Численные методы: Контрольно-измерительные материалы по курсу

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА Кафедра «Моделирование и управление процессами нефтегазодобычи»

КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ по курсу «Численные методы» для студентов специальности 073000 – Прикладная математика

Тюмень 2004 г.

Рекомендовано УМО нефтяных ВУЗов Министерства образования Российской Федерации по секции «Прикладная математика». Соответствует требованиям ГОС на уровне средней сложности

Составители: Мусакаев Н.Г., доцент, к.ф.-м.н. Ефимова Н.В., ассистент

© Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» 2004 г.

2

Введение Тестовые задания по курсу «Численные методы» для специальности 073000 – Прикладная математика разработан с целью проведения комплексной проверки остаточных знаний студентов, прослушавших данный курс. Уровень сложности теоретических и практических заданий полностью соответствует требованиям государственного образовательного стандарта по курсу «Численные методы» для специальности 073000 – Прикладная математика. Содержание тестовых материалов традиционное для данного курса и включает в себя задания по следующим разделам: интерполяция и аппроксимация; численное интегрирование; прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений; численное решение нелинейных уравнений; конечно-разностные методы решения задачи Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений; численные методы решения уравнений математической физики. При использовании тестовых заданий для оценки уровня остаточных знаний студентов, обучающихся по различным специальностям инженерного профиля, следует учитывать содержание соответствующих программ.

3

Билет 1 1.

Определение сплайн-функции.

а) Полином Pn ( x ) =

n

⎛

n

∑⎜⎜ f ( xi ) ∏( x − xk )

i = 0⎝

k =0

⎞ ( x − xi )∏ ( xi − xk ) ⎟ , принимающий в точках xi значения ⎟ k ≠i ⎠

f(xi), называется сплайн-функцией, соответствующей данной функции f(x) и узлам xi (i = 0, 1,…, n). б) Сплайн-функцией m-го порядка, соответствующей данной функции f(x) и узлам xi (i = 0, 1,…, n), называется функция s(х), которая: 1) является полиномом m-го порядка на каждом частичном отрезке [xi-1, xi] (i = 1, 2,…, n); 2) непрерывна вместе со своими производными до (m–1)-го порядка в узлам xi (i = 1, 2,…, n–1); 3) s(xi) = f(xi) (i = 0, 1,…, n). в) Сплайн-функцией, соответствующей данной функции f(x) и узлам xi (i = 0, 1,…, n), называется полином

вида

Pn ( x ) = y0 + q Δ y0 +

q( q − 1) 2 q( q − 1) K ( q − n + 1) n Δ y0 + K + Δ y0 , 2! n!

где

q = ( x − x0 ) h , h – шаг разностной сетки, Δkyi – конечные разности k-го порядка. 2.

Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. а) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Гаусса исключается не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент. б) Отличие в том, что на очередном k-ом шаге реализации метода Гаусса исключается элемент ( k −1) , называемый главным элементом на k-м шаге исключения. Тем самым система линейных akk

алгебраических уравнений приводится к треугольному виду. в) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Гаусса исключается не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наименьшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наименьший по модулю элемент. 3. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений? а) В том, что неявные методы абсолютно устойчивы и позволяют выбирать шаг по пространственной переменной независимо от шага по времени (или параметра, играющего роль времени). б) В том, что неявные методы являются более простыми в реализации в виде программного продукта. в) В том, что неявные методы не требуют на каждом шаге по маршевой переменной (по времени) решения системы алгебраических уравнений. 4. Назовите области применения нерегулярных сеток при численном решении задач математической физики. а) При построении консервативных конечно-разностных схем. б) При несовпадении границы расчетной области с узлами регулярной сетки или из-за необходимости сгущать сетку в некоторых подобластях для достижения требуемой точности решения задачи. в) Для записи граничных условий в конечно-разностном виде или получения более подробной информации вблизи границ при известном численном решении задачи. 5. Коэффициент охвата (относительный объем промытого пласта) ηохв = 0,34 и коэффициент вытеснения ηвыт = 0,42 измерены с точностью до 0,01. Найти абсолютную и относительную погрешности в определении коэффициента нефтеотдачи при водонапорном режиме η = ηохв • ηвыт = 0,1428. а) Абсолютная погрешность = 0,0075 , относительная погрешность = 0,053. б) Абсолютная погрешность = 0,0077 , относительная погрешность = 0,051. в) Абсолютная погрешность = 0,0077 , относительная погрешность = 0,054.

4

Билет 2 1. Чем вызвана неустранимая погрешность? а) Тем, что математическая модель исследуемого объекта никогда не учитывает всех без исключения явлений, влияющих на состояние объекта, и тем, что входящие в задачу заданные параметры (числа или функции) измеряются с какой-либо ошибкой. б) Тем, что любые арифметические операции над числами производятся при наличии ограниченного количества используемых для записи чисел разрядов позиционной системы исчисления. в) Тем, что в результате применения численного метода могут быть получены не точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные методом вычисления проделаны абсолютно точно. 2. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций? а) Суть состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях. б) Суть состоит в следующем: при заданном числе интервалов разбиения следует расположить их концы так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования. в) Суть состоит в том, что из подынтегральной функции f(x) выделяют некоторую функцию g(x), имеющую те же особенности, что функция f(x), элементарно интегрируемую на данном промежутке и такую, чтобы разность f(x)–g(x) имела нужное число производных. 3. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений перед методом простой итерации? а) Дает большой выигрыш в точности, так как, во-первых, метод Зейделя существенно уменьшает число умножений и делений, во-вторых, позволяет накапливать сумму произведений без записи промежуточных результатов. б) Метод Зейделя являются абсолютно сходящимся, т.е. для него нет необходимости вводить достаточные условия сходимости в отличие от метода простой итерации. в) Обычно данный метод дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации. Кроме того, метод ( k +1)

Зейделя может оказаться более удобным при программировании, так как при вычислении xi

нет

) необходимости хранить значения x1(k ) , x2(k ) , …, xi(k −1 . 4. Согласованность конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные уравнения в частных производных. а) Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных производных, если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю. б) Разностная схема называется согласованной, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка не возрастает при переходе от одного шага к другому. в) Согласованной схемой называется разностная схема, обеспечивающая точное выполнение законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки. 5. Применяя метод Эйлера, численно решить дифференциальное уравнение y ′ = 0,5 xy с

начальным условием y ( 0) = 1 на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,2. а) y(0,2) = 1,0000; y(0,4) = 1,0420; y(0,6) = 1,1952; y(0,8) = 1,3646; y(1,0) = 1,5644. б) y(0,2) = 1,0200; y(0,4) = 1,0404; y(0,6) = 1,0612; y(0,8) = 1,0942; y(1,0) = 1,1321. в) y(0,2) = 1,0000; y(0,4) = 1,0200; y(0,6) = 1,0608; y(0,8) = 1,1244; y(1,0) = 1,2144.

5

Билет 3 1. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции. а) Требуется вычислить производные от функций, заданных в табличном виде. б) Требуется найти значение функции f(x), x ≠ xi (i = 0, 1,…, n), если известны узлы интерполирования xi (i = 0, 1,…,n) и значения функции f(x) в этих узлах. в) Требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. 2.

Чем вызвана погрешность усечения при вычислении производной по формулам численного дифференцирования? а) Погрешность усечения вызвана заменой данной функции f(x) интерполяционным многочленом Pn(x). б) Погрешность усечения вызвана неточным заданием исходных значений данной функции f(x). в) Погрешность усечения вызвана неточным заданием начальным и граничных данных для исходной функции f(x). 3. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида разработан метод прогонки? а) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженной (лишь малая доля элементов матрицы отлична от нуля) матрицей коэффициентов. б) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. в) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с апериодической матрицей коэффициентов. 4. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной? а) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если выполняются условия устойчивости и согласованности. б) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий. в) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если начальные и граничные условия определены и непрерывны в заданной области. 5.

Дано табличное распределение температуры вблизи твердой поверхности (y = 0). Полагая, что данное распределение аппроксимируется полиномом 2-го порядка T=ay2+by+c, найти через поверхность (Δy – шаг по пространственной тепловой поток qw = − k (∂T ∂y ) y =0

координате). а) qw = k {3T ( 0) − 4T ( Δy ) + T ( 2Δy ) } 2 Δy . б) qw = k 2 {T ( 0) − 2T ( Δy ) + T ( 2Δy ) } Δy . в) qw = k {T ( 0) + 2T ( Δy ) − 3T ( 2Δy ) } 2 Δy .

6

Билет 4 1.

Что принимают за меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в методе наименьших квадратов? а) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают максимум модуля разности f(xi) и Pm(xi) (i = 1, 2,…, n). б) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают сумму n

∑ ω ( xi ) [ f ( xi ) − Pm ( xi ) ] 2 , где ω( x ) ≥ 0 – заранее выбранная «весовая» функция.

i =1

в) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают сумму n

∑

i =1

f ( xi ) − Pm ( xi ) .

2.

Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся? а) Потому что для данного метода вводятся достаточные условия сходимости. б) Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается на конечном результате, поскольку ошибочное приближение рассматривается как новый начальный вектор. в) Потому что при использовании данного метода строится отдельная процедура, исправляющая любые ошибки, допущенные при расчетах. 3. Условие Куранта-Фридрихса-Леви. а) ν = c Δt Δx ≤ 1 . б) ν = α Δt (Δx ) ≤ 1 / 2 . 2

в) ν = c 2 Δx (Δt ) ≤ 1 . 2

В чем принципиальное отличие метода контрольного объема (метод построения конечноразностных схем) от других методов? а) Построенная данным методом конечно-разностная схема является абсолютно устойчивой. б) В отличие от других методов с помощью метода контрольного объема можно построить конечноразностный аналог какой-то отдельно взятой производной, а не только конечно-разностный аналог всего уравнения в частных производных. в) При использовании данного метода конечно-разностная схема строится на основе физических законов сохранения, следствием которых является рассматриваемое уравнение в частных производных.

4.

1

5.

Оценить погрешность вычисления R интеграла

∫e

− x2

0

равномерном шаге h = 0,1. а) R < 0,04 .

б) R < 0,002 .

в) R < 0,00015 .

