Введение в курс физики. Начала векторной алгебры: Методические указания для абитуриентов и студентов первого курса естественно-научных факультетов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Крыштоп В.Г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ

УКАЗАНИЯ

По теме: «Введение в курс физики. Начала векторной алгебры» для абитуриентов и студентов первого курса естественно научных факультетов

Ростов–на–Дону 2 0 0 8 г.

Методические указания разработаны кандидатом физикоматематических наук, доцентом кафедры общей физики В.Г. Крыштопом

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол № 15 от 03.06.2008 г.

2

ВВЕДЕНИЕ Физика - это основной раздел естественно научных знаний об окружающем нас мире. Физика как наука занимается установлением и описанием простейших (самых элементарных) взаимодействий в природе. В то же время такие естественнонаучные дисциплины, как химия, биология, геология и др., используют более сложные взаимодействия в своих исследованиях. Но только познав простейшие закономерности, можно уверенно себя чувствовать в исследовании других разделов науки. Это все и определяет физику как естественнонаучную основу знаний человечества. Предлагаемое вниманию читателя учебное пособие предназначено для самостоятельной активной подготовки старших школьников по физике. Предполагается, что работая с данным пособием, читатель будет пользоваться как основной (учебники физики средней школы), так и дополнительной литературой по курсу элементарной физики, в которых читатель найдет нужный теоретический материал. Для лучшего усвоения материала читать одни и те же разделы не менее двух раз. При первом чтении следует познакомиться с содержанием раздела, при повторном - выписывать основные положения, а затем о б я з а т е л ь н о устно пересказывать прочитанный материал. В каждом вопросе необходимо уметь выделить три момента: 1) вступление (с чего начинается ответ на вопрос); 2) главную или основную часть; 3) заключение (это прежде всего следствия и выводы, вытекающие из главной части). Для лучшего усвоения следует составлять конспект; при этом в него следует записывать лишь самое главное: выводы формул, краткое и лаконичное пояснение сущности физического явления или процесса, формулировки законов, рисунки, схемы, подтверждающие либо иллюстрирующие изучаемый материал. После усвоения теоретического материала учащийся может приступить к решению задачи. Решение задач по физике - хорошее средство применения теории на практике, причем, с одной стороны сам процесс решения помогает более глубоко и сознательно овладеть изучаемым материалом, с другой - знание теоретического материала - есть непременное условие умения решать задачи. Методические указания к каждой теме и примеры решения задач данного пособия преследуют следующее: 1) пояснить применения изложенных методов; 2) углубить понимание физических законов; 3) развить умение рассуждать и сочетать знания из различных областей знаний физики.

3

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Пытаясь понять и объяснить определенный класс явлений, ученые часто прибегают к использованию м о д е л и . При этом под моделью понимается некоторый мысленный образ явления, опирающийся на уже известные понятия и позволяющий построить полезную аналогию. Например: а) материальная точка всякое тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь или более точно – математическая точка, обладающая массой; б) идеальный газ – это газ, состоящий из молекул, которые являются материальными точками и не обладают потенциальной энергией взаимодействия. Ни одна модель не может быть безупречна, но может быть очень полезной и часто приводит к важным теориям (например, постулаты Бора для модели атома Резерфорда); однако не следует смешивать понятия модели или теории с реальной системой или самими явлениями. З а к о н ы – некоторые краткие, но достаточно общие утверждения относительно характера явлений природы, которые выдержали экспериментальную проверку в широком классе наблюдаемых явлений. Для количественного описания физических явлений необходимо ввести понятие физических величин, которые количественно определяются в сравнении с некоторыми однотипными величинами, условно принятыми за единицу данной величины (например: а) 1 метр это приблизительно 1/10000000 от 1/4 земного меридиана, проходящего через Париж, или более точно, длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p10 и 5d3, атома криптона-86; б) Сименс – электрическая проводимость проводника сопротивлением в 1 Ом). Из всего многообразия физических величин необходимо выбрать некоторые (минимальное количество) в качестве основных, а все остальные считать производными. Сейчас в мировой практике наибольшее распространение получила Международная система единиц физических величин – СИ. Она содержит 7 основных физических величин: Таблица 1 Основные физические величины № Название физической веп/п личины 1 длина 2 масса 3 время 4 сила тока 5 температура 6 количество вещества 7 сила света

Единица измерения

Обозначение

1 метр 1 килограмм 1 секунда 1 Ампер 1 Кельвин (1° Цельсия) 1 моль 1 кандéла

м кг с А К µ кд

4

Все остальные физические величины определяются через основные величины: например, скорость (производная физическая величина) определяется как отношение перемещения тела ко времени, за которое это перемещение произошло и измеряется в (м /с). Основные величины по определению не могут быть выражены через другие величины. Когда мы говорим о размерности величины, мы имеем в виду основные единицы, с помощью которых можно построить данную величину. Размерность площади, например, всегда равна квадрату длины (сокращенно [l2]; квадратные скобки здесь и далее обозначают размерность); скорость (υ) может измеряться в единицах км/ч, м/мин, м/с и т.д., но размерность ее всегда равна размерности длины [l], деленной на размерность времени [t], т.е. имеем [υ] = [l] / [t]. При определении размерности величины обычно пользуются размерностями основных, а не производных величин. Например, сила, как мы увидим ниже, имеет размерность массы [m], умноженной на ускорение [l/t2], т.е. ее размерность[m] [l] / [t2]. Решение любой задачи по физике содержит и проверку размерности окончательной физической величины. Проверка размерностей позволяет избежать грубых ошибок, поэтому прежде чем вычислять значение величины по полученной формуле, необходимо вначале сделать проверку размерности. Допустим, в результате решения мы получили некоторую расчетную формулу, например: t =

