Глава 7. Сферические функции 7.1. Определение полиномов Лежандра Сферические функции, как будет показано в разделе 7.7, ...
478 downloads
289 Views
720KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Глава 7. Сферические функции 7.1. Определение полиномов Лежандра Сферические функции, как будет показано в разделе 7.7, непосредственно появляются при решении уравнения Лапласа в сферических координатах. Однако прежде чем перейти к их определению, рассмотрим полиномы Лежандра, а также присоединенные функции Лежандра, являющиеся составными элементами сферических функций. Определим полиномы Лежандра Pn(cosθ) как коэффициенты разложения в ряд по степеням τ функции F (cosθ ) = (1 − 2τ cosθ + τ 2 ) −1/2 , (7.1.1) так что ∞ 1 (7.1.2) = ∑ Pn (cosθ )τ n . 1 − 2τ cosθ + τ 2 n = 0 Здесь 0 < τ < 1 и θ — вещественные величины, а F принято называть производящей функцией полиномов Лежандра. Ряд (7.1.2) сходится абсолютно для всех |τ| < 1. В самом деле, поскольку 2cosθ = exp(iθ ) + exp( −iθ ), где i 2 = −1, то, согласно (7.1.1), F = (1 − τ exp[iθ ])
−1/ 2
(1 − τ exp[−iθ ])
−1/ 2
.
При |τ| < 1 каждый сомножитель, а следовательно, и произведение можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Тейлора (Маклорена) по степеням τ. Для нахождения полиномов Лежандра в явной форме представим (7.1.1) в виде F ( x) = [1 − 2τ ( x − τ / 2)]
−1/ 2
,
x = cosθ .
Тогда на основании формулы бинома Ньютона будем иметь m
( 2m − 1)!! m ⎛ τ⎞ τ ⎜x− ⎟ , ⎝ m! 2⎠ m= 1 ∞
F ( x) = 1 + ∑
(7.1.3)
причем m
m τ⎞ m! ⎛ τ k x m− k . x − = ( −1) k k ⎜ ⎟ ∑ ⎝ ⎠ 2 2 (m − k )!k ! k =0
(7.1.4)
Подставляя (7.1.4) в (7.1.3), получим ∞
m
F ( x) = 1 + ∑ ∑ ( −1) k m= 1 k = 0
( 2m − 1)!! m− k m+ k x τ . 2 (m − k )! k ! k
(7.1.5)
Если вместо m ввести n = m + k, так что при изменении m от 1 до ∞ величина n также будет принимать все целые значения от 1 до ∞, в то время как целое число k = n − m будет уже изменятся от 0 до m* = E(n/2), где E(n/2) есть целая часть числа n/2 (поскольку k = m означает, что m = n − m, следовательно, m = n/2), то (7.1.5) можно представить в виде
182
Часть II. Аппарат специальных функций ∞
m∗
F ( x) = 1 + ∑ ∑ ( −1) k n =1 k = 0
( 2n − 2 k − 1)!! n− 2 k n x τ . 2 k ( n − 2 k )! k !
(7.1.6)
Учитывая, что, согласно (6.3.11), (6.3.13), ( 2n − 2k − 1)!! =
1⋅ 2 ⋅ 3K ( 2n − 2k ) ( 2n − 2k )! ( 2n − 2k ) ! = = n− k , 2 ⋅ 4K ( 2n − 2k ) ( 2n − 2k )!! 2 ( n − k ) !
из (7.1.6) окончательно получим ∞
F ( x) = ∑ Pn ( x)τ , n
(7.1.7)
n=0
где
Pn ( x) =
1 2n
E ( n/ 2 )
∑ (−1)
(2n − 2 k )! x n−2 k , (n − k )!(n − 2 k )! k !
k
k =0
(7.1.8)
или Pn ( x) =
⎤ ( 2n)! ⎡ n n( n − 1) n− 2 n( n − 1)( n − 2)( n − 3) n− 4 x − x + x −K⎥. 2 ⎢ n 2( 2n − 1) 2 ⋅ 4 ⋅ ( 2n − 1)( 2n − 3) 2 ( n!) ⎣ ⎦
(7.1.9)
В частности,
P0 ( x) = 1, P3 ( x) =
P1 ( x) = x,
1 3 (5x − 3x), 2
1 (3x 2 − 1), 2 1 4 2 P4 ( x) = ( 35x − 30 x + 3). 8 P2 ( x) =
Таким образом, Pn являются полиномами относительно x = cosθ степени n. Из (7.1.8) следует, что Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x ), (7.1.10) то есть при n = 2s (s = 0, 1, ...) полиномы Лежандра являются четными, а при n = 2s + 1 (s = 0, 1, ...) — нечетными функциями от переменной x. Если положить в (7.1.2) cosθ = 1, то поскольку ∞ 1 = ∑τ n , 1 − τ n=0
получим, с учетом (7.1.10),
Pn(1) = 1, Pn(−1) = (−1)n.
(7.1.11)
Полагая далее в (7.1.2) cosθ = 0 и учитывая, что
(1 + τ )
2 −1/ 2
∞
= ∑ ( −1) n n=0
(2n − 1)!! 2 n τ , 2 n n!
находим значения полиномов Лежандра при x = 0 P2 n (0) =
( −1) n (2n − 1)!! , 2n n !
P2 n+1 (0) = 0.
(7.1.12)
Глава 7. Сферические функции
183
И, наконец, покажем, что полиномы Лежандра могут быть определены также представлением 1 dn Pn ( x) = n ( x 2 − 1) n , (7.1.13) n 2 n! dx
[
]
которое принято называть формулой Родрига. Для этого воспользуемся биномиальным разложением
(x
2
)
n
− 1 = ∑ Cnk ( −1) k x 2 n−2 k , n
k =0
на основании которого находим dn ( x 2 − 1) n = n dx
[
] ∑ (−1) C (2n − 2k)(2n − 2k − 1)K[(2n − 2k − (n − 1)]x E ( n / 2)
k
k n
n− 2 k
.
(7.1.14)
k =0
Поэтому, учитывая, что Cnk =
n! ( 2n − 2k ) ! , (2n − 2k )K(n − 2k + 1) = , ( n − k )!k ! ( n − 2k ) !
непосредственно устанавливаем эквивалентность определений (7.1.13) и (7.1.8). 7.2. Рекуррентные соотношения
Если продифференцировать обе части (7.1.2) по τ, то, очевидно, будем иметь ∞
( x − τ )(1 − 2τx + τ 2 ) −3/2 = ∑ nPn ( x )τ n −1 .
(7.2.1)
n =1
Здесь x = cosθ. Учитывая, что, согласно (7.1.2), 2 −3/ 2
(1 − 2τx + τ )
⎛ ∞ n ⎞ 2 = ⎜ ∑ τ Pn ( x)⎟ (1 − 2τx + τ ) , ⎝ n=0 ⎠
из (7.2.1) получим ∞
∞
n=0
n =1
( x − τ ) ∑ Pn ( x )τ n =(1 − 2τx + τ 2 ) ∑ nPn ( x )τ n−1 . Приравнивая коэффициенты при τ в обеих частях полученного равенства, будем иметь xPn ( x) − Pn−1 ( x) = (n + 1) Pn+1 ( x ) − 2nxPn ( x ) + (n − 1) Pn−1 ( x ), n
или окончательно,
(n + 1) Pn+1 ( x ) = (2n + 1) xPn ( x ) − nPn−1 ( x ).
(7.2.2)
С другой стороны, после дифференцирования (7.1.2) по переменной x = cosθ, найдем
τ (1 − 2τx + τ )
2 −3/ 2
∞
= ∑ Pn′( x)τ n , n=0
184
Часть II. Аппарат специальных функций
или, с учетом (7.1.2), ∞
∞
n=0
n=0
τ ∑ Pn ( x)τ n =(1 − 2τx + τ 2 ) ∑ Pn′( x)τ n .
(7.2.3)
Приравнивая в последнем выражении коэффициенты при τ n+1 , получим следующее рекуррентное соотношение:
Pn ( x ) = Pn′+1 ( x ) − 2 xPn′( x ) + Pn′−1 ( x ).
(7.2.4)
Подставляя Pn′( x ) после дифференцирования по переменной x (7.2.2) в (7.2.4), получим рекуррентное соотношение, связывающее значение полинома Лежандра Pn ( x ) с величинами производных по x от полиномов Лежандра соседних индексов:
(2n + 1) Pn ( x ) = Pn′+1 ( x ) − Pn′−1 ( x ).
(7.2.5)
Поскольку P0′ = 0, P1′= 1, , то, полагая последовательно в (7.2.5) n = 1, 2, ..., m и складывая почленно полученные равенства, будем иметь
1 + 3 P1 ( x) + 5 P2 ( x) +K+ (2m + 1) Pm ( x) = Pm′+1 ( x) + Pm′ ( x).
(7.2.6)
Если же из (7.2.2), после дифференцирования по x, и (7.2.4) исключить производную Pn′−1 , то получим еще одно рекуррентное соотношение
(n + 1) Pn ( x ) = Pn′+1 ( x) − xPn′( x).
(7.2.7)
Соотношения (7.2.2)-(7.2.7) позволяют по известным значениям P0 ( x ), P1 ( x ) и P0′( x ) , P1′( x) непосредственно вычислять полиномы Лежандра и их производные любого порядка n. Приведем еще одно рекуррентное соотношение, которое будет необходимо в дальнейшем. Умножим обе части (7.2.7) на x ≠ 0, а затем добавим к левой и правой частям получившегося равенства слагаемое Pn′( x ) , тогда ( x 2 − 1) Pn′ = xPn′+1 − Pn′ − x ( n + 1) Pn .
(7.2.8)
Но согласно (7.1.13) xPn′+1 − Pn′ =
2
n +1
[
]
1 n+2 n +1 n +1 n 2 2 xD ( x − 1) − 2( n + 1) D ( x − 1) . (n + 1)!
(7.2.9)
Здесь введено обозначение D k = d k / dx k (k = 0, 1, ...). Так как
[
]
xD n+ 2 ( x 2 − 1) n+1 = D xD n+1 ( x 2 − 1) n+1 − D n+1 ( x 2 − 1) n+1 = K =
[
]
= D n+1 xD( x 2 − 1) n+1 − ( n + 1) D n+1 ( x 2 − 1) n+1 ,
то правая часть (7.2.9) представима в виде 2
n +1
[
]
1 D n +1 ( n + 1)( x 2 − 1) n 2 x 2 − ( n + 1)( x 2 − 1) n +1 − 2( n + 1)( x 2 − 1) n , ( n + 1)!
Глава 7. Сферические функции
или, с учетом (7.1.13),
xPn′+1 ( x ) − Pn′( x ). = (n + 1) Pn+1 ( x ).
185
(7.2.10)
Таким образом, вместо (7.2.8) получим окончательно
( x 2 − 1) Pn′( x ) = (n + 1)[ Pn+1 ( x ) − xPn ( x)].
(7.2.11)
7.3. Дифференциальное уравнение Лежандра Дифференцируя по переменной x обе части (7.2.11), будем иметь ( x 2 − 1) Pn′′( x) + 2 xPn′ ( x ) − (n + 1)[Pn′+1 ( x ) − xPn′ ( x ) − Pn ( x)].
(7.3.1)
Учитывая (7.2.7), получим следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка для полинома Pn ( x ) : (1 − x 2 ) Pn′′( x ) − 2 xPn′ ( x ) + n( n + 1) Pn ( x ) = 0,
(7.3.2)
которое называется уравнением Лежандра. Легко видеть, что уравнению (7.3.2) можно придать и более компактную форму: dP ( x ) ⎤ d ⎡ (1 − x 2 ) n ⎥ + n(n + 1) Pn ( x ) = 0. (7.3.3) ⎢ dx ⎣ dx ⎦ Здесь x = cosθ, −1 ≤ x ≤ 1, n = 0, 1, ... Полином Лежандра Pn ( x ) является частным (полиномиальным) решением уравнения (7.3.3). Для нахождения второго частного решения Qn ( x ) дифференциального уравнения второго порядка (7.3.3) положим
Qn ( x ) = Pn ( x ) y( x ),
(7.3.4)
тогда для определения y получим следующее уравнение: ⎡ dP ( x) dy ⎤ d2y dy (1 − x 2 ) ⎢ Pn ( x) 2 + 2 n = 0. ⎥ − 2 xPn ( x) dx dx ⎦ dx dx ⎣
(7.3.5)
Обозначая через штрих дифференцирование по переменной x, уравнение (7.3.5) представим в виде: P ′( x ) y ′′ 2x +2 n − = 0, y′ Pn ( x ) 1 − x 2 или d [ln y ′] + 2d [ln Pn ( x )] + d [ln(1 − x 2 )] = 0. (7.3.6) После интегрирования (7.3.6) будем иметь
α0 dy , = 2 dx (1 − x )[ Pn ( x )]2 где α0 — постоянная интегрирования. Поэтому, обозначая еще одну постоянную интегрирования через α1, получим
186
Часть II. Аппарат специальных функций
y=∫
α 0 dx (1 − x 2 )[ Pn ( x )]2
+ α 1.
(7.3.7)
Учитывая, что мы ищем частное решение уравнения (7.3.3), положим α0 = 1, α1 = 0, тогда, согласно (7.3.4), находим Qn ( x ) = Pn ( x ) ∫
dx . (1 − x )[ Pn ( x )]2
(7.3.8)
2
В результате общее решение уравнения (7.3.3) будет равно
C1 Pn ( x ) + C2 Qn ( x ), где C1 и C2 — произвольные постоянные. Определяемую выражением (7.3.8) функция Qn(x) принято называть функцией Лежандра второго рода. При x ∈(−1,1), учитывая явные выражения из раздела 7.1 для Pn ( x ) , из (7.3.8), в частности, получим x 1+ x 1 1+ x Q0 ( x) = ln , Q1 ( x) = ln − 1, 2 1− x 2 1− x 1 1+ x 3 (7.3.9) Q2 ( x) = (3x 2 − 1) ln − x, 4 1− x 2 1 1+ x 5 2 2 − x + . Q3 ( x) = (5x 2 − 3x) ln 4 1− x 2 3 7.4. Свойство ортогональности. Ряд Лежандра
Покажем, что в интервале (−1,1) полиномы Лежандра образуют ортогональную систему функций. Из (7.1.2) следует справедливость следующих разложений: ∞
(1 − 2ξx + ξ 2 ) −1/2 = ∑ Pn ( x )ξ n , n=0
∞
(1 − 2ηx + η 2 ) −1/2 = ∑ Pm ( x )η m ,
(7.4.1)
m= 0
которые сходятся абсолютно для всех x ∈[−1,1], если ⏐ξ⏐<1 и ⏐η⏐<1. Далее, как и ранее, будем считать, что 0 <ξ <1 и 0 <η <1. После перемножения рядов (7.4.1) мы, очевидно, получим ряд *)
[(1 − 2ξx + ξ )(1 − 2ηx + η )] 2
2
−1/ 2
∞
∞
= ∑ ∑ Pn ( x ) Pm ( x )ξ nη m ,
(7.4.2)
n = 0 m= 0
который также будет сходиться абсолютно при 0 < ξ < 1 и 0 < η < 1 для всех −1 ≤ x ≤ 1. Интегрируя обе части равенства (7.4.2) по переменной x в пределах от −1 до +1 и вводя обозначение *)
Так как произведение двух сходящихся абсолютно рядов есть также абсолютно сходящийся ряд, то почленное перемножение рядов (7.4.1) правомерно.
