Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет математический Кафедра математического анализа

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине

«Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными» для специальности «050201 – Математика» по циклу ДПП.Ф.05 – Дисциплины предметной подготовки (федеральный компонент)

Очная форма обучения

Заочная форма обучения

Курс - 4

Курс - 5

Семестр – 8

Семестр – 9

Объем в часах всего – 117

Объем в часах всего – 117

в т.ч.: лекции – 30

в т.ч.: лекции – 14

практические занятия – 28

практические занятия – 8

самостоятельная работа – 59

самостоятельная работа - 95

Экзамен – 8 семестр

Экзамен – 10 семестр Контрольная работа – 10 семестр

Екатеринбург 2007

Рабочая учебная программа по дисциплине «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2007. – 11 с.

Составители: Ананьев Б.И., д. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры математического анализа УрГПУ Густомесов В.А., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры математического анализа УрГПУ Филиппова Т.Ф., д. ф.-м. н., проф., зав. кафедрой математического анализа УрГПУ

Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа УрГПУ Протокол от 14.11.2005 № 3 . И. о. зав. кафедрой В..П. Першиков Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ присвоен рег. № 229 от 04.04.2007. Начальник отдела Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Программа курса «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными» основывается на государственном стандарте подготовки специалистов по специальности «050201 – Математика». Рассмотрение вопросов, связанных с дифференциальными уравнениями, позволяет ярко показать одно из основных направлений применения математики при моделировании различных природных и социальных процессов. Данный курс характеризуется, с одной стороны, содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов теории дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными путем геометрических и физических интерпретаций, и, с другой стороны, математической полнотой и строгостью построений и результатов. Курс базируется на общематематическом материале алгебры, математического анализа и теории функций. Рассматриваются основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Вводится понятие решения дифференциального уравнения и доказываются теоремы существования и единственности решения задачи Коши. При доказательстве теоремы существования и единственности решения задачи Коши следует пользоваться теоремой Банаха о сжимающем отображении, изученной в курсе теории функций действительного переменного. Изучаются методы решения простейших дифференциальных уравнений. Для линейных дифференциальных уравнений n-го порядка и линейных систем исследуются вопросы существования решений и устанавливается структура общего решения. Вторая часть курса посвящена основам теории уравнений в частных производных и методам их решения. Курс теории дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными по учебным планам университета изучается в 8 семестре, на изучение курса отводится 90 часов аудиторных занятий. Предусматривается также проведение контрольных работ, зачетов и экзаменов в соответствии с действующими на данный момент рабочими учебными планами и программами, а также графиком проведения контрольных мероприятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий, затрагивающих все наиболее важные вопросы программы.

3

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения № п/п

1. 2. 3. 4.

5.

6.

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка (ОДУ-1) Основные типы ОДУ-1, разрешимые в квадратурах Теоремы существования и единственности решения задачи Коши Поле направлений, изоклины. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов Уравнения с частными производными. Метод Фурье. История возникновения и развития теории дифференциальных уравнений Итого:

Аудиторные занятия Всего ЛекПракции тические

Самостоятельная работа

4 8 20 13

10 6

2

2

4

4

6

10

4

2

7

4

4

8

8 16 16

32

8

8

16

14 28 117

58

8

6

14

30

28

59

2.1. Учебно-тематический план заочной формы обучения № п/п

1. 2. 3.

Наименование раздела, темы

Всего трудоемкость

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка (ОДУ-1) Основные типы ОДУ-1, разрешимые в квадратурах Теоремы существования и единственности решения задачи Коши

4

Аудиторные занятия Всего ЛекПракции тические

Самостоятельная работа

2 8 19 13

4 3

1

1

6

2

2

15

2

1

10

4.

5.

6.

