В.Г. Зубов, В.П. Шальнов
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО
ФИЗИКЕ
12-е издание, переработанное
ЕГЭ ГОТОВИМСЯ К СДАЧЕ ЭКЗАМЕНА
МОСКВА ОНИКС МИР И ОБРАЗОВАНИЕ
УДК 53(076.2) ББК 22.3я72 З)91 Зубов В. Г. Сборник задач по физике / В. Г. Зубов, В. П. Шальнов. — З)91 12)е изд., перераб. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Изда) тельство «Мир и Образование», 2009. — 304 с.: ил. ISBN 978)5)488)01911)9 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 978)5)94666)499)8 (ООО «Издательство «Мир и Образование») Сборник содержит задачи по основным разделам курса физики, изучаемого в средней школе, а также ряд задач, предлагавшихся на олимпиадах по физике в МГУ им. М. В. Ломоносова. К большинству параграфов даются краткие сведения о наибо) лее характерных ошибках учащихся. Все задачи снабжены подроб) ными решениями или указаниями. В новом издании общая структура задачника осталась преж) ней, однако формулировки, терминология, единицы физических величин приведены в соответствие с современными требованиями. Пособие предназначено учащимся и преподавателям общеобра) зовательной школы. Особенно оно будет полезно при подготовке к ЕГЭ, выпускным и вступительным экзаменам. УДК 53(076.2) ББК 22.3я72 Учебное издание
Зубов Виктор Геннадиевич, Шальнов Владимир Петрович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ Ведущ. ред. Е. С. Гридасова. Ред. В. А. Обменина. Тех. ред. Е. А. Вишнякова. Корректор Р. К. Сапожникова. Комп. верстка Е. П. Хазовой Подп. в печ. 25.08.2008. Формат 84x1081/32. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,96. Тираж 5000 экз. Заказ № . Общероссийский классификатор продукции ОК)005)93, том 2; 953005 — учебная литература
ООО «Издательство Оникс». 105082, Москва, ул. Б. Почтовая, д. 7, стр. 1. Почтовый адрес: 117418, Москва, а/я 26. Отдел реализации: тел. (499) 619)02)20, 619)31)88. Интернет)магазин: www.onyx.ru ООО «Издательство «Мир и Образование». Изд. лиц. ИД № 05088 от 18.06.2001. 109193, Москва, ул. 5)я Кожуховская, д. 13, стр. 1. Тел./факс (495) 120)51)47, 129)09)60, 742)43)54. E)mail: mir)
[email protected]
ISBN 978)5)488)01911)9 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 978)5)94666)499)8 (ООО «Издательство «Мир и Образование») © Зубов В. Г., Шальнов В. П., 2009 © Оформление обложки. ООО «Издательство Оникс», 2009
ÎÒ ÈÇÄÀÒÅËÜÑÒÂÀ Ïðåäëàãàåìîå äâåíàäöàòîå èçäàíèå êíèãè «Çàäà÷è ïî ôèçèêå» ïîäãîòîâëåíî ê ïå÷àòè ïîñëå ñìåðòè àâòîðîâ.  íîâîì èçäàíèè îáùàÿ ñòðóêòóðà çàäà÷íèêà è óðîâåíü èçëîæåíèÿ îñòàëèñü ïðåæíèìè, îäíàêî ôîðìóëèðîâêè è ðåøåíèÿ çàäà÷ çàíîâî îòðåäàêòèðîâàíû (â ÷àñòíîñòè, ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ïðîåêöèé). Íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì èçìåíåíèÿì ïîäâåðãëèñü òåðìèíîëîãèÿ è îáîçíà÷åíèÿ åäèíèö ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, êîòîðûå íåîáõîäèìî áûëî ïðèâåñòè â ñîîòâåòñòâèå ñ íûíå äåéñòâóþùèì ÃÎÑÒ 8.41781. Êðîìå òîãî, â ïðîöåññå ðåäàêòèðîâàíèÿ áûëè èñêëþ÷åíû íåêîòîðûå çàäà÷è, îñíîâàííûå íà çàêîíå Êóëîíà äëÿ «ìàãíèòíûõ ìàññ», à òàêæå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ ïîíÿòèåì «íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ», êîòîðûå îòñóòñòâóþò â êóðñå ôèçèêè ñðåäíåé øêîëû. Èñïðàâëåíû çàìå÷åííûå íåòî÷íîñòè è îïå÷àòêè ïðåäûäóùèõ èçäàíèé.
ÈÇ ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈß Ê ÏÅÐÂÎÌÓ ÈÇÄÀÍÈÞ Îñíîâíóþ ÷àñòü íàñòîÿùåãî ñáîðíèêà ñîñòàâëÿþò çàäà÷è, ðàçáèðàâøèåñÿ íà çàíÿòèÿõ øêîëüíûõ ôèçè÷åñêèõ êðóæêîâ è íà êîíñóëüòàöèÿõ è îëèìïèàäàõ ïî ôèçèêå â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà. Ïðè ïîäáîðå è ïåðåðàáîòêå çàäà÷ äëÿ ñáîðíèêà àâòîðû ñòðåìèëèñü ñîñðåäîòî÷èòü âíèìàíèå íà òåõ âîïðîñàõ, ïîëîæåíèÿõ è çàêîíàõ ôèçèêè, â ïðèìåíåíèè êîòîðûõ ó÷àùèåñÿ ñîâåðøàþò íàèáîëüøåå ÷èñëî îøèáîê. Îòäåëüíûå ñåðèè çàäà÷ ñïåöèàëüíî ïîäáèðàëèñü äëÿ âñåñòîðîííåãî ðàñêðûòèÿ ìåòîäèêè ïðèìåíåíèÿ âàæíåéøèõ çàêîíîâ, êîòîðàÿ èíîãäà íåäîñòàòî÷íî õîðîøî óñâàèâàåòñÿ ó÷àùèìèñÿ. Ðÿä çàäà÷ ïîäîáðàí ïî òåìàì, îáû÷íî íå çàòðàãèâàåìûì â çàäà÷íèêàõ äëÿ ñðåäíåé øêîëû. Íåêîòîðûå çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû íåïîñðåäñòâåííî äëÿ ðàçáîðà íà øêîëüíûõ ôèçè÷åñêèõ êðóæêàõ è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðàçáîðà ó÷àùèìèñÿ, æåëàþùèìè ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ìàòåðèàëîì, íåñêîëüêî âûõîäÿùèì çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìíîãèå çàäà÷è, âîøåäøèå â ñáîðíèê, ÿâëÿþòñÿ òðóäíûìè, à íåêîòîðûå âûõîäÿò çà ðàìêè ïðîãðàììû ñðåäíåé øêîëû, è æåëàÿ îáëåã÷èòü ñàìîñòîÿòåëüíî ðàáîòàþùèì ó÷àùèìñÿ óñâîåíèå íàèáîëåå îáùåé ìåòîäèêè ðåøåíèÿ, àâòîðû ñíàáäèëè áîëüøèíñòâî çàäà÷ ïîäðîáíûìè ðåøåíèÿìè èëè óêàçàíèÿìè. Ñ ýòîé æå öåëüþ ê íåêîòîðûì ïàðàãðàôàì ïðåäïîñëàíû êðàòêèå ââåäåíèÿ, ñîäåðæàùèå óêàçàíèÿ î íàèáîëåå õàðàêòåðíûõ îøèáêàõ ó÷àùèõñÿ è î ïðîñòåéøèõ ïóòÿõ ðåøåíèÿ çàäà÷. Â. Ã. Çóáîâ Â. Ï. Øàëüíîâ "
Çàäà÷è
I. ÌÅÕÀÍÈÊÀ § 1. Ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà, à òàêæå § 2 è 3, ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå íà îáùèå ïðàâèëà ðåøåíèÿ çàäà÷, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ ñëîæåíèå äâèæåíèé, à òàêæå âåêòîðíûé õàðàêòåð îñíîâíûõ êèíåìàòè÷åñêèõ âåëè÷èí (ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ). Ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ èíîãäà âûçûâàåò ó ó÷àùèõñÿ çàòðóäíåíèÿ, îñîáåííî ïðè ðàññìîòðåíèè êðèâîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ è îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ êàêèõ-ëèáî äâóõ òåë (íàïðèìåð, äâèæåíèÿ ïàäàþùåãî íà çåìëþ øàðèêà îòíîñèòåëüíî äðóãîãî øàðèêà, áðîøåííîãî âåðòèêàëüíî ââåðõ). Èñêëþ÷èòü ïîÿâëåíèå ýòèõ òðóäíîñòåé ìîæíî ëèøü ïðè ïðàâèëüíîì èñïîëüçîâàíèè âîçìîæíîñòåé íåçàâèñèìîãî ðàññìîòðåíèÿ îòäåëüíûõ äâèæåíèé è ïðàâèë ñëîæåíèÿ è ðàçëîæåíèÿ âåêòîðîâ. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü òðóäíîñòåé ìîæåò áûòü ïðåäîòâðàùåíà ïðè ïðàâèëüíîì îáùåì ïîäõîäå ê ðåøåíèþ çàäà÷ î êðèâîëèíåéíîì äâèæåíèè. Ïðè ðàññìîòðåíèè ðàâíîïåðåìåííîãî äâèæåíèÿ íåîáõîäèìî îñîáåííî âíèìàòåëüíî îòíîñèòüñÿ ê ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó ôîðìóë ïóòè è ñêîðîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ. Íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ î äâèæåíèè òåëà, áðîøåííîãî ââåðõ, ó÷àùèåñÿ ÷àñòî ðàçáèâàþò ðåøåíèå çàäà÷è íà äâà ñàìîñòîÿòåëüíûõ ýòàïà: ðàññìîòðåíèå ðàâíîçàìåäëåííîãî äâèæåíèÿ ââåðõ äî ïîëíîé îñòàíîâêè è çàòåì ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ âíèç áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Ýòîò ïóòü äàåò âîçìîæíîñòü ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî ïîëó÷èòü ðåøåíèå äëÿ ñëó÷àÿ äâèæåíèÿ îäíîãî òåëà è ïðèâîäèò ê ñåðüåçíûì çàòðóäíåíèÿì ïðè ðåøåíèè çàäà÷è îá îäíîâðåìåííîì äâèæåíèè íåñêîëüêèõ òåë (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷è 31 è 35).  âûáîðå òàêîãî ïóòè ðåøåíèÿ çàäà÷è ñêàçûâàåòñÿ íåïîíèìàíèå
#
òîãî ôàêòà, ÷òî ôîðìóëà sx = v0xt +
axt2 ÿâëÿåòñÿ îáùèì âûðàæå2
íèåì çàâèñèìîñòè ïåðåìåùåíèÿ îò âðåìåíè äëÿ ðàâíîïåðåìåííîãî äâèæåíèÿ, ïðè êîòîðîì äî ìîìåíòà âðåìåíè t=
v0x (ìîìåíò èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè) òåëî äâèæåòax
ñÿ ðàâíîçàìåäëåííî, à ïîñëå ýòîãî ìîìåíòà ðàâíîóñêîðåííî. Êàê èçâåñòíî, ðÿä ñåðüåçíûõ òðóäíîñòåé ïðè ðåøåíèè çàäà÷ âîçíèêàåò èç-çà íàðóøåíèÿ ïðàâèëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèé. Ïðèñòóïàÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è, ó÷àùèåñÿ èíîãäà íå óäåëÿþò íåîáõîäèìîãî âíèìàíèÿ òîìó, êàê ëó÷øå óñëîâèòüñÿ î íà÷àëå îòñ÷åòà âðåìåíè è ïåðåìåùåíèÿ òåë, à â äàëüíåéøåì ñòàðàþòñÿ èçáåæàòü ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû îñíîâíûõ óðàâíåíèé â îáùåì âèäå è ñòðåìÿòñÿ ñðàçó íàïèñàòü ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû äëÿ èñêîìûõ âåëè÷èí. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ î äâèæåíèè íåñêîëüêèõ òåë, áðîøåííûõ â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè èëè ñ ðàçëè÷íûõ âûñîò, îíè óñòàíàâëèâàþò äëÿ êàæäîãî òåëà ñâîå íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè è ïåðåìåùåíèÿ. Íåîáõîäèìûå ïî õîäó ðåøåíèÿ çàäà÷è ñâÿçè ìåæäó îòäåëüíûìè äâèæåíèÿìè óñòàíàâëèâàþò ëèøü â êîíöå ðåøåíèÿ ïóòåì äîïîëíèòåëüíûõ è ïîðîé ïóòàíûõ ïåðåñ÷åòîâ. Òàêîé ïóòü ïðèâîäèò ê íåîïðàâäàííûì óñëîæíåíèÿì ïðè ðåøåíèè äàæå ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ çàäà÷. ÁîRëüøàÿ ÷àñòü ðåøåíèé çàäà÷ §§ 13 ïîñòðîåíà òàê, ÷òîáû åùå ðàç ïîêàçàòü îñíîâíûå ïðàâèëà âûáîðà íà÷àë îòñ÷åòà âðåìåíè è ïåðåìåùåíèÿ, îáùèõ äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ â çàäà÷å òåë.  ýòèõ æå çàäà÷àõ ðåêîìåíäóåòñÿ îáðàòèòü âíèìàíèå íà îáùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé, ïîðÿäîê ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû îñíîâíûõ óðàâíåíèé è ìåòîäèêó èñïîëüçîâàíèÿ èçâåñòíûõ äàííûõ î íåêîòîðûõ òî÷êàõ òðàåêòîðèè äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàñ÷åòíûõ ôîðìóë. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü çàäà÷ §§ 13 äîïóñêàåò ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñâîáîäíîå èñïîëüçîâàíèå è ïîíèìàíèå ãðàôèêîâ èìååò âàæíîå çíà÷åíèå, ñëåäóåò ïîïûòàòüñÿ ãðàôè÷åñêè ðåøèòü è òå çàäà÷è, ãäå ýòîãî íå òðåáóåòñÿ ïðÿìî â óñëîâèè. Âî âñåõ çàäà÷àõ êèíåìàòèêè ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàåòñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì îñîáî îãîâîðåííûõ ñëó÷àåâ.
1. Îïåðó ñëóøàþò: çðèòåëü, ñèäÿùèé â çàëå òåàòðà, è ðàäèîñëóøàòåëü, íàõîäÿùèéñÿ âîçëå ïðèåìíèêà. Ìèêðîôîí óñòàíîâëåí â îðêåñòðå. Ñêîðîñòü çâóêà v = 340 ì/ñ. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàäèîâîëí ñ = 3108 ì/ñ. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè s1 îò îðêåñòðà äîëæåí ñåñòü çðèòåëü, $
÷òîáû ñëûøàòü çâóêè îäíîâðåìåííî ñ ðàäèîñëóøàòåëåì, åñëè ïîñëåäíèé íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè s2 = 7500 êì îò òåàòðà? Íà êàêîì ðàññòîÿíèè s4 îò ïðèåìíèêà äîëæåí ñåñòü ðàäèîñëóøàòåëü, ÷òîáû ñëûøàòü çâóêè îäíîâðåìåííî ñî çðèòåëåì, ñèäÿùèì â àìôèòåàòðå íà ðàññòîÿíèè s3 = 30 ì îò îðêåñòðà? 2. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïóíêòàìè À è  ðàâíî s = 250 êì. Îäíîâðåìåííî èç îáîèõ ïóíêòîâ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó âûåçæàþò äâà àâòîìîáèëÿ. Àâòîìîáèëü, âûåõàâøèé èç ïóíêòà À, äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 = 60 êì/÷, à âûåõàâøèé èç ïóíêòà  ñî ñêîðîñòüþ v2 = 40 êì/÷. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè çàâèñèìîñòè ïóòè s îò âðåìåíè t äëÿ êàæäîãî àâòîìîáèëÿ. Îïðåäåëèòå ïî ýòèì ãðàôèêàì ìåñòî âñòðå÷è àâòîìîáèëåé è âðåìÿ èõ äâèæåíèÿ äî âñòðå÷è. 3. Èç ïóíêòà À â ïóíêò  ÷åðåç èíòåðâàë âðåìåíè τ = = 10 ìèí âûåçæàåò ïî îäíîìó àâòîìîáèëþ. Ðàññòîÿíèå ìåæäó A è  ðàâíî s = 60 êì. Ñêîðîñòü êàæäîãî àâòîìîáèëÿ v = 60 êì/÷. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè çàâèñèìîñòè ïóòè s îò âðåìåíè t äëÿ êàæäîãî àâòîìîáèëÿ. Îïðåäåëèòå ïî ýòèì ãðàôèêàì, ñêîëüêî àâòîìîáèëåé âñòðåòèò â ïóòè ïàññàæèð, êîòîðûé âûåäåò íà àâòîìîáèëå èç ïóíêòà  â ïóíêò À îäíîâðåìåííî ñ îäíèì èç àâòîìîáèëåé, îòïðàâëÿþùèõñÿ èç ïóíêòà À. Àâòîìîáèëü ïàññàæèðà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 60 êì/÷. 4. Ïðîòèâîòàíêîâîå îðóäèå ñòðåëÿåò ïðÿìîé íàâîäêîé ïî òàíêó. Ðàçðûâ ñíàðÿäà çàìå÷åí íà áàòàðåå ÷åðåç âðåìÿ t1 = 0,6 ñ, à çâóê îò ðàçðûâà óñëûøàí ÷åðåç âðåìÿ t2 = 2,1 ñ ïîñëå âûñòðåëà. Ñêîðîñòü çâóêà v = 340 ì/ñ. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè s îò áàòàðåè íàõîäèëñÿ òàíê? Ñ÷èòàÿ, ÷òî ñíàðÿä äâèãàëñÿ ãîðèçîíòàëüíî, îïðåäåëèòå ñêîðîñòü u åãî äâèæåíèÿ. 5. Ñêîëüêî âðåìåíè ïàññàæèð, ñèäÿùèé ó îêíà ïîåçäà, èäóùåãî ñî ñêîðîñòüþ v1 = 54 êì/÷, áóäåò âèäåòü ïðîõîäÿùèé ìèìî íåãî âñòðå÷íûé ïîåçä, ñêîðîñòü êîòîðîãî v2 = 36 êì/÷, à äëèíà l = 150 ì? 6. Ïàññàæèð ýëåêòðîïîåçäà çàìåòèë, ÷òî âñòðå÷íûé ïîåçä, ñîñòîÿùèé èç ïàðîâîçà è 10 âàãîíîâ, ïðîøåë ìèìî íåãî â òå÷åíèå âðåìåíè t = 10 ñ. Êàêîâà ñêîðîñòü ýëåêòðîïîåçäà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî äëèíà ïàðîâîçà ñ òåíäåðîì %
l1 = 20 ì, äëèíà âàãîíà âñòðå÷íîãî ïîåçäà l2 = 16,5 ì, ðàññòîÿíèå ìåæäó âàãîíàìè l3 =1,5 ì è îáà ïîåçäà â ìîìåíò âñòðå÷è øëè ñ ðàâíûìè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòÿìè? 7. Îäèíàêîâîå ëè âðåìÿ ïîòðåáóåòñÿ äëÿ ïðîåçäà ðàññòîÿíèÿ s = 1 êì íà êàòåðå òóäà è îáðàòíî ïî ðåêå (ñêîðîñòü òå÷åíèÿ u = 2 êì/÷) è ïî îçåðó (â ñòîÿ÷åé âîäå), åñëè ñêîðîñòü êàòåðà îòíîñèòåëüíî âîäû â îáîèõ ñëó÷àÿõ v = 8 êì/÷? Ðåøèòå çàäà÷ó àíàëèòè÷åñêè è ãðàôè÷åñêè. 8. Êàêîâà áóäåò äëèíà l ïóòè, ïðîéäåííîãî êàòåðîì îòíîñèòåëüíî âîäû ïî ðåêå â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è? 9. Ýñêàëàòîð ìåòðîïîëèòåíà ïîäíèìàåò íåïîäâèæíî ñòîÿùåãî íà íåì ïàññàæèðà â òå÷åíèå âðåìåíè t1 = 1 ìèí. Ïî íåïîäâèæíîìó ýñêàëàòîðó ïàññàæèð ïîäíèìàåòñÿ çà âðåìÿ t2 = 3 ìèí. Ñêîëüêî âðåìåíè áóäåò ïîäíèìàòüñÿ ïàññàæèð ïî äâèæóùåìóñÿ ýñêàëàòîðó? 10. Êàòåð ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå ìåæäó ïóíêòàìè A è B ïî òå÷åíèþ ðåêè çà âðåìÿ t1 = 3 ÷, íà îáðàòíûé ïóòü îí òðàòèò âðåìÿ t2 = 6 ÷. Ñêîëüêî âðåìåíè ïîòðåáóåòñÿ êàòåðó äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó ïóíêòàìè À è  ïî òå÷åíèþ ïðè âûêëþ÷åííîì ìîòîðå? 11. Ñàìîëåò ëåòèò èç ïóíêòà À â ïóíêò  è îáðàòíî ñî ñêîðîñòüþ v = 300 êì/÷ îòíîñèòåëüíî âîçäóõà. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïóíêòàìè À è  ðàâíî s = 900 êì. Ñêîëüêî âðåìåíè çàòðàòèò ñàìîëåò íà âåñü ïîëåò, åñëè âäîëü ëèíèè ïîëåòà íåïðåðûâíî äóåò âåòåð ñî ñêîðîñòüþ è = = 60 êì/÷? 12. Äâà êàòåðà ñ ðàçëè÷íûìè ñêîðîñòÿìè ïëûëè â îäíîì íàïðàâëåíèè ïî òå÷åíèþ ðåêè. Êîãäà îíè ïîðàâíÿëèñü, ñ îäíîãî èç êàòåðîâ áðîñèëè ñïàñàòåëüíûé êðóã. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå ýòîãî îáà êàòåðà îäíîâðåìåííî ïîâåðíóëè îáðàòíî è ñ ïðåæíèìè ñêîðîñòÿìè îòíîñèòåëüíî âîäû íàïðàâèëèñü ê ìåñòó, ãäå áûë áðîøåí êðóã. Êàêîé èç êàòåðîâ âñòðåòèò êðóã ðàíüøå? Ðåøèòå çàäà÷ó äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà êàòåðû äî âñòðå÷è ïëûëè: à) ïðîòèâ òå÷åíèÿ; á) íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. 13. Íà òåëåæêå óñòàíîâëåíà òðóáà, êîòîðàÿ ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 1). Òå&
ëåæêà äâèæåòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñî ñêîðîñòüþ, ìîäóëü êîòîðîé u = 2 ì/ñ. Ïîä êàêèì óãëîì α ê ãîðèçîíòó ñëåäóåò óñòàíîâèòü òðóáó, ÷òîáû êàïëè äîæäÿ, ïàäàþùèå Ðèñ. 1 îòâåñíî ñî ñêîðîñòüþ v = 6 ì/ñ, äâèãàëèñü îòíîñèòåëüíî òðóáû ïàðàëëåëüíî åå ñòåíêàì, íå çàäåâàÿ èõ? Ñêîðîñòü êàïåëü âñëåäñòâèå ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé. 14. Áóåð äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ëåäÿH íîé ïîâåðõíîñòè ñî ñêîðîñòüþ u . Ïåðïåíäèêóëÿðíî ê H íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ áóåðà äóåò âåòåð ñî ñêîðîñòüþ v (v = 2u). Ïîä êàêèì óãëîì β ê ïëîñêîñòè ïàðóñà óñòàíîâèòñÿ ôëþãåð, ïîìåùåííûé íà ìà÷òå áóåðà, åñëè ïàðóñ ñòîèò ïîä óãëîì ϕ = 45° ê íàïðàâëåíèþ âåòðà? 15. Ëîäêà ïåðåïëûâàåò ðåêó, îòïðàâëÿÿñü èç ïóíêòà À (ðèñ. 2). Åñëè îíà áóäåò äåðæàòü êóðñ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê áåðåãàì, òî ÷åðåç âðåìÿ t1 = 10 ìèí ïîñëå îòïðàâëåíèÿ îíà ïîïàäåò â ïóíêò Ñ, ëåæàùèé íà ðàññòîÿíèè s = 120 ì íèæå ïóíêòà B ïî òå÷åíèþ ðåêè. Åñëè îíà áóäåò äåðæàòü êóðñ ïîä íåêîòîðûì óãëîì α ê ïðÿìîé À (ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê áåðåãàì) ïðîòèâ òå÷åíèÿ, òî ÷åðåç âðåìÿ t2 = 12,5 ìèí ëîäêà ïîïàäåò â C B ïóíêò Â. Íàéäèòå øèðèíó ðåêè l, ñêîðîñòü ëîäêè v îòíîñèòåëüíî âîäû, v ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè è è óãîë α, v ïîä êîòîðûì ïëûëà ëîäêà âî âòîðîì ñëó÷àå. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ëîäêè u îòíîñèòåëüíî âîäû îäíà è òà æå ïî A ìîäóëþ â îáîèõ ñëó÷àÿõ. Ðèñ. 2 16. Êàòåð êóðñèðóåò ìåæäó ïóíêòàìè À è Â, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûõ áåðåãàõ ðåêè (ðèñ. 3). Ïðè ýòîì êàòåð âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ íà ïðÿìîé ÀÂ. Ðàññòîÿíèå ìåæäó A è  ðàâíî s = 1200 ì. Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè è = 1,9 ì/ñ. Ïðÿìàÿ À ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëåíèåì òå÷åíèÿ Ðèñ. 3 '
ðåêè óãîë α = 60°. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ v è ïîä êàêèì óãëîì β ê ïðÿìîé À äîëæåí äâèãàòüñÿ êàòåð, ÷òîáû ïðîéòè ïóòü èç ïóíêòà À â ïóíêò  è îáðàòíî çà âðåìÿ t = 5 ìèí? Óãîë β îñòàåòñÿ îäèíàêîâûì ïðè äâèæåíèè êàòåðà èç ïóíêòà À â ïóíêò  è îáðàòíî. 17. Êàêóþ ïîñòóïàòåëüíóþ ñêîðîñòü èìåþò âåðõíèå òî÷êè îáîäà âåëîñèïåäíîãî êîëåñà, åñëè âåëîñèïåäèñò åäåò ñî ñêîðîñòüþ v = 20 êì/÷? 18. Êàòóøêà ñ íàìîòàííîé íà íåé íèòüþ ëåæèò íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå è ìîæåò êàòèòüñÿ ïî íåìó áåç ñêîëüæåíèÿ. Âíóòðåííèé ðàäèóñ êàòóøêè ðàâåí r, âíåøíèé R. C êàêîé ñêîðîñòüþ è è â êàêîì íàïðàâëåíèè áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ îñü êàÐèñ. 4 òóøêè, åñëè êîíåö íèòè òÿíóòü â ãîðèH çîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ v (ðèñ. 4)? 19. Ðåøèòå çàäà÷ó 18, åñëè íèòü ñìàòûâàåòñÿ ñ êàòóøêè (ðèñ. 5). 20. Åñëè äâà òåëà äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó Ðèñ. 5 íèìè óìåíüøàåòñÿ íà s = 16 ì çà âðåìÿ t = 10 ñ. Åñëè òåëà ñ ïðåæíèìè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòÿìè äâèæóòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè óâåëè÷èâàåòñÿ íà sR = 3 ì çà âðåìÿ tR = 5 ñ. Êàêîâû ñêîðîñòè v1 è v2 êàæäîãî èç òåë?
§ 2. Ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîïåðåìåííîå äâèæåíèå 21. Ïðè ðàâíîóñêîðåííîì äâèæåíèè òåëî ïðîõîäèò â ïåðâûå äâà ðàâíûõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðîìåæóòêà âðåìåíè (ïî t = 4 ñ êàæäûé) ïóòè s1 = 24 ì è s2 = 64 ì. Íàéäèòå íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 è óñêîðåíèå à äâèæóùåãîñÿ òåëà. 22.  ëàáîðàòîðíîì æóðíàëå Ì. Â. Ëîìîíîñîâà ïðèâåäåíû ñëåäóþùèå äàííûå î ðåçóëüòàòàõ èçìåðåíèÿ ïóòåé, ïðîõîäèìûõ ïàäàþùèìè òåëàìè: «...òåëà, ïàäàÿ,
ïðîõîäÿò â ïåðâóþ ñåêóíäó 15,5 ðåéíñêîãî ôóòà, â äâå 62, â òðè 139,5, â ÷åòûðå 248, â ïÿòü 387,5 ðåéíñêîãî ôóòà» (1 ðåéíñêèé ôóò = 31,39 ñì). Ðàññ÷èòàéòå ïî ýòèì äàííûì óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. 23. Ñ êðûøè çäàíèÿ âûñîòîé h = 16 ì ÷åðåç îäèíàêîâûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè ïàäàþò êàïëè âîäû, ïðè÷åì ïåðâàÿ óäàðÿåòñÿ î çåìëþ â òîò ìîìåíò, êîãäà ïÿòàÿ îòäåëÿåòñÿ îò êðûøè. Íàéäèòå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îòäåëüíûìè êàïëÿìè â âîçäóõå â ìîìåíò óäàðà ïåðâîé êàïëè î çåìëþ. 24. Òåëî, âûøåäøåå èç íåêîòîðîé òî÷êè Î, äâèãàëîñü ñ ïîñòîÿííûì ïî ìîäóëþ è íàïðàâëåíèþ óñêîðåíèåì. Ñêîðîñòü åãî â êîíöå ïÿòîé ñåêóíäû áûëà v0 = 1,5 ì/ñ, â êîíöå øåñòîé ñåêóíäû òåëî îñòàíîâèëîñü è çàòåì ñòàëî äâèãàòüñÿ îáðàòíî. Íàéäèòå ïóòü s, ïðîéäåííûé òåëîì äî îñòàíîâêè, è ñêîðîñòü v, ñ êîòîðîé òåëî âåðíóëîñü â òî÷êó Î. 25. Äàí ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïðîåêöèè ñêîðîñòè îò âðåìåíè äëÿ íåêîòîðîãî äâèæåíèÿ (ðèñ. 6). Îïðåäåëèòå õàðàêòåð ýòîãî äâèæåíèÿ. Íàéäèòå íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 è óñêîðåíèå à. Íàïèøèòå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, ò.å. óðàâíåíèå çàâèñèìîñòè ïðîåêöèè ïåðåìåùåíèÿ sx îò âðåìåíè t. ×òî ïðîèñõîäèò ñ äâèæóùèìñÿ òåëîì â ìîìåíò âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèé òî÷êå Â? Êàê äâèæåòñÿ òåëî ïîñëå ýòîãî ìîìåíòà?
Ðèñ. 6
26. Äâà òåëà ñâîáîäíî ïàäàþò ñ ðàçíûõ âûñîò è äîñòèãàþò çåìëè îäíîâðåìåííî. Âðåìÿ ïàäåíèÿ ïåðâîãî òåëà
t1 = 2 ñ, âòîðîãî t2 = 1 c. Íà êàêîé âûñîòå h áûëî ïåðâîå òåëî, êîãäà âòîðîå íà÷àëî ïàäàòü? 27. Äâà òåëà ïàäàþò ñ îäíîé è òîé æå âûñîòû, îäíî âñëåä çà äðóãèì ÷åðåç èíòåðâàë âðåìåíè τ. ×åðåç êàêîå âðåìÿ t, ñ÷èòàÿ îò íà÷àëà ïàäåíèÿ ïåðâîãî òåëà, ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëàìè áóäåò ðàâíî h? 28.  ïîñëåäíþþ ñåêóíäó ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëî ïðîøëî ïîëîâèíó ñâîåãî ïóòè. Ñ êàêîé âûñîòû h è êàêîå âðåìÿ t ïàäàëî òåëî? Óêàæèòå äâà ïóòè ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ðèñ. 7 29. Îäíî òåëî ñâîáîäíî ïàäàåò èç òî÷êè À ñ âûñîòû H + h, äðóãîå òåëî áðîñàþò âåðòèêàëüíî ââåðõ H ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 èç òî÷êè Ñ îäíîâðåìåííî ñ íà÷àëîì ïàäåíèÿ ïåðâîãî (ðèñ. 7). Êàêîâà äîëæíà áûòü íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 âòîðîãî òåëà, ÷òîáû òåëà âñòðåòèëèñü â òî÷êå  íà çàäàííîé âûñîòå h? Êàêîâà áóäåò ïðè ýòîì ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà hmax ïîäúåìà âòîðîãî òåëà? Ðàññìîòðèòå îòäåëüíî ñëó÷àé H = h. 30. Ñ êàêèì çàïàçäûâàíèåì èëè óïðåæäåíèåì è ñ êàH êîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 íóæíî áðîñèòü òåëî èç òî÷êè Ñ âåðòèêàëüíî ââåðõ â óñëîâèÿõ çàäà÷è 29, ÷òîáû çàäàííàÿ âûñîòà h áûëà äëÿ òåëà, áðîøåííîãî ââåðõ, ìàêñèìàëüíîé âûñîòîé ïîäúåìà? 31. Äâà òåëà áðîøåíû âåðòèêàëüíî ââåðõ èç îäíîé òî÷êè îäíî âñëåä çà äðóãèì ÷åðåç èíòåðâàë âðåìåíè τ ñ H îäèíàêîâûìè íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè v0 . ×åðåç êàêîå âðåìÿ t îáà òåëà âñòðåòÿòñÿ? H 32. Àýðîñòàò ïîäíèìàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v0 . Ê ãîíäîëå àýðîñòàòà ïðèâÿçàí íà âåðåâêå ãðóç. Êàê áóäåò äâèãàòüñÿ ãðóç îòíîñèòåëüíî çåìëè, åñëè âåðåâêó, íà êîòîðîé îí ïîäâåøåí, ïåðåðåçàòü â òîò ìîìåíò, êîãäà àýðîñòàò íàõîäèòñÿ íà âûñîòå h0? Ñêîëüêî âðåìåíè ãðóç áóäåò ïàäàòü íà çåìëþ? Êàêàÿ ñêîðîñòü v áóäåò ó íåãî ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè ñ çåìëåé? 33. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ òåëà, áðîøåííîãî âåðòèêàëüíî ââåðõ: à) íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 áðîñàíèÿ ðàâíà êîíå÷
íîé ñêîðîñòè v ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè ñ çåìëåé; á) âðåìÿ ïîäúåìà ðàâíî âðåìåíè ïàäåíèÿ. 34. Íà ãëàäêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ïîâåðõíîñòü óïðóãîé ïëèòû èç òî÷êè À, íàõîäÿùåéñÿ íà âûñîòå h0, ñâîáîäíî ïàäàåò òÿæåëûé óïðóãèé øàðèê.  òîò ìîìåíò, êîãäà øàðèê óäàðÿåòñÿ î ïëèòó, èç òîé æå òî÷êè À íà÷èíàåò ñâîáîäíî ïàäàòü âòîðîé òàêîé æå øàðèê.  êàêîé ìîìåíò âðåìåíè t ïîñëå íà÷àëà ïàäåíèÿ âòîðîãî øàðèêà è íà êàêîé âûñîòå h øàðèêè âñòðåòÿòñÿ? 35. Äâà òåëà áðîøåíû âåðòèêàëüíî ââåðõ èç îäíîé òî÷êè, îäíî âñëåä çà äðóãèì ÷åðåç èíòåðâàë âðåìåíè τ H ñ îäèíàêîâûìè íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè v0 . Íàéäèòå ìîH äóëü è íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè v âòîðîãî òåëà îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî. Ïî êàêîìó çàêîíó áóäåò èçìåíÿòüñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëàìè? Ðåøèòå çàäà÷ó îòäåëüíî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü âòîðîãî òåëà â äâà ðàçà ìåíüøå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà. 36. Äâà ìîòîöèêëèñòà âûåçæàþò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó èç ïóíêòîâ À è B, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè s = = 300 ì. Ïåðâûé, èìåÿ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v1 = 72 êì/÷, ðàâíîçàìåäëåííî ïîäíèìàåòñÿ â ãîðó èç ïóíêòà À ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ a = 2 ì/ñ 2, âòîðîé, èìåÿ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v2 = 36 êì/÷, ðàâíîóñêîðåííî ñïóñêàåòñÿ ñ ãîðû èç ïóíêòà  ñ òàêèì æå ïî ìîäóëþ óñêîðåíèåì. Íàéäèòå âðåìÿ t äâèæåíèÿ è ðàññòîÿíèå s1, ïðîéäåííîå ïåðâûì ìîòîöèêëèñòîì äî âñòðå÷è. Êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì ðàññòîÿíèå l ìåæäó ìîòîöèêëèñòàìè? Ïîñòðîéòå ãðàôèê èçìåíåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìîòîöèêëèñòàìè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Êàê îïðåäåëèòü ïî ýòîìó ãðàôèêó ìîìåíò âñòðå÷è ìîòîöèêëèñòîâ?
§ 3. Êðèâîëèíåéíîå äâèæåíèå 37. Èç îêíà æåëåçíîäîðîæíîãî âàãîíà ñâîáîäíî ïàäàåò ÿáëîêî. Áóäóò ëè ðàâíû ìåæäó ñîáîé âðåìåíà ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ÿáëîêà, âû÷èñëåííûå äëÿ ñëó÷àåâ: à) âàãîí !
H íåïîäâèæåí; á) âàãîí äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v ; H â) âàãîí äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a ? 38. Íà âûñîêîì îòâåñíîì áåðåãó îçåðà íàõîäèòñÿ ïóëåìåò, êîòîðûé ñòðåëÿåò â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè. H H Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ïóëè ðàâíà v0 . Êàêóþ ñêîðîñòü v èìååò ïóëÿ ïðè ïàäåíèè â âîäó, åñëè âûñîòà áåðåãà ðàâíà h? 39. Èç äâóõ òî÷åê îòâåñíîãî áåðåãà, íàõîäÿùèõñÿ íà íåêîòîðûõ âûñîòàõ îò ïîâåðõíîñòè âîäû, îäíîâðåìåííî áðîñàþò â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè äâà òåëà ñ íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè, ìîäóëè êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî v1 = 5 ì/ñ è v2 = 7,5 ì/ñ. Îáà òåëà ïàäàþò â âîäó îäíîâðåìåííî. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïàäåíèÿ ïåðâîãî òåëà äî áåðåãà s1 = 10 ì. Íàéäèòå âðåìÿ t ïîëåòà òåë, âûñîòû h1 è h2, ñ êîòîðûõ áûëè áðîøåíû òåëà, è ðàññòîÿíèå s2 îò òî÷êè ïàäåíèÿ âòîðîãî òåëà äî áåðåãà. 40. Ñíàðÿä âûëåòàåò èç äàëüíîáîéíîé ïóøêè ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 = 1000 ì/ñ ïîä óãëîì α = 30° ê ãîðèçîíòó. Ïóøêà è òî÷êà ïàäåíèÿ ñíàðÿäà ðàñïîëîæåíû íà îäíîé ãîðèçîíòàëè. Ñêîëüêî âðåìåíè ñíàðÿä íàõîäèòñÿ â âîçäóõå? Íà êàêîì ðàññòîÿíèè s îò ïóøêè îí óïàäåò íà çåìëþ? 41. Ïîä êàêèì óãëîì α ê ãîðèçîíòó íóæíî áðîñèòü òåëî, ÷òîáû ïðè çàäàííîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè äàëüíîñòü åãî ïîëåòà áûëà íàèáîëüøåé? 42. Äâà òåëà áðîøåíû ñ îäèíàêîâûìè ïî ìîäóëþ íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè ïîä óãëàìè α è 90° α ê ãîðèçîíòó. Íàéäèòå îòíîøåíèå íàèáîëüøèõ âûñîò ïîäúåìà ýòèõ òåë. 43. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü òåëà, áðîøåííîãî ïîä óãëîì ê H ãîðèçîíòó, ðàâíà v0 . Ìàêñèìàëüíàÿ äàëüíîñòü ïîëåòà ðàâíà smàõ. Ïîä êàêèì óãëîì α ê ãîðèçîíòó äîëæíî áûòü áðîøåíî òåëî, ÷òîáû äàëüíîñòü åãî ïîëåòà áûëà s < smax? 44. Ïîëåâûå ïóøêè âåäóò ñòðåëüáó íà ïîëèãîíå ïîä óãëîì α = 15°¯ê ãîðèçîíòó. Êàêîâà íàèìåíüøàÿ âûñîòà áåçîïàñíîãî ïîëåòà áîìáàðäèðîâùèêîâ íàä ïîëèãîíîì, åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ñíàðÿäîâ v0 = 800 ì/ñ? 45. Ïîä êàêèì óãëîì α ê ãîðèçîíòó íóæíî íàïðàâèòü ñòðóþ âîäû, ÷òîáû âûñîòà åå ïîäúåìà áûëà ðàâíà äàëüíîñòè ïàäåíèÿ?
"
46. Èç ìèíîìåòà âåäåòñÿ îáñòðåë îáúåêòà, ðàñïîëîæåííîãî íà ñêëîíå ãîðû (ðèñ. 8). Óãîë íàêëîíà ãîðû β = 30°, óãîë ñòðåëüáû α = 60° ïî îòíîøåíèþ ê ãîðèçîíòó. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè l = À áóäóò ïàäàòü ìèíû, åñëè H èõ íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàâíà v0?
Ðèñ. 8
§ 4. Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 47. Äëèíà ìèíóòíîé ñòðåëêè áàøåííûõ ÷àñîâ Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà R = 4,5 ì. Ñ êàêîé ëèíåéíîé ñêîðîñòüþ v ïåðåìåùàåòñÿ êîíåö ñòðåëêè? Êàêîâà óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω äâèæåíèÿ ñòðåëêè? 48. Íàéäèòå ñêîðîñòü v è óñêîðåíèå à, êîòîðûìè îáëàäàþò òî÷êè çåìíîé ïîâåðõíîñòè â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå âñëåäñòâèå ñóòî÷íîãî âðàùåíèÿ Çåìëè. Øèðîòà ÑàíêòÏåòåðáóðãà ϕ = 60°. Ðàäèóñ Çåìëè ñ÷èòàòü ðàâíûì R = 6400 êì. 49. Øêèâ ðàäèóñîì R = 20 ñì ïðèâîäèòñÿ âî âðàùåíèå ãðóçîì, ïîäâåøåííûì íà íèòè, ïîñòåïåííî ñìàòûâàþùåéñÿ ñî øêèâà (ðèñ. 9).  íà÷àëüíûé ìîìåíò ãðóç áûë íåïîäâèæåí, à çàòåì ñòàë îïóñêàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì à = 2 ñì/ñ2. Êàêîâà óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω øêèâà â òîò ìîìåíò, êîãäà ãðóç ïðîéäåò ïóòü s = 1 ì? Íàéäèòå óñêîðåíèå àA òî÷êè À â ýòîò ìîìåíò. H 50. Êàêóþ ñêîðîñòü v â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè íåîáõîäèìî ñîîáùèòü òåëó, ÷òîáû îíî ëåòåëî ïàðàëëåëüíî ïîâåðõíîñòè Çåìëè âäîëü ýêâàòîðà? Ñ÷èòàòü íà ýêâàòîðå ðàäèóñ Çåìëè R = 6400 êì, à óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 9,7 ì/ñ2. 51. Êðûøêà ðàñêëàäíîãî êâàäðàòíîãî ñòîëà ðàçìåðîì 1 × 1 ì ñîñòîèò èç äâóõ ðàâíûõ ïîëîâèí, ñêðåïëåííûõ äðóã ñ äðóãîì ïåòëÿÐèñ. 9 ìè.  ñëîæåííîì ïîëîæåíèè îäíà ïîëîâèíà #
Ðèñ. 10
êðûøêè ëåæèò íà äðóãîé òàê, ÷òî èõ êðàÿ ñîâïàäàþò (ðèñ. 10, à). ×òîáû ðàñêðûòü ñòîë, ñëîæåííóþ êðûøêó íóæíî ïîâåðíóòü íà 90° ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (ðèñ. 10, á), ïîñëå ÷åãî ðàçëîæèòü îáå ïîëîâèíû (ðèñ. 10, â). Íàéäèòå ïîëîæåíèå öåíòðà âðàùåíèÿ êðûøêè ñòîëà.
§ 5. Äèíàìèêà ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ òåëà. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà  ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ïî÷òè âî âñåõ ðàçäåëàõ ôèçèêè ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ ðàñ÷åòîì ñèë è äâèæåíèé, âûçûâàåìûõ ýòèìè ñèëàìè, îñîáî âàæíîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàåò îâëàäåíèå ìåòîäèêîé ðåøåíèÿ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïðèìåíåíèåì çàêîíîâ Íüþòîíà. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå óäåëåíî íàèáîëüøåå âíèìàíèå ïîêàçó ýòîé ìåòîäèêè. Åäèíàÿ ìåòîäèêà ðåøåíèÿ çàäà÷ íà ïðèìåíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà òðåáóåò, ÷òîáû ó÷àùèåñÿ âíà÷àëå ñîñòàâèëè ÿñíîå ñóæäåíèå î õàðàêòåðå âçàèìîäåéñòâèé òåë, çà ñ÷åò êîòîðûõ îáåñïå÷èâàåòñÿ ñîçäàíèå ñèë, çàòåì ââåëè ýòè ñèëû â ÿâíîì âèäå (â âèäå àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû) â óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà, äàëåå ïðàâèëüíî íàïèñàëè ýòè óðàâíåíèÿ è òîëüêî ïîñëå ýòîãî íà÷àëè ïðîâîäèòü íåïîñðåäñòâåííûé ðàñ÷åò ïî îïðåäåëåíèþ èñêîìûõ âåëè÷èí. Îâëàäåíèå ýòîé ìåòîäèêîé òðåáóåò ñåðüåçíîé òðåíèðîâêè, ïîýòîìó ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîðåøàòü âñå çàäà÷è ýòîãî ïàðàãðàôà ñèñòåìàòè÷åñêè. Îñîáîå âíèìàíèå ñëåäóåò îáðàòèòü íà ðåøåíèå çàäà÷ î äâèæåíèè íåñêîëüêèõ ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé òåë, êîãäà òðåáóåòñÿ ïðåäâàðèòåëüíî ñîñòàâèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ âñåõ äâèæóùèõñÿ òåë ñèñòåìû. Ïðè ðåøåíèè
$
çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà ñëåäóåò òàêæå îáðàòèòü ñïåöèàëüíîå âíèìàíèå íà õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ñèë ñâÿçè â ñèñòåìå îò ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ îòíîñèòåëüíî ñâÿçè (íàïðèìåð, íà çàâèñèìîñòü ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìàññ òåë, êîòîðûå îíà ñâÿçûâàåò âî âðåìÿ äâèæåíèÿ). Ðåêîìåíäóåòñÿ òàêæå ïðîñëåäèòü çàâèñèìîñòü ñèëû ñâÿçè îò õàðàêòåðà äâèæåíèÿ ñèñòåìû (íàïðèìåð, çàâèñèìîñòü ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç íåïîäâèæíûé áëîê è ñâÿçûâàþùåé äâà ãðóçà, îò óñêîðåíèÿ, ñ êîòîðûì äâèæóòñÿ ýòè ãðóçû).  ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ó ó÷àùèõñÿ âîçíèêàåò ðÿä çàòðóäíåíèé ïðè ðàñ÷åòàõ ñèë òðåíèÿ, îñîáåííî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ñèëà òðåíèÿ f < µ Fä (µ êîýôôèöèåíò òðåíèÿ, Fä ìîäóëü ñèëû íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ), â äàííûé ïàðàãðàô âêëþ÷åíî íåñêîëüêî çàäà÷ íà ïðîâåäåíèå òàêèõ ðàñ÷åòîâ.
52. Òåëî ìàññîé ò = 25 ã, äâèæóùååñÿ ïîä äåéñòâèåì H ïîñòîÿííîé ñèëû F , ïðîøëî â ïåðâóþ ñåêóíäó äâèæåíèÿ ðàññòîÿíèå s = 25 ñì. Íàéäèòå ñèëó F, äåéñòâóþùóþ íà òåëî. 53. Êàìåíü, ñêîëüçèâøèé ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ëüäà, îñòàíîâèëñÿ, ïðîéäÿ ðàññòîÿíèå s = 48 ì. Íàéäèòå íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 êàìíÿ, åñëè ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ êàìíÿ î ëåä ñîñòàâëÿåò 0,06 ñèëû íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ êàìíÿ íà ëåä. 54. Ïðè áûñòðîì òîðìîæåíèè òðàìâàéíûé âàãîí, èìåÿ ñêîðîñòü v0 = 36 êì/÷, íà÷àë äâèãàòüñÿ «þçîì» (çàòîðìîæåííûå êîëåñà íå âðàùàþòñÿ, à ñêîëüçÿò ïî ðåëüñàì). Êàêîå ðàññòîÿíèå s ïðîéäåò âàãîí ñ ìîìåíòà íà÷àëà òîðìîæåíèÿ äî ïîëíîé îñòàíîâêè? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ êîëåñ î ðåëüñû µ = 0,2. 55. Íà æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìå ñòîèò àâòîìîáèëü «Ìîñêâè÷», ìàññà êîòîðîãî ò = 845 êã. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ Ò* òðîñîâ, êîòîðûìè àâòîìîáèëü çàêðåïëåí H
* Ïîä ñèëîé íàòÿæåíèÿ T ïîíèìàåòñÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òðîñ, íèòü è ò.ä. (ïðèëîæåíà ê òðîñó, íèòè). Ñèëà óïðóãîñòè
H Fóïð äåéñòâóåò íà òåëî ñî ñòîðîíû òðîñà, íèòè è ò.ä. (ïðèëîæå-
íà ê òåëó).  ñîîòâåòñòâèè ñ òðåòüèì çàêîíîì Íüþòîíà ýòè ñèëû ðàâíû ïî ìîäóëþ: T = Fóïð. Î êàêèõ ñèëàõ èäåò ðå÷ü, îáû÷íî ïîíÿòíî èç òåêñòà.
%
íà ïëàòôîðìå, åñëè ïîåçä ïðè òîðìîæåíèè äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì, ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí a = 0,5 ì/ñ2. Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. 56. Òÿãà÷ òÿíåò ñàíè ñ áðåâíàìè ïî ëåäÿíîé äîðîãå ñî ñêîðîñòüþ v1 = 15 êì/÷. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ v2 òÿãà÷ ìîã áû òÿíóòü òàêèå ñàíè ïðè âûâîçêå áðåâåí ëåòîì ïî ëåæíåâîé äîðîãå, åñëè ìîùíîñòü, ðàçâèâàåìàÿ ìîòîðîì, â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ïðè äâèæåíèè ïî ëåäÿíîé äîðîãå µ1 = 0,01, ïî ëåæíåâîé äîðîãå µ2 = 0,15. 57. Òåëî ìàññîé ò = 2,5 êã äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíî H âíèç ñ óñêîðåíèåì à = 19, 6 ì/ñ2. Íàéäèòå ñèëó F , äåéH ñòâóþùóþ íà òåëî îäíîâðåìåííî ñ ñèëîé òÿæåñòè mg âî âðåìÿ äâèæåíèÿ. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 58. Ñ êàêîé ñèëîé Fä äàâèò ãðóç ìàññîé ò íà ïîäñòàâêó, åñëè ïîäñòàâêà âìåñòå ñ ãðóçîì äâèæåòñÿ âíèç ñ óñH êîðåíèåì a , íàïðàâëåííûì ââåðõ? 59. Øàðèê ìàññîé ò âèñèò íà íèòè, çàêðåïëåííîé â H òî÷êå Î. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì a è â êàêîì íàïðàâëåíèè ïî âåðòèêàëè ñëåäóåò ïåðåìåùàòü òî÷êó ïîäâåñà Î, ÷òîáû ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ñîñòàâëÿëà ïîëîâèíó ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà øàðèê? 60. Ñêîðîñòíûå ïàññàæèðñêèå ëèôòû âûñîòíîé ÷àñòè çäàíèÿ Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 3,6 ì/ñ. Ìàññà êàáèíû ëèôòà ñ ïàññàæèðàìè ìîæåò äîñòèãàòü çíà÷åíèÿ m = 1500 êã. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïðîåêöèè ñêîðîñòè ëèôòà ïðè ïîäúåìå èçîáðàæåí íà ðèñ. 11. Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ Ò êàíàòà, óäåðæèâàþùåãî êàáèíó ëèôòà, â íà÷àëå, ñåðåäèíå è êîíöå ïîäúåìà. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ÷èòàòü ðàâíûì g = 10 ì/ñ2. 61.  ïðèáîðå Í. À. Ëþáèìîâà*, ïðåäíàçíà÷åííîì äëÿ äåìîíñòðàöèè âçàèìîäåéñòâèÿ òåë ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè, íà ëåãêîé ðàìêå ïîäâåøåíû íà îäèíàêîâûõ ïðóæèíàõ òðè ãèðè, ìàññû êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî * Í. À. Ëþáèìîâ (1830 1897) îäèí èç ó÷èòåëåé À. Ã. Ñòîëåòîâà (1839 1896).
&
m1 m2 m3
Ðèñ. 11
Ðèñ. 12
m1 = 1 êã, m2 = 2 êã è m3 = 3 êã (ðèñ. 12). Êàê èçìåíèòñÿ ïîëîæåíèå ãðóçîâ è ñ êàêîé ñèëîé óïðóãîñòè áóäåò äåéñòâîâàòü êàæäàÿ èç ïðóæèí âî âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàìêè? 62. Ïàðàøþòèñò ìàññîé m = 80 êã ñïóñêàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Íàéäèòå ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ f âîçäóõà, äåéñòâóþùóþ íà ïàðàøþòèñòà. 63. Òåëî, áðîøåííîå âåðòèêàëüíî ââåðõ ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 = 30 ì/ñ, äîñòèãàåò âûñøåé òî÷êè ïîäúåìà ÷åðåç âðåìÿ t = 2,5 ñ. Ìàññà òåëà m = 40 ã. Íàéäèòå ñðåäíþþ ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ f âîçäóõà, äåéñòâóþùóþ íà òåëî âî âðåìÿ äâèæåíèÿ. 64. ×åëîâåê ñòîèò íà ïëàòôîðìå âåñîâ è áûñòðî ïðèñåäàåò. Êàê èçìåíÿþòñÿ ïîêàçàíèÿ âåñîâ â íà÷àëå è â êîíöå ïðèñåäàíèÿ? 65. Ñòîë íåáîëüøîãî ñòðîãàëüíîãî ñòàíêà âìåñòå ñ îáðàáàòûâàåìîé äåòàëüþ èìååò ìàññó m = 100 êã. Ñêîðîñòü ïðîõîæäåíèÿ ñòîëà ïîä ðåçöîì v = 1 ì/ñ. Êàêóþ ñèëó F ïåðåäàþò ìåõàíèçìû ñòàíêà äëÿ ðàçãîíà ñòîëà äî íà÷àëà ðåçàíèÿ, åñëè âðåìÿ ðàçãîíà t = 0,5 ñ, à êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñòîëà î íàïðàâëÿþùèå µ = 0,14? 66. Äâà áðóñêà, ìàññû êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî m1 = 200 ã è ò2 = 300 ã, ñâÿçàíû íèòüþ è ëåæàò íà ãëàäêîì ñòîëå (ðèñ. 13). Ê áðóñêó ìàññîé m1 ïðèëîæåíà H ñèëà F , íàïðàâëåííàÿ ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè ñòîëà è ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ 1 H. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì à áóäóò äâèãàòüñÿ áðóñêè? Êàêóþ ñèëó íàòÿæåíèÿ Ò áóäåò èñïûòûâàòü ïðè ýòîì íèòü, Ðèñ. 13 ñâÿçûâàþùàÿ áðóñêè? Ïðè êàêîé '
Ðèñ. 14
Ðèñ. 15
ìàêñèìàëüíîé ñèëå Fmax íèòü îáîðâåòñÿ, åñëè ýòà ñèëà áóäåò ïðèëîæåíà: à) ê áðóñêó ìàññîé ò1; á) ê áðóñêó ìàññîé m2? Íèòü âûäåðæèâàåò ìàêñèìàëüíóþ ñèëó íàòÿæåíèÿ Tmàõ = 9,8 Í. Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. 67. ×åòûðå îäèíàêîâûõ áðóñêà ìàññîé m êàæäûé ñâÿçàíû íèòÿìè è ëåæàò íà ãëàäêîì ñòîëå (ðèñ. 14). Ê ïåðH âîìó áðóñêó ïðèëîæåíà ñèëà F , ïàðàëëåëüíàÿ ïëîñêîñòè ñòîëà. Íàéäèòå ñèëû íàòÿæåíèÿ âñåõ íèòåé. Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. 68. ×òîáû ñäâèíóòü ñ ìåñòà òÿæåëûé æåëåçíîäîðîæíûé ñîñòàâ, ìàøèíèñò äàåò ñíà÷àëà çàäíèé õîä, ïîäàâàÿ ñîñòàâ íåìíîãî íàçàä, à ïîòîì óæå äàåò ïåðåäíèé õîä. Ïî÷åìó òàêèì ñïîñîáîì ëåã÷å ñäâèíóòü ñîñòàâ ñ ìåñòà? 69. Ïðè ðåçêîì òðîãàíèè òåïëîâîçà ñ ìåñòà ñöåïêè ìåæäó âàãîíàìè æåëåçíîäîðîæíîãî ñîñòàâà èíîãäà ðàçðûâàþòñÿ. Ïî÷åìó, â êàêîì ìåñòå ñîñòàâà è ïðè êàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ ÷àùå âñåãî ìîæåò ïðîèñõîäèòü ðàçðûâ ñöåïîê? 70. Äèíàìîìåòð ïðèêðåïëåí ê äâóì ãðóçàì, ìàññû êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî m1 = 10 êã è m2 = 10 ã (ðèñ. 15). Ê ãðóçàì ïðèëîæåíû ñèëû, ðàâíûå ïî ìîäóëþ F1 = 19,6 H è F2 = 9,8 H. ×òî ïðîèçîéäåò ñ ãðóçàìè è ÷òî H ïîêàæåò äèíàìîìåòð, åñëè: à) ñèëà F1 ïðèëîæåíà ê áîëüH H øåìó ãðóçó, à ñèëà F2 ê ìåíüøåìó; á) ñèëà F1 ïðèëîH æåíà ê ìåíüøåìó ãðóçó, à ñèëà F2 ê áîëüøåìó; â) ãðóçû èìåþò îäèíàêîâûå ìàññû (m1 = m2 ò2 = 5 êã)? 71. Äâà ãðóçà, ìàññû êîòîðûõ m1 è m2, ñâÿçàíû íèòüþ, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç íåïîäâèæíûé áëîê (ðèñ. 16). m1 H Ñ êàêèì óñêîðåíèåì a äâèæåòñÿ ãðóç ìàññîé m2, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ Ðèñ. 16
åãî î ïîâåðõíîñòü ñòîëà ðàâåí µ? Êàêîâà H ñèëà íàòÿæåíèÿ T íèòè, ñâÿçûâàþùåé îáà ãðóçà? Ìàññîé áëîêà è íèòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïëîñêîñòü ñòîëà ãîðèçîíòàëüíà. 1 72. Äâà ãðóçà 1 è 2 ìàññîé ò êàæäûé m0 ñâÿçàíû íèòüþ, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç íåïîäm 3 âèæíûé áëîê. Íà îäèí èç ãðóçîâ êëàäóò 2 m ïåðåãðóçîê 3 ìàññîé m0 (ðèñ. 17). Ñ êàH êèì óñêîðåíèåì a äâèæóòñÿ ãðóçû? ÊàÐèñ. 17 H êîâà ñèëà íàòÿæåíèÿ T íèòè ïðè äâèH æåíèè ãðóçîâ? Ñ êàêîé ñèëîé F ä ïåðåãðóçîê 3 äàâèò íà ãðóç 2? Êàêóþ ñèëó äàâëåH íèÿ F èñïûòûâàåò îñü áëîêà âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ãðóçîâ? Ìàññîé áëîêà è íèòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. 73. Äâà ãðóçà, ìàññû êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî m1 = 1 êã è m2 = 2 êã, ñâÿçàíû íèòüþ, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç íåïîäâèæíûé áëîê.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ìàññ ýòèõ ãðóÐèñ. 18 çîâ h = 1 ì (ðèñ. 18). ×åðåç êàêîå âðåìÿ t ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ öåíòðû ìàññ ãðóçîâ áóäóò íà îäíîé âûñîòå? Ìàññîé áëîêà è íèòè ïðåíåáðå÷ü. 74. Äâà ãðóçà, ìàññû êîòîðûõ m1 è ò2, ñâÿçàíû íèòüþ, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç íåïîäâèæíûé áëîê.  íà÷àëüíûé ìîìåíò öåíòðû ìàññ ãðóçîâ íàõîäÿòñÿ íà îäíîé âûH ñîòå. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì a è â êàêîì íàïðàâëåíèè ïî âåðòèêàëè ïåðåìåñòèòñÿ öåíòð ìàññ ñèñòåìû ãðóçîâ, åñëè m1 > m2? 75. Òåëåæêà ìàññîé m = 20 êã ìîæåò êàòèòüñÿ áåç òðåíèÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Íà òåëåæêå ëåæèò áðóñîê ìàññîé m0 = 2 êã (ðèñ. 19). Êîýôôèöèåíò Ðèñ. 19 òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è òåëåæ
êîé µ = 0,25. Ê áðóñêó ïðèëîæåH íà ñèëà F . Íàéäèòå ñèëó òðåíèÿ f ìåæäó áðóñêîì è òåëåæêîé è óñêîðåíèå à áðóñêà è òåëåæêè, Ðèñ. 20 åñëè: à) F = 1,96 H; á) F = 19,6 H. 76. Ëåãêàÿ òåëåæêà ìîæåò ñêàòûâàòüñÿ áåç òðåíèÿ ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Íà òåëåæêå óêðåïëåí îòâåñ øàðèê ìàññîé ò íà íèòè (ðèñ. 20). Êàêîå íàïðàâëåíèå áóäåò èìåòü íèòü îòâåñà ïðè ñâîáîäíîì ñêàòûâàíèè òåëåæêè? Äî íà÷àëà ñêàòûâàíèÿ íèòü óäåðæèâàëàñü â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê íàêëîííîé ïëîñêîñòè. 77. Áðåâíî ìàññîé ò ïåðåäâèãàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîH ðîñòüþ ïîä äåéñòâèåì ñèëû F , ïðèëîæåííîé ê êîíöó âåðåâêè äëèíîé l. Âåðåâêà ïðèêðåïëåíà ê öåíòðó ìàññ áðåâíà. Ðàññòîÿíèå îò êîíöà âåðåâêè äî çåìëè ðàâíî h (ðèñ. 21). Íàéäèòå êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ áðåâíà î çåìëþ. Èçìåíèòñÿ ëè ñèëà òðåíèÿ, åñëè âåðåâêà áóäåò ïðèêðåïëåÐèñ. 21 íà ê êîíöó áðåâíà? 78. ×åëîâåê ïåðåäâèãàåò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ òà÷êó ìàññîé ò (ðèñ. 22). Îäèí ðàç îí òÿíåò åå çà ñîáîé, äðóãîé ðàç òîëêàåò âïåðåäè ñåáÿ. Ðó÷êè òà÷êè â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñîñòàâëÿþò îäèí è òîò æå óãîë α ñ äîðîãîé. Öåíòð ìàññ òà÷êè C íàõîäèòñÿ íàä îñüþ êîëåñà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ êîëåñ î äîðîãó ðàâåí µ.  êàêîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ ÷åëîâåê äîëæåí H ïðèëàãàòü áîRëüøóþ ñèëó F äëÿ ïåðåäâèæåíèÿ òà÷êè? 79. Ïî êàíàòíîé æåëåçíîé äîðîãå ñ óêëîíîì α = 30° ê ãîðèçîíòó îïóñêàåòñÿ âàãîíåòêà ìàññîé m = 500 êã (ðèñ. 23).
m
C
Ðèñ. 22
Ðèñ. 23
H Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ T êàíàòà ïðè òîðìîæåíèè âàãîíåòêè â êîíöå ñïóñêà, åñëè ñêîðîñòü âàãîíåòêè ïåðåä òîðìîæåíèåì Ðèñ. 24 v0 = 2 ì/ñ, à âðåìÿ òîðìîæåíèÿ t = 5 ñ. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ êîëåñ âàãîíåòêè î äîðîãó µ = 0,01. 80. Ëåãêàÿ òåëåæêà ñ ïîäâåøåííûì íà íèòè øàðèêîì H ïîäúåçæàåò ñî ñêîðîñòüþ v0 ê íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 24).  êàêóþ ñòîðîíó îò âåðòèêàëè îòêëîíèòñÿ íèòü ñ øàðèêîì, êîãäà òåëåæêà íà÷íåò âúåçæàòü íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü?
§ 6. Èìïóëüñ. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà Ïðè ïîäáîðå çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà ó÷èòûâàëàñü ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìîñòü âîçìîæíî ãëóáæå ïîçíàêîìèòü ó÷àùèõñÿ ñ ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûì ïîíÿòèåì äèíàìèêè èìïóëüñîì òåëà, ïîçíàêîìèòü õîòÿ áû â íàèáîëåå ïðîñòûõ ôîðìàõ ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. Ñîçäàíèå ÿñíûõ ïðåäñòàâëåíèé î ôèçè÷åñêîì ñîäåðæàíèè ýòîãî çàêîíà ïîçâîëÿåò íå òîëüêî çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèòü êðóã çàäà÷, äîñòóïíûõ ó÷àùèìñÿ, íî è ïî-íîâîìó âçãëÿíóòü íà ñîäåðæàíèå òåõ çàäà÷, êîòîðûå îíè ðåøàëè, ïðèìåíÿÿ çàêîíû Íüþòîíà. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà ñëåäóåò ïðåæäå âñåãî îáðàòèòü âíèìàíèå íà çàäà÷è, â êîòîðûõ âûÿñíÿåòñÿ âåêòîðíûé õàðàêòåð èìïóëüñà òåëà. ÁîRëüøàÿ ÷àñòü çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî ìîæåò ðåøàòüñÿ êàê ïóòåì îïðåäåëåíèÿ óñêîðåíèé ïî çàêîíàì Íüþòîíà ñ ïîñëåäóþùèì ðàñ÷åòîì ñêîðîñòåé ïî óðàâíåíèÿì êèíåìàòèêè, òàê è ïóòåì ïðÿìîãî ðàñ÷åòà ñêîðîñòåé ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. Ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâåñòè ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ îáîèìè ïóòÿìè. Ïðè ðåøåíèè ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî åñëè ïî õîäó çàäà÷è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü íå âñå äåòàëè äâèæåíèÿ, à òîëüêî êîíå÷íûå ñêîðîñòè òåë ïî çàäàííûì íà÷àëüíûì, òî èñïîëüçîâàíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ïðèâîäèò ê íàèáîëåå ïðîñòûì è èçÿùíûì ðåøåíèÿì. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîñòàòî÷íî ïðî÷íûõ íàâûêîâ â ïðàâèëüíîì âûáîðå êàêîãî-ëèáî èç óêàçàííûõ ïóòåé ðåøåíèÿ öåëåñîîáðàçíî ïîïûòàòüñÿ ðåøèòü íåêîòîðûå èç çàäà÷ § 5, ïðèìåíÿÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.
!
Ðåêîìåíäóåòñÿ ïðè ðàçáîðå çàäà÷ äàííîãî ïàðàãðàôà îáðàòèòü âíèìàíèå íà èñïîëüçîâàíèå â ðåøåíèÿõ íàèáîëåå ïðîñòîé ìåòîäèêè ïðèìåíåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ê ðàñ÷åòó ñêîðîñòåé. Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, ýòà ìåòîäèêà ïîçâîëÿåò ó÷àùèìñÿ èçáåæàòü ìíîãèõ è ïîðîé íåïðèÿòíûõ òåõíè÷åñêèõ îøèáîê ïðè ïðîâåäåíèè ðàñ÷åòîâ.
81. Øàðèê ìàññîé ò ïîäëåòàåò ê H ñòåíêå ñî ñêîðîñòüþ v , íàïðàâëåííîé ïî íîðìàëè ê ñòåíêå, óïðóãî óäàðÿåòñÿ î íåå è îòñêàêèâàåò ñ òàêîé æå ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ (ðèñ. 25). Íàéäèòå Ðèñ. 25 ìîäóëü è íàïðàâëåíèå èçìåíåíèÿ èìïóëüñà øàðèêà ïðè óäàðå î ñòåíêó. Ñ êàêîé ñðåäíåé ñèëîé F äåéñòâîâàë øàðèê íà ñòåíêó, åñëè óäàð ïðîäîëæàëñÿ â òå÷åíèå âðåìåíè t? 82. Íàéäèòå èçìåíåíèå èìïóëüñà øàðèêà ïðè óäàðå î ñòåíêó â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, åñëè óäàð áûë àáñîëþòíî íåóïðóãèì. Ðèñ. 26 83. Øàðèê ìàññîé ò ïîäëåòàåò ê H ñòåíêå ñî ñêîðîñòüþ v ïîä óãëîì α, óïðóãî óäàðÿåòñÿ î ñòåíêó è îòñêàêèâàåò îò íåå; ïðè ýòîì óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ (ðèñ. 26). ÍàéäèÐèñ. 27 òå ìîäóëü è íàïðàâëåíèå èçìåíåíèÿ èìïóëüñà øàðèêà ïðè óäàðå î ñòåíêó. 84. Äâà øàðèêà, ìàññû êîòîðûõ ðàâíû m1 = 2 ã è m2 = 3 ã, äâèæóòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñî ñêîðîñòÿìè v1 = 6 ì/ñ è v2 = 4 ì/ñ, íàïðàâëåííûìè ïîä óãëîì 90° äðóã ê äðóãó (ðèñ. 27). Íàéäèòå èìïóëüñ ñèñòåìû ýòèõ øàðèêîâ. 85. Íà òåëî â òå÷åíèå âðåìåíè t = 10 ñ äåéñòâîâàëà ñèëà F = 4,9 H. Íàéäèòå ìàññó m òåëà, åñëè èçìåíåíèå ñêîðîñòè â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ñèëû ñîñòàâèëî ∆v = 5 ì/ñ. 86. Ìàññà ïîåçäà m = 3000 ò. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ êîëåñ î ðåëüñû µ = 0,02. Êàêîâà äîëæíà áûòü ñèëà òÿãè F "
òåïëîâîçà, ÷òîáû ïîåçä íàáðàë ñêîðîñòü v = 60 êì/÷ ÷åðåç âðåìÿ t = 2 ìèí ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ? 87. Òåëî ìàññîé ò ñîñêàëüçûâàåò ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ òðåíèåì. Óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè α = 30°, äëèíà íàêëîííîé ïëîñêîñòè l = 1,67 ì. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ òåëà î ïëîñêîñòü µ = 0,2. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü òåëà v0 = = 0. Ñêîëüêî âðåìåíè çàòðàòèò òåëî íà ñïóñê ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè? 88. Ìåæäó äâóìÿ ëîäêàìè, íàõîäÿùèìèñÿ íà ïîâåðõíîñòè îçåðà, ïðîòÿíóòà âåðåâêà. Ìàññà ïåðâîé ëîäêè ñ ÷åëîâåêîì m1 = 250 êã, ìàññà âòîðîé ëîäêè ñ ãðóçîì m2 = 500 êã. ×åëîâåê, íàõîäÿùèéñÿ íà ïåðâîé ëîäêå, H H òÿíåò âåðåâêó ñ ñèëîé F = 50 H. Íàéäèòå ñêîðîñòè v1 è u , ñ êîòîðûìè áóäåò äâèãàòüñÿ ïåðâàÿ ëîäêà îòíîñèòåëüíî áåðåãà è îòíîñèòåëüíî âòîðîé ëîäêè ÷åðåç âðåìÿ t = 5 ñ ïîñëå òîãî, êàê ÷åëîâåê íà÷àë òÿíóòü âåðåâêó. Ñîïðîòèâëåíèåì âîäû ïðåíåáðå÷ü. 89. Ê ñâîáîäíîìó àýðîñòàòó ìàññîé ò1 ïðèâÿçàíà âåðåâî÷íàÿ ëåñòíèöà, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ ÷åëîâåê ìàññîé m2. Àýðîñòàò íåïîäâèæåí.  êàêîì íàïðàâëåíèè è ñ êàêîé ñêîðîñòüþ v1 áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ àýðîñòàò, åñëè ÷åëîâåê íà÷íåò ïîäíèìàòüñÿ ïî ëåñòíèöå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u îòíîñèòåëüíî ëåñòíèöû? 90. Ìåæäó äâóìÿ òåëåæêàm2 m1 ìè, ìàññû êîòîðûõ m1 è m2, ïîìåùåíà ñæàòàÿ ïðóæèíà (ðèñ. 28). Êîãäà ïðóæèíà ðàçÐèñ. 28 æèìàåòñÿ, îíà äåéñòâóåò íà êàæäóþ èç òåëåæåê ñî ñðåäíåé ñèëîé F â òå÷åíèå âðåìåíè t. Ïîêàæèòå, ÷òî ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñòâèÿ ïðóæèíû òåëåæêè áóäóò äâèãàòüñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè òàê, ÷òî èõ öåíòð ìàññ áóäåò îñòàâàòüñÿ íåïîäâèæíûì. Òðåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. 91. Ãðàíàòà, ëåòåâøàÿ â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ è = 10 ì/ñ, ðàçîðâàëàñü íà äâà îñêîëêà, ìàññû êîòîðûõ m1 = 1 êã è ò2 = 1,5 êã. Ñêîðîñòü áîëüøåãî îñêîëêà ãðàíàòû îêàçàëàñü ðàâíîé v2 = 25 ì/ñ è èìåëà òî æå íàïðàâëåíèå, ÷òî è ãðàíàòà. Íàéäèòå ìî#
H äóëü è íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè v1 ìåíüøåãî îñêîëêà ãðàíàòû. 92. Ïåðâàÿ â ìèðå áîåâàÿ ðàêåòà À. Ä. Çàñÿäüêî* èìåëà ìàññó ò1 = 2 êã (áåç òîëêàþùåãî çàðÿäà). Ðèñ. 29 Ïðè âçðûâå òîëêàþùåãî çàðÿäà èç ðàêåòû âûáðàñûâàëèñü ïîðîõîâûå ãàçû ìàññîé m2 = 200 ã ñî ñêîðîñòüþ v2 = 600 ì/ñ. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè s îò ìåñòà çàïóñêà óïàäåò òàêàÿ ðàêåòà, åñëè îíà âûïóùåíà ïîä óãëîì α = 45° ê ãîðèçîíòó? 93. Òåëåæêà ñ ïåñêîì ìàññîé m1 = 10 êã êàòèòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 = 1 ì/ñ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè áåç òðåíèÿ (ðèñ. 29). Íàâñòðå÷ó òåëåæêå ëåòèò øàð ìàññîé ò2 = 2 êã ñî ñêîðîñòüþ v2 = 7 ì/ñ. Øàð çàñòðåâàåò â H ïåñêå.  êàêóþ ñòîðîíó è ñ êàêîé ñêîðîñòüþ u ïîêàòèòñÿ òåëåæêà ïîñëå ïîïàäàíèÿ øàðà? 94. Ðåàêòèâíûé äâèãàòåëü ðàêåòîïëàíà Ê. Ý. Öèîëêîâñêîãî** âûáðàñûâàåò ïðîäóêòû ñãîðàíèÿ ïîðöèÿìè, ìàññû êîòîðûõ ò = 200 ã è ñêîðîñòü ïðè âûáðîñå èç ñîïëà äâèãàòåëÿ u = 1000 ì/ñ. Ìàññà ðàêåòîïëàíà â íà÷àëüíûé ìîìåíò Ì = 300 êã è íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü åãî v0 = 0. Êàêóþ ñêîðîñòü v3 ïðè ãîðèçîíòàëüíîì ïîëåòå áóäåò èìåòü ðàêåòîïëàí ïîñëå âûáðîñà òðåòüåé ïîðöèè ãàçà? Êàêîâà áóäåò ñêîðîñòü vN ðàêåòîïëàíà ê êîíöó ïåðâîé ñåêóíäû äâèæåíèÿ, åñëè â äâèãàòåëå ïðîèñõîäèò N = 20 âçðûâîâ â ñåêóíäó? 95. Îðóäèå óñòàíîâëåíî íà æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîð-
* Ãåíåðàë ðóññêîé àðìèè À. Ä. Çàñÿäüêî (17791838) ïåðâûé â ìèðå ñîçäàë è ïðàêòè÷åñêè ïðèìåíèë ðåàêòèâíûå áîåâûå ñíàðÿäû. Áîåâûå ðàêåòû ãåíåðàëà Çàñÿäüêî óñïåøíî ïðèìåíÿëèñü â 1828 1829 ãã. â âîéíå ñ Òóðöèåé ïðè øòóðìå êðåïîñòè Àê-Ìå÷åòü è â 1855 ã., óæå ïîñëå ñìåðòè èõ èçîáðåòàòåëÿ, ïðè îáîðîíå Ñåâàñòîïîëÿ. ** Ê. Ý. Öèîëêîâñêèé (18571935) çíàìåíèòûé äåÿòåëü íàóêè, ðàçðàáîòàâøèé íàó÷íûé ïðîåêò ðàêåòíîãî ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà äëÿ ìåæïëàíåòíûõ ïîëåòîâ è êîíñòðóêöèþ ìåòàëëè÷åñêîãî äèðèæàáëÿ.
$
ìå, êîòîðàÿ ñòîèò íà ïðÿìîëèíåéíîì ãîðèçîíòàëüíîì ïóòè. Ìàññà ïëàòôîðìû ñ îðóäèåì, ñíàðÿäàìè è ñîëäàòàìè Ì = 50 ò, ìàññà ñíàðÿäà ò = 25 êã. Îðóäèå âûñòðåëèâàåò â ãîðèçîíòàëüíîì íàÐèñ. 30 ïðàâëåíèè âäîëü æåëåçíîäîðîæíîãî ïóòè. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ñíàðÿäà u = 1000 ì/ñ. Êàêóþ ñêîðîñòü v2 áóäåò èìåòü ïëàòôîðìà ïîñëå âòîðîãî âûñòðåëà? Òðåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. 96. Ñòàðèííàÿ ïóøêà, íå èìåþùàÿ ïðîòèâîîòêàòíîãî óñòðîéñòâà, âûñòðåëèâàåò ÿäðà ïîä óãëîì α = 40° ê ãîðèçîíòó. Ìàññà ïóøêè M = 500 êã, ìàññà ÿäðà ò = 10 êã, åãî íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü è = 200 ì/ñ. Êàêîâà áóäåò ñêîðîñòü v îòêàòà ïóøêè? Òðåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. 97. Òåëî ìàññîé ò ñîñêàëüçûâàåò áåç òðåíèÿ ñ íàêëîííîé äîñêè íà íåïîäâèæíóþ ïëàòôîðìó. Ìàññà ïëàòôîðìû ðàâíà Ì. Âûñîòà íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ òåëà íàä óðîâíåì ïëàòôîðìû ðàâíà h, óãîë íàêëîíà äîñêè ê ãîðèçîíòó ðàâåí α (ðèñ. 30). Êàêóþ ñêîðîñòü v áóäåò èìåòü ïëàòôîðìà, êîãäà òåëî óïàäåò íà íåå?
§ 7. Ðàáîòà. Ýíåðãèÿ. Ìîùíîñòü. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè Îáû÷íî íàèáîëüøåå ÷èñëî îñëîæíåíèé âîçíèêàåò ïðè ðåøåíèè òàêèõ çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà, â êîòîðûõ íà÷àëüíûé çàïàñ ýíåðãèè êàêîé-ëèáî ñèñòåìû âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó íåñêîëüêèìè òåëàìè, íàïðèìåð â ñëó÷àå ñîñêàëüçûâàíèÿ òåëà ñ ïîäâèæíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷è 106 è 107). Ïîýòîìó â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå íàðÿäó ñ çàäà÷àìè, â êîòîðûõ âûÿñíÿåòñÿ ñìûñë ïîíÿòèé ðàáîòû, ýíåðãèè è ìîùíîñòè, äàíà ñåðèÿ çàäà÷ íà ðàñ÷åò ýíåðãèè íåñêîëüêèõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë. Ïðè ðåøåíèè ýòèõ çàäà÷ ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî åñëè ïðè óïðóãîì óäàðå òåëà íàõîäÿòñÿ â äâèæåíèè äî è ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ, òî äëÿ ðàñ÷åòà ñêîðîñòåé òðåáóåòñÿ îäíîâðåìåííîå ïðèìåíåíèå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Íåîáõîäèìî âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòü ìåòîäèêó îäíîâðåìåííîãî ïðèìåíåíèÿ ýòèõ çàêîíîâ.
%
 çàäà÷àõ ýòîãî ïàðàãðàôà èñïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèÿ àáñîëþòíî óïðóãîãî è íåóïðóãîãî óäàðîâ, îáû÷íî çíàêîìûå ó÷àùèìñÿ òîëüêî èç âíåêëàññíûõ çàíÿòèé. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íåîáõîäèìî ïðîñëåäèòü çà îñîáåííîñòÿìè ïîâåäåíèÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë â ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ. Çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ ðàñ÷åòîì ýíåðãèè âðàùàþùèõñÿ òåë, îòíåñåíû â îñíîâíîì ê § 8. Ïðè ðåøåíèè ýòèõ çàäà÷ ðåêîìåíäóåòñÿ îáðàòèòü âíèìàíèå íà òàêèå ñëó÷àè, êîãäà íà÷àëüíûé çàïàñ ýíåðãèè òåëà ïåðåõîäèò â äâà äðóãèõ âèäà ýíåðãèè (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 136). Òàê æå, êàê è ïðè ðåøåíèè çàäà÷ § 6, ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîñëåäèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé ïðè ïðèìåíåíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.
98. Îðóäèå, ìàññà ñòâîëà êîòîðîãî M = 450 êã, ñòðåëÿåò â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè. Ìàññà ñíàðÿäà m = = 5 êã, íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü åãî è = 450 ì/ñ. Ïðè âûñòðåëå ñòâîë îòêàòûâàåòñÿ íà ðàññòîÿíèå s = 45 ñì. Íàéäèòå ñðåäíþþ ñèëó òîðìîæåíèÿ f, ðàçâèâàåìóþ ïðîòèâîîòêàòíûì óñòðîéñòâîì îðóäèÿ. 99. Òåëî ìàññîé m = 1 êã ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 = 14 ì/ñ ïàäàåò ñ âûñîòû H = 240 ì è óãëóáëÿåòñÿ â ïåñîê íà ãëóáèíó h = 0,2 ì. Íàéäèòå ñðåäíþþ ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ f ïî÷âû. Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ïóòÿìè: íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ñ ïîìîùüþ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà. 100. Ñàíè ìàññîé ò ñîñêàëüçûâàþò ñ ëåäÿíîé ãîðû âûñîòîé h è îñòàíàâëèâàþòñÿ, ïðîéäÿ ðàññòîÿíèå ÂÑ (ðèñ. 31). Èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ÀÑ = s. Íàéäèòå êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ ñàíåé î ëåä è óñêîðåíèÿ ñàíåé íà ó÷àñòêàõ OB è ÂÑ. 101. Èçìåíèòñÿ ëè ðàññòîÿíèå s â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, åñëè ãîðà ïðè òîé æå âûñîòå h áóäåò áîëåå ïîëîãîé? Áóäóò ëè äâèãàòüñÿ ñàíè íà ãîðå, îñíîâàíèå êîòîðîé AC = s (ðèñ. 31), à âûñîòà îñòàíåòñÿ ðàâíîé h?
Ðèñ. 31
&
102. Îäíîðîäíûé ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ìàññîé ò ñ ðåáðàìè l, 2l è 4l ðàñïîëàãàþò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè íà êàæäîé èç òðåõ ãðàíåé ïîî÷åðåäíî. Êàêîâà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà â êàæäîì èç ýòèõ ïîëîæåíèé? Êàêîå ïîëîæåíèå ïàðàëëåëåïèïåäà ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå óñòîé÷èâûì? 103. Ïóëÿ ìàññîé m = 10 ã, âûëåòåâøàÿ èç âèíòîâêè ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 = 1000 ì/ñ, óïàëà íà çåìëþ ñî ñêîðîñòüþ v = 500 ì/ñ. Êàêàÿ ðàáîòà À áûëà ñîâåðøåíà âî âðåìÿ ïîëåòà ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà? 104. Ìàëü÷èê, îïèðàÿñü î áàðüåð, áðîñàåò êàìåíü ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v1 = 5 ì/ñ. Ìàññà ìàëü÷èêà Ì = 49 êã, ìàññà êàìíÿ m = 1 êã. Êàêóþ ñêîðîñòü v2 ìàëü÷èê ñìîæåò ñîîáùèòü êàìíþ, åñëè áóäåò áðîñàòü êàìåíü, äåéñòâóÿ ñ ïðåæíåé ñèëîé, ñòîÿ íà êîíüêàõ íà ãëàäêîì ëüäó? Êàêîâà ñêîðîñòü vR êàìíÿ îòíîñèòåëüíî ìàëü÷èêà âî âòîðîì ñëó÷àå? Îäèíàêîâóþ ëè ìîùíîñòü N ðàçîâüåò ìàëü÷èê â îáîèõ ñëó÷àÿõ? 105. ×åëîâåê, íàõîäÿùèéñÿ â ëîäêå, ìàññà êîòîðîé ò = 300 êã, òÿíåò íåâåñîìûé êàíàò ñ ñèëîé F = 100 Í. Äðóãîé êîíåö êàíàòà ïðèâÿçàí: à) ê äåðåâó íà áåðåãó; á) ê ëîäêå, èìåþùåé ìàññó Ì = 200 êã. Êàêóþ ñêîðîñòü v áóäåò èìåòü ëîäêà ìàññîé ò â îáîèõ ñëó÷àÿõ ê êîíöó òðåòüåé ñåêóíäû? Êàêàÿ ðàáîòà À ñîâåðøèòñÿ çà ýòî âðåìÿ? Êàêóþ ìîùíîñòü N ðàçîâüåò ÷åëîâåê â ïåðâîì è âî âòîðîì ñëó÷àÿõ ê êîíöó òðåòüåé ñåêóíäû? Ñîïðîòèâëåíèåì âîäû ïðåíåáðå÷ü. 106. Áðóñîê ñîñêàëüçûâàåò áåç òðåíèÿ ñ òðåóãîëüíîé ïðèçìû, óãîë íàêëîíà êîòîðîé ðàâåí α (ðèñ. 32). Ïðèçìà ëåæèò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè è ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî íåé áåç òðåíèÿ. Áðóñîê ñîñêàëüçûâàh åò ñ âûñîòû h. Áóäåò ëè ñêîðîñòü áðóñêà â êîíöå ñîñêàëüçûâàíèÿ ñ ïðèçìû îäíîé è òîé æå, åñëè ïðèÐèñ. 32 çìà: à) çàêðåïëåíà íåïîäâèæíî; á) ñâîáîäíà? 107.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïðèíÿòü, ÷òî ìàññà ïðèçìû ðàâíà Ì, ìàññà áðóñêà ðàâíà ò, à ïðè'
çìà ïåðåìåùàåòñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè òîëüêî ïîä äåéñòâèåì ñèëû äàâëåíèÿ áðóñêà. Íàéäèòå íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè áðóñêà, ñîñêàëüçûâàþùåãî ñ ïîäâèæíîé ïðèçìû. 108. Äâà îäèíàêîâûõ àáñîëþòíî óïðóãèõ øàðà äâèæóòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè íàâñòðåH H ÷ó äðóã äðóãó ñî ñêîðîñòÿìè v1 è v2 . Ñ êàêèìè ñêîðîñH H òÿìè u1 è u2 áóäóò äâèãàòüñÿ øàðû ïîñëå öåíòðàëüíîãî àáñîëþòíî óïðóãîãî óäàðà? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. 109. Äâå ëîäêè äâèæóòñÿ ïî èíåðöèè â ñïîêîéíîé âîäå îçåðà íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ïàðàëëåëüíûìè êóðñàìè ñ îäèíàêîâûìè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòÿìè è = 6 ì/ñ. Êîãäà îíè ïîðàâíÿëèñü, òî ñ ïåðâîé ëîäêè íà âòîðóþ ïåðåëîæèëè ãðóç. Ïîñëå ýòîãî âòîðàÿ ëîäêà ïðîäîëæàëà äâèãàòüñÿ â ïðåæíåì íàïðàâëåíèè, íî ñî ñêîðîñòüþ v2 = = 4 ì/ñ. Ìàññà ïåðâîé ëîäêè áåç ãðóçà M1 = 500 êã, ìàññà ãðóçà ò = 60 êã. Íàéäèòå ìàññó Ì2 âòîðîé ëîäêè è ýíåðãèè ëîäîê è ãðóçà äî è ïîñëå ïåðåêëàäûâàíèÿ ãðóçà. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó èçìåíèëàñü ýíåðãèÿ. Ñîïðîòèâëåíèåì âîäû ïðåíåáðå÷ü. 110. Êàêóþ ìîùíîñòü N äîëæåí ðàçâèòü ìîòîð ñàìîëåòà äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ïîäúåìà ñàìîëåòà íà âûñîòó h = 1 êì, åñëè ìàññà ñàìîëåòà m = 3000 êã, à âðåìÿ ïîäúåìà t = 1 ìèí? 111. Ìîòîðû ýëåêòðîïîåçäà ïðè äâèæåíèè ñî ñêîðîñòüþ v = 54 êì/÷ ïîòðåáëÿþò ìîùíîñòü N = 900 êÂò. ÊÏÄ ìîòîðîâ è ïåðåäàþùèõ ìåõàíèçìîâ η = 0,8. Íàéäèòå ñèëó òÿãè F ìîòîðîâ. 112. Ìîùíîñòü äâèãàòåëÿ ÷àñòî îïðåäåëÿþò îïûòíûì ïóòåì ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîãî «òîðìîçíîãî äèíàìîìåòðà», ñîñòîÿùåãî èç äâóõ êîëîäîê, ïëîòíî îõâàòûâàþùèõ âàë äâèãàòåëÿ. Ê îäíîé èç êîëîäîê ïðèêðåïëåí ðû÷àã, íà êîíöå êîòîðîãî ïîäâåøèâàåòñÿ ãðóç (ðèñ. 33). Ãðóç ïîäáèðàþò òàê, ÷òîáû îí óðàâíîâåøèâàë ñèëó òðåíèÿ è ÷òîáû ðû÷àã íàõîäèëñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè. Íàéäèòå ìîùíîñòü N äâèãàòåëÿ, åñëè ÷àñòîòà âðàùåíèÿ âàëà n = 1 c1, äëèíà ðû÷àãà îò !
Ðèñ. 33
öåíòðà âàëà l = 1 ì, ìàññà ãðóçà ò = 50 êã. Ìàññîé ðû÷àãà ïðåíåáðå÷ü. 113. Âåëîñèïåäèñò âúåçæàåò â ãîðó ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Äëèíà øàòóíà ïåäàëè r = 25 ñì, âðåìÿ ïîëíîãî îáîðîòà øàòóíà t = 2 ñ. Ñðåäíÿÿ ñèëà äàâëåíèÿ íîãè íà ïåäàëü F = 147 Í. Íàéäèòå ìîùíîñòü N, êîòîðóþ ðàçâèâàåò âåëîñèïåäèñò. 114. Ñàìîëåò Í. Í. Ïîëèêàðïîâà äëÿ âçëåòà äîëæåí èìåòü ñêîðîñòü v = 80 êì/÷. Äëèíà ðàçáåãà ïåðåä âçëåòîì s = 100 ì. Ìàññà ñàìîëåòà ò = 1000 êã. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ïðè ðàçáåãå ñàìîëåòà µ = 0,2. Êàêîâà äîëæíà áûòü ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü N ìîòîðà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû îáåñïå÷èòü âçëåò ñàìîëåòà? Äâèæåíèå âî âðåìÿ ðàçáåãà ñ÷èòàòü ðàâíîóñêîðåííûì. 115. Êàìåíü øëèôîâàëüíîãî ñòàíêà äèàìåòðîì d = 60 ñì âðàùàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé ï = 2 c1. Îáðàáàòûâàåìàÿ äåòàëü ïðèæèìàåòñÿ ê êàìíþ ñ ñèëîé F = 100 Í. Êàêàÿ ìîùíîñòü N çàòðà÷èâàåòñÿ íà øëèôîâêó, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ êàìíÿ î äåòàëü µ = 0,2? 116. Øêèâ ïðèâîäèòñÿ âî âðàùåíèå ïðèâîäíûì ðåìíåì (ðèñ. 34). Ðàäèóñ øêèâà r = 25 ñì, ÷àñòîòà âðàùåíèÿ øêèâà ï = 2 c1. Ñèëà íàòÿæåíèÿ âåäóùåé âåòâè ðåìíÿ â äâà ðàçà áîëüøå ñèëû íàòÿæåíèÿ âåäîìîé âåòâè. Âåäîìàÿ è âåäóùàÿ âåòâè ðåìíÿ ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó. Íàéäèòå ñèëû íàòÿæåíèÿ F è f âåäóùåé è âåäîìîé âåòâåé ðåìíÿ, åñëè ðåìåíü ïåðåäàåò øêèâó ìîùíîñòü Ðèñ. 34 N = 15 êÂò. !
§ 8. Äèíàìèêà âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà Ðàñ÷åò ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëî, äâèæóùååñÿ ïî îêðóæíîñòè, ÿâëÿåòñÿ, ïîæàëóé, îäíèì èç íàèáîëåå òðóäíûõ äëÿ óñâîåíèÿ. Òðóäíîñòè â ïðîâåäåíèè ýòîãî ðàñ÷åòà âîçíèêàþò â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå âî âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè è óñêîðåíèå â ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè ðàññìàòðèâàþò êàê äâå ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ñâîè çàêîíû: îäíà ìîæåò ðàññ÷èòûâàòüñÿ ïî «îáû÷íûì» çàêîíàì Íüþòîíà, à äëÿ äðóãîé îáÿçàòåëüíî òðåáóåòñÿ ââåäåíèå «îñîáûõ» ñèë. Ïîäáîð çàäà÷ è ïîñòðîåíèå ðåøåíèé â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ïðîâåäåíû òàê, ÷òîáû ïîìî÷ü ó÷àùèìñÿ óñòðàíèòü ýòî íåïðàâèëüíîå ïðîòèâîïîñòàâëåíèå, åñëè îíî ñóùåñòâóåò. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ðàñ÷åò âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ó÷àùèìñÿ, ïðåæäå âñåãî, ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî óñêîðåíèå â ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè è öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ïî ñâîåé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäå îäèíàêîâû (è òî, è äðóãîå õàðàêòåðèçóþò èçìåíåíèå ñêîðîñòè äâèæåíèÿ). Òîëüêî â ïåðâîì ñëó÷àå èçìåíÿåòñÿ ìîäóëü ñêîðîñòè, à âî âòîðîì åå íàïðàâëåíèå. Îäèíàêîâîñòü ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû îïðåäåëÿåò è îäèíàêîâîñòü çàêîíîâ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ ðàñ÷åòà ýòèõ âåëè÷èí. Äëÿ ðàñ÷åòà öåíòðîñòðåìèòåëüíûõ óñêîðåíèé íåò íåîáõîäèìîñòè ââîäèòü êàêèå-òî «îñîáûå» ñèëû, ïîìèìî ñèë, âîçíèêàþùèõ â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ òåë. Òàê æå, êàê è ïðè ðàñ÷åòå ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ, äåëàÿ ðàñ÷åò âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, íåîáõîäèìî âíà÷àëå óêàçàòü õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè, íàïðàâëåíèÿ è ìîäóëè óñêîðåíèé; ïðåäñòàâèòü ñåáå êàðòèíó âçàèìîäåéñòâèé òåë, êîòîðûìè ñîçäàþòñÿ ñèëû, ñîñòàâèòü âåêòîðíóþ ñóììó ýòèõ ñèë è ïðèìåíèòü âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ñêàëÿðíîé ôîðìå äëÿ ðàñ÷åòà èñêîìûõ âåëè÷èí.  ðåøåíèÿõ çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà ïðîâîäèòñÿ èìåííî òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé, è íà ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ó÷àùèìñÿ ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå. Î÷åíü òùàòåëüíî íåîáõîäèìî ðàçîáðàòü òàêèå çàäà÷è, â êîòîðûõ ïîÿâëåíèå íåîáõîäèìûõ öåíòðîñòðåìèòåëüíûõ óñêîðåíèé îáåñïå÷èâàåòñÿ îäíîâðåìåííûì äåéñòâèåì äâóõ èëè íåñêîëüêèõ ñèë (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷è 124140). Ðåøàÿ çàäà÷è, íåîáõîäèìî: ïðîñëåäèòü, êàê ñîçäàþòñÿ ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè ñèëû, íåîáõîäèìûå äëÿ ïîÿâëåíèÿ
!
äîñòàòî÷íûõ óñêîðåíèé ïðè ðàçëè÷íîì õàðàêòåðå âçàèìîäåéñòâèÿ òåë (ñîçäàíèå öåíòðîñòðåìèòåëüíûõ óñêîðåíèé ñ ïîìîùüþ ñèëû òðåíèÿ, ñèëû íàòÿæåíèÿ óïðóãîãî øíóðà, ñèëû ðåàêöèè ñî ñòîðîíû ðåëüñîâ è ò. ä.); ïðîñëåäèòü, êàê èçìåíÿåòñÿ ìîäóëü ýòèõ ñèë, èõ íàïðàâëåíèå è òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ïðè èçìåíåíèè ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà; îáðàòèòü âíèìàíèå íà õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ òåëà â ñëó÷àå, êîãäà ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàíîâèòñÿ íåäîñòàòî÷íî äëÿ ñîçäàíèÿ óñêîðåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ äâèæåíèÿ òåëà ïî îêðóæíîñòè (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 133). Ðåêîìåíäóåòñÿ ïðè ðàçáîðå çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïðèìåíåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ñîïîñòàâèòü èõ ñ ðåøåíèÿìè çàäà÷ § 7.
