1.8. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Производны е и дифференциалы вы сших порядков Конт рольны е в...
7 downloads
196 Views
254KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
1.8. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Производны е и дифференциалы вы сших порядков Конт рольны е вопросы и примеры 1. Какая функция называется дифференцируемой в данной точке? 2. Как формируется необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в данной точке? 3. Дайте определение дифференциала. 4. Каков геометрический смысл дифференциала? 5. Найдите приращение Dy и дифференциал dy функции y = 3 x 2 - x при x=1 и Dx=0,1. 6. Какое соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью функции. 7. Нарисуйте несколько графиков функций, которые непрерывны на [a; b] и не дифференцируемы на (a; b). 8. В чем состоит свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка? 9. Будет ли инвариантна форма второго дифференциала? 10. Как находится вторая производная от функции, заданной параметрически? ( n ) 11. Запишите формулу Лейбница для производной nго порядка ( u × v ) . Запишите
эту формулу при n=3, n=4. Примеры и задачи с решениями 1. Найти дифференциалы следующих функций: 1) y =
x ; 1 - x
2) y = x ln x - x .
Решение. 1) dy =
dx (1 - x ) - xd (1 - x )
(1 - x )
2
=
dx - xdx + xdx
(1 - x )
2
=
dx
(1 - x) 2
.
2) dy = d ( x ln x ) - dx = dx × ln x + xd ln x - dx = ln x × dx + x ×
dx - dx = ln x × dx . x
2. Найти дифференциал функции, заданной неявно: 2 x 2 - 2 xy - y 2 = c 2 ( c = const ) . Решение. Приравниваем дифференциалы обеих частей равенства 2 × 2 xdx - 2 (dxy + xdy ) - 2 ydy = 0
4 xdx - 2 ydx - 2 xdy - 2 ydy = 0
2 xdx - ydx - xdy - ydy = 0 xdy + ydy = 2 xdx - ydx
( x + y dy ) = (2 x - y dx ) dy =
2 x - y dx , x + y
где x и y связаны соотношением 2 x 2 - 2 xy - y 2 = c 2 . 3. Найти y ¢¢ от функции y = sin 3 x . ¢ Решение. y ¢ = 3 sin 2 x ( sin x ) = 3 sin 2 x × cos x ¢ ¢ ¢ æ ¢ö y ¢¢ = ( y ¢) = ( 3 sin 2 x × cos x ) = 3 ç ( sin 2 x ) cos x + sin 2 x × ( cos x ) ÷ = è ø ¢ = 3 æçè 2 sin x ( sin x ) cos x - sin 2 x × sin x ö÷ø = 3 2 ( sin x cos 2 x - sin 3 x ) = 3 sin x ( 2 cos 2 x - sin 2 x) =
= 3 sin x ( 2 cos 2 x - 1 + cos 2 x ) = 3 sin x ( 3 cos 2 - 1 ) .
4. Найти производную n го порядка от функций: 2) y = x 4 .
1) y = sin 2 x ; Решение. 1) y = sin 2 x = 2 0 × sin 2 x y ¢ = 2 cos 2 x = 2 1 × cos 2 x y ¢¢ = -4 sin 2 x = -2 2 × sin 2 x y ¢¢¢ = -8 cos 2 x = -2 3 × cos 2 x y IV = 2 4 × sin 2 x .
Далее закономерность сохраняется. Очевидно, что: если n=2m (четное), то y ( 2 m ) = ( - 1 ) × 2 2 m × sin 2 x (m=0, 1, 2,¼); m
если n=2m+1 (нечетное), то y ( 2 m +1 ) = ( - 1 ) × 2 2 m +1 × cos 2 x (m=0, 1, 2,¼). m
2) y = x 4 y ¢ = 4 x 3 y ¢¢ = 12 x 2 y ¢¢¢ = 24 x
y IV = 24 y ( n ) = 0 при n³5.
