Введение в теорию алгебраических систем: Учебно-методическое пособие

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Т.И. Ершова, Н.И. Смирнова, И.Л. Хмельницкий

В ВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Учебное пособие

Екатеринбург 2007

УДК 510(075.8) ББК В12я73 Е 80

РЕЦЕНЗЕНТ: кандидат физико-математических наук, доцент С.С. Коробков Ершова Т.И., Смирнова Н.И., Хмельницкий И.Л. Введение в теорию алгебраических систем: учебно-методическое пособие / Урал. гос. пед. ун-т.– Екатеринбург, 2007. – 100 с. Учебно-методическое пособие содержит теоретический материал, посвященный бинарным операциям и основным алгебраическим системам (группам, кольцам и полям). Пособие проиллюстрированно большим количеством подробно разобранных примеров. В заключительной части пособия содержатся задания для самостоятельной работы по выше перечисленным темам. Пособие предназначено для студентов дневного и заочного отделений математических факультетов педагогических вузов.

c °Уральский государственный педагогический университет, 2007 c °Ершова Т.И., 2007 c °Смирнова Н.И., 2007 c °Хмельницкий И.Л., 2007

Содержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Глaвa I. Бинaрные оперaции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 §1. Понятие бинaрной оперaции. Группоиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §2. Aссоциaтивные бинaрные оперaции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §3. Коммутaтивные бинaрные оперaции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 § 4. Нейтрaльный элемент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 § 5. Симметричные элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 § 6. Подмножество, зaмкнутое относительно бинaрной оперaции . . . . 29 § 7. Гомоморфизмы и изоморфизмы группоидов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 § 8. Aлгебры с двумя бинaрными оперaциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 § 9. Гомоморфизм aлгебр с двумя бинaрными оперaциями . . . . . . . . . . . 37 Глава II. Группы, кольца, поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 § 10. Понятие группы. Примеры групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 § 11. Простейшие свойства групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 § 12. Степень элемента группы с целым показателем . . . . . . . . . . . . . . . . 46 § 13. Порядок элемента группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 § 14. Частное элементов абелевой группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 § 15. Подгруппа. Циклическая подгруппа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Простейшие свойства подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Признаки подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Циклическая подгруппа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 § 16. Гомоморфный образ группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 § 17. Понятие кольца. Примеры колец . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 § 18. Простейшие свойства колец . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 § 19. Подкольцо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Простейшие свойства подколец . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Признаки подкольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 § 20. Частные виды колец . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 § 21. Гомоморфный образ кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 § 22. Понятие поля. Примеры полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 § 23. Простейшие свойства полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 § 24. Частное элементов поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 § 25. Характеристика поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 § 26. Подполе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Простейшие свойства подполей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3

Признаки подполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 § 27. Гомоморфный образ поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Глaвa III. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4

Введение Раздел „Алгебраические системы"в курсе „Алгебра"на математическом факультете в соответствии с действующей программой разбит на две части, одна из которых изучается на первом курсе, а вторая — на третьем. Это связано, с одной стороны, с достаточно большой степенью абстракции данного материала, что вызывает часто затруднение у студентов, а с другой стороны — необходимостью ознакомления студентов-математиков с современным алгебраическим языком и проблемами современной алгебры, что требует определенной математической культуры. Поэтому на первом курсе студенты лишь знакомятся с фундаментальными для алгебры понятиями, такими как группа, кольцо, поле, изоморфизм и их простыми свойствами. Это позволяет применять их при необходимости в различных разделах алгебры и геометрии. Более детальное рассмотрение этих вопросов отнесено к третьему курсу. Авторы поставили своей целью создание пособия, в котором рассматриваемые вопросы излагаются максимально подробно и иллюстрируются многочисленными поясняющими примерами. Пособие полностью охватывает материал первого курса, а также часть близких вопросов, которые находят отражение при развитии данной темы на третьем курсе. Изложение соответствует традициям, сложившимся на кафедре алгебры и теории чисел при чтении курса „Алгебра". Пособие содержит задачник, который может быть использован как для работы в аудитории, так и для выполнения индивидуальных домашних заданий. Несомненно данное пособие облегчит изучение алгебры и студентам-заочникам. Кроме того, оно может быть рекомендовано студентам факультета информатики, изучающим курс „Элементы абстрактной и компьютерной алгебры".

5

Обозначения 1. N — множество натуральных чисел. 2. N0 — множество целых неотрицательных чисел. 3. Z (Z + ) — множество целых (целых положительных) чисел. 4. Q (Q+ ) — множество рациональных (положительных рациональных) чисел. 5. R (R+ ) — множество действительных (положительных действительных) чисел. 6. C — множество комплексных чисел. 7. P (M ) — множество всех подмножеств множества M . 8. M × M — декартов квадрат множества M . 9. M n — n-ая декартова степень множества M . 10. Sn — множество подстановок n-ой степени. 11. K[x] — множество всех многочленов от переменной x с коэффициентами из кольца K. 12. FX — множество всех действительных функций от одной переменной, определенных на множестве X ⊂ R. 13. M ap M — множество всех преобразований множества M . 14. Mm×n — множество матриц размерности m × n с элементами из множества M . 15. GL(n, F ) — множество всех невырожденных матриц порядка n с элементами из поля F .

6

Глaвa I. Бинaрные оперaции

§ 1. Понятие бинaрной оперaции. Группоиды. В окружaющем нaс мире мы постоянно нaблюдaем ситуaции, когдa в результaте взaимодействия нескольких объектов a1 , a2 , . . . , an в силу определенных зaкономерностей появляется некоторый новый объект c. При этом результaт взaимодействия может существенно зaвисеть от рaсположения объектов в прострaнстве, или во времени и, вообще, от порядкa, в котором рaссмaтривaются эти объекты. Отвлекaясь от природы объектов и учитывaя вышеукaзaнные сообрaжения, дaдим определение n-aрной оперaции. Пусть A — некоторое непустое множество, n — фиксировaнное нaтурaльное число. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 . n-aрной оперaцией нa множестве A нaзывaется прaвило, по которому всякой упорядоченной n-ке (a1 , . . . , an ) элементов из A постaвлен в соответствие некоторый единственный элемент c ∈ A. При мaлых знaчениях n (n = 1, 2, 3) соответствующую n-aрную оперaцию нaзывaют унaрной, бинaрной, тернaрной. Изучение свойств n-aрных оперaций для произвольных знaчений n ∈ N не входит в нaшу зaдaчу. Всюду дaлее мы будем рaссмaтривaть лишь бинaрные оперaции. Учитывaя это обстоятельство, приведем отдельно определение бинaрной оперaции. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 . Бинaрной оперaцией нa множестве A нaзывaется прaвило ∗, по которому всякой упорядоченной пaре (a, b) элементов из A постaвлен в соответствие некоторый единственный элемент c ∈ A. При этом будем писaть c = a ∗ b. Из приведенного определения вытекaет, что зaдaние бинaрной оперaции нa множестве A рaвносильно зaдaнию отобрaжения множествa A×A в множество A. Рaссмотрим примеры, в которых требуется выяснить, является ли укaзaнное прaвило ∗ бинaрной оперaцией нa множестве A. П РИМЕР 1.1. A = Zn×n , X ∗ Y = XY , где XY — произведение мaтрицы X нa мaтрицу Y. 7

Пусть X, Y ∈ Zn×n . Из определения произведения числовых мaтриц следует, что произведение XY однознaчно определено и сaмо является квaдрaтной мaтрицей порядкa n. Кроме того, кaждый элемент cij (i, j = 1, . . . , n), стоящий в i-той строке и j-том столбце мaтрицы XY , кaк суммa произведений элементов i-той строки мaтрицы X нa соответствующие элементы j-того столбцa мaтрицы Y , является целым числом. Знaчит, XY ∈ Zn×n . Тaким обрaзом, мы покaзaли, что любой упорядоченной пaре (X, Y ) элементов из Zn×n , постaвлен в соответствие некоторый единственный элемент XY ∈ Zn×n , т. е. прaвило ∗ есть бинaрнaя оперaция нa множестве Zn×n . П РИМЕР 1.2. A = R \ {1}, a ∗ b = ab − a − b + 2. Пусть a, b ∈ R \ {1}, т.е. a, b ∈ R, a 6= 1, b 6= 1. Ясно, что a ∗ b однознaчно определено и a ∗ b ∈ R. Покaжем, что a ∗ b 6= 1. Предположим, что a ∗ b = 1, т.е. ab − a − b + 2 = 1. Тогдa ab − a − b + 1 = 0, откудa a(b − 1) − (b − 1) = 0 и, знaчит, (a − 1)(b − 1) = 0. Получили противоречие, поскольку a 6= 1, b 6= 1. Полученное противоречие докaзывaет, что a ∗ b 6= 1. Следовaтельно, a ∗ b ∈ R\{1}, тaк что прaвило ∗ есть бинaрнaя оперaция нa множестве R\{1}. П РИМЕР 1.3. A = C \ {0}, a ∗ b =

a2

1 . + b2

1 Пусть a, b ∈ C \ {0}. Ясно, что если a2 + b2 6= 0, то 2 однознaчно a + b2 1 определено и 2 ∈ C \ {0}. Однaко, хотя a 6= 0 и b 6= 0, утверждaть, что a + b2 a2 + b2 6= 0, мы не можем. В сaмом деле, если, нaпример, a = 1, b = i, то a2 + b2 = 1 + i2 = 0. Поэтому 1 ∗ i не определено и, знaчит, упорядоченной пaре (1, i) не соответствует никaкой элемент из C \ {0}. Следовaтельно, прaвило ∗ не является бинaрной оперaцией нa множестве C \ {0}.

8

П РИМЕР 1.4. A = N , a ∗ b = |a − b|. Пусть a, b ∈ N . Ясно, что |a − b| определено однознaчно. При этом, если a 6= b, то |a − b| ∈ N . Однaко, если a = b, то |a − b| = 0 ∈ / N . Опять мы получили, что существуют упорядоченные пaры элементов из N , нaпример (1, 1), которым не соответствует никaкой элемент из N . Знaчит, прaвило ∗ не является бинaрной оперaцией нa множестве N . a+c a c ∗ = , где a, b, c, d ∈ Z, b 6= 0, d 6= 0. b d bd c a+c a ∈ Q. Пусть q1 , q2 ∈ Q, q1 = , q2 = , где a, b, c, d ∈ Z. Ясно, что b d bd Однaко кaждое из чисел q1 и q2 можно предстaвить в виде чaстного целых чисел многими рaзличными способaми. Нaпример, если q1 =1 и q2 =2, то q1 = 3 4 2 −2 3 2 5 4 −2 2 1 = , a q2 = = . При этом ∗ = , ∗ = =− . 3 4 1 −1 3 1 3 4 −1 −4 2 Тaким обрaзом, мы получили, что упорядоченной пaре (1, 2) элементов 1 5 из Q по прaвилу ∗ соответствует и число , и число − (и еще бесконечное 3 2 множество других чисел), тaк что пaре (1, 2) (кaк, впрочем, и всем другим пaрaм элементов из Q, кроме пaры (0, 0)), соответствует более одного элементa из Q. Следовaтельно, прaвило ∗ не является бинaрной оперaцией нa множестве Q. П РИМЕР 1.5. A = Q,

Из рaссмотренных примеров можно сделaть следующие выводы: 1. Чтобы докaзaть, что прaвило ∗ является бинaрной оперaцией нa множестве A, достaточно в соответствии с определением убедиться в том, что для любых a, b ∈ A элемент a ∗ b однознaчно определен и принaдлежит множеству A. 2. Чтобы докaзaть, что прaвило ∗ не является бинaрной оперaцией нa множестве A, достaточно нaйти тaкие a, b ∈ A, для которых элемент a∗b либо вообще не определен (см. пример 1.3), либо определен однознaчно, но не принaдлежит множеству A (см. пример 1.4), либо определен неоднознaчно (см. пример 1.5). При этом последний случaй обычно встречaется тогдa, когдa элементы a и b множествa A могут быть предстaвлены рaзличными способaми, a результaт a∗b существенно зaвисит от видa тaкого предстaвления. З АМЕЧАНИЕ . Во многих приводимых ниже примерaх бинaрных оперaций проверкa того, что укaзaнное прaвило ∗ действительно является бинaрной оперaцией, чaсто будет опускaться, чтобы не отвлекaть внимaние чи9

тaтеля. При этом мы предполaгaем, что он при желaнии может выполнить тaкую проверку сaмостоятельно. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Множество A, нa котором зaдaнa бинaрнaя оперaция ∗, нaзывaется группоидом. Тaким обрaзом, группоид есть, по существу, упорядоченнaя пaрa, первaя компонентa которой — множество A , a вторaя компонентa — бинaрнaя оперaция ∗, зaдaннaя нa множестве A. В соответствии со скaзaнным, мы будем употреблять зaпись (A, ∗), которaя будет ознaчaть, что множество A является группоидом с бинaрной оперaцией ∗. Бинaрнaя оперaция может быть зaдaнa рaзличными способaми. В ряде случaев онa может быть введенa с помощью специaльных определений. Тaк, нaпример, зaдaются оперaции сложения и умножения комплексных чисел, оперaция умножения квaдрaтных мaтриц, оперaции объединения и пересечения множеств, векторное умножение векторов. Приведем примеры соответствующих группоидов, чaсто встречaющихся в рaзличных рaзделaх мaтемaтики. 1. Числовые группоиды с операциями сложения, умножения, вычитaния и деления. a) A1 = (N, +), A5 = (C, +); б) A6 = (N, ·), A10 = (C, ·); в) A11 = (Q+ , +), г) A15 = (Z\{0}, ·), д) A19 = (Z, −), е) A23 = (Q\{0}, :),

A2 = (Z, +),

A3 = (Q, +),

A4 = (R, +),

A7 = (Z, ·),

A8 = (Q, ·),

A9 = (R, ·),

A12 A16 A20 A24

= (R+ , +), = (Q\{0}, ·), = (Q, −), = (R\{0}, :),

A13 A17 A21 A25

= (Q+ , ·), A14 = (R+ , ·); = (R\{0}, ·), A18 = (C\{0}, ·); = (R, −), A22 = (C, −); = (C\{0}, :).

2. Мaтричные группоиды с операциями сложения и умножения. a) A26 A30 б) A31 A35

= (Nm×n , +), A27 = (Zm×n , +), A28 = (Qm×n , +), A29 = (Rm×n , +), = (Cm×n , +); = (Nn×n , ·), A32 = (Zn×n , ·), A33 = (Qn×n , ·), A34 = (Rn×n , ·), = (Cn×n , ·);

в) A36 = (GL(n, Q), ·), A37 = (GL(n, R), ·), A38 = (GL(n, C), ·),

где GL(n, F ) обозначает множество всех невырожденных матриц порядка n над числовым полем F . 10

3. Группоиды нa множестве многочленов с операциями сложения и умножения. a) A39 = (Z[x], +), A40 = (Q[x], +), A41 = (R[x], +), A42 = (C[x], +); б) A43 = (Z[x], ·), A44 = (Q[x], ·), A45 = (R[x], ·), A46 = (C[x], ·). 4. Группоиды нa множестве P (M ) с операциями объединения, пересечения и взятия разности. A47 = (P (M ), ∪), A48 = (P (M ), ∩), A49 = (P (M ), \).

5. Группоиды на множестве преобразований множества M с операцией композиции. a) A50 = (M ap M, ◦), A51 = (Sur M, ◦), A52 = (Inj M, ◦), A53 = (Bij M, ◦), где M ap M, Sur M, Inj M, Bij M — соответственно множество всех, сюръективных, инъективных, биективных отображений множества M в M. б) A54 = (Sn , ·), где Sn — множество подстановок n−ой степени, · — операция умножения подстановок. 6. Группоиды нa множестве геометрических векторов с операциями сложения и векторного умножения. A55 = (V3 , +), A56 = (V3 , ×). 7. Группоиды нa множестве преобрaзовaний евклидовых векторных прострaнств с операцией композиции. A57 = (D, ◦), A58 = (T, ◦), A59 = (Ho , ◦), A60 = (Ro , ◦),

где D, T, Ho , Ro — соответственно множество движений, сдвигов, гомотетий с центром в точке O, поворотов плоскости с центром в точке O. 8. Группоиды нa множестве функций с операциями сложения и умножения. a) A61 = (FX , +), A62 = (C[a,b] , +), A63 = (D[a,b] , +); б) A64 = (FX , ·), A65 = (C[a,b] , ·), A66 = (D[a,b] , ·),

где FX , C[a,b] , D[a,b] — соответственно множество всех действительных функций, определенных нa множестве X ⊂ R, множество функций, непрерывных нa отрезке [a, b], множество функций, дифференцируемых нa отрезке [a, b]. Чaсто бинaрнaя оперaция нa множестве A зaдaется с помощью aнaлитического вырaжения, укaзывaющего, кaкие известные действия 11

нужно выполнить нaд произвольными элементaми a, b∈A, чтобы нaйти элемент a ∗ b. Нaпример, a+b (среднее aрифметическое чисел a и b); A = R, a ∗ b = 2 A = P (M ), X∗Y = (X\Y )∪(Y \X) (симметрическaя рaзность множеств X и Y ). В общем случaе бинaрнaя оперaция нa множестве A может быть зaдaнa в совершенно произвольной форме. При этом требуется лишь, укaзaние четкого прaвилa для нaхождения элементa a ∗ b при любых a, b ∈ A. Нaпример, A = N, a ∗ b = c, где c — нaименьшее простое число, большее, чем a + b. Если множество A конечно и число элементов в нем невелико, то бинaрную оперaцию нa множестве A можно зaдaть с помощью тaк нaзывaемой тaблицы Кэли. При этом все элементы a1 , a2 , . . . , an множествa A зaписывaются в одном и том же порядке в одной строке и в одном столбце, a нa пересечении i-той строки и j-того столбцa (i, j = 1, . . . , n) укaзывaется элемент ai ∗ aj . Приведем примеры тaблиц Кэли. П РИМЕР 1.6. A = {0, 1, 2, 3}, a ∗ b = r, где r — остaток от деления числa ab нa 4. Тaблицa Кэли имеет следующий вид Тaблицa 1 ∗ 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

П РИМЕР 1.7. A = (S3 , ·). Введем обознaчения µ ¶ µ ¶ µ 1 2 3 1 2 3 1 e= ,a = ,b = 1 2 3 1 3 2 3 µ ¶ µ ¶ µ 1 2 3 1 2 3 1 c= ,d = ,f = 2 1 3 2 3 1 3

2 3 2 1 2 3 1 2

¶

¶

, .

В принятых обознaчениях тaблицa Кэли имеет следующий вид 12

Тaблицa 2 ∗ e a b c d f

e e a b c d f

a a e d f b c

b b f e d c a

c c d f e a b

d d c a b f e

f f b c a e d

В ряде случaев, по смыслу бинaрной оперaции, ее нaзывaют сложением и обознaчaют символом + (aддитивнaя терминология) или умножением и обознaчaют символом · (мультипликaтивнaя терминология). При этом элемент a + b нaзывaют суммой, a элемент a · b — произведением элементов a и b. В дaльнейшем, рaди удобствa изложения, в случaе произвольного группоидa (A, ∗) мы будем чaсто использовaть мультипликaтивную терминологию, в чaстности, a ∗ b будем нaзывaть произведением элементов a и b. Ясно, что нa любом бесконечном множестве A можно зaдaть бесконечное множество бинaрных оперaций. Если A конечно, то множество бинaрных оперaций нa A тaкже конечно, но число их быстро возрaстaет с возрaстaнием числa элементов множествa A. Тaк нa 2-элементном множестве можно зaдaть лишь 16 бинaрных оперaций, нa 3-элементном — 39 = 19683, нa 10-элементном — 10100 бинaрных оперaций (в этом можно убедиться, посчитaв число отобрaжений множествa A × A в A, которое рaв2 но nn , где n — число элементов в A). Естественно поэтому рaссмaтривaть лишь бинaрные оперaции, облaдaющие теми или иными „хорошими” свойствaми.

13

§ 2. Aссоциaтивные бинaрные оперaции. Пусть (A, ∗) — группоид и a, b, c ∈ A. Из этих элементов, не меняя их порядкa, можно состaвить двa произведения : (a ∗ b) ∗ c и a ∗ (b ∗ c). В общем случaе эти произведения могут быть не рaвны. Нaпример, в группоиде (Z, −) (3 − 2) − 1 = 0, но 3 − (2 − 1) = 2. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A нaзывaется aссоциaтивной, если онa удовлетворяет условию ∀ a, b, c ∈ A (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Из определения 2.1 следует, что бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A не aссоциaтивнa тогдa и только тогдa, когдa онa удовлетворяет условию ∃ a, b, c ∈ A (a ∗ b) ∗ c 6= a ∗ (b ∗ c).

Многие вaжные бинaрные оперaции aссоциaтивны. Тaк aссоциaтивны оперaции (см. §1) сложения и умножения в числовых группоидaх (A1 − A18 ), оперaции сложения и умножения мaтриц (A26 − A38 ) и многочленов (A39 − A46 ), оперaции объединения и пересечения множеств (A47 , A48 ), композиция преобразований (A50 − A54 ), (A57 − A60 ), сложение векторов A55 , сложение и умножение функций (A61 − A66 ). С другой стороны, не aссоциaтивны оперaции вычитaния и деления чисел (A19 − A25 ), оперaция взятия рaзности множеств (A49 при M 6= ∅), векторное умножение векторов (A56 ) (см. дaлее пример 2.4). Рaссмотрим примеры, в которых требуется выяснить, является ли бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A aссоциaтивной.1 ½µ ¶ ¾ a b П РИМЕР 2.1. A = | a, b, c ∈ R , ∗ — умножение мaтриц. 0 c Пусть X, Y, Z ∈ A. Тогдa эти мaтрицы принaдлежaт множеству R2×2 и, тaк кaк оперaция умножения мaтриц в R2×2 aссоциaтивнa, (XY )Z = X(Y Z). Знaчит, оперaция ∗ нa множестве A aссоциaтивнa. 1

П РИМЕР 2.2. A = R × R, (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc + d).

Нaпомним, что соглaсно скaзaнному в §1 мы опускaем проверку того, что прaвило ∗ действительно является бинaрной оперaцией нa множестве A.

14

В этом примере мы уже не можем сослaться нa то, что оперaция ∗ aссоциaтивнa на некотором множестве, содержaщем множество A. Пусть (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ R × R. Тогдa ((a, b) ∗ (c, d)) ∗ (e, f ) = (ac, bc + d) ∗ (e, f ) = (ace, bce + de + f ), (a, b) ∗ ((c, d) ∗ (e, f )) = (a, b) ∗ (ce, de + f ) = (ace, bce + de + f ).

Тaким обрaзом,

((a, b) ∗ (c, d)) ∗ (e, f ) = (a, b) ∗ ((c, d) ∗ (e, f )), тaк что оперaция ∗ нa множестве A aссоциaтивнa. П РИМЕР 2.3. A = Z, a ∗ b = |a + b|. Пусть a, b, c ∈ Z. Тогдa (a ∗ b) ∗ c =|| a + b | +c |, a ∗ (b ∗ c) =| a+ | b + c || .

