Активное гашение колебаний и матричные уравнения

МАТЕМАТИКА АКТИВНОЕ ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ И МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ В. А. БРУСИН Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

ОБЩАЯ ЗАДАЧА О ГАШЕНИИ КОЛЕБАНИЙ

ACTIVE OSCILLATION DAMPING AND MATRIX EQUATIONS V. A. BRUSIN

The general problem of oscillation damping in complex systems is outlined. It is concluded that today's solution to this problem is linked to development of controllers, i.e., active oscillation dampers. A well-known algorithm for such controllers, based on quadratic matrix equations, is described.

© Брусин В.А., 2001

Описана общая проблема гашения колебаний в сложных системах. Делается заключение, что ее решение на современном этапе связано с созданием регуляторов – активных гасителей колебаний. Представлен известный алгоритм для такого рода регуляторов, основанный на квадратичных матричных уравнениях.

www.issep.rssi.ru

Конструирование сложных систем уже на начальной стадии приводит к необходимости разделения процессов, возникающих при их функционировании, на два класса, условно полезные и вредные. Полезные процессы (ПП) в хорошо сконструированной системе должны поддерживаться, а при необходимости и усиливаться. Вредные процессы (ВП) в такой системе должны подавляться, гаситься – полностью или до определенного уровня. Приведем примеры хорошо известных систем такого рода, на которые в последнее время обращается особое внимание в научной печати и научных программах. Пример 1. Экипаж. Под экипажем (в широком смысле) мы понимаем любую самодвижущуюся установку для передвижения пассажиров (седоков). Полезный процесс в этом примере – это движение колес по заданному закону – по заданной траектории, с заданной скоростью и ускорением. Главные ВП – колебания сидений водителя и пассажиров, возникающие при этом движении главным образом из-за неровностей дороги. Пример 2. Установка для бурения морского дна с платформы. Полезный процесс в этом примере – вращение бура с заданной угловой скоростью и его равномерная подача в вертикальном направлении. Главными ВП будут крутильные, поперечные и продольные колебания бура, вызванные изменениями реакции грунта по мере продвижения бура вглубь, а также морской качкой платформы, на которой располагается вся буровая установка. Пример 3. Высотные здания в сейсмоопасной зоне. Полезным процессом в этом примере следует считать неизменное положение всех частей здания, а ВП – колебания фундамента, вызванные воздействием сейсмических волн. Во многих случаях возникают также колебания верхних частей здания из-за ветровых возмущений.

Б Р УС И Н В . А . А К Т И В Н О Е ГА Ш Е Н И Е К О Л Е Б А Н И Й И М А Т Р И Ч Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я

115

МАТЕМАТИКА Читатели могут привести много примеров подобного рода из различных областей техники. Полезные процессы создаются двигателями и поддерживаются специальной автоматикой. Неизбежные отклонения от этого процесса приводят к ВП. Причины таких отклонений можно разделить на две категории: внешние и внутренние. Внешние причины возникают из-за естественной нерегулярности внешней среды: нерегулярность профиля дороги в примере с экипажем, волны на гладкой поверхности, изменения плотности грунта с глубиной в примере с буровой установкой и т.д. Внутренние причины вредных процессов возникают из-за нештатности в работе каких-либо элементов системы или из-за неучета каких-либо процессов, незнания закономерностей, которым эти процессы подчиняются. На стадии проектирования, как правило, сознательно пренебрегают некоторыми процессами, которые мыслятся как малые, несущественные. Но это зачастую приводило в готовом изделии к возникновению немалых вредных процессов. К характерным примерам такого рода можно отнести явления флаттера крыла самолета и шимми (бокового увода) передних колес самолетов и автомобилей [1–3], возникающие из-за неучета некоторых малых упругих элементов конструкции крыла и передней подвески. Проблемы шимми и флаттера стали барьером на пути самолетостроения, пока она не была решена в работах М.В. Келдыша и его коллег [1]. Эти работы еще раз показали, как важно иметь хорошие математические модели проектируемых изделий. Разделение причин возникновения ВП на внешние и внутренние часто носит условный характер. Сложная система всегда может быть расчленена (декомпозирована) на взаимодействующие подсистемы. Тогда внутренний фактор для всей системы будет внешним для какой-либо из ее подсистем. Используя изображение структуры систем посредством диаграмм воздействий [2], рассмотренные ситуации можно изобразить в виде следующих схем (рис. 1). На рис. 1, а: u – это управляющий сигнал (управление), который должен создавать и поддерживать полезный процесс r, ξ – внешний сигнал (внешний фактор), вызывающий вредный процесс z (все сигналы являются функциями времени t: u = u(t), r = r(t), ξ = ξ(t) и т.д.). На рис. 1, б система состоит из двух подсистем, причем сигнал ξ, вызывающий вредный процесс z1 , представляется как внутренний по отношению ко всей системе. Он, в свою очередь, порождается некоторым процессом z2 , который с этой точки зрения также следует отнести к вредным процессам. На рис. 1, в изображена ситуация, когда в системе имеется как внутренний сигнал ξ1 , так и внешний ξ2 . Процессы, указанные на рис. 1,