5. Найти y xx ¢¢ для функции, заданной параметрически ì x = ln t t>0. í 3 î y = t
Решение. Ранее в примере 1 (параграф 1.6.) было найдено ì y x ¢ = 3 t 3 t>0. í î x = ln t
Используя формулу для второй производной, получаем: y xx ¢¢ =
( y ¢ )¢ x
x t ¢
t
(3 t 3 ) ¢
9 t 2 = = = 9 t 3 . ¢ 1 æ ö ( ln t ) ç ÷ è t ø
ì y ¢¢xx = 9 t 3 Ответ: í (t>0). î x = ln t
6. Найти d 3 z , если z = x 2 × e - x . Решение. dz = d ( x 2 )e - x + x 2 d ( e - x ) = 2 xdx × e - x + x 2 ( - e - x ) dx = e - x ( 2 x - x 2 ) dx
¢ d 2 z = d ( dz ) = e - x ( 2 x - x 2 ) dx 2 = - e - x ( 2 x - x 2 ) + e - x (2 - 2 x ) dx 2 =
(
)
[
]
= e - x [- 2 x + x 2 + 2 - 2 x dx ] 2 = e - x ( x 2 - 4 x + 2 )dx 2 . ¢ d 3 z = d ( d 2 z ) = d e - x ( x 2 - 4 x + 2 )dx 2 = e - x ( x 2 - 4 x + 2 ) dx 3 = - e - x ( x 2 - 4 x + 2 ) + e - x ( 2 x - 4) dx 3 =
[
] [
]
[
= e - x [ - x 2 + 4 x - 2 + 2 x - 4 ]dx 3 = e - x ( - x 2 + 6 x - 6 ) dx 3 .
1.9. Основны е теоремы о дифференцируемы х функциях. Раскры тие неопределенностей. Правило Лопиталя Конт рольны е вопросы и примеры
]
1. Сформулируйте теорему Ролля. Почему нельзя снять условие дифференцируемости f(x) на (a, b) хотя бы в одной точке? Приведите свой пример функции, когда условие дифференцируемости нарушено в одной точке, и теорема Ролля оказывается неверной. 2. Можно ли в теореме Ролля заменить условие непрерывности f(x) на [a, b] на непрерывность в (a, b)? Приведите свой соответствующий пример. 3. С помощью теоремы Лагранжа докажите теорему: если функция имеет в (a, b) производную, равную нулю, то она постоянна на (a, b). 4. Что "быстрее" растет при x®+¥ x
e 100 или x 100 ? Сформулируйте в точных терминах соответствующее утверждение. 5. Какие виды неопределенностей Вы знаете?
Задачи и примеры с решениями 1. Найти следующие пределы x - tg x x 3 1) lim 3 ; 2) lim x ; 3) lim x 2 × ln x ; x ® 0 x ®+¥ e x ® +0 x
sin x
æ 1 ö 4) lim ç ÷ x ®+0 è x ø
2 x -1
æ x + 2 ö ; 5) lim ç ÷ x ®+¥ è x + 4 ø
Решение. 1) Используя трижды правило Лопиталя, получаем
( x - tgx ) ¢ x - tg x lim = lim x ( x ) ¢ x ® 0
3
x ® 0
3
1 1 cos 2 x - 1 1 cos 2 x - 1 cos 2 x = lim = lim 2 lim = 2 = x ® 0 x ® 0 cos x - 3 x 3 x ®0 3 x 2 x 2
¢ ¢ 2 1 ( cos x - 1 ) 1 2 cos x ( - sin x ) 1 sin 2 x 1 ( sin 2 x ) = lim = lim = - lim = - lim = 3 x ®0 3 x ® 0 2 x 6 x ®0 x 6 x ® 0 x ¢ ( x 2 ) ¢ 1 2 cos 2 x 1 = - lim = - . 6 x ® 0 1 3
x 3 3 x 2 6 x 6 2) lim x = lim x = lim x = lim x = 0 . x ®+¥ e x ®+¥ e x ®+¥ e x ®+¥ e æ 1 ö ç ÷ ln x 1 x 3) lim x 2 × ln x = lim = lim è ø = - lim x 2 = 0 . x ® +0 x ® +0 æ 1 ö x ® +0 æ 2 ö 2 x ®+0 ç 2 ÷ ç - 3 ÷ è x ø è x ø sin x
æ 1 ö 4) lim ç ÷ x ®+0 è x ø
. Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида (¥ 0 ). Раскрываем ее lim ln f ( x )
с помощью формулы lim f ( x ) = lim e ln f ( x ) = e
x ® 0
x ® 0
æ 1 ö lim ç ÷ x ®+0 è x ø
sin x
æ 1 ö ln ç ÷ è x ø
sin x
= lim e
= e
= e
lim
æ 1 ö lim sin x ln ç ÷ è x ø x ® +0
= e
x ®+0
æ 1 ö ç ÷ è x ø - lim 1 x ® +0 æ ö ç - 2 ×cos x ÷ è sin x ø
x ® 0
sin 2 x x
x ® +0
= e
lim
. - lim
- lim sin x ln x
= e
sin x ×sin x x
x ® +0
x ® +0
= e
lim sin x
x ® + 0
ln x 1 ö ç ÷ è sin x ø
x ® + 0 æ
= e
=
= e 0 = 1.
