = - T T G J
2
dm p{m )
2
dm
_ iV '^
1 : 2 v
A
dAi ( m ) ^ + AT (ra) 'dm dm 2;3
2
2
(8.84)
Это — гравитационная энергия слоисто-неоднородного эллипсоида с геометрической границей S (га) при общем законе стратификации поверхностей равной плотности. Фор мула (6.118) состоит из трёх членов; здесь все величины нам уже известны, а разности моментов инерции ЛГ* / (га) равны ;
Ni k;
(т) = hk (™) - 1ц ( т ) ,
где k,l = 1,2,3.
(8.85)
При гомотетических слоях формула (8.84) заметно упрощается 2
т W
(га) = -ttG • / - J р ( т ) М (га) d m , 2
2
(8.86)
где I дано в (1.39), а масса промежуточного эллипсоида вычисляется по простой формуле (вместо (6.117)) 2
М (га) = 47raia a3 J т р 2
(га)
dm.
(8.87)
В частности, при р = const и га = 1 из формулы (8.86) сразу следует известное выражение 11.65) гравитационной энергии для однородного эллипсоида.
234
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
8.5.3. Тензор г р а в и т а ц и о н н о й энергии Действуя аналогично и используя вместо (т) тензорное обобщение (8.82), находим теперь тензор гравитационной энергии [69] для слоисто-неоднородного эллипсоида:
то 2
Wij (га) = -nGSij
2J« (m) - 2 - (Ai (m) dmr
2
J dm p ( г а )
2
-т а1
(га) а\Ац (m)) + A f (m)
I dm
2
2
2
( m a (m) a ? A i (m)) -
(8.88)
Свёртка (= Wn) даёт полную энергию W эллипсоида из (8.84). Задача таким:
8.9. Покажите,
что для подобных
слоев выражение
(8.88)
становится
ТП 2
-т Ац(т) 2
Wij(m) = —nGSija
J
2
+ AiM(m)
-^Аи(т)1и(т) . (8.89)
2
dm p(m )
Свёртка этого тензора даёт известное нам выражение (8.86). Например, для однородного эллипсоида при га = 1 из (8.89) следует хорошо известное 2
= -2AJ
где hj = \Ма ^.
ijy
(8.90)
8.5.4. Тензор в и р и а л а подсистемы Zij Тензорным обобщением вириала гравитационных Zij(m)=
j
сил (8.25) будет
p( )xi^-dV.
(8.91)
x
3
V€S(m)
Когда сила притяжения в точке Xi создаётся гравитирующим веществом из того же объёма, на которое распространено интегрирование и в (8.91), имеет место равенство Чандрасекхара (ср. его с (8.26)) [т)^
[т).
(8.92)
Найдём теперь тензор вириала для эллипсоидальной подсистемы, ограниченной поверх ностью S ( г а ) . Важно ещё раз подчеркнуть, что равенство (8.92) уже не будет, вообще говоря, выполняться , ведь <р в подынтегральном выражении (8.91) будет создаваться массой всего эллипсоида с границей S (га = 1), в то время как интегрирование в (8.91) проводится только по объёму выделенной подсистемы. Представим полный потенциал суммой 10
<^ (*) =
(8.93)
Смотрите, однако, обнаруженный автором особый случай в § 8.2, являющийся исключением из этого общего
8.5. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ ЭЛЛИПСОИДА 1
235
11
где (р и ^р — вклады соответственно от самой эллипсоидальной подсистемы с грани цей S (т) и от внешней для неё оболочки, ограниченной поверхностями S (га) и S (га = 1). Величина (га) будет состоять также из двух членов. Первый член равен тензору гра витационной энергии эллипсоида с границей S(m), рассматриваемого без оболочки; этот тензор Z/j (ш) = Щ (га) (8.94) находится по формуле (8.88). Второй член тензора вириала равен
Z{j{m)=
J
p(x)xi^-dV,
ves(m) 11
где в качестве (р
(8.95) 3
нужно взять потенциал в полости оболочки (6.134). Находим его: 1
Z\l (га) = ^nGSijIa
2
2
(га) J dm p ( m ) n2
(8.96)
Объединяя (8.94) и (8.96), получим i 2
Z
i:i
2
(га) = Wij (га) - 2nGSijIu (m) / dm p (m ) 4^L. J dm
(8.97)
2
m
2
Итак, тензор вириала эллипсоидальной подсистемы в общем случае, когда сплюснутость слоев изменяется с расстоянием от центра, состоит из двух членов . Причина, конечно, в том, что в общем случае потенциал в полости от оболочки tp (х) из (8.93) — ве личина не постоянная, а является функцией от координат. И только в частном случае, когда слои оболочки гомотетичны, все dAi /dm = 0, и тензор вириала в точности равен тензору гравитационной энергии этой подсистемы, рассматриваемой отдельно от оболочки. и
11
2
8.5.5. Свёртка Zij Свертывая (8.97), находим полный вириал
подсистемы
Z(m) = W (т) + 2 [-А
(т) N
г
1;2
(т) + I
3
(т) N 2
3
(т)] ,
(8.98)
где W (т) — гравитационная энергия подсистемы, рассматриваемой без оболочки; этот член находится по формуле (8.84) при замене верхнего предела 1 на т . При выводе (8.98) мы учли, что для данных в (6.141) величин Ai (т) выполняется соотношение 2
Ai (m) + А (т) + А (т) = 0. 2
(8.99)
3
Запись вириала в форме (8.98) удобна тем, что из полученных выше неравенств (6.111) и (6.112) можно определённо сказать: если с удалением от центра слои увеличивают сплюс нутость во всех трёх главных сечениях, то для подсистемы разность Z (т) — W (т) будет больше нуля; если же слои с удалением от центра сферизуются, то эта разность меньше нуля; равна нулю — если слои гомотетичны. 12
11
Таким образом, в рассматриваемом случае нельзя отождествлять тензор вириала подсистемы Zij (m) с её тензором гравитационной энергии (m), как это сделано в статье Дж.Дж. Бинни [55] (см. Замечания в конце главы 15 к § 15.6 ). Обратите внимание: эта разность не эквивалентна введённой в (8.29), поскольку W (г) в последней находилась при учёте притяжения вышележащих слоев. 1 2
236
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
§ 8.6. Гравитационная энергия обобщённого гомеоида и фокалоида Оболочки нового типа — обобщённый гомеоид и фокалоид, были введены в § 5.13. Гравита ционная энергия обобщённого гомеоида оказывается связанной с энергией того однородного тела, на котором лежит этот слой. Действительно, подставляя выражения (5.105) и (5.115) в формулу (8.8), с учётом (11.11) имеем
W
CN
=
J10
PJ£ x grad
И^ела
T
+ax
x
2
2
+ a tf3)ds|.
(8.100)
3
Применяя к последнему интегралу формулу Остроградского — Гаусса, после некоторых преобразований получим гравитационную энергию обобщённого гомеоида W
cn
V
= Iw^n* + J&pJjj v
2
( * ) VrW.
(8.101)
Здесь W и tp — гравитационная энергия и внутренний потенциал исходного однородного тела, на поверхности которого создан слой; а T e n a
T
8102
* " ? * - * < * > $ к - * т £ — производная второго порядка от
Л = W
- W
Tejia
< > х/\х\.
(8.103)
CJ])
или, в рассматриваемом случае, А = !^
т е л а
2
-^pjjj
( * V ) VrdV.
(8.104)
v Для проверки формулы (8.101) возьмём потенциал однородного эллипсоида (6.14). В этом случае обобщённый гомеоид превращается в обычный гомеоид. Как легко убедиться, для потенциала эллипсоида 2
{xV)
<р = 2 {ср - nGpI) < 0. Т
Т
(8.105)
Подставляя эту вторую производную в интеграл в правой части (8.101) и интегрируя, нахо дим
Р jjj\*V)V
= WV
(8.106)
v Здесь И^эл — гравитационная энергия однородного эллипсоида, данная в (1.65). Поэтому гравитационная энергия элементарного гомеоида будет равна = \w , m
и этот результат полностью согласуется со сказанным в § 8.4.
(8.107)
8.7. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНОСТИ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ОДНОРОДНОГО СЖАТОГО СФЕРОИДА
По-видимому, для неэллипсоидальных
гомеоидальных
237
оболочек выполняется неравен
ство
Ж-ом < |^тела,
(8.108)
однако строгого доказательства этого важного результата у нас пока нет. Гравитационная энергия обобщённого фокалоида равна И^фок = И ^
2
+ \Gp Q,
а
(8.109)
где Q = jjj
2
sdV = ±jfj{gc*As)
dV.
(8.110)
Vr V Работа по выметанию вещества тела в обобщённый фокалоид, согласно (8.103) и (8.109), равна T
2
A = -\Gp Q.
(8.111)
Знак «минус» здесь означает, что работа затрачивается против сил гравитационного поля.
§ 8Л. Об экстремальности гравитационной энергии однородного сжатого сфероида Шар передаёт королевские полномочия сжатому
сфероиду
Функционал Q из (8.110) имеет несколько важных экстремальных свойств [50]: 1) среди однородных тел одинаковой массы и плотности величина Q имеет абсолютный максимум только для шара; 2) функционал Q не имеет локального максимума; 3) среди всех тел с одинаковыми р, М и моментом инерции по отношению к плоскости ггу x\dV,
(8.112)
величина Q достигает своего максимума только для сжатого сфероида. Поэтому имеет место следующая теорема Антонова и Кондратьева [50] Теорема 1, Среди всех однородных тел, имеющих одинаковую массу М и момент инерции I относительно плоскости, проходящей через центр масс, однородный сжатый сфероид обладает максимальной (по модулю) гравитационной энергией. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применим метод доказательства от противного. Согласно этому методу предполо жим, что существует тело с заданными р, М и / , гравитационная энергия W которого больше, чем энергия W соответствующего сжатого сфероида, для которого также Q = Q : 13
0
0
W°<W.
(8.113)
Будем покрывать эту фигуру и сжатый сфероид слоями (5.128) один за другим. Такие слои, покрывающие фигуру, представляют собой обобщённые фокалоиды; на сфероид же насла иваются обычные тонкие фокалоиды. Процесс покрытия слоями продолжается до тех пор, пока неравенство (8.113) не превратится в точное равенство. Это возможно в двух случаях: когда оба тела превращаются в сферу, или когда первое тело превратится в сжатый сфероид. 1 3
При доказательстве этой теоремы под W понимается модуль этой величины.
238
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
Далее мы рассматриваем нормированные величины 5 3
5
I' = I'M- ' ,
3
;
W' = W • М ~ / ,
5
3
Q = Q.M- / ,
(8.114)
а также эффективный эксцентриситет е как функции от переменной Как можно показать, в данной задаче мы имеем следующее линейное однородное диф ференциальное уравнение 1-го порядка: d№
8W
dl'
SI'
2
W -
3Gp Q'
2 Q' 2n
_
P
2
/
(8.115)
/
Для анализа данного уравнения представим его решение в форме W = Ф(/')Я(М),
(8.116)
где Ф 3 Q°
dV
(8.117)
P
Решение последнего уравнения легко находится 2
1 / 6
(1-е ) Ф = g-^—.
(8.118)
Для функции Я мы получаем уравнение d(H-H°)
р
dM
W'-4nGpI'
2жМ
Q'°
_ 21'
(8.119)
0
где Я относится к сжатому сфероиду. Отсюда находим, что d(H-H°) - 4 _ ^
>
0
(8.120)
)
т. е.
Дальнейший ход доказательства теоремы является простым. Вспомним, что по дока зательству от противного W > W . Поэтому, в соответствии с неравенством (8.121), при покрытии слоями тела сжатого сфероида неравенство W > W должно всегда выполняться с запасом. Однако, это заключение «А» находится в очевидном противоречии с заключе нием «В», следующего из экстремальных свойств (1—3), изложенных выше: при покрытии слоями (5.128) как тело, так и сжатый сфероид неизбежно приближаются к сфере. Действи тельно, сфера может иметь только одно значение потенциальной энергии 0
0
W' = ^ L .
(8.122)
Для того, чтобы избежать указанного противоречия между заключениями «А» и «В», необ ходимо аннулировать неравенство (8.113) и считать, что W
0
что и следовало доказать.
> W,
(8.123) •
§ 8.8. ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ЧАСТИ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
239
Этот результат обобщает замечательную теорему A . M . Ляпунова [35] об экстремально сти потенциальной энергии однородного шара.
§ 8.8. Внутренняя и внешняя части гравитационной энергии тел Физическим соображениям о работе, затрачиваемой на образование или заполнение каверн, можно придать более строгое математическое обоснование. Возвращаясь к формуле (8.4), заметим, что в ней первый член (интегрирование по объёму тела)
т можно рассматривать как внутреннюю часть гравитационной энергии тела, тогда второй член (интегрирование по внешнему для тела пространству)
Re-T
S
(производная по внешней нормали) будет представлять её внегинюю часть. Очевидно, полная гравитационная энергия тела есть сумма внутренней её части и внешней: W
nonH
= W
+ W
mytp
= -±JptpdV.
meusH
(8.126)
Т З а д а ч а 8.10. Найти величины W нутого) сфероида с эксцентриситетом е.
eHeutH
иW
eHymp
для однородного (сжатого или вытя
Решение. Уравнение поверхности сфероида имеет вид г
2
Л = 1. 4 +^ а\
(8-127)
а\
или в параметрической форме г = а\ sin 0, хз = аз cos в. (8.128) Для вычисления внешней части гравитационной энергии сфероида воспользуемся второй формулой в (8.125). В нашем случае элемент поверхности, как легко видеть, будет равен 2
ds = ai yja\ c o s 0 + a§ sin 9 • sin 6d9 d\
(8.129)
где в и A — полярный и азимутальный углы в сферической системе координат. Производную по нормали будем находить от внутреннего потенциала сфероида (1.43). С учетом (8.128) эта производная вычисляется уже на границе сфероида и имеет вид | £
=
_
2 ^ 0 3
(
А
2 в
А
c
o
g
2
в
)
240
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
Таким образом, имеем следующий интеграл для внешней части гравитационной энергии:
2
W „
2
= ~ir Gp a\a
emai
2
j
3
2
2
2
2
[Аг s i n в + A cos в) (I - Aia\ s i n в - A a 3
cos в) sin в <№
3
(8.131) (предварительно выполнено интегрирование по А). После замены х = cos в этот интеграл легко берется и в итоге мы получим внешнюю часть гравитационной энергии для произ вольного однородного сфероида: 2
W „ ui„ = -\*GpM B
[I(l + A ) + Ai (Аз - Ai) а ] ,
e
(8.132)
i
где М — полная масса сфероида, а 7 — нормированный центральный потенциал. Внутренняя же энергия сфероида находится по первой из формул (8.125) и оказывается равной
W
2
= -jfiirGpAt
wyip
2
{2А а
2
+ А а\)
= -^GpM
[I (1 - А ) + A г
i
a
\ ( 3 ^ - 2)] .
(8.133) Конкретно, подставляя в найденные формулы выражения (1.44), после некоторых пре образований для сжатого сфероида, имеем 2
3 MG 20 «i
J
v
/
1
_ 2 ,3 - 2e
2
е
e
(arcsine'
V
4
e
(8.134) 2
2
+2 ( 2 + 3
l-e \ e
4
arcsme _ ^
_
J
g 2
3-e l e
4
/ '
2
A\{e)
A (e)
(8.135)
где коэффициенты Ai (e) и A (e) опять-таки из (1.44). Изменение отношения найденных величин с эксцентриситетом сфероида е показано на рис. 63. 3
Аналогично, для вытянутого (1.45) получим
вдоль оси х\ однородного сфероида с учётом выражений
2
3 GM 80 e 6
2
2
2
4
4e ( - 3 + 2e ) + 4 E (3 - 3e + 2e ) In ± ± | -
a i
- 3-4e
2
4
(
w н
у
т
р
_
e
)ln I±f 2
i±|
--2LQML 12e - 8e - 12E ( l - e ) In ± ± | + (3 - 4 e + e ) I n 1 + e e 80 e (8.136) 2
в
+
4
2
2
6
4
2
a i
ЗАМЕЧАНИЕ 2. В частном случае однородного шара е = 0 формулы (8.134) и (8.135) упрощаются и дают следующие величины (которые можно получить, конечно, и прямо из формул (8.124) и (8.125)): W
--±Ы1Я.
W
--lMl£
(8137)
§ 8.8. ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ЧАСТИ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
241
откуда следует интересный результат: (8.138)
= 5. внутр ЗАМЕЧАНИЕ 3. Среди всех однородных тел результат для шара (8.138) представляет абсолютный минимум. Так, для самого сжатого сфероида указанное отношение медлен но возрастает от 5 до 6 (рис. 63) при увеличении его эксцен триситета е от 0 до е « 0.9, и для больших сжатий растет уже очень быстро.
8Н
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Как мы уже знаем из § 5.13, при вы
метании массы однородного тела в обобщённый фокалоид гравитационный потенциал во внешнем пространстве оста ётся неизменным. Поэтому величина W для обобщённого фокалоида и исходного тела также будет одной и той же. eHebUH
Рассмотрим неоднородные шары. Прежде всего, заметим: в то время как для неоднородного шара V K зависит от распределения плотности, компонента 2
1 MG 2 R
(8.139)
" I •• ч • П^ г» 1 0.4 0.6 0.8 1
о
BHyTp
0.2
1
1
Рис. 63. Отношение внешней части гравитационной энергии к внутрен ней для однородного сжатого сферо ида как функция его эксцентриситета е. Для шара это отношение равно 5
определяется только размерами и полной массой шара, а от вида закона плотности вообще не зависит. Среди неоднородных шаров в астрофизике осо бенно часто применяют политропные. В политропном газе давление связано с плотностью законом 1+
р = Кр ",
(8.140)
где п — показатель политропы. Потенциал такого шара во внутренней точке г связан с давлением простой формулой (Чандрасекхар [48])
р[г)
К
(8.141)
Подставляя это <р в формулу W
nom
(8.142)
l ) / pdV + Wbhobh.
(8.143)
= -± J
и интегрируя, получим W„
=-i(n
К +
Последний член в правой части (8.143) записан с учётом формулы (8.139). Ясно, что первый член здесь есть не что иное, как W . Таким образом, в силу известной формулы BHyTp
"полн =
-3
JpdV, о
для политропного гравитирующего шара находим:
(8.144)
242
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
п
^
о
W
л
н
BHyrp
"
5-п
R
= ^±lw
n
o
2
_ 1 GM "внешн — 2 д
м
m
' ;
(8.145)
_ 5- n„, — g "п'
/
—
Вторая и третья формула в (8.145) получены Кондратьевым. Для такого шара
"-ilfe-fS-
*>
8 (Л4
Отсюда ясно, что для политропов вообще п > — 1. В частности, / i = 5,
(га = 0, однородный случай ) , <
2
< ° * " (п = 2 ) , М<1,
)
'
(8Л47)
(2<п^5).
Возвращаясь к общей теме подчеркнём .разделение полной потенциальной энергии на внутреннюю и внешнюю части является новым и полезным приёмом для анализа свойств гравитирующих тел. Так, опираясь на него, в § 15.7 будет получена неизвестная ранее важная формула для угловой скорости вращения однородной жидкой фигуры равновесия. З а д а ч а 8.11. (Поисковая.) В какой элементарный слой надо вымести вещество од нородного тела на его поверхность, чтобы энергия этого слоя была равна W ? Иначе: каким должен быть элементарный слой на поверхности однородного тела, чтобы работа выметания вещества в него была равна W . Замечание к задаче 8.11: для шара — это просто элементарный сферический слой. Но уже для сжатого сфероида вопрос неясен. MeuiH
n
6Hymp
§ 8.9. О внешней и внутренней гравитационной энергии однородного эллипсоида и системы из двух шаров Два однородных шара с массами М\ и М разнесены на расстояние 2D. Найдём для них внешнюю и внутреннюю энергии. Выражение (8.125) имеет теперь вид 2
1 8nG
(8.148) Si+S
2
Интегрирование проводим по поверхностям S\ и S шаров. Вна чале интегрируем по Si, для чего начало системы отсчёта совме стим с центром первого шара. Радиус-вектор точки интегрирования R (г, # з ) касается первой сферы. Очевидно, \R\ = R\. Тогда суммар ный внешний потенциал обоих шаров имеет вид 2
Рис. 64. Геометриче ская схема в задаче о двух шарах
<Рвнеш (Г^Хз) = —
MG 2
Ь 2
yjr + ( х - 2 D ) 3
(8.149) 2
243
§ 8.9. О ВНЕШНЕЙ И ВНУТРЕННЕЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ДВУХ ШАРОВ
где для краткости обозначено 2
4 А•
1. Вычисление внешней гравитационной Найдём производную по нормали ^ ^
(8.150)
+ 4-
энергии системы из двух шаров ш
н
. Компоненты нормали к сфере Si суть
R\'
i?i'
(8.151)
i?i'
а компоненты grad <^внешн в точках первой сферы таковы:
рГ х
^внешн
dip, m
™ 5x з :
где
/~< 2 Rl
^,^2
(8.152)
Pi
= -MiG^| Я?
MG
x -2D 3
2
Pi
14 2
2
2
3
(8.153)
2
P i = y V + ( x - 2Z3) = ^R -4Dx
+ 4D
3
есть расстояние между точкой интегрирования на первом шаре и центром второго шара. Комбинируя (8.152) и (8.153), находим производную по нормали д<р дп к
MiG
M G х\ + х\ + х ( х - 2 D ) 2
R\
3
Ri
M\G
3
M G R\ - 2 Р х 2
Ri
Р\
3
(8.154)
Р?
Интеграл по S\ из (8.148) принимает тогда вид i
G I (Mi
, M
Mi
2
M Д? - 2£>*з 2
5I
или, в сферических координатах, /
= 1
_ С 2 / ( Mi J V^i Д
4
l
+
М ^ / Я * + 4£> -4Z?fliCOS0, 2
2
(8.155)
Mi
м
R\ -
2
2
2DRicos9 2
( Д + 4£> - 4 £ > # i c o s 0 ) Обозначив 4
• He путатьэтоpi с плотностью шара.
sin0c0. 2
244
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
К
-Л.
в=Л.
(8.156)
приведём (8.155) к виду
_
GM? f
7
i +
7(l-2«g)
1+ 2
у/1 + 4к -
4ку)
dy.
(8.157)
2
(1 + 4 к - 4ку)
Подынтегральное выражение приводится к виду 3 1+ 2
7
7
+
2
2
,
2
+
2[l+ 4« -4«t/]
2
7(1-4* ) 2
[
1 +
|
2
_ 1
4к2
2
7 (1-4« ) 2
2[1 + 4 к - 4 к у ] '
4ку]
Г8 1 (8.158)
и после интегрирования получим
Г
2
M G
_ _Г _ _ "2(1-4« ) 2
1 ш 8/с
_
Ш
11 - 2 к | 1 1 + 2« J " (8.159)
Далее достаточно рассмотреть случай (8.160)
2к > 1; выражение (8.159) тогда несколько упрощается _ М _ _ M\M G 2Й! 4D
А _ / _ 4 _ _ , 2 _ l \ 16D U « - l 2 к — 1У "
2
1
(8.161)
2
Найдём теперь вклад в Ивнешн И^нешн от того интеграла в (8.148), который вычисляется по сфере 5г г i f f дУвнешн , (8.162) с
l 2
=
<
toGjJ
P
a
d
~ *-br
S
-
Начало системы отсчёта переносим в центр этой второй сферы; внешний потенциал теперь M\G MG (8.163) ^внешн (г,Жз) = :+ R \Jr + {x + 2DJ 2
2
3
Тогда расчёты, аналогичные проведенным выше, дают h = -
2R
2 К
2
2 7
2
(1 - 4/3 )
4
1
1 -I- 9/9
2
|l-2/3|
8 /? 7
7
(8. 164)
§ 8.9. О ВНЕШНЕЙ И ВНУТРЕННЕЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ДВУХ ШАРОВ
245
При 2/3 > 1
(8.165)
выражение (8.164) также упрощается M$G
т
h
=
2
M\M G
MG
2
-
" Ш
"W
(
1 + 2/9 4/? 2 ^ 1 - 4^TI
"W
\ J
*
(
8
Л
6
6
)
Итак, при условиях (8.160) и (8.165), складывая (8.161) и (8.166), находим внешнюю часть гравитационной энергии системы из двух шаров: _
ш
, г
т
И'внешн "
1+
_ MfG / 16D ^
2
M\G
2
MG
~~ ~Ж~
M\M G 2
" 2 й Г 2D
1 + 2£ _ 4/3 \ 2/3-1 4/3 -1/
MlG ( 16D V
2
2. Вычисление внутренней гравитационной
(
1 + 2АС _ 4к \ 2#с - 1 4 « - 1У *
8
Л
6
?
)
2
энергии системы из двух шаров
Находим теперь для системы двух шаров W из (8.124). Здесь это выражение разбивается на интегралы по объёмам шаров V\ и V . В первом случае начало системы отсчёта опять разместим в центре первого шара. Теперь ( | Я | < Ri) и полный потенциал внутри первого шара BHyTV
2
2
Увнугр = l*Gp (ЗД? - Я ) + а компоненты grad (р
ънутр
(8.168)
суть д^внутр
4 ^ ^
— dxi
= --nGpxi 3
дх
3
3
ы
-
п
я \
M G—, з 2
р
рЗ
где р\ опять из (8.153). Следовательно, (grad^)
2
= f
J&fje
+
Mif Pi
S 2 . ^
+
G
p
М
2
*1 + *1 + *Ф>-2В) Pi
( 8
] 7 0 )
Интегрирование (напомним, по объёму шара VI) первого члена из (8.170) даёт 2
2
-^ Gp Rl
(8.171)
Интегрирование второго члена из (8.170) MlG
fff
8nG IJJ JJ
d
22
2
V
[R \R + + 4D - 4Dx3 '
(8.172)
246
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
сводится к вычислению интеграла Rl 7Г 2тг / / J {
2
R smвd9dR (R +4D -4DRcos6) 2
2
( 8 Л ? 3 ) 2
Находим его /
dx 2
I
1
=
2
2
[R + 4 D - ADRx]
*
D
| R
1
1 2
\(R-
)
(g 174)
2
2D)
(R + 2D) J '
так что (8.172) будет равно M$G
( 2_-_1 _ _ _ \ 2— ^ Т / 16Х? 1 1/"2к + Т1 ' 44«2 1 П
(8.175)
+
Интегрирование третьего члена в (8.170) приводит к вычислению двойного интеграла R 1 Г о Г (R R dR / — ^
2
9 -pGpM
2
-2DRx)dx -
2
о
2
- l [R + AD - ADRx]
(8.176) 2
Внутренний интеграл здесь равен i
/
2
(R
- 2DRx) dx
2
2
1 [R + 4D - 4DRx] Я-2D R(2D-R)
,
R
x
_ 2D 1
Л
Rs/R? + 4U -
2
Я + 2£> _ l , R(2D + R) R
l
_
4DRx
(8.177)
n
R
где вновь учтено неравенство (8.160). Таким образом, интегрирование третьего члена (8.176) даёт нуль. Вместе,
Аналогично, интегрирование внутреннего потенциала V W p ( Л , Х З ) = hGp
2
(3R
2
M
- R) +
f
=
(8.179)
по объёму V_ даёт
т
2
^
'
§ 8.9. О ВНЕШНЕЙ И ВНУТРЕННЕЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ДВУХ ШАРОВ
247
Следовательно, в целом 2
2
MG
MG
M\G MlG
И^внутр +J 4h = K B H y i p = h
" " ^ " " " " l O R 7 " 10Д
({
2/3-1
i
16D
2
4/3
2 Я Г Й М ( " ^
MlG f 16D \
^
(8.181)
2#c - 1 4к 1 2к+1 4 K - 1 J ' +
2
Сделаем проверку выражений (8.167) и (8.181): в сумме они должны давать полную гравитационную энергию двух однородных шаров (см. (8.24)). Складывая (8.167) и (8.181), видим, что логарифмы взаимно сокращаются, и в результате действительно получается полная энергия Й^олн из (8.24).
W 3. Отношение
для двух шаров **внутр Теперь для отношения найденных величин (8.167) и (8.181) докажем важное неравенство ^
^ н е ш н
=
^
5
(
8
1
8
2
)
^внутр
Вначале (8.167) и (8.181) запишем в приведённом виде _
l
^
_
=
1
+
2 ^ _
i
C
l
_
/
<
2
)
( 8 Л
83)
где мы использовали отношение масс 7 из (8.150) и для краткости обозначили
Таким образом, следует рассмотреть функцию от параметров к и /3, имеющую вид
внешн
ц = —
к
=
/
—
.
с
1
0
,
ч
(8.186)
Прежде всего, легко видеть, что при небольших к и /3 отношение (8.186) может только расти. Поэтому надо проверить неравенство (8.186) для больших к и /3. Достаточно доказать, что -5>0,
(8.187)
•^внутр
или, что эквивалентно,
1
L 20
4/r - 1
1 L 2к
4«г - 1
248
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ И ВИРИАЛ
Но при достаточно больших к и /3, как можно убедиться,
1 п ^ — « Д -
I n - — « I . i__L * ' 2к
!__/?' 20
— 4/? -1 2
/?'
4 к
2
(
- 1 ~ " '
8
Л
8
9
)
так что (8.188) даёт очевидное неравенство 7= ^
ные
0
.
(8.190)
Таким образом, для двух однородных шаров всегда будут выполняться следующие неравенства: ^внешн
^ = й
v.
т
^внешн
к
—
w
—
к
4. Отношение
^ 5
6
/о Ю 1 \ (
'
v
' внутр
причём точное равенство одиночного шар.
^
важ
}
w
* полная
будет иметь место только при 7 = 0, т. е. для однородного
еш
^_?" " для одиночного
эллипсоида
И'внутр Для однородного эллипсоида с полуосями а\ > а ^ аз выполняются, как это следует из § 6.4, неравенства (6.73)—(6.75). Известен, разумеется, его внутренний потенциал (1.37) и (см. (1.65)), полная гравитационная энергия 2
<р = nGp (I — А\х\ - А х\ - Л3Х3) ; 2
(8.192)
9
W =
-iirGpIM.
о Нетрудно найти отдельно внутреннюю часть гравитационной энергии однородного эл липсоида JJj
2
[(A f
2
+ (А х )
lXl
2
+ И з х ) ] dV
2
3
(8.193) 10 а также внешнюю её часть WW™ = -^irGpM
{А а\ + А а\ + A af) + х
2
2
+±*GpM
3
2
{А\а\ + А\а\ + А а ) =
(8.194) 2
- -±nGpM
[Ami (4 - ^1) + А а\ (4 - А ) + А а 2
2
(4 - А )] •
3
3
Таким образом, W „ „ B
Д =
A\
eui
ia
2
(4 - А ) + А а\ (4 - А ) + Л а (4 - А ) х
^внутр
2
2
3
3
Л?а? + Л | а | + А%а1 (8.195)
2
=
^Aia
А\а\
+ А а\ + А а\ _ 2
3
+ А\а\ + А\а\
1
>
'
5
'
249
§8.10. УСЕЧЁННЫЕ ВИРИАЛЫ
так как, в силу доказанных нами ранее неравенств (6.73)—(6.75),
А\а\
(8.196)
+А\а\ +А\а\ ' 2
и А\а\
2 0.
(8.197)
Итак, для внутренней и внешней частей гравитационной энергии однородного эллип соида выполняется важное неравенство внешн
2 5
(8.198)
внутр
которое справедливо, как мы убедились выше, и в случае двух однородных шаров. Под черкнём: и здесь случай точного равенства в (8.198) выполняется только при вырождении эллипсоида в шар. 5. Заключение Неравенства (8.191) для двух однородных гравитирующих шаров интересны сами по себе и, кроме того, важны для некоторых приложений теории потенциала. Однако в общем виде (для тел другой формы или систем тел) доказательство подобных неравенств провести пока не удаётся. Тем более ценную информацию дают решения тех задач для однородных тел (для неоднородных, заметим, ситуация может быть совершенно другой!), где внешнюю и внутреннюю части гравитационной энергии можно найти в явном виде. С этой точки зрения, точное решение задачи для двух однородных шаров, как и задачи для одиночного эллипсоида, проливают свет на общетеоретический характер найденных неравенств (8.191). Во всяком случае, контрпримеров им пока не найдено.
§8.10. Усечённые вириалы По определению, полный вириал гравитирующего тела даётся формулой (8.25). Но сейчас важно заметить, что, опираясь на тензорное представление вириала (8.91), можно ввести и специальные усечённые вириалы, которые будут состоять из суммы двух членов главной диагонали матрицы тензора вириала:
т (8.199)
т
т Оправданием для введения новых величин — усечённых вириалов •— является, прежде всего то, что для них имеют место следующие важные равенства:
250
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
RE
2
RE
г
—
-ikjff
( £ ) ' « • RE
Здесь в левой части при вычислении величин Zij интегрирование проводится по объёму тела, а в правой части интегралы от (
1 распространяются на все пространство.
Докажем, например, первое из равенств (8.200). Для этого, прежде всего, в первой из формул (8.199) к выражению в круглых скобках под знаком правого интеграла добавим и вычтем член хз^-;
с учётом (8.25) приводим
рассматриваемое равенство к виду bow
- /// ( g ) V
,
(MM)
R
T
E
В интеграле по объёму заменим плотность с помощью уравнения Пуассона 4nGp = —Atp. Тогда задача сводится к доказательству равенства
b G W - j j j b , ^ - I I I
{St"' R
Т
E
Применим к этому выражению первую формулу Грина для лапласиана JJJil>ApdV = J J V
- JJJ (V
S
(8.203)
V
Тогда
-
/
/
/
-
I
I
I
^
(
*
>
%
)
d
V
-
I
I
<
8
-
2
0
4
)
T T s Распространим здесь интегрирование на всё пространство. Тогда левая часть, поскольку вне тела Аф = 0, не изменяет своего значения. В правой же части при R —> ос интеграл по поверхности имеет порядок ~ , и поэтому исчезает на бесконечности. Остаётся равенство IX -JJJ
Aipx^dV
= JJJ gradp • grad ( * з | | ) dV.
(8.205)
R
T
E
Раскрывая в правой части скалярное произведение, приводим (8.205) к виду
-
- i I Т
R
f E
+
I
I
( 8 М 6
I RE
>
§8.10. УСЕЧЁННЫЕ ВИРИАЛЫ
251
Подставляя теперь (8.206) в правую часть (8.202) и сокращая два члена, получим STTGW
dV.
= JJJ(gradc^)
2
(8.207)
RE
Выполняя здесь интегрирование по частям и учитывая, что проинтегрированный член исче зает, приходим к равенству SnGW
2
= -JJJ
(grad ip) dV,
(8.208)
RE
которое тождественно известному (8.5). Доказательство закончено. • Об усечённых вириалах можно добавить также следующее. Каждое из выражений (8.200) представляет часть энергии тела. Сумма же выражений (8.200) даёт известную нам формулу (8.5) полной гравитационной энергии. Далее, складывая в (8.200) первое и третье выражения и вычитая второе, имеем полную энергию тела в другом виде:
w
=
z
» - 4 b t f J { Z )
2
d
v
(
-
8
2
о
9
)
RE
Аналогично, круговая перестановка индексов даёт
RE
(8.210)
sis///(£/"• RE
Из полученных формул можно получить ещё одно полезное неравенство. Составим из (8.200) выражение 4тгС {(Z + Z22) - {Z22 + £ з з ) - (^зз + Z )] = n
/ / /
n
+
{dxi)
( д х
2
(аГ
)
(8.211)
dV. 3>
RE
Здесь, по доказанному выше, ?зз = JJJ
pX3-7j¥-dxidx2(tx3
=
т
//////'• т
т
(хз - х ) dxidx2dx3dxidx2dx'3
(8.212)
3
2
(Xi - Х[)
2
2
+ (Х ~ Х ) 2
+ (Х - Х' ) ]
2
3
:
3
Заметим теперь, что в последнем интеграле можно менять ролями наборы штрихованных и нештрихованных х^: Z
3
3
~ III
III
^ ^ (xi -
" ^
d X l d X 2 d X 3 d X
2
'
l d X
'
2 d X
*
(8 213) 2
x i ) + (х - х' ) + ( х - 4 ) ] 2
2
2
3
252
ГЛАВА 8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ и ВИРИАЛ
Полусумма двух выражений для Z33 тогда даёт 2
(х' - х ) 3
3
dxidx'i з
т
т
[(xi-xi)
2
+ (x
2
2
:' ) 2
+
< 0.
(8.214)
2
(Х -Х' ) У 3
3
Следовательно, будет выполняться неравенство 21 dxxdx dx3 > 0. 2
(8.215)
Ранее это неравенство не было известно. З а д а ч а 8.12. Проверить первую из формул (8.200) в случае однородного сжатого сфероида, воспользовавшись для расчётов сфероидальными координатами. Следует подчеркнуть: все формулы для усеченных вириалов в случае изолированного тела выполняются и при замене величин Zn на компоненты Wn. Другими словами, таким образом вводятся величины усеченной гравитационной энергии. Замечания § 8.1. К понятию гравитационной энергии однородного тела мы подходим, рассматри вая вначале взаимную энергию двух тел. Широкие кольца — распространенное явление во Вселенной, и задача 8.1 о потенциальной энергии широкого кольца имеет, разумеется, не только методическое значение. Первоисточник: [21]. § 8.2. На эту интересную задачу автор наткнулся, будучи ещё аспирантом теоротдела в ФИАНе. Разумеется, данные в (8.37) частные решения уравнения (8.36) можно рассматри вать только как первое приближение к объяснению структуры реальных звёздных систем. Любопытно однако то, что при распределении плотности по закону «—5/2» (и только при нём!) вириал и гравитационная энергия неизолированной подсистемы оказываются равны друг другу. Первоисточник: [20] и [21]. § 8.3. Все результаты (кроме формулы Риттера и Бетти) получены автором. Геомет рические места равной потенциальной энергии однородного эллипсоида ранее также не изучались. Первоисточник: [21]. § 8.4. Содержит интересные физические приложения метода. Образование каверн в гравитирующем теле является энергетически не выгодным. Справедливо и обратное — за полнение пустот веществом самого тела уменьшает его энергию. Первоисточник: [20] и [21]. § 8.5. Известное отмечено по ходу изложения, другие результаты — самостоятельные. Выражение для тензора вириала эллипсоидальной подсистемы имеет важное значение для исследования динамики Е-галактик. Обратим внимание на то, что нельзя игнорировать при тяжение внешних эллипсоидальных слоев переменной сплюснутости на элементы внутрен ней подсистемы. Первоисточник: [20],[21] и [26]. § 8.6. Решается важная и свежая задача о гравитационной энергии неэллипсоидальных слоев (обобщённых гомеоидов и фокалоидов ). Само понятие обобщённого софокусного слоя впервые появилось в статье Антонова и Кондратьева [50].
§8.10. УСЕЧЁННЫЕ ВИРИАЛЫ
253
§ 8.7. Мы присутствуем на торжественной церемонии, когда однородная сфера передаёт свои королевские полномочия, вручённые ей А. М. Ляпуновым [35] , сжатому сфероиду. Первоисточник: [50]. § 8.8. Разбиение полной гравитационной энергии на внешнюю и внутреннюю части естественно появляется при разделении области интегрирования. В § 15.7 данным приёмом будет выведена новая формула для угловой скорости жидких фигур равновесия. Первоисточник: [23]. Здесь добавлены формулы (8.145) для политропного шара. § 8.9. Новый материал. Задача для двух шаров решается кропотливым образом и служит для доказательства в частном случае важных неравенств (8.191). § 8.10. Введение усечённых вириалов делает метод вириала более гибким, что позволяет решать новые задачи. Первоисточник: [21].
Глава 9
ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ
ТЕЛА.
СТЕРЖНИ И ДИСКИ
Напомним ещё раз классическую теорему Маклорена — Лапласа (которую мы обобщили в § 5.12, а также впервые строго доказали в аналогичном обобщённом виде для тел с лога рифмическим потенциалом, см. теорему 7 в п. 4.5.3): однородные софокусные эллипсоиды равной массы создают во внешнем пространстве одинаковые гравитационные поля, кото рая была давно доказана и применялась только к сплошным однородным эллипсоидам. В этом смысле теорема Маклорена — Лапласа себя исчерпала. Для поиска других семейств эквигравитирующих тел требуется новый взгляд на всю проблему. Здесь разработан но вый подход к задачам об эквигравитирующих телах, который позволяет выйти за рамки исследований классиков теории потенциала. Проблема эквигравитирующих тел развивается у нас в трёх направлениях. Во-первых, вводится понятие отдельного эквигравитирующего стержня и их совокуп ностей. Такие стержни могут иметь как реальные, так и мнимые распределения плотности. Но если внутри осесимметричных тел существуют изолированные особые точки, тогда внешние гравитационные поля можно представить совокупностью стержней и точечных масс. В этом отношении интересна задача о шаровом сегменте (большим полушара) из § 9.14. Во-вторых, представление внешних гравитационных полей у многих тел с экватори альной плоскостью симметрии возможно и с помощью плоских дисков (см. § 9.11). Для тел с азимутальной симметрией такие эквигравитирующие диски с вещественной плотностью можно, в частности, находить по известным для тел мнимым стержням. В результате удаёт ся открыть и изучить цепочки эквигравитирующих тел типа «сфероид (оболочка) — диск — стержень». В-третьих, у нас для поиска новых эквигравитирующих тел активно используются специальные софокусные преобразования (см. главу 10). 1
§9.1. Введение Напомним (см. выше), что отправным пунктом при постановке всей проблемы эквиграви тирующих тел для нас послужили те предельные варианты теоремы Маклорена — Лапласа, когда при софокусном «ужатии» вещества однородный эллипсоид вырождается в веще ственный плоский неоднородный эллиптический диск или — в частном случае вытянутого сфероида — в одномерный неоднородный вещественный стержень. В литературе эти пре дельные варианты в деталях обычно не рассматриваются, поэтому вначале напомним их и кое-что уточним. Из теоремы Маклорена — Лапласа следует, что эллипсоид плотности р с поверхностью Ц + Ц + Ц = 1, а( а\ ai
а ^а ^а , 1
2
3
(9.1)
при равенстве масс оказывается эквигравитирующим эллиптическому диску с границей 1
Эти диски могут быть и неоднородными, а форма их не обязательно должна быть только круговой.
§ 9.2. ПЕРЕХОД ОТ ВЕЩЕСТВЕННОГО СТЕРЖНЯ К МНИМОМУ
at — а%
= 1,
a\-al
х
3
= О,
255
(9.2)
и поверхностной плотностью
V («i - a§)(2 " 4) fl
где Q (m) = m
2
-
af - a§
Например, для сжатого сфероида (ai = а радиусом R = у/а\ - а\ и плотностью
2
*(0 = 27r(af Л М
9
-
(9.4)
a£ - a |
> а ) формула (9.3) даёт круглый диск с 3
2пА - ag) у - -aj г - Чa§
(9-5)
исчезающей на границе. Далее, для вытянутого однородного сфероида (аз ^ а\ = а ) эквигравитирующим во внешнем пространстве оказывается фокальный отрезок на оси Охз длиной L = 2>/а§ - а\ с одномерным вещественным распределением плотности 2
/х(С) =
^ L - y
fl-^-yV
-yjal-a^t^yjal-al
(9.6)
В связи с введением такого стержня интересно заметить, что радиус сходимости ряда Лапласа для вытянутого сфероида равен половине его длины L/2. Обратим внимание на то, что в приведённых примерах происходит понижение про странственной размерности тел: однородный эллипсоид заменяется эквигравитирующим ему диском, вытянутый однородный сфероид — одномерным стержнем, шар — материаль ной точкой. Эти примеры демонстрируют одно из важнейших понятий в теории потенциала: существование эквигравитирующих тел. Однако тремя указанными случаями в классиче ской теории всё и исчерпывается: большего теорема Маклорена — Лапласа дать и не может. В данной книге понятие эквигравитирующих тел может быть распространено на многие другие конфигурации. Однако такое обобщение связано с введением новых понятий.
§ 9.2. Переход от вещественного стержня к мнимому: случай сжатых сфероидов Итак, однородный сжатый сфероид моделируется неоднородным круглым диском с веще ственной поверхностной плотностью (9.5). Этот классический результат допускает важное и нетривиальное обобщение. 2
Теорема 1 (Э - I). Внешний потенциал однородного сжатого сфероида может быть представлен одномерным гравитирующим стержнем с мнимым распределением плотности (9.7) где ( — чисто мнимая переменная, изменяющаяся 2
в указанных
пределах.
Здесь и ниже обозначения вида Э - 1 ... Э - 6 введены для ссылки на эти теоремы в предметном указателе.
256
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ и диски
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользуемся изумительно простым приёмом: от вытянутого сфероида аз > а\ путём непрерывной деформации перейдём через сферу к сжатому сфероиду с аз < а\. Очевидно, при этом i/a§ — а\ —> i\fa\ — а§, так что из (9.6) сразу получим выражение (9.7). Проверка формулы (9.7) по массе элементарна: iy/af-ai v
М = / /i(C)dC =
3 о
y
f
,
-1 -з /
/
\
( 1 + - j ^ - j dC = f тга^зр.
(9.8)
По внешнему же потенциалу формулу (9.7) достаточно проверить лишь в точках на оси симметрии фигуры. Как известно, внешний потенциал на оси однородного сжатого сфе роида имеет вид (6.32). С другой стороны, потенциал мнимого стержня на оси Огг даётся интегралом по стержню 3
d(.
*з -
J
(9.9)
Этот интеграл с учётом (9.7) записывается так: a
a
W i- l
, d C
Aiy/di - ai
J \ -V°i"" 3
а\-4)
(9.10)
С - *з
a
Заменой С = is интеграл (9.10) легко берётся, и мы действительно приходим к выражению (6.32). Поскольку внешний потенциал — функция гармоническая, то по известным теоре мам анализа о единственности представления этих функций, и по только что доказанному равенству потенциалов сжатого сфероида и мнимого стержня на оси Охз, мы утверждаем: и во всех других точках пространства их силовые поля будут равны. Итак, одномерный мнимый стержень (9.7) действительно будет эквигравитирующим телом для однородного сжатого сфероида. •
§ 9.3» Эквигравитирующие стержни для оболочек: метод дифференциации Следуя § 5.1, рассмотрим семейство соосных сфероидальных поверхностей S(m):
где параметр m непрерывно изменяется в интервале 0 < m i < т < 1. Этой формулой задана внутренняя стратификация вытянутого сфероида с граничными полуосями a i ^ аз. Две поверхности семейства (9.11), разделённые бесконечно малым значением параметра dm, образуют, как мы знаем, элементарную сфероидальную оболочку. Находя методами гл. 5 единственную в данном случае функцию аз(т), можно задавать разные типы сферои дальных слоев. Остановимся здесь на гомотетических и софокусных оболочках, и рассмотрим вначале задачу об эквигравитирующих стержнях для однородных гомеоидов. Применим метод диф ференциации (его определение дано в § 2.11). В данном случае аз(т) = 1 и масса оболочки с полуосями ma\ и та равна m
n
3
М
Г0М
= £7га\азр(т)
2
m dm.
(9.12)
§ 9.3. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ СТЕРЖНИ ДЛЯ ОБОЛОЧЕК
257
Теорема 2. Для тонкого гомеоида с поверхностью вытянутого сфероида, имеющего массу М и полуоси та\ < таз, эквигравитирующим во внешней точке является однород ный фокальный стержень длиной L — 2гаазе с вещественным распределением плотности гом
dp
= | ^ f m d m = 27rp^mdm.
m
(9.13)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Подстановка указанных полуосей промежуточного сфероида 5 ( г а ) в выражение (9.6) даёт мК0
= ^
К
-
-
^
1
-
е =
1 - Ц.
(9.14)
Дифференцируя (9.14) по параметру т , находим требуемый вклад (9.13) в плотность полного эквигравитирующего стержня (9.6) от промежуточного тонкого гомеоида . Проверка. Интегрирование выражения (9.13) по всему стержню 3
ттазе аз< [<W*K
(9.15)
—тазе с учётом его однородности d p. = Щ~ даёт, как и следовало ожидать, массу моделируемой Li оболочки (9.12). Для подтверждения же свойства эквигравитируемости найденного стержня и гомеоида достаточно опять убедиться в этом лишь для точек на оси симметрии оси Охз. Действительно, потенциал стержня в точке (0, х ) m
3
фз)
=
GJ
^]
d c
=
^£
l n
!lll
. )
(9 16
совпадает с внешним потенциалом гомеоида (5.68). Поэтому элементарный гравитирующий гомеоидальный слой на вытянутом сфероиде с полуосями max, m a , имеющий массу (9.12), действительно моделируется однородным вещественным стержнем указанного типа. • 3
Следствие 1. Рассмотрим теперь гравитирующую оболочку конечной толщины, огра ниченную подобными друг другу вытянутыми сфероидами (рис. 65), у которой внешняя поверхность S(m) с т = 1 имеет фокусы в точках А и D, а у внутренней с m = m < 1 фокусы совпадают с точками В и С Очевидно, AD — 2азе и ВС = 2 т о а з е . Эквигравитирующий стержень для такой оболочки, заполненной веществом однородной плотности р имеет общую длину AD и состоит уже из трёх частей. Если переменная координата С вдоль этого стержня попадает на отрезки АВ и CD, то интегрирование по т вдоль любого из них даёт плотность 0
9
азе 3
Заметим: и здесь работает весьма эффективный метод дифференциации из гл. 5.
17. Кондратьев Б П
258
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И ДИСКИ
на отрезке же ВС плотность оказывается постоянной и равной 1 п
/х(С) =
a
27Г/9-£г
f
а
/ mdm =
(l - ml) = const.
(9.18)
Рис. 65. Однородная гравитирующая оболочка конечной толщины, ограниченная подобными друг дру гу вытянутыми сфероидами. Через А и D (В и С) обозначены фокусы внешней (внутренней) поверхности этой оболочки. Эти точки служат концами составных частей эквигравитирующего стержня оболочки
m= 1
Проверка распределений (9.17) и (9.18) по массе элементарна: л Моб
—mqa^e —тогазе
_
= |Отгра?аз (1 ' "
mg) =
азе »З
moa^e то«з
е
е
/А*С + У /14+
J —азе
тоаэе
У
/^0
(9.19)
— тоозе
Проверка распределений (9.17) и (9.18) по потенциалу также не сложна, и мы оставляем её читателю. Следствие 2. Результаты для однородных вытянутых сфероидальных гомотетических оболочек легко переносятся и на сжатые а\ = а > аз сфероидальные оболочки. Отличие заключается лишь в том, что величина L и распределение одномерной плотности у соответ ствующих им стержней будут уже чисто мнимыми. Например, вместо (9.13) теперь имеем стержень «длиной» L = 2imy/a{ - а% с плотностью 2
4
d
m
=
2г7гра?аз
mdm.
(9.20)
Вместо (9.17) и (9.18) теперь соответственно имеем
а
V<*i - з П
/* (С) = -гтгр 4
а?аз
V
а
з-°1/
(9.21)
(1 - Шц) 9= COIlSt.
Для краткости формулировок под «длиной» L здесь подразумевается разность комплексных чисел для точек на концах отрезка.
§ 9.3. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ СТЕРЖНИ ДЛЯ ОБОЛОЧЕК
259
З а д а ч а 9.1. Проверьте формулы (9.20) и (9.21) по массе и потенциалу. Перейдём к нахождению эквигравитирующих стержней для фокалоидов . При софокусном расслоении вытянутого сфероида полуоси промежуточной поверхности в (9.12), согласно (5.37), таковы: 2
2
a i (га) = азу/т
- е ,
а (га) = а г а . 3
(9.22)
3
Теорема 3. Для вытянутого тонкого сфероидального верхностями S(m) и S(m + dm) и массой 2
фокалоида, ограниченного
2
Мфо (т) = | т г р а | ( 3 г а - е ) dm,
(9.23)
К
эквигравитирующим во внешнем пространстве вещественным распределением плотности d p{m, С) = Trpaj
3
Ш
m
2
2
~
6
I I1 \
является
а
стержень
I — J dm, з /
по
длины L = 2 е а
- е а < С< еа . 3
3
3
с
(9.24)
е
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Вновь проводим его методом дифференциации. Замена полуосей а* в (9.6) на (9.22) даёт ,
2
ч
2
2
2
га(га -е ) /
С
\
Дифференцируя (9.25) по га легко установить, что вклад в плотность стержня от элементар ного гравитирующего фокалоида рассматриваемого типа действительно равен (9.24). • Следствие 3. Однородный вытянутый фокалоид конечной толщины, ограниченный поверхностями 5(1) и 5(гао), даёт стержень с распределением плотности
М(то, С) = ¥
J
ш
( ~ °) (1 -
2
2
+ га + га ) (а 0
-
.
(9.26)
Это соотношение получается интегрированием (9.24) по га от гао до 1. В частности, 2
при га
2
1 фокалоид превращается в сплошной сфероид, у которого ai внутренняя полость оболочки вырождается в бесконечно тонкий геометрический вырез в виде фокального отрезка. В этом случае мы возвращаемся от (9.26) к формуле (9.6). Следствие 4. При расслоении сфероида на сжатые фокалоиды вместо (9.22) теперь имеем 0
= ra^
2
in
= е (1) = 1
aim;
а\т;
2
а\ \Jга
2
—е ; е =
1 - -§, ai
(9.27)
так что выражение (9.25) заменяется на
(m,C) = -У£т у/^П? 2
M
2
(a\ + ^ ) .
(9.28)
260
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
Тем же методом, что и выше, находим распределение плотности в эквигравитарущих стержнях для тонкого, а также с конечной толщиной, сжатых фокалоидов (ср. с (9.24) и (9.26): , , m(3m -2e ) dm/i(m, С) = -™Р 2
2
ч
Мто,О = -Щ- (g " -
о
• (а? + J ) ,
9 29
<'>
— а\е ^ ~ ^ die. г З а д а ч а 9.2. Проверить найденные эквигравитирующие стержни для тонкого и тол стого фокалоидов (9.29) по массе и потенциалу. Углубление темы об эквигравитарущих стержнях (а также дисках) для сфероидальных оболочек см. далее в § 10.5.
§ 9.4. Эквигравитирующие стержни для однородного круглого диска и тонкого кольца Дан однородный плоский круглый диск радиусом R (рис. 66, а), имеющий поверхностную плотность а.
Рис. 66. Плоский круглый диск (а) и эквигравитирующий стержень для него (б). Пунктиром показано расположение испытуемой и текущей точек Теорема 4 (Э - 2). Потенциал во внешней точке (г, х ) диска данного вида представить потенциалом стержня «длиной» L — 2iR с мнимой плотностью 3
=
2
2
-2г'оУЯ -К ,
- Л <
j
< Л.
можно
(9.30)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Спроецируем массу диска на диаметр вдоль оси Ох\. Это даёт одномерный веще ственный стержень длиной 2R с массой dM = ii(x\)dx\ в интервале от х\ до х\ + dx\ и одномерной плотностью ф
г
)
= 2<jyjR? - х\.
(9.31)
9.4. СТЕРЖНИ ДЛЯ КРУГЛОГО ДИСКА . . .
261
Сделаем в (9.31) замену С = **1,
(9.32) 5
приписывающую всем точкам стержня чисто мнимые значения . Тогда, с учётом dM = = /i(C)dC> получим закон мнимой плотности (9.30). «Длина» стержня тоже оказывается чисто мнимой L = 2iR. Но его масса iR
in
п
м = j
-iR
|i(C)dC =
4
а
/
2
2
2
л / Д " s ds = iraR
(9.33)
вещественна и равна массе исходного диска. Далее, потенциал такого мнимого стержня на оси симметрии в точке ( 0 , х ) даётся, по определению, интегралом 3
iR Х з
rf
_£
C-
(9.34)
-iR
Делая замену £ = is и избавляясь от мнимости в знаменателе, после очевидных преобра зований найдём +R
^ ( х з ) = 2aG\x \ j 3
V
2
^ f d s
-R
= 2nGa (^JR? + x -
|x |).
(9.35)
3
3
С другой стороны, прямое вычисление потенциала диска на оси симметрии по формуле R
Слиска(*з) = 2тгС / а (г)—ф= ^ VV +x 2
(9.36) 2
при постоянной поверхностной плотности а приводит, как легко видеть, к тому же результату (см. формулу (5.82)). Но поскольку внешний потенциал — гармоническая функция, то по известным теоремам анализа указанное выше совпадение потенциалов диска и стержня на оси О х гарантирует равенство этих потенциалов и в любой другой точке пространства. Найденный диск действительно является эквигравитирующим. • 3
Следствие 5. Для одномерного кольца радиусом R и постоянной плотностью / i гравитирующим является мнимый стержень
0
экви
с бесконечной плотностью на концах. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Дифференцируя функцию (9.30) по Я и учитывая, что /г = crdR, сразу получим фор мулу (9.37). Потенциал стержня данного типа в точке (г, х$) равен 0
5
Обратим внимание, что замена переменной (9.32), относящаяся только к точкам стержня, разворачивает его из
плоскости OxiX2 на 90° (рис. 66, Ь).
262
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ и диски
iR 4GR/JLO
4Дг
К
j
(9.38)
-iR
( К — полный эллиптический интеграл первого рода) и, как легко видеть, в самом деле эквивалентен потенциалу тонкого круглого колечка (3.4), вычисленному прямым методом.
• З а д а ч а 9.3. Найти эквигравитирующий стержень для плоского широкого кольца с постоянной поверхностной плотностью о, ограниченного кругами с радиусами R ^ Ri. Решение. Рассматриваем широкое кольцо как разность двух круглых однородных дисков с радиусами R\vi R . Далее, действуя тем же методом, что и при доказательстве теоремы 4, в проекции на ось Ох\ находим (см. рис. 67) одномерные распределения плотности: в полости 2
2
2
р (xi) = 2о [yJlQ-xl
- yjRl-x ^
,
-R
x
^ xi ^ R
в точках самого кольца 2
2
li{x{) = 2o^R -x ,
Ri <
2
< i? . 2
Делая в них замену (9.32), получим
2
М (С) = -На
2
{yjB* + С - sJR\ + С )
,
—R\ ^ $ ^ Ri , (9.39)
Рис. 67. Широкое кольцо 2
2
(С) = -2га /Л 4-С , <
М
Ri < у < г
R, 2
х
-Ri
< 2.
г
^
-Ri
Это и есть искомый составной эквигравитирующий стержень для широкого кольца. В част ности, при R\ = 0 из него получается стержень для сплошного однородного диска (9.30). Проверка по массе и потенциалу для найденного стержня является несложной. Т Неоднородные круглые диски и широкие кольца (а также стержни для них) рассматри ваются в § 9.10. З а д а ч а 9.4. Даны два концентрических и соосных (по диаметрам) тонких круглых кольца, плоскости которых наклонены под углом а 0 < а ^ тг.
(9.40)
Радиусы и линейные плотности у колец могут быть одинаковыми или разными, равными соответственно R^ \p^ и R^ \p^ \ Найти суммарный пространственный потенциал колец. Решение. Система отсчета расположена так, что вклад в потенциал от первого диска даётся, согласно (9.38), формулой l
2
2
(9.41)
9.5. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГЛОГО ДИСКА
263
Поворотом осей системы координат на угол а выразим новые координаты пробной точки г', х' через старые г, х : г' = г cos а + х sin а , (9.42) х == хз cos а — г sin а. 3
3
3
3
Вклад в потенциал от второго кольца в пробной точке (г, х з ) тогда равен „<*>
(г>
* ) = 3
,
4
С
Д
(
2
У
2
)
К
У(д(2) + г ' ) + 4 2
,
(9.43)
2
где штрихованные координаты выражаются через прежние с помощью формул (9.42). Кроме того, модули эллиптических интегралов имеют вид 2
4Я< > ^ (Д(2) / )
fcd> =
2
^|(/?W+r)+xi
+
г
+
^
Таким образом, суммарный потенциал двух колец оказывается равным (1)
(2)
<р (г, х ) = < £ (г, х ) + ц> (г, х ) . 3
3
(9.45)
3
В частности, при а = 0 получим отсюда потенциал двух компланарных, а при а = ^ — перпендикулярных друг другу колец. Если испытуемая точка (г, Хз) расположена далеко от системы колец, то удобно перейти к сферическим координатам с полярным углом в: г — # s i n 0 , х з = RcosO. Раскладывая выражение (9.45) в ряд по обратным степеням R, находим + §
+
(9.46)
где c i = G ( A f i + Af ), п с = [ Я М х (1 + 3cos20) + Я | М (1 + 3cos [2 ( а + в)])] . 2
(9 47)
2
2
2
§ 9.5. Пространственный потенциал однородного круглого диска В конкретном виде потенциал однородного круглого диска в любой точке пространства можно получить несколькими способами. Два из них мы укажем в этом параграфе . 6
9.5.1. Через э к в и г р а в и т и р у ю щ и й стержень Применим формулу (9.34). Особенность метода в том, что надо найти внешний потенциал и однородного круглого диска, и (одновременно!) стержня с указанным распределением плотности. Рассмотрим интеграл 6
Ещё один, третий, способ нахождения потенциала однородного диска из более общей формулы для потенциала неоднородного круглого диска дан в (3.61).
264
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
V W a ( r , x ) = -IGoi
J
3
=•
(9.48)
Делая здесь замену s = - i ( и избавляясь от мнимости в знаменателе, приводим инте грал (9.48) к виду
V
( г , х ) = 2Gc J о
R
2
S
3
l
p
4
S
{yfp +
l
,
(9-49)
где мы обозначили 2
2
2
р = г + Жз - s - 2гх 5,
2
р* = г + х | - $ + 2 i x s .
3
(9.50)
3
Извлекая корень из комплексных выражений, находим
2
2
2
2
2
2
г + х § - s + y/{r +x -s f
2
+ 4x s
(9.51) Тогда интеграл в правой части (9.49)
2
* VR
2
2
2
2
2
- 5 ^/г + х - s +
2
2
2
1
+ х - s ) + 4х 2 5
ds 2
/
2
2
^/(r + x - s )
2
2
+ 4x *
(9.52)
2
становится вещественным. Делая в нём замену 2
2
2
/
2
2
2
х = г + х - s + у (г + х - 5 )
2
2
2
+ 4х 5 ,
после многих преобразований приводим искомый потенциал к виду
Слиска (г, х ) = ^ G o j J
{
Х
С
)
Д ,
3
(9.53)
где а ^ х > 6 > с,
(9.54)
причем 2
2
2
a = 2(r +x ); 2
6 = г -Ь х 2
2
р = 2х ; 2
2
2
2
с = г + \ _ Д _ у/(г + х х
2
2
2
2
Д + у/(г +х -Д ) +4Д х 2
2
2
2
2
> 0;
(9.55)
2
- Я ) + 4 Я х < 0.
Отметим, что величины Ьи с представляют собой (с точностью до множителя 2) эллипсо идальные координаты А и /л пробной точки (см. ниже выражение (9.64)).
9.5. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГЛОГО ДИСКА
265
В итоге, после многих преобразований искомый пространственный родного круглого диска принимает вид 2
потенциал
одно
2
Слиска (Г, * ) = ^ = = | [с + 2 ( Я - Г )] К (к) + 3
(9.56)
+ (a-c)E(fc)-2x n[^,fc
}.
2
Здесь К (jfc), Е ^ ) и П
а
Ь
~ ,к
— полные эллиптические интегралы первого, второго и 2г третьего рода соответственно (см. формулы (7.23)), причём 2
т
(г-Д)
г/
1 — к' ТТР'
~
2
+ х? 2
(г + Д ) + х
N
2
Подчеркнём: в (9.56) получен интеграл однородного круглого диска во всём пространстве (включая и внутренние точки самого диска). Для упрощения выражения потенциала диска (здесь и далее) нам могут понадобиться формулы
с модулем -
,
2
V
R
T
VV+д)
2
(9.59) + х
2
Как легко показать, в частном случае при г = 0 из (9.56) следует известное нам выра жение (9.35) потенциала круглого диска на оси симметрии Ох$. З а д а ч а 9.5. Докажите последнее
утверждение.
Далее, в главной плоскости диска его внешний потенциал, согласно общей форму ле (9.56) при хз = 0, будет равен
^дис (г) = Ю
^ { г
во внутренних точках диска
2
Е ^ ) - ( г
2
- Д
2
) К ^ ) }
(г>Я);
(9.60)
потенциал
Слиска (г) =
4GoRE (j^
(г < Я ) .
(9.61)
Разрыва потенциала при переходе через границу диска, как и следовало ожидать, нет. 9.5.2. Через э к в и г р а в и т и р у ю щ и й слоисто-неоднородный сфероид Весьма поучителен и второй метод нахождения потенциала круглого диска, совершенно не зависящий от первого. Метод опирается на доказанный нами в § 10.6 замечательный факт эквивалентности внешнего потенциала однородного круглого диска и внешнего потенциала
266
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
слоисто-неоднородного сфероида из гомотетических слоев с распределением плотности (10.58). Подставляя этот закон плотности в выражение потенциала слоисто-неоднородного сфероида (1.49), легко приводим интеграл в дисковом пределе к виду оо
2
Слиска = 2G(TR
1
j
2
Г
Д +
N
А
2
2
х
U
\
(JU
U
( Я + и) у/й
ГОАТ*
2
где сг — поверхностная плотность диска, R — его радиус, Л (и р, см. ниже) — корни квадрат ного уравнения
ЖГ+ - = 1. R +и и
(9-63)
имеющие вид 2
2
2
2
2
4Л22
2
г + х\ - R ± ^ / ( г + а г - Д ) +
^ ^
Х
0 = 2
Третья эллипсоидальная координата в данном случае вырождается в постоянную и — —R . Таким образом, 2
оо > А > 0;
2
0 2 р2 -R :
v = -Д .
(9.65)
Домножим теперь и поделим подынтегральное выражение в (9.62) на корень, стоящий в числителе. Тогда (9.62) приводится к виду
1 -
Слиска (г, х
2
3
) = 2GcrR
[ J
В итоге, потенциал однородного эллиптические интегралы
г
2
хз
, , \/{R + и) (и - А) (и - /x)
d u
2
-
9
66
(- >
круглого диска (9.66) выражается через стандартные
-E(fc) Я
2
(9.67)
я
2
А +Я
2
где модуль
Полезно и здесь рассмотреть некоторые частные случаи. Потенциал в точках на оси симметрии диска Ох$ При г = 0 эллиптические интегралы упрощаются 2
2
А = х , р — - Д , К = Е = тг/2, поэтому
(9.69)
267
9.5. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГЛОГО ДИСКА
2
- ^ , К ( * ) - Е ( * ) , =
-
-
^
/
^ s i| n Ш fc sin 0 2
v
О
2
тг/2
(9.70) Я-/2 2
П
R ,0 R + xl 2
-J; ъ i-
2
R ; Sin в R + xl 2
ы
*
2
Тогда из (9.67) действительно получим хорошо проверенное выражение (9.35). Потенциал в главной плоскости диска х$ = О Случай внешней
точки 2
2
Я , А = г - Д , д = 0,
(9.71)
При этом (9.67) принимает вид (9.60). Случай внутренней точки 2
2
г < Л , А = 0, /х = - ( Я - г ) ,
fc=i
(9.72)
7
Выражение (9.61) также получается из (9.67) . ь R 1.5
/ /у/^^ол Рис. 68. Меридиональные сечения поверхностей рав ного потенциала однородного круглого диска. Расчёт по формуле (9.56). Радиус диска R = 1, по осям отло жены хз/R и г/R. Потенциал убывает от значения „
= 0.972 для внутренней кривой до
7ГСт<7
I,
1 1 \ \\ч
0
у У!
jJ
? -с
=
7ГО<7
= 0.406 на внешней Таким образом, выражения (9.56) и (9.67), полученные независимыми друг от друга методами, хотя и различаются по форме, на самом деле описывают один и тот же пространственный потенциал однородного круглого диска. На рис. 68 показаны кривые равного потенциала во внешних точках однородного круг лого диска. З а д а ч а 9.6. Даны два концентрических и соосных (по диаметрам) однородных
7
Важно заметить: хотя в данном методе мы делали переход от потенциала сфероида во внешней его точке, в итоге нами был получен потенциал (9.67) однородного диска в точках всего пространства.
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
268
круглых диска, плоскости которых наклонены под углом 9. Радиусы и поверхностные плот ности , и RW, <т(2) у этих дисков могут различаться между собой. Найти суммар ный пространственный потенциал таких дисков. Решение. Оно находится совершенно аналогично решению предыдущей задачи (9.4) для колец, лишь вместо (9.38) надо взять, естественно, потенциал круглого диска в форме (9.56) гош же в форме (9.67). Т
§ 9.6. Нахождение эквигравитирующих стержней для объёмных тел методом расслоения на диски Из дисков и колец можно сконструировать самые разные объёмные осесимметричные тела. Полагая далее круговой диск или кольцо теми элементами, для которых известны эквигравитирующие стержни, сводим далее задачу к объединению таких элементарных стержней для всего тела. Объединение эквигравитирующих стержней для объёмного тела будем выполнять методом синтеза. Но следует сразу подчеркнуть, что отнюдь не все диски или кольца могут делать вклад в полный заменяющий стержень. Этот вопрос надлежит решать конкретно в каждой задаче. Дано однородное осесимметричное тело (рис. 69, а), меридиональное сечение которого описывается (полностью или частично) функцией R — R(h) и й - радиус диска, располо женного на высоте h. При этом на поверхности и внутри фигуры допускается существование конечного числа особых точек (на поверхности это точки излома контура, внутри особые точки аналитического продолжения внешнего потенциала внутрь тела). 8
а
б
Рис. 69. Меридиональный контур осесимметричного тела с сечением элементарного диска радиусом R(h) (выделен жирным); а — до поворота; б — наклоненное на 90° вправо изображение этого тела на комплексной плоскости. Стрелками показано направление обхода контуров интегрирования Эти особые точки тела будут служить концами одномерных заменяющих отрезков (одного или нескольких, обоснование см. в § 9.8). Чтобы такие отрезки действительно являлись эквигравитирующими для объёмного осесимметричного тела, должна выполняться следующая теорема. 8
Вопрос о существовании и числе особых точек в каждом конкретном случае сводится к исследованию функции комплексного переменного из (9.73) или, что эквивалентно, к исследованию потенциала у? (С)- Об этом подробнее см. в гл. 11.
269
9.6. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИХ СТЕРЖНЕЙ.
Теорема 5 (Э - 3), Для однородного осесимметричного тела плотность распределе ния гравитирующего вещества в точке С на одномерных замещающих отрезках даётся интегралом 2
/х(С) = -2ip J y/R?(h) + {<;-h) dh.
(9.73)
hi ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Представим тело состоящим из круговых плоских дисков толщиной dh и поверхностной плотностью р dh. Тогда, согласно (9.30), потенциал любого из промежуточных дисков может быть представлен элементарным гравитирующим отрезком (рис. 69, б) с распределением плотности
d/i(C) = -2ip^/R {h) 2
2
+ {(-h) dh,
(9.74)
причём сам потенциал имеет вид М*з)
= -2iGpdh
I V * W+ (C-*)'
J
xz-Q
Полный потенциал находится интегрированием вкладов от всех элементарных отрезков
, фз)
2
ч
2
Г Г \/Я (Л) + (С - h)
= -2iGp Jj
^
ж -С э
(9.76)
dhd
t'
Любой интеграл по элементарному отрезку можно заменить половиной интеграла по кон туру, плотно охватывающему этот отрезок (см. рис. 69, б). Расширяя теперь этот контур до меридионального сечения фигуры (а это можно сделать, так как никаких особых точек при раздувании контура мы не встретим) и поступая так с контурами вокруг всех других элементарных отрезков, в итоге потенциал (9.76) всего тела заменяем контурным интегралом
фз)
= - i G p j ^ ^ С
(j
.
\}ц
(9.77)
/
Подчеркнём, что переход от (9.76) к (9.77) стал возможен вследствие замены интегри рования по любому из промежуточных стержней интегрированием по одному и тому же контуру С — сечению тела комплексной плоскостью ( = хз Л-гг. Как известно, сумма таких контурных интегралов может быть заменена единственным контурным интегралом от суммы подынтегральных выражений. Поскольку сам контурный интеграл (9.77) сводится, в свою очередь, к одному или нескольким интегралам по одномерным стержням (подробнее о редукции контура интегрирования см. § 9.8.2), то полная плотность на каждом итоговом стержне действительно даётся выражением (9.73). • ЗАМЕЧАНИЕ 1. Здесь рассматривается только случай, когда потенциал <р(() имеет лишь две осо бые точки и тело имеет, следовательно, один заменяющий стержень. Относительно выбора пределов интегрирования в (9.73) должно быть следующее. Если порядок алгебраического уравнения для неиз вестной h 2
2
Д (Л) + (С"Л) = 0
(9.78)
больше или равен двум, то оба предела интегрирования h\ и hi должны быть среди корней этого уравнения. Если же уравнение (9.78) первого порядка, то его решение даст только один корень fo, а нижний предел для переменной h подбирается тогда из дополнительных условий задачи.
