Статистика носителей заряда в полупроводнике с многозарядными примесями в рамках курса общей физики

42

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 7, ¹ 3, 2001

Ñòàòèñòèêà íîñèòåëåé çàðÿäà â ïîëóïðîâîäíèêå ñ ìíîãîçàðÿäíûìè ïðèìåñÿìè â ðàìêàõ êóðñà îáùåé ôèçèêè À.À. Èâàíîâ 1 , À.À. Ëóêüÿíîâ 2, À.Î. Ðàåâñêèé 3 Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò, Ðîññèéñêèé Íàó÷íûé Öåíòð “Êóð÷àòîâñêèé Èíñòèòóò” 3) Èíñòèòóò ðàäèîòåõíèêè è ýëåêòðîíèêè ÐÀÍ 1) 2)

Íà ïðèìåðå ãåðìàíèÿ ñ ïðèìåñÿìè äâóõ ñîðòîâ - äîíîðàìè (îäíîçàðÿäíîé ñóðüìîé) è àêöåïòîðàìè (çîëîòîì, àòîìû êîòîðîãî ìîãóò íàõîäèòüñÿ â òðåõ çàðÿäîâûõ ñîñòîÿíèÿõ) ðàññìîòðåíà çàäà÷à î âû÷èñëåíèè êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè è î íàõîæäåíèè óðîâíÿ Ôåðìè â ïîëóïðîâîäíèêå ñ ìíîãîçàðÿäíûìè ïðèìåñÿìè. Ðàññìîòðåíèå îñíîâàíî íå íà êàíîíè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè Ãèááñà äëÿ ñèñòåì ñ ïåðåìåííûì ÷èñëîì ÷àñòèö, íåèçâåñòíîì åùå ñòóäåíòàì ìëàäøèõ êóðñîâ, à íà âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé ðàçëè÷íûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñ ó÷åòîì èõ âûðîæäåíèÿ.

Çàäà÷è î âû÷èñëåíèè êîíöåíòðàöèè íîñèòåëåé çàðÿäà â ïîëóïðîâîäíèêå è íàõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ óðîâíÿ Ôåðìè â çàïðåùåííîé çîíå äîâîëüíî äàâíî ïåðåøëè èç óçêî ñïåöèàëüíûõ êíèã ïî ôèçèêå ïîëóïðîâîäíèêîâ â êóðñû îáùåé ôèçèêè (ñì., íàïðèìåð, [1,2]). Ïðè ýòîì â íèõ ðàññìàòðèâàëèñü êàê ñîáñòâåííûå ïîëóïðîâîäíèêè, òàê è ïîëóïðîâîäíèêè, ëåãèðîâàííûå ïðèìåñÿìè, ïðè÷åì äàæå - ïîëóïðîâîäíèêè, ëåãèðîâàííûå ñðàçó äâóìÿ ñîðòàìè ïðèìåñåé - êàê äîíîðàìè, òàê è àêöåïòîðàìè, - êîãäà âîçíèêàåò òàê íàçûâàåìûé ýôôåêò êîìïåíñàöèè ïðèìåñåé. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, ðàçóìååòñÿ, èçëîæåíèå âåëîñü â óïðîùåííîé ôîðìå, âïîëíå îïðàâäàííîé â ðàìêàõ êóðñîâ îáùåé ôèçèêè. Íèãäå, â ÷àñòíîñòè, íå ïðèíèìàëàñü âî âíèìàíèå ðåàëüíàÿ è ñëîæíàÿ çîííàÿ ñòðóêòóðà ïîëóïðîâîäíèêà, à ïðèìåñè ñ÷èòàëèñü ïðîñòûìè îäíîçàðÿäíûìè, äîíîðíûé àòîì êîòîðûõ âñåãäà ìîæåò îòäàòü ïîëóïðîâîäíèêó ëèøü îäèí ýëåêòðîí, à àêöåïòîðíûé - ïðèíÿòü íà ñåáÿ îäèí ýëåêòðîí. Ñ÷èòàëîñü, êðîìå òîãî, ÷òî êàê äîíîðíûé, òàê è àêöåïòîðíûé àòîìû ñîçäàþò â çàïðåùåííîé çîíå ïîëóïðîâîäíèêà ïî îäíîìó ýíåðãåòè÷åñêîìó óðîâíþ, õîòÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè êàæäûé èç íèõ ñîçäàåò öåëóþ ñåðèþ óðîâíåé (ñèòóàöèÿ çäåñü òàêàÿ æå, êàê, íàïðèìåð, â àòîìå âîäîðîäà, ãäå êðîìå óðîâíÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî óðîâíåé âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé).  ïîñëåäíèå ãîäû â ðàìêàõ êóðñà îáùåé ôèçèêè ñòàëè ðàññìàòðèâàòüñÿ óæå è çàäà÷è î êîìïåíñèðîâàííûõ ïîëóïðîâîäíèêàõ ñ ìíîãîçàðÿäíûìè ïðèìåñÿìè, íàïðèìåð, î ãåðìàíèè, ëåãèðîâàííîì äâóìÿ ñîðòàìè ïðèìåñè - ñóðüìîé (ïðîñòûì îäíîçàðÿäíûì äîíîðîì) è çîëîòîì - àêöåïòîðîì, àòîìû êîòîðîãî, ìîãóò ïðèíèìàòü íà ñåáÿ äî òðåõ ýëåêòðîíîâ. Ñåé÷àñ òàêèå çàäà÷è ìîæíî íàéòè óæå â ñòàíäàðòíûõ çàäàíèÿõ äëÿ ñòóäåíòîâ òðåòüåãî êóðñà ÌÔÒÈ [3]. Íàì äóìàåòñÿ âñå æå, ÷òî çàäà÷è ñ ìíîãîçàðÿäíûìè ïðèìåñÿìè äîñòàòî÷íî ñëîæíû äëÿ íåñïåöèàëèñòîâ, íî, êîëü ñêîðî îíè ïåðåøëè â ðàçðÿä “îáùåôèçè÷åñêèõ”,- èõ ñòîèò îáñóäèòü. Íàøå îáñóæäåíèå áóäåò, ðàçóìååòñÿ, íå òàêèì ïîäðîáíûì, êàê ýòî äåëàåòñÿ, íàïðèìåð, â êóðñàõ

