高周波電磁気学 (理工学講座)

高周 波電磁 気 学 三輪

進 著

東京電機大学出版局

本 書 の 全部 また は一 部 を無 断 で複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法上 での例 外 を除 き,禁 じ られ て い ます.小 局 は,著 者 か ら複写 に係 る 権 利 の管理 につ き委 託 を受 けて い ますの で,本 書 か らの複 写 を希 望 され る場 合 は,必 ず 小局(03-5280-3422)宛 ご連 絡 くだ さい.

まえ が き

  筆 者 が1987年

に 東 京 電 機 大 学 に赴 任 す る に 当 たって,当 時 学 科 長 で あ られ

た 三 浦 種 敏 先 生 に 次 の よ う に 要 請 を 受 け た.「今 ま で 電 磁 気 学 Ⅰお よ び Ⅱ で 静 電 界 か ら電 磁 界 ま で を講 義 し,電 磁 気 学 Ⅲ と い う科 目 で 特 殊 な 項 目 に つ い て 学 習 さ せ て き た.し か し,こ れ で は マ ク ス ウェル の 方 程 式 と通 信 の 専 門 科 目,た

と え ば,ア

ン テ ナ,電 波 伝 搬,高 周 波 回 路,高

隔 た り が あ りす ぎ て,う

ま く つ な が って 行 か な い.そ

高 周 波 電 磁 気 学 と あ らた め て,こ

周 波測 定 等 と の間 に こ で,電 磁 気 学 Ⅲ を

れ ら の 間 を う ま く つ な ぐよ う な 講 義 内 容

と し て ほ し い.詳 細 は 高 田 先 生 と 打 ち 合 わ せ て 頂 き た い.」   高 田 正 美 先 生 か らは 希 望 され る 講 義 内 容 の リ ス トを 頂 き ご説 明 を 受 け た. こ う し て 手 探 り で 始 め た の が 高 周 波 電 磁 気 学 で あ る.爾 誤 を 繰 り返 し な が ら講 義 を 続 け て き た.項

ち ろ ん,こ

行錯

目毎 に 参考 と した文 献 が 異 な る

の で 教 科 書 を 指 定 し な か った こ と も あ る し,教 も あ る.も

来 ５年 間,試

科 書 を使 わ せ て 頂 い た こ と

れ ら文 献 は 浅 学 非 才 の 筆 者 が 批 判 し得 る も の で は 毛

頭 無 い が,筆

者 が 半 年 間 で 講 義 した い 内 容 を 簡 潔 に 記 し た も の が 見 あ た ら

な い の で,こ

の 辺 で 自 分 で ま と め て み よ う と 思 い 立 った.

  電 機 大 出 版 局 の 朝 武 課 長 に 相 談 した 所 快 諾 を 得,執 筆 にか か った の が 昨 年 の ８月 で あ る.高 周 波 電 磁 気 学 と い う 名 前 も,は じ め は 若 干 の 違 和 感 が あっ た が,使 って い る う ち に 愛 着 が で て き て い る の で,そ す る こ と に し た.今

のま ま題 名 と して使 用

年 後 期 の 講 義 に 間 に 合 わ せ た い と 思 った の で 十 分 な 推

敲 をせ ず に活 字 になって いる 部分 も多 い と思 うが皆 様 の 御 叱正 を得 て 改訂 して 行 き た い.

  本 書 は20章

で 構 成 し,１ 章 は １コ マ の 講 義 内 容 に 対 応 さ せ て い る.前

ま た は 後 期 の 講 義 コ マ 数 は14程

期

度 で あ る か ら,当 然 ６章 分 程 度 は 自 習 し て

も ら わ な け れ ば な らな い.最 初 の ３∼４章 は 基 礎 な い し は 電 磁 気 学 の 復 習 で あ り,後 半 の ２∼３章 も 講 義 内 容 に 含 ま れ な い 可 能 性 が 大 き い.し

か しな が

ら,通 読 す る こ と に よ り所 期 の 目 的 が 達 せ ら れ る と 信 ず る の で,ぜ

ひ全 体

に 目 を 通 し て 頂 き た い.   各 章 は10頁

構 成 と し,第

１頁 目 は そ の 章 の 位 置 づ け,重 要 性,そ

の章 の

節 構 成,内 容 の 概 略 に っ い て 述 べ る.１ 章 は 大 体 ３ ∼ ４節 に 分 け,各 節 は 頁 を 改 め て 始 ま る よ う に し て,そ

の 章 に お け る 重 要 事 項 を把 握 し や す い よ う

に 配 慮 し た つ も りで あ る.第10頁

目 に は 演 習 問 題 を ５題 出 題 し た.問 題 に

は 主 と し て ヒ ン トを 付 記 し て 解 答 へ の 指 針 を 示 し て あ る の で 最 後 ま で 解 い て ほ し い.   １ ∼ ３章 で は ベ ク トル,正 ウェル の 方 程 式,境

界 条 件,ポ

項 に つ いて 述 べ る.４ 電 磁 波 に つ い て,そ

弦 波 表 示,波

動 方 程 式 等 の 基 礎 事 項,マ

クス

イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル 等 の 電 磁 気 学 の 基 礎 事

∼ ６章 で は 真 空 中 お よ び 等 方 性 媒 質 中 に お け る 平 面

の 表 現 方 法,性

質 等 を解 説 す る.７ 章 に 異 方 性 媒 質 中 の

平 面 波 の 振 る舞 い を 付 記 して あ る.   ８ ∼11章

で は 一 転 して 線 路 の 問 題 を 取 り扱 う.こ れ を ど こ に配 置 す る か

は 難 し い 所 で,回 路 理 論 と の 連 続 性 を 考 え る と 初 め に 置 く 方 が 分 か りや す い 意 味 も あ る が,本 に し た.こ

こで は,伝

書 で は電 磁 気 学 との 連続 性 を重視 して 平 面電 磁 波 を 先 送 線 理 論,伝

具 体 例 と し て 平 行 ２線,同

送 線 路 に お け る 過 渡 現 象 に つ い て 述 べ,

軸 線 路,平

行 平 面 等 を 説 明 す る.

  12,13章 で は ふ た た び 平 面 電 磁 波 に 戻 り,異 媒 質 境 界 面 に お け る 反 射 と 透 過 に つ い て 述 べ る.14章

で は13章

る 舞 い を 解 説 す る.15章

で は 観 点 を 変 え,導 波 管 内 の 電 磁 波 を 数 式 的 に 求

め る 方 法 を 示 す.16章

の 斜 め 入 射 の 結 果 を 利 用 して 導 波 管 の 振

で は光 フ ァイ バ を,17章

では 各種 共 振 器 に つ い て概

説 す る.   18章 で は 高 周 波 電 流 か ら電 波 が 放 射 さ れ る こ と,放 射 電 磁 界 は ス カ ラ ポ テ ン シャル お よ び ベ ク トル ポ テ ン シ ャル か ら誘 導 で き る こ と を 示 す.19章 は 微 小 ダ イ ポ ー ル を 例 に とって 放 射 電 磁 界 を 求 め,そ

で

の 性 質 を 明 らか に す

る.最 後 に 応 用 例 と し て 無 線 通 信 と レー ダ の 基 本 的 な 方 程 式 を 誘 導 す る.

  本 書 を 執 筆 す る に 当 た っ て は 特 に 次 の 著 書 を 参 考 に さ せ て 頂 い た.各

著 者

に 対 し 深 く 感 謝 す る 次 第 で あ る.

１．Ｄ． Ｋ．Cheng:Field  and Wave  Electromagnetics,  Addison-Wesley,1989 ２．堤 井 信 力:電

磁 波 の 基 礎,内

３．倉 石 源 三 郎:マ ４．雨 宮 好 文:電

イ ク ロ 波 回 路,電

磁 波 工 学,オ

５．東 京 電 機 大 学 編:電 ６．桂 井 誠:電

田 老 鶴 圃,昭49 機 大 出 版 局,昭58

ー ム 社,昭60

磁 気 学,電

磁 気 学 の 学 び 方,オ

機 大 出 版 局,1978 ー ム 社,昭57

７．藤 田 広 一:電

磁 気 学 ノ ー ト,コ

８．藤 田 広 一:続

電 磁 気 学 ノ ー ト,コ

９．藤 田 広 一,野

口 晃:電

磁 気 学 演 習 ノ ー ト,コ ロ ナ 社,昭49

10．藤 田 広 一,野

口 晃:続

電 磁 気 学 演 習 ノ ー ト,コ

11．窪 田 忠 広:過

渡 現 象,電

12．藤 沢 和 男:マ

イ ク ロ 波 回 路,コ

ロ ナ 社,昭35

13． 中 島 將 光:マ

イ ク ロ 波 工 学,森

北 出 版,1975

14．宮 内 一 洋 他:マ

ロ ナ 社,昭46

イ ク ロ 波 ・光 工 学,コ ・電 磁 波 論,培

16．松 尾 優 他:電

波 ・通 信 工 学,共

17．後 藤 尚 久:ア

ン テ ナ の 科 学,講

18． 虫 明 康 人:ア

ン テ ナ ・電 波 伝 搬,コ

19． 野 寺 隆 志:楽

々LATEX,共

20． 伊 藤 和 人:LATEXト

ロ ナ 社,昭54

機 大 出 版 局,1971

15． 三 好 旦 六:光

ロ ナ 社,1989

風 館,昭62 立 出 版,1989 談 社,1987 ロ ナ 社,昭36

立 出 版,1990

ー タ ル ガ イ ド,秀 和 シ ス テ ム,1991

な お 本 書 に 使 用 し たLATEXに 導 を 頂 い た.あ

ロ ナ 社,昭53

つ い て,穂

坂 衛,斉

藤剛 両 先生 に懇 切 な御 指

わ せ て お 礼 申 し 上 げ る.

  1992年7月

                         著 者 し る す

目 次

第 １章  は じ め に  

１

１.１  ベ ク トル 演 算  

２

１.２   単 一 正 弦 波 の 表 示 法 

５

１.３   波 動 方 程 式 

７

１.４  第 １章 問 題

  10

第 ２章  マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 

11

２.１ マ ク ス ウ ェ ル の ４ 方 程 式

  12

２.２  マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 の 積 分 形

  15

２.３  各 種 界 の 表 現   ２.４  第 ２章 問 題

第 ３章  境 界 条 件 等  ３.１  境 界 条 件

17   20

21   22

３.１.１  一 般 的 な場 合

  22

３.１.２  損 失 の な い 線 形 媒 質

  24

３.１.３  片 方 が 完 全導 体 の 場 合

  25

３.２   ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル

  26

３.２.１   ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル の 一 般 式

  26

３.２.２  単 一 正 弦 波 の ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル

  27

３.３  第 ３章 問 題

  30

第 ４章  真 空 中 の 平 面 電 磁 波-Ⅰ 

31

４.１ 単 一 正 弦 波 に お け る マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式

  32

４.２ 平 面 波 の 条 件

  33

４.３  真 空 中 の 平 面 電 磁 波

  35

４.４  平 面 電 磁 波 の 性 質

  36

４.５  第 ４章 問 題

  40

第 ５章  真 空 中 の 平 面 電 磁 波-Ⅱ 

41

５.１  偏 波

  42

５.２  任 意 方 向 へ の 電 磁 波

  46

５.３ 第 ５章 問 題

  50

第 ６ 章  等 方 性 媒 質 中 の 電 磁 波

  51

６.１ 絶 縁 媒 質 中 の 平 面 波

  52

６.２  導 電 媒 質 中 の 平 面 波

  53

６.２.１  導 電 媒 質

  55

６.２.２  低 損 失誘 電 体

  58

６.２.３   良導 体

  59

６.３  第 ６章 問 題

第 ７章  異 方 性 媒 質 中 の 平 面 電 磁 波

  60

  61

７.１  異方 性 媒 質の 表現 法

  62

７.２  対 称 テ ンソル 媒 質 中の 平 面波

  63

７.３  ジ ャイ ロ性 媒 質 中 の 平 面 波

  65

７.３.１   フェ ラ イ トの 透 磁 率

  65

７.３.２   フェ ラ イ ト中 の 平 面 波

  67

７.３.３   フ ァラ デ ー 回 転

  69

７.４  第 ７章 問 題

  70

第 ８章  伝 送 線 理 論-Ⅰ 

7

８.１ 伝 送 線 方 程 式

  172

８.２  各 種 線 路 条 件 下 の 解

  76

８.３ 第 ８ 章 問 題

  80

第 ９ 章  伝 送 線 理 論-Ⅱ 

81

９.１  進 行 波 と 定 在 波

  82

９.２ 線 路 か ら 見 た イ ン ピ ー ダ ン ス

  87

９.３ 第 ９ 章 問 題

  90

第10章  伝 送 線 路 に お け る 過 渡 現 象

 91

10.１  単 一正 弦 波 に よ る過渡 現 象

  92

10.２  電圧 サ ー ジ に よ る過渡 現 象

  95

10.３  電圧 パ ル ス に よ る過渡 現 象

  98

10.４  第10章

問 題 

第11章  各 種TEM線

100

路 

101

11.１ 平 行 ２ 線 

102

11.２ 同 軸 ケ ー プ ル 

105

11.３ ス ト リ ッ プ 線 路 

108

11.４ 第11章

110

問 題 

第12章  平 面 波 の 反 射 と 透 過-Ⅰ

  111

12.１ 反 射 係 数 と 透 過 係 数 

112

12.２ 導 体 へ の 入 射 

114

12.３ 誘 電 体 へ の 入 射  

118

12.４  第12章

120

問 題 

第13章 

平 面 波 の 反 射 と 透 過-Ⅱ

 

121

13.１  直 交 偏 波 と 平 行 偏 波 

122

13.２  直 交 偏 波 

123

13.３  平 行 偏 波 

126

13.４  全 反 射 

129

13.５  第13章

130

問 題 

第14章  導 波 管-Ⅰ

 

131

14.１  導 体 壁 へ の 斜 め 入 射 

132

14.２  平 行 平 板 間 の 電 磁 波 

135

14.３  矩 形 導 波 管 内 のTE波 

137

14.４  導 波 管 内 の 電 力 伝 搬 速 度 

139

14.５  第14章

140

第15章 

問 題 

導 波 管-Ⅱ

 

141

15.１  管 内 電 磁 界 の 一 般 式 

142

15.２  矩 形 導 波 管 に お け るTE波 

143

15.３  矩 形 導 波 管 に お け るTM波 

146

15.４  円 形 導 波 管 に お け る 電 磁 界 

148

15.５  第15章

150

第16章 

問 題 

光 フ ァイ バ  

151

16.１  光 フ ァイ バ の 種 類 

152

16.２  光 フ ァイ バ に お け る 光 線 軌 跡 

153

     

16.２.１  誘 電 体 ロ ッ ド に お け る 光 伝 搬 

153

16.２.２  ス テ ッ プ 形 光 フ ァイ バ 中 の 光 伝 搬 

154

16.２.３  グ レ ー デ ッ ド 形 光 フ ァ イ バ 中 の 光 伝 搬  

156

16.３  光 フ ァ イ バ の 導 波 モ ー ド 

157

16.４  光 フ ァ イ バ に お け る 信 号 劣 化 

159

16.５  第16章

160

問 題 

第17章  共 振 器

 161

17.１  集 中 定 数 共 振 回 路 と 線 路 共 振 器 

162

17.２ 空 洞 共 振 器 

164

17.３ 共 振 器 の Ｑ 

168

17.４  第17章

170

第18章 

問 題 

電 磁 放 射-Ⅰ  

171

18.１  高 周 波 電 流 

172

18.２ ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル と ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル 

175

18.３  磁 流 

178

18.４ ヘ ル ツ ベ ク トル 

179

18.５  第18章

180

第19章 

問 題 

電 磁 放 射-Ⅱ

 

181

19.１  微 小 ダ イ ポ ー ル に よ る 電 磁 界 

182

19.２  放 射 電 力 と 放 射 抵 抗 

187

19.３  指 向 性 利 得 

188

19.４  微 小 ル ー プ に よ る 電 磁 界 

189

19.５  第19章

190

問 題 

第20章  電 波 の 送 受 信  

191

20.１ ア ン テ ナ の 実 効 面 積 

192

20.２ 散 乱 断 面 積 

194

20.３ フ リ ス の 伝 達 公 式 

196

20.４ レ ー ダ 方 程 式 

198

20.５ 第20章

200

問 題 

付 録 Ａ 付 録 

200

Ａ.１ 主 要 定 数 

201

Ａ.２ 量 記 号 お よ び 単 位 記 号 

202

Ａ.３ ベ ク ト ル 公 式 

205

Ａ.４ 座 標 系 別 ベ ク ト ル 表 示 

206

Ａ.５ 三 角 関 数 ・双 曲 線 関 数 

207

Ａ.６ ベ ッ セ ル 関 数 

208

Ａ.７ 単 位 の 名 称(接 Ａ.８ ギ リ シ ャ 文 字 

頭 語) 

209 210

第 １章 は じめ に

高 周 波 電 磁 気 学 の 講 義 を し て 演 習 を 行 って み る と,往 項 の 把 握 が 不 完 全 で あ っ た り,式

の 表 示 が 間 違 って い た り す る こ と に 気 づ く.

こ れ を こ の ま ま 放 置 し た の で は,せ ま 終 わ っ て し ま い,な

々 に して 基 本 的 な 事

っか く の 良 い教 材 も 講 義 も 消 化 不 良 の ま

ん と も も っ た い な い 話 で あ る.そ

こ で 本 論 に 入 る 前 に,

若 干 の 基 礎 と な る 項 目 に つ い て 復 習 を し て み よ う.基 礎 と な る 項 目 と 言 っ て も い ろ い ろ あ る が,こ

こ で は 次 の ３ 項 目 に し ぼ っ て 取 り 上 げ て み た い.

（１）

ベ ク トル 演 算

（ ２）

単 一周 波 数正 弦波 の 表 示

（ ３）

波 動方 程 式 とそ の解

ま ず ベ ク トル 演 算 を 取 り 上 げ る の は,学

生 諸 君 の 答 案 を 見 る と,終

確 な ベ ク ト ル 表 示 に は な か な か お 目 に か か れ な い の で,こ 意 を 喚 起 し た い と 思 う か ら で あ る.次 を 用 い る 理 由,お につ い て 述 べ る.第

に,単

始 正

こで も う一 度 注

一 周 波 数 正 弦 波 を 表 す の にejωt

よ び し ば し ばejωtを 省 略 し て ベ ク ト ル の み を 書 く こ と 等 ３ に 一 般 的 な 波 動 方 程 式 に つ い て 復 習 す る.こ

い て は 物 理 学 で 学 習 済 み の こ と と 思 う が,本 た り 理 解 し た り す る の に 不 可 欠 で あ る.

れ に つ

書 で 取 り扱 う電 磁 波 を 表 現 し

1.1  ベ ク トル 演 算  太 字

Ａ,Ｂ

ク

Ａ の

トル

等 は ベ ク ト ル を,  Ａ, Ｂ

等 は そ の 大 き さ を,  Ax,  Ay,  Azは

ｘ,ｙ,  ｚ 軸 成 分 を,  ax,  ay,  azは

ベ

ｘ, ｙ, ｚ 軸 方 向 の 単 位 ベ ク ト

ル を 示 す も の と す る.

加 減算 ・  A±B= 

±B+A 

加 減 算 の 時 は,順

序 を 変 え て も結果 は同 じで

あ る.

乗算 ・

A・B=B・A=AB 

cosθ

・

A×B=-B×A, 

｜A×B｜=ABsinθ

乗 算 に は ２ 種 類 あ る.先

に 書 い た 方 を ス カ ラ 積,後

ト ル 積 と い う.前

者 は 乗 算 の 順 序 を 入 れ 換 え て も 答 は 変 わ ら な い が,

後 者 は 符 号 が 変 わ る の で 注 意 を 要 す る.な な す 角(た

だ し0〓

θく π)で

お

｜

ax 

ay 

θ は ベ ク トル

Ａ,Ｂ

の

あ る.

・  Ａ お よ び Ｂ の ｘ,ｙ,ｚ 軸 成 分 が 既 知 の 時 は,ベ

AxB=

に書 いた方 をベ ク

ク トル 積 は 次 式 と な る.

az｜

AxAyAz Bx  By  BZ

・  ・ 

AAと

い う 演 算 は,本

A・AをA2と

書 で は 用 い な い.

表 す.  A2=A2で

・  ス カ ラ と ベ ク トル の 積 はBAの

あ る.

よ う に 表 し,大

等 し い ベ ク トル で あ る こ と を 示 す ． 例 え ば,ｚ つ ベ ク トル はazAと

表 さ れ る.

き さが Ｂ 倍で方 向が Ａ と 軸方 向 に大 き さ Ａ を も

除算 ●

ベ ク ト ル に よ る 割 算 は な い!時

々1/Aと

かB/Aと

か 平 気 で書 いて い

る 人 が い る が こ れ ら は 意 味 を な さ な い.

ベ ク トル 演 算 子

▽

●

▽ は ナ ブ ラ と呼 ば れ,以

後 非 常 に 良 く 出 て く る 演 算 子 で あ る.こ れ は

ベ ク トル 形 式 を 持 って い て ス カ ラ に も ベ ク トル に も 作 用 す る こ とが で き る. ス カ ラ に 作 用 す る と ▽φ と な り,こ

れ はgradφ

ベ ク トル に 作 用 す る 時 は ス カ ラ 積 ▽ ・Aと あ る.前

者 はdivAと

と も 表 さ れ,こ

も 表 さ れ,こ

と も 表 さ れ る.

ベ ク トル 積 ▽ ×Aの

れ は ス カ ラ 量 で あ る.後

両 方が

者 はrotA

れ は ベ ク ト ル 量 で あ る.

●

●

こ の 行 列 を 展 開 す れ ば 次 式 を 求 め る こ と が で き る.

● 

▽Aと

い う 表 現 は 意 味 を な さ な い.

●

こ Γ は ラ プ ラ シ ア ン と 呼 ば れ,ス が で き る.右

辺 は ▽2=▽

カ ラ に も ベ ク トル に も 作 用 す る こ と

・▽ か ら 簡 単 に 求 め ら れ る.

§例 題1.1§ (１) 

  次 の 演 算 の 誤 り を 指 摘 し,正

し い 表 現 を 示 せ.

A×B=B×A

(２)

†解 答 † (１)右 辺 の Ｂ は ベ ク ト ル.ベ

正 しい表 現

ク トル 積 は 順 序 が 変 わ る と 符 号 が 変 わ る.

A×B=-B×A

◇   左 辺 の Ｂ を Ｂ に 変 え る の も あ る が,上 (２)左

辺 の Ｈ とdsと とdSと

は ス カ ラ 積.

記 の 方 が 普 通 で あ ろ う.

右 辺 のdSは

ベ ク トルdS.

は ス カ ラ 積.

正 しい表 現 §例 題1.2§ × を 付 し,×

  次 の 演 算 の 内,意

味 の あ る も の に は ○,意

味 のな い もの に は

の 場 合 は 理 由 を 述 べ よ.

(１)grad  div        (２)grad  grad       (３)div  grad (４)div  rot         (５)rot  div       

(6)rot  rot

†解 答 † (１)   grad  div     ○

(２)  grad grad 

× 

gradは

ス カ ラ に 作 用 し て ベ ク トル を 作 る.

ベ ク ト ル で あ るgradに

は 作 用 し 得 な い.

(３)   div grad    ○ (４)   div rot     ○

(５)  rot div 

  × 

rotは ベ ク トル に 作 用 し て ベ ク ト ル を 作 る. ス カ ラ で あ るdivに

は 作 用 し 得 な い.

(６)   rot rot      ○

◇  そ の 他 の 組 合 せ に つ い て も 考 え て み ら れ た い.

１.２  単 一 正 弦 波 の 表 示 法 単 一 正 弦 波 の 取 扱 い は,次

の よ う な 理 由 で 重 要 で あ る.

● 現 実 問 題 に お い て 極 め て 広 く用 い られ て い る.無 周 波 数 は,で

線通 信 や放 送 の搬 送

き る だ け 純 粋 な 単 一 周 波 数 を 出 す こ と を 心 が け て い る.

● 任 意 の 波 形 は 多 数 の 正 弦 波 か ら 成 って い る.し た が って,１ つ の 周 波 数 に 対 す る 取 扱 い を 知 れ ば 任 意 の 波 形 を 取 り扱 う こ と が で き る.   時 間 と 共 に 正 弦 的 な 変 化 を す る ス カ ラ 量a(t)=｜A｜cos(ωt＋ る.ａ(ｔ)は 時 々 刻 々 の 値 を 表 す の で 瞬 時 値,Ａ (ス カ ラ)フ

ェー ザ と 呼 ば れ る.ψ

は 分 か り や す い が,演

ψ)が あ る と す

は時 間 に関係 のな い複 素 数で

は Ａ の 位 相 角 で あ る.こ

の表現 は 直感 的 に

算 を す る 時 に は 不 便 な 形 で あ る.そ

こ でA(t)=Aejωt

と い う 量 を 導 入 し て 正 弦 波 を 表 す こ と に す る．ａ(ｔ)とＡ(ｔ)を

結 び つ け る に

は 次 の オ イ ラ ー の 公 式 を 利 用 す る.    ejωt=cosωt＋jsinωt   こ れ を 用 い る と,a(t)=Re[A(t)]=Re[｜A｜eψejωt］=Re[｜A｜ej(ωt+ψ)］ こ と が で き る.そ

と表 す

こ で,Ａ(ｔ)の 実 数 部 が 瞬 時 値 で あ る と い う 約 束 の 下 にＡ(ｔ)

を 用 い る わ け で あ る.こ

の よ う にcosωt→ejωtと

表 し て,実

部 に意 味 を

持 た せ る 方 法 は 演 算 子 法 と 呼 ば れ る 方 法 の 一 種 で 広 く 用 い ら れ る.こ 法 の 最 大 の 長 所 は,微

分 や 積 分 が 簡 単 に 表 現 で き る 点 に あ る.す

  ●  微 分 → ｊω を 掛 け る. 

●  積 分 →ｊ ω で 割 る.と

(ｔ)は 時 間 の 関 数 で あ り,Ａ

と は 異 な る.た

に 区 別 し な い でＡ(Ａ

  以 上 述 べ た こ と は,ベ

ク トル 量 に も 適 用 で き る.時

な わ ち

す れ ば 良 い. Ａ

だ し 本 書 で は,正

こ と が 明 ら か な 場 合,特

弦波 で あ る

で な く)と 記 す こ と に す る. 間 と 共 に正 弦 的 に変

化 す る ベ ク トル ａ が あ る と す る と,a(x,y,z,t)=A(x,y,z)cosωtと ,ｙ,ｚ,ｔ)は瞬 時 値,Ａ(ｘ,ｙ,ｚ)は,時 フ ェー ザ と 呼 ば れ る.こ

間 に 関 係 の な い ベ ク トル で(ベ

表 せ る.ａ(ｘ ク トル)

こ で も ス カ ラ の 時 と 同 様 に Ａ(x,y,z,t)=A(x,y,z)ejωt

を 導 入 す る こ と が で き る.し い の で 本 書 で は 特 にＡ

の方

とＡ

か し前 後 の状 況 で 簡単 に判 別 で き る こ とが多 を 区 別 し な い でＡ

と表 す こと にす る．

§ 例 題１.３ §  cosωtお

よ びsinωtを, ejωtお

よ びe-jωtを

用 い て 表 せ.

〓 解 答〓   オ イ ラ ー の 公 式 お よ び 同 公 式 で,jωt→

−jωtと

置 き 換 え る と,

ejωt=cosωt＋jsinωt e -jωt

=cos(−

両 式 を 足 し て(ま

ωt)＋jsin(−

ωt)= 

た は 引 い て)２

◇  ｅｊｘがｅｘ で あ る と   cosh 

§例 題１.４ §  Ｒ,Ｌ

cosωt−jsinωt

で 割 る と 次 式 を 得 る.

お よ び   sinh 

の 直 列 回 路 に υ=Vmcosωtの

と な る.す

なわ ち

電 圧 を 加 え た.回

路 に流

れ る 定 常 状 態 の 交 流 電 流 の 瞬 時 値 を 表 す 式 を 求 め よ. 〓 解 答〓   回 路 方 程 式 を 立 て る と 次 の よ う に な る.

定 常 状 態 の み を 知 り た い 時 は こ の 特 解 を 求 め れ ば 良 い． こ れ に は, 右辺

→Vmejωt,ｉ

→Iejωt,微

Ie jwtの 実 部 を と る と ,定

こ こに

分 →jω

常 電 流 ｉsは,

で あ る.

と お き,Ｉ

を 求 め る.(jωL＋R)Lejωt=Vmjωt

１.３  波動 方程 式 一 般 に

,Ａ

が ｚ お よ び ｔ の 関 数 Ａ(ｚ,ｔ)であ る と き 微 分 方 程 式

を 波 動 方 程 式 と 呼 ぶ.こ こ こ に,ｆ

の解

Ａ(z,t)=f(z−υt)＋g(z＋υt)で

お よ び ｇ は 任 意 の 関 数 で あ る.こ

表 さ れ る.

れ が 解 で あ る こ と は,

を 代 入 す る と 微 分 方 程 式 が 満 足 さ れ る こ と か ら 容 易 に 分 か る.   こ こ でA(z,t)=f(z−

υt)に 着 目 し よ う. z=0, 

Ａ(０,０)はf(０ − υ×0)=f(0)で f(υ − υ ×1)=f(0)で

あ る ．t=1,z=υ

同 じ 値 を と る.こ

れ は,あ

t=0に

お け る

Ａ の 値

に お け る Ａ の 値 Ａ(υ,1)も る時 刻 にお け る Ａ の 値 は

１秒 後 に は υ だ け ｚ 方 向 に 進 ん で い る こ と を 示 し て い る ． す な わ ち,速 υ で

ｚ 方 向 に 進 む 波 で あ る.こ

は速 度 υ で

の 様 子 を 図 １・ １に 示 す.ち

υt)

− ｚ 方 向 に 進 む 波 で あ る.

図 １・ １  A(z,t)=f(z−υt)の

Ａ が

な み にg(z＋

度

ｘ,ｙ,ｚ お よ び ｔ の 関 数

は次 の よ う にな る ．

動 き

Ａ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)であ る と き,上

式 に対応 す る式

ま た は ▽ を 用 い,Ａ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)を

こ の 解 は,次

単 に Ａ と お い て,次

の よ う に も 表 せ る.

の 形 を と る.

Ａ(x,y,z,t)=f(γxx＋ryy＋rzz−υt)＋

た だ し ，rx2＋ry2＋rz2=１ れ ば す ぐ 分 か る.詳

ｇ(γxx＋ryy＋rzz＋

υt)

で あ る ・ こ れ も ｆ"お よ び ｇ"を 求 め て 原 式 に 代 入 す

し い こ と は 後 章 で 述 べ る が,こ

の 式 はaxrx＋ayry＋azrz

方 向 に 速 度 υ で 進 行 す る 波 を 示 し て い る.   Ａ が ベ ク ト ル Ａ(Aｘ,Aｙ,Aｚ，ｔ)の 場 合 も 同 様 で あ る.波

動 方 程 式 は次式 で

表 さ れ る.

  と こ ろ で,▽２AをAｘ

， Ａｙ， Ａ ｚ

を 用 い て 表 す と ど う な る か 正 し く把 握 し

て お ら れ る だ ろ う か.

等 と し な い よ う に し て 頂 き た い.正

解 は ベ ク トル 演 算 を 省 略 せ ず に 行 う と

次 式 で あ る こ と が 分 か る.

ベ ク トル

Ａ

の 波 動 方 程 式 の 解 は,次

の よ う に な る.

      A(x,y,z,t)=A0{f(γxx＋γyy＋γzz-vt)＋g(γxx＋γyy＋rzz＋

A0は

一

定

ベ

ク

ト ル,r2x+r2y+r2z=1で

υt)}

あ

る.

Ａ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)が

単 一 正 弦 波 の 場 合 は,  A(t)=Aejωtと

で あ る か ら,波

表 す こ と が で き,

動 方 程 式 は 次 の よ う に な る.

▽2A＋k2A=0 と お い て あ る.こ

こ こ に,

の解 は

A=Aoej{ωt−(βxx+βyy+βzz)}

と な る.こ

こ に β2x+β2y+β2z=к2で

  も し 波 が ｚ方 向 に 進 行 す る 時 は,波

で あ り,そ

あ る. 動方 程 式 は

の解 は

A=A0oej(ωt−kz)

の よ う に 表 され る 。 § 例 題 １-５ §  周 波 数

１[MHz], 

う に 表 し た 時,ω,kの

速 度3×108[m/s]の

波 をAoej(ωt−kz)の

よ

値 を 求 め よ.

〓解 答〓   角 周 波 致 ω[rad/s]と １[MHz]=106[Hz]で

   

また

周 波 数f[Hz]と

の 間 に は

ω=2πfの

関 係 が あ る.

あ る か ら,

ω =  2π ×106〓6.28×106[rad/s］

と お い た わ け で あ る か ら,

で あ る.よ

って

  ◇ кは 単 位 長 当 た り位 相 が ど れ だ け 回 転 す る か を 示 す 量 で 位 相 定 数 と 呼 ぶ. ◇

波 をAoej(ωt−gbкz)の

よ う に 表 し た 時,そ

の 速 度 は

と な る.

１． ４  第 １ 章 問 題 １．次 の 計 算 を せ よ．(１)rot

grad

２．次 の 式 を 証 明 せ よ. 

rot

A 

(２)div

rot A=grad

div A−

rot A ▽2Ａ

３．Aejωtに お い て, Ａ が 複 素 ベ ク ト ルA=Ar+jAiで

あ っ た.

(１)物 理 的 に 実 在 す る 波 形ａ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)は ど の よ う な 式 で 表 さ れ る か. (２)Ａ の 共 役 複 素 数 をＡ*と

す る 時,実

で あ る こ と

効 値 は

を 示 せ． ４． ２ つ の 波A1=f(t-z)とA2=g(t+z)が 形 を 示 す.t=0,1,2,3に

あ り.図１ お け るA1+A2の

５． 次 式 で 表 さ れ る 波 の,t=0,  (１)A=Ao

cos(ωt−

(２)A=Ao

cosωtcos,βz

t=△tに

・２にｆ(ｚ)とｇ(ｚ)の

波 形 を 示 せ.

お け る 波 形 を 示 せ.

βz)

〓ヒ ン ト〓

 １.(１)保 存 的 な 場 は 渦 な し.      (２)渦 あ り の 場 は 湧 き 出 し な し. ２ .直 角 座 標 成 分Ａｘ,Ａ ｙ,Ａｚ を 用 い て 展 開 す る. ３ .(１)Ar

cosωtだ

け で は な い.

(２)

を 書 き 換 え る と?

４ .Ａ１,Ａ２は ど ち ら に ど れ だ け の 速 さ で 進 む 波 か? ５.(１

)の 関 数 で あ る.

(２)定在 波 で あ る．

波

第 ２章 マ ク ス ウ ェル の 方 程 式

  読 者 は “電 磁 気 学 ” に お い て,静 ど を 経 て 電 磁 界 に 至 り,マ

電 界 に 始 ま り 電 流 界,磁

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 が 出 発 点 と な り,種 々 の

電 磁 波 の 振 る 舞 い を 学 ぶ こ と に な る.し

本 章 で は,次

磁 誘 導 な

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を 学 ば れ た こ と と 思 う ． “高

周 波 電 磁 気 学 ”に お い て は,マ

式 を ふ り か え り,そ

界,電

た が っ て,こ

こで も う一度 この方程

の 意 味 す る 所 を し っ か り 把 握 し て い た だ き た い と 思 う.

の 三 点 に 焦 点 を し ぼ っ て 述 べ て み た い.

  (１)  マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 と そ の 解 釈   (２)  マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 の 積 分 形   (３)  マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を 用 い た 各 種 界(場)の   ま ず マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を 示 し,そ

表現

の 意 味 す る と こ ろ を 考 え る.マ

クス

ウ ェル の 方 程 式 と い う と 何 か 神 秘 的 な も の で あ る と 思 う の は 当 た ら な い.こ こ で ま ず,こ

の 方 程 式 に 親 近 感 を も っ て い た だ き た い.次

の 方 程 式 の 積 分 形 を 示 す.ち

ょっ と し た 変 形 に よ り,こ

に,マ

ク ス ウェル

れ らの 方程 式 は電 磁

気 学 で 学 ん だ お な じ み の 表 現 と 等 価 な の だ と い う こ と が わ か る.第

三 に,す

で に 電 磁 気 学 で 学 ん だ い ろ い ろ な 界 を マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 で 表 す と ど う な る か を 示 す.こ

れ に よ り 各 界 の 位 置 づ け が よ り は っ き り す る と 思 う.

2.1  マ ク ス ウ ェル の ４ 方 程 式 と り あ え ず マ ク ス ウ ェ ル の ４ 方 程 式 を 記 す と,次 ∂B

▽ ×E=▽ ×H=

J+

(2.1)

/∂t ∂D

(2.2)

/∂t

▽･D=ρ

(2.3)

▽･B=0

(2.4)

  ま ず こ れ ら の 式 の 意 味 を 考 え て み よ う.第 れ,電

の と お り で あ る.

１式 の ▽ ×EはrotEと

界 の 渦 が で き て い る こ と を 示 し て い る.数

も表 さ

式 の取 扱 いに 重点 を お く

とき は前 者 を肌

物 理 的 な 意 味 を 重 視 す る と き は 後 者 を 用 い る.∂B／∂ tは 磁 束 密 度 の 時 間 変 化 を 示 す か ら,第 １式 は “磁 束 密 度 に 時 間 変 化 が あ る と, そ の 周 り にそ の 変 化 を 妨 げ る よ う に 渦 状 に 電 界 が で き る”と い う こ と を 意 味 し て い る.   同 様 に して 第 ２式 は,“ 電 流 が 流 れ て い た り電 束 密 度 に 時 間 変 化 が あ った りす る と,そ の 周 り に 磁 界 が で き る”こ と を 意 味 し て い る 。電 流 が 流 れ る と そ の 周 り に 磁 界 が で き る と い う の は 良 く 理 解 で き る と思 う が,電

束密度の

時 間 変 化 も 同 様 の 効 果 を も た ら す と い う の は や や 理 解 しが た い よ う に 見 受 け ら れ る ．電 束 密 度 の 時 間 変 化 ∂D／∂tは ，変 位 電 流 と 呼 ば れ マ ク ス ウェ ル に よ って 導 入 さ れ た 量 で あ る.実

は こ の 変 位 電 流 も い わ ゆ る 電 流 と 同 じ働 き

を す る の で あ る.   第 ２式 が 正 し い こ と は,次 の 関 係 は ▽ ｘH=Jで

の よ う に 説 明 で き る.導

与 え ら れ る.こ

電 電 流 分 布 と磁 界 分 布

の 式 の 発 散 を 求 め る と,左

ト ル の 公 式 ▽ ・(▽×A)=0(Ａ

は 任 意 の ベ ク ト ル,練

よ り ０で あ る か ら ▽ ・J=0と

な る.し

辺 は ベ ク

習 問 題1.4.1(２)参

照)に

か し よ り 一 般 に ▽ ・Jに つ い て は,次

の 電 流 連 続 の 方 程 式 が 成 り 立 た な け れ ば な ら な い か ら 矛 盾 を 来 た し て い る.

▽･J=

∂ρ ／∂ t

(2.5)

  こ れ は ▽ ×H=Jは

特 定 の 場 合 に し か 成 り 立 た な い こ と に 起 因 し て い る.

こ の 矛 盾 を 解 消 す る た め に は,次 の 両 辺 を 微 分 し て 式(2.5)に ち,Ｊ

の代 わ りに

  第 ３ 式 ▽ ・D=ρ

に で て く る 第 ３ 式 ▽ ・D=ρ

代 入 す る と,

を 用 い る.こ と な る,す

な わ

を 用 い れ ば 良 い こ と が 分 か る. はdivD=ρ

と も 表 さ れ る.divは

湧 き 出 し で あ る か ら,

こ の 式 は “電 荷 が あ れ ば そ こ か ら 電 束 が 湧 き 出 す ” こ と を 意 味 し て い る.   第 ４ 式 ▽ ・B=0は

し た が っ て “磁 束 に は 湧 き 出 す 源 が な い” こ と,す

ち,“ 磁 束 は 閉 じ て い る ” こ と を 意 味 し て い る.こ

な わ

れ は電 流 が 作 る磁 界 をみ

れ ば 自 明 で あ る.“ 磁 石 は ど う な の だ ” と の 疑 問 も 出 る か も し れ な い が,Ｎ 極 か ら 出 た 磁 束 は Ｓ極 に 戻 り,今 結 局 閉 じ て い る.こ

度 は 磁 化 指 力 線 と な っ て Ｎ 極 に 戻 る か ら,

れ は 磁 荷 に は,真

電 荷 に 対 す る 真 磁 荷 が な く,必

ず対 に

な って 現 れ る 分 極 磁 荷 の み で あ る こ と に 起 因 し て い る ． も し 真 磁 荷 が 発 見 さ れ れ ば,こ

の 式 は ０ で な く な る が,今

の 所 真 磁 荷 は 発 見 さ れ て い な い.

  こ れ ら ４式 は も ち ろ ん 矛 盾 は し な い が,必 お よ び 第 ４式 は 第 １式,第 とが で き る.言

ず し も独 立 で は な い ．第 ３式

２式 お よ び 式(2.5)電 流 連 続 の 方 程 式 か ら導 く こ

い 換 え れ ば マ ク ス ウ ェル の ４方 程 式 は 電 流 連 続 の 方 程 式 を

含 ん で い る.し た が って,電

流 連 続 の 方 程 式 が 成 り立 つ こ と を 前 提 と す れ ば

第 ３式 お よ び 第 ４式 は 補 助 的 な 式 で あ る(例

題2.2参 照).よ

って 第 １お よ

び 第 ２式 を もって マ ク ス ウェル の 方 程 式 と い う こ と も 多 い.  マ ク ス ウェル の 方 程 式 は 電 磁 気 現 象 の 基 本 的 関 係 を 与 え る が,実 際 に 応 用 す る に は 次 の よ う な 補 助 式 を 用 い な け れ ば な らな い ．補 助 式 は マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 ほ ど 一 般 性 を 有 し て い な い が,実

際 に起 こる 多 くの 問 題 に対 し

て 適 用 で き る も の で あ る. J=Jο+J′

(2.6)

D=εE

(2.7)

B=μH

(2.8)

こ こ に Ｊοは 印 加 電 流, Ｊ′は 導 電 電 流 でJ′=σEの く け れ ば 電 圧 で 置 き 換 え れ て 考 え れ ば 良 い.前 は抵 抗 な ど で 消 費 さ れ る 電 圧 降 下 に 対 応 す る.

関 係 が あ る.わ

か りに

者 は 起 電 力 に 対 応 し,後 者

§例 題2.1§

極 板 面 積 Ｓ,電 極 間 距 離d,媒

ン サ の 両 極 間 に,υc=Vsinωtの

質 の 誘 電 率 εの 平 行 平 板 コ ン デ

電 圧 を 印 加 し た.コ

ンデ ン サ 内 を 流 れ る 変

位 電 流 は 電 線 を 流 れ る 電 流 と 等 し い こ と を 示 せ. †解 答 † 電 線 を 流 れ る 電 流icは,コ

ン デ ン サ の 容 量 を Ｃ と す る と,

で あ る か ら,

一 方

，コンデ ンサ 内 傭

が っ て,変

界 はE=υc/dで

ある か ら，

した

位 電 流idは,

よ っ てid=icで

あ る.

であ る と き,

§例 題2・2§ ▽ ・D=ρ

▽ ・B=0で

あ る こ と を 証 明 せ よ.

†解 答 † 第2式

のdivを

▽ ・(▽×A)=0で

と り 第3式

を 代 入 す る と,

あ る か ら 左 辺 は ０ で あ る.ゆ

え に ▽ ・D=ρ

同 様 に 第 １式 か ら,

ゆ え に ▽ ・B=0

◇ 積 分 定 数 は 物 理 的 に ０ と考 え て 良 い.さ 存 在 す る こ と に な る.

も な い と永 久 に 電 荷 や 磁 荷 が

2.2  マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 の 積 分 形   前 節 で 示 し た マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 は 微 分 形 で あ り,空 間 の あ ら ゆ る点 で 成 り立 つ.し か し 実 際 に は,あ

る 形 状 を 持 った 対 象 に 対 し て 電 磁 気 現 象 を 説

明 し な け れ ば な ら な い こ と が 多 い.こ

の た め に は マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 の

積 分 形 を用 い た方 が 良 い。   閉 曲 線cで

囲 ま れ た 面5を

考 え,こ

の 面 に つ い て 第1式

の 積 分 を と る と,

(2.9) こ こで 面積 分 と線 積 分 の 相 互 変 換 を行 う の に,次 の ス トー ク ス の 定 理 が あ る.

(2.10) 上 で 得 た 積 分 式 に ス ト ー ク ス の 定 理 を 適 用 す る こ と に よ り,次

こ の 式 の 右 辺 は-dφ/dtで あ る.し

た が っ て,第1式

式 を 得 る.

は

（ 2.11)

と な る が,こ 同 様 に 面Ｓ

れ は 電 磁 誘 導 で 学 ん だ フ ァ ラ デ ー の 法 則 に 他 な ら な い. に つ い て 第 ２ 式 の 積 分 を と り,ス と な る.こ

と る 電 流 で あ る.し

た が っ て,マ

トー ク ス の 定 理 を 適 用 す る

の 式 の 右 辺 第1項

ク ス ワ ェ ル の 万 程 式 の第

は,面3を

流 れ

２式は,

(2.12) と な る が,こ れ は 拡 張 さ れ た ア ン ペ ア 周 回 積 分 の 法 則 で あ る.右 辺 の 第 ２項 が な けれ ば電 流 磁 界 で学 ん だ ア ンペ ア 周回積 分 の 法則 に他 な らな い こ と に 気 づ くで あ ろ う.

  次 に ， 閉 曲 面Ｓ

で 囲 ま れ た 体 積Ｖ

積 分 を と る と∫ｖ ▽.Ddν=∫ｖ 換 を 行 う の に,次

を 考 え る.こ

の 体 積 に つ い て 第 ３式 の

ρdνと な る ・ こ こ で 体 積 分 と 面 積 分 の 相 互 変

の ガ ウ ス の 定 理 が あ る.

(2.13) 第 ３式 の 積 分 式 の 左 辺 に ガ ウ ス の 定 理 を 適 用 し,ま た 右 辺 は 体 積Ｖ 中 の 電 荷 に 他 な ら な い こ と に 着 目 す る と,次

式 を 得 る.

(2.14) こ れ は 電 束 に 関 す る ガ ウ ス の 法 則 で あ る. 同 様 に 体 積Ｖ に つ い て 第 ４式 の 積 分 を と り,ガ ウ ス の 定 理 を 適 用 す る と

(2.15) と な る.こ

れ に は 特 別 な 法 則 名 は 付 い て い な い が,上

し た 磁 荷 と い う も の が な い こ と,ま タ ル0に

た 閉 曲 面Ｓ

式 と 比 べ る と,独

立

を 出 入 り す る 磁 束 は,ト

ー

な る こ と が わ か る.

§ 例 題2.3§

保 存 的 な 電 界 で は ，∮ｃE・dｓ=0が

ウ ェ ル の 方 程 式 で は ど の よ う に 表 さ れ,何

成 り立 つ ・ これ はマ クス

を 意 味 し て い る か.

†解 答 † ス ト ー ク ス の 定 理 に よ り 左 辺 は,

と 表 さ れ る.こ

こ で 面 積 分 は,経

た ね ば な ら な い か ら,左 て い る.し

た が っ て,マ

辺 が0と

路cで

囲 ま れ る任意

い う こ と は ▽ ×E=0と

の 画 に つ い て成

り立

い う こ とを 示 し

ク ス ウ ェル の 方 程 式 で

こ れ は 磁 界 が 一 定,す な わ ち 磁 界 の 時 間 的 変 化 が な い こ と を 意 味 し て い る.

各種 界 の 表 現

2 3 .

本 節 で は,今 ま で 電 磁 気 学 で 学 ん だ 各 種 の 界 が マ ク ス ウェル の 方 程 式 を 用 い て ど の よ う に 表 さ れ る か を 考 え て み た い.

静電 界

(１)

  静 電 界 に お い て は 磁 界 は 関 係 な い か ら,Ｈ し て 良 く,第

１式 か ら ▽ ×E=0を

式D=εEか

ら ▽ ・E=P/ε が 求 め ら れ る.す

▽ ×E=0,▽

式(2.16)は 示 す.前

・E=ρ/

得 る.ま

E= 

お よ び 補助

な わ ち,

(2.16)

ε

静 電 界 が 渦 な し で あ る こ と,電 者 か ら,静

ある いは Ｂ に 関す る項 は 省略 た 第 ３ 式 ▽ ・D=ρ

界 は 電 荷 分 布 に よ り決 ま る こ と を

電 界 は ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル Ｖ を 持 つ こ と が 分 か り,

-▽V

(2.17)

と 書 く こ と が で き る.こ

れ を 式(2.16)の

第 ２式 に 代 入 し て,次

のボ ア ソ ンの

方 程 式 を 得 る こ と も で き る. ▽2V=-ρ/

(2.18)

e

電 荷 が 存 在 し な い 場 合 は,▽2V=0と

な り ラ プ ラ ス の 方 程 式 と 呼 ば れ る.

直流 電流 に よ る 磁 界

(２)

 直 流 電 流 に よ る 磁 界 に お い て は,変 位 電 流 は 無 い か ら ∂D/∂tは 省 略 して 良 く,第

２ 式 か ら ▽ ×H=Jを

B=μHか

ら ▽ ・H=0が

▽ ×H=J, 

得 る.ま 得 ら れ る.す

た 第 ４ 式 ▽ ・B=0お な わ ち,

(2.19)

▽ ・H=0

  こ れ ら の 式 は こ の 界 が 渦 あ り で あ る こ と,し と を 示 し て い る.後 か る.す B=▽

か し湧 き 出 し な しで あ る こ

者 か ら こ の 界 は ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル を 持 つ こ と が 分

な わ ち,式(2.20)の ×A

よび 補 助 式

よ う に 表 す こ と が で き る.

(2.20)

(3)

電磁 誘導

  ま ず 導 電 率 σ,透磁 率 μ の 良 導 体 内 の 電 磁 界 に つ い て 考 え て み よ う.電 界 と 磁 界 は,定 常 状 態 で は そ れ ぞ れ 別 個 の 独 立 し た 現 象 と して 扱 え る が,時 間 に よって 変 化 す る と互 い に影 響 し合 う よ う に な り電 磁 誘 導 を 生 じ る.こ の 場 合, 磁 界 は 変 化 す る か らマ ク ス ウェル の 方 程 式 の 第 １式 は そ の ま ま成 り立 つ.ま た 良 導 体 内 の 電 束 お よ び 変 位 電 流 は 小 さ いか ら,第 ２式 にお け る 式 は ０ と み な す こ と が で き る.さ を 用 い る と,マ

∂D/

ら に 補 助 式D=εE,B=μH, 

∂t

お よび第 ３

J=J′=σE

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 は 次 の よ う に な る.

▽ ×H=σE ▽・E=0, 

  ▽・H=0

(2.21)

こ れ ら の 式 は Ｅ と Ｈ で 表 し て い る が,他 こ と も で き る.表

と Ｂ で 表 す

皮 効 果 が 求 め ら れ た 経 過 を 思 い 出 し て 頂 き た い.

  つ い で 誘 電 率 ε,透

磁 率 μ の 誘 電 体 内 の 電 磁 界 を 考 え る.誘

電 荷 も 電 流 源 も 無 い も の と す る.こ 第 ２ 式 の Ｊ の 項 は 無 く な る.ま 式B=μH, 

の 変 数 た と え ば,Ｊ

D=σEを

の 場 合,導

電 体 内 に は

電 電 流 は無 視 して 良 いか ら

た 電 荷 が な い か ら 第 ３ 式 は ０ に な る.補

用 い る と,こ

助

の 場 合 の マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 は,次

の よ う に な る.