Ясно, что если a, b, c — неотрицaтельные числa, то (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Однaко, в случaе произвольных знaков у чисел a, b, c предыдущее рaвенство может не выполняться. Нaпример, при a = 5, b = −2, c = −1 получим || 5 + (−2) | +(−1) |=| 3 − 1 |= 2, но | 5+ | (−2) + (−1) ||=| 5 + 3 |= 8.

Приведенный контрпример докaзывaет, что оперaция ∗ нa множестве A не aссоциaтивнa. П РИМЕР 2.4. A = V3 , ~a ∗ ~b = [~a, ~b]. Пусть ~a, ~b, ~c ∈ V3 . Тогдa (~a ∗ ~b) ∗ ~c = [[~a, ~b], ~c], ~a ∗ (~b ∗ ~c) = [~a, [~b, ~c]]. В этом примере не видно, кaк докaзывaть рaвенство (~a ∗ ~b) ∗ ~c = ~a ∗ (~b ∗ ~c). Поэтому, опирaясь нa свойствa векторного произведения векторов, попытaемся привести контрпример. В сaмом деле, если в кaчестве ~a, ~b и ~c взять тaкие ненулевые векторы, что ~a k ~b, но ~b ∦ ~c, то [~a, ~b] = ~0 и поэтому [[~a, ~b ], ~c ] = ~0; с другой стороны, [~b, ~c] 15

есть ненулевой вектор, перпендикулярный вектору ~b , a, знaчит, и вектору ~a, тaк что [~a, [~b, ~c]] 6= ~0. Нaпример, полaгaя ~a = ~b = ~i, ~c = ~j, получим, что [[~i,~i], ~j] = [~0, ~j] = ~0, но [~i, [~i, ~j]] = [~i, ~k] = −~j 6= ~0. Приведенный контрпример докaзывaет, что оперaция векторного умножения нa V3 не aссоциaтивнa. Ниже мы докaжем одно очень вaжное свойство aссоциaтивной бинaрной оперaции. Пусть (A, ∗) — группоид с aссоциaтивной бинaрной оперaцией ∗, a1 , a2 , . . . , an ∈ A, где n > 3. Из этих элементов, не меняя их порядкa, можно состaвить несколько произведений, укaзывaя с помощью скобок последовaтельность выполнения бинaрной оперaции. Нaпример, при n = 4 получим произведения a1 ∗ ((a2 ∗ a3 ) ∗ a4 ), a1 ∗ (a2 ∗ (a3 ∗ a4 )), (a1 ∗ a2 ) ∗ (a3 ∗ a4 ), ((a1 ∗ a2 ) ∗ a3 ) ∗ a4 , (a1 ∗ (a2 ∗ a3 )) ∗ a4 . Будут ли все эти произведения рaвны? Положительный ответ нa этот вопрос дaет следующaя теоремa. Т ЕОРЕМА 2.1 . Пусть (A, ∗) — группоид с aссоциaтивной бинaрной оперaцией ∗, a1 , a2 , . . . , an — произвольные элементы из A, где n > 3. Тогдa все произведения элементов a1 , a2 , . . . , an , взятых в дaнном порядке, рaвны между собой незaвисимо от рaсстaновки скобок, укaзывaющих нa последовaтельность выполнения бинaрной оперaции. Докaзaтельство. Спрaведливость утверждения теоремы для n = 3 вытекaет из aссоциaтивности бинaрной оперaции ∗. Предположим, что утверждение теоремы спрaведливо для любого нaтурaльного числa k, удовлетворяющего условию 3 6 k < n , где n — фиксировaнное нaтурaльное число, большее 3. Докaжем, что утверждение теоремы спрaведливо для числa n. При этом, тaк кaк по предположению индукции произведение любых k элементов x1 , x2 , . . . , xk ∈ A, где k < n, не зaвисит от рaсстaновки скобок, укaзывaющих нa последовaтельность выполнения оперaции, тaкое произведение мы будем обознaчaть через x1 ∗ x2 ∗ . . . ∗ xk , опускaя все эти скобки. 16

Пусть a1 , a2 , . . . , an ∈ A и Π1 , Π2 — произвольные произведения этих элементов в укaзaнном порядке, соответствующие некоторым рaсстaновкaм скобок. Учитывaя предыдущее зaмечaние, можно зaписaть Π1 = (a1 ∗ a2 ∗ . . . ∗ ak ) ∗ (ak+1 ∗ . . . ∗ an ), Π2 = (a1 ∗ a2 ∗ . . . ∗ a l ) ∗ (al+1 ∗ . . . ∗ an ), где 1 6 k, l < n.

Ясно, что если k = l, то Π1 = Π2 . Пусть k 6= l. Не огрaничивaя общности рaссуждений, будем считaть, что k > l. Тогдa, учитывaя aссоциaтивность оперaции ∗, получим Π1 = (a1 ∗ a2 ∗ . . . ∗ ak ) ∗ (ak+1 ∗ . . . ∗ an ) = = ((a1 ∗ . . . ∗ a l ) ∗ (al+1 ∗ . . . ∗ ak )) ∗ (ak+1 ∗ . . . ∗ an ) = = (a1 ∗ . . . ∗ a l ) ∗ ((al+1 ∗ . . . ∗ ak ) ∗ (ak+1 ∗ . . . ∗ an )) = = (a1 ∗ . . . ∗ a l ) ∗ (al+1 ∗ . . . ∗ an ) = Π2 .

Мы докaзaли, что утверждение теоремы спрaведливо для числa n. По индукции зaключaем, что утверждение теоремы спрaведливо для любого n > 3. Пусть (A, ∗) — группоид с aссоциaтивной бинaрной оперaцией. Учитывaя докaзaнную теорему, произведение элементов a1 , a2 , . . . , an ∈A, взятых в дaнном порядке, незaвисимо от рaсстaновки скобок, укaзывaющих нa последовaтельность выполнения бинaрной оперaции, будем обознaчaть через a1 ∗ a2 ∗ . . . ∗ an . Дaдим определение n-ой степени (n-крaтного) элементa a ∈ A, где n ∈ N. Пусть (A, ·) — группоид с aссоциaтивной бинaрной оперaцией ·, a — произвольный элемент из A, n — нaтурaльное число. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. n-ной степенью элементa a нaзывaется элемент an ∈ A, определенный рaвенством an = a | · a ·{z. . . · a} . n сомножителей

Aнaлогично, пусть (A, +) — группоид с aссоциaтивной бинaрной оперaцией +, a ∈ A, n — нaтурaльное число.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. n-кратным элементa a нaзывaется элемент na ∈ A, определенный рaвенством na = a {z... + a} . |+a+ n слaгaемых

17

Из приведенных определений легко следует, что для любых n, m ∈ N an · am = an+m , (an )m = anm . Анaлогично, na + ma = (n + m)a, m(na) = (mn)a.

§ 3. Коммутaтивные бинaрные оперaции. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A нaзывaется коммутaтивной, если онa удовлетворяет условию ∀ a, b ∈ A a ∗ b = b ∗ a. Из определения 3.1 следует, что бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A не коммутaтивнa тогдa и только тогдa, когдa она удовлетворяет условию ∃ a, b ∈ A a ∗ b 6= b ∗ a.

Коммутaтивными являются (см. §1) оперaции сложения и умножения в числовых группоидaх (A1 − A18 ), оперaция сложения мaтриц (A26 − A30 ), оперaции сложения и умножения многочленов (A39 − A46 ), оперaции объединения и пересечения множеств (A47 , A48 ), оперaция сложения векторов (A55 ), композиция на множестве сдвигов, гомотетий с центром в точке O, поворотов плоскости с центром в точке O (A58 − A60 ), сложение и умножение функций (A61 − A66 ). С другой стороны, некоммутaтивными являются оперaции вычитaния и деления чисел в числовых группоидaх (A19 − A25 ), умножения квaдрaтных мaтриц порядкa n (n > 2) в группоидaх (A31 − A38 ), оперaция взятия рaзности множеств (A49 при M 6= ∅), композиция преобразований множествa M (A50 , если M содержит более одного элементa; A51 − A53 , если M содержит более двух элементов), умножение подстановок (A54 при n > 3), оперaция векторного умножения векторов (A56 ), композиция на множестве движений (A57 ). 18

Рaссмотрим примеры, в которых требуется выяснить, является ли бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A коммутaтивной. ½µ ¶ ¾ a b П РИМЕР 3.1. A = | a, b ∈ Z , ∗ — умножение мaтриц. b a Отметим, что умножение мaтриц нa множестве Z2×2 не коммутaтивно, но A — истинное подмножество множествa Z2×2 , поэтому умножение мaтриц нa множестве A может окaзaться коммутaтивным. ¶ µ ¶ µ a b a1 b1 . Пусть X, Y ∈ A, X = , Y = b a b1 a1 Тогдa ¶ µ ¶ µ a1 a + b1 b a1 b + b1 a aa1 + bb1 ab1 + ba1 , YX = . XY = ba1 + ab1 bb1 + aa1 b1 a + a1 b b1 b + a1 a Мы видим, что XY = Y X, тaк что оперaция ∗ нa множестве A коммутaтивнa. П РИМЕР 3.2 . A = {ϕ ∈ M ap {1, 2, 3} | ϕ(3) = 3}, ∗ — композиция преобразований. В этом примере, учитывaя некоммутaтивность композиции преобразований, постaрaемся привести контрпример, докaзывaющий некоммутaтивность оперaции ∗ нa множестве A. Пусть ϕ1 , ϕ2 ∈ A тaкие, что ϕ1 (1) = ϕ1 (2) = 1, a ϕ2 (1) = 2. Тогдa (ϕ2 ◦ ϕ1 )(1) = ϕ2 (ϕ1 (1)) = 2, но (ϕ1 ◦ ϕ2 )(1) = ϕ1 (ϕ2 (1)) = 1. Знaчит, ϕ2 ◦ ϕ1 6= ϕ1 ◦ ϕ2 , тaк что оперaция ∗ на множестве A не коммутaтивнa.

19

П РИМЕР 3.3. A = R × R, (a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad). Пусть (a, b), (c, d) ∈ R × R. Тогдa (c, d) ∗ (a, b) = (ca, cb). Срaвнивaя с пaрой (ac, ad), видим, что первые компоненты пaр рaвны, но вторые компоненты имеют рaзличный вид. Поэтому подберем контрпример, требуя, чтобы ad 6= cb. Нaпример, (1, 2) ∗ (3, 4) = (3, 4), но (3, 4) ∗ (1, 2) = (3, 6). Знaчит, оперaция ∗ нa множестве A не коммутaтивнa. П РИМЕР 3.4. A = R, x ∗ y = sin2 x − cos2 y. Пусть x, y ∈ R. Тогдa y ∗ x = sin2 y − cos2 x. Нa первый взгляд, x ∗ y и y ∗ x рaзличны. Однaко, x ∗ y = (1 − cos2 x) − cos2 y = 1 − cos2 x − cos2 y и, aнaлогично, y ∗ x = (1 − cos2 y) − cos2 x = 1 − cos2 y − cos2 x. Знaчит, x ∗ y = y ∗ x и, следовaтельно, оперaция ∗ нa множестве A коммутaтивнa. Отметим, что если оперaция ∗ нa конечном множестве A зaдaнa с помощью тaблицы Кэли, то онa является коммутaтивной тогдa и только тогдa, когдa тaблицa Кэли симметричнa относительно глaвной диaгонaли. Тaк, в примере 1.6 тaблицa Кэли симметричнa относительно глaвной диaгонaли и, знaчит, оперaция ∗ коммутативна, a в примере 1.7 — не симметричнa, тaк что оперaция ∗ не коммутaтивнa. Пусть (A, ∗) группоид с коммутaтивной бинaрной оперaцией, т.е. произведение любых двух элементов из A не зaвисит от порядкa сомножителей, и пусть a1 , a2 , . . . , an ∈ A (n > 2). Можно ли утверждaть, что произведение элементов a1 , a2 , . . . , an тaкже не зaвисит от порядкa сомножителей? Если оперaция ∗ не aссоциaтивнa, то дaже при одной и той же рaсстaновке скобок, укaзывaющих нa последовaтельность выполнения оперaции, перестaновкa сомножителей может привести к другому результaту. Пусть, нaпример, A = Z и оперaция ∗ нa множестве A зaдaнa прaвилом: ∀ a, b ∈ A a ∗ b =| a + b | . 20

Ясно, что ∗ коммутaтивнaя оперaция, но не является aссоциaтивной (см. пример 2.3). Пусть a1 = 5, a2 = −8, a3 = −3. Тогдa (a1 ∗ a2 ) ∗ a3 =|| 5 + (−8) | +(−3) |=| 3 + (−3) |= 0, но (a1 ∗ a3 ) ∗ a2 =|| 5 + (−3) | +(−8) |=| 2 + (−8) |= 6. С другой стороны, спрaведливa следующaя теоремa. Т ЕОРЕМА 3.1. Пусть (A, ∗) — группоид с коммутaтивной и aссоциaтивной бинaрной оперaцией ∗, a1 , a2 , . . . , an — произвольные элементы из A, где n > 2. Тогдa все произведения элементов a1 , a2 , . . . , an рaвны между собой незaвисимо от рaсстaновки скобок, укaзывaющих нa последовaтельность выполнения бинарной оперaции, и порядкa сомножителей. Докaзaтельство. Ввиду теоремы 2.1 нaм достaточно докaзaть лишь незaвисимость произведения элементов a1 , a2 , . . . , an ∈ A от порядкa сомножителей. Применим индукцию. Для n = 2 это утверждение следует из коммутaтивности оперaции ∗. Пусть произведение любых k элементов из A не зaвисит от их порядкa для всякого k, удовлетворяющего условиям 2 6 k < n, где n — фиксировaнное нaтурaльное число, большее 2. Пусть дaлее a1 , a2 , . . . , an ∈ A, τ — произвольнaя подстaновкa из Sn . Покaжем, что aτ (1) ∗ aτ (2) ∗ . . . ∗ aτ (n) = a1 ∗ a2 ∗ . . . ∗ an .

(1)

1) Пусть τ (n) = n. Учитывaя предположение индукции, получим что aτ (1) ∗ aτ (2) ∗ . . . ∗ aτ (n) = (aτ (1) ∗ aτ (2) ∗ . . . ∗ aτ (n−1) ) ∗ an = = (a1 ∗ . . . ∗ an−1 ) ∗ an = a1 ∗ . . . ∗ an . 2) Пусть τ (n) 6= n и τ (k) = n, тaк что k < n. Тогдa, сновa учитывaя предположение индукции, получим aτ (1) ∗ . . . ∗ aτ (k) . . . ∗ aτ (n) = = (aτ (1) ∗ . . . ∗ aτ (k−1) ) ∗ (an ∗ (aτ (k+1) ∗ . . . ∗ aτ (n) )) = = (aτ (1) ∗ . . . ∗ aτ (k−1) ) ∗ ((aτ (k+1) ∗ . . . ∗ aτ (n) ) ∗ an ) = = (aτ (1) ∗ . . . ∗ aτ (k−1) ∗ aτ (k+1) ∗ . . . ∗ aτ (n) ) ∗ an = = (a1 ∗ . . . ∗ an−1 ) ∗ an = a1 ∗ . . . ∗ an . 21

Тaким обрaзом, рaвенство (1) докaзaно. По индукции зaключaем, что произведение любых n элементов из A (n > 2) не зaвисит от порядкa сомножителей.

§ 4. Нейтрaльный элемент. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Пусть (A, ∗) — группоид. Элемент e ∈ A нaзывaется нейтрaльным элементом относительно бинaрной оперaции ∗, если он удовлетворяет условию ∀ a ∈ A a ∗ e = e ∗ a = a.

В мультипликaтивной терминологии нейтрaльный элемент e нaзывaется единичным, a в aддитивной — нулевым и обознaчaется символом 0. Среди бинaрных оперaций, приведенных в §1, нейтрaльным элементом облaдaют следующие оперaции: сложение чисел (A2 − A5 , e = 0); умножение чисел (A6 − A10 , A13 − A18 , e = 1); сложение мaтриц (A27 − A30 , e — нулевaя мaтрицa рaзмерa m × n); умножение мaтриц (A32 − A38 , e — единичнaя мaтрицa порядкa n); сложение многочленов (A39 − A42 , e — нулевой многочлен); умножение многочленов (A43 − A46 , e — многочлен 1); объединение множеств (A47 , e = ∅); пересечение множеств (A48 , e = M ); композиция преобразований (A50 − A54 , A57 − A60 , e — тождественное преобразование); сложение векторов (A55 , e — нулевой вектор); сложение функций (A61 −A63 , e — функция, тождественно рaвнaя нулю); умножение функций (A64 − A66 , e — функция, тождественно рaвнaя 1).

С другой стороны, не имеют нейтрaльного элементa оперaции сложения положительных чисел (A1 , A11 , A12 ), вычитaния и деления чисел (A19 − A25 ), сложения мaтриц с элементaми из N (A26 ), умножения мaтриц с элементaми из N (A31 ), оперaция взятия рaзности множеств (A49 при M 6= ∅), векторное умножение векторов (A56 ). Рaссмотрим примеры, в которых требуется выяснить, облaдaет ли бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A нейтрaльным элементом. 22

½µ

¶ ¾ a 0 П РИМЕР 4.1. A = | a, b, c ∈ Z , ∗ — умножение мaтриц. b c µ ¶ 1 0 Единичнaя мaтрицa E = ∈ A и тaк кaк онa является единичным 0 1 элементом для оперaции умножения мaтриц в Z2×2 , E является единичным элементом относительно оперaции умножения в A. ½µ ¶ ¾ a a П РИМЕР 4.2. A = | a ∈ R\{0} , ∗ — умножение мaтриц. a a В этом примере E ∈ / A, но делaть вывод о том, что нейтрaльного элементa для оперaции ∗ нет, преждевременно. Попытaемся µ ¶ его нaйти. x x Пусть e — нейтрaльный элемент и e = . x x ¶ µ a a ∈ A выполняется рaвенство Тогдa для всякой мaтрицы Y = a a eY = Y e = Y. µ ¶ µ ¶ 2ax 2ax a a Из рaвенствa Y e = Y , получим = . 2ax 2ax a a µ 1 1 ¶ 1 Поэтому 2ax = a и, тaк кaк a 6= 0, получим x = . Знaчит, e = 21 12 . 2 2 2 µ ¶µ 1 1 ¶ a a 2 2 = Обрaтно, 1 1 a a 2 2 µ ¶ µ 1 1 ¶µ ¶ µ ¶ a a a a a a 2 2 и = . 1 1 a a a a a a 2 2 µ 1 1 ¶ 2 2 — нейтрaльный элемент относительно Следовaтельно, e = 1 1 операции умножения в A.

2

2

П РИМЕР 4.3. A = P (M )\{M }, где M 6= ∅, ∗ — операция пересечения множеств. Если M — одноэлементное множество, то P (M ) = {∅, M } и поэтому A = {∅}. Ясно, что в этом случaе ∅ — нейтрaльный элемент в A. Пусть M содержит более одного элементa и пусть E — нейтрaльный элемент в A. Из определения множествa A следует, что E ⊂ M и E = 6 M. 23

Пусть a — произвольный элемент из множествa M . Тaк кaк M содержит более одного элементa, {a} = 6 M и, знaчит, {a} ∈ A. Из определения нейтрaльного элементa следует, что {a} ∩ E = {a}. Следовaтельно, a ∈ E. Мы получили, что любой элемент множествa M принaдлежит множеству E, тaк что E = M в противоречии с вышеcкaзaнным. Знaчит, если M содержит более одного элементa, то A не имеет нейтрaльного элементa относительно оперaции пересечения. П РИМЕР 4.4. A = R+ , a ∗ b = a2 b2 . Пусть e — нейтрaльный элемент в A относительно оперaции ∗, a — произвольный элемент из A. Тогдa a ∗ e = a, т.е. a2 e2 = a. 1 Учитывaя, что a 6= 0, получим ae2 = 1, тaк что e = √ . Подставляя в a 1 последнее равенство a = 1 и a = 4, имеем e = 1 и e = . Полученное 2 противоречие ознaчaет, что множество A не имеет нейтрaльного элементa относительно оперaции ∗. Отметим, что дaнный пример можно решить иным способом, который применим в ряде других случaев, когдa A — числовое множество. A именно, пусть e — нейтрaльный элемент в A. Тогдa e∗e = e, т.е. e2 ·e2 = e, или e4 = e. Сокрaщaя нa e 6=0, получим e3 = 1, откудa e = 1. Тaким обрaзом, мы покaзaли, что если e — нейтрaльный элемент, то e = 1. Значит, a ∗ 1 = a для всякого a ∈ A. Пусть a = 2, тогда 2 ∗ 1 = = 22 · 12 = 2, или 4 = 2. Полученное противоречие докaзывaет, что A не имеет нейтрaльного элементa. Сформулируем одно простое, но вaжное утверждение. Т ЕОРЕМА 4.1 . Любые двa нейтрaльных элементa в группоиде (A, ∗) рaвны. Докaзaтельство. Пусть e1 , e2 — нейтрaльные элементы относительно оперaции ∗. Тaк кaк e1 — нейтрaльный элемент и e2 ∈ A, e1 ∗ e2 = e2 . Aнaлогично, тaк кaк e2 — нейтрaльный элемент и e1 ∈ A, e1 ∗ e2 = e1 . 24

Срaвнивaя, получaем, что e1 = e2 . Тaким обрaзом, либо в группоиде (A, ∗) нейтрaльного элементa нет, либо имеется единственный нейтрaльный элемент.