Ñòàòèñòèêà íîñèòåëåé çàðÿäà â ïîëóïðîâîäíèêå ñ ìíîãîçàðÿäíûìè...

43

ôèçèêè ïîëóïðîâîäíèêîâ (ñì., íàïð., [4]), ãäå çàäà÷è î ìíîãîçàðÿäíûõ ïðèìåñÿõ ðåøàþòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë êàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ãèááñà äëÿ ñèñòåì ñ ïåðåìåííûì ÷èñëîì ÷àñòèö, íåèçâåñòíîãî åùå ñòóäåíòàì ìëàäøèõ êóðñàõ. Ñóùåñòâóåò, îäíàêî, ïðèåì, êîòîðûé ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé çàïîëíåíèÿ óðîâíåé ïðèìåñíûõ àòîìîâ ïîçâîëÿåò èçáåæàòü àïåëëÿöèè ê ôîðìóëàì áîëüøîãî êàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ [5]. Íà÷íåì íàøå ðàññìîòðåíèå ñî ñëó÷àÿ ïðîñòîé îäíîçàðÿäíîé äîíîðíîé ïðèìåñè. Hàéäåì âåðîÿòíîñòè f0d è f1d òîãî, ÷òî äîíîðíûé óðîâåíü Ed , ñîîòâåòñòâåííî, íå çàíÿò èëè çàíÿò îäíèì ýëåêòðîíîì, ò.å. àòîì äîíîðà îòäàë îäèí ñâîé ýëåêòðîí (è çàðÿäèëñÿ ïîëîæèòåëüíî) èëè íåò (îñòàëñÿ ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûì). Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäíèå ÷èñëà çàïîëíåíèé â ñëó÷àå ñòàòèñòèêè Ôåðìè-Äèðàêà: < n k >=

1 ⎛ε −μ⎞ exp ⎜ k ⎟ +1 ⎝ kT ⎠

îáëàäàþò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: < nk > ⎛ μ − εk = exp ⎜ 1− < n k > ⎝ kT

⎞ ⎟. ⎠

Ïî ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó âåëè÷èíà < nk > çäåñü åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîñòîÿíèå “k” çàíÿòî ýëåêòðîíîì, à âåëè÷èíà 1− < nk > - âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíî ïóñòî, ò.å. â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ: f 1k ⎛ μ − εk ⎞ = exp⎜ ⎟. f 0k ⎝ kT ⎠