▽ ・E=0, 

(2.22)

  ▽ ・H=0

  さ ら に 一 般 的 な 場 合 と し て,誘

電 率 ε,透 磁 率 μ,導 電 率 σ の 媒 質 中 で,電

荷 も 電 流 源 も あ る と き は Ｊ お よ び ρ の 項 も 入 っ て き て,マ 式 は 基 本 ４ 式 そ の も の に な る.例

え ば,ア

電 磁 波 が 放 射 さ れ る よ う な 場 合 で,具 さ れ た い.

ク ス ウ ェル の 方 程

ン テ ナ に 電 流 が 流 れ,こ

体 的 な 例 と し て は 第18,19章

れ か ら を参 照

(４)  ヘ ル ム ホ ル ツ の 定 理 (１)∼(３)項に お い て い ろ い ろ な 界 の 表 現 を 示 し た が,こ トル 界

れ らか ら あ る ベ ク

Ｆ は 次 の よ う に 分 類 で き る こ と が 分 か る.

(１)  ▽ ×F=0,▽

・F=0 

例:電

荷 のな い 静電 界

(２)  ▽ ×F=0,▽

・F≠0 

例:電

荷 の ある 静電 界

(３)  ▽ ×F≠0,▽

・F=0 

例:電

流 磁 界

(４)  ▽ ×F≠0,▽

・F≠0 

例:時

変 磁 界 を伴 う電荷 の 有 る電 界

こ れ ら の 各 界 に 関 連 し て 次 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 定 理 が あ る.   “ベ ク ト ル 界 Ｆ は そ のdivとrotが こ の 時,Ｆ

は 次 の よ う に 表 す こ と が で き る.

    F=Fd 

(湧 き 出 し 界)+Fr 

こ こ に ▽ ×Fd=0,▽

・Fd=gお

は 渦 な し だ か らFd=-▽

(回 転 界) よ び ▽・Fr=0,▽

×Fｒ=Gで

あ る. Ｆｄ

ψ な る ス カ ラ ポ テ ン シ ャル ψ を 持 つ し, Ｆ ｒは 湧 き

出 し な し だ か ら Ｆr=▽ て,一

規 定 さ れ れ ば 一 義 的 に 決 定 さ れ る.”

×Aな

る ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル Ａ を 持 つ.し

たがっ

般 的 な ベ ク トル 界 Ｆ は ポ テ ン シ ャ ル を 用 い て 次 の よ う に 表 さ れ る.

F=−

▽ ψ+▽

(2.23)

×A

こ の 式 は す べ て の 電 磁 界 で 成 立 し て い る こ と が 分 か ろ う. §例 題2.4§

 オ ー ム の 法 則 が成立す

流 れ て い る.こ

る 導 電 率 σ の 媒 質 内 で 直 流定 常 電 流 が

の 電 流 界 を マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を 用 い て 表 せ.

†解 答† マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 の 第 １式 に お い て 磁 界 は 関 係 無 い か ら  ▽ ×E=0. ま た 題 意 に よ り  J=σE.ゆ 第 ２式 と第 ３式 か ら ▽ ・

え に ▽ ×J=0.

題 意 に よ り直 流 定 常 電 流 で あ る か ら 右

辺 は ０.よ っ て こ の 界 は 次 の よ う に 表 す こ と が で き る.

▽ ×J=0, 

▽J=0

(2.24)

２.４  第 ２ 章 問 題 １.εr=1,σ=6×107[S/m]の

導 体(銅)が

あ る.10[GHz]に

お い て こ の 導

体 を 導 体 に 流 れ る 導 電 電 流 と 変 位 電 流 を 比 較 せ よ. ２.直 流 電 流 の 作 る 磁 界 で は,一

般 に は ス カ ラ ポ テ ン シ ャル を 規 定 で き な い.

規 定 で き る た め に は ど ん な 条 件 が 必 要 か. ３.次 の 文 章 の 空 欄 に 適 当 な 語 句 を 充 当 せ よ. ＝∂B

(１) ▽ ×E

を 閉 回 路 ｃで 囲 ま れ た 面 積 Ｓ に わ た っ て 積 分 す る と,

/∂t

左 辺 は(１)の

定 理 に よ り 線 積 分 に 変 換 さ れ〓cE・ds,右

る 磁 束 φ を 用 い て(２)と (２) ▽ ×H＝

J＋∂

D/ ∂t

dSを 得 る.こ

表 せ る.こ

れ は(３)の

定 理 で あ る.

を 同 様 に 積 分 す る と, (4)＝(5)

れ は 拡 張 さ れ た(６)の

＋ ∫ ∂D/∂t.

法 則 で あ る.

４.直 流 電 流 磁 界 中 に 強 磁 性 体 が あ る.マ ５.真 空 中 に 永 久 磁 石 が あ る.マ

辺 は Ｓ を通

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を 示 せ.

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を 示 せ.

† ヒ ン ト †

1.E=E0

cosωtと

お

く

とic=σE0

cos

ωt, 

id=-ω

εE0

sinωt.

ゆえに ２.磁位 差F＝ ３.本 文 参 照.電 ４.▽ ×H=J,▽ 5.▽

×H=0,▽

∫H.dS 束,磁

束 に つ い て も 各 自 試 み ら れ た い.

・B=0  ・H=ρm/μ0 

(非 線 形 だ か ら Ｂ → Ｈ  (▽ ・B=0は

に は で き な い)

当 然 成 り 立 っ て い る)

第 ３章 境界 条件 等   ２つ の 違 った 媒 質 が 接 し て い る と 電 磁 界 は ど うな る の で あ ろ う か.ま あ る 媒 質 の 中 で,電 ろ う か.本   (１)境

た

磁 界 は どん な エ ネル ギ ー を ど うい う方 向 に運 ぶ の であ

章 で は,こ れ ら の 電 磁 界 の 基 本 的 な 振 る 舞 い に つ い て 述 べ る. 界条 件

  (２) ポ イ ン テ ィン グ ベ ク トル   前 章 で 述 べ た よ う に,界 のrotとdivが れ る が,こ

与 え られ る と界が 一 義 的 に決 定 さ

れ らが 境 界 内 部 で の み 指 定 さ れ て い る よ うな 場 合 は 積 分 定 数 の

決 定 の た め に さ ら に 界 の 境 界 条 件 が 必 要 に な る.こ 重 要 で あ る.学

の意 味か ら境 界 条 件 は

生 諸 君 の 解 答 を み る と “電 界 の 接 線 成 分 は 連 続 で あ る”と い

う 表 現 は い と も 簡 単 に 出 て く る が,い

ざ図 に書 いて み る と い う段 階 にな る

と “連 続 と い う意 味 が 分 か って い る の か な”と い う疑 問 を感 じ る こ と が 多 い.   ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル に つ い て も 単 位 面 積 当 た り を 流 れ る 電 力 量 と い う こ と は 理 解 で き る が,問 題 を 解 く段 に な る と ちょっと 手 が 出 な い の い う の が 実 状 の よ う に 見 受 け られ る.し か し この 物 理 的 な 意 味 を 把 握 す れ ば,元 々 の 式 の 形 自体 は 簡 単 な の だ か らそ れ ほ ど 難 解 な もの で は な い.こ に も う 一 度 見 直 し を し て 頂 き た い.

れ を機 会

境 界 条件

3 1 ．

 物 理 的 な 特 性 の 異 な る 媒 質 が 接 し て い る 時,境 な る か は し ば し ば 遭 遇 す る 問 題 で あ る.こ

界 にお け る電 磁 界が ど う

の解 法 は す で に電 界 や磁 界 で 学

ん だ の と 同 じ 手 法 を マ ク ス ウェ ル の 方 程 式 に 適 用 す る こ と に な る.

3．1．1 (１)

一 般 的な場 合 電界

  図3・1の よ う に 誘 電 率 ε1,透 磁 率 μ1の 媒 質 １ が,ε2,μ2の

媒 質 ２と 接 し

て い る.図

考 え る.

に お い て 小 さ な 閉 回 路abcdaで

△Sを

図3・2  電 界 ベ ク トル

図3・1  電 界 の 積 分 路

面 △Sに

囲 まれ る面

つ い て マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 の 第 １式 を 積 分 し,左 辺 に ス トー ク を 得 る が,こ

ス の定 理 を適 用 す る と を ０に 近 づ け る と 左 辺 はt･(E1-E2)△

ω と 表 せ る.こ

な 境 界 面 の 単 位 接 線 ベ ク トル で あ る.第 あ る か らE1tと,同 時 ０ と な る.こ

様 に 第 ２ 項 はE2tと

１項t･E1はE1の

こ で △h

こ に ｔ は 辺abに

平 行

接 線方 向成 分 で

書 く こ と が で き る 。右 辺 は △h→

れ か ら 電 界 は 次 の 境 界 条 件 を 満 足 す る こ と が 分 か る.こ

０の の

様 子 を 図3・2に 示 す.

E1t=E2t

また は

D1t/ε1=D2t

(3.1)

(２)

電 束密度

図3．3の

よ うに誘 電率

２ と 接 し て い る.図 る.境

ε1,透 磁 率

μ1の 媒 質 １ が,同

じ く ε2,μ3の

に お い て 媒 質 １と ２ に ま た が る 小 円 筒

媒 質

ΔS× Δhを 考 え

界 面 に は ρsの 面 電 荷 が 存 在 す る も の と す る.

図3・3  電 束 密 度 の 積 分 面

図3・4  電 束 密 度 ベ ク トル

こ の 円 筒 で 囲 ま れ る 体 積 に つ い て マ ク ス ウェル の 方 程 式 の 第 ３式 を 積 分 し,左 こで

辺 に ガ ウ ス の 定 理 を 適 用 す る と, Δhを

０に 近 づ け る と 側 面 に つ い て の 積 分 は

n・(D1-D2)△sと る.第

を 得 る.こ

表 せ る.こ

１ 項 はD1の

と な る か ら,電

辺 は 体 電 荷 密 度 が あ っ て も Δh→0の

電 荷 密 度

辺 は

こ に ｎ は 境 界 面 に 垂 直 な 単 位 ベ ク トル で あ

法 線 方 向 の 成 分 で あ る か らD1nと,第

く こ と が で き る.右 な る 。 し か し,面

０ と な る か ら,左

ρsが あ る と,こ

２ 項 はD2nと

書

時 こ の 積 分 は ０と

れ に 関 す る 積 分 は 残 り,ρs△S

束 密度 は 次 の境 界 条件 を満足 す る こ とが分 か る．

D1n-D2n=ρs 

ま た は    ε1E1n-ε2E2n=ρs

(3.2)

境 界 面 に 面 電 荷 が な い 場 合 は 次 式 が 成 り立 つ. D1n=D2n 

ま た は

ε1E1n=ε2E2n

面 電 荷 が な い 時 の 様 子 を 図3・4に 示 す.   式(3.1)お

よ び 式(3.2)か

ら 分 か る と お り,境 界 面 に お い て 電 界 の 接 線 成 分,

電 束 密度 の 法線 成 分 は 連続 で あ る．

(３) 磁 界   図3・1と 同 じ境 界 面 に電 磁 界 が 存 在 す る も の とす る.閉 回 路 で 囲 ま れ る 面 に つ い て マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 の 第 ２式 を積 分 し,左 辺 に ス トー ク ス の Ｓ を得 る が,こ

定 理 を 適 用 す る と, を ０ に 近 づ け る と 左 辺 はt.(H1-H2)△ 路abcdaと

ω と 表 せ る.右

鎖 交 す る 電 流 で あ る が, △h→0の

辺 第 ２ 項 は Δ4h→0の

時 ０ と な る.こ

辺 の 第 １項 は 閉 回

時 残 り得 る の は 境 界 面 に 面 電

流 が 存 在 す る 時 だ け で,面 電 流 密 度 をJs[A/m]と あ る.右

こ で △h

す る と,そ

の 値 はJs△wで

れ か ら磁 界 に 関 す る 境 界 条 件

は 次 の よ う に な る.

n×(H1−H2)=Js 

(3.3)

ま た は    H1t一H2t=Js

  媒 質 １,２ の 導 電 率 が 有 限 の 時 は 電 流 は 電 流 密 度J[A/m2]で 電 流 密 度Jsは H1t=H2tと

存 在 し な い.こ な る.面

の 時,磁

電 流 が 存 在 す る の は 媒 質 が 完 全 導 体 の 場 合 で あ る が,

こ の 場 合 の 境 界 条 件 に つ い て は3.1.3節

(４)磁

を 参 照 さ れ た い.

束密度

  図3・3と 全 く 同 じ 境 界 面 の 状 況 が あ る と す る.小 つ い て マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 の 第 ４ 式 を 積 分 し,左 用す る と

∮sB．dｓ=0.電

あ る か ら,磁

B1n=B2n 

3.1.2 

表 さ れ,面

界 の 接 線 成 分 の 連 続 性 が 成 り 立 ち,

燃

円筒 で囲 まれ る体 積 Ｖに 辺 にガ ウ ス の定 理 を適

の 場 合 と 同 様 に 考 え てn.(Ｂ1-B2)=0で

束 密 度 は 次 の 境 界 条 件 を 満 足 す る こ と が わ か る.

(3.4)

ま た は    μ1H1n=μ2H2n

損 失のな い線形媒 質

  損 失 の な い 線 形 媒 質 は 誘 電 率 ε,透 磁 率 μ を 持 ち,導 電 率 σ=0の

媒質

と し て 表 さ れ る.損 失 の な い ２つ の 媒 質 の 境 界 面 に は 通 常 自 由 電 荷 も 表 面 電 流 も 存 在 し な い ． し た が って,こ E1t=E2t, 

D1n=D2n, 

の場 合 の 境界 条件 は次 の よ うに な る ． H1t=H2t, 

B1n=B2n

3.1.3  片 方 が 完 全 導 体 の 場 合   完 全 導 体 は 無 限 大 の 導 電 率 を 持 っ ． 超 伝 導 体 は 完 全 導 体 で あ る.金 銅 ・ア ル ミ ニ ウ ム 等 は 良 導 体 で あ り,107[S/m］ る.し

か し,こ

・銀 ・

の オ ー ダ の 導 電 率 を 持 って い

れ ら は 導 電 率 が 十 分 大 き い の で,完

全 導 体 と し て 取 り扱 う

こ と も 多 い.

  こ こ で は 一 般 媒 質 と 完 全 導 体 と の 境 界 条 件 を 考 え る.完 全 導 体 の 内 部 に は 電 界 は 存 在 しな い(さ

もな い と無 限 大 の 電 流 を 生 じ る).ま

た完 全導 体 の

持 つ 電 荷 お よ び 電 流 は そ の表 面 に の み 存 在 す る か ら内 部 の 電 束 密 度 も ０ で あ る.マ

ク ス ウ ェル の 方 程 式 の 第 １式 か ら磁 束 密 度 は 一 定 と な る.た

時 間 と 共 に 変 化 す る 系 を 取 り扱 う と き は ０ と な る.こ

だ し,

れ か ら磁 界 も ０ と

な る.   媒 質 １に お い て は 完 全 導 体 の 表 面 電 荷 お よ び 表 面 電 流 を 考 慮 しな け れ ば な らな い ．電 界 の 接 線 成 分 は 導 体 内 の 電 界 と の 連 続 性 か ら ０ に な り,電 束 密 度 の 法 線 成 分 は 導 体 の 表 面 電 荷 密 度 に 等 し く な る.す び 電 束 密 度 は,導

界お よ

体 表 面 に 誘 起 され た 電 荷 ρsか ら境 界 面 に 垂 直 に 発 生 す

る.一 方 磁 界 はn×H1=Jsを 存 在 し,こ

な わ ち,電

満 足 す る.す な わ ち,境 界 面 に 平 行 な 磁 界 が

れ に 直 交 して 導 体 表 面 上 に 電 流 密 度Jsが

伴 い,磁 束 密 度 も 境 界 面 に 平 行 な 成 分 が 生 じ る が,垂 束 密 度 と の 連 続 性 か ら ０ に な る.こ

誘 起 さ れ る.こ れ に 直 成分 は導体 内の 磁

れ ら を ま と め る と 表3・1の よ う に な る.

表 ３・1 片 方 が 完 全 導 体 の 場 合 の 境 界 条 件

３.２  ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル   電 磁 界 は 後 章 で 述 べ る 電 磁 波 の 形 で エ ネ ル ギ ー を 遠 隔 地 に 伝 搬 す る.本 節 で は,こ

の エ ネ ル ギ ー 伝 達 率 と 電 磁 界 の 関 係 を 求 め て み よ う.

３.２.１   ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル の 一 般 式 こ こ で も マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 か ら ス タ ー トす る.

こ こ で,次

の ベ ク ト ル 公 式 を 使 用 す る.

▽ ・(Ａ × Ｂ)=Ｂ

Ａを Ｅ に,Ｂ

―(▽ × Ａ)一

を Ｈ

Ａ.(▽

× Ｂ)

に 読 み 換 え,マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を 代 入 す る と,

媒 質 の パ ラ メ ー タ ε,μ,σ

が 時 間 と と も に 変 化 し な い と す る と,

で あ る か ら,▽.(Ｅ

次 の よ う に 表 さ れ る.

× Ｈ)は

  こ れ は 任 意 の 地 点 に お け る 関 係 で あ る.あ

る体積 につ いて の 関 係 を 求 め

る に は 両 辺 を積 分 し,左 辺 に ガ ウ ス の 定 理 を 適 用 し て 次 式 を 得 る.

(３.５)

  式(3.5)の

右 辺 第 １項 お よ び 第 ２ 項 は 積 分 し た 体 積 内 に お け る 電 界 お よ び

磁 界 の エ ネ ル ギ ー の 時 間 減 少 率 で あ り,第 ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則 か ら い っ て,左 な い.し

た が っ て,(E×H)は

３ 項 は 消 費 さ れ る 電 力 で あ る.エ

辺 は 表 面 Ｓ か ら 出 て い く電 力 に 他 な ら

単 位 面 積 か ら 出 て い く 電 力 で あ る.そ

こ の 量 を Ｓ と 表 す こ と に し,ポ

こで

イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル と 呼 ぶ.

S=E×H

(3.6)

  この 定 義 か らポ イ ン テ ィン グ ベ ク トル は,任 意 の 点 に お い て 成 り立 ち,電 界 お よ び 磁 界 の 形 に 関 係 な く,か つ 電 界 に も磁 界 に も 直 交 す る ベ ク トル で あ る こ と が 分 か る.直 流 の 場 合 も こ の 形 の ま ま 成 立 す る.   ま た,式(3.5)の は,こ

符 号 を 変 え て 考 え る と,あ

る 体 積 内 に 流 入 した エ ネ ル ギ ー

の 中 に お け る 電 界 お よ び 磁 界 の エ ネ ル ギ ー の 増 加,お

よび 体 積 内 に

お け る 熱 損 失 の 和 と な る こ と を 示 し て い る と い う こ と が で き る.

3.2.2 

単 一 正 弦 波 の ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル

  電 界 がE=axE0ejωt， る.ポ

磁 界 がH=αyH0ejωtの

イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル の 瞬 時 値 は 次 式 で 表 さ れ る.

  し か し な が ら 正 弦 波 の 場 合,瞬 る.上

単一 正 弦波 の場 合 を考 え

時 値 よ りも平 均値 の 方が さ らに重 要 で あ

式 を 一 周 期 に わ た って 平 均 す る と 瞬 時 値 の 第 ２項 は 積 分 す る と ０ に

な る か ら,平

こ こ にT=2π/ω せ ば,Sav=azEeff 

均 ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トルsavは,次

で あ る.も Heffと

しE0,H0を な る.

実 効 値

の よ う に な る.

で表

  さ ら に 一 般 的 な 場 合 と し て,Ｅ の 複 素 ベ ク ト ル をＡ,Ｂ

こ こ に*は

と Ｈ の 位 相 が 違 う 時 を 考 え て み る.2つ

と す る と そ の 実 部 は 次 の よ う に 表 す こ と が で き る.

共 役 複 素 数 を 表 す.そ

れ ぞ れ の 積 を 求 め る と,次

の よ う に な る.

こ の 関 係 を ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク ト ル に 適 用 す る.

Savは

こ れ を 一 周 期 に わ た っ て 積 分 す れ ば 良 い.第2項

は0に

な り,

(3.7) を 得 る.も

し

Ｅejwtを√2Ｅ'ejwt,Ｈejwtを√2Ｈ'ejwtと

置 き 換 え る と,

とな り,こ の 形 で 示 し て あ る 参 考 書 も 多 い.た だ し 普 通,Ｅ'→

Ｅ,Ｈ'→

Ｈ

と し て 書 い て あ る か ら注 意 を 要 す る.   と こ ろ で ポ イ ン テ ィン グベ ク トル が Ｅ ×Ｈ の 形 で 表 さ れ る か ら と いって, 全 然 独 立 の 電 界 と 磁 界 を 組 み 合 わ せ で は,た

とえ ば電 界 に磁 界が 直 交 す る

よ う に 磁 石 を 置 い て も エ ネ ル ギ ー 流 は 生 じ な い.あ

く ま で マ ク ス ウェル の

方 程 式 に 基 づ く 電 界 と磁 界 の 相 互 作 用 が 必 要 で あ る.   な お 本 項 の 冒 頭 に 示 し た 例 は,後

章 で述 べ る よ う に損 失 のな い媒 質 中 を

伝 搬 す る 平 面 電 磁 波 の 解 に な って い る.

§例 題 ３.１§  図3・5の

よ う に,幅

ｄ[ｍ］離 れ て 相 対 し て い る.片 電 圧Ｖ

ω[ｍ]の

２枚 の 十 分 大 き い 金 属 板 が 間 隔

方 の 端 に 負 荷 が 接 続 さ れ て お り,他

［Ｖ ］を 加 え た と こ ろ 電 流 Ｉ[Ａ]が 流 れ た.電

端 に 直流

流 は 金 属 板 に 一 様 に 流 れ,

ま た 板 間 の 電 界 は 一 様 に で き て い る と し て 板 間 を 流 れ る 電 力 を 求 め よ.

図3・5  電 圧.電

流 の 関 係 図            図3・6  電 流 ・磁 界 の 関 係 図

〓解 答 〓   ま ず,板

間 の 電 界 は 題 意 に よ り 一 様 で あ り,間

わ っ て い る か ら,E=V/d[V/m］   次 に,十

で 上 か ら 下 に 向 い て い る.

分 大 き い １枚 の 金 属 板 に 一 様 に 電 流 Ｉ[Ａ]が 流 れ た 時,磁

は 板 に 平 行 に,電

流 に 直 交 し て 生 じ る.図3・6の

を 一 周 積 分 す る と,〓ab い っ てab,  cdに J=I/ω

隔 ｄ[ｍ］に 電 圧 Ｖ[Ｖ ］が 加

cda  H・ds=Iに

と な る.し

  さ ら に も う1枚

沿って磁 界

界 成 分H1は

対 称 性 か ら

辺 はH1×1+H1×1,右

辺 は

た が っ て,H1=I/(2ω)[A/m]で

あ る.

の 金 属 板 に 帰 路 電 流 が 流 れ た 場 合,電

ら 磁 界 の 方 向 も 逆 に な る.２ れH=2H1=I/ω[A/m］

閉 回 路abcdaに

お い て,磁

沿 っ た も の し か な い か ら,左

界H1

流 の 方 向 が 逆 だ か

枚 の金 属板 間 で は磁 界 の 大 き さ は足 し合 わ さ

と な り,向

き は 板 に 平 行,電

界 に 直 交 し て い る.

  板 間 の ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク ト ル の 大 き さ はS=E×H=(V/d)×(I/ω)= VI/ωdで,向

き は 電 界 お よ び 磁 界 の 向 き か ら 考 え て 負 荷 の 方 を 向 い て い る.

ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク ト ル は 単 位 面 積 当 た り の 電 力 で あ る か ら,板 る 全 電 力 はW=S×

ωd=VI[W]で

あ る.

問 を伝 わ

3.3  第 ３ 章 問 題 １.次 の 問 題 を 解 く 時,境

界 条 件 が ど の よ う に 生 か さ れ て い る か を 考 察 せ よ.

  “δ の 空 隙 を 持 つ 断 面 積   Ｎ

の コ イ ル を 巻 き,電

Ｓ,透

流

磁 率

μ,平

Ｉ を 流 し た.鉄

均 長lの

心 中 の 磁 束 を 求 め よ ”．

２.図3・2に お い て,誘

電 率 ε1の 媒 質 １ 中 の 電 界E1お

  質 ２ 中 の 電 界E2が

境 界 面 の 法 線 と な す 角 を,そ

  E2の

大 き さ をE1,ε1,ε2,θ1を

よ び 誘 電 率 ε2の 媒 れ ぞ れ θ1,θ2と す る.

用 い て 表 せ.

３.金 属 球 に 電 荷 を 与 え た 時,生

じ る 電 気 力 線 お よ び 電 束 を 描 け.

4.抵 抗 Ｒ[Ω]の 円 筒 形 の 抵 抗 体 に 電 流I[A］   ジ ュ ー ル 熱I2Rは

環 状鉄 心 に巻 き 数

を 流 し た 。抵 抗 体 内 に 発 生 す る

円筒 周 囲 の電 磁 界か ら流 入 す るポ イ ンテ ィングベ ク

  ト ル で 表 さ れ る こ と を 示 せ. ５.同 軸 ケ ー ブ ル の 一 端 で,内   い る.他

端 に 直 流 電 圧V[V]を

部導 体 と外 部 導 体 の問 に負 荷が 接 続 され て 加 え た と こ ろ 電 流I[A］

が 流 れ た.ケ

  ル 内 を 伝 わ る 電 力 を ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル を 用 い て 誘 導 せ よ.

〓ヒ ン ト 〓

の 意 味 を 考 え よ.

2.E1 

sin θ1=E2 

E2=√(E2 

sin θ2, 

sinθ2)2+(E2 

ε1E1  cosθ1=ε2E2 

cosθ2)2に

cosθ2 

の 関

代 入 す る.

３.静 電 界 で 学 習 し た 内 容 が 良 く 理 解 で き る こ と と 思 う. ４.円 筒 の 半 径 をa,長

さ をlと

すれ ば

５.半 径 ｒの 点 の 電 界 を Ｖ を 用 い て 表 す.磁

界 は 自 明.

係

を

ー ブ

第 ４章 真 空 中 の 平 面 電 磁 波 −Ｉ   本 章 か ら,い

よ い よ 電 磁 波 を 取 り上 げ る.そ

の 中 で も 最 も 基 本 的 な,単

一 正弦 波 に よ る平 面 電磁 波 が真 空 中 を特 定 の方 向に伝 搬 す る場 合 を考 えよ う.こ こ で は,こ

の よ うな 基 本 的 な 場 合 の 電 磁 波 を表 す 式 の 誘 導 の 方 法,そ

の 中 に 出 て く る い ろ い ろ な パ ラ メ ー タ の も つ 意 味 等 を しっか り 学 ん で い た だ き た い. (１)正弦 波 に 対 す る マ ク ス ウェル の 方 程 式 (２)平面 波 の 条 件 (３)真空 中 の 平 面 電 磁 波 (４)平面 電 磁 波 の 性 質   マ ク ス ウェル の 方 程 式 は 非 常 に 一 般 性 が あ る が,そ

の 反 面,こ れ を 一 般 的

に 解 く こ と は で き な い.特 定 の 解 を 得 る た め に は い ろ い ろ な 制 約 条 件 を つ け て,問

題 を 特 定 化 す る こ と が 必 要 に な る.ま

ず 単 一 正 弦 波 の 場 合,マ

ス ウェル の 方 程 式 が ど の よ う に 表 さ れ る か を 述 べ る.次 境 を 考 え,こ

の 方 程 式 に 特 定 の 条 件 を つ け た 時,こ

さ れ る こ と を 確 か め る.こ 表 す こ と を 示 し,こ

の よ う に し た 場 合,方

ク

に特 定 の物 理的 環

れ が既 知 の形 に簡 略 化

程 式 の解 が 平 面電 磁 波 を

の 波 が ど う い う性 質 を 持 つ か を 明 ら か に す る.最 後 に

式 中 の パ ラ メ ー タ が ど う い う意 味 を持 つ か を 実 例 を あ げ て 考 察 す る.

単 一 正 弦 波 に お け る マ クス ウェル の 方 程 式

4 1 ・

  ま ず 最 も 基 本 的 な 場 合 と し て,電 磁 界 ベ ク トル が 空 間 的 な 位 置 の 関 数 で あ り,か つ 時 間 に 対 し正 弦 波 状 に 変 化 す る と し よ う.た と え ば,電

界ベク ト

ル が 次 の よ う に 表 さ れ る とす る. E(x,y,z,t)=Re[E(x,y,z)ejωt]

この よ うな制 約 条件 をつ け る と き る.こ

こ にE(x,y,z)は

と表 す こ とが で

ベ ク ト ル フ ェ ー ザ と 呼 ば れ,方

報 を 持 っ て い る ． フ ェ ー ザ は 一 般 に 複 素 量 で あ り,単 と,次

向,大

き さ,位

相情

に Ｅ と表す こ と にす る

の よ う な も の で あ る.

E=ax(Exr+jExi)+ay(Eyr+jEyi)+az(Ezr+jEzi) そ の 他 の ベ ク トル 量 に つ い て も 同 様 な 表 現 が で き る も の と す る.   た だ し,本

書 で は Ｅ,Ｈ 等 と 時 変 ベ ク ト ル を 特 に 区 別 し な い で

と 記 す こ と に す る.こ

れ は,明

確 な 半 面 煩 雑 で あ る,前

か そ う で な い か は 明 確 な こ と が 多 い,等   さ て い ま 媒 質 が,D=εE,  形,均

B=μH, 

一 な も の で あ る と す る と,マ

Ｅ,Ｈ

等

後 の 事 情 で フェー ザ

の 事 情 に よ る も の で あ る. J′=σEの

関 係 が 成 り立 つ よ う な 線

ク ス ウェル の 方 程 式 は 次 の よ う に 表 す こ

と が で き る.

μH

(4.1)

▽ ×H=J0+(σ+jwε)E

(4.2)

▽ ×E=-jω

▽

(4.3)

・E=ρ /e

▽・H=0

(4.4)

ま た 電 流 連 続 の 方 程 式 は,次 ▽・J=-jω

ρ

の よ う に な る.

(4.5)

４.２  平 面 波 の 条 件   単 一 正 弦 波 と い う 条 件 の 他 に,次

の よ う な 仮 定 を し て み る.

(１)与 え ら れ た 空 間 は 真 空 と す る. (２)対 象 と す る 範 囲 内 に は 電 流 源 も 電 荷 も な い.   こ う す る と 前 節 の マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 の 上 ２ 式 は,次

▽ ×E=-jω ▽ ×H=jω

の よ う に な る.

μoH εoE

  や や 冗 長 に 過 ぎ る か も し れ な い が,復 分 に 分 解 して 書 い て み る と,次

習 の 意 味 も こ め て こ の ２式 を 各 成

の よ う に な る.

および

こ こ で さ ら に 次 の 条 件 を 導 入 す る.

(３)ｘ,ｙ方 向 に 対 し て 界 は 一 定 で あ る.   こ の 仮 定 は 式 を簡 単 に 解 く た め の 条 件 で は あ る が,同

時 に平 面 波 とい う

基 本 的 な 概 念 を 与 え る た め の 重 要 な 条 件 で も あ る.す な わ ち,ｚ 軸 に 垂 直 な 平 面 内 に お い て 電 磁 界 は ど こ で も 同 じ 値 を 取 って い る と い う 仮 定 で あ る.   ◇  後 述 す る よ う にｚ 軸 方 向 が 波 の 進 行 方 向 に な って い る.

  こ う す る と ∂/ａｘ=∂/∂ｙ=0であ る か ら,前

記 ６ 式 の 内∂/∂ｚ の 項 だ け が 残 り,

次 の よ う に な る.

(4.６)

(4.７)

Ez=0

(4.８) (4.９)

(4.10）

Hz=0

(4.11)

式(4.８)お よ び(4.11)か

ら 電 界 お よ び 磁 界 の Ｚ 成 分 は ０で あ る こ と が わ か る.

ま た こ れ ら の 方 程 式 は,式(4.６)と 式(4.9)が(Ｅ

式(4.10)が(Ｅχ,Ｈ

ｙ)の 組 合 せ,式(4.7)と

ｙ,Ｈχ)の 組 合 せ に な っ て い る こ と が わ か る.

  こ の 内 前 者 の 組 合 せ に つ い て 考 え て み よ う.式(4.10)を

ｚ に つ いて 微分

す る と 次 式 を 得 る.

こ れ を 式(4．6)に 代 入 す る と

こ れ か ら,

(4.12) こ こ に,ｋ ０は 次 式 で 表 さ れ る 値 で あ る.

k0=ω√

(4.13)

同 様 に,式(4.6)を

ε0μ0

Ｚに っ い て 微 分 し,式(4.10)に

代 入 して 整 理 す る と 次 式 を

得 る.

(4,14) Ｅχ と Ｈｙ は 同 じ 形 の 方 程 式 を満 足 す る こ と が わ か る.

４.３  真 空 中の 平面 電 磁波   前 節 で 導 い た 式(４.12)は,単

振 動 を 表 す こ と は 良 く ご 存 知 で あ ろ う.こ

の

一 般 解 は 次 の とお りで あ る 。

Ex=Ex1e-jk0z+Ex2ejk0z

(４.15)

式(４.15)を 微 分 し,式(４.10)に

代 入 す る と 次 式 を 得 る.

(４.16)

(４.17)

  式(４.15)の 第 １ 項 の 意 味 を 考 え て み よ う.前 述 し た と お り,電 界 を 表 す 各 項 目 はejωtが 省 略 さ れ て い る か ら,こ

ex1 

こ こ にψ

＝  Re[Ex1e-jk0zejωt］

はEx1の

界 お よび 磁

れ を 掛 け て 実 部 を と る と,

  ＝  ｜Ex1｜  cos  (ωt-k0z＋

ψ)

位 相 角 で あ る 。 こ の 式 を 見 て 分 か る と お り,解

は(ωt−k0z)

の 関 数 と な っ て お り,ｚ 方 向 に 進 む 波 動 を 表 し て い る(１.３ 節 参 照).   こ の こ と は 式(４.12)を 原 式 に た ち 返 っ て 考 え て み て も 分 か る.単 で あ るか ら

∂/∂ t→jω,し

も の で あ る.よ

た が っ て 式 中 の ω２ は

って 元 々 の 式 の 形 は

一 正弦 波

∂2/∂t2→-ω2と し て 導 か れ た で あ り,１.３ 節 で 示

し た 波 動 方 程 式 そ の も の で あ る．   Ｅｘの 第 １項 に 対 応 す る Ｈｙの 第 １項 も 同 じ く ｚ方 向 に 進 む 波 で あ る こ と は 明 か で あ る.ま

た 前 提 条 件 に よ り電 界 お よ び 磁 界 は ｘ,ｙ に 無 関 係 で あ る

か ら,伝 搬 方 向 に 垂 直 な 面 内 に お い て 一 様,す 等 位 相 面 は 波 面 と も い い,波

な わ ち 等 位 相 に な って い る.

面 が 平 面 に な って い る よ う な 電 磁 波 を 平 面 電

磁 波 と い う.実 際 の 波 面 は 発 生 源 を 中 心 と し た 球 に な る か ら 平 面 電 磁 波 は 実 在 しな い(正 真 正 銘 の 平 面 電 磁 波 が 存 在 す る た め に は 無 限 大 の 波 源 を 必 要 と す る)が,十

分 遠 い 地 点 に お い て は 平 面 波 と み な す こ と が で き る.

４.４   平 面電磁 波 の性質 前 節 で 碍 た 平 面 電 磁 波 の 電 界 お よ び 磁 界 の 瞬時値は,次

の よ う に な る.

ex1(z,t)=｜Ex1｜cos(ωt-κ0z+ψ)

こ の 式 か ら平 面 電 磁 波 の性 質 を調 べ て み よ う. (１) 電 界 と 磁 界の 関 係   電 界 が

ｘ 軸方向

軸方 句 で あ り,波

の時,磁

の進行方向

方向に な っ てい る.こ に 示 す.ま

磁 界 は−

ち波 の進行

ｚ軸

式(４.16)の

第

界 は ｘ 軸方向,

ｙ 髄 方 司 で,波 軸方向

は

り

の 様 子 を図 ４・１

だ 式(４.15)と

２ 項 に 着目 す る と,電

方向は -ｚ

界 ば

の 進行

に な っ てい る .す

方向はE×Hの

な わ

方方 と 一 図 ４.１ t=0に

致 し て い る.ま 行方向

た 電 界,磁

お ける 電 磁 界

界 は 波 の進

の 成 分 を持 た な い.こ

うい う 波

をTEM波(transverseelectromagnetic wave)と

ハ う.

(２)  波 長 と 位 相 定 数(波

数)

 図

お ける 電磁

４・ ２ で,あ

る 時 刻tに

界 はｚ と と もに 正弦的

に 変 化 し,κ ０ｚ

が ２π変 わ る ご と に同 じ値 を繰 り 返 す. こ れ に 対 す るｚ      λ0=2π / k0

κ0は

図 ４.２   電 磁波 の波長,速

の値 を波 長 と い う.

また は

度

      κ0=2π/ λ0

(４.18)

単 位 長 あ だ り ど れ ぞ け 位相 が回 転 す る か を 表 す 量 で あ り,位相 定 数 と

い う.ま た ２π の 中 こ阿波 長 入 る か を 示 し て い る か ら波 数 と もい う.

(３) 伝 搬 速 度   次 にt+△tに

お け るz+△zの

点 を 考 え る.こ

の 時,ex1の

値 が ｔに お け

る ｚ の 点 の 値 と 同 じ で あ れ ば,ωt-koz=ω(t+△t)-ko(z+△z)だ ω△t-k△z=0,ゆ

と な る.こ

え に

か ら,

れ は 正 弦 波 が+zの

方向に

(4.19) の速 度 で 伝 搬 す る こ と を意 味 し て い る.こ れ は光 速 に 等 し く ω/

μo=4π

×10-7で

あ る か ら ほ ぼ3×108[m/s]で

あ る.一

般 に

[位 相 定数]

で

定 義 さ れ る 速 度 を 位 相 速 度 と い う.波 の 進 行 方 向 に 求 め た 位 相 速 度 は 波 の 速 度 に 等 し い.進 行 方 向 で な い 方 向 へ の 位 相 速 度 に つ い て は 次 章 で 述 べ る. ま た 周 波 数 を ｆ と す る と,ω=2πfで

ある か ら

(4.20)

c=fλo

と な る.ｆ

を[MHz]で,λoを[m]で

表 す と,[m]×[MHz]=300と

な り,波

長 と 周 波 数 間 の 関 係 式 と し て 便 利 で あ る. (４)  固 有 イ ン ピ-ダ 電 界 と 磁 界 の 比Zoを

ンス 真 空 の 固 有 イ ン ピ ー ダ ン ス と い う.あ

ン ピ ー ダ ン ス と 呼 ん だ り,電

る いは特性 イ

波 イ ン ピ ー ダ ン ス と 呼 ん だ り す る こ と も あ る.

と な る 。 真 空 が イ ン ピ ー ダ ン ス を 持 つ と い う の は 若 干 な じ め な い か も しれ な い が,後

述 す る 線 路 の 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス と 同 じ よ う な も の で あ る.あ

る い は 電 界 と 磁 界 の 比 と 割 り 切 っ て 頂 き た い.

(５)  電 力 の 流 れ   (１)項で 波 の 進 行 方 向 は,ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル の 方 向 と 同 じで あ る こ と を 述 べ た が,単

に方 向 だ け で な く ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル は 電 磁 波 の エ

ネ ル ギ ー の 流 れ を 表 し て い る.こ

れ は 次 の よ う に 証 明 す る こ とが で き る.

エ ネ ル ギ ー 流 密 度 は エ ネ ル ギ ー 密 度 をμ

一方

,ポ

と す る とcμ

で 表 さ れ る.

イ ン テ ィ ン グ ベ ク ト ル は,

Sx=Sy=0 Sz=ex1(z,t)hy1(z,t)=｜Ex1｜｜Hy1｜cos2(ωt-k0z+ψ)

で 表 さ れ,Ｓｚ

はcuと

そ の 時 間 的 平 均 値,す

等 し い こ と が 分 か る.

な わ ち 単 位 面 積 当 た り に 流 れ る 平 均 電 力 は,電

界

と磁 界 が 直 右 し て い る か ら.次 の よ う に な る.

(４.21)

◇   Ｅｘ１な ど が 実 効 値 で あ れ ば,式(４.21)中

の１/２ は 不 要 に な る.

§例 題 ４．１ §  ｙ方 向 に 進 む 単 一 正 弦 波 電 磁 波 の 最 大 電 界 振 幅 が Ｅｍαｘで, ｚ方 向 を 向 い て い る. (１)  電 界 ベ ク トル の ｅｊωｔ表 示 式 を 示 せ. (２)  電 界 の 瞬 時 値 を 示 す 式 を 示 せ. (３)  磁 界 ベ ク トル の 方 向 は ど ち ら を 向 い て い る か.

†解 答 † (１)Ｅ=azEmaxej(ωt-koy+ψ) (２)  e(y,t)=Re［E］=ａzEmaxcos(ωt-koy+ψ) (３) ｘ

方 向. 

(az×ax=ay)

§例 題 ４.２§  周 波 数100[MHz］

の 電 磁 波 の 位 相 定 数 を 求 め よ.

†解 答 † 式(４.13)よ

り,

ま た は 次 の よ う に し て 求 め て も 良 い. こ の 波 の 波 長 はc=fλ0か し た が っ て 式(４.19)よ

ら ３[ｍ]で あ る こ と が 分 か る.

り

§例 題 ４.３§  電 界 がａｚＥｚｅｊ ωｔ[Ｖ/ｍ]で 表 さ れ る 電 磁 波 が ｘ 方 向 に 進 行 し て い る.磁

界 の 式 を 示 せ.

†解 答 †   E×Hの

方 向 が 波 の 進 行 方 向 で あ る.電

ｘ 方 向 に 進 行 す る た め に は,磁

の 大 き さは

界 は-ｙ

で あ る か ら,磁

界 は ｚ 方 向 で あ る か ら,波

方 向 で な け れ ば な ら な い .ま

が た そ

界 は 次 式 で 表 さ れ る.

◇  問 題 で 単 位 が 示 さ れ て い る か ら,解 答 も単 位 を示 さ な け れ ば な らな い.

§例 題 ４.４§  電 磁 波 の 電 界 実 効 値 が １[mV/m]で

あった.磁

界 の実 効 値 を求

め よ.

†解 答 †

§例 題 ４.５§  例 題 ４.４ で

し た 電 磁 界 が あ る.単

位 時 間 に単 位 面積 当 た り

流 れ る 電 力 を 求 め よ. †解 答 † こ れ は(平

S=Eeff 

均)ポ

イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル に 他 な ら な い .

× Heff=1×10-3 

× 2.65  × 10-6=2.65 

× 10-9[Ｗ/ｍ2]

４.５  第 ４ 章 問 題 １ .波 面 と は 何 か.波 ２.波 数 と は 何 か.波 ３.TEM波

面 と 波 の 進 行 方 向 の 関 係 を 述 べ よ. 数 と 波 長 の 関 係 を 述 べ よ.

と は 何 か.

４.h(ｚ,t)＝

ａx 10-5  cos(107πt-k0z)(ａｘ

はｘ

軸 方 向 の 単 位 ベ ク ト ル)の

平 面電 磁 波 が 真空 中 を進行 して いる ． (１)こ の 波 の 周 波 数 は い く ら か. (２)k0の 値 を 求 め よ. (３)t＝0〔s〕 同 の 時,磁 (４)ｅ(ｚ,ｔ)の

界 が 零 と な る 位 置 は ど こ か.

式 を 示 せ.

５.周 波 数f＝150[MHz]の

平 面 電 磁 波 が 真 空 中 を+ｘ

電 界 は ｚ 方 向 を 向 い て お り,t＝0の

方 向 に 進 行 し て い る.

時,z＝1/4[m]で

最 大 値 １[mV/ｍ

を と っ て い る. (１)こ の 波 の 波 長 は い く ら か. (２)ψ の 値 を 求 め よ. (３)ｅ の 式 を 示 せ 。 (４)t＝10-8[s］

の 時,電

界 が 最 大 と な る 位 置 は ど こ か.

(５)ｈ の 式 を 示 せ．

†ヒン ト† １.２.３. 

本 文 参 照

４.     (1)ω

＝2πf

(３) ５.    (１)λ0f＝c

(３)ベ ク ト ル 表 示

(５)方向 と 大 き さ に注 意

(２)

(４)方向 と 大 き さ に 注 意 (２)ωt-k0z+φ

(４)(２)と 同 じ

＝0

］

第 ５章 真 空 中 の 平 面 電 磁 波 −II

  前 章 で は,真 空 中 を ｚ 軸 方 向 に 伝 搬 す る 単 一 周 波 数 の 平 面 電 磁 波 に 対 す る マ ク ス ウェル の 方 程 式 を 導 き,そ の 解 を 求 め,さ 波 の も つ 性 質 を 調 べ た.本

章 で は,引

き 続 き 次 の ２点 に つ い て 述 べ る.

  (1)偏

波

  (2)任

意 の方 向 に伝搬 す る平 面 電磁 波

  ま ず 偏 波 は 平 面 電 磁 波 の 電 界 の,時

ら に この 解 か ら平 面 電 磁

間 変 化 に 伴 う振 る 舞 い を 表 し,無

通 信 や レー ダ 等 の 応 用 面 で 重 要 な 役 割 を 果 た す 概 念 で あ る.た

線

と え ば,Ａ Ｍ

ラ ジ オ は 垂 直 偏 波 を,Ｖ ＨＦ-ＴＶ 放 送 は 水 平 偏 波 を 用 い て い る.こ れ に 対 し, 衛 星 放 送 で は 円 偏 波 を 用 い,隣 信 を 軽 減 し て い る.こ

接 す る 区域 には右 旋 と左 旋 を割 り当て て 混

こ で は,こ

れ 等 の偏 波 が 前節 の解 の合 成 か ら得 られ

る こ と を 示 し,そ の 性 質 を 探 る.つ

い で 前章 の 平面 電磁 波 に対 す る制 約 条

件 を 少 しや わ ら げ,任 意 の 方 向 に 伝 搬 す る 平 面 電 磁 波 に つ い て 式 を 誘 導 し, い わ ゆ る ヘ ル ム ホ ル ッ の 方 程 式 に な る こ と を 示 す.そ の 解 は 自 由 度 が 増 え る 分 若 干 複 雑 に な り,さ ら に 波 数 ベ ク トル とか,位 相 速 度 等 の 概 念 を 導 入 す る の で 初 め て 学 ぶ 諸 君 に と って は 取 り付 き に く い よ う に見 受 け られ る .し か し落 ち つ い て 考 え れ ば 十 分 理 解 で き る と 思 う の で.あ して い た だ き た い.

き らめ ず に フォロー

5.1 

偏 波

(１)  直 線 偏 波 4.2節 で 電 流 源 の な い 真 空 中 に お け る 正 弦 波 に 対 す る マ ク ス ウェル の 方 程 式を

∂/ ∂x=

∂/

=0

の 条 件 で 表 す と,式(4.6),(4.10)の

∂y

組 合 せ が で き る 事 を 示 し た.そ

組 合 せ と 式(4.7),(4.9)の

し て 前 者 の 組 合 せ の み 取 り上 げ て 解 析 し た.

こ こ で 遅 ま き な が ら後 者 の 組 合 せ に つ い て 考 え て み よ う.再 掲 す る と 次 の と お り で あ る.

前 章 と 同 様 に こ れ を 解 く と,次

  第 １ 項 は “+y方

の 一 般 解 を 得 る.

向 を 向 い た 電 界 と-x方

ｚ 軸 方 向 に 進 行 し て い る ” こ と を 示 す.こ だ け で,4.4節

向 を向 い た磁 界 を持 つ 電磁 波 が の 波 は 電 界 の 方 向 が90度

で 述 べ た 性 質 と 同 じ 特 性 を 持 っ て い る.ち

界 が ｙ 方 向,磁

界 が ｘ 方 向,進

第 ２項 の 作 る 波 の 電 界 が90度   電 磁 波 の よ う に,そ

行 方 向 が-zの

こ で 得 たEy,Hxの

たEx,Hy成

た はy-z面

波 面 は 常 に 一 定 で あ る.こ

  元 に 戻 っ て,+z方

電 磁 波 で,式(4.15),(4.16)の

の 成 分 が 方 向 性 を 持 っ た 波 を 偏 波 と い う が,電

た こ れ ら の 波 をx-z面,ま の 場 合,偏

な み に 第 ２項 は 電

回 転 し た も の に な っ て い る.

と 波 の 進 行 方 向 が 作 る 面 を 偏 波 面 と い う.前 波 面 はx-z面,こ

変 わ った

章 で 得 たEx,Hyの

電 磁 波 の 偏 波 面 はy-z面

界 方 向

電磁 波 の偏 で あ る.ま

に 偏 波 し た 電 磁 波 と い う.こ

れ ら

の よ う な 波 を 直 線 偏 波 と 呼 ん で い る.

向 に 進 行 す る 第 １ 項 の 組 合 せ に 着 目 し よ う.前

分 を 持 つ 電 磁 波 を 波 Ｉ,こ こ で 得 たEy,-Hx成

章 で得

分 を持 つ電 磁

波 を 波IIと

呼 ぶ こ と に す る.簡

の 電 界EI,EIIお

単 の た め 初 期 位 相 ψ を Ｏ と す る と 波 Ｉ,波II

よ び そ れ ら の 瞬 時 値 は 次 の よ う に 表 さ れ る. eI(z,t)

=

Ex1

eII(z,t)=

(5.1)

cos(ωt-koz)

Ey1

(5.2)

cos(ωt-koz)

  この ２つ の 波 が 同時 に存 在 す る と 実 際 に は 合 成 さ れ た １つ の 波 に な り, 偏 波 面 も 異 な っ て く る.こ

の 場 合,合

成 波 は振幅 が

,偏 波 面 が

ｘ 軸 に対 して

だけ

傾 い た 電 磁 波 と な る.こ

こで も偏波 面

は 常 に 一 定 で あ る か ら,合 偏 波 に な る.合

成 波 も直 線

成 波 の磁 界 は ｙ 軸 に

対 し θ だ け 傾 き,電

界 と直 交 す る こ

と は 容 易 に 分 か る.こ

の ベ ク トル 合 成

の 様 子 を,図5・1に

図5・1  直 線 偏 波 の 合 成

示 す.

(２)  円 偏 波   次 に,波IIの

位 相 が 波 Ｉの 位 相 よ り90°,す

る 場 合 を 考 え る.す

な わ ち π/2[rad]だ

け遅れ て い

な わ ち,

  最 も 簡 単 なEx1=Ey1=E1の

eI(z,t)

=

Ex1

cos(ωt-koz)

(5.3)

eII(z,t)

=

Ey1

sin(ωt-koz)

(5.4)

場 合 を 考 え る と,合

成 波 は 振 幅 がE1

で 偏 波 面 が ｘ 軸 に 対 し,

(5.5) だ け 傾 い た 電 磁 波 と な る.

ｚを 固 定 し て 傾 き を 見 て み る.式 (5.5)に お い て,例 θ=ωtと

な り,偏

え ばz=0と

す る と

波面 は 角速 度 ωで 回

転 し て い る こ と が 分 か る.こ

の よ うな

電 波 を 円 偏 波 と 呼 ぶ.

 波 の 進 行 方 向(ｚ 方 向)に

向 い て眺

め た 時,偏 波 面 は 時 計 方 向 に 回 転 し て い る.図5・2に

この様 子 を示 す。図で

は ２次 元 で お な じ み のｘ-ｙ座 標 を 用 い た の で 反 時 計 方 向 に 回 って い る よ う に 見え る が,＋ｚ 方 向 は,右

手 系 の ため

図5・2  正 円 偏 波 の 電 界

紙 面 か ら 読 者 の 方 を 向 い て い る.し た が って,紙 面 の 裏 か ら 見 る と 回 転 は 時 計 方 向 で あ る.こ

の よ う に 送 信 側 か ら受 信 側 を 向 い て 位 置 を 固 定 し て 時 間

的 変 化 を 見 た 時,回

転 が 右 回 り(時 計 方 向)の 偏 波 を 正 円 偏 波 と 呼 ぶ.