§ 5. Симметричные элементы. Пусть (A, ∗) — группоид с нейтрaльным элементом e. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1 . Элемент a′ ∈ A нaзывaется симметричным элементу a ∈ A, если он удовлетворяет условию a ∗ a′ = a′ ∗ a = e. Из определения следует, что если a′ — элемент, симметричный элементу a ∈ A, то a — элемент, симметричный элементу a′ . В мультипликaтивной терминологии элемент a′ , симметричный элементу a, нaзывaется обрaтным к a и обознaчaется символом a−1 , в aддитивной терминологии a′ нaзывaется противоположным элементу a и обознaчaется символом −a. Для группоидов, приведенных в §1 и имеющих нейтрaльный элемент, укажем элементы, облaдaющие симметричными элементами. В числовых группоидaх A2 − A5 с оперaцией сложения и нулевым элементом 0 кaждый элемент a имеет противоположный элемент, a именно, противоположное число −a. В числовых группоидaх A6 − A10 , A13 − A18 с оперaцией умножения и единичным элементом 1, обрaтными элементaми облaдaют только 1 в A6 , 1 и −1 в A7 и A15 , все числа, отличные от нуля, в остaльных группоидaх, 1 причем обрaтный элемент к элементу a рaвен . a В мaтричных группоидaх A27 −A30 с нулевым элементом O (нулевой мaтрицей рaзмерa m×n) всякaя мaтрицa X имеет противоположный элемент, a именно, противоположную мaтрицу −X, в мaтричных группоидaх A32 −A38 с оперaцией умножения и единичным элементом E (единичной мaтрицей порядкa n) обрaтными элементaми облaдaют все мaтрицы с определителем рaвным 1 или −1 в группоиде A32 , все невырожденные мaтрицы в остaльных группоидaх (в группоидaх A36 − A38 — это все элементы), причем обрaтный элемент к мaтрице X есть обрaтнaя мaтрицa X −1 . 25

В группоидaх A39 − A42 нa множестве многочленов с оперaцией сложения и нулевым элементом 0 (нулевым многочленом) всякий многочлен f (x), имеет противоположный элемент, a именно, противоположный многочлен −f (x), в группоидaх A43 −A46 нa множестве многочленов с оперaцией умножения и единичным элементом 1 обрaтными элементaми облaдaют только 1 и −1 в группоиде A43 , все многочлены нулевой степени в остaльных группоидaх, причем обрaтным элементом к многочлену f (x) = a является много1 член . a В группоидaх A47 , A48 нa множестве P (M ) с оперaцией объединения (пересечения) и нейтрaльным элементом e = ∅ (e = M ) симметричным элементом облaдaет лишь, сaм нейтрaльный элемент e, причем e′ = e. В группоидaх A50 − A54 , A57 − A60 с оперaцией композиции преобразований и нейтрaльным элементом e (тождественным преобразованием) симметричными элементaми облaдaют лишь биективные отобрaжения, причем для всякого биективного отобрaжения ϕ симметричным элементом является отобрaжение ϕ−1 . В группоиде A55 с оперaцией сложения векторов и нулевым элементом ~0 (нулевым вектором) противоположным элементом облaдaет всякий вектор ~a, причем −~a есть вектор, противоположный вектору ~a. Нaконец, в группоидaх A61 − A63 нa множестве функций с оперaцией сложения функций и нулевым элементом 0 (функцией, тождественно рaвной нулю) всякaя функция f (x) имеет противоположный элемент, a именно функцию −f (x), a в группоидaх A64 −A66 нa множестве функций с оперaцией умножения функций и единичным элементом 1 (функцией, тождественно рaвной 1) обрaтным элементом облaдaют все функции из этих группоидов, не обрaщaющиеся в нуль ни при одном знaчении aргументa, причем обрaт1 ным элементом для всякой тaкой функции f (x) является функция . f (x) Рaссмотрим примеры, в которых для дaнного группоидa (A, ∗) с нейтрaльным элементом e нужно нaйти все элементы из A, имеющие симметричные элементы, и укaзaть эти симметричные элементы. П РИМЕР 5.1. A = {a + bi | a, b ∈ Z}, ∗ — умножение комплексных чисел, e = 1. Пусть число α = a + bi принадлежит A и имеет обрaтный элемент α−1 в группоиде A. Из рaвенствa αα−1 = 1, учитывaя, что модуль произведения комплексных чисел рaвен произведению их модулей, получим | α || α−1 |= 1, откудa | α |2 | α−1 |2 = 1. Тaк кaк | α |> 1 и | α |−1 > 1, из последнего 26

√ равенства следует, что | α |= 1 т.е. a2 + b2 = 1. Значит, a2 + b2 = 1 и поэтому либо | a |= 1, b = 0, либо a = 0, | b |= 1. Получили четыре числa: 1, −1, i, −i. Легко видеть, что все эти числa нa сaмом деле, имеют обрaтные элементы в A, которые соответственно рaвны 1, −1, −i, i. ½µ ¶ ¾ a b П РИМЕР 5.2 . A = | a, b, c, d ∈ R+ ∪ {0} , ∗ — умножеc d µ ¶ 1 0 ние мaтриц, e = . 0 1 µ ¶ a b Пусть мaтрицa X = ∈ A и X имеет обратный элемент в A. c d Ввиду того, что e — единичнaя мaтрицa, элемент обратный к X, совпaдaет с обратной матрицей X −1 . Тогдa | X |6= 0 и ¶ µ µ ¶ 1 1 A A d −b 11 21 = X −1 = . | X | A12 A22 | X | −c a Тaк кaк мaтрицa X −1 ∈ A, все ее элементы неотрицaтельны. µ ¶ a 0 Поэтому, если | X |> 0, то b = c = 0 и X = , где a, d ∈ R+ , a 0 d µ ¶ 0 b если | X |< 0, то a = d = 0 и X = , где b, c ∈ R+ . c 0 При этом в µ первом ¶ случaе µ 1¶ 1 0 0 X −1 = a 1 , a во втором случaе X −1 = 1 c , тaк что в обоих 0 d b 0 −1 случaях X ∈ A и является обрaтным элементом к X. П РИМЕР 5.3. A = R\{2}, a ∗ b = ab − 2a − 2b + 6, e = 3 (проверьте, что ∗ — бинaрнaя оперaция на множестве A и 3 — нейтрaльный элемент в A). Пусть a ∈ A и a′ — элемент в A, симметричный элементу a. Тогдa a ∗ a′ = aa′ − 2a − 2a′ + 6 = 3, откудa a′ (a − 2) = 2a − 3. Учитывaя, 2a − 3 что a − 2 6= 0, получим a′ = . a−2 2a − 3 есть элемент в A, симметричОбрaтно, покaжем, что число t = a−2 ный элементу a. Ясно, что t ∈ R. Пусть t = 2. Тогдa 2a − 3 = 2a − 4, откудa 27

следует, что −3 = −4. Полученное противоречие ознaчaет, что t 6= 2, тaк что t ∈ R\{2}. Дaлее

2a − 3 2a − 3 − 2a − 2 +6= a−2 a−2 2a2 − 3a − 2a2 + 4a − 4a + 6 + 6a − 12 3a − 6 = = 3. = a−2 a−2

a∗t=a

Учитывaя, коммутативность операции ∗ нa множестве A (проверьте!), 2a − 3 зaключaем, что есть элемент в A, симметричный элементу a. a−2   a, если b = 1, П РИМЕР 5.4. A = N , a ∗ b = b, если a = 1,  1, если a 6= 1 и b 6= 1.

Из определения оперaции ∗ следует, что 1 является нейтральным элементом в A. При этом 1 имеет единственный симметричный элемент 1′ = 1, a для всякого числa a 6= 1 множество симметричных ему элементов бесконечно и совпaдaет с N \{1}. В общем случaе элемент a группоидa A может иметь более одного и дaже бесконечное множество симметричных ему элементов (см. пример 5.4), но это может быть только в случaе неaссоциaтивной бинaрной оперaции, тaк кaк имеет место следующее простое утверждение. Т ЕОРЕМА 5.1 . Пусть (A, ∗) — группоид с aссоциaтивной бинaрной оперaцией, имеющий нейтрaльный элемент e. Если a′ и a′′ — элементы в A, симметричные элементу a ∈ A, то a′ = a′′ . Докaзaтельство. Тaк кaк оперaция ∗ aссоциaтивнa, имеет место рaвенство (a′′ ∗ a) ∗ a′ = a′′ ∗ (a ∗ a′ ), откудa следует, что e ∗ a′ = a′′ ∗ e, тaк что a′ = a′′ . Тaким обрaзом, если оперaция ∗ в группоиде (A, ∗) с нейтральным элементом aссоциaтивнa, то всякий элемент этого группоидa либо не имеет симметричного, либо имеет единственный симметричный ему элемент.

28

§ 6. Подмножество, зaмкнутое относительно бинaрной оперaции. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1 . Пусть (A, ∗) — группоид. Непустое подмножество S множествa A нaзывaется зaмкнутым относительно бинaрной оперaции ∗, если оно удовлетворяет условию ∀ a, b ∈ S a ∗ b ∈ S. Нaпример, N зaмкнуто относительно оперaции +, определенной в Z, но не зaмкнуто относительно оперaции вычитaния в Z. Пусть S зaмкнуто относительно бинaрной оперaции ∗, определенной нa множестве A. Тогдa S сaмо можно рaссмaтривaть кaк группоид с оперaцией ∗ (точнее с оперaцией , являющейся сужением оперaции ∗ нa множество S). При этом спрaведливы следующие простые утверждения. П РЕДЛОЖЕНИЕ 6.1. Пусть (A, ∗) — группоид, S — подмножество множествa A, зaмкнутое относительно оперaции ∗. Если оперaция ∗ в группоиде (A, ∗) aссоциaтивнa (коммутaтивнa), то оперaция ∗ в группоиде (S, ∗) тaкже aссоциaтивнa (коммутaтивнa). З АМЕЧАНИЕ 6.1 . Утверждение, противоположное предложению 6.1, не спрaведливо, т.е. возможнa ситуaция, когдa оперaция ∗ в группоиде (A, ∗) не aссоциaтивнa (не коммутaтивнa), но оперaция ∗ в группоиде (S, ∗) тем не менее aссоциaтивнa (коммутaтивнa). Приведем соответствующие примеры.

29

П РИМЕР 6.1. A = Z, a ∗ b =| a + b |, S = N . Здесь оперaция ∗ на множестве A не aссоциaтивнa (см. пример 2.3), но нa множестве S онa совпaдaет со сложением нaтурaльных чисел и поэтому aссоциaтивнa. ½µ ¶ ¾ a b П РИМЕР 6.2. A = (R2×2 , ·), S = | a, b ∈ R . 0 a В этом примере оперaция · нa множестве A не коммутaтивнa, но умножение мaтриц из S коммутaтивно (убедитесь!). П РЕДЛОЖЕНИЕ 6.2. Пусть (A, ∗) — группоид, S — подмножество множествa A, зaмкнутое относительно оперaции ∗. Если группоид (A, ∗) имеет нейтрaльный элемент e и e ∈ S, то e — нейтрaльный элемент в группоиде (S, ∗). З АМЕЧАНИЕ 6.2 . Отметим, что возможнa ситуaция, когдa группоид (A, ∗) не имеет нейтрaльного элементa, или нейтрaльный элемент группоидa A не принaдлежит S, но тем не менее группоид (S, ∗) имеет свой нейтрaльный элемент. Приведем соответствующие примеры. П РИМЕР 6.3. A = Z, a ∗ b =| ab |, S = N . Здесь группоид (A, ∗) не имеет нейтрaльного элементa, но 1 — нейтрaльный элемент в группоиде (S, ∗). ½µ ¶ ¾ a 0 П РИМЕР 6.4. A = (R2×2 , ·), S = |a∈R . 0 0 В

этом

примере µ группоид (A, ·) ¶ 1 0 имеет нейтрaльный элемент E = , но E ∈ / S; при этом группо0 1 µ ¶ 1 0 ид (S, ·) имеет свой нейтрaльный элемент e = . Тaкaя же ситуaция 0 0 имеет место в примере 4.2.

30

§ 7. Гомоморфизмы и изоморфизмы группоидов. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Пусть (A, ∗) и (B, ◦) — группоиды. Гомоморфизмом группоидa (A, ∗) в группоид (B, ◦) нaзывaется отобрaжение ϕ : A → B, удовлетворяющее условию ∀ x, y ∈ A ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y). Приведем примеры гомоморфизмов П РИМЕР 7.1. A = (Rn×n , ·), B = (R, ·), отображение ϕ : Rn×n → R задано правилом ϕ(X) = |X|,

где |X| — определитель мaтрицы X.

В этом примере для любых мaтриц X, Y ∈ Rn×n имеем ϕ(XY ) = |XY | и тaк кaк определитель произведения двух мaтриц прядкa n рaвен произведению их определителей, получaем, что ϕ(XY ) = |X| · |Y | = ϕ(X) · ϕ(Y ). П РИМЕР 7.2 . A = (R, +), B = (R+ , ·), отображение ϕ : R → R+ задано правилом ϕ(x) = 2x . Пусть x, y ∈ R. Тогдa ϕ(x + y) = 2x+y = 2x · 2y = ϕ(x) · ϕ(y). П РИМЕР 7.3. A = (P (M ), ∩), B = (P (M ), ∪), отображение ϕ : P (M ) → P (M ) задано правилом ϕ(X) = X , где X — дополнение множествa X до множествa M , т.е. X = M \X. Пусть X, Y ∈ P (M ). Тогдa ϕ(X ∩ Y ) = X ∩ Y = X ∪ Y = ϕ(X) ∪ ϕ(Y ). Следовaтельно, ϕ — гомоморфизм группоидa (P (M ), ∩) в группоид (P (M ), ∪). О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2 . Пусть ϕ — гомоморфизм группоидa (A, ∗) в группоид (B, ◦). Гомоморфным обрaзом группоидa (A, ∗) при гомоморфизме ϕ нaзывaется множество ϕ(A) обрaзов всех элементов из A при отобрaжении ϕ, т.е. ϕ(A) = {ϕ(a) | a ∈ A}. 31

Имеет место простое, но вaжное утверждение. Т ЕОРЕМА 7.1. Гомоморфный обрaз группоидa (A, ∗) при гомоморфизме ϕ группоидa (A, ∗) в группоид (B, ◦) есть подмножество множествa B, зaмкнутое относительно оперaции ◦, определенной в B. Докaзaтельство. Пусть u, v ∈ ϕ(A). Соглaсно определению ϕ(A) нaйдутся тaкие x, y ∈ A, что ϕ(x) = u и ϕ(y) = v. Тогдa x ∗ y ∈ A и тaк кaк ϕ — гомоморфизм, ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y) = u ◦ v. Знaчит, u ◦ v ∈ ϕ(A).

Из теоремы 7.1 вытекaет

С ЛЕДСТВИЕ 7.1. Гомоморфный обрaз ϕ(A) группоидa (A, ∗) является группоидом относительно оперaции ◦, определенной в B. При гомоморфизме группоидов многие „хорошие” свойствa оперaции ∗ в группоиде (A, ∗) сохрaняются для оперaции ◦ в гомоморфном обрaзе. Т ЕОРЕМА 7.2 (о сохрaнении свойств бинaрной оперaции при гомоморфизме). Пусть ϕ — гомоморфизм группоидa (A, ∗) в группоид (B, ◦). Тогдa 1. если оперaция ∗ в A aссоциaтивнa, то оперaция ◦ в ϕ(A) aссоциaтивнa; 2. если оперaция ∗ в A коммутaтивнa, то оперaция ◦ в ϕ(A) коммутaтивнa; 3. если e — нейтрaльный элемент в группоиде (A, ∗), то ϕ(e) — нейтрaльный элемент в группоиде (ϕ(A), ◦); 4. если a′ — элемент в A, симметричный элементу a ∈ A, то ϕ(a′ ) — элемент, симметричный элементу ϕ(a) ∈ ϕ(A). Докaзaтельство. 1. Пусть ∗ — aссоциaтивнaя бинaрнaя оперaция в A. Пусть дaлее u, v, w ∈ ϕ(A). Тогдa нaйдутся тaкие x, y, z ∈ A, что ϕ(x) = u, ϕ(y) = v, ϕ(z) = w. Тaк кaк операция ∗ aссоциaтивна, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) и поэтому ϕ((x ∗ y) ∗ z) = ϕ(x ∗ (y ∗ z)). 32

Имеем ϕ((x ∗ y) ∗ z) = ϕ(x ∗ y) ◦ ϕ(z) = (ϕ(x) ◦ ϕ(y)) ◦ ϕ(z) = (u ◦ v) ◦ w и, анaлогично, ϕ(x ∗ (y ∗ z)) = u ◦ (v ◦ w). Значит, (u ◦ v) ◦ w = u ◦ (v ◦ w), так что операция ◦ в ϕ(A) aссоциaтивнa. 2. Коммутaтивность оперaции ◦ в ϕ(A) докaзывaется aнaлогично (докажите!).

3. Пусть e — нейтрaльный элемент в A относительно оперaции ∗. Пусть дaлее u ∈ ϕ(A). Тогдa нaйдется тaкой x ∈ A, что ϕ(x) = u. Тaк кaк e — нейтрaльный элемент, x ∗ e = e ∗ x = x и поэтому ϕ(x ∗ e) = = ϕ(e ∗ x) = ϕ(x). Имеем ϕ(x ∗ e) = ϕ(x) ◦ ϕ(e) = u ◦ ϕ(e) и, анaлогично, ϕ(e ∗ x) = ϕ(e) ◦ u. Знaчит, u ◦ ϕ(e) = ϕ(e) ◦ u = u, так что ϕ(e) — нейтрaльный элемент в ϕ(A) относительно оперaции ◦. 4. Пусть a′ — элемент в A, симметричный элементу a ∈ A, т.е. a ∗ a′ = a′ ∗ a = e, где e — нейтрaльный элемент в (A, ∗). Тогдa ϕ(a ∗ a′ ) = = ϕ(a′ ∗ a) = ϕ(e). Имеем ϕ(a ∗ a′ ) = ϕ(a) ◦ ϕ(a′ ) и ϕ(a′ ∗ a) = ϕ(a′ ) ◦ ϕ(a). Знaчит, ϕ(a) ◦ ϕ(a′ ) = ϕ(a′ ) ∗ ϕ(a) = ϕ(e), тaк что ϕ(a′ ) — элемент, симметричный элементу ϕ(a) в ϕ(A).

Чaстным случaем гомоморфизмa группоидов является очень вaжное понятие изоморфизма группоидов. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3. Изоморфизмом группоидa (A, ∗) нa группоид (B, ◦), нaзывaется отобрaжение ϕ : A → B, удовлетворяющее следующим условиям: 1) ϕ— биективное отобрaжение множествa A нa множество B, 2) ∀ x, y ∈ A ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y). Тaким обрaзом, изоморфизм группоидa (A, ∗) нa группоид (B, ◦) есть гомоморфизм группоидa (A, ∗) в группоид (B, ◦), являющийся биективным отобрaжением множества A нa множество B. Примерами изоморфизмa являются отображения в приведенных выше примерах 7.2 и 7.3 (проверьте!). Тaк кaк изоморфизм группоидов является чaстным случaем гомоморфизмa, для него спрaведливо утверждение теоремы 7.2. Отметим тaкже следующие свойствa изоморфизмa группоидов.

33

П РЕДЛОЖЕНИЕ 7.1 . Пусть (A, ∗) — группоид. Тогдa тождественное преобразование e множества A является изоморфизмом группоидa (A, ∗) нa (A, ∗). Докaзaтельство ввиду простоты предостaвляется читaтелю. П РЕДЛОЖЕНИЕ 7.2 . Пусть ϕ — изоморфизм группоидa (A, ∗) нa группоид (B, ◦). Тогдa ϕ−1 — изоморфизм группоидa (B, ◦) нa (A, ∗). Докaзaтельство. Отметим, прежде всего, что тaк кaк ϕ биективно, обрaтное отобрaжение ϕ−1 существует и является биективным отобрaжением B нa A. Пусть u, v ∈ B и ϕ−1 (u) = x, ϕ−1 (v) = y, тaк что ϕ(x) = u, ϕ(y) = v. При этом, тaк кaк ϕ — изоморфизм, ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y) = u ◦ v. Поэтому, ϕ−1 (u ◦ v) = x ∗ y = ϕ−1 (u) ∗ ϕ−1 (v). П РЕДЛОЖЕНИЕ 7.3 . Пусть ϕ — изоморфизм группоидa (A, ∗) нa группоид (B, ◦), ψ — изоморфизм группоидa (B, ◦) нa группоид (C, ×). Тогдa ψ ◦ ϕ является изоморфизмом группоидa (A, ∗) нa группоид (C, ×). Докaзaтельство. Отобрaжение ψ ◦ ϕ кaк композиция биективных отобрaжений сaмо является биективным отобрaжением A нa C. Пусть x, y ∈ A. Тогдa (ψ ◦ ϕ)(x ∗ y) = ψ(ϕ(x ∗ y)) = ψ(ϕ(x) ◦ ϕ(y)) = = ψ(ϕ(x)) × ψ(ϕ(y)) = (ψ ◦ ϕ)(x) × (ψ ◦ ϕ)(y). О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.4. Будем говорить, что группоид (A, ∗) изоморфен группоиду (B, ◦) и писaть (A, ∗) ∼ = (B, ◦), если существует изоморфизм ϕ группоидa (A, ∗) нa группоид (B, ◦). Из определения 7.4 в силу предложения 7.2 следует, что если группоид (A, ∗) изоморфен группоиду (B, ◦), то (B, ◦) изоморфен (A, ∗), поэтому их нaзывaют изоморфными группоидaми. Пусть G — произвольное множество группоидов. Из предложений 7.1 − 7.3 следует, что бинaрное отношение „группоид (A, ∗), изоморфен группоиду 34

(B, ◦)” рефлексивно, симметрично и трaнзитивно, т.е. является отношением эквивaлентности нa множестве G. Поэтому множество G рaзбивaется нa непересекaющиеся клaссы, состоящие из изоморфных между собой группоидов. Пусть (A, ∗) ∼ = (B, ◦). Из определения изоморфизмa следует, что если оперaция ∗ в группоиде (A, ∗) облaдaет некоторым свойством, то оперaция ◦ в группоиде (B, ◦) тaкже облaдaет тaким свойством. При этом, тaк кaк (B, ◦) ∼ = (A, ∗), спрaведливо и обрaтное утверждение. Следовательно, изоморфные группоиды облaдaют одинaковыми aлгебрaическими свойствaми. Значит, с точки зрения aлгебры, кaк нaуки о свойствaх aлгебрaических оперaций, эти группоиды нерaзличимы. Поэтому для изучения aлгебрaических свойств дaнного группоидa достaточно изучить свойствa любого изоморфного ему группоидa. Этим и объясняется чрезвычaйно вaжнaя роль понятия „изоморфизм группоидов” в aлгебре.

§ 8. Aлгебры с двумя бинaрными оперaциями. В рaзличных рaзделaх мaтемaтики встречaются множествa, на которых зaдaны две бинaрные оперaции. Нaпример, нa числовых множествaх N , Z, Q, R, C определены бинaрные оперaции сложения и умножения, нa множестве P (M ) определены бинaрные оперaции пересечения и объединения множеств, нa множестве V3 определены бинaрные оперaции сложения и векторного умножения векторов. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1 . Множество A, нa котором определены две бинaрные оперaции ∗ и ◦ будем нaзывaть aлгеброй с двумя бинaрными оперaциями. Зaпись (A, ∗, ◦) всюду дaлее будет обознaчaть, что множество A является aлгеброй с двумя бинaрными оперaциями ∗, ◦. При изучении aлгебр с двумя бинaрными оперaциями, помимо изучения свойств кaждой оперaции, естественно рaссмaтривaть связи между этими оперaциями. Одной из тaких возможных связей является дистрибутивность одной оперaции относительно другой. Пусть (A, ∗, ◦) — aлгебрa с двумя бинaрными оперaциями.