υ0 g

+

τ

2

+

H . Проверка размерности этой формулы требует, чтобы gτ

все слагаемые были выражены в одних и тех же единицах, только тогда их можно складывать, т.е. ⎡υ ⎤

[υ 0 ] [H ] и в самом деле, если [υ ] = м/с; [τ] = с; [H] = м; = [τ ] = о [g ] [g ]⋅ [τ ] м⋅с2

⎡H ⎤

м

[g] = м/с2; то ⎢ 0 ⎥ = = с; ⎢ ⎥ = = с; и можно написать, что[t] = с. ⎣ gτ ⎦ м ⋅ с ⎣ g ⎦ с⋅м 2 с

Все физические величины, изучаемые в элементарной физике можно разделить на два класса: скалярные и векторы. Скалярной физической величиной называется физическая величина, для задания которой необходимо задать лишь число, например, время (t), масса (m), температура (T) и др. Векторной физической величиной называется физическая величина, для задания которой необходимо задать число и направление действия этой величиr r r ны, например, ускорение ( a ), скорость ( υ ), сила ( F ) и др. Векторные величины обозначаются либо стрелочкой сверху над символом физической величины, либо полужирным шрифтом. Для правильного и быстрого понимания и описания некоторых физических процессов необходимо уверенное владение основными операциями из векторной алгебры. Вспомним основные операции векторной алгебры. 5

1) Вектор Для наглядного изображения векторов служат геометрические вектора, т.е. прямолинейные отрезки, имеющие не только определенную длину, но и определенное направление. Поскольку вектор есть направленный отрезок прямой, иногда, его обозначают двумя буквами. На первом месте стоит обозначение начала отрезuuuur uuuuur uuuur ка, на втором месте конца, например: AB, MN , PQ, и т.д. На чертеже векторы изображаются отрезками, снабженными стрелками, указывающими их направление (рис. 1) M uuuur MN

r a

N Рис. 1 Вектор полностью определяется заданием его длины (модулем) и направлением. Направление обычно определяется углом между вектором и осью либо углом между векторами. Вектора могут быть ¾ свободными (т.е. допускают параллельный перенос вектора в любую точку пространства), ¾ скользящими (т.е. допускают скольжение (перенос) вектора вдоль прямой, совпадающей с вектором), ¾ связанными (т.е. для таких векторов любые переносы запрещены); ¾ коллинеарными два вектора (или более) называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых; ¾ компланарными три вектора (или более) называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Для векторов на плоскости имеет место следующие свойство (без доказательства): Л ю б о й в е к т о р н а п л о с к о с т и можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам этой плоскости единственным образом. Для векторов в пространстве имеет место следующее свойство (без доказательства): Л ю б о й в е к т о р в п р о с т р а н с т в е можно разложить по трем данным некомпланарным векторам единственным образом. Отметим, что разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам и вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам широко используется в физике, например, в задачах на движение тела брошенного под углом к горизонту; в задачах на применение закона сохранения импульса, в задачах динамики и статики, а так же во многих других.

6

v

2) Умножение вектора (rc ) на скаляр (а). r v В этом случае вектор b = a c будет сонаправлен с вектором c , а его модуль v в а раз больше модуля вектора c : r r v b = ac , а = 2,5; тогда вектор ; стал Пример 1. Нам даны вектор c в два с половинной раза длиннее, сохранив прежнее направление

r r v b Пример 2. Даны вектор c и а = -1; тогда вектор = ac , т.е. умножение v c на (-1) меняет направление вектора на противоположное, т.е. вектор вектора r v b по модулю равен вектору c , а направление его противоположно. Отсюда становится очевидным, что вектора всегда положительны. 3) Сложение векторов. Существует два способа сложения двух векторов: а) правило параллелограмма. В этом случае суммарный вектор равен вектору, совпадающему с диагональю параллелограмма, поr r строенного на векторах a и b из общего начала (рис.2).

r a

r a r b

r b

Рис.2

Еще один пример показан на рис. 3.

r a

r r a +b

r r a+b

r a r b

r b

Рис. 3

б) правило треугольника. r r В этом случае от конца вектора a как от начала откладывается вектор b , и тогда суммарный вектор – это вектор, проведенный из начала первого вектора к концу второго вектора (рис.4а и 4б) r b

r a

r a

r b

r b

r r a+b

r a

а

r b

r a б

Рис. 4 7

r r a+b

Это правило позволяет проще, чем правило параллелограмма, получить сумму трех и более векторов (см., например, рис. 5). В этом случае правило треугольниr b

r b

r a

r c

r a

r c r r r a +b +c

Рис. 5

ка называют правилом многоугольника r

r

4) Вычитание векторов, b − a . r

r

Вектор ( − a ) есть вектор, коллинеарный с вектором a ; модули этих вектоr r r ров одинаковы, но направления их противоположны, сумма их a + ( − a ) = 0 r r r Векторы a и ( − a ) называют равно-противоположными. ( 0 - это, так называемы, нуль-вектор, т.е. вектор, модуль которого равен нулю, а направление не определено) r r Действие вычитания векторов b − a можно заменить действием сложения вектора r r r r b и вектора ( − a ), т.е. эта разность равна b + ( − a ). Рис. 6(а) r b

r r b −a

r a

r −a

r b

r r b– a

r a r b

(а) Рис. 6.