117. Äâà øàðèêà, ìàññû êîòîðûõ ðàâíû m1 = 9 ã è m2 = 3 ã, ïðèêðåïëåíû íèòÿìè*, îáùàÿ äëèíà êîòîðûõ l = 1 ì, ê âåðòèêàëüíîé îñè OO (ðèñ. 35) è ïðèâåäåíû âî âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå â ãîðèçîíòàëüíîé Ðèñ. 35 ïëîñêîñòè âîêðóã ýòîé îñè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω. Ïðè êàêîì ñîîòíîøåíèè äëèí íèòåé ñèëû íàòÿæåíèÿ èõ áóäóò îäèíàêîâûìè? 118. Äâà îäèíàêîâûõ øàðèêà À è  óêðåïëåíû íà êîíöàõ íèòè, êîòîðàÿ ïðîäåòà ÷åðåç òðóáêó, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 36. Øàðèê  âðàùàåòñÿ Ðèñ. 36 â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Ðàññòîÿíèå îò øàðèêà  äî îñè òðóáêè r = 20 ñì. Ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω äîëæåí âðàùàòüñÿ øàðèê Â, ÷òîáû øàðèê À íå ïîäíèìàëñÿ è íå îïóñêàëñÿ? Áóäåò ëè ðàâíîâåñèå óñòîé÷èâûì? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Ðèñ. 37 119. Íåáîëüøàÿ øàéáà íàõîäèòñÿ íà âåðøèíå ïîëóñôåðû ðàäèóñîì R (ðèñ. 37). Êàêóþ íàèH ìåíüøóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v íóæíî ñîîáùèòü * Çäåñü è äàëåå íèòü ìîæíî ñ÷èòàòü íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé, çà èñêëþ÷åíèåì îñîáî îãîâîðåííûõ ñëó÷àåâ.
!!
øàéáå, ÷òîáû îíà îòîðâàëàñü îò ïîëóñôåðû â íà÷àëüíîé òî÷êå äâèæåíèÿ? 120. Íàéäèòå öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå à òåë, íàõîäÿùèõñÿ íà ýêâàòîðå Çåìëè. Êàêîâî óìåíüøåíèå âåñà òåë íà ýêâàòîðå, ñâÿçàííîå ñ ó÷àñòèåì ýòèõ òåë âî âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè Çåìëè? Ñ÷èòàòü ðàäèóñ Çåìëè R = 6400 êì. 121. Öåíòðîáåæíûé íàñîñ èìååò ëîïàñòè ðàäèóñîì R. Íàñîñ ìîæåò ïîäíÿòü âîäó íà ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó h (ðèñ. 38). Íàéäèòå ÷àñòîòó ï âðàùåíèÿ ëîïàñòåé íàñîñà è ðàçíîñòü äàâëåíèé ìåæäó òî÷êàìè, ëåæàùèìè íà îñè, è òî÷êàìè, ëåæàùèìè íà êîíöàõ ëîïàñòåé íàñîñà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöû âîäû, ëåæàùèå íà ðàññòîÿíèè R îò îñè âðàùåíèÿ, F = mω2R, Ðèñ. 38 ãäå ò ìàññà ýòèõ ÷àñòèö. 122. Íà âðàùàþùåìñÿ ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëèêå íà ðàññòîÿíèè R = 50 ñì îò îñè âðàùåíèÿ ëåæèò ãðóç ìàññîé m = 1 êã. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ãðóçà î ïîâåðõíîñòü ñòîëèêà µ = 0,25. Êàêîâà ñèëà òðåíèÿ f, óäåðæèâàþùàÿ ãðóç, åñëè ñòîëèê âðàùàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé ï = 0,2 c1? Ïðè êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòè ω0 ãðóç íà÷íåò ñêîëüçèòü ïî ñòîëèêó? 123. Øàðèê ìàññîé m, ïðèêðåïëåííûé ê ðåçèíîâîìó øíóðó, ñîâåðøàåò âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω (ðèñ. 39). Äëèíà íåðàñòÿíóòîãî ðåçèíîâîãî øíóðà ðàâíà l0. Íàéäèòå ðàäèóñ R îêðóæíîñòè, ïî êîòîðîé áóäåò äâèãàòüñÿ øàðèê, è ñèëó íàòÿæåíèÿ T øíóðà. Ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëà íàòÿæåíèÿ øíóðà ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî åãî ðàñòÿæåíèþ, ò. å. T = kl, ãäå k êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. m 124. Àâòîìîáèëü ìàññîé ò äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v: à) ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ïëîñêîìó ìîñòó; á) ïî âûïóÐèñ. 39 !"
êëîìó ìîñòó; â) ïî âîãíóòîìó ìîñòó. Ðàäèóñ êðèâèçíû ìîñòà â ïîñëåäíèõ äâóõ ñëó÷àÿõ ðàâåí r. Ñ êàêîé ñèëîé íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ Fä äåéñòâóåò àâòîìîáèëü íà ìîñò â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ, ïðîåçæàÿ ÷åðåç ñåðåäèíó ìîñòà? 125. Íàéäèòå ñèëó, ïðèæèìàþùóþ ëåò÷èêà ê ñèäåíüþ ñàìîëåòà â âåðõíåé è íèæíåé òî÷êàõ ïåòëè Íåñòåðîâà*, åñëè ìàññà ëåò÷èêà ò = 75 êã, ðàäèóñ ïåòëè r = 200 ì, à ñêîðîñòü ñàìîëåòà ïðè ïðîõîæäåíèè ïåòëè v = 360 êì/÷. 126. Øàðèê ìàññîé ò, ïîäâåøåííûé íà íèòè äëèíîé l, îòêëîíÿþò äî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ è îòïóñêàþò (ðèñ. 40). Êàêàÿ ñèëà íàòÿæåíèÿ Ò äåéñòâóåò íà íèòü ïðè ïðîõîæäåíèè ìàÿòíèêîì ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ? 127. Øàðèê, ïîäâåøåííûé íà íèòè, ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 41). Êîãäà øàðèê ïðîõîäèò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, íèòü èñïûòûâàåò ñèëó íàòÿæåíèÿ, ðàâíóþ óäâîåííîé ñèëå òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà øàðèê. Íà êàêîé ìàêñèìàëüíûé óãîë α îò âåðòèêàëè îòêëîíÿåòñÿ øàðèê? O
l
m
Ðèñ. 40
Ðèñ. 41
128. Øàðèê ìàññîé ò, ïîäâåøåííûé íà íèòè, îòêëîíÿþò îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ è îòïóñêàþò. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè óãëà α (ìåæäó íèòüþ è âåðòèêàëüþ, ñì. ðèñ. 41) íèòü îáîðâåòñÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îíà âûäåðæèâàåò ñèëó íàòÿæåíèÿ, ðàâíóþ * Ï. Í. Íåñòåðîâ (1887 1914) ðóññêèé âîåííûé ëåò÷èê.  1913 ã. âïåðâûå â ìèðå âûïîëíèë íà ñàìîëåòå «ìåðòâóþ ïåòëþ» ïåòëþ Íåñòåðîâà è ýòèì ïîëîæèë íà÷àëî âûñøåìó ïèëîòàæó.
!#
r
óäâîåííîé ñèëå òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà øàðèê? Êàêîâà áóäåò òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ øàðèêà ïîñëå îáðûâà íèòè? 129. Íà íèòè, âûäåðæèâàþùåé ñèëó íàòÿæåíèÿ Ò = 40 Í, ìàëü÷èê ðàâíîìåðíî âðàùàåò êàìåíü ìàññîé ò = 1 êã â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè Ðèñ. 42 (ðèñ. 42). Öåíòð âðàùåíèÿ Î íàõîäèòñÿ îò çåìëè íà âûñîòå h = 4 ì. m Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñûâàåìîé êàìíåì, l = 1 ì. Ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ìàëü÷èê äîëæåí âðàùàòü êàìåíü, ÷òîáû íèòü îáîðâàëàñü? Íà êàêîì ðàññòîÿíèè s îò ìàëü÷èêà óïàäåò Ðèñ. 43 êàìåíü? 130. Íåáîëüøàÿ øàéáà ìàññîé ò ñîñêàëüçûâàåò áåç òðåíèÿ ñ âåðøèíû ïîëóñôåðû ðàäèóñîì r (ðèñ. 43). Íà êàêîé âûñîòå H îò îñíîâàíèÿ øàéáà îòîðâåòñÿ îò ïîëóñôåðû? 131. Øàðèê ìàññîé ò ñêîëüçèò áåç òðåíèÿ ïî íàêëîííîìó æåëîáó, îáðàçóþùåìó «ìåðòâóþ ïåòëþ» ðàäèóñîì r (ðèñ. 44). Íàéäèòå ñèëó íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ Fä øàðèêà íà æåëîá â íåêîòîðîé òî÷êå Â, åñëè îí ñïóñêàåòñÿ ïî æåëîáó áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ñ âûñîòû h =
5 r. 2
Ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé èç öåíòðà ïåòëè â òî÷êó Â, ñîñòàâëÿåò ñ âåðòèêàëüþ óãîë α. Ðàçìåðàìè øàðèêà ïðåíåáðå÷ü. 132. Íàéäèòå ñèëó íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ, ñîçäàâàåìóþ øàðèêîì â òî÷êå Ñ â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è (ñì. ðèñ. 44). Ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé èç öåíòðà ïåòëè â òî÷êó Ñ, ñîñòàâëÿåò ñ âåðòèm êàëüþ óãîë β. B 133. Øàðèê ìàññîé m r ñêîëüçèò áåç òðåíèÿ ïî h íàêëîííîìó æåëîáó, îáðàçóþO ùåìó «ìåðòâóþ ïåòëþ» ðàäèC óñîì r (ðèñ. 45). Íà êàêîé âûñîòå H1 øàðèê îòîðâåòñÿ îò Ðèñ. 44 !$
æåëîáà è äî êàêîé íàèáîëüøåé âûñîòû H2 ïîñëå ýòîãî ïîäíèìåòñÿ, åñëè îí ñïóñêàåòñÿ ïî æåëîáó áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ñ âûñîòû h = 2 r? Ðàçìåðàìè øàðèêà ïðåíåáðå÷ü. 134. Íà íèòè äëèíîé l, çàêðåïëåííîé â òî÷êå Î, ïîäâåøåí
Ðèñ. 45
øàðèê ìàññîé m. Íà ðàññòîÿíèè h =
l îò òî÷êè Î âáèò 2
ãâîçäü (ðèñ. 46). Íèòü îòêëîíÿþò îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà óãîë α = 90° è îòïóñêàþò. Êàê áóäåò äâèãàòüñÿ øàðèê, êîãäà íèòü âñòðåòèò íà ïóòè äâèæåíèÿ ãâîçäü? Íà êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó H ïîäíèìåòñÿ øàðèê ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ? 135. Íà êàêîì ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè h îò òî÷êè Î íóæíî ïîìåñòèòü ãâîçäü â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, ÷òîáû øàðèê, îòêëîíåííûé íà óãîë α = 90°, äâèãàëñÿ ïî îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå Î′? 136. Äâà îäèíàêîâûõ øàðèêà 1 è 2 ìàññîé m êàæäûé ïîäâåøåíû: îäèí íà íåðàñòÿæèìîé íèòè, äðóãîé íà ðåçèíîâîì øíóðå. Îáà øàðèêà îòêëîíåíû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà óãîë α = 90° è îòïóùåíû. Êîãäà øàðèêè ïðîõîäÿò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, äëèíà ðåçèíîâîãî øíóðà ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé äëèíå íèòè l (ðèñ. 47). Êàêîé èç øàðèêîâ ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìååò áîRëüøóþ ñêîðîñòü? 137. Íà íåâåñîìîì ñòåðæíå äëèíîé l: à) óêðåïëåí íà êîíöå øàðèê ìàññîé 2m (ðèñ. 48, à); á) óêðåïëåíû äâà îäèíàêîâûõ øàðèêà ìàññîé m êàæäûé îäèí íà 2
O
l
Ðèñ. 46
Ðèñ. 47
!%
1
êîíöå, äðóãîé ïîñåðåäèíå ñòåðæíÿ (ðèñ. 48, á). Ñòåðæåíü ìîæåò âðàùàòü2 ñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè âîêðóã l m òî÷êè çàêðåïëåíèÿ O. Êàêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü íóæíî ñîîáùèòü êîí1 öó ñòåðæíÿ â êàæäîì ñëó÷àå, ÷òîáû îí m 2m îòêëîíèëñÿ äî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîá) à) æåíèÿ? 138. Âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÐèñ. 48 ÿííîé ñêîðîñòüþ v = 36 êì/÷ ïî êðóãó ðàäèóñîì r = 34 ì. Ïîä êàêèì óãëîì α ê âåðòèêàëè îí äîëæåí íàêëîíèòü âåëîñèïåä? 139. Êàêîâ íàèìåíüøèé ðàäèóñ r êðóãà, ïî êîòîðîìó ñìîæåò ïðîåõàòü âåëîñèïåäèñò ñî ñêîðîñòüþ v = = 28,8 êì/÷, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó êîëåñàìè è çåìëåé µ = 0,3? Íàéäèòå íàèáîëüøèé óãîë α íàêëîíà âåëîñèïåäà, ïðè êîòîðîì âåëîñèïåäèñò åùå íå áóäåò ïàäàòü. 140. Ñ êàêîé ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ v ìîæåò óñòîé÷èâî, íå îïðîêèäûâàÿñü, äâèãàòüñÿ âàãîí ïî çàêðóãëåíèþ ðàäèóñîì r = 200 ì, åñëè âûñîòà öåíòðà ìàññ âàãîíà îò óðîâíÿ ðåëüñ h = 1,5 ì, ðàññòîÿíèå ìåæäó ðåëüñàìè l = 1,5 ì? 141.  êàêèõ ñëó÷àÿõ â äâèæóùåìñÿ ïîåçäå ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ óðîâíåì (ïóçûðåê âîçäóõà â òðóáêå ñ æèäêîñòüþ) äëÿ îïðåäåëåíèÿ óêëîíà æåëåçíîäîðîæíîãî ïóòè? 142.  âàãîíå ïîåçäà, äâèæóùåãîñÿ ïî çàêðóãëåíèþ ðàäèóñîì r = 404 ì ñî ñêîðîñòüþ v = 72 êì/÷, ïðîèçâîäèòñÿ âçâåøèâàíèå ãðóçà íà ïðóæèííûõ âåñàõ. Ìàññà ãðóçà ò = 5 êã. Îïðåäåëèòå ïîêàçàíèå ïðóæèííûõ âåñîâ. 143. Ñàìîëåò ìàññîé m = 300 êã ëåòèò ñî ñêîðîñòüþ v = 360 êì/÷ â âèðàæå ðàäèóñîì r = 2500 ì. Êàêîé óãîë êðåíà α äîëæåí çàäàòü ñàìîëåòó ëåò÷èê è êàêîé äîëæíà áûòü ïîäúåìíàÿ ñèëà F äëÿ òîãî, ÷òîáû âèðàæ ñîâåðøàëñÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè? Ïîäúåìíàÿ ñèëà âñåãäà íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè êðûëüåâ ñàìîëåòà. O
O
!&
144. Íà ãîðèçîíòàëüíî âðàùàþùåìñÿ ñòîëèêå óêðåïëåí âåðòèêàëüíî ñòåðæåíü, ê âåðøèíå êîòîðîãî ïðèâÿçàíà íèòü. Ê êîíöó íèòè ïðèêðåïëåí øàðèê ìàññîé ò (ðèñ. 49). Äëèíà íèòè l = = 6 ñì. Ðàññòîÿíèå ñòåðæíÿ îò îñè âðàùåíèÿ r1 = 10 ñì. Ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âðàùàåòñÿ ñòîëèê, åñëè íèòü ñîñòàâëÿåò ñ âåðòèêàëüþ óãîë α = 45°? 145. Øàðèê ìàññîé ò ïîäâåøåí íà íèòè, äëèíà êîòîðîé ðàâíà l. Øàðèê ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ïî êðóãó â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè êîíè÷åñêèé ìàÿòíèê (ðèñ. 50). Íèòü ïðè ýòîì îòêëîíÿåòñÿ îò âåðòèêàëè íà óãîë α. Íaéäèòå ïåðèîä τ âðàùåíèÿ øàðèêà.
l m
r1
Ðèñ. 49
Ðèñ. 50
§ 9. Ñòàòèêà Áîëüøèíñòâî çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà äîïóñêàåò ðåøåíèå ëèáî ñ ïîìîùüþ îáùèõ óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ (âåêòîðíàÿ ñóììà ñèë è àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ìîìåíòîâ ñèë ðàâíû íóëþ), ëèáî ñ ïîìîùüþ «çîëîòîãî ïðàâèëà» ìåõàíèêè. ×ðåçâû÷àéíî âàæíî óìåòü îäèíàêîâî ñâîáîäíî ïîëüçîâàòüñÿ ýòèìè ïðàâèëàìè. Çàäà÷è ïîäîáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äàòü âîçìîæíîñòü ó÷àùèìñÿ ïðîñëåäèòü ïðèìåíåíèå êàæäîãî èç ýòèõ ïðàâèë ê ðàñ÷åòó ðàçëè÷íûõ ñèñòåì. Ðåêîìåíäóåòñÿ âî âñåõ çàäà÷àõ, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè ðåøåíèå íåñêîëüêèìè ïóòÿìè, âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòü ïîðÿäîê äåéñòâèé ïðè ïðèìåíåíèè êàæäîãî èç íèõ. Ñåðüåçíûå çàòðóäíåíèÿ âñòðå÷àþò ó÷àùèåñÿ ïðè ïðèìåíåíèè «çîëîòîãî ïðàâèëà» ìåõàíèêè ê îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðà ðàâíîâåñèÿ îòäåëüíûõ òåë èëè ñèñòåì. Íåñêîëüêî ïîìåùåííûõ â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå çàäà÷ íà îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ òåë èìåþò öåëüþ îáðàòèòü âíèìàíèå ó÷àùèõñÿ íà ïîðÿäîê äåéñòâèé ïðè îïðåäåëåíèè èçìåíåíèÿ ñèë è èõ äåéñòâèÿ âî âðåìÿ ìàëûõ ñìåùåíèé òåëà
!'
îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, à òàêæå íà ìåòîäèêó îïðåäåëåíèÿ ïî ýòèì èçìåíåíèÿì õàðàêòåðà ñàìîãî ðàâíîâåñèÿ. Çàäà÷è íà îïðåäåëåíèå ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ ó÷àùèåñÿ ñòðåìÿòñÿ îáû÷íî ñâåñòè ê ïðèìåíåíèþ ïðàâèëà ñëîæåíèÿ ïàðàëëåëüíûõ ñèë, íàïðàâëåííûõ â îäíó ñòîðîíó. Ïðè ýòîì óæå ñàìûå ýëåìåíòàðíûå çàäà÷è, â êîòîðûõ îïðåäåëåíèå öåíòðà ìàññ âîçìîæíî òîëüêî ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ðàçëîæåíèÿ ïàðàëëåëüíûõ ñèë èëè ïðàâèëà ñëîæåíèÿ ïàðàëëåëüíûõ ñèë, íàïðàâëåííûõ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, îáû÷íî ñòàíîâÿòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíûìè. Ðåêîìåíäóåòñÿ âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòü õîä ðåøåíèÿ çàäà÷è 170, â êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîðÿäîê ïðèìåíåíèÿ âûøåóêàçàííûõ ïðàâèë ê îïðåäåëåíèþ ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñëîæíîé ôèãóðû.
H 146. Íàéäèòå ðàâíîäåéñòâóþùóþ F øåñòè ðàâíûõ ïî ìîäóëþ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê îäíîé òî÷êå è ðàñïîëîæåííûõ â îäíîé ïëîñêîñòè, åñëè óãëû ìåæäó âñåìè ñèëàìè ðàâíû ìåæäó ñîáîé (ðèñ. 51). 147. à) Äâà ÷åëîâåêà òÿíóò êàíàò çà H Ðèñ. 51 êîíöû ñ ñèëàìè F , ðàâíûìè ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíûìè ïî íàïðàâëåíèþ; á) îäèí êîíåö êàíàòà ïðèêðåïëåí ê íåïîäâèæíîé îïîðå, à äðóãîé êîíåö òÿíåò ÷åëîâåê ñ ñèëîé 2..  êàêîì ñëó÷àå ñèëà íàòÿæåíèÿ êàíàòà áóäåò áîëüøå? 148. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü ìàññîé ò = 16 êã è äëèíîé L = 1,2 ì ïîäâåøåí â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè íà êàíàòàõ: â îäíîì ñëó÷àå òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 52, à, â äðóãîì òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 52, á. Äëèíû êàíàòîâ ÀÑ, ÂÑ, AD è BE îäèíàêîâû è ðàâíû l = 1 ì. Êàíàòû
Ðèñ. 52
"
Ðèñ. 53
DA C Ñ è BE C ÀÑ. Íàéäèòå ñèëû íàòÿæåíèÿ êàíàòîâ è ñèëû, êîòîðûå áóäóò äåéñòâîâàòü íà ñòåðæåíü â êàæäîì ñëó÷àå. 149. Íà êðóãëîå áðåâíî íàäåòàH âåðåâî÷íàÿ ïåòëÿ, çà êîòîðóþ áðåâíî òÿíóò ñ ñèëîé F (ðèñ. 53). Êàê áóäåò çàâèñåòü ñèëà íàòÿæåíèÿ Ò âåðåâîê, îáðàçóþùèõ ïåòëþ, îò óãëà α? Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ñèëû íàòÿæåíèÿ âåðåâîê íà ó÷àñòêàõ À è ÀÑ áóäóò áîëüøå, ÷åì íà ó÷àñòêå AD? 150. ×òîáû âûòÿíóòü àâòîìàøèíó, çàñòðÿâøóþ íà ïëîõîé äîðîãå, øîôåð ïðèâÿçàë îäèí êîíåö êàíàòà ê ìàøèíå, äðóãîé ê äåðåâó, ñòîÿùåìó âïåðåäè íà ðàññòîÿíèè l = 12 ì. Íàëåãàÿ íà ñåðåäèíó êàíàòà â ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê íåìó íàïðàâëåíèè ñ ñèëîé F = 400 Í, øîôåð ïðîäâèíóëñÿ íà ðàññòîÿíèå s = 0,6 ì. Êàêàÿ ñèëà Q äåéñòâîâàëà íà àâòîìàøèíó â ïîñëåäíèé ìîìåíò? 151. Òÿæåëàÿ îäíîðîäíàÿ äîñêà ìàññîé ò è äëèíîé À = l óïèðàåòñÿ îäíèì êîíöîì â óãîë ìåæäó ñòåíîé è ïîëîì. Ê äðóãîìó êîíöó äîñêè ïðèâÿçàí êàíàò (ðèñ. 54). Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ Ò êàíàòà ÂÑ, åñëè óãîë ìåæäó äîñêîé è êàíàòîì β = 90°. Êàê ìåíÿåòñÿ ñèëà íàòÿæåíèÿ êàíàòà ñ Ðèñ. 54 óâåëè÷åíèåì óãëà α ìåæäó äîñêîé è ïîëîì, åñëè óãîë β îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì? 152. Îäíîðîäíàÿ áàëêà ëåæèò íà ïëàòôîðìå òàê, ÷òî îäèí êîíåö åå ñâåøèâàåòñÿ ñ ïëàòôîðìû (ðèñ. 55). Äëèíà ñâåøèâàþùåãîñÿ êîíöà ðàâíà 0,25 äëèíû áàëêè. Íà êîíåö áàëÐèñ. 55 "
H êè â òî÷êå  äåéñòâóåò ñèëà F . Ïðè çíà÷åíèè F = 2,94 êÍ ïðîòèâîïîëîæíûé êîíåö áàëêè À íà÷èíàåò ïîäíèìàòüñÿ. Íàéäèòå ìàññó ò áàëêè. 153. Ïðè âçâåøèâàíèè íà íåðàâíîïëå÷èõ ðû÷àæíûõ âåñàõ âåñ òåëà íà îäíîé ÷àøêå ïîëó÷èëñÿ ðàâíûì Ð1 = 30 Í, íà äðóãîé P2 = 34 Í. Íàéäèòå èñòèííûé âåñ òåëà Ð. 154. Íà ïðàâîé ÷àøå áîëüA C B øèõ ðàâíîïëå÷èõ ðû÷àæíûõ âåñîâ ñòîèò ÷åëîâåê, êîòîðûé óðàâíîâåøåí ãðóçîì, ïîëîæåííûì íà äðóãóþ ÷àøó. Ê ñåðåäèíå ïðàâîãî ïëå÷à âåñîâ â òî÷êå Ñ ïðèâÿçàíà âåðåâêà (ðèñ. 56). Âåñ ÷åëîâåêà ðàâåí Ðèñ. 56 Ð. Äëèíà êîðîìûñëà âåñîâ AB = l. Íàðóøèòñÿ ëè ðàâíîâåñèå, åñëè ÷åëîâåê, ñòîÿùèé íà ÷àøå âåñîâ, íà÷íåò òÿíóòü çà âåðåâêó ñ ñèëîé F < Ð ïîä óãëîì α ê âåðòèêàëè? 155. Îäèí êîíåö áàëêè çàêðåïëåí â ñòåíå òàê, ÷òî áàëêà íàõîäèòñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè (ðèñ. 57). Ê ñâîáîäíîìó êîíöó áàëêè ïðèëîæåíà ñèëà F = 1 êÍ ïîä óãëîì α = 30° ê ãîðèçîíòó. Íàéäèòå ñèëó, âûçûâàþùóþ ðàñòÿæåíèå è èçãèá áàëêè. Èçãèáîì áàëêè ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ïðåíåáðå÷ü. 156. ×òîáû âûëîæèòü êàðíèç çäàíèÿ, êàìåíùèê êëàäåò ÷åòûðå êèðïè÷à îäèí íà äðóãîé òàê, ÷òî ÷àñòü êàæäîãî êèðïè÷à âûñòóïàåò íàä íèæåëåæàùèì (ðèñ. 58). Äëèíà êèðïè÷à ðàâíà l. Íàéäèòå íàèáîëüøèå äëèíû âûñòóïàþùèõ ÷àñòåé êèðïè÷åé, ïðè êîòîðûõ êèðïè÷è â êàðíèçå åùå áóäóò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè áåç öåìåíòíîãî ðàñòâîðà.
Ðèñ. 57
Ðèñ. 58
"
157. Îäíîðîäíàÿ áàëêà ìàññîé m óðàâíîâåøåíà íà òðåóãîëüíîé ïðèçìå. Íàðóøèòñÿ ëè ðàâíîâåñèå, åñëè îòðåçàòü ÷åòâåðòóþ ÷àñòü áàëêè è ïîëîæèòü åå íà óêîðî÷åííûé êîíåö áàëêè âðîâåíü Ðèñ. 59 ñ îòðåçêîì (ðèñ. 59)? Åñëè ðàâíîâåñèå íàðóøèòñÿ, òî êàêóþ ñèëó è ê êàêîìó êîíöó áàëêè íóæíî ïðèëîæèòü, ÷òîáû ðàâíîâåñèå âîññòàíîâèëîñü? 158. Ëåñòíèöà ìàññîé ò è äëèíîé l ïðèñëîíåíà ê ãëàäêîé âåðòèêàëüíîé ñòåíå ïîä óãëîì α ê âåðòèêàëè. Öåíòð ìàññ ëåñòíèöû íàõîäèòñÿ íà âûñîòå h îò ïîëà (ðèñ. 60). ×åëîâåê òÿíåò ëåñòíèöó çà ñåðåäèíó â ãîðèçîíòàëüíîì H Ðèñ. 60 íàïðàâëåíèè ñ ñèëîé F . Êàêîé äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíàÿ ñèëà F, ÷òîáû ÷åëîâåê ñìîã îòîäâèíóòü âåðõíèé êîíåö ëåñòíèöû îò ñòåíû? Òðåíèå î ïîë íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî íèæíèé êîíåö ëåñòíèöû íå ñêîëüçèò. Ðèñ. 61 159. Êàê ëåã÷å ñäâèíóòü ñ ìåñòà æåëåçíîäîðîæíûé âàãîí: ïðèëàãàÿ ñèëó ê êîðïóñó âàãîíà èëè ïðèëàãàÿ åå ê âåðõíåé ÷àñòè îáîäà êîëåñà âàãîíà? 160. Äåðåâÿííûé áðóñîê ëåæèò íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 61). Ìàññà áðóñêà ò = 2 êã. Äëèíà íàêëîííîé ïëîñêîñòè l = 1 ì, åå âûñîòà h = 60 ñì. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ áðóñêà î íàêëîííóþ ïëîñêîñòü µ = 0,4. Ñ êàêîé ñèëîé F íóæíî ïðèæàòü áðóñîê ê íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ÷òîáû îí îñòàâàëñÿ íà íåé â ðàâíîâåñèè? 161. Òÿæåëîå áðåâíî âòÿãèâàþò ââåðõ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ ïîìîùüþ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ êàíàòîâ, çàêðåïëåííûõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 62. Ìàññà áðåâíà m = 400 êã. Äëèíà íàêëîííîé ïëîñêîñòè l = 2 ì, åå âûñîòà Ðèñ. 62 "!
Ðèñ. 63
Ðèñ. 64
H h = 1 ì. Êàêóþ ñèëó T íóæíî ïðèëîæèòü ê êàæäîìó èç êàíàòîâ, ÷òîáû âòÿíóòü áðåâíî? Óêàæèòå äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ çàäà÷è. H 162. Êàêóþ ñèëó F íóæíî ïðèëîæèòü ê êîíöó ðóêîÿòêè äèôôåðåíöèàëüíîãî âîðîòà, ÷òîáû óäåðæàòü ãðóç ìàññîé m = 50 êã? Äëèíà ðóêîÿòêè l = 1 ì. Ðàäèóñ áîëüøîãî öèëèíäðà âîðîòà r2 = 20 ñì, ðàäèóñ ìàëîãî r1 = 10 ñì (ðèñ. 63). Óêàæèòå äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ çàäà÷è. 163. Íà êàêóþ âûñîòó h ïîäíèìåòñÿ ãðóç ìàññîé m â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, åñëè âîðîò ñäåëàåò ï = 10 îáîðîòîâ? 164. Ñ ïîìîùüþ ïîêàçàííîé íà ðèñ. 64 ñèñòåìû áëîH êîâ õîòÿò ïîäíÿòü áðåâíî ìàññîé m. Ñ êàêîé ñèëîé F íóæíî äëÿ ýòîãî òÿíóòü êîíåö êàíàòà À? Êàê íóæíî ïðèêðåïèòü êîíöû êàíàòîâ  è Ñ, ÷òîáû áðåâíî ïðè ïîäúåìå áûëî ãîðèçîíòàëüíî?
A m2
2
2
3
1
Ðèñ. 65
Ðèñ. 66
""
m3
m1
1
3
165. Ñèñòåìà ãðóçîâ 1, 2 è 3 íàõîäèòñÿ A â ðàâíîâåñèè (ðèñ. 65). Ìàññû m1 ãðóçà 1 è m2 ãðóçà 2 è óãîë α, êîòîðûé ñîñòàâëÿåò íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü ñ ãîðèçîíòîì, èçâåñòíû. Íàéäèòå ìàññó m3 ãðóçà 3 è ñèëó Fä íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ ïðîèçâîäèìîãî ãðóçîì 1 íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü. m1 166. Ãðóç ìàññîé m1 = 10 êã óðàâíîâå- m2 øåí ãðóçàìè 2 è 3, ìàññû êîòîðûõ m2 è m3 2 1 (ðèñ. 66). Ïðè ýòîì íèòü, óäåðæèâàþùàÿ Ðèñ. 67 ãðóç 3, îò òî÷êè À ðàñïîëàãàåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî. Íàéäèòå ìàññó ãðóçà 3 è óãîë α, åñëè ìàññà m2 = 18 êã. 167. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç íåïîäâèæíîãî è ïîäâèæíîãî áëîêîâ, íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè (ðèñ. 67). Íàéäèòå ìàññó m2 ãðóçà 2, åñëè ìàññà ãðóçà 1 m1 = 10 êã. Íàðóøèòñÿ ëè ðàâíîâåñèå, åñëè òî÷êó çàêðåïëåíèÿ êàíàòà À ïåðåìåñòèòü âïðàâî? Åñëè ðàâíîâåñèå íàðóøèòñÿ, òî êàê áóäóò äâèãàòüñÿ ãðóçû 1 è 2? 168. Ëåãêèé ñòåðæåíü çàêðåïëåí â òî÷êå Î è ìîæåò âðàùàòüñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 68). Ê êîíöó ñòåðæíÿ â òî÷êå À ïðèêðåïëåíà, ïåðåêèíóòàÿ ÷åðåç íåïîäâèæíûé áëîê íèòü, ê äðóãîìó êîíöó êîòîðîé ïîäâåøåí ãðóç 1.  òî÷êå  ê ñòåðæíþ ïîäâåøåí ãðóç 2. Äëèíà ñòåðæíÿ ðàâíà l, ðàññòîÿíèå OB =
l . Ñèñòåìà íà3
õîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, êîãäà ñòåðæåíü ðàñïîëîæåí ãîðèçîíòàëüíî è íèòü ÀÑ âåðòèêàëüíà. Íàéäèòå ìàññó m2 ãðóçà 2, åñëè ìàññà ãðóçà 1 m1 = 3 êã. Êàê áóäåò äâèãàòüñÿ ñòåðæåíü, åñëè åãî âûâåñòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ñìåñòèâ êîíåö À íåìíîãî ââåðõ èëè âíèç? 169. Â äâóõ âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 69) ïîìåùåíû øàðèêè ìàññîé ò êàæäûé. "#
Ðèñ. 68 2m
m
m
Ðèñ. 69
Ðèñ. 70
 òðåòüåé âåðøèíå ïîìåùåí øàðèê ìàññîé 2m. Íàéäèòå ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ýòîé ñèñòåìû. 170. Íàéäèòå ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ îäíîðîäíîãî äèñêà ðàäèóñîì r, èç êîòîðîãî âûðåçàíî îòâåðñòèå ðàäèóñîì r1 (ðèñ. 70). Öåíòð âûðåçà íàõîäèòñÿ îò öåíòðà äèñêà íà ðàññòîÿíèè
r . 2
§ 10. Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ 171. Ìàññà Çåìëè M = 610 24 êã, ìàññà Ëóíû ò = 7,31022 êã. Ëóíà íàõîäèòñÿ îò Çåìëè íà ðàññòîÿíèè r = 3,8108 ì. Íàéäèòå ñèëó ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó Çåìëåé è Ëóíîé. 172.  çàïèñÿõ Ì. Â. Ëîìîíîñîâà èìååòñÿ òàêàÿ çàìåòêà: «Åñëè íà íå î÷åíü áîëüøîì ðàññòîÿíèè ðàçëè÷èå ñèëû òÿæåñòè áûëî áû âåëèêî, òî ìîæíî áûëî áû ïîñòðîèòü íåâåðíûå âåñû» (ðèñ. 71). Ïðè êàêîé ðàçíèöå l äëèí íèòåé, íà êîòîðûõ m ïîäâåøåíû îäèíàêîâûå ãðóçû, òàêèå âåñû íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè äàâàëè áû ïîãðåøm íîñòü ∆m = 0,01 ã ïðè âçâåøèâàíèè ãðóçà ìàññîé m = 10 êã? Íèòè ñ÷èòàòü íåâåñîìûÐèñ. 71 ìè. Ïëîòíîñòü Çåìëè ρ = 5,6103 êã/ì3. 173. Ðàäèóñ Çåìëè R = 6400 êì, ïëîòíîñòü Çåìëè ρ = 5,6103 êã/ì 3. Ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ñîëíöà r = 1,51011 ì. Ïåðèîä îáðàùåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà Ò = 365 ñóò. Íàéäèòå ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà Çåìëþ ñî ñòîðîíû Ñîëíöà. 174. Ïðè êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòè ω âðàùåíèÿ Çåìëè âåñ òåë íà ýêâàòîðå îáðàòèëñÿ áû â íóëü? Ïëîòíîñòü Çåìëè ρ = 5,6103 êã/ì3. 175. Ñðåäíÿÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà ω =1,75102 ðàä/ñóò. Ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ñîëíöà r = 1,51011 ì. Íàéäèòå ìàññó Ì Ñîëíöà. "$
176. Ðåêîðäíàÿ âûñîòà ïîäúåìà ñòðàòîñòàòà «Îñîàâèàõèì» áûëà h = 22 êì. Íàñêîëüêî èçìåíèëîñü ïðè ïîäúåìå íà òàêóþ âûñîòó óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ? Ïëîòíîñòü Çåìëè ρ = 5,6103 êã/ì3. 177.  êàêèå âðåìåíà ãîäà ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà áîëüøå è â êàêèå ìåíüøå? 178. Äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðîå òåëî ïåðåìåùàåòñÿ âíóòðè Çåìëè îò ïîâåðõíîñòè ê åå öåíòðó. Êàêîâà áóäåò çàâèñèìîñòü ñèëû òÿãîòåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà òåëî, îò ðàññòîÿíèÿ òåëà äî öåíòðà Çåìëè? Ñ÷èòàòü Çåìëþ øàðîì è ïëîòíîñòü åå âñþäó ïîñòîÿííîé.
§ 11. Êîëåáàíèÿ Îñíîâíîå âíèìàíèå â çàäà÷àõ ýòîãî ïàðàãðàôà ñîñðåäîòî÷åíî íà êðàòêîì ïîâòîðåíèè îñíîâíûõ çàêîíîâ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà è íà âûÿñíåíèè çàâèñèìîñòè ïåðèîäà êîëåáàíèé îò ìàññû òåëà, ñîâåðøàþùåãî êîëåáàíèÿ, è îò õàðàêòåðà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà êîëåáëþùååñÿ òåëî.  ýòèõ çàäà÷àõ òàêæå âûÿñíÿåòñÿ çàâèñèìîñòü ñèë, íåîáõîäèìûõ äëÿ ñîçäàíèÿ êîëåáàíèé, îò àìïëèòóäû, ÷àñòîòû êîëåáàíèé è ìàññû òåëà. Êà÷åñòâåííûé àíàëèç ýòèõ çàâèñèìîñòåé âïîëíå äîñòóïåí ó÷àùèìñÿ è íåîáõîäèì äëÿ ïîíèìàíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ. Ðåêîìåíäóåòñÿ îñîáåííî âíèìàòåëüíî ðàññìîòðåòü ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà íà äâèæóùåéñÿ ñ óñêîðåíèåì òåëåæêå (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 182), à òàêæå ðàçîáðàòü äåòàëüíî ðåøåíèÿ çàäà÷ 183 è 184.
179. Òî÷íûå àñòðîíîìè÷åñêèå ÷àñû ñ ñåêóíäíûì ìàÿòíèêîì óñòàíîâëåíû â ïîäâàëå ãëàâíîãî çäàíèÿ Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà. Íàñêîëüêî áóäóò îòñòàâàòü çà ñóòêè ýòè ÷àñû, åñëè èõ ïåðåíåñòè íà âåðõíèé ýòàæ çäàíèÿ óíèâåðñèòåòà? Âûñîòà âåðõíåãî ýòàæà îòíîñèòåëüíî ïîäâàëà h = 200 ì. Ñ÷èòàòü ðàäèóñ Çåìëè R = 6400 êì. 180. Äâà ìàÿòíèêà îäíîâðåìåííî íà÷èíàþò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ. Çà âðåìÿ ïåðâûõ N1 = 15 êîëåáàíèé ïåðâîãî ìàÿòíèêà âòîðîé ìàÿòíèê ñîâåðøèë òîëüêî N2 = 10 êîëåáàíèé. Íàéäèòå îòíîøåíèå l1/l2 äëèí ýòèõ ìàÿòíèêîâ. "%
181. Ìàÿòíèê óêðåïëåí íà äîñêå, êîòîðàÿ ìîæåò ñâîáîäíî áåç òðåíèÿ ïàäàòü ïî íàïðàâëÿþùèì òðîñàì. Ïåðåä íà÷àëîì ïàäåíèÿ ìàÿòíèê áûë îòêëîíåí îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ðèñ. 72). Áóäåò ëè ìàÿòíèê ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ âî âðåìÿ ïàäåíèÿ äîñêè? 182. Ìàÿòíèê óêðåïëåí íà òåëåæêå, ñêàÐèñ. 72 òûâàþùåéñÿ áåç òðåíèÿ ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà íà íåïîäâèæíîé òåëåæêå ðàâåí T0. Êàê èçìåíèòñÿ ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà âî âðåìÿ ñêàòûâàíèÿ òåëåæêè? 183. Äëÿ ïðèáëèçèòåëüíîé îöåíêè ìàëûõ àìïëèòóä êîëåáàíèé ïîâåðõíîñòè çâó÷àùèõ òåë áûë ïðåäëîæåí ñëåäóþùèé ìåòîä. Íà èññëåäóåìóþ ïîâåðõíîñòü íàñûïàåòñÿ òîíêèé ñëîé ñóõîãî ïåñêà. Ïðè âîçáóæäåíèè êîëåáàíèé ïîâåðõíîñòè ïåñ÷èíêè íà÷èíàþò òàêæå êîëåáàòüñÿ âìåñòå ñ íåé. Åñëè àìïëèòóäó êîëåáàíèé ñäåëàòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé, òî ïåñ÷èíêè îòäåëÿþòñÿ îò ïîâåðõíîñòè è êàê áû íà÷èíàþò ïîäïðûãèâàòü. Åñëè ðàçíûå ÷àñòè ïîâåðõíîñòè êîëåáëþòñÿ ñ ðàçíûìè àìïëèòóäàìè (íàïðèìåð, òåëåôîííàÿ ìåìáðàíà), òî ïåñ÷èíêè ïîñòåïåííî ñîáèðàþòñÿ â ìåñòàõ, êîëåáëþùèõñÿ ñ íàèìåíüøåé àìïëèòóäîé. Îáúÿñíèòå ïðè÷èíû òàêîãî ïîâåäåíèÿ ïåñ÷èíîê. Áóäåò ëè âëèÿòü íà õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ ïåñ÷èíîê èõ ìàññà è ÷àñòîòà êîëåáàíèé? 184. Àðåîìåòð, ñîñòîÿùèé èç øàðèêà, çàïîëíåííîãî äðîáüþ, è öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêè, ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êîòîðîé S, ïîìåùåí â æèäêîñòü. Ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ. Àðåîìåòð ïîãðóæàþò â æèäêîñòü íåñêîëüêî ãëóáæå, ÷åì ýòî íåîáõîäèìî äëÿ åãî ðàâíîâåñèÿ, è çàòåì îòïóñêàþò. Àðåîìåòð ïîñëå ýòîãî íà÷èíàåò ñîâåðøàòü ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé àðåîìåòðà ïðè óâåëè÷åíèè åãî ìàññû? óìåíüøåíèè äèàìåòðà òðóáêè? óâåëè÷åíèè ïëîòíîñòè æèäêîñòè? 185. Íà äâóõ âðàùàþùèõñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû âàëèêàõ ëåæèò ãîðèçîíòàëüíî äîñêà (ðèñ. 73). Ðèñ. 73 "&
Ìàññà äîñêè ðàâíà ò. Ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè âàëèêîâ ðàâíî 2l. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó äîñêîé è êàæäûì èç âàëèêîâ ðàâåí µ. Åñëè äîñêó ïîëîæèòü òàê, ÷òî åå öåíòð ìàññ áóäåò ñìåùåí íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå õ îò ñðåäíåé ëèíèè OO, òî êàêèå äâèæåíèÿ áóäåò ñîâåðøàòü äîñêà ïîä äåéñòâèåì ñèë òðåíèÿ, ñîçäàâàåìûõ âàëèêàìè?
§ 12. Ãèäðî- è àýðîñòàòèêà 186. Ïîðøåíü, ïëîòíî ïðèëåãàþùèé ê âíóòðåííèì ñòåíêàì äëèííîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáû, ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ â íåé ñ ïîìîùüþ äëèííîãî øòîêà. Òðóáó ñ ïîðøíåì, çàíèìàþùèì êðàéíåå íèæíåå ïîëîæåíèå, îïóñòèëè â êîëîäåö. Êîãäà íèæíÿÿ ÷àñòü òðóáû ïîãðóçèëàñü â âîäó, ïîðøåíü ñòàëè ïîäíèìàòü ñ ïîìîùüþ øòîêà (ðèñ. 74). Íà êàêóþ âûñîòó h îò óðîâíÿ âîäû â êîëîäöå ìîæåò ïîäíÿòüñÿ òàêèì ñïîñîáîì âîäà â òðóáå? Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p 0 = 100 êÏà. Ïëîòíîñòü âîäû Ðèñ. 74 ρ0 = 1103 êã/ì3. 187. Ïîä êàêèì äàâëåíèåì p0 äîëæíà äàâàòü âîäó íàñîñíàÿ ñòàíöèÿ, ðàñïîëîæåííàÿ â ïîäâàëå ãëàâíîãî çäàíèÿ Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà, ÷òîáû äàâëåíèå âîäû â âîäîïðîâîäå íà âûñîòå âåðõíåãî ýòàæà áûëî íå ìåíåå p = 150 êÏà? Âûñîòà âåðõíåãî ýòàæà îòíîñèòåëüíî íàñîñíîé ñòàíöèè h = 200 ì. Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 188.  ïîäâîäíîé ÷àñòè ñóäíà îáðàçîâàëîñü îòâåðñòèå, ïëîùàäü ñå÷åíèÿ êîòîðîãî S = 5 ñì2. Îòâåðñòèå íàõîäèòñÿ íèæå óðîâíÿ âîäû íà ðàññòîÿíèè h = 3 ì. Êàêàÿ ìèíèìàëüíàÿ ñèëà F òðåáóåòñÿ, ÷òîáû óäåðæàòü çàïëàòó, çàêðûâàþùóþ îòâåðñòèå ñ âíóòðåííåé ñòîðîíû ñóäíà? Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 189.  ñîñóäå íàõîäèòñÿ ñæàòûé äî äàâëåíèÿ p = 400 êÏà âîçäóõ. Äëÿ òîãî ÷òîáû óäåðæàòü ïðîáêó, çàêðûâàþùóþ êðóãëîå îòâåðñòèå â ñîñóäå, íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ñèëó "'
A
Ðèñ. 75
Ðèñ. 76
F = 94 Í. Ðàäèóñ îòâåðñòèÿ r = 1 ñì. Íàéäèòå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0. 190. Êîíöû ðàçäâîåííîé ñòåêëÿííîé òðóáêè îïóùåíû â ñîñóäû ñ ðàçíûìè æèäêîñòÿìè (ðèñ. 75). ×åðåç âåðõíèé êîíåö òðóáêè èç íåå îòêà÷àëè íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî âîçäóõà. Ïðè ýòîì æèäêîñòü ïîäíÿëàñü â ëåâîì êîëåíå íà âûñîòó h0 = 10 ñì, â ïðàâîì íà âûñîòó h = 12 ñì. Íàéäèòå ïëîòíîñòü ρ æèäêîñòè, íàõîäÿùåéñÿ â ïðàâîì ñîñóäå, åñëè â ëåâîì ñîñóäå íàõîäèòñÿ âîäà. Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 191. Äî êàêîì âûñîòû h íóæíî íàëèòü îäíîðîäíóþ æèäêîñòü â öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ðàäèóñîì r, ÷òîáû ñèëà, ñ êîòîðîé æèäêîñòü áóäåò äàâèòü íà áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ñîñóäà, áûëà ðàâíà ñèëå äàâëåíèÿ íà äíî ñîñóäà? 192. Èç òðóáêè, îïóùåííîé îäíèì êîíöîì â âîäó, îòêà÷àëè íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî âîçäóõà. Ïðè ýòîì âîäà ïîäíÿëàñü â òðóáêå âûøå êðàíà À (ðèñ. 76). Áóäåò ëè âûòåêàòü èç êðàíà À âîäà, åñëè åãî îòêðûòü? 193. Áàðîìåòð ïîêàçûâàåò â âîçäóõå äàâëåíèå p0 = 100 êÏà. Íàéäèòå äàâëåíèå p íà ãëóáèíå h = 10 ì ïîä ïîâåðõíîñòüþ âîäû. 194.  êðûøêå áîëüøîãî ñîñóäà, íàïîëíåííîãî âîäîé, èìååòñÿ öèëèíäðè÷åñêîå îòâåðñòèå, ïëîòíî çàêðûòîå ïîðøíåì Ðèñ. 77 (ðèñ. 77).  ïîðøåíü âäåëàíà âåðòèêàëü#
íàÿ òðóáêà ðàäèóñîì r = 5 ñì. Ðàäèóñ ïîðøíÿ R = 10 ñì, ìàññà ïîðøíÿ ñ òðóáêîé ò = 20 êã. Äî êàêîé âûñîòû h ïîäíèìåòñÿ âîäà â òðóáêå ïðè ðàâíîâåñèè ïîðøíÿ? Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 195.  öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä íàëèòû ðòóòü è âîäà. Ìàññû æèäêîñòåé îäèíàêîâû. Îáùàÿ âûñîòà äâóõ ñëîåâ æèäêîñòåé H = 29,2 ñì. Íàéäèòå äàâëåíèå p æèäêîñòåé íà äíî ñîñóäà. Ïëîòíîñòü ðòóòè ρ = 1,36104 êã/ì3, âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 196.  äâóõ ñîîáùàþùèõñÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ñîñóäàõ ñ îäèíàêîâîé ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S = 11,5 ñì2 íàõîäèòñÿ ðòóòü.  îäèí èç ñîñóäîâ ïîâåðõ ðòóòè íàëèâàþò âîäó ìàññîé m0 = 1 êã è îïóñêàþò ïëàâàòü â âîäå òåëî, ìàññà êîòîðîãî m = 150 ã. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå h ïåðåìåñòèòñÿ óðîâåíü ðòóòè âî âòîðîì ñîñóäå ïîñëå íàëèâàíèÿ âîäû è îïóñêàíèÿ òåëà? Ïëîòíîñòü ðòóòè ρ = 1,36 104 êã/ì3. 197.  äâà êîëåíà U-îáðàçíîé òðóáêè íàëèòû âîäà è ìàñëî, ðàçäåëåííûå ðòóòüþ (ðèñ. 78). Ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ðòóòè è æèäêîñòåé â îáîèõ êîëåíàõ íàõîäÿòñÿ íà îäíîé âûñîòå. Íàéäèòå âûñîòó ñòîëáà âîäû h0, åñëè âûñîòà ñòîëáà ìàñëà h = 20 ñì. Ïëîòíîñòü ìàñëà ρ = = 9102 êã/ì3, âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 198.  äâóõ ñîîáùàþùèõñÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ñîñóäàõ íàõîäèòñÿ ðòóòü. Äèàìåòð îäíîãî ñîñóäà â ÷åòûðå ðàçà áîëüøå äèàìåòðà äðóãîãî (ðèñ. 79).  ëåâûé ñîñóä íàëèâàþò ñòîëá âîäû âûñîòîé h0 = 70 ñì. Íàñêîëüêî ïîäíèìåòñÿ óðîâåíü ðòóòè â ïðàâîì ñîñóäå è îïóñòèòñÿ â ëåâîì? Ïëîòíîñòü ðòóòè ρ = 1,36104 êã/ì 3, âîäû ρ0 = 1 103 êã/ì3.
Ðèñ. 78
Ðèñ. 79
#
199. Ðòóòü íàõîäèòñÿ â U-îáðàçíîé òðóáêå. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ëåâîãî êîëåíà òðóáêè â òðè ðàçà ìåíüøå, ÷åì ïðàâîãî. Óðîâåíü ðòóòè â ëåâîì êîëåíå ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè h0 = 30 ñì îò âåðõíåãî êîíöà òðóáêè. Íàñêîëüêî ïîäíèìåòñÿ óðîâåíü ðòóòè â ïðàâîì êîëåíå òðóáêè, åñëè ëåâîå êîëåíî äîâåðõó çàëèòü âîäîé? Ïëîòíîñòü ðòóòè ρ = 1,36104 êã/ì3, âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 200.  äâóõ ñîîáùàþùèõñÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ñîñóäàõ, èìåþùèõ îäèíàêîâûå äèàìåòð è âûñîòó, íàõîäèòñÿ ðòóòü (ðèñ. 80).  îäíîì èç ñîñóäîâ ïîâåðõ ðòóòè íàëèò ñòîëá âîäû âûñîòîé h0 = 32 ñì. Êàê áóäóò ðàñïîëîæåíû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà óðîâíè ðòóòè â îáîèõ ñîñóäàõ, åñëè îáà ñîñóäà äîÐèñ. 80 âåðõó çàëèòü êåðîñèíîì? Ïëîòíîñòü ðòóòè ρ = 1,36104 êã/ì3, âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3, êåðîñèíà ρê = 8102 êã/ì3. 201. Íà âåñàõ óðàâíîâåñèëè ñîñóä ñ âîäîé è çàòåì îïóñòèëè â íåãî êîíåö äåðåâÿííîé ïàëî÷êè, äåðæà äðóãîé êîíåö åå â ðóêàõ. Êàêîé ìàññû ò ãðóç íåîáõîäèìî ïîëîæèòü íà äðóãóþ ÷àøêó âåñîâ äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, åñëè îáúåì ïîãðóæåííîé ÷àñòè ïàëî÷êè V = 50 ñì3? 202. Ïëîâåö íåïîäâèæíî ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè âîäû ëèöîì ââåðõ, ïðè÷åì â âîäó ïîãðóæåíî âñå òåëî, çà èñêëþ÷åíèåì íåáîëüøîé ÷àñòè ëèöà. Ìàññà ïëîâöà m = 75 êã. Íàéäèòå îáúåì V òåëà ïëîâöà. 203. Àðåîìåòð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòåêëÿííóþ öèëèíäðè÷åñêóþ òðóáêó, çàïàÿííóþ ñ îáîèõ êîíöîâ. Äëèíà òðóáêè l = 20 ñì, âíåøíèé äèàìåòð D = 1,2 ñì, òîëùèíà ñòåíîê d = 1 ìì.  íèæíþþ ÷àñòü òðóáêè íàëèòà ðòóòü îáúåìîì V = 1 ñì3. Ïëîòíîñòü ñòåêëà ρ1 = 2,6103 êã/ì3, ðòóòè ρ2 = 1,36104 êã/ì3. Êàêîâà ìèíèìàëüíàÿ ïëîòíîñòü ρ æèäêîñòè, êîòîðóþ ìîæíî èçìåðÿòü ñ ïîìîùüþ òàêîãî àðåîìåòðà? 204. Ñïëîøíîé îäíîðîäíûé øàð îáúåìîì V ïëàâàåò íà ãðàíèöå äâóõ íåñìåøèâàþùèõñÿ æèäêîñòåé (ðèñ. 81). Ïëîòíîñòü âåðõíåé æèäêîñòè ðàâíà ρ1, íèæíåé ρ2. Ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà øàðà ðàâÐèñ. 81 #
íà ρ, ïðè÷åì ρ1 < ρ < ρ2. Êàêàÿ ÷àñòü îáúåìà øàðà áóäåò íàõîäèòüñÿ â âåðõíåé, à êàêàÿ ÷àñòü â íèæíåé æèäêîñòè? 205.  ñîñóä íàëèòà ðòóòü è ïîâåðõ íåå ìàñëî. Øàð, îïóùåííûé â ñîñóä, ïëàâàåò òàê, ÷òî îí ðîâíî íàïîëîâèíó ïîãðóæåí â ðòóòü (ñì. ðèñ. 81). Íàéäèòå ïëîòíîñòü ρ ìàòåðèàëà øàðà. Ïëîòíîñòü ìàñëà ρ1 = 9102 êã/ì3, ðòóòè ρ2 =1,36104 êã/ì3. 206. Òåëî êóáè÷åñêîé ôîðìû ïëàâàåò íà ïîâåðõíîñòè ðòóòè òàê, ÷òî â ðòóòü ïîãðóæåíî 0,25 åãî îáúåìà. Êàêàÿ ÷àñòü îáúåìà òåëà áóäåò ïîãðóæåíà â ðòóòü, åñëè ïîâåðõ íåå íàëèòü ñëîé âîäû, ïîëíîñòüþ çàêðûâàþùèé òåëî? Ïëîòíîñòü ðòóòè ρ =1,36104 êã/ì3, âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 207. Íàéäèòå ïëîòíîñòü ρ ìàòåðèàëà îäíîðîäíîãî òåëà, êîòîðîå èìååò â âîçäóõå âåñ P1 = 2,8 Í, à â âîäå Ð2 = = 1,69 Í. Ïîòåðåé âåñà â âîçäóõå ïðåíåáðå÷ü. Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 208. Âåñ òåëà â âîäå â òðè ðàçà ìåíüøå, ÷åì â âîçäóõå. Íàéäèòå ïëîòíîñòü ρ ìàòåðèàëà òåëà. Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 =1103 êã/ì3. 209. Íà îäíîé ÷àøêå âåñîâ ëåæèò êóñîê ñåðåáðà ìàññîé m1 = 0,1 êã, íà äðóãîé êóñîê ñòåêëà ìàññîé m2 = 0,13 êã. Êàêàÿ ÷àøêà ïåðåòÿíåò ïðè ïîãðóæåíèè âåñîâ â âîäó? Ïëîòíîñòü ñåðåáðà ρ1 = 1,05104 êã/ì3, ñòåêëà ρ2 = = 2,6103 êã/ì3, âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 210. Ìåäíûé øàð ñ âíóòðåííåé ïîëîñòüþ èìååò â âîçäóõå âåñ Ð1 = 2,64 Í, â âîäå P2 = 2,21 Í. Íàéäèòå îáúåì V âíóòðåííåé ïîëîñòè øàðà. Ïëîòíîñòü ìåäè ρ = 8,8103 êã/ì3, âîäû ρ0= 1103 êã/ì3. 211. Êóñîê æåëåçà èìååò â âîäå âåñ Ð = 4 Í. Íàéäèòå åãî îáúåì V. Ïëîòíîñòü æåëåçà ρ = 7,8103 êã/ì3, âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 212. Òîíêîñòåííàÿ òðóáêà ðòóòíîãî òåðìîìåòðà â âîçäóõå èìååò âåñ P1 = 0,66 Í, à â âîäå Ð2 = 0,44 Í. Íàéäèòå ìàññó ò ðòóòè, çàïîëíÿþùåé òðóáêó. Ïëîòíîñòü ðòóòè ρ = 1,36104 êã/ì3, ñòåêëà ρñ = 2,6103 êã/ì3, âîäû ρ0 = 1103 êã/ì3. 213. Äâà òåëà, èìåþùèå îáúåìû V è 2V, óðàâíîâåøåíû íà âåñàõ. Çàòåì áîëüøåå òåëî ïîãðóæåíî â ìàñëî, #!
ïëîòíîñòü êîòîðîãî ρ1 = 9102 êã/ì3. Êàêîâà äîëæíà áûòü ïëîòíîñòü ρ2 æèäêîñòè, â êîòîðóþ ñëåäóåò ïîãðóçèòü ìåíüøåå òåëî, ÷òîáû ðàâíîâåñèå âåñîâ íå íàðóøèëîñü? 214. Íàéäèòå èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òåëà îáúåìîì V, ïîäíèìàåìîãî â âîäå íà âûñîòó h. Èçìåíèòñÿ ëè ïðè ïîäúåìå òåëà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âîäû, íàõîäÿùåéñÿ â ýòîì ñîñóäå? Ðàññìîòðèòå ñëó÷àè, êîãäà ïëîòíîñòü ρ ìàòåðèàëà òåëà áîëüøå è êîãäà ìåíüøå ïëîòíîñòè ρ0 âîäû. 215. Òåëî îáúåìîì V0 = 500 ñì3 ïðè âçâåøèâàíèè â âîçäóõå áûëî óðàâíîâåøåíî íà âåñàõ ìåäíûìè ãèðÿìè ìàññîé m = 0,45 êã. Íàéäèòå ìàññó m0 òåëà. Ïëîòíîñòü ìåäè ρ = 8,8103 êã/ì3, âîçäóõà ρâ = 1,29 êã/ì3. 216. Ïðè òî÷íîì âçâåøèâàíèè îáû÷íî ââîäÿò ïîïðàâêó íà ïîòåðþ âåñà â âîçäóõå äëÿ âçâåøèâàåìîãî òåëà è ãèðåê.  êàêîì ñëó÷àå ìîæíî íå ââîäèòü ýòó ïîïðàâêó, íå óìåíüøàÿ òî÷íîñòè âçâåøèâàíèÿ? 217. Åñëè ñîñóä çàïîëíåí âîçäóõîì, åãî ìàññà ðàâíà m0 = 0,1288 êã. Ïðè çàïîëíåíèè ñîñóäà óãëåêèñëûì ãàçîì åãî ìàññà ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé m1 = 0,1295 êã, ïðè çàïîëíåíèè âîäîé m2 = 1,148 êã. Íàéäèòå ïëîòíîñòü óãëåêèñëîãî ãàçà ρ1, îáúåì V è ìàññó ò ñîñóäà. Ïëîòíîñòü âîçäóõà ρ0 = 1,29 êã/ì3, âîäû ρ2 = 1103 êã/ì3. 218. Ðåçèíîâûé øàð îáúåìîì V = 100 ì3 íàïîëíåí âîäîðîäîì. Âåñ îáîëî÷êè âìåñòå ñ âîäîðîäîì P = 500 Í. Íàéäèòå ïîäúåìíóþ ñèëó F øàðà è ïëîòíîñòü ρ ñëîÿ âîçäóõà, â êîòîðîì øàð áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè. Ïëîòíîñòü âîçäóõà ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè ρ0 = 1,29 êã/ì3. 219. Êàêîâî äîëæíî áûòü ñîîòíîøåíèå îáúåìîâ âîäû è ñïèðòà äëÿ òîãî, ÷òîáû èõ ñìåñü èìåëà ïëîòíîñòü ρ = 910 2 êã/ì 3? Ïðè ñìåøèâàíèè ñïèðòà ñ âîäîé ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå îáúåìà ñìåñè: îáúåì ñìåñè ñîñòàâëÿåò 0,97 îò ïåðâîíà÷àëüíîãî îáúåìà âîäû è ñïèðòà. Ïëîòíîñòü âîäû ρ1 = 1103 êã/ì3, ñïèðòà ρ2 = 8102 êã/ì3. 220. Ðåçèíîâûé øàð îáúåìîì V = 5 ë íàïîëíåí âîçäóõîì. Âåñ îáîëî÷êè øàðà Ð = 0,015 Í.  êàêîì ñîîòíîøåíèè äîëæíû áûòü âçÿòû îáúåìû óãëåêèñëîãî ãàçà è âîçäóõà äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ñìåñè, â êîòîðîé ìîã áû ïëàâàòü, íå ïîãðóæàÿñü è íå âñïëûâàÿ, òàêîé øàð? Ïëîòíîñòü #"
âîçäóõà ρ0 = 1,29 êã/ì3, óãëåêèñëîãî ãàçà ρ = 1,98 êã/ì3. 221. Ïîñòðîéòå ãðàôèê èçìåíåíèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âûñîòû, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ óðîâåíü âîäû â îòêðûòîì ñîñóäå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 82, åñëè ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ âîäû èç ïîäâîäÿùåé òðóáêè À ìåíüøå ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿ èç ñèôîííîé òðóáêè Â.
Ðèñ. 82
II. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ § 13. Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå òåë 222. Ìàÿòíèê ÷àñîâ ïðè òåìïåðàòóðå t0 èìååò äëèíó l0 è ïðè ýòîì ÷àñû èäóò òî÷íî. Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ìàòåðèàëà ìàÿòíèêà α = 1,85105 Ê1. Íàñêîëüêî áóäóò îòñòàâàòü èëè óáåãàòü ÷àñû çà âðåìÿ τ = 1 ñóò, åñëè òåìïåðàòóðà â ïîìåùåíèè áóäåò íà ∆t = 10 °C âûøå t0? Ïðè âûâîäå ôîðìóëû ó÷åñòü ìàëîñòü êîýôôèöèåíòà ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ìàòåðèàëà ìàÿòíèêà. 223. Ñòàëüíîé ñòåðæåíü, èìåþùèé ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S = 10 ñì2, êîíöàìè óïèðàåòñÿ â äâå æåñòêî çàêðåïëåííûå ìàññèâíûå ñòàëüíûå ïëèòû. Ñ êàêîé ñèëîé F ñòåðæåíü áóäåò äàâèòü íà êàæäóþ èç ïëèò, åñëè åãî òåìïåðàòóðà ïîâûñèòñÿ íà ∆t = 15 °Ñ? Ìîäóëü Þíãà äëÿ ñòàëè E = 206 ÃÏà. Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ñòàëè α = 1,1105 Ê1. 224. Ïðè èçìåðåíèè ñòàëüíûì øòàíãåíöèðêóëåì äëèíà ñòåðæíÿ îêàçàëàñü ðàâíîé l = 180 ìì. Òåìïåðàòóðà âî âðåìÿ èçìåðåíèÿ áûëà t = 10 °Ñ. Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ñòàëè α = 1,1105 Ê1. ##
Êàêîâà îøèáêà ýòîãî èçìåðåíèÿ, åñëè äåëåíèÿ øêàëû øòàíãåíöèðêóëÿ íàíîñèëèñü ïðè òåìïåðàòóðå t 0 = = 20 °Ñ? 225. Ñòàëüíàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ äåòàëü ïðè îáðàáîòêå íà òîêàðíîì ñòàíêå íàãðåâàåòñÿ äî òåìïåðàòóðû t = 80 °Ñ. Äåòàëü ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 10 °Ñ äîëæíà èìåòü äèàìåòð d0 = 5 ñì. Äîïóñêàåìûå îòêëîíåíèÿ îò çàäàííîãî ðàçìåðà íå äîëæíû ïðåâûøàòü ∆d = 10 ìêì. Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ñòàëè α = 1,1105 Ê1. Ñëåäóåò ëè ïðè èçìåðåíèÿõ âî âðåìÿ îáðàáîòêè âíîñèòü ïîïðàâêè íà òåïëîâîå ðàñøèðåíèå äåòàëè? 226. Ïðè èçãîòîâëåíèè íåêîòîðîãî ïðèáîðà îêàçàëîñü íåîáõîäèìûì îáåñïå÷èòü ïîñòîÿíñòâî ðàçíîñòè äëèí æåëåçíîãî è ìåäíîãî öèëèíäðîâ ïðè ëþáûõ èçìåíåíèÿõ òåìïåðàòóðû. Êàêóþ äëèíó äîëæíû èìåòü ýòè öèëèíäðû ïðè t = 0 °Ñ, ÷òîáû ðàçíèöà èõ ïðè âñåõ òåìïåðàòóðàõ áûëà ðàâíà ∆l = 10 ñì? Òåìïåðàòóðíûå êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ æåëåçà è ìåäè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî α1 = 1,1105 Ê1, α2 = 1,7105 Ê1. 227. Ëàòóííàÿ øêàëà ðòóòíîãî áàðîìåòðà áûëà âûâåðåíà ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ. Ïðè òåìïåðàòóðå t = 18 °Ñ áàðîìåòð ïîêàçàë äàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå äëèíå L = 760 äåëåíèé øêàëû. Ïðèâåäèòå ïîêàçàíèå áàðîìåòðà ê òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ. Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ëàòóíè α = 1,9105 Ê1. Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ ðòóòè β = 1,8104 Ê1. 228. Îáúåìû òîíêîñòåííîãî ëàòóííîãî ñîñóäà è ñïëîøíîãî ëàòóííîãî øàðà ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ îäèíàêîâû è ðàâíû V0 = 1 äì3. Íàñêîëüêî èçìåíÿòñÿ îáúåìû ñîñóäà è øàðà ïðè íàãðåâàíèè äî òåìïåðàòóðû t = 20 °Ñ? Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ëàòóíè α = 1,9105 Ê1. 229. Ïðè íàáëþäåíèè òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòåé (äëÿ èñêëþ÷åíèÿ âëèÿíèÿ èçìåíåíèÿ îáúåìà V0 ñòåêëÿííîãî ñîñóäà âî âðåìÿ íàãðåâàíèÿ) ÷àñòü ñîñóäà çàïîëíÿþò ñïëàâîì. Òåìïåðàòóðíûå êîýôôèöèåíòû îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ ñïëàâà è ñòåêëà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî β = 8105 Ê1, β0 = 3105 Ê1. Êàêàÿ ÷àñòü #$
îáúåìà ñîñóäà äîëæíà áûòü çàïîëíåíà ñïëàâîì, ÷òîáû òåïëîâîå ðàñøèðåíèå ñîñóäà áûëî ïîëíîñòüþ ñêîìïåíñèðîâàíî? 230. Îäíî âðåìÿ äëÿ èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóð ïîëüçîâàëèñü òàê íàçûâàåìûì âåñîâûì òåðìîìåòðîì. Ýòîò òåðìîìåòð ïðåäñòàâëÿë ñîáîé ïîëûé ïëàòèíîâûé øàð, çàïîëíåííûé ðòóòüþ.  øàðå èìåëîñü êàïèëëÿðíîå îòâåðñòèå. Îá óâåëè÷åíèè òåìïåðàòóðû ñóäèëè ïî ìàññå ðòóòè, âûòåêàâøåé èç îòâåðñòèÿ. Êàêàÿ ìàññà ∆m ðòóòè äîëæíà âûòåêàòü èç îòâåðñòèÿ òàêîãî òåðìîìåòðà ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû íà ∆t = 1° Ñ, åñëè ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ öåëèêîì çàïîëíåííûé øàð òåðìîìåòðà âìåùàåò ìàññó m0 = 700 ã ðòóòè? Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ ïëàòèíû β1 = 2,7105 Ê1, ðòóòè β2 = 1,8104 Ê1. 231.  ðàáîòå «Î âîëüíîì äâèæåíèè âîçäóõà â ðóäíèêàõ» Ì.Â. Ëîìîíîñîâ âïåðâûå ðàñêðûë ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ ïîñòîÿííûõ ïîòîêîâ âîçäóõà â øàõòàõ.  ÷àñòíîñòè, îí ðàññìîòðåë äâèæåíèå âîçäóõà â øàõòàõ òèïà ïîêàçàííîé íà ðèñ. 83. Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ âîçäóõà â òàêîé øàõòå çèìîé è ëåòîì. Ñ÷èòàòü òåìïåðàòóðó âîçäóõà ïîñòîÿííîé è îäèíàêîâîé âî âñåõ òî÷êàõ øàõòû è âî âñå âðåìåíà ãîäà.
Ðèñ. 83
Ðèñ. 84
232.  ðàáîòå «Î âîëüíîì äâèæåíèè âîçäóõà â ðóäíèêàõ» Ì. Â. Ëîìîíîñîâ ðàññìîòðåë äâèæåíèå âîçäóõà â øòîëüíÿõ òèïà ïîêàçàííîé íà ðèñ. 84. Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ âîçäóõà â òàêîé øòîëüíå çèìîé è ëåòîì. Äîïóùåíèÿ òå æå, ÷òî è â çàäà÷å 231. #%
§ 14. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû. Òåïëîîáìåí 233.  ñîñóä, ñîäåðæàùèé âîäó ìàññîé m1 = 200 ã ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 8 °Ñ, ïîãðóæàþò ëåä ìàññîé m2 = 300 ã, èìåþùèé òåìïåðàòóðó t2 = 20 °Ñ. Êàêóþ òåìïåðàòóðó θ áóäåò èìåòü ñîäåðæèìîå ñîñóäà ïîñëå òîãî, êàê óñòàíîâèòñÿ òåïëîâîå ðàâíîâåñèå? 234.  ñîñóä, çàïîëíåííûé òàþùèì ëüäîì, ïîìåùàþò êóñîê ÷óãóíà ìàññîé m = 325 ã è îáúåìîì V = 48 ñì3. Ïëîòíîñòü ÷óãóíà ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °C ðàâíà ρ0 = = 6,8103 êã/ì3, óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ñ = 0,5 êÄæ/(êãÊ), òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ ÷óãóíà β = 3,3105 Ê1. Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà r = 0,33 ÌÄæ/êã. Êàêàÿ ìàññà më ëüäà ðàñòàåò ê ìîìåíòó óñòàíîâëåíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ? 235. Äëÿ íàãðåâàíèÿ âîäû íåêîòîðîé ìàññû îò òåìïåðàòóðû t0 = 0 °Ñ äî òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ (t = 100 °C) ýëåêòðîíàãðåâàòåëåì ïîòðåáîâàëîñü âðåìÿ τ1 = 15 ìèí. Ïîñëå ýòîãî ïîòðåáîâàëîñü âðåìÿ τ2 = 1 ÷ 20 ìèí äëÿ îáðàùåíèÿ âñåé âîäû â ïàð ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû ñ = 4,2 êÄæ/(êãÊ). Íàéäèòå óäåëüíóþ òåïëîòó ïàðîîáðàçîâàíèÿ âîäû λ. 236.  ñîñóäå, èç êîòîðîãî áûñòðî îòêà÷èâàþò âîçäóõ, íàõîäèòñÿ íåìíîãî âîäû ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ. Çà ñ÷åò èíòåíñèâíîãî èñïàðåíèÿ ïðîèñõîäèò ïîñòåïåííîå çàìîðàæèâàíèå âîäû. Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà r = 0,33 ÌÄæ/êã, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ âîäû λ = 2,3 ÌÄæ/êã. Êàêàÿ ÷àñòü ïåðâîíà÷àëüíîé ìàññû âîäû ìîæåò áûòü îáðàùåíà òàêèì ñïîñîáîì â ëåä?
§ 15. Çàêîíû èäåàëüíîãî ãàçà Çàêîíû èäåàëüíîãî ãàçà ïðèîáðåòàþò íàèáîëåå ïðîñòóþ ôîðìó çàïèñè ïðè èñïîëüçîâàíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîé øêàëû òåìïåðàòóð. Ïðèìåíåíèå ýòîé ôîðìû ïîçâîëÿåò íàãëÿäíî è çíà÷èòåëüíî ãëóáæå ðàñêðûòü ñîäåðæàíèå ñàìèõ çàêîíîâ è îäíîâðåìåííî ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü ðåøåíèå çàäà÷ è ïðåäîòâðàòèòü ïîÿâëåíèå ìíîãèõ îøèáîê â ðåøåíèè.
#&
Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàåò îïûò, ó÷àùèåñÿ íåäîîöåíèâàþò çíà÷åíèÿ òàêîé ôîðìû çàïèñè çàêîíîâ èäåàëüíîãî ãàçà. Ïîýòîìó ÷àñòü çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà íåïîñðåäñòâåííî ïîñâÿùåíà âûâîäó ôîðìóë çàâèñèìîñòè îáúåìà è äàâëåíèÿ ãàçà îò òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðû, è âî âñåõ çàäà÷àõ ïàðàãðàôà èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ òîëüêî òåðìîäèíàìè÷åñêèå òåìïåðàòóðû. Ñëåäóåò âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòü ïîðÿäîê ïðèìåíåíèÿ çàêîíîâ â òàêîé ôîðìå çàïèñè, ïðîðåøàòü ýòè æå çàäà÷è, ïîëüçóÿñü îáû÷íûìè ôîðìóëàìè ñ òåìïåðàòóðíûì êîýôôèöèåíòîì îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ, è îáðàòèòü âíèìàíèå íà õàðàêòåð óïðîùåíèé â õîäå ðåøåíèÿ â ïåðâîì ñëó÷àå. Äëÿ ðàçâèòèÿ íàâûêîâ ñâîáîäíîãî âëàäåíèÿ çàêîíàìè ïðîñòåéøèõ ïðîöåññîâ, ìîãóùèõ ïðîòåêàòü â èäåàëüíîì ãàçå, â ýòîì ïàðàãðàôå ïîìåùåí ðÿä çàäà÷, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîöåññû ñ îäíîâðåìåííûì èçìåíåíèåì òåìïåðàòóðû, äàâëåíèÿ è îáúåìà ãàçà. Ñ ýòîé æå öåëüþ ââåäåíû çàäà÷è ñ îäíîâðåìåííûì ðàññìîòðåíèåì íåñêîëüêèõ èçîáàðíûõ, èçîõîðíûõ è èçîòåðìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ â ãàçå äàííîé ìàññû. ×ðåçâû÷àéíî ñåðüåçíóþ ïîìîùü â èçó÷åíèè çàêîíîâ èäåàëüíîãî ãàçà îêàçûâàþò ãðàôè÷åñêèå ïðèåìû ðåøåíèÿ çàäà÷. Ïðàâèëüíîå ïîíèìàíèå ãðàôèêîâ èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà è óìåíèå óâèäåòü íà ýòèõ ãðàôèêàõ õàðàêòåð èçìåíåíèÿ âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ãàçà (íàïðèìåð, õàðàêòåð èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ ãàçà ïî ãðàôèêó çàâèñèìîñòè îáúåìà ãàçà îò òåìïåðàòóðû), íåîáõîäèìû äëÿ òâåðäîãî óñâîåíèÿ çàêîíîâ èäåàëüíîãî ãàçà. Ðÿä ãðàôè÷åñêèõ çàäà÷ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ïîñâÿùåí ðàçâèòèþ ýòèõ âàæíûõ íàâûêîâ è ðàñêðûòèþ ïîëíîãî ñîäåðæàíèÿ óðàâíåíèé ïðîñòåéøèõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå ìîãóò ñîâåðøàòüñÿ â èäåàëüíîì ãàçå. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ïðèìåíåíèå çàêîíà Ãåé-Ëþññàêà áîëüøîå ÷èñëî îøèáîê âîçíèêàåò èç-çà íåïðàâèëüíîãî èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ ãàçà. Èçâåñòíî, ÷òî èçìåíåíèÿ îáúåìà ãàçà ïðè íàãðåâàíèè îòíîñÿòñÿ âñåãäà ê îáúåìó, êîòîðûé ãàç äàííîé ìàññû çàíèìàåò ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ. Ìíîãèå æå ó÷àùèåñÿ, çàáûâàÿ îá ýòîì, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ îòíîñÿò èçìåíåíèÿ îáúåìà ãàçà íå ê ñîñòîÿíèþ ïðè t0 = 0 °Ñ, à ê êàêîìó-ëèáî äðóãîìó «íà÷àëüíîìó» îáúåìó, ñîîòâåòñòâóþùåìó «íà÷àëüíîé» òåìïåðàòóðå, çàäàííîé â óñëîâèè çàäà÷. Âûÿñíåíèþ ýòîé ðàñïðîñòðàíåííîé îøèáêè ïîñâÿùåíà çàäà÷à 253, êîòîðóþ ðåêîìåíäóåòñÿ äåòàëüíî ðàçîáðàòü.  êîíöå ïàðàãðàôà ïðèâåäåí ðÿä ýëåìåíòàðíûõ çàäà÷ íà ðàñ÷åò ðàáîòû ãàçà è êîëè÷åñòâà òåïëîòû, íåîáõîäèìîãî äëÿ íàãðåâàíèÿ ãàçà â ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ. Ýòè âîïðîñû òàêæå
#'
÷àñòî âûçûâàþò ñåðüåçíûå çàòðóäíåíèÿ è äîëæíû áûòü ïðîðàáîòàíû ïðè ðåøåíèè çàäà÷.
237. Ïîëüçóÿñü çàêîíîì Ãåé-Ëþññàêà V = V0(1 + αt), ãäå α òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ, è îïðåäåëåíèåì òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðû, âûâåäèòå ôîðìóëó çàâèñèìîñòè ìåæäó îáúåìîì è òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðîé äëÿ èçîáàðíîãî ïðîöåññà. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ýòîé çàâèñèìîñòè. 238. Ïîëüçóÿñü çàêîíîì Øàðëÿ p = p0(1 + βt), ãäå β òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò äàâëåíèÿ, è îïðåäåëåíèåì òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðû, âûâåäèòå ôîðìóëó çàâèñèìîñòè ìåæäó äàâëåíèåì è òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðîé äëÿ èçîõîðíîãî ïðîöåññà. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ýòîé çàâèñèìîñòè. 239. Ãàç íàõîäèòñÿ â öèëèíäðå, çàêðûòîì ñâîáîäíî ïåðåìåùàþùèìñÿ ïîðøíåì. Êàê îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ãðàôèêè çàâèñèìîñòè îáúåìà îò òåìïåðàòóðû äëÿ ñëó÷àåâ íàãðåâàíèÿ ãàçà ïðè ìàëîì è áîëüøîì äàâëåíèÿõ íà ïîðøåíü? 240. Ãàç íåêîòîðîé ìàññû íàãðåâàåòñÿ îäèí ðàç â ìàëîì, äðóãîé ðàç â áîëüøîì ñîñóäàõ. Âî âðåìÿ íàãðåâàíèÿ îáúåìû ñîñóäîâ îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Êàê îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ãðàôèêè çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò òåìïåðàòóðû â ïåðâîì è âòîðîì ñëó÷àÿõ? 241. Êàê ðàñïîëàãàþòñÿ èçîòåðìû ãàçà íà ãðàôèêå çàâèñèìîñòè îáúåìà îò äàâëåíèÿ äëÿ ñëó÷àåâ ðàñøèðåíèÿ ãàçà îäíîé è òîé æå ìàññû ïðè íèçêîé è âûñîêîé òåìïåðàòóðàõ? 242. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè çàâèñèìîñòè îáúåìà îò òåìïåðàòóðû äëÿ èçîõîðíîãî, èçîáàðíîãî è èçîòåðìè÷åñêîãî ïðîöåññîâ. 243. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò òåìïåðàòóðû äëÿ èçîõîðíîãî, èçîáàðíîãî è èçîòåðìè÷åñêîãî ïðîöåññîâ. 244. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò îáúåìà äëÿ èçîòåðìè÷åñêîãî, èçîáàðíîãî è èçîõîðíîãî ïðîöåññîâ. 245. Ãàç íàõîäèòñÿ â öèëèíäðå, çàêðûòîì ïîðøíåì (ðèñ. 85). Ïîðøåíü èìååò ïëîùàäêó, íà êîòîðîé $
íàõîäèòñÿ ïåñîê, ñîçäàþùèé íåîáõîäèìîå äàâëåíèå íà ïîðøåíü. Åñëè ïåñîê íåáîëüøèìè ïîðöèÿìè ñáðàñûâàòü íà ðàñïîëîæåííûå ðÿäîì ñ ïîäñòàâêîé ïîëî÷êè, òî äàâëåíèå íà ïîðøåíü áóäåò ìåíÿòüñÿ. Îäíîâðåìåííî ìîæíî, ïîìåùàÿ öèëèíäð íà íàãðåâàòåëè è õîëîäèëüíèêè, èçìåíÿòü òåìïåðàòóðó ãàçà. Íà îñíîâå íåïîñðåäñòâåííûõ èçìåðåíèé áûë ïîëó÷åí ãðàôèê çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò Ðèñ. 85 îáúåìà ãàçà, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 86. Îïðåäåëèòå ïî ýòîìó ãðàôèêó õàðàêòåð èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà. 246. Ïðè íàãðåâàíèè ãàçà áûë ïîëó÷åí ãðàôèê çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò òåìïåðàòóðû, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 87. ×òî ïðîèçâîäèëîñü âî âðåìÿ íàãðåâàíèÿ ãàçà: ñæàòèå èëè ðàñøèðåíèå? 247. Îïðåäåëèòå ïî ãðàôèêó çàâèñèìîñòè îáúåìà îò òåìïåðàòóðû, èçîáðàæåííîìó íà ðèñ. 88, õàðàêòåð èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ, ïîä êîòîðûì íàõîäèëñÿ ãàç âî âðåìÿ íàãðåâàíèÿ. 248.  çàêðûòîì ñîñóäå ïðîèçâîäèòñÿ íàãðåâàíèå: îäèí ðàç ãàçà ìàññîé m, äðóãîé ðàç ýòîãî æå ãàçà ìàññîé 2m. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ îò òåìïåðàòóðû äëÿ ýòèõ äâóõ ñëó÷àåâ. Óêàæèòå ðàçëè÷èå â ðàñïîëîæåíèè êðèâûõ. 249. Âíóòðè çàêðûòîãî ñ îáåèõ ñòîðîí öèëèíäðà èìååòñÿ ïîäâèæíûé ïîðøåíü. Ñ îäíîé ñòîðîíû ïîðøíÿ â öèëèíäðå íàõîäèòñÿ ãàç ìàññîé m, ñ äðóãîé ñòîðîíû ýòîò æå ãàç ìàññîé 2ò. Êàêóþ ÷àñòü îáúåìà öèëèíäðà áóäåò çàíèìàòü ãàç ìàññîé 2m ïðè ðàâíîâåñèè ïîðøíÿ? p
p
1
2 1 2
O
V
Ðèñ. 86
O
T
Ðèñ. 87
$
Ðèñ. 88
250.  öèëèíäðå, çàêðûòîì ñâîáîäíî ïåðåìåùàþùèìñÿ ïîðøíåì, ïðîèçâîäèòñÿ íàãðåâàíèå: îäèí ðàç ãàçà ñ ìîëÿðíîé ìàññîé Ì, äðóãîé ðàç ãàçà ñ ìîëÿðíîé ìàññîé 2Ì. Ìàññû ãàçîâ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâû. Äàâëåíèå, ïðîèçâîäèìîå íà ïîðøåíü, òàêæå îäèíàêîâî. Áóäóò ëè îäèíàêîâû ãðàôèêè çàâèñèìîñòè îáúåìà îò òåìïåðàòóðû äëÿ ýòèõ äâóõ ñëó÷àåâ? 251. Ïîðøåíü â öèëèíäðå ñ ãàçîì ïðèëåãàåò íåïëîòíî ê ñòåíêå öèëèíäðà è ìîæåò ìåäëåííî ïðîïóñêàòü ãàç. Óñòàíîâëåííàÿ âî âðåìÿ íàãðåâàíèÿ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè çàâèñèìîñòü îáúåìà ãàçà â öèëèíäðå îò òåìïåðàòóðû èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 89. Êàê ïî âèäó Ðèñ. 89 ýòîé çàâèñèìîñòè îïðåäåëèòü: óâåëè÷èëàñü èëè óìåíüøèëàñü ìàññà ãàçà â öèëèíäðå? 252. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè ãàçà îò òåìïåðàòóðû â èçîáàðíîì ïðîöåññå. 253. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè ãàçà îò äàâëåíèÿ â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå. 254. Ïîëûé øàðèê îáúåìîì V = 100 ñì3 ñíàáæåí äëèííîé òðóáêîé ñ äåëåíèÿìè. Îáúåì êàíàëà òðóáêè ìåæäó äâóìÿ äåëåíèÿìè v = 0,2 ñì3.  øàðèêå è ÷àñòè òðóáêè ñîäåðæèòñÿ âîçäóõ, îòäåëåííûé îò íàðóæíîãî ïðîñòðàíñòâà êàïëåé âîäû. Ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 5 °C êàïëÿ óñòàíàâëèâàåòñÿ íà 20-ì äåëåíèè.  ïîìåùåíèè, èìåþùåì òåìïåðàòóðó t2, êàïëÿ óñòàíàâëèâàåòñÿ íà 50-ì äåëåíèè. Êàêîâà òåìïåðàòóðà t2 ïîìåùåíèÿ? Èçìåíåíèåì îáúåìà ñîñóäà ïðåíåáðå÷ü. 255.  óçêîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêå, çàïàÿííîé ñ îäíîãî êîíöà, íàõîäèòñÿ âîçäóõ, îòäåëåííûé îò íàðóæíîãî ïðîñòðàíñòâà ñòîëáèêîì ðòóòè äëèíîé h = 15 ñì. Êîãäà òðóáêà ëåæèò ãîðèçîíòàëüíî, âîçäóõ çàíèìàåò â íåé îáúåì V1 = 240 ìì3; êîãäà òðóáêà óñòàíàâëèâàåòñÿ âåðòèêàëüíî, îòêðûòûì êîíöîì ââåðõ, âîçäóõ çàíèìàåò îáúåì V2 = 200 ìì3. Íàéäèòå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 (â ìèëëèìåòðàõ ðòóòíîãî ñòîëáà). 256. Îòêðûòóþ ñ îáåèõ ñòîðîí óçêóþ öèëèíäðè÷åñêóþ òðóáêó äëèíîé L = 80 ñì äî ïîëîâèíû ïîãðóæàþò â $
ðòóòü. Çàòåì çàêðûâàþò âåðõíåå îòâåðñòèå òðóáêè è âûíèìàþò åå èç ðòóòè. Ïðè ýòîì â òðóáêå îñòàåòñÿ ñòîëáèê ðòóòè äëèíîé h = 22 ñì. Íàéäèòå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 (â ìèëëèìåòðàõ ðòóòíîãî ñòîëáà). 257. Îáà êîëåíà U-îáðàçíîé òðóáêè èìåþò îäèíàêîâóþ âûñîòó. Îäíî èç êîëåí çàïàÿíî è â íåì íàõîäèòñÿ ñòîëá âîçäóõà âûñîòîé h1 = 28 ñì. Âîçäóõ îòäåëåí îò àòìîñôåðû ðòóòüþ è åãî äàâëåíèå ðàâíî àòìîñôåðíîìó. Êàêîâà áóäåò âûñîòà h2 ñòîëáà âîçäóõà â çàïàÿííîì êîëåíå, åñëè âòîðîå êîëåíî äîâåðõó çàëèòü ðòóòüþ? Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 760 ìì ðò. ñò. 258. Îòêðûòóþ ñ îáåèõ ñòîðîí óçêóþ òðóáêó ïîãðóæàþò â ðòóòü òàê, ÷òî íàä ðòóòüþ âûñòóïàåò êîíåö äëèíîé l1 = 8 ñì. Òðóáêó çàêðûâàþò è ïîäíèìàþò åùå íà l2 = 44 ñì. Êàêóþ ÷àñòü h òðóáêè áóäåò çàíèìàòü âîçäóõ ïîñëå òîãî, êàê åå ïîäíèìóò èç ðòóòè? Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 760 ìì ðò. ñò. 259. Öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí îïóùåí îòêðûòûì êîíöîì â ñîñóä ñ âîäîé è ïëàâàåò â íåì òàê, ÷òî âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòü äíà íàõîäèòñÿ íà îäíîì óðîâíå ñ ïîâåðõíîñòüþ âîäû â ñîñóäå. Ìàññà ñòàêàíà ò = 408 ã, ïëîùàäü åãî äíà S = 10 ñì2. Äàâëåíèå âîçäóõà â ñòàêàíå ïåðåä ïîãðóæåíèåì p0 = 760 ìì ðò. ñò. Êàêóþ ÷àñòü îáúåìà ñòàêàíà çàéìåò âîçäóõ ïîñëå ïîãðóæåíèÿ? 260.  öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä äî ïîëîâèíû âûñîòû áûëà íàëèòà ðòóòü, ïîñëå ÷åãî ñîñóä áûë ãåðìåòè÷åñêè çàêðûò êðûøêîé ñ ñèôîííîé òðóáêîé, íàïîëíåííîé ðòóòüþ. Âûñîòà ñîñóäà 2Í = 60 ñì. Ñèôîí èìååò ðàâíûå êîëåíà, è åãî òðóáêà êîí÷àåòñÿ ó äíà ñîñóäà (ðèñ. 90). Ïðè êàêîì äàâëåíèè p â ñîñóäå ïðåêðàòèòñÿ èñòå÷åíèå ðòóòè ÷åðåç ñèôîí? Íàñêîëüêî ïîíèçèòñÿ óðîâåíü ðòóòè çà âðåìÿ èñòå÷åíèÿ? Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 760 ìì ðò. ñò. 261. Ïîñåðåäèíå óçêîé, çàïàÿííîé ñ îáîèõ êîíöîâ òðóáêè íàõîäèòñÿ ñòîëáèê ðòóòè äëèíîé h = 10 ñì. Òðóáêà ðàñïîëîæåíà ãîðèçîíòàëüíî.  îáåèõ ïîëîâèíàõ òðóáêè íàõîäèòñÿ âîçäóõ ïîä äàâëåíèåì p0 = 760 ìì ðò. ñò. Äëèíà Ðèñ. 90 $!
òðóáêè L = 1 ì. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå l ïåðåìåñòèòñÿ ñòîëáèê ðòóòè, åñëè òðóáêó ïîñòàâèòü âåðòèêàëüíî? 262. Çàêðûòûé ñ îáåèõ ñòîðîí öèëèíäð ðàçäåëåí íà äâå ðàâíûå ÷àñòè òåïëîíåïðîíèöàåìûì ïîðøíåì.  îáåèõ ÷àñòÿõ öèëèíäðà íàõîäèòñÿ îäèí è òîò æå ãàç ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 27 °Ñ è äàâëåíèè p0 =760 ìì ðò. ñò. Ìàññû ãàçà ðàâíû. Äëèíà ïîëîâèíû öèëèíäðà L = 42 ñì. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå l îò ñåðåäèíû öèëèíäðà ñìåñòèòñÿ ïîðøåíü, åñëè ãàç â îäíîé èç ÷àñòåé íàãðåòü äî òåìïåðàòóðû t = 57 °Ñ? Êàêîå äàâëåíèå p óñòàíîâèòñÿ ïðè ýòîì â êàæäîé èç ÷àñòåé öèëèíäðà? 263. Ñòåêëÿííàÿ, çàïàÿííàÿ ñ îäíîãî êîíöà òðóáêà äëèíîé L = 15 ñì, ñîäåðæàùàÿ íåêîòîðóþ ìàññó âîçäóõà, ïîãðóæåíà â ðòóòü òàê, ÷òî íàä ïîâåðõíîñòüþ ðòóòè âûñòóïàåò ÷àñòü òðóáêè äëèíîé l = 10 ñì (ðèñ. 91). Óðîâåíü ðòóòè âíóòðè òðóáêè ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ ðàñïîëîæåí âûøå óðîâíÿ ðòóòè â ñîñóäå íà ∆l = 5 ñì. Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 750 ìì ðò. ñò. Äî êàêîé òåìïåðàòóðû t íåîáõîäèìî íàãðåòü âîçäóõ â òðóáêå, ÷òîáû Ðèñ. 91 îí çàíÿë âåñü åå îáúåì? Óðîâåíü ðòóòè â ñîñóäå ñ÷èòàòü íåèçìåííûì. 264. Âû÷èñëèòå çíà÷åíèå ãàçîâîé ïîñòîÿííîé R â îáúåäèíåííîì çàêîíå ãàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ äëÿ îäíîãî ìîëÿ ãàçà. 265. Äâà îäèíàêîâûõ ïî îáúåìó è ìàññå ñîñóäà ïîãðóæàþò â âîäó íà ãëóáèíó h. Îäèí èç ñîñóäîâ èìååò âíèçó îòâåðñòèå, ÷åðåç êîòîðîå âîäà ìîæåò ïðîíèêàòü âíóòðü ñîñóäà. Îäèíàêîâóþ ëè ðàáîòó íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü ïðè ïoãpyæåíèè êàæäîãî èç ýòèõ ñîñóäîâ â âîäó? 266. Êèñëîðîä íàãðåâàåòñÿ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè îò òåìïåðàòóðû t0 = 0 °Ñ. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q íåîáõîäèìî ñîîáùèòü ãàçó, ÷òîáû åãî îáúåì óäâîèëñÿ, åñëè êîëè÷åñòâî âåùåñòâà ν = 1 ìîëü? Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü êèñëîðîäà ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ cp = 912,7 Äæ/(êãÊ), ìîëÿðíàÿ ìàññà êèñëîðîäà Ì = 0,032 êã/ìîëü. 267. Ãàç íàãðåâàåòñÿ íà ∆T = 1 Ê â öèëèíäðå, çàêðûòîì ïîðøíåì. Ìàññà ïîðøíÿ ðàâíà ò, åãî ïëîùàäü ðàâíà S. Âî âðåìÿ íàãðåâàíèÿ ãàç ñîâåðøàåò ðàáîòó ïî ïîä$"
íÿòèþ ïîðøíÿ. Âûðàçèòå ýòó ðàáîòó ÷åðåç äàâëåíèå p è èçìåíåíèå îáúåìà V V0 ãàçà, à òàêæå ÷åðåç ïîñòîÿííóþ R îáúåäèíåííîãî çàêîíà ãàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ. Äàâëåíèåì íàðóæíîãî âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 268. Ãàç íàõîäèòñÿ â âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîì öèëèíäðå ñ ïëîùàäüþ äíà S = 10 ñì2. Ïîðøåíü, çàêðûâàþùèé öèëèíäð, èìååò ìàññó m = 20 êã è ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ â öèëèíäðå áåç òðåíèÿ. Íà÷àëüíûé îáúåì ãàçà V0 = 11,2 ë, åãî òåìïåðàòóðà t0 = 0 °C. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q íåîáõîäèìî çàòðàòèòü äëÿ òîãî, ÷òîáû íàãðåòü ãàç ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ íà ∆T = 10 Ê, åñëè èçâåñòíî, ÷òî òåïëîåìêîñòü ýòîãî ãàçà, èçìåðåííàÿ ïðè çàêðåïëåííîì â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ïîðøíå, îêàçàëàñü ðàâíîé CV = 20,9 Äæ/Ê? Äàâëåíèåì íàðóæíîãî âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 269. Ïî÷åìó èçîòåðìè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ãàçà âîçìîæíî òîëüêî ïðè ïîäâåäåíèè ê ãàçó íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû? 270. Ãàç íåêîòîðîé ìàññû, çàíèìàþùèé âíà÷àëå îáúåì V0 ïðè äàâëåíèè p0 è òåìïåðàòóðå Ò0, ðàñøèðÿåòñÿ îäèí ðàç èçîáàðíî, äðóãîé ðàç èçîòåðìè÷åñêè äî îáúåìà V.  êàêîì èç ýòèõ äâóõ ñëó÷àåâ ãàç ñîâåðøèò áîRëüøóþ ðàáîòó? 271. Öèëèíäð ñ ãàçîì ïîìåùåí â òåïëîíåïðîíèöàåìóþ îáîëî÷êó. Êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ òåìïåðàòóðà ãàçà, åñëè ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàòü îáúåì öèëèíäðà?