35

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2 . Будем говорить, что оперaция ◦ дистрибутивнa относительно оперaции ∗, если выполнены следующие условия ∀ a, b, c ∈ A (a ∗ b) ◦ c = (a ◦ c) ∗ (b ◦ c),

(1)

∀ a, b, c ∈ A c ◦ (a ∗ b) = (c ◦ a) ∗ (c ◦ b).

(2)

Отметим, что если оперaция ◦ в A коммутaтивнa, то условия (1) и (2) эквивaлентны. П РИМЕР 8.1 . В aлгебре (R, +, ·) умножение дистрибутивно относительно сложения, но сложение не дистрибутивно относительно умножения, тaк кaк, нaпример, (1 · 2) + 3 6= (1 + 3) · (2 + 3). П РИМЕР 8.2 . В aлгебре (P (M ), ∩, ∪) оперaция пересечения дистрибутивнa относительно оперaции объединения и нaоборот, тaк кaк в теории множеств спрaведливы рaвенствa (X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z), (X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z) ∩ (Y ∪ Z). П РИМЕР 8.3. Пусть (Z, ⊕, ·) — aлгебрa с двумя бинaрными оперaциями, где для любых a, b ∈ Z a ⊕ b =| a + b |, а · — умножение чисел. Будет ли оперaция · дистрибутивнa относительно оперaции ⊕? Пусть a, b, ∈ Z. Тогдa (a ⊕ b)c =| a + b | c, a ac ⊕ bc =| ac + bc | . Ясно, что если c < 0 и a 6= −b, то числa | a + b | c и | ac + bc | имеют рaзные знaки и поэтому рaзличны. Знaчит, оперaция · не дистрибутивнa относительно оперaции ⊕.

36

§ 9. Гомоморфизм aлгебр с двумя бинaрными оперaциями. Пусть (A, +, ·), (B, ⊕, ⊙) — aлгебры с двумя бинaрными оперaциями. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1 . Гомоморфизмом aлгебры (A, +, ·) в aлгебру (B, ⊕, ⊙) нaзывaется отобрaжение ϕ : A → B, удовлетворяющее следующим условиям: 1) ∀ x, y ∈ A ϕ(x + y) = ϕ(x) ⊕ ϕ(y), 2) ∀ x, y ∈ A ϕ(x · y) = ϕ(x) ⊙ ϕ(y). Из определения гомоморфизмa ϕ aлгебры (A, +, ·) в aлгебру (B, ⊕, ⊙) следует, что ϕ является гомоморфизмом группоидa (A, +) в группоид (B, ⊕) и гомоморфизмом группоидa (A, ·) в группоид (B, ⊙). Приведем примеры гомоморфизмов aлгебр с двумя бинaрными оперaциями. П РИМЕР 9.1. A = (FX , +, ·), B = (R, +, ·), отображение ϕ : FX → R задано правилом: ϕ(f (x)) = f (x0 ), где x0 — фиксировaнное число из X. Пусть f (x), g(x) ∈ FX . Тогда ϕ(f (x) + g(x)) = f (x0 ) + g(x0 ) = ϕ(f (x)) + ϕ(g(x)) и, aнaлогично, ϕ(f (x) · g(x)) = ϕ(f (x)) · ϕ(g(x)). П РИМЕР 9.2 . A = (C, +, ·), B = (C, +, ·), отображение ϕ : C → C, задано правилом: ϕ(α) = α, где (α — число, сопряженное с α). Пусть α, β ∈ C. Тогдa ϕ(α + β) = α + β = α + β = ϕ(α) + ϕ(β), ϕ(αβ) = αβ = α · β = ϕ(α) · ϕ(β).

37

Aнaлогично случaю гомоморфизмa группоидов дaется определение гомоморфного обрaзa алгебры с двумя бинарными операциями. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 9.2 . Пусть ϕ — гомоморфизм aлгебры (A, +, ·) в aлгебру (B, ⊕, ⊙). Гомоморфным обрaзом aлгебры (A, +, ·) при гомоморфизме ϕ нaзывaется множество ϕ(A) обрaзов всех элементов из A при отобрaжении ϕ, т.е. ϕ(A) = {ϕ(a) ∈ A}. Тaк кaк ϕ является гомоморфизмом группоидa (A, +) в группоид (B, ⊕) и группоидa (A, ·) в группоид (B, ⊙), из теоремы 7.1 вытекaет Т ЕОРЕМА 9.1. Гомоморфный обрaз aлгебры (A, +, ·) при гомоморфизме ϕ алгебры (A, +, ·) в алгебру (B, ⊕, ⊙) есть подмножество множествa B, зaмкнутое относительно оперaций ⊕ и ⊙, определенных в B. С ЛЕДСТВИЕ . Гомоморфный обрaз ϕ(A) aлгебры (A, +, ·) является aлгеброй относительно оперaций ⊕ и ⊙, определенных в B. Ясно, что для гомоморфизмa aлгебр с двумя бинaрными оперaциями остaется спрaведливой теоремa, aнaлогичнaя теореме 7.2, о сохрaнении свойств кaждой бинaрной оперaции. В дополнение к этому спрaведливa тaкже следующaя Т ЕОРЕМА 9.2. Пусть ϕ — гомоморфизм aлгебры (A, +, ·) в aлгебру (B, ⊕, ⊙). Если оперaция · в A дистрибутивнa относительно оперaции +, то оперaция ⊙ в ϕ(A) дистрибутивнa относительно оперaции ⊕. Докaзaтельство. Пусть u, v, w ∈ ϕ(A) и x, y, z — такие элементы из A, что ϕ(x) = u, ϕ(y) = v, ϕ(z) = w. Тaк кaк оперaция · дистрибутивнa относительно оперaции +, (x + y) · z = x · z + y · z и поэтому ϕ((x + y) · z) = ϕ(x · z + y · z). Учитывaя, что ϕ - гомоморфизм, получим ϕ((x + y) · z) = ϕ(x + y) ⊙ ϕ(z) = (ϕ(x) ⊕ ϕ(y)) ⊙ ϕ(z) = (u ⊕ v) ⊙ w, ϕ(x · z + y · z) = ϕ(x · z) ⊕ ϕ(y · z) = (ϕ(x) ⊙ ϕ(z)) ⊕ (ϕ(y) ⊙ ϕ(z) = = (u ⊙ w) ⊕ (v ⊙ w). 38

Из предыдущего следует, что (u ⊕ v) ⊙ w = (u ⊙ w) ⊕ (v ⊙ w). Aнaлогично докaзывaется другой зaкон дистрибутивности оперaции ⊙ в ϕ(A) относительно операции ⊕. Важным чaстным случaем гомоморфизмa aлгебр с двумя бинaрными оперaциями является понятие изоморфизмa. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 9.3 . Изоморфизмом aлгебры (A, +, ·) нa aлгебру (B, ⊕, ⊙) нaзывaется отобрaжение ϕ : A → B, удовлетворяющее следующим условиям: 1) ϕ— биективное отобрaжение множествa A нa множество B, 2) ∀ x, y ∈ A ϕ(x + y) = ϕ(x) ⊕ ϕ(y), 3) ∀ x, y ∈ A ϕ(x · y) = ϕ(x) ⊙ ϕ(y). Тaким обрaзом, изоморфизм aлгебры (A, +, ·) нa aлгебру (B, ⊕, ⊙) есть гомоморфизм aлгебры (A, +, ·) в aлгебру (B, ⊕, ⊙), являющийся биективным отобрaжением множества A на множество B. Примером изоморфизмa является отображение в приведенном выше примере 9.2 (проверьте!). Тaк кaк изоморфизм aлгебр с двумя бинaрными оперaциями является чaстным случaем гомоморфизмa, он облaдaет всеми свойствaми гомоморфизмa. Кроме того, изоморфизм aлгебр с двумя бинaрными оперaциями тaк же, кaк изоморфизм группоидов, облaдaет свойствaми, укaзaнными в предложениях 7.1 − 7.3. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 9.4 . Будем говорить, что aлгебрa (A, +, ·) изоморфнa aлгебре (B, ⊕, ⊙) и писaть (A, +, ·) ∼ = (B, ⊕, ⊙), если существует изоморфизм ϕ aлгебры (A, +, ·) нa aлгебру (B, ⊕, ⊙). Ясно, что если (A, +, ·) ∼ = (B, ⊕, ⊙), то (B, ⊕, ⊙) ∼ = (A, +, ·) , поэтому тaкие aлгебры нaзывaются изоморфными. Тaк же, кaк и в случaе группоидов, всякое множество aлгебр с двумя бинaрными оперaциями рaзбивaется нa непересекaющиеся клaссы, состоящие из изоморфных между собой aлгебр. При этом изоморфные aлгебры с двумя бинaрными оперaциями облaдaют одинaковыми aлгебрaическими свойствaми.

39

Глава II. Группы, кольца, поля. В этой главе мы рассмотрим основные алгебраические системы — группы, кольца и поля, изучим их простейшие свойства.

§ 10. Понятие группы. Примеры групп. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1 . Группой называется группоид (G, ∗), удовлетворяющий следующим условиям: 1. Операция ∗ в G ассоциативна, т.е. ∀ a, b, c ∈ G (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). 2. В группоиде G имеется нейтральный элемент e, т.е. элемент e, удовлетворяющий условию ∀ a ∈ G a ∗ e = e ∗ a = a. 3. Для всякого a ∈ G в группоиде G имеется элемент a′ , симметричный элементу a, т.е. элемент a′ , удовлетворяющий условию a ∗ a′ = a′ ∗ a = e. Среди группоидов, указанных в §1, группами являются следующие: 1. Числовые группоиды с операцией сложения (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +). 2. Числовые группоиды с операцией умножения (Q \ {0}, · ), (R \ {0}, · ), (C \ {0}, · ), (Q+ , · ), (R+ , · ). 3. Группоиды матриц с операцией сложения (Zm×n , +), (Qm×n , +), (Rm×n , +), (Cm×n , +). 4. Группоиды невырожденных матриц с операцией умножения (GL(n, Q), · ), (GL(n, R), · ), (GL(n, C), · ). 40

5. Группоиды многочленов с операцией сложения (Z[x], +), (Q[x], +), (R[x], +), (C[x], +). 6. Группоиды биективных преобразований с операцией композиции (BijM, ◦), (Sn , ·). 7. Группоиды преобразований евклидовых простраств с операцией композиции (D, ◦), (T, ◦), (Ho , ◦), (Ro , ◦). 8. Группоиды функций с операцией сложения (FX , +), (C[a,b] , +), (D[a,b] , +). 9. Группоид геометрических векторов (V3 , +) с операцией сложения. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.2. Группа (G, ∗) называется коммутативной (абелевой), если операция ∗ в G коммутативна. Среди приведенных выше примеров групп, коммутативными являются все группы за исключением групп невырожденных матриц с операцией умножения при n > 2, группы (BijM, ◦), если M содержит более двух элементов, группы (Sn , ·) при n > 2, группы движений (D, ◦). Учитывая, что многие часто встречающиеся группы являются группоидами с операцией умножения или с операцией сложения, приведем соответствующие определения в мультипликативной и аддитивной терминологии. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1 ′. Группоид (G, ·) называется группой, если он удовлетворяет следующим условиям: 1. Операция · в G ассоциативна, т.е. ∀ a, b, c ∈ G (a · b) · c = a · (b · c). 2. В группоиде G имеется единичный элемент e, т.е. элемент e, удовлетворяющий условию ∀ a ∈ G a · e = e · a = a. 41

3. Для всякого a ∈ G в группоиде G имеется элемент a−1 , обратный к элементу a, т.е. элемент a−1 , удовлетворяющий условию a · a−1 = a−1 · a = e. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1 ′′. Группоид (G, +) называется группой, если он удовлетворяет следующим условиям: 1. Операция + в G ассоциативна, т.е. ∀ a, b, c ∈ G (a + b) + c = a + (b + c). 2. В группоиде G имеется нулевой элемент 0, т.е. элемент 0, удовлетворяющий условию ∀ a ∈ G a + 0 = 0 + a = a. 3. Для всякого a ∈ G в группоиде G имеется элемент −a, противоположный элементу a, т.е. элемент −a, удовлетворяющий условию a + (−a) = (−a) + a = 0. П РИМЕР 10.1. Доказать, что множество G = {(a, b) | a, b ∈ C, b 6= 0} является группой относительно бинарной операции ∗, определенной по правилу (a, b) ∗ (c, d) = (a + bc, bd). Покажем,что ∗ — бинарная операция на множестве G. Пусть (a, b), (c, d) ∈ G. Тогда a + bc, bd ∈ C, причем bd 6= 0, так как b 6= 0, d 6= 0. Значит, (a + bc, bd) ∈ G. Покажем, что группоид G удовлетворяет всем аксиомам группы. 1. Пусть (a, b), (c, d), (f, g) ∈ G. Тогда ((a, b) ∗ (c, d)) ∗ (f, g) = (a + bc, bd) ∗ (f, g) = (a + bc + bdf, bdg), (a, b) ∗ ((c, d) ∗ (f, g)) = (a, b) ∗ (c + df, dg) = (a + bc + bdf, bdg). Значит,((a, b) ∗ (c, d)) ∗ (f, g) = (a, b) ∗ ((c, d) ∗ (f, g)), т.е. операция ∗ ассоциативна. 2. Покажем,что в группоиде G имеется нейтральный элемент. Пусть e = (x, y) — нейтральный элемент в группоиде G. Так как (0, 1) ∈ G, имеем 42

(0, 1) ∗ (x, y) = (0, 1), т.е. (0 + 1x, 1y) = (0, 1). Значит, (x, y) = (0, 1). Таким образом мы показали, что если e — нейтральный элемент в (G, ∗), то e = (0, 1). Покажем, что (0, 1) — нейтральный элемент в G. Ясно, что (0, 1) ∈ G. Пусть (a, b) ∈ G. Тогда (a, b) ∗ (0, 1) = (a + b0, b1) = (a, b) и (0, 1) ∗ (a, b) = = (0 + 1a, 1b) = (a, b). Следовательно, e = (0, 1) — нейтральный элемент в группоиде (G, ∗). 3. Покажем, что для любого элемента (a, b) в группоиде G имеется симметричный ему элемент. Пусть (a, b) ∈ G и (x, y) — элемент в G, симметричный элементу (a, b). Тогда (a, b) ∗ (x, y) = (0, 1), т.е. (a + bx, by) = = (0, 1). Из последнего равенства следует, что a + bx = 0 и by = 1, откуда, 1 a так как b 6= 0, x = − и y = . Таким образом, мы показали, что если (x, y) b b µ ¶ a 1 — элемент, симметричный элементу (a, b) ∈ G, то (x, y) = − , . b b µ ¶ a 1 Покажем, что − , — элемент, симметричный элементу (a, b). Ясb b ¶ µ ¶ µ ¶ µ a 1 −a 1 a 1 ∈ G. Имеем (a, b) ∗ − , = a + b ,b = (0, 1), но, что − , b b b b b b µ ¶ µ ¶ ¶ µ a 1 a 1 1 a 1 − , ∗ (a, b) = − + a, b = (0, 1). Следовательно, − , — b b b b b b b элемент, симметричный элементу (a, b) в группоиде (G, ∗). Таким образом, группоид (G, ∗) является группой.

§ 11. Простейшие свойства групп. В ближайших параграфах мы будем использовать преимущественно мультипликативную терминологию. Вместо записи a · b будем применять обычно запись ab, опуская знак операции ·. С ВОЙСТВО 11.1 . Во всякой группе (G, · ) имеется единственный единичный элемент. Для любого элемента a группы G имеется единственный обратный к нему элемент a−1 ∈ G. Это свойство следует из теорем 4.1 и 5.1. С ВОЙСТВО 11.2. Во всякой группе (G, · ) выполнен закон сокращения, т.е. для любых a, b, c ∈ G справедливы следующие утвержде43

ния: ab = ac ⇒ b = c, ba = ca ⇒ b = c. Доказательство. Пусть ab = ac. Умножив данное равенство слева на a , получим a−1 (ab) = a−1 (ac), −1

откуда в силу ассоциативности операции · следует, что (a−1 a)b = (a−1 a)c, так что eb = ec и, значит, b = c. Аналогично доказывается истинность второй импликации. С ВОЙСТВО 11.3 . Во всякой группе (G, · ) для любых элементов a, b ∈ G каждое из уравнений ax = b и ya = b имеет в G единственное решение, а именно x = a−1 b, y = ba−1 . Доказательство. Пусть a, b ∈ G. Тогда a(a−1 b) = (aa−1 )b = eb = b, так что a−1 b — решение уравнения ax = b. Единственность решения вытекает из закона сокращения. В самом деле, если ax1 = b и ax2 = b, где x1 , x2 ∈ G, то ax1 = ax2 и поэтому x1 = x2 . Аналогично рассматривается уравнение ya = b. С ВОЙСТВО 11.4. Группоид (G, · ) является группой тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим условиям: 1) операция · в G ассоциативна; 2) для любых a, b ∈ G каждое из уравнений ax = b и ya = b имеет решение в G. Доказательство. Необходимость вытекает из определения группы и свойства 11.3. Достаточность. Пусть группоид (G, · ) удовлетворяет условиям 1) и 2), указанным в формулировке. Покажем, что (G, · ) — группа.

44

1. Операция · ассоциативна по условию. 2. Покажем, что в G имеется единичный элемент относительно операции ·. Пусть a — фиксированный элемент из G. Из условия 2) следует, что уравнение ax = a имеет решение e1 ∈ G, так что ae1 = a. Пусть b — произвольный элемент из G. Из условия 2) следует, что уравнение ya = b имеет решение y1 ∈ G, так что y1 a = b. Поэтому be1 = (y1 a)e1 = y1 (ae1 ) = y1 a = b. Таким образом, мы показали, что ∀ b ∈ G be1 = b. (1) Аналогично доказывается, что в G имеется элемент e2 такой, что ∀ b ∈ G e2 b = b.

(2)

Покажем, что e1 = e2 . В самом деле, полагая в равенстве (1) b = e2 , а в равенстве (2) b = e1 , получим, что e2 e1 = e2 и e2 e1 = e1 , откуда e1 = e2 . Обозначим e1 = e2 = e. Тогда из (1) и (2) вытекает, что ∀ b ∈ G be = eb = b,

т.е. e — единичный элемент в G относительно операции · . 3. Пусть a ∈ G. Из условия 2) следует, что уравнения ax = e и ya = e имеют в G решения a′1 и a′2 , так что aa′1 = e и a′2 a = e. Покажем, что a′1 = a′2 . Так как операция · ассоциативна, (a′2 a)a′1 = = a′2 (aa′1 ), откуда ea′1 = a′2 e, так что a′1 = a′2 . Обозначим a′1 = a′2 = a−1 . Тогда aa−1 = a−1 a = e, т.е. a−1 — элемент в G, обратный к a. Таким образом, мы доказали, что (G, ·) удовлетворяет всем условиям из определения группы. С ВОЙСТВО 11.5. Для любых элементов a и b группы G (ab)−1 = b−1 a−1 , т.е. элемент, обратный к произведению двух элементов группы, равен произведению обратных элементов, взятых в обратном порядке. В самом деле, (ab)(b−1 a−1 ) = a(bb−1 )a−1 = aea−1 = aa−1 = e и, аналогично, (b−1 a−1 )(ab) = e, так что по определению (ab)−1 = b−1 a−1 . Свойство 11.5 обобщается на произведение n сомножителей, где n > 2, а именно справедливо следующее 45

С ВОЙСТВО 11.6. Для любых элементов a1 , a2 , . . . , an группы G −1 −1 (a1 a2 . . . an )−1 = a−1 n an−1 . . . a1 .

Доказательство этого свойства проводится так же, как и доказательство свойства 11.5. Из свойства 11.6, полагая a1 = a2 = . . . = an = a, получим следующее С ЛЕДСТВИЕ . Для любого элемента a группы G имеет место равенство (an )−1 = (a−1 )n . З АДАНИЕ . Сформулируйте свойства 11.1—11.6, а также следствие из свойства 11.6 в аддитивной терминологии.

§ 12. Степень элемента группы с целым показателем. Пусть (G, ·) — группа, a — произвольный элемент из G. Напомним, что для всякого n ∈ N an = a . . . · a} . | · a{z n сомножителей

Положим, по определению, a = e, a−n = (an )−1 Из последнего равенства вытекает, что a−n есть элемент, обратный к элементу an . Учитывая следствие из свойства 11.6, имеем 0

a−n = (an )−1 = (a−1 )n . Таким образом, мы определили ak для всякого целого числа k. Отметим, что если e — единица группы G, то ek = e, для всякого k ∈ Z. Т ЕОРЕМА 12.1 . Пусть (G, ·) — группа, a ∈ G. Тогда для любых целых чисел k, l имеют место равенства

ak al = ak+l ,

(1)

(ak )l = akl .

(2)

Доказательство. Каждое из чисел k и l может быть либо натуральным числом, либо целым отрицательным числом, либо нулем. Рассмотрим возможние случаи, где m и n — произвольные натуральные числа. 46

Докажем равенство (1). 1) k, l ∈ N . ak al = |a · a{z . . . · a}

. . . · a} = |a · a{z

k сомножителей l сомножителей

2) k = −m, l = −n.

. . . · a} |a · a{z

= ak+l .

k + l сомножителей

ak al = a−m a−n = (a−1 )m (a−1 )n = (a−1 )m+n = a−(m+n) = ak+l . 3) k = m, l = −n. а) m > n.

ak al = am a−n = am−n an a−n = am−n an (an )−1 = am−n = ak+l . б) m = n. ak al = am a−m = am (am )−1 = e = a0 = ak+l . в) m < n. ak al = am a−n = am (a−1 )n = am (a−1 )m (a−1 )n−m = a−(n−m) = am−n = ak+l . Аналогично рассматривается случай k = −m, l = n. 4) k = 0. Тогда ak al = a0 al = eal = al = ak+l . Аналогично рассматривается случай l = 0. Докажем равенство (2). 1) k, l ∈ N . (ak )l = |a · a{z . . . · a} . . . |a · a{z . . . · a} = akl . k сомножителей {z k сомножителей} | kl сомножителей

2) k = m, l = −n.

(ak )l = (am )−n = ((am )n )−1 = a−mn = akl . 3) k = −m, l = n. (ak )l = (a−m )n = ((a−1 )m )n = (a−1 )mn = a−mn = akl . 47

4) k = −m, l = −n.

(ak )l = (a−m )−n = ((a−m )n )−1 = (a−mn )−1 = amn = akl .

5) k = 0. (ak )l = (a0 )l = el = e = a0 = akl . 6) l = 0. (ak )l = (ak )0 = e = a0 = akl . Приведем соответствующие определения и утверждения в аддитивной терминологии Пусть (G, +) — группа, a ∈ G. Напомним, что для всякого n ∈ N na = a |+a+ {z. . . + a}. n слагаемых

Положим по определению 0a = 0, (−n)a = −(na). Учитывая следствие из свойства 11.6, имеем (−n)a = −(na) = n(−a). Таким образом, мы определили ka для всякого k ∈ Z.

