Компьютерный лабораторный практикум по молекулярной физике

îáðàçîâàíèå â âóçàõ. Ò. 9, ¹ 2, 2003физике КомпьютерныйÔèçè÷åñêîå лабораторный практикум по молекулярной

113

Компьютерный лабораторный практикум по молекулярной физике В.Г. Суппес, Г.М. Полетаев Кузбасская государственная педагогическая академия Алтайский государственный технический университет В данной работе рассматривается возможность использования метода молекулярной динамики при написании программ для компьютерного лабораторного практикума по молекулярной физике. Показано, что применение двумерной модели кристалла дает при выполнении лабораторной работы результаты, удовлетворительно согласующиеся с известными экспериментальными значениями изучаемых характеристик металлов.

В последнее время все большее применение при изучении различных дисциплин, и в первую очередь дисциплин физико)математического цикла, находят компьютерные технологии обучения (КТО). Курс физики является одной из важнейших составных частей естественнонаучного цикла образования. Физика считается экспериментальной наукой. Однако во многих случаях проведение обычного (натурного) эксперимента становится невозможным либо из)за сложности эксперимента, либо из)за его дороговизны. Современная компьютерная техника позволяет найти выход в подобных ситуациях с помощью компьютерного моделирования физических процессов и проведения компьютерного физического эксперимента [1)5]. В данной работе предложен ряд компьютерных лабораторных работ: 1. Изучение структурных изменений в кристалле при деформации сжатием. 2. Изучение структурных изменений в кристалле при деформации растяжением. 3. Изучение структурных изменений в кристалле при деформации сдвигом. 4. Изучение структурных изменений в кристалле при деформации сдвиг +сжатие. 5. Определение температуры плавления металлов. 6. Тепловое расширение металлов. 7. Влияние концентрации вакансий на скорость диффузии. 8. Диффузия в условиях деформации.

Основные цели данных работ: 1. Сформировать у студентов наиболее общие представления о развитии и протекании физических явлений при деформации твердых тел с учетом атомной

114

В.Г. Суппес, Г.М. Полетаев

структуры, а также о возможных механизмах массопереноса (диффузии) в твердых телах, так как в существующих курсах по общей физике данному вопросу практически не уделяется внимания. 2. Частично ознакомить студентов с современными результатами, полученными при исследовании процессов происходящих при деформации и диффузии, а также с принципами проведения компьютерного физического эксперимента. Понятие о специфических дефектах (дислокаций, вакансий и т.д.) атомно) кристаллической структуры является одним из важнейших в физике твердого тела и физическом материаловедении. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования доказали существенное влияние дефектов как на механические, так и на электрические, магнитные и оптические характеристики материалов. Современная практика создания материалов с заданными физическими и механическими свойствами тесно связана с задачами изучения механизмов атомной перестройки в кристаллической решетке при внешнем энергетическом воздействии. Наиболее простым методом, позволяющим изучать и анализировать процессы структурной перестройки атомных систем под воздействием механических напряжений, тепловых колебаний и т.д., является метод компьютерного моделирования [1, 5].

Краткое описание метода компьютерного моделирования и модели В настоящее время в физике конденсированного состояния существует несколько основных методов компьютерного моделирования структурно) энергетических трансформаций на атомном уровне: динамический метод или метод молекулярной динамики, вариационный метод или метод молекулярной статики, метод статистических испытаний или метод Монте−Карло. Метод молекулярной динамики, по сравнению с другими методами компьютерного моделирования, обладает несколькими важными преимуществами. Во)первых, он позволяет решать задачи, касающиеся проблем структурно)энергетических трансформаций как в кристаллических, так и в некристаллических материалах, деформации и аморфизации атомных систем в условиях температурно)силовых воздействий. Во)вторых, он дает возможность соизмерять динамику исследуемых процессов с реальным временем. Главным недостатком метода, по сравнению с другими, являются большие затраты машинного времени, требуемые для выполнения расчетов. В методе молекулярной динамики поведение заданной совокупности атомов описывается в рамках классической механики системой обыкновенных

Компьютерный лабораторный практикум по молекулярной физике

115

дифференциальных уравнений движения в форме Ньютона, численное решение которых осуществляется на компьютере. Взаимодействие атомов предполагается зависящим лишь от межатомного расстояния, и потенциальная энергия системы N атомов представляется в виде

