Задачи по теоретической механике: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÂÎÐÎÍÅÆÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

Çàäà÷è ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå Ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòåé ôèçèêà (010400), ðàäèîôèçèêà è ýëåêòðîíèêà (013800) è ìèêðîýëåêòðîíèêà è ïîëóïðîâîäíèêîâûå ïðèáîðû (014100)

Âîðîíåæ 2003

Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà 12 íîÿáðÿ 2002 ã., ïðîòîêîë 9

Ñîñòàâèòåëè:

Ìàíàêîâ Í. Ë., Íåêèïåëîâ À. À., Îâñÿííèêîâ Â. Ä.

Ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.

Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 2-ãî è 3-ãî êóðñîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà âñåõ ñïåöèàëüíîñòåé è ôîðì îáó÷åíèÿ ïðè èçó÷åíèè êóðñà "Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà è îñíîâû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä"

Èçäàíèå ÷åòâåðòîå, èñïðàâëåííîå è äîïîëíåííîå.

Ñîäåðæàíèå

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ïðåäèñëîâèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Óðàâíåíèÿ Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû ñâîáîäíûõ òî÷åê. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Îäíîìåðíîå äâèæåíèå â ïîëå ñòàöèîíàðíûõ ñèë . . . 3 Ñâÿçè. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà . . . . . . . . . . . . . . 13 Îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà . . . . . . . . . 19 Öåíòðàëüíîå ïîëå è ðàññåÿíèå ÷àñòèö . . . . . . . . . . . . . . . 30 Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Äâèæåíèå â íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà . . . . . . . . . . . 47 Ìàëûå êîëåáàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèé ôîðìàëèçì . . . . . . . 67 Ìåòîä Ãàìèëüòîíà-ßêîáè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Ãèäðîäèíàìèêà è îñíîâû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä . . . . . . . 89 Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Ïðåäèñëîâèå.

Íàñòîÿùèå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïðåäíàçíà÷àþòñÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ïî êóðñó "Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà è îñíîâû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä" äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåé ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Óêàçàíèÿ ñîäåðæàò 10 ðàçäåëîâ, îõâàòûâàþùèõ âñå îñíîâíûå âîïðîñû êóðñà: íüþòîíîâ (ðàçä. 1,2) è ëàãðàíæåâ (ðàçä. 3) ôîðìàëèçì ñ ïðèëîæåíèÿìè ïîñëåäíåãî ê êîíêðåòíûì çàäà÷àì (ðàçä. 4-7), êàíîíè÷åñêèé ôîðìàëèçì (ðàçä. 8) è ìåòîä Ãàìèëüòîíà-ßêîáè (ðàçä. 9), à òàêæå îñíîâû ãèäðîäèíàìèêè èäåàëüíîé è âÿçêîé æèäêîñòè (ðàçä. 10). Êàæäûé ðàçäåë íà÷èíàåòñÿ ñ îñíîâíûõ òåîðåòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé è ôîðìóë, çíàíèå êîòîðûõ íåîáõîäèìî ïðè ðåøåíèè çàäà÷, è ñîäåðæèò óêàçàíèÿ ïî èõ ïðàêòè÷åñêîìó èñïîëüçîâàíèþ. Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîäðîáíîå ðåøåíèå íåñêîëüêèõ òèïè÷íûõ çàäà÷ è ïðèâîäèòñÿ ðÿä çàäà÷ (áåç ðåøåíèÿ) äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. Àâòîðû áëàãîäàðíû À.Ã. Êðûëîâåöêîìó, Ñ.È. Ìàðìî è Â.È. Íîñîâîé çà ïîìîùü â ñîñòàâëåíèè è ðåøåíèè ðÿäà çàäà÷.

1 Óðàâíåíèÿ Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû ñâîáîäíûõ òî÷åê. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Îäíîìåðíîå äâèæåíèå â ïîëå ñòàöèîíàðíûõ ñèë 1) Ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà (çàêîí èíåðöèè) óòâåðæäàåò, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ñèñòåìû îòñ÷¼òà (îíè íàçûâàþòñÿ èíåðöèàëüíûìè), îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ òåëî, íå ïîäâåðæåííîå âîçäåéñòâèþ ñî ñòîðîíû äðóãèõ òåë, ïîêîèòñÿ èëè äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòüþ v = const.  äàëüíåéøåì â ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷¼òà (è.ñ.î.) Êîîðäèíàòû è âðåìÿ â äâóõ è.ñ.î. K è K 0 ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ãàëèëåÿ :

r = r0 + Vt0 ,

t = t0 ,

(1.1)

ãäå V  ñêîðîñòü ñèñòåìû K 0 îòíîñèòåëüíî K . Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ: Óðàâíåíèÿ ìåõàíèêè èíâàðèàíòíû (ò.å. íå ìåíÿþò ñâîåãî âèäà) ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ (1.1). Îñíîâíûìè âåëè÷èíàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ÿâëÿþòñÿ å¼ ðàäèóñ-âåêòîð r(t), îïðåäåëÿþùèé ïîëîæåíèå òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ñèñòåìû îòñ÷¼òà, ñêîðîñòü v(t) = r˙ ≡ dr/dt è óñêîðåíèå w(t) = v˙ = ¨r. Ïîñêîëüêó w(t) ñâÿçûâàåò çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè v â áëèçêèå ìîìåíòû âðåìåíè, çàäàíèÿ r è v â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t0 è ôóíêöèè w(t) âî âñå ìîìåíòû âðåìåíè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîëó÷èòü çàêîí äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ r(t) (óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ) ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè. Êîíêðåòíûé âèä óðàâíåíèé äâèæåíèÿ è ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ çàâèñÿò îò èñïîëüçóåìîãî ôîðìàëèçìà.  ìåõàíèêå ðàçâèòû 4 ìåòîäà îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû: 1. Ìåòîä óðàâíåíèé Íüþòîíà. 2. Ìåòîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà. 3. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ (óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà). 4. Ìåòîä Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. 2)  ìåõàíèêå Íüþòîíà äëÿ çàïèñè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ñèëû Fi , êàê ìåðû âîçäåéñòâèÿ íà i-þ òî÷êó ñ ìàññîé mi ñî ñòîðîíû 3

äðóãèõ òåë. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî äâèæåíèå ñèñòåìû N òî÷åê îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé (âòîðîé çàêîí Íüþòîíà)

mi¨ri = Fi ,

(1.2)

i = 1, 2, . . . , N.

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îäíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1.2) íåîáõîäèìî çàäàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ò.å. çíà÷åíèÿ ri0 = ri (t0 ) è vi0 = vi (t0 ) â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t = t0 .  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé Íüþòîíà ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

ri = ri (t; t0 , r10 , . . . , rN 0 , v10 , . . . , vN 0 ), i = 1, 2, . . . , N.

(1.3)

Ñèëà F â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü ôóíêöèåé r, v è t, íî ìîæåò áûòü è ïîñòîÿííîé èëè çàâèñåòü òîëüêî îò îäíîé èëè îò äâóõ èç óêàçàííûõ âåëè÷èí. Äëÿ ñèñòåìû òî÷åê ñèëà Fi , äåéñòâóþùàÿ íà i-þ òî÷êó åñòü (int)

Fi = Fi ãäå

(int) Fi

=

(e)

(1.4)

+ Fi ,

N X

Fij  ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà i-þ òî÷êó ñî ñòîðîíû

j=1,j6=i (e)

îñòàëüíûõ ÷àñòèö ñèñòåìû. Fi  ðåçóëüòèðóþùàÿ âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà i-þ ÷àñòèöó ñî ñòîðîíû òåë, íå âõîäÿùèõ â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó òî÷åê (äëÿ ñèñòåìû èç îäíîé òî÷êè âñå ñèëû  âíåøíèå). Ñèñòåìà òî÷åê íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé , åñëè íà íåå íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû. Äëÿ ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè i è j âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ðàâåíñòâà äåéñòâèÿ è ïðîòèâîäåéñòâèÿ (òðåòèé çàêîí Íüþòîíà): (1.5)

Fij = −Fji .

Ñèëà F íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé, åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ U (r, t) (ïîòåíöèàë èëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ), òàêàÿ, ÷òî

F = − grad U (r, t) ≡ −∇U ≡ −

∂U . ∂r

(1.6)

Åñëè U íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè (∂U/∂t = 0), òî ñèëà F íàçûâàåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé ïîòåíöèàëüíîé ñèëîé. Ñèëà F íàçûâàåòñÿ ãèðîñêîïè÷åñêîé, åñëè îíà ëèíåéíî çàâèñèò îò ñêîðîñòè òî÷êè v è ïåðïåíäèêóëÿðíà ê v. Íàïðèìåð, ñèëà Ëîðåíöà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó ñ çàðÿäîì e â ìàãíèòíîì ïîëå H:

e FË = [v × H]. c 4

Äèññèïàòèâíàÿ ñèëà F (ñèëà "æèäêîãî" òðåíèÿ) ïðîòèâîäåéñòâóåò äâèæåíèþ è íàïðàâëåíà ïðîòèâ âåêòîðà ñêîðîñòè:

F = −γv,

γ > 0.

3) Âàæíîå çíà÷åíèå â ìåõàíèêå èìåþò çàêîíû ñîõðàíåíèÿ: èìïóëüñà

P=

N X

pi ,

(1.7)

pi = mi vi ,

i=1

ìîìåíòà èìïóëüñà

L=

N X

Li ,

Li = [ri × pi ]

(1.8)

i=1

è ýíåðãèè

T = U=

N X i=1 N X

E = T + U, ãäå

mi vi2 /2 êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, (e) Ui (ri )

i=1

N N 1X X + Uij (|ri − rj |)  ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ 2 i=1 j=1,i6=j

ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, (e) Fi

(e)

∂U (ri ) , =− i ∂ri

Fij = −

∂Uij (|ri − rj |) . ∂ri

Êàê ñëåäóåò èç (1.2), (1.4), (1.5), äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò èìïóëüñà èìååì N

N

N

X (e) dP X dpi X (int) (e) = = [Fi + Fi ] = Fi = F(e) . dt dt i=1 i=1 i=1 (e)

Äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû Fi = 0, è P = const = P0 . Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ìîìåíòà èìïóëüñà äàåò: N

N

N

X (e) dL X dLi X (e) = = [ri × Fi ] = Mi = M(e) , dt dt i=1 i=1 i=1 (e)

(e)

ãäå M(e)  ïîëíûé ìîìåíò âíåøíèõ ñèë Fi . Äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû Fi = 0 è M(e) = 0. Òîãäà

dL = 0 è L = const = L0 . dt Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ E ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ, åñëè âñå ñèëû, äåéñòâóþùèå â ñèñòåìå, êîíñåðâàòèâíûå ïîòåíöèàëüíûå èëè/è ãèðîñêîïè÷åñêèå. 5

Çàäà÷è ê ãëàâå 1 Çàäà÷à 1.1. ×àñòèöà ìàññû m, èìåþùàÿ çàðÿä e, äâèæåòñÿ ìåæäó îáêëàä-

êàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êîíäåíñàòîðå E = E0 cos ωt, ãäå E0 è ω  êîíñòàíòû.  ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòèöû è ñêîðîñòü èìåëè çíà÷åíèÿ r(0) = r0 è v(0) = v0 . Íàéòè r(t) è v(t). Îòâåò : r(t) = r0 + v0 t +

eE0 eE0 (1 − cos ωt) ; v(t) = v + sin ωt. 0 mω 2 mω

Çàäà÷à 1.2. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ ïîä âëèÿíèåì ñèëû, ïðîïîðöèîíàëü-

íîé ðàññòîÿíèþ îò íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé òî÷êè O è íàïðàâëåííîé âñåãäà â ýòó òî÷êó: F = −kr. Íàéòè ðàäèóñ-âåêòîð è ñêîðîñòü ÷àñòèöû êàê ôóíêöèè âðåìåíè, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 îíà íàõîäèëàñü â ïîëîæåíèè r0 è èìåëà ñêîðîñòü v0 îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ òî÷êîé O. Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè.

v0

Îòâåò : r(t) = r0 cos ωt + sin ωt; v(t) = v0 cos ωt − r0 ω sin ωt; ω òðàåêòîðèÿ  ýëëèïñ â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ r0 è v0 , óðàâíåíèå êîòîðîãî â ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ îñüþ x âäîëü âåêòîðà r0 èìååò âèä: x2 sin2 α − xy sin 2α + y 2 (cos2 α + r02 ω 2 /v02 ) = p r02 sin2 α , ãäå α  óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r0 è v0 , ω = k/m.

Çàäà÷à 1.3. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè â ñðåäå

ñ ñîïðîòèâëåíèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ñêîðîñòè: Fc = −kv. Íàéòè ðàäèóñâåêòîð r(t) è ñêîðîñòü v(t) ÷àñòèöû êàê ôóíêöèè âðåìåíè, åñëè r(0) = r0 = {0, 0, r0 } è v(0) = v0 = {v0 cos α, 0, v0 sin α}. Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû.

i m h m m −kt/m −kt/m ) + g t − (1 − e ) ; Îòâåò : r(t) = r0 + v0 (1 − e k k k m v(t) = v0 e−kt/m + g(1 − e−kt/m ); òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ëåæèò â ïëîñk êîñòè âåêòîðîâ v0 è g è îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì: µ µ ¶ ¶ 2 kx mg mg z = r0 + x tg α + + 2 ln 1 − . kv0 cos α k mv0 cos α

Çàäà÷à 1.4. Èç íåïîäâèæíîé òî÷êè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïî âñåì

íàïðàâëåíèÿì èñïóñêàþòñÿ îäèíàêîâûå ÷àñòèöû ñ ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ. Çàòåì ÷àñòèöû äâèæóòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ñ ñîïðîòèâëåíèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ñêîðîñòè. Íàéòè öåíòð è ðàäèóñ ñôåðû, íà êîòîðîé îêàæóòñÿ ÷àñòèöû â ìîìåíò âðåìåíè t.

6

Ðåøåíèå . Êîîðäèíàòû ÷àñòèö â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì äëÿ ðàäèóñà-âåêòîðà r(t), ïîëó÷åííûì â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, êîòîðîå óäîáíî çàïèñàòü â âèäå:

r(t) − r0 (t) = ãäå

m v0 (1 − e−kt/m ), k

m m g[t − (1 − e−kt/m )] k k  îäèíàêîâàÿ äëÿ âñåõ ÷àñòèö òî÷êà îòñ÷¼òà. Ïîëîæåíèÿ ÷àñòèö îòíîñèòåëüíî ýòîé òî÷êè ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî íàïðàâëåíèåì âåêòîðà ñêîðîñòè v0 , ìîäóëü êîòîðîãî îäèíàêîâ äëÿ âñåõ ÷àñòèö. Òàêèì îáðàçîì ÷àñòèöû ðàñïîëàãàþòñÿ íà ³ ñôåðå, öåíòð ´ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì r0 (t), à ðàäèóñ m R(t) = |v0 | 1 − e−kt/m . k r0 (t) = r0 +

Çàäà÷à 1.5. Èç íåêîòîðîé òî÷êè â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè èñïóñêàþòñÿ ÷àñòèöû ñ îäèíàêîâûìè ïî ìîäóëþ íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè ïîä ðàçëè÷íûìè óãëàìè ê ãîðèçîíòó. Íàéòè îáëàñòü, íåäîñòèæèìóþ äëÿ ÷àñòèö. Ñèëàìè ñîïðîòèâëåíèÿ ïðåíåáðå÷ü.

Îòâåò : Ëèíèåé ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé òî÷êó èñïóñêàíèÿ ÷àñòèö, ñ ïîâåðõíîñòüþ, îòäåëÿþùåé îáëàñòü, íåäîñòèæèìóþ äëÿ ÷àñòèö, ÿâëÿåòñÿ îãèáàþùàÿ âñåõ âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé ÷àñòèö, èñïóùåííûõ ïî ðàçíûì íàïðàâëåíèÿì,  ïàðàáîëà áåçîïàñíîñòè

v02 gy 2 . z = z0 + − 2g 2v02

Çàäà÷à 1.6. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå U (x) = −Ax4 , åñëè ïîëíàÿ ýíåðãèÿ å¼ ðàâíà íóëþ. Îòâåò : x(t) = h

x(0)

q i. 1 ± tx(0) 2A m

Çàäà÷à 1.7. Íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ñèëû, ïîä äåéñòâèåì êîòîðîé ìàòåðèàëü-

íàÿ òî÷êà ìàññû m äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè z = 0 ïî çàêîíó x = a ch kt, y = b sh kt. Îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ ñîõðàíÿþùèõñÿ ïðè òàêîì äâèæåíèè äèíàìè÷åñêèõ âåëè÷èí è òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. Îòâåò : F = {mk 2 x, mk 2 y, 0}. Ñîõðàíÿþòñÿ âåëè÷èíû: ìîìåíò èìïóëüñà L = {0, 0, mkab};

1 2

ïîëíàÿ ýíåðãèÿ E = mk 2 (b2 − a2 ); 7

z  ïðîåêöèÿ èìïóëüñà pz = 0. x2 y 2 Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè: 2 − 2 = 1. a b Çàäà÷à 1.8. Çàðÿä e äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå H. e Äîêàçàòü, ÷òî ïðè òàêîì äâèæåíèè ñîõðàíÿåòñÿ âåëè÷èíà A = (L·H)+ [r× 2c 2 H] , ãäå L  ìîìåíò èìïóëüñà çàðÿäà. r Çàäà÷à 1.9. Çàðÿä e äâèæåòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå âèäà H = q 3 (ïîëå ìàãíèòr eq r ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì íîãî ìîíîïîëÿ). Äîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíà A = L − c r äâèæåíèÿ. α Çàäà÷à 1.10. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè äâèæåíèè â ïîëå U (r) = âåëè÷èíà A r αr = [v × L] + åñòü èíòåãðàë äâèæåíèÿ. r Çàäà÷à 1.11. ×àñòèöà äâèæåòñÿ â îäíîìåðíîé ïðÿìîóãîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ñ áåñêîíå÷íî âûñîêèìè ñòåíêàìè. Øèðèíà ÿìû a, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû E . Âû÷èñëèòü ñðåäíþþ ñèëó, ñ êîòîðîé ÷àñòèöà äåéñòâóåò íà ñòåíêó. Îòâåò : < F >= 2E/a.

Çàäà÷à 1.12. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ çàðÿäà â ìàãíèòíîì ïîëå H = y eH0 {0, 0, H0 cos }, åñëè r(0) = 0, v(0) = {0, ωa, 0}, ãäå ω = . a mc Îòâåò : x˙ = aω th(ωt), x = a ln(ch ωt), aω y˙ = , y = a arcsin(th ωt). ch ωt

x a

Çàäà÷à 1.13. Òî÷êà äâèæåòñÿ â ïîëå ñ ïîòåíöèàëîì U (x) = U0 tg2 ( ). Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè. Îïðåäåëèòü ïåðèîä äâèæåíèÿ. Ðåøåíèå . Fy = Fz = 0 ⇒ y˙ = y˙ 0 = const, z˙ = z˙0 = const. ýíåðãèÿ ñîõðàíÿåòñÿ: E = E0 = const.:

³ ´ m(x˙ 2 + y˙ 02 + z˙02 ) 2 x + U0 tg = E0 . 2 a Îáîçíà÷èì

m(y˙ 02 + z˙02 ) = const. E1 = E0 − 2 Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü â âèäå: r h ³ x ´i 2 dx 2 =± E1 − U0 tg . dt m a 8

∂U = 0 ⇒ ïîëíàÿ ∂t

Ðåøàÿ åãî ñ ïîìîùüþ ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷èì

(r

x = a arcsin

"

E1 t − t0 sin ± E1 + U0 a

r

2(E1 + U0 ) + m r + arcsin

E 1 + U0 x0 sin E1 a

#) .

Çíàê îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûì íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè. Ïåðèîä äâèæåíèÿ τ ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ àðãóìåíòà sin (âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ) íà 2π : r r

m τ 2(E1 + U0 ) = 2π, τ = 2πa . a m 2(E1 + U0 ) Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìåæäó òî÷êàìè ïîâîðîòà (ïðîâåðèòü!): Z x2 τ dx q £ = ¤, 2 2 x 2 x1 m E1 − U0 tg ( a ) ãäå x1 è x2 ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè âûðàæåíèÿ â çíàìåíàòåëå.

Çàäà÷à 1.14. Îïðåäåëèòü ïåðèîä êîëåáàíèé ïëîñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (òî÷êà ìàññû m, ïîäâåøåííàÿ íà êîíöå íåâåñîìîãî ñòåðæíÿ äëèíîé l â ïîëå òÿæåñòè).

y

A

Ðåøåíèå .

A

A

ϕ Al x = l cos ϕ, x˙ = −ϕl ˙ sin ϕ,

A At

y = l sin ϕ; y˙ = ϕl ˙ cos ϕ.

x

?

? mg

m m T = (x˙ 2 + y˙ 2 ) = l2 ϕ˙ 2 . 2 2 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ : U = −mgx = −mgl cos ϕ. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ñóììîé êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé, ñîâïàäàåò ñ ïîòåíöèàëüíîé, êîãäà óãîë îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Φ0 :

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ :

E = T + U = U (Φ0 )

ml2 ϕ˙ 2 /2 − mgl cos ϕ = −mgl cos Φ0 .

⇒

Îòñþäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:

dϕ =± dt

r

2g (cos ϕ − cos Φ0 ). l 9

Âûáåðåì ïîëîæèòåëüíûé çíàê, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ϕ âîçðàñòàåò âî âðåìåíè. Ðàçäåëÿåì ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóåì, ïîëàãàÿ, ÷òî ϕ(t0 ) = 0:

s

Z

l 2g

t − t0 =

ϕ

√ 0

dϕ . cos ϕ − cos Φ0

Ïåðèîä êîëåáàíèÿ τ îïðåäåëÿåòñÿ óäâîåííûì âðåìåíåì èçìåíåíèÿ óãëà ϕ îò −Φ0 äî Φ0 èëè ó÷åòâåðåííûì  îò íóëÿ äî Φ0 :

s

τ =4

Z

l 2g

Φ0

√ 0

dϕ . cos ϕ − cos Φ0

Âîñïîëüçîâàâøèñü òðèãîíîìåòðè÷åñêèì òîæäåñòâîì

cos ϕ = 1 − 2 sin2 (ϕ/2), ïîëó÷èì

s Z l Φ0 dϕ p τ =2 . g 0 sin2 (Φ0 /2) − sin2 (ϕ/2) Ââåä¼ì íîâóþ ïåðåìåííóþ ξ ñîîòíîøåíèåì sin(ϕ/2) = sin(Φ0 /2) sin ξ, ïîñëå ïîäñòàíîâêè êîòîðîé â èíòåãðàë ïîëó÷èì:

s Z l π/2 dξ p τ =4 , 2 2 g 0 1 − k sin ξ

ãäå k = sin(Φ0 /2). Ôóíêöèÿ

Z

π/2

p

K(k) = 0

dξ 1 − k 2 sin2 ξ

íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ýëëèïòè÷åñêèì èíòåãðàëîì 1-ãî ðîäà. Òàêèì îáðàçîì,

s

τ =4

µ ¶ Φ0 l K sin . g 2

Åñëè Φ0 ¿ 1, K(k) ìîæíî âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííî, ðàçëàãàÿ êîðåíü â çíàìåíàòåëå ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà k 2 sin2 ξ :

s Z s · ¶ ¸ π/2 µ 2 k l l Φ20 2 τ =4 1 + sin ξ + . . . dξ = 2π + ... . 1+ g 0 2 g 16 10

Ïåðâûé ÷ëåí ñîîòâåòñòâóåò èçâåñòíîé ôîðìóëå ïåðèîäà ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.

Çàäà÷à 1.15. Îïðåäåëèòü çàêîí äâèæåíèÿ öåíòðà èíåðöèè ñèñòåìû äâóõ çà-

ðÿæåííûõ ÷àñòèö ñ ìàññàìè m1 , m2 è çàðÿäàìè e1 , e2 â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå íàïðÿæåííîñòè E. Ðåøåíèå . Çàïèøåì óðàâíåíèÿ Íüþòîíà

m1¨r1 = e1 E + F12 m2¨r2 = e2 E + F21. Ñëîæèì ýòè äâà óðàâíåíèÿ, ðåçóëüòàò ðàçäåëèì íà ñóììó ìàññ M = m1 +m2 . Ââîäÿ êîîðäèíàòó öåíòðà ìàññ ñîîòíîøåíèåì

rc = (m1 r1 + m2 r2 )/(m1 + m2 ), è ó÷èòûâàÿ òðåòèé çàêîí Íüþòîíà F12 = −F21 , ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ öåíòðà èíåðöèè:

M¨rc = eE, ãäå e = e1 + e2  ñóììàðíûé çàðÿä äâóõ ÷àñòèö. Òàêèì îáðàçîì, öåíòð èíåðöèè ñèñòåìû çàðÿäîâ âî âíåøíåì ïîëå äâèæåòñÿ ïî çàêîíó äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ñóììàðíîé ìàññîé è ñóììàðíûì çàðÿäîì. Âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìè íà äâèæåíèe öåíòðà ìàññ íèêàêîãî âëèÿíèÿ íå îêàçûâàåò. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïîëó÷èì çàêîí äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ:

rc (t) =

et2 E + r˙ c0 t + rc0 . 2M

Çàäà÷à 1.16. ×àñòèöà ìàññû m, äâèæóùàÿñÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 , ïåðåõîäèò èç ëåâîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà, x < 0, â êîòîðîì å¼ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïîñòîÿííà è ðàâíà U1 , â ïðàâîå ïîëóïðîñòðàíñòâî, x > 0, ãäå ýòà ýíåðãèÿ òîæå ïîñòîÿííà è ðàâíà U2 . Îïðåäåëèòü èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. Ðåøåíèå .

y6

 v2



ϑ

2 * ϑ1 x  v1 

Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè

s

mv12 mv22 + U1 = + U2 2 2

2∆U , mv12 ãäå ∆U = U2 − U1 . Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ñîñòàâëÿþùåé èìïóëüñà, êàñàòåëüíîé ê ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ïîëóïðîñòðàíñòâ (ïðè ïåðåõîäå ìåæäó ñëåäóåò: v2 = v1

1−

11

ïîëóïðîñòðàíñòâàìè íà ÷àñòèöó äåéñòâóåò ñèëà, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïëîñêîñòè ðàçäåëà), èìååì:

v1 sin ϑ1 = v2 sin ϑ2 . Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ïðåäûäóùåå ñîîòíîøåíèå ìåæäó v1 è v2 , ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå ìåæäó óãëàìè, îïðåäåëÿþùèìè íàïðàâëåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè â äâóõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà: s

sin ϑ1 = sin ϑ2

1−

2∆U . mv12

Îòñþäà sâèäíî, ÷òî ïðè U2 > U1 (∆U > 0) ϑ2 > ϑ1 . Ïîñêîëüêó sin ϑ2 6 1, ïðè

2∆U > 1 ÷àñòèöà íå ìîæåò ïðîíèêíóòü â îáëàñòü ñ ïîòåíöèàëîì mv12 U2 è îòðàæàåòñÿ îò ãðàíèöû îáðàòíî â îáëàñòü ñ ïîòåíöèàëîì U1 .

sin ϑ1 / 1 −

Çàäà÷à 1.17. Ñèñòåìà N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê äâèæåòñÿ â îãðàíè÷åííîé îá-

ëàñòè ïðîñòðàíñòâà (ò.å. íå ðàçëåòàåòñÿ), òàê ÷òî ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ å¼ êîîðäèíàò îñòàþòñÿ êîíå÷íûìè, â ïîëå ñèë ñ ïîòåíöèàëîì U (r1 , . . . , rN ). Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè òàêîì äâèæåíèè âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå (òåîðåìà î âèðèàëå)

1 T = V, 2

(1.9)

ãäå

V= Z

N µ X k=1

∂U rk · ∂rk

¶  âèðèàë ñèñòåìû, à

τ

1 f (t) dt  ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå ôóíêöèè f (t). τ →∞ τ 0 Ðåøåíèå . Çàïèøåì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû â âèäå: f ≡ lim

N

N

N

k=1

k=1

k=1

1X 1d X 1X T = (˙rk · pk ) = (rk · pk ) − (rk · p˙ k ). 2 2 dt 2 Ïðîèçâîäíóþ îò èìïóëüñà çàìåíèì ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Íüþòîíà:

p˙ k = −

∂U , ∂rk

òîãäà N

N

N

k=1

k=1

k=1

1d X 1X ∂U 1d X 1 T = (rk · pk ) + (rk · )= (rk · pk ) + V. 2 dt 2 ∂rk 2 dt 2 12

Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå óñðåäíèì ïî âðåìåíè:

1 τ →∞ τ

Z

τ

T = lim

0

(

) N X 1 1d (rk · pk ) + V dt = 2 dt 2 k=1 ) ( N N X X 1 1 1 (rk · pk )|t=τ − (rk · pk )|t=0 + V. = lim 2 τ →∞ τ 2 k=1

k=1

Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ, îñòàåòñÿ êîíå÷íûì ïðè âñåõ τ , â òîì ÷èñëå è ïðè τ → ∞. Òàêèì îáðàçîì, â ïðåäåëå ïåðâîå ñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íóëü, ÷òî è äîêàçûâàåò ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû î âèðèàëå (1.9).

2

Ñâÿçè. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà

 ìåõàíèêå ñóùåñòâóåò êëàññ çàäà÷, â êîòîðûõ íà âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò è/èëè ñêîðîñòåé ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàëîæåíû îïðåäåë¼ííûå îãðàíè÷åíèÿ. Òàêèå îãðàíè÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ñâÿçÿìè. Íàïðèìåð, òî÷êà, ïîäâåøåííàÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè íà íèòè ôèêñèðîâàííîé äëèíû l; òî÷êà íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ôèêñèðîâàííîãî ðàäèóñà, òî÷êà íà çàäàííîé êðèâîé è ò.ä. Àíàëèòè÷åñêè ñâÿçü çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì ñâÿçè (2.1)

ψ(r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t) = 0.

∂ψ = 0), ñâÿçü íàçûâàåòñÿ ∂t ñòàöèîíàðíîé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå  íåñòàöèîíàðíîé. Íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ãîëîíîìíûå ñâÿçè , êîòîðûå ìîãóò áûòü çàäàíû ôóíêöèåé ψ , íå çàâèñÿùåé îò ñêîðîñòåé vi . Äëÿ ñèñòåìû ñ K ãîëîíîìíûìè ñâÿçÿìè (K < 3N ) èìååì K ñîîòíîøåíèé Åñëè ôóíêöèÿ ψ íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè (

ψα (r1 , . . . , rN , t) = 0,

α = 1, 2, . . . , K.

(2.2)

Êðîìå çàäàííûõ ñèë Fi , íà òî÷êè ñèñòåìû ñî ñòîðîíû ñâÿçåé äåéñòâóþò äîïîëíèòåëüíûå ñèëû Ri , îáåñïå÷èâàþùèå âûïîëíåíèå óñëîâèé (2.2) ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû. Ñèëû Ri íàçûâàþòñÿ ðåàêöèÿìè ñâÿçåé :

Ri =

K X

(2.3)

Rαi ,

α=1

ãäå Rαi  ñèëà ðåàêöèè, äåéñòâóþùàÿ íà i-þ òî÷êó ñî ñòîðîíû α-é ñâÿçè. 13

Åñëè ñâÿçü ãîëîíîìíà, òî âåêòîð Rαi êîëëèíåàðåí ãðàäèåíòó ôóíêöèè ψa ïî ïåðåìåííîé ri :

∂ψα . (2.4) ∂ri Çäåñü λα  íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, íàçûâàåìûé íåîïðåäåë¼ííûì ìíîæèòåëåì Ëàãðàíæà. Èòàê, Rαi = λα ∇i ψα (r1 , . . . , rN , t) ≡ λα

Ri =

K X

λα ∇i ψα (r1 , . . . , rN , t),

i = 1, 2, . . . , N.