Íàïèñàííûå ôîðìóëû îòíîñÿòñÿ ê ãàçó ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, â êîòîðîì â ñèëó ïðèíöèïà Ïàóëè íå ìîæåò áûòü äâóõ ýëåêòðîíîâ â îäíîì è òîì æå êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè, ïîýòîìó âñå ñîñòîÿíèÿ “k” â íåì íå âûðîæäåíû â êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì ñìûñëå (ïðè ýòîì ñîñòîÿíèÿ “ñïèí ââåðõ” è “ñïèí âíèç” ñ÷èòàþòñÿ çäåñü ðàçíûìè).  íàøåì ñëó÷àå äîíîðíîãî àòîìà âåðîÿòíîñòè f1d è f0d èìåþò íåñêîëüêî äðóãîé ñìûñë: ãîâîðÿ îá ýëåêòðîíå, íàõîäÿùåìñÿ íà äîíîðíîì óðîâíå, íàì áåçðàçëè÷íî, êàêîâà îðèåíòàöèÿ åãî ñïèíà, à òàêæå - êàêèå ó íåãî äðóãèå êâàíòîâûå ÷èñëà. Òàêèì îáðàçîì, íàøè ñîñòîÿíèÿ “ñ îäíèì ýëåêòðîíîì” èëè “áåç íåãî” êâàíîâîìåõàíè÷åñêè âûðîæäåíû. Ïîýòîìó âìåñòî íàïèñàííîé âûøå ôîðìóëû çäåñü áóäåò èìåòü ìåñòî ñëåäóþùàÿ: f 1d g ⎛ μ − Ed = 1 exp ⎜ f 0d g0 ⎝ kT

⎞ ⎟, ⎠

(1)

ãäå gn - îáîáùåííûå êðàòíîñòè âûðîæäåíèÿ óðîâíåé. Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, õîòÿ ìû è ãîâîðèì

44

À.À. Èâàíîâ, À.À. Ëóêüÿíîâ, À.Î. Ðàåâñêèé

îá îäíîì ýíåðãåòè÷åñêîì óðîâíå Ed, â äåéñòâèòåëüíîñòè äîíîðíûé àòîì ñîçäàåò ñåðèþ áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ äðóã ê äðóãó óðîâíåé, òàê ÷òî íàøå Ed ýôôåêòèâíî “îïèñûâàåò” èõ âñå. (Áîëåå òî÷íóþ òðàêòîâêó ñêàçàííîìó ìîæíî íàéòè â êíèãå [4].) Ïî ýòîé ïðè÷èíå îáîáùåííûå êðàòíîñòè âûðîæäåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, öåëî÷èñëåííûìè è äàæå çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû [4,5]. ×àñòî, âïðî÷åì, ïîëàãàþò g0=1 è g1=2, ó÷èòûâàÿ ëèøü ñïèíîâîå âûðîæäåíèå; ñì., íàïðèìåð, [6,7]. Òàê ïîñòóïèì è ìû. Âåðîÿòíîñòè f1d è f0d äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü åùå åñòåñòâåííîìó óñëîâèþ íîðìèðîâêè f1d + f0d=1.  ðåçóëüòàòå äëÿ îïðåäåëåíèÿ f1d è f0d èìååì ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé, èç êîòîðîé ïîëó÷àåì: f 0d =

f1d =

1 ⎛ μ − Ed ⎞ 2exp⎜ ⎟ +1 , ⎝ kT ⎠

(2à)

1 1 ⎛ E −μ⎞ exp⎜ d ⎟ +1 . 2 ⎝ kT ⎠

(2á)

 ñëó÷àå àêöåïòîðíîé ïðèìåñè, ñïîñîáíîé ïðèíèìàòü íà ñåáÿ äî òðåõ ýëåêòðîíîâ íà óðîâíè Ea1, Ea2 è Ea3, íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ÷åòûðå âåðîÿòíîñòè f0, f1, f2 è f3, ãäå fn åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî àêöåïòîðíûé àòîì ïðèíÿë íà ñåáÿ n =0, 1, 2 è 3 ýëåêòðîíîâ, ñîîòâåòñòâåííî. Çàïèøåì äëÿ îòíîøåíèé ýòèõ âåðîÿòíîñòåé ôîðìóëû, àíàëîãè÷íûå (1): f1 g ⎛ μ − E a1 ⎞ = 1 exp ⎜ ⎟, f0 g0 ⎝ kT ⎠ f2 g2 ⎛ μ − E a2 = exp ⎜ f1 g1 ⎝ kT

(3à)

⎞ ⎟, ⎠

(3á)

f3 g3 ⎛ μ − E a3 ⎞ = exp ⎜ ⎟. f2 g2 ⎝ kT ⎠

(3â)

 ðåçóëüòàòå ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ íîðìèðîâêè f 0 + f1 + f 2 + f 4 = 1 èìååì ñèñòåìó ÷åòûðåõ óðàâíåíèé ñ ÷åòûðüìÿ íåèçâåñòíûìè, ðåøàÿ êîòîðóþ íàõîäèì:

f0 = g0 +

f1 = g0 +

g0

μ − E1 g1e kT

+ g2e

2 ⋅μ − E 2 kT

μ − E1 g1e kT

μ − E1 g1e kT 2 ⋅μ − E 2 + g 2 e kT

+ g 3e

+ g3

3⋅μ − E 3 kT

3⋅μ − E 3 e kT

,

(4à)