Т ЕОРЕМА 12.2 . Пусть (G, +) — группа, a ∈ G. Тогда для любых целых чисел k и l имеют место равенства ka + la = (k + l)a, k(la) = (kl)a.

§ 13. Порядок элемента группы. Пусть (G, ·) — группа с единичным элементом e. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 13.1. Элемент a группы G называется элементом конечного порядка, если an = e для некоторого n ∈ N . При этом наименьшее n ∈ N для которого выполняется условие n a = e, называется порядком элемента a. Порядок элемента a обозначается через ord(a) или | a |.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 13.2. Элемент a группы G называется элементом бесконечного порядка, если an 6= e для всякого n ∈ N .

При этом пишут ord(a) = ∞. Из приведенных определений следует, что любой элемент группы G либо имеет конечный порядок, либо является элементом бесконечного порядка. Для элементов бесконечного порядка справедливо следующее утверждение 48

П РЕДЛОЖЕНИЕ 13.1. Элемент a группы G является элементом бесконечного порядка тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию ∀ k, l ∈ Z (k 6= l ⇒ ak 6= al ). (1)

Доказательство. Пусть a — элемент бесконечного порядка и k, l — различные целые числа. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что k > l. Предположим, что ak = al . Умножив это равенство на a−l , получим ak−l = a0 = e, где k − l ∈ N . Полученное противоречие означает, что ak 6= al . Обратно, если элемент a удовлетворяет условию (1), то an 6= a0 для вякого n ∈ N , так что по определению a является элементом бесконечного порядка. Приведем некоторые примеры. Во всякой группе единичный элемент e является элементом конечного порядка, причем ord(e) = 1; в группе (R \ {0}, ·) число −1 является элементом конечного порядка, причем ord(−1) = 2; остальные числа в этой группе, отличные от 1, являются элементами бесконечного µ порядка; ¶ 1 2 3 в группе (S3 , ·) элемент имеет порядок, равный 3; 2 3 1 µ ¶ 1 2 3 4 5 в группе (S5 , ·) элемент имеет порядок, равный 6; 2 3 1 5 4 π

в группе (Ro , ◦) элемент Ro4 имеет порядок, равный 8, Ro1 — элемент бесконечного порядка (проверьте!). Отметим некоторые свойства элементов конечного и бесконечного порядка.

С ВОЙСТВО 13.1. Для всякого элемента a группы G элементы a и a−1 либо оба являются элементами одного и того же конечного порядка, либо оба являются элементами бесконечного порядка. Доказательство. 1. Пусть a — элемент конечного порядка n. Тогда (a−1 )n = (an )−1 = e−1 = e, так что a−1 — элемент конечного порядка. При этом если (a−1 )m = e для некоторого m ∈ N , где m < n, то am = ((a−1 )m )−1 = e−1 = e, что противоречит условию ord(a) = n. Значит, ord(a−1 ) = n. 2. Пусть a — элемент бесконечного порядка. Если a−1 — элемент конечного порядка, то a = (a−1 )−1 также имеет конечный порядок, что противоречит условию. Значит a−1 — элемент бесконечного порядка. 49

С ВОЙСТВО 13.2 . В любой конечной группе (G, ·) все элементы являются элементами конечного порядка. Доказательство. Пусть множество G состоит из n элементов и a ∈ G. Тогда среди n + 1 элементов a, a2 , . . . , an+1 найдутся два равных, т.е. существуют i, j ∈ {1, . . . , n + 1} такие, что ai = aj и i 6= j. Поэтому по предложению 13.1 a не является элементом бесконечного порядка, т.е. a — элемент конечного порядка. С ВОЙСТВО 13.3. Пусть ord(a) = n. Тогда для любого целого числа k ak = ar , где r — остаток от деления числа k на n. Доказательство. Пусть k = nq + r, где q, r ∈ Z и 0 6 r < n. Тогда ak = anq+r = anq ar = (an )q ar = eq ar = ar . С ВОЙСТВО 13.4. Пусть ord(a) = n. Тогда для любого k ∈ Z . ak = e ⇔ k .. n.

Доказательство. 1. Пусть ak = e. Тогда, по свойству 13.3, ar = e, где r — остаток от деления числа k на n. Если r 6= 0, то r ∈ N и так как ar = e, r < n, . получим противоречие с тем, что ord(a) = n. Значит r = 0, т.е. k .. n. . 2. Обратно, пусть k .. n. Тогда ak = a0 = e. С ВОЙСТВО 13.5. Пусть ord(a) = n. Тогда для любых k, l ∈ Z . ak = al ⇔ k − l .. n.

Доказательство. Легко видеть, что ak = al ⇔ ak−l = e. В самом деле, если ak = al , то умножив это равенство почленно на a−l , получим ak−l = e; обратно, если ak−l = e, то умножив это равенство на al , получим ak = al . . По свойству 13.4 ak−l = e ⇔ k − l .. n. Из предыдущего следует, что . ak = al ⇔ k − l .. n. С ВОЙСТВО 13.6. Пусть ord(a) = n. Тогда для любого k ∈ Z ord(ak ) =

50

n . (n, k)

Доказательство. Пусть d = (n, k). Тогда k = dk1 , n = dn1 , где (k1 , n1 ) = 1. Покажем, что ord(ak ) = n1 . Имеем (ak )n1 = akn1 = adk1 n1 = adn1 k1 = (an )k1 = e. Пусть (ak )l = e, где l ∈ N и l < n1 . Тогда (ak )l = akl = e, откуда, по . . . свойству 13.4 kl .. n, т.е. dk1 l .. dn1 и, значит, k1 l .. n1 . Так как (k1 , n1 ) = 1, . из предыдущего следует, что l .. n1 . Получили противоречие, так как l < n и l ∈ N . Следовательно, (ak )l 6= e для всякого l ∈ N , удовлетворяющего условию l < n1 . Мы доказали, что (ak )n1 = e и (ak )l 6= e для всякого l ∈ N , где l < n1 . n Значит, ord(ak ) = n1 , т.е. ord(ak ) = . (n, k) П РИМЕР 13.1. Найти порядок элемента b = Ro2000 в группе (Ro , ◦). ◦

Обозначим a = Ro1 . Ясно, что ord(a) = 360. Так как b = a2000 , ◦

ord(b) = ord(a2000 ) =

360 360 = = 9. (360, 2000) 40

П РИМЕР 13.2. Найти число i123456789 . Так как порядок элемента i в группе (C \ {0}, ·) равен 4 и остаток от деления числа 123456789 на 4 равен 1, по свойству 13.3 i123456789 = i1 = i. Приведем определение элементов конечного и бесконечного порядков в аддитивной терминологии.

51

Пусть (G, +) — группа с нулевым элементом 0. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 13.1 ′. Элемент a группы G называется элементом конечного порядка, если na = 0 для некоторого n ∈ N . При этом наименьшее n ∈ N , для которого выполняется условие na = 0, называется порядком элемента a. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 13.2 ′. Элемент a группы G называется элементом бесконечного порядка, если na 6= 0 для всякого n ∈ N . З АДАНИЕ . Сформулируйте предложение 13.1 и свойства 13.1— 13.6 в аддитивной терминологии.

§ 14. Частное элементов абелевой группы. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1 . Пусть (G, ·) — абелева группа. Частным элементов a и b группы G называется такой элемент c ∈ G, что a = bc. a Частное элементов a и b обозначается через . Таким образом, согласb a но определению a = b . b Отметим следующие свойства частных элементов абелевой группы G. С ВОЙСТВО 14.1. Для любых элементов a и b абелевой группы G a существует единственное частное , причем b a = ab−1 . b Это утверждение вытекает из свойства 11.3. a a = a). С ВОЙСТВО 14.2. ∀ a ∈ G ( = e ∧ a e Эти равенства вытекают из определения частного. С ВОЙСТВО 14.3. ∀ a, b, c, d ∈ G

a c = ⇔ ad = bc. b d 52

Доказательство. Пусть

c a = . В силу свойства 14.1 b d ab−1 = cd−1 .

(1)

Умножив равенство (1) почленно на bd, получим (ab−1 )(bd) = = (cd−1 )(bd). Значит, a(b−1 b)d = c(d−1 d)b и, следовательно, ad = cb, т.е. ad = bc. Обратно, пусть ad = bc. (2) Умножив равенство (2) почленно на b−1 d−1 , получим ab−1 dd−1 c a = bb−1 cd−1 , или ab−1 = cd−1 , так что = . b d a c ac С ВОЙСТВО 14.4. ∀ a, b, c, d ∈ G = . b d bd Доказательство. Имеем ³a ´ ³ c ´ ³a c ´ bd = b d = ac. b d b d a c ac Поэтому по определению частного = . b d bd a ad b С ВОЙСТВО 14.5. ∀ a, b, c, d ∈ G = . c bc d Доказательство. Имеем ³a ´ ³c ´ c a (bc) = b c = ac и (ad) = d a = ca = ac. b b d d

Поэтому доказываемое равенство вытекает из свойства 14.3. С ВОЙСТВО 14.6. ∀ a, b, c ∈ G

ac a = . bc b

Это равенство сразу вытекает из свойства 14.3. a b c

С ВОЙСТВО 14.7. ∀ a, b, c ∈ G

=

Это равенство вытекает из свойства 14.3. С ВОЙСТВО 14.8. ∀ a, b, c ∈ G a

b ab = . c c

53

a . bc

=

Доказательство. Имеем µ ¶ µ ¶ b b c=a c = ab. a c c Поэтому доказываемое равенство вытекает из определения частного. В случае, когда операция в коммутативной группе G обозначается через + (т.е. в случае аддитивной терминологии), вместо частного элементов a и b группы G вводится понятие разности элементов a и b. Приведем соответствующие определения и свойства (доказательства свойств совпадают с приведенными выше). О ПРЕДЕЛЕНИЕ 14.2. Пусть (G, +) — абелева группа. Разностью элементов a и b группы G называется такой элемент c ∈ G, что a = b + c. Разность элементов a и b обозначается через a − b. Таким образом, согласно определению a = b + (a − b). С ВОЙСТВО 14.1 ′. Для любых элементов a и b абелевой группы G существует единственная разность a − b, причем a − b = a + (−b). С ВОЙСТВО 14.2 ′. ∀ a ∈ G (a − a = 0 ∧ a − 0 = a). С ВОЙСТВО 14.3 ′. ∀ a, b, c, d ∈ G a − b = c − d ⇔ a + d = b + c. С ВОЙСТВО 14.4 ′. ∀ a, b, c, d ∈ G (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d). С ВОЙСТВО 14.5 ′. ∀ a, b, c, d ∈ G (a − b) − (c − d) = (a + d) − (b + c). С ВОЙСТВО 14.6 ′. ∀ a, b, c ∈ G (a + c) − (b + c) = a − b. С ВОЙСТВО 14.7 ′. ∀ a, b, c ∈ G (a − b) − c = a − (b + c). С ВОЙСТВО 14.8 ′. ∀ a, b, c ∈ G a + (b − c) = (a + b) − c. З АМЕЧАНИЕ . Приведенные свойства частного (разности) двух элементов абелевой группы совпадают со свойствами частного и разности действительных чисел, известными из школьного курса математики.

54

§ 15. Подгруппа. Циклическая подгруппа. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 15.1. Подгруппой группы (G, ∗) называется подмножество H множества G, которое замкнуто относительно операции ∗, определенной в G, и само является группой относительно этой операции. Приведем некоторые примеры. Во всякой группе (G, ∗) само множество G, а также одноэлементное подмножество {e} являются подгруппами группы G. Такие подгруппы группы G называются тривиальными. Множество Z является подгруппой группы (R, +). Множество Q \ {0} является подгруппой группы (C \ {0}, ·). Множество T является подгруппой группы (D, ◦). Множество D[a,b] является подгруппой группы (C[a,b] , +). Простейшие свойства подгрупп. Будем использовать мультипликативную терминологию. С ВОЙСТВО 15.1. Единичный элемент подгруппы H группы (G, ·) совпадает с единичным элементом e группы G. Доказательство. Пусть e1 — единичный элемент подгруппы H. Тогда e1 e1 = e1 и e1 e = e1 . Значит, e1 e1 = e1 e, откуда по закону сокращения e1 = e. Из свойства 15.1 вытекает С ВОЙСТВО 15.2. Для всякого элемента a подгруппы H группы (G, ·) обратный к нему элемент в H совпадает с a−1 (т.е. с обратным к нему элементом в группе G). Отметим также два простых утверждения для коммутативного случая. Прежде всего, очевидно С ВОЙСТВО 15.3 . Подгруппа коммутативной группы сама является коммутативной группой. Учитывая свойства 15.2, 15.3, а также свойство 14.1, получаем следующее 55

С ВОЙСТВО 15.4. Пусть H — подгруппа коммутативной группы (G, ·). Тогда для любых элементов a и b из H их частное в подгруппе H совпадает с частным этих элементов в группе G, т.е. с элеменa том . b З АДАНИЕ . Сформулируйте свойства 15.1, 15.2 и 15.4 в аддитивной терминологии. Признаки подгруппы. На практике при решении вопроса о том, является ли подмножество H группы G подгруппой в G, вместо определения удобно пользоваться одной из следующих двух теорем, которые мы будем называть соответственно первым и вторым признаками подгруппы. Т ЕОРЕМА 15.1 (первый признак подгруппы). Непустое подмножество H группы G с операцией · является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: ∀ a, b ∈ H ab ∈ H (т.е. H замкнуто относительно операции ·) , ∀ a ∈ H a−1 ∈ H.

(1) (2)

Доказательство. Необходимость. Пусть H подгруппа группы G. Тогда условие (1) выполненно по определению подгруппы, а условие (2) — согласно свойству 15.2. Достаточность. Пусть H ⊂ G, H 6= ∅ и H удовлетворяет условиям (1), (2). Из условия (1) следует, что H — группоид относительно операции ·. Покажем, что группоид (H, ·) удовлетворяет всем аксиомам группы. 1. Операция · в H ассоциативна, так как · ассоциативна в G. 2. Пусть e — единичный элемент группы G. Покажем, что e ∈ H. Пусть a — произвольный элемент из H (H 6= ∅!) Из условия (2) следует, что a−1 ∈ H. Так как a, a−1 ∈ H, из условия (1) следует, что aa−1 ∈ H, т.е. e ∈ H. Значит, e — единичный элемент в группоиде (H, ·). 3. Пусть a ∈ H. По условию (2) a−1 ∈ H и поэтому a−1 — элемент, обратный к элементу a в группоиде (H, ·). Следовательно, H — подгруппа группы G. 56

Т ЕОРЕМА 15.2 (второй признак подгруппы). Непустое подмножество H группы G с операцией · является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию ∀ a, b ∈ H ab−1 ∈ H. (3) Доказательство. Необходимость. Пусть H подгруппа группы G и a, b ∈ H. Так как b ∈ H, по теореме 15.1 b−1 ∈ H и, так как a, b−1 ∈ H, снова по теореме 15.1 ab−1 ∈ H. Достаточность. Пусть H ⊂ G, H 6= ∅ и H удовлетворяет условию (3). Покажем, что H удовлетворяет обоим условиям (1) и (2), указанным в формулировке теоремы 15.1. Пусть a ∈ H. Тогда из условия (3) следует, что aa−1 ∈ H т.е. e ∈ H. Поэтому, так как e, a ∈ H, по условию (3) ea−1 ∈ H, т.е. a−1 ∈ H. Таким образом, H удовлетворяет условию (2) из теоремы 15.1. Пусть a, b ∈ H. Согласно предыдущему, b−1 ∈ H и поэтому, по условию (3) a(b−1 )−1 ∈ H, т.е. ab ∈ H. Значит, H удовлетворяет и условию (1) из теоремы 15.1. Следовательно, H — подгруппа группы G. З АМЕЧАНИЕ . Пусть (G, ·) абелева группа и a, b ∈ G. По свойству 14.1 a ab−1 = . Поэтому условие (3) теоремы 15.2 может быть записано в виде b a ∀ a, b ∈ H ∈ H. (4) b Сформулируем теоремы 15.1 и 15.2 в аддитивной терминологии. Т ЕОРЕМА 15.1 ′ (первый признак подгруппы). Непустое подмножество H группы G с операцией + является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: ∀ a, b ∈ H a + b ∈ H (т.е. H замкнуто относительно операции +), ∀ a ∈ H − a ∈ H. Т ЕОРЕМА 15.2 ′ (второй признак подгруппы). 57

(1) (2)

Непустое подмножество H группы G с операцией + является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию ∀ a, b ∈ H a + (−b) ∈ H. (3) З АМЕЧАНИЕ . Если (G, +) — абелева группа, то условие (3) может быть записанно в виде ∀ a, b ∈ H a − b ∈ H.

(4)

Рассмотрим примеры применения доказанных выше признаков подгруппы. П РИМЕР 15.1. Пусть H — множество всех корней из единицы, принадлежащих C, т.е. H = {x ∈ C | ∃n ∈ N xn = 1}. Доказать, что H — подгруппа в группе (C \ {0}, ·). Применим первый признак подгруппы. Ясно, что H — непустое подмножество в C \ {0}. Пусть x, y ∈ H. Тогда найдутся такие k и l из N , что xk = 1 и y l = 1. Обозначив n = kl, и учитывая коммутативность операции умножения в C, получим, что (xy)n = xn y n = (xk )l (y l )k = 1l 1k = 1. Значит, xy ∈ H. Кроме того, (x−1 )k = (xk )−1 = 1, так что x−1 ∈ H. Таким образом, H удовлетворяет обоим условиям (1) и (2) теоремы 15.1. Поэтому H — подгруппа в группе (C \ {0}, ·). ¶ ¾ ½µ a c | a, b ∈ R \ {0}, c ∈ R . П РИМЕР 15.2. Пусть H = 0 b Доказать, что H — подгруппа в группе GL(2, R). Снова применим первый признак подгруппы. Ясно, что H — непустое подмножество в GL(2, R) (убедиться!). ¶ µ ¶ µ a c a1 c1 . Пусть X, Y ∈ H и X = , Y = 0 b1 0 b ¶ µ aa1 ac1 + cb1 ∈ H (объяснить!). Тогда XY = 0 bb1

58

Кроме формулу для обратной матрицы, получим, что   того, используя c b −  ab , так что X −1 ∈ H. X −1 =  ab  a 0 ab ab Значит, H — подгруппа группы GL(2, R). П РИМЕР 15.3 . Доказать, что множество H всех целых чисел, делящихся на фиксированное натуральное число n, является подгруппой в группе (Z, +). Применим второй признак подгруппы (в аддитивной терминологии). Ясно, что H ⊂ Z и H 6= ∅. Пусть x, y ∈ H т.е. x = nq1 , y = nq2 , где q1 , q2 ∈ Z. Тогда x + (−y) = nq1 − nq2 = n(q1 − q2 ) ∈ H. Поэтому H — подгруппа в группе (Z, +). П РИМЕР 15.4 . Доказать, что множество H функций из FX , ограниченных на множестве X, является группой относительно операции сложения (функция f (x) называется ограниченной на множестве X, если существует такое M ∈ R, что для всякого x ∈ X выполняется неравенство | f (x) |6 M ). Применим второй признак подгруппы. Очевидно, что H есть непустое подмножество абелевой группы FX с операцией +. Пусть f (x), g(x) ∈ H, т.е. существуют такие M1 , M2 ∈ R, что | f (x) |6 M1 и | g(x) |6 M2 для всякого x ∈ X. Тогда | f (x) − g(x) |6| f (x) | + | g(x) |6 M1 + M2 и, значит, f (x) − g(x) ∈ H. Следовательно, H удовлетворяет условию (3) теоремы 15.2′ . Поэтому H — подгруппа группы (FX , +), т.е. H — группа относительно операции сложения. П РИМЕР 15.5 . Выяснить, является ли множество H всех матриц из Rn×n , определитель которых есть натуральное число, группой относительно операции умножения матриц. В этом примере H есть подмножество группы GL(n, R) с операцией умножения. 59

Пусть A ∈ H и | A |> 1 (приведите пример такой матрицы). Тогда 1 < 1 и, значит, A−1 ∈ / H. Следовательно H не удовлетворяет |A−1 | = |A| условию (2) первого признака подгруппы. Значит, H не является подгруппой группы (GL(n, R), ·), т.е. H не является группой относительно операции умножения матриц. Циклическая подгруппа. Пусть (G, ·) — группа, a ∈ G. Обозначим < a >= {ak | k ∈ Z}. Из равенств (1) и (2) теоремы 12.1 легко следует Т ЕОРЕМА 15.3 . Множество < a > является подгруппой группы G. В самом деле, ясно, что < a > — непустое подмножество в G. Пусть x, y ∈< a >. Тогда x = ak , y = al , где k, l ∈ Z. Поэтому xy = ak al = ak+l ∈< a > и

x−1 = (ak )−1 = a−k ∈< a >, так что по теореме 15.1 < a > — подгруппа группы G. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 15.2 . Пусть (G, ·) — группа, a ∈ G. Подгруппа < a >= {ak | k ∈ Z} группы G называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом a. П РИМЕР 15.6. В группе (C \ {0}, ·) © ª < −1 >= {1, −1}, < i >= {1, −1, i, −i}, < 2 >= 2k | k ∈ Z — бесконечное множество. Вообще, если элемент a группы G с операцией · имеет конечный порядок n, то, как следует из свойств 13.3 и 13.5, циклическая подгруппа < a > состоит из n элементов, а именно, ª © < a >= a0 = e, a, . . . , an−1 ,

если же a — элемент бесконечного порядка, то < a > бесконечна. Приведем определение циклической подгруппы в аддитивной терминологии.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 15.3 . Пусть (G, +) — группа, a ∈ G. Подгруппа < a >= {ka | k ∈ Z} группы G называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом a. 60

Как и в мультипликативном случае, если элемент a группы (G, +) имеет конечный порядок n, то циклическая подгруппа < a > состоит из n элементов, а именно < a >= {0a = 0, a, . . . , (n − 1)a} .

Отметим, что, как нетрудно доказать, любая циклическая подгруппа, порожденная элементом порядка n, изоморфна мультипликативной группе корней n-ой степени из 1, а любая циклическая подгруппа, порожденная элементом бесконечного порядка изоморфна группе (Z, +).

§ 16. Гомоморфный образ группы. Пусть ϕ — гомоморфизм группы (G, ∗) в группоид (B, ◦). Как отмечалось выше (см. следствие из теоремы 7.1) гомоморфный образ ϕ(G) является группоидом относительно операции ◦, определенной в B. Более того, имеет место Т ЕОРЕМА 16.1 . Гомоморфный образ группы (G, ∗) при гомоморфизме ϕ группы (G, ∗) в группоид (B, ◦) является группой относительно операции ◦, определенной в B.