(2.5)

α=1

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ñî ñâÿçÿìè ïîëó÷àþòñÿ äîáàâëåíèåì â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèé Íüþòîíà (1.2) ñèë Ri

mi¨ri = Fi +

K X

λα ∇i ψα ,

i = 1, 2, . . . , N.

(2.6)

α=1

Ýòè óðàâíåíèÿ ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé (2.2) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà. Íåèçâåñòíûìè â ýòèõ óðàâíåíèÿõ ÿâëÿþòñÿ âñå ðàäèóñû-âåêòîðû ri (t) è K ìíîæèòåëåé λα . ×èñëî íåèçâåñòíûõ (3N + K ) ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì óðàâíåíèé (2.2) è (2.6), è ïðè çàäàííûõ 6N íà÷àëüíûõ óñëîâèé

ri (0) = r0i , vi (0) = v0i , ñîãëàñóþùèõñÿ ñ óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé, ñèñòåìà óðàâíåíèé Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, îïðåäåëÿþùåå êàê ri (t), òàê è ìíîæèòåëè λα , à âìåñòå ñ íèìè è ðåàêöèè ñâÿçåé (2.5). Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, §16] , [2, §§23-25] , [4, §§ 2.1, 2.2] , [5, Ãë.1, §§1,2,3].

Çàäà÷è ê ãëàâå 2 Çàäà÷à 2.1. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ïî

ãëàäêîé íåïîäâèæíîé ïëîñêîñòè, îáðàçóþùåé óãîë α ñ ãîðèçîíòîì. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè è ðåàêöèþ ïëîñêîñòè. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè z = x tg α îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå ãîëîíîìíîé ñâÿçè (ñì.(2.2)):

Ðåøåíèå

z

6

m½s ½ ½

½

½

½α

?mg -

x

ψ(x, z) = x tg α − z = 0. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ

m¨r = mg + λ∇ψ 14

(2.7)

â êîîðäèíàòíîé çàïèñè ïðèíèìàåò âèä:

m¨ x = λ tg α;

m¨ y = 0; m¨ z = −mg − λ.

Óðàâíåíèå íà y(t) ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ñðàçó:

y(t) = y0 + y˙ 0 t. Âûðàçèâ z ÷åðåç x èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè (2.7), à çàòåì èñêëþ÷èâ x, ïîëó÷èì:

λ = −mg cos2 α. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â (2.4), ïîëó÷èì äëÿ äåêàðòîâûõ êîìïîíåíò ñèëû ðåàêöèè ñâÿçè:

Rx = −

mg sin 2α, 2

Ry = 0,

Rz = mg cos2 α.

Èíòåãðèðóÿ òåïåðü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñ èçâåñòíûìè ñèëàìè, ïîëó÷èì

gt2 x(t) = − sin 2α + x˙ 0 t + x0 ; 4 gt2 2 z(t) = x(t) tg α = − sin α + (x˙ 0 t + x0 ) tg α. 2

Çàäà÷à 2.2. Òî÷êà äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ïî ãëàäêîé íåïî-

äâèæíîé ïàðàáîëå, ðàñïîëîæåííîé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Îñü ïàðàáîëû ãîðèçîíòàëüíà, óðàâíåíèå ïàðàáîëû: y 2 = ax. Èçâåñòíî íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå òî÷êè y(0) = y0 , à å¼ íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Íà êàêîé âûñîòå òî÷êà îòîðâåòñÿ îò ïàðàáîëû? Ðåøåíèå . Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èìåþò âèä

m¨r = mg + λ∇ψ,

y6 y0 yc

ψ(x, y) = y 2 − ax = 0.

s s

Ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ çàâèx 0 ñèìîñòè ñèëû ðåàêöèè ñâÿçè îò êîîðäèíàò.  òî÷êå îòðûâà ýòà ñèëà äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íóëü. Ðàñïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïîêîìïîíåíòíî:

m¨ x = −λa, m¨ y = −mg + 2λy. 15

Èñêëþ÷àÿ îòñþäà x ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ñâÿçè è ïîäñòàâëÿÿ y¨ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ â ïåðâîå, ïîëó÷èì: my˙ 2 + y(2λy − mg) = −λa2 /2.  òî÷êå îòðûâà, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò êîîðäèíàòà y = yc , λ = 0, è ìû ïîëó÷èì:

gyc − y˙ 2 = 0.

(2.8)

×òîáû îïðåäåëèòü çíà÷åíèå y˙ â òî÷êå îòðûâà, âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè:

m 2 (x˙ + y˙ 2 ) + mgy = mgy 0 . 2 Ïîäñòàâèâ ñþäà ñîîòíîøåíèå x˙ = 2y y/a ˙ , ïîëó÷åííîå èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè, íàéä¼ì ñîîòíîøåíèå ìåæäó âåðòèêàëüíûìè êîìïîíåíòàìè ñêîðîñòè è êîîðäèíàòû: 2g(y0 − y) y˙ 2 = . 1 + 4y 2 /a2 Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå (2.8), ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ êîîðäèíàòû òî÷êè îòðûâà yc : 3 2 a2 3 yc + a yc − y0 = 0. 4 2

Çàäà÷à 2.3. Øàðèê äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ïî ãëàäêîé êðèâîé

y = y(x), ëåæàùåé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè x(0) = a, v(0) = 0. ×åðåç êàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè τ øàðèê áóäåò íàõîäèòüñÿ â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé b? Îòâåò : Z bs 1 + (dy/dx)2 τ= dx. 2g[y(a) − y(x)] a

Çàäà÷à 2.4.  ãëàäêîé íåïîäâèæíîé ïîëóñôåðå ðàäèóñà r ñ âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîé îñüþ ñèììåòðèè ïîêîèòñÿ òîíêèé îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíû l > 2r. Êàêàÿ ÷àñòü ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ âíå ïîëóñôåðû? Óêàçàíèå. 1) Ðåàêöèÿ ñôåðû íàïðàâëåz6 R AKA 2 íà ïî ðàäèóñó ñôåðû ê öåíòðó, ðåàêB 7 R1 ¶ ¶ q A  ¶ öèÿ R2 ïåðïåíäèêóëÿðíà ñòåðæíþ. Äâà A  ¶O  0  O x óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïîëó÷èì, ïðèðàⶠ q  ¶  íèâàÿ íóëþ ñóììû ïðîåêöèé âñåõ ñèë ¶   ¶  (R1 + R2 + mg) íà îñè x è z . Åùå îä? mg ¶   ϕ  ¶ íî óðàâíåíèå ïîëó÷èòñÿ ïðèðàâíèâàíèåì A íóëþ ñóììàðíîãî ìîìåíòà âñåõ ñèë 16

îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ðèñóíêà (íàïðèìåð, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O0 ). 2) Ðåøèòü çàäà÷ó òàêæå ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé.

Ã

Îòâåò : O0 B = l

7 − 8

r

2r2

1 + 2 64 l

!

.

Çàäà÷à 2.5. Îäíîðîäíàÿ öåïî÷êà äëèíû l ïåðåêèíóòà ÷åðåç âåðõíþþ ãîðèçîíòàëüíóþ ãðàíü äëèíû a < l íåïîäâèæíîé ïðèçìû, ñå÷åíèå êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ òðàïåöèåé ñ óãëàìè α è β ïðè ãîðèçîíòàëüíîì íèæíåì îñíîâàíèè. Êàêîâî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ öåïî÷êè íà ïðèçìå ñ ãëàäêèìè ãðàíÿìè? dddddddddddddddddd Óêàçàíèå. Ââåñòè ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü öåïî÷dd dd d J dd êè ρ è äëèíó ëåâîãî ñâèñàþùåãî êîíöà s. s ddd¤¤ J dd

(l − a) sin β Îòâåò. s = . sin α + sin β Ðàçíîñòü âåðòèêàëüíûõ êîîðäèíàò êîíöîâ öåïî÷êè ∆h = 0.

J ddd Jd J J β JJ

d¤ dd¤ ¤

¤

¤

¤

α

Çàäà÷à 2.6. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ ïî âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè âåðòè-

êàëüíîãî öèëèíäðà ðàäèóñà a. Ñ÷èòàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà àáñîëþòíî ãëàäêîé, îïðåäåëèòü ñèëó äàâëåíèÿ ÷àñòèöû íà öèëèíäð. Åå íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 ñîñòàâëÿåò óãîë α ñ ãîðèçîíòîì.

mv02 cos2 α Îòâåò : R = n , ãäå n  íîðìàëü ê âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè öèëa ëèíäðà.

Çàäà÷à 2.7. Òî÷êà äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ïî ãëàäêîé ñôåðå

ðàäèóñà a. Íàéòè ñèëó ðåàêöèè R ñôåðû êàê ôóíêöèþ êîîðäèíàò è ñêîðîñòè è êîîðäèíàòó zc îòðûâà òî÷êè îò ñôåðû. Óêàçàíèå : Âìåñòå ñ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà èñïîëüçîâàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàííîå ïî âðåìåíè óðàâíåíèå ñâÿçè. Íà÷àëî êîîðäèíàò âûáðàòü â öåíòðå ñôåðû. Îòâåò :

r {3m(g · r) + 2E0 }; a2 Çäåñü E0  ïîëíàÿ ýíåðãèÿ. R=−

zc =

2E0 . 3mg

Çàäà÷à 2.8. Òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîìó íåïîäâèæíîìó ýëëèïñîèäó ñ ïîëó-

îñÿìè a, b, c ïîä äåéñòâèåì ñèëû F = −κr, íàïðàâëåííîé â öåíòð ýëëèïñîèäà (κ = const). Íàéòè ðåàêöèþ ñâÿçè êàê ôóíêöèþ ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè. 17

Óêàçàíèå : Íà÷àëî êîîðäèíàò âçÿòü â öåíòðå ýëëèïñîèäà. Óñêîðåíèå âûðàçèòü ÷åðåç ñêîðîñòü, äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ óðàâíåíèå ñâÿçè ïî âðåìåíè. Îòâåò :

y z x R = 2λ( 2 i + 2 j + 2 k); a b c

κ − m(x˙ 2 /a2 + y˙ 2 /b2 + z˙ 2 /c2 ) λ= . 2(x2 /a4 + y 2 /b4 + z 2 /c4 )

Çàäà÷à 2.9. Òî÷êà ìàññû m äâèæåòñÿ â ïîëå òÿæåñòè ïî ãëàäêîé ãîðèçîí-

òàëüíîé ïëîñêîñòè, êîëåáëþùåéñÿ â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè ñ ÷àñòîòîé ω , àìïëèòóäîé a ïî çàêîíó: z = a sin(ωt). 1) Îïðåäåëèòü ñèëó äàâëåíèÿ ÷àñòèöû íà ïëîñêîñòü. 2) Ïðè êàêîì óñëîâèè ÷àñòèöà ìîæåò îòîðâàòüñÿ îò ïëîñêîñòè? 3) Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïîëíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû. Îòâåò : 1) R = m(g − aω 2 sin ωt)k. 2) aω 2 > g . £ ¤ 3) E(t) = m(x˙ 20 + y˙ 02 )/2 + ma sin ωt g − (aω 2 /2) sin ωt .

Çàäà÷à 2.10. ×àñòèöà, ïîäâåøåííàÿ íà êîíöå íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíû

l, çàêðåïëåííîé äðóãèì êîíöîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, äâèæåòñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, îñòàâàÿñü â îäíîé è òîé æå âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû v0 , âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà z0 . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íèòü âî âñåõ òî÷êàõ òðàåêòîðèè îñòàåòñÿ â íàòÿíóòîì ñîñòîÿíèè, îïðåäåëèòü: 1) çàâèñèìîñòü ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè R îò âåðòèêàëüíîé êîîðäèíàòû ÷àñòèöû z ; 2) ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè vmin , íåîáõîäèìîé äëÿ òîãî, ÷òîáû òðàåêòîðèåé ÷àñòèöû áûëà âåðòèêàëüíàÿ îêðóæíîñòü; 3)ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè vmax , ÷òîáû íèòü íå ðàçîðâàëàñü, åñëè ïðåäåëüíàÿ äëÿ íåå ñèëà íàòÿæåíèÿ ðàâíà Rmax = 10mg . £ ¤ Îòâåò : 1) R = m v02 + g(2z0 − 3z) /l, −l < z < l; p 2) vmin = pg(3l − 2z0 ); 3) vmax = g(7l − 2z0 ).

Çàäà÷à 2.11. ×àñòèöà, îïèñàííàÿ â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, äâèæåòñÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïî îêðóæíîñòè òàê, ÷òî óãîë ìåæäó íèòüþ è âåðòèêàëüþ ϑ0 = const. Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû v è ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè R îò óãëà ϑ0 . p Îòâåò : v(ϑ0 ) = gl/ cos ϑ0 sin ϑ0 ; R(ϑ0 ) = mg/ cos ϑ0 . 18

3 Îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà Ñâÿçè âíîñÿò â ðåøåíèÿ çàäà÷ äâå òðóäíîñòè: 1) íå âñå ri íåçàâèñèìû, ò.ê. îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè (2.2); 2) ðåàêöèè ñâÿçåé Ri çàðàíåå íåèçâåñòíû, ÷òî óâåëè÷èâàåò ÷èñëî íåèçâåñòíûõ, ïîäëåæàùèõ îïðåäåëåíèþ èç óðàâíåíèé (2.6). Ñóùåñòâóåò îäíàêî äðóãîé ñïîñîá çàïèñè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, â êîòîðîì ðåàêöèè ñâÿçåé Ri íå ôèãóðèðóþò. Îí îñíîâàí íà ââåäåíèè îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò qi , (i = 1, 2, . . . , s), ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîâîêóïíîñòü ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí , îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèõ ëþáîå ïîëîæåíèå ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå. Ýòî ÷èñëî s íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû. Î÷åâèäíî, äëÿ ñèñòåìû N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ K ãîëîíîìíûìè ñâÿçÿìè (2.2) èìååì: (3.1)

s = 3N − K. Äâèæåíèþ ñèñòåìû ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèå qi ñ òå÷åíèåì âðåìåíè:

q = qi (t),

(3.2)

i = 1, 2, . . . , s.

Èç îïðåäåëåíèÿ qi ñëåäóåò, ÷òî â êà÷åñòâå îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëþáûå s íåçàâèñìûõ âåëè÷èí, óäîâëåòâîðÿþùèõ äâóì óñëîâèÿì: à) ðàäèóñû âåêòîðû ri (ò.å. äåêàðòîâû êîîðäèíàòû xi , yi , zi ) âñåõ òî÷åê äîëæíû áûòü îäíîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè qi (è, ìîæåò áûòü, âðåìåíè, åñëè ñâÿçè (2.2) ñîäåðæàò t )

ri = ri (q1 , q2 , . . . , qs ),

i = 1, 2, . . . , N.

(3.3)

á) ñîîòíîøåíèÿ (3.3), áóäó÷è ïîäñòàâëåíû â óðàâíåíèå ñâÿçåé (2.2), äîëæíû îáðàùàòü èõ â òîæäåñòâà 0 ≡ 0 (îñâîáîæäåíèå îò ñâÿçåé). ßñíî, ÷òî ïðè îòñóòñòâèè ñâÿçåé â ñèñòåìå s = 3N , ñîîòíîøåíèÿ (3.3) âñåãäà ìîæíî âûáðàòü íå ñîäåðæàùèìè t è â ýòîì ñëó÷àå îíè áóäóò îïèñûâàòü ïåðåõîä îò äåêàðòîâûõ ïåðåìåííûõ xi , yi , zi ê äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (íàïðèìåð, ñôåðè÷åñêîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé). Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ïåðåìåííûõ qi íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà è äëÿ ñèñòåìû ñ ïîòåíöèàëüíûìè ñèëàìè èìåþò âèä:

d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ q˙i ∂qi

(3.4)

i = 1, 2, . . . , s,

ãäå L  ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà: (3.5)

L = T − U, 19

T è U  êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè ñèñòåìû, çàïèñàííûå â ïåðåìåííûõ qi è q˙i (q˙i  îáîáù¼ííûå ñêîðîñòè) . Èòàê, L = L(qi , q˙i , t) Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè íóæíî âçÿòü ñíà÷àëà îáû÷íûå (äåêàðòîâû!) ôîðìóëû T =

N X 1

2

k=1

mk r˙ 2k ,

(3.6)

U = U (r1 , . . . , rN )

è ïîäñòàâèòü â íèõ ri èç (3.3), ó÷èòûâàÿ, ÷òî

r˙ k =

s X ∂rk i=1

∂qi

q˙i +

∂rk . ∂t

(3.7)

Åñëè (3.3) íå ñîäåðæàò t, òî T êâàäðàòè÷íî çàâèñèò îò q˙i : s

s

1 XX aij (q1 , . . . , qs )q˙i q˙j , T = 2 i=1 j=1

aij =

N X k=1

µ mk

∂rk ∂rk · ∂qi ∂qj

¶ .

(3.8)

(í)

Åñëè â ñèñòåìå äåéñòâóþò è íåïîòåíöèàëüíûå ñèëû Fk , (íàïðèìåð, çàâèñÿùèå îò ñêîðîñòè), òî óðàâíåíèÿ (3.4) âèäîèçìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

d ∂L ∂L − = Qi , dt ∂ q˙i ∂qi

i = 1, 2, . . . , s,

(3.9)

¶ N µ X ∂r k (í) ãäå Qi = Fk ·  "îáîáù¼ííûå íåïîòåíöèàëüíûå ñèëû". ∂qi k=1 Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ìîæíî ïîëó÷èòü êàê èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà (2.6), èñïîëüçóÿ òàê íàçûâàåìûå óñëîâèÿ èäåàëüíîñòè ñâÿçåé , òàê è áîëåå ôîðìàëüíûì îáðàçîì èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ Z δ Ldt = 0. (3.10) Îäíèì èç âàæíûõ äîñòîèíñòâ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ èõ êîâàðèàíòíîñòü, ò.å. íåçàâèñèìîñòü èõ âèäà îò âûáîðà ñèñòåìû îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû E â ëàãðàíæåâîì ôîðìàëèçìå åñòü s X ∂L E= q˙i − L. ∂ q ˙ i i=1

(3.11)

20

∂L dE = 0 ), òî = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ∂t dt âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè E = const. ∂L Åñëè L íå çàâèñèò ÿâíî îò êîîðäèíàòû qi (ò.å. = 0 ), òî òàêàÿ êîîðäè∂qi íàòà íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêîé è èç (3.4) ñëåäóåò Åñëè L íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî (ò.å.

d ∂L = 0, dt ∂ q˙i

∂L ≡ pi = const, ∂ q˙i

(3.12)

ãäå pi  îáîáù¼ííûé èìïóëüñ, ñîîòâåòñòâóþùèé êîîðäèíàòå qi . Ñîîòíîøåíèÿ (3.11), (3.12) ïîçâîëÿþò íàéòè ñîõðàíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè âåëè÷èíû  èíòåãðàëû äâèæåíèÿ  â ëàãðàíæåâîì ôîðìàëèçìå. Òàêèì îáðàçîì, îáùàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ ëþáîé ìåõàíè÷åñêîé çàäà÷è â ëàãðàíæåâîì ôîðìàëèçìå ñëåäóþùàÿ: 1. Èñõîäÿ èç óñëîâèé çàäà÷è, íàëè÷èÿ ñâÿçåé (åñëè òàêîâûå èìåþòñÿ) îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû s ñèñòåìû. 2. Ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ñèëîâûõ ïîëåé è õàðàêòåðà ñâÿçåé âûáèðàåòñÿ íàèáîëåå óäîáíàÿ äëÿ äàííîé çàäà÷è ñèñòåìà îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò q1 ,. . . , qs , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñôîðìóëèðîâàííûì â íà÷àëå ðàçäåëà óñëîâèÿì à) è á). 3. Ñîñòàâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (3.5) êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ qi , q˙i . Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþòñÿ ôîðìóëû (3.6) äëÿ T è U è ôîðìóëû (3.3) è (3.7) äëÿ âûðàæåíèÿ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé ÷åðåç qi , q˙i . 4. Çàïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (3.4) äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è è çàòåì èíòåãðèðóþòñÿ êàêèì-ëèáî ìåòîäîì â îáùåì (ò.å. ñîäåðæàùåì ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå Ci ) âèäå. Ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ Ci (èõ âñåãî 2s øòóê) îïðåäåëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè äëÿ äàííîé çàäà÷è âåëè÷èíàìè (íàïðèìåð, íà÷àëüíûìè êîîðäèíàòàìè è ñêîðîñòÿìè). Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà : [1, §§ 8-14,17,18] ; [2, §§ 26-29]; [5, Ãë.1, §§ 4-8, Ãë.2, § 11] ; [6, Ãë.1, §§ 1-5, Ãë.2,§§ 6-9] .

Çàäà÷è ê ãëàâå 3 Çàäà÷à 3.1. Äâå òî÷êè ìàññàìè m1 è m2 ñîåäèíåíû ãëàäêîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ äëèíû l, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç áëîê ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ìàññû (ìàøèíà Àòâóäà). Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è çàêîí äâèæåíèÿ ãðóçîâ. 21

Ðåøåíèå. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ãðóçîâ

T =

m1 z˙12 m2 z˙22 + . 2 2

¿ q ÁÀ

Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U = −m1 gz1 − m2 gz2 . Èñïîëüçós m2 åì óñëîâèå íåðàñòÿæèìîñòè íèòè z1 + z2 = l = const, è s ? z m1 âûáåðåì â êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòû âåëè÷èíó z = z1 . Òîãäà z2 = l − z, z˙2 = −z˙ è ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L = T − U ïðèíèìàåò âèä

m1 + m2 2 z˙ + g(m1 − m2 )z + gm2 l. 2 d ∂L ∂L Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà − = 0 äà¼ò: dt ∂ z˙ ∂z m1 − m2 g (m1 + m2 )¨ z + (m2 − m1 )g = 0, z¨ = m1 + m2 L=

Èíòåãðèðóåì:

m1 − m2 gt + V0z ; z˙ = m1 + m2

m1 − m2 t2 z= g + V0z t + z0 . m1 + m2 2

V0z , z0  íà÷àëüíûå ñêîðîñòü è êîîðäèíàòà ïåðâîãî ãðóçà.

Çàäà÷à 3.2. Íà îäíîì êîíöå ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç

ãëàäêèé áëîê, óêðåïëåí ãðóç ìàññû m1 . Ïî äðóãîìó êîíöó íèòè ïåðåìåùàåòñÿ îáåçüÿíà ìàññû m2 ïî çàêîíó s(t) îòíîñèòåëüíî íèòè. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñèñòåìû è çàêîí äâèæåíèÿ îáåçüÿíû îòíîñèòåëüíî Çåìëè.

m1 z˙12 m2 z˙22 Ðåøåíèå . Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ãðóçà è îáåçüÿíû T = + 2 2 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U = −m1 gz1 − m2 gz2 . Èñïîëüçóåì óñëîâèå íåðàñòÿæèìîñòè íèòè z1 + z2 + s(t) = l = const è âûáåðåì â êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòû q âåëè÷èíó z = z2 . Òîãäà z1 = l − s − z , z˙1 = −s˙ − z˙ , è ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèíèìàåò âèä m1 m2 z˙ 2 2 L= (s˙ + z) ˙ + + m1 g(l − s − z) + m2 gz. 2 2 Èç óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

d ∂L ∂L − = 0 èìååì: dt ∂ z˙ ∂z

m1 (¨ z + s¨) + m2 z¨ − (m2 − m1 )g = 0. 22

Ïðåîáðàçóåì è ïðîèíòåãðèðóåì

z˙ = −

m1 s˙ m2 − m1 + gt + C1 ; m1 + m2 m1 + m2

m1 s m2 − m1 t2 + g + C1 t + C2 . m1 + m2 m1 + m2 2 Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò s(0) = 0, z = z0 , s(0) ˙ = 0, z˙ = 0, òî z=−

m1 s˙ m2 − m1 z˙ = − + gt; m1 + m2 m1 + m2

m1 s m2 − m1 t2 z=− + g + z0 . m1 + m2 m1 + m2 2

Çàäà÷à 3.3. Òî÷êà ìàññû m, êîòîðàÿ ìîæåò ïåðåäâèãàòüñÿ ïî ãëàäêîé ãî-

ðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé, ñîåäèíåíà ïðóæèíîé ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè h îò ïðÿìîé. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïðóæèíà ïîä÷èíåíà çàêîíó Ãóêà, à æåñòêîñòü ïðóæèíû k è å¼ äëèíà l0 â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè èçâåñòíû. Óêàçàíèå :  êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòû ìîæíî âçÿòü äåêàðòîâó êîîðäèíàòó x ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íà ïðÿìîé, îòñ÷èòàííóþ îò ïðîåêöèè íåïîäâèæíîé òî÷êè íà ïðÿìóþ.

´2 mx˙ 2 k ³p 2 2 Îòâåò : L = h + x − l0 . − 2 2

Çàäà÷à 3.4. Äâå òî÷êè m1 è m2 , ñîåäèíåííûå ñòåðæ-

íåì äëèíû a è ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ìàññû, ïåðåìåùàþòñÿ ïî ãëàäêèì ñòîðîíàì íåïîäâèæíîãî ïðÿìîãî óãëà, ðàñïîëîæåííîãî â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè (ñòîðîíû óãëà îáðàçóþò óãîë π/4 ñ ãîðèçîíòîì). Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñèñòåìû.

@ @

t     @ ϕ m2 t  @ m@ 1 @ π/4 @

a2 ag Îòâåò : L = (m1 cos2 ϕ + m2 sin2 ϕ)ϕ˙ 2 − √ (m1 sin ϕ + m2 cos ϕ), 2 2 ãäå ϕ  óãîë ìåæäó ñòåðæíåì è ñòîðîíîé óãëà, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ òî÷êà m2 .

23

Çàäà÷à 3.5. Óïðóãàÿ íèòü, äëèíà êîòîðîé â íåíàïðÿ-

a

f @ @ @

æåííîì ñîñòîÿíèè 2a, ïåðåêèíóòà ÷åðåç äâà ãîðèçîíòàëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ ñòåðæíÿ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäíîì óðîâíå íà ðàññòîÿíèè a äðóã îò äðóãà. Êîíöû íèòè ïðèêðåïëåíû ê øàðèêó ìàññû m, ñîâåðøàþùåìó êîëåáàíèÿ ïî âåðòèêàëè. Íèòü ïîä÷èíåíà çàêîíó Ãóêà ñ êîýôôèöèåíòîì óïðóãîñòè k . Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñèñòåìû.

f

@

@ @t

m

? z

´2 mz˙ 2 k ³p 2 2 Îòâåò : L = a + 4z − a + mgz . − 2 2

Çàäà÷à 3.6. Øàðèê ìàññû m ïðèêðåïëåí ê íåðàñòÿæèìîé íèòè, êîíåö êîòîðîé â ñâîþ î÷åðåäü ïðèêðåïëåí ê âåðõíåé òî÷êå íåïîäâèæíîãî áëîêà ðàäèóñà a . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïðè äâèæåíèè øàðèêà â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè áëîêà, íèòü îñòàåòñÿ íàòÿíóòîé è ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé êàñàíèÿ íèòè è øàðèêîì â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ðàâíî l, íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è óðàâíåíèå Ëàãðàíæà. Óêàçàíèå. Ââåñòè îáîáù¼ííóþ êîîðäèíàòó θ  óãîë ¿ ìåæäó ðàäèóñîì, ïðîâåäåííûì â òî÷êó êàñàíèÿ íàòÿy ¡θ@ ¡ íóòîé íèòè ñ áëîêîì è ãîðèçîíòàëüíîé îñüþ y . @ ÁÀ m @ 2 ˙2 Îòâåò. L = (l + aθ) θ + mg[(l + aθ) cos θ − a sin θ], l @

2

@t

(l + aθ)θ¨ + aθ˙2 + g sin θ = 0.

x

?

mg ?

d

Çàäà÷à 3.7. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ïëîñêîãî ìàÿòíèêà äëèíû l è ìàññû

m, òî÷êà ïîäâåñà êîòîðîãî äâèæåòñÿ ïî âåðòèêàëüíîé îêðóæíîñòè ðàäèóñà R ñ ïîñòîÿííîé ÷àñòîòîé ω â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà. Ðåøåíèå . Êîîðäèíàòû òî÷êè m :

x = R cos ωt + l cos ϕ,

Ïðîåêöèè ñêîðîñòè ðàâíû :

ϕ@ l

@

@ @s

? x

x˙ = −ωR sin ωt − lϕ˙ sin ϕ,

y˙ = Rω cos ωt + lϕ˙ cos ϕ.

Íàõîäèì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ

¤ m£ 2 2 m 2 (x˙ + y˙ 2 ) = R ω + l2 ϕ˙ 2 + 2Rωlϕ˙ cos(ϕ − ωt) , 2 2 24

y

HHR ωt H b @

y = R sin ωt + l sin ϕ.

T =

-

H

?

mg

ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ

U = −mgx = −mRg cos ωt − mgl cos ϕ, è ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = T − U

L=

¤ m£ 2 2 R ω + l2 ϕ˙ 2 + 2Rωlϕ˙ cos(ϕ − ωt) + mgR cos ωt + mgl cos ϕ. 2

Ïðåäñòàâëÿÿ ñëàãàåìîå 2Rωlϕ˙ cos(ϕ − ωt) êàê

d sin(ϕ − ωt) + 2Rω 2 l cos(ϕ − ωt) dt è îïóñêàÿ çàòåì ñëàãàåìûå, ÿâëÿþùèåñÿ ïîëíûìè ïðîèçâîäíûìè ïî âðåìåíè, â òîì ÷èñëå ïîñòîÿííûå è çàâèñÿùèå òîëüêî îò âðåìåíè ñëàãàåìûå, ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â âèäå 2Rωl

ml2 ϕ˙ 2 L= + mRlω 2 cos(ϕ − ωt) + mgl cos ϕ. 2

Çàäà÷à 3.8. Âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà (âûñîòà) òî÷êè ïîäâåñà ìàòåìàòè÷å-

ñêîãî ìàÿòíèêà, êîëåáëþùåãîñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè, èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó s(t) . Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà. µ ¶

g s¨ sin θ = 0. + l l

Îòâåò : θ¨ +

Çàäà÷à 3.9. Äëèíà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, êîëåáëþùåãîñÿ â îäíîðîä-

íîì ïîëå òÿæåñòè, èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó l(t) . Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà.

2 l

Îòâåò : θ¨ + θ˙l˙ +

g sin θ = 0. l

Çàäà÷à 3.10. Äâà øàðèêà, ñîåäèíåííûå ïðóæèíîé ñ æåñòêîñòüþ k , ïîä÷èíÿ-

þùåéñÿ çàêîíó Ãóêà, äâèæóòñÿ âäîëü ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñèñòåìû è èíòåãðàëû äâèæåíèÿ.

Óêàçàíèå : Ââåñòè äëèíó ïðóæèíû l â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè, èñïîëüçîâàòü êîîðäèíàòó öåíòðà òÿæåñòè X è îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå x.

M ˙2 µ 2 k X + x˙ − (x − l)2 , 2 2 2 m1 m2 M µ k ãäå M = m1 + m2 , µ = , E = X˙ 2 + x˙ 2 + (x − l)2 = const, m1 + m2 2 2 2 ˙ PX = M X = const.