Поле направлений, изоклины. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов Уравнения с частными производными. Метод Фурье. История возникновения и развития теории дифференциальных уравнений Итого:

3 19

2

1

16

3

1

24

4

2

24

14

8

95

4

28

6 30 117

22

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка (ОДУ-1) Примеры постановок, приводящих к дифференциальным уравнениям. Понятие решения (частного, общего) дифференциального уравнения. Задача Коши. Геометрическая интерпретация. Поле направлений. Ломаная Эйлера. 2. Основные типы ОДУ-1, разрешимые в квадратурах Основные классы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешимые в квадратурах (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах). Интегрирующий множитель (понятие и методы нахождения). 3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши Полные метрические пространства, теорема Банаха. Теоремы существования и единственности решений ОДУ-1 (локальные и глобальные). Продолжимость решений. Приближенное нахождение решений (схема Эйлера, метод последовательных приближений). Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения. 4. Поле направлений, изоклины. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы понижения порядка ОДУ высших порядков. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши. 5. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка и линейные системы. Матричный метод интегрирования линейных систем дифференциальных урав5

нений. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений при помощи рядов Линейные дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности. Общие свойства решений. Структура решений линейных однородных ОДУ. Структура решений линейных неоднородных ОДУ. Линейные дифференциальные уравнения и системы ОДУ с постоянными коэффициентами (метод Эйлера). Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Метод вариации произвольных постоянных. Качественные вопросы дифференциальных уравнений (зависимость решений от параметров и начальных данных). Моделирование посредством ОДУ. 6. Уравнения с частными производными. Метод Фурье. История возникновения и развития теории дифференциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных. Вывод основных уравнений математической физики: поперечные колебания струны, продольные колебания стержня, поперечные колебания мембраны. Вывод уравнений теплопроводности и диффузии. Начальные и краевые условия. Решение задачи о колебании бесконечной струны, формулы Даламбера. Уравнения гиперболического типа. Уравнения параболического типа. Уравнения эллиптического типа. Ряды Фурье. Сходимость и дифференцируемость рядов Фурье. Решение на основе теории тригонометрических рядов Фурье. Решение неоднородных задач. Метод разделения переменных (одномерный случай). Уравнение Лапласа в прямоугольнике и в круге. Метод разделения переменных (многомерный случай). Общая классификация квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Характеристические поверхности. Обзор основных постановок краевых задач. Теорема С. Ковалевской.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение 1. Теоремы Пеано и Пикара существования решений ОДУ-1. 2. Методы решения уравнения Бернулли. 3. Методы решения уравнения Риккати. 4. Качественные вопросы дифференциальных уравнений (зависимость решений от параметров и начальных данных). 5. Метод разделения переменных для уравнений в частных производных (многомерный случай). 6. Характеристические поверхности. 7. Теорема С. Ковалевской (идеи доказательства). 4.2. Темы контрольных работ 1. Решение дифференциальных уравнений первого порядка (основные типы, допускающие интегрирование в квадратурах). 6

2. Решение дифференциальных уравнений высших порядков (методом понижения порядка), линейных ОДУ-1 и линейных систем ОДУ с постоянными коэффициентами. 4.3. Примерные темы курсовых работ 1. Дифференциальные системы с импульсными составляющими. 2. Построение областей достижимости для динамических систем на плоскости. 3. Качественное исследование дифференциальных систем второго порядка с малыми нелинейными возмущениями. 4. Построение областей достижимости для систем с запаздыванием. 5. Оценивание параметров дифференциальных систем методом максимального правдоподобия. 4.4. Вопросы для экзамена 1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (классификация, порядок уравнения, понятие частного и общего решения). Задача Коши. 2. Поле направлений и метод изоклин. Примеры. 3. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. 4. Однородные дифференциальные уравнения. 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Свойства решений. Метод вариации произвольной постоянной. 6. Дифференциальные уравнения. В полных дифференциалах. 7. Интегрирующий множитель. Понятие и способы нахождения. Примеры. 8. Теорема существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 9. Теорема единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 10. Принцип сжимающих отображений в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (применение в доказательстве теоремы существования и единственности решений). 11. Метод ломаных Эйлера и его роль в приближенном интегрировании дифференциальных уравнений. 12. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной. Методы интегрирования. 13. Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения. Понятие огибающей семейства кривых. 14. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Общее и частное решение. Задача Коши. Сведение к системе дифференциальных уравнений. 15. Понятие решения системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решений системы. 16. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка. 17. Методы понижения порядка дифференциальных уравнений. 7

