Дифференциальная геометрия. Первое знакомство

Э.Г.Позняк, Е.В.Шикин ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.

Книга знакомит с основными понятиями теории кривых и поверхностей, элементами тензорного исчисления, римановой геометрии и гладких многообразий, а также с некоторыми их приложениями в математике, физике, технике. Материал подробно иллюстрирован примерами и рисунками. Книга рассчитана на математиков-прикладников, физиков, механиков, инженеров. Предполагается знакомство читателя с аналитической геометрией, линейной алгеброй, дифференциальным и интегральным исчислением. Оглавление Предисловие 6 Глава 1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ 8 8 § 1. Понятие кривой: простая плоская кривая, плоские кривые, задаваемые параметрически, пространственные кривые, кривая как линия пересечения поверхностей, кривая как годограф векторной функции 16 § 2. Гладкие и регулярные кривые: касательная к кривой, гладкие кривые, дифференцирование и интегрирование векторных функций, достаточные условия гладкости кривой, регулярные кривые § 3. Длина дуги кривой: определение и основные свойства, достаточные 22 условия спрямляемости 28 § 4. Соприкасающаяся плоскость: определение соприкасающейся плоскости, достаточные условия существования соприкасающейся плоскости, главная нормаль и бинормаль кривой, основной триэдр 31 § 5. Кривизна и кручение. Формулы Френе: кривизна кривой, кручение кривой, формулы Френе, вид кривой вблизи данной точки, натуральные уравнения кривой 41 § 6. Соприкосновение кривых: понятие порядка соприкосновения, достаточные условия соприкосновения, соприкасающаяся окружность, эволюта и эвольвента плоской кривой Сводка основных понятий, формул, фактов 50 Упражнения 54 Глава 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 59 § 1. Понятие поверхности: плоские области, простая поверхность, 58 локально простая поверхность, общая поверхность 68 § 2. Гладкие и регулярные поверхности: касательная плоскость к поверхности, гладкие поверхности, дифференцирование и интегрирование векторных функций двух аргументов, дифференцируемость векторной функции и касательная плоскость, достаточные условия гладкости поверхности, регулярные поверхности § 3. Первая квадратичная форма поверхности. Измерения на поверхности: 74 первая квадратичная форма поверхности, длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности, площадь

поверхности, внутренняя геометрия поверхности, изометричные поверхности § 4. Вторая квадратичная форма: определение второй квадратичной формы, классификация точек регулярной поверхности, кривизна кривой на поверхности, индикатриса Дюпена, главные кривизны, линии кривизны, формула Родрига, асимптотические направления, асимптотические линии, формула Эйлера, средняя и гауссова кривизны, поверхности вращения § 5. Основные уравнения теории поверхностей: деривационные формулы, основные уравнения теории поверхностей, теорема Бонне § 6. Внутренняя геометрия поверхности: геодезическая кривизна кривой на поверхности, геодезические линии, полугеодезические координатные системы, полугеодезические полярные координаты, экстремальные свойства геодезических, поверхности постоянной кривизны Сводка основных понятий, формул, фактов Упражнения Глава 3. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (АППАРАТ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ) А. Линейное (векторное) пространство § 1. Понятие тензора: примеры, определение тензора, корректность определения тензора, равенство тензоров § 2. Алгебраические операции над тензорами: определение алгебраических операций над тензорами, правило суммирования, теорема об алгебраических операциях над тензорами, операции над кососимметричными тензорами, внешние формы § 3. Метрический тензор: метрическая структура линейного пространства, опускание и поднятие индексов Б. Аффинное (точечное) пространство § 4. Тензоры в точечных пространствах: точечное пространство, аффинные координаты, тензоры в точечном пространстве § 5. Тензорное поле § 6. Криволинейные координаты: криволинейные координаты в точечном пространстве, тензоры в криволинейных координатах, о способе задания тензорного поля § 7. Метрический тензор в точечном пространстве: метрический тензор в криволинейных координатах, длина дуги гладкой кривой, вычисление объема § 8. Символы Кристоффеля: определение, специальные системы координат, символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода § 9. Ковариантное дифференцирование: определение операции ковариантного дифференцирования, свойства операции ковариантного дифференцирования, тензор Римана — Кристоффеля