Îòâåò : L =

25

Çàäà÷à 3.11. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è èíòåãðàëû äâèæåíèÿ ïëîñêîãî

ìàÿòíèêà äëèíû l è ìàññû m2 , ïðèêðåïëåííîãî ê òåëó ìàññû m1 , äâèæóùåìóñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé â òîé æå ïëîñêîñòè.

µ ¶ m1 + m2 2 l Îòâåò : L = x˙ + m2 lϕ˙ ϕ˙ + x˙ cos ϕ + m2 gl cos ϕ, 2 2

Px = (m1 + m2 )x˙ + m2 lϕ˙ cos ϕ = const, µ ¶ m1 + m2 2 l E= x˙ + m2 lϕ˙ ϕ˙ + x˙ cos ϕ − m2 gl cos ϕ = const. 2 2

Çàäà÷à 3.12. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äâîéíîãî ïëîñêîãî ìàÿòíèêà (òî÷-

êîé ïîäâåñà ìàÿòíèêà äëèíû l2 è ìàññû m2 ñëóæèò òî÷å÷íàÿ ìàññà m1 ìàÿòíèêà ñ äëèíîé l1 ). H Îòâåò: L =

H l1 ϕ1 HH s m1

m1 + m2 2 2 m2 2 2 l1 ϕ˙ 1 + l ϕ˙ + 2 2 2 2

+m2 l1 l2 ϕ˙ 1 ϕ˙ 2 cos(ϕ1 −ϕ2 )+(m1 +m2 )gl1 cos ϕ1 +m2 gl2 cos ϕ2 .

@ ϕ2@ l2 @ @ @m s 2

?

Çàäà÷à 3.13. Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äâèæå-

íèÿ äëÿ ñèñòåìû äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ ìàññàìè m1 = m2 = m, ñîåäèíåííûõ ïðóæèíàìè ìåæäó ñîáîé è ñ íåïîäâèæíûìè ñòåíêàìè è äâèæóùèõñÿ òîëüêî ïî ãîðèçîíòàëè. Âñå òðè ïðóæèíû èìåþò îäèíàêîâûé êîýôôèöèåíò óïðóãîñòè k è îäèíàêîâóþ äëèíó l â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè, ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòåíêàìè ðàâíî 3l. m / / t t Îòâåò. L = (x˙ 21 + x˙ 22 ) − k(x21 + x22 − x1 x2 ); /∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨ /

2 x¨1 + ω 2 (2x1 − x2 ) = 0, x¨2 + ω 2 (2x2 − x1 ) = 0,

/ / /¾ /

m

m

/ / -/ /

3l ãäå x1 , x2  ñìåùåíèÿ ïåðâîé è âòîðîé òî÷åê îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ω 2 = k/m .

Çàäà÷à 3.14. Ïîëó÷èòü ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ êîëåáàíèé òî÷êè ïî ðàñïîëîæåííîìó â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè íàêëîííîìó ýëëèïñó ñ ïîëóîñÿìè a è b è óãëîì α ìåæäó ïîëóîñüþ a è âåðòèêàëüþ.

26

Ðåøåíèå . Óðàâíåíèå ýëëèïñà 2

@

@

2

x y + = 1. a2 b2

¡ ¡

@

 êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòû âîçüì¼ì âåëè÷èíó ϕ , îïðåäåëÿåìóþ ðàâåíñòâàìè

x = a cos ϕ,

¡

@ @

y = b sin ϕ.

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ

¡ @ ¡a @¡ ¡@ J @ ¡ J ¡α J@ b ¡ J@ ¡ J @ ¡ J @ ¡ ªx r J^ t @

mg ?

m m T = (x˙ 2 + y˙ 2 ) = (a2 sin2 ϕ + b2 cos2 ϕ)ϕ˙ 2 . 2 2

y

@ @ R

Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà

U = −m(gr) = −mgx a cos ϕ − mgy b sin ϕ. È, òàê êàê gx = g cos α,

gy = g sin α, òî

U = −mg(a cos ϕ cos α + b sin ϕ sin α) = mg [(a + b) cos(ϕ − α) + (a − b) cos(ϕ + α)]. =− 2 m Äëÿ L èìååì: L = T − U = (a2 sin2 ϕ + b2 cos2 ϕ)ϕ˙ 2 + 2 mg + [(a + b) cos(ϕ − α) + (a − b) cos(ϕ + α)] . 2 d ∂L ∂L Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà − = 0 èìåò âèä: dt ∂ q˙i ∂qi a2 − b2 2 (a sin ϕ + b cos ϕ)ϕ¨ + ϕ˙ sin 2ϕ+ 2 g + [(a + b) sin(ϕ − α) + (a − b) sin(ϕ + α)] = 0. 2 2

2

2

2

Çàäà÷à 3.15. Ïî íàêëîííîé ïîâåðõíîñòè áðóñêà ìàñ-

y 6

m ñû M ñêîëüçèò áåç òðåíèÿ òåëî ìàññû m. Áðóñîê ñàì t @ y2 µ ¡ ¡ ìîæåò äâèãàòüñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíî¡ ñòè áåç òðåíèÿ. Íàêëîííàÿ ïîâåðõíîñòü áðóñêà ñîñòàâs ¡ ëÿåò óãîë α ñ ãîðèçîíòîì. Íà÷àëüíûå ñêîðîñòè áðóñêà ¡ Áðóñîê ¡ ª α è òåëà ðàâíû íóëþ. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ áðóñêà è @ x1 x2 x 0 òåëà. 27

Ðåøåíèå . Ñèñòåìà èìååò 2 ñòåïåíè ñâîáîäû. Ââåä¼ì îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû x è s : x  äåêàðòîâà êîîðäèíàòà íèæíåãî îñòðîãî óãëà áðóñêà (òî÷êà 1), s  ðàññòîÿíèå îò òåëà m (òî÷êà 2) äî òî÷êè 1. Òîãäà äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè 1: x1 = x, y1 = 0; òî÷êè 2: x2 = x + s cos α, y2 = s sin α. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ

¢ M 2 m 2 M m¡ 2 x˙ 1 + (x˙ 2 + y˙ 22 ) = x˙ 2 + x˙ + 2x˙ s˙ cos α + s˙ 2 . 2 2 2 2 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U = mgy2 = mgs sin α. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ¢ M m¡ 2 L = x˙ 2 + x˙ + 2x˙ s˙ cos α + s˙ 2 − mgs sin α. 2 2 d ∂L ∂L d ∂L ∂L Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà − = 0, − = 0 ïðèìóò âèä: dt ∂ x˙ ∂x dt ∂ s˙ ∂s (M + m)¨ x + m¨ s cos α = 0, T =

m¨ x cos α + m¨ s + mg sin α = 0. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî x ¨, s¨ íàõîäèì:

M +m mg sin α cos α , s ¨ = − g sin α. M + m sin2 α M + m sin2 α Èíòåãðèðóåì (íàõîäèì ïåðâîîáðàçíóþ) äâàæäû: x¨ =

x˙ =

mg sin α cos α t, M + m sin2 α

s˙ = −

M +m gt sin α, M + m sin2 α

mg sin α cos α t2 M +m t2 x= + x0 , s = − g sin α + s0 . M + m sin2 α 2 M + m sin2 α 2 Ïðè ýòîì ó÷òåíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ( ïðè t = 0 ) : x(0) = x0 , s(0) = s0 , x(0) ˙ = 0, s(0) ˙ = 0. Ôóíêöèè x(t), s(t) è åñòü èñêîìûé çàêîí äâèæåíèÿ. Âûðàçèâ x2 è y2 ÷åðåç x(t), s(t), ìîæíî ïîëó÷èòü çàêîí äâèæåíèÿ â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.

Çàäà÷à 3.16. Òî÷êà ìàññû m äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé

öèêëîèäå, óðàâíåíèå êîòîðîé â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå:

y 6 0

x = a(u − sin u), y = −a(1 − cos u), 0 6 u 6 2π −2a (îñü y íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ). Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, ïåðâûé èíòåãðàë è çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè, åñëè ïðè t = 0 y = −2a, |v| = v0 . 28

2πa

-

s

m

x

¢ m¡ 2 x˙ + y˙ 2 , U = mgy. Ïåðåõîäÿ ê ïåðåìåííîé u, èìååì: 2 x˙ = a(1 − cos u)u, ˙ y˙ = −au˙ sin u , Ðåøåíèå . T =

L=T −U =

¤ ma2 2 £ u˙ (1 − cos u)2 + sin2 u + mga(1 − cos u) = 2 = mau˙ 2 (1 − cos u) + mga(1 − cos u).

Åñëè èñïîëüçîâàòü u â êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòû, òî ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî óðàâíåíèå Ëàãðàíæà ïîëó÷èòñÿ íåëèíåéíûì è äîâîëüíî ñëîæíûì äëÿ ðåøåíèÿ. Îäíàêî L ìîæíî ïåðåïèñàòü ÷åðåç ïîëîâèííûé óãîë u/2 :

· u ¸2 ³ ´ d(cos u u 2 2 2 u 2 2 2) = 8ma + 2mga 1 − cos . L = 2mau˙ sin + 2mga sin 2 2 dt 2 u Ââåä¼ì íîâóþ îáîáù¼ííóþ êîîðäèíàòó s = cos , êîòîðàÿ åñòü äëèíà äóãè 2 öèêëîèäû ñî çíàêîì, îòñ÷èòàííàÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è äåë¼ííàÿ íà 4a (ïîêàæèòå ýòî!). Òîãäà L = 8ma2 s˙ 2 + 2mga(1 − s2 ). Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà ïðèíèìàåò âèä:

s¨ +

g s=0 4a

è èìååò ðåøåíèå

p

s = A cos(ωt + α),

ãäå ω = g/4a , A è α  êîíñòàíòû, ò.å. èìååì ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå. Èç âèäà ðåøåíèÿ ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè ðàâíà íóëþ ( s(0) ˙ = 0 ), òî âðåìÿ äâèæåíèÿ îò êðàéíåé òî÷êè òðàåêòîðèè s0 äî pïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ( ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóåò s = 0) τ = π a/g è íå çàâèñèò îò s0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïåðèîä êîëåáàíèé â ýòîì ñëó÷àå íå çàâèñèò îò àìïëèòóäû. Òàêîå äâèæåíèå íàçûâàþò èçîõðîííûì, à ñîîòâåòñòâóþùóþ òðàåêòîðèè êðèâóþ (öèêëîèäó)  èçîõðîíîé. p Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé íàõîäèì α = π/2, |A| = v0 / 4ag (ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî!), çíàê A îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè â ìîìåíò t = 0. Òàê êàê ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè, òî èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ (3.11):

∂L mv02 2 2 2 E = s˙ − L = 8ma s˙ − 2mga(1 − s ) = − 2mga. ∂ s˙ 2 29

4 Öåíòðàëüíîå ïîëå è ðàññåÿíèå ÷àñòèö Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â öåíòðàëüíîì ïîëå U (r) çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ å¼ äî öåíòðà ïîëÿ, r = |r|. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèëà

F = − grad U (r) = −

r dU r dr

íàïðàâëåíà ïî ðàäèóñ-âåêòîðó r è èìååò íóëåâîé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî öåíòðà ïîëÿ,

M = [r × F] = 0, ÷òî ïðèâîäèò ê ñîõðàíåíèþ ìîìåíòà èìïóëüñà

L = [r × p] = const. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó L. Ââîäÿ â ýòîé ïëîñêîñòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû (r, ϕ), ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ëàãðàíæà â âèäå:

L=

m 2 (r˙ + r2 ϕ˙ 2 ) − U (r). 2

Öèêëè÷íîñòü êîîðäèíàòû ϕ ñîîòâåòñòâóåò ñîõðàíåíèþ ìîìåíòà èìïóëüñà

L=

∂L = mr2 ϕ˙ = const. ∂ ϕ˙

(4.1)

Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ è óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ÷àñòèöû ñëåäóþò èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè

m 2 (r˙ + r2 ϕ˙ 2 ) + U (r) = E = const. 2

(4.2)

Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ϕ˙ èç (4.1)

ϕ˙ =

L , mr2

(4.3)

è ðàçðåøàÿ óðàâíåíèå (4.2) îòíîñèòåëüíî r, ˙ ïîëó÷àåì:

r r˙ = ±

2 L2 [E − U (r)] − 2 2 m mr

(4.4)

Âûáîð çíàêà ïåðåä ðàäèêàëîì îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ÷àñòèöû (r˙ > 0 ñîîòâåòñòâóåò óäàëåíèþ îò öåíòðà, r˙ < 0  ïðèáëèæåíèþ ÷àñòèöû ê öåíòðó). Èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (4.4) îïðåäåëÿåò çàêîí ðàäèàëüíîãî äâèæåíèÿ 30

÷àñòèöû. Îáëàñòü äîñòóïíûõ äëÿ äâèæåíèÿ çíà÷åíèé êîîðäèíàòû r îãðàíè÷åíà óñëîâèåì ïîëîæèòåëüíîñòè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ â (4.4) : (4.5)

E > Ueff ,

L2 ãäå Ueff (r) = U (r) +  ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë äëÿ ðàäèàëüíîãî äâè2mr2 æåíèÿ.

Ôèíèòíîå äâèæåíèå.  îáùåì ñëó÷àå óñëîâèå (4.5) îãðàíè÷èâàåò äâèæåíèå ÷àñòèöû ìèíèìàëüíûì rmin è ìàêñèìàëüíûì rmax ðàññòîÿíèÿìè äî öåíòðà. Åñëè rmin è rmax êîíå÷íû, òî äâèæåíèå ôèíèòíî, ò.å. îãðàíè÷åíî ïëîñêîñòüþ êîëüöà rmin 6 r 6 rmax . Êàê âèäíî èç (4.3), óãîë ϕ  ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ. Èñêëþ÷àÿ âðåìÿ èç óðàâíåíèé (4.3) è (4.4), ïîëó÷èì óðàâíåíèå òðàåêòîðèè:

Zr

Ldr

r

ϕ(r) = r0

L2 2m[E − U (r)] − 2 r

r2

(4.6)

.

Òðàåêòîðèÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïåðèãåëèÿ è àôåëèÿ  òî÷åê îðáèòû, â êîòîðûõ r = rmin è r = rmax ñîîòâåòñòâåííî. Óãîë ïîâîðîòà ðàäèóñ-âåêòîðà ÷àñòèöû ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè àôåëèÿìè (èëè ïåðèãåëèÿìè) íàçûâàåòñÿ óãëîì ñìåùåíèÿ àôåëèÿ (ïåðèãåëèÿ): rmax Z

rmin

Ldr

r

∆ϕ0 = 2 r2

2

2m[E − U (r)] −

L r2

.

(4.7)

n k

Îðáèòà çàìêíóòà, åñëè ∆ϕ0 = 2π , ãäå n, k  öåëûå ÷èñëà.

Óñëîâèå ïàäåíèÿ ÷àñòèöû íà öåíòð. A , (A > 0) , òî ïðè n < 2 ïðèáëèæåíèå ÷àñòèöû ê rn öåíòðó îãðàíè÷åíî äåéñòâèåì îòòàëêèâàòåëüíîãî öåíòðîáåæíîãî ïîòåíöèàëà L2 U= , ïîýòîìó ïðè L 6= 0 ÷àñòèöà íå ìîæåò äîñòèãíóòü öåíòðà ïîëÿ íè 2mr2 ïðè êàêîì çíà÷åíèè å¼ ïîëíîé ýíåðãèè E . Åñëè U (r) = −

31

√

Ïðè n = 2 è√L < 2mA ÷àñòèöà äîñòèãàåò öåíòðà ïðè ëþáîé ýíåðãèè E . Åñëè æå L > 2mA, òî ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ïîëîæèòåëüíà, E > 0 , è îíà íå ìîæåò ïðèáëèçèòüñÿ ê öåíòðó íà ðàññòîÿíèå, ìåíüøåå, ÷åì

sµ

rmin =

¶ L2 − A /E. 2m

Ïðè n > 2 âîçìîæíîñòü ïàäåíèÿ ÷àñòèöû íà öåíòð çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó å¼ ýíåðãèåé è âåëè÷èíîé

µ

En = max{Ueff (r)} =

2

(n − 2)A L 2 mnA

¶ n n−2

.

a)Äëÿ E > En ÷àñòèöà äîñòèãàåò öåíòðà 6 ïîëÿ. En á) Åñëè 0 < E < En , òî ÷àñòèöà ìîæåò ñîâåðøàòü äâà âèäà äâèæåíèÿ  ôèíèò- E íîå, íå óäàëÿÿñü îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, 0 r áîëüøåå, ÷åì rn (ñì. ðèñ. 4.1), ïðè ýòîì 0 rn rn îáÿçàòåëüíî ïàäàÿ íà öåíòð, è èíôèíèòíîå, íå ïðèáëèæàÿñü ê öåíòðó ïîëÿ áëèUeff (r) ðèñ. 4.1 0 æå, ÷åì íà ðàññòîÿíèå rn . Ïðè E < 0 äâèæåíèå ÷àñòèöû â äàííîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëå â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì (4.5) ôèíèòíî, ñ îáÿçàòåëüíûì "ïàäåíèåì" íà öåíòð.

Èíôèíèòíîå äâèæåíèå. Ðàññåÿíèå. Îñíîâíûì ôèçè÷åñêèì ñëåäñòâèåì âîçäåéñòâèÿ öåíòðàëüíîãî ïîëÿ ñ ïîòåíöèàëîì U (r) íà èíôèíèòíîå äâèæåíèå ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ ðàññåÿíèå  îòêëîíåíèå ÷àñòèöû íà íåêîòîðûé óãîë χ (óãîë ðàññåÿíèÿ) îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ. Êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêîé ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ ñëóæèò ýôôåêòèâíîå äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå dσ(χ), îïðåäåëÿþùåå îòíîøåíèå ÷èñëà ÷àñòèö dN (χ), óãîë ðàññåÿíèÿ êîòîðûõ çàêëþ÷åí â èíòåðâàëå (χ, χ + dχ), ê ïëîòíîñòè ïîòîêà ïàäàþùèõ ÷àñòèö n :

dσ =

dN (χ) . n

32

Ýòó âåëè÷èíó ìîæíî ðàññ÷èòàòü êàê ïëîùàäü êîëüöà ñ ðàäèóñàìè ρ è ρ + dρ

 >  ¡¡  ¡  ½  ¡ dχ ½ ½ ¡ ½ ¡ ½ ½ ½ ¡ ½ ½ CO ¡½ 6 ½ Crmin ¡½ ρ ½ ½ ϕ C ¡ ½χ 0 C ? ½ W¡ ½ @ OZ Z @Z @Z © 2πρdρ @Z @ZZ @ Z @ ZZ @ Z ðèñ. 4.2 @ @ @

dσ = 2πρdρ,

ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèöåëüíûì ïàðàìåòðàì ρ ÷àñòèö ïàäàþùåãî ïó÷êà, óãîë ðàññåÿíèÿ êîòîðûõ çàêëþ÷åí â èíòåðâàëå (χ, χ+dχ) (ñì. ðèñ. 4.2).Äàííàÿ êàðòèíà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè ïó÷êà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç öåíòð ïîëÿ Î, ïîýòîìó ÷àñòèöû, ïðîøåäøèå ÷åðåç òàêîå êîëüöî, ðàññåèâàþòñÿ âíóòðü òåëåñíîãî óãëà

dΩ = 2π sin χdχ, îãðàíè÷åííîãî äâóìÿ êîíè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè. Çíàÿ çàâèñèìîñòü ρ = ρ(χ), ìîæíî âûäåëèòü ìíîæèòåëü dΩ èç ñå÷åíèÿ dσ , ïîëó÷èâ òàêèì îáðàçîì çàâèñèìîñòü ýôôåêòèâíîão ñå÷åíèÿ îò óãëà ðàññåÿíèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðèìîé õàðàêòåðèñòèêîé ïðîöåñcà. Çàâèñèìîñòü ρ(χ) ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè (4.6), ó÷èòûâàÿ, ÷òî (4.8)

χ = |π − 2ϕ0 |, ãäå

Z∞

Ldr

Z∞

ρdr

(4.9) 2 2 L U (r) ρ rmin r 2 2m [E − U (r)] − rmin r 2 1 − − 2 r2 E r  óãîë ïîâîðîòà ðàäèóñà-âåêòîðà ÷àñòèöû îò èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ äî ïåðèãåëèÿ (r = rmin ). Çíà÷åíèå rmin (òî÷êà ïîâîðîòà äëÿ ðàäèàëüíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû) ÿâëÿåòñÿ êîðíåì âûðàæåíèÿ ïîä çíàêîì ðàäèêàëà â ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â (4.9). Ñ ïîìîùüþ íàéäåííîé òàêèì îáðàçîì ôóíêöèè ρ(χ) çàâèñèìîñòü ñå÷åíèÿ îò óãëà ðàññåÿíèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç âûðàæåíèÿ: ¯ ¯ dσ ρ(χ) ¯¯ dρ ¯¯ = . (4.10) dΩ sin χ ¯ dχ ¯

ϕ0 =

r

=

33

r

Çàäà÷è ê ãëàâå 4 Çàäà÷à 4.1. Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â öåíòðàëüíîì ïîëå âèäà ( ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà áåñêîíå÷íîé ãëóáèíû) : ½

0, r 6 a ∞, r > a.

U (r) =

Ðåøåíèå . Ò. ê. òðàåêòîðèÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî òî÷åê r = rmax = a √ è r = rmin = L/p, ãäå p = 2mE , äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ó÷àñòîê, ãäå r èçìåíÿåòñÿ îò rmin äî a (r˙ > 0). Èç óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè (4.6), ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîé x = L/r, èìååì:

Zr p

ϕ(r) = rmin

ZL/r

(L/r2 )dr 2mE − L2 /r2

p

=− L/rmin

dx p 2 − x2

= arccos

rmin . r

Ðàçðåøàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî r, ïîëó÷èì:

r = rmin / cos ϕ,

a > r > rmin .

Óãîë ïîâîðîòà ïåðèãåëèÿ (àôåëèÿ) îðáèòû:

∆ϕ0 = 2 arccos

rmin L = 2 arccos . a ap

Ïðè ∆ϕ0 = 2π/n òðàåêòîðèÿ çàìêíóòà è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðàâèëüíûé nóãîëüíèê.  îáùåì æå ñëó÷àå îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëîìàíóþ ëèíèþ, âïèñàííóþ â îêðóæíîñòü ðàäèóñà a è êàñàþùóþñÿ îêðóæíîñòè ðàäèóñà rmin .

Çàäà÷à 4.2. ×àñòèöà äâèæåòñÿ â öåíòðàëüíîì ïîëå âèäà (ñôåðè÷åñêàÿ ÿìà): ½ U (r) =

−U0 , 0 6 r 6 a 0, r > a

ñ ìîìåíòîì èìïóëüñà L îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. 1. Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ è óãîë ïîâîðîòà ïåðèãåëèÿ (àôåëèÿ) ∆ϕ0 . 2. Óêàçàòü çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû Å, ïðè êîòîðûõ òðàåêòîðèÿ çàìêíóòà. 3. Íàéòè çàêîí è òðàåêòîðèþ èíôèíèòíîãî äâèæåíèÿ. 34

4. Íàéòè óãîë îòêëîíåíèÿ òðàåêòîðèè èíôèíèòíîãî äâèæåíèÿ îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ïðèöåëüíîãî ïàðàìåòðà ρ. Ðåøåíèå . 1) Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âíóòðè ÿìû:

r

r˙ =

2 L2 (E + U0 ) − 2 2 , m mr

(4.11)

2 L2 E − 2 2. m mr

(4.12)

âíå ÿìû:

r

r˙ =

Êàê âèäíî èç ýòèõ âûðàæåíèé, ïðè L 6= 0 è E 6 0 ÷àñòèöà ìîæåò äâèãàòüp ñÿ òîëüêî âíóòðè ÿìû. Ïðè ýòîì èìïóëüñ å¼ p0 = 2m(E + U0 ) è ñâÿçàí ñ ìîìåíòîì èìïóëüñà L è ìèíèìàëüíûì ðàññòîÿíèåì äî öåíòðà ïîëÿ rmin ñîîòíîøåíèåì p0 = L/rmin . ×òîáû ïðèâåäåííûå âûøå âûðàæåíèÿ áûëè äåé-

L2 ñòâèòåëüíû, íåîáõîäèìî, ÷òîáû E > −U0 + 2 . Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå 2mrmin ñ ýíåðãèåé −U0 6 E 6 0 ôèíèòíî. Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (4.11): r

dr p20 m2

1 = dt → v0

2

−

L m2 r 2

Zr q rmin

q

dr0 2 /r 0 2 1 − rmin

= t − t0 →

2 r2 − rmin = v0 (t − t0 )

q ⇒ r(t) = r

2 + v 2 (t − t )2 , rmin 0 0

p0 2 = (E + U0 )  ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âíóòðè ÿìû (v0 = m m const), t0  ìîìåíò âðåìåíè, ïðè êîòîðîì r = rmin . Äëÿ íàõîæäåíèÿ óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè âîñïîëüçóåìñÿ îáùèì ñîîòíîøåíèåì (4.6): ãäå v0 =

Zr p

ϕ(r) = rmin

Zr

(L/r2 )dr 2m(E + U0 ) − L2 /r2

= rmin

(r /r2 )dr p min = 2 /r 2 1 − rmin = arccos

Ðàçðåøàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî r, íàõîäèì

r(ϕ) =

rmin . cos ϕ

35

rmin . (4.13) r

×òîáû ïîëó÷èòü óãîë ïîâîðîòà àôåëèÿ ñîãëàñíî (4.7), äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü â (4.13) r = rmax = à :

∆ϕ0 = 2 arccos(rmin /a). Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòèõ ñîîòíîøåíèé âèäåí èç ðèñ. 4.3, ãäå ïîêàçàíà ÷àñòü òðàåêòîðèè ÷àñòèöû, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ àôåëèÿìè.

v0

@ rmin ¡¡ @ @ ∆ϕ ¡ 0 a @ ¡ @¡

O n l ñëå ïðîõîæäåíèÿ l ó÷àñòêîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 4.3, ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòèöû ñîâåðøèò n ïîëíûõ îáîðîòîâ è âåðíåòñÿ â ïåðâîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå, ò.å. ðèñ. 4.3 òðàåêòîðèÿ îêàæåòñÿ çàìêíóòîé. πn Ýòî âîçìîæíî ïðè rmin = a cos , (l > 2n) äëÿ ëþáîé ýíåðãèè l E, −U0 < E 6 0. √ 3)  ñëó÷àå èíôèíèòíîãî äâèæåíèÿ L = pρ, ãäå p = 2mE  èìïóëüñ ÷àñòèöû âíå ÿìû, ρ ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð. Ïðè ρ > a ÷àñòèöà âñåãäà íàõîäèòñÿ âíå ÿìû, è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (4.12) èìååò ðåøåíèå âèäà: p r(t) = ρ2 + v 2 (t − t0 )2 ,

2) Åñëè ∆ϕ0 = 2π , ãäå n è l  öåëûå ÷èñëà, òî ïî-

ãäå v = p/m  ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, t0  ìîìåíò âðåìåíè, â êîòîðûé r = ρ. Åñëè ρ < a, ÷àñòèöà ïðîõîäèò ÷åðåç ÿìó. Ïðè ýòîì ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ å¼ äâèæåíèÿ (ðèñ. 4.4), p ñâÿçàííîå ñ ñîõðàíåíèåì ìîìåíòà èìïóëüñà: L = pρ = p0 rmin , ãäå p0 = 2m(E + U0 )  èìïóëüñ ÷àñòèöû âíóòðè ÿìû, rmin  ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå äî öåíòðà ïîëÿ. Çàêîí äâèæåíèÿ ïðè ýòîì îïèñûâàåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé (äëÿ r˙ > 0 ):

(p r(t) =

p

ρ2 + v 2 (t − t0 )2 ,

r>a

(4.14)

2 + v 2 (t − t )2 , r < a. rmin 1 0

Çíà÷åíèÿ t0 è t1 îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè èç (4.14) ñîîòíîøåíèÿìè:

p t0 = t1 +

2 a2 − rmin − v0

r(t1 ) = rmin .

36

p

a2 − ρ2 , v

Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

Zr r

ρ

ϕ(r) = rmin

dr r2

ρ2 U (r) 1− 2 − r E

.

Óãîë ïîâîðîòà ðàäèóñ-âåêòîðà ÷àñòèöû ïðè å¼ äâèæåíèè îò r = rmin äî r = ∞: ϕ0 = ϕ(∞) = ϕ1 + ϕ2 , ãäå

© ©χ ©H © H © H H @ H   jH * rmin ¡¡ HH @  A ¡ @ ϕ a A @ 1 ¡ ρ A @¡ ϕ2 © A © O AA © © © ðèñ. 4.4

ρ Z∞ ρ dr dr 2 2 π rmin ρ r r rr ϕ1 = = − arcsin ; ϕ2 = = arcsin 2 a a U0 ρ 2 ρ2 a rmin 1+ − 2 1− 2 E r r  óãëû ïîâîðîòà ðàäèóñ-âåêòîðà ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû âíóòðè è âíå ÿìû ñîîòâåòñòâåííî. 4)Óãîë îòêëîíåíèÿ òðàåêòîðèè ÷àñòèöû, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ÿìó, îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ (ñì. ðèñ. 4.4): ρ rmin χ = 2ϕ0 − π = 2ϕ1 + 2ϕ2 − π = 2 arcsin − 2 arcsin , a a òàê ÷òî Ãr ! r r 2 2 χ ρ E E + U0 ρ ρ sin = − 2 − 1− 2 . 2 a E + U0 E a a Za

Î÷åâèäíî, ÷òî

r

χ(ρ = 0) = χ(ρ > a) = 0;

χmax = χ(ρ = a) = 2 arcsin

U0 . E + U0

Çàäà÷à 4.3. Èññëåäîâàòü äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå (ñôåðè÷åñêèé áàðüåð): ½

U (r) =

U0 , 0 6 r 6 a 0, r > a.

Ðåøåíèå . Äîñòàòî÷íî â ôîðìóëàõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è çàìåíèòü −U0 íà U0 . Ïðè ýòîì äâèæåíèå âñåãäà èíôèíèòíî. ×òîáû ÷àñòèöà ïðîíèêëà âíóòðü ñôå-

L2 , èëè, ðû (ïðè ρ < a), äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå E > U0 + 2ma2 U0 ñ ó÷åòîì L2 = 2mEρ2 , E > Ecr , ãäå Ecr = .  ýòîì ñëó÷àå 2 /a2 ) (1 − ρ r E rmin = ρ . E − U0 37

Åñëè E 6 Ecr , òî rmin = a, è ÷àñòèöà îòðàæàåòñÿ îò ñôåðû, íå ïðîíèêàÿ âíóòðü (ñì. ðèñ. 4.5). Îòêëîíåíèå îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì:

H HH HH H jH H

 : HHrmin = a  H HH  ¥ j HH *  r < a  min ¥H  H © ¥ @ H © ¥ © @ H a@ H©¥ H χ @ ¥ H H @¥ H

 ρ  , E 6 Ecr , π − 2 arcsin   a à r ! χ= ρ E ρ  2 arcsin −2 arcsin , E > Ecr .   a E − U0 a

O

ðèñ. 4.5

Ìàêñèìóì ýòîé ôóíêöèè:

Ã

r

χmax = χ ρ = a

E − U0 E

!

r = π − 2 arcsin

E − U0 . E

Çàäà÷à 4.4. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìàññû m, äâèæóùåéñÿ â ïîëå ln(r/a) , ðàâíà íóëþ. Íàéòè òðàåêòîðèþ òî÷êè. r2 · ¸ L2 mα Îòâåò : r = a exp + 2 (ϕ − ϕ0 )2 . 2mα 2L U (r) = −α

Çàäà÷à 4.5. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â öåíòðàëüíîì ïîëå

α . Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà íóëþ. Íàéòè òðàåêòîðèþ òî÷êè. r6 √ 2mα Îòâåò : r2 = sin 2(ϕ − ϕ0 ). L U (r) = −

Çàäà÷à 4.6. Íàéòè òðàåêòîðèþ è óãîë ïîâîðîòà ïåðèãåëèÿ äëÿ ìàòåðèàëüíîé α β + 2. r r p Îòâåò : Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè: r = , 1 + ε cos(ϕ/A) r 2Ep 2β 1 L2 + , ε= 1+ , A=p . ãäå p = mα α α 1 + 2mβ/L2 Óãîë ïîâîðîòà ïåðèãåëèÿ ϕ0 = 2πA. òî÷êè â ïîëå U (r) = −

Çàäà÷à 4.7. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ â

α r αr L] − (âåêòîð Ðóíãå-Ëåíöà). Îïðåäåëèòü àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó è íàïðàâr ëåíèå âåêòîðà A.

öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå U (r) = − , ñîõðàíÿåòñÿ âåêòîð A = [v ×

38

˙ , èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäíûå ïî Ðåøåíèå . Îïðåäåëèì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè A âðåìåíè âõîäÿùèõ â A ôóíêöèé: αr F = − 3, v˙ = m mr

L˙ = 0,

òîãäà

r˙ = v,

µ ¶ ³r · v´ d 1 =− , dt r r3

˙ = 0. A

Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåêòîðà A äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî îí ëåæèò â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, è

(A · r) = ([v × L] · r) − αr =

L2 − αr; m

Áóäåì îòñ÷èòûâàòü óãîë ïîâîðîòà ðàäèóñ-âåêòîðà îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà A, òîãäà:

Ar cos ϕ =

L2 − αr. m

L2 /m Ðàçðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî r: r = , è ñðàâíèâàÿ åãî ñ α + A cos ϕ óðàâíåíèåì òðàåêòîðèè ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ: p r= , 1 + ε cos ϕ

L2 p= , mα

ïîëó÷èì àáñîëþòíîå çíà÷åíèå âåêòîðà À = εα, íàïðàâëåíèå æå åãî â äàííîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì áîëüøîé îñè ýëëèïñà òðàåêòîðèè.

Çàäà÷à 4.8. Èçâåñòíû ïàðàìåòð ð è ýêñöåíòðèñèòåò ε îðáèòû òåëà, äâèæóùåãîñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ Çåìëè. Íàéòè ñêîðîñòü òåëà êàê ôóíêöèþ ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà Çåìëè.

Óêàçàíèå : Èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè è âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà ñêîðîñòè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: v 2 = r˙ 2 + r2 ϕ˙ 2 . Îòâåò :

α α ³ 2 p´ 2 v = (1 + ε + 2ε cos ϕ) = ε −1+2 . mp mp r 2

Çàäà÷à 4.9.  ïîëå òÿãîòåíèÿ Ñîëíöà äâèæåòñÿ êîìåòà ñ ïåðèîäîì îáðàùå-

íèÿ Òê .  ïåðèãåëèè ðàññòîÿíèå îò Ñîëíöà äî êîìåòû ðàâíî rp . Íàéòè ðàññòîÿíèå îò Ñîëíöà äî àôåëèÿ îðáèòû êîìåòû ra , çíàÿ ïåðèîä ÒÇ îáðàùåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà è çíà÷åíèå áîëüøîé ïîëóîñè îðáèòû Çåìëè aÇ .

µ

Îòâåò :

ra = 2aÇ

Tê TÇ

¶2/3

− rp . 39

Çàäà÷à 4.10. Îïðåäåëèòü âðåìÿ ïàäåíèÿ ÷àñòèöû ìàññû m ñ ðàññòîÿíèÿ R α β ; á) U (r) = − . Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 = 0. 2 r r s r m 2 mR Îòâåò : à) ∆t = R ; á) ∆t = πR . 2α 8β

â öåíòð ïîëÿ: a) U (r) = −

Çàäà÷à 4.11. Òî÷êå ìàññû m, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè r0 îò öåíòðà ïîëÿ

1 π U (r) = κr3 , ñîîáùåíà ñêîðîñòü v0 , ñîñòàâëÿþùàÿ óãîë ± ñ íàïðàâëåíèåì 3 2 íà öåíòð ïîëÿ. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè v0 ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà áóäåò äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè ? r κ 3 Îòâåò : v0 = r . m 0

Çàäà÷à 4.12. Íàéòè ðàäèàëüíóþ çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëà öåíòðàëüíîãî ïîëÿ, â êîòîðîì ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìîæåò äâèãàòüñÿ ïî ãèïåðáîëè÷åñêîé ñïèðàëè r(ϕ) =

A , ϕ

A = const. µ ¶ L2 1 1 Îòâåò : U (r) = E − + , ãäå E  ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, L  ìîìåíò 2m A2 r2 èìïóëüñà ÷àñòèöû.

Çàäà÷à 4.13. Îïðåäåëèòü ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ÷àñòèö íà îäíîðîäíîì àáñîëþòíî óïðóãîì øàðèêå

½ U (r) =

0, r > a ∞, r 6 a.

Ðåøåíèå . Ñâÿçü ìåæäó ïðèöåëüíûì ïàðàìåòðîì ρ è óãëîì ðàññåÿíèÿ χ ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ êàê èç îáùèõ óðàâíåíèé äëÿ òðàåêòîðèé, òàê è ãåîìåòðè÷åñêè (ðèñ. 4.6):

ϕ0 =

π−χ ; 2

χ ρ = a sin ϕ0 = a cos . 2

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â âûðàæåíèå äëÿ ñå÷åíèÿ (4.10), ïîëó÷àåì:

³χ´

a cos dσ 2 = dΩ sin χ

a ³ χ ´ a2 · sin = . 2 2 4 40

   J  J ϕ  0 ϕ0JJ  χ J J J J a J J J J

ρ

O

ðèñ. 4.6

Ïîëíîå ñå÷åíèå ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì ðàññåZ ÿíèÿ: σ = øàðèêà.

a2 dΩ = πa2 , ÷òî ñîâïàäàåò ñ ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ 4

Çàäà÷à 4.14. Âûðàçèòü ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ÷àñòèö ìàññû m1 îò àáñîëþòío

óïðóãîãî øàðèêà ìàññû m2 ðàäèóñà a , êàê ôóíêöèþ ýíåðãèè ε, òåðÿåìîé ðàññåèâàåìûìè ÷àñòèöàìè. Ðåøåíèå . Çàâèñèìîñòü ýíåðãèè, ïåðåäàâàåìîé íåïîäâèæíîé ÷àñòèöåé ðàññåχ èâàòåëþ, îò óãëà ðàññåÿíèÿ èìååò âèä: ε = ε0 sin2 , ãäå

2 2m1 m22 4m m 1 2 2 ε0 = v1∞ = E1  ìàêñèìàëüíàÿ ïåðåäàâàåìàÿ ýíåð2 (m1 + m2 ) (m1 + m2 )2 ãèÿ (ïðè ëîáîâîì ñòîëêíîâåíèè, χ = π ). Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå, χ χ ïîëó÷èì: dε = ε0 sin cos dχ. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó ýô2 2 dε ôåêòèâíîãî ñå÷åíèÿ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, ïîëó÷èì: dσ = πa2 . ε0

Çàäà÷à 4.15. Îïðåäåëèòü ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ÷àñòèö ìàññû m â ïîëå U (r) =

α . r2

dσ 2π 2 |α|(π − χ) Îòâåò : = . 2 (2π − χ)2 χ2 sin χ dΩ mv∞

Çàäà÷à 4.16. Îïðåäåëèòü ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå äëÿ ïàäåíèÿ ÷àñòèö íà öåíòð

α . r2 Ðåøåíèå . Ïàäàþò íà öåíòð òå ÷àñòèöû, äëÿ êîòîðûõ öåíòðîáåæíûé îòòàëêèL2 âàþùèé áàðüåð, U = , ñëàáåå ïðèòÿãèâàþùåãî ïîòåíöèàëà U (r). Îòñþäà 2mr2 L2 < α, êîòîðîå îãðàíè÷èâàåò çíà÷åíèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî 2m s 2α ïðèöåëüíîãî ïàðàìåòðà äëÿ ïàäàþùèõ ÷àñòèö âåëè÷èíîé ρ 6 ρ0 = . 2 mv∞ Ïîëíîå ñå÷åíèå äëÿ ïàäåíèÿ íà öåíòð ñîâïàäàåò ñ ïëîùàäüþ êðóãà ýòîãî ðà2πα äèóñà σ = πρ20 = . 2 mv∞ ïîëÿ U (r) = −

Çàäà÷à 4.17. Òî æå â ïîëå U (r) = − ¸2 πn α(n − 2) n Îòâåò : σ = . 2 n−2 mv∞

α rn

·

41

(n > 2, α > 0).

Çàäà÷à 4.18. Îïðåäåëèòü ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå äëÿ ïàäåíèÿ ÷àñòèö ñ ìàññîé

m1 íà ïîâåðõíîñòü ñôåðè÷åñêîãî òåëà ñ ìàññîé m2 (m2 À m1 ) è ðàäèóñîì R, m1 m2 ê êîòîðîìó îíè ïðèòÿãèâàþòñÿ ïî çàêîíó Íüþòîíà U (r) = −γ . r ¶ µ 2γm2 Îòâåò : σ = πR2 1 + . 2 Rv∞

5 Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà Òâåðäîå òåëî  ñèñòåìà ñ 6 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.  êà÷åñòâå îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò ìîæíî âûáðàòü 3 êîîðäèíàòû öåíòðà èíåðöèè è 3 óãëà, îïðåäåëÿþùèõ îðèåíòàöèþ ñèñòåìû êîîðäèíàò x1 , x2 , x3 , æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òåëîì, îòíîñèòåëüíî ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ë.ñ.ê) X, Y, Z . Ñêîðîñòü vP ïðîèçâîëüíîé òî÷êè P òåëà îòíîñèòåëüíî ë.ñ.ê., åñòü (5.1)

vP = V + [Ω × r], ãäå r

 ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè P îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû êîîðäèíàò x1 , x2 , x3 , V  ñêîðîñòü íà÷àëà êîîðäèíàò ýòîé ñèñòåìû (ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà), Ω  óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ òåëà, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëà êîîðäèíàò ñèñòåìû x1 , x2 , x3 . Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T è ìîìåíò èìïóëüñà L òåëà, âðàùàþùåãîñÿ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé òî÷êè, èìåþò âèä

T =

1 X Iik Ωi Ωk , 2 i,k=1,2,3 X Li = Iik Ωk ,

(5.2) (5.3)

k=1,2,3

ãäå

Iik =

X

¡ ¢ ma ra2 δik − xai xak

(5.4)

a

 òåíçîð èíåðöèè òåëà. Ñóììèðîâàíèå â (5.4) ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì ìàòåðèàëüíûì òî÷êàì òåëà. Äëÿ íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ ïî îáúåìó V òåëà

Z

ρ(r)(r2 δik − xi xk ) dV.

Iik =

(5.5)

V

42

Òåíçîð Iik ñèììåòðè÷íûé (Iik = Iki ), ïîýòîìó ñóùåñòâóþò îñè x1 , x2 , x3 (ãëàâíûå îñè èíåðöèè), â êîòîðûõ Iik èìååò äèàãîíàëüíûé âèä

Iik = Ii δik , ãäå I1 , I2 , I3  ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè. Â ãëàâíûõ îñÿõ èíåðöèè

¢ 1¡ I1 Ω21 + I2 Ω22 + I3 Ω23 , 2 Li = Ii Ωi .

(5.6)

T =

(5.7)

Åñëè òåëî äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî è âðàùàòåëüíî, òî åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå (òåîðåìà ʼíèãà):

T =

mVc2 1 X (c) + Iik Ωi Ωk , 2 2

(5.8)

i,k=1,2,3

ãäå Vc  ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ, I (c)  òåíçîð èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ.

Çàäà÷è ê ãëàâå 5 Çàäà÷à 5.1. Îïðåäåëèòü ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè äëÿ ìîëåêóë, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê ñèñòåìà ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ íà íåèçìåííûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà. à) Äâóõàòîìíàÿ ìîëåêóëà.

m1 m2 2 l , I3 = 0. m1 + m2 á) Ìîëåêóëà èç àòîìîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäíîé ïðÿìîé. Ðåøåíèå . Ñ÷èòàåì, ÷òî àòîìû ðàñïîëîæåíû ïî îñè OZ, òîãäà I3 = 0, P 2 m z a a X  = I1 = I2 = ma za2 − M  a M a  à !2  X X X ¢ 1  1 X¡ 2  = ma mb za2 − ma mb za zb , ma za mb − ma za = M M a a Îòâåò : I1 = I2 =

a,b

b

ãäå M =

X

ma . Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà

a

I1 =

X a,b

ma mb za2 =

X

ma mb zb2 , ïîëó÷àåì

a,b

¢ 1 1 X¡ ma mb za2 + ma mb zb2 − 2ma mb za zb = 2M M a,b

43

X a,b (a>b)

2 ma mb lab ,

ãäå lab = za − zb  ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè a è b.  ïîñëåäíåé ñóììå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ïàðàì àòîìîâ â ìîëåêóëå, ïðè÷åì êàæäàÿ ïàðà âõîäèò â ñóììó îäèí ðàç. â) Òð¼õàòîìíàÿ ìîëåêóëà â âèäå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ îñíîâàíèåì a è âûñîòîé h. x2 Îòâåò. Öåíòð èíåðöèè ëåæèò íà âûñîòå òðåóãîëüíèm2 t êà íà ðàññòîÿíèè l = Ìîìåíòû èíåðöèè:

m2 h îò åãî îñíîâàíèÿ. 2m1 + m2

%

2

%

%

%

%e % e

h

e

e

e

e

x1

m1 2 2m1 m2 h et t % , I2 = a , I3 = I 1 + I 2 . a m m1 1 2m1 + m2 2 Çàäà÷à 5.2. Îïðåäåëèòü ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñïëîøíûõ îäíîðîäíûõ òåë: à) Òîíêèé ñòåðæåíü äëèíîé l. 1 Îòâåò : I1 = I2 = ml2 , I3 = 0. 12 á) Øàð ðàäèóñà R. 2 Îòâåò : I1 = I2 = I3 = mR2 . 5 â) Êðóãîâîé öèëèíäð ðàäèóñà R è âûñîòîé h. m 2 h2 m Îòâåò : I1 = I2 = (R + ), I3 = R2 . 4 3 2 ã) Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ñ äëèíàìè ðåáåð a, b, c. m m m Îòâåò : I1 = (b2 + c2 ), I2 = (c2 + a2 ), I3 = (a2 + b2 ). 12 12 12 ä) Êðóãîâîé êîíóñ âûñîòîé h è ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ R. 3 h2 3 2 Îòâåò : I1 = I2 = m(R + ), I3 = mR2 . 20 4 10 Çàäà÷à 5.3. Ñïëîøíîé îäíîðîäíûé öèëèíäð ðàäèóñà a ñêàòûâàåòñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñèñòåìû è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ. Ðåøåíèå . Âûáåðåì â êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòó x öåíòðà òÿæåñòè öèëèíäðà, îòñ÷èòûâàåìóþ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Âûðàçèì ÷åðåç x, x˙ ïîòåíöèàëüíóþ è êèíåHH '$ H HH HH òè÷åñêóþ ýíåðãèè HH ¢a I1 =

HH ¢s HH HH HH HH &% x HH H j mg ? HHH α HH

HH

U = −mgx sin α; 1 1 T = mx˙ 2 + I3 θ˙2 , 2 2 44

ãäå θ  ïîëíûé óãîë ïîâîðîòà öèëèíäðà. Òàê êàê öèëèíäð êàòèòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ, òî x˙ = aθ˙. Ïîäñòàâëÿÿ I3 èç çàäà÷è 5.2â, ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà

3 L = mx˙ 2 + mgx sin α 4 è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ

2 x¨ = g sin α. 3

Çàäà÷à 5.4. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (

òâåðäîå òåëî, êà÷àþùååñÿ â ïîëå òÿæåñòè âîêðóã íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé îñè). Ðåøåíèå . Ïóñòü l  ðàññòîÿíèå îò öåíòðà èíåðöèè äî îñè âðàùåíèÿ. Îáîáù¼ííàÿ êîîðäèíàòà  óãîë ϕ ìåæäó âåðòèêàëüþ è ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåííûì èç öåíòðà èíåðöèè íà îñü âðàùåíèÿ. Ñ÷èòàÿ óãîë ϕ ìàëûì, íàõîäèì ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ â âèäå

1 U = −mgl cos ϕ ≈ −mgl + mglϕ2 . 2

r @

-

ϕ@ l

@

@ @r

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà

1 2 1X T = mv + Ii Ω2i , 2 2 ?

ãäå v = lϕ˙  ñêîðîñòü öåíòðà èíåðöèè, Ωi  ïðîåêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè íà ãëàâíûå îñè èíåðöèè. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç α, β, γ óãëû ìåæäó íàïðàâëåíèåì ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè è îñüþ âðàùåíèÿ (α, β, γ íå ìåíÿþòñÿ ïðè êîëåáàíèÿõ! ), íàõîäèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà

¢ 1 1¡ 1 L = ml2 ϕ˙ 2 + I1 cos2 α + I2 cos2 β + I3 cos2 γ ϕ˙ 2 − mglϕ2 . 2 2 2 Îòñþäà äëÿ ÷àñòîòû êîëåáàíèé ïîëó÷àåì

ω2 =

mgl . ml2 + I1 cos2 α + I2 cos2 β + I3 cos2 γ

Çàäà÷à 5.5. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé îäíîðîäíîãî ïîëóøàðà, íàõîäÿùåãîñÿ:

45

à) íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè; á) íà àáñîëþòíî øåðîõîâàòîé ïîâåðõíîñòè. Ðåøåíèå . 3 à) Öåíòð èíåðöèè ðàñïîëîæåí íà îñè ïîëóøàðà íà ðàññòîÿíèè R îò öåíòðà

8

øàðà. Ñîãëàñíî òåîðåìå Øòåéíåðà ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ñèììåòðèè ( m  ìàññà ïîëóøàðà )

µ ¶2 83 2 3 2 R = mR2 . I = mR − m 5 8 320 Òàê êàê ïîâåðõíîñòü èäåàëüíàÿ, öåíòð èíåðöèè ïðè êîëåáàíèÿõ ìîæåò äâèãàòüñÿ òîëüêî ïî âåðòèêàëè. Ïóñòü ϕ  óãîë ïîâîðîòà ïîëóøàðà, Zc = R(1 − 3/8 cos ϕ)  âûñîòà öåíòðà èíåðöèè íàä ïëîñêîñòüþ. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñèñòåìû

1 1 L = mZ˙ c2 + I ϕ˙ 2 − mgZc 2 2 ïðè ìàëûõ êîëåáàíèÿõ ïðèíèìàåò âèä 1 3 L = I ϕ˙ 2 − mgRϕ2 . 2 16 r Îòñþäà ÷àñòîòà êîëåáàíèé ω =

r

á) ω =

@ @

ϕ@r @ R Zc @ @ ? //////////////

120g ; 83R

15g . 26R

Çàäà÷à 5.6. Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ äâóõçâåííîãî øàðíèðà, èçîáðàæ¼ííîãî íà ðèñóíêå.

ml2 (1 + 3 sin2 ϕ)ϕ˙ 2 . Îòâåò : T = 3

Çàäà÷à 5.7. Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ îäíîðîäíîãî öèëèíäðà, êàòÿùåãîñÿ ïî âíóòðåííåé ñòîðîíå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ðàäèóñà R.

3 4

Îòâåò : T = m(R − a)2 ϕ˙ 2 .

/ / / / / / / /

c #c c l l# c # c # c #ϕ cc c# / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ /

¡@ '$ ¡ϕ @ R B M aB ¡ @ ¡ @ ¡ R @ &%

Çàäà÷à 5.8. Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ îäíîðîäíîãî êîíóñà, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñêîñòè.

46

Ðåøåíèå . Îáîçíà÷èì ϕ óãîë ìåæäó îñüþ OX è ëèíèåé OA ñîïðèêîñíîâåíèÿ êîíóñà ñ ïëîñêîñòüþ. Öåíòð èíåðöèè íàõîäèòñÿ íà îñè êîíóñà è åãî ñêîðîñòü V = aϕ˙ cos α, ãäå 2α  óãîë ðàñòâîðà êîíóñà, a  ðàññòîÿíèå öåíòðà èíåðöèè îò âåðøèíû. Óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âû÷èñëÿåì z 6 êàê ñêîðîñòü ÷èñòîãî âðàùåíèÿ âîêðóã ( (( ìãíîâåííîé îñè OA: (( a ( ((

Ω=

V = ϕ˙ ctg α. a sin α

Îäíà èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè ñîâïàäàåò

( : (( (( (( (( ( ( ( O ¢ ¢ ϕ ¢®x

-

y

A

ñ îñüþ êîíóñà, äðóãóþ íàïðàâèì ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè êîíóñà è ëèíèè OA, à òðåòüþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïåðâûì äâóì. Òîãäà ïðîåêöèè Ω (íàïðàâëåííîé ïàðàëëåëüíî OA) íà ãëàâíûå îñè èíåðöèè áóäóò Ω sin α, 0, Ω cos α.  ðåçóëüòàòå íàõîäèì äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

¶ µ 4 ¢ 3mh2 ¡ ma2 cos α 1 2 2 ˙ ˙ 2 2 ϕ = T = cos α ϕ + I1 cos α + I3 2 1 + 5 cos2 α ϕ˙2 , 2 2 40 sin α

ãäå h  âûñîòà êîíóñà, I1 , I3 , a = 3h/4  èç çàäà÷è 5.2ä.

6 Äâèæåíèå â íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (3.4) ñïðàâåäëèâû â ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà. Âèä ôóíêöèè Ëàãðàíæà L çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû îòñ÷¼òà. Ôîðìóëà äëÿ ôóíêöèè Ëàãðàíæà ÷àñòèöû ñ ìàññîé m â ïîëå U (r)

L(r, v) =

mv2 − U (r) 2

(6.1)

ñïðàâåäëèâà ëèøü â íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå K0 . Â ñèñòåìå K , äâèæóùåéñÿ îòíîñèòåëüíî K0 ñî ñêîðîñòüþ V(t) è âðàùàþùåéñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω(t), ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âèä

m mv2 ˙ · r) − U (r) − m(v · [r × Ω]) + [r × Ω]2 − m(V L(r, v) = 2 2

(6.2)

Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå Ëàãðàíæà:

m

∂U dv ˙ + 2m[v × Ω] + m[r × Ω˙ ] + m[Ω × [r × Ω]]. =− − mV dt ∂r 47

(6.3)

×åòûðå äîïîëíèòåëüíûå ñèëû ïîÿâëÿþòñÿ â ýòîì óðàâíåíèè, òðè èç íèõ ñâÿçàíû ñ âðàùåíèåì: 1) Ñèëà Êîðèîë
èñà (6.4)

F = 2m[v × Ω],

âîçíèêàþùàÿ ïðè äâèæåíèè â íàïðàâëåíèÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè âðàùåíèÿ, è ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè. 2) Ñèëà óñêîðåííîãî âðàùåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ óãëîâîìó óñêîðåíèþ

F.. = m[r × Ω˙ ],

(6.5)

êîòîðàÿ èñ÷åçàåò â ðàâíîìåðíî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå îòñ÷¼òà. 3) Öåíòðîáåæíàÿ ñèëà (6.6)

F.. = m[Ω × [r × Ω]],

ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñè âðàùåíèÿ è ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ðàññòîÿíèþ ÷àñòèöû îò îñè âðàùåíèÿ. ˙  ïðîïîðöèîíàëüíà ëè×åòâ¼ðòàÿ ñèëà  "ñèëà èíåðöèè"  F = −mV ˙ . íåéíîìó óñêîðåíèþ ñèñòåìû îòñ÷¼òà V(t)

∂L ∂v è ìîìåíò èìïóëüñà L = [r × p] òî÷êè òå æå, ÷òî è â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå K0 :  ðàâíîìåðíî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå îòñ÷¼òà, Ω = const , èìïóëüñ p =

p = p0 ,

(6.7)

L = L0 ,

à ýíåðãèÿ E ñâÿçàíà ñ E0 ñîîòíîøåíèåì (6.8)

E = E 0 − L · Ω.

Çàäà÷à 6.1. Íàéòè îòêëîíåíèå ñâîáîäíî ïàäàþùåãî òåëà îò âåðòèêàëè, îáóñëîâëåííîå âðàùåíèåì Çåìëè.

Ðåøåíèå .  ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ Çåìë¼é è ñ íà÷àëîì â å¼ öåíòðå, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (6.3) èìååò âèä

£ ¤ £ £ ¤¤ dv0 ∂U m = − 0 + 2m v0 × Ω + m Ω × r0 × Ω , dt ∂r

(6.9)

ãäå r0  ðàäèóñ-âåêòîð òåëà ñ íà÷àëîì â öåíòðå Çåìëè, Ω  óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Çåìëè. Ââåä¼ì òåïåðü ñèñòåìó îòñ÷åòà ñ íà÷àëîì O íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Ïîëàãàÿ â (6.9) r0 = R + r, ãäå R  ðàäèóñ-âåêòîð íà÷àëà O, 48

˙ = 0 â ñèñòåìå, ñâÿçàííîé ïðîâåä¼ííûé èç öåíòðà Çåìëè, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî R ñ Çåìë¼é, ïîëó÷èì £ ¤ £ £ ¤¤ dv = mg + 2m v × Ω + m Ω × r × Ω , (6.10) dt £ £ ¤¤ γM ãäå g = − 3 R + Ω × R × Ω  óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, M  ìàññà R Çåìëè. Îòìåòèì, ÷òî âåêòîð g, çàäàþùèé íàïðàâëåíèå âåðòèêàëè, íàïðàâëåí íå òî÷íî ê öåíòðó Çåìëè, à íåñêîëüêî îòêëîí¼í çà ñ÷åò öåíòðîáåæíîé ñèëû ïî ìåðèäèàíó â ñòîðîíó ýêâàòîðà. Ïðåíåáðåãàÿ â (6.10) ïîñëåäíèì, êâàäðàòè÷íûì ïî Ω ñëàãàåìûì, (îáîñíîâàòü!) èìååì: m

m

£ ¤ dv = mg + 2m v × Ω . dt

(6.11)

Ðåøåíèå èùåòñÿ ìåòîäîì èòåðàöèé

v = v(1) + v(2) + v(3) + . . . .

(6.12)

Òàê êàê ìû ïðåíåáðåãëè óæå ÷ëåíîì, êâàäðàòè÷íûì ïî Ω, òî ñëåäóåò îãðàíè÷èòüñÿ v(2) . Ïîäñòàâëÿåì ðàçëîæåíèå (6.12) â óðàâíåíèå (6.11):

m

¢ £¡ ¢ ¤ d ¡ (1) v + v(2) + . . . = mg + 2m v(1) + . . . × Ω dt

(6.13)

è ïðèðàâíèâàåì ÷ëåíû îäèíàêîâîé ìàëîñòè ïî Ω

dv(1) = g; dt

(6.14)

£ ¤ dv(2) = 2 v(1) × Ω ; (6.15) dt èíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (6.14) v(1) = gt+v0 è ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå (6.15): £ ¤ £ ¤ dv(2) = 2 v0 × Ω + 2 g × Ω t. dt

(6.16)

Èíòåãðèðóåì (6.16), èìååì

v(2) = 2[v0 × Ω]t + [g × Ω]t2 . Ïîäñòàâëÿåì v(1) ,

v(2) â (6.12), ïîëó÷àåì

v = v0 + gt + 2[v0 × Ω]t + [g × Ω]t2 + . . . 49

(6.17)

Èíòåãðèðóÿ (6.17), èìååì

gt2 1 r = r0 + v 0 t + + [v0 × Ω]t2 + [g × Ω]t3 + . . . . (6.18) 2 3 Âûáåðåì òåïåðü íàïðàâëåíèÿ îñåé êîîðäèíàò â òî÷êå íàáëþäåíèÿ íà øèðîòå θ. Îñü Z íàïðàâèì âåðòèêàëüíî ââåðõ (ò.å. ïðîòèâîïîëîæíî g ), îñü X  ïî ìåðèäèàíó íà þã, îñü Y  ïî øèðîòå íà âîñòîê.  ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò gx = gy = 0, gz = −g; Ω 6 I z@ @ @H Ωx ≈ −Ω cos θ, Ωy = 0, Ωz ≈ Ω sin θ. ­@ IH H j ­ R@ H x­À @y θ@ Ïóñòü íà÷àëüíûå (ò.å. ïðè t = 0) êîîðäèíàòû è ñêîðîñòü åñòü: r0 = (0, 0, h),

v0 = 0.

gt2 Òîãäà äëÿ z èìååì z = h − . Èç óñëîâèÿ z = 0 ïîëó÷èì âðåìÿ ïàäåíèÿ 2 p t = 2h/g , ïîäñòàâëÿÿ åãî â (6.18), èìååì äëÿ êîîðäèíàò x è y òî÷êè ïàäåíèÿ: µ ¶3/2 1 gΩ 2h x = 0, y = [g × Ω]y t3 = . cos θ 3 3 g Ò.î. îòêëîíåíèå ïðîèñõîäèò íà âîñòîê íà âåëè÷èíó

gΩ 3

µ

2h g

¶3/2

cos θ.

Çàäà÷à 6.2. Îïðåäåëèòü îòêëîíåíèå îò íà÷àëüíîé ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ äëÿ òåëà, áðîøåííîãî ñ ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 . Ðåøåíèå . Èç çàäà÷è 6.1

gt2 1 + [v0 × Ω]t2 + [g × Ω]t3 + . . . (6.19) 2 3 Çà ïëîñêîñòü zx âîçüì¼ì ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç âåðòèêàëü è v0 . Âðåìÿ ïàäåíèÿ îïðåäåëèì èç óñëîâèÿ z = 0. Èç (6.19) èìååì: r = v0 t +

gt2 v0z t − + v0x Ωy t2 = 0. 2 Èç (6.20) ïîëó÷àåì t=

(6.20)

2V0z 2V0z ' . g − 2Ωy V0x g

(6.21) 50

Îòêëîíåíèå îò ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì y â ìîìåíò ïàäåíèÿ. Èç (6.19) è (6.21) èìååì

µ

2V0z y = (v0z Ωx − v0x Ωz ) g

¶2

gΩx − 3

µ

2V0z g

¶3

4V0z2 = 2 g

µ

¶ V0z Ωx − V0x Ωz . 3

Çàäà÷à 6.3. Îïðåäåëèòü âëèÿíèå, îêàçûâàåìîå âðàùåíèåì Çåìëè íà ìàëûå êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà (ìàÿòíèê Ôóêî).

A

Ðåøåíèå . Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ

U = mg(l − Ïî óñëîâèþ |x| ¿ l,

p

A

A

A

l2

−

x2

−

y 2 ).

|y| ¿ l.  ýòîì ñëó÷àå

A

l

A

A

A

p A x2 +y 2 AAu

mω 2 2 ∼ (x + y 2 ), U= g ? 2 g ãäå ω 2 = . Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî Ω èìåþò âèä (ñì. l çàäà÷ó 6.1) m

dv = mg + 2m[v × Ω], dt

(6.22)

èëè

x¨ + ω 2 x = 2yΩ ˙ z − 2zΩ ˙ y;

(6.23)

y¨ + ω 2 y = −2xΩ ˙ z + 2zΩ ˙ x. (6.24) p xx˙ + y y˙ Òàê êàê z = l − l2 − x2 − y 2 , òî z˙ = p , ñëåäîâàòåëüíî l 2 − x2 − y 2 |z| ˙ ¿ |x| ˙ + |y| ˙ . Ïîýòîìó ÷ëåíû zΩ ˙ y è zΩ ˙ x â ïðàâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (6.23) è (6.24) ìîæíî îïóñòèòü. Óìíîæèì óðàâíåíèå (6.24) íà i è ñëîæèì ñ óðàâíåíèåì (6.23). Ïîëó÷èì ξ¨ + 2iΩz ξ˙ + ω 2 ξ = 0,

(6.25)

ãäå ξ = x + iy . Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.25) èùåì â âèäå ξ = eiαt , ãäå α äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ

−α2 − 2αΩz + ω 2 = 0.

