Задача об ударе твердых тел

МАТЕМАТИКА ЗАДАЧА ОБ УДАРЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ А. П. ИВАНОВ Московский государственный текстильный университет им. А.Н. Косыгина

ВВЕДЕНИЕ

PROBLEM OF COLLISION OF RIGID BODIES A. P. IVANOV

A few variants of the problem of rigid bodies collision are discussed. It is shown that applying the classical impact theory to the cases when colliding bodies are bound to other bodies can produce paradoxical results. To obtain a realistic solution, one should account for contact deformations.

© Иванов А.П., 2001

Обсуждены различные варианты задачи о соударении твердых тел и методы ее решения. Показано, что использование классической теории удара в случае соударения тел, связанных с другими телами, может привести к парадоксам. Для получения реалистичного решения необходимо учитывать контактные деформации.

122

www.issep.rssi.ru

Ударом принято называть совокупность явлений, возникающих при столкновении тел и приводящих к значительному изменению их скоростей за очень малый промежуток времени. С математической точки зрения это означает, что при ударе происходит мгновенное изменение скоростей и угловых скоростей данных тел, а их положения в пространстве сохраняются. Причиной такого поведения являются силы, возникающие при деформации сталкивающихся тел и во много раз превосходящие, к примеру, силу тяжести. Человек издревле знаком с ударами и научился использовать их в своих целях. Попробуйте забить гвоздь, не ударяя молотком по шляпке, а просто надавливая на нее! Другие примеры – добыча руды, футбол, ударные музыкальные инструменты. Неожиданные удары, как при падении метеорита или автомобильной аварии, могут быть весьма опасными. Так или иначе, важно умение заранее рассчитать результат удара. Теория удара насчитывает в своем развитии около четырех столетий. Постановку задачи о соударении двух тел, движущихся вдоль некоторой прямой, можно встретить в трудах Г. Галилея и Р. Декарта. Первое верное решение было получено в 1639 году профессором Пражского университета М. Марчи: тело, ударившись упруго о другое равное и покоящееся тело, теряет свое движение, передавая его другому телу. Этот результат можно проверить, экспериментируя с биллиардными шарами или монетами на гладком столе. Интересно отметить, что знаменитые “Математические начала натуральной философии” И. Ньютона, в которых были сформулированы основные законы динамики, вышли в свет намного позже, в 1687 году (в этой книге обсуждается и проблема удара). В дальнейшем задача об ударе привлекала внимание многих известных ученых, включая Ж. Даламбера, С. Пуассона, Г. Дарбу, Э.Дж. Рауса, Г. Кориолиса, А.М. Ляпунова, Н.Е. Жуковского. Мы обсудим основные методы решения задач об ударе и диапазон применимости этих методов.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 5 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПРОБЛЕМЕ УДАРА В задачах динамики физическая природа рассматриваемых тел обычно не играет никакой роли. Напротив, правильный учет ударных явлений невозможен без задания свойств материалов, из которых сделаны сталкивающиеся тела. Рассмотрим, к примеру, падение шара на опору. Как показали опыты Галилея, закон падения для разных тел одинаков. Однако последствия удара об асфальт для чугунного ядра, теннисного мяча и стеклянного графина будут совершенно разными. Различные подходы к решению задачи об ударе характеризуются теми дополнительными физическими гипотезами, которые лежат в их основе. Рассмотрим для примера простейшую задачу о прямом ударе двух шаров с массами m1 и m2 , которые до удара движутся вдоль некоторой прямой со скоростями υ1 и υ2 (рис. 1, а). Если υ1 > υ2 , то шары неминуемо столкнутся. Требуется определить их скорости V1 и V2 после удара. Здесь для определения двух неизвестных величин мы имеем единственное уравнение m1υ1 + m2υ2 = m1V1 + m2V2 ,

(1)

выражающее закон сохранения импульса. К нему можно добавить пару неравенств V 1 # V 2,

m1 υ1 + m2 υ2 $ m1 V 1 + m2 V 2 . 2

2

2

2

(2)

Первое из неравенств (2) означает, что после удара шары разбегаются, а второе неравенство выражает невозможность увеличения суммарной кинетической энергии. В предельном случае V1 = V2 удар называют абсолютно неупругим или пластическим (примером может служить соударение пластилиновых шаров), а в случае 2 2 2 2 равенства m 1 υ 1 + m 2 υ 2 = m 1 V 1 + m 2 V 2 его называют абсолютно упругим. В каждом из этих предельных случаев задача об ударе получает вполне определенное решение. Действительно, полагая в уравнении (1) V1 = V2 = = V, получим а