(б)

Из данного правила свойств суммы векторов вытекает еще одно правило r r a , необходимо вычитания двух векторов: Чтобы из вектора b вычесть вектор r построить эти вектора из общего начала, тогда вектор d , проведенный от конца r r r r r вектора a к концу вектора b , и будет вектором разницы: d = b − a . Рис. 6(б). r r С л е д с т в и е . Если на векторах a и b построить параллелограмм, то r r c , построенный на диоганали исходящей из общего начала векторов a и вектор r r r r r b , является суммой векторов ( c = a + b ), а вектор d , построенный на другой диагонали является разностью rвекторов. На приведенном чертеже (рис. 7) этот r r r r вектор равен разности веторов b и a ( d = b – a ).

8

r a

о

r c r b

r d

Рис. 7. 5) Разложение вектора на составляющие.

r

Если заданы два неколлинеарных направления, то любой вектор d , лежащий в одной плоскости с заданными направлениями, можно представить единстr r r r r венным способом в виде суммы двух векторов: d = d 1 + d 2 , где векторы d 1 и d 2 коллинеарные с заданными направлениями. r Для разложения вектора d необходимо через его начало провести прямые параллельные заданным направлениям; затем проделать такую же операцию для r конца вектора d . В образовавшемся параллелограмме, диагональю которого являr r ется вектор d , стороны этого параллелограмма являются искомыми векторами d 1 r и d2 . r направлениям ab и ce построим Например, для разложения d по заданным r a'b'|| ab и c'e'|| ce, затем через конец вектора d проводим a''b''|| a'b' и c''e''|| c'e'. В образовавшемся параллелограмме вектора, построенные из общего начала на стоr r ронах ОВ и ОЕ являются искомыми векторами d 1 и d 2 , соответственно, тогда r r r d 1 + d 2 = d . (рис.8). e'

e'' D

a'' E

e

b'' r d

r d2 c

a

b

a' 0

c'

r d1

B c''

b'

Рис.8

6) Проекция вектора на ось. r Проекцией (ах) вектора a на ось Х называется длина отрезка отсекаемого на r этой оси перпендикулярами, проведенными через концы вектора a , взятая со знаком плюс (+), если направление от проекции начала вектора на ось к проекции его конца совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус (–) – в противоположном случае (рис. 9). 9

r

Обозначим угол между вектором и осью ОХ через α; тогда проекцию вектора a r r можно вычислить по формуле a x = a cosα и соответственно c x = c cosα 1 . Причем в этом случае соблюдается и правило знаков, т.е. если 0< α < π/2 , то cosα > 0 , а если π/2 < α1 < π, то cosα 1 < 0 .

0

r c

r b

r a α

r Пр a = a x > 0

bx = 0

α1

r Пр. c = cx < 0

X

Рис. 9.

Совершенно очевидно, что если раскладывать вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям, например, по осям X и Y декартовой системы, то составляющие вектора по осям X и Y по модулю совпадают с проекцией вектора на соответствующую ось (рис. 10). Поэтому принято записывать это следующим образом:

r r r r r r a = a x + a y , где a x и a y – составляющие вектора a . Однако, этой же записи

можно придать другой вид, если ввести понятие единичного вектора вдоль оси. Y

r (пр a )у = ау

r a2

r a

r a1

О

r (пр a )х = ах

Х

Рис. 10

r

Е д и н и ч н ы м в е к т о р о м о с и (ортом оси) называется вектор e , направленr ный в положительную сторону оси, модуль которого равен 1, т.е. e = e = 1 . r r Орт оси OX обозначают e x , а орт оси OY – e y .

r

Теперь составляющие вектора a по осям ОX и ОY можно записать r r r r r a x = a x ex ; a y = a y e y , где ax и ay – проекции вектора a на соответствующие оси. Следовательно, любой вектор можно всегда задать через его проекции на оси де10

r

r

картовой системы координат, т.е. a ⇒ а{ах; ау}. Модуль вектора a через проекции по осям можно выразить по теореме Пифагора, т.е.

r a = a x2 + a 2y .

7). Скалярное произведение двух векторов. r r

r

r

Скалярным произведением a ⋅ b двух векторов a и b называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними (рис. 11): r r r r r r r r r r a · b = ( a , b ) = | a |·| b |·cos( a , b ) = | a |·| b |·cosα = a·b·cosα

Скалярное произведение может быть записано через произведения проекций этих векторов на осиr прямоугольной системы координат: r r r r r a ⋅ b = (a x ex + a y e y )⋅ (bx ex + by e y ) = a x bx + a y by . Доказательство этого соотношения проведите самостоятельно, предварительно r r r r r r рассмотрев скалярное произведение единичных векторов e x e x , e y e y и e x e y . r a

(r ) r

α = a, b r b

Рис. 11. 8) Векторное произведение двух векторов. r r Векторным произведением двух векторов a и b называется новый вектор r c , модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними, а направление этого вектора перпендикуr r в ту сторону, чтолярно плоскости, образованной векторами a и b и направлен r r бы поворот на наименьший угол от вектора а к вектору b вокруг полученного s вектора c происходил против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора s c. r r Векторное произведение двух векторов а и b обозначается s s r r r r c = а ×b c = [ а ,b ] или s Из приведенного определения следует, что модуль вектора c равен s r r │ c │= c = ab sin( а , b ). Основные свойства векторного произведения. 1. При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на r r r r 1), т. е. b × а = – ( а × b ); т.к. sinφ функция нечетная, следовательно, 11