Глава 7. Сферические функции
187
1
I=
dx
∫
(1 − 2ξx + ξ )(1 − 2ηx + η 2 ) 2
−1
(7.4.3)
,
получим ∞
1
∞
∑ ∑ ξ nη m ∫ Pn ( x) Pm ( x)dx = I . n = 0 m= 0
(7.4.4)
−1
Вычисляя интеграл (7.4.3) с помощью подстановки Эйлера z = (1 − 2ηx + η 2 ) (1 − 2ξx + ξ 2 )
будем иметь I=
1 2 ξη
ln
z − η / ξ z2 , z1,2 = (1 ± η) (1 ± ξ ), z + η / ξ z1
или после очевидных преобразований 1
I=
ξη
ln
1 + ηξ 1 − ηξ
(7.4.5)
.
Если воспользоваться известным тейлоровским разложением ∞
ln(1 + y) = ∑ ( −1) n n=0
y n+1 , n +1
y < 1,
так что ( n +1 )/ 2
∞ (ξη) ( n +1)/2 (ξη) ln(1 + ξη ) = ∑ ( −1) , ln(1 − ξη ) = − ∑ , n +1 n +1 n=0 n=0 ∞
n
то (7.4.5) можно представить сходящимся рядом по степеням (ξη) в виде:
(ξη) k . k =0 2 k + 1 ∞
I = 2∑
(7.4.6)
Подставляя (7.4.6) в (7.4.4), получим ∞
∞
∑ ∑ξ η n = 0 m= 0
n
1
m
∞
2 (ξη) k . k + 2 1 k =0
∫ Pn ( x) Pm ( x)dx = ∑
−1
Следовательно, при n ≠ m 1
∫ P ( x) P ( x)dx = 0, n
m
(7.4.7)
−1
а когда n = m 1
∫P
2 n
−1
( x) =
2 . 2n + 1
(7.4.8)
188
Часть II. Аппарат специальных функций
Два последних равенства и означают ортогональность полиномов Лежандра с квадратом нормы d n2 = 2 (1 + 2n). Как известно, произвольную функцию f(x), имеющую в области определения однозначную и непрерывную производную f′(x), можно разложить по ортогональным функциям [27] . Поэтому, если функция f(x) задана на отрезке [−1,1] и в каждой точке этого отрезка имеет непрерывную и однозначную производную f′(x), то f(x), можно представить в виде равномерно сходящегося ряда *) ∞
f ( x ) = ∑ cn Pn ( x ),
(7.4.9)
n=0
который называется рядом Лежандра. Для определения коэффициентов cn этого ряда умножим обе части (7.4.9) на Pm ( x ) и проинтегрируем по переменной x в пределах от −1 до 1. Тогда будем иметь 1
1
∞
∫ f ( x) P ( x)dx = ∑ c ∫ P ( x) P ( x)dx. m
n
n=0
−1
n
m
−1
Поэтому, согласно (7.4.7), (7.4.8), получим следующее выражение для определения коэффициентов cn ( n = 0, 1, ...): 1
cn =
2n + 1 f ( x ) Pn ( x )dx. 2 −∫1
(7.4.10)
7.5. Асимптотическое представление
Рассмотрим поведение полиномов Лежандра Pn ( x ) (n = 0, 1, ...) в области −1 ≤ x ≤ 1. В разделе 7.1 были уже определены значения Pn ( x ) на границах рассматриваемого интервала: Pn (1) = 1, Pn ( −1) = ( −1) n . (7.5.1) Согласно (7.1.3) 1 dn Pn ( x ) = ( x 2 − 1) n . (7.5.2) n n n!2 dx
[
[
]
]
d ( x 2 − 1) n при n = 1, 2, ... имеет один проdx стой (не кратный) корень x = 0, то на основании теоремы Ролля заключаем, что вторая d2 производная ( x 2 − 1) n в указанном интервале будет иметь уже два простых корня. 2 dx
Поскольку в интервале (−1,1) производная
[
*)
]
Разложение (7.4.9) оказывается справедливым и в случае кусочно-непрерывной функции f(x). При этом 1 ряд (7.4.9) в точках разрыва x* будет сходиться к [ f ( x ∗ − ε ) + f ( x ∗ + ε )], ε << 1. 2
Глава 7. Сферические функции
189
dn Соответственно, для производной ( x 2 − 1) n из теоремы Ролля следует существоn dx вание n действительных и различных корней. Таким образом, в интервале (−1,1) полином Pn ( x ) (n = 0, 1, ...) имеет n действи-
[
]
тельных и различных корней. Поведение полиномов Pn ( x ) при n = 1, 4 приведено на рис. 20. y 1
P1 P3
P2
P4 -1
0
1
x
-1
Рис. 20. Определим теперь пределы изменения Pn ( x ) при −1 < x < 1. Для этого воспользуемся известным результатом из теории функций комплексных переменных, согласно которому n-ю производную в точке z0 = x от произвольной аналитической функции f(z) можно представить в виде
f
(n)
( x) =
n! f ( z) dz , ∫ 2πi Γ ( z − x ) n+1
(7.5.3)
где n = 0, 1, ..., i2 = −1, Γ — любой замкнутый контур, содержащий внутри себя точку z0 = x. Полагая 1 (7.5.4) f ( z) = ( z 2 − 1) n , n n !2 очевидно, из (7.5.2) будем иметь n
f ( x) = Pn ( x),
а согласно (7.5.3), ( z 2 − 1) n 1 Pn ( x ) = n dz. 2 2πi ∫Γ ( z − x ) n +1
(7.5.5)
190
Часть II. Аппарат специальных функций
Контур интегрирования Г в (7.5.5) выберем в виде окружности с центром в точке z0 = x и радиусом в виде
1 − x 2 ( −1 < x < 1), так что уравнение этой окружности можно представить z − x = 1 − x 2 exp(iϕ ), i 2 = −1,
(7.5.6)
где переменная ϕ изменяется в пределах от 0 до 2π. Дифференцируя обе части (7.5.6) при фиксированном значении z0 = x, получим dz = i 1 − x 2 exp(iϕ )dϕ , или
dz = i ( z − x ) dϕ .
(7.5.7)
Тогда из (7.5.6) непосредственно находим
(
)
z2 − 1 = 2 x + i 1 − x 2 sin ϕ . z−x
(7.5.8)
Подставляя (7.5.7) и (7.5.8) в (7.5.5), получим представление
∫ (x + i
2π
1 Pn ( x ) = 2π
)
n
1 − x 2 sin ϕ dϕ ,
0
(7.5.9)
или, если в (7.5.9) переменную интегрирования ϕ заменить на π/2+ϕ , а область изменения ϕ в (7.5.6) выбрать в пределах от −π/2 до 3π/2, то, с учетом четности получаемой подынтегральной функции
Pn ( x ) =
1
π
π ∫0
(
)
n
x + i 1 − x 2 cosϕ dϕ .
(7.5.10)
Последнее выражение принято именовать интегральной формулой Лапласа. При ⏐x⏐ < 1 из (7.5.10), очевидно, имеем
Pn ( x ) ≤
1
π
π ∫0
n
x + i 1 − x 2 cosϕ dϕ ,
или
Pn ( x ) ≤
π
[1 − (1 − x π∫ 1
0
2
) sin 2 ϕ
]
n/ 2
dϕ .
(7.5.11)
Отсюда, с учетом (7.5.1), непосредственно следует, что в области [−1,1] полиномы Лежандра Pn ( x ) при любом n = 0, 1, ... не превосходят единицы (см. рис. 20). Рассмотрим асимптотическое поведение Pn ( x ) , −1 < x < 1 при достаточно больших значениях n. Предварительно докажем справедливость двух соотношений, которые нам потребуются в дальнейшем для гамма- Γ(z) и бета- Β(x,y) функций:
Глава 7. Сферические функции
191
Γ ( z + 1) = zΓ ( z), Β( x , y) =
Γ ( x ) Γ ( y) . Γ ( x + y)
(7.5.12)
Здесь по определению ∞
1
Γ ( z) = ∫ e − t t z −1dt , Β( x , y) = ∫ t x −1 (1 − t ) y−1 dt , Re{x , y, z} > 0. 0
(7.5.13)
0
Первое соотношение (7.5.12) непосредственно следует из определения (7.5.13) после однократного интегрирования по частям. Для доказательства второго соотношения (7.5.12) вычислим двумя различными способами интеграл ∞
[
]
I ( x, y) = ∫∫ ξ 2 x −1η 2 y −1 exp −(ξ 2 + η 2 ) dξdη.
(7.5.14)
I(x,y) = I(x)I(y),
(7.5.15)
0
С одной стороны, где ∞
I ( x) = ∫ ξ 2 x −1 exp( −ξ 2 )dξ = 0
∞
1 x −1 1 t exp( − t )dt = Γ( x), ∫ 20 2
1 I ( y) = Γ( y). 2
С другой стороны, переходя в (7.5.14) к полярным координатам ξ = rcosϕ, η = rsinϕ, так что dξdη = rdrdϕ, получим ∞
I ( x, y) = ∫ r 0
2 ( x + y ) −1
π /2
exp( − r )dr ∫ cos 2 x −1 ϕ sin 2 y −1 ϕdϕ = 2
0
π /2
1 = Γ( x + y) ∫ cos 2 x −1 ϕ sin 2 y −1 ϕdϕ . 2 0
(7.5.16)
Интеграл по переменной ϕ заменой cos2ϕ = t можно выразить через бета-функцию Β(x,y): π /2 1 2 x −1 2 y −1 (7.5.17) ∫0 cos ϕ sin ϕdϕ = 2 Β( x, y). Сопоставление выражений (7.5.15) и (7.5.16), (7.5.17) и доказывает справедливость второго соотношения (7.5.12). Произведя в (7.5.10) замену переменных z = x + i 1 − x 2 cosϕ , полиномы Лежандра Pn ( x), x = cos θ
(n = 0, 1, K) представим в виде
z2 0 n ⎤ 1⎡ z Pn ( x) = ⎢∫ Gn ( z, x)dz + ∫ Gn ( z, x)dz ⎥, Gn ( z, x) = . 2 πi ⎢⎣ z1 ⎥ 1 2 − zx + z 0 ⎦
Здесь
(7.5.18)
(7.5.19)
192
Часть II. Аппарат специальных функций
z1,2 = x ± i 1 − x 2 ,
(7.5.20)
так что при x = cosθ имеем z1, 2 = exp( ±iθ ) (i 2 = −1). Отрезок [z1z2] является линией ветвления функции (1 − 2 zx + z 2 ) −1/2 = ( z − z1 ) −1/ 2 ( z − z2 ) −1/2 ,
(7.5.21)
поэтому, если на комплексной плоскости интеграл (7.5.19) взять вдоль линии ветвления, по ее правой стороне (см. рис. 21), то функция (7.5.21) будет однозначной функцией на двулистной римановой поверхности с линией разреза [z1z2]. z1
x
O z2
Рис. 21. Полагая далее в первом интеграле (7.5.19) z = z1(1 − u), а во втором — z = z2(1 − u) и учитывая (7.5.20), будем иметь Pn =
1 ⎤ ⎡ n +1/2 1 (1) z1n +1/2 ( 2) ( ) ( ) z i F u du + F u du ⎥. ⎢ 2 n n ∫0 π 2 sin θ ⎢⎣ i ∫0 ⎥⎦
1
(7.5.22)
Здесь Fn(1,2 ) =
u −1/ 2 (1 − u) n 1 + u ( z12,2 − 1)
.
Воспользовавшись легко проверяемым (например, путем замены переменных tgξ = η) равенством π 1 dξ (1 + α ) −1/ 2 = ∫ , (7.5.23) π 0 1 + α sin 2 ξ функцию Fn(1,2 ) представим в виде Fn(1, 2) =
u −1/2 (1 − u) n
π
π
dξ , u 2 0 1+ sin ξ z12, 2 − 1
∫
или для произвольного целочисленного положительного значения k:
(7.5.24)
Глава 7. Сферические функции (1, 2) n
F
≡
u
−1/ 2
(1 − u)
π
193
n
×
⎡ ⎢ u u2 2 × ∫ ⎢1 + sin + ξ ⎢ 1 − z12, 2 1 − z12, 2 0 ⎢ ⎣
(
⎤ ⎥ u 1− z sin 4 ξ +K+ sin 2 k ξ ⎥ dξ. u ⎥ 1+ 2 sin 2 ξ ⎥ z1, 2 − 1 ⎦ k
π
)
2
(
)
2 −k 1, 2
(7.5.25)
Выражение (7.5.24) непосредственно следует из (7.5.25) после приведения последнего к общему знаменателю. Таким образом, (1, 2 ) n
F
⎡ 3 u1/2 u 3/2 / = ⎢ u −1 2 + + 2 ⎢ 2(1 − z1, 2 ) 2 ⋅ 4 1 − z 2 1, 2 ⎢⎣
(
+
1
π
π
∫
u
0
)
2
⎤ n +...⎥(1 − u) + ⎥ ⎦⎥
(7.5.26)
−1
⎤ (1 − u) ⎡ u 2 ξ 1 sin sin 2 k ξdξ. + ⎢ ⎥ 2 k ⎢⎣ z1, 2 − 1 ⎥⎦ 1 − z12, 2
k −1/ 2
n
(
)
Поскольку согласно (7.5.20) ⎞ ⎛ u 2 ⎜⎜1 + 2 sin ξ ⎟⎟ ⎠ ⎝ z1, 2 − 1
−1
⎞ ⎛ u i = ⎜ 1 − sin 2 ξ m ctgθ sin 2 ξ ⎟ ⎠ ⎝ 2 2
−1
⎛ u 4 ⎞ = ⎜1 − u sin 2 ξ + sin ξ⎟ 2 4 sin θ ⎝ ⎠ 2
=
(7.5.27)
−1/ 2
,
−1
⎛ u ⎞ то (7.5.27) при любых θ не превосходит ⎜ 1 − sin 2 ξ ⎟ , а следовательно, для всех ⎝ 2 ⎠ 0 ≤ u ≤ 1 величина (7.5.27) не больше 2, каково бы ни было значение ξ. Поэтому, с учетом того, что 1 − z12,2 = 2 sin θ , модуль интеграла последнего слагаемого (7.5.26) огра-
ничен величиной *) ( 2 k − 1)!! u k −1/ 2 (1 − u) n , 2 k −1 ( 2 k )!! sin k θ
u ≤ 1.
(7.5.28)
Интегрируя (7.5.26) по переменной u в пределах от 0 до 1 и учитывая определение бета-функции (7.5.13), а также, что, согласно (7.5.20), z1, 2 = exp( ±iθ ), получим
*)
В (7.5.28) учтено представление интегрированием по частям.
1
π
π
∫ sin 0
2k
ξ ⋅ dξ =
(2k − 1)!! , которое легко получить последовательным (2k )!!