270
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ и диски
Однако в некоторых случаях ситуация со стержнями может быть более сложной. Если особых точек у функции потенциала больше, чем две, то стержень может быть либо составным (в § 9.15 приводятся примеры), либо стержни образуют целые конструкции (или «скелеты», примеры см. в § 9.8).
§ 9.7. Эквигравитирующие стержни для однородного сжатого сфероида и тонкого шарового сегмента Для этих тел стержни являются цельными. З а д а ч а 9.7. Найти данным выше методом стержень для сжатого Решение. В этом случае
сфероида.
2
R {h) = a\{\-^j,
(9.79)
и выражение (9.73) для плотности записывается в виде: h
2
р(0 = -2ipj
^ - Q
2
2
- 1^ Л - 2(h + С + а\ dh.
(9.80)
hi Здесь h\ и hi — корни квадратного уравнения
ад
а\ -
а{ - а£
решения которого 2
ащз (-С^±л/С + а?-а^) hi,2 =
—
^
з
(9.82)
Особых точек здесь две, так что заменяющий стержень в данном примере только один. Поэтому выражение (9.80), представленное в виде h
2
р(0 = - 2 г / У " 0
аз
°» J y/fa-hKh-hiidh,
(9.83)
hi после интегрирования с учётом пределов (9.82) даст
М(С) = -гтг/з-фЦ
(1 +
.
(9.84)
Этот результат для сфероида совпадает с (9.7), найденным там другим способом. Т З а д а ч а 9.8. Найти эквигравитирующий стержень для шарового сегмента, не пре восходящего полушар. Решение. Выделим сечением в нём круглый диск на высоте h (рис. 70) с радиусом r
2
m
(h) = y/a -2h
2
{R-H)-h
(9.85)
9.7.
СТЕРЖНИ ДЛЯ СФЕРОИДА и
ШАРОВОГО СЕГМЕНТА
271
Рис. 70. Сечение гравитирующего шарового сегмента с острыми края ми, имеющего высоту Н. На проме жуточной высоте h расположен эле ментарный круглый диск толщиной dh. R — радиус образующего шара
R
t
о и толщиной dh. Тогда для шарового сегмента, согласно (9.73) и (9.74), получим М О
#х(С) = ~2ip
2
J
л/а
2
4- С - 2Л, (С + Я - Я ) dh.
(9.86)
МО
Под интегралом в (9.86) находится полином первого порядка относительно неизвестной Л. Из него следует, что верхний предел равен
Что касается нижнего предела, то легко видеть, что в данном примере следует взять h\ = 0. С учётом указанных пределов интеграл (9.86) равен
/*(0
2,> = -|<Р с
2
+
2
3 / 2
+ < ) _ ;
д
д
- а < | < а .
(9.88)
Обратим внимание, что распределение плотности в найденном стержне асимметрично относительно его геометрического центра. Наличие такой асимметрии в стержне скажется, в частности, в том, что для сегмента не существует эквигравитирующего диска. Проверка формулы (9.88) интегрированием по С подтверждает, что масса найденного стержня М = тгрЯ
2
- ^
(9.89)
действительно равна массе сегмента. Потенциал же стержня с плотностью (9.88) во внешней точке (0, х з ) , как можно показать, равен 2 <А>егм(#з) =
з "^/ 71
9
,
(9.90)
и действительно совпадает с внешним потенциалом сегмента, вычисленным на оси Охз прямым способом. Т З а д а ч а 9.9. Доказать (9.90).
272
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ и диски
Решение. Это сделано в (12.151). • Таким образом, стержень с чисто мнимой плотностью (9.88) является эквигравитирующим данному сегменту . З а д а ч а 9.10. Найти внешний потенциал однородного шарового сегмента. Решение. Рассмотрим шаровой сегмент, не превосходящий полушар (Н < R). Его внешний потенциал находим с помощью эквигравитирующего стержня (9.88): 9
Заменой С = is и преобразованиями приводим (9.91) к виду
vWr, *) =
j
3
V
a
2
2
*
L
^
—
—
-
ij
[(Д - Я ) yfL + x~+ sVT^]
°
где 2
2
2
x = r + x -s ;
2
y = 2x s;
L = \Jx
3
2
-by .
Анализ показывает, что в произвольной внешней точке (г, х з ) интегралы в (9.92) ги перэллиптические. В связи с этим любопытно отметить, что у линзы, образованной двумя — «подошва к подошве» — сегментами, внешний потенциал всё же выражается через полные эллиптические интегралы, см. раздел 10.13.4! Однако на оси симметрии г = 0 потенциал сегмента, как показано в (9.90), выражается через элементарные функции. Кроме того, в плоскости «подошвы» сегмента, когда х з = = 0, у = 0, L = х = г — 5 , внешний потенциал сегмента принимает вид 2
2
о и выражается через полные эллиптические интегралы: * W (г,0) = \Gp(R 6
г
- Н) г { * I
а
\
Д
2
К (к) +
г
4
* , П [п,к] - Е (*)) , (9.94) г (Д - Я ) J 2
причём fc=fi
п =
^ Ц ,
Подчеркнём: формула (9.94) эквивалентна (10.219), полученной, кстати, совершенно другим методом. Переход к полушару Дня потенциала на оси симметрии: 2
<Агалушара(#з) = ^Gp 9
Д
3
2
+ (Д +Х§)^
х
3
2_3 2
X
-з
R
(9.95)
2
Подчеркнём, что стержень с плотностью (9.88) описывает сегмент, не превосходящий полушар (Я ^ R). Случай сегмента, большего, чем полушар, исследован в § 9.14.
9.8. НАХОЖДЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ. ИНТЕГРАЛ Коши
273
в пространстве я
<Люлушара (г, Х )
G
—^-~ P / £ о (гиперэллиптические интегралы); в плоскости подошвы 3
=
^полушара (г, 0) =
S\/L - X(is
-j^nGp^-.
(9.96)
(9.97)
Заметим, что при переходе к полушару (к = R - Н —• 0) в (9.94) требуется найти любо пытный предел П \п (к) , к] -г ton у ' = ^ . (9.98) к—о * 2R 1
J
•
§ 9.8. Нахождение эквигравитирующих стержней осесимметричных тел с помощью интеграла Коши Теория функций комплексного переменного позволит нам сейчас доказать и обосновать само существование эквигравитирующих отрезков у тел с азимутальной симметрией и, более того, независимым от прежнего методом находить мнимые или вещественные одномерные распределения плотности вещества на них. 9.8.1. Применение и н т е г р а л а Коши д л я ньютоновского потенциала Используя фактическую двумерность объёмного осесимметричного тела, для задания формы которого достаточно координат х$ и г = у/х\ + х\, введём изображающую комплексную плоскость С = #з т- гг. На этой плоскости тело Т окружим двумя контурами Г и Г ь такими, что пробная точка Р (0, ж ) на полярной оси находится между ними (рис. 71). Тогда, согласно теории интеграла Коши (см., например, [40]), потенциал тела в точке Р можно записать в виде разности двух контурных интегралов: 3
v
(хз) = - L I Ш . ^ - J - I ^ L 2тп J С ~ *з Ti
2тп / г
d
C
(9.99)
С ~ ^3
Будем теперь неограниченно расширять внешний контур T i ; тогда первый контурный ин теграл в (9.99) исчезнет (поскольку потенциал тела на бесконечности обращается в нуль), и у нас останется только модифицированный (испытуемая точка — вне контура!) интеграл Коши
г Им в дальнейшем мы и будем пользоваться. 9.8.2. Редукция контура Г к отрезкам и м а т е р и а л ь н ы м точкам Оставшийся интеграл (9.100) будет отличен от нуля, поскольку внутри контура Г обязательно есть особые точки А, В, . . . функции
18. Кондратьев Б П
274
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
Рис. 71. Сечение осесимметричного тела в комплексной плоскости z = хз + ir. А, В, С и D — особые точки функции <р (С) внутри контура. Испытуемая точка Р расположена между внутренним Г и внешним T i контурами. Стрелками показано направление обхода по редуцированному контуру интегрирования 1
именно ту её ветвь, которая при очень больших £ ведет себя как у? (С) ос С"- Не изменяя значения интеграла (9.100), начнём стягивать контур Г от самых удалённых окрестностей внутрь к телу и, деформируя этот контур, натянем его на указанные особые точки. Получится стержень (если особых точек только две), или некий многоугольник (если особых точек больше двух). Подчеркнём, что стягивание контура представляет собой процесс аналитического продолжения для выбранной нами ветви функции <р (С). На заключительном этапе мы деформируем контурный многоугольник и превращаем его, в зависимости от числа особых точек, в один стержень или систему стержней, образую щих эквигравитирующий каркас исходного тела. В итоге, именно таким образом в пределе мы получим один — если особых точек две — или несколько (если особых точек больше) эк вигравитирующих отрезков (рис. 71). Но необходимо подчеркнуть, что если число особых точек нечётное, то кроме стержней, в наборе эквигравитирующих элементов какого-либо тела появятся и изолированные материальные точки. Рассмотрим один из полученных таким образом стержней, например ВС (см. рис. 72). Одномерная плотность р(() на выбранном стержне даётся, согласно (9.100) и с учётом обычного правила изменения знака d(, разностью значений рассматриваемой функции на двух ветвях: 10
1 0
Необходимо отметить: поскольку на последнем этапе деформация контурного многоугольника может произ водиться разными путями, то получаемые при этом системы стержней для одного и того же тела также могут несколько различаться между собой. Но не смотря на это, такие контуры должны описывать гравитационное по ле одного и того же тела! Кроме того, если в результате редукции контура выделяются изолированные особые точки для аналитического продолжения внешнего потенциала, то кроме стержней в комплект эквигравитирующих элементов будут входить и изолированные материальные точки. Примеры комбинаций стержней и материальных точек нам встретятся ниже в § 9.14 и § 9.15.
275
9.8. НАХОЖДЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
В
ReC
Рис. 72. Одномерный эквигравитирую щий стержень крупным планом. Через (рп (£) и ip\ (£) обозначены значения по тенциала на разных ветвях
Рис. 73. Эквигравитирующий стержень в ком плексной плоскости z, ограниченный особыми точками А и В. Штрихами изображён контур интегрирования, огибающий данный стержень
м(С)= 2 ^ [ и ( С ) - Ы 0 Ь
(
)
9Л01
П р и м е р 3. Дан однородный круглый диск (см. рис. 66, а) с потенциалом на оси симметрии у?(хз) из (9.35). Сделаем в этом выражении указанную выше замену х з —* С = #3 + гг. Изображение диска поворачивается тогда на 90° (рис. 66, 6"), а потенциал принимает вид 2
2
у>(С) = 2тгСсг(л/Д + С ~ С) и имеет требуемую асимптотику ф ос С
- 1
(9.102)
при |£| > Д.
Особые точки (точки ветвления!) здесь С = ± г Д , так что контур Г даст в пределе именно один отрезок В А (рис. 73). При огибании особых точек А и В радикал \JB? + С изменяет свой знак, так что 2
J
V?i(C) = 2 7 r G a ( / S ^ K - c ) , N
4
ЫО
J
/ , ч = - 2 т г С а ( ч / ^ Т С ^ + С)
(9.103)
и, согласно (9.100), в целом для стержня В А мнимая плотность в точке С будет равна 2
2
II (С) = - 2 г с 7 х / Д + С >
- Д < £ < Д,
(9.104)
что совпадает с выражением (9.30), найденным там другим путём. З а д а ч а 9.11. Найти эквигравитирующие стержни для однородного, ограниченного по высоте прямого кругового цилиндра (рис. 74, а). Решение. Внешний потенциал такого тела на оси О х з после замены хз —» С даётся выражением
276
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И ДИСКИ
(С + я у я ? + (С + Я ) * - (С - HWB?
+
((-H)4 (9.105)
<р(0 = *Gp
причём при последнем члене знак «—» следует брать при хз ^ Я , а « + » при хз < - Я . Imz -Я+/7?
2Н
Я+/Я
О
Rez
я-/я
-н-т
Рис. 74. Круговой цилиндр высотой 2 Я (а) и конструкция для него из трёх эквигравитирующих стержней (б) При нахождении эквигравитирующих отрезков для такого тела последний член в (9.105) можно опять вычеркнуть (см. пример с диском), так как он не даст никакого вклада в контурный интеграл (9.100). Особые точки подынтегральной функции <р(() здесь С = -Н ± iR; С = Н ±iR. Контур Г после редукции сводится к трём отрезкам (см. рис. 74, б). Имеем: отрезок С В с концами Н - iR, Н -f iR и плотностью на нём - 2 ( С - H)y/R* +
/*i(0
=
~\iP
|
р
а
1
п
(C-H)*+
с - * - У * ч - к - * > 2
(9.Ю6)
а
С - я + у Д + (С~я)
2
отрезок DA с концами - Я — гЯ, — Я + гД и с плотностью 2
2(С + Я ) / Д + (С + Я ) Н Л
(9.107)
С+я-уя
2
+ (С + я )
2
2
2
Далее, поскольку в точках 1 и 2 на рис. 74, б значение In |с - Я + y/R + (С — Я ) | раз личается на 2ттг, то возникает ещё и третий отрезок EF длиной —Я ^ ( ^ Я с постоянной вещественной плотностью Мз (С) = npR = const. (9.108) Вклады в массу от отрезков С В и DA, 2
3
Mi = -inpR ]
3
М = гтгрД , 2
(9.109)
оказываются чисто мнимыми и, кроме того, сопряжёнными друг другу. Следовательно, при сложении эти вклады взаимно сокращаются. Таким образом, вклад в массу цилиндра даёт только вещественный отрезок EF: 2
M = 2irpR H.
(9.110)
9.9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИМ «КРЕСТ» ДЛЯ линзы, ОГРАНИЧЕННОЙ ПАРАБОЛОИДАМИ
277
Но вклад во внешний потенциал цилиндра дают все три найденных отрезка. Таким образом, потенциал цилиндра данного типа оказывается равен сумме трёх интегралов:
У>цил = < 3 ( / i + /
(9.111)
+/ ),
2
3
где Я+гЯ РЧ
(О
=<*С;
2
H-iR
\Д- + (*3-С)
:
-Я+гЯ (С) (9.112) -H-iR
^/г2 + ( х - С ) 3
2
2
yJr + {H-x )
+
3
/
H-x
z
2
3
= тгр Я In 2
2
^/г + (#+
х з ) - # - х
3
Эти аналитические результаты были проверены численно. Т З а д а ч а 9.12. Найти эквигравитирующий стержень для тонкой «шапочки» на сфере. Решение. Пусть «шапочка» АС В на сфере радиу сом Д имеет угол раствора 2а и поверхностную плот ность а (рис. 75). Начало отсчёта выберем в центре сферы и ось Охз сделаем осью симметрии «шапочки». Тогда потенциал для неё в точке (0,хз) после замены #з —• С дается при z > R выражением 2
у?(С) =
2nGaR
в
2
v/C ~ 2i?Ccosa + Я - Я + С
(9.113) Здесь есть две особые точки С = R е , так что «длина» искомого отрезка равна L = 2iRsina. В чис лителе (9.113) вклад в контурный интеграл (а значит, и в плотность стержня) даст только радикал. Следователь но, эквигравитирующий стержень имеет распределение плотности ± г а
2
л/С -2RCcosa /х(С) = - 2 г Д < т ^ 1
Рис. 75. Тонкая гравитирующая «шапочка» на сфере радиусом R
2
+ R 1 ,
L = Я(е'« - е-"*).
(9.114)
Очевидно, и здесь радиус сходимости ряда Лапласа равен ^ . Т
§ 9.9. Эквигравитирующий «крест» для однородной симметричной линзы, ограниченной двумя параболоидами вращения Найдём эквигравитирующие стержни для однородного тела в виде линзы, ограниченной двумя параболоидами вращения.
278
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
Рис. 76. Симметричная линза, ограниченная сверху и снизу параболоидами вращения вокруг оси Охз. Точками от мечены фокусы.
Рис. 77. Стягивание контура интегрирования у параболоидной линзы в «крест»
Дано однородное (плотности р) тело, ограниченное сверху и снизу параболоидами вращения (рис. 76). Выбрав начало цилиндрической системы координат в точке О, запишем уравнение верхней 2p(h-x )
2
(9.115)
2
(9.116)
= r
3
и нижней 2p(h + х ) - г 3
парабол линзы. Здесь h — полутолщина линзы, | — расстояние между вершиной параболы и точкой её фокуса. Объём линзы равен h V = A7rpj{h-
2
х' ) dx' = 2тгрЛ = тгг§Л; где r = y/2ph, 3
z
(9.117)
0
так что её масса М = ттрт^к. Потенциал на оси симметрии О х з
h
г
<р(х ) = 2irGp I I dx' 3
0
(9.118) I
2
Vf'
+ (^3-4)2
^
V
vv/r'2 A ' + ((xx - X : >)2 2
33
q
после проведения интегрирования и преобразований можно записать в виде MG Л 2
' х | + 2ph - х
3
+ | + х - h In
хз+р-
3
y/x% + 2ph = + (9.119)
+
хз + h
-I
In
\/xf+2ph
-хз+р
9.9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЙ «КРЕСТ» ДЛЯ линзы, ОГРАНИЧЕННОЙ ПАРАБОЛОИДАМИ
279
В частности, при больших хз потенциал <р(хз) имеет нужную асимптотику
Особые точки в формуле (9.119) появляются: а) при обращении в нуль радикала \Jx\ + 2pft, т. е. при ж = ±<^2рЛ;
(9.121)
3
б) в точках фокусов обоих парабол, поскольку в них обращаются в нуль аргументы у логарифмов. Расстояния до фокусов от центра линзы х = ±(А-£).
(9.122)
3
На плоскости £ = # з + ir линза повернута на угол ^ (рис. 77). Внешний контур в интеграле Коши (9.100) при стягивании образует «крест»: вдоль оси симметрии фигуры между точками фокусов парабол расположен фокальный вещественный стержень длиной 2ft — р , поперек ему — мнимый стержень. Найдем плотность на вещественном отрезке. При огибании точки h — |
радикал
/ л , , , , \Jx\ + 2ph - хз + р , \jx^ + 2ph и логарифм In ——остаются непрерывными функциями и разры ва не претерпевают. Однако другой логарифм 0
in
хз + р - \Jx\ + 2ph р
терпит здесь разрыв на 27гг. В итоге, на вещественном одномерном отрезке распределение плотности оказывается равным ( М — полная масса линзы)
/*i(0
= ^(ft-f-|Cl),
- ( - |) Л
<С <А-
На краях реального стержня (|С| = Л - | ) плотность исчезает р связана масса
A/i=
j
Mi (О
f-
(9-123)
г
= 0. С этим стержнем
•
(9.124)
- И ) Сложнее ситуация на втором, мнимом отрезке. Здесь при обходе точки ветвления гго (напомним, что г = \J2ph) радикал \ / о + С > естественно, изменяет свой знак. Учитывая это, после многих преобразований находим плотность на втором отрезке: Г
2
0
2 4- гС arctg \
+
arctg гС
гС
г
^ °
+
?
(9.125)
280
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
где -r <j
(9.126)
0
Масса мнимой перекладины «креста», как нетрудно показать, равна
М = j
0
р (С) d( = М
2
2
4
^/ .
(9.127)
-го Складывая найденные массы (9.124) и (9.127), получим полную массу «креста» (а значит, и исходной линзы) М + М = nprlh = Af, г
(9.128)
2
что и служит проверкой найденных стержней по массе. Таким образом, однородная параболоидная линза имеет эквигравитирующую систему стержней в виде «креста»: его основание состоит из вещественного неоднородного фо кального стержня длиной 2h — p, а перекладина «креста» есть стержень с чисто мнимым распределением плотности. З а д а ч а 9.13. Аналитическим методом проверить найденные эквигравитирующие стержни для параболоидной линзы по массе и, численно, по потенциалу. Пояснение к задаче 9.13. Нахождение интегралов (9.124) и (9.127) затруднений не пред ставляет. При проверке же по потенциалу вклад в пробную точку (г, х ) в конечном виде удаётся найти только от вещественного отрезка: 3
Ч fi{r,.r, ) 3
- G
/
— 2
/~
Р \ \/г
+ (х - С)
2
(9.129)
3
i
v -v MG
где 2
2
л/г + x - x
2
2
x/r + x + x
3
(9.130)
3
, р , р = п -- -I -- х#3 ,, z2 = п - - + х . z
Z\
3
2
3
Вклад же в потенциал от мнимого отрезка
Ыг,ъ)
= 0
Г
. »
2
{
0
C
K
(9.131)
на пробную точку вне оси симметрии (и вне экваториальной плоскости линзы) не выра жается полностью и через эллиптические интегралы. Поэтому в общем, не вырожденном случае член (9.131) допускает только численную проверку. 3 а д а ч а 9.14. Вычислить интеграл (9.131) в точках экваториальной предварительно положив в нём х = 0. 3
плоскости
линзы,
9.10. СТЕРЖНИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДИСКОВ
281
Интересный результат мы получим при софокусном «стягивании» массы параболоидной л и н з ы . Зафиксировав у неё точки фокусов, устремим р -+ 0; тогда и го —> 0. В этом пределе, как следует из уравнений обеих парабол (9.115) и (9.116) и того, что 7грг —* д , параболоидная линза при сохранении массы превращается в одномерный стержень с распределением вещественной плотности как раз вида (9.123). Действительно, при р —> 0 масса линзы М также стремится к массе стержня М\ (см. (9.124)). При софокусном предельном переходе мнимый стержень исчезает. Потенциал же получающегося вещественного стержня выражается через элементарные функции, как это видно из (9.129) при р —• 0. Подчеркнём существенное отличие параболоидной линзы от классического однородного вытянутого сфероида. С одной стороны, как мы убедились, в обоих случаях в пределе софокусного «уминания» массы получаются вещественные стержни (с разными, конечно, распределениями плотности, ср. формулы (9.123) и (9.6)). Но важнее другое: если стержень сфероида является эквигравитирующим телом для исходной конфигурации (а значит, и всем промежуточным софокусным сфероидам), то вещественный стержень параболоидной линзы не является эквигравитирующим ни самой линзе в исходном её состоянии, ни одному из её промежуточных состояний. В самом деле, у параболоидной линзы эквигравитирующим является «крест», состоящий не только из вещественного, но и мнимого отрезка. Дисковый предел для параболоидной линзы не существует, так как при h —> 0 надо потребовать и р —• 0; тогда г о ~ h и радиус диска исчезает вместе с его толщиной. 11
2
§ 9.10. Эквигравитирующие мнимые стержни для вещественных неоднородных круглых дисков Для многих задач физики, небесной механики и звёздной динамики необходимо знать элек тростатические и гравитационные поля неоднородных дисков. Рассмотрим здесь вещественные неоднородные круглые диски, в которых существует круговая симметрия в распределении массы. Дан неоднородный плоский круглый диск радиуса R и плотностью а (г). Теорема 6. Одномерным эквигравитирующим жень «длиной» L = 2iR с мнимой плотностью
телом для такого диска является
стер
R
M(C) = - 2 t / *(г) / ? . - Я < £ < Д. J \Jr + С г
2
2
(9.132)
1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Спроецируем массу диска на диаметр вдоль оси Ох\. Это даёт одномерный веществен ный стержень длиной 2R с массой dM = р (xi) dx\ в интервале от x i до x i + dx\ и вещественной плотностью
р(х )= х
11
j
o(yJxl + xl)dx
2
= Jo(r)-^=^.
(9.133)
Ранее в теории потенциала (теорема Маклорена — Лапласа) рассматривали только софокусные однородные гравитирующие эллипсоиды.
282
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ и диски
Нижний предел интегрирования здесь указывает на то, что вклад в плотность на данном интервале дают только те элементарные колечки, радиус которых больше или равен х\. Теперь замена (9.32) сразу приводит от (9.133) к формуле (9.132). Проверка выражения (9.132) по массе Вычисляем iR М
(9.134)
С 1
-iR
Подставляя сюда
(9.132) и делая замену С = гг/,
(9.135)
2
получим х = г , а также я
я
2
dx \Jx ^2
>
(9.136) 2
у
Меняя порядок интегрирования в (9.136) (рис. 78), имеем
х
Рис. 78. Область интегрирования (за штрихована) в двойном интеграле (9.136)
Я М=2
2
[o{x)dx I
d
[
y
.
(9.137)
I
Внутренний интеграл здесь, как легко видеть, равен 7г/2 и, следовательно,
У К
М
= 2тг
с
<7 г) ( rdr,
(9.138)
о что действительно совпадает с массой исходного диска. Проверка формулы (9.132) по
потенциалу
Достаточно выполнить её только для точек на оси симметрии Охз. Прежде всего, потенциал исходного диска вычисляется по формуле (9.36) и заменой в ней х = г при водится к виду 2
it dX
Слиска (Хз) = 7rG I О- (х) J
(9.139)
yjxi + X
Потенциал же стержня (9.9) с учётом плотности (9.132) и замены (9.135) даётся выражением я я 2
(9.140) Меняя порядок интегрирования в этом двойном интеграле, получим Я
2
dy
<Агг (хз) = 2 G r J а (х) dx J
(9.141)
3
2
2
{х з + у )
2
у/х-у
9.11. ОБРАТНЫЙ ПЕРЕХОД от мнимого СТЕРЖНЯ К ДИСКУ
Внутренний интеграл, как легко видеть, равен
283
, и в итоге приходим к
требуемому потенциалу (9.139). Совпадение же гармонических функций (а внешние потенциалы тел — именно таковы) на оси Ох означает и их совпадение во всём пространстве. 3
В частном случае однородного диска (9.132) сразу даёт известный результат (9.30).
•
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Обратим внимание на то, что формулы (9.132) и (9.36) весьма схожи (интегралы различаются только нижним пределом). Это обстоятельство поможет запомнить первую из них. При нахождении плотности по формуле (9.132) необходимо следить за тем, чтобы функция /х(С) была чисто мнимой и (в силу симметрии диска) чётной функцией от аргумента £. З а д а ч а 9.15. Найти эквигравитирующий широкого кругового кольца.
стержень для неоднородного
(сг = а (г))
Решение. Применяя метод задачи 9.3, находим: я
2
2
J Ri
у/г
+ С
2
1
С
R2
—R.2 <
(9142)
7<—
Ri,
Ri < £ < R . г 2
Эквигравитирующий стержень, следовательно, является составным (как и для однородного кольца, см. задачу 9.3). В частном случае R\ = 0 первый интеграл в (9.142) исчезает, и тогда получается решение (9.132) для сплошного неоднородного диска. Т
§9.11- Обратный переход от мнимого стержня к эквигравитирующему вещественному диску Такой переход от стержня к эквигравитирующему круглому диску является важным элементом развиваемой здесь теории. По сути, это есть обратная задача той, которая решалась выше. Для решения поставленной задачи обратимся к интегралу (9.132) и заменой в нём 2
г = -р
(9.143)
преобразуем этот интеграл в интегральное уравнение Абеля для неизвестной функции а (р) 2
С д(С) = -*' /
а
(9.144)
Это уравнение имеет решение (9.145)
284
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ и диски
Однако данное решение можно записать и в более простой форме интеграл в (9.145), получим
И
. Дифференцируя по р
р = Km - £ f f i = - I / _ £ « L - f . ^pJp—Fi 2 J 3 ^ -R (p-C )
А Г JtM^d? dp J ^ГГ?2 -If У
1 2
d
(9.146)
S
4
V
4
2
2
2
Последний интеграл после замен u = p(0;
v = —
2
VP - с
2
берётся по частям и приводится к виду
1 /
_ й * 0 _ ^ _
U
«
L
+
/
^ 4 ^ .
(,.,47,
Подставляя последнее выражение в правую часть (9.146), убеждаемся, что расходимости взаимно сокращаются, и в итоге мы имеем
+ j -Я
\
^ d?
>•
(9-148)
2
В частности, когда плотность на краях стержня равна нулю, то первый член в (9.148) про падает. Формулы (9.132) и (9.145) (или (9.148)) решают прямую и обратную задачи: по вещественному круглому диску с заданной а (г) находим мнимый стержень с р (С), и обратно — по известной плотности мнимого стержня р (С) находится заменяющий его вещественный диск. Для многих объёмных тел важно знать как заменяющий диск, так и заменяющий стер жень (конечно, если они существуют). Образно говоря, вначале объёмное тело с круговой симметрией мы «схлопываем» в эквигравитирующий диск, а затем, по желанию, этот диск «вытягиваем» в эквигравитирующий стержень. Мы говорим, что такие диски и стержни образуют эквигравитирующую пару. Из формул (9.132) и (9.145) (или (9.148)) следует важный качественный вывод: в паре «диск — стержень» вещественному диску отвечает стержень с мнимой плотностью™. Далее: диски могут существовать только для тел с экваториальной плоскостью симметрии, и значит — только для стержней с симметричным относительно их центра распределением массы. Другими словами, функция р (£) должна быть чётной функцией от аргумента £. Так, у шарового сегмента и соответствующего ему стержня (9.88) указанная симметрия отсутствует и заменяющего диска для такого сегмента просто нет. З а д а ч а 9.16. Докажите 1 2
13
последнее утверждение
прямым
расчётом!
Аналогичные преобразования см. для формулы (9.177). И наоборот: мнимому диску соответствует вещественный эквигравитирующий стержень, как это показано в
9.12. ПРИМЕРЫ
285
З а д а ч а 9Л1 .Доказать, что для «шапочки» (9.114) также нет эквигравитирующего диска. Решение. Пусть «шапочка» с поверхностной плотностью OQ имеет вид пустотелой по лусферы. Полагая а = £ в формуле (9.114), согласно (9.145), после замены там £ = is, имеем формально для плотности искомого диска выражение
г
Поскольку данный интеграл расходится, то диск, заменяющий «шапочку», не существует. Т
§ 9.12. Примеры на пары эквигравитирующих тел «вещественные диски — мнимые стержни» Х.Диск, получаемый в асимптотическом
пределе из конуса
Дан диск с поверхностной плотностью a(r) = a
0
( l - ^ y
(9.150)
Именно такой диск (тем и важен этот пример!) получается в асимптотическом плоском пределе из однородного конуса, когда угол при вершине конуса стремится к 7г/2 и длина образующей фиксирована (см. (13.94)). Подставляя (9.150) в формулу (9.132) и интегрируя, в итоге находим, что эквигравитирующий стержень для данного диска имеет плотность
МО = " - о
, - R * i * R .
(9.151)
Масса стержня (а значит, и диска) 2
А / = 1тг<7 Л .
(9.152)
0
В частности, потенциал на оси симметрии Ох-$ для диска данного типа имеет вид
{
2
/
х
R
4-
2
\/R
4-
2
х Л 9 1 5 3
^Да + а§-2|я | + ^ 1 п \( > В § 10.7 (задача 10.7) будет найден эквигравитирующий сфероид для данного диска, а также получен внешний пространственный потенциал обоих этих тел. З а д а ч а 9.18. С помощью формулы (9.9) найти потенциал стержня с плотностью (9.151) на оси Охз и подтвердить результат (9.153). 3
2. Однородный сжатый
Ы
сфероид
Как мы знаем из § 9.1, это тело имеет эквигравитирующий круглый диск с поверхност ной плотностью (9.5). Чтобы найти для этого диска (а значит, и для исходного сфероида) эквигравитирующий стержень, подставим (9.5) в (9.132). Тогда получим
286
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ и диски
Интегрирование в (9.154) сразу даёт д
(
с
ЗгМ
)
(
F L
2_ 2_ Q
B C
2
) >
(
9
Л
5
5
)
2
4 ( a - af) что тождественно с (9.7). Итак, однородный сжатый сфероид — это первое объёмное тело, для которого мы знаем и заменяющий стержень (с мнимой плотностью), и заменяющий диск (с вещественной плотностью). Между прочим, пока сфероид сжат не слишком сильно и эксцентриситет у него е < 0.707 — заменяющий стержень расположен внутри сфероида, а при е > 0.707 — стержень уже «торчит» из него. Критическое значение е = 0.707 отвечает равенству а\ - а\ — а§, когда стержень касается поверхности сфероида. Это — нагляд ная геометрическая интерпретация того, когда радиус сходимости ряда Лапласа (равный «полудлине» заменяющего стержня \/а\ — а§), уже не будет находиться целиком внутри однородного сжатого сфероида. 3. Дан диск с плотностью
а (г) = его ^1 -
^
,
п - любое вещественное число,
(9.156)
имеющий, как нетрудно убедиться, массу М = Н2^!.
п
(9.157)
-+-1
Согласно формуле (9.132), гравитационное поле этого диска заменяет стержень с мнимой плотностью 1
•
"
(c,=
2
„v^r(n + l ) /
-^7(^|f(
1 +
< \
^j
П
2 /
Л
1
,
о
ч
(9158)
•'
в частном случае, при п = 0 , 1 , 2 , 3 . . . , (9.158) имеет вид
"
(с)
= -^(ёттуп ( $) х+
З а д а ч а 9.19. Найти заменяющий
+ 2
' -* < 7 <
стержень для экспоненциального
А
( 9 Л 5 9 )
диска
__ г
о (г) == а е
Г в
0
масса которого
, где 0 < г < оо,
равна 2
М = 2тг<7 г 0
(г — эффективный радиус 3
(9.160)
(9.161)
диска).
Другие примеры на эквигравитирующие щие) диски и стержни будут даны ниже.
(или, как можно также говорить: на замещаю
287
9.13. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ПАРЫ
§ 9.13. Эквигравитирующие пары «мнимые круглые диски — вещественные стержни» Выше мы доказали существование эквигравитирующих пар «вещественные диски—мнимые стержни». Назовём их парами первого типа. Но, оказывается, существуют и пары второго типа: зеркально отраженные вышеуказанным эквигравитирующие пары «мнимый диск — вещественный стержень». Изучение таких пар столь же нетривиальная и важная задача, как и пар первого типа. Попробуйте вообразить, например, каким должен быть плоский круглый диск, чтобы он имел в пространстве тот же потенциал, что и вытянутый нормаль но к плоскости диска однородный сфероид? Но такое оказывается возможным, если сам исходный круглый диск (при реальной у него массе и реальном гравитационном поле) будет мнимым. Справедлива следующая теорема. Теорема 7. Внешний потенциал однородного вытянутого сфероида с полуосями аз ^ а\ может быть представлен как одномерным гравитирующим стержнем с веще ственным распределением плотности (9.6), так и неоднородным мнимым круглым диском с распределением поверхностной плотности
27г (а\ - а{) у
а§ - а |
*
v
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
То, что для сфероида данного типа существует эквигравитирующий вещественный стер жень, было установлено в § 9.1, см. формулу (9.6). Поэтому переходим сразу к доказательству существования мнимого диска. Воспользуемся для этого изумительно простым, но очень эффективным приёмом : от сжатого сфероида а\ > а з , имеющего эквигравитирующий ве щественный диск (9.5), путём непрерывной деформации перейдём через шар к вытянутому сфероиду с аз > а\. При этом а\ - а - * - (а§ - а\), так что из (9.5) сразу получим выра жение (9.162). Обратим внимание на то, что диск является мнимым (его радиус i\/a\ — а\) и на границе его плотность обращается в нуль. Проверка формулы (9.162) по массе элементарна: 14
2
(9.163)
о По внешнему же потенциалу формулу (9.162) достаточно проверить только в точках на оси симметрии фигуры. Как известно, внешний потенциал на оси однородного вытянутого сфероида имеет вид (6.33). С другой стороны, потенциал мнимого диска на оси Охз даётся интегралом по стержню
^диска {хз) = 2тгС
/
J 1 4
Этот приём применён и ранее при доказательстве теоремы 1.
(9.164) 2
\/r +xl
288
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
Этот интеграл с учётом (9.162) записывается так:
Слиска 0 Г ) = —
/
3
а
Заменой ж = т j{iyja\
а
3 ~ 1
J ^
^
frdr. т
(9.165)
ж
+ з
— a^j интеграл (9.165) легко берётся, и мы приходим к выражению
(6.33). Поскольку же внешний потенциал — функция гармоническая, то по известным тео ремам анализа о единственности представления этих функций и по только что доказанному равенству потенциалов вытянутого сфероида и мнимого диска на оси Охз мы утверждаем: и во всех других точках пространства внешние силовые поля этих тел будут равны. Мнимый диск (9.162) действительно является эквигравитирующим телом для одно родного вытянутого сфероида, а также для вещественного одномерного стержня (9.6). Итак, существование пары вещественный стержень — мнимый диск
(9.166)
где для краткости обозначено R = y/aj-al
(9.167)
в данном примере доказано. • Легко видеть, в частности, что заменяющий диск находится полностью внутри сферо ида, пока ^
^ \ / 2 , т . е . е ^ 0.2924.
(9.168)
Таким образом, радиус сходимости ряда Лапласа здесь равен R, что согласуется с классическим результатом. Заменяющие стержни и диски дают наглядную геометрическую интерпретацию для радиуса сходимости ряда Лапласа. По заданной мнимой плотности диска вещественная плотность эквигравитирующего стержня определяется теперь интегралом (ср. с формулой (9.132)) iR
p(0
= 2i [ а { г ) - ф = .
(9.169)
Проверим эту формулу на паре «диск — стержень» для однородного вытянутого сферо ида. Подставив под знак интеграла а (г) из (9.166) и делая в нём замену 2
г =
2
-R x,
получим
" M - ' t S s / ^ / j i i * .
» - & •
(
9
1
7
0
)
9.13. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ПАРЫ
289
или же (9.171)
>м-£&/^-$('-&).
что действительно совпадает с р (С) из (9.166). Но не менее важно знать и общий способ нахождения мнимого эквигравитирующего диска по вещественному стержню. Рассмотрим этот вопрос, для чего обратимся к интегра лу (9.169) и сделаем в нём замены
г = гр; С
2
= Х]
тогда имеем X р(у/х)
dp
=i J a(iy/p) я
(9.172)
х
V -р
2
Для решения этого уравнения умножим левую и правую части на
и проинтегрируем
x
Vv~ 2
по переменной х от R до у. Имеем
(9.173) J Я
у/у-Х
J Я
2
у/У -X 2
J Я
у/Х~ 2
Интегрирование в двойном интеграле проводится в плоскости (х>р) по треугольной области (рис. 79).
Рис. 79. Область интегрирования (заштрихована) в двойном интеграле
(9.173)
Целесообразно изменить здесь порядок интегрирования. Тогда У
[>^SLdx
У
У
= i \o(iJp)dp
d
[
x
,
(9.174)
и в силу очевидного У
dx
I р
19 Кондратьев Б П
х
\/{У~ )
= ж (х-Р)
(9.175)
290
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
имеем
Г ц(у/х) J2
я
Нт
=
i
f
n
у/У~ у/У
х
у ~
d
p
( 9 1 7 6 )
J2
я
Дифференцируя обе части полученного равенства по у, находим
i*a(iy/v) = ±
f^Mdx. Я
(9.177)
2
Но j- } ^dx я
= lim ^
- I / м (VS) - ^ 7 J •
2
я
2
v
*
(9.178)
'
Заменой V
и = р (л/х);
=
dx
f'
(у - я )
2
(9.179) х
у/У-
3 / 2
интеграл в правой части (9.178) берётся по частям У
У
(9.180) Я
2
Я
2
Подставляя этот интеграл в правую часть (9.178), видим, что расходимости взаимно сокра щаются, и в итоге получим
„и
я\
1 1 А*(Д) . }<¥{у/*)
dx
1
Это и есть требуемый результат. Формула (9.181) позволяет по плотности вещественного стержня найти поверхностную плотность о эквигравитирующего с мнимым радиусом. Например, для р (£) из пары (9.166)
(9.181)
р(х) диска
так что
Тогда формула (9.181) даёт
3
2R
^ " & v
i
+
что совпадает с плотностью соответствующего диска из (9.166).
S -
< 9 | 8 4 )
9.14. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ для ШАРОВЫХ СЕГМЕНТОВ
291
§ 9.14. Эквигравитирующие элементы для шаровых сегментов, больших полушара Рассмотрим однородный шаровой сегмент (рис. 80), больший полушара. В отличие от задачи 9.8, этот сегмент имеет «тупые края», так как Н ^ R.
Рис. 80. Шаровой сегмент ЛВК с «тупыми» краями
Рис. 81. Контур интегрирования в шаро вом сегменте с «тупыми» краями
На комплексной плоскости С = £ з + ir сегмент поворачивается по часовой стрелке на § (рис. 81). Внешний потенциал сегмента на оси симметрии в точке хз дан формулой (9.90). Со гласно (9.100), потенциал в точке хз может быть представлен также модифицированным интегралом Коши, где контур интегрирования в исходном положении совпадает с контуром самой фигуры. При аналитическом продолжении внешнего потенциала внутрь толстого сегмента нахо дим три особые точки. Две из них, как и в случае сегмента с острыми краями из задачи 9.8, — это точки А и В излома контура сегмента с координатами Сд = —id и £в = id. Но есть, как мы узнаем впоследствии из § 11.5 2, ещё одна особая точка ( з = Н — R, совпадающая с центром шара О', частью которого является данный сегмент. Поэтому редукция конту ра интегрирования Г даёт теперь не только мнимый стержень с плотностью (см. формулу (9.88)) з 2. (" + С ) (9.185) (-*<7 ) 2
(
2
2
п
<
а
но, кроме того, ещё и изолированный кружок вокруг точки 0' точке £ = хз + ir соответствует точечная масса M
M = jp 2
2
(C)dC =
1
-——
res
2
< -T'KGQ
Д+(а
(см. рис. 81). Этой особой
2
2
+ С )
2
(9.186)
где Ti — контур вокруг точки Сз = Н - R. С учётом геометрического соотношения на
292
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ и диски
параметры сегмента 2
2
a? + {R-H)
= R
(9.187)
находим М
3
= §^ тгрЯ = — М -''-'шара •
2
(9.188)
ш а р а
Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 8. Для сегмента при Н - R> 0 (сегмент с «тупыми» изломами) эквигравитирующими элементами будут мнимый стержень АВ с pi{() из (9.185) и точечная масса образующего шара, помегцённая в его центре О'. Контрольная проверка утверждений
теоремы 8 по массе
Вклад в массу сегмента от мнимого стержня даётся интегралом 2
? 2 Мг = у Mi (С)<К = | f у
/Ч« + С )* д _ д _ # 2
(9-189)
с
заменой ( = гх легко берётся и приводится к виду 2
М
х
= т г р Я (R - ^j-
Af
(9.190)
2>
где М из (9.188). Отметим, что полушара М\ = 0. Складывая М\ и М 2
2>
в итоге находим
2
М = М + М = тгрН ( R - ^ . Х
(9.191)
2
Это и есть полная масса однородного шарового сегмента. Проверка утверждений
теоремы 8 по
потенциалу
Следствие 6. Внешний гравитационный потенциал сегмента с Н > R на оси Охз в представлении через эквигравитирующие элементы равен га
*Ы
=
о1£®Ж
M
-f хз - ( Я - R)
+
J
R
х - С 3
(9.192)
y
—га причём хз отсчитывается от точки О на основании сегмента. Рассмотрим отдельно первый член в (9.192), представляющий вклад в потенциал од нородного сегмента от мнимого стержня; после подстановки плотности р\ (Q этот член приводится к виду:
„
С у1 К (Гг - з )-> = G
—га
( С )
AC = hCn - гСр 3
у1
fl2
(
я
+
_( _ д
C 2 0
(
C
)^ _ а
:
з
с
)
.
to(9-193) 193^
—га
Но очевидно, что знаменатель подынтегрального выражения здесь можно представить в следующем виде
9.15. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ТОРОВ
1
1 (_1 * з - ( H-R)\H-R-<: #
(Я-Д-О(хз-С)
293
1—)
.
агз-С/
Тогда
¥>1 (*з) =
х - (Я - R)
(9.194)
(h-h),
3
где мы обозначили
(9.195)
га ( а
2
2
2
+С )
2
? (а -* )*
2
= 2ix
3
/
т
2
2
(а + х|)2 - | а х - х
z—dx = гтг
2
3
(9.196) Поэтому 1^ ¥>1 (*з) =
х - (Я - Д)
2
2
2
2
2
(а + х ) 2 - | а х - х + f Я (R - f ) | 3
(9.197)
3
"я?з-(Я-Д)' Полный внешний потенциал сегмента есть сумма вкладов в него от мнимого стержня и точечной массы М в точке 0' ш а р а
ip (х ) = ч>\ [хз) 4- чъ (х ), 3
3
причем Ч>2 (Хз)
(9.198)
х - (Я - R) 3
Таким образом, полный внешний потенциал будет равен
(а + xl) § - §а * - х\ + § Я (я - f ) 2
2
2
3
хз - (Н - R)
(9.199)
С учётом равенства (9.187) легко убедиться в тождественности выражений (9.199) и (9.90).
§ 9.15. Эквигравитирующие элементы для однородных торов Потенциал на оси симметрии однородного кругового тора из § 7.1 и потенциал тора с сечением в виде овалов Кассини, найденный в § 7.5, используем теперь для нахождения систем заменяющих стержней и материальных точек для этих тел. Рассмотрим сначала торы с сечениями в виде овалов Кассини.
294
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ и диски
9Л5Л. Тор с сечением в виде овала Кассини Прежде всего обратим внимание на то, что потенциал (7.103) этого тора имеет четыре особые точки. Две из них Ci,2 = ± i
V
c
\
°
4
(9.200)
соответствуют случаю к = 1, ещё две точки (точки ветвления второго порядка) даёт радикал в Л из (7.102)
Рис. 82. Составной эквигравитирую щий стержень для однородного тора с сечением в виде овала Кассини. По казаны контур интегрирования и на правление его обхода
Сз,4 = ±гс. (9.201) Эквигравитирующий стержень такого тора оказывается составным (рис. 82): к внутреннему С1С2 примыкают два одинаковых внешних отрезка СхСз и СгС4- На 2
внутреннем отрезке £1^2 справа от него Л ~
— V ^ C
2 2
, а слева Л =
2
су/с* - С
Смена знака А означает
j
Vl-Хсовв
cosOdO
~**-\ J
е
О
у/1 + Л cos
в cos 0d0 =
7Г
(9.202)
7Г
= - J ч/1-f Acos0 COS0C0, так что в итоге, согласно формуле (9.101), на внутреннем отрезке С1С2 происходит удвоение потенциала и плотность заменяющего отрезка здесь будет равна п 2
/и (С) = -2гра
/ y/l + A cos 0 cos Ode, о
4
ч/с - а
4
(9.203) 4
С ^ \/с - а
4
На обоих же крайних отрезках С1С3 и С2С4 аналогичные рассуждения дают выражение для плотности
9.15. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ТОРОВ
295
ТГ-00 2
fi(Q
= 2ipa
J
>/1 + ACOS0COS0CW,
(9.204)
О
где интервалы интегрирования такие: с
^ 1 ^
с
>
^ J ^ с.
с
(9.205)
Угол во находится из условия обращения в нуль выражения под радикалом 1 + A cos в при в = 7г — во, так что 2
1
0 = arccos — = arccos |А| О
Су/С
- С
а г
2
.
(9.206)
9.15.2. Э к в и г р а в и т и р у ю щ и е элементы д л я кругового тора Эта задача непростая. Исходим из формулы (7.32)
ip(x )^47rGpr Ro^— —3
0
l
/ л/1 + A c o s ^ c o s ^ d ^ , о
(9.207)
A = - 2^ L .
(9.208)
где l = y/Rl + xl,
l +
Интеграл (9.207) можно представить в более простом виде
(р(х ) 3
= AirGpRoj-
j )jl - ^ s i n х cos xdx. 2
2
(9.209)
о Далее (9.209) запишем в общей форме 7Г
J F(x ,x)cos xdx,
2
2
(9.210)
3
где i
/
rl
2
2
2
2
y^+x -r sin x
Подынтегральная функция F ( x 3 , x ) имеет два полюса при х з = ±iRo, а также две точки 2
ветвления при х = ±iyj'RQ — r§ s i n x . Согласно формуле Коши, мы можем представить 3
функцию F (хз, х) в виде контурного интеграла
где контур интегрирования охватывает отрезок (—iRo,iRo) в положительном направлении (рис. 83).
296
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И ДИСКИ
2
* С, =iyJRo -Го sin х
О
О
Re С
Рис. 83. Промежуточный контур интегрирования для однородного кругового тора
Re^
Рис. 84. Конечный этап деформирования контура интегрирования для однородного кругового тора
Стискивая и деформируя общий контур, получим три более простых контура (рис. 84). А именно, один контур вокруг точек ветвления ±iyjЩ — r% s i n х , и два кружочка вокруг мнимых точек ±{RQ. Последние дают вычеты, которые нетрудно найти. Так как 2
С + Я 2
L_ ( _ 1
2
1_\
(9.213)
2гД,
то
F ((, х) — 2т • ( r sin х ) .
res
(9.214)
()
С=±гЯо
Следовательно, вместо (9.212) имеем
F(x„x) = i
Р
/
^
>
)^_. - С я
r sin х
:
Го s i n X
0
2iД
0
( x - г#о)
2гД ( х + г # )
3
0
3
0
2
- г ^ / Я ^ - г ^ sin х
тгг
J -iyjKo-rl
- С
2
х + Д
(9.215)
2
2
sin' х-
Потенциал тора на оси симметрии (9.210) можно записать теперь так iy^g-rgsin if (x ) 3
= 47Г6>Д Г^ 0
j COS X
2
2
тгг
J
^(С^х) ,
г sin х
хз - С
*з + Яо
0
dx.
(9.216)
2
—iy/RQ —rg sin x
Последний член в (9.216) интегрируется сразу 3 Д2
+
2
х
3
2
Я,+
X
2
(9.217)
297
9.15. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ТОРОВ
В (9.216) остаётся двойной интеграл 2
2
2
i\JЯ —г ,
sin х
}
F(C,g)
\
-С 2
2
(9.218)
dx.
2
-iyj'Я , — г s i n x
Область интегрирования для него показана на рис. 85. Для упрощения интеграла поме няем в нём порядок интегрирования. Тогда, интегрируя сначала по х\ а затем по С, приводим 7i к виду 2
- уЯ -г
2
г
*- / т«+1 т«+1
Дз (С)
/R2_ ,2
-гЯ
t
(9.219)
,-./p2_. :
0
r
где, поскольку /х- (С) = AnprfiRo • & (С)» функции г
7Г
2
2
(Л) = —
2
°
2
2
/ cos ху/ 1 - к sin ,т dx; л/Д + f 2 J
-
2
2
= л!К ~ ii sin x
(C)=/i3 (0 = . l arcsin 7" k
8ipr$Ro4
c
f
/ 2
2 COS X у/1
2
2
- k sin a; dx ;
•/
(9.220) и представляют плотность на соответствующих трёх участках мнимых стержней тора. Плотности на искомых заменяющих отрезках тора можно выразить через полные эллиптические интегралы: Mi (С) = - | < р г Л о 0
Рис 85.
Область
''о
(j; + к) Е (к) - ( I - к ) К (fc) ; fc =
т (О = мз (С) = ~^§=
интегрирования в
интеграле (9.218)
< 1;
I Vd-^ )(i-* ) dt 2
(9.221)
2
(1+ * » ) E ( ! ) - ( ! - * » ) К (I)" ;
к
(9.222) го
^ 1.
Таким образом, гравитационное поле однородного кругового тора может быть заме нено полем более простой системы тел. В эту систему входят:
298
ГЛАВА 9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. СТЕРЖНИ И диски
1. Составной (из трёх звеньев) мнимый стержень с плотностями: Mi (С)
из (9.220) на отрезке
- yjR%-r*
р (С)
из (9.221) на отрезке
- Д ^ i < — ^/-Rg — т-g;
li (С)
из (9.221) на отрезке
^/flg -
2
2
^ | <
у ^ - г
2
; 9
( -
0
2 2 3
< j <Я . 0
2. Две одинаковые точечные массы М = М = |тгдг{}, 4
(9.224)
5
расположенные в точках на оси симметрии С ,5 = ±iRo .
(9.225)
4
Проверка эквигравитирующей
системы для тора по массе
Полная масса тора М
2
т о р а
= 27г г^Д р.
(9.226)
0
Вклад в массу от первого заменяющего отрезка с плотностью (9.221)
Mi=
у
/11 (ск,
(9
-
227)
а от второго и третьего отрезков с плотностью из (9.222) H
r
V o" o
М = 2
y
iRo
M2(C)dC,
М
3
=
J
W
(C)rfC.
(9.228)
о
Эти формулы были проверены численно и сумма отдельных членов совпала с полной массой тора (9.226). З а д а ч а 9.20. (Поисковая!) Проверить однородного кругового тора по потенциалу.
систему эквигравитирущих
элементов для
Замечания Аннотация к главе поясняет её содержание. Материал параграфов §§ 9.1-9.8 основан на статье [24]. Здесь добавлен § 9.5 о про странственном потенциале круглого диска. § 9.1. Классика! Ссылка на Сретенского [44]. § 9.2. Эквигравитирующий стержень для сжатого сфероида имеет мнимую плотность. Это не торговля мертвыми душами (вспомним у Н. В. Гоголя бессмертную сцену между Чичиковым и Маниловым!) — масса и потенциал такого отрезка оказываются реальными. Преобразование же от вытянутого сфероида (имеющего вещественный эквигравитирую щий стержень) к сжатому можно представить себе как некоторый аналог аналитического продолжения!
)
9.15. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ТОРОВ
299
Первоисточник: [21]. § 9.3. Одна ласточка весны ещё не делает (но и весны без первой ласточки не бывает): стержень для сжатого сфероида — начало большой новой темы. Первоисточник: [21]. §§ 9.4, 9.5. Диск (или широкое кольцо) важны не только как отдельные объекты, но они и составной элемент многих осесимметричных тел. Далее без изучения плоского круглого диска и кольца нам не обойтись. Ранее (см. (см. [14], стр. 117)) потенциал круглого диска находился только громоздким прямым способом через интеграл (1.22). У нас этот потенциал получен более компактно, причем двумя принципиально новыми методами. У нас впервые для диска рассчитаны кривые равного потенциала. К [21] добавлен ряд новых задач. § 9.6. Показано, как надо комбинировать стержни элементарных дисков, чтобы получить эквигравитирующий стержень для объёмного тела в целом. Первоисточник: [21]. § 9.7. Рассматриваются интересные примеры приложения теории. Заметим, что формула (9.88) годится только для тонкого шарового сегмента, а «толстый» сегмент имеет не только эквигравитирующий стержень, но ещё и материальную точку, см. § 9.14. Первоисточник: [21]. § 9.8. Интеграл Коши мог, конечно, понадобиться нам и ранее, при нахождении стерж ня диска. Сейчас же без него и вовсе не обойтись: именно с его помощью создаётся и обосновывается общий метод развиваемой здесь теории. Первоисточник: [21]. § 9.9. Оригинальный эквигравитирующий скелет («крест», вертикаль которого состоит из вещественного стержня, а перекладина — стержень с чисто мнимым распределением плотности) делает параболоидную линзу интересным примером. Первоисточник: [21]. § 9.10. Метод нахождения эквигравитирующих стержней для неоднородных круглых дисков существенно дополняет теорию и расширяет область её применения. Первоисточник: [21]. §§ 9.11, 9.12. Переходы от мнимого стержня к вещественному неоднородному диску, и обратно, позволяют решать принципиально новые задачи. Примеры здесь важнее правил! Первоисточник: [21]. § 9.13. Рассмотрен общий способ нахождения мнимого эквигравитирующего диска по вещественному стержню. Получены формулы для обратного перехода. Это делает теорию эквигравитирующих тел более полной. Первоисточник: [21]. § 9.14. Новая грань проблемы. Сочетание мнимых стержней с вещественными точеч ными массами позволяет создать эквигравитирующую систему элементов для шаровых сег ментов, больших полушара. § 9.15. Нахождение эквигравитирующих стержней для торов — сложная математическая задача и одновременно хорошая проверка для развитых методов. Итог весьма любопытен: у однородного кругового тора полная система эквигравитирующих элементов состоит из составного мнимого стержня и двух вещественных точечных масс. Этот результат был про верен нами численно. (В [21], § 3.11.2 задача была рассмотрена неполно.)
ГЛАВА 10 Э К В И Г Р А В И Т И Р У Ю Щ И Е С О Ф О К У С Н Ы Е О Б О Л О Ч Е К
Т Е Л А .
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я
И
Э Л Л И П С О И Д О В
Для поиска новых эквигравитирующих тел мы разрабатываем ещё один метод, активно ис пользуя специальные софокусные преобразования. Такие преобразования применяются у нас не только к однородным сплошным эллипсоидам, как это делали классики, но и к отдель ным элементарным эллипсоидальным оболочкам общего типа (а не только к гомеоидам, как это делал Шаль, см. Вебстер [11], стр. 449), а также к эллипсоидальным толстым оболоч кам и к слоисто-неоднородным эллипсоидам в целом. Изюминка здесь в том, что любые (в смысле произвольных функций щ (га), задающих тип стратификации и форму оболочки, см. § 5.1) элементарные (или конечной толщины) эллипсоидальные оболочки и сплошные сло исто-неоднородные эллипсоиды, связанные указанными софокусными преобразованиями, являются эквигравитирующими. Данный подход позволяет получить новые интересные ре зультаты.
§ ЮЛ. Софокусные преобразования эллипсоидальных оболочек и слоисто-неоднородных эллипсоидов Здесь излагаются элементы нового подхода к изучению притяжения большого класса тел. Дан эллипсоид с внутренней стратификацией (см. § 5.1)
2 2*1/ ^ а\тг
+
2 f\,
a^mroL^ (га)
щтгщ,
А
=
1
(0<тш, <т<1). п
(10.1)
(га)
Промежуточная поверхность S (га) имеет квадраты полуосей 2
2
а^т ,
2
a m otl(m),
2
2
(10.2)
2
а т а (т).
Выполним теперь такое преобразование этой промежуточной поверхности в другую эллип соидальную поверхность, при котором новые квадраты полуосей будут равны 2
2
2
2
2
(10.3)
2
га (a + д ) , га {a\a\ (m) + p) , m ( a a (га) + p) .
Очевидно, что при данных преобразованиях фокусы поверхности S (га) совпадут с фоку сами новой поверхности £ ( г а , / х ) . Преобразования (10.3) для краткости будем называть софокусными. Подчеркнём, что здесь мы расширяем понятие софокусных преобразований и применяем их не только к гомеоидам и фокалоидам, но и к эллипсоидальным оболоч кам, а затем и к слоисто-неоднородным эллипсоидам самого общего вида . Но пока мы 1
1
В классической литературе софокусные преобразования применялись только к сплошным эллипсоидам (см. [14]), или, как это делал Шаль, к тонким гомеоидам [11].
10.1. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ, ДИСКИ, СТЕРЖНИ И ЭЛЛИПСОИДЫ
301
говорим только об отдельных эллипсоидальных оболочках. Для них имеет место важное утверждение. 1. Когда две эллипсоидальные оболочки, толстые или тонкие, связаны преобразованием (10.3), то их внешние поверхности ЕиЕ',а также внутренние I и Г (рис. 86), оказываются софокусными. Назовём такие оболочки софокусными друг другу . 2. Кроме софокусности, важным свой ством преобразований (10.3) является и то, что они сохраняют геометрический тип исходной оболочки. Так, гомеоид с по луосями йгШЕ (г = 1,2,3) для внешней по верхности Е, и aiVtii для внутренней по верхности / , переходит в гомеоид с по 2
луосями ГПЕУ/О% + /1 и miy/af
+ р.
Оба
гомеоида будут софокусными друг другу (в указанном выше смысле), хотя и име ют разные, конечно, сжатия главных сече ний, например, £12 = 1 и е' = 1 12
Рис. 86. Две эллипсоидальные оболочки (сечение одной из трёх главных плоскостей) оказываются софокусными, если их полуоси связаны преобра зованием (10.3)
I а% + у . Далее, фокалоиды преобразу-
ются таким способом также в фокалоиды, и т. д. 3. Однако преобразования (10.3) изменяют, вообще говоря, объём оболочек. Для сохра нения объёма необходимо ввести дополнительное требование. А именно, если две элемен тарные софокусные оболочки заполнить однородным по плотности веществом, то условием сохранения их массы будет 3
р (т) aia a -j^ 2
[m c*2 (m) а (m)] =
3
3
(10.4) m 3
a
а
то
\ / [ i + м] [ а | 2 ("г) + (4 [оз"з ( ) + (4
f
где р (га) и p (га) — плотности исходной и преобразованной оболочек. 4. Будучи применёнными к слоям сплошных слоисто-неоднородных эллипсоидов, преоб разования (10.3) в целом не изменяют структуру этих объектов. Так, эллипсоид из гомеоидов опять переходит в эллипсоид из гомотетичных слоев (но уже софокусных исходным); эллипсоид из фокалоидов — в новый эллипсоид из фокалоидов, и т. д. Такие софокусные сло исто-неоднородные эллипсоиды будут иметь одинаковую массу, если выполняется условие (10.4) для отдельных соответствующих слоев. Пусть дан фокалоид (причём не обязательно тонкий), который описывается граничными поверхностями (внешней Е и внутренней / ) с квадратами полуосей (см. формулы (5.37)) 2
а\т%\
а\ (т
а\т\,
а\ (га? - е\ );
Е
- е\ ) ; а\ (т% - е ? ) 2
3
а\ (mj - е ? ) .
2
3
Применив теперь к граничным поверхностям этого исходного фокалоида преобразование (10.3), получим квадраты полуосей поверхности Е' 2
т% (а\ + р); а\ (т% - е ? ) + т р; 2
2
Е
а\ ( г а | - е\ ) + г
2
тр Е
Подчеркнём, что введенное здесь понятие софокусных оболочек самого общего вида в таком виде (см. преды дущую сноску) ранее не использовалось.
302
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
и /' т) [а\ + р) ; а\ (raj - е\ ) + т]р\ а\ [т] - е ^ ) + т]р 2
соответственно (см. рис. 86). Тогда разность квадратов второй и первой, например, полуосей у оболочки Е оказывается той же (= а\е\<^), как и у оболочки и т. д. Аналогично обстоит дело и для поверхностей I иГ. Следовательно, поверхность Е будет софокусна поверхности Е'а поверхность / — софокусна поверхности что и требовалось доказать. Поэтому в случае с двумя фокалоидами при указанных преобразованиях софокусными оказываются уже все четыре поверхности Е, Е\ I и / ' ! В общем же случае софокусность была, кратко говоря, лишь попарной. Пока говорилось только о геометрических свойствах преобразований (10.3). Далее рассмотрим гравитационные свойства софокусных оболочек и сконструированных из них сплошных слоисто-неоднородных эллипсоидов.
§ 10.2. Эквигравитирующие эллипсоидальные оболочки Важнейшим свойством двух элементарных оболочек, связанных преобразованиями (10.3), является то, что при одинаковой массе они имеют во внешнем пространстве один и тот же ньютоновский потенциал, т. е. такие софокусные оболочки являются эквигравитирующими. 10.2.1. Софокусные гомеоиды Дан элементарный гравитирующий гомеоид однородной плотности и массой М , имеющий граничную поверхность с полуосями с^: ±*Л =1. »=i °»
(10.5)
2
Рассмотрим другой элементарный гомеоид той же массы, имеющий полуоси >/о? + Ао и софокусный первому. Поверхность этого гомеоида ^ Y
ж? 1
(10.6)
= 1.
3
Теорема 1 ( Ш а л ь ) . Два элементарных софокусных гомеоида данного типа одинаковый потенциал во внешней для та точке (х{).
создают
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Рассмотрим внешние потенциалы этих софокусных оболочек. Согласно (5.64), потенциалы для первого и второго гомеоидов (их массы одинаковы) соответственно равны ^
3
ф )
=
сю QM. [
ds
(
1
0
7 )
Согласно Вебстеру [11], данный результат был получен Шалем в работе [57]. Из-за недоступности источника, мы даём этой теореме своё доказательство.
303
10.2. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ОБОЛОЧКИ
оо у, (й) 2
=
£Л£
t
ds
(
1
0
8
)
•/ \ / ( 1 + А + s) {а\ + А + s) (а§ + А + s) причём эллипсоидальные координаты испытуемой точки суть наибольшие решения кубиче ских уравнений 3 ~2 3 ~2 (10.9) V — ^ — =1 V ^ 1 а
1
0
ч
0
0
=
Тогда заменой (10.10)
f
А 4- s = s 0
потенциал (10.8) очевидно сводится к потенциалу (10.7). Итак, <р\ = ф2» 10.2.2. Софокусные фокалоиды Фактически, этот случай был уже рассмотрен нами выше в § 5.12, см. теорему 5. Эквигравитируемость фокалоидов, тем самым, полностью доказана. 10.2.3. Софокусные эллипсоидальные оболочки общего типа Выделим из семейства (10.1) при фиксированном малом значении параметра dm какую-то элементарную эллипсоидальную оболочку. Тогда другая элементарная оболочка, полученная из данной заменой полуосей (10.3), оказывается, как мы знаем, софокусной. Массы обеих оболочек здесь вновь полагаем равными друг другу. Теорема 2 (Э - 4). Две софокусные элементарные эллипсоидальные однородные оболочки данного типа имеют во внешнем пространстве одинаковые гравитационные потен циалы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Согласно формуле (5.88), потенциалы обеих оболочек во внешней точке Xi даются выражениями
оо dM (га)
2
J
F ( г а , v) dv+ x
2
Ai(m') оо +M(m)dm
(10.11) 2
J
^[Fi(m ,u)]
Ai(m*) OO
dy>2
m) = | G i dM (ra)
2
J
F (ra , v) dv+ 2
A(m2) 2
OO
\
(10.12) + M (ra) dm
j
^
2
[ F (ra , v)] dv 2
2
A (m ) 2
где эллипсоидальные координаты испытуемой точки (xi) суть наибольшие корни кубических уравнений
304
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
3 ~2 3 V* 12 = 1; \ ^ ~ { a?m a? ( т ) 4 Ai ( т ) ~ а\т о% 2
2
~2 IS = 1. (га) 4 га /х 4- А ( т )
2
2
(10.13)
2
2
2
2
Здесь интегрируемая функция F i ( m , v ) дано в (5.86), а функция F (m ,v,p) получается из указанного известным нам преобразованием (10.3). Далее, заменой v' = т р 4- v выражение F превращается обратно в F i , а нижний предел в интеграле (10.12) становится равным Х (га ) 4- гп р. Но так как имеет место равенство 2
2
2
2
2
2
2
2
2
А (га ) + т р = A i ( ш ) , 2
(10.14)
то очевидно, что потенциал (10.12) сводится к исходному потенциалу (10.11).
•
Поскольку внешние потенциалы пропорциональны массам тел, то справедливо простое обобщение. Теорема 3 (Э - 5). Внешние потенциалы элементарных софокусных (в смысле введённых выше преобразований (10.3)) гомеоидов, фокалоидов и вообще любых эллипсоидальных оболочек пропорциональны массам этих тел р
г
р
2
р^
Важно заметить, что теорема 3 распространяется не только на тонкие, но и на толстые эллипсоидальные оболочки, а также на сплошные слоисто-неоднородные эллипсоиды с рас пределением плотности р — р ( г а ) . Таким образом, формулируя эту теорему, мы выходим далеко за рамки классической теоремы Маклорена — Лапласа (см. теорему 6 в гл. 5) и теоремы Шаля 1. 2
§ 10.3. Теорема об эквигравитирующих слоисто-неоднородных эллипсоидах Рассмотрим гравитирующий слоисто-неоднородный эллипсоид. Его внешний потенциал да ётся формулой (6.121). Создадим теперь из него другой эллипсоид, преобразуя по формулам (10.3) каждую из промежуточных элементарных оболочек первого в софокусную оболочку. Массы исходных и преобразованных слоев полагаем равными. Тогда имеет место следующая теорема. Теорема 4 (Э - 6). Два слоисто-неоднородных эллипсоида данного типа, слои у которых связаны софокусными преобразованиями (10.3), являются эквигравитирующими во внешней точке х*. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Согласно теореме 3, две софокусные элементарные оболочки, связанные преобразова нием (10.3), при условии сохранения массы являются эквигравитирующими. Поскольку же потенциал — аддитивная функция по массе, эквигравитирующими во внешнем простран стве будут, следовательно, и сплошные слоисто-неоднородные эллипсоиды, состоящие из множества таких слоев. • ЗАМЕЧАНИЕ 1. Результаты теоремы 4 распространяются и на оболочки конечной толщины.
305
10.4. ДИСКОВЫЙ ПРЕДЕЛ СОФОКУСНЫХ.
Доказанное в §§ 10.2 и 10.3 свойство эквигравитируемости слоисто-неоднородных эллипсоидов с софокусными слоями, как и свойство эквигравитируемости отдельных обо лочек, значительно расширяют рамки классической теоремы Маклорена — Лапласа, сфор мулированной в XVIII веке только для однородных эллипсоидов. Действительно, результат Маклорена и Лапласа оказывается лишь сугубо частным случаем теорем, доказанных здесь.
§ 10.4. Дисковый предел софокусных преобразований (10.3) для эллипсоидальных оболочек Чтобы расширить область применения развиваемой здесь теории, заметим, что при нижнем пределе для р из (10.3) p = -ajal(m)
(10.16) 4
любая эллипсоидальная оболочка с поверхностью S (га) преобразуется в эллиптический , вообще говоря, диск с границей Х
1
*
Х
2 т Щ (га)
=
(га)
2
т а\
1
(
1
0
1
7
)
2
и с поверхностной плотностью с*2 (га) а (га) 3
dm,
а\ (га) а2 (га)
(10.18)
где для краткости обозначено 2 Xj Хгу Q(m) = m ^ - - J — - ^ f -
(10.19)
T
а\ (га)
а | (ш)
причём квадраты полуосей данного диска таковы: 2
а\ (га) = а\ - а\а\ ( г а ) , а\ (га) = а\а\ (га) - а а\ ( г а ) . (10.20) Легко видеть, что такой диск и исходная оболочка имеют одинаковую массу (см. (5.17) и (5.19)). Главное же, по доказанному выше в § 10.2 то, что такие диски тоже являются эквигравитирующими во внешнем пространстве исходным оболочкам (если, конечно, массы оболочек и дисков равны). Этот результат мы и будем развивать далее. Прежде всего заметим, что в соответствии с (10.18), элементарные гомеоид и фокалоид заменяются дисками, имеющими поверхностные плотности: / ч <7 м ( * i , x ) = ГО
**{ч,хг)
2
М (га) 1 j = = • ; 2 я у (of - о%) (а\ - а$) my/Q (га) г о м
/
= *V (Ч ~ Ч) (oi - а\)
В круглый диск — в случае сфероидальных оболочек.
20. Кондратьев Б П
л
п
(Ю.22) L
4
, (10.21)
п
306
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ и эллипсоиды
где Q (га) из (9.4), а полные массы оболочек (а значит, и дисков) даются соответственно в (9.12) и М
ф 0 1 с
= ^тта\р (га) ^
2
myj(га
2
- е\ ) ( г а 2
е\ ) dm. 3
(10.23)
Далее сфероидальные оболочки следует рассматривать отдельно,
§ 10.5. И снова метод дифференциации: эквигравитирующие диски и стержни для элементарных сфероидальных оболочек Однородный сжатый сфероид с поверхностью (10.24) имеет, согласно (9.5), эквигравитирующий диск радиусом
с поверхностной плотностью
а(г)
=
2ра\а
г
2
R
(10.25)
'
Кроме того, согласно (9.7), этот сфероид (а значит, и диск (10.25)), имеют эквигравитирую щий стержень с чисто мнимым распределением плотности
(10.26) Опираясь на разработанный в гл. 5 метод дифференциации, найдём теперь заменяющие диски и стержни для элементарных оболочек. Для этого в формулах (10.25) и (10.26) сделаем замену а\ —> a i r a , аз —> a^maz ( г а ) ; R — ггш\ (га).
(10.27)
Вклад в диск и стержень от элементарной оболочки с полуосями а\т и а$таз (га) даётся тогда выражениями d dm
Моб (С)
a\ (ra)
Щ
(ra)
cfra,
-inpaja -£
(10.29)
3
5 i (ra)
ЭТО И есть требуемый результат: найдена эквигравитирующая пара: вещественный круглый диск — мнимый стержень для элементарных ных оболочек произвольного вида.
(10.28)
сжатых
сфероидаль
307
10.5. И СНОВА МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ
Проверка. Как мы уже знаем, плотность мнимого стержня р (С) и поверхностная плот ность вещественного диска а (г) связаны между собой формулами (9.132) и (9.145). И в данном случае аналогично к[ (Тоб (х)
Vk* (С) = -iR /
Подставляя сюда
(10.30)
2
(х = г ) v С + х
Л
2
(х = г ) из (10.28), имеем 2
R Моб (С) = -2ipa\a
J
z
-С
а з (га)
^
/га2 _
а\ (га) <
dx Щ
(га)
(10.31)
л/С^Тх
2
2
Здесь верхний предел можно считать постоянным, поскольку при х = R выражение исчезает. Поэтому 2
R
подынтегральное
1-JL 2
Доб(С) =
-2ipaja -£^
а (т) т
R
f
3
3
dx
2
2
о (га)
J
С + х
\\
dm,
(10.32)
или, после интегрирования, ^
2
Моб (С) =
-шра а
3
dm
S i (га)
dm,
of (m)
(10.33)
что совпадает с (10.29). Частные случаи 1) Гомеоид а (га) = 1 3
В этом случае формулы (10.28) и (10.29) упрощаются и дают (г) =
Мром 2тгД
1
2
2
2
2
, R = m (а - о ) ,
(10.34)
2
2гтг/?а?аз Мгом (С) =
(10.35)
mdm. a
Vi
-
а
з
Формула (10.35) совпадает с полученной ранее (9.20). З а д а ч а 10.1. Прямым методом доказать эквигравитируемость меоида и диска с плотностью (10.34).
