Мультипликативные функции и дифференциалы Прима

  

                      

 !"! ##$

                          

     

               ! "#"      $ %    &'  "" ( )! &     * +! + $ ,-      &  %  &  )./. (   )./. 0  1 ). 2     - 3 $ 43    #. "+/ $ -/    / # 5      6   6 #. "+/ $ -/  7- / *

 

   

                                 !"#         $"#     !   !      

    

    %   %

  %   &   #'    '  ( )*   %          '  )++,  )-.  /012 3.,3,+4-+3

5  %    '      '6 

      

   & 

      & &      %   %

  %   &   7   

  &    &     &      

     & &   5  %           &     

              &

 &   & %   '  '                    &    &         8              

 8  ( 9    )++, /012 3.,3,+4-+3

:: 54;43;<,

­= ( 55 )++,

­=   %      )++,

                     





 

 

  

 



            

 !"!  

  

  

 



   #$   $     #   

  #     





 &



  

  

 (

   





   !"!   





 

 





  

      



) 

   

%

 $

* +



&'

 

)      * + 

 ,          # - .  %(

                  

/(



 

  

 0 1

 2 

3 



       

 

3-

  

#      #

 

/(

  



 

   



 



  



  "  

44  &

3-

#   

  





5"

!            

 (

3-

  

   

(

  

1

  - 1            (

    !             !        !         "# &&

 & 

6 $      1  #   #$ 

  6#     

#    

 

      

& 

  

-1

&( # $ 



#   

             

  #  

7 4

 & &

6 $         #   #$ 

  6#      0 

%(

  $         "# %       &'      (!    '  ( 

             

 $      # 8 

   #$   $ 

   5  

'

 (  *      -           1   - 1     # 8  

( &

-  7

3- 

#   

 





  

 $ 

/

1

  

#   

# 5$ 

   

/

  )                    4&



 



9 -   



  

 2 



   





 

  

 -      # 8  

 

 $

 

 

  #    #       #   

*   

4& 

#

   

  #     

 + 

:         ' &&

; !<) =>("/?

(

  @ ABC =>"/&4?



("('



                           !"  #  $$ % $&!  ' ( )  " * +,"      -. /0. $! 1    23  ',  4 5          '  "  "   ,2      , 2 )   &6%  06      ,7  %      "  "       

 2      '   8 9 0!   ,4 &&! :    ;# <  " =  ( 3  !"  >    $!   '   ' 7 2 9 ?@ 42      3  00       

    A 2@

      2      2 ,   < #   . $0!" < >   . $ % !" 9< ),3  $!" B ) -0 % - !  > ;  -- % 6! C   -6%  06   

 9 8 -!" B; )   0!" ># 1, . !" B#A2 00. 0$!"  '

 %       , 2   2 ' D,  )   '" ) % 3   E" '    4%, ("  ' F          2  4

 2 2    )  "     '2 "

' ,   "  @             "      A     ,@  '   ,, :   3               ) G " B )  . . - !"  ' 4% , .    )  -6!" 17   & !" 17 H   /!"  '  7      "      G 17  , /-!  2        *"   "  4  ',            ,         ,  2 ,  2 2 2   "   @   '     2 ,7 "     ',@? ,  '     %,  6 ,           ? 2          @  "     2 2 2    C 6 , (

 /6!  ',                '  ,?     ) 

           2 2       @  7     " '   @ *    

   '                

  D  E    

          

 2       ,     2%  ,2  2 2       ?I       # , " G "  ,   $& % $/!"  '  2 ,' 2 2    C -6%  06   ,        ) G   -!" B ) -0. -$!" > JK  -$!" LM + 2  / % /&!  (   & !" 

' ? 2  2 ,'    2 ?    A 2@

 C 2    "  ? 2 '  "    ?           

     '        2 2 2    B',    

  " '       "       

   "    '  

         "     A 2@

      , )   B

   ',"             '    C 2  ',    ,,   , "  ' 

 ,'      2 , )    ,    ,    ,   2       ,      2 2    C  2  ,     ?   ,   ,2         '    ,  2 , 2 2            2     7       ,   ,2      "  ,       !"  #  $$ % $&!         06  "  ' 7    + 3" B ) &0" N0/%$ ! C   0 ,           

 ' ,   ½         , C   $ '@     #     "    (%(     %          2   %        @    2 2           9 ?@ 4     ,@  3    '   2      %           '    2             ' ) 

   C 2 3

  @  3,@      2   ,2       A C 2 3

  , 7,@ @ 

2 2 2    C    ,,    ,    C 2 3

       ,     C 2 3

   ,     ,2        2 2    *'  "  2  ,     C 2 3

   ,?        @   2   

    C 2 3

 )  " ' 2   

   C 2 3

  8  "  ,     C 2 3

   '     ' F  2 2    C     2       '  7, ,    C 2 3

  2 2      ,?          7    ' F"    7  2 2          O  "  7          

  ,  ',     @,   7                  2 2       9 ?@        ,   ',      2     ' F      C -/ , (  &. /6!  ',   

   '         2 2    *   '          2 2 2   " 2   '      "



?@  '  ?  4%,2 C 2  ,,   7        '        "  ', ',"     2 2 2   "    '    , 2 2 2        C   0" 2      2  " ,   2 '     A 2@

"  

     >     

  '     A 2@

      C   00 ,     '            2 2 2   " ?@           C   0$" ?@ 4%, ("   , 2 '   %     " 2   '   ,?       , 2 2 2    C   2     

            ',      

   '         2 2       O  "  ',@? O <3 0" $"  $$%$ !   ,  

 7 2        ,@  7         @?  ,@

,,,"  , A

     3  

       2  ,,      A7 ',   

   ',"            2 2    @       @   ,  2 , C   ? , " '@?     @ , ',         , '    B'   ,@       2

3 2 (  

,           1               '       +7   ("      '  '       "     ?  %   '     '"      

    '       "       

    ,,  ?  %   

'  '2 '         @2 2 2       82  P  P      '2 '  7                    C  ,, ',    

       A 2@

"     , )        4

      2 ) 

    ,'      2  

,        D E 

  "  

     , ,   "  ?@?       " ,@   2      3 2   2      G   ,   2 @? 2 

 23 2   2  , 2 @? 2 DQE  2 2   @ -. 6. /$! C /$! 1 # + 2 ',    , Q"   ,@?

 23 2   2  , 2 @? 2  2 2   @ C    

@  , )  % ,  '2  7    @2  7,2   2  , 2 @? 2"  ,, ,   '  7,    A 2@

      2   "    4    2 P  P          , )I " ,',@?     1'"  4     @       "  ,    @?      

,7    A 2@

 C   0 ,             , )   2  ,"

'   D  

 > ; E ,'      2 C     

   '       A 2@

"          2

P  P           , )   )  " ,     '       "  ', ',"   , )   2  ," 2   '   , 2      2      ,          '   00  0     

 2   

4    < >   !" B )  . - !" 1# + 2 /$!    ,  "   ',   #, "   '               2 , DQ" ',     7   2 ,E                 ' 4% , " 7       ,     "  @?  @        7  4 , 83 " % ,? ,"     '    ) 2 R

         "  ', '," ',  2 2   "  '     @?,@      2 2    C   $     ,2  '          @     4

     "     '

        " ,        2"   ' ?2  '            4

      2 C  & ',@    ,,  , 

 2     , 2  2 2    C   & 

,@  ,     2%   ,2           '  2 ,' 2 4    2  2 D'E , 82       ,

"   2%  ,  2 2      ,@ ,'@ 42    G ,

  @  2    2 

 9   &$ ' " "    

             ,' ,  , / !"      I     @2 2 ,' 2 2    , )I       3  "

  2%  ,   P  2P' , "       C 4   7 

,   7            %   

  '              A 2@

      2    %       , 

     1# + 2  / ! ' "  7       2   , 2      @     ,@? 2 ',  ,'"     4 2  H   "        7    2       7      4 2  C    & '  "   @    '  2 , )   ,     ½  

'  2 ,' 2 2 2      7      2   , 2 C  1# + 2  /&!  

 ,   

 2%  ,2  2 2   

?@    * 3  ,@ @   ,  C   &0 ,   ,    ,    ,   2       ,            3  ,  Q  2 2    C ,  '@"  '  ,    3  ,  Q      D 

E   F ,      2  " S, 3 2 H 8   "   2 7  " S, 3 2 8 7 #   "   @     7         '7   42  



Глава 1. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на фиксированной компактной римановой поверхности §1.1. Основные свойства мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Теоремы Абеля и Римана-Роха для характеров Параграф 1.1 имеет вспомогательный характер. Он содержит сведения по теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима, полученных в работах Ф. Прима [84], П. Аппеля [33 - 35] в конце 19 века и в начале 20 века, и изложенных в книге [52, p.126-134]. п1. Краткий обзор теории мероморфных функций и абелевых дифференциалов на компактной римановой поверхности Основы классической теории римановых поверхностей и абелевых дифференциалов на компактных римановых поверхностях были заложены в работах Б. Римана, Ф. Клейна, К. Вейерштрасса и А. Пуанкаре. Теория римановых поверхностей тесно связана со многими направлениями в современной математике - теорией функций на комплексных многообразиях, алгебраической геометрией, топологией и уравнениями математической физики. Она содержит три основных аспекта: топологический (двумерные поверхности и фундаментальные группы), алгебраический (дискретные группы, группы автоморфизмов поверхностей и комплексных многообразий) и аналитический (функции и дифференциальные формы на поверхности, дифференциальные уравнения и функциональный анализ). В этом пункте будет дан краткий обзор определений и результатов классической геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях. Здесь будут представлены только те основные определения и теоремы классической теории, которые будут нужны в последующих главах при построении теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактных римановых поверхностях. Из топологической классификации двумерных поверхностей следует, что любая компактная ориентируемая двумерная поверхность гомеоморфна сфере с g ручками. Число g называется топологическим родом такой поверхности. Определение 1.1.1. (Абстрактная) риманова поверхность есть пара (F, Σ), состоящая из связного хаусдорфова топологического 2многообразия F и комплексно-аналитической структуры Σ на F. Часто для краткости вместо (F, Σ) пишут F. 12

Первая фундаментальная группа π1 (F, O) для компактной римановой поверхности рода g ≥ 1 с базисной точкой O имеет алгебраическое представление через образующие и соотношения: π1 (F, O) = a1 , b1, ..., ag , bg :

g 

[ak , bk ] = 1.

k=1

Обозначим через [π1 , π1] коммутант в группе π1 (F, O). Тогда известно, что H1 (F, Z) - первая группа гомологий с коэффициентами из кольца Z будет изоморфна π1 /[π1 , π1]. Определение 1.1.2. Пусть F - риманова поверхность, U - открытое подмножество в F. Мероморфной функцией на U называется голоморфная функция f : U  → C, определенная на открытом подмножестве U  ⊂ U cо следующими свойствами: 1) U \U  состоит только из изолированных точек; 2) Для любого P ∈ U \U  верно limQ→P | f (Q) |= ∞. Точки из U \U  называются полюсами для f. Определение 1.1.3. Отображение f : F → F1 римановых поверхностей называется конформным, если оно биективно, а f : F → F1 и f −1 : F1 → F будут голоморфны. В этом случае поверхности F и F1 называются конформно эквивалентными. Известно, что если F - связное многообразие и f : F → F - универсаль состоящая из гомеоморфизмов T : F → F ное накрытие для F, то группа Γ,  изотаких, что f (TP) = f (P), P ∈ F, действует транзитивно на слоях и Γ морфна π1 (F, O). Теорема (Б. Римана) [1]. Универсальное накрытие F для компактной римановой поверхности F рода g ≥ 2, снабженное комплексноаналитической структурой поднятой с F так, чтобы естественная проекция π  : F → F была голоморфна, будет конформно эквивалентно кругу U = {z ∈ C : |z| < 1}. Группа Γ преобразований наложения для универсального накрытия π : U → F изоморфна π1 (F, O). Опишем этот изоморфизм более подробно. Пусть точка z0 ∈ U лежит над базисной точкой O ∈ F. Из O проведем каноническое рассечение a1 , b1, ..., ag , bg на F. Поднимая a1 из z0 , получим кривую a1 с началом в z0 и концом a. Так как π(z0 ) = π(a), то существует единственное преобразование A1 ∈ Γ такое, что A1 z0 = a. Аналогично, поднимая остальные петли b1, a2 , b2, ..., ag , bg из z0 получим пути b1 , a2, b2, ..., ag , bg 13

и преобразования B1 , A2, B2, ..., Ag , Bg ∈ Γ. Группа π1 (F, O) = a1 , ..., bg : [a1 , b1]...[ag , bg ] = 1, а значит

Γ = A1 , ..., Bg : [A1, B1]...[Ag , Bg ] = 1,

где 1 - тождественное отображение круга U на себя. Каноническое рассечение из O на F задает отмеченную поверхность [F ; {a1, b1, ..., ag , bg }], т.е. указан выбор образующих в группе π1 (F, O). Тогда по изоморфизму получаем набор образующих в группе Γ и группа Γ становится отмеченной группой [Γ; {A1, B1, ..., Ag , Bg }] [1; 13]. Если комплексно-аналитическая структура на F поднята на F так, что преобрабы π  : F → F было голоморфным отображением, то группа Γ зований наложения T для универсального накрытия F будет состоять из конформных преобразований F на себя. По теореме Римана получим, что группа Γ для универсального накрытия π : U → F тоже состоит из конформных отображений круга U на себя, а значит Γ будет подгруппой в группе всех дробно-линейных автоморфизмов круга U. Группа Γ является фуксовой группой первого рода и она имеет две инвариантные компоненты U и C\U . Теорема (Ф. Клейн, А. Пуанкаре) [1; 13; 8]. Любую компактную риманову поверхность F рода g ≥ 2 можно представить как факторпространство U/Γ, где Γ - фуксова группа первого рода инвариантно действующая в круге U, т.е. F конформно эквивалентна (U/Γ, Σ), причем Σ индуцирована комплексно-аналитической структурой на U, которая задается атласом состоящим из одной карты (U, ϕ(z) = z). Имеется другой способ выбора образующих в Γ, связанный с подъемом коммутаторного пути γ = [a1 , b1]...[ag , bg ] с началом в O ∈ F. Поднимая γ из z0 ∈ U получим ориентированный замкнутый путь + − − + + − − γ = a+  1 b1 a1 b1 ...ag bg ag bg , − ограничивающий топологический 4g−угольник в U. Стороны a+ j , aj − проектируются в aj , а b+ j , bj в bj , j = 1, 2, ..., g. Поэтому существуют 1, B 1, ..., A g , B g ∈ Γ такие, что A j : a+ → a− , B j : b+ → b−, j = 1, ..., g. A j j j j Отсюда

1 , B 1, ..., A g , B g : [A 1, B 1]...[A g , B g ] = 1 = Γ. π1 (F, O) ∼ = A   +  + + b1 ... ag bg будет фундаментальной обЗаметим,что (Int γ ) a+ 1 ластью для Γ [1; 8; 13]. 14

j , B j через образующие Выразим, следуя Р. Ганнингу [59], образующие A Aj , Bj , j = 1, ..., g, для той же группы Γ. Обозначим через Cj = [Aj , Bj ] = −1 −1 + −1 −  Aj Bj A−1 j Bj . Тогда A1 : a1 → A1 B1 A1 a1 , a1 = a1 , A1 B1 A1 a1 = a1 , а 1 = A1B1 A−1 = C1B1 . Также B 1 : A1 b1 = b+ → C1b1 = b− , и значит A 1 1 1 −1  B1 = C1A1 . Составим ориентированную границу ∂ =

g 

(C1...Cj−1aj )(C1...Cj−1Aj bj )(C1...Cj Bj aj )(C1...Cj bj ).

j=1

Отсюда j : C1 ...Cj−1aj → C1...Cj Bj aj A и а также и

j = C1...Cj Bj C −1 ...C −1, A 1 j−1 j : C1...Cj−1Aj bj → C1...Cj bj B j = C1...Cj (C1...Cj−1Aj )−1 = C1 ...Cj A−1C −1 ...C −1, B 1 j j−1

j = 1, ..., g. Определение 1.1.4. Пусть q ∈ Z. Мероморфным q-дифференциалом ω на римановой поверхности F называется закон сопоставляющий каждой локальной координате z на F мероморфную функцию f (z) такую, что выражение f (z)dz q будет инвариантно относительно замен локального параметра z на F. Для q = 1 такие дифференциалы называются абелевыми [8; 20]. На компактной римановой поверхности F рода g ≥ 1 существует единственный базис ζ1, ..., ζg голоморфных абелевых дифференциалов такой,  что aj ζk = δjk , j, k = 1, ..., g. Относительно этого базиса матрица периодов имеет вид  ζk (Ig , Ω), Ω = (πjk ), πkj = bj

и t Ω = Ω, JmΩ > 0. Такой базис будем называть каноническим базисом для канонического гомологического базиса {a1, ..., ag , b1, ..., bg } = (1) (g) (j) {N = 1 , ..., N2g } на F. Представим Ω в виде Ω = (π , ..., π ), где π  t ( Ng+j ζ1 , ..., Ng+j ζg ), j = 1, ..., g. Вектора столбцы матрицы (Ig , Ω) являются R-линейно независимыми [52]. 15

Пусть ω - голоморфный дифференциал на компактной римановой поверхности F рода g > 0. Если либо все a-периоды для ω равны нулю, либо все b-периоды для ω равны нулю, то ω = 0 на F. Определение 1.1.5. Абелевым дифференциалом первого рода называется голоморфный дифференциал. Абелевым дифференциалом второго рода называется мероморфный дифференциал, не имеющий простых полюсов. Абелевым дифференциалом третьего рода называется мероморфный дифференциал, который имеет хотя бы один простой полюс на F [8; 52]. Дивизором на римановой поверхности F называется формальное произведение D = P1n1 ...Pknk , Pj ∈ F, nj ∈ Z, j = 1, ..., k. Обозначим через Div(F ) группу дивизоров на F с операцией умножения дивизоров. Она является свободной коммутативной группой. Единица в Div(F ) будет обозначаться 1 (пустой дивизор). Для каждого дивизора D определеk на степень degD = j=1 nj . Степень deg задает гомоморфизм из группы (Div(F ), ·) в (Z, +). Если f ∈ M ∗ (F ), т.е. f - мероморфная функция на F, не являющая тождественным нулем, то определен ее дивизор (f ) = P ∈F P ordP f ∈ Div(F ). Отсюда получаем гомоморфизм () из M ∗ (F ) в группу Div0 (F ) - группу дивизоров степени 0, так как число нулей равно числу полюсов для мероморфной функции (с учетом кратности). Обозначим через DivH (F ) образ по отображению () для M ∗ (F ). Дивизоры из DivH (F ) называют главными, т.е. дивизорами для мероморфных функций на F. Фактор-группа Div(F )/DivH (F ) называется группой классов дивизоров [52]. Определение 1.1.6. Два дивизора D и D1 называются линейно эквивалентными (D ∼ D1 ), если D/D1 - главный дивизор. Если - мероморфный q-дифференциал, то определен его дивизор 0 = ω ord (ω) = P ∈F P P ω . Дивизор для мероморфного q-дифференциала называется q-каноническим дивизором. При q = 1 просто каноническим дивизором Z. Если ω1 и ω2 два, отличных от тождественного нуля, мероморфных q-дифференциала, то ωω12 ∈ M ∗ (F ). Следовательно, класс дивизора (ω1) совпадает с классом дивизора (ω2) (этот класс называется q-каноническим классом). Дивизор D = P ∈F P n(P ) называется целым, если n(P ) ≥ 0 для всех P ∈ F, и будем писать D ≥ 1. Поэтому можно ввести частичный порядок на дивизорах, т.е. D ≥ D1 если и только если DD1−1 ≥ 1. Функцию f ∈ M ∗ (F ) (мероморфный q-дифференциал ω = 0) будем называть кратными дивизору D, если (f )D−1 ≥ 1((ω)D−1 ≥ 1). Для нулевых функций и дифференциалов вводится соглашение (0)D−1 ≥ 1 для любого 16

D ∈ Div(F ). Для любого дивизора D на F вводится комплексное векторное пространство L(D) = {f ∈ M(F ) : (f ) ≥ D}. Его размерность r(D) будем называть размерностью дивизора D. Для любого D ∈ Div(F ) вводится комплексное векторное пространство Ω(D) состоящее из ω таких, что ω - абелев дифференциал на F с (ω) ≥ D. Его размерность i(D) = dimC Ω(D) называется индексом специальности для дивизора D. Теорема (Римана-Роха) [8], [52]. Пусть F - компактная риманова поверхность рода g. Тогда верно равенство r(D−1 ) = degD − g + 1 + i(D). Неравенство Римана. Для дивизора D на компактной римановой поверхности F рода g верно неравенство r(D−1) ≥ degD − g + 1. Пусть {a1 , ..., ag , b1, ..., bg } = {a, b} - канонический гомологический базис на компактной римановой поверхности F рода g ≥ 1 и ζ1 , ..., ζg - канониче ский к нему базис, т.е. ak ζj = δjk . k, j = 1, ..., g. Обозначим через Ω = (πjk ),  (πjk = bk ζj ) - матрицу b-периодов, и L(F ) решетку над Z, порожденную 2g столбцами матрицы (Ig , Ω). Эти столбцы обозначим e(1) , ..., e(g), π (1) , ..., π (g).   Точки из L(F ) записываются единственно в виде gj=1 mj e(j) + gj=1 nj π (j) , mj , nj ∈ Z, или, более кратко, Im + Ωn, где m =t (m1 , ..., mg ), n = t (n1, ..., ng ) ∈ Zg . Фактор-пространство J(F ) = Cg /L(F ) называется отмеченным многообразием Якоби для F. Оно будет компактным gмерным комплексным многообразием и является коммутативной g-мерной комплексно-аналитической группой Ли. Отображения Якоби ϕ : F → J(F ) определяется по формуле:  P  P  P ζ =t ( ζ1 , ..., ζg ) ∈ Cg , ϕ(P ) = P0

P0

P0

где P0 - фиксированная точка на F, и пути интегрирования берутся одинаковыми для всех координат [52]. Для любого n ∈ Z, n ≥ 1, обозначим через F n = F × ... × F декартово произведение, а через Fn - симметрическое произведение поверхности F. Продолжим отображение Якоби до отображения ϕ : Fn → J(F ), полагая для D = P1 ...Pn, n n  Pj n  Pj



ϕ(D) = ϕ(Pj ) =t ( ζ1 , ..., ζg )modL(F ) ∈ J(F ). j=1

j=1

P0

j=1

17

P0

Так как ϕ(P0) = 0, то ϕ(Fn+1) ⊃ ϕ(Fn) ⊃ ... ⊃ ϕ(F1) = ϕ(F ). Отображение ϕ зависит от выбора базисной точки P0 на F. На подмноϕ : Div(F ) → J(F ), жестве Div0 (F ) (дивизоры степени r0 ) отображение s r определенное по формуле ϕ(D) = j=1 ϕ(Pj )− j=1 ϕ(Qj ), для D = QP11...P ...Qs , не зависит от выбора базисной точки P0 на F. Теорема (Г. Абеля) [8; 52]. Пусть D ∈ Div(F ). Тогда D - главный дивизор на компактной римановой поверхности F рода g ≥ 1, если и только если degD = 0 и ϕ(D) = 0. Теорема (Г. Якоби) [8; 52]. Каждая точка из J(F ) имеет прообразом некоторый целый дивизор степени g на F. Группа (J(M), +) изоморфна фактор-группе Div0(F )/DivH (F ) группы дивизоров степени 0 по подгруппе главных дивизоров на компактной римановой поверхности F рода g ≥ 1. Пусть задан дивизор D = P ∈F P α(P ) , α(P ) ∈ Z, причем α(P ) = 0 только в конечном числе точек на компактной римановой поверхности F рода g ≥ 1. Число α(P ) называется порядком (или кратностью) точек P в D. Полной линейной системой |D| для D называется множество целых дивизоров D1 линейно эквивалентных D. Для любого дивизора D на компактной римановой поверхности F рода g ≥ 1 множество |D| канонически биективно отображается на P L(D−1 ) (комплексная проективизация векторного пространства L(D−1)). Линейной системой DV в |D| называется подмножество соответствующее некоторому подпространству вида P V в P L(D−1), где V - векторное подпространство в L(D−1). Эта линейная система называется типа (degD = d, dimCV = r + 1) [52]. Определение 1.1.7. Базисной точкой для линейной системы DV называется точка общая для всех дивизоров из DV . Вернемся к отображению Якоби ϕ : Fn → J(F ) и рассмотрим специальные подмножества в J(F ). Если F - компактная риманова поверхность рода g ≥ 1, то любому выбору канонического гомологического базиса {a, b} в H1(F, Z), а значит и единственного для него канонического базиса ζ1 , ..., ζg соответствует комплексный тор Cg /L(F ). Все эти торы, соответствующие различным выборам базисов {a, b}, канонически изоморфны друг другу. Следовательно, если выбран и зафиксирован один базис {a, b} на F, а значит выбрана решетка L(F ), то выбрана реализация отмеченного многообразия Якоби, т.е. отмеченного комплексного тора в классе канонически 18

изоморфных комплексных торов. Поэтому отмеченной компактной римановой поверхности [F, {a, b}] соответствует отмеченный тор [J(F ); L(F )] (с точностью до сдвига, связанного с выбором базисной точки P0 для отображения Якоби) [52; 59]. Обозначим через Wn = ϕ(Fn). Ясно, что W0 = {0}, Wn ⊂ Wn+1 и Wg = J(F ). Положим: Wnr = ϕ({D ∈ Fn : r(D−1) ≥ r + 1}) = ϕ(Fnr ), т.е. множество точек в J(F ), являющихся образами по ϕ целых дивизоров D таких, что degD = n, r(D−1) ≥ r + 1. Из теоремы Абеля следует, что W1 = ϕ(F ) изоморфно F и эквивалентные дивизоры переходят по ϕ в одну и ту же точку в J(F ). Отсюда K = ϕ(Z) - одна точка в J(F ). Перечислим некоторые свойства, введенных выше множеств в J(F ) [52, p. 150] : 1) Для D ∈ Fn cлой ϕ−1(ϕ(D)) для отображения ϕ есть полная линейная система |D| и является аналитическим подмногообразием в Fn размерности ν = r(D−1 ) − 1, которое можно представить как взаимнооднозначный аналитический образ проективного комплексного пространства CP ν ; 2) Отображение ϕ : Fn → Wn устанавливает аналитический изоморфизм между Fn \ Fn1 и Wn \ Wn1 . Для g ≥ 1 вводится верхнее полупространство Зигеля рода g как множество σg , состоящее из комплексных симметричных g × g матриц с положительной мнимой частью. Тэта-функция Римана определяется по формуле: 1t Θ(z; τ ) = ΣN ∈Zg exp2πi( N τ N +t N z), 2