§ 16. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå 272. Ì. Â. Ëîìîíîñîâ â ñâîèõ çàïèñÿõ ïðèâîäèò ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû îïûòîâ ïî ïîäíÿòèþ æèäêîñòè â êàïèëëÿðàõ: «
ïîäúåì æèäêîñòåé â êàïèëëÿðíîé òðóáêå â ëèíèÿõ: âîäà 26, ñïèðò 18, ëåòó÷èé ñïèðò ñîëè àììîíèÿ 33» (1 ëèíèÿ = 2,56 ìì). Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå âîäû α = 0,070 Í/ì. Ïëîòíîñòü ñïèðòîâ îäèíàêîâà è ðàâíà ρ = 8102 êã/ì3. Íàéäèòå ïî ýòèì äàííûì îòíîøåíèå ïîâåðõíîñòíûõ íàòÿæåíèé óêàçàííûõ âåùåñòâ è ðàäèóñ r êàïèëëÿðà, êîòîðûì ïîëüçîâàëñÿ Ì. Â. Ëîìîíîñîâ. $#
273. Êàïèëëÿðíàÿ òðóáêà ðàäèóñîì r è âûñîòîé h ñîåäèíåíà ñ øèðîêîé òðóáêîé òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 92. Øèðîêàÿ òðóáêà ïîñòåïåííî çàïîëíÿåòñÿ êàïëÿìè âîäû, ïàäàþùèìè ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿÐèñ. 92 æåíèå âîäû ðàâíî α. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè èçìåíåíèÿ âûñîò óðîâíåé âîäû â îáåèõ òðóáêàõ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè è ãðàôèê èçìåíåíèÿ ðàçíîñòè ýòèõ âûñîò. Íàéäèòå íàèáîëüøóþ âûñîòó óðîâíÿ âîäû â øèðîêîé òðóáêå è íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ðàçíîñòè âûñîò óðîâíåé. 274. Áûë ïðåäëîæåí ñëåäóþùèé ïðîåêò âå÷íîãî äâèãàòåëÿ. Áåðåòñÿ êàïèëëÿð òàêèì ðàäèóñîì r, ÷òîáû âîäà â íåì ìîãëà ïîäíèìàòüñÿ íà âûñîòó h (ðèñ. 93, a). Íà âûñîòå h0, ìåíüøåé h, êàïèëëÿð èçãèáàåòñÿ è âåðõíèé åãî êîíåö ðàçâîðà÷èâàåòñÿ â øèðîêóþ âîðîíêó, êàê ïîêàçàíî íà ðèc. 93, á. Äåéñòâèÿ ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ âïîëíå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîäíÿòü æèäêîñòü íà âûñîòó h0 è ââåñòè åå â âîðîíêó.  øèðîêîé ÷àñòè âîðîíêè æèäêîñòü îòðûâàåòñÿ îò âåðõíåãî êðàÿ âîðîíêè è, íè÷åì óæå íå óäåðæèâàåìàÿ, ñêàòûâàåòñÿ âíèç. Íà ïóòè êàïåëü, ïàäàþùèõ îáðàòíî â ñîñóä, ìîæíî ïîñòàâèòü âîäÿíîå êîëåñî è îñóùåñòâèòü åãî «âå÷íîå» äâèæåíèå. Áóäåò ëè äåéñòâîâàòü òàêîé äâèÐèñ. 93 ãàòåëü?  ÷åì îøèáêà ïðèâåäåííîãî ðàññóæäåíèÿ? 275. Ñêàçûâàåòñÿ ëè íà ðåçóëüòàòàõ èçìåðåíèÿ ïëîòíîñòè æèäêîñòåé àðåîìåòðîì äåéñòâèå ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ? Êàê èçìåíèòñÿ ïîëîæåíèå àðåîìåòðà, åñëè îí íàõîäèòñÿ â âîäå è â âîäó íàëèëè íåñêîëüêî êàïåëü ýôèðà? Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ó ýôèðà ìåíüøå, ÷åì ó âîäû. $$
276. Êàïèëëÿðíàÿ òðóáêà ñ î÷åíü òîíêèìè ñòåíêàìè áûëà ïðèêðåïëåíà ê êîðîìûñëó âåñîâ, ïîñëå ÷åãî âåñû áûëè óðàâíîâåøåíû. Íèæíèì êîíöîì êàïèëëÿðà ïðèêîñíóëèñü ê ïîâåðõíîñòè âîäû â ñîñóäå è ïðè ýòîì äëÿ óðàâíîâåøèâàíèÿ êàïèëëÿðà ïîòðåáîâàëñÿ ãðóç, ìàññà êîòîðîãî m = 0,135 ã. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå âîäû α = 0,070 Í/ì. Íàéäèòå ðàäèóñ r êàïèëëÿðà. 277. Äàéòå îáúÿñíåíèå ñëåäóþùåìó îïûòó, ïðîèçâåäåííîìó Ì. Â. Ëîìîíîñîâûì: «...÷åðåç ëèñòîâîé ñâèíåö, ñëîæåííûé è ñîãíóòûé â âèäå ñèôîíà è ïîãðóæåííûé îäíèì êîíöîì â ðòóòü, ðòóòü óäàëÿåòñÿ èç ñîñóäà â òå÷åíèå 24 ÷àñîâ». 278. Ïðîâîëî÷íàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ðàìêà ñ îäíîé ïîäâèæíîé ñòîðîíîé çàòÿíóòà ìûëüíîé ïëåíêîé (ðèñ. 94). Äëèíà ïîäâèæíîé ñòîðîíû l = 6 ñì. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ìûëüíîãî ðàñòâîðà α = 0,040 Í/ì. Êàêàÿ ñèëà F äîëæíà áûòü ïðèëîæåíà ê ïîäâèæíîé ñòîðîíå äëÿ òîãî, ÷òîáû îíà áûëà â ðàâÐèñ. 94 íîâåñèè? Êàêàÿ ðàáîòà À áóäåò ñîâåðøåíà, åñëè ñòîðîíà ðàìêè ïåðåìåñòèòñÿ íà ðàññòîÿíèå s = 2 ñì? Çà ñ÷åò ÷åãî áóäåò ñîâåðøàòüñÿ ýòà ðàáîòà ïðè óìåíüøåíèè ïîâåðõíîñòè ïëåíêè è êàêóþ ýíåðãèþ ïðèîáðåòåò ïëåíêà çà ñ÷åò ñîâåðøåíèÿ ýòî ðàáîòû? 279. Ëåãêàÿ, íåçàìêíóòàÿ, æåñòêàÿ ðàìêà, èìåþùàÿ ôîðìó, ïîêàçàííóþ íà ðèñ. 95, ïëàâàåò íà ïîâåðõíîñòè âîäû. ×òî áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ ðàìêîé, åñëè âíóòðü åå êàïíóòü ìûëüíûì ðàñòâîðîì? H Êàêàÿ ñèëà F è â êàêîì íàïðàâëåíèè áóäåò äåéÐèñ. 95 ñòâîâàòü íà ðàìêó? Ïîâåðõíîñòíûå íàòÿæåíèÿ ÷èñòîé âîäû è ìûëüíîãî ðàñòâîðà ðàâíû α1 è α2. 280. Êîãäà äåëàþò áåñïîëåçíóþ ðàáîòó, òî ãîâîðÿò, ÷òî ýòî âñå ðàâíî, ÷òî âîäó â ðåøåòå íîñèòü. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ìîæíî âñå-òàêè ïåðåíîñèòü âîäó â ðåøåòå, íå ïðîëèâàÿ åå ïî äîðîãå? Êàêîé ìàêñèìàëüíîé âûñîòû h ñëîé âîäû ìîæíî íåñòè â ðåøåòå, åñëè äèàìåòð îòâåðñòèé ñåòêè ðåøåòà d = 1 ìì? Ìîæíî ëè áóäåò âîäó, íàëèòóþ â ðåøåòî, âûëèòü ÷åðåç êðàé ðåøåòà? Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå âîäû α = 0,070 Í/ì, ïëîòíîñòü ρ0 = 1103 êã/ì3.
%$ 281. Êàïèëëÿð ÷àñòè÷íî îïóñêàþò â ñìà÷èâàþùóþ æèäêîñòü. Ìîæíî ëè ïîòåðþ â âåñå êàïèëëÿðà ðàññ÷èòûâàòü ïî çàêîíó Àðõèìåäà? Êàêîâ áóäåò îòâåò äëÿ ñëó÷àÿ íåñìà÷èâàþùåé æèäêîñòè? 282. Êàïèëëÿð ðàäèóñîì r îïóñêàþò â ñìà÷èâàþùóþ æèäêîñòü, èìåþùóþ ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå α è ïëîòíîñòü ρ. Êàêîâà âûñîòà h ïîäíÿòèÿ æèäêîñòè â êàïèëëÿðå? Íàéäèòå ðàáîòó À, ñîâåðøåííóþ ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, è ñðàâíèòå ýòó ðàáîòó ñ ðåçóëüòàòàìè íåçàâèñèìîãî ïîäñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, ïðèîáðåòåííîé æèäêîñòüþ â êàïèëëÿðå. Îáúÿñíèòå ñìûñë ðàñõîæäåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. 283. Äëÿ óäàëåíèÿ ñ ìàòåðèè ïàðàôèíîâûõ è èíûõ æèðíûõ ïÿòåí îáû÷íî ïðèìåíÿþò ïðîãëàæèâàíèå ìàòåðèè ãîðÿ÷èì óòþãîì ÷åðåç áóìàãó. Ïî÷åìó ïðè ýòîì ïàðàôèí èëè æèð âïèòûâàåòñÿ â áóìàãó, à íå ðàñõîäèòñÿ ïî ìàòåðèè? Êàêóþ áóìàãó ñëåäóåò áðàòü äëÿ ïðîãëàæèâàíèÿ ïðîêëååííóþ èëè íåïðîêëååííóþ? 284.  ïðèáîðå Ï. À. Ðåáèíäåðà ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ðàçíîñòè äàâëåíèé, íåîáõîäèìîé äëÿ îáðàçîâàíèÿ ïóçûðüêà âîçäóõà íà êîí÷èêå êàïèëëÿðà, ïîãðóæåííîãî â èññëåäóåìóþ æèäêîñòü (ðèñ. 96). Ðàññ÷èòàéòå ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå α, åñëè ðàäèóñ êàïèëëÿðà r = 1 ìì, ðàçíîñòü äàâëåíèé ïðè îáðàçîâàíèè ïóçûðüêà ∆p = 140 Ïà. Êîíåö êàïèëëÿðà íàõîäèòñÿ îêîëî ñàÐèñ. 96 ìîé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. 285. Ðàäèóñ îäíîãî êîëåíà U-îáðàçíîé êàïèëëÿðíîé òðóáêè r1 = 1 ìì, ðàäèóñ äðóãîãî êîëåíà r2 = 2 ìì.  òðóáêó íàëèòà ðòóòü, è îäíî èç êîëåí ñîåäèíåíî ñ âàêóóìíûì íàñîñîì. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ðòóòè α = 0,48 Í/ì. Ïëîòíîñòü ðòóòè ρ = 1,36104 êã/ì3. Ïðè êàêîé ðàçíîñòè äàâëåíèé ∆p âîçäóõà óðîâíè ðòóòè â îáîèõ êîëåíàõ áóäóò íàõîäèòüñÿ íà îäèíàêîâîé âûñîòå? Ê êàêîìó êîëåíó òðóáêè äîëæåí áûòü äëÿ ýòîãî ïðèñîåäèíåí íàñîñ? 286. Äëèííàÿ, îòêðûòàÿ ñ îáîèõ êîíöîâ êàïèëëÿðíàÿ òðóáêà ðàäèóñîì r = 1 ìì íàïîëíåíà âîäîé è ïîñòàâëåíà âåðòèêàëüíî. Êàêîâà áóäåò âûñîòà h ñòîëáà $&
îñòàâøåéñÿ â êàïèëëÿðå âîäû? Òîëùèíîé ñòåíîê êàïèëëÿðà ïðåíåáðå÷ü. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå è ïëîòíîñòü âîäû èçâåñòíû. 287. Êàïèëëÿðíàÿ òðóáêà ðàäèóñîì r = 0,5 ìì çàïàÿíà ñâåðõó. Òðóáêà îòêðûòûì êîíöîì âåðòèêàëüíî îïóñêàåòñÿ â âîäó. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå âîäû α = 0,070 Í/ì. Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 760 ìì ðò. ñò. Ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1103 êã/ì3. Êàêîé äëèíû l ñëåäîâàëî áû âçÿòü òàêóþ òðóáêó, ÷òîáû ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ âîäà â íåé ïîäíÿëàñü íà âûñîòó h = 1 ñì?
§ 17. Âëàæíîñòü âîçäóõà 288. Ïðîáèðêó âûñîòîé h äîâåðõó çàïîëíÿþò âîäîé è îïóñêàþò îòêðûòûì êîíöîì â ñòàêàí ñ âîäîé. Ïðè êàêîé òåìïåðàòóðå t1 óðîâåíü âîäû íà÷íåò îòõîäèòü îò äíà ïðîáèðêè? ×òî áóäåò ïðîèñõîäèòü â ïðîáèðêå ïðè äàëüíåéøåì íàãðåâàíèè âîäû äî òåìïåðàòóðû t2 = 100 °Ñ? Äåéñòâèåì ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïðåíåáðå÷ü. 289. Òåìïåðàòóðà âîçäóõà t1 = 20 °Ñ, òî÷êà ðîñû t2 = 8 °Ñ. Íàéäèòå àáñîëþòíóþ ρ è îòíîñèòåëüíóþ f âëàæíîñòè âîçäóõà, åñëè äàâëåíèå íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà ðàâíî p1 = = 17,54 ìì ðò. ñò. ïðè òåìïåðàòóðå t1 è p2 = 8,05 ìì ðò. ñò. ïðè òåìïåðàòóðå t2. 290. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ïðè ðîñòå àáñîëþòíîé âëàæíîñòè àòìîñôåðíîãî âîçäóõà ìîæåò ïðîèñõîäèòü óìåíüøåíèå îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòè? 291.  äâóõ ñîñóäàõ íàõîäèòñÿ âîçäóõ, íàñûùåííûé âîäÿíûì ïàðîì: â îäíîì ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 20 °Ñ, â äðóãîì ïðè òåìïåðàòóðå t2 = 10 °Ñ. Îïðåäåëèòå ìàññó ðîñû, âûäåëèâøåéñÿ ïðè ñìåøåíèè ýòèõ ïîðöèé âîçäóõà, åñëè îáúåìû ñîñóäîâ îäèíàêîâû è ðàâíû V = 1 ì3. Ñ÷èòàòü, ÷òî äàâëåíèå íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà ìåíÿåòñÿ â âûáðàííîì èíòåðâàëå ïðîïîðöèîíàëüíî òåìïåðàòóðå è ðàâíî p1 = 9 ìì ðò. ñò. ïðè t1 = 10 °Ñ è p2 = = 17 ìì ðò. ñò. ïðè t2 = 20 °Ñ. Ïîòåðÿìè ýíåðãèè çà ñ÷åò òåïëîîáìåíà ñî ñòåíêàìè ñîñóäà âî âðåìÿ ñìåøåíèÿ ïðåíåáðå÷ü. $'
292.  ñîñóäå çàêëþ÷åí âîçäóõ, èìåþùèé òåìïåðàòóðó t1 =10 °Ñ è îòíîñèòåëüíóþ âëàæíîñòü f1 = 60 %. Ïëîòíîñòü íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 10 °Ñ ðàâíà ρ1 = 9,43 ã/ì3. Êàêîé áóäåò îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü f2 ýòîãî âîçäóõà, åñëè åãî íàãðåòü äî òåìïåðàòóðû t2 = 100 °Ñ è óìåíüøèòü ïðè ýòîì åãî îáúåì â òðè ðàçà? 293. Îïðåäåëèòå ìàññó m ðîñû, âûïàâøåé ïðè óìåíüøåíèè îáúåìà âîçäóõà â ÷åòûðå ðàçà, åñëè íà÷àëüíûé îáúåì âîçäóõà V = 1 ì3, òåìïåðàòóðà t = 20 °Ñ è îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü f = 50 %. Òåìïåðàòóðà âñå âðåìÿ ïîñòîÿííà, ïëîòíîñòü íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà ρ0 = = 1,728102 êã/ì3.
III. ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ § 18. Çàêîí Êóëîíà Ïðè èçó÷åíèè îñíîâ ýëåêòðîñòàòèêè âàæíî ñ ïåðâûõ æå øàãîâ ðàçâèòü óìåíèå äîñòàòî÷íî ñâîáîäíî ïîëüçîâàòüñÿ çàêîíîì Êóëîíà äëÿ ðàñ÷åòà ñèë, ñîçäàâàåìûõ ñèñòåìîé ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, è, â ÷àñòíîñòè, äîáèòüñÿ ÿñíîãî ïîíèìàíèÿ ñîäåðæàíèÿ è ïóòåé èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïðèíöèïà íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Çàäà÷è äàííîãî ïàðàãðàôà è èõ ðåøåíèÿ ñîñòàâëåíû òàê, ÷òîáû îáðàòèòü âíèìàíèå ó÷àùèõñÿ íà ïîðÿäîê ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ïðèíöèïà. Ñîçíàòåëüíîå ïðèìåíåíèå ýòîãî ïðèíöèïà ïîòðåáóåòñÿ îò ó÷àùèõñÿ òàêæå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ §§ 1921. Îäíîâðåìåííî çàäà÷è äàííîãî ïàðàãðàôà äàþò âîçìîæíîñòü ó÷àùèìñÿ åùå ðàç ïîâòîðèòü ìåòîäèêó îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðà ðàâíîâåñèÿ îòäåëüíûõ òåë è ñèñòåì. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ðàñ÷åò ðàâíîâåñèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ çàðÿäîâ (íàïðèìåð, åñëè ðàâíîâåñèå çàðÿäà q â çàäà÷å 299 ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì ïî îòíîøåíèþ ê ñìåùåíèÿì âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé âñå òðè çàðÿäà, òî îíî áóäåò íåóñòîé÷èâûì îòíîñèòåëüíî ñìåùåíèé ïî âñåì äðóãèì íàïðàâëåíèÿì). Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì âûðàæåíèåì îáùåé òåîðåìû î òîì, ÷òî â ñèñòåìå ñâîáîäíûõ
%
ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ íåâîçìîæíî îñóùåñòâèòü óñòîé÷èâîå ðàâíîâåñèå.
294. Êàêîå ÷èñëî N ýëåìåíòàðíûõ çàðÿäîâ ñîäåðæèòñÿ â çàðÿäå, ðàâíîì 1 Êë? Ýëåìåíòàðíûé çàðÿä e = = 1,601019 Êë. 295. Ðàññòîÿíèå ýëåêòðîíà îò ÿäðà àòîìà âîäîðîäà r = 11010 ì. Ìîäóëü çàðÿäà ýëåêòðîíà å = 1,601019 Êë. Íàéäèòå ñèëó ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíà ñ ÿäðîì â àòîìå âîäîðîäà. 296. Ýëåêòðîí, èìåþùèé çàðÿä e è ìàññó ò, îáðàùàåòñÿ ïî îðáèòå ðàäèóñîì r âîêðóã ÿäðà ñ çàðÿäîì Ze. Íàéäèòå ñêîðîñòü v äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà ïî ýòîé îðáèòå. Âûïîëíèòå ðàñ÷åò äëÿ àòîìà âîäîðîäà. 297. Äâà ïîëîæèòåëüíûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäà 4q è q çàêðåïëåíû íà ðàññòîÿíèè à äðóã îò äðóãà. Ãäå íóæíî ðàñïîëîæèòü çàðÿä q0, ÷òîáû îí íàõîäèëñÿ â ðàâíîâåñèè? Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ðàâíîâåñèå çàðÿäà q0 áóäåò óñòîé÷èâûì è íåóñòîé÷èâûì? 298. Äâà ïîëîæèòåëüíûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäà 4q è q çàêðåïëåíû íà ðàññòîÿíèè à äðóã îò äðóãà. Êàêîé çàðÿä q0 è ãäå íóæíî åãî ðàñïîëîæèòü, ÷òîáû âñÿ ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ðàâíîâåñèè? 299. Îòðèöàòåëüíûé òî÷å÷íûé çàðÿä, ðàâíûé ïî ìîäóëþ 2q, è ïîëîæèòåëüíûé òî÷å÷íûé çàðÿä q çàêðåïëåíû íà ðàññòîÿíèè à äðóã îò äðóãà. Ãäå íà ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé çàðÿäû 2q è q, ñëåäóåò ïîìåñòèòü ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä q0 (ðèñ. 97), ÷òîáû îí íàõîäèëñÿ â ðàâíîâåñèè? Îïðåäåëèòå õàðàêòåð ðàâíîâåñèÿ çàðÿäà q0 îòíîñèòåëüíî ïðîäîëüíûõ ñìåùåíèé. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû F, äåéñòâóþùåé íà çàðÿä q0, îò ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó íèì è çàðÿäîì q.
Ðèñ. 97
%
300. Äâà îäèíàêîâûõ ìåòàëëè÷åñêèõ øàðèêà ìàññîé m = 10 ã êàæäûé ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè r äðóã îò äðóãà, çíà÷èòåëüíî áîëüøåì ðàäèóñà øàðèêîâ. Êàêîé çàðÿä q íåîáõîäèìî ïîìåñòèòü íà ýòè øàðèêè, ÷òîáû ñèëà èõ âçàèìîäåéñòâèÿ óðàâíîâåøèâàëà ñèëó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, äåéñòâóþùóþ ìåæäó íèìè? 301. Äâà îäèíàêîâûõ ìåòàëëè÷åñêèõ øàðèêà, èìåþùèõ ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû q1 = 5 íÊë è q2 = 2 íÊë, ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè r = 30 ñì äðóã îò äðóãà, çíà÷èòåëüíî áîëüøåì ðàäèóñà øàðèêîâ. Èçìåíèòñÿ ëè ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ øàðèêîâ ïîñëå òîãî, êàê îíè áóäóò íà êîðîòêîå âðåìÿ ñîåäèíåíû ïðîâîëî÷êîé? Êàêèìè çàðÿäàìè qR1 è qR2 áóäóò îáëàäàòü øàðèêè ïîñëå ýòîãî? 302. Äâà îäèíàêîâûõ ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûõ øàðèêà ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè r = 2 ñì äðóã îò äðóãà, çíà÷èòåëüíî áîëüøåì ðàäèóñà øàðèêîâ. Øàðèêè ïðèòÿãèâàþòñÿ ñ ñèëîé F = 40 ìêÍ. Ïîñëå òîãî êàê øàðèêè ñîåäèíèëè ïðîâîëî÷êîé è óáðàëè åå, îíè ñòàëè îòòàëêèâàòüñÿ ñ ñèëîé F′ = 22,5 ìêÍ. Íàéäèòå ïåðâîíà÷àëüíûå çàðÿäû q1 è q2 øàðèêîâ. 303. Íà íèòè äëèíîé l = 10 ñì ïîäâåøåí ìàëåíüêèé ïðîáêîâûé øàðèê ìàññîé ò = 0,58 ã. Íà ðàññòîÿíèè l = 10 ñì îò òî÷êè ïîäâåñà è íà ðàññòîÿíèè l/2 îò íèòè çàêðåïëåí âòîðîé òàêîé æå øàðèê (ðèñ. 98). Êàêèå îäèíàêîâûå îäíîèìåííûå çàðÿäû q íóæíî ïîìåñòèòü íà øàðèêè, ÷òîáû íèòü îòêëîíèëàñü íà óãîë α = 30°? 304. Íà äëèííûõ íèòÿõ, çàêðåïëåííûõ â îäíîé òî÷êå, âèñÿò äâà îäèíàêîâûõ ìàëåíüêèõ îäíîèìåííî çàðÿæåííûõ øàðèêà. Çàðÿäû è ìàññû øàðèêîâ òàêîâû, ÷òî øàðèêè íàõîäÿòñÿ â ðàâíîâåñèè, êîãäà îíè ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè a = 10 ñì äðóã îò äðóãà (äëèíà íèòåé l . a). Îäèí èç øàðèêîâ ðàçðÿäèëè. Êàê áóäóò âåñòè ñåáÿ øàðèêè ïîñëå ýòîãî? Ïðè êàêîì ðàññòîÿíèè b ìåæäó øàðèêàìè óñòàíîâèòñÿ íîâîå ðàâíîâåñèå? 305. Ýëåêòðîìåòð Ã. Â. Ðèõìàíà* ñîñòîÿë èç ìåòàëëè÷åñêîé âåðòèêàëüíîé ëèíåéêè, ê âåðõíåé òî÷êå êîòîðîé * Ïðîôåññîð Ãåîðã Âèëüãåëüì Ðèõìàí (1711 1753) ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé Àêàäåìèè íàóê, äðóã è ïîìîùíèê Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, îäèí èç ïåðâûõ ñîçäàòåëåé ýëåêòðîìåòðîâ, òðàãè÷åñêè ïîãèá 26 èþëÿ 1753 ã. ïðè èçó÷åíèè àòìîñôåðíîãî ýëåêòðè÷åñòâà.
%
l
l
l
A l/2
B
m Ðèñ. 99
Ðèñ. 98
áûëà ïðèêðåïëåíà ëüíÿíàÿ íèòü, îòêëîíÿâøàÿñÿ îò ëèíåéêè ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà (ðèñ. 99). Ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà îòñ÷èòûâàëèñü ïî ðàçäåëåííîìó íà ãðàäóñû êâàäðàíòó. Äëèíà è ìàññà íèòè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî l è m. Ïðè êàêîì çàðÿäå q íèòü òàêîãî ýëåêòðîìåòðà îòêëîíèòñÿ íà óãîë α? Ðàñ÷åò ïðîâåäèòå ïðè äîïóùåíèÿõ, ÷òî çàðÿä ýëåêòðîìåòðà ïîðîâíó ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó ëèíåéêîé è íèòüþ è ÷òî çàðÿäû ñîñðåäîòî÷èâàþòñÿ íà íèòè â òî÷êå À è íà ëèíåéêå â òî÷êå Â. 306. Äâà îäèíàêîâûõ ïîëîæèòåëüíûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäà, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí q = 3,4 íÊë, íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè r = 17 ñì äðóã îò äðóãà. Ñ êàêîé ñèëîé F è ïî êàêîìó íàïðàâëåíèþ áóäóò äåéñòâîâàòü ýòè çàðÿäû íà ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä q0 = 1 íÊë, íàõîäÿùèéñÿ îò êàæäîãî èç íèõ íà ðàññòîÿíèè r = 17 ñì? Íàéäèòå ìîäóëü è íàïðàâëåíèå ýòîé ñèëû, åñëè ïåðâûå äâà çàðÿäà ðàçíîèìåííûå. 307. ×åòûðå îäèíàêîâûõ òî÷å÷íûõ ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäà, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí q, íàõîäÿòñÿ â âåðøèíàõ êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à. Êàêîé îòðèöàòåëüíûé çàðÿä, ðàâíûé ïî ìîäóëþ q0, íóæíî ïîìåñòèòü â öåíòðå êâàäðàòà, ÷òîáû ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ðàâíîâåñèè? Áóäåò ëè ðàâíîâåñèå óñòîé÷èâûì?
§ 19. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå Ïðåäñòàâëåíèå îá ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå è âåëè÷èíàõ, õàðàêòåðèçóþùèõ åãî, ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñàìûõ îòâåòñòâåííûõ è òðóäíûõ ðàçäåëîâ ïðîãðàììû. Ïîýòîìó âíèìàíèå ó÷àùèõñÿ â ýòîì ïàðàãðàôå ñîñðåäîòî÷åíî íà ðåøåíèè ïðîñòåéøèõ çàäà÷ íà ïðèìåíåíèå ôîðìóëû
H H F = qE,
%!
íà âîïðîñàõ î õàðàêòåðå ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêîâ, ïîìåùåííûõ â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, è íà ðàñ÷åòå äâèæåíèÿ çàðÿæåííûõ òåë ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà íîñèò êà÷åñòâåííûé õàðàêòåð è èìååò öåëüþ íå òîëüêî ïðîâåñòè ðàñ÷åò ñèë, íî è, ãëàâíûì îáðàçîì, âûÿñíèòü îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ çàðÿäîâ íà ïðîâîäíèêàõ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, à òàêæå õàðàêòåð è ïðèðîäó èñêàæåíèé, âîçíèêàþùèõ â ïîëå ïðè âíåñåíèè â íåãî ïðîâîäíèêîâ. Îñîáî âíèìàòåëüíî ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîäóìàòü ðåøåíèÿ çàäà÷ 319325, â êîòîðûõ ïîêàçàíû íàèáîëåå ïðîñòûå ïóòè ðàñ÷åòà äâèæåíèÿ òåë, âîçíèêàþùåãî ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë.
308. Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü Å ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷íûì çàðÿäîì q = 1 íÊë íà ðàññòîÿíèè r = 1 ì îò çàðÿäà. 309. Äâà îäèíàêîâûõ òî÷å÷íûõ îäíîèìåííûõ çàðÿäà, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí q = 2 íÊë, íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 2a = 1 ì äðóã îò äðóãà. Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü E â òî÷êå À, íàõîäÿùåéñÿ íà ñåðåäèíå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó çàðÿäàìè, è ïîòåíöèàë ϕ ýòîé òî÷êè. 310. Íà ïðîâîëî÷íîå ìåòàëëè÷åñêîå êîëüöî ðàäèóñîì R ïîìåùåí çàðÿä q. Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü Å ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýòèì çàðÿäîì: à) â öåíòðå êîëüöà Î (ðèñ. 100); á) â òî÷êå À, ëåæàùåé íà îñè êîëüöà íà ðàññòîÿíèè R îò öåíòðà Î. 311. Ìàëåíüêèì ìåòàëëè÷åñêèì øàðèêîì ïðèêàñàþòñÿ ïîî÷åðåäíî R ê òî÷êàì À,  è Ñ çàðÿæåííîãî O òåëà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 101. R A Ïîñëå êàæäîãî ñîïðèêîñíîâåíèÿ ïðèáëèæåííî îïðåäåëÿþò çàðÿä øàðèêà, ïðèêàñàÿñü øàðèêîì ê Ðèñ. 100 ýëåêòðîñêîïó. Áóäóò ëè ëèñòî÷êè ýëåêòðîñêîïà â êàæäîì ñëó÷àå ðàñõîäèòüñÿ íà îäèí è òîò æå óãîë? 312.  îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ïîìåùàþò õîðîøî ïðîâîäÿùèé íåçàðÿæåííûé øàð. Êàêèå èçìåÐèñ. 101 %"
íåíèÿ â ôîðìå è ðàñïîëîæåíèè ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïðîèçîéäóò ïîñëå âíåñåíèÿ øàðà è êàêèå ïðè÷èíû âûçûâàþò èñêàæåíèÿ ïîëÿ? Íàðèñóéòå êàðòèíó ðàñïîëîæåíèÿ ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé. Ãäå è êàêèå èíäóöèðîâàííûå çàðÿäû ïîÿâÿòñÿ íà øàðå? 313. Èìååòñÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûé øàð. Êàê ñ ïîìîùüþ ýòîãî øàðà, íå óìåíüøàÿ íàõîäÿùåãîñÿ íà íåì çàðÿäà, íàýëåêòðèçîâàòü äâà äðóãèõ øàðà îäèí ïîëîæèòåëüíî, äðóãîé îòðèöàòåëüíî? 314. Âíóòðü ïîëîé ïðîâîäÿùåé íåçàðÿæåííîé ñôåðû ïîìåùåí ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûé øàðèê. Ãäå ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå? Êàêèå çàðÿäû ïîÿâÿòñÿ íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû? Èçìåíèòñÿ ëè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïðè ïåðåìåùåíèè øàðèêà âíóòðè ñôåðû? Èçìåíèòñÿ ëè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, åñëè øàðèê îñòàíåòñÿ íåïîäâèæíûì, à ñíàðóæè ê ñôåðå ïîäíåñòè çàðÿæåííîå òåëî? 315. Âíóòðü ïîëîé ïðîâîäÿùåé íåçàðÿæåííîé ñôåðû ïîìåùåí øàðèê ñ çàðÿäîì q, ïîñëå ÷åãî ñôåðó íà êîðîòêîå âðåìÿ ñîåäèíÿþò ñ çåìëåé è çàòåì øàðèê óäàëÿþò èç ñôåðû. Øàðèê ñî ñôåðîé íå ñîïðèêàñàåòñÿ. Êàêîé çàðÿä èìååò ñôåðà ïîñëå ýòîãî? Êàê ðàñïðåäåëåí ýòîò çàðÿä? Ãäå è êàêîå ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå? 316. Ìåæäó äâóìÿ ðàçíîèìåííûìè, ðàâíûìè ïî ìîäóëþ òî÷å÷íûìè çàðÿäàìè ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ëèíèè, èõ ñîåäèíÿþùåé, ïîìåùàþò äâå äîñòàòî÷íî áîëüøèå, ïëîòíî ïðèëåãàþùèå äðóã ê äðóãó ìåòàëëè÷åñêèå ïëàñòèíû (ðèñ. 102). ×òî ïðîèçîéäåò ñ ïëàñòèíàìè, åñëè èõ îñòàâèòü ñâîáîäíûìè? Êàê èçìåíèòñÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïðè ýòîì? Íàðèñóéòå êàðòèíó ðàñïðåäåëåíèÿ ëèíèé íàïðÿæåííîñòè èçìåíåííîãî ïîëÿ. 317. Ïëàñòèíû, ðàññìîòðåííûå â çàäà÷å 316, ïðè âíåñåíèè â ïîëå íå ïðèêàñàþòñÿ äðóã ê äðóãó è ïîñëå âíåñåíèÿ ðàçäâèãàþòñÿ íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå. Íàðèñóéòå êàðòèíó ðàñïðåäåëåíèÿ ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïîñëå ðàçäâèãàíèÿ ïëàñòèí. Êàêîâ õàðàêòåð ðàñïðåäåëåíèÿ èíäóöèðîâàííûõ çàðÿäîâ íà íèõ? Ðèñ. 102 %#
318.  ïëîñêèé êîíäåíñàòîð ïîìåùàþò íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ äâå ïàðàëëåëüíûå ìåòàëëè÷åñêèå ïëàñòèíû 2 è 3 U òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 103. Íà ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà 1 è 4 ïîäàíà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U. à) Êàêîâ ïîòåíöèàë êàæäîé èç ÷åòûðåõ ïëàñòèí? á) Êàê Ðèñ. 103 èçìåíÿòñÿ ïîòåíöèàëû ïëàñòèí è íàïðÿæåííîñòè ïîëåé âî âñåõ òðåõ ïðîìåæóòêàõ, åñëè ïëàñòèíû 2 è 3 íà êîðîòêîå âðåìÿ çàìêíóòü ïðîâîëîêîé? ×òî ïðîèçîéäåò ïðè ýòîì ñ çàðÿäàìè íà ïëàñòèíàõ 1 è 4? â) Èìåþò ëè ïëàñòèíû 2 è 3 çàðÿäû äî è ïîñëå çàìûêàíèÿ? 319. Øàðèê ìàññîé ò = 10 ã èìååò çàðÿä q = 5 íÊë. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì à îí äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì îäíîðîäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàïðÿæåííîñòüþ E = 30 êÂ/ì? 320. Óïðàâëÿþùèå ïëàñòèíû â ýëåêòðîííî-ëó÷åâîé òðóáêå îáðàçóþò ïëîñêèé êîíäåíñàòîð. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè d = 10 ìì, äëèíà ñòîðîíû ïëàñòèíû l = 5 ñì. Íà ïëàñòèíû ïîäàíà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U = 50 Â. Íà 1 2 3 4
ðàññòîÿíèè
d = 5 ìì îò ïëàñòèí â êîíäåíñàòîð âëåòàåò 2
ïàðàëëåëüíî ïëàñòèíàì ýëåêòðîí ñî ñêîðîñòüþ v0 = = 2107 ì/ñ. Êàêîâà áóäåò ôîðìà òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà âíóòðè êîíäåíñàòîðà? Íà êàêîå ðàññòîÿíèå h îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ ñìåñòèòñÿ ýëåêòðîí ê ìîìåíòó âûëåòà èç êîíäåíñàòîðà? 321. Ìåæäó ãîðèçîíòàëüíûìè ïëàñòèíàìè çàðÿæåííîãî ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà íàõîäèòñÿ ïûëèíêà, èìåþùàÿ ìàññó m = 1012 êã è çàðÿä q = 9,81017 Êë. Êàêîâà íàïðÿæåííîñòü Å ïîëÿ â êîíäåíñàòîðå, åñëè ñèëà òÿæåñòè, äåéñòâóþùàÿ íà ïûëèíêó, óðàâíîâåøåíà ñèëîé, äåéñòâóþùåé íà çàðÿä ïûëèíêè ñî ñòîðîíû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ? 322. Ìàëåíüêèé ìåòàëëè÷åñêèé øàl ðèê ìàññîé m ïîäâåøåí íà íèòè äëèíîé l ìåæäó ãîðèçîíòàëüíûìè ïëàñòèm íàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà (ðèñ. 104). Êàê èçìåíèòñÿ ïåðèîä Ò êîëåáàíèé øàÐèñ. 104 %$
ðèêà, åñëè íà øàðèê ïîìåñòèòü ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä q, à âåðõíþþ ïëàñòèíó êîíäåíñàòîðà çàðÿäèòü: à) ïîëîæèòåëüíî; á) îòðèöàòåëüíî? 323. Øàðèê â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è èìååò ìàññó m = 1 ã. Ïåðèîä êîëåáàíèé åãî â îòñóòñòâèå çàðÿäîâ T0 = 0,628 ñ. Ïîñëå òîãî êàê êîíäåíñàòîð è øàðèê áûëè çàðÿæåíû, ïåðèîä êîëåáàíèé ñòàë ðàâíûì Ðèñ. 105 Ò = 0,314 ñ. Êàêîâà äëèíà l íèòè, íà êîòîðîé ïîäâåøåí øàðèê? Ñ êàêîé ñèëîé F äåéñòâîâàëî ïîëå êîíäåíñàòîðà íà øàðèê? Êàêîâ áóäåò ïåðèîä Ò êîëåáàíèé, åñëè èçìåíèòü çíàê çàðÿäà øàðèêà íà ïðîòèâîïîëîæíûé? 324. Ìàëåíüêèé ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê ïîäâåøåí íà äëèííîé íèòè ìåæäó âåðòèêàëüíûìè ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà (ðèñ. 105). Ìàÿòíèê ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïëàñòèíàì. Êàê èçìåíèòñÿ õàðàêòåð êîëåáàíèé ýòîãî ìàÿòíèêà, åñëè øàðèê è ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà çàðÿäèòü? 325. Êàêîâ çàðÿä q Çåìëè, åñëè íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè E = 130 Â/ì? Ñ÷èòàòü Çåìëþ øàðîì, èìåþùèì ðàäèóñ R = 6400 êì.
§ 20. Ðàáîòà ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ïðè îçíàêîìëåíèè ñ ïîíÿòèåì ïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ó÷àùèåñÿ ñòàëêèâàþòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì îäíîãî èç âàæíåéøèõ ñâîéñòâ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íåçàâèñèìîñòüþ ðàáîòû ñèë ïîëÿ îò ôîðìû ïóòè. Òàê êàê ðàçâèòèå íàâûêîâ ñîçíàòåëüíîãî è ïðàâèëüíîãî èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ñâîéñòâà ïðåäñòàâëÿåò îáû÷íî íåêîòîðûå òðóäíîñòè, òî ðÿä çàäà÷ äàííîãî ïàðàãðàôà ïîñâÿùåí âûÿñíåíèþ ñìûñëà è çíà÷åíèÿ ýòîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî ñâîéñòâà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ïðàâèëàì èñïîëüçîâàíèÿ åãî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷.  íà÷àëå ïàðàãðàôà äàíà ñåðèÿ çàäà÷, òðåáóþùèõ èñïîëüçîâàíèÿ íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé äëÿ ðàñ÷åòà ïîòåíöèàëîâ îòäåëüíûõ òî÷åê ïîëÿ è ðàáîòû ïåðåìåùåíèÿ çàðÿäîâ â ïîëå. Ïðè àíàëèçå ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è 336 è ïîñëåäóþùèõ çàäà÷ íåîáõîäèìî îáðàòèòü âíèìàíèå íà ìåòîäèêó èñ-
%%
ïîëüçîâàíèÿ îñîáåííîñòåé â îòíîñèòåëüíîì ðàñïîëîæåíèè ëèíèé íàïðÿæåííîñòè è ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ äëÿ ïðîâåäåíèÿ ïðîñòåéøèõ ðàñ÷åòîâ.
326. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ïëîñêîì êîíäåíñàòîðå E = 60 êÂ/ì. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà d = 5 ñì. Ýëåêòðîí ëåòèò âäîëü ëèíèè íàïðÿæåííîñòè îò îäíîé ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà ê äðóãîé. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà v0 = 0. Êàêóþ ñêîðîñòü v ïðèîáðåòàåò ýëåêòðîí íà ýòîì ïóòè çà ñ÷åò ðàáîòû ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ? 327. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ïëîñêîì êîíäåíñàòîðå Å = 60 êÂ/ì. Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà U = 3 êÂ. Êàêîâî ðàññòîÿíèå d ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà? 328. Ðàäèóñ çàðÿæåííîé ìåòàëëè÷åñêîé ñôåðû R = 10 ñì. Ïîòåíöèàë ñôåðû ϕ = 300 Â. Êàêîâà ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà σ? 329. Äâà îäíîèìåííûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäà íàõîäÿòñÿ íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà, ïðè÷åì q1 = q2 = 5 íÊë. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ϕ òî÷êè, ëåæàùåé íà ðàññòîÿíèè r1 = r2 = 10 ñì îò êàæäîãî èç çàðÿäîâ. 330.  ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïîòåíöèàëû òî÷åê B è C ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ϕB = 0,3 ê è ϕÑ = 1,2 êÂ. Êàêóþ ðàáîòó À íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä q = 30 íÊë ïåðåìåñòèòü èç òî÷êè B â òî÷êó C? 331. Äâà îäèíàêîâûõ ìåòàëëè÷åñêèõ øàðèêà ðàäèóñîì R = 2,5 ñì êàæäûé íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè r = 1 ì äðóã îò äðóãà è èìåþò ïîòåíöèàëû ϕ = +1,2 ê è ϕ2 = = 1,2 êÂ. Êàêîâû çàðÿäû q1 è q2 ýòèõ øàðèêîâ? 332. Äâå ìåòàëëè÷åñêèå êîíöåíòðè÷åñêèå ñôåðû èìåþò ðàäèóñû R1 è R2. Íà âíóòðåííåé ñôåðå íàõîäèòñÿ çàðÿä q1, íà âíåøíåé çàðÿä q2. Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü E è ïîòåíöèàë ϕ ïîëÿ âíå ñôåð, à òàêæå âíóòðè ìàëîé è áîëüøîé ñôåð. 333. Ïî ïîâåðõíîñòè äâóõ êîíöåíòðè÷åñêèõ ïðîâîäÿùèõ ñôåð ðàäèóñàìè R1 = 5 ñì è R2 = 10 ñì ðàâíîìåðíî (ñ îäèíàêîâîé ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ σ) ðàñ%&
ïðåäåëåí íåêîòîðûé çàðÿä. Íàéäèòå çàðÿä q, åñëè äëÿ ïåðåíîñà ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà q0 = 1 Êë èç áåñêîíå÷íîñòè â öåíòð ñôåð òðåáóåòñÿ ñîâåðøèòü ðàáîòó À = 3 êÄæ. 334. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè çàðÿæåííîãî è îòêëþ÷åííîãî îò èñòî÷íèêà òîêà ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà d = 5 ñì. Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â íåì Å = 30 êÂ/ì.  êîíäåíñàòîð ïàðàëëåëüíî åãî ïëàñòèíàì ââîäÿò íåçàðÿæåííóþ ìåòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíó òîëùèÐèñ. 106 íîé b = 1 ñì (ðèñ. 106). Íàéäèòå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà äî è ïîñëå ââåäåíèÿ ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíû. 335. Ìàëåíüêèé ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê â óñëîâèÿõ çàäà÷è 311 ñîåäèíÿþò ïðîâîëî÷êîé ñ ýëåêòðîñêîïîì è îáâîäÿò ïî âñåìó êîíòóðó çàðÿæåííîãî òåëà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 101. Áóäóò ëè â ýòîì ñëó÷àå ìåíÿòüñÿ ïîêàçàíèÿ ýëåêòðîñêîïà ïðè ïåðåõîäå îò òî÷êè A ê òî÷êàì B è Ñ? 336. Äàíà êàðòèíà ðàñïîëîæåíèÿ ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé íåêîòîðîãî ïîëÿ (ðèñ. 107). Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ïîòåíöèàë ϕ1 > ϕ2. Âîññòàíîâèòå ïî ýòîé êàðòèíå ïðèìåðíóþ êàðòèíó ðàñïðåäåëåíèÿ ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ýòîãî ïîëÿ, óêàæèòå èõ íàïðàâëåíèå.  êàêîé îáëàñòè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ áîëüøå? 337. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âíóòðè êîíäåíñàòîðà ðàâíà E. Íàéäèòå ðàáîòó ïåðåìåùåíèÿ çàðÿäà q ïî çàìêíóòîìó ïðÿìîóãîëüíîìó êîíòóðó MNKL (ðèñ. 108).
2
1
Ðèñ. 107
Ðèñ. 108
%'
Ðèñ. 109
Ðèñ. 110
338. Äîêàæèòå, ÷òî íåâîçìîæíî ñîçäàòü òàêîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, â êîòîðîì âñå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè áûëè áû ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó è ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èõ íåïðåðûâíî óâåëè÷èâàëàñü áû â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê ëèíèÿì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ (ðèñ. 109). 339. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå ïîëÿ ëèíèè íàïðÿæåííîñòè èìåþò ôîðìó äóã êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé ñ öåíòðîì â òî÷êå Î (ðèñ. 110), òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ íà ýòîì ó÷àñòêå äîëæíà áûòü â êàæäîé òî÷êå îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà åå ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè Î.
§ 21. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â äèýëåêòðèêå 340. Ìåòàëëè÷åñêèé çàðÿæåííûé øàð îêðóæåí òîëñòûì ñôåðè÷åñêèì ñëîåì äèýëåêòðèêà. Íàðèñóéòå êàðòèíó ðàñïðåäåëåíèÿ ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âíóòðè è âíå äèýëåêòðèêà. Êàêîâû ïðè÷èíû èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ãðàíèöå äèýëåêòðèêà? 341. Ìåòàëëè÷åñêèé çàðÿæåííûé øàð ðàäèóñîì R = 5 ñì îêðóæåí ñôåðè÷åñêèì ñëîåì äèýëåêòðèêà òîëùèíîé d = 5 ñì. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñëîÿ ε = 3. Çàðÿä øàðà q = 3,6 íÊë. Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü Å ïîëÿ â òî÷êàõ, ëåæàùèõ íà ðàññòîÿíèÿõ r1 = 6 ñì è r2 = 12 ñì îò öåíòðà øàðà. 342. Óìåíüøåíèå íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðè ïîãðóæåíèè çàðÿæåííîãî òåëà â äèýëåêòðèê ìîæíî îáúÿñíèòü ïîÿâëåíèåì ïîëÿðèçàöèîííûõ çàðÿäîâ, âîçíèêàþùèõ â äèýëåêòðèêå ó ïîâåðõíîñòè çàðÿæåííîãî òåëà è ýêðàíèðóþùèõ ñâîèì ïîëåì äåéñòâèå çàðÿäîâ òåëà. Ìåòàëëè÷åñêèé øàð ðàäèóñîì R, èìåþùèé çàðÿä q, íàõîäèòñÿ âíóòðè äèýëåêòðèêà ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíè&
öàåìîñòüþ ε. Îïðåäåëèòå ìîäóëü è çíàê ïîëÿðèçàöèîííîãî çàðÿäà q′ è ïëîòíîñòü σ′ åãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 343. Çàðÿæåííûå øàðèêè â óñëîâèÿõ çàäà÷è 304 ïîìåùåíû â ìàñëî. Ïëîòíîñòü ρ ìàòåðèàëà øàðèêîâ áîëüøå ïëîòíîñòè ìàñëà ρ0. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ìàñëà ðàâíà ε. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå b ìåæäó øàðèêàìè ïîñëå îïóñêàíèÿ èõ â ìàñëî.
§ 22. Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü. Êîíäåíñàòîðû Çíà÷èòåëüíóþ òðóäíîñòü äëÿ ó÷àùèõñÿ ïðåäñòàâëÿåò ðàññìîòðåíèå âîïðîñîâ î ñâÿçè ìåæäó çàðÿäàìè íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà è íàïðÿæåííîñòüþ ïîëÿ â íåì. Òàêæå òðóäíûì ÿâëÿåòñÿ è îïðåäåëåíèå õàðàêòåðà èçìåíåíèÿ çàðÿäîâ ïëàñòèí è ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òåëàìè ïðè ïîìåùåíèè òåë (èëè êîíäåíñàòîðà) â ñðåäû ñ ðàçëè÷íûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Íà âîïðîñ î òîì, êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïðè ïîãðóæåíèè â äèýëåêòðèê ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ çàðÿæåííûõ òåë â ñëó÷àå, êîãäà îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè çàðÿäû ýòèõ òåë, èëè æå â ñëó÷àå, êîãäà íåèçìåííûìè ïîääåðæèâàþòñÿ èõ ïîòåíöèàëû, ó÷àùèåñÿ èíîãäà îòâå÷àþò, ÷òî ýòà ñèëà ïðè âñåõ óñëîâèÿõ óìåíüøàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû. Äëÿ òîãî ÷òîáû èçáåæàòü òàêèõ íåïðàâèëüíûõ îòâåòîâ, ó÷àùèåñÿ äîëæíû îñîáåííî âíèìàòåëüíî îòíåñòèñü ê ðàñêðûòèþ ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ïîíÿòèÿ ýëåêòðè÷åñêîé åìêîñòè êàê âåëè÷èíû, îäíîâðåìåííî ó÷èòûâàþùåé âëèÿíèå ôîðìû, ðàçìåðîâ, ðàñïîëîæåíèÿ òåëà è ñâîéñòâ ñðåäû íà ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîòåíöèàëîì è çàðÿäîì òåëà; ê ðàñêðûòèþ ôèçè÷åñêîé êàðòèíû èçìåíåíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðè ïîìåùåíèè òåë â ðàçëè÷íûå ñðåäû è çàâèñèìîñòè ýòèõ èçìåíåíèé îò óñëîâèé, â êîòîðûõ ïðîèçâîäèòñÿ ñìåíà ñðåä. Ðÿä çàäà÷ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ïîñâÿùåí ðàññìîòðåíèþ òàêèõ ñëó÷àåâ, êîãäà ïðè óâåëè÷åíèè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû îäíîâðåìåííî âîçðàñòàåò è ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó çàðÿæåííûìè òåëàìè. Ïðè ðàçáîðå ðåøåíèé çàäà÷ 344346 íåîáõîäèìî âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòü, êàê èçìåíÿþòñÿ çàðÿäû è íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ïîñëå ïîãðóæåíèÿ òåë â äèýëåêòðèê ïðè ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ.
&
 êîíöå ïàðàãðàôà ïîìåùåíî íåñêîëüêî çàäà÷ íà ðàñ÷åò ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ïëàñòèí êîíäåíñàòîðà è ðàáîòû ïî ðàçäâèãàíèþ ïëàñòèí. Ýòè çàäà÷è ïîçâîëÿþò ó÷àùèìñÿ çíà÷èòåëüíî ãëóáæå ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ïðîöåññàìè, ïðîòåêàþùèìè â êîíäåíñàòîðå.  çàäà÷å 354 ðåêîìåíäóåòñÿ îáðàòèòü âíèìàíèå íà èçìåíåíèÿ â ðàñïðåäåëåíèè çàðÿäîâ ïðè ðàçíûõ ñïîñîáàõ âêëþ÷åíèÿ êîíäåíñàòîðà.
344. Ïëîñêèé êîíäåíñàòîð ïîìåùåí â ñòåêëÿííûé ñîñóä è ïîäêëþ÷åí ê èñòî÷íèêó òîêà ñ ÝÄÑ 1 = 12  (ðèñ. 111). Êëþ÷ â öåïè çàìêíóò. Ïëîùàäü ïëàñòèí êîíäåíñàòîðà S = 100 ñì2, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè d = 1 ìì. Íàéäèòå çàðÿäû íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðà â ñëó÷àå, åñëè áàíêà çàëèâàåòñÿ äîâåðõó ìàñëîì ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε = 2,2: à) äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à; á) ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à. Êàê áóÐèñ. 111 äåò ìåíÿòüñÿ ïðè ýòîì íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êîíäåíñàòîðå? 345. Äâà íåáîëüøèõ çàðÿæåííûõ òåëà âçàèìîäåéñòâóþò â âîçäóõå ñ ñèëîé F1. Êàêîâà áóäåò ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ýòèõ òåë ïîñëå ïîìåùåíèÿ èõ â äèýëåêòðèê ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε, åñëè èõ ïîòåíöèàëû ïîääåðæèâàþòñÿ ïîñòîÿííûìè? 346. Äâà çàðÿæåííûõ øàðà, ðàñïîëîæåííûõ íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì ïîñòîÿííîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà, ïîìåùàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî â ðÿä äèýëåêòðèêîâ ñ âîçðàñòàþùèìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíèöàåìîñòÿìè. Ïðè ýòîì â îäíîé ñåðèè îïûòîâ ïîääåðæèâàåòñÿ âñå âðåìÿ ïîñòîÿííûì çàðÿä øàðîâ, â äðóãîé îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì èõ ïîòåíöèàë. Êàê â ýòèõ ñëó÷àÿõ áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ øàðîâ ñ ðîñòîì äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè? 347. Øàð ðàäèóñîì R1 = 5 ñì, èìåþùèé çàðÿä q1 = 20 íÊë, è øàð ðàäèóñîì R2 = 10 ñì, èìåþùèé òàêîé æå çàðÿä q2 = 20 íÊë, ðàñïîëîæåíû íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Øàðû ñîåäèíÿþòñÿ ïðîâîëîêîé. &
 êàêîì íàïðàâëåíèè áóäóò ïåðåìåùàòüñÿ çàðÿäû ïî ïðîâîëîêå? Êàêîé çàðÿä q ïåðåìåñòèòñÿ ñ îäíîãî øàðà íà äðóãîé? Êàêîâû áóäóò îáùèé ïîòåíöèàë ϕ è çàðÿäû q′1 è q′2 øàðîâ ïîñëå ñîåäèíåíèÿ? 348. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ1 = 3 ìêÔ çàðÿæåí äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U1 = 300 Â, êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ2 = 2 ìêÔ äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U2 = 200 Â. Îáà êîíäåíñàòîðà ñîåäèíåíû ïîñëå çàðÿäêè ïàðàëëåëüíî îäíîèìåííûìè ïîëþñàìè. Êàêàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U óñòàíîâèòñÿ íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðîâ ïîñëå èõ ñîåäèíåíèÿ? 349.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 348 êîíäåíñàòîðû ïîñëå çàðÿäêè ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî ðàçíîèìåííûìè ïîëþñàìè. Êàêîé çàðÿä q è ñ êàêîãî êîíäåíñàòîðà ïåðåéäåò âî âðåìÿ ñîåäèíåíèÿ? 350. Íà êàïåëüêè ðòóòè ðàäèóñîì r = 0,1 ñì ïîìåùåíû îäèíàêîâûå çàðÿäû q = 21013 Êë. N = 10 òàêèõ êàïåëåê ñëèâàþòñÿ â îäíó áîëüøóþ êàïëþ. Êàêîâ ïîòåíöèàë ϕ ýòîé êàïëè? 351. Òðè êîíäåíñàòîðà, åìêîñòè êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî C1 = 2 íÔ, C2 = 4 íÔ è C3 = 6 íÔ, ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Ìîæíî ëè íàêëàäûâàòü íà ýòó áàòàðåþ íàïðÿæåíèå U = 11 êÂ, åñëè íàïðÿæåíèå ïðîáîÿ êàæäîãî êîíäåíñàòîðà U0 = 4 êÂ? Êàêîå íàïðÿæåíèå áóäåò ïðèõîäèòüñÿ íà êàæäûé èç êîíäåíñàòîðîâ áàòàðåè? 352. Íàéäèòå åìêîñòü Ñ êîíäåíñàòîðà â óñëîâèÿõ çàäà÷è 334 ñ âäâèíóòîé â íåãî ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíîé, åñëè ïëîùàäü ïëàñòèí êîíäåíñàòîðà S = 100 ñì2 è âñå ïðîñòðàíñòâî â êîíäåíñàòîðå çàïîëíåíî êåðîñèíîì ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε = 2,1. Áóäåò ëè ìåíÿòüñÿ åìêîñòü êîíäåíñàòîðà, åñëè ìåòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíó ïåðåìåùàòü ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå îò îäíîé ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà ê äðóãîé? 353.  ñôåðè÷åñêîì êîíäåíñàòîðå ñîåäèíÿåòñÿ ñ çåìëåé îäèí ðàç áîëüøàÿ ñôåðà, äðóãîé ðàç ìàëàÿ (ðèñ. 112). Áóäåò ëè îäèíàêîâà åìêîñòü êîíäåíñàòîðà â ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ ? Ðèñ. 112 &!
354. Çàðÿäû êàæäîé èç ïëàñòèí ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà íàõîäÿòñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî çàðÿäàìè äðóãîé ïëàñòèíû. Íàïðÿæåííîñòü òàêîãî ïîëÿ E=
1 q , 2ε0 S
ãäå q çàðÿä è S ïëîùàäü ïëàñòèí êîíäåíñàòîðà. Çíàÿ q è S, îïðåäåëèòå, ñ êàêîé ñèëîé F ïðèòÿãèâàþòñÿ äðóã ê äðóãó ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà. Êàêóþ ðàáîòó À íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ðàçäâèíóòü ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà íà ðàññòîÿíèå d? Âûðàçèòå ýòó ðàáîòó ÷åðåç: à) åìêîñòü Ñ êîíäåíñàòîðà è ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U; á) åìêîñòü Ñ êîíäåíñàòîðà è çàðÿä q ïëàñòèí. 355. Ñ êàêîé ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ σ ðàñïðåäåëåí çàðÿä íà ïëàñòèíàõ ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, åñëè åãî åìêîñòü Ñ = 100 ïÔ, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè d = 2 ìì è ïëàñòèíû ïðèòÿãèâàþòñÿ äðóã ê äðóãó ñ ñèëîé F = 0,4 Í? 356. Îäíà èç ïëàñòèí ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ïîäâåøåíà ê êîðîìûñëó âåñîâ (ðèñ. 113). Ïëîùàäü ïëàñòèí êîíäåíñàòîðà S = 628 ñì2, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè d = 5 ìì. Êàêîâà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà, åñëè äëÿ ðàâíîâåñèÿ íåîáõîäèìî ïîëîæèòü íà äðóãóþ ÷àøêó âåñîâ ãðóç Ðèñ. 113 ìàññîé ò = 40 ã? 357. Ïëàñòèíû ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ðàçäâèãàþòñÿ: îäèí ðàç, áóäó÷è ïîäêëþ÷åííûìè ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèÿ, äðóãîé ðàç îòêëþ÷åííûìè ïîñëå ïåðâîíà÷àëüíîé çàðÿäêè.  êàêîì èç ýòèõ äâóõ ñëó÷àåâ íóæíî çàòðàòèòü íà ðàçäâèãàíèå ïëàñòèí áîRëüøóþ ðàáîòó? 358. Ïëîñêèé êîíäåíñàòîð çàðÿæåí äî íåêîòîðîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ.  êîíäåíñàòîð âäâèíóëè äèýëåêòðè÷åñêóþ ïëàñòèíó. Ïîñëå ýòîãî äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ïðåæíåé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ïðèøëîñü óâåëè÷èòü çàðÿä ïëàñòèíû â òðè ðàçà. Íàéäèòå äèçëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ε ïëàñòèíû. &"
§ 23. Çàêîíû ïîñòîÿííîãî òîêà  äàííîì ïàðàãðàôå ðåêîìåíäóåòñÿ îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå íà ðåøåíèå çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïðèìåíåíèåì çàêîíà Îìà â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, ñîäåðæàùèõ íåñêîëüêî èñòî÷íèêîâ òîêà, à òàêæå íà ðåøåíèå çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ðàñ÷åòîì ñèë òîêîâ â ðàçâåòâëåííûõ öåïÿõ è íà ó÷àñòêàõ öåïè, ñîäåðæàùèõ èñòî÷íèêè òîêà. Íàèáîëüøåå ÷èñëî îøèáîê â ýòèõ çàäà÷àõ îáû÷íî âîçíèêàåò èç-çà òîãî, ÷òî ó÷àùèåñÿ íåïðàâèëüíî ó÷èòûâàþò ïðè íàïèñàíèè óðàâíåíèé çàêîíà Îìà ñîîòíîøåíèå çíàêîâ ÝÄÑ, äåéñòâóþùèõ â öåïè, è íàïðàâëåíèé òîêîâ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ñåðüåçíûå îøèáêè âîçíèêàþò â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ó÷àùèåñÿ íå ó÷èòûâàþò, ÷òî ñèëà òîêà â ó÷àñòêå öåïè, íà êîòîðîì äåéñòâóåò èñòî÷íèê òîêà, îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ íà êîíöàõ ó÷àñòêà è ÝÄÑ èñòî÷íèêà òîêà âíóòðè ó÷àñòêà. Çà÷àñòóþ íåäîðàçóìåíèÿ áûâàþò ñâÿçàíû ñ íåóìåíèåì ïðàâèëüíî ó÷èòûâàòü âëèÿíèå âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêîâ òîêà íà ðåæèì ðàáîòû âñåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ðÿä çàäà÷ ïàðàãðàôà (íàïðèìåð, 383, 385, 386, 392395 è äð.) ñïåöèàëüíî ïîñâÿùåí âûÿñíåíèþ ýòîãî âîïðîñà, à òàêæå âûÿñíåíèþ âîïðîñà î âûáîðå íàèáîëåå âûãîäíûõ óñëîâèé ðàáîòû èñòî÷íèêîâ òîêà. Ïðè ðåøåíèè áîëüøèíñòâà çàäà÷ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ñëåäóåò îáðàùàòü âíèìàíèå íà òî, êàê èçìåíÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñèë òîêîâ è ïîòåíöèàëîâ ïðè ââåäåíèè èëè ñìåíå îòäåëüíûõ ðåçèñòîðîâ èëè èñòî÷íèêîâ òîêà â öåïè. Íåçíàíèå ñâÿçè, ñóùåñòâóþùåé ìåæäó ðàñïðåäåëåíèåì ïîòåíöèàëîâ è ñèë òîêîâ â ðàçâåòâëåííûõ öåïÿõ, äåëàåò ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíûì ðåøåíèå òàêèõ çàäà÷, êàê, íàïðèìåð, çàäà÷è 379 è 380. ×ðåçâû÷àéíî âàæíûì ÿâëÿåòñÿ óìåíèå óêàçàòü, êàê è ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü îäèí è òîò æå èçìåðèòåëüíûé ïðèáîð äëÿ ðàçíûõ öåëåé (íàïðèìåð, èñïîëüçîâàòü àìïåðìåòð â êà÷åñòâå îììåòðà èëè ìèëëèàìïåðìåòð â êà÷åñòâå âîëüòìåòðà), êàêèå îøèáêè ìîãóò âîçíèêàòü âî âðåìÿ èçìåðåíèé ïðè ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 375). Ïîýòîìó â íà÷àëå ïàðàãðàôà ïîìåùåí ðÿä çàäà÷ íà èññëåäîâàíèå ðàáîòû ïðèáîðîâ. Âñå ýòè çàäà÷è äîëæíû ðàçáèðàòüñÿ îäíîâðåìåííî ñ òåîðåòè÷åñêèì èçó÷åíèåì ýòèõ ïðèáîðîâ.
359. Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìåäè ρ = 0,017 ìêÎìì. Êàêîâî áóäåò ñîïðîòèâëåíèå R ìåäíîé ïðîâîëîêè &#
äëèíîé l = 1 ì è ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S = 1 ìì2? 360. Îäíà èç ïåðâûõ ïîïûòîê ââåñòè åäèíèöó ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîâîäíèêîâ ïðèíàäëåæèò Á. Ñ. ßêîáè*. Åäèíèöà ñîïðîòèâëåíèÿ ßêîáè ðàâíà ñîïðîòèâëåíèþ ìåäíîé ïðîâîëîêè äëèíîé 6,358 ôóòà (1 ôóò = 30,5 ñì) è äèàìåòðîì 0,00336 äþéìà (1 äþéì = 2,54 ñì). Âûðàçèòå åäèíèöó ñîïðîòèâëåíèÿ ßêîáè â îìàõ. 361. Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîëîêè R = 0,1 Îì, äëèíà l = 1 ì, ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S = 1 ìì2. Íàéäèòå óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ρ ìàòåðèàëà ïðîâîëîêè. 362. Íàñêîëüêî èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò çèìû ê ëåòó ñîïðîòèâëåíèå R òåëåãðàôíîé ëèíèè, åñëè îíà ïðîëîæåíà æåëåçíûì ïðîâîäîì, ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êîòîðîãî S = 10 ìì2? Òåìïåðàòóðà èçìåíÿåòñÿ îò t0 = 30 °Ñ çèìîé äî t = 30 °Ñ ëåòîì. Äëèíà ïðîâîäà çèìîé l0 = 100 êì. Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå æåëåçà çèìîé ρ0 = 0,087 ìêÎìì. Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ æåëåçà β = 6103 Ê1. Êàê èçìåíèòñÿ ðåçóëüòàò, åñëè ó÷åñòü óäëèíåíèå ïðîâîäà ïðè íàãðåâàíèè? Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ æåëåçà α = 1,2105 Ê1. 363. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ëàìïî÷êà ñ âîëüôðàìîâîé íèòüþ ðàññ÷èòàíà íà íàïðÿæåíèå U = 220  è ïîòðåáëÿåò ìîùíîñòü N = 40 Âò. Äèàìåòð íèòè D = 0,01 ìì. Òåìïåðàòóðà íàêàëåííîé íèòè T = 2700 Ê. Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå âîëüôðàìà ïðè T0 = 273 Ê ðàâíî ρ0 = 0,05 ìêÎìì è ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî òåìïåðàòóðå íèòè. Íàéäèòå äëèíó l íèòè ýòîé ëàìïî÷êè. 364. Íàéäèòå ñèëó òîêà I â íèòè ýëåêòðè÷åñêîé ëàìïî÷êè (ñì. ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó) â ïåðâûé ìîìåíò ïîñëå âêëþ÷åíèÿ. Âî ñêîëüêî ðàç ýòà ñèëà òîêà áóäåò áîëüøå ñèëû òîêà ïðè íîðìàëüíîì ðåæèìå ãîðåíèÿ ëàìïî÷êè? 365. Ïëîñêèé êîíäåíñàòîð ñ ïëîùàäüþ ïëàñòèí S è ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè d îäèí ðàç çàïîëíåí äèýëåêò* ßêîáè Áîðèñ Ñåìåíîâè÷ (18011874) ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé Àêàäåìèè íàóê, èçîáðåòàòåëü ãàëüâàíîïëàñòèêè, ýëåêòðîäâèãàòåëÿ, ïèøóùåãî òåëåãðàôà è ãàëüâàíè÷åñêèõ ìèí.
&$
ðèêîì ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ ε, äðóãîé ðàç ýëåêòðîëèòîì ñ óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòüþ γ. Íàéäèòå ñîîòíîøåíèå ìåæäó åìêîñòüþ Ñ êîíäåíñàòîðà â ïåðâîì è åãî ïðîâîäèìîñòüþ G âî âòîðîì ñëó÷àÿõ. 366. Ý. X. Ëåíö* â îïûòàõ ïî èññëåäîâàíèþ òåïëîâîãî äåéñòâèÿ òîêà çà åäèíèöó ñèëû òîêà ïðèíèìàë ñèëó òàêîãî òîêà, êîòîðûé ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ïîäêèñëåííóþ âîäó âûäåëÿë 41,16 ñì3 ãðåìó÷åãî ãàçà â ÷àñ ïðè äàâëåíèè 760 ìì ðò. ñò. è òåìïåðàòóðå 0 °Ñ. Ïëîòíîñòü êèñëîðîäà ïðè äàâëåíèè 760 ìì ðò. ñò. ðàâíà ρ = 1,43 êã/ì3. Âûðàçèòå åäèíèöó ñèëû òîêà Ëåíöà â àìïåðàõ. 367. Êàêîâû äîëæíû áûòü R2 ñîïðîòèâëåíèÿ R1, R2 è R3 ñåêöèé ðåîñòàòà (ðèñ. 114) äëÿ R1 R3 òîãî, ÷òîáû ñèëà òîêà, ôèêñè- U A ðóåìàÿ àìïåðìåòðîì, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî R0 = 30 Îì, Ðèñ. 114 ïðè ïåðåìåùåíèè äâèæêà ðåîñòàòà ñ êîíòàêòà íà êîíòàêò èçìåíÿëàñü íà ∆I = 1 À? Ñõåìà ïèòàåòñÿ îò ñåòè ñ íàïðÿæåíèåì U = 120 Â. 368. Íåîáõîäèìî èçìåðèòü ñîïðîòèâëåíèå öåïè, ðàáîòàþùåé îò ñåòè ñ íàïðÿæåíèåì U = 120 Â. Èìååòñÿ ãàëüâàíîìåòð ñ ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ i0 = 10 ìêÀ/äåë (ñèëà òîêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îäíîìó äåëåíèþ øêàëû ãàëüâàíîìåòðà). Êàê ñëåäóåò âêëþ÷èòü ãàëüâàíîìåòð, ÷òîáû îí ðàáîòàë êàê îììåòð? Êàêîå íàèìåíüøåå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ìîæíî èçìåðèòü òàêèì ãàëüâàíîìåòðîì, åñëè åãî øêàëà èìååò ï = 40 äåëåíèé? Ïîñòðîéòå øêàëó òàêîãî îììåòðà â îìàõ íà äåëåíèå. Ñîïðîòèâëåíèåì ïðèáîðà ïðåíåáðå÷ü. 369. Íåêîòîðàÿ öåïü, èìåþùàÿ ñîïðîòèâëåíèå R = 100 Îì, ïèòàåòñÿ îò èñòî÷íèêà òîêà ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì. Äëÿ èçìåðåíèÿ ñèëû òîêà â öåïè âêëþ÷èëè àìïåðìåòð, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî R0 = 1 Îì. Êàêîâà áûëà ñèëà òîêà I â öåïè äî âêëþ÷åíèÿ àìïåðìåòðà, åñëè àìïåðìåòð ïîêàçàë ñèëó òîêà I0 = 5 À? * Ëåíö Ýìèëèé Õðèñòèàíîâè÷ (18041865) ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé Àêàäåìèè íàóê. Çàêîí Ëåíöà î òåïëîâûõ äåéñòâèÿõ òîêà è ïðàâèëî Ëåíöà â ÿâëåíèÿõ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè âõîäÿò è â ñîâðåìåííîå ó÷åíèå îá ýëåêòðè÷åñêèõ ÿâëåíèÿõ.
&%
370. Êàêîâî äîëæíî áûòü ñîïðîòèâëåíèå øóíòà R ê ãàëüâàíîìåòðó äëÿ óìåíüøåíèÿ åãî ÷óâñòâèòåëüíîñòè â n = 20 ðàç? Ñîïðîòèâëåíèå ãàëüâàíîìåòðà R0 = 950 Îì. 371. Ìèëëèàìïåðìåòð ñ ïðåäåëîì èçìåðåíèÿ, ðàâíûì I0 = 20 ìÀ, íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü êàê àìïåðìåòð ñ ïðåäåëîì èçìåðåíèÿ I = 5 À. Êàêîå äëÿ ýòîãî ñîïðîòèâëåíèå R äîëæåí èìåòü øóíò ê ìèëëèàìïåðìåòðó? Ñîïðîòèâëåíèå ìèëëèàìïåðìåòðà R0 = 8 Îì. 372. ×óâñòâèòåëüíûé ìèëëèàìïåðìåòð èñïîëüçóåòñÿ êàê âîëüòìåòð. Êàæäîìó äåëåíèþ øêàëû ìèëëèàìïåðìåòðà ñîîòâåòñòâóåò ñèëà òîêà i0 = 1 ìÀ/äåë. Ñîïðîòèâëåíèå ïðèáîðà R0 = 0,5 êÎì. Îïðåäåëèòå öåíó äåëåíèÿ øêàëû òàêîãî ïðèáîðà â âîëüòàõ íà äåëåíèå. 373. Âîëüòìåòð, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî R0 = 0,4 êÎì, ïîäêëþ÷åí ê ó÷àñòêó öåïè ñîïðîòèâëåíèåì R = 20 Îì è ïîêàçûâàåò íàïðÿæåíèå U0 = 100 Â. Êàê âåëèêà ïîãðåøíîñòü ∆U â ïîêàçàíèÿõ âîëüòìåòðà, åñëè ñèëà òîêà â ñåòè äî ðàçâåòâëåíèÿ ïîñòîÿííà? 374. Äëÿ èçìåðåíèÿ ñîïðîòèâR ëåíèÿ R ðåçèñòîðà ñîñòàâëåíà ñõåA ìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 115. Àìïåðìåòð ïîêàçàë ñèëó òîêà V I = 2 À, âîëüòìåòð íàïðÿæåíèå Ðèñ. 115 U = 120 Â. Íàéäèòå ñîïðîòèâëåíèå R ðåçèñòîðà, åñëè ñîïðîòèâëåíèå âîëüòìåòðà R0 = 3 êÎì. Êàêîâà áóäåò ïîãðåøíîñòü ïðè èçìåðåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ R, åñëè ïðè ðàñ÷åòàõ ñ÷èòàòü ñîïðîòèâëåíèå âîëüòìåòðà R0 áåñêîíå÷íî áîëüøèì? 375. Ñîïðîòèâëåíèå R ðåçèñòîðà ðàññ÷èòûâàþò ïî ïîêàçàíèÿì âîëüòìåòðà è àìïåðìåòðà, âêëþ÷åííûõ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 116, à, á, ïðè÷åì ïðè ðàñ÷åòå íå
Ðèñ. 116
&&
âíîñÿò ïîïðàâîê íà ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèáîðîâ. Êàêîâà áóäåò ïîãðåøíîñòü, åñëè ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà R = 1 Îì, ñîïðîòèâëåíèå àìïåðìåòðà Rà = 0,1 Îì, âîëüòìåòðà Râ = 1 êÎì? Êàêîâà áóäåò ïîãðåøíîñòü ïðè èçìåðåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ R = 0,5 êÎì? Êàêóþ èç ñõåì ñëåäóåò ïðèìåíÿòü äëÿ èçìåðåíèÿ ìàëûõ è áîëüøèõ ñîïðîòèâëåíèé? 376. Öåïü ñîïðîòèâëåíèåì R = 10 êÎì ïèòàåòñÿ îò ïîòåíöèîìåòðà, èìåþùåãî ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå R0 = 3 êÎì (ðèñ. 117). Ïîòåíöèîìåòð ïîäêëþ÷åí ê èñòî÷íèêó òîêà ñ ÝÄÑ 10 = 110 Â. Íàéäèòå íàïðÿæåíèå U, ïîäàâàåìîå â öåïü, êîãäà äâèÐèñ. 117 æîê b ñòîèò ïîñåðåäèíå ïîòåíöèîìåòðà. 377.  ïîìåùåíèè ãîðèò ýëåêòðè÷åñêàÿ ëàìïî÷êà ìîùíîñòüþ P1 = 60 Âò è âêëþ÷àåòñÿ ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíûé ïðèáîð ìîùíîñòüþ P2 = 240 Âò. Íàïðÿæåíèå â ñåòè U = 120 Â. Ñîïðîòèâëåíèå ñîåäèíÿþùèõ ïðîâîäîâ R0 = 6 Îì. Íàñêîëüêî èçìåíÿåòñÿ íàïðÿæåíèå, ïîäâîäèìîå ê ëàìïî÷êå, ïðè âêëþ÷åíèè ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíîãî ïðèáîðà? 378.  ïîìåùåíèè óñòàíîâëåíî ï ýëåêòðè÷åñêèõ ëàìïî÷åê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïîòðåáëÿåò òîê I. Ðàññòîÿíèå îò íàãðóçêè äî èñòî÷íèêà òîêà ðàâíî l. Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëà ïðîâîäîâ ðàâíî ρ. Íàéäèòå ìèíèìàëüíóþ ïëîùàäü ñå÷åíèÿ S ïðîâîäîâ, åñëè ïîòåðè íàïðÿæåíèÿ â ëèíèè íå äîëæíû ïðåâûøàòü çíà÷åíèÿ U. 379.  ðàçâåòâëåíèå ñåòè ñ òîêîì ïîäêëþ÷àþòñÿ ïðîâîäíèêè bbR è ccR (ðèñ. 118). b c Ïîëîæåíèå òî÷åê b, bR è ñ, ñR âûà áèðàåòñÿ òàê, ÷òî òîê ïî ýòèì àR ïðîâîäíèêàì íå ïðîõîäèò. Çàòåì ýòè äâà ìîñòèêà ñîåäèíÿþòñÿ ïðîbR cR âîëî÷êîé ààR. Âîçíèêíåò ëè ïðè Ðèñ. 118 ýòîì òîê â ïðîâîëî÷êå ààR è â ïðîâîäíèêàõ bbR è ccR? ×òî ïðîèçîéäåò ñ ïîòåíöèàëàìè òî÷åê b, bR, ñ, ñR? Êàêîâû áóäóò ïîòåíöèàëû òî÷åê à è àR? 380. Ïî îøèáêå â ñõåìå ìîñòèêà äëÿ èçìåðåíèÿ ñîïðîòèâëåíèé ãàëüâàíîìåòð è êëþ÷ áûëè âêëþ÷åíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 119. Êàê ìîæíî óñòàíîâèòü ðàâíî&'
âåñèå ìîñòèêà, íàáëþäàÿ ïîêàçàíèÿ ýòîãî ãàëüâàíîìåòðà ïðè çàìûêàíèè è ðàçìûêàíèè êëþ÷à? 381.  ðàçðàáîòàííîé Ý. X. Ëåíöåì ñèñòåìå ýëåêòðè÷åñêèõ åäèíèö çà åäèíèöó ÝÄÑ ïðèíèìàëàñü òàêàÿ ÝÄÑ, êîòîðàÿ ïðè ñîïðîòèâëåíèè öåïè, ðàâíîì åäèíèöå ßêîáè, ñîçäàâàëà òîê, ðàâíûé åäèíèöå Ëåíöà (ñì. çàäà÷è 360, 366). Ðèñ. 119 Âûðàçèòå åäèíèöó ÝÄÑ Ëåíöà â âîëüòàõ. 382. Ïðè çàìûêàíèè áàòàðåè ñ ÝÄÑ 1 = 6  íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 1 Îì ñèëà òîêà ðàâíà I = 3 À. Êàêîâà áóäåò ñèëà òîêà I0 ïðè êîðîòêîì çàìûêàíèè ýòîé áàòàðåè? 383. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ëàìïî÷êà, ðàññ÷èòàííàÿ íà íàïðÿæåíèå U0 = 110  è ïîòðåáëÿþùàÿ ìîùíîñòü P = 60 Âò, ïîäêëþ÷åíà ê áàòàðåå ñ ÝÄÑ 1 = 120  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 60 Îì. Áóäåò ëè ëàìïî÷êà ãîðåòü ïîëíûì íàêàëîì ïðè òàêîì ïîäêëþ÷åíèè? 384. Êàêîâî âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r àêêóìóëÿòîðà, åñëè ïðè ñîïðîòèâëåíèè öåïè R1 = 1 Îì ñèëà òîêà ðàâíà I1 = 1 À, à ïðè ñîïðîòèâëåíèè öåïè R2 = 2,5 Îì ñèëà òîêà ðàâíà I2 = 0,5 À? 385. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÝÄÑ àêêóìóëÿòîðà åãî âêëþ÷èëè ïîñëåäîâàòåëüíî ñ ýòàëîííûì ýëåìåíòîì â íåêîòîðóþ öåïü è ïîëó÷èëè ñèëó òîêà I1 = 0,2 À. Êîãäà àêêóìóëÿòîð âêëþ÷èëè â ýòó æå öåïü íàâñòðå÷ó ýòàëîííîìó ýëåìåíòó, òî ñèëà òîêà îêàçàëîñü ðàâíîé I2 = 0,08 À, ïðè ýòîì òîê âî âíåøíåé öåïè íàïðàâëåí îò ïîëîæèòåëüíîãî ïîëþñà àêêóìóëÿòîðà ê îòðèöàòåëüíîìó. Íàéäèòå ÝÄÑ àêêóìóëÿòîðà, åñëè ÝÄÑ ýòàëîííîãî ýëåìåíòà 10 = 2 Â. 386. Êàêîé äîëæíà áûòü ÝÄÑ 1 àêêóìóëÿòîðà â çàäà÷å 385, ÷òîáû ïðè âêëþ÷åíèè åãî íàâñòðå÷ó ýòàëîííîìó ýëåìåíòó ñèëà òîêà áûëà I2 = 0,08 À ïðè íàïðàâëåíèè òîêà âî âíåøíåé öåïè îò îòðèöàòåëüíîãî ïîëþñà àêêóìóëÿòîðà ê ïîëîæèòåëüíîìó? 387. Àêêóìóëÿòîð ñ ÝÄÑ 1 = 2  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 0,4 Îì çàìêíóò íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëå'
íèåì R = 1 Îì. Íàéäèòå íàïðÿæåíèå U íà ïîëþñàõ àêêóìóëÿòîðà. 388. Ýòàëîííûé ýëåìåíò ñ ÝÄÑ 10, ïîòåíöèîìåòð ñ ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì R0 = 10 Îì, àêêóìóëÿòîð ñ íåèçâåñòíîé ÝÄÑ 1 è ãàëüâàíîìåòð âêëþ÷åíû ïî ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 120. Ïðè êàêîì ïîëîæåíèè äâèæêà b ïîòåíöèîìåòðà òîê ÷åðåç ãàëüâàíîìåòð íå ïðîõîäèò? Íàéäèòå ÝÄÑ 1 àêêóìóëÿòîðà, åñëè òîê ÷åðåç ãàëüâàíîìåòð íå ïðîõîäèò òîãäà, êîãäà ñîïðîòèâëåíèå ó÷àñòêà ab ïîòåíöèîìåòðà R = 9 Îì. Ýëåìåíò ñîçäàåò ïðè ýòîì íà êîíöàõ ïîòåíöèîìåòðà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U0 = 2 Â. 389.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è (ñì. ðèñ. 120) øêàëà ïîòåíöèîìåòðà èìååò ï = 500 äåëåíèé. ×óâñòâèòåëüíîñòü ãàëüâàíîìåòðà i0 = 104 À/äåë. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå àêêóìóëÿòîðà r = 0,5 Îì. Êàêîâî äîëæíî áûòü ñîïðîòèâëåíèå Rã ãàëüâàíîìåòðà, ÷òîáû îí ìîã ÷óâñòâîâàòü íàðóøåíèå ðàâíîâåñèÿ Ðèñ. 120 ïðè ñìåùåíèè äâèæêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà îäíî äåëåíèå øêàëû ïîòåíöèîìåòðà? 390. Ïðè çàìûêàíèè áàòàðåè ñ ÝÄÑ 1 = 15  íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà ïîëþñàõ áàòàðåè U = 9 Â, ñèëà òîêà â öåïè I = 1,5 À. Êàêîâû âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r áàòàðåè è ñîïðîòèâëåíèå R ðåçèñòîðà? 391. Äâà îäèíàêîâûõ àêêóìóëÿòîðà ñ ÝÄÑ 1 è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r ñîåäèíåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 121. Íàéäèòå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U ìåæäó òî÷êàìè à è b. Ñîïðîòèâëåíèåì ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ïðåíåáðå÷ü. 392. Öåïü ñîïðîòèâëåíèåì R ïèòàåòñÿ îò Ðèñ. 121 n îäèíàêîâûõ àêêóìóëÿòîðîâ. Ïðè êàêîì âíóòðåííåì ñîïðîòèâëåíèè r àêêóìóëÿòîðà ñèëà òîêà â öåïè áóäåò îäèíàêîâà ïðè ñîåäèíåíèè àêêóìóëÿòîðîâ â áàòàðåþ ïîñëåäîâàòåëüíî è ïàðàëëåëüíî? 393. Ñêîëüêî ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ëàìïî÷åê, ðàññ÷èòàííûõ íà íàïðÿæåíèå U = 100  '
è ïîòðåáëÿþùèõ ìîùíîñòü P = 50 Âò êàæäàÿ, ìîæåò ãîðåòü íîðìàëüíûì íàêàëîì ïðè ïèòàíèè èõ îò àêêóìóëÿòîðíîé áàòàðåè ñ ÝÄÑ 1 = 120  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 10 Îì? 394. Ñêîëüêî îäèíàêîâûõ àêêóìóëÿòîðîâ ñ ÝÄÑ 1 = = 2  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 0,2 Îì íóæíî ñîåäèíèòü ïîñëåäîâàòåëüíî â áàòàðåþ, ÷òîáû ïîëó÷èòü âî âíåøíåé öåïè ñèëó òîêà I = 5 À ïðè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ íà ïîëþñàõ áàòàðåè U = 110 Â? 395. Ïðè ñîïðîòèâëåíèè öåïè R1 = 1,0 Îì ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà ïîëþñàõ àêêóìóëÿòîðà U1 = 1,5 Â; ïðè ñîïðîòèâëåíèè öåïè R2 = 2 Îì ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U2 = 2 Â. Íàéäèòå ÝÄÑ 1 è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r àêêóìóëÿòîðà. 396. Áàòàðåÿ ñ ÝÄÑ 1 = 6  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r =1,4 Îì ïèòàåò âíåøíþþ öåïü, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ, ñîïðîòèâëåíèÿ êîòîðûõ ðàâíû R1 = 2 Îì è R2 = 8 Îì. Íàéäèòå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U íà ïîëþñàõ áàòàðåè è ñèëû òîêîâ I1 è I2 â ðåçèñòîðàõ. 397. Öåïü ñîïðîòèâëåíèåì R = 0,3 Îì ïèòàåòñÿ îò k = 6 àêêóìóëÿòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò ÝÄÑ 1 = = 2  è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r = 0,2 Îì. Àêêóìóëÿòîðû ñîåäèíåíû â îòäåëüíûå ãðóïïû ïîñëåäîâàòåëüíî è ãðóïïû ñîåäèíåíû äðóã ñ äðóãîì ïàðàëëåëüíî. Ïðè êàêîì ñïîñîáå ñîåäèíåíèÿ àêêóìóëÿòîðîâ â òàêèå ãðóïïû áóäåò ïîëó÷åíà íàèáîëüøàÿ ñèëà òîêà â öåïè? Êàêîâî áóäåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ñèëû òîêà? 398. Öåïü ñîïðîòèâëåíèåì R ïèòàåòñÿ îò áàòàðåè, ñîñòîÿùåé èç k ýëåìåíòîâ. Êàæäûé ýëåìåíò èìååò ÝÄÑ 1 è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r. Áàòàðåÿ ñîñòîèò èç îäèíàêîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ãðóïï. Ãðóïïû ñîñòîÿò èç ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ. Íàéäèòå ÷èñëî ãðóïï ï è ÷èñëî ò ýëåìåíòîâ â êàæäîé ãðóïïå, ïðè êîòîðûõ áóäåò ïîëó÷åíà íàèáîëüøàÿ ñèëà òîêà â öåïè. 399. Íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü ñèëó òîêà I = 8 À â öåïè ñîïðîòèâëåíèåì R = 5 Îì. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî àêêóìóëÿòîðîâ íóæíî âçÿòü äëÿ ýòîãî è êàê èõ ñîåäèíèòü '
â áàòàðåþ? ÝÄÑ êàæäîãî àêêóìóëÿòîðà 1 = 2 Â, âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r = 0,5 Îì. 400. Àêêóìóëÿòîð ïîäêëþ÷åí äëÿ çàðÿäêè Ðèñ. 122 ê ñåòè ñ íàïðÿæåíèåì U = 12,5  (ðèñ. 122). Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå àêêóìóëÿòîðà r = 1 Îì. Êàêîâà ÝÄÑ 1 àêêóìóëÿòîðà, åñëè ñèëà çàðÿäíîãî òîêà ðàâíà I = 0,5 À? 401. Àêêóìóëÿòîðíàÿ áàòàðåÿ, ðàçðÿæåííàÿ äî ÝÄÑ 1 = 12 Â, ïîäêëþ÷åíà äëÿ çàðÿäêè ê ñåòè ñ íàïðÿæåíèåì U = 15 Â. Êàêèì ñîïðîòèâëåíèåì R äîëæåí îáëàäàòü ðåçèñòîð, âêëþ÷åííûé â öåïü äëÿ òîãî, ÷òîáû ñèëà çàðÿäíîãî òîêà íå ïðåâûøàëà I = 1 À? Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå áàòàðåè r = 2 Îì. 402. Ãåíåðàòîð ïîñòîÿííîãî òîêà ñ ÝÄÑ 1 = 120  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 0,5 Îì è àêêóìóëÿòîðíàÿ áàòàðåÿ ñ ÝÄÑ 10 = 110  ñîåäèíåíû ñ ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R0 (ðèñ. 123). Ïðè êàêîì íàèáîëüøåì çíà÷åíèè R0 òîê ÷åðåç àêêóìóëÿòîðíóþ áàòàðåþ íå Ðèñ. 123 ïðîõîäèò? Êàê ðàáîòàåò áàòàðåÿ ïðè ñîïðîòèâëåíèè R, áîëüøåì èëè ìåíüøåì íàéäåííîãî çíà÷åíèÿ? 403. Àêêóìóëÿòîðíàÿ áàòàðåÿ ïåðåä çàðÿäêîé èìåëà ÝÄÑ 11 = 90 Â, ïîñëå çàðÿäêè ÝÄÑ 12 = 100 Â. Ñèëà òîêà â íà÷àëå çàðÿäêè áûëà ðàâíà I1 = 10 À. Êàêîâà áûëà ñèëà òîêà I2 â êîíöå çàðÿäêè? Ñ÷èòàòü âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå áàòàðåè âî âñå âðåìÿ çàðÿäêè ïîñòîÿííûì è ðàâíûì r = 2 Îì. Íàïðÿæåíèå, ïîäàâàåìîå çàðÿäíîé ñòàíöèåé, ïîñòîÿííî.
§ 24. Òåïëîâîå äåéñòâèå òîêà. Ìîùíîñòü òîêà Ó÷àùèåñÿ, õîðîøî çíàÿ ñîäåðæàíèå çàêîíà ÄæîóëÿËåíöà, íå âñåãäà óäà÷íî âûáèðàþò íóæíóþ ôîðìó çàïèñè ýòîãî çàêîíà äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷. Íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 411 î ñêîðîñòè íàãðåâàíèÿ âîäû â ýëåêòðè÷åñêîì ÷àéíèêå ñ äâóìÿ îáìîòêàìè ó÷àùèåñÿ îáû÷íî íå ñ÷è-
'!
òàþòñÿ ñ òåì, ÷òî ïðè âñåõ ñïîñîáàõ âêëþ÷åíèÿ îáìîòîê íàïðÿæåíèå íà êîíöàõ îáìîòîê îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, è ïûòàþòñÿ ïîëó÷èòü èñêîìûå ðåçóëüòàòû, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Q = I2Rτ U2 τ. R Ïðè ðàçáîðå çàäà÷ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ðåêîìåíäóåòñÿ îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, êàê èñïîëüçóþòñÿ îñîáåííîñòè êàæäîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè äëÿ âûáîðà íàèáîëåå óäîáíîé ôîðìû çàïèñè çàêîíà ÄæîóëÿËåíöà. Ñëåäóåò òàêæå îáðàòèòü âíèìàíèå íà ðàçëè÷èå â ôèçè÷åñêîì ñìûñëå îòäåëüíûõ ôîðì çàïèñè çàêîíà ÄæîóëÿËåíöà. Êàê èçâåñòíî, ïðè ïðîõîæäåíèè òîêà ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì íà äàííîì ó÷àñòêå öåïè, îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì À = IUτ; êîëè÷åñòâî æå òåïëîòû, âûäåëÿþùåéñÿ íà ýòîì ó÷àñòêå, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Q = I2Rτ. Åñëè âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîãî ó÷àñòêà öåïè íåò èñòî÷íèêà òîêà, òî çà ñ÷åò ðàáîòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðîèñõîäèò òîëüêî óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè è îáà ñîîòíîøåíèÿ äàþò îäèíàêîâûå ðåçóëüòàòû. Åñëè æå âíóòðè ó÷àñòêà èìååòñÿ èñòî÷íèê òîêà, òî åùå ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ïðîòèâ ñòîðîííèõ ñèë è óêàçàííûå ñîîòíîøåíèÿ ïðèâîäÿò ê ðàçëè÷íûì ðåçóëüòàòàì. Ðàçëè÷èå ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà âûðàæåíèé A = IUτ è Q = I2Rτ íåðåäêî óñêîëüçàåò îò âíèìàíèÿ ó÷àùèõñÿ, è ó íèõ âîçíèêàþò ñåðüåçíûå òðóäíîñòè ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òàêîãî òèïà, êàê, íàïðèìåð, çàäà÷è 409 è 410. Ñëåäóåò âíèìàòåëüíî ðàçîáðàòü ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ îäíîâðåìåííî ñ ïîâòîðåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàòåðèàëà èç ðàçäåëîâ ó÷åáíèêà î ðàáîòå ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è òåïëîâîì äåéñòâèè òîêà. Ðÿä çàäà÷ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà (íàïðèìåð, çàäà÷è 406 408, 416, 417 è äð.) èìååò öåëüþ îáðàòèòü âíèìàíèå ó÷àùèõñÿ íà õàðàêòåð çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ è ïîëåçíîé ìîùíîñòè èñòî÷íèêà òîêà îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñîïðîòèâëåíèåì öåïè è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì èñòî÷íèêà.