(–

r r

r

r

sin( а , b ) = – sin( b , а ). Таким образом, векторное произведение не обладает свойством перестановки. 2. Векторное произведение обладает свойством сочетательности относительного числового множителя; это свойство rвыражается следующими формулами: r r r r r λ ( а × b ) = (λ а )× b = а ×(λ b ). 3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т.е. r s r r s r s ( а + b )× c = ( а × c ) + ( b × c ). 4. Векторное произведение равно нулевому вектору, если один из векторов является нулевым или если эти два вектора коллинеарны (т.е. эти вектора лежат на параллельных прямых). r r r Таким образом, условие коллинеарности двух векторов будет: а × b = 0 Векторное произведение двух векторов, заданных своими компонентами. r а , через bx , by , bz компоненты Обозначая через a , a , a компоненты вектора x y z r r r вектора b , выразим через них векторное произведение вектора а на вектор b : r r r r r r r r а × b = (ax ex + ay e y + az ez ) × (bx ex + by e y + bz ez ) По свойству распределительности суммы векторов перемножаются как многочлены. Следовательно, получаем: r r r r r r r r а × b = axbx ( ex × ex ) + ay bx ( e y × ex ) + azbx ( ez × ex ) + r r r r r r + axby ( ex × e y ) + ayby ( e y × e y ) + az by ( ez × e y ) + r r r r r r + axbz ( ex × ez ) + aybz ( e y × e z ) + azbz ( ez × ez ). r r r Так как вектора ex , e y , e z представляют три взаимно перпендикулярных единичных вектора, то применяя правило векторного умножения двух векторов получим: r r r r r r r r r r r r r r r ey × ey = 0 , e y × e x = - ez , ex × ex = 0 , e x × e y = ez , ez × e z = 0 , r r r r r r r r r r r r e y × ez = e x , e x × ez = - e y , ez × e x = e y , e z × e y = - ex . Следовательно, в полученном выражении векторного произведения пропадут три слагаемых, оставшиеся, объединяясь попарно, дают окончательную формулу векторного произведения двух векторов: r r r r r а × b = (ay bz – az bx ) e x + (az bx – ax bz ) e y + (ax by – ay bx ) e z Последнюю формулу можно также записать в символической, легко запоминающейся форме, если воспользоваться понятием определителя третьего порядка: r r r e x e y ez r r а × b = ax ay az bx b y bz

12

Замечание. В научной и учебной литературе принято обозначать единичные вектора декартовой системы координат не только как в нашем тексте, но и следуюr r r r r r щим образом: ex = i , e y = j , e z = k . 9) Векторное произведение и теорема синусов r r r Площадь S треугольника АВС, образованного векторами a , b , c , можно выразить через векторные произведения двух сторон треугольника (Рис. 12): r r r r r r 2S = |[ b, c ]| = |[ c , a ]| = |[ a , b ]| . Запишем модули векторных произведений через стороны и углы треугольника АВС (здесь использованы формулы приведения: sin (π - A) = sin A и, соответственно, sin (π - B) = sin B, sin (π - C) = sin C): b·c·sin A = c·a·sin B = a·b·sin C . В r c

А

r a

С

r b

Рис. 12. Поделив это выражение почленно на произведение сторон abc, получим фор мулу, выражающую теорему синусов для треугольника АВС: sin A sin B sin C = = b a c

Отношение синуса любого угла треугольника к его противоположной стороне одинаково для всех сторон данного треугольника. 10) Смешанное произведение трех векторов. Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение вектора и векторного произведения двух других векторов. Варианты записи этого произведения таковы: r r r r r r r r r r r r r rr r r r a ·[ b , c ]= b ·[ c , a ]= c ·[ b , a ]=[ a b c ]=[ b c a ]=[ c a b ] При циклической перестановки векторов-сомножителей смешанное произведение не меняется. r r r Смешанное произведение [ b , c ]· a это скалярная величина численно равная r r r объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , (Рис.r 13). r r Формулу для смешанного произведения трех векторов a ·[ b , c ] можно так же выразить через компоненты векторов с помощью определителя третьего порядка: a x ay az r r r a·[ b , c ] = bx by bz = 13

cx

cy

cz

= ax ( by cz – bz cy ) + ay ( bz cx – bx cz ) + az ( bx cy – by cx ). r r [b ,c ]

r a θ r b r c

r r V = S·h = |[ b , c ]|·a·cos β Рис. 13

r r r a С л е д с т в и е : Если вектора , b и c лежат в одной плоскости (т.е. являются компланарными), то смешанное произведение трех векторов равно нулю. Это следует из геометрического смысла смешанного произведения трех векторов, указанного выше, а именно, оно равно объему параллепипеда, построенного на этих трех векторах. Объем параллепипеда, построенного на трех векторах, лежащих в одной плоскости, очевидно, равен нулю. Отсюда можно сформулировать условие компланарности трех векторов: r r r Три вектора a , b и c компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Некоторые важные приложения к векторной алгебре. Приложение 1. Проекция вектора на заданное направление. r r r r Пусть направление задано вектором: l = lx ex + ly e y + lz ez ) r r r r r Найти проекцию вектора a = ax ex + ay e y + az ez на заданное направление l . r r Проекция вектора a на rнаправление l может быть найдена из скалярного r произведения векторов a и l : r r l · a = l·аl . Подставляя выражение для скалярного произведения векторов получим : rr ax lx + a y l y + az lz al аl = = . ▲ l lx2 + l y2 + lz2 Приложение 2. Теорема косинусов в векторной алгебре. r r r Пусть вr треугольнике АВС (Рис. 14) стороны ВС = a, АС = b , АВ = c ; r r выражение: так что a = b – c . Вычислим r r r r r r 2 a · a = а = ( b – c)·( b – c ). 14

r r b2 + c2 – 2( · b) = b2 + c2 – 2bc·cos( , b), то есть

В

r c А α

r a r b

С

Рис. 14.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Приложение 3. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая задана уравнением: y = kx + b (где k = tgα, b = yo – xo·tgα), а точка А своими координатами xА, yА. Далее, АН – перпендикуляр, опущенный на заданную прямую, длину которого h нам нужно найти. Проведем прямую, параллельную оси «у» через точку А до пересечения с заданной прямой в точке В. При этом абсциссы этих точек одинаковы, т.е. хА = хВ, а ординату точки В можно найти по уравнению прямой : уВ = kхА + b . y