(1)

где z ∈ Cg , τ ∈ σg . На всех областях вида {(z, τ ) ∈ Cg × σg : ||z||Cg ≤ M, λ(τ ) ≥ λ0 > 0} тэта-функция сходится абсолютно и равномерно. Здесь λ(τ ) - минимальное собственное значение для Jmτ. По теореме Вейерштрасса тэта-функция Θ будет голоморфна на Cg × σg . Часто для сокращения обозначений пишем Θ(z; τ ) = Θ(z), если τ фиксировано. Перечислим ряд свойств тэта-функции: 1) Θ(z + e(j) ; τ ) = Θ(z; τ ), (j) (k) будут (j),(k) 2) Θ(z + τ (k) ; τ ) = exp 2πi(−zk − τkk 2 )Θ(z; τ ), где e , τ столбцы матриц Ig , τ соответственно; 19

3) Θ(−z; τ ) = Θ(z; τ ) для любых z ∈ Cg , τ ∈ σg [52]. п2. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности. Теоремы Римана-Роха и Абеля для характеров Пусть F будет риманова поверхность. Функциональным элементом (f, U ) на F назовем мероморфную функцию f : U → C на открытом множестве U. Два (функциональных) элемента (f, U ) и (g, V ) называются эквивалентными в точке P ∈ U ∩ V, если существует открытое множество W, P ∈ W ⊂ U ∩ V и f |W = g|W. Класс эквивалентности для элемента (f, U ) в точке P ∈ U называется ростком для (f, U ) в P и будет обозначаться как (f, P ). Легко видеть, что множество ростков всех функциональных элементов в P на F будет биективно соответствовать множеству всех сходящихся рядов Лорана в проколотой окрестности точки P (в терминах некоторого фиксированного локального параметра в окрестности точки P ) с конечным числом слагаемых в главной части ряда Лорана [52, p. 126]. Введем топологию на множестве ростков следующим образом. Пусть (f, P ) - некоторый росток в точке P, и его класс эквивалентности имеет представитель функциональный элемент (f, U ) в P ∈ U. Под окрестностью ростка (f, P ) будем понимать множество ростков (f, Q) с Q ∈ U. Нетрудно видеть, что каждая связная компонента F в множестве ростков с указанной топологией есть риманова поверхность, имеющая два голоморфных отображения: M ←proj F →eval C, где eval(f, P ) = f (P ) и proj(f, P ) = P. Эту риманову поверхность можно описать как связное множество F , состоящее из ростков (f, P ), где P ∈ F и существует некоторый росток (f0, P0 ), P0 ∈ F, такой, что все другие ростки (f, P ) получаются из него аналитическим продолжением по кривым, выходящим из P0 , на F. Причем эта риманова поверхность будет разветвленным многолистным накрытием над F. Нас будет интересовать только специальный класс компонент F , имеющий следующие два свойства: а) proj будет отображением "на"; б) для каждого пути γ : I → F и каждого f ∈ F с projf = γ(0), существует единственный путь γ : I → F с  γ (0) = f и γ = proj γ. Кривая γ в F называется аналитическим продолжением γ(0) вдоль γ, причем по теореме монодромии γ(1) зависит только от класса гомотопии кривой γ (с фиксированным началом и концом) и от  γ (0). Поэтому компо20

ненты F , из пространства всех ростков, удовлетворяющие условиям а), б), будут гладкими безграничными накрывающими многообразиями над F. Характером ρ на фундаментальной группе π1 (F ) для компактной римановой поверхности F называется гомоморфизм из π1 (F ) в мультипликативную группу C∗ = C\{0}, поля комплексных чисел C. Так как C∗ коммутативная группа, то характер ρ в действительности есть гомоморфизм ρ : H1(F, Z) → C∗ . Характер ρ называется нормированным, если он все свои значения принимает на единичной окружности S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Если F имеет род g > 0, и положим {N1 , ..., N2g} = {a1 , ..., ag , b1, ..., bg } (как равенство упорядоченных наборов), то ρ единственно определяется по своим значениям ρ(N1), ..., ρ(N2g) на образующих. Поэтому абелева группа Hom(π1 (F ), C∗) изоморфна группе [C∗]2g , где изоморфизм задается отображением ρ → (ρ(N1), ..., ρ(N2g)); в последней группе строки умножаются покоординатно, а произведение двух характеров ρ1 , ρ2 в Hom(π1 (F ), C∗) определено по правилу (ρ1 · ρ2 )(a) = ρ1 (a)ρ2(a), a ∈ π1 (F ). Определение 1.1.8. Мультипликативной (многозначной) функцией на F принадлежащей характеру ρ называется связная компонента F из пространства ростков мероморфных функций, удовлетворяющая свойствам а), б) и дополнительно свойству в) аналитическое продолжение для любого f ∈ F вдоль замкнутой кривой γ приводит к элементу f1 ∈ F такому, что evalf1 = ρ(γ)evalf [52]. Дадим более детальное описание мультипликативной функции F на F для характера ρ. Пусть γ петля на F, и  γ путь в F , лежащий над γ. Для каждой точки t ∈ [0, 1], точка  γ (t) представляется функциональным элементом (ft, U (t)) с открытым множеством U (t) на F и γ(t) ∈ U (t). Из непрерывности отображения γ : I → F и компактности I следует, что существует разбиение 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn < tn+1 = 1 и функциональные элементы (f0, U0), (f1, U1), ..., (fn, Un) такие, что γ(t) есть класс эквивалентности для (fj , Uj ) при t ∈ [tj , tj+1], j = 0, ..., n. Так как γ - петля, то можно считать, что U0 = Un. Отсюда функциональный элемент (fn, Un) получается из элемента (f0, U0) аналитическим продолжением вдоль γ. Поскольку F принадлежит характеру ρ, то fn = ρ(γ)f0. 21

Таким образом, можно понимать мультипликативную функцию F принадлежащую характеру ρ как набор функциональных элементов (f, U ) на F со свойствами : а) для заданных двух элементов (f1, U1) и (f2, U2) из F , элемент (f2, U2) будет получаться аналитическим продолжением из (f1, U1) вдоль некоторой кривой γ на поверхности F, б) продолжение функционального элемента (f, U ) в F вдоль петли γ приводит к функциональному элементу (ρ(γ)f, U ). Аналогичным способом определяются мультипликативные дифференциалы (дифференциалы Прима) для характера. Рассматриваются тройки (ω, U, z), где U - открытое множество на F, z - локальная координата на U и ω - мероморфная функция от z на U. Если (ω1 , V, t) - другая такая тройка и P ∈ U ∩ V, то две тройки назовем эквивалентными в P, если существует открытое множество W ⊂ U ∩ V, P ∈ W, и для для всех Q ∈ W верно dt равенство ω1(t(z)) dz = ω(z), z = z(Q). Повторяя предыдущие конструкции с этим отношением эквивалентности, можно ввести мультипликативные дифференциалы для характера ρ следующим образом. Такой дифференциал есть набор троек (ω, U, z). Если (ω0, U0, z0 ) и (ωn, Un, zn ) - две такие тройки, то можно найти цепь из троек (ωj , Uj , zj ), j = 0, ..., n и такую, что Uj ∩ Uj+1 = ∅, j = 0, ..., n − 1 и dzj = ωj+1(zj+1), zj+1 = zj+1 (Q), Q ∈ Uj ∩ Uj+1. Кроме того, ωj (zj (zj+1)) dzj+1 если аналитически продолжим элемент (ω, U, z) вдоль петли γ, то получим другой элемент (ω1, U, z), где ω1(z) = ρ(γ)ω(z), z = z(Q), Q ∈ U. Приведем еще ряд основных свойств таких функций и дифференциалов. Если f1 и f2 - мультипликативные функции для характеров ρ1 и ρ2 соответственно, то f1f2 и ff12 тоже мультипликативные функции для характеров ρ1 ρ2 и ρρ12 соответственно. Аналогично, если ω3 и ω4 - мультипликативные дифференциалы для ρ3 и ρ4 соответственно, то f1ω3 и ωω34 будут мультипликативный дифференциал и мультипликативная функция для ρ1 ρ3 и ρρ34 соответственно, если w4 = 0. Если f = 0 - мультипликативная функция для характера ρ, то df есть мультипликативный дифференциал для того же характера ρ и dff - абелев дифференциал. Нетрудно видеть, что мультипликативная функция и мультипликативный дифференциал имеют корректно определенные порядки нулей и полюсов, а значит для них корректно определены дивизоры (f ) и (ω). Предложение 1.1.1 [52, p.129]. Если f = 0 - мультипликативная функция, то deg(f ) = 0. 22

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Порядок ordP f для f в точке P, как и в случае однозначных функций, равен resP ( dff ). Но dff - абелев дифференциал и сумма всех его вычетов равна нулю. Предложение доказано. Предложение 1.1.2 [52, p. 129]. Если ω = 0 - мультипликативный дифференциал, то deg(ω) = 2g − 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем некоторый абелев дифференциал ω1 на F, ω1 = 0. Тогда ωω1 - мультипликативная функция для того же характера, что и для ω. Так как deg(ω1 ) = 2g − 2, то по предыдущему предложению deg(ω) = deg(ω1) = 2g − 2. Предложение доказано. Опишем прежде всего мультипликативные функции f, не имеющие ни нулей, ни полюсов. Если f - мультипликативная функция на F без нулей и полюсов, то dff = d(log f ) - голоморфный абелев дифференциал. Отсюда g df = d(log f ) = j=1 cj ζj и значит f 

P

f (P ) = f (P0) exp

g

cj ζj ,

P0 j=1

cj ∈ C, j = 1, ..., g. Учитывая выбор базиса {ζj }gj=1, канонического для канонического гомологического базиса a1 , ..., ag , b1, ..., bg , получим, что характер ρ для f имеет вид: g

ρ(ak ) = exp ck , ρ(bk ) = exp( cj πjk ), k = 1, ..., g. j=1

Будем называть такие характеры ρ несущественными, а f (с таким характером) - единицей. Характеры, которые не являются несущественными, будем называть существенными на π1 (F ) [52; 59]. Теорема 1.1.3 [52, p. 130]. Каждый дивизор D = 1 степени 0 будет дивизором единственной (с точностью до умножения на ненулевую константу) мультипликативной функции на компактной римановой поверхности F рода g ≥ 1, принадлежащей единственному нормированному характеру. Следствие 1.1.4. Любой дивизор D степени (2g − 2)m, g ≥ 1, m ≥ 1, есть дивизор единственного (с точностью до умножения на ненулевую константу) мультипликативного m−дифференциала, принадлежащего к единственному нормированному характеру. Теорема 1.1.5 [52, p. 131]. Каждый нетривиальный характер ρ является характером некоторой мультипликативной функции на F, не равной тождественно нулю. 23

Пусть D - дивизор на F. Введем, по аналогии с классическим случаем ρ = 1, для любого характера ρ следующие пространства Lρ(D), состоящие из мультипликативных мероморфных функции f на F для ρ таких, что (f ) ≥ D, и Ωρ (D), состоящее из мультипликативных мероморфных 1-дифференциалов ω на F для ρ таких, что (ω) ≥ D. Обозначим через rρ (D) = dimC Lρ (D), iρ (D) = dimC Ωρ (D) размерности этих комплексных векторных пространств. Теорема (Римана-Роха для характеров) [52, p. 133]. Пусть F - компактная риманова поверхность рода g ≥ 1. Тогда для любого дивизора D на F и любого характера ρ, ρ = 1, верно равенство: rρ (D−1) = degD − g + 1 + iρ−1 (D). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого ρ существует нетривиальная мультипликативная функция f на F для ρ. Тогда следующие два отображения Lρ(D−1 )  h → h/f ∈ L(D−1(f −1)), и

Ωρ−1 (D)  ω → ωf ∈ Ω(D(f )),

будут изоморфизмами комплексных векторных пространств. Отсюда rρ (D−1) = r(D−1(f −1)), и iρ−1 (D) = i(D(f )). Применяя теорему РиманаРоха для случая тривиального характера, получим, что верно равенство r(D−1(f −1)) = degD + 0 − g + 1 + i(D(f )). Последнее равенство эквивалентно утверждению нашей теоремы. Теорема доказана. Замечание 1.1.1. На компактной римановой поверхности F рода g = 0 любой характер ρ будет тривиальным, а значит мультипликативные дифференциалы будут абелевыми дифференциалами на F. Предложение 1.1.6 [52, p. 134]. Для характера ρ на компактной римановой поверхности F рода g ≥ 1 верно iρ (1) = g, если ρ - несущественный характер, и iρ (1) = g − 1, если ρ - существенный характер. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для ρ = 1 уже знаем, что i(1) = g. По теореме Римана-Роха для характеров ρ = 1 имеем: rρ−1 (1) = −g + 1 + iρ (1).

(1)

Отсюда iρ (1) ≥ g − 1. Затем iρ (1) ≤ g так как iρ (1) = i(1(f )−1) = g − 1 − deg(f )−1 + r((f )) ≤ g − 1 − 0 + 1 = g в виду того, что r((f )) ≤ 1 при deg(f ) = 0, где f - отличная от тождественного нуля мультипликативная функция на F для ρ. Кроме того, iρ (1) = g ⇔ rρ−1 (1) = 1 ⇔ существует 24

отличная от тождественного нуля мультипликативная голоморфная функция f0 ∈ Lρ−1 (1). Здесь f0 не может быть постоянной, так как постоянные функции не принадлежат нетривиальному характеру. Затем f0 не имеет нулей из-за того, что deg(f0) = 0 и f0 не имеет полюсов. Следовательно, f0 единица (т.е. мультипликативная функция для несущественного характера ρ−1). Поэтому iρ (1) = g если и только если ρ - несущественный характер. Предложение доказано. Теорема (Абеля для характеров) [52, p.134]. Пусть D - дивизор на отмеченной компактной римановой поверхности [F, {a1, ..., ag , b1, ..., bg }] рода g ≥ 1 и ρ - характер на π1 (F ). Тогда D будет дивизором мультипликативной функции f на F для характера ρ ⇔ degD = 0 и 1

1

(j) log ρ(bj )e − log ρ(aj )π (j) ϕ(D) = 2πi j=1 2πi j=1 g

g

в Cg по модулю целочисленной решетки L(F ), порожденной столбцами e(1) , ..., e(g), π (1) , ..., π (g) матрицы a−периодов и b−периодов канонического базиса ζ1 , ..., ζg для канонического гомологического базиса на F, где ϕ отображение Якоби для F.

25

§ 1.2. Топологические и аналитические свойства группы характеров для фундаментальной группы компактной поверхности В теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности F рода g ≥ 2 большую роль играют множество Lg несущественных и дополнительное к нему множество существенных характеров [34; 52; 59; 37]. В этом параграфе будет дана характеризация группы характеров Hom(π1 (F, O), C∗ ) и ее специальных подгрупп Lg и Lg (Lg - множество всех комплексно-сопряженных характеров к Lg ). Кроме того, исследуется зависимость несущественного и нормированного сомножителей, на которые по теореме Фаркаша - Кра ([52, c. 130]) единственным образом разлагается любой характер, от самого характера. Оказывается, что указанная зависимость является только комплексногармонической (приводятся явные формулы), а пересечение Lg ∩ Lg будет дискретной подгруппой. Предлагается также другое явное разложение любого характера, при котором, в отличие от разложения Фаркаша - Кра, сомножители зависят от самого характера комплексно-аналитически. Это важно при построении теории векторных расслоений Прима и Ганнинга над произведением пространств Тейхмюллера и Hom(π1 (F ), C∗)\(Lg ∪ Lg ). Обозначим через Hom(Γ, C∗ ) множество всех одномерных комплексных характеров группы Γ, т. е. всех гомоморфизмов ρ : Γ → C∗ . Каждый характер ρ однозначно определяется своими значениями на образующих группы Γ. Таким образом, любой характер ρ однозначно задается строкой (ρ(A1 ), ..., ρ(Ag), ρ(B1), ..., ρ(Bg )) ∈ [C∗]2g , и множество Hom(Γ, C∗ ) отождествляется с пространством строк [C∗ ]2g . Характер ρ называется нормированным, если он принимает все свои значения на единичной окруж 1 2g ности. Множество таких характеров будем обозначать S . Введем на ∗ Hom(Γ, C ) естественные операции умножения и взятия обратного элемента: если ρ, ρ1 ∈ Hom(Γ, C∗ ), то 1)ρ · ρ1 ∈ Hom(Γ, C∗ ), где (ρ · ρ1 )(A) = ρ(A) · ρ1 (A), A ∈ Γ; 2)ρ−1 ∈ Hom(Γ, C∗), где (ρ−1)(A) = (ρ(A))−1, A ∈ Γ. Зададим топологию на Hom(Γ, C∗ ) через задание ε-окрестностей для 0 = 1, как множеств вида {ρ : |ρ(Nj ) − 1| < ε, j = 1, ..., 2g}, и εокрестностей для фиксированного характера ρ1 , как множеств вида: {ρ : |ρ(Nj ) − ρ1 (Nj )| < ε, j = 1, ..., 2g}. Ясно, что операции будут непрерывными в указанной топологии и Hom(Γ, C∗ ) является топологической абелевой группой. 26

Зададим на Hom(Γ, C∗ ) комплексно-аналитическую структуру. При фиксированных образующих группы Γ, имеем отображение Ψ1 по правилу Hom(Γ, C∗ )  ρ → (ρ(A1), ..., ρ(Ag ), ρ(B1), ..., ρ(Bg )) ∈ [C∗]2g . Отображение Ψ1 задает глобальную карту на Hom(Γ, C∗ ) и задает биголоморфный изоморфизм групп Hom(Γ, C∗) и [C∗]2g , где в [C∗]2g введена операция покоординатного умножения векторов. Нетрудно видеть, что переход к другому множеству образующих в группе определяет другое отображение Ψ2 из Hom(Γ, C∗ ) на [C∗ ]2g , но эти отображения Ψ1 и Ψ2 отличаются на биголоморфный автоморфизм группы [C∗]2g . Таким образом, группа Hom(Γ, C∗) становится комплексно-аналитическим многообразием размерности 2g, или комплексно-аналитической группой Ли размерности 2g. Отметим, ещё дополнительно, связь элементов ρ из Hom(Γ, C∗ ) с голоморфными плоскими расслоениями на F [59]. Каждый характер ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ) есть плоский фактор-автоморфности ранга один для действия Γ на U, который задаёт плоское голоморфное расслоение на F. Действительно, из соотношения ρ(ST ) = ρ(S)ρ(T ) для всех S, T ∈ Γ получаем фактор-автоморфности ρ : Γ × U → C∗ , определяемый по правилу ρ(T, z) = ρ(T ), т.е. не зависящий от z из U. Рассмотрим тривиальное голо голоморфных авморфное линейное расслоение ξ = U ×C над U и группу Γ томорфизмов T для ξ таких, что T(z, t) = (T z, ρ(T )t), z ∈ U, T ∈ Γ, t ∈ C. Γ  = ξ есть плоское голоморфное линейное расТогда фактор-расслоение ξ/ слоение на U/Γ = F, и его фактор-автоморфности равен ρ. Обозначим через Lg множество точек ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ) соответствующих плоским голоморфным линейным расслоениям ξ на F, которые аналитически эквивалентны тривиальному голоморфному линейному расслоению на F [59; 60]. Имеется другое описание для группы Hom(Γ, C∗). Для этого определим комплексно - аналитическую структуру на Hom(Γ, C∗ ), задав координаты : C2g → Hom(Γ, C∗ ) по правилу C2g  (x, y) → ρx,y ∈ Hom(Γ, C∗), где ρx,y (Aj ) = exp2πixj , ρx,y (Bj ) = exp2πiyj , j = 1, ..., g. Отображение : (x, y) → ρx,y сюръективный гомоморфизм, имеющий ядро Z2g в C2g . По теореме о гомоморфизмах групп имеем биголоморфный изоморфизм:   (Hom(Γ, C∗ ), ·) ∼ = C2g /Z2g , + . Заметим, что отсюда следует изоморфизм групп π1 (Hom(Γ, C∗ ), 1) ∼ = π1 (C2g /Z2g , 0) ∼ = Z2g , 27

а также некомпактность и связность (но не односвязность!) множества Hom(Γ, C∗ ). Множество Lg , как показано в [59], совпадает с множеством несуще ственных характеров ρx,y для Γ, где xj = cj , yj = gk=1 πjk ck , j = 1, ..., g. Здесь c = (c1 , ..., cg ) - любая точка из Cg . Поэтому Lg = (L0), где L0 = {(x, y) ∈ Cg × Cg : y = Ωx} является g−мерным комплексным векторным подпространством в C2g . Если характер ρ ∈ Hom(Γ, C∗ )\Lg , то он может быть представлен в  виде ρ = ρx,y для xj = cj , yj = gk=1 πjk ck + dj , где хотя бы один dj ∈ / Z, j = 1, ..., g. Эти характеры называются существенными характерами для Γ. Предложение 1.2.1. Отображение есть голоморфная биекция из L0 на Lg . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что инъективно. Действительно, если ρx,y = ρx ,y , то x = x + k, y = y + n, k, n ∈ Zg и y = Ωx = Ω(x + k). Значит Ω(x + k) = y = y + n = Ωx + n и Ωk = n. Последнее эквивалентно следующим двум вещественным равенствам: (Re Ω)k = n, (Im Ω)k = 0. Так как Im Ω - невырожденная матрица, то по теореме из линейной алгебры k = 0. Тогда из условия (Re Ω)k = n следует, что n = 0. Отсюда x = x, y = y. Отображение будет сюръективно по определению, а также голоморфно, так как ρx,y зависит аналитически от x ∈ Cg и матрица Ω фиксирована. Предложение доказано. Следствие 1.2.2. Группа Lg - односвязное подмногообразие в Hom(Γ, C∗ ) комплексной размерности g. Обозначим через Lg множество комплексно-сопряженных характеров к характерам из Lg , а 1 - тривиальный характер. Предложение 1.2.3. Подгруппы Lg и Lg являются комплексноаналитическими g−мерными подгруппами Ли в группе Ли Hom(Γ, C∗), а Hom(Γ, C∗ )\1, Hom(Γ, C∗)\Lg , Hom(Γ, C∗ )\Lg , Hom(Γ, C∗ )\(Lg ∪ Lg ) будут комплексно-аналитическими 2g−мерными подпространствами в комплексно-аналитическом пространстве Hom(Γ, C∗ ), причем они инвариантны относительно биголоморфного автоморфизма B : ρ → ρ−1 , где ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ρ ∈ Lg (несущественный характер) с параметрами (c1 , ..., cg ) ∈ Cg , т. е. ρ(Ak ) = exp 2πick , ρ(Bk ) = 28

 exp 2πi( gj=1 πkj cj ), k = 1, ..., g, тогда ρ−1 имеет параметры (−c1, ..., −cg ) и также несущественный характер; поэтому ρ−1 ∈ Lg . Если ρ - существенный характер с параметрами (c1, ..., cg ; d1, ..., dg ), где / Z, тогда ρ−1 тоже существенный характер с параметрами некоторый dk ∈ (−c1, ..., −cg ; −d1, ..., −dg ), где некоторый (−dk ) ∈ / Z. −1 Поэтому отображение B : ρ → ρ инвариантно на Lg и также на Hom(Γ, C∗ )\Lg и на Hom(Γ, C∗ )\1, так как B = B −1. Это отображение B будет, очевидно, голоморфной биекцией множеств Lg , Hom(Γ, C∗)\Lg и Hom(Γ, C∗ )\1 на себя соответственно. Кроме того, если ρ1 и ρ2 из Lg с параметрами (c11, ..., c1g ) и (c21, ..., c2g ) соответственно, тогда Lg  ρ1 ρ2 → ρ11ρ2 = ( ρ11 )( ρ12 ) ∈ Lg , где последний элемент имеет параметры (−c11 − c21 , ..., −c1g − c2g ). Следовательно, B биголоморфный автоморфизм для подгруппы Ли Lg . Множество Lg = {ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ) : ρ ∈ Lg } есть образ множества {(x, y) ∈ Cg × Cg : y = Ωx} относительно отображения , и является подгруппой Ли, так как, если ρ ∈ Lg имеет параметры (c1 , ..., cg ) ∈ Cg , то  ρ(Ak ) = exp 2πi(−ck ), ρ(Bk ) = exp 2πi( gj=1 πkj (−cj )), и также (ρ1 )(ρ2) = ρ1 ρ2 , (ρ1)−1 = (ρ−1 1 ), когда ρ1 , ρ2 ∈ Lg . Затем Lg будет B−инвариантно, так как Lg  ρ → 1ρ = ( ρ1 ) ∈ Lg , и множества Hom(Γ, C∗)\Lg и Hom(Γ, C∗ )\(Lg ∪ Lg ) будут B−инвариантными, так как B = B −1. Предложение доказано. Замечание 1.2.1. Множества Hom(Γ, C∗ )\1, Hom(Γ, C∗)\Lg , Hom(Γ, C∗)\(Lg ∪ Lg ) имеют реализацию в [C∗ ]2g в виде областей, которые не являются областями голоморфности. Это есть следствие того, что Lg и Lg ∪ Lg имеют реализацию в [C∗ ]2g в виде неограниченных открытых g−мерных подмножеств, имеющих комплексную коразмерность g, g ≥ 2, в 2g−мерном комплексном пространстве. В то же время, Hom(Γ, C∗ ) изоморфна [C∗ ]2g , а значит является многообразием Штейна и областью голоморфности [6; 30; 40]. Определим еще одно отображение ψ : Hom(Γ, C∗ ) → J(F ) = Cg /L(F ), где L(F ) - целочисленная решётка в Cg , порожденная столбцами единичной матрицы I порядка g и столбцами матрицы Ω, следующим образом. Для ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ) существует непостоянная мероморфная мультипликативная функция f для характера ρ. Тогда положим ψ(ρ) = ϕ((f )) ∈ J(F ), т.е. это образ дивизора (f ) степени нуль по отображению Якоби ϕ : Div0(F ) → Cg modL(F ) в многообразии Якоби J(F ), причем это отображение не зависит от выбора базисной точки. 29