âìåñòî íàèáîëåå óäîáíîé Q =
404. Ý. X. Ëåíö â îäíîì èç îïûòîâ ïî èññëåäîâàíèþ òåïëîâîãî äåéñòâèÿ òîêà ïðîâîäèë íàãðåâàíèå ñïèðòà ìàññîé m = 118 ã, ïðè ýòîì ñèëà òîêà I = 15,35 åäèíèöû Ëåíöà (ñì. çàäà÷ó 366). ×åðåç êàêîå âðåìÿ τ ïîñëå íà÷àëà íàãðåâàíèÿ òåìïåðàòóðà ñïèðòà ïîâûøàëàñü íà ∆T = 1 Ê? Ñîïðîòèâëåíèå ñïèðàëè R = 35,2 åäèíèöû '"
ßêîáè (ñì. çàäà÷ó 360). Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ñïèðòà ñ = 2,43 êÄæ/(êãÊ). Ïîòåðÿìè ýíåðãèè ïðåíåáðå÷ü. 405. Ïî äàííûì, ïîëó÷åííûì â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, íàéäèòå âðåìÿ τ, íåîáõîäèìîå äëÿ íàãðåâàíèÿ ñïèðòà íà 1 Ê, åñëè ñèëà òîêà I = 1 À, à ñîïðîòèâëåíèå ñïèðàëè R = 1 Îì. 406. Ñïèðàëü íàãðåâàòåëÿ èìååò ñîïðîòèâëåíèå R0 = 5 Îì è ïèòàåòñÿ îò èñòî÷íèêà òîêà ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 20 Îì. Êàêîâî äîëæíî áûòü ñîïðîòèâëåíèå R øóíòà ê íàãðåâàòåëþ äëÿ òîãî, ÷òîáû êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿþùåéñÿ â íàãðåâàåìîì òåëå, óìåíüøèëîñü â ï = 9 ðàç? 407. Àêêóìóëÿòîðíàÿ áàòàðåÿ ñ ÝÄÑ 1 = 12  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 0,8 Îì ïèòàåò ïîî÷åðåäíî öåïè ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 = 0,4 Îì, R2 = 0,8 Îì è R3 = 2 Îì. Ðàññ÷èòàéòå äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ ñëó÷àåâ ïîëåçíóþ ìîùíîñòü, îòäàâàåìóþ áàòàðååé, è ÊÏÄ áàòàðåè. Îáúÿñíèòå õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ÊÏÄ è ïîëåçíîé ìîùíîñòè îò ñîïðîòèâëåíèÿ âíåøíåãî ó÷àñòêà öåïè. 408.  êîíöå ñâîåé ñòàòüè «Âûäåëåíèå òåïëà â ïðîâîäíèêàõ» Ý. X. Ëåíö ñòàâèë òàêóþ çàäà÷ó: «Äëÿ íàêàëèâàíèÿ ïðîâîëîêè îïðåäåëåííîãî äèàìåòðà è äëèíû l òðåáóåòñÿ öåïü èç n ýëåìåíòîâ. Ñêîëüêî òàêèõ ýëåìåíòîâ íóæíî äëÿ íàêàëèâàíèÿ ïðîâîëîêè òîãî æå äèàìåòðà, íî äëèíû pl?» Ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðîèçâîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî. Ðåøèòå çàäà÷ó Ëåíöà. 409. Àêêóìóëÿòîð ïîäêëþ÷åí ê ñåòè çàðÿäíîé ñòàíöèè ñ íàïðÿæåíèåì U = 13 Â. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå àêêóìóëÿòîðà r = 0,4 Îì, åãî îñòàòî÷íàÿ ÝÄÑ 1 = 11 Â. Êàêóþ ìîùíîñòü P0 ðàñõîäóåò ñòàíöèÿ íà çàðÿäêó àêêóìóëÿòîðà? Êàêàÿ ÷àñòü ýòîé ìîùíîñòè ðàñõîäóåòñÿ íà íàãðåâàíèå àêêóìóëÿòîðà? 410. Ýëåêòðîäâèãàòåëü, îáìîòêè êîòîðîãî îáëàäàþò ñîïðîòèâëåíèåì R = 2 Îì, ïðèâîäèòñÿ â äâèæåíèå îò ñåòè íàïðÿæåíèåì U = 110 Â. Ñèëà òîêà I = 10 À. Êàêóþ ìîùíîñòü P0 ïîòðåáëÿåò äâèãàòåëü? Êàêàÿ ÷àñòü ýòîé ìîùíîñòè ïðåâðàùàåòñÿ â ìåõàíè÷åñêóþ ýíåðãèþ? 411. Ýëåêòðè÷åñêèé ÷àéíèê èìååò äâå îáìîòêè. Ïðè âêëþ÷åíèè îäíîé èç íèõ âîäà â ÷àéíèêå çàêèïàåò ÷åðåç '#
âðåìÿ τ1 = 15 ìèí, ïðè âêëþ÷åíèè äðóãîé ÷åðåç âðåìÿ τ2 = 30 ìèí. ×åðåç êàêîå âðåìÿ τ çàêèïèò âîäà â ÷àéíèêå, åñëè âêëþ÷èòü îáå îáìîòêè: à) ïîñëåäîâàòåëüíî; á) ïàðàëëåëüíî? 412. Ñèëà òîêà â æåëåçíîé ïðîâîëîêå òàêîâà, ÷òî îíà çàìåòíî íàãðåâàåòñÿ. Ïî÷åìó ïðè îõëàæäåíèè îäíîé ÷àñòè ïðîâîëîêè, íàïðèìåð âîäîé, äðóãàÿ ÷àñòü íà÷èíàåò íàãðåâàòüñÿ ñèëüíåå, ÷åì äî îõëàæäåíèÿ ïåðâîé? Íàïðÿæåíèå íà êîíöàõ ïðîâîëîêè ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííûì. 413. Ïðåäîõðàíèòåëü èç ñâèíöîâîé ïðîâîëîêè, ïëîùàäü ñå÷åíèÿ êîòîðîé S1 = 0,2 ìì2, ïîñòàâëåí â ñåòü, ïðîëîæåííóþ ìåäíûì ïðîâîäîì ñ ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S2 = 2 ìì2. Ïðè êîðîòêîì çàìûêàíèè ñèëà òîêà äîñòèãëà çíà÷åíèÿ I = 30 À. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ñâèíöà c1 = 134 Äæ/(êãÊ), ìåäè c2 = 381 Äæ/(êãÊ). Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ñâèíöà ρ1 = 0,22 ìêÎìì, ìåäè ρ2 = 0,017 ìêÎìì. Ïëîòíîñòü ñâèíöà D1 = 1,13104 êã/ì3, ìåäè D2 = 8,9103 êã/ì3. Òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ ñâèíöà tïë = 327 °Ñ. Òåìïåðàòóðà ìåäíûõ ïðîâîäîâ äî çàìûêàíèÿ t0 = 20 °Ñ. ×åðåç êàêîå âðåìÿ τ ïîñëå êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ íà÷íåò ïëàâèòüñÿ ñâèíöîâûé ïðåäîõðàíèòåëü? Íàñêîëüêî çà ýòî âðåìÿ íàãðåâàþòñÿ ìåäíûå ïðîâîäà? Ïîòåðÿìè ýíåðãèè âñëåäñòâèå òåïëîïðîâîäíîñòè ïðåíåáðå÷ü. 414.  îäíîì êàëîðèìåòðå íàõîäèòñÿ âîäà íåêîòîðîé ìàññû, â äðóãîì òàêîé æå ìàññû æèäêîñòü. Óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü ýòîé æèäêîñòè íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü.  êàëîðèìåòðû ïîãðóæåíû îäèíàêîâûå êîíñòàíòàíîâûå ïðîâîëîêè, âêëþ÷åííûå ïîñëåäîâàòåëüíî â öåïü ñ èñòî÷íèêîì òîêà. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû ñ1 = 4,2 êÄæ/(êãÊ). Êàêîâà óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü c2 æèäêîñòè, åñëè ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå çàìûêàíèÿ öåïè òåìïåðàòóðà âîäû ïîäíÿëàñü íà ∆t1 = 2,50 °Ñ, à æèäêîñòè íà ∆t2 = 4,25 °C? 415. Æåëåçíàÿ ïðîâîëîêà èìååò óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå â äâà ðàçà áîëüøåå, ÷åì ìåäíàÿ.  êàêîé èç ïðîâîëîê âûäåëèòñÿ áîëüøåå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ïðè âêëþ÷åíèè îáåèõ ïðîâîëîê â öåïü ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì: à) ïîñëåäîâàòåëüíî; á) ïàðàëëåëüíî? '$
416. Ê àêêóìóëÿòîðó ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 2 Îì ñíà÷àëà ïîäêëþ÷åíà îäíà ïðîâîëîêà ñîïðîòèâëåíèåì R = 2 Îì, çàòåì ïàðàëëåëüíî ñ ïåðâîé äðóãàÿ òàêàÿ æå ïðîâîëîêà. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿþùååñÿ â ïåðâîé ïðîâîëîêå, ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ âòîðîé? 417. Àêêóìóëÿòîð çàìûêàåòñÿ: îäèí ðàç íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R1, äðóãîé ðàç íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R2. Ïðè êàêîì âíóòðåííåì ñîïðîòèâëåíèè r àêêóìóëÿòîðà êîëè÷åñòâà òåïëîòû, âûäåëÿþùèåñÿ âî âíåøíåé öåïè, áóäóò îäèíàêîâû â îáîèõ ñëó÷àÿõ?
§ 25. Ïîñòîÿííûå ìàãíèòû. Ìàãíèòíîå ïîëå òîêà Áîëüøèíñòâî çàäà÷ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ïîñâÿùåíî èññëåäîâàíèþ òåõ ñâîéñòâ è îñîáåííîñòåé ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêîâ, êîòîðûå ñâÿçàíû ñ çàìêíóòîñòüþ ëèíèé èíäóêöèè ýòîãî ïîëÿ. Òàê êàê â çàäà÷àõ ýòîãî ïàðàãðàôà ÷àñòè÷íî èñïîëüçóåòñÿ ìàòåðèàë, íåñêîëüêî âûõîäÿùèé çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû, òî ðåêîìåíäóåòñÿ ðàçáèðàòü çàäà÷è ýòîãî ïàðàãðàôà íà ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèÿõ.
418. Åñëè ìàãíèòíóþ ñòðåëêó, ïðèêðåïëåííóþ ê ïðîáêå, îïóñòèòü â âîäó, òî ïîä äåéñòâèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè ñòðåëêà ïîâåðíåòñÿ è âñòàíåò âäîëü ìàãíèòíîãî ìåðèäèàíà, íî ïåðåìåùàòüñÿ ê ñåâåðó èëè ê þãó íå áóäåò. Åñëè âáëèçè ñòðåëêè ïîìåñòèòü ïîëþñ ïîëîñîâîãî ìàãíèòà, òî ñòðåëêà ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ ìàãíèòà íå òîëüêî ïîâåðíåòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íî è íà÷íåò äâèãàòüñÿ â ñòîðîíó ìàãíèòà. Êàêîâû ïðè÷èíû ðàçëè÷íîãî ïîâåäåíèÿ ñòðåëêè â ìàãíèòíûõ ïîëÿõ Çåìëè è ìàãíèòà? 419. Èìåþòñÿ äâà âíåøíå îäèíàêîâûõ, äîñòàòî÷íî äëèííûõ áðóñêà: îäèí èç ìÿãêîãî æåëåçà, äðóãîé ñòàëüíîé ìàãíèò. Êàê, íàáëþäàÿ âçàèìîäåéñòâèå áðóñêîâ ïðè ðàçëè÷íîì èõ ðàñïîëîæåíèè, îïðåäåëèòü, êîòîðûé èç ýòèõ áðóñêîâ ÿâëÿåòñÿ ìàãíèòîì? '%
420. Èìååòñÿ ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà íàêëîíåíèÿ, óêðåïëåííàÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé îñè è ñíàáæåííàÿ êðóãîâîé øêàëîé (ðèñ. 124). Êàê ìîæíî ñ ïîìîùüþ òàêîé ñòðåëêè îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ìåðèäèàíà? 421. Ê íåáîëüøîìó ëàòóííîìó äèñêó Ðèñ. 124 íà êðþ÷êàõ ïîäâåøåíî íåñêîëüêî ñòàëüíûõ èãîëîê (ðèñ. 125). Åñëè ñíèçó ê èãîëêàì ìåäëåííî ïîäíîñèòü ïîëþñ ñèëüíîãî ìàãíèòà, òî ñíà÷àëà èãîëêè ðàçîéäóòñÿ, à çàòåì, êîãäà ìàãíèò ïðèáëèçèòñÿ ïî÷òè âïëîòíóþ, ñíîâà âåðíóòñÿ â âåðòèêàëüíîå ïîëîæåíèå. Ïðè óäàëåíèè ìàãíèòà èãîëêè ñíîâà ðàçîéäóòñÿ, îáðàçóÿ êîíóñîîáðàçíûé ïó÷îê. Îáúÿñíèòå ïðè÷èíû òàêîãî ïîâåäåíèÿ èãîëîê. 422. Íàðèñóéòå êàðòèíó ðàñïðåäåëåíèÿ ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðîõîäÿùèõ âíóòðè êàíàëà íàìàãíè÷åííîé ñòàëüíîé òðóáêè. 423. Îïðåäåëèòå ïîëîæåíèå è õàðàêòåð ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû ìàãíèòíûõ ñòðåëîê, ðàñïîëîæåííûõ â ðÿä íà ðàâíûõ ðàñÐèñ. 125 ñòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà íà îäíîé ïðÿìîé. 424. Ñèëüíûé äóãîîáðàçíûé ìàãíèò çàìêíóò æåëåçíîé ïëàñòèíîé À (ðèñ. 126). Ïëàñòèíà ïîäîáðàíà òàê, ÷òî ìàãíèò ñâîáîäíî óäåðæèâàåò åå. Åñëè òåïåðü ïðèêîñíóòüñÿ ñáîêó ê ïîëþñàì ìàãíèòà ïëàñòèíîé Â, ñäåëàííîé èç ìÿãêîãî æåëåçà, òî ïëàñòèíà À óïàäåò. Åñëè ïëàñòèíó  óáðàòü, òî ìàãíèò âíîâü ñìîæåò óäåðæàòü ïëàñòèíó A. Îáúÿñíèòå ýòî ÿâëåíèå. 425. Äëèííûé ñòåðæåíü èç ìÿãêîãî B æåëåçà çàêðåïëåí â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè. Åñëè ê âåðõíåìó êîíöó ñòåðæíÿ ïîäíåñòè ïîëþñ ñèëüíîãî ìàãíèòà A (ðèñ. 127, à), òî ñòåðæåíü íàìàãíèòèòñÿ òàê ñèëüíî, ÷òî ñìîæåò óäåðæàòü ó ñâîåãî Ðèñ. 126 '&
Ðèñ. 127
Ðèñ. 128
Ðèñ. 129
íèæíåãî êîíöà íåñêîëüêî ìåëêèõ æåëåçíûõ ïðåäìåòîâ. Åñëè òîò æå ñàìûé ìàãíèò ïðèëîæèòü ê ñòåðæíþ ñáîêó, âáëèçè íèæíåãî êîíöà (ðèñ. 127, á), òî òàêîãî ñèëüíîãî íàìàãíè÷èâàíèÿ íå âîçíèêàåò è òå æå ñàìûå ïðåäìåòû óæå íå óäåðæèâàþòñÿ ó íèæíåãî êîíöà ñòåðæíÿ. Ïî÷åìó â ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ ìàãíèò äåéñòâóåò ïî-ðàçíîìó? 426. Ñèëüíûé ìàãíèò èç ñïëàâà ìàãíèêî ìîæåò óäåðæèâàòü ãèðëÿíäó, ñîñòîÿùóþ èç íåñêîëüêèõ öèëèíäðîâ, ñäåëàííûõ èç ìÿãêîãî æåëåçà (ðèñ. 128). ×òî ïðîèçîéäåò ñ öèëèíäðàìè, åñëè ñíèçó ê ãèðëÿíäå ïðèáëèæàòü òàêîé æå ìàãíèò? Ìàãíèòû îáðàùåíû äðóã ê äðóãó îäíîèìåííûìè ïîëþñàìè. ×òî ïðîèçîéäåò ñ öèëèíäðàìè, åñëè ìàãíèòû áóäóò îáðàùåíû äðóã ê äðóãó ðàçíîèìåííûìè ïîëþñàìè? 427. Äâà îäèíàêîâûõ äóãîîáðàçíûõ ìàãíèòà ñëîæåíû äðóã ñ äðóãîì ðàçíîèìåííûìè ïîëþñàìè (ðèñ. 129). Íà îäèí èç ìàãíèòîâ íàäåòà êàòóøêà, êîíöû êîòîðîé ïîäêëþ÷åíû ê ãàëüâàíîìåòðó. Åñëè îòîðâàòü ìàãíèòû äðóã îò äðóãà, òî â ìîìåíò îòðûâà ñòðåëêà ãàëüâàíîìåòðà îòêëîíèòñÿ íà íåêîòîðûé óãîë. Åñëè ìàãíèòû ñîåäèíèòü ñíîâà, òî ñòðåëêà ãàëüâàíîìåòðà äàñò îòêëîíåíèå, íî óæå â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Îáúÿñíèòå ïðè÷èíû, âûçûâàþùèå îòêëîíåíèå ñòðåëêè ãàëüâàíîìåòðà. 428. Ñïåöèàëüíûé ñïëàâ ïåðìàëîé ñïîñîáåí çàìåòíî íàìàãíè÷èâàòüñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå Çåìëè è íå îáëàäàåò îñòàòî÷íûì ìàãíåòèçìîì, ò. å. ÿâëÿåòñÿ â ìàãíèòíîì îò''
íîøåíèè íàèáîëåå ìÿãêèì ìàòåðèàëîì. Êàê áóäåò âåñòè ñåáÿ ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà, óêðåïëåííàÿ íà âåðòèêàëüíîé îñè âáëèçè äëèííîãî ñòåðæíÿ, ñäåëàííîãî èç òàêîãî ñïëàâà, åñëè: à) ñòåðæåíü ðàñïîëîæåí âåðòèêàëüíî (ðèñ. 130); á) ñòåðæåíü ðàñïîëîæåí â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíî ìàãíèòíîìó ìåðèäèàíó; â) ñòåðæåíü ðàñïîëîæåí â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ìàãíèòíîÐèñ. 130 ìó? Èçìåíèòñÿ ëè ïîâåäåíèå ñòðåëêè â ýòèõ ñëó÷àÿõ ïðè ïåðåâîðà÷èâàíèè ñòåðæíÿ? 429. Òîíêèé æåëåçíûé ãâîçäü ïîäâåøåí íà ëåãêîé íåñãîðàåìîé íèòè. Îêîëî ãâîçäÿ íàõîäèòñÿ ñèëüíûé ýëåêòðîìàãíèò. Ìåæäó ãâîçäåì è ìàãíèòîì ðàñïîëîæåíî ïëàìÿ ãàçîâîé ãîðåëêè. Ïðè âêëþ÷åíèè òîêà â îáìîòêå ýëåêòðîìàãíèòà ãâîçäü îòêëîíÿåòñÿ, ïîïàäàåò â ïëàìÿ ãîðåëêè (ðèñ. 131) è çàòåì âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ïîëîæåíèå. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ãâîçäü ñíîâà íà÷íåò ïðèòÿãèâàòüñÿ ê ìàãíèòó. Îáúÿñíèòå ïðè÷èíû, âûçûâàþùèå òàêîå ïîâåäåíèå ãâîçäÿ. 430. Ô.Í. Øâåäîâ ïðåäëîæèë ìîäåëü äâèãàòåëÿ ñëåäóþùåé êîíñòðóêöèè. Ê íåáîëüøîé îïîðíîé âòóëêå, íàñàæåííîé íà îñòðèå, ïðèêðåïëÿåòñÿ 2030 íèêåëåâûõ ñòåðæåíüêîâ ïîäîáíî ñïèöàì êàðêàñà äîæäåâîãî çîíòà. Ðÿäîì ñ òàêîé âåðòóøêîé ðàñïîëàãàþòñÿ ñèëüíûé ýëåêòðîìàãíèò è ãàçîâàÿ Ðèñ. 131 ãîðåëêà ñ øèðîêèì è ñèëüíûì ïëàìåíåì (ðèñ. 132). Ïðè âêëþ÷åíèè òîêà â îáìîòêå ýëåêòðîìàãíèòà è çàæèãàíèè ãîðåëêè âåðòóøêà íà÷èíàåò ðàâíîìåðíî âðàùàòüñÿ â íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì íà ðèñóíêå ñòðåëêîé. Îáúÿñíèòå ïðè÷èíû, âûçûâàþùèå äâèæåíèå âåðòóøêè. Ðèñ. 132
431. Íàðèñóéòå êàðòèíó ðàñïðåäåëåíèÿ ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðÿìîëèíåéíîãî òîêà. 432. Èçâåñòíî, ÷òî åñëè â äëèííîì ïðÿìîëèíåéíîì ïðîâîäå ñèëà òîêà I, òî ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ïîëÿ, ñîçäàííîãî ýòèì ïðîâîäíèêîì, ðàâíà B = µ0
I , ãäå 2πr
µ0 = 4π107 Ãí/ì ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, r ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïîëÿ äî ïðîâîäà ñ òîêîì. Íàéäèòå èíäóêöèþ B ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êå, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè r = 5 ñì îò ïðîâîäà, åñëè ñèëà òîêà I = 2 À. 433. Ìàãíèòíîå ïîëå â íåêîòîðîé òî÷êå À ñëàãàåòñÿ èç ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè, èìåþùåãî ãîðèçîíòàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ èíäóêöèè, ìîäóëü êîòîðîé ðàâåí Bã = 6,4π106 Òë, è ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàííîãî ïðÿìîëèíåéíûì ïðîâîäíèêîì, ñèëà òîêà â êîòîðîì I = 5 À. Êàê ñëåäóåò ðàñïîëîæèòü ïðîâîä ñ òîêîì îòíîñèòåëüíî KH òî÷êè À, ÷òîáû èíäóêöèÿ B ðåçóëüòèðóþùåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ýòîé òî÷êå áûëà íàïðàâëåíà ïî âåðòèêàëè? 434. Ïðîâîä ñ òîêîì ðàñïîëîæåí òàê, êàê ýòî ïðåäóñìîòðåíî â çàäà÷å 433.  êàêèõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà ìîKH äóëü èíäóêöèè B ðåçóëüòèðóþùåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ áóäåò ðàâåí íóëþ, åñëè âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè ðàâíà ïî ìîäóëþ Bâ = 1,6π105 Òë? 435.  áåñêîíå÷íîé ïðÿìîëèíåéíîé òîíêîñòåííîé òðóáå ñèëà òîêà I. Òîê ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî ïî âñåìó ñå÷åíèþ òðóáû. Íàéäèòå èíäóêöèþ  ìàãíèòíîãî ïîëÿ âíóòðè òðóáû. 436. Òîê òå÷åò ââåðõ ïî âíóòðåííåìó ïðîI âîäó êîàêñèàëüíîãî êàáåëÿ è âîçâðàùàåòñÿ íàçàä ïî âíåøíåé îáîëî÷êå êàáåëÿ; ñèëà òîêà ðàâíà I (ðèñ. 133). Íàéäèòå èíäóêöèþ B ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êàõ, ëåæàùèõ âíóòI ðè êàáåëÿ. 437.  øèðîêîì ñîñóäå ñî ñëàáûì ðàñòâîðîì ñåðíîé êèñëîòû ïëàâàåò ïðîáêà ñ ïðîïóùåííûìè ñêâîçü íåå äâóìÿ íåáîëüøèìè ïëàÐèñ. 133 ñòèíêàìè ìåäíîé è öèíêîâîé. Ïëàñòèí
êè ñâåðõó çàìêíóòû ìåäíîé ïðîâîëîêîé. ×òî áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ òàêîé ïðîáêîé, åñëè ê íåé ïðèáëèçèòü ïîëþñ ñèëüíîãî ìàãíèòà? 438.  îäíîì èç îïûòîâ, îáíàðóæèâàâøèõ âîçíèêíîâåíèå ìàãíèòíûõ ïîëåé ïðè ëþáûõ ïåðåìåùåíèÿõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, íåêîòîðûé çàðÿä ïîìåùàëñÿ íà ìàñÐèñ. 134 ñèâíûé äèñê, êîòîðûé çàòåì ïðèâîäèëñÿ â áûñòðîå âðàùåíèå. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîìåùåííîãî íà äèñê çàðÿäà îáíàðóæèâàëîñü ñ ïîìîùüþ ìàãíèòíîé ñòðåëêè, ðàñïîëîæåííîé íàä ïðèáîðîì (ðèñ. 134). Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå îòêëîíåíèÿ ñòðåëêè, åñëè íà äèñê ïîìåùåí îòðèöàòåëüíûé çàðÿä è äèñê âðàùàåòñÿ â óêàçàííîì íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèè. Ðèñ. 135 439. Äëÿ èçìåðåíèÿ ñèëû òîêà èíîãäà ïðèìåíÿþò òàê íàçûâàåìûé òàíãåíñ-ãàëüâàíîìåòð (ðèñ. 135), ñîñòîÿùèé èç ìàëåíüêîé ìàãíèòíîé ñòðåëêè, ïîäâåøåííîé íà ëåãêîé íèòè â öåíòðå êîëüöà ñ òîêîì. Ïëîñêîñòü êîëüöà ðàñïîëàãàþò ñòðîãî â ïëîñêîñòè ìàãíèòíîãî ìåðèäèàíà. Ðàäèóñ êîëüöà R = 10 ñì, ìîäóëü ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé èíäóêöèè çåìíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bã = 6,4π106 Òë. Íà êàêîé óãîë α ïîâåðíåòñÿ ñòðåëêà òàíãåíñ-ãàëüâàíîìåòðà, åñëè ñèëà òîêà â êîëüöå ðàâíà I = 1 À? 440. Ñèëà òîêà I â êîëüöå òàíãåíñ-ãàëüâàíîìåòðà (ñì. ðèñ. 135) òàêîâà, ÷òî â öåíòðå êîëüöà èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà ïî ìîäóëþ B = 3,2π106 Òë. Êîëüöî ïðè ïðîïóñêàíèè òîêà ïîâîðà÷èâàþò âñëåä çà ñòðåëêîé. Íà êàêîé óãîë α íóæíî ïîâåðíóòü êîëüöî, ÷òîáû ñòðåëêà ïðè ðàâíîâåñèè ëåæàëà â ïëîñêîñòè êîëüöà? 441. Èçâåñòíî, ÷òî èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âíóòðè ñîëåíîèäà ïðîïîðöèîíàëüíà ñèëå òîêà I è ÷èñëó âèòêîâ, ïðèõîäÿùèõñÿ íà åäèíèöó äëèíû ñîëåíîèäà B = µ0
N , ò.å. l
IN , ãäå N ïîëíîå ÷èñëî âèòêîâ ñîëåíîèäà, l
l åãî äëèíà, µ0 = 4π107 Ãí/ì. Íàéäèòå èíäóêöèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ B âíóòðè äëèííîãî ñîëåíîèäà, íàìîòàííîãî èç ïðîâîëîêè äèàìåòðîì D = 0,5 ìì, åñëè ñèëà òîêà â ñîëåíîèäå ðàâíà I = 2 À. Âèòêè ïðîâîëîêè ðàñïîëîæåíû íà ñîëåíîèäå ïëîòíî äðóã ê äðóãó.
§ 26. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ â ìàãíèòíîì ïîëå íà ïðîâîäíèê ñ òîêîì Óìåÿ äîâîëüíî õîðîøî ïðèìåíÿòü ïðàâèëî ëåâîé ðóêè äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íàïðàâëåíèå òîêà ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íàïðàâëåíèþ ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ó÷àùèåñÿ ñ áîëüøèì òðóäîì ìîãóò èñïîëüçîâàòü ýòî ïðàâèëî äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ïðîâîäíèê â ñëó÷àå, êîãäà òîê è ëèíèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîñòàâëÿþò äðóã ñ äðóãîì îñòðûå óãëû. Åùå áîRëüøèå òðóäíîñòè èñïûòûâàþò ó÷àùèåñÿ ïðè îïðåäåëåíèè õàðàêòåðà äâèæåíèÿ ïðîâîäíèêà â ñëó÷àå, êîãäà íà ðàçíûõ ó÷àñòêàõ ïðîâîäíèêà ëèíèè èíäóêöèè ñîñòàâëÿþò ðàçíûå óãëû ñ íàïðàâëåíèåì òîêà. Ñòîëü æå òðóäíûì îêàçûâàåòñÿ äëÿ ó÷àùèõñÿ è ó÷åò âëèÿíèÿ íåîäíîðîäíîñòè ïîëÿ íà ïîâåäåíèå ïðîâîäíèêà â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ. Âñå çàäà÷è íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ïîñâÿùåíû ðàññìîòðåíèþ ýòèõ ñëó÷àåâ. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íåîáõîäèìî âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòü ïîðÿäîê ïðèìåíåíèÿ ïðàâèëà ëåâîé ðóêè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà îòäåëüíûå ýëåìåíòû ïðîâîäíèêîâ â ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ.
442. Ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê ñ òîêîì ðàñïîëîæåí íàä ïîëþñàìè äóãîîáðàçíîãî ìàãíèòà (ðèñ. 136). Ïðîâîäíèê ìîæåò ñâîáîäíî ïåðåìåùàòüñÿ âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ. ×òî áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ ïðîâîäíèêîì ïîä âîçäåéñòâèåì ïîëÿ ìàãíèòà, åñëè òîê ïðîõîäèò â óêàçàííîì íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèè? 443. Îêîëî ñèëüíîãî äëèííîãî ìàãíèòà ðàñïîëîæåí ãèáêèé ñâîáîäíûé ïðîâîäíèê. Êàê ðàñïîëîæèòñÿ ïðîâîäíèê, åñëè ïî íåìó ïðîïóñòèòü òîê â íàïðàâëåíèè îò ñåâåðíîãî ê þæíîìó ïîëþñó Ðèñ. 136 ìàãíèòà? !
I1 I2
Ðèñ. 137
Ðèñ. 138
Ðèñ. 139
444.  äâóõ ñâîáîäíûõ, ñêðåùèâàþùèõñÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì ïðÿìîëèíåéíûõ ïðîâîäíèêàõ ñèëû òîêîâ ðàâíû I1 è I2. Íàïðàâëåíèÿ òîêîâ óêàçàíû íà ðèñ. 137. Êàê çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé òîêîâ èçìåíèòñÿ ðàñïîëîæåíèå ïðîâîäíèêîâ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà? 445. Ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê ïðîõîäèò âäîëü îñè êðóãîâîãî ïðîâîäíèêà (ðèñ. 138). Ñèëû òîêîâ â ïðîâîäíèêàõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî I2 è I1. Íàïðàâëåíèÿ òîêîâ óêàçàíû íà ðèñ. 138. Ñ êàêîé ñèëîé âçàèìîäåéñòâóþò òîêè? 446. Ìÿãêàÿ ñïèðàëüíàÿ ïðóæèíà ñâîáîäíî âèñèò. Íèæíèé êîíåö ïðóæèíû ïîãðóæåí â ÷àøå÷êó ñ ðòóòüþ. Ïðóæèíà è ÷àøå÷êà ïîäêëþ÷åíû ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî òîêà (ðèñ. 139). ×òî ïðîèçîéäåò ñ ïðóæèíîé ïðè çàìûêàíèè öåïè? 447. Ïó÷îê ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö âëåòàåò H ñî ñêîðîñòüþ v â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèKH êóëÿðíî ê ëèíèÿì èíäóêöèè B ýòîãî ïîëÿ. Ïî êàêîé òðàåêòîðèè äâèæóòñÿ ÷àñòèöû â òàêîì ìàãíèòíîì ïîëå? 448. Âîçëå áåñêîíå÷íîãî ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäíèêà A ñ òîêîì I1 ðàñïîëîæåí ïîäâèæíûé îäíîðîäíûé ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê CD êîíå÷íîé äëèíû òàê, ÷òî îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðîâîäíèêà À â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íåãî (ðèñ. 140). Êàê áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ïðîâîäíèê ÑD, åñëè ïî íåìó ïðîïóñòèòü òîê â óêàçàííîì íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèè? Êàê áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ïðîâîäíèê CD, åñëè â íåì èçìåíèòü íàïðàâëåíèå òîêà íà ïðîòèâîïîëîæíîå? 449. Äâà êðóãîâûõ ïðîâîäíèêà ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâîãî äèàìåòðà ðàñïîëîæåÐèñ. 140 "
Ðèñ. 141
Ðèñ. 142
Ðèñ. 143
íû âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 141. ×òî ïðîèçîéäåò ñ ïðîâîäíèêàìè, åñëè ïî íèì ïðîïóñòèòü òîêè â óêàçàííûõ íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèÿõ? 450. Ïðîâîëî÷íîå êîëüöî ñ òîêîì ñâîáîäíî âèñèò íà ìÿãêèõ ïîäâîäÿùèõ ïðîâîäàõ (ðèñ. 142). Ê íåìó ïîäíîñèòñÿ ñåâåðíûì ïîëþñîì ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííûé ìàãíèò. ×òî ïðîèçîéäåò ñ êîëüöîì? ×òî ïðîèçîéäåò ñ êîëüöîì, åñëè â íåì èçìåíèòü íàïðàâëåíèå òîêà íà ïðîòèâîïîëîæíîå? 451. Ìåäíûé äèñê óêðåïëåí íà ãîðèçîíòàëüíîé îñè è ïîìåùåí ìåæäó ïîëþñàìè ñèëüíîãî äóãîîáðàçíîãî ìàãíèòà òàê, ÷òî ñåâåðíûé ïîëþñ ìàãíèòà ðàñïîëîæåí ñïðàâà (ðèñ. 143). Íèæíèé êðàé äèñêà ïîãðóæåí â ÷àøå÷êó ñ ðòóòüþ. Îñü äèñêà è ÷àøå÷êà ïîäêëþ÷åíû ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî òîêà. ×òî ïðîèçîéäåò ñ äèñêîì ïðè çàìûêàíèè öåïè? 452. Âáëèçè áåñêîíå÷íîãî ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäà ñ òîêîì ïîäâåøåíà íà íèòè ëåãêàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ðàìêà (ðèñ. 144). ×òî ïðîèçîéäåò ñ ðàìêîé, åñëè ïî íåé ïðîïóñòèòü òîê â óêàçàííîì íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèè? 453. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ðàìêà ñ òîêîì ðàñïîëîæåíà â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå òàê, ÷òî åå îñü ÎÎ ïåðïåíäè-
Ðèñ. 144
Ðèñ. 145
#
êóëÿðíà ê ëèíèÿì èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ðèñ. 145). Óêàæèòå íàïðàâëåíèå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñòîðîíû ðàìêè ÂÑ è AD. Êàê èçìåíÿþòñÿ ýòè ñèëû ïðè èçìåíåíèè ïîëîæåíèÿ ðàìêè âî âðåìÿ âðàùåíèÿ?
§ 27. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ 454. Ý. X. Ëåíö â ñâîåé ðàáîòå «Îá îïðåäåëåíèè íàïðàâëåíèÿ èíäóêöèîííûõ òîêîâ», â êîòîðîé âïåðâûå áûëî èçëîæåíî çíàìåíèòîå ïðàâèëî Ëåíöà, îïèñàë ðÿä îïûòîâ ïî îïðåäåëåíèþ íàïðàâëåíèÿ èíäóêöèîííûõ òîêîâ.  ÷àñòíîñòè, îí ðàññìîòðåë ñëó÷àé âîçíèêíîâåíèÿ èíäóêöèîííîãî òîêà â êðóãîâîì ïðîâîäíèêå ïðè åãî ïîâîðîòå íà 90° îòíîñèòåëüíî äðóãîãî êðóãîâîãî ïðîâîäíèêà ñ òîêîì (ðèñ. 146). Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå èíäóêöèîííîãî òîêà, âîçíèêàþùåãî â ïîäâèæíîì ïðîâîäíèêå À ïðè åãî ïîâîðîòå íà 90° îòíîñèòåëüíî ïðîâîäíèêà  â íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì ñòðåëêîé. 455. Ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê CD êîíå÷íîé äëèíû ðàñïîëîæåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ê áåñêîíå÷íîìó ïðÿìîëèíåéíîìó ïðîâîäíèêó À ñ òîêîì (ðèñ. 147). Ïðîâîäíèê CD äâèæåòñÿ ïàðàëëåëüíî ñàìîìó ñåáå, âäîëü ëèíèè òîêà â ïðîâîäíèêå À. Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå èíäóêöèîííîãî òîêà, âîçíèêàþùåãî â ïðîâîäíèêå CD, åñëè íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ïðîâîäíèêà CD ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì òîêà â ïðîâîäíèêå À. Êàê áóäåò íàïðàâëåí èíäóêöèîííûé òîê, åñëè ïðîâîäíèê CD áóäåò äâèãàòüñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè?
Ðèñ. 146
Ðèñ. 147
$
456.  îäíîì èç îïûòîâ Ý. X. Ëåíöà ïîñòîÿííûé ìàãíèò ðàñïîëàãàëñÿ âäîëü ìàãíèòíîãî ìåðèäèàíà. Ïàðàëëåëüíî ìàãíèòó ðàñïîëàãàëñÿ ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîäíèê. Ìàãíèò áûñòðî ïîâîðà÷èâàëñÿ íà 90° ñåâåðíûì ïîëþñîì: îäèí ðàç íà âîñòîê, äðóãîé ðàç íà çàïàä. Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå èíäóêöèîííîãî òîêà â ñëó÷àå, åñëè ïðîâîäíèê ðàñïîëîæåí: à) íàä ìàãíèòîì; á) ïîä ìàãíèòîì. 457. Ìåäíûé äèñê ðàñïîëîæåí ìåæäó ïîëþñàìè ìàãíèòà òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 143.  ïîêàçàííóþ íà ðèñóíêå ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü âìåñòî èñòî÷íèêà òîêà âêëþ÷åí ãàëüâàíîìåòð. Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå èíäóêöèîííîãî òîêà, âîçíèêàþùåãî ïðè âðàùåíèè äèñêà: à) ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå; á) ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. 458. Äâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïðîâîäíèêà ñáëèæàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì. Ïî îäíîìó èç íèõ ïðîõîäèò òîê I1. Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå èíäêóêöèîííîãî òîêà I2, âîçíèêàþùåãî â äðóãîì ïðîâîäíèêå. Êàêîâî áóäåò íàïðàâëåíèå èíäóêöèîííîãî òîêà ïðè óäàëåíèè ïðîâîäíèêîâ? 459. Þæíûé ïîëþñ ìàãíèòà óäàëÿåòñÿ ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ v, îò ìåòàëëè÷åñêîãî êîëüöà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 148. Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèå èíäóêöèîííîãî òîêà â êîëüöå. 460. Íåáîëüøàÿ ïðîâîëî÷íàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ðàìêà ñâîáîäíî ïàäàåò â ïðîñòðàíñòâå ìåæäó øèðîêèìè ïîëþñàìè äîñòàòî÷íî ñèëüíîãî ýëåêòðîìàãíèòà (ðèñ. 149). Îïðåäåëèòå íàïðàâëåíèÿ èíäóêöèîííûõ òîêîâ, âîçíèêàþùèõ â ðàìêå ïðè ïðîõîæäåíèè îñüþ ðàìêè OO ïîëîæåíèé A, B è Ñ. Êàê áóäåò äâèãàòüñÿ ðàìêà íà ýòèõ ó÷àñòêàõ? O A
A O
S B B C Ðèñ. 148
B C
Ðèñ. 149
%
N
461. Íåáîëüøîé ìàÿòíèê, ñîñòîÿùèé èç ìåòàëëè÷åñêîé íèòè, øàðèêà è îñòðèÿ, ïîãðóæåííîãî â ÷àøå÷êó ñ ðòóòüþ (ðèñ. 150), âêëþ÷åí â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü. Ìàÿòíèê ïîìåùåí â ïðîñòðàíñòâî ìåæäó øèðîêèìè ïîëþñàìè ýëåêòðîìàãíèòà è ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ â Ðèñ. 150 ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ëèíèÿì èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âî âðåìÿ êîëåáàíèé îìòðèå ìàÿòíèêà îñòàåòñÿ ïîãðóæåííûì â ðòóòü. Êàê ñêàçûâàåòñÿ äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà õàðàêòåðå êîëåáàíèé ìàÿòíèêà? Êàêîâû áóäóò íàïðàâëåíèÿ òîêîâ, âîçíèêàþùèõ â öåïè ìàÿòíèêà? 462. Ìåäíûé ïðîâîä, âêëþ÷åííûé â çàìêíóòóþ öåïü, îêðóæåí òîëñòîé æåëåçíîé îáîëî÷êîé (ðèñ. 151) è âíîñèòñÿ âìåñòå ñ íåé â ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ïîëþñàìè ýëåêòðîìàãíèòà. Æåëåçíàÿ îáîëî÷êà âûïîëíÿåò ïî îòíîøåíèþ ê ïðîâîäó ðîëü ìàãíèòíîé çàùèòû. Âîçíèêíåò ëè â ïðîâîäå ÝÄÑ èíäóêöèè? 463. Ñàìîëåò ëåòèò âäîëü ìàãíèòíîãî ìåðèäèàíà. Îäèíàêîâû ëè ïîòåíöèàëû êîíöîâ êðûëüåâ ñàìîëåòà? Èçìåíèòñÿ ëè ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, åñëè ñàìîëåò ïîëåòèò ïî êàêîìóëèáî äðóãîìó íàïðàâëåíèþ ñ òîé æå ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ? 464. Ïðîâîëî÷íàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ðàìêà âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v âîêðóã îäíîé èç ñâîèõ ñòîðîí, ïàðàëëåëüíûõ ðàñïîëîæåííîìó ðÿäîì ñ ðàìêîé ïðÿìîëèíåéíîìó ïðîâîäó ñ òîêîì I (ðèñ. 152). Ïðè êàêèõ ïîëîæåíèÿõ ðàìêè â íåé âîçíèêàþò íàèáîëüøàÿ è íàèìåíüøàÿ ÝÄÑ èíäóêöèè?
A
B
Ðèñ. 151
Ðèñ. 152
&
Ðèñ. 153
465. Äâà êðóãîâûõ ïðîâîäíèêà A è Â ðàñïîëîæåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî äðóã ê äðóãó, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 153. Áóäåò ëè â ïðîâîäíèêå À âîçíèêàòü èíäóêöèîííûé òîê ïðè èçìåíåíèÿõ òîêà â êîíòóðå Â?
IV. ÎÏÒÈÊÀ § 28. Ïðèðîäà ñâåòà  äàííîì ïàðàãðàôå ïðèâåäåí ðÿä çàäà÷ íà ïðèìåíåíèå ïðîñòåéøèõ ñîîòíîøåíèé âîëíîâîé è êâàíòîâîé îïòèêè. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, êàê èçìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ñðåäû â äðóãóþ äëèíà âîëíû è ñêîðîñòü, õàðàêòåðèçóþùèå ñâåòîâóþ âîëíó.  ñâÿçè ñ íåïîíèìàíèåì õàðàêòåðà ýòèõ èçìåíåíèé è íåäîñòàòî÷íî ÿñíûì ïîíèìàíèåì èõ ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû ó ó÷àùèõñÿ íåðåäêî âîçíèêàþò çàòðóäíåíèÿ â èñòîëêîâàíèè ñìûñëà ñîîòíîøåíèÿ c = λν. Ðåêîìåíäóåòñÿ ðåøåíèå çàäà÷ ýòîãî ïàðàãðàôà âåñòè ñ îäíîâðåìåííûì ïîâòîðåíèåì ìàòåðèàëà ïî ó÷åáíèêó.
466. Èçâåñòíî, ÷òî ñêîðîñòü ñâåòà ñ è äëèíà ñâåòîâîé âîëíû λ ñâÿçàíû ñ ÷àñòîòîé êîëåáàíèé ν ñîîòíîøåíèåì ñ = λν. Íàñêîëüêî èçìåíèòñÿ äëèíà âîëíû êðàñíîãî ñâåòà ïðè ïåðåõîäå èç âàêóóìà â ñòåêëî, åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà n = 1,5, à ÷àñòîòà êîëåáàíèé, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðàñíîìó ñâåòó, ν = 41014 Ãö? 467. Èçâåñòíî, ÷òî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êàêîãîëèáî âåùåñòâà ðàâåí îòíîøåíèþ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â âàêóóìå ê ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â äàííîé ñðåäå. Áûëî íàéäåíî, ÷òî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ îäíîãî èç ñîðòîâ ñòåêëà äëÿ êðàñíîãî ñâåòà n1 = 1,50, äëÿ ôèîëåòîâîãî n2 = 1,54. Íàéäèòå ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ c′1 è c′2 ýòèõ âîëí â ñòåêëå. 468. Ï. À. ×åðåíêîâ è Ñ. È. Âàâèëîâ ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæèëè, ÷òî êîãäà ýëåêòðîí äâèæåòñÿ â êàêîéëèáî ñðåäå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, ïðåâîñõîäÿùåé ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â ýòîé ñðåäå, òî îí íà÷èíà '
åò èçëó÷àòü ñâåò. Äî òàêîé ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè v ñëåäóåò ðàçîãíàòü ýëåêòðîí, ÷òîáû ìîãëî âîçíèêíóòü òàêîå èçëó÷åíèå ïðè äâèæåíèè ýëåêòðîíà â ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï =1,5? 469. Îáúÿñíèòå ïðè÷èíû ïîÿâëåíèÿ ðàäóæíûõ ïîëîñ â òîíêèõ ïëåíêàõ íåôòè íà ïîâåðõíîñòè âîäû. 470. Åñëè òîíêóþ ìûëüíóþ ïëåíêó ðàñïîëîæèòü âåðòèêàëüíî, òî ãîðèçîíòàëüíûå èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû áóäóò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïåðåìåùàòüñÿ âíèç, îäíîâðåìåííî íåñêîëüêî èçìåíÿÿ ñâîþ øèðèíó. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ â âåðõíåé ÷àñòè ïëåíêè âîçíèêíåò áûñòðî óâåëè÷èâàþùååñÿ ÷åðíîå ïÿòíî, è âñêîðå ïîñëå ýòîãî ïëåíêà ðàçîðâåòñÿ. Îáúÿñíèòå ïðè÷èíû, âûçûâàþùèå äâèæåíèå ïîëîñ, è ïðîèñõîæäåíèå ÷åðíîãî ïÿòíà. 471. Êàê èçìåíèòñÿ êàðòèíà êîëåö Íüþòîíà, åñëè ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ëèíçîé è ïëîñêèì ñòåêëîì çàïîëíèòü æèäêîñòüþ, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîé áîëüøå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ëèíçû, íî ìåíüøå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà? 472.  îïòè÷åñêèõ ïðèáîðàõ äëÿ óìåíüøåíèÿ ïîòåðü ýíåðãèè ñâåòà ïðè îòðàæåíèè îò ïîâåðõíîñòåé ëèíç øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä «ïðîñâåòëåíèÿ îïòèêè», ðàçðàáîòàííûé È. Â. Ãðåáåíùèêîâûì, À. À. Ëåáåäåâûì è À. Í. Òåðåíèíûì.  îñíîâå ýòîãî ìåòîäà ëåæèò ñëåäóþùåå ÿâëåíèå. Åñëè ïîâåðõíîñòü ñòåêëà ïîêðûòü òîíêîé ïðîçðà÷íîé ïëåíêîé, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîé ìåíüøå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà è òîëùèíà êîòîðîé ðàâíà ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà, òî èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, îòðàæåííîãî îò òàêîé ïëàñòèíêè, áóäåò ðàâíà íóëþ, è âåñü ñâåò áóäåò ïðîõîäèòü ñêâîçü ïëàñòèíêó. Ïî÷åìó ïðè íàíåñåíèè ïëåíêè ïîâåðõíîñòü ñòåêëà ïåðåñòàåò îòðàæàòü ñâåò? Ïî÷åìó òîëùèíà ïëåíêè äîëæíà áûòü ðàâíà ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà? Ïî÷åìó ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëåíêè äîëæåí áûòü ìåíüøå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà? 473. Ñâåòîâîé ïîòîê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòîê îòäåëüíûõ ôîòîíîâ, èëè, èíà÷å, êâàíòîâ ñâåòà. Ýíåðãèÿ êàæäîãî ôîòîíà E = hν, ãäå h = 6,631034 Äæñ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, à ν ÷àñòîòà ñâåòîâîé âîëíû. Íàéäèòå ýíåð
ãèþ ôîòîíà, èñïóñêàåìîãî æåëòûì íàòðèåâûì ïëàìåíåì, åñëè æåëòîé ëèíèè íàòðèÿ ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòîòà ñâåòîâîé âîëíû ν = 51013 Ãö. 474. Ïðè ïåðåõîäå ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà ñ îäíîãî óñòîé÷èâîãî óðîâíÿ íà äðóãîé ïðîèçîøëî èçëó÷åíèå ôîòîíà ñ ÷àñòîòîé ν = 4,571014 Ãö. Íàñêîëüêî èçìåíèëàñü ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âñëåäñòâèå ýòîãî èçëó÷åíèÿ? 475. Ï. Í. Ëåáåäåâ â ñâîèõ îïûòàõ íåïîñðåäñòâåííî óñòàíîâèë, ÷òî ñâåò îêàçûâàåò íà òåëà, ïîãëîùàþùèå ñîëíå÷íîå èçëó÷åíèå, äàâëåíèå, ðàâíîå èíòåíñèâíîñòè ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ (ïëîòíîñòè ïîòîêà èçëó÷åíèÿ), äåëåííîé íà ñêîðîñòü ñâåòà. Ñ êàêîé ñèëîé F äàâèëè áû ñîëíå÷íûå ëó÷è íà Çåìëþ, åñëè áû îíè ïîãëîùàëèñü ïîëíîñòüþ âñåé ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè? Ïëîòíîñòü ïîòîêà ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà çåìíóþ ïîâåðõíîñòü ñîñòàâëÿåò ϕ = 1350 Âò/ì2. 476.  ïðèáîðå Ï. Í. Ëåáåäåâà èçìåðÿëàñü ñèëà ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ íà êðûëûøêè ëåãêîãî ïîäâåñà (ðèñ. 154). Êàæäîå êðûëûøêî èìåëî äâà êðóæêà, îäèí èç êîòîðûõ áûë çà÷åðíåí. Ñ êàêîé ñèëîé F â îïûòàõ Ëåáåäåâà äåéñòâîâàëè íà çà÷åðíåííûé êðóæîê ñîëíå÷íûå ëó÷è, åñëè ïëîòíîñòü ïîòîêà ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ ñîñòàâëÿëà ϕ = 1050 Âò/ì2? Äèàìåòð êðóæêà D = 5 ìì. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ýíåðãèÿ ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ ïîëíîñòüþ ïîãëîùàëàñü Ðèñ. 154 êðóæêîì. 477. Äîêàæèòå, ÷òî ñèëà ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà êàêîå-ëèáî òåëî, óáûâàåò ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ ýòîãî òåëà îò Ñîëíöà.
§ 29. Ôîòîìåòðèÿ 478. Äëÿ ÷òåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ íîðìàëüíîé îñâåùåííîñòü Å = 50 ëê. Íà êàêîé âûñîòå h íàä ñòîëîì ñëåäóåò ïîâå
ñèòü ëàìïó, ñèëà ñâåòà êîòîðîé I = 50 êä, ÷òîáû îáåñïå÷èòü òàêóþ îñâåùåííîñòü ïîâåðõíîñòè ñòîëà â òî÷êàõ, ëåæàùèõ íåïîñðåäñòâåííî ïîä ëàìïîé? 479. Øèðèíà êàäðîâîãî îêíà â êèíîàïïàðàòå b = 1,2 ñì, øèðèíà ýêðàíà B = 2,4 ì. Âî ñêîëüêî ðàç îñâåùåííîñòü ýêðàíà áóäåò ìåíüøå îñâåùåííîñòè êàäðîâîãî îêíà â êèíîàïïàðàòå? Êàêàÿ îñâåùåííîñòü Å1 êàäðîâîãî îêíà äîëæíà áûòü ñîçäàíà, åñëè ìèíèìàëüíî äîïóñòèìàÿ îñâåùåííîñòü ýêðàíà Å2 = 4 ëê? 480. Íà ñòîëå ñòîèò íàñòîëüíàÿ ëàìïà âûñîòîé h = 30 ñì. Ñèëà ñâåòà ëàìïû I = 25 êä. Íàéäèòå îñâåùåííîñòü Å ïîâåðõíîñòè ñòîëà â òî÷êå, óäàëåííîé íà ðàññòîÿíèå à = 60 ñì îò ëàìïû. 481. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà íåîáõîäèìî ñòàâèòü ñòîëáû äëÿ óëè÷íûõ ôîíàðåé, ÷òîáû îñâåùåííîñòü ïîâåðõíîñòè Çåìëè â òî÷êå, ëåæàùåé ïîñåðåäèíå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñòîëáàìè, áûëà íå ìåíåå E = 0,27 ëê? Âûñîòà ñòîëáà h = 12 ì. Ñèëà ñâåòà ëàìïû I = 300 êä. Ñ÷èòàéòå, ÷òî çàìåòíóþ îñâåùåííîñòü ñîçäàþò òîëüêî äâà áëèæàéøèõ ôîíàðÿ. 482. Âî âðåìÿ ìîíòàæíûõ ðàáîò â òóííåëå ìåòðî óêðåïèëè ýëåêòðè÷åñ êèé ñâåòèëüíèê â ñàìîé âåðõíåé òî÷ êå À ñâîäà (ðèñ. 155). Êàêîâî îòíîøå íèå îñâåùåííîñòåé, ñîçäàâàåìûõ ñâå òèëüíèêîì â ñàìîé íèæíåé òî÷êå  ñâîäà è â òî÷êå Ñ ñâîäà, ëåæàùåé íà ñðåäíåé ëèíèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ Ðèñ. 155 òóííåëÿ? Ñèëó ñâåòà ñâåòèëüíèêà ñ÷èòàéòå ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì îäèíàêîâîé. 483.  øêîëüíîì óçêîïëåíî÷íîì êèíîàïïàðàòå ñòîèò ëàìïà, ñèëà ñâåòà êîòîðîé I = 400 êä. Êàêóþ îñâåùåííîñòü E ñîçäàåò êèíîàïïàðàò íà ýêðàíå ïëîùàäüþ S = 3 ì2, åñëè íà ýêðàí ïîïàäàåò òîëüêî 0,3 % ñâåòîâîãî ïîòîêà, ñîçäàâàåìîãî ëàìïîé? 484. Òðè òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêà ñâåòà ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà.  öåíòðå òðåóãîëüíèêà, ïåðïåíäèêóëÿðíî ê åãî ïëîñêîñòè è ïàðàëëåëüíî îäíîé èç åãî ñòîðîí, ðàñïîëîæåíà ìàëåíüêàÿ ïëà
ñòèíêà (ðèñ. 156). Ñèëà ñâåòà êàæäîãî èñòî÷íèêà ðàâíà I, äëèíà ñòîðîíû òðåóãîëül íèêà ðàâíà l. Êàêîâà îñâåùåííîñòü Å ýòîé ïëàñòèíêè? 485. Íåêîòîðûé ïðåäìåò ïðè íåèçìåíÐèñ. 156 íûõ óñëîâèÿõ îñâåùåíèÿ ôîòîãðàôèðóþò îäèí ðàç ñ áîëüøîãî ðàññòîÿíèÿ, äðóãîé ðàç ñ ìàëîãî. Êàê áóäóò îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà îñâåùåííîñòè ïëàñòèíêè â ôîòîàïïàðàòå â ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ?  êàêîì ñëó÷àå ïðèäåòñÿ äåëàòü áîRëüøóþ âûäåðæêó ïðè ôîòîãðàôèðîâàíèè? 486. Ëàìïà íà åäèíèöó ñèëû ñâåòà ïîòðåáëÿåò ìîùíîñòü P = 0,5 Âò/êä. Ñèëà ñâåòà ëàìïû I = 100 êä. Êàêîâ ÊÏÄ η ýòîé ëàìïû, åñëè ñâåòîâàÿ ýôôåêòèâíîñòü ïîòîêà èçëó÷åíèÿ (îòíîøåíèå ñâåòîâîãî ïîòîêà ê ïîòîêó èçëó÷åíèÿ) K = 6,2102 ëì/Âò? Íàéäèòå ïîòîê èçëó÷åíèÿ Φ, ïîñûëàåìûé ëàìïîé. 487. Ïëîòíîñòü ïîòîêà ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ëó÷åé íà çåìíóþ ïîâåðõíîñòü ñîñòàâëÿåò ϕ = 1,35 êÂò/ì2. Íàéäèòå ïîòîê èçëó÷åíèÿ, ïîëó÷àåìûé âñåé ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè. Êàêóþ äîëþ ýòîò ïîòîê ñîñòàâëÿåò îò âñåãî ïîòîêà ñâåòîâîãî èçëó÷åíèÿ Ñîëíöà? Êàêàÿ ïëàíåòà ïîëó÷àåò îò Ñîëíöà áîëüøå ýíåðãèè Çåìëÿ èëè Þïèòåð? Ðàäèóñ Çåìëè R1 = 6,4106 ì, ðàäèóñ R2 Þïèòåðà â 11,14 ðàç áîëüøå. Ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ñîëíöà r1 = 1,51011 ì, ðàññòîÿíèå r2 îò Þïèòåðà äî Ñîëíöà â 5,2 ðàçà áîëüøå.
§ 30. Çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà. Çàêîí îòðàæåíèÿ ñâåòà  §§ 3033 íàðÿäó ñ çàäà÷àìè íà îïðåäåëåíèå ïîëîæåíèÿ è ðàçìåðà èçîáðàæåíèé, äàâàåìûõ ðàçëè÷íûìè îïòè÷åñêèìè ñèñòåìàìè, ïîìåùåíî áîëüøîå ÷èñëî çàäà÷ íà âûÿñíåíèå óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ íàáëþäàòåëü ìîæåò âèäåòü ýòè èçîáðàæåíèÿ. Ââåäåíèå ýòèõ çàäà÷ ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðàçâèòèå ÿñíûõ ïðåäñòàâëåíèé î òîì, êàêîé ñìûñë ïðèäàåòñÿ â ãåîìåòðè÷åñêîé
!
îïòèêå âñïîìîãàòåëüíûì ëó÷àì, èñïîëüçóåìûì ïðè ïîñòðîåíèè èçîáðàæåíèé, è êàê ñëåäóåò äåéñòâîâàòü ïðè îïðåäåëåíèè ëó÷åé, äåéñòâèòåëüíî ó÷àñòâóþùèõ â îáðàçîâàíèè ýòèõ èçîáðàæåíèé, èìååò î÷åíü âàæíîå çíà÷åíèå. Îòñóòñòâèå òàêèõ ïðåäñòàâëåíèé ìîæåò ñîçäàòü áîëüøèå çàòðóäíåíèÿ â ðåøåíèè, íàïðèìåð, òàêèõ çàäà÷, êàê ïîñòðîåíèå èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà, íàõîäÿùåãîñÿ â ñòîðîíå îò ïëîñêîãî çåðêàëà, ïîñòðîåíèå èçîáðàæåíèÿ áîëüøîãî ïðåäìåòà â ìàëåíüêîé ëèíçå èëè â ëèíçå, íàïîëîâèíó çàêðûòîé íåïðîçðà÷íûì ýêðàíîì, îïðåäåëåíèå ïîëîæåíèÿ ãëàçà íàáëþäàòåëÿ äëÿ îäíîâðåìåííîãî ðàññìàòðèâàíèÿ íåñêîëüêèõ èçîáðàæåíèé, ñîçäàâàåìûõ îïòè÷åñêèìè ñèñòåìàìè.  §§ 3133 ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ïðàâèëà ãðàôè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé ñõîäÿùåãîñÿ ïó÷êà ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìû (ñì., íàïðèìåð, çàäà÷è 535537). Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íåîáõîäèìî ïðîñëåäèòü îñîáåííîñòè ïðèìåíåíèÿ ôîðìóë ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà è òîíêîé ëèíçû äëÿ ðàñ÷åòà ïîëîæåíèÿ èçîáðàæåíèé, äàâàåìûõ ñèñòåìàìè â ñëó÷àå ñõîäÿùèõñÿ ïó÷êîâ. Ðåêîìåíäóåòñÿ çàäà÷è §§ 3033 ðåøàòü â òîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, â êàêîé îíè çäåñü äàíû, òàê êàê âî ìíîãèõ èç íèõ èñïîëüçóþòñÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ.
488. Êàê ñëåäóåò ðàñïîëîæèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà, ïëîñêèé ïðåäìåò è ýêðàí, ÷òîáû êîíòóð òåíè íà ýêðàíå áûë ïîäîáåí êîíòóðó ïðåäìåòà? 489. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ëàìïà ïîìåùåíà â ìàòîâûé ñòåêëÿííûé øàð ðàäèóñîì r1 = 20 ñì è ïîäâåøåíà íà âûñîòå h1 = 5 ì íàä ïîëîì. Ïîä ëàìïîé íà âûñîòå h2 = 1 ì îò ïîëà äåðæàò ìÿ÷ ðàäèóñîì r2 = 10 ñì. Íàéäèòå ðàçìåðû òåíè è ïîëóòåíè, äàâàåìûõ ìÿ÷îì. Íà êàêîé âûñîòå ñëåäóåò ïîìåñòèòü ìÿ÷, ÷òîáû òåíü íà ïîëó èñ÷åçëà? Êàêîâû ïðè ýòîì áóäóò ðàçìåðû ïîëóòåíè? Êàêîâ äîëæåí áûòü äèàìåòð ìÿ÷à, ÷òîáû ðàçìåðû åãî òåíè áûëè îäèíàêîâû ïðè ëþáûõ ðàññòîÿíèÿõ ìÿ÷à îò ïîëà? 490. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ñèëû ñâåòà äâóõ èñòî÷íèêîâ ïðèìåíÿþò ñëåäóþùèé ñïîñîá. Ïåðåä ïîëóïðîçðà÷íûì ýêðàíîì À ïîìåùàþò òîëñòûé ñòåðæåíü è íà íåêîòîðûõ ðàññòîÿíèÿõ îò íåãî òî÷å÷íûå èñòî÷íèêè ñâåòà S1 è S2 (ðèñ. 157). Èñòî÷íèêè ðàñïîëàãàþò òàê, ÷òîáû ïîëóòåíè ÀÎ è ÎB áûëè îäèíàêîâî îñâåùåíû. Ïî êàêèì íàïðàâ "
S
A
Ðèñ. 157
B
Ðèñ. 158
C
SR
O
Ðèñ. 159
ëåíèÿì ñëåäóåò ïåðåìåùàòü èñòî÷íèêè, ÷òîáû ïîëóòåíè âñå âðåìÿ ñîïðèêàñàëèñü? Êàêèå êàðòèíû áóäóò íàáëþäàòüñÿ ïðè ïåðåìåùåíèÿõ èñòî÷íèêîâ ïî äðóãèì íàïðàâëåíèÿì? 491. Èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ïîëó÷àþò ñ ïîìîùüþ êàìåðû ñ ìàëåíüêèì îòâåðñòèåì  (ðèñ. 158). Ãëóáèíà êàìåðû À = 20 ñì. Ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà äî îòâåðñòèÿ ÂÑ = 20 ñì. Äèàìåòð îòâåðñòèÿ d = 1 ìì. Ìîæíî ëè ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ ðàçëè÷èòü íà èçîáðàæåíèè äåòàëè ïðåäìåòà ðàçìåðîì ìåíüøå 2 ìì? 492. Êàêóþ ôîðìó áóäåò èìåòü ñâåòîâîé «çàé÷èê», åñëè ðàçìåðû çåðêàëà ìàëû, à ðàçìåðû èñòî÷íèêà ñâåòà âåëèêè? 493. Ì. Â. Ëîìîíîñîâ â îäíîé èç ñâîèõ çàïèñåé ïîñòàâèë òàêîé âîïðîñ: «Ëþáîé öâåò îò ñìà÷èâàíèÿ âîäîé äåëàåòñÿ ãóùå. Ïî÷åìó? Íàäî ïîäóìàòü». Äåéñòâèòåëüíî, öâåò ïîâåðõíîñòåé òåë, ñïîñîáíûõ ïðîïèòûâàòüñÿ âîäîé, ñòàíîâèòñÿ áîëåå ñî÷íûì è ÿðêèì ïîñëå ñìà÷èâàíèÿ. Îáúÿñíèòå ýòî ÿâëåíèå. 494. Îäíèì èç âûðàæåíèé çàêîíà ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï ÔåðìàR, óòâåðæäàþùèé, ÷òî ñâåò âñåãäà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî íàèêðàò÷àéøèì ïóòÿì. Ñâåò èñõîäèò èç èñòî÷íèêà S, îòðàæàåòñÿ îò çåðêàëà è ïðèõîäèò â òî÷êó SR (ðèñ. 159). Äîêàæèòå, ÷òî ïóòü SOSR, îïðåäåëåííûé ïî çàêîíó îòðàæåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì èç âñåõ âîçìîæíûõ ïóòåé ëó÷à. 495. Ïåðåä çåðêàëîì âîòêíóòû áóëàâêè À è Â, ðàñïîëîæåííûå òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 160. Êàêîå ðàñïîëîæåíèå èçîáðàÐèñ. 160 æåíèé ýòèõ áóëàâîê óâèäèò íàáëþäàòåëü #
ïðè ðàçëè÷íûõ ïîëîæåíèÿõ ãëàçà? Êàê îí äîëæåí ðàñïîëîæèòü ãëàç, ÷òîáû èçîáðàæåíèÿ áóëàâîê íàêëàäûâàëèñü äðóã íà äðóãà? B C 496. Ïðåäìåò À è çåðêàëî CD ðàñïîëîæåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 161. Ïîñòðîéòå èçîáðàæåíèå ýòîãî ïðåäìåòà â çåðêàD ëå. Ãäå ñëåäóåò ðàñïîëîæèòü ãëàç, ÷òîáû Ðèñ. 161 óâèäåòü èçîáðàæåíèå âñåãî ïðåäìåòà? 497. Ïåðåä çåðêàëîì ïîñòàâëåíà íàñòîëüíàÿ ëàìïà. Íàñêîëüêî èçìåíèòñÿ ðàññòîÿíèå à ìåæäó ëàìïîé è åå èçîáðàæåíèåì, åñëè çåðêàëî îòîäâèíóòü îò ëàìïû íà ðàññòîÿíèå õ = 5 ñì? 498. ×åëîâåê ñòîèò ïåðåä çåðêàëîì è ñìîòðèò â íåãî îäíèì ãëàçîì.  êàêîì ìåñòå ñëåäóåò çàêðûòü çåðêàëî, ÷òîáû íå áûëî âèäíî èçîáðàæåíèÿ âòîðîãî ãëàçà? 499. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ëåæèò øàð. Ïîä êàêèì óãëîì α ê ïëîñêîñòè ñòîëà íóæíî óñòàíîâèòü çåðêàëî, ÷òîáû ïðè äâèæåíèè øàðà ê çåðêàëó èçîáðàæåíèå øàðà äâèãàëîñü ïî âåðòèêàëè? 500. Íà çåðêàëî ïàäàåò ñâåòîâîé ëó÷. Çåðêàëî ïîâîðà÷èâàþò íà 1° âîêðóã îñè, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè çåðêàëà, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ëó÷ó. Íà êàêîé óãîë α ïðè ýòîì ïîâåðíåòñÿ îòðàæåííûé ëó÷? Íà êàêîå ðàññòîÿíèå x ïåðåìåñòèòñÿ ñâåòîâîé «çàé÷èê» íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îòðàæåííîìó ëó÷ó íà ðàññòîÿíèè l = 5 ì îò çåðêàëà? 501. Íà ñòåíå âèñèò çåðêàëî âûñîòîé h1 = 1 ì. ×åëîâåê ñòîèò íà ðàññòîÿíèè à1 = 2 ì îò çåðêàëà. Êàêîâà âûñîòà h2 ó÷àñòêà ïðîòèâîïîëîæíîé ñòåíû êîìíàòû, êîòîðûé ìîæåò âèäåòü â çåðêàëå ÷åëîâåê, íå èçìåíÿÿ ïîëîæåíèÿ ãîëîâû? Ñòåíà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè a2 = 4 ì îò çåðêàëà. 502. Îïðåäåëèòå ãðàôè÷åñêè, ïðè êàêèõ ïîëîæåíèÿõ ãëàçà íàáëþäàòåëü ìîæåò âèäåòü â ïëîñêîì çåðêàëå êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ îäíîâðåìåííî èçîáðàæåíèÿ òî÷êè À è ïðåäìåòà BC, ðàñïîëîæåííûõ îòíîñèòåëüíî çåðêàëà òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 162. 503. Ðåøàÿ çàäà÷ó îá óâåëè÷åíèè «çàæèãàòåëüíîé ñèëû» ëèíç Ì. Â. Ëîìîíîñîâ ñêîíñòðóèðîâàë ïðèáîð, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 163 (A1, À2, À3, À4 ïëîñêèå çåðA
$
êàëà; B1, Â2, Â3, Â4, Â5 ñîáèðàþùèå ëèíçû). Îïðåäåëèòå óãëû, ïîä êîòîðûìè äîëæíû áûòü ðàñïîëîæåíû çåðêàëà, è íàèìåíüøèå ðàçìåðû ýòèõ çåðêàë, ïðè êîòîðûõ áóäåò îáåñïå÷åíî ðàâåíñòâî ñâåòîâûõ ïîòîêîâ, ïðèõîäÿùèõ íà êàæäóþ èç ëèíç. Äèàìåòð ëèíç ðàâåí d. Îïòè÷åñêèå îñè ëèíç B1, Â2, Â3, Â4 ñîñòàâëÿþò ñ íàïðàâëåíèåì ïåðâè÷íîãî ïó÷êà óãëû ±45°. 504. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà è äâà åãî èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìûå äâóìÿ çåðêàëàìè, ëåæàò â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Îïðåäåëèòå ðàñïîëîæåíèå çåðêàë îòíîñèòåëüíî èñòî÷íèêà è óãîë ìåæäó íèìè. 505. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà S è äâà åãî èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìûå äâóìÿ çåðêàëàìè, ðàñïîëîæåííûìè ïîä óãëîì α äðóã ê äðóãó (ðèñ. 164), ëåæàò íà îêðóæíîñòè. Íàéäèòå ïîëîæåíèå öåíòðà ýòîé îêðóæíîñòè. Ãäå äîëæåí íàõîäèòüñÿ ãëàç íàáëþäàòåëÿ, ÷òîáû ïîñëåäíèé îäíîâðåìåííî âèäåë îáà èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìûõ çåðêàëàìè?
C
A
B Ðèñ. 162
Ðèñ. 163
Ðèñ. 164
§ 31. Ñôåðè÷åñêèå çåðêàëà 506. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ñôåðè÷åñêèõ çåðêàë ïðîèçâåäåíèå ðàññòîÿíèé ð è q îò ïðåäìåòà è èçîáðàæåíèÿ äî ôîêóñà çåðêàëà ðàâíî êâàäðàòó ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ f çåðêàëà. Íàéäèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f âîãíóòîãî çåðêàëà, åñëè ð = 16 ñì, q = 100 ñì. %
507. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå âûñîòû èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî âîãíóòûì çåðêàëîì, ê âûñîòå ïðåäìåòà ðàâíî îòíîøåíèþ ðàññòîÿíèé îò íèõ äî çåðêàëà. 508. Ïðåäìåò íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè a1 = 1 ì îò âîãíóòîãî çåðêàëà. Âûñîòà åãî èçîáðàæåíèÿ â òðè ðàçà ìåíüøå âûñîòû ïðåäìåòà. Íàéäèòå ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ, ðàäèóñ êðèâèçíû R è ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f çåðêàëà. 509. Âûñîòà èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî âîãíóòûì çåðêàëîì, â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå âûñîòû ïðåäìåòà. Åñëè ïðåäìåò ïåðåäâèíóòü íà ðàññòîÿíèå d = 5 ñì áëèæå ê çåðêàëó, òî èçîáðàæåíèå áóäåò ìåíüøå ïðåäìåòà òîëüêî â äâà ðàçà. Íàéäèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f çåðêàëà. 510. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå âîãíóòîãî çåðêàëà ðàâíî f, ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà äî ôîêóñà çåðêàëà ðàâíî ð. Íàéäèòå îòíîøåíèå âûñîòû èçîáðàæåíèÿ ê âûñîòå ïðåäìåòà. 511.  çåðêàëüíîì ãàëüâàíîìåòðå äëÿ îòñ÷åòà óãëîâ ïîâîðîòà íà íèòè ïîäâåøèâàþò íåáîëüøîå âîãíóòîå çåðêàëî (ðèñ. 165). Íà ðàññòîÿíèè l = 1 ì îò çåðêàëà ïîìåùàþò øêàëó AA è íåïîñðåäñòâåííî ïîä íåé îñâåòèòåëü S. Êàêèì äîëæíî áûòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f çåðêàëà, ÷òîáû íà øêàëå ïîëó÷èëîñü äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå îòâåðñòèÿ îñâåòèòåëÿ? Íà êàêîå ðàññòîÿíèå d ïåðåìåñòèòñÿ èçîáðàæåíèå ïî øêàëå, åñëè çåðêàëî ïîâåðíåòñÿ íà ìàëûé óãîë ϕ? 512. Âîãíóòîå çåðêàëî äàåò äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà S, ðàñïîëîæåííîãî íà îïòè÷åñêîé îñè íà ðàññòîÿíèè a1 = 50 ñì îò çåðêàëà. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå çåðêàëà f = 25 ñì. Çåðêàëî ðàçðåçàþò ïîïîëàì è åãî ïîëîâèíêè îòîäâèãàþò äðóã îò äðóãà äî ðàññòîÿíèÿ d1 = 1 ñì â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê îïòè÷åñêîé îñè (ðèñ. 166). Êàê ðàñïîëîæåíû èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìûå ïîëîâèíêàìè çåðêàëà? l 513. Ïåðåä âûïóêëûì çåðêàëîì íà ðàññòîÿíèè à = 5 ñì îò íåãî ïîìåùåíà d ïëîñêàÿ òîíêàÿ ñòåêëÿííàÿ ïëàñòèíêà. A A Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå çåðêàëà f = 20 ñì. S Íà êàêîì ðàññòîÿíèè b îò ïëàñòèíêè Ðèñ. 165 &
ñëåäóåò ïîìåñòèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà S (ðèñ. 167), ÷òîáû åãî èçîáðàæåíèå, äàâàåìîå ëó÷àìè, îòðàæåííûìè îò ïåðåäíåé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè, ñîâïàëî ñ èçîáðàæåíèåì, äàâàåìûì ëó÷àìè, îòðàæåííûìè îò çåðêàëà? Êàê ìîæíî óñòàíîâèòü ñîâïàäåíèå èçîáðàæåíèé íåïîñðåäñòâåííûì Ðèñ. 166 íàáëþäåíèåì? 514. Äëÿ ãðóáîãî îïðåäåëåíèÿ ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ âîãíóòîãî çåðêàëà ïåðåä çåðêàëîì íà ðàññòîÿíèè d ïîìåùàþò èãëó À (ðèñ. 168), çàòåì íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îò âîãíóòîãî çåðêàÐèñ. 167 ëà ñòàâÿò ïëîñêîå çåðêàëî Ð è íà ðàññòîÿíèè b îò íåãî ïîìåùàþò âòîðóþ èãëó Â. Ïåðåäâèãàÿ ïëîñêîå çåðêàëî, ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òî ïðè ðàññòîÿíèè ìåæäó çåðêàëàìè, ðàâíîì à, ìíèìûå èçîáðàæåíèÿ îáåèõ èãë, äàâàåìûå âîãíóòûì è ïëîñêèì çåðêàëàìè, ñîâïàäóò. Çíàÿ çíà÷åíèÿ a, b è d, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîâïàäåíèþ èçîáðàæåíèé, íàéäèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f çåðêàëà. Ìîæíî ëè îäíîâðåìåííî íàáëþäàòü ýòè èçîáðàæåíèÿ? 515. Ïåðåä âûïóêëûì çåðêàëîì íà ðàññòîÿíèè à = 5 ñì îò íåãî ïîìåùåí ýêðàí QP (ðèñ. 169). Íà ðàññòîÿíèè b = 5 ñì îò ýêðàíà íàõîäèòñÿ ïðåäìåò MN âûñîòîé h = 3 ñì. Ïðè êàêèõ ïîëîæåíèÿõ ãëàçà íàáëþäàòåëü óâèäèò èçîáðàæåíèå âñåãî ïðåäìåòà? Êàêîâà íàèáîëüøàÿ âûñîòà hmax ïðåäìåòà (ïðè çàäàííîì ðàñïîëîæåíèè ïðåäìåòà, çåðêàëà è ýêðàíà), ïðè êîòîðîé çåðêàëî áóäåò äàâàòü èçîáðàæåíèå âñåãî ïðåäìåòà? Äèàìåòð çåðêàëà d = 10 ñì. 516. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè à1 îò ëèöà íóæíî äåðæàòü âûïóêëîå çåðêàëî äèàìåòðîì d = 5 ñì, ÷òîáû âèäåòü èçîá-
Ðèñ. 168
Ðèñ. 169
'
ðàæåíèå âñåãî ëèöà? Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå çåðêàëà f = 7,5 ñì, äëèíà ëèöà l1 = 20 ñì. 517. Âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòü ñòåíîê øàðà çåðêàëüíà. Ðàäèóñ øàðà R = 36 ñì. Íà ðàññòîÿíèè 0,5R îò öåíòðà øàðà ïîìåùåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê S, ïîñûëàþùèé ñâåò ê äàëüíåé ñòåíêå øàðà. Ãäå íàõîäèòñÿ èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà, âîçíèêàþùåå ïîñëå äâóõ îòðàæåíèé îò äàëüíåé è áëèæíåé ñòåíîê øàðà? Ãäå íàõîäèòñÿ èçîáðàæåíèå, åñëè èñòî÷íèê ïîñûëàåò ñâåò ê áëèæíåé ñòåíêå øàðà? 518. Íà ðàññòîÿíèè a1 = 60 ñì îò âîãíóòîãî çåðêàëà íà îïòè÷åñêîé îñè ïîìåùåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà S. Ðàäèóñ êðèâèçíû çåðêàëà R = 80 ñì. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè à îò âîãíóòîãî çåðêàëà íóæíî ïîñòàâèòü ïëîñêîå çåðêàëî, ÷òîáû ëó÷è ïîñëå îòðàæåíèÿ îò âîãíóòîãî è çàòåì îò ïëîñêîãî çåðêàë ñíîâà ñîáðàëèñü â òî÷êå S? Èçìåíèòñÿ ëè ïîëîæåíèå òî÷êè âñòðå÷è ëó÷åé, åñëè îíè ñíà÷àëà áóäóò îòðàæàòüñÿ îò ïëîñêîãî çåðêàëà? 519. Âûïóêëîå è âîãíóòîå çåðêàëà ñ îäèíàêîâûìè ðàäèóñàìè êðèâèçíû R ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè 2R äðóã îò äðóãà.  êàêîé òî÷êå îïòè÷åñêîé îñè çåðêàë íóæíî ïîñòàâèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà S, ÷òîáû ëó÷è ïîñëå îòðàæåíèÿ îò âûïóêëîãî è çàòåì îò âîãíóòîãî çåðêàë ñíîâà ñîáðàëèñü â òî÷êå S? Ãäå âñòðåòÿòñÿ ëó÷è, åñëè îíè ñíà÷àëà áóäóò îòðàæàòüñÿ îò âîãíóòîãî çåðêàëà?
§ 32. Ïðåëîìëåíèå ñâåòà íà ïëîñêîé ãðàíèöå 520. Íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,5 ïàäàåò ëó÷ ñâåòà. Êàêîâ óãîë ïàäåíèÿ i ëó÷à, åñëè óãîë ìåæäó îòðàæåííûì è ïðåëîìëåííûì ëó÷àìè ðàâåí 90°? 521.  äíî îçåðà âáèòà ñâàÿ âûñîòîé Í = 4 ì, âûñòóïàþùàÿ èç âîäû íà h = 1 ì. Íàéäèòå äëèíó L òåíè ñâàè íà äíå îçåðà, åñëè ëó÷è Ñîëíöà ïàäàþò íà ïîâåðõíîñòü âîäû ïîä óãëîì i = 45°. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ï = 1,33. 522. Ïëîâåö, íûðíóâøèé ñ îòêðûòûìè ãëàçàìè, ðàññìàòðèâàåò èç-ïîä âîäû ñâåòÿùèéñÿ ïðåäìåò, íàõî
äÿùèéñÿ íàä åãî ãîëîâîé íà ðàññòîÿíèè h = 75 ñì îò ïîâåðõíîñòè âîäû. Êàêîâî áóäåò êàæóùååñÿ ðàññòîÿíèå hR îò ïîâåðõíîñòè âîäû äî ïðåäìåòà? Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû n = 4/3. 523. Íà ðàññòîÿíèè h îò ïîâåðõíîñòè âîäû ðàñïîëîæåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà. Ãäå áóäåò íàõîäèòüñÿ èçîáðàæåíèå ýòîãî èñòî÷íèêà, äàâàåìîå ïëîñêèì çåðêàëüíûì äíîì ñîñóäà, åñëè ãëóáèíà ñîñóäà ñ âîäîé ðàâíà d? Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû n = 4/3. 524. Êàêîâî áóäåò êàæóùååñÿ ðàññòîÿíèå hR îò ïîâåðõíîñòè âîäû äî èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî çåðêàëüíûì äíîì ñîñóäà (ñì. çàäà÷ó 523), åñëè íàáëþäàòåëü íàõîäèòñÿ â âîçäóõå è ñìîòðèò íà èçîáðàæåíèå ïî âåðòèêàëè ñâåðõó âíèç? 525. Ó ïðèçìû ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì β = 30° îäíà ãðàíü ïîñåðåáðåíà. Ëó÷, ïàäàþùèé íà äðóãóþ ãðàíü ïîä óãëîì i = 45°, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ è ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ïîñåðåáðåííîé ãðàíè âåðíóëñÿ íàçàä ïî ïðåæíåìó íàïðàâëåíèþ. Íàéäèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ï ìàòåðèàëà ïðèçìû. 526. Íà äíå ñîñóäà ãëóáèíîé d = 40 ñì, íàïîëíåííîãî âîäîé, ëåæèò ìîíåòà. Íà êàêîé âûñîòå h îò ïîâåðõíîñòè âîäû ñëåäóåò ïîìåñòèòü íåáîëüøóþ ýëåêòðè÷åñêóþ ëàìïî÷êó, ÷òîáû åå èçîáðàæåíèå, äàâàåìîå ëó÷àìè, îòðàæåííûìè îò ïîâåðõíîñòè âîäû, ñîâïàäàëî ñ èçîáðàæåíèåì ìîíåòû, äàâàåìûì ïðåëîìëåííûìè ëó÷àìè? Êàê ìîæíî íåïîñðåäñòâåííûì íàáëþäåíèåì ïî âåðòèêàëè óñòàíîâèòü ñîâïàäåíèå èçîáðàæåíèé ëàìïî÷êè è ìîíåòû? 527. Ãëàâíîå ñå÷åíèå ïðèçìû ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê. Ëó÷ ïàäàåò íà ïðèçìó ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îäíîé èç åå ãðàíåé. Êàêîâ áóäåò õîä ýòîãî ëó÷à ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ïðèçìû? 528. Ïðè ôîòîãðàôèðîâàíèè ÿðêèõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà íà òîëñòûõ ôîòîïëàñòèíêàõ âîêðóã èçîáðàæåíèé èñòî÷íèêîâ âîçíèêàþò îðåîëû, âíóòðåííÿÿ ãðàíèöà êîòîðûõ ðåçêàÿ, à âíåøíÿÿ ðàçìûòà. Îáúÿñíèòå ïðîèñõîæäåíèå è õàðàêòåð îðåîëîâ. Íàéäèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ï ñòåêëà ïëàñòèíêè, åñëè åå òîëùèíà d = 3,74 ìì, à ðàäèóñ ðåçêîé ãðàíèöû îðåîëà âîêðóã èçîáðàæåíèÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà à = 4,48 ìì.
529. Ó ïðÿìîóãîëüíîé ðàâíîáåäðåííîé ïðèçìû ïîñåðåáðåíû ãðàíè-êàòåòû. Äîêàæèòå, ÷òî ëó÷è, ïàäàþùèå ïîä ïðîèçâîëüíûì óãëîì íà ãðàíü-ãèïîòåíóçó, áóäóò âûõîäèòü èç ïðèçìû ïàðàëëåëüíî ïåðâîíà÷àëüíîìó íàïðàâëåíèþ. 530. Ì. Â. Ëîìîíîñîâ â ñâîèõ çàìåòêàõ ïðèâîäèò òàêèå íàáëþäåíèÿ: «Òîë÷åíîå ñòåêëî íåïðîçðà÷íî. Ìîêðàÿ áóìàãà áîëåå ïðîçðà÷íà». Îáúÿñíèòå ýòè ÿâëåíèÿ.
§ 33. Òîíêèå ëèíçû. Îïòè÷åñêèå ñèñòåìû 531. Óãëîâîé äèàìåòð ñîëíå÷íîãî äèñêà ïðè íàáëþäåíèè ñ Çåìëè ϕ = 32R. Íàéäèòå äèàìåòð d èçîáðàæåíèÿ Ñîëíöà, äàâàåìîãî ñîáèðàþùåé ëèíçîé ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 25 ñì. 532. Ãäå ñëåäîâàëî áû ðàñïîëîæèòü ïðåäìåò, ÷òîáû ñîáèðàþùàÿ ëèíçà äàëà ïðÿìîå èçîáðàæåíèå åãî â íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó? 533. Íà ñîáèðàþùóþ ëèíçó ïàäàåò óçêèé ëó÷ ñâåòà, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç îòâåðñòèå À â ýêðàíå (ðèñ. 170). Ïîñòðîéòå õîä ëó÷à çà ëèíçîé. Ïîëîæåíèÿ ôîêóñîâ ëèíçû èçâåñòíû. 534. ×åðåç êðóãëîå îòâåðñòèå â ýêðàíå ïðîõîäèò ñõîäÿùèéñÿ ïó÷îê ëó÷åé (ðèñ. 171). Ëó÷è ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå À, ëåæàùåé íà ðàññòîÿíèè à1 = 15 ñì îò ýêðàíà. Êàê èçìåíèòñÿ ðàññòîÿíèå îò òî÷êè âñòðå÷è ëó÷åé äî Ðèñ. 170 ýêðàíà, åñëè â îòâåðñòèå âñòàâèòü ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 30 ñì? Ïîñòðîéòå õîä ëó÷åé ïîñëå óñòàíîâêè ëèíçû. 535. Íà ðàññåèâàþùóþ ëèíçó ïàäàåò ñõîäÿùèéñÿ ïó÷îê ëó÷åé. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ëèíçû ëó÷è ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå À, ëåæàùåé íà ðàññòîÿíèè a1 = = 15 ñì îò ëèíçû. Åñëè ëèíçó óáðàòü, Ðèñ. 171 òî òî÷êà âñòðå÷è ëó÷åé ïåðåìåñòèòñÿ
íà ðàññòîÿíèå d = 5 ñì áëèæå ê îïðàâå, â êîòîðîé íàõîäèëàñü ëèíçà. Íàéäèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ëèíçû. 536. Ëó÷è ñõîäÿùåãîñÿ ïó÷êà âñòðå÷àþòñÿ â òî÷êå À. Íà èõ ïóòè Ðèñ. 172 ñòàâèòñÿ ðàññåèâàþùàÿ ëèíçà (ðèñ. 172). Íàéäèòå ïîëîæåíèå òî÷êè ÀR âñòðå÷è ëó÷åé ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ëèíçû. Ïîëîæåíèÿ ôîêóñîâ ëèíçû èçâåñòíû. 537. Ïðè êàêèõ ïîëîæåíèÿõ ãëàçà è ïðè êàêîì óäàëåíèè òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà îò ñîáèðàþùåé ëèíçû íàáëþäàòåëü ìîæåò îäíîâðåìåííî âèäåòü èñòî÷íèê, ëåæàùèé íà îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû, è åãî èçîáðàæåíèå, äàâàåìîå ëèíçîé? Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå è äèàìåòð ëèíçû ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî f è d. 538. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ñîáèðàþùåé ëèíçû f = 10 ñì, ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà äî ïåðåäíåãî ôîêóñà ð = 5 ñì. Âûñîòà ïðåäìåòà h = 2 ñì. Íàéäèòå âûñîòó hR èçîáðàæåíèÿ. 539. Ñ ïîìîùüþ ñîáèðàþùåé ëèíçû ïîëó÷àþò íà ýêðàíå èçîáðàæåíèå ñâåòëîãî êâàäðàòà. Ðàññòîÿíèå îò êâàäðàòà äî ëèíçû a1 = 30 ñì. Ïëîùàäü èçîáðàæåíèÿ â ÷åòûðå ðàçà áîëüøå ïëîùàäè êâàäðàòà. Íàéäèòå ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ è ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ëèíçû. 540. Ñ ñàìîëåòà, ëåòÿùåãî íà âûñîòå h1 = 2000 ì, ïðîèçâîäèòñÿ ôîòîãðàôèðîâàíèå ìåñòíîñòè ñ ïîìîùüþ àïïàðàòà, èìåþùåãî ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f = 50 ñì. Êàêîâ áóäåò ìàñøòàá ïîëó÷åííûõ ñíèìêîâ? Êàê èçìåíèòñÿ ìàñøòàá, åñëè ñàìîëåò ñíèçèòñÿ äî âûñîòû h2 = 1000 ì? 541. Ðàçìåð ïëåíêè â ôîòîàïïàðàòå (ñì. çàäà÷ó 540) 18×18 ñì. Êàêàÿ ïëîùàäü ìîæåò áûòü çàñíÿòà òàêèì ôîòîàïïàðàòîì îäíîâðåìåííî? 542. Ñîáèðàþùàÿ ëèíçà äàåò íà ýêðàíå èçîáðàæåíèå ëàìïû, óâåëè÷åííîå â äâà ðàçà. Êîãäà ëèíçó ïîäâèíóëè íà ðàññòîÿíèå d = 36 ñì áëèæå ê ýêðàíó, òî îíà äàëà èçîáðàæåíèå âäâîå óìåíüøåííîå. Íàéäèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ëèíçû. 543. Êàêîâ íàèìåíüøèé ðàçìåð à äåòàëåé ïðåäìåòà, êîòîðûå ÷åëîâåê ìîæåò âèäåòü ðàçäåëüíî íåâîîðóæåííûì ãëàçîì íà ðàññòîÿíèè l = 2 êì? Íàèìåíüøèé óãîë çðåíèÿ ãëàçà ϕ = 1′. !
544. Ñîáèðàþùàÿ ëèíçà ïîëîæåíà íà ïëîñêîå çåðêàëî. Ãäå íóæíî ïîìåñòèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà, ÷òîáû èçîáðàæåíèå åãî, äàâàåìîå ýòîé ñèñòåìîé, áûëî äåéñòâèòåëüíûì è ñîâïàäàëî ñ ñàìèì èñòî÷íèêîì? 545. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 30 ñì è ïëîñêîãî çåðêàëà, íàõîäÿùåãîñÿ çà ëèíçîé íà ðàññòîÿíèè b = 15 ñì îò íåå. Íàéäèòå ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî ýòîé ñèñòåìîé, åñëè ïðåäìåò íàõîäèòñÿ ïåðåä ëèíçîé íà ðàññòîÿíèè a1 = 15 ñì îò íåå. Ïîñòðîéòå õîä ëó÷åé. 546. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ñîáèðàþùåé ëèíçû è ïëîñêîãî çåðêàëà, ðàñïîëîæåííîãî â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Ïðåäìåò A íàõîäèòñÿ ïåðåä ëèíçîé ìåæäó ôîêóñîì è äâîéíûì ôîêóñîì. Íàéäèòå ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî ýòîé ñèñòåìîé. 547. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f1 = 20 ñì è âîãíóòîãî çåðêàëà ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f2 = 10 ñì. Ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà äî ëèíçû a1 = 40 ñì, îò ëèíçû äî çåðêàëà b = 30 ñì. Íàéäèòå ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî ýòîé ñèñòåìîé. Ïîñòðîéòå õîä ëó÷åé. 548. Ñîáèðàþùàÿ è ðàññåèâàþùàÿ ëèíçû ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè f1 = 30 ñì è f2 = 10 ñì ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè b = 20 ñì äðóã îò äðóãà. Ãäå ñëåäóåò ïîìåñòèòü èñòî÷íèê ñâåòà, ÷òîáû ýòà ñèñòåìà äàâàëà ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé? 549. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ ñîáèðàþùèõ ëèíç ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè f1 = 9 ñì è f2 = 15 ñì. Âòîðàÿ ëèíçà íàõîäèòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ïåðâîé ëèíçû. Ïðåäìåò ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè a1 = 36 ñì îò ïåðâîé ëèíçû. Íàéäèòå ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî ýòîé ñèñòåìîé. Âû÷èñëèòå ðàññòîÿíèå à2 îò èçîáðàæåíèÿ äî âòîðîé ëèíçû. 550. Ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïëàñòèíêó ðàçðåçàëè, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èâøèåñÿ ëèíçû íåìíîãî ðàçäâèíóëè (ðèñ. 173). Êàê èçìåíèòñÿ ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ýòîé ñèñòåìû, åñëè îí ïàäàåò: à) ñî ñòîðîíû ïëîñêî-âûïóêëîé ëèíçû; á) ñî ñòîðîíû ïëîñêî-âîãíóòîé ëèíçû? Êàê çàâèñèò ïîâåäåíèå ïó÷êà îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëèíçàìè? Ðèñ. 173 "
Îòâåòû è ðåøåíèÿ
I. ÌÅÕÀÍÈÊÀ § 1. Ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå 1. Âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà äî çðèòåëÿ t1 =
s1 . v
Âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàäèîâîëí äî ðàäèîñëóøàòåëÿ t2 =
s2 . Åñëè ðàäèîñëóøàòåëü è çðèòåëü ñëûøàò çâóêè c
îäíîâðåìåííî, òî t1 = t2 è s1 =
s1 s2 = , èëè v c
s2v ; s1 = 8,5 ì, c
s4 = s3
s2v ; s4 = 21,5 ì. c
2. Ñì. ðèñ. 174. Àâòîìîáèëè âñòðåòÿòñÿ ÷åðåç 2,5 ÷ íà ðàññòîÿíèè 150 êì îò ïóíêòà À.
Ðèñ. 174
#
Ðèñ. 175
3. Ñì. ðèñ. 175. Äîïóñòèì, ÷òî ïàññàæèð âûåõàë èç ïóíêòà  ÷åðåç âðåìÿ t = 60 ìèí ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ àâòîìîáèëåé èç ïóíêòà À. Ãðàôèêîì äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ ñ ïàññàæèðîì ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ÂÑ. Ïðÿìûå 2, 3, 4 è ò. ä. ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãðàôèêè äâèæåíèÿ àâòîìîáèëåé, âûøåäøèõ èç ïóíêòà À çà 50, 40, 30 è ò. ä. ìèíóò äî âûåçäà ïàññàæèðà. Ïðÿìûå 8, 9, 10 è ò. ä. ÿâëÿþòñÿ ãðàôèêàìè äâèæåíèÿ àâòîìîáèëåé, âûøåäøèõ èç ïóíêòà À ÷åðåç 10, 20, 30 è ò. ä. ìèíóò ïîñëå âûåçäà ïàññàæèðà. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî àâòîìîáèëåé, âñòðå÷àåìûõ ïàññàæèðîì â ïóòè, áóäåò ðàâíî ÷èñëó òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ãðàôèêîâ ñ ïðÿìîé BC, ò.å. 11. 4. Òàê êàê ñêîðîñòü ñâåòà ñ âî ìíîãî ðàç áîëüøå ñêîðîñòè çâóêà v â âîçäóõå, òî ìîæíî ñ÷èòàòü âðåìÿ t1 ðàâíûì âðåìåíè ïîëåòà ñíàðÿäà, à t2 ñóììå âðåìåíè ïîëåòà ñíàðÿäà è âðåìåíè ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà îò ìåñòà ðàçðûâà ñíàðÿäà äî îðóäèÿ. Ïîýòîìó âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà áóäåò t2 t1, à äàëüíîñòü ïîëåòà ñíàðÿäà s = v(t2 t1); s = 510 ì. Ñêîðîñòü ïîëåòà ñíàðÿäà u = =
s = t1
v(t2 − t1) ; u = 850 ì/ñ. t1
5. Âñòðå÷íûé ïîåçä ïî îòíîøåíèþ ê ïàññàæèðó áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = v1 + v2. Ïðè ýòîì äâèæåíèè ïóòü, ðàâíûé ñâîåé äëèíå, âñòðå÷íûé ïîåçä ïðîéäåò çà âðåìÿ t =
l ; t = 6 ñ. v1 + v2
$
6. Åñëè v ñêîðîñòü ýëåêòðîïîåçäà îòíîñèòåëüíî çåìëè, òî ñêîðîñòü åãî äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âñòðå÷íîãî ïîåçäà áóäåò ðàâíà 2v è ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç äëèíó l è âðåìÿ t ïðîõîæäåíèÿ âñòðå÷íîãî ñîñòàâà: 2v = l = l1 + 10l2 + 10l3. Îòñþäà v =
l , ãäå t
l1 + 10l2 + 10l3 ; v = 36 êì/÷. 2t
7. Âðåìÿ äâèæåíèÿ êàòåðà ïî ðåêå ïðîòèâ òå÷åíèÿ è ïî òå÷åíèþ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî: s ; t = 10 ìèí; v−u 1 s t2 = ; t2 = 6 ìèí. v+u
t1 =
Ïîëíîå âðåìÿ äâèæåíèÿ ïî ðåêå (òóäà è îáðàòíî) t = t1 + t2 =
2sv ; t = 16 ìèí. v 2 − u2
Âðåìÿ äâèæåíèÿ òóäà è îáðàòíî ïî îçåðó 2s ; t′ = 15 ìèí. v
t′ =
Îòíîøåíèå âðåìåí äâèæåíèÿ
t v2 = 2 = 1,07. t′ v − u2
Íà ðèñ. 176 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè äâèæåíèé: I äëÿ äâèæåíèÿ ïî ðåêå, II äëÿ äâèæåíèÿ ïî îçåðó; t è tR âðåìÿ äâèæåíèÿ â ýòèõ óñëîâèÿõ. 8. Ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ è ïî òå÷åíèþ êàòåð îòíîñèòåëüíî âîäû ïðîéäåò ïóòè
Ðèñ. 176
v s1 = vt1 = s, v−u v s2 = vt2 = s v+u
(ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 7). Ïîëíûé ïóòü, ïðîéäåííûé êàòåðîì îòíîñèòåëüíî âîäû,
v
v
l = s1 + s2 = v − u + v + u s; l = 2,1 êì. %
9. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ òðåõ óêàçàííûõ ñëó÷àåâ: s = v1t1, s = v2t2, s = (v1 + v2)t, ãäå s äëèíà ýñêàëàòîðà, v1 ñêîðîñòü ýñêàëàòîðà, v2 ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïàññàæèðà ïî íåïîäâèæíîìó ýñêàëàòîðó, t èñêîìîå âðåìÿ ïîäúåìà äâèæóùåãîñÿ ïàññàæèðà ïî äâèæóùåìóñÿ ýñêàëàòîðó. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî t, ïîëó÷èì t=
t1t2 ; t = 45 ñ. t1 + t2
10. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êàòåðà èç ïóíêòà À â ïóíêò  è îáðàòíî: s = (v + u)t1, s = (v u)t2, ãäå v ñêîðîñòü êàòåðà îòíîñèòåëüíî âîäû, u ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, s ðàññòîÿíèå ìåæäó ïóíêòàìè À è Â. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êàòåðà ïðè âûêëþ÷åííîì ìîòîðå: s = ut. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî t, ïîëó÷èì t= 11. t =
2t1t2 ; t = 12 ÷. t2 − t1
2sv ; t = 6 ÷ 15 ìèí (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 7). v2 − u2
12. Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè îäèíàêîâî âëèÿåò íà äâèæåíèå îáîèõ êàòåðîâ è êðóãà è íå ìîæåò èçìåíèòü èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ, ïîýòîìó åå ìîæíî íå ó÷èòûâàòü è ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå êàòåðîâ è êðóãà òîëüêî îòíîñèòåëüíî âîäû. Ïóòè, ïðîéäåííûå êàòåðàìè îòíîñèòåëüíî âîäû çà âðåìÿ t äî ìîìåíòà ïîâîðîòà: s1 = v1t, s2 = v2t. Âîçâðàùàÿñü ê êðóãó ñ ïðåæíèìè ñêîðîñòÿìè v1 è v2, êàòåðû äîëæíû çàòðàòèòü íà ïðåîäîëåíèå ðàññòîÿíèé s1 è s2 äî êðóãà òî æå ñàìîå âðåìÿ, êîòîðîå îíè çàòðàòèëè, óõîäÿ îò íåãî, ò. å. îíè âñòðåòÿò êðóã îäíîâðåìåííî. 13. Êàïëÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî òðóáû â âåðòèêàëüH íîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ v è â ãîðèçîíòàëüíîì KH ñî ñêîðîñòüþ u , íàïðàâëåííîé â ñòîðîíó, ïðîòèâîïî &
ëîæíóþ äâèæåíèþ òåëåæêè. Ïîëíàÿ ñêîH ðîñòü êàïëè vê îòíîñèòåëüíî òðóáû ðàâíà H KH âåêòîðíîé ñóììå ñêîðîñòåé u è v (ðèñ. 177). Äëÿ òîãî ÷òîáû êàïëè äâèãàëèñü ïàðàëëåëüíî ñòåíêàì òðóáû, íåîáõîäèìî, ÷òîH áû íàïðàâëåíèå ïîëíîé ñêîðîñòè êàïëè v ê ñîâïàäàëî ñ îñüþ òðóáû. Ýòî áóäåò, åñëè tg α =
Ðèñ. 177
v = 3, α = 71° 35R. u
14. Íàïðàâëåíèå ôëþãåðà áóäåò ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëåíèåì ïîëíîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ âîçäóõà îòíîñèòåëüíî áóåðà. Òàê êàê KH ñàì áóåð äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u , òî ïîëKKH íàÿ ñêîðîñòü vâ äâèæåíèÿ âîçäóõà îòíîñèòåëüíî íåãî ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå ñêîKKH H KH Ðèñ. 178 ðîñòåé u è v (ðèñ. 178). Ñêîðîñòü vâ áóäåò ñîñòàâëÿòü ñ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ áóåðà óãîë α, òàêîé, ÷òî tg α =
v = 2, α = 63° 26R. u
Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòüþ ïàðóñà è ôëþãåðîì β = α ϕ = 63° 26R 45° = 18° 26R. 15. Äâèæåíèå ëîäêè â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñêëàäûâàåòñÿ èç åå äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âîäû è åå äâèæåíèÿ âìåñòå ñ âîäîé îòíîñèòåëüíî áåðåãîâ.  ïåðâîì ñëó÷àå (ðèñ. 179) ëîäêà äâèæåòñÿ âäîëü ðåêè ñî KH ñêîðîñòüþ u è çà âðåìÿ ïåðåïðàâû ïðîõîäèò ïî òå÷åíèþ ïóòü s = ut1. (1) Äâèæåíèå ïîïåðåê ðåêè îíà ñîâåðøàåò H ñî ñêîðîñòüþ v è ïðîõîäèò ïóòü l = vt1. (2) '
Ðèñ. 179
Âî âòîðîì ñëó÷àå (ðèñ. 180) ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ëîäêè âäîëü ðåêè ðàâíà íóëþ, ò. å. v sin α = è. (3) Ìîäóëü ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ïîïåH ðåê ðåêè ðàâåí ïðîåêöèè ñêîðîñòè v íà âåðòèêàëüíîå íàïðàâëåíèå, ò.å. v cos α, è çà âðåìÿ ïåðåïðàâû ëîäêà ïðîõîäèò ïóòü
B v
u
A
u
Ðèñ. 180
l = (v cos α)t2.