сфероидального
го
Решение. Достаточно рассмотреть и доказать равенство потенциалов гомеоида и диска на оси симметрии О х з . Потенциал гомеоида даётся интегралом (5.64), только сейчас а\ = а и нижний предел равен А = х\ — а . Заменой t = а\ + s получим 2
2
3
2
^(x ) = ^F(arctg|i,fc), k = 3
а? - aV
где F (0, к) есть неполный эллиптический интеграл первого рода. 20*
2
а - а
(10.36)
308
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
С другой стороны, потенциал диска с поверхностной плотностью (10.34) даётся инте гралом
2тг V? (х ) = a aia 3
0
1
J d0 J о { х/Г^ yjx
2
3
rdr 2
2
(10.37)
2
2
2
2
+ r (a cos 6 +a s i n в)
Вначале выполним здесь интегрирование по г. Получим 2
V
2
2
arctg f^Ly/l-k
/ -(
sin
2
в\
\ V I - A: sin в 2
(10.38)
-d».
2
Последний интеграл довольно сложен, но его, оказывается, всё же можно представить суммой двух табличных интегралов, правда, с дополнительными подынтегральными мно жителями (см. справочник Градштейн и Рыжик, 1951, с. 239—240). В итоге (10.38) приводим к виду
arctg ^ d0 а>\
J
2
(10.39) 2
Vl-k
sin в
совпадающему с выражением (10.36). Следовательно, при одинаковых массах, гомеоид и диск данного типа действительно являются эквигравитирующими друг другу телами во всём внешнем (фактически, для оболочки) пространстве. Т 2) Фокалоид Согласно (5.37), для этой оболочки (10.40) и из (10.28) для неё следует З М
2ра
0 К
J г* d Г ГЪ ?1 л * /i с (г) = i/l m V m - е dm = -W1 е у R dml J 2тгЯ у Стержень для элементарного сжатого фокалоида имеет плотность г
2
2
W
2
2
2
2
-
2
2
2
. т{Ът -2е ) ( С \ /^фок(С) = -иг/> ^ з - ( «1 + J= е\/т —е
ЗгМ
2
ф о к
^
2
С
(10.41)
2
R
2
(10.42)
что, с учётом (5.46), совпадает с первой из формул (9.29). 3) Сфероидальная оболочка толщины на осях симметрии Согласно (5.53), полуоси этой оболочки aim, ai (m — е) (s < т < 1) и
равной
Для неё эквигравитирующими будут диск и стержень с распределениями плотностей 2
т ^я(г) = —
ш
(га - е) Г 2 т -е
У
^2
~~ 2 ( 2 т - е) а
е
dm,
(10.44)
10.6. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ диски и СТЕРЖНИ для СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ СФЕРОИДОВ 2
т Ы (С) =
у/е
dm
(т — е)
1 +
у/2т — £
С
а\е (2т - е)
dm.
З а д а ч а 10.2. Получить аналоги формул (10.28) и (10.29) для элементарных вытянутого сфероида. Указание. Для решения этой задачи применить результаты § 9.13.
309
(10.45) оболочек
§ 10.6. Эквигравитирующие диски и стержни для сплошных слоисто-неоднородных сфероидов От оболочек естественно теперь перейти к сплошным телам. Рассмотрим неоднородный сжатый сфероид, в котором слои равной плотности опи сываются семейством сфероидальных поверхностей (9.11) с переменной, вообще гово ря, сплюснутостью. Плотность в таком сфероиде, как мы знаем, описывается функцией р = р(т). Поставим задачу найти диски и стержни, которые дают тот же внешний потенциал, что и целый сфероид. Для этого выделим (рис. 87) элементарную оболочку с поверхностью S (ш), имеющую полуоси а\ (т) и а та (т). 3
3
Рис. 87. Вклад в плотность в точ ке г эквигравитирующего дис ка (заштрихован) дают только те сфероидальные оболочки, которые расположены между граничными сфероидами т = 1 и m(r)
Как мы уже знаем из § 10.5, каждая такая оболочка имеет свой заменяющий диск и стержень. Но сейчас следует уже несколько иначе интерпретировать формулы (10.28) и (10.29), считая их теми вкладами, которые даёт выделенная элементарная оболочка в плотность в точке г и £ суммарных заменяющих дисков и стержней. При этом необходимо уяснить, какие же именно оболочки сфероида дают вклад в точке г и £ суммарных дисков и стержней. Анализ показывает, что в случае диска вклад в точку г дают только те оболочки, для которых параметр га удовлетворяет неравенству га (г) ^ т ^ 1,
(10.46)
причём нижний предел этого неравенства следует находить из условия обращения в нуль вклада от оболочки с критическим га = га. Согласно (10.28), последнее условие выполня ется, когда либо m
2
-
= 0,
(10.47)
а{ (т) либо, если уравнение (10.47) вырождается и не позволяет найти m (при софокусных слоях!), когда а
3
(ш) = 0.
(10.48)
Аналогично обстоит дело и в случае стержня. Здесь надо учитывать оболочки с т < m < 1,
(10.49)
310
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ и эллипсоиды
причём, согласно (10.29), га должно находиться либо из уравнения 2
га +а{ С(т) 2
(10.50)
= 0,
либо, если по указанной выше причине этого сделать нельзя, из того же уравнения (10.48). Интегрируя в указанных пределах вклады (10.28) и (10.29) от элементарных оболочек с весовым множителем р (т) в суммарные диски и стержни, в итоге получим квадратуры 1
а (га) 3
2
Сдиска (г) = 2 а а 3
dm 1
d dm р (С) = -пга?а j р (га) 3
а\ (га)
m2
Щ (га)
а (га) 3
а\ (т)
dm,
(10.51)
dm.
(10.52)
m
Это и есть требуемый результат: через софокусные преобразования отдельных оболочек найдена эквитравитирующая пара вещественный диск — мнимый стержень для сплошных слоисто-неоднородных сжатых сфероидов произвольной плотности и с произвольным в этих сфероидах профилем сжатия слоев. Сразу заметим, что как и для отдельных оболочек, найденные выше а (г) и р (С) из (10.51) и (10.52) связаны между собой формулами (9.132) и (9.145). То, что это так, можно убедиться тем же способом, который мы применяли и выше в случае оболочек. Подчеркнём, что радиус замещающего диска R и «длина» стержня L для слои сто-неоднородных сфероидов соответственно будут равны 2
R = а\ (га = 1) = \Ja\ — a ; L =2iR.
(10.53)
Очевидно, их «размеры» определяются граничной поверхностью сфероида и не зависят от распределения вещества в нём. Итак, мы приходим к важному результату: Теорема 5. Слоисто-неоднородному сфероиду с законом плотности р = р (га) эк вигравитирующими во внешнем пространстве будет как вещественный круглый диск с поверхностной плотностью (10.51), так и мнимый стержень с плотностью (10.52). Именно эти результаты и расширяют рамки классической теоремы Маклорена — Ла пласа. Рассмотрим примеры. 5
1. Однородный
сфероид
В этом простом случае р = ро = const, а (m) = 1, 3
— г т = - , п
(10.54)
и легко видеть, что (10.51) и (10.52) дают выражения, совпадающие с уже известными нам (9.5) и (9.7). 5
Напомним, что в рамках теоремы Маклорена — Лапласа среди сфероидов рассматривается только однородный и утверждается, что этому сфероиду соответствует один только круглый диск с конкретной плотностью (9.5).
10.6. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ диски и СТЕРЖНИ ДЛЯ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ СФЕРОИДОВ
2. Неоднородный
сфероид с гомотетическими
311
слоями
Здесь также а$ (т) = 1, и уравнения (10.47) и (10.48) дают iC fh =
;т =
; а (т) = R.
(10.55)
г
2
Формулы (10.51) и (10.52) заметно упрощаются (обозначено х = га ):
1 ,
v
a* f Р (х) dx
о Г
<7диска ( а ) = - | / а
Д
е а
2
г
=
"Б? < ^
1 0
5 6
( - >
2
1 р(0
= - ™ ^ J я
P(x)dx.
(10.57)
2
2a) В случае с подобными слоями замечателен сфероид с законом распределения плот ности Р=^ = ^ VI - m
00.58)
2
А именно: внешний потенциал такого слоисто-неоднородного сфероида заменяется, со гласно (10.56), потенциалом однородного круглого диска с плотностью 0-диска =
проЦ; = const.
(10.59)
В частности, в дисковом пределе (е = 1) от исходного сфероида получим однородный диск с плотностью = 7г/9 а . 0
(10.60)
3
Свойство эквигравитируемости такого сфероида и однородного круглого диска мы уже использовали выше в § 9.5.2 при нахождении пространственного потенциала диска. 26) В согласии с формулой (10.57), для слоисто-неоднородного сфероида из гомотетических слоев с распределением объёмной плотности (10.58) эквигравитирующий стержень имеет одномерную плотность М(С) = -ШроЦ^/Е? е
+ С?.
(Ю.61)
В другом варианте неоднородного сфероида с гомотетическими слоями, когда распре деление плотности суть 2
n
р (га) = ро (1 - m ) ,("><>),
(10.62)
из (10.51) получим решение /Л
\ f
2\
п+1
/2
312
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
где В Q , n + 1 ^ — бета-функция. В частности, если п — целое и положительное, то бе та-функция равна
Суть дела в том, что для сфероида с распределением вещества по закону ( 1 0 . 6 2 ) эквигравитирующий стержень имеет плотность
M(C) = - ^
0
r ^ T ( l
1
+ ^
' л ( п + 1) \
!2
R)
•
(10.65)
2в) Наконец, для сфероида из гомотетических слоев с законом объёмной плотности £
р=
2
- т * > 2
( l + /3m )
00.6S)
3 / 2
хорошо моделирующего (см. ( 1 5 . 6 7 ) ) при специально подобранных значениях парамет ра /3 распределение поверхностной яркости в реальных эллиптических галактиках , эквигравитирующими оказываются диск и стержень, имеющие соответственно распределения плотности 6
а
д и с к а
(г) = -
^
=
Ь
_
4
,
(,0.67)
R
/1(0 = - 2 ^ 4 ^
3 . Неоднородный
сфероид с софокусными
/
-
г
=
~
\ •
(Ю-68)
слоями
При софокусном расслоении, согласно (5.37) и (10.40), а\ (т) =
2
R
= а? - а\ .
(10.69)
В этом случае нижний предел в интегралах ( 1 0 . 5 1 ) и ( 1 0 . 5 2 ) уже нельзя найти из уравнений ( 1 0 . 4 7 ) и (10.50) в силу их вырождения, и теперь надо использовать уравнение (10.48). Из него следует, что
т = т =е=
\
l - - f .
(10.70)
Поэтому из выражений ( 1 0 . 5 1 ) и ( 1 0 . 5 2 ) имеем: 6
Часто для подгонки наблюдаемого распределения поверхностной яркости для какой-то конкретной Е-галактики требуется подбирать даже несколько значений /3.
10.7. ВОССТАНОВЛЕНИЕ плотности СФЕРОИДА
313
<7Jдиска
(10.71)
М(С)
(10.72) 7
так как при софокусном расслоении полная масса сфероида , согласно (6.117) и (5.46), равна
1 (10.73) е Но формулы (10.71) и (10.72) полностью совпадают с (9.5) и (9.7), полученными ра нее для однородного сжатого сфероида! Мы приходим к замечательному результату. При софокусном расслоении сфероида структура эквигравитирующих для него дисков и стержней вообще не зависит от закона плотности р = р(т) в моделируемом сфероиде. Поэтому сфероид однородный и сфероид слоисто-неоднородный (при любом распределении плотности вещества во втором!), состоящий из фокалоидов, при одинаковых массах и конгруэнтных граничных поверхностях имеют совершенно одинаковые эквигравитирующие диски и стержни. Этот вывод полностью согласуется с результатами § 6.12 (см. в этом параграфе последний абзац). З а д а ч а 10.3. Получить аналоги формул (10.51) и (10.52) для слоисто-неоднородных вытянутых сфероидов. Указание. При решении этой задачи следует опираться на формулы, полученные в задаче 10.2. З а д а ч а 10.4. Записать результаты (10.71) и (10.72) для случая вытянутого сферо ида.
§ 10.7. Восстановление объёмной плотности сфероида по поверхностной плотности эквигравитирующего диска Интересной для практических приложений является следующая обратная задача. Поставим вопрос о том, как по известному закону поверхностной плотности плоского круглого диска а (г) найти объёмную плотность слоисто-неоднородного сфероида, эквигравитирующего этому диску. Оставляя в стороне сфероиды с переменной сплюснутостью слоев покажем, как в принципе это можно сделать для сфероида, состоящего только из гомотетических слоев. С этой целью обратимся к выражению (10.56) и будем рассматривать эту формулу как интегральное уравнение для неизвестной плотности сфероида р (х). С этой целью, поменяв знак под радикалом, перепишем (10.56) в виде
(10.74)
7
А в контексте данных формул М ф — это и полная масса диска, и стержня, заменяющих потенциал данного сбеооида. с
314
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И ЭЛЛИПСОИДЫ
Но ведь (10.74) можно интерпретировать как уравнение Абеля для неизвестной величины р ф (ж). Оно имеет решение С
/ 2\
1
(1) _а(1 )
е
/ о (х) dx
ч/Т — а Здесь штрих означает производную, а под а замену, получим
/>сф (га) = 7газ
га-
2
2
2
J у/а
—
(10.75)
х 2
надо понимать параметр га . Делая указанную
-/
2
V =
2
r /R ,
(10.76)
2
у/У -
т
где е — эксцентриситет меридионального сечения сфероида, а й - р а д и у с диска. Очевидно, в паре эквигравитирующих тел диск — сфероид первый с геометрической точки зрения представляет собой фокальный кружок с радиусом у/а - а§, расположенный в экваториальной плоскости рассматриваемого сфероида. Для проверки основной формулы (10.76) рассмотрим несколько характерных примеров. 2
г
а) Дан однородный круглый диск: а = сг = const; в этом случае о = 0 и из (10.76) сразу следует известный нам результат для закона распределения объёмной плотности в 0
у
сфероиде (10.58) со значением центральной плотности ро = ifa^* б) Дан круглый диск с распределением
поверхностной
плотности по закону
ЗМ yfi^y, 2тгЯ
(10.77)
2
который, как мы уже знаем, входит в эквигравитирующую пару с однородным сжатым сфероидом. Действительно, в этом случае из (10.76) легко получим
p c ф ( r o )
=
^ ^
=
'
,
0
=
c
o
n
s
t
•
(10.78)
что согласуется с примером (9.5) для однородного сфероида. З а д а ч а 10.5. Задан круглый диск с поверхностной плотностью
(10.79) Найти его пространственный потенциал. Решение. Такой диск, как мы уже знаем, является эквигравитирующим однородному сжатому сфероиду массой М и полуосями а\ > а з . Для полной эквивалентности фигур следует в (10.79) положить сг = 0
ЗМ 2тг (а? - а§) '
2
R
= а\
-
а\.
Следуя разработанному выше методу, потенциал такого диска мы получим из выражения внешнего потенциала однородного сфероида (который следует из (6.1) при а\ = а ) в 2
10.7. ВОССТАНОВЛЕНИЕ плотности СФЕРОИДА
315
софокусном дисковом пределе а\ —> а\ - а\ и а —• 0 . Выполняя указанный предельный переход, имеем 3
^диска = | G M 1 — — ^ - —
(1 - -
1
Г
-4
,
(Ю.80)
где Л — эллипсоидальная координата испытуемой точки; она является наибольшим корнем квадратного уравнения -5—4
Г + ~Г =
L
1 0
8 1
( - )
Беря возникающие здесь интегралы, в итоге получим искомый потенциал диска, выражен ный через элементарные функции 8
^
4
7
(10.82)
Этот потенциал эквивалентен, разумеется, найденному нами ранее выражению внеш него потенциала однородного сжатого сфероида (6.27). Т в) Рассмотрим диск с плотностью (10.63). Очевидно, на границе а (у = 1) = 0, так что (10.76) приводим теперь к виду
/*<т) = £ ( п
+
1)в(1.»
+
1) } ^ 0 = f « V -
00.83)
Здесь В ( а , /?) — бета-функция Эйлера. Беря интеграл в (10.83), получим
ЛФ М
= W { (" + l)
в
( | - » + l ) В ( | , я + ± ) } (1 - тТ
•
(Ю.84)
Но выражение в фигурных скобках равно 7г, и мы получаем искомый верный резуль тат (10.62). З а д а ч а 10.6. Подтвердить, что диск с плотностью (10.67) соответствует сжа тому сфероиду с распределением плотности р (га) из (10.66). Решение. Подставив функцию (10.67) в выражение (10.76), после преобразований имеем
d
Р с ф/( т )\ = — Ро I( [I - тгу/ГГР 1 У (l + py)
V у/(1-у)(у-т*) ч
х
-2(1 + 0
/ —
* 2
(i + / * v ) V ( i - y ) ( v - " » ) Вычисление же потенциала такого диска обычным методом оказывается весьма громоздким делом.
(Ю.85)
316
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
Вычисляя эти интегралы, получим
9
2
2
ж(1 + + 0) 0) Jlу/Т+Рг, + вт? I ir(l
V
I
/ « п\
/ (10.86)
-
-
/
^\ I I
- 2 ( 1 + 0) Подставляя значения бета-функций в последнее выражение, получаем требуемый результат (10.66). • З а д а ч а 10.7. Показать, что для диска с распределением плотности (9.150) эквиграеитирующим является неоднородный сжатый сфероид с объёмной плотностью Рсф (т) =
In
щ
,
(10.87)
где М ф — полная масса сфероида. Найти внешний пространственный потенциал такого диска и сфероида. Решение. Эквигравитирующий сфероид, как мы знаем, может быть найден двумя спо собами: по диску и по стержню. Сейчас мы найдём его по диску . Записывая (9.150) в виде с — бг (1 — yfy)> из формулы (10.76) получаем с
9
0
О 0
" • w - s g / a f e -
-
8 8 )
что сразу даёт (10.87). Для проверки по массе подставим (10.87) под знак интеграла (6.119), и поскольку
/
2
о то вновь приходим к формуле (см. (9.152)) 2
М ф — ^к<7$а\е с
2
= ~7г<7ой , причём R = \JCL\-
а§ .*
Найдём теперь внешний потенциал во всём пространстве для такого диска и сфероида (а значит, и для соответствующего им эквигравитирующего стержня). Подставляя (10.87) в (1.49), получим 2
т {и). о 2
2
рсф ( r , x ) = Go a ae 3
0
г • / J
2
2
1 + у/1 - т (и)
1 ~ у/1 - т — [а{ + и) у/а\ + и
2
(и) du,
(10.90)
2
где т (и) из (10.183). ?
О нахождении сфероида с плотностью (10.87) по эквигравитирующему стержню см. ниже задачу 10.11.
10.7.
317
ВОССТАНОВЛЕНИЕ плотности СФЕРОИДА
Вводя эллипсоидальные координаты А > /х для сжатого сфероида (см. § 10.13.4), с помощью тождества (10.188) интеграл (10.90) приводится к виду
оо 2
<Рс* ( г , * ) = Ga R 3
( d
(
0
2
J
^(а
u
\ 1-
+ ч){и-\)(и-ц)
2
2
где, напомним, т интегралы
2
(и) у/1 — т (и) In
^ a + и
2
\
2
a + u 2
-т
2
l + y/1-т
(10.91)
(и)'
га (и)
(и) дано ниже в (10.183), и частично выражается через эллиптические
<Рсф ( Г , Ж ) 3
2
=
Я A + af
2
GCQR
M + a?
i 2z
Я
- m («) m (u) VI д/l — (u)
/
2
у/(a
2
In-
+ u) (u — A) (u —//)
2
\
-K(fc)
I + УГ 2
— m (w) m (u)
(10.92) причём fc дано в (10.203). Найдём, в частности, внешний потенциал сфероида с распределением объёмной плот ности (10.87) на его оси симметрии Охз. При г = 0, согласно (10.186), координата /2 = - а и модуль к = 0. Следовательно, имеем 2
2
K(fc) = E(fc) = | ,
П
Я ,0 А + о?
Тогда (10.92) упрощается и приводится к виду (у = 3GM, сф <Р<4 (*з) = R
2x1
'
xz/R)
(10.93)
2
1
о
Сравнивая это выражение с потенциалом диска (9.153) (причём R = L ) , найденного ранее прямым способом, видим, что эквивалентность обоих выражений будет установлена, если сейчас убедимся в справедливости равенства
У 1 П
=
У
*У
Г7^—
d
t
-
(10.94)
Интеграл в (10.94) в справочниках отсутствует. Он весьма любопытен. Доказать ра венство (10.94) можно, во-первых, следующим способом. Разлагая подынтегральную функ цию в правой части равенства (10.94) в ряд по степеням 4т и затем интегрируя его, получим для всей правой части следующий ряд x
v
(-l)"- (2n-3)!!
^
! 2
2
( 2 n - 1) ( 2 п - 2 ) ! ! у " - *
(10.95)
318
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И ЭЛЛИПСОИДЫ
Но легко видеть, что выражение (10.95) и представляет собой разложение в ряд по степеням i левой части равенства (10.94). Задача
10.8. Дайте прямое доказательство равенству (10.94).
У Рис. 88. Разрез в комплексной плоскости к за даче 10.8
-11 У
Решение. Применим теорию вычетов. Очевидно, в комплексной плоскости подынте гральная функция имеет две точки ветвления ± 1 . Для выделения однозначной ветви про ведём разрез, соединяющий эти точки через бесконечность см. рис. 88. В результате, число интегралов увеличивается до четырёх и мы имеем (10.96)
-dt. У
Согласно общей теории, эта величина должна быть равна сумме вычетов в особых точках t = ±1 от функции
умноженной на 2ni. В силу тождества
V
2
У_ 2i t - i у 1
l
t+ i y, +
2
у сумма всех вычетов в указанных особых точках, как легко видеть, будет равна
У_ 2г
= -гут
У
(10.97)
Умножая результат (10.97) на 2т и приравнивая результат полученному выше выражению (10.96), мы и приходим к требуемому равенству (10.94). Доказательство закончено. • З а д а ч а 10.9. Найти эквигравитирующий распределением плотности (9.156).
сфероид и внешний потенциал для диска с п
Решение. Запишем (9.156) в требуемом виде а (у) = со (1 - у)
[у = ^ т ^ - Тогда
метод дает п-1 Рсф ( т ) = тщпоо
dy,
J л/у -
2
т
(10.98)
10.8. НАХОЖДЕНИЕ плотности СФЕРОИДА.
319
или, легко интегрируя,
*• м
- й г
п
В
n
J
(l> ) ( -
то2
1/2
Г
10
•
< ">
Подставляя это распределение плотности в (1.49), находим внешний потенциал данного диска, а значит, и сфероида ( п — любое вещественное число) 2 Фъиешн (Г,Х ) = 4G(To - В ( ^,71 1 / — n + I V (af + u) V a f T u [ 3
2
1- — <*i + u
1
п + 1
/
2
ag + u (10.100)
T З а д а ч а 10.10. Среди астрофизических гауссовским распределением плотности
дисков широкое применение находят диски с
а (г) = <то ехр
сто ехр
(10.101)
(-ау),
где a — безразмерный параметр. С помощью формулы (10.76) доказать, что ющий такому диску сфероид имеет распределение плотности 2
еа Рсф (т) = паз 0
2
ехр (—а) y i - m
2
где erf ^ а ( 1 - га )^ — функция
2
а
у/па ехр (—am ) erf ( \ / ( 1 ~~
ш 2
))
соответству
(10.102)
ошибок.
§ 10.8. Нахождение объёмной плотности сфероида по плотности эквигравитирующего стержня Формула (10.76) позволяет решать обратную задачу и находить объёмную плотность сфе роида по известной поверхностной плотности а (г) заменяющего его диска. Но обратную задачу можно поставить и для пары «стержень — сфероид». Переход от стержня к сфе роиду может быть выполнен так (для иллюстрации метода рассмотрим переход к сфероиду, состоящему из гомотетических слоев). Обратимся к формуле (10.57). Дифференцируя обе С её части по С и делая затем замену -Чг = - т , получим требуемый результат г dp (10.103) Рсф [т) = — j — -ка{аз d( 2
2
2
с 2
2
Пример 1. Возьмём р (С) из формулы (10.68); для неё по формуле (10.103) легко находим соответствующую плотность сфероида (10.66). Пример 2. Проверка формулы (10.103) в случае стержня с плотностью (9.7) для одно родного сжатого сфероида также элементарная и не затруднит читателя. З а д а ч а 10.11. Показать, что для стержня с распределением плотности (9.151) (а этот стержень — эквигравитирующий для диска (9.150)) эквигравитирующим будет сфероид с объёмной плотностью (10.87).
320
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И ЭЛЛИПСОИДЫ
Решение. Подставляя р (С) из (9.151) в общую формулу метода (10.103) и дифференци руя, легко находим А* М
=
2 27га{а
1
п
0
3
:
и v 1 - х/1 - ш
(10.104) 2
Эта формула эквивалентна (10.87).
§ 10.9. Какой эллиптический диск и слоисто-неоднородный эллипсоид имеют одинаковый внешний потенциал? 10.9.1.
Задан слоисто-неоднородный эллипсоид. Найти эквигравитирующий эллиптический диск
В общем случае трёхосного эллипсоида с граничной поверхностью (9.1) формула (10.51), предназначенная для сфероидов, уже не годится. Решаем поставленную задачу, вновь инте грируя выражение (10.18). В итоге, для слоисто-неоднородного эллипсоида находим экви гравитирующий эллиптический диск с вещественной поверхностной плотностью
1
/ ^ д и с к а \ ? х ) = 2aia a ч
ъ
2
2
/ , d / р(т) — J am х
3
г
2 Ы)
А
а (га) Г^~. ~ 3
„ а\ (га) а (га)
v
\IQ(га) dm.
(10.105)
2
Нижний предел га должен быть решением уравнения <2(га) = 0,
(10.106)
обобщающего (10.47), или, в случае вырождения этого уравнения, решением уравнения (10.48). Заметим, что эллиптический диск с распределением плотности (10.105): а) в общем случае является неоднородным и имеет границу (9.2); эта граница образо вана эллипсом, софокусным главному сечению эллипсоида плоскостью, перпендикулярной наименьшей оси исходного эллипсоида. В данном случае наименьшей является полуось а , поэтому эквигравитирующий диск лежит в плоскости Ох\х \ б) имеет массу исходного эллипсоида М; в) является эквигравитирующим исходному слоисто-неоднородному эллипсоиду™. Таким образом, в (10.105) обобщён результат (9.3) для эквигравитирующего диска однородного эллипсоида. При расслоении исходного эллипсоида на гомеоиды, когда обе 3
2
2 2 2 Т*Т Ф*> То 2
вспомогательные функции а (га) и а (га) от га не зависят и га = 2
-f - | + - | , выражение а а
3
а\
2
3
(10.105) упрощается и принимает вид
1 m
< W a (xi х ) = 2
d
m
2aia a3 f P N ^ - a§) ( a | - a§) J \Jm - ra ' 2
\/{a\
2
(10.107)
2
где r
2
ra = 1 0
Заметим, что для тел без круговой симметрии заменяющих стержней уже не существует.
(10.108)
10.9. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЙ ДИСК ДЛЯ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
321
Формула (10.107) позволяет по заданному эллипсоиду находить эквигравитирующий эллип тический диск. 1. В частном случае эллипсоида с простым (с аналитической точки зрения) законом плотности 2
n
Р (т) = ро (1 - m ) , (n
0),
(10.109)
формула (10.107) даёт эллиптический диск с плотностью
* — < * ^ >
=
2 , п Т 7 ^
a
Q
^
(
1
)
r
+
1
/
2
>
<
i
o
i
i
o
)
где Q (1) из (9.4), а полная масса эллипсоида (а значит, и диска) равна
М =
Г
эт^аюгазРо
Г
) "
+
Ц •
(10.111)
+
(" 1)
З а д а ч а 10.12. Выполнить проверку найденного диска (10.110) по массе и внешнему потенциалу. В частности, при п = 0, когда исходный эллипсоид имеет однородную плотность, формула (10.110) легко приводит к известному уже нам выражению (9.3) для плотности эллиптического диска. 2. Другой важный частный случай, когда слоисто-неоднородный эллипсоид имеет гомотетические слои вещества и закон объёмной плотности (10.58). Соответствующий такому эллипсоиду эквигравитирующий во всём внешнем пространстве эллиптический диск имеет однородную поверхностную плотность а д и с к а
~
//а 2ч /а 2 2ч V ( i ~ з) (2 " з) a
а
В
(ЮЛ 12)
а
Как видим, этот результат согласуется со случаем п = 0 предыдущего пункта. 3. Для астрофизических приложений важен слоисто-неоднородный эллипсоид с зако ном плотности
рЫ=
(Ю.ПЗ)
(л
(1 +77Г) Рассмотрим следующие случаи. При п = 1 подстановка (10.113) в формулу (10.107) дает
а(х х )= и
2
t
„
2 a i a
3
f ?
,.
1 t
. . a r e t e ( Ю . 1 1 4 )
При n = 2 имеем эквигравитирующий эллиптический диск с плотностью
„
{ Х 1 V
,
Х 2
) = ' y/(al-4)(4-4)l+rn?
Здесь m дано в (10.108).
I" <о~дратьев Б П
1 \2
+ - = 1 = л/ГТт*
a
r
c V
t 1
g
+
• J (10.115) m
322
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ и эллипсоиды
10.9.2. Задан однородный или неоднородный эллиптический диск. Найти эквигравитирующий слоисто-неоднородный эллипсоид Важным в теории является следующий класс задач: задана а (т),требуется найти р (га). Но прямое нахождение потенциалов однородных и неоднородных эллиптических дисков — дело не только трудоёмкое, но и в общем пространственном случае для аналитика фактически неприступное. Поэтому здесь мы применяем другой метод, оказавшийся весьма эффектив ным: сводим задачу для потенциала диска к более простой задаче нахождения потенциала эквигравитирующего слоисто-неоднородного эллипсоида. Дело в том, что для эллипсои дов с гомотетическими слоями выражения потенциалов даются уже известными двойными интегралами типа (10.108). Для нахождения плотности эквигравитирующего эллипсоида обратимся к ранее полученному выражению (10.107). Представляя стоящий там радикал в виде у/т - fh = iy/fh - m , далее рассматриваем (10.107) как интегральное уравнение Абеля для неизвестной функции р (га). Решая это уравнение, в итоге получим требуемый результат 2
2
2
2
2
=
2
2
VK-a ){a -a )
/
7raia2
Г da da dx dx y/x — m
,
2
{x = fh ).
(10.116)
Рассмотрим несколько примеров. 1. Задан однородный эллиптический
m)
pi
= Ш
диск а = const. Формула (10.116) тогда сразу даёт
Е
^
Е
Ж
- 2 = .
(10.117)
Этот результат совпадает с (10.58). Заметим, что сам пространственный потенциал одно родного эллиптического диска и слоисто-неоднородного эллипсоида с плотностью (10.117) вскоре будет получен в § 10.10. 2. Задан эллиптический
диск с законом поверхностной 2
плотности
2
а ( г а ) = <7 (1 - т Г , (n ^ 1). 0
(10.118)
И в этом случае интегрирование в (10.116) трудностей не представляет
р { т )
=
Ж З М З Ц
(1 _
*)-з
те
j l I ^ L .
(Ю.119)
§ 10.10. Пространственный потенциал однородного эллиптического диска В § 2.9 в результате весьма трудоемких расчётов был найден потенциал однородного эл липтического диска во всех точках его главной плоскости. Естественно возникает важная и ещё более трудная задача найти пространственный потенциал однородного эллиптическо го диска. Задача о потенциале однородного эллиптического диска является новой, узловой и представляет собой настоящий экзамен для развитых методов. Прямой способ нахожде ния потенциала диска сталкивается с огромными трудностями. Наиболее эффективным и
10.10. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДИСКА
323
красивым для её решения является разработанный выше в §10.9 тот вариант метода эквигравитирующих тел, который связывает потенциал слоисто-неоднородного эллипсоида с потенциалом заменяющего его плоского эллиптического диска. Рассмотрим однородный эллиптический диск плотности а с границей и эксцентриси тетом 2
2
X
X
(Ю.120)
Jtj
\1
-гС^
Как мы уже выяснили, именно такой однородный эллиптический диск получается в софокусном дисковом пределе из слоисто-неоднородного эллипсоида с законом плотности (10.58), причём плотность диска оказывается связанной с центральной плотностью эллип соида формулой (10.112). Очевидно, квадраты полуосей данного диска выражаются через полуоси исходного эллипсоида: R\ = а\ - а\, Rl = aj-
а\.
(10.121)
Используя формулу (1.49), запишем внешний потенциал исходного эллипсоида в виде интеграла: 2 Х\ а\ + и
2 #3 у а +и — da. V ( i + ) (2 + ) ( з + )
/
a
2 Х2 а -\-и 2
a
и
2
и
а
(10.122)
и
Действуя согласно развитому выше методу, выполним в данном выражении предельный дисковый переход а з —• 0, а\ —• R\, a
/j _ Слиска (ж) = 2GoR R x
2
/ J
_
«1
*2
ж|
_ _ _ _ _ _ _ —
du.
(10.123)
Этот интеграл выглядит весьма грозно, и, тем не менее, все вычисления в общем виде оказываются здесь на удивление простыми и изящными. Домножая и деля подынтегральное выражение на корень, стоящий в числителе, приводим потенциал эллиптического диска к виду: 1
Si R +и
х\ _ х| R +и -du.
2
°°
2
1
/ Здесь А, /г,
и
2
(10.124)
\ / ( u - А) (и - /i) (w - i/)
— корни кубического уравнения
пг»2
/у 2
~,2
•А/1 l
«А/О
L
=
0
--ZT "^И 1Г > (10.125) Rj + u Щ+и представляющие эллипсоидальные координаты пробной точки х . Они удовлетворяют нера венствам и
o o > A ^ 0 ; 0 > / i > -Rl;
-Rj
>v>
-R\.
(10.126)
324
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
Поэтому Л > р > и. Полезно также иметь в виду соотношения Л + /х + и = х\ + х | + х\ - R\ - R%, 2
ци + Л + Хи = Я ? R l (l - | | - ^ \ци
2
- х (R\ + R ) ,
М
(10.127)
= x%R\ R%.
В итоге из (10.124) находим, что пространственный (внешний и внутренний) потенциал однородного эллиптического диска в пробной точке ( x i , £2> £з) выражается через стандарт ные эллиптические интегралы и имеет вид У _ 4С<гД Д 1
^
{
х
)
\ (
2
х\
2
х\
хЛ
(к)
- - 7 х ^ \ у - Ж Г и - щ Г и ~ ^ Г R\ + v ,к X-v
+-Rj + u-П
+
а?2
-П
R% + v (10.128)
1 jy хл.
X-v
,к
где модуль (10.129)
<1.
Формула (10.128) решает поставленную задачу. Следует подчеркнуть: потенциал однород ного эллиптического диска был получен здесь через потенциал эквигравитирующего ему слоисто-неоднородного эллипсоида. Обратим внимание, что комбинация членов при К (к) в этой формуле формально хотя и равна нулю (в силу (10.125) и того, что и — один из корней этого кубического уравнения), но исключать данную группу членов из выражения потенциала всё же не следует, так как это нарушило бы симметрию всего выражения и сделало бы затруднительным его анализ в различных предельных случаях. Рассмотрим некоторые из них. 1. Предельный случай круглого
диска
При Ri = i ? = R эллиптический диск превращается в круглый. В этом случае третья эллипсоидальная координата превращается в постоянную и = - R , а выражение потенциала (10.128) трансформируется в потенциал круглого диска. Действительно, возникающие при этом предельном переходе расходимости уничтожают друг друга, поскольку вместо четырёх критических членов в (10.128) имеем 2
2
тг/2 Д + " { 2
2
2
2
\/l-fc sm 0
1 +
•к/2 t sm 0de R + Xj I Д - k sin в 2
2
R + u sin 0 2
г
2
2
K(k)-E(k) 2
к
2
2
(10.130)
2
Д +А
325
10.10. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДИСКА
Выполняя указанный выше предельный переход, с учётом сказанного получаем выражение, совпадающее с (9.67). 2. Потенциал эллиптического
диска на оси Ох$
В этом случае х\ = х = 0; сейчас важно обратить внимание на то, какие значения приоб ретают эллипсоидальные координаты испытуемой точки. А именно, эти координаты будут теперь: 2
2
А = х , р = -Rl,
v = -RJ.
(10.131)
Искомый потенциал однородного эллиптического диска на оси симметрии оказывается рав ным 4GaRiR
W ) - | n
i +f
2
Слиска (Яз) =
VW+xJ
(10.132)
2
R !+:
где
\
*?2 р2 1— 2 < 1. R\ + x\
(10.133)
Легко убедиться, в частности, что в случае круглого диска, когда k = 0, К ( 0 ) = тг/2, П [ п , 0 ] = 7 г / ( 2 1 / Г ^ ) , формула (10.132) даёт известное (5.82). 3. Внутренний потенциал эллиптического
диска
Это случай, когда
*
З
=
0
,
А
=
0
'
J ? ? * * ! *
1
,
*
=
i
v
- e <
i
(10.134)
-
Потенциал во внутренней точке диска {х\ х ), характеризуемой эллиптическими коор динатами у
С И
Х-^ ~\~ х*2
2
— R2 ^ (х? + х\ - R\ - R\f
JRJ
- т\щ
- ^
-
- | (10.135)
причем v < р < 0, равен ip{xi,x ) 2
AGaR\R
2
=
х\
1 -
К(А;) + (10.136)
+ R\
+ v
Х*у
R\
П
1 + тг.*
R-9 . 1 + тг>*
В частности, нетрудно теперь найти величину потенциала в центре однородного эллиптиче ского диска: при Х\ = х
2
= 0,
А = 0,
V? (0) = 4GoR K 2
(е).
/4 = -#2>
^
=
—
Д?,
(10.137)
326
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
4. Потенциал эллиптического
диска в компланарной внешней точке
Здесь х
3
= 0,
Ri
Д
(10.138) 2
Существенно, что в данном случае обращается в нуль средняя координата fi: \{x x )^Q, u
м = 0,
2
-Rl
г v(xi,x )
>
2
(10.139)
-R\,
так что потенциал становится равным AG
2
1 -
R\ + v
Rl + v
K(Jfc) + (10.140)
Rl
-П R\ + u
+
П
R
2
,k
Rl + v
где (10.141) а эллиптические координаты (не путать с формулой (10.135))
е
й
xf + xi - R(-
Щ±
Hi
N
К
2
j (10.142)
5. Потенциал эллиптического
диска на его границе
Вопрос о потенциале на границе эллиптического диска совсем нетривиален. И дело здесь вот в чём. Прямой переход от внешнего (10.140) или от внутреннего потенциала (10.136), когда испытуемая точка садится на эллипс /у2 ,у,2 — -f- — = 1
R\
(10.143)
R
2
сталкивается со значительными трудностями. Действительно, в данном случае А = 0,
/х = 0,
v = x\ + x \ - R \ - R \
и fc = l .
(10.144)
Однако, при к = ] эллиптические интегралы первого и третьего рода расходятся: К (1) -* о о ,
П [n, 1] -> оо.
(10.145)
Есть, однако, другой, более надёжный способ решить эту задачу. Обратимся к исходному интегралу (10.128), который теперь имеет вид oolиска ( я ь я г ) = 2GaR\R Д
2
J
Rf + u
Ri + u
Uy/u ~ v
du.
(10.146)
§ 10.11. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДИСКА
327
Приводим его к форме
(
2 2 \ ° °
Д
2
2°°
Rl) J иуДГП)
R\J
2 °°
{R\ + u)i/u=v
R\J
(Rl + u)
(10.147) Интеграл в первом слагаемом хотя и расходится, но расходимость эта логарифмическая, поэтому в силу соотношения (10.143) первый член в (10.147) исчезает сразу. Остаются два интеграла, которые легко берутся, и мы приходим к результату: V W a ( s i , х ) = AGaRi R 2
2
[(Rly/Rj+u
arctg 1 (10.148)
In
2
\ ^ - у / - ^ - Д
2
|
2R\^-v-R\ Найденный потенциал можно упростить, введя параметризацию эллипса:
X2 = i?2sin^,
x i = .Ri cos 0,
2
2
v — - ( й s i n в + R\ COS в) , 2
(10.149)
где 0 < в < 2тг. Тогда (10.148) принимает вид
Удиска (#)
AGaR
2
е Ri cos в
cos в • arctg 2
2
2
2
y ^ c o s 0 + Я SUV 0
(10.150) 2
sin# 2
2
Rlcos In
в + R\s\n
в - eRi sin6»
> , где e : yjRl cos 0 + R\ s i n 0 + e Й1 sin 0 J 2
2
Д}
В частности, для круглого диска # i = R = Д из (10.150) получаем 2
2
2
Слиска (Д) = 4СсгЯ {cos в + sin (9} = 4<3<тД,
(10.151)
что является правильным (см. формулу (9.61)). Итак, потенциал на границе эллиптического диска (10.150) найден, и он выражается через элементарные функции. Напомним, этот результат после замены 0 на а совпадает с (2.144), найденным ранее другим способом.
§ 10.11. Пространственный потенциал неоднородного эллиптического диска Разработанный в §10.9 метод распространяется и на неоднородные эллиптические диски. В качестве примера рассмотрим диск с поверхностной плотностью X1 Я/о cr(m )=ao(l-rn )=<7 [l--^--^ 2
2
0
(10.152)
328
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
где полуоси диска связаны с полуосями соответствующего эллипсоида равенствами Ri = = у/а\ - а§, R = у/а * - о* . Такой эллиптический диск, по видимому, самый простой после однородного. Согласно формуле (10.119) при п = 1 , диску с плотностью (10.152) соответствует эквигравитирующий эллипсоид из гомотетических слоев с 2
2
2
pirn) =
2R\ R2
(10.153)
77г.
^0
Подстановка закона плотности (10.153) в формулу для внешнего потенциала слоистонеоднородного эллипсоида (6.130) и переход в этом эллипсоиде к дисковому пределу ( а -+ 0, а\ —• Дх, аг —> R2) даёт 3
2 \
0
3
#1
j _
ж
Слиска (X) = ^Ga RiR2
2 з?2
. . y/u(R + u)(R 2
/
2
2 3/2 _ £з -du. + u)
(10.154)
Домножая и деля числитель на
1 -
Rj + u
N
Д| + и
получим Ж? ^2 *3 оо ,1 — ——— — ——— —
(10.155)
-с/и, 3
J
у/(и - А) (и-1л)
(li-I/)
где, как и в случае однородного диска, вводятся эллипсоидальные координаты (А,д, i/) пробной точки. И сейчас, разумеется, выполняются неравенства (10.126) и соотношения (10.127). Раскрывая квадрат выражения в числителе (10.155), вычисляем вспомогательные интегралы (ниже для краткости обозначено Q (и) = у/(и - Л) (и - /i) (и - 1/)): 00
Л
=
/
(Д? + u) Q (и)
=
(Д? + и) VX^T
К
{
(
*> "
К (Jfe) - П (Щ + 1/)у/Х-1> 2
h = h(R -+0)
=
(
— | = { к ( * ) - П i/v А — г / 1
А -1/
П
:
~"^"'*]}
X-v
(10.156)
329
10.11. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДИСКА
Но есть и более сложные интегралы: du л
2
(Rl +
u) Q(u)
ОО (10.157)
/22
(Rl + uYQ(u)
ОО du
/зз
/ u Q(u)' 2
а также интегралы смешанного вида оо du (R + u)(Rl + u)Q(u)
/12
h ; Ri - R%
2
OO
r
=
1 3
j
_ 2 3
f du J u(R\ + u)Q(u)
/3 ~ h "
f du J и(Щ + и)<2(и)
(10.158)
Rj h — h Щ
которые выражены через известные уже Д (г = 1,2,3). Наибольшую трудность представляют интегралы 1ц , 1 например, 1ц как
и /зз- Будем рассматривать,
22
h - h In — lim I12 — lim л*-й» я * - я ? R\ - R
(10.159)
2
Формально здесь встречается неопределённость типа ^ , однако на самом деле это затрудне ние можно избежать. Подставляя величины Ii и 1 из (10.156), после ряда преобразований находим 2
К (к)
Rl + u
lim
П
П
А- v $1 — j ?
А—v '
2
(10. 60) Представляя полные эллиптические интегралы третьего рода П [...] их интегральными вы ражениями, получим
тг/2 dx
*
2
W
(
1
+
• 2X « i ± v sin ^ \ / l - k sin x 2
А-i/
2
330
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И ЭЛЛИПСОИДЫ
тг/2 dx
Л . Ri + u .
Щ +V J
2
2
Ч- -г s n r ~х | \ / l — к s i n а; А—и J
1
ч
тг/2
1 ,
w /
1
-
.2
R\ + RI + 1V
Ч — : —
snr ж
Таким образом, в выражении, стоящем в (10.160) под знаком предельного перехода, ( Я - R$) в числителе и знаменателе сокращаются; в итоге, после многих преобразова ний и вычислений находим 2
, ( Ю+»)(А 2
( Д + А) ('Rl Й + »){R\
+ v)
2
2
M - ^ + 2 ( l + fc ) (д2 +
„ )
3 - ^ ^ -
+
^
'22
Г (д§ 2
2
,
+
М Р
+
к
( f c ) +
{
R
l
+
и
)
Е
( f c )
_
\
+
R\ + u ' А-«/
П
м)(л
+
У
+
8 )
М
_
к
2
+ А)(А + х)(Д +
1,) 1
/
2
(Д ,) A i - i / + 2 ( l + fc ) (Rl + u) + 3А-i/ 2
2
+
2
' A-J/ 2
vE(k)- ix - и + 2v ( l + A; ) + 3 i / A-i/
— v ,k A-i/' ) (10.161) В итоге, пространственный потенциал неоднородного эллиптического диска с законом плотности (10.153) выражается формулой
-^33 =
2
Хци
у
A- и
K(k) +
2
П
Слиска (а?) = | G a ^ i Д {1о ~ 2 (hx\ + / х ^ ч- / * § ) + 0
2
2
3
+/ця?1 + '22*2 + Н х\ Ч- 2 ( Д х ^ Ч- J i a f c ъ
2
3
(10.162)
7
3
+ 2 *2* )} . 3
3
Все входящие сюда выражения нам уже известны. Подчеркнём, что этот потенциал выра жается через стандартные полные эллиптические интегралы.
§ 10.12. О радиусе сходимости ряда Лапласа для однородных и слоисто-неоднородных эллипсоидов или сфероидов В небесной механике часто гравитационный потенциал тела во внешней точке представляют рядом Лапласа [45] (см. также формулу (12.84)) (10.163)
10.12. О РАДИУСЕ сходимости РЯДА ЛАПЛАСА для эллипсоидов и СФЕРОИДОВ
331
Здесь М — масса тела; г — расстояние пробной точки от начала координат; R — радиус объемлющей сферы; Y — безразмерная сферическая функция Лапласа. Но представление внешнего потенциала (10.163) годится, если ряд сходится. Поэтому возникает вопрос о радиусе сходимости данного ряда. Вообще, для тел сложной формы вопрос о радиусе сходимости ряда Лапласа вблизи гравитирующего тела остаётся, несмотря на значительные усилия, до сих пор неразрешенным. Однако для сфероидов, однородных и неоднородных (состоящих из софокусных или гомотетических слоев), радиус сходимости ряда Лапласа известен и равен фокальному расстоянию граничной сфероидальной поверх ности этого тела (см. учебник М. Ф. Субботина [45] и статью К. В. Холшевникова [66]). Естественно возникает вопрос о радиусе сходимости ряда для сфероидов с более об щей (чем гомеоиды и фокалоиды) стратификацией слоев равной плотности. Наконец, есть и аналогичная, но более общая задача о радиусе сходимости ряда для трёхосных слои сто-неоднородных эллипсоидов. Чтобы решить обе задачи, докажем следующую теорему n
Теорема 6. Радиус сходимости ряда Лапласа для внешнего потенциала слоисто-неод нородного эллипсоида с произвольным распределением плотности р (га) равен наибольшему фокальному расстоянию его граничной эллипсоидальной поверхности. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Примем, как всегда а\ > а ^ аз- Рассмотрим внешний потенциал у? нешн (#) сло исто-неоднородного эллипсоида с произвольной эллипсоидальной стратификацией. Соот ветствующий этому эллипсоиду другой слоисто-неоднородный эллипсоид, образованный из данного софокусным преобразованием каждого слоя, является, как доказано в § 10.3, эквигравитирующим исходному. Поэтому потенциалы исходного (первого) эллипсоида ^внешн (ж) и полученного из него второго у^нешн (х) будут равны 2
В
Увивши
Процесс софокусного преобразования слоев равной плотности первого эллипсоида можно продолжить до получения в плоскости Ох\х эквигравитирующего эллиптического диска (см. рис. 89) с известной нам поверхностной плотностью (10.105). Потенциал такого диска и потенциал исходного эллипсоида, если только точка х является внешней по отношению к эллипсоиду, также будут равны. В таком случае для вычисления <^ ешн ( ) можно применять ряд (10.163), если только внешняя пробная точка не попадает внутрь сферы, имеющей радиус большой полуоси эллиптического диска. Но этот радиус диска, равный ( « i e i 3 ) , и есть наибольшее фокальное расстояние в исходном эллипсоиде. • 2
х
Н
хА 2
Рис. 89. Одно из главных сечений слоисто-неоднородного эллипсоида, перпендикулярное его малой оси Охзу И эквигравитирующий эллип тический диск (заштрихован). Отме чены фокальные расстояния гранич ной поверхности эллипсоида
Заметим, что теорема 10.164 о радиусе сходимости верна:
332
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И ЭЛЛИПСОИДЫ
а) для любых элементарных (тонких) и толстых слоисто-неоднородных эллипсоидаль ных оболочек; б) для однородных эллипсоидов и сфероидов (сжатых и вытянутых); в) для слоисто-неоднородных сфероидов, состоящих не только из гомеоидов и фока лоидов, но имеющих любую другую сфероидальную стратификацию слоев. Заметим: для сфероидов радиус сходимости ряда (10.163) совпадает с половиной «дайны» эквигравитирующего стержня ; г) для неоднородных трёхосных эллипсоидов с любой эллипсоидальной стратификаци ей вещества в них. Однако наш метод не сводится только к эллипсоидальным телам. Например, для од нородной тонкой симметричной линзы, имеющей острые углы и рассмотренной в § 10.13, радиус сходимости ряда (10.163) также будет равен радиусу эквигравитирующего диска (или половине «длины» заменяющего стержня). Сложнее обстоит дело с определением радиуса сходимости ряда (10.163) в тех случаях, когда тело имеет не один, а несколько заменяющих стержней, или когда система эквигравитирующих элементов тела состоит не только из стержней и дисков, но в неё входят ещё и точечные массы. Так обстоит дело, например, с цилиндром конечной длины (см. § 9.8.2), параболоидной линзы § 9.9 или для «толстого» шарового сегмента из § 9.14. З а д а ч а 10.13. (Поисковая.) Предложите способ отыскания радиуса сходимости для ряда (10.163) в тех случаях, когда система эквигравитирующих элементов состоит из нескольких стержней, или когда кроме стержня есть ещё и точечные массы? 11
§ 10.13. Однородная симметричная линза с острыми краями: эквигравитирующие элементы и пространственный потенциал Серьёзной проверкой методов, разработан ных в этой книге является и задача об однородной тонкой симметричной линзе. Покажем, что такая линза, напоминающая известную галактику «Сомбреро» (или здание цирка в Казани), имеет три (!) эквигравитирующих тела. 10.13,1. Эквигравитирующий стержень Первым в перечне эквигравитирующих тел для однородной тонкой линзы является од Рис. 90. Симметричная линза с «острыми» краями номерный стержень с мнимым распреде лением плотности. Этот стержень состав ной и складывается из стержней для верхнего и нижнего сегментов, образующих линзу (см. рис. 90). Чтобы найти распределение мнимой плотности р (С) для линзы с острыми углами, надо к (9.88) (или к (9.185)) прибавить аналогичное выражение для нижнего сег мента, предварительно заменив там С - * ~С :
Ц(0
= -ЬР(О?
+ <
з гЛ( >
I \ H - R
+ + C
1 ^ H - R - C J '
(10.165)
т. е. 2
,(C) = - f v ( f l - Я )
2
(а + С ) 2
(Я - Я) 11
2
с
2
Тем самым, результат К. В. Холшевникова для сфероидов из статьи [66] здесь обобщён.
(10.166)
10.13. СИММЕТРИЧНАЯ ЛИНЗА С ОСТРЫМИ КРАЯМИ
333
З а д а ч а 10.14. Доказать, что стержень с распределением плотности (10.166) име ет ту же массу (10.172) и потенциал на оси симметрии (10.174) (см. также первое из выражений в (12.147)), что и исходная симметричная линза. 10.13.2. Эквигравитирующий диск Вторым телом, имеющим то же внешнее гравитационное поле, что и однородная тонкая линза, является плоский неоднородный круглый диск. Чтобы найти его, обратимся к формуле (9.145); подставляя в неё распределение р ы (С) (10.166), имеем и
з
ЛИНЗ
(10.167)
(
( я
я
•
)
2
с 2
- )
Здесь надо положить Д ка = а = у/Н ( 2 Я — R), поскольку радиус искомого диска равен половине «длины» стержня: ДИС
2
4p
„ м - _ _ (R m _ я _ а
(
р
)
(
я
d )
- у
f (
ж
5
t(« ° +*) + * Г _ _ (
д
я
dx )
2
(10.168)
) X
VP~
Выражение под интегралом приводим к виду /х + о Р-
2
2
,
R
_1_
х
Я
2
2
у/{х + а ){р-х)
[х-(Л-Я) ]
4
•
у/{х +
2
а )(р-х)
тогда интеграл в (10.168), который мы обозначим через I (р), как можно показать, выража ется элементарной функцией
3
2
2R
2
/<Р) = | р + о + 2 Я -
(10.169)
yJiR-Hf-p Поэтому \ dl dp
=
n 2
3
R
1 -
(10.170) 2
[ ( Д - Я ) - р ]
I
V
и в итоге находим, что симметричная однородная линза имеет вещественный эквигравити рующий круглый диск с поверхностной плотностью
a(r) =
(p(R-H)
Я [(Я-Я)
3
- 1 2
2
+ г ]
, 0 < г < о.
(10.171)
334
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
Этот диск неоднородный: в центре у него плотность максимальная 3
Я
<г(0) = | р ( Я - Я )
- 1
(R - Ну а на краю, с учётом соотношения (9.187), обращается в нуль, т. е. а (а) = 0. Проверка диска (10.171) по массе:
а
я
3
- 1 2
rdr = 2прН'
М
2
(R - Я ) + г '
) (10.172)
Верно! Проверка диска (10.171) по потенциалу: Потенциал такого диска на оси симметрии Охз
3
R 2
2
Ч> Ы
= l*Gp (R-H)
} I UR-H) ±±
-1
+ x]* i
I ± dx
(10.173)
как нетрудно видеть, равен
2
p(x ) =
i
3
^Gp(R-H){
2
R y/a
+ xl 2
(R - н) - 4
3
Rx
3
(R
н) [(л - я )
(10.174) 2
-*§]]'
Теперь легко доказать эквивалентность выражения потенциала (10.174) и потенциала линзы в первой из формул (12.147). Проверка закончена. 10.13.3. Эквигравитирующий сфероид для линзы Но для тонкой симметричной линзы существует ещё и третье эквитравитирующее тело. Им является слоисто-неоднородный сфероид с гомотетическими слоями и произволь ным эксцентриситетом меридионального сечения е (причём вырождение сфероида в шар пока не допускается!). Пикантность ситуации в том, что линза имеет острые края, а сфероид — фигура сглаженная! Но если учесть, что диск радиусом а, найденный в предыдущем разделе, — это фокальный кружок в эквитравитирующем сфероиде, и что этот диск как раз и есть экваториальное сечение линзы (т. е. линза тоже находится внутри сфероида, см. рис. 91), то становится ясным, что внешний потенциал сфероида нигде не будет иметь особых точек. Для нахождения распределения плотности в эквитравитирующем сфероиде с гранич ными полуосями a i > а з обратимся к формуле (10.76). В данном случае
335
0.8
Рис. 91. Линза внутри эквигравитирующего для неё сфероида
c{y) =
1 т
Рис. 92. Распределение плотности в сфе роиде, эквигравитирующего однородной симметричной линзе
Я
±p{R-H)
3
2
2
[(R-H)
(10.175)
-1 2
+ ay]
так что 3
a'{y) =
2
Я а
-\p{R-H)2
(10.176) 2
[(R-H)
2
+ ay]
Следовательно,
1 P^(m)
2
3
= ^p(R-H)a R
dy
J
(10.177)
2
m Jy-^rt^R-Hf
2
+ oty }
Вычисляя этот интеграл, в итоге находим „
2 e V , n
6 п а
2
гт\ Г ——
p
2
ЗЯ - а +
л
2
з
2
2
[Я - а +
2
ат 2
(10.178)
2
ат]
Это распределение плотности показано на рис. 92. Для проверки формулы (10.178) вычислим массу данного сфероида. Подставляя (10.178) в формулу (6.119), получим (напомним, что квадрат радиуса диска а = а е ): 2
2
2
М ф = | a V (Я - Я ) J
m sJT^ m
С
2
1 ЗЯ - а + 2
2
[R -a
о
2
2
2
2
ат
dm. + a?m ]*
(10.179)
2
Интеграл в (10.179) равен 3
2
2 Я - VR
2
2
2
- а (а + 2 Я )
(10.180)
336
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И ЭЛЛИПСОИДЫ
так что в итоге М
2
= 27г/># (д-^.
с ф
(10.181)
Сравнивая это с (10.172), убеждаемся, что найденный сфероид действительно имеет массу исходной симметричной линзы. 10.13.4. Итог: внешний пространственный потенциал симметричной линзы Подробный вывод закона распределения плотности в эквигравитирующем сфероиде был сделан потому, что сейчас мы используем его для нахождения пространственного потен циала исходной однородной симметричной линзы. Внешний потенциал слоисто-неоднородного сфероида, согласно (1.49), даётся двойным интегралом
оо Vc*(r,x )
[ —
= nGala
s
1
3
{
ц
2
* . . / \Ч + и) V 3 + u J
p^{m)dm ,
(10.182)
A
где, напомним, 2
г -+ а + \ а\ + А 2
m 7
2
2
( u )
_I _ а\ + и
=
х
_ f L . а\ + и
+
(10.183)
2
Подставляя сюда р ф (т ) из (10.178), находим вначале внутренний интеграл С
(
l
(
/ A « ( m W - A a ' ( * - H ) - f * f J Зтга {R-H) + a m (u) т (и) Н
9
К
н
2
2
2 2
(10.184)
3
2
Целесообразно ввести эллипсоидальные координаты пробной точки; в случае сжатого сфероида их будет только две: А и р, причём А > р> и обе координаты удовлетворяют квадратному уравнению -£—
+^
-
=1
(
в 1
>о ).
(10.185)
3
Цилиндрические координаты пробной точки можно тогда выразить через эллипсоидальные: r 2
=
( о К А Щ + м )
;
(
2
Ш
1
8
6
)
2
а - а§
а§ - а
Обратим внимание, 2
А > -о
> р > -а*,
(10.187)
и х\, разумеется, остаётся положительной величиной. Пользуясь тождеством 2
2
(а + и) (а + u) ( 1 У а\ + и
р— ) = (и - А) (и - р), а$ + и/
которое нетрудно доказать, представим интеграл (10.182) с учётом (10.184) в виде
(10.188)
10.13. СИММЕТРИЧНАЯ ЛИНЗА С ОСТРЫМИ КРАЯМИ
2
= ±Gpa
3
337
(10.189)
(R-H)-I,
где мы обозначили
оо
\
ах+и
а +и/ 3
( Я - НУ
у/(of 4- и) {и - А) (и - ц)
2
а\ 4- и
(10.190)
а 4 и
2
Используя т (и) из (10.183), целесообразно в (10.190) подынтегральное выражение (без радикала) с учетом тождества (9.187) представить в виде
2
т (и) 42
= т (и) + (R -
Я)
(R - Н)
4
2R?
л
2 2
т (и) +
(Я - Я )
2
(10.191) после чего интеграл приводится к следующему:
оо j_
f
du у/{а\ 4- и) (и - А) {и -
J
2
л 4- и
1-
+ а% 4- и -
(10.192) Я
2 а
г" „2
,
^з
, (
R
~
а 4 и 1 а о 4 it I 2
н
)
о
2
Последний член в фигурных скобках (10.192) преобразуем, в свою очередь, к виду
Д
fli+u
|
(Я - Я )
а§ 4 u
а"
2
4
2
2
(а\ 4- и) (а + и)
(10.193)
~ а ( Я - Я ) (t* - tii) (u - и г ) ' 2
где u i и U2 — корни квадратного уравнения ,2
+ a\al+
2
и +и
а
2
{r al
2
+ xlal)
= 0,
(10.194)
равные
(«2) 22 Кондратьев Б П
2
' Oj +
2
2
2
а (г +Х§)
2
2
2(г -*§)
1 4. _ J
О3 +
(л-яг
2\
(Я-Я)
2
(г +х§)
(10.195)
Ш _i_ J: 2
(Я-Я)
4
338
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ и эллипсоиды
Заметим: даже в критическом случае г = 0, т. е. на оси симметрии сфероида, выражение под радикалом будет равно
и, следовательно, остаётся заведомо положительным. Вне же оси подкоренное выражение ещё только возрастёт. Следовательно, корни щ и и в любой точке г, хз остаются веще ственными, и при том отрицательными: 2
и <и <0. 2
(10.197)
х
Далее, в силу тождества (aj + и) (а§ + и) (и - u\) (и -
Т и —щ
и)
Т и — и*
г
= 1 +
2
2
(10.198)
2
где введены обозначения для величин 2
(al + m) (al+щ) 1
=
—
(а\ + и ) (а + и ) 12 = U\ — U2 2
1
—
,
U\ — U2 для интеграла / из (10.190) имеем
3
2
(10.199)
оо х\
j— Г du / yj{a\ + и) (и - А) {и - • / i ) \ a ? + u
4 +и
(R-Hf (10.200)
4
R
+a
2
Hf yU-Ui
(R -
U-U2 J \
Из анализа выражения (10.200) становится ясно, что все интегралы, с которыми мы имеем здесь дело, сводятся к стандартным эллиптическим. Конкретно, с учётом нера венств оо>и^\>р>
—а\ j
(10.201)
находим:
/ = г
2
; ( К (к)-Е
(к)) +
(/х + а\) V A + of П
+4
2
{а\ - 4)
у/Х + а
К(к))
Х + а\
2
Hf
2
2
(щ + a )
П
a (R - Н)
и + а{ 2
А + а|
(и + а\) у/Х + 1% 2
,к
А + а?
,/xTaJ
2 2
+
2
Щ +а
П
4
Д Г
К(к) 2
(R - Я ) y/X + aJ
2 a (R-
+
,к
-К
-K(fc)
-
(10.202)
(к)
Все эллиптические интегралы здесь полные и имеют один и тот же модуль (J, + а
к =
i
N
A + af
(10.203)
10.13. СИММЕТРИЧНАЯ ЛИНЗА С ОСТРЫМИ КРАЯМИ
339
Собирая в выражении (10.202) члены при К(/с), после несложных преобразований с учётом ранее определенных нами выражений Т\ и Т из (10.199), эту группу членов удаётся упростить до такого вида 2
2 t
, (- ^ т -
- 1 - Щ) К ( к ) .
(10.204)
Таким образом, для выражения полного внешнего потенциала слоисто-неоднородного сфероида заданного типа из (10.189) получаем следующую формулу:
(г, * ) = \Gp (R - Н) —
^сф
3
{
- J ± - ( К (*) - Е
- K ( A O ) - ( I + ^ ) K ( * )
(гц + а%) П 2
a (R - Ну
+
(ti + a§) П 2
A + af
(щ
(к)) +
u + aj 2
A + af
(10.205) где мы использовали известное равенство а = а - а , а к дано в (10.203). Итак, потенциал сфероида рассматриваемого типа, как и потенциал тонкой однород ной симметричной линзы выражается, согласно (10.205), через стандартные полные эллип тические интегралы. Это нетривиально. Сама линза состоит из двух, сложенных «подошва к подошве» сегментов, а внешний потенциал отдельного сегмента в общем случае через эллиптические интегралы не выражается, см. задачу 9.10! Кроме того, линзу можно представить состоящей из системы однородных элементарных круглых дисков, и её полный потенциал находится интегрированием вкладов 2
2
2
я ^линзы {Гу Хз)=
/ Слиска [г, Х ; Д(х' ), ГГд] аУ 3
3
3
(10.206)
-я от потенциалов этих дисков. Но пространственный потенциал однородного круглого диска сам по себе сложен и выражается через эллиптические интегралы (см. формулы (9.56) или (9.66)), так что в (10.206) приходится интегрировать эллиптические интегралы. Удивительно здесь то, что методом эквигравитирующих тел потенциал сфероида и линзы удаётся полу чить через те же эллиптические интегралы. А ведь далеко не в каждом примере интегралы от эллиптических интегралов удаётся снова выразить через эллиптические интегралы! Но главное в том, что выражение (10.205) представляет внешний потенциал любого из четырёх перечисленных ниже тел: «однородная тонкая симметричная линза — стержень с мнимой плотностью (10.166) — круглый диск с плотностью (10.171) — слоисто-неоднородный сфероид с плотностью (10.178)». Подчеркнём, что крайние звенья этой цепочки — однородная симметричная линза и сло исто-неоднородный сфероид — объёмные тела совершенно разной формы и с разной, притом, концентрацией вещества в них. И тем не менее, как мы здесь доказали, однородная линза и неоднородный сфероид оказываются эквигравитирующими во внешнем пространстве. Факт удивительный!
22*
340
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ и эллипсоиды
10.13.5. Частные случаи Рассмотрим более подробно гравитационный потенциал (10.205). Потенциал (10.205) на оси симметрии В этом случае
г = 0,
/А =
2
—
2
а ,
2
fc = 0
2
А= х — а ,
- и = а 1 2
(10.207)
и, следовательно, E(fc) = K(fc) = | ;
тг\А1 + а . 2
П
,0
A + af
J
!
a
2
2
2
S U 1
#з
V
A + af
(10.208)
7Г xj + a
2
П
\ + aj
,0
/-
9
2
/а: - f a
TP
П
2 У A - tii '
m + ai
2
U2 Далее:
2
a -fa
2
a 2 x i
+
2
(R - H)
2
a
1 -
x
(R-HY
(10.209)
2 2
af 4- ai +
a x
{R-HY 3
1 -
г^ = - 2
(я-яу
, 2 a + a| = —
1
46
-1
-
-
(R 2
u + a = 2
m —u = a 2
Выражение (10.205) упрощается:
-1
-
1 (R-HY H)
(10.210)
х
з {R-Hf A 2
(R-H)
'
10.13. СИММЕТРИЧНАЯ ЛИНЗА С ОСТРЫМИ КРАЯМИ
2
а + х\ [
2
l)-(a*
хз
\
341
+ R) + (10.211)
4
R \2> (R-H)'(ui-u )
+
\ / ' ^ ( -
а
з ) - ^ ( «
2
+
а|)
2
и, после указанных подстановок и простых преобразований с учётом неравенства -1>0,
(10.212)
{R-HY принимает вид 2
3
2
2
R*(a +x ) <2(R — H)x3 — 2(R — H) x -(R-HY
= i^Gp
i (х )
R?X3
2
2
2
x -{R-
H
y (10.213)
Но это, как нам будет известно, и есть внешний потенциал линзы на оси Охз (см. первую из формул ( 1 2 . 1 4 7 ) ) .
Задача
10.15. Преобразовать
первую из формул (12.147) к виду (10.213).
Если лее в ( 1 0 . 2 1 1 ) вместо ( 1 0 . 2 1 2 ) положить - К О ,
(10.214)
(R-H)' что соответствует точке внутри линзы, то щ -f- «з = —
ах2^2 3
(R - Н)
2
,
"2 + «з = -<*>
х\ i —и = а [1 — (R - И)
u
>0,
2
2
и тогда 2
y^{x ) 3
=
4
R {R-Hf-x
2 3
V \ / ^ T F
\itGp{R-H) х x R{R-
2
xj + а + 2R 3
-
2
%/a + х
3
3
H) (10.215) 2
2
(a + x ) 2(R-H)x
3
+
2 3
2Д х
2(R-H) (R - Hf
- x\
(R-
Hf
3
- x\
А это — действительно внутренний потенциал линзы на оси симметрии (см. вторую из формул (12.147))! Рассмотрим другой важный частный случай:
342
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И эллипсоиды
Потенциал четырёх эквигравитирующих тел: тонкой однородной линзы, стержня, и сфероида в экваториальной плоскости Хз = О
диска
При хз —> 0 все формулы несколько упрощаются, хотя и не так заметно, как в случае на оси Охз. Прежде всего, -a*, \ = r -a (10.216) 2
2
v
Поэтому к - £ а\ + а%+ (я a
"1,2 = ~
wi - u = a
2
1+
2
'
1+
±Щг
( я - я у
2
\ 2
ну
V
(R-Ю
2
(10.217)
2
wi + a = a ,
ui + a = 0,
u + a{ - 2
^ 4 -
2
"2 + a
(Я - Я )
2
W
1+ ( я - я г
Тогда имеем из (10.205) о
^сф {г) = з ^ р а (( Я - Я ) ф
[К(*)-Е(*)](10.218)
f 1 + Щ-) к (fc) + V а) г
К
— B l — _ п a (R-H)-
)
2
Эта формула верна при а ^ г < оо. В частности, можно найти и внешний потенциал однородного шарового сегмента с радиусом основания а и с высотой Я в плоскости хз -- 0: он будет равен просто половине потенциала симметричной линзы (10.218): Vce™. вн (г) = \Сра ( Я - Я ) £ ^
[К (&) - Е (А:)] (10.219)
1 +
я Л
я
К(*) +
4
(Я - Я )
2
а (Я - Я )
г,*
Формула (10.219) была проверена прямым численным расчётом потенциала шарового сегмента в плоскосги хз = 0, заданного тройным интегралом:
г,„
Н
2тг
P
(10.220)
M
^сепи к (Г) =--G f dx' f T'dr' J 3
o
o
o
2
2
\J(r'cosO - r ) + ( r ' s i n в ) + х ' 1
где в — угол между направлениями на пробную точку и проекцией точки интегрирования на плоскость х = 0, а г ^ = Я - ( Я - Я 4- Х3) . 2
3
2
2
10.13. СИММЕТРИЧНАЯ ЛИНЗА С ОСТРЫМИ КРАЯМИ
343
Ещё одна весомая проверка формулы (10.219): внешний потенциал сегмента (10.219) в плоскости хз = 0, выраженный через полные эллиптические интегралы, оказыва ется эквивалентным потенциалу сегмента (9.94), найденному в девятой главе другим способом — с помощью эквигравитирующего стержня сегмента (9.88). З а д а ч а 10.16. (Поисковая.) Исследовать предельный переход от линзы с острыми краями к шару. Как такой переход отразится на трёх других эквигравитирующих телах и полученных выше основных формулах? Указание. Это тонкая задача требует большой осторожности при её решении. З а д а ч а 10.17. (Поисковая.) Найти внешний потенциал обобщённого гомотетического слоя, размещённого на поверхности однородной симметричной линзы с острыми краями. Указание. Подставить потенциал линзы (10.205) в правую часть выражения (5.115). Замечания § ЮЛ. Вводятся и далее активно применяются особые софокусные преобразования. Они не только преобразуют любые эллипсоидальные оболочки в софокусные им, но и превращают их (а также сплошные эллипсоиды) в плоские диски. Именно таким методом в данной книге удаётся решить ряд очень трудных задач! Первоисточник: [21]. §§ 10.2 — 10.4. Метод софокусных преобразований применяется здесь к любым эллип соидальным оболочкам. С его помощью мы находим эквигравитирующие тела как среди оболочек, так и в классе сплошных слоисто-неоднородных эллипсоидов. Эти результаты значительно расширяют рамки классической теоремы Маклорена — Лапласа и теоремы Ша ля. В прекрасных книгах Вебстера [11], стр. 449 и Пицетти [39] об этой теме сказано очень мало (всего несколько строк) и формально. Дисковый предел для оболочек и сплошных сфероидов представляет для нас особый интерес. Первоисточник: [21]. § 10.5. Метод дифференциации — универсальный метод и в этом разделе он применяется для нахождения эквигравитирующих круглых дисков, а также стержней для элементарных сфероидальных оболочек с любым профилем толщины. Первоисточник: [21]. Другой алгоритм нахождения только круглых эквигравитирующих дисков был разрабо тан в совместной работе [2]. § 10.6. Методы § 10.5 применяются к сплошным слоисто-неоднородным сфероидам. Первоисточник: [21]. §§ 10.7,10.8. Разработанные теоретические методы применяются к новым задачам. Методы восстановления объёмной плотности в сфероидах как по заданному эквигравитирующему диску, так и по заменяющему стержню необходимы, например, при изучении гравитационных полей галактик. Первоисточник: [21]. § 10.9. Важный момент: для слоисто-неоднородных трёхосных эллипсоидов заменя ющие плоские диски (но только эллиптические!) также существуют. Решаются прямая и обратная задачи. Обратим внимание — эквигравитирующих стержней для тел без азиму тальной симметрии не существует. Первоисточник: [21]. § 10.10. Задача о пространственном потенциале однородного эллиптического диска — новая. Эта вершина ранее никем не была покорена. В общем виде данная задача решается через отыскание эквигравитирующего этому диску трёхосного эллипсоида. Первоисточник: [21].