,

(4á)

Ñòàòèñòèêà íîñèòåëåé çàðÿäà â ïîëóïðîâîäíèêå ñ ìíîãîçàðÿäíûìè...

f2 = g 0 + g1e

f3 = g 0 + g1e

μ − E1 kT

μ − E1 kT

g2e

2 ⋅μ − E 2 kT

+ g2e g 3e

45

2 ⋅μ − E 2 kT

+ g 3e

3⋅μ − E 3 kT

,

(4â)

3⋅μ− E3 kT

+ g 2e

2⋅μ− E2 kT

+ g 3e

3⋅μ − E3 kT

,

(4ã)

ãäå E1 = Ea1 ,E2 = Ea1 + Ea 2 ,E3 = Ea1 + Ea 2 + Ea 3 , ÷òî ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëàìè êàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ãèááñà äëÿ ñèñòåì ñ ïåðåìåííûì ÷èñëîì ÷àñòèö [4]. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèìè ôîðìóëàìè äëÿ ðåøåíèÿ îäíîé ÷àñòíîé çàäà÷è - î ïðèìåñÿõ ñóðüìû è çîëîòà â ãåðìàíèè. Ïóñòü ãåðìàíèé ëåãèðîâàí àòîìàìè ñóðüìû ñ êîíöåíòðàöèåé ïðèìåñè Nd =1,5×1014 ñì - 3 è àòîìàìè çîëîòà ñ êîíöåíòðàöèåé Na =1,0×1014 ñì - 3 . Äîíîðíûé óðîâåíü ñóðüìû îòñòîèò îò äíà çîíû ïðîâîäèìîñòè íà Ec -Ed =10 ìýÂ, à óðîâíè îäíî-, 2-õ- è 3-õ-çàðÿäíîãî çîëîòà, îòñ÷èòàííûå òàêæå îò äíà çîíû ïðîâîäèìîñòè, ñîñòàâëÿþò, ñîîòâåòñòâåííî, Ec -Ea1 = 540 ìýÂ, Ec -Ea2 = 200 ìý è Ec -Ea3=40 ìýÂ. Òðåáóåòñÿ íàéòè êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè ïðè òåìïåðàòóðå T=77 K. Øèðèíó çàïðåùåííîé çîíû ãåðìàíèÿ ïðèìåì ðàâíîé Eg = 700 ìýÂ. Èñêîìàÿ êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè n ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî îáùåé ôîðìóëå äëÿ íåâûðîæäåííîãî ïîëóïðîâîäíèêà, èçâåñòíîé óæå ñòóäåíòàì 3-ãî êóðñà:

⎛ μ− E c ⎞ n = N c exp ⎜ ⎟, ⎝ kT ⎠

(5)

ãäå μ - õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ýëåêòðîíîâ (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, óðîâåíü Ôåðìè) â ïîëóïðîâîäíèêå, à Nc - ýôôåêòèâíàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé â çîíå ïðîâîäèìîñòè. Äëÿ ïîñëåäíåé èìååì âûðàæåíèå: Nc = 2

( 2πmn kT )3 / 2 ( 2πη )3

,

(6)

ãäå mn - ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíîâ â ãåðìàíèè mn≅ 0,57m0 , m0 - ìàññà ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà (ñòðîãî ãîâîðÿ, m n åñòü ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé [4]); Nc(T=77K) ≈ 1,4⋅1018 ñì-3. Íåèçâåñòíûé ïîêà õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ìîæåò áûòü íàéäåí èç óñëîâèÿ ýëåêòðîíåéòðàëüíîñòè (7) N d+ + p = N a1 + 2 N a 2 + 3N a 3 + n , ãäå p - êîíöåíòðàöèÿ äûðîê â âàëåíòíîé çîíå, Nd+ - êîíöåíòðàöèÿ äîíîðîâ, îòäàâøèõ ýëåêòðîíû