  た だ し 位 置 を 固 定 し て 見 た 時 の 回 転 方 向 と,時 間 を 固 定 して 見 た 時 の 回 転 方 向 は 逆 に な る か ら注 意 さ れ た い.こ れ は 式(5.5)に お い て,例 と お く と θ=-k0zと

え ばt=0

な る こ とか ら 明 か で あ る.

 逆 にＥＩＩ の 位 相 がＥＩの 位 相 よ り90° 進 ん で い る と, EI=axExlej(ωt-k0z), 

eI(z,t)=Ex1 cos(ωt-k0z)

EII=ayEy1ej(ωt-k0z+π/2), (z,t)=-Ey1  eII

と な る.Ex1=Eyl=Eの

円 偏 波 の 場 合,偏

sin(ωt-k0z)

波 面 はｘ 軸 に 対 し

だ け 傾 い た 電 磁 波 と な り,先 に 述 べ た 場 合 に 比 べ 回 転 方 向 は ち ょう ど 逆 に な る.こ

の よ う な 波 を 負 円 偏 波 と い う.

 ２ つ の 波 の 電 界 振 幅Ｅｘ１, Ｅｙ１ が 等 し く な い 時,合 成 電 界 ベ ク トル の 先 端 の 描 く軌 跡 は 楕 円 と な る.こ

の よ う な 合 成 波 を楕 円 偏 波 と 呼 ぶ.

§例 題5.1§

  直 線 偏 波 は,等

振 幅 の 正(右

旋)円

偏 波 と 負(左

旋)円

偏 波 の

和 で 表 さ れ る こ と を 証 明 せ よ. † 解答†

 ｚ 方 向 に 進 行 す る 振 幅Ｅ０の 正(右 旋)お

よ び 負(左

旋)円

偏 波の 電界

Ｅｒｃ , Ｅｌｃ は,次 式 で 表 す こ と が で き る. Erc=E0(αx−jay)e-jk0z Elc=E0(ax＋jay)e-jk0z

両者 の和 を とる と     Erc＋Elc=ax2E0e-jk0z こ れ は 振 幅 が２Ｅ０,電 界 はｘ だ か ら 偏 波 面 がｘｚ 他 な ら な い.こ

成 分 のみ

面 の 直 線偏 波 に

の 様 子 を 図5･3に

  ◇ こ こ で は フ ェ ー ザ 表 示 で 解 い た が,瞬 §例 題5.2§ る 時,反

  正 円 偏 波 が,そ

図５ ・３ 正 円 偏 波 の 和

示 す. 時 値 で 扱 っ て も 同 じ 結 果 を 得 る.

の進 行 方 向 に垂 直 に置 か れた 導 体 面 に入 射 す

射 波 は 負 円 偏 波 に な る.こ

の 理 由 を 説 明 せ よ.

†解 答 †   導 体 を 完 全 導 体 と み な す と,こ

の

面 上 で 電 界 の 接 線 成 分 は０ と な る.図 5･4に お い て+ｚ

方 向 に入射 す る正 円

偏 波 の 電 界 ベ ク トルＥｉの 軌 跡 を 太 い 実 線 で 表 す と,こ れ を 打 ち 消 す た め に は 反 射 波 の 電 界 ベ ク トルＥｒ は 点 線 で 示 す よ う な もの で な け れ ば な らな い. これ は入 射 波 と同 じ回転 方 向で あ る が,反

射 波 の進 行方 向は

に な っ て い る.す 波 に 他 な ら な い.

な わ ち,読

−ｚ 方 向

図５・４ 4正

円偏 波 の 反 射

者 か ら 紙 面 を 向 い た 方 向 で あ る.こ

れ は負 円偏

５.２  任 意 方 向 へ の 電 磁 波   前 章 で は ｚ 方 向 に 伝 搬 す る 平 面 波 に つ い て 述 べ た.こ ゆ る く し て,任

意 の 方 向 に 伝 搬 す る 電 磁 波 に つ い て 考 え る.条

前 章 と 同 じ と す る と,式(4.6),(4.7)は

▽ ×E=-jω ▽ ×H= 

こ で は 少 し条 件 を

そ の ま ま 成 り 立 つ.再

件(1),(2)は

掲 す る と

μ0H jω ε0E

  条 件(3)は 成 り立 た な い か ら,上 の ２式 を 直 接 解 か な け れ ば な ら な い.た だ し 電 磁 界 は,xyz座

標 系 に 対 し変 数 分 離 さ れ た 形 で 表 現 で き る も の と

す る. ま ず 第 １ 式 のrotを

▽ × ▽ ×E=一jω

と り,第

μ0(▽

２式 を 代 入 す る と

こ こ で ベ ク ト ル 公 式 に よ り,▽ × ▽ ×Eニ 1.4.2参 照),条

件(2)に

▽2Eと

な る が(問

題

って 式

れ を ヘ ル ム ホ ル ツ の 方 程 式 と い う.

=  0

こ の 両 辺 をEx,Ey,Ez成

た と え ばExに

▽(▽･E)一

よ り 電 荷 は な い と し て い る か ら ▽･E=0.よ

(5.6)は 次 の よ う に な る.こ ▽2E+k20E 

(5.6)

×H)=ω2ε0μ0E

(5.7) 分 に 分 解 し て(1.3節

つ いて,Ex=Exx(x)Exy(y)Exz(z)と

参 照)示

す と,

お く と,

両 辺 を Ｅｘｘ(x)Ｅｘｙ(ｙ）Ｅｘｚ(z)で 割 る と,

右 辺

−k20=-ω2ε0μ0は

し 第 １項 がｘ

定 数 で あ る か ら,左

に よ っ て 変 化 す る な ら ば,第

化 す る こ と に な り,ｙ

辺 各 項 も 定 数 に な る.こ ２ お よ び 第 ３ 項 がｘ

れ は も

に よ って 変

お よ び ｚだ け の関 数で あ る とい う前提 に反 す るか ら

で あ る. 第 １項 に つ い て こ の 定 数 を

と な る が,こ

れ はｘ

− β2xと お く と

だ け の 関 数 で あ る か ら 常 微 分 方 程 式 で あ り,式(4.12)

と 同 形 で あ る こ と が 分 か る.し

た が っ て,こ

の 解 は 次 の よ う に な る.

Exx（x)=Exx1e-jβxx+Exx2ejβxx

第

２,第

３の 項 目 に つ い て も 同 様 に

−β2y， − β2zと

お く と,

Exy (y)=Exy1e−jβyy+Exy2ejβyy Exz (z)=Exz1e−jβzz+Exx2ejβzz と な る か ら,結

局,Ｅｘ

の 解 は 第 １項 に つ いて み る と

Ex =Ex1e-jβpyy-jβxz

こ こ にEx1=ExxlExylExzlで

βx 2+β2

Y+β2z=k20 

あ る.ま

                                  (5.8)

ｅ−ｊβｘｘ の 項 はｘ 方 向 に βx=2π

向 の 波 長 λｘは

の 周 期 を 持 つ 正 弦 波 関 数 で あ る か ら,ｘ

λx=2π/βx と な る.す

は 長 く な る.ま た 自 由 空 間 波 長 は よ り 大 き い(他

た 各 項 の 定 数 の 間 に は 次 の 関 係 が あ る.

方

な わ ち,佐βｘが 小 さ い ほ どｘ 方 向 の 波 長 λ0=2π/k0で あ る か ら,λｘ,λｙ,λｚ

の ２ つ が ０ の 時 の み 等 し い)こ

と が 分 か る.

は 常 に λ０

これ は た と え ば,ｘ 方 向 へ の 位 相 速 度

は 光 速 ｃよ り大 き い か 等 し

い こ と を 示 し て い る.   い ま 簡 単 な 場 合 と し てβz=0で る と し よ う.波

あ

の式 は

(5.9)

Ex=Ex1e-jβxx-jβyy

で ｚに 無 関 係 に な る か ら 波 の 進 行 方 向 はx-y面 図5･5に

内 と な る.こ

示 す.波

の 様 子 を

は ｘ軸 に 対 し

図5･5 

の 角 度 で 進 行 して い る こ とが 分 か る.

x-y面

  こ れ は 座 標 変 換 を 行 っ て も 求 め る こ と が で き る.波 向 と す る とEx=Ex1e-jk0xで

の進 む方 向 を Ｘ 軸 方

表 さ れ る.  Ｘ 軸 が ｘ 軸 か ら α だ け 回 転 し て

い る と す る と,X=xcosα+ysinaで

あ る か ら,代

入 す る と 式(5.9)を

ま た 図5・5で 波 の 進 む 方 向 以 外 の 方 向 か ら 見 る と,等 距 離 は 入0よ

り 長 い.こ

了 解 で き よ う.た で あ り,光   Ey, Ezに

内 の伝 搬

位 相 面 （波 面 ） 間 の

れ か ら 上 に 述 べ た 位 相 速 度 が 光 速 よ り速 い こ とが

だ し,こ

れ は 等 位 相 面 を 斜 め か ら 見 る こ と に よ り起 こ る の

速 よ り 速 い 速 度 が 現 実 に 存 在 す る こ と を 示 す も の で は な い. つ い て も 同 様 の 論 議 を す る こ と が で き る.し

向 に 進 む 波 の 電 界 ベ ク トル は,E0を

た が っ て,任

βx,βy,βzを

(5.10)

そ れ ぞ れ の 軸 方 向 へ の 位 相 定 数 と い う.と

点 と 点P(x,y,z)間

形 で あ る.ま し た が っ て,こ

意 の方

一 定 ベ ク ト ル と し て 次 式 で 表 さ れ る.

E(x,y,z)=E0e-jβxx-jβyy−jβzz

は,原

得 る.

の 距 離rとx,y,zと

の 関 係x2+y2+z2=r2と

た 距 離 ベ ク トル ｒ はr=axx+ayy+azzと こ で 波 数 ベ ク ト ルk0を

k0  =  axβx+ayβy+azβz 

=  k0an

こ ろ で 式(5.8)の

形 同

表 す こ とが で き る ・

次 の よ う に 規 定 す る こ と が で き る.

(5.11)

こ こ に ａｎ は 波 数 ベ ク ト ル 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る.波 い る と βxx+βyy+βzz=k0・rで

あ る か ら,式(５.10)は

数 ベ ク トル を 用

次 の よ う に表 さ れ る ．

E(r)=E0e-jk0・r=E0e-jk0an・r

(５.12)

  図 ５・ ６ に これ ら 記 号 の 相 互 関 係 を 示 す.図

に お い て Ｐ 点 を 通 り,OPに

垂 直な 面 内 にお いて は an・r=OP=const．

で あ る か ら,こ

の 面 内 にお け る

の 位 相 角 は 一 定 に な る.し

Ｅ

た が っ て,

こ の 面 は 等 位 相 面 に な り,波

の進 行

方 向 は ａｎ,す な わ ち 波 数 ベ ク ト ル 方 向 に な る.   以 上,電

界 に つ い て の み 述 べ た が,

磁 界の 電界 に対す る関係 は前 章 に記 図 ５・ ６

し た と お り で あ る. §例 題 ５.３§  ｚ 軸 方 向 の 電 界10[mV/m]を がxy平

波 面 と進 行 方 向

持 つ 周 波 数300[MHz]の

面 内 に お い て ｘ 軸 に 対 し+30°

の 方 向 に 伝 搬 して い る ．

(１)  波 の 式 を 示 せ 。 (２)  ｘ 軸,ｙ

軸方 向 の波 長 お よび 位 相速 度 を求 め よ ．

†解 答 † (１)λ0=1[m], 

 

βx=k0cos  βy=k0 

k0=2π/λ=2π

30°=2π

  [rad/m]

sin 30°=2π

・√3/2=√3π ・1/2=π

 

  [rad/m] [rad/m]

E=az10-2e-j√3πx-jπy[V/m]

(２)λx=2π/βx=2/√3〓1.15,  vpx=ω/βx=λxf〓3.46×108, 

λy=2π/βy〓2[m] vPy=ω/βy=λyf〓6×108[m/s]

電 磁 波

５.３  第 ５ 章 問 題 １.平 面 波 の 電 界 が 次 式 で 与 え ら れ て い る. e(t,z)=ax√3cos(108t-k0z)+αycos(108t−k0z)

(1)偏 波 面 を 示 せ. (2)磁 界 の 式 を 示 せ.

(3)こ の 波 の 周 波 数 と位 相 定 数 を 求 め よ. 2.E(z)=axE10e一jk0z-jayE20e-jk0zは 3.楕

円 偏 波 は,右

円 の 式 を 求 め よ.

旋 お よ び 左 旋 の 円 偏 波 に 分 解 で き る こ と を 示 せ.

4.電 磁 波 の 電 界 がE=azEo    る.t=0に

楕 円 偏 波 で あ る.楕

cos{ωt-(k0/√2)x一(k0/√2)y}で

表 され て い

お い て 原 点 を 含 む 偏 波 面 内 の 波 形 を 描 け.

5.極 座 標 に お い て θ,φ 方 向 に 進 む 電 磁 波 の 電 界 を,電   ザE,θ,φ,x,y,zお

よ びtを

界 の ベ ク トル フェー

用 い て 表 せ.

†ヒ ン ト †

1.例

題5.1の

よ う な 図 を 描 い て み よ.

2.瞬

時 値 で 表 す と   e(0,t)=αxe1(0,t)+aye2(0,t)

=axE10cosωt+ayE20sinωt, 3.Eyelｌip=axE1e一jk0z一jαyEye-jk0z

4.t=0,x=y=0でE=azE0波 5.βx=k0sinθcosφ, 

の 進 行 方 向 は βy=k0 

sinθsinφ, 

βz=k0cosθ

ｘ 軸 か ら45゜.  

第 ６章

等 方性媒 質 中の電 磁波   第 ４章 お よ び ５ 章 で は,真 い て 述 べ た.こ

空 中 を伝搬 す る単 一正 弦 波 の平 面 電磁 波 に つ

の 中 で 電 界 と 磁 界 は,同 相 で 直 交 して お り,波 はE×Hの

方 向 に 進 行 す る こ と,波

の 速 度 は1/√ ε0μ0で表 さ れ る こ と,電 界 と磁 界 の

大 き さ の 比 は 真 空 の 固 有 イ ン ピ ー ダ ン スZ0で ベ ク トル 等 を 学 ん だ.本

あ る こ と,ポ イ ン テ ィ ン グ

章 で は,ε,μ,σが 方 向 に よっ て 変 わ らな い 等 方 性 媒

質 中 を 伝 搬 す る 電 磁 波 が ど う い う性 質 を 持 つ か につ い て 述 べ る.   (1)  絶 縁 媒 質 中 の 平 面 波   (2)  導 電 媒 質 中 の 平 面 波   ま ず 絶 縁 媒 質 中 の 平 面 波 は,真

空 中 の 平 面 波 に お け る ε0→ ε,μ0→ μ に

変 換 す れ ば 容 易 に 求 め ら れ る こ と を 示 す.次 に 述 べ る 導 電 媒 質 中 の 波 の 振 る 舞 い は,媒 で は,伝

質 の 導 電 性 を 考 慮 せ ね ば な ら ぬ の で 複 雑 に な って く る.こ

搬 特 性 を 表 す 定 数 と して,真

こ

空 中 で 学 ん だ 位 相 定 数 の 他 に減 衰 定

数 が 出 て く る こ と,特 性 イ ン ピー ダ ン ス が 複 素 数 に な る こ と,し た が って, 電 界 と磁 界 の 間 に 位 相 差 が 生 じ る こ と,そ の 他 電 界 と 磁 界 の エ ネ ル ギ ー 比, 表 皮 の 深 さ 等 に っ い て 学 習 す る.我 々 は 真 空 中 や 空 気 中 を 伝 搬 す る 電 波 ば か りで な く,い ろ い ろ な 媒 質 を 取 り扱 わ な け れ ば な ら な い.本 章 で 十 分 学 習 され る こ と を 望 む.

6.1  絶 縁 媒 質 中 の 平 面 波  電 磁 波 が 伝 搬 す る 媒 質 の 誘 電 率 が ε,透 磁 率 が μ で 等 方 性 で あ る とす る.た だ し 絶 縁 媒 質 を 前 提 と し て い る か ら 導 電 率 σ=0で

あ る.５ 章 同 様,

対 象 とす る 領域 には 電 流 も電 荷 も存 在 しな いとす る と ▽ ×E=-jω

μH, 

こ れ ら の 式 は ４章,５ ら,真

▽ ×H=jω

章 の ε0,μ0を

(6.1)

εE

ε,μ に 置 き 換 え た も の と 見 な せ る か

空 中 で 用 い た 手 法 や 結 論 を そ の ま ま 流 用 す る こ と が で き る.

(1)  ヘ ル ム ホ ル ツ の 方 程 式 ▽2E+k2E=0, 

◇   電 界 ・磁 界 の 向 き,波

(6.2)

▽2H+k2H=0

の 進 行 方 向 の 関 係 は 真 空 の 場 合 と 同 じ.

(2)  波 長 お よ び 位 相 定 数 2π /k     ま た は     k=

λ=

2π

(6.3)

/λ

媒 質 の 比 誘 電 率 を εr,比 透 磁 率 を μrと

で あ るか ら

.真

す る と,

空中 の波 長 に比 べ

に な る.

(3)  位 相 速 度

(6.4)

し た が って,伝 (4) 

搬 速度 も真空 中 に比 べ

に な る.

固有 イ ン ピーダ ンス

(6.5) そ の 他 の 特 性 も 同 様 に 類 推 す る こ とが で き る.

6.2  導 電 媒 質 中 の 平 面 波  対 象 と す る 領 域 に お い て 媒 質 の 導 電 率 が で あ る と し よ う.J=σEの

σ,そ

の他 の 条 件 は 前節 と同 じ

関 係 を 用 い る と マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 は,次

の

よ う に な る. ▽ ×E=-jω

(6.6)

μH

▽ ×H=(σ+jω

(6.7)

ε)E

5.2節 と 同 様 第 １式 のrotを

と り,第

▽ × ▽ ×E=-▽2E=(-jω

２ 式 に 代 入 す る と, μ)(σ+jω

ε)E

こ れ よ り次 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 方 程 式 を 得 る. ▽2E-γ2E=0

(6.8)

こ こに

(6.9) 電 界 が ｘ 方 向,波

が ｚ 方 向 に 進 行 す る とす る と電 磁 界 は,

(6.10)

Ex=Exle-γz+Ex2eγz

(6.11) jω μ

Z= 電 界,磁

(6.12)

/γ

界 の 各 項 はe-γzま

て 考 え て み よ う.式(6.9)か

た はeγzを

持 っ て い る.そ

ら 明 ら か な よ う に,γ

こで まず γ につ い

は 複 素 数 で あ る.そ

こで

(6.13) と お い て,α

と β が ど う い う 値 を と る か を 調 べ て み る.両

実 部 と 虚 部 を 等 し い と お く と, -ω2ε μ+jω

σμ=α2-β2+j2α

α2-β2=-ω2ε

β μ, 

 

2α β=ω

σμ

辺 を ２ 乗 して

こ れ ら2式

か ら β を 消 去 す る と,

整 理 す る と,

α2に つ い て 解 く と 次 の よ う に な る.

こ の 値 を α2− β2=−w2εｵに

代 入 す る と,

こ れ か ら α お よ び β は 次 の よ う に 表 さ れ る.

(6.14)

(6.15) α お よび 辺 第1項

β を 用 い,ejwtが

掛 か っ て い る こ と を 考 慮 す る と,式(6.10)の

右

お よ び そ の 瞬 時 値 は 次 の よ う に 表 さ れ る.

あ る 時 刻 に お け る 電 界 の 波 形 を 図6・1に 示 す.電

界 の 振 幅 はe− αzで 指 数 的

に 減 少 す る こ と が 分 か る.こ

れ は導 電 性 に よ りオー ム 損 が 生 じる こ とか ら

明 か で あ ろ う. ま た絶 縁 媒  質 に お け る ｋ の 値 が β に な っ て い る ・ こ れ か ら,α 数,β

を 位 相 定 数 と 呼 び,γ=α+jβ

図6・1導

を 伝 搬 定 数 と い う.

電 媒 質 中 の平 面 波

図6・2α,β

の変 化

導電 媒質

6. 2. 1

 以 下,導 (１)

を減 衰 定

電 媒 質 中 の 平 面 波 の 持 つ 性 質 に つ い て 考 察 して み よ う.

伝搬定数

 α と β の 式 を 見 る と 非 常 に 良 く 似 た 形 を し て い る こ と が 分 か る.

対する

α/ k

ま た は /β k

を 図6・2に

示 す.こ

こ にk=ω

こ の 媒 質 に 流 れ る 導 電 電 流 と変 位 電 流 の 比 を 示 し(第

√ εμ

で あ る.

σ/

に ω ε σ/

ωεは

２章 問 題 １参 照) ,導

電 性 の 度 合 い を 表 す と 考 え る こ と が で き る.  σ=0は

絶 縁 媒 質 で あ り,こ

に 帰 着 す る.

σ/

の 時,式(6

.14),(6.15)に

よ り α=0,β=ω

√εμ

の 値 が 大 き く な る と α,β の 値 は 共 に 大 き く な る.電

界 の

ωε

減 衰 は 導 電 性 と 共 に 大 き く な る の は 容 易 に 理 解 さ れ よ う.β が 大 き く な る の は波 長

2π

が 短 く な り,波

の速度

/β

非 常 に 大 き く な る と α,β 共 同 じ 値

ω

/β

が 遅 く な る こ と を 意 味 す る.

σ ω/ ε

で 近 似 さ れ る よ う に な る.

が

(２)  電 界 と 磁 界 の 位 相 差(固

有 イ ン ピ ー ダ ン ス の 位 相)

電 界 と 磁 界 の 比 は,式(6.10),(6.11)に

よ り Ｚ で あ る.

(6.17) こ の 位 相 は θ=tan-1α/β

で あ る.す

θだ け 遅 れ る ・ と に な る ・

な わ ち,磁

界 の位 相 は電 界 の そ れ よ り

α/βの 値 は 式(６.14),(６.15)か

ら 次 の よ う に な る ．

(6.18)

σ=0の

場 合 は,α=0で

き くな る につれ

図6・3 

あ る か ら

α/βは1に,θ

は

α/β=0で

π/4に 近 づ く.こ

電 界 と磁 界 の 位 相 差

(３) 電 界 と磁 界 の 比(固

あ り,θ=0で

あ る.σ/ωε が 大

図6・4 

の 様 子 を 図6・3礎

示 す

電界 と磁 界 の 比

有 イ ン ピ ー ダ ン ス の 大 き さ)

 電 界 と磁 界 の 大 き さ の 比 は,次 式 に よ り求 め られ る.

(6.19)

σ/ ωε が ０の 時 は,こ

の 値 は

√με で あ る.導

電 性 が 増 す に つ れIZIは

に 反 比 例 し て 減 少 す る こ と が 分 か る.す

な わ ち,導

電 界 の 磁 界 に 対 す る 比 は 小 さ く な る.こ

の 様 子 を 図6.4に

ωε √

電 性 が 高 く な る に つ れ, 示 す.

(4)

エネ ル ギ −

 導 電 媒 質 中 の 電 界 と磁 界 の エ ネ ル ギ ー 密 度 の 比 に 着 目 して み る.

(6.20) こ れ ら の 式 か ら 導 電 性 が 大 き い 時 はue,umと る こ と,中

で もueの

子 を 図6・4の

(5)

も に減 少 の 度 合 い が 大 き く な

減 少 の 度 合 い の 方 が よ り 大 き い こ と が 分 か る.こ

の 様

中 に 併 記 す る.

表 皮 の深 さ

  導 電 媒 質 中 の 電 磁 波 はe-αzで

減 少 し て い く.こ

の 値 がe-1=0.368に

な

σ

る ｚ の 値 を δ と 表 し,表

皮 の 深 さ と 呼 ぶ.

が 大 き く な る と(1)項

で述

ωε /

べた よ うに α は

に 近 づ く か ら,表 皮 の 深 さ は す で に 良 く ご 存 知 の

次 式 と な る.

(6.21)

§ 例 題6-1§ 1[GHz]に

導 電 率 が

σ=5.80×107[s/m]の

お け る 表 皮 の 深 さ を 求 め よ.

†解 答 †

(1)

(2) (3)

◇

表 皮 の 深 さ の 程 度 に 注 意 さ れ た い.

銅 が あ る.f=60[Hz],1[MHz],

低損失 誘電 体

6. 2.2

 導 電 性 媒 質 に お け る マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 は,式(6.6),(6.7)で

表 さ れ る が,

後 者 は 次 の よ う に も 書 け る.

(6.22) εcは 複 素 誘 電 率 で,次

式 で 表 さ れ る.

(6.23) σ=

ωε

〃

(6.24)

は 損 失 正 接(tanδc)と 0で ◇

呼 ば れ る.低

損 失 誘 電 体 は 不 完 全 な 絶 縁 物 で,

は な い が 小 さ い 等 価 導 電 率 を も つ の でtanδcの 一 般 にtanδ

と 書 か れ る が,表

こ の 条 件 下 で は 伝 搬 定 数 は,次

値 は 小 さ い.

皮 の 深 さ δ と 区 別 す る た めtanδcと

し た.

の よ う に 近 似 さ れ る.

(6.25) 減衰 定 数 お よ び 位 相 定 数 は,そ れ ぞ れ 次 の よ う に な る.

(6.26) (6.27) した が って,低

損 失媒 質 中 の位相 速度 は

(6.28) とな り,無

損 失 の 媒 質 に お け る よ り も 若 干 遅 く な る.

６.２.３  良 導体  以 上 の 論 議 に よ り良 導 体 と は σ》 ωε が 成 り立 つ 媒 質 で あ る と い う こ と が で き る.こ

の 場 合,ω2ε

μ 《 ωμσ で あ る か ら,

を 考 慮 に入 れ

て 伝 搬 定 数 は 次 式 とな る.

(６.29)

こ こで

で あ る か ら,

(６.30)

す な わ ち,

(６.31）

で 減 衰 定 数 も位 相 定 数 も 非 常 に 大 き い 値 に な る.ま た 良 導 体 の 固 有 イ ン ピー ダ ン ス は,次

式 の よ う に 表 さ れ る. (６.32)

磁 界 は,

(６.33)

で 表 さ れ,電

界 の位 相 よ り

§ 例 題 ６.２§  導 電 率

だ け 遅 れ る こ と が 分 か る.

σ=5.80×107[S/m]の

銅 の１[GHz]に

お け る固 有 イ ン

ピ ー ダ ン ス を 求 め よ. † 解 答†   例 題 ６.１よ り δ=2.1×10-6[m]で

ある か ら

◇  良 導 体 の 固 有 イ ン ピ ー ダ ン ス は 真 空 の そ れ に 比 べ 非 常 に 小 さ い.

6.3  第 ６ 章 問 題 1.周 波 数f=150[MHz】

の 平 面 電 磁 波 が 比 誘 電 率 εr=4,比

の 媒 質 中 を+x方

向 に 進 行 し て い る.電

の 時z=1/4[m]で

最 大 値1[mV/m]を

透 磁 率 μr=1

界 は ｚ方 向 を 向 い て お り,t=0

と っ て い る.

(1)こ の 波 の 波 長 は い く ら か. (2)φ の 値 を 求 め よ 。 (3)ｅ の 式 を 示 せ. (4)t=10-8[s1の

時,電

界 が 最 大 と な る 位 置 は ど こ か.

(5)ｈ の 式 を 示 せ. 2.媒 質 の 導 電 性 を 表 す 尺 度 は 何 か.そ

の 理 由 を 述 べ よ.

3.媒 質 の 固 有 イ ン ピ ー ダ ン ス と は 何 か. 4.εr=4,μr=1,tan  数,位

δ=10-4の

相 定 数,位

海 水 中 を1[MHz]の

の 値 を 求 め よ.

(1)表 皮 の 深 さ,固 (2)減 衰 定 数,位

有 イ ン ピー ダ ンス

相 定 数

(3)海 水 中 の 波 長,伝

搬 速 度

†ヒ ン ト † 1.第 ４章   問 題 ５ の 結 果 と 比 較 せ よ. 2.本 文 参 照 3.同

上

4.a〓2.09 

5.σ/ωε 》1を

お け る 減 衰 定

相 速 度 を 求 め よ.

5.εr=72,μr=1,σ=4[S/m]の る.次

媒 質 の 周 波 数100[MHz]に

× 10-4[1/m],β

確 か め よ.

〓4.19[rad/m]

電 磁 波 が 進 行

して い

第 ７章

異 方性 媒質 中の平 面電 磁波   こ れ ま で に 真 空 中 お よ び 等 方 性 媒 質 中 の 平 面 電 磁 波 に つ い て 学 習 し た. す な わ ち 誘 電 率,透 磁 率 等 は 方 向 に よ って 値 が 変 わ る こ と は な か った.本 章 で は,こ

れ ら の 値 が 方 向 に よ って 違 う 場 合,電

磁 波 は ど う な る か を 述 べ る.

  （１）  異 方 性 媒 質 の 表 現 法  （ ２）  対 称 テ ン ソ ル 媒 質 中 の 平 面 波  （ ３）  ジ ャイ ロ性 媒 質 中 の 平 面 波   ま ず 異 方 性 誘 電 率,透 磁 率 は テ ン ソ ル で 表 さ れ る こ と,ま た ２つ の グ ル ー プ に 大 別 さ れ る こ と に つ い て 述 べ る.次

い で,第

１の グ ル ー プ の 例 と し て

対 称 テ ン ソ ル で 表 さ れ る 誘 電 体 結 晶 中 で 平 面 波 が ど う な る か を 考 察 し,伝 搬 す る 間 に 直 線 偏 波 に な った り,円 偏 波 に な った り す る こ と を 示 す.第

２グ

ル ー プ は ジ ャイ ロ性 媒 質 と 呼 ば れ る が,そ の 例 と し て フェラ イ トが あ る.フ ェ ラ イ トは 磁 性 材 料 と し て 多 く の 利 用 面 を 持 って い る が,高 周 波 特 にマ イ ク ロ 波 に お い て も 重 要 な 材 料 で あ る.こ

こ で は フ ェ ラ イ トの 性 質 と そ の 透 磁 率

テ ン ソ ル の 関 連 に つ い て に 述 べ,フ ェ ラ イ ト中 に お い て 正 （右 旋 ） 円 偏 波 と 負 （左 旋 ） 円 偏 波 とで 位 相 定 数 が 異 な って く る こ と を 示 す.こ の た め フェ ラ イ ト板 に 直 線 偏 波 を 入 れ る と 偏 波 面 が 回 転 す る フ ァ ラ デ ー 回 転 が 生 じ,こ の 回 転 は 非 可 逆 性 を 持 って い る.

7.1

異 方性 媒質 の 表現 法

  こ れ ま で 誘 電 率 ま た は 透 磁 率 は 方 向 性 が な い も の と し,ス カ ラ 量 で 表 し て き た ． しか し,場 合 に よっ て は 方 向 に よって 違 う 値 を と る こ と が あ る.こ の よ う な 媒 質 は 異 方 性 媒 質 と 呼 ば れ,こ れ る.誘

電 率 に つ い て 書 い て み る と,次

れ らの 量 は テ ン ソ ル に よって 表 さ の よ う に な る.

(7.1)

蛇 足 か も しれ な い がD=εEで

あ る 時,Ｄ

の 各成 分 は

(7.2)

と 表 さ れ る こ と に な る.透

磁 率 に っ い て も 同 様 で あ る.

電 磁 波 伝 搬 の 観 点 か ら考 え る と,異 方 性 媒 質 は2つ (１)テ

ンソル が対 称 な 媒 質

(２)テ

ンソル が対 称 異 符 号 な媒 質

  (１)は εij=εji,μij=μjiが 体 結 晶 が あ る.こ

の グ ル ー プ に 分 か れ る.

成 立 す る 媒 質 で あ り,例

の よ う な 媒 質 に 対 し て は,座

り テ ン ソ ル 成 分 を 対 角 項 だ け に す る こ と が で き る.電 波 のTEMモ

のTEMモ

磁 波 と して は直 線 偏

ー ド が 伝 搬 可 能 で あ る.

  (２)は εij=-εji,μij=-μjiが れ る.例

と して は 多 くの 誘 電

標 軸 を適 当 に選 ぶ こ と によ

と し て は,直

成 立 す る 媒 質 で,ジ

ャイ ロ 性 媒 質 と 呼 ば

流 磁 界 を 加 え た フ ェ ラ イ ト が あ る.電

ー ド は 伝 搬 可 能 で あ る が 直 線 偏 波 のTEMモ

磁 波 は 円偏 波

ー ド は 存 在 で き な い.

  異 方 性 と い っ て も 一 般 に 誘 電 率 か 透 磁 率 の い ず れ か が テ ン ソ ル に な り,他 方 は ス カ ラ で あ る こ と が 多 い.こ 方 程 式 は,ε

また は μ を

ε

の よ う な 媒 質 中 に お け る マ ク ス ウェル の

また は

μ

で 置 き 換 え れ ば 良 い.

７.２   対 称 テ ン ソル 媒 質 中 の 平 面 波   誘 電 率 が 対 称 テ ン ソ ル を持 つ 誘 電 体 結 晶 中 の 単 一 正 弦 波 平 面 波 に つ い て 考 え よ う.こ

の よ う な 媒 質 に つ い て は,座

電 率 を ３つ の 対 角 成 分 と す る と,マ

▽ ×E 

標 軸 を 適 当 に 選 ぶ と,テ

εχχ,εｙｙ,ε ｚｚ だ け で 表 す こ と が で き る.透

ン ソル 誘 磁 率 を μ0

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 は 次 の よ う に な る.

=  -ｊ ωμ0H

▽ ×H=ｊ

（７.３)

ω εE=ｊ

ω(axεxxEx+ayεyyEy+azεzzEz)

(７.４)

  簡 単 の た め ４.２節 で 考 え た 条 件 が 満 た さ れ て い る と す る と,４.２ 節 と 同 じ よ う な 展 開 が で き,(Ｅｘ, Ｈｙ)の 組 合 せ と （Ｅｙ, Ｈｘ ）の 組 合 せ を 得 る.前 組 合 せ に つ い て は,次

者 の

式 を 得 る.

(７.５) こ こ に,

β（x）=ω√

εxxμ0

で あ る.β(x)はＥｘ

(７.６)

に 対 す る 平 面 波 の 位 相 定 数 で あ る.

(Ｅｙ, Ｈｘ)の 組 合 せ の 平 面 波 に 対 し て は 同 様 に し て 次 の 位 相 定 数 を 得 る. β(y)=ω

√εyyμ0

こ れ ら の 式 か ら 分 か る よ う に,電

(７.７)

界 ベ ク トル の 方 向 に よ って 平 面 波 の 位 相

定 数 が 異 な っ て く る.   い ま こ れ ら ２ つ の 波 の 合 成 波 を 考 え る.z=0に

お い て,電

界 ベ ク トル が

次 式 で あ っ た と す る.

E0=axEx0+ayEy0

(７.８)

２つ の 波 は そ れ ぞ れ 異 な っ た 位 相 速 度 ω/β(ｘ)，ω/β(ｙ) で ｚ 方 向 に伝 搬 す るか ら,ｚ 地 点 に お け る 電 界 は 次 式 で 表 さ れる． E(z)＝axEx0e-jβ(x)z+ayEy0e-jβ(y)z

(７.９)

こ の 式 を 書 き 換 え る と,次

式 を 得 る.

(7.10)

E(z)={axEx0+ayEy0e-j{β(y)-β(x)}z}e-jβ(x)z

こ の 式 を 見 る と,{β(y)-β(x)}z= nπ を 満 足 す る ｚ に お い て は,電

界 の

ｘ 成 分 と ｙ 成 分 の 位 相 差 は ０ また は180゜

で あ る か ら 直 線 偏 波 で あ る.

{β(y)-β(x)}z=nπ/2備

足 す る ｚに お

い て は90゜

の 位 相 差 を 生 じて い る か

ら,Ex0=Ey0で

あ れ ば 円偏 波 にな

る.こ

の 様 子 を 図7・1に

§例 題7.1§ は,次

  厚 さ

示 す.

図7.1 

〓の誘電 体 結 晶 が

ｚ 軸 に 垂 直 に 置 い て あ る.こ

の よ う な テ ン ソ ル 誘 電 率 と 透 磁 率 μ0を

こ の 結 晶 に 次 の 直 線 偏 波,角

誘 電 体 結 晶 中の 平 面波

持 つ とす る。

周 波 数 ω の 平 面 波 が 入 射 し た 時,結

面 に お け る 電 界 の 式 を 求 め よ. (１)  E(0)=axE0 (２)  E(0)=ayE0 (３)

†解 答 † (１)

(２) ◇   こ れ ら の 場 合 は,直

線 偏 波 の ま ま で あ る.

(３)

◇   こ の 場 合 は,楕

円(特

の 結晶

別 な 場 合 は 円)偏

波 に な る.

晶の 他 の

７.３   ジ ャイ ロ 性 媒 質 中 の 平 面 波 7.３.１  フ ェ ラ イ ト の 透 磁 率   フ ェラ イ トは 化 学 式MO・Fe2O3(Ｍ

は 金 属 元 素)を 持 ち,強

磁 性 体 に似 た磁

気 的 性 質 を 有 す る が 電 気 伝 導 度 は 低 い.フ ェ ラ イ トは ま た 非 可 逆 特 性 を 示 す が,こ れ は 電 子 ス ピ ン と マ イ ク ロ 波 磁 界 の 相 互 作 用 に基 づ く も の で あ る.   電 子 が 図 ７・ ２ の よ う に 自 転 す る と,そ

れ によっ

て 生 じ る 単 位 体 積 当 た り 磁 気 モ ー メ ン ト(磁 化) Ｍ

と 角 運 動 量 Ｊ の 関 係 は,次

式 で 表 さ れ る.

M=γJ

(７.11)

こ こ にγ は 磁 気 回 転 比 と 呼 ば れ る 負 の 定 数 で あ る.こ れ に 外 部 磁 界 Ｈ を 加 え る と トル ク Ｔ が 働 き,電 子 は 右 回 り に 歳 差 運 動 を 起 こす. T=M× 一方

,角

μ0H

(７.12)

運 動 量 Ｊ と 加 わ っ た トル ク の 関 係 は

    T = dJ/ dt

(７.13)

こ れ ら ３式 か ら 磁 化 Ｍ dM /dt

  さ て+ｚ

=μ0γM 

図 ７・ ２  電 子 の ス ピ ン

と 外 部 磁 界 Ｈ の 間 に,次 の 関 係 式 を 得 る.

× H

(７.14)

方 向 に 直 流 磁 界 Ｈ０を 加 え て 磁 化 飽 和 さ せ た 状 態 で,Ｈ

に マ イ ク ロ 波 磁 界 を 印 加 し た と す る.マ そ れ に よ る 磁 化 をm=axmx+agmg+azmzと

０に 垂 直

イ ク ロ 波 磁 界 をh=axhx+aghg, す る と,フ

ェ ラ イ ト内 の 磁 界

お よ び 磁 化 は 次 式 で 表 さ れ る. H=axhx+aghg+azH0

(７.15)

M=axmx+agmg+az(Ms+mz)

(７.16)

こ こ に Ｍ ｓ は+ｚ 入 し,マ

方 向 の 飽 和 磁 化 で あ る． 式(７.15),(７.16)を 式(７,14)に

イ ク ロ 波 の 角 周 波 数 を ω,ｈ,ｍ

代

は 小 さ い と し て ２次 の 項 を 省 略 す

る と,

こ れ を ｍｘ,  ｍｙ に っ い て 解 く と,次

の よ う に な る.

(７.17)

(７.18)

一方

,マ

イ ク ロ 波 磁 束 密 度 ｂ と 磁 界 ｈ,磁 化 ｍ の 問 に は 次 の 関 係 が あ る. (７.19)

  式(７.17),(７.18)を

式(７.19)に 代 入 し て ｂ の 成 分 を ｈ の 成 分 で 表 す と,次

の

よ う に な る.

(７.20)

こ こ に μ κ は,次

式 で 表 さ れ る 値 で あ る.

式(７.20)は 透 磁 率 が 次 の テ ン ソ ル で 表 さ れ る こ と を 示 し て い る.

(７.21)

.３.２   フ エ ラ イ ト中 の 平 面 波   式（７.21） の テ ン ソ ル 透磁 率 を もつ フ ェラ イ ト中 を 伝 搬 す る 平 面 波 の波 動 方 程式 は,次

の よ うに な る．

▽2H+ω2ε

μH＝0

（７.22)

波 が 単 一 正 弦 波 で+ｚ 方向 こ進行 す る と す る と,

（ ７.23)

こ の 式 を 展開

し て で き る第１

式 に,第

２式 に

ｊ を乗 じた 式 を加 え る と式

（７.24)を 、 減 じ る と 式（７.25)を 得 る.

（７.24)

（７.25)

式（７.24)はHx＝jHy,す

な わ ち 正円 偏 波 に関 す る 波 動 方程 式 に な っ て お り,

式（７.25)は 負円 偏 波 に関 す る も の で あ る こ と が 分 か る.こ

の 各々の 波 の 振 る

舞いを 考 察 し て み よ う. （１ )  正円 偏 波 に 対し,フ

ェ ラ イト は 透 磁 率 μ-κの

こ れ は 式（７.24)を 見 て も 現 か で あ る し,あ こ と に よ っ て も得 る こ と が で き る.こ 波 に 対 ず る も の と し てμf(+)と

る い は 式（７.20）でhx＝jhyと

の 透 磁 率 を+ｚ

表 す ことに

等 方 性媒 質 と し て働 く. お く

方向 に進 む 正 の円 偏

す る と,

（７.26)

（７.27)

（ ２)  負 円 偏 波 に 対 し て は 式（７.25)か ら,フ

ェ ラ イ ト は μ＋κ

等 方性媒

質 と

し て 働 く こ と が 分 か る.こ

の透 磁 率 を

と 表 す こ と に す る と,

(7.28) (7.29) ωに 対 す る 7.3に

の変 化 を図

示 す.

は ω=ω0で

共 振 状

態 を 示 す.こ れ は マ イ ク ロ 波 の 円 偏 波 の 回転 角 周波 数 と回 転 方 向が 電 子 の歳 差 運動 のそ れ と一致 す る た め に起 き る現 象 と して 説明 す る こ とが で き る.こ

の周 波 数 にお い

て はマ イ ク ロ波 の エ ネル ギ ー が熱 損 失 と なって 失 わ れ,電 磁 波 の 吸 収 が 起 き る.こ れ を 共 鳴 吸 収 と い う. 負 の 円偏 波 に対 して は こ のよ うな 現 象 は 起 き ず,

図7.3 

等価 透 磁 率 の 周 波 数 特 性

は 単 調 に 変 化 す る だ け で あ る.

  以 上 は+z方

向 に 進 行 す る 波 に つ い て 記 し た が,-z方

付 言 し て お く.  -z方 肩 の(±)は+z方

向 に 進 む 波 の 諸 量 に は 添 え 字 ｂ を 付 け る 事 に し,右

向 に 向 か っ て 右 回 り,お

す も の と す る.(+)で な く 成 立 し,(-)で

向の 波 に つ いて

あ れ ばHx=jHyで あ れ ばHx=-jHyと

よ び 左 回 りの 円偏 波 で あ る事 を示 あ り,こ れ は 波 の 進 行 方 向 に 関 係 な る.し

た が って 式(7.30),(7.31)が

成

立 す る.

(7.30) (7.31) た だ し,+z方

向 に 見 て(+)方

に お い て は 負 円 偏 波 に な る.

向 に 回 転 す る 偏 波 は,-z方

向 に進 行 す る波

７.３.３  フ ァ ラ デ ー 回 転

  フェ ラ イ トに 直 線 偏 波 が 入 射 し た 時 ど う な る か を 考 え て み る.z=0か z=lの

間 に十 分 大 き な フ ェ ラ イ ト板 が あ り,こ れ に+ｚ

ら

方 向 に直 流 磁 界

Ｈ０を 印 加 して 飽 和 磁 化 して い る と す る ． こ の 状 態 で 偏 波 面 がｘｚ 面 で,+ｚ 方 向 に 進 む 平 面 波 が 入 射 し た と す る と,直 線 偏 波 は 正 お よ び 負 円 偏 波 の 合 成 と し て 表 す こ と が で き る か ら(例 題 ５.１ 参 照), E(z)＝E(+)(z)+E(-)(z)

  z=0に

(７.32)

お け る 電 界 の 大 き さ を Ｅ０ と す る と,こ

れ ら 正 と 負 の 円 偏 波 は,

そ れ ぞ れ 違 っ た 位 相 定 数 で フ ェ ラ イ ト 内 を 伝 搬 す る こ と に な る.す

な わ ち,

(７.33)

(７.34)

z=1に

お け る 出 力 は,次

の よ う に な る.

(７.35)

こ れ は 偏 波 面 がｘｚ 面 か ら る こ と を 示 し て い る.こ   と こ ろ で,同

な っ て い る.も

の 偏 波 面 の 回 転 現 象 を フ ァ ラ デ ー 回 転 と い う.

じ フ ェ ラ イ ト板 に-ｚ

前 葉 に 述 べ た と お り,偏

だ け傾 いた 直線 偏波 で あ

方 向 に 進 行 す る 平 面 波 が 通 過 す る と,

波 面 の 回 転 は,方

向 も 大 き さ も 等 し く,θb=θfに

し 可 逆 性 が 成 立 す る な ら ば,偏

波 面 の 回 転 方 向 は,伝

が 逆 に な れ ば 逆 に な ら な け れ ば な ら な い は ず で あ る.し ト に お い て は 偏 波 面 の 回 転 が 非 可 逆 的 で あ る.こ

た が っ て,フ

搬 方 向 ェラ イ

の性 質 を利 用 して ア イ ソ

レ ー タ や サ ー キ ュ レ ー タ 等 の 非 可 逆 素 子 が 作 ら れ る.

７.４  第 ７ 章 問 題 １.例 題 ７.１(３)にお い て,結

晶 の 他 の 面 に Ｅ(０)と 垂 直 方 向 の 偏 波 面 の 電 磁

  波 の み を 通 す フ ィ ル タ を 置 い た.フ

ィル タ を 通 過 す る 電 磁 波 の 振 幅 を 求

  め よ. ２.テ ン ソ ル 透 磁 率 に つ い て 説 明 せ よ. ３.飽 和 磁 化Ms=160[kA/m]の 加 え た.ω０

フ ェ ラ イ ト板 に40[kA/m]の

お よ び ωｍ を 求 め よ.た

４.前 間 に お い て,フ

い.フ

で あ る.

だ し

ェ ラ イ トの 比 誘 電 率 を εr=15と

を 加 え た 方 向 に10[GHz]の

バ イ アス磁 界 を

電 磁 波 を 通 過 さ せ,偏

す る.バ

イ アス磁 界

波 面 を45° 回 転 さ せ た

ェ ラ イ ト板 の 厚 さ を い く ら に す れ ば 良 い か.

５.+ｚ 方 向 に 直 流 磁 界 を か け た フ ェ ラ イ ト 板 中 を+ｚ の フ ァ ラ デ ー 回 転 角 を θf,-ｚ θｂ と す る と,θf=θbと

方 向 に 進 む 平 面 波 の フ ァラ デ ー 回 転 角 を

な る こ と を 説 明 せ よ.

†ヒ ン ト †

１.出 力 は,

入 力 に 垂 直 な 成 分 は, 整 理 す る と, ２.本 文 参 照 ３.ω0  ＝  -μ0rH0, 

５.本 文 参 照

 

方 向 に進 む 平面 波

ωm  ＝   -μ0rMs４.

第 ８章 伝 送線 理 論

Ｉ

-

  こ こ ま で 真 空 中 や 色 々な 媒 質 中 の 電 磁 波 伝 搬 に つ い て 述 べ て き た.こ らで 一 時 話 題 を 変 え,伝

こ

送 線 に よ る 電 磁 波 伝 搬 に つ い て 論 じて み た い.前

者 は ガ イ ドさ れ て い な い か ら 伝 送 した い エ ネ ル ギ ー や 情 報 は,目

的 に合っ

た ア ンテ ナ を 用 い て 任 意 の 方 向 に 伝 搬 さ せ 得 る 。 多 地 点 を 相 手 に す る 放 送 の よ う な 目 的 に は た い へ ん 便 利 で あ る が,１ 対 １の 通 信 の よ う な 場 合 は 能 率 が 悪 い.後

者 の 場 合 は,電

磁 波 は ガ イ ドさ れ て い る か ら伝 送 は そ の 方 向

に 限 られ,能

率 は 非 常 に 良 く な る.た

だ し,伝 送 線 の 敷 設 が 必 要 に な る の

は 言 う ま で も な い. 本 章 で は 伝 送 線 理 論 の 第 １回 と し て,次

の 項 目 に つ い て 述 べ る.

(１) 伝 送 線 方 程 式 と 一 般 解 (２) 各 種 線 路 条 件 下 の 解   ま ず 平 行 ２線 を 例 に とっ て 伝 送 線 方 程 式 を 誘 導 す る.伝 送 線 方 程 式 は,媒 質 中 の 電 磁 波 伝 搬 に お け る マ ク ス ウェル の 方 程 式 に 対 応 す る も の で,伝 線 理 論 の 基 本 式 で あ る.ま

た こ の 式 の 一 般 解 を 求 め,伝

ピ ー ダ ン ス な ど の パ ラ メ ー タ を規 定 す る.次

搬 定 数,特

送

性イ ン

い で 損 失 の な い 線 路,低

損失

線 路 に お け る 解 を マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 の 解 と対 比 しな が ら 示 す.ま た 波 形 を 無 ひ ず み で 伝 送 す る た め に 必 要 な 条 件 に つ い て も述 べ る.

8.1  伝 送 線 方 程 式  伝 送 線 路 に は 平 行 ２線,同

軸 ケ ー ブ ル,ス

ト リップ 線 路 等 の よ う に,帰 路

を 持 った 線 路 と 導 波 管 や 光 フ ァイ バ 等 の よ う に,帰 路 を 持 た な い 線 路 が あ る. 前 者 に お い て は,TEMが

伝 送 モ ー ドの 主 体 に な る が,後

者 にお いて は 違っ

た モ ー ドが 発 生 す る.後 者 に つ い て は 別 に 述 べ る こ と に し,こ

こで は 前 者

に つ い て 考 え る.ま た こ の 中 で は ど れ を と って も 同 じ で あ る が,一 番 な じ み の 深 い 平 行 ２線 を 例 に とって 述 べ る こ と に す る.ま た これ を 考 え る 場 合,電 磁 界 の 伝 搬 と し て 考 え る 方 法 と 電 圧 ・電 流 の 伝 搬 と して 考 え る 方 法 が あ る が,こ

こ で は 手 慣 れ た 電 圧 ・電 流 で 取 り扱 う こ と に し よ う.

 対 象 と す る 電 磁 波 の 波 長 が 線 路 の 長 さ よ り十 分 長 け れ ば,線

路上での波

の 位 相 は 変 わ ら な い か ら,位 相 の 影 響 を 特 に 考 慮 す る 必 要 は な い.線 路 の 抵 抗 が 問 題 に な る 場 合 は,こ

れ を集 中定 数 と して等価 回路 の 中 に組 み 入 れ

れ ば 良 い.し か し 周 波 数 が 高 く な り,波 長 が 線 路 の 長 さ と 同 程 度 に な る と, 線 路 内 の 減 衰 や 位 相 回 転 が 無 視 で き な く な り,線 路 自 体 や あ る い は 部 品 で も 分 布 定 数 回 路 で 考 え な け れ ば な ら な く な って く る.   信 号 源 と 負 荷 を 平 行 ２線 で 接 続 し た と す る.図 す.線

８・ １に 平 行 ２ 線 の 一 部 を 示

は ｚ方 向 に 張 ら れ て お り,左 方 に

信 号 源 が,右

方 に 負 荷 が あ る と す る.