194
Часть II. Аппарат специальных функций 1
∫F
(1, 2 ) n
0
⎛1 ⎞ 1 exp[ m i (θ + π / 2)] ⎛ 3 ⎞ (u) du = B⎜ , n + 1⎟ − B⎜ , n + 1⎟ + ⎝2 ⎠ 2 ⎝2 ⎠ 2 sin θ 3 exp[ m2i (θ + π / 2)] ⎛ 5 ⎞ + B⎜ , n + 1⎟ −K+σ n,k (θ ), 2 ⎝ ⎠ 2 2⋅ 4 ( 2 sin θ )
(7.5.29)
где
σ n ,k ≤
1 1 ⎛ ⎞ B k + , n + 1⎟ . ⎜ k −1 k ⎝ ⎠ 2 2 sin θ
Если учесть соотношения (7.5.12), то (7.5.29) можно представить в виде 1
(1, 2) ∫ Fn (u) du = 0
Γ (1 / 2)Γ ( n + 1) ⎡ exp[ m i (θ + π / 2)] 12 1 − + ⎢ Γ( n + 3 / 2) ⎣ 2( 2n + 3) 2 sin θ
2 2 exp[ m2i (θ + π / 2)] 1 ⋅3 + −K+ 2 2 ⋅ 4(2n + 3)( 2n + 5) ( 2 sin θ )
+ (−1)
k −1
(7.5.30)
2 2 2 ⎤ exp[ m i ( k − 1)(θ + π / 2)] ~ 1 ⋅ 3 K( 2k − 3) + σ n,k (θ ) ⎥. k −1 2 ⋅ 4(2k − 2)( 2n + 3)K( 2n + 2k − 1) ( 2 sin θ ) ⎦
Здесь
σ~
n, k
≤
2
2 2 sin θ
k
2
2
1 ⋅ 3 K (2k − 1) , 2 ⋅ 4...(2k )(2n + 3)(2n + 5)K (2n + 2k + 1)
то есть максимальное значение σ~ n ,k равно удвоенному модулю того слагаемого разложения (7.5.30), который соответствует значению k +1. Из (7.5.22) и (7.5.30) для Pn (cosθ ) при |cosθ| < 1 (sinθ ≠ 0) нетрудно получить следующее представление
⎡ cos[θ ( n + 1 / 2) − π / 4] B(1 / 2, n + 1) ⎢ − 1/ 2 π ( 2 sin θ ) ⎣ cos[θ ( n + 3 / 2) + π / 4] ⎤ 1 − +K+ O[1 / n 2 ]⎥. 3/ 2 2(2n + 3) (2 sin θ ) ⎦
Pn (cos θ ) =
2
(7.5.31)
При достаточно больших n для вычисления бета-функции B(1/2,n+1), определяемой (7.5.13), 1
B(1/ 2, n + 1) = ∫ t −1/2 (1 − t ) n dt , 0
перейдем к новой переменной τ, связанной с t соотношением t = 1 − exp( −τ 2 / n), так что
t= Тогда
τ2 ⎛
⎞ τ2 + O[1 / n 2 ]⎟ . ⎜1 − n ⎝ 2n ⎠
Глава 7. Сферические функции
195
∞
2 3 2 2 ⎛ 2 ⎞ B(1 / 2, n + 1) = exp( −τ )⎜ 1 − τ + O[1 / n ]⎟ dτ , ∫ ⎝ 4n ⎠ n0 или, с точностью до O[n −5/2 ] , ∞ ∞ ⎫⎪ 2 ⎧⎪ 3 2 exp( − τ ) d τ + τd exp( −τ 2 ) ⎬. ⎨∫ ∫ 8n 0 n ⎪⎩ 0 ⎪⎭ После интегрирования второго слагаемого (7.5.32) по частям получим
[
B(1 / 2, n + 1) =
]
(7.5.32)
∞
2 ⎛ 3 2 ⎞ 2 B(1 / 2, n + 1) = ⎜ 1 − + O[1 / n ]⎟ ∫ exp( −τ )dτ . ⎠0 n ⎝ 8n Учитывая, что ∞
∫ exp(−τ
2
)dτ =
0
π 2
,
окончательно находим B(1/ 2, n + 1) =
π⎛
3⎞ −5/ 2 ⎜ 1 − ⎟ + O[n ]. n ⎝ 8n ⎠
(7.5.33)
Следовательно, из (7.5.31) получим следующее искомое асимптотическое представление для полиномов Лежандра: Pn (cosθ ) =
⎡ ⎛ 2 ⎧⎛ 1⎞ 1⎞ π ⎤ ⎨⎜ 1 − ⎟ cos⎢θ ⎜ n + ⎟ − ⎥ + 2⎠ 4 ⎦ πn sin θ ⎩⎝ 4n ⎠ ⎣ ⎝
⎡ ⎛ 1 1 ⎞ π ⎤⎫ + ctgθ sin ⎢θ ⎜ n + ⎟ − ⎥ ⎬ + O[n −5/2 ]. 8n 2 ⎠ 4 ⎦⎭ ⎣ ⎝
(7.5.34)
Из (7.5.34) следует, что в интервале (−1,1) полиномы Лежандра Pn ( x ) , x = cosθ при воз1 растании n убывают как , так что n lim P n ( x) = 0 . n→∞
7.6. Присоединенные функции Лежандра Пусть x является действительной переменной, изменяющейся на отрезке [−11 , ], а n и m — целые неотрицательные числа, причем n ≥ m. Тогда функцию, связанную с полиномом Лежандра Pn(x) выражением вида: d m Pn ( x) (7.6.1) Pn( m) ( x) = (1 − x 2 ) m/ 2 , dx m будем по определению называть присоединенной функцией Лежандра порядка n и индекса m. Из (7.6.1) следует, что при m = 0 присоединенные функции Pn( m) ( x) совпадают с полиномами Лежандра Pn(x). С учетом формулы Родрига (7.1.13) присоединенную функцию (7.6.1) можно также представить в следующей форме
196
Часть II. Аппарат специальных функций ( m) n
P
(1 − x 2 ) m/2 d n+ m ( x) = ( x 2 − 1) n , n n+m 2 n ! dx
[
]
(7.6.2)
из которой следует, что Pn( m) ( − x) = ( −1) n+ m Pn( m) ( x).
(7.6.3)
Для нахождения функций в явной форме воспользуемся представлением для полиномов Лежандра (7.1.8):
Pn ( x) =
1 2n
E ( n/ 2 )
∑
( −1) k
k =0
(2n − 2 k )! x n−2 k , k !(n − k )!(n − 2 k )!
в котором E(n/2) — целая часть числа n/2. Дифференцируя последнее равенство m раз по переменной x и подставляя полученное выражение в (7.6.1), будем иметь Pn( m) ( x) =
(1 − x 2 ) m/ 2 2n
E [( n − m)/ 2 ]
∑ k =0
( −1) k
(2n − 2 k )! x n − m− 2 k , k !(n − k )!(n − m − 2 k )!
(7.6.4)
n−m ⎛ n − m⎞ где E ⎜ . Выражение (7.6.4) в развернутой ⎟ является целой частью числа ⎝ 2 ⎠ 2 форме имеет вид:
Pn( m) ( x) =
⎧ ( 2n)! ( n − m)( n − m − 1) n− m− 2 (1 − x 2 ) m/ 2 ⎨ x n− m − x + 2( 2n − 1) 2 n!( n − m)! ⎩ n
(7.6.5)
⎫ ( n − m)( n − m − 1)(n − m − 2)(n − m − 3) n− m− 4 + x −K⎬. 2 ⋅ 4 ⋅ ( 2n − 1)(2n − 3) ⎭ В частности, при m = n, т.е. когда в (7.6.4) k ≡ 0, получим ( 2 n )! Pn( n ) ( x ) = n (1 − x 2 ) n/ 2 . 2 n!
(7.6.6)
Явные выражения для присоединенных функций Лежандра
Pn( m) ( x)
при
{n, m} = 0,3 (n ≥ m), согласно (7.6.5), (7.6.6), имеют вид
P0( 0) = 1,
P1(1) ( x) = (1 − x 2 ) 1/ 2 ,
P2(1) ( x) = 3(1 − x 2 ) 1/ 2 x,
3 P3(1) ( x) = − (1 − x 2 ) 1/ 2 (1 − 5x 2 ), 2
P3( 2 ) ( x) = 15(1 − x 2 ) x,
P2( 2 ) ( x) = 3(1 − x 2 ), P3( 3) ( x) = 15(1 − x 2 ) 3/ 2 .
На основании проведенных в предшествующих разделах исследований полиномов Лежандра нетрудно установить важнейшие свойства присоединенных функций Pn( m) ( x) . а) Рекуррентные соотношения Согласно (7.2.2) и (7.2.5), имеем
( 2n + 1) xPn ( x) − ( n + 1) Pn+1 ( x) − nPn −1 ( x) = 0, dPn+1 ( x) dPn−1 ( x) − = (2n + 1) Pn ( x). dx dx
(7.6.7)
Глава 7. Сферические функции
197
Если продифференцировать по переменной x первое из равенств (7.6.7) m раз, а второе — (m−1) раз, то получим d m Pn ( x) d m Pn+1 ( x) d m Pn−1 ( x) d m−1 Pn ( x) − ( n + 1 ) − n + m ( 2 n + 1 ) = 0, dx m dx m dx m dx m−1 (7.6.8) d m Pn+1 ( x) d m Pn−1 ( x) d m−1 Pn ( x) − = ( 2n + 1) . dx m dx m dx m−1
( 2n + 1) x
d m−1 Pn ( x) и умножив обе части получившегося dx m−1 равенства на (1 − x 2 ) m/ 2 , с учетом (7.6.1), найдем следующее рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных присоединенных функций Лежандра одного и того же индекса m: Исключив из (7.6.8) производную
( 2n + 1) xPn( m) ( x) − ( n − m + 1) Pn(+m1) ( x) − (n + m) Pn(−m1) ( x) = 0, или, заменяя n на n+1, ( n − m + 2) Pn(+m2) ( x) − ( 2n + 3) xPn(+m1) ( x) + ( n + m + 1) Pn( m) ( x) = 0.
(7.6.9)
Для получения соотношения, связывающего последовательные присоединенные функции Лежандра одного и того же порядка n, воспользуемся уравнением Лежандра (7.3.2) d 2 Pn ( x) dP ( x) (1 − x 2 ) − 2x n + n( n + 1) Pn ( x) = 0, 2 dx dx которое после m-кратного дифференцирования обеих его частей по переменной x будет иметь вид *) : (1 − x 2 )
d m+ 2 Pn ( x) d m+1 Pn ( x) d m Pn ( x) − 2 ( m + 1 ) x + ( n − m )( n + m + 1 ) = 0. (7.6.10) dx m+ 2 dx m+1 dx m
После умножения обеих частей равенства (7.6.10) на (1 − x 2 ) m/ 2 на основании (7.6.1) получим искомое рекуррентное соотношение: Pn( m+ 2 ) ( x) − 2( m + 1)(1 − x 2 ) −1/ 2 Pn( m+1) ( x) + ( n − m)( n + m + 1) Pn( m) ( x) = 0.
(7.6.11)
Соотношения (7.6.9) и (7.6.11) позволяют непосредственно находить явные выражения для присоединенных функций Лежандра любого порядка n и индекса m по известным значениям присоединенных функций начальных индексов и порядков.
*)
Для нахождения производных высших порядков от функции вида f = u(x)v(x) целесообразно использовать формулу Лейбница (легко доказываемую методом математической индукции) dm f d mv du d m −1 v d 2 u d m−2 v d mu = u m + C m1 + C m2 + K + m v, m m −1 2 m−2 dx dx dx dx dx dx dx
где
Cml — соответствующие биномиальные коэффициенты.
198
Часть II. Аппарат специальных функций
б) Дифференциальное уравнение Перепишем уравнение (7.6.10) в виде
(1 − x 2 )
d m Pn ( x ) d 2 ⎡ d m Pn ( x ) ⎤ d ⎡ d m Pn ( x ) ⎤ m x + n n + − m m + = 0. (7.6.12) − + 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ ] ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ dx ⎣ dx m ⎦ dx m dx 2 ⎣ dx m ⎦
Но, согласно определению (7.6.1), d m Pn ( x ) = (1 − x 2 ) − m/2 Pn( m) ( x ), m dx
(7.6.13)
поэтому, подставляя (7.6.13) в (7.6.12), после несложных преобразований получим следующее дифференциальное уравнение для присоединенных функций Лежандра Pn( m) ( x) :
(1 − x 2 )
dPn( m) ( x ) ⎡ d 2 Pn( m) ( x ) m2 ⎤ ( m) n n x − 2 + ( + 1 ) − ⎢ ⎥ Pn ( x ) = 0. dx dx 2 1− x2 ⎦ ⎣
(7.6.14)
При m = 0 уравнение (7.6.14) переходит в уравнение Лежандра (7.3.2). Присоединенная функция Лежандра Pn( m) ( x) является одним из частных решений линейного дифференциального уравнения второго порядка (7.6.14). Второе частное линейно независимое решение Qn( m) ( x ) уравнения (7.6.14) нетрудно найти методом, примененном в разделе 7.3. Полагая ( m)
( m)
Qn ( x) = y( x) Pn ( x),
для определения y получим уравнение вида (7.3.5)
⎧ dP ( m) ( x ) dy ⎫ d2y dy ( m) (1 − x 2 ) ⎨ Pn( m) ( x ) 2 + 2 n ⎬ − 2 xPn ( x ) = 0, dx ⎭ dx dx dx ⎩ частное решение которого можно представить в форме (7.3.7) y=∫
dx , (1 − x )[ Pn( m) ( x )]2 2
так что Qn( m) ( x ) = Pn( m) ( x ) ∫
dx . (1 − x )[ Pn( m) ( x )]2 2
Общее решение уравнения (7.6.14) будет иметь вид C1 Pn( m) ( x ) + C2 Qn( m) ( x ), где C1 и C2 — произвольные постоянные, а функция Qn( m) ( x ) называется присоединенной функцией Лежандра второго рода *) . При |x| < 1 для Qn( m) ( x ) можно получить соотношение [28]: *)
В связи с этим, функцию Pn( m ) ( x) иногда называют присоединенной функцией Лежандра первого рода.
Глава 7. Сферические функции ( m) n
Q
199
( x ) = (1 − x )
2 m/ 2
d m Qn ( x ) , dx m
аналогичное (7.6.1) для Pn( m) ( x) . Тогда, согласно (7.3.9), в частности, будем иметь 3 1 + x ⎤ 3x 2 − 1 2 1/ 2 ⎡ ( 0) ( 0) ( 1) Q0 = Q0 ( x), Q1 ( x) = Q1 ( x), Q2 ( x) = − (1 − x ) ⎢1 − x ln + , 2 1 − x ⎥⎦ 2 1 − x 2 ⎣ 3 1+ x 2x Q2( 2) ( x) = (1 − x 2 ) ln + 3x + , Q3( 0) ( x) = Q3 ( x), 2 2 1− x 1− x 3 1 + x 20x ⎫ 3 5x 2 − 1 ⎧ Q3(1) ( x) = (1 − x 2 ) 1/ 2 ⎨(5x 2 − 1) ln − , ⎬+ x 2 4 1− x 3 ⎭ 2 ⎩ 1− x в) Свойство ортогональности Рассмотрим интеграл 1
I (m) =
∫P
( m) n
( x ) Pk( m) ( x )dx ,
(7.6.15)
−1
который, согласно определению (7.6.1), можно представить в виде 1
I (m) = ∫ (1 − x 2 ) m −1
d m Pn ( x ) d m Pk ( x ) dx. dx m dx m
(7.6.16)
После однократного интегрирования (7.6.16) по частям получим m d m−1 Pk ( x ) d ⎡ 2 m d Pn ( x ) ⎤ x ( 1 − ) ⎢ ⎥dx. dx m ⎦ dx m−1 dx ⎣ −1 1
I (m) = − ∫
(7.6.17)
Но, умножая на (1 − x 2 ) m обе части уравнения (7.6.10), полученного в результате mкратного дифференцирования уравнения Лежандра (7.3.2), и осуществляя затем в получившемся равенстве замену m на m−1, будем иметь m m−1 Pn ( x) d ⎡ 2 m d Pn ( x ) ⎤ 2 m−1 d = − − + + − n m n m x ( 1 − ) ( 1 )( )( 1 ) . x ⎥ ⎢ m m−1 dx ⎣ dx dx ⎦
(7.6.18)
Подставляя (7.6.18) в (7.6.17), с учетом (7.6.16), получим I(m) = (n − m + 1)(n + m)I(m − 1). Применяя последовательно формулу (7.6.19) для m−1, m−2, ..., 1, будем иметь I(m − 1) = (n − m + 2)(n + m − 1)I(m − 2), I(m − 2) = (n − m + 3)(n + m − 2)I(m − 3),
.............................. I(1) = n (n +1)I(0),
(7.6.19)
200
Часть II. Аппарат специальных функций
так что
I ( m) = [( n − m + 1)( n − m + 2)K n] × [( n + m)( n + m − 1)K ( n + 1) ]I (0).