46

À.À. Èâàíîâ, À.À. Ëóêüÿíîâ, À.Î. Ðàåâñêèé

ñî ñâîèõ âíåøíèõ îáîëî÷åê, à Na1, Na2 è Na3 - êîíöåíòðàöèè àêöåïòîðîâ, ïðèíÿâøèõ íà ñåáÿ, ñîîòâåòñòâåííî, îäèí, äâà è òðè ýëåêòðîíà.  äàëüíåéøåì êîíöåíòðàöèåé äûðîê p ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè øèðèíå çàïðåùåííîé çîíû ãåðìàíèÿ Eg ≅ 700 ìý áëèæàéøèé óðîâåíü, íà êîòîðûé ìîã áû áûòü çàáðîøåí ýëåêòðîí èç âàëåíòíîé çîíû, áóäåò îòñòîÿòü îò íåå íà âåëè÷èíó Ea1 -Ev ≅ 160 ìýÂ, è ïðè òåìïåðàòóðå 77 Ê ≅ 6,6 ìý âåðîÿòíîñòü òàêîãî çàáðîñà áóäåò î÷åíü ìàëà. Äîáàâèì ê ýòîìó, ÷òî ïðè ñòîëü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ñàì óðîâåíü Ea1 ñ âåðîÿòíîñòüþ áëèçêîé ê åäèíèöå îêàæåòñÿ çàíÿòûì (ñì. îöåíêè íèæå), òàê ÷òî ýëåêòðîíàì âàëåíòíîé çîíû ïðèäåòñÿ ïîäíèìàòüñÿ åùå âûøå - íà óðîâåíü Ea2, äëÿ êîòîðîãî Ea2 -Ev ≅ 500 ìýÂ. Êîíöåíòðàöèÿ Nd+ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå Nd+=f0d Nd, ãäå Nd åñòü ïîëíàÿ êîíöåíòðàöèÿ äîíîðîâ, à f0d - âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äîíîðíûé àòîì íå ñîäåðæèò âíåøíåãî ýëåêòðîíà (îí îòäàë åãî ïîëóïðîâîäíèêó). Ñîîòâåòñòâåííî, êîíöåíòðàöèþ äîíîðíûõ àòîìîâ, íå ïîòåðÿâøèõ âíåøíåãî ýëåêòðîíà (è îñòàâøèõñÿ ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûìè), ìû ìîãëè áû âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå Nd0= f1d Nd, ãäå f1d - âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà óðîâíå Ed èìååòñÿ îäèí ýëåêòðîí. Ñàìè âåðîÿòíîñòè f0d è f1d íàìè óæå áûëè íàéäåíû âûøå; ñì. (2,à-á).  ðåçóëüòàòå äëÿ Nd+=f0d Nd ïîëó÷àåì âûðàæåíèå: N d+ =

Nd ⎛ μ − Ed ⎞ 2exp⎜ ⎟ +1 . ⎝ kT ⎠

(8)

 äàëüíåéøåì èç óñëîâèÿ íåéòðàëüíîñòè ìû áóäåì èñêàòü íå óðîâåíü Ôåðìè, íî ñðàçó íàéäåì êîíöåíòðàöèþ. Âûðàæàÿ ïîýòîìó μ ÷åðåç n ïî ôîðìóëå (5) n ⎛E ⎞ ⎛ μ ⎞ exp⎜ exp⎜ c ⎟ ⎟= ⎝ kT ⎠ N c ⎝ kT ⎠

(5’)

è ââîäÿ âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ:

nd =

1 ⎛ I ⎞ N c exp⎜ − d ⎟ , 2 ⎝ kT ⎠

(9)

ãäå Id =Ec -Ed, çàïèøåì ôîðìóëó (8) â âèäå:

N d+ =

Nd n +1 . nd

(8’)

Êîíöåíòðàöèè Na1, Na2 è Na3 âû÷èñëèì, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè (4) è ñâÿçüþ èõ ñ âåðîÿòíîñòÿìè Nak= Na fk, ãäå Na åñòü ïîëíàÿ êîíöåíòðàöèÿ àòîìîâ àêöåïòîðíîé ïðèìåñè.  èòîãå ïîëó÷àåì:

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 7, ¹ 3, 2001

n n a1 = Na n3 n2 n , g 0 + g1 + g2 + g3 na1na 2 na 3 na1na 2 na1

47

g1

N a1

g2 N a2 = N a g 0 + g1

(10à)

n2 na1na 2

, n n2 n3 + g2 + g3 na1 na1na 2 na1na 2 na 3

n3 na1na 2 na 3 = Na , n3 n2 n g 0 + g1 + g2 + g3 na1na 2 na 3 na1na 2 na1

(10á)

g3

N a3

(10â)

ãäå ââåäåíû âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè: ⎛ J ⎞ n ai = N c exp ⎜ − i ⎟ ⎝ kT ⎠

(11)

Ji=Ec -Ea i (i=1,2,3) è ìû ñíîâà âûðàçèëè õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ÷åðåç êîíöåíòðàöèþ ïî ôîðìóëå (5’). Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (8’) è (10,à-â) â óðàâíåíèå íåéòðàëüíîñòè (7), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíöåíòðàöèè n:

n g1 Nd na1 = n + Na + n n n2 n3 +1 + g2 + g3 g 0 + g1 nd na1 na1na 2 na1na 2 na 3 n2 na1na 2 + 2N a + n n2 n3 g 0 + g1 + g2 + g3 na1 na1na 2 na1na 2 na 3 g2

n3 g3 na1na 2 na 3 + 3N a n n2 n3 g 0 + g1 + g2 + g3 na 1 na1na 2 na1na 2 na 3

(12) .