116

а

б

ξ

2 ξ

z u

u 1

1

r

в

2 ξ1

ξ2 u

z2 z1 r

1

z2 z1 r

Рис. 1

как правило, являются векторными, то есть могут содержать несколько компонент [2]. Так, в примере 1 u – векторный процесс, компонентами которого являются угол поворота руля, степень нажатия педали газа и т.д.; компонентами процесса r – скорость движения, угол поворота колеса; компонентами векторного процесса z могут быть колебания различных частей автомобиля. В примере 3 компонентами процесса ξ могут быть сейсмические и ветровые воздействия, приложенные к различным частям здания, компонентами управляющего процесса могут быть механические воздействия на его различные по высоте уровни, осуществляемые с помощью специальных механизмов, установленных на соответствующих этажах [3]. Поэтому, говоря о каком-то сигнале или процессе, мы будем иметь в виду векторные сигналы или процессы, за которыми могут стоять серии более простых (скалярных) сигналов или процессов. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ГАШЕНИЯ ВРЕДНЫХ ПРОЦЕССОВ Есть вредные процессы, которые затухают сами по себе в силу диссипации энергии в системе. Например, это имеет место, когда возмущения ξ, вызывающие вредные процессы z, имеют характер одиночного всплеска (кочка на гладком шоссе, толчок земной коры, одиночный порыв ветра). Такие процессы всегда учитывались при расчете конструкций и их систем автоматического регулирования (САУ). Теория расчета таких САУ была создана в 40–50-х годах XX века. Гораздо больше проблем возникает в случае постоянно действующих возмущений, особенно нерегулярных, плохо прогнозируемых. Профиль дороги в некоторых случаях можно более или менее прогнозировать, выделив его главную составляющую. Как показали эксперименты, эта главная составляющая хорошо аппроксимируется синусоидой или в худшем случае

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 9 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА суперпозицией двух или трех синусоид с различными частотами и амплитудами. Для гашения такого рода возмущений в середине XX века были созданы так называемые динамические гасители вибрации. Они представляли собой механические приставки, упруго присоединяемые к вибрирующим частям системы и настроенные на определенные частоты колебаний [4, 5]. Но при изменении частоты воздействия (а это происходит каждый раз при изменении скорости движения) они требовали соответствующей переналадки. Требования к сложным конструкциям, создаваемым на современном этапе, предполагают гашение вредных колебаний и в случаях, когда о вызывающих их причинах имеется самая общая информация: могут быть известны предельные значения амплитуд возмущений, предельные значения их средней энергии на единицу времени и т.п. Гашение такого рода колебаний до приемлемого уровня требует использования современных систем автоматического управления. Это регуляторы, которые, во-первых, оснащены высокоточными измерительными системами (датчиками, или сенсорами), средствами передачи сигналов по цепи обратной связи [2] и, во-вторых, управляются алгоритмами, созданными на основе современных математических методов. Такой способ гашения колебаний называют активным. Заметим, что современные алгоритмы могут быть реализованы только с помощью новейших компьютерных средств, что стало возможным лишь в последние десятилетия. Общая структура систем, состоящих из объекта управления и присоединяемого к нему регулятора, изображена на рис. 2. На рис. 2 дополнительно к схеме рис. 1, в представлена обратная связь с регулятором 3. На этом рисунке y – измеряемый датчиками процесс (векторный в общем случае).