344
ГЛАВА 10. ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИЕ ТЕЛА. ОБОЛОЧКИ И ЭЛЛИПСОИДЫ
§ 10.11. Новый материал. И задача о пространственном потенциале неоднородного эл липтического диска решается через отыскание эквигравитирующего этому диску трёхосного эллипсоида. § 10.12. Исходя из развитых в этой книге представлений об эквигравитирующих дисках и заменяющих стержнях здесь получен важный результат для радиуса сходимости ряда Лапласа, представляющего внешний потенциал слоисто-неоднородного эллипсоида. § 10.13. Решена узловая задача о пространственном потенциале однородной тонкой симметричной линзы. Для этого потребовалась мобилизация возможностей всех методов, разработанных в этой главе. Результат интересен и важен: однородная тонкая симметричная линза в качестве эквигравитирующих имеет и стержень с мнимой плотностью (10.166), и вещественный круглый диск с плотностью (10.171), и, наконец, слоисто-неоднородный сфероид с плотностью (10.178).
ГЛАВА 11 Н А Х О Ж Д Е Н И Е
О С О Б Ы Х
В Н Е Ш Н Е Г О В Н У Т Р И
Т О Ч Е К
П О Т Е Н Ц И А Л А
О С Е С И М М Е Т Р И Ч Н Ы Х
Т Е Л
Как мы уже знаем из гл. 9, для нахождения эквигравитирующих стержней и «скелетов» тел требуется знать расположение особых точек. Эти точки могут быть как на поверхности гравитирующего тела, так и внутри него (и тогда это будут особые точки аналитического продолжения внешнего потенциала на внутреннюю область фигуры). Знание особых то чек позволяет определять и радиус сходимости рядов Лапласа для внешнего потенциала у обширного класса гравитирующих тел. Однако далеко не просто указать, где внутри тела находятся сами особые точки. В данной главе разрабатываются строгие алгоритмы для вы явления особых точек у однородных осесимметричных тел. Метод основан на применении контурных интегралов в комплексной плоскости. Выявлены три случая нахождения таких точек. Приводятся примеры, иллюстрирующие метод.
§11.1. Представление внешнего потенциала интегралом в комплексной плоскости Рассмотрим однородное (плотности р) гравитирующее тело Г , имеющее ось симметрии Oz. Начало цилиндрической системы координат также находится на этой оси.
/?(=ImC)i
ZI
z=z+iR
т
cl
?
j т
J
О
Ц
R
Рис. 93. Меридиональный контур тела Т с осью симметрии Oz. Через г\ и г2 обозначены расстояния до ближайшей и наиболее удалённой точек поверхности этого тела, zi и г точки пересечения контура с осью симметрии 2
\
О
Рис. 94. Меридиональный контур тела С на комплексной плоскости С- Стрелками показано направление обхода половины этого контура при интегрировании
Мысленно рассечём тело Т на элементарные круглые диски (или кольца) с поверхност ной плотностью а = pdz (рис. 93). Тогда вклад в потенциал на испытуемую точку ( г , 0 ) ;
346
ГЛАВА 11. НАХОЖДЕНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА
от одного из таких дисков, расположенного на высоте z и имеющего радиус R(z), дается выражением (см. (9.35)) dip = 2nGp y/R?( )
(ил)
( >-zf-(z'-z) dz.
+
z
z
Без ограничения общности полагаем z' > z^. Интегрирование по всем элементарным дискам даёт полный потенциал тела Z
^
1
<р (z ) = 2nGp
J
2 ^R*
)
{Z
+ [> Z
Z
)
2 D Z
+ Z' (Z 2
)
ZL
+
2
^-=-^-
(11.2)
В общем случае функция R(z), представляющая здесь уравнение контура тела С , может быть и многозначной (при тех z, где диски уступают место кольцам). Тогда интеграл в (11.2) надо рассматривать как криволинейный, взятый вдоль контура тела С. Интегралу из (11.2) мы и будем уделять далее основное внимание, рассматривая его как функцию от переменной z'. Целесообразно вначале представить этот интеграл как кон турный в комплексной плоскости переменной ( = z 4- гД. Так как С=*-НЯ,
С=*~Щ
dz=--±(d<; + dC),
(П.З)
указанный интеграл принимает вид Z2 f
F (z ) = irGp J V V - 0 ( * ' - C * ) « + dC) •
(11.4)
Очевидно также, чго в результате такой замены контур тела С на комплексной плоскости С оказывается повёрнут по часовой стрелке на угол 9 0 ° (рис. 94). Подчеркнём, что при такой ориентации контура С интеграл (11.4) берётся по его верхней половине слева направо от ТОЧКИ Z\ ДО ТОЧКИ 22-
Подчеркнём, что в целом потенциал <р (z>) из (11.2) имеет вид ^ ' ) = F(z') + ^ ' ) > где F ( z ' ) дана в (11.4), a y>(z') — полином первой степени (исчезающий, например, для тора).
§ 11.2. Особые точки на контуре С и внутри него на оси симметрии Обратимся теперь к вопросу об особых точках на контуре фигуры и для аналитического продолжения внешнего потенциала внутрь тела Т. 1. Особые точки на контуре Начнём с самого простого. Прежде всего, такие особые точки могут находиться на самом контуре С. В этих точках касательная к контуру фигуры не определена и происходит потеря гладкости. Особые точки на контуре фигуры соответствуют различным изломам, заострени ям или резким перегибам кривой меридионального сечения тела Т . Например, особые точки такого типа на контуре будут иметь круговые конусы, цилиндры конечной длины, сегменты шара и т. д.
347
11.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА КОНГУРЕ
2. Внутренние особые тонки на оси симметрии В отсутствие особых точек на контуре С величина С* оказывается однозначно зависящей от С и на нём функция С* = г/ (С) (П.5) особых точек уже не имеет. Однако внутри контура С функция (11.5) всё же должна иметь особые точки. Действительно, при z\ < ZQ < z мы находим 2
drj (11.6) У V(0-*Q
У С*-го с
I У С-го j \с
'
в то время как в случае регулярности интеграл в левой части (11.6) обязан был бы иметь значение 2тК, где К — число корней уравнения i] (С) = z . Укажем теперь метод отыскания внутренних точек на оси симметрии однородного тела, для чего интеграл (11.4) представим, с учётом обозначения (11.5), в удобном для дальнейших исследований виде Q
(01 ( l + ^ )
F (*') = J v V - С )
rfC
(П7)
Пока сингулярности не встречаются, путь интегрирования в (11.7) можно как угодно сме щать с сохранением концевых точек z\ и z и следить только за тем, чтобы £ и 7) (£) не совпадали с заданной постоянной z'. В остальном же деформация контура может быть ка кой угодно. Существенно здесь то, что при деформации контура значения С и rj (£) уже не останутся взаимно-сопряжёнными друг другу. Есть ещё одно важное свойство функ ции г] (£): поскольку уравнение меридионального сечения тела Т в силу осевой симметрии инвариантно по отношению к перестановке местами С и С* и имеют место очевидные соот ношения 2
#
= - < ^ £ L ,
(
1
,.
8
)
то, следовательно, для точек контура С наряду с (11.5) имеет место и следующее соотноше ние С = V(C)(Н.9) Следовательно, по принципу аналитического продолжения, указанная инвариантность к со пряжению сохраняется и для точек всей комплексной плоскости. Например, значение г; (С*) при аналитическом продолжении этой функции вдоль вещественной оси z от z\ до z также останется вещественным. 2
Установив это необходимое обстоятельство, изучим аналитическое продолжение функ ции F(z') из (11.7), перемещая точку z из внешней области тела Т к некоторой точке отрезка [z\^z \. Как мы уже знаем, при этом точка z не должна пересекать деформируемый контур интегрирования. Другими словами, контур должен отступать перед надвигающейся точкой z'. Возможное изменение контура интегрирования, удовлетворяющее данному прави лу, показано на рис. 95. Очевидно, вклады в интеграл (11.7) от каждого из двух вновь обра зованных отрезков не равны нулю и вещественны. Действительно, по указанному выше, на отрезке [zi, 22] величины С и г ; (С) вещественны, что влечёт вещественность и всего подын тегрального выражения (11.7). Поскольку же при обходе вокруг точки z' радикал \Jz' — С f
l
2
348
ГЛАВА 11. НАХОЖДЕНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА
Рис. 95. Изменённый контур интегрирования при анали тическом продолжении функ ции F(z') внутрь тела Т. А В — верхний прямолиней ный отрезок деформирован ного участка контура
zf=ReC)
меняет свой знак, сумма вкладов от этих двух отрезков есть просто удвоение вещественно го вклада от одного из них, например, от отрезка АВ. Разумеется, вещественным в целом остаётся и интеграл (11.7). Привлекая теперь известный принцип аналитического продолжения, принцип симмет рии Римана—Шварца (см. книгу Привалова [40]), распространяем однозначным и регуляр ным образом функцию F (z ) и на точки, расположенные несколько выше и ниже оси Oz. В результате, функция F (z') при её продолжении влево от точки z = z (и вправо от точки z' — z\) оказывается аналитической функцией. Так будет продолжаться до тех пор, пока сдвиг точки z' вправо от z и влево от z\ не встретит препятствие в виде особой точки функции ц (С). Эта сингулярность функции 7) (Q будет являться одновременно особой точкой и для F (z ). Таким образом, всё сводится к нахождению функции 7](Q и к отысканию у этой функции особых точек по стандартным правилам. f
f
2
2
f
3. Внутренние особые точка вне оси симметрии f
1
Обратимся теперь к определению функции F (z ) и её особых точек, когда аргументу z формально придаётся комплексное значение. Пусть, конкретно, I m z ' > 0. В этом случае отступание пути интегрирования перед надвигающейся точкой £ = z возможно только до тех пор, пока либо путь интегрирования не будет зажат между двумя точками, обращающими в нуль оба сомножителя выражения под радикалом в ( П . 7 ) , либо второй сомножитель не потеряет регулярность. В первом случае, очевидно, г} (z ) = z', а во втором функция г) (£) должна иметь в точке Q = z' какую-то особенность. Рассматривать случай Im z' < 0 в силу очевидной симметрии нет необходимости. 1
f
§ 11.3. Сводка правил для отыскания особых точек Резюмируя, получаем следующие основные правила для отыскания особых точек функ ции F (*') и, значит, для аналитического продолжения внешнего потенциала тела внутрь него. 1. Особые точки могут задаваться явно уравнением поверхности осесимметричного гравитирующего тела. В таких особых точках касательная к меридиональному контуру неопределена (это могут быть различные заострения, изломы контура фигуры и т. д.). 2. Особые точки могут находиться и внутри тела на оси его симметрии. Эти точки совпадают с особыми точками функции С* = г) (£). Для их отыскания по заданному уравне нию меридионального сечения тела F (R, z) = 0 сначала надо найти саму функцию г) (С), а затем, пользуясь стандартными приёмами, определить её особые точки на оси симметрии фигуры. 3. Для комплексных z надо ещё добавить точки с rj(z) = z.
§ 11.4. РАДИУС СХОДИМОСТИ РЯДА ЛАПЛАСА
349
§ 11.4. Радиус сходимости ряда Лапласа Обратимся к важной задаче о радиусе сходимости R ряда (1.17). Для пояснения, взглянем на рис. 93, где изображено гравитирующее тело Т. Хорошо известно, что при расположении испытуемой точки за объемлющей тело сферой радиусом г = г ряд Лапласа (1.17) сходится абсолютно и равномерно. Иногда, как известно, этот ряд остаётся сходящимся и в области О < г < г\. Проблема сходимости ряда Лапласа не раз обсуждалась в специальной лите ратуре (см., например, работы Антонова и Холшевникова [7] и [5] (последняя совместно с Тимошковой), а также Петровской [38].), однако, за исключением давно известных случаев с шаром или однородным сжатым или вытянутым сфероидом , вопрос о точном значении радиуса сходимости R до сих пор остаётся малоизученным . В нашем случае, за R следует брать расстояние до той внутренней (или находящейся на поверхности тела) особой точки, которая является наиболее удалённой от выбранного начала координат cx
2
1
2
cx
cx
Я
с х
= max y / f l f + l ?
(г = 1,2,
п).
(11.10)
Поясним, что поиск особых точек мы ведём, исходя из первоначального сечения тела, постепенным отрезанием его внешних слоев окружностями уменьшающегося радиуса. Не играют роли ни те особые точки, которые с самого начала остаются снаружи С , ни располо женные на других ветвях г] (£), куда можно попасть только обходом вокруг сингулярностей, раСПОЛОЖеННЫХ При |С| < RcxЕсли форма контура изменяется при различных соотношениях параметров (примеры ниже), то при выборе R следует соблюдать некоторую осторожность, так как при резких изменениях формы может происходить и перестройка системы особых точек: внутренние точки могут оказаться внешними, и наоборот. Однако при каждом фиксированном их рас положении правило (11.10) неизменно должно выполняться. cx
§11.5. Примеры 11.5.1. Вытянутые и сжатые сфероиды Уравнение контура для них 2
R
2
7
+ 2
(П.И)
2
Заменяя в (11.11) величины R и z с помощью (11.8), получим квадратное уравнение для неизвестной С*' 2
2
С ( а ? - а | ) + 2С<*(а? + e l ) + С (о? - 4) - 4в?в§ = 0,
(11.12)
решение которого и даст функцию
С =Ч«) =
2
2
*
(И-13)
Особые точки функции 77(C) здесь — это точки ветвления радикала в (11.13). Требуя обра1
Радиус сходимости ряда Лапласа для однородного сфероида известен давно, см., например, учебник Суб ботина [45]. Именно из-за этой неопределённости со сходимостью ряды Лапласа не применяются в теории фигур равнове сия вращающихся жидких масс. A. М. Ляпунов, например, применяет особые ряды по малому параметру. 2
350
ГЛАВА 11. НАХОЖДЕНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА
щения в нуль этого радикала, находим 2
2
( = ±у/а -а .
(11.14)
Следовательно, 2
2
R x = y/\a -a \.
(11.15)
C
Это — известный результат для однородного вытянутого и сжатого сфероидов. Следующий пример также несложен. 11.5.2. Шаровые линзы Здесь мы имеем дело с шаровыми сегментами и составленными из них линзами (менисками). Уравнение контура BDCE (рис. 96) в выбранной системе координат имеет вид 2
2
R + (z + R -h)
= Rl
0
(11.16)
При z = 0 имеет место соотношение между параметрами тела 2
2
a + h = 2Roh.
(11.17)
Две особые точки на контуре расположены, очевидно, в точках В и С на. расстоянии а от начала координат. Для отыскания ещё одной особой точки приведём (11.16) с учётом соотношений (11.8) к линейному уравнению, имеющему очевидное решение
Искомая третья особая точка С= Л-Д .
(Н.19)
0
Итак, для симметричной линзы возможны два случая: R x = а,
если a > h - До?
C
(11.20)
и Rcx^h — Roy
приа
(П-21)
Вариант (11.20) соответствует случаю на рис. 96, а, в случае (96, б) возможны оба варианта (11.20) и (11.21). Варианту на рис. 96, в соответствует R из (11.21). В следующем примере также необходима чёткая регламентация видов кривой контура по соотношению параметров в уравнении. cx
11.5.3. Овалы Кассини Однородное гравитирующее тело имеет меридиональное сечение в виде овалов Кассини. Это кривые четвёртого порядка, описываемые уравнением 2
2
2
2
[(Я 4- с ) + z ] [ ( Я - с ) + z ] = а\
(11.22)
§115.
ПРИМЕРЫ
351
Рис. 96. Шаровая симметричная линза BDCE при разных соотношениях параметров: а — случай h < а < До; б — случай h > RQ > а; в — случай Л = 2/?о; h — высота шарового сегмента. Радиус сходимости ряда Лапласа показан пунктиром
\в
11
О
J J " Z
R
/
J б
Рис. 97. Тело с меридиональным сечением в виде овалов Кассини для разных значений отношения параметров q = ^ . На рисунках показаны окружности с критическими ради усами г = с = О Б : а — случай q = 1.6 (тело похоже на сжатый сфероид); б — случай q — = 1.1 (овал Кассини с выемкой); в — случай q = 1 (тор с лемнискатным сечением)
\В \ R
1
\
J '
в
где а и с — параметры. Конкретная геометрическая форма такой кривой зависит от отноше ния параметров q = ^ (рис. 97). По нашему правилу, уравнение (11.22) с учётом (11.8) даёт теперь
x l { 0
=
c
=
±
^
^
J
^
-
( 1 1
-
2 3 )
352
ГЛАВА 11. НАХОЖДЕНИЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА
Рис. 98. Сечение кругового тора. Окружность с радиусом сходимости ряда Лапласа показана штрихами
Особые точки такой функции легко определяются 4
4
\/а С = ±гс
и
C= *
- с с •
V
(П.24)
Отметим, что вторая особая точка в формуле (11.24) является вещественной и расположена на оси z вне фигуры овала. Её следует сразу отбросить и считать, что в этом примере всегда Rcx = с. Имеем здесь варианты: если ^ > \ / 2 , тогда радиус сходимости R = с находится целиком внутри фигуры; если cx
1<§<л/2,
(11.25)
тогда радиус R = с таков, что критическая сфера пересекает фигуру; если ^ ^ 1 (торы с лемнискатными сечениями), то R = с и критическая сфера тоже пересекает гравитирующее тело. cx
cx
11.5.4. Круговой тор Уравнение поверхности (рис. 98) 2
2
(R - R )
2
+z = а
0
(11.26)
с учётом (11.8) даёт, как легко убедиться,
т?
( ) С
=
Г =
а
2
" Д ^
Д
0
С
-
(П.27)
Для варианта RQ > а (другие варианты тора мы здесь не рассматриваем) радиус сходимости, очевидно, равен Rcx = Ro.
(И.28)
Замечания Здесь сформулированы строгие критерии для нахождения особых точек у функций аналитического продолжения внешнего потенциала внутрь однородного осесимметричного тела. Такие особые точки необходимо знать для размещения эквигравитирующих стержней тела. Если задано меридиональное сечение контура фигуры, данные методы позволяют найти все особые точки. Та особая точка, которая лежит на поверхности или внутри тела и при этом максимально удалена от выбранного начала системы отсчёта, и даёт радиус сходимости Дсх ряда Лапласа. Первоисточник: статья Антонова и Кондратьева Б. П. [4].
ГЛАВА 1 2 Н О В Ы Е
М Е Т О Д Ы
П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н О Й
Н А Х О Ж Д Е Н И Я Э Н Е Р Г И И
Т Е Л
§12.1. Введение Использование классических формул (8.3) и (8.5) для вычисления гравитационной энергии на практике редко приводит к цели. Причина затруднений ясна: в конечной аналитической форме даже потенциал <р(х) известен лишь для немногих тел; следующий же шаг — нахождение потенциальной энергии тела — предполагает ещё и вычисление объёмных интегралов, под знаком которых стоит этот потенциал или его производные. К тому же напомним: потенциальная энергия не относится к величинам, аддитивным по массе (заряду) и, даже зная энергию тела в целом, ничего нельзя сказать об энергии его отдельных частей (справедливо и обратное!). Например, гравитационная энергия однородного цельного шара (1.64) хорошо извест на, но попытка найти, опираясь на классические методы, энергию какой-либо части то го же шара, будь то его сегмент или плоский шаровой слой, оказывается совершенно бесперспективной. Таким образом, классические методы позволяют найти энергию W лишь для шаров и однородных эллипсоидов. Хорошо, но мало! Во Вселенной существуют много тел и другой формы, к тому же неоднородных каждый по своему. Сложную форму имеют, например, многие галактики и астероиды. А как поступать, если требуется знать потенциальную энергию слоев на телах сложной формы? Чтобы преодолеть эту кризисную ситуацию, нужно искать новые идеи и методы в этой трудной области математической физики. В трёх следующих главах представлено семь новых методов нахождения потенциальной энергии объёмных тел. Кроме того, отдельно изучаются слои и двумерные фигуры. Каждый из методов позволяет решать задачи, прежде недоступные. Новизна темы и сложность выкладок требуют контроля результатов, что достигается решением одних и тех же узловых задач разными способами.
§ 12.2. Первый метод: слоисто-неоднородные эллипсоиды и сфероиды Полученные ранее интегральные формулы (8.84) и (8.86) заметно расширяют класс решаемых задач и позволяют находить гравитационную энергию не только однородного, но и любого слоисто-неоднородного эллипсоида, т.е. эллипсоида со стратификацией общего вида. Ограничимся для примера случаем гомотетических слоев ( когда га дано в (5.20)). Из (8.86) тогда следует выражение 2
(12.1)
354
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
где
1 2
Ф (р) = Jр (т) М (т) dm ,
(12.2)
о причём масса М(т) промежуточного эллипсоида с поверхностью 5 ( ш ) , состоящего из гомотетических слоев, дана в (8.87), а эксцентриситеты сечений е\ и ехз даны в (5.21). В частности, при e = 0, ехз = е из (12.1) получим формулу для энергии слоисто-неод нородного сжатого сфероида 2
i 2
= - 2 n G a
i
a
3
^ ^ • Ф (р).
(12.3)
Рассмотрим некоторые примеры. а) Однородный эллипсоид и сжатый сфероид: для этих фигур 2
* (р) = ^ir a a p ai
2
= \Мр;
3
(12.4)
следовательно, W
™ = - 5 оТёЦ
F
(arcsineia, )
;
ш
И^ = - - —
— ,
сф
(12.5)
что эквивалентно (1.65) и первой из формул (1.66). б) Слоисто-неоднородный эллипсоид с распределением плотности (10.58). Сразу под черкнём, что сейчас мы имеем дело уже не только со сфероидом, как в гл. 9, но с более общим случаем: со слоисто-неоднородным эллипсоидом. Для него находим 2
М ( г а ) = 27Гръа\а а$ ^ a r c s i n т — ту/1 - т ^ ; Ф (р) = ^ т г р о ^ а г а з . 2
(12.6)
Следовательно, энергия такого эллипсоида равна
' ( • " - " » • й ) Наконец: эллипсоид именно с таким распределением плотности в асимптотическом пределе ехз —• 1 даёт однородный эллиптический диск с энергией (14.204). Энергия же соответствующего слоисто-неоднородного сфероида получается из (12.7) как частный случай при е\ —> 0: 2
2
ЛАГ 16 M G arcsinei3 ^Ф = -^2-а1 е!3—
П
7
( 1 2
Я
'
ч 8 )
В асимптотическом пределе еаз —* 1 этот сфероид даёт, очевидно, однородный круглый диск с энергией (8.19). в) Неоднородный эллипсоид (а также сфероид) с важным на практике «астрофи зическим» законом плотности (10.66). Прежде всего, при таком законе плотности масса эллипсоида-подсистемы с поверхностью S (т) будет равна
М (т) = Ьжръа1а аъР 2
3
2
/
In (т\/р
2
+ у/1 + / ? т )
ту/Р
(12.9)
12.2. ПЕРВЫЙ МЕТОД: СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫЕ эллипсоиды и СФЕРОИДЫ
355
а функция _
1п(у?
+ ч
/Г+?)
5 2
Ф (р) =
SnpftanbasP- '
^
(12.10)
VT+73
Гравитационная энергия эллипсоида в целом оказывается равной
W
у/ТТР
V.
-_M^G
J
F(arcsinei3,|§) (12.11)
ei3
1
При /3 » 1 такой эллипсоид неплохо моделирует реальные Е-галактики (см. формулу (15.67)). г) Неоднородный сфероид с плотностью (10.87) . Опять задача разбивается на несколько этапов. При таком законе плотности масса промежуточного эллипсоидаподсистемы с поверхностью 5 (га) равна 2
2
2М Г 1 + у/1 - т М (т) = — ^ < 2т 1п — с ф
3
г ^ , my/l - т +arcsmm Л
2
(12.12)
В качестве проверки: при га = 1 полная масса тела действительно будет равна величине М ф. Затем находим функцию С
12М
2 с
ф
(12.13)
тг*а(аз где вспомогательные интегралы вычисляем методом интегрирования по частям:
1 h
4 =
2
J
m
4
l
n
1+ У Г ^ m
Л
_ 180k-11 30
п
о
(12.14)
2
. - j , 1+ VI - m j 6G -1 1- m m ^—; am = m 24 2
1
K
2
, 1 + VI - m m • arcsmm • ln — m
J
dm =
3-2G
K
(12.15)
(12.16)
Здесь (?к — известная постоянная Каталана (см. также (2.31)): тг/2 G = \ ( -?—dx = 0.9159656... 2 У sin х K
1
(12.17)
А также и сфероид, получающийся при е\2 = 0, когда неполный эллиптический интеграл первого рода превращается в F = arcs in е 13. Возможен, конечно, и трёхосный эллипсоид с таким законом плотности. 2
23*
356
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
Собирая члены, имеем С
Ф(р)=
3
Ф
(17-бОс •
2
(12.18)
Подставляя (12.18) в (12.3), в итоге получим 2
2
ЧА/ С л?
ЯМ О Ф arcsine С
en \ arcsine
/ п ю\
причём здесь =
17-6G
K
=
1
о...
1 6 5 6 2
(12.20)
Заметим, что коэффициент х близок к 1 и всё выражение (12.19) мало отличается по форме от W для однородного сфероида из (12.5) (в то время, как массы тел в обоих случаях, конечно, разные). З а д а ч а 12.1. Провести вычисления W по формуле (12.1) для неоднородного эллип соида с «каноническим» законом плотности 2
n
p = Po(l-m ) .
(12.21)
Подчеркнём ещё раз: приведёнными выше примерами перечень тел, для которых можно найти точные выражения гравитационной энергии далеко не исчерпывается; формулы (8.84) и (8.86) приложимы к широкому классу слоисто-неоднородных эллипсоидов. Три следующих оригинальных метода основаны на одной важной вспомогательной формуле для объёмных тел, которую мы вначале и получим.
§ 12.3. Вычисление потенциальной энергии однородных тел с помощью объёмного интеграла от дивергенции и поверхностного интеграла Интегрируя по объёму Т известное равенство векторной алгебры [31] div {р<рх) = Зр<р + х grad (р(р),
(12.22)
имеем Jjj
&v(p
T
T
ptpdV + j j j
xgra,d(p
(12.23)
T
Заменяя первый член справа согласно (8.3) на (—6W), получим соотношение 6W — Jjj
х grad (р ф) dV = — j j j
т
d\v(p
(12.24)
т
Полагая теперь плотность р не зависящей от координат р = const, в левой части (12.23), с учётом (8.5), имеем величину 5W. В итоге, следовательно,
(12.25)
12.4. МЕТОД ВТОРОЙ: W ЧЕРЕЗ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
W = -±рjjj
357
div (
(12.26)
т Представление W интегралом от дивергенции является интересным и важным уже само по себе. Но более того, пользуясь формулой Остроградского - Гаусса [31] JJJ
divJFW = j j
(Fi cos c*i + F cos a + F cos a ) dS, 2
2
3
3
(12.27)
V s можно преобразовать объёмный интеграл в (12.26) в поверхностный; в итоге получим ещё одну важную формулу
W = -±p(j£tp(x)
xdS
(12.28)
}
3
где S — поверхность, ограничивающая тело, adS — векторный элемент этой поверхности . В сферических координатах 3
3
xdS = r dv = г sin 0Ш<р
(12.29)
%
и, очевидно, jj>xdS
= ZV.
(12.30)
s Согласно формуле (12.28), вычисление потенциальной энергии однородного тела сво дится к интегрированию известных функций не по объёму, как ранее, а по поверхности однородного тела. Вот два несложных примера на прямое применение формулы (12.28). Пример первый: вычислить энергию однородного шара с радиусом R и массой М. На границе сферы потенциал равен постоянному значению ip\ = GM/R. Вынесем это cp\ за знак интеграла в (12.28), тогда, учитывая (12.30), получим искомое выражение (1.64). Второй пример: найти потенциальную энергию однородного трёхосного эллипсоида, ограниченного поверхностью (5.3). Потенциал такого эллипсоида дан в (6.14). Подставим его в (12.28) и интегрирование проводим в сферических координатах. Учитывая формулу (12.29) и то, что уравнение поверхности (5.3) имеет теперь вид (5.29), легко найдём интегралы s
§
2
3
х г сЬ
s
2
= Va\ - | т т а 1 а а з а . 2
(12.31)
S
Таким образом, получим выражение энергии однородного эллипсоида (1.65), см. также (12.5). Применение формулы (12.28) упрощает решение задач для сплошных тел и для тел с полостями. Но далее она понадобится и для развития трёх новых теоретических методов.
§ 12.4. Метод второй: W через двойные интегралы по поверхности Здесь получена формула, позволяющая вместо прежнего шестикратного интегрирования выражать W через интеграл по поверхности тела. С её помощью можно решать задачи даже для тел с особыми точками на поверхности. Исходим из того, что, как известно, потенциал однородного тела может выражаться 3
Хотя формула Остроградского - Гаусса непосредственно применима лишь к пространственно-односвязным областям, интеграл (12.28) можно распространить и на тела с внутренними полостями, если учесть, что на границе этих полостей направление нормали будет обратным.
358
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
поверхностным интегралом (1.11). Точка ж, в которой находится потенциал, может при надлежать и самой поверхности тела. Имея в виду этот последний случай, скомбинируем формулу Гаусса и нашу (12.28) путём подстановки первой во вторую. Тогда получим следу ющий интеграл:
W = - ^
jj>jj>(n,x)cosYdS'dS. S
(12.32)
S
Здесь ж — радиус-вектор из начала отсчёта к элементу площади dS; п ( a i , а , а з ) — единич ная внешняя нормаль к поверхности тела в точке ж, причём а* — направляющие косинусы этой нормали. Тогда ( п , ж) = а\Хх +о. х +азх есть проекция радиус-вектора ж на эту нор маль. Через 7' обозначен угол между ортом нормали п (а[, с* , а' ) к поверхности в точке ж 2
2
2
3
7
2
х
2
х
и ортом вектора вдоль отрезка D — y ( x i ~~ х) точки ж и ж ' . Очевидно, x
, Q'I ( i cos 7 =
- g i ) + <*2
2
2
+ (2 - х)
+ (хз - Х3) , соединяющего
2
(4~ ~ г) х
3
(*з ~ Д?з)
Q
+ 3
m
.
m
(12.33)
Обозначив через п ( a i , а г , а з ) единичную нормаль к поверхности 5 в точке ж, имеем ж й 5 = ( a i X i + OL X + а з х з ) dS. 2
(12.34)
2
Согласно формуле (12.32), нахождение потенциальной энергии однородного тела вто рым методом сводится к вычислению четырёхкратного интеграла, дважды распростра нённого на его граничную поверхность. Сравнение показывает также, что формула (12.32) не тождественна малоизвестному, кстати, выражению из книги Сретенского [44], с. 95 : W =
jjdsjjtDcos^cosi'dS'.
(12.35)
В отличие от нашей (12.32), формула Сретенского (12.35) симметрична относительно векто ров ж и ж'. Таким образом, в (12.32) и (12.35) мы имеем две разные формулы для вычисле ния W. Практическая эффективность их применения зависит от геометрии изучаемого тела. Кроме того, оба выражения могут служить для взаимного контроля результатов. З а д а ч а 12.2. Используя (12.32), найти энергию однородного шара радиуса R. Решение. Начало сферической системы координат поместим в центр шара, полярную ось направим через dS'; тогда (их) = R и cos 7' = sin | , так что 2
3
И'шара = - ^ Т Г "
2тг J J
f
M
O
d
X
=
"if ^
G p 2 R b
'
( 1 2 3 6 )
0 0 что совпадает с (1.64). •
§ 12.5. Потенциальная энергия однородного кубоида В качестве примера на применение второго метода рассмотрим задачу о нахождении гра витационной энергии кубоида (кубоид — прямоугольный параллелепипед), заполненного однородным веществом. Неожиданным оказывается то, что она выражается через элемен тарные функции (это устанавливается кропотливыми преобразованиями).
359
12.5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ОДНОРОДНОГО КУБОИДА
12.5.1. Вклад в W от противоположных граней кубоида Прямоугольный параллелепипед (кубоид) с рёбрами сц, а , аз заполнен однородным гравитирующим веществом. Система прямоугольных декартовых координат Ох\х х^ с началом в центре симметрии фигуры ориентирована так, что её координатные плоскости параллельны соответствующим граням кубоида . Вычисление потенциальной энергии однородного кубоида проведём с помощью фор мулы (12.32). Вклад в интеграл (12.32) дают два варианта расположения площадок dS и dS : это вариант с расположением рассматриваемых площадок на противоположных (па раллельных) гранях (у кубоида три пары таких граней) и второй вариант, когда dS и dS' расположены на разных гранях с общим, естественно, ребром (как легко видеть, есть 24 комбинации среди пар перпендикулярных граней ). Разумеется, формально возможен и тот случай, когда элементарные площадки интегрирования dS и dS' находятся на одной грани кубоида, но ввиду очевидного cos 7' = 0 вклада в энергию такое расположение площадок не даёт. Начнём с нахождения вклада в гравитационную энергию кубоида от параллельных граней. Возьмём, например, грани, параллельные плоскости Ох\х , и обозначим концы векторов Xi и х\ через Aw В (см. рис. 99). Тогда, очевидно, координаты точек и расстояние между ними будут: 2
2
4
f
5
2
A ^ i , x
2
, - y j ;
B(XI,X ,—у^
; (п,ж)= у ;
2
(12.37) 2
D=y/(xi-
2
х[) + (х - 4 ) + а§; c o s ' = ^ . 2
7
Опуская пока множитель ^ - - ^ j - ^ > находим, что искомый вклад в энергию кубоида от параллельных граней даётся интегралом dx
= ^1 j j j j
dx
dx
dx
l 2 'l 2
(
1
2 3
8
)
'12 Этот четырёхкратный интеграл и подлежит вычислению. Вычисление четырёхкратного интеграла (12.38) требует большого объёма работы. В результате имеем a
+
L
Т12 = а\ j a i (а% - а\) In /-9—;—г + а {а\ - а\) In« ГТ~х—5 * ' V 2 + 3 V i + 3 v 2
a
+
a
i
L
a l
i+
n
- 2 o i 0 2 a arctg 3
v ^ + a
3
f
l
2
1 „ '
1
A
a
*
2
A
+
a
3
(12.39)
+ i ^ / a f + a§ (af - 2аз) +
+ 3 \ / а г + «з («1 - 2a!) + § « з + | ^ (2o§ - a? - a*) | 4
Потенциал внутри кубоида был найден в § 7.6. Число перпендикулярных пар граней у кубоида совпадает, очевидно, с числом рёбер и равно 12, но при этом каждая пара даёт две комбинации (в силу асимметрии подынтегрального выражения в (12.32) относительно расположения на двух гранях площадок dS и dS'). 5
360
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
Рис. 99. Кубоид (прямоугольный па раллелепипед), его главная диагональ L и точки интегрирования на двух про тивоположных гранях
г?
--<...!
п а, /
Здесь, как и в § 7.6, через L обозначена главная диагональ кубоида. Как и следовало ожидать, в формуле (12.39) индекс «3» оказывается выделенным, зато индексы «1» и «2» входят в неё на равных правах (симметрия относительно этих индексов). Очевидно, если мы поменяем местами площадки dS и dS\ то вклад от этого не изменится и останется равным выражению (12.39). Следовательно, полный вклад в потенциальную энергию кубоида от двух граней, параллельных плоскости Ох\Х2, будет равен 21\ . Далее важно заметить, что вклад в энергию от двух других пар параллельных граней, а именно: 2
7
= |
23
jjjj
^x dx' dx' 3
у/а\
2
3
_
2
2
+ (х - х ) + (я - х ) 2
2
3
м
г
2 4
0
)
(12.41)
2
yj(х
]
3
dxidx^dx^dx^
м
(
2
- х[) + а% + (х - х'ъ) 3
получается из выражения (12.39) круговой перестановкой индексов. Ввиду этого для эконо мии места мы не будем записывать эти два выражения в явном виде, а запишем сразу вклад в энергию от всех трёх пар параллельных граней кубоида. После многих преобразований получим
Si = 2 (/
4
+«з
12
/
2
4- /23 + /31) = 2 J2 j
(4 - <*з) In
a i + yja\ + a\ o + y/a% + a$\ ^ + a ln • a ' a 2
a
i
l
n
1
- 2 a i t t a a 3 arctg 2
v
1
2
3
3
2
3
+ | ^ / a f + а § ( a j a l - a\ - a\) +
4-|L(at~a?a ) + | a f J . 2
(12.42)
12.5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ОДНОРОДНОГО КУБОИДА
361
В выражении (12.42) суммирование проводится по членам, получаемым из данного цикли ческой перестановкой индексов (число членов при этом, разумеется, утраивается). Все интегралы выражаются через элементарные функции. 12.5.2. Вклад в энергию кубоида от смежных граней Двенадцать перпендикулярных граней разобьём на три равные группы по наименованию индекса, приписываемому общим рёбрам. Каждая пара граней даёт два вклада в энергию, и сумма последних является одинаковой для всех четырёх пар какой-то группы. Для примера возьмём пару смежных граней с индексом «1» их общего ребра такую, что
а
2
^
(12.43)
Искомый вклад даётся интегралом _
ггГГ
п
Т ,1. = f
(т"~
/ / / /
и
Х 2
) dxidx2dx' dx' 1
|
3
< | 2
,
4 4 )
'
Отметим, что отличие выражения (12.44) от интеграла (12.38) проявляется уже в суще ствовании у (12.44) дополнительного множителя. Но вклад от смежных граней оказывается однотипным вкладу от граней противоположных: 7
1 2 ; 1
з = ^ ( 3 а ! + а§)1п
a
L
^ • \/ 2 + 3 а
+%(6al4 ^
fl3
+ ai-3ai)\n-
4
~24" +
+
L
VOf + 4
aia2«3 2 - 3 - 2 a
а
а
x a
r
c
l n
t
а
а
а
1 3 1 3, ^ - - 6 l
ai
а
n
+ " g
а
а
1 + \/ 1 + 3 Si
- 1 п
(
1
2
4
5
)
+
а~
2
4 12
- |
+ ^(3a?-5ai-2a
2 3
).
Ещё один вклад в энергию от рассматриваемой пары смежных граней даётся интегралом
А»,
= ?
Ш
!
,
(
1
2
.
4
6
)
362
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
В интегрировании (12.46) необходимости нет, если обратить внимание на то, что при пере мене местами индексов «2» и «3» он сведётся к уже известному интегралу (12.44). Другими словами, для нахождения (12.46) достаточно в выражении (12.45) поменять местами указан ные индексы. В итоге, вклад от всех смежных граней кубоида находим равным 5г = 4 [(Jl2;13 + Дз;12) + (^23;21 + ^21;2з) + (^32;31 + -^31;32)] =
\А +
а
2
\Ja\ + а§
Q2 +
-О3 ^0,2 In
- 8 а 1 а а з а з arctg Л-а\о%)
^ ^ Д1 + y / f l i + f l j ^ _
(12.47)
+ 2^/a? 4- a\ (a\ + a\ + a\a%) -
2
-2L(a\
+
3
-2a\).
12.5.3. Полная энергия кубоида Полная гравитационная энергия однородного прямоугольного параллелепипеда находится теперь сложением получим
выражений
Жсубоида =
jp Е
(12.42) и (12.47). Учитывая множитель
^ °1 (
a
, / +oJ
. а + \/ i +
4
6 а
а
а
а
2 3 ~ 2 ~ з)
1
п 2
^—
+
а
. а + \/ 2 + з ' + 02 1П 55 а
х
2
(12.48) 2
- 4 а ! а а з а | arctg
- | ^ а ? + а§ (а* + О д - З а ^ а ) +
2
В этом выражении вновь подразумевается суммирование по членам, получаемым из данного циклической перестановкой индексов. Для куба, например, выражение (12.48) сильно упрощается и тогда И'куба = - а ^ ,
(12.49)
где М — полная масса куба, а — его ребро, а постоянная
а
=
2
In
+ ln(l+ V 2 ) - | +
1
+
л
/
| ~
2
^ * 0.9411563
(12.50)
близка к единице. В частности, сравнение с энергией (1.64) равновеликого шара той же массы даёт
ъ
%
=
Ы
Й
'
^
1
ш
т
-
(
1
2
-
5
1
)
363
12.5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ОДНОРОДНОГО КУБОИДА
Это отношение (12.51) больше единицы, что согласуется с известным глубоким результатом А. М.Ляпунова [35]: однородный шар имеет наибольшую (по модулю) потенциальную энер гию в сравнении с любой однородной конфигурацией того же объёма. Конкретно, отношение (12.51) показывает, какую работу следует совершить, чтобы деформировать однородный шар в однородный куб того же объёма и массы. Кроме того, так как среди равновеликих параллелепипедов куб обладает наименьшей площадью поверхности, то и max потенциальной энергии по модулю должен принадлежать именно кубу. Это. подтверждается анализом формулы (12.48) и иллюстрируется рис. 100. W ^куба 1.0 0.8 0.6
Рис. 100. Гравитационная энер гия прямоугольного однородно го бруса с квадратным сечени ем а 1 = а2 как функция дли ны третьего ребра аз. Нормиров ка на величины, относящиеся к кубу той же массы
0.4 0.2 0
З а д а ч а 12.3. Определите, каким же образом в выражение (12.50) для куба ла» постоянная п!
«проник
12.5.4. Предельный случай бесконечно тонкого кубоида (пластина) Хорошей проверкой правильности выражения (12.48) может служить асимптотический пере ход к бесконечно тонкому параллелепипеду, когда одно ребро трёхмерного параллелепипеда, например a i , становится весьма малым в сравнении с двумя другими его рёбрами а и а з . Получается однородная двумерная пластина. Дело в том, что гравитационная энергия двумерной пластины может быть вычислена и совершенно другим, прямым способом по формуле 2
W ^ - ^ - I I U
^ a V (х
2
a
a V ,
- 4)* + ( х 3
=
<
( 1 2 i 5 2 )
xtf
где о — поверхностная плотность пластины а = l i m (ра\) = const. (12.53) ai—>0 Проводя в (12.52) интегрирование (как мы это делали в случае кубоида) вначале по dx и dx , а затем по d x и dx' , в итоге найдём 2
2
3
3
= —Ga |{аа аа 2 2
33
^а 1 п 2
аз + у/а + а\ ^ а + \Jc^ ^^ + а 1п а ' а 2
2
3/2 ^ а
2
"4"
+
Q
3 -
а
( 2 +
г»
а
§)
2
+а£\
3
3
<
1 2
'
5 4
)
364
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
Как и следовало ожидать, данное выражение оказывается симметричным относительно ин дексов «2» и «3». Теперь же возникает З а д а ч а 12.4. Выполнить указанный предельный переход в общей формуле (12.48) и получить таким способом результат (12.54). Решение. Совершить переход к пластине можно только после соответствующей пере группировки членов в исходном выражении. Развёртывая сумму в (12.48) и вынося а\ после очевидных преобразований получим выражение 9
2
\balal-a*-g\
Ga
п
л
=
~
1
/ 2
vbi+og
а + л/а! + а § \ + а In «з
3
3
г
—
3
5
—
8а1а1 + | ( а | + а § )
ц
2
а + у/а1 + а§
2
3
n
a
V2 + 3
—
*
a
+
^ П Г
(12.55) i
4-аоаз l i m
/ а + \Ja\ + aj
\Za? + c3j a +L
3
I
a?
fl
2
+ _ hm I ai—>0
+
3
I+ *1
+ § lim 5 ai->0 Здесь все неопределённости типа 2 . Раскрывая самые сложные (первую и вторую), найдём, например, a ai l i m 2
J .
/ a + y/aj + Q
a?
I
2
а
3
з
'
\/af+ a +L 2
(12.56)
= aoa lim 3
oi-»0
a
J ,
/ Q3 + лА*2 + 3
a?
I
a 2
a
>/ l+
f l
2
>
2„2 2 3 U
' a +L 3
Оставшиеся две неопределённости в (12.55) раскрываются аналогично: предпоследняя и последняя дают соответственно a
Q
1 Л.З , „3N
1 2 + 3 -
- (а -ha j,
^
За
2<*3
/ , ' V2 + 3 и в итоге данная формула действительно приводится к выражению (12.54). Это и доказывает правильность как формулы (12.48), так и (12.54). • 2
3
2
a
п
2
а
З а д а ч а 12.5. Найти вторым методом гравитационную энергию однородного раэдра: а) если три его грани совпадают с координатными плоскостями; б) когда тетраэдр
правильный.
тет
365
12.6. ТРЕТИЙ МЕТОД: НАХОЖДЕНИЕ ЭНЕРГИИ С помощью ОСОБЫХ РЯДОВ
§ 12.6. Третий метод: нахождение гравитационной энергии объёмных тел с помощью особых рядов Удивительная роль обобщённого гомотетического
слоя
12.6.1. Как приходим к особому ряду 6
Вначале рассмотрим объёмные тела, имеющие круговую (ротационную) симметрию , при чём допускается их неоднородность. Дано гравитирующее тело Т , потенциал которого у>(г, в) во внешней точке г представлен рядом по полиномам Лежандра (1.17). Пусть в этом силовом поле находится второе тело Т с объёмной плотностью Д ( г , 0 ) . Подчеркнём: и первая, и вторая масса имеют ротационную симметрию относительно некоторой прямой, от которой и измеряется полярный угол в. Потенциал второго тела во внутренней точке г также можно представить рядом Лапласа : 7
n
<р (г, в) = G J2 D r P п=0 n
(cos в),
n
(12.57)
причём коэффициенты здесь равны r
Ъ
п
= 2тг jjp( '^') ( ') ~ Рп г
1
П
(cos^sintf'drW.
(12.58)
Заметим, что выражение коэффициента во внутренней точке при п = 2 зависит от того, совпадает или нет начало системы координат с самим телом. А именно: если начало системы координат находится внутри (однородного) тела, то следует сделать замену DP 2
(cos в)
2
DP 2
(cos в) + |тгр.
2
(12.59)
Выяснив это, поставим целью найти взаимную гравитационную энергию обеих масс. Как мы уже знаем, для этого достаточно определить, например, энергию второй массы в силовом поле первой. Согласно формуле (8.2), величина этой энергии будет представлена интегралом = -2тг
Jj> p(r ,e )cp(r\e ) ,
,
f
2
(r') sin^drW.
(12.60)
s Подставляя сюда выражение для tp из (8.1), после перегруппировки получим
2тг jj
1
71
р (г\ в') (г') "
Р (cos 0') sin O'dr'dO' п
(12.61)
71=0 Но главное в том, что с учётом (12.58), выражение (12.61) оказывается представленным в изящной форме ряда W
B3
=
-Gf^D D . n
n
п=0 Более общий случай для однородных тел без осевой симметрии рассмотрен в § 12.7. Начало системы отсчёта находится вне этого второго тела.
(12.62)
366
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
Таким образом, для вычисления взаимной потенциальной энергии двух соосных, имею щих азимутальную симметрию масс, достаточно знать только коэффициенты при разло жении в ряд Лапласа внешнего потенциала одной массы и внутреннего потенциала другой массы. Этот замечательный результат ведёт нас ещё дальше: ряд (12.62) можно, оказывается, приспособить и для нахождения потенциальной энергии изолированного однородного тела. Однако теперь понадобится другая и, можно сказать, более глубокая интерпретация формулы (12.28). А именно: обратим внимание на то, что интегрирование в формуле (12.28) ведётся по поверхности тела, причём — и в этом суть! — здесь мы имеем дело с известным нам обобщённым гомотетическим слоем (5.105), где, однако, численный коэффициент следует взять равным 1/5: а
г
a
x
а
( ) = \р ( i i + 2 ^ 2 + <*зяз),
(12.63)
где, напомним, величины а* — направляюп^ие косинусы внешней нормали к поверхности тела. (Соответственно, масса этого обобщённого гомеоида оказывается равной 3/5 от массы исходного тела, на поверхности которого он лежит.) Итак, выделение на поверхности тела воображаемого обобщённого гомотетического слоя с плотностью а позволит записать формулу (12.28) в виде W = - jj^oipdS,
(12.64)
s представляющем потенциальную энергию однородного изолированного объёмного тела как взаимную потенциальную энергию данного слоя в силовом поле самого этого тела. Результат поразительный, ибо, напомним: гравитационная энергия — это энергия тела, воздействую щего полностью «самого на себя». У нас же результат принципиально иной — воображаемый обобщённый гомеоид — как реальный партнёр — также позволяет выразить потенциальную энергию всей массы через взаимную с ним энергию тела! В свою очередь, это замечательное свойство обобщённого гомеоида и формулы (12.28) позволяет применить ряд (12.62) к вычислению уже не взаимной энергии, а энергии тела, воздействующего «самого на себя», т. е. искомой потенциальной энергии тела. Вот она — цепная реакция идей! Для реализации намеченного плана обратимся к формуле для потенциала слоя (12.63). Подставив в правую часть формулы (5.115) (она — незаменимый элемент для достиже ния цели) ряд (12.57), где «тильду» сейчас можно убрать, находим ряд для внутреннего потенциала гомотетического слоя:
оо п
£(г) = ± £ ( 2 - п ) Д , г Р „ ( с о в 0 ) . п=0
(12.65)
Таким образом, чтобы формула (12.62) «работала» для изолированного тела, в ней, согласно (12.65), вместо D надо подставить выражение n
^ р 5 Следовательно, для изолированного
п
.
(12.66)
тела формула (12.62) принимает вид
оо W =
-\GY,V-n)DnD , n
п=0
(12.67)
12.6. ТРЕТИЙ МЕТОД: НАХОЖДЕНИЕ ЭНЕРГИИ С ПОМОЩЬЮ ОСОБЫХ РЯДОВ
367
где, напомним, D и D являются коэффициентами в разложениях в ряд Лапласа потенциала тела во внешней (1.19) и внутренней (12.58) точках соответственно. Поставленная задача решена. Заметим, что в выражении для энергии (12.67) коэффициенты D и D выпадают. Чтобы убедиться в правильности выражения энергии (12.67), рассмотрим три примера. Для однородного шара радиусом R: n
n
2
2
Do = М, А = D = . . . = О, 2
с учётом которых (12.67) сразу даёт известный результат (1.64). В примерах для однородного сфероида случаи сжатого ( а з < а х ) и вытянутого (аз ^ а\) следует различать. Для этих тел коэффициенты в разложении внешнего потен циала будут таковы: (-l) З М
D = М, D 0
= 0, D
2n+1
2n
=I
n
( 2 п + 1 ) ( 2 п + ЗГ (а§ -
3 M
n
(a\-al)
a
i
>
а
з
;
(12.69)
п
а\)
( 2 n + l ) ( 2 n + 3)'
a
i
3
*° '
а для внутреннего потенциала нас интересует только коэффициент -
( 3 М arcsin е a\ ^ а з ; Do = пр [ smedO _ ^ 2 «i 3M1, 1+e J sin 9 i cos ^ 2
0
2
(12.70)
2
1
~
ai аз так как Z>2 выпадает (см. соотношение (12.66)), а остальные — в силу симметрии фигуры — просто равны нулю. Подставляя Do и Do из (12.69) и (12.70) в ряд (12.67), для потенциальной энергии сжатого и вытянутого сфероидов действительно получим известные выражения (1.66). 12.6.2. Другие представления потенциальной энергии в виде особых рядов Но является ли представление потенциальной энергии в виде ряда (12.67) единственно возможным? Вопрос этот важный и для ответа на него надо взглянуть более широко на то, что мы делали до сих пор. Прежде всего, если задана форма однородного гравитирующего тела, то, пользуясь из вестными формулами, можно всегда найти два комплекта коэффициентов D и D . Поэтому весьма интересна обратная постановка вопроса: всегда ли по заданным коэффициентам мож но восстановить форму однородного тела? Исключая особые случаи, на него, насколько мы знаем, можно ответить положительно. Известна, например, теорема Дива [14] о том, что квадратичный внутренний потенциал может иметь только эллипсоид — и никакая другая однородная ограниченная фигура. Сходное положение существует и для внешних потенци алов. Поэтому знание обоих комплектов коэффициентов D и D содержит в себе даже излишнюю, а по сути — двойную информацию о самом теле. Это и наводит на мысль, что потенциальную энергию однородного тела можно представить через D и D не одним, как в предыдущем разделе, способом, а многими. Разумеется, только некоторые из этих формул могут быть удобны на практике. n
n
n
n
n
n
368
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
Убедимся в этом на конкретном примере и покажем, что действительно есть более удобные аналоги формулы (12.67). Пусть задано однородное тело Т с круговой симметри ей. Полагая размеры тела ограниченными, окружим его сферой с однородной плотностью (одинаковой с плотностью тела Т ) и радиусом R (см. § 14.6 рис. 122). Таким образом, пер воначально заданное тело дополнено до шара оболочкой той же плотности. Тогда потенциал исходного тела (р на внутреннюю точку г есть разность между внутренним потенциалом шара (6.36) и потенциалом упомянутой оболочки я
£>б ( г ) = с £ ^ г
(12.71)
Р „ (сое0),
71=0
где А
п
(12.72)
П+1
т.е. (12.73)
£ ( г ) = <ршара(г)-£об(г).
В силу (12.73) имеет место равенство n
= f ; (Д, + D„) r P
n
п=0
(cos в),
(12.74)
71=0
где
из которого, с учетом легко доказываемого соотношения f
(008
00 „ Л
7
71=0 Я
(12.75) 7Т
27ГР| J о о
=
n
P
(
° ™
S g / )
2
(г') s
i
n
=
2
2тгрЯ ,
получим n
2
Gj2A r P n
n
(cos0) = 27rGpR -Gj2D r P
n
n
{совв).
n
(12.76)
71=0
71=0
Подставляя теперь (6.36) и (12.76) в (12.73), находим потенциал тела Т во внутренней точке г ' : 8
£ (г', 0') = 2nGp ^ - 2 L - j + c £ D ( r ' ) Pn (cos 0') - 2 T T G > P = n
2
n
(12.77) = С? £
n
D ( r ' ) P (cos^) n
n
2
hGpr' ,
71=0
с учётом которого формула (8.3) даёт: 8
Выражение (12.77) следует сравнить с ранее полученным (12.57). Появление в (12.77) дополнительного чле 2
на ^ T r G p r ' ^ объясняется тем, что начало системы отсчёта находится теперь внутри самого тела.
12.6. ТРЕТИЙ МЕТОД: НАХОЖДЕНИЕ ЭНЕРГИИ С ПОМОШЬЮ ОСОБЫХ РЯДОВ
W = -\ Jjj${r',e')dV>
369
=
P
(12.78) 2
r' dV".
+
(coe^dV" 71=0
Последний интеграл в правой части (12.78) определяет момент инерции тела относительно начала координат, который мы обозначим через
однородного
(12.79)
В первом же члене правой части выражения (12.78) в квадратных скобках стоит коэффициент D из (1.19). С учётом сказанного, потенциальную энергию однородного тела Т можно теперь пред ставить в виде ряда n
оо
(12.80)
71=0
Подчеркнём: это выражение даже более удобно, чем выражение (12.67). Действительно, если в (12.67) члены суммы при п < 2 и при п > 2 имеют разные знаки и при п = 2 член вообще выпадает (см. соотношение (12.66)), то в (12.80) все члены ряда будут иметь одинаковый знак. А это немаловажно, когда рассматривается вопрос о суммировании ряда и получении энергии в конечном виде. Кроме того, комбинируя тем или иным способом ряды (12.67) и (12.80), можно получить и другие выражения для потенциальной энергии тел вращения. Умножим, например, (12.80) на 2 и вычтем ряд (12.67). Получим ещё одну удобную для практического применения формулу: W = - £ ] T ( n + 3) D D n
n
+
^GpJ.
(12.81)
От характера задачи зависит, какую конкретно формулу из полученных здесь лучше всего использовать. 12.6.3. О сходимости особых рядов для потенциальной энергии Вопрос о сходимости тех или иных рядов всегда относился к числу трудных и важных. Так и здесь. Сходятся ли ряды (12.62), (12.67) или (12.80) и (12.81), которыми представлена потенциальная энергия однородных тел. Для сравнения уместно напомнить столь же акту альную проблему в математической физике о сходимости рядов (1.17) и (12.57), которыми представлены внешний и внутренний потенциалы гравитирующего тела. Почти всегда во прос о сходимости рядов требует нетривиальных и тонких рассуждений. В нашем же случае >дивительно именно то, что ответ на вопрос о сходимости ряда для потенциальной энергии бается вообще без выяснения того, сходятся ли ряды для потенциалов тела. Теорема 1. Независимо от того, сходятся или расходятся где-либо ряды для ньюто новских потенциалов первого и второго тела, сам ряд (12.62) всегда сходится и представ ляет собой конечную физическую величину — гравитационную энергию 24
Кондратьев Б П
370
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Увеличим в А раз все размеры внешнего тела, а новые значения энергии и коэффици ентов в разложениях потенциалов обозначим штрихами. Тогда, очевидно, 2
n
D' = X ~ D n
(12.82)
ni
и энергия будет равна 2
W' = -GX f] 2ф±. (12.83) п=0 Степенной ряд Лорана при достаточно большом А конечно же сходится. Тогда, по второй теореме Абеля, которая гласит: «сумма степенного ряда есть непрерывная функция внутри радиуса сходимости», мы заключаем, что и при А —> 1 ряд (12.83) обязательно будет схо диться и давать правильное значение И ^ . • ЗАМЕЧАНИЕ 1. Поскольку вывод выражений для рядов (12.67), (12.80) и (12.81) был основан
на всё той же формуле (12.62) для исходного ряда, полученное заключение о сходимости последнего переносится и на все упомянутые ряды для полной гравитационной энергии тела.
§ 12.7. Обобщение третьего метода. Потенциальная энергия тел, не имеющих осевой симметрии В случае однородных тел, не имеющих осевой симметрии, результаты получаются путём обобщения разработанного выше метода. Прежде всего, в отсутствие азимутальной сим метрии тела (которое может быть и неоднородным) ряды Лапласа для внешнего (1.17) и внутреннего (12.57) потенциалов заменяются следующими:
¥ > _ (г Д А) = G f ; ^ г - ,
(12.84)
г
о оо Ч> угр(г,вА) = С^г ¥ (е,\), (12.85) 0 где в сферические функции n-го порядка («игреки Лапласа») внешнего потенциала п
т
п
п Y (0, А) = ] Р
(cos в) [C cos А;А + S smk\]
n
nk
(12.86)
nk
входят гармонические коэффициенты C
n
o
=
I I I
p
(
r
,
) Р
п
(
c
o
se
f
)
r
'
n
d
y
f
i
(12.87)
s « }
{ £
d V
' *»•
T Аналогично, для внутреннего потенциала 71 У (в,Х) п
k)
= ^2 Pi fe=0
(cos в) [ C
n f c
cosfcA+ S
nk
sin *A] ,
(12.88)
12.8. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ. ЭНЕРГИЯ АСИММЕТРИЧНОЙ линзы
371
с гармоническими коэффициентами
п0 =
p
/ / / $er -(
cos
^)^,
Т
(12.89) к>1.
{ £ } - « / / / № < - * { з : а >
Переходя к однородным телам, заметим, что если начало системы отсчёта находится внутри тела, то в выражении для внутреннего потенциала, как и в случае осесимметричного тела (12.59), появится дополнительный член, пропорциональный г . 2
Рассуждая далее тем же способом, как и в § 12.6, вместо формулы (12.62) приходим к более общему выражению для взаимной энергии тел: оо Y
W
n
= -G J2 n
А) • Y (0, А).
(12.90)
n
71 = 0
В итоге, потенциальная энергия однородных тел, не имеющих круговой симметрии, вместо (12.67) и (12.80) будет выражаться рядами, состоящими из более общих коэффициентов: W = -\С
(2 - n) Y (в, X)Y (9, А), n
(12.91)
n
71=0
ОО w
= - f
г
Е "
А
?
) " ('» )+h А
GpJ
-
(
1
2
9
2
)
71=0
Этими формулами и решается поставленная задача для энергии тела без азимутальной симметрии. З а д а ч а 12.6. Найти с помощью ряда (12.91) потенциальную энергию однородного трёхосного эллипсоида. Решение. Фигура эллипсоида симметрична относительно трёх плоскостей, что заметно упрощает задачу. В этом случае от ряда (12.91) остаётся только первый член ^
= -|сС
0 0
Соо.
(12.93)
Подставляя сюда Coo = npl, где / из (1.39), и Coo = М, получим известный резуль тат (1.65). •
§ 12.8. Примеры применения третьего метода. Потенциальная энергия однородной асимметричной линзы Рассмотрим одно из тел с круговой симметрией — однородную асимметричную (отно сительно главной плоскости) линзу (рис. 101), представляющую собой два сложенных сег мента с одинаковыми основаниями, но с разной, вообще говоря, кривизной выпуклых по верхностей. Асимметрия линзы становится особенно явной в том предельном случае а = 0, h = 2R, hi = 2 Я
Ь
(12.94)
372
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
kК t A'
—/
/
''
/
t 1 1 h
y
t
\ a
О/
/ в
r
, A
Рис. 101. Асимметричная линза (а) и один из её вариантов (б) когда она превращается в конфигурацию из двух касающихся сфер с разными радиусами R и Ri. Имеют место соотношения = R : ( Я , - /ц) + а = R .
2
2
{R-hf+a
2
2
2
(12.95)
При R = Rh
= hi
u
(12.96)
линза становится симметричной, а при дальнейшем вырождении а = h = i? она превращается в одиночный шар. Но сразу заметим, что возможен и другой, более сложный переход к плосковыпуклой линзе, т. е. к одиночному шаровому сегменту (об этом см. ниже раздел 12.9.4). Вначале получим потенциалы на оси Ох$ асимметричной линзы. Поместив начало цилиндрической системы координат в точку О, имеем дело с интегралами типа h
r
m
<р ( х ) = 2тгСр [ dx' f 1 о Jr* 3
r
3
+
'
d r
(12.97)
' =. (x -x' ) 2
3
3
После многочисленных преобразований находим, соответственно, внешний и внутренний потенциалы линзы на её оси симметрии: 3
I
2
2
3/2
Я + (а + х )
2irGp
3
(«з) =
h - i?
—
х
3
v3/2 Я ? - ( а 4-х ) Ч ; ^—: Ь /ii i ? i + #3 2
2
3
—
(12.98) 2
2
+ (R + JRI - h - / i i ) x + Rl - R + 3
- Д/i +
h -h\
12.8. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ. ЭНЕРГИЯ АСИММЕТРИЧНОЙ линзы
3
2
2
Я ~(а +х ) ^внутр № ; =
3
3 / 2
2
+
h - R — хз
2
3 / 2
Я*-(а +х ) hi -Ri+
x
373
3
L
(12.99) 2
2
—гг§ - (R - Ri + / i i - A) x + i ? + R\ + Rh + R hi 3
2
h + h
x
В этих формулах возможны, конечно, переходы не только к симметричной, но и к плосковьпгуклой линзе. Кроме того, при условии (12.96) и первого соотношения из (12.95) можно в (12.98) и (12.99) прямо перейти к потенциалам полного однородного шара. З а д а ч а 12.7. Выполните указанные выше переходы в формулах для потенциала асимметричной линзы. Решение. Они даны ниже: для симметричной линзы в формулах (12.147); для плосковы пуклой (шаровой сегмент) — в ( 1 2 . 1 5 1 ) и в (12.152). Для шара же всё просто (тем не менее, проверьте!). • Момент инерции однородной асимметричной линзы относительно начала координат равен 7
7Г
л
3
2
h (2R
-Rh+^j
+ h\ (2Щ - Rihx +
Щ
(12.100)
В случае внешнего потенциала имеем дело с разложением по обратным степеням х выражения: 3
\ /
2
3
о З , /_2
а
h-R-x
hi - Ri+ хз
оо
2
, ~2\ /
-2^» 'з
3
3
<
(12.101)
71=0
коэффициенты которого выражаются через интеграл в комплексной плоскости
9
- Ы
n
hi - Ri + t
t dt.
h-R-t
(12.102)
При разложении внутреннего потенциала будем иметь дело со степенным рядом
xf
R?-(a + 2 h - R - хз 2
12
2
2
3/2
R\-(a +x )
-+ hi - Ri
+ Х3
(12.103) п=0
коэффициенты которого равны 3/2 -п-1
hi - R\ +1
h-R-t
dt.
(12.104)
Тогда для коэффициентов D из формулы (12.80) имеем соотношение n
D = | ? г р Р , n ^ 0, n
а
(12.105)
так как в (12.98) мы отбрасываем все оставшиеся члены (как пропорциональные х з , так и не зависящие от этой переменной).
374
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
Что касается коэффициентов D , (12.59), находим для них:
то, согласно (12.99) и дополнительному условию
n
2
Ро + Я
= ^7гр
D
0
Di = \ър ~ D
[jР1
+ Д?
4- ДЛ +
-
/i + /i
2
(12.106)
+ Д1-Д4-Л-Л
о — = з^грРп, n ^ 2.
n
Выражение для гравитационной энергии (12.80) принимает тогда вид: 2
j s + Po ( д
2
W = -\ж Ср
2
4- Д? 4- Д/i + Е Нг
-
х
4-
j
+Pi(fli-fl
+ Л?
+
fc-Ai)S
+ -n2Gp2
3
•z ^ 4 -
2
"[ л ^ 2 Д - Д Л +
(12.107)
2R\ - R hi 4- A?^ 5 x
где мы учли конкретный момент инерции из (12.100); входящая сюда величина 5 равна s = £ p
n
p
n
(12.108)
.
п=0
Эту величину S нам и предстоит теперь найти. Подставим сюда Р из (12.102) и Р из (12.104), предварительно заменив в (12.104) t на t\. Имеем п
2
Rl-(a 1 к
2
2
+t )
3/2
K3 ( 2 +
hi - их 4- *
§
a
+ t
п
2)3/2
h-R-t (12.109)
Д3-(а /г
—
2
jR
+ «?) —
3 / 2
ti
2
Д3-( 2 + * ) 4- •
3 / 2
а
/ц - Д1 + ti
х
Sdtdti,
где, в свою очередь, мы обозначили (12.110) т=0
c
l
Для нахождения последней суммы применим следующий приём. Модифицируем её вначале следующим образом: (12.111) n=0
'l
Очевидно, сумма (12.111) равна S' =
(12.112)
12.8. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ. ЭНЕРГИЯ АСИММЕТРИЧНОЙ линзы
375
Теперь в результате предельного перехода будем иметь х
lim ф . ^ . = -2т\ J h - pt
(12.113)
так что вспомогательная сумма S из (12.109) сводится к одному только интегралу по за мкнутому контуру в комплексной области (рис. 102), равному 2
Л?-(а 2тгг5 =
2
+* )
3 / 2
3
2
2
Д + (а +* )
3/2
hi-Ri+t (12.114)
3
2
2
R -(a
+t )
3/2
2
2
Я ? - (а + t )
h - R - t
S/2
hi-Rx+t
Для вычисления интеграла в правой части фор мулы (12.114) разобьём указанный на рис. 102 контур интегрирования в комплексной плоскости на правую и левую полуокружности. Тогда, очевидно, по правой полуокружности имеем следующие интегралы:
/
2
2
2
Я? - 2Я? ( а + t f
2
Imz
2
+ (а + t ) •dt-
Rez
(hi-Ri+ty
пр
6
-I
2
2
Я + (а + t f
dt+
(12.115)
(Л - я - ty
пр
+2
/
(h-R-t)
3/2 -dt. -R +t)
(hi
Рис. 102. Контур интегрирования в комплексной плоскости для интеграла (12.114)
x
пр
Теперь, чтобы получить интегралы по левой полуокружности контура, в первой квад ратной скобке (12.114), которая отвечает за внешний потенциал, следует изменить знак перед 2
2
3
2
членом (а +t ) ^ ; интегралов:
в итоге получим следующую совокупность из трёх весьма громоздких
Дб _ ( 2 а
J
{h -R +tf
л
*
l
,2)3
+
R
6
_
2
R
J
l
3
^
2+
^3/2
(h-R-
+
^
2+
y
t2
dt +
ty (12.116)
дз ( 2 fl
+
t
2)3/2_^
(h-R-t)
a
+
ta
y
{hi -Ri + t)
Но важно заметить, что интегрирование по левой и по правой полуокружности можно заменить во всех выражениях одномерным интегрированием по вертикальному диаметру исходного контура: +ai
— ai
j[...]*->
У [ . . . ] * ; j [ . . . ] * - У [...]
пр
—at
л
+ai
(12.117)
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
Согласно указанным в (12.117) преобразованиям, любой интеграл из (12.116) после изменения знака будет иметь такие же пределы интегрирования, как и каждый из интегралов в (12.115). Учитывая это и приводя подобные члены, вместо (12.114) после преобразований получим для искомой величины S:
2mS = R \ i J (1ц _ дЗ
^
1—гЛ
+ 2 /
?
2
np
^ (h-R-t) ~dt
-
2
(h-R
2
2
+ (12.118)
3
t ) dt
(h-R-^ihi-R.+t)
np
2
2
(a +
У
4
/ J
—
2
(a + t Y +2 I ' dt 4- 41 ' (h-R-t) J
4
в
+
/ _ i
2
- Я
3/2
(a +t ) dt
2
, f (a + 3
t) (hi
-Ri+t)
+ 2R
/
2
2
tf
dt.
i — j
- i
np
Два первых шгтеграла в выражении (12.118) равны, разумеется, нулю, как интегралы от полного дифференциала по замкнутому контуру. Шесть оставшихся в (12.118) интегралов после несложных, но весьма громоздких вы кладок, удаётся представить в следующем виде: 2
2
/ F У
^ - ^ I
=
2
t)
+
' -
s
- fa
L
(12.119)
2
-d.t =
5
3fija - R\a
8 i
(/ii - /ti -f <)
2
2
г (а / —
2R\
ZniR\h
- 3RJ(Ri - h ) arctg
.
x
(12.120)
K i — /ii
0
3
(а + г ) ^ 4
О +
a
/ о
t
2
8г З Д а - Д а
2
о\
3
5
- |а
4
- З Я ( Д - Л) arctg
-^-г
(12.121)
3 .
4 / * = _64 «,- + Вг У (Л-Д-«)(Л1-Д1+0 h+ h - R - R i в
1
5
— аг
(12.122) х
4
( Я - А) (^Щ^ 2
+ (Ri -
+ R aJ - Я
R a (и
2
, , 2 ( я
'
+
л
6
arctg - ^ - ^ + a
+
- R* arctg ^
Г
(« + * ) <й
2
2
(
3
г т т ( Я + Д?)
r
0
,
3/2
^ У л-я-0(Л1-я — аг
_^
1
+
о
=
(12.123)
12.8. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ. ЭНЕРГИЯ АСИММЕТРИЧНОЙ ЛИНЗЫ
377
+ 6U 2
2
Г (a +
2
tf
3
dt =
2К
2
3mR h .
(12.124)
2
J.