線 路 長 △ｚ を 通 過 す る 間 に,線

路 間 瞬

時電 圧 は 線路 イ ン ピー ダ ンス に よ る 電 圧 降 下 に よ りυ(z,t)か らυ(z+△z,t) に 変 化 し,瞬

時電流 は線路 間 を流れ る 図 ８・ １  平 行 ２ 線 の 電 圧 ・電 流

電 流 △iの

た めi(z,t)か

に 変 化 し た と す る.帰

らi(z＋ △z,t) 路 電 流 はi(z+△z,t)+△iで

ふ た た びi(z,t)に

な る.

  線 路 の 上 下 両 導 体 を 合 わ せ た 単 位 長 当 た り 抵 抗 と イ ン ダ ク タ ン ス を Ｒ,Ｌ, 上 下 ２ 線 間 の 単 位 長 当 た り コ ン ダ ク タ ン ス と キ ャ パ シ タ ン ス をＧ,Ｃ

と す る.

図 ８・ １ の △zの

部 分 の 等 価 回 路 を 描 く と,図

８・ ２ の よ う に な る.

図 ８・ ２  伝 送 線 △z部 分 の 等 価 回 路

こ の 回 路 に キ ル ヒ ホ ッ フ の 第 ２法 則 を 適 用 す る と,

こ の 式 を 変 形 す る と,次

△z→0の

の よ う に な る.

極 限 に お い て は,次

式 を 得 る.

(８.１)

ま た 図 ８・ ２ の ノ ー ド Ｎ に キ ル ヒ ホ ッ フ の 第 １法 則 を 適 用 す る と,

電 圧 の 式 と 同 様 に 変 形 し,△z→0と

す る と,

(８.２)

式(８.１),(８.２)は 次 の よ う に も 表 す こ と が で き る.

(８.３)

(８.４)

式(８.１),(８.２)ま た は 式(８.３),(８.４)を 伝 送 線 方 程 式 と い う.

◇

電 信 方 程 式 と も呼 ば れ て い る.

  単 一 正 弦 波 の 場 合 は フ ェ ー ザ を 用 い て υ(z,t)=V(z)ejωt,i(z,t)=I(z)ejωt と 表 す こ と が で き る.V(z),I(z)は

ｚ の み の 関 数 で 複 素 数 で あ る.こ

の 時,

伝 送 線 方 程 式 は 次 の よ う に な る.

また は

(8.5)

また は こ こ にZsは

単 位 長 当 た り の 直 列 イ ン ピ ー ダ ン ス, Ypは

ア ド ミ タ ン ス で あ る.こ (8.5)を

単 位 長 当 た りの 並 列

れ ら は 単 一 正 弦 波 に お け る 伝 送 線 方 程 式 で あ る.式

ｚ に つ い て 微 分 し,式(8.6)を

式 を 得,逆

(8.6)

の 順 序 で 行 え ば,I(z)に

代 入 す る とV(z)に

つ いて の 微 分方 程

つ い て の 方 程 式 を 得 る.

(8.7) (8.8) こ こに

γ=α+jβ= 

√(R+jωL)(G+jωC) 

は 伝 搬 定 数 で あ り,そ の 実 部 α は 減 衰 定 数[1/m],虚 で あ る.こ

(8.9)

[m-1]

部 β は 位 相 定 数[rad/m］

れ らの 名称 は導 電 媒質 中の 平面 波 で用 いた も の と 同 じで あ る か

ら 容 易 に 理 解 で き よ う.   式(8.7),(8.8)の

解 は 次 の よ う に な る.

V(z)=V1e-rz+V2erz

(8.10) (8.11)

ここ に

(8.12) は ｚ 方 向 に 進 行 す る 波 に 着 目 した 場 合 の 電 圧 対 電 流 比 で あ り,線 路 の 特 性 イ ン ピ ー ダ ンス と 呼 ば れ る.伝

搬 定 数 と 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス は,伝

送線の

性 質 を 表 す 重 要 な パ ラ メ ー タ で あ る.   す で に お 分 か り の と お り,伝 送 線 を 伝 搬 す る 波 と 導 電 媒 質 中 の 平 面 電 磁 波 と の 間 に は 密 接 な 関 連 が あ る.こ

こ で こ の 点 に つ い て 若 干 ふ れ て み よ う.

平 面 電 磁 波 に 対 し て は 次 式 が 成 り立 つ. ▽×E=-jω

μH

▽×H=(σ+jω

電 界 がχ,電

ε)E

磁 波 の 進 行 方 向 がｚ

方 向 で あ る と す る と 次 式 と な る.

(８.13)

(８.14)

  これ は 線 路 を ｚ 方 向 に 張 り,電 圧 をχ 方 向 に か け た 場 合 の 伝 送 線 方 程 式 と等 価 で あ る.電 磁 波 の 伝 搬 定 数γ

お よ び 固 有 イ ン ピー ダ ン スＺ

は,次

の よ う に 表 さ れ る. γ

=α+jβ= √(jω

μ)(σ+jω

ε)

(８.15)

(８.16)

  式(８.７)∼(８.12)と 式(８．13)∼(８.16)と を 比 較 す る と,両

者 の パ ラ メー タ の 間

に は 次 の よ う な 対 応 が あ る こ と が 分 か る.

V         〓          E I         〓         H L         〓

        μ

G         〓           σ C         〓         ε

  こ こ でＲ

に 対 応 す る パ ラ メ ー タ が な い の に 気 づ か れ た で あ ろ う.こ

真 磁 荷 と い う も の が な く,し し て い る.ア が,こ

ン テ ナ 等 の 解 析 に は,こ

の 点 に つ い て は 第18章

れ は

た が って 電 流 に 対 応 す る 磁 流 が な い こ と に 起 因 の実 在 しな い磁 流 を導 入 した りす る

で 述 べ る.

８.２  各 種線 路 条件 下の 解   式(８.９)で 与 え ら れ る 伝 搬 定 数,式(８.12)で ス は 一 般 に は か な り 複 雑 に な る.こ 味 の あ る 場 合 に 限 っ て,線

与 え られ る 特 性 イ ン ピー ダ ン

こ で は 理 想 的 な 場 合 と,実

際 的 に も意

路 特 性 が ど う な る か を 述 べ て み よ う.

(１) 無損 失線路   R=0,G=0の い が,理

線 路 を 無 損 失 線 路 と い う.こ の よ う な 線 路 は 実 在 は し な

想 的 な 場 合 は ど の よ う に な る の か を ま ず 考 察 し て 見 る.こ

の 場合

の 伝 送 線 方 程 式 は,

と な り,真 か る.こ (ａ)伝

空 中 また は 誘電 体 媒 質 中 の平 面 波 の 式 と対 応 して い る こ とが 分

の 場 合 の 特 性 パ ラ メ ー タ は,次

の よ う に な る.

搬 定数 γ=a＋jβ=jω a=0, 

√LC β=ω

√LC

(ω

に 比 例)

(ｂ) 位 相 速 度 (一 定)

  信 号 は 一 般 に 複 数 の 周 波 数 か ら構 成 さ れ て い る か ら,位 相 速 度 が 一 定(周 波 数 に 無 関 係)と

い う こ と は ひ ず み 無 く信 号 を 伝 送 で き る こ と を 意 味 す る.

こ の 意 味 に お い て,位

相 速 度 一 定 は 重 要 な 特 性 に な る.

(ｃ)  特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス

Xc=0

特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス は 抵 抗 成 分 の み と な る.

(２) 低 損 失線路   R≪

ωL,G≪

ωCの

テ ゴ リ ー に 属 す る.こ (ａ)伝

線 路 を 低 損 失 線 路 と い う.一

般 の 伝 送 線 路 は,こ

の 場 合 の 特 性 パ ラ メ ー タ は,次

の カ

の よ う に な る.

搬 定 数

(ほ ぼ ω に 比 例)

(ｂ)位

相 速度 (ほ ぼ 一 定)

し た が って 信 号 は ほ ぼ ひ ず み 無 く 伝 送 で き る と い え る. (ｃ)  特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス

  特 性 イ ン ピー ダ ン ス も ほ ぼ 無 損 失 の 場 合 と 同 一 と い って 良 い.  この よ うに低 損 失 線路 の特 性 は減 衰 定 数 を除 い て は無 損 失 線路 と同様 に 取 り扱 う こ と が で き る.

(3)  無 ひずみ線路 R≠0,G≠0で

あ っ て もR/L=G/Cが

満 足 さ れ れ ば 線 路 は 無 ひ ず み と な る.

(a)  伝 搬 定 数

β=ω

(b)位

√LC(ω

に 比 例)

相速 度 (一 定)

  位 相 速 度 が 一 定 で あ っ て も,減 し か し 本 項 の 場 合 は,α

衰 が 周 波 数 に よ って 違 う と ひ ず み が 生 じ る.

も 一 定 で あ る か ら 無 ひ ず み が 保 た れ る.

(c)  特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス

(一 定)

Xc=0

  減 衰 定 数 の 大 き い 線 路 に つ い て も,導 電 性 媒 質 中 の 平 面 波 に お い て 行 った と 同 様 な 手 法 で 特 性 パ ラ メ ー タ を 求 め る こ と が で き る.し か し,伝 送 線 路 は 本 来 低 損 失 に 設 計 す る も の で あ る か ら こ れ ら の 解 析 は 意 味 が な い.   以 上 か ら分 か る よ う に,伝 送 線 路 に よ る 波 の 伝 搬 は 主 に線 路 の Ｌ,Ｃ(単 位 長 当 た り の イ ン ダ ク タ ン ス お よ び キ ャパ シ タ ン ス)に よ って 定 ま る.こ れ らの 値 は 線 路 の 構 造,寸

法 に よ って 決 ま って く る.

§例 題8.1§

  特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス が50[Ω]の

位 長 当 た り の 抵 抗 が50[mΩ/m],静

無 ひ ず み 伝 送 線 路 が あ り,単

電 容 量 が0.1[nF/m]で

あった ．

(１)  線 路 の 減 衰 定 数 を 求 め よ. (２)  単 位 長 当 た り の イ ン ダ ク タ ン ス お よ び コ ン ダ ク タ ン ス を 求 め よ. (３)  波 の 位 相 速 度 を 求 め よ. (４)  1[km],5[km］

先 で 電 圧 は 何 パ ー セ ン ト に 減 少 す る か.

†解 答 † (１)減

衰定 数

(２)  イ ン ダ ク タ ン ス お よ び コ ン ダ ク タ ン ス

L=0.1×10-9×502=0.25[μH]

(３) 位 相 速 度

(４) 

1[km],5[km］

Vz/V0=

先 の 電 圧 ｅ-az

◇  距 離 に よ り,電 圧 が 急 激 に 低 下 す る 状 況 に 注 目 さ れ た い.

8.3  第 ８ 章 問 題 １.伝 送 線 路 に お け る Ｖ,Ｉ,Ｒ,Ｌ,Ｇ,Ｃ

に対 応 す る電磁 波 のパ ラ メー タ は

何 か. ２.Zc=50[Ω],L=1[μH]の ３.R=0と

無 損 失 線 路 の Ｃ の 値 を 求 め よ.

み な せ る 伝 送 線 路 が あ る.ε,μ,σ

波 の 伝 搬 定 数 と の 対 比 か らLC=ε

の媒 質 中 を伝搬 す る 平面 電 磁

μ が 成 立 す る こ と を 証 明 せ よ.

４.低 損 失 線 路 に お け る 伝 搬 定 数 お よ び 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス を 求 め る 時,さ ら に 高 次 の 項 ま で 考 慮 に 入 れ る と ど の よ う な 式 を 得 る か. ５.100[MHz]に

お い てZc=50+j0[Ω],α=1×10-3[1/m],β=0.8π[rad/m]

の 線 路 が あ る.線

路 の

Ｒ,Ｌ,Ｇ,Ｃ

を 求 め よ.

†ヒ ン ト †

１.本 文 参 照 ２.

３.線 路:

一 方

,  電 磁 波: ,コ

ン ダ ク タ ン ス と 静 電 容 量 の 間 に はG/C=σ/ε

４.

５.低 損 失 線 路 の

α,β,Rc, 

Xcに

当 て は め て 解 く.

の 関 係 が あ る.

第 ９章

伝送線 理 論

-

II

  前 章 で は 回 路 理 論 的 ア プ ロー チ に よ り伝 送 線 方 程 式 を 立 て て,こ

の一般

解 を 導 き,平

面 電 磁 波 と 類 似 性 が あ る こ と を 述 べ た.ま

た 無 損 失 線 路,低

損 失 線 路,無

ひず み線 路 に つ いて線 路 の特 性 を表 すパ ラメ ー タが ど うな る

か を 示 し た. 本 章 で は,伝 送 線 理 論 の 後 半 と し て 次 の 事 項 に つ い て 述 べ る. (１) 進 行 波 と 定 在 波 (２) 線 路 か ら見 た イ ン ピー ダ ン ス   (１)に お い て は,ま

ず 線 路 の 反 射 率 を 定 義 し,こ

ダ ン ス と 負 荷 イ ン ピ ー ダ ン ス を 用 い て 表 す.負

れ を 線 路 の 特 性 イ ン ピー

荷 イ ン ピー ダ ンス を特 性 イ

∞ ンピーダンスと等しくすると整合状態となり,進行波のみとなる.負荷を (開放)に したり０(短 絡)に したりすると定在波のみとな り,これ以外で は 進 行 波 と 定 在 波 が 共 存 す る.こ

れ ら の 状 況 を 図 示 し,さ

合 い を 示 す 尺 度 と し て 定 在 波 比 を 定 義 す る.(２)に ダ ン スZcの

線 路 を 負 荷 イ ン ピ ー ダ ン スZlで

ン ピ ー ダ ン ス は ど う な る か に つ い て 述 べ る.ま で,線

路 長 を λ/4,λ/2に

た 場 合 等 の 特 定,か

選 ん だ 場 合,線

らに定 在 波 の 度

お い て は,特

終 端 し た 時,他

性 イ ン ピー 端 か ら見 た イ

ず こ の 一 般 式 を 導 き,っ

路 の 先 端 を 開 放 し た 場 合,終

つ 重 要 な ケ ー ス に つ い て 解 説 す る.

い 端 し

９.１   進 行 波 と定 在 波 簡 単 の た め 無 損 失 線 路 で 考 え る と,伝 送 線 上 の 電 圧 電 流 は 次 式 で 表 さ れ る. V(z)=V1e-jβz+V2ejβz,

(９.１)

図 ９・ １  負 荷 イ ン ピ ー ダ ン スZlで

終 端 した 伝 送 線 路

  こ こ で 図 ９.１の よ う に 線 路 の 右 端 を イ ン ピ ー ダ ン スZlで と 一 般 に こ の 影 響 で 波 の 反 射 が 起 き る.い なわ ち信 号源 が 接 続 され て い る方 向 は 方 向 に,第

２項 は

−z方

ま 終 端 点 をz=0と −zと

な る.上

向 に 進 行 す る 波 で あ る か ら,こ

射 波 で あ る と 考 え る こ と が で き る ． し た が っ て,

と こ の 値 は 反 射 の 程 度 を 表 して お り,〓

終 端 し た とす る す る と左方 す

式 の 第 １項 は+z れ らは入 射波 と反

な る値 を導 入す る

を 反 射 係 数 と 呼 ぶ.

終 端 条 件 を 与 え た こ と に よ り,上 記 の 一 般 解 は か な り 特 定 化 す る こ と が で き る.z=0に

分 子,分

お い て

母 をＶ1で

割 り〓

で あ る か ら,

を 用 い る と,

(９.２)

こ れ を〓

に つ い て 解 く と,次

式 を 得 る.

(９.３)

  反 射 係 数〓 Re[Zl]>0で

は 一 般 に 複 素 数 で あ り,大

き さ と 位 相 角 を 持 つ.ま

た一般 に

あ る か ら｜〓｜〓1と な る.

 つ い で 負 荷 を 抵 抗 と し た 時 線 路 を 伝 わ って 供 給 さ れ る 電 力 に つ い て 考 え て み よ う.無 い.入

損 失 で あ る か ら,こ

の 値 は 線 路 上 の ど の 位 置 に お い て も等 し

射 波 の 電 圧 はV1(+)=V1e-jβz,電

流 はI1(+)=(V1/Zc)e-jβzで

ら 入 射 電 力 は 回 路 理 論 に よ りRe[v1(+)I1(+)*］=｜V1｜2/Zcと 電 力 は,-｜V2｜2/Zcと

な る.同

ある か 様 に反射

な る か ら 運 ば れ る 電 力 は 次 の よ う に な る．

(９.４)

以 下Zlを

抵 抗 と し,こ

う な 分 布 を す る か,電

れ が 色 々 な 値 を と っ た 場 合,電

圧 ・電 流 が ど の よ

力 の 流 れ は ど の よ う に な る か を 考 え て み よ う.

(1)Zl=Zc   こ の 場 合,式(９.３)か 〓 =0と

な る.反

ら反 射 係 数 は

射 が な い か ら波 は

負 荷 に向 かって 進 む 入 射 波 の み と な る.こ

の よ う な 波 の 状 態 を進 行 波 と

い い,図

９・ ２ に そ の 模 様 を 示 す.線

路

上 の ど の 点 で も電 圧 の 最 大 値 は 等 し く な り,電

流 も 同 様 な 分 布 を と る.ま

た 式(９.４)か ら 分 か る と お り,入 射 波 の エ ネ ル ギー は す べ て 負 荷 で 消 費 さ 図 ９・ ２  整 合 状 態 の 進 行 波 れ る.

  この 時,“ 線 路 と 負 荷 は 「整 合 」状 態 に あ る”と い い,負 荷 を 変 え て 整 合 状 態 に 持 って い く こ と を “ 整 合 を と る”と い う.整 合 状 態 に お い て は,線 路 の 長 さ を ど の よ う に とって も 負 荷 端 子 電 圧 は 変 化 し な い し,ま

た負 荷 に必 要電

力 を 供 給 す る の に 電 源 か ら 入 射 す る 電 力 は 最 小 で 済 む.し た が って,整 合 を と る 事 は 非 常 に 重 要 な 技 術 に な り,信 号 の 伝 送 だ け で な く 波 形 の 測 定,コ ピュー タ 内 の パ ル ス 回 路 等 で 広 範 囲 に 適 用 さ れ て い る.

ン

(２)Zι=∞

  こ れ は 負 荷 を 接 続 しな い 状 態 を 示 す.こ れ を(線 路 の)先 端 開 放 ま た は 受 端 開 放 状 態 と 呼 ぶ.こ

の 場 合,反

と な り,完 全 反 射 す る.負

射 係 数 は,

荷 に 電 流 は 流 れ な い か ら,式(9.1)に

お い てI(０)=0

と お く とV1=V2,こ  

れ を 電 圧 の 式 に 代 入 す る とV1=V2=V(0)/2=Vι/2

を 得 る.し

圧 電 流 の 式 は次 の よ う にな る．

た が っ て,電

P=0

こ れ か ら 次 の こ と が 分 か る.

●  電 圧 ・電 流 の 最 大 値 は 線 路 に 沿 って 正 弦 波 状 に 分 布 す る ． ●   Z=0V=Vmax=2V1,I=Imin=0

●Z=−〓/

4でV=Vmin=0,I=Imax=2V1/Zc

●  電 圧 電 流 間 の 位 相 差 は90° ●  波 は 完 全 な 定 在 波 と な り進 行 波 成 分 は な い 。 ●  電 力 は 伝 送 さ れ な い ．

線 路 上 の 電 圧 ・電 流 振 幅 の 大 き さ を 描 く と,図9・3の

よ う に な る.

(３)   Zι(=Rι)>Zc   特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス よ り 大 き い イ ン ピ ー ダ ン ス(抵 射 係 数 は1>Γ>0と

抗)で

終 端 し た 場 合,反

な り,線 路 に 沿 った 電 圧 の 最 大 値 はVmax=￨V1￨(1+￨Γ￨),

最 小 値 はVmin=｜V1｜(1-｜〓｜)と

な る.負

荷 に 向 か う電 力 は

と な り,進 行 波 と定 在 波 が 共 存 して い る.こ さ を 図9.3に

図9.3先

の 場 合 の 電 圧 ・電 流 振 幅 の 大 き

併 記 す る.

端 開 放,Zl>Zc時

の 電 圧 ・電 流

図9・4先

端 短 絡,Zl
の 電 圧 ・電 流

(4)Zl＝0   こ れ は 負 荷 を 短 絡 し た 状 態 を 示 す.こ 短 絡 状 態 と 呼 ぶ ． こ の 場 合,反

れ を(線

射 係 数 は-1と

電 圧 は か か って い な い か ら,式(9.1)に

路 の)先 な り,完

お い てV(0)＝0と

これ を 電 流 の 式 に 代 入 す る と

と な る.し

端短 絡 ま たは 受端

全 反 射 す る.負

荷 に

お く とVl＝-V2, た が っ て,電

圧 ・電

流 の 式 は 次 の よ う に な る.

V＝Vl(e-jβz-ejβz)＝j2V1sinβz＝jZcIlsinβz

  ま た 線 路 を 伝 達 さ れ る 電 力 は0と を 描 く と 図9.4の

よ う に な る.

な る.線

路 上 の 電 圧 ・電 流 振 幅 の 大 き さ

(５)   Zl(=Rl)Γ>-1と

な り,線

項 と 同 様 に 表 さ れ る が,位 様 で,進

抗)で

終 端 し た 場 合,

路 に 沿 っ た 電 圧 の 最 大 値,最

相 が90° ず れ て い る.負

行 波 と 定 在 波 が 共 存 し て い る.こ

小 値 は(３)

荷 に伝 達 さ れ る 電 力 も同

の 場 合 の 電 圧 ・電 流 振 幅 の 大 き さ

を 図 ９・ ４ に 併 記 す る.   さ ら に 一 般 的 な 場 合 と し て,任 あ り,こ

意 のイ ン ピー ダ ンス が接 続 され た 場 合 が

の 時 は 電 圧 と 電 流 の 位 相 が 違 っ て く る が 詳 細 は 省 略 す る.

  定 在 波 の 立 っ て い る 度 合 い を 示 す 量 と し て,線

路 上の 最 大電 圧 振幅 と最 小

電 圧 振 幅 の 比 ｓ を 用 い る.

(９.５) Ｓ を 電 圧 定 在 波 比 と 呼 ぶ,こ れ る ほ ど 大 き く な る.先 値 を と る 時,電

の 値 は 整 合 状 態 で １ で あ り,整

端 開 放 お よ び 短 絡 の 場 合 は∞

合 状 態 か ら離

と な る.電

圧 が 最 大

流 は 最 小 値 を と る か ら こ の 点 に お い て 負 荷 を 見 た イ ン ピー

ダ ン ス は 最 大 と な る.逆

に電 圧 が 最 小値 を とる点 で のイ ン ピー ダ ンス は最

小 に な る.

ま た Ｓ を ｜ Γ｜に っ い て 解 く と,次

の よ う に な る.

(９.６)

さ ら に Ｓ の 自 乗 を と って

を 電 力 定 在 波 比 と 呼 ぶ.

９.２  線 路 か ら 見 た イ ン ピ ー ダ ン ス   図9・1の

よ う に 長 さ ｒ,特

ダ ン スZlで

終 端 し た 時,他

え て み よ う.ま

性 イ ン ピ ー ダ ン スZcの

線 路 を任 意 の イ ンピー

端 か ら見 た イ ン ピ ー ダ ン ス は ど う な る か を 考

ず 損 失 の あ る 線 路 に つ い て は,式(8.10),(8.11)か

ら,

(9.7)   短 い 線 路 を 接 続 し た 場 合 は,線 お い て は γ=jβ

路 は 無 損 失 と 考 え て 良 い.無

と な る か らtanhjβr=jtanβrの

損 失 線 路 に

関 係 か ら,次

式 を 得 る.

(9.8) 次 に,い

く つ か の 場 合 に つ い て こ の イ ン ピ ー ダ ン ス を 計 算 し て み る.

(１)  先 端 開 放 線 路   式(9.8)の

分 母 分 子 をZlで

除 し, Zl→∞

と す る と 次 式 を 得 る.

(9.9) こ れ か ら 先 端 開 放 線 路 は リ ア ク タ ン ス 成 分 の み を も ち,rが の 値 は−∞

→∞

間 を 変 化 す る.す

容 量 性 に も な り,任

な わ ち,線

意 の 値 を と り 得 る.図9・5に

路 は長 さ によって誘 導 性 に も こ の 様 子 を 示 す.

  線 路 長 が 波 長 に 対 し 十 分 短 く βr《 １ で あ れ ば, tanβr〓

と な る.こ

れ は 容 量Crの

変 化 す る とそ

イ ン ピ ー ダ ン ス に 等 し い.

βrで

あ り

図9・5先

端 開 放 線 路 の 入 力 イ ン ピー ダ ン ス

図9・6先

端 短 絡 線 路 の 入 力 イ ン ピー ダ ンス

(２)  先 端 短 絡 線 路   式(9.8)に

お い てZl=0と

お く と,

Z=jX=jZctanβr

を 得 る.こ

(9.10)

の 線 路 も リ ア ク タ ン ス 成 分 の み で,−∞

り 得 る.図9・6に

こ の 様 子 を 示 す.こ

け ず れ て お り,誘

導 性 と 容 量 性 が 逆 に な っ て い る.

→∞

間の 任意 の 値 を と

の 特 性は 先 端 開 放 線 路 の 特 性 と

  線 路 長 が 波 長 に 対 し 十 分 短 く βr《

１ で あ れ ば, tanβr〓βrで

と な る.こ

イ ン ピ ー ダ ン ス に 等 し い.

(３)λ/4変

れ は イ ン ダ ク タ ン スLrの

あ り

成器

線 路 長 が て,式(9.8)の

と な る.し

λ/4で あ る と 分 子 分 母 をtanβrで

ZZl=Z2c 

除 し,  tanβr→∞

たがっ

と す る と 次 式 を 得 る.

                                          (9.11)

す な わ ち こ の 線 路 は,線 低 く,特

λ/4だ

路 の 特 性 イ ン ピー ダ ン ス よ り高 い 抵 抗 を そ れ よ り

性 イ ン ピ ー ダ ン ス よ り 低 い 抵 抗 を 高 く 変 換 す る 変 成 器 と し て 働 く.

(4)  半 波 長 線 路

線路長が

で あ る とtanβr

0と な る.し

た が っ て,

Z  =  Zι                                              (9.12)

と な り,半

波 長 線 路 の 影 響 は な く な る.す

な わ ち,入

力 イ ン ピー ダ ンス は 半

波 長 ご と に 負 荷 イ ン ピ ー ダ ン ス に も ど る.   ◇   損 失 の あ る 線 路 で は 式(9.11)は §例 題9.1§

成 り 立 つ が,式(9.12)は

  特 性 イ ン ピ ー ダ ン スZc=50[Ω],長

路 の 一 端 に 負 荷Zι=25+j25[Ω]を

接 続 し た.

  (1)  反 射 係 数 を 求 め よ.   (2)  線 路 に 立 つ 電 圧 定 在 波 比 を 求 め よ.   (3)  他 端 か ら 見 た イ ン ピ ー ダ ン ス を 求 め よ 。 †解 答 † (1)反

射 係 数

〓 r〓 = 〓0.22十0.42 

(2)  電 圧 定 在 波 比

(3)  イ ン ピ ー ダ ン ス

= 〓0.2 

=  0.447

さr=1.25λ

成 り 立 た な い. の 無損 失線

9.3  第 ９ 章 問 題 １.特性 イ ン ピ ー ダ ン ス50[Ω]の

伝 送 線 路 を,(１)25[Ω] 

(２)j25[Ω] 

で 終

 端 した時 の反 射 係 数 の大 き さを求 め よ ． ２．特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス50[Ω ］の 伝 送 線 路 を あ る イ ン ピ ー ダ ン ス で 終 端 し た   時 の 線 路 電 圧 がV=100e-jβz+j50ejβZ[V]で

あ っ た ． 次 の 値 を 求 め よ.

(１) 負 荷 に 供 給 さ れ る 電 力

(２)反

射係数

(３) 電 圧 定 在 波 比

(４)  最 大,最

３.伝 送 線 路 上 の 最 大 イ ン ピ ー ダ ン ス が100[Ω],最   25[Ω]で

あ っ た.電

小 イ ン ピー ダ ン ス 小 イ ン ピー ダ ン ス が

圧 定 在 波 比お よび 線 路 の特 性 イ ン ピ ー ダ ンス は い

  く ら か. ４.特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス が50[Ω]と300[Ω]の   て 整 合 を と り た い.何[Ω]の 5．無 損 失50[Ω]の

線 路 の 間 に λ/4線

路 を接 続 し

線 路 を 用 い れ ば 良 い か.

線 路 を あ る 負 荷 で 終 端 し た 時 の 電 圧 定 在 波 比 が ３で あっ

  た ． 電 圧 の 最 小 値 が 負 荷 か ら ５[cm]の

と こ ろ に あ り,そ

の 後,20[cm]ご

  と に生 じて い る． (１)複 素 反 射 係 数 は い く ら か. (２)負 荷 イ ン ピ ー ダ ン ス を 求 め よ. (３)こ の 線 路 に あ る 純 抵 抗 負 荷 を 接 続 し 長 さ を 調 整 し た と こ ろ,(２)と じ 入 力 イ ン ピー ダ ン ス を 得 た ．線 路 長 と 負 荷 の 大 き さ を 求 め よ ．

†解 答 †

１.    (１)   Γ=-0.33 

２.  (１)  150[W]  ３．  

S=2, 

４. 

122.5[Ω]

５. 

(１) 

(２)   ￨Γ￨=1

(２)  0.5    (３)  3    (４)  150[Ω],16.7[Ω]

  Zc=50[Ω]

-j0.5 

(２) 

30-j40[Ω] 

(３) 

15[cm],16.7[Ω]

同

第

10

章

伝送 線路 にお ける過渡 現象   第 ８,９章 で は,単

一 正弦 波 を前 提 と した伝 送 線方 程 式 の定 常 解 を基 に し

て 議 論 を 進 め て き た.し か し な が ら,実 際 に は 信 号 源 が 単 一 正 弦 波 で な か っ た り,単 一 正 弦 波 で な い妨 害 が 入 り込 ん だ りす る 場 合 も 少 な く な い.た と え ば,デ ィジ タ ル 回 路 に お け る パ ル ス 信 号 や,電 電 圧 な ど で あ る.本

章 で は,こ

力 線 や 電 話 線 に お け るサ ー ジ

の よ うな場 合 にお こる過 渡現 象 に つ いて 考

え て み よ う. (１) 単 一 正 弦 波 に よ る 過 渡 現 象 (２) 電 圧 サ ー ジ に よ る 過 渡 現 象 (３) 電 圧 パ ル ス に よ る 過 渡 現 象   こ れ ま で は 線 路 の 一 端 に 接 続 さ れ た 負 荷 し か 考 え な か った が,実 他 端 に 信 号 源 が 接 続 さ れ,そ

際には

れ が あ る 信 号 源 イ ン ピー ダ ン ス を 持 って い る.

信 号 源 イ ン ピ ー ダ ン ス が 線 路 の 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス と 違 って い る 場 合 に は, 信 号 端 に お い て も 反 射 が お き,こ 多 重 反 射 が 起 こ る の で,こ   ま ず,信 察 す る.次 べ,最

れ が ま た負 荷 に伝達 され るか ら いわ ゆ る

れ ら を 考 慮 に 入 れ な け れ ば な ら な い.

号 源 が 単 一 正 弦 波 の 場 合,線 い で,ス

後 に,こ

路 上 の 電 圧 ・電 流 が ど う な る か を 考

テ ッ プ 電 圧 が 加 わ っ た 場 合 の 電 圧 ・電 流 の 変 化 状 況 を 述

れ が 電 圧 パ ル ス で あ った 場 合 ど うな る か に つ い て 言 及 す る ．

10.１   単 一正

弦波

に よ る 過渡

  ま ず 信 号 は 単 一 正 弦 波 と し,伝 ス の 間 に 反 射 が あ る(整

現象

送 線 と 負 荷,伝

送 線 と電 源 イ ン ピー ダ ン

合 が と れ て い な い)場 合 を 考 え る.

  前 章 の 図 ９・ １に お い て,伝

送 線 上 の 負 荷 か ら −ｚ の 点 の 電 圧 電 流 は 次 の

よ う に な る. V(-z)Vlejβz+V2e-jβz

(10.１)

(10.２)

  負 荷 イ ン ピ ー ダ ン スＺｌ 負 荷 電 圧,電

流 Ｖｌ,Ｉｌ はＶ(０),Ｉ(０)で

Ｖ １, Ｖ ２ をＶｌ,  Ｉｌで 表 し,さ む 電 圧Ｖ１

を 接 続 す る こ と に よ り,境

と,負

ら にVl=Zl 

あ る か ら,上 Ilの

荷 か ら 反 射 す る 電 圧Ｖ２

こ れ を 用 い て 式(10.１),(10.２)を 表 す と,次

界 条 件 が 設 定 で き る. 式 にz=0を

関 係 を 用 い る と,負

代 入 して 荷 方 向へ 進

は 次 式 で 表 さ れ る.

式 を 得 る.

(10.３)

(10.４)

  こ こ ま で 信 号 源 に つ い て は 考 え な か っ た が,こ 部 イ ン ピー ダ ンス う す る と,も

Ｚｇ を も つ 起 電 力

こ で,z=-rの

点 に,内

Ｅｇ の 信 号 源 を 接 続 し た と し よ う.こ

う １つ の 境 界 条 件 が 設 定 で き る.

V(-r)＝Eg-I(-r)Zg

(10.５)

こ の 模 様 を 図10.１ に 示 す.

図10.１   信 号 源 と 負 荷 を 接 続 し た 伝 送 線

式(10.３),(10.４)に

お い て-z=-rと

に 代 入 す る と,式(10.６)を

お い て

Ｖ(− ｒ),Ｉ(−ｒ)を

求 め,式(10.５)

得 る.

(10.６)

こ こ に,

で あ る. 式(10.６)を

用 い て 式(10.３),(10.４)を

表 す と,次

の よ う に な る.

(10.７)

(10.８)

式(10.７),(10.８)が 線 路 上 の 電 圧 ・電 流 の フ ェ ー ザ 表 示 で あ る が,こ は 物 理 的 な 意 味 が 良 く 分 か ら な い.こ の よ う に 展 開 し て み る.

れ を 説 明 す る た め に,電

の ま まで 圧 の 式 を次

ここ に

こ れ ら の 値 の 意 味 を 考 え て み る. さ れ た 時 Ｚｃに 加 わ る 電 圧 で,信

は Ｅｇ が Ｚｇ と Ｚｃで 分 圧

号源 を接続 した最 初 の瞬 間 に線 路 に加 わ る

電 圧 と 解 釈 す る こ と が で き る 。 ｅ-jβ(r-z)は フ ェ ー ザ で,負

荷 に 向 か って 進 行

す る 波 を 表 し て い る(式(10.１),(10.２)は

本 来 の ｚを −ｚ と 置 き 換 え た 形 に な っ

て い る 点 に 注 意).し

電 源 か ら負 荷 方 向 に 進 行 す る 最 初 の

波 を 表 す.波

た が っ て,Ｖ11は

に と っ て み れ ば,負

荷 イ ン ピ ー ダ ン ス Ｚｌに 到 着 す る ま で は,Ｚ ｃ

が 無 限 に つ な が っ て い る わ け で あ る.   Ｖ11 がz=0に

到 着 す る と イ ン ピ ー ダ ン ス が Ｚｌで あ る た め 反 射 が 起 こ り

，〓 (Vine-jβr)が 今 度 は Ｖ21がz=-rに

− ｚ 方 向 に 進 行 す る こ と に な る.こ

到 着 す る と,Ｚ

こ り,〓g(〓  Vine-j2βr)が

れ がＶ21で

あ る.

ｃ と Ｚｇ の ミ ス マ ッチ に よ り 再 び 反 射 が 起

＋ ｚ 方 向 に 進 行 し 始 め る.に

れ がＶ12で

あ る .以

下 同 様 に し て 両 端 で 反 射 を 繰 り 返 し,こ

れ ら の 総 和 が 式(10.7)の

な る.以

流 につ い て も 同様 に 論 じる こ とが

上 は 電 圧 に つ い て 述 べ た が,電

Ｖ(−ｚ)に

で き る.   負 荷 と 線 路 の 整 合 が と れ て い るZｌ=Zcの 反 射 は 存 在 し な い.Zl≠Zcで の 場 合 は,Ｖ11  とＶ21の

場 合 は,Ｖ11の

も 信 号 源 と 線 路 の 整 合 が と れ て い るZg=Zc み で そ の 後 の 反 射 は な く な る.

  式(10.７),(10.８)か ら,〓g 〓e-jβr=1の

場 合 は 電 圧 ・電 流 は 無 限 大 に な る.

し か し 実 際 に は,｜〓｜,｜〓 ｇ｜は 一 般 に １ よ り 小 さ く,ま い か ら,波

みで そ の後 の

は 線 路 を 伝 搬 す る 間 に 減 衰 し,無

た線路 も無損 失 で はな

限 大 に な る こ と は な い.

電圧 サ ー ジ による過 渡現 象

10． 2

  突 然 大 き な 電 圧 が 加 わ る 現 象 を 電 圧 サ ー ジ と い う． こ の よ う な 時 起 き る 過 渡 現 象 に つ い て 考 え て み よ う．線 路 は 無 損 失,し ンス は

で表 され る とす る．

位 相速 度 は

  ま ず 最 も 簡 単 な 場 合 と し て ， 図10・2(ａ)の 源Voが

， 抵 抗Rcで

(ａ)  t=0で

よ う に 内 部 抵 抗Rgを

終 端 さ れ た 線 路 にt=0で

ス イ ッ チ ・オ ン

図10・2  Rcで

た が って 特 性 イ ン ピー ダ

持 つ電 圧

加 え られ た とす る．

(ｂ)  z=-z1に

お け る 電圧

終 端 した線 路 に 直流 電 圧 を加 え る

負 荷 は 整 合 が 取 れ て い る の で ， 線 路 を 見 た イ ン ピ ー ダ ン ス はRcで し た が って ，電 圧 波 の 大 き さ は 速 度 で 進 行 す る ．z=-z1に

で ， こ れ が+z方

向 に

ある ． の

お け る 電 圧 は ， 図(ｂ)に 示 す よ う に

だ け 遅 れ て 立 ち 上 が る ．電 流 の 値 は

で あ る ． 電 圧 ・電 流 波 が

負 荷 に 達 す る と ，反 射 は な い の で 線 路 は 定 常 状 態 と な る ． 負 荷 抵 抗Rlの

値 がRcと

異 な る 場 合 はt=T=r/υP時

じ ，V21=Γl巧

１ の 電 圧 が-z方

る ．Rg≠Rcで

あ る と, t=2Tに

起 き ，V12=Γg 

V21=Γg ΓlV11,が+z方

あ る ． こ の よ う な 反 射 がt=nTに

向 に伝搬 す る ．こ こに

点 で反 射 が 生

であ

反 射 波 が 入 力 端 に 帰 って き た 時 再 び 反 射 が 向 に 進 む ． こ こ に

で

お い て 無 限 に 繰 り返 さ れ る ．任 意 の 時 刻

に お け る 電 圧 は こ れ ら の 和 と し て 求 め ら れ ，電 流 に つ い て も 同 様 に 計 算 で き る ．

負荷 にお け る最終 的 な電 圧 は，次 の よ う にな る．

  例 と し てRl=3Rc，Rg=2Rcの

場合 を考 え て み る．負荷 お よ び 電源 に

お け る反 射係 数 は次 の よ うにな る．

まず

が+z方

向 に 進 行 し ， こ れ が 図10・3(a1)∼(a3)

に 示 す よ う に 反 射 を 繰 り 返 し て い く． 対 応 す る 電 流 波 形 を ， 図10・3(b1)∼(b3) に 示 す ．-z方

向 に 進 む 電 流 は 負 と な る 点 に 注 意 さ れ た い ．最 終 的 な 電 圧 ・ と な る ．

電 流値 は，

(a1)V11

(a2)V11+V21

(b1)I11

(b2)  I11+I21

図10・3 

Rl=3Rc，

 Rg=2Rc時

(a3)V11+V21+V12

(b3)I11+I21+I12

の 伝 送 線 路 上 の 過 渡 電 圧 ・電 流

§例 題10.１

§  図10・4の

放 し た 線 路 に,内 Ｖ０ を

ｔ=0に

よ う に先 端 開

部 抵 抗 ０の 直 流 電 源

お い て 投 入 し た.各

時

点 に お け る 電 圧 電 流 波 形 を 図 示 せ よ.

図10・４  開 放 線 路 の 充 電

† 解 答† (１) 

Rg=0で

(２) 〓l=1で (３) 〓g=-1で (４) 

あ る か ら,電

圧 波 Ｖ０,電

流 波ＶO/Ｒ

ｃが ＋ｚ 方 向 に 進 行 す る.

あ る か ら,ｔ=T=r/cでV21=V0,I21=-V0/Rcが あ る か ら,  t=2TでV12=-V0, 

再 び 負 荷 端 で,t=3TでV22=-V0, 

電 源 端 に 到 達 し た 時,１

I21=-V0/Rcが I22=V0/Rｃ

サ イ ク ル が 終 わ る.こ

図10・ ５  Rl=∞, 

◇  電 圧 ・電 流 共 減 衰 せ ず,反

反 射 す る.

Rg=0時

反 射 す る.

が 反 射 す る.こ

の 間 の 様 子 を 図10・ ５ に 示 す.

の 電 圧 ・電 流 波 形

射 を 繰 り 返 し,一

れ が

定 の 値 に 収 斂 し な い.

10

．3

電圧パ ル ス によ る過渡 現 象

  本 節 で は,計 算 機 回 路 や デ ィジ タ ル 通 信 等 に お い て 不 可 欠 の ，パ ル ス に 対 す る 過 渡 現 象 を 考 え て 見 よ う． こ れ は ， 前 節 の 電 圧 サ ー ジ の 場 合 を 基 礎 に し て 展 開 す る こ と が で き る ．電 圧Voの

サ ー ジ を 式 で 表 す と,次

のように

な る． υg(t)=Vo 

こ こ にu(t)は

u(t)=

u(t)

単 位 ス テップ関 数 と呼 ばれ る もの であ る．

{

０,    t<0 １， 

t>0

  パ ル ス は ２つ の ス テ ップ 関 数 の 和 と し て 表 す こ と が で き る ． た と え ば 振 幅Vo,持

続 時 間Toの

Vg(t)=

Vo{u(t)-

と 書 け る か ら,パ t=Toに

パル スは ，

u(t-To)}

ル ス に よ る 過 渡 現 象 はt=0に

お い て 加 え ら れ た-Voを

お い て 加 え ら れ たVoと,

足 し合わ せ た もの に な る．以下 ，例題

に よって 説 明 し よ う． §例 題10．2§   内 部 抵 抗25[Ω

】， 振 幅7.5[V],幅

ン ピ ー ダ ン ス50[Ω 】,長 さ400[m］

１[μs]の パ ル ス 源 を,特

性 イ

の 先 端 短 絡 され た 無 損 失 線 路 に接 続 した ．

線 路 の 中 間 点 に お け る 電 圧 波 形 を 示 せ ． た だ し ， 線 路 は 比 誘 電 率 εr=2.25 の誘電 体 で 覆 わ れ て い る もの とす る ． †解 答 †  前 節 で 用 い た 記 号

と な る ．

Γl,Γg,  V11を

流 用す る と，

パ ル スVg(t)お

よ び パ ル ス が 先 端 に 達 す る ま で の 時 間 Ｔ は,

Vg(t)=5{u(t)-u(t-10-6}

T=2[μs]で

あ る か ら,5u(t)はt=1[μs]に

あ る か ら,t=3[μs]後 t=5[μs]後

に 反 射 波 が 中 間 点 に 帰 っ て く る の で 電 圧 は ０ と な る.

に は,-5Γg=(5/3)[V]が

ま た 反 射 波 で 打 ち 消 さ れ る.こ は 図(ａ)よ

り1[μs]遅

う に な る.中

中 間 点 に 到 達 す る.Γ=-1で

到 来 す る.t=7[μs]後 の 模 様 を 図10・6(ａ)に

れ て 到 着 す る か ら,こ

に は,こ

れ が

示 す.-5u(t-10-6)

れ に よ る 過 渡 現 象 は 図(ｂ)の

間 点 の 電 位 は こ れ ら の 和 と な り,図(ｃ)の

よ

よ うにな る。

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図10・6  中 間 点 の 電 位 変 化

 以 上 は 抵 抗 負 荷 の 場 合 の み を 論 じ た が 実 際 に は リ ア ク テ ィヴ 成 分 を も つ 負 荷 で 終 端 さ れ る 場 合 も あ る.こ

の 時 は 計算 は やや 複 雑 にな るが 過 渡現 象

で 得 た 知 識 を駆 使 す れ ば 同 様 に 解 く こ と が で き る.

10. 4

第

章 問題

10

1．周 波 数150[MHz],Vg=10[V],内 ン ス50[Ω],長

部 抵 抗50[Ω]の

さ50[cm]の

電 源 を,特

無 損 失 線 路 に 接 続 し,線

性 イ ン ピーダ

路 の 他 端 を25[Ω]で

終 端 した 。 (１)信 号 源 か らz1の (２)入 力 端,負

点 に お け る 電 圧 ・電 流 を 求 め よ.

荷 端 に お け る 電 圧 を 求 め よ.

２.問 題 １ に お い て,電 ３.電 圧V0,内

源 の 内 部 抵 抗 が100[Ω]で

部 抵 抗Rc/2の

電 源 を,先

あ っ た ら ど う な る か.

端 を 開 放 し た 長 さ 〓の 線 路 に接

続 し た 。 線 路 上 の 電 圧 ・電 流 が ど の よ う に 変 化 す る か を 図 示 せ よ. ４.長 さ 〓,特 性 イ ン ピ ー ダ ン スRc,位 R〓=3Rcの

負 荷 を 接 続 し,他

の 電 池 を 接 続 し た.ス

相 速 度vPの

無 損失 線路 の 一 端 に

端 に ス イ ッ チ を 介 し 電 圧E,内

イ ッ チ を 閉 じ て か ら,2〓/vp,6〓/vp,お

部抵 抗 ０ よび 無 限の

時 間 を 経 過 し た 後 に お け る 負 荷 端 の 電 圧 を 求 め よ. ５．例 題10.2に

お い て,線

路 の 先 端 が 開 放 に な って い る場 合 の 中 間 点 に お け

る 電 圧 を 図 示 せ よ.

†ヒ ン ト †

１．β=π,z1=0.5-z,Γ

〓=-1/3,Γg=0

2.Γ〓=1/3 3.Γ 〓=1,  ４.e=1/2E, 

Γg=1/3と e=7/8E, 

５．Γ〓=1,Γg=-1/3と

し て 図10.3に

相 当 す る 図 を 描 く.

e=E

し て 図10・6に

相 当 す る 図 を 描 く.

第

11

章

線路

各種

T E M

  第8∼10章

で 述 べ て き た 内容 は,線 路 の 方 向 に 電 磁 界 成 分 を 持 た な いTEM

波 を 前 提 と し て い る.TEM波

を 伝 送 す る た め に は,直

本 以 上 の 導 体 か ら な る 伝 送 線 路 が 必 要 に な る.し

流 的 に絶 縁 さ れた ２

た が って,同

一電位にあ

る 導 体 壁 で 囲 ま れ た 導 波 管 や,誘 電 体 で 構 成 さ れ る 光 フ ァイ バ に お い て は, TEM波

は 存 在 し得 な い.こ れ ら に つ い て は 章 を 改 め て 述 べ る こ と と し,本

章 で は,次 (１)平

の ３種 類 のTEM線

路 に つ い て 概 説 す る.

行 ２線

(２)  同 軸 ケ ー ブ ル (３)  ス ト リ ッ プ 線 路(平

行 平 板)

  平 行 ２ 線 は テ レ ビ の フ ィー ダ で お な じ み の 線 路 で,レ て い る.VHF帯

で 使 用 さ れ て お り,伝

ッヘ ル 線 と も 呼 ば れ

送 線 路 の 基 本 を な す も の で あ る.同

軸 ケ ー ブ ル は 平 行 ２ 線 よ り も 広 範 囲 の 周 波 数 で 使 用 で き,マ で 多 用 さ れ て い る.ス

ト リ ッ プ 線 路 は,マ

イ ク ロ 波ICや

ア ン テ ナ 等 の 進 歩 に 伴 い 急 成 長 し て き た.こ 平 板 に つ い て 述 べ る.こ り の イ ン ダ ク タ ン ス,キ 相 速 度 等 を 解 析 す る.

こ で は,そ

れ ら の 線 路 に つ い て,電 ャ パ シ タ ン ス,特

イ ク ロ波 帯 ま

マ イ ク ロ ス ト リ ップ の基 本 とな る平 行

磁 界 の 様 子,単

性 イ ン ピ ー ダ ン ス,位

位 長 当た 相 定 数,位

11.1 

平 行 ２線

  これ ま で,伝

送 線 は 平 行 ２ 線 を 念 頭 に お い て 考 察 し て き た.こ

れは図に

表 現 し や す く,回 路 理 論 と の つ な が り も 良 いか ら で,こ の 意 味 で も 代 表 的 な 伝 送 線 路 と い え る.こ

こで は 平 行 ２線 の 作 る 電 磁 界,特

性 パ ラ メー タ に つ

い て 述 べ る. (1)  電 磁 界   こ こ ま で は,伝 送 線 路 を 回 路 理 論 的 に取 り扱 って き た が,こ 的 に 取 り扱 う こ と も も ち ろ ん 可 能 で あ る.図11・1に,平

れ を電 磁 気学

行 ２線 に 直 流 信 号

源 を 印 加 し た 場 合 の 線 に 垂 直 な 面 内 の 電 気 力 線,磁 力 線 を 示 す.信 号 源 は 紙 面 の 手 前 に あ り,負 荷 は 紙 面 の 後 方 に 接 続 さ れ て お り,プ ラ ス 側 が 左 線 に 加 わ って い る も の と す る.

図11・1  平 行 ２線 の 作 る 電 磁 界   任 意 の 点 Ｐ に お け る 電 磁 界 は,そ

れ ぞ れ の 力 線 に 沿 って お り,電 界 は+Q→

-Qの

方 向 ,磁

る.し

た が っ て ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク ト ル は 負 荷 の 方 に 向 か う.こ

界 は “ア ン ペ ア の 右 ネ ジ の 法 則 ”に よ り,図

ど こ に と っ て も 同 じ で あ る.す を 伝 わ り,最

な わ ち,負

示 す る方 向 とな れ は点 Ｐを

荷 に伝 達 され るエ ネル ギ ー は空 間

終 的 に は 負 荷 に 吸 収 さ れ る と 解 釈 で き る.