2 x -1
æ x + 2 ö 5) lim ç ÷ x ®+¥ è x + 4 ø Так как
.
x + 2 ¾¾¾® 1 и ( 2 x - 1 ) ¾x¾ ¾® +¥ , то мы имеем дело с ®+¥ x + 4 x®+¥
неопределенностью вида (1¥ ). æ x + 2 ö A = lim ç ÷ x ®+¥ è x + 4 ø
2 x -1
x + 2 ö æ = lim ç 1 + - 1 ÷ x ®+¥ è x + 4 ø
2 x -1
( - 2 ) ö æ = lim ç 1 + ÷ x ®+¥ è x + 4 ø
2 x - 1
æ ö ç 1 ÷ ÷ = lim ç 1 + x + 4 ÷ x ®+¥ ç ç ÷ ( - 2 ) ø è
2 x - 1
.
Введем новую переменную y =
x + 4 , ( - 2 )
откуда x = -2 y - 4 . Тогда æ 1 ö A = lim ç 1 + ÷ y ®-¥ è y ø
2 ( -2 y - 4 ) -1
y é æ 1 ö ù = ê lim ç 1 + ÷ ú y ø úû êë y ®-¥è
-4
æ 1 ö = lim ç 1 + ÷ y ®-¥ è y ø
é æ 1 ö ù × ê lim ç 1 + ÷ ú y ø û ë y ®-¥è
-4 y - 9
y éæ 1 ö ù = lim êç 1 + ÷ ú y ®-¥ è y ø úû êë
-9
= e - 4 × 1 = e - 4 =
-4
æ 1 ö × ç 1 + ÷ è y ø
- 9
1 . e 4 y
æ 1 ö Здесь используется второй "замечательный" предел lim çç1 + ÷÷ = e . y® ¥ y ø è
=
Задачи и примеры без решений С помощью правила Лопиталя найти следующие пределы: x 2 - 4 x + 3 1) lim x ®1 x 2 - 1
Ответ: 1
x x ®+¥ ln x
Ответ: +¥
3) lim
x cos x - sin x x ® 0 x 3
Ответ: -
tg x - sin x 4) lim x ® 0 x - sin x
Ответ: 3
5) lim x x
Ответ: 1
2) lim
x ®+0
3 x -1
æ x - 1 ö 6) lim ç ÷ x ®¥ è x + 2 ø
Ответ:
1 3
1 e 9
1.10. Формула Тейлора. Формула Маклорена Конт рольны е вопросы и примеры 1. Выведите формулу Маклорена для f ( x ) = cos x . 2. Используя формулу Маклорена для f ( x ) = cos x , получите формулу Маклорена для функций f ( x ) = cos2 x ; f ( x ) = sin 2 x . Задачи и примеры с решениями 1. Разложить функцию f ( x ) = ln x по степеням (x1) до члена порядка n=2. Решение. f ( x ) = ln x f ¢ ( x ) =
1 x
f ¢¢ ( x ) = -
f ( 1 ) = 0 f ¢ ( 1 ) = 1
1 x 2
f ¢¢ ( 1 ) = - 1
ln x = 0 +
1 1 ( x - 1 ) - ( x - 1 ) 2 + o ( x - 1 ) 2 1 ! 2 !
(
ln x = ( x - 1 ) -
( x - 1) 2 2
(
2
)
)
+ o ( x - 1 ) .
2. Записать формулу Маклорена для f ( x ) = 1 + x
до члена порядка n=3. Решение. Подставим функцию f(x) в виде 1
f ( x ) = 1 + x = (1 + x ) 2 . a
Используем формулу Маклорена для функции f ( x ) = (1 + x ) : a
f ( x ) = (1 + x ) = 1 + ax +
При a =
a (a - 1 ) 2 !
x 2 +
a (a - 1 )(a - 2 ) 3 !
x 3 + o ( x 3 ) .