υ1

υ2

m1

m2

б m1

m2

Рис. 1. Прямой удар двух шаров: а – система до удара; б – добавление воображаемой пружинки

m1 υ1 + m2 υ2 V = ------------------------------. m1 + m2 Данная формула была выведена профессором Оксфордского университета Дж. Валлисом в 1668 году. Тогда же английские математики К. Рен и Х. Гюйгенс исследовали случай абсолютно упругого удара. В частности, было показано, что при абсолютно упругом ударе относительная скорость шаров изменяется на противоположную, то есть V2 − V1 = υ1 − υ2 для любых значений масс. Указанные выше решения были обобщены Ньютоном, который экспериментально установил соотношение V2 − V1 = e(υ1 − υ2),

(3)

где число e не зависит от масс соударяемых тел и их начальных скоростей. Величина e, называемая коэффициентом восстановления при ударе, зависит от материала, из которого изготовлены шары, и лежит в интервале от нуля до единицы. В частности, Ньютон нашел, что для стеклянных шариков e = 15/16, а для железных e = 5/9. Система (1), (3) приводит к такому решению задачи об ударе: m2 - ( υ – υ 1 ), V 1 = υ 1 + ( 1 + e ) -----------------m1 + m2 2 m1 - ( υ – υ 2 ). V 2 = υ 2 + ( 1 + e ) -----------------m1 + m2 1

(4)

Соотношения (4) содержат в себе решения Валлиса (e = 0), Рена, Гюйгенса (e = 1) и Марчи (m1 = m2 , e = 1, υ2 = 0). Подобный подход, основанный на принятии допущений типа гипотезы Ньютона (3), лежит в основе классической теории удара. В рамках этой теории можно решать и более сложные задачи, например о пространственном ударе двух твердых тел с гладкими или шероховатыми поверхностями [1]. Рассмотрим, к примеру, косое соударение двух шаров с гладкими поверхностями, при этом ударные силы направлены вдоль прямой, соединяющей центры шаров. Следовательно, составляющие скоростей шаров, перпендикулярные этой прямой, сохраняют при ударе свои значения. Что касается проекций скоростей на данную прямую, то их изменения описываются формулами (4). Заметим, что классическая теория недостаточна для решения задачи об ударе в системе нескольких тел (об этом подробнее ниже). Кроме того, в ее рамках нельзя оценить продолжительность соударения, развиваемые ударные силы и пр. Более физичен метод деформируемых элементов, предложенный для решения задачи об ударе Ж. Далам-

И В А Н О В А . П . З А Д А Ч А О Б УД А Р Е Т В Е Р Д Ы Х Т Е Л

123

МАТЕМАТИКА бером в 1743 году. Идея метода состоит в мысленном помещении в точку удара маленькой пружинки, обладающей очень большой жесткостью (рис. 1, б ). Когда тела сближаются, их кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию сжатой пружины до тех пор, пока скорости тел не выравняются (на этом заканчивается первая фаза удара – деформация). Затем происходит восстановление кинетической энергии за счет возвращения пружинки в исходное состояние. Весь процесс удара описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, описывающим изменение величины δ – деформации пружинки. Непосредственно перед ударом δ = 0, δ˙ = υ 1 – υ 2 , то есть начальная ско-

уравнениями в частных производных, решения которых имеют волновой характер. Получение этих решений связано с большим объемом компьютерных расчетов, что может быть оправдано важностью рассматриваемой задачи. Обычно волновая теория используется для описания удара тел с вырожденными измерениями: стержни, балки, пластины, оболочки. Примерами могут служить удар метеора о корпус космического корабля или продольный удар поршня-бойка по пике отбойного молотка.