（ ２）特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス,伝

搬定 数

 特 性 イ ン ピ ー ダ ンス を 求 め る た め に は,平 行 ２線 の 単 位 長 当 た りキ ャパ シ タ ン ス と,イ

ン ダ ク タ ン ス を知 る 必 要 が あ る.電 磁 気 学 の 復 習 を か ね て,こ

れ ら を 求 め て み よ う.   平 行 ２線 の 導 線 半 径 をａ,間 し,ｄ≫ａ

と す る 。線 を 垂 直 に 切 っ た 断 面

を 図11・ ２ に 示 す.導 +ｑ,導 る.都

体 Ｂ に−

線 Ａ に単 位 長 当た り

ｑ の電荷 を与 えた とす

合 の 良 い こ と に,両

結 ぶ 線 上 の 電 界 は,こ し,線

１点 Ｐ に お け る 電 界

で あ る か ら,２

と,次

導体 の 中心 を

の 線 と方 向 が 一 致

積 分 が 容 易 に 行 え る.中

と な る.よ

隔 を ｄ と

図11・ ２  平 行 ２線 の 電 位 差

Ｅ の 大 き さ は,

導 体 間の 電位 差

っ て,単

心 線 上 の

ＶＡＢ を 求 め る と,

位 長 当 た り の キ ャ パ シ タ ン ス Ｃ は,ｄ≫ａ

を考 慮 す る

の よ う に な る.［F/m］

(11.1)

  ◇   式(11.1)は

実 は 正 確 で は な い.+ｑ,−

が 導 線 の 中 心 よ り ず れ る た め で あ る.こ

ｑ が 引 き 合 う た め,電

れ を 考 慮 す る と,次

荷 の 中心

の よ う に な る.［F/m］

次 に,単 位 長 当 た り の イ ン ダ ク タ ン ス に つ い て 考 え て み る.読 に,電

者 は すで

線 の イ ン ダ ク タ ン ス に つ い て 学 ば れ た で あ ろ う.本 節 の 目 的 に 対 し

て は,“ 線 路 の 太 さ が 等 し い,往 復 線 路 の 外 部 イ ン ダ ク タ ン ス”を 適 用 す る の が 妥 当 で あ る.外

部 イ ン ダ ク タ ン ス を 用 い る の は,表

皮 効 果 の た め電 流

が 導 体 表 面 だ け に 流 れ,導

体 内部 に電 磁 エ ネル ギ ー は存 在 しな いか らであ

る.イ

の よ う に 表 され る 。［H/m］

ン ダ ク タ ン ス は,次

(11.2) ◇  これ も厳 密 に は   線 路 が 無 損 失 で,媒 す る と,特

で あ る.

質 の 比 誘 電 率,比

性 イ ン ピ ー ダ ン ス,位

透 磁 率 がそ れ ぞ れ

相 定 数,位

εr,１ で あ る と

相 速 度 は 次 の よ う に な る.［Ω］

(11.3) (11.4) (11.5)   な お 損 失 の あ る 線 路 に お い て は,導

線 の 透 磁 率,導

電 率 を そ れ ぞ れ μc,σc,

表 皮 の 深 さ を δ と す る と 単 位 長 当 た りの 導 線 抵 抗 は

(11.6) こ こ で ２ 倍 し て い る の は 往 復 線 路 だ か ら で あ る.

 ◇  電 流 は 表 面 を 均 等 に 流 れ る と して い る.２ 線 間 の 電 流 の 相 互 作 用 を 考 え る と,こ の 式 も 厳 密 に い う と 近 似 式 で あ る. 媒 質 の 導 電 率 を σ と す る と,単

で学んだ

位 長 当 た り の コ ン ダ ク タ ン ス は,電

流 界

の 関 係 か ら 次 式 を 得 る. ま た は［S/m］

(11.7)

11.2 

同 軸 ケ ー ブ ル

 同 軸 ケ ー ブ ル は 図11・３に 示 す よ う に,よ た 編 組 を 外 部 導 体 と し,そ る.平

り線 を 内 部 導 体,細

い 導線 で 作っ

の 間 に ポ リエ チ レ ン を ス ペ ー サ と し て 用 い て い

行 ２線 よ り も 高 い 周 波 数 ま で 使 用 す る こ と が で き,電

子装置相互間

の 高 周 波 信 号 伝 送 用 と し て 多 用 さ れ て い る.

図11・３  同 軸 ケ ー ブ ル の 構 成

図11・４  同 軸 ケ ー ブ ル 内 の 電 磁 界

（１）  電 磁 界   図11・４に,同 軸 ケ ー ブ ル 内 の 電 気 力 線,磁

力 線 を 示 す.外 部 導 体 を 接 地 す

る と,内 部 電 荷 の 影 響 は 外 部 に 現 れ な い の は,電 磁 気 学 の 教 え る と こ ろ で あ る.し た が って 内 部 電 界 が 外 部 に 漏 れ な い し,逆 に 外 部 電 界 の 影 響 を 受 け る こ と も な い.磁 界 に つ い て は,注 意 が 必 要 で あ る.外 部 導 体 を 接 地 した 時,内 部 導 体 を 流 れ る 往 電 流 が 完 全 に 外 部 導 体 を 通 って 帰 らず,別 の 帰 路 を とっ た と す る と 外 部 に 磁 界 が 漏 洩 す る.こ れ は ア ン ペ ア 周 回 積 分 の 法 則 か ら明 か で あ ろ う.接 地 の と り 方 が 悪 い と,こ の よ う に 磁 界 の 漏 洩 を 引 き 起 こ す 可 能 性 が あ る.   ケ ー ブ ル 内 の 任 意 の 点 Ｐ に お け る 電 磁 界 か ら,ポ は 負 荷 の 方 に 向 か う こ と が 分 か る.第

３ 章 問 題 ５ で 練 習 し た と お り,印 加 し

た 電 圧 が Ｖ,電

流 がＩ で あ っ た と す る と,ポ

ＶＩ と な る.前

節 で 述 べ た と お り,エ

さ れ る.

イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル

イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル の 総 和 は

ネ ル ギ ー は 空 間 を 伝 わ り,負

荷 に吸 収

（２）

特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス,伝

  前 節 同 様,同

搬 定徴

軸 一 ケー プ ル の 単 位 長 当 た し キ ャパ シ タ ン ヌ と ，イ ン ダ ク タ ン

ス を 求 め て み よ う.   図 １1・ ５ に 示 す よ う に,内

部 導 体,外

部 導 体 の 半 径 を そ れ そ れ ａ[m]ｂ[ｍ]と し,こ

れ に 単 位 長 当 た り+q,一

を 与え た と す る.こ 長 さ １[m]の

ｑの 電 荷

れ と 同 心 で 半 径 γ,

円 筒 閉 曲 面 を 考 え,こ

に カ ウ ス の 法 則 を 適 用 す る.形

れ

状 の 対

称 性 か ら,円

筒 の 上 下 面 を 通 る 電束 は

な い か ら,側

面 を と お る電 束 に つ い て

次 式 を 得 る. D×2π

図11.5 

電 位 差,磁

束 の導 出

γ=q

こ れ か ら 次の よ う に 電 界 を 求め る こ とが で き る． ／ 2E=ｑ πεr

内 外 導 体 間 の 電 位 差 は 電 界 を 積 分 して 求あ ら れ,こ

れ か ら キ ャパ シ タ ン ス

を 得 る.

(11.8)

  ◇   こ の 場 合 は 同 心 で あ る か ら 近 似 式 で は な い. 次 に 単 位 長 当 た し の イ ン ダ ク タ ン ス に つ い て 考 え て み る 、 内 外 導 体 に+ I,一Iの 交 す る.半

電 流 を 流 し た と き ， 磁 束 は 導 体 間 の み に 存 在 し,電 径 γ に お い て 幅 ｄγ,長 さ １[m]の

流+Iと

面 を とお る磁 束は

鎖

鎖 交 磁 束 は こ れ を 積 分 し て 求 め ら れ,こ

れ か ら イ ン ダ ク タ ン ス を 得 る.

(11.９)

  線 路 が 無 損 失 で,媒

質 の 比 誘 電 率,比

す る と 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス,位

透 磁 率 が そ れ ぞ れ εγ,１ で あ る と

相 定 数,位

相 速 度 は 次 の よ う に な る.

(11.10) (11.11) (11.12)   な お 損 失 の あ る 線 路 に お い て は,導

線 の 透 磁 率,導

電 率 を そ れ ぞ れ μc,σc,

表 皮 の 深 さ を δ と す る と単 位 長 当 た り の 導 線 抵 抗 は

(11.13)   媒 質 の 導 電 率 を σ と す る と,単 位 長 当 た り の コ ン ダ ク タ ンス は 前 節 と 同 じ 関 係 を 用 い て 次 式 の よ う に 表 す こ とが で き る.

(11.14)

§例 題11.１

§  ｂ=5［mm],α=１

た 同 軸 ケ ー ブ ル が あ る.こ

［mm］ で, εγ=2.25の

の ケ ー ブ ル の 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス,100[MHz]に

お け る 位 相 定 数 お よ び 位 相 速 度 を 求 め よ. †解 答 † 式(11．10)∼(11.12)を

媒 質 で 充 填 され

用 い て 次 の よ う に 求 め ら れ る.

11.3 

ス ト リ ップ 線 路

  図11・6に

示 す よ う な 構 造 の 線 路 を,ス

ク ロ ス ト リ ップ 線 路 と 呼 ば れ,両

ト リ ッ プ 線 路 と い う.図(ａ)は

面 ア ー ス の 基 板 の 片 面 に,プ

術 に よ り 導 線 を 構 成 し た も の で あ る.こ 面 に 構 成 で き る と い う 利 点 が あ り,最 平 衡 形 ス ト リ ッ プ 線 路 と 呼 ば れ,遮

の 線 路 は,回

マ イ

リ ン ト基 板 技

路 や ア ンテ ナ を 同一

近 多 用 さ れ る よ う に な っ た.図(ｂ)は

蔽 さ れ て い る の で,電

磁 波 の漏 洩 や外 部

か ら の 雑 音 の 影 響 を 受 け に く い.

(ａ)マ イ ク ロ ス ト リ ッ プ 線 路

図11.6 

(ｂ)平 衡 形 ス ト リッ プ 線 路 代 表 的 な ス ト リッ プ 線 路

  マ イ ク ロ ス ト リップ 線 路 の 線 幅 ｗ は,一

般 に そ れ ほ ど 広 く な い の で,線

路 間 に で き る 電 界 は 一 様 と は 言 い 難 い.し

か し,本 書 で は 不 平 等 電 界 を 解

析 す る の は 主 旨 で な い の で,基 礎 と な る 平 行 平 板 線 路 に つ い て 述 べ る. (１)  電 磁 界   図11・7に,平

行 平板 に 直 流電 圧 を

加 え た 場 合 の 電 磁 界 を 示 す.信

号 源 は

手 前 に あ り,電 流 は 上 部 導 体 を と お っ て 紙 面 の 向 こ う に あ る 負 荷 に 至 り,下 部 導 体 を 帰 路 と して 信 号 源 に 戻 って い る.電

気 力 線 が,上

部導体 か ら下部 導

体 に 平 行 に 走 る の は 明 か で あ る.磁

力

線 が 図 の よ う にで き る こ とに つ い て は,3.2節

の 例 題3.1を

参 照 さ れ た い.

図11.7 

平 行 平板 の電 磁 界

(２)  特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス,伝

搬定 数

  平 行 平 板 の 導 体 幅 を ω[ｍ],間 シ タ ン ス は,次

隔 を ｄ[ｍ］と す る.単

位 長 当 た りの キ ャパ

式 で 与 え ら れ る.

(11.15) ま た 単 位 長 当 た り 導 体 間 を 通 る 磁 束 は,電

と な る.磁

流 をIと

束 は 導 体 間 で は 導 体 に 平 行 で あ る が,非

て い る と 考 え ら れ る か ら,電

流 と 鎖 交 し て い る.よ

す る と,

常 に遠 い地 点 で は閉 じ っ て イ ン ダ ク タ ン ス は,

(11.16)   線 路 が 無 損 失 で,媒

質 の 比 誘 電 率,比

す る と 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス,位

透 磁 率 がそ れ ぞれ

εr,１ で あ る と

相 定 数 お よ び 位 相 速 度 は,次

の よ う に な る.

(11.17) (11.18) (11.19)   ◇  マ イ ク ロ ス ト リップ 線 路 の 特 性 イ ン ピー ダ ンス は,次 式 で 求 め られ る.括 弧 内 の 第 ２項 が 平 等 電 界 で な い た め の 補 正 項 と 考 え る こ と が で き る. (ω 》d)

  損 失 の あ る 線 路 の 場 合 は,導

線 の 透 磁 率,導

電 率 を そ れ ぞ れ μc,σc,表 皮

の 深 さ を δ,媒 質 の 導 電 率 を σ と す る と

(11.20) (11.21)

11.4 

第

11

章 問 題

１.特性 イ ン ピ ー ダ ン ス50[Ω]の,ポ 1[cm]当

リ エ チ レ ン 絶 縁 平 行 ２線 ケ ー ブ ル の,

た り の 静 電 容 量 は い く ら か.た

εr=2.25と

す る.

２.σc=5.8×107[S/m]の ２ 線 が あ る.絶

銅 線 で で き た,d=10[mm] 縁 媒 質 の 比 誘 電 率 は １,コ

f=200〔MHz]に ３.d=5[cm], 

だ しポ リエチ レン の比誘 電率 は,

,a=1[mm]の

平行

ン ダ ク タ ン ス は ０ と し て,

お け る こ の 線 路 の 伝 搬 定 数 を 求 め よ. a=0.5[cm]の

線 の 中 間 に,λ/4線

平 行

２ 線 と,d=5[cm],a=1.5[mm]の

平 行

路 を 接 続 し て 整 合 を と り た い.d=5[cm]と

２

し た 時

ａ を い く ら に 選 べ ば 良 い か.

４.外導 体 の 内 径 が 与 え ら れ て い る 同 軸 線 路 に お い て,最 数 を 与 え る 内 導 体 直 径 を 求 め よ.た

も小 さい減 衰定

だ し内外 導 体 は 同 一金 属 で で きて

お り,媒 質 に よ る 損 失 は 無 い も の と す る. ５.マ イ ク ロ ス ト リ ッ プ 線 路 と,平

衡 形 ス ト リ ッ プ 線 路 の 得 失 を 考 察 せ よ.

†ヒ ン ト †

１.

２.

３.式(9.11)ZZ〓=Z2cを の

４.α〓R/

用 い る. Ｒ,Zcに

式(11.13),(11.10)を

代 入 し,

2Zc に 対 す る 極 値 を 求 め る.数

b/

=xと

a

値 計 算 に よ りx〓3

.59と

な る.

５.平 行 ２ 線 と 同 軸 ケ ー ブ ル に つ い て も 比 較 し て み ら れ た い.

お い てx

第

12 章

平面波 の反射 と透 過

-

I

  し ば ら く電 磁 波 を 離 れ て 伝 送 線 路 に つ い て 述 べ て き た が,こ

こで 再 び 電

磁 波 に 戻 る こ と に しよ う.こ れ ま で は,１ 種 類 の 媒 質 中 を伝 搬 す る 電 磁 波 に つ い て 考 え て き た が,実

際 に は異 媒 質 の境 界 面 に平 面 波が 入 射 す る こと も

多 く,こ の 場 合 は 反 射 や 透 過 が 起 き る.こ れ が 妨 害 に な る こ と も あ れ ば,こ れ を 積 極 的 に 利 用 す る こ と も あ る.本 た 場 合 の 振 る 舞 い を,次

章 で は,斜

章 で は,境

界面 に波 が 垂 直 に入 射 し

め に 入 射 し た 場 合 の 振 る 舞 い を,取

り

扱 う こ と に す る.   (１) 反 射 係 数 と 透 過 係 数   (２) 導 体 へ の 入 射   (３) 誘 電 体 へ の 入 射   入 射 波 に 対 し,電 磁 界 が ど の 程 度 の 割 合 で 反 射 し た り透 過 し た りす る か は,境 界 条 件 を 適 用 し て 求 め る こ と が で き る.ま ず,こ れ ら の 一 般 的 な 表 現 を 求 め る.つ

い で,代

表 的 な 例 と し て,真

空 か ら導 体 へ の 入 射 の 場 合 に つ

い て 述 べ る.こ の 時 境 界 面 に お い て 電 界 は ０,磁 界 は 最 大 に な り定 在 波 が 立 つ.ま

た 誘 電 体 へ の 入 射 に お い て は,特 性 イ ン ピー ダ ン ス の 大 小 関 係 に よ

り反 射 係 数 の 符 号 が 違 って く る こ と を 示 す.こ れ ら に お け る 電 界 ・磁 界 は 当 然 の こ と な が ら伝 送 線 の 電 圧 ・電 流 の 振 る 舞 い に 類 似 して い る こ と に 気 づ か れ る で あ ろ う.

12.1 

反 射係 数 と透過係 数

 異 種 の 媒 質 が 接 す る と こ ろへ 電 磁 波 が 入 射 す る と,両 媒 質 の 固 有 イ ン ピ ー ダ ン ス が 異 な る の で,電 磁 波 の 一 部 は 反 射 さ れ,残

りは 透 過 して い く.こ こ

で は,接 触 面 が 平 面 で こ れ に 電 磁 波 が 垂 直 入 射 す る 場 合,こ

れ らの 係数 が

ど の よ う に 表 さ れ る か を 考 え て み よ う.

図12.1    図12・1に 質

（誘 電 率

る.こ

お いて

ｚ＜ ０ は 空 気

平 面境 界 へ の垂 直入 射

ε,透 磁 率

（誘 電 率 ε０,透 磁 率 μ０）,ｚ ＞ ０ は 任 意 の 媒

μ,導 電 率 σ） で あ り,両

こ へ ｘ 方 向 に 電 界 成 分 を 持 ち,＋

射 し た と す る.入

者 は 平 面z=0で

接 して い

ｚ 方 向 に進 行 す る平 面 電磁 波 が 入

射 波 の 電 磁 界 は 次 の よ う に 表 さ れ る.

(12.1)

Eｉ(z)=axE0e-jK0z

(12.2)   z=0で

一 部 は 反 射 し,− ｚ 方 向 に 進 む 事 に な る.反

の 振 幅 の 比 を 反 射 係 数 と 呼 び,こ

Er(z)=αx〓EoejK0z

れ を〓

射 波 の振 幅 と入 射波

で 表 す と 反 射 波 の 電 磁 界 は,

(12.3) (12.4)

と な る.

  反 射 波 の 電 界 方 向 が 入 射 波 の そ れ と逆 で あ る と,進

行 方 向 が逆 で あ る か

ら,反 射 波 の 磁 界 方 向 は 入 射 波 の そ れ と 同 じ に な る 点 に 注 意 さ れ た い .   透 過 波 の 振 幅 と 入 射 波 の 振 幅 の 比 を 透 過 係 数 と い い,Ｔ

で 表 す と,透 過

波 の 電 磁 界 は 次 の よ う に 表 す こ と が で き る. Ep(z)=axTE0e-γz

(12.5) (12.6)

ここに

γ は 媒 質IIの

伝 搬 定 数, Ｚｓ は 固 有 イ ン ピ ー ダ ン ス で ,

γ = √  -ω2ε μ+jω

で あ る.２

μσ,

つ の 未 知 数〓,Ｔ

を 求 め る に は ２つ の 関 係 式 が 必 要 で あ る.こ

れ ら は 電 界 と 磁 界 の 境 界 条 件 で 与 え ら れ る.z=0に

お け る接 線 成 分 が等

しい とお くと

Eｉ(0)+Er(0)=Ep(0) 

  →     1+〓=T

(12.7) (12.8)

式(12.7),(12.8)を

解 く と 次 式 を 得 る.

(12.9) こ の 関 係 は,特 も 同 じ で あ る.こ

に 媒 質 Ｉが 空 気 で な く,一 般 的 な 媒 質(ε １,μ １,σ１)で あ っ て の 固有 イ ン ピー ダ ンス を

Ｚ１,媒

質II(ε

２,μ ２,σ２)の 固

有 イ ン ピ ー ダ ン ス を Ｚ２ と す る と 次 の よ う に な る.

(12.10) (12.11) 1+〓=Ｔ

(12.12)

導 体へ の 入射

12.2

  本 節 で は,導

体 へ の 垂 直 入 射 を 考 え る.媒

体,良

導 体,一

般 導 体 を 順 次 取 り 上 げ る.

(１)

完全 導体

  媒 質 Ⅱ が 完 全 導 体 の 場 合,式(12.9)に -1 ,T=0と

な る.し

た が っ て,波

質 １は 空 気 と し,導

お い てZs=0で

は 完 全 反 射 し,透

体 は完 全 導

あ る か ら,Γ=

過 成 分 は 無 い ． 媒 質 Ｉ中

の 電 磁 界 は 次 の よ う に な る.

E1(z)=Ei(z)+Er(z)=axE0(e-jk0z-ejk0z) = 

-axj2E0 

sin k0z

電 磁 界 の 瞬 時 値 を 記 して み る と, e1(z,t 

=  Re[E1(z)ejωt] 

=  ax2E0 

sin k0zsinωt

(12.13) (12.14)

式(12.13),(12.14)は,第   e1(z,t)とhl(z,t)の

１章 問 題 ５ で 練 習 し た と お り 定 在 波 を 示 す. 零 と 最 大 振 幅 は ｔ の 如 何 に か か わ ら ず,次

の 決 まっ た

点 で 生 じ て い る. ・e1(z,t)の

零 とh1(z,t)の

最 大 振 幅 は ，k=-nπす

な わ ちz=-nλ/2

ご と に 生 じ る.

・e1(z,t)の z=-(2n+1)λ/4ご

最 大 振 幅 とhl(z, 

t)の

零 は,k0z=-(2n+1)π,す

と に 生 じ る ．

電 界 と 磁 界 は 位 相 が90゜ 違 っ て い る か ら,電

力 の 移 動 は 起 き な い.

な わ ち

く ど い よ う だ が 次 の ３点 に特 に 注 意 さ れ た い． （１ ）  完 全 導 体 表 面 で は 電 界 の 接 線 成 分 は ０で あ る. （ ２）  完 全 導 体 表 面 で は 磁 界 の 接 線 成 分 の 振 幅 は 最 大 で あ る. （ ３）  電 界 と 磁 界 は 時 間 的 に90°,空 間 的 に λ/４位 相 が ず れ て い る. この定 在 波 の模 様 を 磁

を パ ラ メ ー タ と し て,図12・2に

示 す.

図12・2  完 全 導 体 に 垂 直 入 射 し た 平 面 波 の 電 磁 界

§例 題12.1§

  図12・3に

ｘ方 向 に 電 界,ｙ ち,＋ｚ し,ｚ

示 す よ う に,

方 向 に磁 界 を も

方 向 に 進 行 す る ３角 波 に 対 軸 に 垂 直 に 完 全 導 体 を 置 い た.

図12・4（ａ）はt=0に

お け る電磁 界の

大 き さ と 位 置 を 示 し て い る.波 位 時 間 に,１

は単

目盛 りず つ進 行 す る も

の と し,t=1,2,3,4,に

お け る電

界 ・磁 界 を 図 （ ｂ） ∼ 図 （ ｅ）上 に 描 け.

図12・3完

全 導 体 に 垂 直 入 射 す る ３角 波

†解 答 † 各 時 刻 の 波 形 は 図12・4(b)∼(e)の

よ うに な る．

(ａ)t=0

(ｂ)t=1

(ｃ)t=2

(ｄ)t=3

(ｅ)t=4

図12・4  完 全 導 体 に 垂 直 入 射 し た ３角 波 の 電 磁 界   完 全 導 体 で あ る か ら Γ=-1で,電 し,磁 t=1で

界 は 同 極 性 で 反 射 す る. は,電

し 引 く と,合 t=2で

界 は 入 射 波 形 が 逆 極 性 に な って 反 射

界 の 反 射 分 は 点 線 で 示 す と お り で,こ

成 波 形 は 実 線 の よ う に な る.磁

は,電

の 分 を入 射 波 か ら 差

界 は 入 射 磁 界 と 相 い 加 わ る.

界 の 入 射 波 と 反 射 波 は 打 ち 消 し 合 い ０ と な り,磁

界 は 加

わ っ て ２ 倍 に な る. 以 下 同 様 に 考 え て,t=3,t=4の

時 の 波 形 を 描 く こ と が で き る.

も し ３ 角 波 が 連 続 し て お り,そ の 入 射 波 ・反 射 波 の 合 成 波 の 模 様 を 時 刻 を パ ラ メ ー タ に し て 描 け ば 図12・2と 似 た よ う な 図 に な る.各

自 試 み ら れ た い.

良導 体

(２)

  媒 質IIが

良 導 体 の 場 合,伝

に 表 さ れ る こ と は,6.2.3節

こ こに

搬定 数 お よび 固有 イ ンピー ダ ンス が次 の よ う で 学 ん だ.

は 表 皮 の 深 さ で,良

進 め ば 電 磁 界 の 強 度 は0.368に た が っ て 反 射 係 数,透

導 体 の 表 面 よ り 内 部 へz=δ

減 衰 す る.ま

過 係 数 は Γ 〓-1,T〓0と

た 一 般 にZs≪Z0で

だ け あ る.し

み な す こ と が で き る.す

な

わ ち 良 導 体 の 場 合 は 完 全 導 体 の 場 合 と ほ ぼ 同 じ で あ る と 考 え て 良 い.

(３)

一般 導電 媒質

  媒 質IIが 表 さ れ る.し

一 般 導 電 媒 質 の 場 合,一 た が って,媒

般 に 反射係 数 は複 素 数 で

Γ=￨Γ￨ejθ

と

質 Ｉ中 の 電 界 は 次 の よ う に 書 け る.

E1(z)=axE0e-jk0z{1+￨Γ￨ej(2koz+θ)}

  振 幅 の 大 き さ は 右 辺 の{}内 項 で 決 ま る が,こ う に 表 せ る.す 線 分AOの 半 径￨Γ￨の

れ は 図12・5の よ な わ ち,長

さ １の

一 端 Ｏ を 中 心 に して 円 を 描 く と,Ａ

上 の 点 Ｐ 間 の 距 離 が￨E1￨に 最 大 値 はAB=1+￨Γ￨,最 AC=1-￨Γ￨と

の

と円周 な る. 小 値 は

な る.

  これ は 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス がZcの

図12.5 

媒 質 Ｉ中 の 電 界

伝 送 線 路 を,任 意 の イ ン ピ ー ダ ン ス

で 終 端 し た 場 合 に 線 路 に 立 つ 電 圧 分 布 に 似 て い る.

12.3 

誘 電体 へ の入射

  本 節 で は 誘 電 体 へ の 入 射 を 考 え る.よ

り 一 般 的 な 場 合 と し て 媒 質 Ｉの 誘

電 率 は ε1,媒 質IIの

媒 質 共 透 磁 率 は μ０,導 電 率 は ０ と

す る.こ

そ れ は ε２ と し,両

の 場 合 の 反 射 係 数,透

過 係 数 は 式(12.10),(12.12)か

ら次 のよ うに求

め られ る 。

(12.15)

(12.16)

空 気 か ら 比 誘 電 率 εrの 誘 電 体 へ 入 射 す る 時,こ

れ らの値 は

(12.17) と な り,反

射 係 数 は 常 に 負 の 値 を と る こ と が わ か る.

  本 節 で の 電 界 ・磁 界 の 分 布 は,9.１ 節 に 述 べ たZl>Zcお 合 の 電 圧 ・電 流 分 布 と 同 じ で あ る.電 最 小 値 はEmin=E0(l-￨〓￨)と

よ びZl
場

界 振 幅 の 最 大 値 はEmax=E0(1+￨〓￨),

な る.線

路 と 同 様,定

在 波 の 立 って い る 度 合

い を 示 す 量 と し て 電 界 の 最 大 値 と 最 小 値 の 比 を 用 い,電

圧 定 在 波 比 と 呼 ぶ.

(12.18)   電 磁 波 が 逆 に 媒 質IIか

ら 媒 質 Ｉに 入 射 す る 場 合 は ど う な る か を 考 え て み

よ う.こ の 場 合 の 反 射 係 数 を〓′ と す る と ，

で あ る か ら,〓'=-〓 ま る か ら,同

と な り 符 号 が 逆 に な る.た

じ 値 に な る.

だ し 定 在 波 比 は￨〓￨で

決

§例 題12.2§

  媒 質1(εr1=1,μr1=1,σ1=0)と

1,σ2=0)がz=0面

で 接 し て お り,媒

形 電 磁 波 が,ｚ

媒 質2(εr2=4,μr2=

質 １ 内 をE=axEx,H=ayHyの

軸 方 向 に 進 行 し て い る.図12・6(ａ)は

す る １秒 前 の 状 況 を 示 し て い る.波 波 形 を 同 図(ｂ)上

に 示 し,そ

矩

波 の 前 面 がz=0に

の 前 面 がz=0に

達

達 し て か ら １秒 後 の

う な る 理 由 を 簡 潔 に 述 べ よ.

†解 答 †

(ａ)１秒 前

(ｂ)１秒 後

図12.6 

誘 電 体 に 垂 直 入射 した 矩 形 波 の電 磁 界

反 射 係 数 ・透 過 係 数 は 式(12.17)よ

し た が って,媒 媒 質II中 か ら,合

質 １中 の 反 射 電 界 は 点 線 で,合

の 透 過 電 界 の 振 幅 は(2/3)Exと

成 電 界 は 実 線 で 示 す よ う に な り,

な る.反

射 磁 界 は 入 射 磁 界 と加 わ る

成 磁 界 は 実 線 で 示 す よ う に な り,透 過 磁 界 はTHy(Z1/Z2)=(4/3)Hy

と な る.境   媒 質II中 度vP1=cの

り 次 の よ う に な る.

界 面 に お け る 電 界 ・磁 界 は,共 の 位 相 速 度 はvp2=C/√4=c/2と 半 分 に な る.

に 境 界 条 件 を 満 足 し て い る. な る か ら,媒

質 Ｉ中 の 位 相 速

1 2．4

第

12 章

問題

１.電 界 の ピ ー ク 値 １[mV/m]の

電 磁 波 が 真 空 中 を 進 行 し て お り,こ

れ に垂

直 に 十 分 大 き な 完 全 導 体 を 置 い た.

(１)導体 の 直 前 点 に お け る 電 界 お よ び 磁 界 を 求 め よ. (２)導体 に は ど う い う現 象 が 起 き る か. ２.問 題 １ に お い て,入 波,合

射 波 の 周 波 数 が100[MHz]で

あ っ た.入

射 波,反

射

成 波 の 電 磁 界 を 表 す 式 を 示 せ.

３.問 題 ２ に お い て 電 界,磁 ４.大 地 の 導 電 率,比

界 が ０ に な る 点 の 内,導

体 に 一 番 近 い 点 を 示 せ.

誘 電 率 が そ れ ぞ れ σ=5×10-3[S/m],εr=20で,こ

れ に 周 波 数f=2[MHz]の

平 面 電 磁 波 が 垂 直 入 射 し た.反

射 係 数 を 求

め よ. ５.媒 質 １(εr1=4,μr1=1,σ1=0)と z=0面

で 接 し て お り,媒

が,ｚ

媒 質 ２(εr2=1,μr2=1,σ2=0)が

質 １内 をE=axEx, 

H=ayHyの

矩形 電 磁 波

軸 方 向 に 進 行 し て い る.

  図12・6(ａ)は 波 の 前 面 がz=0に 波 の 前 面 がz=0に

達 す る １秒 前 の 状 況 を 示 し て い る.

達 し て か ら １秒 後 の 波 形 を 図(ｂ)上 に 示 し,そ

うな

る 理 由 を 簡 潔 に 述 べ よ.

†ヒ ン ト †

１.(１)  2・k0=2π

式(12.13),(12.14) 

(２) 

3.1.3節

参 照

／3

３.電 界 は-λ

／2,  磁 界 は-λ

４.

５.Γ=-Γ

 

／4

f=2[MHz】 ′ 

υp2=2υp1

に お い て は

σ と

ωε は 同 程 度 と な る.

第

13 章

平 面波 の反 射 と透過

-

Ⅱ

  本 章 で は,境 界 面 に 平 面 電 磁 波 が 斜 め に 入 射 す る場 合 を 取 り上 げ る 。垂 直 入 射 の 場 合 は,電

界 の 方 向 が ど ち ら を 向 い て い よ う と(も

に 垂 直 で な け れ ば な らな い が)反 め 入 射 と な る と,境 く る.こ れ は,た

ち ろん 進 行方 向

射 係 数 や 透 過 係 数 に 変 わ りは な い が,斜

界 面 に 対 す る 電 界 の 方 向 に よ り これ らの 値 が 変 わ って

と え ば レー ダ 波 の 海 面 反 射 特 性 が 偏 波 に よ り異 な る こ と

を 意 味 す る.本 章 で は,異 な った 電 気 定 数 を 持 つ 誘 電 体 境 界 面 へ の 斜 め 入 射 を 取 り扱 う こ と に し,完 全 導 体 へ の 斜 め 入 射 は 次 章 で 述 べ る.   (１) 直 交 偏 波 と 平 行 偏 波   (２) 直 交 偏 波 に お け る 反 射 ・透 過 係 数   (３) 平 行 偏 波 に お け る 反 射 ・透 過 係 数   (４)全

反射

  ま ず,境 界 面 に 対 す る 直 交 偏 波 と 平 行 偏 波 の 定 義 を 示 す.次 い で,こ

れら

の 場 合 に お け る 反 射 係 数 と透 過 係 数 を 導 く.こ の 過 程 で,反 射 や 透 過 に 関 す る ス ネ ル の 法 則 も 導 か れ る.ま

た反 射 係 数 が ０とな るブ ル ース タ角 が ど の

よ う な 条 件 下 で 起 き る か に つ い て 述 べ る.最 低 い 媒 質 に 入 射 す る時 は,臨 と を 示 す.

後 に,誘

電率 が 高 い 媒 質か ら

界角 以 上 の 入射 角 に お いて 全 反射 が 生 じる こ

13.1 

直交 偏波 と平行偏 波

  誘 電 体I(ε1,μ1)と

誘 電 体 Ⅱ(ε2,μ2)がz=0で

ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル がx-z面 を 考 え る.こ

の 時,電

図13.1(a),(ｂ)に

接 し て い る と す る.こ

内 にあ る平 面 電磁 波 が 斜 め入 射 した場 合

磁 波 の 電 界 方 向,進

行 方 向,境

界 面 の 関 係 に つ い て,

示 す ２ 種 類 が あ る こ と が 分 か る.

(ａ)

直交 偏 波

(ｂ)

図13.1    た と え ば 図13・1(a)で

は,入

平 行偏 波

境 界 面 へ の斜 め 入 射

射 波 の 電 界Eiと,反

射 波 の 電 界Erの

が 共 に 紙 面 か ら 読 者 の 方 向 を 向 く よ う に 描 い て い る が,前 に,イ

れ に

方 向

章 に述 べ た よ う

ン ピ ー ダ ン ス の 関 係 で 逆 極 性 に な る こ と も も ち ろ ん あ る.

  こ こ で,波

の 進 行 方 向 と境 界 面 の 法 線 が 作 る 面 を 入 射 面 と 呼 ぶ こ と に す る

と,図(ａ)は で あ る.前

電 界 が 入 射 面 に 垂 直 な 場 合,図(ｂ)は

者 を 直 交 偏 波(perpendicular  polarization),後

polarization)と 本 書 で は,垂

呼 ぶ.こ

れ ら を 垂 直 偏 波,水

者 を 平 行 偏 波(parallel

平 偏 波 と 呼 ん で い る 書 も あ る が,

直 ・水 平 偏 波 は 地 表 に 対 し て 垂 直 ま た は 水 平 な 偏 波 を 意 味 す る

も の と し て,区   な お,直

入射 面 に含 まれ て いる場 合

別 す る こ と に す る.

交 と 平 行 の 中 間 の 場 合 も 当 然 あ る が,こ

考 え る こ と が で き る.

れ は 両 者 の 合成 と して

13.2 

直交偏 波

  境 界 面 で は,媒 る.図13・1に

質 の 固 有 イ ン ピ ー ダ ン ス の 違 い に よ り,反

お い て,入

射,反

ぞ れ θi,θr,  θpと す る と,入

射,透

射,反

射 と透 過 が お き

過 波が 境 界 面 の法 線 とな す 角 をそ れ

射,透

過 波 の 波 数 ベ ク トル は 次 の よ う に

な る.

こ こ にk1=

ki  =  axk1 

sinθi+azk1 

cosθi

kr= 

sinθr-azk1 

cosθr

sinθp+azk2 

cos θp

axk1 

kp=axk2 

  ま ず,図13・1(a)に 1,  T1と

し,こ

(13.1)

ω√ ε1μ1

(13.2) こ こ にk2=

(13.3)

ω√ ε2μ2

示 す 直 交 偏 波 に お け る 反 射 係 数 ・透 過 係 数 を そ れ ぞ Γ

れ を 求 め よ う.入

射 ・反 射 ・透 過 波 の 電 磁 界 は,5.2節

た 任 意 方 向 へ の 電 磁 波 を 参 考 に し,式(13.1)∼(13.3)を

用 い て,次

で 述べ

の よ うに表

す こ と が で き る.

(13.4)

Ei(x,z)=ayE0e-jk1(xsinθi+zcosθi)

(13.5)

(13.6)

Er(xz)=ayΓ1E0e-jk1(xsinθr-zcosθr)

(13.7)

(13.8)

Ep(x,z)=ayT1E0e-jk2(xsinθp+zcosθp)

(13.9) こ こ で,前

章 で 行 っ た と 同 様,境

界 条 件 を 適 用 す る.z=0に

お い て,電

磁 界 の 接 線 成 分 が 等 し い と 置 く と,

Eiy(x,0)+Ery(x,0)=Epy(x,0)

(13.10)

Hix(x,0)+Hrx(x,0)=Hpx(x,0)

(13.11)

な り,こ

れ に 式(13.4)∼(13.9)を

代 入 す る と,次

の 関 係 を 得 る.

(13.12)

e-jk1xsinθi+〓1e-jk1xsinθr=T1e−jk2xsinθp

(13.13)   こ れ ら の 式 は,ｘ に は,ｘ

の 如 何 に か か わ ら ず,成

り 立 た ね ば な ら な い.こ

の ため

の 関 数 で あ る 指 数 の 項 が 等 し く な る 必 要 が あ る.

◇   さ も な け れ ば こ の 等 式 はｘ k1xsinθi=k1xsinθr= 

の 一 点 で し か 成 り立 た な い.

(13.14)

k2xsinθp

こ れ か ら次 の 法 則 が 導 か れ る.

(13.15)

θi=θr

(13.16)   式(13.15)は

入 射 角 と 反 射 角 が 等 し い 事 を 示 す も の で,ス

則 と 呼 ば れ る.式(13.16)は

物 理 学 で お な じ み の も の で,ス

則 と 呼 ば れ る.ｎ ｉ は そ の 媒 質 の 屈 折 率 で,真 れ と の 比 で あ り,ｎ (13.16)の

ネ ルの 屈 折 の法

空 中 の光 速 と当該 媒 質 中の そ

は 相 対 屈 折 率 と よ ば れ る.も

右 辺 は

ネ ル の反 射 の法

し μ1=μ2で

あ れ ば,式

と な る.

元 に 戻 っ て,式(13.14)を

式(13.12),(13.13)に

代 入 す る と,次

式 を 得 る.

(13.17)

1+〓1=T1

(13.18) 式(13.17),(13.18)よ

り 次 の 関 係 を 得 る.

(13.19) (13.20)

こ れ ら の 式 を 垂 直 入 射 の 場 合 の 式 と 比 べ る と,Ｚ １,Ｚ ２ が 各 々(Z1/cosθi）, (Z2/cosθp)に

な っ て い る こ と に 気 づ か れ る で あ ろ う． θi=0の

場 合 は,当

然 な が ら 垂 直 入 射 の 式 に 帰 着 す る. こ こ で,

cosθpを

で あ る か ら,Z1=nZ2で

入射 角

あ る.ま

た,

θｉの 関 数 と し て 表 す な ら,

で あ る か ら,〓 １,Ｔ１ は 次 の よ う に も 書 け る.

(13.21) (13.22)   ｎ>1の

場 合,〓

は 大 き く)な

１の 値 は 常 に 負 で,θｉ が 大 き く な る ほ ど 小 さ く(絶

る.θi=90°

に お い て は,〓1=-1と

な る.す

な わ ち,反

対 値 射 波

の 極 性 は 入 射 波 と 逆 に な る.  〓１が ０ に な る ケ ー ス が あ る の か ど う か を 考 え て 見 る.こ を θＢ と す る と,式(13.19)よ

Z2  cosθB−Zlcosθp 

こ れ を 解 く と,μ1≠

の場 合 の入 射 角

り,

(13.23)

=  0

μ2の

時 の み 解 が あ り,ε1=ε2と

す る と

(13.24) を 得 る.こ

の 角 度 を ブ ル ー ス タ 角(Brewster

angle)と

た 直 交 偏 波 は 反 射 成 分 が な く,す べ て 透 過 す る.し

い う。 こ の 角 で 入 射 し か し な が ら,誘

電率 が 同

じ で 透 磁 率 が 異 な る 媒 質 が 接 す る こ と は 実 際 問 題 と し て ほ と ん ど 無 い の で, 直 交 偏 波 に お い て は 反 射 係 数 が ０ に な る こ と は な い と 考 え て 良 い.   ま た,ｎ>１

の 場 合,Ｔ １は θｉ=90° を 除 き,常

過 波 の 極 性 は 入 射 波 と 同 じ に な る.

に 正 と な る.す

な わ ち,透

13.3 

平行偏 波

  図13・1(ｂ)に 示 す 平 行 偏 波 に お け る 反 射 係 数 ・透 過 係 数 を そ れ ぞ れ と す る.入

Γ2,T2

射 ・反 射 ・透 過 波 の 電 磁 界 は 次 の よ う に 表 す こ と が で き る .

(13.25) (13.26)

(13.27) (13.28)

(13.29) (13.30)   こ こ で 境 界 条 件 を 適 用 す る.z=0に

お い て,電

磁 界の 接線 成 分 が等 しい

と 置 く と,

Eix(x,O)+Erx(x,O)=Epx(x,O)

(13.31)

Hiy(x,O)+Hry(x,O)=Hpy(x,O)

(13.32)

と な り,こ

れ に 式(13.25)∼(13.30)を

(1+Γ2)cos

θi=T2

cos

θp

代 入 す る と 次 の 関 係 を 得 る.

(13.33) (13.34)

こ れ を 解 い て,次

式 を 得 る.

(13.35) (13.36)

こ こ で,直 で あ る.ま

交 偏 波 の 時 と 同 様, た,cosθpを

と す る と,Z1=nZ2

入 射 角 θｉ の 関 数 と し て 表 し,〓 ２,  Ｔ２ を 次 の よ う に

表 す こ と も で き る.

(13.37) (13.38) θi=0に れ て

お い て は,〓2=〓1で

あ る.ｎ>１

〓２ の 値 は 大 き く な り,θi=90°

の 場 合,θ

に お い て

ｉが 大 き く な る に つ

＋ １ と な る.ま

た 式(13.33)に

見 る とお り,反 射 係 数 と透 過 係 数 と の 関 係 は ら,直

交 偏 波 の 場 合 の 式(13.17)と

式(13.37)か

で あ るか

は 違 っ て く る.

ら,〓 ２ は あ る 入 射 角 で ０ に な る.こ

の 角 度 を θＢ と す る と,

こ れ を 解 く と,

(13.39) (13.40) を 得 る.こ

の 角 度 を ブ ル ー ス タ 角(Brewster 

入 射 し た 平 行 偏 波 は 反 射 成 分 が な く,す ε1≠ ε2,μ1=μ2で

あ る か ら,ご

angle)と

い う.ブ

べ て 透 過 す る.こ

ル ー ス タ 角 で

の場 合 の 前 提 は

く 普 通 に 存 在 す る 条 件 で あ る.し

た が って,

平 行 偏 波 に お け る 斜 め 入 射 に は 反 射 係 数 が ０ に な る 入 射 角 が 存 在 す る.こ の 性 質 を 使 っ て,レ  ｜ 〓1￨と￨〓2￨を

ー ザ 光 の 偏 波 成 分 を 制 御 し た り す る 等 種 々 の 応 用 が あ る. θiに 対 し て プ ロ ッ ト し て み る と,θi=0°,90°

｜ 〓1｜の 方 が 大 き い.た た って 反 射 す る と,直 象 を 利 用 し,平

と え ば,ラ

を 除 いて

ンダ ム に偏 波 した光 が 大気 か ら地 面 に 当

交 偏 波 成 分 の 方 が 多 く な る.偏

光サ ング ラス は この現

行 な 成 分 を 除 去 し よ う と す る も の で あ る.

§例 題12.3§

  大 気 中 よ り εr=9,μr=1,σ=0の

斜 め 入 射 し て い る.入

射 角

媒 質 へ,平

θiに 対 す る￨Γ1￨,￨Γ2￨,T1,T2の

面 電磁 波 が 値 を グ ラフ に

表 せ.

†解 答 † ￨Γ1￨,￨Γ2￨,T1,T2の

表13・1に

計 算 式 を 再 掲 す る と 次 の と お り で あ る.

計 算 結 果,図13・2(ａ)に￨Γ1￨,￨Γ2￨,図(ｂ)にT1,T2を

示 す.

表13・1  反 射 係 数 ・透 過 係 数 対 入 射 角

(ａ) 

￨Γ1￨,￨Γ2￨Vs.θi

図13.2 

(ｂ)    T1,T2vs.θi

反 射 係 数 ・透 過 係 数 対 入 射 角

3.4  全 反 射   こ こ で,誘

電 率 が 大 き い 媒 質 か ら 小 さ い 媒 質 へ 入 射 す る 場 合,す

ε１>ε ２ の 場 合 を 考 え て 見 よ う.ス が 増 加 し てsinθi=nと

な わ ち

ネ ル の 法 則 か ら θｐ>θｉ で あ る か ら,θｉ

な る と, θｐ が π/2に

達 す る.さ

ら に θｉ が 増 加 す

る と ど う な る で あ ろ う か.   式(13.21)に

お い てsinθ

こ の 形 は,Ａ,Ｂ

ｉ>ｎ

と な る と,

の 形 を し て い る か ら,絶 対 値 を

を 実 数 と す る 時,

と る と １ で あ る.す

な わ ち￨〓1｜=１

に な る.同

る.こ

れ か ら,sinθｉ>ｎ

い.こ

の よ う な 反 射 を 全 反 射 と い う.ま

様 に し て,￨〓2￨も

１ にな

の 角 度 で 入 射 し た 波 は 完 全 に 反 射 さ れ,透

過 しな

た,

(13.41)

θc=sin-1n

で 規 定 さ れ る 角 度 を 全 反 射 の 臨 界 角 と い う.光

フ ァイ バ は,入

界 角 以 上 に な る よ う に 入 射 光 を コ ン ト ロ ー ル し て,伝   図13.3に,大 況 を 示 す.水

搬 さ せ る 線 路 で あ る.

気 と 接 し た 水 中 に 光 源 が あ っ た 場 合 の,光 の 比 誘 電 率 を εｒ と す る 時,θｉ<sin-1√

分 は 水 中 に 反 射 し,残

り は 空 中 に 透 過 す る.空

円 形 の 照 射 面 が 見 え る.θｉ>sin-1√

図13.3 

射 角が 常 に臨

の 反 射,透

過 の状

εrで あ れ ば,光

の 一 部

中 か ら 見 れ ば,こ

εｒに な る と,光

の 範 囲 に

は 全 反 射 す る.

水 中 の光 源 か らの光 の経 路

13.5 

第

13

章 問 題

１.式(13.24)

を 導 け.こ

れ る が,式(13.21)か

の 関 係 は 式(13.19)か

ら導 か

ら 導 か れ な い の は な ぜ か.

２.本 章 の 議 論 を さ ら に 一 般 化 し,媒 れ ぞ れ(ε1,μ1,σ1)お

質 Ｉ,IIの

誘 電 率,透

よ び(ε2,μ2,σ2)と

磁 率,導

電 率 を そ

し た 時,Γ1,Γ2,T1,T2を

求

め よ. ３.大 気 中 よ り い る.入

εr=81,μr=1,σ=0の

射 角

θiに

対 す る￨Γ1￨,￨Γ2￨,T1,T2の

４.εr=2,μr=1,σ=0の θiに

媒 質 へ 平 面 電 磁 波 が 斜 め 入 射 し て 値 を グ ラ フ に 表 せ.

媒 質 か ら大 気 中 へ 斜 め 入 射 す る 場 合 の 入 射 角

対 す る￨Γ1￨,￨Γ2￨,T1,T2の

５.εr=2,μr=1,σ=0の

値 を グ ラ フ に 表 せ.

媒 質 中 に 等 方 性 点 光 源 が あ り 直 径10[m]の

が 光 っ て 見 え て い る.光

範 囲

源 の 深 さ を 求 め よ.

†ヒ ン ト †

１.式(13.23)に

を 代 入 し,sinθBに

式(13.21)は

μ1=μ2を

つ い て 解 け ば 良 い.

前 提 と し て い る.

など

２.

こ こに ３.θi=0に

４.式(13.21)等

お

い て￨Γ1￨=￨Γ2￨=0.8;T1=T2=0.2.あ

に お い て,n=1/√2で

と は

あ る こ と に 注 意.θi>45°

と な る. ５.式(13.41)と

図13.3か

ら 暗 算 で 解 け る.

図13・2参

で は

照.

Γ=1

第

14 章

導波 管

-

Ｉ

  １つ の 導 体 で 囲 ま れ た 管 の 中 を 電 磁 波 を 伝 送 さ せ る 時 ， こ の 管 を 導 波 管 と い う． こ れ ま でTEM線

路 と し て 平 行 ２線 ， 同 軸 線 路 ， ス ト リ ッ プ 線 路 等

を 取 り 上 げ た が ， マ イ ク ロ 波 領 域 に な る と 損 失 が 大 き くな る の で ，導 波 管 が 用 い ら れ る よ う に な る ． 導 波 管 内 の 電 磁 波 モ ー ド と し て は ，TEM波 在 し 得 ず ，TEま

た はTM波

は存

と 呼 ば れ る 形 態 を と る ．本 章 で は ， こ れ ま で の

結 果 を 基 に し て ， こ れ ら が ど う い う も の で あ り， ど う し て そ う な る の か を 解 説 してみ た い ．

(１) 導 体 壁 へ の 斜 め 入 射 (２) 平 行 平 板 間 の 電 磁 波 (３) 導 波 管 内 の 電 磁 波 (４) 導 波 管 内 の 電 力 伝 搬 速 度  ま ず，前 章 の 斜 め 入 射 に お い て ，媒 質IIが 完 全 導 体 で あった 場 合 の 媒 質 Ｉ中 の 電 磁 波 に つ い て 述 べ る ．つ い で ，媒 質IIに 平 行 に も う １つ の 導 体 板 を お いた 場合 ， この 間 を伝 搬 す る 波が 持 た な けれ ば な らな い条 件 を求 め る．さ らに 上 下 も 導 体 を つ け た 導 波 管 に つ い て ，波 の 経 路 ，導 波 管 内 の 波 長 ，波 長 と 管 幅 の 関 連 な ど に つ い て 述 べ ，導 波 管 が ハ イ パ ス フィル タ の 特 性 を 持 つ こ と を 説 明 す る ．最 後 に ，導 波 管 内 の エ ネ ル ギ ー 伝 搬 速 度 に つ い て 述 べ る ．

導 体壁 へ の斜 め入射

14． 1 第13章

で は ，誘 電 体 か ら異 種 の 誘 電 体 へ 斜 め 入 射 す る 場 合 を 取 り扱 った ．

こ こ で は ， 誘 電 体 か ら完 全 導 体 へ の 斜 め 入 射 に つ い て 述 べ る ．

(１)

直 交偏波

完 全 導 体 の 固 有 イ ン ピ ー ダ ン ス は ０ で あ る か ら ， 反 射 係 数 は 式(13．19)よ り-1と

な る ． し た が っ て ， 媒 質 １ 中 の 電 磁 界 は ，13．2節 を 参 照 し て 次 の よ

うに な る．

(14．1)

(14．2)

  式(14．1)，(14．2)はや や 複 雑 な 形 を し て い る が ， こ れ ら を 子 細 に 観 察 す る と ， 次 の よ う な こ とが 分 か る ． １ ． 境 界 面 に 垂 直 な 方 向(ｚ    

cos(k1zcosθi)の

方 向)に

は ，E1y，  H1xは

， そ れ ぞ れsin(k1zcosθi)，

定 在 波 が 立 っ て い る ．

２． 境 界 面 に 平 行 な 方 向(ｘ

方 向)に

は ，E1y， H1zは

，次 式 に示 す 位 相 速

    度 ，波 長 で 伝 搬 す る ．

(14．3)

(14．4)

３ ． ｘ 方 向 に 伝 搬 す る 波 は ｚ に よ り振 幅 が 変 わ っ て い る ． ま た 磁 界 は ｘ 成     分 ，す な わ ち ，波 の 進 行 方 向 成 分 を 持 って い る ． これ は ，こ れ ま で 学 ん     で き た 平 面 電 磁 波 と は 違 う波 で あ る ．

４ ．sin(k1zcos 

θi)=0の

時 ，す べ て の

ｘ

に 対 し てE1=0と

な る ． こ の

ｚ

    の 値 は 次 の と お り で あ る ．

m 

= 

0,1,2,…

(14．5)

図14・1(ａ)に 入 射 お よ び 反 射 波 の 電 磁 界 ベ ク トル を ， 図(ｂ)に

こ の ２つ の 波

の 干 渉 パ タ ン を 示 す．

(ａ)  電 磁 界 関 係 図

(ｂ) 干 渉 波 パ タ ン

図14・1  完 全 導 体 へ の 直 交 偏 波 の 斜 め 入 射

図(ｂ)に お い て 太 い 点 線 は 電 界 が 紙 面 か ら 上 向 き に 最 大 で あ る 波 面 を ，細 い 点 線 は 下 向 き に 最 大 で あ る 波 面 を 示 す． 境 界 面 で は 入 射 波 と 反 射 波 が 打 ち 消 し 合 っ て い る(た

と え ば Ｏ,A")．

だけ離 れ た面

同 様 に境 界 面 か ら

で も 入 射 波 と 反 射 波 の 電 界 は 打 ち 消 し 合 い ， ０ と な っ て い る(た

と え ば Ａ)．

太 い 破 線 が 交 わ っ て い る 点 の 電 界 は 上 向 き の 最 大 が 足 し 合 わ さ れ(Ｂ)， い 点 線 の 交 点 は 下 向 き の 最 大 が 足 し 合 わ さ て い る(B')．

細

入 射 波 と反 射 波

の 合 成 波 は 式(14．4)の 位 相 速 度 で ｘ 方 向 に 進 行 す る ． 図 と 式 の 関 係 は 次 の よ う にな る．

(14．6)

（ ２）  平 行 偏 波   図13.１(ｂ)に 示 し た 平 行 偏 波 の 説 明 図 にお い て右 側 が 完 全導 体 で あ る と す る.図14.２

に,こ

の場 合の 波 の進行

方 向 と 電 磁 界 の 関 係 を 示 す.   波 の 進 行 方 向 をx-z面 る か ら,電

界 は こ の 面 内 に あ り,ｘ,ｚ

成 分 を 持 っ て い る が,磁 直 で,ｙ

内 に 取って い

界 は これ に垂

成 分 の み で あ る.