7

dx по формуле трапеций при

Билет 5 1. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников. а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами xi и xi+1, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. б) В квадратурных формулах

1

n

−1

i =1

∫ f (t ) dt = ∑ ci f (ti ) + Ψ

коэффициенты ci и абсциссы ti подбираются

так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах точно интегрируются все многочлены степени N ≤ 2n − 1 . Коэффициенты ci и абсциссы ti находятся из системы 2n-1 нелинейных уравнений. в) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [xi, xi+1] равной длины. На каждом отрезке [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(xi+1/2) (либо f(xi), либо f(xi+1)) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. 2. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения. а) На первом этапе левая часть нелинейного уравнения f(x) = 0 аппроксимируется на интервале [а, b] интерполяционным многочленом Ньютона. На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня. б) На первом этапе проверяется выполнение достаточных условий сходимости. На втором этапе нелинейное уравнение заменяется на интервале [а, b] эквивалентным уравнением. На третьем этапе строится итерационный процесс, позволяющий определить значение корня нелинейного уравнения. в) На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, т.е. находится какой-либо интервал [a, b] оси Ox, внутри которого находится один корень, и нет других решений нелинейного уравнения. На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение корня нелинейного уравнения. 3. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. а) В методе Эйлера решение y(x) дифференциального уравнения y ′ = f ( x , y ) получается как предел которые находятся по реккурентной формуле последовательности функций yn(x), x

yn ( x ) = y0 +

∫ f (x, yn −1 ( x ) ) dx .

x0

б) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i·h (i = 0, 1, 2,…). При Вычисления значений y(xi), являющихся решением дифференциального уравнения y ′ = f ( x , y ) , проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение yi = yi + α h f ( xi , yi ) с шагом α h, на втором этапе – yi +1 = yi + (1 − σ) h f ( xi , yi ) + σ h f ( xi + αh , yi ) , где α >0, σ > 0 – параметры, определяемые из соображений точности. в) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i·h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Приближенные значения y(xi), являющиеся решением дифференциального уравнения y ′ = f ( x , y ) , вычисляются последовательно по формулам yi+1 = yi + h·f(xi, yi). 4. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви. а) Область зависимости аналитического решения гиперболического уравнения в частных производных должна лежать внутри области зависимости численного решения. б) Отличительной особенностью условия Куранта-Фридлихса-Леви является то, что оно обеспечивает «баланс» физической величины в окрестности узла разностной сетки, т.к. учитывает дискретный характер решения поставленной задачи. в) Тангенс угла наклона прямых, соединяющих узлы разностной сетки (j±1, n) и (j, n+1), по абсолютной величине должен быть больше тангенса угла наклона характеристик гиперболического уравнения в частных производных. 5. По прогнозу 1983 г. добыча нефти в Западной Европе должна была составить в 1980 г. – 2,6 млн. баррелей/сут., в 1985 г. – 3,9 млн. баррелей/сут. и в 1990 г. – 3,2 млн. баррелей/сут. Используя интерполяционный полином Лагранжа, рассчитать данный показатель на 1988 г. а) 3,720 млн. баррелей/сут. б) 3,894 млн. баррелей/сут. в) 3,643 млн. баррелей/сут.

8

Билет 6 1. Чем вызвана погрешность метода при численном решении поставленной задачи? а) Тем, что математическая модель исследуемого объекта не может учитывать все без исключения явления, влияющие на состояние объекта. б) Тем, что входящие в поставленную задачу параметры (числа или функции) измеряются с какойлибо ошибкой. в) Тем, что в результате применения численного метода могут быть получены не точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные методом вычисления проделаны абсолютно точно. 2. Остаточный член интерполирования полиномами Ньютона. а) Rn ≤

h 2 (b − a ) M 2 , где M 2 = max f ′′( ξ) , ξ – некоторая точка заданного промежутка [а, b], 24 ξ∈[ a , b]

h = const – расстояние между соседними узлами интерполяции xi (i = 0, 1,…, n). б)

Rn ( x ) =

f ( n +1) ( ξ) ( x − x0 )( x − x1 ) K( x − xn ) , ( n + 1)!

где ξ есть некоторая точка наименьшего

промежутка, содержащего все узлы интерполяции xi (i = 0, 1,…, n) и точку х, в которой находится значение сеточной функции f(x). в) Rn = max x − xi , (i = 0, n ) , где xi – узлы интерполяции, х – точка, в которой находится значение сеточной функции f(x). 3. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения? а) Метод Ньютона в ряду итерационных методов нахождения корней нелинейного уравнения наиболее прост в организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – достаточно медленная скорость сходимости. б) Метод Ньютона относится к числу итерационных методов второго порядка и имеет наибольшую точность нахождения корней нелинейного уравнения. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени при решении сложных нелинейных уравнений. в) Метод Ньютона весьма быстро сходится, точность каждого приближения в этом методе пропорциональна квадрату точности предыдущего. Основной недостаток метода – необходимость достаточно точного начального приближения. 4. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)? а) Если отдельная погрешность округления растет (не растет), то разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой). б) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю (единице), то разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой). в) Если полная погрешность округления растет (не растет), то разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой). 5. Определить относительную погрешность приближенного числа b = 2,3254 по ее абсолютной погрешности Δb = 0,01, предварительно округлив число b до верных знаков. а) Относительная погрешность = 0,0078. б) Относительная погрешность = 0,0043. в) Относительная погрешность = 0,0143.

9

Билет 7 1. Какую функцию называют аппроксимирующей? а) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям функций. б) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), производные от которой равны производным функции f(x). в) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), значения которой отличаются от данных значений функций на постоянную величину. 2. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона. а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [xi, xi+1] равной длины. На каждом отрезке [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(xi+1/2) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. б) В квадратурных формулах

1

n

−1

i =1

∫ f (t ) dt = ∑ ci f (ti ) + Ψ

коэффициенты ci и абсциссы ti подбираются

так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах точно интегрируются все многочлены степени N ≤ 2n − 1 . Коэффициенты ci и абсциссы ti находятся из системы 2n-1 нелинейных уравнений. в) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом второй степени с узлами xi, xi+1/2 и xi+1. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. 3. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. а) В основе данного метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная система приводится к треугольному виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти ЭВМ и используются при осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении неизвестных из системы треугольного вида. б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. в) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам xi =

det Ai , det Ai и det A определители матриц Ai и А соответственно. Матрица Ai det A

образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов. 4. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим? а) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления yi+1 нужно использовать лишь имеющеюся информацию о r предыдущих точках (xi+1, yi+1), (xi-1, yi-1),,..., (xi-r , yi-r), (r - шаговый метод). б) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления yi+1 нужно знать лишь одно значение yi и с помощью этого метода можно начинать решение дифференциального уравнения. в) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. невязка или погрешность аппроксимации разностной схемы стремится к нулю при измельчении сетки.

5.

Дано волновое уравнение

∂u ∂u +c = 0 . С каким шагом по времени Δt необходимо решать ∂t ∂x

данное уравнение каким-либо явным конечно-разностным методом, чтобы выполнялось условие устойчивости Куранта-Фридлихса-Леви, если c = 250, Δx = 0,1 (Δx – шаг по пространственной координате). а) Δ t ≤ 1 . б) Δ t ≤ 2500 . в) Δ t ≤ 0,0004 .

10

Билет 8 1. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа. а) Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. б) Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. в) Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов интерполяции наиболее сложен в и организации вычислительного процесса. 2. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) специального вида методом прогонки. а) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система n уравнений приводится к виду xi = αi+βi xi+1 (i = 1, 2,…, n-1).. Числа αi, βi, называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода определяется xn, а затем вычисляются значения xi (i = n-1, …, 1), последовательно применяя рекуррентные формулы xi = αi+βi xi+1. б) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с разреженной матрицей коэффициентов. Если определитель матрицы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет единственное det Ai решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам xi = , где det Ai и det A – det A определители матриц Ai и А соответственно. Матрица Ai образуется из А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов. в) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с апериодической матрицей коэффициентов. Исходная система заменяется эквивалентной. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. 3. Построение разностной схемы для численного решения обыкновенного дифференциального уравнения. а) Область непрерывного изменения аргумента заменяется некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество называется разностной сеткой. Для одномерной задачи примером пространственной разностной сетки являются совокупность точек разбиения отрезка на N частей. Точки деления xi отрезка называют узлами сетки. Расстояние между узлами xi+1 – xi = h есть шаг сетки. б) Заданный отрезок [a, b] заменяется системой частичных отрезков [xi, xi+1] равной длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала xi+1 – xi, = h есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [xi, xi+1] осуществляется численное решение дифференциального уравнения. в) Пусть для некоторого множества точек x0, x1, …, xn исходной области известны табличные значения функции y = f(x), являющейся решением дифференциального уравнения. Данное множество значений функции y0, y1, …, yn, называемых узлами, есть разностная сетка. Расстояние между узлами yi+1 – yi = h называется шагом сетки. 4. Каков геометрический смысл условия Куранта-Фридрихса-Леви? а) Тангенс угла наклона прямых, соединяющих узлы разностной сетки (j±1, n) и (j, n+1), по абсолютной величине должен быть больше тангенса угла наклона характеристик гиперболического уравнения в частных производных. б) Для решения уравнений в частных производных параболического типа лучше использовать неявные методы, так как они учитывают всю информацию, известную на характеристике t=const и под ней. в) Область зависимости аналитического решения гиперболического уравнения в частных производных должна лежать внутри области зависимости численного решения. 5. Определить величину шага h по оценке остаточного члена для вычисления интеграла 1

dx

∫ 1 + x2

по формуле трапеций с точностью до 10-2.

0

а) h = 1,49.

б) h = 0,79.

в) h = 0,96.