U=

1 N N ∑ ∑ ϕ ij ( ri − r j ) , 2 i =1,i ≠ j j =1

(1)

где ϕij – потенциальная функция взаимодействия пары отдельных атомов i и j; ri, rj – радиусы–векторы i-го и j)го атомов. Ограничение парным потенциалом межатомного взаимодействия значительно упрощает вычисления при расчетах систем с большим числом частиц, но возможны также применения и многочастичных потенциалов. При рассмотрении замкнутой системы, сила, действующая на i)й атом, будет равна

Fi = −

N

N

d ϕ ij ( ri − r j ) . − r ) i j

∑ ∑ d (r

i =1,i ≠ j j =1

(2)

Система уравнений движения в нерелятивистском случае:

dri dυ = υi , mi i = Fi , dt dt

(3)

где mi и υi – масса и скорость i)го атома, t – время. Система атомов, поведение которых описывается данным методом, является так называемой расчетной ячейкой или блоком. Если расчетная ячейка содержит N одинаковых атомов, то позиции и скорости всех атомов полностью характеризуются 2ζN координатами (ζ – мерность расчетной ячейки). Для получения конкретных частных решений системы уравнений (2) и (3), как правило, используется метод Эйлера с полушагом. Уравнения (3) принимают вид

υ ik (t + Δt 2) = υ ik (t − Δt 2) + Δtm −1 Fi k (t ) , xik (t + Δt ) = xik (t ) + Δtυik (t + Δt 2) , где Δt – шаг интегрирования.

(4)

116

В.Г. Суппес, Г.М. Полетаев

В качестве критерия выбора шага интегрирования Δt используют эмпирическое правило: флуктуации полной энергии системы не должны превышать флуктуации потенциальной энергии. Для уменьшения энергетических флуктуаций на величину Δt накладывают математические и физические ограничения. Математические ограничения обусловлены погрешностями округления, возникающими при выполнении арифметических операций. Физические – связаны с тем, что шаг интегрирования должен быть, по крайней мере, меньше 1/4 наименьшего периода атомных колебаний. В противном случае колебания атомов становятся апериодическими, что приводит к возрастанию энергии системы. Начальные значения координат атомов задаются в зависимости от исследуемой задачи, причем перекрывающиеся конфигурации исключаются. Начальные скорости атомов обычно задаются одинаковыми по абсолютной величине и со случайными направлениями. При этом полная кинетическая энергия должна соответствовать заданной температуре, а суммарный импульс расчетной ячейки должен быть равен нулю. Если начальные координаты атомов соответствуют идеальной решетке, то начальные скорости определяются согласно распределению Больцмана:

2ζk Á T mi

υi = υ êâ 2 =

N

,

∑ mi υi = 0 , i =1

(5)

где kБ – постоянная Больцмана, T – температура, υкв – среднеквадратичная скорость атома. При решении задач молекулярной динамики осуществляется контроль над потенциальной U и кинетической E энергиями расчетной ячейки. Потенциальная вычисляется по формуле (1), а кинетическая:

1 N E = ∑ mi υ i2 2 i

.

(6)

Температура расчетной ячейки находится по выражению

T=

2E ζNk Á

.

(7)

В рассматриваемом методе ограничиваются объемом расчетной ячейки порядка 103 – 106 атомов. С макроскопической точки зрения это чрезвычайно мало.