(6.26)

Äëÿ α ïîëó÷àåì

α = −Ωz ±

p

r Ω2z + ω 2 = −Ωz ± ω 51

1+

Ω2z ∼ = −Ωz ± ω. ω2

(6.27)

Ñëåäîâàòåëüíî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.25) èìååò âèä

¡ ¢ ξ = e−iΩz t A1 eiωt + A2 e−iωt ,

(6.28)

Ãäå A1 è A2 íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Òàê êàê ξ = x(t) + iy(t), òî ÷ëåí â ñêîáêàõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê x0 (t) è iy0 (t), ò.å.

x(t) + iy(t) = e−iΩz t [x0 (t) + iy0 (t)] ,

(6.29)

ãäå x0 (t) è y0 (t) äàþò òðàåêòîðèþ ìàÿòíèêà áåç ó÷åòà âëèÿíèÿ Çåìëè. Ðàçäåëÿÿ äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè â âûðàæåíèè (6.29), ïîëó÷èì

x(t) = x0 (t) cos Ωz t + y0 (t) sin Ωz t; y(t) = −x0 (t) sin Ωz t + y0 (t) cos Ωz t.

(6.30)

Èç (6.30) âèäíî, ÷òî âëèÿíèå âðàùåíèÿ Çåìëè ñâîäèòñÿ ê ïîâîðîòó ïëîñêîñòè êîëåáàíèÿ âîêðóã âåðòèêàëè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ωz .

Çàäà÷à 6.4. Øàðèê ìàññû m íàíèçàí íà ãëàäêóþ ïëîñêóþ êðèâóþ, ðàñïî-

ëîæåííóþ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè è ðàâíîìåðíî âðàùàþùóþñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè z . Íàéòè óðàâíåíèå ýòîé êðèâîé, åñëè øàðèê íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå êðèâîé. Ðåøåíèå .  ñèñòåìå îòñ÷¼òà õ, y, z , âðàùàþùåéñÿ âìåñòå ñ êðèâîé, èìååò ìåñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿ îáîáù¼ííîé ýíåðãèè øàðèêà (6.8)

mv02 mv 2 m E= + mgz − [r × p] · Ω = + mgz − [r × Ω]2 , 2 2 2 ãäå ó÷òåíî v0 = v + [Ω × r], p = mv0 . Âûáðàâ îñü x â ïëîñêîñòè êðèâîé, ïîëîæèâ v = 0, ò.ê. ÷àñòèöà ïîêîèòñÿ îòíîñèòåëüíî êðèâîé è ðàñêðûâ [r× Ω]2 ,

Ω2 2 E íàéä¼ì z = x + . 2g mg

7 Ìàëûå êîëåáàíèÿ Ìàëûå êîëåáàíèÿ  äâèæåíèå ñèñòåìû âáëèçè ïîëîæåíèÿ óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ q = q0 , êîòîðîå äëÿ ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè (äâèæåíèå âáëèçè "äíà" îäíîìåðíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû):

¯ ∂U ¯¯ = 0, ∂q ¯q=q0

(7.1)

52

¯ ∂ 2 U ¯¯ ≡ k > 0. ∂q 2 ¯q=q0

(7.2)

×àñòîòà ñâîáîäíûõ îäíîìåðíûõ êîëåáàíèé âáëèçè q0 åñòü

r

k , m à çàêîí äâèæåíèÿ äëÿ ìàëîãî ñìåùåíèÿ x ≡ q − q0 ω=

(7.3)

x = a cos(ωt + α),

(7.4)

ãäå a è α  àìïëèòóäà è ôàçà, îïðåäåëÿåìûå íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Ñî-

1 mω 2 a2 . Ñèñòåìà, ñîâåðøàþùàÿ 2 îäíîìåðíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì èëè ïðîñòî îñöèëëÿòîðîì. Óðàâíåíèå îäíîìåðíûõ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû 1 x¨ + ω 2 x = F (t). (7.5) m õðàíÿþùàÿñÿ ýíåðãèÿ êîëåáàíèÿ (7.4) E =

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðè F (t) = f cos(γt + β) åñòü

x(t) = a cos(ωt + α) +

f cos(γt + β). − γ 2)

m(ω 2

(7.6)

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.5) äëÿ ïðîèçâîëüíîé âíåøíåé ñèëû F (t) èìååò âèä

Z

1 x(t) = Im ξ(t), ω

ξ(t) = e

iωt

t

t0

F (t0 ) −iωt0 0 e dt + ξ0 eiω(t−t0 ) , m

(7.7)

ãäå ξ0 = x(t ˙ 0 ) + iωx(t0 )  íà÷àëüíûå óñëîâèÿ. Ýíåðãèÿ, ïåðåäàâàåìàÿ ïåðâîíà÷àëüíî ïîêîÿùåéñÿ ñèñòåìå âíåøíèì èñòî÷íèêîì (F (t) → 0 ïðè t → ±∞), åñòü

¯Z ∞ ¯ ¯ ¯ ∆p2 ∆E = , ãäå ∆p = ¯¯ F (t)e−iωt dt¯¯ 2m −∞

(7.8)

Óðàâíåíèå çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé â ñðåäå ñ ñèëîé òðåíèÿ fòð = −αx˙

x¨ + 2λx˙ + ω02 x = 0,

λ=

α . 2m

(7.9)

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðè λ < ω0 (òðåíèå ìàëî!)

q

x(t) = ae

−λt

cos(

ω02 − λ2 t + α). 53

(7.10)

Çàêîí èçìåíåíèÿ ýíåðãèè ñèñòåìû

E(t) = E(0)e−2λt . Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé ïðè íàëè÷èè âûíóæäàþùåé ñèëû

F (t) = f cos γt q x(t) = ae

−λt

cos(

ω02 − λ2 t + α) + b cos(γt + δ),

(7.11)

ãäå

b=

m

f

p

(ω02 − γ 2 )2 + 4λ2 γ 2

, tg δ =

2λγ . γ 2 − ω02

(7.12)

Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ âíåøíåãî ïîëÿ, ïîãëîùàåìàÿ îñöèëëÿòîðîì â åäèíèöó âðåìåíè âáëèçè ðåçîíàíñà

f2 λ I(γ) = · . 4m (γ − ω0 )2 + λ2

(7.13)

Çàäà÷è ê ãëàâå 7 Çàäà÷à 7.1. Âûðàçèòü àìïëèòóäó a è íà÷àëüíóþ ôàçó α êîëåáàíèé (7.4) ÷åðåç íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû x0 è ñêîðîñòè V0 .

r

Îòâåò : a =

x20

V02 V0 + 2 , tg α = − . ω ωx0

Çàäà÷à 7.2. Íàéòè îòíîøåíèå ÷àñòîò êîëåáàíèé ω è ω 0 äâóõ äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë, ñîñòîÿùèõ èç àòîìîâ ðàçëè÷íûõ èçîòîïîâ: ìàññû àòîìîâ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî m1 , m2 è m01 , m02 . Óêàçàíèå : Àòîìû èçîòîïîâ âçàèìîäåéñòâóþò îäèíàêîâûì îáðàçîì. Îòâåò :

0

ω = ω

s

m1 m2 (m01 + m02 ) . m01 m02 (m1 + m2 )

Çàäà÷à 7.3. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òî÷êè ñ ìàññîé m, ñïîñîáíîé

äâèãàòüñÿ ïî ïðÿìîé è ïðèêðåïëåííîé ê ïðóæèíå, äðóãîé êîíåö êîòîðîé ïðèêðåïèëè ê òî÷êå A íà ðàññòîÿíèè l îò ïðÿìîé. Ïðóæèíà ïðè äëèíå l íàòÿíóòà ñ ñèëîé F. Ðåøåíèå . Ñîãëàñíî óñëîâèþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

54

´2 k ³p 2 l + x 2 − l0 , 2 ãäå l0 äëèíà ïðóæèíû â ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè. Ïðåîáðàçóåì U (x) c ó÷¼òîì x ¿ l : U (x) =

Ar6 qq qq qq l qq qq qq m ? qqt 0 x

-

"r #2 · µ µ ¶ ¶ ¸2 2 2 2 x2 x x k k k ∼ l 1 + 2 − l0 ∼ l 1 + 2 − l0 = l − l0 + U (x) = = = 2 l 2 2l 2 2l · ¸ k l − l k(l − l0 )x2 0 2 2 ∼ (l − l0 ) + x + ... = U (0) + + ..., = 2 l 2l ¯ ¯ ¯ ¯ k ∂U (0) ¯= ãäå U (0) ≡ (l − l0 )2 . Ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðóæèíû ïðè x = 0 ðàâíà ¯¯ 2 ∂l ¯ 2 k(l − l0 ) è ïî óñëîâèþ k(l − l0 ) = F, òàê p ÷òî U (x) = U (0) + F x /2l.  ñòàíäàðòíîé ôîðìóëå (7.3) ω = k/m ðîëü k èãðàåò F/l è ìû èìååì p ω = F/lm.

Çàäà÷à 7.4. Ðåøèòü ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó ïðè óñëîâèè, ÷òî òî÷êà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà r.

r

Îòâåò : ω =

F (r + l) . lmr

q6 l qqq ? qq 6 qqt ­ Á r ­ ϕ­ r ­ ­

Çàäà÷à 7.5. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ïëîñêîãî ìàÿòíèêà ñ ìàññîé

m2 , ïðèêðåïëåííîãî ê òåëó ìàññîé m1 , äâèæóùåìóñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé â òîé æå ïëîñêîñòè. Ðåøåíèå . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ýòîé çàäà÷è ïîëó÷åíà â çàäà÷å 3.11. Òàì ïîêàçàíî, ÷òî ýòà ñèñòåìà èìååò ïåðâûé èíòåãðàë x(m ˙ 1 +m2 )+m2 lϕ˙ cos ϕ = const, èìåþùèé ñìûñë èìïóëüñà âñåé ñèñòåìû (x  êîîðäèíàòà òåëà ñ ìàññîé m1 , l  äëèíà ìàÿòíèêà, ϕ  óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè ). Âûáèm2 l cos ϕ ðàÿ ñèñòåìó îòñ÷¼òà, ãäå ýòîò èíòåãðàë ðàâåí íóëþ, èìååì x˙ = − ϕ. ˙ m1 + m2 Ïîäñòàâëÿÿ x˙ â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, ïîëó÷èì äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé (ϕ ¿ 1) m2 gl 2 m1 m2 l 2 ϕ˙ 2 − ϕ + const. L= 2(m1 + m2 ) 2 s Îòâåò : ω =

g(m1 + m2 ) . m1 l 55

Çàäà÷à 7.6.  çàäà÷å 3.5 íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî

a À |z|. Ðåøåíèå . Çàïèøåì è ïðåîáðàçóåì U (z) c ó÷¼òîì |z| ¿ a : p κ p 2 κ 2 2 2 2 U (z) = ( a + 4z − a) − mgz = (2a + 4z − 2a a2 + 4z 2 ) − mgz = 2 (2 " µ 2 ¶2 #) 2 κ 1 4z 1 4z 2κ 4 = 2a2 + 4z 2 − 2a2 1 + · 2 − −mgz = z −mgz. 2 2 a 8 a2 a2 Íàõîäèì òî÷êó z0 , ãäå U (z) èìååò ìèíèìóì:

r

3

8z κ ∂U = 4 − mg = 0; ∂z a

z0 =

3

mga2 . 8κ

Äàëåå ñëåäóåò ðàçëîæèòü U (z) â ðÿä îêîëî ìèíèìóìà. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëÿåì

¯ ¯ ∂ 2 U ¯¯ 24κz 2 ¯¯ 24κz02 = = ∂z 2 ¯z=z0 a2 ¯z=z0 a2 è èìååì

U (z) = U (z0 ) + îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

r ω=

24κz02 ma2

=

s

µ

κg 2 6 ma2

¶ 13

1 24κz02 · (z − z0 )2 + . . . , 2 2 a

.

Çàäà÷à 7.7. Íàéòè ÷àñòîòó êîëåáàíèé ãðóçèêà ìàññû m, äâèæóùåãîñÿ òîëü-

êî ãîðèçîíòàëüíî, åñëè óïðóãîñòè ïðóæèí κ è èõ äëèíû l0 â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè îäèíàêîâû. / / t /∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨ / Ðåøåíèå . Ïóñòü x îòêëîíåíèå ãðóçèêà îò ñåðåäè- / / m / / / / ¾ íû. Òîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ 2l / /

U (x) = Îòñþäà

ω=

p

κ κ (l + x − l0 )2 + (l − x − l0 )2 = κx2 + κ(l − l0 )2 . 2 2

2κ/m.

Çàäà÷à 7.8. Ðåøèòü ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó, åñëè êîýôôèöèåíòû óïðóãîñòè è

äëèíû ïðóæèíîê åñòü κ1 , l1 è κ2 , l2 ñîîòâåòñòâåííî. Íàéòè òàêæå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. 56

r

κ1 + κ2 , ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñìåùåíî îò ñåðåäèíû íà m κ2 (l − l2 ) − κ1 (l − l1 ) . κ1 + κ2

Îòâåò : ω =

Çàäà÷à 7.9. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ÷àñòèöû ìàññû m â ïîëå U (x) = V cos(αx) − F x, (|F | < |V α|) . s ¶2 µ 2 |V |α F . Îòâåò : ω 2 = 1− m Vα

Çàäà÷à 7.10. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà,

òî÷êà ïîäâåñà êîòîðîãî äâèæåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a. Ðåøåíèå . Çàïèøåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî òî÷êà ïîäâåñà äâèæåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî ïî çàäàííîìó çàêîíó s(t) :

L=

¢ m¡2 2 l ϕ˙ + 2s˙ ϕl ˙ cos ϕ + s˙ 2 + mgl cos ϕ. 2

Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ åñòü

ϕ¨ +

³a´ l

cos ϕ +

g sin ϕ = 0, l

(7.14)

ãäå ó÷ëè s¨ = a. Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ϕ0 ïîëó÷àåòñÿ êàê ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè,

g a sin ϕ0 + cos ϕ0 = 0 (7.15) l l a èëè ϕ0 = − arctg .  óðàâíåíèè (7.14) äåëàåì çàìåíó ϕ = ϕ0 + θ è, g ïðåîáðàçóÿ, ïîëó÷èì: ´ ³g ´ ³a g a ¨ cos ϕ0 + sin ϕ0 cos θ + cos ϕ0 − sin ϕ0 sin θ = 0. θ+ l l l l Ñîãëàñíî (7.15) âòîðîé ÷ëåí ðàâåí íóëþ. Ïðåîáðàçóÿ êîýôôèöèåíò â ïîñëåäíåì ÷ëåíå, èìååì p

a2 + g 2 sin θ = 0. l Äëÿ ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé ïîëó÷èì µ 2 ¶1 a + g2 4 ω= . l2 θ¨ +

57

Çàäà÷à 7.11. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, òî÷êà ïîäâåñà êîòîðîãî äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ ñ óñêîðåíèåì ±à. Óêàçàíèå : Èñïîëüçîâàòü ðåøåíèå çàäà÷è 3.8.

r a+g |g − a| Îòâåò : ω = , åñëè äâèæåíèå âåðòèêàëüíî ââåðõ; ω = , åñëè l l äâèæåíèå âåðòèêàëüíî âíèç. Ïðè a > g ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñìåñòèòñÿ íà óãîë π . r

Çàäà÷à 7.12. Îïðåäåëèòü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé

ω ïîä âëèÿíèåì ïîñòîÿííîé ñèëû, âêëþ÷åííîé â ìîìåíò t = 0. Íà÷àëüíûå êîîðäèíàòû x0 è ñêîðîñòü x˙0 ðàâíû íóëþ. Ðåøåíèå . Çàïèøåì óðàâíåíèå êîëåáàíèé (7.16)

m¨ x + kx = F, ãäå F=const. ×àñòíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ åñòü

r

F F èëè , ãäå ω = k mω 2

k . Îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ âîçüì¼ì â âèäå x = A cos(ωt + m α). Òîãäà ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (7.16) áóäåò ñóììà x(t) = A cos(ωt + α) +

F . mω 2

(7.17)

Äëÿ ñêîðîñòè èìååì x(t) ˙ = −ωA sin(ωt+α). Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷àåì

α = 0, A = −

F è ïîäñòàâëÿåì â (7.17) mω 2 µ ¶ F x(t) = (1 − cos ωt). mω 2

Çàäà÷à 7.13. Îïðåäåëèòü çàêîí êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω ïîä äåéñòâèåì ñèëû F = at , åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñèñòåìà èìåëà ñêîðîñòü v0 è êîîðäèíàòó x0 .

at . ×àñòíîå ðåøåm a íèå ýòîãî óðàâíåíèÿ åñòü t. Îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâåííî ïðèìåò âèä mω 2 at x(t) = A cos ωt + B sin ωt + ; mω 2 a x(t) ˙ = −Aω sin ωt + Bω cos ωt + . mω 2 Ðåøåíèå . Óðàâíåíèå êîëåáàíèé çàïèøåì â âèäå x ¨ + ω2x =

58

v0 a − . B= 3 ω mω ³v a ´ at 0 Îòâåò : x(t) = x0 cos ωt + − sin ωt + . ω mω 3 mω 2 Çàäà÷à 7.14. Íàéòè çàêîí êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ïîä äåéñòâèåì ñèëû, ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùåé ñî âðåìåíåì. Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè è êîîðäèíàòû ðàâíû íóëþ. Ðåøåíèå . Ïî óñëîâèþ ñèëà ðàâíà F = F0 e−βt , ïîýòîìó óðàâíåíèå êîëåáàíèé èìååò âèä Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äàþò A = x0 ,

m¨ x + kx = F0 e−βt .

(7.18)

×àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (7.18) èùåòñÿ â âèäå Be−βt , ãäå ïîñòîÿííàÿ B íàõîäèòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé â óðàâíåíèå (7.18). Èìååì

¡ ¢ F0 Be−βt β 2 + ω 2 = e−βt , m

r

k . Îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (7.18) åñòü m F0 x(t) = A cos(ωt + α) + e−βt . 2 2 m(β + ω )

ãäå ω =

(7.19)

Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ñêîðîñòè áóäåì èìåòü

x(t) ˙ = −Aω sin(ωt + α) −

βF0 e−βt . 2 2 m(β + ω )

Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïîëó÷èì

0 = A cos α +

F ; m(β 2 + ω 2 )

0 = −Aω sin α −

βF . m(β 2 + ω 2 )

Îòñþäà íàõîäèì α è A â óäîáíîì äëÿ äàëüíåéøåãî âèäå

tg α =

β , ω

A=−

F 1 . m(β 2 + ω 2 ) cos α

Ïîäñòàâëÿÿ α, A â (7.19) è ïðåîáðàçóÿ, ïîëó÷èì:

¶ µ F0 β x(t) = e−βt − cos ωt + sin ωt . 2 2 m(β + ω ) ω

Çàäà÷à 7.15. Íàéòè çàêîí êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω0 , åñëè ñèëà

çàâèñèò îò âðåìåíè ãàðìîíè÷åñêè: F = F0 cos ωt, ïðè t = 0, x = 0, x˙ = 0. Èññëåäîâàòü ñëó÷àé ω = ω0 . 59

Ðåøåíèå . Óðàâíåíèå êîëåáàíèé èìååò âèä

x¨ + ω 0 2 x =

F0 cos ωt. m

(7.20)

×àñòíîå ðåøåíèå ïðè ω 6= ω0 èùåì â âèäå B cos ωt, è, ïîäñòàâëÿÿ åãî â óðàâíåíèå (7.20) èìååì B =

F0 . Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.20) åñòü m(ω0 2 − ω 2 )

x(t) = A cos(ω0 t + α) +

F0 cos ωt; m(ω0 2 − ω 2 )

Ñêîðîñòü ðàâíà

x(t) ˙ = −A sin(ω0 t + α) −

F0 ω sin ωt. m(ω0 2 − ω 2 )

Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äàäóò:

0 = A cos(α) + îòêóäà α = 0, A = −

x(t) =

F0 , m(ω0 2 − ω 2 )

0 = −Aω0 sin(α),

F0 è äëÿ çàêîíà äâèæåíèÿ èìååì m(ω0 2 − ω 2 )

F0 [cos(ωt) − cos(ω0 t)] = m(ω0 2 − ω 2 ) µ ¶ µ ¶ ω0 − ω ω0 + ω 2F0 sin = t sin t . m(ω0 2 − ω 2 ) 2 2

 ñëó÷àå ω = ω0 ðåøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ÷àñòíîå ðåøåíèå èñêàòü â âèäå Bt sin(ω0 t) , èëè â ñàìîì ðåøåíèè ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè ω → ω0 :

x(t) =

F0 t sin(ω0 t). 2mω0

Çàäà÷à 7.16. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó êîëåáàíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω

ïîñëå äåéñòâèÿ â òå÷åíèå âðåìåíè T ïîñòîÿííîé ñèëû F0 , åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñèñòåìà ïîêîèëàñü. Ðåøåíèå . Ïóñòü ñèëà äåéñòâîâàëà ïðè 0 6 t 6 T , òîãäà íà ýòîì èíòåðâàëå ( ñì. çàäà÷ó 7.12)

x(t) =

F0 (1 − cos ωt). mω 2 60

Ïðè t > T ðåøåíèå âîçüì¼ì â âèäå

x(t) = A sin [ω(t − T ) + α] . 'Ñøèâàÿ' ðåøåíèÿ ïðè t = T , èìååì :

F0 (1 − cos ωT ) = A sin α; mω 2 F0 sin ωT = Aω cos α. mω Ðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ, íàõîäèì 2F0 ωT . sin 2 mω 2 F (t) Äðóãîé ìåòîä ðåøåíèÿ : óðàâíåíèå x ¨ + ω2x = ìîæíî çàïèñàòü â âèäå m dξ F − iωξ = , (7.21) dt m 1 ãäå ξ = x˙ + iωx , ïðè÷åì x = Imξ . Èç (7.21) äëÿ ξ èìååì ω  t  Z 0 F (t ) −iωt0 0 ξ = eiωt  e dt + ξ0  . m α=

ωT , 2

A=

0

 íàøåì ñëó÷àå ïðè t > T

ZT ξ = eiωt 0

F0 −iωt0 0 e dt , m

(ξ0 = 0).

Âû÷èñëÿåì èíòåãðàë è ïðåîáðàçóåì

ξ=e

iωt F0 e

m

−iωT

ωT −1 2F0 − iωT = eiωt e 2 sin . −iω mω 2

Îòñþäà

µ ¶ 2F0 ωT ωT 1 sin sin ωt − x(t) = Imξ = ω mω 2 2 2 è äëÿ àìïëèòóäû è ôàçû èìååì òîò æå ðåçóëüòàò, ÷òî è â ïåðâîì ìåòîäå.

Çàäà÷à 7.17. Îïðåäåëèòü êîíå÷íóþ àìïëèòóäó êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ñ t

÷àñòîòîé ω , âîçíèêàþùóþ ïîä äåéñòâèåì ñèëû F = F0 çà âðåìÿ îò 0 äî T , T åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñèñòåìà ïîêîèëàñü â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. 61

F0 p 2 2 ω T − 2ωT sin(ωT ) + 2(1 − cos(ωT )). mT ω 3 Çàäà÷à 7.18. Îïðåäåëèòü êîíå÷íóþ àìïëèòóäó êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ âíåøíåé ñèëû ìåíÿþùåéñÿ ïî çàêîíó   , åñëè t < 0 0 F = F0 t/T , åñëè 0 < t < T   F0 , åñëè t > T, Îòâåò : A =

åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñèñòåìà ïîêîèëàñü â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ.

2F0 ωT sin . mω 3 T 2 Çàäà÷à 7.19. Îïðåäåëèòü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé äâîéíîãî ïëîñêîãî ìàÿòíèêà. Ðåøåíèå . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äâîéíîãî ïëîñêîãî ìàÿòíèêà ïîëó÷åíà â çàäà÷å 3.12 è èìååò âèä: Îòâåò : A =

m1 + m2 2 ˙2 m2 2 ˙2 l 1 ϕ1 + l ϕ+ 2 2 2 2 + m2 l1 l2 ϕ˙1 ϕ˙2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + (m1 + m2 )gl1 cosϕ1 + m2 gl2 cos ϕ2 . (7.22)

L=

Äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé (|ϕ1 | ¿ 1, |ϕ2 | ¿ 1) ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ÷ëåíàìè ñòåïåíè íå âûøå âòîðîé ïî ϕ1 è ϕ2

L=

m1 + m2 2 ˙2 m2 2 ˙2 l 1 ϕ1 + l ϕ + m2 l1 l2 ϕ˙1 ϕ˙2 − 2 2 2 2

ϕ21 ϕ22 − (m1 + m2 )gl1 − m2 gl2 ; (7.23) 2 2  (7.23) îïóùåíû ïîñòîÿííûå ÷ëåíû. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ∂L d ∂L ∂L d ∂L − = 0, − =0 dt ∂ ϕ˙1 ∂ϕ1 dt ∂ ϕ˙2 ∂ϕ2 ïðèíèìàþò âèä ( (m1 + m2 )l1 ϕ¨1 + m2 l2 ϕ¨2 + (m1 + m2 )gϕ1 = 0; l1 ϕ¨1 + l2 ϕ¨2 + gϕ2 = 0. Ïîäñòàâëÿÿ â ýòó ñèñòåìó ϕ1 = A1 eiωt ;

ϕ2 = A2 eiωt , ïîëó÷èì

( (m1 + m2 )(g − l1 ω 2 )A1 − ω 2 m2 l2 A2 = 0; −l1 ω 2 A1 + (g − l2 ω 2 )A2 = 0. 62

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëî íåíóëåâîå ðåøåíèå, îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Ïîëó÷åííîå òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì è â íàøåì ñëó÷àå èìååò âèä :

m1 l1 l2 ω 4 − g(l1 + l2 )(m1 + m2 )ω 2 + g 2 (m1 + m2 ) = 0. Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé:

s

"

ω2 =

g(l1 + l2 )(m1 + m2 ) 1± 2l1 l2 m1

#

1−

4l1 l2 m1 . (l1 + l2 )2 (m1 + m2 )

g g ω12 ∼ ω22 ∼ = , = . l1 l2 g l1 + l2 m1 Ïðè m2 → ∞ : ω12 ∼ , ω22 ∼ À ω12 . = =g l1 + l2 l1 l2 m2 Ïðè m1 → ∞ :

Çàäà÷à 7.20. Òî÷êè ïîäâåñà äâóõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàÿòíèêîâ îäèíàêîâîé

ìàññû m è îäèíàêîâîé äëèíû l íàõîäÿòñÿ íà îäíîì óðîâíå íà ðàññòîÿíèè l0 . Ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ìàÿòíèêîâ ñîåäèíåíû ïðóæèíîé æåñòêîñòè κ , èìåþùåé â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè äëèíó l0 ("ñâÿçàííûå ìàÿòíèêè"). Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ìàÿòíèêîâ ïðè ìàëûõ êîëåáàíèÿõ. Îòâåò : Çàêîí äâèæåíèÿ

ϕ1 = a cos(ω1 t + α) + b cos(ω2 t + β), ϕ2 = a cos(ω1 t + α) − b cos(ωr 2 t + β). r g g κ , ω2 = +2 . Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ω1 = l l m

Çàäà÷à 7.21. Íà ñèñòåìó ìàÿòíèêîâ, îïèñàííûõ â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, äåé-

ñòâóåò ãîðèçîíòàëüíàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ñèëà F0 cos γt, ïðèëîæåííàÿ êî âòîðîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êå. Èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿ àìïëèòóä ìàÿòíèêîâ îò ÷àñòîòû âíåøíåé ñèëû γ . Ðåøåíèå . Äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, îáóñëîâëåííàÿ âíåøíåé ñèëîé U = −F0 lϕ2 cos γt. Óäîáíåå èñïîëüçîâàòü íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû

1 1 θ1 = (ϕ1 + ϕ2 ), θ2 = (ϕ1 − ϕ2 ). 2 2 Óðàâíåíèÿ â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ ïðèìóò âèä F0 θ¨1 + ω12 θ1 = cos γt; 2ml F0 θ¨2 + ω22 θ2 = − cos γt. 2ml 63

Ðåøåíèå äëÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé åñòü:

· ¸ F0 1 1 ϕ1 (t) = − cos γt; 2ml ω12 − γ 2 ω22 − γ 2 · ¸ 1 1 F0 + cos γt, ϕ2 (t) = 2ml ω12 − γ 2 ω22 − γ 2 îòêóäà èìååì ϕ1 (t) ω22 − ω12 = . ϕ2 (t) ω22 + ω12 − 2γ 2 2 2 2 2 Åñëè ñîáñòâåííûå ¯÷àñòîòû ¯ áëèçêè: ω2 − ω1 ¿ ω2 + ω1 , òî â ñëó÷àÿõ γ ¿ ω2

¯ ϕ1 (t) ¯

¯ ¿ 1, ò.å. ñèñòåìà ðàáîòàåò êàê "ôèëüòð", çàãëóøàÿ èëè γ À ω2 áóäåò ¯¯ ϕ2 (t) ¯ ïðè ïåðåäà÷å íà ïåðâûé ìàÿòíèê ñëèøêîì ìàëåíüêèå èëè ñëèøêîì áîëüøèå ÷àñòîòû.

Çàäà÷à 7.22. Îïðåäåëèòü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω0 ïðè íàëè÷èè ñèëû òðåíèÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû f = f0 eαt cos γt. Ðåøåíèå . Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ F (t) m óäîáíåå ðåøàòü â êîìïëåêñíîé ôîðìå x¨ + 2λx˙ + ω02 x =

z¨ + 2λz˙ + ω02 z =

(7.24)

f0 αt iγt e e , m

(7.25)

ïðè ýòîì x = Re z . Èùåì z â âèäå z = Ae(α+iγ)t , è ïîëó÷àåì ïîñëå ïîäñòàíîâêè z â óðàâíåíèå (7.25) âûðàæåíèå äëÿ A :

A=

f0 1 . m (α + iγ)2 + 2λ(α + iγ) + ω02

Çàïèøåì x â ôîðìå x = beαt cos(γt + δ), ãäå

b=

f0 1 p ; m (α2 + ω02 + 2λα − γ 2 )2 + 4γ 2 (α + λ)2 δ = − arctg

2γ(α + λ) . (α2 + ω02 + 2λα − γ 2 )

Çàäà÷à 7.23. Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ E , ïðèîáðåòàåìóþ îñöèëëÿòîðîì ñ ÷à2

ñòîòîé ω ïîä äåéñòâèåì ñèëû F (t) = F0 e−(t/τ ) çà âñå âðåìÿ äåéñòâèÿ ñèëû, åñëè ïðè t = −∞ îñöèëëÿòîð ïîêîèëñÿ. 64

Ðåøåíèå . Ýíåðãèÿ, ïîëó÷àåìàÿ ñèñòåìîé, ñîâåðøàþùåé âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû F (t) , îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (7.8)

¯2 ¯ +∞ ¯ ¯Z ¯ 1 ¯¯ −iωt ¯ ∆E = F (t)e dt ¯ . 2m ¯¯ ¯ −∞

Ïîäñòàâëÿÿ â íåå âûðàæåíèå äëÿ ñèëû èç óñëîâèÿ çàäà÷è, ïîëó÷èì:

¯ ¯ ¶2 ¯ ¯2 2 2 ¯2 ¯ +∞ µ t ¯ Z+∞ t2 ¯ τω τ ω ¯ ¯Z − +i − − 2 − iωt ¯¯ F02 ¯¯ F02 ¯¯ τ 2 4 dt¯¯ = e ∆E = dt¯ = ¯ e τ ¯ ¯ 2m ¯ 2m ¯¯ ¯ ¯−∞ ¯ ¯−∞ ¯ =

F02 2m

τ 2ω2 − 2 . πτ 2 e

Çàäà÷à 7.24.  ïðåäûäóùåé çàäà÷å îïðåäåëèòü ïåðåäàííóþ îñöèëëÿòîðó ýíåðãèþ , åñëè ïðè t → −∞ êîëåáàíèÿ ñîâåðøàëèñü ïî çàêîíó x = a sin(ωt + α), ãäå a  àìïëèòóäà, α  ôàçà.