11

Билет 9 1. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов? а) Метод состоит в следующем. Весь отрезок интерполирования разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерполируемую функцию f(x) многочленом невысокой степени. Для того чтобы не возникало разрывов производной в местах сочленения, на каждом частичном отрезке степень полинома берется «с запасом», а возникающую свободу в выборе коэффициентов полиномов используется для сопряжения производных на границах участков. б) Метод состоит в том, что строится полином, сумма квадратов отклонений которого от табличных значений интерполируемой функции yi = f(xi) минимальна, т.е. за меру качества аппроксимации

функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают сумму

n

∑ ω ( xi ) [ f ( xi ) − Pm ( xi ) ] 2 , где

ω( x ) ≥ 0

i =1

– заранее выбранная «весовая» функция. n ⎛ n ⎞ в) Метод состоит в том, что строится полином вида Pn ( x ) = ∑⎜ f ( xi ) ∏( x − xk ) ( x − xi )∏ ( xi − xk ) ⎟ , ⎜ ⎟ i = 0⎝ k =0 k ≠i ⎠ принимающий в точках xi, называемых узлами, значения интерполируемой функции f(xi). 2. Назовите области применения формул численного дифференцирования. а) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование функции затруднительно. б) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно. в) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. 3. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. а) Сеточная функция yi есть функция дискретного аргумента, решение дифференциальной задачи u – функция непрерывного аргумента. Они принадлежат разным функциональным пространствам. О близости решений разностной и дифференциальной задач говорят в том случае, когда величина нормы u( xi ) − yi в пространстве сеточных функций неограниченно уменьшается при шаге разностной сетки h → 0 . б) Рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка y ′ = f ( x , y ) с начальным условием y(x0) = y0. Выбрав достаточно малый шаг h, строят систему равноотстоящих точек (разностную сетку) xi = x0+i·h. При этом приближенные значения y(xi) вычисляются последовательно по следующим формулам yi+1 = yi + h·f(xi, yi). в) При определении разностной производной вместо отношения бесконечно малых ограничиваются отношением конечных разностей, т.к. для функции дискретного аргумента на фиксированной сетке понятие предельного перехода при нахождении производной теряет смысл. При этом разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком n > 0 в точке xi, если для погрешности аппроксимации имеет место ψ i = ψ( xi ) = Lh u − Lu x = x = O ( h n ) или ψ < M ⋅ h n , где i

M=const>0 не зависит от шага разностной сетки h. 4. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа? а) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают установившиеся процессы. б) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают одномерные динамические процессы. в) Уравнения в частных производных эллиптического типа обычно описывают неустановившиеся процессы, но зона зависимости их решений в отличие от гиперболических уравнений не ограничена. 5. Дано уравнение x3 + x2 -1 =0. Привести данное уравнение к виду, при котором выполняются достаточные условия сходимости для метода простой итерации на отрезке [0; 1].

а) x = x −2 − 3 .

б) x = (1 − x 3 ) 3 x .

в) x = 1

12

x+3.

Билет 10 1.

Назовите достоинства метода Гаусса (метода наивысшей алгебраической точности) вычисления определенного интеграла. а) Метод Гаусса в ряду других методов численного интегрирования наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. При этом есть легко определяемая оценка погрешности. б) В методе Гаусса отрезок интегрирования разбивается на n равных интервалов в отличие от других квадратурных формул, в которых абсциссы xi подбираются исходя из соображений точности и, вообще говоря, являются иррациональными числами. в) Для функций высокой гладкости при одинаковом числе узлов метод Гаусса дает значительно более точные результаты, чем другие методы численного интегрирования. При этом для получения одной и той же точности по формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций. 2. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации. а) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным уравнением x = φ(x). Итерации образуются по правилу xk+1 = φ(xk), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение x0. Если последовательность чисел xk имеет предел при k → 0 , то этот предел является корнем уравнения x = φ(x). б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала. в) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, b] постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения x0. Последующие приближения определяется по формуле x k +1 = x k − f ( xk ) f ′( x k ) , (k = 0, 1, …). 3. Укажите методы построения конечно-разностных схем. а) Методы: 1) разложение функций в ряд Фурье; 2) дифференциальный метод; 4) метод конечного объема. б) Методы: 1) разложение функций в ряд Тейлора; 2) интерполяция функций полиномами; 3) интегральный метод; 4) метод контрольного объема. в) Методы: 1) простой явный метод Эйлера; 2) метод Лакса-Вендроффа; 3) метод использования разностей против потока; 4) метод Кранка-Николсона. 4. Анализ устойчивости методом Неймана (методом Фурье) конечно-разностной схемы для решения уравнения теплопроводности. а) Согласно методу Неймана полагается, что погрешность ε можно представить в виде полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В этом случае условие устойчивости конечноразностной схемы для уравнения теплопроводности получается в виде неравенства r = α Δt Δx ≤ 1 . б) Принимается, что погрешность ε удовлетворяет разностной схеме для уравнения теплопроводности и в методе Неймана ее представляют в виде суммы ряда Фурье. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения, вводимого на n-м шаге по времени, ограничен. Подставляя данное разложение ε в разностное уравнение, для условия устойчивости

рассматриваемой конечно-разностной схемы получаем неравенство r = α Δt (Δx )2 ≤ 1 / 2 . в) Так как разностная схема устойчива при ограниченности роста любого возмущения, то в методе Неймана принимается, что погрешность ε на любом шаге по времени является постоянной величиной и равной первому члену ряда Фурье. Подставляя данное разложение ε в разностное уравнение теплопроводности, для условия устойчивости рассматриваемой конечно-разностной схемы получаем формулу r = α Δt ⋅ Δx = 1 .

5.

Даны числа a = 23,37 и b = 23,13 с абсолютными погрешностями Δa=Δb=0,21. Оценить погрешность их разности c = a – b.

а) Δс = 0,42.

б) Δс = 0,21.

в) Δс = 0,24.

13

Билет 11 1. Приведите выражение для оценки погрешности интерполяции для формул Лагранжа и Ньютона. а) Rn ( x ) ≤ 12 h M 3 ( b − a ) , где M 3 = min f ′′( ξ) , ξ – некоторая точка заданного промежутка [а, b], ξ∈[ a , b]

h = const – расстояние между соседними узлами интерполяции xi (i = 0, 1,…, n).

f ( n +1) ( ξ) ( x − x0 )( x − x1 ) K ( x − xn ) , где ξ есть некоторая точка наименьшего промежутка, ( n + 1)! содержащего все узлы интерполяции xi (i = 0, 1,…, n) и точку х, в которой находится значение сеточной функции f(x). б) Rn ( x ) =

(

)

в) Rn ( x ) = sup x 2 − xi2 , (i = 0, n ) , где xi – узлы интерполяции, х – некоторое значение сеточной функции f(x). 2. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисления интеграла с помощью метода двойного пересчета. а) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения εs и погрешности округления εp. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность εs убывает, а εp возрастает, то существует оптимальный шаг h, определяемый таким образом, чтобы εs составляла примерно половину εp. б) Вычисляют интеграл I по выбранной квадратурной формуле дважды: сначала интеграл Ih с некоторым шагом h, затем интеграл Ih/2 с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что I h − I h / 2 < ε , где ε – допустимая погрешность, то полагают I ≈ I h / 2 . Если же I h − I h / 2 ≥ ε , то расчет повторяют с шагом h/4 и т.д. в) Пусть требуется вычислить интеграл I с точностью ε. Используя формулу соответствующего остаточного члена Ψ, выбирают шаг h таким, чтобы выполнялось неравенство Ψ < ε / 2 . Затем вычисляют I по выбранной квадратурной формуле с полученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε/2. 3. Метод Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения. а) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом Ньютона требуется, чтобы функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, b] постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения x0. Последующие приближения определяется xk+1 = xk – f(xk)/f΄(xk), (k = 0, 1, …). б) Для решения нелинейного уравнения f(x) = 0 методом Ньютона требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения разных знаков. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала. в) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным x = φ(x). Итерации образуются по правилу xk+1 = φ(xk), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение x0. Если последовательность чисел xk имеет предел при k→0, то этот предел является корнем уравнения x = φ(x). 4. Какая конечно-разностная схема называется сильно неустойчивой (устойчивой)? а) Если погрешность аппроксимации нельзя (можно) представить в виде O(Δx/Δt), то разностная схема называется сильно неустойчивой (устойчивой). б) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю (единице), то разностная схема называется сильно неустойчивой (устойчивой). в) Если полная погрешность округления растет (не растет), то разностная схема называется сильно неустойчивой (устойчивой). 5. Построить конечно-разностную аппроксимацию первой производной в точке (i, j), имеющую погрешность аппроксимации O ( Δx ) 2 , используя лишь значения ui − 2, j , ui −1, j , ui , j . а)

ui − 2, j − 4ui −1, j + 3ui , j ∂u = 2 Δx ∂ x i, j

в)

∂u = ∂ x i, j

( ) + O ( ( Δx ) ) . 2

(

б)

)

ui − 2, j + 2ui −1, j + ui , j + O ( Δx ) 2 . Δx

14

(

)

3ui − 2, j − ui −1, j − 3ui , j ∂u = + O ( Δx ) 2 . ∂ x i, j ( Δx ) 2

Билет 12 1. Метод наименьших квадратов. а) Согласно данному методу строится полином Pm(x), сумма квадратов отклонений которого от табличных значений интерполируемой функции yi = f(xi) минимальна, т.е. за меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают сумму n

∑ ω ( xi ) [ f ( xi ) − Pm ( xi ) ] 2 , где

ω( x ) ≥ 0 – заранее выбранная «весовая» функция.

i =1

б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. в) Согласно данному методу вычисление интеграла I по выбранной квадратурной формуле производят дважды: сначала интеграл Ih с некоторым шагом h, затем интеграл Ih/2 с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что I h − I h / 2 < ε , где ε – допустимая погрешность, то полагают I ≈ I h / 2 . Если же

I h − I h / 2 ≥ ε , то расчет повторяют с шагом h/4 и т.д. 2. Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции. а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [xi, xi+1] равной длины. На каждом отрезке [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(xi2) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. 1

б) В квадратурных формулах

∫

−1

n

f ( t ) dt = ∑ ci f ( ti ) + Ψ коэффициенты ci и абсциссы ti подбираются i =1

так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах точно интегрируются все многочлены степени N ≤ 2n − 1 . Коэффициенты ci и абсциссы ti находятся из системы 2n-1 нелинейных уравнений. в) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами xi и xi+1, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. 3. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера? а) Данное правило разработано и применимо лишь для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трехдиагональной матрицей коэффициентов. б) Реализация данного метода в виде вычислительной процедуры требует выполнения значительного количества арифметических операций и соответственно больших затрат машинного времени. Кроме того, он очень чувствителен к ошибкам округления. в) Данный метод дает менее точные результаты, чем другие методы решения СЛАУ. При этом требуется выполнение жестких достаточных условий сходимости. 4. В чем состоит суть численных (конечно-разностных) методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ)? а) Суть данных методов состоит в следующем. Полагается, что погрешность ε можно представить в виде полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В таком случае для условия устойчивости конечно-разностной схемы получается неравенство вида r = α Δt Δx ≤ 1 . б) В рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой описывается функциями непрерывного аргумента, вводится ее разностный аналог. Эта дискретная модель среды описывается функциями дискретного аргумента, которые определены в конечном числе точек на сетке. ДУ заменяются соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге исследуемая задача заменяется системой разностных уравнений – разностной схемой. в) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i·h (i = 0, 1, 2,…). Вычисления значений y(xi), являющихся решением ДУ y ′ = f ( x , y ) , проводятся в два этапа. На первом этапе решение заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа с шагом h, на втором этапе находится решение в промежуточных точках. 5. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной ( yi +1 − yi −1 ) 2h , разложив в ряд Тейлора решение дифференциальной задачи в окрестности узла xi (h – шаг разностной сетки). а) O(h3). б) O(h2). в) O(h/3).