Предложение 1.2.4 [52, c.134]. Отображение ψ задаёт изоморфизм фактор-группы Hom(Γ, C∗ )/Lg на отмеченное многообразие Якоби J(F ) для отмеченной компактной римановой поверхности F рода g ≥ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что ψ корректно определенный групповой гомоморфизм из Hom(Γ, C∗ ) в J(F ). Если для данного ρ существуют две не равные тождественно нулю мультипликативные функции f1 и f2, то f = f1/f2 - однозначная мероморфная функция на компактной римановой поверхности F. Поэтому (f1) линейно эквивалентен (f2), а значит ψ(ρ) = ϕ((f1)) = ϕ((f2)). Затем, ψ(ρ1 ρ2 ) = ϕ((f1f2 )) = ϕ((f1)) + ϕ((f2)) = ψ(ρ1 ) + ψ(ρ2 ) и ψ(ρ−1) = −ψ(ρ), для любых ρ1 , ρ2 и ρ из Hom(Γ, C∗ ). Покажем, что ψ - отображение "на". По теореме Якоби для любого a ∈ J(F ) существует дивизор Da ∈ Fg такой, что ϕP0 (Da ) = a. Отсюда ϕP0 (Da /P0g ) = a и дивизор Da /P0g степени нуль является дивизором мультипликативной функции fa с некоторым характером ρa . Следовательно: ψ(ρa ) = ϕ((fa)) = ϕ(Da/P0g ) = a. Наконец, из теоремы Абеля для характеров имеем, что ρ ∈ Kerψ (ядро отображения ψ), если и только если ρ - несущественный характер, т.е. ρ ∈ Lg . Предложение доказано. Обозначим через [S 1]2g подгруппу, состоящую из нормированных характеров, в группе Hom(Γ, C∗ ). Нам потребуются теорема Фаркаша - Кра и некоторые ее следствия. Теорема 1.2.5. ([52, с. 130]). Для любого ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ) существует и  2g единственно представление в виде ρ = ρ0 · ρ1 , где ρ0 ∈ S 1 , ρ1 ∈ Lg . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим, ρ(Ak ) = exp(sk + itk ), sk , tk ∈ R, ρ(Bk ) = exp(uk + ivk ), uk , vk ∈ R, k = 1, ..., g. Построим несущественный характер ρ1 такой, что |ρ1 (T )| = |ρ(T )| , T ∈ Γ. Выберем константы ck = αk +iβk , αk , βk ∈ R, k = 1, ..., g, из представления gнесущественного характера ρ1 (Ak ) = expck , ρ1 (Bk ) = exp(Ωc)k , (Ωc)k = j=1 πkj cj следующим образом: |ρ1 (Ak )| = |expck | = expαk = expsk = |ρ(Ak )| , k = 1, ..., g. Отсюда αk = sk + 2πink , nk ∈ Z. Но так как αk ,sk ∈ R, то nk = 0 и αk = sk , k =     1, ..., g. Затем |ρ1 (Bk )| = exp gj=1 πkj cj  = exp gj=1 Re(πkj cj ) = expuk = |ρ(Bk )| , k = 1, ..., g, или g

Re(πkj cj ) = uk .

j=1

30

(∗)

Покажем, что такой выбор ck , k = 1, ..., g, действительно возможен и единственен. Матрицу Ω = (πkj )gk,j=1 можем записать в виде Ω = X + iY, где Y - положительно определена и, следовательно, невырождена. Тогда из (*) получаем: Re [(X + iY )(α + iβ)] = u, где α, β, u ∈ Rg . Так как уже выбрали α = s, то требуется решить векторно-матричное уравнение Re [(X + iY )(s + iβ)] = u, или Y β = −u + Xs, для которого β = Y −1 (−u + Xs) - единственное решение. Таким образом, несущественный характер ρ1 однозначно определен. Теорема доказана. Следствие 1.2.6. [52, p. 130]. Нормированный несущественный характер ρ будет тривиальным характером, т. е. ρ(γ) = 1 для всех γ ∈ π1 (F ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Характер ρ нормирован, т.е. | ρ(γ) |= 1 для γ ∈ π1 (F ), и несущественный, т.е. ρ(ak ) = exp ck ; ρ(bk ) = exp(

g

cj πjk ),

j=1

k = 1, ..., g. Полагая ck = αk + iβk , k = 1, ..., g, имеем, что 1 = |ρ(ak )| =   exp αk и αk = 0, k = 1, ..., g. Также 1 = | exp gj=1 cj πjk | и Re gj=1 cj πjk =   0, k = 1, ..., g, или 0 = Re gj=1 iβj (Reπjk + iImπjk ) = − gj=1 βj Imπjk . Отсюда βj = 0, j = 1, ..., g. Поэтому ck = 0, k = 1, ..., g, и ρ(ak ) = 1 = ρ(bk ), k = 1, ..., g, и ρ = 1. Следствие доказано. Следствие 1.2.7. Группа Hom(Γ, C∗) есть прямое произведение своих  2g  2g подгрупп Lg и S 1 , т.е. Hom(Γ, C∗) ∼ = Lg × S 1 . Доказательство следует из предыдущей теоремы Фаркаша - Кра, согласно которой любой характер однозначно представляется в виде произведения несущественного и нормированного характеров. Следствие 1.2.8. Для любой компактной римановой поверхности F рода g ≥ 2 верно  2g Hom(Γ, C∗ ) ∼ = Lg × S 1 и

Div0 (F )/DivH (F ) ∼ = [S 1]2g . = J(F ) ∼

Зададим отображения j0 и j1 , которые сопоставляют любому характеру соответствующие ему (по разложению Фаркаша - Кра ) нормированный и несущественный характеры соответственно, т. е. если ρ = ρ0 · ρ1 , где ρ0 ∈  12g , ρ1 ∈ Lg , то j0 : ρ → ρ0 , j1 : ρ → ρ1 , ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ). Корректность S проекций j0 и j1 следует из единственности разложения. Найдем явный вид 31

этих отображений и выясним характер зависимости ρ0 и ρ1 от ρ в терминах их координат относительно введенных карт на Hom(Γ, C∗).  1 2g S , j1 : Теорема 1.2.9. Проекции j0 : Hom(Γ, C∗ ) → ∗ Hom(Γ, C ) → Lg являются комплексно-гармоническими, но не комплексно-аналитическими, отображениями относительно координатных карт на Hom(Γ, C∗ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмём терминологию из доказательства теоремы Фаркаша - Кра. Начнём с проекции j1 , так как ее явный вид найден в указанной выше теореме. Пусть ρ - произвольный характер и ρ(A k ) = exp(sk + itk ) = exp(2πick ), ρ(Bk ) = exp(uk + ivk ) =

 g exp j=1 2πiπkj cj + 2πidk , k = 1, ..., g, sk , tk , uk , vk ∈ R. В терминах отображения : C2g → Hom(Γ, C∗ ) характер ρ имеет комплексные коор динаты ck , dk , k = 1, ..., g, или xk = ck , yk = dk + gj=1 πkj cj , k = 1, ..., g. Построим ρ1 - единственный несущественный характер по разложению  ρ : ρ1 (Ak ) = exp(2πi ck ), ρ1 (Bk ) = exp( gj=1 2πiπkj  cj ), k = 1, ..., g, где 2πi ck = αk + iβk , αk , βk ∈ R. Имеем α = s, β = Y −1(−u + Xs), где α, s, u ∈ Rg , Ω = X + iY ; или 2πi c = s + i(−Y −1 u + Y −1 Xs),  c ∈ Cg . Компоненты вектора ( ck ), k = 1, ..., g, являются координатами ρ1 по отображению . Последнее равенство можно переписать в виде:   2πi ck = ln |ρ(Ak )| + i −Y −1(ln |ρ(Bl )|) + Y −1X(ln |ρ(Al )|) k . (∗∗) Положим, ρ(Ak ) = zk , ρ(Bk ) = wk , k = 1, ..., g. Компоненты вектора (z1, ..., zg , w1, ..., wg ) представляют собой координаты характера ρ в карте Ψ1 : Hom(Γ, C∗) → [C∗ ]2g . Поэтому равенство (**) дает вид функции j1 в указанных координатах: Ψ



[C∗ ]2g  (z1 , ..., zg , w1, ..., wg ) ←1 ρ −→ ρ1 → ( ck )gk=1, j1

ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ), ρ1 ∈ Lg , и

  2πi ck = ln |zk | + i −Y −1(ln |wl |) + Y −1X(ln |zl |) k .

Следовательно, координаты векторов (αk ) и (βk ) будут вещественными гармоническими функциями от комплексных переменных zk и wk . Таким образом, 2πi( ck ) комплексно-гармонически зависит от zk , wk , но не будет, очевидно, комплексно-аналитически зависеть от них. Утверждение теоремы относительно проекции j1 доказано. Докажем его для проекции j0 , найдя ρ0 = ρρ1 в координатах. Имеем: ρ0 (Ak ) =

  exp(sk + itk ) = exp i(tk + (Y −1u)k − (Y −1Xs)k ) = exp(αk + iβk ) 32



1 Argzk 1 −1 −1 = + (Y (ln |wl |))k − (Y X(ln |zl |))k = exp 2πi 2π 2π 2π = exp(2πix0k ); exp(uk + ivk )  ρ0 (Bk ) = = exp( gj=1 2πiπkj  cj ) exp(uk + ivk ) = exp ((X + iY )(s + i(−Y −1u + Y −1Xs))k exp(uk + ivk ) = = exp [Xs − iXY −1u + iXY −1 Xs + iY s + u − Xs]k exp(ivk ) = = exp [i(XY −1Xs + Y s − XY −1u)k ]

  Argwk 1  −1 −1 = exp 2πi = + XY (ln |wl |) − (XY X + Y )(ln |zl |) k 2π 2π =

= exp(2πiyk0). Из последних равенств следует, что вещественные координаты x0k , yk0 для ρ0 в картах и Ψ1 будут вещественными гармоническими функциями от zk , wk , но не будут комплексно-аналитическими от этих координат. Теорема доказана. Замечание 1.2.2. Если отмеченная компактная риманова поверхность F будет переменной (точкой в пространстве Тейхмюллера Tg рода g ≥ 2) [1; 13], то матрица Ω = X + iY зависит аналитически от модулей компактной римановой поверхности, но X = Re Ω, Y = Im Ω будут вещественными матрицами, зависящими от комплексных модулей только гармонически. Следовательно, j0 , j1 только комплексно-гармонически зависят от модулей компактной римановой поверхности. Теорема 1.2.10. Для любого ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ) существует и единственно представление в виде ρ = ρ2 · ρ3 , причём выполняются условия: (i)ρ2(Ak ) = ρ(Ak ) = exp2πick , ρ2 (Bk ) = exp2πi(Ωc)k , c ∈ Cg , 0 ≤ Reck < 1, k = 1, ..., g, (ii)ρ3(Ak ) = 1, ρ3(Bk ) = exp2πidk , d = (d1, ..., dg ) ∈ Cg . Множество всех характеров ρ3 будем обозначать Og , а всех характеров ρ2 , удовлетворяющих условию (i), через L1 . При этом L1 ⊂ Lg , но L1 не является подгруппой в Lg , а Og образует подгруппу в Hom(Γ, C∗ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Данное разложение имеет место, так как несущественный характер на образующих Ak можно выбирать произвольно. Докажем единственность такого разложения. Предположим, что существуют 33

ρ 2 и ρ 3 такие, что ρ = ρ2 · ρ3 = ρ 2 · ρ 3 , где ρ 2 (Ak ) = exp2πic k , ρ 2 (Bk ) = exp2πi(Ωc )k , c ∈ Cg , 0 ≤ Rec k < 1, ρ 3 (Ak ) = 1, ρ 3 (Bk ) = exp2πid k , d ∈ Cg , k = 1, ..., g. Имеем ρ(Ak ) = ρ2 (Ak ) · ρ3 (Ak ) = ρ 2 (Ak ) · ρ 3 (Ak ) и (exp2πick ) · 1 = (exp2πic k ) · 1. Поэтому ρ2 (Ak ) = ρ 2 (Ak ), k = 1, ..., g, и на образующих Ak группы Γ характеры ρ2 и ρ 2 совпадают. Кроме того, имеем 2πick = 2πic k + 2πink , nk ∈ Z, k = 1, ..., g. Ввиду условий 0 ≤ Reck < 1 и 0 ≤ Rec k < 1, из последнего заключаем, что все nk = 0. Следовательно, c = c . Таким образом, получаем равенство ρ2 (Bk ) = ρ 2 (Bk ), k = 1, ..., g. Осталось показать, что ρ3 (Bk ) = ρ 3 (Bk ). Имеем ρ(Bk ) = exp2πi(Ωc)k ·exp2πidk = exp2πi(Ωc )k ·exp2πid k . Но c = c, а значит ρ 3 (Bk ) = ρ3 (Bk ), k = 1, ..., g. Следовательно, на образующих Bk группы Γ совпадение характеров ρ3 и ρ 3 тоже имеет место, и ρ2 = ρ 2 , ρ3 = ρ 3 . Теорема доказана. Замечание 1.2.3. Проверим, будет ли условие (i) не только достаточным, но и необходимым условием для единственности такого разложения. Для этого предположим, что любой характер ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ) единственно представляется в виде ρ = ρ2 · ρ3 , где ρ2 и ρ3 такие же, как в теореме 1.2.10, но −∞ < Reck < +∞. Очевидно, что комплексный g−мерный вектор с можно представить в виде c = c∗ + n, где 0 ≤ Rec∗k < 1, Imc∗k = Imck , n ∈ Zg , k = 1, ..., g. Имеем ρ2 (Ak ) = exp2πick = exp2πic∗k , ρ3 (Ak ) = 1, ρ(Bk ) = exp2πi(Ωc)k · exp2πidk = exp2πi(Ωc∗ + Ωn)k · exp2πidk = exp2πi(Ωc∗)k · exp2πid∗k , где d∗ = Ωn + d. Отсюда, в силу единственности разложения, имеем Ωc = Ωc∗ + n1, d = d∗ + n2, n1 ∈ Zg , n2 ∈ Zg . Поэтому Ωn = n1 = −n2 . Как в доказательстве предложения 1.2.1. показывается, что n = 0, а значит c = c∗ . Таким образом, достаточное условие (i) будет также необходимым условием для единственности разложения характера. Теорема 1.2.11. Множество Og является комплексно-аналитической g−мерной подгруппой Ли в Hom(Γ, C∗) и L1 - комплексно-аналитическим g−мерным подмногообразием в Hom(Γ, C∗ ). При этом оба подмногообразия Og и L1 связны, и π1 (Og , 1) ∼ = Zg , π1(L1, 1) ∼ = Zg . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ясно, что Og - подгруппа в Hom(Γ, C∗ ). Рассмот отображения : C2g → Hom(Γ, C∗) на подпространство рим сужение  есть сюръиз векторов вида (0, ..., 0; y1, ..., yg ), yj ∈ C, j = 1, ..., g. Тогда ективный гомоморфизм из Cg на Og с ядром Zg . Поэтому Og ∼ = Cg /Zg и π1 (Og , 1) ∼ = Zg . Из условия (i) получаем, что L1 есть биголоморфный образ 34

при отображении множества   L00 = (c, Ωc) ∈ C2g : 0 ≤ Reck < 1, k = 1, ..., g . Заметим, что L00 гомеоморфно декартову произведению     c1 ∈ C1 : 0 ≤ Rec1 < 1 × ... × cg ∈ C1 : 0 ≤ Recg < 1 , откуда π1 (L1, 1) ∼ = Zg . Теорема доказана. Следствие 1.2.12. Группа Hom(Γ, C∗ ) есть декартово произведение g−мерных комплексно-аналитических подмногообразий L1 и Og . Доказательство сразу следует из предыдущей теоремы, согласно которой любой характер единственным образом представляется в виде произведения специального несущественного характера и характера из Og . Зададим отображения j2 и j3 , которые сопоставляют любому характеру соответствующие ему специальный несущественный характер и характер из Og соответственно, т. е. если ρ = ρ2 · ρ3 , где ρ2 ∈ L1 , ρ3 ∈ Og , то j2 : ρ → ρ2 , j3 : ρ → ρ3 , ρ ∈ Hom(Γ, C∗ ). Корректность проекций j2 , j3 вытекает из единственности разложения. Теорема 1.2.13. Проекции j2 : Hom(Γ, C∗ ) → L1 , j3 : Hom(Γ, C∗) → Og являются комплексно-аналитическими отображениями относительно координатных карт на Hom(Γ, C∗). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проекции j2 и j3 являются комплексноаналитическими отображениями, так как j2 в координатах, задаваемых на j2 Hom(Γ, C∗ ) отображением , имеет вид (c, Ωc+d) = ρ → ρ2 = (c∗ , Ωc∗), где c = c∗ + n, n ∈ Zg и 0 ≤ Rec∗k < 1, k = 1, ..., g, а j3 можно записать в j3

виде (c, Ωc + d) = ρ → ρ3 = (0; d∗), где Ωc + d = (Ωc∗ + d∗ ) modZg , или d∗ = (Ωn + d) modZg . Теорема доказана. Замечание 1.2.4. Из предыдущей теоремы следует, что проекции j2 и j3 комплексно-аналитически зависят от модулей компактной римановой поверхности. Замечание 1.2.5. Имеется еще одно разложение для Hom(Γ, C∗) в прямое произведение групп. Так для ρ = ρx,y положим ρ1 = ρx,0 и ρ2 = ρ0,y . Тогда Hom(Γ, C∗) ∼ = M1 × M2 , где M1 = (Cg × 0), M2 = (0 × Cg ) = Og являются g−мерными комплексно-аналитическими погруппами Ли, причем Mj ∼ = Zg , j = 1, 2. Ясно, что ρ1 , ρ2 комплексно= Cg /Zg и π1 (Mj , 1) ∼ аналитично зависят от ρ. Но это разложение не связано с мультипликативными функциями без нулей и полюсов, и несущественными характерами, а также с модулями компактной римановой поверхности. 35

Пусть Lg - множество несущественных характеров в Hom(Γ, C∗ ), а Lg - множество всех комплексно-сопряженных характеров к Lg . Следующая теорема описывает пересечение Lg ∩ Lg . Теорема 1.2.14. (i) Множество Lg ∩ Lg есть изоморфный образ при отображении дискретной решётки в Cg , порожденной линейно незави 1 −1 −1 симыми над R столбцами матрицы 2i −Y Ω; Y порядка g × 2g; 2g (ii) Lg ∩ Lg изоморфна Z и является дискретной подгруппой в группе Hom(Γ, C∗ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (i) Ясно, что 1 ∈ Lg ∩Lg . Найдём всё пересечение Lg ∩ Lg . Пусть ρ ∈ Lg ∩ Lg , т. е. ρ = ρ1 , где ρ1 - некоторый несущественный характер. Имеем:

 1 1 exp2πick = ρ (Ak ) = ρ1 (Ak ) = exp2πick = exp −2πick , exp(2πi

g

 cj πjk ) = ρ (Bk ) = ρ1 (Bk ) = exp −2πi

j=1

g

 c1j πjk

, k = 1, ..., g.

j=1

Эти равенства эквивалентны двум векторно-матричным равенствам c = −c1 + k, Ωc = −Ωc1 + n, k, n ∈ Zg . Из первого следует, что c1 явно выражается через c ∈ Cg и k ∈ Zg . Извторого найдем общий  c:  вид−1для столбца 1 −1 Ωc = Ω (c − k) + n, или Ω − Ω c = −Ωk + n, c = 2i −Y Ωk + Y n =  1 −1 Xk − Y −1 n , k, n ∈ Zg , и Ω = X + iY. Столбцы матрицы 2 k + i Y 1 −1 Ω; Y −1 линейно-независимы над R, так как 2i −Y  Y - невырожденная вещественная матрица и столбцы матрицы −Ω; Ig линейно-независимы над R. Последнее утверждение есть классический факт из теории компактных римановых поверхностей и их многообразий Якоби [8; 59]. (ii) Это утверждение следует из того, что есть голоморфный изоморфизм из L0 на Lg и из пункта (i) доказываемой теоремы. Так, если бы существовала последовательность различных ρn → 1, n → ∞ в Lg ∩ Lg , то существовала бы и последовательность различных (cn , Ωcn) , сходящаяся к (0, 0) , но это противоречит дискретности решётки из утверждения (i). Теорема доказана.

36

                                        

                 

        

                     ! "           

                 # $  %          % &              '  

   #         

!      

( &"     &"& &  

&         ( &"     &     )  #          &   &    & %

       

   '               %      *+, -# ./01      &  #  & )   2       # ($345678!5 $ 9    :# ;  # 6   &   &     ##    

   6         )    &" 

    6   &"                   %   &           & &  %  %   &"      42                     

                 %    %    )  %  



   



    

<  % " % % %      ) 

 %    %        5 )   )    &   %      )  &  &# !    &   

                   %    &     % # 5   =  









   

      

  

 

 

      

          % >.  .   %  ?      %      

     %    %           )    %                $     @ &  2   &%=





 



    



 





 









 

  

! &     

















  



    

   

=

                 



 



         

!      ) '       = 

    

  









 









 



  







 







    

&

  







 

   

     !" 



 

 

  &          )   # A   & %      #   (% # 6      &    &     )  ) &"&  &    &      %   &)  &&

&# &           &  & 9.: 9,:     #   &  &

&                        )"&            )= 

    







 





   









 



  







 

   







                )# 5      &   &       %   %   & 9,:# $    %           &          

        @ 2                           =                 

     









 

   





 







  















 

  



     ) % 

   

  









   





 





 

  

    



 

         





 

 



  



    



 



 







 









 

    





      

           

3    &  =

  





     

  

     !" 

 

$ 



 



          



             



 

 

 #   !   

 &)        )   %# &=

 

  

           $             $          A % %                                     5 

 #



" #    (  

   







  B ##      &"       %





     





 

   







 





   



    

 

 #     "  &" &   &     = 

    





   



 

 $ 







 

     











  

   $   





   $ Æ       

  &   %

 

$ 





 

4             

 $

    







$        

    



                 " #  $ )       #                    %! £ (             )# ;  &  &   &       % ) '        #       ) '  &      # 5    &           &"         " #   6     &"  -&" &     &=        







  



     

     $   







 

$     &              "  " #  % 7     %! £         "  *+C1# 5  = .: &           

      D%  "    &"      

&                      & "       ' !   &"&   %  "     &"     ,: & 





    

  











   

  













    







 

    %  "   &"          &  &    

      #   ( &"      %   )    E       9  &"  :# ( 

           &   &    &"               #   

($345678!5 $# ;  # ;     &"        &=            



     

   



  

   

 







  

 



                   

 



    

    



     

 



          



 



     !" 

    

 

             (% # 6      #    

    







 

     







     

 

    & %                                     !      &  &"  &"&      %             ! &    %      & &F&  %   &  ( G (   $     (   &           5  # $                 

 

H   

       %   

    )  )* *   +   % &     

), * , *   , )* *   ,   *  +





       

     

        

         $% %   I    

 )  )* *  

      % )      6    

  % -           

       & &# &  &    &   &        .  . * *    

 .   /   

%    # 4   ) )

) 



) .

  

   A )                   /    # @ & % & &&  &% %        /        /            /   

         

    /   

           /  

 "J      &    &   4   ) )

) .



        "   /    !  & % & &  &% %        /       /      

  /    

         /   

A  &  )     & &     &   /          5         9   

   :# (        =              /    

         /   

                 &   &       

%      &"   ## &"& &   &          &% %        =           /        

  /    

$K  &% '  $  & %      &"                    

        

( &"  L               

M N      O       

               # ( &%             &    $ (   

  )  ) * *       )  ) * *                  ## " #  ()(

) * *  ) * *   )* *

  

     P     

(   

  )  ) * *    )  ) * *            )    )        ## )* *  )* *      

           4 %    "     )      & &                             & )  )* *      

         

         "  &%

       5  )       &             &%    4 Q & )  ) * *     

 R    & (  (   5   *   )* *  )* *  &   %   &  &    * 



  (  (       "  )      & 0      &  "  ((       & &            ( (               ( (           

  

  



          %    # 5     S # (     ) * *   ((    2    T    ) * *  ) * *  ) * *   !   ) * *          &   ( (         5       (9     

 :# ;                        

  

   



     &"&             

          %   %          

       &       A       A# *UV1# ; 2      )    %     # " #  +   &"      &          # ! & .      &%       !%  &%   9:    &"  # 5  =         /                     /           1       /   ; /               /    /   

 /     /   4W   *+, # UBU+1      %  &  

  * X &)             @     G &Y /        &        &"  # 5  /        6 1   /           /        6    /               )    & &=           /        /     

  

        &"   &"&  &   &       %     &            /        

   /                9: =            /     /   

   /           ;  &"& )     

  )         &"       ## )   * *      

&  )*    &    &      &"      *     

N       &  *,+? +,1# Z  &      *   &    %   &  &   %      !    &     &"     %# &            N   &"  #  &%    1  6 &"&     

  )   * *         &"                &)  * *         

 &% %  * *      %# !&%     &  *+, # UB1               ! & ,  %          &   &"              9%      :# 5  &"& 

  &   &       %    2 6E     &   &                 %   &                  &                              &      #    &"& &  

&      &     ! &   &"& &   &          ' %    )       %J          6              &%  %  &[ 2  &%# &   &"N      2      &"&           Y%# &       & %                &"     $    &       6        &"&    % &        5     "  ##    &  &      \   %   &            &          6         R  &"& ]   % &             *+, # UB1# !%  &%     &"  #  &%      E      #   ' %         ;     &"^&          %     5    &   &      %    %     !   " &       3  (   (   %   & L           %   (     4   6       "  ##   &  

&            (    (  (   ("     &) # & "    "           *+, G# UB1# 6               &"          *+, G# 0B1# 

 R                    

         

4        ?          $         &"                  &"          

(   &"     

         &)  = /:    %     " &     )        ,:           %  &     " &     ) -  %   (   (  "  U:           &"&     %  "   &    &"         

            5  ' 

%

          

 /  

      

       /           6             K                       

 /   

       

/   



6     &"&   %     

&      $          /    !    /             /           /    1   %      6      1    ½       ½      ½ /         /         /   /

                /           

    /      4

                         

&   &-      = .:    ,:  &%    &%    /:    &%              

 /  

  

/  



  &%= :          /     9*+, G# UB1:? :                    /       9           /            0     /   0 0              0:  1    &%= :               /    9*+, G# UB1:? :                   

 /       !%  J 2& %    , ##     &"  # 6 &"&  &  

&         (     % &                6              #          &"& &     &                    

 /  



      /        

  /           6               #              

  &"& & 

/

  

6





 /   



    

  1            

          

 /   

      



 

    

 

 #   

        /    

      /          /       6 1                       

 /  

1 



   &   &    6                          ; J      6   "     ##            (  (       &     &             ;      %             6         &  (       (         $            %  & &%# &                      '  ( ( &"                &" &) = .:    %     "    ,:          #         %  "   &     )    &     &     &               # 7 &    %  "   (  (   %   &    /:           #     &"&     %  "   $   ,         &"  # &% .:    ,:  &     &" &%     /:   &%              

 /  



  &%= :       &"& &   &              /     :       &"& &   &                                 

 

  %J        0    0:  1  &%

    



      



            

 /  



  &%= :       &"& &   &          %     /     :       &"& &    &                                   %J                     0     ( 2  ,      1     &"      &     6       

                

 /  

   &   &     /  

 /  

  

 

  ½ /





  

  ½ / 

    

½ /    

 













    

  ½ / 

4



½          

½      

½ /   /     

$  &% =           



! & /#. %

       



½         

  



   

 & /#, 



½ 

   



4 & % 9:      &% &)  )   ,# &      &       

& %   &"  # 5  &"&           6   "   ##   &     &            (   (  "  &     (       $         

        @ & &     &% %                



4 

 

!      