(4)
Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (1) (4), ïîëó÷èì t2s
l=
l
t − t ; l = 200 ì, v = t1 ; v = 20 ì/ìèí, 2 2
2 1
s
u
u = t ; u = 12 ì/ìèí, α = arcsin = 36° 50′. v 1 16. Òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ñëåäóåò íàéòè ïðîåêöèè ñêîðîñòè òå÷åíèÿ ðåêè è ñêîðîñòè êàòåðà íà ïðÿìóþ À è ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê íåé (ðèñ. 181). Äëÿ òîãî ÷òîáû êàòåð ïðè äâèæåíèè íàõîäèëñÿ âñå âðåìÿ íà ïðÿìîé ÀÂ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû Ðèñ. 181 ïðîåêöèè ñêîðîñòè òå÷åíèÿ è ñêîðîñòè êàòåðà íà íàïðàâëåíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ê ïðÿìîé ÀÂ, áûëè ðàâíû äðóã äðóãó ïî ìîäóëþ, ò.å. v sin β = u sin α.
(1)
Ïðè äâèæåíèè êàòåðà èç ïóíêòà À â ïóíêò Â åãî ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî áåðåãîâ ðàâíà ïî ìîäóëþ v cos β + + u cos α, à âðåìÿ äâèæåíèÿ îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ s = (v cos β + u cos α)t1.
(2)
Âðåìÿ äâèæåíèÿ èç ïóíêòà Â â ïóíêò À (ðèñ. 182) îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ s = (v cos β u cos α)t2. !
(3)
B
A
Ðèñ. 182
Ðèñ. 183
Çíàê «» ïîÿâèëñÿ ïîòîìó, ÷òî èçìåíèëñÿ çíàê ïðîåêöèè. Ïî óñëîâèþ t1 + t2 = t. (4) Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (1)(4), íàéäåì β = arcctg
sin α s + s2 + (u cos α)2 t2 ≈ 12°, v = u sin β ; v ≈ 8 ì/ñ. (u sin α)t
17. Âñå òî÷êè îáîäà êîëåñà ñîâåðøàþò îäíîâðåìåííî äâà äâèæåíèÿ: ïîñòóïàòåëüíîå (âìåñòå ñ âåëîñèïåäîì) è âðàùàòåëüíîå (âîêðóã îñè êîëåñà). Ïîëíàÿ ñêîðîñòü êàæäîé òî÷êè áóäåò ñóììîé ëèíåéíûõ ñêîðîñòåé ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé. Åñëè êîëåñî âåëîñèïåäà êàòèòñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ, òî ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îáîäà êîëåñà áóäåò ïî ìîäóëþ ðàâíà ñêîðîñòè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âåëîñèïåäà.  òî÷êå À ýòè ñêîðîñòè íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû (ðèñ. 183), ïîýòîìó ïîëíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè À áóäåò ðàâíà íóëþ.  òî÷êå  ñêîðîñòè ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó, è ïîëíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè  áóäåò ðàâíà 2v = 40 êì/÷. 18. Ïåðåìåùåíèå êîíöà íèòè îáóñëîâëåíî ïåðåìåùåíèåì îñè êàòóøêè è èçìåíåíèåì äëèíû íèòè çà ñ÷åò åå ñìàòûâàíèÿ (èëè íàìàòûâàíèÿ) ñ êàòóøêè âî âðåìÿ äâèæåíèÿ. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïåðåìåùåíèÿ êîíöà íèòè, âûçûâàåìûå ýòèìè äâóìÿ ïðè÷èíàìè, âñåãäà áóäóò íàïðàâëåíû â ðàçíûå ñòîðîíû. Åñëè, íàïðèìåð, êàòóøêà äâèæåòñÿ âïðàâî, òî âñëåäñòâèå ïåðåìåùåíèÿ îñè êàòóøêè êîíåö íèòè áóäåò äâèãàòüñÿ âïðàâî, à çà ñ÷åò íàìàòûâàíèÿ íèòè âëåâî. Òàê êàê r < R, òî èçìåíåíèå äëèíû íèòè çà îäèí ïîëíûé îáîðîò âñåãäà ìåíüøå ïåðåìåùåíèÿ îñè êàòóøêè çà !
òî æå âðåìÿ. Â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ ýòèõ äâèæåíèé êîíåö íèòè äîëæåí áóäåò âñåãäà ïåðåìåùàòüñÿ â òó ñòîðîíó, â êîòîðóþ äâèæåòñÿ îñü êàòóøêè. Çà âðåìÿ ïîëíîãî îáîðîòà Ò îñü êàòóøêè ïåðåìåñòèòñÿ âïðàâî íà ðàññòîÿíèå 2πR, à äëèíà íèòè óìåíüøèòñÿ íà 2πr. Åñëè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ îñè u = äëèíû íèòè ðàâíà
2πR , òî ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ T
r 2πR r 2πr = = u. R R T T
Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êîíöà íèòè ðàâíà ðàçíîñòè ýòèõ ñêîðîñòåé: v=u
r R u; îòñþäà u = v. R R−r
Îñü êàòóøêè ïåðåìåùàåòñÿ áûñòðåå êîíöà íèòè. 19. Êàòóøêà ïåðåìåùàåòñÿ â ñòîðîíó äâèæåíèÿ êîíöà íèòè ñî ñêîðîñòüþ u =
R v (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 18). R+r
Îñü êàòóøêè ïåðåìåùàåòñÿ ìåäëåííåå êîíöà íèòè. 20. Ñêîðîñòè äâèæåíèÿ êàæäîãî èç òåë îòíîñèòåëüíî äðóãîãî â ïåðâîì è âòîðîì ñëó÷àÿõ: u = v1 + v2, u′ = v1 v2.
(1)
Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (1), èìååì v1 =
u − uR u + uR , v2 = . 2 2
Ñêîðîñòè è è uR îïðåäåëÿþòñÿ ïî óñëîâèþ çàäà÷è èç ñîîòíîøåíèé u =
s s′ , èR = ′ . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì t t
v1 = 1,1 ì/ñ, v2 = 0,5 ì/ñ. § 2. Ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîïåðåìåííîå äâèæåíèå 21. v0 =
s2 − s1 3s1 − s2 ; v0 = 1 ì/ñ; a = ; a = 2,5 ì/ñ2. t2 2t
!
22. g ≈ 9,73 ì/ñ2. Ó ê à ç à í è å. Ñëåäóåò âû÷èñëèòü çíà÷åíèå g äëÿ êàæäîãî èç ïóòåé. h = 1 ì; 16 3h ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷åòâåðòîé è òðåòüåé êàïëÿìè = 3 ì; 16 5h ìåæäó òðåòüåé è âòîðîé = 5 ì; ìåæäó âòîðîé è 16 7h ïåðâîé = 7 ì. 16
23. Ðàññòîÿíèå ÷åòâåðòîé êàïëè äî êðûøè
24. s = 27 ì; v = 9 ì/ñ. 25. Äâèæåíèå äî òî÷êè  ðàâíîçàìåäëåííîå, òàê êàê ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè óìåíüøàåòñÿ, ïîñëå òî÷êè  ðàâíîóñêîðåííîå.  ìîìåíò âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèé òî÷êå Â, òåëî îñòàíàâëèâàåòñÿ, è íàïðàâëåíèå åãî ñêîðîñòè èçìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå, òàê êàê çíàê ïðîåêöèè ñêîðîñòè èçìåíèëñÿ. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ èìååò âèä: sx = v0xt +
axt2 . 2
Çäåñü v0x = v0 = 7 ì/ñ (ýòî íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ax ïðèìåíèì ôîðìóëó ax =
vx − v0 x . Òàê êàê t
vx = 0, òî ax = 0,7 ì/ñ2. Ñëåäîâàòåëüíî, sx = 7t 0,35t2. 26. h = 14,7 ì. 27. Åñëè âðåìÿ ïàäåíèÿ ïåðâîãî òåëà ðàâíî t, òî âðåìÿ ïàäåíèÿ âòîðîãî òåëà ðàâíî t τ, è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îáîèõ òåë ïðèìóò âèä h1 =
gt2 g(t − τ)2 , h2 = ; 2 2
îòñþäà h = h1 h2 = gtτ
h τ gτ2 , ò. å. t = gτ + . 2 2
!!
28. I. Óðàâíåíèÿ äëÿ ïóòåé ÀÑ è À (ðèñ. 184), ïðîéäåííûõ òåëîì ñ íà÷àëà ïàäåíèÿ: AC = h =
h gt2 g(t − τ)2 , AB = = , 2 2 2
ãäå t âðåìÿ äâèæåíèÿ òåëà îò òî÷êè À äî òî÷êè C, τ = 1 ñ. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì h ≈ 57 ì è t ≈ 3,4 ñ. Ðèñ. 184 II. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ äëÿ ïóòåé AB è BC. Äëÿ ïóòè À èìååì h gt2 = 1 , 2 2
ãäå t1 âðåìÿ äâèæåíèÿ òåëà îò òî÷êè A äî òî÷êè Â. Äëÿ ïóòè BC èìååì h gt2 = v0t2 + 2 , 2 2
ãäå v0 =
2gh ñêîðîñòü òåëà â òî÷êå Â, a t2 = 1 ñ 2
âðåìÿ äâèæåíèÿ îò òî÷êè  äî òî÷êè Ñ. Ïîëíîå âðåìÿ ïàäåíèÿ t = t1 + t2 = t1 + 1 ñ. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì òå æå çíà÷åíèÿ h è t. 29. Ïóòè, ïðîéäåííûå äî âñòðå÷è ïåðâûì è âòîðûì òåëàìè: H=
gt2 gt2 , h = v0t . 2 2
H H Çíàê «» ñòîèò ïîòîìó, ÷òî âåêòîðû v0 è g0 íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. ( ðåøåíèè ïîñëåäóþùèõ çàäà÷ ýòî áóäåò ó÷èòûâàòüñÿ áåç ïîÿñíåíèÿ.)
Ñîâìåñòíîå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé äàåò (hmax > h) v0 =
H+h 2H
2gH .
Ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà hmax îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: hmax =
v02 ( H + h)2 = . 2g 4H
!"
Ïðè H = h èìååì v0 =
2gH (hmax = h). 30. Èç òî÷êè À â òî÷êó  ïåðâîå òåëî ïàäàåò âðåìÿ
tl =
2H . Îò òî÷êè Ñ äî ìàêñèìàëüíîé âûñîòû ïîäúåìà g
âòîðîå òåëî äâèæåòñÿ â òå÷åíèå âðåìåíè t2 =
2h . Èñêîg
ìîå âðåìÿ t = t1 t2 =
2H − 2h g
=
2gH − 2gh . g
Ïðè H > h âòîðîå òåëî íóæíî áðîñàòü ñ çàïàçäûâàíèåì; ïðè H = h òåëà íóæíî áðîñàòü îäíîâðåìåííî; ïðè H < h âòîðîå òåëî íóæíî áðîñàòü äî íà÷àëà ïàäåíèÿ ïåðâîãî. 31. Åñëè t âðåìÿ äâèæåíèÿ ïåðâîãî òåëà, òî âðåìÿ äâèæåíèÿ âòîðîãî òåëà áóäåò t τ è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îáîèõ òåë ïðèìóò âèä gt2 g(t − τ)2 , h2 = v0(t τ) . 2 2 v0 τ  ìîìåíò âñòðå÷è h1 = h2 è t = g + . 2
h1 = v0t
32. Òàê êàê â íà÷àëüíûé ìîìåíò ãðóç íàõîäèòñÿ íà H âûñîòå h0 è èìååò íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 , íàïðàâëåííóþ ââåðõ, òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ãðóçà áóäåò èìåòü âèä h = h0 + v0t
gt2 . 2
(1)
Ñêîðîñòü ãðóçà äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ óðàâíåíèåì v = v0 gt. (2) Ïðè ïàäåíèè íà çåìëþ h = 0. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå h â óðàâíåíèå (1), íàõîäèì âðåìÿ ïàäåíèÿ t è ïî ýòîìó âðåìåíè èç óðàâíåíèÿ (2) ñêîðîñòü â ìîìåíò ïàäåíèÿ: v0
t= g +
2gh0 + v02 g
,v=
!#
2gh0 + v02 .
34. Ñêîðîñòü ïåðâîãî øàðèêà â ìîìåíò óäàðà î ïëèòó v0 =
2gh0 . Òàê êàê óäàð óïðóãèé, òî äâèæåíèå ââåðõ
ïîñëå óäàðà øàðèê íà÷íåò ñ òàêîé æå ïî ìîäóëþ ñêîðîñH òüþ v0 . Çà âðåìÿ t ïåðâûé øàðèê ïîäíèìåòñÿ íà âûñîòó h1 = v0t
gt2 . 2
Çà ýòî æå âðåìÿ âòîðîé øàðèê ïðîéäåò îò òî÷êè À âíèç ðàññòîÿíèå h2 =
gt2 . 2
 ìîìåíò âñòðå÷è h1 + h2 = h0; îòñþäà t =
h0 = v0
h0 2g
3h0 . 4 35. Ñêîðîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî òåë â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îòíîñèòåëüíî Çåìëè:
è h = h1 =
v1 = v0 gt, v2 = v0 g(t τ). Èñêîìàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âòîðîãî òåëà îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî ðàâíà v = v2 v1 = gτ è íàïðàâëåíà ââåðõ êàê âî âðåìÿ ïîäúåìà, òàê è âî âðåìÿ ïàäåíèÿ îáîèõ òåë. Âî âðåìÿ ïîäúåìà ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëàìè ðàâíîìåðíî óìåíüøàåòñÿ, âî âðåìÿ ñïóñêà ðàâíîìåðíî óâåëè÷èâàåòñÿ. Åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 âòîðîãî òåëà â äâà ðàçà ìåíüøå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà, òî v = v0 + gτ. 36. Åñëè ðàññòîÿíèå äî ìåñòà âñòðå÷è îò ïóíêòà À ðàâíî s1, à îò ïóíêòà  ðàâíî s2, òî s1 = v1t
at2 at2 , s2 = v2t + , 2 2
s = s1 + s2 = v1t + v2t = (v1 + v2)t; !$
îòñþäà íàõîäèì t= s1 =
s ; t = 10 ñ, v1 + v2
as2 v1s ; 2(v1 + v2 )2 v1 + v2
s1 = 100 ì. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ðàññòîÿÐèñ. 185 íèå ìåæäó ìîòîöèêëèñòàìè óìåíüøàåòñÿ ðàâíîìåðíî ïî çàêîíó l = s (v1 + v2)t è îáðàùàåòñÿ â íóëü ÷åðåç âðåìÿ t = 10 ñ (ðèñ. 185). § 3. Êðèâîëèíåéíîå äâèæåíèå 37. Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ ÿáëîêî ïàäàåò â òå÷åíèå îäíîãî è òîãî æå âðåìåíè. Äâèæåíèå âàãîíà ñêàçûâàåòñÿ òîëüêî íà ãîðèçîíòàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ ÿáëîêà è íå âëèÿåò íà õàðàêòåð åãî äâèæåíèÿ ïî âåðòèêàëè. 38. Äâèæåíèå ïóëè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ äâèæåíèé: ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ H ïî îñè X ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè v0 , è ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïî âåðòèêàëè (îñè Y). Òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî B òî÷v0 êà ïàäåíèÿ ïóëè â âîäó íà A ÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò XY h H (ðèñ. 186), v ñêîðîñòü ïóëè B vx X ïðè ïàäåíèè â âîäó, vx è vy v v ïðîåêöèè ñêîðîñòè íà îñè X è Y. y 2 Òàê êàê vx = v0 è vy = 2gh, òî
ñêîðîñòü ïóëè ïðè ïàäåíèè â
Ðèñ. 186
Y
2 âîäó v = v0 + 2gh . 39. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåë â ïðîåêöèÿõ íà ãîðèçîíòàëüíóþ è âåðòèêàëüíóþ îñè èìåþò âèä (ìû ó÷ëè, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå âåêòîðû ñîíàïðàâëåíû è èõ ïðîåêöèè ðàâíû ìîäóëÿì âåêòîðîâ):
s1 = v1t, s2 = v2t; h1 = !%
gt2 gt2 , h2 = . 2 2
Òàê êàê âðåìåíà ïîëåòà ïî óñëîâèþ îäèíàêîâû è ðàâíû t =
s1 = 2 ñ, v1
òî h1 = h2 = 19,6 ì è s2 = v2t = 15 ì. 40. Ïðîåêöèè ñêîðîñòè ñíàðÿäà â Ðèñ. 187 íà÷àëüíûé ìîìåíò íà ãîðèçîíòàëüíóþ è âåðòèêàëüíóþ îñè (ðèñ. 187) ðàâíû: v0x = v0 cos α, v0y = v0 sin α. Êîîðäèíàòû ñíàðÿäà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçìåíÿòñÿ ïî çàêîíó: x = s = v0xt, y = h = v0yt
gt2 . 2
Ïî óñëîâèþ ïóøêà è òî÷êà ïàäåíèÿ ñíàðÿäà ðàñïîëîæåíû íà îäíîé ãîðèçîíòàëè, ò. å. â òî÷êå ïàäåíèÿ h = 0. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå â óðàâíåíèå äëÿ êîîðäèíàòû y, íàõîäèì âðåìÿ ïîëåòà ñíàðÿäà: t=
2v0 y g
; t ≈ 100 c
(âòîðîé êîðåíü óðàâíåíèÿ t = 0 îïðåäåëÿåò ìîìåíò âûñòðåëà). Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå t â óðàâíåíèå äëÿ êîîðäèíàòû x, íàõîäèì äàëüíîñòü ïîëåòà ñíàðÿäà: s=
2v0xv0 y g
=
v02 2v02 sin α sos α = sin 2α; s ≈ 88,4 êì. g g
41. α = 45° (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 40). h1
42. h = tg2 α. 2 43. Åñëè s < smax, òî ñóùåñòâóþò äâà óãëà α1 è α2, ïðè H êîòîðûõ äëÿ äàííîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè v0 äàëüíîñòü ïîëåòà áóäåò ðàâíà s. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèÿ äëÿ èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû x = s (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 40) è èçâåñòíîãî ñîîòíîøåíèÿ òðèãîíîìåòðèè: sin 2α = sin (180° 2α) = sin 2 (90° α). !&
Äàëüíîñòü ïîëåòà s ïðè äàéH íîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè v0 áóäåò îäíà è òà æå ïðè óãëàõ áðîñàíèÿ α1 = α è α 2 = 90° α, ïðè÷åì α=
gs 1 arcsin v2 . 2 0
Ðèñ. 188
Âñåãäà ñóùåñòâóþò äâå òðàåêòîðèè, äâèãàÿñü ïî êîòîðûì áðîøåííîå òåëî ïîïàäàåò â îäíó è òó æå òî÷êó (ðèñ. 188). Ïîëîãàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ óãëó α, íàçûâàåòñÿ «íàñòèëüíîé», êðóòàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ óãëó 90° α, «íàâåñíîé». 44. Íàèìåíüøàÿ âûñîòà áåçîïàñíîãî ïîëåòà áîìáàðäèðîâùèêîâ îïðåäåëÿåòñÿ íàèáîëüøåé âûñîòîé hmax ïîäúåìà ñíàðÿäîâ. Óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû y èìååò âèä: h = (v0sin α)
gt2 2
(ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 40). Ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè ñíàðÿäà íà îñü y â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíà vy = v0 sin α gt.  íàèâûñøåé òî÷êå ïîäúåìà vy = 0; îòñþäà âðåìÿ ïîäúåìà t=
v0 sin α v02 sin2 α è h = = 2187 ì. max g 2g
45. α ≈ 76° (ñì. ðåøåíèÿ çàäà÷ 40 è 44). 46. Êðèâîëèíåéíîå äâèæåíèå ìèíû ïî ïàðàáîëå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ ïðÿìîëèíåéíûõ äâèæåíèé â ãîðèçîíòàëüíîì è âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèÿõ. Ïåðåìåùåíèå ìèíû áóäåì îòñ÷èòûâàòü îò òî÷êè A (ñì. ðèñ. 8). Ïðîåêöèè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ìèíû íà ãîðèçîíòàëüíóþ è âåðòèêàëüíóþ îñè ðàâíû v0x = v0 cos α, v0y = v0 sin α. Óðàâíåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò x è y ìèíû èìåþò âèä: x = s = (v0 cos α)t, y = h = (v0 sin α)t
gt2 . 2
(1)
Ðàññòîÿíèå ïî ãîðèçîíòàëè s è âûñîòà h òî÷êè ïàäåíèÿ ìèíû ñâÿçàíû ñ ðàññòîÿíèåì l ñîîòíîøåíèÿìè: s = l cos β, h = l sin β. (2) !'
Ðåøàÿ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ (1), à òàêæå èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (2), íàõîäèì èñêîìîå ðàññòîÿíèå: l=
(sin α cos β − cos α sin β) cos α . cos2 β
2v02 g
(3)
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ïî óñëîâèþ çàäà÷è α = 2β, è ïðåîáðàçóÿ âûðàæåíèå (3), ïîëó÷èì l=
2 2v02 sin β cos α 2 v0 = . 2 g cos β 3 g
§ 4. Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà 47. v =
2πR , ãäå T = 1 ÷; v ≈ 0,8 ñì/ñ; ω = v/R = T
= 1,75103 paä/ñ. 48. v =
2πR cos ϕ v2 , ãäå T = 24 ÷; v ≈ 233 ì/ñ; a = cos ϕ; T R
a ≈ 1,7 ñì/ñ2. 49. Ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü òî÷åê îáîäà øêèâà â ëþáîé ìîìåíò ðàâíà ñêîðîñòè ãðóçà: v = 2as . Êîãäà ãðóç ïðîéäåò ïóòü s = 1 ì, ñêîðîñòü ñòàíåò ðàâíîé v = 20 ñì/ñ. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω=
v = 1 ðàä/ñ. R
Ïîëíîå óñêîðåíèå òî÷êè À ñêëàäûH âàåòñÿ èç óñêîðåíèÿ aτ (aτ = a) öåíòH ðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ an v2 an = R (pèc. 189):
Ðèñ. 189
a A = a2 +
"
4a2s2 a = R 2 + 4s2 . R2 R
50. v ≈ 7,9 êì/ñ. Ó ê à ç à í è å. Ïðè çàäàííûõ â çàäà÷å óñëîâèÿõ öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ïðè äâèæåíèè òåëà âîêðóã Çåìëè äîëæíî áûòü ðàâíî óñêîðåíèþ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. 51. Öåíòð âðàùåíèÿ Î ëåæèò íà ðàññòîÿíèè x = 62,5 ñì îò ëèíèè À è Ðèñ. 190 íà ðàññòîÿíèè y = 12,5 ñì îò ëèíèè AD. Ó ê à ç à í è å. Ïðè ïîâîðîòå êðûøêè ñòîëà èç ïîëîæåíèÿ ABCD â ïîëîæåíèå A1B1C1D1 (ðèñ. 190) òî÷êà À ïåðåõîäèò â òî÷êó A1, òî÷êà  â òî÷êó B1 è ò. ä. Ëèíèè AA1 è BB1 áóäóò õîðäàìè äóã, ïî êîòîðûì ïåðåìåùàþòñÿ òî÷êè À è  âî âðåìÿ ïîâîðîòà êðûøêè. Öåíòð âðàùåíèÿ áóäåò ëåæàòü â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, ïðîâåäåííûõ èç ñåðåäèí ýòèõ õîðä. § 5. Äèíàìèêà ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ òåëà. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà 52. F =
2ms ; F = 12,5 ìÍ. t2
H 53. Åñëè ñèëà íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ êàìíÿ Fg . Ýòà ñèëà ïî ìîäóëþ ðàâíà ñèëå òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà òåëî: Fg = mg), òî ñèëà òðåíèÿ f = µFg = µmg. Óñêîðåíèå, ïðèîáðåòåííîå êàìíåì ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ µmg = òà, à íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü èç ñîîòíîøåíèÿ
v0 = 54. s =
2as =
2µgs ; v = 7,56 ì/ñ.
v02 ; s = 25,6 ì (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 53). 2µg
55. T = ma ≈ 422 Í. 56. Òàê êàê ìîùíîñòü ìîòîðà â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå, òî äîëæíî èìåòü ìåñòî ñîîòíîøåíèå N = F1v1 = F2v2, "
ãäå F1 è v1 ìîäóëü ñèëû òÿãè ìîòîðà è ñêîðîñòè òÿãà÷à ïðè äâèæåíèè ïî ëåäÿíîé äîðîãå, F2 è v2 ìîäóëü ñèëû òÿãè è ñêîðîñòè òÿãà÷à ïðè äâèæåíèè ïî ëåæíåâîé äîðîãå. Òàê êàê ðàáîòà ñèëû òÿãè ìîòîðà â îáîèõ ñëó÷àÿõ, ïðè ïîñòîÿííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ, ðàñõîäóåòñÿ òîëüêî íà ïðåîäîëåíèå ñèëû òðåíèÿ, òî äîëæíî áûòü F1 = µ1Fg, F2 = µ2Fg, ãäå Fg ñèëà íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ ñàíåé íà äîðîãó. Èç (1) è (2) ñëåäóåò, ÷òî µ1v1
µ1v1 = µ2v2, ò. å. v2 = µ 2
= 1 êì/÷.
57. Åñëè áû íà òåëî äåéñòâîâàëà òîëüêî ñèëà òÿæåñòè mg, òî îíî äâèãàëîñü áû ñ óñêîðåíèåì g = 9,8 ì/ñ2. Òåëî äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì à > g, ñëåäîâàòåëüíî, íà íåãî KKKH äåéñòâóåò, êðîìå ñèëû mg , åùå íåêîòîðàÿ ñèëà, íàïðàâëåííàÿ âíèç. Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà KKKH KKKH H mg + F = ma , èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå ñ ó÷åòîì íàH H H ïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ g , F è a: mg + F = ma. Îòêóäà F = ma mg = m(a g); F = 24,5 Í. 58. Ãðóç äâèæåòñÿ, òàê æå êàê è ïîäH ñòàâêà ñ óñêîðåíèåì a . Íà ãðóç äåéH ñòâóåò ñèëà òÿæåñòè m g (ðèñ. 191) è KKH ñèëà ðåàêöèè îïîðû R , êîòîðàÿ ïî ìîäóëþ ðàâíà ñèëå íîðìàëüíîãî äàâKKH Ðèñ. 191 ëåíèÿ Fä ãðóçà íà ïîäñòàâêó. Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, íàïèñàííîìó â ïðîåêöèÿõ íà âåðòèêàëüíóþ îñü, íàïðàâëåííóþ ââåðõ, áóäåì èìåòü: Ry + mgy = may. Íî Ry = R, gy = g, ay = a. "
Ñëåäîâàòåëüíî, R mg = ma; îòñþäà Fä = R = m(g + a). H 59. Íà øàðèê äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè m g , íàïðàâKH ëåííàÿ âåðòèêàëüíî âíèç, è ñèëà óïðóãîñòè íèòè F óïð . Ïîä äåéñòâèåì ýòèõ ñèë øàðèê äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì H a , íàïðàâëåíèå êîòîðîãî íåèçâåñòíî. Çàïèøåì äëÿ øàðèêà âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèÿõ íà îñü Y, íàïðàâëåííóþ âåðòèêàëüíî âíèç: mgy + Fóïð y = may.
(1)
Çäåñü gy = g; Fóïð y = Fóïð = 0,5mg (ïî óñëîâèþ çàäà÷è). Ñ ó÷åòîì ýòîãî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä: mg 0,5 mg = may.
(2)
2
Îòñþäà ay = 0,5g = 4,9 ì/ñ . Òàê êàê ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ ïîëîæèòåëüíà, òî âåêH òîð óñêîðåíèÿ a íàïðàâëåí âåðòèêàëüíî âíèç. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êó O íàäî ïåðåìåùàòü âåðòèêàëüíî âíèç ñ óñêîðåíèåì a = 4,9 ì/ñ2. 60. Ïî ãðàôèêó (ñì. ðèñ. 11) íàõîäèì ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ ëèôòà: â ïåðâûå äâå ñåêóíäû a1y =
vy t1
= 1,8 ì/ñ2. Ïî
âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, çàïèñàííîìó äëÿ ïðîåêöèé ñ ó÷åòîì èõ çíàêîâ äëÿ êàæäîãî èç òåõ ñëó÷àåâ, èìååì (ìîäóëü ñèëû óïðóãîñòè ìû çàìåíèì ìîäóëÿìè ñèëû íàòÿæåíèÿ): T1 mg = ma1, T2 mg = 0, T3 mg = ma3, ãäå T1, T2, T3 ìîäóëè ñèëû íàòÿæåíèÿ êàíàòà â ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåðâàëû âðåìåíè; îòñþäà T1 = 17,7 êÍ, T2 = 15 êÍ, T3 = 12,5 êÍ. 61. Íà êàæäûé èç ãðóçîâ äåéñòâóåò ñèëà H òÿæåñòè m g è ñèëà óïðóãîñòè ñî ñòîðîíû KH ïðóæèíû F óïð (ðèñ. 192). Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà KH KH H H H H Ðèñ. 192 m g + F óïð = m a , èëè F óïð = m( a g ). "!
H  çàâèñèìîñòè îò ìîäóëÿ è íàïðàâëåíèÿ óñêîðåíèÿ a ñèëû óïðóãîñòè áóäóò ðàçëè÷íûìè: à) åñëè ñèñòåìà ïîKH H êîèòñÿ (a = 0), òî F óïð = m g (ñèëà óïðóãîñòè, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû ïðóæèíû, ðàâíà ïî ìîäóëþ ñèëå òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà ïðèêðåïëåííûé ê íåé ãðóç); á) åñëè KH H H ñèñòåìà ñâîáîäíî ïàäàåò ( a = g ), òî F óïð = 0 (äåôîðìàöèè ïðóæèí îòñóòñòâóþò, âñå ãðóçû íàõîäÿòñÿ íà îäíîì óðîâíå). 62. Åñëè ïàðàøþòèñò ñïóñêàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, òî ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âñåõ ïðèëîæåííûõ ê íåìó H H ñèë ðàâíà íóëþ: m g + f = 0; èëè ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ
ñèë, mg f = 0, ñëåäîâàòåëüíî, f = mg = 784 Í. 63. Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ ïîäúåìà H H H òåëà: m g + f = m a . Åñëè îñü íàïðàâèòü âåðòèêàëüíî ââåðõ, òî â ñêàëÿðíîé ôîðìå ýòî óðàâíåíèå ïðèìåò âèä: fó mg = maó. Èç óðàâíåíèé êèíåìàòèêè äëÿ äâèæåíèÿ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ v = 0 ñëåäóåò, ÷òî aó =
v0 ; îòñþäà t
v0 + g ; f = 88 ìÍ. fó = maó + mg = m − t y H
Çíàê «» îçíà÷àåò, ÷òî ñèëà f íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî îñè Y, ò. å. âåðòèêàëüíî âíèç.
 äåéñòâèòåëüíîñòè ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà íåïîñòîÿííà. Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ îíà ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà, ïðè áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ îíà âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî áîëåå âûñîêèì ñòåïåíÿì ñêîðîñòè. 64.  íà÷àëå ïðèñåäàíèÿ ÷åëîâåê ðàññëàáëÿåò ìûøöû íîã, äàåò âîçìîæíîñòü ñâîåìó òåëó «ïàäàòü» ñ íåêîòîH ðûì óñêîðåíèåì a , íàïðàâëåííûì âíèç, è ñèëà íîðìàëüKH íîãî äàâëåíèÿ íà ïëàòôîðìó âåñîâ (ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ F ä H ñèëå ðåàêöèè îïîðû R ) ñòàíîâèòñÿ òàêîé ÷òî mg R = ma, èëè Fä = R = mg ma (ò. å. Fä < mg). ""
(Óðàâíåíèÿ íàïèñàíû ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ ñèë è çíàêîâ ïðîåêöèé âåêòîðîâ.)  êîíöå ïðèñåäàíèÿ ÷åëîâåê íàïðÿãàåò ìûøöû íîã, óâåëè÷èâàåò ñèëó íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ íà ïëàòôîðìó H è òåì ñàìûì ñîçäàåò óñêîðåíèå a , íàïðàâëåííîå ââåðõ. Ïðè ýòîì óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ïðèìåò âèä mg R = ma, èëè Fä = R = mg + ma (ò. å. Fä > mg). 65. Óñêîðåíèå ñòîëà âî âðåìÿ ðàçãîíà: à =
v = 2 ì/ñ2. t
Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ äâèæåíèÿ ñòîëà âî âðåìÿ ðàçãîíà: F f = ma, ãäå f = µmg ñèëà òðåíèÿ; îòñþäà F = f + òà = 333,2 Í. 66. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèëû KH íàòÿæåíèÿ T (T = Fóïð) íåîáõîäèìî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ êàæäîãî èç áðóñêîâ â îòäåëüíîñòè. Íà Ðèñ. 193 áðóñîê ìàññîé m1 äåéñòâóþò ñèëû KH KH KH F è F óïð , íà áðóñîê ìàññîé m2 òîëüêî ñèëà F óïð (ðèñ. KH 193). Íàïðàâèì îñü X â íàïðàâëåíèè ñèëû F è çàïèøåì óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ äâóõ áðóñêîâ â ñêàëÿðíîé ôîðìå ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ: F Fóïð = m1a, Fóïð = m2a. Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû äàåò çíà÷åíèÿ èñêîìûõ âåëè÷èí: F
a = m + m ; a = 2 ì/ñ2, 1 2 m2 F
Fóïð = m + m ; T = Fóïð = 0,6 Í; 1 2 à) Fmax ≈ 17 Í, á) Fmax = 25 Í. KH 67. Ïîä äåéñòâèåì ñèëû F âñÿ ñèñòåìà äâèæåòñÿ ñ H óñêîðåíèåì a . Óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ
"#
êàæäîãî èç áðóñêîâ â ñêàëÿðíîé ôîðìå èìåþò âèä: F F1 = ma, F1 F2 = ma,
Ðèñ. 194
F2 F3 = ma, F3 = ma,
ãäå F1, F2, F3 ìîäóëè ñèë óïðóãîñòè íèòè (ðèñ. 194). Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì T1 = F1 = 0,75F, T2 = F2 = 0,5F, T3 = F3 = 0,25F. 68. Òÿæåëûé æåëåçíîäîðîæíûé ñîñòàâ òðóäíî ñäâèíóòü ñ ìåñòà, êîãäà ñöåïêè ìåæäó âàãîíàìè íàõîäÿòñÿ â íàòÿíóòîì ñîñòîÿíèè.  ýòîì ñëó÷àå ñèëà òÿãè òåïëîâîçà äîëæíà ñîîáùàòü óñêîðåíèå âñåìó ñîñòàâó ñðàçó. Åñëè âíà÷àëå äàòü çàäíèé õîä, òî ñöåïêè ìåæäó âàãîíàìè áóäóò îñëàáëåíû è ïðè òîé æå ñèëå òÿãè òåïëîâîç ñìîæåò ñîîáùàòü çíà÷èòåëüíî áîëüøèå óñêîðåíèÿ ñíà÷àëà áëèæàéøåé ê íåìó ÷àñòè ñîñòàâà, à çàòåì ïîî÷åðåäíî è âñåì îñòàëüíûì âàãîíàì. 69. Åñëè ïåðåä íà÷àëîì äâèæåíèÿ âñå ñöåïêè â ñîñòàâå áûëè íàòÿíóòû, òî ðàçðûâ ìîæåò ïðîèçîéòè â ñöåïêàõ áëèæàéøèõ ê òåïëîâîçó âàãîíîâ. Ñèëà íàòÿæåíèÿ ýòèõ ñöåïîê äîëæíà áûòü íàèáîëüøåé, òàê êàê îíà äîëæíà îáåñïå÷èâàòü ïîÿâëåíèå óñêîðåíèÿ ñðàçó ó âñåõ íàõîäÿùèõñÿ ñçàäè âàãîíîâ áîëüøîé ìàññû (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 68). Åñëè ïåðåä íà÷àëîì äâèæåíèÿ âñå ñöåïêè âàãîíîâ ñîñòàâà ñæàòû, òî ðàçðûâ ìîæåò ïðîèçîéòè â ëþáîì ìåñòå ñîñòàâà â çàâèñèìîñòè îò ñëó÷àéíûõ ñîîòíîøåíèé ñèë óïðóãîñòè, âîçíèêàþùèõ â ñöåïêàõ ìåæäó îòäåëüíûìè âàãîíàìè. 70. Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ ñèñòåìà áóäåò äâèãàòüñÿ ñ H íåêîòîðûì óñêîðåíèåì a â ñòîðîíó äåéñòâèÿ áîëüøåé ñèëû è äèíàìîìåòð áóäåò ïîêàçûâàòü ñèëó óïðóãîñòè Fóïð, äåéñòâóþùóþ ìåæäó ãðóçàìè. Äëÿ îòûñêàíèÿ ñèëû Fóïð "$
íåîáõîäèìî íàïèñàòü óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ êàæäîãî ãðóçà â îòäåëüíîñòè.  ñëó÷àå à) èìååì (ðèñ. 195): F1 Fóïð = m1a, Fóïð F2 = m2a; îòñþäà a=
Ðèñ. 195
F1 − F2 m1 , Fóïð = F1 (F1 F2). m1 + m2 m1 + m2
 ñèëó òîãî, ÷òî m2 n m1 è
m1 ≈ 1, ìîæíî ñ÷èm1 + m2
òàòü, ÷òî
Fóïð ≈ F2 = 9,8 Í. Àíàëîãè÷íî, ñîñòàâëÿÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà è èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ, âûðàæàþùèå ñîîòíîøåíèå ìàññ, ìîæíî ðàññìîòðåòü è îñòàëüíûå ñëó÷àè: á) Fóïð ≈ F1 = 19,6 Í; â) Fóïð =
F1 + F2 = 14,7 Í. 2
H 71. Îáà ãðóçà äâèæóòñÿ ñ óñêîðåíèåì a . Íà ãðóç ìàñH ñîé ò1 äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè m1 g è ñèëà óïðóãîñòè KH KH íèòè F , íà ãðóç ìàññîé m2 ñèëà óïðóãîñòè íèòè F è H ñèëà òðåíèÿ f (f = µm2g). Óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ êàæäîãî èç ãðóçîâ â ñêàëÿðíîé ôîðìå èìåþò âèä: m1g F = m1a, F µm2g = m2a.
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì a=
m1m2 m1 − µm2 g, T = F = g(1 + µ). m1 + m2 m1 + m2
H 72. Âñå òåëà ñèñòåìû äâèæóòñÿ ñ óñêîðåíèåì a (ðèñ. 196). H Íà ãðóç 1 äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè m g è ñèëà óïðóãîñòè KH H íèòè F óïð , íà ãðóç 2 ñèëà òÿæåñòè m g , ñèëà íîðìàëüKH KH íîãî äàâëåíèÿ ïåðåãðóçêà F gä è ñèëà óïðóãîñòè íèòè F óïð .
"%
Íà ïåðåãðóçîê 3 äåéñòâóþò H ñèëà òÿæåñòè m0 g è ñèëà ðåH àêöèè R ñî ñòîðîíû ãðóçà 2, ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ ñèëå íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ ïåðåãðóçêà KH F gä íà ãðóç 2. Óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ êàæäîãî èç òðåõ ãðóçîâ â ïðîåêöèÿõ íà îñü Y, íàïðàâëåííóþ âåðòèêàëüíî ââåðõ, èìåþò âèä:
Ðèñ. 196
Fóïð mg = ma, mg Fä + Fóïð = ma, m0g + Fä = m0a. Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû äàåò: a=
m0 2mm0 2m(m + m0 ) g, T = Fóïð = g, Fä = g. 2m + m0 2m + m0 2m + m0
Ñèëà äàâëåíèÿ íà îñü áëîêà ðàâíà óäâîåííîé ñèëå íàòÿæåíèÿ íèòè F = 2T. H 73. Óñêîðåíèå a ãðóçîâ ïîëó÷èì èç óðàâíåíèé âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 72): a=
(m2 − m1 ) g . m1 + m2
Âðåìÿ äâèæåíèÿ íàéäåì èç êèíåìàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè: t=
h = a
h(m1 + m2 ) ; t = 0,6 c. (m2 − m1 ) g
74. ×åðåç âðåìÿ t êàæäûé èç ãðóçîâ ïåðåìåñòèòñÿ èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ íà ðàññòîÿíèå h=
(m1 − m2 ) g at2 , ãäå a = m1 + m2 2
(ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 72). Ïðè ýòîì öåíòð ìàññ ñèñòåìû ãðóçîâ ñìåñòèòñÿ íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå l èç ïåðâîíà "&
÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ âíèç â ñòîðîíó áîëüøåãî ãðóçà (ðèñ. 197). Òàê êàê ðàññòîÿíèÿ îò ãðóçîâ äî öåíòðà ìàññ ñèñòåìû äîëæíû áûòü îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû ìàññàì ýòèõ ãðóçîâ, ìîæíî çàïèñàòü: m1 − m2 h+l m = 1 , èëè l = h. h−l m1 + m2 m2
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå h =
at2 , 2
ïîëó÷èì
Ðèñ. 197
m1 − m2 at . m1 + m2 2 2
l=
Ñîïîñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ ôîðìóëîé ïóòè ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ è ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå óñêîðåíèÿ à ãðóçîâ, íàéäåì, ÷òî öåíòð ìàññ ñèñòåìû äîëæåí äâèãàòüñÿ âíèç ñ óñêîðåíèåì 2
aö.ì.
m1 − m2 m1 − m2 g, = m +m a = 1 2 m1 + m2
ò. å. óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ìåíüøå óñêîðåíèÿ êàæäîãî èç ãðóçîâ â îòäåëüíîñòè. 75. à) Ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ f = µm0g = = 4,9 Í áîëüøå ñèëû F = 1,96 Í, ïðèëîæåííîé ê áðóñêó. KH Ïîýòîìó ñèëà F íå ìîæåò çàñòàâèòü áðóñîê ñêîëüçèòü ïî òåëåæêå. Âñÿ ñèñòåìà áóäåò äâèãàòüñÿ êàê åäèíîå öåëîå ñ H îáùèì óñêîðåíèåì a , è ñèëó òðåíèÿ íóæíî îïðåäåëÿòü èç óðàâíåíèé âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ áðóñêà è òåëåæêè: F f = m0a, f = ma; îòñþäà a=
F mF ; a = 9 ñì/ñ2, f = ; f ≈ 1,8 Í. m + m0 m + m0
"'
á) Ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà òðåíèÿ f ìåíüøå ñèëû F. ÏîKH ýòîìó ñèëà F âûçîâåò ñêîëüæåíèå áðóñêà ïî òåëåæêå. H H Ó áðóñêà è òåëåæêè áóäóò ðàçíûå óñêîðåíèÿ a1 è a2 . Ñèëà òðåíèÿ áóäåò èìåòü âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå f = µm0g = 4,9 Í. Óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ áðóñêà è òåëåæêè: îòñþäà a1 =
F µm0g = m0a1, µm0g = ma2;
F − µm0 g µm0 g ; a1 = 7,5 ì/ñ2, a2 = ; a2 = 0,25 ì/ñ2. m0 m
76. Òåëåæêà áóäåò ñêàòûâàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ a = = g sin α. Äëÿ òîãî ÷òîáû øàðèê èìåë òàêîå æå óñêîðåíèå, íåîáõîäèìî, ÷òîm F áû ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèëû òÿæåñòè KH H m g è ñèëû óïðóãîñòè íèòè F óïð , ïðè mg ëîæåííûõ ê øàðèêó (ðèñ. 198), áûëà íàïðàâëåíà ïàðàëëåëüíî íàêëîííîé Ðèñ. 198 ïëîñêîñòè è åå ìîäóëü áûë ðàâåí F = òà òg sin α. À ýòî âîçìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà íèòü ïåðïåíäèêóëÿðíà ê íàêëîííîé ïëîñêîñòè. 77. Áðåâíî äâèæåòñÿ áåç óñêîðåíèÿ; ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà òðåKH íèÿ ðàâíà ïî ìîäóëþ ãîðèçîíòàëüíîé ïðîåêöèè Fx ñèëû F , Fóïð
F l2 − h2
ò. å. f = . Ñèëà íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ áðåâíà íà l KH çåìëþ F gä (ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ ñèëå ðåàêöèè çåìëè) Fä = R = mg Fó = mg Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ f F l2 h2 µ= = . Fä mgl − Fh
Fh . l
KH Èçìåíåíèå òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû F èçìåíÿåò ëèøü òî÷êó ïðèëîæåíèÿ ñèëû íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ, íî íå #
R Y
Y R f
Fy
F Fx
C
Fx
C
Fy
F
mg
mg O
f
O
X à)
X á)
Ðèñ. 199
èçìåíÿåò åå çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó ñèëà òðåíèÿ áóäåò òà æå, ÷òî è â ïåðâîì ñëó÷àå. 78. Íà òà÷êó äåéñòâóþò ñëåäóþùèå ñèëû: ñèëà òÿæåH H H ñòè m g , ñèëà ðåàêöèè îïîðû (äîðîãè) R , ñèëà òðåíèÿ f KH è ñèëà F , ïðèêëàäûâàåìàÿ ÷åëîâåêîì. Íà ðèñ. 199, à èçîáðàæåíû ýòè ñèëû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷åëîâåê òÿíåò òà÷êó, à íà ðèñ. 199, á äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îí åå òîëêàåò (òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèë ñîâïàäàþò ñ öåíòðîì ìàññ C òà÷êè). Ïîä äåéñòâèåì ýòèõ ñèë òà÷êà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿíH íîé ñêîðîñòüþ, ò. å. a = 0. Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà èìååò âèä: H H KH H m g + R + f + F = 0. Çàïèøåì åãî â ïðîåêöèÿõ íà îñè X è Y: mgx + Rx + fx + Fx = 0, mgy + Ry + fy + Fy = 0. Äëÿ ñëó÷àÿ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 199, à, ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: f = F cos α, mg + R + F sin α = 0. (Ìû ó÷ëè, ÷òî mgx = 0, mgy = mg, Rx = 0, Ry = R, fx = f, fy = 0, Fx = F cos α, Fy = F sin α.) Ñëåäîâàòåëüíî, R = mg F sin α. Òàê êàê ñèëà íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ òà÷êè íà äîðîãó KKH KH F ä1 ðàâíà ïî ìîäóëþ ñèëå ðåàêöèè R , òî Fä1 = mg F sin α. #
Äëÿ ñëó÷àÿ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 199, á, èç óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà, çàïèñàííîãî äëÿ ìîäóëåé ñèë, ïîëó÷àåì: R = mg + F sin α. Ñëåäîâàòåëüíî, Fä2 = mg + F sin α. Òàê êàê Fä2 > Fä1, òî âî âòîðîì ñëó÷àå ÷åëîâåêó íóæíî áóäåò ïðåîäîëåâàòü áîRëüøóþ ñèëó òðåíèÿ f = µFä2. 79. Óñêîðåíèå âàãîíåòêè âî âðåìÿ òîðìîæåíèÿ ðàâíî a=
v0 è íàïðàâëåíî ââåðõ âäîëü óêëîíà äîðîãè. Íà âàt
H ãîíåòêó äåéñòâóþò ñëåäóþùèå ñèëû: ñèëà òÿæåñòè m g , H KH ñèëà óïðóãîñòè êàíàòà F , ñèëà ðåàêöèè îïîðû R è ñèëà H òðåíèÿ f (ðèñ. 200). Â ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðûì çàêîíîì Íüþòîíà H H KH H H mg + F + R + f = ma . (1)
Ïðîâåäåì îñè X è Y òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 200, è çàïèøåì âûðàæåíèå (1) â ïðîåêöèÿõ íà ýòè îñè ñ ó÷åòîì çíàêîâ è çíà÷åíèé ïðîåêöèé. Íà îñü X: f + F mg sin α = ma; íà îñü Y:
Y
a
(2)
mg cos α + R = 0.
R
f
v0
F
(3)
Èç ñîîòíîøåíèÿ (2) âûðàçèì F:
X
F = mg sin α f + ma, ãäå f = µFä, íî Fä = R, è
a=
v0 . t
Èç óðàâíåíèÿ (3) âûðàçèì R:
mg
R = mg cos α.
Ðèñ. 200
#
Îêîí÷àòåëüíî äëÿ F ïîëó÷èì: F = m(a + g sin α) µ mg cos α; F ≈ 2,6 êÍ. Òàê êàê T = F (òðåòèé çàêîí Íüþòîíà), òî T ≈ 2,6 êÍ. 80. Ïðè âúåçäå íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü òåëåæêà ïðèH îáðåòåò óñêîðåíèå a , íàïðàâëåííîå â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ åå äâèæåíèþ. Òî÷êà ïîäâåñà, äâèãàÿñü çàìåäëåííî, îòñòàíåò îò øàðèêà. Óñêîðåíèå øàðèêà ñòàíåò ðàâíûì óñêîðåíèþ òåëåæêè â òîò ìîìåíò, êîãäà íèòü, óäåðæèâàþùàÿ øàðèê, áóäåò íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 76). § 6. Èìïóëüñ. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà 81. Èçìåíåíèå èìïóëüñà øàðèêà ïðè óäàðå î ñòåíêó ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà øàðèê, íà âðåìÿ åå äåéñòâèÿ: KH H H m v2 m v1 = F t, H H ãäå m v1 è m v2 èìïóëüñû øàðèêà äî è ïîñëå óäàðà. Òàê êàê â ðåçóëüòàòå óäàðà èìïóëüñ øàðèêà èçìåíèë íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå, ñîõðàíèâ ìîäóëü H H H ( v2 = v1 = v ), òî èçìåíåíèå èìïóëüñà øàðèêà ðàâíî KH H H 2m v è íàïðàâëåíî îò ñòåíêè, ò. å. F t = 2m v . Ìîäóëü 2mv
. ñèëû äåéñòâèÿ øàðèêà íà ñòåíêó F = t KH H 82. F t = m v . Ó ê à ç à í è å. Ñêîðîñòü øàðèêà ïîñëå óäàðà v2 = 0 (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 81). KKKH
83. Åñëè âåêòîð OA èìïóëüñ øàKKKH
ðèêà äî óäàðà, âåêòîð OB ïîñëå óäàKKKKH
ðà (ðèñ. 201), òî âåêòîð AB îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå èìïóëüñà øàðèêà. Åñëè KKKH
ðàññìîòðåòü ïðîåêöèè âåêòîðîâ OA è KKKH OB íà îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ (OX) è
ïàðàëëåëüíóþ (OY) ñòåíêå, òî èç ðàâåí #!
Ðèñ. 201
ñòâà óãëîâ α è ðàâåíñòâà ìîäóëåé âåêKKKH
KKKH
òîðîâ OA è OB ñëåäóåò, ÷òî èçìåíåíèå èìïóëüñà øàðèêà m∆vH ïðîèñõîäèò òîëüêî çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ïðîåêöèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ñòåíêå (îíà èçìåíÿåò çíàê), ò.å. îíî ðàâíî ïî ìîäóëþ 2mv sin α Ðèñ. 202 è íàïðàâëåíî îò ñòåíêè. H 84. Èìïóëüñ p ñèñòåìû øàðèêîâ èçîáðàçèòñÿ âåêòîKKKH
ðîì OC (ðèñ. 202), ñîñòàâëÿþùèì óãîë α = 45° ñ âåêòîKKKH
KKKH
ðàìè OA è OB , è ðàâåí ïî ìîäóëþ p = = 0,017 êã ì/ñ.
(m1v1 )2 + (m2v2 )2 =
Ft = 9,8 êã. ∆v
85. m =
KH 86. Ñèëà òÿãè F òåïëîâîçà çà âðåìÿ t èçìåíÿåò èìKH ïóëüñ ïîåçäà íà âåëè÷èíó F t, à ñèëà òðåíèÿ íà âåëèH ÷èíó f t (ft = µmgt). Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà
Ft µmgt = mv; îòñþäà F =
mv + µmg; F = 999,6 êÍ. t
87. Ñèëà íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ òåëà íà ïëîñêîñòü Fä = R = mg cos α; ñèëà òðåíèÿ f = µFä = µmg cos α. Ïðîåêöèÿ ñèëû òÿæåñòè íà îñü X, íàïðàâëåííóþ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè ê åå îñíîâàíèþ, ðàâíà mg sin α. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà (mg sin α µmg cos α)t = mv,
(1)
ãäå v ñêîðîñòü òåëà â êîíöå ñïóñêà è t âðåìÿ ñïóñêà. Òàê êàê íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 = 0, òî l = îòñþäà v =
vt at2 = ; 2 2
2l . Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå v â óðàâíåíèå (1), t
íàéäåì t=
2l ≈ 1 c. g (sin α − µ cos α)
#"
(2)
KH 88. Ñèëà F , ñ êîòîðîé ÷åëîâåê òÿíåò âåðåâêó, èçìåKH íÿåò èìïóëüñû ëîäîê íà âåëè÷èíó F t (Ft = 250 êãì/c). Ïåðâàÿ ëîäêà çà ñ÷åò ýòîãî ïðèîáðåòàåò ñêîðîñòü îòíîñèFt
òåëüíî áåðåãà v1 = m = 1 ì/ñ, à âòîðàÿ ëîäêà ñêîðîñòü 1 Ft
v2 = m = 0,5 ì/ñ. Ñêîðîñòü ïåðâîé ëîäêè îòíîñèòåëüíî 2 âòîðîé è = v1 + v2 = 1,5 ì/ñ. Çàäà÷ó ìîæíî òàêæå ðåøèòü, ðàññ÷èòûâàÿ ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà óñêîðåíèÿ ëîäîê, à çàòåì ïî ôîðìóëàì ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ ñêîðîñòè. 89. Òàê êàê èìïóëüñ ñèñòåìû ÷åëîâåê àýðîñòàò äî íà÷àëà äâèæåíèÿ ÷åëîâåêà ðàâåí íóëþ, òî ïðè ïåðåìåùåíèè ÷åëîâåêà ââåðõ àýðîñòàò äîëæåí íà÷àòü îïóñêàòüñÿ ñ òàêîé ñêîðîñòüþ v1, ÷òîáû èìïóëüñ ñèñòåìû ÷åëîâåê àýðîñòàò ïî-ïðåæíåìó îñòàâàëñÿ ðàâíûì íóëþ. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî Çåìëè v2 = è v1. Èìïóëüñ ÷åëîâåêà ðàâåí m2v2, èìïóëüñ àýðîñòàòà ðàâåí m1v1 è èìïóëüñ ñèñòåìû ÷åëîâåê àýðîñòàò m2(u v1) m1v1 = 0; îòñþäà v1 =
m2u . m1 + m2
90. Öåíòð ìàññ òåëåæåê ïåðåä íà÷àëîì äâèæåíèÿ ëåæèò íà ïðÿìîé ÎÎ (ðèñ. 203). Ïî îïðåäåëåíèþ öåíòðà ìàññ ðàññòîÿíèÿ îò òåëåæåê l1 è l2 äî öåíòðà ìàññ ñèñòåìû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t äîëæíû áûòü îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû èõ ìàññàì: l1 m = 2. l2 m1
Ïóòè, ïðîéäåííûå òåëåæêàìè çà âðåìÿ t: s1 = v1t, s2 = v2t, ò.å.
s1 v1 = . s2 v2
Ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñêîðîñòè, ïîëó÷åííûå òåëåæêàìè çà ñ÷åò ##
Ðèñ. 203
äåéñòâèÿ ñæàòîé ïðóæèíû, ðàâíû v1 =
Ft Ft è v2 = , m1 m2
ñëåäîâàòåëüíî, Ft v1 m1 s1 m l = = Ft = 2 = 1 . v s2 m1 l2 2 m2
Ðàññòîÿíèÿ îò òåëåæåê äî ïðÿìîé ÎÎ óäîâëåòâîðÿþò òîìó æå ñîîòíîøåíèþ, ÷òî è ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà ìàññ, ò. å. öåíòð ìàññ òåëåæåê âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ íà ïðÿìîé OO. Ýòîò æå ðåçóëüòàò íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåòñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà: m1v1 = m2v2, èëè
v1 m = 2. v2 m1
91. Ñóììû èìïóëüñîâ îñêîëêîâ ãðàíàòû äî è ïîñëå H H ðàçðûâà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî (m1 + m2) u è m1 v1 + H + m2 v2 . Òàê êàê èçìåíåíèå èìïóëüñîâ îñêîëêîâ ãðàíàòû ïðîèçîøëî òîëüêî çà ñ÷åò âíóòðåííèõ ñèë, òî ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â ïðîåêöèÿõ íà îñü X, ñîâïàäàþùóþ ñ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ãðàíàòû, áóäåì èìåòü: (m1 + m2)u = m1v1x + m2v2. Ïðè íàïèñàíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû ó÷ëè, ÷òî ux = u è v2x = v2. Îòñþäà v1x =
(m1 + m2 )u − m2v2 = 12,5 ì/ñ. m1
Çíàê «» ó ïðîåêöèè ñêîðîñòè ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñëå ðàçðûâà ìåíüøèé îñêîëîê ãðàíàòû ñòàë äâèãàòüñÿ â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ãðàíàòû. 92. Äàëüíîñòü ïîëåòà ðàêåòû s =
v12 sin 2α (ñì. ðåøåg
íèå çàäà÷è 40). Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàêåòû îïðåäåëÿåò #$
ñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà: v1 =
m2v2 . Ïîäñòàâm1
ëÿÿ çíà÷åíèå v1 â ôîðìóëó äëÿ s, èìååì m2 m1
s=
2
v22 sin 2α = 360 ì. g
93. Ñóììû èìïóëüñîâ øàðà è òåëåæêè äî è ïîñëå âñòðåH H H ÷è ðàâíû m2 v2 + m1 v1 è (m2 + m1) u . Ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà H H H m2 v2 + m1 v1 = (m2 + m1) u . Çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â ïðîåêöèÿõ íà îñü X, íàïðàâëåííóþ ñëåâà íàïðàâî, ïðè ýòîì ó÷òåì, ÷òî v2x = v2, v1x = v1: m2v2 m1v1 = (m2 + m1)ux. Îòñþäà ux =
m2v2 − m1v1 = 0,33 ì/ñ. m2 + m1
Ïðîåêöèÿ ux ïîëîæèòåëüíà, ñëåäîâàòåëüíî, òåëåæêà ïîêàòèòñÿ âïðàâî, 94. Îáîçíà÷èì ÷åðåç v1 ñêîðîñòü ðàêåòîïëàíà ïîñëå âûáðîñà ïåðâîé ïîðöèè ãàçà, v2 ïîñëå âûáðîñà âòîðîé ïîðöèè, v3 ïîñëå âûáðîñà òðåòüåé è vN ïîñëå âûáðîñà N-é ïîðöèè. Ïîëüçóÿñü çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ïîëó÷èì äëÿ ñêîðîñòåé ðàêåòîïëàíà: ïîñëå âûáðîñà ïåðâîé ïîðöèè ãàçà (M m)v1 mu = 0, èëè v1 =
mu ; M−m
ïîñëå âûáðîñà âòîðîé ïîðöèè ãàçà (M m)v1 = (M 2m)v2 mu, èëè v2 =
2mu ; M − 2m
ïîñëå âûáðîñà òðåòüåé ïîðöèè ãàçà (M 2m)v2 = (M 3m)v3 mu, èëè v3 = #%
3mu ≈ 2 ì/ñ. M − 3m
Äëÿ ñêîðîñòè ðàêåòîïëàíà ïîñëå N-ãî âçðûâà áóäåì èìåòü vN = 95. v2 =
Nmu ≈ 13,5 ì/ñ. M − Nm
2mu ≈ 1 ì/ñ (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 94). M − 2m
96. Ïðè îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè îòêàòà îðóäèÿ ñëåäóåò ó÷èòûâàòü òîëüêî ïðîåêöèþ ñêîðîñòè ñíàðÿäà íà ãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå, òàê êàê îòäà÷à, îáóñëîâëåííàÿ âåðòèêàëüíîé ïðîåêöèåé ýòîé ñêîðîñòè, áóäåò ïîãàøåíà ñèëàìè ðåàêöèè ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè ñíàðÿäà ux = u cos α. Ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà 0 = Mvx + mux. Îòñþäà vx =
mu cos α mux = ≈ 3,5 ì/ñ. M M
H Çíàê «» ó ïðîåêöèè îçíà÷àåò, ÷òî ñêîðîñòü îòêàòà v íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî âûáðàííîìó íàïðàâëåíèþ îñè X.
97. v =
m 2gh cos α (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 96). m+M
§ 7. Ðàáîòà. Ýíåðãèÿ. Ìîùíîñòü. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè 98. Ñêîðîñòü ñòâîëà v â ìîìåíò âûñòðåëà îïðåäåëèòñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà: v = ýíåðãèÿ
mu . Êèíåòè÷åñêàÿ M
Mv2 , ïîëó÷åííàÿ ñòâîëîì â ìîìåíò âûñòðåëà, 2
ïîëíîñòüþ áóäåò èçðàñõîäîâàíà íà ðàáîòó ïî ïðåîäîëåíèþ ñèëû òîðìîæåíèÿ: À = fs, ò.å. áóäåò èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî Mv2 Mv2 m2u2 = fs; îòñþäà f = = ; f = 12,5 êÍ. 2 2s 2Ms
#&
mv02 + mgH. 2
99. Ýíåðãèÿ òåëà â êîíöå ïàäåíèÿ E =
Ñðåäíÿÿ ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ïî÷âû îïðåäåëèòñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: fh = E; îòñþäà f =
E m = ( v2 + 2gH); f = 12,25 êÍ. h 2h 0
Çàäà÷à ìîæåò áûòü òàêæå ðåøåíà ïóòåì ïðÿìîãî ïðèìåíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà è ðàñ÷åòà óñêîðåíèé òåëà ïðè óãëóáëåíèè â ïî÷âó. Ñêîðîñòü òåëà ó ïîâåðõíîñòè çåìëè v = â ïî÷âå a =
v02 + 2gH . Óñêîðåíèå ïðè äâèæåíèè òåëà
v2 + 2gH v2 = 0 . Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ïî÷âû 2h 2h m f = ma = ( v2 + 2gH). 2h 0
Òàê êàê ñèëà òÿæåñòè mg ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ f, òî â ðåøåíèè íå ó÷èòûâàåòñÿ åå äåéñòâèå ïðè äâèæåíèè òåëà â ïî÷âå. 100. Ñàíè, íàõîäÿñü íà âåðøèíå ãîðû, îáëàäàþò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé, ðàâíîé mgh. Ýòà ýíåðãèÿ ïðè äâèæåíèè ðàñõîäóåòñÿ íà ðàáîòó A1 ïî ïðåîäîëåíèþ ñèëû òðåíèÿ íà ó÷àñòêå ÎB è íà ðàáîòó À2 ïî ïðåîäîëåíèþ ñèëû òðåíèÿ íà ó÷àñòêå ÂÑ: mgh = A1 + A2. Äëÿ ó÷àñòêà OB ñèëà òðåíèÿ f1 =
µmgl l2 + h2
, ãäå l äëè-
íà îòðåçêà AB, è ðàáîòà A1 = f1OB = µmgl. Äëÿ ó÷àñòêà BC ñèëà òðåíèÿ f 2 = µmg è ðàáîòà A 2 = f 2BC = = µmg(s l); îòñþäà mgh = A1 + A2 = µmgs, ò.å. µ =
h . s
Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ äâèæåíèÿ ñàíåé íà ó÷àñòêå Πâ ïðîåêöèÿõ íà îñü X, íàïðàâëåííóþ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè ê åå îñíîâàíèþ, èìååò âèä: mg
h l2 + h2
f1 = ma1x; îòñþäà a1x = #'
gh l 1 − s . l2 + h2
Òàê êàê
l < 1, òî a1x > 0 ñàíè äâèæóòñÿ ðàâíîóñêîðåííî. s
Äëÿ ó÷àñòêà BC (îñü X íàïðàâëåíà ñëåâà íàïðàâî) óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà èìååò âèä: f2 = ma2x. Òàê êàê f2 = µmg, òî a2x = µg. Çíàê «» ó ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî íà ó÷àñòêå BC ñàíè äâèæóòñÿ ðàâíîçàìåäëåííî. 101. Ïðè òîì æå êîýôôèöèåíòå òðåíèÿ µ ðàññòîÿíèå s íå áóäåò ìåíÿòüñÿ ñ óìåíüøåíèåì íàêëîíà ãîðû. Ñàíè äâèãàòüñÿ íå áóäóò. Ïðè òàêîì óãëå íàêëîíà tg α =
h = µ, è ñèëà òðåíèÿ ïî ìîäóëþ áóäåò ðàâíà s
ïðîåêöèè ñèëû òÿæåñòè íà îñü, íàïðàâëåííóþ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè ê åå îñíîâàíèþ. 102. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, îïðåäåëÿåìàÿ âûñîòîé, íà êîòîðîé ðàñïîëîæåí öåíòð ìàññ, â ðàçëè÷íûõ ïîëîæåíèÿõ ðàâíà: 2mgl, êîãäà îí ëåæèò íà ìåíüøåé ãðàíè; mgl, êîãäà îí ëåæèò íà ñðåäíåé ãðàíè; mgl , êîãäà îí ëåæèò íà áîëüøåé ãðàíè. Íàèáîëåå óñòîé2
÷èâûì ïîëîæåíèåì, ñîîòâåòñòâóþùèì ìèíèìàëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òåëà, áóäåò ïîñëåäíåå. 103. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, ðàâíà èçìåíåíèþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïóëè: A=
m 2 mv02 mv2 = (v v02 ); A = 3,75 êÄæ. 2 2 2
Òàê êàê ðàáîòà îòðèöàòåëüíà, òî ñîâåðøàëàñü îíà çà ñ÷åò óáûëè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òåëà. 104.  ïåðâîì ñëó÷àå ìàëü÷èê ïðè áðîñàíèè êàìíÿ ñîâåðøàåò ðàáîòó
mv12 . Åñëè âî âòîðîì ñëó÷àå ñèëà, äåé2
ñòâóþùàÿ íà êàìåíü, òà æå, òî îí ñîâåðøàåò òàêóþ æå ðàáîòó, íî çà åå ñ÷åò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ïðèîáðåòàþò êàìåíü è ìàëü÷èê: mv12 mv22 Mu2 = + , 2 2 2
$
(1)
ãäå u ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ìàëü÷èêà. Ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà mv2 = Ìè.
(2)
Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (1) è (2), ïîëó÷èì ñêîðîñòü êàìíÿ âî âòîðîì ñëó÷àå è ñêîðîñòü ìàëü÷èêà, êîòîðóþ îí ïðèîáðåë ïîñëå áðîñêà: v2 = v1
m2 M (v2 < v1), u = v1 . M( M + m) M+m
Ñêîðîñòü êàìíÿ îòíîñèòåëüíî ìàëü÷èêà M+m (vR > v1). M
vR = v2 + u = v1
Taê êàê ìîùíîñòü N = Fv è âî âòîðîì ñëó÷àå êàìåíü äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ìàëü÷èêà áûñòðåå, ÷åì â ïåðâîì ñëó÷àå (vR > v1), òî ìàëü÷èê äîëæåí âî âòîðîì ñëó÷àå ðàçâèâàòü áîRëüøóþ ìîùíîñòü. 105.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ÷åëîâåê ñîîáùàåò ëîäêå ìàññîé m îäíî è òî æå óñêîðåíèå à =
F ; ïîýòîìó ñêîðîñòü ëîäêè m
ìàññîé m ê êîíöó òðåòüåé ñåêóíäû ðàâíà v = at =
Ft = 1 ì/ñ, m
ò. å. áóäåò â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíîé è òîé æå. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ â ïåðâîì è âî âòîðîì ñëó÷àÿõ, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíà A1 = ãäå è =
mv2 mv2 Mu2 = 150 Äæ, A2 = + = 375 Äæ, 2 2 2 Ft ñêîðîñòü ëîäêè ìàññîé M ê êîíöó òðåM
òüåé ñåêóíäû. Ìîùíîñòü, ðàçâèâàåìàÿ ÷åëîâåêîì ê êîíöó òðåòüåé ñåêóíäû, â ïåðâîì è âòîðîì ñëó÷àÿõ ðàâíà: N1 = Fv = 100 Âò, N2 = F(v + u) = 250 Âò. $
106. Âî âòîðîì ñëó÷àå ñêîðîñòü áðóñêà áóäåò ìåíüøå, òàê êàê ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, êîòîðîé îáëàäàåò áðóñîê, íàõîäÿñü íà âûñîòå h, ðàñõîäóåòñÿ â ïåðâîì ñëó÷àå òîëüêî íà ñîîáùåíèå êèíåòèÐèñ. 204 ÷åñêîé ýíåðãèè áðóñêó, âî âòîðîì ñëó÷àå íà ñîîáùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè áðóñêó è ïðèçìå îäíîâðåìåííî. H 107. Îáîçíà÷èì ÷åðåç u ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ïðèH çìû, ÷åðåç vx è vy ïðîåêöèè ñêîðîñòè áðóñêà v îòíîñèòåëüíî çåìëè íà ãîðèçîíòàëüíóþ è âåðòèêàëüíóþ îñè (ðèñ. 204), ÷åðåç β óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ áðóñêà è ãîðèçîíòîì, ïðè÷åì î÷åâèäíî, ÷òî vy
tg β = v . x
(1)
Òàê êàê íà ïðèçìó â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè ïîìèìî ñèëû äàâëåíèÿ áðóñêà äåéñòâóåò ñèëà ðåàêöèè îïîðû, òî ïðè ðàññìîòðåíèè ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû áðóñîê ïðèçìà çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ìîæíî ïðèìåíÿòü òîëüêî ê ãîðèçîíòàëüíûì ïðîåêöèÿì ñêîðîñòè áðóñêà è ïðèçìû: mvx + Mux = 0, èëè ó÷èòûâàÿ çíàê ux, mvx Mu = 0.
(2)
Äîïóñòèì, ÷òî â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè áðóñîê íàõîäèëñÿ â òî÷êå À ïðèçìû (ðèñ. 205).  òå÷åíèå ïåðâîé ñåêóíäû (t = 1 c) ïðèçìà ïåðåìåñòèëàñü âëåâî íà ðàññòîÿíèå ut, áðóñîê ïî ãîðèçîíòàëè ïåðåìåñòèëñÿ âïðàâî íà ðàññòîÿíèå vxt è ïî âåðòèêàëè íà ðàññòîÿíèå vyt. Bce ýòè ïåðåìåùåíèÿ äîëæíû áûòü òàêîÐèñ. 205 $
âû, ÷òîáû ïîñëå íèõ áðóñîê îêàçàëñÿ ñíîâà íà ïðèçìå â íåêîòîðîé òî÷êå Â. Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíû è, vx è vy äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íå òîëüêî çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà, íî è ñîîòíîøåíèþ vy u + vx
= tg α.
(3)
Ýòî ñîîòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì òîãî óñëîâèÿ, ÷òî áðóñîê ïðè äâèæåíèè íàõîäèòñÿ âñå âðåìÿ íà ïðèçìå. Èç âûðàæåíèÿ (2) íàõîäèì è =
mvx . Ïîäñòàâëÿÿ çíàM
÷åíèå è â óðàâíåíèå (3) è èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (1), ïîëó÷èì vy
tg β = v = x
m+M tg α. M
Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, tg β > tg α è β > α. Ñêîðîñòü áðóñêà â ñëó÷àå ñïóñêà ïî ïîäâèæíîé ïðèçìå íàïðàâëåíà ïîä áîRëüøèì óãëîì ê ãîðèçîíòó, ÷åì ïðè ñïóñêå ñ íåïîäâèæíîé ïðèçìû. Ïîëüçóÿñü çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è çíàÿ âûñîòó h íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ áðóñêà, ìîæíî âû÷èñëèòü ñêîðîñòè è è v. 108. Åñëè ìàññû øàðîâ îáîçíà÷èòü ÷åðåç ò1 è ò2, òî, ïîëüçóÿñü çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ïîëó÷èì H H H H m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 , (1) èëè â ïðîåêöèÿõ íà îñü X, íàïðàâëåííóþ ïî äâèæåíèþ ïåðâîãî øàðà: m1v1 m2v2 = m1u1x + m2u2x. Ïðèìåíÿÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ïîëàãàÿ, ÷òî ïîëíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ øàðîâ ïîñëå óäàðà íå èçìåíèëàñü, ìîæíî çàïèñàòü m u2 m u2 m1v12 m v2 + 2 2 = 1 1x + 2 2 x . 2 2 2 2
(2)
Ðåøàÿ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ (1) è (2) ïðè ò1 = ò2 = m, ïîëó÷èì u2x = v1 è u1x = v2, ò.å. ïîñëå àáñîëþòíî óïðóãî $!
ãî óäàðà øàðû îäèíàêîâîé ìàññû îáìåíèâàþòñÿ ñêîðîñòÿìè. Åñëè äî óäàðà ïåðâûé øàð äâèãàëñÿ ñëåâà íàïðàâî H ñî ñêîðîñòüþ v1 , òî ïîñëå óäàðà îí áóäåò äâèãàòüñÿ â H ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ v2 . 109. Ïðîåêöèè èìïóëüñîâ ëîäîê íà îñü, íàïðàâëåííóþ ïî äâèæåíèþ ïåðâîé ëîäêè, ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: ïåðâîé ëîäêè äî è ïîñëå ïåðåêëàäûâàíèÿ ãðóçà (M1 + m)ux è M1ux; âòîðîé ëîäêè äî è ïîñëå ïåðåêëàäûâàíèÿ ãðóçà Ì2èx è (M2 + ò) v2x. Èìïóëüñ îáåèõ ëîäîê äî ïåðåêëàäûâàíèÿ ãðóçà äîëæåí áûòü ðàâåí èìïóëüñó ëîäîê ïîñëå ïåðåêëàäûâàíèÿ ãðóçà: (M1 + m M2)u = M1u (M2 + m)v2 (ìû ó÷ëè ïðè ïåðåõîäå ê ìîäóëÿì âåëè÷èí çíàêè èõ ïðîåêöèé), îòñþäà M2 =
m(u + v2 ) = 300 êã. u − v2
Ýíåðãèè ëîäîê äî è ïîñëå ïåðåêëàäûâàíèÿ ãðóçà: E1 = E2 =
( M1 + M2 + m)u2 ; E1 = 15,48 êÄæ; 2
M1u2 + ( M2 + m)v22 ; E2 = 11,88 êÄæ. 2
Ýíåðãèÿ óìåíüøèëàñü çà ñ÷åò ïåðåõîäà ÷àñòè ýíåðãèè âî âíóòðåííþþ ïðè âûðàâíèâàíèè ñêîðîñòåé ãðóçà è âòîðîé ëîäêè. 110. N =
mgh ; N = 490 êÂò. t
111. Ïîëåçíàÿ ìîùíîñòü ηN = Fv; îòñþäà F =
ηN ; v
F ≈ 48 êÍ. 112. Ñèëà òðåíèÿ f ìåæäó êîëîäêàìè è âàëîì îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ðû÷àãà òîðìîçíîãî äèíàH ìîìåòðà: ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ f ðàâåí ìîìåíòó ñèëû H òÿæåñòè m g , äåéñòâóþùåé íà ãðóç ìàññîé m: fr = mgl; îòñþäà f = $"
mgl , r
ãäå r ðàäèóñ âàëà. Ñêîðîñòü òî÷åê ïîâåðõíîñòè âàëà v = 2πnr. Ìîùíîñòü äâèãàòåëÿ N = fv = 113. N =
mgl ⋅ 2πnr = 2πnmgl; N ≈ 3 êÂò. r
2πrF ≈ 108 Âò. t
114. Ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü ðàçâèâàåòñÿ ìîòîðîì â êîíöå ðàçáåãà è ðàâíà N = Fv, ãäå F ñèëà òÿãè âèíòîâ, ïî óñëîâèþ îñòàþùàÿñÿ ïîñòîÿííîé âî âñå âðåìÿ ðàçáåãà. Ñèëà F îïðåäåëÿåòñÿ èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà: F µmg = òà. Óñêîðåíèå a = íîñòü N = µmgv +
v2 mv2 , òàê ÷òî F = µmg + , à ìîù2s 2s mv3 ; N ≈ 98,5 êÂò. 2s
115. Ñèëà òðåíèÿ, ïðåîäîëåâàåìàÿ ïðè îáðàáîòêå, f = µF. Ñêîðîñòü îáîäà êàìíÿ v = πdn. Íåîáõîäèìàÿ ìîùíîñòü N = fv = µFπdn ≈ 75 Âò. 116. Øêèâ âðàùàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû, ðàâíîé F f. Ñêîðîñòü îáîäà øêèâà v = 2πrn, ìîùíîñòü N = (F f)2πrn. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è F = 2f, òî f=
N N ; f ≈ 4,8 êÍ, F = ; F ≈ 9,6 êÍ. πrn 2πrn
§ 8. Äèíàìèêà âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà KKH KKH 117. Ìîäóëè ñèë F1 è F2 , äåéñòâóþùèõ íà øàðèêè ìàññàìè m1 è m2, ðàâíû: F1 = m1ω2l1 è F2 = m2ωl2, ãäå l2 = l l1 (ðèñ. 206). Ïî óñëîâèþ F1 = F2, ò. å.
m1ω2l1 = m2ω2(l l1), èëè l1 = $#
m2l . m1 + m2
Òàêèìè æå âûðàæåíèÿìè îïðåäåëÿþòñÿ è ðàññòîÿíèÿ îò øàðîâ äî öåíòðà ìàññ ñèñòåìû. Ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé îäèíàêîâû, êîãäà öåíòð âðàùåíèÿ ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ ñèñòåìû.  èòîãå èìååì Ðèñ. 206 l1 = 25 ñì, l2 = l l1 = 75 ñì. 118. Ðàâíîâåñèå øàðèêîâ äîñòèãàåòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà øàðèê B ñî ñòîðîíû íèòè è ñîçäàþùàÿ öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå, ðàâíà ñèëå òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà øàðèê À: mω2r = mg; îòñþäà ω =
g = 7 ðàä/ñ. r
Ðàâíîâåñèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì.
H 119. Ñêîðîñòü øàéáû v äîëæíà áûòü òàêîé, ÷òîáû ïàðàáîëè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ øàéáû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé ñêîðîñòè, ïðîõîäèëà âíå ïîëóñôåðû, ëèøü êàñàÿñü åå â âåðõíåé òî÷êå (ðèñ. 207). Ðèñ. 207 Ìîäóëü âåðòèêàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé óñêîðåíèÿ øàéáû â ýòîé òî÷êå ïðè äâèæåíèè åå ïî ïàðàáîëå ðàâåí g, ìîäóëü öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ ïðè äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R ñî ñêî-
ðîñòüþ v ðàâåí
v2 v2 . Åñëè g m , òî êðèâèçíà ïàðàáîëû R R
áóäåò ìåíüøå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ïîëóñôåðû è ïàðàáîëà áóäåò ïðîõîäèòü âíå ïîëóñôåðû, ò. å. øàéáà íå áóäåò ñêîëüçèòü ïî ïîëóñôåðå ïðè ñêîðîñòÿõ v l 120. à =
4π2 R T2
gR .
= 0,033 ì/ñ2, ãäå Ò ïåðèîä âðàùå-
íèÿ Çåìëè. Óìåíüøåíèå âåñà òåë íà ýêâàòîðå, âûçûâàåìîå âðàùåíèåì Çåìëè, ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî 0,0034 ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà òåëà â ýòîì ìåñòå. $$
121. Åñëè ÷àñòèöû âîäû âûõîäÿò èç íàñîñà ñî ñêîðîñòüþ v, òî îíè ñìîãóò ïîäíÿòüñÿ íà òàêóþ âûñîòó h, ïðè êîòîðîé èõ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïåðåéäåò â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ, ò. å. âñåãäà áóäåò èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî v2 = 2gh. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ñêîðîñòü ÷àñòèö âîäû ðàâíà ëèíåéíîé ñêîðîñòè êîíöîâ ëîïàñòåé íàñîñà, íàéäåì ÷àñòîòó âðàùåíèÿ ëîïàñòåé íàñîñà: v
n = 2πR =
2gh 2πR
.
Êîãäà óñòàíîâèòñÿ ñòàöèîíàðíûé ðåæèì è âîäà ïîäíèìåòñÿ â òðóáå íà ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó, òî äàâëåíèå íà âûõîäå èç íàñîñà ñòàíåò ðàâíûì äàâëåíèþ ñòîëáà âîäû âûñîòîé h, ò. å. p = ρgh =
ρv2 2
=
ρω2 R 2 2
,
ãäå ω = 2πn óãëîâàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèö âîäû â íàñîñå, ρ ïëîòíîñòü âîäû. Âíóòðè íàñîñà ïðè ïåðåìåùåíèè îò îñè ê êîíöó ëîïàñòåé äàâëåíèå áóäåò ðàñòè ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ äî îñè. Äëÿ ðàñ÷åòà ñèëû, ñîîáùàþùåé ÷àñòèöàì âîäû öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå, âûäåëèì òîíêèé ñëîé âîäû, îãðàíè÷åííûé öèëèíäðàìè ðàäèóñàìè R 1 è R2 (ðèñ. 208). Òîëùèíó ñëîÿ r = R1 R 2 âîçüìåì äîñòàòî÷íî ìàëîé äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü ñêîðîñòè âñåõ ÷àñòèö ýòîãî ñëîÿ îäèíàêîâûìè. Íà êàæäûé ýëåìåíò îáúåìà âîäû, îïèðàþùèéñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè âíóòðåííåãî öèëèíäðà ðàäèóñîì R2, áóäåò äåéñòâîâàòü äàâëåíèå, ðàâíîå ðàçíîñòè äàâëåíèé: p = p1 p2 = ρ =ρ
ω2 2
ω2 R12 2
(R
2 1
ρ
)
− R22 .
%$ω2 R22 2
= Ðèñ. 208
Çàìå÷àÿ, ÷òî ìàññà âîäû â îáúåìå V = Sr ðàâíà m = = ρS(R1 R2), è ïîëàãàÿ (â ñèëó ìàëîñòè r) R1 + R2 ≈ 2R, ïîëó÷èì F = pS =
ω2 2
ρS(R1 R2)(R1 + R2) =
mω2 (R1 + R2) ≈ mω2R, 2
ò. å. â öåíòðîáåæíîì íàñîñå óñòàíàâëèâàåòñÿ òàêîå ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé, ÷òî ðàçíîñòü äàâëåíèé, äåéñòâóþùèõ íà êàæäûé ñëîé, êàê ðàç äîñòàòî÷íà äëÿ ñîçäàíèÿ íåîáõîäèìûõ öåíòðîñòðåìèòåëüíûõ óñêîðåíèé ó ÷àñòèö âîäû, íàõîäÿùèõñÿ â ýòîì ñëîå. 122. Öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ïðè äâèæåíèè ãðóçà îáåñïå÷èâàåòñÿ òîëüêî ñèëîé òðåíèÿ: f = mω2R = 4π2Rmn2; f ≈ 790 ìÍ. Ãðóç íà÷íåò ñêîëüçèòü ïî ñòîëèêó ïðè òàêîé óãëîâîé ñêîðîñòè ω0, ïðè êîòîðîé öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå áóäåò ñîçäàâàòü ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ: µmg = mω02R; îòñþäà ω0 =
µg = 2,2 ðàä/ñ. R
123. Äîïóñòèì, ÷òî äëèíà øíóðà óâåëè÷èëàñü íà l. Òîãäà ðàäèóñ îêðóæíîñòè, ïî êîòîðîé áóäåò äâèãàòüñÿ øàðèê, R = l0 + l, è ñèëà íàòÿæåíèÿ øíóðà T = kl. Ïðè âðàùåíèè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω øàðèê áóäåò èìåòü öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ω2R = ω2(l0 + l), êîòîðîå ñîçäàåòñÿ ñèëîé óïðóãîñòè, äåéñòâóþùåé íà øàðèê ñî ñòîðîíû øíóðà. Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà Fóïð = mω2R. H H Ñèëà íàòÿæåíèÿ T øíóðà è ñèëà óïðóãîñòè Fóïð ðàâíû ïî ìîäóëþ (òðåòèé çàêîí Íüþòîíà). Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ T è ω2R â óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà, ïîëó÷èì kl = mω2(l0 + l), èëè l = Ñ ó÷åòîì ýòîãî èìååì R = l0 + l =
mω2l0 . k − mω2
kl0 mω2kl0 . 2 , T = kl = k − mω k − mω2
124. Â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè íà àâòîìîáèëü äåéKKH H ñòâóþò ñèëà òÿæåñòè m g è ñèëà ðåàêöèè îïîðû R , êîòîðàÿ, ñîãëàñíî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà, ïî ìîäóëþ ðàâíà èñêîìîé ñèëå íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ Fä. $&
à) Êîãäà àâòîìîáèëü åäåò ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ïëîñêîìó ìîñòó, ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ íà âåðòèêàëüíîå íàïðàâëåíèå ðàâíà íóëþ è âåêòîðíàÿ ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà àâòîìîáèëü â ýòîì íàïðàâëåíèè, ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà ðàâíà íóëþ: KKH H m g + R = 0, èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå mg R = 0; îòñþäà Fä = R = mg. á) Êîãäà àâòîìîáèëü åäåò ïî âûïóêëîìó ìîñòó, òî ó íåãî ïîÿâëÿåòñÿ â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå, íàïðàâëåííîå âíèç, ïîýòîìó mg R =
mv2 mv2 , èëè Fä = R = mg (Fä < mg), r r
ò. å. ñèëà íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ àâòîìîáèëÿ íà ìîñò ìåíüøå ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà àâòîìîáèëü. â)  ñëó÷àå äâèæåíèÿ ïî âîãíóòîìó ìîñòó àâòîìîáèëü èìååò óñêîðåíèå, íàïðàâëåííîå ââåðõ, ïîýòîìó R mg =
mv2 mv2 , èëè Fä = R = mg + (Fä > mg), r r
ò. å. ñèëà íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ àâòîìîáèëÿ íà ìîñò áîëüøå ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà àâòîìîáèëü. H 125.  âåðõíåé òî÷êå ïåòëè ñèëà òÿæåñòè m g è ñèëà H ðåàêöèè îïîðû R1 , äåéñòâóþùèå íà ëåò÷èêà, íàïðàâëåíû âíèç (ðèñ. 209). Öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ëåòH ÷èêà a1 òàêæå íàïðàâëåíî âíèç. Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà mg R1 KKH H H a1 R1 + mg = m a1 . Íàïðàâèì êîîðäèíàòíóþ îñü Y âåðòèêàëüíî âíèç è íàïèøåì ýòî óðàâíåíèå äëÿ ïðîåêöèé âåêòîðîâ íà ýòó îñü: mgy + R1y = ma1y. Çäåñü gy = g, R1y = R1, a1y = a = $'
R2
a2 mg
v2 . r
Y
Ðèñ. 209
Òîãäà mg + R1 = m R1 =
v2 . Îòñþäà r
mv2 mg = 3015 Í ≈ 4mg. r
 íèæíåé òî÷êå ïåòëè öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåKKH H íèå ëåò÷èêà a2 è ñèëà R 2 íàïðàâëåíû ââåðõ, è ïîýòîìó èõ ïðîåêöèè íà îñü Y îòðèöàòåëüíû è óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà èìååò âèä R2 + mg =
mv2 mv2 , èëè R2 = + mg = 4485 Í ≈ 6mg. r r
126. Øàðèê ïðîõîäèò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, äâèãàÿñü ïî äóãå îêðóæíîñòè ðàäèóH ñîì l ñî ñêîðîñòüþ v .  ýòîò ìîìåíò øàðèê èìååò öåíòðîñòðåìèH òåëüíîå óñêîðåíèå a , íàïðàâëåííîå ââåðõ. Ýòî óñêîðåíèå ñîîáùàåòñÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèëû òÿH æåñòè mg , äåéñòâóþùåé íà øàKH ðèê, è ñèëû óïðóãîñòè F óïð , äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû íèòè (ðèñ. 210). Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà Ðèñ. 210 KH H H F óïð + m g = m a , èëè â ïðîåêöèÿõ íà îñü Y ñ ó÷åòîì èõ çíà÷åíèé Fóïð + mg = m îòêóäà
Fóïð = m g +
v2 , l
v2 . l
Ñêîðîñòü v îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: v =
2gl . Òîãäà Fóïð = mg +
2mgl = 3mg. l
%
Òàê êàê Fóïð = T (òðåòèé çàêîí Íüþòîíà), òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî íèòü âûäåðæèâàåò ñèëó íàòÿæåíèÿ, ðàâíóþ óòðîåííîé ñèëå òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà øàðèê. 127. Èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòü øàðèêà ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 126): v2 =
(T − mg)l = gl, m
ãäå l äëèíà íèòè. Ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè mv2 = mgh, îòñþäà âûñîòà ñ êîòîðîé îïóñêàëñÿ øàðèê, 2
h=
v2 1 l−h l = , ò. å. cos α = = , α = 60°. 2g 2 2 l
128.  ëþáîì ïðîìåæóòî÷íîì ïîëîæåíèè âäîëü íèòè íà øàðèê äåéñòâóþò ñèëà óïðóãîñòè íèòè KH F óïð è ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè KH F1 , ìîäóëü êîòîðîé ðàâåí mg cos α (ðèñ. 211); îíè îáåñïå÷èâàþò öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå øàðèv2 H êà a (a = , ãäå v2 = 2gl cos α,
Ðèñ. 211
l
l äëèíà íèòè); ñëåäîâàòåëüíî (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 126), Fóïð mg cos α =
2mgl cos α = 2 mg cos α. l
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî T = Fóïð = 2 mg, ïîëó÷èì T
2
cos α = 3mg = , α ≈ 48° 11′. 3 129. Íèòü èñïûòûâàåò íàèáîëüøóþ ñèëó íàòÿæåíèÿ, êîãäà êàìåíü ïðîõîäèò íèæíþþ òî÷êó îêðóæíîñòè. Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå äëÿ ýòîãî ìîìåíòà èìååò âèä (ïðè åãî çàïèñè ìû ó÷ëè, %
÷òî ñèëà óïðóãîñòè, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî ñî ñòîðîíû íèòè, ðàâíà ïî ìîäóëþ ñèëå íàòÿæåíèÿ íèòè): T mg = mω2l; îòñþäà óãëîâàÿ ñêîðîñòü, ïðè êîòîðîé ïðîèçîéäåò îáðûâ íèòè, ω=
T − mg = 5,5 ðàä/ñ. ml
Ñêîðîñòü êàìíÿ â ìîìåíò îáðûâà íèòè áóäåò íàïðàâëåíà ãîðèçîíòàëüíî è ðàâíà ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè v = ωl = l
T − mg . ml
Äàëüíîñòü ïîëåòà êàìíÿ s = vt, ãäå t =
2(h − l) g
âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ âûñîòû h l; îòñþäà s = ωl
2(h − l) 2(h − l)(T − mg) = l ≈ 4,3 ì. g mgl
130. Äëÿ òîãî ÷òîáû øàéáà íàõîäèëàñü íà ïîëóñôåðå, íåîáõîäèìî, ÷òîáû â ëþáîé òî÷êå ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà íåå â íàïðàâëåíèè ðàäèóñà, áûëà äîñòàòî÷íà äëÿ ñîçäàíèÿ öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ
v2 . Ñêîðîñòü r
øàéáû â ëþáîé òî÷êå îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ v2 = 2gh, ãäå h ðàññòîÿíèå îò øàéáû äî âåðøèíû ïîëóñôåðû ïî âåðòèêàëè. Âäîëü ðàäèóñà ïîëóñôåðû íà òåëî KKH äåéñòâóþò ñèëà ðåàêöèè îïîðû R è ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû KH òÿæåñòè F , ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ mg ñîs α (ðèñ. 212); îòñþäà mg cos α R =
2mgh mv2 = . r r
Ïðè äâèæåíèè òåëà óñêîðåíèå
Ðèñ. 212
v2 íåïðåðûâíî ðàñòåò, íî r
ñèëà ðåàêöèè îïîðû R, óáûâàÿ áûñòðåå, ÷åì mg cos α, îáåñïå÷èâàåò óâåëè÷åíèå ðàâíîäåé %
ñòâóþùåé, íåîáõîäèìîé äëÿ ñîçäàíèÿ âîçðîñøåãî óñêîðåíèÿ.  íåêîòîðîé òî÷êå ñèëà ðåàêöèè îïîðû R îáðàòèòñÿ â íóëü è äàëüíåéøèé ðîñò óñêîðåíèÿ
v2 óæå íå r
áóäåò îáåñïå÷èâàòüñÿ ñèëàìè, äåéñòâóþùèìè íà øàéáó, è â ýòîò ìîìåíò øàéáà îòîðâåòñÿ îò ïîëóñôåðû. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèåì îòðûâà øàéáû îò ïîëóñôåðû áóäåò R = 0, èëè mg cos α =
2mgh . r
r−h , ïîëó÷èì, ÷òî îòðûâ ïðîr r èçîéäåò íà ðàññòîÿíèè îò âåðøèíû h = ; îòñþäà 3
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî cos α =
H=
2 r. 3
131. Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà ñèëà íîðìàëüíîãî KKH H äàâëåíèÿ Fä ïî ìîäóëþ ðàâíà ñèëå ðåàêöèè îïîðû R . Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà è çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äàþò R + mg cos α =
mv2 , v2 = gr (3 2cos α); r
îòñþäà èñêîìàÿ ñèëà íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ Fä = R = mg (3 2 cos α cos α) = 3mg(1 cos α).
132. Fä = R = 3mg (1 + cos β). 133. Âûñîòà, íà êîòîðîé øàðèê îòîðâåòñÿ îò æåëîáà, îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå êàê, è â çàäà÷å 130, íà îñíîâàíèè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà: H1 =
5 r. 3
Èç òî÷êè  (ðèñ. 213) øàðèê áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ïàðàáîëå ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 =
2gh1 =
%!
2 gr , 3
íàïðàâëåííîé ïîä óãëîì α, îïðåäåëÿåìûì èç óðàâíåíèÿ cos α =
r − h1 2 = . r 3
 íàèâûñøåé òî÷êå ïîäúåìà ïî ïàðàáîëå øàðèê áóäåò H èìåòü ñêîðîñòü v , ðàâíóþ ïî ìîäóëþ ãîðèçîíòàëüíîé ïðîH åêöèè ñêîðîñòè v0 , ò.å. v = vx = v0 cos α =
Ðèñ. 213
=
2 2gr = 3 3
8 gr . 27
Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóåò, ÷òî â ýòîò ìîìåíò øàðèê äîëæåí íàõîäèòüñÿ îò òî÷êè À íà òàêîì ðàññòîÿíèè h2 ïî âåðòèêàëè, ÷òîáû v2 = 2gh2; îòñþäà h2 =
v2 4r 50r = , H2 = 2r h2 = . 2g 27 27
134. Äî âûñîòû H1 =
5l (òî÷êà Â) øàðèê áóäåò äâè6
ãàòüñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè ðàäèóñîì ëåå, äî âûñîòû H2 =
l (ðèñ. 214). Äà2
25l øàðèê áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ïàðà27
áîëå (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 133).
Ðèñ. 214
Ðèñ. 215
%"
135.  âåðõíåé òî÷êå À îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r H öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå a øàðèêà (ðèñ. 215) äîëæíî áûòü íå ìåíüøå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ v2 H g , ò.å. l g. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñêîðîñòü â r
òî÷êå À ðàâíà v =
2g (l − 2r ) ; îòñþäà
r=
2l 3l , èëè h = . 5 5
136. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îáîèõ øàðèêîâ â íà÷àëüíûé ìîìåíò îäèíàêîâà è ðàâíà mgl. Åñëè øàðèê ïîäâåøåí íà íåðàñòÿæèìîé íèòè, òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàñõîäóåòñÿ òîëüêî íà ñîîáùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêó. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ øàðèêà ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëèòñÿ íà îñíîâå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: mgl =
mv12 ; îòñþäà 2
v1 =
2gl . Åñëè øàðèê ïîäâåøåí íà ðåçèíîâîì øíóðå, òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïåðåõîäèò â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ òîëüêî ÷àñòè÷íî; äðóãàÿ ÷àñòü åå ïåðåõîäèò â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ äåôîðìàöèè ðåçèíîâîãî øíóðà.