15

Билет 13 1.

Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул. а) Формула прямоугольников обеспечивает высокую точность при небольшом числе узлов, чем формулы Симпсона и трапеций, а последние – более точные результаты, чем формула Гаусса. Однако для функции малой гладкости, имеющих лишь первую или вторую производную, а также для функций с разрывами производных простые формулы интегрирования (Гаусса, трапеции и Симпсона) могут давать примерно ту же точность, что и формула прямоугольников. б) Для функций имеющих непрерывные производные достаточно высокого порядка при одинаковом числе узлов формула Гаусса дает значительно более точные результаты, чем формула Симпсона, а последняя – более точные результаты, чем формулы прямоугольников и трапеций. При этом для получения одной и той же точности по формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций, чем по формуле Симпсона, а по последней – меньше, чем по формуле трапеций. в) Анализ формул численного интегрирования показывает, что для функций высокой гладкости квадратурная формула трапеций является наиболее точной по сравнению с формулами Гаусса и Симпсона). Однако для функций с разрывами производных наиболее точным является более сложная формула прямоугольников. 2. Метод деления отрезка пополам. а) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала. б) Согласно данному методу общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения εs и погрешности округления εp. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность εs убывает, а εp возрастает, то существует оптимальный шаг h, определяемый таким образом, чтобы εs составляла примерно половину εp. в) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i·h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Приближенные значения y(xi), являющиеся решением дифференциального уравнения y ′ = f ( x , y ) , вычисляются последовательно по формулам yi+1 = yi + h·f(xi, yi). 3. Определение стационарной задачи для уравнений в частных производных. а) Задача называется стационарной, если решение уравнения в частных производных внутри некоторой области определяется лишь условиями на границе этой области. б) Стационарной называется задача, в которой требуется найти решение уравнения в част-ных производных в незамкнутой области при заданных граничных и начальных условиях. в) Задача называется стационарной, если на границе области задана линейная комбинация искомой функции и ее производной по нормали к границе. 4. Определение устойчивости конечно-разностных схем, аппроксимирующих уравнения в частных производных. а) Разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных производных, называется устойчивой, если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю. б) Устойчивой называется разностная схема, обеспечивающая точное выполнение законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки. в) Разностная схема называется устойчивой, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации, просто ошибка) не возрастает при переходе от одного шага к другому. 5. С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Лагранжа ln 100,5 по известным значениям ln 100, ln 101, ln 102 и ln 103. а) 4,5·10-5; б) 6,7·10-7; в) 2,3·10-9.

16

Билет 14 1. Относительная погрешность. а) Пусть а* – точное, а – приближенное значение некоторого числа. Относительной погрешностью

приближения а называется величина δa такая, что a − a ∗ ≤ δ a . б) Пусть а* – точное, а – приближенное значение некоторого числа. Относительной погрешностью приближения а называется величина δa такая, что δ a = ( a − a ∗ ) a , ( a ≠ 0 ). в) Пусть а* – точное, а – приближенное значение некоторого числа. Относительной погрешностью приближения а называется величина δ a = ( a − a ∗ ) a , ( a ≠ 0 ). 2. Назовите области применения интерполирования функций. а) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно. Интерполирование применяют и в случае, когда аналитический вид функции известен, но сложен и требует большого объема вычислений для определения отдельных значений функции. б) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование функции затруднительно. Интерполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить производные от функций, имеющих разрыв 2-го рода. в) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. Интерполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить погрешность функции нескольких переменных при заданных погрешностях аргументов. 3. Сходимость решения маршевых задач. а) Понятие сходимости строго применимо лишь при решении маршевых задач. Конечно-разностная схема называется сходящейся, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации, просто ошибка) не возрастает при переходе от одного шага к другому. б) Под сходимостью понимается стремление решения разностного аналога уравнения в частных производных к решению исходного уравнения при измельчении сетки (для одинаковых начальных и граничных условий). Необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы для решения корректно поставленной задачи с начальными данными для линейного уравнения в частных производных является выполнение условий согласованности и устойчивости. в) Если разностная схема даст близкую аппроксимацию уравнения в частных производных в окрестности каждого узла разностной сетки, то можно ожидать, что законы сохранения будут приближенно выполняться и для большего контрольного объема, содержащего довольно большое число узлов разностной сетки. Необходимым условием сходимости разностной схемы является обеспечение точного выполнения законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки. 4. Применение при численном решении задач математической физики нерегулярных сеток. а) Нерегулярные сетки при численном решении задач математической физики применяются при построении консервативных конечно-разностных схем. б) Нерегулярные сетки применяются, когда граница расчетной области не совпадает с узлами регулярной сетки или возникает необходимость сгущать сетку в некоторых подобластях для достижения требуемой точности решения задачи. в) Нерегулярные сетки при численном решении задач математической физики применяются для записи граничных условий в конечно-разностном виде или получения более подробной информации вблизи границ при известном численном решении задачи. 0, 6

5.

Оценить погрешность вычисления интеграла

∫

0

dx по формуле Симпсона при 1+ x

равномерном шаге h = 0,1.

а) R < 8,0 ⋅ 10 −5 .

б) R < 7, 2 ⋅ 10 −4 .

в) R < 3, 4 ⋅ 10 −3 .

17

Билет 15 1. Абсолютная погрешность. а) Пусть а* – точное, а – приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью приближения а называется величина δa такая, что a − a ∗ ≤ δ a . б) Пусть а* – точное, а – приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью

приближения а называется величина δa такая, что δ a =

( a − a ∗ ) a , ( a ≠ 0 ).

в) Пусть а* – точное, а – приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью приближения а называется величина δa = ( a − a ∗ ) a , ( a ≠ 0 ). 2. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (ДОП) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости). а) Метод Ньютона обладает большей универсальностью, чем метод ДОП, т.к. сходимость зависит только от выбора начальной точки. Вычисления методом ДОП можно начинать лишь с отрезка, на концах которого функция имеет разные знаки, а внутри этого интервала непрерывные производные 1-го и 2-го порядков. При решении практических задач не всегда удается проверить выполнение необходимых ограничений на выбор подобного интервала. Однако метод ДОП обладает более высокой скоростью сходимости. б) Более универсальным является метод ДОП. Он гарантирует получение решения для любой непрерывной функции f(x), если найден интервал, на котором она меняет знак. Метод Ньютона предъявляет к функции более жесткие требования. Сходимость метода Ньютона существенно зависит от выбора начальной точки. При реализации данного метода необходимо предусматривать вычисление производных функции для организации итерационного процесса и проверки условий сходимости. Важным преимуществом метода Ньютона является высокая скорость сходимости, обеспечивающая значительную экономию машинного времени при решении сложных нелинейных уравнений. в) Методы Ньютона и ДОП имеют одинаковые необходимые и достаточные условия сходимости, поэтому применимы в одинаковых условиях. Однако метод ДОП обладает линейной скоростью сходимости, поэтому весьма быстро сходится в отличие от метода Ньютона, который обладает лишь квадратичной скоростью сходимости. 3. В чем состоит суть метода конечных разностей для уравнений в частных производных? а) Суть данных методов состоит в следующем. Полагается, что погрешность ε можно представить в виде полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Лебега от данного полинома. В таком случае конечно-разностная схемы является абсолютно устойчивой. б) Строится система равноотстоящих точек xi = x0 + i Δx , ti = t0 + i Δt , ( i = 0, 1, 2, K) . Вычисления значений u(xi, tn), являющихся решением уравнения в частных производных, проводятся в два этапа. c Δt n На первом этапе находится промежуточное значение u nj +1 = u nj − ( u j +1 − u nj ) , на втором этапе – Δx ⎤ c Δt n +1 1⎡ u nj +1 = ⎢ u nj + u nj +1 − c ( u j − u nj−+11 ) ⎥ . Δx 2⎣ ⎦ в) Основой метода конечных разностей является дискретизация – замена непрерывной области совокупностью изолированных точек (сеткой), причем решение уравнений ищется лишь в этих точках (узлах сетки). Производные аппроксимируются конечными разностями и решение уравнения в частных производных сводится к решению системы алгебраических уравнений. 4. Каков физический смысл условия Куранта-Фридрихса-Леви? а) Область зависимости аналитического решения гиперболического уравнения в частных производных должна лежать внутри области зависимости численного решения. б) Тангенс угла наклона прямых, соединяющих узлы разностной сетки (j±1, n) и (j, n+1), по абсолютной величине должен быть больше тангенса угла наклона характеристик гиперболического уравнения в частных производных. в) Для решения уравнений в частных производных эллиптического типа лучше использовать неявные методы, так как они учитывают всю информацию, известную на характеристике t=const и под ней. 5. Найти относительную погрешность приближенного числа a = 4231,92 по ее абсолютной погрешности Δa = 2, предварительно округлив число a до верных знаков. а) Относительная погрешность = 0,0051. б) Относительная погрешность = 0,0047. в) Относительная погрешность = 0,0053.

18

Билет 16 1. Чем вызвана погрешность метода при численном решении поставленной задачи? а) Тем, что математическая модель исследуемого объекта не может учитывать все без исключения явления, влияющие на состояние объекта. б) Тем, что любые арифметические операции над числами производятся при наличии ограниченного количества используемых для записи чисел разрядов позиционной системы исчисления. в) Тем, что в результате применения численного метода могут быть получены не точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные методом вычисления проделаны абсолютно точно. 2. Достоинства и недостатки метода интерполирования сплайн-функциями. а) Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов интерполяции наиболее сложен в и организации вычислительного процесса. б) Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. в) Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени сплайнфункцию требуется строить заново. 3. Опишите метод деления отрезка пополам (нахождение корней нелинейного уравнения). а) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным уравнением x = φ(x). Итерации образуются по правилу xk+1 = φ(xk), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение x0. Если последовательность чисел xk имеет предел при k → 0 , то этот предел является корнем уравнения x = φ(x). б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом деления отрезка пополам требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала. в) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом деления отрезка пополам требуется, чтобы функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, b] постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения x0. Последующие приближения определяется по формуле x k +1 = x k − f ( xk ) f ′( x k ) , (k = 0, 1, …). 4. Какая задача называется корректно поставленной? а) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий. б) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если выполняются условия устойчивости и согласованности. в) Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если начальные и граничные условия определены и непрерывны в заданной области. 5.