рость деформирования равна скорости сближения тел. Считая массу пружинки пренебрежимо малой по сравнению с массами шаров, запишем второй закон Ньютона в виде

Выше речь шла об идеальной ситуации, когда соударяемые тела свободны. В реальных системах они обычно связаны с другими телами при помощи каких-либо технических приспособлений или опираются на другие тела под действием приложенных сил. При столкновении несвободных тел ударные явления охватывают также и связанные с ними тела. Попытка применить для решения задачи об ударе трех и более тел может привести к очевидным несоответствиям с реальностью.

m1w1 = −F(δ),

m2w2 = F(δ),

где F(δ) – упругая сила, зависящая от деформации по заданному закону (если δ # 0, то F = 0), w1 и w2 – ускорения шаров. Поскольку ˙˙ δ = w 1 – w 2 , получим отсюда 1 1 ˙˙ δ = –  ------ + ------ F ( δ ).  m 1 m 2

(5)

Полагая зависимость силы от деформации линейной (закон Гука), F(δ) = kδ, мы найдем решение уравнения (5) при данных начальных условиях: υ1 – υ2 δ = ---------------sin ω ( t – t 0 ), ω

ω=

k ------------------- . m1 + m2

(6)

Из формулы (6) можно найти продолжительность удара, полагая δ = 0: τ = π/ω, максимальную деформацию δmax = (υ1 − υ2)/ω и максимальную ударную силу Fmax = kδmax . Если функция F(δ) нелинейна (например, для контактного закона Герца F(δ) = kδ3/2), то уравнение (5) решается лишь численно, с помощью компьютера. Однако некоторые важные выводы можно получить аналитически. В частности, из закона сохранения полной механической энергии следует, что упругий деформируемый элемент соответствует случаю абсолютно упругого удара. Присоединяя параллельно пружинке демпфер, получим вязкоупругий элемент, который позволяет учесть диссипацию при ударе. Оказывается, в этом случае мы приходим к гипотезе Ньютона (3) [2]. Усложняя характеристики деформируемых элементов с учетом свойств реальных тел, можно уточнять решение задачи об ударе [3]. Имеются и более сложные модели удара, в которых учитываются деформации не только вблизи точки контакта, но и в отдаленных от нее точках соударяемых тел. Такие модели описываются дифференциальными

124

ПАРАДОКСЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УДАРА

Рассмотрим, к примеру, задачу о коллинеарном ударе трех шаров с равными массами, два из которых первоначально покоятся и касаются друг друга (рис. 2, а). Эксперимент с тремя биллиардными шарами или монетами на гладком столе показывает, что после удара бьющий и центральный шары остаются неподвижными, а третий шар отлетает от центрального со скоростью, близкой к начальной скорости бьющего шара (рис. 2, б). Такое решение можно получить на основе гипотезы Ньютона (3), если только принять коэффициент восстановления для пары “левый и центральный” шары равным нулю, а для пары “центральный и правый” – бесконечно большим. Данное предположение лишено, очевидно, физического смысла. Для реабилитации классической теории удара в данном примере обычно разбивают удар на две части: сначала движущийся шар ударяется о центральный, передавая ему свой импульс (вспомним решение Марчи!), а затем центральный шар передает свой импульс правому шару. Однако такая идея в общем случае неодинаковых шаров также оказывается несостоятельной. Возьмем для примера бьющий шар менее жестким, чем остальные два (на биллиардном столе для этого можно воспользоваться теннисным мячиком, а в эксперименте с монетами – резиновым ластиком). Если немного изменить начальную конфигурацию шаров, то получим частный случай задачи И. Бернулли, который в середине XVIII века для определения законов гидродинамического сопротивления рассмотрел задачу об ударе движущегося шара по симметричной

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 5 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА а

Ω+ = −eΩ−.

υ1 m

m

m υ1

б m

m

в

m

F1 m

F2 m

m

Рис. 2. Прямой удар трех шаров: а – система до соударения, б – система после соударения, в – добавление воображаемых пружинок

системе неподвижных шаров (рис. 3). Бернулли высказал гипотезу о сохранении симметрии после удара, что позволило ему найти решение. Однако такое симметричное решение нереалистично, так как на практике добиться одновременности столкновений невозможно. Малые отклонения от симметрии до удара приведут к тому, что движущийся шар столкнется с неподвижными поочередно, с малым промежутком времени между двумя ударами. После первого из них бьющий шар изменит скорость, поэтому второй удар будет существенно отличаться от первого. В частности, если все три шара одинаковы, причем неподвижные шары первоначально соприкасаются, то после удара они начнут двигаться со скоростями, отношение которых близко к двум. Еще одним примером, когда классическая теория не работает, является удар физического маятника о стенку (рис. 4). Отклоним маятник от вертикали на некоторый угол α, а затем отпустим его. Ударившись о стенку, он отскочит от нее и повернется на угол β < α. Связывая углы поворота с угловыми скоростями в точке удара законом сохранения полной механической энергии, можно определить коэффициент восстановления из формулы υ1 m M m