        

         

          /        /



 /         



  /

(               

  

 

 

    

&   =









5       

 

(

 /  

   & %       /  

   

          /        /

              



      

           

/  

 

                  



        

/





                #

(                 /         



     /       &  1  5            

/  

 

            /   

 J %  /  

          /   

      /           

  /    /     /     

   

 *+, # UB1?

           /   



      /          /   

         

  /    /    /           &    / 1     &"  # 5                 & &       1  &  &       _ )    

      % )   & )     ## )   * *    )            J .   * *    

  .   / $  ).    *  *   &   &     ).    /   4 &)         &% % ).    /  &      /    /       /    (  J      1   &"    !            /          # & )          ## )    5 ) &)  .     &% % ). 



    / 



    / 

     ) ).   5    

 

  

/





 

 

   1        

  &    %           %       & &%#  J %  /#.  /#,   &"     &      (    &"& &   &        !%  &% 1  3   2       & )   * *    &    

     5  &)   

 .     &% % ). &  &   &    &"      ).    /    &      /         /                      ; J                 /   

  /                  1  &      # & &"& )   * *    &"        )    5  ).     /     $                 

  

/

                



(   &% %        /                 #    &    &" & &    0        0    #   &%   9 &  & &%   6   "   ##   &   &            (   (   %   &     &      (    $                       =   1  

               

          

 &     4  %   %       /             `   









           

& 



 

 /           

   



       =  

          



 /  

  &% %                     =



        

    



 /



/  



    

      

/

 





   /       /

 

5 ) 



 =

            /         

   /          !  0#.  0#, %                       !&  %    9:            &%    ,# & &   &%     

&  

       %  &     G   



&"     &"&  6   "         (       %               $ =                              

                      

6     /        

/

                    

*+, # UB1# (                        

5 )   2 

         %        /             &    5        

&  =

               

         

/  

 /  



           



 /                            

6  /     *+, # UB1 &% %

  

             /     /    

4 



  

  1   1 1         1         1                 

=

             

  /               





  /     /  (  J

 



/  

 1   1 

         

      





   /         /  

                /    

           /            

  /       4  &%

      1    

            

  

/  

 /  

          

         1 

&% % /  



6  /    

/   /

  /                     

 *+, # UB1 

     $                /    @ *+, # UB1  /     /    

  

  



5 )     

  

    1   1                                      

 

$   & %     

       



        1      1 1                                      1 

&   /   1     &"  #      

 .  * *  .   /    &%                     /     1  & &     # & )    ## )   * *     )        5  ).    * *  &  &   &   &"      ).  /  Z)   &    &% %   ).    /   $ =       /     /   

   /    (  J 9

1 

              /   

 /                 ##    1 1  &% %                  &            /      /     /      /                          /              )     

## )   * *   )        &%% ).   * *   &   &       ).     % / /                        4        &              &       /   /  # ( 2  0#.  0#,   &%     &"              !&"& &   &             !%  &% 1  3   2  )   * *   )       &"        ).     /     $       /          /    



      

; J=

               /     /          





    1

 





     

=

   



       

 

                 /    

      /

  

 



   /         /  

1          %  )   * *      )     ).       $                







                    











 /   /     /     &     &   & &%   6   "  ##  &   &"             (  &      & (    $                        =        

/



 

                        

(                  



  



        



    /            

4  ) %  

 

  













          

       

 

  /   

       /          /   

$  &%

 

5 )

               

         

   

    





    

/  

&% %

/  









         



/  

                      

 



   

 /

  /  

 











       

 % 

  

/  

      



  

 

 

 /

 

 



 

   



 /

  /  

/   

  /  

           6   /   

         /  

/      /         

  

 *+, # UB1  %      ;                       /            

   /       



   

 !

, # 

  



 

   ;&" !&"  

#        





    









.

B

1

B

B



.

B



.

B



.

B

1

.

B



B







 ! $ , # 

    

#  

  



;&"     

   







 1





 

  



    



 



     /           ½



      

           ½

   

   

   

   



   0    

!&"  

    





  

  

    0   













1

   

   

   

   



   0   



  

    0   

 !  , # 

    

#  



    

;&"  



  

 # /



!&"  

 # /



    





 

   





     

 

 ! $ , # 

   



   ;&"  

#      # /  # /

    

!&"  

 # /  # /

    













 # /

 

    







 # /



   





   

 

1



 ! % , # 

    

#  

  



        

;&"    #  # / 

 

/







   /      

       









      



    

#  

   

     

        

!&"  

     

  

    

      

1

 

    

       

   1

  

  

 # /   # /   # /   # / 







;&"  

1

     /  



 ! %$ , # 





    





     

 







        

 



/

       





!&"    #   # / 









 

1 





                       

                  

                

                     

                 ! !            "      

 ! #  

    !  " 

         !     

   !   $             %# "             ! &                  $    

      '    " 



              !



              

       !"  !    # "       !#

  

 !   $             $ !     ! !          '  "           #     

 # (            

      #    



 

!"

$   ) &                 !    ! &  !  !       !  #           % !"    &       " 

                               

!              '   

   ! #   

*+,-" ./012"   #   "      !   &  

      !  #  !&  " #         ! &      

$  *

        2 3   &                         !   &     *         2  !  

&   4   

   





  !  "   &   

     !    &    ! 

       

!    % !     #          ! &            &             &       !     !       

!     5                     

         ( "  !   &              !          !          "       !      &      6  )         ! &                                  &    

 !  $  !   &   

!      % ! ! "   #  

!    

 !   $  !                

 !  

   4 ½

½

½

   

 

  

   

!  )       !      " !   &               &    

 !  $   !    "   !  !        &    ' 7  "   +,-" 8 /91"   ! # "  ! &              &  !   #           

 !   $  !      

!    !  

&   4                             

       

     

7  "   +,-" 8 /91"               !                

 !   $  !      # "  

 

!   !  4 &   



(

½

  ½                 

*+,-" 8 /,12 # 

      &     :       !     !  #         3    "     )       !    &      !   

    !              

!     

    % !    )         !  $       

    # +,-" 8 /-)/;1 ! &          !         !

            ! &      "   !

      +/< ,-1"   4         &    ) 3 &         



    ! #  

 '   +,-" 8 /0) /-1      '   !  #   !          

  &   !     !#

                          !    &    * 7   !              !     !                     !   +,-" 8 /=1 !  &          '  "    #              ! &                      

              

 !   $  !     $ !         "  &      

 !  $   !      "                                 3    "        &        "         % !             !                  

    

½

½

½

½

5  #  #      !& ! 

 $ ' '            !        &              

 #             

 !   $  !    !               ½

½

 

    

 

    ½      ½  

       

$ ( '



           !    !   &          !&   !4 02               

      !   < -2 !     #     " ! !     #            " 

½

½

            

;2 ! &    

     !



'            !    &           !        &        3% 7>7?@AB% C  ! ;2  # ! #  " 

   

 !  $           $ !   ! ! #  !          !  .                    !    

 ! #

'      #    



 

!"

    ! #         ! &      D                ' "  !    !              

 # (       ! 

     E  !  +,-" .;-,< ,F1 

3#

        !#

  

  !  $               !    ! &          

    ! !  ) 

   E  #    3% 7>7?@AB% $   )  !     !    )       !  $ 

 7 !       4 +!,  

!            

%   "     !      "  

           ! $     !    

 7 &    !  "       % !     ) !  $  !      $ !  ! #  $   ) &                 !     !                &  " 

!   "      

   !    3" ½

   



  ½         ½  

?                    &       !     !          $      !       *   2  !  ?                

      &       !     !           #  )      *   2  !        !      !  

 E)E  

 4 ½

½

½

         ½        

½

    ½   

?                    &       !     !       

!    )        !    ?                          &  ½

½

½

½



     !     !       

!    )       !      # "            #     0"     !                  !       #    "  #  !       > "          #   #                     3    "              !  ) 

     !                      #  ! # $ ) *         2 3   &              

        !   &      *         2  !  

&    ½

½

½

½

½

   







  !  "  ! !           &   

     !    &    !          

!  5  

             E G +=01" !   !  "     ! & "  ! #   "      ! 

    "

   !   ! #   &    -     0;  # "  ! &  

                *  ;0 ! !#

              !   $  # #             

 09, !  &  

       3    "      4 ¼

   ¼ ½     ¼ 

½

 

       ¼ 

 

  

 

  

' !   &          4     ½     

 

        

¼       ¼   

B!        )       !     "        !  

&    . ?   

  ) &      

!      !        E   

        

 

$  &        !     

 

!      !         

              !   #          ! &             #!  !   "  

     !  

!   &    &    / 6  !        ! &                                    &    

 !   $  !   &   

!     % !  #  

!    

 !   $  !          

 !  

   4 % !  '

½

½

   

 

   

   

!  )       !    &     0 3       

&              +,-1   ! # "  &  !     #            

 !   $  ! &            

!         

 !  

   4              



   



   

$ * 3   &           

        !   &      

        3% 7>7?@AB%   !         !                   $   ! # "  &          "              &          $ !  "  &     !    

#            ! ½

½



     "          !     5   !       !    H#  

&       "   !     !        $  " )      "    "  "     

"

#   # H# #   

 !   $       !   #  !    " "        

     $      !     )   # !    $   D#           ! &   ! !  " " #   

  !  $ 4 

½

½

  %   %    

 ½   

 

%   



% !       4 %  "   %  "    ¼ ¼ %  "   %  "      

% 

   " 

"   % 

 

% !   "            $    &      !      "  !&       $ 

 !     !              # "        )   # !  $ 

  

    

 ! #

( !    1       !            

$ 

 7 !     &        

   . #! !#

                    !         !     % ! !   &        &       !   #! !#

             !          !      

 

E#         # 

 #       #    ! !   !   $  

    # 

 7  #           #    ' "  *02   # 

 #  ?   *02   "  ! #!   &       

   *02    !       &       !   !           )        !     

 "     !      !     

 

!       !  !          ?   *02      !  

 )       !   #      ! &       ! &         #! !#

        &       !         &        

         !      &   

 

  !       

 

?          )        !    ?  "   )       !  $ -*         2 3   &              

        !      !&   !4 02           !         !       !       

-2   !           !        4   !        

  

3% 7>7?@AB% C  ! 02  ! #  3  -2   )         !     &   )        !        &           " 

   !   ¼      !    ¼   

$             !              )       !                    !         

 ! # &     ' 02 D# 

 ! "   



      ! &        

           !    

   !   D#  "  !   # 

# 

)  '            ?   " !     !           &  &       "        !   !        !     B!   "      )        !     $   &  !     *  !             # #  I  0< -2 D#  !!&  ! "     #  

!    

 !   $  ! &  

       ! I"  &    

 !  $   !   "        !                $ !   ! ! # 

 E)E  !       !!& 

  

 ½   

       





 

  

 !        !     

;2 6         !    &            #

 "     !  

&    !  # !&  4   !   

 

  !   





! !  

    !    



  

+!,  . *B 

+-I" . ;I012 3                    !          

!#

           !&   !4 02   ½     ½   

-2

  



          

 

  

3% 7>7?@AB% $ 

 E)E  !           4





 

       ½  

    ½     ½       ½   





           

          

3 &                   

  ½        

       

   

$ !  ! #  $ / 3   &           

        !    &    #       "   &      !            

!   0    3% 7>7?@AB% 0 3     !#

   

       " !   "          $            $      ! #     !              B !     !         3                    ' &    "           !  " 

½

  

½

½

½

½

½

  ½              

  !     $ !             " 

" #)#                 !    %!              $               &    

 !  $     !   ½

½

½



 &     "      ! !                                   $ !    #              " 

                 " &    #  "                 3% 7>7?@AB% - 3 !#

      # 

 E)E  "                    ½

½

½

½

½

!         

%     ? !   !#

        " 

          &    

 !  $   !         ((     !  099     !      ((     !     ' !#

   ((         ! * 2 "  #    !#

  !           % ! !     ) &      $ 

 

 # " &  !#

      "            ½

½

!         

?  ! !#

         "  !   

      $       &  !#

¼ ¼ ¼           #   !  

&   ¼ !          &       $     " ¼  ¼ !     !    ¼ $   % ! &    ¼ ¼ ¼   $    "  !                  #    #  5 ! #  "   ¼  ¼ # $    # !     !    $        3% 7>7?@AB% ; $ 

 7 !      

       &     !        ((       ((   !          %    "   !    !     #      !       $  !                #        !    #           !      "           !      !    #!   +,-1 '  ) &     "  # !       $ 

 $  &     #         "         

 ! # &     ( $ ! 

   ! #   0 !











   

     "                 5     

      !#

                   ! #!  &  

                 !    2!   0 3   &                    !                &   !#

       #   "        3% 7>7?@AB% D# ! #   

 09F ! &         #    ! &  

       "             % !  

 E) E           B!  ! #  +!,    ?  !#

     &        

  #        !   &                    !    3 #    # ! #          ½

½

½

  ½     

$  )           !    ) &     "       )  #   !        3   !  !     !#

                 >!       B&             

    

        !  "                   $  ' *      '  2 3   !                       !       &        &       !  

&        







"    #!     "       

! #           3% 7>7?@AB% 6  #        '   !  !      !     #!   !    

%   #!   )  

 &                   >!     %   #!   )      &    









                                                     

%   #!

)  

 &  

%   #!

)    

&  

 

   

D# 

 E)E  !     ! "    

                # " !   &  4  ½

½

     

 

     



&

  ½      ½    &   ½      ½    

% !          &          5

  !           '   !  

    & 3 &              $    &      

&         '  "   & &   ½

½

&     

B!   "        '   !  

               

 ! # &               !  

 09F" !        !   "           !      '    !               !   

  &   !     !#

                  )       '       &                                

    

 





  !  0900 &     ) 6  !       '   ! &           !   $  





  !!& 

  &        # #  I  0     0;  # "  ! &                               !  $   &    # #            !!& 

 ! &          *    # 09=2"       !       '   !    !  

&

         !  $  ( *      '  2 3   !                       !       &          !&   !4 02         !        '   !     !        !        -2   !        '   !                   )   

 !  3% 7>7?@AB% 02 6  )    '  "  &                5     ¼

½

!         !         

-2 '  # "  &                 

!  !              $  !  0900

       $            #  !        '   !    

 ! # &     * 02 ?        ! &  

                            

      )         '   !  !     !#

          ½

      )       

-2 ?

 4

½

! &      

  ½         ½       ½      



 

       !  4 2      )         '   !  !                    ) 

2 !                         ;2 ?       )     !         

      

 

           !          !  )     !    $    )     !       '   

  &  !     !#

 !    !    $    ) !  

 !  $  ! ! 

          !     !  ) ! #  

             %   "  !#

        !#

  

  !  $  !    * ! 

! #  

  *    #    !#

  

  !  $  * !      # "  !#

  

 !   $  !       !          +       !#

   

 #      !#

   $  + !       !#

    +  !   !#

    

 !   $   !    %  "  ! &             

+  + ! + )    !#

  !     3    "    +     + !  ) ! !       D#  "        +   #    +,-< /0" 8 -II1 $   '            !   ! &          !&   !4 02 +    !    -2 &      "  +  +           I"   !  !#

< ;2    #  ! +  !       )            !    ½





3% 7>7?@AB% 02 B # ! #  !  099 -2 $ 

  & (  &   !#

    "        !    !      !#

¼



 !  !#

           !  )     !    $  "  !  

&  !   !#

   ;2 D#  "     #        !#

            " 

   #   !      

      +/0" 8 0,/1 3   !#

   +                 !         !#

   

  !  $   !       4  



               

  "   " *     *   *   % ! #  !   +                  )            !      !     >!   "     &       

 ! #         +  !#

"   & #  !#

  

 !   $  !          $  +  !         !#

     ! &  !#

    

 !   $   !    ( "  ! &           +   !      +  !#

  !    ½



     +  #    !      $ "  !           

   !   !#

   +    #   +    #    !      3    "  * ) ! #  

     *     *   % !        ) #          

 !   $  !  

       # "               !               $ 

 E)E  !       

             +         



!  )     !      +         +            B!   ! # 

$  ) '   

        !    !                   

+  !#

   #      C  # 090I" !              ! &                      

 !   $  !     %  

!   !  



½

  ½       



    

 #            ! #    "   +,-" 8 /9)/J1 ' ! &     !  

   > "           

 !   $  !      !            % !4 ½

½

   ½         

  #  ! # $  * '            !    ! &          !&   !4 02      

!   !              

 #             -2      !   #             

     !   $  !      ;2           

% !  (     #              ! &                                     

 !   $  !     $ !          "  &      

 !  $   !      "                                  >!    0)      ! &                    !                       ½

½

½

½



½

½

½



&      

 !  $   !      "                   $  - '            !        &                #             

 !   $  !     !              ½

½

 

            

  

&     - 

 09; #  

0    !  

&                    !      # "             !    !    ! &           !   &        2!   . $        )                       !   &                    !    

     !                   $   ) &                 !     )       !        !  !  

   4     



   

       ,  !    &   !  

   4



 , ,  ,    

5  !    # !              ?            !                         





 

 

 

 

    

      

?        !   #  !                )            5    " 

  )        !       !          !        3   





&       "        3    " &    "  !            !                  )      !     

#    0       !

  '          # " &              0 ! 

 &             !  ! "         !   #  !                     !  )  !                   5                  % !"           !    !   "                !        !   !               !         # " ! # $  / '            !    !   &                   !    !  

   4



 





      

 3     

   

     

$       "  !  #  &        !     !      !    -  "  -  -  &  .  - -  -   !"     "

          



  

 

!  #  &               & .       H   "          !  5     ! ! "        !    !    & "   K!    !       $       # 

 09= ! "  4 



)       *   2 !     !      !      



)       !     !      !       

&

)       !   &  !     &  !        



)       !  

    !         !     



 

)       !     !       !       

5    !     ! 4  )       !   !        

)       !   !           

&

)       !   !     &     &    



)       !   !                



)       !   !              

% !    !      !                    &     



          

  

    &    .     & .  5 !   !     

 ! #    !     %  #   !           *   2 ! &             !       #    !    $ '0 $        

        !    ! &          !                       &     



          

 

! !  &   !     &     . ?  ) #  !   (      "    

 09-I"  !    4

          



  

 

$      &       !  

 09=     ! 4  )       *   2        !       !  

)       



     !        !  

&

)       



&     !  &         !  



)       

     





 !         



 ! 



)       



     !           ! 

% !    !      !   4   !   !    !      !    !    

 #   !        !         !!& 

 09-I %  # 

 !             *   2   !    &         !       #              $         )  #     !                 

!    $ 

 090; !        '   ! &            #!  !        "  4  )       *'  2 !   !       !    

)       !   !         !         



)       !  

!            !             

)       !  

!           

  !    



     



% !    !      !   4                 



     



         

 



 ! #    '   !       !         %  #   !           '   ! &  



          !     "  ! 

      #    !     $      &       !  

 090;     ! 4  )       *'   ! !  !                  !       !  

)               !        !  



)                 !             ! 

% !    !      !   4   !    !    !       !    !    

 #   '   ! !  !            %  #   !           '   !    &  

      !       #                   

) + , "  



    



       

 !    # !            

       !  #          !     

 # ( "                         %  # !                           $ # "    

  

# #!                             "    "       

  !   $      

  #     !     !           

  !   $     

       !    $ '  $ !        &            !     /   

 # (               !      02   /        "  #     < -2 !    /     ! /  !  &     

        ! &  

      !#

          !  

&   !     < ;2    !      !      #      

      ! &          & !#









          

3% 7>7?@AB% 3 /    /   &  &       "  /  !    $   !       !  ! ! !       4 !         

  # "  

 09=    )            !    D#         ! "  )         !    '

 

 09J          !    !    $ 

 C  ! ! &  ! #  $    &     !       !  !    !     !          " !       " 

!      !  &    

% !"  ! &        & )        !  &      # )         !    ?  ! &        ! &       &    "    &     

 4

!          

 #  )        !     )         !    $ 

 09J     !      $ 

 C  ! ! #

!  &  &     $   !   ! -2" ;2 ? !        #   &     !  

!  ((           % !"   !    !      ((     

 7 !     !#

 ! !#

      !    3 !   ¼           !  ¼ ¼ ¼ ¼ ¼   !      ((   ) !#

   ¼   !    B!   !#

     ¼    L  !   !   !#

          !         $    

!     !      #       

      !    & !#

          

 ! # +!,  '' 3             !                              





0    



  

!   

 K  # 

#     #"   +  )   !#

  3% 7>7?@AB% D# 

 090,  "   +   #             ! ! #  !  9-I +/0" 0J;1"     !    (       4 !

 (     

$ !        (                       $ ! 

  +             (    

$ 

! ! # 

&     / D         !

  '   

 

  !      +  +  +   +  

     !  )                 

!       *  #    -2 &    '0          

        !          

   !    +/< ,-1"          ! &             

    !  $     

 090J $              !   !

#  ' M & M          !             

"     !   # "  #                      ' 

        

 090J            ! &              $  &  

      "  &          !  

&         M & M           !    6                   +!,  '( $         !  

  

# 1             !    #!             !    3% 7>7?@AB% 3 &        "     " !     !     "  #

   0"   +/< ,-1 $  )         ! &  

        ! &       !   !      

!        7 

# 1 &    

       $     $ 1  :       1     !     1  

!            1       !  7 " #    2  2   ! "   1 ( 2  2 1 ( ! 2 )   #    $   2  .2.   . )   #    1  (  1  N!   " 1   !         !   &          $ !  ! #  $ ' '            !   

     

  !   $        4 02        !          &              &           -2     !          &        



 

3% 7>7?@AB% % #  #       #  )      

  !  $    

    #       $  $     

  !  $    

   &    ?  ) &        "   +,-" F/)FF1" &    

  !       # &    % !     !     

  !  $    !  )  #        !  $  &                

  !  $    !     !  ) 

   

  !     )     !    "           ! >!           ) 

)   E !  3 !#

   ((        !#

    #    #   "  K! !     #       $    $     !   (  ( 





 !       



 

!   !#

  #     #! 

      5  #                 ¼     #      &    +,-1 $         !       & ( 

¼     !    ¼   )  )   (  ( )   (   (  (                 

     !#

 ? !#

 * 2   !&        ¼ ¼    # 

     

     (      !     ! !#

        " 

¼ ¼ ¼       &  

  &  !  

!#

   ! &  (  ( B!       ¼ !        

  !  $     & &     !        !         $ "  !   (  !     (  

#    0     $ 

 E)E  !     

 4  +  (       

  (       

!  )        ! &  

                  

 $        # !    K!  !     (               >          ! #  

         $  , )      & #     !    , &       !       $      # ,     #  5   !      !    ,   #  !         ! *  ,2      5  # "       )!                     #       $   

  

   !   &  M# M*     , !    ,      $ "       

  !   $       !           $   !  ) !  $                ) #        !               "          #         

! "  "               

!      " "     " "  '  !  

    !  !G "            3  4 !   B!    "        3 !  

     !   "   3    #  " 

#    !         ! !     5  5 "  5 # &      

 E  ) !  $  6    5   !      ½ ¾







!     

    

   3     



5  "  

 



5  #  

    

5  "          !  ! #       ( "  6  #               

 !        

 ! # &    '  $        ) &     "    ((        !          !    !     (  &      

#    0     $      

 !  $   !       # !    K!   !       