∂u ∂ 2u . С каким шагом по времени t необходимо =α ∂t ∂x 2 решать данное уравнение каким-либо явным конечно-разностным методом, чтобы выполнялось условие устойчивости, если α = 5, Δx = 0,1 (Δx – шаг по пространственной координате). Дано уравнение теплопроводности

а) Δ t ≤ 0,5 .

б) Δ t ≤ 0,001 .

в) Δ t ≤ 500 .

19

Билет 17 1. Основные области применения задачи интерполирования функций. а) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. Интерполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить погрешность функции нескольких переменных при заданных погрешностях аргументов. б) К задаче интерполирования функций прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование функции затруднительно. Интерполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить производные от функций, имеющих разрыв 2-го рода. в) К задаче интерполирования функций прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно. Интерполирование применяют и в случае, когда аналитический вид функции известен, но сложен и требует большого объема вычислений для определения отдельных значений функции. Чем вызвана погрешность округления при вычислении производной по формулам численного дифференцирования? а) Погрешность округления вызвана заменой данной функции f(x) интерполяционным многочленом Pn(x). б) Погрешность округления вызвана неточным заданием начальным и граничных данных для исходной функции f(x). в) Погрешность округления вызвана неточным заданием исходных значений данной функции f(x). 2.

В чем отличие метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений от метода простой итерации? а) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Зейделя исключается не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент. б) Отличие в том, что на очередном k-ом шаге реализации метода Зейделя исключается коэффициент при неизвестном xk, называемый главным элементом на k-м шаге исключения. Тем самым система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольному виду. в) Отличие в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi при i>1 используются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения неизвестных x0, x1, …, xi-1.

3.

Из чего складывается погрешность решения разностным методом уравнения в частных производных? а) Погрешность решения разностным методом уравнения в частных производных есть неустранимая погрешность математической постановки. б) Погрешность решения разностным методом уравнения в частных производных складывается из абсолютной погрешности и погрешности замены функции интерполяционной формулой Лагранжа. в) Погрешность решения разностным методом уравнения в частных производных складывается из погрешности аппроксимации и погрешности округления. 4.

5.

Применяя метод Эйлера, найти решение обыкновенного дифференциального уравнения y΄= y – 2x/y на интервале [0; 1] с начальным условием y(0) = 1, выбрав шаг h = 0,2.

а) y(0,2) = 1,2000; y(0,4) = 1,4205; y(0,6) = 1,9562; y(0,8) = 2,3646; y(1,0) = 3,0644. б) y(0,2) = 0,9200; y(0,4) = 0,9040; y(0,6) = 0,8612; y(0,8) = 0,7942; y(1,0) = 0,7321. в) y(0,2) = 1,2000; y(0,4) = 1,3733; y(0,6) = 1,5294; y(0,8) = 1,6786; y(1,0) = 1,8237.

20

Билет 18

1. Достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа. а) Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. б) Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. в) Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов интерполяции наиболее сложен в и организации вычислительного процесса. 2. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников. а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [xi, xi+1] равной длины. На каждом отрезке [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(xi+1/2) (либо f(xi), либо f(xi+1)) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. б) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами xi и xi+1, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. 1

в) В квадратурных формулах

∫

−1

n

f ( t ) dt = ∑ ci f ( ti ) + Ψ коэффициенты ci и абсциссы ti подбираются i =1

так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах точно интегрируются все многочлены степени N ≤ 2n − 1 . Коэффициенты ci и абсциссы ti находятся из системы 2n-1 нелинейных уравнений. 3. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простой итерации. а) Исходная СЛАУ записывается в виде, разрешенном относительно неизвестных; при этом неизвестные появляются и в правой части. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. Точное решение системы получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса и всякий вектор из полученной последовательности является приближенным решением. б) Если определитель матрицы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам xi = det Ai/det A, det Ai и det A определители матриц Ai и А соответственно. Матрица Ai образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов. в) Метод простой итерации разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система n уравнений приводится к виду xi = αi+βi xi+1 (i = 1, 2,…, n-1). Числа αi, βi, называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода сначала определяется xn, а затем вычисляются значения xi (i = n-1, …, 1), последовательно применяя рекуррентные формулы xi = αi+βi xi+1. 4. Сходимость решения маршевых задач. а) Под сходимостью понимается стремление решения разностного аналога уравнения в частных производных к решению исходного уравнения при измельчении сетки (для одинаковых начальных и граничных условий). Необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы для решения корректно поставленной задачи с начальными данными для линейного уравнения в частных производных является выполнение условий согласованности и устойчивости. б) Понятие сходимости строго применимо лишь при решении маршевых задач. Разностная схема называется сходящейся, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации и т.п.) не возрастает при переходе от одного шага к другому. в) Если разностная схема даст близкую аппроксимацию уравнения в частных производных в окрестности каждого узла разностной сетки, то можно ожидать, что законы сохранения будут приближенно выполняться и для большего контрольного объема, содержащего довольно большое число узлов разностной сетки. Необходимым условием сходимости разностной схемы является обеспечение точного выполнения законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки. 5. Оценить погрешность аппроксимации в точке (i, j) конечно-разностной аппроксимации ∂ u ui − 2, j − 4ui −1, j + 3ui , j на равномерной сетке, где h – шаг сетки. производной ≈ ∂x 2h а) O(h2). б) O(h3/2). в) O(h/3).

21

Билет 19 1. Неустранимая погрешность. а) Зачастую метод решения математической задачи бывает приближенным. Это означает, что в результате применения метода могут быть получены не точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные методом вычисления проделаны абсолютно точно. Численное решение в этом случае отличается от решения исходной задачи и ошибка, вносимая в решение математической задачи применением приближенного метода, называется неустранимой погрешностью. б) Математическая постановка любой прикладной задачи содержит неустранимую погрешность в связи с двумя обстоятельствами. Во-первых, математическая модель реального объекта никогда не учитывает всех без исключения явлений, влияющих на состояние этого объекта, т.е. всегда приходится жертвовать некоторыми факторами, которые для данной задачи можно считать несущественными. Во-вторых, в уравнения задачи входят некоторые задаваемые параметры – числа или функции. Значения этих параметров получаются в результате измерений различных характеристик моделируемого объекта, которые, как известно, производится с ошибкой. в) Пусть а* – точное, а – приближенное значение некоторого числа. Неустранимой погрешностью приближения а называется величина δa такая, что a − a ∗ ≤ δ a .

2. Достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения? а) Метод Ньютона весьма быстро сходится, точность каждого приближения в этом методе пропорциональна квадрату точности предыдущего. Недостаток метода – необходимость достаточно точного начального приближения. б) Метод Ньютона относится к числу итерационных методов второго порядка и имеет наибольшую точность нахождения корней нелинейного уравнения. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени при решении сложных нелинейных уравнений. в) Метод Ньютона в ряду итерационных методов нахождения корней нелинейного уравнения наиболее прост в организации вычислительного процесса. Недостаток метода – достаточно медленная скорость сходимости. 3. Определение маршевой задачи для уравнений в частных производных. а) Задача называется маршевой, если решение уравнения в частных производных внутри некоторой области определяется лишь условиями на границе этой области. б) Задача называется маршевой, если на границе области задана линейная комбинация искомой функции и ее производной по нормали к границе. в) Маршевой называется задача, в которой требуется найти решение уравнения в частных производных в незамкнутой области при заданных граничных и начальных условиях. 4.

В чем принципиальное отличие метода контрольного объема (метод построения конечноразностных схем) от других методов? а) Построенная данным методом конечно-разностная схема является согласованной и абсолютно устойчивой. б) В отличие от других методов с помощью метода контрольного объема можно построить конечноразностный аналог какой-то отдельно взятой производной, а не только конечно-разностный аналог всего уравнения в частных производных. в) При использовании данного метода разностная схема строится на основе физических законов сохранения, следствием которых является рассматриваемое уравнение в частных производных. 5

5.

Вычислить по формуле трапеций интеграл I = ∫

1

a) I = 67/38,

R < 0,053 │.

б) I = 101/60,

R < 0,67 .

в) I = 65/30,

R < 0,94 .

22

dx при n = 4 и оценить остаточный член. x

Билет 20 1.

Оценка погрешности интерполяции для формул Лагранжа и Ньютона. 12 h M 3 , где M 3 = min f ′′( ξ) , а) Погрешность интерполяции оценивается соотношением Rn ( x ) ≤ b−a ξ∈[ a , b] ξ – некоторая точка заданного промежутка [а, b], h = const – расстояние между соседними узлами интерполяции xi (i = 0, 1,…, n). б) Погрешность интерполяции оценивается соотношением

f ( n +1) ( ξ) ( x − x0 )( x − x1 ) K ( x − xn ) , где ξ есть некоторая точка наименьшего промежутка, ( n + 1)! содержащего все узлы интерполяции xi (i = 0, 1,…, n) и точку х, в которой находится значение сеточной функции f(x). Rn ( x ) =

(

)

в) Погрешность интерполяции оценивается соотношением Rn ( x ) = sup x 2 − xi2 , (i = 0, n ) , где xi – узлы интерполяции, х – некоторое значение сеточной функции f(x). 2. В чем состоит суть метода двойного пересчета апостериорной оценки погрешности вычисления определенного интеграла. а) Суть состоит в следующем. Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения εs и погрешности округления εp. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность εs убывает, а εp возрастает, то существует оптимальный шаг h, определяемый таким образом, чтобы εs составляла примерно половину εp. б) Вычисления интеграла I по выбранной квадратурной формуле проводят дважды: сначала интеграл Ih с некоторым шагом h, затем интеграл Ih/2 с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что I h − I h / 2 < ε , где ε – допустимая погрешность, то полагают I ≈ I h / 2 . Если же I h − I h / 2 ≥ ε , то расчет повторяют с шагом h/4 и т.д. в) Суть состоит в следующем. Пусть требуется вычислить интеграл I с точностью ε. Используя формулу соответствующего остаточного члена Ψ, выбирают шаг h таким, чтобы выполнялось неравенство ψ < ε / 2 . Затем вычисляют I по выбранной квадратурной формуле с полученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε/2. 3. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса. а) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам xi = det Ai/det A, где det Ai и det A – определители матриц Ai и А соответственно. Матрица Ai образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов. б) Заданная СЛАУ каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. в) В основе данного метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная система приводится к треугольному виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти ЭВМ и используются при осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении неизвестных из системы треугольного вида. 4. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим? а) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления yi+1 нужно использовать лишь имеющеюся информацию о r предыдущих точках (xi+1, yi+1), (xi-1, yi-1),,..., (xi-r , yi-r) (r-шаговый метод). б) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. невязка или погрешность аппроксимации разностной схемы стремится к нулю при измельчении сетки. в) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления yi+1 нужно знать лишь одно значение yi и с помощью этого метода можно начинать решение дифференциального уравнения. ∂u ∂u 5. Дано волновое уравнение + 20 = 0 . С каким шагом по маршевой переменной Δt ∂t ∂y необходимо решать данное уравнение каким-либо явным конечно-разностным методом, чтобы выполнялось условие устойчивости Куранта-Фридлихса-Леви, если шаг по пространственной координате Δy = 0,4. а) Δ t ≤ 50 . б) Δ t ≤ 0,02 . в) Δ t ≤ 8 .