48

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 7, ¹ 3, 2001

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî - óðàâíåíèå 5-ãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî n,- è â îáùåì ñëó÷àå îíî íå ìîæåò áûòü ðåøåíî àíàëèòè÷åñêè. Ñèòóàöèþ, îäíàêî, óïðîùàåò òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âåðîÿòíîñòü f0 , òîãî ÷òî àêöåïòîðíûé àòîì íå ïðèìåò íà ñåáÿ íè îäíîãî ýëåêòðîíà îò äîíîðîâ, áóäåò íè÷òîæíî ìàëà (÷èñëîâàÿ îöåíêà äàåò çíà÷åíèå f0=2,7 10-23), è âî âñåõ ôîðìóëàõ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî f0 =0. (Ïðåíåáðåæåíèå íóëüçàðÿäíûìè ñîñòîÿíèÿìè îçíà÷àåò, ÷òî â ôîðìóëàõ (10,àâ) ìû ìîæåì ôîðìàëüíî ïîëîæèòü g 0 =0; ðåàëüíî èìååòñÿ íåðàâåíñòâî ⎛ μ − E1 ⎞ ⎛ 2μ − E2 ⎞ g 0 << exp ⎜ ⎟ ≈ exp ⎜ ⎟ .) Ïðè ýòîì, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ äëÿ ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠

n ïîíèçèòñÿ íà åäèíèöó è åãî óæå ìîæíî ðåøèòü àíàëèòè÷åñêè, íàïðèìåð, ñðåäñòâàìè Mathematica 3.0 ôèðìû Wolfram Research. Ìû íå ñòàíåì âûïèñûâàòü çäåñü àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, îãðàíè÷èâøèñü ðåøåíèåì ÷èñëåííûì è ïîëîæèâ äëÿ îïðåäåëåííîñòè â ôîðìóëàõ (10,à-â) g1=2, g2=4 è g3=8 .  èòîãå ïîëó÷àåì: n(T=77 K) ≅ 5,65 104 ñì - 3; äëÿ óðîâíÿ Ôåðìè òîãäà ñîãëàñíî (5) ïîëó÷àåì çíà÷åíèå: Ec - μ(T=77 K) ≅ 204,6 ìýÂ. Îáñóäèì ýòî ðåøåíèå è ïîïûòàåìñÿ ïîëó÷èòü åãî ïðîùå. Óðîâåíü Ôåðìè, êàê âèäèì, ïî÷òè ñîâïàë óðîâíåì Ea2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòîìó óðîâíþ ýíåðãèè, áóäóò çàíÿòû ýëåêòðîíàìè ïðèìåðíî íàïîëîâèíó (èìåííî ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò ñëåãêà ðàçìûòàÿ ôåðìèåâñêàÿ ñòóïåíüêà). Âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëå (4â), äåéñòâèòåëüíî, ïðèâîäÿò ê çíà÷åíèþ: f2 ≅ 0,5. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì: f1≅ 0,5 è f3 ≅ 1,7 10 -11. Ñìûñë ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà äîâîëüíî ïðîñò. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ çàäà÷è êîíöåíòðàöèÿ äîíîðîâ ðîâíî â ïîëòîðà ðàçà áîëüøå êîíöåíòðàöèè àêöåïòîðîâ, òî ïðè àáñîëþòíîì íóëå òåìïåðàòóðû ìû èìåëè áû ñèòóàöèþ, êîãäà ðîâíî ïîëîâèíà àòîìîâ àêöåïòîðà îêàçàëàñü áû çàðÿæåííîé îäíîêðàòíî è ðîâíî ïîëîâèíà - çàðÿæåííîé äâóêðàòíî: âñå àòîìû çîëîòà ïîëó÷àò “ñíà÷àëà” îò äîíîðîâ ïî îäíîìó ýëåêòðîíó, à “ïîòîì” ïîëîâèíà èç íèõ - åùå ïî ýëåêòðîíó. (Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì óðîâíè Ea1 îêàæóòñÿ ïîëíîñòüþ çàíÿòûìè, à óðîâíè Ea2 çàïîëíåííûìè íàïîëîâèíó.) Îñòàâøàÿñÿ ïîëîâèíà àòîìîâ àêöåïòîðíîé ïðèìåñè ìîãëà áû ïðèíÿòü íà ñåáÿ åùå ýëåêòðîíû è òàêæå çàðÿäèòüñÿ äâóêðàòíî, íî ýòèõ ýëåêòðîíîâ áîëüøå âçÿòü íåîòêóäà äîíîðíûå àòîìû óæå ïóñòû. Óðîâåíü òðåõçàðÿäíîãî çîëîòà Ea3 ëåæèò âûøå äâóõçàðÿäíîãî, ïîýòîìó è îí ïðè àáñîëþòíîì íóëå òåìïåðàòóðû òàêæå áóäåò ïóñò. Èòàê, ïðè T=0 K èìååì: f1=f2=1/2, f3=0 è μ = Ea2. Ïðè îòêëîíåíèè òåìïåðàòóðû îò àáñîëþòíîãî íóëÿ ýòè òî÷íûå ðàâåíñòâà ïðåâðàòÿòñÿ â