  ち な み に 直 交 偏 波 に お い て は,電 は ｙ 成 分 の み で あ っ た が,磁

界

界 は ｘ,ｚ

成 分 を 持 っ て い た.   直 交 偏 波 の 時 と 同 様 に 計 算 す る と,

図14.２   平 行 偏 波 の 斜 め 入 射

電 磁 界 は 次 の よ う に 表 さ れ る. E1(x,z)=-2E0{axjcosθi 

siｎ(k1zcosθi)e-jk1xsinθi

           ＋az sinθicos(k1zcosθi)e-jk1xsinθi}

(14.７) (14.８)

式(14.７),(14.８)を

観 察 す る と,次

の よ う な こ と が 分 か る.

１ ．境 界 面 に 垂 直 な 方 向(ｚ

方 向)に

は,Ｅ １ｘ ，Ｈ １ｙが 定 在 波 を 保 持 し て い る.

２.境

方 向)に

は,Ｅ １ｚ,Ｈ １ｙは 直

界 面 に 平 行 な 方 向(ｘ 度,波

３.ｘ

長 で 伝 搬 す る.

方 向 に 伝 搬 す る 波 はｚ 分,す

に よ り 振 幅 が 変 わ っ て い る 。 ま た 電 界 はｘ

成

な わ ち 波 の 進 行 方 向 成 分 を 持 って い る 。

４.sin(k1zcosθi)=0の のｚ

偏 波 と 同 じ 位相 速

時,す

べ て の ｘ に 対 し てE1x=0と

の 値 は 直 交 偏 波 の 時 と 同 じ で あ る.

な る.こ

の 時

14.２  平 行 平 板 間 の 電 磁 波   平 行 平 板 間 を 伝 搬 す る 波 の 主 な モ ー ド は,第11章 述 べ た よ う に,TEMで

あ る.し

か し な が ら,次

の ス トリップ 線 路 の 項 で

に 説 明 す るTEお

よ びTMモ

ー

ド の 波 も 伝 搬 す る こ と が で き る.

(１) 平 行平板 間のTE波 前 節 で 述 べ た 完 全 導 体 へ の 直 交 偏 波 の 斜 め 入 射[図14．１(ｂ)]を参 照 し て い だ け 離 れ た 面 上 の 電 界 は ど こ で も０ に な っ

た だ き た い ． 導 体 壁 から て い る.し

た が っ て,こ

変 化 は 起 き な い.こ と,図

こ で は 簡 単 の た めm=1の

に お い て,点Ａ

導 体 間 の電 磁 界 に

場 合 を考 える こ とに す る

を 通 る 面 に 導 体 板 を 置 い た こ と に な る.

  この場 合 の電 界 は 磁 界 はｚ

の 面 に 導 体 面 を 持 っ て き て も,両

ｙ 方 向 で,波

成 分 の 他 にｘ

の 進 行 方 向(ｘ

成 分 を 持 っ て い る.こ

を 横 切 っ て い る と い う 意 味 でTE波(transverse 

方 向)に

垂 直 で あ る が,

の よ うな 波 を 電 界 が 進 行 方 向 electric  wave)と

い う.

  ◇   Ｈ 波 と い う 事 も あ る.   平 行 平 板 間 を 伝 搬 す る 波 は,両 と 考 え ら れ る し,入 平 面 波 の 合 成(も

平 板 間 を 反 射 を 繰 り返 し な が ら進 行 す る

射 波 方 向 に 進 行 す る 平 面 波 と,反

射 波 方 向 に進 行 す る

ち ろ ん 境 界 条 件 は 満 足 し な け れ ば な ら な い)と

考 え る こ

と も で き る.   こ の 場 合 の 入 射 波 は 勝 手 な 角 度 を 取 る 訳 に は い か な い.平 ａと す る と,境

界 条 件 を 満 足 す る に は,入

板 間 の距 離 を

射 角 は 次式 を満足 しな けれ ばな

ら な い.

(14.９)

こ こに 点Ｏ

λ は 平 板 間 媒 質 中 の 電 磁 波 の 波 長 で あ る.図14.１(ｂ)に

と そ れ に 対 応 す る 点 Ａ で は λ/２ の 行 路 差 が あ り,位

る 点 に 注 目 さ れ た い.

お い て,原

相 が π ず れ て い

平 板 間 の 合 成 波 は 平 板 に 垂 直 な 方 向 に は 定 在 波 が 立 って お り,平 板 に 平 行 な 方 向 に は位 相速 度

で 進 行 し て い る.

平 板 間 の 電 磁 界 は 式(14.１),(14.２)か ら 求 め ら れ る.あ 界 を 図14.３ に 示 す.電 て い る.磁

界 は 板 に 平 行 で,正

る時 刻 にお け る電磁 になっ

負 最 大値 の 間 隔が

界 は こ れ に 垂 直 な 面 内 で 図 の よ う に 閉 じ て お り,ｚ 成 分 を 持 つ.

図14.３   平 行 平 板 間 のTE波

電磁界

（ ２）   平行 平板 間のTM波   完 全 導 体 に 平 行 偏 波 が 入 射 し た 場 合 も,直 を 通 る 面 に 導 体 板 を 置 い て も,電

磁 界 の 様 子 は 変 わ ら な い.こ

界 は 波 の 進 行 方 向 ｚ に 垂 直 で あ る が,電 う な 波 を,磁

交 偏 波 と 同 様 図14.１ （ ｂ）の 点 Ａ の 場合 の磁

界 は ｚ 成 分 を 持 っ て い る.こ

の よ

界 が 進 行 方 向 を 横 切 って い る と い う 意 味 で,TM波(transverse

magnetic  wave)と

い う．  TM波

の 電 磁 界 は 式(14.７),(14.８)か ら 求 め ら れ る． あ

る 時 刻 に お け る 電 磁 界 を 図14.４ に 示 す.磁

界 は 導 体 に 平 行 で あ る が,電

は 導 体 壁 か ら 垂 直 に 出 て 垂 直 に 入 っ て お り,途

図14.４   平 行 平 板 間 のTM波

中 ｚ 成 分 を 持 つ.

電磁界

界

矩形 導 波管 内 の T

14 3 ．

  次 に,図14・3の

波

E

平 行 平 板 間 をTE波

が 進 行 し て い る 状 態 に お い て,電

界 に

垂 直 な 面 に も完 全 導 体 平 行 平 板 を 置 い て,図14・5の

よ う な 構 造,す

な わ ち,

矩 形 導 波 管 に し た 場 合 を 考 え よ う.

  上 下 導 体 に 対 し,電

界 は 直 角 に交 図14・5  矩 形 導 波 管

わ って お り,接 線 方 向 の 成 分 は な い 。

  境 界 条 件 は 満 足 さ れ て お り,こ れ に よ る 電 磁 界 の 変 化 は 起 き な い か ら 矩 形 導 波 管 内 の 電 磁 界 は 図14・3と 同 じ に な る.   こ れ を 上 か ら 見 た と こ ろ を 図14・6に 示 す.導

波 管 中 を,波

は 前 節で 述べ た

条 件 を 満 た す よ う に,反

射 を繰 り返 し

な が ら ｘ 方 向 に 進 行 す る.た

と え ば,

点 Ｏ を通 る 波 の 経 路 は 図 の 実 線 で 示 し た 経 路 を 取 る. 図 に お い てOA′=λ/2,cosθ の 関 係 が あ る.ｘ

λ/2 a

方 向 の 波 は20A"ご

と に 同 一 電 磁 界 を 繰 り 返 す か ら,導 波 管 内で は これ が 波 長 で あ る と み な す こ と が で き る.こ

れ を 管 内 波 長 と い い,

図14・6 

TE波

の 経 路

λgと 表 す. 図 か ら 明 か な よ う に ， λg=λ/ sinθiで 関 数 と し て 表 す と,次 式 を 得 る.

あ り，こ れ を 自 由 空 間 波 長

λ の み の

(14.10) 自 由 空 間 波 長 と 経 路 の 関 係 を 考 え て み る.λ/2が る ほ ど,θiの な り,λgは

値 は90゜

に 近 づ く.す

λ よ り 僅 か に 長 く な る.

な わ ち,波

導 波 管 幅 に 比 べ て 短 くな の経 路 は ｘ 軸 と平 行 に近 く

  λ が 長 く な っ て く る と θiは 小 さ く な り,波 を も っ て 交 わ り な が ら 進 行 す る.λgは に 長 く な っ て,半

の 経 路 は ｘ軸 とか な りの傾 斜

λ よ り か な り 長 く な る.波

波 長 が 導 波 管 幅 に 等 し く な る と,波

け に な り,ｚ 方 向 に は 進 行 し な く な り,管

長 が さ ら

は管壁 間 を往 復 す るだ

内 波 長 は ∞ に な る.こ

の様 子 を図

14・7(ａ)∼(ｃ)に示 す.

(ａ)   λ/2≪a

(ｂ)   λ/2
図14.7    λ>2aに

(ｃ)  λ/2=a

自由 空 間 波長 と電 磁 波 経 路 の 関連

な る と 波 は 導 波 管 内 に 存 在 し 得 な く な る.存

長 を 遮 断 波 長(カ

ッ トオ フ 波 長)と

い い,λcで

を 遮 断 周 波 数(カ

ッ トオ フ 周 波 数)と

表 す.こ

い い,∫cと

在 し得 る 限 界 の 波 れ に対 応 す る 周 波 数

表 す.こ

(14.11)

λc=2a,fc=c/2 a

で あ る.“ こ の 場 合 は ” と 断 っ た の は,こ で あ る が,こ

の 場 合 は,

れ 以 外 の 波 の 形 態 も存 在 し 得 る か ら

れ に つ い て は 次 章 で 述 べ る.

  遮 断 波 長 よ り長 い 波 長(遮

断 周 波 数 よ り低 い 周 波 数)は

管内を通るこ と

が で き な い か ら,導 波 管 は ハ イ パ ス フィル タ と して 動 作 す る.こ れ は トン ネ ル の 穴 の 大 き さ よ り大 き い物 体 は,そ き な い 事 象 に 似 て い る.

の トン ネ ル を く ぐ り抜 け る こ と が で

14.４  導 波 管 内 の 電 力 伝 搬 速 度   導 波 管 内 の 電 磁 波 は側 壁 間 を ジ グ ザ グ に 反 射 し な が ら 進 行 す る.し て,電

たがっ

力 の伝 搬速度 は平 面波 の伝搬 速

度 ｃ よ り 遅 く な る.図14･８ を 示 す.点

に この 関 連

Ｏ で 反 射 し た 波 が 点 Ａ１ ま

で 進 ん だ 時,実

効 的 に は Ａ′１ まで しか

進 ん で い な い と 解 釈 で き る か ら,こ

れ

が 電 力 伝 搬 速 度 に 対 応 し て い る.逆

に

波 面 は Ａ"１ま で 進 ん で い る か ら,こ

れ

が 位 相 速 度 に 対 応 し て い る.

図14.８   導 波 間 内 の 電 力 伝 搬

電 力 伝 搬 速 度 υｅ お よ び 位 相 速 度 υｐ は 図 か ら

(14.12)

υe =  csinθi  =  c√1-(λ/2a)2

(14.13) で あ る こ と が 分 か る.

で定 義 され る速 度 を位 相 速 度 と い う こ とはす で に述

と こ ろ で,

べ た と お りで あ る が,次 式 で 定 義 さ れ る 速 度 を 群 速 度 と い う.

(14.14) 群 速 度 は 信 号 な い しは エ ネ ル ギ ー の 伝 達 速 度 と し て 知 ら れ て い る.こ

場合

で あ る か ら,式(14.10)を

こ れ か ら 式(14.16)を

β=√

な り,

導 く こ と が で き る.

(14.15)

  (ω/c)2-(π/a)2 υpυgr  = 

式(14.12)は

代 入 し て 整 理 す る と 式(14.15)と

の

c2

群 速 度 に 等 し い こ と が 分 か る で あ ろ う.

(14.16)

14 5 ．

第

14

章問題

1.角 周 波 数 ω の 直 交 偏 波 の 電 磁 波 が 入 射 角 θ で,大

気 中 か ら完 全 導 体

に 入 射 し て い る. (１)導 体 表 面 に 流 れ る 電 流 は い く ら か. (２)大 気 中 の ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル を 求 め よ. ２.間 隔 ａ の 完 全 導 体 平 行 平 板 が あ る.波 間 を 伝 搬 す る 時,波

長 ａ のTEま

た はTM波

が この

の 経 路 を 図 で 示 せ.

３.平行 平 板 を 側 壁 と してTE波

が 伝 搬 す る 時,上 下 に 平 行 板 を 加 え て 矩 形

導 波 管 に して も 電 磁 界 の 様 子 は 変 わ ら な い(本 章 ２節).こ

れ がTM波

で あ った ら ど う で あ ろ う か. ４.群 速 度 に 関 す る 式(14.16)を ５.幅28.5[mm]の

求 め よ.

矩 形 導 波 管 が あ る.こ

伝 搬 す る 時,次

の 中 を 周 波 数10[GHz]のTE波

が

の 値 を 求 め よ.

(１)遮断 周 波 数   (２)管内 波 長   (３)位相 速 度   (４)群速 度 †ヒ ン ト †

１.(１)

(２) ２.θ=60゜

３.上下 板 に 平 行 な 電 界 を 有 す る か ら 境 界 条 件 を 満 足 しな い.次 ４.式(14.15)よ ５.(１)  (３) 

りdβ/dω を 求 め,逆

5.26[GHz]  4.15×108[m/s] 

 

数 を と る. (２) 

4.15[cm]

(４) 

2.17Ｘ108[m/s]

章 参 照.

第

15 章

導 波 管 一II

  導 波 管 の 断 面 形 状 は 普 通 一 様 で,一 番 良 く 使 わ れ る の が 矩 形 で あ り,次 が 円 形 で あ る.管

内 の 電 磁 界 分 布 を モ ー ド と 呼 ぶ が,導

波 管 には 多 くの モ ー

ドが 存 在 し,遮 断 周 波 数 が モ ー ド ご と に 存 在 す る.本 章 で は,矩 に お け るTEモ

ー ド,  TMモ

も 簡 単 に ふ れ る.第14章

ー ドに 重 点 を お い て 述 べ,円

形導 波 管 に つ いて

で は 完 全 導 体 へ の 斜 め 入 射 か ら始 め,平

経 て 導 波 管 に 到 る 説 明 を 行 った が,こ

形導波管

行平 板 を

こで は ヘル ム ホ ル ツ の方 程 式 か らの

解 析 を 行 う. (１) 管 内 電 磁 界 の 一 般 式 (２) 矩 形 導 波 管 に お け るTE波 (３) 矩 形 導 波 管 に お け るTM波 (４) 円 形 導 波 管 に お け る 電 磁 界   ま ず,電 界 お よ び 磁 界 が 波 の 進 行 方 向 成 分 を有 す る と い う 前 提 か ら管 内 電 磁 界 の 一 般 式 を 導 く.っ い で,TE波

に つ い て こ の 式 を解 き 境 界 条 件 を 適 用

す る こ と に よ り,矩 形 導 波 管 に お け るTE波 ドと 高 次 モ ー ドが あ る が,代 る.TM波

の 解 を 求 め る.解 に は 基 本 モ ー

表 的 な 電 磁 界分 布 と遮 断波 長 等 につ い て 述べ

に つ い て も 同 様 の 解 析 を 行 う。円 形 導 波 管 に お け る 式 は 円筒 座 標

を 用 い た 方 が 便 利 で,解

は べ ッセ ル 関 数 を 用 い て 表 す こ と が で き る.

15.１  管 内 電 磁 界 の 一 般 式   一様 断 面 の 導 波 管 内 の電 磁 波 を解 く に 当 た り,座 標 系 を 前 章 と は 変 え, 進 行 方 向 をｚ と し 図15・１の よ う に と る.管 壁 導 体 の 導 電 率 は 無 限 大 で,媒 質 は 無 損 失 と す る.ま た,管 内 を 伝 搬 す る 電 界 と 磁 界 は 正 弦 波 で,フ ェー ザ 表 示 さ れ,ｚ

方 向 の 伝 搬 定 数 はjβ

図15・ １  一 様 断 面 導 波 管 と 座 標 系

とす る.電

界の 瞬 時 値 は次 のよ うに表

さ れ る. e(x,y,z,t)=Re{E(x,y)ej(ωt-βz)

(15.１)

こ こ で Ｅ(ｘ,ｙ)は 断 面 座 標 に の み 依 存 す る ベ ク トル フェー ザ で あ る. 導 波 管 内 の 電 界 お よ び 磁 界 は 次 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 方 程 式 を 満 足 す る. ▽2E+κ2E=0, 

▽2H+κ2H=0, κ=ω√εμ

(15.２)

▽２ を 断 面 座 標 部 分 ▽２ｘｙ と 進 行 方 向 部 分 ▽２ｚ に 分 け て 考 え る と, ▽2E= 

式(15.３)を

(▽2ｘy+▽2z)E  =  ▽2xyE-β2E

式(15.２)に

代 入 し て 式(15.４)を,磁

▽2xyE+(-β2+κ2)E 

(15.３)

界 に つ い て 式(15.５)を

得 る.

(15.4)

=  0

▽2xyH+(-β2+κ2)H=0

(15.５)

  管 内 電 磁 界 の 進 行 方 向 成 分 Ｅｚ,  Ｈｚ は 式(15.４),(15.５)か ら 求 め ら れ る.他 の 成 分 は マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 か ら 求 め る こ と が で き,途 る が 結 果 は 次 の よ う に な る.た

だ しκ2c＝-β2+κ2で

あ る.

中経 過 は 省略 す

15 2 .

矩 形 導波 管 に お け る

T E

波

  座 標 系 お よ び矩 形導 波 管 の 寸 法 を 図15.2の

よ う に と る.TE波

は 定 義 に よ りEz=0で

にお いて

あ る か ら  電

磁 界 を 求 め る に は 式(15.5)を -β2+K2 

と お く と,Hzに

用 い る.

=  k2 c

(15.6)

図15・2  矩 形 導 波 管 と 座 標 系

つ い て 次 式 を 得 る.

こ の 式 を 解 く に は 第5章

で も 用 い た 変 数 分 離 法 に よ る.

Hz(x,y)=X(x)Y(y) と お く と,上

(15.7)

式 は次 の よ うにな る ．

(15.8) 右 辺 が 定 数 で あ る か ら 左 辺 各 項 も 定 数 に な り,こ

の 式 は 式(15.9)に

示 す ２つ

の ２ 階 常 微 分 方 程 式 に 分 解 さ れ る.

(15.9) K2cx+k2cy=k2c

(15.10)

こ れ ら の 式 の 解 はA1,B￨,A2，B2を

積 分 定 数 と して 次 の 様 に表 す こ とが で

き る．

X=A1cosｋcxx+Blsinkcxx

(15.11)

Y  =  A2coskcyy+B2sinｋcyy

(15.12)

境 界 条 件 と し てx=0お に お い てEx=0が

よ びx=aに

お い てEy=0,y=0お

成 り 立 た な け れ ば な ら な い.前

よ びy=b

ペ ー ジ の 最 終 式 に お い て,

EZ=0で

がx=0に

あ る か ら ，Ey=0はδHzδx=0で

あ る こ とを意 味 す る．

お い て ０ に な る た め に はB1=0,x=aに

はkcxa=mπ(m=0,1,2,…)で   同 様 に し てEx=0が を 得 る.今A1A2=Hmnと

お い て ０に な る た め に

な け れ ば な らな い ． 成

り 立 つ 条 件 か ら,B2=0,  お く と,式(15.7)は

Kcyb=nπ(n=0,1,2,…) 次 の よ う に な る.

(15.13) (15.14) ま た 式(15.10)は

次 の よ う に 表 す こ と が で き る.

(15.15)   こ れ ら の 式 は,矩

形 導 波 管 内 の 電 磁 界 に は,m, 

nの

な モ ー ド が 存 在 す る こ と を 示 し て い る ． こ れ ら をTEｍnモ m,nの

値 で 区 別 し て い る.た

だ しm,nが

  Hz以

ー ド と 名 付 け,

同 時 に ０ の 場 合 はHz=H00=

定 数 と な り,他 の 電 磁 界 成 分 は す べ て ０ に な る.こ 存 在 し な い か ら,両

組 み 合 わ せ で 色々

の よ うな高 周波 電磁 界は

方 が ０ に な る モ ー ド は な い.

外 の電 磁 界は 次 のよ うに な る

(15.16) (15.17) (15.18) (15.19) (15.20)

図15.3に

代 表 的 なTEモ

ー ド のx-y面

(ａ)  TE10

内 の 電 界 と 磁 界 の 分 布 を 示 す.

(ｂ)  TE20 図15・3 

こ こ ま で γ=jβ

主 要TEモ

(ｃ)  TE11

ー ド のx-y面

と し て き た が,α

内電 磁 界

も 考 慮 し て 式(15.6)を

書 き 換 え る と,

(15.21) kc>ω

√eｵの

場 合 は7は

実 数 と な り,電

磁 界 はe一 αzで 急 激 に 減 衰 す る.

逆 にk。 く ω√εμ の 場 合 は γ は 虚 数 と な り,電 波 動 と して

ｚ 方 向 に 伝 搬 す る.kc=ω√

こ の 時 の 周 波 数fcmnを

磁 界 はe-jβzで,減

衰せ ず に

εμ の 場 合 は 波 は 進 行 し な く な る.

遮 断 周 波 数 と 呼 び,式(15.20)よ

り 次 式 で 表 さ れ る.

(15.22)   遮 断 周 波 数 に 等 し い 周 波 数 の 平 面 波 が,導

波 管 内 の媒 質 と等 しい 媒質 で

満 た さ れ た 自 由 空 間 を 伝 搬 す る 時 の 波 長 λcを 遮 断 波 長 と呼 ぶ.

(15.23)

  最 も 遮 断 周 波 数 の 低 い モ ー ド を そ の 導 波 管 の 基 本 モ ー ド と い う.α>bと す れ ば 基 本 モ ー ド はm=1,n=0の

場 合 のTE10モ

ー ド で あ る.こ

の遮 断

周 波 数 と遮 断 波 長 は C/

,fc10= と な る.こ

2a

(15.24)

,    λc10=2a

の 他 管 内 波 長,位

相 速 度,群

速 度 等 も 求 め ら れ,前

章 で述 べ た と

同 様 の 結 果 が 得 ら れ る.   す で に 気 づ か れ た と お り,前 章 の 導 波 管 内 のTE波

は 基 本 モ ー ド で あ っ た.

矩形 導波 管 にお ける T M

15. 3

波

 前 節 と 同 じ 座 標 系 と 寸 法 を 持 っ 矩 形 導 波 管 に お け るTM波 義 に よ り,TM波

に お い て はHz=0で

あ る か ら,式(15・4)を

を 考 え る.定 用 い,

(15.25) Ez(x,y)=X(x)Y(y)と

お い てEzの

て 積 分 定 数 を 求 め る と,TMモ

解 を 求 め,前

節 と同 じ境 界条 件 を用 い

ー ド の 電 磁 界 を 求 め る こ と が で き る.経

前 節 と 同 じ で あ る か ら 省 略 し,結

過 は

果 の み を 示 す.

(15.26) (15.27) (15.28) (15.29) (15.30) 図15.4に

代 表 的 なTMモ

ー ド のx-y面

(a)TM11

(b)TM21 図15・4

 こ こ でm,nの

行 平 板 中 のTM波

主 要TMモ

(c)TM22

ー ド のx-y面

内 １ つ で も ０ に な る と,式(15.26)か

た が っ て 電 磁 波 はTEMモ い か らm,nは

内 の 電 界 と 磁 界 の 分 布 を 示 す.

ー ド と な る が,導

い ず れ も ０ と な り 得 な い.前

内電 磁 界

らEz=0と

波 管 中 をTEM波

な る.し

章 の 練 習 問 題14.3に

は伝 搬 し得 な お い て,平

の 上 下 に 導 体 板 を 付 け て 矩 形 導 波 管 に す る と,電

磁 界 は

変 わ っ て し ま う こ と を 考 察 し た.こ

れ はTM10波

が 存在 しな いの に符 合 し

て い る.   式(15.26)∼(15.30)は

フ ェ ー ザ 表 示 で あ り,瞬 時 値 を 求 め る に は,ej(ωt-βz)を

掛 け て 実 部 を 取 れ ば 良 い.た

と え ばTM11モ

ー ド の 瞬 時 値 を １,２

示す と次

の よ う に な る.

こ れ ら を 用 い てx-z,y-z面

内 の 電 磁 界 を 描 く こ と が で き る. TM11モ

の あ る 時 刻 に お け るx-z面

内 の 電 磁 界 は 図14.４ の と お り(た

逆)で

あ り,y-z面

垂 直 に 交 わ る.ち  TMモ

だ しｘ,ｚ

が

内 の そ れ も 図14・ ４ と 同 様 の 分 布 に な り,電 界 は 上 下 面 と な み にTE10モ

ー ド の 電 磁 界 は 図14・ ３ の ま ま 不 変 で あ る.

ー ド の 遮 断 周 波 数 や 遮 断 波 長 はTE波

しTM10モ

ー ド

ー ド は 存 在 し な い か ら,最

と 同 じ 式 で 表 さ れ る.た

だ

も 低 い 遮 断 周 波 数 を 持 つ の はTM11

モ ー ド と な る.

§ 例 題15.１

§ TM11モ

ー ド を 例 に と っ てx-y面

内 の電 界 と磁 界 は 互 い に

直 交 す る 事 を 示 せ.

†解 答 † 電気 力 線 に関 す る方 程式 はそ の定 義 によ り き る ． 同 様 に し て 磁 力 線 の 傾 斜 も 求 め ら れ,

し た が って

と な る.

か ら求 め る こ と が で

15.4  円 形 導 波 管 に お け る 電 磁 界   最 後 に 円 形 導 波 管 に つ い て も簡 単 に 述 べ て お く.途 中 省 略 す る 部 分 も あ る が 詳 細 は 専 門 書 を 参 照 さ れ た い.円 形 導 波 管 の 伝 搬 モ ー ド もTEとTMが あ り,解 を 求 め る 手 順 は 矩 形 と 同 じ で あ る が,円 柱 座 標 系 を 用 い る 方 が 都 合 が 良 い. (１)  TE波 Ez=0で

あ る か ら 式(15.5)を

円 柱 座 標 に 変 換 し て 用 い る.変

換 公 式 によ り

(15.31) Hz(r,φ)=R(r)φ(φ)と

お い て 変 数 分 離 を 行 う と 次 の ２ 式 に 分 解 さ れ る,

(15.32) 第 １式 の 解 は 次 の よ う に な る.

R=A1m(kcr)+A2Nm(kcr) Jm(hcr)は

ｍ 次 の べ ッ セ ル 関 数(第

イ マ ン 関 数(第 残 る.第

(15.33)

２ 種 円 柱 関 数)で

１種 円 柱 関 数),Nm(kcr)は あ る が,後

２ 式 は 単 振 動 で,φ0=0に

  境 界 条 件 はr=α 誘 導 さ れ るEφ Jm(kcr)を(kcr)で の 根 を ρmnと

とる と

に お い てEφ=0で

者 は 解 とな ら ず 第 １項 だ け が ￠=Bcosmφ

あ る.マ

な るJ'm(kca

お い た も の で あ る. J'm(ρ)=0の )

お く と, ｍ,  ｎ に 対 応 す るkcmn=ρmn/aが

係 をHz(r,φ)=R(r)Φ(φ)に

と な る.

ク ス ウ ェル の 方 程 式 か ら

の 式 に こ れ を 適 用 す る と,J'm(kca)=0と 微 分 し てr=aと

ｍ 次 の ノ

適 用 し, A1B=Hmnと

ｎ 番 目

求 め ら れ る.こ

の関

お く と 次 式 を 得 る.

(15.34) そ の 他 の 電 磁 界 も 矩 形 の 時 の よ う に 誘 導 さ れ る が,式   TEmnモ

ー ド に お い てm≧0で

あ り 得 る が,n≧1で

は 省 略 す る. な け れ ば な ら な い.

た だ し ρ′mnの 最 小 値 は ρ′11=1.8412で を 含 め て,最

も長 い 波 長

あ り,こ れ が 次 に 述 べ るTMモ

λc11=2π/kc11=3.4125aま

形 導 波 管 の 基 本 モ ー ド と な る.図15・5に,代

ー ド

で 通 す こ と が で き,円

表 的TE波

のr-φ

面 内 にお け

る 電 界 と 磁 界 の 模 様 を 示 す.

(ａ)  TE01

(ｂ)  TE11

図15・5 

(2)

T M

  Hz=0で

主 要TEモ

(ｃ)  TE21

ー ド のr-φ

面 内 にお け る電 磁 界

波 あ る か ら,式(15.4)を

波 に お け るHzと

円 柱 座 標 に 変 換 し て 解 く と,Ezに

同 様 の 一 般 解 を 得 る.境

適 用 す る とJm(kca)=0と

界 条 件, r=aに

な る.Jm(ρ)=0の

に 対 応 す るkcmn=ρmn/aが

求 め ら れ る.こ

関 し てTE

お い てEφ=0,を

ｎ番 則 の 根 を ρmnと

お く と,ｍ, n

の 関 係 をEz(r,φ)=R(r)Φ(φ)

に 適 用 す る と 次 式 を 得 る.

(15.35) ρmnの

最 小 値 は ρ01=2.4048で, 

15・6に,代

表 的TM波

のr-φ

(ａ)  TM01 図15・6 

ρ′mnを含 め ρ′ 11の 次 に 小 さ い 値 で あ る.図 面 内 に お け る 電 界 と 磁 界 の 模 様 を 示 す.

(ｂ)  TM11 主 要TMモ

ー ド のr-φ

(ｃ)  TM21 面 内 にお け る 電磁 界

15.5 

第

15

章 問 題

１.a=40[mm],b=20[㎜]の

矩 形 導 波 管WRJ-6が

基 本 モ ー ドだ け を 伝 送

す る 場 合 の 周 波 数 範 囲 を 求 め よ. ２.a=22.9[㎜],b=10.2[mm]の

矩 形 導 波 管WRJ-10が

の 遮 断 周 波 数 よ り25%以 用 し た い.使

上 高 い が,次

あ る.基

に 高 い 遮 断 周 波 数 の95%以

本 モ ー ド 下 で使

用 可 能 な 周 波 数 範 囲 を 求 め よ.

３.a=58.1[㎜],b=29.1[㎜]の

矩 形 導 波 管WRJ-4に3[GHz]の

搬 さ せ た.TE10,TE11,TE20は

こ の 導 波 管 を 通 過 し 得 る か.通

信 号 を伝 過 し得 な

い モ ー ド の 減 衰 定 数 は い く ら か.

４.矩形 導 波 管 にTE10波

が 伝 搬 し た 場 合,管

の 内壁 に流 れ る電 流 の模 様 を

描 け. ５.直 径51.99[mm]の

円 形 導 波 管WCI=40が

基 本 モ ー ドの み を 伝 送 す る 周 波

数 範 囲 を 求 め よ.

†ヒ ン ト †

１.λc10=80[mm] λc20=λco1=40[mm] ２.1.25fc10

３.TE10の

〓

f

〓

み 通 過.

α は 式(15.21)を ４.Js

=

0.95fc20

適 用.

an×H

電 流 分 布 は 図15.7参 ５.TE11の

次 はTMo1

照

図15.7表

面電 流 概 略 図

第

16

章

光 フ アイ バ

 通 信 に お け る 搬 送 周 波 数 は 順 次 高 い 周 波 数 領 域 が 開 拓 さ れ,1960年 は ミ リ 波 帯 ま で が 利 用 さ れ る よ う に な っ た.し を 利 用 す る の で,表 こ と は 困 難 で あ る.そ

か し本 質 的 に金属 の 導 電 性

皮 効 果 の 影 響 を 避 け る こ と が で き ず,こ の 後,レ

ー ザ 発 振 器,低

フ ァイ バ 通 信 が 広 く 用 い ら れ る よ う に な っ た.本

代 に

れ 以 上 高 め る

損 失 ガ ラ ス の 開 発 に よ り,光 章 で は こ の 光 フ ァイ バ に つ

い て 述 べ よ う. (１)  光 フ ァ イ バ の 種 類 (２)  光 フ ァイ バ に お け る 光 線 軌 跡 (３)  光 フ ァイ バ の 導 波 モ ー ド (４)  光 フ ァイ バ に お け る 信 号 劣 化 ま ず,光

フ ァ イ バ の 基 本 的 な 構 造  お よ び 種 類 を 示 す.つ

ロ ッ ド に お け る 導 波 の 概 要 を 光 線 軌 跡 に よ り 説 明 す る.し 短 い の で 多 く の モ ー ドが 伝 搬 し,か る.こ

い で,単

一誘 電 体

か し光 の 波 長 は

つ そ の 速 度 が 異 な る の で,分

散 が お き

れ を で き る だ け 少 な くす る た め に で き た ス テ ップ 形 お よ び グ レー デ ッ

ド 形 光 フ ァイ バ に つ い て 述 べ る.さ 磁 波 の 観 点 か ら 求 め,HE11と

い う モ ー ド が 基 本 モ ー ド と な る こ と,お

単 一 モ ー ド フ ァイ バ を 説 明 す る.最 簡 単 に 述 べ る.

ら に フ ァ イ バ 中 を 伝 搬 し 得 る モ ー ドを 電 よ び

後 に フ ァイ バ の 持 つ 損 失 と 分 散 の 要 因 を

16.1 

光 フ ァイ バ の 種 類

  光 フ ァ イ バ は100[μm]程

度 の直 径 を もつ 円柱 形 の光 波 用 誘電 体 線路 で 低

損 失 ガ ラ ス ま た は プ ラ ス テ ィ ック を 用 い て 作 ら れ て い る 。 そ の 構 造 は 中 心 部 に 誘 電 率(屈

折 率)の

高 い コ ア が あ り,そ れ を 取 り 巻 い て や や 屈 折 率 の 低 い

ク ラ ッ ド が 配 置 さ れ て い る.実

用 さ れ て い る 光 フ ァイ バ に は 次 に 挙 げ る よ う

な ３ 種 類 が あ る.   (1)  ス テ ッ プ(イ

ン デ ッ ク ス)形

  (2)  グ レ ー デ ッ ド(イ

光 フ ァイ バ

ン デ ッ ク ス)形

光 フ ァイ バ

  (3)  単 一 モ ー ド光 フ ァ イ バ (1)は コ ア の 屈 折 率 が 一 様 な も の で,最 れ に つ い て は16.2.2項

も 基 本 的 な フ ァ イ バ 構 造 で あ る.こ

で 述 べ る.

(2)は コ ア の 屈 折 率 が 半 径 方 向 に 減 少 す る よ う に し た も の で16.2.3項 る.な

お(1)と(2)で

は,複

で 述べ

数 モ ー ド の 光 が フ ァイ バ 内 を 通 過 す る の で,(3)

に 対 応 し て 多 モ ー ド光 フ ァ イ バ と い う. (3)は

１つ の モ ー ド だ け が 伝 搬 す る よ う に コ ア 径 を 小 さ く し た も の で あ る.

こ れ に つ い て は16.3節

で 述 べ る.

  図16・ １に こ れ ら 光 フ ァ イ バ の 分 類,屈

折 率 プ ロ フ ァイ ル,光

図16・ １  光 フ ァイ バ の 分 類 と 屈 折 率

線 経 路 を 示 す.

16.2 

光 フ ァイ バ に お け る 光 線 軌 跡

16.2.1 

誘 電 体 ロ ッ ドに お け る 光 伝 搬

  誘 電 率 が 大 き い 媒 質 か ら 小 さ い 媒 質 へ 電 磁 波 が 入 射 す る 場 合,す ε1>ε2で

あ る と,臨 界 角 θc=sin-1n以

る こ と は13.4節 で 学 ん だ.い

なわ ち

上 の 角度 で入 射 した波 は全 反 射 す

ま 図16・２に 示 す よ う な 比 誘 電 率 εrの 誘 電 体

ロ ッ ドが あ り,左 側 の 端 面 か ら光 が 斜 め 入 射 し た とす る.

図16・ ２  誘 電 体 ロ ッ ド 内 の 光 伝 搬

ロ ッ ドの 側 面 に お け る 入 射 角 を θ1と す る と,全

の 関 係 が 必 要 で あ る.一 方,端

反射 す るた め に は

面 に お け る 透 過 角 を θpと す る と,θ1=π/2-θp

で あ る か ら こ の 関 係 は 次 の よ う に な る.

端 面 の 入 射 角 θiと れ か らcosθpを

θpの 間 に は

の 関 係 が あ る か ら,こ

す な わ ちsinθi〓√

求 め て 上 式 に 代 入 す る と 次 の 関 係 を 得 る.

εr-1の

り 返 し な が ら 伝 搬 す る.

角 度 で 入 射 し た 光 は ロ ッ ドの 側 面 で 全 反 射 を 繰

§例 題16.１ §  端 面 へ の 入 射 角 如 何 に か か わ らず,光 が 全 反 射 して ロ ッ ド内 を 進 む た め に は ロッ ドの 誘 電 率 は い く ら以 上 で な け れ ば な ら な い か. †解 答 †   前 ペ ー ジ の 最 終 式 か ら 次 式 を 得 る.こ

の 右 辺 は θi=π/2で

最 大 値 ２と

な る.     εr〓1+sin2  θi す な わ ち あ ら ゆ る 入 射 角 に 対 して εr〓2で あ れ ば 光 は ロ ッ ド内 を 伝 搬 す る.

16.２.２  ス テ ッ プ 形 光 フ ァ イ バ 中 の 光 伝 搬   し か ら ば,εrの

大 き い 誘 電 体 で ロ ッ ド を 作 れ ば 光 フ ァイ バ と し て 十 分 な

の で あ ろ う か.光

の 位 相 を も 考 慮 す る と 上 記 の 条 件 の 内,さ

ら にあ る特 定

の 一 連 の 不 連 続 な 角 度 で 入 ・反 射 す る 光 の み が 有 効 に 伝 わ る こ と が 導 か れ る.こ

れ ら の 波 は 導 波 管 の 時 と 同 様,特

ドを 作 って,異

定 の 電 磁 界 パ タ ン,す

な る 経 路 を光 速 度 で 進 行 す る． し た が って,軸

な わ ちモ ー

方 向の群 速度

は モ ー ド ご と に 異 な っ て く る.こ れ を モ ー ド分 散 と い う.εrが

大 き いほ ど

分 散 が 大 き く な り,短 い パ ル ス で 変 調 し た 光 を 入 れ て も,出 口 で は 幅 の 広 い パ ル ス に な って し ま う.   こ れ を 避 け る た め に は あ る 誘 電 体 ロッ ド(コ ア)の に 屈 折 率 の 小 さ い 誘 電 体(ク

周 り を,そ れ よ り僅 か

ラ ッ ド)で 取 り巻 く.こ れ が ス テ ップ(イ

ンデ ッ

ク ス)形 光 フ ァイ バ で あ る.伝 搬 す る 光 に は ファイ バ の 中 心 軸 を 含 む 子 午 光 線 と 中 心 軸 を は ず れ た 斜 め 光 線 が あ る が,後

者 は進 行 と と もに漏 れ 光線 と

な って 失 わ れ る.図16・ ３に こ の フ ァイ バ と,伝 搬 す る 光 線 経 路 を 示 す.

図16・３  ス テ ップ 形 光 フ ァイ バ と 光 線 経 路

  ス テ ッ プ 形 光 フ ァ イ バ 中 を,光

が 全 反 射 し な が ら進 行 す る た め の 条 件 を 求

め て み よ う.図16・ ３ に お い て コ ア と ク ラ ッ ド の 屈 折 率 を ｎ１,  ｎ２ と す る と, 全 反 射 の 条 件 はsinθ1>n2/n1で sin  θp=(1/n1)sinθiを

あ る.こ

れ に入 射 端 面 にお け る 関係 式

代 入 し て 書 き 換 え る と,次

の 関 係 を 得 る.

(16.１)

θimaxを 光 フ ァイ バ の 最 大 受 光 角,NAを

開 口 数 と 呼 ぶ.ま

た コ ア と ク ラッ

ドの 屈 折 率 の 違 い は 次 式 で 定 義 さ れ る 比 屈 折 率 差 で 表 す の が 一 般 的 で あ る． (16.２)

比屈 折率 差 を用 いて 開 口数 を表 す と (16.３)

  図16・３ に お い て 最 も 速 く 伝 搬 す る の は θi=0,最 で 入 射 す る 光 で あ る が,こ

も 遅 い の は θi=θimax

れ らが 単位距 離 を伝 搬 す る時 間差 τ は次 の よ う

に な る.

(16.４)

式(16.４)か §例 題16.２

ら,分

散 を 小 さ く す る に は

を 小 さ く す る こ と が 必 要 で あ る.

§  コ ア 直 径D=50[μm],nl=1.48, 

ス テ ッ プ 形 光 フ ァ イ バ が あ る.次   (１) 

△

θc,NA, 

n2=1.46で

の 値 を 求 め よ.

θimax

  (２)  最 長 光 経 路

Ｌ,τ

〓 解 答〓 (１)   θｃ =    sin-1(1.46/1.48) 〓      NA 

=   √1.482-1.462 〓

     θimax  =  sin-1  NA 〓 (２) 

 80.6°  0.242  14°

L=Dsecθc×{1000/(Dtanθc)}〓1,013[m]

     τ =  {(1.48-1.46)/(3×108)} 〓

 0.067[ns]

長 さ1,000[m]の

16.２.３  グ レ ー デ ッ ド 形 光 フ ァ イ バ 中 の 光 伝 搬 一 般 に 不 均 質 な 媒 質 中 を 伝 搬 す る光 線 の 経 路 は 次 の 光 線 方 程 式 に し た が う .

(16.５)

コ ア 径 を ２α と し,屈 折 率 分 布 と して 最 も 標 準 的 な ２乗 分 布 を 仮 定 す る. n(r)=n1√1−g2r2

(16.６)

こ こ に ｒ は フ ァ イ バ 軸 か ら の 距 離,nlは √2△/aで

あ る.式(16.５)を

リ カ ル 光 線,斜

は 定 数 で ｇ=

円 柱 座 標 系 の 成 分 に 分 け て 表 し,式(16

入 し て 光 線 軌 跡 が 求 め ら れ る.詳 線,ヘ

軸 上 の 屈 折 率,ｇ

細 は 省 略 す る が,初

め 光 線 が 生 じ る.子

.６)に 代

期 条 件 に よ って 子 午 光

午 光 線 の 解 は 次 の よ う に な る.

(16.７)

  光 は2π/gの

周 期 で 正 弦 波 状 にｚ

方 向 に 進 行 す る.こ

れ は コ ア の 屈 折

率 が 連 続 的 に 変 化 して い る こ と か ら 納 得 で き よ う.光 線 軌 跡 を 図16・４ に 示 す.正

弦波 の振幅 は光 線 の透 過角

に 応 じ て,モ

θｐ

ー ド ご と に 異 な った 値 を

と る よ う に な る.

図16・４ グ レ ー デ ッ ド 形 フ ァイ バ の 光 経 路

  正 弦 波 光 線 は 軸 上 を 進 む 光 線 や ス テ ップ 形 ファイ バ 中 の 光 線 に 比 べ て 長 い 距 離 を 進 む の で,よ

り モ ー ド 分 散 を 生 じ る よ う に み え る.し

線 は 屈 折 率 の 低 い コ ア 周 辺 部 を 通 る 部 分 が 長 く,こ り も 高 速 度 で 進 行 す る.こ も 小 さ く な る.こ 波 が,単

の 補 償 作 用 の た め,モ

れ も 詳 細 は 省 略 す る が,最

の部 分 で は軸 上 光 線 よ

ー ド 分 散 は ス テ ップ 形 よ り

高 次 モ ー ドの 波 と 軸 上 を進 む

位 距 離 を 伝 搬 す る に 要 す る 時 間 差 はTmax=(nl/2c)△2で

式(16.４)の

値 よ り 小 さ く な る．

か し正 弦 波 光

表 さ れ,

16.３

  光 フ ァイ バ の 導 波 モ ー

ド

  光 線 に よ る 光 フ ァイ バ の 伝 送 特 性 の 説 明 は 分 か りや す い が,必 ず し も 厳 密 な も の で は な い.厳

密 な 解 析 に は 電 磁 波 と し て の 取 扱 い が 必 要 で あ る .詳

細 は 本 書 の 範 囲 外 で あ る が,ス テ ップ 形 ファイ バ に お け る 電 磁 界 の 概 略 に つ い て 簡 単 に 述 べ て お こ う.   フ ァイ バ 軸 が ｚ 軸 と一 致 す る よ う に 円 柱 座 標 系 を と る と,Ｅｚ,Ｈ ｚ は 円筒 導 波 管 と 同 じ次 の 波 動 方 程 式 を 満 足 す る ．

(16.８)

  円 筒 導 波 管 と 違 う の は,フ

ァイ バ の 場 合 は,コ

電 磁 界 が 存 在 す る こ と で あ る.す

な わ ち,ど

ア だ け で な く ク ラッ ドに も

ち ら の 領 域 に 対 し て も,Ｅ ｚ か

ら 導 か れ る 解 と Ｈｚ か ら 導 か れ る 解 の 両 成 分 を 持 つ 解 を 仮 定 し な け れ ば な ら な い.   式(16.８)の る が,物

解 を Ｒ(ｒ)〓(φ)と お い て 解 く と,Ｒ(ｒ)は

式(15.33)の

よ うにな

理 的 条 件 と 関 数 の 性 質 か ら ベ ッセ ル 関 数 が コ ア 内 ,ノ イ マ ン 関 数 が

ク ラ ッ ド 内 の 解 と な る.〓(φ)は

正 弦 波 関 数 と な る か ら,コ

正 弦 波 電 磁 界 の ｚ 方 向 へ の 位 相 定 数 を β と す る と ,次

ア内 の電磁 界 は, の よ う に な る.

(16.９) μ2  =  a2(n2 1κ20-β2)

  ク ラ ッ ド 内 で は 式(16．９)のJmの

代 わ り にNmが

入 っ た 形 と な る.積

分

定 数 は,Ｅ ｚ,Ｈ ｚ と マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 か ら 得 ら れ る Ｅｒ,Ｅφ,Ｈ ｒ,Ｈ φ の 式 と,境

界 条 件 か ら 求 め る こ と が で き る.

  式 は 煩 雑 に な る の で 示 さ な い が,結

果 は 次 の よ う に ま と め る こ と が で き る.

  (１)  m=0の

時,電

か ら な るTMモ

ー ド の い ず れ か に な る.こ

あ る.

磁 界 は Ｈ ｚ,Ｈｒ,Ｅφ か ら な る ＴＥ モ ー ドか, Ｅｚ,Ｅｒ,Ｈφ れ は 円 形 導 波 管 と 同 じ モ ー ドで

  (２)  m〓1の

時,TE,TMの

混 成 に よ る ハ イ ブ リ ッ ド モ ー ド と な る.ハ

イ

ブ リ ッ ドモ ー ド に は ＥＨ モ ー ド と Ｈ Ｅ モ ー ド が あ る.Ｅ Ｈ,Ｈ Ｅ は 積 分 定 数 を 求 め る た め の 固 有 方 程 式 か ら,比

屈 折 率 差 が 小 さ い と き 得 ら れ る,弱

導 波

近 似 と 呼 ば れ る 分 散 式 の 正 負 に よ っ て 与 え ら れ た 名 称 で あ る.   (３)  ＨＥ11モ

ー ド は 遮 断 周 波 数 が0と

ド と な る.Ｈ Ｅ11モ

な り,光

ー ド の コ ア 内 に お け る 電 磁 界 分 布 を 図16・ ５ に 示 す.

図16・ ５  Ｈ Ｅ11モ

ー ドの コ ア内 にお け る電 磁 界 分 布

  と こ ろ で モ ー ド分 散 が 起 き る の は,い あ っ て,１

フ ァイ バ に お け る 基 本 モ ー

く つ も の モ ー ドが 存 在 す る か らで

つ だ け の モ ー ド を 伝 搬 さ せ る こ と が で き れ ば,こ

と が で き る.Ｈ Ｅ１１ の 次 の 高 次 モ ー ド はJ0(ρ)=0の

最 初 の根

を と る モ ー ド で あ り,Ｔ Ｅ０１,ＴＭ ０１,ＨＥ２１ で あ る.し 伝 搬 し,高

ρ01=2.4048

た が っ て,Ｈ

Ｅ11の

み が

次 モ ー ド が す べ て 遮 断 状 態 に な る 条 件 は 次 式 で 与 え ら れ る.

2.4048 

> μ=√k20n21-β2α=ko√n21一n22α

  た と え ば 波 長1[μm],n1=1.5,比 条 件 か ら 半 径 α<5.7[μm]と 現 実 に α=5[μm]程 n=1.5の

れ を軽 減す る こ

                  

屈 折 率差 な る.こ

△=0.1[%]と

れ は か な り 細 い が,実

(16.10)

す る と,こ

度 以 下 の 単 一 モ ー ド フ ァイ バ が 実 用 さ れ て い る.も

単 一 誘 電 体 ロ ッ ド で あ る と,α<0.3[μm]と

の

現 可 能 で あ り, し

な り実 現 不 可能 に

な る.   グ レ ー デ ッ ド形 の よ う に,誘

電体 が空 間的 に連 続 に変化 す る よ うな 不均 一

な 媒 質 中 に お い て は,Ｅ ｚ,Ｈ ｚ が 完 全 に 分 離 し た 形 に な ら な い で,結

合 連 立

微 分方 程 式 にな る ．この よ うに い くつ か の成 分 を 同時 に 含 む 波動 方 程 式 を ベ ク トル 波 動 方 程 式 と い い,こ

れ を 解 く 事 は 非 常 に む つ か し い.空

変 化 が 十 分 緩 や か な 時 は ス カ ラ 近 似 が で き て 解 け る よ う に な る が,そ も 結 構 複 雑 で 本 書 の 範 囲 を 超 え る.