23

Билет 21 Что принимают за меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в методе наименьших квадратов? а) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают максимум 1.

модуля разности f(xi) и Pm(xi) (i = 1, n ) . б) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают сумму n

∑ ω ( xi )

i =1

f ( xi ) − Pm ( xi ) , где ω( x ) ≥ 0 – заранее выбранная «весовая» функция.

в) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом Pm(x) в узлах xi принимают сумму n

∑ ω ( xi ) [ f ( xi ) − Pm ( xi ) ] 2 , где ω( x ) ≥ 0 – заранее выбранная «весовая» функция.

i =1

2.

Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул. а) Формула прямоугольников обеспечивает высокую точность при небольшом числе узлов, чем формулы Симпсона и трапеций, а последние – более точные результаты, чем формула Гаусса. Однако для функции малой гладкости, имеющих лишь первую или вторую производную, а также для функций с разрывами производных простые формулы интегрирования (Гаусса, трапеции и Симпсона) могут давать примерно ту же точность, что и формула прямоугольников. б) Анализ формул численного интегрирования показывает, что для функций высокой гладкости квадратурная формула трапеций является наиболее точной по сравнению с формулами Гаусса и Симпсона). Однако для функций с разрывами производных наиболее точным является более сложная формула прямоугольников. в) Для функций имеющих непрерывные производные достаточно высокого порядка при одинаковом числе узлов формула Гаусса дает значительно более точные результаты, чем формула Симпсона, а последняя – более точные результаты, чем формулы прямоугольников и трапеций. При этом для получения одной и той же точности по формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций, чем по формуле Симпсона, а по последней – меньше, чем по формуле трапеций. 3. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации. а) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным уравнением x = φ(x). Итерации образуются по правилу xk+1 = φ(xk), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение x0. Если последовательность чисел xk имеет предел при k→0, то этот предел является корнем уравнения x = φ(x). б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала. в) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, b] постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения x0. Последующие приближения определяется по формуле xk+1 = xk – f(xk)/f΄(xk), (k = 0, 1, …). 4. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений? а) В том, что неявные методы абсолютно устойчивы и позволяют выбирать шаг по пространственной переменной независимо от шага по времени (или параметра, играющего роль времени). б) В том, что неявные методы являются более простыми в реализации в виде программного продукта. в) В том, что неявные методы не требуют на каждом шаге по маршевой переменной (по времени) решения системы алгебраических уравнений. 5. Даны числа a = 1,137 и b = 1,073 с абсолютными погрешностями Δa=Δb=0,011. Оценить погрешность их разности c = a – b. а) Δс = 0,011. б) Δс = 0,022. в) Δс = 0,001.

24

Билет 22 1. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона. а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом второй степени с узлами xi, xi+1/2 и xi+1. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

б) В квадратурных формулах

1

n

−1

i =1

∫ f (t ) dt = ∑ ci f (ti ) + Ψ

коэффициенты ci и абсциссы ti подбираются

так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах точно интегрируются все многочлены степени N ≤ 2n − 1 . Коэффициенты ci и абсциссы ti находятся из системы 2n-1 нелинейных уравнений. в) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [xi, xi+1] равной длины. На каждом отрезке [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(xi+1/2) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. 2. В чем состоит суть метода прогонки решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)? а) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с апериодической матрицей коэффициентов. Если определитель матрицы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам xi = det Ai/det A, где det Ai и det A определители матриц Ai и А соответственно. Матрица Ai образуется из матрицы А путем замены ее iго столбца столбцом свободных членов. б) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система n уравнений приводится к виду xi = αi+βi xi+1 (i = 1, 2,…, n-1).. Числа αi, βi, называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода определяется xn, а затем вычисляются значения xi (i = n-1, …, 1), последовательно применяя рекуррентные формулы xi = αi+βi xi+1. в) Суть метода прогонки заключается в следующем. Исходная система заменяется эквивалентной. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. 3. Разностная аппроксимация задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ДУ) первого порядка. а) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является вычисление погрешности ε. Полагается, что погрешность ε можно представить в виде интерполяционного полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В таком случае погрешность аппроксимации стремится к нулю при измельчении разностной сетки. б) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является замена области непрерывного изменения аргумента некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области (разностная сетка) Эта дискретная модель среды описывается сеточными функциями, которые определены в узлах сетки. ДУ заменяются соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге исследуемая задача Коши заменяется, или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений – разностной схемой. в) Заданный отрезок [a, b] заменяется системой частичных отрезков [xi, xi+1] равной длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала xi+1 – xi, = h есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [xi, xi+1] осуществляется численное решение ДУ. Общее решение на [a, b] вычисляется как сумма частных решений по всем частичным отрезкам. 4. Какая конечно-разностная схема называется слабо устойчивой (неустойчивой)? а) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится (не стремится) к нулю, то конечно-разностная схема называется слабо устойчивой (неустойчивой). б) Если отдельная погрешность округления не растет (растет), то конечно-разностная схема называется слабо устойчивой (неустойчивой). в) Если разностная схема обеспечивает (не обеспечивает) выполнение физических законов сохранения, следствием которых является рассматриваемое уравнение в частных производных, то она называется слабо устойчивой (неустойчивой). 5. Найти методом деления отрезка пополам корень уравнения cos x − x = 0 на интервале [0,7; 0,8] с точностью ε = 10-2. а) корень уравнения = 0,79. б) корень уравнения = 0,78. в) корень уравнения = 0,74.

25

Билет 23 1.

Недостатки метода Гаусса (метода наивысшей алгебраической точности) вычисления определенного интеграла. а) В методе Гаусса в отличие от других квадратурных формул абсциссы xi подбираются исходя из соображений точности и, вообще говоря, являются иррациональными числами. В этой связи он наиболее сложен в организации вычислительного процесса. Кроме того, при интегрировании функций, заданных таблично, метод можно использовать только при соответствующем расположении концов интервалов разбиения. б) В методе Гаусса погрешности усечения с ростом числа интервалов разбиения увеличиваются пропорционально квадрату h2, где h =const – шаг интегрирования. При этом необходимо выполнение достаточно жестких условий сходимости метода. в) Для функций высокой гладкости при одинаковом числе узлов метод Гаусса дает менее точные результаты, чем другие методы численного интегрирования. При этом для получения одной и той же точности по формуле Гаусса необходимо выполнить значительно больше операций. 2. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функций. а) Требуется найти значение функции f(x), x ≠ xi (i = 0, 1,…, n), если известны узлы интерполирования xi (i = 0, 1,…,n) и значения функции f(x) в этих узлах. б) Требуется вычислить производные от функций, заданных в табличном виде, или имеющих разрыв 2-го рода. в) Требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. 3. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. а) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по det Ai формулам xi = , det Ai и det A определители матриц Ai и А соответственно. Матрица Ai det A образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов. б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. в) В основе данного метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная система приводится к треугольному виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти ЭВМ и используются при осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении неизвестных из системы треугольного вида. 4. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. а) Сеточная функция yi есть функция дискретного аргумента, решение дифференциальной задачи u – функция непрерывного аргумента. Они принадлежат разным функциональным пространствам. О близости решений разностной и дифференциальной задач говорят в том случае, когда величина нормы ║u(xi) – yi║ в пространстве сеточных функций неограниченно уменьшается при шаге разностной сетки h→0. б) Рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x, y) с начальным условием y(x0) = y0. Выбрав достаточно малый шаг h, строят систему равноотстоящих точек (разностную сетку) xi = x0+i·h. При этом приближенные значения y(xi) вычисляются последовательно по формулам yi+1 = yi + h·f(xi, yi). в) При определении разностной производной вместо отношения бесконечно малых ограничиваются отношением конечных разностей, т.к. для функции дискретного аргумента на фиксированной сетке понятие предельного перехода при нахождении производной теряет смысл. При этом разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком n > 0 в точке xi, если для

погрешности аппроксимации имеет место ψ i = ψ( xi ) = Lh u − Lu x = x = O ( h n ) или ║ψ║≤M·hn, где i M=const>0 не зависит от шага разностной сетки h. 5. Длина и ширина аудитории, измеренные с точностью до 1 дм, равны a = 12,49 м и b = 5,12 м. Оценить абсолютную погрешность в определении площади аудитории S = a·b = 63,9488 м2. а) Абсолютная погрешность = 0,1849. б) Абсолютная погрешность = 0,1762. в) Абсолютная погрешность = 1,0012.

26

Билет 24 1.