1 получаем 2
1 æ 1 ö 1 æ 1 ö æ 1 ö ç - 1 ÷ ç - 1 ÷ ç - 2 ÷ x 2 è 2 ø 2 2 è 2 ø è 2 ø 3 1 1 3 1 + x = 1 + + x + x + o ( x 3 ) = 1 + x - x 2 + x 3 + o ( x 3 ) . 2 2 6 2 8 16
3. Записать формулу Маклорена для f ( x ) = e sin x с учетом членов до порядка n=3. Решение. Запишем функцию f ( x ) = e sin x в виде f ( x ) = e u , где u = sin x . Для e u имеем u 2 u 3 e = 1 + u + + + o ( u 3 ) 2 6 u
(*)
Для y = sin x имеем x 3 sin x = x + o ( x 3 ) . 6 Подставляя последнее выражение в формулу (*), получаем 2
sin x
e
3
æ ö 1 æ ö ö x 3 x 3 1 æ x 3 = 1 + ç x + o ( x 3 )÷ + ç x + o ( x 3 )÷ + ç x + o ( x 3 )÷ + o ( sin 3 x ) . 6 6 6 è 6 è ø 2 è ø ø
Поскольку sin x ~ x , имеем o ( sin 3 x ) = o ( x 3 ) . Удерживая члены до порядка n=3, получаем sin x
e
x 3 x 2 1 3 x 2 3 = 1 + x + + x + o ( x ) = 1 + x + + o ( x 3 ) . 6 2 6 2
4. С помощью формулы Маклорена найти предел x cos x - sin x x® 0 x 2 sin x
A = lim
с остаточным членом в форме Пеано. Решение. Запишем разложение Маклорена с остаточным членом в форме Пеано для y = sin x и y = cos x , удерживая члены до порядка n=3 x 2 cos x = 1 + o ( x 3 ) 2 x 3 sin x = x + o ( x 3 ) . 6 Подставляя эти разложения в исходный предел, получаем
A = lim x ® 0
æ ö æ ö x 2 x 3 3 x ç 1 + o ( x )÷ - ç x + o ( x 3 )÷ 2 6 è ø è ø æ ö x 3 x ç x + o ( x 3 )÷ 6 è ø 2
x 3 x 3 x - x + + o ( x 3 ) 2 6 = lim = x® 0 x 3 + o ( x 3 )
1 1 - x 3 + o ( x 3 ) - x 3 1 = lim 3 3 = lim 3 3 = - . 3 x ® 0 x ® 0 3 x x + o ( x )
1.11. Исследование поведения функции с помощью производны х Конт рольны е вопросы и примеры 1. Сформулируйте определение максимума (минимума) функции. 2. С помощью определения максимума (минимума) функции найдите точки экстремума функции y = x ; y = - x 2 . Определите тип экстремума. 3. С помощью определения экстремума функции доказать, что точка x=0 не является точкой экстремума функции y = x 3 . 4. Приведите три примера функций, для которых критическая точка не является точкой экстремума. 5. Сформулируйте условия возрастания (убывания) функции.
6. Сформулируйте необходимое условие экстремума. 7. Сформулируйте достаточное условие экстремума, основанное на первой производной. 8. Сформулируйте достаточное условие экстремума, основанное на второй производной. 9. Сформулируйте условие выпуклости (вогнутости) кривой. 10. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на [a, b]? Всегда ли существуют эти значения? 11. Как найти вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?
Задачи и примеры с решениями 1. Исследовать функцию f ( x ) =
ln x x
и построить ее график. Решение. 1. Область определения функции задается неравенством x>0, т.е. E = (0; ¥ ) . 2. Функция не является четной или нечетной, так как область определения E = (0; ¥ ) не обладает свойством симметрии.
3. Функция не является периодической. 4. Очевидно, что если y=0, т.е.
ln x = 0 , то ln x = 0 , т.е. x=1. Поэтому с осью OX x
график пересекается в точке x=1. С осью OYграфик не пересекается, так как функция не определена при x=0. 5. Находим интервалы знакопостоянства функции. Функция может изменить знак лишь при переходе через точки, в которых она равна нулю или терпит разрыв. Поэтому данная функция может изменить знак лишь при переходе через точку x0=1. Эта точка разбивает интервал (0, ¥) на два интервала: (0, 1) и (1, ¥). Знак функции в каждом интервале определяем методом контрольных точек. Например, æ 1 ö f ç 2 ÷ = è e ø
æ 1 ö ln ç 2 ÷ è e ø 1 e 2
f ( e ) = 2
=
- 2 = -2 e < 0 ; 1 e
ln ( e 2 ) e 2
=
2 > 0 . e
Результаты сводим в таблицу 1.11.1. Таблица 1.11.1 x f(x)
(0, 1)
1 0
(1, ¥)
+
Замечание. В данном примере интервалы знакопостоянства можно установить по другому. Знак выражения f ( x ) =
ln x совпадает со знаком ln x , так как x > 0 . Поэтому x
f(x)>0 при ln x > 0 , т.е. x>1, и
f(x)<0 при 0<x<1.