¤ m£ |ξ(∞)|2 − |ξ(−∞)|2 , ãäå ξ = x˙ + iωx . Ôîðìóëû äëÿ 2 îïðåäåëåíèÿ ξ ñì. â çàäà÷å (7.16). Çàäà÷ó æåëàòåëüíî ðåøèòü, íå ïðèáåãàÿ ê ãîòîâûì ôîðìóëàì, à èñïîëüçóÿ ïðÿìî ìåòîä ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. 1 1 2 − (ωτ )2 √ πF02 τ 2 − (ωτ ) Îòâåò : ∆E = e 2 + πF0 aωτ e 4 cos α. 2m Óêàçàíèå : ∆E =

Çàäà÷à 7.25. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, ñîâåðøàþùåé ìàëûå êîëåáàíèÿ, åñëè å¼ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò âèä (àíãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð):

mω02 x2 mα 3 mβ 4 + x + x. 2 3 4 Ðåøåíèå . Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà

mx˙ 2 mω02 x2 mα 3 mβ 4 L= − − x − x, 2 2 3 4 ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ: x¨ + ω02 x = −αx2 − βx3 . 65

Ïåðåïèøåì åãî â âèäå:

x¨ + ω 2 x = −αx2 − βx3 + (ω 2 − ω02 )x,

(7.26)

ãäå ω  òî÷íîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû êîëåáàíèé. Ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäå ðÿäîâ

x = x(0) + x(1) + x(2) + . . . ,

ω = ω0 + ω (1) + ω (2) + . . . ,

ãäå êàæäûé ïîñëåäóþùèé ÷ëåí ìíîãî ìåíüøå ïðåäûäóùåãî. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ðÿäû â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (7.26) , èìååì :

x¨(0) + x¨(1) + x¨(2) + . . . + ω 2 (x(0) + x(1) + x(2) + . . .) = = −α(x(0) + x(1) + x(2) + . . .)2 − β(x(0) + x(1) + x(2) + . . .)3 + +[(ω0 + ω (1) + ω (2) + . . .)2 − ω02 ](x(0) + x(1) + x(2) + . . .). Ïðèðàâíèâàÿ ÷ëåíû îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïîëó÷èì:

x¨(0) + ω 2 x(0) = 0;

(7.27) 2

x¨(1) + ω 2 x(1) = −αx(0) + 2ω0 ω (1) x(0) ; 3

(7.28) 2

x¨(2) + ω 2 x(2) = −2αx(0) x(1) − βx(0) + ω (1) x(0) + 2ω0 ω (1) x(1) + 2ω0 ω (2) x(0) . (7.29) Ñèñòåìó óðàâíåíèé (7.27)-(7.29) ðåøàåì ïîñëåäîâàòåëüíî. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.27) ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå íà÷àëà îòñ÷¼òà âðåìåíè ìîæíî âçÿòü â âèäå:

x(0) = a cos ωt.

Ïîäñòàâëÿÿ åãî â óðàâíåíèå (7.28) , èìååì:

x¨

(1)

2 (1)

+ω x

αa2 = 2ω0 ω a cos ωt − (1 + cos 2ωt). 2 (1)

(7.30)

Ýòî íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå èìååò ñïðàâà ÷ëåí ñ ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé ω , à èìåííî  2ω0 ω (1) a cos ωt . Êàê èçâåñòíî, ðåøåíèå â ýòîì ñëó÷àå áóäåò ñîäåðæàòü ÷ëåí ∼ ω (1) t sin ωt , ò.å. àìïëèòóäà íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ñî âðåìåíåì. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò îãðàíè÷åííîñòè ýíåðãèè â çàìêíóòîé ñèñòåìå è ñîîòâåòñòâóþùåìó ïðåäïîëîæåíèþ î ìàëîñòè àìïëèòóäû êîëåáàíèé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ω (1) = 0. Òîãäà ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ äëÿ x(1) (7.30) áóäåò îãðàíè÷åííûì è ïðèìåò âèä:

x(1) = −

αa2 αa2 + cos 2ωt. 2ω02 6ω02 66

Ïîäñòàâëÿÿ x(0) , ω (1) , x(1) â óðàâíåíèå (7.29), èìååì: (2)

2 (2)

x¨ +ω x

µ ¶ αa2 αa2 = −2αa cos ωt − 2 + 2 cos 2ωt −βa3 cos3 ωt+2ω0 ω (2) a cos ωt. 2ω0 6ω0

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

cos ωt cos 2ωt =

1 1 cos ωt + cos 3ωt, 2 2

1 cos3 ωt = (cos 3ωt + 3 cos ωt), 4

óðàâíåíèå äëÿ x(2) ïåðåïèøåì â âèäå:

·

x¨(2) + ω 2 x(2)

¸ · ¸ 2 2 β α 5α a 3 = −a3 + 2 cos 3ωt + a 2ω (2) + − βa2 cos ωt. 2 4 6ω0 6ω0 4

Ïî òåì æå ïðè÷èíàì, ÷òî è âûøå, êîýôôèöèåíò ïðè cos ωt ïðèðàâíèâàåì íóëþ è ïîëó÷àåì: · ¸

ω à äëÿ x(2) òîãäà èìååì :

x

(2)

(2)

3 5 α2 a2 = β− , 2 3 ω02 4ω0

µ 2 ¶ a3 α β = + cos 3ωt. 16ω02 3ω02 2

Èòàê, ñîáèðàåì ðåçóëüòàòû:

µ µ 2 ¶ ¶ αa2 1 α β a3 x = a cos ωt + 2 −1 + cos 2ωt + + cos 3ωt + . . . , 2ω0 3 16ω02 3ω02 2 · ¸ 2 5 α2 3 a ω = ω0 + − 2 + β + .... 3 ω0 2 4ω0

αa2 Âèäíî, ÷òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñäâèíóòî íà − 2 + . . ., à êîëåáàíèÿ ñî2ω0 äåðæàò ÷àñòîòû ω, 2ω, 3ω è ò.ä., êðàòíûå ÷àñòîòå ω .

8 Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèé ôîðìàëèçì  êàíîíè÷åñêîì (ãàìèëüòîíîâîì) ôîðìàëèçìå ìåõàíè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò qα è îáîáù¼ííûõ èìïóëüñîâ pα , α = 1,. . . ,s, ãäå s  ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïî îïðåäåëåíèþ

pα =

∂L , ∂ q˙α

(8.1) 67

ãäå L = L(q, q, ˙ t)  ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà. Êàê è îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû, îáîáù¼ííûå èìïóëüñû ìîãóò íå èìåòü íè÷åãî îáùåãî ñ ôèçè÷åñêèìè èìïóëüñàìè ÷àñòèöû (pi = mvi ). Ïåðåìåííûå qα è pα íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè ïåðåìåííûìè. Åñëè ââåñòè ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H, îïðåäåëÿåìóþ ôîðìóëîé

H(p, q, t) =

s X

(8.2)

pβ q˙β − L(q, q, ˙ t),

β=1

â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîé âåëè÷èíû q˙ âûðàæåíû êàê ôóíêöèè p, q è t ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (8.1) (ðàññìàòðèâàåìûõ êàê ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ q˙ ), òî óðàâíåíèÿ äëÿ pα (t) è qα (t) (óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà) èìåþò âèä (ñì. [1]):

dpα ∂H , =− dt ∂qα

dqα ∂H , = dt ∂pα

α = 1, . . . , s.

(8.3)

Âûðàæåíèå (8.2) â êîîðäèíàòàõ, ãäå çàâèñèìîñòè (3.3) äëÿ ri (q) íå ñîäåðæàò âðåìåíè ÿâíî, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (8.4)

H(p, q, t) = T (p, q) + U (q, t),

ãäå T è U  êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè ñèñòåìû. Åñëè ðàññìàòðèâàòü äåéñòâèå S (âñïîìíèòå ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ) íà èñòèííûõ òðàåêòîðèÿõ q(t) êàê ôóíêöèþ êîîðäèíàò è âðåìåíè â êîíå÷íîé òî÷êå ïóòè (â âåðõíåì ïðåäåëå èíòåãðèðîâàíèÿ)

Z

(t,q)

S(q, t) =

L (q(t0 ), q(t ˙ 0 ), t0 ) dt0 ,

(8.5)

(t0 q0 )

òî

pα =

∂S , ∂qα

α = 1, . . . , s,

∂S = −H. ∂t

(8.6)

Âûâîä óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà èç âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà ñì. â [1] Ñêîáêîé Ïóàññîíà äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ôóíêöèé èìïóëüñîâ è êîîðäèíàò, ϕ1 (p, q, t) è ϕ2 (p, q, t), íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà

{ϕ1 , ϕ2 } =

s ½ X ∂ϕ1 ∂ϕ2 α=1

∂ϕ1 ∂ϕ2 − ∂pα ∂qα ∂qα ∂pα

68

¾ .

(8.7)

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñêîáîê Ïóàññîíà, ñëåäóþùèå èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ, òàêîâû: à) Êîñîñèììåòðè÷íîñòü (àíòèêîììóòàòèâíîñòü): (8.8)

{ϕ1 , ϕ2 } = −{ϕ2 , ϕ1 }. á) Äëÿ c = const.:

(8.9)

{ϕ, c} ≡ 0. â) Äèñòðèáóòèâíîñòü:

{c1 ϕ1 + c2 ϕ2 , ψ} = c1 {ϕ1 , ψ} + c2 {ϕ2 , ψ},

(8.10)

ãäå c1 , c2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. ã) Ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî: (8.11)

{ϕ1 · ϕ2 , ψ} = ϕ1 {ϕ2 , ψ} + ϕ2 {ϕ1 , ψ}. ä) Äèôôåðåíöèðîâàíèå:

∂ {ϕ1 , ϕ2 } = ∂t

½

∂ϕ1 , ϕ2 ∂t

¾

½

∂ϕ2 + ϕ1 , ∂t

¾ .

(8.12)

å) Äëÿ ϕ2 = pα :

{ϕ, pα } = −

∂ϕ . ∂qα

(8.13)

æ) Äëÿ ϕ2 = qα :

{ϕ, qα } =

∂ϕ . ∂pα

(8.14)

ç) Ôóíäàìåíòàëüíûå ñêîáêè Ïóàññîíà:

{pα , qβ } = δαβ ,

{pα , pβ } = {qα , qβ } = 0.

(8.15)

è) Òîæäåñòâî ßêîáè:

{ϕ1 , {ϕ2 , ϕ3 }} + {ϕ2 , {ϕ3 , ϕ1 }} + {ϕ3 , {ϕ1 , ϕ2 }} = 0.

(8.16)

Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f (p, q, t) èìååì:

df ∂f = + {H, f }, dt ∂t

H  ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà. 69

(8.17)

Òåîðåìà Ïóàññîíà: åñëè ôóíêöèè ϕ1 (p, q, t) è ϕ2 (p, q, t)  èíòåãðàëû äâèæåíèÿ (ϕ˙ 1 ≡ 0, ϕ˙ 2 ≡ 0), òî è ôóíêöèÿ ϕ3 = {ϕ1 , ϕ2 } òîæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ (ϕ˙ 3 ≡ 0). Ïðåîáðàçîâàíèå îò ïåðåìåííûõ p, q ê íîâûì ïåðåìåííûì

Pα = Pα (p, q, t),

(8.18)

Qα = Qα (p, q, t)

íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì, åñëè óðàâíåíèÿ äëÿ P , Q ñíîâà èìåþò âèä óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà

∂H0 dPα =− , dt ∂Qα

dQα ∂H0 = , dt ∂Pα

α = 1, . . . , s.

(8.19)

H0 6= H , åñëè P è Q ÿâíî çàâèñÿò îò âðåìåíè. Äëÿ âñÿêîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ, èç êîòîðîé îíî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîãóò áûòü çàäàíû êàê ôóíêöèè îäíîãî èç ÷åòûðåõ íàáîðîâ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ: qα , Qβ ;

qα , Pβ ;

pα , Qβ ;

(8.20)

pα , P β .

Ïóñòü, íàïðèìåð, F = F(qα ,Qβ ,t)  ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ â ïåðåìåííûõ qα ,Qβ . Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü [1], ÷òî

pα =

∂F , ∂qα

Pα = −

∂F , ∂Qα

H0 = H +

∂F . ∂t

(8.21)

Åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü F îò q è Q èçâåñòíà, òî ïåðåìåííûå Qα = Qα (p, q, t) íàõîäÿòñÿ èç s àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

pα =

∂F , ∂qα

(8.22)

α = 1, . . . , s,

∂F , â ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ (ïîñëå ∂Qα äèôôåðåíöèðîâàíèÿ) ïîäñòàâëÿþòñÿ íàéäåííûå âûøå ôóíêöèè Qα (p, q, t). Åñëè ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ çàäàíà â ïåðåìåííûõ qα , Pβ (Φ = Φ(q, P, t)), òî êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëåäóþò èç ñîîòíîøåíèé à Pα (p, q, t)  èç ñîîòíîøåíèé Pα = −

Qα =

∂Φ , ∂Pα

pα =

∂Φ , ∂qα

H0 = H +

∂Φ . ∂t

(8.23)

ßêîáèàí

¯ ¯ ¯ ∂(Q1 , . . . , Qs , P1 , . . . , Ps ) ¯ ¯=1 D ≡ ¯¯ ∂(q1 , . . . , qs , p1 , . . . , ps ) ¯ 70

(8.24)

äëÿ âñÿêîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñì. çàäà÷ó 8.27. Ñêîáêè Ïóàññîíà (8.7) èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé:

{ϕ1 , ϕ2 } ≡ {ϕ1 , ϕ2 }p,q = {ϕ1 , ϕ2 }P,Q .

(8.25)

 ÷àñòíîñòè (ñì. çàäà÷ó 8.26) :

{Pα , Qβ }p,q = δαβ , {Pα , Pβ }p,q = {Qα , Qβ }p,q = 0.

(8.26)

Íàðÿäó ñ ñóùåñòâîâàíèåì ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèé (8.26) ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì êàíîíè÷íîñòè ïðåîáðàçîâàíèé (8.18). Îäíî èç äîñòîèíñòâ ìåòîäà êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé: èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (8.19) ìîæåò áûòü ïðîùå (èëè ñîâñåì òðèâèàëüíûì), ÷åì èñõîäíûõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà (8.3).

Çàäà÷è ê ãëàâå 8 Çàäà÷à 8.1. Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ

ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè, â äåêàðòîâîé, öèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. Äëÿ ñëó÷àÿ äåêàðòîâîé ñèñòåìû ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðè ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ðåøåíèå . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà èñïîëüçóåì ñîîòíîøåíèå (8.2), çàìåíèâ â íåì îáîáù¼ííûå ñêîðîñòè q˙α íà èìïóëüñû pα ñ ïîìîùüþ (8.1). à)  äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ:

m 2 (x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 ) − mgz, 2 ∂L ∂L ∂L px = = mx, ˙ py = = my, ˙ pz = = mz. ˙ ∂ x˙ ∂ y˙ ∂ z˙ Òåïåðü ñ ïîìîùüþ (8.2), íàõîäèì: L(x, y, z, x, ˙ y, ˙ z) ˙ =

p2x + p2y + p2z H(x, y, z, px , py , pz ) = + mgz. 2m Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (8.3), ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ: py pz px p˙x = 0, p˙y = 0, p˙z = −mg, x˙ = , y˙ = , z˙ = . m m m Îáùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé èìååò âèä: px (t) = pox , py (t) = poy , pz (t) = poz − mgt, 71

p0x t p0y t t2 p0z t + x0 , y(t) = + y0 , z(t) = −g + + z0 . x(t) = m m 2 m Çäåñü ïîñòîÿííûå p0x , p0y , p0z , x0 , y0 , z0 îïðåäåëÿþò çíà÷åíèÿ èìïóëüñà è êîîðäèíàò â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. á)  öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ: m L(r, ϕ, z, r, ˙ ϕ, ˙ z) ˙ = (r˙ 2 + r2 ϕ˙ 2 + z˙ 2 ) − mgz, 2 ∂L ∂L ∂L pr = = mr, ˙ pϕ = = mr2 ϕ, ˙ pz = = mz. ˙ ∂ r˙ ∂ ϕ˙ à ∂ z˙ ! p2ϕ 1 2 H(r, ϕ, z, pr , pϕ , pz ) = pr + 2 + p2z + mgz. 2m r â)  ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ: m ˙ ϕ) L(r, ϑ, ϕ, r, ˙ ϑ, ˙ = (r˙ 2 + r2 ϑ˙ 2 + r2 sin2 ϑϕ˙ 2 ) − mgr cos ϑ, 2 ∂L ∂L ˙ pϕ = ∂L = mr2 sin2 ϑϕ, = mr2 ϑ, = mr, ˙ pϑ = ˙ ∂ r˙ ∂ ϕ˙ ∂ ϑ˙ ! à 2 2 pϕ p 1 p2r + ϑ2 + 2 2 + mgr cos ϑ. H(r, ϑ, ϕ, pr , pϑ , pϕ ) = 2m r r sin ϑ pr =

Çàäà÷à 8.2. Íàïèñàòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ

÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè, åñëè îíà äâèæåòñÿ à) ïî ïîâåðõíîñòè ãëàäêîé ñôåðû ðàäèóñà R = R(t); á) ïî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè êðóãîâîãî êîíóñà ñ óãëîì 2α ïðè âåðøèíå. Êîíóñ ðàñïîëîæåí âåðòèêàëüíî âåðøèíîé âíèç. Îòâåò :  îáîèõ ñëó÷àÿõÃèñïîëüçóåì!ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû.

p2ϕ 1 2 ˙ = pϑ , + mgR(t) cos ϑ; ϑ à) H = p + ϑ 2 2mR2 (t) mR2 (t) sin ϑ p2ϕ cos ϑ pϕ + mgR(t) sin ϑ , ϕ ˙ = , p˙ ϕ = 0. p˙ϑ = 2 (t) sin2 ϑ mR2 (t) sin3 ϑ Ã mR ! 2 p 1 ϕ á) ϑ = α; H = p2r + 2 2 + mgr cos α, 2m r sin α p2ϕ pr pϕ r˙ = , p˙r = − mg cos α, ϕ ˙ = , p˙ϕ = 0. 2 m mr3 sin α mr2 sin2 α

Çàäà÷à 8.3. Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àp

ñòèöû ñ ìàññîé ïîêîÿ m, åñëè å¼ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L = −mc2 1 − v 2 /c2 , ãäå c  ñêîðîñòü ñâåòà. Ïîêàçàòü, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå (v ¿ c) 72

ïîëó÷åííûé ãàìèëüòîíèàí ñîâïàäàåò ñ èçâåñòíûì êëàññè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Ðåøåíèå . Îïðåäåëèâ èìïóëüñ ÷àñòèöû â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.1)

p=

∂L mv , =p ∂v 1 − v 2 /c2

íàõîäèì ãàìèëüòîíèàí ñîãëàñíî (8.2):

H(p) = (p · v) − L(v) = p

mc2 1 − v 2 /c2

=c

p m2 c2 + p2 .

Ïðè v ¿ c âòîðîå ñëàãàåìîå ïîä êîðíåì çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ïåðâîãî. Îãðàíè÷èâàÿñü ñëàãàåìûì ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ìàëîãî ïàðàìåòðà (p2 /m2 c2 ) ¿ 1, ïîëó÷èì:

p2 H(p) = mc + , 2m ÷òî ñîâïàäàåò ñ íåðåëÿòèâèñòñêèì ãàìèëüòîíèàíîì ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî (íå çàâèñÿùåãî îò èìïóëüñà p) ñëàãàåìîãî mc2 . 2

Çàäà÷à 8.4. Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà è âûïèñàòü êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ àíãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà êîòîðîãî èìååò âèä:

x˙ 2 ω 2 x2 − − αx3 + βxx˙ 2 , 2 2 ãäå ω , α, β  ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû. p2 ω 2 x2 p Îòâåò : H(p,x) = + + αx3 , x˙ = , 2(1 + 2βx) 2 1 + 2βx βp2 p˙ = − ω 2 x − 3αx2 . 2 (1 + 2βx) L(x, x) ˙ =

Çàäà÷à 8.5. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, åñëè çàäàíà ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ÷àñòèöû:

p2 H(p, r) = − (p · a), ãäå a  ïîñòîÿííûé âåêòîð. 2m Îòâåò : L(r, r˙ ) =

m (˙r + a)2 . 2

Çàäà÷à 8.6. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íå èçìåíÿåòñÿ ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå (ïîâîðîòå) 73

ñèñòåìû êàê öåëîãî â ïðîñòðàíñòâå, òî ïîëíûé èìïóëüñ (ìîìåíò èìïóëüñà) ñèñòåìû ïðè äâèæåíèè ñîõðàíÿåòñÿ. Ðåøåíèå . à) Ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ñèñòåìû âñå ðàäèóñû âåêòîðû ÷àñòèö ïîëó÷àþò îäèíàêîâîå ïðèðàùåíèå: δri = ε, i = 1,. . . ,N . Ïðè ýòîì èçìåíåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà

à δH = H(r1 + ε, . . . , rN + ε) − H(r1 , . . . , rN ) =

ε·

N X ∂H i=1

∂ri

! ,

ñîãëàñíî óñëîâèþ, ðàâíî íóëþ.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà ε ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íóëþ ðàâíà âåêòîðíàÿ ñóììà N X ∂H i=1

∂ri

= 0,

à òàêæå å¼ äåêàðòîâû ñîñòàâëÿþùèå N X ∂H i=1

∂xi

=

N X ∂H i=1

=

∂yi

N X ∂H i=1

∂zi

(8.27)

= 0.

Ðàññìîòðèì òåïåðü âåêòîð èìïóëüñà âñåé ñèñòåìû:

P=

N X

N X pi = [i · pxi + j · pyi + k · pzi ]

i=1

i=1

è îïðåäåëèì åãî èçìåíåíèå âî âðåìåíè:

˙ = P

N X

[i · p˙xi + j · p˙yi + k · p˙zi ].

i=1

Ñîãëàñíî (8.3) è (8.27) èìååì

¸ N · X ∂H ∂H ∂H ˙ =− P i· +j· +k· = 0, ∂x ∂y ∂z i i i i=1 ÷òî îçíà÷àåò P = const. á) Ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïîâîðîòå ñèñòåìû íà óãîë δ ϕ âìåñòå ñ ðàäèóñàìè-âåêòîðàìè èçìåíÿþòñÿ è âåêòîðû èìïóëüñîâ:

δri = [δ ϕ × ri ],

δpi = [δ ϕ × pi ], i = 1, . . . , N. 74

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â âûðàæåíèå äëÿ âàðèàöèè ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà, ïîëó÷èì

Ã

δH =

δϕ ·

N ½· X ∂H i=1

∂ri

¸

·

× ri +

∂H × pi ∂pi

¸¾!

(8.28)

= 0.

Òåïåðü ðàññìîòðèì âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû:

L=

N X

[ri × pi ].

i=1

Âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ýòîé âåëè÷èíû è èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà (8.3), ïîëó÷èì:

L˙ =

N ½· X ∂H i=1

∂ri

¸ × ri

·

∂H + × pi ∂pi

¸¾ .

 ñîîòâåòñòâèè ñ (8.28) ýòî âûðàæåíèå îáðàùàåòñÿ â íîëü (ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà δ ϕ), ÷òî îçíà÷àåò L = const.

Çàäà÷à 8.7. Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà òÿæåëîãî ñèììåòðè÷íîãî âîë÷êà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé.  êà÷åñòâå îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò âûáðàòü óãëû Ýéëåðà ϕ, θ, ψ .

Ðåøåíèå . Èñïîëüçóåì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèììåòðè÷íîãî âîë÷êà â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè (l  ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ äî òî÷êè çàêðåïëåíèÿ, J1 = J2 6= J3  ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè):

¤ 1£ (J1 + ml2 )(ω12 + ω22 ) + J3 ω32 . 2 Òåïåðü âûðàçèì ñîñòàâëÿþùèå óãëîâîé ñêîðîñòè è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ÷åðåç óãëû Ýéëåðà [1, § 35, ñòð.143]: T =

˙ ω1 = θ,

ω2 = ϕ˙ sin θ,

˙ ω3 = ϕ˙ cos θ + ψ;

U = mgl cos θ,

è ïîäñòàâèì â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà:

J3 J1 + ml2 ˙2 ˙ 2 − mgl cos θ. (θ + ϕ˙ 2 sin2 θ) + (ϕ˙ cos θ + ψ) L= 2 2 Íàéä¼ì îáîáù¼ííûå èìïóëüñû: ¤ ∂L £ ˙ pϕ = = (J1 + ml2 ) sin2 θ + J3 cos2 θ ϕ˙ + J3 cos θψ; ∂ ϕ˙ 75

∂L ˙ pψ = ∂L = J3 (ϕ˙ cos θ + ψ). ˙ = (J1 + ml2 )θ; ˙ ˙ ∂θ ∂ψ Ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà: · ¸ p2ψ 1 (pϕ − pψ cos θ)2 2 H= p + + + mgl cos θ. 2(J1 + ml2 ) θ 2J3 sin2 θ pθ =

Çàäà÷à 8.8. Íàéòè ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ðàâíîìåðíî âðàùàþùåéñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω. Îòâåò : H =

p2 − (Ω · [r × p]) + U (r). 2m

Çàäà÷à 8.9. Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà ñèñòåìû

äâóõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïî çàêîíó Êóëîíà U (r) = α/r. Âûðàçèòü èõ ÷åðåç êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ R = (m1 r1 + m2 r2 )/M è îòíîñèòåëüíûå êîîðäèíàòû r = r1 − r2 , (M = m1 + m2 ).

˙ 2 m˙r2 MR α P2 p2 α Îòâåò : L = + − ;H= + + , çäåñü m = m1 m2 /M  2 2 r 2M 2m r ïðèâåäåííàÿ ìàññà ÷àñòèö.

Çàäà÷à 8.10. Âûïèñàòü óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà äëÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà

ìàññû m, åñëè îäíà èç ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè ïàðàëëåëüíà îñè âðàùåíèÿ è ïðîõîäèò íà ðàññòîÿíèè l îò íåå. Ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè ðàâåí J . Ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ ìàëûõ óãëîâ îòêëîíåíèÿ.

p2θ Îòâåò : H = − mgl cos θ; Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà: 2(J + ml2 ) pθ θ˙ = , p˙θ = −mgl sin θ ; J + ml2 Ðåøåíèå äëÿ θ ¿ 1 : θ = θ0 cos(ωt + α), mgl . pθ = −(J + ml2 )ωθ0 sin(ωt + α), ãäå ω 2 = J + ml2 p Çàäà÷à 8.11. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x,p,t) = x− t ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì m äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. p2 . Îïðåäåëÿÿ ïîëÐåøåíèå . Ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîé ÷àñòèöû H(x,p) = 2m íóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè ñîãëàñíî (8.17), ïîëó÷èì ∂f p p df = + {H, f } = − + = 0. Ñëåäîâàòåëüíî f (x, p, t) = const. dt ∂t m m 76

Çàäà÷à 8.12. Ïîêàçàòü, ÷òî êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå: p˙ i = {H, pi },

q˙i = {H, qi }.

Çàäà÷à 8.13. Äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ ñêîáêè Ïóàññîíà, ÷òî îáîáù¼ííûé èìïóëüñ pi åñòü èíòåãðàë äâèæåíèÿ, åñëè ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèè qi → qi0 = qi + δqi .

Çàäà÷à 8.14. Äîêàçàòü òîæäåñòâà:

à) {L, x} = {r, Lx } = [r × i], {L, y} = {r, Ly } = [r × j],

{L, z} = {r, Lz } = [r × k]; á) {L, px } = {p, Lx } = [p × i], {L, py } = {p, Ly } = [p × j],

{L, pz } = {p, Lz } = [p × k]; â) {L, Lx } = [L × i], {L, Ly } = [L × j], {L, Lz } = [L × k], ãäå r  ðàäèóñ-âåêòîð, p  èìïóëüñ, L  ìîìåíò èìïóëüñà ÷àñòèöû, i, j, k  åäèíè÷íûå îðòû äåêàðòîâà áàçèñà.

Çàäà÷à 8.15. Âû÷èñëèòü ñêîáêè Ïóàññîíà:

à) {p, r2 }; á) {p2 , r}; â) {p, (a · r)}; ã) {(a · p), r} ä) {Li , p2 }; å) {Li , r2 }; æ) {L, (r · p)}; ç) {(a · p), (b · r)}; ãäå a è b  ïîñòîÿííûå âåêòîðû. Îòâåò : à) 2r; á) 2p; â) a;

ã) a; ä) 0;

å) 0; æ) 0; ç) (a · b).

Çàäà÷à 8.16. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè ðàäèóñàâåêòîðà r è èìïóëüñà p,

ϕ(r, p) (8.29)

{L, ϕ(r, p)} = 0. Ðåøåíèå . Ðàçëîæèâ âåêòîð L ïî äåêàðòîâó áàçèñó

L = i · Lx + j · Ly + k · Lz è âîñïîëüçîâàâøèñü äèñòðèáóòèâíîñòüþ ñêîáîê Ïóàññîíà (8.10), ïîëó÷èì:

{L, ϕ(r, p)} = i{Lx , ϕ(r, p)} + j{Ly , ϕ(r, p)} + k {Ly , ϕ(r, p)} .

(8.30)

Ðàññìîòðèì îäíó èç òðåõ ñêîáîê Ïóàññîíà â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, íàïðèìåð,

{Lx , ϕ(r, p)} =

∂Lx ∂ϕ ∂Lx ∂ϕ ∂Lx ∂ϕ ∂Lx ∂ϕ · − · + · − · + ∂px ∂x ∂x ∂px ∂py ∂y ∂y ∂py 77

∂Lx ∂ϕ ∂Lx ∂ϕ · − · . ∂pz ∂z ∂z ∂pz  îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðîâ r è p ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò ñêàëÿðíàõ êîìáèíàöèé, ïîñòðîåííûõ èç ýòèõ âåêòîðîâ, r2 , p2 è (r · p), òàê ÷òî +

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = 2x + p , + x è ò.ä. = 2p x x ∂x ∂(r2 ) ∂(r · p) ∂px ∂(p2 ) ∂(r · p) Âîñïîëüçîâàâøèñü ýòèìè ñîîòíîøåíèÿìè è îïðåäåëÿÿ ïðîèçâîäíûå äëÿ ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà èç ÿâíîãî âûðàæåíèÿ Lx = ypz − zpy , ïîëó÷èì:

·

¸ · ¸ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ {Lx , ϕ(r, p)} = −z 2y + py − pz 2py +y ∂(r2 ) ∂(r · p) ∂(p2 ) ∂(r · p) · ¸ · ¸ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ +y 2z + pz + py 2pz +z = 0. ∂(r2 ) ∂(r · p) ∂(p2 ) ∂(r · p) Àíàëîãè÷íûé ðàñ÷¼ò ïðèâîäèò ê íóëåâîìó çíà÷åíèþ è äâóõ äðóãèõ ñêîáîê Ïóàññîíà â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (8.30), ÷òî îçíà÷àåò ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (8.29).