В

(хА, kxА + b)

α

Н

h b

А (xA, yA)

x Рис. 15

15

Тогда расстояние h можно найти из прямоугольного треугольника АВН : h = АВ·cos = | kхА + b – уА |· cosα , Где α – угол наклона прямой к оси абсцисс. Косинус этого угла можно выразить через коэффициент прямой - k, т.к. он равен tgα. Для этого разделим обе части основного тригонометрического тождества cos2α + sin2α = 1 cos2α и получим : 1 + tg2α. = 1/cos2α , откуда следует: cos 2 α =

1 1 = . 2 1 + tg α 1 + k 2

Окончательно имеем: h =

kxA + b − y A 1+ k2

. ▲

Приложение 4. Определитель третьего порядка Определителем называется числовое значение квадратной матрицы, содержащей одинаковое число столбцов и строк. Определитель активно используется в математике в теории решения систем линейных уравнение и во многих разделах физики как, например, в нашем случае при расчете векторного произведения двух векторов и смешанного произведения трех векторов. Не рассматривая общую теорию расчета определителей. Рассмотрим только определитель третьего порядка. Определитель (детерминат) третьего порядка квадратной таблицы (матрицы 3×3) с девятью числами (элементами) обозначается: как D или det [aik], где символ «i» обозначает номер строки, а символ «k» обозначает номер столбца, - является алгебраическим выражением или числом, записанных определенным образом. D = det [aik] =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Определитель (детерминат) третьего порядка равен сумма шести членов (3! – 3 факториал), каждый из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е.

∑ (−1) a r

1k1

a2 k2 a3k3 ,

где r число парных инверсий элементов из трех (k1, k2, k3). Если k1> k2, то инверсия равна 1, если нет, то равна нулю. Аналогично, если k1> k3 и k2> k3. Сумма инверсий в каждом члене суммы равно r . 16

Введем некоторые важные определения для матрицы третьего порядка – элементы а11 , а22 , а33 образуют главную диагональ матрицы (определителя); элементы а13 , а22 , а31 образуют побочную диагональ матрицы (определителя). Можно заметить, что подобные определения справедливы для квадратных матриц любого порядка. Фактическое вычисление определителя третьего порядка по его элементам легко выполняется с помощью некоторых простых правил. П е р в о е п р а в и л о . (Добавление столбцов) Перепишем таблицу определителя D и припишем справа еще раз два первых ее столбца; таблица примет вид: а11 а12 а13 а11 а12 а21 а22 а23 а21 а22 а31 а32 а33 а31 а32 – – – + + + Численное значение определителя третьего порядка равно алгебраической сумме шести слагаемых; причем, со знаком (+) плюс возьмем те три произведения стоящих на главной диагонали, а так же на двух параллельных к ней (на схеме подчеркнуты сплошной линией). Произведения же элементов, стоящих на побочной диагонали и на двух параллельных к ней, возьмем со знаком (–) минус (на схеме перечеркнуты пунктирной линией). Написав эти произведения подряд получим выражение для определителя третьего порядка: a11 a12 a13 D = det [aik] = a21 a22 a23 = а11 а22 а33 + а13 а21 а32 + а12 а23 а31 – а13 а22 а31 – a31 a32 a33 – а12 а21 а33 – а11 а23 а32 . a11 a12 a13 Например: 3 –2 5 3 –2 5 3 –2 D = det [aik] = 7 4 –8 = 7 4 –8 7 4 = 3·4·(-4) + (-2)·(-8)·5 + 5·7·(-3) – 5 –3 -4 5 –3 -4 5 –3 – 5·4·5 – 3·(-8)·(-3) – (-2)·7·(-4) = -48 + 80 – 105 – 100 – 72 – 56 = -301 В т о р о е п р а в и л о . (Правило треугольника) В этом случае п о л о ж и т е л ь н ы е с л а г а е м ы е определяются следующим образом – первое, это произведение трех членов матрицы стоящих на главной диагонали (а11·а22·а33), два других, это произведение трех членов матрицы расположенных в вершинах треугольника, основание которого параллельно главной диагонали. Таких треугольника два (а12·а21·а33) и (а11·а23·а32). В матрице определителя эти треугольники выделены сплошными линиями. a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 = a21 a22 a23 = a21 a22 a23 = a21 a22 a23 17