Компьютерный лабораторный практикум по молекулярной физике

117

Поэтому, чтобы результаты можно было распространить на макрообъем, на расчетный блок накладываются граничные условия, позволяющие с некоторым приближением «сшивать» расчетную ячейку с внешним объемом. Выбор граничных условий зависит от исследуемой проблемы. В настоящее время можно выделить пять типов граничных условий. 1) «Свободные» граничные условия. Приграничные атомы образуют свободную поверхность, контактирующую с вакуумом, и могут передвигаться так же, как и атомы внутри объема расчетного блока. Такой вид граничных условий иногда применяется при исследовании деформации расчетной ячейки под воздействием температурно)силовых факторов, или в случаях, когда нет надобности в граничных условиях, например, в исследованиях, связанных с большими молекулами (полимеры, фуллерены и т.д.). 2) «Жесткие» граничные условия. Координаты граничных атомов зафиксированы. В этом случае предполагается, что достаточно большое количество подвижных атомных слоев компенсирует влияние фиксированности граничных атомов на исследуемое явление. Этот вид граничных условий привлекателен своей простотой, но требует большого числа атомов, и не позволяет решать задачи, связанные с существенным изменением термодинамических параметров расчетной ячейки. В методе молекулярной динамики такой вид граничных условий в основном применяется в комбинации с другими видами. 3) «Гибкие», или подвижные, граничные условия. Они являются более естественными. Граничным атомам в некоторые периоды (иногда с определенными ограничениями) разрешается перемещаться во время функционирования модели в соответствии с перераспределением атомов расчетной ячейки. Данные граничные условия требуют меньшего количества атомов, чем жесткие и являются более адекватными реальным условиям. 4) «Периодические» граничные условия. Если в некотором из направлений по характеру задачи имеется период полной идентичности, то целесообразно выбрать размер расчетной ячейки в этом направлении равным периоду идентичности. Последнее позволяет имитировать бесконечную протяженность кристалла в рассматриваемом направлении. Приграничные атомы с одной стороны расчетной ячейки связываются взаимодействием с приграничными атомами с другой, как если бы принадлежали двум соседним идентичным кристаллическим ячейкам. Периодические граничные условия являются в известной степени точными (в той степени, в какой соблюдается полная идентичность), но, как и жесткие, не позволяют решать задачи, связанные с существенным изменением термодинамических параметров расчетного блока.

118

В.Г. Суппес, Г.М. Полетаев

5) «Вязкие» граничные условия. На границах расчетной ячейки имитируется поглощение энергии упругих колебаний с помощью построения вокруг расчетного блока демпфирующей области. При использовании вязких граничных условий стремятся к тому, чтобы расчетный блок можно было считать окруженным бесконечным идеальным кристаллом. Данные условия хороши при исследовании структур дефектов, но в задачах, связанных с различного рода энергетическим активированием, возникает проблема соблюдения закона сохранения энергии. В настоящей модели исследования проводятся в двумерном приближении. Одной из особенностей такой модели является то, что атомы одного сорта, взаимодействие которых описывается парным изотропным потенциалом, могут иметь лишь одну стабильную кристаллическую упаковку, соответствующую плоскости (111) ГЦК ) решетки (наиболее плотноупакованной плоскости). Для описания межатомных взаимодействий используются парные потенциальные функции Морза. Парный потенциал Морза можно записать в виде:

ϕ KL ( r ) = D KL β KL exp (− α KL r )[β KL exp (− α KL r ) − 2 ] ,

(8)

где αKL, βKL, DKL – параметры, определяющие взаимодействие пары атомов сорта K и L; r – расстояние между атомами. Сила, действующая на атом, согласно формуле (2), будет равна: 2 ⎡⎛ 1⎞ 1⎤ F K = − 2 D KL α KL ⎢ ⎜ β KL exp (− α KL r ) − ⎟ − ⎥ . 2⎠ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝

(9)

Параметры потенциальных функций, описывающих взаимодействия атомов одного сорта, находились из свойств чистых металлов. Величины αKK, βKK, DKK определялись по значениям энергии сублимации, параметра решетки и объемного модуля упругости. При использовании потенциальных функций, описывающих межатомные взаимодействия, обычно учитывают только несколько первых координационных сфер, поскольку их вклад в потенциальную энергию взаимодействия атомов быстро уменьшается с расстоянием [6)7]. Временной шаг, предназначенный для интеграции по времени движения частиц в методе молекулярной динамики, во всех экспериментах задавался равным 0,01 пс = 10−14 с. Рассмотрим более подробно порядок выполнения работы по определению температуры плавления металлов.