     6   5    





                               

               !"  ""#$ ##%  !"  "& ' " ' &$ ( & )  ""#$ ##%  !"  # ' "& ' " ' &$* ' "#     $  *  &"+,     "$ ))+$ - .# %'  '   )   & )  ""#$ ##%  !"  &"' "& ' " ' &$*  "#      " ' "& ' " ' &$   $                         -" &   #* '  &" ' $  * )     ' ) & &  " /'$", * &  " &  " 0  &   "    & " /'$",  !  )  #    "&    &$    *  " "        )" )  ,+$     . #  "&.      1    #" - $  $ "    ½2   ! " #" %  +  &3 #   &&  &  *    ' ,+  "             *   #" -    "#    -  && " & 4            

 



  

                    . 3 ) 3 &  ) * &" & 3"  &&  ") " &)   " "3 & *       .   ,+  &  ,+ &3      .   ,+ &3     5     " !               & +   " " 6) *    . ")  ) 3    

) *  , " "  -' " 6,)   "&.          " ##% " 0 "      3"           )   &  "     . "&  # %     ½¼     7 78 9     ) " )     :*        !     . "3 $ "&.  $      &'  ½ $"      .  && $ $  ,+$  %,  $ ##"#" &$  ) *   . "   & &&      +  $ ##"#" "&$ 3" ##"#"     &&    '      & &     £            / &  /'$",    ;     # . &       &  "     . # . &        < . &&           "  '  &&' /'$",   /         ' ##"#"*  ,)' ##%  0 "    &"    ##%  0 "       ½   ½   ¾      ¼

   ¼           

 

=  ##%    &3 & ""  £     +  '  #"' ""#"       ,+' &3"    '   >"   0 "      / ) 3              "#" # '  &&   #   &&                    7 =  ##%    &3 &3     £   +  '  #"' ""#"     &3"  "     ) 3            "#"  &&    #   &&                       () 3  #"  £   & ? %       ¼¼  ¼ ¼   ¼¼  ¼  & 3 )  $ &   £ ¼  +"  "#$ # %'    £  $*           £     "' 

   ¾ £         @  ##%  0 "      , #"







- "*   +  #" ) 3      A   #" - $  "&   ##%     '       3 0        " ) 3"        %        " ,   , )    £  (    )  , "&.   ,         %  ,   £      A     B# 6*0 6   $  3 ,* 4 2      "&" ") "  "   & 



C2    "  , "&.   ,      ,*   ) 3                )  "#"  "    "#   ( *   &   A 9 DD*  +  "' ) $ +.  $ '    &  "  " "   72           )  "#   £  D2  &&   '           && )"#$ "#"            2 -"   "#       -"   +.            @  ##%  0 "    )   #" - "*                 =*  ) )  ,+$         -  ) " )  ,+$                 ,)     (, &  " 3             &3            9"      "3  3          

#" - $ "$ "& $ " $ &$'       & '  ) "&$          

 $ &        $ +$  # '        ,+$       ! -"  ½      #" - '  ¾     +  

#" ) 3   ½  ¾  )  &   ) &   &  )  ) "& & "  ) &     5 ""*   3'  '  )     " )  ,+$   &&              

 



         

=* )   -  ) " )  ,+$    0   &  -$ & "3  '*  &"*   7 78

 &  0     &)        ,+" ' "4 2  &&  '  )         && )"#$ ) 3'  !   !    







  !     !   



 

C2    !        .   )    ,) !         . " "&  "  &$* &  ,+  !    72 &% !   !      %   & "# ) 3   # .")         & ,+ "'      "$ "& $ " $ &$'*     1  '2 ' /'$",   ! -"  !  " "&  "  &$

 &  ,+ !  ,) !      D  ) 0 7 & "   "   # #  "   "    # # "# #"*        ,+  "4







$ "    #   "     #     #  $#





  

"      Æ 

 $        #     %        ) & ,)" &      #  #  @ ,) #      - #"  , &  "    "#$ )$ ##%  "    "     )  ,  ' )  0   ''   " "&" )         "' "& ' " ' &$   &"  "#    " '  "' "& ' 

" ' &$  A" * " %  &          "&$ 4   



  



 

"     #   

:*  - " % "#      E*    3 #                    )%       1" %  2 '  "    ( &3 , >     + ,    &  ' '     & .  " % &   < .&  &   & -' >  "&' * '    "" ") " :) (     F  ")  :)      &  (                (   @  &   " '  &&      & &  '          &  '   ,)        '    ! " A 9 D* GC - '  &&    )"  "         && )"#$ ) 3' () 3                %  "# ) 3   # .")  (             () 3  )  &  "  "  &  "# "' "& $ "&$ ") ' A" *      (    ,)     @ ,)$ # $     #    &"   ) 3 :)       & &  4  #  





¼

"         

/   %  "# 3    (   &"  %  ) 3  )    )(    )  "#" @3 H ))    *    +  ) $ "#$ # %'     $*          ,)     /"  " A 9  D* GC &  *  "3   &         )  )  &" "#" 3"     (     "  "#" ) 3"   (      &  "'  $ 3' "& $ " $ &$'      ! -"            "# 3   (  

 









  %  " ) 3 #     #       )     "    ) 3 :)  @  >$ %' "3  3 &" 1 2 "#               " "  "       )  "# "  # ) '    " ) 3 :)     (    @ *  ,)      * +   +    &    ,        '       &  $ %$  & *  "& ' " ' &$  "#  -   & ,   3'  %'   & * ' "#      / 3  +  "# ) 3     ,      (    *   I       &3"   ) 3 :)     ,    (   D8* GD8 E*   *   ) 3        -  -   

 " "#""*    .    "" & "& ' " ' &$   -       " "& ,  "*  &> ,+ ,  C* G7 D* GD7  *  & *   G + , )  "#     ,       &$ +  ,) ,    ,   ,    6  "#     ,             "3 &  1 ,) *   2   $ "#$ '               )  +.       ,      "3 & *  #     .. *     & )  +.    9  





    

 

" & " 0  $    " "3  4    /      /  )0  £      



      

        

                   

    £                                ¾               

         ! "  #                £                     $                          %         

                $       $  &' $ &  









    



¼

 





    



              (    $   )  $)    $

         &              $)"                  $)    $          * 



































   





    













 



   

 









 



    





   

 









               +  

         )         '       &        ,- +-    ."          $

         /01 / ! 2                         $ *







  





     !      



 



 +  

 $ ) )   $    $ $  "   " 3  $  $

  "# "      #   

     !    +    $       

 "     )      +-"  $ +  '  +     4     $)   $                   "  #   

 $'      "     $)      "   %  &  #   '  (     5)  )  )   +                $       ( ) +             $  "      "  $    "  $  (  $

  "  $' $  )     ) 67"  8!9               $        # )          +                      :  / ! ;  ) )    '      +    " *     (    $   "                ) ; $   )   $      < =    )  $  $)    $         &         

   ; 

)   )"  )     

  =   7"  /-8! +     ,  (     

 +      ,  =      '   . "  +  +  +  +  ;  . "    '  "  &          &      .

 -        +    ,  ,  ,  +     "  '          >$   ;

  6 $    9  $                           ? )   //1 /@!"   )  $

    











 













































































  

    



 



¼



  "  #









 



 



 



    











%







6     $)  





 $          "  +  

         )        &  

         "    '    6/ !" /0"  /7!9"    7!     ?      $ & $  &     $   *





+

  

+ 









(

   

+



 + 



-







 



 

.

'









.

. 







%









4    #      *

  







   ,  





.

. 



 & 

.





   (    





A )   .  +      '         '   / 1 7! <   "   $         ;  )  $   )"                 $&          .    /   0             )                   $       )&    @ ! 2) $     ; $ )  =      '   .      #$ ' $)    $           ) "     $             1   2     

)"  #    '   .    =        )                      =     

























+













   ,  





.

 & 



.



. 

+

  

    









 



 

<    $'  "   ;     "    2  2  2      -   6    ? 9"   .         =    )"  ; "          ;  $ ; $ 3  3    +      &               .  = "     < (

   















               6   ;   -    3     $&  )    )=   -    $

"   +    #    ) 7! <   "     +    #    ) $         '  $  B 7!

 "  $ 4  3  #   $ &  3  4 3   2   $& )    4 $   +    4 3    &     2&     $* 







+

  

 +    ,  2 

 







+





 

 





 #       $   *

+





+ 5 



+

 



   



  

 ,  2 

5  (

 

 









5   5   +                      5 5        2  ;     6 9  "   "  7" C-7!      )  $      $           6  2& +    ,                      #$  ,  2   , 2    -   







D  )" +  $'                           "          = "       <   )   $                        $'         )    '      

=            '   . 679            

        #               6 $   9 "     '   .        =  " $  $ )     $ "     $'     

   

   &         (             $         6     9    







  )     



 

 )  

$               E& $     $$           )" 

        #          

  $

       + &  $ $ "   ;     $       #  $       "                D     $ 

=           $   * 

¼

¼

¼









¼

   

     

¼

    

 

    





    

¼





   

  



¼



  

<   " &    $              ( $ #  $    $"  $  ) $ 6   =       '   .

 D  )"                      *  











   

 (            #               $ "   ,  2  +    3  *       $$          2    (

        $ & &      $  



¼

 



¼

  





 $ &      6         &9"     +   =       '   .  B =       $  "                   2&            A " ¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

 ,  2  +   +    +   ¼

+   +     ,  2  + 

       $           

      2      $        $             <  7" F -7!  * 

$7







  $      

       



        



 6

          $    #$                   +    , D  )  ,   ,  2 2        $ & 2     + $'      <   "   +           (   $)             )"   ;       "         $        #  $       <                $    $   * 

   

     

   





     





  

  $     $        5  ;  )           $   ,  2  +   3  "          =          $        $    #$     

  $            )  ) )

) ) )   "    '     ( $;     ;         $

             $           $   ,  2  +     3    #  $ $;   " 

      *    (   8         (   4 ; +        $       <    $    $        $            ; ;  (  @    $              $

    )    )        "    '     D  )"       &            £ 

$' $&   









































 







  



 



£

  

  $

   *             '           "    

 

 &      *            







                       $) 9 $     £             £                  £    9        )$   &       £     2G?A?<(EHD<52 )      6 9               £ $    



















 

 &



%   





% 







'   







'

 

     

£ 



2     &  9             9 )$&  +   $&  $$ $ ?   ;         %  %  '   '    )$&  $  £        2     ;      $          % %  '   '  *     2 $         £    £   

   5      ;           " $         9        £     E   D ')&   777                    £                  



£ 





 









































%





%  

'





'  * 







   

I       $& #  $   $  

    #                        B "   $' $  )           ;     :      2   G 4  @@!" $' $     )  '  +                    $) $     :   + &   

 )  '  +       #                  #          6            $ * 



















;    6

 

    





   $     +  

  $ ) )          

$  $   )

              I  " ) $   3  6$ 9 $  1   

       ;'                

       4 $   #                £     













;    6







 



 

 



 

    



 

 



 



$   '  +     '  +      

     0!              #                   £

 



  

2G?A?<(EHD<52 I   $;   #      ; "    $      

       77-  &      )&         $' $                    '            2 ;  " &'             !    



























  !    !    

      & 6 $9            ;&'$&     ¢             $)             +  $            £   1     

      +                    <   ;    %          $      $                    &                 !              #$   +       













¼



















¼





















 















 

      

$           '   %     +  !    !      





  +  "

 

% 

$ &'  

  % D  )"  )                £        $$ $                £  <               $                                

         #                    6          &       !  "  &  #                     

#     )$  $   $   &           6  2G?A?<(EHD<52 $) )  )     )  )   +   :                                   

       6  2    $)   $& $ &   $  &     $'       2    * 









































  .  

    

 

%    .           +



'







 .















 

 .   





*





     :           "      & "  #                       ."              

    <  )    )                             $         5    -7 "  +     +     $ E "            $#  !" )$    " $  "         #     )$  $   &

      ;      #  &                   #        







































      4 $ ;  $;      77-" 77/                  )    )  ) +         "       +    $)    $

   $   & &  $     )  #        

  D   $                $   )    )      ;   2G?A?<(EHD<52 $) )  ) $    :        )  ;   77@ < 











)   





 )     )

+                              ; *    $

    )  '&  & $

   # + )    ,   -       $                     "    &      &'      *     +    +    *  ( * (      $   











¼

















¼

 







+

¼





   ,   <

+





 

   =    

.  

          A ) <





.

 





 

# 







.



3   













 &







" . 







 -   + )  ;  .  &           -     &   ,  +                  .     $          #    <  &          $'        $$              $                        #  $ )                       ) 

           *          (     )     )  

   $   "           

 



















  )"   $)    $                  ?      $    $ & +   +   <   +    ,   <    

. -    =     .

  $' $ "    # $   $;  )"       ,   <   3     (    )  )        $

 ) ) &"      77-  $  ( 

$      A  ) ) $$          $      ;"      77-" )   $     )        ) $ "  )    )             

;       #  )    (   $) )         ) )  )"  ) ) ;       "          $         #  $          

     &'      <  )  )  )           $    $   * 

















    )

    )   

    )





       )



  $     $   

;  )    6  $;   9  #           ,   <

+



   

        " 

5   

   3   

             =         $       

)  ) <   "        $            ) ) ) ) ) )   "    '      

 



 







( $;     ;               )    )           $         #  $             $  "   ,   <   +    3      )   *    (   8          (   4 ;  



























 $        )    )   <   " $    $              )   )               ; ;  (  @    $    )    )                  '               <       $ 5                 #          

        &     2G?A?<(EHD<52 - $) ) $          "    '          

$                                 $;   )         $)    $

       $   & &  $  ) < )   ) +   "    '               $)    $                  ?          +    +    <  















































+ 





   ,  <

+





 



  

. -   <            

             $ "    )      ;  3                   '   .   $     =  I "     ) 3        4 $

 

       +        * 















7



  

 

 









       

 &           6      $

         #           F           &      &'     "       ) $        ;  $ ; $ 3      )              @ !  $'  )            

/   0   "   "   )&     '               

#     























     $ ;  #   "          $   $ & +   +   +   +         )&    < ; $     &        $                   #   #     (  * ( *    

 $       =      '       *     J         *     $ "  #

$

                 )"             $     "   





¼

¼











¼

¼







 





¼









¼

 



¼

  



 #    #    &    &'     "    #         +   =   $     2&        I   6        $            6    6 

6             6  $     + $   <   "   +           ;"      77-"    )          $ "              2)  )  ) $          

               G )=  =      # $ * ¼

¼

¼

¼

¼

¼











¼

+



*

  

  ,  <

+

 





(        ¼

 



¼

  



   #        &    &'     "   #        B  $  "         $                         $      2     $       7" F -7!     * ¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

$    7                

    2& $' $           ) "  )    I   ) )   7    <; +  $$        6          D  )"   +          $     

2G?A?<(EHD<52 7 $) )  ) $    :                   ; *        $)   $& $ &   $   & &  $     )   #         $      

    + )    ,  



















+

¼



   ,   <

+





 

3  

5   #     $           &  *     <   $   #         (  * ( *     J     *     $                   )    )      )"  )   )            ;"    ) -"   =  $ 

 $     $ "  ) )           "    )    77" $                                #  $ "    

      

)    *       "  )              "     )    * 8   

   $      )1

¼



¼

¼

¼









¼







¼



















        "    (      $      )1 











 







 



)









   * 8 



"     )    * 8          $      ) <    %&      6   $     77 770   B G   K@!  ;   

    /  

  

                         ) ) #+  $  )          $       











      















 

  

                          

               

 !                    "   !"                 

                    #   # $    $              " %$  &'( )"*+', # $          #  $ - 

        " . /

 #      /           0 #                                    +1 2          $        3 $  1             4 (1 5                          ""    3   



  

  

*1 2                        !           - $     $ 

 

 

     

      



       



6              $  $     $      7



       

 

8      3+1        391  3(1      3+1           

 -

                $     !    3+1 3(1

         #      0        6 

     7                     

 

: #   #        ;     $ $    $                       :          $



 



           

           <           =" !# $    2        =      $                      $/      !       

                         !      $/       $        8 $  $  $       $/                  





    8              7

       

  >" !- -            !         #               ! $" .$    %           

  

0/  3   1                           ;    &'( ?" *@+,

                              

$ $  $  #                  $  #    

. 



                                                



           

!    

                   

 

6           #

   &'( "*+'*+A," !       " 6             7

                                                                   

3+1 3(1" 8 $                     # 

$                       8          

    

                              :  #7      

    

                                        







      

 

 

B             

  &*A4 *C, 7

                                              $        



$   $       $  #    " 8           

               $   #                       # $ 

         !      

        "                 $   ; &*A,  $

       

        $     $      "  



&*' " *AA*AD, &*C," !         $    #      

               6 7 $

  

   # 

# 

 

 "           "          

   

    $   E  # 

   

      

8                    #   #  $              #   !    0                         !                     =" !     #   7



  

        

       > $   $ -     $       #   ;        $%                     $         !         

    &! &           :  $ 

  $    %  3    1" +1 8             

 31             !           



 

 

  

 

'( 



 

   

  ! 

(1 !                                     6 7

    #    #

   

  "            "            

    $   E  #  

#

   &*F4 *C," 2     

                

                

$    #             7 ¼

   

 



  

    

 



¼



¼

)     



         *      +   8:G=.=62EH%6 :" !  =   #     7 ¼

                           

 

¼

  







  

 

  

  

  > *       $

  

   

 





     

    

   

 

 

 









  



 





   

2      #                " 8   #           6         .   

                    )                    #     #                " !  ("*"+     3    1                   *   2              *      ¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

         $   

     ¼       $  #     8   ("*"+   )     # $

¼

¼



           $         $     7 ¼

                  

  

¼

    :   " 2     

                       $                           !            7 ¼

¼

  ¼

 

    

  

¼

 

  

 # #   



  8     # #       $   

* 

            

    $    # #      %                 *   ! $" 8         +           +    

$            $ ¼

¼

¼

    

 

 



    

¼

)       



  

    

        $              +       " 8         

 $  #    ¼

                      

)                                                                              )               ¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼



 $ 





     







¼

)    



6  $                    +     ""        " I ,         #  -    -    $         5         ,    -         !$        .(        ¼

¼

¼

-

        

 

       ¼



 

  

  

      .( ¼

%    $        " !        6 " & '   J          )        $  #        $    $              " & '   5    3   1 #   !" = &*F,"  &*C,     

  *"+       *"+  #      $ $ ("*"+"  #     -         " #

  ( 8                         

      

 ! ¼

¼

 

 

  /        /   

                                          " !$         #  $ -      8:G=.=62EH%6 :" !  /        

  .             6   ¼



¼

 ("*"* $ $



0  



 /



 



¼

)    

  



  

 

 

   

 !        !           =  

     

 

 

  

   1  

¼

 



 1

  > *   :      $                  $     $ -    >"         

 !   $ 0      0            

 !        8    $     ("(                                 -   >  !$            #  $     )         #  $ -         0        2  #        !  K  &*L,   

   /      

              2  2   2  $  $         $   #    2 #    $ 2 6     $       $     2    2  ! 2   2 $  2     .     $   =     2       3   # >1   #        2 .                           MM         M M 2     .  #     $  2     .    !      ¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼



¼

("(                         !$   -     2   2  #           -   > 7   

     2  1 2 

  



 2 

              

 

 3 2

    3 2

 2 

 

 4  2   2   $     2  0                              6$  2   2  $   -   > #        2  !     

 !        " "                           

  ¼



    

!                                    6 "



                      

         

                                                             

                           

                                      

 !    "         !             # $!                           

             #%& &'()*+', # $ !      - -!  !           ½    

                 !   "        !                                                 "                                       "   $ $  !                   ,    "   .                      !        $  $ "$       $                   &   !        / "    $   $ 

 



 





































  

  









   

 













  





  0 ! 



 



 





        1  2   

    "    





 







 

  3         ,          4     # $     5         .                  3     465   .   .   %   !              '        

















¼

¼

             

 

 $     1      0     465        

 ¼      "       '   3         "                              '   .             !    !  ! "          &          

             

                        # /    /                 $        3      "        %                        & 3  .     ¼     0  465       ¼  1                 ¼      "           ¼ ¼ 7"   $          /     ¼ ¼ ¼ 4          













½

























 



























(  ' '  '          $  ¼ ¼    $         $3    ¼ ¼ ¼               #   8    

 ¼             #  ¼ ¼ 

                 .      !               9:;3  <;:=  3  ¼

 

               /            "      8                #   ¼ ¼ .

        $         < +   

                  !       +   9:;3 ><;:=

                   8                  '   3                      # 3            3  "                  # /  3                2      3               3  "      (    































        ?

          )       













3  "    ? 









     (







3  "      (                '                    &        &        $        !   "          !      

    







































                  &   .        &             # $!                             

                 #%& &'()*+', # $ !      - -! 















   2

                                        "            !    "      !                                                       "                                            .                 !   !   "       !        $  $ "$     $                   8       

 

























/ "    $   $   

  

















 













  0 !  

   





  









        1  2   

    "    





 



 



           ,         4     #  $     5         .                  3     4665   . %   !           ¼    '        1     ¼          4665    /       

















 





     "                            '   .3        ;@<3        !    !  ! "          &                       # / 

  /                 $        3      0 





















 ¼      "        %   ¼  .          1  ¼                      ¼      ¼    7" ¼  $        

¼ ¼  /     4    ¼    ¼   (  ' ' ¼  '         $  ¼       8               







 



 





















     3  3               3         3  "              '         , 9@A=       !  !      *  # $   (     !!   $$ $  /   .  !              (         / 3          ! ;@<  ;@;  3 .                  +                  .           !  $!               ) )               

              )   













   





      /                                            #%& &'()*+', # $ !      - -!  

 ,     







   2

                                                  "                                         

    !    "      !                                  B     "     $                                      $   $ 

 























  

 





! 













  







        1  2

 

 



  









 

    "    





 

  





 

B.          3       .                     46665   . %   !                   3                                  /         1  ¼ ¼        46665          '         "       











 

 

        





'   .                       !    !  ! "          &             







              

                                                 # /    /       



½









  

      $          0 











 3 

 ¼      "       ¼ ¼  .          1                        ¼    7"¼ ¼   $           /     ¼ ¼ 4          ¼ ¼ ¼ (  '   '       '      ¼ ¼ ¼     8         $  $                                       3   !  2 <5        ;5        ¼ ¼ -   <5  /      /    ¼  #                       !  3                  8                     ;5  /         ¼ ¼   +     ¼   ¼      

        < #                   !   '                    !                +   3                       # 3  3                 3        ;@<3               !    !  ! "        '  









 





 



















 



                                "  $!      )          ) )              /  

  ! -   

   









                 )      #             ;@@   " @<    #                                 "       /                               # # $!               /                                #%& &'()*+',    , ,          C3     # $ !      - -!    2 











                       "          . " D<           "                       3  !                      

 !    "      !          ,  ,                                B     "     $         ,    ,                               $   $ 

 

 



















 

 







! 



 













   









,  









        1  2

 



   







  









 

,    "    





 



 

                    # .3     <    ;;E3  

           !     

 





 !  ! "          !          +   3       

                (       "      <    ;;E   .               $   .    3 !!          ,  ,                            $  $            $      !       !   3         .                '       "      ;@E         # (   ;@E                 &          "         ' .                                       /!  !   $   ' ! $              '      '  -   $      9@:= ' ! $ 3      3      .!  3   /  -  ,     ;@ $  3  !   ' ! $ 

     '        





















































                                          

                                  !"     #$%& '(& )*& $+, -   .      /  0 #%$& %1& '%,   2  " &     #'3, 45  #6%, 457   #)$, 

  5     8          /45  " #)',  8             2  "            "         "  8 " 8 8      9        8 "5      "9: "       ; (1$3 "   #)3,  "                 

":      

           8 8      9  5      

  9     

                   

  <  =    

      8    "   

    "8 >

       

 8      ;   8     

           "      

            8 8       ?    "9: ? @. #*$  +  (++ A (+6,   "  

 5 8         "9  5        9:  "9

"""  " >

     .  

       8  ""     >5 "   

   "            8 8    9      9   "  8 " ;   : "  9: 

    9 " "         "     0   "9       8

. 8   

"           4                      !5                       :  A              

                 

    ""  :  A     8         

98 8 8      B8  C  C      8   5                    ?      ":               9  C 8C                          : 

":    

 

                              

                   5 8    

   

  





 

         

 



5    

58 2        "         "                 " 9: " 9



         

  "    .                   >     A                  <                        "     A          5  2     >           A                  D"   5             

           4           "      5"                         :                    

     

-    A " "  E  

     " 

 9                 2  

  5 "             8                         9 "      8                8       5              : 8  8 "    <                  8       9    8 8   F              

 

           4 8  

                 8         "                     F.  <(= "

"   <*= E  5         5                   2       7

    "  " 8                           2"                     F   5                  5      ""     2       >  A  8 5                       

                 



"                                      "    A         #'%, >5                              A  8       8        A  8 ""   F     A           8  

               

 8 

 8   #61, 4      8                                   2"  5 "           4  9                         "                

                  

       4 G-G>7@HF>;  5            

 9                                         <                               4      "      @98 2               5                                     9  "  . 





                                                          

"  









      

    

   

>  

            59                

 5         

    G    "          8      9   8       

  2      5  8           2                    <     

  9                 = 4        A  8        2     2"     ""  8        2       >               A     

       >       ;   8.   "           2 "  5  "  98   9      "  8 "      -       "           ""       

           9   4  8 8             #61& )3,   5    8              

                               

                                  > 5 8  5                                        !  " 7

                    A               



    







  

 













!   "   #   Æ   

!          