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

a3

О т р и ц а т е л ь н ы е с л а г а е м ы е определяются следующим образом – первое, это произведение трех членов матрицы стоящих на побочной диагонали (а13·а22·а31), два других, это произведение трех членов матрицы расположенных в вершинах треугольника, основание которого параллельно побочной диагонали. Таких треугольника два (а12·а21·а33) и (а11·а23·а32). В матрице определителя эти треугольники выделены пунктирными линиями. Соединив все слагаемые воедино получим уже знакомую формулу. Т р е т ь е п р а в и л о . (Добавление строк) Аналогично п е р в о м у ; только добавляются не столбцы, а первые две строки приписываются снизу. Предлагается сформулировать это правило самостоятельно и проверить его. Основные свойства определителя. ¾ 1. Величина определителя det[aik] не меняется, при замене строк столбцами или наоборот – столбцов строками (что соответствует перемене местами индексов i и k) ¾ 2. Определитель det[aik] равен нулю, если соответствующие элементы каких либо двух строк (или столбцов) равны или же пропорциональны. ¾ 3. Умножение всех элементов какой либо строки (или столбца) определителя det[aik] на множитель β равносильно умножению определителя на β. ¾ 4. При перестановке двух любых строк (или столбцов) определитель det[aik] меняет знак на противоположный. ¾ 5.Определитель det[aik] равен нулю, если все элементы какой либо строки (или столбца) равны нулю. ¾ 6. Величина определителя det[aik] не меняется при прибавлении к элементам строки (или столбца) соответствующих элементов какой либо другой строки (или столбца), умноженных на одно и тоже число γ. Эти свойства относятся к определителям любого порядка ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ. r r r r r r r r r 1. Найти сумму векторов: a · b + b · c + c · a , если a = b = c = 1 и a + b + c = 0. r r r a + b + c ) 2 = a2 + b2 + c2 + Решение 1: Вычислим квадрат суммы векторов: ( r r r r r r получим: 0 = 3 + 2 a · rb + 2r b · c + 2 c · a . С учетом условия задачи r r r r r r r r r r ( a · b + b · c + c · a ), откуда следует, что a · b + b · c + c · a = – 3/2.▲ Решение 2: Из равенства суммы векторов нулю следует, что данные векторы образуют замкнутый треугольник. Поскольку модули векторов одинаковы, то треугольник правильный, с углами при вершинах равными r60О ,rсоответственно углы между векторами равны 120О. Поэтому r r r r r r r r r r a · b = b · c = c · a = 1·1cos 120О = – 1/2 , а a · b + b · c + c · a = – 3/2 .▲ 18

r r r 2. Проверить компланарны ли векторы: a {1; -1; 2}, b {-2; 0; 1}, c {5; -1; 0}?

Решение 1. r Используем известное условие компланарности трех векторов: r r a ·( b × c ) = 0. Для проверки выполняется ли это условие для наших трех векторов, вычислим их смешанное произведение, рассчитав определитель третьего порядка: ax ay az 1 -1 2 1 -1 2 1 -1 r r r a ·( b × c ) = bx by bz = -2 0 1 = -2 0 1 -2 0 = cx cy cz 5 -1 0 5 -1 0 5 -1 1·0·0 + (-1)·1·5 + 2·(-2)·(-1) – 2·0·5 – 1·1·(-1) – (-1)·(-2)·0 = 0 –r 5 + 4 – – 0 r r + 1 – 0 = 0. Т.к. определитель равен нулю, то вектора a , b и c компланарны.▲ r r r Решение 2. Среди векторов a {1; -1; 2}, b {-2; 0; 1}, c {5; -1; 0} нет коллинеарных, так как компоненты одного из них не пропорциональны r c {5; -1; компонентам любого из оставшихся двух. Если вектор r r r r r 0} сможем разложить по векторам a и b , то векторы a , b и c r c компланарны (см. свойства векторов,rстр. 6.). Если же вектор r r r r нельзя разложить по векторам a и b , то векторы a , b и c не компланарны. Таким образом, для решения задачи нужно устаноr r r вить, можно ли вектор c разложить по векторам ra и b , то есть суr r ществуют ли такие числа µ и λ, что c = µr a + λ b или запишем это r r равенство через компоненты векторов a , b и c : r r r r r r r r r 5 ex – ey + 0· ez = µ ex – µ ey + µ 2 ez + λ (-2) ex + λ 0 ey + λ ez . Так как численные коэффициенты при соответствующих единичных векторах в левой и правой частях уравнения должны быть равны, то получаем три уравнения: 5 = µ – 2λ –1 = – µ , 0 = 2µ + λ как видим, в данном случае, система имеет решение: µ r= 1; λ = -2. r r r r c можно разложить по векторам a и b , т.е. c = a – Поэтому вектор r r r r 2 b , и, следовательно, векторы a , b и c компланарны.▲ 3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если заданы их координаты: А(3; -7; 8), В(-5; 4; 1), С(27; -40; 29). Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то любые два вектора построенные на этих точках коллинеарны и, соответственно, их компоненты равны или пропорциональны. Например, рассмотрим 19

uuur

uuur

uuur

вектораuuurАВ и АС . Найдем компоненты этих векторов: АВ {-8; uuu 11; uuur r uuur -7} uuur и АС {24; -33; 21}. Очевидно, АС = –3 АВ , поэтому вектора АВ и АС коллинеарны, и, следовательно, точки А, В и С лежат на одной прямой.▲ 4. Лежат ли точки A, B, C и D в одной плоскости, если они имеют координаты: A(-9; 4; 7), B(3; -6; -1), C(-5; 5; 10) и D(-7; 15; 0)? Решение: Если точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, то три вектора построенные на этих точкахuuurдолжны лежать вuuur одной плоскости. Наuuur пример, выберем векторы AB {12; -10; -8}, AC {4; 1; 3} и AD {2; 11; 0}. Далее задача сводится к уже рассмотренной раннее (пример 2). Воспользуемся первым решением, т. е. проверим чему равно смешанное произведение выбранных трех векторов: 12 -10 -8 uuur uuur uuur AB ·( AC × AD ) = 4 1 3 = 0 – 352 – 60 + 16 + 396 – 0 = 0. 2 11 0 Следовательно, точки A(-9; 4; 7), B(3; -6; -1), C(-5; 5; 10) и D(7; 15; 0) лежат в одной плоскости. ▲