Рис. 3. Задача И. Бернулли

(7)

где индексы минус и плюс соответствуют началу и окончанию удара. Парадокс состоит в том, что в отличие от формулы (3), в которой коэффициент восстановления определяется материалами, из которого сделаны тела, в данной задаче он зависит еще и от конфигурации системы. Изменяя точку подвеса маятника, мы будем получать в соотношении (7) значения e, отличающиеся на десятки процентов. Эти примеры показывают, что задача об ударе твердых тел, связанных с другими телами, отличается от задачи об ударе свободных твердых тел. Она требует своих методов решения, причем классическая теория удара оказывается непригодной. СТЕСНЕННЫЙ УДАР Понятие стесненного удара охватывает задачи, в которых сталкиваются два тела, причем одно из них (или

O'

O Ω−

G'

G C

Рис. 4. Удар физического маятника о стенку: а – система до удара, б – добавление воображаемых пружинок

оба) связано с другими телами. Мы встречались с примерами стесненного удара (см. рис. 2, 4). Основное его свойство состоит в появлении ударных сил не только в точке, где происходит столкновение, но и в точках контакта соударяемых тел с другими телами. Для получения правильного решения задачи о стесненном ударе необходимо учитывать деформации во всех этих точках. Для этого проще всего использовать метод деформируемых элементов. Рассмотрим его применение на некоторых примерах. 1. В задаче об ударе физического маятника о стенку ударные силы возникают в точке контакта маятника со стенкой C, а также в точке подвеса О (см. рис. 4). Эти силы можно смоделировать, мысленно помещая маленькие пружинки в данные точки. Процесс удара будет описываться системой трех (по числу степеней свободы плоского твердого тела) дифференциальных уравнений второго порядка, аналогичных (5). Непосредственно

И В А Н О В А . П . З А Д А Ч А О Б УД А Р Е Т В Е Р Д Ы Х Т Е Л

125

МАТЕМАТИКА перед ударом пружины недеформированы, скорость деформации в точке С равна скорости сближения маятника со стенкой, а скорость деформации в точке О равна нулю. Граничным условием, выполнение которого свидетельствует об окончании удара, является обращение деформации в точке С в нуль. Эта система достаточно сложна для аналитического решения даже в том случае, когда характеристики обеих пружинок линейны, поэтому мы не будем приводить это решение. Отметим лишь следующую важную особенность данной системы: после прекращения контакта маятника со стенкой подвес в общем случае остается деформированным. С физической точки зрения такие остаточные деформации соответствуют волновым процессам, продолжающимся после разделения соударяющихся тел (примером может служить звон колокола). Эти процессы связаны с диссипацией кинетической энергии маятника, поэтому чем больше деформация маятника в точке подвеса, тем меньше коэффициент восстановления в формуле (7). Интересно отметить, что можно так подвесить маятник, что при ударе его о стенку реакции и деформации в точке подвеса не возникает. Наглядным примером такого поведения может служить молоток или теннисная ракетка: если они сконструированы правильно, то рука при ударе не чувствует отдачи. Количественный анализ данного явления, связанного с понятием “центр удара”, можно найти в [4]. Оказывается, что для отсутствия ударной реакции в точке подвеса необходимо и достаточно выполнения соотношения |G'C| ⋅ |G'O'| = ρ2,

(8)

где G – центр масс маятника, ρ – его центральный радиус инерции, G', O' – проекции точек G и О на стенку. Если условие (8) выполнено, то удар маятника о стенку будет абсолютно упругим, то есть в соотношении (7) коэффициент восстановления равен единице. В противном случае этот коэффициент меньше единицы. 2. Для решения задачи о коллинеарном соударении трех тел (рис. 2, в) мысленно разместим маленькие пружинки между центральным и крайними шарами. Характеристики этих пружинок следует подбирать с учетом физических свойств шаров. Удар в данной системе можно описать системой двух уравнений, аналогичных (5): 1 1 1 ˙˙ δ 1 = –  ------ + ------ F 1 ( δ 1 ) + ------ F 2 ( δ 2 ),  m 1 m 2 m2 1 1 1 ˙˙ δ 2 = ------ F 1 ( δ 1 ) –  ------ + ------ F 2 ( δ 2 ).  m 2 m 3 m2

(9)

где δ1 и δ2 – деформации пружинок, F1 и F2 – соответствующие им упругие силы. Систему (9) следует решать при начальных условиях

126

δ 1 = δ 2 = 0,

δ˙ 1 = υ 1 ,

δ˙2 = 0.

