Теория пластичности. Плоская задача. Экстремальные принципы и энергетические методы решения. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

В.Т. Сапунов

Теория пластичности Плоская задача. Экстремальные принципы и энергетические методы решения. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

УДК 539.3 (075) ББК 30.121я7 С 19 Сапунов В.Т. Теория пластичности. Плоская задача. Экстремальные принципы и энергетические методы решения. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 124 с. Учебное пособие продолжает изложение курса «Теория пластичности», начало которого представлено в книге [10], где приведены основные законы и общие уравнения механики твердого деформируемого тела, методы решения краевых задач современной теории пластичности и решения некоторых простейших задач упругопластического деформирования элементов конструкций. В данном пособии представлены задачи о плоской деформации и плоском напряженном состоянии, экстремальные принципы и энергетические методы решения задач теории пластичности (с рассмотрением предельных состояний элементов конструкций), законы и основные уравнения циклической пластичности (с рассмотрением вопросов теории приспособляемости). Пособие рекомендовано для студентов старших курсов специальностей «Физика прочности» и «Основы конструирования физических установок», аспирантов и инженерно-технических работников, специализирующихся в области прочности и жесткости элементов конструкций. Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. Рецензент д-р. техн. наук, проф. Малыгин В.Б. (НИЯУ МИФИ)

ISBN 978-5-7262-1427-6

Ó Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011

СОДЕРЖАНИЕ 1. Основные уравнения, методы решения задач и теоремы теории пластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Уравнения пластического равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Общие методы решения задач теории пластичности . . . . . . . 1.3. Теория предельного состояния (основные теоремы) . . . . . . . 2. Плоское деформированное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Общие положения и определяющие уравнения . . . . . . . . . . . 2.2. Свойства основных уравнений плоской деформации и их решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Линии скольжения и их свойства. Уравнения М. Леви 2.2.2. Линеаризация уравнений М. Леви. Интегралы плоской деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Свойства линий скольжения. Простые напряженные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Граничные условия для напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Плоская деформация в полярных координатах . . . . . . . . . . . . . 3. Плоское напряженное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Общие положения и определяющие уравнения . . . . . . . . . . . решений с использованием условия 3.2. Построение пластичности Мизеса - Генки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Построение решений с использованием условия пластичности Треска - Сен-Венана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Экстремальные принципы и энергетические методы решения задач теории пластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Экстремальные принципы для жесткопластического тела . . . 4.1.1. Основное энергетическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Минимальные свойства действительного поля скоростей перемещений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Максимальные свойства действительного поля напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Теоремы о коэффициенте предельной нагрузки . . . . . . 4.2. Минимальные принципы и энергетические методы решения в деформационной теории пластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Работа внешних сил (обобщение теоремы Клапейрона) 4.2.2. Принцип минимума полной энергии . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Принцип минимума дополнительной работы . . . . . . . . 4.2.4. Метод Рэлея - Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5 5 8 9 11 11 17 17 21 26 29 39 50 50 54 60 76 77 77 81 83 85 92 92 93 96 98

106

5. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности . . . . 5.1. Поведение упругопластических тел при циклическом нагружении в условиях линейного напряженного состояния 5.2. Поведение упругопластических тел при циклическом нагружении в условиях сложного напряженного состояния . . 5.3. Приспособляемость упругопластических тел при циклическом нагружении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Статическая теорема приспособляемости . . . . . . . . . . . 5.3.2. Кинематическая теорема приспособляемости . . . . . . .

108

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

4

106

114 114 119

1. Основные уравнения, методы решения задач и теоремы теории пластичности 1.1. Уравнения пластического равновесия Постановка задач теории пластичности аналогична постановке задач теории упругости. Предположим, что на тело, упругопластические свойства которого заданы обобщенной диаграммой деформирования si - e i ( si , e i - интенсивности напряжений и деформаций), действуют объемные X , Y , Z и поверхностные X , Y , Z силы. Требуется определить 15 неизвестных функций координат x , y , z : - шесть компонент тензора напряжений s x , s y , . . . , t zx ; - шесть компонент тензора деформаций e x , e y , . . . , g zx ; - три составляющие u , v , w вектора перемещений. Полную систему уравнений пластического равновесия представим, имея в виду возможность использования в качестве уравнений физического закона уравнения либо теории пластического течения, либо деформационной теории пластичности. Напомним, что уравнения, определяемые законами равновесия и сплошности, в теории пластичности имеют тот же вид, что и в теории упругости. Будем иметь: - дифференциальные уравнения равновесия (уравнения Навье) ¶s x ¶t yx ¶t zx + + X =0 , + ¶x ¶z ¶y

(1.1)

... ; - граничные условия в напряжениях X = s x l + t yx m + t zx n ,

... ; 5

(1.2)

- связь между перемещениями и деформациями (зависимости Коши)

¶u ¶x ...,

ex =

, (1.3)

¶v ¶u g xy = + ¶x ¶y

,

... ; - уравнения совместности деформаций Сен-Венана ¶ 2e x ¶y 2

+

¶ 2e y ¶x 2

=

¶ 2 g xy ¶x¶y

, (1.3а)

..., 2

¶g yz ¶g zx ¶g xy ¶ 2e x ¶ = (+ + ) , ¶ y¶ z ¶x ¶x ¶y ¶z

... ; - уравнения деформационной теории пластичности ex - e =

3 ei ( s x - s) , 2 si

...,

(1.4)

e g xy = 3 i t xy , si ... при наличии условия упрочнения si = F (ei )

6

(1.5)

или уравнения теории пластического течения Прандтля - Рейса

de x =

[

(

1 ds x - n ds y + ds z E ... , dg xy =

p

)] + 32 dsei i

(s x - s)

, (1.4а)

d eip 1 dt xy + 3 t xy si G

,

... при наличии условия упрочнения Одквиста si = Y æç ò d eip ö÷ , è ø

(1.5а)

где d eip - интенсивность приращений пластических деформаций. Применение уравнений теории пластического течения в форме (1.4а) при решении конкретных упругопластических задач связано с большими математическими трудностями. Однако при рассмотрении задач, в которых допускаются значительные пластические деформации, такие, что по сравнению с ними упругие деформации пренебрежимо малы (модель жесткопластического тела), ситуацию можно упростить, используя соотношения теории пластичности Сен-Венана - Леви - Мизеса: xx =

3 2

xi

(s x - s) , si ... ,

h xy = 3

xi si

t xy ,

... , при наличии условия упрочнения 7

(1.4б)

( )

si = y x i

,

(1.5б)

где x x , x y , . . . , h zx - скорости деформаций; x i - интенсивность скоростей деформаций. При решении задач с использованием соотношений теории пластичности Сен-Венана - Леви - Мизеса зависимости Коши (1.3) и уравнения совместности деформаций Сен-Венана (1.3а) должны быть представлены, соответственно, в скоростях перемещений и в скоростях деформаций. Отметим, что система уравнений любой используемой теории пластичности (совместно с условием s = 3 K e ) дает не шесть независимых уравнений, а только пять, поскольку суммирование первых трех уравнений приводит к тождеству 0 = 0. Однако наличие условия упрочнения компенсирует эту «потерю». Таким образом, приведенная система уравнений представляет собой полную систему уравнений для решения упругопластических задач при активной деформации и простом (или близком к простому) нагружении. Как и в теории упругости, в теории пластичности задача может решаться в перемещениях и в напряжениях.