20

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА. 1. Что называется вектором? Приведите примеры векторных величин, известных из курса физики. 2. Какие векторы называются: а) свободными; б) скользящими; в) связанными? 3. Какие векторы называются равными? 4. Какие векторы называются: а) коллинеарными; б) сонаправленными; в) противоположно направленными? 5. Что значит разложить вектор по двум неколлинеарным векторам? Разложите вектор по двум заданным направлениям. 6. Сформулируйте и докажите условие коллинеарности двух векторов. 7. В чем заключается правило треугольника сложения двух векторов? 8. Сформулируйте переместительный и сочетательный законы сложения векторов. 9. Что называется разностью двух векторов? Постройте разность двух данных векторов. 10. Объясните, как сложить несколько векторов по правилу многоугольника. Зависит ли сумма нескольких векторов от порядка слагаемых? 11. Что называется произведением вектора на число? Перечислите основные свойства этого произведения. 12. Что называется компонентами вектора? 13. Какие действия над векторами можно производить, если вектор задан через свои компоненты. 14. Какие векторы называются компланарными. Сформулируйте условие компланарности трех векторов? 15. Сформулируйте правило скалярного умножения двух векторов. Каков геометрический смысл скалярного произведения? 16. Что такое векторное произведение двух векторов и каковы его свойства? 17. Выполняется ли перестановочный закон для векторного произведения двух векторов? 18. Выполняется перестановочный закон для скалярного произведения двух векторов? 19. Что называется определителем третьего порядка? Перечислите его свойства. 20. Приведите примеры из векторной алгебры, где можно использовать определитель третьего порядка. 21. Докажите, что любые три коллинеарных вектора в пространстве удовлетворяют условию компланарности.

21

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Даны точки А(3; –1; 0), В(0; 0; –7), С(2; 0; 0), D(–4; 0; 3), Е(0; –1; 0), F(1; 2; 3), G(0; 5; –7),Н(– 5 ; 3 ; 0). Какие из этих точек принадлежат : а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г)плоскости Оху д) плоскости Оуz; е) плоскости Охz? 2.

r b

r a r b =4.

r r r r 2. Даны два вектора а и b . Найти сумму a + b этих r векторов. Модули этих векторов равны | a | = 5 и

3.

Вдоль прямой АВ навстречу друг другу направлены два равных по модулю вектора. Определить сумму и разность этих векторов. r r 4. Какие из приведенных векторов равны между собой a{3; 5; –7}, b {0,4; – r r ur 2 ur ur 3 c e {–7; 3; 5}, d {–1; 0; 0}, {3; 5; –7}, f {0; –1; 0}, g { 5 ; – 10 ; 0,3; 2,25}, 1

2 4 }?

r r ur r 5. Даны векторы: a{3; -5; 2}, b {0; 7; -1}, c {⅔; 0; 0}, d {-2,7; 3,1; 0,5}. r r r r r r Найдите компоненты следующих векторов: а) a + b ; б) a + c ; в) b + c ; r ur r ur r r r r r ur r r r ur г) b + d ; д) a + d ; е) a + b + c ; ж) b + a + d ; з) a + b + c + d 6. В координатах X и Y задано положение точки М: x = 5; y = 5. Определить моr дуль вектора r , соединяющего начало координат и точку М, а также угол α между этим вектором и осью Х. r (Ответ: r = 7 ,1; α = 45 o ) r r 0 a b 7. Вектор , модуль которого равен 4,0 составляет угол α = 240 с вектором , r r r модуль которого равен 6,0. Определить модуль вектора c = a − b и угол β межr r ду a и c . r o (Ответ: c = 8,7; α = 37 ) r

8. Вектор r , модуль которого равен 6,0 направлен под углом 30 0 к оси Х. Определить проекции этого вектора на координатные оси X и Y. r r r a b c {-1; 2; 0}, {0;r -5; -2} и {2; 1; -3}. Найдите компонен9. Даны векторы: ur r r r r r r ты векторов p = 3 b – 2 a + c и q = 3 c –2 b + a . r r r c {-3; 1; 2}. Найдите компоненты 10.Даны векторы: a{-1; 0; 2}, b {-2; 2; 0} и ur ur r r r ur r r r вектора d , если а) a = b + c + d ; б) 2 b = a – 2 c + 3 d . . 2 11.Даны точки М1(2;10) и М2(5;6). Определить модуль вектора ОМ1 + ОМ

22

12.Разложить векторы на составляющие по заданным направлениям (Рис. 16). ur g

ur F

а)

ur S

б)

в)

рис, 16.

r r r r 13. Даны два вектора a = ax ex + ay ey + az ez сумму и разность этих векторов.

и

r r r r b = bx ex + by ey + bz ez . Найти

r r r r 14.Даны два вектора a и b , модули которых a = 2; b = 60 . Угол между ними α = 60 o . Найти скалярное произведение этих векторов. r r r r r 15.Вычислить ⏐ a – b ⏐, если a = 3 ex + 2 ey

r r r b= 2 ex – 3 ey .