Последнее равенство представимо в компактной форме: (n + m)! I (0). (n − m)!
I (m) =
(7.6.20)
Здесь, согласно (7.6.16), 1
I (0) = ∫ Pn ( x ) Pk ( x )dx , −1
или, с учетом (7.4.7), (7.4.8),
n ≠ k, n = k.
0, I (0) = ⎧⎨ 2 / ( 1 + 2n), ⎩ Следовательно, 0, ⎧ ⎪ 2 (n + m)! I ( m) = ⎨ , ⎪⎩ 2n + 1 (n − m)!
n ≠ k, n = k.
Таким образом, учитывая (7.6.15), мы приходим к следующим равенствам 1
∫P
( m) n
( x ) Pk( m) ( x )dx = 0,
(7.6.21)
−1
если n ≠ k, и 1
∫[P
( m) n
−1
]
2
( x ) dx =
2 (n + m) ! , 2n + 1 (n − m) !
(7.6.22)
которые и выражают собой свойство ортогональности присоединенных функций Лежандра с нормой 2 (n + m) ! (7.6.23) d n ,m = . 2n + 1 (n − m) ! г) Асимптотическое представление Как следует из определения (7.6.2), при m > 0 помимо нулей в точках −1 и 1 присоединенная функция Лежандра Pn( m) ( x) будет иметь также в интервале (−1, 1) еще n − m вещественных нулей, поскольку, как было показано в разделе 7.5, функция dk ( x 2 − 1) n (7.6.24) dx k
[
]
являясь полиномом степени 2n − k, при k ≤ n имеет в интервале (−1,1) k нулей, а при k > n, так как в точках −1 и 1 функция (7.6.24) уже не обращается в нуль, из теоремы Ролля следует, что число нулей этой функции равно n + (n − k), то есть при k = n + m искомое число нулей равно n − m. При этом, как очевидно из (7.6.3), при n − m (или n + m) чет-
Глава 7. Сферические функции
201
ном в интервале (−1,1) все n − m нулей функции Pn( m) ( x) могут быть разбиты на пары чисел с одинаковыми абсолютными величинами и противоположными знаками, а x = 0 будет входить в указанное число нулей, если n − m нечетно. Переходя далее в функции
(
x + i 1 − x 2 cosϕ
)
n
(7.6.25)
от cosϕ к экспонентам, преобразуем ее к виду
[
]
n
2 exp( −inϕ ) ⎧ ⎫ 2 ϕ x + i − x exp( i ) − 1⎬ , 1 ⎨ n 2 n/ 2 (2i) (1 − x ) ⎩ ⎭
где n — целое положительное число, |x| < 1 , i2= −1.
[
]
После разложения функции T (ξ ) = ( x + ξ ) 2 − 1
n
(7.6.26)
в тейлоровский ряд по степеням
ξ = i 1 − x 2 exp(iϕ ) : 2n s ⎤ i ⎡ ds T (ξ ) = ∑ ⎢ s ( x 2 − 1) n ⎥(1 − x 2 ) s/2 exp(isϕ ), s= 0 s! ⎣ dx ⎦
(7.6.27)
и замены s на индекс k = 1,n , так что s = n − k при 0 ≤ s ≤ n − 1 и s = n + k при n +1 ≤ s ≤ 2n, (7.6.26) представим в следующем виде: 1 d n ( x 2 − 1) n 1 + n 2 n n! 2 dx n
⎛ i −k d n− k 2 − k /2 ϕ 1 − − ( x ) exp( ik ) ( x 2 − 1) n + ⎜ ∑ n− k − ( )! n k dx k =1 ⎝
[
n
]
⎞ ik d n+ k + (1 − x 2 ) k /2 exp(ikϕ ) n+ k ( x 2 − 1) n ⎟ . (n + k )! dx ⎠
[
]
(7.6.28)
Так как (7.6.28), согласно (7.6.25), должна быть четной функцией от ϕ, а следовательно, после подстановки в (7.6.28) равенств exp(m ikϕ ) = cos( kϕ ) m i sin( kϕ )
в полученном представлении не должны содержаться члены с sin(kϕ), то для всех k = 1,n должно выполнятся тождество
(1 − x 2 ) − k /2 d n − k i k (1 − x 2 ) k /2 d n + k n 2 ( x − 1) = ( x 2 − 1) n , n+ k k n− k (n + k )! dx i (n − k )! dx
[
]
[
]
(7.6.29)
с учетом которого (7.6.28) будет иметь вид: n+ k ⎞ 1 d n ( x 2 − 1) n 1 n ⎛ k cos( kϕ ) 2 k /2 d + − i 1 x ( ) ( x 2 − 1) n ⎟ . n+ k n n n −1 ∑ ⎜ dx 2 n! 2 k =1 ⎝ (n + k )! dx ⎠
[
]
(7.6.30)
Но, согласно определениям полиномов и присоединенных функций Лежандра (7.1.13) и (7.6.2), из (7.6.25), (7.6.30) получим n n n! x + i 1 − x 2 cos ϕ = Pn ( x ) + 2∑ i k Pn( k ) ( x ) cos( kϕ ). (7.6.31) + ( n k )! k =1
(
)
202
Часть II. Аппарат специальных функций
Умножая обе части (7.6.31) на cos(mϕ) и интегрируя их по ϕ, в пределах от −π до π, а также учитывая четность подынтегральной функции в левой части равенства, приходим к следующему интегральному представлению для Pn( m) ( x) : π
Pn( m) ( x ) =
(
( −i) m (n + m)! x + i 1 − x 2 cos ϕ ∫ π n! 0
) cos(mϕ )dϕ. n
(7.6.32)
При m = 0 выражение (7.6.32) совпадает с формулой Лапласа (7.5.10) для полиномов Лежандра. Из (7.6.32) и (7.5.11) для области x ∈ [−1,1] непосредственно следует оценка Pn( m) ( x ) ≤
( n + m) ! . n!
Аналогично разделу 7.5, на основании выражения (7.6.32), можно получить при n → ∞ следующее асимптотическое представление для присоединенных функций Лежандра ⎡ ⎛ 1 ( m) 2 ⎧⎛ 2m − 1⎞ 1 ⎞ (2m − 1)π ⎤ P (cosθ ) = ⎟ cos ⎢θ ⎜ n + ⎟ + ⎨⎜ 1 + ⎥− m n πn sin θ ⎩⎝ 4n ⎠ 2⎠ 4 n ⎣ ⎝ ⎦ 2 ⎡ ⎛ 4m − 1 1 ⎞ ( 2m − 1)π ⎤ ⎫ −5/ 2 − ctgθ sin ⎢θ ⎜ n + ⎟ + ⎥ ⎬ + O[n ]. ⎝ ⎠ 8n 2 4 ⎣ ⎦⎭
(7.6.33)
Здесь O[n −5/2 ] зависит от m и θ. д) Определение функций Pn( − m) ( x ) Дифференциальное уравнение (7.6.14), как нетрудно видеть, не изменяется при замене m на −m (m — целое неотрицательное число), поэтому данному уравнению, наряду с присоединенной функцией Pn( m) ( x) удовлетворяет и функция Pn( − m) ( x ) , которую в соответствии с (7.6.2) определим в виде Pn( − m) ( x ) =
(1 − x 2 ) − m/2 d n−m ( x 2 − 1) n . 2n n ! dx n−m
[
]
(7.6.34)
Для установления взаимосвязи между функциями Pn( − m) ( x ) и Pn( m) ( x) воспользуемся тождеством (7.6.29), которое запишем для k = m: 2 m/ 2 (1 − x 2 ) − m/2 d n−m ( x 2 − 1) n d n +m ( x 2 − 1) n m (1 − x ) = ( − 1 ) . (n − m)! (n + m)! dx n −m dx n +m
(7.6.35)
Используя определения (7.6.2) и (7.6.34), при n ≥ m получим искомое соотношение Pn( − m) ( x ) = ( −1) m
(n − m)! ( m) Pn ( x ). (n + m)!
(7.6.36)
Глава 7. Сферические функции
203
7.7. Общее выражение для сферических функций При решении ряда задач небесной механики используется разложение в ряды гармонических функций U(x,y,z) — непрерывных во всех точках области определения вместе со своими частными производными первого и второго порядков функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа ΔU = 0. Во многих случаях указанное разложение может быть построено по однородным полиномам (гармоническим многочленам) степени n вида
U n ( x, y, z ) =
∑a
pql ( p+q +l =n )
x p yq zl ,
(7.7.1)
удовлетворяющим уравнению Лапласа. В сферических координатах (1.6.28) x = r cos λ cosϕ ,
y = r sin λ cosϕ ,
z = r sin λ
π⎞ ⎛ π ⎜− ≤ ϕ ≤ ⎟ ⎝ 2 2⎠
для полиномов (7.7.1) будем иметь следующее выражение U n (r, ϕ , λ ) = r Yn (ϕ , λ ),
(7.7.2)
∑a
(7.7.3)
n
где Yn (ϕ , λ ) =
pql ( p+q + l = n)
cos p +q ϕ sin l ϕ cos p λ sin q λ ,
a pql — числовые коэффициенты с неотрицательными индексами {p,q,l} ≥ 0, сумма ко-
торых равна n. Гармонический полином, выраженный в сферических координатах, то есть (7.7.2), принято называть шаровой функцией или объемной сферической функцией. Определяемую (7.7.3) функцию Yn (ϕ , λ ), являющуюся полиномом относительно косинусов и синусов углов ϕ и λ, называют поверхностной сферической или просто сферической функцией n-го порядка. Так как в произвольных ортогональных координатах ξ, η, ζ уравнение Лапласа ΔU n = 0 (7.7.4) имеет вид [29] ⎧ ∂ ⎡ g 22 g 33 ∂U n ⎤ ∂ ⎡ g 33 g11 ∂U n ⎤ ∂ ⎡ g11 g 22 ∂U n ⎤ ⎫ 1 ⎨ ⎢ ⎥⎬ = 0 , ⎥+ ⎢ ⎥+ ⎢ g11 g 22 g 33 ⎩ ∂ξ ⎣ g11 ∂ξ ⎦ ∂η ⎣ g 22 ∂η ⎦ ∂ς ⎣ g 33 ∂ς ⎦ ⎭ то, с учетом определения (1.6.29) матричных коэффициентов gii (i = 1,3), для уравнения (7.7.4) в сферических координатах ξ = r, η = ϕ, ζ = λ при r ≠ 0 получим представление ⎞ 1 ⎛ ∂ ⎛ 2 ∂U n ⎞ ⎜ ⎜⎜ r ⎟⎟ + Δ ϕ ,λ U n ⎟⎟ = 0, (7.7.5) 2 ⎜ ∂r ⎠ r ⎝∂ r ⎝ ⎠ в котором ∂U n ⎞ 1 ∂ ⎛ 1 ∂ 2U n = 0. Δ ϕ ,λ = ⎜ cosϕ ⎟+ cosϕ ∂ϕ ⎝ ∂ϕ ⎠ cos2 ϕ ∂λ2
204
Часть II. Аппарат специальных функций
Поэтому, учитывая (7.7.2), заключаем, что сферическая функция Yn (ϕ , λ ) вида (7.7.3) должна удовлетворять следующему уравнению Δ ϕ ,λ Yn (ϕ , λ ) + n( n + 1)Yn (ϕ , λ ) = 0.
(7.7.6)
Будем решать уравнение (7.7.6) методом разделения переменных, то есть частное его решение представим в виде
Yn (ϕ , λ ) = Φ n (ϕ )Vn ( λ ).
(7.7.7)
Подставляя (7.7.7) в (7.7.6), будем иметь cosϕ
dΦ n ⎤ d ⎡ cosϕ ⎢ dϕ ⎣ dϕ ⎥⎦ d 2Vn dλ2 + n( n + 1) cos2 ϕ = − = μ. Vn ( λ ) Φ n (ϕ )
(7.7.8)
Здесь μ — некоторая постоянная. Следовательно, функции Φ n (ϕ ) и Vn (λ ) должны удовлетворять уравнениям cos ϕ
dΦ n ⎤ d ⎡ cos ϕ + n(n + 1)cos 2 ϕ − μ Φ n = 0, ⎢ ⎥ dϕ ⎣ dϕ ⎦
[
]
d 2Vn + μVn = 0. dλ2
(7.7.9)
Из требования однозначности функции Vn (λ ) вытекает условие периодичности вида
Vn ( λ + 2π ) = Vn (λ ).
(7.7.10)
При выполнении условия (7.7.10) решение второго уравнения (7.7.9) возможно лишь в случае, когда μ = m2 (где m = 0, ±1, ...), при этом мы получаем следующие два линейно независимых решения для функции U n (λ ): Cn ,m exp(imλ ), Cn , − m exp( −imλ ), i 2 = −1.
(7.7.11)
Здесь Cn ,m и Cn ,− m — произвольные постоянные. Если далее в первом уравнении (7.7.9) от ϕ перейти к переменной x по формуле cosϕ = 1 − x 2 , то есть x = sinϕ, тогда, учитывая, что dΦ n dΦ n d d = cosϕ , cosϕ = (1 − x 2 ) , dx dϕ dx dϕ
первое уравнение (7.7.9) примет вид
(1 − x 2 )
dΦ n ⎤ d ⎡ (1 − x 2 ) + n( n + 1)(1 − x 2 ) − m2 Φ n = 0. ⎢ dx ⎥⎦ dx ⎣
[
]
(7.7.12)
Сопоставляя уравнение (7.7.12) с (7.6.14), устанавливаем, что полиномиальным (относительно косинусов и синусов угла ϕ) его решением является присоединенная функция Лежандра, то есть
Глава 7. Сферические функции
205
Φ n = Pn( m) ( x).