Перейдем к математической стороне проблемы. Математическая постановка задачи о гашении колебаний имеет много различных вариантов и обобщений. Мы приведем постановку в ее стандартном варианте с некоторыми упрощающими предположениями. В ее основе лежат матричное описание математической модели рассматриваемой системы и матричный аппарат [2, 6, 7]. Объект управления описывается матричным дифференциальным уравнением [2] x = Ax + B1u(t) + B2ξ(t),

(1)

где x – n-мерный вектор-столбец, называемый состоянием объекта [2], u – m-мерный вектор-столбец управляющих воздействий, ξ(t) – l-мерный вектор-столбец возмущающих воздействий; A, B1 , B2 – матрицы соответствующих размеров. Вектор вредных процессов некоторой размерности s представляется уравнением z = Cx,

(2)

где C – матрица размера s × n. Уравнениями (1), (2) можно описать достаточно широкий класс систем, структура которых укладывается в схему рис. 1, а (в частности, сюда включаются и рассмотренные выше примеры). Сделаем упрощающее предположение: будем считать, что все компоненты вектора состояния x измеряемы. С учетом изложенного выше это означает, что справедливо равенство y = x.

(3)

Для реальных задач более характерна ситуация, когда y ­ x, точнее, когда для y имеет место представление y = Qx,

(4)

3

где Q – прямоугольная матрица, число строк которой m меньше числа ее столбцов n (каждая компонента вектора y выражается линейно через компоненты вектора x). Алгоритмы активного гашения колебаний в этом случае усложняются. Основные элементы их структуры остаются прежними, но к ним присоединяются дополнительные блоки “оценки вектора состояния”. Итак, будем считать, что имеет место условие (3) или что матрица Q единичная. Предполагается далее, что относительно процесса ξ(t) известна самая общая информация: он непрерывен

Рис. 2

как функция t и его среднеквадратическое значение ξ , определяемое числом

2 ξ2 u

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И АЛГОРИТМ АКТИВНОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

1

z2 z1 z y

2

Б Р УС И Н В . А . А К Т И В Н О Е ГА Ш Е Н И Е К О Л Е Б А Н И Й И М А Т Р И Ч Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я

117

МАТЕМАТИКА T

1 ξ := lim --T → ∞T 2

∫ ξ(t )

2

(5)

dt,

0

конечно. Пусть z(t) = Cx(t) из (2) – вредный процесс, интенсивность которого требуется уменьшить. Требуется определить регулятор, который бы наилучшим образом загасил этот вредный процесс, не создавая при этом слишком больших по интенсивности управляющих процессов. Математически эта цель формулируется следующим образом. Заданы величины γ > 0, ρ > 0. Требуется определить закон управления, при котором величина

aij = aji

2 2

(i, j = 1, 2, …, n),

то есть если операция транспонирования не изменяет ее вида: A т = A.

(8)

Каждой такой матрице может быть поставлена во взаимно однозначное соответствие квадратичная форма PA : n

PA =

A

z +ρ u J zξ = --------------------2 ξ 2

Требуется определить, что такое положительно-определенная матрица и вообще в каком смысле понимать неравенства между матрицами. Квадратная матрица A с элементами aij называется симметричной, если

(*)

n

∑∑a

x x j.

ij i

(9)

i=1j=1

Например, матрице второго порядка

не превосходила бы значения γ : 2

Jzξ # γ . 2

 a A= 1  a2

(6)

Следует пояснить неформальный смысл величины J и

a2   a3 

будет соответствовать квадратный трехчлен

2

данного критерия. Среднее квадратичное значение f произвольного процесса f (t) во многих прикладных задачах имеет смысл (с точностью до коэффициента пропорциональности) средней энергии, выделяемой физическим носителем этого процесса. Так будет, в частности, если f (t) обозначает силу тока в цепи или отклонение колебаний в упругих конструкциях от их положений равновесия и т.п. С этой точки зрения величина Jzξ выражает отношение суммы средней энергии вредного процесса и взвешенной средней энергии управляющего сигнала к средней энергии возмущения. Критерий (6) означает, что это отношение не должно превышать заданной величины. Чем меньше γ, тем лучше гасятся колебания вредного процесса. При этом второе слагаемое в числителе (*) не позволяет управлению принимать слишком большие значения в течение длительного периода. В основе алгоритма управления лежит матричное уравнение относительно матрицы H размера n × n т 1

т 2

B1 B B2 B  т т A H + HA + C C – H  ----------- – ----------- H = 0, 2  ρ2 γ 

и наоборот. Если ввести вектор-столбец   x=   

x1 x2 A xn

   = col ( x , x , …, x ), 1 2 n   

то с учетом операций над векторами и матрицами квадратичная форма (9) может быть записана в компактном виде PA(x) = 〈Ax, x〉,

(10)

где угловые скобки обозначают скалярное произведение векторов [6, 7]: n

〈 x, y〉 =

∑x y , i i

y = col ( y 1, y 2, …, y n ).

i=1

(7)

где знак т означает операцию транспонирования матрицы [6, 7], а справа стоит нулевая матрица размера n × n. Это уравнение в литературе называют уравнением Риккати. В алгоритме используется так называемое положительно-определенное решение этого уравнения либо такое же решение неравенства Риккати, когда справа стоит #0.