1.2. Общие методы решения задач теории пластичности Для большинства практически важных задач теории пластичности получить решения в замкнутом виде трудно, а часто и невозможно из-за нелинейности имеющих место дифференциальных уравнений в частных производных. Решение задач теории пластичности с использованием теории пластического течения представляет дополнительные трудности, связанные с тем, что уравнения теории течения содержат не только напряжения, но и их приращения. Здесь не представляется возможным использование схем решения задач теории пластичности ни в напряжениях, ни в перемещениях. В частных случаях обычно применяют численное интегрирование, прослеживая «шаг за шагом» развитие пластической деформации. На каждом «шаге» по прира8

щениям внешней нагрузки вычисляют приращения напряжений и деформаций и т.д., решая некоторую задачу для упругого анизотропного тела с переменными параметрами упругости (Биргер И.А., 1951 г.). Для решения нелинейных уравнений деформационной теории пластичности применяют различные варианты метода упругих решений (Ильюшин А.А., 1945 г.), когда решение задачи пластичности сводится к решению последовательности линейных задач, каждая из которых может быть интерпретирована как некоторая задача теории упругости. Наиболее используемыми являются: - метод дополнительных нагрузок; - метод дополнительных деформаций; - метод переменных параметров упругости. Каждый из перечисленных методов - численный и использует принцип последовательных приближений. Соответственно, при решении задачи вычисления заканчиваются тогда, когда разница между результатами двух последовательных приближений будет достаточно малой, т.е. окажется в пределах необходимой точности. Конкретные расчеты показывают, что процесс всегда является сходящимся. Отметим, что на практике приходится встречаться с довольно обширными группами (классами) задач теории пластичности, в которых на форму тела и на приложенные к нему внешние силы накладываются определенные ограничения. В первую очередь, к таким задачам следует отнести задачи о плоской деформации и плоском напряженном состоянии. Упомянутые ограничения в той или иной мере упрощают исходные уравнения и позволяют подойти к решению этих задач с более простых позиций.

1.3. Теория предельного состояния (основные теоремы) Известно, что предельное состояние конструкции наступает тогда, когда конструкция перестает сопротивляться возрастанию нагрузки и ее несущая способность исчерпывается. Обычно задача отыскания предельных нагрузок решается в следующей последовательности: 9

- определяется напряженно-деформированное состояние в упругой области; - находится напряженно-деформированное состояние в упругопластической области; - вычисляется предельная нагрузка, при которой материал полностью переходит в пластическое состояние либо в данном сечении, либо во всем элементе конструкции. Такой путь решения задач довольно громоздок даже в предположении, что материал является идеально пластическим. Ниже без доказательств излагаются некоторые общие теоремы, позволяющие определять параметры предельного нагружения без предварительного изучения упругопластического состояния элементов конструкций. При этом предполагается, что материал является жесткопластическим, т.е. не деформируется при напряжении, меньшем предела текучести (пластичности), и имеет возможность неограниченной деформации при напряжении, большем предела текучести. Статическая теорема (статический метод определения предельной нагрузки) Статическая теорема устанавливает приближение для предельной нагрузки снизу: нагрузка, соответствующая статически возможному состоянию, меньше, чем предельная нагрузка. Рассматривая различные статически возможные состояния, определяют нагрузки, которые все будут меньше предельной. Наибольшая из них будет ближе всего к предельной нагрузке. Кинематическая теорема (кинематический метод определения предельной нагрузки) Кинематическая теорема устанавливает приближение для предельной нагрузки сверху: нагрузка, соответствующая кинематически возможному состоянию, больше, чем предельная нагрузка. Рассматривая различные кинематически возможные состояния, определяют нагрузки, которые все будут больше предельной. Наименьшая из них будет ближе всего к предельной нагрузке. 10

2. Плоское деформированное состояние 2.1. Общие положения и определяющие уравнения Плоская деформация, как известно, характеризуется тем, что точки тела, расположенные в одной плоскости, при деформировании тела не выходят из плоскости, причем во всех сечениях тела, параллельных этой плоскости, картина поля перемещений одинакова. Плоское деформированное состояние (плоская деформация) реализуется, например, в длинном теле цилиндрической (или призматической) формы, при приложении поверхностных сил, перпендикулярных к его оси и не меняющихся по длине тела. При таких предположениях относительно формы тела и его нагружении можно считать, что все поперечные сечения находятся в условиях плоского деформированного состояния. Принимая, что ось z является осью тела, можем записать:

u = u ( x, y ) ,

v = v ( x, y ) , w = 0 .

В этом случае деформации e x , e y и g xy будут функциями переменных x и y , а деформации e z , g yz и g zx - равны нулю. Поскольку сечения, перпендикулярные оси z , не искривляются, касательные напряжения t yz и t zx в этих сечениях равны нулю. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси z , являются главными, а напряжение s z - одним из главных напряжений. Все напряжения, отличные от нуля ( s x , s y , t xy и s z ) при плоском деформировании будут функциями переменных x и y . Величину главного напряжения s z , как и в теории упругости, можно связать с нормальными напряжениями s x и s y . Действительно, условие e z = 0 с использованием соответствующего уравнения деформационной теории пластичности позволяет получить для несжимаемого материала: 11

ez =

3 ei ( s z - s) = 0 2 si

Þ

Þ sz - s = 0

(

)

sz = sx + s y / 2 .

Þ (2.1)

Этот же результат также следует и из соотношений теории пластичности Сен-Венана - Леви - Мизеса для жесткопластического тела при x z = 0 . Как известно, в теории упругости приведенных упрощений достаточно для формулировки и приемлемого аналитического решения задачи о плоском деформированном состоянии. В теории пластичности для достижения такого рода целей необходимы дополнительные упрощения, и, в первую очередь, упрощения касаются модели поведения материала (тела).