6. Вертикальной асимптотой графика является прямая x=0, так как ln x = -¥ . x ®+0 x
lim f ( x ) = lim
x ®+0
Находим наклонные асимптоты. Для этого находим коэффициенты k и b. При нахождении пределов используется правило Лопиталя. 1 ( ln x ) ¢ f ( x ) ln x 2 1 k = lim = lim = lim = lim x = lim = 0; ¢ x ®+¥ 3 1 2 3 x®+¥ x x x ®+¥ x ®+¥ x x x ®+¥ x æ 2 3 ö x ç x ÷ 2 è ø 1 ¢ ( ln x ) ln x 1 x b = lim ( f ( x ) - kx ) = lim f ( x ) = lim = lim = lim = 2 lim = 0 . ¢ x ®+¥ 1 x ®+¥ x ®+¥ x ®+¥ x®+¥ x x x ®+¥ x 2 x
( )
Таким образом, прямая y = kx + b , т.е. y=0 есть правая наклонная (в данном случае горизонтальная) асимптота. 7. Определяем интервалы монотонности функции, а также точки экстремума. Находим производную 1 1 1 x - ln x × 1 ln x 2 - ln x æ ln x ö x 2 x 2 f ¢ ( x ) = ç = = . ÷ = 3 è x ø x x x 2 2 x ¢
Приравниваем производную к нулю: f ¢ ( x ) = 0 . Тогда 2 - ln x = 0 ; ln x = 2 ; x 1 = e 2 .
Производная может изменить знак лишь при переходе через точки, где она равна нулю или терпит разрыв. Данная производная равна нулю при x 1 = e 2 и существует при всех x Î ( 0 , ¥ ) . Поэтому она может изменить знак лишь при переходе через точку x 1 = e 2 . Точка x 1 = e 2 критическая точка. Точка x 1 = e 2 разбивает интервал (0, ¥) на два интервала: (0, e 2 ) и (e 2 , ¥). Знак производной в каждом интервале устанавливаем методом контрольных точек: 1 1 1 - ln e 1 2 2 = 1 > 0 ; f ¢( e ) = = e e e e 2 e e 1 3 1 - ln e 3 1 1 2 2 = f ¢( e 3 ) = = < 0 . e 3 e 3 e 3 e 3 2 e 3 e 3 По знаку производной определяем, возрастает или убывает функция. Результаты сводим в таблицу 1.11.2.
Таблица 1.11.2 x
(0, e 2 )
e 2
(e 2 , ¥)
f ¢ ( x )
+
0
2/e
f(x)
max
Замечание. Знаки производной можно в данном примере установить подругому. Так как x>0 (в соответствии с областью определения), то x x > 0 и знак производной f ¢ ( x ) =
( 2 - ln x ) 2 x x
определяется знаком числителя. Поэтому
и
f ¢ ( x ) > 0
Û ( 2 - ln x) > 0
Û 0 < x < e 2
f ¢ ( x ) < 0
Û ( 2 - ln x) < 0
Û x > e 2 .