Çàäà÷à 8.17. Âû÷èñëèòü ñêîáêè Ïóàññîíà à){Lx , F(r,p)}; á){Ly , F(r,p)}; â){Lz , F(r,p)}, ãäå F(r,p)  ïðîèçâîëüíàÿ âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ r è p.

Îòâåò : à) [i × F]; á) [j × F]; â) [k × F], ãäå i, j, k  åäèíè÷íûå âåêòîðû äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.

Çàäà÷à 8.18. Çàïèñàòü êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, çàäàâàåìûå ïðîèçâîäÿùèìè ôóíêöèÿìè, çàâèñÿùèìè îò (ñì. ñîîòíîøåíèÿ (8.21), (8.23)): à) q , Q; á) q , P; â) p, Q; ã) p, P . Îòâåò :

∂F ∂F , Pα = − ; ∂qα ∂Qα ∂F ∂F á) F = F(q, P, t), pα = , Qα = ; ∂qα ∂Pα ∂F ∂F â) F = F(p, Q, t), qα = − , Pα = − ; ∂pα ∂Qα ∂F ∂F ã) F = F(p, P, t), qα = − , Qα = . ∂pα ∂Pα à) F = F(q, Q, t), pα =

78

(8.31) (8.32) (8.33) (8.34)

Âî âñåõ ñëó÷àÿõ H0 = H +

∂F . ∂t

Çàäà÷à 8.19. Âûÿñíèòü ñìûñë êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, çàäàâàåìûõ ïðîèçâîäÿùèìè X ôóíêöèÿìè: à) F(q, P) = qα Pα ; á) F(q, Q) = â) F(q, P) =

α X α X

qα Q α ; fα (q, t)Pα ;

α

fα -íåçàâèñèìûå ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. ∂F ∂F Ðåøåíèå . à) pα = = Pα , Qα = = qα , H0 = H  òîæäåñòâåííîå ∂qα ∂Pα ïðåîáðàçîâàíèå; ∂F ∂F á) pα = = Qα , Pα = − = −qα , H0 = H  ïåðåèìåíîâàíèå ∂qα ∂Qα êîîðäèíàò â èìïóëüñû è íàîáîðîò; X ∂fβ ∂F ∂F â) Qα = = fα (q, t), pα = = Pβ , ∂Pα ∂qα ∂qα β X ∂fα ∂F H0 = H + =H+ Pα  òî÷å÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå. ∂t ∂t α

Çàäà÷à 8.20. Íàéòè êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîèç-

âîäÿùåé ôóíêöèè F(q, P, t) = qP + (aq − bP)t, ãäå a, b  ïîñòîÿííûå. Íàïèñàòü è ïðîèíòåãðèðîâàòü íîâûå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà äëÿ ñëó÷àÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Ðåøåíèå . Èç (8.32), ïîëàãàÿ H =

p2 , íàõîäèì 2m

p2 + aq − bP. Q = q − bt, p = P + at, H = 2m 0

(P + at)2 + aQ − bP + abt. Âûðàçèì H ÷åðåç P è Q : H = 2m P + at Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà: P˙ = −a, Q˙ = − b. m P0 t Èõ ðåøåíèå: P = −at + P0 , Q = − bt + Q0 . m 0

0

Çàäà÷à 8.21. Ïðèìåíèòü êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, çàäàâàåìîå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé F =

mω 2 q ctg Q, ê ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà îäíîìåðíîãî 2 79

ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ìàññû m ñ ÷àñòîòîé ω . Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îñöèëëÿòîðà â íîâûõ ïåðåìåííûõ P, Q è ïðîèíòåãðèðîâàòü èõ. Çàïèñàòü çàòåì çàêîí äâèæåíèÿ q(t). Ðåøåíèå . Èç (8.31) íàõîäèì p = mωq ctg Q,

√

r

mωq 2 P = , è îòñþäà p = 2 sin2 Q

2 P sin Q. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ äëÿ p è q â mω p2 mω 2 q 2 ãàìèëüòîíèàí îñöèëëÿòîðà H = + ïîëó÷àåì íîâûé ãàìèëüòîíèàí 2m 2 H0 (P, Q) = ωP . Çàïèøåì òåïåðü óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà: Q˙ r = ω, P˙ = 0. Èõ 2 P0 sin[ω(t − ðåøåíèå Q = ω(t − t0 ), P = P0 . Îòñþäà ïîëó÷àåì q(t) = mω t0 )]. 2mωP cos Q, q =

Çàäà÷à 8.22. Íàéòè êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîèç-

m ω(t)q 2 ctg Q. Íàïèñàòü â íîâûõ ïåðåìåííûõ P , Q 2 óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðàñ ïåðåìåííîé ÷àñòîòîé ω(t). p √ Îòâåò : q = 2P/(mω) sin Q, p = 2mωP cos Q. ω˙ ω˙ Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Q˙ = ω + sin 2Q, P˙ = −P cos 2Q. 2ω ω Çàäà÷à 8.23. Ïðè êàêîì óñëîâèè ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå âîäÿùåé ôóíêöèè F1 =

Q = a11 q + a12 p P = a21 q + a22 p áóäåò êàíîíè÷åñêèì? Îïðåäåëèòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Íàéòè íîâûé ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîé ÷àñòèöû H0 (P, Q). Ðåøåíèå . Èç (8.26) íàõîäèì óñëîâèå êàíîíè÷íîñòè

a11 a22 − a12 a21 = 1. Ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ áóäåì èñêàòü, íàïðèìåð, â âèäå F(q, P). Äëÿ ýòîãî âûðàçèì p è Q ÷åðåç q è P :

P − a21 q q + a12 P , Q= , è, ó÷èòûâàÿ (8.32), íàõîäèì a22 a22 ¢ 1 ¡ F(q, P) = a12 P 2 + 2Pq − a21 q 2 2a22 Òåïåðü âûðàçèì p ÷åðåç Q è P : p = a11 P − a21 Q è ïîäñòàâèì ýòî â âûp2 ðàæåíèå äëÿ ãàìèëüòîíèàíà ñâîáîäíîé ÷àñòèöû H = . Ïîëó÷àåì íîâûé 2m 1 ãàìèëüòîíèàí H0 (P, Q) = (a11 P − a21 Q)2 . 2m

p=

80

Çàäà÷à 8.24. Íàïèñàòü ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè F2 (x, y, z, Pρ , Pϕ , Pz ) è F3 (px , py , pz , ρ, ϕ, z), ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷å÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ îò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ê öèëèíäðè÷åñêèì. Óêàçàíèå : Èñêàòü ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè â âèäå X F2 = Qα (x, y, z)Pα , α = ρ, ϕ, z, Qρ = ρ, Qϕ = ϕ, Qz = z; α

F3 = −

3 X

qi (ρ, ϕ, z)pi ,

q1 = x,

q2 = y,

q3 = z.

i=1

Îòâåò : F2 = Pρ

p

x x2 + y 2 + Pz z + Pϕ arctg , y F3 = −px ρ cos ϕ − py ρ sin ϕ − pz z.

Çàäà÷à 8.25. Íàïèñàòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ F2 (ρ, ϕ, z, Pr , Pθ , Pϕ ), çàäàþùóþ ïåðåõîä îò öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàò ê ñôåðè÷åñêèì.

Îòâåò : F2 = Pr

p

ρ2 + z 2 + Pθ arctg

ρ + Pϕ ϕ. z

Çàäà÷à 8.26. Äîêàçàòü èíâàðèàíòíîñòü ôóíäàìåíòàëüíûõ ñêîáîê Ïóàññîíà ïðè êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ (ñîòíîøåíèÿ (8.26)).

Ðåøåíèå . Ðàññìîòðèì ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò íîâîé îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòû Qα

Q˙ α (q, p) =

X ∂Qα β

∂qβ

q˙β +

∂Qα p˙β ∂pβ

è âûðàçèâ p˙ β èç óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà (8.3), ïîëó÷èì

Q˙ α =

X ∂Qα ∂H β

∂qβ ∂pβ

−

∂Qα ∂H . ∂pβ ∂qβ

(8.35)

Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ î÷åâèäíûìè ñîîòíîøåíèÿìè

∂H ∂Qγ X ˙ ∂Pγ ∂Qγ ∂H X ∂H ∂Pγ = + = Qγ − P˙ γ , ∂pβ ∂P ∂p ∂Q ∂p ∂p ∂p γ β γ β β β γ γ

(8.36)

∂H X ∂H ∂Pγ ∂H ∂Qγ X ˙ ∂Pγ ∂Qγ = + = Qγ − P˙ γ . ∂qβ ∂P ∂q ∂Q ∂q ∂q ∂q γ β γ β β β γ γ

(8.37)

81

Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà (8.19) äëÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ Q è P . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî H = H(q, p), òî åñòü íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, òàê ÷òî H0 = H. Ïîäñòàâèì (8.37) è (8.36) â (8.35):

Q˙ α =

X ∂Qα X µ β

∂qβ

γ

∂Pγ ∂Qγ Q˙ γ − P˙ γ ∂pβ ∂pβ

¶

−

β

Ïåðåãðóïïèðîâûâàÿ ñëàãàåìûå, ïîëó÷àåì

Q˙ α =

X

X ∂Qα X µ

{Pγ , Qα }p,q Q˙ γ +

γ

X

∂pβ

γ

∂Pγ ∂Qγ Q˙ γ − P˙ γ ∂qβ ∂qβ

¶

.

{Qα , Qγ }p,q P˙ γ .

γ

Èç íåçàâèñèìîñòè íàáîðà ïåðåìåííûõ Q, P (à ñëåäîâàòåëüíî è Q˙ , P˙ ) ñëåäóþò ïåðâîå è òðåòüå èç ñîîòíîøåíèé (8.26) äëÿ Q, P

{Pγ ,Qα }p,q = δγ,α ,

{Qα ,Qγ }p,q = 0.

Âòîðîå ñîîòíîøåíèå ïîëó÷àåòñÿ àíàëîãè÷íî ïðè âû÷èñëåíèè P˙ α . Àíàëîãè÷íûì æå îáðàçîì ìîæíî ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àÿ ÿâíîé çàâèñèìîñòè âåëè÷èí Q, P, H0 îò âðåìåíè.

Çàäà÷à 8.27. Äîêàçàòü, ÷òî ÿêîáèàí êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàâåí åäèíèöå.

Ðåøåíèå . Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå ñâîéñòâî ÿêîáèàíîâ, çàïèøåì èñõîäíûé ÿêîáèàí (8.24) â âèäå äðîáè:

∂(Q, P) ∂(Q, P) ∂(q, P) D= = , ∂(q, p) ∂(q, p) ∂(q, P) ãäå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû ° ° ° ° ∂Q1 ° ° ∂Q 1 ° ° ° 0 . . . 0 . . . ° ∂q1 ° ° ∂q s ° . . ° ° .. . . .. ° ° .. ° . . ... . . . ° ° ° ° ∂Qs ° ° ∂Q s ° ° ° . . . 0 . . . 0 ° ° ° ∂q ∂q ∂(Q, P) ° ∂(q, p) 1 s ° ° =° =° °, ∂P1 ° ∂P1 ° ∂(q, P) ∂(q, P) ° 1...0 ° ... ° ° ° ∂q1 ° ° ∂qs ° . . ° ° . . . . ° .. ° . . .. .. . . .. ° ° ° ° ° ∂Ps ° ° ∂P s ° ° ° . . . 0 . . . 1 ° ∂q ° ° ∂qs 1 82

1...0 .. . . .. . .. 0...1 0...0 .. . . .. . ..

0...0

∂q1 ∂q1 ... ∂P1 ∂Ps .. . . . . .. . ∂qs ∂qs ... ∂P1 ∂Ps ∂p1 ∂p1 ... ∂P1 ∂Ps .. . . . . .. . ∂ps ∂ps ... ∂P1 ∂Ps

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °. ° ° ° ° ° ° ° ° °

Âû÷èñëÿÿ ïåðâûé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíèì ñòîëáöàì, à âòîðîé ïî ïåðâûì, ïîëó÷àåì

° ° ° ° ∂(Q, P) ° =° ° ∂(q, P) ° ° °

∂Q1 ∂Q1 ... ∂q1 ∂qs .. . . . . .. . ∂Qs ∂Qs ... ∂q1 ∂qs

° ° ° ° ° °, ° ° ° °

° ° ° ° ° ∂(q, p) =° ∂(q, P) ° ° ° °

∂p1 ∂p1 ... ∂P1 ∂Ps .. . . . . .. . ∂ps ∂ps ... ∂P1 ∂Ps

° ° ° ° ° °. ° ° ° °

Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäíèå äâà ÿêîáèàíà ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ïóñòü F(q, P, t)  ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Òîãäà èç (8.32) ñëåäóåò

∂Qα ∂ = ∂qβ ∂qβ

µ

∂F ∂Pα

¶

∂ 2F ∂ = = ∂qβ ∂Pα ∂Pα

µ

∂F ∂qβ

¶ =

∂pβ , ∂Pα

òî åñòü ñòîëáöû îäíîãî îïðåäåëèòåëÿ ñîâïàäàþò ñî ñòðîêàìè äðóãîãî. Ýòî îçíà÷àåò ðàâåíñòâî ÿêîáèàíîâ, ñëåäîâàòåëüíî èõ îòíîøåíèå D = 1.

9 Ìåòîä Ãàìèëüòîíà-ßêîáè Íàðÿäó ñ óðàâíåíèÿìè Íüþòîíà, Ëàãðàíæà è Ãàìèëüòîíà, ñóùåñòâóåò åùå îäèí îáùèé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è î äâèæåíèè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ñóòü êîòîðîãî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïîïûòàåìñÿ íàéòè ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ (â ïåðåìåííûõ {qα ,Pβ }) òàêîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî â íîâûõ ïåðåìåííûõ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H0 òîæäåñòâåííî îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ñîãëàñíî (8.23) èñêîìàÿ ôóíêöèÿ F(q, P) óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ

H0 =

∂F + H = 0. ∂t

(9.1)

Çäåñü H = H(p, q, t), íî ñòàðûå èìïóëüñû pα , ñîãëàñíî (8.23), ñâÿçàíû ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé F ñîîòíîøåíèåì

pα =

∂F . ∂qα

(9.2)

∂F , ïîëó÷àåì äëÿ F(q, t) ∂qα äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà µ ¶ ∂F ∂F +H , qβ , t = 0. (9.3) ∂t ∂qα

Çàìåíÿÿ â (9.1) â ôóíêöèè H(p, q, t) èìïóëüñû pα íà

83

Åñëè ìû íàéä¼ì ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåå s (÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ) ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ γα , îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç Pα (òàêîå ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíûì èíòåãðàëîì), òî ìû ïîëó÷èì èñêîìóþ ôóíêöèþ F (q ,P ,t). Íîâûå êîîðäèíàòû Qα , ñîãëàñíî (8.23), ñâÿçàíû ñ F ñîîòíîøåíèåì

∂F = Qα , ∂Pα

(9.4)

α = 1, . . . , s.

Íî â íàøåì ñëó÷àå H0 = 0 ⇒ Q˙ α = 0 ⇒ Qα = const. Ïîýòîìó â ñîîòíîøåíèè (9.4) Pα è Qα åñòü íåçàâèñÿùèå îò t ïîñòîÿííûå è ýòè ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ qα , ðàçðåøèâ êîòîðûå íàéäåì (9.5)

qα = qα (t, Pα , Qα ). Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü ýòè ðåøåíèÿ â (9.2) , ïîëó÷èì

(9.6)

pα = pα (t, Pα , Qα ),

òî åñòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, ñîäåðæàùåå 2s ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ Pa , Qα . Ýòè ïîñòîÿííûå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç íà÷àëüíûå óñëîâèÿ p0 ≡ p(t = t0 ) è q0 ≡ q(t = t0 ). Ïîñêîëüêó äåéñòâèå S = S(q, t) , ðàññìàòðèâàåìîå êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè, òàêæå óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì (9.1) è (9.2), óðàâíåíèå (9.3) îáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå

µ ¶ ∂S(q, t) ∂S +H , qα , t = 0 ∂t ∂qα

(9.7)

è íàçûâàþò óðàâíåíèåì äëÿ äåéñòâèÿ èëè óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Íóæíî ïîìíèòü, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé çàäà÷è íóæíî íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (9.7) è âîñïîëüçîâàòüñÿ çàòåì ñîîòíîøåíèÿìè (9.2), (9.4), (9.5), (9.6). Äëÿ êîíñåðâàòèâíîé (H 6= H(t)) ñèñòåìû (9.8)

S(q, t) = S0 (q) − Et

è óðàâíåíèå (9.7) äëÿ óêîðî÷åííîãî äåéñòâèÿ ïîñëå ïîäñòàíîâêè (9.8) èìååò âèä

µ

∂S0 H , qα ∂qα

¶

(9.9)

= E. 84

Åñëè ïåðåìåííàÿ q1  öèêëè÷åñêàÿ, òî (1)

(9.10)

S0 (q1 , . . . , qs ) = γ1 q1 + S0 (q2 , . . . , qs ), γ1  ïîñòîÿííàÿ. Åñëè q1 è ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ïðîèçâîäíàÿ

µ

êîìáèíàöèè ϕ1

∂S0 âõîäÿò â H òîëüêî â âèäå ∂q1

¶ ∂S0 , íå ñîäåðæàùåé äðóãèõ ïåðåìåííûõ, òî q1 , ∂q1

S0 (q1 , . . . , qs ) = S1 (q1 ) + S00 (q2 , . . . , qs ),

(9.11)

ãäå S1 è S00 óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì

µ

ϕ1

∂S1 q1 , ∂q1

¶

(9.12)

= α1

 äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 1-ãî ïîðÿäêà, α1  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ è

µ

∂S00 ∂S00 , . . . , qs , , α1 H q2 , ∂q2 ∂qs

¶

 óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè S00

=E ñ

(s − 1)  ïåðåìåííûìè.

Çàäà÷è ê ãëàâå 9 Çàäà÷à 9.1. Ìåòîäîì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ îäíîìåðíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω . Ðåøåíèå . Ãàìèëüòîíèàí îñöèëëÿòîðà

H(x, p) =

p2 mω 2 2 + x. 2m 2

Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

1 2m

µ

∂S ∂x

¶2

mω 2 2 ∂S x + = 0. + 2 ∂t

(9.13)

Ïîëíûé èíòåãðàë èùåì â âèäå (9.14)

S = −Et + S0 (x).

Ïîäñòàâëÿåì (9.14) â (9.13) è ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ óêîðî÷åííîãî äåéñòâèÿ

S0 1 2m

µ

∂S0 ∂x

¶2 +

mω 2 2 x − E = 0, 2 85

ðåøèâ êîòîðîå, íàõîäèì ïîëíûé èíòåãðàë

Z p S = −Et + 2mE − (mωx)2 dx.

(9.15)

Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ E  îäíà èç ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå òèïà (9.4)

∂S = β, ∂E

(9.16)

èëè ïîñëå ïîäñòàíîâêè (9.15) â (9.16)

Z

−t +

m dx

p

2mE − (mωx)2

= β.

Èíòåãðàë ëåãêî áåðåòñÿ è ïîëó÷àåì çàêîí äâèæåíèÿ

r

x=

2E sin[ω(t + β)]. mω 2

Äèôôåðåíöèðóÿ (9.15) ïî x íàõîäèì èìïóëüñ

p=

∂S √ = 2mE cos[ω(t + β)]. ∂x

Çàäà÷à 9.2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äëÿ ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè. Íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ, à òàêæå çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû è å¼ òðàåêòîðèþ.

Ðåøåíèå . Â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ñ îñüþ z , íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî ââåðõ, ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà

¢ 1 ¡ 2 px + p2y + p2z + mgz, 2m à óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè èìååò âèä "µ ¶ µ ¶2 µ ¶2 # 2 ∂S 1 ∂S ∂S ∂S + + mgz = 0; + + ∂t 2m ∂x ∂y ∂z H=

(9.17)

âñå ïåðåìåííûå â ýòîì óðàâíåíèè ðàçäåëÿþòñÿ, êðîìå òîãî, ïåðåìåííûå x è y ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè. Òàêèì îáðàçîì ïîëíûé èíòåãðàë èìååò âèä (9.18)

S = −E0 t + γ1 x + γ2 y + W (z). Çäåñü γ1 =

∂S = px = const, γ2 = py = const. ∂x 86

Ïîäñòàâèì (9.18) â (9.17) è ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ W

"

1 p2x + p2y + 2m

µ

∂W ∂z

¶2 # + mgz = E0 ,

êîòîðîå ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ

W =−

¤ 1 £ 2 2 3/2 2m(E − mgz) − p − p . 0 x y 3m2 g

(9.19)

Ïîäñòàâèì (9.19) â (9.18) è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (9.4)

∂S px q = const = β1 = x + 2 2m(E0 − mgz) − p2x − p2y , ∂γ1 mg ∂S py q = const = β2 = y + 2 2m(E0 − mgz) − p2x − p2y , ∂γ2 mg 1 q ∂S = const = β3 = −t − 2m(E0 − mgz) − p2x − p2y . ∂E0 mg Ïåðâûå äâà èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîêàçûâàþò, ÷òî òðàåêòîðèåé ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà, à òðåòüå óðàâíåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêîí äâèæåíèÿ. Íàéä¼ì òàêæå êîìïîíåíòó pz êàê ôóíêöèþ êîîðäèíàò ∂S q pz = = 2m(E0 − mgz) − p2x − p2y . ∂z

Çàäà÷à 9.3. Íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè è çàêîí äâèæåíèÿ (â êâàäðàòóðå) ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíû l. Îòâåò : Ïîëíûé èíòåãðàë: S = −Et +

1 çàêîí äâèæåíèÿ: t − t0 = 2

Z p

Z s

2ml2 (E + mgl cos ϕ) dϕ ,

2ml2 dϕ. E + mgl cos ϕ

Çàäà÷à 9.4. Íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïî ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé óãîë α ñ ãîðèçîíòîì.

Óêàçàíèå : Âûáðàòü äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (x,y ) íà ïëîñêîñòè, íàïðàâèâ îñü y ïî ãîðèçîíòàëè. Îòâåò : S =-Et +p0y y +

¡ ¢3/2 1 2 2 2mE − p + 2m gx sin α . 0y 3m2 g sin α 87

b(θ) óðàâíår2 íèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äîïóñêàåò ðåøåíèå ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. Ðåøåíèå .  ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà èìååò âèä (ñì. àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó 8.1â) ! à 2 2 p 1 p b(θ) ϕ H= p2r + 2θ + 2 2 + a(r) + 2 . 2m r r r sin θ

Çàäà÷à 9.5. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïîòåíöèàëà âèäà U = a(r) +

Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè (9.9) äëÿ óêîðî÷åííîãî äåéñòâèÿ S0

1 2m

µ

∂S0 ∂r

¶2

1 + a(r) + 2mr2

"µ

∂S0 ∂θ

¶2

#

1 + 2mb(θ) + 2mr2 sin2 θ

µ

∂S0 ∂ϕ

¶2 = E.

Êîîðäèíàòà ϕ  öèêëè÷åñêàÿ, ñëåäîâàòåëüíî pϕ = const. Ïåðåïèøåì òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ H â âèäå

H = ϕ1 (r, pr ) = E. 1 2 1 pr + a(r) + ϕ2 (θ, pθ ). 2m 2mr2 p2ϕ 2 ϕ2 (θ, pθ ) = pθ + 2mb(θ) + = β = const. sin2 θ Òàêèì îáðàçîì, ïåðåìåííûå r è θ ðàçäåëÿþòñÿ è ñîãëàñíî (9.11), (9.12) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äëÿ S0 ìîæíî èñêàòü â âèäå ϕ1 (r, pr ) =

S0 = pϕ ϕ + S1 (r) + S2 (θ) (ñì. òàêæå [1, §48, ï.1] ).

Çàäà÷à 9.6. Íàïèñàòü ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè è

óðàâíåíèå òðàåêòîðèè â êâàäðàòóðàõ äëÿ äâèæåíèÿ çàðÿäà e â ïîëå íåïîäâèæíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ ñ ìîìåíòîì a íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò äèïîëÿ. Óêàçàíèå : Íàïðàâèòü îñü Z âäîëü âåêòîðà a è âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåøåíèåì ïðåäûäóùåé çàäà÷è. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàðÿäà â ýòîì ñëó÷àå ðàâe íà U (r) = 3 (a · r).

r

Îòâåò : Ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè èìååò âèä:

!1/2 Z µ ¶1/2 Z Ã 2 pϕ β dθ+ 2mE − 2 S = −Et+pϕ ϕ+ β − 2mea cos θ − dr. r sin2 θ 88

Òðàåêòîðèÿ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè:

Z

Ã

p2ϕ

!−1/2

∂S pϕ =ϕ− β − 2mea cos θ − dθ = ϕ0 ; ∂pϕ sin2 θ sin2 θ !−1/2 µ ¶−1/2 Z Ã Z 2 pϕ ∂S 1 1 1 β dθ − = β − 2mea cos θ − 2mE − 2 dr = B. ∂β 2 2 r2 r sin2 θ

10 Ãèäðîäèíàìèêà è îñíîâû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä  îòëè÷èå îò ìåõàíèêè ñèñòåìû ÷àñòèö, â ãèäðîäèíàìèêå æèäêîñòü èëè ãàç ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íåïðåðûâíàÿ ñïëîøíàÿ ñðåäà, ñîñòîÿíèå êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ñêîðîñòè v = v(r, t) è äâóõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, â êà÷åñòâå êîòîðûõ îáû÷íî âûáèðàþòñÿ ïëîòíîñòü ñðåäû ρ = ρ(r, t) è äàâëåíèå p = p(r, t). Ïîýòîìó ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ äîëæíà ñîäåðæàòü ïÿòü óðàâíåíèé. Îäíî èç íèõ  óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè

∂ρ + div ρv = 0, (10.1) ∂t âûðàæàþùåå çàêîí ñîõðàíåíèÿ âåùåñòâà. Æèäêîñòü ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíîé, åñëè â íåé îòñóòñòâóþò âíóòðåííåå òðåíèå (âÿçêîñòü) è òåïëîîáìåí ìåæäó ðàçëè÷íûìè ó÷àñòêàìè. Äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (àíàëîã óðàâíåíèÿ Íüþòîíà) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ýéëåðà : ∂v 1 + (v∇)v = − grad p + g, (10.2) ∂t ρ g  óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, åñëè ó÷èòûâàåòñÿ âëèÿíèå ñèë òÿæåñòè íà äâèæåíèå æèäêîñòè èëè ãàçà. Ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ óðàâíåíèÿ (10.2) : vn |S = 0, vn  íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ v íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ S . Ê ÷åòûðåì óðàâíåíèÿì (10.1), (10.2) â èäåàëüíîé æèäêîñòè äîáàâëÿåòñÿ óðàâíåíèå, âûðàæàþùåå ïîñòîÿíñòâî óäåëüíîé ýíòðîïèè s (ýíòðîïèè åäèíè÷íîé ìàññû) ïðè ïåðåìåùåíèè æèäêîñòè (àäèàáàòè÷åñêîå äâèæåíèå æèäêîñòè) ds = 0, (10.3) dt èëè, â çàïèñè ÷åðåç âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿ ê íåïîäâèæíûì â ïðîñòðàíñòâå òî÷êàì, ∂s + v∇s = 0. (10.4) ∂t 89

Ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (10.1), (10.2), (10.4) ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå óðàâíåíèé äëÿ ïîòîêîâ:

∂ρ + div j = 0, j = ρv  ïëîòíîñòü ïîòîêà æèäêîñòè, ∂t ∂(ρs) + div js = 0, js = ρsv  ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíòðîïèè, ∂t 3 ∂(ρvi ) X ∂Πik + = 0, ∂t ∂xk

(10.5) (10.6) (10.7)

k=1

Πik = pδik + ρvi vk  òåíçîð ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà (êîëè÷åñòâî i -òîé êîìïîíåíòû èìïóëüñà, ïðîòåêàþùåãî â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè xk ). ×àñòíûå ñëó÷àè äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè: 1. Èçýíòðîïè÷åñêîå äâèæåíèå: â íà÷àëüíûé ìîìåíò t = t0 ýíòðîïèÿ îäèíàêîâà âî âñåì îáúåìå æèäêîñòè.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (10.3) èìååò âèä (10.8)

s(p, ρ) = s0 = const, à (10.2) ìîæíî çàïèñàòü â äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìàõ

∂v + (v∇)v = −∇w ∂t èëè

(10.9)

µ ¶ ∂v v2 − [v × rot v] = −∇ w + . ∂t 2

(10.10)

Çäåñü w  òåïëîâàÿ ôóíêöèÿ (ýíòàëüïèÿ) åäèíèöû ìàññû æèäêîñòè. 2. Óðàâíåíèå ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ (ïîêîÿùàÿñÿ æèäêîñòü):

∇p = ρg. 3. Ñòàöèîíàðíîå òå÷åíèå æèäêîñòè

µ

¶

(10.11)

∂v =0 : ∂t

v2 + w + gz = const ≡ B (10.12) 2  óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè ( ëèíèè òîêà) æèäêîé ÷àñòèöû. Äëÿ ðàçíûõ òðàåêòîðèé êîíñòàíòû B  ðàçëè÷íû. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (ρ = const): v2 p + + gz = const. 2 ρ

(10.13) 90

4. Ïîòåíöèàëüíîå òå÷åíèå ( rot v = 0 âî âñåì îáúåìå æèäêîñòè): â ýòîì ñëó÷àå v = ∇φ, φ  ïîòåíöèàë ñêîðîñòè,

∂φ v 2 + + w + gz = f (t) ∂t 2  èíòåãðàë Êîøè, f (t)  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ¶ µ âðåìåíè. ∂φ Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïîòåíöèàëüíîãî òå÷åíèÿ =0 : ∂t

(10.14)

v2 + w + gz = const ≡ F, (10.15) 2 F  ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà âî âñåì îáúåìå æèäêîñòè. Óðàâíåíèå ïîòåíöèàëüíîãî òå÷åíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè : (10.16)

∆φ = 0. Ãðàíè÷íîå óñëîâèå:

¯ ¯ ¯ ∂φ ¯¯ ¯ =0 = v n ¯ ∂n ¯S S  íà ãðàíèöàõ S ñîïðèêîñíîâåíèÿ æèäêîñòè ñ íåïîäâèæíûìè òâåðäûìè ñòåíêàìè.