Рис. 2.1

В дальнейшем будем рассматривать только жесткопластическое тело (рис. 2.1), которое остается недеформируемым («жестким»), пока напряженное состояние в нем не станет гделибо удовлетворять условию пластичности и не возникнет возможность пластического течения.

При этом некоторые части тела останутся жесткими, и нужно найти такие решения в пластических зонах, чтобы скорости смещений на их границах соответствовали скоростям смещения жестких частей. Естественно, что использование схемы жесткопластического тела связано с определенными погрешностями решения тех или иных задач, а в некоторых случаях может привести и к неприемлемым результатам. Например, если пластическая область заключена внутри упругой или же пластическое течение затруднено вследствие особенностей геометрической формы тела или специального характера граничных условий, то схема жесткопластического тела может привести к значительным погрешностям. С другой стороны, в технологических задачах (прокатка, волочение, прессование и т.д.), где имеют место большие пластические деформации, развитие которых не сдерживается, применение схемы жесткопластического тела вполне оправдано. 12

Кроме того, следует отметить, что решение задачи, построенное для жесткопластического тела, может и не совпадать с решением этой же задачи для упругопластического тела при E ® ¥ . Тем не менее, концепция жесткопластического тела уже позволила построить ряд новых решений, хорошо подтверждаемых опытами, и сформулировать некоторые общие подходы к исследованию предельного состояния конструкций. Некоторые особенности напряженного состояния при плоской деформации. Прежде чем переходить к рассмотрению основных уравнений плоской деформации, выделим некоторые особенности напряженного состояния. Как уже отмечалось, площадки, принадлежащие плоскости, перпендикулярной оси z , являются главными, а напряжение s z = s x + s y / 2 - одним из главных на-

(

)

пряжений. Величины и направления двух других главных напряжений определяются известными формулами сопротивления материалов: s max =

sx + s y 2

min

æ sx - s y ç ç 2 è

±

tg 2a =

2t xy sx - s y

2

ö ÷ + t2xy ÷ ø

,

,

где угол a определяет направление главного напряжения s max относительно оси x . Сравнивая значения всех трех главных напряжений, видим, что s1 =

sx + s y 2

+

1 2

s2 = s z = s3 =

sx + s y 2

-

1 2

(s x - s y )2 + 4t2xy sx + s y 2

,

( s x - s y ) 2 + 4t2xy 13

,

.

Приведенные соотношения дают возможность определить наибольшее касательное напряжение, которое будет равно: s - s3 1 = tmax = 1 2 2

(s x - s y )2 + 4t2xy

,

что, в свою очередь, позволяет переписать главные напряжения в виде

s1 = s + tmax ,

s2 = s ,

s3 = s - tmax .

Полученные соотношения указывают, что напряженное состояние при плоской деформации можно рассматривать как наложение всестороннего равного растяжения s = s x + s y / 2 на напряжение

(

)

чистого сдвига tmax (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Основные уравнения плоской деформации. Для плоского деформированного состояния при отсутствии объемных сил дифференциальные уравнения равновесия принимают вид ¶s x ¶t xy + =0 , ¶y ¶x ¶t xy ¶s y =0 . + ¶x ¶y

14

(2.2)

В уравнения равновесия (2.2) входят три неизвестных напряжения s x , s y и t xy . Добавив к этим уравнениям условие пластичности Треска - Сен-Венана tmax = t т

Þ

(s x - s y ) 2 + 4t2xy = 4t2т

,

получим три уравнения с тремя неизвестными. При использовании условия пластичности Мизеса - Генки будем иметь: s i = sт Þ

Þ

3 2

1 2

( s1 - s 2 ) 2 + ( s 2 - s3 ) 2 + ( s3 - s1 ) 2 = s т

(s x - s y ) 2 + 4t2xy = s т

Þ

Þ

(s x - s y ) 2 + 4t2xy = 43 s2т

.

Согласно теории Мизеса - Генки пределы пластичности (текучести) при растяжении и чистом сдвиге связаны соотношением s т = 3 t т . Таким образом, в задаче о плоском деформированном состоянии условия пластичности Треска - Сен-Венана и Мизеса Генки совпадают и могут быть представлены соотношением

(s x - s y ) 2 + 4t2xy = 4K 2

,

(2.3)

где K = s т / 3 по условию Мизеса - Генки и K = s т / 2 по условию Треска - Сен-Венана. Если на границе тела заданы поверхностные силы, то дифференциальных уравнений равновесия (2.2) и условия пластичности (2.3) достаточно для определения напряженного состояния независимо от определения деформированного состояния. Задачи такого типа называют статически определимыми, однако заметим, что здесь статическая определимость - условная, поскольку к уравнениям равновесия (статическим уравнениям) добавлено условие пластичности. После отыскания поля напряжений далее могут быть найдены либо деформации (с использованием уравнений деформационной 15

теории пластичности), либо скорости деформаций (с использованием уравнений теории пластичности Сен-Венана - Леви - Мизеса). В дальнейшем будем говорить об определении скоростей деформаций или скоростей перемещений. При плоской деформации скорости деформаций связаны со скоростями перемещений зависимостями типа Коши:

xx =

¶ vx , ¶x

xy =

¶v y ¶y

,

h xy =

¶ vx ¶v y + ¶y ¶x

.

Из шести физических уравнений Сен-Венана - Леви - Мизеса остается только три: xx =

3 xi (s x - s) , 2 si

xy =

3 xi sy - s , 2 si

(

)

h xy = 3

xi si

t xy .

Используя выписанные соотношения, легко получить: s y - sx 2t xy

¶v y

¶v - x ¶y ¶x = ¶ vx ¶ v y + ¶y ¶x

.

(2.4)

Присоединяя к уравнению (2.4) условие несжимаемости материала xx +xy = 0

Þ

¶ vx ¶ v y + =0 , ¶x ¶y

(2.5)

получаем два дифференциальных уравнения (2.4) и (2.5) относительно скоростей перемещений v x и v y . Если на части границы тела (или на всей границе) заданы, например, скорости перемещений, то задача становится статически неопределимой. В этом случае необходимо совместное решение системы уравнений пластического равновесия (2.1) - (2.5), что связано с дополнительными математическими трудностями. 16

2.2. Свойства основных уравнений плоской деформации и их решений Если задача о плоской деформации является статически определимой, достаточно получить совместное решение дифференциальных уравнений равновесия (2.2) и условия пластичности (2.3). Очевидно, что предварительный анализ рассматриваемых уравнений имеет большое значение для облегчения построения решения. 2.2.1. Линии скольжения и их свойства. Уравнения М. Леви Рассмотрим некоторые свойства системы уравнений (2.2) и (2.3) и ее решений. Известно, что нормаль к площадке, на которой действует максимальное касательное напряжение, делит пополам угол между главными нормальными напряжениями. Поэтому, наряду с углом a , определяющим направление главного напряжения s1 = s max p , который определяет 4 положение площадки, где действует положительное максимальное касательное напряжение tmax (см. рис. 2.2). Линию, которая в каждой своей точке касается площадки максимального касательного напряжения, называют линией скольжения. Поскольку всегда существуют две взаимно-перпендикулярные площадки, на которых действуют tmax , то, очевидно, всегда имеются два ортогональных семейства линий скольжения, которые будем определять как линии a и b (рис. 2.3).