При переходе через критическую точку x 1 = e 2 производная меняет знак с + на . Следовательно точка x 1 = e 2 точка максимума. 8. Определяем интервалы выпуклости вверх и вниз графика. Находим вторую производную: 1 1 1 3 2 3 1 2 3 1 ¢ ( ) - x 2 - 3 x 2 + x 2 ln x æ 2 - ln x ö 1 - x × x - 2 - ln x 2 x 2 ÷ = f ¢¢ ( x ) = ç = = 3 3 3 2 2 x 2 x è 2 x ø 1 3 1 2 x ln x - 4 x 2 3 ln x - 8 3 ln x - 8 = 2 = = . 5 2 x 3 4 x 2 x 4 x 2
Приравниваем вторую производную нулю: f ¢¢ ( x ) = 0 . Тогда 8 8 3 ln x - 8 = 0 ; ln x = ; x 2 = e 3 = e 2 × 3 e 2 . 3
Вторая производная f ¢¢ ( x ) может изменить знак лишь при переходе через точки, где она 8
равна нулю или терпит разрыв. Данная производная f ¢¢ ( x ) равна нулю при x 2 = e 3 и существует при всех x Î ( 0, ¥ ) . Поэтому она может изменить знак лишь при переходе 8
8
через точку x 2 = e 3 . Эта точка разбивает интервал (0, ¥) на два интервала: (0, e 3 ) и 8
( e 3 ,¥). Знак производной f ¢¢ ( x ) устанавливаем методом контрольных точек: 3 ln e 2 - 8 6 - 8 f ¢¢( e ) = = < 0 ; 4 e 5 4 e 5 2
f ¢¢( e 3 ) =
3 ln e 3 - 8 15 2
=
4 - e
9 - 8 15 2
> 0 .
4 - e
По знаку производной f ¢¢ ( x ) определяем выпуклость вверх или вниз кривой. Результаты сводим в таблицу 1.11.3. Таблица 1.11.3 x
(0, e 3 )
e 3
( e 3 ,¥)
f ¢¢ ( x )
0
+
f(x)
Выпуклость
8 e 4 3 3
вогнутость
8
8
8
Замечание. Знаки f ¢¢ ( x ) можно установить, учитывая, что x 2 x > 0 . Поэтому 8
f ¢¢ ( x ) > 0 Û ( 3 ln x - 8 ) > 0 Û x > e 3 . Аналогично f ¢¢ ( x ) < 0 Û 0 < x <
8 . e 3
8
При переходе через точку x 2 = e 3 , которая принадлежит области определения функции, вторая производная меняет знак. Следовательно, æ 8 8 ö ÷ есть т очка перегиба точка M 0 ç e 3 ; 4 è 3 e 3 ø кривой. По результатам исследования строим график (см. рис. 1.11.1). 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 - 12 x + 3 на отрезке [2; 3].
Рис. 1.11.1
Решение. Функция f(x) непрерывна на [2; 3]. Поэтому достаточно сравнить значения функции в критических точках и на концах отрезка. Находим критические точки: f ¢ ( x ) = 6 x 2 - 6 x - 12 = 0 ; x 2 - x - 2 = 0 ; x 1 = - 1 ; x 2 = 2 . f ( -1 ) = 2 ( - 1 ) - 3 × 1 - 12 ( - 1 ) + 3 = -2 - 3 + 12 + 3 = 10 ; f (2 ) = 2 × 8 - 3 × 4 - 12 × 2 + 3 = 16 - 12 - 24 + 3 = -17 ; f ( -2 ) = 2 ( - 8 ) - 3 × 4 - 12 ( - 2 ) + 3 = -16 - 12 + 24 + 3 = - 1; f ( 3 ) = 2 × 27 - 3 × 9 - 12 × 3 + 3 = 54 - 27 - 36 + 3 = 54 - 27 - 36 + 3 = 57 - 63 = - 6 . Наибольшее значение M = f (-1 ) = 10 ;
наименьшее значение m = f (2 ) = -17 . 3. По графику производной f ¢ (x ) , приведенному на рис.1.11.2 , построить возможный график функции f(x). Решение. На участке (¥; x1) f ¢ ( x ) > 0 , поэтому f(x) возрастает на этом участке. На участке (x1; x2) f ¢ ( x ) < 0 , поэтому f(x) убывает на этом участке. На участке (x2; +¥) f ¢ ( x ) > 0 , поэтому f(x) возрастает на этом участке. При переходе через точку x1 f ¢ ( x ) меняет знак с + на .
Рис. 1.11.2
Поэтому x1 точка максимума. При переходе через точку x2 f ¢ ( x ) меняет знак с на +. Поэтому x2 точка минимума. Примерный график f(x) приведен на рис. 1.11.2. Примеры и задачи без решений 1. Исследовать поведение следующих функций. Построить их графики. 1) y = x 3 - 3 x + 2 . x 3 2) y = 2 . x + 2 x + 3 3) y = ( x + 4 ) e 2 x . 4) y = 3 x 2 - 3 x 2 - 1 . 2. По графику производной f ¢ ( x ) , приведенному на рис. 1.11.3, построить возможный график f(x).
Рис. 1.11.3