Заметим, что даже в простейшем случае, когда функции F1 и F2 линейны, построить решение можно лишь численно, так как вследствие неодновременности разъединения шаров уравнения (9) нелинейны. Условием окончания удара является неположительность обеих контактных деформаций δ1 и δ2 . Для численного решения системы (9) можно использовать какой-либо стандартный алгоритм. Не вдаваясь в подробности, приведем лишь некоторые результаты: а) если все три шара идентичны, то и деформируемые элементы (пружинки) следует взять одинаковыми. Применяя для них контактный закон Герца, придем к такому результату: V1 = −0,071υ1 ;

V2 = 0,076υ1 ;

V3 = 0,995υ1 ,

что соответствует экспериментальным данным; б) в частном случае, когда массы всех трех шаров равны, а жесткость первого из них намного меньше, чем у остальных двух, деформация второго элемента остается близкой к нулю. Отсюда вследствие второго уравнения (9) получим F1(δ1) ≈ 2F2(δ2). В результате второй и третий шары после удара практически не разделяются. КРАТНЫЙ УДАР В рассмотренных выше примерах существует принципиальная возможность корректного решения задачи об ударе, хотя для этого порой и требуются достаточно сложные расчеты. Иначе обстоит дело в тех случаях, когда одновременно сталкиваются сразу несколько тел, причем скорости их сближения отличны от нуля. Напомним, что ту или иную математическую задачу называют корректной, если она имеет единственное решение для всех значений параметров из некоторого диапазона, причем это решение плавно меняется с изменением параметров. Причина некорректности проблемы кратного удара кроется в том, что контактные деформации соударяемых тел исчезающе малы по сравнению с их характерными размерами. Ввиду этого на практике невозможно добиться точной одновременности нескольких столкновений, и кратный удар распадается на последовательность обычных (парных) соударений. При этом очередность соударений зависит от не поддающихся учету погрешностей. С качественной точки зрения ситуация аналогична падению монеты на стол. В идеальной ситуации монета подскочит несколько раз в некоторой вертикальной плоскости и остановится на ребре. На самом деле наблюдается один из двух исходов: орел или решка, причем угадать результат заранее невозможно.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 5 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА Поясним сказанное на примере задачи Бернулли (см. рис. 3). Допустим сначала, что все три шара (или монеты) идентичны. Если движущийся до удара шар отклонится от оси симметрии хотя бы на несколько микрон (порядок контактных деформаций), то он столкнется сначала с одним из неподвижных шаров (допустим, с верхним), а третий шар никакого влияния на это соударение не окажет. В результате абсолютно упругого удара первый шар передаст второму часть своей первоначальной скорости и сохранит лишь ту компоненту этой скорости, которая перпендикулярна прямой, соединяющей центры двух шаров. По абсолютной величине скорость первого шара уменьшится вдвое. Затем этот шар столкнется с третьим шаром, причем условия этого косого удара будут сходными с условиями предыдущего соударения (угол между вектором начальной скорости и прямой, соединяющей центры в обоих случаях равен 30°). Следовательно, после удара скорость третьего шара будет по абсолютной величине вдвое меньше, чем скорость второго шара. Противоположная ситуация будет иметь место в случае, когда первый шар вначале отклоняется на несколько микрон книзу. К такому же результату приведет и рассмотрение кратного удара при помощи метода деформируемых элементов.

Можно сделать вывод: решение задачи о кратном ударе должно содержать несколько различных ответов, которые реализуются с теми или иными вероятностями (другие примеры см. в [5]). ЛИТЕРАТУРА 1. Раус Э.Дж. Динамика систем твердых тел. М.: Наука, 1983. Т. 1. 463 с. 2. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. М.: Изд-во МГУ, 1991. 168 с. 3. Голдсмит В. Удар: Теория и физические свойства соударяемых тел. М.: Стройиздат, 1965. 448 с. 4. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз, 1960. Т. 2. 487 с. 5. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Междунар. программа образования, 1997. 336 с.

Рецензент статьи А.П. Маркеев *** Александр Павлович Иванов, доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного текстильного университета. Область научных интересов – аналитическая механика, нелинейные колебания, теория механического удара. Автор одной монографии, 80 научных статей и двух авторских свидетельств.

И В А Н О В А . П . З А Д А Ч А О Б УД А Р Е Т В Е Р Д Ы Х Т Е Л

127