относительно оси x , введем угол q = a -

Примем, что линии a отклоняются вправо от направления s1 на угол p / 4 , линии b влево на этот же угол. Условимся далее фиксировать направления линий a и b так, чтобы они образовывали правую систему координат.

Рис. 2.3

17

Дифференциальные уравнения для описания семейств линий скольжения a , b будут иметь вид

dy = - ctgq . dx

dy = tg q , dx

Линии скольжения покрывают область, занятую телом, ортогональной сеткой. Бесконечно малый элемент тела, выделенный линиями скольжения, испытывает одинаковое растяжение в направлениях линий скольжения (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Представим компоненты напряжений s x , s y и t xy через тригонометрические функции угла q . Для этого воспользуемся известными формулами сопротивления материалов: sx = sy =

s1 + s 3 2 s1 + s 3 2 t xy =

+ -

s1 - s3 2 s1 - s3 2

s1 - s3 2

cos 2a , cos 2a ,

sin 2a ,

p , 4 s = s x + s y / 2 = s1 + s3 / 2 и примем tmax = s1 - s3 / 2 = t т , выполняя тем самым условие пластичности. После некоторых преобразований получим: где a - известный угол (см. рис. 2.2). Учтем, что a = q +

(

)

(

(

)

s x = s - t т sin 2q , s y = s + t т sin 2q , t xy = t т cos 2q .

18

)

(2.6)

Напряжения, представленные в форме (2.6), тождественно удовлетворяют условию пластичности (2.3). Подставляя соотношения (2.6) в дифференциальные уравнения равновесия (2.2), приходим к двум нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных относительно неизвестных функций s = s ( x, y ) и q = q ( x, y ) : æ ¶s ¶q ¶q ö - 2t т çç cos 2q + sin 2q ÷÷ = 0 , ¶x ¶x ¶y ø è

æ ¶q ö ¶q ¶s - cos 2q ÷÷ = 0 . - 2t т çç sin 2q ¶y ø ¶x ¶y è

(2.7)

Полученные уравнения обычно называют уравнениями М. Леви. Методы построения решений систем уравнений подобных (2.7) и свойства этих решений прежде всего определяются типом системы. Покажем, что система уравнений М. Леви является системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Тип системы уравнений в частных производных обычно определяют с использованием «детерминантного» метода (см., например, [ 5 ] ). Пусть вдоль некоторой линии L в плоскости x, y известны значения искомых функций s ( x, y ) и q ( x, y ) . В этом случае можно составить два дополнительных уравнения ds =

¶s ¶s dx + dy , ¶x ¶y

dq =

¶q ¶q dx + dy , ¶x ¶y

которые вместе с уравнениями (2.7) вдоль линии L образуют четыре алгебраических неоднородных уравнения относительно частных производных: 19

¶s ¶s ¶q , , , ¶x ¶y ¶x

¶q . ¶y

Частные производные вычисляются единственным образом всегда, кроме случая, когда вдоль линии L определитель системы D равен нулю. Такие линии называют характеристиками системы дифференциальных уравнений. Уравнение характеристик имеет вид 1 0

0 1

- 2t т cos 2q - 2t т sin 2q - 2t т sin 2q 2t т cos 2q

dx d y

0

0

0

dx

dy

0

=0 .

Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение относительно производной d y / d x : 2

æ dy ö dy çç ÷÷ + 2 ctg 2q -1 = 0 . dx è dx ø

Корнями характеристического уравнения являются:

æ dy ö æ dy ö ÷÷ = - сtg q . çç ÷÷ = tg q , çç è dx ø1 è dx ø 2 Поскольку оба корня характеристического уравнения имеют действительные и различные значения, система дифференциальных уравнений (2.7) является гиперболической. Напомним, что при одинаковых корнях система дифференциальных уравнений является параболической, а при комплексных - эллиптической. Сопоставляя уравнения характеристик и уравнения линий скольжения, заключаем, что в рассматриваемом случае характеристики и линии скольжения совпадают. 20

Таким образом, если на границе тела заданы поверхностные силы, то задача определения напряжений во всех точках тела сводится к интегрированию гиперболической системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных при известных (заданных) граничных условиях. 2.2.2. Линеаризация уравнений М. Леви. Интегралы плоской деформации Система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (2.7) может быть линеаризована. Введем в произвольной точке линии скольжения локальную систему координат s1 и s 2 , в которой координатные оси совпадают с направлениями касательных к линиям скольжения a и b соответственно. В новых координатах система нелинейных дифференциальных уравнений (2.7) не меняет своей формы, но поскольку для рассматриваемой точки угол q равен нулю (ось x совпадает с направлением s1 ), принимает более простой вид ¶ (s - 2tт q) = 0 , ¶ (s + 2t тq) = 0 . ¶s1 ¶s2

Полученные уравнения являются, по смыслу, дифференциальными уравнениями равновесия бесконечно малого элемента пластической среды, образованного сеткой линий скольжения. Поскольку локальную систему координат s1 и s 2 ввели в произвольной точке линии скольжения, то вдоль линий скольжения a и b , соответственно, имеем:

dy = tg q , dx

dy = - ctgq , dx

s - q = const = x . 2t т

s + q = const = h . 2t т 21

Здесь x и h - постоянные вдоль линий скольжения a и b . При переходе от одной линии скольжения a к другой линии a1 этого же семейства параметр x меняется, т.е. x = x (b ) , поскольку переход от линии a к линии a1 идет по линии b . Аналогично имеем, что h = h ( a ) . Очевидно, что если известны поле линий скольжения и значения параметров x = x (b ) и h = h ( a ) на них, то в каждой точке можем определить среднее напряжение s = t т ( x + h) и угол q = ( h - x ) / 2 , а затем и напряжения s x , s y и t xy по формулам (2.6). Следовательно, величины x и h можно рассматривать как новые неизвестные (новые определяемые функции) и ввести их в уравнения М. Леви (2.7), заменяя неизвестные s и q . После некоторых преобразований будем иметь: ¶x ¶x + tgq = 0 , ¶x ¶ y