 $ 

 $     % & $       $           & " 

      $  $     % &





 $        $          &

"    Æ  #  "9   "   !  "       8            2 $Æ     $     

        



4 G-G>7@HF>;  0

. 8       +(( 8I  

 



  

    

  



   

    

 

  

           

G   "   9     F  J

        



    



 





    

  

 





     

   

   



        

     

   

  

     



      



               



  

 

 



    



  





   



   



      

 9  "  "    2  ! " # Æ   5   D  8  I :    8 . 8                  "       A       

 

           8        > J 





 



   



 





' (   ' (   ' (  )' ( 



 ' (   ' ( 

   

 

  ' (    ' ( 







  A  "      "        ' (     ' ( -  ' (  !  ' (  "  ' ( 





 ' (  # )' (   Æ  A     :8  2    ' (                A 2            A     7

     <2  ' (  '  =   A   8  8           





&



%& * ' ( 

 

 



   &  

        

 

 ' (   ' ( 

* ' (  



  '

( 

  '

( 

' (   ' (   ' (  )' ( 

-             9        . J                      



      ¼

¼

 

 





  ·½  ½  ¼

¼

 ·½  ½  ¼

¼



  "9: 

   

                J        

               

K5                   "               + 

    ,      

   ,    #61,        8    98      , 5           +     :8   >   5       +     ""       

          ,  



5       +                               "    8 

8 5            ,  5   A    5

  +  4 8  

             ": "    8  8               8                               7

                 

                           B 2 5            , #61& )3,    F       2" 5          "    5       

 8     ,     

       

 8  5 8







       

    ,     8  9  4 G-G>7@HF>;  

       9 """     

 8     ,     5     A 

8   8    9



  

 , 

F  5          5      ""      "    A                ,  E   

 5   8     8        9:          5              E  ": "                       :       58 2        +   

"9:  5            -     ;    <   = 2 2       -   -   F   2            -       

"9: 

8 J





 

                 

 



  ·½  ½  ¼

¼

 ·½  ½  ¼

¼

     



 

             A 98      

         >   A

                "     8      A    -   -   -     28  

   



    

 

       



    

       



    

   

   

  

 

                 

 

 

  ·½  ½  ¼

¼

 ·½  ½  ¼

¼

       

K           2      :      L               5    " 

"              4     2  "5   

 " J



          



          

-     "    2     

       4         "5          "  2  2"  A              ,  -  "              

            

      5    A

       5  "9 """       

      5  .          ;    8                         8   9   8          ;      

8  /  



         2       8   "9    "    8 

         :"9      F "5   

 

"8      ;    2    9

"9: J     A 

     /





     

   



    











¼

       

                     



  

A 









    



   

"  "         2         8       5      

 2" "     F": "    8  !    8       

      8                        ;    8    < 5       "           >   8  "9   "  8   

 8    

         :"9      4  9         2   59            . 2"

  " :9     <   8= /   /         8      >   "    

        0 A    + 0   D  8  " 8               5 "9 "     + 0    8   8  8  /  /  /        F    8    " Æ ! Æ   < 5: 8  8 5 ""       

            8           "      /    /       >   "  

88 J

   ¼½       

  





   

 



2"   A     

    #6), ;     <       =     



   

   

                    

      /   /     /   /           0                      K     9          

 8          F     A     

      

         #6), 5  .                                            >  . A   5      ""     

 8       >    #   $  8      

":       8 8               9    8     "       "       " ;         ,   8                   

9    8    "       "     J

    



   ½  ¼

¼

      



  ½  ¼

¼

 



"          %            

            <=     (A            







                         8                                         A   "          9 

 9        2"                 A      "   

<  8           >5    " (  " 

"9: . J                     

                               -                         F   5                              2       7

                  A "                                                      >                 5                    5         ""     2       2"   8 5             8            

         4      8        8  8      8   "                9   8               K5                   "                     , ,   









     +     + 





, A  ,  5    F    

           +     :8       8         , ,                 +     :8   















<    5     / 5  "    , ,  2"          

     



         



  

"       :8      >        

  <2     

  

      =                    , ,     ""       

  F     

        " J 

    &







1 1  2 2  

  A   "              1    2        F     2            @       88    <  !5= "    8 

       5  

  +      

  +       2            +    +      

     1    +    2     +           ;  

       1  2    9  2     

      , ,  F    "    & /       

           8 "8    2      

 8              , ,   9   !  ' "      A  8             ,              



  

4 G-G>7@HF>;    5  ": "          +     ,            E          A      "   0 "

   

                                   -             >  ": "       "            B 2 5            ,     ,     F          5   (   )  8             ,  8 8               9     8    "       "  









  4   "

"     5  +()   



        



  ,

 



#   * 

      



 8  5 8



     

    ,     8  9  4   2 

  "       "    +(+ ;   "9:     "     5  +()  5   8  5                       5               M      5           8     8                   

5 8           "    8    2             , ,  /   5       88     +    +      +    +      , ,       & >              , ,  5        <        =   8  

8         

            , ,   9

        

   

A "9:     9 "  "9:         9               13  A "       5  "       "

9:  9      G      ""            I    "9:                        5          2"          8  8   ,   #%6, B "  

            7

 ¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼



¼

¼

 ' (       "9:           "9:             13     ' (       ' (   ' (  

8

       > 5          ' #)3,   "   5  +(*    5    9   13  3  ' (      " 5 J (=

                      "9:              "9:                J ¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

  3    3   4  3 3   3  

*= 2    4  3  9    "       5&3           3      /34  3   3      3    += 4   3  4    34  3      13 %= 4  3*  34  3  * 3   3     4  3  4  3  *  *  ? @. #*$  +  (++ A (+6, . "9: 6  7  &           " 13    "9: "  42 "      /  9 

"9: J ¼

6    

              &           7             % &    

            

        9  "  8 A  & 8 A  " 8 2  

            A " 9& 9   9 A  " 8     9   9         " 8&

 A         8   A8       !  + ;"     

     "9: @.       '   

  "9  5       4   3   8  4 6  3  8  4 6  3  8 8



 &    

4   3          8                     

¼



                    '

(



 (   

   8    8    8      8   8         4   3  8     8       8   

4   3  8

4 7  3         8                  

¼

             '  

4 7  3   





 (  



8  8

    





8  8

    

   ¼

                           

  



 

      "  " 9 4      

     

8  (= *=    4  3 "       13    8   0  A    "  13<     :    "   "  " >

 :   0       8  "8  130  <" 8 " > 89

=   , <    " >

= 4    3  

; 5  4  3  :  4 ,    A   ; A    5   5 8   8      4 G-G>7@HF>;  ;" 8  *+    4  3   4   3                       3   ;  & ;    4  3      5          " "9: @. K     "9: @.    7             "  2

"  3  3  '   B 5   2  5  5       8  4 6  3     &    

 4   3             4   3        

 

 4 7  3           

 

           5 9 +(1  4   3  4 7  3             5 

 

;  3



 

;  3



  3  ' 

(

 7 3  '

 (  < 

(

 





    N   ;  5  3    3  '     G   5  ;  ; ; ;    5 "9   "9       "  ; A O      ;      130  " 130          9

"    & ;   >      $ 4   % &       ƽ "     ½  ½     ½  ½       &          & %     ½  ½      5     ƽ "             &   ½  ½ ½ ½  ½  ½ ½ ½   ½  ½  ½  >   

  5  2   ƽ  ƽ   " 0  "" 2   " >

 :   0    ƽ  8  ƽ  8   

 9   

¼



¼



¼

¼

¼

4 Æ  3  8             

¼

             8





4 Æ 3  8    8

8

  8

 8  8

 3    2"    5 9 +(1     +((3  "  " >

 :    .8  

      8  4 ,







  & K

9        C   9: "C8 8       2

     8   ' 0 8  %    4  3      3   ;         9 " * 3  4  3

4  3* 34  3  * 3 

                             

                                                 !"#$                                     % & !'($  ) %* !+'$                          * ,             -     ./                          *      *            !        "

! 0!+' ..($1 2*   

                         ½                ½   %3&454672896-3 :                                                                     ;  ½ 

                    

3   

  



 

      

            2   



  



  <            ½                                                      

    <                              3                     

              6  *                *        ) *     *      3     *           *      7          <                                          2    * *            =               )                                     ¼

¼

¼

½

¼

¼

¼

¼

½

¼



%                     %   ,                        ¼ ¼

¼

¼

            

3

¼

½ ¼

¼

¼         





¼

        

 ¼

¼



¼  

      

9           *                  *      2            * *                        >                        *                    5       ½

¼ ½

¼

½

¼

¼

½



 ¼ ¼





¼          

¼

 ¼ ¼

¼



    

¼

¼



3                    9   *          0  ?   !+($1            0    !+'$1                        @        *   ¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼



                              &   *         ¼    ¼ ¼   

            ?   :    *      ; 

¼     

 ¼

¼





¼     

¼    

 ¼  

       

    

                             ?         *    *             @      0                                          *      ; ¼

¼

¼



             





        :           ½                                    <          ½   "

 7  <           ½                           %3&454672896-3 6     <             *          

    ½                  *                      %                                  >                      2    #   7   <            ½       ;            

    











     





¾

 

        

  

¾







                  

                





¾



¾

 



 

 <         *                         ¼      

¼



 ¼ ¼



  @            *                   %3&454672896-3 ?        *   ; 0!AB CA.$ !/" C/B$1                     

     

             

             

   <                 <                 6    9 !A/$     =    !+'D +($ ;  





   



  



· ·    

  

         

         

        

 



¾

 



 

¾



                   

 



¾

 

                 

        

 

 



¾



   

                   

                 

¾

¾

 

 







                 



           

¾

 





 

¾



        

                                          7              =              0<                      



      ; 



     

¾

 

 

    



¾

 









     

    



    

¾

 

¾

 



¾

 

 

¾



     









       









¾





      



 

¾



       







¾



 

     

¾



  

                       <                ,  6    $%&'(%)*' ! %      @    *      ?  !AB$      .C 

       

6                     *                                    # +   <            <                        6      %3&454672896-3 C   ./C             <              >       .//  ,                               3         0   6            !A'$ ;  

 







   !  " # 

9                        3 ;  

 









    



  

  ./.                                @   

 ,             %3&454672896-3 / > *   ,          

    





   



     

          ./. 3          9       6    >  ./. ./#       

        ,  - ?            

                           

%3&454672896-3 6    *     <     E  *                                             9                     <       0            ½       ½  0*     ½  ,             ½            .//  *   *        $  ½             E  >     ./#        *           

                    ½   *  E  9    E     *  ;             

%              @        3     ,  . 04       F 1 %                       *               ½   ,       F                   ½     *           ,             ½             

4   F   ) %*  !+'$                    4          ?    !AB$        @        : =     *       >  ./.     *    =           ,  / C1 7    *    *        *           *                             ½



       ;

     



                   

                   

/1 % *                                                 ; 



                     

                      

$    7 *  

                 *,    ./. $     >                      %             ;     



       



             

7                  )        ) %* !+'$                          ,         ,  0 % *       ,                         , *                       , <    ,    ,                &   0        %3&454672896-3 :    * *         ;                          

   , <    ,   0    .CA1 9  *                        @  *                     '      (      )                *         

   *  7 ,           ,          *        ./#       @     < * *      6  *        *  '      (                        9       *          *      * *          9    ,  1            6  *               *            ./" *      %3&454672896-3 3      @         * *             *  , !   %      0   1  !    !           >< *     *       !     !        3*              *    > ,          ,    *   *  ,  !  %           9    *  =    @ ,          +   +    0   1    ,    *     @ @        

  





 

   

  

+         





  

     



  





+    



               @   .//           ½    ./#        : @   *                 *                 9    %    0             !A/  C..  .A($1    *            = ,        $, <         7        *  G*<    

        

>       .C          ,                            

  *                 -         *        *           <        ,           -* *                       6     *                        ; ¼

¼

¼



¼

 



   '     





  ¼      ¼    



  ./.                                       ¼

¼    



¼

¼

                 ¼  

                ¼    

 

'      7 ¼      *   *       ½       ½ ¼                 5   

     '        *                ½     6     ½                     ½  ½   -   =      *       

  @  *  ,     *                                             

    @      =    6  ,    *    @       > @                          

(     )     '          3     

                                                              

                               

H                                  >               

            

 

             

3      5   '              

 '       

       

  

                           

6  *        '      9  

           *        @      @                      %         * ,           *      -  @    *     *   *     @   @       *     *             '      (     )     -    *         ¼     *     * - *  ; -   -  -    -              

0@       *1 9,                              *        6   -      % $       %                                 -   -         3    -   -       @  @              # !2 %         ,               I I *    -   -       -   -  -    -                %   %    <   @                 ,  * *       %3&454672896-3     =    ½

  ½

½

  ½

½



  ½





                                         



         

  

- ,    *         *       *  *     @          )   @  *  ;     

 

    

  

 

 '  



    H            '      (      )            

          *   *  =      @      *                        6    

. ½ .  ½ 

.    .    ½  ½   

 

  



'

             .   .                 -    %             %  $          -    (      @         6    $   +  ,                .C.       *              *    *         *        :      .C.  *               ,           

                 

                *   

    



'    

  (  

   

     @     @      -  '       (       5      <  





            *  *   *   -  * 

 3* 

@  

   ¼  *         ¼     

                 *               &    *   *                 ,  !! % *    $ , ,   £    /'   ,           ,     *            ,       *   %3&454672896-3 H   ,    @       .C.    *            ,        //C 9    5            ?   !+($       *   *                  **,  @ <   *           : =       *                               ¼



           

            

                                    ! "                                      #$%&'&()*+ $ '      £                        ,  







 

 £    

 





 £  

 

 !   !  -.% /01" 2345"          6 7    6      "           £            £                 /085"    ! !   9   ! !         9   !  323" 320   31:  !      ,!  313 "   





  





 ¾

     

 

  

  





 ¾

     



  

  ;  << ! !   9            £           ½ 

   



 

         !  6                   

 



#$%&'&()*+ $ 2 #  !6 9  

      ,  9   





        





















  9  =   31:       =          ½                      9    !         !"             #$%&'&()*+ $ 1   332       !         322     !      + !            >  ?          !  6                     #$%&'&()*+ $ #  !6 9     ,! 9 3  /8@5  ! !  313                "    

;                      ½       $     !  6                   + ! + 6  111          £                    %                     





 £   

 

#$%&'&()*+ $   £  

                          ! !                    !  !       "                                !"        £ !                                    '  

         

  9  Ì  ¢     

      A               











             







'6 

A

          



















   



 

            

 



















             #  "                9 !6             "            $   .A                         

































 

































 

















 















 

 





 

 

















 



%  " !   ;   .  !    " 

 



 

 

 

 



         











  !"             9 !            9 !6               &   9  6  6  6  9"   !6  322  "  ;          

           +6"   

          !                £     ! ,!   9          66       9















 



      £            #$%&'&()*+ $                 %  " 

   6; 9"   9    6      6        ! 6        112"     £      9   !                     £    6" "         !   































  









 







 



 





; 

               !                     !9 

























   





 

B







     

























  

      

















     





















                         







  



  



 







 























 

·½ ½ ¼

     

¼

 ·½ ½ ¼





      

¼









  

 



    6         +6"  ;                ;     ;         '6    ;   6                  6                  





   



































































































 



B ;          ! "   !         





    





   









 





 

·½ ½ ¼

     

¼

 ·½ ½ ¼



      

¼











 

    

&       ;   9   6  "    

        6     +6"      9 6          6  9 !6"         9 !6         " 6    9 !      +  9"               7    6        !

                       !            

















 







  





















 

 

   6  9   !     !             9   !          +   6  "                      

                                          + ; !      !   $      !   6 9 !  ; C  ;      +   









 













 

  









  



 

















    ! "       "          ;  ;   6                     > !   9?             +   ;     !    6            !      9"                  #    !  #  #    !                ;      $ %   %    ;     D    ! &   !"        ;         !  $ %  ! !     !   #  #                  & "       > 9         ?                       #      #    +6"    ! !







 



  ¼ ¢ ¼ 





       











 

      







 ! "                  ;          ;  $ '





 

%   ' '        !         



       '    ;           /085                              $ 9 !            





 









































































  

























     6 A 

            













         







+6"  9 !   " 6 !              !  !"#$!       

   (     (  6     )   !  9              /845   (          ! 9  "    !        /:85     9              !      £       >9   9?   33:" 330             £      "  

 £ 



 

  £ 

 



 

    £  







                                                  

                                     

                                                   !             "            #$%& '(& )*+, -  "  .,/    "     0    0   "    , 1"  "       2, 3  #$' 4 '(+, 1 0    "  5, 6    "  5                  , 7      "    3  #'(+  0     4 0      "       

           "  5, - 8   "        0     1        "      8      99       "  5       , #)*+ :, ;               "           , -  "  .,/                "           , :   8           "               0     1 , 6  0   

"   8     ,    !   " !

6  



4             



    4                          "      0  "              





 













 

  

        

< /    "     =               "      0  "    > 





  







 







   





   



 

"



         

   

 

 

 

      

4                6            "                  5 "

      " 4      , 7                 ?

    #.@& .*+, =    "     0   A

"                ,,  0          4    6   / #$%+   4                    0             

   



  



 







 

 

 









 







 









 

 

 















          

   "   4   0      "     "  5 "

   B    -                               6            4       =      

         



 



 

 

 

 



 



  

































   

  



   

 

    

           

 

    

"      

   



  





"

  4     



4   

 



    



  

 



 

4  

      

   





    4   1"      "                  "          C            8   

 

 



 













" 





 

         

 

                                  

 

 " "        





   

 



  

"      "  #$%+, =        "    > 



     

 

        





    

    



  

  

    

 

  



 

   



  

 

"  /  0         

  



     

 

- 8     

   

     "  5 "

                   0           =        DEF 4 "     #.*+  0  









 



  

   













  



 



     

"    0              

 





 







   

 

 

 



: "   "        4"  "           "  #$%& '(+, 6       4      DEF 4 "            "          ,  



 

 




    











 
 






























B,/ <"

 @&/&@ G0    0    /  

        0  

              0 

    #.*+, -    0     

  

 

 



 



  

 

     





,,  0     /     *, =     0     /       "  " "  0">   0  4 

     4   " , -     0    

 "   0    "    0   / (    , #    G    5 

   

      

 

     

 , := H7H1IJK<1-=, 6   ¼  ¼  ¼ 

¼

¼

¼

     



¼

 

¼ ¼      



4  "     5            1"       "           ¼    

 

 







¼       ¼      ¼      ¼ 

 

 

 

L  5                           8  #$%+, <  4      

 

 

  













¼   ¼ 





¼

¼

¼

¼

     

 

¼    

1"    . #$%+ 4  4   0    

      =       6   ¼ 4  "        "                  8

¼     = > 







 







 









 



                      

  

 





-  "   

          

     8 0     4"         -                     #@.+, J , 6  .,/,/     0> 



 















 

 

   ¼  ¼   

     

 



 

   

"  ¼ ¼   4    M      4          6    4 0           " 4        4       "   - >  



 

 

 

  















    





           



1"  4             =       5 "

          4  



 

 

     

     

 



    







  



   

 



4 

       

      

 



      

        

7    "       

 

 















 

 





                    

  

 



   





 



 





            

: "

 "     "    0    0               







 



 



  

 





6         4   0    0   4     "  "   1"          

 " 4  4   0           / (    , : 0"      

                     "   6            B           1          "    4            8          :  "   0  4 0        "    "      #/& /*+, 6    4     "  5 "



"         DEF4"      "   :       

                 > 













 

 

 



! "







 







#



 









! "



#

 

 





$ 











 



$ 

















 



$

 

 





 



 



   





 

  

"





      %  %  % 





 % %  % 

4 

    " 0             4         4 0         0            #@.& ./+,  

  







&



 





 



%



%

 

%

:



     5     >

         '  

 '

   

"       4   0    0   "              7     

  4               "        N 4  4   0                     4            8          #/+, 1        0 "   0  0            > 

 

 



 

 





! "

#

$

 

 

 

   

 









 

 



 

  







  

           

         '   ' 

 



 '

 '

      

"   0 "   

         : 0"    

  

 '   

  



 '

     

 

  

    

 

  

  

 







  0 

            0       "     5            5 0        8                8            #/+, <       4 "               

 

 

(



)



)

( $



$

 



 

) 



$        !  

      

=         5                    7               ,,     , =  "   "               "                









   





*



*

 





* 

*



 





6  



         



         

         *   *  

 

   

             

 



    

      

   

        

 



 

 

  



*

     1"    

  



 



"

          

 0 " 

   

 

4



 

 

   



    







    

                    





  

    

       4     " 

  "               6                  7                  " 4            

 

 









* *

 

 





* * 









 



* 

= 

 



* *

















 





 

    *      







 



  *           

       

    *          

  





 



* *



*

 

 

    





 

 

     H"     O,/#)*+   .,/,/       .,.  .,O #)*+   

            "   "   L              0    0  60                 

                       " 4                      "                        6      8            8     #  $ I                    









 

 



"+,





 

 

 

%

  %

 





"+,

 





"+,

 

 

"+,

  





 

:= H7H1IJK<1-=, 1    8            8       .,/,/                      I 4           !      "       #)* ,/.@+   .,/,/, 1        -      *, 60    

1" /       @           *               =         A  .,/,/            J , 6  .,/,@     0 > 



 

 











 





 *



- 

 

 -

 * 



 *



 





*



-

 *

 

- -

 

 

 

-

 *

  - 







*

-

- 



 *







- 

 

 

      

    

 

7

"+,

 

 * *



 





                            % 6            := H7H1IJK<1-=, 6       











1"       "  5   .  L       "         0    0   "  "     " "        0 DEF4"                             2 "         0      "  :                  4                  , :                                   #'%+,         - #'%+               " .

   

.

 

.















 

























 

 























 







! /



! /





 . 0

    

 

 









 



  





0

1



0

  



.



  







 

! /



#

 .    & 0



 



  



.

 .

 .

  

     

 



 

         

 

 

 



 

        DEF4"                      0             "        :             :     "    ", L        >    









 



1









 





 

 ' 

       '



   

 '

 0       " "          

    "    -5     > /     "   4  0                                  @      *         "    4  "                =               "  4  4   0                          

              0    1               0   "       " "       J                     *              0   "   6             "                "                    #*& /'& /*+, -     

              "  4 0           <  

4   "      " "       =   "      0    " "   "  4              0               " "  "                       ! /

0

0 0

#

1

! /







! /

( $

'



 '



0





) 



 '

0

0

.

( $

'

















 . 0





1























&





.



1

( $

 '

( $

'

0



0





2 

0

0 0

#



















3 . 1





3 .

 . 0





1

 . 0

0

























  

   4  4   0                   &          H"              

    "          "        " "   0     -         "        "     05 DEF4"              "    )    "            " "                "     )     , <    4   "  5 "

          P  0          "       :       4                         "  4      , : "          )                 5 8                   8

 , =           

                      " "              0           "        "               " "    , 6    8                " ", 6      P                          7                                  " "  "    6           8     " "               , 1"      4 "          8    ,,                 1  , :               "  5     2, 3  #$$+, 6   4  "  "      



1









 



1



 



0 0







0 





 . 0



 



0

0 

1

 . 0





























 













 







 

 





1









 . 0

 



 













  















 













  











 



 







 













 

1







 



 

 . 4















"    &  0  "             4   0   , 7

 8                        "     =          0    "      "    " , : "  5        "  5    "  0              0       4"  "  - #$$+     4 "  5         4    "  5      4              3  1                "                   "  

"       "      "   4     #/& /*+, 6              1    I    ,     =  0       , := H7H1IJK<1-= I                 

       "                    ½   "  4        #/& *& /'+, 2 "                        =               5 "

  





 













5

, 

 





  5 ,







 ,



, 

5





  5



















  









 



,

,

 

  

6 



 

 



 

6 



,

7

8



,

  %

"



2 





"







%





2 







%







 













       &      



       &        

   , 6  "   

# 







 %

     : 0"  6 %

%













%



 %   %      %    %



6 %



# 

  " " 



  %  %     %    



% 

%







7



   

 

 



 

            6 





  * #$$+    0              :                 * #$$+, 6         "     4    "  5         ,  " ¼        "  5 "

 1"        "  5 ¼  "   6   . #$$+    " 4  4   0,            1    4  0    7             <      #/& *& /'+                    =                                 1  , A   .,/,*  .,/,.        &   ' 6     4      &   ( 6     "  8  "       B         0     "      4      "     .  &   ) 6      "  8  "       :     .,/,)  .,/,$    "       "  5 #/*& '@+     , %

%

%

%

2 



%







%



%

9

%



%

%











%



%

%

2 

%



9

9

%



6 %



%

6 %

6 %

"

%

%













  











"







 

"

7

: 



 

:

 

:

%             

   



<    ""      0             0     :  "  0         

 

 

6                   .,/,*, 1"                    > /          @     .

 . 0

;







1

 . 0 

;

 









   ;       ;     ;  ;      ;         ;       . ;        =      ;

; 

*







"                     :                                                .,/,/            

                         5 "

      1                  I            .,/,/ 

  .,/,*   #)*+            "                        "                   "      =  "          8                   , #  * 6           1" 



;





 ; 



;







;















1



; 















 ;

;





 

1



 ; 

;



 ; 



  

 

 ; 

 . 0

 . 0

 

1 1

 . 0 

%





 

 ; 

%

;  *

  %

1

"+,





*



*

*

*

 



* *

1

 . 0

  ;  *    ;  * "+, "+,   



           := H7H1IJK<1-=, <   $ 8      " "           

                I              4 0    0                                         $, I $                   6  4 0    0                    1               4

0    0    $, A             =          "        4 , :    4  ,  "          

           "         4         6         4

       0     "   #$$+, :   "                           "     *

*

%

%;  *

*



;  *

*













; * *





;

%

;  ; 



;  * *



;

;  ; 

;  *

%;  * * *

%

*



;  * * ;  *

; * *

*

*



;  *

*

%

%

;  * *

*



;

*



*

 

*

*







*

*  *

* *



 *

   



 



 











*

*





;  

;  











 

*



<   4    "          6                            "  4               1">    ;    

  ;  

 

; 





 

; 

; 





; 





  ;  



  







; 







 ;  * ;  





 ;   ;  

    

; 

 



; 



 ;  * ;  

;  *  *

     



 

;  

    





                   

; 

 

 

 



  

 

      

    







  



1        0     4 , G   "      "     

    <                                 "           4   /  #/+, 6            4  0     1"           ; *

; 









 



  

/



 



<



<







 

 













        



 





 

       



   



 















  

 





 

"  4          1   4   "        0         4           <      4 , 6   % #$$+   0    0   J , 6    



 



%



 



 





%

%



           ¼        ¼  

4 0    0 , -    0                    1"     > 1

 . 0

 ¼

   1       ;     



     



    1      ;     

    1     ; 





 



  0 P      0     4 4, 1     "  %    0 

 

  



           

  



  









   

 

 



7  



   Ê   Ê   

   

  

 

 

   Ê   Ê 

   Ê     Ê 

"    Ê        8        =        >    4     1                                      4     0        "  5 "

 1"        , #  + 6             1" 0               := H7H1IJK<1-=, 60    "     

  

                > /        @          6   .,/,.           

                

 /, J"           "         " 4        G         8      

 



"+,

 

,



,



 









*

  ; *

1



 . 0



1

Æ

Æ 1 . Æ # 1



 

 

,

 

   ;  *



& Æ



  ;  * "+,

Æ

,

 

   ;  *

 

&

Æ

%



 

=6 %

& Æ

% 





;   *





      "    0   

, ,     B    5            %



 

*

&   

   

  ; 

 

  



       &         

   , 6  "   



; 

 



 



%

#   



#   

      







  " " 

 

%

 

  %  %     %    %   

 %



% 

- 

   % %    %   %   ;  6  %   6 % 

          1





 

 









  

   

 

  



       .,/,.      0               0       : "

     

         "   4       #*& /'+, 6          

                 5

   







%

%

0 0



#

%

%



Æ Æ

& Æ

%

6 %

6 %

> %  

& 0 



>

0





  

  

     

      

<        " 

              % 





%





  % 

              

=                   68               J , -  0 >   



           , <        "             "  %       "      0, 6  8    0   4 "               0"    , := H7H1IJK<1-=, 7 "                   0         0   



 





  





 

% 

; 



  ;  "+,



















.