Ïîýòîìó
mv22 < mgl, ò. å. v2 < v1. 2
137. à) Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äàåò 2mv12 = 2mgl; îòñþäà v1 = 2
2gl .
á) Äî îòêëîíåíèÿ ñòåðæíÿ ýíåðãèè øàðèêîâ 1 è 2 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 2
m v2 l mv22 è . + mg 22 2 2
Ïîñëå îòêëîíåíèÿ ïîëíàÿ ýíåðãèÿ îáîèõ øàðèêîâ ðàâíà 2mgl. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóåò, ÷òî l mv22 mv22 + + mg = 2mgl; 2 2 8
%#
îòñþäà ïîëó÷èì v2 =
12 gl . 5
138. Íà âåëîñèïåäèñòà äåéñòâóþò (ðèñ. 216): ñèëà òÿæåñH òè m g , ïðèëîæåííàÿ ê öåíòðó ìàññ âåëîñèïåäèñòà; ñèëà ðåàêKKH öèè îïîðû R (ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ ñèëå íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ), Ðèñ. 216 íàïðàâëåííàÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ H è ïðèëîæåííàÿ â òî÷êå À; ñèëà òðåíèÿ f , íàïðàâëåííàÿ ê öåíòðó êðóãà, ïî êîòîðîìó äâèæåòñÿ âåëîñèïåäèñò. KKH H Ñèëà òðåíèÿ f â ñóììå ñ ñèëîé ðåàêöèè îïîðû R äàåò ñèëó, íàïðàâëåííóþ âäîëü ëèíèè ÀÎ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ âåëîñèïåäèñòà. Ýòà ñèëà, ñêëàäûâàÿñü ñ ñèKH H ëîé m g , äàåò ðàâíîäåéñòâóþùóþ F (F = f), íàïðàâëåííóþ ãîðèçîíòàëüíî è äîñòàòî÷íóþ äëÿ îáåñïå÷åíèÿ öåíH v2 òðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ âåëîñèïåäèñòà a a = .
Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà F = mg tg α =
r
v2 mv2 ; îòñþäà tg α = , α = 16°42R. gr r
139. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âñåõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê âåëîñèïåäó, ðàâíà ñèëå òðåíèÿ (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 138). Òàê êàê íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ñèëû òðåíèÿ f = µmg, òî íàèìåíüøèé ðàäèóñ çàêðóãëåíèÿ áóäåò r =
v2 = 21,8 ì. µg
Íàèáîëüøèé óãîë íàêëîíà âåëîñèïåäèñòà îïðåäåëèòñÿ èç óñëîâèÿ f = µmg = mg tg α; îòñþäà tg α = µ, α = 16° 42R. 140. Ïðè äâèæåíèè âàãîíà ïî çàêðóãëåíèþ ãîðèçîíòàëüíîãî ïóòè äàâëåíèå íà âíåøíèé ðåëüñ âñåãäà áóäåò áîëüøå, ÷åì íà âíóòðåííèé; ýòà ðàçíèöà â äàâëåíèÿõ áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ñêîðîñòü âàãîíà. Ïðè ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîé ñêîðîñòè âàãîíà âñå äàâëåíèå âà %$
ãîíà öåëèêîì ïåðåíîñèòñÿ íà âíåøíèé ïî îòíîøåíèþ ê öåíòðó çàêðóãëåíèÿ ðåëüñ À. Ðåëüñ À ñîçäàåò äâå ñèëû: ñèëó ðåàêKKH öèè îïîðû R (R = mg) è ñèëó áîêîâîãî KH äàâëåíèÿ F ä . Ýòè ñèëû âìåñòå ñ ñèëîé òÿæåñòè è îáåñïå÷èâàþò ïîÿâëåíèå íåîáõîäèìûõ óñêîðåíèé ó âàãîíà. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. Ðèñ. 217 à) Âàãîí èäåò ïî çàêðóãëåíèþ ñî ñêîðîñòüþ v, ìåíüøåé êðèòè÷åñêîé; â ýòîì ñëó÷àå öåíòðîñKH H v2 òðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå a a = è ñèëà F ä ìàëû. Òî÷
r
êà ïðèëîæåíèÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ òðåõ ñèë ëåæèò KH âûøå öåíòðà ìàññ Î (ðèñ. 217). Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ F íå òîëüêî îáåñïå÷èâàåò ïîÿâëåíèå öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ, íî è ñòðåìèòñÿ ïîâåðíóòü âàãîí âîêðóã öåíòðà ìàññ ïî íàïðàâëåíèþ ÷àñîâîé ñòðåëêè è ïðèæàòü åãî ê ðåëüñó Â. Âàãîí óñòîé÷èâî èäåò ïî çàêðóãëåíèþ. á) Âàãîí èäåò ïî çàêðóãëåíèþ ñî ñêîðîñòüþ v, áîëüKH øåé êðèòè÷åñêîé; â ýòîì ñëó÷àå ñèëà F ä âåëèêà, òî÷êà ïðèëîæåíèÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé ëåæèò íèæå öåíòðà ìàññ. KH Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ F áóäåò ïîâîðà÷èâàòü âàãîí âîêðóã öåíòðà ìàññ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Âàãîí áóäåò îïðîêèäûâàòüñÿ. Óñòîé÷èâîå äâèæåíèå ñ òàêîé ñêîðîñòüþ íåâîçìîæíî. Ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âàãîíà ïî çàêðóãëåíèþ, î÷åâèäíî, áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü òàêîìó ñëó÷àþ, êîãäà òî÷êà ïðèëîæåíèÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ ñèë áóäåò ñîâïàäàòü ñ öåíòðîì ìàññ âàãîíà, ò. å. êîãäà Fä mg
=
mv2 l l , = ; îòñþäà v = 2h mgr 2h
%%
lgr = 31,3 ì/ñ. 2h
141. Ïðè èçìåðåíèè ïðîäîëüíîãî óêëîíà óðîâåíü áóäåò äàâàòü ïðàâèëüíûå ïîêàçàíèÿ òîëüêî ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè ïîåçäà. Ïðè èçìåðåíèè ïîïåðå÷íîãî óêëîíà ïîêàçàíèÿ óðîâíÿ áóäóò ïðàâèëüíûìè òîëüêî íà ïðÿìîëèíåéíûõ ó÷àñòêàõ ïóòè. 142. Íà ãðóç, ïîäâåøåííûé íà ïðóæèííûõ âåñàõ â âàãîíå ïîåçäà, äâèæóùåãîñÿ ïî çàêðóãëåíèþ, äåéñòâóþò äâå H Ðèñ. 218 ñèëû: ñèëà òÿæåñòè mg è ñèëà óïðóãîñKH òè ïðóæèíû F óïð (ðèñ. 218). Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ýòèõ KH H ñèë F ñîçäàåò öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå a v2 a = , íàïðàâëåííîå ãîðèçîíòàëüíî. Ïî âòîðîìó çàr
êîíó Íüþòîíà F = m
v2 . r
Èç ðèñóíêà ñëåäóåò, ÷òî 2
2 óïð
F
îòñþäà Fóïð =
mv2 = (mg) + r ; 2
mv2 (mg)2 + r
2
d 49,25 Í.
KH Ïðóæèííûå âåñû ïîêàçûâàþò ñèëó, ðàâíóþ F óïð ïî ìîäóëþ. 143. Ïðè îñóùåñòâëåíèè âèðàæà â ãîðèçîíòàëüíîé KH ïëîñêîñòè ïðîåêöèè ïîäúåìíîé ñèëû F íà êîîðäèíàòíûå îñè, íàïðàâëåííûå òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 219, ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè:
Fx = F sin α = Ðèñ. 219
mv2 , r
Fy = F cos α = mg; %&
îòñþäà íàõîäèì tg α =
v2 , α d 22°. gr
Ñ ó÷åòîì ýòîãî èìååì F=
Fx2 + Fy2 =
2
=
mv2 2 + (mg) d 3175 H. r
Ðèñ. 220
144. Öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå øàðèêà îáåñïåKH H ÷èâàåòñÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé F ñèëû òÿæåñòè mg è ñèëû KH KH H óïðóãîñòè íèòè F óïð : F = ma , ãäå a = ω2r (ðèñ. 220). Èç ðèñóíêà ñëåäóåò, ÷òî F = mω2r = mg tg α; çäåñü r = r1 + l sin α. Îòñþäà ω=
g tg α , r
èëè ω=
g tg α r1 + l sin α d 8 ðàä/ñ.
145. Ñèëîé, ñîîáùàþùåé øàðèêó öåíòðîñòðåìèòåëüKH íîå óñêîðåíèå, ÿâëÿåòñÿ ðàâíîäåéñòâóþùàÿ F ñèëû KH H òÿæåñòè m g è ñèëû óïðóãîñòè íèòè F óïð : KH KH H H F = mg + F óïð = ma . Ìîäóëü ðàâíîäåéñòâóþùåé ðàâåí F = mg tg α (ñì. ðåøåíèå çàäà÷ 142144), ìîäóëü óñêîðåíèÿ a = ω2r, r = l sin α. Ñ ó÷åòîì ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïîëó÷àåì: mg tg α = mω2 l sin α; îòñþäà ω2 = %'
g . l cos α
2π è l cos α = h ðàññòîÿíèå îò òî÷êè τ
Òàê êàê ω =
ïîäâåñà äî ïëîñêîñòè êðóãà, ïî êîòîðîìó äâèæåòñÿ øàh . Ýòî âûðàæåíèå àíàëîãè÷íî ôîðìóëå g
ðèê, òî τ = 2π
ïåðèîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíîé h. § 9. Ñòàòèêà 146. F = 0. 147. Âî âòîðîì ñëó÷àå ñèëà íàòÿæåíèÿ êàíàòà â äâà ðàçà áîëüøå. KH 148. Ñèëó òÿæåñòè F , äåéñòâóþùóþ íà ñòåðæåíü è ïðèëîæåííóþ ê åãî öåíòðó ìàññ, ìîæíî çàìåíèòü äâóìÿ ðàâíûKKH F ìè ñèëàìè , ïðèëîæåííûìè 2
ê êîíöàì ñòåðæíÿ.  ïåðâîì ñëó÷àå (ðèñ. 221) ñèëó
KKH F , 2
ïðèëîæåííóþ ê ñòåðæíþ â òî÷êå À, ðàçëîæèì íà äâå ñîñòàâ-
Ðèñ. 221
KH ëÿþùèå: F1 ñèëó, äåéñòâóþùóþ â íàïðàâëåíèè êàíàòà KH ÀÑ, è F 2 ñèëó, äåéñòâóþùóþ âäîëü ñòåðæíÿ è íàïðàâëåííóþ ê öåíòðó ìàññ ñòåðæíÿ. Èñïîëüçóÿ ïîäîáèå òðåóãîëüíèêà ñèë è òðåóãîëüíèêà ÀÎÑ, âû÷èñëèì ìîäóëè ñèëû KH KH KH KH óïðóãîñòè F óïð êàíàòà ( F óïð = F1 ) è ñèëû F 2 :
Fóïð = F2 =
Fl 2 l − L2 / 4 2
=
mgl 4l2 − L2
= 98 Í,
F L mgL 2 2 = = 58,8 H. 2 4l2 − L2 l2 − L2 / 4
&
KH KKH Ñèëà F 2 è ðàâíàÿ åé ïî ìîäóëþ ñèëà F2′ , ïðèëîæåííàÿ â òî÷êå Â, ñæèìàþò ñòåðæåíü ñ ñèëîé, ðàâíîé 58,8 Í. KH KH Ñèëà T , ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ F óïð è íàïðàâëåííàÿ â ïðîòèâîïîëîæíóþ åé ñòîðîíó, ðàñòÿãèâàåò êàíàò. Âî âòîðîì ñëó÷àå ñèëà íàòÿæåíèÿ êàíàòà áóäåò òàKH
KKH
êîé æå, êàê â ïåðâîì ñëó÷àå. Ñèëû F2 è F2′ áóäóò ðàñòÿãèâàòü ñòåðæåíü À ñ ñèëîé, ðàâíîé 58,8 Í. 149. T =
F α cos ; T > F ïðè α > 120°. 2 2
150. Q =
Fl ; Q = 2 êÍ. 4s
Ó ê à ç à í è å. Ñèëà îïðåäåëÿåòñÿ èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ OCB è ÎKÌ (ðèñ. 222). 151. Ò =
mg cos α . Ïðè èçìåíåíèè óãëà α 2
îò 0 äî 90° ñèëà íàòÿæåíèÿ êàíàòà Ò óìåíüøàåòñÿ îò
mg äî íóëÿ. 2
Ó ê à ç à í è å. Ñèëà íàòÿæåíèÿ T (T = Fóïð) îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ äîñêè. KH Ðèñ. 222 H Ñóììà ìîìåíòîâ ñèë F óïð è m g îòíîñèòåëüíî òî÷êè À äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ, ò. å. Fóïðl = =
mgl cos α , ãäå l = ÀÂ äëèíà äîñêè. 2
152. Ñèëà òÿæåñòè, äåéñòâóþùàÿ íà ñâåøèâàþùèéñÿ êîíåö áàëêè, ðàâíà
H mg è ïðèëîæåíà â 4
òî÷êå Î (ðèñ. 223). Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè Ñ: l mg l 3mg 3l =F + , 4 4 8 4 8
&
Ðèñ. 223
ãäå l äëèíà áàëêè; îòñþäà F
mg = F, èëè m = g = 300 êã. 153. Îáîçíà÷èì äëèíó ïëå÷ êîðîìûñëà âåñîâ ÷åðåç l1 è l2. Óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ ñèë äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî âçâåøèâàíèé: Pl1 = P1l2, Pl2 = P2l1. Èç ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé íàõîäèì Ð2 = Ð1Ð2, èëè Ð=
P1 P2 d 32 Í.
154. Ìîìåíò ñèëû, ñîçäàâàåìûé ãðóçîì, M1 =
Pl . 2
KH Ìîìåíò ñèëû F , ñ êîòîðîé ÷åëîâåê òÿíåò âåðåâêó,
Ì2 =
Fl cos α . Ñèëà äàâëåíèÿ ÷åëîâåêà íà ÷àøó âåñîâ 4
ðàâíà P F cos α, è ìîìåíò ýòîé ñèëû M3 =
P − F cos α l. 2
Ñóììà ìîìåíòîâ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ïðàâîå ïëå÷î êîðîìûñëà âåñîâ, M2 + M3 =
Fl cos α l + (P F cos α) . 2 4
Î÷åâèäíî, ÷òî Ì1 > Ì2 + Ì3; ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåòÿíåò ëåâàÿ ÷àøà. 155. Ðàñòÿãèâàþùàÿ ñèëà Fð = F cos α d 866 Í. Èçãèáàþùàÿ ñèëà Fè = F sin α = 500 H. 156. Òàê êàê êèðïè÷è îäíîðîäíû, òî òî÷êà ïðèëîæåíèÿ ñèëû òÿæåñòè êàæäîãî èç êèðïè÷åé áóäåò ëåæàòü ïîñåðåäèíå åãî äëèíû. Ïåðâûé âåðõíèé êèðïè÷ åùå áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè ïî îòíîøåíèþ êî âòîðîìó êèðïè÷ó, êîãäà öåíòð ìàññ åãî ðàñïîëîæåí íà ïðîäîëæåíèè ëèíèè ñðåçà âòîðîãî êèðïè÷à, ò. å. íàèáîëüøàÿ äëèíà ñâîáîäíîãî êîíöà ïåðâîãî êèðïè÷à ðàâíà l/2. Öåíòð ìàññ ïåðâîãî è âòîðîãî êèðïè÷åé, âçÿòûõ âìåñòå, áóäåò ðàñïîëîæåí îò êðàÿ âòîðîãî êèðïè÷à íà ðàñ &
C
l . Íà ýòó äëèíó è 4
ñòîÿíèè, ðàâíîì
ìîæåò áûòü ñäâèíóò âòîðîé êèðïè÷ îòíîñèòåëüíî òðåòüåãî. Öåíòð ìàññ òðåõ êèðïè÷åé íàõîäèòñÿ íà ëèíèè ÀÑ, åãî ïîëîæåíèå îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ (ðèñ. 224) l
mg 2 − x = 2mgx; îòñþäà õ =
A
mg x 2 mg
mg
3mg Ðèñ. 224
l , 6
ò. å. òðåòèé êèðïè÷ ìîæåò âûñòóïàòü íàä ÷åòâåðòûì íå áîëåå ÷åì íà
1 ñâîåé äëèíû. 6
157. Ðàâíîâåñèå íàðóøèòñÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû âîññòàíîâèòü ðàâíîâåñèå, íåîáõîäèìî ê ïðàâîìó êîíöó áàëêè ïðèëîæèòü ñèëó F =
mg . 4
158. Ñèëà F îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ ñèë îòíîñèòåëüíî íèæíåãî êîíöà ëåñòíèöû: mgh tg α =
2mgh sin α Fl cos α; îòñþäà F = . l 2 cos2 α
159. Âî âòîðîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü âäâîå ìåíüøóþ ñèëó. 160. ×òîáû áðóñîê íàõîäèëñÿ â ðàâíîâåñèè íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà íåãî, áûëà ðàâíà íóëþ. Äåéñòâóþùèìè ñèëàH ìè ÿâëÿþòñÿ ñèëà òÿæåñòè m g , ñèëà H
KKH
Y R
ðåàêöèè îïîðû R , ñèëà òðåíèÿ f è KH èñêîìàÿ ñèëà F (ðèñ. 225): KH H KKH H m g + R + f + F = 0.
(1)
Çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â ïðîåêöèÿõ íà îñè X è Y: mgx + Rx + fx + Fx = 0; (2) mgy + Ry + fy + Fy = 0. &!
f F X mg
Ðèñ. 225
Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî mg x = mg sin α, Rx = 0, fx = f, Fx = 0, mgy = mg cos α, Ry = R, fy = 0, Fy = F. Ñ ó÷åòîì ýòîãî óðàâíåíèÿ (2) ïðèìóò âèä: mg sin α f = 0; mg cos α + R F = 0. Îòñþäà âûðàæàåì f è R: f = mg sin α, R = mg cos α + F. Íî f = µR, ñëåäîâàòåëüíî, mg sin α = µ(mg cos α + F). Îòñþäà F=
mg µ
h l2 − h 2 −µ l l
d 13,7 H.
(Ìû ó÷ëè, ÷òî sin α = h/l, à cos α = l2 − h2 / l .) 161. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîäíÿòü áðåâíî íà âûñîòó h, íåîáõîäèìî âûáðàòü êàæäóþ èç âåðåâîê íà äëèíó 2l. Íà îñíîâàíèè çîëîòîãî ïðàâèëà ìåõàíèêè mgh = 2(Fóïð2l), ãäå mgh ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè, F óïð2l ðàáîòà ñèëû óïðóãîñòè, äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû îäíîãî êàíàòà (T = Fóïð òðåòèé çàêîí Íüþòîíà); îòñþäà Ò =
mgh d 4l
d 490 Í. Çàäà÷ó ìîæíî òàêæå ðåøèòü, ðàññìàòðèâàÿ ðàâíîâåñèå ñèë, ïðèëîæåííûõ ê áðåâíó.
162. Ñèëà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû äèôôåðåíöèàëüíûé âîðîò áûë â ðàâíîâåñèè, ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èç óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ ñèë èëè íà îñíîâàíèè çîëîòîãî ïðàâèëà ìåõàíèêè. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ äàåò mg mg r1 + Fl = r; 2 2 2
îòñþäà F = mg
r2 − r1 = 24,5 Í. 2l
&"
163. h = nπ(r2 r1) = 3,14 ì. 164. F =
mg . Ó ê à ç à í è å. Ñèëà F ìîæåò áûòü 3
îïðåäåëåíà ñ ïîìîùüþ çîëîòîãî ïðàâèëà ìåõàíèêè è èç ðàññìîòðåíèÿ óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèë. Åñëè êîíåö êàíàòà  ïðèêðåïëåí íà ðàññòîÿíèè l îò öåíòðà ìàññ áðåâíà, òî êîíåö êàíàòà Ñ äîëæåí áûòü ïðèêðåïëåí íà ðàññòîÿíèè 2l îò íåãî. Ïðè ýòîì óñëîâèè òî÷êà ïðèëîæåíèÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèë íàòÿæåíèÿ KH KH êàíàòîâ F è 2 F áóäåò ñîâïàäàòü ñ öåíòðîì ìàññ è áðåâíî áóäåò ïîäíèìàòüñÿ, îñòàâàÿñü ãîðèçîíòàëüíûì. H 165. Íà ãðóç 1 äåéñòâóåò ñèëà òÿæåñòè m1 g , ñèëû óïðóãîñòè íèòåé, ðàâíûå ïî ìîäóëþ m2g è m3g, è ñèëà KKH ðåàêöèè íàêëîííîé ïëîñêîñòè R , ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ ñèëå KH äàâëåíèÿ F ä . Óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ èìåþò âèä (ò1 m2)g cos α = R, (m1 m2)g sin α = m3g; îòñþäà m3 = (m1 m2) sin α, Fä = R = (m1 m2)g cos α. 166. Åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî ðàâíîH H äåéñòâóþùàÿ ïðèëîæåííûõ â òî÷êå À ñèë m2 g è m1 g H äîëæíà áûòü ðàâíà ïî ìîäóëþ ñèëå m3 g , ò. å. m3 =
(m2 g)2 − (m1g)2 g
m1
d 15 êã; cos α = m , α d 56°. 2
Çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü èíà÷å. Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ñóììà ïðîåêöèé ñèë â ëþáîì íàïðàâëåíèè äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ, ìîæíî çàïèñàòü m2g cos α = m1g, m2g sin α = m3g, îòêóäà îïðåäåëÿþòñÿ ò3 è α. 167. ò2 =
m1 . Åñëè òî÷êó À ïåðåìåñòèòü âïðàâî, òî 2
ðàâíîâåñèå íàðóøèòñÿ: ãðóç 1 áóäåò îïóñêàòüñÿ, ãðóç 2 &#
ïîäíèìàòüñÿ. Ó ê à ç à í è å. Ðåçóëüòàò ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èç çîëîòîãî ïðàâèëà ìåõàíèêè èëè èç ðàññìîòðåíèÿ ñóììû ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ïîäâèæíûé áëîê. 168. ×òîáû ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ðàâíîâåñèè, íåîáH H õîäèìî, ÷òîáû ìîìåíòû ñèë m1 g è m2 g áûëè ðàâíû: M1 = m1gl = M2 =
m2 gl ; îòñþäà m2 = 3m1 = 9 êã. 3
Åñëè ñòåðæåíü îòêëîíèòü íà ìàëûé óãîë α îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ââåðõ (ðèñ. 226), òî ïðîèçîéäåò íåîäèíàêîâîå èçìåíåíèå ìîìåíòîâ H H ñèë m2 g è m1 g . Ïîñëå ïîâîH ðîòà ìîìåíò ñèëû m2 g áóäåò M′2 =
m2 gl cos α , ò. å. M′2 < Ì2. 3
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ýòî èçìåíåíèå ìîìåíòà M2 îáóñÐèñ. 226 ëîâëåíî òîëüêî èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ ñòåðæíÿ. Ïðè ïîâîðîòå ñòåðæíÿ íà óãîë α ïðîèñõîäèò òàêæå è èçìåíåKH íèå íàïðàâëåíèÿ ñèëû óïðóãîñòè F óïð (Fóïð = m1g) íà KH óãîë β, ïîýòîìó ìîìåíò ñèëû F óïð ïîñëå ïîâîðîòà áóäåò M′1 = m1gl cos (α + β). Ha èçìåíåíèå ìîìåíòà M1 âëèÿþò îáà ïîâîðîòà (ñòåðæíÿ è íèòè) è ïðèòîì îäèíàêîâûì îáðàçîì, ïîýòîìó óìåíüøåíèå M1 ïðè çàäàííîì ïîâîðîòå ñòåðæíÿ âñåãäà áóäåò áîëüøå óìåíüøåíèÿ M2. Ðåçóëüòèðóþùèé ìîìåíò M′2 M′1 ≠ 0 è áóäåò âûçûâàòü âðàùåíèå ñòåðæíÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ñòåðæåíü áóäåò ñòðåìèòüñÿ âåðíóòüñÿ â ãîðèçîíòàëüíîå ïîëîæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå óñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ. Ðàññìàòðèâàÿ èçìåíåíèå ìîìåíòîâ M1 è Ì2 ïðè îòêëîíåíèè ñòåðæíÿ âíèç è ó÷èòûâàÿ òàêæå èçìåíåíèå &$
KH íàïðàâëåíèÿ ñèëû F óïð , ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî è ïðè îòêëîíåíèè âíèç ñòåðæåíü áóäåò ñòðåìèòüñÿ âåðíóòüñÿ â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. 169. Öåíòð ìàññ ñèñòåìû ëåæèò íà ñåðåäèíå áèññåêòðèñû óãëà, â âåðøèíå êîòîðîãî íàõîäèòñÿ øàðèê ìàññîé 2ò. 170. Ñèëà òÿæåñòè, äåéñòâóþùàÿ íà äèñê äî âûðåçàíèÿ îòâåðñòèÿ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ðàâíîäåéñòâóþùàÿ äâóõ ñèë: ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâîâàâøåé íà âûðåçàííóþ ÷àñòü, è ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà îñòàâøóþñÿ ÷àñòü; êàæäàÿ èç ýòèõ ñèë ïðèëîæåíà â öåíòðå ìàññ ñîîòâåòñòâóþùåé ôèãóðû. Ýòî ïîçâîëÿåò ñâåñòè ðåøåíèå çàäà÷è î íàõîæäåíèè öåíòðà ìàññ ñëîæíîé ôèãóðû, îñòàþùåéñÿ ïîñëå âûðåçàíèÿ îòâåðñòèÿ, ê ðåøåíèþ çàäà÷è îá îòûñêàíèè îäíîé èç ïàðàëëåëüíûõ ñèë ïî çàäàííîé ðàâíîäåéñòâóþùåé è äðóãîé ïàðàëëåëüíîé ñèëå. H Ñèëà òÿæåñòè m g , äåéñòâóþùàÿ íà îäíîðîäíûé ñïëîøíîé äèñê, ïðîïîðöèîíàëüíà r2 è ïðèëîæåíà â öåíòðå H äèñêà O. Ñèëà òÿæåñòè m1 g , äåéñòâîâàâøàÿ íà âûðåçàííóþ ÷àñòü äèñêà, ïðîïîðöèîíàëüíà r12 è ïðèëîæåíà â Ðèñ. 227 öåíòðå îòâåðñòèÿ À (ðèñ. 227). Ñèëà H òÿæåñòè m 2 g , äåéñòâóþùàÿ íà îñòàâøóþñÿ ÷àñòü H H äèñêà, ðàâíà ðàçíîñòè mg m1 g è ïðèëîæåíà â íåêîòîðîé òî÷êå Â, ðàñïîëîæåííîé íà ðàññòîÿíèè õ îò òî÷êè Î. Èç ïðàâèëà ñëîæåíèÿ ïàðàëëåëüíûõ ñèë ñëåäóåò, ÷òî
ðàññòîÿíèÿ x è
r H H îò òî÷åê ïðèëîæåíèÿ ñèë m1 g è m2 g 2
äî òî÷êè Î äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ m1g x /2 = m2 g . r
&%
Çàìå÷àÿ, ÷òî
m1g m1g r2 = = 2 1 2 , ïîëó÷èì mg − m1g r − r1 m2 g 2
rr1 2x r2 = 2 1 2 ; îòñþäà x = 2(r 2 − r 2 ) . r r − r1 1
§ 10. Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ 171. F =
GMm = 21020 Í, ãäå ãðàâèòàöèîííàÿ ïîr2
ñòîÿííàÿ G = 6,671011 Íì2/êã2. 172. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî îäèí èç ãðóçîâ íàõîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè, òî ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ ñèë ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà ãðóçû ñî ñòîðîíû Çåìëè, ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: F1 = G ãäå M =
Mm Mm , F2 = G ( R + l)2 , R2
4 πρR3 ìàññà Çåìëè (R ðàäèóñ Çåìëè), 3
m ìàññà ãðóçà. Ðàçíîñòü F1 F2 îïðåäåëÿåò îøèáêó âçâåøèâàíèÿ: ∆mg = F1 F2 =
2Rl + l2 4π GρmR3 2 . R ( R + l)2 3
Òàê êàê l n R, òî â ÷èñëèòåëå ïîëó÷åííîé ôîðìóëû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîì l2, ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ 2Rl, è ïîëîæèòü â çíàìåíàòåëå R + l d R.  ðåçóëüòàòå èìååì ∆ mg =
3∆mg 4π Gρm2l; îòñþäà l = 8πGρm d 3 ì. 3
173. Òàê êàê íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, òî ïðåäïîëîæèì, ÷òî Çåìëÿ îáðàùàåòñÿ âîêðóã Ñîëíöà ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r. Öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå Çåìëè â ýòîì &&
äâèæåíèè, îáåñïå÷èâàåìîå ñèëîé âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, a=
v2 4π2r 2 4π2r = = . r rT 2 T2
Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà F = Ma = ãäå M =
4π2 Mr , T2
4 πρR3 ìàññà Çåìëè. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå Ì, 3
ïîëó÷èì äëÿ ñèëû ïðèòÿæåíèÿ Ñîëíöà âûðàæåíèå F=
16π3 ρR 3r d 41022 H. T2 3
174. Âåñ òåë, íàõîäÿùèõñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, îáðàòèòñÿ â íóëü ïðè òàêîé óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ Çåìëè ω, ïðè êîòîðîé öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ω2R (R ðàäèóñ Çåìëè), ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîé óãëîâîé ñêîðîñòè, áóäåò ðàâíî óñêîðåíèþ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåë g, ò. å. ïðè ω2R = g; îòñþäà ω =
g d 1,3103 ðàä/ñ. R
Çíà÷åíèå èñêîìîé óãëîâîé ñêîðîñòè ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî òàêæå èç çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ è âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà. Ñèëà òÿãîòåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî ñî ñòîðîíû Çåìëè, F =
4 πGρRm, ãäå ρ ïëîòíîñòü Çåì3
ëè, ò ìàññà òåëà.  ñëó÷àå, êîãäà âåñ òåëà íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè îáðàùàåòñÿ â íóëü, óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âìåñòå ñ Çåìëåé ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω, èìååò âèä 4 πGρ πGρRm = mω2R; îòñþäà ω = 2 d 1,3103 ðàä/ñ. 3 3
(Åñëè Çåìëÿ âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ, ìåíüøåé íàéäåííîãî çíà÷åíèÿ, òî â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà íóæíî ââåñòè, ïîìèìî ñèëû âñå &'
ìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, ñèëó ðåàêöèè îïîðû, ðàâíóþ ïî ìîäóëþ âåñó òåëà.) 175. Ì =
ω2r 3 ; M d 21027 ò. G
Ó ê à ç à í è å. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóåò íàïèñàòü óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ äâèæåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà. 176. g1 g2 =
8πGρh ; g1 g2 d 7 ñì/ñ2. 3
Ó ê à ç à í è å. Ïóòü ðåøåíèÿ è õàðàêòåð óïðîùåíèé àíàëîãè÷íû ðåøåíèþ çàäà÷è 172. 177. Êîãäà â ñåâåðíîì ïîëóøàðèè íàñòóïàåò çèìà, Çåìëÿ â ñâîåì äâèæåíèè âîêðóã Ñîëíöà ïðîõîäèò òî÷êè îðáèòû, ëåæàùèå âáëèçè ïåðèãåëèÿ. Ëåòîì Çåìëÿ ïðîõîäèò ó÷àñòêè îðáèòû, ðàñïîëîæåííûå â àôåëèè. Òàê êàê â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíàìè Êåïëåðà ðàäèóñ-âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé Ñîëíöå ñ Çåìëåé, çà ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè äîëæåí îïèñûâàòü ðàâíûå ïëîùàäè, òî çèìîé ïðè ïðîõîæäåíèè ó÷àñòêà À îðáèòû (ðèñ. 228) Çåìëÿ äîëæíà äâèãàòüñÿ ñ áîëüøåé ëèíåéíîé ñêîðîñòüþ, ÷åì ëåòîì, ïðè ïðîõîæäåíèè ó÷àñòêà CD. 178. Êîãäà òåëî íàõîäèòñÿ îò öåíòðà Çåìëè íà ðàññòîÿíèè r, ìåíüøåì ðàäèóñà çåìíîãî øàðà R, ñèëà òÿãîòåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà íåãî ñî ñòîðîíû Çåìëè, ìîæåò áûòü B S C ïðåäñòàâëåíà êàê ñóììà äâóõ ñèë: ñèëû òÿãîòåíèÿ, ñîçäàâàåD ìîé øàðîì ðàäèóñîì r, è ñèëû A òÿãîòåíèÿ, ñîçäàâàåìîé øàðîÐèñ. 228 âûì ñëîåì, çàêëþ÷åííûì ìåæäó ñôåðàìè ðàäèóñàìè R è r (ðèñ. 229). Ïîêàæåì, ÷òî ñèëà, ñîçäàA R âàåìàÿ òàêèì ñëîåì, ðàâíà íóëþ r äëÿ âñåõ òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòO ðè ñôåðû ðàäèóñîì r. Ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþÐèñ. 229 ùàÿ ñî ñòîðîíû øàðîâîãî ñëîÿ '
{
S1 íà òåëî, ïîìåùåííîå â íåêîòîðîé òî÷êå Ñ (ðèñ. 230), áóäåò ÿâëÿòüñÿ âåêòîðíîé ñóìa ìîé ñèë ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìûõ îòäåëüC íûìè ýëåìåíòàìè øàðîâîãî ñëîÿ. Ñîïîñb òàâèì ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìûå ìàëûìè ýëåìåíòàìè S1 è S2, âûðåçàííûìè S2 èç ñëîÿ îäèíàêîâûìè êîíóñàìè ñ âåðøèíîé â òî÷êå Ñ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ðèñ. 230 Òàê êàê òîëùèíà ñëîÿ ïî ïðåäïîëîæåíèþ âñþäó îäèíàêîâà, òî îáúåìû, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìàññû ýòèõ ýëåìåíòîâ áóäóò ïðîïîðöèîíàëüíû êâàäðàòàì èõ ðàññòîÿíèé äî òî÷êè Ñ, ò.å.
{
m1 a2 = . m2 b2
Ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìàÿ ýëåìåíòîì S1: f1 =
Gmm1 , a2
ãäå ò ìàññà òåëà. Ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìàÿ ýëåìåíòîì S2: f2 = Òàê êàê
Gmm2 . b2
m1 a2 = 2 , òî îòíîøåíèå ýòèõ ñèë m2 b m1b2 f1 = = 1, ò. å. f1 = f2. m2a2 f2
Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ëþáûõ äâóõ äðóãèõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ øàðîâîãî ñëîÿ, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âñå îíè ïîïàðíî êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà òÿãîòåíèÿ, ñîçäàâàåìàÿ øàðîâûì ñëîåì â öåëîì, äîëæíà áûòü òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ äëÿ ëþáîé òî÷êè Ñ, ëåæàùåé âíóòðè ñôåðû ðàäèóñîì r. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ïåðåìåùàþùååñÿ âíóòðè Çåìëè, áóäåò ðàâíà ñèëå ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìîé øàðîì ðàäèóñîì r, ðàâíûì ðàññòîÿíèþ îò òåëà äî öåíòðà Çåìëè. Ýòà ñèëà ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òàê æå, êàê è ñèëà, '
äåéñòâóþùàÿ íà òåëà, íàõîäÿùèåñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç ρ ïëîòíîñòü Çåìëè è ÷åðåç m ìàññó òåëà, òî ñèëà ïðèòÿæåíèÿ F=G
4π m ⋅ 4πρr 3 = Gρmr, 3 3r 2
ò.å. ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà âíóòðè Çåìëè îò ïîâåðõíîñòè ê öåíòðó íà íåãî äåéñòâóåò ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, óáûâàþùàÿ ïðîïîðöèîíàëüíî åãî ðàññòîÿíèþ äî öåíòðà Çåìëè. § 11. Êîëåáàíèÿ 179. Ïðè ïðàâèëüíîì õîäå ìàÿòíèê ÷àñîâ â òå÷åíèå ñóòîê äîëæåí äåëàòü N =
24 ⋅ 60 ⋅ 60 êîëåáàíèé (Ò1 ïåT1
ðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà). Åñëè ïîñëå ïåðåíîñà ÷àñîâ ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ñòàë ðàâíûì Ò2, òî îòñòàâàíèå ÷àñîâ çà ñóòêè ∆τ = N(T2 T1). Ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà äî ïåðåíîñà ÷àñîâ T1 = 2π
l g1 ,
ãäå g1 óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà âûñîòå ïîäâàëà. Ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ïîñëå ïåðåíîñà ÷àñîâ T2 = 2π
l g2 ,
ãäå g2 óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà âûñîòå âåðõíåãî ýòàæà çäàíèÿ. Îòíîøåíèå ïåðèîäîâ T1 T2 =
g2 g1 .
Èç çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî =
g2 = g1
R2 , ãäå R ðàäèóñ Çåìëè, h âûñîòà çäàíèÿ. ( R + h)2
'
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî T2 =
h R+h T1, T2 T1 = T. R 1 R
Îòñòàâàíèå ÷àñîâ çà ñóòêè ∆τ = 180.
Nh T1 = 2,7 ñ. R
N2 4 l1 = 22 = . 9 N1 l2
181. Ìàÿòíèê íå áóäåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèé. 182. Ìàÿòíèê ïðè ñêàòûâàíèè òåëåæêè ñîâåðøàåò îäíîâðåìåííî äâà äâèæåíèÿ: ïîñòóïàòåëüíîå óñêîðåííîå äâèæåíèå âìåñòå ñ òåëåæêîé îòíîñèòåëüíî Çåìëè è êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî òåëåæêè. Óñêîðåíèå ìàÿòíèêà â ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåKKH íèè îáóñëîâëèâàåòñÿ ñîñòàâëÿþùåé F1 ñèëû òÿæåñòè (F1 = mg sin α), äåéñòâóþùåé âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 231). Ýòà ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òÿæåñòè ïðè äàííûõ â çàäà÷å óñëîâèÿõ íå ìîæåò èçìåíÿòü ðàñïîëîæåíèå ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî òåëåæêè (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 181), à ñëåäîâàòåëüíî, íå ìîæåò âëèÿòü íà ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî òåëåæêè áóäóò KKH âûçûâàòüñÿ òîëüêî äåéñòâèåì ñîñòàâëÿþùåé F2 ñèëû òÿæåñòè (F2 = mg cos α), ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ò. å. êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà áóäóò ïðîèñõîäèòü òàê, êàê åñëè áû íà íåãî äåéñòâîâàëà ñèëà òÿæåñòè, ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ íå mg, a mg cos α. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, F1 êîòîðîå ñîîòâåòñòâîâàëî áû òàêîìó çíà÷åíèþ ñèëû òÿæåñòè, äîëæíî èìåòü çíà÷åíèå g cos α. F2 mg  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà íà äâèÐèñ. 231 '!
æóùåéñÿ ñ óñêîðåíèåì òåëåæêå äîëæåí áûòü ðàâåí T = 2π
l = g cos α
T0 cos α
.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà âî âðåìÿ ñêàòûâàíèÿ òåëåæêè ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñòàíîâèòñÿ áîëüøå. 183. Êîãäà êîëåáëþùååñÿ òåëî (ìàÿòíèê, ãðóç íà ïðóæèíêå, ïåñ÷èíêà íà êîëåáëþùåéñÿ ìåìáðàíå) ïðîõîäèò ïîëîæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå íàèáîëüøåìó îòêëîíåíèþ åãî îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, îíî èìååò íàèáîëüøåå óñêîðåíèå. Êîãäà îíî ïðèáëèæàåòñÿ ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ, óñêîðåíèå ïîñòåïåííî óìåíüøàåòñÿ è îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òàê êàê â ýòîò ìîìåíò îáðàùàåòñÿ â íóëü âåêòîðíàÿ ñóììà ñèë, âîçâðàùàþùèõ òåëî â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Òàê êàê âðåìÿ ïåðåõîäà òåëà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ïîëîæåíèå íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ ïðè çàäàííîì ïåðèîäå êîëåáàíèé îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïðè âñåõ àìïëèòóäàõ, à ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé òåëî ïðîõîäèò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ðàñòåò âìåñòå ñ àìïëèòóäîé, òî ïðè çàäàííîì ïåðèîäå êîëåáàíèé óñêîðåíèÿ òåëà â êðàéíèõ ïîëîæåíèÿõ äîëæíû òàêæå ðàñòè âìåñòå ñ àìïëèòóäîé. (Ðàçíûå ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè äîëæíû îáðàòèòüñÿ â íóëü çà îäíî è òî æå âðåìÿ.) Ñëåäîâàòåëüíî, ïåñ÷èíêè, íàõîäÿùèåñÿ â ìåñòàõ ìåìáðàíû ñ ìåíüøåé àìïëèòóäîé êîëåáàíèé, áóäóò èìåòü ìåíüøèå óñêîðåíèÿ, ÷åì ïåñ÷èíêè, íàõîäÿùèåñÿ â ìåñòàõ ìåìáðàíû ñ áîëüøåé àìïëèòóäîé êîëåáàíèé. Óñêîðåíèå ïåñ÷èíîê â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îáåñïåH ÷èâàåòñÿ ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè m g è KH ñèëû äàâëåíèÿ ìåìáðàíû F .  òîò ìîìåíò, êîãäà ïåñ÷èíêà âìåñòå ñ ìåìáðàíîé ïðîõîäèò ñàìîå âåðõíåå ïîH ëîæåíèå, óñêîðåíèå ïåñ÷èíêè a íàïðàâëåíî âíèç è èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå. Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ ýòîãî ìîìåíòà èìååò âèä mg F = òà. '"
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîé àìïëèòóäå êîëåáàíèé óñH êîðåíèå a ìîæåò ñòàòü ðàâíûì ïî ìîäóëþ óñêîðåíèþ H ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g , è ïðè ýòîé àìïëèòóäå ñèëà äàâKH ëåíèÿ F ïåñ÷èíêè íà ìåìáðàíó îáðàòèòñÿ â íóëü. Ïðè äàëüíåéøåì ðîñòå àìïëèòóäû ñèëû òÿæåñòè áóäåò íåäîñòàòî÷íî äëÿ ñîîáùåíèÿ ïåñ÷èíêå óñêîðåíèÿ à > g. Ïåñ÷èíêà íå áóäåò óñïåâàòü ñëåäîâàòü çà äâèæåíèåì ìåìáðàíû, îòîðâåòñÿ îò íåå è áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ â ìåñòà ìåìáðàíû ñ ìàëûìè àìïëèòóäàìè êîëåáàíèé, ãäå à < g. Òàê êàê àìïëèòóäà êîëåáàíèé, ïðè êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ îòðûâ ïåñ÷èíîê, ñâÿçàíà òîëüêî ñ óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, òî ìàññà ïåñ÷èíîê íå áóäåò âëèÿòü íà õàðàêòåð èõ ïîâåäåíèÿ. Ïðè êîëåáàíèÿõ ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé, íî ñ ðàçíîé ÷àñòîòîé òåëî äîëæíî ïðîõîäèòü îäèí è òîò æå ïóòü â òå÷åíèå ðàçíîãî âðåìåíè. Ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé òåëî ïðîõîäèò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, âîçðàñòàåò, âðåìÿ ïåðåõîäà òåëà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ïîëîæåíèå íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ óìåíüøàåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, óñêîðåíèÿ òåëà â êðàéíèõ ïîëîæåíèÿõ ïðè êîëåáàíèÿõ ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé äîëæíû âîçðàñòàòü âìåñòå ñ ÷àñòîòîé êîëåáàíèé. Îòðûâ ïåñ÷èíîê ïðè êîëåáàíèÿõ ñ áîëüøåé ÷àñòîòîé áóäåò íà÷èíàòüñÿ ïðè ìåíüøèõ àìïëèòóäàõ, ÷åì îòðûâ ïðè êîëåáàíèÿõ ñ ìàëîé ÷àñòîòîé. 184. Íà àðåîìåòð, ïîãðóæåííûé â æèäêîñòü, äåéñòâóKH H þò: ñèëà òÿæåñòè m g è âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà F , êîòîðàÿ çàâèñèò îò îáúåìà ïîãðóæåííîé ÷àñòè àðåîìåòðà. Ïðè ðàâíîâåñèè àðåîìåòðà ýòè äâå ñèëû ðàâíû äðóã äðóãó ïî ìîäóëþ. Äîïóñòèì, ÷òî àðåîìåòð ïîãðóçèëè â æèäêîñòü íà ðàññòîÿíèå h íèæå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà áóäåò áîëüøå ñèëû òÿæåñòè íà âåëè÷èíó ρghS è áóäåò ñòðåìèòüñÿ âîçâðàòèòü àðåîìåòð â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà áóäåò ñî '#
îáùàòü àðåîìåòðó óñêîðåíèå à =
ρghS . Àðåîìåòð íà÷m
íåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé, ðàâíîé h. Ïðè çàäàííîé àìïëèòóäå êîëåáàíèé áîRëüøèì óñêîðåíèÿì â ïîëîæåíèè íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ êîëåáëþùåãîñÿ òåëà ñîîòâåòñòâóþò áîRëüøèå ÷àñòîòû êîëåáàíèé (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 183). Ïðè óâåëè÷åíèè ìàññû àðåîìåòðà óñêîðåíèå åãî áóäåò óìåíüøàòüñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, áóäåò óìåíüøàòüñÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé. Ïðè óìåíüøåíèè äèàìåòðà òðóáêè ÷àñòîòà áóäåò òàêæå óìåíüøàòüñÿ, ïðè óâåëè÷åíèè ïëîòíîñòè æèäêîñòè ðàñòè. 185. Ñî ñòîðîíû êàæäîãî èç âàëèêîâ íà äîñêó áóäóò äåéñòâîâàòü ñèëû òðåíèÿ f1 = µFä1 è f2 = µFä2, ãäå Fä1 è Fä2 ìîäóëè ñèë äàâëåíèÿ äîñêè íà ñîîòâåòñòâóþùèå KH KH âàëèêè (Fä1 = R1; Fä2 = R2). Ñèëû f1 è f2 íàïðàâëåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 232. Åñëè öåíòð ìàññ äîñêè ñìåñòèòü îò ñðåäíåé ëèíèè ÎÎ KKKH KKKH íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå õ, òî ñèëû Fä1 è Fä2 , à ñëåäîâàKH KH òåëüíî, è ñèëû f1 è f2 íå áóäóò ðàâíû äðóã äðóãó. Òàê êàê äîñêà íå ìîæåò ñîâåðøàòü äâèæåíèé â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè, òî Fä1 = R1 =
l+x l−x mg; Fä2 = R2 = mg, 2l 2l
ò.å. Fä1 > Fä2 è, ñëåäîâàòåëüíî, f1 > f2. KH KH Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë f1 è f2 ðàâíà ïî ìîäóëþ f =
Ðèñ. 232
µmgx è íàl
ïðàâëåíà â ñòîðîíó ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Äîñêà áóäåò ñòðåìèòüñÿ âîçâðàòèòüñÿ â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Òàêèì îáðàçîì, çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ñèë òðåíèÿ âîçíèêíóò êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ äîñêè. '$
§ 12. Ãèäðî- è àýðîñòàòèêà p0
186. h = ρ g d 10,2 ì. 0 Ó ê à ç à í è å. Âîäà áóäåò ïîäíèìàòüñÿ çà ïîðøíåì äî òåõ ïîð, ïîêà äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ñòîëáîì âîäû, íå ñòàíåò ðàâíûì àòìîñôåðíîìó. 187. p0 = p + ρ0gh; p0 d 2,11 ÌÏà. 188. F = ρ0ghS d 14,7 H. 189. p0 = p 190. ρ =
F ; p0 d 100 êÏà. πr 2
h0ρ0 = 8,3102 êã/ì3. h
191. Äàâëåíèå íà îòäåëüíûå ýëåìåíòû áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ñîñóäà (èçìåðÿåìîå âûñîòîé ñòîëáà æèäêîñòè) èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî ρgh ïðîïîðöèîíàëüíî ðàññòîÿíèþ ýòèõ ýëåìåíòîâ îò ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Ïîýòîìó äëÿ ðàñ÷åòà ïîëíîé ñèëû äàâëåíèÿ íà áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ñëåäóåò âçÿòü ñðåäíåå çíà÷åíèå äàâëåíèÿ, ðàâíîå
ρgh . Ñèëà äàâëåíèÿ íà áîêîâóþ ïî2
âåðõíîñòü ñîñóäà ïðîïîðöèîíàëüíà 2πrh
h . Ñèëà äàâ2
ëåíèÿ íà äíî ñîñóäà ïðîïîðöèîíàëüíà πr2h. Èç ðàâåíñòâà ýòèõ ñèë ïîëó÷èì, ÷òî h = r. 192. Äàâëåíèå â òðóáêå íà óðîâíå êðàíà A áóäåò ìåíüøå àòìîñôåðíîãî. Ïîýòîìó ïðè îòêðûâàíèè êðàíà àòìîñôåðíîå äàâëåíèå íå ïîçâîëèò âûëèâàòüñÿ æèäêîñòè. ×åðåç êðàí À â òðóáêó áóäåò ïîñòóïàòü âîçäóõ äî òåõ ïîð, ïîêà âíóòðè òðóáêè íå óñòàíîâèòñÿ àòìîñôåðíîå äàâëåíèå è ïîêà æèäêîñòü íå îïóñòèòñÿ äî ïåðâîíà÷àëüíîãî óðîâíÿ. 193. p = 198 êÏà. 194. Âîäà â òðóáêå áóäåò ïîäíèìàòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà äàâëåíèå îáðàçóþùåãîñÿ ñòîëáà âîäû íå áóäåò óðàâíîâå '%
øèâàòü äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ïîðøíåì. Äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ïîðøíåì, mg
p = π( R 2 − r 2 ) ; p d 8,3 êÏà. Âûñîòà ñòîëáà âîäû îïðåäåëèòñÿ èç ðàâåíñòâà p
ρ0gh = p, ò.å. h = ρ g ; h d 85 ñì. 0 195. Âûñîòà ñëîÿ âîäû h0 è âûñîòà ñëîÿ ðòóòè h îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé h0 + h = H, h0ρ0 = hρ. Äàâëåíèå p=
2Hρ0 h0ρ0 + h = 2h = ; p = 40 ìì ðò. ñò. ρ + ρ0 ρ
196. Ïðè íàëèâàíèè âîäû óðîâåíü ðòóòè â ïåðâîì ñîñóäå ïåðåìåñòèòñÿ âíèç íà ðàññòîÿíèå h, âî âòîðîì ââåðõ íà òàêîå æå ðàññòîÿíèå. Äàâëåíèå îáðàçóþùåãîñÿ ïðè ýòîì ñòîëáà ðòóòè âûñîòîé 2h áóäåò óðàâíîâåøèâàòüñÿ äàâëåíèåì, ñîçäàâàåìûì ñòîëáîì âîäû è ïëàâàþùèì â íåì òåëîì, ò. å. ïðè ðàâíîâåñèè áóäåò èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî 2ρgh =
m0 + m (m0 + m) g ; îòñþäà h = 2ρS ; h d 3,7 ñì. S hρ
197. h0 = ρ ; h0 d 18 ñì. 0 198. Åñëè ñìåùåíèÿ óðîâíåé ðòóòè â ëåâîì è ïðàâîì ñîñóäàõ îáîçíà÷èòü ÷åðåç h1 è h2 (h1 + h2 = h) è äàâëåíèå âûðàæàòü â ìèëëèìåòðàõ ðòóòíîãî ñòîëáà, òî óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòåé ïðèìåò âèä h1 + h2 =
h0ρ0 . ρ
Óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì ïîñòîÿíñòâà îáúåìîâ ðòóòè, ïåðåõîäÿùèõ èç ëåâîãî ñîñóäà â ïðàâûé: S1h1 = S2h2, '&
ãäå S1 è S2 ïëîùàäè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ëåâîãî è ïðàâîãî ñîñóäîâ, ñâÿçàííûå ïî óñëîâèþ çàäà÷è ñîîòíîøåíèåì S2 = 16 S1. Èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì 16h0ρ0
h0ρ0
h2 = 17ρ ; h2 = 0,3 ñì, h1 = 17ρ ; h1 = 4,8 ñì. 199. Ïðè íàëèâàíèè âîäû óðîâåíü ðòóòè â ëåâîì êîëåíå îïóñòèòñÿ íà âûñîòó H, à â ïðàâîì ïîäíèìåòñÿ íà âûñîòó h =
H . Âûñîòà ñòîëáà âîäû áóäåò ðàâíà 3
h0 + Í; âûñîòà óðàâíîâåøèâàþùåãî åãî ñòîëáà ðòóòè áóäåò ðàâíà H + h. Ðàâíîâåñèå íàñòóïèò ïðè ñîáëþäåíèè ðàâåíñòâà h0ρ0
ρ0(h0 + H) = ρ(H + h); îòñþäà h = 4ρ − 3ρ ; h d 0,6 ñì. 0 200. Òàê êàê ïî óñëîâèþ îáà êîëåíà òðóáêè èìåþò îäèíàêîâóþ âûñîòó, òî ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü ðàâíûå ïî âûñîòå ñòîëáû êåðîñèíà, ðàñïîëîæåííûå âûøå óðîâíÿ âîäû. Óðîâåíü ðòóòè â òðóáêå ñ âîäîé áóäåò ðàñïîëîæåí íèæå óðîâíÿ ðòóòè â äðóãîì êîëåíå (òàê êàê ïëîòíîñòü êåðîñèíà ρê ìåíüøå ïëîòíîñòè âîäû ρ0). Îáîçíà÷èì âûñîòó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàçíîñòè óðîâíåé ðòóòè â îáîèõ êîëåíàõ, ÷åðåç h, òîãäà óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòåé â òðóáêå çàïèøåòñÿ òàê: ρ0 − ρê
h0ρ0 = hρ + (h0 h)ρê, îòñþäà h = ρ − ρ h0; h d 0,5 ñì. ê 201. m = ρ0V, ãäå ρ0 ïëîòíîñòü âîäû; m = 50 ã. m
202. V = ρ ; V = 75 äì3. 0 203. ρ d
4ρ2V + 4πDdlρ1 = 1,5 103 êã/ì3. πD2l
Ó ê à ç à í è å. Ñ÷èòàòü d n D è ïðè âû÷èñëåíèè îáúåìà ñòåêëà ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîì d d2 ïî ñðàâíåíèþ ñ Dd. 204. Îáîçíà÷èì îáúåì ÷àñòè øàðà, íàõîäÿùåéñÿ â âåðõíåé æèäêîñòè, ÷åðåç V1, à â íèæíåé ÷åðåç V2, òîãäà V = V1 + V2. Íà êàæäóþ èç ýòèõ ÷àñòåé øàðà äåéñòâó ''
þò: ñèëû òÿæåñòè, ìîäóëè êîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî V1ρg è V2ρg, à òàêæå âûòàëêèâàþùèå ñèëû, ðàâíûå ïî ìîäóëþ V1ρ1g è V2ρ2g. Òàê êàê øàð íàõîäèòñÿ íà ãðàíèöå æèäêîñòåé â ðàâíîâåñèè, òî ñóììà âñåõ ýòèõ ñèë ðàâíà íóëþ, ò. å. (V1 + V2)ρg = V1ρ1g + V2ρ2g; îòñþäà Vρ = V1ρ1, + + (V V1)ρ2, èëè V1 =
V (ρ2 − ρ) ρ2 − ρ1 .
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì, ÷òî V2 =
V (ρ − ρ1 ) ρ2 − ρ1 .
Ïðîâåðêó ïîëó÷åííûõ ôîðìóë ìîæíî ïðîèçâåñòè ìåòîäîì ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà øàðà ðàâíà ïëîòíîñòè âåðõíåé æèäêîñòè, ò.å. ρ = ρ1. Ïîäñòàâëÿÿ ρ = ρ1 â âûðàæåíèå äëÿ V1, ïîëó÷èì V1 =
V (ρ2 − ρ1 ) = V, ρ2 − ρ1
ò. å. øàð íàõîäèòñÿ â âåðõíåé æèäêîñòè. Òîò æå ðåçóëüòàò ïîëó÷èì, ïîäñòàâèâ ρ = ρ1 â âûðàæåíèå äëÿ V2: V2 =
V (ρ1 − ρ1 ) = 0. ρ2 − ρ1
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà øàðà ðàâíà ïëîòíîñòè íèæíåé æèäêîñòè, ò. å. ρ = ρ2. Ïîëó÷èì V1 = 0 è V2 = V, ò. å. øàð ïëàâàåò â íèæíåé æèäêîñòè. 205. Òàê êàê V1 = V2 (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 204), òî V (ρ2 − ρ) V (ρ − ρ1 ) ρ2 − ρ1 = ρ2 − ρ1 , èëè ρ2 ρ = ρ ρ1;
îòñþäà 2ρ = ρ2 + ρ1, èëè ρ =
ρ2 + ρ1 = 7,25103 êã/ì3. 2
206. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî ìàññà âûòåñíåííîé ðòóòè m = 0,25ρV, ãäå V îáúåì òåëà. Åñëè v ÷àñòü îáúåìà òåëà, îñòàþùàÿñÿ â ðòóòè ïîñëå çàëèâà
íèÿ âîäîé, òî óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ òåëà çàïèøåòñÿ â âèäå ρv + ρ0(V v) = 0,25ρV; îòñþäà v =
0, 25ρ − ρ0 ρ − ρ0 V = 0,19V.
ρ0 P1
207. ρ = P − P d 2,5103 êã/ì3. 1 2 208. ρ =
3 ρ = 1,5103 êã/ì3. 2 0
209. Ïåðåòÿíåò ÷àøêà ñ ñåðåáðîì. ρ P1 1 − 0 − P2 ρ 210. V = ; V d 13,2 ñì3. ρ0 g P
211. V = (ρ − ρ ) g ; V = 60 ñì3. 0 P
212. m = g ; m d 11,1 ã. Ó ê à ç à í è å. Åñëè Ð âåñ ðòóòè, òî äîëæíî èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî (ïëîòíîñòüþ âîçäóõà ïðåíåáðåãàåì) P1 − P2 P1 − P P + ρ = ρ = Vg, ρ c 0
ãäå V îáúåì òåðìîìåòðà. 213. ρ2 = 2ρ1 = 1,8103 êã/ì3. 214. Ïðè ïåðåìåùåíèè â âîäå òåëî ïîäâåðãàåòñÿ îäíîâðåìåííîìó äåéñòâèþ ñèëû òÿæåñòè è ãèäðîñòàòè÷åñêèõ ñèë äàâëåíèÿ. Ðàáîòà ãèäðîñòàòè÷åñêèõ ñèë, òàê æå êàê è ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè, íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè. Ïîýòîìó ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òåëà, íàõîäÿùåãîñÿ ïîä äåéñòâèåì ãèäðîñòàòè÷åñêèõ ñèë. Ïðè ïîäúåìå òåëà íà âûñîòó h ïðîèçîéäåò óâåëè÷åíèå åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ñèëû òÿæåñòè íà âåëè÷èíó Vρgh è óìåíüøåíèå åãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ãèäðîñòàòè÷åñêèõ ñèë íà âåëè÷èíó Vρ0gh. Ïîëíîå èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òåëà ∆U1 = Vgh(ρ ρ0). Åñëè ρ > ρ0, òî ∆U1 > 0 ýíåðãèÿ òåëà óâåëè÷èòñÿ. Åñëè ρ < ρ0, òî ∆U1 < 0 ýíåðãèÿ òåëà óìåíüøèòñÿ.
Ïîäúåì òåëà íà âûñîòó h ñîïðîâîæäàåòñÿ ïåðåìåùåíèåì âîäû îáúåìîì V âíèç íà òàêóþ æå âûñîòó. Ïðè ýòîì ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âîäû ýòîãî îáúåìà â ïîëå ñèëû òÿæåñòè óìåíüøèòñÿ íà âåëè÷èíó Vρ0gh, à ýíåðãèÿ çà ñ÷åò ãèäðîñòàòè÷åñêèõ ñèë óâåëè÷èòñÿ íà âåëè÷èíó Vρ0gh. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âîäû îñòàíåòñÿ íåèçìåííîé: ∆U2 = 0. m 215. m0 = m + ρâ V0 − d 0,451 êã. ρ 216. Êîãäà ãèðüêà ñäåëàíà èç ìàòåðèàëà òîé æå ïëîòíîñòè, ÷òî è âçâåøèâàåìîå òåëî. 217. Äëÿ ïëîòíîñòåé âîçäóõà ρ0, óãëåêèñëîãî ãàçà ρ1 è âîäû ρ2 ïîëó÷àþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
ρ0 =
m1 − m m2 − m m0 − m , ρ1 = , ρ2 = . V V V
Îòñþäà äëÿ ïëîòíîñòè óãëåêèñëîãî ãàçà, ìàññû è îáúåìà ñîñóäà ïîëó÷èì ρ1 = m=
(m1 − m0 )ρ2 + (m2 − m1 )ρ0 = 1,94 êã/ì3, m2 − m0
m0ρ2 − m2ρ0 m − m0 = 0,128 êã, V = 2 ; V = 1 äì3. ρ2 − ρ0 ρ2 − ρ0 P
218. F = ρ0gV Ð d 764 Í; ρ = gV = 0,5 êã/ì3. 219. Ïëîòíîñòü ñìåñè îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ ρ=
V1ρ1 + V2ρ2 , K(V1 + V2 )
(1)
ãäå V1 è V2 îáúåìû âîäû è ñïèðòà, ρ1 è ρ2 èõ ïëîòíîñòè, K = 0,97 êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé óìåíüøåíèå îáúåìà ñìåñè. ×èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ñîîòíîøåíèÿ (1) îïðåäåëÿþò ñîîòâåòñòâåííî ìàññó è îáúåì ñìåñè. Îòñþäà äëÿ îòíîøåíèÿ îáúåìîâ âîäû è ñïèðòà ïîëó÷àåì V1 Kρ − ρ2 8 V2 = ρ1 − Kρ = 13 .
220. Ïëîòíîñòü ñìåñè äîëæíà áûòü òàêîé, ÷òîáû âåñ ýòîé ñìåñè îáúåìîì V = 5 ë áûë ðàâåí âåñó øàðà ñ âîçäóõîì. Âåñ øàðà ñ âîçäóõîì ðàâåí ρ0gV + Ð. Åñëè V0 îáúåì âîçäóõà, âîøåäøåãî â ñìåñü, òî âåñ ñìåñè ðàâåí ρ0gV0 + ρg(V V0). Óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ øàðà çàïèøåòñÿ òàê: ρ0gV + P = ρ0gV0 + ρg(V V0); îòñþäà V0 = V +
5 2,78 V0 P ; V0 d 2,78 ë, ò. å. = d . 4 2,22 V − V0 g(ρ0 − ρ)
221. Âíà÷àëå óðîâåíü âîäû áóäåò ðàâíîìåðíî ïîäíèìàòüñÿ äî âûñîòû h 1. Ïîñëå äîñòèæåíèÿ âûñîòû h 1 ÷àñòü æèäêîñòè íà÷íåò ñëèâàòüñÿ ÷åðåç ñèôîí. Ïîñëå çàïîëíåÐèñ. 233 íèÿ âîäîé âåðõíåé ÷àñòè ñèôîííîé òðóáêè óðîâåíü âîäû íà÷íåò ïîíèæàòüñÿ, òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ âîäû èç òðóáêè  áîëüøå, ÷åì èç òðóáêè À. Ïîíèæåíèå óðîâíÿ áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà óðîâåíü íå äîñòèãíåò âûñîòû h 2, ñîâïàäàþùåé ñ îáðåçîì òðóáêè Â. Ïîñëå ýòîãî âåñü ïðîöåññ íà÷íåòñÿ ñíà÷àëà, ò. å. óðîâåíü âîäû áóäåò ñîâåðøàòü êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ (ðèñ. 233).
II. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ § 13. Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå òåë 222. Îäíîìó ïîëíîìó îáîðîòó ÷àñîâîé ñòðåëêè ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîå ÷èñëî N êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. !
Ïðè òî÷íîì õîäå ýòè N êîëåáàíèé ñîâåðøàþòñÿ çà âðåìÿ τ = 1 ñóò = 24 ÷. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è N=
24 ⋅ 60 ⋅ 60 2π
l0 g
.
Ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû íà ∆t äëèíà ìàÿòíèêà áóäåò ðàâíà l = l0(1 + α∆t), è ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó
l
l
2π 0 T T0 = 2π g − g = g
l − l0 l + g
π l − l0
l0 g
d g
l0 g
=
π αl0 ∆t . l0 g
= g
Çà τ = 1 ñóò ÷àñû îòñòàíóò èëè óáåãóò íà âðåìÿ N(T T0) =
24 ⋅ 60 ⋅ 60 π αl0 ∆t = 126060α∆t = 8 c. g l0 l 2π 0 g g
223. Åñëè áû ñòåðæåíü áûë ñâîáîäåí, òî ïðè íàãðåâàíèè íà ∆t åãî äëèíà óâåëè÷èëàñü áû íà l l0 = αl0∆t. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è ðàññòîÿíèå ìåæäó îïîðíûìè ïëèòàìè îñòàåòñÿ íåèçìåííûì, òî âåëè÷èíà l l0 áóäåò îïðåäåëÿòü ñîáîé äåôîðìàöèþ ñæàòèÿ ñòåðæíÿ, âîçíèêàþùóþ âî âðåìÿ íàãðåâàíèÿ. Ïî çàêîíó Ãóêà ñèëà äàâëåíèÿ ñòåðæíÿ F = ES
l − l0 = ESα∆t; F = 33,99 êÍ. l
224. Ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 20 °Ñ äëèíà 180 äåëåíèé øòàíãåíöèðêóëÿ l0 = 180 ìì. Ïðè òåìïåðàòóðå t = 10 °Ñ äëèíà 180 äåëåíèé øòàíãåíöèðêóëÿ l = l0(1 + α∆t), ãäå ∆t ðàçíîñòü òåìïåðàòóð, ò. å. èçìåðåííàÿ ïðè t = 10 °Ñ äëèíà ñòåðæíÿ áóäåò ìåíüøå èñòèííîé åãî äëèíû íà âåëè÷èíó ∆l = l0α∆t d 0,02 ìì. "
225. Óâåëè÷åíèå äèàìåòðà, âûçâàííîå íàãðåâàíèåì äåòàëè, ðàâíî αd0(t t0) = 38,5 ìêì, ò.å. ïðåâûøàåò äîïóñêàåìûå îòêëîíåíèÿ. Ïîïðàâêè ñëåäóåò ââîäèòü. 226. Äëèíû æåëåçíîãî è ìåäíîãî öèëèíäðîâ ïðè ëþáûõ òåìïåðàòóðàõ: l1 = l01(1 + α1∆t), l2 = l02(1 + α2∆t).
(1)
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è l1 l2 = ∆l, l01 l02 = ∆l.
(2)
Èç âûðàæåíèé (1) è (2) ïîëó÷èì l02 α1 l01 = α2 ,
(3)
ò å. íà÷àëüíûå äëèíû öèëèíäðîâ äîëæíû áûòü îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû òåìïåðàòóðíûì êîýôôèöèåíòàì ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ. Èç âûðàæåíèé (3) è (2) ñëåäóåò, ÷òî l01 =
α1 α2 ∆l; l01 = 28,3 ñì, l02 = ∆l; l02 = 18,3 ñì. α 2 − α1 α2 − α1
227. Òàê êàê ïî óñëîâèþ ëàòóííàÿ øêàëà âûâåðåíà ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ, òî äëèíå L = 760 äåëåíèé øêàëû ïðè òåìïåðàòóðå t = 18 °Ñ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü äëèíà ðòóòíîãî ñòîëáà l = L(1 + α∆t). Ñòîëá ðòóòè âûñîòîé l áóäåò ñîçäàâàòü äàâëåíèå p = ρgl, ãäå ρ ïëîòíîñòü ðòóòè ïðè òåìïåðàòóðå t = 18 °Ñ. Ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ òàêîå æå äàâëåíèå áóäåò ñîçäàâàòüñÿ ñòîëáîì ðòóòè âûñîòîé l0: p = ρ0gl0, ãäå ρ0 ïëîòíîñòü ðòóòè ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ. Òàê êàê ρ0
ρ = 1 + β∆t , òî èñòèííîå äàâëåíèå, âûðàæåííîå â ìèëëèìåòðàõ ðòóòíîãî ñòîëáà, ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ áóäåò ðàâíî ρ
1 + α∆t
l0 = ρ l = L 1 + β∆t ; l0 = 757,8 ìì ðò. ñò. 0 #
228. Îáúåìû, çàíèìàåìûå ñîñóäîì è øàðîì, áóäóò îäèíàêîâû ïðè âñåõ òåìïåðàòóðàõ. Èçìåíåíèå îáúåìà ïðè íàãðåâàíèè V V0 = βV0∆t; V V0 = 1,14 ñì3. Ó ê à ç à í è å. Èçìåíåíèå ïîëíîãî îáúåìà òåëà ïðè íàãðåâàíèè íå çàâèñèò îò íàëè÷èÿ ïîëîñòåé âíóòðè òåëà è ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî îáû÷íîé ôîðìóëå îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ: V = V0(1 + β∆t), ãäå β = 3α òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ. 229. V =
β0V0 3V0 = (cì. ðåøåíèå çàäà÷è 226). β 8
230. Îáúåì ñîñóäà ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °C: m0
V0 = ρ , ãäå ρ ïëîòíîñòü ðòóòè. Îáúåìû ñîñóäà è ðòóòè ïîñëå íàãðåâàíèÿ íà ∆t = 1 °Ñ: V1 = V0(1 + β1∆t), V2 = V0(1 + β2∆t).  ðåçóëüòàòå äëÿ èçìåíåíèÿ îáúåìà è ìàññû âûòåêøåé ïðè íàãðåâàíèÿ ðòóòè èìååì V2 V1 = V0(β2 β1)∆t, ∆m = ρV0(β2 β1)∆t = m0(β2 β1)∆t; ∆m d 0,1 ã. 231. Äëÿ îòâåòà íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû ñëåäóåò ðàññìîòðåòü àýðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ñòîëáàìè âîçäóõà â òî÷êàõ À è  øàõòû (ðèñ. 234). Ïîëíîå äàâëåíèå â ýòèõ òî÷êàõ ñêëàäûâàåòñÿ èç òðåõ ÷àñòåé: 1) äàâëåíèÿ ñòîëáà âîçäóõà íàä óðîâíåì DD′, îäèíàêîâîãî äëÿ òî÷åê À è Â; 2) äàâëåD DR íèÿ ñòîëáîâ ÑÀ è Ñ′ (ýòè äàâëåíèÿ òàê æå îäèíàêîâû, òàê êàê îäèíàêîâû òåì C CR ïåðàòóðû, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïëîòíîñòè âîçäóõà); 3) äàâëåíèÿ, ñîçäàâàåìîãî ñòîë áàìè CD è C′D′. Äîïóñòèì, ÷òî ïîñòîÿííàÿ ïî óñëîB A âèþ çàäà÷è òåìïåðàòóðà âîçäóõà â øàõÐèñ. 234 òå íèæå òåìïåðàòóðû íàðóæíîãî âîçäó $
õà ëåòîì è âûøå òåìïåðàòóðû ýòîãî âîçäóõà çèìîé. Ïðè ýòîì óñëîâèè ëåòîì â ñòîëáå CD òåìïåðàòóðà âîçäóõà áóäåò âûøå, à ïëîòíîñòü âîçäóõà ìåíüøå ïëîòíîñòè âîçäóõà â ñòîëáå C′D′. Ñëåäîâàòåëüíî, äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ñòîëáîì C′D′, ëåòîì áóäåò áîëüøå äàâëåíèÿ, ñîçäàâàåìîãî ñòîëáîì CD. Ìåæäó òî÷êàìè À è  áóäåò ñóùåñòâîâàòü íåêîòîðàÿ ðàçíîñòü äàâëåíèé, êîòîðàÿ íàðóøèò ðàâíîâåñèå âîçäóõà â øàõòå è âûçîâåò åãî äâèæåíèå îò òî÷êè  ê òî÷êå À. Ëåòîì âîçäóõ áóäåò âõîäèòü â îòâåðñòèå øàõòû, ëåæàùåå íà áîëåå âûñîêîì óðîâíå, è âûòåêàòü èç îòâåðñòèÿ, ëåæàùåãî íèæå. Çèìîé ïëîòíîñòü âîçäóõà â ñòîëáå CD è äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ýòèì ñòîëáîì, áóäóò áîëüøå ïëîòíîñòè âîçäóõà è äàâëåíèÿ, ñîçäàâàåìîãî ñòîëáîì C′D′, ïîýòîìó âîçäóõ áóäåò äâèãàòüñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè îò òî÷êè À ê òî÷êå Â. 232. Çèìîé âîçäóõ áóäåò âõîäèòü C D â íèæíþþ øòîëüíþ è âûòåêàòü ÷å ðåç âåðõíþþ. Ëåòîì âîçäóõ áóäåò äâèãàòüñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ âîçäóõà B áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåì A äàâëåíèé, ñîçäàâàåìûõ â íèæíåé Ðèñ. 235 øòîëüíå ñòîëáàìè âîçäóõà DA è Ñ (ðèñ. 235). Çèìîé ïëîòíîñòü âîçäóõà â ñòîëáå DA è äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå èì, áóäóò áîëüøå ïëîòíîñòè âîçäóõà è äàâëåíèÿ â ñòîëáå ÑÂ. Ïîýòîìó âîçäóõ áóäåò äâèãàòüñÿ îò òî÷êè À ê òî÷êå Â. § 14. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû. Òåïëîîáìåí 233. θ = 0 °C. 234. Ïëîòíîñòü ÷óãóíà â ìîìåíò ïîãðóæåíèÿ â ñîñóä ρ=
m ñâÿçàíà ñ ïëîòíîñòüþ åãî ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 °Ñ V ρ0
ñîîòíîøåíèåì ρ = 1 + βt . Îòñþäà ïî èçâåñòíûì ρ è ρ0 %
ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà òåìïåðàòóðà ÷óãóíà: t=
V ρ0 − m ρ0 − ρ = . βm βρ
Ìàññà ðàñòàÿâøåãî ëüäà îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà: më =
mc mc V ρ0 − m t= ; më d 64 ã. βm r r
τ2
235. λ = τ c(t t0); λ d 2,24 ÌÄæ/êã. 1 236. Íåîáõîäèìîå äëÿ ïàðîîáðàçîâàíèÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî òîëüêî çà ñ÷åò ýíåðãèè, îñâîáîæäàþùåéñÿ ïðè çàìåðçàíèè âîäû. Ïðè çàìåðçàíèè âîäû ìàññîé òë âûäåëèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû mër. Çà ñ÷åò ýòîé ýíåðãèè îáðàçóåòñÿ ïàð ìàññîé mï =
mër . λ
Åñëè m = më + òï ìàññà âîäû äî îòêà÷èâàíèÿ ñîñóäà, òî ìàññà îáðàçîâàâøåãîñÿ ëüäà më =
λ m d 0,87m, r+λ
ò. å. ïðèìåðíî 87 % ïåðâîíà÷àëüíîé ìàññû âîäû. § 15. Çàêîíû èäåàëüíîãî ãàçà 237.
V V0 = ; ñì. ðèñ. 236. T0 T
238.
p p = 0 ; ñì. ðèñ. 237. T T0
Ðèñ. 236
Ðèñ. 237
&
Ðèñ. 238
Ðèñ. 239
Ðèñ. 240
239. Ïðè çàäàííîé òåìïåðàòóðå è áîëüøîì äàâëåíèè ãàç çàéìåò ìåíüøèé îáúåì, ÷åì ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå, íî ìàëîì äàâëåíèè. ×åì áîëüøå äàâëåíèå, ïðè êîòîðîì èäåò èçîáàðíûé ïðîöåññ, òåì ìåíüøèé óãîë ñ îñüþ àáñöèññ îáðàçóåò èçîáàðà â ñèñòåìå êîîðäèíàò V, T (ðèñ. 238). 240. Ïðè çàäàííîé òåìïåðàòóðå ãàç äàííîé ìàññû áóäåò ñîçäàâàòü òåì áîëüøåå äàâëåíèå, ÷åì ìåíüøå îáúåì ñîñóäà, â êîòîðûé îí çàêëþ÷åí. Ïðè íàãðåâàíèè ãàçà â ìàëîì ñîñóäå äàâëåíèå áóäåò íàðàñòàòü áûñòðåå, ÷åì ïðè íàãðåâàíèè â áîëüøîì ñîñóäå. Èçîõîðà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàëîìó îáúåìó, áóäåò ñîñòàâëÿòü ñ îñüþ àáñöèññ â ñèñòåìå êîîðäèíàò p, T áîëüøèé óãîë, ÷åì èçîõîðà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ áîëüøîìó îáúåìó (ðèñ. 239). 241. Èçîòåðìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ áîëåå íèçêîé òåìïåðàòóðå, â ñèñòåìå êîîðäèíàò p, V ðàñïîëàãàåòñÿ áëèæå ê íà÷àëó êîîðäèíàò (ðèñ. 240). 242. Ñì. ðèñ. 241243. 243. Ñì. ðèñ. 244246. 244. Ñì. ðèñ. 247249.
Ðèñ. 241
Ðèñ. 242
'
Ðèñ. 243
Ðèñ. 244
Ðèñ. 247
Ðèñ. 245
Ðèñ. 248
Ðèñ. 250
Ðèñ. 246
Ðèñ. 249
Ðèñ. 251
245. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðà èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà ñëåäóåò ïðîâåñòè íà ÷åðòåæå èçîòåðìû, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëüíóþ è êîíå÷íóþ òî÷êè 1 è 2 è íåêîòîðóþ òî÷êó 3 (ðèñ. 250). Îòíîñèòåëüíîå ðàñïîëîæåíèå èçîòåðì îïðåäåëÿåò ñîîòíîøåíèå òåìïåðàòóð â ýòèõ òî÷êàõ: íà ó÷àñòêå 13 ãàç íàãðåâàëñÿ, íà ó÷àñòêå 32 îõëàæäàëñÿ. 246. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðà èçìåíåíèÿ îáúåìà ãàçà âî âðåìÿ íàãðåâàíèÿ ñëåäóåò ïðîâåñòè íà ÷åðòåæå èçîõîðû, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëüíóþ è êîíå÷íóþ òî÷êè 1 è 2
Ðèñ. 252
Ðèñ. 253
(ðèñ. 251). Òî÷êà 2 ëåæèò íà èçîõîðå, êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåò ñ îñüþ àáñöèññ ìåíüøèé óãîë, ÷åì èçîõîðà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó 1; ñëåäîâàòåëüíî (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 239), â òî÷êå 2 ãàç çàíèìàë áîëüøèé îáúåì, ÷åì â òî÷êå 1. Íàãðåâàíèå ïðîèçâîäèëîñü ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà ãàçà. 247. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðà èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ íåîáõîäèìî ïðîâåñòè èçîáàðû, íà êîòîðûõ ëåæàò òî÷êè 1 è 2 (ðèñ. 252). Òî÷êà 1 ëåæèò íà èçîáàðå, êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåò ñ îñüþ àáñöèññ ìåíüøèé óãîë, ÷åì èçîáàðà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó 2; ñëåäîâàòåëüíî (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 240), â òî÷êå 1 ãàç íàõîäèëñÿ ïîä áîRëüøèì äàâëåíèåì, ÷åì â òî÷êå 2. Íàãðåâàíèå ïðîèçâîäèëîñü ïðè óìåíüøåíèè äàâëåíèÿ ãàçà. 248. Ïðè çàäàííîé òåìïåðàòóðå ãàç ìàññîé 2m ïðîèçâîäèò â äâà ðàçà áîëüøåå äàâëåíèå, ÷åì ãàç ìàññîé m, çàêëþ÷åííûé â òîì æå ñîñóäå (ðèñ. 253). Èçîõîðà äëÿ ãàçà ìàññîé 2m ñîñòàâëÿåò ñ îñüþ àáñöèññ áîëüøèé óãîë, ÷åì èçîõîðà äëÿ ãàçà ìàññîé m, ïðè÷åì tg β = 2 tg α. 249. Åñëè p1, V1 è Ò1 äàâëåíèå, îáúåì è òåìïåðàòóðà ãàçà ìàññîé ò, a p2, V2 è Ò2 äàâëåíèå, îáúåì è òåìïåðàòóðà ãàçà ìàññîé 2m, òî âñåãäà áóäåò èìåòü ìåñòî ñîîòíîøåíèå p2V2 pV =2 1 1 T2 T1
(ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 248). Ïðè ðàâíîâåñèè ïîðøíÿ T1 = Ò2 è p1 = p2; ñëåäîâàòåëüíî, ïîðøåíü äîëæåí ðàñïîëîæèòüñÿ òàê, ÷òîáû V2 = 2V1, ò. å. ãàç ìàññîé 2m áóäåò çàíèìàòü
2 îáúåìà öèëèíäðà. 3
250. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ÌåíäåëååâàÊëàïåéðîíà: pV m = R T M
(M ìîëÿðíàÿ ìàññà ãàçà). Äëÿ ïåðâîãî ãàçà îíî èìååò âèä: pV1 m = R. T1 M
(1)
Äëÿ âòîðîãî ãàçà ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ çàäà÷è çàïèøåì pV2 m = R. T2 2M
(2)
Èç âûðàæåíèé (1) è (2) ñëåäóåò: V1 V =2 2 . T1 T2
Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè îäíîé è òîé æå òåìïåðàòóðå ãàç ñ ìåíüøåé ìîëÿðíîé ìàññîé çàíèìàåò áîëüøèé îáúåì. Èçîáàðà ãàçà, èìåþùåãî áîRëüøóþ ìîëÿðíóþ ìàññó, â ñèñòåìå êîîðäèíàò V, T èäåò áîëåå ïîëîãî, ÷åì èçîáàðà ãàçà ñ ìåíüøåé ìîëÿðíîé ìàññîé (ðèñ. 254). 251. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êè 1 è 2 èçîáàðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñòîÿííûì ìàññàì ãàçà (ðèñ. 255). Èçîáàðà, íà êîòîðîé ëåæèò òî÷êà 1, ïðîõîäèò áîëåå êðóòî, ÷åì èçîáàðà, íà êîòîðîé ëåæèò òî÷êà 2. Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 248), ìàññà ãàçà â ñîñòîÿíèè 1 áûëà áîëüøå, ÷åì ìàññà ãàçà â ñîñòîÿíèè 2. 252. Ñì. ðèñ. 256.
Ðèñ. 254
Ðèñ. 255
Ðèñ. 256
Ðèñ. 257
Ðèñ. 258
253. Ñì. ðèñ. 257. 254. Èç çàêîíà Ãåé-Ëþññàêà èìååì V2
110
T2 = V T1 = ·278 Ê d 295 Ê, 104 1 ãäå V1 è V2 îáúåìû, çàíèìàåìûå ãàçîì â ïðèáîðå äî è ïîñëå íàãðåâàíèÿ. Òåìïåðàòóðà ïîìåùåíèÿ t2 d 22 °Ñ. hV2
255. p0 = V − V ; p0 = 750 ìì ðò. ñò. 1 2 256. p0 = 257. h2 =
2h( L − h) ; p0 = 710 ìì ðò. ñò. L − 2h p02 + 4 p0h1 − p0 2
; h2 d 21,8 ñì.
258. h = 15,8 ñì. Ó ê à ç à í è å. Èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ è çàêîíà ÁîéëÿÌàðèîòòà äëÿ âîçäóõà â òðóáêå ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå l1p0 = h[p0 + h (l1 + l2)]. 259. 96 % ïåðâîíà÷àëüíîãî îáúåìà. Ó ê à ç à í è å. Âîçäóõ â ñòàêàíå ïîñëå ïîãðóæåíèÿ áóäåò íàõîäèòüñÿ ïîä äàâëåíèåì p0 +
mg . S
260. Èñòå÷åíèå ðòóòè ÷åðåç ñèôîí áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ðòóòüþ â òî÷êå Ñ âíóòðè òðóáêè (ðèñ. 258), áóäåò áîëüøå àòìîñôåðíîãî. Äîïóñòèì, ÷òî óðîâåíü ðòóòè â ñîñóäå ïîíèçèëñÿ íà âåëè÷èíó h è ïðè ýòîì äàâëåíèå âîçäóõà â ñîñóäå ñòàëî ðàâíûì p. Î÷åâèäíî, òàêîå æå äàâëåíèå p óñòàíîâèòñÿ è !
â òðóáêå íà óðîâíå ÀÀR, ñîîòâåòñòâóþùåì ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè ðòóòè â ñîñóäå. Äàâëåíèå pR, ñîçäàâàåìîå ðòóòüþ â òî÷êå Ñ íà âûõîäå èç òðóáêè, áóäåò ñëàãàòüñÿ èç äàâëåíèÿ p è äàâëåíèÿ ñòîëáà ðòóòè âûñîòîé ARC = Í h, ò. å. áóäåò ðàâíî pR = = p + Í h, ãäå H íà÷àëüíàÿ âûñîòà óðîâíÿ ðòóòè â ñîñóäå. Ïî ìåðå ïîíèæåíèÿ óðîâíÿ ðòóòè â ñîñóäå äàâëåíèå p è âìåñòå ñ íèì pR áóäóò óìåíüøàòüñÿ è â ìîìåíò ïðåêðàùåíèÿ èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè pR = p0, ãäå p0 àòìîñôåðíîå äàâëåíèå. Îòñþäà äàâëåíèå âîçäóõà â ñîñóäå â ìîìåíò ïðåêðàùåíèÿ èñòå÷åíèÿ ðòóòè áóäåò p = p0 (H h). Ïî óñëîâèþ çàäà÷è â íà÷àëüíûé ìîìåíò â ñîñóäå áûëî äàâëåíèå p0 è îáúåì âîçäóõà, ïðîïîðöèîíàëüíûé H. Îáúåì âîçäóõà â ìîìåíò ïðåêðàùåíèÿ èñòå÷åíèÿ ðòóòè áóäåò ïðîïîðöèîíàëåí H + h. Èç çàêîíà ÁîéëÿÌàðèîòòà ñëåäóåò, ÷òî p0Í = p(Í + h), èëè p0H = [p0 (Í h)] (H + h). Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëîâûå äàííûå è ðàçðåøàÿ óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî h, íàéäåì, íàñêîëüêî ïîíèçèòñÿ óðîâåíü ðòóòè, è çàòåì îïðåäåëèì äàâëåíèå â ñîñóäå ê ìîìåíòó ïðåêðàùåíèÿ èñòå÷åíèÿ ðòóòè: h = 15 ñì, p = 600 ìì ðò. ñò. 261. Îáîçíà÷èì ÷åðåç l0 äëèíó òðóáêè, çàíèìàåìóþ ãàçîì â êàæäîé èç ïîëîâèí òðóáêè ïðè åå ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè. Åñëè p1 è p2 äàâëåíèÿ ãàçà â âåðõíåé è íèæíåé ÷àñòÿõ òðóáêè ïîñëå òîãî, êàê åå ðàñïîëîæèëè âåðòèêàëüíî, òî óðàâíåíèÿ èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ãàçîâ â êàæäîé èç ÷àñòåé èìåþò âèä: l0p0 = (l0 + l)p1, l0p0 = (l0 l)p2, ãäå p2 = p1 + h. Ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé äàåò l d 4,5 ñì. 262. Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ìàññû ãàçà ðàâíû è äàâëåíèÿ â îáåèõ ÷àñòÿõ öèëèíäðà ïîñëå ñìåùåíèÿ ïîðøíÿ íà âåëè÷èíó l ñòàëè îäèíàêîâû, ïðèìåíèì çàêîí Ãåé-Ëþññàêà è ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå L−l L+l = T0 T ;
"
îòñþäà íàõîäèì T − T0
L
l = T + T L; l = 2 ñì, p = p ; p = 798 ìì ðò. ñò. L−l 0 0 263. Äî t = 663 °Ñ. Ó ê à ç à í è å. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ó÷òèòå, ÷òî äàâëåíèå â òðóáêå äî íàãðåâàíèÿ áûëî ðàâíî (750 50) ìì ðò. ñò., ïîñëå íàãðåâàíèÿ ðàâíî (750 + 50) ìì ðò. ñò. 264. Ìîëü ëþáîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå T0 = 273 Ê è äàâëåíèè p0 = 101,325 êÏà çàíèìàåò îáúåì V0 = 2,24·102 ì3. Ñëåäîâàòåëüíî, R=
101,325 ⋅ 103 Ïà ⋅ 2,24 ⋅ 102 ì3 p0V0 = = 273 Ê T0
= 8,31 Äæ/Ê. 265. Íà ñîñóä áåç îòâåðñòèÿ âî âñå âðåìÿ ïîãðóæåíèÿ áóäåò äåéñòâîâàòü ïîñòîÿííàÿ âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà F1 = ρgV, ãäå ρ ïëîòíîñòü âîäû, V îáúåì ñîñóäà. Ïî ìåðå ïîãðóæåíèÿ ñîñóäà ñ îòâåðñòèåì âîäà áóäåò ïðîíèêàòü â íåãî, ñæèìàÿ íàõîäÿùèéñÿ â íåì âîçäóõ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì áóäóò óìåíüøàòüñÿ îáúåì âûòåñKKH íÿåìîé ýòèì ñîñóäîì âîäû è âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà F2 . Ñëåäîâàòåëüíî, è ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïðîòèâ ýòîé ñèëû, áóäåò â ëþáîé ìîìåíò ìåíüøå, ÷åì ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ KKH ïðîòèâ ñèëû F1 . 266. Êîíå÷íàÿ òåìïåðàòóðà Ò ãàçà îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà Ãåé-Ëþññàêà (V = 2V0): VT0
T= V 0
= 2T0.
Êîëè÷åñòâî òåïëîòû íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ Q = mcP(T T0) = νMcPT0; Q = 7,973 êÄæ. 267. Äàâëåíèå, ïîä êîòîðûì íàõîäèòñÿ ãàç, p = #
mg . S
Åñëè ïðè íàãðåâàíèè íà ∆T = 1 Ê ïîðøåíü ïîäíÿëñÿ íà âûñîòó h, òî ãàç ñîâåðøàåò ðàáîòó À = mgh = pSh. Íî Sh ðàâíî ïðèðàùåíèþ îáúåìà ãàçà V V0, âûçâàííîìó ïîäíÿòèåì ïîðøíÿ; ñëåäîâàòåëüíî, A = p(V V0). Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà äàåò pV0 = RT0, pV = R(T0 + ∆T); îòñþäà A = pV pV0 = R∆T. 268. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ñîîáùàåìîå íàãðåâàòåëåì, áóäåò ðàñõîäîâàòüñÿ íå òîëüêî íà ïîâûøåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà, íî è íà ñîâåðøåíèå ðàáîòû ïî ïîäíÿòèþ ïîðøTV0
íÿ. Ïðè íàãðåâàíèè îáúåì ãàçà óâåëè÷èòñÿ äî V = T ; 0 V = 11,65 ë. Ãàç ïðè ðàñøèðåíèè ñîâåðøàåò ðàáîòó (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 267) A=
mg (V V0) d 88 Äæ. S
Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå îò íàãðåâàòåëÿ, ðàâíî Q = CV(T T0) + A d 297 Äæ. 269. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâîäèìîå ê ãàçó, ðàñõîäóåòñÿ íà ñîâåðøåíèå ðàáîòû ïðîòèâ âíåøíåé ñèëû ïðè ðàñøèðåíèè ãàçà. 270. Ïðè èçîáàðíîì ðàñøèðåíèè. Ó ê à ç à í è å. Ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ îáúåìîâ îò V0 äî V äàâëåíèå ãàçà â èçîáàðíîì ïðîöåññå áóäåò áîëüøå, ÷åì â èçîòåðìè÷åñêîì (ðèñ. 259); â èçîáàðíîì ïðîöåññå áóäåò áîëüøå è ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ãàçîì (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 267). Ðèñ. 259 271. Òåìïåðàòóðà ãàçà áóäåò ïîíèæàòüñÿ, òàê êàê çà ñ÷åò ÷àñòè âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ïðè åãî ðàñøèðåíèè. $
§ 16. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå 272. Ïîâåðõíîñòíûå íàòÿæåíèÿ ñïèðòîâ áóäóò îòíîñèòüñÿ ê ïîâåðõíîñòíîìó íàòÿæåíèþ âîäû, êàê
7,2 è 13
13,2 ; r d 0,2 ìì. 13
273. Îò íà÷àëà çàïîëíåíèÿ âîäîé äî ìîìåíòà âðåìåíè À (ðèñ. 260) óðîâåíü âîäû áóäåò ðàâíîìåðíî ïîäíèìàòüñÿ â êàïèëëÿðå (êðèâàÿ h1) è îñòàâàòüñÿ íåïîäâèæíûì â øèðîêîé òðóáêå (êðèâàÿ h 2). Ðàçíîñòü âûñîò óðîâíåé h1 h2 áóäåò íåïðåðûâíî âîçðàñòàòü (ðèñ. 261).  ìîìåíò âðåìåíè À ðàçíîñòü âûñîò óðîâíåé äîñòèãíåò âåëè÷èíû 2α
h0 = gr . Ñ ýòîãî ìîìåíòà äî ìîìåíòà âðåìåíè  óðîâíè â êàïèëëÿðå è øèðîêîé òðóáêå áóäóò ïîäíèìàòüñÿ ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè, à ðàçíîñòü óðîâíåé ïî âûñîòå áóäåò îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííîé è ðàâíîé h0.  ìîìåíò âðåìåíè  óðîâåíü âîäû â êàïèëëÿðå äîñòèãíåò êîíöà êàïèëëÿðà è îñòàíîâèòñÿ íà âûñîòå h (ñì. ðèñ. 260). Îò ìîìåíòà  äî ìîìåíòà D óðîâåíü âîäû â øèðîêîé òðóáêå áóäåò íåïðåðûâíî ïîäíèìàòüñÿ.  êàïèëëÿðå óðîâåíü âîäû áóäåò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì, íî áóäåò ìåíÿòüñÿ ôîðìà ìåíèñêà îò âîãíóòîé ðàäèóñîì r (â ìîìåíò Â) äî ïëîñêîé (â ìîìåíò Ñ) è âûïóêëîé ðàäèóñîì r (â ìîìåíò D). Ðàçíîñòü âûñîò óðîâíåé íà ó÷àñòêå ÂÑ áóäåò óìåíüøàòüñÿ äî íóëÿ, íà ó÷àñòêå CD èçìåíèò çíàê è
Ðèñ. 260
Ðèñ. 261
%
áóäåò âîçðàñòàòü äî çíà÷åíèÿ h0.  ìîìåíò D âîäà íà÷íåò âûëèâàòüñÿ èç êàïèëëÿðà è âñå âûñîòû óðîâíåé, íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà, áóäóò ïîñòîÿííû. Íàèáîëüøàÿ âûñîòà ïîäúåìà âîäû â øèðîêîé òðóáêå ðàâíà h + h0. Íàèáîëüøàÿ ðàçíîñòü âûñîò óðîâíåé ðàâíà h0. 274. Äâèãàòåëü äåéñòâîâàòü íå áóäåò. Âîäà èç âîðîíêè âûëèâàòüñÿ íå áóäåò. Êàê òîëüêî âîäà âîéäåò â âîðîíêó, íà÷íåò óâåëè÷èâàòüñÿ ðàäèóñ êðèâèçíû ìåíèñêà è â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì áóäåò ïðîèñõîäèòü ïîñòåïåííîå óìåíüøåíèå ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Âîäà â âîðîíêå äîéäåò ëèøü äî ñå÷åíèÿ ñ òàêèì ðàäèóñîì R, â êîòîðîì ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ áóäóò óðàâíîâåøèâàòü ñèëó òÿæåñòè, äåéñòâóþùóþ íà ñòîëá âîäû âûñîòîé h0. Ðàäèóñ ýòîãî ñå÷åíèÿ îïðåäåëèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ 2πRα = πr2ρgh0, èëè R =
ρgh0r 2 . 2α
275. Äåéñòâèå ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïðèíöèïèàëüíî äîëæíî ñêàçûâàòüñÿ íà ïîëîæåíèè àðåîìåòðà.  ñëó÷àå ñìà÷èâàþùåé æèäêîñòè ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ äàþò ðàâíîäåéñòâóþùóþ, íàïðàâëåííóþ ââåðõ è ïðèëîæåííóþ ê ÷àñòèöàì æèäêîñòè, ðàñïîëîæåííûì îêîëî àðåîìåòðà. Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà íà òðóáêó àðåîìåòðà äîëæíà äåéñòâîâàòü òàêàÿ æå ïî ìîäóëþ ñèëà, íî íàïðàâëåííàÿ âíèç. Àðåîìåòð äîëæåí çàíèìàòü áîëåå íèçêîå ïîëîæåíèå, ÷åì â îòñóòñòâèå ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ.  ðåçóëüòàòå óìåíüøåíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïîñëå íàëèâàíèÿ ýôèðà àðåîìåòð äîëæåí íåìíîãî ïîäíÿòüñÿ, ò. å. äîëæåí ïîêàçàòü íåñêîëüêî áîRëüøóþ ïëîòíîñòü, ÷åì îí ïîêàçûâàë äî íàëèâàíèÿ ýôèðà. 276. Ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ äåéñòâóþò íà âíåøíþþ è âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòè òðóáêè. Ó÷èòûâàÿ òîíêîñòü ñòåíîê è ïðåäïîëàãàÿ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, ÷òî ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè ó ñòåíîê êàïèëëÿðà îäèíàêîâû è ñíàðóæè è âíóòðè òðóáêè, ìîæíî ñ÷èòàòü îäèíàêîâûìè è ñèëû, äåéñòâóþùèå íà âíóòðåííþþ è âíåøíþþ ïîâåðõíîñòè òðóáêè. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âíóò &
ðåííþþ ïîâåðõíîñòü, ðàâíà âåñó âîäû, ïîäíÿòîé â êàïèëëÿð ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, à èçìåíåíèå âåñà êàïèëëÿðà ðàâíî óäâîåííîìó âåñó ýòîé âîäû. Îòñþäà r=
mg ; r d 1,5 ìì. 4πα
277. Ðòóòü õîðîøî ñìà÷èâàåò ÷èñòûé ñâèíåö. Ïëîòíî ñëîæåííûå ëèñòû ñâèíöà îáðàçóþò òîíêèå êàïèëëÿðíûå êàíàëû è ùåëè, ïî êîòîðûì ðòóòü çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïîäíèìàåòñÿ ïîäîáíî âîäå â êàïèëëÿðíûõ ñòåêëÿííûõ òðóáêàõ. 278. F = 2αl; F = 4,8 ìÍ, A = Fs; A = 96 ìêÄæ. Ïðè óâåëè÷åíèè ïîâåðõíîñòè ïëåíêè çà ñ÷åò ðàáîòû âíåøíèõ ñèë óâåëè÷èâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïëåíêè, ñâÿçàííàÿ ñ äåéñòâèåì ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Ýòó ýíåðãèþ íàçûâàþò ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèåé. Ïðè óìåíüøåíèè ïîâåðõíîñòè ïëåíêè ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèè, çà ñ÷åò ýòîãî ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. 279. Íà ðàìêó áóäåò äåéñòâîâàòü â ïåðâûå F ìîìåíòû ñèëà F = (α1 α2)l (ðèñ. 262). ÐàìKH êà íà÷íåò äâèãàòüñÿ â íàïðàâëåíèè ñèëû F . 280. Âîäà íå áóäåò âûëèâàòüñÿ èç ðåøåòà ïðè ñîáëþäåíèè äâóõ óñëîâèé: 1) íèòè ðåøåòà íå ñìà÷èâàþòñÿ âîäîé; 2) âûñîòà ñëîÿ âîäû h l â ðåøåòå íå ïðåâûøàåò h0 =
2α ; h0 d 3 cì. d ρg 2
Ðèñ. 262
Åñëè âûñîòà ðåøåòà ìåíüøå h0, òî âîäó âûëèòü ìîæíî, åñëè áîëüøå h0, òî ïðè íàêëîíå ðåøåòà ó åãî íèæíåãî êðàÿ îáðàçóåòñÿ ñëîé âîäû, ïðåâûøàþùèé ïî âûñîòå h0, è âîäà íà÷íåò ïðîëèâàòüñÿ ñêâîçü îòâåðñòèÿ ñåòêè ðåøåòà. 281. Íà æèäêîñòü ñî ñòîðîíû ñòåíîê êàïèëëÿðà äåéñòâóåò íàïðàâëåííàÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ ñèëà, ìîäóëü êîòîðîé F = 2πrα. Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà òàêàÿ æå ïî ìîäóëþ ñèëà, íî â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè áóäåò äåéñòâîâàòü ñî ñòîðîíû æèäêîñòè íà êàïèëëÿð. '
Ïîòåðÿ â âåñå äëÿ ñëó÷àÿ ñìà÷èâàþùåé æèäêîñòè áóäåò ìåíüøå ïîòåðè, ðàññ÷èòàííîé ïî çàêîíó Àðõèìåäà.  ñëó÷àå íåñìà÷èâàþùåé æèäêîñòè îíà áóäåò áîëüøå. Çíà÷èò, ïîòåðþ â âåñå êàïèëëÿðà ðàññ÷èòûâàòü ïî çàêîíó Àðõèìåäà íåëüçÿ: íåîáõîäèìî âíîñèòü ïîïðàâêó íà äåéñòâèå ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. 2α
282. Âûñîòà ïîäíÿòèÿ æèäêîñòè â êàïèëëÿðå h = ρgr . Ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ïðè ýòîì ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, À = Fh =
4πα2 . Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ρg
æèäêîñòè ïîñëå ïîäíÿòèÿ åå â êàïèëëÿðå U = mg
2πα2 h h A = ρgπr2h = , èëè U = . ρg 2 2 2
Íà óâåëè÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè U èäåò ïîëîâèíà ðàáîòû, ñîâåðøåííîé ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Çà ñ÷åò äðóãîé ïîëîâèíû ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ïðîòèâ ñèë òðåíèÿ. Åñëè áû ñèëû âÿçêîñòè è òðåíèÿ î ñòåíêè îòñóòñòâîâàëè, òî óðîâåíü æèäêîñòè ñîâåðøàë áû â êàïèëëÿðå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ îêîëî óðîâíÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî âûñîòå h, êàê ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. 283. Æèð âïèòûâàåòñÿ â áóìàãó ïîòîìó, ÷òî êàïèëëÿðíûå êàíàëû â íåïðîêëååííîé áóìàãå çíà÷èòåëüíî ìåíüøå, ÷åì â ìàòåðèè. 284. Äîïîëíèòåëüíûå äàâëåíèÿ, âîçíèêàþùèå â ïóçûðüêàõ âîçäóõà âíóòðè æèäêîñòè çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü èç ñëåäóþùèõ ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé. Ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè êîíöà êàïèëëÿðà ñ ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè ïîñëåäíÿÿ 2α
ïîäíèìàåòñÿ â êàïèëëÿðå íà âûñîòó h = ρgr ïîä äåéñòâèåì ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, íàïðàâëåííîé ââåðõ è ðàâíîé ïî ìîäóëþ F = 2πrα. Ïðè ýòîì KH ñèëà F óðàâíîâåøèâàåòñÿ âåñîì ñòîëáà æèäêîñòè âûñîòîé h.