(2.8)

¶h ¶h ctgq = 0 . ¶x ¶ y

Полученная система уравнений представляет собой систему двух однородных нелинейных уравнений, так как их коэффициенты зависят от x и h . Но поскольку эти коэффициенты зависят только от x и h , то рассматриваемая система уравнений приводится к линейной системе путем замены ролей определяемых функций и переменных. Подобные системы уравнений носят название приводимых. Пусть x = x ( x , h ) , y = y ( x , h ) . Дифференцируя, получим: 1=

¶x ¶x ¶x ¶h + , ¶x ¶x ¶h ¶ x

0=

¶ y ¶x ¶ y ¶h + , ¶x ¶x ¶h ¶x

0=

¶x ¶x ¶x ¶h + ; ¶x ¶ y ¶h ¶ y

1=

¶ y ¶x ¶ y ¶h + . ¶x ¶ y ¶h ¶ y

22

Представленные системы уравнений позволяют связать частные производные между собой:

¶x 1 ¶h = , ¶x D ¶ y

¶y 1 ¶h =, ¶x D ¶x

¶x 1 ¶x =; ¶h D ¶y

¶ y 1 ¶x = , ¶h D ¶x

¶x ¶h ¶x ¶h ¹ 0 - функциональный определитель или ¶x ¶ y ¶ y ¶x якобиан преобразования. Получить теперь частные производные, необходимые для дальнейших преобразований, не представляет особого труда. Будем иметь:

где D =

¶x ¶y ¶x ¶x =D = -D , и т.д. ¶x ¶h ¶y ¶h С учетом полученных соотношений система уравнений (2.8) принимает вид

¶ y ¶x - tg q = 0 , ¶h ¶h ¶ y ¶x + ctgq = 0 . ¶x ¶x

(2.9)

Система уравнений (2.9) является линейной с переменными коэффициентами. Отметим, что в каждом из уравнений участвуют производные лишь по одной из переменных. Системы уравнений подобного типа носят название канонических. Отметим, однако, что система уравнений (2.9) не эквивалентна исходной системе (2.8) и, соответственно, системе (2.7), поскольку в процессе преобразований теряются решения, для которых якобиан преобразований равен нулю. Но эти решения, часто встречающиеся в приложениях и носящие название интегралов плоской де23

формации (интегралов плоской задачи, интегралов уравнений пластичности), легко определяются непосредственно. Действительно, уравнение D ( x , h ) = 0 с использованием соотношений (2.8) легко приводится к виду D (x , h ) =

2 ¶x ¶h 2 ¶x ¶h =0 . =sin 2q ¶ y ¶ y sin 2q ¶ x ¶x

Отсюда следует, что якобиан будет тождественно равен нулю только в трех случаях:

x = const = x0 , h = const = h0 ; h = const = h 0 ; x = const = x 0 . Рассмотрим отдельно каждый из перечисленных случаев, предварительно напомнив, что по определению x и h - постоянные вдоль линий скольжения a и b . В рассматриваемых случаях речь идет о постоянных x0 и h0 на всем семействе линий скольжения.

Первый случай. Используя исходные соотношения для параметров x и h , можем записать:

s - q = x0 , 2t т

s + q = h0 . 2t т

Решая два уравнения относительно s и q , получим:

s = t т ( x0 + h0 ) = s* = const ,

q = ( - x0 + h0 ) / 2 = h* = const . В соответствии с имеющимися соотношениями (2.6) для напряжений полученный результат определяет равномерное напряженное состояние s x = const , s y = const и t xy = const . 24

Уравнения линий скольжения a и b в рассматриваемом случае будут иметь вид

dy = tg q* , dx

dy = - ctgq* . dx

Интегрирование уравнений приводит к двум ортогональным семействам параллельных прямых:

y = x tgq* + C1 ,

y = - x ctgq* + C2 .

Второй случай. Условие h = const = h0 приводит к удовлетворению второго из уравнений (2.8), а первое из них можно свести к уравнению относительно угла q , используя соотношение q = = ( - x + h0 ) / 2 Þ x = -2q + h0 . Будем иметь:

¶x ¶x + tg q = 0 ¶x ¶ y

Þ

¶q ¶q cos q + sin q = 0 . ¶x ¶y

Представленное уравнение является квазилинейным дифференциальным. Его интегральная поверхность определяется характеристиками, уравнения которых имеют вид dx dy dq = = cos q sin q 0

.

Решения полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений очевидны:

q = C1 ,

y - x tg C1 + C2 ,

где C1 и C2 - постоянные интегрирования. Следовательно, одно семейство линий скольжения представляется прямыми линиями, определяемыми двумя параметрами C1 и C2 , а второе - ортогональными к ним кривыми. 25

Параметры s и q , определяющие напряженное состояние, в рассматриваемом случае имеют вид

s = t т ( x + h0 ) , q = ( - x + h0 ) / 2

Þ

x = -2q + h0 .

С учетом последнего соотношения для среднего напряжения s имеем:

s = 2t т ( h0 - q) . Можно видеть, что при q = C1 , т.е. вдоль линий скольжения, представленных прямыми линиями, среднее напряжение s является постоянной величиной. Значит, и сами напряжения s x , s y , t xy постоянны вдоль прямых линий. Напряженные состояния такого типа называют простыми. Третий случай подобен второму и рассмотрение его связано с повторением всех предыдущих рассуждений. Решение системы уравнений (2.9) значительно проще, чем решение исходной системы нелинейных дифференциальных уравнений М. Леви (2.7), и соответствующие методы решений имеются в литературе. Однако напомним, что к уравнениям (2.9) или (2.7) необходимо добавить граничные условия для напряжений. В некоторых случаях решение краевой задачи плоской деформации можно построить, основываясь только на свойствах линий скольжения. 2.2.3. Свойства линий скольжения. Простые напряженные состояния Свойства линий скольжения изучались Генки (1948 г.), который сформулировал несколько теорем, из которых рассмотрим первую, представляющую наибольший интерес для практического применения. Первая теорема Генки: если переходить от одной линии скольжения семейства b к другой вдоль любой линии скольжения семейства a , то угол q и давление s будут изменяться на одну и ту же величину. 26

Выберем две линии скольжения a 1 и a 2 семейства a и две линии скольжения b 1 и b 2 семейства b (рис. 2.5). Вдоль этих линий, соответственно, имеем: x 1 , x2 , h1 и h 2 .