Ñòàòèñòèêà íîñèòåëåé çàðÿäà â ïîëóïðîâîäíèêå ñ ìíîãîçàðÿäíûìè...

49

ïðèáëèæåííûå. Ëåãêî ïîíÿòü, ïî÷åìó ïðè òåìïåðàòóðå T=77 Ê ≅ 6,6 ìý ýòè ðàâåíñòâà áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè: ýíåðãèè, êîòîðûå íóæíî ïðåîäîëåòü ýëåêòðîíó, ÷òîáû âîçáóäèòüñÿ, ñëèøêîì âåëèêè; íàèìåíüøàÿ èç íèõ åñòü Ea3 -Ea2 =160 ìýÂ. ßñíî ïîýòîìó, ÷òî ïðè ñòîëü íèçêîé òåìïåðàòóðå ïðàêòè÷åñêè íèêàêîãî ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïî óðîâíÿì íå ïðîèçîéäåò ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì Ò=0. À ýòî çíà÷èò, ÷òî óðîâåíü Ôåðìè íå ñäâèíåòñÿ ñêîëüêî-íèáóäü çàìåòíî îò óðîâíÿ Ea2, ÷òî ìû ðàíåå ïîëó÷èëè àêêóðàòíûì ÷èñëåííûì ñ÷åòîì. ßñíî ïîýòîìó, ÷òî óïðîùåííóþ îöåíêó êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè ìîæíî áûëî áû ñäåëàòü ïî ôîðìóëå (5), ïîëîæèâ â íåé ñðàçó μ ≅ Ea2.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èëè áû çíà÷åíèå êîíöåíòðàöèè n ≅ 1,13 105 ñì - 3, õîòÿ è íåñêîëüêî çàâûøåííîå, íî áëèçêîå ê íàéäåííîìó íàìè áîëåå òî÷íûì ÷èñëåííûì ñ÷åòîì.  íàøèõ ðàñ÷åòàõ ìû íåñêîëüêî ïðîèçâîëüíî ïîëîæèëè g1=2, g2=4 è g3=8. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ñèëüíî ëè çàâèñèò ïîëîæåíèå óðîâíÿ Ôåðìè îò êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé êðàòíîñòåé âûðîæäåíèÿ? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåò.  ñàìîì äåëå, ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ñîãëàñíî ôîðìóë (4) èìååì: f0 ≅ f3 ≅ 0,

f1 ≈

1 1 ≈ , g2 ⎛ μ − Ea 2 ⎞ 2 exp⎜ 1+ ⎟ g1 ⎝ kT ⎠

g2 ⎛ μ − Ea 2 ⎞ exp⎜ ⎟ g1 ⎝ kT ⎠ ≈ 1 , f2 ≈ g ⎛ μ − Ea 2 ⎞ 2 1 + 2 exp⎜ ⎟ g1 ⎝ kT ⎠

g1 g2 ⎛ μ − Ea 2 ⎞ , è ïðè âû÷èñëåíèè ðàçíîñòè exp⎜ ⎟ ≈ 1, ò.å. μ ≈ Ea 2 + kT ln g2 g1 ⎝ kT ⎠ Ec-μ, ôèãóðèðóþùåé â âûðàæåíèè (5) äëÿ êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè,