81

105 117

128 135 138 138 138 145

158 162 162 167 167 178 183 189

 1 типа   , ковариантное дифференцирование и метрический тензор,  3  0 тензор Римана — Кристоффеля типа   4 В. Арифметическое (координатное) пространство § 10. Тензоры в координатном пространстве: координатное пространство, преобразования координат, понятие тензора, основные алгебраические операции над тензорами, метрический тензор в координатном) пространстве, символы Кристоффеля и операция ковариантного дифференцирования, тензор Римана — Кристоффеля Упражнения Глава 4. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ § 1. Риманово пространство: определение римановой метрики, примеры римановых пространств § 2. Первоначальные сведения о римановой геометрии: касательное пространство, преобразование координат в римановом и касательном пространствах, локально нормальные координаты, каноническое разложение метрического тензора § 3. Параллельный перенос векторов и тензоров: параллельный перенос векторов в евклидовом пространстве, векторы в римановом пространстве, параллельный перенос векторов в римановом пространстве, параллельный перенос тензоров, абсолютный дифференциал и абсолютная производная, техника абсолютного дифференцирования, еще раз о параллельном переносе тензоров, параллельный перенос некоторых важных тензоров § 4. Геодезические линии в римановом пространстве: геодезические как линии постоянного направления, канонический параметр, геодезические как экстремали § 5. Специальные системы координат в римановом пространстве: римановы координаты, полугеодезические координаты Сводка основных понятий, формул, фактов Упражнения Глава 5. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ § 1. Некоторые понятия топологии: топология координатного пространства, топологическое пространство, топологическое подпространство, непрерывное отображение, гомеоморфизм, топологическое произведение, связность, отделимость, компактность, топологическое многообразие § 2. Гладкие многообразия: основное определение, гладкие функции, разбиение единицы, произведение гладких многообразий § 3. Касательное пространство: касательный вектор, касательное пространство § 4. Гладкие отображения: гладкое отображение, диффеоморфизм,

199 199

205 207 207 209

219

232 238 245 247 249 250

265 274 281

дифференциал гладкого отображения, ранг гладкого отображения § 5. Подмногообразия: гладкие подмногообразия, задание многообразий уравнениями § 6. Векторные и тензорные поля: определение тензорного поля, риманова метрика, внешние дифференциальные формы на многообразии § 7. Интегрирование по многообразию: ориентация многообразия, многообразие с краем, интеграл от дифференциальной формы по гладкому многообразию, формула Стокса Сводка основных понятий, формул, фактов Упражнения Глава 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ § 1. Движение материальной точки: закон движения материальной точки, скорость и ускорение, движение точки в поле сил, движение точки в параллельном поле сил, движение точки в центральном поле сил, движение в поле сил тяготения, движение заряженной частицы в электромагнитном поле, движение заряженной частицы в постоянном электромагнитном поле § 2. Некоторые приложения теории поверхностей отрицательной кривизны: чебышёвские сети на поверхности, изометрические погружения плоскости Лобачевского в евклидово пространство Е3, доказательство теоремы Гильберта о, невозможности в евклидовом пространстве Е3 полной плоскости Лобачевского, доказательство существования регулярного решения уравнения синус-Гордона на всей плоскости, геометрическая интерпретация произвольных решений уравнения синус-Гордона, понятие солитонных решений дифференциальных уравнений, физическая интерпретация поверхностей постоянной отрицательной кривизны § 3. Основные операции векторной алгебры и векторного анализа в тензорных обозначениях: метрический тензор евклидова пространства, операции опускания и поднятия индексов, ортонормированные базисы в пространстве Еn, дискриминантный тензор, ориентированный объем, векторное произведение, двойное векторное произведение, расходимость вектора, оператор Бельтрами — Лапласа, оператор Бельтрами — Лапласа в криволинейных координатах § 4. Псевдоевклидово и псевдориманово пространства: понятия псевдоевклидова пространства и метрического тензора псевдоевклидова пространства, галилеевы координаты, преобразования Лоренца, пространство Минковского, преобразования Лоренца в пространстве Минковского, псевдориманово пространство, метрический тензор псевдориманова пространства § 5. Проектирование кривых и поверхностей: уравнение отрезка кривой,

290 294 300 308 311 312 312

323

348

359

375

уравнение криволинейного четырехугольника, составные кривые, составные поверхности Литература

384