Рис. 2.5

При заданных значениях параметров x и h на линиях скольжения в каждой точке области можем определить среднее напряжение s = t т ( x + h) и угол q = ( h - x ) / 2 . Приведем значения напряжений s и q в точках пересечений линий скольжения (табл. 2.1): Таблица 2.1 Параметр

A11

s

t т x 1 + h1

q

(h1 - x 1 ) / 2 (h 2 - x 1 ) / 2 (h1 - x 2 ) / 2 (h 2 - x 2 ) / 2

(

A12

)

(

tт x1 + h 2

A21

)

(

t т x 2 + h1

A22

)

(

tт x 2 + h 2

)

Можно видеть, что изменения среднего напряжения s при переходе от точки A11 к точке A12 вдоль линии скольжения a 1 и от точки A21 к точке A22 вдоль линии скольжения a 2 будут определяться одним и тем же соотношением:

(

)

s A12 - s A11 = s A 22 - s A 21 = t т h 2 - h1 .

Точно также получаем, что

(

)

q A12 - q A11 = q A 22 - q A 21 = h 2 - h1 / 2 и, тем самым, первая теорема Генки доказана. 27

Последнее соотношение имеет геометрическую трактовку: угол пересечения касательных к двум линиям скольжения одного семейства в точках пересечения их линиями скольжения второго семейства не зависит от выбора последних. Из доказанной теоремы следует: если некоторый отрезок линии скольжения одного семейства, заключенный между двумя линиями скольжения второго семейства, является прямым, то все соответствующие отрезки линий этого семейства, отсекаемые линиями скольжения второго семейства, - прямые. Данное утверждение следует из того, что изменение угла наклона касательной к двум точкам прямой линии равно нулю. Остановимся на полях линий скольжения, определяющих простые напряженные состояния, когда одно семейство линий скольжения представляется прямыми линиями, а второе - ортогональными к ним кривыми. Частный случай, когда сетка линий скольжения образована двумя ортогональными семействами параллельных прямых, рассмотрен в разд. 2.2.2. Показано, что такое поле линий скольжения определяет равномерное напряженное состояние s x = const , s y = const и t xy = const . Важный частный случай простого поля напряжений определяет центрированное поле линий скольжения, образованное пучком прямых и концентрическими окружностями. В рассматриваемом примере, когда линии скольжения a - прямые, имеем, что параметр h = const = h 0 . В этом случае нормальные напряжения на радиальных и окружных площадках равны среднему напряжению s = 2tт h 0 - q (см. разд. 2.2.2) и являются

(

)

линейными функциями угла наклона прямых. Из приведенных рассуждений вытекает важная теорема: в области, соседней с областью равномерного напряженного состояния, всегда осуществляется простое напряженное состояние. 28

Пусть в области A (рис. 2.6) имеет место равномерное напряженное состояние: x = x0 , h = h0 . Отрезок прямой L , являющийся границей области A (пусть линия скольжения b ), одновременно принадлежит и соседней обРис. 2.6 ласти B и является линией скольжения b в этой области. На основании следствия из первой теоремы Генки заключаем, что в области B одно семейство линий скольжения состоит из прямых линий и, соответственно, поле напряжений в области B является простым. Значение параметра x для семейства линий скольжения a в области B , очевидно, такое же, как и в области A , т.е. x = x 0 . Доказанная теорема позволяет конструировать поля скольжений, присоединяя одно поле к другому. Например, можно соединить две области равномерного напряженного состояния посредством областей простого напряженного состояния, в частности центрированным полем. Возможна реализация и более сложных вариантов.

2.3. Граничные условия для напряжений Уже отмечалось, что для решения задачи определения напряжений при плоской деформации к уравнениям (2.7) или (2.9) необходимо располагать граничными условиями в напряжениях, т.е. представлениями величин s и q на поверхности тела (на контуре поперечного сечения). Пусть на контуре C заданы нормальная s n и касательная tn составляющие поверхностных сил, причем t n £ t т (рис. 2.7). Если принять направления s n и t n за направления новых координатных осей, легко связать «новые напряжения» s n и t n со «старыми» s x , s y и t xy : 29

Рис. 2.7

sn = s x cos 2 j + s y sin 2 j + t xy sin 2j , 1 tn = s y - s x sin 2j + t xy cos 2j , 2

(

)

где j - угол между нормалью и осью x . Поскольку тело находится в пластическом состоянии, вместо напряжений s x , s y и t xy подставим их значения, определенные соотношениями (2.6): s x = s - t т sin 2q , s y = s + t т sin 2q , t xy = t т cos 2q .

Будем иметь:

sn = s - t т sin 2 (q - j) , tn = t т cos 2 (q - j) .

Разрешив полученные соотношения относительно нужных величин s и q , получим необходимые (разыскиваемые) граничные условия на контуре C : s = s n + t т sin 2 (q - j) , t 1 q = j ± arccos n + mp , 2 tт

(2.10)

где под arccos понимается его главное значение, а m - произвольное целое число. Заметим, что среднее напряжение s и угол q из соотношений (2.10) определяются неоднозначно. Наличие двух решений для s и q , удовлетворяющих условию пластичности, объясняется квадратичным характером последнего. В важном частном случае, когда на контуре тела касательная составляющая поверхностных сил отсутствует ( t n = 0 ), уравнения (2.10) упрощаются: 30

q=j ±

p + mp , 4

s = sn ± tт .

Для выбора знака необходимо учитывать дополнительные условия, определяемые механической (физической) постановкой рассматриваемой задачи. Некоторую помощь оказывает возможность судить о знаке нормального напряжения st = 2s - sn у контура C (см. рис. 2.7), что позволяет сделать правильный выбор решения. Например, для свободной прямолинейной поверхности (рис. 2.8) имеем:

j = p / 2 , sn = tn = 0 ,

Рис. 2.8

что позволяет получить:

q=

p p ± + mp , s = ± t т 2 4

Þ s x = s t = ± 2 t т , s y = t xy = 0 .

Приведенный результат показывает, что вблизи границы может быть либо растяжение в направлении оси x , либо сжатие.

Задачи 2.1.

Вдавливание плоского штампа в жесткопластическое полупространство.