Компьютерный лабораторный практикум по молекулярной физике

119

Определение температуры плавления двумерных металлов Температуру плавления моделируемых двумерных материалов можно определить несколькими способами: по испытаниям на сдвиговую прочность в зависимости от температуры, по графику зависимости изменения объема расчетной ячейки от температуры, по выявлению скрытой теплоты плавления. Наиболее эффективным, как оказалось, является способ определения по скрытой теплоте плавления [7]. Для разрушения кристаллической структуры требуется некоторая энергия ) при нагревании расчетной ячейки выше температуры плавления затраты энергии можно обнаружить по спаду температуры (кинетической энергии) расчетного блока. В эксперименте расчетная ячейка представляет собой прямоугольный блок однокомпонентного кристалла, содержащего от 1000 до 3000 атомов. Граничные условия задаются по одной оси периодические, а по другой либо свободные, либо гибкие (приграничным атомным рядам позволяется перемещаться как единому целому). Расчетная ячейка в таком случае может менять объем вследствие изменения температуры или давления. Нагрев можно осуществлять непрерывно (постепенно) или импульсно (мгновенно). В первом случае в расчетную ячейку периодически вводится определенное значение кинетической энергии, температура ячейки при этом растет линейно. Во втором температура задается мгновенно в начале опыта. Когда нагрев расчетной ячейки осуществляется непрерывно, возникают сложности определения температуры плавления. Во)первых, при слишком быстром непрерывном нагреве и большом количестве атомов в центре расчетной ячейке возникает область сжатия – расчетный блок не успевает расширяться с ростом температуры. Вследствие этого центральная сжатая область ячейки может оставаться в твердом состоянии, когда приповерхностные области расплавлены и продолжают расширяться. В таком случае на графике зависимости температуры расчетного блока от времени не появляется четко выраженного горизонтального участка, характеризующего плавление, он не отчетлив или состоит из нескольких таких участков. Во)вторых, при быстром непрерывном нагреве происходит резкое расширение расчетной ячейки, вследствие чего ячейка начинает периодически сжиматься и разжиматься с относительно большой амплитудой. При этом температура, из)за изменения соотношения кинетической и потенциальной энергий, также периодически повышается (при сжатии) и понижается (при расширении). На графике зависимости температуры от времени появляются колебания, которые затрудняют выявление горизонтального участка, характеризующего плавление. Моделирование относительно медленного нагрева требует больших затрат машинного времени, поскольку в молекулярной динамике модельное время обычно имеет порядок 10−12 – 10−8 с.

120

В.Г. Суппес, Г.М. Полетаев

Вышеописанные проблемы исчезают при использовании импульсного (мгновенного) нагрева. Расчетному блоку сразу задается определенная температура, причем параметр решетки корректируется с учетом теплового расширения. Если в результате динамической релаксации температура расчетной ячейки остается постоянной, значит, плавления не произошло и ячейка находится в твердом состоянии. Когда температура в процессе релаксации падает до некоторого значения, которое меньше, чем начальное, ) произошло плавление и затрачена энергия на аморфизацию расчетной ячейки. Лабораторная работа

Определение температуры плавления моделируемых двумерных металлов Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ 1. Закрыть все параллельные программы (при длительном счете рекомендуется также отключить “хранитель экрана”). 2. Запустить программу mdt.exe. 3. Выбрать металл (Al, Ti, Fe, Ni, Cu, Au) (на панели меню, Рис. 1) 4. Задать размеры расчетной ячейки *. Для этого необходимо задать число атомов в рядах ячейки по осям X и Y в окнах меню (Рис. 1) 5. Поставить галочку в окне “Учесть тепловое расширение”. В этом случае межатомные расстояния будут заданы в соответствии со значением начальной температуры. 6. Выбрать тип граничных условий **. Рекомендуются “периодические ) свободные”. 7. Нажать Enter в любом из окон “Число по Х”, “Число по Y”, “Температура”, “Расширение”. При этом будет построена расчетная ячейка и представлена графически на правом рисунке общего окна. Проследите, чтобы в окне “Расширение” было значение 0 (если там другое значение, то исправьте его на 0 и нажмите Enter). 8. Задать продолжительность эксперимента. Рекомендуется не менее 50 пс. 9. Задать начальную температуру T0 в окне “Температура” и нажать Enter. 10. Нажать кнопку “Пуск”. Программа начнет выполнение пошагового моделирования динамики атомной структуры по методу молекулярной динамики. 11. Дождаться окончания эксперимента (счет времени прекратится) и нажать кнопку “Стоп” (Рис. 1). 12. Записать в таблицу среднее значение температуры расчетной ячейки на заключительных стадиях эксперимента (эти значения высвечиваются под графиками, см. Рис. 1).