Âÿçêàÿ æèäêîñòü. Ïðè ó÷åòå ñèë âÿçêîñòè ê òåíçîðó Πik â (10.7) äîáàâëÿåòñÿ òåíçîð âÿçêîñòè σik :

Πik = Πik − σik , Ã ! X ∂vl ∂vi ∂vk 2 X ∂vl σik = η + − δik + ξδik , ∂xk ∂xi 3 ∂xl ∂xl

(10.17) (10.18)

l

l

η è ξ  êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè. Åñëè η è ξ ïîñòîÿííû â îáúåìå æèäêîñòè, òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (óðàâíåíèå Íàâüå - Ñòîêñà) èìååò âèä µ ¶ µ ¶ ∂v 1 ρ + (v∇)v = −∇p + ρg + η∆v + ξ + η grad div v. (10.19) ∂t 3 Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ãðàíè÷íîå óñëîâèå (óñëîâèå ïðèëèïàíèÿ): v|S = 0  íà íåïîäâèæíûõ òâåðäûõ ïîâåðõíîñòÿõ; äëÿ ïîâåðõíîñòè S , äâèæóùåéñÿ ñ çàäàííîé ñêîðîñòüþ v0 : v|S = v0 . 91

Ñèëà F, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè, ñîïðèêàñàþùåéñÿ ñ æèäêîñòüþ (n  åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè):

Fi = pni −

X

(10.20)

σik nk .

k

Çàäà÷è ê ãëàâå 10 Çàäà÷à 10.1. Öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä âìåñòå ñ íàõîäÿùåéñÿ â íåì íåñæèìàå-

ìàåìîé æèäêîñòüþ âðàùàåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè âîêðóã ñâîåé îñè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω. Âíåøíåå äàâëåíèå íà æèäêîñòü ðàâíî íóëþ. Ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ. Îïðåäåëèòü: 1) ïîëå äàâëåíèÿ; 2) äàâëåíèå íà äíå ñîñóäà, åñëè äàâëåíèå â öåíòðå äíà ðàâíî p0 ; 3) ôîðìó ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Çàäà÷ó ðåøèòü â äåêàðòîâûõ è öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. Ðåøåíèå . Ðàñïîëîæèì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòðå äíà ñîñóäà, îñü z íàïðàâèì ïî åãî îñè. Ñêîðîñòü æèäêîñòè â òî÷êå ñ ðàäèóñâåêòîðîì r åñòü v = [Ω × r]. Èñïîëüçóåì äåêàðòîâû êîîðäèíàòû. Òîãäà vx = −Ωy , vy = Ωx, vz = 0. Óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè (ïðîâåðüòå!), à óðàâíåíèå Ýéëåðà äàåò

1 ∂p = Ω2 x, ρ ∂x

1 ∂p = Ω2 y, ρ ∂y

1 ∂p = −g. ρ ∂z

Îòñþäà

1 p = ρΩ2 (x2 + y 2 ) − ρgz + p0 . (10.21) 2 Ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ íà äíå ñîñóäà ïîëó÷èì, ïîëîæèâ â (10.21) z = 0: 1 p = ρΩ2 (x2 + y 2 ) + p0 . (10.22) 2 Íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè p = 0. Ïîäñòàâëÿÿ (10.22) â (10.21), èìååì: p0 Ω2 2 (x + y 2 ) + , z= 2g ρg

(10.23)

òî åñòü ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîèäîì. Èç (10.22), (10.23) ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå â íåêîòîðîé òî÷êå äíà îïðåäåëÿåòñÿ âûñîòîé ñòîëáà æèäêîñòè íàä ýòîé òî÷êîé. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ r,ϕ,z ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå

v = Ωreϕ ,

∇ = er

∂ 1 ∂ ∂ + eϕ + ez . ∂r r ∂ϕ ∂z

92

∂

Ïîñêîëüêó eϕ = −er , òî (v∇)v = −Ω2 rer , òàê ÷òî èç óðàâíåíèÿ Ýéëåðà ∂ϕ ïîëó÷àåì

1 ∂p 1 ∂p = Ω2 r, = −g. ρ ∂r ρ ∂z Äàëüíåéøèé õîä ðåøåíèÿ àíàëîãè÷åí èçëîæåííîìó âûøå.

Çàäà÷à 10.2. Øàð ðàäèóñà a â îòñóòñòâèå ñèëû òÿæåñòè äâèæåòñÿ â íåîãðà-

íè÷åííîé íåñæèìàåìîé áåçâèõðåâîé æèäêîñòè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ U. Ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ. Îïðåäåëèòü ïîòåíöèàë φ ïîëÿ ñêîðîñòè, à òàêæå äàâëåíèå æèäêîñòè íà øàð. Äàâëåíèå âäàëè îò øàðà ðàâíî p∞ . Ðåøåíèå . Ñâÿæåì ñ øàðîì ñèñòåìó îòñ÷¼òà S 0 . Èñïîëüçóåì ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (r,ϑ,ϕ) ñ íà÷àëîì â öåíòðå øàðà è ïîëÿðíîé îñüþ, íàïðàâëåííîé ïî U.  ýòîì ñëó÷àå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ïîòåíöèàëà φ0 â ñèñòåìå S 0 áóäóò èìåòü âèä

¯ ∂φ ¯¯ = 0, ∂r ¯r=a

¯ ¯ φ0 ¯¯

= −U r cos ϑ.

(10.24)

r=∞

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî òå÷åíèå îáëàäàåò àçèìóòàëüíîé ñèììåòðèåé, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò φ0 ) ìîæíî èñêàòü â âèäå

φ0 = R(r)P (ϑ).

(10.25)

Ïîäñòàâëÿÿ (10.25) â óðàâíåíèå Ëàïëàñà

1 ∂ r2 ∂r

µ

∂φ0 r2 ∂r

¶

µ ¶ 1 ∂ ∂φ0 1 ∂ 2 φ0 + 2 sin ϑ + 2 2 =0 r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ2

è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì

d dr

µ

r

2 dR

dr µ

¶

(10.26)

− λR = 0,

1 d dP sin ϑ sin ϑ dϑ dϑ

¶ (10.27)

+ λP = 0,

ãäå λ  ïîñòîÿííàÿ ðàçäåëåíèÿ. Èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå (10.27) èìååò îäíîçíà÷íûå íåïðåðûâíûå ðåøåíèÿ ïðè λ = l(l +1), ãäå l = 0, 1, 2, . . . . Òàêèìè ðåøåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìû Ëåæàíäðà Pl (cos ϑ) (íàïðèìåð, P0 = 1, P1 = cos ϑ ). Èç (10.26) ïðè λ = l(l + 1) äëÿ ðàäèàëüíîé ôóíêöèè íàéäåì

Rl = Al rl + Bl r−l−1 , 93

ãäå Al è Bl  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå 0

φ =

∞ X

(Al rl + Bl r−l−1 )Pl (cos ϑ).

l=0

Èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè, èìååì

Al = −U δ1l ; èç óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè øàðà

Al lal−1 − Bl (l + 1)a−l−2 = 0, òàê ÷òî

U Bl = − a3 δ1l . 2 Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è îá îáòåêàíèè íåïîäâèæíîãî øàðà â âèäå a3 φ0 = −U (r + 2 ) cos ϑ. 2r Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ íà ïîâåðõíîñòè øàðà ðàâíà 3 v 0 |r=a = vϑ0 |r=a = U sin ϑ. 2

(10.28)

Èç (10.28) âèäíî, ÷òî ïðè ϑ = 0, π, v0 = 0. (Òàêèå òî÷êè íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè). Ïîñêîëüêó ïîòîê ïðè îáòåêàíèè øàðà ñòàöèîíàðåí, âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì Áåðíóëëè äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ p æèäêîñòè íà øàð

ρU 2 9 p∞ + = p + ρ U 2 sin2 ϑ, 2 8

ρU 2 9 p = p∞ + (1 − sin2 ϑ). 2 4

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î òå÷åíèè ïîêîÿùåéñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè æèäêîñòè ïîä äåéñòâèåì äâèæóùåãîñÿ øàðà, ïåðåéä¼ì â ñèñòåìó S , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ñêîðîñòü øàðà ðàâíà U. Îòíîñèòåëüíî S ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v = U+v0 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàë φ ñêîðîñòè v ñâÿçàí ñ ïîòåíöèàëîì φ0 ñîîòíîøåíèåì φ = Ur + φ0 , òî åñòü

a3 U cos ϑ φ=− . 2 r2

Çàäà÷à 10.3. Èç íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, çàïîëíÿþùåé âñå ïðîñòðàíñòâî,

âíåçàïíî óäàëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêèé îáúåì ðàäèóñà a. Îïðåäåëèòü âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî îáðàçîâàâøàÿñÿ ïîëîñòü çàïîëíèòñÿ æèäêîñòüþ. 94

Ðåøåíèå . Äâèæåíèå æèäêîñòè èìååò öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íûé õàðàêòåð, ñêîðîñòü íàïðàâëåíà ïî ðàäèóñó ê öåíòðó.

v = ver ,

v < 0.

Çàïèøåì óðàâíåíèå Ýéëåðà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:

∂v ∂v 1 ∂p +v =− ∂t ∂r ρ ∂r è óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè

(10.29)

1 d 2 (r v) = 0. r2 dr Èç (10.30) ñëåäóåò, ÷òî

(10.30)

r2 v = F (t),

(10.31)

ãäå F (t)  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè; ýòî ðàâåíñòâî âûðàæàåò ñîáîé òîò ôàêò, ÷òî â ñèëó íåñæèìàåìîñòè æèäêîñòè îáúåì, ïðîòåêàþùèé ÷åðåç ñôåðó ëþáîãî ðàäèóñà, íå çàâèñèò îò ïîñëåäíåãî. Ïîäñòàâëÿÿ v èç (10.31) â (10.29), èìååì

F 0 (t) ∂v 1 ∂p + v = − . r2 ∂r ρ ∂r Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå ïî r â ïðåäåëàõ îò áåñêîíå÷íîñòè äî ðàäèóñà R = R(t) 6 a çàïîëíÿþùåéñÿ ïîëîñòè, ïîëó÷èì: −

F 0 (t) V 2 p0 + = , R(t) 2 ρ

(10.32)

ãäå V = dR(t)/dt  ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ðàäèóñà ïîëîñòè, à p0  äàâëåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè; ñêîðîñòü æèäêîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè, à òàêæå äàâëåíèå íà ïîâåðõíîñòè ïîëîñòè ðàâíû íóëþ. Íàïèñàâ ñîîòíîøåíèå (10.31) äëÿ òî÷åê íà ïîâåðõíîñòè ïîëîñòè

F (t) = R2 (t)V (t),

è ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå äëÿ F (t) â (10.32), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå

p0 3V 2 1 dV 2 − R = . − 2 2 dR ρ  ýòîì óðàâíåíèè ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ è, èíòåãðèðóÿ åãî ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè V = 0 ïðè R = a (â íà÷àëüíûé ìîìåíò æèäêîñòü ïîêîèëàñü), íàéäåì

s

dR V = =− dt

2p0 3ρ 95

µ

¶ a3 −1 . R3

Îòñþäà èìååì äëÿ ïîëíîãî âðåìåíè çàïîëíåíèÿ ïîëîñòè:

r

τ=

3ρ 2p0

Z

a

dR

p

(a/R)3 − 1

0

.

Ýòîò èíòåãðàë ïðèâîäèòñÿ ê âèäó B -èíòåãðàëà Ýéëåðà è âû÷èñëåíèå äàåò îêîí÷àòåëüíî: s

τ=

r 3a2 ρπ Γ(5/6) ρ = 0.915a . 2p0 Γ(1/3) p0

Çàäà÷à 10.4. Íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü âûòåêàåò èç äîñòàòî÷íî øèðîêîãî îò-

êðûòîãî ñîñóäà âûñîòû h ÷åðåç ìàëîå îòâåðñòèå âáëèçè äíà. Íàéòè ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè èç îòâåðñòèÿ (ôîðìóëà Òîððè÷åëëè). Óêàçàíèå : Èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå Áåðíóëëè. (ßâëÿåòñÿ ëè èñòå÷åíèå æèäêîñòè ñòàöèîíàðíûì ïðîöåññîì è ïðèìåíèìî ëè óðàâíåíèå Áåðíóëëè â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå?) Îòâåò : v =

p

2gh.

Çàäà÷à 10.5. Öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ S íàïîëíåí âîäîé.  äíå ñîñóäà îòêðûëè îòâåðñòèå ïëîùàäüþ σ ¿ S . ×åðåç êàêîå âðåìÿ τ âñÿ âîäà âûòå÷åò èç ñîñóäà?

s

Îòâåò : τ =

S σ

2H . g

Çàäà÷à 10.6. ×åðåç êàêîå âðåìÿ íàïîëíèòñÿ âîäîé øàðîâàÿ êîëáà ðàäèóñà

R, åñëè â öåíòðå å¼ íèæíåãî îñíîâàíèÿ ñäåëàíî ìàëîå îòâåðñòèå ïëîùàäüþ σ ? Êîëáà ïîãðóæåíà â âîäó äî íèæíåãî îñíîâàíèÿ å¼ ãîðëûøêà. Ðåøåíèå . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè v âòåêàþùåé æèäêîñòè îò óðîâíÿ âîäû â êîëáå h èñïîëüçóåì óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè p0 v2 p0 + 2gR = + gh + ρ ρ 2 (ëåâàÿ ÷àñòü ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå íà ëèíèè òîêà íà ïîâåðõíîñòè ðåçåðâóàðà, ïðàâàÿ  òî÷êå â îòâåðñòèè), p v = 2g(2R − h) (10.33) Çà âðåìÿ dt óðîâåíü âîäû â êîëáå ïîäíèìåòñÿ íà âûñîòó

dh =

vσdt , S

(10.34) 96

£

¤

ãäå S = π R2 − (R − h)2 = π(2Rh − h2 )  ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âîäû â êîëáå ïðè óðîâíå h. Ïîäñòàâëÿÿ (10.33) â (10.34) è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì

π t= √ σ 2g

Z

2R 0

√ 16πR h 2r − h dh = 15σ

2

s R . g

Çàäà÷à 10.7. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ñòàöèîíàðíîãî èñòå÷åíèÿ íåñæèìàåìîé

æèäêîñòè ÷åðåç ìàëîå îòâåðñòèå âáëèçè äíà çàêðûòîãî ñîñóäà, åñëè æèäêîñòü íàõîäèòñÿ â ñîñóäå ïîä äàâëåíèåì p. Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå ðàâíî p0 , âûñîòà æèäêîñòè â ñîñóäå h, ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ.

s

2(p − p0 ) + 2gh. ρ

Îòâåò : v =

Çàäà÷à 10.8. Âû÷èñëèòü ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ñæàòîãî ãàçà èç áàëëîíà ÷åðåç

ìàëîå îòâåðñòèå. Òå÷åíèå ñ÷èòàòü óñòàíîâèâøèìñÿ. Ãàç ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ Ìåíäåëååâà-Êëàïåéðîíà. Äàâëåíèå ãàçà â ñîñóäå p, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 , òåìïåðàòóðà ãàçà âíóòðè ñîñóäà T , ìîëÿðíàÿ ìàññà µ, ïîêàçàòåëü àäèàáàòû ãàçà γ . Ñèëà òÿæåñòè îòñóòñòâóåò. Ðåøåíèå . Èç èíòåãðàëà Áåðíóëëè èìååì

v2 w1 = w2 + 2

(10.35)

(ëåâàÿ ÷àñòü (10.35) îòíîñèòñÿ ê òî÷êå íà ëèíèè òîêà âíóòðè áàëëîíà, â êîòîðîé v1 ' 0, ïðàâàÿ  ê òî÷êå ñíàðóæè âáëèçè îòâåðñòèÿ), òàê ÷òî

v=

p

(10.36)

2(w1 − w2 ).

Ýíòàëüïèÿ w , ïðèõîäÿùàÿñÿ íà åäèíèöó ìàññû (óäåëüíàÿ ýíòàëüïèÿ) ïî îïðåäåëåíèþ åñòü

p w =u+ . ρ

(10.37)

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (10.38)

u = cv T

(cv  óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå); óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ

p=ρ

RT µ

(10.39) 97

(R  ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ, µ  ìîëÿðíàÿ ìàññà). Ïîäñòàâëÿÿ (10.38),(10.39) â (10.37) è ó÷èòûâàÿ èçâåñòíîå èç òåðìîäèíàìèêè ñîîòíîøåíèå

cp − cv =

R , µ

ïîëó÷èì äëÿ óäåëüíîé ýíòàëüïèè (10.40)

w = cp T (cp  óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè; cp /cv = γ ). Ñ ó÷åòîì (10.40) íàõîäèì èç (10.36)

q

v=

2cp (T1 − T2 ).

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû T2 ãàçà â ñòðóå âíå áàëëîíà âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì àäèàáàòû (íàïîìíèì, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ äâèæåíèÿ ñïëîøíîé ñðåäû, ïðîèñõîäÿùèå áåç òåïëîîáìåíà)

pγ−1 /T γ = const. Äëÿ ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿ îêîí÷àòåëüíî èìååì

r

v=

i h γ−1 2 γ RT 1 − (p0 /p) γ . µγ − 1

Çàäà÷à 10.9. Ëåòàòåëüíûé àïïàðàò äâèæåòñÿ â èäåàëüíîì ãàçå ñî ñêîðîñòüþ

v .  êàêîé òî÷êå òåìïåðàòóðà ãàçà áóäåò ìàêñèìàëüíîé? Íàéòè ýòó òåìïåðàòóðó, åñëè òåìïåðàòóðà íåâîçìóùåííîãî ãàçà ðàâíà T∞ . Âûðàçèòü ðåçóëüòàò ÷åðåç ÷èñëî Ìàõà M = v/c ( c  ñêîðîñòü çâóêà). Ïîêàçàòåëü àäèàáàòû ãàçà γ. Îòâåò : Òåìïåðàòóðà áóäåò ìàêñèìàëüíîé â êðèòè÷åñêîé òî÷êå, (ò.å. â òî÷êå íà ïîâåðõíîñòè òåëà, â êîòîðîé ñêîðîñòü îáòåêàþùåãî ãàçà îáðàùàåòñÿ â íóëü, ñì. çàäà÷ó 10.2) µ ¶ M 2 (γ − 1) Tmax = T∞ 1 + . 2

Çàäà÷à 10.10. Íåñæèìàåìàÿ âÿçêàÿ æèäêîñòü ñòàöèîíàðíî äâèæåòñÿ ìåæ-

äó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, îäíà èç êîòîðûõ íåïîäâèæíà, à äðóãàÿ ïåðåäâèãàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëîñêîñòÿìè l. Ïåðåïàä äàâëåíèÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ òå÷åíèÿ îòñóòñòâóåò. Íàéòè ïîëÿ 98

ñêîðîñòè è äàâëåíèÿ è ñèëó, äåéñòâóþùóþ ñî ñòîðîíû æèäêîñòè íà åäèíèöó ïëîùàäè êàæäîé èç ïëîñêîñòåé. Ñèëîé òÿæåñòè ïðåíåáðå÷ü. ßâëÿåòñÿ ëè äàííîå òå÷åíèå ïîòåíöèàëüíûì?

u

Îòâåò : p = const; vx = y , (ïëîñêîñòü xz ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç ïëîñêîñòåé, l ìåæäó êîòîðûìè äâèæåòñÿ æèäêîñòü, îñü x íàïðàâëåíà âäîëü äâèæåíèÿ æèäêîñòè). Òå÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, òàê êàê

u rot v = − k 6= 0. l Êîìïîíåíòû ñèëû, äåéñòâóþùåé íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè íåïîäâèæu íîé ïëîñêîñòè: Fx = η , Fy = −p.

l

Çàäà÷à 10.11. Ñòàöèîíàðíûé ïîòîê íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè äâè-

æåòñÿ ìåæäó íåïîäâèæíûìè ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, íàõîäÿùèìèñÿ íà ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà. Âäîëü íàïðàâëåíèÿ òå÷åíèÿ ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííûé ïåðåïàä äàâëåíèÿ, ðàâíûé ∆p/L (L - äëèíà îòðåçêà, íà êîòîðîì äàâëåíèå èçìåíÿåòñÿ íà ∆p). Íàéòè ïîëÿ äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè. Ñèëîé òÿæåñòè ïðåíåáðå÷ü.

∆p 1 ∆p x, p0  äàâëåíèå íà ïëîñêîñòè x = 0; vx = y(l − y) L 2η L (êîîðäèíàòû âûáðàíû òàê æå, êàê â çàäà÷å 10.10).

Îòâåò : p = p0 −

Çàäà÷à 10.12. Íåñæèìàåìàÿ âÿçêàÿ æèäêîñòü â îòñóòñòâèå ñèë òÿæåñòè

äâèæåòñÿ ñòàöèîíàðíûì ïîòîêîì ïî öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå ðàäèóñà R. Ïåðåïàä äàâëåíèÿ íà åäèíèöó äëèíû òðóáû ïîñòîÿíåí è ðàâåí ∆p/L (L  äëèíà ó÷àñòêà òðóáû, íà êîòîðîì äàâëåíèå èçìåíÿåòñÿ íà ∆p ). Íàéòè ïîëÿ äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè, à òàêæå îáúåì æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáû. Ðåøåíèå . Íàïðàâèì îñü z âäîëü îñè òðóáû. Òîãäà v = (0, 0, vz ) è óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè

div v = 0 ïðèâîäèòñÿ ê âèäó

∂vz = 0, ∂z òî åñòü vz = vz (x, y) èëè, â ñèëó ñèììåòðèè çàäà÷è, vz = vz (r) , ãäå r  ðàññòîÿíèå äî îñè òðóáû. Çàïèøåì óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà (10.41)

ρ(v∇)v = −∇p + η∆v. 99

Òàê êàê

∂v ∂v ∂v ∂v + vy + vz = vz = 0, ∂x ∂y ∂z ∂z òî ïðîåêòèðóÿ (10.41) íà îñè x, y, z , ïîëó÷àåì (v∇)v = vx

∂p = 0, ∂x

∂p = 0, ∂y

∂p = η∆vz . ∂z

Èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî p = p(z) , òî åñòü â êàæäîì ñå÷åíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè òðóáû, äàâëåíèå ïîñòîÿííî.  òðåòüåì óðàâíåíèè ëåâàÿ ÷àñòü çàâèñèò òîëüêî îò z , à ïðàâàÿ  òîëüêî îò r. Ïîýòîìó ïðè ëþáûõ èçìåíåíèÿõ z è r äîëæíî áûòü

(

dp =C dz η∆vz = C

(10.42)

C = const.

Ðåøàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå, íàõîäèì

p = Cz + C1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç p0 äàâëåíèå â ïëîñêîñòè z = 0, à ÷åðåç p1 äàâëåíèå â ïëîñêîñòè z = L. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è p0 − p1 = ∆p. Íàõîäÿ îòñþäà ïîñòîÿííûå C è C1 , äëÿ ïîëÿ äàâëåíèÿ îêîí÷àòåëüíî èìååì

∆p z, L òî åñòü äàâëåíèå ëèíåéíî óìåíüøàåòñÿ â íàïðàâëåíèè òå÷åíèÿ æèäêî ñòè. Äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîãî óðàâíåíèÿ èç (10.42) p = p0 −

η∆vz = C, ãäå vz çàâèñèò òîëüêî îò r, âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì äëÿ ðàäèàëüíîé ÷àñòè îïåðàòîðà Ëàïëàñà â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ

1 ∂ ∆r = r ∂r Òîãäà

1 d r dr

µ

µ

d r vz dr

∂ r ∂r

¶ =

¶

. C . η

Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì

vz =

C 2 r + C2 ln(r) + C3 . 4η 100

Ïîñòîÿííóþ C2 ñëåäóåò ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, òàê êàê ñêîðîñòü äîëæíà áûòü îãðàíè÷åííîé âî âñåõ òî÷êàõ ïîòîêà, â ÷àñòíîñòè, îíà íå äîëæíà îáðàùàòüñÿ â áåñêîíå÷íîñòü ïðè r = 0. Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå âûøå çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé C ( C = −

∆p ) è íàõîäÿ C3 èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ L vz (R) = 0,

ïîëó÷èì

C3 =

R2 ∆p , 4η L

è ïîëå ñêîðîñòåé

∆p 2 (R − r2 ). 4ηL  åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ýëåìåíòàðíîå êîëüöåâîå ñå÷åíèå ïëîùàäüþ dS = 2πr dr ïðîòåêàåò îáúåì æèäêîñòè dV = vz dS . Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà vz è èíòåãðèðóÿ ïî r îò 0 äî R, ïîëó÷àåì îáúåì V æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáû Z R Z R ¢ ∆p ¡ 2 πR4 ∆p V = vz (r) dS = R − r2 2πr dr = 8η L 0 0 4ηL vz =

(ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ).

Çàäà÷à 10.13. Ðåøèòü ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó äëÿ òðóáû ñ êîëüöåâûì ñå÷åíèåì (âíåøíèé ðàäèóñ ðàâåí R, âíóòðåííèé  a ).

· ¸ 2 2 2 π ∆p (R − a ) Îòâåò : V = R4 − a4 − . 8η L ln(R/a)

Çàäà÷à 10.14. Äëèííûé öèëèíäð ðàäèóñà R1 ïåðåìåùàþò âäîëü åãî îñè ñ

ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v0 âíóòðè êîàêñèàëüíîãî ñ íèì íåïîäâèæíîãî öèëèíäðà ðàäèóñà R2 . Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó öèëèíäðàìè çàïîëíåíî æèäêîñòüþ ñ êîýôôèöèåíòîì âÿçêîñòè η . Íàéòè ñêîðîñòü æèäêîñòè â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ îò îñè öèëèíäðîâ. Ïåðåïàä äàâëåíèÿ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ îòñóòñòâóåò. Ðåøåíèå . Íàïðàâèì îñü z âäîëü îáùåé îñè êîàêñèàëüíûõ öèëèíäðîâ â ñòîðîíó ïåðåìåùåíèÿ âíóòðåííåãî öèëèíäðà. Òîãäà v = (0, 0, vz ). Ðàññóæäàÿ òàê æå, êàê ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 10.12 , èç óðàâíåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà ïîëó÷èì (ñì. ôîðìóëû (10.42) óêàçàííîé çàäà÷è)

(

dp =C dz η∆vz = C

C = const. 101

Ïî óñëîâèþ ðåøàåìîé çàäà÷è, ïåðåïàä äàâëåíèÿ âäîëü îñè z îòñóòñòâóåò, ïîýòîìó íàäî ïîëîæèòü C = 0. Òîãäà p = const, à ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ

∆vz = 0.  öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

1 d r dr

µ

d r vz dr

¶ = 0.

Îòñþäà

vz = C1 ln(r) + C2 . Îïðåäåëÿÿ C1 è C2 èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé

vz (R1 ) = v0 ,

vz (R2 ) = 0,

è ïîäñòàâëÿÿ èõ â âûðàæåíèå äëÿ vz , ïîëó÷èì

vz = v0

ln(r/R2 ) . ln(R1 /R2 )

Çàäà÷à 10.15. Âÿçêàÿ íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü çàêëþ÷åíà ìåæäó äâóìÿ êî-

àêñèàëüíûìè áåñêîíå÷íûìè öèëèíäðàìè, âðàùàþùèìèñÿ âîêðóã ñâîåé îñè ñ óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè Ω1 è Ω2 ; ðàäèóñû öèëèíäðîâ R1 è R2 ( R1 < R2 ). Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé è äàâëåíèÿ. Ñèëà òÿæåñòè îòñóòñòâóåò (òå÷åíèå Êóýòòà). Ðåøåíèå . Âûáåðåì öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû r, ϕ, z ñ îñüþ z ïî îñè öèëèíäðîâ. Èç ñèììåòðèè î÷åâèäíî, ÷òî

vz = vr = 0,

vϕ = v(r); p = p(r).

Óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ äàåò â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äâà óðàâíåíèÿ:

dp v2 =ρ , dr r

(10.43)

d2 v 1 dv v + − = 0. (10.44) dr2 r dr r2 Âòîðîå èç ýòèõ óðàâíåíèé èìååò ðåøåíèÿ òèïà rn ; ïîäñòàíîâêà ðåøåíèÿ â òàêîì âèäå äàåò n = ±1, òàê ÷òî b v = ar + . r 102

Ïîñòîÿííûå a è b íàõîäÿòñÿ èç ïðåäåëüíûõ óñëîâèé, ñîãëàñíî êîòîðûì ñêîðîñòü æèäêîñòè íà âíóòðåííåé è âíåøíåé öèëèíäðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ äîëæíà áûòü ðàâíà ñêîðîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî öèëèíäðà: v(R1 ) = R1 Ω1 , v(R2 ) = R2 Ω2 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé â âèäå

v=

Ω2 R22 − Ω1 R12 (Ω1 − Ω2 )R12 R22 1 r + . R22 − R12 R22 − R12 r

(10.45)

Ïðè Ω1 = Ω2 = Ω ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòî v = Ωr, òî åñòü æèäêîñòü âðàùàåòñÿ êàê öåëîå âìåñòå ñ öèëèíäðàìè. Ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç (10.45) è (10.43) ïðîñòûì èíòåãðèðîâàíèåì.

Çàäà÷à 10.16. Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ ñêîðîñòè çâóêà â èäåàëüíîì ãàçå ïðè

òåìïåðàòóðå T . Ãàç ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ Ìåíäåëååâà-Êëàïåéðîíà. Ïîêàçàòåëü àäèàáàòû ãàçà γ , ìîëÿðíàÿ ìàññà µ. Ðåøåíèå . Ñêîðîñòü çâóêà äàåòñÿ âûðàæåíèåì

µ

2

c =

∂p ∂ρ

¶

, s

ãäå ïðîèçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïðè ïîñòîÿííîé ýíòðîïèè â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè. Âû÷èñëèì å¼, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå àäèàáàòû äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà p/ργ = C :

p c2 = Cγργ−1 = γ . ρ Âûðàçèâ îòíîøåíèå p/ρ èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà, ìîæíî çàïèñàòü

RT . µ Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå c2 = γ

c2 = γ

103

kT m

(k  ïîñòîÿíàÿ Áîëüöìàíà, m  ìàññà ìîëåêóëû), èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü çâóêà â èäåàëüíîì ãàçå ïðèìåðíî ðàâíà ñðåäíåé òåïëîâîé ñêîðîñòè åãî ìîëåêóë.

104

Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà [1] Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèôøèö Å.Ì. Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà. - Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001.- Ò.1: Ìåõàíèêà.-216 ñ. [2] Îëüõîâñêèé È.È. Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè äëÿ ôèçèêîâ. - Ì.: Èçäâî Ìîñê. óí-òà, 1978. - 574 ñ. [3] Îëüõîâñêèé È.È.,Ïàâëåíêî Þ.Ã.,Êóçüìåíêîâ Ë.Ñ. Çàäà÷è ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ ôèçèêîâ. -Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1977. -395ñ. [4] Òåðëåöêèé ß.Ï. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. - Ì.: Èçä-âî óí-òà Äðóæáû íàðîäîâ, 1987. - 158 ñ. [5] Òåð Õààð Ä. Îñíîâû ãàìèëüòîíîâîé ìåõàíèêè. - Ì.: Íàóêà, 1974. - 224 ñ. [6] Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Ëåêöèè ïî àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå. - Ì.: Íàóêà, 1966. - 300 ñ. [7] Ãîëäñòåéí Ã. Êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. - Ì.:Íàóêà,1975. -416ñ. [8] Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèôøèö Å.Ì. Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà. - Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001. -Ò.6: Ãèäðîäèíàìèêà. -732 ñ. [9] Êîòêèí Ã.Ë., Ñåðáî Â.Ã. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Ì.:Íàóêà,1977. -320ñ. [10] Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê ëåêöèÿì ïî êóðñó Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà/ Ñîñòàâèòåëè: Â.Â. Âîëîâè÷, À.À. Êðûëîâåöêèé, À.Ã. Êðûëîâåöêèé. - Âîðîíåæ: ÂÃÓ, 1997. -48 ñ.

Ñîñòàâèòåëè: ïðîôåññîð Ìàíàêîâ Íèêîëàé Ëåîíèäîâè÷,

äîöåíò Íåêèïåëîâ Àëåêñàíäð Àðêàäüåâè÷, ïðîôåññîð Îâñÿííèêîâ Âèòàëèé Äìèòðèåâè÷

Ðåäàêòîð: Òèõîìèðîâà Îëüãà Àëåêñàíäðîâíà