Рассмотрим задачу о пластическом течении материала при вдавливании абсолютно твердого (жесткого) с плоским основанием в жесткопластическое тело, ограниченное плоскостью (рис. 2.9). Будем считать, что трение на поверхности контакта отсутствует; при этом предполагается, что под штампом давление p - равномерное. При вдавливании штампа выдавливаемый материал образует по его сторонам возвышения и при развитом пластическом течении неРис. 2.9 обходимо удовлетворять граничные

31

условия на деформированной поверхности. Здесь ограничимся рассмотрением начального пластического течения, когда ввиду малости пластических деформаций изменениями очертаний свободной поверхности можно пренебречь. Решение Прандтля. Очевидно, что первые пластические деформации появятся в точках A и B сразу же после приложения нагрузки к штампу (см. рис. 2.9). Однако жесткость тела между двумя местными пластическими областями в окрестностях упомянутых точек вначале исключает вдавливание штампа. Вдавливание будет иметь место только после того, как нагрузка на штамп достигнет значения, необходимого для появления развитой пластической зоны вдоль всего основания штампа и части свободной поверхности, примыкающей к штампу. Построение поля напряжений (поля линий скольжения) начнем со свободной поверхности справа от штампа. Как уже отмечено, некоторый ее участок BE должен быть пластическим, чтобы была возможность вдавливания штампа. Для свободной прямолинейной поверхности участка имеем (см. разд. 2.3): j=

p p p , s n = t n = 0 Þ q = ± + mp , s = ± t т Þ s x = - 2t т , s y = t xy = 0 . 2 2 4

Знак «минус» для напряжения s x взят на том основании, что в направлении BE происходит сжатие.

Линии скольжения пересекают свободную поверхность BE под углами p / 4 и 5p / 4 , причем линия a под углом p / 4 (вправо на p / 4 от направления s1 ; рис. 2.10), а линия b под углом 5p / 4 (влево на p / 4 от направления s1 ).

Поскольку в области BDE имеем, что q = p / 4 ,

Рис. 2.10

s = - t т , для параметра x вдоль линии скольжения a получим:

x=

s -q 2t т

Þ

x=-

1 p 2 4

.

Таким образом, под линией BE имеет место равномерное поле напряжений, однако длина участка BE неизвестна, и построить поле линий скольжения в области BDE пока не можем. Рассмотрим теперь участок AB , для которого имеем: j=

p , s n = - p , tn = 0 2

Þ

q=

32

p p ± + mp , s = - p ± t т . 2 4

Полученный результат позволяет утверждать, что под штампом тоже имеет место равномерное поле напряжений, причем линии скольжения пересекают участок AB под теми же углами p / 4 и 5p / 4 . Итак, под линиями AB и BE расположены области равномерного напряженного состояния в форме треугольников BDE и ABC . Поскольку эти два треугольника имеют общую точку B , то соединены они центрированным полем напряжений BCD (см. рис. 2.9). Отсюда следует, что длина пластического участка свободной поверхности BE равна ширине штампа 2a . Отметим, что если в области BDE значения среднего напряжения s и угла q определены ( s = - t т , q = p / 4 ), то в области ABC известен только угол q = - p / 4 (в соответствии с построенными полями линий скольжения). Для оты-

скания среднего напряжения воспользуемся тем обстоятельством, что вдоль линии скольжения a , проходящей, кстати, через все три рассматриваемые области, параметр x имеет постоянное значение. Будем иметь: x Ñ BDE = x Ñ ABC Þ -

s 1 p p - = + 2 4 2t т 4

Þ s = - t т (1 + p ) .

Найденное значение среднего напряжения s = - t т (1 + p ) вместе с известным значением угла q = - p / 4 позволяют определить напряжения в области ABC , используя соотношения (2.6). Будем иметь: s x = s - t т sin 2q

,

s y = s + t т sin 2q

,

t xy = t т cos 2q

,

s x = - pt т

s y = - t т ( 2 + p)

Þ

,

t xy = 0

,

.

Найденное поле напряжений подтверждает правильность выбранного направления линий скольжения a . Действительно, при t xy = 0 имеем, что напряжения s x и s y - главные, но при этом s x > s y . Соот-

ветственно, линия a должна быть направлена вправо на p / 4 от направления s x (рис. 2.11), что совпадает с ранее принятым направлением.

Рис. 2.11 Сила, вдавливающая штамп и приводящая к наступлению пластического течения при малых пластических деформациях (предельная нагрузка), будет равна: P * = - s y × 2a = 2 t т a ( 2 + p ) .

33

Решение Хилла. При построении решения здесь также принимается, что по линии контакта имеет место равномерное давление p . Данное утверждение позволяет считать, что в области OCDEB (рис. 2.12) имеет место такое же поле напряжений, как в области ACDEB Рис. 2.12 решения Прандтля (см. рис. 2.9). Отметим, что при этом длина пластического участка свободной поверхности BE равна половине ширины штампа a . Очевидно, что по линии AOB , как и в решении Прандтля, будет действовать равномерное давление s y = - t т ( 2 + p ) , и предельная нагрузка P * имеет прежнее значение: P * = 2 t т a ( 2 + p ) . Различие в решениях Прандтля и Хилла проявляется при рассмотрении полей скоростей. Не приводя соответствующих построений, отметим, что в решении Хилла, в отличие от решения Прандтля, имеет место непрерывное поле скоростей в пластических зонах. Возможно построение решения, являющегося комбинацией решений Прандтля и Хилла и содержащего произвольный параметр, характеризующий наложение областей OCB и OFA друг на друга. Рассмотренная задача иллюстрирует неоднозначность решений с использованием модели жесткопластического тела. Поэтому при построении возможных полей скольжения необходимо привлекать различные дополнительные соображения и экспериментальные наблюдения. В частности, если рассмотреть решение соответствующей задачи теории упругости о давлении жесткого штампа на упругую полуплоскость, то следует отдать предпочтение решению Хилла, поскольку пластические зоны возникают в точках A и B и затем распространяются к середине штампа.

2.2.

Сжатие пластического слоя между двумя параллельными жесткими шероховатыми поверхностями (плитами).

Задача о сжатии пластического слоя между двумя параллельными жесткими шероховатыми плитами (рис. 2.13) решена Прандтлем в предположении, что пластический слой выдавливается в стороны и течет от середины к краям, приРис. 2.13 чем на поверхностях контакта возникают большие касательные напряжения, которые при развитых пластических деформациях могут достигать предела текучести t т .

34

Напомним, что решение задачи о плоской деформации при отсутствии объемных сил сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия ¶t xy

¶s x ¶t xy + =0 , ¶x ¶y

¶x

+

¶s y ¶y

=0

при выполнении условия пластичности

(s x - s y ) 2 + 4t2xy = 4t2т

.

Решение рассматриваемой задачи может быть построено проще, чем общее решение, опираясь на некоторые дополнительные соображения. Продифференцируем первое уравнение равновесия по y , второе по x и вычтем из первого уравнения второе. Будем иметь: ¶ 2 t xy ¶ 2 t xy ¶2 sx -sy = ¶ x¶ y ¶x 2 ¶y 2

(

)

.