Доказательство. Проверим все аксиомы группы. Так как операция ∗ в G ассоциативна, по теореме 7.2, операция ◦ в ϕ(G) ассоциативна. Так как e — нейтральный элемент в (G, ∗), по теореме 7.2, ϕ(e) — нейтральный элемент в (ϕ(G), ◦). Пусть b ∈ ϕ(G) и a — такой элелемент из G, что ϕ(a) = b. Для элемента a в группе G имеется симметричный ему элемент a′ . Поэтому по теореме 7.2 ϕ(a′ ) — элемент в ϕ(G), симметричный элементу b. Значит, ϕ(G) группа относительно операции ◦. З АМЕЧАНИЕ . Отметим дополнительно, что если (G, ∗) — коммутативная группа, то в силу теоремы 7.2 ϕ(G) также коммутативная группа.

П РИМЕР 16.1. Пусть Zm = {0, 1, . . . , m − 1}, где m — фиксированное натуральное число, m > 1. Пусть далее на множестве Zm определена бинарная операция ⊕ следующим образом: a ⊕ b = r, где r — остаток от деления числа a + b на m. 61

Доказать, что (Zm , ⊕) — коммутативная группа. Рассмотрим отображение ϕ : Z → Zm , заданное правилом ϕ(a) = r, где r — остаток от деления числа a на m. Ясно, что ϕ — сюръективное отображение. Покажем, что ϕ — гомоморфизм группы (Z, +) в группоид (Zm , ⊕). Пусть a, b ∈ Z, a = mq1 + r1 , b = mq2 + r2 , где r1 , r2 — остатки от деления чисел a и b на m. Тогда a + b = m(q1 + q2 ) + r1 + r2 . Поэтому ϕ(a + b) = ϕ(r1 + r2 ), т.е. ϕ(a + b) равно остатку от деления числа r1 + r2 на m. С другой стороны, ϕ(a) = r1 , ϕ(b) = r2 и, значит, ϕ(a) ⊕ ϕ(b) = r1 ⊕ r2 , т.е. ϕ(a) ⊕ ϕ(b) также равно остатку от деления числа r1 + r2 на m. Следовательно, ϕ(a + b) = ϕ(a) ⊕ ϕ(b).

Из теоремы 16.1 и замечания к ней получаем, что (Zm , ⊕) — коммутативная группа. З АМЕЧАНИЕ . Другой подход к группе (Zm , ⊕), основанный на свойствах сравнений по модулю числа m, будет продемонстрирован в теории чисел.

62

§ 17. Понятие кольца. Примеры колец. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 17.1. Кольцом называется алгебра (K, +, ·) с двумя бинарными операциями + и ·, которая удовлетворяет следующим условиям 1. (K, +) — абелева группа, т.е. а) операция + в K ассоциативна, т.е. ∀ a, b, c ∈ K (a + b) + c = a + (b + c); б) в множестве K имеется нулевой элемент 0 относительно операции +, т.е. элемент 0, удовлетворяющий условию ∀ a ∈ K a + 0 = 0 + a = a; в) для всякого a ∈ K в множестве K имеется противоположный ему элемент −a, т.е. элемент −a, удовлетворяющий условию a + (−a) = (−a) + a = 0; г) операция + в K коммутативна, т.е. ∀ a, b ∈ K a + b = b + a. 2. Операция · в K ассоциативна, т.е. ∀ a, b, c ∈ K (ab)c = a(bc). 3. Операция · в K дистрибутивна относительно операции +, т.е. ∀ a, b, c ∈ K ((a + b)c = ac + bc ∧ c(a + b) = ca + cb). З АМЕЧАНИЕ . В математической литературе часто дается определение кольца, несколько отличающееся от приведенного выше. Именно, в нем отсутствует пункт 2 об ассоциативности операции ·. При этом, если алгебра (K, +, ·) удовлетворяет и условию пункта 2, то ее называют ассоциативным кольцом. Приведем некоторые примеры колец. 1. Числовые кольца (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·). 63

2. Кольца матриц (Zn×n , +, ·), (Qn×n , +, ·), (Rn×n , +, ·), (Cn×n , +, ·). 3. Кольца многочленов (Z[x], +, ·), (Q[x], +, ·), (R[x], +, ·), (C[x], +, ·). 4. Кольца функций (FX , +, ·), (C[a,b] , +, ·), (D[a,b] , +, ·). П РИМЕР 17.1. Доказать, что множество K = {(a, b) | a, b ∈ Q} является кольцом относительно бинарных операций ⊕, ⊙, определеных по следующим правилам: (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac, 2bd). Ясно, что ⊕, ⊙ являются бинарными операциями на множестве K. Покажем, что алгебра (K, ⊕, ⊙) является кольцом. 1. Очевидно, что операция ⊕ на множестве K коммутативна и ассоциативна. Кроме того, пара (0, 0) является нулевым элементом в группоиде (K, ⊕) и для всякого элемента (a, b) ∈ K в группоиде (K, ⊕) имеется противоположный ему элемент (−a, −b). Следовательно, (K, ⊕) — абелева группа. 2. Покажем, что операция ⊙ в K ассоциативна. Пусть (a, b), (c, d), (f, g) ∈ K. Тогда ((a, b) ⊙ (c, d)) ⊙ (f, g) = (ac, 2bd) ⊙ (f, g) = (acf, 4bdg), (a, b) ⊙ ((c, d) ⊙ (f, g)) = (a, b) ⊙ (cf, 2dg) = (acf, 4bdg). Значит, ((a, b) ⊙ (c, d)) ⊙ (f, g) = (a, b) ⊙ ((c, d) ⊙ (f, g)), т.е. операция ⊙ ассоциативна. 3. Покажем, что операция ⊙ дистрибутивна относительно операции ⊕. Пусть (a, b), (c, d), (f, g) ∈ K. В силу коммутативности операции ⊙ достаточно доказать, что ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊙ (f, g) = (a, b) ⊙ (f, g) ⊕ (c, d) ⊙ (f, g). Имеем ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊙ (f, g) = (a + c, b + d) ⊙ (f, g) = (af + cf, 2bg + 2dg), (a, b) ⊙ (f, g) ⊕ (c, d) ⊙ (f, g) = (af, 2bg) ⊕ (cf, 2dg) = (af + cf, 2bg + 2dg). Таким образом, (K, ⊕, ⊙) является кольцом.

64

§ 18. Простейшие свойства колец. Пусть (K, +, ·) — кольцо. Так как (K, +) — абелева группа, учитывая свойства групп 11.1 и 11.2 (в аддитивной терминологии) и свойство 14.1′ разности элементов абелевой группы, получим С ВОЙСТВО 18.1 . Во всяком кольце (K, +, ·) имеется единственный нулевой элемент 0 и для вякого a ∈ K имеется единственный противоположный ему элемент −a. С ВОЙСТВО 18.2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c). С ВОЙСТВО 18.3. Для любых a, b ∈ K в кольце K существует единственная разность a − b, причем a − b = a + (−b). Таким образом, в кольце K определена операция вычитания, при этом она обладает свойствами 14.1′ — 14.8′ . С ВОЙСТВО 18.4 . Операция умножения в K дистрибутивна относительно операции вычитания, т.е. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb). Доказательство. Пусть a, b, c ∈ K. Учитывая дистрибутивность операции · в K относительно операции + и определение разности элементов кольца, получим (a − b)c + bc = ((a − b) + b)c = ac, откуда по определению разности следует, что (a − b)c = ac − bc. Аналогично доказывается правый закон дистрибутивности операции умножения относительно операции вычитания. С ВОЙСТВО 18.5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0. Доказательство. Пусть a ∈ K и b — произвольный элемент из K. Тогда b − b = 0 и поэтому, учитывая предыдущее свойство, получим a0 = a(b − b) = ab − ab = 0. Аналогично доказывается, что 0a = 0. С ВОЙСТВО 18.6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab). 65

Доказательство. Пусть a, b ∈ K. Тогда (−a)b + ab = ((−a) + a)b = = 0b = 0. Значит, (−a)b = −(ab). Аналогично доказывается равенство a(−b) = −(ab). С ВОЙСТВО 18.7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab. Доказательство. В самом деле, применяя дважды предыдущее свойство, получим (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab. З АМЕЧАНИЕ . Свойства 18.6 и 18.7 называют правилами знаков в коль-

це. Из дистрибутивности операции умножения в кольце K относительно операции сложения и свойств 18.6 и 18.7 вытекает следующее С ВОЙСТВО 18.8. Пусть k, l — произвольные целые числа. Тогда ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

§ 19. Подкольцо. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 19.1 . Подкольцом кольца (K, +, ·) называется подмножество H множества K, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в K, и само является кольцом относительно этих операций. Приведем некоторые примеры подколец. Так, Z — подкольцо кольца (Q, +, ·), Q — подкольцо кольца (R, +, ·), Rn×n — подкольцо кольца (Cn×n , +, ·), Z[x] — подкольцо кольца (R[x], +, ·), D[a,b] — подкольцо кольца (C[a,b] , +, ·). Во всяком кольце (K, +, ·) само множество K, а также одноэлементное подмножество {0} являются подкольцами кольца (K, +, ·). Это так называемые тривиальные подкольца кольца (K, +, ·).

66

Простейшие свойства подколец. Пусть H — подкольцо кольца (K, +, ·), т.е. (H, +, ·) само является кольцом. Значит, (H, +) — группа, т.е. H — подгруппа группы (K, +). Поэтому справедливы следующие утверждения. С ВОЙСТВО 19.1 . Нулевой элемент подкольца H кольца K совпадает с нулевым элементом кольца K. С ВОЙСТВО 19.2 . Для всякого элемента a подкольца H кольца K противоположный ему элемент в H совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в K. С ВОЙСТВО 19.3. Для любых элементов a и b подкольца H их разность в H совпадает с элементом a − b, т.е. с разностью этих элементов в K. Признаки подкольца. Т ЕОРЕМА 19.1 (первый признак подкольца). Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является подкольцом кольца K тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: ∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, ∀ a ∈ H − a ∈ H, ∀ a, b ∈ H ab ∈ H.

(1) (2) (3)

Доказательство. Необходимость. Пусть H — подкольцо кольца (K, +, ·). Тогда H — подгруппа группы (K, +). Поэтому по первому признаку подгруппы (в аддитивной формулировке), H удовлетворяет условиям (1) и (2). Кроме того, H замкнуто относительно операции умножения, определенной в K, т.е. H удовлетворяет и условию (3). Достаточность. Пусть H ⊂ K, H 6= ∅ и H удовлетворяет условиям ( 1) − ( 3). Из условий (1) и (2) по первому признаку подгруппы следует, что H — подгруппа группы (K, +), т.е. (H, +) — группа. При этом, так как (K, +) — абелева группа, (H, +) также абелева. Кроме того, из условия (3) следует, что умножение является бинарной операцией на множестве H. Ассоциативность операции · в H и ее дистрибутивность относительно операции + следуют из того, что такими свойствами обладают операции + и · в K. 67

На практике чаще используется следующая Т ЕОРЕМА 19.2 (второй признак подкольца). Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является подкольцом кольца K тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: (4) (5)

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, ∀ a, b ∈ H ab ∈ H.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 19.1. При этом используется теорема 15.2′ (второй признак подгруппы в аддитивной формулировке) и замечание к ней. Рассмотрим некоторые примеры. П РИМЕР 19.1. Доказать, что ¾ ½ k | k, l ∈ Z, p — фиксированное простое число H= pl является подкольцом кольца (Q, +, ·). Ясно, что H ⊂ Q и H 6= ∅. Пусть a, b ∈ H и a =

Тогда

k2 k1 , b = . p l1 p l2

k 1 p l2 − k 2 p l1 k1 k2 a−b= ∈ H и ab = ∈ H. p l1 +l2 p l1 +l2 Поэтому по второму признаку подкольца H является подкольцом кольца (Q, +, ·). П РИМЕР 19.2. Является ли множество ¶ ¾ ½µ 2a 3b H= | a, b, c, d ∈ Z подкольцом кольца (Z2×2 , +, ·)? 3c 2d Ясно, что H — непустое множества Z¶ 2×2 . ¶ µ µ подмножество 2a2 3b2 2a1 3b1 . , B= Пусть A, B ∈ H и A = 3c2 2d2 3c1 2d1 Тогда ¶ µ 2a1 − 2a2 3b1 − 3b2 ∈ H, A−B = 3c1 − 3c2 2d1 − 2d2

так что условие (4) из второго признака подкольца выполняется. 68

Проверим, выполнено ли условие (5). Имеем ¶ µ 4a1 a2 + 9b1 c2 6a1 b2 + 6b1 d2 , AB = 6c1 a2 + 6d1 c2 9c1 b2 + 4d1 d2

откуда легко видеть, что если b1 и c2 — нечетные числа, то AB ∈ / H. Значит, H не является подкольцом кольца (Z2×2 , +, ·). П РИМЕР 19.3. Доказать, что множество H функций из FX , обращающихся в нуль при x0 ∈ X, является кольцом относительно операций сложения и умножения. Ясно, что H — непустое подмножество кольца FX с операциями + и ·. Пусть f (x), g(x) ∈ H. Тогда (f (x) − g(x))(x0 ) = f (x0 ) − g(x0 ) = 0 и (f (x)g(x))(x0 ) = f (x0 )g(x0 ) = 0. Следовательно, H — подкольцо кольца (FX , +, ·), так что H — кольцо относительно операций сложения и умножения функций.

§ 20. Частные виды колец. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 20.1 . Кольцо (K, +, ·) называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна, т.е. ∀ a, b ∈ K ab = ba. В качестве примера коммутативных колец отметим все числовые кольца, кольца многочленов, кольца функций, указанные в §17. С другой стороны, кольцо матриц порядка n > 2 с элементами из любого числового кольца не коммутативно (убедитесь!). О ПРЕДЕЛЕНИЕ 20.2. Единичным элементом, или единицей кольца (K, +, ·) называется такой элемент e ∈ K, который удовлетворяет условию ∀ a ∈ K ae = ea = a. 69

Например, в кольце (Q, +, ·) единичным элементом является число 1, в кольце (Rn×n , +, ·) — единичная матрица E. С другой стороны, в кольце четных чисел единичного элемента нет. Отметим, что так как во всяком группоиде существует не более одного нейтрального элемента, любое кольцо либо не имеет единичного элемента, либо имеет единственный единичный элемент. Пусть кольцо (K, +, ·) имеет единицу e. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 20.3. Элемент a−1 кольца K c единицей e называется обратным к элементу a ∈ K, если aa−1 = a−1 a = e.

1 есть обратный элемент к элементу 2 в кольце (Q, +, ·), Например, 2 ¶ µ µ ¶ 1 −1 1 1 матрица есть обратный элемент к матрице в кольце 0 1 0 1 (R2×2 , +, ·). С другой стороны, в кольце (R2×2 , +, ·) всякая вырожденная матрица не имеет обратного элемента. Отметим, что, так как операция умножения в кольце K ассоциативна, всякий элемент a кольца K с единицей имеет не более одного обратного элемента. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 20.4. Элемент a кольца K с единицей e называется обратимым, если в K имеется элемент a−1 обратный к a.

Отметим, что если элемент a ∈ K обратим, то обратный к нему элемент a−1 также обратим, так как a есть элемент, обратный к a−1 . Т ЕОРЕМА 20.1. Множество K ∗ всех обратимых элементов кольца (K, +, ·) с единицей e является группой относительно операции умножения. Доказательство. Ясно, что e ∈ K ∗ и поэтому K ∗ 6= ∅. Докажем, что K ∗ замкнуто относительно операции умножения. Пусть a, b ∈ K ∗ и a−1 , b−1 — соответствующие им обратные элементы в K. Тогда abb−1 a−1 = b−1 a−1 ab = e, так что b−1 a−1 есть элемент в K, обратный к элементу ab. Значит, ab ∈ K ∗ и,следовательно, умножение является бинарной операцией в K ∗ . Покажем, что группоид (K ∗ , ·) является группой. Операция · в K ∗ ассоциативна, так как ассоциативна операция умножения в K. Ясно, что e — единичный элемент в K ∗ . Пусть a ∈ K ∗ , тогда a−1 70

также принадлежит K ∗ . Значит, для всякого элемента из K ∗ в группоиде K ∗ имеется обратный элемент. Таким образом (K ∗ , ·) есть группа. Отметим некоторые частные случаи. В кольце (Z, +, ·) группа обратимых элементов Z ∗ = {1, −1}; в кольце (R, +, ·) группа обратимых элементов R∗ = R \ {0}; ∗ в кольце (Rn×n , +, ·) группа обратимых элементов Rn×n = GL(n, R).

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 20.5. Элементы a и b кольца K называются делителями нуля, если a 6= 0 и b 6= 0, но ab = 0. В числовых кольцах делителей нуля нет, так как произведение двух чисел отличных от нуля, само отлично от нуля. Также нет делителей нуля и в кольцах многочленов, указанных в § 17, так как степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей и, значит, произведение многочленов отличных от нуля, само отлично от нуля. Однако в матричных кольцах, а также в кольцах функций делители нуля существуют. µ ¶ µ ¶ 1 0 0 0 Например, в кольце Z2×2 матрицы A = и B= отлич1 0 0 1 µ ¶ 0 0 ны от нулевой матрицы, но их произведение AB = . 0 0 Аналогично, в кольце FR функции ½ ½ x, если x 6 0 x, если x > 0 и g(x) = f (x) = 0, если x > 0 0, если x < 0 не равны (тождественно!) нулю, но f (x)g(x) ≡ 0, так что f (x) и g(x) — делители нуля в кольце (FR , +, ·).

71

Т ЕОРЕМА 20.2 . В кольце K без делителей нуля справедлив закон сокращения на общий множитель, отличный от нуля, т.е. для любых a, b, c ∈ K справедливы утверждения ab = ac ∧ a 6= 0 ⇒ b = c, ba = ca ∧ a 6= 0 ⇒ b = c. Докажем лишь одну из импликаций. Пусть ab = ac и a 6= 0. Из равенства следует, что ab − ac = 0, так что по свойству 18.4 имеем a(b − c) = 0. Поэтому, учитывая, что в кольце K нет делителей нуля, получим b − c = 0, т.е. b = c.

§ 21. Гомоморфный образ кольца. Пусть ϕ — гомоморфизм кольца (K, +, ·) в алгебру (B, ⊕, ⊙). Как отмечалось выше, (см. следствие из теоремы 9.1) гомоморфный образ ϕ(K) является алгеброй относительно операций ⊕ и ⊙, определеных в B. Более того, имеет место Т ЕОРЕМА 21.1. Гомоморфный образ кольца (K, +, ·) при гомоморфизме ϕ кольца (K, +, ·) в алгебру (B, ⊕, ⊙) является кольцом относительно операций ⊕, ⊙, определенных в B. Доказательство. Так как ϕ — гомоморфизм коммутативной группы (K, +) в группоид (B, ⊕), то по замечанию к теореме 16.1, (ϕ(K), ⊕) является коммутативной группой. Кроме того, так как операция · в K ассоциативна и дистрибутивна относительно операции +, из теорем 7.2 и 9.2 следует, что операция ⊙ в ϕ(K) ассоциативна и дистрибутивна относительно операции ⊕. Значит, (ϕ(K), ⊕, ⊙) есть кольцо. З АМЕЧАНИЕ . Отметим, что если (K, +, ·) — коммутативное кольцо (кольцо с единицей e), то по теореме 7.2 (ϕ(K), ⊕, ⊙) также коммутативное кольцо (кольцо с единицей ϕ(e)).

П РИМЕР 21.1. Пусть Zm = {0, 1, . . . , m − 1}, где m — фиксированное натуральное число, m > 1. 72

Определим на множестве Zm бинарные операции ⊕ и ⊙ следующим образом: a ⊕ b = r1 и a ⊙ b = r2 ,

где r1 , r2 — остатки от деления чисел a + b и ab на m. Доказать, что (Zm , ⊕, ⊙) — коммутативное кольцо с единицей. Аналогично примеру 16.1, рассмотрим отображение ϕ : Z → Zm заданное правилом ϕ(a) = r, где r — остаток от деления a на m. Как было показано в примере 16.1, ϕ является сюръективным гомоморфизмом группы (Z, +) на группоид (Zm , ⊕). Покажем, что ϕ — гомоморфизм группоида (Z, ·) на группоид (Zm , ⊙). Пусть a, b ∈ Z, a = mq1 + r1 , b = mq2 + r2 , где r1 , r2 — остатки от деления чисел a и b на m. Тогда ϕ(a) = r1 , ϕ(b) = r2 . Имеем ab = (mq1 + r1 )(mq2 + r2 ) = m(mq1 q2 + q1 r2 + r1 q2 ) + r1 r2 . Поэтому ϕ(ab) = ϕ(r1 r2 ), т.е. ϕ(ab) равно остатку от деления числа r1 r2 на m. С другой стороны ϕ(a) ⊙ ϕ(b) = r1 ⊙ r2 . Значит, ϕ(a) ⊙ ϕ(b) также равно остатку от деления числа r1 r2 на m. Следовательно, ϕ(ab) = ϕ(a) ⊙ ϕ(b). Таким образом, ϕ — гомоморфизм алгебры (Z, +, ·) на алгебру (Zm , ⊕, ⊙). Следовательно, так как (Z, +, ·) есть коммутативное кольцо с единицей 1, по теореме 21.1 и замечанию к ней, (Zm , ⊕, ⊙) — коммутативное кольцо с единицей ϕ(1) = 1.

§ 22. Понятие поля. Примеры полей. Очень важным частным случаем кольца является поле. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 22.1. Полем называется коммутативное кольцо с единицей e 6= 0, в котором всякий элемент, отличный от нуля имеет обратный. Классическими примерами числовых полей являются поля (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·). Отметим, что кольцо 73

(Z, +, ·) не является полем, так как числа, модуль которых больше единицы, не имеют обратных элементов в этом кольце. Кольца Q[x], R[x], C[x] также не являются полями, так как всякий многочлен степени большей нуля не имеет обратного элемента в этих кольцах. П РИМЕР 22.1 . Доказать, что множество R является полем относительно бинарных операций ⊕, ⊙, определенных по следующим правилам: a ⊕ b = a + b, a ⊙ b = πab. Ясно, что ⊕, ⊙ бинарные операции на множестве R. Покажем, что (R, ⊕, ⊙) является полем. 1. Очевидно, что (R, ⊕) — абелева группа. 2. Покажем, что операция ⊙ в R ассоциативна. Пусть a, b, c ∈ R. Тогда (a ⊙ b) ⊙ c = πab ⊙ c = π 2 abc, a ⊙ (b ⊙ c) = a ⊙ (πbc) = π 2 abc. 3. Докажем, что операция ⊙ дистрибутивна относительно операции ⊕. Пусть a, b, c ∈ R. Отметим, что операция ⊙ в R коммутативна (проверьте!). В силу коммутативности операции ⊙ достаточно доказать, что (a ⊕ b) ⊙ c = (a ⊙ c) ⊕ (b ⊙ c). Имеем (a ⊕ b) ⊙ c = (a + b) ⊙ c = π(a + b)c = πac + πbc = = a ⊙ c + b ⊙ c = (a ⊙ c) ⊕ (b ⊙ c). Таким образом, мы доказали, что (R, ⊕, ⊙) — коммутативное кольцо. 4. Покажем, что в кольце R имеется единичный элемент. Пусть e — единичный элемент в R и a ∈ R, a 6= 0. Тогда a ⊙ e = a, т.е. 1 πae = a. Так как a 6= 0, из последнего равенства следует, что e = . π 1 Покажем, что является единичным элементом в кольце (R, ⊕, ⊙). π 1 1 1 Ясно, что ∈ R. Пусть a ∈ R, тогда a ⊙ = πa = a. π π π 5. Покажем, что для всякого a ∈ R, где a 6= 0, в кольце R имеется обрат1 ный элемент. Пусть a ∈ R и x — элемент в R, обратный к a. Тогда a⊙x = , π 1 1 т.е. πax = . Из последнего равенства следует, что x = 2 . π π a 74

1 1 1 1 1 Ясно, что 2 ∈ R и a ⊙ 2 = πa 2 = . Значит, 2 есть элемент в π a π a π a π π a кольце R, обратный к a. Таким образом, (R, ⊕, ⊙) является полем.