(7.7.13)
Здесь, согласно (7.6.1) и (7.6.34), −n ≤ m ≤ n. Таким образом, учитывая частные решения (7.7.11), (7.7.13), общее полиномиальное решение (7.7.6) представим, согласно (7.7.7), в виде
Yn (ϕ , λ ) =
n
∑C
( m) n ,m n
P
(sin ϕ ) exp(imλ ),
m=− n
или, с учетом (7.6.36), для сферической функции порядка n получим следующее выражение n
[
]
Yn (ϕ , λ ) = ∑ Pn( m) (sin ϕ ) An,m cos(mλ ) + Bn,m sin(mλ ) , m= 0
(7.7.14)
где An ,m и Bn ,m — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. Сферическая функция (7.7.14) (а следовательно, и (7.7.3)) содержит 2n + 1 произвольную постоянную, при этом все 2n + 1 шаровые функции r n Pn (sin ϕ ), r n Pn( m) (sin ϕ ) cos (mλ ), m = 1, n линейно независимы, так как если sin n
α 0 Pn (sin ϕ ) + ∑ Pn( m) (sin ϕ )[α m cos(mλ ) + β m sin(mλ )] = 0, m=1
то после умножения обеих частей этого равенства на cos(mλ) (или на sin(mλ)) и интегрирования по λ в пределах от −π до π, для любого m = 1,n следует αm = 0 (и βm = 0). Функции двух аргументов ϕ и λ Yn(,m1 ) = Pn( m) (sin ϕ ) cos(mλ ) и Yn(,m2 ) = Pn( m) (sin ϕ ) sin(mλ ), m = 0, n,
n = 0,1, K
иногда называют элементарными сферическими функциями. Аргументы ϕ и λ можно рассматривать как координаты — широта (ϕ) и долгота (λ) некоторой точки M на сфере единичного радиуса. Тогда Yn (ϕ , λ ) будет являться функцией, задаваемой на сфере, отсюда и происходит название этой функции. В некоторых случаях оказывается целесообразным вместо угла ϕ рассматривать дополнение до широты θ = π/2 − ϕ (0 ≤ θ ≤ π) и тогда аргумент присоединенной функции Лежандра будет равен cosθ. Рассмотрим более подробно структуру сферической функции Yn (ϕ , λ ) . С этой целью на сфере с центром в начале координат найдем геометрическое место точек, задаваемое уравнением cos Pn( m) (sin ϕ ) (mλ ) = 0. (7.7.15) sin Все слагаемые в (7.7.14) можно разделить на три типа. При m = 0, согласно (7.6.1), с точностью до постоянного множителя An,0 , имеются слагаемые вида Yn(,01) = Pn (sin ϕ ).
(7.7.16)
206
Часть II. Аппарат специальных функций
Как было показано в разделе 7.5, полином Лежандра Pn ( x ) порядка n в области x ∈ [−1,1] (чему соответствует при x = sinϕ отрезок − π 2 ≤ ϕ ≤ π 2 ) имеет n действительных и различных корней, поэтому на сфере функция Pn (sin ϕ ) будет менять знак на n параллелях. Таким образом, сфера разделится на 1+n широтных зон, в которых Yn,(01) будет попеременно принимать положительные и отрицательные значения. Указанные слагаемые естественно именовать зональными гармониками порядка n. При n = 5 распределение положительных (заштрихованная область) и отрицательных значений рассматриваемой гармоники приведено на рис. 22.
Рис. 22. Случаю 0 < m < n соответствуют в (7.7.14) с точностью до постоянных множителей An ,m и Bn ,m слагаемые вида Yn(,m1 ) = Pn( m) (sin ϕ ) cos(mλ ) и Yn(,m2 ) = Pn( m) (sin ϕ ) sin(mλ ),
(7.7.17)
которые, как было показано в разделе 7.6г, обращаются в интервале − π 2 < ϕ < π 2 (то есть −1 < sinϕ < 1) в нуль в n − m точках, а также при cos(mλ) = 0 или sin(mλ) = 0. Следовательно, в данном случае геометрическое место точек, определяемое уравнением (7.7.15), представляет собой сеть, состоящую из n − m параллелей, согласно (7.6.3) симметричных относительно экватора (ϕ = 0) и m больших кругов (2m меридиан), проходящих через полюсы, так что каждая из меридиан получается из соседней поворотом на угол π/m. В итоге эта сеть делит всю поверхность сферы на (n−m+1)2m ячейки (tessera), в каждой их которых слагаемые (7.7.17) сохраняют знаки. Эти слагаемые рассматриваемой сферической функции Yn (ϕ , λ ) именуют тессеральными гармониками. Распределение положительных и отрицательных значений тессеральной гармоники порядка n = 10 и индекса m = 5 показано на рис. 23. И, наконец, при m = n слагаемые Yn(,n1) = Pn( n) (sin ϕ ) cos(nλ ) и Yn(,n2) = Pn( n) (sin ϕ ) sin(nλ ),
(7.7.18)
обращаются в нуль только на меридианах, для которых cos( nλ ) = 0 или sin( nλ ) = 0, поскольку в этом случае число параллелей равно нулю. Вся поверхность сферы при этом
Глава 7. Сферические функции
207
делится на 2n знакопостоянных сектора, так что слагаемые (7.7.18) принято называть секториальными гармониками. Соответствующее распределение положительных и отрицательных областей при n = m = 5 приведено на рис. 24.
Рис. 23.
Рис. 24. Таким образом, в системе 1+2n элементарных сферических функций (7.7.16)(7.7.18), составляющих сферическую функцию n-го порядка Yn (ϕ , λ ) , имеется одна зональная, 2n − 2 тессеральные и две секториальные гармоники. 7.8. Ортогональность сферических функций В разделе 7.6 были установлены различные свойства присоединенных функций Лежандра. Полученные результаты в соответствии с (7.7.14) непосредственно распространяются и на сферические функции Yn (ϕ , λ ). В данном разделе покажем, что 1+2n элементарных сферических функций
Yn(,m1 ) = Pn( m) ( x)cos(mλ ) и Yn(,m2 ) = Pn( m) ( x) sin(mλ ),
(7.8.1)
208
Часть II. Аппарат специальных функций
где x = sinϕ , а n ≥ m — целые неотрицательные числа, образуют ортогональную последовательность функций, то есть что справедливы (при k ≥ l — целых неотрицательных числах) следующие равенства:
I n( m,k,,lj) = ∫∫ Yn(,mj ) Yk(,lj) dσ = 0 ( j = 1,2),
(7.8.2)
(S)
если m ≠ l или n ≠ k, и I$n( ,mk,l ) = ∫∫ Yn(,m1 ) Yk(,l2) dσ = 0
(7.8.3)
( S)
при любых n ≥ m и k ≥ l. Здесь интегрирование производится по поверхности сферы S единичного радиуса (−π/2 ≤ ϕ ≤ π/2, 0 ≤ λ ≤ 2π). Так как для сферы единичного радиуса r = 1 (с центром в начале координат) элемент площади поверхности dσ = (rdϕ)(rcosϕdλ) определяется выражением dσ = cosϕdϕdλ, то есть
dσ = dxdλ, x = sinϕ, −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ λ ≤ 2π,
(7.8.4)
то, очевидно, имеем 2π
1
I
( m ,l ) n ,k , j
=
∫P
( m) n
−1
( x ) P ( x )dx ∫ cos(mλ ) cos (lλ )dλ . sin sin (l) k
(7.8.5)
0
При m ≠ l, поскольку cos ( mλ ) cos ( lλ ) = 1 cos( m − l) λ ± sin( m + l) λ , [ ] sin sin 2
заключаем, что интеграл в (7.8.5), взятый по долготе λ равен нулю (при этом интеграл по x будет конечной величиной), а если m = l, но n ≠ k, то согласно свойству ортогональности присоединенных функций Лежандра (7.6.21) будет равен нулю интеграл (7.8.5), взятый по переменной x. Таким образом, в согласии с (7.8.2), будем иметь равенство π /2 2π
⎡
∫ ∫ ⎣⎢ P
− π /2 0
( m) n
( l) (sin ϕ ) Pk (sin ϕ ) cos (mλ ) cos (lλ ) ⎤ cos ϕdλdϕ = 0 (n ≥ m, k ≥ l), sin sin ⎦⎥
(7.8.6)
во всех случаях, за исключением m = l и n = k. Аналогичным образом, учитывая представление cos( mλ ) sin( lλ ) =
1 [sin(l + m)λ + sin(l − m)λ ], 2
устанавливается справедливость равенства (7.8.3). Вычислим теперь интеграл от квадрата элементарной сферической функции Yn(,mj ) (j = 1, 2): 1
I
( m ,m ) n ,n , j
=
∫[P
( m) n
−1
]
2π
2
( x ) dx ∫ cos2 (mλ )dλ . sin 0 2
Глава 7. Сферические функции
209
Если m ≠ 0, то 2π
cos2 (mλ )dλ = 1 ∫0 sin 2 2
2π
∫ [1 ± cos(2mλ )]dλ = π ,
(7.8.7)
0
а если m = 0, то интеграл (7.8.7) в первом случае (при j = 1) равен 2π, а во втором (j = 2) — нулю. Поэтому, с учетом (7.6.22), находим
[ ]
2
I n( m,n,,mj ) = ∫∫ Yn(,mj ) dσ = (S)
2πα m, j (n + m) ! , 2n + 1 (n − m) !
(7.8.8)
где α 0,1 = 2, α 0,2 = 0, а α m, j = 1 ( j = 1,2) при m ≠ 0. При m ≠ 0 (7.8.8) можно представить в виде 2 ⎡ P ( m) (sin ϕ ) cos (mλ ) ⎤ dσ = 2π (n + m) ! . ∫∫ sin ⎢⎣ n ⎥⎦ 2n + 1 (n − m) ! (S)
(7.8.9)
Здесь, как и ранее, интеграл берется по поверхности сферы S единичного радиуса с центром, совмещенным с началом координат. Учитывая представление (7.8.9), оказывается целесообразным наряду с присоединенными функциями Pn( m) ( x) , x = sinϕ, определяемыми (7.6.1), использовать так называемые нормированные pn′ ( m) ( x), а также полностью нормированные pn( m) ( x) присоединенные функции Лежандра, вводимые соотношениями: pn′ ( m) ( x) =
2( n − m)! ( m) Pn ( x), ( n + m)!
pn( m) ( x) = 2n + 1 pn′ ( m) ( x),
или pn′
( m)
m 2(n − m)! 2 m/ 2 d Pn ( x) ( x) = (1 − x ) , m (n + m)! dx
d m Pn ( x) 2(2n + 1)(n − m)! pn( m) ( x) = (1 − x 2 ) m/2 , ( n + m)! dx m
(7.8.10)
где Pn ( x ) — полином Лежандра. Тогда, учетом определений (7.8.10), выражение (7.8.9) можно представить в виде ⎡ p ′ ( m) (sin ϕ ) cos (mλ ) ⎤ dσ = 4π , ∫∫ sin ⎣⎢ n ⎦⎥ 2n + 1 (S) 2
2
⎡ p ( m) (sin ϕ ) cos (mλ ) ⎤ dσ = 4π . ∫∫ sin ⎢⎣ n ⎥⎦ (S) Здесь уже правая часть не зависит от m, а в случае полностью нормированной присоединенной функции Лежандра pn( m) — и от порядка n. Обращаясь далее к полной сферической функции n-го порядка Yn (ϕ , λ ), определяемой (7.7.14),
210
Часть II. Аппарат специальных функций n
(
)
Yn (ϕ , λ ) = ∑ An ,mYn(,m1 ) + Bn ,mYn(,m2 ) , m= 0
(7.8.11)
из (7.8.2), (7.8.3) при n ≠ k получим
∫∫ Y (ϕ , λ )Y (ϕ , λ )dσ = 0. n
k
(S)
Следовательно, бесконечная последовательность сферических функций
Y0 , Y1 , Y2 , K образует на сфере S единичного радиуса ортогональную систему функций. При этом, согласно (7.8.8), квадрат нормы d n2 сферической функции Yn будет равен 2 ∫∫ Yn (ϕ , λ )dσ = (S)
2π n 2 (n + m) ! ∑ Cn ,m (n − m)! , 2n + 1 m= 0
(7.8.12)
где Cn2,0 = 2 An2,0 , и Cn2,l = An2,l + Bn2,l при l = 1, n ( m ≠ 0) . Если в (7.8.11) при определении элементарных сферических функций (7.8.1) вместо присоединенной функции Pn( m) ( x) использовать полностью нормированную присоединенную функцию Лежандра pn( m) ( x) , то выражение (7.8.12) заметно упрощается: 1 4π
n
2 2 ∫∫ yn (ϕ, λ)dσ = ∑ Cn,m . (S)
m= 0
Здесь n
yn (ϕ , λ ) = ∑ ( An ,m cos(mλ ) + Bn ,m sin(mλ ))pn( m) (sin ϕ ). m= 0
7.9. Теорема сложения Рассмотрим изменение сферической функции Yn вида (7.7.3) или (7.7.14) при вращении системы координат, то есть при переходе от декартовой системы координат Oxyz к новой системе Ox′y′z′ , так что
x ′ = α 1 x + β 1 y + γ 1 z,
y ′ = α 2 x + β 2 y + γ 2 z, z ′ = α 3 x + β 3 y + γ 3 z.
(7.9.1)
Здесь α1, β1, γ1 — направляющие косинусы оси Ox′ относительно осей Ox, Oy, Oz, соответственно, а α2, β2, γ2 и α3, β3, γ3 — направляющие косинусы соответственно осей Oy′ и Oz′ относительно осей первоначальной системы координат Ox, Oy, Oz. Определим положение новой прямоугольной системы координат Ox′y′z′ относительно начальной Oxyz тремя независимыми углами Эйлера ψ, ω, ν (см. рис. 25, а также главу 14). Если обозначить точки пересечения осей Ox, Oy, Oz со сферой единичного радиуса (с центром в точке О) через X, Y, Z, соответствующие пересечения осей Ox′, Oy′, Oz′ — через X′, Y′, Z′ а точки пересечения больших кругов сферы, проходящих через X, Y и, соответственно, X′, Y′ — через NN′ (линия узлов), то по определению ∧ ∪ ∪ (7.9.2) ψ = XN , ω = NX ′, Z ′OZ = ν .
Глава 7. Сферические функции
211 z
z'
y'
Z Y'
Z'
x'
νv
N'
O
ψ
X'
ω
X
Y
y
N
x
Рис. 25. Из сферических треугольников XNX′, YNX′ и ZNX′, которые получаются, если на рис. 25 соединить точку X′ дугами большого круга с точками X, Y, Z, по теореме косинусов легко находятся следующие выражения для первой тройки направляющих косинусов: α 1 = cosψ cos ω − sin ψ sin ω cosν ,
β 1 = sinψ cos ω + cosψ sin ω cosν , γ 1 = sin ω sinν .
(7.9.3)
Поскольку ось Oy′ получается поворотом оси Ox′ на 90° в плоскости OX′ Y ′, то заменой в (7.9.3) ω на ω + 90° непосредственно получаем выражения для второй тройки направляющих косинусов: α 2 = − cosψ sin ω − sinψ cos ω cosν ,
β 2 = − sin ψ sin ω + cosψ cos ω cosν , γ 2 = cos ω sinν .
(7.9.4)
И, наконец, соединяя точку Z′ дугами большого круга с точками X, Y, Z и N, из сферических треугольников Z′ XN, Z′ YN и Z′ ZN для последней тройки направляющих косинусов получим α 3 = sinψ sin ν , β 3 = − cosψ sin ν , γ 3 = cosν . (7.9.5) Ввиду ортогональности рассматриваемых систем координат, как очевидно из (7.9.3)-(7.9.5), выполняются следующие соотношения 3
∑ α i2 = 1, i =1
3
∑ β i2 = 1, i =1
3
∑γ
2 i
= 1,
(7.9.6)
i =1
а также, в частности, 3
∑ α i β i = 0, i =1
3
∑ α iγ i = 0, i =1
3
∑β γ i
i
= 0.