118

a1x2 + 2a2xy + a3y2,

На множестве симметричных матриц кроме операций сложения, умножения и обращения вводятся бинарные операции сравнения: A > B,

A $ B.

Определения. a) Говорят, что квадратичная форма PA(x) положительна в пространстве Rn векторов x размерности n ∈ N, если PA(x) $ 0, ∀x ∈ Rn.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 9 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА б) Квадратичная форма PA(x) называется положительно-определенной в пространстве Rn, если она положительна и из равенства PA(x) = 0 следует, что x – нулевой вектор: x = col(0, 0, …, 0). в) Матрица A называется положительной (положительно-определенной), если положительна (положительно определена) соответствующая ей квадратичная форма PA(x). Примеры из трехмерного пространства:

1)

 1   0   0

0 2 0

0 0 3

   > 0,  

2)

 1   0   0

0 2 0

0 0 0

   $ 0,  

3)

 1   1   0

1 2 0

0 0 1

   > 0.  

Так, для последней матрицы квадратичная форма имеет вид x 1 + 2x 1 x 2 + 2x 2 + x 3 = ( x 1 + x 2 ) + x 2 + x 3 $ 0. 2

2

2

2

2

2

Очевидно, что она равна нулю, только если x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0. Замечание. Существуют эффективные алгебраические критерии проверки на свойства положительности и положительной определенности. Один из таких критериев называется критерием Сильвестра [6]. В современных компьютерных комплексах, таких, как MATLAB, существуют численные методы проверки этих свойств, эффективных для больших размерностей. Определение. Матрицы A и B удовлетворяют неравенствам A $ B,

A > B,

если справедливо A − B > 0 и A − B $ 0 соответственно. Итак, пусть H > 0 – решение уравнения (7) (или соответствующего неравенства). Если оно найдено, то искомый алгоритм управления записывается в виде u = – ρ B 1 Hx. 2

т

вования его положительно-определенного решения. Известно, что для устойчивой матрицы A такое решение будет существовать при достаточно больших γ, причем будет существовать такое γкрит > 0, что при γ < < γкрит такого решения нет. Однако точно вычислить значение γкрит в общем случае пока не удается. В настоящее время имеются хорошие численные методы нахождения положительно-определенных решений уравнений вида (7), если они существуют. Ряд таких программ включен в известный программный комплекс MATLAB. Если в уравнении (7) отбросить член с γ2 (условно положить γ = ∞), то возникающее уравнение (называемое стандартным уравнением Риккати) изучено достаточно хорошо. Отметим, что это уравнение лежит в основе алгоритмов обратной связи оптимизационных задач [2]. Еще лучше изучено линейное матричное уравнение, получаемое из (7), если отбросить все квадратичные члены. Получающееся линейное матричное уравнение носит название уравнения Ляпунова и широко используется в математической теории устойчивости [2]. Описания многих физических, технических и другого рода объектов приводятся к следующей модели, состоящей из двух упругосвязанных масс (рис. 3). Дифференциальные уравнения этой модели имеют вид m 1 x˙˙1 = – εx˙1 + k 1 ( u – x 1 ) + k 2 ( x 2 – x 1 ) + ξ 1 ( t ), m 2 x˙˙2 = – ε 2 x˙2 + k 2 ( x 1 – x 2 ) – k 3 x 2 + ξ 2 ( t ),

(12)

где m1 , m2 – величины масс; x1 , x2 – их отклонения от положений равновесия; k1–k3 – коэффициенты жесткости пружин; u(t) – смещение левого конца левой пружины в момент t; ξ1(t), ξ2(t) – действующие на массы возмущения, ε1 , ε2 – коэффициенты вязкости среды, в которой происходят движения первой и второй масс. Данная система приводится к матричному уравнению вида (1) при n = 4, m = 1, k = 2, x = col ( x 1, x˙1, x 2, x˙2 ), ξ = col ( ξ 1, ξ 2 );