(h-R-t)
Подставляя все найденные интегралы в общее выражение (12.118) и сокращая на г, имеем:
3
2
3
2тт5 = -Зтг (R h
2
+ Rh)
-
7Г
(^
3
+
Д
U2
1)
(
з
д
_
h)
+
8а
2
Я (R - h) (R + | а 2
4
4
+24а ( Я + Я ) + 8 Я
+8Я
4
2
) + R\ [R - h ) (R\ + | а X
я
4
R+
Л? R 4- P i — h — h\
x
2
+
)
(12.125)
2
3(P-A)
Ri-h-hi
3 (/ii — /11) arctg
arctg
R-h
Ri-hi
Итак, величина 5 найдена. Этого, однако, ещё не достаточно для нахождения W, так как, согласно форму ле (12.107), требуется знать и коэффициенты Ро и P i . Их мы получим, проведя интегриро вание в формуле (12.102): 2
2
2
Ро = \ [a (A + hi) + Rh + Rih } , (12.126) 2
2
P i = ~ [Ai ( P i - A i ) ( a + P i A i ) - Л ( Я - A) ( a + P A ) ] Подставляя теперь (12.125) и (12.126) в выражение (12.107), после многих тождествен ных преобразований в итоге получим искомое выражение для гравитационной энергии одноробной асимметричной линзы:
2
2
2
2
x ( a + Rihi) -h{R-h) 3
2
Л ^ 2 Л - Rh + kl)
3
2
h + h' + 7Г 2
[hi (Ri - hi) x
( a + Rh)] [h-hi 2
+ h\ (2R
3
+
+h\ (3Ri - hi)] - ^ a
+ Ri- R]
- Rihi +
2
^
h2
R
h
R h )-/Xi-h-hA ^ - ^
2
-MR h
x
t
R* + Rf + Rh + Rihi
-ir
2
| т г [a (h + hi) + Rh + R h ]
WjIHH3bI —
5
3
2
- 8 a (R + R\) -
378
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
х ( я ? + § а ) ] + 24а ( Я + Я ) + 8 Я 2
4
- 3 ( Я - A)j arctg
x arctg
4
+ 8Я
4
[-^-^
— Л — hi
Я?
4
-
Я + Ri - h - hi
(12.127)
3(*i-fci)
Я - /ii / х
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если верхняя из половинок линзы переходит за полусферу, то а
arctg
заменяется на 2 arctg ^ .
(12.128)
Аналогично и для нижней части линзы. Удивительно, что гравитационная энергия такого сложного тела, какой является асим метричная линза, выражается через элементарные функции. Формула (12.127) является основным в данной задаче и далее из неё будут получены различные частные случаи.
§ 12.9. Частные случаи однородной асимметричной линзы: сегменты, шары и лунки Асимметричная линза может превращаться в разные геометрические конфигурации — в симметричную линзу, в шаровой сегмент, наконец, в шар или даже в «снежную бабу» из двух разных шаров. Возможно и замечательное её превращение в лунку. С точки зрения гравитационной энергии, здесь возникает много интересных частных случаев выражения (12.127). 12.9.1. Касающиеся шары В предельном случае (12.95) формула (12.127) даёт полную потенциальную энергию двух касающихся однородных шаров 2
45
|з
2
„ Gp
5
( Я + R[) +
5 ££L 1
j.
(12.129)
При R = R\ получим отсюда полную потенциальную энергию двух одинаковых каса ющихся шаров (см. формулу (12.149)). З а д а ч а 12.8. Получите из выражения (см. (12.128)) arctg
(12.127) формулу (12.129) с учётом
= arctg
^
= тт.
равенств
(12.130)
Любопытно отметить, что потенциальную энергию двух касающихся шаров можно получить и прямо по правилу (8.23), опираясь на результат (1.64) и учитывая очевидное выражение для их взаимной потенциальной энергии
W
"
=
- R ^ i r
(
1
2
Л
3
1
)
2
Убедитесь в этом, и тогда совпадение результатов даст ценную проверку сложной форму лы (12.127).
379
12.9. АСИММЕТРИЧНАЯ ЛИНЗА: ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
12.9.2. Предельный переход от однородной асимметричной линзы к шару Весьма нетривиальным является предельный переход от несимметричной линзы к одиноч ному шару что служит ещё одной строгой проверкой выражения (12.127). Так, тонкий анализ необходим для группы членов с расходимостями. Прежде всего
2
2
2
h + а = 2Rh, h\ + о = 2i?i/ii. При предельном переходе к шару (см. рис. 103) R\ —> R h ^2R-h = 1
ai+a
^ h
— > 7г
Существенно теперь заметить, что далее ве личины Я , Л, а будем считать постоянными, а величины R\ и hi — переменными. Рассматрива ем R\ как функцию от h\\ 1
R -
(h +
a 2
V
d R l
1-
R
~
h' (12.132)
Действительно,
4 £ i = I (л - <£\ _> I (л - Л Л &i V Л?/ 2\ а У 2
Рис. 103. Предельный переход от асиммет ричной линзы к шару. Точка O i стремится совпасть с точкой О - центром шара
=
2
h(R-h)
R-h
R-h 2R-h'
Выполняя асимптотический переход к одиночному шару, сейчас нам предстоит преоб разовать сложную общую формулу для гравитационной энергии однородной асимметричной линзы:
У
д
nirnj
2
{тг [a (h + hi) + Rh + Я1/1?] [ Я + R\ + Rh + R h 2
W„ЛИНЗЫ = —
2
2
x
-
x
2
h + h'
+ 7г [hi (Я1 - hi) ( a + Rihi) 2
x [Л - hi + Ri - R] - IT 3
2
3
2
|л3 ( 2 Я
-Зтг ( Я Л + Я Л ) + h - ^ a 4
5
2
2
-h(R-h)
( a + Rh)] x
j+Л
- Rh +
3
2
^2Я - Rh x
x
ЩJ -
- 8 0 ( Я + Я?) + / + 24a ( Я + Я ) + 2
3
4
4
2
4
+ 8 Я [J - 3 ( Я - h)] arctg - ^ - ^ + 8 Я [7 - 3 ( Я - hi)] arctg ^ 3
+
4
х
° ^
| ,
(12133)
380
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
где
8а
h
R + Ri
R +
2
-h-hi
R (R - A) (R + | a ) + Rl ( Д - AO (R + § a ) 2
2
2
2
х
Д+'Д1-Л-ЛГ
fli-A-fci'
(12.134) Рассмотрим вначале члены с 7г, в которых не возникает неопределённости: А + hi = 2R, 2
2
2
2
А + А = 2(2Д -а ), 3
2
2
А + А? = 2 Д ( 4 Д - З а ) , 4
4
4
2
(12.135)
2
4
А + А = 2 (8Д - 8Д а + а ) , 5
4
2
2
4
А + h\ = 2R ( 1 6 Д - 2 0 Д а + 5 а ) , тогда в выражении для W
nmaa
первая строка равна 3
2
2
4тгД ( 2 Д + а ) ,
(12.136)
вторая строка 2
2
2
4тгД ( Д - a ) 2R
3
2
2
= 8тгД ( Д - а ) ,
(12.137)
третья строка 3
2
3
2
2
- ^ т г Д (8R* - 5 а ) - бтгД ( 2 А - а ) ,
(12.138)
О
или В сумме
3
2
А = бтгД (а
2
- |Д ^ .
(12.139)
Член / имеет неопределённость типа jj; раскрываем её: 2
- « ( * - ц (я>
+
J * ) Jg=£ + * ( я -
+
§«*)
- l)
-8а (12.140) 4
2
2
4
-8а (бД - 2Д а - | а ) . Итак, /г даёт ь
2
3
4
h = Ща + 1 6 Д а - 4 0 Д а .
(12.141)
Далее, объединяем члены h, h и I4: тг ( Д + Rl) [А (ЗД - А) + А? (ЗД1 - АО] + 8 f i a r c t g - ^ - ^ + 8 f i g a r c t g ^ » 3
Q =
2
6
Д + Д1 - A - A i (12.142)
381
12.9. АСИММЕТРИЧНАЯ ЛИНЗА: ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
При предельном переходе к шару и здесь имеем неопределённость ^ ; раскрывая её и учи тывая, что dh\
d dh\
шар
а r c
а
^g
R\ — hi
R
2R-V
находим 4
3
2
4
Q = 12тгД (R - h) + бтгД ( 2 Д - Л ) - 4 8 Д ( Я -h){n-a)
-
4
8R a.
(12.143)
Сумма 4-й и 5-й строк в выражении И^инзы равна 5
3
2
2
(12,144)
) = ^тгЯ .
(12.145)
3
S = 12тгЛ - 67rR a
2
= бтгД (2R -
а ).
Следовательно, 3
2
S + А = бтгЯ ^ 2 Я - | Я
2
5
В итоге of— ' I p ^ 7
Wuiapa =
5
7r2
2
5
—J^ Gp R .
=
(12.146)
что и требовалось доказать! Для асимметричной линзы важными также являются следующие специальные случаи. 12.9.3. Однородная симметричная линза Во всех полученных выше формулах надо сделать подстановку (12.96). Так, внешний и внутренний потенциалы симметричной линзы будут теперь равны 3
2
R*+(a
2
Д -(а
2nGp <Ашешн (Яз) =
+ х|)
h- R+ 2
+
3 / 2
Х3
2
xf
+
h — R - хз
2(R-h)x
3
(12.147) 2nGp ¥>внугр (Хз) =
3
+
R -(a?
3
Д -(а
——
3/2
h - R -
2
+ х )
3 / 2
+
h - R + Х3
+ xl)
- Ц -
2
*1
. \ + 2R + 2Rh - h 2
х
X3
2
Из (12.127) с учётом (12.96), после многих тождественных преобразований, получим энергию однородной симметричной линзы 2
W
mmu
= -±nGp
4
2
jl0i* a - ^ Я а
3
5
4
- | о + тгЛ (jh
- 2Я(12.148)
Для контроля усвоения метода служит следующая задача.
382
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
З а д а ч а 12.9. Используя ряд (12.80), вывести формулу (12.148) прямым методом (как это делалось выше для асимметричной линзы). В одном ИЗ предельных случаев, когда симметричная линза превращается в два касаю щихся одинаковых шара (а = 0, h = 2К), формула (12.148) даёт 2
W =
45
2
(12.149)
5
-^n Gp R .
Действительно, складывая энергии двух изолированных шаров (см. (1.64)) и прибавляя затем их взаимную энергию:
- (й + if + 1) (*2g'2jR5) - -ж (*
2Gp2R5S
>'
прямо подтверждаем результат (12.149). Отметим одну тонкость: при переходе в выражении (12.148) к предельному случаю потенциальной энергии одиночного шара (а = h = R), в (12.148) следует найти следующий предел: 2 arctg —^ lim •
4
Х
1-Х
пх - = - 2 + 4тг,
(12.150)
где обозначено х = h/R. С учётом (12.150), формула (12.148) действительно даёт известный результат (1.64). 12.9.4. Одиночная плосковыпуклая линза (однородный шаровой сегмент) В этом важном частном случае при получении выражений для внешнего и внутреннего потенциалов из известных нам общих формул, если мы хотим оставить от асимметричной линзы, например, только её верхнюю часть, следует считать не только h\ = 0, но и, в согла сии с (12.96), в числителях вторых (но не первых!) дробей из (12.98) и (12.99) надо также положить а = 0. Тогда потенциал во внешней точке плосковыпуклой линзы (однородного шарового сегмента) при (хз ^ Л) будет:
2ixGp
3
R +
<£внешн (Яз) =
(а
2
h —
R
+ х§)
3/2
— Хз
- xl + iR-fyxz-RP-Rh
+ ^-
QlASX)
Внутри сегмента (0 < х з < К) потенциал в точках на оси симметрии оказывается рав ным /
ч
^внутр ( Х ) = 3
2тгС/> g
2
Д* tl
(а + х§) ix — Х з
3 / 2 {
R
_
h
)
^
+
#
+
M #
(12.152)
Z
—
З а д а ч а 12.10. Найти гравитационную энергию однородного шарового сегмента пря мо с использованием общей формулы (12.80). Но подчеркнём, что и переход в полученном нами выражении гравитационной энергии однородной линзы (12.127) к энергии плосковыпуклой линзы при 2
h\ —> 0,
R\ —> оо,
так чтобы fti-Ri —
a + h\
(12.153)
383
12.9. АСИММЕТРИЧНАЯ ЛИНЗА: ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
также требует определённого искусства. Особую трудность при этом представляет анализ в этом выражении членов без 7Г. Конкретно, здесь следует пользоваться разложениями 8а Rx
8а R + Ft\ — h — h\
t
_ R-h-hi
(R-
Ri
3
2
2
4
(R - ft)
Rl
Ri hi
arctg
Ri-hi
4
hi)
R
(R - ft) - Shi (R - h)
arctg
2
h-
Ri
(12.154)
' Щ
3
Можно показать, что члены при Я , Я , R\ и Ri исчезают; свободные же члены дают ненулевой результат. Далее, при анализе членов с 7г в последнем выражении (12.127) необходимо использо вать приближение рЗ
R
+
R
l
оЗ
I
-
l h
-
h
[hHut-hHXm-b)]*,
l
(12.155) 2
—R
l _ R-h-hi Ri
(R -
hy
2
h (ЗД-Л) + ^ / ц а
Rl
2
Выполнив всё это, в итоге приходим от (12.127) к выражению энергии шарового сегмента :
однородного
9
^сеше™ =
11тгЛ
4
(£ - я) + 8 [ з Я а -
Я а - § а - 6 Я ( R - Л) arctg j]
4
2
3
5
4
}.
(12.156) Легко видеть, что в предельном случае а = 0, ft = 2R из (12.156) следует известная формула для шара (1.64). В характерном частном случае а = R = h из (12.156) получается потенциальная энергия сплошного однородного гравитирующего полушара: И'полушара = ~ ^ G p
2
R
b
[32 -
Зтг]
(12.157)
Из формул (12.157) и (1.64) выясняется, что работа по полному разделению сплошного на две половинки оказывается равной 2
5
» -1.3443тгСр Я ,
шара
(12.158)
причём «распылить» в пространстве тот же шар будет в 12тг 15тг - 32
2.49
раз труднее. 9
Ввиду важности, в § 13.2 выражение для гравитационной энергии однородного шарового сегмента будет получено ещё и другим, независимым методом.
384
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
З а д а ч а 12.11. Доказать, что энергия сегмента высотой 2R прежний сегмент (с высотой h) до полного шара, равна W .. 2R
дополняющего
4
= - - ^
h
ft,
(2R - ft) (ЗД + ft) + (12.159)
4
2
3
+8 З Д а - R a
- |а
5
4
+ 6 Д (R - ft) arctan |
| .
З а д а ч а 12.12. Найти взаимную энергию двух однородных шаровых сегментов, дополняющих друг друга до полного шара. Решение. Для этого достаточно подставить выражения (12.156) и (12.159) в форму лу (8.23) и иметь в виду конечный результат (1.64). •
§ 12.10. Маленькое чудо: превращение однородной асимметричной линзы в «лунку» К неожиданному перевоплощению асимметричной линзы в лунку приводит простая (даже поразительно!) замена в формуле (12.127): fti -> - f t i ,
Ri -> -Ri-
(12.160)
При отрицательном fti нижняя часть линзы как бы переворачивается и создает выемку в её верхней части, что и превращает асимметричную линзу в «лунку» (рис. 104). Геометрически это понятно. Но главное не в этом. Парадоксально (именно так!) здесь то, что гравитацион ную энергию полученной лунки мы находим при указанных обращениях знаков (12.160) всё из той же формулы для линзы (12.127):
w
2
2
"ЛуНКН
—
- Rh} x
x
g 2
х
2
| т г [a (h - h^ + Rh
R* + R\ + Rh + Rihi 2
x ( a 4- Rihi) 3
-
2
2
- 3 . (R*h - Rfhl)
+ n[hi (Ri - hi) x
2
-h(R-h)
- i r |л \^2R -Rh
2
h + h
( a + Rh)] [h + 2
+ hpj-h*
^2R
X:^
-R
- Rihi +
[«
hi
hi-Ri-R]^
( З Я - h) (12.161)
-h\ (3R, - /11)] - | «
s
- Sa (R s
1
+ Rl) -
2
2
x (R
+ |a ) 2
- 3 (R - Л)] arctg -^j
x arctg
4
4
+ 24a ( Я + Rf) + SR
Ri - hi j
+ 8Д
R R - R i - h + hi R\
4
Ri-
R +
h-hi
-S(Ri-hi)
§12.11.
385
РЕЗЮМЕ ТРЕТЬЕГО МЕТОДА
Но как проверить эту сложную формулу? Опять помогают предельные случаи! Обратим внимание: в предельном случае (12.94) из рас сматриваемого «полумесяца» получается такая конфигурация «лунки», когда острые концы у неё (в сечении) сходятся. Но мы уже видели та кую картину в задаче 8.7 гл. 8, где рассматривалась оболочка, ограниченная двумя не концен трическими сферами. Присмотритесь к рис. 62 в § 8.3 — при касании изнутри двух сфе рических поверхностей оболочка превращается как раз в ту же «лунку» со смыкающимися острыми концами «рожков»! Это и даёт нам независимый и изящный способ проверки весь ма непростого решения (12.161)! Дальнейшее — как говорят шахматисты, дело техники (но и она не должна подводить!). Р
и
с
ш
С е ч е н и е
< < л у ш ш > >
З а д а ч а 12.13. Проверьте и убедитесь, что в предельном случае (12.94) формула (12.161) действительно даёт ранее известный нам (но из совершенно других соображений полученный) результат (8.66) . 10
§ 12.11. Резюме третьего метода Вычисление потенциальной энергии однородных тел может быть сведено к суммированию рядов, составленных из пар коэффициентов разложения потенциалов тела во внешней и внутренней точках. Число членов в таком ряде зависит от геометрической симметрии рас сматриваемого тела: чем выше эта симметрия, тем меньше членов надо учитывать. Пред ставление потенциальной энергии указанными рядами может быть сделано не единственным способом. В некоторых важных случаях ряды типа (12.67) могут быть просуммированы, и тогда потенциальная энергия тел представляется в конечном виде (и часто — через элементарные функции от их геометрических параметров). Метод вычисления потенциальной энергии с помощью указанных рядов обобщается и на однородные тела без азимутальной симметрии. Замечания Материал главы полностью разработан автором. § 12.1. Мотивировка к теме этой и других глав: сложная проблема вычисления по тенциальной энергии тел мало исследована. Возможности известных классических формул исчерпаны шарами и эллипсоидами (и то лишь однородными). § 12.2. Первый метод охватывает широкий класс тел: слоисто-неоднородные эллипсои ды и сфероиды. Но он позволяет находить и энергию плоских дисков. Первоисточник: [21]. § 12.3. Вывод новой важной формулы для потенциальной энергии тел (12.28). Вспомо гательная формула (12.26) в несколько иной форме встречается в магистерской диссертации А. М.Ляпунова [35]. Однако маститый автор не уделил этой формуле должного внимания. Первоисточник: [21]. § 12.4. Второй метод приложим к широкому классу тел и позволяет решать новые задачи. Первоисточник: [21]. § 12.5. Результат неожиданный: гравитационная энергия (и внутренний потенциал, см. § 7.6) кубоида выражаются через элементарные функции! 10
25.
Следует помнить, что в этом пределе оба арктангенса равны 7г.
Кондратьев Б П
386
ГЛАВА 12. НОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛ
Первоисточник: [21]. § 12.6. Первоисточник: [25]. Акцент в развитии третьего метода делается на использовании свойств обобщённого (§ 5.13) гомотетического слоя: энергия такого слоя в поле тяготения несущего (слой) те ла равна энергии самого тела! Суть третьего метода — в представлении гравитационной энергии через особые ряды. Трудный вопрос о сходимости рядов получил здесь предельно лаконичное решение. В § 12.7 третий метод распространяется на тела, не имеющие азимутальной симметрии. Первоисточник: [21]. § 12.8. При нахождении гравитационной энергии примеры нередко оказываются важнее правил — более того, они иногда и создают сами эти правила! Задача с асимметричной линзой сложная, но решается в элементарных функциях! Первоисточник: [21]. § 12.9. В задаче с асимметричной линзой есть много вариантов. Анализ всех случаев, и особенно переход к шару, требует тонких вычислений и понимания сути дела. Первоисточник: [21], но в деталях много нового. См. также статью Кондратьева и Антонова [29]. § 12.10. Переход от асимметричной линзы к лунке и геометрически красив, и в тео ретическом отношении глубок: он представляет собой как бы аналитическое продолжение для выражения энергии линзы в область отрицательных значений её параметров. Конечный результат оправдывает это неожиданное сравнение. Взгляд на лунку со сходящимися остры ми концами с двух разных точек зрения даёт уникальную возможность проверить формулу для энергии лунки. Вначале она получается выворачиванием внутрь одного края асиммет ричной линзы, но та же лунка представляет собой и оболочку между не концентрическими, касающимися изнутри, шарами! Первоисточник: [21]. § 12.11. Содержит резюме третьего метода.
Г Л А В А 13 Н А Х О Ж Д Е Н И Е С
П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н О Й
П О М О Щ Ь Ю
Э Н Е Р Г И И
И Н Т Е Г Р А Л О В
К О М П Л Е К С Н О Й
В
П Л О С К О С Т И
Ввиду сложности задач на определение гравитационной энергии, здесь разработан ещё один метод, имеющий важное практическое значение. Он также основан на формуле (12.28). § 13.1.
Метод четвёртый: гравитационная энергия однородных тел с азимутальной
симметрией
Накинуть невод на особые точки 13.1.1. Д в е основные ф о р м у л ы четвёртого метода Рассмотрим однородное тело, имеющее круговую (азимутальную) симметрию. В цилиндри ческих координатах (г, х з ) его потенциал в точке хз на оси симметрии можно представить двойным интегралом /
ч
^
f f
r
rdrd d
r
r
f
X
'
3
.
=
*з)
(13.1)
2
Кроме того, как мы уже знаем, потенциал на той же оси, но во во внешней для тела области, можно представить интегралом типа Коши (9.100). Тогда во всём пространстве вне тела имеем следующую формулу: V(r,x )
= ±-
3
I 1
^
1
Ю
=dC-
v ^ + (*s-C)
(13.2)
a
Подставляя <р из (13.2) в формулу (12.28), имеем W
=
Штг J j j s
y
I у г
2
(
C
)
d
C
( a i X l
+
а 2 Х 2
+
а
з
Х
з
)
d
2
+ (х - С)
S
t
( 1 3
*
3 )
3
К этому интегралу применим следующий приём: меняя в нём местами интегрирование по поверхности и по контуру, в итоге получим
w
= v b f a M
d
< \ p f f
a
i
X
l
+
0 1 2 X 2
+
^
d
S
(13.4)
388
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ
И здесь важно заметить, что в круглых скобках (13.4) мы имеем дело с изученным выше потенциалом обобщённого гомотетического слоя (5.115), поэтому указанное выражение можно сразу записать в замечательно простом виде
И "1*1 + "2*2 4- а з * » ^
G p
V
^
2
+
(-з-С)
=
,
^
=
2 у )
_ . ж
( 1 3 > 5 )
2
Значение равенства (13.5) в том, что интеграл (13.4) приводится к следующему:
w
~ ~ ш с f ^нешн
( с )
(2v?m^
( 0
"
c
^ i p )
d c
-
(13
-6)
Э т о и есть главная формула для расчёта гравитационной энергии тел четвёртым мето дом. Здесь внешний и внутренний потенциал берутся на оси симметрии тела и затем в них х заменяется на £; интегрирование в (13.6) проводится по контуру фигуры в комплексной плоскости. Таким образом, данный метод нахождения гравитационной энергии тел сводится к вычислению контурных интегралов в комплексной плоскости. З а д а ч а 13.1. Доказать, что формулу (13.6) можно записать также в эквивалентном виде 3
dC
3 y w r a (С) + С-
(13.7)
Решение. Действительно, интегрирование по частям последнего в (13.6) члена даёт .d(p
B
(13.8) ^внутр • ^внешн
(J)
Ч^внутр
«С,
причем проинтегрированный член [ip p • С • <£внешн] обращается в нуль из-за замкнутости пути интегрирования. В итоге, складывая только что полученный результат с первым членом в (13.6), получим требуемую формулу (13.7). Т Вот два простых примера на применение формулы (13.6). bHyT
13.1.2. Однородный ш а р З а д а ч а 13.2. Вычислить, пользуясь формулой (13.6), гравитационную родного шара, если начало системы отсчёта находится в его центре. Решение. В этом случае Увнешн (С) =
fap^:
¥>внутр (С) = \*Gp
2
2
( З Я - С) ,
энергию
одно
(13.9)
так что 2^нугр(0-С^Р
2
= 4тг^/г .
(13.10)
Подставляя это в формулу (13.6) и учитывая, что ^
= 2ттг,
легко приходим к известному выражению энергии шара (1.64). •
(13.11)
1 3 . 2 . Э Н Е Р Г И Я ШАРОВОГО СЕГМЕНТА
389
Заметим, что основная формула метода (13.6) работает не только в том случае, когда начало системы отсчёта находится внутри тела, но и тогда, когда оно расположено вне тела. Действительно, рассмотрим следующую задачу. З а д а ч а 13.3. Вычислить, пользуясь формулой (13.6), гравитационную энергию одно родного шара, если начало отсчёта отстоит от центра шара на величину А ^ R. Решение. Внутренний потенциал шара Аню
2
Ы
= \nGp ( З Д - х \ - х \ - х\)
(13.12)
в принятой, по условиям задачи системе отсчёта (хз —* хз - Д ) , имеет теперь вид Увнутр (хз) = \vGp ^внешн (Хз) =
[ЗД
2
- Д
2
- х\ - х\ - х\ + 2 Д • х ] , 3
_ д»
Тогда требуемая данным методом комбинация после замены х з —* £ будет равна Ъшп,
(О -
=
2
fop
2
[ З Д - Д + Д • С] •
(13.14)
Следовательно,
(13.15) и =
T E
/
з M
G
д p
2
-
д
f
2
+
д - с ^ С
сТД
'
откуда действительно следует результат для шара 2
2
5
W = -^n Gp R . 1и
§ 13.2.
Энергия однородного шарового Нахождение четвёртым
(13.16)
сегмента.
методом
Энергию однородного шарового сегмента выше мы уже находили, причём применили для этого третий метод, см. формулу (12.156). Но сейчас принципиально важно решить эту же задачу совершенно другим, независимым методом. 13.2.1. Постановка задачи 1
В однородном шаре радиуса R выделен сегмент с углом полураствора а (рис. 105); сег мент заполнен однородным гравитирующим веществом плотности р. На оси симметрии Охз внешний и внутренний потенциалы сегмента были найдены ранее в (12.151) и (12.152). Сейчас, однако, потенциалы сегмента целесообразно записать в системе отсчета, начало 'Здесь угол а отсчитывается по часовой стрелке, а не против неё, как обычно. Следовательно, в этой задаче положительным направлением обхода контура интегрирования, натянутого на точки ветвления, будет направление
по часовой стрелке.
390
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ
которой расположено в центре шара, и одновременно заменить переменную х з на комплекс ную С = хз -f ir: (13.17)
хз —> С + Д — Л.
После нормировки величин h и £ на Д , из (12.151) и (12.152) в итоге получим выражения для потенциалов сегмента в более подходящем сейчас виде ^внешн (С) = дТгСрД
2
Д
3
+
2
Рвнутр (С) =
-znGpR
1
2
(13.18)
2
- С + 3Ccosa - | (1 + c o s а )
Д
3
- 1
>2 , о / - 2 - 2<^ + ЗС cos, a +. 3§ shr а Л
(13.19)
Л Л О Л
где 2
(13.20)
t e
Д = х/С ~2Ccosa-f 1 = ^ / ( f - e ) ( C - e - * ° ) ,
I
n.
(13.21)
— —.
/г
Угол а может меняться в пределах (13.22)
0 ^ a < тг:
например, при о- — ~ (т. е. при h — Р) сегмент превращается в половинку шара, а при а = 7г — в шар. Для проверки выражений (13.18) и (13.19) достаточно перейти к шару, поскольку потенциал его известен; действительно, полагая в (13.18) и (13.19) а = 7г и учитывая, что для шара Д = 1 + С? получим соответственно 2
Рвнутр (С) - pGpR
2
(3 - С ) ,
VWH(C) = ^
(13.23)
(13.24)
(М — масса шара). Верно! Далее, согласно (13.6) и (13.7), надо найти комбинации Рис. 105. Шаровой сегмент. Угол а может изменяться от 0 до 7г (полный шар)
5
2
S i ( C ) - 2 ^ ( 0 - C ^ ^
Свисши (С) (С) = 3<Р виешн (0 + С
(13.25)
(13.26)
13.2. Э Н Е Р Г И Я ШАРОВОГО СЕГМЕНТА
Подставляя сюда потенциалы
(13.18)
Si (С) = 2nGpH
391
и ( 1 3 . 1 9 ) , получим 2
R ^ - cos
- ^ + С cos а + sin а
(13.27)
и 5 (С) = | т г С р й
2
2
Я ^5С - 7 c o s a +
2
2
+ | - 5С + 12Ccosa - § ( l + cos а ) (13.28)
Для проверки двух последних формул (удобно вновь взять случай шара) замечаем, что в этом случае из ( 1 3 . 2 7 ) и ( 1 3 . 2 8 ) следуют выражения 2
S i = AnGpR ]
5 (C) = | T T G ^ ,
(13.29)
2
которые легко получаются и прямо при подстановке потенциалов и ( 1 3 . 2 5 ) соответственно.
(13.23)
и
(13.24)
в
(13.26)
13.2.2. Особые точки и деформация контура интегрирования Внешний и внутренний потенциалы сегмента первого порядка для радикала R
=
(13.18)
и ( 1 3 . 1 9 ) имеют по две точки ветвления te
te
\ / C - 2 C c o s a + l = >/(C-e )(C-e- ); 2
(13.30)
эти точки, расположенные на изломах контура фигуры сегмента (см. рис. 1 0 6 ) , суть ia
a = e ;
ia
b = e~ .
(13.31)
Кроме точек ветвления, аналитическое продолжение внешнего потенциала ( 1 3 . 1 8 ) имеет внутри фигуры также полюс в начале координат О. Чтобы сделать потенциал аналитической функцией во всём пространстве, точки ветвления внутреннего потенциала следует расположить вне, а внешнего потенциала — внутри сегмента. Ниже при вычислении интегралов ( 1 3 . 6 ) и ( 1 3 . 7 ) будем учитывать только точки ветвле ния. Конкретно, мы «прячем» точки ветвления внутрь фигуры сегмента, и опираться будем на точки ветвления ( 1 3 . 3 1 ) для внешнего потенциала ( 1 3 . 1 8 ) . Это позволяет, игнорируя точ ки ветвления внутреннего потенциала, деформировать исходный контур интегрирования L так, как показано на рис. 1 0 6 . Рис. 106. Вид контура интегрирования, огибающе го точки ветвления внешнего потенциала в задаче о шаровом сегменте
с-
'
о
13.2.3. Вычисление W по формуле (13.6) Контур интегрирования натягивается на точки ветвления ( 1 3 . 3 1 ) , и при их обходе радикал R в выражении внешнего потенциала изменяет свой знак. Существенно, что остальные члены в ( 1 3 . 2 7 ) при обходе особых точек остаются неизменными и вклада в W, следовательно, не дают; поэтому далее их можно опустить. Член же с R из ( 1 3 . 1 8 ) по очевидной при чине следует удвоить. Интеграл ( 1 3 . 6 ) по контуру сводится тогда к интегралу по отрезку в комплексной плоскости
392
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
е 2
W
cen4ema
5
= -^ 7rGp R
ИНТЕГРАЛОВ
^ ^ Q - c o s a j - i + Ccosa + s i n a d(. 2
J
i
помощью
(13.32)
Раскрывая скобки под знаком этого интеграла, представим всё выражение в виде (13.33)
We сегмента = —rrpr:7rGp R [Т\ + Тг] , 102
где (13.34) Л —tor
^
'
е 2
Я
1 + _1_ cos ^ a — a _L H s i nг —
3
(13.35)
Л Л В
с
с2
Для вычисления T i целесообразно вначале раскрыть подынтегральное выражение 4/1
cos a
2
+2С - 4С cos a) ^
4
2
2
3
(С + 4С cos a + 1 - 4С cos a +
3
- ^
2
2
j = - С cos a + С (1 + 4 cos a) -
(13.36)
-2Ccosa (3 +2cos a) + 2 (l + 4 cos a) - 5 cos a , 1_ с Ч 2 ' 2
2
Интегрируя теперь члены (13.36), находим 2
7\ = г
sin 4a cos a -f ^ sin 3a ( l + 4 cos a) (13.37) 2
2
- 2 sin 2a cos a (3 4- 2 cos a ) + 2 sin a (3 + 8 cos a) - 10a cos a ^ , или в преобразованном виде: Ti = i | - - ~ s i n 5 a + ^sin3a + ^ s i n a - lOacosaj .
(13.38)
Раскрывая теперь подынтегральное выражение в Тг из (13.35), имеем 2
2
2
Ф = cos а С R + (sin С - 2 cos a) C.R + 2
(13.39) 2
2
+ ( - 1 + c o s a - 2 s i n a cosa) R + [2 cos a + s i n a] ^
-
Здесь надо отметить, что для вычисления Тг, а далее и других выражений, нам пона добятся следующие интегралы:
13.2. Э Н Е Р Г И Я ШАРОВОГО СЕГМЕНТА
3
2
2
2
2
2
393
2
2
К= 0
J
С л/С ~ 2С cos а + 1 d( = ^ s i n a cos а (4 cos а - 3 s i n а ) ;
K
i=
J
С л/С - 2С cos а + 1 dC = ^ s i n а (5 cos а - l ) ;
e
2
ie
2
2
Кг = j
С \ / С - 2С cos а -h 1 dC = у s i n а cos а ;
Кз=
л / С - 2£ cos а 4 1 с*С = у s i n а ;
2
f
л4 = у e
(13.40)
2
2
/
у/С -2Сcosa4 1 ^ . dQ = 27Г (1 - cos а ) ;
-ta
2
V Я5 = у
л/С -2Сcosa+ 1 ^ . ~2 «С = " т ( 1 - c o s a ) .
Отметим, кстати, совпадение значений двух разных интегралов К^и К$\ Интегрирование Ф (С) из (13.39) с учётом выражений (13.40) даёт 2
2
Т =ш ^
2
2
2
s i n a cos a (5 cos a - l ) 4 i sin a cos a (sin a -
2
2
2
2
- 2 cos a) + - s i n a ( - 1 4 c o s a - 2 sin a cos a ) +
(13.41)
2
4- ( - 1 4 2 c o s a 4 s i n a) (1 - cosa)) .
Заметим, что после преобразований (13.41) заметно упрощается: 4
Т = - у (cosa 4 4) (1 - c o s a ) .
(13.42)
2
Подставляя теперь найденные выражения 7\ и Г из (13.38) и (13.42) в (13.33), в итоге получим 2
2
5
Исешеига = -jLirGp R
j - ^ s i n 5 a + | s i n 3 a 4- у sin a - 10a c o s a - ™ (cosa 4- 4) (1 - c o s a ) j . 4
Это и есть искомая гравитационная энергия однородного шарового сегмента. Разумеется, выражение (13.43) следует сравнить с ранее найденным (12.156).
(13.43)
394
ГЛАВА
13.
помощью
Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
ИНТЕГРАЛОВ
13.2.4. Проверка выражения (13.43) Случай полушара: полагая в (13.43) а — ^ , находим результат, совпадающий с полу ченным ранее (12.157). Случай шара: а = 7г. И в этом случае общая формула (13.43) даёт правильный результат (1.64).
График гравитационной
Рис. 107.
энергии
^ с е г м е н т а (норМИрОВКа На ЭНСрГИЮ ПОЛНОГО шара — i
2
2
шарового сегмента как
b
f ir Gp R )
функция угла а в радианах
Но данная проверка ещё не является полной. Подчеркнём: важной является независимая проверка формулы для энергии (13.43), выполненная далее в § 14.1. Наконец, можно показать (предоставим это читателю), что и в целом полученная фор мула (13.43) оказывается эквивалентной ранее найденному нами выражению (12.156). В частности, графики, рассчитанные по формулам (13.43) и (12.156) совпадают друг с другом (см. рис. 107). 13.2.5. Вариант четвёртого метода с интегралом (13.7) Формулу (13.7) также следует проверить на примере однородного шарового сегмента. В этом случае 2
b
^«шента = ~^Gp R
j> S {() Ц> (С)
(13.44)
2
причём выражение S (С) дано в (13.28), а внутренний потенциал сегмента приводится в (13.19). Контур интегрирования в (13.44) приводим к виду, показанному на рис. 106. Делая теперь разрез между точками ветвления, контурный интеграл прежним способом приводим к интегралу по отрезку в комплексной плоскости (сравните с (13.32)): 2
1 =
"Ai
n
G
p
2
R
S
R
j ' № ~ -i<*
7
c
o
s
a
+
2
Д
3
~'
1
2
^ (13.45)
e
2
- 2 C + 3Ccosa + | s i n a | d£.
Запишем (13.45) кратко: ^сешента = - ^ * G ( ? & ( f 1 + f ) , 2
(13.46)
13.3. Э Н Е Р Г И Я ШАРОВОГО СЕКТОРА
395
где
и e-
f
i o
( § C ~ | c o s a + ^ ^ j - I _ 2 C 4 3Ccosa + | s i n a j d C 2
= J
2
2
(13.48)
Производя вычисления, известным нам способом находим Т\ = г
2
sin 5a — ^ s i n 4 a cos a 4- ^ sin 3 a ( l 4 4 cos a) — 2
2
- y sin 2 a cos a (3 4 2 cos a ) 4- | sin a (11 4 36 cos a) - 10a cos a | .
03.49)
Наконец, после тождественных преобразований это выражение можно, оказывается, привести к виду, совпадающему с (13.38): Ti(a) = Ti(a).
(13.50)
Далее, с учётом вспомогательных интегралов (13.40), получим Т = m |-y^sin
2
2
2
2
2
2
a c o s a (4 cos a — 3 s i n a) 4 Ц s i n a cos a (5 cos a — l ) 4
2
2
2
2
2
4 s i n a c o s a [ 4 s i n a - £ c o s a — ^ ) 4 s i n a [cosa — % — ^ s i n a c o s a ) 4 ^ \4 2 ZJ V / (13.51) 6
4
c o s a 4 s i n a - | ^ (1 - cosa) j . 2
4
Существенно, что после тождественных преобразований выражение (13.51) приводится к тому же виду, что и Г из (13.42): 2
T (a) = T (a). 2
2
Складывая Т% и Т , имеем, следовательно, равенство 2
Щ =W
(13.52)
U
где Wi дано в (13.41). Таким образом мы установили, что второй вариант четвёртого метода тоже работает и интеграл (13.44) даёт верное выражение для энергии однородного сегмента. § 13.3.
Гравитационная энергия однородного шарового
сектора
Эта красивая задача на применение четвёртого метода также требует новаторского подхода. В шаре радиуса R выделен шаровой сектор с углом полураствора а (рис. 108). Масса такого сектора равна 3
М = |тг<ЗрЯ (1 - c o s a ) .
(13.53)
ч
396
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С П О М О Щ Ь Ю ИНТЕГРАЛОВ
Потенциал в точке на оси симметрии Охз однородного тела с азимутальной симметрией, а в данном примере — шарового сектора, находится по формуле = 2кОр
J 1 , Jо Jо Jr a
(13.54) + х\ - 2 r ' x cos0' 3
Находим вначале внутренний потенциал шарового и после замены в нём хз на £, получим
2
2
„ ;2(С -2Дсо8а-С + Д ) ^внутр (С) = *Gp \ —
Рис. 108. Шаровой сектор
2
сектора,
3 / 2
2
, + 2
2
+ cos а (Д - С • cos а ) \ / С - 2i?cosa • С + Д ~ С sin а 2
_ ( _ Л) £ ± | * С
+ С
2
s i n
2
.
e
с
о
8
R — £ • cosa Ч-Arsh(|ctga|) ArshС • sin а
а
так что комбинация в круглых скобках под знаком интеграла применения четвёртого метода, будет теперь равна
Внешний же потенциал однородного
/C -2cosa-C+l
|
г
1
для
(13.56)
шарового сектора равен 2
f
^внешн (С) = ltGp {
(13.55)
в (13.6), необходимая
2
4
"внутр VS; S — ^ — — AKKjptl 2^внугр (С) ~ - С-
,
2
2(С -2Дсо8а.С + Д ) — 2
3 / 2
+ 2
H - c o s a ( f i - C - c o s a ) л/С - 2 Д c o s a • С + Д 2
2
- C s i n a + ( C ~ Д)
2
-fC sin а • cos а Arsh 2
2
(13.57)
С + 2Д ЗС
'
Д - £ • cos а 4- Arsh(|ctga|) С • sin а
3 а*д а ч а 13.4. Выяснить асимптотику сектора на больших расстояниях.
внешнего потенциала однородного
шарового
Решение. Проводится обычным способом и приводит к выражению ^внешн (С) ~
MG С
(13.58)
В частности, в случае полного шара ( а = 7г) имеем для асимптотики на больших расстояниях стандартное выражение Мшара G
^шара (С)
1 3 . 3 . Э Н Е Р Г И Я ШАРОВОГО СЕКТОРА
397
Imz
Рис. 109. Расположение особых точек для ана литического продолжения внешнего (крестики) и внутреннего (кружочки с крестиками) потен циалов шарового сектора. Показан начальный этап деформации контура интегрирования
Рис. 110. Редукция контура интегрирования для шарового сектора
Важно сейчас выяснить, как в интеграле (13.6) будет проходить контур вокруг шарового сектора. Здесь есть два варианта: можно опираться на особые точки или внутреннего, или внешнего потенциала. Сами особые точки имеют расположение, показанное на рис. 109. Внутренний потенциал имеет особые точки а = Яехр(-ш) и b= Дехр(+т), (13.59) вынесенные за фигуру и отмеченные на рис. 109 кружками с крестиками. Внешний потен циал, кроме тех же особых точек, имеет ещё и особую точку ( = 0, причём для него все три точки находятся (спрятаны) внутри границы шарового сектора. Подчеркнём, что в обоих случаях указанное расположение особых точек делает потенциал сектора аналитической функцией во всей области определения. Остановимся здесь на первом варианте решения задачи, проводя контур в соответствии с расположением особых точек для внутреннего потенциала. Тогда контур в интеграле (13.6) можно деформировать способом, показанным на рис. 109. Расширяя и продолжая начатую деформацию, в пределе получим два контура на рис. НО. Первый (внутренний) контур охватывает особые точки а и 6, являющиеся точками ветвления только функции <р нутр (С)Очевидно, два последних члена в выражении (13.56) не имеют точек ветвления и далее их можно не учитывать. Радикал в (13.56) В
2
V C ~ 2 C c o s a + l = л/(С - а) (С - Ь) (13.60) испытывает, конечно, изменение знака при обходе точек а и Ь. Здесь и ниже принята нор мировка С = C/RЗначительно упрощает всю задачу и то, что при данном расположении внутренне го контура внешний потенциал <^ нешн (С) имеет на нём особых точек. Кроме того, см. рис. 110, интеграл по второму, внешнему, контуру будет равен нулю и далее не учиты вается. Таким образом, проведённая выше деформация контура интегрирования позволила на этом этапе существенно упростить весьма сложную задачу. Но и сейчас для достижения цели предстоит ещё проделать немалые расчёты. н
В
е
398
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ
С учётом сказанного, интеграл (13.6) приводится к виду 2
5
2nGp R 5i
сектора
• {Тг + Т + Т + Т + Т + Т }, 2
3
4
ь
(13.61)
6
где о V Ti = |
2
e
2
(C -2Ccosa + l )
J
^
/
1 f i
i-dC =
i
,
y ^ s i n Q - i s i n
\ 3
a - a c o s a J ;
-ia
2
T = cosa J
(1 - С cosa) ( C - 2Ccosa 4 l ) у
2
e
= 2г cos
a
-io,
[
a
s
~~ \ * e
T = -sin a У 3
е
4
n a
c
o
sa
~ ^
c
o
s
2
a
)
»
iof
2
T = i у
=
2
4
Сл/С - 2Ccosa + Ы £ =
s i n a cos a;
-г«
2
2
2
(С - l ) (С + 2) у/С - 2Ccosa + 1 Щ = ^ ( s i n a c o s a - 2 4 2cosa);
-ic
e
2
2
Ts = s i n a c o s a A r s h ( | c t g a | ) J e
2
4
2
C \ / C - C cos a + 1 d£ = y s i n a c o s a A r s h ( | c t g a | ) ;
-tar
_ 1 £ COS Сл/С - 2C cos a 4-1 A r s h — — d£ = С sin a 2
/ 2
2
s
= г s i n a cos a | a ^ | - cos a ^ 4- ^ sin a cos a 4 *
n
c
<* °s<*
e
j
Заметим, что при вычислении величин Гз, Г4, Г5 и Тб встречаются вспомогательные инте гралы и из (13.40). Подставляя теперь все шесть интегралов Ti в формулу (13.61), после многочисленных преобразований в итоге находим искомую гравитационную энергию однородного шарового сектора: ^сектора = ~
^
|
а
'
c
o
2
sа
8
п
2
[ * * Л (2 - 3 COS а ) - 10] + 2
4- sin а | s i n а
— 3 cos а ^ -4 10 (13.62) 4
2
а ^1 4 | s i n а ^ - 1 4 | s i n а cos а • Arsh (|ctg а | ) 2
4
2
4 - f s i n а cos а • / | ,
399
13.3. Э Н Е Р Г И Я ШАРОВОГО СЕКТОРА
где тг/2
о оо
= 2 Е
1 -h sin а • cosx In 1 — sin a • cosx
d
x
=
J! J
1 + sina-sinx^ 1-sina-smx (13.63)
(sin a)
2fc+l
2fc+l
^2fc+l
(2fc
(-1Г (2fc + l )
2
Заметим: для произвольного a интеграл / в конечном виде не берётся; для полного шара, разумеется, / = 0, а при а = 7г/2 (полушар) интеграл I = 4GK (здесь G K — постоянная Каталана из (12.17)). Формула (13.62) проверяется как в случае шара a = 7г (получается выражение (1.64)), так и в случае полушара a = ^ с правильным результатом (12.157). З а д а ч а 13.5. Сделайте указанную элементарную проверку. Важно, наконец, обратить внимание, что здесь мы встретились с независимой проверкой гравитационной энергии для полушара (12.157): в самом деле, если ранее этот полушар получался нами в пределе из шарового сегмента, то теперь — из шарового сектора!
Рис. 111. Зависимость гравитационной энергии однородного шарового сектора (нормировка на энергию полушара (12.157) от угла полураствора а ) . Расчёт по формуле (13.62). Штриховыми вертикальными линиями отмечены энергия полушара и шара. Энергия шара (по модулю) в 3.34 раза больше энергии полушара
2.5 Ъпсс
Возможна ещё и прямая проверка выражения (13.62); она будет выполнена в § 14.1 с помощью идеи обобщения гравитационной энергии для подсистемы. На рис. 111 результаты расчётов по формуле (13.62) представлены графически. При малых а шаровой сектор «складывается» наподобие веера в неоднородный отрезок длиной R. Строго говоря, одномерный отрезок имеет бесконечно большой потенциал в точках самого стержня, а значит, и бесконечно большую гравитационную энергию. Тем не менее, в данном случае всё же можно говорить об асимптотическом пределе гравитационной энергии шарового сектора (13.62) при малых а . А именно, из (13.62) при малых а находим 2
s
7rGp R сектора
6
{.[inl-fj^-fa^OCa )}.
(13.64)
Обратим внимание на то, что разложение выражения энергии шарового сектора по степеням малого а , т. е. в приближении стержня, начинается только с а . 4
4
И замечательно следующее: в следующем разделе формула (13.64) послужит для ори гинальной проверки выражения гравитационной энергии в асимптотическом пределе уже для конуса, сложенного «веером» в такой же неоднородный стержень! Как говорится: «мал золотник, да дорог». Тот же уровень сложности, что и для однородного шарового сектора, имеет следующая задача.
400
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
§ 13.4. Г р а в и т а ц и о н н а я
помощью
ИНТЕГРАЛОВ
энергия однородного прямого кругового
конуса
Ранее эта задача не ставилась. Конус и его параметры показаны на рис. 112. Фигура конуса допускает только значения 0 ^ а < Внутренний потенциал (и соответствующая ему комбинация членов), а также внешний потенциал однородного кругового конуса на оси симметрии имеют вид 2
Рвнутр (С) = *Gp | ( L - С cos a) y/L
-2LCcosa + C 2
Arsh^ С cos a - С sin a + С sin a cos a ^ С sin a 2
Рис. 112. Прямой кру говой конус
2
2
2
+
(ctga)^ (13.65)
2
- (Lcosa - C ) | , так что 2
2v?BHyrp - C ^ p ^ = 2nGpL cosa Увнешн (С) = TtGpL cos a J (1 - С ° s 2
c
2
[ д / С - 2Ccosa + 1 - (cosa - fl] ;
(13.66)
2
VC ~ 2Ccosa +1 + (13.67)
2
2
2
Q Sa
+C cos a — 2C + cos a + C sin a (Arsh * ^ ^. ° V С sin a
+ Arsh (ctg a) ) 1 / J
Выбор контура интегрирования и его редукцию в рассматриваемой задаче выполним по аналогии с предыдущим примером шарового сектора. Дело в том, что и для конуса мы имеем две особые точки с координатами (13.59). После этого будем иметь дело с общим интегралом в комплексной плоскости 2
5
2
2irGp L
cos a
x/C - 2Ccosa + 1 1 ( 1 - С cosa) y/C - 2Ccosa + 1 + 2
J
5i 2
2
2
2
-f C cos a - 2C + cos a + < sin a ^Arsh*
+ Arsh(ctg a)^ j dC» (13.68)
который разбивается на шесть частных:
T
i=
f e
T = cosa J 2
2
6
( l - C c o s a ) ( C - 2 C c o s a + l)dC = | i s i n a ;
(13.69)
-tar
2
2
2
2
С у/С - 2C cos a + 1 d< = ^ cos a sin a (5 cos a - l ) ;
e
Г
(13.70)
1 3 . 4 . Э Н Е Р Г И Я ОДНОРОДНОГО
401
КОНУСА
е ITT • 2 у/С - 2 C c o s a + ldC = — cos a sin a;
4
2
Г = sin aArshctg
a
< л/С - 2 C c o s a + ld( = у s i n aArsh(ctg a) (5 cos a - l ) ; 2
J
5
e
(13.72)
2
T = cosa J
2
4
2
-iar
(13.73)
2
T = sin a
/ J
6
e
=
% s v
^
CVC
2
1
C
c
S
~ 2C cos a 4-1 A r s h ~ ° ^ sin a
a
d( =
-ia
I sin a (1 + cos a) 4 a cos a ( 1 3 - 15 cos a) + | s i n a (5 cos a - l)
a
2
2
2
2
/j , (13.74)
где интеграл / дан в (13.63). Здесь требуется Пояснение. Главную трудность представляет вычисление интеграла Т§. Берём его по частям, обозначив 1 U = Arsh-
—С
c o s
а
(13.75)
Csina
т. е. dU = -
(13.76) 2
2
V = JCVC -2Ccosa
+ ldC =
3
C
+
5 1
C
S
°
2
a
«
2
- 2 c o s a + 1)5 + 2
(13.77) 2
ч —TTZ г .2 . , 1 — С cos 5 cos a — 1 / » (С - cos a) v С 2C cos a + 1 + sin a • A r s h — — + 8 <sina
a
Тогда Т = 6
2
8т а{[иУ]£ +Ц}, а
(13.78)
где в правой части стоит интеграл €
(13.79) 2
<\/С - 2 < c o s a + 1 Проинтегрированный член в (13.78) с учётом вида выражений (13.75) и (13.77) исчезает: [UV]£
ia
26. Кондратьев Б П
=
5
c
o
s
2
Q 8
~
1
2
s i n a [Arsh ( - « ) Arsh (*) - Arsh (t) Arsh (-«)] = 0.
(13.80)
402
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
помощью
ИНТЕГРАЛОВ
Остаётся интеграл Т£ из (13.79). В нём часть членов под знаком интеграла имеют вид 2
\ (С - 2 ; c o s a + 1) +
(( - c o s a + l ) +
( _ 1 I , _ cosa,. , 3 - 5 c o s a ~ 4 | ^ 3 6 2
c
o
S
\
+
a
~
1
(l - g p )
=
„ i \\ , c o s a (13 - 1 5 c o s а ) 1 6С J
(13.81)
2
2
;
5
2
+
и интегрируются сразу А = ^
2
2
{2 sin 3 a - c o s a sin 2 а + (3 - 5cos a ) s i n a + a c o s a (13 - 15cos a ) } .
(13.82)
Имеем T = sin a | л + 2
5 c P s 2
t
Q 8
1
"
sin a • 7 6 j , 2
(13.83)
где e;
A
r
s
h
<_z^£i
d
c
sin a C\/C -2Ccosa+l
(13.84)
2
J Далее заменой
sin a интеграл /
6
приводим к виду г
h = / Arshzdz z, У (cos a + z sin a) \/\ 4- £
(13.86)
2
и переход к вещественной переменной х = j ,
Arsh (гх) = г arcsinx
(13.87)
даёт I=
[ arcsinx dx J cos a 4- гх sin a ^ / i _
6
(13.88) x
2
Дальнейшее ясно: l j _ f c o s a — гхзгпа dx h = - J : " Г ' " Г arcsinx / cos a 4- x s i n a \ / l —x -l 2
2
2
2
l
= 2zsina / xarcsinx dx _ У cos a + x s i n a x / T ^ " -l 2
2
2
2
7Г
2
. . / ysinydy . Л 1 4-sinacosax , = 2г sin a / — — ^^r = г / In : ax. У cos a 4- s i n a s i n у J 1 - s i n a cos a x 0
2
2
2
2
2
(
1
3
8
9
)
403
13.4. Э Н Е Р Г И Я ОДНОРОДНОГО КОНУСА
Это означает, что (13.90) где интеграл / дан в (13.63). Собирая всё вместе, получим Т = г• sin а {2 sin З а — cos а sin 2 а + (3 — 5 cos а ) sin а 4- а cos а (13 — 15 cos а ) + 12 2
2
6
2
2
+ 1 s i n а (5 cos а - 1) / | , (13.91) где, напоминаем, / дан в (13.63). Тогда, в силу тождества 2
2
2 sin З а — cos а sin 2 а + (3 — 5 cos а ) sin а = sin а ( l -f cos а ) ,
(13.92)
и приходим к доказываемому равенству (13.74). В итоге, объединяя выражения T i , Т , после многих преобразований находим грави тационную энергию однородного кругового конуса 6
2
5
S
^конуса = — -^irGp L + sina ^
*
n 2 а
C O s 2
а
S
{ *
n 2а
2
C O s 2
— 1) • / + 2
+ 1 0 s i n a ^ + a • cosa
2
(5
- 10cos a^
(13.93)
-
2
—7г sin a [5 cos a — (5 cos a - l ) Arsh (ctg a)] } , где 0 ^ a < 7г/2 — угол полураствора конуса, L — длина его образующей, а I дано в (13.63). W 2
Рис. 113. Зависимость гравитационной энергии конуса от угла полураствора а . Обращение в нуль энергии при a —• 0 и a — > ^ означает, что в пределе одномерно го стержня или двумерного диска следует переходить от объёмной плотности р к од номерной или поверхностной плотности. Максимум гравитационной энергии кону са 1.17217 соответствует углу a = 0.92131 ( * 52° 47')
5
-—nGp L * 20
1: O.fc 0.6^ 0.4^ 0.2^ 1 Т<| 1 1 1 1 | 1 1 1 >•!»•»« 1 | 1 1 1 1 »| 1\ |1 1>
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 ОЛр*)
Но оказывается, проверить формулу (13.93) — далеко непросто! Дело в том, что конус — в отличие от шарового сектора — не допускает превращения в шар или в полушар (см. предыдущий пример), а только в одномерный стержень или в плоский круглый диск (и то лишь в асимптотическом пределе). Фактически, здесь мы имеем только два, и то косвенных, способа проверки. Первый — это нахождение асимптотического предела a —> 7г/2, когда конус превраща ется в неоднородный круглый диск с поверхностной плотностью
а
Задача 26*
{
г
)
1
= Ш{ -т>-
13.6. Из выражения (13.93) найти потенциальную
(
1
3
9
энергию этого диска.
4
)
404
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
помощью
ИНТЕГРАЛОВ
2
Решение. Полагая в (13.93) угол полураствора равным ос = ^ — е, с точностью до е включительно найдём ttW
a
= -
^
^
L
3
(17 - 6 G ) = - J Q ^ X ^ ,
(13.95)
K
где GK — постоянная Каталана, ао = р Ье, а х дана в (12.20). Этот предел и даёт гравита ционную энергию диска с а (г) из (13.94). Но надо пояснить, почему предельный переход от однородного конуса к диску даёт воз можность проверить саму формулу для энергии конуса (13.93)? Всё дело в том, что энергия такого же диска была найдена нами (см. далее формулу (14.208)) совершенно другим спосо бом: методом предельного софокусного перехода от специального неоднородного сфероида к диску. Сравнивая (13.95) и (14.208), убеждаемся в справедливости сказанного. Содружество методов приносит свои плоды — ведь сейчас выражение энергии прямого кругового конуса мы фактически проверили через энергию слоисто-неоднородного сфероида! 2
Второй способ проверки выражения (13.93) — это асимптотический переход к очень малым углам а. В этом пределе прямой круговой конус, как и шаровой сектор, «складывается веером» в неоднородный стержень длиной L , и для него мы находим
^сектора —
^
J^
Ш
а
4
О
4_64 б а
+
О
( в ) | . в
(13.96)
Но с чем же сравнивать результат такого асимптотического перехода к стержню? Ра зумеется, с аналогичным выражением (13.64), которое было получено выше из энергии шарового сектора] Как видим, выражения (13.64) и (13.96) (при очевидной замене R на L в первом) с точностью до О ( а ) оказываются совершенно одинаковыми . На рис. 113 показаны результаты расчётов по формуле (13.93). 6
3
§ 13.5. Г р а в и т а ц и о н н а я э н е р г и я о д н о р о д н о г о п л о с к о г о ш а р о в о г о
слоя
Рассмотрим ещё одну новую задачу на применение четвёр того метода. Дан плоский слой в однородном шаре радиуса R (рис. 114). Углы а\ и с*2 могут изменяться в пределах 0 < а < а х
2
< тг.
(13.97)
В частных случаях такой слой может превращаться в пол ный шар, шаровой сегмент, полушар и даже в тонкий круг лый диск. 13.5.1. Потенциалы слоя на оси симметрии Поместив начало отсчёта в центр шара, находим потенциа лы шарового слоя на оси симметрии. Нормируя все коорди наты на R, имеем двойной интеграл 2
Потенциальная энергия такого диска будет нами найдена также и через его эквигравитирующий стержень (см. в главе 14 задачу 14.13. Таким образом, различие между разложениями (13.64) и (13.96) начинается только с членов шестого порядка по а. 3
13.5.
слоя
Э Н Е Р Г И Я ПЛОСКОГО ШАРОВОГО
cosai
**m
f
dx' I ——
2
d
405
y
(13.98)
3
созаг где 2
r
=l-x'l
m
(13.99)
Интегрируя и делая после этого замену х —> £, получим 3
2
^внуф (С) = \*GpR
| ^
2
2
~^
2
- | (cos а + cos a ) х
2
(13.100) л2 ЗС + ЗС (cosai + c o s a ) > , 2
^
Й И
и(с) = | ^ д
2
| ^
2
2
^ + | ( cos a i - cos a ) —
т
1
2
(13.101) - 3C (cos cxi - cos a ) 1 . 2
Здесь и ниже для краткости мы обозначили Д
2
1
=
д / С - 2 С c o s a i + 1,
2
£
2
= \/C --2Ccosa2 + l .
Вьтолним проверку: в случае шара a i = 0 , a дают 9.нутр(С) =
*
2
| ^ д
2
= 7Г, и формулы (13.100) и (13.101)
2
( з - С
) ;
-MG
(13ЛОЗ)
- верно! Ещё одна проверка: в частном случае шарового сегмента, когда (13.100) и (13.101) имеем
2
2
^.нлр ( О = l*GpR
2
/ -3 2
a i = 0, из формул
2
( ^ L l i 4- § - 2С + 3Ccos a - § cos a
*>внешн (С) = f ^ G p f i
(13.102)
2
\
f^ ± 1- I - 2 C
+
3
C C Q S
^ _ 3
c o g 2
; (
1
3
1
0
4
)
^ \
Эти выражения с точностью до обозначений также совпадают с внутренним (12.152) и внешним (12.151) потенциалами однородного сегмента. Далее, для применения основной формулы четвёртого метода (13.6) нам требуется знать комбинацию: 2
2v>. p (С) - С ^ " ^ ^ = 2*GpR Hyi
х5(С),
(13.105)
406
ГЛАВА 13. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
помощью
ИНТЕГРАЛОВ
где мы обозначили 5(C) = R
- cosai j +
- c o s a ) - Ri
2
2
(13.106) +
С(
c o s
a
i +
c
o
s а
2
2
г ) - cos a i - cos a . 2
13.5.2. Гравитационная энергия слоя в виде контурного интеграла и его преобразование С учётом сказанного выше, формула (13.6) для гравитационной энергии принимает вид W
™*
=
- ^ G p
2
R
5
x (13.107)
2
1
2
2
- ЗС (cos a i — cos a ) + ~ (cos a i — cos a ) 2
2
С где 5(C) из (13.106). Для дальнейшего важно, что контур интегрирования в (13.107) мы натягиваем на особые точки аналитического продолжения внешнего потенциала, расположенные внутри шарового слоя. При этом следует учитывать, что в ходе деформации данного контура интегрирования образуется ещё и малый кружок вокруг особой точки типа полюса в начале системы отсчёта, совпадающей с центром шара О. Необходимо знать, поэтому, и вычет в этой особой точке. При деформации исходный контур интегрирования разбиваем на верхний и нижний контуры (рис. 115), которые натягиваются (соответственно) на следующие пары точек ветв ления первого порядка: C= e : С = е (13.108) ± i a i
± г а з
и, что относится только к нижнему контуру, ещё и на полюс О. При обходе верхнего контура в выражении внеш него потенциала меняет свой знак радикал R\, а ниж него контура — радикал R (см. выражение в квадрат "®)с ных скобках под интегралом (13.107)). Стискивая оба контура (или делая разрез между точками ветвления) и учитывая вышесказанное, полу чим однократные интегралы в комплексной плоско сти: 2
Ф1 + Ф 4- 27гг r e s F ( C ) ) ,
0<®>
2
Рис. 115. Промежуточная стадия де формации контура интегрирования в задаче о шаровом слое
(13.109) где е ^
Ф = -
Ф
2
/
5(0
(13.110)
(13.111)
и, напомним, 5(C) из (13.106). Вычет же берётся от функции, которая будет указана ниже (см. разд. 13.5.7).
407
1 3 . 5 . Э Н Е Р Г И Я ПЛОСКОГО ШАРОВОГО СЛОЯ
13.5.3. Вычисление интегралов, входящих в (13.110) Прежде всего, приводим (13.110) к виду (13.112)
Qi^Tx-Pi-Du где
е * Ti(ai)= e
Pi (ai, a ) = У - t a t
3 cos a i
J_
dC;
2
Ri {C)
l +2 c o s a x - C c o s a i -
(13.113)
i
P i (C)
2
e
2
J _ t Q
р
-
2
2
cos a i +
2
[C (cos a i 4- cos a ) - cos a\ - cos a ] dC; 2
2
i
(13.114) Г
e
rw \ •Di(ai,a ) = 2
/ 6 D 1 . о / P1P2 1 4-2cosai c o s a - £ c o s a У е 1 2
2cosai 4- c o s a , 1 =7 + -V С С 2
2
_гог
(13.115) Забегая вперёд заметим, что первые два из этих интегралов берутся в элементарных функциях от углов а\ и а : 2
2
2
T i ( a i ) = » I sin 3 a i ( l 4- 4 cos a i ) — i sin 4 a i cos a i - 2 sin 2OL\ COS a i (3 4- 2 cos a i )
2
+ 2 s i n a i (3-f 8 c o s a i ) - l O a i c o s a i ] .
(13.116)
= гя* 27Г |g Pi (ai, a ) = < s i n a i i (5 cos a i - l ) (cosai 4- c o s a ) — 2
2
2
2
2
2
2
2
- ^ c o s a i ^(cosai 4-cosa2) 4 - 2 c o s a i j 4-cosai (cos a i 4-cos а г ) 42
(13.117)
2
^ (cos a i 4- cos а г ) - (1 - cos a i ) (cos ot\ 4- cos a ) | . 2
a
a
Нахождение же интеграла Z ? i ( i » 2 ) из (13.115) не является простым и потребует, как мы убедимся далее тщательного анализа с применением реккурентных формул (см. разд. 13.5.5). 13.5.4. Вычисление интегралов, входящих в (13.111) С этой целью приводим вначале (13.111) к виду ф
где
2
= Г + Р - £> , 2
2
2
(13.118)
408
ГЛАВА 13. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
помощью
ИНТЕГРАЛОВ
е * 2
C
1 + 2 cos а - С cos а - ^ ° f 2
Т {а )= 2
2
е
2
Д (С) 2
-га
а
2
с
2
J
+ 4т
(13.119)
dC;
с2
2
га
2
Р
У
Рг(»i, а ) = 2
Р г (С)
e
# (ai,a ) = 2
i«
c o s
2
#2 + ^
2
[С (cos a i + cos а ) - cos a i - cos а ] dC; 2
2
(13.120) 2
^
2
2
-
1 , о 1 + 2cosai cosa - £cosai
RiR
2cosa + cosai , i \- -±C C 2
2
2
2
~г<*
е
2
(13.121) Две первые из представленных здесь трёх квадратур вновь удаётся выразить через элементарные тригонометрические функции от углов а\ и а ; беря эти интегралы, после многих преобразований получим 2
2
Г ( а ) = г ^ sin 3 a (1 + 4 cos a ) - ^ sin 4 а г cos а — 2
2
2
2
2
(13.122) 2
- 2 sin 2с*2 cos а г (3 + 8 cos а г ) - Юаг • cos а г
2
2
Р (с*ь, а ) = in | s i n а г x j^cos a i + cos a ) 2
+
^ (5 cos а
2
2
cos a i + cos a
2
- l ) (cos a i + cos a ) - ^ cos a x
2
2
+ 2 cos a j + cos a 2
2
2
2
2
(cos a i + cos а г ) +
2
2
2
(13.123)
2
- (1 - cos a ) (cos a i + cos a ) | 2
2
Заметим, что выражение для интеграла T ( a ) получается из выраженщ T i ( a i ) путем одной только замены а —> а . Существенно и то, что интеграл P ( a i , a ) получается из P i ( a i , a ) перестановкой углов сс\ и а . Указанные здесь свойства симметрии исполь зуемых выражений важно учитывать для контроля за правильностью найденных сложных формул. Интеграл же (13.121) намного сложнее только что рассмотренных и он будет взят в разд. 13.5.6. На данном этапе исследования гравитационную энергию плоского однородного шаро вого слоя можно представить в таком виде 2
г
2
2
2
2
2
2
2
b
~- nGp R i
| r i + Т - Р + Р - D - D + 2тгг • res F ( £ ) | . 2
г
2
x
2
(13. 124)
Переходим к следующему этапу расчётов. 13.5.5. Квадратура D
1
из (13.115)
Так как 2
Д Я где величины
2
4
3
2
= С + aiC + а ( 2
+ aiC + 1,
(13.125)
13.5.
слоя
Э Н Е Р Г И Я ПЛОСКОГО ШАРОВОГО
а\ = —2 (cos a i 4- cos
409
а ), 2
(13.126)
а = 2 (1 4- 2 cos a i cos a ) 2
2
симметричны относительно перестановки местами а\ и а можно представить в виде
2у
Di — - cos a h
+ /4
2
+ /3 a i
aia
2
2
- a i cos
a
+
+ cosa (l-a ) 2
4-/
2
2
(2 + а? + - | j +
2
(13.127)
) 4- /0 2 « + a i (ai + c o s a )
fl
+ h ( 3ai -I- 2 i 2 4- a c o s a
искомое выражение для D\
2
2
2
Здесь /
С
(13.128) J Ri(0 Д 2 Ю е-*°1 (n — целое число), причем при выводе этой формулы использовались равенства (см. (13.131)) / =/- ; 2
(13.129)
2
Заметим, что достаточно найти интегралы (13.128)) только с п = 0, 1, 2, так как /3, /4 и /5 удовлетворяют системе однородных линейных алгебраических уравнений: 8/5 + 7 a i / 4- 6 a / 4- 5ai J + 4 Д = 0, 4
2
3
2
6/ 4- 5ai7 4- 4 a / 4- За 1 4
3
2
2
г
4- 2/ = 0,
г
0
(13.130)
4/3 4- 3 a i / + 2 a / i 4- a i J = 0. 2
2
0
Еще одно соотношение 2/ 4- aih - a i / _ i - 2/_ 2
= 0
2
(13.131)
даёт равенства (13.129). Эти алгебраические выражения получены из рекуррентной формулы (см. справочник [31], с. 645). Основные интегралы I 1\ и 1 находим дробно-линейной заменой: 0i
2
1—z 1 + z'
А
-2dz
(13.132)
(1 + * Г
позволяющей одновременно избавиться от линейных членов в обоих радикалах R\ и R из (13.102). Тогда, как легко видеть, 2
Ri = 2 cos
2
l i z 2
'
(13.133)
2
a Vh 4- z R = 2 cos 2 1+ г ' 2
2
Здесь (13.134)
410
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С П О М О Щ Ь Ю ИНТЕГРАЛОВ
так что при а
2
> ct\ имеем h >д.
По указанной схеме последовательно находим I = 0
[ J e- i ta
<*С к
х
=
!
/ N
{ 0 Ы 0
dz
(13.135)
l
где мы обозначили Л = cos
ai
a cos—. 2
(13.136)
Ещё одной заменой (13.137)
z — гх получим
причём модуль эллиптического интеграла здесь (и ниже) (13.139)
*=?
(13.140) Аналогично находятся и два других интеграла. Так,
Более сложных выкладок требует интеграл e
_ i a r
i
(13.141) (С) ft ( О
Однако и его можно выразить через полные эллиптические интегралы. После многих пре образований получим
/2 =
2* 1 Nh Ц 1+
2 5
у
К (Аг) + ' (i + 4
5
2
Е(А:) + ) ( f f 2
+
fc2)
(13.142)
4(fc2-p2) ( l + p 2 ) ( S 2 + fc2) Разрешая теперь систему уравнений (13.130), находим оставшиеся интегралы через уже известные: / ai2 ai3 /4| = | a i a а з ^/ y \ <*3i a 033 а
п
2
5
где члены матрицы
2 2
3 2
2
/7о> (13.143)
1 3 . 5 . Э Н Е Р Г И Я ПЛОСКОГО ШАРОВОГО
1 -^ai;
слоя
411
1 3 «12 = ~ 2 2 ; « i 3 = - | a i ; a
«21 =
|ja?-i;
«31 =
1„ 8
«22 = £
«23 = f a ? - | a ;
2
2
(l , 3 „ 35 Л . (3 2 -24 j'
a i
+
a
2
a
(13.144)
i
«32 =
«зз
§ 0 , ( ^ 0 . - 1 - 2 ^ ) .
Таким образом, для нахождения D\ при заданных углах a i и а плоского шарового слоя вначале: вычисляем /о из (13.138), 1\ из (13.140), 1 из (13.142); затем по формулам (13.143) и (13.144) находим интегралы / , I4 и /5, и, подставляя все эти выражения в формулу (13.127), получим в итоге сам интеграл D\. Подчеркнём, что D\ выражается через полные эллиптические интегралы. 2
2
3
13.5.6. Квадратура D из (13.121) 2
Обращаясь к выражению D из (13.121), м ы неожиданно обнаруживаем одну важную тон кость. Дело в том, что интервал интегрирования в D содержит внутри себя две особые точки e (рис. 116). 2
2
±iai
g* е 1
Рис, 116. Превращение второго контура интегрирования в ли нейный интервал и в кружок вокруг полюса
а г
о©
Прежде всего, D можно, конечно, записать из выражения D i (см. (13.127)), поменяв в нём местами a i и а : 2
2
D = - c o s a i / 5 + h ^ у - ai cosai^ + 2
+ /3 a i + - y - + c o s a i (1 - a ) + / ( 2 + a? + f 2
2
) +
(13.145)
+ h ( 3ai + 2 « i « 2 + a>2 cos a i J + 7 2«2 + a i (ai + c o s a i ) 0
Но находить здесь конкретные интегралы
(13.146) e
-ta
2
(С) Да (С)
по той схеме, как это было выше для интегралов 1 сейчас уже нельзя. Дело в том, что интегрирование в 1 производится от e~ до e и, следовательно, на крайних отрезках этого интервала п>
iCL2
п
ia2
9
412
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
i a
e
iai
- * < С ^ e~ ;
e
iQl
помощью
ИНТЕГРАЛОВ
< С^ ^
(13.147)
радикал t e
t e
R = V(C-e- »)(C-e »)
(13.148)
2
имеет уже мнимое значение. Однако трудность эту можно преодолеть следующим красивым приёмом: вместо замены (13.132) делаем в (13.146) подстановку С= Т Т 7 , + 1
<*С=-^-2(1 + z)
z
(13.149)
Тогда
i
=
2
s
i
n
* f Ч т г " - ^ - ^ т - Ч + г с Л и р из (13.134). Поскольку теперь C= £ f ,
(
Ш
5
0
)
(13-151)
пределы интегрирования в (13.146) будут следующими: - 1 < С< ^
03.152)
В выражениях для пределов интегрирования (13.152) сейчас следует избавиться от г, положив х = 4,
(13.153)
г
после чего вместо (13.146) имеем интеграл 1 h J
n
=
_г_ f (гх - l\
dx
(13.154)
где AT = s i n ^ - s m ^ .