(7.9.7)
i =1
На основании (7.9.1), вводя обозначения ξ1 = x, ξ2 = y, ξ3 = z, для соответствующих частных производных будем иметь
212
Часть II. Аппарат специальных функций 2 2 2 ∂2 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ = αi + βi +γi + α i (β i D x2′y′ + γ i D x2′z′ ) + β i γ i D y2′z′ , i = 1, 3, 2 2 2 2 ∂ξ i ∂ x′ ∂ y′ ∂ z′
где 2
Dης =
∂2 ∂2 + ; η, ς = { x ′, y ′, z ′}. ∂η∂ς ∂ς∂η
Следовательно, с учетом (7.9.6) и (7.9.7), получим *)
∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 + + = + + . ∂ x2 ∂ y2 ∂ z 2 ∂ x′ 2 ∂ y′ 2 ∂ z′ 2 Таким образом, при любом повороте системы координат Oxyz уравнение Лапласа остается неизменным. Так как при вращении системы координат, согласно (7.9.1), однородный полином переходит в однородный полином той же степени, то гармонический многочлен Un(x,y,z) степени n вида (7.7.1) при любом повороте системы координат будет переходить в гармонический полином той же степени относительно новых координат x′,y′,z′ так же, как и шаровая функция (7.7.2) перейдет в соответствующую шаровую функцию одноименного порядка. Следовательно, сферическая функция (7.7.14), или (7.7.3), а также элементарные сферические функции Yn(,mj ) ( j = 1, 2) вида (7.7.17) после произвольного поворота координатной системы перейдут в сферические функции от новых координат ϕ′, λ′, так что в общем случае n
Yn(,mj ′ ) (ϕ ′ , λ ′ ) = ∑ Dn( m, j ,m′ ) Yn(,mj ) (ϕ , λ ),
(7.9.8)
m= 0
где коэффициенты Dn( m, j,m′) (ψ , ω ,ν ) , очевидно, будут зависеть от углов Эйлера (7.9.2), определяющих поворот системы координат **) . Выведем далее достаточно важное соотношение для сферических функций, отвечающее частному случаю преобразования (7.9.8), когда m′ = 0. Согласно (7.7.17) и (7.6.1), сферическая функция в левой части (7.9.8) будет в данном случае равна полиному Лежандра n-го порядка. В качестве аргумента полинома Лежандра выберем величину (7.9.9) cos γ = sin ϕ sin ϕ ′ + cos ϕ cos ϕ ′ cos( λ − λ ′), представляющую собой косинус угла γ между радиус-векторами двух точек M(ϕ,λ) и Z′ (ϕ′,λ′) на поверхности сферы единичного радиуса (см. рис. 26). При этом в системе координат Oxyz с полюсом в точке Z координаты точки M приняты за ϕ, λ, а координаты точки полюса Z′ новой системы координат Ox′y′z′, полученной в результате вращения *)
Инвариантность оператора Лапласа относительно преобразования (7.9.1) можно было также установить из общей формулы для оператора Лапласа (в произвольной ортогональной системе координат) вида (7.7.4), в которой, согласно (1.6.24) и (7.9.6), следовало бы в рассматриваемом случае положить g ii = 1 (i = 1, 3).
**)
Функции вида D n( ,mj, m ′ ) (ψ , ω ,ν ) носят название обобщенных сферических функций, так как для ряда ча-
стных случаев (см. раздел 7.13) они совпадают со сферическими функциями.
Глава 7. Сферические функции
213
исходной, считаются равными ϕ′, λ′. Соотношение (7.9.9) непосредственно следует из теоремы косинусов для сферического треугольника ZMZ′. z Z
γ
M(ϕ,λ )
Z'
ϕ'
ϕ
O
y
λ−λ ' x
Рис. 26. Полином Лежандра от аргумента (7.9.9), то есть Pn(cosγ), в новой системе координат с полюсом в точке Z′, очевидно, является сферической функцией от точки M. Но, согласно (7.9.8), эта функция будет также сферической и в начальной системе координат, то есть будет сферической функцией от величин ϕ, λ. Поэтому функцию Pn(cosγ) можно представить в виде (7.7.14): n
[
]
Pn (cosγ ) = ∑ Pn( m) (sin ϕ ) An ,m cos( mλ ) + Bn ,m sin( mλ ) , m= 0
(7.9.10)
где коэффициенты An,m и Bn,m, являясь постоянными относительно ϕ и λ, будут зависеть от ϕ′ и λ′. Поскольку, как следует из (7.9.9), в аргумент (cosγ) полинома Лежандра одноименные координаты точек M(ϕ,λ) и Z′(ϕ′,λ′) входят равноправно, то и правая часть (7.9.10) должна быть инвариантна относительно соответствующей замены {ϕ,λ}→{ϕ′,λ′} *) . Следовательно, коэффициенты An,m и Bn,m должны иметь вид ~ An ,m = hn ,m Pn( m) (sin ϕ ′ ) cos( mλ ′), Bn ,m = hn ,m Pn( m) (sin ϕ ′) sin( mλ ′ ). B
B
~ Здесь hn ,m и hn ,m — числовые коэффициенты. Но так как cosγ определяется лишь разно~ стью ⏐λ−λ′⏐, то hn,m = hn,m и для (7.9.10), очевидно, будем иметь n
Pn (cosγ ) = ∑ hn ,m Pn( m) (sin ϕ ) Pn( m) (sin ϕ ′) cos[ m( λ − λ ′)].
(7.9.11)
m= 0
Для нахождения коэффициентов hn ,m рассмотрим частный случай равенства (7.9.11), когда ϕ = ϕ′. Полагая тогда x = sinϕ, так что cosγ = x 2 + (1 − x 2 ) cos( λ − λ ′ ), *)
Здесь было учтено, что cos(λ−λ′) = cosλcosλ′ + sinλsinλ′.
(7.9.12)
214
Часть II. Аппарат специальных функций
из (7.9.11) получим равенство n
[
]
Pn (cosγ ) = ∑ hn ,m Pn( m) ( x) cos[ m(λ − λ ′ )], m= 0
2
интегрируя которое по x в пределах от −1 до +1, на основании (7.6.22), и, учитывая, что P0( 0) = P0 = 1, , будем иметь h0,0 = 1 и при n ≥ 1 1
∫ Pn (cosγ )dx =
−1
n ⎤ (n + m)! 2 ⎡ h + cos[ m( λ − λ ′)]⎥. ⎢ n, 0 ∑ hn,m (n − m)! 2n + 1 ⎣ m=1 ⎦
(7.9.13)
С другой стороны, непосредственно покажем теперь, что 1
∫ Pn (cosγ )dx =
−1
n ⎫ 2 ⎧ + cos[ m(λ − λ ′)]⎬. 1 2 ⎨ ∑ 2n + 1 ⎩ m=1 ⎭
(7.9.14)
С этой целью воспользуемся определением полиномов Лежандра через производящую функцию (7.1.2):
[
1 − 2τ cos γ + τ 2
]
−1/ 2
∞
= 1 + ∑ τ n Pn (cos γ ), 0 < τ < 1.
(7.9.15)
n =1
Так как , с учетом (7.9.12), 1 − 2τ cosγ + τ 2 = α 2 (1 − β 2 x 2 ), где
α = 1 − 2τ cos( λ − λ ′) + τ 2 , β =
1
α
2τ [1 − cos( λ − λ ′ ) ] ,
то, интегрируя равенство (7.9.15) по x в пределах от −1 до 1, для левой его части получим следующее выражение: 1
1
α∫
−1
dx 1− β 2 x2
=
1
arcsin( βx ) 1 . −1 αβ
Поэтому из (7.9.15) будем иметь равенство ∞ 2τ [1 − cos( λ − λ ′)] 2 τ τ n +1/2 ∫ Pn (cos γ ) dx, arcsin 2 = + ∑ 2 1 − cos( λ − λ ′) 1 − 2τ cos( λ − λ ′) + τ n =1 −1
1
дифференцируя обе части которого по τ, находим ∞ 1+ τ 2n + 1 n τ ∫ Pn (cosγ )dx. = 1 + ∑ 2 2 1 − 2τ cos(λ − λ ′) + τ n =1 −1 1
Разлагая, наконец, с учетом формулы Эйлера
2 cos(λ − λ ′) = exp[i(λ − λ ′)] + exp[ −i(λ − λ ′)],
(7.9.16)
Глава 7. Сферические функции
215
по степеням τ левую часть (7.9.16), получим 1+ τ 1 = 2 1− τ 1 − 2τ cos( λ − λ ′ ) + τ
⎧ ⎫ 1 1 + − 1⎬, ⎨ ⎪⎩ 1 − τ exp[i ( λ − λ ′ ) ] 1 − τ exp[ −i ( λ − λ ′ ) ] ⎪⎭
или, учитывая, что (1 − τ ) −1 = 1 + τ + τ 2 +K, ∞
∞
k =0
n=1
−1 + ∑ τ k { exp[ik (λ − λ ′)] + exp[ − ik (λ − λ ′)]} = 1 + 2∑ τ n cos[ n(λ − λ ′)], будем иметь ∞ 1+ τ = 1 + τ n (1 + 2 cos(λ − λ ′) +K+2 cos[ n(λ − λ ′)]). ∑ 2 1 − 2τ cos(λ − λ ′) + τ n =1
(7.9.17)
Из (7.9.16) и (7.9.17) непосредственно следует искомое равенство (7.9.14). Сопоставление выражений (7.9.13) и (7.9.14) позволяет определить числовые коэффициенты, входящие в выражение (7.9.11), в виде hn, 0 = 1 ( n = 0,1, K), hn,m = 2
( n − m)! ( m = 1, n, n ≥ 1). ( n + m)!
(7.9.18)
Заменяя в (7.9.11) коэффициенты hn ,m найденными для них выражениями (7.9.18), с учетом (7.9.9) и (7.6.1), получим окончательно представление Pn (sin ϕ sin ϕ ′ + cosϕ cosϕ ′ cos( λ − λ ′ ) ) = Pn (sin ϕ ) Pn (sin ϕ ′ ) + ( n − m)! ( m) Pn (sin ϕ ) Pn( m) (sin ϕ ′ ) cos[ m( λ − λ ′ ) ], ( n m )! + m =1 n
+ 2∑
(7.9.19)
которое называется теоремой (формулой) сложения для полиномов Лежандра. Формула (7.9.19) позволяет находить значение полинома Лежандра от суммы аргументов через сумму слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение элементарных сферических функций *) . 7.10. Ряд Лапласа
Получим разложение функции f(ϕ,λ) от двух независимых сферических координатϕ и λ (широта и долгота) произвольной точки M, располагающейся на поверхности *)
Из формулы сложения можно получить еще одно выражение для полинома Лежандра, если в (7.9.19) считать, что ϕ = ϕ′ = 0. В этом случае, с учетом (7.1.12), (7.6.4), будем иметь Pn [cos(λ − λ ′)] =
где E(n/2) — целая часть числа n/2, C n( n − 2 k ) =
(2k )!(2n − 2k )! , когда n ≠ 2k. 2 2 n −1 (k!) 2 [(n − k )!]2
E ( n / 2)
∑C k =0
( n− 2 k ) n
cos[(n − 2k )(λ − λ ′)],
⎡ (n − 1)!!⎤ C n( 0 ) = ⎢ ⎥ ⎣ n!! ⎦
2
при n = 2m (m = 1, 2, ...) и
216
Часть II. Аппарат специальных функций
сферы S единичного радиуса, в ряд по сферическим функциям. Будем считать, что в каждой точке поверхности сферы S функция f(ϕ,λ) является однозначной, конечной и непрерывной. Покажем, что эту функцию можно разложить в равномерно сходящийся ряд ∞
f (ϕ , λ ) = ∑ Yn (ϕ , λ ),
(7.10.1)
n=0
в котором Yn(ϕ,λ) является сферической функцией n-го порядка вида (7.7.14) n
[
]
Yn (ϕ , λ ) = ∑ Pn( m) (sin ϕ ) An ,m cos( mλ ) + Bn ,m sin(mλ ) . m= 0
При этом входящие в (7.7.14) коэффициенты An,m, Bn,m будут определяться однозначным образом, поскольку, умножая обе части (7.10.1) на элементарную сферическую функцию Pk( l ) (sin ϕ ) cos( lλ ), после интегрирования по поверхности сферы S, с учетом (7.8.1)-(7.8.6), получим π /2 2π
∫π ∫ f (ϕ , λ )P
( m) n
(sin ϕ ) cos( mλ ) cosϕdλdϕ =
− /2 0
π / 2 2π
= An ,m
∫ ∫[P π
( m) n
]
2
(sin ϕ ) cos2 (mλ ) cosϕdλdϕ .
− /2 0
Следовательно, согласно (7.8.8), будем иметь π /2 2π
An ,m =
2n + 1 (n − m)! 2πα m (n + m)! − π∫/2
∫ f (ϕ , λ )P
( m) n
(sin ϕ ) cos( mλ ) cos ϕdλdϕ ,
(7.10.2)
0
где α0 = 2, а αm = 1 при m ≠ 0. Аналогичным образом при m ≠ 0 (m = 1, ..., n ) находим *) π /2 2π
Bn ,m
2n + 1 (n − m)! f (ϕ , λ ) Pn( m) (sin ϕ ) sin(mλ ) cos ϕdλdϕ . = ∫ ∫ 2π (n + m)! −π /2 0
(7.10.3)
Таким образом, можно заключить, что если разложение (7.10.1) будет сходиться равномерно, то оно должно быть единственным. С учетом определений (7.10.2), (7.10.3) ряд (7.10.1) представим в виде
*)
Коэффициент Bn , 0 не представляет интереса, поскольку из-за множителя sin(mλ) он не входит в выражение для сферической функции Yn(ϕ,λ).
Глава 7. Сферические функции ∞
217
2n + 1 (n − m)! ( m ) Pn (sin ϕ ) × (n + m)! n = 0 m = 0 2π n
f (ϕ , λ ) = ∑∑
⎡ cos(mλ ) π / 2 2π f (ϕ ′, λ ′)Pn( m ) (sin ϕ ′) cos(mλ ′) cos ϕ ′dλ ′dϕ ′ + ×⎢ ∫ ∫ ⎣ α m −π / 2 0 + sin( mλ )
π / 2 2π
∫ ∫
−π / 2 0
⎤ f (ϕ ′, λ ′)Pn( m ) (sin ϕ ′) sin( mλ ′) cos ϕ ′dλ ′dϕ ′⎥, ⎦⎥
или π / 2 2π
2n + 1 f (ϕ , λ ) = ∑ ∫ ∫ f (ϕ ′, λ ′) × n = 0 4π −π /2 0 ∞
2 ( n − m)! ( m) ×∑ Pn (sin ϕ ) Pn( m) (sin ϕ ′ ) cos[ m( λ − λ ′ )] cosϕ ′dλ ′dϕ ′. m= 0 α m ( n + m)! n
(7.10.4)
Если воспользоваться теоремой (формулой) сложения (7.9.19) для полиномов Лежандра, то (7.10.4) примет вид π /2 2π
2n + 1 f (ϕ , λ ) = ∑ 4π − π∫/2 n=0 ∞
∫ f (ϕ ′, λ ′)P (cos γ ) cos ϕ ′dλ ′dϕ ′. n
(7.10.5)
0
Здесь в соответствии с (7.9.9) cos γ = sin ϕ sin ϕ ′ + cos ϕ cos ϕ ′ cos( λ − λ ′ ).