r r

(Ответ: a · b = 30)

r r (Ответ: ⏐ a – b ⏐ = 26 .) r r r r r r 16.При каких значениях k в равенстве a = k b , где b ≠ 0 , векторы a и b : а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены. r r 17. Какой особенностью должны обладать векторы a и b , чтобы имело место r r r r r r r r r r a /а = b /b; б) | a + b | = | a – b |; в) | a + b | = | a | + | b |; соотношение: а) r r r r r r r r r r r r г) | a + b | = | a | – | b |; д) | a – b | = | a | + | b |; е) a + b = λ( a – b ), λ > 0. r r 18. Какие соотношения возможны между модулем приращения вектора a ( |∆ a | ) r r и приращением модуля вектора a ( ∆| a | )? r a и 19. Определить построением, каким условиям должны удовлетворять векторы r b с тем, чтобы выполнялись следующие равенства: r r r r r r б) | a + b | = а; в) | a + b | = a 2 + b2 ; а) | a + b | = 0; r r г) | a + b | = a 2 − b 2 . r 20. Доказать, что векторное произведение вектора а на перпендикулярный ему r r a вектор n Равносильно повороту вектора на 90о по часовой стрелке в плоскоr сти, перпендикулярной к вектору n . r r 2 r r 2 (Ответ: a 2 b 2) 21. Вычислить: [ a , b ] + ( a , b ) . 23

22.Даны три точки M, N и P, лежащие на одной прямойuuuu иr точка О, не лежащая uuur uuur на этойuuuu прямой. Выразите вектор OP через векторы OM и ON , если: uuur uuur r uuur а) NP = 2 MN ; б) MP = – ½ PN . r r 23.Два вектора a и b заданы через свои компоненты ах = 3, ay = 4 и bх = 7, by = 1. Найти скалярное произведение этих векторов и угол между ними. s r (Ответ: a ⋅b = 25; α = 37 o .) 24. Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на вектоr r r r r r рах a = – 6 ex + 5 e y и b = – 4 ex – 3 ey . (Ответ: 64,65о) r r r r r r r r r 25.Чему равна сумма a · b + b · c + c · a , если a = b = c = 2 и . a + b + c = 0. (Ответ: – 6) 26.Отрезок АВ задан координатами своих концов : А(2; 3) и В(5; 5). Найти величину проекции отрезка АВ на прямую, уравнение которой х + 2у = 4 . (Ответ:

4 5

)

r r r r 27.Задан вектор a = 4 ex – 6 ey . Найти его проекцию на ось l , направление которой образует угол 30О с осью 0х. (Ответ: al = 2 3 + 3 .) r uuur r uuur r uuur 28.Три вектора AB = c , BC = a , CA = b есть стороны треугольника. Выразить uuuuur uuur uuur r r r a через векторы , b и c медианы треугольника AM , BN , CP . r r r r 29.Проверить справедливость тождества ( a + b )2 + ( a – b )2 = 2(a2 + b2). r r r a b построен треугольник. Проекция вектора a на направление и 30.На векторах r r r r r b равна 5, а проекция вектора b на направление a равна 3. Вектор a = 6 ex + r r 8 ey . Найти: а) вектор b ; б) площадь данного треугольника; в) какой вектор r r c надо прибавить к вектору b , чтобы получить вектор, перпендикулярный к r вектору a r r r r r r в) c = = (Ответ: а) b = -2,35 ex + 5,51 или b = 5,95 ex –0,71 ey ; б) S = 15 3 ≈ 25,9; r r –(1,8 + 0,8m) ex + (-2,4 + 0,6m) ey ), где m любое число не равное нулю. r r r c {1; 31.Коллинеарны ли следующие векторы: а) a{3; -5; 2}, и b {6; -10; 4}, б) ur r r ur r -1; 0}, и d {-2; 3; 15}; в) i {1; 0; 0} и j {0; 1; 0}; г) m {0; 0; 0} и n {5; r r ur ur 7; -3}; д) p {⅓; -1; -5} и q {-1; 3; 15}; е) f {-4; -6; 18} и s {2; -3; -9}.

32.Найдите значения rm и n, при которых следующие векторы коллинеарны: r ur r а) a{15; m; 1}, и b {18; 12; n}; б) c {m; 0,4; -1}, и d {-½; n; 5}. 24

33.Лежат ли точки А, В, и С на одной прямой, если: а) А(-5; 7; 12); В(4; -8; 3); С(13; -23; -6); б) А(-4; 8; -2); В(-3; -1; 7); С(-2; -10; -16); в) А(2; -7; 10); В(-1; -2; 8); С(5; -12; 12). (Ответ: а) да; б) нет; в) да.) uur r r r r r 34.Компланарны ли векторы: а) a {-3; -3; 0}, ex и ey ; б) b {2; 0; -3}, ex и ez ; r uur ur ur r r в) c {1; 0; -2}, ey и ez ; г) m {1; 0; 2}, n {1; 1; -1} и p {-1; 2; 4}; r r r д) q {0; 5; 3}, r {3; 3; 3} и s {1; 1; 4}. 35.Лежат ли точки A, B, C и D в одной плоскости, если имеют координаты: а) A(-2; -13; 3), B(1; 4; 1), C(-1; -1; -4) и D(0; 0; 0); б) A(0; 1; 0), B(3; 4; -1), C(-2; -10; 7) и D(6; 0; -5). (Ответ: а) да; б) нет.) 36.Кирпичи размером a, br и c уложены как показано на рисунке 17. Разложить r r по векторам a , b и c векторы, проведенные из вершины А к центрам ребер. А

r b

r c

r a

А Рис. 17

r

r

r

r

r

r

(Ответ: к основанию: (-2 a – 6 b r– 2,5rc ); rк торцевой грани: (–4 a – 3 b – 2,5 c ); к фронтальной грани: (–2 a – 3 b – 5 c ). uuur

r

r

uuur

r

r

uuur

r

r

37.Заданы векторы: AB = 2 ex – 6 ey , CD = ex + 7 ey и EF = -3 ex – ey . Докажите, что на этих векторах можно построить треугольник и определите все углы этого треугольника. (Ответ: 90О; 26,6О; 63,4О.)

25