(13.155)
Так как при а > oti имеем 2
и затруднения с мнимостью Находим:
радикала
? >к в (13.154) теперь
(
1
3
Л
5
6
исчезают.
г h Io = l f - = =
Здесь и ниже А; из (13.139).
d
x
=4gK(fc).
(13.157)
)
1 3 . 5 . Э Н Е Р Г И Я ПЛОСКОГО ШАРОВОГО
слоя
413
Далее,
dx
= 4 ( к ( * ) - 2 п [ - Х , * ] ) . ( Ш 5 8 )
2
NJ
1+ х
Наконец,
>.
Л - - Ы К ( Ц - 8 П 0
(
1
*
+
2
(13.159)
У ( ? Н ( М ,
)
Для взятия оставшегося в (13.159) интеграла сделаем замену х = т- sin б. п
(13.160)
Тогда
dx ( И - *
8
)
2
^ " * » )
7 М
<*0 2
S
2
Г 7 Ы
" ' / Т Т Л 0 (l + i i n * y V l +
2
(^-* )
\ I " ( * + Т?) )
1
+
[ ^ (
v
1
к
W
;
+
i
2
)
+
+
А
fcW0
(13.161)
]
л
H
n
[ - ^ ] f
Поэтому
К (*) - 8 П (13.162) i E ( » ) - (*•
+
± ) К (*)
+
[JL
+
А (,
+
**)
+
«•] П[-i,
*]] I .
414
ГЛАВА 13. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
помощью
ИНТЕГРАЛОВ
Так как величины а\ и а из (13.126) инвариантны относительно перестановки местами углов a i и a то для нахождения интегралов / з , /4 и /5 можно использовать те же рекур рентные соотношения (13.130), которые применялись и для интегралов 1 без тильды. В итоге, согласно формулам (13.143), и сейчас имеем в изящном виде 2
2i
п
\
«11
/
«12 «13
U I = I «21 «22 «23| | h | «31
(13.163)
«32 «33
с теми же коэффициентами а.ц из (13.144). Таким образом, величина D также выражается через стандартные полные эллиптиче ские интегралы. 2
13.5.7. Нахождение вычета в (13.109) Вычет следует находить от подынтегральной функции F (С) в (13.121). Очевидно, вычеты имеют те члены, в знаменателе которых стоят или £, или £ . Расчёты тогда показывают, что 2
res F ( C ) = - ( 3 c o s a
+ 2cosai).
2
(13.164)
13.5.8. Полная энергия слоя Собирая вместе все найденные выше выражения, входящие в (13.124), после многих трудо ёмких преобразований и упрощений, в итоге получаем гравитационную энергию однород ного плоского шарового слоя: W^
= -^^^ K(k)^q E(k)
c
Ql
2
+ qU
2
+ q U [ - р , к ] +
3
4
(13.165)
5
где модуль к у всех эллиптических интегралов Ъдин и тот же и дан в (13.139). Формула (13.165) содержит пять коэффициентов, представляющих собой выражения, куда входят элементарные тригонометрические функции от геометрических параметров слоя. Эти коэф фициенты оказываются такими:
Q l
= J L [278 - 404 c o s a i + 112cos2ai - 54cos3ai - 5 c o s 4 a i + 2 (202+
-f704cosai H-7cos2ai + 16cos3ai + 7 c o s 4 a i ) c o s a - 2 ( - 5 6 + 7 c o s a i + 2
H-22cos2ai + 1 3 c o s 3 a i ) c o s 2 a + 2 (27 + 1 6 c o s a i + 1 3 c o s 2 a i ) c o s 3 a 2
-
2
- (5 + 14 cos a i ) cos 4 а г ] ; q = 16WV[1182 + 15cos4ai + 6 0 8 c o s a i c o s a - 80cos3ai c o s a + 112cos2a + 2
2
2
2
+ 4 cos 2 a i (28 + 9 cos 2 a ) - 80 cos ot\ cos З а г + 15 cos 4 a ] ; 2
2
q = -j^j [24cosai (302 - 16cos2ai - 5 c o s 4 a i ) + 288 (28 - cos2ai + cos4ai) c o s a 3
2
- 288 cos a i ( - 4 + cos 2 a ) cos 2 a - 96 (3 + cos 2 a ) cos 3 a + 72 cos a i cos 4 a ] ; x
q = 4
2
x
2
2
[288 c o s a (2 c o s 2 a - 29) - 72 (98 + 14cos2a + c o s 4 a ) c o s a x
x
x
:
2
+
-
1 3 . 5 . Э Н Е Р Г И Я ПЛОСКОГО ШАРОВОГО
слоя
415
3
4- 384cos oti cos 2 а 4- 36 (7 4- 4 cos2ai) c o s З а - 2 8 8 c o s а c o s 4 а 4- 60 c o s 5 а ] ; 2
q = -L-{-2hN[12 (lis b
2
x
2
(13.166)
г
s x
4- 4 8 0 s i n 3 a i - 32sin5ai] 4- 6hN x
4-1) [640a - 4667Г 4- тт (-48 cos a 2
4-3cos4ai)] 4- 37Г ^59 cos Щ- 4- 44cos
+37Г ( - 8 c o s ^ + 7cos 2*i + 4cos
x
- 48 c o s 2 a 4- 4 c o s З а 4 x
х
- 8cos Щ^- - 4cos - y - ^ sin
4-
7
sin -f - Зтг (4 c o s f 4- 3cos
x sin 2 ^ 4 - 4/iiV ( - 9 6 0 a 4- 699тг - 1280 sin a ai . l l a \ +37Г cos у sin —^— > . 2
| Q
2
( 8 7 7 r - 3 2 0 a i ) c o s a i 4- Зтг ( - 4 8 c o s 2 а - H c o s 3 a i 4 -
4-3cos4ai + c o s 5 a i ) 4- 2560 sin a x (2 cos a
х
x
- 2 4 0 s i n 3 a 4- 1 6 s i n 5 a ) +
2
2
2
2
Напомним, что в этих формулах AAT = c o s y s i n ^ .
(13.167)
Таким образом, поставленная задача решена: в (13.165) даётся искомое выражение гравитационной энергии плоского однородного шарового слоя. 13.5.9. Проверка формулы (13.165) Как видим, выражение (13.165) — сложное и поэтому требует всесторонней проверки. Оче видно, эффективной проверкой для него является переход от шарового слоя к известным уже случаям. Задача
13.7.Доказать, что в пределе OL\
—> 0,
а
формула (13.165) приводит к энергии однородного
2
—>
7Г
шара (1.64).
Решение. В этом случае находим: qi = ~Ч2 = 2 ; Яз =
10
5
что и даёт энергию однородного шара. Т З а д а ч а 13.8. Доказать, что в пределе <*i -> 0, формула (13.165) приводит
а
2
->
к энергии однородного
| полушара
(12.157).
Решение. В этом пределе g = 0, h = 1. Тогда к = 0 и, следовательно, К (0) = Е (0) = так что формула (13.165) приводится к виду
И ^ а р а = -ТгС^Я
5
| | | + ^7Г - §
-
П [-1, 0]} .
(13.168)
416
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ
Но так как П[-1,0] = / ^ — =- ^ , J l + sin x 2V2
(13.169)
2
то (13.168) даёт 71
2
Жюлушара = ~* 45 " (32 — 37г)
(13.170)
5
Gp R
}
что совпадает с (12.157). Т З а д а ч а 13.9. Доказать, что в пределе а\ —> 0 формула для энергии слоя (13.165) действительно даёт энергию однородного шарового сегмента (13.43) или (12.156). Решение. При a i —> 0: р = 0,А: = 0 , К ( 0 ) = Е ( 0 ) = | , П Коэффициенты будут теперь такими: 9
1
= -1024
(
1
9
c
o
s
8 а _
sin^ V
6
6
c
o
s
1
6 а
+
Ш
о
а
&
1
щ _
4
g
c
o
s
2 а
1
+
l
1
\ .
g
J
92 = 2048 ^15 cos § - 50cos | + 58 cos | - 16 cos | + 8^ sin | ; 8
Q 3
94 =
95 =
=
T i
6
c
o
s
4
4
2
§ (3cos41"10cos2
f
+ 1 2
)
;
3072 3. cos £ ( l o c o s § - 37cos § + 50cos § _ 2 8 ^ ; 2 \ 2 2 2 J sin а 4
512 sinf L
6
4
2
- 6 4 c o s 1 + 192 c o s 1 - 152 c o s 1 1 1
9
7
(13.171)
- 16cos I + 7 0 c o s 1 - 30cos I + 5
3
+ З т г з т I ^ 2 c o s 1 - 8cos | + lOcos | - 2 c o s | - lOcos | + з ) + 1 0
8
6
4
2
2
+ 15osin| ^ 2 c o s | - l ^ j . В итоге, после многих преобразований, формула (13.165) даёт
1440
[30 (357Г - 128 • a ) cosa - Зтг ( 1 6 0 c o s 2 a -
(13.172)
3
- 3 5 cos a + cos 5a) - 32 (2l7r - 80 sin a - 15 sin 3 a + sin 5a)] Но это выражение, как уже нетрудно показать, эквивалентно ранее найденным форму лам гравитационной энергии однородного шарового сегмента (13.43) и (12.156)! •
§ 13.6.
О ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ ОДНОМЕРНЫХ СТЕРЖНЕЙ
417
Итак, мы провели всестороннюю аналитическую проверку выражения энергии слоя (13.165), сводя его к известным и твёрдо установленным ранее результатам. Но кроме аналитической, была проведена и численная проверка формулы для энергии слоя. А именно, сравнивая результаты расчётов по формуле (13.165) с результатами, полу ченными методом Монте-Карло для некоторых значений углов a i и а г , мы и в этом случае получили полное согласие. Таким образом, сложное выражение (13.165) прошло проверку всеми доступными нам способами. З а д а ч а 13.10. Найти взаимную гравитационную энергию шарового слоя и сегмента, составляющих вместе однородный шаровой сегмент больших размеров. 4
§ 13.6.
О гравитационной энергии одномерных
О ней можно говорить только в асимптотическом
стержней
пределе
Одномерные стержни ведут себя на особицу: ни потенциала (внутреннего), ни потенциаль ной энергии в конечном виде они, разумеется, не имеют (в обоих случаях расходимость главного члена — логарифмическая). Но, соглашаясь с этим, думать в этом направлении полезно уже потому, что при переходе в асимптотическом пределе от объёмных фигур к стержням можно, оказывается, проверить выражения W для однородного шарового сектора (13.64) и конуса (13.96)! А эта проверка, ввиду сложности и новизны рассмотренных здесь задач, очень нужна! Поэтому рассмотрим стержни подробнее. 13.6.1. Однородные стержни Стержни, разумеется, существуют и сами по себе, но для нас сейчас важно обратить вни мание на то, что однородные (в конкретном данном случае) стержни можно получить в асимптотическом пределе из некоторых объёмных тел. Например — из вытянутого сферои дального гомеоида при софокусном превращении этой эллипсоидальной оболочки в одно родный фокальный отрезок (см. §5.8). Основываясь на этом факте, для нахождения энергии стержня длиной L возьмём выражение гравитационной энергии тонкого гомеоида (8.42) и подставим в него величину 1(1) из (1.45) с заменой там полуосей на величины (5.37); получим 2
2
M Gl-e т 1 + е 4ei т -е 1-е' Выполним теперь софокусный переход от гомеоида к стержню; при этом выполняются соотношения ь
гом
е
ае г
2
yja\-a%
2
= -|;
е->Е(т) = £ ; т —• е, с учётом которых получим W
lim l n 2 L ± £ . (13.173) 2Le m - e га - e Как и подчеркивалось выше, в выражении для энергии стержня действительно присутствует логарифмическая расходимость. CT
4
=
Расчёты методом Монте-Карло проводились на кафедре астрономии УдГУ
27 Кондратьев Б П
ГЛАВА 13. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ
Совершенно другим является второй способ нахождения энергии однородного стержня: в пределе из плоской пластины. Обозначим отношение сторон прямоугольной пластины через е = ^ | и пусть £ < 1. Превратим теперь эту пластину (с сохранением её массы) в однородный одномерный стержень с длиной а , массой
и плотностью /г = а • а з = ^ р .
2
Тогда, с учетом выражения энергии пластины (12.54), для этого стержня следует
И Ь ~ ^ ( Ь . | +
! + ...).
03.174)
При £ —» 0 функция Wcr также логарифмически расходится. Весьма поучительным будет выявление логарифмической расходимости для стержня следующим изящным прямым методом. А именно, рассмотрим стержень длиной L и одномерной плотностью р, (см. рис. 117). d
d
x
Взаимная энергия двух элементов массы длиной dx' и dx равна
X
X г
J
Рис. 117. Стержень и его элементы
Теперь, применяя разработанный в § 14.8 весьма эффективный метод прогонки и ин тегрируя по треугольной области (рис. 124), получим L
L = -ix G j dx J - 4 E L .
W
2
CT
О
(13.175)
х
Следовательно, 2
= ~p GL
(l - lim In ^-r^) у
x'—*x
,
L
(13.176)
J
что и требовалось показать для данной задачи. Итак, тремя различными способами нами были получены и три разных выражения для энергии однородных стержней. Для сведения этих результатов воедино достаточно, казалось бы, сделать перенормировку выражения энергии стержня, отбросив расходящийся член. Однако такую перенормировку принципиально невозможно сделать) И вот почему. Обратим внимание, что для стержня с плотностью /л (х) наиболее естественным об резанием расходимости является исключение из интегрирования участка длины 2£ вокруг пробной точки. Тогда для каждой такой пробной точки получается следующая асимптотика потенциала: с
¥> = 2 р ( х ) / - Д - « 2 p ( x ) l n i , J C-s
(13.177)
&
и после интегрирования по всему стержню имеем W
CT
= - I Jn(x)
J/Air.
(13.178)
Но существенно, что вычитание бесконечностей для двух стержней с плотностями р,\ (х) и // (х) даёт 2
13.6.
419
О ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ СТЕРЖНЕЙ
W -W =\n\ l
J (fi - t4) dx.
2
(13.179)
Последний интеграл, вообще говоря, не нуль, так что бесконечность не выпадает. Это и означает, что общей перенормировки гравитационной энергии для стержней разной плот ности просто не существует; обрезание не приводит энергию даже однородных стержней к «общему знаменателю». Это обстоятельство не должно, однако, препятствовать нахождению энергии интересу ющих нас объёмных тел в асимптотическом пределе одномерного стержня. 13.6.2. Неоднородные стержни Семейство неоднородных стержней, естественно, весьма разнообразное. Но существенно то, что как и для однородных, в выражениях для гравитационной энергии неоднородных стержней также имеет место всё та же логарифмическая расходимость. Пример первый. Известный нам стержень (9.6) получается в пределе из однородного вытянутого сфероида. ;
З а д а ч а 13.11. Найти гравитационную энергию стержня (9.6). Следующие два примера имеют для нас особое значение. Рассмотрим неоднородный стержень, который получается в асимптотическом пределе малых углов а из шарового сек тора (массу сектора при переходе к стержню фиксируем). При этом сектор вырождается в неоднородный вещественный стержень длиной R с распределением плотности г (С) = nW
• с 2 = ^ | р с 2 , о < С < R-
P
(13.180)
Гравитационную энергию получаемого таким образом стержня находим в асимптотике ма лых а из формулы (13.62). Заметим: без сохранения массы сектора результат выразился бы рядом (13.64). Но при сохранен^ массы асимптотический переход даёт совсем другое:
9 ctG (^ 2 M
и/ W c T
=
~ 5 !?R
\
1 П
5
64 ,
5 " 4 " 9^*
Л
+
1 - j '
/ (
1
П 3
Л
1 8
Й 1
П )
или, в перенормированном виде, U-
CT
= !^ff.
(13.182)
И вот что здесь главное: стержень с точно таким же распределением плотности (13.180) получается в асимптотическом пределе и из прямого однородного конусаХ Поэтому указанный переход к стержню даёт еще одну — независимую — проверку для сложных выражений как энергии шарового сектора (13.62), так и однородного конуса (13.93). Для цели книги значение такой проверки невозможно переоценить! З а д а ч а 13.12. Найти гравитационную энергию стержня, получаемого в асимпто тическом пределе из кругового конуса (13.93). Решение. Энергия находится также, как и в случае шарового сектора: из ряда (13.96) в асимптотическом пределе стержня с учётом сохранения массы конуса. Т З а д а ч а 13.13. Почему, несмотря на логарифмическую расходимость, по одинаковым полученным выражениям гравитационной энергии для стержня с распределением плот ности (13.180) можно всё же говорить о проверке исходных формул для потенциальной энергии сектора и конуса?
420
ГЛАВА 1 3 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ С
помощью ИНТЕГРАЛОВ
Ответ. Дело в том, что одинаковые стержни были получены сейчас из выражений энергии шарового сектора и конуса ещё и совершенно одинаковым способом: в пределе ма лых углов а. Последнее условие как раз и не соблюдалось в трёх примерах для однородных стержней, данных выше в (13.173), (13.174) и (13.176). • Замечания Материал главы разработан автором. § 13.1. Четвёртый метод основан на применении контурных интегралов в комплексной плоскости и на знании особых точек для внутреннего и внешнего потенциалов исследуемого тела. Накидывать контур интегрирования на внешние особые точки (включая и бесконечно удалённые) или на точки внутренние — дело вкуса исследователя, но всегда деформация контуров интегрирования требует точности и внимания. Далее мы применяем четвёртый метод к решению принципиально новых и трудных задач. Первоисточник: [21]. § 13.2. Важная проверка четвёртого метода на сложной задаче для однородного шаро вого сегмента с известным уже решением из § 12.9. Первоисточник: [21]. § 13.3. Найти энергию однородного шарового сектора — весьма нелёгкая задача. Первоисточник: [21]. § 13.4. У этой задачи о круговом конусе тот же (высокий!) уровень сложности, как и в задаче о шаровом секторе. • Первоисточник: [21]. § 13.5. Путь к решению задачи об энергии плоского шарового слоя был, как в извест ной песне, «и далек, и долог». За рамками остались три варианта исследований (чего не подумаешь из изложенного текста). Временно разачаровавшись в четвёртом методе, автор много усилий потратил на поиски энергии слоя методом «прогонки». Увы, задача не дава лась! Пришлось вернуться к четвёртому методу. Наконец, после удачных замен интегралы (13.115) и (13.121) пали, и именно данный метод принёс долгожданные плоды. § 13.6. Несмотря на логарифмическую расходимость, по одинаковости полученных выражений гравитационной энергии стержня с распределением плотности (13.180) можно, между прочим, говорить о проверке важных формул для потенциальной энергии сектора и конуса!
ГЛАВА 1 4
Н А Х О Ж Д Е Н И Е
П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н О Й
М Е Т О Д О М
Э Н Е Р Г И И
Э К В И Г Р А В И Т И Р У Ю Щ И Х
С Т Е Р Ж Н Е Й ,
М Е Т О Д О М
П Р О Г О Н К И
И
Д Р У Г И М И
Эта глава посвящена изложению шести (с пятого по десятый) оригинальных методов нахо ждения гравитационной энергии тел. Пятый метод основан на эквигравитирующих стерж нях, введенных ранее в гл. 9. Совершенно отличный от него шестой метод (метод прогонки или метод интегральных элементов) также весьма перспективен и требует интегрирова ния по треугольной плоской области параметров изучаемой фигуры. В седьмом методе мы опираемся на софокусные преобразования: делается переход от слоисто-неоднородного эллипсоида к эллиптическому диску, в результате чего выражение энергии эллипсоида пре вращается в искомую энергию диска. Остаётся только подобрать такой закон плотности в эллипсоиде, чтобы получить фокальный диск с интересующим нас распределением веще ства. Методы с восьмого по десятый служат для нахождения энергии слоев и двумерных тел. § 14Л. Обобщение понятия гравитационной энергии д л я подсистем тел
Вначале введём важное обобщение понятия гравитационной (потенциальной) энергии. Дано тело с распределением плотности р(х) и полным внутренним потенциалом ^полн (х). Выделим в нём подсистему объёмом VJfo и составим следующий интеграл по этому объёму: Япод = - JJJ
Р {х) У>полн (х) dV.
(14.1)
Полный потенциал тела в точке х разобьём на две составляющие: на потенциал подсистемы и потенциал оставшейся части тела: <Ашл„ = <Аю + <А>ст.
(14.2)
Д
Тогда формулу (14.1) приводим к виду 2W
nm
+W .
(14.3)
B3
Здесь первый член справа — удвоенная потенциальная энергия W только подсистемы, а W — взаимная энергия этой подсистемы с оставшейся частью тела. Составим далее аналогичный интеграл по остальной части тела: non
K
-Ё'ост — 2 J^QCT ~\~ WB3»
(14.4)
422
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
Здесь существенно отметить, что в силу (8.22) в формулах (14.3) и (14.4) стоит одна и та же величина взаимной энергии. Формулы (14.3) и (14.4) могут быть использованы следующим образом: если внутрен ний потенциал тела задан, то тогда по известной величине Е можно вычислять как гра витационную энергию интересующей нас отдельной части тела, так и взаимную энергию его частей. Разбивая тело на несколько подсистем и рассуждая аналогично, легко обобщить фор мулы (14.3) и (14.4). Но и система из двух уравнений (14.3) и (14.4) позволяет решать новые задачи: а) прежде всего, сумма уравнений (14.3) и (14.4) даёт, согласно (8.23), удвоенную пол ную энергию тела: Ж лн = \ (Япод + Яост) ;
(14.5)
ПО
б) при известных Е иЕ система уравнений (14.3) и (14.4) позволяет по одной из трех величин W , \У или W находить две другие; в) наконец, вычитая (14.3) и (14.4) друг из друга, получим ещё одну ценную формулу поЛ
ocr
0СТ
Ю
n0Jl
*
2 ( W U - Wocr) = Япод - Е
ост
,
(14.6)
которая может служить для независимой проверки сложных выражений энергии подсистемы или остальной части тела. А такой проверкой, как правило, нельзя пренебрегать! Продемонстрируем пользу этих соотношений на примерах.
Рис. 118. Шар состоит из двух сегментов, показанных штриховкой с разным наклоном
Рис. 119. Шаровой сектор и его дополнение до шара
Вернёмся к задаче с шаровым сегментом и рассмотрим рис. 118. Интегрируя потенциал однородного шара (6.36) по сегменту высотой А, получим E =-^^-h
2
h
3
2
3
(20R - 5Rh + h ).
(14.7)
В частном случае h — 2R величина Е} сводится к удвоенной гравитационной энергии однородного шара. Рассмотрим теперь такой же интеграл по остальной части шара, т. е. по сегменту высотой h ~ 2R — h. Получим ь
E R-K 2
-
5
3
2
4
( 3 2 Д - 2 0 Д / г + 5Rh
5
- h ).
(14.8)
14.1. О Б О Б Щ Е Н И Е
понятия
423
ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ
Найденные величины Eh и E R-H выражают удвоенную гравитационную энергию соответ ствующего сегмента плюс взаимную энергию этого сегмента с другим сегментом, т. е. 2
E = 2W + W h
h
E R-h
m
= 2W .
2
к
+
2R h
' >
Сумма выражений (14.9) даёт, согласно (8.23), удвоенную полную энергию шара, а их раз ность приводит к уравнению Егя-н
~Е
= 2 (W _
Н
2R
- W ).
h
(14.10)
h
Уравнение (14.10) полезно тем, что позволит проверить сложное выражение потенциальной энергии шарового сегмента (12.156). Значение такой проверки нельзя переоценить, ибо в частном случае полного шара в выражении для энергии сегмента ряд членов автоматически выпадает. Применить же в данном примере указанную идею — дело несложное. З а д а ч а 14.1. Подставив выражения (12.156) и (12.159) в (14.10), убедитесь в досто верности выражения (12.156). Невозможно переоценить роль уравнения (14.6) и при проверке выражения энергии шарового сектора (13.62). Дело в том, что указанные в конце § 13.3 способы проверки формулы (13.62) не были полными, так как в частных случаях шара и полушара многие члены в проверяемом выражении исчезают автоматически. Но не так теперь! Прежде всего, разбивая однородный шар на два сектора с углами полураствора а и п - а (рис. 119) и применяя затем к каждому из них формулу (13.62), находим разность потенциальных энергий двух указанных секторов 2
W
2
5
- И'*-* = y|7r Gp fl cosa.
a
(14.11)
Но при известном внутреннем потенциале шара (6.36) легко найти, что для этих секторов 2
Е
2
b
= ^ir Gp R
а
(1 - c o s a ) ,
1 5
Е
' *-
а
=
(14.12) 7
" i f
^
2
*
5
+
c o s a
)
•
и, вычитая эти выражения друг из друга Е
- Е*-
а
= 2 (W* - W*- ),
а
(14.13)
a
опять приходим к выражению (14.11). Изумительная проверка важной формулы (13.62), не правда ли! Есть ещё один интересный случай: когда сектор близок к полушару. Действительно, рассмотрим шаровой сектор с a = £ +е (е «С
Для него, с точностью
до е включительно, из формулы (13.62) находим W* 2
2
=W
w
+ £ Г
2
2
5
- ^7r Gp R i
• £.
(14.14)
&
Как понимать этот результат? Добавка £ создаёт на полушаре тонкий секторный слой в виде тонкого неоднородного круглого диска с поверхностной плотностью О (г) = р£Г
(14.15)
424
ГЛАВА 14. НАХОЖДЕНИЕ ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ и ДРУГИМИ
(для е возможен, кстати, и знак « - » , что соответствует отнятию от полушара такого диска). Этот диск имеет взаимную с полушаром энергию W
= —7Г J tp(r) а (г) г dr.
B3
(14.16)
После подстановки сюда потенциала полушара (6.37), действующего на точки наращивае мого (или отнимаемого) слоя, находим 2
W
n
2
b
= -£nr Gp R -s.
(14.17)
Таким образом, формула (14.14) выражает полную энергию сектора, близкого к полушару; и она состоит (с точностью до е) из энергии полу шара плюс («—») взаимная энергия полушара с заданным слоем. Энергия же самого слоя — величина уже второго порядка малости по £. Фактически, и в этом примере мы проверили формулу (13.62). З а д а ч а 14.2. Чем различаются способы получения дисков с плотностью (13.94) из конуса и (14.15) из шарового сектора? § 14.2.
Метод
(пятый)
нахождения
взаимной потенциальной
тел через эквигравитирующие
Стержни мнимые — потенциал и энергия
энергии
стержни
реальные
В основе пятого метода — применение эквигравитирующих стержней, которые рассмат ривались в главе Р. Важно сразу подчеркнуть, что такие стержни позволяют вычислять не только внешний потенциал, но — и это новая важная задача — гравитационную энергию осесимметричных тел. Запишем интеграл от потенциала по длине заменяющего отрезка (или по системе таких отрезков и материальных точек, если последние есть среди эквигравитирующих элементов) W„ = -J&i
(С) + А«2 (С) + • • • ]<Р(С)dC,
(14.18)
который, независимо от того, принадлежит потенциал ip: 1) тому же самому телу, или же 2) другому (внешнему) телу, выражает собой потенциальную энергию стержня в заданном силовом поле. Во втором случае эта энергия представляет собой взаимную энергию двух разных тел (что доказывается далее всей совокупностью решённых примеров и задач!). В первом же случае, как у станов пено в § 14.6, через этот интеграл можно, оказыва ется, выразить и полную потенциальную энергию тела, которому принадлежит данный стержень. Начнём со второго случая, когда стержень и потенциал принадлежат разным телам и рассмотрим взаимную энергию этих двух теп. § 14.3.
Взаимная гравитационная Кольца в параллельных
энергия двух тонких круговых
колец.
плоскостях
Рассмотрим два соосных, в общем случае некомпланарных круговых колечка с радиусами R\ и i?2 и линейными плотностями р,\ и /*2< расположенных на высоте h друг от друга; центры колец находятся на оси симметрии Ох$ (см. рис. 120).
1 4 . 3 . В З А И М Н А Я ЭНЕРГИЯ ДВУХ КОЛЕЦ
425
За начало системы отсчёта выберем центр вто рого кольца О. В этой системе отсчёта эквигравитирующий стержень второго кольца имеет вид 2iR fi2 2
(14.19)
а потенциал первого кольца на оси симметрии равен 2nGmRi
4>х (С)
^ д ? + (С-/о
(14.20) 2
Интегрируя этот потенциал по стержню второго кольца, находим взаимную энергию колец (см. фор мулу (14.18)): гЯ
Рис. 120. Два соосных тонких круглых колечка. Указаны их радиусы и рассто яние между центрами
2
(14.21) -iR-2
С учётом сказанного, iR
2
Wja — 4i7rG/Lii/i2^ii?2
I
(14.22)
-iR
2
Заменой x = - этот интеграл приводится к виду
WK, =
-4nG/iift2RiR2
dx Г— i — J \/a V^ib— i у/Й* - x -Яг
(14.23) 2
где 2
2
a = R\ + h -x ,
b = 2hx.
(14.24)
Избавиться от мнимости под вторым радикалом можно следующим способом. Разбиваем интервал интегрирования на два: (0, Я ) и ( - # 2 , 0 ) ; изменяя знак х на втором интервале, после тождественных преобразований (см., например, формулу (14.76)) получим 2
л /о п D P J \/у/а + Ь + а = -4V27rG/Ui/x /?ii?2 / , ,„— J \Ja 4- о 2
2
2
0 2
dx
(14.25)
2
Мнимая единица исчезла, хотя и ценой некоторого усложнения подынтегрального выраже ния. Тем не менее, и такой интеграл можно найти. Делаем в (14.25) замену t = a+ л/а ' + 6 , (14.26) 2
2
которая дает _ х — 2
t(t -t) 3
2
2 (t - 2h )'
(14.27)
426
ГЛАВА 1 4 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
2
2
2
t - i h t + 2h t
3
2
У/a? + b = t - a =
2
2(t2
,
2ft )
(t-ti)(t-t ). 2
4
2x^ = - ^ -
^
+
2
2
f 3
2 (< - 2ft )
d
,
2
Здесь 2
2
«з = 2 ( Я + ft ), (14.29) 2
2
= (Я? - Я?. + Л ) ± ^ ( Д - Д
2
2
2
2
+ Л ) + 4Л2Д ,
причём t\ и t корни квадратного уравнения 2
2
t - 2* (R\ -R\
2
2
+ h ) - 4 f t i ^ = 0.
(14.30)
Из (14.27) следует, что 2
t ^t>2h .
(14.31)
3
Подставляя полученные выше выражения в интеграл (14.25), после сокращений приводим его к простому виду: и W
m
= -AV27rG^ RiR 2
d
f
2
/
t
(14.32) (t-h)(t-t )
v / ( « 3 - 0
tl
2
»
Для нахождения интеграла важно заметить, что здесь выполняются неравенства 4>t>t\>
*2.
(14.33)
Таким образом, находим ts-h *3-*2
lty/t - t 3
2
(14.34)
где M i и M2 - массы колец, а параметры t\, £ и *з из (14.29). В (14.34) получена взаимная энергия (взаимный потенциал с обратным знаком) двух соосных элементарных круглых колец, расположенных параллельно. Решение выражено через полный эллиптический интеграл первого рода. З а д а ч а 14.3. Рассмотреть в (14.34) частный случай колец, расположенных в одной плоскости (h = 0). Решение. Если h = 0, то 2
2
t\ = 2 [R — R ), 2
t — 0, t = 2Rl, 2
3
и формула (14.34) даёт 2GM
^ к ( ^ ) ,
R,>R . 2
(14.35)
14.4. В З А И М Н А Я ЭНЕРГИЯ ДВУХ КОЛЕЦ
427
Разумеется, взаимная энергия двух совпадающих колец обращается в бесконечность. • З а д а ч а 14.4. Рассмотреть в (14.34) частный случай параллельных колец одинакового радиуса (R\ = Д = Д / Решение. 2V2GM M 2
W
m
=
1
2
2
щ
2
2
т г л / 2 Д + Л + hs/AR
(
И
3
6
)
+ h?
где модуль эллиптического интеграла
2
2
2
2R + h +
hy/ARTTh
§ 14.4» В з а и м н а я г р а в и т а ц и о н н а я э н е р г и я д в у х т о н к и х к р у г о в ы х к о л е ц , пересекающихся по диаметру
Эта задача изящна и отнюдь не простая. 14.4.1. Случай перпендикулярных колец Дана система из двух однородных тонких круговых колец. Конкретно, здесь рассматривается следующая конфигурация этих колец. Пусть первое кольцо радиусом Ri и массой М\ = = 27ri?i//i расположено в плоскости Ох\х , а второе (с параметрами R ,p, ) находится в плоскости Ох\Хз. Диаметры обеих колец совпадают с осью Ох\. Тогда, согласно формуле (9.38), потенциал первого кольца в плоскости второго даётся формулой 2
Ч>\ ( l * i I >*з) = . y ^
2
2
+ l*!!) **!
К {у/фг
2
I. + ЫГ
(14.38)
+ х*^
Интегрируя этот потенциал с весовым множителем ц вдоль дуги второго круга, и учитывая, что x +x = Rl (14.39) 2
2
2
3
после замены \xi| = Д cos 0,
О^в^
2
тг/2,
(14.40)
выразим взаимную энергию колец интегралом К ( 2 J
Ф
р
= -16G/n^i
/ J
\
R
l
R
2
C
O
s
e
у R\ + Rl + 2Д1Я2cos0 /
Л y/R + R% + 2
Рассмотрим вначале вариант, когда перпендикулярные
(14.41) 2RiR cos6 2
кольца имеют одинаковые
ради
усы R\ = R = R. 2
Тогда (14.41) даёт
(14.42)
428
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
ж/2 f J
К
г= -8V2Gn i R lf 2
( 2cosg \ \У 1 + coseJ dO. J. VI + cos в
(14.43)
2
Заменой x = t g | приводим (14.43) к виду
W
=
m
dx.
-SGfxin R 2
(14.44)
y/x{l+x)
J
Определённый интеграл (14.44), оказывается, есть частный случай интеграла 2.16.3 на стр. 150 справочника [41], где надо положить
а = р=
г = 1, z = 1, а = 1.
(14.45)
Находим (14.46) 1 + fc, 1 + k Здесь символ Похгаммера [41] (14.47) а другой символ: (2fc-l)!!
i+fc,
i+*
— 7Г
(14.48)
(2fc)!!
В итоге, формула (14.46) приводит к следующему результату для взаимной перпендикулярных колец с одинаковыми радиусами: (2fc- 1)!!
3
4n GniiX2R
2
1У = _ 4 7 г С м 1 М 2 Й ] £ ( - 1 ) * вз
fc=0
энергии
(2fc)!
^К1)г(1)1
В более общем случае перпендикулярных колец с неодинаковыми
2*
ч
(14.49)
радиусами
Ri > Я ,
(14.50)
2
вместо ряда (14.49) мы получим, как можно показать, другой ряд:
2
1
Ty = - 4 7 r G u M 2 i ? 2 ^ ( - ) " B3
/
1
/с=0
(2fc-l)!! (2fc)!!
2к (ЯЛ' \RiJ
(14.51)
С помощью компьютерной программы Математика 5 этот сложный ряд (14.51) может быть просуммирован: (2fc-l)!! 1
Ее- )' к=0
(2fc)!!
( Ъ \
2
к
_
8
2
V
VTTV-i)
n
4
5
2
.
14.4.
где Ь =
В З А И М Н А Я ЭНЕРГИЯ ДВУХ КОЛЕЦ
429
Таким образом, и в общем случае, взаимная энергия перпендикулярных
колец с
неодинаковыми радиусами выражается в конечном виде 32С/Х1М Й2^2
(14.53)
2
1
В частном случае, когда 6 = 1 , формула (14.53) даёт известный результат (14.49) . Задача
14.5. При замене 2cos0 х = 1 + cos в в следующий:
интеграл (14.43) превращается 7Г/2К (
I
2
c
o
s
e
\
г " \\Jl + coseJ Jо Доказать,
1 м
_
I
!
КЩйх
v ^ оV 7 ( 1 - *) (2 - ж ) '
+ cos0
что 1
К (v/x) dx
/
V(l-z)(2-x)
2
^[ (|)r(|)]'
(14.55)
Z
r
Решение. Разлагая в левой части (14.55) эллиптический интеграл в ряд
находим, прежде всего, вспомогательный интеграл 1
/
^Г(П+1) ^(1
I,|+n,-l)
2
n
x dx
r
J y/(l-x)(2-x)
(|
+
n
)
Разлагая теперь в ряд и гипергеометрическую функцию r 1
1
I 2' 2' 2
+
( § H ^ (
'~ I
5f
r
f t +
f
c
^ 771
) )
2
f e
(-D ГТ ' fc!
после перестановки порядка суммирования мы действительно приходим к равенству (14.55). Т 1
Выражение (14.53) можно получить также с помощью вспомогательной формулы (частное сообщение В. А. Антонова)
( Р
II /
fT7Z\ л I
&Е
гае ^ ( 1 + <*)(!+ /?) + < / ( ! - а ) ( 1 - / 3 )
y/(l + a)(l +
(3)-y/{l-<x){l-f3)
430
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
14.4.2. Случай с произвольным наклоном колец а) Вначале опять рассмотрим вариант, когда круговые кольца имеют одинаковые радиусы R. Пусть углы 0 и 01 отсчитываются вдоль обоих колец от точки пересечения. Угловое рас стояние А между пробными точками на сфере определяется по известной теореме косинусов в сферической тригонометрии. cos А = cos 0 cos 01 + sin 0 sin 0i cos a
(14.56)
(a — угол между плоскостями обоих колец, 0 < а < £ ) . Линейное расстояние между двумя точками тогда I = 2R sin ^ = \ / 2 / * \ / l - c o s A
(14.57)
Взаимная энергия двух таких колец выражается двойным интегралом 2ж 2п W» =
/ / f** J J y/1 — cos 0 cos 0i - sin 0 sin 0i cos a
V2
(14.58)
о о
В более простом виде этот интеграл представлен в (14.64). В частности, при а = ^ интеграл (14.58) вычисляется, и мы вновь получаем известное выражение (14.49). • З а д а ч а 14.6. Попробуйте вычислить двойной интеграл (14.58) при произвольном угле а. б) Более общий случай: наклонённые кольца с разными радиусами. Первое кольцо с параметрами # i , / i i находится в плоскости Ох\х второе — в плос кости Ох\х , причём ось Ох' наклонена к Ох под углом а . Исходим из выражения по тенциала кольца (9.38), который следует записать в точках второго (наклонённого) кольца. Очевидно, координаты точек в исходной системе отсчёта будут связаны с координатами второго кольца формулами 2у
2
2
2
х\ = х[ = Д с о в 0 , 2
х
= х cos а = R sin 0 cos a,
2
2
2
хз = x sin a = R sin 0 sin a, 2
2
где угол 0 отсчитывается вдоль второго кольца от оси Ох\. Тогда 2
г = yjxl + x = R y/n> 2
2
{Rx + г ) + х\ = R\ + Д | +
2R R y/n, 1
2
где для краткости обозначено 2
2
2
п = s i n 0 cos a + cos a .
(14.59)
Вводя вспомогательную величину
m
=
V^fer
+
2
v
/
"'
( 1 4
'
6 0 )
14.4. В З А И М Н А Я ЭНЕРГИЯ ДВУХ КОЛЕЦ
431
в итоге получим интегральное выражение взаимной энергии
?
I
л
d6.
(14.61)
Так, если кольца располагаются в одной плоскости а = 0, то п = 1 и из (14.61) сразу следует простое W
n
= -втгС^дзЛгК
,
Д, > Д ,
(14.62)
2
что совпадает, конечно, с (14.35) с точностью до обозначений. В случае же а = £ из (14.61) следует известный уже нам красивый результат (14.53). Однако в общем случае — при произвольном а — интеграл (14.61) в конечном виде не удаётся найти. Всё же заметим, заменой _ 7 - 2у/п 7 + 2^/n
_ R\ + R\
Д1Д2
,
интеграл (14.61) приводится к виду
7—2 cos а 7+2 cos а W„=V
f J 7-2
+
(\~x)K(y/T=x)dx 2
VT+^y
(1 + xf
/
(
2 2
- 1- (1 - xfyj 2 - ( l - x)
2
- cos a(1 + я )
1
4
'
6
3
)
2
3 2
(p = -4y/2Gfiiti2y/R\R21
sin а
)• В частности, при кольцах одинакового радиуса 7 = 2, и тогда
У 0
/ 7 " Г Jx(l + x ) ( a - x ) ( i - x j
2
2
Подчеркнём: интеграл (14.64) уже не двойной, как (14.58), а одинарный. В заключение заметим, что при больших значениях 7 = ^l^J* , К1К2 1
т.е. когда внутреннее
кольцо мало в сравнении с внешним, подынтегральное выражение в (14.61) можно разложить в ряд по степеням ^ . Интегрируя затем этот ряд, находим
w„ *
J1 +
(3+ cos2a) +
Щ
[
4
1
+ 20cos2a + 3cos4a] +
"J ' (14.65)
где M i , М2 — массы колец.
432
§ 14.5.
Г Л А В А 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
Взаимная гравитационная двух однородных расположенных
энергия
круглых
дисков,
в параллельных
плоскостях
Одна хорошая задача порождает другие хорошие
задачи
Рассмотрим два однородных круглых диска, имеющих радиусы г\ и г и плотности а\ и а . Оси симметрии дисков совпадают, и в системе X, А отсчёта с началом О (рис. 121) они расположены на высотах h > hi, так что расстояние между дисками 2
2
2
2d = / 1 2 - Л
(14.66)
ь
В принятой системе отсчёта эквигравитирующий стержень верхнего диска имеет плотность
/12 (С) =*-2ia yJr* 2
г
2
+ (<;-h ) , 2
(14.67)
а потенциал (9.36) нижнего диска на оси симмет рии после замены ж —> ( - hi будет представлен выражением 3
Рис. 121. Система из двух соосных круг лых дисков. Обозначены радиусы и вы соты расположения дисков
(pi (С) = 2nG*i V ^ +
(C-*i)2-(C-A0
(14.68)
Взаимная гравитационная энергия дисков (или, с точностью до знака, их взаимный потенциал), согласно основной формуле (14.18), будет равна
= ШСа а х
2
\]r% + (С - h f
J
\A2 + ( C - > H ) 2 - ( C - / H )
2
(14.69)
Для вычисления этого интеграла сделаем в нём замену (14.70)
гг
2
Тогда 1
2
J \/l — х | V m -f in — (h — hi + ir x)^ 2
= — 4irGcri(j r
2
2
2
dx,
(14.71)
-1 где 2
m = r\ + (h — hi) 2
2
— rx; 2
n — 2r (h — hi) x. 2
2
(14.72)
Последний член в (14.71) нечётный и при интегрировании по симметричному интервалу его можно опустить; кроме того, 1
- 2 (Ла - hi) j
л / 1 - хЧх = - | (Л 2
hi).
(14.73)
14.5. В З А И М Н А Я ЭНЕРГИЯ ДВУХ ДИСКОВ
Тогда интеграл
(14.71)
433
будет равен j - i (h - hi) +
W„ = -b?Go o r\ x
2
/},
2
(14.74)
где основным является интеграл
т + indx.
(14.75)
Разбив его на два (от —1 до 0, и от 0 до 1), используя нечётность величины п и извлекая корень, так что 2
у/т -f- in -f у/т - in = y/2\Jm + Vт
-f ra^,
(14.76)
избавляемся от мнимой единицы под знаком интеграла и имеем 1 (14.77) 2
I =
2
J \Jl - x \Jm
2
+ у/т *
п
dx.
Но и дальнейшее вычисление интеграла (14.77) потребует усилий. Делая в нём замену 2
2
t = у/т
+ п + т,
(14.78)
и возведя в квадрат обе части (14.78), с учётом выражений (14.72) находим 2
2
2
* - 2 * [r + (/*2-/ii) ] 2
х
(14.79)
= 2
2r\ \2(h -hi)
-t
2
так что l
_
x
2
{t~b){t-c)
=
(14.80)
2
2r (t-l) Здесь б и с — корни квадратн<&о у р а в н е н и я t - 2z t - 2r\l = О, 2
(14.81)
x
а именно: ( c )
=
Z
l
±
*
2
(14.82)
'
причём в данной задаче введены обозначения I = 2 (Л - / ц ) ; z i = г? - г + I ; z = yjz + 21т . 2
2
2
2
2
2
(14.83)
В силу (14.79) имеет место соотношение х
2
(14.84)
= J - -< + 2г? [ 1 + 2r?2 L
так что xdx = —
28 Кондратьев Б П
2lr\ 4r|
1 +
{t-lf
dt.
(14.85)
434
ГЛАВА 1 4 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ и ДРУГИМИ
Таким образом, в результате известной замены (14.78) интеграл (14.77) примет теперь вид (14.86) где а
а
l(t-b)(t-c) а —t
!(t-b)(t-c) a—t
dt;
d
(14.87)
t
(14.88)
(t-iy
причём a = 2r\ +1.
(14.89)
а > b > с,
(14.90)
h = | v a ^ c [ ( 2 a - 6 - с) Е (к) - (Ъ - с) К (к)].
(14.91)
Заметим, что и для первого интеграла имеем /
Упрощает дальнейшие расчёты и то, что здесь (и далее в этом параграфе) модуль у всех полных эллиптических интегралов первого К (к), второго Е (fc) и третьего П [п (I), к] рода будет один и тот же и равен
2
(14.92)
V a- с Далее, находим / из (14.88). Прежде всего, имеем 2
dt
I\/(a-t)(t-b)(t-c)
f
= ^L=(K(fc)4у/а - с У
2 /
6
+
21-Ъ-с 't - l " 1
^
(1-Ь)(1-с) t-l (14.93)
C
" 7 n[n,fc] + (^fr)(f-c)J ), о, — I ) 3
где п = п(1) =
a—b а-Г
(14.94)
а оставшийся интеграл a (14.95) (« - 0 y/(a-t)
(*-Ь) ( t - c )
Для нахождения сложного интеграла / 3 (отсутствующего, кстати, в справочниках) диф ференцируем его по параметру 2, полагая пределы интегрирования постоянными. Прежде всего, так как а dtj
dt (t - I) V'(о - t) (t - b) (t - c)
U[n(l),k] y/a~=bdl
• Определение полных эллиптических интегралов дано в (7.23).
a—I
(14.96)
дисков
14.5. В З А И М Н А Я ЭНЕРГИЯ ДВУХ
435
то 2
у/а — с (a-l)
(14.97)
a-ldl
Проведя расчёты, получим 2
2
2
2
( п - 2п - 2пА; + ЗА: ) П [п, к] - (к -п)К
(к) - пЕ (к) (14.98)
2
2
у/ёГ=с{а-1) (\-п)
(к -п)
Подставляя затем найденное выражение / з в формулу (14.93) и используя (неочевид ное!) равенство Ь
21-Ъ - с а —с
с
2
2
(* " ) V ~ ) [» -
п
~
2
п
к
2
2
2
+ Ы] _ Л - г \ 2т\
2
2(а-/) (1-п)
(к -п)
(14.99)
(здесь выражение слева есть коэффициент в (14.93) при П [п, А;]), после значительных упро щений имеем
/ = 2
1 %/а — с
(I -Ь)(1-
с)
K(k)-
2(a-0 (l-n)J 2
(14.100) n{l-b)(l-c)
„ -E(fc) 2 (о - I) (1 - n) (A: - n) /
2
ri-r-
w
2
2
П[п,к]}.
2r?
Подставляя, в свою очередь, найденное 1 в (14.86), находим уже само / 2
{аК(А;) + ^Е(А:) + 7П[п,А;]}
1
(14.101)
где мы обозначили a = - (a - с) (6 - с) + 3 / г
2
2 -
(l-b)(l-c) (a-0 (l-n). 2
(14.102)
2 n(/-6)(/- ) /? = (a - с) (2a - b - c) - Zlri \a-lf{\-n)(k -n) C
2
7
= 3i(r
2 2
2
2
2
-r ) = -3/(r -r ).
Полезно заметить, что коэффициенты а и /? после тождественных преобразований можно представить также в виде 4
2
2
2
2
2
a = (Ла - Лх) + § / г - г (Л - Л ) - 2 ( г - г ) + г ; 2
х
2
(14.103) 2
2
2
2
2
2
0 = [2 ( г + г ) - (ftj - Лх) ] [(h - кг) + г + г + z ] . 2
2
Таким образом, взаимная гравитационная энергия (взаимный потенциал) однородных круглых дисков с разными, вообще говоря, радиусами, согласно (14.74), будет равна W
28-
t
3
=
_4GM^M _ 1{
d
+
I
h
(14.104)
436
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ и ДРУГИМИ
где, напомним, d из (14.66) — половина расстояния между дисками, массы дисков равны M i = ът\о\ и М = ~пг\а , а сложная функция параметров / дана в (14.101). В частном случае дисков, одинаковых по размерам ( п = r = R) и по массе, выра жение взаимной энергии (14.104) несколько упрощается (при 7 = 0 исчезает, например, эллиптический интеграл третьего рода), и мы получим 2
2
2
:(А)-(Ь- )(2 + §)К(*)
4(а-с)-£
С
2
A.GM R 2
(14.105)
-d + Ъ-к\р2^/а — с
где обозначения уже иные:
2
2
а = 2R , Ь = Ы
'1 + ^
+ 1
(14.106)
и модуль эллиптических интегралов (14.107) Проверим формулу (14.105) при d —> оо. Очевидно, в этом случае 6 = а (1 - fc), c = - a ( ^ - l j
, 6- с = а ^
- fc j .
(14.108)
Кроме того, при малом R/d с достаточной для нас точностью имеем
*~
1
а%
(14.109)
и с той же точностью Е (к) « § ( l - f ) ; К (fc) « § ( l + *f)
.
(14.110)
После подстановки этих выражений в (14.105) и преобразований, приходим к результату
который и следовало ожидать. Сила же притяжения между дисками в асимптотике больших расстояний описывается, как и должно быть, законом обратных квадратов
F
=
^ L
=
QM1.
(Н.112)
З а д а ч а 14.7. Проверить и формулу (14.104) в асимптотике d—>oo. Решение. Оно проводится тем же методом, что и для одинаковых дисков. Однако вы кладки в общем случае будут несколько более сложными. Т
14.6. М Е Т О Д ПЯТЫЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 14.6.
437
Метод пятый (продолжение). Энергия изолированных тел
И вновь опираемся на эквигравитирующие
стержни
Переходим к нахождению гравитационной энергии тела с помощью заменяющих отрез ков, принадлежащих этому телу. Для этого вновь обратимся к той идее, что часть потенциальной энергии изолированного тела можно представить через половину вза имной энергии эквигравитирующего стержня (стержней, если их несколько) или иных эквигравитирующих элементов этого тела в гравитационном поле исходного тела . Окружим рассматриваемое однородное осесимметричное тело Т вспомогательной сферой с радиусом Я а (рис. 122) и наполним пространство оболочки Т б между телом и сферой веществом той же плотности р. Потенци ал созданной однородной оболочки в точках тела Т будет равен разности внутреннего потенциала вспомогательно го шара <^шара> данного в (6.36), и внутреннего потенциала ц> самого тела Т: 3
ш а р
0
т
Фоб — ^шара *Рт-
(14.113)
Находим взаимную гравитационную энергию тела Т и оболочки Т б. Делаем это двумя независимыми спосо бами. Первый способ: интегрируем потенциал (14.113) по объёму тела Т:
Рис. 122. Тело Т с круговой сим метрией и его дополнение (за штриховано) до шара
0
= -Р JЦ
-2W
(^шара - <Рт) dV = ~2тгСр
Ti
(14.114)
где М — масса тела Т , J — его момент инерции относительно начала координат, a W — искомая гравитационная энергия тела Т. С другой стороны, замена тела Т набором эквигравитирующих одномерных стерж ней или других эквигравитирующих элементов (это могут быть и материальные точки) t плотностями на них Mi (С), /'2 (С), -,1Н (О (14.115) т
T
r
даёт, с учётом (14.18), W
s3
= -J p i
o6
[Ml (С) + М2 (С) + •••) (К = - J (^ ар - VT) [Ml (С) + ^2 (С) + •••] <*СШ
а
(14.116) Поскольку внутренний потенциал объемлющего шара в данном случае
*>шара (С) = 2nGp
(л
2
2
ара
- ^С ) ,
(14.117)
то первый из интегралов в правой части (14.116) принимает вид 3
Напомним: в § 12.6 данная идея уже применялась, правда в несколько ином виде, когда вместо эквигравити рующего стержня брался мысленно выделенный на поверхности тела обобщённый гомотетический слой.
438
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
Ф = - У у,
(С)
шара
(С) + М2 (С) + •••] <К =
[ я М - I j С [щ (С) + № (С) + •••] <*< + 2
= -2*Gp
(14.118)
2
т
Приравнивая теперь W„ из формул (14.114) и (14.116), получим искомую гравитаци онную энергию тела
W
t
=
"5 / ^
т
( с )
[ / X l ( с )
+
^
2 ( с )
+
-I
dc
+
l
n G p
[
Jt
/
с 2
( с )
+
М 2
( с )
+
-1
dc
(14.119) Интегрирование в (14.119) проводится по всем эквигравитирующим элементам тела. Подчеркнём, что в формуле (14.119) вспомогательный шар о себе никак не напоминает (соответствующие члены сократились!). В частном случае, когда у тела Т есть единственный эквигравитируюишй стержень (или один любой другой эЛигравитирующий элемент) с плотностью ц (С), имеем Иг = - \ J ¥ W p (С) V (О <К + \жСр (j-JС»
(С) <К) .
(14.120)
Интегрирование в этой формуле распространяется на все точки данного эквигравитирующего элемента. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Интеграл в круглых скобках в формуле (14.120) с точностью до знака равен моменту инерции эквигравитирующего стержня относительно его центра. Любопытно, что момент
инерции стержня выражается через моменты инерции исходного тела. Докажем сейчас следующую теорему. Теорема 1. Для однородного круглого диска формула (14.120) заметно упрощается принимает вид W
= ~ \ J *>внешн (С) М (О К,
где интегрирование распространяется ностью (9.30).
на все точки эквигравитирующего
и
(14.121) стержня с плот
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Чтобы применить формулу (14.120), необходимо, как мы знаем, окружить плоский диск вспомогательным однородным шаром. Однако, прямо сделать это пока нельзя, поскольку ис ходный диск (имеющий не объёмную, а поверхностную плотность!) нарушает однородность вспомогательного шара. Воспользуемся следующим приёмом: «размажем» по высоте плос кий диск и превратим его в объёмный круговой цилиндр плотности р и высотой 2Н. Чтобы этот цилиндр имел массу диска должно выполняться соотношение lim 2Нр=а.
(14.122)
Идея «размазывания» диска в цилиндр заключается в том, что однородный цилиндр уже можно окружить однородной оболочкой и дополнить его до вспомогательного однородного шара.
14.7. ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ПЯТОГО МЕТОДА
439
Превратив таким образом диск в цилиндр, необходимо обратиться к ранее найденным в задаче (9.11) эквигравитирующим элементам однородного кругового цилиндра: это три отрезка, два из них имеют чисто мнимую плотность /ii(C) и //2(С)> « формулы (9.106) и (9.107), третий отрезок — вещественный и однородный с плотностью (9.108). Далее дело техники. Интегралы с комплексными пределами, входящие в большие квад ратные скобки (14.119), хотя и сложные, тем не менее вычисляются в конечном виде: с м
я-ия
щ
c w(C)dC = J w u m . i C . ; 2
J
Н—iR-ццл —H+iRufin i=
с м2(с)^с = ^ м 2
J
2
ц и
.д
2 и л
.;
(
1 4 Л 2 3
)
Ы — ЪЙцил
Rixun
/з = Выполним теперь, с учётом (14.122), обратный предельный переход от цилиндра к диску: тогда lim / 3 = 0 и я—о h+h
= |Мдн
С к а
Д^
с к а
.
(14.124)
Момент же инерции диска относительно оси симметрии очевидно равен Лиска — 2 ^ Д
иска
^Диска-
(14.125)
(С) + W ( С М = 0,
(И.126)
Следовательно, Лиска-/С
2
[Ml (С) +
4
что и требовалось доказать .
§ 14.7.
•
П р и м е р ы на применение пятого метода
Применение формулы (14.120) поясним на примерах. Начнём с того, что рассмотрим одно родный шар с несколько неожиданной точки зрения. З а д а ч а 14.8. Пользуясь формулой (14.120), найти гравитационную энергию однород ного шара (Д, М ) через его эквигравитирующий элемент — материальную точку массы М в центре. Решение. В этом случае: т
Т
/х(С) = М .(5(г); х
4
Заметим, что без предварительного «размазывания» диска соответствующий интеграл для момента инерции стержня диска (9.30)
г Доноса 2г<7
У
,2
С ^ с к а + С<*С = \ МдискаЯ;'диска 2
2
давал бы в да* раз меньшую величину, нежели в (14.124), что для нас совсем неприемлемо!
440
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ и ДРУГИМИ
2
у>(С) = < Ж = 2тгСрД ; - \ Jtp(0-i*(QdC
2
=
-*GpR M ; T
2
J = |м Я ; T
т
2
/ c / i ( C ) d C = 0, где 8 (г) — дельта-функция Дирака. В итоге, формула (14.120) даёт: 2
И^ара = ~irGpM R .
(14.127)
T
Верно! См. (1.64). Т Но к шару можно подойти и иначе. З а д а ч а 14.9. Пользуясь формулой (14.120), найти гравитационную энергию однород ного шара (Д, р, М ) через его эквигравитирующий элемент — однородный шар радиусом R\<^R той же массы. Т
Решение. В этом случае: р\ = р ^ и Ri )
- | / ^ ( С ) м ( С ) ^ = - | ^
J,-
^ / {ZR*-r*)r4r
2
(R -\R\)> 2
= -\^Gp>R*
2
2
2
J С м(С)<*С = § м ( я - д ) . т
Следовательно, W
mm
2
=
-$nGpM R . T
О
Верно! См. (14.127). T Применим теперь общую формулу (14.120) к однородным сфероидам. З а д а ч а 14.10. С помощью формулы (14.120) вычислить гравитационную однородного сжатого сфероида. Решение. Для сжатого сфероида 2
2
у (С) = пСр (I - Л з С ) ,
2
Jr = M (2а + а ) / 5 ,
энергию
(14.128)
следовательно, с учётом (9.7), +taie 5
j CV(C)dC = - ^ ( a ? - o I ) ; —ia\e *Я
~\
j -гЯ
5
/ 2
V (С) Ч> ( 0 d<; = -±nGpMa
04.129)
ч
11 + 4 ^ Ц ^ arcsine j . ^
(14.130)
'
Очевидно, в данном примере момент инерции стержня относительно центральной точки равен разности мо ментов инерции сжатого сфероида относительно меридиональной и экваториальной его плоскостей.
14.7.
П Р И М Е Р Ы НА ПРИМЕНЕНИЕ ПЯТОГО МЕТОДА
441
В целом, подставляя полученные результаты в формулу (14.120) 4 „г^л^ч/Г = -Z GpMai
7
2
y
\У
СЖ
n
a r c s i n e
е
>
(14.131)
получим известное выражение для энергии однородного сжатого сфероида из (1.66). • Случай вытянутого сфероида аналогичен рассмотренному выше. З а д а ч а 14.11. С помощью формулы (14.120) вычислить гравитационную энергию однородного вытянутого сфероида. З а д а ч а 14.12. Найти энергию однородного круглого диска, применив метод эквигравитирующего стержня. Решение. Используя известные для диска выражения плотности эквигравитирующего стержня (9.30) и потенциала на оси симметрии (9.35) (где х з следует заменить на С), интеграл (14.121) запишем в виде +га J sja + С ( л / а + С - с ) <*С—га Последний член в круглых скобках нечётный по С и вклад в интеграл не даёт. Делая замену С = iRs, легко вычисляем потенциальную энергию однородного плоского круглого диска 2
2
W = 2mGa
2
г
2
2
2
3
И д„ска = - | 7 Г С С 7 Д .
(14.132)
• ЗАМЕЧАНИЕ 2. Этот метод действительно изящен. Сравните с (8.19), когда энергия диска была найдена фактически через широкое кольцо. Краткость метода стержней ещё более выигрывает при его сравнении с прямым методом. Действительно, прямой метод опирается на формулу (8.8). Интегрируя внутренний потенциал (9.61) по площади диска, имеем 1
=
= -4KG<J R jkE (£) dk, (14.133) о где k = r/R. Последнее выражение с учётом вида полного эллиптического интеграла второго рода записывается в виде 1 тг/2 И^„ = - 4 т г С а Я j kdk j yjl - k sin
II^внутр (г) dx dx x
2
2
3
2
3
2
2
ска
WW« =
UG^R Jf 3
6
C O s 3
1
^~ dy sin
(14.135)
0 Но последний интеграл, как легко убедиться, равен —2, и в итоге мы получим то же выражение (14.132). З а д а ч а 14.13. Найти энергию неоднородного круглого диска с законом поверх ностной плотности (9.150). Решение. Для такого диска пара «стержень — диск» приводится в формулах (9.151) и (9.153). Перед подстановкой этих выражений в интеграл (14.121) потенциал следует пред ставить в виде
М
) ^(С) = ^
0
д | у Г + ^ - 2 С + ^ 1 п ^ ^ ± ^ | .
(14.136)
442
ГЛАВА 14. НАХОЖДЕНИЕ ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
Тогда 3
Ириска = i*G**R
{Т
+ Т + Г + Т 4- Т } .
г
2
3
4
(14.137)
5
Последовательно находим здесь г Гх = 2 у* (1 О г T2 = - l j
+ с2)
= |i; 2
C V T + C ^ = 0;
(14.138)
Делая в Тз замену £ = гх, интегрируем затем по частям. После подстановки пределов, проинтегрированный член исчезает. Остаётся
Тз = i / | 1 - 2 х
2
-
Но здесь интеграл от последнего члена равен удвоенной постоянной Каталана
Далее, #
J.
i-y/ттё (14.140)
v
о
^
о
Применяя к T два раза интегрирование по частям (до исчезновения логарифма), находим 5
Тъ =
6Ск
То (
~т)•
(14141)
Объединяя эти выражения, в итоге получим
^
диска
= -Jq*G<J R 2
0
3
(17 -
6GK) =
-Jq^
(17 - 6 G ) . K
(14.142)
Этот результат эквивалентен ( 1 3 . 9 5 ) и ( 1 4 . 2 0 8 ) и, в силу независимого способа получения, является веским подтверждением корректности общих формул трёх методов. • З а д а ч а 14.14. Найти энергию «шапочки» на сфере.
14.7. П Р И М Е Р Ы Н А ПРИМЕНЕНИЕ ПЯТОГО МЕТОДА
443
Решение. Потенциал и плотность заменяющего стержня для «шапочки» ранее были получены и даны в (9.113) и (9.114). Подставляя эти выражения в формулу (14.121) и делая замену z = 4> получим к
2
W = 2тпС<г Л
J
3
2
>/* -2*со8а + 1 ^ 1 + £ . ^ - 2 z c o s a + l
dz
{
Ы
Ш
)
~ги
е
В (14.143) имеем дело с тремя интегралами е
2
\Лг - 22cosa -f-1
/
1=
5
е J
У /
т
2 =
Z2
У/
~ 2г cos a 4-1 , р dz,
, (14.144) 1 у |
ч
е
ГЗаменой
2
— 2z cos о;4*1 j — az.
z — cos a x = —r-rtsina
интеграл J i сводится к виду
J =isin a / ^ .—dx. 7 cosa + t i s i n a -l 2
x2
x
(14.145)
Умножая здесь числитель и знаменатель на cos a - гх sin а и опуская нечётный член, после некоторых преобразований получим J\ = 27Г (1 - c o s a ) .
(14.146)
Интеграл J берём сначала по частям; действуя затем по аналогии с вышерассмотренным, после преобразований находим 2
J
2
= i7r(l-cosa).
(14.147)
6
Поэтому разность двух интегралов равна нулю : J -J\ 2
= 0.
Далее, легко убедиться, что Js = 4г (sin a - a • cos а). 6
Обратим внимание: несмотря на разный вид подынтегральных выражений, выполняется равенство J\ = J2, что согласуется с результатами (13.40), см. там интегралы К4 и К$.
444
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
В итоге, энергия «шапочки» на сфере оказывается равной W< = — SnGa R (sin а - a - cos а ) . «шапочки»
(14.148)
Проверить формулу (14.148) можно в двух замечательных случаях. Во-первых, в случае полного сферического слоя, устремив угол а —> п: 2
2
3
сфер, слоя = -8ir*Ga R
MG 2R
=
(14.149)
(верно!). И во-вторых, в пределе однородного плоского круглого диска а —> 0 (радиус диска 3
2
а = aR); подставляя в (14.148) приближенные значения sin а « а — ^ - и c o s a « 1 - у , легко получим известное нам выражение (14.132). Переход от шапочки к плоскому диску, согласитесь, красив! Формула (14.148) также гласит, что энергия тонкой пустотелой равна 2
полусферы
(а = т р
3
Мпуст. полусферы = —8irGa R , (14.150) так что распылить элементарный полный сферический слой оказывается в 7г (а не в два!) раз труднее, чем распылить одну только его полусферу. З а д а ч а 14.15. Найти взаимную энергию кусков сферических поверхностей, состав ляющих асимметричную пустотелую линзу. Решение. Дана пустотелая линза, образованная кусками однородных тонких сфериче ских поверхностей. Расположим начало системы отсчёта в точке О (рис. 123). Очевидно, здесь b = R\ sin a i = i?2 sin a , 2
hi =
tfi(l-cosai),
(14.151)
h = R (1 - c o s a ) . Для вычисления по формуле (14.121) взаимной потен циальной энергии двух сферических «шапочек», обра зующих пустотелую асимметричную линзу, использу ем стержень для второй (нижней) «шапочки», и потен циал на оси симметрии — для первой (верхней): 2
2
2
ц (С) = -2г<тД 2
2
R cos а 2
/
2
- С' (14.152)
у
/ ь
у>1 (С) =
Ч
2nGoR
1
i l l cos ai + (
+ 1
Тогда имеем Рис. 123. Пустотелая асимметричная линза 2
W
Ri
M
=
2
4iwG
2
v/P + C (Ri cos a i + C) (R2 cos a - £) 2
2
6 + С (Ri cosai 4- С) № соваг — С) 2
R2 cos a2 - С
dC.
(14.153)
14.7. П Р И М Е Р Ы НА ПРИМЕНЕНИЕ ПЯТОГО МЕТОДА
445
Итогом расчётов, которые мы здесь опускаем, является формула для взаимной двух «шапочек» пустотелой линзы:
+
вз. шапочек пуст. ас. линзы
+ 1 (Л1+Л2-
—
Д Д + х
2
Щ + Я | + Я1#
энергии
(14.154) 2
д
\ |
)1
где введены обозначения #2 = R2 cos a 2 ,
Hi = Ri cos a i ,
A = Hi + H .
(14.155)
2
З а д а ч а 14.16. С помощью формул (14.148) и (14.154), используя равенство найти полную энергию асимметричной пустотечой линзы. Решение. Получим 2
2
пуст ас линзы = SnGa
{R
(b - aiHi)
2
+ R {b-
a H )}
2
2
-f W ,
2
B3
(8.23),
(14.156)
где Wa, И З (14.154). Сравните выражения для энергии пустотелой (14.156) и сплошной (12.127) асимметричных линз. Т Частные случаи пустотечой линзы (14.154) Начнём с простой задачи. З а д а ч а 14.17. Доказать, что полная энергия двух соприкасающихся пустотелых сфер равна W двух пуст сфер , — - -Я<ТГ^ПГГ Rl Г^з-f- ,R Е>3 Ч" , 2
v v
о
л
2 R
2
и
2
^1 +
l 2 R
2
(14.157)
R
Решение. Выражение (14.157) (сравните его с (12.129)) можно получить как прямым способом, так и подстановкой а 1 = а = п в (14.156). Кстати, это хороший способ проверить последнюю формулу. • Другие важные частные случаи: а) Симметричная пустотечая линза Взаимная энергия двух симметричных «шапок» получается из (14.154) подстановкой одинаковых характеристик обеих частей линзы: 2
4
a-27rsin | WB3. шапочек пуст. сим. линзы — Полная энергия симметричной
STTGO R \ cosa
sin a
(14.158)
пустотелой линзы равна 4
a-27rsin | 2
пуст. сим. линзы = -8irGo R
3
|
cosa
б) Линза из двух полусфер Взаимная энергия двух полусфер ( a i = a
2
-f sin a — 2a cos a
(14.159)
= ^ ) . Внешне эта конфигурация напоминает
известные со школьной скамьи Магдебургские полушария: ^ в з . двух полусфер
=
—
STTGC R (7Г — 2) ,
(14.160)
446
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И Д Р У Г И М И
Полная же энергия тонкой пустотелой сферы оказывается равной сферы = - 8 Т Г С < Т Я = Щ^2
W
nyCT
2
3
(14.161)
— в полном согласии с основами теории. в) Пустотелая линза с плоским днищем Взаимная энергия «шапочки» с плоским днищем (R —» о о , а —> 0) 2
2
2
2
W„. шапочки и днища = -SnGa R
| д а - ЪН + тт (ян
Полная энергия пустотелой линзы с плоским 2
3
Wnycr. линзы с плоским днищем = -SnGa
- Я
2
- у ^ | .
(14.162)
днищем 4
R
| ^ + ( а + sin а ) (1 - cos а ) - 2тт s i n ^ | . (14.163)
г) Пустотелая «лунка» Как и в случае со сплошной асимметричной линзой (см. § 12.10), сейчас также допу стим выгиб одной из сфер в обратную сторону. При этом асимметричная пустотелая линза превращается в пустотелую лунку! Взаимную энергию сферических компонент пустотелой лунки мы получим, обращая формально в формуле (14.154) знаки у R а и Н (не надо забывать, что и сейчас речь идёт об аналитическом продолжении выражения (14.154) на область отрицательных значений параметров линзы, только пустотелой!): имеем 2>
W M . поверхностей лунки —
—
2
о7ГСт<х П\К
2
2
<иН
^ (14.164)
+ ф - ц + * - * *
+
* + * - » ' * и .
где Д = R\ cos a i - R cos 2
З а д а ч а 14.18. По аналогии с задачей 8.7 гл. 8, выполнить переход к пустотелой «лунке» со сходящимися острыми краями. Задача
14.19. Найти полную энергию пустотелой
в (14.164)
предельный
лунки.
§ 14.8. Метод «прогонки» (шестой) Прометаем треугольную территорию
шаг за шагом
Важным на практике оказывается метод, который назовём условно методом «прогонки». Он заключается в следующем. Рассмотрим гравитирующее тело с распределением плотности р (х). Разобьём (расслоим) объём этого тела на некоторые элементы; каждый такой элемент будет представлен подмножеством точек с размерностью на единицу меньше, чем у исходной фигуры. Другими словами, семейство элементов зависит только от одного параметра q ^ q ^ 0. Так, шар можно расслоить на сферические, а эллипсоид — на гомотетические слои, круглый диск на кольца, одномерный отрезок — на материальные точки, и т. д . Следующий шаг заключается в нахождении взаимного потенциала (или, как говорилось выше, взаимной энергии по модулю) двух любых выделенных в данном семействе элементов 3
7
^Ф (9Ь^2). 12
7
Расслоение одного и того же тела с размерностью больше двух может быть произведено разными способами, и в конкретных случаях этот способ надо, разумеется, указывать.
447
14.8. М Е Т О Д « П Р О Г О Н К И » (ШЕСТОЙ)
Интегрируя затем найденный взаимный потенциал двух элементов по площади треугольника (рис. 124), мы получим полную гравитационную энергию тела Я.
Я.
W = - j d q
(14.165)
J[t№ ]dq2
1
l2
91
(множитель 1/2 отсутствует, так как при интегрировании каждый элемент тела ется только один раз). На практике преимущество этого метода перед другими видно уже из того, что трёхмерный инте- < грал в формуле (8.3) заменяется теперь на гораздо более простой двойной интеграл с универсальной для всех тел треугольной областью интегрирова ния. Кроме того, в некоторых важных случаях и ин теграл в (14.165) можно свести к однократному (см. узловую задачу для цилиндра в § 14.9). Рассмотрим примеры.