(7.10.6)
Переходя теперь к исследованию сходимости ряда (7.10.5), рассмотрим частную сумму fk этого ряда, состоящую из первых (k+1) слагаемых, которую, учитывая (7.8.4), представим следующим образом: 2n + 1 f ( Z ′) Pn (cos γ )dσ ′, ∫∫ n = 0 4π (S) k
f k (ϕ, λ ) = ∑
(7.10.7)
где через f(Z′ ) обозначено значение функции f(ϕ′,λ′) в точке Z′ ∈ S с координатами ϕ′, λ′, а dσ′ = cosϕ′dλ′dϕ′ представляет собой элемент поверхности сферы S, радиус которой равен единице. Поскольку, согласно (7.10.6), γ — угловое расстояние между двумя точками сферы Z′ и M (см. рис. 26), то, определяя положение Z′ в системе координат с полюсом в точке M, за новые координаты точки Z′ примем γ (0 ≤ γ ≤ π) и некоторый угол ψ (0 ≤ ψ ≤ 2π), который можно рассматривать как новую долготу точки Z′. Тогда элемент поверхности сферы dσ′ будет равен dσ′ = cos(90°−γ)dψdγ, а выражение (7.10.7) можно представить в виде π
2n + 1 fk = ∑ Φ(γ ) Pn (cos γ ) sin γdγ . 2 ∫0 n=0 k
(7.10.8)
218
Часть II. Аппарат специальных функций
Здесь функция
Φ(γ ) =
1 2π
2π
∫ f ( Z ′)dψ
(7.10.9)
0
представляет собой осредненное значение функции f(Z′ ) по новой долготе ψ. Если перейти в интеграле (7.10.8) от переменной γ к новой переменной x = cosγ, так что Φ(γ) = ℜ(x), (7.10.10) то будем иметь 1 k 1 f k = ∫ ℜ( x) ∑ (2n + 1) Pn ( x)dx, 2 −1 n=0 или, учитывая соотношение (7.2.6), получим 1
1 f k = ∫ [ Pk′+1 ( x) + Pk′( x)]ℜ( x)dx. 2 −1
(7.10.11)
Так как по исходному предположению функция f(Z′ ) непрерывна на сфере S, то функция ℜ(x) будет иметь на отрезке [−1,1] непрерывную производную. Поэтому (7.10.11) можно проинтегрировать по частям 1
1 1 f k = [ Pk +1 ( x) + Pk ( x)]ℜ( x) 1 − ∫ [ Pk +1 ( x) + Pk ( x)]ℜ ′( x) dx. −1 2 2 −1 Но, согласно (7.1.11),
Pk +1 (1) = Pk (1) ≡ 1, Pk ( −1) = − Pk +1 ( −1) = ( −1) k . Следовательно, 1
1 f k = ℜ(1) − ∫ [ Pk ( x) + Pk +1 ( x)]ℜ ′( x)dx, 2 −1 или, поскольку, как следует из (7.10.10) и (7.10.9),
1 ℜ(1) = Φ(0) = 2π
2π
∫ f ( M )dψ = f (ϕ, λ) 0
(при γ = 0 точка Z′ совпадает с M, а f(M) не зависит от ψ), то 1
1 f k = f (ϕ, λ ) − ∫ [ Pk ( x) + Pk +1 ( x)]ℜ ′( x)dx. 2 −1
(7.10.12)
Докажем теперь, что интеграл, входящий в (7.10.12), стремится к нулю при k → ∞. Обозначая через C наибольшее в области −1 ≤ x ≤ 1 абсолютное значение непрерывной функции ℜ′ (x), получим следующую оценку
Глава 7. Сферические функции 1
1
∫ [ P ( x) + P
k +1
k
219
−1
[
]
( x)]ℜ ′( x) dx ≤ C ∫ Pk ( x) + Pk +1 ( x) dx.
(7.10.13)
−1
Из неравенства Буняковского-Шварца *) 2
1 1 1 ⎡1 ⎤ 2 2 P ( x ) dx dx P ( x ) dx 2 Pk ( x) dx, ≤ = ⎢∫ k ⎥ k ∫ ∫ ∫ ⎢⎣ −1 ⎥⎦ −1 −1 −1
с учетом выражения (7.4.8) для квадрата нормы полинома Лежандра Pk(x) следует, что 1
∫ P ( x) dx ≤ k
−1
2 . 1 + 2k
Поэтому 1
lim ∫ Pk ( x) dx = 0,
k →∞
−1
а следовательно, согласно (7.10.13), 1
lim ∫ [ Pk ( x) + Pk +1 ( x)]ℜ ′( x)dx = 0. k →∞
−1
Таким образом, равенство (7.10.12) при k → ∞ будет иметь вид lim f k = f (ϕ , λ ),
k →∞
что и доказывает равномерную сходимость к заданной функции f(ϕ,λ) на всей сфере S ряда (7.10.5), или (7.10.1), который называется рядом Лапласа **) . Следует заметить, что существование ряда Лапласа связано с образованием сферическими функциями полной системы ортогональных на сфере единичного радиуса функций. При этом задача о разложении заданной на сфере S функции f(ϕ,λ) в ряд по сферическим функциям представляет собой задачу о наилучшем на сфере приближении к f(ϕ,λ) соответствующих комбинаций осциллирующих сферических функций (с ростом порядка сферических функций число перемен знаков этих функций возрастает).
*)
Пусть u = u(x), v = v(x), t — вещественная независимая переменная, тогда из неравенства b
b
b
b
a
a
a
a
2 2 2 2 ∫ (tu + v ) dx = t ∫ u dx + 2t ∫ uv dx + ∫ v dx ≥ 0
и условия β 2 ≤ αc — неотрицательности квадратного трехчлена αt2 + 2βt + c (α > 0) — следует нера2
b b ⎡b ⎤ венство Буняковского-Шварца ⎢ ∫ u ( x) v ( x)dx ⎥ ≤ ∫ u 2 ( x)dx ∫ v 2 ( x)dx, которое при u(x) ≡1 имеет вид a a ⎣a ⎦ 2
b ⎡b ⎤ v ( x ) dx ≤ ( b − a ) v 2 ( x)dx. ⎢∫ ⎥ ∫ a ⎦ ⎣a **) Ряд Лапласа можно обобщить и на случай кусочно непрерывных функций. При этом он будет обладать свойствами, аналогичными ряду Лежандра.
220
Часть II. Аппарат специальных функций
7.11. Разложение потенциала притяжения в ряд по сферическим функциям Пусть материальная точка P(x,y,z) единичной массы находится в ньютоновском поле тяготения некоторого тела T произвольной формы, жестко связанного с декартовой системой координат Oxyz. Предполагая, что плотность χ тела T является кусочно непрерывной функцией координат, а начало системы координат Oxyz выбрано в центре масс тела T, для потенциала притяжения или силовой функции тела T в точке P с координатами x, y, z будем иметь по определению выражение U = f ∫∫∫
χ ( x ′, y ′, z ′) dV Δ
(T)
(7.11.1)
,
где Δ = ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′) 2 + ( z − z ′) 2 есть расстояние точки P от текущей точки P′ ∈ T с координатами (x′,y′,z′), в которой локализован объем dV, f — гравитационная постоянная. Интеграл в (7.11.1) берется по всему объему, занимаемому притягивающим телом T. Если через r и r′ обозначить модули, соответственно, радиус-векторов точек P и P′, а через γ — угол, образованный этими радиус-векторами, то для Δ и γ получим (см. рис. 27) xx ′ + yy ′ + zz ′ (7.11.2) Δ = r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos γ , cos γ = . rr ′ z Δ
P' → r'
→ r
γ ϕ
O x
P
y
λ Рис. 27.
Считая, что точка P лежит вне притягивающего тела (то есть r > r′ ), представим Δ−1 рядом по степеням отношения r′ ⁄r < 1. Поскольку −1/ 2
2 1 1⎡ ⎛ r′⎞ ⎛ r′⎞ ⎤ = ⎢1 − 2⎜ ⎟ cos γ + ⎜ ⎟ ⎥ , ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎥ Δ r ⎢⎣ ⎦ то, учитывая выражение для производящей функции (7.1.1) полиномов Лежандра Pn(x), согласно (7.1.2) находим следующее разложение для 1/Δ: n
1 1 ∞ ⎛ r′⎞ = ∑ ⎜ ⎟ Pn (cos γ ), Δ r n=0 ⎝ r ⎠
Глава 7. Сферические функции
221
подставляя которое в (7.11.1), с учетом того, что P0(cosγ) ≡ 1 (см. раздел 7.1), получим
U=
f r
∞ ⎡ 1 ⎢M + ∑ n ⎢⎣ n =1 r
⎤
n ∫∫∫ χr ′ Pn (cosγ )dV ⎥.
(7.11.3)
⎥⎦
(T)
Δ
Здесь M = ∫∫∫ χdV — масса тела T. (T)
Переходя к сферическим координатам (1.6.28): x = r cos λ cos ϕ , y = r sin λ cos ϕ , z = r sin ϕ , x ′ = r ′ cos λ ′ cos ϕ ′, y ′ = r ′ sin λ ′ cos ϕ ′, z ′ = r ′ sin ϕ ′,
(7.11.4)
из (7.11.2) для cosγ будем иметь выражение cos γ = sin ϕ sin ϕ ′ + cos ϕ cos ϕ ′ cos( λ − λ ′).
Но при n ≥ 1 согласно теореме сложения для полиномов Лежандра (7.9.19): Pn (cos γ ) = Pn (sin ϕ ) Pn (sin ϕ ′) +
{
( n − m)! ( m) Pn (sin ϕ )cos(mλ ) Pn( m) (sin ϕ ′)cos( mλ ′) + m=1 ( n + m)! n
+ 2∑
[
]
(7.11.5)
]}
[
+ Pn( m) (sin ϕ ) sin( mλ ) Pn( m) (sin ϕ ′) sin( mλ ′) .
Здесь было учтено, что
cos(mλ )cos(mλ ′) + sin(mλ ) sin(mλ ′) = cos[ m(λ − λ ′)].
Подставляя (7.11.5) в (7.11.3) и вводя следующие обозначения для безразмерных коэффициентов: 1 Jn = χr ′ n Pn (sin ϕ ′) dV , n ∫∫∫ Mr0 ( T ) Kn , m = Sn,m =
1 Mr0n
∫∫∫
2( n − m)! n ( m) χr ′ Pn (sin ϕ ′)cos( mλ ′) dV , ( n + m)!
1 Mr0n
∫∫∫
2( n − m)! n ( m) χr ′ Pn (sin ϕ ′) sin(mλ ′)dV , ( n + m)!
(T)
(T)
(7.11.6)
в которых M — масса тела T, r0 — средний экваториальный радиус (характерный размер) T, будем иметь fM U= r
n ∞ ⎪⎧ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ ⎜ ⎟ J n Pn (sin γ ) + ⎪⎩ n =1 ⎝ r ⎠
(7.11.7) ⎫ ⎪ ⎛r ⎞ + ∑ ∑ ⎜ 0 ⎟ Pn( m) (sin ϕ ) Kn,m cos( mλ ) + Sn,m sin( mλ ) ⎬ . ⎝ ⎠ ⎪⎭ n =1 m=1 r Как следует из (7.11.6), коэффициенты Jn, Kn,m и Sn,m (n = 1, 2, ...; m ≤ n) зависят от формы тела T и распределения масс внутри него. Рассмотрим некоторые из них. ∞
n
n
[
]
222
Часть II. Аппарат специальных функций
Так как, согласно результатам разделов 7.1 и 7.6, P1 (sin ϕ ′) = sin ϕ ′,
P1 (sin ϕ ′) = cos ϕ ′, (1)
то, полагая в (7.11.6) n = m = 1 и учитывая (7.11.4), находим 1 Mr0
J1 =
K1,1 = S1,1 =
z0
∫∫∫ z ′dM = r
,
0
(T )
x0
1 Mr0
∫∫∫ x ′dM = r
1 Mr0
∫∫∫ y ′dM = r
,
0
(T )
y0
.
0
(T )
Здесь x0, y0, z0 — координаты центра масс тела T, dM = χdV. Следовательно, ввиду исходного предположения о том, что начало системы координат Oxyz совмещено с центром инерции тела T, имеем J 1 = K1,1 = S1,1 = 0 .
(7.11.8)
При n = 2, принимая во внимание, что (см. раздел 7.1) P2 (sin ϕ ′) =
3 2 1 sin ϕ ′ − 2 2
и учитывая представления (7.11.4), из (7.11.6) получим J2 =
1 2 Mr02
∫∫∫ χ (2 z ′
2
2
2
−x ′ − y ′ )dV
(7.11.9)
(T )
Если в двух последних выражениях (7.11.6) положить n = 2 и m = 1, то, поскольку (см. раздел 7.6) P2(1) (sin ϕ ′) = 3sin ϕ ′ cos ϕ ′, с учетом (7.11.4), будем иметь K2 ,1 =
1 Mr02
∫∫∫ χx ′z ′dV ,
S 2 ,1 =
(T )
1 Mr02
∫∫∫ χy ′z ′dV .
(7.11.10)
(T )
Полагая, наконец, в (7.11.6) n = m = 2 и учитывая, что P2( 2) = 3 cos 2 ϕ ′, легко находим K2 , 2 =
1 4 Mr02
∫∫∫ χ ( x ′ (T )
2
− y ′ 2 )dV ,
S2, 2 =
1 2 Mr02
∫∫∫ χx ′y ′dV .
(7.11.11)
(T )
Если обозначить через A, B, C главные центральные моменты инерции притягивающего тела T:
Глава 7. Сферические функции
A = ∫∫∫ χ ( y ′ 2 + z ′ 2 )dV , (T )
223
B = ∫∫∫ χ ( x ′ 2 + z ′ 2 )dV , C = ∫∫∫ χ ( x ′ 2 + y ′ 2 )dV , (7.11.12) (T )
(T )
а через D, E, F — произведения инерции (или центробежные моменты): D = ∫∫∫ χx ′y ′dV , (T )
E = ∫∫∫ χx ′z ′dV , (T )
F = ∫∫∫ χy ′z ′dV ,
(7.11.13)
(T )
то коэффициенты (7.11.9)-(7.11.11) представимы в следующем виде J2 =
A + B − 2C , 2 Mr02
E , Mr02
K 2 ,1 =
S 2 ,1 =
F , Mr02
K2 , 2 =
B− A , 4 Mr02
S2, 2 =
D . 2 Mr02
(7.11.14)
При этом с учетом (7.11.8) потенциал притяжения (7.11.7) можно представить следующим рядом по сферическим функциям fM U= r
n ∞ ⎧⎪ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ J n ⎜ ⎟ Pn (sin ϕ ) + ⎪⎩ n=2 ⎝ r ⎠ n ⎪⎫ ⎛ r0 ⎞ ( m) + ∑ ∑ ⎜ ⎟ Pn (sin ϕ ) Kn,m cos(mλ ) + Sn,m sin(mλ ) ⎬ ⎝ ⎠ ⎪⎭ n = 2 m =1 r
∞
n
[
(7.11.15)
]
или, согласно (7.6.1), fM U= r n
n ∞ ⎡ ⎤ ⎛ r0 ⎞ ⎢1 + ∑ ⎜ ⎟ Yn (ϕ, λ ) ⎥, ⎢⎣ n = 2 ⎝ r ⎠ ⎥⎦
[
]
где Yn (ϕ , λ ) = ∑ Pn( m) (sin ϕ ) An,m cos(mλ ) + Bn,m sin(mλ ) , An, 0 = J n , а при m = 1,n спраm= 0
ведливы равенства An,m = Kn,m и Bn,m = Sn,m . Если одна из осей координат, например, ось Oz совпадает с главной центральной осью инерции (характеризуемой главным моментом инерции C), так что произведения инерции E и F будут равны нулю, то в этом случае, согласно (7.11.14), K2,1 = S2,1 = 0.