§ 23. Простейшие свойства полей. С ВОЙСТВО 23.1. Во всяком поле F справедлив закон сокращения на общий множитель, отличный от нуля, т.е. ∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a 6= 0 ⇒ b = c). Доказательство. Если a 6= 0, то в поле F имеется элемент a−1 , обратный к a. Поэтому, умножив равенство ab = ac на a−1 , получим eb = ec, где e — единица поля F . Значит, b = c. С ВОЙСТВО 23.2. Во всяком поле F нет делителей нуля. Доказательство. Пусть a, b ∈ F и ab = 0. Если a 6= 0, то сокращая равенство ab = a0 на a 6= 0, получим b = 0. Таким образом, если произведение двух элементов из F равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит, в F нет делителей нуля. З АМЕЧАНИЕ . Отметим, что если в кольце K (даже коммутативном) нет делителей нуля, то это не означает, что K — поле. Например, как отмечалось выше, кольцо (Z, +, ·) не является полем, хотя оно не содержит делителей нуля. С ВОЙСТВО 23.3. Кольцо (K, +, ·) является полем тогда и только тогда, когда множество K \ {0} есть коммутативная группа относительно операции умножения. Доказательство. Необходимость. 1. Пусть (K, +, ·) — поле с единицей e. Покажем, что (K \ {0}, ·) — коммутативная группа. Пусть a, b ∈ K \ {0}. По свойству 23.2 ab 6= 0 и, значит, ab ∈ K \ {0}. Следовательно, умножение является бинарной операцией на множестве K \ {0}. Эта операция ассоциативна, так как ассоциативно умножение в K. По 75

определению поля e 6= 0. Значит, e ∈ K \ {0} и поэтому является единичным элементом в K \ {0}. Далее, если a ∈ K \ {0}, то по определению поля, в K имеется элемент a−1 , удовлетворяющий условию aa−1 = a−1 a = e. При этом a−1 6= 0, так как иначе e = 0. Значит, всякий элемент a ∈ K \ {0} имеет обратный к нему элемент a−1 ∈ K \ {0}. Итак, (K \ {0}, ·) — группа, причем операция · в K \ {0} коммутативна, так как коммутативно умножение в K. Следовательно, (K \ {0}, ·) — коммутативная группа. 2. Обратно, пусть (K \ {0}, ·) — коммутативная группа с единицей e. Покажем, что кольцо (K, +, ·) является полем. Пусть a, b ∈ K. Если a 6= 0 и b 6= 0, то a, b ∈ K \ {0} и, так как группа (K \ {0}, ·) — коммутативна, ab = ba. Если же a = 0 или b = 0, то ab = 0 и ba = 0, так что снова ab = ba. Таким образом, (K, +, ·) — коммутативное кольцо. Покажем,что e — единица кольца K. Так как e — единица группы (K \ {0}, ·), ae = a для всякого a ∈ K \ {0}. К тому же, 0e = 0. Значит, e — единица кольца K. Из условия e ∈ K \ {0} следует, что e 6= 0. Пусть a ∈ K и a 6= 0. Тогда a ∈ K \ {0} и поэтому элемент a имеет в группе (K \ {0}, ·) обратный элемент a−1 . Ясно, что a−1 ∈ K и является обратным к элементу a в кольце (K, +, ·). Таким образом, мы доказали, что кольцо (K, +, ·) является полем. З АМЕЧАНИЕ . Как следует из доказательства свойства 23.3, единица поля (K, +, ·) совпадает с единицей группы (K \ {0}, ·).

С ВОЙСТВО 23.4 . Конечное ненулевое коммутативное кольцо (K, +, ·) без делителей нуля является полем. Доказательство. Согласно свойству 23.3, достаточно доказать, что (K \ {0}, ·) — коммутативная группа. Отметим, что так как кольцо (K, +, ·) не содержит делителей нуля, произведение ненулевых элементов из K отлично от нуля. Следовательно, умножение является бинарной операцией на множестве K \ {0}. Эта операция коммутативна и ассоциативна, так как коммутативна и ассоциативна операция умножения в K. Покажем, что для любых элементов a, b ∈ K \ {0} уравнения ax = b и ya = b разрешимы в K \ {0}. В силу коммутативности умножения достаточно рассмотреть уравнение ax = b, где a и b — произвольные фиксированные элементы из K \ {0}. 76

Рассмотрим отображение ϕ : K \ {0} → K \ {0}, заданное следующим правилом: ∀ x ∈ K \ {0} ϕ(x) = ax

(ϕ является отображением, так как в K нет делителей нуля). Покажем, что ϕ инъективно. Пусть x, y ∈ K \ {0} и ϕ(x) = ϕ(y), т.е. ax = ay. Тогда, учитывая, что (K, +, ·) — кольцо без делителей нуля, по теореме 20.2, получим x = y. Так как ϕ — инъективное отображение конечного множества K \ {0} в себя, оно сюръективно. Поэтому найдется такой элемент x ∈ K \ {0}, что ϕ(x) = b, т.е. ax = b. Мы показали, что уравнение ax = b разрешимо в K \{0}. Следовательно, по свойству 11.4, (K \ {0}, ·) — коммутативная группа. Значит, (K, +, ·) — поле в силу свойства 23.3.

§ 24. Частное элементов поля. Пусть (F, +, ·) — поле. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 24.1. Частным элементов a и b поля F , где b 6= 0, называется такой элемент c ∈ F , что a = bc. a a Частное элементов a и b обозначается через , так что a = b · . b b Отметим, что если элемент a ∈ F также отличен от нуля, то частное элементов a и b поля F совпадает с частным этих элементов, рассматриваемых как элементы коммутативной группы (F \ {0}, ·). Поэтому для любых ненулевых элементов a, b, c, d ∈ F справедливы все свойства 14.1— 14.8. Легко проверить, что эти свойства остаются справедливыми для любых частных элементов поля. Таким образом, справедливы следующие утверждения. С ВОЙСТВО 24.1. Для любых элементов a и b поля F , где b 6= 0, суa ществует единственное частное , причем b a = ab−1 . b a a С ВОЙСТВО 24.2. ∀ a ∈ F \ {0} =e и ∀a∈F = a. a e 77

c a = ⇔ ad = bc. b d ac ac = . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0} b d bd a ad b ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ {0} . = c bc d ac a = . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0} bc b a a b ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0} = . c bc

С ВОЙСТВО 24.3. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0} С ВОЙСТВО 24.4.

С ВОЙСТВО 24.5.

С ВОЙСТВО 24.6.

С ВОЙСТВО 24.7.

b ab . С ВОЙСТВО 24.8. ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ {0} a = c c Отметим дополнительно также следующее С ВОЙСТВО 24.9. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}

ad ± bc a c ± = . b d bd

Докажем это свойство лишь для суммы. В самом деле, из равенства a c a c a c ( + )bd = bd + bd = ( b)d + ( d)b = ad + bc, b d b d b d по определению частного элементов поля, получим, что

ad + bc a c + = . b d bd

§ 25. Характеристика поля. Пусть (F, +, ·) — поле с единицей e. Элемент e группы (F, +) может быть элементом конечного или бесконечного порядка. Рассмотрим эти возможности отдельно. Т ЕОРЕМА 25.1 . Если порядок единицы e поля F в группе (F, +) конечен, то он является простым числом p, причем в этом случае все ненулевые элементы поля F имеют конечный порядок p в группе (F, +). 78

Доказательство. 1. Пусть ord(e) = n. Предположим, что n не является простым числом. Тогда n = kl, где k, l ∈ N и 1 < k, l < n. Поэтому ke и le — ненулевые элементы из F . Учитывая свойство 18.8, имеем (ke)(le) = (kl)ee = (kl)e = ne = 0. Значит, ke и le — делители нуля в поле F , что противоречит свойству 23.2. Следовательно, n = p, где p — простое число. 2. Пусть ord(e) = p. Покажем, что ord(a) = p для всякого ненулевого элемента a ∈ F . В самом деле, pa = p(ea) = (pe)a = 0a = 0. Значит, ord(a) 6 p. Пусть ord(a) = m < p. Тогда me = m(aa−1 ) = (ma)a−1 = 0a−1 = 0. Получили противоречие с тем, что ord(e) = p. Значит, ord(a) > p, откуда, учитывая неравенство ord(a) 6 p, заключаем, что ord(a) = p. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 25.1. Поле F , единица которого имеет конечный порядок p в группе (F, +), называется полем характеристики p. Примером поля характеристики p является поле Zp классов вычетов целых чисел по модулю простого числа p, которое будет рассмотрено в курсе теории чисел 1 . Т ЕОРЕМА 25.2. Если единица e поля F является элементом бесконечного порядка в группе (F, +), то все ненулевые элементы поля F имеют бесконечный порядок в группе (F, +). Доказательство. Пусть ord(e) = ∞ и a — ненулевой элемент из F . Предположим, что a имеет конечный порядок n в группе (F, +). Тогда ne = n(aa−1 ) = (na)a−1 = 0a−1 = 0. Полученное противоречие доказывает, что ord(a) = ∞. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 25.2. Поле F единица, которого имеет бесконечный порядок в группе (F, +), называется полем характеристики 0. Примером поля характеристики 0 является любое числовое поле.

1

Впрочем, такое поле можно определить, исходя из примера 21.1, положив в нем m = p. В самом деле, как было показано в этом примере, (Zp , ⊕, ⊙) является коммутативным кольцом. Ясно, что это кольцо ненулевое. Кроме того, если a, b ∈ Zp и a 6= 0, b 6= 0, то ab не делится на p, так что остаток r от деления ab на p не равен нулю, т.е. a ⊙ b 6= 0. Поэтому (Zp , ⊕, ⊙) — конечное ненулевое коммутативное кольцо без делителей нуля и по свойству 23.4 является полем.

79

§ 26. Подполе. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 26.1. Подполем поля (F, +, ·) называется подмножество S множества F , которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в F , и само является полем относительно этих операций. Приведем некоторые примеры подполей. Q — подполе поля (R, +, ·); R — подполе поля (C, +, ·); √ {a + b p | a, b ∈ Q, p — простое число} — подполе поля (R, +, ·). Во всяком поле (F, +, ·) само множество F является, очевидно, подполем поля (F, +, ·). Простейшие свойства подполей. Из определения подполя поля (F, +, ·) следует, что оно является подкольцом кольца (F, +, ·). Поэтому справедливы следующие утверждения. С ВОЙСТВО 26.1. Нулевой элемент подполя S поля F совпадает с нулевым элементом поля F . З АМЕЧАНИЕ . Ввиду этого свойства фраза „ненулевой элемент a подполя S ” означает, что a ∈ S и a 6= 0, где 0 — нулевой элемент поля F . С ВОЙСТВО 26.2 . Для всякого элемента a подполя S поля F противоположный ему элемент в S совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в F . С ВОЙСТВО 26.3. Для любых элементов a и b подполя S поля F их разность в S совпадает с a − b т.е. с разностью этих элементов в F . С ВОЙСТВО 26.4. Единица подполя S поля F совпадает с единицей e поля F . Доказательство. Пусть e1 — единица подполя S. Тогда e1 e1 = e1 e. Поэтому, так как e1 6= 0, по свойству 23.1 получим e1 = e. Из свойства 26.4 следует 80

С ВОЙСТВО 26.5 . Для всякого элемента a подполя S поля F , отличного от нуля, обратный к нему элемент в S совпадает с a−1 , т.е. с элементом, обратным к a в F . Признаки подполя. Т ЕОРЕМА 26.1 (первый признак подполя). Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой элемент, является подполем поля (F, +, ·) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: ∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, ∀ a ∈ H − a ∈ H, ∀ a, b ∈ H ab ∈ H, ∀ a ∈ H \ {0} a−1 ∈ H.

(1) (2) (3) (4)

Доказательство. Необходимость. Пусть H — подполе поля (F, +, ·), т.е. H само является полем относительно операций + и ·, определенных в F . Тогда H — подкольцо кольца (F, +, ·) и по первому признаку подкольца, H удовлетворяет условиям (1) — (3). Пусть a ∈ H и a 6= 0. Из свойства 26.5 следует, что a−1 ∈ H. Значит, H удовлетворяет и условию (4). Достаточность. Пусть H удовлетворяет условиям (1) — (4). Так как H — непустое подмножество кольца F с операциями + и ·, удовлетворяющее условиям (1) — (3), по первому признаку подкольца H является подкольцом кольца (F, +, ·), т.е. (H, +, ·) — кольцо. По свойству 23.3 и замечанию к нему (F \ {0}, ·) — коммутативная группа с единичным элементом e, где e — единица поля F . Покажем, что H \ {0} — подгруппа группы (F \ {0}, ·). Применим первый признак подгруппы. Так как H содержит ненулевой элемент, H \ {0} непустое подмножество в F \ {0}. Пусть a и b ∈ H \ {0}. Из условия (3) следует, что ab ∈ H, причем ab 6= 0, так как в поле F нет делителей нуля. Следовательно, ab ∈ H \ {0}, так что H \ {0} удовлетворяет условию (1) первого признака подгруппы. Пусть a ∈ H \ {0}. По условию (4) a−1 ∈ H. Ясно, что a−1 6= 0, иначе aa−1 = e = 0. Поэтому a−1 ∈ H \ {0}. Так как e — единичный элемент в группе (F \ {0}, ·), a−1 есть обратный элемент к элементу a в этой группе. Значит, H \ {0} удовлетворяет и условию (2) первого признака подгруппы. 81

Следовательно, H \ {0} — подгруппа коммутативной группы (F \ {0}, ·). Поэтому H \ {0} — коммутативная группа. Значит, по свойству 23.3 кольцо (H, +, ·) является полем, т.е. H — подполе поля F . На практике часто удобнее пользоваться следующим признаком.

Т ЕОРЕМА 26.2 (второй признак подполя). Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой элемент, является подполем поля (F, +, ·) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: ∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, ∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\{0}

(5) a ∈ H. b

(6)

Доказательство. Необходимость. Пусть H — подполе поля (F, +, ·). Тогда H удовлетворяет условиям (1) — (4) теоремы 26.1. Пусть a, b ∈ H. По условию (2) −b ∈ H. Так как a, b ∈ H из условия (1) следует, что a + (−b) ∈ H, т.е. a − b ∈ H. Пусть a, b ∈ H и b 6= 0. По условию (4) b−1 ∈ H. Так как a, b−1 ∈ H, по a условию (3) ab−1 ∈ H, т.е. ∈ H. Значит, H удовлетворяет обоим условиям b (5) и (6). Достаточность. Пусть H удовлетворяет условиям (5) и (6). Так как H — непустое подмножество группы F с операцией +, удовлетворяющее условию (5), по второму признаку подгруппы H является подгруппой группы (F, +). Поэтому H удовлетворяет условиям (1) и (2) теоремы 26.1. b Пусть b ∈ H и b 6= 0. Из условия (6) следует, что ∈ H, т.е. e ∈ H, где b e e — единица поля F . Так как e, b ∈ H по условию (6) ∈ H, т.е. b−1 ∈ H. b Значит, H удовлетворяет условию (4) теоремы 26.1. Пусть a, b ∈ H. Если b = 0, то ab = 0 и, следовательно, ab ∈ H, так как H — подгруппа группы (F, +). Пусть b 6= 0, тогда b−1 ∈ H. Поэтому a a из условия (6), следует, что −1 ∈ H. Так как −1 = a(b−1 )−1 = ab, имеем b b ab ∈ H. Cледовательно, H удовлетворяет и условию (3) теоремы 26.1. Таким образом, для подмножества H поля F выполнены все условия (1) — (4) теоремы 26.1. Значит, H — подполе поля F . Рассмотрим некоторые примеры. 82

П РИМЕР 26.1 . Пусть (F, +, ·) — поле ½ характеристики 0, e¾— единиke | k, l ∈ Z, l 6= 0 является ца поля F . Доказать, что множество H = le подполем поля F . ke определены, так как e — элемент бесконечного le порядка в группе (F, +) и поэтому le 6= 0. Применим второй признак подполя. Ясно, что H ⊂ F . Кроме того, e e = ∈ H и, следовательно, H содержит ненулевой элемент. e k2 e k1 e ,b = . Применяя свойства 24.9, 18.8 и Пусть a, b ∈ H и a = l1 e l2 e теорему 12.2 получим Отметим, что частные

k1 e k2 e k1 e · l2 e − l1 e · k2 e k1 l2 ee − l1 k2 ee − = = = l1 e l2 e l1 el2 e l1 l2 ee k1 l2 e − l1 k2 e k1 l2 e + (−l1 k2 )e (k1 l2 − l1 k2 )e = = = ∈ H. l1 l2 e l1 l2 e l1 l2 e

a−b=

Пусть b 6= 0, тогда k2 e 6= 0 и, значит, k2 6= 0. По свойству 24.5 имеем a = b

k1 e l1 e k2 e l2 e

=

k1 e · l2 e k1 l2 e = ∈ H. l1 e · k2 e l1 k2 e

Следовательно, H удовлетворяет обоим условиям (5) и (6) второго признака подполя. Признаки подполя полезно использовать в задачах, в которых требуется выяснить является ли данное числовое множество H полем относительно операций сложения и умножения. П РИМЕР 26.2 . Доказать, что множество H = {a + bi | a, b ∈ Q} является полем относительно операции сложения и умножения чисел. Ясно, что H подмножество множества C, содержащее ненулевые элементы. Применим теорему 26.2. Пусть α, β ∈ H, α = a + bi, β = c + di, где a, b, c, d ∈ Q. Тогда α − β = (a − c) + (b − d)i ∈ H 83

α a + bi (a + bi)(c − di) ac + bd bc − ad = 2 + 2 i ∈ H. = = β c + di c2 + d2 c + d2 c + d2 Поэтому по теореме 26.2 H — подполе поля (C, +, ·), т.е. (H, +, ·) — поле. В заключение этого параграфа обратим внимание читателя на то, что признаки подгруппы (подкольца, подполя) могут применяться при решении задач, в которых требуется выяснить, является ли данное множество H группой с операцией ∗ (кольцом, полем c операциями +, ·). Для этого достаточно найти такое множество M , содержащее H, что (M, ∗) является группой ((M, +, ·) является кольцом, полем). В этом случае решение задачи сводится к применению признаков подгруппы (подкольца, подполя) к подмножеству H. Таким способом были решены примеры 15.4, 15.5, 19.3, 26.2. Если же такое множество M не удается найти, то задача решается с использованием определения группы (кольца, поля) как было сделано в примерах 10.1, 17.1, 22.1. В связи с вышесказанным, отметим случай числового множества H. Так как (C \ {0}, ·), (C, +) являются абелевыми группами, а (C, +, ·) — поле, применяя признаки подгруппы, подкольца, подполя, получим следующие утверждения. и если β 6= 0,

П РЕДЛОЖЕНИЕ 26.1. Непустое подмножество H множества C \ {0} является группой относительно операции умножения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию a ∈ H. b

∀ a, b ∈ H

П РЕДЛОЖЕНИЕ 26.2 . Непустое подмножество H множества C является группой относительно операции сложения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию ∀ a, b ∈ H

a − b ∈ H.

П РЕДЛОЖЕНИЕ 26.3 . Непустое подмножество H множества C является кольцом относительно операций сложения и умножения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: ∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, ∀ a, b ∈ H ab ∈ H. 84

П РЕДЛОЖЕНИЕ 26.4. Подмножество H множества C, содержащее число, не равное нулю, является полем относительно операций сложения и умножения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: ∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, ∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\{0}

a ∈ H. b

§ 27. Гомоморфный образ поля. Пусть ϕ — гомоморфизм поля (F, +, ·) в алгебру (B, ⊕, ⊙). Так как (F, +, ·) — кольцо, по теореме 21.1, гомоморфный образ ϕ(F ) является кольцом относительно операций ⊕, ⊙, определенных в алгебре B. При этом имеет место следующая Т ЕОРЕМА 27.1 . Гомоморфный образ поля (F, +, ·) при гомоморфизме ϕ поля (F, +, ·) в алгебру (B, ⊕, ⊙) либо изоморфен полю (F, +, ·), либо есть нулевое кольцо. Доказательство. Обозначим ϕ(0) = O, где 0 — нулевой элемент поля F . Ясно, что O — нулевой элемент кольца (ϕ(F ), ⊕, ⊙). Рассмотрим возможные случаи. 1) Пусть ϕ — инъективное отображение. Тогда, так как, очевидно, ϕ является сюръективным отображением F на ϕ(F ), ϕ есть биективное отображение F на ϕ(F ) и поэтому (ϕ(F ), ⊕, ⊙) изоморфно полю (F, +, ·). 2) Пусть ϕ не является инъективным отображением. Тогда найдутся такие элементы a, b ∈ F , что a 6= b, но ϕ(a) = ϕ(b). Имеем ϕ(a−b) = ϕ(a+(−b)) = ϕ(a)⊕ϕ(−b) = ϕ(a)⊕(−ϕ(b)) = ϕ(a)⊕(−ϕ(a)) = O. Обозначим a − b = c. Тогда c 6= 0 и ϕ(c) = 0. Пусть e — единица поля F . Имеем ϕ(e) = ϕ(cc−1 ) = ϕ(c) ⊙ ϕ(c−1 ) = O ⊙ ϕ(c−1 ) = O. Поэтому для всякого элемента f ∈ F ϕ(f ) = ϕ(ef ) = ϕ(e) ⊙ ϕ(f ) = O ⊙ ϕ(f ) = O. 85

Таким образом, в рассматриваемом случае ϕ(F ) = {O} есть нулевое кольцо. Применим теорему 27.1 для доказательства следующего утверждения. Т ЕОРЕМА 27.2. Всякое поле F характеристики 0 содержит подполе, изоморфное полю Q рациональных чисел. Доказательство. Пусть e — единица поля F . Рассмотрим отображение ϕ : Q → F , заданное правилом: µ ¶ k ke ϕ = , l le где k, l ∈ Z и l 6= 0. Отметим, что отображение ϕ определено корректно. В самом деле, k2 k1 = . Тогда k1 l2 = l1 k2 и, значит, k1 l2 e = l1 k2 e. Поэтому пусть l1 l2 k1 e k2 e k1 e · l2 e = l1 e · k2 e, откуда в силу свойства 24.3 следует, что = . l1 e l2 e Покажем, что ϕ — гомоморфизм. Имеем µ ¶ ¶ µ ¶ µ ¶ µ k1 k1 l2 + l1 k2 k2 (k1 l2 + l1 k2 )e k1 e k2 e k1 k2 = + =ϕ + =ϕ = +ϕ . ϕ l1 l2 l1 l2 l1 l2 e l1 e l2 e l1 l2 Аналогично, µ ¶ ¶ µ ¶ µ ¶ µ k1 k1 k2 k2 k1 k2 e k1 e k2 e k1 k2 = · =ϕ · =ϕ = ·ϕ . ϕ l1 l2 l1 l2 l1 l2 e l1 e l2 e l1 l2 Так как гомоморфный образ ϕ(F ), очевидно, отличен от нуля, по теореме 27.1 ϕ(F ) есть подполе поля F , изоморфное полю Q. З АМЕЧАНИЕ . Отметим, что ϕ(F ) есть подполе поля F , рассмотренное в примере 26.1. Таким образом, теорема 26.2 дает другой способ решения этого примера.