учитыва
{
z
1. Самый простой — это однородный диусом R
шар ра /1 4-
Расслаиваем такой шар на сферические слои и выделяем два слоя с радиусами г\ и г и толщиной dri и dr . Тогда, как легко видеть,
/1
2
d$i2 =
inGprjdr! щ
2
Рис. 124. Область интегрирования (за штрихована) в двойном интеграле
(14.166)
4npr$dr . 2
4s Я2
О
2
(14.165)
Таким образом, полная гравитационная энергия однородного шара оказывается равной я 2
W
mm
я
Jr dr 2
2
= -16n Gp
x
Jr dr 2
2
2
5
= -^n Gp R ,
2
(14.167)
что совпадает с известным результатом (1.64). 2. Однородный сжатый
сфероид
Расслаиваем его на элементарные гомотетические слои с известным из § 5.1 парамет ром расслоения га. Выделяем затем из них два гомеоида с параметрами m i (внутренний) и гиг (внешний). Масса внутреннего гомеоида равна ^pa a^m\dmu а потенциал внутри внешнего есть величина постоянная и равная 2
оо
й^внутр = 2^Gpa\a^m dm 2
I —
2
{
(14.168)
^—
;
е
|Т7
(<*? + *) V !
Поскольку этот потенциал не зависит от координат, то оо 2
2
йФхг = %ir Gp a\a\
s
I ^ J (a\ + s) y/a'i
•
+s
m\m dm\dm 2
2
448
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
Следовательно, по формуле (14.165) получаем оо 2
1 d
-%it Gp a\al
сж сфер
=
2
1
s
/ • / m\dmi / m dm J (a? + s) y/al + я J J 2
2
= (14.169)
16 2^ 2 4 2an^sine P i 3—ё—' G
a
a
что совпадает с первым результатом из (1.66). 3. Однородный круглый диск и широкое кольцо Ранее эта задача была решена, но другими способами (см. § 8.1 и (для диска) задачу 14.12 этой главы). Но теперь полезно решить её и методом «прогонки». Рассматриваем диск состоящим из элементарных круглых колечек. Внешний потенциал колечка радиусом г\ в компланарной плоскости находится из (9.38). Полагая в ней х% = 0. имеем / . ч (14.170)
:4G?afciK(fci)dri, где k\ = у - ^ 1. Тогда взаимный потенциал двух колец с п и г оказывается равен 2
ё,Ф
= Э т т С ^ п К (Jl) d n r f r .
12
(14.171)
2
Основная формула метода (14.165) теперь даёт «2
К2
шир кольца
-STTGV
j ; Kin j К
dr .
(14.172)
2
j его стандартным выражением в три
Представив полный эллиптический интеграл К
гонометрической форме, после изменения порядка интегрирования запишем (14.172) в виде 2
R
Я
2
2
(14.173)
2
SirGa
И^шир кольца =
о
L
ri
2
2
yjr%-r sm x
Находим вначале два внутренних интеграла: я
2
Jr\dr\
R — r s i n x — r\ 2
2
2
COS.T^
=
ri = R
2
A—^-rfsin *)* о • 2 3sin x
- i (Rl - R\) cos x =
2
3
(14.174) 2
2
cos x — ( l — k sin x)
2
2
3 sin x R%
3
cos x sin x 2
2
sin x
cosx
^
3
( l - A; ) cosa; =
14.9. Э Н Е Р Г И Я ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
449
где 2
2
А = y/l -k sin x,
fc
= § - < l .
(14.175)
К
2
Подставив затем (14.174) в (14.172), получим 2
3
И^ „р. кольца = -^Ga Rl
2
2
{l + fc + (1 - к ) К (fc) - (1 + fc ) Е (fc)} .
ш
(14.176)
Результат (14.176) совпадает с (8.18), полученным ранее другим методом. При R\ — О, (fc = 0 ) , R = R кольцо превращается в однородный полный диск, как и следовало ожидать, с энергией (8.19) или (14.132). Итак, метод «прогонки» даёт независимое и, что немаловажно, более компактное ре шение задач на гравитационную энергию (см. также в § 13.6 изящное приложение этого метода к задаче об энергии однородного стержня). Но чтобы по настоящему раскрыть возможности шестого метода, решим сейчас новую и трудную задачу об энергии цилиндра. Приступим. 2
§ 14.9. Гравитационная энергия однородного кругового цилиндра конечной высоты 14.9.1.
Постановка задачи и решение
Дан однородный круговой цилиндр длины 2 Я и ра диусом основания R (рис. 125). Для нахождения его гравитационной энергии применим метод «прогон ки». С этой целью расслоим цилиндр на элементар ные круглые диски. Выделим два из них и воспользу емся выведенной ранее формулой (14.105) для взаим ной энергии (потенциала) двух однородных дисков. Расстояние между дисками примем теперь равным 2d = R(u -ui),
(14.177)
2
где и\ и и — нормированная на R высота располо жения первого и второго дисков. Согласно данному методу, пределы изменения переменных щ и и бу дут следующие: 2
2
1*1 < и < /J; 2
-Р ^ щ < /3,
(14.178)
причём, здесь J3=f
(14.179)
Рис. 125. Прямой круговой цилиндр. Выделены два элементарных круглых диска
— параметр геометрической формы цилиндра. Массы первого и второго дисков: 3
3
M i = ixGpR du
М = 7rGpR du .
u
2
(14.180)
2
Тогда, с учётом известного нам выражения для взаимной энергии двух однородных круглых дисков W из (14.105), основная формула шестого метода (14.165) для гравитаци онной энергии цилиндра принимает вид B3
Р
W
mn
=
-2TT G R 2
2
P
5
J -p
29 Кондратьев Б П
Р
du
x
J
Ф ( м - ui) A i , 2
2
(14.181)
450
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
где интегрируемая функция равна ,
Ф{и -щ) 2
, = -{и -и ) 2
1
2
ч
, [ 8 ( 2 - c ) - c ] E ( f c ) - ( 6 - c ) ( 4 + c)K(fc) + ± i , - с
(14.182)
а величины b^Ciia-ti!)
2
[ /l 4
+
,
7
(и
2
-щ) (14.183)
2
4
c=-(u -u ) \Jl+ 2
1
(ti2 - Wl) Область интегрирования в двойном интеграле (14.181) показана на рис. 126. и = 2
щ/
Рис. 126. Треугольная область интегрирования в двойном интеграле ( 1 4 . 1 8 1 )
Рис. 127. Квадратная область интегрирования в интеграле (14.187)
Обратим внимание, что интегрируемая функция Ф (и - иг) зависит только от разности переменных {и — щ). Учитывая это, двойной интеграл (14.181) можно, оказывается, привести к однократному. 2
2
Для этого треугольную область интегрирования следует вначале преобразовать в квад ратную. Добиться этого можно, если переменные ( u i , и ) заменить на новые ( £ , 7 7 ) такие, что 2
tii = Р (2£г? - 1),
и = Р (1 - 2£ + 2 € ) . 2
Ч
(14.184)
Якобиан данного преобразования 2
J = Ар .
(14.185)
Область на рис. 126 действительно преобразуется теперь в квадратную. (и
2
Существенно и то, что при указанном преобразовании (14.184) разность переменных -u\) превращается в выражение иг-tii =2/3(1-0»
где только одна переменная f. Таким образом, приводим двойной интеграл (14.181) к следующему виду:
(14.186)
14.9. Э Н Е Р Г И Я ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
2
2
5
j
2
И^цил. = -8n Gp R p
{-2/3 ( 1 - 0
451
+
о
(14.187)
2
+
[8 ( 2 - c ) - c ] E ( f c ) - ( 6 - c ) (4
где
(14.188)
fc=^|_^
= l - | ^ l .
(14.189)
В (14.187) интегрирование по переменной г\ легко выполняется; после интегрирования и очевидной замены х = 1-£,
(14.190)
получим i
WW =
2
-8n Gp' (14.191) 2
[8(2-с)-с }Е(к)-(Ъ-с)
(4 + c ) K ( f c ) |
причем
2
2
с=-/? * ( J l + ^ - . + l ) ,
(14.192)
В итоге, выражение для гравитационной энергии однородного кругового цилиндра ко нечной высоты (14.191) можно представить в виде 2
2
b
2
И^цил. = -\* Gp R p 29*
{-/?+ J L / j ,
(14.193)
452
ГЛАВА 1 4 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
8
куда входит определённый интеграл от полных эллиптических интегралов первого и второго рода 1
2
[8 ( 2 - е ) - с ] Е (к) - (Ь - с) (4 + с) К (As)
(1 - x)dx.
(14.194)
Расчёты по формуле (14.193) показаны на рис. 128 и в табл. 1. Важно подчеркнуть: корректность найденного выражения энергии цилиндра (14.193) подтверждается сравнением результатами расчётов энергии цилиндра совершенно незави симым методом Монте-Карло. Резюмируем: учитывая математическую трудность задачи для однородного кругового цилиндра, указанное выше её решение методом «прогонки» можно считать кратким и даже изящным. Другими методами эту задачу решить, как показывает практика, будет значитель но труднее. Дело в том, что в данной задаче мы начали не с нуля и удачно применили то выражение для взаимной энергии двух круговых дисков, которое было найдено нами ра нее методом эквигравитирующих стержней. Содружество новых методов помогает решать весьма нелёгкие задачи!
Рис. 128. Модуль гравитационной энергии (в едини цах -^7C Gp R ) 2
2
5
однородного кругового цилиндра
5
как функция геометрического параметра /3 = —
Таблица 1. Значения нормированной гравитационной энергии в зависимости от /3 0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
3.34
11.16
21.75
34.31
48.39
63.70
80.03
97.26
115.26
133.95
W 2
b
-\*Gp R О
14.9.2. Представление интеграла (14.194) в конечном виде Мы установили, что гравитационная энергия (14.193) однородного кругового цилиндра ко нечной высоты содержит сложный интеграл от полных эллиптических интегралов (14.194). Путём трудоёмких расчётов интеграл (14.194) можно выразить через элементарные функ ции, полные эллиптические интегралы первого и второго рода, а также через гипергеомет рические функции. Результат имеет весьма впечатляющий вид: Его можно выразить через эллиптические интегралы и гипергеометрические функции, см. ниже.
14.9. Э Н Е Р Г И Я ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
j= 2vpL +
тг
I^3Fz H
+
+
2
L _
2
- E (n ) - 4v^2(n + / J) (1 + 3/?n)К (n ) -
p2 / 5 1 1. 1 , . Л • + V " 4 ' " 2 ' 2» ~ 4 ' !• V l
3
" Ш?
453
я-
с- / 3
oVl^
2
5
1,4V
11 ;
И ' "2' 2
;
;
•
3
2
ТГ 3
2
/
V
p /
1;
i '
1
:
0 iV2W +
1 1 1 - 5. Л 2' 4 ' V
Г2' 4'
p
~ 2V2> 7Г
5' ^
('I'
p, /
Зтг
V^
+
)
3» 5 "J' l s 0 " Ibvfev 3 F 2 ("f' Й ; 4 ' 1 5 n 4 )
Tfe2"3^ ( 4 « 4 « 2 i 1 ; 0 - 7 # ^ 3 F 2 ("!- ~b r v " vfe2"3^
1 ; n
~4'
1
1
L i
З.Л
p /
Зтгп
"
lj
5' *
1 ;
4'
7ГП
2
p
2'2'2 '2'V + 2V2^ a
3
тгп
3
n4
) -
4
+
" ) Л
1 1 1 . , 5.
Г 2 ' 4 ' 2' > 4 ' J " П
г
,
1 1 3 . , 7. Л •
("4'
3 F 2
+
2
(
1
1
L i
3.
1
Г5»2»2' '2»
p /
1 1 3 . ,7
Л
J"
я
Л (14.195)
~ vfe2"3^ ( " i ' 5« 2 ; !- 1 ; J ) + ^ •
2
Зтгп p / l 1 1 . , 5. Л га ~W* U'2 2' 4' J " V|i 2
7Г
~^
(-}'I' И ' 1 ; n 4 ) +
3 i r 2
3
,
p A F
2
1 ,
n
1 3 , 7. Л • J
U ' 2' 4' ' 4' V
+
тгп
i ^
3
3
n / l 1 1 , 3. Л U'2'2' 2' J "
2
1 ,
n
p (\ 1 3 ,
3
F
2
7 . Л ,
J
П
2' 4' - 4 ' )
+
5
+
Зтг p (\ 1 5 . , 9 . Л Зтгп p A 1 5., 9 . „ Л Щ ? * * U ' 2 ' 4 ' « 4 ' V " W I 7 3 F 2 U ' 2' 4 » 4 ' J " 2
J
1 1
-lfe^(il'1'i;2'2'2!0 +
+
i i l f e
4
i i l ^ i
4
^e(
+
l l l
'ii!^
n
2 ; n 4
)
+
^ ( l . ^ | . f ^ , 3,3; l ) - ^ - ^ 3 ( l , 1, § , | ; 2 , 3 , 3 ;
^ ( l , l , f , f ;2,3,3;l) -
+ ^^j ^
^ - 4 ^48Г
i
i
+
| ^ ^ 3 ( l , l , | , f ; 2 , 3 , 3 ; ^ ) -b 2
+ тг/3(5 + тг1п(16))^ - 6 т г / ? 1 п п | .
Здесь Gk = 0.915 965 594 — постоянная Каталана, Г (...) — гамма-функция, а величина 2
п = у/1 + 0 - /3.
(14.196)
454
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
Гипергеометрические функции, которые не содержат п (таких здесь тринадцать), являются фактически некоторыми постоянными, оставшиеся же пятнадцать зависят от геометриче ского параметра цилиндра /3. Важно заметить, что очень сложную формулу (14.193) можно проверить и аналитически в дисковом пределе. 14.9.3. Энергия цилиндра в дисковом пределе Однородный круговой диск поверхностной плотности а и массой М = ncrR получается из цилиндра в пределе бесконечно малой его высоты Н —> 0. Следует только учитывать, что в этом пределе р —* оо и для сохранения массы тела нужно положить 2
R = ^ .
(14.197)
P
Учитывая сказанное выше и разложив выражение для энергии цилиндра по степеням малого /3, получим следующий ряд: W W = - | т г С ( т Д J 4 - тг/З + /3 (2 In 2 + i ) - / ? In/? + ... j . 2
3
2
2
При /3 = 0 отсюда сразу следует известное выражение гравитационной для однородного круглого диска!
(14.198)
энергии (14.132)
§ 14.10. Замечания о гравитационной энергии однородного кругового тора Найти в конечном аналитическом виде гравитационную энергию однородного кругового тора — очень заманчивая задача. Проблема эта новаторская, и по своему значению занимает такое же место, как и классическая задача о потенциале однородного трёхосного эллипсоида. Последняя же, напомним, явилась целой эпохой в развитии математической физики прошлых веков. Но несмотря на многократные попытан, найти такую формулу для тора пока не удаётся. Вот задача для настоящего исследователя, не хуже знаменитой большой теоремы Ферма! В отсутствие аналитического решения полезной разведкой является численный рас чёт энергии однородного кругового тора. Однако «в лоб» выполнить численный расчёт для соответствующего шестикратного интеграла по объёму тора тоже не просто. Поэтому для решения задачи мы применили метод Монте-Карло. Результаты вычислений для тора пока заны на графике на рис. 129. Некоторый интерес представляет представление предыдущего численного результата с помощью формулы 2
MG W' a = -a—^i-, TOp
(14.199)
где полная масса тора М = 2n pRor (обозначения величин для тора см. на рис. 41, § 7.1), а фактор а аппроксимируется сплайнами. Численное значение данного фактора мож но найти, комбинируя эту общую формулу с выполненным нами расчётом энергии тора методом Монте-Карло. В результате удаётся построить график для а , показанный на рис. 130. Максимальное значение а имеет для тора без сквозного отверстия, т.е. при г о = i?oДля наглядности значение этого фактора по порядку величины интересно сравнить с соот ветствующим множителем 0.6 в формуле гравитационной энергии (1.64) для однородного 2
т о р а
2
1 4 . 1 1 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ
дисков:
455
МЕТОД СЕДЬМОЙ
4> Рис. 130. Зависимость фактора а в формуле (14.199) от геометрического параметра тора го
Рис. 129. Зависимость гравитационной энер гии однородного кругового тора от геометри-
7*0
Ro
ческого параметра —
шара. Разумеется, в пределе при
—> 0 , когда тор вырождается в тонкий обруч и его объ-
ёмная плотность стремится к бесконечности, величина энергии расходится.
также логарифмически
§ 14.11. Метод седьмой. Нахождение энергии дисков асимптотическим переходом от слоисто-неоднородных эллипсоидов и сфероидов Ещё одна важная роль софокусных
преобразований
Переходим к плоским (не обязательно круглым!) дискам и двумерным слоям. Здесь мы опираемся на результаты первого метода (см. формулы (8.84), (12.1) и (12.3)). А именно, в выражениях потенциальной энергии слоисто-неоднородных эллипсоидов (или сфероидов) выполняем предельный софокусный переход к эллиптическим (круглым) плос ким дискам. При этом, опираясь на формулы из § 10.6 и § 10.9, мы заранее знаем, каким для данного объёмного тела будет закон распределения поверхностной плотности у соот ветствующего ему диска. Таким образом, круглый или эллиптический неоднородный диск по данной методике заранее проектируется! Далее ограничимся для краткости случаем эллипсоидов и сфероидов с гомотетическими слоями. При софокусном «ужатии» исходного слоисто-неоднородного эллипсоида в диск масса первого сохраняется. С учётом этого преобразуем формулу (12.1), исключая в ней центральную объёмную плотность ро через массу тела М. Тогда в софокусном дисковом пределе при ei3 —> 1 из неё находим энергию эллиптического диска 9
H W a =
т ^ Р — К (е) V «1 - з
(р),
(14.200)
а
где 9
Напомним, что, согласно (5.37), при софокусных преобразованиях мы делаем замены а\ —•aim, а ei3
Щ^, и поэтому произведение а\ (т) • е\з (т) = а\е\з = Ja\
— a | не изменяет своего значения.
456
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И Д Р У Г И М И
1
771
/ тр(т)
2
J т р(т)
0
dm dm
0
(14.201)
2
^ / т р(т)
drn^J
а р(т) — объёмная плотность эллипсоида, нормированная на ро. Здесь е =
/2 2 ( Q i — Q2 2 2 ai — a 3
эксцентриситет диска, а \ / a f - a§ — его большая полуось . Важно помнить: получаемые таким образом диски являются эквигравитирующими исходным слоисто-неоднородным эллипсоидам. Для сфероидов с гомотетическими слоями указанный дисковый предел совершается при е —* 1; тогда исходный сфероид с объёмной плотностью р(т) переходит в фокальный эквигравитирующий диск с поверхностной плотностью <т(г), причём последнюю находим по формуле (10.56). Но при нахождении энергии плоских дисков можно поступать и обратным об разом. Пусть требуется найти энергию диска с каким-то конкретным распределением поверхностной плотности сг(г). Тогда: 1) по заданному а{г), используя формулу (10.76), находим соответствующий интересу ющему нас диску эквигравитирующий сфероид с объёмной плотностью р(т); 2) затем, применяя формулу (12.1), вычисляем энергию такого сфероида; 3) наконец, выполняя в выражении W p указанный софокусный переход, получаем искомую гравитационную энергию И/д заданного диска. C(
ep
ИСка
Итак, в кратком изложении, в основе данного метода лежит переход по схеме: «Диск - Сфероид -Диск» Приведём примеры. Дан эллиптический диск, полуось. Этот диск может быть а) Однородному эллипсоиду ский диск с законом плотности
2
у которого е — эксцентриситет, а у/а — а§ — большая как однородным, так и неоднородным. соответствует» как мы знаем, неоднородный эллиптиче (9.3).
В данном случае формула (14.201) даёт т/> (р) = | , так что из (14.200) сразу следует выражение энергии такого эллиптического диска Q
W
mCKa
= - f
2
M -G ,Г , К (е). к а
(14.202)
В частности, гравитационная энергия круглого диска (ei2 = 0) радиуса R = \Ja\ - а% с распределением плотности (9.5) оказывается равной WWa = ~
д
•
(14.203)
б) Однородные эллиптический и круглый диски. Однородный эллиптический диск полу чается в софокусном дисковом пределе из эллипсоида, состоящего из гомотетических слоев и имеющего закон плотности (10.58). Для этого диска 'Ф (р) = | ^ i a a / ) o , 2
3
1 4 . 1 1 . Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ ДИСКОВ: МЕТОД СЕДЬМОЙ
457
и мы находим W
= - ^ - ^ ^ K ( e ) .
WCKa
(14.204)
Круглый же однородный диск ( К (0) = £ ) согласно (14.204) , как легко убедиться, действительно имеет известную нам энергию (14.132). в) Эллиптический (или круглый) диск с плотностью
о (х х ) и
2
= ао (l - щ
- |0
, Ri = \Ja\-al
R = 2
- а§;
(14.205)
имеет эквигравитирующий слоисто-неоднородный эллипсоид из гомотетических слоев с распределением плотности ^ ) Гравитационная
= 7 ^ | | * o V T ^ .
энергия такого эллиптического
^
=
(14.206)
диска:
- з Т ^ ^ -
к
(
е
)
-
( 1 4
-
2 0 7 )
г) Круглый диск с распределением поверхностной плотности (13.94) удаётся моделировать эквигравитирующим сфероидом с законом плотности (10.87). Энергия данного сфероида получена в (12.19). Гравитационную же энергию диска теперь легко находим из (12.19) путём предельного софокусного перехода к плоской фигуре; она оказывается равной
где фактор х из (12.20). Но кроме уже рассмотренных случаев, асимптотический переход от слоисто-неоднородных эллипсоидов и сфероидов позволяет вычислять энергию и многих других плоских эллиптических и круглых дисков. Так, часто используемый в астрофизике диск с гауссовским распределением плотности (10.101) также можно представить через эквигравитирующий сфероид с объёмной плотностью (10.102); сле довательно, указанным методом мы находим, что гравитационная энергия такого диска оказывается равной WWa =
(14.209)
Здесь А/диска — масса диска, R — его радиус, фактор 7 зависит от параметра а, входя щего в формулу (10.101). Эта зависимость показана в табл. 2.
а 7
Таблица 2. Значения 7 в формуле (14.209) 4 5 2 3 1 0.09216 0.04797 0.02885 0.01931 0.01395
458
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
§ 14.12. Восьмой метод. Нахождение гравитационной энергии слоев во внешнем гравитационном поле методом дифференциации Предположим, что гравитационная энергия однородного тела нам известна. Тогда для вы числения энергии элементарного слоя вещества на его поверхности, т. е. взаимной энергии слоя и тела, можно применить метод дифференциации к выражению гравитационной энергии по выбранному параметру геометрической формы тела 10
W
n
=
(14.210) dq
В частности, если расширить однородное тело в (1 -he) раз с сохранением его плотности, исходная энергия изменится и станет равной W(l -f be). Приращение же SW = 5eW
(14.211)
как раз и выражает энергию наложенного слоя. Продемонстрируем данный метод на примерах. Сначала на двух простых. З а д а ч а 14.20. Найти работу, необходимую для удаления (соскребания) элементар ного сферического слоя вещества с гравитирующего однородного шара. Решение. С геометрической точки зрения, элементарный слой на сфере образуется при дифференцировании её объёма по радиусу. Применяя метод дифференциации к выражению потенциальной энергии шара (1.64), находим энергию данного слоя в поле притяжения шара 2
2
И/ = -^ Gp R±dR вз
= -
о
G
A
f
A
"
К
4
(14.212)
Именно на применении этой формулы и основана оценка траты времени гравитационной энергии нашего Солнца на свечение (см. выражение (8.20)). • З а д а ч а 14.21. Найти энергию элементарного колечка в гравитационном поле одно родного плоского диска. Решение. Дифференцируя по R выражение (14.132), находим 2
W„ = -S*Go- R4R
= -
G
M
™
M
\
(14.213)
т Рассмотренные примеры несложные. Но метод дифференциации позволяет решать и более трудные задачи. С его помощью можно находить энергию расположенного на эллип соиде любого элементарного слоя (а не только гомеоида или фокалоида). В случае одно родного слоя для этого следует продифференцировать по параметру т выражение потенци альной энергии однородного эллипсоида (1.65), предварительно заменив там полуоси на aitnoti (m): dW
= -IvGp-f[ М (m) I (m)] dm. о am Здесь величины M (m) и J (m) даны соответственно в (5.85) и (5.100). В частности, энергия элементарного ёомеоида на поверхности однородного (5.3) оказывается равной u3
эл
Речь идёт о методе дифференциации в широком смысле, см. § 2.11.
(14.214)
эллипсоида
1 4 . 1 3 . Э Н Е Р Г И Я ПЛОСКИХ ТЕЛ: ДЕВЯТЫЙ МЕТОД
dw^
= - m
n
2
G
p
_ ^ ±
2
V
a
F
{
U
!
q
)
d
m
=
_ G M ^
F
{
l
459
/
}
q
h
{
1
4
2
1
5
)
а
i "* з
где F (J/, q) — неполный эллиптический интеграл первого рода, а v = arcsin e i , q =
(14.216)
3
В простейшем случае сферического слоя отсюда сразу получаем результат (14.212).
§ 14.13. Девятый метод. Гравитационная энергия однородных плоских тел. Двумерный вариант формулы (12.28)
dV Рис. 131. Плоское тело с хордой между двумя элементами длины dL и dLf на его границе. / — кратчайшее расстояние до касательной к dL. За штрихована площадь элементарного треугольника
0
V
Плоская фигура площадью S ограничена контуром L и имеет поверхностную плотность а (х). Интегрируя по заданной площади тождество —
(архг)
+ ^
(<т<рх ) = 2atp + x g r a d (а<р), 2
(14.217)
получим выражение
jjdiv
[а<рх) dS = -AW 4- ^
x g r a d (crv?)d5.
Если плотность от координат не зависит, из (14.218) сразу следует двумерный формулы (12.26): W =
jj
A\v{
(14.218)
вариант
(14.219)
Применяя теперь формулу Грина для плоскости (см. сноску (1) в § 2.1), приводим (14.219) к интегралу по граничному контуру L Ириска = - | Jy
{xidx
2
-
x dx ). 2
x
(14.220)
Удвоенную площадь заштрихованного треугольника (рис. 131) можно записать также как rcos^dL, где г{х\ х ) есть радиус-вектор произвольной точки на контуре 1
2
460
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
фигуры, 7 — угол между г и внешней нормалью п к контуру, dL — элемент длины контура. Таким образом, приходим к двумерному варианту формулы (12.28): И^диска =
<j)
(p(xi,x )rcos'ydL.
(14.221)
2
L
Следовательно, для вычисления гравитационной (электростатической) энергии однородной плоской фигуры достаточно знать её потенциал только на контуре L. Заметим, что потенциал этот, входящий под знак интеграла в (14.221), нам уже известен и даётся контурным интегралом (2.7). Формула (14.221) становится пригодной для решения поставленной задачи. П р и м е р . В простом частном случае однородного круглого диска радиуса R угол 7 = 0 потенциал на границе даётся выражением (2.12). С учётом этого, формула (14.221) сразу даёт гравитационную энергию круглого диска (14.132). Вновь убеждаемся в полезно сти взаимного контроля разработанных методов. Используя интеграл (14.221), в качестве примера вычислим теперь энергию однород ного эллиптического диска с границей (4.1). Для решения поставленной задачи вначале параметризуем границу этого диска х\ = a i cos0, х = а sin б (0 < в < 27г). 2
(14.222)
2
Тогда 2
2
dL = \Ja\ s i n в + a* cos в d0,
(14.223)
а направляющие косинусы нормали п к эллипсу суть a cos0 щ = ——, аь d0 2
aisin0 п = — — . аь d9
ПЛЧПЛ\
(14.224)
2
Как легко видеть, г cos 7 dL = aia d6.
(14.225)
2
Остаётся подставить в формулу (14.221) выражение потенциала фигуры. Для вычисле ния в (2.7) cos S следует знать направляющие косинусы отрезка D из (1.31), длину которого можно записать в виде
2
2
D = \ja\ (cos в - cos0') + а\ (sinв - s i n 0 ' ) .
(14.226)
Очевидно, эти косинусы таковы: а\ (cos в - cos 9') 0i = — ^ л
^ а (sin в — sin в') 0i = — ft ' 2
(14.227)
так что cos S = niDi +n D 2
2
= - = ^ г [1 - cos в cos 0' - sin в sin в']. D • dL
(14.228)
1 4 . 1 4 . Э Н Е Р Г И Я Т Е Л С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ: МЕТОД ДЕСЯТЫЙ
461
Подставляя (14.225) и (14.228) в (14.221), после сокращения (в силу симметрии элементов длины dL и dV\ имеем 27Г 2 7 Г
1 - cos в cos в' - sin в sin в'
2
Списка —
Go
2
о о yja\ (cosO - cos в ' ) +
<*2 (
S I N
#
:Шв'.
(14.229)
-
Делая в этом двойном интеграле элементарные преобразования и вводя следующие обозна чения: в -в'
0 + 6'
(14.230)
= V,
после сокращения на sin£, имеем s i n £ d£dr)
(14.231)
4^
2
sin г) + a\ cos r)
Новая область интегрирования показана на рис. 132. Интегрирование по обеим переменным теперь выполня ется раздельно и двойной интеграл (14.231) сводится к однократному тг/2
drj J о \J а\ s i n г} + а\ cos rj
2
Ириска = -^Ga a\al
2
2
(14.232) следовательно,
2
W W a = -^Ga* a ai
К (e) = ~
2
^
^
K (e),
(14.233) где K(e) — полный эллиптический интеграл 1-го рода, j
р и с
-
1 3 2 ,
о б л а с т ь
интегрирования
в двойном интеграле (14.231)
а эксцентриситет диска е = J1 -
a\ja[.
В (14.233) и дана энергия однородного эллиптического
диска.
Для контроля заметим: формула (14.233) эквивалентна ранее найденной нами формуле (14.204) (очевидно, в последнем выражении у/а\ — а§ и есть наибольшая полуось эллипса, полученного там другим методом).
§ 14.14. Десятый метод. Гравитационная энергия однородных двумерных тел с логарифмическим потенциалом Действуем по аналогии с выводом формулы(14.221). Для нахождения гравитационной энер гии W двумерных цилиндров интегрируем потенциал (4.13) по dx\dx \ меняя порядок интегрирования по площади и по контуру, получим 2
W
m
=
Щ-JdV Jj ( я Ь Я - f )
dx dx . x
2
(14.234)
462
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
Во внутреннем интеграле переходим к полярным координаты и проводим интегрирование по dr. Тогда переменная точка х «садится» на контур, и в итоге приходим к следующему выражению для энергии : 11
2
^ц„л = ^ - j f
(^D lnD
-
cos-fCosj'dLdL'.
(14.235)
Здесь D = yj(xi - x[) + (x2 - x ) есть длина хорды между концами векторов х и х' на контуре, восстановленными из начала отсчёта к элементам dL и dV соответственно, а 7 и 7 — углы между нормалями к контуру в данных точках и хордой D. Очевидно, 2
f
2
2
;
(х\ - х[) dx2 - (х2
COS7 =
—
D
,
COS 7"У =
-
-
d
х' ) dx\ 2
;
L
(14.236)
(xi - х\) dx' - (xi - х ) dx[ 2
2
DdL*
.
Эти формулы завершают решение задачи. Таким образом, согласно (14.235), нахождение гравитационной энергии однородного двумерного тела сводится к вычислению двойного контурного интеграла по границе сечения данного тела. Обратим внимание: Выражение (14.235) — это двумерный аналог формулы (12.32). Отметим характерную особенность формулы (14.235): при заданной массе М на единицу длины цилиндра гравитационная энергия цилиндра будет зависеть не только от геометрии сечения, но ещё и от размеров фигуры (из-за членов типа In D ) . Этого и следовало ожидать, так как указанная особенность имеется и в самом потенциале (4.12). Поэтому и необходимо делать нормировку потенциала или выражения для энергии на единицу длины цилиндра. Для примера применим формулу (14.235) к цилиндру с круговым сечением с радиу сом R. Введём полярную систему координат с началом в центре круга и направим полярную ось в точку х'. Тогда D = 2Rsinf;
cos7 = cos 7' = s i n § ; dL = Rd6.
(14.237)
Следовательно,
W^.
„«л = ^
jdL'
j
3
4
AR s i n | ( i n 2 Д - § + lnsin § ) <Ю =
0
(14.238)
= | т г О / > R J s i n x ( i n 2R - | + In sin x^j dx = 2
4
4
0 2
2
= n Gp R
4
Здесь, как уже говорилось выше, М цилиндра. 11
2
(in R - I ) = GM ^
к р у ш т л
ц и л
(in R - l ) .
и W
.
Kpym
рассчитаны на единицу длины
Напомним, что энергия (и масса М , см. ниже) рассчитываются в данной задаче на единицу длины цилиндра.
1 4 . 1 4 . Э Н Е Р Г И Я ТЕЛ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ: МЕТОД ДЕСЯТЫЙ
463
Используем сейчас этот результат для сравнения гравитационных энергий однородных цилиндров, имеющих равновеликие по площади круглое и квадратное сечения. З а д а ч а 14.22. Вычислить гравитационную энергию двумерного однородного цилин дра с прямоугольным сечением. Решение. Пусть в сечении цилиндра лежит прямоугольник со сторонами а\ и а . Для решения задачи используем метод 2, применённый ранее к кубоиду (см. § 12.5), с учётом, однако, специфики найденного выражения потенциала (4.13). После многих преобразований, в итоге приходим к выражению 2
„ . £%L= {
W
_ I (, |). I 1)
61NW + 4 )
ln
+
ln
+
+
(14.239) T
Нормировку (14.239) удобно сделать на цилиндр с квадратным сечением а = а\ = а . Для последнего 2
Г*
цил =
2
А/ = f ^ = l {6 In ( 2 а ) - 2 In (2) 4- 4тг - 2 5 } . 2
(14.240)
Следовательно,
и/
2
ш
- GM
•^прямоуг. цил ~~ W квадр. цил —
-| (* 1)+ ln
+
8
Л
7n \ 12
а
\* D
I
A n
(г
+
о
I
V
а
а
Л,
2^
I
J
оШI 1 °2
V
. (14.241)
[S a r c t g S + g a r c t * S] - 4 1 n 2 - 4 *
Отсюда следует: среди цилиндров с прямоугольным сечением наибольшей по модулю энергией обладает цилиндр с квадратным сечением. Сравним теперь энергии равновеликих (по площади сечений) цилиндров с круглым и квадратным сечениями. Согласно (14.238) и (14.240), находим Округл цил - H W
2
2
иил = - 1 . 7 2 7 8 2 2 1 • 1 0 " M G .
(14.242)
Итак, цилиндр с круглым сечением обладает меньшей потенциальной энергией, чем цилиндр с равновеликим ему квадратным. Округление сечения тела энергетически выгодно! С анало гичной ситуацией мы встречались и в трёхмерном случае для кубоида (см. формулу (12.51)), но там речь шла о шаре. Замечания Материал главы разработан автором. § 14.1. Совокупность формул (14.3) и (14.4) дает для задач на потенциальную энергию перспективный метод — контролёр, но он годится и для нахождения энергии частей тела. Первоисточник: [21]. § 14.2. Пятый метод основан на осознании (вначале это была только гипотеза!) того, что взаимная энергия пары стержень — диск равна удвоенной полной гравитационной энергии исходного осесимметричного тела. Данный метод распространяется и на тела, имеющие эквигравитирующие «скелеты» из стержней.
464
ГЛАВА 14. Н А Х О Ж Д Е Н И Е ЭНЕРГИИ МЕТОДОМ СТЕРЖНЕЙ, МЕТОДОМ ПРОГОНКИ И ДРУГИМИ
Первоисточник: [21]. § 14,3. Задача о параллельных кольцах — прелюдия к узловой задаче о двух дисках. § 14.4. Новый материал о кольцах. Удивительно, что очень сложный определённый интеграл (14.41) удаётся представить вначале компактным рядом, а затем и выразить его в конечном виде (14.49) или (14.53). Первоисточник: [21]. § 14.5. Новый материал. Формула для взаимной энергии двух дисков важна не только само по себе, но она удачно используется затем и в шестом методе (метод «прогонки», или метод интегральных элементов) в задаче об энергии цилиндра конечной высоты. § 14.6. Теория пятого метода усовершенствована по сравнению с изложением в [21]. Впервые доказана важная теорема 1. § 14.7. Здесь решено много новых интересных задач. Даже шар проявляет себя с неожи данной стороны! Задача о пустотелой асимметричной линзе требует тщательного анализа многих частных случаев. § 14.8. Шестой метод предполагает расслоение тела на элементы. Здесь, в частности, могут пригодиться результаты гл. 5 по эллипсоидальной стратификации, а также формула для взаимной энергии двух дисков из § 14.5. Метод имеет важное практическое значение. Первоисточник: [21]. § 14.9. Новый материал. Задача об энергии цилиндра конечной высоты — очень крепкий орешек, и «по зубам» он оказывается лишь шестому методу. Здесь применён оригинальный способ преобразования двойного интеграла в однократный (см. преобразования (14.184)). § 14.10. Численный расчёт энергии для однородного кругового тора — это разведка для будущих аналитических исследований! § 14.11. Переход от слоисто-неоднородных эллипсоидов и сфероидов к дискам позволя ет находить не только потенциал (см. § 10.6 и § 10.7), но и гравитационную энергию дисков. Здесь применяется идея эквигравитирующих тел, детально разработанная в га. 9. Облегчает дело то, что нам уже известно, как по данному диску находится заменяющий его эллипсоид (справедливо и обратное!). Первоисточник: [21]. § 14.12. Метод вычисления энергии слоев путём дифференцирования общего выражения для W по параметру га допускает его обращение, т.е. интегрирование. Действительно, указанный выше шестой метод фактически и есть обращение метода дифференциации. Первоисточник: [21]. §§ 14.13,14.14. Формула (14.220) является двумерным аналогом выражения (12.28), а выражение (14.235) — это двумерный аналог формулы (12.32). Первоисточник: [21].
ГЛАВА 15
ПРИЛОЖЕНИЯ § 15.1. О гравитационной силе от мантии Земли и жидкого ядра на твёрдое внутреннее ядро Наша планета имеет слоистую структуру и во многих случаях её мантию можно предста вить толстой сфероидальной оболочкой малой сплюснутости с подобными слоями равной плотности. Легко убедиться, что в сравнении с влиянием Луны и Солнца, основную часть потенциала на точки внутреннего (твёрдого) ядра Земли даёт притяжение самой планеты. Обозначим через Ф\ (x,y,z) потенциал всей Земли. В состоянии покоя, когда геометриче ские центры ядра и мантии совпадают, потенциал Ф\ (x,y,z) — симметричная функция, и поэтому интегрирование grad<$i по объёму симметрично расположенного внутреннего ядра даст нуль. Несимметричный член в потенциале появляется только при смещении этого внутреннего ядра, и данная часть потенциала содержит три компоненты: гравитационное воздействие на пробную точку от самого твёрдого ядра, притяжение от внешнего жидкого ядра и, кроме того, от мантии Земли. Оценим их значения. 1, Потенциал внутри твёрдого ядра: вклад от самого твёрдого ядра и от внешнего жидкого Пусть R,p и Ri>pi- средние радиусы и плотности соответственно внешнего жидкого и твёрдого внутреннего ядра Земли . Начало системы отсчёта расположено в центре жидкого сферического ядра. Искомый потенциал состоит из суммы двух членов: 1
Ф\(г) = <Роб(г) 4-^смещ.шараИ.
(15.1)
Здесь ^об(г) =
2
2
2
[3 ( Я - Я ) - h - 2hr\
(15.2)
— потенциал в пустой сферической каверне радиусом R\ неконцентрическим образом рас положенной внутри однородного шара радиусом R (смещение центра каверны равно h)\ с точностью до обозначений этот потенциал был получен у нас в (6.39). Второй же член в (15.1) y
Ремсщ. шара(г) = | т г С
[ЗЯ - (г - Ь ) ] 2
Л
2
(15.3)
и есть потенциал смещенного на величину h однородного шара радиуса Я ь которым моде лируется само твёрдое ядро. Поэтому на единицу массы сместившегося на h твёрдого ядра действует гравитацион ное ускорение ^
ядра
= -^7vG{ r Pl
- (
Pl
-p)h).
Тогда сила, действующая в целом на твёрдое ядро, будет равна 1
(15.4) 2
Плотности внутреннего и внешнего ядра полагаем здесь постоянными, так как учёт неоднородности фактиче ски не меняет конечного результата. Разумеется, в целом внутреннее ядро само на себя не воздействует. 2
30. Кондратьев Б П
466
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
///
gradФl<Л/ = -^GpVxh,
Vi = |тгЯ?.
(15.5)
З а д а ч а 15.1. Дать вывод формулы (15.5). Решение. Имеем h = (h h , h ), a r = (x, г/, z). Сделаем перенос сначала сфериче ских координат в конец вектора h: тогда Xi
y
z
# =h + sin б cos А, у = h + uR\ sin в sin A, 2 = h + гхЙ1 cos0, x
y
z
или r = h + uR\ [sin б ( i cos A + i sin A) + i cos в]. x
y
z
2
Якобиан преобразования равен J = R\u sin 0. Теперь интеграл в (15.5) действительно дает требуемый результат:
///-
grad<&idV =
= - ^TTGRI
J u du J sin в dO j {pi uRi [sin в (i 2
x
o o 1
cos A + i sin A) -f i cos 0] + рЛ} dA = y
z
о 27Г
7Г
= ~KGR\ J u du J sin0d0 J {piuR\\ 2
z
0
0
1
cos0 + p/i} dA =
0
2тг
7Г
= -|тгСД?/Ж У u du J smOde j dX = -^Tt GR\ph 2
2
= -|irGpVifc. (15.6)
2. Потенциал внутри твёрдого ядра: вклад от мантии Моделируем мантию толстой слоисто-неоднородной оболочкой со слегка отличающимися от сферических эллипсоидальными слоями равной плотности. Для исследования гравитаци онных свойств мантии обратимся к формулам § 6.10. Поскольку потенциал внутри оболочки даётся формулой (6.140), сила на единицу массы при сделанных предположениях равна 77.
_
dtp дх x=h
= -2A h x
(15.7)
Xy
x
где А\ из (6.141). Но по теореме о среднем значении Ai (п) « T T G / W [Ai (1) - Ai (n)],
где средняя плотность мантии р
м а н т
(15.8)
« 4 - ^ , так что для отношения силы
(15.7)
к
(15.4)
см
имеем " =
* 9U Г ядра
P
2 (pi -
Л^ р)
"
A
l
•
( 1 5
-
9 )
15.2. КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛА ПРИ ГРАВИТАЦИОННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ВЕЩЕСТВА
467
Здесь, согласно современным данным [10], 3? 2(/>i-p)
(15.10)
а (1) - Ai (n) »
(15.11)
(e^ - e|) » ^ (e„„. а - e ) , pa
ядР
e
причём мы использовали разложение (6.84). Но так как £ . ядра — £е ~ 8 • 10 , то 4
вн
v « 4 • 101-3
(15.12)
Итак, гравитационным влиянием мантии на сместившееся внутреннее ядро можно пренебречь, оно оказывается много меньше влияния на него внешнего жидкого ядра.
§ 15.2. Количество тепла при гравитационной дифференциации вещества в недрах Земли Как известно, Земля состоит в основном из четырёх химических элементов: кислорода, кремния, алюминия и железа. Согласно современным представлениям, при зарождении Зем ля могла быть однородной по плотности и все химические элементы были перемешаны. В дальнейшем эволюция Земли могла происходить по следующему сценарию: наиболее тя желые элементы (железо) постепенно «опускались» вниз к центру Земли, а более легкие (алюминий и кремний) «всплывали» к поверхности. Происходил процесс гравитационной дифференциации вещества, который сопровождался уменьшением модуля гравитационной энергии Земли и переходом части её в теплоту. Оценим эту теплоту чтобы знать, могла ли Земля когда либо быть в расплавленном состоянии. Итак, полагая Землю вначале однородной и опираясь на современные данные о вну треннем строении нашей планеты, найдем величину изменения её гравитационной энергии в ходе совершившейся перестройки структуры. Для этого, рассматривая разность гравитационных энергий однородного и неоднород ного шара заметим, что эта величина сводится к разности одних только внутренних частей гравитационных энергий шаров (действительно, согласно формуле (8.139), внешняя часть Мвнешн не зависит от характера распределения плотности внутри шара). Таким образом, имеем внутр*
(15.13)
Здесь, согласно первой формуле в (8.137), 2
1 MG 10 R
(15.14)
а согласно (8.124), в случае шара я
(15.15) о
где g (г) — гравитационное ускорение в пробной точке г. 30*
468
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
По данным формулам можно сделать численные оценки. Из теоретических моделей одной из самых простых является двухкомпонентная модель неоднородной Земли (см., на пример, [43]). В этой модели Земля разделена на ядро с радиусом г = 0.548 R и посто янной плотностью р = П - ~ , и внешнюю однородную оболочку (мантию) с плотностью см* рт — 4.437-Ц-. При этих значениях плотностей должны соблюдаться условия равенства мо ем** мента инерции и полной массы данной модели и реальной Земли (М = 6-10 г). Например, последнее условие выглядит так: с
с
5
27
3
3
pR = р
т
( Я - р\) + Perl
(15.16)
Здесь р = 5.517-Ц- — средняя п, плотность, a R = 6.371 км — средний радиус нашей планеты. см* Кроме того, в этой модели д = |тгС/о г, г < г , (15.17) 5
с
с
с
(15.18)
9т = поэтому 2
W»«yrp = - § * G { \plrl + (
Рс
- ) Г* + \ Рт
2 Р
5
т
5
(Д - Г ) + с
Р
т
3
(
Рс
2
3
- ) Г (Я - р ) } . Рт
С
с
(15.19) Подставляя (15.14) и (15.19) в (15.13), находим величину теплоты равной Q = AW
38
BHyi
30
p ю 1.9 • 10 эрг = 4.58 • 10 кал.
(15.20)
Эту величину можно сравнить с результатом расчётов, разделяя Землю уже на много слоев, т.е. по формуле
где gi — среднее значение ускорения в слое с радиусами Ri-i и Д*. Это даёт вместо (15.20) более точное значение 3
30
Q « 3.23 • 10 кал. (15.22) Как видим, совпадение хорошее. Заметим, что величина (15.22) несколько меньше, чем у Еськова [16], с. 30, где приводится значение Q = 4 • 10 кал. 30
§ 15.3. Разложение в ряд внутреннего потенциала широкого кольца, заполненного розеточной орбитой Рассмотрим опять широкое кольцо с распределением поверхностной плотности (3.69) и найдём ряд, представляющий потенциал кольца внутри сферы г < г . Это полезно знать для различных астрофизических приложений, например, при нахождении фигуры равновесия центрального тела у планеты Сатурн или в кольцевых галактиках. Решение поставленной задачи ищем в виде ряда по полиномам Лежандра р
оо D
n
^виутр = GJ2 nr Pn
(COS0)
71=0
с коэффициентами разложения 3
Распределение gi по внутренним слоям Земли было взято по известной модели Буллена [10], с. 275.
(15.23)
15.3. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ВНУТРЕННЕГО ПОТЕНЦИАЛА ШИРОКОГО КОЛЬЦА
469
(15.24) В силу симметрии кольца п должно быть чётным п = 0,2,4,.... Точка Точка интегрирования (г',0') находится в плоскости самого кольца. Тогда очевидно, И (п- I V P ( c O S 0 ' ) = <*n = ( - l )
2
К
}
пи
n
"
0'
= - | и, (15.25)
Поэтому d
D = 2тгСа / J r y/(r -r){r n
r
(15.26)
п
n
-r )
a
p
Для взятия интеграла (15.26) выполним ряд преобразований. Положим (15.27) тогда n
s ~4s J^JvР J
\/{S
Г
(15.28)
~ S)(S
a
-
S) p
Еще одна замена будет следующая: Sd ~\~
s
Sp
a
H
s=
Sp
r
COS T,
(15.29)
0 ^ Г ^ 7Г,
так что • (1 - cosr),
S - S= a
(15.30) S
(1 + COST)
S-n
Sp
T
a
(15.31)
s
a
H~
dr.
•COST
Наконец, переобозначим функцию от параметров s n Sa
n-1
Sfi
Sp
p
"f"
Tp
(15.32)
Легко видеть, что Sa ~\~ S
p
2
= s/SaSp\/x s
»
2
ч/х - l '
-
1.
(15.33)
Таким образом, в выражении для коэффициента £>„ из (15.31) имеем известное интеграль ное представление Лапласа для полиномов Лежандра 7Г
Fjb (ж) = \ J (х + cosr-\/x - 1) dr. 2
(15.34)
470
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
Поэтому 2
D = 2тг Са (г г ) n
п
а
гр
р
(
п - 1
).
(15.35)
В частности, для п = 0,2,4 имеем
2
р
г
=
Г
2
£> = 4
Г
_7Г С « + Р
М 2(r r )i
(r„r„)f
0
( 1 5
p
ЗМкольца 5 (г* + г | ) - 27г Г 64 г (г Г ) а
3 6
>
р
2
а
р
где полная масса кольца Мюлыи дана в (3.70). Искомое разложение внутреннего потенциала кольца имеет поэтому вид
—+
if (г, в) = СЛ/кольца ^ ^ q p T
^
2(г г )2 а
4
Г Р
4
(COS0) + . . .
64(г г )2
р
а
р
(15.37)
§ 15*4. Потенциал искривлённых дисков Нередко спиральные галактики имеют искривлённые диски. Пространственный потенциал таких некомпланарных дисков вычислить, как правило, нелегко. Не вникая в геометрию дисков реальных галактик, рассмотрим здесь только два сравнительно простых варианта. 15.4.1. Потенциал тонкой галактики, искривлённой в виде части сферы В одном из самых простых случаев некомпланарную галактику можно попытаться моде лировать диском, искривлённым в виде части тонкой сферы с однородной поверхностной плотностью а — const. Такая модель галактики будет представлять собой известную нам сферическую «чашу». Её потенциал на оси симметрии имеет следующий вид: ч
-
„ Jxl + R - 2Rx cos0o - R + яз
ф (х ) = 2TTGCR^^ 3
2
z
щ
(15.38)
(начало отсчёта в центре образующей сферы). Замена хз —* хз — R означает перенос начала отсчёта на «дно» чаши. Тогда для точек хз > 0 чаша обращена к ним выпуклостью, при хз < 0 — вогнутостью. Кроме того, в рамках данной модели можно вычислять и пространственный потенциал. Его, как мы знаем, можно найти с помощью эквигравитирующего стержня (9.114). З а д а ч а 15.2. С помощью эквигравитирующего стержня (9.114) найти простран ственный потенциал сферической чаши.
§ 15.4. ПОТЕНЦИАЛ ИСКРИВЛЁННЫХ дисков
471
15.4.2. Потенциал на оси симметрии 0 ж вогнутого неоднородного диска 3
Пусть распределение поверхностной плотности имеет вид с (г) = а у 1 Обозначим (см. рис. 133 ) г = RsinO. Тогда г
0
ш а х
= ,Rsin0 и
у Потенциал на оси симметрии даётся интегралом
o
S111
(15.40)
0о
smejl-^^de
$0 2
V
(15.39)
= <т cos0.
0
(15.41)
0
2JRX cos0 3
или, после замены х = cos 0, KGOQR
(х - COS 0о) (х + COS 0Q)
2
VP(x ) = 2 sin 0о\/2Яхзг 3
/
2
Х +
COS 00
Д + *1 2Ях
dx. Рис. 133. К задаче об ис кривлённом диске
3
(15.42) Вводя обозначения .
/1 + 6
,
с-Ь
(15.43) 2
а = cos 0о,
Д + х§ с= — 2Дх '
b = — cos 0o,
(15.44)
3
имеем: 1) для 0 < 0 <тг/2 О
у ( ж з )
2 ^ а о Д З / Ч
=
(
1
+
а
+
2 ф
3sin0 vl^3|
,/(1-а)(1-с) 1-6
o
(15.45) - 2 v / a ^ c [aF (i/,fe)+ сЕ {и, к)] } ; 2) для ^ < 0 < 7г параметры а и 6 в (15.45) меняются местами. Итак, потенциал на оси симметрии диска данного вида выражается через неполные эллиптические интегралы. Заметим, что в обоих рассмотренных случаях начало системы отсчёта находится в центре шара. Чтобы перенести начало оси х на дно «чаши», в формулах надо сделать замену х —> х + Д. Тогда, кстати, сменой знака у х потенциал можно измерять уже по обе стороны «чаши». З а д а ч а 15.3. Выполнить численный анализ формулы (15.45), 3
3
3
3
472
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 15.5. Эллипсоид как динамическая модель Знание потенциала слоисто-неоднородного эллипсоида является важным как для теорети ческих исследований по математической физике, так и для приложений во многих областях механики и астрономии. Достаточно сказать, что многие фигуры равновесия: лабораторные сгустки плазмы, планеты, звёзды, шаровые скопления звёзд и эллиптические галактики, имеют внутреннее распределение вещества, которое с успехом можно моделировать слои сто-неоднородным эллипсоидом. Разработанный математический аппарат автор применил для исследования динамики эллиптических галактик (см., например, [21]). Не имея воз можности подробно остановиться здесь на интересных вопросах динамики Е-галактик, мы ограничимся анализом только некоторых актуальных задач. Пусть слоисто-неоднородный эллипсоид находится в стационарном состоянии и вра щается с угловой скоростью ft вокруг оси Охз. Диагональные компоненты вириального уравнения 2-го порядка в системе отсчёта, связанной с осями эллипсоида, имеют вид [20]: 2Т
2
n
+ П п + / ц П + 2QJ pu x dV
2Т + W
22
+П
И^зз + П
= О,
и
+W
22
3 3
2
x
2
2 2
+ / г П - 2ilJpuix dV v 2
2
= О, = 0,
(15.46)
где нам неизвестны лишь Ti> = \ Jpu dV
(15.47)
iUj
V
— тензор кинетической энергии упорядоченного движения вещества, учитывающий вну тренние течения в эллипсоиде, и dV
(15.48)
— тензор энергии хаотического движения; и — вектор скорости упорядоченного, а (х - и) — остаточного движений. В системе отсутствует меридиональная циркуляция и положе но Тзз = 0. Последний член в первых двух уравнениях (15.46) описывает действие силы Кориолиса, причём в случае прямых (относительно направления вращения конфигурации) токов вещества следует брать щ < 0 и и > 0, а для противотоков: щ > 0 и и < 0. Урав нения (15.46) позволяют исследовать динамику конфигураций как с изотропным давлением (Пп = П = П з), так и с анизотропным (Пп ф П ф П33). В качестве меры анизотропии возьмём отношение , к=Ц+П22 2
2 2
2
3
2 2
(
5 4 9 )
Для системы с изотропным давлением к = 1, но обратное не верно, так как при к = 1 возможно и П п ф П . Складывая первые два уравнения в (15.46) и исключая с учётом третьего и выраже ния (15.49) для компонент П^-, получим формулу для энергии вращения конфигурации в инерциальной системе отсчёта 22
Т
В Р
= I (2kW - W 33
n
- W ). 22
(15.50)
Подчеркнём: вид этой формулы не зависит от того, имеет конфигурация только твердотельное вращение или только внутренние вихревые течения, или то и другое одновременно.
§ 15.5. ЭЛЛИПСОИД КАК ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
473
Из формулы (15.50) следует, что Т несимметрична относительно компонент тензора гравитационной энергии. Вследствие этой несимметричности и характерного для эллипсои дальной конфигурации с а* > a,j неравенства Wu < Wjj возможны следующие комбинации: а) вращение вокруг короткой оси: В Р
а < ai ф а , 3
2
W
33
>W
n
фW ;
(15.51)
W
22
>W
33
>W;
(15.52)
W
33
<W
u
фW .
(15.53)
22
б) вращение вокруг средней оси: a
3
u
в) вращение вокруг длинной оси: a > ai ф а , 3
2
22
Далее, из первого и третьего уравнений (15.46) легко получить равенство AW = И^ - W 22
33
=П
3 3
- П
2 2
- 2Г
2
22
- 1 П + 2Slf (m x dV v 22
x
2
(15.54)
y
позволяющее проконтролировать, вокруг какой — короткой (при AW < 0) или средней (при AW > 0) — оси вращается конфигурация. Если в динамической модели величина внутренних течений задаётся некоторым параметром (как в жидких эллипсоидах Римана, см. гл. 8 в [21]), уравнение Д W = 0 определяет критическую конфигурацию а = а перехода от фигур с вращением вокруг малой оси к фигурам, вращающимся вокруг средних осей. При отсутствии такого параметра (в самосогласованных бесстолкновительных эллипсоидах, см. га. 10 в [21]) уравнение (15.54) должно тождественно удовлетворяться. Вращение вокруг средней оси, как следует из (15.54), возможно для фигур с изотроп ным давлением (к ним, строго говоря, относим только жидкие или газообразные) лишь при наличии сильных противотоков, а для бесстолкновительных фигур с анизотропным дав лением — как при сильных противотоках центроидов, так и без них, при условии наличия требуемого соотношения между течениями и анизотропией дисперсии скоростей. Учитывая указанную выше возможность вращения моделей вокруг средней оси, нельзя забывать об изучении их устойчивости. Хорошо известно, что свободное вращение твёр дого эллипсоида вокруг средней оси неустойчиво. Совершенно иначе следует подходить к исследованию на устойчивость вращающихся жидких и бесстолкновительных эллипсоидов, имеющих внутренние усреднённые течения. Среди жидких эллипсоидов Римана существу ют фигуры, вращающиеся вокруг средней оси и остающиеся устойчивыми в глобальном отношении [47]. Также устойчивы при вращении вокруг средней оси некоторые из бес столкновительных эллипсоидов Фримана (см. гл. 10 и 11 в монографии [21]). С этой точки зрения следует серьёзно отнестись к гипотезе Кондратьева [28] о вращении некоторых из эллиптических галактик вокруг средней оси. Вращение же вокруг длинной оси может осуществляться только в бесстолкновительных эллипсоидах . Для этого должно выполняться: 2
3
4
k k
< <
_W + W * * 2W * k
n
22
33
Легко видеть, что /с < 1. кр
4
Речь идёт, подчеркнём, только о гравитирующих фигурах. В присутствии же собственного магнитного поля даже конфигурации с изотропным давлением могут вращаться вокруг длинных осей.
474
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
З а д а ч а 15.4. Показать, что для эллипсоида с подобными слоями зависит от распределения плотности и равно
вообще не
_ А\а\ + А а% " 2А а ' 2
к к р
2
3
Решение. Оно легко следует из выражения (8.89). • Преобразуем формулу энергии вращения (15.50) конфигурации в случае изотропного давления k = 1. Подставляя туда компоненты тензора гравитационной энергии Wij из (8.88), после многих преобразований получим Т
ър
= Т -Т -Т г
2
(15.55)
3)
где 1
Т =^ г
Jdmp{m)M(m)-£о
2
[т (^i(m)a? + 4 ( m ) a ^ ( m ) ) - 2 4 ( m ) a ^ ( m ) ] , 2
3
l T 2
= ^rJ
dm
m
P ( ) (*i;3 ( ™ ) ^
B
i 3 (m) + N
2;3
(m) -£^B
23
(m)),
(15.56)
о l
T = nGJdmp(m) | t f (m) ^ + (In (m) + 2 / (m)) ^ ] . о Здесь Bij (m) получаются из (8.78) заменой a; на a* (га). Специальный анализ показал, что для широкого диапазона внутренних структур эллип соида наибольший вклад в величину энергии вращения даёт член Т\\ вклад членов Т и Г будет мал; в частности, член Т в силу очевидного 3
1;2
3 3
2
3
2
dBjj _ дВц deu dm де\2 dm
дВц de\ де\ dm
дВц de де dm '
3 +
23
3
23
оказывается незначительным из-за малости входящих в него производных -^—Выoeij Для конфигураций с подобными слоями Т = Тз = 0; для них 2
1
Т
вр
= Ti = ^
(I - ЗА а ) j dm p (m) М (m) b 2
3
2
3
(15.57)
и, согласно (8.86), отношение
'-•nNt'-^)
->
(15 з8
вообще не зависит от распределения плотности вещества. Этот факт замечателен: отношение энергии вращения к гравитационной энергии у неод нородных эллипсоидов, состоящих из подобных слоев, в точности совпадает с одноимённым отношением для классических однородных фигур равновесия (сфероиды Маклорена или эл липсоиды Якоби) и является функцией только эксцентриситетов слоя. Если же слои равной плотности не являются подобными друг другу, т.е. профиль сплюс нутости слоев отличается от линий = const, то все характеристики модели: масса, грави тационная энергия, энергия вращения и отношение t из (15.58) зависят от конкретных для
§15.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ГАЛАКТИК
475
данной модели профилей плотности и сжатия поверхностей равной плотности. Отметим следующее. Численные расчёты показали, что характеристики моделей тем сильнее зависят от профиля сплюснутости, чем больше в них концентрация вещества к центру. Влияние про филя сплюснутости на массу, гравитационную энергию и энергию вращения эффективнее в модели вытянутого сфероида, чем в модели сжатого; напротив, его влияние на T / | W | заметнее у последнего. При одинаковых профилях плотности и сплюснутости слоев вели чина Г /|И^| у вытянутого сфероида всегда меньше, чем у сжатого. Однако это различие уменьшается с возрастанием концентрации вещества и отклонения профиля сплюснутости от линии Eij — const. B p
вр
§ 15*6» Моделирование эллиптических галактик Остановимся теперь на некоторых элементах динамики эллиптических галактик. 15.6.1. Интересная геометрическая задача До 1975 года наблюдаемую сплюснутость эллиптических галактик пытались объяснить их вращением. Сказались традиционные представления о связи между сплюснутостью и вра щением в жидких и газовых конфигурациях с изотропным давлением. Однако, как только удалось измерить вращение у некоторых Е-галактик (Bertola и Capaccioli [51]), был обна ружен удивительный факт — значение этого вращения в среднем составляло лишь i пред сказанного моделями . Учитывая сглаженную форму нормальных Е-галактик, говорящую о стационарности в целом этих объектов, встаёт вопрос о природе той причины, которая могла бы играть роль в формировании фигур эллиптических галактик. Чтобы моделировать, надо знать внутреннюю структуру эллиптических галактик. Пре цизионными измерениями установлено, что у большинства Е-галактик изофоты являются правильными эллипсами (Carter [56]). Особенно уверенно можно говорить об эллипсоидальности наиболее ярких внутренних изофот. Это немаловажно, так как именно внутрен няя плотная часть определяет динамические свойства всей галактики. Можно считать эл липсоидальными и слои равной плотности, поскольку в Е-галактиках отношение массы к светимости мало изменяется с расстоянием от центра (Strom К. Н., Strom S. Е. [70]). Итак, в проекции на картинную плоскость наблюдатель видит галактику в форме эл липса. Какова же её пространственная форма (точнее, форма слоев равной плотности)? Возможны варианты: сжатого сфероида, вытянутого сфероида и трёхосного эллипсоида. Были разработаны (Кондратьев и Озерной, [30]) наблюдательные тесты, позволяющие пред сказать, какая именно форма у галактик предпочтительна. Пусть наблюдатель связан с системой координат Ох 1X2X3, а произвольно ориентиро ванный трёхосный эллипсоид (5.3) — с системой О Х 1 Х 2 Х 3 . С помощью матрицы перехода от системы координат наблюдателя к системе эллипсоида (см. рис. 134) 5
•л
cos a cos 7 — sin a cos /3 sin 7 — sin a cos 7 — cos a cos (3 sin 7 sin /3 sin 7 cos a sin 7 + sin a cos/? cos 7 — sin a sin 7 + cos a cos 0 cos 7 — sin/?cos7 sin a sin /3 cos a sin /3 cos (3
(15.59)
запишем уравнение (5.3) в системе Ох^х^х^ и спроецируем видимую фигуру на плоскость О Х 2 Х 3 , являющуюся картинной для наблюдателя. Уравнение проекции имеет вид 5
Уточним сказанное. По современным сведениям [17], эллиптические галактики подразделяются на два класса в соответствии с их морфологией и кинематическими свойствами: на гигантские галактики и галактики средних и карликовых размеров. Гигантские Е-галактики действительно вращаются очень слабо; вероятно, это трёхос ные конфигурации, вытянутая форма которых поддерживается, главным образом, за счёт анизотропии дисперсии скоростей. Но есть класс промежуточных галактик и галактик низкой светимости; их форма (возможно, осесимметричная) поддерживается быстрым вращением. Это так называемые ротаторы с почти изотропным давлением. Таким образом, выше мы говорим только о галактиках первого класса.
476
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
xf {R\ - R!R ) + 2x° x° 2
2
2
3
{R Ri3
-
12
2
Д1Я23) + xf (R
-
l3
R1R3)
+ Ri = 0,
(15.60)
где введены обозначения 3
a?
(15.61)
a aij — члены матрицы А. Угол между малой осью эллипса (15.60) и осью Ох% равен 2 (Д12Д13 -
tg 2ipf =
^13 ~ Л 1 Д 3
Д1Д23)
—Д
2 2
+
(15.62)
Д1Д2
После преобразований этого выражения получим изящную формулу Q32A33 2 2
tg 2у/ == 2
2
2
Q32 ~~ ОЗЗ 2 2 Ul
, Q22A23 2 2
"г
0
2
а
0
2
0>\2<1\3 a2 a2
,
~ Г "~
I 2 2 ~ ^23 I* о 2о 2
2
3
2
2
(15.63)
С другой стороны, уравнение проекции оси вращения О х на ту же плоскость Ох х% имеет вид х = - х% cos a tg /3. Обозначая через р угол между этой проекцией и осью Ох°, легко показать, что 3
Рис. 134. Эллипсоид, связан ный с системой коорди нат ОХ1Х2Х3, которая произ вольно ориентирована отно сительно системы координат 1 X 2 ^ 3 . Показаны мериди ональные сечения эллипсоида и углы Эйлера а, /?, 7
Q
, Д12 ~ 1 3 I ' 2 2
2
2
tg 2ip= -
2 cos ос sin /3 cos /3 cos ft - cos a sin /3 2
2
2
(15.64)
Рассмотрим частные случаи: а) а\ = аг > аз (сжатый сфероид); в этом случае формула (15.63) даёт результат, тож дественный формуле (15.64). Таким образом, если галактика имеет форму сжатого сфероида, проекция малой оси на кар тинную плоскость совпадает с направлением оси вращения при любой ориентации галак тики относительно наблюдателя; б) а = аз < а\ (вытянутый сфероид). Из (15.63) легко видеть, что для этого случая, вообще говоря, нет совпадения оси вращения и видимой малой оси, т. е. у ф <р'; в) а\ > а > аз (трёхосный эллипсоид). Наблюдатель будет гораздо чаще видеть несовпадение означенных осей (для совпадения требуется равенство нулю углов а или /?, что маловероятно). Таким образом, тест, позволяющий судить об истинной форме эллиптической галак тики, состоит в том, что в случае произвольно ориентированного сжатого сфероида ось вращения будет всегда видна совпадающей с видимой малой осью, а в случае вытянутого сфероида или трёхосного эллипсоида наиболее вероятно видеть эти оси несовпадающими. Последнее обстоятельство делает, кстати, несущественным для предлагаемого теста исполь зованное выше предположение о совпадении оси вращения галактики с её истинной малой осью. Действительно, тест чисто геометрический, и вращение галактики в кинематическом отношении может происходить вокруг любой другой оси. В частности, и кинематически, и динамически возможно вращение эллиптической галактики с внутренними течениями вокруг средней оси симметрии (Кондратьев [28]). 2
2
§15.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ГАЛАКТИК
477
Отметим, что при несовпадении истинной малой оси галактики с её видимой малой осью (т. е. если галактика — не сжатый сфероид) наблюдатель зафиксирует движение веще ства именно вдоль второй. В действительности же это — эффект проекции на неё вращения относительно первой оси. Но из формулы (15.63) следует ещё один тест. Как известно, у Е-галактик сплюснутость изофот, как правило, меняется от центра к краю. Так вот: если бы эллиптическая галактика представляла собой сжатый сфероид, то наблюдатель не зафиксировал бы эффекта наруше ния соосности изофот с расстоянием от центра (поскольку tg 2(р' не зависит от отношения осей); если же галактика — трёхосный эллипсоид, то эффект нарушения соосности изофот должен наблюдаться (из (15.63) следует, что для двух эллипсоидов разной геометрической формы углы <р* должны различаться). 15.6.2. Элементы моделирования Имеющиеся к настоящему времени наблюдательные данные свидетельствуют, что наряду с формами сжатого сфероида, некоторые Е-галаюгики (в основном — массивные) с высокой вероятностью имеют трехосную форму . Рассмотренный выше слоисто-неоднородный эл липсоид позволяет учитывать реальную структуру галактик , что даёт возможность строить индивидуальные модели последних с учётом наблюдаемых распределений поверхностной яркости и структуры изофот. Об этом мы можем сказать здесь лишь несколько слов. Распределение поверхностной яркости / у Е-галактик удовлетворительно описывается законом, который открыл Хаббл [60]: 6
7
гг!гт>
/ =
(15
-
65)
1 + /Jrrr где 0 < m < 1, /? — параметр, который находится выравниванием данных фотометрии. Подставляя (15.65) в известное интегральное уравнение 1
р (m) = I j V ^ ^ f ( i f ) dr m и сохраняя после интегрирования только главный член, получим р (т) » arctg ,//? f • (1 + рт ) У 1 + /?77Г Зная для выбранной галактики р (т) и е ( т ) , находим 1
2
2
Т - Г -Г *тотр = ——ГТ771 \W\ х
2
3
(15.66) 8
3 / 2
.
(15.67)
(15.68)
ЭТО отношение можно связать с наблюдаемыми у Е-галактик максимальной скоростью вра щения v p и дисперсией скоростей <г. Кривые вращения и профили дисперсии скоростей у этих объектов, как свидетельствуют наблюдения, почти плоские, и легко показать, что B
6
Предположение о трёхосной форме Е-галактик высказывали ранее Контопулос (1956) и из динамических соображений К. Ф. Огородников (1958). Кроме, конечно, галактик с особенной морфологией (например, галактик с двойными ядрами). Гравитационная энергия эллипсоида с таким распределением плотности дана в (12J1). 7
8
478
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
Вычисленное по этой формуле v /a следует сравнивать с наблюдаемым, что позволяет сде лать некоторые выводы о динамическом состоянии данной галактики. Раньше казалось, что указанное выше расхождение теории и наблюдений можно было ликвидировать единствен ным способом — лишь допуская у галактик существование сильной анизотропии дисперсии скоростей (Birmey [53], [54] Кондратьев [27]). Другими словами, подбором значения fc в формуле (15.50) устранялось расхождение теории и наблюдений. hp
Рис. 135. К динамике эллипсоида с подобными слоями и изотропным давлением к = 1: а — зависи мость Т„р/| W| от сжатия эллипсоида £13, вращающегося вокруг короткой (при 0 ^ / ^ 1) или средней (при I < 0) оси. Случаи / = 1 ( = 0 ) относятся к сжатому (вытянутому) сфероиду; б — зависимость v /<7 от £13. Обозначения те же. Все v умножены на фактор проекции р: для сжатого сфероида р =г 7г/4, а для трёхосного взято среднее значение р « 0.85. Крестики — данные наблюдений для 14 эллиптических галактик, взятые из статьи [61] Bp
Bp
Но бесспорно ли то, что все эллиптические галактики вращаются вокруг наименьших своих осей? Сейчас в этом нет уверенности, а значит, надо допускать и другие возможные варианты с ориентацией оси вращения у этих звёздных систем. Как мы уже знаем (см. § 15.5), для них динамика допускает вращение вокруг средних и даже длинных осей. Поэтому отказ от гипотезы обязательности вращения эллиптических галактик вокруг малых осей может дать ещё один способ для устранения упомянутого расхождения (Кондратьев [28]). Для иллюстрации этого эффекта проведём численные расчёты на простейшей модели с подобными слоями и при k = 1. Сжатия ортогональных сечений свяжем формулой 9
ез = 2
few
(15.70)
В интервале 0 < I < 1 вращение (относительно оси ОхзХ) происходит вокруг короткой оси: при 1 — 1 (=0) имеем сжатый (вытянутый) сфероид, а при любом промежуточном / — трёхосный эллипсоид. В случае же / < 0 эллипсоид вращается вокруг средней из осей (см. (15.52)). Результаты расчётов по формуле (15.58) приводятся на рис. 135, а (см. также рис. 135, б). Важность выяснения ориентации Е-галактик относительно осей вращения связана не только с построением новых динамических моделей, но и с возможным выяснением про исхождения и эволюции этих систем. Например, в известной схеме образования Е-галактик 10
9
Здесь — отзвуки классических представлений: ведь вращение эллипсоидов Якоби происходит именно вокруг малой оси. Формула (15.70) имеет смысл и при изменении знака /, так как тогда и £23 меняет свой знак. 1 0
§15.7. НОВАЯ ФОРМУЛА для УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ФИГУР РАВНОВЕСИЯ
479
в ходе бурной релаксации из сильно сплюснутых вначале систем следует считать к > 1, что делает невозможным вращение вокруг длинной оси. Следствием же другой гипотезы — образования эллиптических галактик в результате слияния двух звёздных систем — является любая теоретически возможная ориентация.