間 的 な れ で

16.４   光 フ ァイ バ に お け る 信 号 劣 化   光 フ ァイ バ の 材 料 に は 石 英 ガ ラ ス が 多 用 さ れ る.こ の ファイ バ に お け る 信 号 劣 化 の 主 要 原 因 で あ る 損 失 特 性 と 分 散 特 性 に つ い て 簡 単 に 述 べ よ う. (１)損

失 特性

  損 失 の 中 に は 吸 収 損 失 と散 乱 損 失 が あ る.吸

収 損失 には紫 外 吸収 と赤 外

吸 収 が あ る.紫 外 吸 収 は 散 乱 損 失 よ り 小 さ い の で 問 題 に な ら な い が,赤

外

吸 収 は 波 長 ９[μm]にあ る 吸 収 ス ペ ク トル の す そ が 長 波 長 限 界 を 与 え て い る. ま た,ガ

ラ ス 材 料 中 の 不 純 物 も 吸 収 損 失 の 原 因 と な る が 順 次 解 決 さ れ,唯

一 残 った ＯＨ 基 の 分 子 振 動 に よ る 吸 収 も実 用 上 問 題 な い 程 度 に な って い る .  散 乱 損 失 で 問 題 に な る の は,フ

ァイ バ 製 造 時 に,密

度 の不 均 一が 屈 折 率

の 不 均 一 を 生 じ,レ イ リー 散 乱 を 引 き 起 こ す こ とで あ る.こ

の 損 失 は 波長

の ４乗 に 反 比 例 して お り,紫 外 よ り の 波 長 域 に 大 き な 損 失 を 与 え る.   図16・ ６ に 損 失 特 性 の 概 略 図 を 示 す.最

低 損 失 を 与 え る 波 長 は レイ

リー散 乱 と赤 外 吸 収 の 谷 間 に あ り １.５ ∼ １.６[μm]で あ る.低

損 失 フ ァイ

バ の 開 発 は め ざ ま し く,現 在 で は ほ ぼ 理 論 限 界 に 近 い ０.２[dB/km]に な っ 図16・６  光 フ ァイ バ の 損 失 特 性

て い る.

(２)分

散 特性

  光 フ ァイ バ に お け る 伝 送 ひ ず み は 分 散 特 性 と 関 連 す る.分

散 には モ ー ド

分 散 と,光 ス ペ ク トル の 各 周 波 数 毎 の 群 速 度 の 違 い に よ る 波 長 分 散 が あ る. モ ー ド間 の 群 遅 延(群

速 度 の 逆 数 で 定 義 さ れ る)差

を 求 め る と,光

学的に

求 め た 式(16.４)と 一 致 す る こ と が 示 さ れ る.波 長 分 散 に は 材 料 分 散 と 導 波 路 分 散 が あ る が,い

ず れ も モ ー ド分 散 に 比 べ て 小 さ い.す

なわ ち広 帯 域 伝送

に は モ ー ド分 散 の 無 い 単 一 モ ー ド光 フ ァイ バ が 圧 倒 的 に 有 利 に な る.

第

16 5 .

16 章

問題

１.例題16.2に

お け る フ ァ イ バ の 信 号 帯 域 幅 を 求 め よ.

２.例 題16.3を

コ ア 直 径10[μm]と

し て 解 け.

３.ス テ ッ プ 形 光 フ ァ イ バ 内 を 伝 搬 す る モ ー ド 数 を 少 な く す る に は,ど

んな

方 法 が 考 え ら れ る か. ４.本 文 中 に 述 べ た 次 の 事 項 を 証 明 せ よ.“ 波 長1[μm],n1=1.5,比 率 差

△=0.1[%￨と

径a＜5.7[μm]で また

す る と,高

屈 折

次 モ ー ド を す べ て 遮 断 す る た め に は,半

な け れ ば な ら な い.”

△=0.3[%￨で

あ っ た ら,ａ

は い く ら 以 下 で な け れ ば な ら な い か.

５.光 フ ァイ バ の 損 失 特 性 に つ い て 述 べ よ.

†ヒ ン ト †

１.BW=1/〓

と 考 え る こ と が で き る.

◇  こ の 値 は 光 の 周 波 数 に 比 べ て 非 常 に 小 さ い 値 で あ る. ２.コ ア 直 径 は こ れ ら の 値 に 影 響 が あ る か? ３.式(16.10)か

い.す

な わ ち

４.式(16.10)お

こ れ か ら

５.本 文 参 照

を小 さ くすれ ば 良

ら 考 え て,

ａ,△ を 小 さ く し,λ

を 長 く す れ ば 良 い.

よ び 前 間 か ら 次 式 を 得 る.

△=0.1[%￨で5.7[μm],0.3[%]で3.3[μm]と

な る.

第

17 章

共振 器  集 中 定 数 に よ る 共 振 回 路 と し てL,Cの は 周 知 で あ る.し

並 列,直

列 共振 を利 用 す る こ と

か し こ れ が 有 効 な の は せ い ぜ いVHF帯

ま で で あ って,そ

れ 以上 の周波 数 に な る と回 路 素 子 ま たは 導線 か らの電 磁界 放 射 によ る他 回 路 へ の 影 響 や,放

射 な ら び に 表 皮 効 果 に よ る 損 失 が 起 こ る.一

短 絡 し た λ/4や

λ/2の

方,先

端を

２線 式 線 路 が 共 振 回 路 と して 用 い ら れ る こ と も 良

く 知 られ て い る.こ れ か ら 導 波 管 を 用 い た 共 振 器 も 可 能 で あ る 事 も 容 易 に 推 測 で き る.本

章 で は これ ら に つ い て 順 次 解 説 す る.た

だ し光 共 振 器 につ

い て は 割 愛 す る. (１) 集 中 定 数 共 振 回 路 と線 路 共 振 器 (２) 空 洞 共 振 器 (３) 共 振 器 の Ｑ ま ず 線 路 共 振 器  の 周 波 数 特 性 と 集 中 定 数 回 路 の そ れ と を 比 較 し,共 振 点 近 傍 の 特 性 は 類 似 し て い る が,こ い で,矩

れ を 外 れ る と 異 な って く る こ と を 示 す.つ

形 導 波 管 を 例 に と って,λg/2間

隔で 短絡 す る と共 振 器 とな る こ と

を 述 べ,共 振 器 内 の 電 磁 界 が 導 波 管 の 電 磁 界 か ら誘 導 さ れ る こ と,共 振 モ ー ド と そ れ に 対 応 す る 共 振 波 長 が ど う な る か を 示 す.ま た 円 筒 形 共 振 器 に つ い て も 言 及 す る.最 後 に 共 振 器 の 性 能 を 表 す Ｑ フ ァク タ に つ い て 述 べ る .

集 中定数 共振 回路 と線 路 共振 器

17. 1

 図17・1(a)の

よ う な 集 中 定 数L,Cに

よ び 共 振 周 波 数 は 式(17.1),(17.2)の

よ る 並 列 回 路 の 入 力 ア ドミ タ ンス お よ う に 与 え ら れ る.

(17.1) (17.2)

(a)LC並

列共振回路 図17・1

 一 方

,先

(b)平 行 ２ 線 共 振 器

集 中定 数 並 列 共 振 回 路 と線 路 共振 器

端 が 短 絡 さ れ た ２ 線 式 線 路 の 入 力 ア ド ミ タ ン ス は 第 ９章 で 述 べ

た 入 力 イ ン ピ ー ダ ン ス か ら,式(17.3)の

Yin=

よ う に 表 さ れ る.

-jYccotβr

こ こ にYc=1/Zcで 場 合 が あ り,こ

(17.3) あ る.こ

の 値 が ０ に な る の は 図17.1(b)の

れ か ら 共 振 周 波 数 を 求 め る と,式(17.4)の

よ う に多 く の

よ う に な る.

n=1,2,…

(17.4)   集 中 定 数 共 振 回 路 とn=1の 示 す る と 図17・2の す る が,こ

場 合 の 線 路 共 振 器 の 入 力 ア ドミ タ ン ス を 図

よ う に な る.f=f0の

近 傍 にお け る両者 の値 は よ く一致

れ を 外 れ る と 誤 差 が で て く る.

  f
場 合 は, ｆ に お け る

ア ドミタ ンス値 お よ び そ の微 係 数 が 等 し く な る よ う に Ｌ,Ｃ の 値 を 選 定 す れ ば,f∼f0間

の両

者 の 特 性 は ほ と ん ど 一 致 す る.   f>f0に

な る と,線

路 の場 合

は 繰 り返 し 特 性 に な る の に 反 し, 集 中 定数 の場 合 は単 調 増 大 で あ る か ら,近 似 が 悪 くな る.こ の よ う に 両 者 の 特 性 は 同 一 で は な く, 線 路 共 振 器 と同 じ特 性 を得 る に は 多数 の 集 中定 数 共 振 回 路 を 必 要 と す る こ と が 示 さ れ て い る.

(a)  LC直

図17・2  共 振 器 の 周 波 数 特 性 比 較

列 共振 回路

(b)  平 行 ２線 共 振 器

図17・3  集 中 定 数 直 列 共 振 回 路 と 線 路 共 振 器 図17・3(a)の

直 列 共 振 回 路 の 入 力 イ ン ピ ー ダ ン ス お よ び 共 振 周 波 数 は,

(17.5) で 表 さ れ,一 Zin 

と な る.こ ダ ンス

方,こ

=(jZc 

れ に 対 応 す る 図(b)の

よ う な 線 路 共 振 器 に つ い て は,

(17.6)

tanβr

れ を 図 示 す る と,図17・2に

Ｚ に 読 み 換 え た も の に な る.

お い て,ア

ド ミ タ ンス

Ｙ を イ ン ピー

17.２   空 洞 共 振 器 (１) 直 方体 空洞 共振 器   TEM線

路 の 一 端 を 短 絡 す る と 定 在 波 が 立 つ よ う に,導

で 蓋 を す る と 定 在 波 が 立 つ.い

ま,矩

17・４ の よ う に 取 る こ と に し よ う.導 z=λg/2の

形 導 波 管 を 例 と し,そ 波 管 内 にTEmn波

の 面 に も蓋 を して も 電 磁 界 の 模

の よ う に 導 体 で 囲 ま れ た 空 間 を 空 洞 共 振 器 と 呼 び,こ

の 中 に は 特 定 の 波 長 の 電 磁 界 が 存 在 す る.図17・ 記 し て い る が,pを

い る か ら,こ

の 共 振 器 に はmnpモ

  こ の 電 磁 界 を 求 め る に は,導

波 管 内 に は,す

た,式(15.10)か

場 合 を

の 管 内 波 長 を持 つ 波 も

で にmnモ

ー ドが 存 在 して

ー ド が あ る と い う こ と が 分 か る. 波 管 内 の 電 磁 界 を 求 め た 方 法 を 踏 襲 す る.

ー ド で は 次 の よ う に な る.式(15.6)に で あ り,ま

５ に は λgが2L,Lの

任 意 の 正 の 整 数 と す る,２Ｌ/ｐ

共 振 す る こ と は 明 か で あ る.導

r=jβ

が 伝 搬 し て い る 時,

図17・ ５  導 波 管 内 の 定 在 波

お い て は 電 界 は ０ で あ る か ら,こ

様 は 変 わ ら な い.こ

  TEモ

の 座 標 系 を図

面 に 蓋 を す る と 定 在 波 の 模 様 は 図17・ ５ の よ う に な る.

図17・ ４  矩 系 導 波 管 と 座 標 系   z=0に

波 管 の 一端 を導体

お い て,損

失 が な い と す る と,

ら 次 の 関 係 が 得 ら れ る.

k2c  ＝ k2一 β2 = k2cx+k2cy                           (17.7) こ の 共 振 器 の ｚ 方 向 の 長 さ をＬ と し,こ れ に Ｐ 個 の 定 在 波 が 乗 って い る と

す れ ば 次 の 関 係 が あ る.

(17.8) β=kczと

お け ば,式(17.7)は

次 式 と な る.

k2cx+k2cy+k2cz=k2

こ れ か ら,解

(17.9)

は ｚ 成 分 もsin,ま

た はcosの

な 形 は,式(15.14),(15.16)∼(15.19)の よ り 求 め ら れ る.さ

定 在 波 に,境

ら に 一 般 的 に 言 え ば,電

の 方 程 式 を 式(17.9)お

形 を 取 る こ と が 分 か る.正

確

界 条 件 を適 用 す る こ と に

磁 界 は 式(15.2)の

ヘル ム ホル ツ

よ び 次 の 境 界 条 件 の も と に 解 い て 求 め ら れ る.

x=0,a 

に お い て  Ey=Ez=0

y=0,b 

に お い て   Ez=Ex=0

z=0,i 

に お い て   Ex=Ey=0

解 は 次 の よ う に な る.

Ez=0

こ こ にkcmnは

式(15.15)の

と お り で あ る.電

界 はz=0, 〓

にお いて ０になっ

て い る.ま

た,導

式 か ら,共

振 器 に お い て は ｘ,ｙ,  ｚ 方 向 に 定 在 波 が 立 っ て い る こ と が 分 か る.

  TMモ

波 管 の 式 に お け るjβ はpπ/〓 で 置 き 代 わ っ て い る.こ

ー ド に つ い て も 同 様 の 解 析 を 行 う こ と が で き る.電

示 は 省 略 す る が,矩

形 導 波 管 のTMモ

か ら あ る 程 度 類 推 で き よ う.

ー ド の 式 と,上

れ らの

磁 界 の数 式 表

のTEmnpモ

ー ドの 式

  式(17.9)とК=ω√εμ

の 関 係 か ら,空

洞 共 振 器の共 振 周 波数 は 次 式で 表 さ

れ る.

(17,10)  共 振 周波 数 に等 し い周 波 数 の平 面 波 が導 波管 内 の媒 質 と等 しい媒 質 で 満 た さ れ た 自 由 空 間 を 伝 搬 す る 時 の 波 長 λmnpoを 共 振 波 長 と 呼 ぶ ．共 振 波 長 は 次 式 で 表 さ れ る.

(17.11)

最 も 遮 断 周 波 数 の 低 い モ ー ドを そ の 共 振 器 の 基 本 モ ー ドと い う.   図17・5か

ら 明 ら か な よ う に,ｐ

の 内 ０ を 取 り 得 る の は,TEモ も な い.よ

は ０ に は な り 得 な い.し

た が っ て, ｍ, ｎ,ｐ

ー ド で は た か だ か １つ, TMモ

っ て,TE110,101,011の

ー ドで は １ つ

い ず れ か が 基 本 モ ー ド に な る が,こ

ど れ に な る か は 寸 法 関 係 に よ る.a>b,l>bと

す れ ば,基

の内 の

本 モ ー ド はTE101

と な る.

§ 例 題17.1§

 a=4[cm],ｂ=3[cm], l=5[cm]の

空 洞 共 振 器 が あ る.

(１)  基 本 モ ー ド を 示 し,そ

の 共 振 周 波 数 を 求 め よ.

(２)  空 洞 媒 質 が εr=2.5の

誘 電 体 だ と そ の 共 振 周 波 数 は ど う な る か.

〓解 答〓 (１)  題 意 の 寸 法 に 対 し,最 0,P=1,よ

って 基 本 モ ー

(２)  式(17.10)よ

低 共 振 周 波 数 を 持 つ モ ー ド はm=1,n=

ド はTE101モ

ー

り.f′101=f101/√εr=3.04[GHz］

ド.共

振 周 波 数 は

(２)  円 筒 空 洞 共 振 器   円形導 波管 の両 端 に蓋 をす る と矩 形 の 場 合 と 同 様 共 振 器 が で き る.こ れ を 円 筒 空 洞 共 振 器 と い い,空 長 計 等 に 利 用 さ れ て い る.こ

洞波

の寸法

お よ び 座 標 系 を 図17・6の よ う に と る.   この内部 の電 磁 界 も矩 形 の時 と同 様 求 め る こ とが で き る が,本 書 で は, 円 形 導 波 管 の 場 合 同 様,Ｈ TEモ

ｚ また は

ー ド の Ｈ ｚ は 式(15.34)に

図17・6  円 筒 空 洞 共 振 器 Ｅｚ の み を 示 し て お く.

対 応 し,次

の よ う に な る.

(17.12) ま た,TMモ

ー ドの

Ｅｚ は 式(15.35)に

対 応 し,次

の よ う に な る.

(17.13)   円 筒 空 洞 共 振 器 の 共 振 波 長 λmnp0は,  k2=k2c+β2す k2cmn+(pπ/ｌ)2の

な わ ち(2π/λmnp0)2=

関 係 か ら 次 式 で 与 え ら れ る.

(17.14)

た だ しkcmn=ρ'mn/ａ, 

TEモ

ー ドの 場 合

         

TMモ

ー ドの 場 合

し た が っ て,こ TE111モ   な お,同

=ρmπ/a, 

こ に 示 し た よ う な ｚ 方 向 に 定 在 波 の 立 っ た 円 筒 共 振 器 で は,

ー ド の 共 振 波 長 が 最 も 長 く,そ

の 次 はTM011モ

ー ド と な る.

軸 線 路 の 両 端 を 導 体 板 で 短 絡 し た 同 軸 空 洞 共 振 器,こ

短 く す る た め に,同

の 長 さ を

軸 の 内 導 体 と 片 方 の 導 体 板 の 間 に 間 隔 を も う け て,そ

の 容 量 を 利 用 す る 半 同 軸 共 振 器 等 が あ る が,詳

細 は 省 略 す る.

共振器 の Ｑ

17 .3

  図17・1(a)に 示 し た 並 列 共 振 回 路 は 実 際 に は 種 々の 損 失 を 含 ん で い る の で,Ｒ 列 に 加 わ った 形 で 表 さ れ る,電

が並

流源 Ｉ に

この回路 を接 続 した時 両端 に現れ る電圧 の 大 き さ は 次 式 の と お りで,周 波 数 特 性 は 同 図(b)の よ う に な る. (a)  等 価 回 路

(17.15) 共 振 回路 の れ る.こ

Ｑ フ ァ ク タ はR/ω0Lで

の 値 は 共 振 周 波 数f0に

力 電 圧IRか

ら3[dB]低

表 さ お け る出

い電 圧 に対 応 す

る ２ 周 波 数 の 間 隔 を2△fと

し た 時,次

式

と な る.

(17.16) Ｑ は 無 次 元 の 数 で,共

振 回路 の急 峻 さを

(b)  周 波 数 特 性 図17・7  並 列 共 振 回 路

示 す.   共 振 周 波 数 に お い て は,イ

ン ダ ク タ ン ス Ｌ に蓄 え ら れ る 磁 気 エ ネ ル ギ ー

の 最 大 値 はWL=I2L 

ャパ シ タ ン ス Ｃ に 蓄 え ら れ る エ ネ ル ギ ー の 最

大 値WC=V2Cに

Lで,キ 等 し く,２

ル ギ ーWTはWL,WCに

つ の エ ネ ル ギ ー は 交 互 に 交 流 し,全

等 し い.ま

ギ ー はWR=I2R=V2/Rで

あ る.し

体 のエ ネ

た,  Ｒ 内 で １ 秒 間 に 失 わ れ る エ ネ ル た が って

Ｑ は 次 の よ う に も 表 さ れ る.

(17.17) =ω0×

  LC共

共振 回 路 の蓄積 エ ネル ギ ー /１秒 間 に 共 振 回 路 で 失 わ れ る エ ネ ル ギ ー

振 回 路 の Ｑ は 大 体100の

い て 中 心 周 波 数10[MHz]の

オ ー ダ で あ る. Q=100の

増 幅 器 を 組 む と,そ

(17.18) 共 振回 路 を用

の 帯 域 幅 は100[kHz]と

な る.

  こ の 考 え 方 は 空 洞 共 振 器 に も 適 用 す る こ とが で き る.イ

ンダ ク タ ンス に

蓄 え られ る エ ネ ル ギ ー に 対 し て は 磁 界 エ ネ ル ギ ー を,キ ャパ シ タ ン ス に 蓄 え られ る エ ネ ル ギ ー に 対 し て は 電 界 エ ネ ル ギ ー を 用 い れ ば 良 い .ま た 共 振 器 内で 失わ れ る エネ ル ギ ー は ほ とん どが空 洞 の壁 を流れ る電 流 に よ る抵 抗 損 で あ る.   こ れ ら の 値 を 計 算 す る に は,前 い.空

掲 の空 洞 共振 器 内 の電 磁 界 を用 いれ ば 良

洞 壁 を 流 れ る 電 流 密 度 は 壁 に 接 す る 磁 界 に 等 し く,直 交 す る と し て 求

め る.た

と え ば,a×b×lの

磁 界 の 最 大 値 をHoと

こ こ に,Ｒ

し て,途

ー ドにつ いて ,

中 経 過 を 省 略 し て 示 す と ,次

ｓ は 表 皮 抵 抗 で,  Rs=1/σ

 空洞 共 振 器 の Ｑ し か し,こ

直 方 体 空 洞 共 振 器 のTE101モ

の よ う に な る.

δ で 表 さ れ る.

は 非 常 に 高 く と る こ と が で き,104の

オ ー ダ に 達 す る.

れ を 利 用 す る た め に は 入 力 と 出 力 を 何 らか の 形 で 接 続 し な け れ

ば な ら な い.い

ま,上

内部

Ｑｉ ｎ で,外

Ｑ と呼 び

び Ｑｅxで,全

に述 べ た共 振 器 の内 部 コ ンダ ク タ ンス によ る もの を

体 を負 荷

部 の コ ンダ クタ ン ス によ る もの を外 部

Ｑ と 呼 びＱｌ

で 表 す こ と に す る.1/Ｑ(

れ の 場 合 に お け る 損 失 を 意 味 す る と 考 え ら れ る か ら,そ

.)は

Ｑ

と呼

それ ぞ

の 関 係 か ら ,次

式

を 得 る.

(17.19)   当 然 の こ と な が ら,重

い 外 部 コ ン ダ ク タ ン ス を つ け る と,せ

Ｑ の 高 い も の を 作 っ て も,負

荷

Ｑ は 低 く な っ て し ま う.

っか く内部

17．

4

第 17 章 問題

１.L=3[μH]の た い.キ

イ ン ダ ク タ ン ス を 用 い て,30[MHzの

並 列 共振 回 路 を作 り

ャ パ シ タ ン ス の 値 を い く ら に す れ ば 良 い か.

２.絶 縁 体 が 空 気 の 同 軸 伝 送 線 の400[MHz]に あ っ た.こ

お け る 損 失 が0.01[dB/m]で

の 線 路 を 先 端 短 絡 し た λ/4共

端 短 絡 し た λ/4の

低 損 失 線路 の

３.3[GHz],4[GHz],4.5[GHz]に

振 器 の Ｑ を 求 め よ.た

Ｑ はQ=β/2α

だ し先

で 表 さ れ る.

共 振 周 波 数 を 持 つ,最

も小 形 な 直方体 空洞

共 振 器 の 寸 法 を 求 め よ. ４.円 筒 空 洞 共 振 器 のmnpモ

ー ド に お い て,ｍ,ｎ,ｐ

の 内 ２つ ０を と る モ ー

ドが 有 り 得 る か. ５.銅 製 立 方 体 空 洞 共 振 器 の 最 低 共 振 周 波 数 が5[GHz]で

あ る.

(１)１ 辺 の 長 さ は い く ら か. (２)銅 の 導 電 率 を5.8×107[s/m]と

し て Ｑ の 値 を 求 め よ.

†ヒ ン ト †

１.9.4[pF] ２.β=8.38[rad/m],  ３.110,101,011モ

α=0.01/8.69[1/m] ー ド が3,4,4.5[GHz]に

共 振 す る よ う に

ａ,ｂ,ｌ

を 定 め れ

ば 良 い. ４.TM010モ

ー

ド を 考 え る と 電 界 が 円 筒 軸 と 平 行,す

な る. ５.

(１) 

a=4.24[cm]

(２)   Q101=15,100

な わ ち 両 端 面 に 垂 直 に

第

18 章

電磁放 射

-

Ｉ

  こ れ ま で は ，電 荷 や 電 流 の な い 媒 質 中 を 伝 搬 す る 電 磁 波 の 性 質 を 学 ん で き た ．す な わ ち ，電 磁 波 の 発 生 に 関 し て は 言 及 して 来 な か った ．本 章 で は ， 電 磁 波 発 生 の 源 は 何 で あ り， こ れ が ど の よ う に し て 放 射 さ れ る か を 考 え て み よ う． (１)  高 周 波 電 流 (２)  ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル と ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル (３)磁

流

(４)  ヘ ル ツ ベ ク トル

 序 論 に お いて は，高周 波 電 流 が電 磁 波 発 生 の源 で あ る こ とを定 性 的 に説 明 す る ． ま ず ，変 位 電 流 を 復 習 し ，空 間 の 電 界 は 導 電 電 流 の 連 続 と して 発 生 す る こ と を 確 認 す る ．次 に ， 先 端 開 放 し た 平 行 ２線 を 考 え ，先 端 を 徐 々 に 開 い て い く と ，半 波 長 ダ イ ポ ー ル に 至 る こ と を 説 明 す る ． ま た ， 電 流 が 発 生 源 で あ る こ と を マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 に よ り確 認 す る ． こ れ を 拡 張 す る と ， 磁 流 も 開 口 面 電 磁 界 も 発 生 源 に な る こ と に 言 及 す る ．つ い で ，マ ク ス ウェル の 方 程 式 を 直 接 解 く こ と が 困 難 な 場 合 ， ス カ ラ ポ テ ン シャル お よ び ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャル を 介 し て 電 磁 界 を 求 め る 方 法 に つ い て 述 べ る ． 電 磁 波 の 発 生 源 と し て は ， こ の ほ か ，磁 流 お よ び 開 口 面 電 磁 界 が あ る が ，(３)で は 磁 流 の 概 念 を 説 明 す る ．最 後 に(２)の代 わ り に 用 い ら れ る こ と の 多 い ヘ ル ツ ベ ク トル に 言 及 す る ．

18.1 

高周波 電 流

  空 間 に 電 界 や 磁 界 が あ る と,そ れ に 対 応 す る エ ネ ル ギ ー が 空 間 に 蓄 え ら れ る.こ

れ は電 界 や 磁 界 が空 間 にあ る種 の ひ ずみ を与 え て い る と考 え られ

る.空 間 が エ ネ ル ギ ー を保 有 す る 分 か りや す い 例 と して 弾 性 体 が あ り,そ の エ ネ ル ギ ー は ひ ず み エ ネ ル ギ ー で あ る.弾 性 体 に 繰 り返 し ひ ず み を 与 え る と,ひ ず み は 波 と し て 伝 わ る.こ と,電

れ か ら 類 推 して,繰

界 や 磁 界 は 波 と し て 伝 わ る.繰

り返 し 電 力 を 与 え る

り返 し電 力 を 与 え る と い う こ と は 高

周 波 電 流 を 流 す こ と に 相 当 す る.   ま ず,図18・1の

よ うに高周 波 電源 に

コ ン デ ン サ を 接 続 し た 場 合 を 考 え る. 電 線 の 部 分 に はjωCVの 流 れ る.コ

導 電 電 流 が

ンデ ンサ の 中 に は 電 気 力 線

の 変 化 が あ り,S(∂D/∂t)の が 流 れ る と 解 釈 さ れ,そ

変 位電 流 の値が 導電 電

流 に 等 し く な る こ と は 例 題2.1で だ.た

だ し,コ

学 ん

ンデ ンサ は電 気 力線 が

外 に 漏 れ な い 構 造 に な っ て い る か ら,電

  次 に,図18・2の

図18・1 

変 位 電 流

界 が 外 に 伝 わ っ て い く こ と は な い.

よ う に,先 端 を 開 放

し た 平 行 ２線 に 給 電 し た 場 合 を 考 え る 。線 路 に は 定 在 波 電 流 が 乗 って お り, 先 端 の 電 界 は 最 大 に な って い る.こ の 電 磁 界 は 線路 内 に 完 全 に 閉 じ こめ ら れ る 訳 で は な く,若 干 の 漏 れ 電 磁 界 が 空 間 に 出 て い く が,そ の 量 は 非 常 に 少

図18・2 

平 行 ２線

な い.こ れ は ２線 間 の 相 対 す る 部 分 に は 逆 方 向 の 電 流 が 流 れ,線 間 距 離 が 波 長 に 比 べ 十 分 短 い場 合 に は,遠 方 か らみ る と 影 響 が 相 殺 さ れ る か ら で あ る 。

  そ こ で,図18・

３の よ う に,平

行 ２線

の 先 端 を あ る 長 さ だ け 開 い て み る.電 界 は 図 の よ う に な り,電 磁 界 が 外 に 出 て 行 きや す くな る と い う こ と は直 感 的 に も う な ず け る で あ ろ う.電 界 が 外 に 出 れ ば,(変 り,そ

位)電

流の磁 気作 用 に よ

れ を 取 り 巻 い て 磁 力 線 が 生 じ,

さ ら に,磁

力 線 が 変 化 す れ ば,そ

図18・３  ２線 の 端 を 広 げ る

れ

を 取 り巻 い て 起 電 力 が 生 じ る． こ の よ う に して 電 磁 界 は 次 第 に 遠 方 に 伝 搬 し て い く こ と に な る.   さ らに 効 率 的 に 電 磁 波 を外 に 出 す に は 先 端 部 分 は ２線 に直 角 に な る ま で 開 い た ほ う が 良 さ そ う で あ る.た

だ し,

容 量 が 減 って 電 流 が 流 れ に く く な る の で,弦

楽 器 で 音 を 出 す と き の よ う に,

共 振 を利 用 し て 全 長 を λ/２に す る と 効 率 が 良 くな る.こ う して 図18・４に 示 す 半 波 長 ダ イ ポ ー ル が 生 ま れ た.こ の 時,電

図18・４  半 波 長 ダ イ ポ ー ル

流 は 先 端 で は ０ で 正 弦 波 状 に 乗 り,給 電 点 で は 最 大 に な る と推 定 さ

れ る.事 実 近 似 的 に こ う な る こ とが 確 か め られ て い る.   と こ ろ で,コ

ン デ ンサ 中 に 生 じ る 交 流 電 界 や,イ

ンダ ク タ ン ス 内 に生 じ

る 交 流 磁 界 は 定 常 的 な も の で あ って,電 磁 波 で は な い.さ

ら に,そ れ か ら漏

れ た 定 状 態 の 電 界 や 磁 界 も電 磁 波 と は 呼 ば な い.こ の よ う な 定 状 態 の 電 磁 界 は 距 離 の ２乗 あ る い は ３ 乗 に 反 比 例 し て 急 速 に 減 衰 す る の で,あ 方 に 到 達 で き な い.電

ま り遠

界 と 磁 界 が 互 い に か らみ あ って 伝 搬 し て い く 電 磁 波

で は,電 磁 界 は 距 離 に 反 比 例 し て 減 衰 す る の で,定 状 態 の 電 磁 界 に 比 べ は る か に 遠 方 ま で 到 達 す る.こ れ ら に つ い て は 後 節 で 示 す.

  高 周 波 電 流 が 電 磁 波 の 発 生 源 に な って い る こ と を 式 に よ って 示 して み よ う. 変 数 が 単 一 正 弦 波 状 に 変 化 して い る と す る と,マ

ク ス ウ ェル の 方 程 式 は,

▽ ×E=-jωμH

(18.１)

∇×H=J+jω

式(18.１)のrotを

εE

と り,そ

▽ × ▽ ×E 

(18.２) の 右 辺 に 式(18.２)を

=  -jω μ▽ ×H 

５.２節 に も 用 い た ベ ク ト ル 公 式 ▽(▽

・E)-▽2E 

= 

-jω

代 入 す る と

μJ-ω2ε

μE

▽ × ▽ ×E=▽(▽・E)-▽2Eを

=  -jω μJ+ω2ε

用 い る と,

μE

(18.３)

電 流 が 存 在 す る か ら 電 荷 も 当 然 存 在 し,次 の ２ 式 が 成 り立 つ. ▽ ・J  = -jω

式(18.４)を 式(18.３)に

ρ

(18.４)

代 入 し 次 式 を 得 る.

こ こ にk2=ω2ε

磁 界 に つ い て も,式(18.２)のrotを

▽ × ▽ ×H=▽

×J+ω2ε

公 式 ▽ × ▽ ×H=▽(▽

μH

よ び ▽ ・H=0を

代入 す る と

×J

を 得 る.式(18.５),(18.６)を

(18.５)

と る と

・H)-▽2H,お

▽2H+k2H=-▽

μ

(18.６)

み る と,左

辺=０

とお い た 式は ヘ ル ム ホル ツの

方 程 式 で あ り,こ れ を 解 く と 電 磁 波 を 得 る こ と は す で に 学 ん だ.右 密 度 に よ っ て 定 ま る 項 で あ る か ら,こ

れ ら の 式 は,電

辺 は電 流

流 に よって 電 磁 波 が 発

生 す る こ と を 示 し て い る と 解 釈 で き る.   こ れ を 拡 張 し て 考 え る と,マ あ る な ら,∂D/∂tも ン テ ナ に,後

∂B/∂tも

ク ス ウ ェル の 方 程 式 に お い て Ｊ が 発 生 源 で 発 生 源 に な る と考 え ら れ る ． 前 者 は 開 口 面 ア

者 は 磁 流 ア ン テ ナ に 対 応 す る こ と に な る.

18.２   ス カ ラ ポ テ ン シ ャル と ベ ク トル ポ テ ン シ ャル   電 流 分 布 が 与 え ら れ た 場 合,前 き れ ば,電

節 の 式(18.５)お

磁 界 を 求 め る こ と が で き る.し

な か 解 き に く い.そ を ま ず 求 め,こ

こ で,ス

よ び(18.６)を 解 く こ と が で

か し,こ

れ らの 式 は 一般 に な か

カ ラ ポ テ ン シ ャ ル お よ び ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル

れ か ら 電 磁 界 を 求 め る 方 法 が と ら れ る.こ

れ を 以 下 説 明 し

よ う.

磁 束 密 度 Ｂ と ベ ク トル ポ テ ン シ ャル Ａ と の 間 に は 次 の 関 係 が あ る． B  =  μH  =  ▽ ×A

(18.７)

こ の 関 係 の 両 辺 を 時 間 微 分 す る と,

    ▽ ×(jωA)=jωB で あ る か ら,こ

れ を 式(18.１)に

代 入 す る と,

    ▽ ×(E+jωA)=0 を 得 る.こ

の 式 を 積 分 す る と 次 式 を 得 る.

    E= -▽

ψ-jωA

(18.８)

こ こ で ψ は 任 意 の ス カ ラ 量 で あ る.こ と る と,▽

×(-▽ ψ)=0(第

と か ら 了 解 さ れ よ う.こ た.し

か ら ば,ψ,Ａ

の 式 が 成 り 立 つ こ と は,両

１章 問 題 １(１))で れ で ψ,Ａ

か ら Ｅ, Ｂ

あ る か ら,式(18.１)に

な る こ

が 求 め られ る こ と が 分 か っ

は ど の よ う に し て 求 め ら れ る で あ ろ う か.

  ま だ 使 用 し て い な い 式(18.２)に     ▽ ×▽ ×A=k2A-jω

式(18.７),(18.８)を 代 入 す る と 次 式 を 得 る.

εμ▽ ψ+μJ

先 に 使 用 し た ベ ク ト ル 公 式 を 用 い て 書 き 換 え る と,次

▽2A+k2A 

辺 のrotを

=  -μJ+▽(▽

・A+jω

εμψ)

の よ う に 変 形 さ れ る.

(18.９)

  式(18.９)は ベ ク トル Ａ と ス カ ラ ψ を 結 び 付 け る 関 係 式 で あ り,両 者 の 選 び 方 は,こ

の 関 係 を 満 足 し さ え す れ ば ど ん な も の で も 良 い と い う 自 由度

が あ る.一 番 明 快 な 方 法 は 次 の よ う に 選 ぶ こ と で あ る. ▽ ・A〓jω

(18.10)

εμψ  =0

こ れ を ロ ー レ ン ツ の 条 件 と 呼 ぶ.こ (18.10)を 式(18.９)に 代 入 す れ ば,次

れ を 採 用 す る と な ぜ 便 利 な の か は,式

OzA十 式(18.10)お

の 関 係 が 得 ら れ る こ と か ら 理 解 で き よ う.

(18.11)

к2A  =  -μJ よ び(18.11)で

規 定 さ れ る ψ,Ａ

ク トル ポ テ ン シ ャ ル と い う.式(18.11)は を 求 め る 関 係 式 で あ り,定

を ス カ ラ ポ テ ン シ ャル お よ び ベ

電 流 分 布 か ら ベ ク トル ポ テ ン シ ャル

常 状 態 に お け る 次 の 式 に 対 応 し て い る.

(18.12)

▽2A=-μJ ま た 式(18.8)を(18.10)と ▽2ψ+к2ψ= 

組 み 合 わ せ る こ と に よ り,ψ

に 関 す る 次 式 を 得 る.

(18.13)

  P/

                 ε

式(18.13)は

電 荷 分 布 か ら ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル を 求 め る 式 で あ り,定

常 状態

に お け る 次 の ボ ア ソ ン の 方 程 式 に 対 応 し て い る.

(18.14)

0276=一P /              ε

す な わ ち 式(18.11),(18.13)は 項(ω2)を

含 ん で い る.こ

式(18.12),(18.14)の

一 般 式 で あ り,時

れ ら の 式 を 解 け ば,ψ,Ａ

間 に関 す る

が 求 め ら れ,こ

電 磁 界 を 求 め る こ と が で き る.

れ か ら

  し か ら ば,ψ,Ａ

は どのよ うに求め

ら れ る で あ ろ う か.ま 示 す よ う に,電

ず,図18.５

に

荷 密 度 ρ(r′)が領 域

Ｖ′内 に 分 布 し て い る ケ ー ス を 思 い 出 し て い た だ き た い.γ ′の 位 置 に 微 小 体 積dv′ を 考 え る と,電

磁気 学

で 学 ん だ と お り,こ の 電 荷 に よ る 点

図18.５   電 荷 分 布 に よ る 電 位

Ｐ の 電 位 は ρ/(4πε｜r−r′｜)で あ る.し

た が っ て,点

Ｐ(ｒ)に お け る 電 位Ｖ

は次

式 で 表 さ れ る.

も し,ρ が ρｅｊωｔ で 変 動 す る と,そ だ け 位 相 が 遅 れ る か ら,ス

の 影 響 が 点 Ｐ に 到 達 す る に は,-к｜r-r′｜

カ ラ ポ テ ン シ ャ ル ψ は 次 の よ う に な る.

(18.15) こ れ は,実

際 に 式(18.13)の

  次 に,式(18.11)に

解 に な っ て い る.

つ い て 考 え て み よ う.こ

の 式 は,直

角 座 標 系 で は,次

の

よ う に 分 解 さ れ る.

▽2Aχ+κ2Aχ

=

▽2Ay

=

+κ2Ay

-μJχ   -μJy

▽2Az+κ2Az=-μJz

こ れ ら は ス カ ラ の 式 で あ る か ら,Ａχ

と な る.Ａｙ,Ａｚ

の 解 は 式(18．15)か

に つ い て も 同 様 の 解 を 得 る.こ

ら の 類 推 に よ り,

れ を ふ た た び ベ ク トル に 合

成 す れ ば 次 の よ う に な る.

(18.16) こ こ でe-jk｜r-r′｜

を テ イ ラ ー 展 開 す る と,

k｜r -r′｜=2π｜r-r′｜/λ≪1,す い 時 は,こ

な わ ち,電

の 値 は １ に 近 く な り,ψ,Ａ

荷 か ら の 距 離 が 波 長 に 比 べ て小 さ は 定 常 解 と 同 じ に な る.

磁流

18． 3

  以 上 述 べ た 電 磁 界 は 電 流 源 Ｊ に よ って 誘 導 さ れ た も の で あ る ． こ れ に 対 応 す る 磁 流 源 な る も の は ， 真 磁 荷 が 存 在 し な い の だ か ら ，現 実 に は な い 訳 で ある ．しか し仮想 的 な 量 と して これ を考 え る と，い ろ い ろな ア ンテ ナ の 特 性 の 理 解 お よ び 計 算 が 容 易 に な る ． 以 下 こ の 概 念 を 紹 介 して お く． 空 間 の あ る 閉 曲 線 に 沿 って ，磁 界 Ｈ を積 分 し た 時 あ る 値 に な って い れ ば ， そ の 閉 曲線 の 中 には

な る 電 流 が 流 れ て い る ．そ こ で ，磁 界 の

代 わ り に 電 界 Ｅ を 積 分 した 時 あ る 値 に な って い れ ば ， そ の 閉 曲 線 の 中 に は な る 物 理 量 が 流 れ て い る と 考 え ら れ る ． こ の 仮 想 的 な 量Im を 磁 流 と 名 付 け ， Ｊ に 対 応 す る 量 と し てJmを ◇   た だ し ，Jmの Jmに

正 体 は ∂B/∂tで

用 い る．

あ る．

よ っ て 誘 導 さ れ る 電 磁 界 は 式(18．1)，(18．2)に対 応 し て ， ▽ ×E=-Jm-jω ▽ ×H=jω

μH

(18．17)

εE

ま た ， 磁 流Jmと

(18．18)

磁 荷 密度

ρmの 間 に は ， 式(18．4)に 対 応 し て ，

▽ ・Jm  =  -jω ρm

式(18．17)，(18．18)･は

Ｅ ε

(18．19)

式(18．1)，(18．2)に

→

Ｈ ，

→

μ，

Ｈ  

μ

お

→-Ｅ →

い て

，

，

Ｊ

→Jm

ε

の 変 換 を 行 っ た も の に 他 な ら な い ． し た が っ て ， 前 節 で 述 べ た ス カ ラ， ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャル ψ，Ａ に 対 応 し て ，磁 気 的 ス カ ラ ボ テ ン シ ャル ψm， 磁 気 的 ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ルAmを

考 え る こ と が で き る ． こ の 時 ， 式(18．10)，(18．11)

に対応 す る式 は次 の よ うにな る ． ▽ ・Am+jω ▽2Am+k2Am 

εμψm=0 =   -εJm

(18．20) (18．21)

18.４   ヘ ル ツ ベ ク ト ル 先 に 述 べ た ベ ク トル ポ テ ン シ ャル Ａ の 代 わ り に п

A/

=

(18.22) jω εμ

で 定 義 さ れ る ベ ク ト ル 関 数 п を 考 え る と 式(18.10)よ

り 次 式 を 得 る.

(18.23)

ψ=-▽.п

し た が っ て,п

を 用 い て 式(18.８),(18.７)を

書 き 換 え る と,

E  =  ▽(▽ ・п)+к2п H=jω

ま た,п

(18.24) (18.25)

ε▽ × п

は 式(18.11)よ

▽2п+к2п

 =

り,次

式 を 満 足 す る 関 数 で あ る.

jJ/

(18.26)

ωμ

こ の よ う な ベ ク ト ル 関 数 п を 電 気 的 ヘ ル ツ ベ ク トル と い う.電 よ っ て 生 じ る 電 磁 界 を 求 め る に は,式(18.26)を 求 め,式(18.24),(18.25)の

流 分布 」 に

解 い て ヘ ル ツ ベ ク トル п を

演 算 を 行 え ば 良 い ． た だ し,実

際 の 計 算 は ψ,Ａ

を

用 い る 計 算 と 全 く 同 じ で あ る.   電 気 的 ヘ ル ッ ベ ク トル に 対 応 し,磁 こ と が で き る.す

пm=

気 的 ヘ ル ツ ベ ク トル п ｍ も 導 入 す る

な わ ち п ｍ は 式(18.27)で

定 義 さ れ,式(18.28)を

Am/

(18.27)

jω εμ ▽2пm+к2пm 

ま た,п

満 足 す る.

jJm/

=

ωμ

(18.28)

ｍ に よ る 電 磁 界 は 次 の よ う に な る.

E  =  -jω μ▽ ×

H=▽(▽･пm)〓

пm

(18.29) κ2пm

(18.30)

1 8 .5

第

章問

18

題

１.送 電 線 に 大 電 流 が 流 れ て い る 時,電

波 は どの よ う に放 射 され て いる か

を 考 察 せ よ. ２.ス カ ラ ψ と ベ ク ト ル ３.ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル

Ａ を 結 び 付 け る 関 係 式(18.9)を

ψ に 関 す る 式(18.13)を

誘 導 せ よ.

誘 導 せ よ.

４.ダ イ ポ ー ル ア ン テ ナ の よ う に 電 流 が 乗 っ て い る ア ン テ ナ か ら 放 射 さ れ る 電 磁 界 を 求 め る に は,電 れ ば 良 い.こ

流 か ら 求 め られ る ベ ク トル ポ テ ン シャ ル を 用 い

れ に 対 し,磁

流 を考え た方 が簡 単 に放 射電 磁 界 を求 め得 る

ア ン テ ナ に は ど ん な も の が あ る か を 考 察 せ よ. ５.ヘ ル ツ ベ ク トル を Ⅱ=ayMye-jkzと Ⅱ=azMe-jkz  My,  Mzは

し て,電

界,磁

界 を 求 め よ.ま

か ら は 電 界 磁 界 が 得 ら れ な い こ と を 確 か め よ.た

た だ し

任 意 の 定 数 と す る.

†ヒ ン ト †

１.送 電 線 で は,波

長 に 比 べ 非 常 に 間 隔 の 狭 い 平 行 ２線 に 反 対 方 向 の 電 流

が 流 れ て い る. ２.式(18.2)の

両 辺 に μ を 乗 じ,左

辺 を Ａ

で 表 し,右

辺 の

Ｅ

に 式(18.8)

を 代 入 す れ ば 中 間 式 を 得 る. ３.式(18.8)の 式(18.10)を

両 辺 に ε を 乗 じ てdivを 適 用 して

ψ に 変 換 す る.

４.ル ー プ ア ン テ ナ を 考 え て 見 よ. ５.式(18.29)に

お いて

と る.こ

▽ ・Ⅱ=0

う し て 得 た 右 辺 の ▽ ・Aに

第

19 章

電磁 放 射   第18章

で は,高

-

II

周 波 電 流 が 電 磁 放 射 の 源 で あ る こ と,電 流 分 布 か ら電 磁

界 を 算 出 す る方 法 を学 ん だ.こ

の 電 磁 放 射 を 効 率 的 に行 った り,空 間 か ら 電

磁 波 を 効 率 良 く 吸 収 す る た め に 工 夫 さ れ た の が ア ンテ ナ で あ る.ア

ンテ ナ

と は 昆 虫 の 触 角 の 意 味 で あ る.昆

ンテ ナ

の 種 類 も 千 差 万 別 で あ る.し

虫 に 無 数 の 種 類 が あ る と 同 様,ア

か し,本 書 で は,最

も基 本 的 な 微 小 ダ イ ポ ー

ル を 中 心 に 述 べ る. (１) 微 小 ダ イ ポ ー ル に よ る 電 磁 界 (２) 放 射 電 力 と放 射 抵 抗 (３) 指 向 性 利 得 (４) 微 小 ル ー プ に よ る 電 磁 界   ま ず,微 小 ダ イ ポ ー ル に よ る 電 磁 界 を ス カ ラ ポ テ ン シャル,ベ ン シ ャル か ら導 出 す る.こ の 結 果,静 す る 項 が 出 て く る.こ

の 内,遠

電 界,誘 導 電 磁 界,放

ク トル ポ テ

射 電磁 界 に対 応

方 ま で 影 響 が 到 達 す る の は,電

界 も磁 界 も

距 離 に 反 比 例 して 減 少 す る,放 射 電 磁 界 と 呼 ば れ る 項 で あ る こ と を 説 明 す る.つ

い で,ア

ン テ ナ か ら放 射 さ れ る 電 力 と 放 射 抵 抗,電

ど の 程 度 放 射 さ れ る か を 示 す 指 向 性 利 得 に つ い て,微

力 が どの 方 向 に

小 ダ イポ ー ル を例 に

とって 述 べ る.最 後 に,前 章 で ふ れ た 磁 流 の 応 用 例 と して 微 小 ル ー プ ア ン テ ナ に 言 及 す る.

19.１  微 小 ダ イ ポ ー ル によ る 電 磁 界  短 い 長 さl=2ａ,断

面 積Ｓ

の 導 体 に 高 周 波 電 流 Ｉ を 流 した と考 え る.

電 流 は こ の 部 分 上 ど こ で も 一 定 で あ る と す る.一 方 の 端 に は 正 電 荷 Ｑ が, 他 端 に は 負 電 荷-Ｑ ◇   I=jωQ;Ｉ,Ｑ

が 生 じ る. は フ ェ ー ザ でejωtが

か か っ て い る.

  正 負 の 電 荷 に よ って 大 気 中 に 変 位 電 流 を 生 じ,電 流 は 連 続 とな る.こ

のよ

う な 導 体 を 微 小 ダ イ ポ ー ル ま た は 振 動 双 極 子 と い い,p=Ql=2aQを

この

ダ イ ポ ー ル の モ ー メ ン トと 呼 ぶ.   各 種 の 線 条 ア ン テ ナ は 微 小 ダ イ ポ ー ル の 集 合 と し て 取 り扱 う こ と が で き る か ら,微 小 ダ イ ポ ー ル の 振 る 舞 い を 理 解 し て お く こ と は 非 常 に 重 要 で あ る ． 以 下 ， ス カ ラ ポ テ ン シ ャル,ベ

ク ト ル ポ テ ン シ ャ ル を 用 い て ,微

小 ダイ

ポ ー ル に よ って 生 じ る 電 磁 界 を 求 め て み よ う． 微 小 ダ イ ポ ー ルABを し,こ

図19.１ の よ う に 座 標 の 原 点 に ｚ 軸 方 向 に 置 い た と

れ か ら 十 分 離 れ た 点 Ｃ の 極 座 標 表 示 を(Ｒ,θ,φ)と

図19・１  微 小 ダ イ ポ ー ル と 座 標 系

す る.

  ｒ,ｒ′を そ れ ぞ れ Ａ,Ｂ か ら Ｃ ま で の 距 離 と す る と 点 Ｃ に お け る ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル は 次 式 で 表 さ れ る.

点 Ｃ は 十 分 遠 い の で，AC,  R+acosθ

と 表 さ れ る.ま

e±jkacosθ〓1±jka 

BCはOCと

平 行 と み な さ れ,  r=R-acosθ

た,  ka cos θ=(2π

cos θ と 近 似 で き る.こ

,  r′=

α/λ)cosθ≪1で

あ る か ら ,

れ を 上 式 に 代 入 す る と,

a2  cos2 θ は Ｒ２ に 比 べ て 十 分 小 さ く 無 視 で き る の で,結

局,次

式 を 得 る.

(19.１)

一 方

,電

流 はｚ

Aχ=

成 分 の み で あ る か ら,Ａ

Ay=0

こ こ に ，｜r−r′｜〓R,∫v′Jzdυ′=Jz2aS=Ilで

と な る.た

だ し,こ

あ る か ら ，

こ で は 極 座 標 で 取 り 扱 っ て い る か ら,Ａｚ

換 し な け れ ば な ら な い.こ

Aφ=0

の 各 成 分 は 次 の よ う に な る.

れ を 行 う と次 の よ う に な る ．

を極 座 標 に変

 電 磁 界 は

φ,Ａ を 式(18.７),(18.８)に 代 入 す れ ば 求 め る こ と が で き る ． 再 掲

す る と 次 の と お り で あ る.

E  = − ▽ψ−jωA,    B  =  μH  =  ▽ ×A

こ こで

▽ψ,▽ ×Aの

極 座 標 成 分 を 求 め る に は 次 の 公 式 を 用 い る.

こ こ に ａＲ,  ａθ,  ａφ は そ れ ぞ れ

Ｒ,θ,φ

方 向 の 単 位 ベ ク ト ル で あ る.

電 界 の 各 成 分 を 表 示 す る と 次 の よ う に な る.

(19.２)

(19.３)

(19.４)

一 方 磁 界 の 各成 分 は次 の よ う に表 され る.