18. Структура решений линейных дифференциальных уравнений n-го порядка. Свойства решений. 19. Линейно независимые решения и определитель Вронского. Условия линейной независимости системы решений. 20. Метод вариации произвольных постоянных для линейных неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка. 21. Общее решение линейного однородного ОДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера (случай действительных корней характеристического уравнения). 22. Общее решение линейного однородного ОДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера (случай комплексных корней характеристического уравнения). 23. Общее решение линейного неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения. 24. Общее решение линейных однородных систем ОДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. 25. Фундаментальная матрица решений линейной системы ОДУ. Формула Коши для решения линейной неоднородной системы. 26. Задачи моделирования посредством обыкновенных дифференциальных уравнений. 27. Основные типы уравнений математической физики. Понятие решения, начальные и краевые условия. 28. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Метод характеристик. 29. Основные модели, приводящие к уравнениям математической физики. 30. Метод Фурье разделения переменных при решении задач математической физики.

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Студент, изучивший дисциплину, должен знать основные определения и теоремы курса, предусмотренные программой. Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:  решать обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка следующих типов: с разделяющимися переменными, однородные, Лагранжа и Клеро, линейные и в полных дифференциалах, находить простейшие интегрирующие множители;  находить общие и частные решения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами (однородных и неоднородных с правой частью специального вида).

8

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 6.1.

Рекомендуемая литература Основная

1. Ананьев, Б.И. Дифференциальные уравнения [Текст]: учебное пособие / Б.И. Ананьев. – Екатеринбург: УрГПУ, 2002. – 86 с. 2. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст] / Г.Н. Берман. – СПб.: Лань, 2000. – 448 с. 3. Виленкин, Н.Я. Дифференциальные уравнения [Текст] / Н.Я. Виленкин, М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов. – М.: Просвещение, 1984. – 176 с. 4. Густомесов, В.А. Дифференциальные уравнения [Текст] / В.А. Густомесов, А.Р. Данилин. – Свердловск: СГПИ, 1990. – 88 с. 5. Контрольная работа по теме "Ряды и дифференциальные уравнения" и индивидуальные домашние задания для студентов 3 курса математического факультета [Текст]: методическая разработка / Урал. гос. пед. ун-т; сост. А.Р. Данилин. – Екатеринбург: УрГПУ, 1997. – 32 с. 6. Матвеев, Н.М. Дифференциальные уравнения [Текст]: учеб. пособие / Н.М. Матвеев. – М.: Просвещение, 1988. – 256 с. 7. Степенные ряды и дифференциальные уравнения [Текст]: методическая разработка / Урал. гос. пед. ун-т; сост. А.Р. Данилин. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 42 с. 8. Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения [Текст]: учебник /.А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 253 9. Шолохович, Ф.А. Лекции по дифференциальным уравнениям [Текст]: учеб. пособие /.Ф.А. Шолохович; Урал. гос. ун-т. – Екатеринбург: Уральское издво. 2005. – 232 с. 10. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст]/ Э. Камке. – СПб: Лань, 2003. – 576 с. Дополнительная 1. Амелькин, В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях [Текст] / В.В. Амелькин. – М.: Наука, 1987. – 160 с. 2. Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного [Текст]: учеб. Пособие / Я.С. Бугров. – М.: Наука, 1989. – 46 с. 3. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст]: учеб. Пособие / Н.М. Матвеев. – СПб.: Лань, 2003. – 832 с. 4. Федорюк, М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / М.В. Федорюк. – СПб.: Лань, 2003. – 448 с. 9

7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ Ананьев Борис Иванович доктор физико-математических наук доцент доцент кафедры математического анализа УрГПУ Густомесов Валерий Алексеевич кандидат физико-математических наук доцент доцент кафедры математического анализа УрГПУ Филиппова Татьяна Федоровна доктор физико-математических наук профессор, заведующий кафедрой математического анализа УрГПУ Раб телефон 371-12-61

10

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными» для специальности «050201 – Математика» по циклу ДПП.Ф.05 – Дисциплины предметной подготовки (федеральный компонент)

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. Тираж экз. Заказ . Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

11