Компьютерный лабораторный практикум по молекулярной физике

Çàäàâàåìàÿ íà÷àëüíàÿ

Ôàêòè÷åñêàÿ êîíå÷íàÿ

òåìïåðàòóðà Ò0, Ê

òåìïåðàòóðà Ò, Ê

121

800 900 … 2000 13. Повторяя пункты 9)12, заполнить таблицу. 14. Построить график Т(Т0). С помощью графика определить температуру плавления моделируемого металла (точка изгиба на графике). 15. Сравнить результат со справочными данными для реального трехмерного металла. Оценить расхождение данных.

Рисунок 1. Интерфейс программы mdt.exe

Результаты Результаты получены для расчетных ячеек размером 30х50 (1500 атомов). Граничные условия “периодические'свободные”. Продолжительность экспериментов 100 пс.

122

В.Г. Суппес, Г.М. Полетаев

T, K

Алюминий (Al)

1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 To, K

Тпл ≈ 1000 К Относительное расхождение со справочными данными: 7 %

Æåëåçî (Fe)

Тпл ≈ 1500 К Относительное расхождение со справочными данными: 17 %

Компьютерный лабораторный практикум по молекулярной физике

Íèêåëü (Ni) Т0, К

Т0, К

Т0 , К

Т0,К

Тпл ≈ 1750 К T, K

Относительное расхождение со справочными данными: 1 % 2000 1800

Ìåäü (Cu)

1800 1600 1600 1400 1400 1200 1200

1000

1000

800

800

600

600

400

400

200

200

00 00

200 400 400 600 600 800 8001000 1000 1200 200 1200 14001400 16001600 18001800 2000 2000 2200

To, To, K K

Òïë ≈ 1300 Ê Îòíîñèòåëüíîå ðàñõîæäåíèå ñî ñïðàâî÷íûìè äàííûìè: 4 %

123

124

В.Г. Суппес, Г.М. Полетаев

Следует отметить, что первый пункт в инструкции по выполнению работы носит относительный характер, т.е зависит от используемого поколения ЭВМ. Аналогичным образом выполняются и другие приведенные в списке работы.

Заключение Таким образом, рассмотренная выше компьютерная лабораторная работа позволяет сделать следующие выводы. Результаты компьютерного эксперимента удовлетворительно совпадают с табличными значениями температуры плавления для исследованных ГЦК металлов, хотя найдены в двумерном приближении. В случае определения температурного коэффициента линейного расширения данное приближение вносит более существенную погрешность. Погрешность во многом зависит и от используемых потенциалов межатомного взаимодействия. В процессе проведения данного компьютерного эксперимента можно наблюдать за изменением структуры расчетного блока, т.е. увидеть динамику процесса (правая часть рис. 1). Студенты имеют возможность наглядно ознакомиться с физикой процесса на микроскопическом уровне.

Литература 1. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике: Пер. с англ./ Под ред. С.А. Ахманова.− М.: Наука, 1990, 176 с. 2. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: −М.: Мир, 1990, т. 1, 2. 3. Суппес В.Г., Надь А.В. Использование видео)компьютерной техники при проведении физического эксперимента. Сб. ”Проблемы физического учебного эксперимента”. −Глазов 1997.− с. 88)89. 4. Суппес В.Г. Основные направления использования компьютерных технологий в процессе обучения физике. Сб. «Проблемы учебного физического эксперимента»., Глазов., Санкт) Петербург, 1999, с.123)124. 5. Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ. Ленинград.: «Наука» Ленинградское отделение, 1980, 214 с. 6. Старостенков М.Д., Полетаев Г.М. Исследование диффузии на начальных стадиях СВС в двумерной системе Ni)Al методом молекулярной динамики// Тр. Второй междунар. науч.)техн. конф. “Экспериментальные методы в физике структурно)неоднородных конденсированных сред (ЭМФ)2001). Композиционные и порошковые металлические материалы”, Барнаул: изд)во АГУ, 2001, с. 218)222. 7. Полетаев Г.М. Исследование процессов взаимодиффузии в двумерной системе Ni)Al. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико)математических наук, Барнаул, 2002, 186 с.