(19.５)

(19.６)

(19.７)

結 局,Ｅ

Ｒ, Ｅθ, Ｈ φ の 成 分 が 生 じ,他

は ０ に な る ．

  そ れ で は,こ

れ ら の 式 の 解 釈 を 試 み よ う.ま ず,ω=0の

の 時,式(19.７)か

らHφ=0で

で あ る か ら,ψ,Ｅ

止 し た 双 極 子 と な る.κ=ω/c=0

Ｒ,  Ｅθは 次 の よ う に な る.

こ れ ら は 電 気 双 極 子(静   ω ≠0の

あ る か ら,静

場 合 を 考 え る.こ

電 荷 双 極 子)の

作 る 静 電 界 に他 な ら な い.

場 合,電 磁 界 は 波 源 か らの 距 離 Ｒ に 関 し,次 の ３ つ の 成 分 に わ

け て 考 え る こ と が で き る. (１)１/Ｒ３ に 比 例 す る 項 (２)１/Ｒ２に 比 例 す る 項 (３)１/Ｒ

に比 例す る項

(１)は ＥＲ,  Ｅθ に 含 ま れ て お り,波 なる.た

と な り,電 ち,距

と え ば,Ｅ

源 に 十 分 近 い 所(kR《1)で

支 配 的 に

Ｒ に つ い て 求 め て み る と,

気 双 極 子 に よ っ て 生 じ る 静 電 界 にe-jkRを

離 に よ る 遅 れ を 考 慮 し た も の に な る.し

乗 じ た も の,す

な わ

た が って こ の 項 は 静 電 界 に 準

じ る.   (２)は ＥＲ,  Ｅθ,  Ｈ φ に 含 ま れ,波 で 現 れ る.こ

源 か ら 波 長 程 度 離 れ た 中 間 距 離(ｋR〓1)

れ らの項 は 低 周波 回 路 素子 の 近傍 で生 じる 準定 状 態 の電 磁 界

と 同 様 で あ る.特

に磁 界 の項 は

で あ る か ら,e-jkRを

考 慮 し た ビ オ ・サ ヴ ァ ー ル の 法 則 で あ る.こ

れ らは誘

導 電 磁 界 と 呼 ば れ る.   (３)は Ｅθ,  Ｈ φ に 含 ま れ て お り,波 源 か ら 十 分 離 れ た 所(kR》1)で

支 配 的

に な る.

(19.8) (19.9) (19.10) これ ら ２項 を 放 射 電 磁 界 と 呼 ぶ.放 射 電 磁 界 は Ｒ 方 向 に 伝 搬 し,伝 搬 方 向 に 直 交 す る 電 界 お よ び 磁 界 を 持 つ こ と が 分 か る.ま た,Eθ,Hφ

の間には

(19.11) の 関 係 が あ り,平 面 波 と 同 じ 固 有 イ ン ピ ー ダ ン ス を 持 っ て い る.こ 波 は,同

の よ うな

時 刻 の 波 面 を つ な ぐ と 球 面 と な る の で 球 面 波 と 呼 ば れ,TEM波

１種 で あ り,波 源 か ら 十 分 離 れ る と,平

の

面 波 と み な す こ と が で き る.

  特 定 の 距 離 に お け る こ れ ら ３ 種 の 波 の 成 分 の 大 き さ の 比 較 を 示 す と,表 19・1の よ う に な る.こ R>5λ

の 表 か ら 分 か る と お り,R<λ/100で

は 静 電 界 が,

で は 放 射 電 磁 界 が 支 配 的 に な る.

表19・1  距 離 に よ る ３成 分 の 電 界 の 比 較

§ 例 題19.1§

  微 小 ダ イ ポ ー ル か ら10λ

誘 導 電 界,放

射 電 界 の 比 を 求 め よ.

離 れ た 点 に お け るEθ

の 静 電 界,

†解 答 †   こ れ ら ３ つ の 電 界 を そ れ ぞ れEs,  Ei, Erと の 比 は,k=2π/λ,R=10λ

を 考 慮 し て,次

｜Es｜:｜Ei｜:｜Er｜ =6×10-5:0．016:1

す る と,式(19.3)よ の よ う に な る.

り,大

き さ

19.２  放 射 電 力 と 放 射 抵 抗   原 点 にお か れた ア ンテ ナか らの放 射 電 力 を 求 め る に は,ポ

イ ンティン グ ベ

ク トル を 利 用 す る.図19・ ２ に お い て, 十 分 大 き い 半 径 Ｒ の 球 面 上 で は,電

力

の 流 れ は 球 面 に垂 直 で 外 方 に 向 か って お り,電 力 密 度 は 次 式 で 与 え ら れ る.

(19.12) ア ン テ ナ か ら の 放 射 電 力 Ｗ ｒ は,こ

図19.２

ア ンテ ナ を 中 心 と した 球 面

れ を 図19・ ２の 球 面 上 で 積 分 す れ ば 良 い.

(19.13)   こ の 放 射 の 現 象 を 給 電 点 か ら 見 る と,給 放 射 に よ っ て 消 費 さ れ る の で あ る か ら,等 と に な る.こ Rr=

電電 流 価 的 に,あ

Ｉ が 流 れ,Ｗ

ｒ の電 力 が

る抵抗 が 負 荷 され た こ

の 抵 抗 は. 2Wr/

(19.14)

I2

と 考 え る こ と が で き,Ｒ

ｒ を 放 射 抵 抗 と い う.

  微 小 ダ イ ポ ー ル を 例 に と る と,放

射 電 力 は 式(19.８),(19.12),(19.13)に

よ り次

の よ う に な る.

(19.15) (19.16) し た が っ て,微

小 ダ イ ポ ー ル の 放 射 抵 抗 は 次 式 と な る.

(19.17)

19.３  指 向 性 利 得   ア ン テ ナ か ら 放 射 さ れ る 電 力 は 一 般 に は 方 向 θ,φ の 関 数 に な る.微 イ ポ ー ル で は 式(19.12),(19.8)か し,θ=π/2で

最 大 と な る.こ

ア ン テ ナ の 指 向 性 と い う.指

ら 分 か る と お り,φ

には 無 関係 で

小 ダ

θ に依 存

の よ うに特 定 の方 向 に強 い放 射 を行 う こと を 向性 は次 に定義 す る指 向性 利 得

Ｇｄで 表 す.

(19.18)

これ を 言 葉 で 言 い 表 す と次 の よ う に な る. Gd=

θ,φ 方 向 に 単 位 立 体 角 当 た り放 射 され る 電 力 /単 位 立 体 角 当 た り放 射 さ れ る 電 力 の 全 平 均

分 母 は 全 方 向 に 一 様 に 電 力 を 放 射 す る ア ン テ ナ を 仮 想 す る も の で,こ う な ア ン テ ナ を 無 指 向 性 ア ン テ ナ と 呼 ぶ.い

い か え れ ば,指

の よ

向 性 利 得 は,当

該 方 向 に 無 指 向 性 ア ン テ ナ の 何 倍 の 電 力 を 放 射 し て い る か を 示 す 値 で あ る.   微 小 ダ イ ポ ー ル の 指 向 性 利 得 を Ｇｄ ｓ と す る と,式(19.18),(18.８)か

と な る.こ

ら,

れ を 図 示 す る と 図19・３の よ

う に な る.

  ｚ 軸 と角度 θ を持った直 線 と この 曲線 と交 差 す る点 が 指 向性 利 得 を表 す.こ の 場 合,ｙ 軸 方 向 が 利 得 最 大 で, 1.5と な る.指

向性 利 得が 最 大値 の半

分 に な る ２点 の 広 が り(図 で は90[°］) を ビー ム 幅 ま た は 半 値 幅 等 と 呼 ぶ.実 際の 放射 は ｚ 軸 を中 心 に図 の 曲線 を 一 周 回 転 し て 得 られ る .

図19.３   微 小 ダ イ ポ ー ル の 指 向 性 利 得

19.4 

微小 ル ー プ によ る電磁界

  波 長 に比 べ て十 分 小 さい ル ー プ ア ンテナ に つ い て 考 え る.電

磁 界 は,ル

ー プ 各部 の微 小

電 流 に よ る ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル を 積 分 し て も 求 め ら れ る が,前

章 で述 べ た 磁 流 を考 え た

方 が 簡 単 で あ る.図19・4の

よ う に,平

面 上 に

あ る 任 意 の 閉 曲 線 Ｃ に 沿 って 流 れ る 直 流 電 流 ｉに よ る 磁 気 モ ー メ ン ト Ｐｍ は,閉 積 を Ｓ と す る 時,Pm=μiSで

曲線 の面

与 え ら れ る.

図19・4 

ル ー プ ア ン テナ

  同 様 に 交 流 電 流 Ｉ が 流 れ て い る 微 小 ル ー プ ア ン テ ナ は,十 観 察 す る と,電 れ,そ

気 的 に振 動 す る微 小 磁 気 ダ イポ ール と等 価 で あ る と考 え ら

の モ ー メ ン ト ｐｍはpm=μISで

  18.3節

で 述 べ た と お り,微

に 対 応),ε

分 離 れ た所 で

与 え られ る ．

小 ダ イ ポ ー ル の ｐ を ｐｍ に 変 換 し(J→

を μ に 変 換 す れ ば,微

気 ダ イ ポ ー ル に よ る 磁(電)界

小 ダ イ ポ ー ル に よ る 電(磁)界

Ｊｍ は 微 小磁

を 表 す こ と に な る.

(19.19) (19.20) (19.21) な おHφ=ER=Eθ=0で

あ る.十

分 遠 方 の放 射 電磁 界 は

Ｈθ,  Ｅφ の1/Ｒ

に 関 す る 項 の み と な る.   ル ー プ の 巻 数 をｎ 対 し,式(19.13),(19.14)か 半径

と す る と 電 磁 界 の 値 はｎ

倍 に な る.ｎ

回巻 ルー プ に

ら 放 射 抵 抗 を 計 算 す る と,Rr〓20(k2Sn)と

な り,

α の 円 形 ル ー プ を 考 え る と,

(19.22)   ま た,放

射 電 磁 界 の 式 か ら,電

指 向 性 利 得 は や は り 最 大1.5に

力 指 向 性 の 形 は 微 小 ダ イ ポ ー ル と 同 じ で,

な る.

19.5 

第

19

章 問 題

１.微 小 ダ イ ポ ー ル に よ る 電 界Eθ,磁

界Hφ

２.微 小 ダ イ ポ ー ル に よ る 電 磁 界 を,ヘ   (18.24),(18.25)か ３.300[MHz]に

を 表 す 式(19.3),(19.7)を

ル ツ ベ ク ト ルIIを

導 け.

用 い て,式

ら 導 け.

お い て 長 さ1[cm]の

微小 ダイ ポ ール の 放射 抵抗 は 幾 らにな

る か.

４.原点 付 近 に置 か れ た 任 意 の ア ン テ ナ に よ って 十 分 遠 方 に 放 射 さ れ る 電 界 は 次 式 で 与 え られ る.

D(θ,φ)を,最

大 値 を １ と し て 図 示 し た も の を,電

界 強 度 指 向 性 と い う.

微 小 ダ イ ポ ー ル の 電 界 強 度 指 向 性 を 示 せ.

５.原点 に あ る ｚ 軸 に 沿 った 微 小 ダ イ ポ ー ル と,xy面

内 に ある微 小 ルー プ

ア ンテ ナ の組 み 合 わ せ か らな る ア ンテナ の放 射 波 が あ らゆ る方 向 で 円 偏 波 と な る 条 件 を 示 せ.

†ヒ ン ト †

１.式(19.2)に

な ら っ て 丹 念 に 実 施 す る し か な い. .結

２.

果 は 当 然 式(19.2)∼(19.7)と

一 致 す る.

３.非 常 に 小 さ い 値 に な る 事 が 分 か ろ う. ４.D(θ,φ)=sinθ ５.Eθ

は 式(19.8).Eφ

件 はEθ=±jEφ

と な る.こ

れ を 図 示 す る と?

は 式(19.21)よ

り

.円 偏 波 の 条

第

20 章

電波 の送 受信   こ れ ま で は 電 磁 波 の 伝 搬,共 で き た.本

振,発

生 とい うよ うな基 本 的 な こ とを 学 ん

書 の 主 旨 か ら,電 磁 波 の 応 用 面 に 立 ち 入 る こ と は 意 図 す る 範 囲

外 で あ る が,最

後 に そ の 入 り 口 だ け を 紹 介 し て お き た い.無

が 行 わ れ て か ら100年,レ

ー ダ の そ れ か ら70年

後 さ ま ざ ま の 電 波 応 用 分 野 を 開 拓 し て き た.こ

線 通 信 の実 験

が 経 過 し た が,両

者 はそ の

こで は これ らの 基 本公 式 に

つ い て 述 べ て み よ う. (1)  ア ン テ ナ の 実 効 面 積 (2)  散 乱 断 面 積 (3)  フ リス の 伝 達 公 式 (4)  レ ー ダ 方 程 式

  ま ず,パ ラ ボ ラ の よ うな 開 口 面 ア ンテ ナ で 良 く 用 い られ る ア ン テ ナ の 実 効 面 積 と ア ンテ ナ 利 得 と の 関 連 を 示 す.次 に,一 様 媒 質 中 に 媒 質 定 数 の 異 な る 物 体 が あ り,こ れ に 電 波 が 当 た った 時 お こ る 散 乱 の 度 合 い を 示 す 散 乱 断 面 積 に つ い て 説 明 す る.こ れ だ け の 予 備 知 識 を 基 に,送 信 電 力,ア た は 実 効 面 積,使

用 波 長,散

乱 断 面 積,送･受

ンテ ナ利 得 ま

信間距 離等 か ら受 信 ア ンテナ

で 取 り 出 し 得 る 最 大 電 力 を 求 め る に は ど う す れ ば 良 い か を 説 明 す る.こ れ が 無 線 通 信 に お け る フ リ ス の 公 式 と,レ ー ダ に お け る レー ダ 方 程 式 で あ る.

ア ンテナ の実効 面 積

20. 1

 こ れ ま で は,ア は,こ

ン テ ナ を 送 信 用 と し て 使 う 場 合 の み を 述 べ て き た.こ

こで

れ を 受 信 ア ン テ ナ と し て 使 用 し た ら ど う な る か を 考 え る.図20・1(a)

に 示 す よ う に,ア

ン テ ナ 端 子 に イ ン ピ ー ダ ン スZlの

り,こ れ に 電 波 が 到 来 し た と す る と,ア 流 が 流 れ る.こ

の 等 価 回 路 は 図(b)の

(a)負 荷 を 接 続 し た 受 信 ア ン テ ナ 図20・1

負荷 に流 れ る電 流

Ｉ は,受

負荷 が 接続 さ れて お

ン テ ナ 端 子 電 圧 が 発 生 し,負

荷 に電

よ う に な る.

(b)受 信 ア ン テ ナ の 等 価 回 路

受 信 ア ンテ ナ の働 き 信 開 放 電 圧 をV0と

す る と

(20.1) こ こ に,Ｚ

は こ の ア ン テ ナ を 送 信 ア ン テ ナ と し て 使 った 場 合 の 放 射 イ ン ピ ー

ダ ン ス で あ る.負

荷Zlに

合 す る 時 最 大 と な り,Ｚ 場 合,次

取 り 出 し 得 る 最 大 電 力WaはZlが

Ｚ と共 役整

の 実 部 す な わ ち ア ン テ ナ の 放 射 抵 抗 をRrと

の よ う に 表 さ れ る.こ

した

れ を 受 信 最 大 有 効 電 力 と い う.

(20.2) 到 達 し た 電 波 が 単 位 面 積 当 た り 有 す る 電 力,す と す る と,こ

な わ ち,電

力 密 度 をP[W/m2]

の ア ン テ ナ は 等 価 的 に,

(20.3)

で 定 義 さ れ る 面 積 に 入 射 す る 電 力 を 吸 収 し た こ と に な る ．Aeを

ア ンテナ の

実 効 面 積 と 言 う． こ の 値 は ア ンテ ナ の 指 向 性 利 得 と 密 接 な 関 係 が あ る ．   Waは

あ る ア ンテナ を到 来 電波 中 に置 いた時 に負 荷 に取 り出 し得 る 最 大

の 電 力 で あ る か ら ，受 信 ア ン テ ナ の 利 得 は こ の 値 に 比 例 す る と し て 良 い ． し た が って,異 な る ２つ の ア ン テ ナ の 受 信 利 得 をGr， Gr′と し ，そ れ ら の 受 信 最 大 有 効 電 力 を そ れ ぞ れWa，

Wa′ と す る と ， 次 の 関 係 が あ る ．

また は

(20.４)

こ の 関 係 は 任 意 の ア ン テ ナ に 対 し 成 立 す る の で ，W′a/G′aと

して 微 小 ダ イ

ポー ル を用 いて も一般 性 を失 わな い．

微 小 ダ イ ポ ー ル に θ 方 向 か ら電 波 が 入 射 し た と す る と ，受 信 開 放 電 圧 は ， V0  =  Elsinθ

と な り,式(20.２)に

お け る 微 小 ダ イ ポ ー ル の 放 射 抵 抗Rrは

え ら れ る か ら ， 微 小 ダ イ ポ ー ル に 対 す るW′aは

微 小 ダ イ ポ ー ル の 利 得 はG′a=(3/2)sin2θ

を 得 る.こ

れ を 式(20.４)に

式(19.17)で

与

次 のよ うにな る．

で あ る か ら,

代 入 す る と 次 式 を 得 る,

(20.５)

一 方 ,自

由 空 間 で はP=｜E｜2/Z0で

与 え ら れ る か ら,式(20.３)は,

(20.６)

と な り,実 効 面 積 と指 向 性 利 得 と の 関 係 が 求 め られ た.こ れ か ら,実 効 面 積 は 開 口面 ア ン テ ナ は も ち ろ ん,線 条 ア ン テ ナ に も 適 用 で き る こ と が 分 か る ．

20.２   散 乱 断 面 積   一 様 媒 質 中 に 媒 質 定 数 の 異 な る 物 体 が あ り,こ れ に 電 波 が 入 射 す る と,そ の 物 体 に 導 電 電 流 や 変 位 電 流,あ

る いは 変位 磁 流 が流 れ て 電 磁 波 が 再放 射

され る.こ の 現 象 を 散 乱 と い う.散 乱 電 波 の 電 磁 界 は ア ン テ ナ の 場 合 と 同 様 に 計 算 で き,一 般 に は 方 向 に よ って 異 な っ た 強 さ を 持 って い る.   あ る 散 乱 物 体 に あ る 方 向 か ら 平 面 波 が 入 射 し,他 の 方 向 に 電 波 を 散 乱 し て い る 時,そ

の 方 向 へ の 散 乱 波 の 放 射 が,σ[ｍ ２ ］内 の 入 射 電 力 を 全 方 向 に

一 様 に 散 乱 す る 無 指 向 性 の 仮 想 的 散 乱 物 体 の 散 乱 波 に 等 し い 時 ,σ

をそ の

物 体 の バ イ ス タ テ ィック 散 乱 断 面 積 と い う.   入 射 波 の 電 界 をE0,十 る と,σ

分 遠 い距離

ｄ の 点 に お け る 散 乱 電 界 をEsと

す

は 次 式 で 与 え ら れ る.

(20.７)

こ こ に,θ,φ

は 入 射 波 の 到 来 方 向,θ′,φ′は 散 乱 波 の 方 向 で あ る.

  バ イ ス タ テ ィ ッ ク 散 乱 断 面 積 の 特 別 な 場 合 と し て,入

射 方 向 と散 乱 方 向 と

が 一 致 し た 場 合 の σ の 値 σｒ を レ ー ダ 断 面 積 あ る い は 後 方 散 乱 断 面 積 と い う.σ ｒは,レ

ー ダ で 物 体 を 探 知 す る 場 合,検

出 の し や す さ を 表 す 定 数 で あ る.

  レ ー ダ 断 面 積 に は 色 々 な 表 現 の 仕 方 が あ る.た 時 間 平 均 入 力 電 力 密 度 をP0[Ｗ/ｍ2],距 間 平 均 散 乱 電 力 をPs[Ｗ/ｍ

離

２]とす る 時,

と え ば,散

乱物 体 にお け る

ｄ だ け離 れ た受 信 点 にお ける 時 で あ る か ら,

(20.８)

と 表 す こ と も で き る.そ

の 他,立

体 角 を 用 い た 定 義 の 仕 方 も あ る が,要

は

電 波 的 に 見 て ど れ だ け の 反 射 面 積 を 持 っ て い る か を 表 す 数 字 で あ る.良

く

引 用 さ れ る 例 と し て 半 径 ａ の 完 全 導 体 球 の σｒ が あ り,こ 時 πａ２ と な る.し 数,偏

か し,一

の 値 は ａ≫ λ の

般 に は,σ ｒ は 方 向 の 他 物 体 の 形 状,材

波 等 に 複 雑 に 関 連 し て く る.詳

細 は 専 門 書 を 参 照 さ れ た い.

質,周

波

§ 例 題20.１

§  電 界 がEi=azEiの

平 面 波 が 半 径 ａ(a≪

λ),比 誘 電 率 εγ

の 水 滴 に 入 射 し た. (１)  水 滴 の レ ー ダ 断 面 積 を 求 め よ. (２)  周 波 数 が30[GHz］,a=1[mm],ε

γ=80と

し て こ の 値 を 計 算 せ よ,

〓解 答〓 (１)  電 磁 気 学 に よ れ ば,静

電 界Eiに

よ っ て,水

滴 中 に は 単 位 体 積 当 た り,

次 の よ う な 双 極 子 モ ー メ ン ト が 発 生 す る.

高 周 波 に お い て も 同 様 な モ ー メ ン トが 生 じ,半 小 さ い か ら,球

内 で 一 定 と み な す こ と が で き,全

径

ａ が 波 長 に対 して 十 分 モ ー メ ン トは 次 の よ う に

な る.

  こ の よ う に,誘 で き る.し

電 体球 はモ ー メ ン ト ｐ の微 小 ダイ ポー ル と考 え る こ とが

た が っ て,こ

れ に よ る 遠 方 散 乱 電 界 は 式(19.８)に

レ ー ダ 断 面 積 は 上 式 を 式(20.６)に

(２) 

f=30[GHz]で

代 入 し,d=R,θ=θ

あ る か ら,λ=1×10-2[m]と

10-3,k=(2π)/(1×10-2),εr=80を

よ り,

′=π/2と

な る.上

お い て,

式 にa=1×

代 入 す る と,

σr=1.82×10-6[m2]=1.82[mm2]

  ◇   こ の 値 を 幾 何 学 的 断 面 積 と 比 較 す る と σγ/(π α2)=0.580で さ い.

１よ り 小

20.３  フ リス の 伝 達 公 式   本 節 で は,図20・

２ の よ う に,等

方 線 形 な 媒 質 中 を,同

一偏 波 の ２つの ア ン

テ ナ の 一 方 か ら 他 方 へ 電 力 を 伝 達 す る 場 合 の 関 係 に つ い て 述 べ る.

図20.２   ア ン テ ナ 間 の 電 力 伝 達

  ま ず 無 指 向 性 で 損 失 の 無 い 送 信 ア ンテ ナ にWtの

電 力が供 給 され た場合 を

考 え る と,ｄ[ｍ]離 れ た 点 に お い て 単 位 面 積 当 た り流 入 す る 電 力 はW/(4πd2) で あ る.し た が って,送 はGt倍

信 ア ン テ ナ の 利 得 がGtで

あ った な ら ば,電 力 密 度

に 増 加 し,

(20.９)

と な る ． ま た 送 信 ア ン テ ナ の 実 効 面 積 をAetと

す る と,式(20.６)か

ら,こ

の 関 係 は 次 の よ う に も 表 す こ と が で き る.

(20.10)   次 に,こ

の 電 波 を 実 効 面 積Aerの

受 信 ア ン テ ナ で 受 け る と,取

り 出 し得

る 最 大 電 力 は 次 式 で 与 え ら れ る.

(20.11) こ の 関 係 を フ リ ス(Friss)の で 表 す と,次

伝 達 公 式 と 呼 ぶ.こ

の 公 式 中 の 実 効 面 積 を利 得

の よ う に も 書 け る.

(20．12)

  式(20.12)をWa=GtGrWt/Lと

表 す と,1/L=λ2/(4πd)2は

送 ・受 信 ア ン

テ ナ両 方 に無 指 向性 ア ンテ ナ を用 いた場 合 の 送 信電 力 の減 少 を表 す 項 で あ り,こ れ を 自 由 空 間 に お け る 伝 搬 損 失 と呼 ぶ.   こ れ ら の 関 係 は 理 想 的 な 自 由 空 間 に ２つ の ア ン テ ナ が 置 か れ た 場 合 の 関 係 で あ り,実 際 の 場 合 に は 大 地,海 面 等 に よ る 反 射 そ の 他 の 影 響 を 考 慮 す る 必 要 が 出 て く る.こ Wr  = ApWa  と 表 さ れ る.Apは

の 結 果,実

際 に 取 り 出 し 得 る 受 信 電 力 は,

     

(20.13)

通 路 利 得 係 数 と 呼 ば れ,こ

の 係 数 を 考 察 す る こ と が ,と

り も な お さ ず 電 波 伝 搬 の 問 題 を 考 え る こ と に 相 当 す る. § 例 題20.２

§  図20・ ２ に お い て,受

信 点 に お け る 電 界 強 度 は,送

ナ の 半 波 長 ア ン テ ナ に 対 す る 利 得 をGhtと 示 せ.た

す る 時,次

信 ア ンテ

式で 表 され る こ とを

だ し 半 波 長 ア ン テ ナ の 利 得 は 約 １.64で あ る.

(20.14) 〓解 答〓 式(20.９)に

§ 例 題20.3§

お い てP=E2/Z0，

 Gt〓

１.64Ghtで

  静 止 衛 星 の 利 得40[dB]の

電 力 が 放 射 さ れ て い る.こ

あ る か ら,

ア ン テ ナ か ら,12[GHz],200[Ｗ]の

れ を 利 得37.5[dB]の

出 し 得 る 受 信 電 力 を 求 め よ.た

ア ンテ ナで 受 信 した時 取 り

だ しd=38,000[km]と

す る.

〓解答〓   式(20.12)に 107[m],Wt=200[W]で

お い て,Gt=104, 

Gr〓5.62×103,λ=0.025[m], 

あ る か ら,

d=3.8×

20.４   レ ー ダ 方 程 式   レ ― ダ(radar)はradio

detection

and rangingの

略 で,そ

の 名 の 示 す と お り,

物体 の検 出 と距 離 の算 定 が主 目的 に な る．距 離 を測 るに は狭 いパ ル ス で 変 調 し た マ イ ク ロ 波 を 放 射 し,目 を 測 定 す れ ば 良 い.レ

標か らの反 射 波が 受 信 され る まで の時 間 Ｔ

ー ダ の 性 能 を 評 価 す る に は 種 々 の 項 目 が あ る が,そ

最 重 要 な も の に 最 大 探 知 距 離 が あ り,こ れ を 求 め る に は,以

の

下 に 述 べ る レー

ダ 方 程 式 を 用 い る.   利 得Gtの

ア ン テ ナ か ら 送 信 電 力Wtが

電 力 密 度 は,前 ダ断 面積

節 に も 述 べ た と お り,WtGt/(4πd2)と

σｒ を も つ 目 標 が あ る と, WtGtσr/(4πd2)の

反 射 さ れ る.こ る が,受

放 射 さ れ る 時,距 な る.こ

離 ｄ にお け る の 地 点 に レー

電 力 が レー ダ に 向 け て

の 反 射 波 は ふ た た び 距 離 ｄ を 伝 搬 して 受 信 ア ンテ ナ に 達 す

信 ア ン テ ナ の 実 効 面 積 をAerと

す れ ば,受

信 最 大 有 効 電 力Wrは

次 式 で 表 さ れ る.

(20.15) 受 信 ア ン テ ナ の 利 得GrはGr=4πAer/λ2と

表 さ れ る し,ま

た 送 ・受 信 ア

ン テ ナ に は 同 じ ア ン テ ナ を 共 用 す る こ と が 多 い の でGt=Gr=Gと

お く

と,Wrは

次 の よ う に も 書 け る.

(20.16) こ れ 等 の 関 係 式 を レー ダ 方 程 式 と い う.レ ー ダ 方 程 式 に は これ ら基 本 的 な 表 現 の ほ か,種 々 の 変 形 表 現 が あ る が,詳

し く は 専 門 書 に ゆ ず る こ と に す る.

  レー ダ 方 程 式 を 見 る と,目 標 か らの 受 信 電 力(信 号)は 距 離 の ４乗 に 反 比 例 す る.こ れ は,電 波 が 目 標 と の 間 を 往 復 す る か らで,距 離 が 遠 くな る と 信 号 は 急 激 に 減 衰 し,つ い に は 雑 音 に 埋 も れ て し ま う.こ の よ うな 検 出 可 能 限 界 を 与 え る 受 信 電 力 をWminで

表 す と,最 大 探 知 距 離dmaxは

次のように

な る.

(20.17) こ の 式 に お け るWminは で 定 ま る.受

信 号 の 強 さ だ け で は 決 ま ら ず,雑

信 機 の 入 力 Ｓ/Ｎ をSi/Ni,出

信 機 の 雑 音 指 数Nfは

音 との 比

力 の そ れ をS0/N0と

Ｓ/Ｎ

す ると受

定 義 に よ り 次 の よ う に 表 さ れ る.

(20.18) こ こ で 受 信 機 の 出 力 端 で 信 号 を 識 別 で き る 最 小 Ｓ/Ｎ を(So/No)minと こ と に す る.ま

た 雑 音 理 論 に よ れ ば 受 信 機 の 熱 雑 音 電 力 は,受

絶 対 温 度 を Ｔ,帯

域 幅 を Ｂ,ボ

で 表 さ れ る.Siの

最 小 値 を 最 小 検 知 感 度 と 呼 び, Sminで

表 す

信機 の周 囲

ル ツ マ ン 定 数 を Ｋ と す る と,Ni=kTB 表 す.

(20.19) S minは

式(20.16)に

dmaxは

次 の よ う に も 書 く こ と が で き る.

お け るWminに

他 な ら な い か ら,こ

れ に 代 入 す る と,

(20.20) § 例 題20.４

§  波 長 λ=3[cm],出

レ ー ダ ア ン テ ナ か ら 放 射 し た.目 知 電 力Wminが

５[pW]で

力100[kW]の

標 の レ ー ダ 断 面 積 が σr=10[m2],最

あ る 時,最

大 探 知 距 離dmaxは

〓 解 答〓   式(20.16)を

Ｇ の 代 わ り にAeで

これ に題 意 の 数値 を代 入 す る と

電 波 を 実 効 面 積 １[ｍ２]の

表 す と

小探

幾 ら に な る か.

20 5 ．

第

20 章

問題

１.パ ラ ボ ラ の よ う な 開 口 面 ア ン テ ナ に お い て,実

際 の開 口面 積 Ａ に対 す

  る 実 効 面 積Aeの

置 いた時 の ｇ を利得 係

割 合,す

な わ ち,Ae=gAと

  数 あ る い は 開 ロ 面 効 率 と い う.開   数12[GHz]に

口 直 径1[m]の

お け る 利 得 が40[dB]で

ア ン テ ナ が あ り,周

あ っ た と す る と,こ

波

の ア ンテ ナ の

 開 口面効 率 は い く らに な るか 。 ２,面 積A=α2(a≫

λ)の

  面 積 は σr=4π Ａ2/λ2で   体 の レ ー ダ 断 面 積 は,半 ３.周 波 数3000[MHz]の

与 え ら れ る.a=10λ 径

す る と,受

５.送 信 電 力1[MW],ア

の 時,１

搬 さ せ た 時,自

信 し 得 る 最 小 信 号 電 力 は い く ら に な る か.

ン テ ナ 実 効 断 面 積1[m2],利

†ヒ ン ト †

１.g=0.633

２.正 方 形 の 方 が 非 常 に 大 き く な る こ と が 分 か ろ う。

５.dmax＝110[km]

得40[dB]と

目 標 を 照 射 し た 時,最

  距 離 は い く ら に な る か.

[dB]

由 空間 に お け る伝

受 信 機 出 力 信 号 を 識 別 で き る 最 小S/N

  の 受 信 機 を 用 い て レ ー ダ 断 面 積3[m2]の

３.L=136 

辺 ａ の 正 方形 導

な るか ． 域 幅1[MHz]の

  を20[dB]と

に 垂直 な 方 向 の レー ダ断

α の 球 の そ れ の 何 倍 に な る か.

電 波 を50[km]伝

  搬 損 失 は 何[dB]に ４．温 度290[K],帯

正 方 形 完 全 導 体 の,面

し,上

記

大探 知

付録 A.1 

主 要定 数

表A1.1 

自 由 空 間(真

空 中)に

表A1.2 

導 電 率   σ[S/m]

表A1.3 

比 誘 電 率   εr

表A1.4 

比 透 磁 率   μr

お け る諸 定 数

A.2  量 記 号 お よ び 単 位 記 号 量

定義

量記 号

dQ/

単位

電流

Ｉ

I=

電 気 量,電 荷

Ｑ

Q=〓Idt

体 積 電荷 密度

ρ

ρ=

表 面 電荷 密 度

ρs

ρs=

電 界の 強 さ

Ｅ

E=

電 位,電

Ｖ

E=-▽V

起電力

Ｅ,Ｕ

U=〓E･ds

電 束 密度

Ｄ

ρ=▽･D

[C/m2]

Ψ=〓sD･dS

[Ｃ]

圧

静 電 容量

[Ｃ]

Q/

,Ｖ は 体 積

Q/

電 束Ψ Ｃ

[Ａ]

dt

V

C=

S

ε,ε

真空 の誘 電 率

ε0

比誘 電 率

εr

[C/m3] [C/m2]

,Ｆ

[V/m]

[V/m]=[N/C]

[Ｖ]

[V]=[W/A]

Q/ V

 

誘電率

は 力

[Ｆ]

[F/m]

D=εE

ε/ εr=

無 次元

ε0

電気 分 極

Di

Di=D-ε0E

[C/m2]

電気 双極 子

ｐ

T=p×E

[Cm]

モ ー メ ン ト

[C]=[AS]

,Ｓ は 面 積

F/

Q

単 位 間 関係

[F]=[C/V]

量

定義

量記号

単位

電 流 密度

J

[A/m2]

面 電流 密 度

Js

[A/m]

磁 界 の強 さ

H

[A/m]

磁 位 差,磁

Um

[A]

位

起磁 力

F

磁束

φ

磁 束密 度

B

U=-dΦ/dt

磁 気 ベ ク トル ポ

[Wb]

[Wb]=[Vs]

[T]

[T]=[Wb/m2]

[Wb/m]

テ ン シャルＡB=▽ 自己 イ ン ダ ク タ

単位 間関 係

×A L

L=Φ/I

M

M12=Φ1/I

[H]

[H]=[Wb/m]

ンス 相互イ ンダクタ

2

ンス 透磁 率

μ,μ

B=μH

真空 の透 磁 率

μ0

μ0=4π

比透磁 率

μr

μr=μ/

[H/m] ×10-7

無次 元 μ0

磁 気 モー メ ン ト

ｍ

磁化

Ｍ

磁 気分 極

Bi

T=m×B

[Am2] [A/m]

Bi=B-μ0H

[Ｔ]

[T]=[Wb/m2]

量 磁 気 双極子 モ ー

定義

量 記号

Pm

単位

T=Pm×H

単位 間 関 係

[Wbm]

メン ト 電 磁 エネル ギ ー

w

[J/m3]

ＳS=E×H

[W/m2]

密度 ポ イ ン テ ィン グ ベ ク トル

電 気 抵抗

Ｒ

R=V/I(直

コ ンダ ク タ ンス

Ｇ

1 /R(直

抵抗率

ρ

ρ=E/J

導電率

σ

σ=1/

流) 流)

[Ω]

[Ω]=[V/A]

[S] [Ωm]

ρ

位 相差

ψ,θ

イ ン ピー ダ ン ス

Ｚ

Z=R+jX

リア ク タ ン ス

X

イ ン ピー ダ ン ス の

[S/m] [rad] [Ω]

虚部 損失角

δ

tanδ=R/￨X￨

[rad]

キ ュー

Ｑ

Q-￨X￨R

無次元

ア ドミ タ ン ス

Ｙ

Y=1/Z=G+jB

[Ｓ￨

サ セ プ タ ンス

Ｂ

ア ドミ タ ンス の虚 部

電力

P

P=VI

[Ｗ]

[W]=[V 

A]

A.3 

ベ ク トル 公 式

ベ ク トル 積 の 公 式 A・(B×C)=B・(C×A)=Ｃ A×(B×

・(A×B)

Ｃ)=(A・C)B-(A・B)C

A×(B×C)+B×(C×A)+C×(A×B)=0 (A×B)(C×D)=(A・C)(B・D)-(A・D)(B・C)

▽ 演 算子 の 公式 ▽(φ ψ)= 

ψ ▽ φ+φ

▽ ・(φA)=φ ▽ ×(φA)=φ

▽ψ

▽ ・A+A・ ▽ ×A+▽

▽φ φ ×A

▽ × ▽ φ=0 ▽・ ▽ ×A=0 ▽ × ▽ ×A=▽ ▽(A・B)=(A・ ▽ ・(A×B)=B・ ▽ ×(A×B)=A▽

▽ ・A-▽2A ▽)B+(B・ ▽ ×A-A・ ・B-B▽

▽)A+A×(▽

×B)+B×(▽

×A)

▽ ×B ・A+(B・

▽)A-(A・

▽)B

ベ ク トル 積 分 公 式

(ガ ウ ス の 定 理) (ベ ク トル ガ ウ ス の 定 理)

(ス ト ー ク ス の 定 理)

Ａ． ４  座 標 系 別 ベ ク トル 表 示 (１) 直 交 座 標 系

(２)  円 柱 座 標 系

(３)  極 座 標 系

Ａ． ５  三 角 関 数 ・双 曲 線 関 数

ejθ =    cosθ+jsinθ

(cosθ+jsinθ)k 

=  coskθ+jsinkθ

ex  =    coshx+sinhx

sinh-1x=cosh-1√x2+1=ln(x+√x2+1)

cosh-1x=sinh-1√x2-1=ln(x+√x2-1)

sinh(jx) 

=  jsinx, 

sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy

cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy

cosh(jx) 

= 

  cosx

ベ ッセ ル 関 数

A .6

 電 磁 界 の よ うな 物 理 量 に 関 す る 方 程 式 を 円 柱 座 標 系 で 立 て る と,式(15.32) に 示 した よ う な べ ッセ ル の 微 分 方 程 式 が 良 く 現 れ る.こ 程 式 で あ る か ら,２

つ の 独 立 な 解 を 有 し て い る.

Jm(kcr)をm次

の べ ッ セ ル 関 数, Nm(kcr)をm次

Jm(ρ), Nm(ρ)の

関 数 形 を グ ラ フ に 描 く と 図A6・1,  A6・2の

図A6.1  Jm(ρ)=0, 

ベ ッセ ル 関 数

J′m(ρ)=0の 表A6.1

れ は ２階 の微 分方

ρmnの

根,  Pmn,  P′mn,を 値

図A6.2 

の ノ イ マ ン 関 数 と 呼 ぶ.

ノ イ マ ン関 数

表A6・1,  A6・2に 表A6.2

よ う に な る.

示 す.

ρ′mnの 値

A. 7

単位 の名称 (接 頭 語) 日本 読 み エ クサ

名称

表示

倍数

exa

E

1018

ペタ

peta

P

lO15

テ ブ

tera

T

1012

ギガ

gaga

G

109

メガ

mega

M

106

キ ロ

kilo

k

103

ヘ ク ト

tera

h

102

デカ

daca

da

10

デ シ

deci

d

10-1

セ ンチ

centi

C

10-2

ミ リ

mili

m

10-3

マイ ク ロ

micro

μ

10-6

ナ ノ

nano

n

10-9

ピコ

pico

P

10-12

フェム ト

femto

f

10-15

ア ト

atto

a

10-18

A

．

8

ギ リ シ ャ文 字 小 文字

大 文字

α

Ａ

alpha

アル ファ

β

B

beta

ベ ー タ

γ

Γ

gamma

ガ ンマ

δ

△

delta

デルタ

E

epsilon

イ プ シ ロ ン

Z

zeta

ツ エー タ

〓,ε

ζ

Ｈ eta

η θ,〓 ι

シー タ

Ｉ

iota

イオタ

Ｋ kappa Λ

μ

Ｍ

mu

ミ ユ ー

Ｎ nu

ニ ユ ー

omicron

オ ミク ロ ン

Ⅱ

Pi

パイ

Ｐ

rho

ロ ー

∑ sigma

Ｔ

Φ 〓 X

ψ ω

ラム ダ

Ｏ

νｒ φ,ψ

lambda

ク シ ー,グ

σ,〓 〓

カ ッパ

xi

ξ〓

ρ,〓

エ 一 タ

theta

λ

π,〓

日本読 み

Θ

κ

ｏ

読み

シ グマ

tau

タウ

upsilon

ウ プ シ ロン

phi

フ ァイ

chi

カイ

Ψ psi

Ω

ザ イ

omega

プ サ イ,プ

オ メガ

シー

索 引 ア行

ア ンペ ア 周 回 積 分 の 法 則  ＥＨ モ ー ド 位相速度

 

158

圧 パ ル ス) 

98

過 渡 現 象(電

圧 サ ー ジ) 

95

管 内波 長 

137

ガ ウス の定 理  

16

37

基 本 モ ー ド 

145,166

9,36,55,74

Ｑ フ ァク タ  

168

球面 波  

186

 

位 相定 数  

15

過 渡 現 象(電

異 方性 媒 質 

62

ＨＥモ ー ド  

158

境界 条件 

22

エ ネル ギ ー密 度  

38

共振 周 波 数  

162

エ ネル ギ ー流 密 度  

38

共 振 波長  

166

円柱 座 標 系 

206

共鳴 吸収  

68

円筒 空 洞 共振 器  

166

極 座 標系  

206

空洞 共振 器  

164

屈 折 率  

124

ク ラ ッ ド 

154

グ レ ー デ ツ ド 形 光 フ ア イ バ  

152

群速 度  

139 159

円偏 波  

44

オ イラ ーの公 式  

５

力行

開 口数  

155

群 遅延  

開 口面効 率  

200

減 衰定 数  

角周波数 

９

55,74

コ ア 

154

カ ッ トオ フ 周 波 数  

138

光 線 方程 式  

156

カ ッ トオ フ 波 長  

138

後 方散 乱 断 面積  

194

過 渡 現 象(単

一 正 弦 波) 

92

固 有 イ ン ピー ダ ン ス  

37

サ行

受端 短 絡 

85

自由空 間波 長  

47,137

最 小検 知 感 度  

199

磁 流  

178

最 大受 光 角 

155

垂 直 偏 波 

122

最 大探 知 距 離  

198

水 平 偏波  

122

散 乱 

194

ス カ ラ積  

3

散乱 断面 積  

194

ス カ ラ ポ テ ン シ ャル 

雑音 指 数  

199

ス テ ップ 形 光 フ ァ イ バ  

指 向性  

188

ス トー ク ス の 定 理  

指 向性 利 得  

188

ス ト リ ップ 線 路

変 成器  

88

17,176 152 15  

108

ス ネ ルの 屈折 の 法則  

124 124

遮 断周 波 数  

138,145

ス ネル の反 射 の 法則  

遮 断波長  

138,145

正 円偏 波  

44

整合  

83

集 中定数 共振 回路  

162

周 波 数  

9

先 端 開放  

84

進 行 波 

83

先 端 短絡  

85

振 動 双極 子  

182

線 路 共振 器  

162

磁 荷  

16

線 路 の 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス 

磁 化 

65

全 反 射 

129

磁 気 回転 比  

65

相 対 屈折 率  

124

磁 気 的 ス カ ラ ポ テ ン シ ャル   178 磁 気 的 ヘ ル ツ ベ ク トル 

実効 面 積   ジ ャイ ロ 性 媒 質  

58

179

磁 気 的 ベ ク トル ポ テ ン シ ャル  178 磁 気 モ ー メ ン ト 

損 失 正接  

74

夕行

65,189 193 62

多 モ ー ド光 フ ァ イ バ  

152

単 一 モ ー ド光 フ ァイ バ 

152

受 信 開 放 電圧  

192

単 位 ス テ ップ 関 数  

受 信 最大 有 効 電 力 

192

第 １種 円 柱 関 数  

148

84

第 ２種 円 柱 関 数  

148

受 端 開放  

98

楕 円偏 波 

44

電力 定 在 波比  

直線 偏 波 

42

透過 係 数  

113

直方 体 空 洞共 振器  

164

等 位相 面  

35

直交 偏 波 

122

等 方性 媒質  

51

通路 利 得係 数  

197

特 性 イ ン ピーダ ンス 

37

ＴＥ10モ ー ド  

145

同軸 ケー ブル  

105

ＴＥmnモ

144

導 波管  

137

ー ド 

ＴＥＭ 波  

36 ナ行

ＴＥ 波  

135

ＴＭ 波  

136

定在 波  

84

斜 め 入射  

低 損失 線 路  

77

ナ ブ ラ 

テ ン ソル透 磁率  

67

入 射 面 

テ ン ソル誘 電率  

63

ノ イ マ ン関 数  

電 圧 定在 波 比  

86

122 ３ 122 148,208

86,118

電 界 強度 指 向 性 

ハ 行

190

電 界 と磁 界 の 位 相 差  

56

電 界 と磁 界 の 比  

56

ハ イ ブ リ ッ ドモ ー ド  

158

電気 双 極子  

185

波数  

36

電 気 的 ヘ ル ッ ベ ク トル 

179

波 数 ベ ク トル  

48 36

電信 方 程 式 

73

波長  

伝送 線 方 程式  

73

波 動方 程 式 

電 束 に 関 す る ガ ウ ス の 法 則  

16

波面  

電 波イ ン ピーダ ンス  

37

反 射係 数  

伝搬 速 度  

37

半 値 幅 

伝搬 損 失  

197

伝搬 定 数  

55,74

光 フ ァイ バ  

152

12

比 屈折 率 差 

155

139

表 皮 の 深 さ 

57

電流 連 続 の方 程 式  電力 伝 搬 速度  

７ 35 82,112 188

バ イ ス タ テ ィ ック 散 乱 断 面 積   194

ビー ム 幅  

188

微 小磁 気 ダイ ポー ル 

189

微 小 ダ イ ポ ール  

182

フ ァラ デ ー 回 転  

69

フ ァラ デ ー の 法 則  

15

フ ェー ザ  

５

ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル 

26

マ行

マ イ ク ロ ス ト リ ップ 線 路   マ ク ス ウ ェル の 方 程 式  

108 13

フ ェ ラ イ ト 

65

無 指 向 性 ア ンテ ナ  

188

負 円偏 波 

44

無 損 失 線 路 

76

複素 誘 電 率  

58

無 ひず み線 路  

78

フ リス の 伝 達 公 式  

196

面 電 荷 密 度 

23

ブル ー ス タ角 

127

面 電 流 密 度 

24

平 衡 形 ス ト リ ップ 線 路 

108

モ ー ド分 散  

154

平 行 ２線  

102

平行 偏 波  

122

ヤ 行

平面 電 磁 波  

35

ヘ ル ム ホル ッの方 程 式  

46

誘 電 体 ロ ッ ド 

153

ヘ ル ム ホル ッの定 理  

19

誘 導 電 磁界  

185

変位 電 流  

12

偏 波 

42

偏 波面  

42

ラ 行

ベ ク トル 演 算  

２

ラ プ ラ シ ア ン 

ベ ク トル 積  

３

ラ プ ラス の方 程式  

ベ ク トル フ ェ ー ザ   ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル   ベ ッセ ル 関 数  

32

３ 17

利得 係 数  

200

17,176

臨 界 角 

129

148,208

レーダ  

198

放射 抵 抗  

187

レーダ 断面 積  

194

放射 電 力 

187

レーダ 方程 式  

198

放 射 電 磁 界  

186

ロー レ ンツの条 件  

176

ポ ア ソ ンの 方 程式  

17

〈 著者紹介〉

三 輪

進

学   歴    東 京 大 学 工学 部 電 気 工学 科 卒業(1953)          工 学 博 士(1986) 職   歴    三 菱 電 機 株式 会 社 入 社(1953) 現  在    東 京 電 機 大学 名 誉 教授,同 非常 勤 講 師

理工学講座 高周波 電磁気 学 1992年8月20日  2005年4月20日

第 １版 １刷 発 行

著  者   三 輪    進

  第 １版 ６刷 発 行

       学校法人 東京電 機大学 発行 所   東 京 電 機 大 学 出 版 局        代表者  加藤康太郎        〒101-8457        東 京都 千 代 田 区 神 田錦 町2-2        振 替 口座   00160-5-71715        電 話   (03)5280-3433(営 業)              (03)5280-3422(編 集)

印刷 三 美印刷㈱ 製本 渡辺製本㈱

〓

Miwa 

Printed 

Susumu  in Japan

*無 断 で転 載 す る こ とを禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁 本 は お取 替 えいた し ます。 ISBN4-501-10530-5 

C3054

1992

理工学講座 基礎 電 気 ・電子 工 学

電磁気学

         宮 入 庄 太/磯 部 直 吉 監 修

               東 京 電 機 大 学 編

           Ａ ５判312頁

                Ａ ５判266頁 電 磁気学 のベ クトル解析 ／真空 中の静電界／

２色 刷

電気の基礎／電気回路／半導体デバ イス／電 子回路／ エネルギー変換機器 とその応用／電 子機器 とその応用

誘電体中の電 界／電流 ／真空 中の磁 気現象／ 磁 性体中の磁気現象／電磁誘 導／電 磁界

照 明工学講義 新訂版

制御工学

                   関   重 広 著

       深 海 登 世 司／ 藤 巻 忠雄 監 修

                Ａ ５判200頁

          Ａ ５判270頁

総論／電球／螢光灯／放電灯／照明計算／昼 光照明／照明の生理 と心理／色彩 と照明／照 明器具／屋内照明／屋外照明／測 光／放射

序 論／制御系 の構成 とブロ ック線図／制 御系 の特性／ フ ィー ドバ ック制御 系の安定判別／

２色 刷

設計 ／サ ンプル値制御 ／シーケンス制 御

システ ム工学入門

BASICシ

                  松 永 省吾 著

                  松 永 省吾 著

           Ａ ５判186頁

                Ａ ５判250頁

２色 刷

ステム工学

本 書 を学ぶに あた って／ システムエ学概論／ プ ロゼ ク トのための最適化計画法／プ ロゼ ク トにおけ る諸問題 の考察

「システムエ学入 門」 の姉妹編 線 形計画法／動的計画 法／PERT計 画 法／最 適配 置問題／待 ち行列

電子工学概論

電気通信概論

        倉 石 源三 郎 ／ 丹 野 頼 元 監 修

                  荒 谷 孝 夫 著

                Ａ ５判260頁

          Ａ ５判154頁 ２色 刷 通信 システムの概要／伝送媒体 ／信号 の処 理

電子 回路の基礎／構成部品／ダイオー ドと ト ラン ジスタ／集積 回路 ／基本電子 回路／電子 計算機 ／電 気通信／電子計測 器／応用分野

例題演習

マ イ ク ロ波 回路

／信号の伝 送／信号の交 換／環境別各種伝 送 方式／情報別各種通信方式

半導体工学 基 礎 か らデ バ イス まで

                 倉 石 源 三 郎 著

         青 野 朋 義／ 本 間 和 明 他 著

                Ａ ５判310頁

          Ａ ５判352頁

伝送線路／電磁波／導波管／共振 回路 とフ ィ ル タ/MICと ス トリップ線路／ フェライ トと マ イクロ波／ マイ クロ波電子回路

基礎的性質／ダイオー ドとバイ ポー ラ トラン ジスタ／電 界効果 トランジス タ／集積回路／

*定 価,図

２色 刷

光電素子／他の半導体デバイス／製造技術

書 目録 の お 問 い 合 わ せ ・ご要 望 は 出版 局 ま でお 願 い 致 しま す.      A-1