Åñëè â êàïèëëÿðå íàä ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè ñîçäàòü äîïîëíèòåëüíîå äàâëåíèå ∆p =
2πr α F 2α = = , S r πr 2
(1)
ãäå S = πr2 ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êàïèëëÿðà, òî äåéñòâèå ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ áóäåò óæå ïîëíîñòüþ óðàâíîâåøèâàòüñÿ ñèëîé èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ âîçäóõà â êàïèëëÿðå, à âåñ ñòîëáà æèäêîñòè â êàïèëëÿðå îñòàíåòñÿ íåóðàâíîâåøåííûì. Ïîýòîìó óðîâåíü æèäêîñòè â êàïèëëÿðå äîëæåí áóäåò îïóñòèòüñÿ äî ïåðâîíà÷àëüíîé âûñîòû, è íà êîíöå òðóáêè îáðàçóåòñÿ ïóçûðåê âîçäóõà ïîëóñôåðà ðàäèóñîì R, ðàâíûì ðàäèóñó êàïèëëÿðà r. Èñêîìîå äàâëåíèå â ïóçûðüêå ∆p =
2α , R
(2)
ãäå R ðàäèóñ ïóçûðüêà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî âûðàæåíèå âñåãäà îïðåäåëÿåò èçáûòî÷íîå äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ â çàìêíóòûõ ïóçûðüêàõ âíóòðè æèäêîñòè. Èç âûðàæåíèÿ (2) âèäíî, ÷òî äàâëåíèå â ïóçûðüêå óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ðàäèóñà ïóçûðüêà. Èç íåïîñðåäñòâåííîãî ðàññìîòðåíèÿ ïðîöåññà îáðàçîâàíèÿ ïóçûðüêà íà êîíöå êàïèëëÿðà ñëåäóåò, ÷òî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ðàäèóñà ïóçûðüêà ðàâíî ðàäèóñó êàïèëëÿðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ðàñ÷åòå α ïî äàííûì çàäà÷è íåîáõîäèìî â ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó α =
∆pR ïîäñòàâèòü âìåñòî R 2
çíà÷åíèå ðàäèóñà êàïèëëÿðà, ò.å. α=
∆pr = 0,070 Í/ì. 2
285. Îáîçíà÷èì ÷åðåç h1 è h2 âûñîòû óðîâíåé ðòóòè äî îòêà÷êè âîçäóõà. Ðòóòü â òðóáêå áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè, åñëè â ñå÷åíèè À (ðèñ. 263) äàâëåíèÿ, ñîçäàâàåìûå
Ðèñ. 263
ñòîëáàìè ðòóòè ñ îáåèõ ñòîðîí, áóäóò ðàâíû. Ïîëíîå äàâëåíèå â ñå÷åíèè À ñ êàæäîé ñòîðîíû ñêëàäûâàåòñÿ èç äàâëåíèÿ ρgh, ñîçäàâàåìîãî âåñîì ñòîëáà ðòóòè, è äàâëåíèÿ, ñîçäàâàåìîãî ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ è ðàâíîãî 2πr α F 2α = = . S r πr 2
Ïîýòîìó óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå 2α
2α
ρgh1 + r = ρgh2 + r , 1 2 èëè 1
1
2α r1 − r2 r1r2 .
2α h1 h2 = ρg r − r = g 2 1
Ðàçíîñòü äàâëåíèé âîçäóõà äîëæíà ñêîìïåíñèðîâàòü ýòó ðàçíîñòü âûñîò ñòîëáîâ ðòóòè, ò. å. äîëæíà áûòü ðàâíà 2α r1 − r2 r1r2 ; ∆p d 3,6 ìì ðò. ñò.
∆p = h1 h2 = ρg
Íàñîñ äîëæåí áûòü ïðèñîåäèíåí ê óçêîìó êàíàëó òðóáêè. 286. Ñòîëá âîäû â ïîñòàâëåííîé âåðòèêàëüíî òðóáêå áóäåò óäåðæèâàòüñÿ âåðõíèì è íèæíèì ìåíèñêàìè (ðèñ. 264), êàæäûé èç êîòîðûõ áóäåò äåéñòâîâàòü íà âîäó ñ ñèëîé, íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî ââåðõ è ðàâíîé ïî ìîäóëþ F = 2πrα. Ïîýòîìó âûñîòà ñòîëáà îñòàâøåéñÿ â òðóáêå âîäû áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ èç óðàâíåíèÿ 4α
Ðèñ. 264
ρgπr2h = 2F = 4πrα, ò.å. h = ρgr ; h d 3 ñì. 287. Âîäà, ïîäíÿâøèñü â òðóáêå íà âûñîòó h, ñîæìåò íàõîäÿùèéñÿ â íåé âîçäóõ è ñîçäàñò èçáûòî÷íîå äàâëåíèå ∆p, êîòîðîå ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíî ïî çàêîíó ÁîéëÿÌàðèîòòà: ∆p = p p0 =
p0h . l−h
Òàê êàê æèäêîñòü â êàïèëëÿðå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå: pï = ∆p + p, ãäå
pï =
2α äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî r
íàòÿæåíèÿ; p = ρgh äàâëåíèå, ñîçäàâàåìîå âåñîì ñòîëáà âîäû. Ñëåäîâàòåëüíî, ph 2α = 0 + ρgh; l−h r
îòñþäà p0rh
l = 2α − ρgrh + h; l d 5,52 ì. § 17. Âëàæíîñòü âîçäóõà 288. Åñëè àòìîñôåðíîå äàâëåíèå ðàâíî H (â ìèëëèìåòðàõ ðòóòíîãî ñòîëáà), òî äëÿ ïîÿâëåíèÿ ó äíà ïðîáèðêè ïåðâîãî ïóçûðüêà, çàïîëíåííîãî íàñûùåííûì âîäÿíûì ïàðîì, íåîáõîäèìî, ÷òîáû äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà áûëî íå ìåíüøå H h. Ïîýòîìó â íà÷àëå íàãðåâàíèÿ, êîãäà òåìïåðàòóðà âîäû åùå ìàëà è äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ìåíüøå H h, âîäà áóäåò çàïîëíÿòü âñþ ïðîáèðêó ïîëíîñòüþ. Ïðè òåìïåðàòóðå t < 100 °Ñ, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò äàâëåíèþ íàñûùåííîãî ïàðà H h, óðîâåíü âîäû îòîðâåòñÿ îò äíà ïðîáèðêè. Ïðè äàëüíåéøåì íàãðåâàíèè, ïî ìåðå ðîñòà òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà, óðîâåíü âîäû â ïðîáèðêå áóäåò îïóñêàòüñÿ è ïðè òåìïåðàòóðå t2 = 100 °Ñ çàéìåò òàêîå æå ïîëîæåíèå, êàê è óðîâåíü âîäû â ñòàêàíå. Mp2
p2T1
289. ρ = RT ; ρ = 8,42 ã/ì3, f = p T ; f = 48,6 %, ãäå 2 1 2 Ì ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäû, R ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. 290. Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû. 291. Èç ðàâåíñòâà ñìåøèâàåìûõ ìàññ âîçäóõà è èõ òåïëîåìêîñòåé ñëåäóåò, ÷òî ïîñëå ñìåøåíèÿ òåìïåðàòóðà ñìåñè θ = 15 °C. Èç ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà òåìïåðàòóðå ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ïðè òåìïåðàòóðå θ = 15 °C ðàâíî p = 13 ìì ðò. ñò. Àáñîëþòíûå âëàæíîñòè ïðè 10, 15 è 20 °Ñ !
áóäóò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 9, 13 è 17 ã/ì3. Èçáûòî÷íàÿ ìàññà âîäÿíîãî ïàðà â âîçäóõå ïðè 15 °Ñ ðàâíà 9 + 17 2·13 = 0, ò.å. âûïàäåíèÿ ðîñû íå ïðîèçîéäåò. 292. f2 =
3f1ρ1RT2 = 2,87 %. Mp0
Ó ê à ç à í è å. Ïðè t = 100 °Ñ äàâëåíèå íàñûùåííîãî âîäÿíîãî ïàðà ðàâíî íîðìàëüíîìó àòìîñôåðíîìó äàâëåíèþ. f
V
293. ò = 100 % ρ0V ρ0 ; m = 4,32 ã. 4
III. ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ § 18. Çàêîí Êóëîíà 294. N= 295. F =
q d 6,25·1018. e 1 kZe2 = 2,3·108 H, ãäå k = 4πε = 9·109 H·ì2/Êë2, r2 0
Z = 1 (ε0 = 8,85·1012 Ô/ì ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ). 296. v =
kZe2 . Äëÿ âîäîðîäà v = 1,59·106 ì/ñ. mr
Ó ê à ç à í è å. Ñèëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíà ñ ÿäðîì äîëæíà îáåñïå÷èâàòü ïîÿâëåíèå íåîáõîäèìîãî öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ, ò. å. ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà äîëæíî áûòü k
1 Ze2 mv2 = , ãäå k = 4πε d 9·109 Í·ì2/Êë2. 2 r r 0
297. Íà ðàññòîÿíèè b =
a îò çàðÿäà q. Ðàâíîâåñèå 3
áóäåò óñòîé÷èâûì ïðè ïðîäîëüíûõ ñìåùåíèÿõ, åñëè çàðÿä q0 ïîëîæèòåëåí, è íåóñòîé÷èâûì, åñëè çàðÿä q0 îòðèöàòåëåí. "
Ó ê à ç à í è å. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðà ðàâíîâåñèÿ ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè ìàëîì ñìåùåíèè çàðÿäà q èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. 298. Íà ðàññòîÿíèè b =
a îò çàðÿäà q ñëåäóåò ðàñïî3
ëîæèòü îòðèöàòåëüíûé çàðÿä, ìîäóëü êîòîðîãî q0 =
4q . 9
Ïðè ýòîì ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà êàæäûé çàðÿä ñèñòåìû, áóäåò ðàâíà íóëþ. 299. Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ k
2qq0 qq0 = k (a + b)2 ; îòñþäà b = a(1 + b2
2 ).
Õàðàêòåð ðàâíîâåñèÿ îïðåäåëèì èç ðàññìîòðåíèÿ ñèë, âîçíèêàþùèõ ïðè ìàëûõ ñìåùåíèÿõ çàðÿäà q0 èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïðè ñìåùåíèè çàðÿäà q0 èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ðàññòîÿíèÿ äî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà q âñåãäà áóäåò áîëüøå, ÷åì îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ðàññòîÿíèÿ äî îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäà. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè çàðÿä q0 ïåðåìåñòèòñÿ íà ðàññòîÿíèå õ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ñòîðîíó ñèñòåìû çàðÿäîâ, òî 1 1 > . (b − x)2 [(a + b) − x]2
Ïîýòîìó ïðè ïðèáëèæåíèè çàðÿäà q0 ê ïîëîæèòåëüíîìó çàðÿäó ñèëû îòòàëêèâàíèÿ, ñîçäàâàåìûå çàðÿäîì q, âîçðàñòàþò íà áîëüøåå çíà÷åíèå, ÷åì ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, ñîçäàâàåìûå îòðèöàòåëüíûì çàðÿäîì, è âîçíèêàåò ðàâíîäåéñòâóþùàÿ, âîçâðàùàþùàÿ çàðÿä q0 â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ïðè óäàëåíèè çàðÿäà q0 îò çàðÿäà q ïî òåì æå ïðè÷èíàì óáûâàíèå ñèë îòòàëêèâàíèÿ áóäåò áîëåå áûñòðûì, ÷åì óáûâàíèå ñèë ïðèòÿæåíèÿ. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ áóäåò íàïðàâëåíà â ñòîðîíó ñèñòåìû çàðÿäîâ, ò.å. îïÿòü áóäåò âîçâðàùàòü çàðÿä â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Ðàâíîâåñèå áóäåò óñòîé÷èâûì. Êà÷åñòâåííî êðèâóþ çàâèñèìîñòè ïðîåêöèè Fr íà ãîKH ðèçîíòàëüíóþ ïðÿìóþ ñèëû F , äåéñòâóþùåé íà çàðÿä q0, #
îò ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó íèì è çàðÿäîì q ìîæíî ïîñòðîèòü, ïîëüçóÿñü ñëåäóþùèìè ðàññóæäåíèÿìè. Åñëè çàðÿä q0 èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïåðåìåùàòü âñå áëèæå ê çàðÿäó q, òî ðàçëè÷èå â îòíîñèòåëüíîì èçìåíåíèè âëèÿíèÿ çàðÿäîâ q è 2q áóäåò ñòàíîâèòüñÿ âñå áîëüøå, è â ñîîòâåòñòâèè ñ Ðèñ. 265 ýòèì ñèëà îòòàëêèâàíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà çàðÿä q0, ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ åãî ê ñèñòåìå çàðÿäîâ áóäåò íåïðåðûâíî è î÷åíü áûñòðî íàðàñòàòü (ðèñ. 265). Åñëè çàðÿä q0 èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïåðåìåùàòü âñå äàëüøå îò çàðÿäà q, òî ðàçëè÷èå â îòíîñèòåëüíîì èçìåíåíèè âëèÿíèÿ çàðÿäîâ q è 2q áóäåò ñòàíîâèòüñÿ âñå ìåíüøå, è îäíîâðåìåííî áóäóò áûñòðî óìåíüøàòüñÿ ñèëû, ñîçäàâàåìûå çàðÿäàìè q è 2q. Ïîýòîìó ïðè ñìåùåíèè çàðÿäà q0 îò ñèñòåìû èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìîäóëü ïðîåêöèè ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ñíà÷àëà âîçðàñòàåò (ðàçëè÷èå â îòíîñèòåëüíîì èçìåíåíèè ðàññòîÿíèé âëèÿåò ñèëüíåå, ÷åì óáûâàíèå ñèë), à çàòåì, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ðàññòîÿíèÿ r0, óìåíüøàåòñÿ è áûñòðî ïðèáëèæàåòñÿ ê íóëþ. (Ðàçëè÷èå â îòíîñèòåëüíîì èçìåíåíèè ðàññòîÿíèé ñòàëî èñ÷åçàþùå ìàëûì, ðåøàþùóþ ðîëü èãðàåò óáûâàíèå êàæäîé èç ñèë, ñîçäàâàåìûõ çàðÿäàìè q è 2q.) 300. Çàðÿä îïðåäåëèòñÿ èç ðàâåíñòâà ñèëû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è ñèëû âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ: k ãäå k =
q2 m2 G = G ; îòñþäà q = m d 8,6·1013 Êë, r2 r2 k 1 = 9·109 Í·ì2/Êë (ε0 = 8,85·1012 Ô/ì ýëåê4πε0
òðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ), G = 6,67·1011 Í·ì2/êã2 ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ. $
301. Äî ñîåäèíåíèÿ äðóã ñ äðóãîì øàðèêè âçàèìîäåéñòâóþò ñ ñèëîé F = 1 ìêÍ, ïîñëå ñîåäèíåíèÿ ñ ñèëîé FR d 1,225 ìêÍ. Çàðÿäû øàðèêîâ ïîñëå ñîåäèíåíèÿ áóäóò îäèíàêîâû è ðàâíû qR1 = qR2 = 3,5 íÊë. Ó ê à ç à í è å. Ïðè ñîåäèíåíèè ïðîâîëî÷êîé çàðÿäû ðàñïðåäåëÿþòñÿ ïîðîâíó ìåæäó øàðèêàìè. 302. Ïîñëå ñîåäèíåíèÿ ïðîâîëî÷êîé ìîäóëü çàðÿäà êàæäîãî èç øàðèêîâ ðàâåí | qR1 | = | qR2 | =
q1 − q2 2
, ãäå q1 è
q2 çàðÿäû øàðèêîâ äî ñîåäèíåíèÿ. Ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ øàðèêîâ äî è ïîñëå ñîåäèíåíèÿ: | q || q | (| q | − | q | ) F = k 1 2 2 , FR = k 1 2 2 ; r 4r 2
îòñþäà
| q1 || q2 | =
r 2F F′ , | q1 | | q2 | = 2r . k k
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì F′
+ | q1 | = r k
F′
+ | q2 | = r − k
F′ + F d 2,67 íÊë, k F′ + F d 0,67 íÊë. k
Ìû íàøëè ìîäóëè ïåðâîíà÷àëüíûõ çàðÿäîâ. Ïðè ðåøåíèè ìû ó÷ëè, ÷òî çàðÿä âòîðîãî øàðèêà îòðèöàòåëåí: q2 = 0,67 íÊë. H 303. Íà øàðèê äåéñòâóþò òðè ñèëû: ñèëà òÿæåñòè mg , KH ñèëà óïðóãîñòè ñî ñòîðîíû íèòè F óïð è ñèëà ýëåêòðîñòàKH òè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ F (ðèñ. 266, à). Øàðèê íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ýòèõ ñèë ðàâíà íóëþ: KH KH H mg + F óïð + F = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé ñèëàìè, çàìêíóò (ðèñ. 266, á). %
Ðèñ. 266
Èç òðåóãîëüíèêà èìååì: F = mg tg α. Òàê êàê F = k
q2 , òî l2
mg tg α = k îòêóäà íàõîäèì q = l
q2 , l2
mg tgα . k
304. Îáîçíà÷èì ÷åðåç q è ò çàðÿä è ìàññó êàæäîãî øàðèêà äî ñîïðèêîñíîâåíèÿ. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è l . à, òî óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ øàðèêîâ äî ñîïðèêîñíîâåíèÿ (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 303) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå k
a q2 = mg tg α d mg . 2l a2
Ïîñëå òîãî êàê îäèí èç øàðèêîâ ðàçðÿäèëè, øàðèêè âíà÷àëå îïóñòÿòñÿ, êîñíóòñÿ äðóã äðóãà, à çàòåì ðàçîéäóòñÿ íà ðàññòîÿíèå b. Ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè îñòàâøèéñÿ íà îäíîì èç øàðèêîâ çàðÿä q ïîðîâíó ðàñïðåäåëèòñÿ ìåæäó îáîèìè øàðèêàìè, è óñëîâèå íîâîãî ðàâíîâåñèÿ øàðèêîâ áóäåò (l . b) òàêèì: k
b q2 q2b = mg tg β d mg d k ; 2l 4b2 a3
îòñþäà b=
a d 6,3 ñì. 4
3
&
305. Íà îòêëîíåííóþ íèòü äåéKKH H ñòâóþò ñèëà òÿæåñòè F1 = mg , ïðèëîæåííàÿ ê öåíòðó ìàññ íèòè, è ñèëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ KKH çàðÿäîâ F2 (ðèñ. 267), ïpèëoæeííaÿ ê êîíöó íèòè è ðàâíàÿ ïî ìîäóëþ F2 =
α kq 2 a = 2l sin . Óñëîâèåì ðàâ 2 2 a
Ðèñ. 267
íîâåñèÿ íèòè ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû ìîìåíòîâ ýòèõ ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î. Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé (ñì. ðèñ. 267) ñëåäóåò, KKH KKH ÷òî ìîìåíòû ñèë F1 è F2 ðàâíû: mgl α q2 ctg(α / 2) q 2l sin α, k 2 cos = k . 2 2 4l sin(α / 2) a
Óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ èìååò âèä mgl q2 ctg(α / 2) sin α = k ; 2 4l sin(α/2)
îòñþäà q=
α 2l sin k 2
mg sin
α . 2
306. Ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû q (ðèñ. 268) äåéñòâóþò íà çàðÿä q0 ñ ñèëîé F1 =
3kqq0 ; F1 = 1,8 ìêÍ. Âåêr2
KKH òîð ñèëû F1 íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé çàðÿäû. Ðàçíîèìåííûå çàðÿäû äåéñòâóþò ñ ñèëîé F2 = k
| q || q0 | ; F2 d 0,9 ìêÍ. r2
'
Ðèñ. 268
KKH Âåêòîð ñèëû F2 íàïðàâëåí ïàðàëëåëüíî ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé çàðÿäû q (ðèñ. 268). 307. Íà êàæäûé èç çàðÿäîâ q, íàõîäÿùèõñÿ â âåðøèíàõ êâàäðàòà, äåéñòâóþò ÷åòûðå ñèëû (ðèñ. 269): äâå ñèëû KKH KKH kq 2 îòòàëêèâàíèÿ F1 è F2 F1 = F2 = 2 , ñîçäàâàåìûå çàa
KKH kq2 ðÿäàìè 1 è 2; ñèëà îòòàëêèâàíèÿ F3 F3 = 2 , ñîçäàâà2a
KKH 2k | q || q0 | åìàÿ çàðÿäîì 3; ñèëà ïðèòÿæåíèÿ F4 F4 = , 2
a
ñîçäàâàåìàÿ çàðÿäîì q0. Äëÿ ðàâíîâåñèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû âåêòîðíàÿ ñóììà ýòèõ ñèë áûëà ðàâíà íóëþ: KKH KKH KKH KKH F1 + F2 + F3 + F4 = 0. Âåêòîðíîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïðèâåñòè ê àëãåáðàè÷åñêîìó: 2k | q || q0 | kq2 kq2 2 = 2 + ; 2 a a a2
îòñþäà q0 =
q (1 + 2 2 ). 4
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðà ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû äîñòàòî÷íî çàäàòü ìàëîå ñìåùåíèå îäíîìó èç çàðÿäîâ è îöåíèòü õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ñèë, ñîçäàâàåìûõ îñòàëüíûìè çàðÿäàìè. Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ìàëîå ñìåùåíèå s îäíîãî èç çàðÿäîâ q ïî äèàãîíàëè îò öåíòðà êâàäðàòà (ðèñ. 270). Òàê êàê ðàññòîÿíèå îò ýòîãî çàðÿäà
Ðèñ. 269
Ðèñ. 270
!
äî çàðÿäà q0 ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì, òî ñìåùåíèå s ñîçäàñò çíà÷èòåëüíî áîëüøåå îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ðàññòîÿíèÿ äî çàðÿäà q0, ÷åì îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ ðàññòîÿíèé äî äðóãèõ çàðÿäîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ñìåùåKKH íèè s ìîäóëü ñèëû F4 óìåíüøèòñÿ íà áîëüøåå çíà÷åKKH KKH KKH íèå, ÷åì ìîäóëè ñèë F1 , F2 è F3 . Êðîìå òîãî, ñìåùåíèå s KKH KKH âûçîâåò óìåíüøåíèå óãëà ìåæäó ñèëàìè F1 è F2 , ñîçäàâàåìûìè çàðÿäàìè 1 è 2. Ýòî óìåíüøåíèå óãëà äàñò KKH KKH íåêîòîðîå óâåëè÷åíèå ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèë F1 è F2 . KKH Òàêèì îáðàçîì, ïðè íîâîì ïîëîæåíèè çàðÿäà ñèëà F4 KKH áóäåò çàâåäîìî ìåíüøå âåêòîðíîé ñóììû ñèë F1 + KKH KKH + F2 + F3 . Íà çàðÿä â íîâîì ïîëîæåíèè áóäåò äåéñòâîâàòü ðàâíîäåéñòâóþùàÿ, íàïðàâëåííàÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ò.å. ðàâíîâåñèå ñèñòåìû áóäåò íåóñòîé÷èâûì. § 19. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
308. Å =
1 kq = 9·109 Í·ì2/Êë2 (ε0 = 2 = 9 Â/ì, ãäå k = 4πε r 0
= 8,85·1012 Ô/ì ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ). 309. E = 0; ϕ =
2kq d 36 Â. a
Ó ê à ç à í è å. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ ýëåêòKH ðè÷åñêèõ ïîëåé. Íàïðÿæåííîñòü E ïîëÿ â òî÷êå À áóäåò ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå íàïðÿæåííîñòåé ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ êàæäûì èç çàðÿäîâ. Ïîòåíöèàë ϕ òî÷êè À áóäåò ðàâåí ñóììå ïîòåíöèàëîâ, êîòîðûå ñîçäàâàëèñü áû â ýòîé òî÷êå êàæäûì èç çàðÿäîâ â îòäåëüíîñòè. 310. Çàðÿä q ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî âñåìó êîëüöó. Ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà τ = !
q . Íàïðÿæåí2πR
Ðèñ. 271
KH íîñòü E ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî çàðÿæåííûì êîëüöîì, â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà áóäåò ÿâëÿòüñÿ âåêòîðíîé ñóììîé íàïðÿæåííîñòåé, ñîçäàâàåìûõ îòäåëüíûìè ýëåìåíòàìè êîëüöà. à) Êàæäûé ýëåìåíò êîëüöà l1 íåñåò çàðÿä τl1 (ðèñ. 271) è ñîçäàåò â òî÷êå
Î íàïðÿæåííîñòü E1 =
kτl1 . ÑèììåòR2
ðè÷íî ðàñïîëîæåííûé ýëåìåíò êîëüöà l2 ñîçäàåò â ýòîé òî÷êå íàïðÿæåíKKH íîñòü, ðàâíóþ ïî ìîäóëþ E1 , íî ïðîòèâîïîëîæíóþ åé ïî íàïðàâëåíèþ. Ïîýòîìó ïðè ñóììèðîâàíèè ïî âñåì ýëåìåíòàì êîëüöà íàïðÿæåííîñòè âçàèìíî ñêîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, è ïîëíàÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â öåíòðå Ðèñ. 272 êîëüöà EÎ = 0. KKH á) Ýëåìåíò l1 â òî÷êå A ñîçäàåò íàïðÿæåííîñòü E1 ,
íàïðàâëåííóþ ïîä óãëîì α = 45° ê îñè êîëüöà (ðèñ. 272) è ðàâíóþ ïî ìîäóëþ E1 =
kτl1 . Ýëåìåíò l2 â ýòîé òî÷êå 2R 2
ñîçäàåò íàïðÿæåííîñòü Å2 =
kτl2 . Ïðè ñëîæåíèè íàïðÿ2R 2
æåííîñòåé îò ýòèõ ýëåìåíòîâ êîëüöà â ñóììó âîéäóò òîëüKKH KKH êî ïðîåêöèè âåêòîðîâ E1 è E2 íà îñü êîëüöà. Òî÷íî òàê æå ïîïàðíî âîéäóò ïðîåêöèè âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòåé, ñîçäàâàåìûõ âñåìè äðóãèìè ýëåìåíòàìè êîëüöà. Ïîýòîìó íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â òî÷êå À ðàâíà EA = k
1 q 2 τ ⋅ 2πR cos α = . 2R 2 4πε0 4 R 2
311. Ëèñòî÷êè áóäóò ðàñõîäèòüñÿ íà ðàçíûå óãëû. Íàèáîëüøèé óãîë ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó ëèñòî÷êàìè ïîëó÷àåòñÿ ïðè ïåðåíîñå çàðÿäà èç òî÷êè À; ìåíüøèé ïðè !
ïåðåíîñå èç òî÷êè  è ðàâíûé íóëþ ïîñëå ïðèêîñíîâåíèÿ â òî÷êå Ñ. Ó ê à ç à í è å. Ïðè óêàçàííîì â óñëîâèè çàäà÷è ñïîñîáå ïåðåíîñà çàðÿäîâ íà ýëåêòðîñêîï óãîë ðàñõîæäåíèÿ ëèñòî÷êîâ ýëåêòðîñêîïà ïðîïîðöèîíàëåí ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà â òî÷êàõ ïðèêîñíîâåíèÿ øàðèêà. Çàðÿäû íà ïîâåðõíîñòè ðàñïðåäåëÿþòñÿ òàê, ÷òî èõ ïëîòíîñòü áîëüøå â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè, îáëàäàþùèõ áîëüøåé êðèâèçíîé, è ìåíüøå â òî÷êàõ ñ ìåíüøåé êðèâèçíîé.  òî÷êå À êðèâèçíà, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïëîòíîñòü çàðÿäà áîëüøå, ÷åì â òî÷êå Â. 312. Ñì. ðèñ. 273. Íà øàðå – + ïîÿâÿòñÿ èíäóöèðîâàííûå îòðè– + öàòåëüíûå çàðÿäû ñî ñòîðîíû ïî– + – + ëîæèòåëüíî çàðÿæåííîé ïëàñòè– + – ++ – – + íû è ïîëîæèòåëüíûå ñî ñòîðî+ – – + – ++ – íû îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííîé – + – + ïëàñòèíû. Ëèíèè íàïðÿæåííîñ– + – + òè ïîëÿ ïåðïåíäèêóëÿðíû ê – + ïîâåðõíîñòè øàðà. Èñêàæåíèÿ â ôîðìå è ðàñïîëîæåíèè ëèíèé Ðèñ. 273 íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ âûçûâàþòñÿ íàëîæåíèåì íà ïîëå êîíäåíñàòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàðÿäîâ, èíäóöèðîâàííûõ íà ïîâåðõíîñòè øàðà. 314. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñóùåñòâóåò âíóòðè è âíå ñôåðû. Íà âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ñôåðû ïîÿâèòñÿ îòðèöàòåëüíûé çàðÿä, íà âíåøíåé ïîëîæèòåëüíûé. Èçìåíèòñÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âíóòðè ñôåðû. Èçìåíèòñÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âíå ñôåðû. 315. Ñôåðà èìååò çàðÿä q. Çàðÿä ðàñïðåäåëåí ïî âíåøíåé ïîâåðõíîñòè ñôåðû; âíóòðè ñôåðû íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ðàâíà íóëþ. Âíå ñôåðû ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ïîäîáíîå ïîëþ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ñîçäàííîìó çàðÿäîì q, ïîìåùåííûì â öåíòðå ñôåðû. 316. Ïëàñòèíû ðàçîéäóòñÿ çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ ñ çàðÿäàìè, èíäóöèðîâàííûìè íà êàæäîé ïëàñòèíå. Ñì. ðèñ. 274. Ðèñ. 274 !!
– –
+– + +– +
– +– + + – – +– + – + – +– +
+
–
– +– + – +– +
Ðèñ. 275
317. Ñì. ðèñ. 275. Íà ïîâåðõíîñòÿõ ïëàñòèí, îáðàùåííûõ ê òî÷å÷íûì çàðÿäàì, ïëîòíîñòü èíäóöèðîâàííûõ çàðÿäîâ óáûâàåò ê êðàÿì ïëàñòèí; íà âíóòðåííèõ ïîâåðõíîñòÿõ ïëàñòèí èíäóöèðîâàííûå çàðÿäû ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ ðàñïðåäåëÿþòñÿ ðàâíîìåðíî. 318. à) ϕ1 = 0; ϕ2 =
ϕ4 = U. á) ϕ1 = 0; ϕ2 =
U 2U ; ϕ3 = ; 3 3
U U ; ϕ3 = ; ϕ4 = U. Â ïðîìåæóòêàõ 2 2
12 è 34 íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âîçðàñòàåò, â ïðîìåæóòêå 23 îáðàòèòñÿ â íóëü. Çàðÿäû íà ïëàñòèíàõ 1 è 4 âîçðàñòóò. â) Ïîñëå çàìûêàíèÿ ïëàñòèíà 2 èìååò ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä, ïëàñòèíà 3 îòðèöàòåëüíûé. 319. Íà çàðÿä â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå äåéñòâóåò KH KH ñèëà F = q E . Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà KH H F = m a äëÿ äâèæåíèÿ çàðÿäà ïðèìåò âèä qE = ma; îòñþäà a =
qE ; a = 1,5 ñì/ñ2. m
320. Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âíóòðè êîíäåíñàòîðà Å=
U . Íà ýëåêòðîí â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè äåéd
KH KH ñòâóåò ñèëà F = e E (ðèñ. 276). Â îäíîðîäíîì ïîëå êîíäåíñàòîðà ýëåêòðîí ñîâåðøàåò ðàâíîóñêîðåííîå äâèæåíèå, ïåðåìåùàÿñü â ñòîðîíó ê ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîé ïëàñòèíå. Â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíàìè ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ (îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò OX è OY ïðîâåäåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 276) çàïèøåì
x = v0xt +
Ðèñ. 276
!"
1 a t2, 2 x
ãäå x = l, v0x = v0, ax = 0, òàê ÷òî l = v0t
(1)
è y = v0yt +
1 a t2, 2 y
ãäå y = h, v0y = 0, ay = a, òàê ÷òî h =
1 2 at . 2
Óñêîðåíèå ýëåêòðîí ïðèîáðåòàåò ïîä äåéñòâèåì ýëåêKH òðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ñèëà F íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç, ñëåäîâàòåëüíî, Fy = F, ïîýòîìó a=
F eE eU = = . m m md
Óðàâíåíèå äëÿ h áóäåò èìåòü âèä: h=
eU t2 . md 2
(2)
Óðàâíåíèÿ (1) è (2) ïîêàçûâàþò, ÷òî äâèæåíèå ýëåêòðîíà ïîäîáíî äâèæåíèþ òåëà, áðîøåííîãî ãîðèçîíòàëüíî íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè. Ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèåé ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. Ê ìîìåíòó âûëåòà èç êîíäåíñàòîðà ýëåêòðîí ñìåñòèòñÿ îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ íà ðàññòîÿíèå e U l2
h = m d 2v2 ; h = 2,8 ìì. 0 mg
321. E = q ; E = 100 êÂ/ì. 322. Åñëè íà øàðèê ïîìåùåí ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä q, à âåðõíÿÿ ïëàñòèíà çàðÿæåíà, òî â âåðòèêàëüíîì íàïðàâH ëåíèè íà øàðèê ïîìèìî ñèëû òÿæåñòè m g áóäåò äåéKH KH ñòâîâàòü ñèëà q E , ãäå E íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà. Çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ýòîé ñèëû èç!#
ìåíèòñÿ óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ øàðèêà â êîíäåíñàòîðå. Ýòî óñêîðåíèå îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà: KH KKH H mg′ = mg + q E . Â ïðîåêöèÿõ íà îñü Y, íàïðàâëåííóþ âåðòèêàëüíî âíèç, áóäåì èìåòü: mgRy = mg + qEy.
Îòñþäà
gRy = g +
q E. m y
à) Åñëè âåðõíÿÿ ïëàñòèíà çàðÿæåíà ïîëîæèòåëüíî, òî Ey = E è gR = g +
q E. m
á) Åñëè âåðõíÿÿ ïëàñòèíà çàðÿæåíà îòðèöàòåëüíî, òî Ey = E è gR = g
q E. m
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå gR â ôîðìóëó ïåðèîäà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà, íàéäåì, ÷òî: l
à) T = 2π g + q E (ïåðèîä êîëåáàíèé óìåíüøèòñÿ); m
á) T = 2π
l q g − E (ïåðèîä êîëåáàíèé óâåëè÷èòñÿ). m
323. Ïåðèîä êîëåáàíèé øàðèêà â îòñóòñòâèå çàðÿäîâ l
T2g
(1) T0 = 2π g ; îòñþäà l = 0 2 ; l = 9,8 ñì. 4π Ïîñëå òîãî êàê øàðèê è êîíäåíñàòîð áûëè çàðÿæåíû, ïåðèîä êîëåáàíèé ñòàë ðàâíûì Ò < Ò0, ò.å. äëÿ åãî îïðåäåëåíèÿ ñëóæèò ôîðìóëà l
T = 2π g + F , m
!$
(2)
à ýòî çíà÷èò, (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 322), ÷òî âåðõíÿÿ ïëàñòèíà êîíäåíñàòîðà è øàðèê èìåëè çàðÿäû îäèíàêîâîãî çíàêà. Âîçâîäÿ (1) è (2) â êâàäðàò è ðàçðåøàÿ èõ îòíîñèòåëüíî F, ïîëó÷èì T02 − T 2 mg = 3mg; F = 29,4 ìÍ. T2
F=
Òàê êàê ñèëà ýëåêòðè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ øàðèêà ñ ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà îêàçûâàåòñÿ áîëüøå ñèëû òÿæåñòè, òî ïðè ïåðåìåíå çíàêà çàðÿäà èçìåíèòñÿ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ øàðèêà. Òî÷êà À, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîëîÐèñ. 277 æåíèþ ðàâíîâåñèÿ øàðèêà, áóäåò ðàñïîëàãàòüñÿ íàä òî÷êîé ïîäâåñà Î (ðèñ. 277). Óñêîðåíèå øàðèêà ïðè îäíîâðåìåííîì äåéñòâèè ñèëû òÿæåñòè è ñèëû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ áóäåò íàïðàâëåíî ââåðõ è ðàâíî gR =
F g = 2g; m
îòñþäà ïåðèîä êîëåáàíèé øàðèêà îêîëî òî÷êè A T = 2π F m
l
l
= 2π 2g d 0,44 ñ. −g
324. Åñëè øàðèê èìååò ìàññó m è ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä q è íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â êîíäåíñàòîðå ðàâíà E, òî íèòü ïðè ðàâíîâåñèè øàðèêà áóäåò ñîñòàâëÿòü ñ âåðòèêàëüþ óãîë α (ðèñ. 278), òàêîé, ÷òî qE
tg α = mg . Óñêîðåíèå øàðèêà ïðè îäíîâðåìåííîì äåéñòâèè ñèëû òÿæåñòè è ñèëû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà: mgR =
(mg)2 + (qE)2 ;
!%
Ðèñ. 278
îòñþäà gR =
2
Eq g2 + . m
(mg)2 + (qE)2 = m
Ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà l
T = 2π g′ = 2π
l Eq g + m
2
.
2
Òàêèì îáðàçîì, åñëè øàðèê è ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà çàðÿäèòü, òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ øàðèêà èçìåíèòñÿ, à ïåðèîä êîëåáàíèé óìåíüøèòñÿ. 325. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ òî÷å÷íîãî kq ER2 9 2 2 d 2 , ãäå k = 9·10 Í·ì /Êë ; îòñþäà q = R k
çàðÿäà Å =
d 5,9·105 Êë. § 20. Ðàáîòà ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ 326. Ðàáîòà ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðè äâèæåíèè ýëåêòðîíà À = Fd = eEd. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äîëæíî áûòü eEd = =
mv2 ; îòñþäà v = 2
327. d =
2eEd = 3,26·107 ì/ñ. m
U ; d = 5 ñì. E
328. Çàðÿæåííàÿ ìåòàëëè÷åñêàÿ ñôåðà âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâå ñîçäàåò òàêîå æå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, êàêîå ñîçäàâàë áû òî÷å÷íûé çàðÿä q, ïîìåùåííûé â åå öåíòðå. Ïîòåíöèàë â ëþáîé òî÷êå òàêîãî ïîëÿ ϕ=
kq ϕR k = 1 , îòñþäà q = 4πε0 . R k
!&
Ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà ðàâíà σ=
q εϕ ϕ = = 0 , R 4πkR 4πR 2
ãäå ε0 = 8,85·1012 Ô/ì ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ; σ = 26,55 íÊë/ì2. 329. Ïðèíöèï íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé äàåò âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòûâàòü ïîòåíöèàë ëþáîé òî÷êè ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ñèñòåìîé òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ, êàê ñóììó ïîòåíöèàëîâ, ñîçäàâàåìûõ êàæäûì èç çàðÿäîâ â îòäåëüíîñòè: q
q
1 2 ϕ = ϕ1 + ϕ2 = k r + r = 900 Â. 1 2
330. À = q(ϕC ϕB); A = 27 ìêÄæ. 331. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé. Ïîòåíöèàë ïåðâîãî øàðèêà ϕ1 ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ ïîòåíöèàëîâ: ïîòåíöèàëà, ñîçäàâàåìîãî ñîáñòâåííûì çàðÿäîì øàðèêà è ðàâíîãî
kq1 , è ïîòåíöèàëà, ñîR
çäàâàåìîãî çàðÿäîì âòîðîãî øàðèêà è ðàâíîãî
kq2 (ó÷èr
òûâàåòñÿ, ÷òî R n r). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïîòåíöèàë âòîðîãî øàðèêà.  ðåçóëüòàòå èìååì q
q
q
q
1 2 2 1 ϕ1 = k R + r , ϕ2 = k R + r .
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî q1 è q2, íàéäåì q1 =
rR R ϕ2 − r ϕ1 rR Rϕ1 − r ϕ2 , q2 = . k R2 − r 2 k R2 − r 2
!'
Èñïîëüçóÿ R2 n r2, ìîæíî óïðîñòèòü ýòè âûðàæåíèÿ è ïîëó÷èòü q1 =
R (Rϕ2 rϕ1); q1 d +3,42 íÊë, kr
q2 =
R (Rϕ1 rϕ2); q2 d 3,42 íÊë. kr
332. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî çàðÿä, ðàñïðåäåëåííûé ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû, ñîçäàåò âíå ñôåðû ïîëå, ïîäîáíîå ïîëþ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ðàñïîëîæåííîãî â öåíòðå ñôåðû. Âíå ñôåð çàðÿä ìàëîé ñôåðû q1 ñîçäàåò íàïðÿæåííîñòü E1 =
kq1 kq è ïîòåíöèàë ϕ1 = 1 . Çàðÿä áîëüøîé ñôåðû q2 r2 r
ñîçäàåò íàïðÿæåííîñòü Å2 =
kq2 kq2 è ïîòåíöèàë ϕ2 = . 2 r r
Ïîýòîìó íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé íàïðÿæåííîñòü è ïîòåíöèàë ïîëÿ âíå ñôåð q
q
q +q q +q 1 2 E = k r2 + r2 = k 1 2 2 , ϕ = k 1 2 . r r
Âíóòðè áîëüøîé ñôåðû çàðÿä q2 ñîçäàåò íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ Å 2 = 0, è ïîòåíöèàë ïîëÿ ýòîãî çàðÿäà kq2
áóäåò îäèíàêîâ äëÿ âñåõ òî÷åê è ðàâåí ϕ2 = R . Çàðÿä q1 2 ñîçäàåò â ýòèõ æå òî÷êàõ íàïðÿæåííîñòü E 1 = ïîòåíöèàë ϕ 1 =
kq1 è r2
kq1 . Ïîýòîìó â ïðîñòðàíñòâå ìåæäó r
ñôåðàìè ïîëíàÿ íàïðÿæåííîñòü è ïîòåíöèàë ïîëÿ ðàâíû E = E1 + E2 = k
q1 q2 q1 + 2 , ϕ = ϕ1 + ϕ2 = k R2 . r r
"
Ñîîòâåòñòâåííî, âíóòðè ìàëîé ñôåðû íàïðÿæåííîñòè ïîëåé îáîèõ çàðÿäîâ E1 = E2 = 0, à ïîòåíöèàëû ïîñòîÿííû è ðàâíû ϕ1 = kq1 / R1 è ϕ2 = kq2 / R2 . Ïîýòîìó q
q
1 2 E = 0, ϕ = k R + R . 1 2
333. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàðÿä ðàñïðåäåëåí ñ îäèíàêîâîé ïëîòíîñòüþ σ ïî ïîâåðõíîñòè îáåèõ ñôåð, òî çàðÿä âíóòðåííåé ñôåðû q1 = 4πR12σ è âíåøíåé q2 = 4πR22σ. Èñêîìûé çàðÿä q = q1 + q2. Ðàáîòà A ïåðåíîñà çàðÿäà â öåíòð ñôåð ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîòåíöèàëà ϕ ýòîãî öåíòðà íà ïåðåíîñèìûé çàðÿä. Ïðè ýòîì (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 332) q
q
1
1 2 A = ϕq0 = k R + R q0, ãäå k = 4πε = 9·109 Í·ì2/Êë2, 1 0 2
q0 = 1 Êë. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ q1 è q2, ïîëó÷èì ϕq0
σ = 4πk( R + R ) . 1 2 Äëÿ q1, q2 è q ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî ϕR12q0
ϕR22q0
q1 = k( R + R ) , q2 = k( R + R ) , q = 1 2 1 2
ϕ( R12 + R22 )q0 ; k( R1 + R2 )
q = 27,7 íÊë. 334. U1 = Ed; U1 = 1,5 êÂ; U2 = E(d b); U2 = 1,2 êÂ. Ó ê à ç à í è å. Ïðè ââåäåíèè ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíû èñ÷åçàåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âî âñåì îáúåìå, çàíèìàåìîì ïëàñòèíîé. Ïðè ïåðåíîñå ïðîáíîãî çàðÿäà ñ îäíîé ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà íà äðóãóþ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñîâåðøàåò ðàáîòó òîëüêî íà ïóòè d b è â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïîñëå ââåäåíèÿ ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíû ïðîèçîéäåò óìåíüøåíèå ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà äî çíà÷åíèÿ U2 = E(d b). 335. Ëèñòî÷êè âñå âðåìÿ áóäóò ðàçâåäåíû íà îäèí è òîò æå óãîë. Ó ê à ç à í è å. Ïðè óêàçàííîì â óñëîâèè çàäà÷è ñïîñîáå ïîäêëþ÷åíèÿ ýëåêòðîñêîïà åãî ïîêàçàíèÿ áóäóò ïðîïîðöèîíàëüíû ïîòåíöèàëó ïîâåðõíîñòè òåëà. À òàê "
êàê ïîòåíöèàëû âñåõ òî÷åê ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå îäèíàêîâû, òî è ðàñõîæäåíèå ëèñòî÷êîâ ýëåêòðîñêîïà äëÿ âñåõ òî÷åê áóäåò îäèíàêîâî. 336. Ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïðîõî 1 äÿò âñþäó ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ýêâèïîòåíöèàëüíûì ïîâåðõíîñòÿì è íàïðàâëåíû â ñòîÐèñ. 279 ðîíó óáûâàíèÿ ïîòåíöèàëà (ðèñ. 279). Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ áîëüøå òàì, ãäå ýêâèïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè ðàñïîëîæåíû áëèæå äðóã ê äðóãó. 337. Ðàáîòà ïðè ïåðåìåùåíèè çàðÿäà q íà ó÷àñòêàõ KH KH NK è LM ðàâíà íóëþ, òàê êàê ñèëà F = q E ïåðïåíäèêóëÿðíà ê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ (ðèñ. 280). Ðàáîòû KH ñèëû F íà ó÷àñòêàõ MN è KL ðàâíû äðóã äðóãó ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà íà âñåì çàìêíóòîì êîíòóðå áóäåò ðàâíà íóëþ. Ýòîò ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ äëÿ âñåõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé è çàìêíóòûõ êîíòóðîâ ëþáîé ïðîèçâîëüíîé ôîðìû. 338. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóåò ðàññ÷èòàòü ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë ïðè ïåðåìåùåíèè çàðÿäà q ïî çàìêíóòîìó ïðÿìîóãîëüíîìó êîíòóðó MNKL (ðèñ. 281). Òàê êàê ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïàðàëëåëüíû, òî KH íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ E âäîëü êàæäîé ëèíèè ïîñòîÿííà. Ëèíèè íàïðÿæåííîñòè íà ó÷àñòêå MN ðàñïîëîæåíû ðåæå, KH ÷åì íà ó÷àñòêå KL, ïîýòîìó íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ E1, à çíà÷èò, è ðàáîòà À1 ïåðåìåùåíèÿ çàðÿäà íà ó÷àñòêå MN KH ïo ìîäóëþ çàâåäîìî ìåíüøå, ÷åì íàïðÿæåííîñòü E2 è ðàáîòà À2 íà ó÷àñòêå KL. Ðàáîòà ïåðåìåùåíèÿ íà ó÷àñò2
Ðèñ. 280
Ðèñ. 281
"
KH êàõ NK è LM ðàâíà íóëþ, òàê êàê âåêòîð E ïåðïåíäèêóëÿðåí ê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ çàðÿäà. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà íà âñåì çàìêíóòîì êîíòóðå MNKL, ðàâíàÿ A1 À2, îòëè÷íà îò íóëÿ.  ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ðàáîòà ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë íà ëþáîì çàìêíóòîì êîíòóðå âñåãäà ðàâíà íóëþ (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 337), ò.å. ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íåñîâìåñòèì ñ îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè ýëåêòðîÐèñ. 282 ñòàòè÷åñêèõ ïîëåé è ñóùåñòâîâàíèå óêàçàííîãî â óñëîâèè çàäà÷è ïîëÿ íåâîçìîæíî. 339. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóåò ðàññ÷èòàòü ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë íà çàìêíóòîì êîíòóðå MNKL (ðèñ. 282), îãðàíè÷åííîì îòðåçêàìè ðàäèóñîâ NK è LM è äóãàìè îêðóæíîñòåé MN è KL, ñîâïàäàþùèõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ëèíèÿìè íàïðÿæåííîñòè. Èç ïàðàëëåëüíîñòè ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñëåKH äóåò ïîñòîÿíñòâî íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ E 1 íà ëèíèè MN KH è E 2 íà ëèíèè KL. Ðàáîòà íà ó÷àñòêå MN ðàâíà E1Rα, ðàáîòà íà ó÷àñòêå KL ðàâíà E2rα, ãäå R è r ðàññòîÿíèÿ ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ MN è KL îò òî÷êè Î. Íà KH ó÷àñòêàõ NK è LM ðàáîòà ñèë ïîëÿ ðàâíà íóëþ (âåêòîð E ïåðïåíäèêóëÿðåí ê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ çàðÿäà). Òàê êàê â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ðàáîòà ýëåêòðè÷åñêèõ ñèë íà çàìêíóòîì ïóòè âñåãäà ðàâíà íóëþ (ñì. ðåøåíèå çàäà÷ 337 è 338), òî äîëæíî áûòü E1
r
, E1Rα E2rα = 0, èëè E = R 2 ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. § 21. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â äèýëåêòðèêå 340. Ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå ÷èñëà ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ïðè ïåðåõîäå ãðàíèöû äèýëåêòðèêà (ðèñ. 283) îáúÿñíÿåòñÿ äåéñòâèåì ïîëÿðèçàöèîííûõ çàðÿäîâ, âîç"!
íèêàþùèõ íà ãðàíèöå äèýëåêòðèêà â ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëÿõ. + + + + –– + ––+ ++–– + + + + –– + –– + –– + + + +
Ðèñ. 283
341. E1 =
kq ; E1 = 3 êÂ/ì; εr12
kq
E2 = r 2 ; E2 = 2,25 êÂ/ì. 2 342. Åñëè áû âîêðóã øàðà íå áûëî äèýëåêòðèêà, òî îí ñîçäàë áû â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ E1 =
kq . r2
Ïðè íàëè÷èè æå äèýëåêòðèêà âîçíèêàåò ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ E2 =
kq q ε −1 . Ðàçíîñòü ER = E1 E2 = k 2 r ε εr 2
ðàâíà òîé íàïðÿæåííîñòè, êîòîðóþ ñîçäàþò ïîëÿðèçàöèîííûå çàðÿäû qR, âîçíèêøèå îêîëî çàðÿæåííîãî òåëà (ðèñ. 284). Òàê êàê ýòè çàðÿäû ðàñïîëîæåíû òàêæå ðàâíîìåðíî ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû, òî ìîæíî ïîëîæèòü ER =
kq′ . Ñîïîñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ER, r2
íàéäåì, ÷òî qR =
ε −1 q. ε
Ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ïîëÿðèçàöèîííûõ çàðÿäîâ σR =
q′ ε −1 q = = ε 4πR 2 4πR 2
=
Ðèñ. 284
ε −1 σ, ε
ãäå σ ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà q íà øàðå. 343. Ïðè îïóñêàíèè øàðèêîâ â ìàñëî íà íèõ áóäóò äåé""
KKH H ñòâîâàòü ñèëà òÿæåñòè m g è âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà FA mgρ0 FA = , êîòîðûå äàäóò ðàâíîäåéñòâóþùóþ, ìîäóëü ρ
êîòîðîé ðàâåí
mg (ρ − ρ0 ) . Ìîäóëü ñèëû ýëåêòðîñòàòè÷åñρ
êîãî âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ øàðèêîâ ðàâåí
kq2 . Óñëîεb2
âèå ðàâíîâåñèÿ øàðèêîâ çàïèøåòñÿ â âèäå mg
ρ − ρ0 q2 tg α = k . ρ εb 2
Çàìå÷àÿ, ÷òî tg α =
(1)
b mga3 ,al= (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 2l 2kq2
304), è ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì ρ
b = a 3 ε(ρ − ρ ) . 0 § 22. Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü. Êîíäåíñàòîðû 344. à) q1 =
ε S1 ε 0 εS 1 ; q1 = 2,33 íÊë; á) q2 = 0 ; d d
q2 = 1,06 íÊë. Óê à ç à í è å. à) Ïðè çàëèâàíèè ìàñëà çàðÿä íà ïëàñòèíàõ âîçðàñòåò â ε ðàç çà ñ÷åò âîçðàñòàíèÿ åìêîñòè, íî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ è íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ îñòàíóòñÿ íåèçìåííûìè; á) çàðÿä íà ïëàñòèíàõ ïðè çàëèâàíèè ìàñëà îñòàíåòñÿ íåèçìåííûì, åìêîñòü êîíäåíñàòîðà âîçðàñòåò â ε ðàç è â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì â ε ðàç óìåíüøèòñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè è íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â êîíäåíñàòîðå. 345. Åñëè îäíî èç òåë èìååò çàðÿä q, à äðóãîå òåëî â ìåñòå ðàñïîëîæåíèÿ ïåðâîãî òåëà ñîçäàåò íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ E, òî íà ïåðâîå òåëî äåéñòâóåò ñèëà F = qE. "#
Òàê êàê ïîòåíöèàëû ïðîâîäíèêîâ ïîääåðæèâàþòñÿ ïîñòîÿííûìè, òî ïðè ïîìåùåíèè òåë â äèýëåêòðèê íàïðÿæåííîñòü Å ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî êàæäûì èç òåë, âî âñåõ òî÷êàõ äîëæíà îñòàòüñÿ òàêæå íåèçìåííîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîìåùåíèå òåë â äèýëåêòðèê ïðèâåäåò ê âîçðàñòàíèþ èõ ýëåêòðè÷åñêîé åìêîñòè â ε ðàç. Ïîýòîìó äëÿ ñîõðàíåíèÿ ïîñòîÿíñòâà ïîòåíöèàëîâ íåîáõîäèìî áóäåò óâåëè÷èòü çàðÿäû òåë òàêæå â ε ðàç. Åñëè q çàðÿä ïåðâîãî òåëà â âîçäóõå, òî ïîñëå ïîìåùåíèÿ òåë â äèýëåêòðèê çàðÿä ýòîãî òåëà äîëæåí ïðèíÿòü çíà÷åíèå εq è ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ òåë áóäåò F2 = εqÅ = εF1, ãäå F1 = qE ñèëà, äåéñòâîâàâøàÿ íà òåëî â âîçäóõå. 346. Åñëè çàðÿä q îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, òî ïðè ñìåíå äèýëåêòðèêîâ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ E áóäåò óìåíüøàòüñÿ â ε ðàç, ò.å. ÅR =
E . Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ñèëà, äåéñòâóε
þùàÿ íà êàæäûé èç øàðîâ è ðàâíàÿ F = qE, áóäåò óìåíüøàòüñÿ â ε ðàç. Åñëè îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè ïîòåíöèàëû øàðîâ, òî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà êàæäûé èç øàðîâ, áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ â ε ðàç (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 345). 347. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóåò îïðåäåëèòü ïîòåíöèàëû êàæäîãî èç øàðîâ. Øàðû äîñòàòî÷íî óäàëåíû äðóã kq1
kq2
îò äðóãà, ïîýòîìó ìîæíî ïîëîæèòü ϕ1 = R , ϕ2 = R . 1 2 Òàê êàê ϕ1 > ϕ2, òî çàðÿäû áóäóò ïåðåìåùàòüñÿ êî âòîðîìó øàðó. Ïåðåìåùåíèå çàðÿäîâ ïðåêðàòèòñÿ, êîãäà ïîòåíöèàëû øàðîâ âûðàâíÿþòñÿ. Ïðè ýòîì áóäóò èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâà kq1′
kq2′
ϕR1 = ϕR2 = R = R , qR1 + qR2 = q1 + q2. 2 1 Îòñþäà çàðÿä ïåðâîãî øàðà ïîñëå ñîåäèíåíèÿ R1
qR1 = R + R (q1 + q2), 1 2 è çàðÿä, ïåðåøåäøèé ñ ïåðâîãî øàðà íà âòîðîé, q = q1 qR1 =
R1 R2 q q ; q d 6,67 íÊë. R1 + R2 1 R1 + R2 2
"$
Ïîñëå ñîåäèíåíèÿ ïðîâîëîêîé øàðû áóäóò èìåòü çàðÿäû qR1 = 13,33 íÊë è qR2 = 26,67 íÊë, à èõ îáùèé ïîòåíöèàë ϕ d 2,4 êÂ. 348. U =
C1U1 + C2U2 = 260 Â. C1 + C2
Ó ê à ç à í è å. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóåò îïðåäåëèòü ñóììàðíûå çàðÿäû êîíäåíñàòîðîâ è åìêîñòü áàòàðåè ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ. 349. Çàðÿäû êîíäåíñàòîðîâ äî ñîåäèíåíèÿ ðàâíû q1 = C1U1 è q2 = C2U2. Çàðÿä, îñòàþùèéñÿ íà êîíäåíñàòîðàõ ïîñëå ñîåäèíåíèÿ, ðàâåí Ñ1U1 Ñ2U2. Åìêîñòü êîíäåíñàòîðîâ ïîñëå ñîåäèíåíèÿ ðàâíà C1 + Ñ2. Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðîâ ïîñëå ñîåäèíåíèÿ U=
C1U1 − C2U2 C1 + C2 .
Çàðÿä, îñòàþùèéñÿ íà ïëàñòèíàõ ïåðâîãî êîíäåíñàòîðà ïîñëå ñîåäèíåíèÿ, qR1 = C1U = C1
C1U1 − C2U2 C1 + C2 .
Çàðÿä, ïåðåøåäøèé ñ ïåðâîãî êîíäåíñàòîðà íà âòîðîé, ðàâåí q = q1 qR1 = 350. ϕ = k
C1C2 (U1 + U2 ) ; q = 0,6 ìÊë. C1 + C2
q3 2 N = 8,4 Â. r
Ó ê à ç à í è å. Äëÿ ðåøåíèÿ ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé åìêîñòè øàðà è ðàññ÷èòàòü ðàäèóñ áîëüøîé êàïëè. 351. Íåëüçÿ, êîíäåíñàòîðû áóäóò ïðîáèòû. Èç ðàâåíñòâà çàðÿäîâ íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòîðîâ ñëåäóåò, ÷òî U1C1 = U2Ñ2, U2Ñ2 = U3Ñ3, U1 + U2 + U3 = U. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì U1 = 6 êÂ, U2 = 3 ê è U3 = 2 êÂ. "%
352. Ñ =
ε0εS ; C d 4,65 ïÔ. Ïðè ïåd−b
ðåìåùåíèè ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíû åìêîñòü êîíäåíñàòîðà ìåíÿòüñÿ íå áóäåò. Ó ê à ç à í è å. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è êîíäåíñàòîð ñ âäâèíóòîé â íåãî ïëàñòèíîé Ðèñ. 285 ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ïëîñêèõ êîíäåíñàòîðîâ. 353. Åìêîñòü áóäåò ðàçëè÷íà.  ïåðâîì ñëó÷àå çàðÿäû íà áîëüøîé ñôåðå ðàñïîëàãàþòñÿ òîëüêî ñ âíóòðåííåé ñòîðîíû. Âî âòîðîì ñëó÷àå îíè ðàñïîëàãàþòñÿ ñ îáåèõ ñòîðîí (ðèñ. 285), è åìêîñòü âñåãî êîíäåíñàòîðà íóæíî ðàññ÷èòûâàòü êàê åìêîñòü ñèñòåìû äâóõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ ñ îáêëàäêàìè À è ÂÑ, ò. å. åìêîñòü áóäåò áîëüøå. 1 q2
1 q2
354. F = qE = 2ε S ; A = Fd = 2ε S d = 0 0 355. σ = ε0
CU 2 q2 = . 2 2C
2F ; σ = 0,56 ìêÊë/ì2 (ñì. ðåøåíèå çàäàdC
÷è 354). 356. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âåðõíþþ ïëàñòèíó, mg = =
CU 2 2d
(ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 354). Åìêîñòü ïëîñêîãî
êîíäåíñàòîðà Ñ = mg =
ε0S ; îòñþäà d
ε0 SU 2 , ò.å. U = 2d2
2d2mg ε0 S ; U d 5,9 êÂ.
357.  ïåðâîì ñëó÷àå ïðè ðàçäâèãàíèè ïëàñòèí ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, íî åìêîñòü, à ñëåäîâàòåëüíî, è çàðÿä íà ïëàñòèíàõ óìåíüøàþòñÿ. Ýòî âûçîâåò ïîñòåïåííîå óìåíüøåíèå ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ïëàñòèí. Âî âòîðîì ñëó÷àå çàðÿä íà ïëàñòèíàõ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ïëàñòèí ñîõðàíèò íà÷àëüíîå çíà÷åíèå âî âñå âðåìÿ ðàçäâèãàíèÿ ïëàñòèí. "&
Ïîýòîìó ïðè îäèíàêîâîì ïåðåìåùåíèè ïëàñòèí ðàáîòà âî âòîðîì ñëó÷àå áóäåò áîëüøå. 358. ε = 3. § 23. Çàêîíû ïîñòîÿííîãî òîêà 359. R =
ρl ; R = 17 ìÎì. S
360. Åäèíèöà ñîïðîòèâëåíèÿ ßêîáè ðàâíà 5,75 Îì. 361. ρ =
RS ; ρ = 0,1 ìêÎìì. l
362. Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäà ëåòîì íà 313 Îì áîëüøå. Ó÷åò èçìåíåíèÿ äëèíû ïðîâîäà äàñò ïîïðàâêó, íå ïðåâûøàþùóþ 0,6 Îì. 363. Ñîïðîòèâëåíèå íèòè ëàìïî÷êè R =
ρl U2 = . S N ρ0T
Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå íàêàëåííîé íèòè ρ = T . Äëè0 íà íèòè U2ST0 RST0 RS l= = = Nρ T ; l d 19 ñì. ρ0T ρ 0
364. I = 2 À, ò. å. â 10 ðàç áîëüøå, ÷åì ïðè íîðìàëüíîì ðåæèìå. 365. Åìêîñòü êîíäåíñàòîðà Ñ =
ε 0 εS . Ñîïðîòèâëåíèå d d
êîíäåíñàòîðà ïîñëå çàïîëíåíèÿ ýëåêòðîëèòîì R = γS ; åãî ïðîâîäèìîñòü G=
ε 0ε γS 1 = ; îòñþäà C = γ G. d R
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå èìååò îáùèé õàðàêòåð, ñïðàâåäëèâî äëÿ êîíäåíñàòîðîâ ëþáîé ôîðìû è øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ. "'
366. Èç çàêîíîâ ýëåêòðîëèçà ñëåäóåò, ÷òî ìàññà âåùåñòâà, âûäåëÿþùåãîñÿ íà îäíîì èç ýëåêòðîäîâ, m=
1 M Iτ, F n
ãäå F = 9,65·104 Êë/ìîëü ïîñòîÿííàÿ Ôàðàäåÿ, I ñèëà òîêà, τ âðåìÿ, Ì ìîëÿðíàÿ ìàññà, n âàëåíòíîñòü âåùåñòâà. Îáúåì âûäåëèâøåãîñÿ ïðè ïðîõîæäåíèè òîêà êèñëîðîäà íà îñíîâàíèè çàêîíà Àâîãàäðî ñîñòàâëÿåò ïðè äàâëåíèè 760 ìì ðò. ñò.
1 îáúåìà ãðåìó÷åãî ãàçà è ðàâåí 3
V = 13,72 ñì3. Ìàññà âûäåëèâøåãîñÿ êèñëîðîäà ò = 0,0196 ã. Ñèëà òîêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ åäèíèöå ñèëû òîêà Ëåíöà, I=F
Mn = 0,065 A. Mτ U
367. Ñèëà òîêà ïðè âûêëþ÷åííîì ðåîñòàòå I0 = R = 4 À. 0 Ñîïðîòèâëåíèå R1 îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ U
U
R1 + R0 = I − ∆I , èëè R1 = I − ∆I R0 = 10 Îì. 0 0 Ñîîòâåòñòâåííî, R2 = R3 =
U (R1 + R0) = 20 Îì, I0 − 2∆I
U (R2 + R1 + R0) = 60 Îì. I0 − 3∆I
368. Ãàëüâàíîìåòð ñëåäóåò âêëþ÷èòü â öåïü ïîñëåäîâàòåëüíî. Øêàëà ïðèáîðà: ×, 12, 6, 4, ... , 12/n ÌÎì. Íàèìåíüøåå ñîïðîòèâëåíèå, êîòîðîå ìîæíî èçìåðèòü ãàëüâàíîìåòðîì, ðàâíî 0,3 ÌÎì. Ó ê à ç à í è å. Çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèé Rk, ñîîòâåòñòâóþùèå îòäåëüíûì äåëåíèÿì øêàëû ãàëüâàíîìåòðà, îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå Rk =
U , ãäå k íîìåð äåëåíèÿ øêàëû. ki0
#
369. Åñëè íàïðÿæåíèå â öåïè ðàâíî U, òî ñèëà òîêà â öåïè äî âêëþ÷åíèÿ àìïåðìåòðà I = âêëþ÷åíèÿ àìïåðìåòðà U
I0 = R + R , îòñþäà I = 0 370. R =
U . Ñèëà òîêà ïîñëå R
R + R0 I0 = 5,05 A. R
R0 = 50 Îì. n −1
Ó ê à ç à í è å. Äëÿ óìåíüøåíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ãàëüâàíîìåòðà â n ðàç íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðè ñèëå òîêà â öåïè I ñèëà òîêà â øóíòå áûëà I(n 1)/n. I0 R0
371. R = I − I d 0,032 Îì. ×óâñòâèòåëüíîñòü ïðèáîðà 0 óìåíüøàåòñÿ â n = 250 ðàç. 312. U0 = 0,5 Â/äåë. Ó ê à ç à í è å. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÷åðåç ïðèáîð ïðîòåêàë òîê I = 1 ìÀ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû íà åãî çàæèìàõ áûëî íàïðÿæåíèå U = IR0 = 103 À500 Îì = 0,5 Â. 373. Íàïðÿæåíèå äî âêëþ÷åíèÿ âîëüòìåòðà áûëî
R
U = U0 1 + R = 105 Â. Ïîãðåøíîñòü ñîñòàâëÿåò ∆U= 5 Â. 0 UR0
374. R = IR − U = 61,2 Îì. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ñîïðî0 òèâëåíèå âîëüòìåòðà R0 → ×, òî ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà áóäåò íà 1,2 Îì ìåíüøå èñòèííîãî. 375. Åñëè U è I ïîêàçàíèÿ âîëüòìåòðà è àìïåðìåòðà, òî ðàññ÷èòàííîå ïî ýòèì ïîêàçàíèÿì ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà RR =
U ðàâíî ñîïðîòèâëåíèþ ó÷àñòêà öåïè bbR I
ïðè èçìåðåíèÿõ ïî ñõåìå ðèñ. 116, à è ñîïðîòèâëåíèþ ó÷àñòêà ññR ïðè èçìåðåíèÿõ ïî ñõåìe ðèñ. 116, á, #
ò.å. ñâÿçàíî ñ ñîïðîòèâëåíèåì R â ïåðâîì è âòîðîì ñëó÷àÿõ ñîîòíîøåíèÿìè RRâ
RR1 = R + Rà, RR2 = R + R . â Ñîïîñòàâëÿÿ ðàññ÷èòàííûå ïî ýòèì ñîîòíîøåíèÿì çíà÷åíèÿ ñ èñòèííûì çíà÷åíèåì ñîïðîòèâëåíèÿ R, ìîæíî íàéòè ñîïðîòèâëåíèÿ âîëüòìåòðà, äîïóñêàåìûå ïðè èçìåðåíèÿõ ïî óêàçàííûì ñõåìàì. Äëÿ ñîïðîòèâëåíèÿ R = 1 Îì ïðè èçìåðåíèè ïî ñõåìå ðèñ. 116, à ïîãðåøíîñòü ∆R1 = 0,1 Îì, èëè 10 %; ïî cxeìå ðèñ. 116 ïîãðåøíîñòü ∆R2 = 0,001 Îì, èëè 0,1 %. Äëÿ ñîïðîòèâëåíèÿ R = 0,5 êÎì èìååì, ñîîòâåòñòâåííî, ∆R1 = 0,1 Îì, èëè 0,02 %; ∆R2=167 Îì, èëè 33,4 %. Ïîÿâëåíèå ýòèõ ïîãðåøíîñòåé ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè ðàñ÷åòå ïî ñõåìå ðèñ. 116, à èç ïîêàçàíèé âîëüòìåòðà íå âû÷èòàåòñÿ ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà àìïåðìåòðå, à ïðè ðàñ÷åòå ïî ñõåìå ðèñ. 116, á íå ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî ÷àñòü òîêà îòâåòâëÿåòñÿ â âîëüòìåòð. Ïîýòîìó ðàññ÷èòàííîå òîëüêî ïî ïîêàçàíèÿì ïðèáîðîâ ñîïðîòèâëåíèå RR îêàçûâàåòñÿ â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøå, à âî âòîðîì ñëó÷àå ìåíüøå èñòèííîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R. Ïðè óìåíüøåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ R ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà àìïåðìåòðå â ñõåìå ðèñ. 116, à áóäåò ñîñòàâëÿòü âñå âîçðàñòàþùóþ äîëþ ïîêàçàíèé âîëüòìåòðà è ñõåìà áóäåò äàâàòü âñå âîçðàñòàþùèå îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè. Ïðè óìåíüøåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ R ÷àñòü òîêà, îòâåòâëÿþùàÿñÿ â âîëüòìåòð, â ñõåìå ðèñ. 116, á óìåíüøàåòñÿ. Ïîãðåøíîñòü â ïîêàçàíèÿõ àìïåðìåòðà, à ñëåäîâàòåëüíî, è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü â ðàñ÷åòå òàêæå óìåíüøàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìàëûõ ñîïðîòèâëåíèé âûãîäíî ïðèìåíåíèå ñõåìû ðèñ. 116, á, äëÿ áîëüøèõ ñõåìû ðèñ. 116, à. 376. Ñîïðîòèâëåíèå ó÷àñòêà ab ïîòåíöèîìåòðà è ñèëó òîêà â ïîòåíöèîìåòðå íàõîäèì ïî ôîðìóëàì 21 0
R0 R
Rab = R + 2R , I = 2R + R . 0 ab 0 #
Íàïðÿæåíèå, ñíèìàåìîå ñ ïîòåíöèîìåòðà, 2 *0 R
U = IRab = R + 4 R = 51,2 Â. 0 377. Ñîïðîòèâëåíèÿ ëàìïî÷êè è ïðèáîðà: U2
U2
R1 = P = 240 Îì, R2 = P = 60 Îì. 1 2 Ñîïðîòèâëåíèå öåïè äî è ïîñëå âêëþ÷åíèÿ ïðèáîðà: R1R2
R = R0 + R1 = 246 Îì, RR = R0 + R + R = 54 Îì. 1 2 Ñèëà òîêà â öåïè äî è ïîñëå âêëþ÷åíèÿ ïðèáîðà: I=
U U d 0,49 À, IR = = 2,22 A. R R′
Ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ïðîâîäàõ, ñîîòâåòñòâåííî: U0 = IR0 = 2,9 Â, UR0 = IRR0 = 13,3 Â, ò.å. íàïðÿæåíèå, ïîäâîäèìîå ê ëàìïî÷êå, èçìåíÿåòñÿ íà ∆U0 = 10,4 Â. 378. S =
2nIρl . U
Ó ê à ç à í è å. Ñîïðîòèâëåíèå ïîäâîäÿùèõ ïðîâîäîâ R=
2ρl . S
379.Òîê âîçíèêíåò, òàê êàê ïîòåíöèàëû ïðîâîäíèêîâ bbR è ccR áóäóò ðàçëè÷íû; íàïðàâëåíèÿ âîçíèêàþùèõ òîêîâ óêàçàíû íà ðèñ. 286. Ïîòåíöèàëû òî÷åê b, bR è ñ, ñR èçìåíÿòñÿ. Ðàçíîñòü Ðèñ. 286 ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òî÷êàìè b è ñ, à òàêæå ìåæäó òî÷êàìè bR è ñR óìåíüøèòñÿ. Ïîòåíöèàë òî÷êè à ñòàíåò íèæå ïîòåíöèàëîâ òî÷åê b è bR, ïîòåíöèàë òî÷êè àR ñòàíåò âûøå ïîòåíöèàëîâ òî÷åê ñ è ñR. 380. Åñëè ìîñòèê íåóðàâíîâåøåí, òî ïîòåíöèàëû òî÷åê à è b ðàçëè÷íû. Ïðè çàìûêàíèè êëþ÷à ïî ïðîâîäíè#!
êó ab ïðîòåêàåò òîê è, ñëåäîâàòåëüíî, èçìåíÿåòñÿ âñå ðàñïðåäåëåíèå òîêîâ â ñõåìå. Ýòî áóäåò ðàâíîöåííî èçìåíåíèþ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ñõåìû è âûçîâåò èçìåíåíèå ñèëû òîêà â èñòî÷íèêå òîêà.  íåóðàâíîâåøåííîé ñõåìå ïîêàçàíèÿ ãàëüâàíîìåòðà ïðè çàìûêàíèè è ðàçìûêàíèè êëþ÷à áóäóò ðàçëè÷íû. Åñëè ìîñòèê óðàâíîâåøåí, òî ïîòåíöèàëû òî÷åê à è b îäèíàêîâû. Ðàñïðåäåëåíèå òîêîâ â ñõåìå è ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà áóäóò îäèíàêîâû êàê ïðè çàìêíóòîì, òàê è ïðè ðàçîìêíóòîì êëþ÷å. 381. Åäèíèöà ÝÄÑ Ëåíöà ðàâíà 0,38 Â. 382.Èç çàêîíà Îìà äëÿ çàìêíóòîé öåïè îïðåäåëÿåòñÿ âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå áàòàðåè: r =
1 R = 1 Îì. I
Ñèëà òîêà ïðè êîðîòêîì çàìûêàíèè áàòàðåè I0 = 383. Ñîïðîòèâëåíèå ëàìïî÷êè R = òîêà â öåïè I =
1 = 6 À. r
U02 = 220 Îì. Ñèëà P
1 = 0,46 À. Íàïðÿæåíèå íà ïîëþñàõ R+r
áàòàðåè U = IR = 93 Â, ò. å. íà ∆U = 17  íèæå íàïðÿæåíèÿ U0 = 110 Â, ñîîòâåòñòâóþùåãî íîðìàëüíîìó ðåæèìó ðàáîòû ëàìïû; ëàìïà ãîðåòü ïîëíûì íàêàëîì íå áóäåò. Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, ñîïîñòàâëÿÿ ñèëó P
òîêà I â öåïè è ñèëó òîêà I0 = U , íåîáõîäèìóþ äëÿ 0 íîðìàëüíîãî íàêàëà ëàìïû. 384. Ñèëà òîêà â öåïè â ïåðâîì è âî âòîðîì ñëó÷àÿõ ñâÿçàíà ñ ÝÄÑ è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì àêêóìóëÿòîðà ñîîòíîøåíèÿìè 1 = I1(R1 + r), 1 = I2(R2 + r). Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì r=
I2 R2 − I1R1 = 0,5 Îì. I1 − I2
#"
385. Åñëè R ñîïðîòèâëåíèå öåïè, òî ñèëà òîêà â öåïè â ïåðâîì è âî âòîðîì ñëó÷àÿõ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè I1R = 1 + 10, I2R = 1 10; I1 + I2
îòñþäà 1 = I − I 10 d 4,7 Â. 1 2 I1 − I2
386. 1 = I + I 10 d 0,86 Â. 1 2 Ó ê à ç à í è å. Ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 385. Íàäî ó÷åñòü, ÷òî ïðè âêëþ÷åíèè àêêóìóëÿòîðà è ýëåìåíòà íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñèëà òîêà è ÝÄÑ àêêóìóëÿòîðà áóäóò èìåòü ðàçíûå çíàêè è óðàâíåíèå çàêîíà Îìà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ èìååò âèä I2R = 10 1. 387. U =
1R d 1,43 Â. R+r
388. ÝÄÑ ýëåìåíòà è àêêóìóëÿòîðà íà ó÷àñòêå ab ïîòåíöèîìåòðà ñîçäàþò òîêè ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèé. Î÷åâèäíî, ÷òî òîê â öåïè ãàëüâàíîìåòðà ïðåêðàòèòñÿ òîãäà, êîãäà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U, ñîçäàâàåìàÿ ýëåìåíòîì íà êîíöàõ ó÷àñòêà ab, áóäåò ðàâíà ïî ìîäóëþ ÝÄÑ 1 àêêóìóëÿòîðà: U = 1. Ïðè ðàâíîâåñèè ñõåìû íå ïðîèñõîäèò îòâåòâëåíèÿ òîêà â öåïü ãàëüâàíîìåòðà, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåíöèàëû îòäåëüíûõ òî÷åê ïîòåíöèîìåòðà ðàñòóò ïðîïîðöèîíàëüíî ñîïðîòèâëåíèþ R ó÷àñòêà ab: U R R U0 = R0 ; îòñþäà U = R0 U0, ò.å. 1 = U = 1,8 Â.
389. Ïðè ñìåùåíèè äâèæêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèëà òîêà â öåïè ãàëüâàíîìåòðà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ðàçíèöåé ìåæäó ÝÄÑ àêêóìóëÿòîðà è ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ, ñîçäàâàåìîé ýëåìåíòîì íà êîíöàõ ó÷àñòêà ab. Ïðè ñìåùåíèè äâèæêà íà îäíî äåëåíèå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò íà ∆U =
U0 , n
##
ãäå n ÷èñëî äåëåíèé øêàëû ïîòåíöèîìåòðà (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 388). Ñèëó òîêà â öåïè ãàëüâàíîìåòðà íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ I(r + Rã) = ∆U; îòñþäà Rã =
∆U U r = 0 r. I nI
Ïðè ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîì çíà÷åíèè Rã ñìåùåíèå äâèæêà ïîòåíöèîìåòðà íà îäíî äåëåíèå äîëæíî îáåñïå÷èâàòü ñèëó òîêà I0 = 104 A, äîñòàòî÷íóþ äëÿ îòêëîíåíèÿ ñòðåëêè ãàëüâàíîìåòðà íà îäíî äåëåíèå, ò. å. 2Â
Rã = 500 ⋅ 10 −4 À 0,5 Îì = 39,5 Îì. 390. R = 6 Îì; r =
* R = 4 Îì. I
Ó ê à ç à í è å. Èñêîìûå ñîïðîòèâëåíèÿ íàéäóòñÿ èç çàêîíà Îìà äëÿ çàìêíóòîé öåïè è ó÷àñòêà öåïè: I(R + r) = 1, U = IR. 391. Òàê êàê àêêóìóëÿòîðû ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî, òî ÝÄÑ áàòàðåè, äåéñòâóþùåé â öåïè, ðàâíà 21. Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ðàâíî 2r. Ñèëà òîêà ïîñëå ñîåäèíåíèÿ àêêóìóëÿòîðîâ îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ 21 = I·2r, èëè I =
* . r
Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà ïîëþñàõ ëþáîãî èç àêêóìóëÿòîðîâ U = Ir 1 = 0. 392. Åñëè 1 ÝÄÑ è r âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå àêêóìóëÿòîðà, òî ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè â öåïè äåéñòâóåò ÝÄÑ n1, ñîïðîòèâëåíèå öåïè ðàâíî R + nr è ñèëà òîêà I1 =
n1 ; R + nr
ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè I2 =
1
r R+ n
=
#$
n1 . nR + r
Ñîïîñòàâëÿÿ ýòè óðàâíåíèÿ, íàõîäèì, ÷òî I1 = I2 ïðè r = R. 393. Ñîïðîòèâëåíèå è ñèëà òîêà â êàæäîé ëàìïå ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: U2
P
. R0 = P , I0 = U Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè m ëàìïî÷åê ñîïðîòèâëåíèå öåïè R =
R0 U2 = . Äëÿ ñîçäàíèÿ íîðìàëüíîãî m mP
íàêàëà ëàìïî÷åê â öåïè äîëæíà áûòü ñîçäàíà ñèëà òîêà I = mI0 =
mP . Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ R è I â óðàâíåU
íèå çàêîíà Îìà äëÿ âñåé öåïè, ïîëó÷èì 1 = I(R + r) =
mP U 2 + r ; U mP
îòñþäà m=
(1 − U)U = 4. Pr
394. Áàòàðåÿ èç n ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ àêêóìóëÿòîðîâ èìååò ÝÄÑ n1 è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå nr. Ïðè ñèëå òîêà I ïîòåðÿ íàïðÿæåíèÿ íà âíóòðåííåì ó÷àñòêå öåïè (â áàòàðåå) ðàâíà Inr. Ñîãëàñíî çàêîíó Îìà äëÿ âñåé öåïè äîëæíî áûòü n1 U = Inr; îòñþäà n =
U = 110. 1 − Ir
395. Çàêîí Îìà äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ñëó÷àåâ äàåò 1 U1 = I1r, U1 = I1R1; 1 U2 = I2r, U2 = I2R2. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàõîäèì (U2 − U1) R1R2
r = UR −RU 1 2 1 2
= 1 Îì, 1 = #%
U1U2 ( R2 − R1 ) = 3 Â. U1R2 − R1U2
396. Ñîïðîòèâëåíèå öåïè R =
R1R2 = 1,6 Îì. Ñèëà R1 + R2
òîêà è ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â öåïè: I=
1 = 2 A, U = IR = 3,2 Â. R+r
Ñèëû òîêà â ðåçèñòîðàõ ðàâíû I1 = 1,6 À è I2 = 0,4 À. 397. Åñëè â ãðóïïå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíî n àêêóìóëÿòîðîâ, òî ñîïðîòèâëåíèå è ÝÄÑ êàæäîé ãðóïïû ðàâíû nr è ï1. Åñëè k îáùåå ÷èñëî àêêóìóëÿòîðîâ, òî â áàòàðåå áóäåò ðàâíû
k ãðóïï, ñîïðîòèâëåíèå è ÝÄÑ áàòàðåè n
n2r è ï1. k
Ñèëà òîêà â öåïè îïðåäåëèòñÿ èç çàêîíà Îìà: I=
n1 k1 = . kR n2r nr + +R n k
Ñèëà òîêà I áóäåò íàèáîëüøåé ïðè òàêîì çíà÷åíèè ï, ïðè êîòîðîì çíàìåíàòåëü äðîáè áóäåò íàèìåíüøèì. Òàê êàê ïðîèçâåäåíèå ÷ëåíîâ çíàìåíàòåëÿ íå çàâèñèò îò ï è nrkR
ïîñòîÿííî n
= kRr , òî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå çíà
ìåíàòåëÿ äîñòèãàåòñÿ òîãäà, êîãäà åãî ÷ëåíû ðàâíû: nr =
kR n2r , èëè = R, n k
ò. å. êîãäà âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå áàòàðåè ñòàíåò ðàâíûì ñîïðîòèâëåíèþ âíåøíåé öåïè. Îòñþäà íàèìåíüøåìó çíà÷åíèþ çíàìåíàòåëÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, íàèáîëüøåé ñèëå òîêà â öåïè áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü n=
kR = 3. r
Ïðè ýòîì íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ñèëû òîêà I = 10 À. #&
398. ï =
kR ;ò= r
kr . R
Ó ê à ç à í è å. Ñîïðîòèâëåíèå êàæäîé ãðóïïû ðàâíî r k , ÷èñëî ãðóïï ï = , ò.å. ñîïðîòèâëåíèå è ÝÄÑ áàòàm m
ðåè ýëåìåíòîâ (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 397) ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: rá =
nr kr k* = 2 , 1á = ï1 = . m m m
Ïðè ëþáîì çíà÷åíèè m ñèëà òîêà â öåïè I = kr m
k1 + mR
.
399. Ñèëà òîêà â öåïè I = kr m
k1
(1)
+ mR
(ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 398). Áàòàðåÿ èç k ýëåìåíòîâ äàåò íàèáîëüøóþ ñèëó òîêà òîãäà, êîãäà îíà ñîñòàâëåíà òàê, ÷òî åå âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî ñîïðîòèâëåíèþ âíåøíåé öåïè (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 397), ò. å. êîãäà â çíàìåíàòåëå óðàâíåíèÿ (1) kr = mR. m
(2)
Ðåøàÿ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ (1) è (2), íàéäåì k=
4rRI 2 = 160, m = *2
kr = 4. R
Íàéäåííûå òàêèì îáðàçîì k è ò îïðåäåëÿþò íàèìåíüøåå ÷èñëî àêêóìóëÿòîðîâ, êîòîðîå ñëåäóåò âçÿòü, è ñïîñîá ñîåäèíåíèÿ èõ â áàòàðåþ. Áàòàðåÿ äîëæíà áûòü ñîñòàâëåíà èç
k = 40 ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ãðóïï, m
êàæäàÿ ãðóïïà èç ò = 4 ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ àêêóìóëÿòîðîâ. #'
400. Åñëè âíóòðè ó÷àñòêà öåïè âêëþ÷åí èñòî÷íèê òîêà ñ ÝÄÑ 1, òî ñèëà òîêà â ýòîì ó÷àñòêå îïðåäåëÿåòñÿ ýòîé ÝÄÑ è ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ, ïðèëîæåííîé ê êîíöàì ó÷àñòêà. Àêêóìóëÿòîð äëÿ çàðÿäêè ïîäêëþ÷àåòñÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 287.  ýòîì ñëó÷àå çíàê ñèëû òîêà è çíàê ÝÄÑ ïðîòèâîïîëîæíû. Óðàâíåíèå çàêîíà Îìà äëÿ ó÷àñòêà Ðèñ. 287 öåïè ñ àêêóìóëÿòîðîì çàïèøåòñÿ â âèäå U 1 = Ir; îòñþäà 1 = U Ir = 12 Â. 401. Óðàâíåíèå çàêîíà Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè ñ àêêóìóëÿòîðîì è ðåçèñòîðîì ñîïðîòèâëåíèåì R èìååò âèä U 1 = I(r + R); îòñþäà R =
U − 1 − Ir = 1 Îì. I
402. Äëÿ òîãî ÷òîáû òîê ÷åðåç áàòàðåþ íå ïðîõîäèë, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà ïîëþñàõ ãåíåðàòîðà áûëà ðàâíà ÝÄÑ áàòàðåè, ò.å. U = 10, èëè, èíà÷å, ÷òîáû ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ âíóòðè ãåíåðàòîðà Ir = 1 10.
(1)
Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî U = 10 è çàìå÷àÿ, ÷òî âåñü òîê, ñîçäàâàåìûé ãåíåðàòîðîì, ïðîõîäèò ÷åðåç ðåçèñòîð (2) ñîïðîòèâëåíèåì R0, ìîæíî çàïèñàòü IR0 = 10. Èç óðàâíåíèé (1) è (2) ñëåäóåò, ÷òî 10r
R0 = 1 1 = 5,5 Îì. 0 Åñëè R > R0, áàòàðåÿ çàðÿæàåòñÿ; åñëè R < R0, áàòàðåÿ ðàçðÿæàåòñÿ. 403. Íàïðÿæåíèå, ïîäàâàåìîå çàðÿäíîé ñòàíöèåé, îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ U 11 = I1r, ò.å. U = 11 + I1r = 110 Â. Ñèëà òîêà â êîíöå çàðÿäêè I2 =
U − 12 = 5 À. r
$
§ 24. Òåïëîâîå äåéñòâèå òîêà. Ìîùíîñòü òîêà 404. τ =
mc∆T = 1,42 c. I2R
405. τ = 4 ìèí 40,6 ñ. 406. R =
rR0 = 2 Îì. ( n − 1)(r + R0 )
Ó ê à ç à í è å. Ïîëüçóÿñü çàêîíîì Îìà, ñëåäóåò îïðåäåëèòü ñèëû òîêîâ â öåïè äî è ïîñëå âêëþ÷åíèÿ øóíòà è çàòåì ïîäñ÷èòàòü ïî çàêîíó Äæîóëÿ Ëåíöà êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿþùåéñÿ â íàãðåâàòåëå â îáîèõ ñëó÷àÿõ. 407. Ñèëà òîêà â öåïè I =
1 . Ïîëåçíàÿ ìîùíîñòü P R+r
è ïîëíàÿ ìîùíîñòü P0, ðàçâèâàåìàÿ áàòàðååé, ðàâíû: 12 R
12
, P0 = 1I = . P = I2R = ( R + r )2 R+r ÊÏÄ áàòàðåè P
R
η= P = . R+r 0 Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïîëó÷àåì P1 = 40 Âò, P2 = 45 Âò, P3 = 30 Âò; η1 = 33%, η2 = 50%, η3 = 71%. Ïðè ðîñòå ñîïðîòèâëåíèÿ âíåøíåãî ó÷àñòêà öåïè ïðîèñõîäèò îäíîâðåìåííî óìåíüøåíèå ïîëíîé ìîùíîñòè, ðàçâèâàåìîé áàòàðååé, è óìåíüøåíèå ïîòåðü íà âûäåëåíèå ýíåðãèè íà âíóòðåííåì ó÷àñòêå (â áàòàðåå). Ïðè ýòîì ïîòåðè óìåíüøàþòñÿ áûñòðåå, ÷åì ïîëíàÿ ìîùíîñòü. Ïðè áîëüøèõ ñîïðîòèâëåíèÿõ íà èçìåíåíèå ïîëåçíîé ìîùíîñòè ñèëüíåå âëèÿåò óìåíüøåíèå ïîëíîé ìîùíîñòè áàòàðåè. Ïðè ìàëûõ ñîïðîòèâëåíèÿõ áîRëüøóþ ðîëü èãðàåò óìåíüøåíèå ïîòåðü. Ïîýòîìó, êîãäà ïðîèçâîäèòñÿ óâåëè÷åíèå ìàëîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðà, âêëþ÷åííîãî âî âíåøíþþ öåïü, ïîëåçíàÿ ìîùíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ, íåñìîòðÿ íà óìåíüøåíèå ïîëíîé ìîùíîñòè. Íàèáîëüøóþ ïîëåçíóþ ìîùíîñòü áàòàðåÿ îòäàåò ïðè ðàâåíñòâå âíåøíåãî è âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèé. $
408. Åñëè 1 è r ÝÄÑ è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå êàæäîãî ýëåìåíòà, à ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëèíû ïðîâîëîêè ðàâíî Rl, òî ïðè âêëþ÷åíèè ïðîâîëîêè äëèíîé l ñèëà òîêà n1
I = nr + lR . l  ïðîâîëîêå äëèíîé l â åäèíèöó âðåìåíè âûäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû n 2 12 I Rll = (nr + lR )2 Rll l 2
è íà åäèíèöå äëèíû ïðîâîëîêè âûäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ðàâíîå n2 1 2 (nr + lRl )2 Rl.
Ïðè âêëþ÷åíèè ïðîâîëîêè äëèíîé pl è k ýëåìåíòîâ íà åäèíèöå äëèíû ïðîâîëîêè âûäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ðàâíîå k2 1 2 (kr + plRl )2 Rl.
Ïðè îäèíàêîâîì íàêàëèâàíèè îáåèõ ïðîâîëîê íà åäèíèöå äëèíû êàæäîé èç íèõ äîëæíî âûäåëÿòüñÿ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ò. å. äîëæíî áûòü n2 1 2 k2 12 2 = (nr + lRl ) (kr + plRl )2 ; îòñþäà k = pn.