В случае, когда все координатные оси совпадают с главными центральными осями инерции тела T, будет равен нулю также и коэффициент S2,2. Тогда 3 B− A ⎡ M A + B − 2C ⎤ 2 2 U ( r, ϕ , λ ) = f ⎢ + (3 sin ϕ − 1) + cos ϕ cos(2λ ) +... ⎥. 3 3 4 r 4r ⎣ r ⎦
Полученное разложение (7.11.15) для потенциала притяжения U заведомо сходится абсолютно и равномерно при r > r ∗, (7.11.16)
224
Часть II. Аппарат специальных функций
где r*— расстояние наиболее удаленной точки P поверхности притягивающего тела T от его центра масс *) . Поскольку в разделе 7.5 было показано, что Pn (cos γ ) ≤ 1, поэтому
(
)
при r ′ r ≤ q = r ∗ r < 1 остаточный член ряда (7.11.3), а следовательно, и ряда (7.11.15) ∞
Rk = f ∑ ∫∫∫ n= k ( T )
r ′n P (cos γ ) dM n +1 n r
удовлетворяет неравенству ∞
n
k
q fMq Rk ≤ fM ∑ = , r (1 − q) n= k r
правая часть которого стремится к нулю при k → ∞. 7.12. Потенциал притяжения Земли Выберем прямоугольную систему координат Oxyz, начало которой жестко связано с подвижным центром масс Земли. Пусть плоскость xy совпадает с экваториальной плоскостью, а ось Oz, являющаяся мгновенной осью вращения Земли, направлена в северный полюс. Будем считать также, что ось Oz пересекает гринвичский меридиан. Обозначая модуль радиус-вектора, широту и долготу произвольной внешней (вне тела Земли) точки P соответственно через r, ϕ и λ, так что x = r cos λ cos ϕ ,
y = r sin λ cos ϕ ,
z = r sin ϕ ,
(7.12.1)
согласно (7.11.15), при r > r* (где r* — модуль радиус-вектора наиболее удаленной точки земной поверхности) будем иметь следующее выражение для потенциала притяжения Земли fM U= r
n ∞ ⎪⎧ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ ⎜ ⎟ J n Pn (sin ϕ ) + ⎪⎩ n= 2 ⎝ r ⎠
⎫⎪ ⎛r ⎞ + ∑ ∑ ⎜ 0 ⎟ Pn( m) (sin ϕ ) An,m cos(mλ ) + Bn,m sin(mλ ) ⎬, ⎝ ⎠ ⎪⎭ n = 2 m=1 r ∞
n
n
[
(7.12.2)
]
в котором f — гравитационная постоянная, M и r0 — масса и средний экваториальный радиус Земли, причем fM = 3,9860 ⋅105 км3/с2, r0 = 6378,155 км, Pn и Pn( m) — полином и присоединенная функция Лежандра, определяемые (7.1.13), (7.6.1), безразмерные коэффициенты Jn, An,m и Bn,m зависят от формы Земли и распределения масс внутри нее **) . Если от присоединенных функций Pn( m) перейти к полностью нормированным функциям Лежандра pn( m) , определяемым (7.8.10), B
*)
Конкретная (полная) область сходимости для тела T произвольной конфигурации зависит от положения этого тела в пространстве, то есть от выбора используемой системы координат.
**)
Структурная модель Земли состоит из твердой массивной оболочки, покрытой гидросферой; внутри оболочки — полость, заполненная вязкой жидкостью (так называемый “слой Е”), а в центре полости — твердый сфероид (внутреннее ядро).
Глава 7. Сферические функции
225 2(n − m)! ( m) Pn ( x), (n + m)!
pn( m) ( x) = 2n + 1
то из (7.12.2) получим часто встречающееся в литературе представление для потенциала притяжения Земли в виде fM U= r
n ∞ ⎧⎪ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ J n ⎜ ⎟ Pn (sin ϕ ) + ⎪⎩ n= 2 ⎝ r ⎠
⎫⎪ ⎛r ⎞ + ∑ ∑ ⎜ 0 ⎟ pn( m) (sin ϕ ) An∗,m cos(mλ ) + Bn∗,m sin(mλ ) ⎬, ⎝ ⎠ ⎪⎭ n = 2 m=1 r ∞
n
n
[
]
(7.12.3)
где An∗,m =
(n + m)! An,m , 2(n − m)! 1 + 2n
Bn∗,m =
( n + m)! Bn,m . 2( n − m)! 1 + 2n
Заменяя далее коэффициенты An∗,m и Bn∗,m на новые коэффициенты Jn,m и λ n,m по формулам
An∗,m = J n,m cos(mλ n,m ),
Bn∗,m = J n,m sin(mλ n,m ),
из (7.12.3) получим еще одно представление для потенциала притяжения: fM U= r
n ∞ ⎧⎪ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ ⎜ ⎟ J n Pn (sin ϕ ) + ⎪⎩ n= 2 ⎝ r ⎠
(7.12.4) ⎫ ⎪ ⎛r ⎞ + ∑ ∑ J n,m ⎜ 0 ⎟ Pn( m) (sin ϕ ) cos m( λ − λ n,m ) ⎬. ⎝r⎠ ⎪⎭ n = 2 m=1 Слагаемые в формулах (7.12.2)-(7.12.4), пропорциональные Jn, как уже отмечалось в разделе 7.7, называются зональными гармониками. Первые коэффициенты зональных гармоник для потенциала притяжения Земли, полученные по результатам наблюдений за движениями искусственных спутников Земли, имеют следующие величины: ∞
n
−6
n
[
−6
]
−6
−6
J2 = −1082,63⋅10 , J3 = 2,54⋅10 , J4 = 1,59 ⋅10 , J5 = 0,23⋅10 , −6
−6
−6
−6
J6 = −0,50⋅10 , J7 = 0,36⋅10 , J8 = 0,12⋅10 , J9 = 0,10⋅10 . Коэффициенты тессеральных гармоник — слагаемых в геопотенциале (7.12.3), пропорциональных An∗,m и Bn∗,m при n ≠ m, а также секториальных гармоник — при n = m до четвертого порядка включительно приведены в таблице 1. Таблица 1. Нормированные коэффициенты для геопотенциала притяжения n m ∗ An,m ⋅108
2 2 241,290
Bn∗,m ⋅108 −136,410
3 1 196,980
3 2 89,204
3 4 3 1 68,630 −52,989
4 2 33,024
4 3 98,943
4 4 −7,969
26,015 −63,468 143,040 −48,765
70,633
−15,467
33,928
226
Часть II. Аппарат специальных функций
Поскольку в системе координат Oxyz, в которой рассматривается геопотенциал, ось Oz выбирается совпадающей с мгновенной осью вращения Земли, то есть с соответствующей главной центральной осью инерции, то, как уже отмечалось в предыдущем разделе, A2∗,1 = B2∗,1 = 0. Так как первое слагаемое в выражениях (7.12.2)-(7.12.4) является потенциалом шара со сферическим распределением плотности, то все остальные слагаемые геопотенциала характеризуют отличие Земли от тела сферической структуры. Основным из этих слагаемых (основной гармоникой) является вторая зональная гармоника, которая определяет сжатие Земли у полюсов. Зональные гармоники нечетного порядка определяют, как очевидно из (7.11.14), асимметрию Земли относительно плоскости экватора, а тессеральные и секториальные гармоники характеризуют отличие Земли от тела, динамически симметричного относительно оси вращения. 7.13. Дополнения Основы теории сферических функций были заложены в конце XVIII столетия трудами П. С. Лапласа и А. М. Лежандра [30-33]. Лежандр в своем труде, посвященном исследованию притяжения однородных сфероидов, рассматривал полиномы, которые ныне носят его имя, как коэффициенты разложения функции вида (7.11.1)
(r
2
− 2 Rr cos γ + R 2
)
−1/ 2
в ряд по степеням 0 <(r/R) <1. В последующих своих работах Лежандр установил и обосновал ряд важнейших свойств, которыми обладают введенные им полиномы, в частности, свойство ортогональности и теорема сложения. Лаплас развил теорию сферических функций в более общем виде, чем Лежандр. Лаплас ввел в рассмотрение присоединенные функции, которые ныне носят имя Лежандра, а также функции Yn(ϕ,λ) от двух сферических координат ϕ и λ, которые позднее стали называть сферическими функциями. Лапласом были получены также дифференциальные уравнения для сферических функций Yn(ϕ,λ), присоединенных функций Pn( m) ( x) и для полиномов Pn(x). Для указанных функций им были исследованы основные их свойства. Он представил полиномы Лежандра в виде определенного интеграла и получил (хотя и в недостаточно строгой форме) асимптотическое представление для Pn(cosθ) при больших n. Лапласом была сформулирована также задача о разложении произвольной функции, заданной на сфере, в ряд по сферическим функциям. Корректные условия подобного разложения были определены позднее Дирихле, Бонне, Дини и Дарбу. После Лежандра и Лапласа различные аспекты теории сферических функций разрабатывались Родригом, Якоби, Нейманом и другими исследователями. При этом теория сферических функций была расширена на область комплексной переменной и произвольные значения величин n и m. Для функций второго рода Qn(x) и Qn( m) ( x) были получены общие выражения, выведены рекуррентные соотношения, найдены интегральные представления [28].
Глава 7. Сферические функции
227
Из последних результатов, имеющих важное прикладное значение, следует отметить решение проблемы преобразования сферических функций при повороте системы координат, полученное Б. Джеффрисом [34]. В общем случае преобразование сферической функции, заданной в точке M с координатами ϕ, λ в системе координат Oxyz, к сферической функции в той же точке, но уже с координатами ϕ′, λ′, связанными с новой системой координат Ox′y′z′ (полученной путем произвольного вращения), положение которой относительно исходной определяется углами ψ, ω, ν Эйлера (7.9.2), дается следующим выражением Pn( m ) (sin ϕ ) exp[imλ ] =
n
~ ( m , m′ )
∑D
m′ = − n
n
Здесь ~ Dn( m ,m′) (ψ , ω ,ν ) = ∑ (−i ) 2 ( n − r ) − m − m′ r
(ψ , ω ,ν ) Pn( m′) (sin ϕ ′) exp[im ′λ ′].
(n + m)!(n − m′)! × r!(n − m − r )!(n − m′ − r )!(m + m′ + r )!
m + m′ + 2 r
2 ( n − r ) − m − m′
ν⎞ ⎛ ⎛ ν⎞ , i 2 = −1, × exp[i (mψ + m′ω ]⎜ cos ⎟ ⎜ sin ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ max(0,−m − m′) ≤ r ≤ min(n − m, n − m′). ~ Функции Dn( m ,m′) (ψ , ω ,ν ) , как уже отмечалось в разделе 7.9, относятся к классу обобщенных сферических функций порядка n. При m = m′ = 0, в частности, имеем 1 ~ Dn( 0,0) = n 2
n
∑ (−1) n−r r =0
(n!) 2 (1 + cosν ) r (1 − cosν ) n − r . [r!(n − r )!] 2
(7.13.1)
~ Покажем, что функция Dn( 0,0) (cosν ) является полиномом Лежандра одноименного порядка. Для этого разложим сумму (7.13.1) на две — r = 0, s и r = s + 1, n , где s = E(n/2) — целая часть числа n/2, и положим в первой сумме r = s − j, а во второй — r = s +1 +j. Тогда получим 1 ~ Dn( 0, 0) = n 2
s
∑ δ n, j j=0
Q j ( x) = (1 + x)
s∗ + j
( −1) s+ j (n !) 2 Q j ( x), [( s − j)!( s∗ + j)!]2 (1 − x)
s− j
+ ( −1) (1 + x) n
s− j
(7.13.2) (1 − x)
s∗ + j
.
Здесь x = cosν, s* = s +1, когда n = 2s +1, s* = s — при четном n = 2s; δn,j = 1/2 при j = 0 и n = 2s, а во всех остальных случаях δn,j = 1. После разложения Qj(x) в биномиальные ряды s∗ + j m2
2( −1) l + n ( s − j)!( s∗ + j)! x n−2 m Q j ( x) = ∑ ∑ ∗ l = 0 m= m1 l !( s + j + 1 − l)!( n − 2m − l)!( 2m + l − j − s )! из (7.13.2) будем иметь
(7.13.3)
228
Часть II. Аппарат специальных функций ∗ s s +j m
2 ~ ( 0, 0) ( x) = D n ∑ ∑ ∑ α j,l,m x n − 2 m ,
j = 0 l = 0 m= m1
(n !) δ n, j ( −1) 2
α j ,l , m =
(7.13.4)
s∗ + j + l
2 n−1 ( s − j)!( s∗ + j)!l !( s∗ + j − l)!(n − 2m − l)!(2m + l − j − s∗ )!
,
⎛ s∗ + j − l ⎞ ⎛ n − l⎞ где m1 = E ⎜ ⎟ , m2 = E ⎜ ⎟ , а E(N) — целая часть числа N. ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ ⎠
Представляя слагаемые (7.13.4) непосредственно по степеням x n −2 m , получим
(
)
(
)
x n α 0, s∗ , 0 + α 1, s∗ +1, 0 +... +α s,n, 0 + x n −2 α 0, s∗ −2,1 +... +α 0,n−2,1 + α 1, s∗ −1,1 +... +α s,n −2,1 +
(
)
+ x n −4 α 0, s∗ −4,1 +... +α s,n −4, 2 +... , или s
q
s
2 ~ ( 0, 0) n−2 k Dn ( x) = ∑ β k x , β k = ∑ ∑ α j, s∗ + j +q −2 k , k ,
k =0
(7.13.5)
j = 0 q = q1
q1 = max(0, 2 k − s∗ − j), q 2 = min(2 k , s − j).
С учетом (7.13.4), имеем
(n !) δ n, j ( −1) 2
α j, s + j +q −2 k , k = ∗
2
n −1
q
∗
∗
(2 k − q)!q !( s − j − q)!( s − j)!( s + j)!( s + j + q − 2 k )!
.
(7.13.6)
Выражение для коэффициента βk, на основании (7.13.6), после несложных преобразований приводится к виду
β k = ( −1) k
(2n − 2 k )! 2 (n − k )!(n − 2 k )! k ! n
(7.13.7)
и, в частности,
(n !) 2 δ n, j
s
β0 = ∑ j=0
2
n −1
∗
[( s − j)!( s + j)!]
2
=
(2n)! . 2 n (n !) 2
Таким образом, учитывая представление (7.1.8) для полиномов Лежандра Pn(x), заключаем, что обобщенная сферическая функция (7.13.1) при m = m′ = 0 совпадает с полиномом Лежандра ~ Dn( 0,0) (ν ) = Pn (cosν ).