(11)

Уравнение (11) и определяет закон функционирования обратной связи, по которой значения x(t) (в темпе реального времени) пересчитываются в значения u(t) и в соответствующее управляющее воздействие. К сожалению, свойства уравнения (7) изучены мало. Известны некоторые достаточные условия сущест-

k1

ξ1(t)

k2

k3 ξ2(t)

u(t)

x1

x2 Рис. 3

Б Р УС И Н В . А . А К Т И В Н О Е ГА Ш Е Н И Е К О Л Е Б А Н И Й И М А Т Р И Ч Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я

119

МАТЕМАТИКА  0  k1 + k2  – -------------- m1 A=  0  k  -----2 m1    B1 =     

0 k1 -----m1 0 0

   ,    

1 ε – -----1m1 0 0

0 k -----2m1 0 k2 + k3 – --------------m2

    B2 =     

0 1 -----m1 0 0

0   0  , 1   ε – -----2-  m2  0   0  . 0   1 ------  m2 

Уравнения (12), как мы уже сказали, могут описывать разные по своей природе процессы в зависимости от того, какую физическую трактовку дать величинам x1 , x2 . Так, в задаче о глубоководном бурении морского дна с платформы левой массе соответствует часть конструкции, находящаяся выше уровня дна, а правой массе – часть, находящаяся ниже уровня дна. Величины x1 , x2 имеют смысл угловых смещений соответствующих частей бура от его заданного равномерного вращения как твердого целого; u(t) имеет смысл корректирующего сигнала на мотор, создающий вращающий момент; ξ1(t), ξ2(t) имеют смысл возмущающих моментов, возникающих в верхней и нижней частях конструкции. Величины m1 , m2 в этой задаче означают моменты инерции соответствующих частей конструкции. Вредным процессом z(t) в этой задаче считается отклонение угловой скорости x2(t) нижней части конструкции, так что C = (0, 0, 0, 1). Другая, не менее важная задача, описываемая той же моделью, – задача об активном гашении вибраций высотных зданий [3]. Здесь могут возникнуть различные варианты. Есть вариант задачи гашения вибраций, вызванных сейсмическими возмущениями. Тогда m1 – это момент инерции боковых смещений верхней жилой части здания, m2 – нижней части, примыкающей к фундаменту; xi , i = 1, 2, – боковые смещения центров масс частей здания; ξ2(t) – возмущение нижней части

120

(сейсмические волны), ξ1(t) – возмущение верхней части (ветровое воздействие и т.п.). Управляющий сигнал u(t) реализуется механическим устройством, создающим дополнительную силу в боковом направлении в верхней части здания [6]. Вредным процессом здесь естественно считать z = x1 – смещение жилой части здания. В этом случае C = (1, 0, 0, 0). По данным из статьи [3] к настоящему времени создано несколько таких управляемых зданий. Вот некоторые из них: Токио, высота 33 м (1989) и 58 м (1992); Осака, 161 и 200 м (1992); Иокогама, 296 м (1993); Токио, 129 м, 21 этаж (1993); Хиросима, 150 м, 35 этажей (1994); Осака, 252 м, 52 этажа (1994) и 255 м, 56 этажей (1995); Наньин, 310 м (1997–1998). ЛИТЕРАТУРА 1. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 520 с. 2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 423 с. 3. Serraens A.F.A., Molengraft M.J.G., Kok J.J., Steen L. H ∞ Control for Suppressing Stick-Slip in Oil Well Drillstring // Trans. IEEE. Control System. 1998. № 4. P. 19–30. 4. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания. М.: Физматгиз, 1960. 5. Брусин В.А., Смирнов Е.Н., Мазов Б.Л. Математические методы исследования устойчивости и колебаний упругих систем: (Учеб. пособие). Нижний Новгород: Изд-во ННГАСУ, 1999. 6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980. 175 с. 7. Брусин В.А. Матрицы как линейные операторы // Соросовский Образовательный Журнал. 2000. Т. 6, № 1. С. 102–107.

Рецензент статьи Ю.П. Соловьев *** Владимир Александрович Брусин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета, член-корреспондент РАЕН. Область научных интересов – математические проблемы теории устойчивости и теории управления. Автор более 180 научных статей и двух учебных пособий.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 9 , 2 0 0 1