409. Ñèëà çàðÿäíîãî òîêà àêêóìóëÿòîðà I =
U−1 = 5 A. r
Ìîùíîñòü, ðàñõîäóåìàÿ ñòàíöèåé, P0 = UI = 65 Âò. Ìîùíîñòü, ðàñõîäóåìàÿ íà íàãðåâàíèå àêêóìóëÿòîðà, P = I2r = 10 Âò, ò. å. 15,4 % îò P0. 410. Ýëåêòðîäâèãàòåëü ïîòðåáëÿåò ìîùíîñòü P0 = UI = = 1100 Âò. Íà îáìîòêàõ äâèãàòåëÿ ðàñõîäóåòñÿ ìîùíîñòü P = I2R.  ìåõàíè÷åñêóþ ýíåðãèþ ïðåâðàùàåòñÿ ìîùíîñòü P0 P = I(U IR), ò. å. 82% îò P0. $
411. Åñëè R1 è R2 ñîïðîòèâëåíèÿ ïåðâîé è âòîðîé îáìîòîê è U íàïðÿæåíèå ñåòè, òî ïðè íàãðåâàíèè âûäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q=
R1 τ1 1 U2 U2 τ1 = τ2; îòñþäà = = . R2 τ2 2 R1 R2
Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè îáìîòîê ñîïðîòèâëåíèå íàãðåâàòåëÿ ÷àéíèêà R = R1 + R2 è âðåìÿ íàãðåâàíèÿ îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ Q=
R1 + R2 U2 U2 τ= τ , èëè τ = τ1; τ = 45 ìèí. R1 R1 + R2 R1 1
Ïðè ïàðàëëåëüíîì âêëþ÷åíèè îáìîòîê R = Q=
R1R2 è R1 + R2
R2 U 2 ( R1 + R2 ) U2 τ= τ , èëè τ = τ ; τ = 10 ìèí. R1 + R2 1 R1R2 R1 1
412. Ñîïðîòèâëåíèå îõëàæäåííîé ÷àñòè ïðîâîëîêè ñòàíîâèòñÿ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ñîïðîòèâëåíèÿ íåîõëàæäåííîé ÷àñòè, â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì âîçðàñòàåò ñèëà òîêà â öåïè. Òàê êàê ñèëà òîêà â îáåèõ ÷àñòÿõ ïðîâîëîêè îäíà è òà æå, òî áîëüøåå êîëè÷åñòâî òåïëîòû íà÷èíàåò âûäåëÿòüñÿ íà íåîõëàæäåííîé ÷àñòè ïðîâîëîêè. 413. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿþùååñÿ íà åäèíèöå äëèíû ïðîâîëîêè ïðåäîõðàíèòåëÿ, ρ1
Ql = I2 S τ. 1 Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, íåîáõîäèìîå äëÿ íàãðåâàíèÿ åäèíèöû äëèíû ýòîé ïðîâîëîêè äî òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ, Ql = c1D1S1(tïë t0). Óðàâíåíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà íàãðåâàíèÿ ìåäíîãî ïðîâîäà èìåþò òàêîé æå âèä. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïîëó÷èì τ= t t0 =
c1D1S12 (tïë t0) = 0,09 c, I 2ρ1
c1D1S12ρ2 I 2ρ2 (t t0) = 0,1 °C. 2 τ = c2 D2S22ρ1 ïë c2 D2S2
$!
414. Åñëè R ñîïðîòèâëåíèå êàæäîé èç ïðîâîëîê è I ñèëà òîêà, òî êîëè÷åñòâà òåïëîòû, âûäåëÿþùèåñÿ â êàëîðèìåòðàõ, îäèíàêîâû è ðàâíû Q = I2Rτ. Óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà äëÿ êàëîðèìåòðîâ ñ âîäîé è æèäêîñòüþ äàåò Q = c1m∆t1, Q = ñ2ò ∆t2; îòñþäà c1∆t1
c2 = ∆t ; c2 = 2,47 êÄæ/(êã·Ê). 2 415. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè áîëüøåå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â æåëåçíîé ïðîâîëîêå, ïðè ïàðàëëåëüíîì â ìåäíîé. ( R + 2r )2
416. Óìåíüøèòñÿ â ( = 2,25 ðàçà. R + r )2 417. r =
R1 R2 .
§ 25. Ïîñòîÿííûå ìàãíèòû. Ìàãíèòíîå ïîëå òîêà 418. Ìàãíèòíîå ïîäå Çåìëè íà ðàññòîÿíèÿõ, ñîèçìåðèìûõ ñ äëèíîé ìàãíèòíîé ñòðåëêè, ïðàêòè÷åñêè îäíîðîäíî, ò. å. èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ è íàïðàâëåíèþ. Ïîýòîìó ìàãíèòíîå ïîëå Çåìëè, äåéñòâóÿ íà ìàãíèòíóþ ñòðåëêó, ìîæåò ñîçäàâàòü òîëüêî âðàùàþùèå ìîìåíòû, íî íå ìîæåò ñîçäàòü ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèëû, îòëè÷íîé îò íóëÿ. Ïîëå ìàãíèòà íà ðàññòîÿíèÿõ, ñîèçìåðèìûõ ñ äëèíîé ìàãíèòíîé ñòðåëêè, íåîäíîðîäíî, ò. å. èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ó îäíîãî êîíöà ñòðåëêè îêàçûâàåòñÿ áîëüøå, ÷åì ó äðóãîãî. Ïîýòîìó ïîëå ìàãíèòà, äåéñòâóÿ íà ñòðåëêó, ñîçäàåò ðàâíîäåéñòâóþùóþ ñèëó, îòëè÷íóþ îò íóëÿ, è âûçûâàåò íå òîëüêî âðàùåíèå, íî è ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ñòðåëêè. $"
419. Áðóñêè ñëåäóåò ñëîæèòü òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 288. Åñëè áðóñîê À ñäåëàí èç ìÿãêîãî æåëåçà, òî îí íå áóäåò ïðèòÿãèâàòü áðóñîê Â. 420. Åñëè ñòðåëêó ðàñïîëîæèòü â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ìàãíèòíîìó ìåðèäèàíó, òî îíà çàéìåò âåðòèêàëüíîå Ðèñ. 288 ïîëîæåíèå. Ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ìåðèäèàíà ñëåäóåò, ïîñòåïåííî ïîâîðà÷èâàÿ ïðèáîð âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, íàéòè òàêîå ïîëîæåíèå, ïðè êîòîðîì ñòðåëêà áóäåò âåðòèêàëüíà.  ýòîì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ìåðèäèàíà ñîâïàäåò ñ íàïðàâëåíèåì îñè âðàùåíèÿ ñòðåëêè. 421. Ñíà÷àëà èãîëêè ðàçîéäóòñÿ, òàê êàê ìàãíèò ñîçäàåò â íèæíèõ êîíöàõ èãîëîê îäíîèìåííûå ìàãíèòíûå ïîëþñà, îòòàëêèâàþùèå äðóã äðóãà. Êîãäà ìàãíèò ïðèáëèçèòñÿ íà äîñòàòî÷íî ìàëîå ðàññòîÿíèå, âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó íèì è êàæäîé èç èãîëîê ñòàíåò ñèëüíåå, ÷åì âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó èãîëêàìè, è îíè îïóñòÿòñÿ, ïðèòÿãèâàÿñü ê ìàãíèòó. Ïîñëå óäàëåíèÿ ìàãíèòà èãîëêè ñíîâà ðàçîéäóòñÿ çà ñ÷åò îñòàòî÷íîãî íàìàãíè÷èâàíèÿ. 423. Ðèñ. 289, à ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæåíèþ óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ; ðèñ. 289, á ïîëîæåíèþ íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ. 424. Ïðè ïðèêîñíîâåíèè ïëàñòèíû  ÷àñòü ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàêîðîòêî çàìûêàåòñÿ ÷åðåç ýòó ïëàñòèíó (ðèñ. 290); ÷èñëî ëèíèé èíäóêöèè, ïðîíèçûâàþùèõ ïëàñòèíó À, ðåçêî óìåíüøàåòñÿ. Ïîýòîìó
Ðèñ. 289
Ðèñ. 290
$#
óìåíüøàåòñÿ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ìàãíèòîì è ïëàñòèíîé À è îíà ïàäàåò. 425. Âî âòîðîì ñëó÷àå áîRëüøàÿ ÷àñòü ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ çàìûêàåòñÿ íàêîðîòêî âíóòðè ïðèëåãàþùåé ê ìàãíèòó ÷àñòè ñòåðæíÿ (ðèñ. 291) è ïîýòîìó ïîñëåäíèé íå ìîæåò íàìàãíè÷èâàòüñÿ òàê æå ñèëüíî, êàê â ïåðâîì ñëó÷àå. 426.  ïåðâîì ñëó÷àå ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ìàãíèòà öèëèíäðû áóäóò îäèí çà äðóãèì Ðèñ. 291 îòðûâàòüñÿ îò ãèðëÿíäû è ïðèòÿãèâàòüñÿ ê íèæíåìó ìàãíèòó. Âî âòîðîì ñëó÷àå ïðî÷íîñòü ãèðëÿíäû áóäåò âîçðàñòàòü ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ íèæíåãî ìàãíèòà. Êîãäà ìàãíèò âïëîòíóþ ïðèáëèçèòñÿ ê íèæíåìó öèëèíäðó, îí ïðèòÿíåòñÿ ê ãèðëÿíäå è îñòàíåòñÿ íà íåé. 427. Îòðûâàíèå ìàãíèòîâ äðóã îò äðóãà ñâÿçàíî ñ ðåçêèì óìåíüøåíèåì ÷èñëà ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðîõîäÿùèõ âíóòðè êàæäîãî èç íèõ.  ìîìåíò îòðûâà â êàòóøêå âîçíèêàåò èíäóêöèîííûé òîê, îáóñëîâëåííûé ýòèì óìåíüøåíèåì ÷èñëà ëèíèé èíäóêöèè ïîëÿ. 428. à) Çà ñ÷åò äåéñòâèÿ âåðòèêàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè ñòåðæåíü íàìàãíè÷èâàåòñÿ è ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà ïðè ïðèáëèæåíèè ê êîíöàì ñòåðæíÿ ïðèòÿãèâàåòñÿ ê íåìó. á) Çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè ñòåðæåíü íàìàãíè÷èâàåòñÿ è ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà ïîâîðà÷èâàåòñÿ â ñòîðîíó áëèæàéøåãî ê íåé êîíöà ñòåðæíÿ. â) Ñòåðæåíü íå íàìàãíè÷èâàåòñÿ ìàãíèòíûì ïîëåì Çåìëè è ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà íå èçìåíÿåò ñâîåãî ïîëîæåíèÿ ïðè ïðèáëèæåíèè ñòåðæíÿ. Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðè ïðèáëèæåíèè ñòðåëêè ê ñòåðæíþ ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè îñòàåòñÿ åùå íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïîäìàãíè÷èâàíèåì ñòåðæíÿ çà ñ÷åò ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñàìîé ñòðåëêè. Ïðè ïåðåâîðà÷èâàíèè ñòåðæíÿ âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ ïîâåäåíèå ñòðåëêè íå èçìåíÿåòñÿ. 429. Ïðè íåêîòîðîé äîñòàòî÷íî âûñîêîé òåìïåðàòóðå æåëåçî òåðÿåò ìàãíèòíûå ñâîéñòâà è âåäåò ñåáÿ êàê ëþáîå $$
íåìàãíèòíîå âåùåñòâî (ìåäü, ñòåêëî è äð.). Ïðè íàãðåâàíèè ãâîçäÿ â ïëàìåíè ãîðåëêè äî ýòîé òåìïåðàòóðû ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìàãíèòà è ãâîçäÿ ðåçêî óìåíüøàåòñÿ, ãâîçäü âûõîäèò èç ïëàìåíè, âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ïîëîæåíèå. Ïîñëå îñòûâàíèÿ ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ãâîçäÿ âîññòàíàâëèâàþòñÿ, ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó íèì è ìàãíèòîì óâåëè÷èâàþòñÿ, è ãâîçäü ñíîâà ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ìàãíèòó. 430. Äâèæåíèå âåðòóøêè âîçíèêàåò çà ñ÷åò òîãî, ÷òî ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ìàãíèòà, äåéñòâóþùàÿ íà ñïèöû, åùå íå ïîïàâøèå â ïëàìÿ ãîðåëêè, çíà÷èòåëüíî áîëüøå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ãîðÿ÷èå ñïèöû, íàõîäÿùèåñÿ â ïëàìåíè ãîðåëêè èëè òîëüêî ÷òî âûøåäøèå èç íåãî (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 429). 431. Ñì. ðèñ. 292. Ó ê à ç à í è å. Òàê êàê èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðÿìîëèíåéíîãî òîêà óáûâàåò ïðîïîðöèîíàëüíî r, òî ëèíèè ðàñïîëàãàþòñÿ ãóùå îêîëî ïðîâîäà è ðåæå âäàëè îò íåãî. Èíäóêöèÿ ìàãKH íèòíîãî ïîëÿ B íàïðàâëåíà ïî êàñàòåëüíîé ê ýòèì ëèíèÿì. Ðèñ. 292 432. B = 8·106 Òë. KH 433. Äëÿ òîãî ÷òîáû èíäóêöèÿ B ðåçóëüòèðóþùåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êå À áûëà íàïðàâëåíà ïî âåðòèêàëè, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìàãíèòíîå ïîëå òîêà ñêîìïåíñèðîâàëî ïîëíîñòüþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè, ò. å. ÷òîáû Bã = µ0
µ0 I I ; îòñþäà r = 2πB ; r d 5 ñì. 2πr ã
Òàêèì îáðàçîì, òîê äîëæåí ïðîòåêàòü ñ çàïàäà íà âîñòîê; ïðîâîä ñ òîêîì äîëæåí ïðîõîäèòü íà ðàññòîÿíèè r = 5 ñì íèæå òî÷êè À. 434.  òî÷êàõ, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè r=
µ0 I 2π Bã2 + Bâ2
; r d 1,8 ñì,
â ñåâåðíîì ïîëóøàðèè âûøå è ñåâåðíåå ïðîâîäà, â þæíîì ïîëóøàðèè âûøå è þæíåå ïðîâîäà. Íàïðàâëå
%$ Ñåâåð Bã
Bâ Þã
Bò
B
B
Bã
Bâ
Bò
íèå îò ïðîâîäà íà ýòó òî÷êó â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñîñòàâëÿåò ñ ãîðèçîíòàëüþ òàêîé óãîë α, ÷òî tg α =
Bã = 0,4. Bâ
Ó ê à ç à í è å.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ìàãíèòíîå ïîëå òîêà äîëæíî ïîëíîñòüþ ñêîìïåíñèðîâàòü ìàãíèòíîå ïîëå Çåìëè. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî
Ðèñ. 293
ïîëÿ Çåìëè èìååò ìîäóëü, ðàâíûé
Bã2 + Bâ2 , è ñîñòàâëÿBã
åò ñ ãîðèçîíòàëüþ óãîë α òàêîé, ÷òî tg α = B . Î÷åâèäíî, â KKH ÷òî èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bò äîëæíà èìåòü òàêîé æå ìîäóëü è ïðîõîäèòü ïîä òàêèì æå óãëîì ê ãîðèçîíòàëè, íî â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè (ðèñ. 293). 435. Òîê, ïðîòåêàþùèé ïî òðóáå, ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ìíîæåñòâà îäèíàêîâûõ ëèíåéíûõ òîêîâ, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî ïîâåðõíîñòè òðóáû.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì èíäóêöèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó èíäóêöèé ìàãíèòíûõ ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ òàêèìè ëèíåéíûìè òîêàìè. Íà ðèñ. 294 èçîáðàæåíî ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáû, âäîëü êîòîðîé ïðîõîäèò òîê. Ñðàâíèì èíäóêöèè ìàãíèòíûõ ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ â òî÷êå À ëèíåéíûìè òîêàìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç äîñòàòî÷íî ìàëûå äóãè S1 è S2. Ñèëû òîêîâ I1 è I2 áóäóò ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû S1 è S2, ò. å.
I1 S = 1 . Íî S1 è S2 ïðîïîðöèîíàëüI2 S2
íû ðàññòîÿíèÿì äî òî÷êè À; ñëåäîâàòåëüÐèñ. 294
íî,
r1 I1 = . Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, r2 I2
ñîçäàâàåìîãî êàæäûì èç ýòèõ ýëåìåíòîâ òîêà â òî÷êå À, ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíà ïî ôîðìóëå: B1 =
µ0 I1 I r µ I B , B2 = 0 2 ; îòñþäà 1 = 1 2 = 1, 2πr1 r1 I2 2πr2 B2
$&
ò. å. B1 = B2, èëè B1 B2 = 0. Òàê êàê äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðóáû ìîæíî òàêèì îáðàçîì ïîäîáðàòü ñîîòâåòñòâóþùèé äðóãîé ýëåìåíò, ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóþùèé ìàãíèòíîå ïîëå ïåðâîãî ýëåìåíòà â òî÷êå À, òî ðåçóëüòèðóþùàÿ èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêà â òðóáå â ëþáîé òî÷êå âíóòðè òðóáû áóäåò ðàâíà íóëþ. 436. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êàõ, ëåæàùèõ âíóòðè êàáåëÿ, áóäåò ðàâíà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî òîêîì, ïðîòåêàþùèì ïî âíóòðåííåìó ïðîâîäó êàáåëÿ, ò. å. B = µ0
I (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 435). 2πr
437. Ïðîáêà áóäåò âíà÷àëå ïîâîðà÷èâàòüñÿ òàê, ÷òîáû ïëîñêîñòü âèòêà ñòàëà ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ìàãíèòó, è çàòåì áóäåò ïðèáëèæàòüñÿ ê íåìó. 438. Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, äâèæóùèåñÿ âìåñòå ñ äèñêîì, ñîçäàþò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå, ïîäîáíîå ïîëþ êðóãîâîãî òîêà. Íàä äèñêîì ëèíèè èíäóêöèè ýòîãî ïîëÿ íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè ÷åðòåæà, çà íåãî. Ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà ïîâåðíåòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (åñëè ñìîòðåòü íà íåå ñíèçó). 439. Íà ìàãíèòíóþ ñòðåëêó äåéñòâóþò ìàãíèòíîå ïîëå Çåìëè (åãî äåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ãîðèçîíòàëüH íîé ñîñòàâëÿþùåé èíäóêöèè Bã ) è ìàãíèòíîå ïîëå òîêà H ñ èíäóêöèåé Bò . Ñòðåëêà ðàñïîëàãàåòñÿ âñåãäà òàê, ÷òîáû ñóììà âðàùàþùèõ ìîìåíòîâ, ñîçäàâàåìûõ ýòèìè ïîëÿìè, áûëà ðàâíà íóëþ. Ñóììà ìîìåíòîâ ðàâíà íóëþ, åñëè ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âñåõ ñèë íàïðàâëåíà âäîëü ñòðåëBò
êè (ðèñ. 295), ò. å. åñëè tg α = B . Òàê êàê ïî óñëîâèþ ã ñòðåëêà äîñòàòî÷íî ìàëà è ðàñïîëîæåíà â öåíòðå êîëüöà, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èíäóêöèÿ ïîëÿ êðóãîâîãî òîêà, äåéñòâóþùåãî íà ñòðåëêó, Bò =
µ0 I µ0 I ; îòñþäà tg α = 2B R . 2R ã
$'
Ðèñ. 295
440. Ïðè ïîâîðîòå êîëüöà íà óãîë α âìåñòå ñ íèì ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîë α H B è âåêòîð èíäóêöèè ò ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêà (ðèñ. 296). Äëÿ òîãî ÷òîáû ñòðåëêà ïîñëå ïîâîðîòà ëåæàëà â ïëîñêîñòè êîëüöà, íåîáõîäèìî, ÷òîáû â ýòîé HïëîñÐèñ. 296 êîñòè ëåæàë âåêòîð èíäóêöèè B ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ, îáðàçóþùåãîñÿ îò ñëîæåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ H Çåìëè è ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêà. Òàê êàê B èíäóêöèÿ ò ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêà âñåãäà ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè êîëüöà ñ òîêîì, òî èç ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî ïðè ýòîì B =
Bò tg α
è B = Bã cos α; îòñþäà Bò 1 B = Bã cos α, èëè sin α = ò = , ò. å. α = 30 °. 2 tg α Bã
441. B d 1,6π103 Òë. § 26. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ â ìàãíèòíîì ïîëå íà ïðîâîäíèê ñ òîêîì 442. Ïðîâîäíèê âíà÷àëå ïîâåðíåòñÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (åñëè ñìîòðåòü íà íåãî ñâåðõó) è çàòåì îïóñòèòñÿ âíèç. Ó ê à ç à í è å.  òî÷êå Ñ (ðèñ. 297) ëèíèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðîõîäÿò ñíèçó ââåðõ ïîä óãëîì ê ïðîâîäíèêó.  òî÷êå Î îíè èäóò ïàðàëëåëüíî ïðîâîäíèêó, â òî÷êå D ñâåðõó âíèç ïîä óãëîì ê ïðîâîäíèêó. Õàðàêòåð äâèæåíèÿ ïðîâîäíèêà ìîæíî óñòàíîâèòü, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî ëåâîé ðóêè ê ó÷àñòêó COD ïðîâîäíèêà. 443. Ïðîâîäíèê îáîâüåòñÿ îêîëî ìàãíèòà, êàê ïîêàçàíî íà Ðèñ. 297 ðèñ. 298. %
Ó ê à ç à í è å. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ õàðàêòåðà äâèæåíèÿ ïðîâîäíèêà ñëåäóåò îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ó÷àñòêàõ ïðîâîäíèêà, ïðèëåãàþùèõ ê òî÷êàì Ñ è D, è çàòåì ïðèìåíèòü ïðàâèëî ëåâîé ðóêè. 444. Ïðîâîäíèêè âíà÷àëå ïîâåðíóòñÿ, ñòðåìÿñü âñòàòü ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó, è çàòåì ïðèòÿíóòñÿ äðóã ê äðóãó. Ðèñ. 298 Ó ê à ç à í è å. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóåò ðàññìîòðåòü äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêà I1 íà ó÷àñòêè ïðîâîäíèêà ñ òîêîì I2, ïðèëåãàþùèå ê òî÷êàì Ñ, Î è D (ðèñ. 299). 445. Ëèíèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêà I2 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîíöåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè. Òîê I1 ïðîõîäèò âäîëü îäíîé èç òàêèõ ëèíèé. Ïîýòîìó ìàãíèòíîå ïîëå íà òîê I1 äåéñòâîâàòü íå áóäåò. Âñå ýëåìåíòû ïðîâîäà ñ òîêîì I2 òàêæå âñþäó ñîâïàäàÐèñ. 299 þò ïî íàïðàâëåíèþ ñ îñåâîé ëèíèåé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî òîêîì I1. Íà òîê I2 òàêæå íå áóäóò äåéñòâîâàòü ñèëû ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ. 446. Ïðè çàìûêàíèè öåïè êàæäûé âèòîê ïðóæèíû, ïîäîáíî êðóãîâîìó òîêó, áóäåò ñîçäàâàòü ìàãíèòíîå ïîëå è ïðèòÿãèâàòü ê ñåáå ñîñåäíèå âèòêè. Ïðóæèíà ñîæìåòñÿ, íèæíèé êîíåö ïðóæèíû ïîäíèìåòñÿ èç ðòóòè, öåïü ðàçîìêíåòñÿ, ìàãíèòíîå ïîëå èñ÷åçíåò è ïðóæèíà íà÷íåò ðàñïðÿìëÿòüñÿ. Ïîñëå îïóñêàíèÿ êîí÷èêà ïðóæèíû â ðòóòü âåñü ïðîöåññ íà÷íåòñÿ ñíà÷àëà, ò. å. êîíåö ïðóæèíû áóäåò ñîâåðøàòü ïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ. 447. Ïîòîê äâèæóùèõñÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ïîäîáåí íåêîòîðîìó òîêó I, èìåþùåìó íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè KH H ÷àñòèö v . Åñëè ëèíèè èíäóêöèè B ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà%
ïðàâëåíû íà íàñ (ðèñ. 300), òî íà ÷àñòèöû, äâèæóùèåñÿ ñî ñêîðîñòüþ H F v , äåéñòâóåò ñî ñòîðîíû ïîëÿ ïåðH ïåíäèêóëÿðíî ê ñêîðîñòè v è èíR KH KH äóêöèè B ñèëà F , âûçûâàþùàÿ èñêðèâëåíèå òðàåêòîðèè ÷àñòèö. ÍàO ïðàâëåíèå ñèëû îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëîì ëåâîé ðóêè. Ðèñ. 300 Òàê êàê ïî óñëîâèþ ìàãíèòíîå KH ïîëå îäíîðîäíî, òî ñèëà F ïîñòîÿííà ïî ìîäóëþ è ñîçäàåò ó ÷àñòèö ïîñòîÿííîå ïî ìîäóëþ öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñH êîðåíèå a . Èç ïîñòîÿíñòâà ìîäóëåé ñêîðîñòè è öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ ÷àñòèö ñëåäóåò, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè ÷àñòèö äîëæåí áûòü òàêæå âñþäó ïîñòîv
ÿíåí a =
B
v2 , ò. å. òðàåêòîðèÿ äîëæíà áûòü îêðóæíîñòüþ. R
448. Íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ ïðîâîäíèêà CD îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëîì ëåâîé ðóêè. Òàê êàê ïðîâîäíèê CD ïî óñëîâèþ îäíîðîäåí, òî öåíòð ìàññ åãî ëåæèò â òî÷êå Î (ðèñ. 301, à). Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êå Ñ áóäåò áîëüøå, ÷åì â òî÷êå D (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 431). Íà ýëåìåíòû, ïðèëåãàþùèå ê òî÷êå Ñ, ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ áóäóò äåéñòâîâàòü áîRëüøèå ñèëû, ÷åì íà òàêèå æå ýëåìåíòû, ïðèëåãàþùèå ê òî÷êå D. Òî÷êà ïðèëîæåíèÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ïðîâîäíèê CD, áóäåò ëåæàòü ñëåâà îò åãî öåíòðà ìàññ. Ïîýòîìó ïðîâîäíèê CD, äâèãàÿñü ïîä äåéñòâèåì
Ðèñ. 301
%
ýòîé ñèëû ââåðõ, îäíîâðåìåííî áóäåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå âîêðóã òî÷êè Î. Åñëè ïóñòèòü òîê ïî ïðîâîäíèêó CD â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, òî ïðîâîäíèê, äâèãàÿñü âíèç, îäíîâðåìåííî áóäåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 301, á). 449. Ïðîâîäíèêè ïîâåðíóòñÿ è âñòàíóò ïàðàëëåëüíî òàê, ÷òîáû íàïðàâëåíèÿ òîêîâ â íèõ áûëè îäèíàêîâû. 450. Êîëüöî ïðèòÿíåòñÿ ê ìàãíèòó, íàäåíåòñÿ íà ìàãíèò è îñòàíîâèòñÿ íà íåéòðàëüíîé ëèíèè ìàãíèòà. Ïðè ýòîì íàïðàâëåíèå ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêà áóäåò ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëåíèåì ëèíèé èíäóêöèè ïîëÿ ìàãíèòà. Åñëè íàïðàâëåíèå òîêà â êîëüöå èçìåíèòü íà ïðîòèâîïîëîæíîå, êîëüöî ñîñêî÷èò ñ ìàãíèòà, ïåðåâåðíåòñÿ è íàäåíåòñÿ íà íåãî äðóãîé ñòîðîíîé. 451. Äèñê íà÷íåò âðàùàòüñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. 452. Ïðè ïðîèçâîëüíîì íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ðàìêà áóäåò ñòðåìèòüñÿ ïîâåðíóòüñÿ è ðàñïîëîæèòüñÿ â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîä, òàê, ÷òîáû â áëèæàéøåé ê ïðîâîäó ñòîðîíå ðàìêè íàïðàâëåíèå òîêà ñîâïàëî ñ íàïðàâëåíèåì òîêà â ïðÿìîëèíåéíîì ïðîâîäå. KKH KKH 453. Ñèëû F1 è F2 äîñòèãàþò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, êîãäà ïëîñêîñòü ðàìêè ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ëèíèÿì èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ðèñ. 302). Ñèëû îáðàùàþòñÿ â íóëü, êîãäà ïëîñêîñòü ðàìêè ðàñïîëîæåíà ïàðàëëåëüíî ëèíèÿì èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êîãäà ðàìêà ïîâåðíåòñÿ íà 180° îò ïîëîæåíèÿ, óêàçàííîãî íà ðèñ. 302, KKH KKH ñèëû F1 è F2 èçìåíÿò ñâîè íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå è áóäóò ñòðåìèòüñÿ ñæàòü ðàìêó âäîëü îñè åå âðàùåíèÿ. Ðèñ. 302 %!
§ 27. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ 454. Ñì. ðèñ. 303. 455. Òîê áóäåò èäòè â íàïðàâëåíèè îò D ê Ñ. Ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ïðîâîäíèêà èíäóêöèîííûé òîê òàêæå èçìåíèò ñâîå íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå. 456. à) Åñëè ïðîâîäíèê ðàñïîëîæåí íàä ìàãíèòîì, òî ïðè ïîâîðîòå ìàãíèÐèñ. 303 òà íà âîñòîê òîê â ïðîâîäíèêå ïîéäåò ñ þãà íà ñåâåð, ïðè ïîâîðîòå ìàãíèòà íà çàïàä òîê ïîéäåò ñ ñåâåðà íà þã. á) Åñëè ïðîâîäíèê ðàñïîëîæåí ïîä ìàãíèòîì, òî â ïåðâîì ñëó÷àå òîê ïîéäåò ñ ñåâåðà íà þã, à âî âòîðîì ñ þãà íà ñåâåð. 457. à) Òoê èäåò îò îñè äèñêà ê íèæíåìó êðàþ; á) òîê èìååò ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèå. 458. Ïðè ñáëèæåíèè ïðîâîäíèêîâ íàïðàâëåíèå èíäóêöèîííîãî òîêà I2 áóäåò ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ òîêà I1; ïðè óäàëåíèè ïðîâîäíèêîâ íàïðàâëåíèÿ òîêîâ áóäóò ñîâïàäàòü. 459. Òîê íàïðàâëåí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (âèä ñî ñòîðîíû ìàãíèòà). 460. Ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ À òîê íàïðàâëåí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (åñëè ñìîòðåòü ñî ñòîðîíû ñåâåðíîãî ïîëþñà ìàãíèòà) è ðàìêà áóäåò äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì àÀ < g. Ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ  èíäóêöèîííîãî òîêà íå áóäåò è ðàìêà áóäåò äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì àB = g. Ïðè ïðîõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ Ñ òîê íàïðàâëåí ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è ðàìêà áóäåò äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì aC > g. 461. Ïðè êîëåáàíèÿõ ìàÿòíèêà âñëåäñòâèå ïåðèîäè÷åñêèõ èçìåíåíèé ïëîùàäè êîíòóðà â ïîñëåäíåì áóäóò âîçíèêàòü èíäóêöèîííûå òîêè. Èíäóêöèîííûå òîêè áóäóò íàïðàâëåíû òàê, ÷òîáû ñâîèì ìàãíèòíûì ïîëåì ñêîìïåíñèðîâàòü èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì. Ïðè êîëåáàíèÿõ ìàÿòíèêà, ñâÿçàííûõ ñ óâåëè÷åíèåì ïëîùàäè êîíòóðà, òîê íàïðàâëåí ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåë%"
êè, ïðè êîëåáàíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ óìåíüøåíèåì ïëîùàäè êîíòóðà, ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ èíäóêöèîííûõ òîêîâ ñ ïîëåì ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà áóäóò çàòóõàòü áûñòðåå. 462. ÝÄÑ âîçíèêíåò, òàê êàê ïðè âíåñåíèè ïðîâîäà â ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ïîëþñàìè ýëåêòðîìàãíèòà èçìåíÿåòñÿ ÷èñëî ëèíèé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðîíèçûâàþùèõ ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì. 463. Ïîòåíöèàëû êîíöîâ êðûëüåâ ðàçëè÷íû. Ïðè ïîëåòå ïî ëþáîìó äðóãîìó íàïðàâëåíèþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ñîõðàíèò òàêîå æå çíà÷åíèå, òàê êàê îíà çàâèñèò òîëüêî îò ìîäóëÿ âåðòèêàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è îò ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòè ñàìîëåòà. 464. Íàèìåíüøàÿ ÝÄÑ âîçíèêàåò òîãäà, êîãäà ðàìêà ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîä. Íàèáîëüøàÿ ÝÄÑ âîçíèêàåò, êîãäà ðàìêà ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ýòîé ïëîñêîñòè. 465. Íå áóäåò.
IV. ÎÏÒÈÊÀ § 28. Ïðèðîäà ñâåòà 466. Äëèíà âîëíû êðàñíîãî ñâåòà â âàêóóìå λ =
c , ν
ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ êðàñíîãî ñâåòà â ñòåêëå ñR =
c c′ . Äëèíà âîëíû êðàñíîãî ñâåòà â ñòåêëå λR = . n ν
Èçìåíåíèå äëèíû âîëíû λ λR =
c n −1 ; λ λR = 250 íì. ν n
%#
467. ñR1 =
c c = 2·108 ì/ñ; cR2 = = 1,95·108 ì/ñ. n2 n1
468. v > 2·108 ì/ñ. 469. Ðàäóæíûå ïîëîñû â òîíêèõ ïëåíêàõ âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå èíòåðôåðåíöèè ñâåòîâûõ âîëí, îòðàæåííûõ îò âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ïëåíêè. Âîëíà, îòðàæåííàÿ îò íèæíåé ãðàíèöû, äîëæíà ïðîéòè äîïîëíèòåëüíûé ïóòü ïî ñðàâíåíèþ ñ âîëíîé, îòðàæåííîé îò âåðõíåé ãðàíèöû. Ïîýòîìó âîëíà, îòðàæåííàÿ îò íèæíåé ãðàíèöû, îòñòàåò ïî ôàçå îò âîëíû, îòðàæåííîé îò âåðõíåé ãðàíèöû. Ýòî îòñòàâàíèå, âûðàæåííîå â äëèíàõ ñâåòîâîé âîëíû, çàâèñèò îò òîëùèíû ïëåíêè â òîì ìåñòå, ãäå ïðîèçîøëî îòðàæåíèå, è îò äëèíû ñâåòîâîé âîëíû â ìàòåðèàëå ïëåíêè. Âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì öâåòàì, ïðè îòðàæåíèè ïðèîáðåòàþò ðàçíîñòü õîäà, ðàâíóþ íå÷åòíîìó ÷èñëó ïîëóâîëí, â ìåñòàõ, èìåþùèõ ðàçíóþ òîëùèíó.  êàæäîì äàííîì ìåñòå ïëåíêè âñëåäñòâèå èíòåðôåðåíöèè îòðàæåííûõ ëó÷åé ïðîèñõîäèò ãàøåíèå îäíèõ öâåòîâ ñïåêòðà è óñèëåíèå äðóãèõ. Ïîýòîìó ìåñòà ïëåíêè, îáëàäàþùèå ðàçíîé òîëùèíîé, áóäóò êàçàòüñÿ îêðàøåííûìè â ðàçëè÷íûå öâåòà. 470. Êàæäàÿ èç ãîðèçîíòàëüíûõ èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé îïðåäåëåííîé òîëùèíå ïëåíêè. Âîäà âî âíóòðåííåì ñëîå ïëåíêè ïîñòåïåííî ñòåêàåò â åå íèæíþþ ÷àñòü, íèæíÿÿ ÷àñòü ïëåíêè óòîëùàåòñÿ, à âåðõíÿÿ ñòàíîâèòñÿ òîíüøå. Ìåñòà, ñîîòâåòñòâóþùèå êàêîé-ëèáî îïðåäåëåííîé òîëùèíå ïëåíêè, ïîñòåïåííî ïåðåìåùàþòñÿ. Âìåñòå ñ íèìè ïåðåìåùàþòñÿ âíèç è ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ òîëùèíà ïëåíêè â âåðõíåé ÷àñòè ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû ñàìûõ êîðîòêèõ âîëí ïàäàþùåãî íà ïëåíêó ñâåòà.  ýòèõ ìåñòàõ ïëåíêè ïðè èíòåðôåðåíöèè îòðàæåííûõ îò ïëåíêè ëó÷åé áóäåò ïðîèñõîäèòü ãàøåíèå âîëí âñåõ äëèí, ïîýòîìó ýòî ìåñòî ïëåíêè áóäåò êàçàòüñÿ â îòðàæåííîì ñâåòå ÷åðíûì. %$
471. Òàê êàê ïîñëå çàïîëíåíèÿ ïðîñòðàíñòâà æèäêîñòüþ óñëîâèÿ îòðàæåíèÿ âîëí îò íèæíåé ïîâåðõíîñòè ëèíçû è îò âåðõíåé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè ñòàíîâÿòñÿ îäèíàêîâûìè (îáå âîëíû îòðàæàþòñÿ îò îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû), òî â öåíòðå êîëåö, â îòðàæåííîì ñâåòå, ïîÿâèòñÿ ñâåòëîå ïÿòíî âìåñòî òåìíîãî ïÿòíà, êîòîðîå íàáëþäàëîñü äî çàïîëíåíèÿ æèäêîñòüþ ïðîñòðàíñòâà ìåæäó ïëàñòèíêîé è ëèíçîé. Âñëåäñòâèå óìåíüøåíèÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â ïðîñòðàíñòâå ìåæäó ïëàñòèíêîé è ëèíçîé ïðîèçîéäåò ñìåùåíèå êîëåö è èçìåíåíèå èõ øèðèíû. Êîëüöà ñòàíóò óRæå è áóäóò ðàñïîëàãàòüñÿ ïëîòíåå. 472. Ñâåò îòðàæàåòñÿ îò âåðõíåé è íèæíåé ïîâåðõíîñòåé ïëåíêè. Óñëîâèÿ îòðàæåíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâû. Ïîýòîìó ïîñëå âûõîäà èç ïëåíêè îòðàæåííûå ëó÷è èìåþò ðàçíîñòü õîäà, ðàâíóþ ïîëîâèíå äëèíû âîëíû, è ïðè èíòåðôåðåíöèè ïîëíîñòüþ ãàñÿò äðóã äðóãà. 473. Å = hν = 3,31·1020 Äæ. 474. E = hν = 3,03·1019 Äæ. 475. Íà ïîâåðõíîñòü Çåìëè ïîïàäàåò ñîëíå÷íîå èçëó÷åíèå, ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ âíóòðè òåëåñíîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå çåìíîãî øàðà. Ïîëíûé ïîòîê èçëó÷åíèÿ, ïîãëîùàåìûé Çåìëåé, Φ = πR2ϕ, ãäå R = 6400 êì ðàäèóñ Çåìëè. Ñèëà äàâëåíèÿ ñâåòà íà Çåìëþ (â ñëó÷àå ïîëíîãî ïîãëîùåíèÿ åãî ýíåðãèè ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè) F = pS = 476. F =
ϕ Φ πR2 = d 5,8·108 Í. c c
Φ = 6,9·1011 H (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 475). c
477. Ïîòîê ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ, ïàäàþùåãî íà êàêîé-ëèáî ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè ïëîùàäüþ S, ïðîïîðöèîíàëåí òåëåñíîìó óãëó, ïîä êîòîðûì âèäåí ýòîò ýëåìåíò ñ Ñîëíöà. Ïðè óäàëåíèè åãî îò Ñîëíöà òåëåñíûé óãîë óáûâàåò ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ îò Ñîëíöà.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ýíåðãèÿ, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà ýëåìåíò, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñèëà ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ äîëæíû ïðè óäàëåíèè ýëåìåíòà òàêæå óáûâàòü ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ýòîãî ðàññòîÿíèÿ. %%
§ 29. Ôîòîìåòðèÿ 478. h =
I = 1 ì. E
2 E1 B 479. E = = 4·104; E1 = 1,6·105 ëê. b 2
480. E =
Ih I = 25 ëê. 2 2 cos α = ( h + a 2 )3 / 2 r
481. Îäèí ôîíàðü íà ðàññòîÿíèè à = ïîâåðõíîñòè Çåìëè îñâåùåííîñòü Ih E = (h2 + a2 )3 / 2 ; îòñþäà a = 2
2Ih E
l ñîçäàåò íà 2
2/3
− h2 d 27,5 ì,
ò. å. l d 55 ì. 482. Îñâåùåííîñòè â òî÷êàõ  è Ñ: E1 = A
C
R
I I , E2 = 2 cos α. r 4R2
Èç òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ. 304) ñëåäóåò, ÷òî r = ÀÑ = 2R cos β; cos α
îòñþäà E2 = E1 cos2 β . B
Ðèñ. 304
Ïðè α = β = 45° èìååì Å2 = E1 2 ,
ò. å. îñâåùåííîñòü â òî÷êå Ñ áóäåò â ðàç áîëüøå, ÷åì â òî÷êå Â. 483. Å = 5 ëê. 484. Å =
3I è îäèíàêîâà äëÿ îáåèõ ñòîðîí. l2
2
485. Îñâåùåííîñòü ïëàñòèíêè â ôîòîàïïàðàòå çàâèñèò îò ñâåòîâîãî ïîòîêà, ïðîïóùåííîãî îáúåêòèâîì, è îò îòíîøåíèÿ ïëîùàäè ôîòîãðàôèðóåìîãî ïðåäìåòà ê ïëîùàäè åãî èçîáðàæåíèÿ íà ïëàñòèíêå. %&
Ñâåòîâîé ïîòîê ÔV, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç îáúåêòèâ ôîòîàïïàðàòà, ïðîïîðöèîíàëåí òåëåñíîìó óãëó, ïîä êîòîðûì âèäåí îáúåêòèâ èç òî÷êè ïðåäìåòà, ò. å. ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëåí ïëîùàäè îòâåðñòèÿ îáúåêòèâà S è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ a1 îò ïðåäìåòà äî îáúåêòèâà (ðèñ. 305): S
ÔV ∼ a2 . 1 Îòíîøåíèå ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ ïðåäìåòà ê ëèíåéíûì ðàçìåðàì èçîáðàæåíèÿ ðàâíî îòíîøåíèþ ðàññòîÿíèé îò ïðåäìåòà è èçîáðàæåíèÿ äî îáúåêòèâà (ðèñ. 306). Ñëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå ïëîùàäè ïðåäìåòà σ1 ê ïëîùàäè èçîáðàæåíèÿ σ2 äîëæíî áûòü ðàâíî îòíîøåíèþ êâàäðàòîâ ðàññòîÿíèé îò ïðåäìåòà è èçîáðàæåíèÿ äî îáúåêòèâà, ò. å. σ1 a12 = . σ2 a22
Ñîïîñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷èì E∼
Φ V σ1 S S a12 ∼ 2 , 2 2 = a σ2 a1 a2 2
ò. å. îñâåùåííîñòü èçîáðàæåíèÿ â ôîòîàïïàðàòå îêàçûâàåòñÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ îò èçîáðàæåíèÿ äî îáúåêòèâà. Èçîáðàæåíèå óäàëåííîãî ïðåäìåòà ðàñïîëîæåíî áëèæå ê îáúåêòèâó, ÷åì èçîáðàæåíèå áëèçêîãî ïðåäìåòà, ò. å. îñâåùåííîñòü èçîáðàæåíèÿ óäàëåííîãî ïðåäìåòà áóäåò áîëüøå îñâåùåííîñòè èçîáðàæåíèÿ áëèçêîãî ïðåäìåòà. Ïîýòîìó äëÿ áëèçêîãî ïðåäìåòà ïðèäåòñÿ äåëàòü áîRëüøóþ âûäåðæêó.
Ðèñ. 305
Ðèñ. 306
%'
486. η =
Φ ⋅ 100% d 4 %. Ïîòîê èçëó÷åíèÿ, ïîñûëàåP1I
ìûé ëàìïîé, Φ =
4πI d 2 Âò. K
487. Ïîòîê ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ, ïàäàþùèé íà Çåìëþ, Φ1 = πR12ϕ d 1022 Âò, ãäå πR12 ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ Çåìëè. Îòíîøåíèå ýòîãî ïîòîêà êî âñåìó ïîòîêó èçëó÷åíèÿ Ñîëíöà R12 Ω Φ1 = 1 = 4r 2 d 4,6·1010, 4π Φ 1
ãäå Ω1 òåëåñíûé óãîë, ïîä êîòîðûì âèäíà Çåìëÿ ñ Ñîëíöà. Îòíîøåíèå ïîòîêîâ èçëó÷åíèÿ, ïîëó÷àåìûõ Çåìëåé è Þïèòåðîì (Ω2 òåëåñíûé óãîë, ïîä êîòîðûì âèäåí Þïèòåð ñ Ñîëíöà), ðàâíî Φ1 Ω1 R12r22 = = d 0,22. Φ2 Ω2 R22r12
§ 30. Çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà. Çàêîí îòðàæåíèÿ ñâåòà 488. Íà îäíîé ïðÿìîé òàê, ÷òîáû ïëîñêîñòè ïðåäìåòà è ýêðàíà áûëè ïåðïåíäèêóëÿðíû ê ýòîé ïðÿìîé. 489. Ðàäèóñ ïîëóòåíè R1 = 15 ñì, ðàäèóñ òåíè R2 = 7,5 ñì. Òåíü èñ÷åçíåò, êîãäà ìÿ÷ áóäåò íà âûñîòå h = 2,5 ì. Ðàçìåðû òåíè áóäóò îäèíàêîâû, åñëè ðàäèóñ ìÿ÷à áóäåò ðàâåí ðàäèóñó øàðà. Ó ê à ç à í è å. Ðàäèóñ ïîëóòåíè ìîæåò áûòü íàéäåí èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ CC 2 D, BB 1 D è AA 2 D (ðèñ. 307); ðàäèóñ òåíè èç ðàññìîòÐèñ. 307 &
ðåíèÿ òðåóãîëüíèêîâ OAA1, ÎÂÂ1 è ÎÑÑ1. Äëèíà îòðåçêà CC1 ðàâíà ðàäèóñó øàðà r1; äëèíà îòðåçêà BB1 ðàäèóñó ìÿ÷à r2; äëèíû îòðåçêîâ ÀÑ è AB ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî âûñîòàì h1 è h2 îò ïîëà, íà êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû øàð è ìÿ÷. 490. Èñòî÷íèêè ñëåäóåò ïåðåìåùàòü âäîëü êàñàòåëüíûõ ê ñòåðæíþ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó Î. Ïðè ïåðåìåùåíèÿõ ïî äðóãèì íàïðàâëåíèÿì ïîëóòåíè áóäóò ðàñõîäèòüñÿ èëè íàêëàäûâàòüñÿ äðóã íà äðóãà. 491. Ïðè çàäàííîì â óñëîâèè ðàñïîëîæåíèè êàæäàÿ òî÷êà ïðåäìåòà èçîáðàæàåòñÿ ñâåòëûì êðóæêîì, äèàìåòð êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (ðèñ. 308) d′ AC AC = , ò. å. dR = d; dR = 2 ìì. d BC BC
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëè÷èòü äåòàëè ðàçìåðîì ìåíüøå 2 ìì ïðè çàäàííîì ðàñïîëîæåíèè íåëüçÿ, òàê êàê ñâåòëûå êðóæêè, êîòîðûìè èçîáðàæàþòñÿ îòäåëüíûå òî÷êè ýòèõ äåòàëåé, áóäóò íàêëàäûâàòüñÿ äðóã íà äðóãà.
Ðèñ. 308
492. Ôîðìà ñâåòîâîãî «çàé÷èêà» çàâèñèò îò ôîðìû èñòî÷íèêà ñâåòà è îò ðàñïîëîæåíèÿ ýêðàíà, íà êîòîðûé ïðîåöèðóåòñÿ «çàé÷èê». Åñëè èñòî÷íèê èìååò ôîðìó êðóãà, à ýêðàí ðàñïîëîæåí ïîä ðàçëè÷íûìè óãëàìè ïî îòíîøåíèþ ê ïàäàþùèì íà íåãî ëó÷àì, òî «çàé÷èê» áóäåò èìåòü ôîðìó êðóãà èëè áîëåå èëè ìåíåå âûòÿíóòîãî ýëëèïñà. Ïðè óêàçàííûõ â çàäà÷å óñëîâèÿõ ôîðìà «çàé÷èêà» íå çàâèñèò îò ôîðìû çåðêàëà. 493. Öâåò ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ñîñòàâîì ëó÷åé, îòðàæàåìûõ åþ. Êîãäà ïîâåðõíîñòü ñóõàÿ, òî íà ñâåò, ñîîòâåòñòâóþùèé îêðàñêå ïîâåðõíîñòè, íàêëàäûâàåòñÿ áåëûé ñâåò, ðàññåÿííûé îò øåðîõîâàòîñòåé è íåðîâíîñòåé ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, îò âîðñèíîê òêà&
SRR
S
AR
A B
BR
O B
A
C
D
Ðèñ. 309
Ðèñ. 310
íè). Ïðèñóòñòâèå ýòîãî ðàññåÿííîãî áåëîãî ñâåòà äåëàåò îñíîâíîé öâåò ïîâåðõíîñòè áëåêëûì è ìåíåå ÿðêèì. Êîãäà ïîâåðõíîñòü ïðîïèòàíà âîäîé, òî âñå ýòè íåðîâíîñòè çàòÿãèâàþòñÿ ïîâåðõíîñòíîé ïëåíêîé âîäû è ðàññåÿííûé áåëûé ñâåò èñ÷åçàåò. Îñòàåòñÿ òîëüêî îñíîâíîé òîí îêðàñêè ïîâåðõíîñòè, êîòîðûé âîñïðèíèìàåòñÿ íàìè êàê áîëåå ñî÷íûé è ÿðêèé, ÷åì äî ñìà÷èâàíèÿ. 494. Ó ê à ç à í è å. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóåò ïîñòðîèòü èçîáðàæåíèå SR èñòî÷íèêà S â çåðêàëå è ðàññìîòðåòü ñîîòíîøåíèå äëèí ïóòåé AOSR è ABSR (ðèñ. 309). 495.  ïîëîæåíèè Ñ íàáëþäàòåëü óâèäèò èçîáðàæåíèå áóëàâêè  ñïðàâà îò èçîáðàæåíèÿ áóëàâêè À.  ïîëîæåíèè D îí óâèäèò èçîáðàæåíèå áóëàâêè  ñëåâà îò èçîáðàæåíèÿ áóëàâêè À. Åñëè íàáëþäàòåëü áóäåò ñìîòðåòü âäîëü ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç èçîáðàæåíèÿ ÀR è ÂR áóëàâîê â çåðêàëå (ðèñ. 310), òî îí óâèäèò ýòè èçîáðàæåíèÿ íàëîæåííûìè äðóã íà äðóãà. 496. Ëó÷è, èñõîäÿùèå èç òî÷êè À, ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàëà áóäóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âíóòðè ïîëîñû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ÑÑ1 è DD1 (ðèñ. 311). Ëó÷è, èñõîäÿùèå èç òî÷êè Â, áóäóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âíóòðè ïîëîñû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ÑÑ2 è DD2. Òîëüêî ìåæäó ïðÿìûìè CC1 è DD2 â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà áóäóò âñòðå÷àòüñÿ ëó÷è, èñõîäÿùèå èç âñåõ òî÷åê ïðåäìåòà. Ãëàç Ðèñ. 311 &
A AR ìîæåò âèäåòü èçîáðàæåíèå âñåãî ïðåäìåòà â ñëó÷àå, åñëè îí áóäåò íàõîäèòüñÿ âíóòðè ïîC h2 ëîñû, çàêëþ÷åííîé ìåæäó ëóh1 ÷àìè ÑÑ1 è DD2. a1 D a2 BR B 497. ∆a = 10 ñì. O 499. Ïîä óãëîì α = 45°. Ðèñ. 312 500. α = 2°; õ = ltg α d lα; x = 5 ñì0,035 = 17,5 ñì. 501. Èçîáðàæåíèå ó÷àñòêà ñòåíû áóäåò íàõîäèòüñÿ çà çåðêàëîì íà ðàññòîÿíèè à2 = 4 ì. Åñëè ãëàç íàõîäèòñÿ â òî÷êå Î (ðèñ. 312), òî â íåãî ìîãóò ïîïàñòü ïîñëå îòðàæåíèÿ â çåðêàëå CD ëèøü ëó÷è, èñõîäÿùèå èç âñåõ òî÷åê ó÷àñòêà èçîáðàæåíèÿ ñòåíû ÀRÂR. Òàêèì îáðàçîì, âèäèìûé â çåðêàëå ó÷àñòîê ñòåíû áóäåò èìåòü âûñîòó
h2 =
a1 + a2 a1 h1 = 3 ì.
502. Ïðè ðàñïîëîæåíèè ãëàçà âíóòðè òðåóãîëüíèêà DEH, îãðàíè÷åííîãî ëó÷àìè DG è EF (ðèñ. 313). 503. Ïåðïåíäèêóëÿðû ê çåðêàëàì A1 è À2 äîëæíû ñîñòàâëÿòü ñ ïàäàþùèìè ëó÷àìè óãëû 22°30R; ïåðïåíäèêóëÿðû ê çåðêàëàì A3 è À4 óãëû 77°30R (ñì. ðèñ. 163). Âûñîòà âñåõ çåðêàë äîëæíà áûòü íå ìåíüøå äèàìåòðà ëèíç d; øèðèíà çåðêàë À1 è À2 ðàâíà øèðèíà çåðêàë À3 è À4 ðàâíà
d d 2,61d. cos77°30′
Ðèñ. 313
&!
d d 1,03d; cos 22°30′
Ðèñ. 315
Ðèñ. 314
504. Ñì. ðèñ. 314; α =120°. 505. Öåíòð îêðóæíîñòè ëåæèò â òî÷êå Î ïåðåñå÷åíèÿ çåðêàë. Ãëàç íàáëþäàòåëÿ äîëæåí íàõîäèòüñÿ âíóòðè ïîëîñû, îãðàíè÷åííîé ëó÷àìè ÎÀ è ÎB (ðèñ. 315). § 31. Ñôåðè÷åñêèå çåðêàëà 506. f =
pq ; f = 40 ñì.
a1 C f
B h1
F a2
h2
507. Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ ABF è CDF (ðèñ. 316) ñëåäóåò, ÷òî h2 f h1 = a1 − f .
A
D
Èç ôîðìóëû âîãíóòîãî çåðêàëà èìååì
Ðèñ. 316 a1f
h2
a2
a2 = a − f ; îòñþäà h = a . 1 1 1 a1 d 0,33 ì (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 507). Èç 3 a1a2 ôîðìóëû äëÿ âîãíóòîãî çåðêàëà f = a + a = 0,25 ì; 1 2
508. a2 =
R = 2f = 0,5 ì.
&"
509. f = 2,5 ñì. Ó ê à ç à í è å. Åñëè à1 è à2 íà÷àëüíûå ðàññòîÿíèÿ îò ïðåäìåòà è èçîáðàæåíèÿ äî çåðêàëà, h1 è h2 âûñîòû ïðåäìåòà è èçîáðàæåíèÿ, à2R ðàññòîÿíèå îò èçîáðàæåíèÿ äî çåðêàëà ïîñëå ïåðåìåùåíèÿ ïðåäìåòà, òî ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f çåðêàëà ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèé h1 a1 a1 − d = 2, h2 = a2 = 4, a2′ 1 1 1 1 1 1 a1 + a2 = f , a1 − d + a2′ = f . h2
f
510. h = p . 1 h2
Ó ê à ç à í è å. Îòíîøåíèå h îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíå1 íèé (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 507) h2 a = 2 , a1 = p + f, a2 = q + f, pq = f 2. h1 a1
511. f =
l ; f = 50 ñì; d = 2lϕ. 2
512. Íà ðàññòîÿíèè à2 = 50 ñì îò çåðêàëà è d2 = 2 ñì äðóã îò äðóãà. Ó ê à ç à í è å. Ïðè ðàçäâèãàíèè ïîëîâèíîê çåðêàëà èñòî÷íèê îêàæåòñÿ ñìåùåííûì íà 0,5 ñì â ñòîðîíó îò îïòè÷åñêèõ îñåé ïîëîâèíîê çåðêàëà. Ðàññòîÿíèÿ îò èçîáðàæåíèé äî íîâûõ îïòè÷åñêèõ îñåé ïîëîâèíîê çåðêàëà ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü, êàê â çàäà÷å 507. 513. Åñëè a1 è à2 ðàññòîÿíèÿ îò èñòî÷íèêà è èçîáðàæåíèÿ äî çåðêàëà, òî ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ a1 = a + b, a2 + a = b. Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå îòñþäà çíà÷åíèÿ a1 è a2 â ôîðìóëó âûïóêëîãî çåðêàëà, ïîëó÷èì b=
2af + a2 ; b = 15 ñì.
Ñîâïàäåíèå èçîáðàæåíèé ìîæíî óñòàíîâèòü, íàáëþäàÿ èçìåíåíèÿ îòíîñèòåëüíîãî ðàñïîëîæåíèÿ èçîáðàæå&#
íèé ïðè ïåðåìåùåíèÿõ ãëàçà â ñòîðîíó îò îïòè÷åñêîé îñè çåðêàëà. Åñëè èçîáðàæåíèÿ íàõîäÿòñÿ íà ðàçíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò ãëàçà, òî ïðè ïåðåìåùåíèÿõ ãëàçà èçîáðàæåíèÿ ñìåùàþòñÿ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà (ÿâëåíèå ïàðàëëàêñà). Åñëè èçîáðàæåíèÿ íàõîäÿòñÿ íà îäíîì è òîì æå ðàññòîÿíèè, òî ïðè ëþáûõ ïîëîæåíèÿõ ãëàçà îíè ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì. d(b − a)
514. f = b − (a + d) ; íåëüçÿ (ðèñ. 317). Ó ê à ç à í è å. Ðàññòîÿíèÿ a1 è a2 îò ïåðâîé èãëû è åå èçîáðàæåíèÿ äî âîãíóòîãî çåðêàëà äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèÿì a1 = d è a2 = b a. Ïðè ïîäñòàíîâêå çíà÷åíèé à1 è a2 â ôîðìóëó çåðêàëà ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî à2 äîëæíî áûòü îòðèöàòåëüíûì.
Ðèñ. 317
Äëÿ òîãî ÷òîáû óñòàíîâèòü âîçìîæíîñòü îäíîâðåìåííîãî íàáëþäåíèÿ èçîáðàæåíèé, ñëåäóåò ðàññìîòðåòü õîä ëó÷åé, äåéñòâèòåëüíî ó÷àñòâóþùèõ â îáðàçîâàíèè èçîáðàæåíèé. Âñå ëó÷è, îòðàæåííûå îò âîãíóòîãî çåðêàëà è îáðàçóþùèå èçîáðàæåíèå ïåðâîé èãëû, ïðîõîäÿò âûøå îïòè÷åñêîé îñè. Âñå ëó÷è, îáðàçóþùèå èçîáðàæåíèå âòîðîé èãëû â ïëîñêîì çåðêàëå, ïðîõîäÿò íèæå îïòè÷åñêîé îñè âîãíóòîãî çåðêàëà. Òàê êàê ëó÷è, îòðàæåííûå îò îáîèõ çåðêàë, íèãäå íå ïåðåêðûâàþòñÿ, òî îäíîâðåìåííî íàáëþäàòü îáà èçîáðàæåíèÿ íåâîçìîæíî. Äëÿ ñîïîñòàâëåíèÿ ïîëîæåíèÿ èçîáðàæåíèé íàáëþäàòåëü äîëæåí ïåðåìåùàòü ãëàç â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè îêîëî îïòè÷åñêîé îñè è íàáëþäàòü èçîáðàæåíèÿ ïîî÷åðåäíî. &$
515. Åñëè MRNR èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà MN, òî ëó÷è, îáðàçóþùèå èçîáðàæåíèå òî÷êè Ì, ïîéäóò âíóòðè êîíóñà, îãðàíè÷åííîãî ëó÷àìè ÌRÀ è ÌR (ðèñ. 318). Ëó÷è, îáðàçóþùèå èçîáðàæåíèå òî÷êè N, ïîéäóò âíóòðè êîíóñà, îãðàíè÷åííîãî ëó÷àìè NRN è NRC. Äëÿ òîãî ÷òîáû âèäåòü èçîáðàæåíèå âñåãî ïðåäìåòà, íàáëþäàòåëü äîëæåí ðàñïîëîæèòü ãëàç âíóòðè ïîëîñû ìåæäó ïðÿìûìè MRA è NRC, â êîòîðîé íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà ëó÷è, èñõîäÿùèå èç âñåõ òî÷åê ïðåäìåòà.
Ðèñ. 318
Íàèáîëüøàÿ âûñîòà ïðåäìåòà îïðåäåëÿåòñÿ èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ DEP è PNR (ïðè ýòîì êðèâèçíîé îòðåçêà DE ïðåíåáðåãàåì): NR b bd = , NR = hmax = ; hmax = 5 ñì. DE a 2a
516. Åñëè l2 äëèíà èçîáðàæåíèÿ ëèöà (ðèñ. 319), à2 ðàññòîÿíèå îò èçîáðàæåíèÿ äî çåðêàëà, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ãëàç ìîã âèäåòü èçîáðàæåíèå âñåãî ëèöà ïðè íàèìåíüøåì ðàññòîÿíèè a1 îò çåðêàëà, äîëæíî ñîáëþäàòüñÿ óñëîâèå a1 + a2 a1 = . l2 d
Îïðåäåëÿÿ âåëè÷èíû à2 è l2 ïî ôîðìóëàì âûïóêëîãî çåðêàëà (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 506), íàéäåì a2 l2 a l1
a1 =
f (l1 + 2d) ; a1 = 45 ñì. d
1
Ðèñ. 319
&%
517. Íà ðàññòîÿíèè øàðà; íà ðàññòîÿíèè
5R = 30 ñì îò áëèæíåé ñòåíêè 6 R =18 ñì îò äàëüíåé ñòåíêè 2
øàðà. Ó ê à ç à í è å. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî â ïåðâîì ñëó÷àå íàéòè ñíà÷àëà ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ SR, äàâàåìîãî äàëüíåé ñòåíêîé, è çàòåì, ðàññìàòðèâàÿ åãî êàê èñòî÷íèê, íàéòè ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ SRR ýòîãî èñòî÷íèêà, êîòîðîå ñîçäàåòñÿ áëèæíåé ñòåíêîé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ èçîáðàæåíèé SR è SRR ñëåäóåò ðàññìîòðåòü õîä íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî ëó÷à SA (ðèñ. 320, a), èäóùåãî îò èñòî÷íèêà S ïîä ìàëûì óãëîì ê îïòè÷åñêîé îñè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ýòîãî ëó÷à ïîñëå ïåðâîãî îòðàæåíèÿ â òî÷êå À íåîáõîäèìî ïðîâåñòè ïîáî÷íóþ îïòè÷åñêóþ îñü àà, òàêóþ, ÷òîáû ëó÷ SA ïåðåñåêàë åå â ôîêóñå. Îòðàæåííûé ëó÷ À èäåò ïàðàëëåëüíî ýòîé îñè. Èçîáðàæåíèå SR íàõîäèòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à À ñ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ. Ïîñëå âòîðîãî îòðàæåíèÿ â òî÷êå  ëó÷ èäåò ïàðàëëåëüíî ïîáî÷íîé îïòè÷åñêîé îñè bb,, ÷åðåç ôîêóñ êîòîðîé ïðîõîäèò ëó÷ ÀÂ. Èçîáðàæåíèå SRR íàõîäèòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à ÂÑ ñ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ. Ïîðÿäîê äåéñòâèé ïðè îïðåäåëåíèè ïîëîæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ SR âî âòîðîì ñëó÷àå ÿñåí èç ðèñ. 320, á.
Ðèñ. 320
&&
518. à = 90 ñì; íå èçìåíèòñÿ. Ó ê à ç à í è å. Ïëîñêîå çåðêàëî äîëæíî íàõîäèòüñÿ íà ñåðåäèíå ðàññòîÿíèÿ Ðèñ. 321 ìåæäó èñòî÷íèêîì S è åãî èçîáðàæåíèåì SR (ðèñ. 321), ò.å. äîëæíî áûòü a=
a12 a2 − a1 a +a + a1 = 1 2 = = 2 2 2(a1 − f )
a12
R 2 a1 − 2
.
519. Åñëè a ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà äî âîãíóòîãî çåðêàëà, a b ðàññòîÿíèå îò èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî âûïóêëûì çåðêàëîì, äî ýòîãî çåðêàëà (ðèñ. 322), òî äëÿ èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî âûïóêëûì çåðêàëîì, èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå 1 1 2 = . b R 2R − a
Èçîáðàæåíèå â âûïóêëîì çåðêàëå ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì ïî îòíîøåíèþ ê âîãíóòîìó çåðêàëó.  ñëó÷àå ñîâïàäåíèÿ ñ èñòî÷íèêîì òî÷êè âñòðå÷è ëó÷åé ïîñëå äâóõ îòðàæåíèé äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå 1 1 2 + = . a R 2R + b
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàéäåì à = 0,28 R.
Ðèñ. 322
 ñèëó îáðàòèìîñòè õîäà ñâåòîâûõ ëó÷åé ïðè èçìåíåíèè ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ ëó÷åé ïîëîæåíèå òî÷êè âñòðå÷è îñòàíåòñÿ ïðåæíèì. &'
§ 32. Ïðåëîìëåíèå ñâåòà íà ïëîñêîé ãðàíèöå 520. Èç ãåîìåòðè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî i + r = 90°, èëè r = 90° i (ðèñ. 323). Èç çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ
sin i = ï ñ ó÷åòîì, ÷òî sin r
sin r = cos i, ïîëó÷àåì tg i = n = = 1,5, ò. å. i = 56°24R. 521. L = 2,9 ì. Ó ê à ç à í è å. Äëèíà òåíè îò ïîäâîäíîé ÷àñòè ñâàè l = (H h)tg r = = 3 ì0,62 d1,9 ì. 522. Ïðåäìåò êàæåòñÿ ðàñïîëîæåííûì â òî÷êå SR, â êîòîðîé âñòðå÷àþòñÿ ïðîäîëæåíèÿ ëó÷åé, ïîïàäàþùèõ â ãëàç ïëîâöà (ðèñ. 324). Èç òðåóãîëüíèêîâ ÎAS è ÎASR ñëåäóåò, ÷òî
Ðèñ. 323
ÎA = OS tg i = h tg i, ÎÀ = OSR tg r = hR tg r; htg i
îòñþäà hR = tg r . Òàê êàê óãëû i è r ìàëû, òî ìîæíî ïîëîæèòü tg i d sin i, tg r d sin r. Ñ ó÷åòîì ýòîãî èìååì
Ðèñ. 324
h sin i = nh = 1 ì. sin r 4h 523. Íà ðàññòîÿíèè d + âíèç 3
hR =
îò äíà ñîñóäà. Ó ê à ç à í è å.  çåðêàëå íóæíî ñòðîèòü èçîáðàæåíèå òî÷êè SR. 524. Åñëè S ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ, íàéäåííîå â çàäà÷å 523, è OS = Í = 2d +
4h , òî íàáëþäà3
'
Ðèñ. 325
òåëü óâèäèò ýòî èçîáðàæåíèå â òî÷êå SR íà ðàññòîÿíèè hR îò ïîâåðõíîñòè âîäû. Èç òðåóãîëüíèêîâ OAS è OASR (ðèñ. 325) è ìàëîñòè óãëîâ i è r ñëåäóåò, ÷òî hR =
4h H 3 3d 2d + 3 = = + h. n 4 2
525. n = 1,41. Ó ê à ç à í è å. Òàê êàê ïðåëîìëåííûé ëó÷ ïî óñëîâèþ çàäà÷è ïåðïåíäèêóëÿðåí êî âòîðîé ãðàíè ïðèçìû, òî èç ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî óãîë ïðåëîìëåíèÿ ëó÷à r = 30°. 526. h = 30 ñì. Ñîâïàäåíèå èçîáðàæåíèé óñòàíàâëèâàåòñÿ ïî îòñóòñòâèþ ïàðàëëàêñà (ñì. ðåøåíèÿ çàäà÷ 506 è 513). 527. Åñëè ï < 2, òî ëó÷ ïðåëîìèòñÿ è âûéäåò ÷åðåç âòîðóþ ãðàíü. Åñëè ï > 2, òî ëó÷ ïðåòåðïèò íà âòîðîé ãðàíè ïîëíîå îòðàæåíèå è âûéäåò èç ïðèçìû ÷åðåç òðåòüþ ãðàíü ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé. 528. Åñëè íà âåðõíåé ãðàíèöå ïëàñòèíêè ïîÿâëÿåòñÿ ÿðêîå èçîáðàæåíèå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà, òî ëó÷è, ïðîõîäÿùèå îò íåãî âíóòðü ïëàñòèíêè ïîä ìàëûìè óãëàìè i (ðèñ. 326), ñâîáîäíî óõîäÿò ÷åðåç íèæíþþ ãðàíèöó. Åñëè Ðèñ. 326 æå óãîë ïàäåíèÿ ëó÷åé íà íèæíþþ ãðàíèöó áîëüøå ïðåäåëüíîãî i0, òî îíè ïðåòåðïåâàþò ïîëíîå îòðàæåíèå, ïîäñâå÷èâàþò ÷óâñòâèòåëüíûé ôîòîñëîé ñíèçó è îáðàçóþò îðåîë. Ðàñ÷åò ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âûòåêàåò èç ðèñ. 326 è îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëüíîãî óãëà: sin i0 =
1 1 ; îòñþäà n = sin i = n 0
4d2 − a2 = 1,34. a
§ 33. Òîíêèå ëèíçû. Îïòè÷åñêèå ñèñòåìû 531. d = fϕ; d = 2,35 ìì. Ó ê à ç à í è å. Èçîáðàæåíèå Ñîëíöà íàõîäèòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû (ðèñ. 327) è âèäíî èç îïòè'
÷åñêîãî öåíòðà ëèíçû òàê æå, êàê è Ñîëíöå, ïîä óãëîì ϕ. Ïîëüçóÿñü ìàëîñòüþ óãëà ϕ, ìîæíî ïîëîæèòü Ðèñ. 327 tg ϕ d ϕ. 532.  ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îïòè÷åñêèé öåíòð ëèíçû. Ó ê à ç à í è å. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðîñëåäèòü äâèæåíèå èçîáðàæåíèÿ ïðè ïðèáëèæåíèè ïðåäìåòà ê ëèíçå (ðèñ. 328). Ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî íàïðàâëåíèå ëó÷à AF ïðè ëþáûõ ïîëîæåíèÿõ ïðåäìåòà îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. Ëó÷, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç îïòè÷åñêèé öåíòð ëèíçû Î, ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ïðåäìåòà ê ëèíçå ïîñòåïåííî ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã òî÷êè Î, ñîñòàâëÿÿ ñ îïòè÷åñêîé îñüþ âñå áîëüøèé óãîë.
Ðèñ. 328
Ðèñ. 329
533. Ñì. ðèñ. 329. 534. Ïåðåìåñòèòñÿ íà d = 5 ñì áëèæå ê ýêðàíó. Ó ê à ç à í è å. Ïðè ðàñ÷åòå íîâîãî ïîëîæåíèÿ òî÷êè âñòðå÷è ëó÷åé ÀR ïî ôîðìóëå òîíêîé ëèíçû òî÷'
êó À ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ïðåäìåò. Ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî åñëè â îáû÷íîì ñëó÷àå (òî÷êà ïðåäìåòà âåðøèíà ðàñõîäÿùåãîñÿ ïó÷êà ëó÷åé) âåðøèíà ïó÷êà ëåæèò ñ òîé æå ñòîðîíû, ñ êîòîðîé ïàäàþò íà ëèíçó ëó÷è, òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âåðøèíà ïó÷êà ëåæèò ïî îòíîøåíèþ ê ïàäàþùèì ëó÷àì ñ äðóãîé ñòîðîíû ëèíçû. Ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòå ðàññòîÿíèå à1 îò ïðåäìåòà äî ëèíçû ñëåäóåò ââîäèòü â ôîðìóëó òîíêîé ëèíçû ñî çíàêîì «», ò. å. a1 = 15 ñì. Ïðè ïîñòðîåíèè ñëåäóåò îïðåäåëèòü õîä âñïîìîãàòåëüíûõ ëó÷åé ÂÀ è ÑÀ, ïðèõîäÿùèõ íà ëèíçó ñëåâà â òî÷êó À. Òî÷êà âñòðå÷è ýòèõ ëó÷åé ïîñëå ëèíçû è îïðåäåëèò íîÐèñ. 330 âîå ïîëîæåíèå âåðøèíû ïó÷êà AR (ðèñ. 330). 535. f = 30 ñì (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 534). F F 536. Ñì. ðèñ. 331. A 537. Èñòî÷íèê äîëæåí íàõîäèòüñÿ çà äâîéAR íûì ôîêóñíûì ðàññòîÐèñ. 331 ÿíèåì, à íàáëþäàòåëü â îäíîé èç òî÷åê îáëàñòè ÂÀÑ (ðèñ. 332).
Ðèñ. 332
'!
Ó ê à ç à í è å. Ëó÷è, èäóùèå îò èñòî÷íèêà ìèìî îïðàâû ëèíçû ê íàáëþäàòåëþ, è ëó÷è îò èçîáðàæåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âíóòðè êîíóñîâ. Îäíîâðåìåííîå íàáëþäåíèå èñòî÷íèêà è åãî èçîáðàæåíèÿ âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà èìåþòñÿ îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ óêàçàííûå ïó÷êè ïåðåêðûâàþò äðóã äðóãà. hf
538. hR = p = 4 ñì. 539. à2 = 60 ñì; f = 20 ñì. Ó ê à ç à í è å. Îòíîøåíèå ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ ïðåäìåòà è èçîáðàæåíèÿ ðàâíî îòíîøåíèþ ðàññòîÿíèé îò íèõ äî ëèíçû; ñëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïðåäìåòà è èçîáðàæåíèÿ ðàâíî îòíîøåíèþ êâàäðàòîâ ðàññòîÿíèé îò íèõ äî ëèíçû. 540. 1 : 4000; 1 : 2000. 541. S1 d 0,52 êì2; S2 d 0,13 êì2. 542. Ïðè íåèçìåííîì ðàññòîÿíèè ìåæäó ëàìïîé è ýêðàíîì ëèíçà ïîñëå ïåðåìåùåíèÿ äàñò ñíîâà ðåçêîå èçîáðàæåíèå òîãäà, êîãäà íîâîå ðàññòîÿíèå îò ëàìïû äî ëèíçû (ðèñ. 333, á) ñòàíåò ðàâíûì ïðåæíåìó ðàññòîÿíèþ îò ëèíçû äî ýêðàíà (ðèñ. 333, à). Â ñèëó ýòîãî à1 à2 = 36 ñì.
Ðèñ. 333
'"
Èç ôîðìóëû óâåëè÷åíèÿ ëèíçû è íà îñíîâàíèè óñëîâèÿ çàäà÷è ïîëó÷èì a1 a2 = 2.
Ðåøàÿ ñîâìåñòíî ýòè óðàâíåíèÿ è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ëèíçû, íàéäåì f=
2a2 ; f = 24 ñì. 3
543. à = ltg ϕ; a = 60 ñì. Ó ê à ç à í è å. Ðàçìåð äåòàëåé ïðåäìåòà îïðåäåëÿåòñÿ íàèìåíüøèì óãëîì çðåíèÿ ÷åëîâå÷åñêîãî ãëàçà. 544.  ôîêóñå ëèíçû. 545. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî âñåé ñèñòåìîé â öåëîì, ñëåäóåò ðàññ÷èòàòü ïîëîæåíèÿ èçîáðàæåíèé, äàâàåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíî ïî õîäó ëó÷åé îòäåëüíûìè ÷àñòÿìè ñèñòåìû. Ëèíçà äëÿ ïðåäìåòà A äàåò ìíèìîå èçîáðàæåíèå  (ðèñ. 334), ëåæàùåå ñëåâà îò ëèíçû íà ðàññòîÿíèè a=
a1f ; a = 30 ñì. a1 − f
Ïëîñêîå çåðêàëî äëÿ èçîáðàæåíèÿ  êàê ïðåäìåòà äàåò èçîáðàæåíèå Ñ, ëåæàùåå íà ðàññòîÿíèè à + b = 45 ñì çà çåðêàëîì, èëè, èíà÷å, íà ðàññòîÿíèè àR = à + 2b = 60 ñì îò ëèíçû. Íà ëèíçó ñïðàâà ëó÷è ïîñòóïàþò îò èçîáðàæåíèÿ
Ðèñ. 334
'#
Ñ êàê ïðåäìåòà, è ëèíçà äàåò äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå D, ëåæàùåå ñëåâà îò ëèíçû íà ðàññòîÿíèè a′f
a2 = a′ − f ; a2 = 60 ñì. 546. Ñèñòåìà äàåò äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå B, ëåæàùåå ìåæäó ëèíçîé è åå ôîêóñîì (ðèñ. 335). 547. à2 = 100 ñì; ñì. ðèñ. 336. Ó ê à ç à í è å. Ïðè ðàñ÷åòå ó÷åñòü, ÷òî ïåðâîå èçîáðàæåíèå, äàâàåìîå ëèíçîé, ëåæèò çà çåðêàëîì. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ óäîáíåå âçÿòü ëó÷è, èäóùèå ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè è ÷åðåç ïåðåäíèé ôîêóñ ëèíçû (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 545). Ðèñ. 335
Ðèñ. 336
548. Èñòî÷íèê äîëæåí áûòü áåñêîíå÷íî óäàëåí. 549. Ñì. ðèñ. 337; à2 = 2,5 ñì. I F1
II F1
Ðèñ. 337
F2
550. Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîëîâèíêàìè èñ÷åçàþùå ìàëî, òî ïó÷îê ïðàêòè÷åñêè îñòàíåòñÿ ïàðàëëåëüíûì. Åñëè ýòî ðàññòîÿíèå âåëèêî, íî ìåíüøå ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ êàæäîé èç ïîëîâèíîê, òî ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé áóäåò ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ â ïó÷îê ñõîäÿùèõñÿ ëó÷åé. Ïðè ðàññòîÿíèè ìåæäó ëèíçàìè, áîëüøåì ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ êàæäîé èç íèõ, ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê áóäåò ïðåâðàùàòüñÿ ñèñòåìîé â ïó÷îê ðàñõîäÿùèéñÿ. '$
ÏÐÈËÎÆÅÍÈß
I. ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÅ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÎÑÒÎßÍÍÛÅ Ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ (íîðìàëüíîå) Ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå Ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ
G = 6,6720·1011 Í·ì2/êã2
Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ Ìàññà ýëåêòðîíà Ìàññà ïðîòîíà Ìàññà íåéòðîíà Ýëåìåíòàðíûé çàðÿä Îòíîøåíèå ìîäóëÿ çàðÿäà ýëåêòðîíà ê åãî ìàññå Ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà Ïîñòîÿííàÿ Àâîãàäðî Ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà Óíèâåðñàëüíàÿ (ìîëÿðíàÿ) ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ Ïîñòîÿííàÿ Ôàðàäåÿ Ìîëÿðíûé îáúåì èäåàëüíîãî ãàçà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ (p0 =101 325 Ïà,
g = 9,80665 ì/ñ2 8 c = 2,99792458·10 ì/ñ 7 µ0 = 4π·10 Ãí/ì= = 1,256637061·106 Ãí/ì ε0 = 8,85418782·1012 Ô/ì me = 9,109534·1031 êã mp = 1,67264851027 êã mn = 1,67495431027 êã e = 1,6021892·1019 Êë e/me = 1,7588047·1011 Êë/êã h = 6,626176·1034 Äæ·ñ NA = 6,022045·1023 ìîëü1 k = 1,380662·1023 Äæ/Ê R = 8,31441Äæ/(ìîëü·Ê) F = 9,648456·104 Êë/ìîëü Vm = 22,41383·103 ì3/ìîëü
II. ÌÍÎÆÈÒÅËÈ È ÏÐÈÑÒÀÂÊÈ ÄËß ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÄÅÑßÒÈ×ÍÛÕ ÊÐÀÒÍÛÕ È ÄÎËÜÍÛÕ ÅÄÈÍÈÖ Ìíîæèòåë ü 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
Ïðèñòàâêà íàèì åíîâàíèå ý êñ î ïåòà òåðà ã èã à ìåãà êèëî ãåêòî ä å êà
î á î ç í à÷åíèå Ý Ï Ò Ã Ì ê ã äà
Ìíîæèòåë ü 101 102 103 106 109 1012 1015 1018
'%
Ïðèñòàâêà íàèì åíîâàíèå äåöè ñàíòè ìèëëè ìèêðî íàíî ï èê î ôåìòî àòòî
î á î ç í à÷åíèå ä ñ ì ìê í ï ô à
III. ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÈ È ÅÄÈÍÈÖÛ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÅËÈ×ÈÍ Â ÑÈ
Îïðåäåëåíèÿ åäèíèö ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ïðèâåäåíû äëÿ îñíîâíûõ (âûäåëåíû ïîëóæèðíûì øðèôòîì) è äîïîëíèòåëüíûõ åäèíèö ÑÈ. Âíåñèñòåìíûå åäèíèöû, äîïóñêàåìûå ê ïðèìåíåíèþ íàðàâíå ñ åäèíèöàìè ÑÈ, îòìå÷åíû êðóæêîì. Âåëè÷èíà íàèìåíîâàíèå
Äëèíà
Åäèíèöà ðàçìåð- íàèìåíîâàíèå îáîçíàíîñòü ÷åíèå
L
Ïëîùàäü
L2
Îáúåì
L3
Ïëîñêèé óãîë
Òåëåñíûé óãîë
ìåòð
ñâÿçü ñ îñíîâíûìè åäèíèöàìè ÑÈ
ì
°àñòðîíîìè÷åñêàÿ åäèíèöà äëèíû °ñâåòîâîé ãîä °ïàðñåê êâàäðàòíûé ìåòð °ãåêòàð êóáè÷åñêèé ìåòð °ëèòð
Îñíîâíàÿ åäèíèöà Ìåòð ðàâåí 1 650 763,73 äëèíû âîëíû â âàêóóìå èçëó÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ïåðåõîäó ìåæäó óðîâíÿìè 2p10 è 5d5 àòîìà êðèïòîíà-86 à. å. 1 à. å. = 1,49598·1011 ì
ñâ. ãîä ïê ì2
1 ïê = 3,0857·1016 ì
ãà ì3
1 ãà = 104 ì2
ë
1 ë = 103 ì3 Äîïîëíèòåëüíàÿ åäèíèöà Ðàäèàí ðàâåí óãëó ìåæäó äâóìÿ ðàäèóñàìè îêðóæíîñòè, äëèíà äóãè ìåæäó êîòîðûìè ðàâíà ðàäèóñó 1° = (π/180) ðàä 1R = (π/10 800) ðàä 1RR = (π/648 000) ðàä
ðàäèàí
ðàä
°ãðàäóñ °ìèíóòà °ñåêóíäà
°
R
RR
ñòåðàäèàí
ñð
'&
1 ñâ. ãîä = 9,4605·1015 ì
Äîïîëíèòåëüíàÿ åäèíèöà Ñòåðàäèàí ðàâåí òåëåñíîìó óãëó ñ âåðøèíîé â öåíòðå ñôåðû, âûðåçàþùåìó íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ïëîùàäü, ðàâíóþ ïëîùàäè êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé ðàäèóñó ñôåðû
Ïðîäîëæåíèå Âåëè÷èíà íàèìåíîâàíèå
Âðåìÿ
Åäèíèöà ðàçìåð- íàèìåíîâàíèå îáîçíàíîñòü ÷åíèå
T
Ñêîðîñòü
LT1
Óñêîðåíèå
LT2
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü Óãëîâîå óñêîðåíèå
Ò1
×àñòîòà ×àñòîòà âðàùåíèÿ
Ò1 Ò1
Ìàññà
Ì
Ò2
Ïëîòíîñòü
L3M
Óäåëüíûé îáúåì
L3M1
Ìàññîâûé ðàñõîä
ÌÒ1
ñåêóíäà
ñ
°ìèíóòà ìèí °÷àñ ÷ °ñóòêè ñóò ìåòð â ì/c ñåêóíäó ìåòð íà ì/c2 ñåêóíäó â êâàäðàòå ðàäèàí â ðàä/c ñåêóíäó ðàäèàí íà ðàä/c2 ñåêóíäó â êâàäðàòå ãåðö Ãö ñåêóíäà ñ1 â ìèíóñ ïåðâîé ñòåïåíè êèëîãðàìì
ñâÿçü ñ îñíîâíûìè åäèíèöàìè ÑÈ
Îñíîâíàÿ åäèíèöà Ñåêóíäà ðàâíà 9 192 631 770 ïåðèîäîâ èçëó÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ïåðåõîäó ìåæäó äâóìÿ ñâåðõòîíêèìè óðîâíÿìè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà öåçèÿ-133 1 ìèí = 60 ñ 1 ÷ = 3600 ñ 1 ñóò = 86 400 ñ
Îñíîâíàÿ åäèíèöà Êèëîãðàìì ðàâåí ìàññå ìåæäóíàðîäíîãî ïðîòîòèïà êèëîãðàììà ò 1 ò = 103 êã à.å.ì. 1 à.å.ì = 1,6605655·1027 êã êã
°òîííà °àòîìíàÿ åäèíèöà ìàññû êèëîãðàìì êã/ì3 íà êóáè÷åñêèé ìåòð êóáè÷åñêèé ì3/êã ìåòð íà êèëîãðàìì êèëîãðàìì êã/c â ñåêóíäó
''
Ïðîäîëæåíèå Âåëè÷èíà íàèìåíîâàíèå
Åäèíèöà ðàçìåð- íàèìåíîâàíèå îáîçíàíîñòü ÷åíèå
Îáúåìíûé ðàñõîä
L3T1
Cèëà Äàâëåíèå Æåñòêîñòü
LÌT2 L1ÌT2 ÌT2
Íàïðÿæåíèå L1ÌT2 Ïîâåðõíîñòíîå ÌT2 íàòÿæåíèå Èìïóëüñ LÌT1 Ìîìåíò ñèëû Ìîìåíò èìïóëüñà
L2ÌT2
Èìïóëüñ ñèëû Ðàáîòà, ýíåðãèÿ Ìîùíîñòü
LMT1
Òåìïåðàòóðà (òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ) Òåìïåðàòóðà Öåëüñèÿ Òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò: ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ, îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ Êîëè÷åñòâî âåùåñòâà
L2ÌT1
L2MT2
êóáè÷åñêèé ì3/c ìåòð â ñåêóíäó Í 1 Í = 1 êã·ì·ñ2 íüþòîí Ïà 1 Ïà = 1 Í/ì2 = 1 ì1·êã·ñ2 ïàñêàëü Í/ì 1 Í/ì = 1 êãñ2 íüþòîí íà ìåòð 1 Ïà = 1 Í/ì2 = 1 ì1êã·ñ2 ïàñêàëü Ïà Í/ì 1 Í/ì = 1 êã·ñ2 íüþòîí íà ìåòð êèëîãðàìì- êã·ì/c ìåòð â ñåêóíäó Hì 1 Í·ì = 1 ì2·êã·ñ2 íüþòîíìåòð êèëîãðàìì- êã·ì2/ñ ìåòð â êâàäðàòå â ñåêóíäó Íñ íüþòîíñåêóíäà Äæ 1 Äæ = 1 Í·ì = 1 ì2·êã·ñ2 äæîóëü
L2MT3 âàòò
Âò
Θ
êåëüâèí
Ê
Θ
°ãðàäóñ Öåëüñèÿ êåëüâèí â ìèíóñ ïåðâîé ñòåïåíè
°Ñ
Θ1
N
ñâÿçü ñ îñíîâíûìè åäèíèöàìè ÑÈ
ìîëü
1 Âò = 1 Äæ/c = 1 ì2·êã·ñ3 Îñíîâíàÿ åäèíèöà Êåëüâèí ðàâåí 1/273,16 ÷àñòè òåðìîäèíàìè÷åñêîé òåìïåðàòóðû òðîéíîé òî÷êè âîäû t = T 273,15
Ê1
ìîëü
!
Îñíîâíàÿ åäèíèöà Ìîëü ðàâåí êîëè÷åñòâó âåùåñòâà ñèñòåìû, ñîäåðæàùåé ñòîëüêî æå ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, ñêîëüêî ñîäåðæèòñÿ àòîìîâ â óãëåðîäå-12 ìàññîé 0,012 êã
Ïðîäîëæåíèå Âåëè÷èíà íàèìåíîâàíèå
Åäèíèöà ðàçìåð- íàèìåíîâàíèå îáîçíàíîñòü ÷åíèå
Ìîëÿðíàÿ ìàññà
MN1
êèëîãðàìì íà ìîëü
êã ìîëü
Ìîëÿðíûé îáúåì
L3N1
êóáè÷åñêèé ìåòð íà ìîëü äæîóëü
ì3 ìîëü
Êîëè÷åñòâî L2MT2 òåïëîòû Óäåëüíàÿ òåï- L2T2 äæîóëü íà êèëîëîòà ñãîðàíèÿ (ïëàâëåãðàìì íèÿ, ïàðîîáðàçîâàíèÿ) Òåïëîåìêîñòü L2MT2Θ1 äæîóëü íà êåëüâèí Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü Òåïëîâîé ïîòîê Òåïëîïðîâîäíîñòü
Äæ
ñâÿçü ñ îñíîâíûìè åäèíèöàìè ÑÈ
1 Äæ = 1 Í·ì = 1 ì 2·êã·ñ2
Äæ/êã 1 Äæ/êã = 1 ì2·ñ2
Äæ/Ê 1 Äæ/Ê = 1 ì2·êã·ñ2·Ê1
L2T2Θ1 äæîóëü íà êèëîãðàììêåëüâèí L2MT2 Θ1N1 äæîóëü íà ìîëüêåëüâèí L2MT3 âàòò
Äæ êã ⋅ K Äæ ìîëü ⋅ K
LMT3Θ1 âàòò íà ìåòðêåëüâèí
1 Äæ/(êã·Ê) = 1ì2·ñ2·Ê1
1 Äæ/(ìîëü·Ê) = = 1 ì2·êã·ñ2·Ê1·ìîëü1
Âò
1 Âò = 1 Äæ/ñ = 1 ì2·êã·ñ3
Âò ì⋅K
1 Âò/(ì·Ê) = 1 ì·êã·ñ3·Ê1
Êîýôôèöèåíò MT3Θ1 âàòò íà 1 Âò/(ì2·Ê) = 1 êã·ñ3·Ê1 Âò 2 òåïëîïåðåêâàäðàòì ⋅K äà÷è íûé ìåòðêåëüâèí Êîíöåíòðàöèÿ (ïëîòíîñòü ÷èñëà ÷àñòèö) Ìîëÿðíàÿ êîíöåíòðàöèÿ Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè
L3
ìåòð â ìèíóñ òðåòüåé ñòåïåíè
ì3
L3N
ìîëü íà ìîëü/ì3 êóáè÷åñêèé ìåòð
L2T1
êâàäðàòíûé ìåòð íà ñåêóíäó
ì2/ñ
!
Ïðîäîëæåíèå Âåëè÷èíà íàèìåíîâàíèå
Åäèíèöà ðàçìåð- íàèìåíîâàíèå îáîçíàíîñòü ÷åíèå
Ñèëà òîêà
I
Ïëîòíîñòü òîêà
L2I
Ýëåêòðè÷åñêèé TI çàðÿä (êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà) L2TI Ïëîòíîñòü (ïîâåðõíîñòíàÿ) ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà L3TI Ïëîòíîñòü (ïðîñòðàíñòâåííàÿ) ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà L2MT3I1 Ðàçíîñòü ýëåêòðè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ Ýëåêòðîäâè- L2MT3I1 æóùàÿ ñèëà Ýëåêòðè÷åñêîå L2MT3I1 íàïðÿæåíèå, ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë
àìïåð
À
À/ì2 àìïåð íà êâàäðàòíûé ìåòð êóëîí Êë
ñâÿçü ñ îñíîâíûìè åäèíèöàìè ÑÈ
Îñíîâíàÿ åäèíèöà Àìïåð ðàâåí ñèëå íåèçìåíÿþùåãîñÿ òîêà, êîòîðûé ïðè ïðîõîæäåíèè ïî äâóì ïàðàëëåëüíûì ïðîâîäíèêàì áåñêîíå÷íîé äëèíû è íè÷òîæíî ìàëîé ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, ðàñïîëîæåííûì â âàêóóìå íà ðàññòîÿíèè 1 ì îäèí îò äðóãîãî, âûçâàë áû íà êàæäîì ó÷àñòêå ïðîâîäíèêà äëèíîé 1 ì ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ, ðàâíóþ 2·107 Í
1 Êë = 1ñ·À
êóëîí íà Êë/ì2 1 Êë/ì2 = 1 ì2·ñ·À êâàäðàòíûé ìåòð
êóëîí íà Êë/ì3 1 Êë/ì3 = 1 ì3·ñ·À êóáè÷åñêèé ìåòð
âîëüò
Â
1 Â = 1 Âò/À = 1 ì2·êã·ñ3·À1
âîëüò
Â
1 Â = 1 Âò/À = 1 ì2·êã·ñ3·À1
âîëüò
Â
1 Â = 1 Âò/À = 1 ì2·êã·ñ3·À1
!
Îêîí÷àíèå Âåëè÷èíà íàèìåíîâàíèå
Åäèíèöà ðàçìåðíîñòü
íàèìåíîâàíèå îáîçíà÷åíèå
ñâÿçü ñ îñíîâíûìè åäèíèöàìè ÑÈ
Íàïðÿæåííîñòü LMT3I2 âîëüò íà ýëåêòðèìåòð ÷åñêîãî ïîëÿ Ñîïðîòèâëåíèå L2MT3I2 îì
Â/ì
1 Â/ì = 1 Âò/(Àì) = = 1 ì·êã·ñ3·À1
Îì
Ïðîâîäèìîñòü L2M1T3I2 ñèìåíñ
Ñì
Ýëåêòðè÷åñêàÿ L2M1T4I2 åìêîñòü Ýëåêòðè÷åñ- L3M1T4I2 êàÿ ïîñòîÿííàÿ Ìàãíèòíûé L2MT2I1 ïîòîê Ìàãíèòíàÿ MT2I1 èíäóêöèÿ È í ä ó ê ò è â - L2MT2I2 íîñòü Ìàãíèòíàÿ LMT2I2 ïîñòîÿííàÿ Ýíåðãèÿ èç- L2MT2 ëó÷åíèÿ Ì î ù í î ñ ò ü L2MT3 èçëó÷åíèÿ È í ò å í ñ è â - MT3 íîñòü èçëó÷åíèÿ
Ô
1 Îì = 1 Â/À = = 1 ì2·êã·ñ3·À2 1 Ñì = 1 Îì1 = = 1 ì2·êã1·ñ3·À2 1 Ô = 1 Êë/Â = = 1 ì2·êã1ñ4·À2 1 Ô/ì = 1 ì3·êã1·ñ4·À2
Ñèëà ñâåòà
J
Ñâåòîâîé ïîòîê Ñâåòîâàÿ ýíåðãèÿ Îñâåùåííîñòü
J
Îïòè÷åñêàÿ ñèëà
ôàðàä ôàðàä íà ìåòð
Ô/ì
âåáåð
Âá
òåñëà
Òë
ãåíðè
Ãí
ãåíðè íà ìåòð äæîóëü âàòò
1 Âá = 1 ·ñ = 1 Òë·ì2 = = 1 ì2·êã·ñ2·À1 1 Òë = 1 ·ñ/ì2 = 1 Âá/ì2 = = 1 êã·ñ2·À1 1 Ãí = 1 ì2·êã·ñ2·À2
Ãí/ì 1 Ãí/ì = 1 ì·êã·ñ2·À2 Äæ
1 Äæ = 1 ì2·êã·ñ2
Âò
1 Âò = 1 Äæ/ñ = 1 ì 2·êã·ñ3
âàòò íà Âò/ì2 1 Âò/ì2 = 1 êã·ñ3 êâàäðàòíûé ìåòð Îñíîâíàÿ åäèíèöà êàíäåëà êä Êàíäåëà ðàâíà ñèëå ñâåòà â çàäàííîì íàïðàâëåíèè èñòî÷íèêà, èñïóñêàþùåãî ìîíîõðîìàòè÷åñêîå èçëó÷åíèå ÷àñòîòîé 540·1012 Ãö, ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñèëà ñâåòà êîòîðîãî â ýòîì íàïðàâëåíèè ñîñòàâëÿåò 1/683 Âò/ñð ëþìåí ëì 1 ëì = 1 êä·ñð ëì·ñ
1 ëì·ñ = 1 ñ·êä·ñð
L2J
ëþìåíñåêóíäà ëþêñ
ëê
L1
äèîïòðèÿ
äïòð
1 ëê = 1 ëì/ì2 = = 1 ì2·êä·ñð 1 äïòð = 1 ì1
TJ
! !
Ñîäåðæàíèå Çàäà÷è I. § § § § § § § § § § § §
ÌÅÕÀÍÈÊÀ ................................................. 5 1. Ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå ....... 5 2. Ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîïåðåìåííîå äâèæåíèå .. 10 3. Êðèâîëèíåéíîå äâèæåíèå ......................... 13 4. Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ....... 15 5. Äèíàìèêà ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ òåëà. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà ............................. 16 6. Èìïóëüñ. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ........ 23 7. Ðàáîòà. Ýíåðãèÿ. Ìîùíîñòü. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ....................... 27 8. Äèíàìèêà âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà ... 32 9. Ñòàòèêà .................................................. 39 10. Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ ..................... 46 11. Êîëåáàíèÿ .............................................. 47 12. Ãèäðî- è àýðîñòàòèêà ............................... 49
II. ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ .................... § 13. Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå òåë ......................... § 14. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû. Òåïëîîáìåí .............. § 15. Çàêîíû èäåàëüíîãî ãàçà ........................... § 16. Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ........................ § 17. Âëàæíîñòü âîçäóõà ..................................
Îòâåòû è ðåøåíèÿ 125 125 132 137 140 141 153 158 165 180 188 192 197
55 55 58 58 65 69
203 203 207 208 217 223
III. ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ ............................... 70 § 18. Çàêîí Êóëîíà .......................................... 70 § 19. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ................................. 73 § 20. Ðàáîòà ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ............... 77 § 21. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â äèýëåêòðèêå ........................................ 80 § 22. Ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü. Êîíäåíñàòîðû ...... 81 § 23. Çàêîíû ïîñòîÿííîãî òîêà ......................... 85 § 24. Òåïëîâîå äåéñòâèå òîêà. Ìîùíîñòü òîêà .... 93 § 25. Ïîñòîÿííûå ìàãíèòû. Ìàãíèòíîå ïîëå òîêà ... 97 § 26. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ â ìàãíèòíîì ïîëå íà ..... ïðîâîäíèê ñ òîêîì ..................................... 103 § 27. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ .................... 106
224 224 231 238
IV. ÎÏÒÈÊÀ ................................................... 109 § 28. Ïðèðîäà ñâåòà ......................................... 109 § 29. Ôîòîìåòðèÿ ............................................ 111 § 30. Çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà. Çàêîí îòðàæåíèÿ ñâåòà ................................ 113 § 31. Ñôåðè÷åñêèå çåðêàëà ............................... 117 § 32. Ïðåëîìëåíèå ñâåòà íà ïëîñêîé ãðàíèöå ..... 120 § 33. Òîíêèå ëèíçû. Îïòè÷åñêèå ñèñòåìû .......... 122
275 275 278 280 284 290 291
ÏÐÈËÎÆÅÍÈß ................................................
297
! "
243 245 249 261 264 270 274