В чем принципиальное отличие метода (метод интерполяции) от методов Ньютона и Лагранжа? а) Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа строятся, исходя из требования, что значения аппроксимируемой функции f(x) и данного многочлена в узлах интерполяции совпадали. В методе наименьших квадратов функция f(x) и интерполяционный многочлен Pm(x) близки в несколько ином смысле, а именно, сумма квадратов отклонений Pm(x) от табличных значений f(x) минимальна. б) Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа строятся таким образом, чтобы сумма отклонений значений аппроксимируемой функции f(x) и данного многочлена в узлах интерполяции xi была минимальна, а степень интерполяционного многочлена выбирается исследователем. В методе наименьших квадратов функция f(x) и интерполяционный многочлен Pm(x) в узлах xi совпадают, а степень Pm(x) зависит от количества узлов. в) Отличие состоит в следующем. Весь отрезок интерполирования разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерполируемую функцию f(x) многочленом невысокой степени. Для того чтобы не возникало разрывов производной в местах сочленения, на каждом частичном отрезке степень полинома берется «с запасом», а возникающую свободу в выборе коэффициентов полиномов используется для сопряжения производных на границах участков. 2. Метод Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения. а) Для решения нелинейного уравнения f(x) = 0 методом Ньютона требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения разных знаков. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала. б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом Ньютона требуется, чтобы функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, b] постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения x0. Последующие приближения определяется по формуле xk+1 = xk – f(xk)/f΄(xk), (k = 0, 1, …). в) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным уравнением x = φ(x). Итерации образуются по правилу xk+1 = φ(xk), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение x0. Если последовательность чисел xk имеет предел при k→0, то этот предел является корнем уравнения x = φ(x). 3. Укажите методы построения конечно-разностных схем. а) Методы: 1) разложение функций в ряд Тейлора; 2) интерполяция функций полиномами; 3) интегральный метод; 4) метод контрольного объема. б) Методы: 1) разложение функций в ряд Фурье; 2) дифференциальный метод; 4) метод конечного объема. в) Методы: 1) простой явный метод Эйлера; 2) метод Лакса-Вендроффа; 3) метод использования разностей против потока; 4) метод Неймана. 4.

Области применения нерегулярных сеток при численном решении задач математической физики. а) При построении консервативных и согласованных конечно-разностных схем. б) При несовпадении границы расчетной области с узлами регулярной сетки или из-за необходимости сгущать сетку в некоторых подобластях для достижения требуемой точности решения задачи. в) Для записи граничных условий в конечно-разностном виде или получения более подробной информации вблизи границ при известном численном решении задачи. 5. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной y ( xi +1 ) − y ( xi ) yi +1 − yi , разложив в ряд Тейлора решение дифференциальной = y x( = xi +1 − xi h задачи в окрестности узла xi (h – шаг разностной сетки)

а) O(h3).

б) O(h2/3).

в) O(h).

27

Билет 25 1.

Назовите области применения формул численного дифференцирования. а) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. б) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно. в) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование функции затруднительно. 2. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. а) Отличие в том, что метод Гаусса с выбором главного элемента применим лишь для решения систем линейных алгебраических уравнений с апериодической матрицей коэффициентов, поэтому на очередном шаге реализации метода исключается не следующее по номеру неизвестное, а неизвестное, находящееся на побочной диагонали и коэффициент при котором является главным, т.е. наименьший по модулю. б) Отличие в том, что на очередном k-ом шаге реализации метода Гаусса исключается элемент ( k −1) , называемый главным элементом на k-м шаге исключения. Тем самым система линейных akk

алгебраических уравнений приводится к треугольному виду. в) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Гаусса исключается не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент. 3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера. а) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i·h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Приближенные значения y(xi), являющиеся решением дифференциального уравнения y' = f(x, y), вычисляются последовательно по формулам yi+1 = yi + h·f(xi, yi). б) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i·h (i = 0, 1, 2,…). При Вычисления значений y(xi), являющихся решением дифференциального уравнения y' = f(x, y), проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение yi = yi + α h f ( xi , yi ) с шагом α h, на втором этапе – yi +1 = yi + (1 − σ ) h f ( xi , yi ) + σ h f ( xi + αh, yi ) , где α >0, σ > 0 – параметры, определяемые из соображений точности. в) В методе Эйлера решение y(x) дифференциального уравнения y' = f(x, y) получается как предел последовательности функций yn(x), которые находятся по реккурентной формуле x

yn ( x ) = y0 +

∫ f (x, yn −1 ( x ) ) dx .

x0

4.

Согласованность конечно-разностных схем, аппроксимирующих уравнения в частных производных. а) Разностная схема называется согласованной, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка не возрастает при переходе от одного шага к другому. б) Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных производных, если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю. в) Согласованной схемой называется разностная схема, обеспечивающая точное выполнение законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки.

5.

Дано уравнение x2 – 100 x +1 =0. Привести данное уравнение к виду, при котором выполняются достаточные условия сходимости для метода простой итерации на отрезке [0; 1].

а) x = (x2 +1)/100.

в) x = 100 x − 1 .

б) x = 100 – 1/x.

28

Билет 26 1. Какую функцию называют аппроксимирующей? а) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1,…, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям функций. б) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1,…, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), производные от которой равны производным функции f(x). в) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1,…, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), значения которой отличаются от данных значений функций на постоянную величину. 2. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисления интеграла с помощью метода двойного пересчета. а) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения εs и погрешности округления εp. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность εs убывает, а εp возрастает, то существует оптимальный шаг h, определяемый таким образом, чтобы εs составляла примерно половину εp. б) Пусть требуется вычислить интеграл I с точностью ε. Используя формулу соответствующего остаточного члена Ψ, выбирают шаг h таким, чтобы выполнялось неравенство │Ψ│ < ε/2. Затем вычисляют I по выбранной квадратурной формуле с полученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε/2. в) Вычисляют интеграл I по выбранной квадратурной формуле дважды: сначала интеграл Ih с некоторым шагом h, затем интеграл Ih/2 с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что I h − I h / 2 < ε , где ε – допустимая погрешность, то полагают I ≈ I h / 2 . Если же I h − I h / 2 ≥ ε , то расчет повторяют с шагом h/4 и т.д. 3. Какая конечно-разностная схема аппроксимирующая уравнения в частных производных, называется устойчивой? а) Разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных производных, называется устойчивой, если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю. б) Разностная схема называется устойчивой, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации, просто ошибка) не возрастает при переходе от одного шага к другому. в) Устойчивой называется разностная схема, обеспечивающая точное выполнение законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки. 4. В чем состоит суть метода конечных разностей для уравнений в частных производных? а) Основой метода конечных разностей является дискретизация – замена непрерывной области совокупностью изолированных точек (сеткой), причем решение уравнений ищется лишь в этих точках (узлах сетки). Производные аппроксимируются конечными разностями и решение уравнения в частных производных сводится к решению системы алгебраических уравнений. б) Строится система равноотстоящих точек xi = x0 + i Δx , ti = t0 + i Δt , ( i = 0, 1, 2, K) . Вычисления значений u(xi, tn), являющихся решением уравнения в частных производных, проводятся в два этапа. c Δt n На первом этапе находится промежуточное значение u nj +1 = u nj − ( u j +1 − u nj ) , на втором этапе – Δx ⎤ c Δt n +1 1⎡ u nj +1 = ⎢ u nj + u nj +1 − c ( u j − u nj−+11 ) ⎥ . Δx 2⎣ ⎦ в) Суть данных методов состоит в следующем. Полагается, что погрешность ε можно представить в виде полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Лебега от данного полинома. В таком случае конечно-разностная схема является абсолютно устойчивой. 5. Дано нелинейное уравнение sin x − 0,5 x = 0 . Определить методом деления отрезка пополам корень данного уравнения на интервале [1,7; 2] с точностью ε = 10-2. а) корень уравнения = 1,87. б) корень уравнения = 1,90. в) корень уравнения = 1,96.

29

Билет 27 1. Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции. а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [xi, xi+1] равной длины. На каждом отрезке [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(xi2) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. б) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами xi и xi+1, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам. 1

в) В квадратурных формулах

∫

−1

n

f ( t ) dt = ∑ ci f ( ti ) + Ψ коэффициенты ci и абсциссы ti подбираются i =1

так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах точно интегрируются все многочлены степени N ≤ 2n − 1 . Коэффициенты ci и абсциссы ti находятся из системы 2n-1 нелинейных уравнений. 2. Определение сплайн-функции. n ⎛ n ⎞ а) Полином Pn ( x) = ∑⎜ f ( xi ) ∏ ( x − xk ) ( x − xi )∏ ( xi − xk ) ⎟ , принимающий в точках xi значения ⎜ ⎟ i = 0⎝ k =0 k ≠i ⎠ f(xi), называется сплайн-функцией, соответствующей данной функции f(x) и узлам xi (i = 0, 1,…, n). б) Сплайн-функцией m-го порядка, соответствующей данной функции f(x) и узлам xi (i = 0, 1,…, n), называется функция s(х), которая: 1) является полиномом m-го порядка на каждом частичном отрезке [xi-1, xi] (i = 1, 2,…, n); 2) непрерывна вместе со своими производными до (m–1)-го порядка в узлам xi (i = 1, 2,…, n–1); 3) s(xi) = f(xi) (i = 0, 1,…, n). в) Сплайн-функцией, соответствующей данной функции f(x) и узлам xi (i = 0, 1,…, n), называется q( q − 1) 2 q( q − 1) K ( q − n + 1) n полином вида Pn ( x ) = y0 + q Δ y0 + Δ y0 + K + Δ y0 , где q = ( x − x0 ) h , h 2! n! – шаг разностной сетки, Δkyi – конечные разности k-го порядка. 3. Построение разностной схемы для численного решения обыкновенного дифференциального уравнения. а) Область непрерывного изменения аргумента заменяется некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество называется разностной сеткой. Для одномерной задачи примером пространственной разностной сетки являются совокупность точек разбиения отрезка на N частей. Точки деления xi отрезка называют узлами сетки. Расстояние между узлами xi+1 – xi = h есть шаг сетки. б) Заданный отрезок [a, b] заменяется системой частичных отрезков [xi, xi+1] равной длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала xi+1 – xi = h есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [xi, xi+1] осуществляется численное решение дифференциального уравнения. в) Пусть для некоторого множества точек x0, x1, …, xn исходной области известны табличные значения функции y = f(x), являющейся решением дифференциального уравнения. Данное множество значений функции y0, y1, …, yn, называемых узлами, есть разностная сетка. Расстояние между узлами yi+1 – yi = h называется шагом сетки. 4. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных гиперболического типа? а) Уравнения в частных производных гиперболического типа обычно описывают неустановившиеся процессы, но зона зависимости их решений в отличие от параболических уравнений ограничена. б) Уравнения в частных производных гиперболического типа обычно описывают одномерные квазиустановившиеся процессы. в) Уравнения в частных производных гиперболического типа обычно описывают установившиеся процессы. 5. Определить относительную погрешность приближенного числа b = 0,2574 по ее абсолютной погрешности Δb = 0,02, предварительно округлив число b до верных знаков. а) Относительная погрешность = 0,077. б) Относительная погрешность = 0,078. в) Относительная погрешность = 0,080.