. 





.





 



   0          , 1"   0             , 60      0  "         0 , 6   4        4    

            0        =  





 ,















.

 . 0

.

;  1

 . 0 

 . 0

?

   ;   ¼   1   . 0  

  

?



 ?

   ;     1   . 0 

   ;    1   . 0 



1"  0  '    .,/,%    0               A    0                       4    , G      "   0         "  5 #'@+, A           =   4     0, H"        0 ?

;

1 1

 . 0 

?

 . 0

 . 0

?

   ?  . 0    ?  . 0  

 ? ?     ? ?    ? ?

      " , A             "  %        0, ¼ I   "       "          ¼                                  , H" 4   " 



?



? ?

?







G        0                            , 60   8    , 6                 #)*+, 6       G #/+       0      4             > .





@

 

  

 

  

 



 

  



  



            

5  5   



            

5  5   

*





*

* 



.  .





 



"



    5       J"            *          * *          "   1                      1  

, 6   .,/,/(          &     6    1       

             

"     .,/,/(    -     I    "       "  ,



7



A 





  A          A                    <     

@B/   









=  I   

  =         "   "

""     

C

C

&    $



 



    

A

      













  A    

@B/   

        

A 





 

 



£ 6   £ £           "    8                "                 , 1    £ £ £  £           "           

, ,  0  #O%+            4    

            4 "    0 , 3   "            4"  

C +,  

*













  * 













C +,

£ £

7 £ 4   "   £        "  "      #.O+, <  

  H,         C +,





C +,



 "  5 "

          #/*& )+, A   .,/,/(                           =   ¼               8     #)& *(+, 60             "         % B              "  , := H7H1IJK<1-=, :  8  "   #)*+, =  0          .,/,/( 4     0 , =  ¼   Æ     Æ       Æ   6   / #.(+      "    #, 0 /*& *(+, <      8   #)& *(+  4   "        ¼      "    7                             " , <        4   "  , 1  ,









, ,

,

,

.

.





,

,

,

,

,

,



,

,

.



,

,





                        

        

                             !"

               #$       %%&    &                           

                  &         ' '  ' (         )                                             *  ) &    +    &     $,                                      - & &  



     



         

.            / &             & &  )0 $ ) $        1, $ &    

            

           * $, $      

              $  $   $ $, $    $, $     *    )   *     1     #          2 3456  ,   &

   1$,     $  )    $ &            *        -$               & 7          

   



       







             



                

8     &             $,                    / &                 &        &           ( 2    5" $,  1 #      #$           &                / &  ,          &                   %%&               &        $,  1        ( 2  &      ) &           &$    )  &  ,)$      #$   9 :)  326  &  ,   * &            #$ )      &       

    -     )     1  *& $                1       / : + 3;<6  &        &   =      =      *&        *&                      ) >  *    !   )  )       ,  & "   #   " *   &        "          #            )              1     

!        $  $ % %        

 $ %            &   $7





¼ $  %  %     $ %  %      

- )



  & &          .                   ?     &         $              

  $  $ # #         $ % %  $ # #   #  %    *   -     

  $                       $ - & &      &           $  &         &   $     &  $  &             & *      &   &     '"     &        1 & "          &  '    

   $   ' $  &                         @ $          &   $   $     $  &             . $   '  $   ' *   

     $   &         

              $   $    1 $  

    *  !        A) ) *&          $, *& $       )    1        #    &          &   



                   /  &   =      &  3;<6     &    )    "  &   =                 

      ( 1     9    1    #   1 ' ' (                  (         (      1    ) & ) # ' ' <   ' ' ; ' ( 2 ' ( ' ' ( ( ' ( ; $         &     (           (            9  3(26 ?  3(5B 4(6 / : + 3;<6       )   :             ) )    = 

  & 1   " )          & *    1 ) )

   $, $ )  ) 1    C0  * ,     D  7 )    

             )   $, $ )        1              @  

  1           $  & 1     $   



  

       

                     

               

                     

                                    !                                                "       #$%&! '

       (    )  *   +      ,                    " -       #$% ! ./%&  

 

       









                   "        0          ,           1 



  







 

 



         





                           #2&! 3

                   

        3      

       

        

 

     41

     

       





   

 

"          

                   



 









   









    



       

5   

                   

       

             

   

 



     

    

 





    



"     

              6. ".   !      

       

                    ! 7               .)             

  ,   "     "         

               %)    "           

  ,      "        "                                  '                  348959':;<0' 4! .) 0       

               



,  "  ! 3      

           ,    (.)         



     



         

   3                  









 

 

 





     

              %) 4     "

  1       

    

   



'                   "  ! =                           '        

         ,  ! "

  # 3         (%) ,              

                  >     

     ,         "

     

 

  



   

                                      348959':;<0' 4!   (?) "

          7       

  ,  ! 3        

              

    

    

        





  

    





  







@                          "

    1 



       

 

       

 

   

 

 

       

 

 



             

=          

       

 





A    "

                     

 



     

=                       A    "

                                    

    



   



    

   

3                             "

                                    !!       "

    ,      (%)                        ! 7,    (%)        (?)1   



   

       

7                                               !            0       ,   ,  (%)            (%) "  



 



 *            1                    

     

, ! ' ! $  ! :                   $  #       *         4                

  A                                       ,   "

     B    







    

               :    *    .               ,      ,   

    



   



    

   

  "

   "  (?)                (           ,  )                     (%)! :              " 

   (?)  ,     "

            C , ,               "

                         8,                     1 





 





   



 





     "                         





  

#$% ! ?$/&! '                               ! 8                                

  ! 4                  ,   "   =                         ,  "                   (DD)    1 "

 

    

            

             



 

 

 

       3         

     

    

         

    ,   E!?!% ,                          3                                      



 

      

                





 



         

    

             6. ".    #?$ B! E. &  

     



   

 











      

        F,                                       ,               

G ;! ! 9  #. B! H/&       "                                 ,              ,         @ *            ! 4    ,                     '     F,             ! @       

 '        ! ;! ! 9  #. B!H2I JK&    ,        "          '            ! @        8     '          ,  

      (DD)          ! 7                          %               

      ,                 ,  %!%!E  %!%!$ %!%!H        ,    ! 4       (D) (DD)           ,    +

             

    E!?!%! @            

     ! 8   ,         

        

        ,         

      

              

               6. ".   !                               !   "   *     

   *     

                          L         

#$% B! ?$/&! %  M             

       (    )               ! '               

      (             



            

                                                   !     

               "

  

                          ! " # ! $ #  % &'  &&(!   )      )

      * +, -  .,   -  

        $ %'+(! /  %+.0 +1(! 2 34  %+5(! 67 8  %&'  &&( 9  - %:5(!   )        )

  

    ; <  * 5, -  .,   # =-! >" ; ?  %(  @           -    -   -            <    !  "2 *  %:( @     A        -  

!   <  - 

         #    

*    < -  

                    )      )

 A      

B) C -  D  )          )   !  -  



 A  E   A   B  A    E-  C 



 E  E   A  !                -   )   <  %+5( #)  !  -  E   

-  

 )      )

       F     E  ! E           

  <   ) < A    $ 

 <  - E    #                   -     )  E  

        )     )     - ?          ?   %:5(      >   B-)E C         )<        -    )      

  

*  @   <           

  G -< @<    

  )

  

 ; <  G)E  E  )      < <<   -           !   E -     E    @        E  )   -  )  ?  A-   #                   B )EC 

       ! E            

-         -     )   #A    - )  

      G)     )  -  

     /  %+1( ) A  <   

  -     9  - %:5(B ? H$  E %&(C    )

 B) C  )           I  

  

               !      I"8   ?  -   E   

!    " # ! # "  $  %1:( #     E           !  )    )

       #         <

? 

!  -    -  )  ?   ;-  -)E                   

    -  

 #  

      

J !   -  )  ?  A-    - J

  ;-                     

    -  

  

G  ! E  < -  

!  -  E 

    -    - J      )    )

      %&'(   ¼¼   ¼  ¼¼          ¼    ¼       

  )  J  

         -      @ 
L  !       - B  C   E         G  ! E     

  ? E!  @ 

     )    @     -    -   -        %&'( G)E  E  )         -   E                    ¾         

 E     E  <     

   E         <  K       -                     ! E                  G<   <-         A         ! E          %&'( #             E           *   )      
 E   -   -                       

/)  

 ; <   ) ! E    -  )                    -  )     E   -   #     -    -      ; <  

%( #A ?  K         

  

       

#             -     

      

             

   G? 

   )  - )  

 G     E < -  

K                       

    E       G)E  E  )  B C   - --  -    -  -                          

    

 - 

           

)

  -  ?  <                       

! E

         

            )    )    G   )  )  !  )?! ? 

         !)E! !   L   ?  <        L -   @    L   A    )<    <  <     <   ;  )    ) !  )    ) @  !                   E         ! E   %&'( M        )  %&'(!  E       ! -       ? )  <<  <   ) <            I   !                        ! E   "   "      #      #     #      #  

½ 







   #   

G)E  E  )  

 

  

  #   

 



 <   ) <   -

$  %  &   &        $  %    &    &   &   ' 

  (   E        E  )   " ¼   " ¼  ¼  # ¼   ¼    #¼    ¼  # ¼     ¼  #¼   ½   ¼ ¼     #     ¼   



¼

  #   



 <<  E < -   - $  )                B     -   # A       <  @  K )"¼    " )       % ) ¼    )   )# ¼    # )   '     %

# *         -   ) %    (   ?  < BC    )<  -     <  

 <   <    #  E          ) *   C  B   ?   < C  %    ( )! .C  )   B    

  C! 1C  ?  < !   <  

 <      ) 

"   "      #      #  

 @   !   BNC # - E <   E <  < I" 8  %&'! O .5.(! E ! E  < 

  C  1C  <     

      )       -         <  
-     )   L  ! 

 A      )   

-





  C  1C $   B    -C %:50 +.0 +1( #                 

       ;-   <

 A  K C 

      )! .C        - E  <

? 

! 1C      %   #                              ;-     A   !  E ?    -        IG "=";P>QL;*G F A      )    + %:5(     

 -   E < << 9)    E -  !    )      - /)    A    E ! E   ?   )  @   ! E          

     -   >  ) $   & #                           ;-          )

    

 <  K C     .C     

        IG "=";P>QL;*G P        )  !     <   )

!      ! E    A        <     =E !    <   <           G! )       ! E       - E  <

? 

 9   < - ?  !   <  ?  =         

!      - - E  <

? 

)   <      %.:( =  ! E   )  !      )   









  

   





   

/) -       9     %50 .:( E ! E   )  )E    -  )     ;   ) ' (  > -  ! E )  .C    :.    

C G   ! !   ! %+1( /)    :.    ', E  )   * #                  E      

     ! E    E  -   - $  %  &   &        $   &   '    ( P             )  -   - $ ' ( & P      !    

:1!        ? 

  :1    I )  E     <      ! E    ? !    

:1!  ? 

         !)E! !   =        - --   -     ) <    -  I  - $  %  &   &        $       <

E K C  %       !   I" 8  %&'(     &!    -   R <         E )   -   ?     ! - E      <   K %   )   !      E - 

(     --   &   &  0 .C  %              S S ! - E      

E -  !  

   C0 1C E %      &    &    E    -! E 



'C  %             ! E &      !      ' %&'(!    -   R <        +   + +  +   +  +   @    C ' ( * L 

:1 ) E

:. )<! E!   E              )

 - !         %&'(  <     )

     -  

    @ 

!  E<    - ?  !       





,

  

 



                

 









,

"     

      

9 

9 .

 ½

"









 



       



   

    

  



  





   

     

      









9 1



 S- E S) -!       ' ( + L 

:1 <E     !  E E !    1 : )  I" 8  %&'(   -  - J    # ) E < :. E     -  

!  -  E   !   E  -  !      <  )!    -  -  ) -          

&  !     

* A     ? 

 

   .   -  .     

) -   E          ; <               E  -  

    I" 8   %&'( )! E ? 

    -  )             F  E<    <  )    ) !     A   P     

   ? 

E      ? 

    A   * A  )  ! E  <  )    -   - $  %  &   &   )      )

         $  ? 

           ?     E  -  

G)E  E  )  (/              #?      E   0   0  1   1 A     E   0 ¼   0¼  1 ¼  1¼                 ! E 0¼  0     1¼  1            $  )    E  -  

  )   -      -    *  )<  -    9  - %:5( I" 8  %&'( ) ! E         (/    -      E  -)

  )    

        )  !        I    )E  E  ) .       -   E              

9 @ 

       J           E<  ?  )    =   ? 

 

K          (/  



/) ! E K C &( .      .C  .  ?  

)                -     E  )       %1( #  .  -    

) -   E         E   -)

   L  !    ? 

 



 .  

> -  ! E &(  .           A %::(!      )   A  

    E  A          < -       I     2       -  )   2  2  - C 2   ½  .C 2 ¼ ¼   2     1C 2    -     ?  -  G)E  E  ) 3    2  2         2½ 3   2  3    2½   LE  ! E     9  )   )   4    ! - 2  3     )  

-  ?   ) 4  ?     -   4 4    ) ) 5      I    ) 4 ½

4 ¾   ?  <

     2  2 2 ) 3   )  B C )  A   ! 

C  -  ?       .C 4 ½  4 ¾   %1( M! E  A    ½  ¾ 5½  5¾  H?   )  A          2  2  3  )    )    -  #      R  

   ) )  F)  2 2 ) 3   )  A   !  4 ½  4 ¾   B          C     3   A @  < A  



)    )    -         =  ! E     )      )!    %1(      G)E  E  )         )     E  -    - $     ) <         E < <          - $       & L <

     .  @ 

     J             )  

 4 2         

    ! E K

    4  

-             )

   -        ! .C  4  4     B   E  -C $   

 !     < 4  4  <

     ) .C     4 4                2½  2¾    G?      - )    ? 
   2  5¼  5 ¼   5¼  5¼   

  ¼   ¼   ¼  ¼   E  -   - $  %  &   &   $   E   

 % )<   ! ¼   !     ¼   2 ) - E   ! E  ! E      =  5           2      2         )   )                  <   @ 

   2   A 

 2 %1( =  ! E  $  %  &   &      

-



   E    -)

   ) 

    &    &  (     E  -)

   )     %10 ++( F    E < $   B" # %1:(C P                   

    ?  E                       



 .             <        $   + G? 

 

 

-  E  -       )    E < <                  $  %  &   &        &   '    (

$  

IG "=";P>QL;*G #  - $            -!   A E    %&'( G)E  E  )  ?           .  ! E  @ 

  J            )  

 -   #    %&'( ? 

              -  F ? 

         )   )E  %   I   !  ) E       )  

! E    B   E  -  

C G<     

     #    H  %+(      

A  -   E < -    ?  - $ L  !     ', 

!           6  6   -           6    6    ?      -  B - 'C -  )  

     P            # E      G<          6  - ?   ?  <   ) E E       )   ? 

        E      #    " # ? 

      ?     -  )  <-     L   ? ?           )     E  -

           - -   - $     )           ;          <   ) ! 





          

  )    -      

  %1( #A       )E       ) ;      -  !    -  

  )%&'0 .! &+( #? ! E -         <   



            -  -   . ) < E  ?     #      ?        -      G)E  E  ) ¼  <  E <  -!   ) <<      --  ¼  -  9      <         E

   % %    )  ¼    %     - E - ) !                    #    ', E ! E    6  6    - 6    -  )     ! 6   I   -    -                    )  ?   4 

    ! E    4  4        L  !          )  -  ) 4       4  6 4   6 4     6  4 6 4    -  ) 4     4 ?   ¼   4  ¼   #     4  -  4

 6  6     4  ?   ? 

     =  ! E  ) -  4   )< 

 4   4    

   6    )    )<    ) -    )<      

   6 )  ?  4   <  )  ?   7    ;  4     E<  )

        7           <    E   -        

    --    7 ¼       E  7  ?   ? 

-  #E 

   ?     4  7       

 ! E     4 ¼  G<  

           !    ?  <  -   L  !                           E          6 4   6 4              -! 4 ¼       <          E  %&'(     



B)E 

? C    -  

  ;  )!   -                  

)              #                %      .   K           

-      E   -     --      ) <   -  #      - 

             )

   %  #    . %&'( ?   ! E  <

 @       ¼              4           B   E 
    E    A   !  < )  ?   %&'(! %+1! O1'5(! E ! E 4      ?   <      E          

  -  

   ? -      #    %&'(    -   )                 E      - )     - )   %      .    ;   ) ' (  /)    %&'(       )   ! EK C ? 

  <              !   - E   <  ? 

0 .C       -   ) !      <                <  ? 





                                   

             !"  !!     #$% "  & ' % "%    ( ) * +,    "  #$% !-!  .    /      "        "$   !   "  '  0"  !!    1$  !!   $           $   2 - !     - .  $ !     ($              !"      ( ! !    .#%      - -       !     3-4 !$   !"     ! -%   $      4 -    !"   1       % -% !"%       !  %          





      &.  -  -            -  54 !   -  # - .    !"     6!"        





 

 '     

      7$4  - !      

"

8!$        % 0"9   

!" 





   

     !"   1.                



4        %    "$ %  !    



    &- -   !    ! : ;  "       :<;  $ $!  '     !4                 



 4             - '  :+;                



 %       ' -4   :;  :; %  '  :<;  :+;      '9

   



 

  

     

 

 Æ



       Æ              %      '            !- "$    -!      "  Æ 

: !. =4  >?;  -$       -   @ 4 !!  :;  :;4 '          0"       



         

 

  







       .$  ($     1  1!   

,4  )')!    ?A4  9                  

 

                         



!     % !!               !"   B- ! :; 4  1  :>A;  :=;4  !%    9 

       

                           @' - )'     !            " -$  4  4  





         



¼

   

  

  

 

        ' - )'                    1 !"  %      '9

       





¼





 

 

     











   

     



   

¼



  

  







    







¼

8! $4   :>?;   ' - )'     !        &%  % "%   '    :=;9

                





   





¼







 





       

 

                 











 





¼

 

¼

 ¼ 

 

.  ! !! - "      %    %# !      .  "    !"    .  ! ' 1   :,; -'  %                         Æ  

       

  

1 -4 '9





¼





  

    Æ 

$-%#

   Æ





 Æ





 

B-  :><;4:,;4:>;  9

        

 Æ 

  

:,;4

    

         Æ

   

¼

   



%





%#















¼

  

 ¼

    

     



    Æ    ¼             Æ   ¼               Æ ¼              ¼   Æ     Æ     

 

¼

@ :>?;4:,;4:>; % 

     

 

  

    

  ¼



¼

  

       Æ



 

 

! !!



        Æ

  

      





        Æ

 

      



 ¼



¼ 



   



 

 Æ

  

 





 

 Æ             Æ    ¼ ¼             Æ   ¼ ¼       ¼      Æ      ¼   ¼      Æ     ¼ ¼         Æ   Æ   B!"        '9 ¼





 





 

   

 





    

 Æ





               

 Æ              Æ                       

               Æ            

 

     





     



¼









¼





 



¼ 

  



      



 

 





   

 Æ









   



        Æ

 





           

     

    

  

 Æ



 Æ





            

 

 Æ





 Æ



B$- ' :>+;  :>;  :>C;4 9  

  

    Æ 

         

 

  



                                                       Æ       Æ                 Æ         Æ                









   

 Æ

 







 Æ







   

       Æ





   

   

        Æ

 

           Æ                      Æ        Æ                  



   

 Æ

 

 







  



 Æ

 



&%  % "%   /   !"    

  



 





          

  



    Æ 







 ¼

¼

¼¼ 

    

 

   







 Æ

   





 



   

   

 Æ

   







  

             

D$  "%   '  0" :C; 1  :>A; 9                             !     

B$- ' :><;4  9



     





                    ¼ ¼ ¼ 





 ¼

 





                     ¼ ¼ ¼       ¼         &%  "% 9





       

 ¼

    !   

1    !/ "     . $ % "      @  0"   

     





   

        



 



         -                  7  $ $!  '            :;  :; 4  %  !4          

   

  .$   "    :>=;  :
     



½     ½   

    







  













     

 







 

 





  

  



 



!     % !!  !         ($ "  "   "   !4  " "$ !4  "  "  "  B- !               

 %   9                 "  





1 /    :
        

                   "  #           >   $  4 $     





                     "  "   "  "    















  

    

&%   "   4 

         

   



¼

     

     

      %            







¼

 "  #  %      $     (  "  "   "  "   

            

 





  ¼





   

     

 



     



  



¼

 



  

%  

  

  

    



  "  "   "  "    9

           

   

  ¼

  



 



 



 



¼

   

  % 

   



 



 







     



  

  

 

D! - !-     - '  :
               





  



               



     





 



















¼



 





 

       %  





 





   



 "



# 

  

 

% 

  $    

 ½  

   

¼   





% 

  

   "        

 % "%  '  0" :>=;9



                  

       





      

  









           







             



¼





 '     0" :>=;  ! :;            " 9 





               !    



¼





1   !/ "    . $ !. % "   '     0" :>=;  ! !!         "  /   .   ! $ '4 -    7  "  "   "   #  "   $      4 9         

       

 %      ¼  ¼           %   Æ   ¼                  %   Æ         Æ  ¼           %     Æ ¼                     Æ     Æ     1 "  "   "  "   4 

     

  



     

     

       Æ



       Æ 







 





 ¼ 



 % 



       Æ



             Æ        

 



 







  

  

 Æ





              %     Æ               Æ           

  





  

 



 

  





  

 



 ¼ 

   

 Æ

 

 Æ

 % 





 

 Æ



 

      

  





 





 

 



     

             Æ          

 



     





 



  

      

     



 

 Æ

1 "  "   "  "    4 9

    







 



¼

 Æ

   



 

  

       Æ

      

   

  Æ    1 !"  %  &   9           





   





 





¼

 



     

    





 



     

 

 



 

¼



      

  

       Æ

 









  



    

 

 











¼



 Æ

       Æ



½   ½   ¾   ½ ¾ 



 

½ 

 ½ 

 













  ½   ½ 



½   ½   ¾   ½ ¾ 



¾ 

 ½ ¾ 



  





 

 ½ ¾  ½  







 Æ

    



 ½ ¾ 

   Æ

        

½  





     



  

 

  

  Æ

  ½ ¾ 

 ½ ¾   ½  ½ ¾   ½ 

 



     

  Æ

  ½ 



½   ½ 

     

  







     











       Æ                         

       ¼      









 





       

 Æ

 

 

   

 









 



      

 Æ               Æ   

 













   ½   ½ 





  





     



  ½ ¾ 



 ½ 





 ½ ¾  ½  



 ½ ¾   ½   ½ ¾   ½ 



   

 

 Æ



 

    

¾  ½ 



  Æ

  ½ ¾ 

   ½   ½   ¾   ½ ¾ 





 





½ 













   ½   ½   ¾   ½ ¾    ½ ¾ 

  ½    ½ 

  Æ

  ½ 









 Æ





E #  4   %# 9  

  

    Æ 

         

 

  

           





 

   

                 







  

  

                 Æ        Æ                 





















 Æ

  







      Æ 



  









  

         Æ

           

 



 

 





 Æ

 

   



 

 





  







 

  

     

         

  





  Æ

 

 Æ









  





 ½  

       Æ



            



    ½ 





 

  





   

















   ½   ½ 





 









 ½  

 ½  

¾

   



 Æ



¾

    







  ½    ½ 











 ½  ¾  

               ¾ 

 ½ 



¿  ¾ 

  Æ





 

   

 

      

 





 Æ





             Æ

  



 



 

  Æ

            

 Æ

     

  ½ 



     

       

  Æ

  



 

   ½   ½ 

  Æ













   

   



 Æ

  ½    ½ 

 

 

      

  Æ

       





 Æ



 

 



&%   !  /      '     0" :>=;  ! :;  !!         "     

      

  

    Æ 



  



  '  

 





    





    

 

 

 



 Æ

   

 





 '   "  ! <4 "  #  %    

  

 ½  

 

 



  ¼ % 

 



  $    

   

¼   





% 

  

   "        

"  !-%4 !! -    '  0"   :!" ;       4  % % "%   -%# % !- !   %  )4  -%# !!%   $      " $      ! B- '   

  

    

 

 Æ

   



   

 

 

 Æ

   





     

4  %  "$%   . $ !!   " 1   5 >4  >A4 <<+4 $ !   -   !    -      D! -4 "        !" :!! ! !;  !!    -   !  " 1



  

 

 





    



  



    ! " #  $% &  

 

'

(

 )) #  .  

 



 

 

* $$+ , & - . / &

01

 

 

 

2  " 2* $34 4    

2

5



 ** 



 

 6      )) -   *  $3+ 7 % , 4 8 %+ / %%& + 

 

=  : *

  



9:





5 



;

 

5 (:



 

</

* 

 



*())

>  *6   0!# 2 ---< $?3 7 %& - + / 4& % =: <  <

 @ 6  *( :     ! " !  $%$ 3 =* (  6    5 ( *  ! / " =#77 $+A ? B*    <      *   C  ! " !=D $?% $ B* 

 

79/*(





*  ))

D 

 * $? 7 .% & -  / ?A A > 6

E # ' 

56

 

6 

*())

D   * $3 7 &%  - . / 3$  >: 

 = 

75 

   7F 

 

  G))

 

0

* (

 /  !

 



$?3



     7 .&

,

.

-

.A4 / .& & ' 6

# ! 

9 :/* 

2 

- 

: 

  





    





   )) H*(   :   $?$ 7 &. I  - &4 / 4A



. ' *;

- 

' 

 





   2  " 2* $3+ 4 ! 5 B (  9/*(  ! " !  $?? + ! 5

2 

 5

6 

B  

-

*(



J

' 



56



  )) # * :5 5 -02 ---< 2   $$A % 2   - < ! 6      

   

5  )) !   $$4 7 ?+ , 3 - ?3 / A? 3 2

- 

 56 

56

' :

/

5

H ))

H*(   :   $34 7 ? . - +4 / %% ? <; 

K =

7 

* 6 



: 





2  " # *  $$% 4&4 $ - ! '   *  *1  6  *(

5 5* : 6 6)) !   $$% 7 ?3 ,  - . / &A &A - : B 5   F     ! " # $%A & - 5 2 7: && 7

# 

   5 ! " # $+.