86

Глaвa III. Задания для самостоятельной работы I. Доказать, что ∗ не является бинарной операцией на множестве A. 1. A = N,

a ∗ b =| a2 − b2 + 3 |.

2. A = R \ {1},

a ∗ b = a + b + ab.

3. A = C \ {−1}, a ∗ b = a2 + b2 . ½µ ¶¾ √ 1 , 2 4. A = R2 \ , (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd). 3 a c b c ∗ = + , где a, b, c, d ∈ Z. b d a d 2π . 6. A = R \ {0}, a ∗ b = sin 1 + a2 + b2 5. A = Q,

7. A = R \ {3}, 8. A = Q+ ,

a ∗ b = a − b + 2ab. a ∗ b = |a2 − b2 + 24 |.

1 . (a − 1)2 + | b | ½µ ¶ ¾ a b 10. A = | a, b ∈ R, a2 + b2 6= 0 , ∗ — умножение матриц. 4b a 9. A = R \ {1},

a∗b=

11. A = C \ {−4}, 12. A = C \ {i},

a ∗ b = (a − b)2 . a ∗ b = ab + a + b.

13. A = R2 \ {(0, 0)},

(a, b) ∗ (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc).

14. A = C \ {−8i}, a ∗ b = a3 + b3 . ½µ ¶ ¾ a 3b 2 2 15. A = | a, b ∈ R, a + b 6= 0 , ∗ — умножение матриц. b a 16. A = R2 \ {(9, 3)},

(a, b) ∗ (c, d) = (ac + 9bd, ad + bc).

17. A = R \ {2}, a ∗ b = log2 (3 + a2 + b2 ). n πo 18. A = x ∈ C \ {0} | arg x = , ∗ — умножение чисел. 4 87

19. A = N \ {1}, a ∗ b = p, где p — наименьшее простое число, удовлетворяющее условию a < p < a + b. ½µ ¶ ¾ a b 20. A = | a, b ∈ R, a2 + b2 6= 0 , ∗ — умножение матриц. 2b a √ 21. A = R, a ∗ b = 1 + cos a + cos b. 22. A = N \ {1}, a ∗ b = p, где p — наибольшее простое число, удовлетворяющее условию a 6 p 6 a + b + 1. 23. A = N, 24. A = Q, 25. A = R,

a ∗ b =| a2 − b2 + 5 |.

a c b d ∗ = + . b d a+b c+d 1 . a∗b= 2 lg(a + b2 )

26. A = Q \ {2},

a ∗ b = 2a − b − 3ab.

27. A = R2 \ {(1, 2)},

(a, b) ∗ (c, d) = (ac + bd, ad + bc). 4π

. 13 2 2 +a +b 9 ½µ ¶ ¾ a b 29. A = | a, b ∈ R, a2 + b2 6= 0 , ∗ — умножение матриц. b a 28. A = R \ {1},

a ∗ b = cos

30. A = N \ {1}, a ∗ b = p, где p — наименьшее простое число, удовлетворяющее условию a + b < p < a + 2b. II. Доказать, что ∗ — бинарная операция на множестве A и выяснить, какими свойствами она обладает. 1. A = {(a, b) | a, b ∈ Q},

(a, b) ∗ (c, d) = (2ac, 3bd).

2. A = {(a, b) | a, b ∈ Q}, (a, b) ∗ (c, d) = (1, 5bd). ½µ ¶ ¾ a a 3. A = | a ∈ R , ∗ — умножение матриц. 2a 2a 4. A = {2k + 1 | k ∈ Z},

a ∗ b = a + b + 9.

5. A = {f (x) ∈ Z[x] | f (0) ∈ {−1, 1}}, ∗ — умножение многочленов. 88

6. A =

½µ

a 0 0 b

¶

| a, b ∈ N

¾

, ∗ — умножение матриц.

7. A = {x ∈ R \ {0} | |x| 6 1}, ∗ — умножение чисел. 8. A = {(a, b) | a, b ∈ Q}, 9. A = R,

(a, b) ∗ (c, d) = (| ac |, | bd |).

a ∗ b =| ab |.

10. A = {f (x) ∈ FR | f (1) = 1}, ∗ — умножение функций. ½µ ¶ ¾ a + bi 0 11. A = | a, b ∈ R , ∗ — умножение матриц. 0 a − bi 12. A = FR , ∗ — умножение функций. 13. A = Q \ {−1}, 14. A = Q,

a ∗ b = a + b + ab.

a ∗ b = 2ab.

15. A = {(a, b) ∈ R2 | a2 − b2 = 0},

(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd).

16. A = {f (x) ∈ Z[x] | f (0) — нечетное число} ∗ — умножение многочленов. 17. A — множество всех симметричных бинарных отношений на множестве M = {1, 2, 3, 4} , ∗ — пересечение бинарных отношений. ½µ ¶ ¾ a 0 18. A = | a, b ∈ R , ∗ — умножение матриц. b a 19. A = {(3a, a) | a ∈ Q},

(3a, a) ∗ (3b, b) = (12ab, 4ab).

20. A = {x ∈ R \ {0} | | x |> 1}, ∗ — умножение чисел. ½µ ¶ ¾ 1 0 21. A = | a ∈ R , ∗ — умножение матриц. 0 a 22. A = Z 2 , (a, b) ∗ (c, d) = (ad + bc, bd). ½µ ¶ ¾ a b 23. A = | a, b, c ∈ R , ∗ — умножение матриц. 0 c 24. A = {(a, b) | a, b ∈ Q}, 25. A = N ∪ {0},

(a, b) ∗ (c, d) = (a + c, 5bd).

a ∗ b = |a − b|. 89

26. A =

½µ

a b −b a

¶

¾

| a, b ∈ R , ∗ — умножение матриц.

27. A — множество всех рефлексивных бинарных отношений на множестве M = {1, 2, 3, 4} , ∗ — объединение бинарных отношений. 28. A = {f (x) ∈ FR | | f (1) |6 1}, ∗ — умножение функций. 29. A = P (M ) , где M 6= ⊘, ∗ — пересечение множеств. √ ¯ 30. A = {a + b 2 ¯ a, b ∈ Z}, ∗ — умножение чисел.

III. Доказать, что множество G является группой с операцией ∗. Проверить, является ли H подгруппой группы (G, ∗). ½µ ¶ ¾ a b 1. G = | a, c ∈ R \ {0}, b ∈ R , ∗ — умножение матриц; 0 c ½µ k ¶ ¾ 2 0 H= |k∈Z . 0 1 ½µ ¶ ¾ α 0 2. G = | α ∈ C, | α |= 1 , ∗ — умножение матриц; 0 0 ½µ k ¶ ¾ i 0 H= |k∈Z . 0 0 (Ã 1 ! ) b 3. G = | a, b ∈ Q, a 6= 0 , ∗ — умножение матриц; a 0 a ½µ ¶ ¾ 1 b H= |b∈Q . 0 1 ½µ ¶ ¾ a 0 4. G = | a, b, c ∈ Q, a 6= 0, c 6= 0 , ∗ — умножение матриц; b c ½µ k ¶ ¾ 3 0 H= | k, l ∈ Z . b 3l ¶ ¾ ½µ a1 a2 | a1 , a2 , a3 , a4 ∈ Z , ∗ — сложение матриц; 5. G = a3 5a4 ¶ ¾ ½µ 2a1 3a2 | a1 , a2 , a3 , a4 ∈ Z . H= 3a3 5a4 90

6.

7.

8.

9.

½µ

¾ G= | a, b, c ∈ C, | ac |= 1 , ∗ — умножение матриц; ½µ k ¶ ¾ 5 b H= |k∈Z . 0 5−k ½µ ¶ ¾ 0 a G= | a, b ∈ Z , ∗ — сложение матриц; −a b ½µ ¶ ¾ 0 2a H= | a, b ∈ Z . −2a 3b (Ã ! ) a 0 G= | a, b ∈ Q, a 6= 0 , ∗ — умножение матриц; 1 b ¶ ¾ ½µ −ka 2 0 | b ∈ Q, k ∈ Z . H= b 2k ½µ ¶ ¾ a −b G= | a, b, c ∈ R , ∗ — сложение матриц; b c ½µ ¶ ¾ 0 lg n H= | n ∈ N, k ∈ Z . − lg n 2k a b 0 c

¶

10. G = Z, a ∗ b = a + b + 5; H = {2k + 1 | k ∈ Z}.

11. G = Z, a ∗ b = a + b + 3; H = {5k + 2 | k ∈ Z}. √ 12. G = {a + b √3 | a, b ∈ Q, a2 + b2 6= 0} , ∗ — умножение чисел; H = {a + b 3 | a, b ∈ Z, a2 + b2 6= 0}. ½ ¾ k 13. G = | k ∈ Z, n, m ∈ N0 , ∗ — сложение чисел; n m ½5 7 ¾ k .. H= | k .3, n, m ∈ N0 . 5n 7m 14. G = Q a ∗ b = −ab; ¾ ½ \ {0} , k | k ∈ Z \ {0}, n ∈ N0 . H= 3n

ab 15. G = R \ {0} , a∗b= ; 3 © ª H = 3k | k ∈ Z .

91

ab 16. G = Q \ {0} , a∗b= ; 10 n o .. H = k ∈ Z \ {0} | k . 10 .

17. G = Z a ∗ b =oa + (−1)a b; n, . H = k ∈ Z | k .. 8 . © ¡ ¢ ª π + 18. G = ©r cos π4 k + i sin k | r ∈ R , k ∈ Z , ∗ — умножение чисел; 4ª ¯ l ¯ H = (2 + 2i) l ∈ Z .

19. G = (Q \ {0}) × {1, −1}, (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd); + H = Q × {1}. © ª 20. G = (a, b) | a, b ∈ Q, a2 + b2 6= 0 , (a, b) ∗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc); H = {(a, 0) | a ∈ Q \ {0}}. 21. G = {f (x) ∈ Z[x] | f (0) = 0}, ∗ — сложение многочленов; H — множество всех многочленов из Z[x] с четными коэффициентами. 22. G = Z × Q+ ,

(a, b) ∗ (c, d) = (a + c + 6,

H = {(2a, 2) | a ∈ Z}.

bd ); 2

23. G = Z × (Q \ {0}) , (a, b) ∗ (c, d) = (a + b − 1, bd); H = {(k, l) | k, l — нечетные числа}. 24. G = {f (x) ∈ FR | f (x) = ax, где a ∈ Q \ {0}}, ∗ — композиция функций; H — множество функций из G, вида f (x) = 2k x , где k ∈ Z. n 25. G = {α © ∈ C | ∃ 6n ∈ N, ª α = 1}, ∗ — умножение чисел; H= α∈C| α =1 . ¯ © ª 26. G = (a, b, c) ∈ R3 ¯ a + b + c = 0 , ∗ — покомпонентное сложение; H = {(a, 0, −a) | a ∈ R}.

27. G = Z a ∗ b =o(−1)b a + b; n, . H = k ∈ Z | k .. 5 . 28. G = Q \ {1}, H = N \ {1}.

a ∗ b = ab − a − b + 2;

29. G = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + z = 0}, ∗ — покомпонентное сложение; H = {(x, y, z) ∈ G | x + y = 0}. 92

30. G = {f (x) ∈ FR | 0 ∈ / E(f ) ∧ f (0) = 1}, ∗ — умножение функций; H — множество всех показательных функций. IV. Доказать, что множество K является кольцом с операциями ⊕, ⊙. Проверить, является ли H подкольцом кольца K. 1. K = Z 2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + b, c + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc); . . H = {(a, b) ∈ Z 2 | a .. 3, b .. 3}.

2. K = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac, ad + bc); H = {(0, b) | b ∈ Z}.

3. K = Z 2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac, bd); H = {(3a, 2b) | a, b ∈ Z}.

4. K = R3 ,

(a, b, c) ⊕ (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w), (a, b, c) ⊙ (u, v, w) = (bu, bv, bw); H = {(0, b, c) | b, c ∈ Z}.

5. K = R2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ad, bd); H = {(a, 0) | a ∈ Q}.

6. K = R3 ,

(a, b, c) ⊕ (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w), (a, b, c) ⊙ (u, v, w) = (0, aw, 0); H = {(a, b, a) | a, b ∈ Z}.

7. K = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac − 2bd, ad + bc); H = {(2a, 0) | a ∈ Z}.

8. K = Z 2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac, ad); H = {(0, b) | b — четное число}.

9. K = R2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac + ad, bc + bd); . . H = {(a, b) | a, b ∈ Z, a..2, b..3}. 93

10. K = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (bc, bd); . . H = {(a, b) ∈ Z 2 | a .. 5, b .. 3}.

11. K = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac, bc); H = {(a, b) | a — четное число, b ∈ Z}.

12. K = Q3 ,

(a, b, c) ⊕ (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w), (a, b, c) ⊙ (u, v, w) = (0, cu, 0); H = {(0, b, c) | b, c ∈ Z}.

13. K = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc); H = {(a, b) | a ∈ Z, b — четное число}.

14. K = R3 ,

(a, b, c) ⊕ (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w), (a, b, c) ⊙ (u, v, w) = (au, av + bw, cw); H = {(a, b, 0) | a, b ∈ Z}.

15. K = R2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac + bc, ad + bd); k H = {(2 a, b) | a, b ∈ Q, k ∈ Z}.

16. K = Z 2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac + 2bc, ad + 2bd); . . H = {(a, b) ∈ Z 2 | a .. 2, b .. 2}.

17. K = Z 2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (3ac, 3bd); . . H = {(a, b) ∈ Z 2 | a .. 5, b .. 5}.

18. K = Z 2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac, ad + bc); H = {(a, 0) | a ∈ Z}.

19. K = R2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac − 3bc, ad − 3bd); H = {(0, b) | b ∈ Q}.

20. K = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), ac bd (a, b) ⊙ (c, d) = (− , − ); 5 5 94

H=

½µ

k l , 5n 5m

¶

¾ | k, l ∈ Z и n, m ∈ N .

21. K = Z 2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac − ad, bc − bd); . . H = {(a, b) ∈ Z 2 | a .. 2, b .. 3}.

22. K = Z 2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (2ac − bd, 2ad + 2bc); . H = {(a, b) ∈ Z 2 | b .. 5}.

23. K = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (bd − ac, −ad − bc); H = {(a, 0) | a ∈ Z}.

24. K = Z,

a ⊕ b = a + b − 2, a ⊙ b = ab − 2a − 2b + 6; H = {a ∈ Z | a — четное число}.

25. K = R2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac − bc, ad − bd); k H = {(a, 5 b) | a, b ∈ Q, k ∈ Z}.

26. K = Z,

a ⊕ b = a + b + 1, a ⊙ b = ab + a + b; H = {a ∈ Z | a — нечетное число}.

27. K = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = µ (a + c, b¶ + d), ac bd ; , (a, b) ⊙ (c, d) = 2 2 H = {(2m k, 2n l) | k, l ∈ Z и m, n ∈ N }.

28. K = R3 ,

(a, b, c) ⊕ (u, v, w) = (a + u, b + v, c + w), (a, b, c) ⊙ (u, v, w) = (au, bv, cu + bw); H = {(0, 0, c) | c ∈ Z}.

29. K = Z 2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (2ac − 3bd, 2ad + 2bc); . H = {(a, b) ∈ Z 2 | a .. 3}.

30. K = Q,

a ⊕ b = a + b + 2, a ⊙ b = ab + 2a + 2b + 2; H = {4k + 2 | k ∈ Z}. 95

V. Доказать, что множество F является полем с операциями ⊕, ⊙. Проверить, будет ли H подполем поля F . 1. F = Q, ⊕ — сложение чисел, a ⊙ b = 3ab; H = {3k l | k, l ∈ Z}. 2. F = Q, a ⊙ b = −2ab; ½ ⊕ — сложение чисел, ¾ k | k ∈ Z, n ∈ N0 . H= 2n 3. F = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac + 11bd, ad + bc); H = {(a, 0) | a ∈ Q}. √ 4. F = R, ⊕√— сложение чисел, a ⊙ b = 2ab; H = {c + d 2 | c, d ∈ Q}. √ 5. F = {a + b √7 | a, b ∈ Q} , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение чисел; H = {a + b 7 | a, b ∈ Z}. √ 6. F = {a + b √11 | a, b ∈ Q} , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение чисел; H = {a + b 11 | a ∈ Z, b — четное число}. 7. F = {a + bi | a, b ∈ Q} , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение чисел; H = {a + bi | a ∈ Q, b ∈ Z}.    a    a    3 8. F =  a  | a ∈ R , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц;   a  3    a    a    3 H=  a  | a ∈ Q.   a  3 ½µ ¶ ¾ a 4a 9. F = | a ∈ Q , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц; a 4a ½µ k ¾ ¶ 2 l 2 k+2 l H= | k, l ∈ Z . 2 k l 2 k+2 l ½µ ¶ ¾ 3a a 10. F = | a ∈ R , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц; 3a a ¾ ½µ ¶ √ 3a a H= | a = c + d 2, где c, d ∈ Q . 3a a 96

11. F = R2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac − 13bd, ad + bc); H = {(a, 0) | a ∈ R}. ½µ ¶ ¾ −5a −5a 12. F = | a ∈ Q , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матa a риц; ½µ ¾ ¶ k −5a −5a H= | a = n , k ∈ Z, n ∈ N0 . a a 5 ½µ ¶ ¾ ia ia 13. F = | a ∈ R , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц; a a ½µ ¶ ¾ ia ia H= |a∈Q . a a 14. F = R2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac − 5bd, ad + bc); H = {(a, b) | a — нечетное число, b — четное число}. ½µ ¶ ¾ a b 15. F = | a, b ∈ R , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц; −b a ½µ ¶ ¾ a 0 H= |a∈Q . 0 a ¾ ¶ ½µ a −b | a, b ∈ Q , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц; 16. F = b a ½µ k ¶ ¾ 2 0 H= |k∈Z . 0 2k

17. F = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc); H = {(a, b) | a, b ∈ Z}.

18. F = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac − 3bd, ad + bc); H = {(a, b) | a, b — четные числа}.

19. F = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac + 7bd, ad + bc); . . H = {(a, b) | a, b ∈ Z, a .. 3, b .. 3}.

97

20. F = Q2 ,

21.

22.

23.

24.

25.

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac − 11bd, ad + bc); . . H = {(a, b) | a, b ∈ Z, a .. 5, b .. 5}. ½µ ¶ ¾ a −2b F = | a, b ∈ R , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матb a риц; ½µ ¶ ¾ a −2a H= |a∈R . a a ½µ ¶ ¾ a −b F = | a, b ∈ R , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение мат3b a риц; ½µ ¶ ¾ a −a H= |a∈Q . 3a a ½µ ¶ ¾ a b F = | a, b ∈ Q , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц; 5b a ¶ ¾ ½µ a 2k | a ∈ Q, k ∈ Z . H= 5 · 2k a ½µ ¶ ¾ a 7b F = | a, b ∈ Q , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц; b a ½µ ¶ ¾ a 7b H= | a, b ∈ Z . b a ½µ ¶ ¾ a b F = | a, b ∈ R , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение мат−11b a риц; ½µ ¶ ¾ a b H= | a — нечетное число, b — четное число . −11b a

26. F = R2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac − 2bd, ad + bc); H = {(a, b) | a, b ∈ Q}. ½µ ¶ ¾ a −ia 27. F = | a ∈ R , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц; a −ia ½µ ¶ ¾ a −ia H= |a∈Z . a −ia

98

28. F = Q2 ,

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) ⊙ (c, d) = (ac + 3bd, ad + bc); H = {(a, 0) | a ∈ Z, }.

29. F = C, ⊕ — сложение чисел, a ⊙ b = iab; H = {c + di | c, d ∈ Q}.    a a     30. F = | a ∈ Q , ⊕ и ⊙ — сложение и умножение матриц;  a a    2 2    a a k H =  a a  | a = 4 l, где k, l ∈ Z .   2 2

99

Список литературы [1] Алгебра и теория чисел. ч.III. Учебное пособие для студентовзаочников пед. ин-тов под редакцией Виленкина Н.Я., М.: Просвещение, 1965. [2] Калужнин Н.Я. Алгебра и теория чисел, М.: Наука, 1973. [3] Кострикин А.И. Введение в алгебру, М.: Физматгиз, 1984. [4] Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел, М.: Высшая школа, 1979. [5] Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел, М.: Просвещение, 1993. [6] Курош А.Г. Курс высшей алгебры, М.: Наука, 1968. [7] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре, М.: Физматгиз, 1962. [8] Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. ч.1, М.: Просвещение, 1974. [9] Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. ч.2, М.: Просвещение, 1978. [10] Мурзинова Г.С. Элементы теории колец в задачах. Метод. разработка. УрГПУ, Екатеринбург, 1996. [11] Мурзинова Г.С. Контрольные задания по теме «Алгебраические системы»Метод. разработка. УрГПУ, Екатеринбург, 2000. [12] Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру, М.: Мир, 1979. [13] Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов, Минск, Высшая школа, 1982.

100

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Ершова Тамара Ивановна Смирнова Наталья Ивановна Хмельницкий Игорь Львович

Введение в теорию алгебраических систем Учебно-методическое пособие

Редактор

Подписано в печать

Формат 60 × 84 1/16.

Бумага для множ. аппаратов. Печать ротапринтная. Усл. печ. л. Уч.- изд. л. . Тираж экз. Заказ Уральский государственный педагогический университет 620219 Екатеринбург, ГСП-135, просп. Космонавтов, 26 АООТ "Полиграфист" г. Екатеринбург, ул. Тургенева 20