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

ïîñëåäíèì ñëàãàåìûì â ôîðìóëå E c − μ ≈ Ec − Ea 2 − kT ln

g1 ìîæíî â íèçøèì ïðèáëèæåíèè g2

ïðåíåáðå÷ü (íàïîìíèì, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå Ec - Ea2 = 200 ìýÂ, à kT = ≅ 6,6 ìýÂ). Ïðè ýòîì, ðàçóìååòñÿ, ïîëó÷àòñÿ íåñêîëüêî çàâûøåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ êîíöåíòðàöèè, ÷òî è íàáëþäàëîñü. Ó÷åò ñëàãàåìîãî -kT ln(g1/g2) äàåò äëÿ êîíöåíòðàöèè (ïðè g1/g2=1/2) èñïðàâëåííîå çíà÷åíèå: n≈

g1 ⎛ E − Ea 2 ⎞ 4 −3 N c exp⎜ − c ⎟ = 5,65 ⋅ 10 ñì , g2 kT ⎠ ⎝

êîòîðîå áûëî ïîëó÷åíî ðàíåå ÷èñëåííûì ñ÷åòîì. Íàëè÷èå ïðîñòîãî ðåøåíèå â íàøåé çàäà÷å ÿâèëîñü ñëåäñòâèåì “èãðû ÷èñåë”: âñëåäñòâèå òî÷íîãî ðàâåíñòâà Na=1,5 Nd, îêàçàëîñü (äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ “íèçêèõ” òåìïåðàòóð; ñì. âûøå) âûïîëíåííûì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî μ ≅ Ea2.  îáùåì ñëó÷àå òàêîé “èãðû ÷èñåë” íå áóäåò, è çàäà÷à óæå íå áóäåò èìåòü ïðîñòîãî ðåøåíèÿ.

50

À.À. Èâàíîâ, À.À. Ëóêüÿíîâ, À.Î. Ðàåâñêèé

Ïî íàøåìó ìíåíèþ, äàæå èñïîëüçîâàíèå ôîðìóë (3,à-â) âìåñòî îáùèõ ôîðìóë êàíîíè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñèñòåì ñ ïåðåìåííûì ÷èñëîì ÷àñòèö ìîæåò îêàçàòüñÿ íåïðîñòûì äëÿ ïîíèìàíèÿ ñòóäåíòîâ, èçó÷àþùèõ åùå òîëüêî îáùóþ ôèçèêó (à íå ñïåöèàëüíûå ãëàâû ôèçèêè ïîëóïðîâîäíèêîâ), ÷òî è ïîáóäèëî íàñ îáñóäèòü ýòó çàäà÷ó çäåñü äîâîëüíî ïîäðîáíî. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ôåäåðàëüíîé ïðîãðàììû “Èíòåãðàöèÿ” Ó÷åáíî-Íàó÷íûé Öåíòð “Îáùàÿ è àòîìíàÿ ôèçèêà”, Ïðîåêò ¹ Ê0794.

Ëèòåðàòóðà 1.

Robert L. Sproull - Modern physics. The quantum physics of atoms, solids and nuclei. New York - London, 1963. (Èìååòñÿ ðóññêèé ïåðåâîä: Ð.Ñïðîóë - Ñîâðåìåííàÿ ôèçèêà. Ì.: ”Íàóêà”, 1974.)

2.

Èâàíîâ À.À.- Ââåäåíèå â êâàíòîâóþ ôèçèêó ñèñòåì ìíîãèõ ÷àñòèö. Ì.: ÌÔÒÈ. 1993.

3.

Ñáîðíèê çàäà÷ ïî îáùåìó êóðñó ôèçèêè, ÷àñòü 2, “Àòîìíàÿ è ÿäåðíàÿ ôèçèêà. Ñòðîåíèå âåùåñòâ”. /Ïîä ðåä. Â.À. Îâ÷èíêèíà. Ì.: ÌÔÒÈ, 2001.

4.

Áîí÷-Áðóåâè÷ Â.Ë., Êàëàøíèêîâ Ñ.Ã. - Ôèçèêà ïîëóïðîâîäíèêîâ. Ì.: “Íàóêà”, 1977.

5.

Áîí÷-Áðóåâè÷ Â.Ë., Çâÿãèí È.Ï., .Êàðïåíêî È.È., Ìèðîíîâ À.Ã - Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ôèçèêå ïîëóïðîâîäíèêîâ. Ì.: “Íàóêà”, 1987.

6.

Êèðååâ Ï.Ñ.- Ôèçèêà ïîëóïðîâîäíèêîâ. Ì.: “Âûñøàÿ øêîëà”, 1975.

7.

Øàëèìîâà Ê.Â.- Ôèçèêà ïîëóïðîâîäíèêîâ. Ì.: “Ýíåðãîàòîìèçäàò”, 1985.