§ 15.7. Новая формула для угловой скорости фигур равновесия вращающейся гравитирующей жидкости Для такой важной характеристики жидких фигур относительного равновесия, как угловая скорость вращения Q, ранее было известно выражение только через геометрические па раметры фигуры. В конкретном же виде П было известно только для последовательности сфероидов Маклорена 2
О nGp
=
р
4
/
1
-
е
6
2
2
(15.71)
2
(3 - 2е ) arcsine - ^ {l - е ) ' е
3
v
2
и последовательности трёхосных а\ ^ а ^ аз эллипсоидов Якоби 2
J2L (Ai — коэффициенты внутреннего потенциала из (6.14)), у которых угловая скорость выра жается через е — эксцентриситет меридионального сечения фигуры. Выражение совершенно другого типа, причём для любой, не обязательно эллипсои дальной, однородной фигуры относительного равновесия, мы сейчас получим с помощью введённых в § 8.8 понятий внешней И^ н и внутренней W частей гравитационной энергии тела. Рассмотрим однородную жидкую фигуру равновесия, вращающуюся с угловой скоро стью Л вокруг оси хз. Уравнения гидродинамики принимают теперь вид внеш
UHyTp
2 2
2
(grad у?) = (grad
+ fiV - 2fi r - grad jj.
(15.73)
Интегрируя равенство (15.73) по объёму фигуры, получаем - S T T G H ^ =
J
(grad
fj
2
2
dV +
- 2П
J т . grad £ dV,
(15.74)
v где величина внутренней гравитационной энергии тела (см. § 8.8) определена равенством (8.124), а /з представляет собой момент инерции фигуры относительно оси хз : h= JJ p-r dV. (15.75) v Применим к первому члену в правой части (15.74) теорему Грина. Тогда, в силу исчез новения давления на поверхности фигуры 2
р , = 0,
(15.76)
получим /
V
= - / £ • Д ( ? ) «V =
*9tj2L
. П,
(,5.77,
480
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
где через П обозначен интеграл от давления П = JpdV v и лапласиан от нормированного давления равен
(15.78)
11
2
= - 2 (2nGp - П ).
(15.79)
Далее, третий член в правой части (15.74) с учётом определения П в (15.78) оказывается равным 2
2П J г grad %dV = - 4 0 ! . П. v Таким образом, уравнение (15.74) приводится к виду -87rGW
=
BHyip
(15.80)
+ 4тгс) П +
.
(15.81)
С другой стороны, согласно теореме вириала 2(Г „ + Г ки
тепл
) + ^ = 0,
(15.82)
где Ткин — кинетическая (механическая) энергия тела, а его тепловая энергия Ткпп = | J pdV, V
имеем 2
- З П = 2Г + Тополи = П / з + И^попн, вр
(15.83)
где W есть полная гравитационная энергия тела. Исключая П из (15.81) с помо щью (15.83), приходим к биквадратному уравнению для нормированной величины угловой скорости ft — h/y/nGp: nonH
4
2
6W
W
fi - 4fi (1 + г,) + *«™- ™» A
=
о,
(15.84)
где
Его корни = 2 11
1+, ± , ( 1 +, ) ' . ^ п - = 2
(15.86)
Кстати, именно при выполнении неравенства Пуанкаре Q ^ 2nGp лапласиан от давления отрицателен, что необходимо для реализации состояния равновесия фигуры.
15.8. ОБОБЩЁННЫЙ ФОКАЛОИД И ФИГУРЫ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
481
и определяют квадрат искомой угловой скорости однородной фигуры относительного раеновесия через её внутреннюю и полную гравитационную энергию. Здесь О -1, (15.87) причём точное равенство имеет место только для шара. Важно обратить внимание, что полученное выражение для угловой скорости содержит оба знака перед радикалом. Вопрос с выбором того или иного знака не является простым. Прежде всего, легко видеть, что формула (15.86) даёт для шара П = 0 при обоих знаках перед радикалом. З а д а ч а 15.5. С помощью выражений (8.137) доказать последнее утверждение. Поэтому заранее нельзя отбрасывать тот или иной знак в полученных решениях (15.86). Необходимо, однако, заметить, что только при знаке «—» формула
^
^
-
f
^
^
s
F
}
<•»•>
даёт известные классические выражения для квадрата угловой скорости сфероидов Маклорена (15.71) и эллипсоидов Якоби (15.72). З а д а ч а 15.6. Доказать, что для однородных сфероидов и эллипсоидов формула (15.88) действительно приводит к известным выражениям угловой скорости сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби. Решение. Для сфероидов Маклорена оно может быть получено после подстановки в (15.88) и последующих преобразований выражений W из (8.135), И^одн из (1.66) и очевидного / = 2/ЬМа . • Формула для угловой скорости (15.88) может применяться при численных расчётах новых последовательностей неэллипсоидальных фигур равновесия, которые ответвляются от сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби. Кроме того она может быть полезной также при доказательстве существования верхнего предела для угловой скорости. З а д а ч а 15.7. Попробуйте ответить на вопрос: существует ли двумерный аналог формулы (15.86)? hliyrp
2
3
§ 15.8. Обобщённый фокалоид и фигуры относительного равновесия вращающейся гравитирующей жидкости На поверхности фигуры равновесия вращающейся (не обязательно однородной) гравитиру ющей массы жидкости, как известно, полный потенциал (гравитационный плюс центробеж ный) должен быть постоянным: 2
Ф(х) = ^р(х) + ^(х
2
+ х ).
(15.89)
Обозначим эту постоянную через Фо и составим функцию F (х) = Ф (х) — Ф . Важно теперь заметить, что эта функция F (х) тесно связана с функцией s(x), вве дённой в § 5.13.2 в связи с рассмотрением обобщенного фокалоидного слоя. В самом деле, на границе фигуры имеет место равенство F = 0, а внутри эта функция удовлетворяет уравнению Пуассона 0
AF = -4nGp(x),
3 1 . Кондратьев Б П
(15.90)
482
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
где введена модифицированная плотность р(х) = р ( х ) - ^ .
(15.91)
Следовательно, с учетом условий (5.129) имеем соотношение s
[
x
)
=
F(x) -W'
( 1 5
-
9 2 )
Саму функцию F (х) можно тогда рассматривать как некий потенциал, равный сумме гравитационного потенциала тела заданной формы с внутренним распределением плотности р и потенциала слоя обобщённого фокалоида с поверхностной плотностью ' M - T i f e S r -
( , 5
'
9 3 )
Таким образом, потенциал исходного тела оказывается равен Утела (*) = «Рслоя (*) + f F (ж) .
(15.94)
Формула (15.94) позволяет, в частности, дать наиболее простое доказательство извест ного в теории фигур относительного равновесия важного неравенства Крудели 2
П < 1, rcGp
(15.95)
причём без принятого самим Крудели [45] ограничения на фигуру быть обязательно выпук лой.
§ 15.9. Неэллипсоидальные фигуры равновесия — двумерный случай I. Проблема неэллипсоидальных фигур равновесия вращающейся гравитирующей жидкости актуальна в современной астрономии. Некоторую грушевидность имеют, например, Земля и даже фигуры некоторых галактик. Весьма важно включить в рассмотрение неэллипсоидаль ных фигур внутренние течения, так как наблюдения говорят о том, что планеты, звёзды и галактики имеют внутренние поля скоростей. Однако до сих пор ограниченные возможности математического аппарата не позволяли провести полный нелинейный анализ неэллипсои дальных фигур. Два обстоятельства вызвали новую волну интереса к неэллипсоидальным фигурам. Это развитие современной астрономии и астрофизики, в частности, и применение мощных ЭВМ. Сейчас при объяснении наблюдаемых свойств у многих астрофизических объектов недостаточно знать лишь о теоретической возможности существования неэллипсоидальньгх фигур , а требуется умение в каждом конкретном случае рассчитывать форму фигуры, её угловую скорость, момент вращения и т.д. Фактически, на первом этапе надо уметь прослеживать ту или другую последовательность неэллипсоидальных фигур в целом и знать на ней финальные конфигурации. Появление ЭВМ даёт возможность ответить на некоторые из назревших вопросов. 12
Ввиду исключительной сложности задачи остановимся здесь на двумерных фигурах, последовательности которых берут начало от детально изученных нами (Кондратьев [21]) эллиптических цилиндров. 1 2
Ранее Джинсу [64] для объяснения переменности блеска цефеид достаточно было просто упомянуть в качестве модели вращающуюся грушевидную фигуру, демонстрирующую наблюдателю то тупой, то острый конец!
§15.9. НЕЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ — ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
483
П. Для поиска и изучения новых неэллиптических фигур равновесия нами были раз работаны два базовых аналитико-численных метода. Характерным для них является при менение методов теории функций комплексного переменного, включая теорию вычетов и конформные отображения одних геометрических областей на другие. Пригодность и целе сообразность методов проверялись при расчётах на практике. В основе методов лежит удобный для практической реализации критерий, для реали зации которого требуется знать гравитационный потенциал или комплексную напряжён ность поля не внутри, а только на границе однородной искомой фигуры. Первый метод Пусть Oxi £ 2 — плоскость, в которой расположена искомая фигура равновесия; в плоскости же Ох{х расположен круг единичного радиуса и центр его в точке z = 0. Внешняя об ласть круга конформно отображается на внешнюю область истинной фигуры при помощи преобразования (z = х\ + гх ) 2
2
оо (15.96) т=1 13
где \х и (З — коэффициенты, которые в данной задаче можно считать действительными числами. Отображение (15.96) переводит бесконечные точки в бесконечные же и отображают границу круга в границу истинной фигуры. Тогда уравнение границы фигуры при г = 1 будет т
оо (15.97)
Угол 1? играет роль параметра. В частности, если все = 0 и р, = R то (15.96) отображает окружность единичного радиуса в окружность с радиусом R. При y
р=
а\ + а
а\ — а
2
2
2
2
Р2=РЗ=
••• =0
(15.98)
формула (15.96) принимает вид 14 (15.99)
и преобразует эллипс на плоскости z (15.100)
в окружность на плоскости z. Несколько более сложен случай (15.101) Это связано с предполагаемой здесь симметрией контура фигуры относительно оси Ох\. Это — известная формула Н. Е. Жуковского.
484
ГЛАВА 15. ПРИЛО5КЁНИЯ
Тогда, как можно показать, x i = (/х + А ) х + Д (х? - 3$), Xi = (/х - ft) х - 2 f t x i x . г
2
t
2
Это преобразование окружности в грушевидную фигуру (напоминающее рис. 138). Пара метром её формы может служить коэффициент грушевидное™ ft//i. Учёт дальнейших коэффициентов ft позволяет получить конфигурации всё более слож ной формы. При расчётах использовалось до десяти коэффициентов ft. Слишком большое число коэффициентов Pi брать было уже не выгодно, так как приводило к потере точности. Используя отображение (15.96), можно найти все геометрические характеристики кон фигурации. Например: площадь фигуры 5
2
=4 м - £ ™ / & } ; ^ тп=1 J среднее значение абсциссы и ординаты
(
1 5 Л 0 3
>
оо
*
1=
1 nJ2( +
-з
m
+ М S (2т - 3)/З _!/? + т
+ £
т
т=2
т=1
кР р (Р -т т
к
m,fc=l
(15.104)
2
(j*
I
+ Рк+т)
к
-I *
^
т=1
'
х = 0, 2
представляющие координаты центра масс фигуры; момент инерции однородной фигуры относительно начала координат 7
=
2 (
т
2
~ * £ ^
(
т
•
i
}
^
~
ё
т=2
-
(
n
+
А
)
(15.105)
n,fc=l
(m-hn-fc)/? jff /?fcAn+n-fc|, m
m + n - А ^ 1.
n
m,n,fc=l
Логарифмический потенциал цилиндрической фигуры в точке x i , х можно предста вить контурным интегралом 2
^ In [xi - х 4- г (х - х )] + In [xi - х - г (х - х ) ] ^ dxi cfx . х
2
2
г
2
2
2
5
(15.106) 15
Воспользовавшись вспомогательным преобразованием : -£j {(xi - xi) In [xi - an +1 (x - x )]} + -^j {(xi - xi) In [xi - xx +1 (x - x )]} = axj ax 2
2
2
2
2
= 21n[x' - x i + i ( x '
x )1 I
x
x
i~ i j * ( 4 - ^2) x i - x i + г ( х - x ) x i - x i + г (x - x ) = 2 In [x' - x i 4- г (x - x )] -f 1, z
2
x
2
2
2
2
2
(15.107) 5
Это равенство почти очевидно.
§ 15.9. НЕЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ — ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
485
получим J J In [x[ — xi + i (x — s 2
dxi dx' =
#2)]
2
= i ^ l n [xi - x i + i (x' - x )\ {(x[ - xi) dx - (x - x ) dx[} 2
2
2
2
2
L
следовательно, сопряженное выражение j J In [x[ — x\ s
—
i (x — x )] dx[ dx = 2
2
2
= i j) In [xi - x i - г (X2 - x )] {(xi - xi) dxj 2
(X2
- x ) dxi} - ^ 5 . 2
Складывая последние два выражения, находим потенциал в виде Ч> {хих ) 2
= Gp{S-I),
(15.108)
где S — площадь сечения фигуры, а интеграл 2
I=
2
[(xi - x i ) + (х' - х ) ] {(xi - xi)dx^ - (х' - x )dx[} 2
2
2
2
(15.109)
вычисляется по контуру сечения фигуры. Рассмотрим контурный интеграл I. Точка интегрирования x i , х находится на самом контуре фигуры. Следовательно, по формуле (15.97) значения сопряженных координат мож но представить в виде 2
ос ,
оо
ie
ime
x +ix' = ie '+ l
2
Prne- '\
t
в
x i - ix' = це~' ' + £
^e
2
771=1
i m
»'.
(15.110)
771=1
Если и испытуемая точка ( х х ) также находится на контуре, то по аналогии можно запи сать ь
2
оо 1в
оо ime
X! + гх = це +
0me- ;
2
ime
xj - ix = це~" + ^7 f3 e . 2
т—1
m
(15.111)
m=l
Разность первых компонент оо
x i - х' = fi (cos0 - cos0') + ^2 P™, (cosm0 - cosm0'). х
(15.112)
m=l
Далее, очевидно, оо
2гх = 2/xzsin0 + 2z ^ 2
rn=l
оо
/? sinra0, т. е. х = /xsin0 + ^ m
2
m=l
/? sinra0, m
(15.113)
486
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
поэтому разность вторых компонент оказывается равной 0 (sinmO — sinra0 ). ;
х - х = II (sin0 — sin0') - ^ 2
2
Ш
(15.114)
m=l
Подставляя эти формулы под знак контурного интеграла / , после преобразований приводим его к виду 2тт
2?т
+ j N{6,6') In 4 sin'
f
1(в) = JN{e,0')\n{BB+)de о
0-0'
d0'.
(15.115)
о
Здесь введены следующие обозначения: ,
AT(0,0 ) = ^ s i n
:
sin m—-
sin ra-
2
h t?
m=l
оо
+//
m/3 sin
(15.116)
sin
m
m=l oc
+
k
PmPk Sin m,k=l
и функция под знаком логарифма оо
(15.117) т=2
Заметим: / из (15.115) представлен суммой двух членов с тем, чтобы выделить в подын тегральной функции сингулярную часть. В первом интеграле в правой части (15.115) подын тегральная функция особенностей не имеет. Но во втором интеграле 2тг
J
N{6,в')
In 4 sin'
0-0'
аргумент логарифма при 0 —• 0' обращается в нуль и появляется расходимость. Правда, расходимость эта устранимая — в силу известного замечательного предела lim (х • In ж) = 0. в — О'
Действительно, все члены функции N{6,6') содержат —-—, что и обеспечивает выполнение этого предела. Таким образом, логарифмичесий потенциал в точке на границе сечения однородной фи гуры даётся выражением (15.108), причём площадь S дана в (15.103), а интеграл / определен в (15.115). Имея всё это в виду, а также существование интересного равенства (докажите его!) 2тг
в-в'
2
In 4 sin'
в-в''
dO'
= тг,
(15.118)
§ 15.9. НЕЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ — ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
487
логарифмичесий потенциал в точке на границе сечения однородной фигуры запишем так: 2тг
^
= ~
Ж
Ё
т
$п
- J N (в, в') In (ВВ )
771=1
где
2тг +
dd'-JN
(в, в') In L
/ч
п
о
*
о
J
(0,0') дано в (15.116), а оо
N {в, в') = | 53 #« t С* + ') m
cos
6
m(?
c o s
М + ')] в
т=1
•
к
&гп/3к sin
ti'
ra
- t f l
(15.120)
.
sin[^(tf' +
tf)-fc0'\
rn,k—l
Все найденные величины (характеристики фигуры равновесия) рассматривались затем как функции коэффициентов /л и /З (га = 1,2, . . . , TV), определяющих одновременно и само конформное отображение. Точность приближения к истинной фигуре равновесия зависит от числа N членов в выражении (15.96). Используя уравнение уровенной поверхности (интеграл исходных уравнений гидроди намики) в виде т
* Т ^ **] ° °' (15.121) записываем это условие относительного равновесия в достаточном для дальнейшего анализа числе точек круга. Так создаётся система алгебраических уравнений для неизвестных / i , +
+
+
=
/?тИС
ЗД,/?т,ВД = 0. (15.122) Данная система алгебраических уравнений после регуляризации решалась на компью тере (причём, устойчивость расчётов повышается, если число уравнений к заметно превы шает число неизвестных), и находились значения / i и / ? . С этими параметрами конформ ного отображения, в итоге находилась форма и все другие характеристики искомой фигуры равновесия. По результатам расчётов мы прослеживали всю последовательность: от точки бифуркации до конечной конфигурации. т
Второй метод Делается, как и ранее, конформное отображение внешней области неэллиптической фигуры равновесия на внешнюю область круга единичного радиуса, включая его границу. При этом все ранее найденные выражения геометрических характеристик фигуры через коэффициен ты р, Р и здесь остаются в силе. Особенность же второго метода в том, что в точках на контуре истинной фигуры вычисляется не потенциал <р, а комплексная напряжённость ш
дх\
дх2
(15.123)
С точностью до несущественной постоянной, потенциал однородной двумерной фигуры равен tp(x) = -2Gp JJ Inrdx^dx^. Компоненты вектора комплексной напряжённости равны
(15.124)
488
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
дх\ dip dx
(15.125)
dip дх'
2
2
Знаки у интегралов (15.125) выбраны так, чтобы обход контура истинной фигуры в плоско сти Ох 1X2 проходил против часовой стрелки. Комплексная напряжённость Ф есть аналитическая функция: её реальная и мнимая части должны удовлетворять условиямКоши — Римана. Взяв ф
=
-i
Jx7 Jx7
=
F l - i F 2
( 1 5 1 2 6 )
'
легко удовлетворим этим условиям dFi
д
см
,
&Ч> ,&Ч>
«
(15.127) ^
Зх
= -JL(-F 2
"
дх^
2)
„ли
^
-
дхух
» "
2
д х Х1
2
Величина Ф будет представлена интегралом Ф = 2Gp j\nr{dx'
2
+ idx[) = 2%Gp j>\nrdz'+.
(15.128)
Очевидно, 2
г = \ - z'f = {z- z') (z+ - *'+). z
(15.129)
Поэтому Ф = iGp у In (г - z') (2+ -
<*г'+
(15.130)
Интегрирование в (15.130) проводится по контуру истинной фигуры. Если при интегра ции по dz' обход контура делается в положительном направлении, то в интеграле (15.130) обход при интеграции по dz' совершается в отрицательном направлении. Пробная точка z лежит бесконечно близко к контуру фигуры, причём с внешней его стороны. Разобьём теперь интеграл (15.130) на два: +
+
h = j>ln(z+ -z' )dz'+, +
(15.131)
/+
I = j In (z - z ) d * .
(15.132)
2
Так как внутри контура особых точек нет, интеграл Д =0.
(15.133)
Комплексная напряжённость будет поэтому равна / +
Ф = iGp j In (z - z+) c b .
(15.134)
§ 15.9. НЕЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ — ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
489
Выполним теперь конформное отображение внешней области круга единичного ради уса, расположенного в плоскости С = ^ i + ^2> на внешнюю область искомой фигуры в плоскости z * =
S ( C ) = K + £ / ? m C
W
(15.135)
.
тп—1
Коэффициенты р и / З вновь считаем вещественными. Тогда т
h = - j
[In (С - С') + Ь В] • ( ф
- £
1
mflnC*'"- ^ dC,
(15.136)
где В может быть записана в виде (15.137) В (15.136) возможны некоторые упрощения. Прежде всего,
«--'/ i^-?/(?-?^)*'-»ft
(15.138)
Далее, поскольку внутри контура особых точек нет, очевидно, что 14 = j
In (С - С ) C ' ^ - ^ d C ' = 0
(m > 1).
(15.139)
В итоге, искомая комплексная напряжённость на контуре фигуры будет равна {m
" -A\nBdA.
(15.140)
тп=1
Для практических вычислений интеграл по замкнутому контуру (15.140) может быть взят по частям . Делая это и учитывая, что проинтегрированный член обращается в нуль, получим 16
Ф = -2nGp {
а с
Здесь dB dC
=
(15.141)
v
_г_
(15.142)
СС .
S
m=2
S
4
/с=0
S
7
Условие относительного равновесия в точках на границе фигуры даётся, как можно показать, уравнениями 2
Re [(Ф + Q z+) dz] = 0, 1 6
Вычисление In В даже на ЭВМ требует много времени.
2
Im [(Ф + П г+) dz] = 0,
(15.143)
490
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
где
N
dz =
(15.144)
dC
.С т=1
Далее, на базе уравнений (15.143) создавалась система алгебраических уравнений для неизвестных \х и / З , которая решалась на компьютере. Все найденные выше выражения легко могут быть проверены на известных случаях цилиндров с круговым и эллиптическим сечением. Важно подчеркнуть, что результаты, полученные одним методом, контролировались с помощью другого. Угловая скорость П служила в качестве пробного параметра в схеме расчётов. ( т
Результаты расчётов Приведём некоторые результаты расчётов по указанным методам для фигур новых после довательностей, ответвляющихся от кругового цилиндра. Прежде всего, точки бифуркации рассчитывались по формуле (N — номер возмущающей гармоники) 2
П irGp
АГ =
(15.145)
2,3,4,.,
а) Последовательность «грушевидных», а точнее, треугольных фигур (N = 3). Ответв 17
ление при -Ц^- = | . Выяснилось, что вдоль неё : 7ГОр
О
— угловая скорость монотонно убывает; — момент инерции / возрастает;
о
2
— момент вращения L сначала возрастает, достигает max при ~ 1.23288, а затем убывает вплоть до конца последовательности. Последовательность заканчивается не делением фигуры, а появлением трёх (по числу N = 3) особых точек на контуре фигуры, в которых центробежная сила уравновешена силой гравитации и gradp = 0. Далее, за предельной конфигурацией (рис. 136) про исходило бы истечение вещества из фигуры. б) На рис. 137 показана предельная конфигу рация на той последовательности цилиндрических фигур, которая ответвляется от кругового цилиндра при возмущении его гармоникой N = 5. Цилиндр в точке неустойчивости имеет следующие характери& = _ |8, отношение центробежной силы к стики: Рис. 136. Близкая к предельной конфи гурация на последовательности цилиндров, ответвляющихся от го при возмущении гармоникой В точках заострения отношение бежной силы к гравитационной нице ^ = 0.988. Результаты
жидких кругло N = 3. центро на гра числен-
ных расчётов по разработанной автором методике
гравитационной на границе — = | . Для предельГгр
О
О
2
ной же фигуры -=7т- = 1.488, а в точках заострения 7ГО/? F = 0.9980. Близость последнего отношения к 1 u6
как раз и указывает на появление пяти особых точек. Интересно отметить, что у этой предельной фигуры дуги сечения между особыми точками оказывают ся, в отличие от треугольного случая, вогнутыми к центру.
' Графики мы не имеем возможности здесь приводить.
§ 15.9. НЕЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ — ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
491
в) Рис. 138. Фигура, близкая к финальной на по следовательности «грушевидных» фигур, ответвляется от цилиндра, не имеющего внутренних течений, с отноше нием полуосей щ = | и угловой скоростью = |. Расчёты показали, что эта последовательность груше видных фигур относительного равновесия заканчивается отнюдь не делением (как считал ранее Джине), а фи гурой, напоминающей собой вытянутый треугольник с двумя сглаженными и одним острым углом, в вершине которого находится особая точка (носик). В этой особой точке центробежная сила уравновеши вается силой гравитационной; существование такой осо бой точки предполагает истечение через неё жидкости из фигуры.
Рис. 137. То же самое, рис. 136, но для N = 5
Рис. 138. Близкая к предельной конфигурация на последова тельности жидких цилиндров, ответвляющихся от эллиптиче ского цилиндра без внутренних течений с отношением полу-
„0,2
1
осей — = - и угловой скороо з стью —г— = - при его возтгир 4 мущении гармоникой N = 3. В правой вершине намечается «носик». Результаты численных расчётов по разработанной ав тором методике 2
Таким образом, установлено, что вопреки Джинсу, независимо от того, устойчива вековым образом последовательность двумерных груш, или неустойчива (см. ниже!), никакого деле ния жидкой массы вдоль неё квазистатически не происходит. Выясняется также, что вдоль данной серии фигур все основные характеристики ведут себя немонотонным образом: — угловая скорость вначале убывает, достигает некоторого min, затем немного растёт; — момент инерции J возрастает, имеет max и затем убывает; — момент вращения L сначала возрастает, достигает max при некотором /?2, а затем убывает до конца последовательности. Последнее весьма любопытно и показательно, так как возрастание углового момен та всегда свидетельствует о вековой устойчивости фигур равновесия: в данном примере устойчивыми, по крайней мере на первом участке серии, оказываются двумерные «груши». Между прочим, трёхмерные «груши», как впервые установил ещё А. М. Ляпунов, с самого начала последовательности являются неустойчивыми вековым образом . г) На рис. 139 показана одна из фигур равновесия с внутренними течениями, последова тельность которых ответвляется от эллиптического цилиндра с внутренним полем скоростей при возмущении гармоникой N = 3. И здесь появляется «носик». 18
1 8
Вопрос о вековой устойчивости двумерной «груши» долгое время также оставался спорным. Видный спе циалист по этим вопросам астрофизик Джине колебался: в мемуаре [62] от 1902 года он считал эти фигуры устойчивыми в вековом отношении, но затем, в 1916 году [63], изменил своё мнение по этому вопросу на прямо противоположное.
492
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
Рис. 139. Близкая к финальной фи гура равновесия с общим вращени ем и внутренним полем скоростей. Имеет «носик». Эта последователь ность ответвляется при возмуще нии гармоникой N = 3 эллиптиче ского цилиндра с такими характе ристиками: 22. = о.З, течения со путствующие (/ = — = 0.9115),
д) Нами также установлено, что некоторые серии неэллиптических фигур равновесия всё же заканчиваются делением жидкой массы. Такова, например, серия фигур, бифуркирующих от эллипса при N = 4 и имеющих «гантелеобразную» форму . Напомним, что внутри эллиптических цилиндров, начальных для всех новых серий фигур, циркулирует линейное по координатам поле скоростей с однородной завихренностью. И весьма важно, что для всех двумерных фигур, бифуркирующих от таких цилиндров, выполняется одно общее свойство: — хотя внутри неэллиптических фигур циркулирует уже нелинейное по координатам поле скоростей жидкости, завихренность в них всё же остаётся одинаковой в каждой точке, т. е. однородной. Это уникальное свойство только двумерных фигур! Гидродинамика объёмных неэллип соидальных фигур гораздо сложнее! 19
§ 15.10» Сводка формул для дисков и эквигравитирующих им тел 1. Круглое тонкое кольцо Пространственный потенциал (15.146)
^кольца (г, Хз)
эквигравитирующий стержень
м(0 = -
2гЯ//о 2
\/R
- Ж 2
+С '
4 ^ Д. г
(15.147)
2. Однородный круглый диск Потенциал на оси симметрии (15.148 внутренний потенциал (15.149: Отметим геометрическое сходство с сечениями объёмных неэллипсоидальных фигур равновесия.
15.10. СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ дисков и ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИХ им ТЕЛ
493
внешний (в главной плоскости) |Е(£) - ( l - ^ K ^ j ,
ta(r)=4Gar
(15.150)
потенциал в любой точке главной плоскости У д « ( г ) = 2 С < г | ^ | ( Д + г)К(Л) + ^ ^ Е ( * ! ) } , * = | ^ ;
(15.151)
пространственный потенциал в произвольной точке (см. формулу (9.56)); радиальная компонента силы в точках главной плоскости диска Г E(fc)-K(fc) 4Gct
г
I E(*)-K(fc),
А=£<1. J
эквигравитирующий стержень /х(С) = -2iay/WTc?,
-R^i^R;
(15.153)
имеет эквигравитирующий слоисто-неоднородный сфероид из гомотетических слоев 2
Р= ^ = = , т
Г
=
4+^
05.154)
гравитационная энергия И^д
2
ИСка
3
= -|тгСа Я .
(15.155)
3. Неоднородные круглые диски За). Плотность и масса диска а (г) = ао ( 1 - ^ I ; Л/ = ±тг<7оЯ';
(15.156)
потенциал на оси симметрии
{
/
х
2
2
#
^ / Д 2 + х - 2 | х | + - ± hi
2
4- Л / Д 4-
^ _
3
2
х )
2- | ;
(15.157)
эквигравитирующий стержень 2
с ,
H(0 = -i
*
/ j P + c*\
+ > v
s
0
^c ,-Д<^<Д; D
2
V
2
Д
Я -
л/Я
2
+
(15.158)
1
с/
имеет эквигравитирующий слоисто-неоднородный сфероид из гомотетических слоев / m
p( )
ЗМ , 1 + \/1 - ш
ч
lri
= Z2i2r 7г
а^аз
m
2
5
<
1 5 1 5 9
>
494
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
гравитационная энергия к
Ириска =
=
1 7
~
6 С К 2
2
= 1-165620; R = a\-
e|.
(15.160)
ЗЬ). Плотаость диска ЗМ
ст(г) =
(15.161) a
27r(af — a§) V ~
i - о§'
эквигравитирующий стержень (15.162» имеет эквигравитирующий сфероид — однородный с границей г
2
#3
(15.163)
— + — = 1' гравитационная энергия w
—
3
TTM G 2
(15.164)
лиска —
Зс). Плотность диска
сг (г) = <то ^1 —
,
п — любое вещественное число; М = ~ ^ " !
(15.165)
эквигравитирующий стержень п
/л
•
ол/5гГ(п+1)Д
2
< \
+
2
(15.166)
в частном случае, при п = 0,1,2,3. П+7
г
(15.167)
3d). Диск с гауссовским распределением плотности а
о (г) = (То exp ( ~ ^ ) ;
(15.168)
имеет эквигравитирующий слоисто-неоднородный сфероид из гомотетических слоев с зако ном плотности
15.10. СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ дисков и ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИХ им ТЕЛ
2
2
Р(т ) =
е сг 7га
0
3
ехр(—а) yi-m
2
2
2
+ y/iraexp (-am ) erf (^\/a(l - m )^
гравитационная энергия такого диска 2
MG Ириска = - 7 » ( 7 = 7 (<*) Дано в таблице 2 § 14.11). R
Зе). Мнимый круглый диск
а (г) =
'1 +
27Г ( а | - а\) у
0£
а§ - af'
эквигравитирующий стержень (вещественный)
имеет эквигравитирующий вытянутый однородный сфероид +
= 1; аз ^
4. Однородный эллиптический диск Граница /у»2 = 1*
— А
потенциал во внешней компланарной точке (обозначения в § 2.9) , Слиска ( Я Г 1 , Х )
2
8Ga\fN cos a / /л , л \ 2 • 2 ^~ (в + в ) а\ + а |
ч 2
С2 + гщ
= , , 1 + 7 cos
2
mi
cr - mi
, К
fc
( ) +
2
C + ГП2
;k
П
mi — rri2'
г
П
— 7712" a - 7712 46
потенциал на границе / ч 4Gcra2 Слиска W X ) = — ё — | c o s a arctg y
2
eai cos a У/a\ cos a + a\ s i n a 2
sin a j ^
2
n
>/a .
cos2
a
a
s
+ i *
nJ a
~~
e
a
i s
m a
I
e
2
2
a
Д
\Za?j cos a + a s i n a -f- eai sin a J 2
2
потенциал на осях симметрии и в центре диска см. в § 2.9.4;
у
2 a}
J;
496
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
потенциал в произвольной внутренней точке (обозначения в § 2.9.5) 2
х y W a (xi, х ) = 2Gaa 2
1
2л
(15.177)
\ (h + 2 Re I ); 2
пространственный (внешний и внутренний) потенциал в пробной точке (х\, х х ) (обозна чения в § 10.10, а полуоси диска R\ и R даны в (10.121). 2у
3
2
^диска {&) —
+
п 2
1
4GcrRiR
2
2
=77
Ц
R\ + v А-
п -
* Rl + v
Я ? + «/
K(fc) +
Rl + v ,k X-u
П Я? + ^
+
(15.178)
1/
где модуль эллиптических интегралов (15.179) диск имеет эквигравитирующий слоисто-неоднородный эллипсоид из гомотетических слоев с полуосями а\ ^ а ^ аз и плотностью 2
р(т) =
R\R
/*»2 1 ,
r
х
. ^2
2
х
t
p^
2
,
ai
af
т*2 3 .
х
ai
(15.180)
гравитационная энергия
и/ и/д„
Я^
2
с к а
1 6 M G у ,^ = - ^ 2 ~ ^ К ( е ) , ле =
(15.181)
5. Неоднородный эллиптический диск 5а). Плотность диска
о {х\,х ) 2
ЗМ
=
1 _
i^M
1
^1 -
(15.182) п 92 '
« 92
Я
Я '
полуоси диска связаны с полуосями соответствующего эквигравитирующего эллипсоида равенствами (10.121); имеет эквигравитирующий однородный эллипсоид а\ ^ а ^ аз и массой М ; гравитационная энергия 2
^диска —
5
Я
^
' ^ —
1
_М л?'
(15.183)
15.10. СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ дисков и ЭКВИГРАВИТИРУЮЩИХ ИМ ТЕЛ
497
5Ь). Плотность диска °{х х ) и
= *о \1 - ^
2
-
,
(15.184)
здесь Й 1 = >/ ? ~ a§, R = \Ja\ - a\\ пространственный потенциал (обозначения в § 10.11) а
2
{/О ~ 2 (hx\ 4 / х 1 + I x\) 4
Удиска (*) = \GOORXRI
+/цж} 4- /22^2 + ^зз*з + [h2x\xl 4 2
^
Z
2
/13*1X3
4- / з ^ 2 з ) } • х
2
имеет эквигравитирующий слоисто-неоднородный эллипсоид из гомотетических слоев
РМ-Щ^'ОУЯ^;
(15.186)
=-
(15.187)
гравитационная энергия W „ MC
f\ * K{e). M
G
3157Г
5с). Общий случай: плотность диска
о{х х ) и
П
2
/
2\
х
Х
= ао\
2
(15.188)
имеет эквигравитирующий слоисто-неоднородный эллипсоид из гомотетических слоев р
(
т
о
)
= _ ^ ? _ а о (1 - m
H
2
" / ^ Ч ' M ~*~^)
y/7raia a3
С15.189>
n
2
гравитационная энергия 32 ( + ) (Ъ „,1.5 „ , 5 .Л Ириска = —тг——гт-тт—-^7 7 - г • з^2 г , 2 п + - ; - , п + - ; 1 1 . 7г(2п+1)(2п + 3 ) 2 Л 1\ V / р
2
п
2
и /
г
0
г
2
Г
2
2
(15.190)
2
+
В приводимой далее сводке формул для некоторых сферических тел (табл. 3) исполь зованы следующие обозначения:
5
2
закон p(r) ~ г / характерен равенством вириала и гравитационной энергии для сферической подсистемы при произвольном г; распределение плотности р ( г ) = ^ хорошо описывает многие астрофизические объ екты, и шаровые звёздные скопления в частности; закон р (г) = ?j хорошо описывает концентрацию материи в карликовых сфероидаль6 ных галактиках.
32. Кондратьев Б П.
498
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 15.11. Сводка формул для некоторых сферических систем
Таблица 3 Плотность р = const
сг(ж) 2
т^внугр (**) 2
P
г
§тг&>(ЗЯ -г )
2
2/V/? - х
* ( l - £ )
*
R 1П
J
г
2
^/тгпГ (п)
г(| .)" +
х *',(§,-
„ 5 г
5
2
П+1>0
,з\
яV
"**2
р(г) ~ г ~
>
14 •п
— L
5 / 2
2
' м - 5 0 ^ г ^ R < оо
4*Gp r {£ln(£+ 0
2
2р v/Я « с 0
а) 0 < г ^ Я 2
2ро \ / i ? - ж
я* \ь
7
с
б) Д - > о о (шар Пламмера или политропа с п = 5)
2
A/G Гс
Зс
1 ' Ь
2
2
г
5+ 2^ с
3
\
§ 15.11. СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СФЕРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Продолжение таблицы 3 W
М
М(г) 4
2
3M G 5 Я
А
2
±7гр Я
26 M G 35 Я
3
0
о 2 п
| Х
2
2
2 п Г (п)
] (2п + 3)Г(2п + 2)*
x , F ( | f - n f | + n l) + a
l
3v^ +
l
l
М (г) • у? (г) = const
>
1
Г(2п + 2)
4(1 + п ) ( „ г
~ у/г
>
2
0|
+
~ - In г ~ — In Л/ (г)
5
-8A7^ Jarctg£ + - ^ 4
W
?
[Ц^+^ . х ]
4
W
*
[b(g
j
+ a)-g]
с
21n(g+.)l
*
1
ЗМ с(гсЛ 1G ' с \ R \
г
о ? Я
2
2
3
3
а"
-£)•(••$)'«-*} 2
Зтг M G 32 »е 80а
2
г 3
5
2
+
47грог
15
32*
l
2
»"
с
5
Ь
5+ 2^ 4irp R c 15 а 3
10
\
г
'
(
'
r
0
5
2
4
2
ха (а + §(а -1)) +
499
500
ГЛАВА 15. ПРИЛОЖЕНИЯ
Замечания § 15.1. Задача о гравитационном влиянии жидкого ядра и мантии на внутреннее твёрдое ядро нашей планеты актуальна и имеет важное прикладное значение. Полученный здесь ре зультат заставил уже в наши дни пересмотреть прежнюю точку зрения в вопросе о величине смещения внутреннего ядра Земли под влиянием приливных сил от Солнца и Луны. Об этом см. статью Антонова и Кондратьева [3]. § 15.2. Приведённый пример с выделением тепла в недрах Земли при гравитационной дифференциации её недр подчеркивает общефизическое значение понятия гравитационной энергии § 15.3. Представление потенциала широкого кольца в виде ряда позволяет найти поправ ки к находящейся внутри него фигуре равновесия (жидкой, газовой или звёздной системы). § 15.4. Формулы для расчёта потенциала искривлённых дисков могут найти применение при изучении реальных галактик. § 15.5. Подробнее о динамике слоисто-неоднородного эллипсоида см. [26]. В упомянутой статье Робертса [69] метод эллипсоидальных слоев применён для изуче ния динамики вращающихся политроп. § 15.6. Вопрос о вращении эллиптических галактик захватил автора ещё в 1977 году. Незадолго до этого J. J. Binney [53] предложил объяснение загадки их малого вращения при сутствием реликтовой анизотропии дисперсии скоростей звезд. Однако в одной из первых работ [55] на эту тему Binney допустил ошибку: без каких-либо оснований он посчитал потенциал внутри неоднородной эллипсоидальной оболочки постоянным и заменил тензор вириала тензором гравитационной энергии подсистемы. Но у нас доказано (см. формулу (8.97)), что в общем случае тензор вириала состоит из двух членов и не сводится к одному только тензору гравитационной энергии. Вскрытие этой ошибки (я был тогда аспирантом в теоротделе им И. Е. Тамма в ФИАН) и привело автора к исследованию всей проблемы притяжения слоисто-неоднородных эллипсоидов. См. также работу [26]. § 15.7. Применение к фигурам равновесия вращающейся гравитирующей массы жид кости понятий внешней и внутренней гравитационной энергии, введённых в § 8.8, приводит к интересным результатам. Здесь на основе этой идеи получено новое выражение для уг ловой скорости фигур относительного равновесия, которое позволяет, например, изучать неэллипсоидальные фигуры равновесия. Первоисточник: [21]. § 15.8. Связь обобщённого фокалоида с фигурами относительного равновесия враща ющейся гравитирующей жидкости весьма любопытна. В принципе, такой подход позволяет доказать известное неравенство Крудели. § 15.9. Проблема неэллипсоидальных фигур равновесия возникла в трудах А. Пуан каре и А. М. Ляпунова в конце XIX века. Но аналитические исследования позволяли на ходить такие фигуры только в окрестности исходных классических сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби. С появлением компьютеров ситуация изменилась и впервые неко торые последовательности трехмерных неэллипсоидальных фигур равновесия удалось про следить от их зарождения до финала. Однако двумерные фигуры оставались не изученными. Б. П. Кондратьевым были разработаны два метода для исследования таких неэллиптических фигур равновесия. Расчёты проводились на кафедре астрономии и механики Удмуртского государственного университета. Помощь оказывал А. С. Дубровский.
Заключение Астрономы всегда восхищались универсальностью и математической мощью закона всемирного тяготения. Во Вселенной «хоры стройные светил» движутся под управлением дирижёра, роль которого и выполняет гравитация. По мере расширения наших знаний о Космосе, уверенность в надёжности этого закона только возрастала. Но одновременно по полнялся и список задач, решение которых исследователям найти не удавалось. Со временем этот список становился всё более внушительным, а потому математические возможности за кона всемирного тяготения до сих пор нельзя считать полностью раскрытыми. В этой книге разработан комплекс новых методов в теории потенциала. Появилась возможность ставить и решать задачи, большинство из которых ранее были недоступны. Эти методы возникли вначале как догадки, но затем их доказательство потребовало от автора напряжённой работы. Если «лопата» и скребла о камень, это ещё не значило, что задачу следовало сразу забросить. Да и по самому звуку можно было всё-таки догадаться, поддастся данный камешек, или нет! Мы старались показать, что многие из этих приёмов (а что такое метод, как не приём, который Вы используете хотя бы дважды!) заслуживают серьёзного внимания. Заметим, что ни один из предложенных в книге методов нахождения гравитационной и электростатиче ской энергии тел не является на практике универсальным - слишком велико разнообразие форм тел и возникающих здесь задач. Но это нельзя рассматривать как недостаток: специаль ные метода с ясно очерченной областью применения в практическом отношении являются гораздо более гибкими и ценными, нежели общие методы типа формулы
v
Много внимания в книге уделялось вычислению гравитационной энергии отдельных тел. Но можно задуматься и о гравитационной энергии Вселенной в целом. Каждый человек проводит свою жизнь в глубокой потенциальной яме, созданной гравитационными силами. И здесь возникают неизученные до конца вопросы. В частности, теория относительности часто игнорирует вопрос об энергии гравитационного поля. С другой стороны, зная грави тационную энергию W системы с массой М, для неё можно найти и дефект массы
дм = Ш (с — скорость света). Чем больше модуль W, тем больше дефект массы. Для Вселенной в целом, возможно, дефект массы и есть сама её масса. Не всё, что было задумано, вошло в эту книгу. Но и то, что изложено, будет способ ствовать дальнейшему развитию теории потенциала.
Литература [1] Лбалакин В. К., Аксёнов Е. П., Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. — М.: Наука, 1976. [2] Антонов В. А., Железняк О. А., Кондратьев Б. П. К проблеме замещающих самогравитирующих дисков в теории потенциала. // В1сник АстрономичноУ Школи. — 2000. — Т. 1 , № 2 . - C . 5.
[3] Антонов В. А., Кондратьев Б. П. К вопросу о величине смещения внутреннего ядра Земли. // Физика Земли - 2004. — № 4 — С. 63-66. [4] Антонов В. А., Кондратьев Б. П. Новый метод нахождения радиуса сходимости у рядов Лапласа для потенциала осесимметричных тел. // Известия ГАО. — 2000. — № 214. С. 115-134. [5] Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К В. Сравнительные свойства различных представлений гравитационного поля Земли. // Труды 1-й Орловской конференции. — Киев: Наукова думка, 1982. С. 93. [6] Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. — М.: Наука, 1988. [7] Антонов В. А., Холшевников К. В. О возможности использования ряда Лапласа для гра витационного потенциала на поверхности планеты. // Астрон. журн. — 1980. — Т. 7. С. 1323. [8] Аппель П Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. — Л.-М: ОНТИ. 1936. [9] Больцман Л. Лекции по теории газов. — М.: ГИТТЛ, 1956. - С. 403. [10] Буллен К Е. Плотность Земли. — М.: Мир, 1978. [11] Вебстер А. Г. Механика материальных точек, твёрдых, упругих и жидких тел. — Л. -М ГТТИ, 1933.-Гл. 8. [12] Геронимус Я. Л. Очерки о работах корифеев русской механики. — М.: ГИТТЛ, 1952. [13] ДвайтГ.Б. Таблицы интегралов. — М.: Наука, 1969. [14] ДубошинГ.Н
Теория притяжения. — М.: Физматтиз, 1961.
[15] ДубошинГ.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. — 3-е изд. — М.: Наука. 1 9 7 5 . - Ч . I. [16] Еськов К Ю. История Земли и жизни на ней. — М.: НЦ ЭНАС, 2004. [17] Кинг И. Введение в классическую звёздную динамику. — М.: УРСС, 2002.
ЛИТЕРАТУРА
503
[18] Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. [19] Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии, т. 1. — М.: Наука, 1989. [20] Кондратьев Б. П. Динамика эллипсоидальных гравитирующих фигур. — М: Наука, 1989.-272 с. [21] Кондратьев Б. П. Теория потенциала и фигуры равновесия. — Москва-Ижевск: Изд-во «РХД», 2003. [22] Кондратьев Б. П. Ньютоновские потенциалы и динамика слоисто-неоднородного эл липсоида. // Астрон. журн. — 1982. — Т. 59. — С. 458. [23] Кондратьев Б. П. Некоторые принципиальные вопросы теории фигур равновесия. // Кинематика и физика небесных тел. — 1999. — № 2 (Приложение). — С. 16. [24] Кондратьев Б. Я Теория потенциала: эквигравитирующие стержни для осесимметричных тел. // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2000. — Т. 41, № 2 . - С . 247. [25] Кондратьев Б. П. Новые методы в теории ньютоновского потенциала. I. О представ лении потенциальной энергии гравитирующих тел сходящимися рядами. // Астрон. журн. - 1993. - Т. 70. - С. 583. [26] Кондратьев Б. Я Потенциалы и динамика слоисто-неоднородного эллипсоида. — Пре принт ФИАН СССР. 1981. № 52. [27] Кондратьев Б. П. Анизотропия дисперсии скоростей в эллиптических галактиках. // Письма в Астрон. журн. — 1981. — Т. 7. — С. 83. [28] Кондратьев Б. Я Вокруг какой оси вращаются эллиптические галактики? // Астрон. журн. - 1983. - Т. 60. - С. 858. [29] Кондратьев Б. Я , Антонов В. А. Новые методы в теории ньютоновского потенциала. И. Потенциальная энергия однородных линзовидных тел и шаровых сегментов. // Астрон. журн. - 1993. - Т. 70. - С. 594. [30] Кондратьев Б. П., Озерной Л. М Какую пространственную форму имеют эллиптиче ские галактики? // Письма в Астрон. журн. — 1979. — Т. 5. — С. 67. [31] Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. [32] Лебедев Я Я // Специальные функции и их приложения. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 295. [33] Левин В. Я , ГросбергЮ. Я // Дифференциальные уравнения математической физики. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. - С. 182. [34] ЛитлвудДж. Математическая смесь. — М: Наука, 1990. [35] Ляпунов A.M. Собр. соч. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. Т. 1. - С. 27. [36] Мультон Ф. Введение в небесную механику. — М.-Л.: ОНТИ, 1935. — Гл. 5. [37] Муратов Р. 3. Потенциалы эллипсоида. — М.: Атомиздат, 1976.
504
ЛИТЕРАТУРА
[38] Петровская М. С. Представление гравитационного потенциала Земли в виде рядов, схо дящихся во всём пространстве. // Труды 1-й Орловской конференции. — Киев: Наукова думка, 1982. С. 115. [39] Пицетти П. Основы механической теории фигур планет. — М.: ГТТИ, 1933. [40] Привалов И. И. Введение в теорию функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1984. [41 ] Прудников А. И, Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 3. — М.: Физматлит, стр. 687, 2003. [42] Риман Б. О потенциале тора. Сочинения. — М.-Л.: ОГИЗ, 1948. [43] Снайдер Р. Двухкомпонентная модель земного шара. // В сб. Физика за рубежом. Сер. Б . - М . : Мир, 1988. [44] Сретенский Л. Н. Теория ньютоновского потенциала. — М.-Л.: Гостехиздат, 1946. [45] Субботин М. Ф. Курс небесной механики. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 3. [46] Тодхантер И. История математических теорий притяжения и фигуры Земли. — М.: УРСС, 2002. [47] Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. — М.: Мир, 1973. [48] Чандрасекхар С. Введение в учение о строении звёзд. — М.: ИЛ, 1950. [49] Шапиро Б. О ньютоновском притяжении эллипсоидов. // ж. Квант — 1990 — №. 5. — С. 18. * **
[50] Antonov V.A., Kondratyev В. Р On the conditional extremum for the gravitational energy inherent to the oblate spheroid. // Astronomical and Astrophysical Transactions. — 1995. — Vol. 7 . - P . 173. [51] Bertola R, Capaccioli M. The dynamics of early-type galaxies. I. The rotation curve of the elliptical galaxy NGC 4697. // Astrophys. J. - 1975. - Vol. 200. - P. 439. [52] Binney J. J. The rotation curves of elliptical galaxies. // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. — 1980.-Vol. 190.-P. 421. [53] Binney J.J. Is the flattening of elliptical galaxies necessarily due to rotation? // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. — 1976. - Vol. 177. - P. 19. [54] Binney J. J. On the rotation of elliptical galaxies. // Monthly Notices. Roy. Astron. Soc. — 1978.-Vol. 183.-P. 501. [55] Binney J. J. The rotation curves of elliptical galaxies. // Monthly Notices. Roy. Astron. Soc. — 1980.-Vol. 190.-P. 424. [56] Carter D. The structure of the isophotes of elliptical galaxies. // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. - 1978. - Vol. 182. - P. 797. [57] Chasles M. Nauvelle solution du probleme de l'attraction d'un ellipsoide heterogene sur un point exterieur. // J. de Liouville — 1840. — Vol. 5.
ЛИТЕРАТУРА
505
[58] Ferrers N. М. On the potentials of ellipsoids, ellipsoidal shells, elliptic laminae and elliptic rings, of variable densities. // Quart. J. Pure and Appl. Math. — 1877. — Vol. 14, № 53. — P. 1. [59] Gauss K. Werke, v. 5, s. 200. [60] Hubble E. Distribution of luminosity in elliptical nebulae. // Astrophys. J. — 1930. — Vol. 71.— P. 231. [61] Illingworth G. Rotation (?) in 13 elliptical galaxies. // Astrophys. J. - 1977. - Vol. 218. P. L43. [62] Jeans J. H. The equilibrium of rotating liquid cylinders. // Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A - 1903. - Vol. 200. - P. 397-430. [63] Jeans J. H. The instability of the pear-shaped figure of quilibrium. — // Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A - 1916. - Vol. 217. - P. 1-34. [64] Jeans J. H. Astronomy and Cosmogony. — Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1928. [65] Kellogg O. D. Foundations of Potential Theory. - Berlin, Julius Springer, 1929. [66] Kholshevnikov К. V. On convergence of an asymmetrical body potential expansion in spherical harmonics. // Celest. Mechan. — 1977. — Vol. 16. - p. 45-60. [67] Kondratyev B. R, Mukhametshina E. S., and Trubitsina N. G. Gravitational Potential of Material Wide Ring, Filled by Rosette Orbit. // Proceedings of a meeting in S.-Petersburg, Russia, 2003. Astronomical Society of the Pacific Conference series. — Vol. 316. — P. 326. [68] Linden-Bell D. Statistical mechanics of violent relaxation in stellar systems. // Mon. Not. Roy. astron. Soc, - 1967. - Vol. 136. - P. 101. [69] Roberts R H. On highly rotating polytropes. II. // Astrophys. J. - 1963. - Vol. 138. - P. 809. [70] Strom К. M , Strom S. E. Surface brightness and color distributions of elliptical and SO galaxies in Coma cluster. // Astron. J. — 1978. — Vol. 83. — P. 73. [71] Todhunter I. History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth. — London, Constable, 1973. [72] luge A. Das Potential ringformiger Korper, insbesondere eines Ringkorpers mit Kreisquerschnitt. // J. Reine Angew. Math. - 1889. - Band 104. - S. 89-101.
Именной указатель Абалакин В. К. 36, 502 Абель 370 Айвори 12, 24, 33 Аксёнов Е.П. 31, 36, 502 Антонов В. А. 36, 55, 237, 252, 349, 352, 386, 429, 500, 502, 503 Аппель 36, 190, 502 Аристотель 14 Арнольд В. И. 154 Бернулли 104, 210 Бертола (Bertola F.) 475, 504 Бетти 227 Бинни (Binney J.J.) 235, 478, 500, 504 Больцман 502 Борелли 15 Брунс 19 Брычков Ю.А. 428, 504 Буллен 502 Вебстер 36, 300, 343, 502 Вейерштрасс 154 Галилей 14, 15 Гаусс 16, 18, 24, 39, 75, 85, 86, 93, 149, 154,211,236, 357, 358, 505 Гельмгольц 220 Геронимус Я. Л. 502 Гильберт 15 Градштейн И. С. 308 Гребеников Е. А. 13, 31, 36, 502 Грин 17, 37, 97, 153, 218, 250, 459, 479 Гросберг Ю.Н. 503 Гук 15 Дёмин В. Г. 31 Дайсон 29 ДвайтГ.Б. 502 Джине 482, 491,505 Дирихле 24 Дубошин Г.Н. 27, 31, 36, 190, 299, 502 Дубровский А. С. 13, 500
Железняк О. А. 502 Иллингворт (Illingworth G.) 478, 505 Капаччиоли (Capaccioli М.) 475, 504 Картер (Carter D.) 475, 504 Кассини 154, 209, 210, 293, 294, 350, 351 510 Каталан 355,404, 442, 453 Келлог 36, 505 Кеплер 14, 15 Кинг 502 Кирхгоф 94, 503 Клейн 16, 36, 503 Клеро 19 Ковалевская С В . 18 Кондратьев Б. П. 36, 75, 93, 128, 158, 237. 252, 298, 352,386,473,475,476,478,482. 500, 502, 503, 505 Контопулос 477 Коперник 14 Кориолис 472 Корн Г. 503 Корн Т. 503 Коши 273, 295, 299, 488 Крудели 482 Кулон 231 Лагранж 15, 16 Ламе 154 Лаплас 12, 15, 16, 18, 20, 21, 32-34, 103, 146, 153, 158, 182,184, 186,254,255,277,286, 288, 305, 349, 352, 365-367, 370, 469 Лебедев Н. Н. 503 Левин В. И. 503 Лежандр 16, 20, 24, 365 Линден-Белл (Linden-Bell D.) 505 Литлвуд 503 Ляпунов A . M . 227, 239, 253, 349, 363, 385, 491,500, 503 Маклорен 12, 24, 31-33, 146, 158, 186, 190, 254, 255, 304, 305, 343,474,479, 481, 500
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
507
Маричев О. И. 428, 504 Мультон 36, 503 Муратов Р. 3. 503 Мухаметшина Э. Ш. 505
Стеклов В. А. 154 Стром (Strom К. М.) 475, 505 Стром (Strom S. Е.) 475, 505 Субботин М.Ф. 27, 36, 190, 331, 349, 504
Ньютон 15, 22, 24, 31, 124, 140, 154, 217, 231,503
Тейлор 148 Тимошкова Е.И. 36, 55, 349, 502 Тихо Браге 14 Тодхантер (TodhunterM.) 16, 36,39,216, 504 Томсон 220 Трубицына Н. Г. 505
Огородников К. Ф. 477 Озерной Л. М. 475, 503 Остроградский М.В. 16, 236, 357 Петровская М. С. 349, 504 Пицетти 36, 343, 504 Плана 39 Плейфер 216 Поль 14 Похгаммер 428 Привалов И. И. 348, 504 Прудников А. П. 428, 504 Птолемей 14 Пуанкаре 154, 480, 500 Пуассон 17, 18, 21, 25, 29, 103, 148, 184, 185,218, 224, 250 Раус 29 Риман 348, 473, 488, 504 Риттер 227, 252 Роберте (Roberts Р. Н.) 233, 234, 500, 505 Робэн 20, 154 Родриг 24 Рыжик И. М. 308 Рябов Ю. А. 13,31,36, 502 Снайдер 504 Сретенский Л.Н. 36, 154, 298, 358, 504
Феррерс (Ferrers) 29, 190, 505 Фриман 473 Хаббл (Hubble Е.) 477, 505 Холшевников К. В. 36, 55, 331, 349, 502, 505 Цуге (Zuge А.) 191, 192 Чандрасекхар (Chandrasekhar) 25, 27, 28, 36, 190, 222, 224, 232, 234, 473, 504 Черепащук A . M . 13 Шаль 12, 154, 300, 302, 504 Шапиро Б. 504 Шварц 348 Шустер 27 Эйлер 15, 16,31,315,476 Якоби 474, 479, 481
Предметный указатель Вириал гравитационных сил 222 — вириальные уравнения 472 — компоненты уравнения 472 — подсистемы 235, 252 — полный 235, 249 теорема 480 — связь с гравитационной энергией 222,224 — тензор 234, 235, 249 — усечённые вириалы 249 Гомеоид 30, 129, 132, 133, 302 — конечной толщины 142, 143, 257 — обобщённый 30, 148, 150, 236, 237 — потенциал 30, 139-141,143, 147, 150,159, 179, 181, 225, 228, 257, 302, 307, 467 — промежуточный 159 — сила притяжения 140, 143, 160 — софокусный 302, 304 — сфероидальный 140 эквигравитирующий диск и стержень 257, 307, 308 — элементарный 132-134, 136-139, 231, 305 — эллипсоид из гомеоидов 301 Гравитационная энергия 33, 474 — асимметричной линзы 377 переход к шару 379 пустотелой 445 — взаимная 217, 365, 366,424,437,444,445, 458, 463 внутреннего шара с оболочкой 229 гомеоида и эллипсоида 458 двух шаровых сегментов 384 колечка и круглого диска 458 поверхностного слоя и шара 458 половинок однородного шара 383 слоя и эллипсоида 458 физический смысл 220, 221 через эквигравитирующие стержни 438 «шапочек» пустотелой линзы и лунки 445, 446 эквивалентность двух способов пред ставления 221 — внешняя часть 239 однородного сфероида и шара 240 — внутренняя часть 239 неоднородной Земли 468
однородного сфероида и шара 240, 241 — выметания 231 — гомеоида 228, 417, 458 — двух однородных шаров 378, 382 пустотелых сфер 445 — конуса 403, 404 асимптотика малых углов 404 в дисковом пределе 403 — круглого диска неоднородного 404, 442,456, 457 однородного 441, 456, 457 — кубоида и куба 359, 362, 363 — лунки пустотелой 446 — максимальная 237 — неоднородного стержня 419 шара 28 — обобщённого фокалоида 237 — оболочки 225 — однородного кругового тора 454 кругового цилиндра конечной высоты 451 в дисковом пределе 454 кубоида 358 полушара 383, 399, 424 стержня 417, 418 сфероида 28, 354, 367, 440, 441, 448 шара 28,33,225,230,239,353,357,358, 363, 382, 388, 389, 422, 423, 447 эллипсоида 28, 226-228, 230, 354, 357, 371,458 — однородной лунки 35, 229, 384-386 — плоского слоя 460 — поверхностного слоя 237, 353, 386, 458 — подсистемы 235, 252, 421, 422, 463 — полная 480, 481 — представление в виде ряда 366, 367, 369. 370, 385, 386 сходимость 369 — прямоугольной пластины 363 — пустотелой полусферы 444 — свойства 217-221,224,231,233,353,458 — симметричной линзы 381 пустотелой 445
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— слоисто-неоднородного сфероида из гомотетических слоев 354, 356, 456 эллипсоида 353 из гомотетических слоев 353-355,455 — стержня во внешнем поле 424 — тело без круговой симметрии 371 — тензор 30, 234, 235, 473 — теорема об экстремальности 237 — толстого гомеоида228, 231 фокалоида 228 — толстой оболочки 229 — тонкой пустотелой сферы 446 — формула Сретенского 358 — «шапочки» 444 с днищем 446 — шарового сегмента 33, 35, 371, 382-384, 393, 423 сектора 398, 423, 424 асимптотика малых углов 399 сектора, близкого к полушару 423 слоя 414-416 — широкого кольца 449 — эллиптического диска неоднородного 455 однородного 457, 460, 461 Гравитационная энергия тел с логарифмиче ским потенциалом 231, 462 — цилиндр с прямоугольным и квадратным сечением 463 — общая формула 462 Жидкие фигуры равновесия — неэллипсоидальные 481 — неэллиптические 491, 492 методы нахождения 483, 487 предельная конфигурация 490, 491 — угловая скорость новая формула 479, 480 — уровенные поверхности 487 Задачи 17, 19, 23, 26-28, 38, 40, 42, 43, 47, 49, 51, 52, 55-57, 65, 74, 78-80, 85, 93, 103,104,125,133,137,138,140-142,144, 146,148-150,153, 155,157, 164, 165, 169, 171,172,180,193,194, 198,202,204,206209,219,220,225, 226,228,229,231,234, 239,242,252,259,260,262,265,268,270272,275,277,280,283,285,286,298,307, 309, 313-316,318, 319, 321,332, 333, 341, 343,356,358,363, 364, 371, 373, 378, 382, 384, 385,388, 389, 396, 399,415-417,419,
509
423,424,426,427,429,430,436,439-442, 444-446,458,463, 466, 470, 471, 474, 481 — затравочные 33 Методы для потенциала — Гаусса 18, 211 — асимптотический 94, 165, 167, 169, 198, 207,214, 279 — дисковый предел 305 — дифференциации 77, 123, 124, 126, 144, 145, 185,208, 303 определение 69 — интегральные формулы 37 — прямой 17,21-23,76, 87,96, 100,104,118, 141,142,149,152,192,204,232,261,275, 277,278,282,285,308, 372, 381, 382,387, 390, 396,400,405, 425,427, 447, 470, 471 — ряд Лапласа 20, 330, 365, 366, 370, 468 радиус сходимости 288, 331 — синтеза конечных величин 219, 228, 234, 242 конечных элементов 30, 263, 293, 368, 421,437, 465, 482 элементов 25, 26, 30, 78, 142, 154, 159, 176, 178-180, 194, 205, 207, 208, 269, 448 — софокусных преобразований 174, 302, 304, 305, 307,310 — через дисковый предел 172, 174 интеграл Коши 273 контурный интеграл 484 уравнение Лапласа 18, 139 уравнение Пуассона 17, 18, 21, 224 эквигравитирующие тела 256,257,261263,265,269,271,272,275,277,280,282, 287,292,295,314,316,317, 319,320,322, 324, 327, 332, 334, 339, 341 Методы для энергии — аналитического продолжения 35, 384 — асимптотический 363, 379, 381, 382, 399, 404,419 — восьмой (дифференциации) 458 определение 458 — второй (через интеграл по поверхности) 358, 362 определение 358 — девятый (для плоских тел через интеграл по контуру) 461 определение 459 — десятый (для тел с логарифмическим потениалом) 463 определение 462 — дополнение до шара 422 — интеграл от квадрата градиента 218
510
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— первый (синтеза) 234, 354, 355 определение 233 — прямой 28, 217-219, 225, 230, 236, 363 — пятый (через эквигравитирующие стерж ни) 32, 426-430, 432, 436-438, 440, 441, 444, 445 определение 424 — седьмой (переход от эллипсоидов к дис кам) 226, 456, 457 определение 455 — сумма внешней и внутренней 239, 245, 248, 480 — тело из подсистем 221, 228, 229 — третий (через особые ряды) 34, 365-367, 369, 374, 378 для тел без симметрии 370, 371 определение 369 — через интеграл от дивергенции 357 по поверхности 34, 357 — четвёртый (через интеграл в комплексной плоскости) 34, 388, 390, 392-396, 398, 400, 403, 405, 414 определение 388 — численный 454 — шестой («прогонки») 418, 448, 449, 452 определение 447 Монте-Карло метод 417 Потенциал — асимметричной линзы на оси симметрии 372 — боковой цилиндрической поверхности на оси симметрии 155 пространственный 155 эквипотенциали 156 — внутри кругового кольца 74 оболочки 181 — двумерных тел 38, 39 — двух однородных шаров 242 — иглообразного эллипсоида внешний 167, 168 внутренний 167 — искривлённого диска 471 — конуса на оси симметрии 400 — круглого диска неоднородного 78, 85, 173, 315, 493 однородного: в главной плоскости 42, 47, 265, 493 на оси симметрии 21, 142, 261, 492 пространственный 265, 266, 493 эквипотенциали 267 — круглого кольца
на оси симметрии 22 пространственный 76, 492 эквипотенциали 77 — кубоида внутренний 213 эквипотенциали 213 — логарифмический 22, 223 элементарного гомеоида и фокалоида 125-127 эквипотенциали 125, 126 — материальная точка 16 — на внутреннее ядро Земли 465 — наклонённых колец 427 — неоднородного кольца с розеточной орби той 91, 470 эквипотенциали 92 — неоднородного шара 26 политропного 241 — неэллиптической фигуры на границе 485 — обобщённого гомеоида 149 фокалоида 152 — общая формула для двумерных тел 96 — объёмного фокалоида 145, 146 — объёмных тел 17, 18 свойства 18 — одномерных тел 22 — однородного кругового тора на оси симметрии 193, 194, 197, 199 пространственный 196, 199, 205 эквигравитирующие элементы 295-298 эквипотенциали 202, 203 — однородного кругового цилиндра 275 — однородного полушара 164, 272, 273 — однородного сфероида 24, 25 внешний 162 внутренний 163 на оси симметрии 163, 256, 287 — однородного тора с сечением в виде овала Кассини 211 с эллиптическим сечением 209 — однородного шара 24, 164, 388, 437 — однородного эллипсоида 24 внешний 159 внутренний 160, 161 дисковый предел 173 другая форма представления 161 — однородного эллиптического диска на главной оси 325 на границе 495 пространственный 142, 496 — однородной параболоидной линзы 278 — однородных плоских тел интегральные формулы 37 — определение 16
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
пластины — прямоугольной 57 эквипотенциали 58 — ромбовидной 55 эквипотенциали 55 — треугольной 52, 53 эквипотенциали 53 плоского эллиптического — гомеоида 71 эквипотенциали 72 — кольца 70 — фокалоида 72, 73 эквипотенциали 73 половинки однородного круглого диска 51 пустотелого кругового тора — на оси симметрии 207 — пространственный 205, 206 сегмента круглого диска 50 — эквипотенциали 51 сектора круглого диска 46, 49 — эквипотенциали 47 симметричной линзы — на оси симметрии 341, 381 — на плоскости 342 — пространственный 339 слоисто-неоднородного сфероида с гомотетическими слоями 317, 319 слоисто-неоднородного эллипсоида с гомотетическими слоями 25, 26, 178 слоисто-неоднородного эллипсоида — внешний 176 — внутренний 179 — другая форма 186 — свойства 182 софокусных оболочек 303 софокусных эллипсоидов 146 стержня 140, 256, 257 сферической — оболочки 165 — полости 164, 229 толстых оболочек 143 тонкого эллиптического кольца 74 четырёх эквигравитирующих тел 339 шапочки на оси симметрии 277 шарового сегмента — на оси симметрии 271, 382, 390 — на плоскости 272, 342 — пространственный 272 шарового — сектора на оси симметрии 396 — слоя на оси симметрии 405 эквипотенциали 19 элементарной оболочки общий случай 144
511
— эллипсоида Феррерса 29 — эллипсоидальной подсистемы 30 Сила — внутри твёрдого ядра Земли 465 — от мантии на твёрдое ядро Земли 465,466 Теорема — Антонова — Кондратьева 237 — Арнольда 154 — Дива 368 — Маклорена — Лапласа 12, 27, 146, 254 — Ньютона 140 — о сходимости ряда для энергии 369 — Шаля 302 — Э - 1 2 5 5 ; Э - 2 2 6 0 ; Э - 3 269; Э - 4 3 0 3 ; Э - 5, Э - 6 304 Фокалоид — обобщённый 30, 152, 158, 237, 252, 481 внешний потенциал 153 поверхностная плотность 152 пространственный потенциал 152 толщина 152 энергия выметания 237 — объёмный 129, 147, 157, 185 внешний потенциал 145, 186 внутренний потенциал 146 гравитационная энергия 225 линии равной толщины 137 масса 145 моменты инерции 137 потенциал 145 потенциал в центре 141 потенциал на поверхности 145 сжатый 136 скачок силы 147 сфероидальный 259 толщина 158 эквигравитирующий стержень 259, 260 эквипотенциали 147, 181 элементарный 134, 136, 137 энергия выметания 231 — софокусное расслоение 259, 300, 312 — софокусные преобразования 301, 302 — эквигравитирующий диск 305 стержень 308 — элементарный 30 плоский 69, 72 — элементарный цилиндрический 126 эквипотенциали 126
Учебное издание
Борис Петрович Кондратьев ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА НОВЫЕ МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
Зав. редакцией академик В.К Арнольд Зам. зав. редакцией и редактор А. С. Попов Художник Ф. Инфанте Технический редактор Е.В. Депюкова Оригинал-макет подготовлен Б.П. Кондратьевым
Подписано в печать 08.06.2007. Формат 70 X 1 ОО'Аь. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем 16,0 бум. л. Псч. л. 32,0. Усл. псч. л. 41,6. Изд. № 1/10181. Тираж 1500 экз. Заказ № 4360. Издательство «Мир» Министерства культуры и массовых коммуникаций РФ 107996, ГСП-6, Москва, 1-й Рижский пер., 2. Диапозитивы подготовлены в издательстве «Мир» Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ГУП «Брянское областное полиграфическое объединение) 241019, г. Брянск, пр-т Ст. Димитрова, 40
13 16
Строка или формула 4-й абзац, послед, предложение Конец 1-го абзаца Примечание 7
20
Ф-ла (1.18)
Стр. 11
Напечатано
Должно быть
Основное...
Главное... и это...
... ,что...
... для...
... для для... X, у,
2
24
Абзац после ф-лы (1.28) 4-я строка сверху После ф-лы (1.40)
25
Перед ф-лой (1.46)
27
Задача 1.7
... шара. Ответ: ...
39
1 -я строка Строка после ф-лы (7.44)
... видоизменять. . . сфер ..
... сферы...
Разд 7.1.6, строка 1 Абзац 2. строка 1 Послед, предложение, перед задачей 8.8 1 -е предложение после ф-лы (9.57)
...(7.23)... . . тора тела...
...(7.26)... ... тора ...
Очевидно, уровенное...
Уровенное...
... получен интеграл...
... получен потенциал...
22
199 199 206 231 265
... почему - . . .
... почему...
... функций.
... функцией.
... шара. Ответ: ... ... видоизменить.
291
Правая часть ф-лы (9.186) должна иметь вид
297
Ф-ла (9.222)
308
Абзац перед ф-лой (10.40)
т
308
После ф-лы (10.42)
...(9.29). 3).Сфероидальная...
352
Последняя строка Абзац перед $ 12 9. второе предложение Ф-ла (12 159) Предложение после флы (13.1) § 13 2, первый абзац Предложение после флы (13.64) § 13.5, третья строка
. .Антонова...
378 384 387 389 399 420
2т
•
434
Ф-ла (14.96)
441 460
Перец ф-лой (14.134) Второй абзац, строка 2
461
Абзац перед § 14.14
462 466
Абзац 2, строка 3 Задача 15.1
485
Перед ф-лой (15110)
2). Фокалоид...
основным.. arctan
I Рт
V
...(9.29). 3). Сфероидальная... ...Антонова В. А.... ...основной...
...во.
...эт\ же
...эту... А
. малого а
. .малого а
... разачаровавшись...
... разочаровавшись...
d Tt
d ~Ш
...в виде ...потенциал... ...эллипса, полученного там другим методом). .Выражение... ... сначала...
...так ...,а потенциал... ...эллипса), полученной там другим методом. .выражение... ...начала...
1
Рт
2). Фокалоид...
arctg
во во
2
Стр. 468 Вместо ф-лы (15.19) дел1ЖНО стоять
45
res
(*',*')