!: 

 



 



 *  )) !   $$A 7 ? 3 - $.4 / $+A &. 7

#  -*1 

:  9

*(



 *  )) D   * $$3 7 +&  - +A / &&4 &4 H 5  <   *( ! " =027# $.% &+ H  0 <    ! " !  $?A &% L

 '

!: 

6

2* $??







 

2  "

&3 C   # = 6 56   6  *(     )) #: *  M !  $?A 7 ? - . / %% &? C*;  C*; 2  - 6      *(  :  : ' " '=D $$. 43+ &$ C*; -  56  : 6    *(        ' " '=D $$3 4+ .A G  5     C & ! " 2* $?+ . G  = 0 5:         7F  )) D6     : */ $%$ 7 &? - $A / $? .& NOPQRST

U 

VWSXR

U

YXZ[W\\

T]SQW^ZT))

_SX\^Z`R\

_SX\^Z`R\

a\Xb

_SZTT  $%A .. NccZPP _ dZ\ZSWPXTW`XR\ eZT QR\^`XR\T eR]fPZ[Z\` cZSXReXg]ZT eZ TZ^R\eZ ZTcZ^Z)) h eZ iW`O _]SZT Z` NccPXg]ZZT jVZS .k ??. l $ _ + / &4 .4 NccZPP _ V]S PZT X\`ZmSWPZT eZ QR\^`XR\T W []P`XcPX^W`Z]ST Z` PZ]S WccPX^W/ `XR\ W\ eZbZPRccZ[Z\` eZT QR\^`XR\T WfZPXZ\\ZT Z\ TZSXZT `SXmR\R[Z`SXg]ZT )) N^`W iW`O ?$A l . , .)4 _  / 34 .+ NccZPP _  dR]STW` n  oW`R] _ pOZRSXZ eZT QR\^`XR\T WPmZfSXg]ZT ,Zq/ rRSs" 8OZPTZW _]fPXTO 8R[cW\t $3% .% IWsZS u o NfZPvT `OZRSZ[ W\e `OZ WPPXZe `OZRSt jX\^P]eX\m `OZ `OZRSt RQ `OZ`W Q]\^`XR\Tk 8W[fSXemZ" 8W[fSXemZ a\Xb _SZTT  ?$3 .3 IZSZ\T`ZX\ 8 N  VZffWS N iR\ReSR[X^ eXQQZSZ\`XWP Zg]W`XR\T W\e YXZ/ [W\\ `OZ`W Q]\^`XR\T)) oRS][ iW`O $$4 l % _ +. / ? .? IZST U a\XQRS[XwW`XR\ ft IZP`SW[X Zg]W`XR\T)) 8R[[ _]SZ NccP iW`O $% l 4 _ &+ / &&? .$ IZST U uRPR[RScOX^ eXQQZSZ\`XWPT WT Q]\^`XR\T RQ [Re]PX)) I]PP RQ `OZ N[ZS iW`O VR^ $% l %3 , & _ &A% / &A 4A IZST U  nOSZ\cSZXT U uRPR[RScOX^ ^R\bZxX`t RQ pZX^O[]ZPPZS TcW^Z)) I]PP N[ZS iW`O VR^ $%4 l 3A , % _ 3% / 3%4



4 IZST U N]`R[RScOX^ QRS[T QRS V^OR``st mSR]cT)) Neb X\ iW`O $3+ l % , . _ ..& / .% 4& 8O]^sSRq l y\ V^OR``st mSR]cT qX`O WccPX^W`XR\T `R zPZX\XW\ mSR]cT)) N\\ RQ iW`O $%? l ?? ,  _ 43 / % 4. 8O]^sSRq l V]fmSR]cT W\e W]`R[RScOXT[T RQ Zx`Z\eZe V^OR``st `tcZ mSR]cT)) pSW\T N[ZS iW`O VR^ $3A l +A ,  _ & / .A 44 nWSPZ 8 h y\ g]WTX^R\QRS[WP Zx`Z\`XR\T RQ `OZ IZ]SPX\m/NOPQRST `tcZ)) 8R\`SXf]`XR\T `R N\WPtTXT ,Zq/rRSs $34 _ $$ / A+ 4+ nWSPZ 8 h pZX^O[]ZPPZS `OZRSt)) {XT^SZ`Z mSR]cT W\e W]`R[RSOcX^ Q]\^/ `XR\T _SR^ `OZ UR\eR\ iW`O VR^ jZe ft uWSbZt | h k N^WeZ[X^ _SZTT $33 _ 4. / %& 4% nWSPZ 8 h oW[XPXZT RQ YXZ[W\\ T]SQW^ZT W\e hW^RfX bWSXZ`XZT)) N\\WPT RQ iW`O $3? l A3 _ &++ / &?% 43 nWSPZ 8 h y\ bWSXW`XR\ RQ cSR}Z^`XbZ T`S]^`]SZT)) N\\WPT RQ iW`O V`]e ,Zq/rRSs $? , $3 _ ?3 / $$ 4? nWSPZ 8 h  zSW ~ uWPQ/^W\R\X^WP eXbXTRST R\ bWSXWfPZ YXZ[W\\ T]SQW^ZT)) h iW`O ztR`R a\Xb $?% l &% ,  _ .$ / %4 4$ nWSPZ 8 h  zSW ~ _RTX`XbZ eXbXTRST W\e _RX\^WSZT TZSXZT R\ bWSXWfPZ YXZ/ [W\\ T]SQW^ZT)) pRORs] iW`O hR]S $?3 l .$ _ 4&$ / 4.% +A oWSsWT u i  YW]^O u n _ZSXRe SZPW`XR\T RQ V^OR``st `tcZ R\ YXZ[W\\ T]SQW^ZT)) N\\WPT RQ iW`O $3A l $& _ 4.4 / 4% + oWSsWT u i YW]^O `OZ`W Q]\^`XR\ cSW^`X`XR\ZT)) {XQQ dZR[ W\e 8R[/ cPZx N\WP IZSPX\ $?+ _ .. / 43 +& oWSsWT u i  zSW ~ YXZ[W\\ T]SQW^ZT ))dSWe pZx`vT iW`O $$& l 3 ,Zq/rRSs VcSX\mZS +. oWSsWT u i  zSW ~ VcZ^XWP TZ`T RQ cRX\`T R\ ^R[cW^` YXZ[W\\ T]SQW^ZT)) 8R\`Z[cRSWSt iW`O &AAA l &+% _ 3+ / $4 +4 oWt h N\WPt`X^ pRSTXR\ W\e _St[ eXQQZSZ\`XWP)) _SR^ RQ `OZ $3? V`R\t ISRRs 8R\Q $?A _SX\^Z`R\ a\Xb _SZTT _ A3 / && ++ dSW]ZS` u N\WPt`XT^OZ oWTZS]\mZ\ ]ZfZS ORPR[RScObRPPT`WZ\eXmZ\ YWZ]/ [Z\)) iW`O N\\ $+? l .+ V &%% / &3.



+% dSXQQX`OT _  uWSSXT h _SX\^XcPZT RQ WPmZfSWX^ mZR[Z`St l  ,Zq/rRSs" |XPZt/~\`ZST^XZ\^Z _]fPX^W`XR\ $3? +3 dSXQQX`OT _ ~\`SRe]^`XR\ `R WPmZfSWX^ ^]SbZT)) pSW\T RQ iW`O iR\RmS l 3% N[ZS iW`O VR^ _SRbXeZ\^Z YOReZ ~TPW\e ,Zq/rRSs $?$ +? d]\\X\m Y 8 VcZ^XWP ^RRSeX\W`Z ^RbZSX\mT RQ YXZ[W\\ T]SQW^ZT)) iW`O N\\ $%3 l 3A _ %3 / ?% +$ d]\\X\m Y 8 YXZ[W\\ T]SQW^ZT W\e mZ\ZSWPXwZe `OZ`W Q]\^`XR\T)) nSmZf/ \XTTZ iW`O Ie $ IZSPX\ $3% %A d]\\X\m Y 8 y\ `OZ cZSXRe ^PWTTZT RQ _St[ eXQQZSZ\`XWPT)) h YZX\Z N\mZq iW`O $?A , .$ _ +. / 3 % d]\\X\m Y 8 UZ^`]SZT R\ bZ^`RS f]\ePZT RbZS YXZ[W\\ T]SQW^ZT _SX\^Z/ `R\" _SX\^Z`R\ a\Xb _SZTT $%3 %& uW]c` y €]S `OZRSXZ eZS _St[T^OZ\ o]\s`XR\Z\  ]\e , ySe\]\m)) iW`O N\\ $% l 33 ,  V &4 / %4 %. uZ}OWP { N y\ V^OR``st W\e pZX^O[]ZPPZS TcW^Z))Neb X\ iW`O $3+ l + , & _ .. / %A %4 uZ}OWP { N iR\ReSR[t mSR]cT W\e PX\ZWSPt cRPt[RScOX^ Q]\^`XR\)) N^/ `W iW`O $3+ l .+"/& _  / ++ %+ uZ}OWP { N pOZ bWSXW`XR\WP `OZRSt RQ PX\ZWSPt cRPt[RScOX^ Q]\^`XR\T)) h evN\WPtTZ iW`O $3% l .A _ &+ / &%4 %% uZ}OWP { N zZS\ZP Q]\^`XR\T _RX\^WSZ TZSXZT W\e UlN)) 8R\`Z[cRSWSt iW`O &AAA l &+% _ 3. / &A %3 hWfPRq n N\ W\WPRm]Z RQ `OZ YW]^O bWSXW`XR\WP QRS[]PW QRS _St[ eXQQZS/ Z\`XWPT)) ~TSWZP h RQ iW`O $?$ l %+ , . _ .&. / .++ %? hRSmZ\TTR\ h N\WPt`X^ `RSTXR\ QRS PX\Z f]\ePZ R\ YXZ[W\\ T]SQW^Z)) {]sZ iW`O h $$ l %& , . _ +&3 / +4$ %$ zWcRbX^O i n utcZSfRPX^ [W\XQRPeT W\e eXT^SZ`Z mSR]cT)) _SRmSZTT X\ iW`OZ[W`X^T l ?. IZSPX\" IXSsOWZ]TZS &AA 3A zZ[cQ d N cSRcZS`t RQ `OZ cZSXReT RQ W _St[ eXQQZSZ\`XWP)) _SR^ RQ `OZ N[ZS iW`O VR^ $3% l +4 _ ? / ?4



3 zRZ\Xm

Y

€]S

WSX`O[Z`XT^OZ\

pOZRSXZ

eZS

W]Q

ZX\Z[

WPmZfSWXT^OZ\

dZfXPeZ ZxXT`XZSZ\eZ\ o]\s`XR\Z\)) IZS eZS lZSO VWZ^OT dZT |XTT UZXcwXm iW`O /_OtT zP $3% l %. V .4? / .%? 3& zSW ~ {ZQRS[W`XR\ RQ o]^OTXW\ mSR]cT)) {]sZ iW`O h $%$ l .% _ +.3 / +4% 3. zSW ~  iWTsX` I YZ[WSsT R\ cSR}Z^`XbZ T`S]^`]SZT)) N\\WPT RQ iW`O V`]e ,Zq/rRSs $? , $3 _ .4. / .+$ 34 zSW ~ y\ `OZ bW\XTOX\m RQ W\e TcW\\X\m TZ`T QRS _RX\^WSZ TZSXZT QRS ^]Tc QRS[)) N^`W iW`O $?4 l +. _ 43 / % 3+ UZO\ZS h {XT^R\`X\]R]T mSR]cT W\e W]`R[RScOX^ Q]\^`XR\T _SRbXeZ\^Z" YOReZ ~TPW\e $%4 3% iW^PW^OPW\ 8 pOZ [Re]P]T TcW^Z XT TX[cPt ^R\\Z^`Ze)) _SR^ N[ZS iW`O VR^ $3 l &$ ,  _ ?+ / ?% 33 iWTsX` I VZPQ/[WcT RQ zPZX\XW\ mSR]cT)) N[ZS h iW`O $3 l $. _ ?4A / ?+% 3? iWTsX` I a\XQRS[XwW`XR\ RQ YXZ[W\\ T]SQW^Z )) {XT^R\`X\]R]T mSR]cT W\e YXZ[W\\ T]SQW^ZT N\\ RQ iW`O V`]eXZT , 3$ ,Zq/rRSs" N^We _ZSTT  $34 _ &$. / .& 3$ iWTsX` I y\ `OZ ^PWTTXQX^W`XR\ RQ zPZX\XW\ mSR]cT ~ / zRZfZ mSR]cT)) N^`W iW`O $3+ l .+ , ./4 _ &4$ / &3 ?A iWTsX` I y\ `OZ ^PWTTXQX^W`XR\ RQ zPZX\XW\ mSR]cT ~~ / VXm\W`]SZT)) N^`W iW`O $33 l .? , /& _ 3 / 4& ? iXSW\eW Y NPmZfSWX^ ^]SbZT W\e YXZ[W\\ T]SQW^ZT)) dSWe]W`Z V`]eXZT X\ iW`OZ[W`X^T l + N[ZS iW`O VR^ ,Zq/rRSs $$+ ?& ,WsWeW

i

]WTX/^R\QRS[WP

T`WfXPX`t

RQ

QX\X`ZPt

mZ\ZSW`Ze

Q]\^`XR\

mSR]cT)) pRORs] iW`O h $3? l .A ,  _ 4+ / +? ?. _Z`ZSTTR\ u aZfZS ZX\Z [Z`SXTXZS]\m eZS W]`R[RScOZ\ oRS[Z\ X[ eXZ pOZRSXZ eZS _RX\^WSZT^OZ\ YZX\Z\)) iW`O N\\ $4A l 3 , 4 V 4+. / 4+3 ?4 _St[ o  YRT` d pOZRSXZ eZS _St[T^OZ\ o]\s`XR\Z\ ZST`ZS ySe\]\m X[ N\T^OP]TT W\ eXZ V^ORZcQ]\mZ\ YXZ[W\\T UZXcwXm" pZ]f\ZS $



?+ YW]^O u n  oWSsWT u i pOZ`W Q]\^`XR\ qX`O WccPX^W`XR\ `R YXZ[W\\ T]SQW^ZT IWP`X[RSZ" pOZ |XPPXW[T W\e |XPPsX\T 8R[cW\t $34 ?% YX``ZS n {XZ []P`XcPXsW`XbZ\ oRS[Z\ W]Q WPmZfSWXT^OZ\ dZfXPeZ fZPXZfXmZ\ dZT^OPZ^O`ZT [X` N\qZ\e]\m W]Q eXZ pOZRSXZ eZS W]`R[RScOZ\ oRS[Z\)) iW`O N\\ ?$4 l 44 V &% / .34 ?3 Y]ZZet Y N Vt[[Z`SX^ Z[fZeeX\m RQ YXZ[W\\ T]SQW^ZT )) {XT^R\`X\]/ R]T mSR]cT W\e YXZ[W\\ T]SQW^ZT N\\ RQ iW`O V`]eXZT , 3$ ,Zq/rRSs $34 _ 4A$ / 4? ?? C*;



0

 

5:  

    

: *

')) B 2 ---< $3? 7 &4. , . 8 +?? / +$ ?$ C*;      G  jmT[k)) -   *  $3$ 7 &A , . - %.& / %4A $A C*;            : * ')) -   *  $? 7 && , + - $A / &A+ $ C*; '        )) -   *  $?& 7 &. , % - $% / $3 B  #2#7# &A/?& & $& C*; 0  5  5

 

  )) -   *  $?. 7 &4 , . - &% B 

#2#7# %+../?& & $. C*;  (  * 5

: * 5 )) 7

5   F     *(   1 AA/F  5 5 2 2 * A/$  $?. : '  $?. 8 &$ $4 C*; 76 



 (



 * 5

  ))

: * 5 

7 

*(





  " !*    *6  *5   1 AA/F

 5

5 2 2 * '  $?+ 8 &. / &?

$+ C*; '::6  

 =: 5  

  F))

7

5

 F:

 

‚*     : ‚ 7; $?+ 8 % / 3



$% C*;



'::6 





=:



: *

7 )) -   *  $$A 7 . , . 8 $? / &A. $3 C*;



 

  



 ))

5

5



(6  = 



: *

"

  

!* 

 

*6  *5 '  '=D $$ 8 ? / . $? C*;



<



7F ))  : 

7

 

5

6 /4



=:

 F

  1

5

    

  

?+/F



5

 "

5

 -

 : $$. 8 &A. $$ 8O]ZTOZb l l uWS[R\X^ W\e ORPR[RScOX^ _St[ eXQQZSZ\`XWP R\ ^R[cW^` YXZ[W\\ T]SQW^Z)) _SZcSX\` $% / A$$ $$% a\XbZSTX`WZ` IXZPZQZPe dZS/ [W\t 4 V AA C*; = 6   :  5 (   





  ))

- 



* 

$$$ 7 4A , & 8 4%+ / 43+ A C*;  ' 0  7:6   6    : *        ))   '=D &AAA 4 - &+ / &%A A& C*;   

    

 =: 5      7F )) -   *  &AA 7 4& , 4 8 $.3 / $+ A. C*;

 5

: 6 

5 (

 



    )) -   *  &AA& 7 4. , 4 8 $.3 / $+& A4 C*;         g/5 (            9/*( <))   2=D &AA& 7 & I  8 ?+ / 4 A+ 8O]ZTOZb

l l

i]P`XcPX^W`XbZ

|ZXZST`SWTT

cRX\`T))

VZ^R\e

Y]TTXW\/

dZS[W\ dZR[Z`St iZZ`X\m eZeX^W`Ze `R $A/W\\XbZSTWSt RQ N { NPZxW\/ eSRb V /_Z`ZSTf]Sm" _yi~ iWt/h]\Z &AA& _ + / % A% C*; 



 



  









5 (   ))

7

  5

 

   ( ‚!6  5  ‚  *" =D :*  &AA& 8 .4 / .+ A3 C*;





    

  

5 (

           : * '))   2=D &AA& 7 & I & 8 3? / A3 A? C*;  ƒ* E @ !* 6  ; 

 





  ))

- 



* 

&AA& 7 4. , % 8 4A? / 4&$ A$ C*;



'

0 

 

5

5



    5* 5 : *    ))   2=D &AA& 7 & . -  / &3 A C*;



:  5

!* ƒ

  





6



6 

 ; 

   ))

;

 7

‚- 

5   *(    ‚  "   : */ &AA. - &?A/&?&



  

   

                  !    "  #  $%   &'((   )  * &'%+ ,     !  , "  )   - ,      . !,     ,   &'%$     .  !         * &'%/          .   0  

    !  ,           *1   1   .       ,     0  *1

  1   .  &'%2          !   "      3. ,   &''&    -   1   . ) &''(      !   "      .   ,      4  * &''5           , 6

   ! 7 8  )        9! 0 ::,          !   . ;  "  !   !  <  "  .     .  "  !     * . 4   "   *1, 9   = 7 8 0 .,   4  .         ,        ,    !"   -  

  .   . ,     "     "  ,    ,       0,    !                         .     &'5$

,  

             &5&&    

        )))#  &5$(

   .   

!    !   >  ?  3   ,  ?  ;.     !    ? <      !   !,        7  

0            "  !   "  0   "       "  !  4"  !  " 

" 0   &''+         ;    <,  .     .      ,     ? , 8 ,           &''+  &''& " .        ! "    1"         1            "  ! "          , 

  4"    8    &'%5  * &''/  &'5+

        !     ! ; ! <         "       " "  0     4       "  

"   

" "              "  * &5$5  &5/+ "  ,     =   @,      AB   "  !A "  ",             !      "  !    "  "  " "     

  !     ;   <,   .     ",      " " "   * &'5/  &'52

      AB !   " A; &  (<,             "         3       4     C       - @ !, =3   -        .   -  4  4     .     1  6 

"    !

 , 

 1" 1  #

  

   3 ,   .  ,   &'52    !           "   ;      1 <   !     .  A?  " A 8DBE#BF#C 

& ?   - 7 7"  ?     C -  , &5'/ $ 7 4 !    )  4 !  7 , &5'' / B , 9     GG >H8 7C 7   , &5'$ I 0.  E 9  8  C -, &5'$



Фридрих ПРИМ (1841 - 1915) Краткая биография и обзор научной деятельности. Фридрих Прим родился 28 сентября 1841 года в Дюрене, вблизи Аахена. Его отец, Рихард, был богатый владелец суконной фабрики, а мать - Эрнестина Шеллер. Фридрих был первым ребенком из шести детей в этой семье. Он учился в гимназиях Дюрена и Элберфельда. Фридрих Прим изучал математику, физику, химию и философию. В течение 1859 - 1863 гг. он учился в Берлинском университете, где слушал лекции Э. Кристоффеля (1829 1900) и Э. Куммера (1810 - 1893), в Гейдельбергском университете - лекции Л. Гессе (1811 - 1874) и химика Бунзена, в Геттингенском университете лекции Б. Римана (1826 - 1866). Молодой приват-доцент Кристоффель первым заметил математический талант Прима. Влияние и большую помощь Кристоффеля Фридрих Прим ощущал потом на протяжении всей жизни. В течение зимнего семестра в 1861/1862 учебном году он слушал вторую часть лекций Римана на тему "О функциях комплексного переменного; эллиптические и абелевы функции"и самостоятельно читал первую часть лекций за летний семестр 1861 года, с помощью записей, сделанных Хаттендорфом. Тексты этих лекций Римана сохранились, благодаря записям Ф. Прима и Б. Миннегероде, а впоследствии были изданы при активном участии Ф. Прима как дополнение к собранию сочинений Б. Римана. Эти лекции начинались со сходимости p−кратных тэта-рядов и заканчивались обсуждением гиперэллиптического случая в теории абелевых интегралов. Лекции Римана оказали очень большое влияние на Прима, и он избрал эту тематику основным полем для своей научной работы. В зимний семестр 1862/1863 учебного года Ф. Прим возвращается в Берлин и завершает работу над диссертацией "Новая теория ультраэллиптических функций ". В ней он применяет для специального класса функций общую теорию абелевых функций, которую развил Б. Риман. После окончания своего университетского образования в 1863 году Прим был вынужден работать в банке своего дяди Александра Шеллера в Вене. Однако за это время он опубликовал трактат о ультраэллиптических функциях в 24 томе Анналов Венской академии наук и 14 января 1864 года защитил диссертацию на эту тему, которая была поддержана Куммером и в которой он также построил основы теории гиперэллиптических функций произвольного рода. Весной 1865 года Ф. Прим несколько недель был в Пизе (Италия), где находился на лечении Б. Риман. 242

Благодаря поддержке Кристоффеля, Ф. Прим получает в 1865 году место профессора математики в Политехническом институте в Цюрихе. На третьем году жизни в Цюрихе он женится на Луизе Шмитц. В это время он опубликовал свою новую работу "К теории функций на двусторонних поверхностях"в 22 томе Швейцарского научного общества. После безвременной смерти своего учителя Б. Римана и его ученика Роха в 1866 году, Фридрих Прим поставил целью своей жизни донести до математического общества как можно больше информации о методах и идеях Б. Римана. В 1869 году он становится ординарным профессором в университете Вюрцбурга, где работает до 1909 года. В течение 1868 - 1871 годов Ф. Прим, развивая идеи Римана, изучил новый класс мультипликативных аналитических функций для нормированных характеров, для которых он построил аналог римановой теории абелевых интегралов и их периодов. На эту тему им опубликовано четыре статьи в Journal fuer Mathematik (журнал Крелля). В одной из этих работ о гармонических мультипликативных функциях в 1871 году он первый открыл (как заметил M. фон Рентельн из Карлсруе (Германия)) формулу предельных значений интеграла Пуассона в круге по радиальным направлениям, когда решал граничную задачу Дирихле (1805 - 1859) с разрывными функциями на границе круга [2]. В этой же работе, что также заметил M. фон Рентельн [2], он дал другой контрпример, отличный от известного контрпримера К. Вейерштрасса (1815 - 1897), к применению принципа Дирихле. Спустя более 30 лет, еще один контрпример был открыт Ж. Адамаром в 1906 году, и в дальнейшем все отдавали первенство Адамару (1865 - 1963). Ф. Клейн (1849 - 1925) также отмечал большое влияние на него бесед с Примом, когда он в 1894 году писал книгу "О римановой теории алгебраических функций и их интегралов". С 1881 по 1889 год Ф. Прим, тесно сотрудничая со своим учеником Адольфом Крацером (1859 - 1926) (профессором в Страсбурге и в Карлсруэ), опираясь на идеи Римана, развил теорию тэта-функций с произвольными характеристиками. Они написали фундаментальный труд "Новые основы теории общих тэта-функций"в 1892 году. С 1892 года Ф. Прим, со своим учеником Георгом Ростом (1879 - 1958) (профессором в Вюрцбурге), возвращается к теории мультипликативных аналитических и гармонических функций для нормированных характеров на компактных римановых поверхностях любого рода больше единицы. Исходя из четырех работ Прима, относящихся к 1868 - 1871 годам, они постро243

или аналог римановой теории абелевых интегралов для интегралов Прима с нормированными характерами. Эти исследования составили капитальный трактат "Теория функций Прима первого порядка", вышедший в 1911 году в двух частях. Книга была напечатана на деньги Ф. Прима в 1000 экземпляров. В 1897/1898 учебном году Ф. Прим был избран заместителем ректора университета в Вюрцбурге. Как довольно богатый человек он много денег отдавал на поддержку способных студентов и на различные благотворительные цели. В связи с 70-летием, профессор, тайный советник Фридрих Прим был провозглашен почетным гражданином города Вюрцбурга. Фридрих Прим был член-корреспондентом Академии наук в Мюнхене, членкорреспондентом Королевского научного общества в Геттингене и почетным членом физического общества в Эрлангене. В 1915 году Ф. Прим для лечения был помещен в госпиталь в Бонне и там, после операции, умер 15 декабря 1915 года. В настоящее время происходит рост интереса к работам Прима как в связи с мультипликативными функциями, которые применяются в уравнениях математической физики, так и в связи с алгебро-геометрическими исследованиями многообразий Прима и по теории тэта-функций с характеристиками. ЛИТЕРАТУРА: 1. Krazer A. Friedrich Prym. Jahresber. Deutsche Math. Ver. Bd. 25 (1917), 1-15. 2. M. von Renteln. Friedrich Prym (1841-1915) and his investigations on the Dirichle problem. Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo. Ser.2. N 44 (1996), 43-55.

244