30

Билет 28 1. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера? а) Данное правило разработано и применимо лишь для решения систем линейных алгебраических уравнений с апериодической матрицей коэффициентов. б) Реализация данного метода в виде вычислительной процедуры требует выполнения значительного количества арифметических операций и соответственно больших затрат машинного времени. Кроме того, он очень чувствителен к ошибкам округления. в) Данный метод дает менее точные результаты, чем другие методы решения систем линейных алгебраических уравнений. При этом требуется выполнение жестких достаточных условий сходимости. 2. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения. а) На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, т.е. находится какойлибо интервал [a, b] оси Ox, внутри которого находится один корень, и нет других решений нелинейного уравнения. На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение корня нелинейного уравнения. б) На первом этапе проверяется выполнение достаточных условий сходимости. На втором этапе нелинейное уравнение заменяется на интервале [а, b] эквивалентным уравнением. На третьем этапе строится итерационный процесс, позволяющий определить значение корня нелинейного уравнения. в) На первом этапе левая часть нелинейного уравнения f(x) = 0 аппроксимируется на интервале [а, b] интерполяционным многочленом Лагранжа. На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня. 3.

В чем состоит суть конечно-разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений? а) Суть данных методов состоит в следующем. Полагается, что погрешность ε можно представить в виде полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В таком случае конечно-разностная схема является абсолютно устойчивой. б) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i·h (i = 0, 1, 2,…). Вычисления значений y(xi), являющихся решением дифференциального уравнения y' = f(x, y), проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение решение заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа с шагом h, на втором этапе находится решение в промежуточных точках. в) В рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой описывается функциями непрерывного аргумента, вводится ее разностный аналог. Эта дискретная модель среды описывается функциями дискретного аргумента, которые определены в конечном числе точек на сетке. Дифференциальные уравнения заменяются соответствующими конечноразностными соотношениями. В итоге исследуемая дифференциальная задача заменяется системой разностных уравнений – разностной схемой. 4. Применение при численном решении задач математической физики нерегулярных сеток. а) Нерегулярные сетки при численном решении задач математической физики применяются при построении консервативных конечно-разностных схем. б) Нерегулярные сетки при численном решении задач математической физики применяются для записи граничных условий в конечно-разностном виде или получения более подробной информации вблизи границ при известном численном решении задачи. в) Нерегулярные сетки применяются, когда граница расчетной области не совпадает с узлами регулярной сетки или возникает необходимость сгущать сетку в некоторых подобластях для достижения требуемой точности решения задачи. 5.

Написать интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x), которая представлена четырьмя своими значениями: f(0) = –0,5; f(0,1) = 0; f(0,3) = 0,2 и f(0,5) = 1. 2 25 2 73 4 1 1 а) P3 ( x ) = x 3 + x 2 − 11x − . б) P3 ( x ) = x − x+ . 13 11 12 7 3 7 1 125 3 2 73 в) P3 ( x ) = x − 30 x + x − . 12 2 3

31

Билет 29 1.

Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисления интеграла с помощью метода двойного пересчета. а) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения εs и погрешности округления εp. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность εs убывает, а εp возрастает, то существует оптимальный шаг интегрирования h, определяемый таким образом, чтобы εs составляла примерно половину εp. б) Выбор шага интегрирования производится следующим образом. Пусть требуется вычислить интеграл I с точностью ε. Используя формулу соответствующего остаточного члена Ψ, выбирают шаг h таким, чтобы выполнялось неравенство Ψ < ε / 2 . Затем вычисляют I по выбранной квадратурной формуле с полученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε/2. в) Вычисления интеграла I по выбранной квадратурной формуле проводят дважды: сначала интеграл Ih с некоторым шагом h, затем интеграл Ih/2 с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что I h − I h / 2 < ε , где ε – допустимая погрешность, то полагают I ≈ I h / 2 . Если же I h − I h / 2 ≥ ε , то

расчет повторяют с шагом h/4 и т.д. 2. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся? а) Потому что для данного метода вводятся достаточные условия сходимости. б) Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается на конечном результате, поскольку ошибочное приближение рассматривается как новый начальный вектор. в) Потому что при использовании данного метода строится отдельная процедура, исправляющая любые ошибки, допущенные при расчетах. 3. Какая конечно-разностная схема называется сильно устойчивой (неустойчивой)? а) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится (не стремится) к нулю, то конечно-разностная схема называется сильно устойчивой (неустойчивой). б) Если полная погрешность округления не растет (растет), то конечно-разностная схема называется сильно устойчивой (неустойчивой). в) Если разностная схема обеспечивает (не обеспечивает) выполнение физических законов сохранения, следствием которых является рассматриваемое уравнение в частных производных, то она называется сильно устойчивой (неустойчивой). 4. Анализ устойчивости конечно-разностной схемы для решения уравнений гиперболического типа методом Неймана (методом Фурье). а) Согласно методу Неймана полагается, что погрешность ε можно представить в виде полинома n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В этом случае условие устойчивости конечноразностной схемы для уравнения гиперболического типа получается в виде ν = α Δt (Δx )2 ≤ 1 / 2 . б) Принимается, что погрешность ε удовлетворяет разностной схеме для гиперболического уравнения и в методе Неймана ее представляют в виде суммы ряда Фурье. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения, вводимого на n-м шаге по времени, ограничен. Подставляя данное разложение ε в разностное уравнение, для условия устойчивости рассматриваемой конечноразностной схемы получаем неравенство ν = α Δt Δx ≤ 1 .

в) Так как разностная схема устойчива при ограниченности роста любого возмущения, то в методе Неймана принимается, что погрешность ε на любом шаге по времени является постоянной величиной и равной первому члену ряда Фурье. Подставляя данное разложение ε в разностное соотношение для уравнения гиперболического типа, для условия устойчивости рассматриваемой конечно-разностной схемы получаем формулу ν = α Δt ⋅ Δx = 1 . 0, 4

5.

Вычислить приближенно интеграла I =

∫

0

dx по формуле трапеций при n = 4 и оценить 1+ x

остаточный член.

a) I = 0,3369, в) I = 0,287,

R < 0,00067 ;

б) I = 0,3492,

R < 0,00094 .

32

R < 0,0001 ;

Билет 30 1. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя. а) Исходная система линейных алгебраических уравнений записывается в виде, разрешенном относительно неизвестных; при этом неизвестные появляются и в правой части. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению. При этом при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi при i>1 используются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения неизвестных x0, x1, …, xi-1. б) Если определитель матрицы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет det Ai , det Ai единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам xi = det A и det A определители матриц Ai и А соответственно. Матрица Ai образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов. в) Метод Зейделя разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с периодической матрицей коэффициентов. Исходная система n уравнений приводится к виду xi = αi + βi xi +1 , (i = 1, 2, K , n − 1) . Числа α i , β i , называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода определяется xn, а затем вычисляются значения xi ( i = n − 1, K, 1 ) , последовательно применяя рекуррентные формулы xi = α i + β i xi + 1 . 2. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения? а) Метод Ньютона весьма быстро сходится, точность каждого приближения в этом методе пропорциональна квадрату точности предыдущего. Основной недостаток метода – необходимость достаточно точного начального приближения. б) Метод Ньютона относится к числу итерационных методов второго порядка и имеет наибольшую точность нахождения корней нелинейного уравнения. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени при решении сложных нелинейных уравнений. в) Метод Ньютона в ряду итерационных методов нахождения корней нелинейного уравнения наиболее прост в организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – достаточно медленная скорость сходимости. 3. Формулировка теоремы Лакса об эквивалентности. а) Необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы для решения корректно поставленной задачи с начальными данными для линейного уравнения в частных производных является выполнение условий согласованности и устойчивости.

б) Для любого шага h процесс Либмана (выбрав начальные приближения uij(0 ) , последовательные приближения uij( k +1) для внутренних узлов сеточной области находятся как среднее арифметическое значений в ближайших соседних узлах при k-ом приближении) сходится к точному решению независимо от выбора начальных значений. в) Необходимым условием сходимости разностной схемы является обеспечение точного выполнения законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки. 4.

Условие устойчивости разностной схемы для решения уравнений гиперболического типа (условие КФЛ).

а) ν = α Δt (Δx )2 ≤ 1 / 2 .

б) ν = c Δt Δx ≤ 1 .

в) ν = c 2 Δx (Δt )2 ≤ 1 .

Объем V = 2,385 м3 и плотность ρ = 1400 кг/м3 образца измерены с точностью до 1 дм3 и 1 кг/м3 соответственно. Найти абсолютную и относительную погрешности в определении массы образца m = V·ρ = 3339 кг. а) Абсолютная погрешность = 3,895 , относительная погрешность = 0,0012. б) Абсолютная погрешность = 3,786 , относительная погрешность = 0,0011. в) Абсолютная погрешность = 3,657 , относительная погрешность = 0,0010. 5.

33

Рекомендуема литература Основная: 1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т.1, М.: Мир, 1990. 2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Н. Численные методы. М.: Изд-во «Лаборатория базовых знаний», 2002. 4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1, М.: Наука, 1966. 5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2, М.:Физматгиз, 1962. 6. Кучумов Р.Я., Сыртланов В.Р., Мусакаев Н.Г. Методы вычислений. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 1998. 7. Кучумов Р.Я., Сыртланов В.Р., Мусакаев Н.Г. Лабораторный практикум по курсу "Численные методы". Тюмень: Изд-во «Вектор Бук», 1999. 8. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. 9. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. Дополнительная: 1. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 2. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 3. Вычислительные математика и техника в разведочной геофизике. Под ред. Дмитриева В.И. – М.: Недра, 1990. 4. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М.: Наука, 1970. 5. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 6. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения. М.: Наука, 1986. 7. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988.

34

Контрольно-измерительные материалы по курсу «Численные методы» для студентов специальности 073000 – Прикладная математика.

Составители: Мусакаев Н.Г., доцент, к.ф.-м.н. Ефимова Н.В., ассистент

Подписано к печати Заказ № Формат 60/90 1/16 Отпечатано на RISO GR 3750

Бум.писч.№1 Уч.изд.л. Усл.печ.л. Тираж экз.

Издательство «Нефтегазовый университет» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» 625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38 Отдел оперативной полиграфии издательства «Нефтегазовый университет» 625039, г. Тюмень, ул. Киевская, 52 35

36