Подставляя в полученное уравнение разность нормальных напряжений

(s x - s y ) =

±2

t 2т - t 2xy , найденную из условия пластичности, получим диф-

ференциальное уравнение относительно одной неизвестной функции t xy (x , y ) :

±2

¶2 ¶ x¶ y

t 2т - t 2xy =

¶ 2t xy ¶x 2

-

¶ 2 t xy ¶y 2

.

Будем считать, что толщина пластического слоя 2h существенно меньше его длины 2l . В этом случае можно считать, что касательное напряжение t xy являет-

ся функцией только y , и определение t xy ( y ) не составляет особого труда:

¶ 2 t xy ¶y 2

=0 Þ

t xy ( y ) = C1 + C2 y .

Для отыскания постоянных интегрирования C1 и C2 воспользуемся принятым допущением о наличии на поверхностях контакта значительных касательных напряжений, равных пределу текучести t т . Упомянутое допущение реализуем в форме граничных условий t xy = ± t т при y = ± h , выполнение которых позволяет получить:

35

t t xy = т y . h

Значения нормальных напряжений определим из дифференциальных уравнений равновесия, учитывая найденное значение функции t xy ( y ) . Будем иметь: ¶s x t =- т ¶x h ¶s y ¶y

t s x = - т x + f1 ( y ) , h

Þ

=0

Þ

s y = f 2 ( x) .

Произвольные функции f1 ( y ) и f 2 ( x ) , входящие в соотношения для нормальных напряжений s x и s y , определим, удовлетворяя условие пластичности. Получим:

t - т x + f1 ( y ) - f 2 ( x ) = ± 2 tт h

æ yö 1- ç ÷ èhø

2

.

Перепишем полученное уравнение, оставляя слева функции переменной x , а справа - переменной y :

t - т x - f 2 ( x ) = - f1 ( y ) ± 2 t т h

æ yö 1- ç ÷ è hø

2

.

Поскольку представленное уравнение должно выполняться при произвольных значениях переменных x и y , приходим к следующим двум соотношениям, оп-

ределяющим функции f1 ( y ) и f 2 ( x ) :

t f2 ( x) = - т x + С , h

f1 ( y ) = ± 2 t т

æ yö 1- ç ÷ èhø

где С - произвольная постоянная.

36

2

+ С ,

Окончательно, для напряжений имеем:

t s x = - т x ± 2 tт h

æyö 1- ç ÷ èhø

2

+ С , (2.11)

t sy = - т x + С , h t t xy = т y . h

В приведенных соотношениях знак « ± » отвечает двум возможным решениям задачи, а постоянная С определяет значение напряжения s y при x = 0 . При дальнейших рассмотрениях в формуле для напряжения s x оставляем знак « + » [5]. Полученное решение в напряжениях (2.11) отвечает дифференциальным уравнениям равновесия, условию пластичности и граничным условиям по линиям контакта с плитами при любых значениях постоянной С . Следовательно, значение постоянной либо следует искать из граничных условий на торцах пластического слоя, которые свободны от нагрузки: s x x= ± l = 0 ,

t xy

x=±l

=0

,

либо из физического условия s y = 0 - при x = l давление на поверхностный x= l слой равно нулю. Можно сразу видеть, что решение не позволяет точно («жестко») удовлетворить представленные граничные условия при x = ± l . Остается вариант с их удовлетворением в интегральном смысле. Соответствующие граничные условия имеют вид +h

+h

-h

-h

ò sx dy = 0 ,

ò t xy d y = 0

.

Второе из выписанных граничных условий удовлетворяется тождественно, а первое после интегрирования и некоторых преобразований позволяет определить постоянную С : - tт l + tт hp / 2 + С h = 0

Þ

37

æ l pö C = tт ç + ÷ . èh 2ø

Учитывая найденное значение постоянной С , можем определить напряжения (2.11) и предельную сжимающую нагрузку, отвечающую рассматриваемому состоянию развитой пластической деформации: l

2P * = - 2 ò s y d x Þ 0

æ l ö 2P * = - t т l ç + p ÷ . è h ø

Если же, не касаясь условий на торцах пластического слоя, принять во внимание требование о равенстве нулю давления плиты на поверхностный слой при x = l , получим новое значение постоянной: sy

x= l

t C = т l h

Þ

=0

.

Предельная сжимающая нагрузка в этом случае будет равна: 2P * = - t т

l2 h

.

Отметим, что построенное решение в напряжениях (2.11) в обеих вариантах (с постоянной C или C ) остается неудовлетворительным вблизи концов пластического слоя (вблизи x = l ). Кроме того, на оси симметрии пластической полосы (при x = 0 ) касательные напряжения должны обращаться в нуль. Следует полагать, что такая ситуация связана с наличием жестких областей в средней части пластического слоя и на его концах. Перейдем к построению поля линий скольжения. Напомним, что уравнения, определяющие линии скольжения a и b , имеют вид dy = tg q dx

и

dy = - ctg q . dx

Построение линий скольжения в рассматриваемой задаче существенно упрощается, поскольку имеется возможность формально связать переменные y и q , сравнивая касательные напряжения, определяемые формулами (2.6) и (2.11): t xy = t т cos 2q , t t xy = т y , h

Þ

y = h cos 2q

38

Þ

dy ¶q = -2 h sin 2q . dx ¶x

Для линий скольжения, соответственно, имеем: dy = tg q dx

Þ

2 h sin 2q

¶q = - tgq ¶x

- линии a ;

dy = - ctg q dx

Þ

2 h sin 2q

¶q = ctgq ¶x

- линии b .

Разделяя переменные и интегрируя, получим параметрические уравнения семейств линий скольжения: x = - h ( 2q + sin 2q ) + const ,

x = - h ( 2q - sin 2q ) + const ,

y = h cos 2q

- линии a ;

y = h cos 2q

- линии b .

Приведенные уравнения определяют два ортогональных семейства циклоид с радиусом производящего круга, равным h . Прямые y = ± h являются огибающими этих семейств циклоид. На рис. 2.14 показаны циклоиды для случая Рис. 2.14 const = 0 . Расчет скоростей перемещений и скоростей деформаций проводится при найденных соотношениях для напряжений с привлечением соответствующих уравнений теории пластического течения. Напомним, что решение Прандтля построено в предположении, что толщина пластического слоя 2h существенно меньше его длины 2l ( l >> h ). Для слоя конечной (средней) толщины или короткого слоя уже нельзя пренебрегать влиянием условий на концах слоя и в его центральной части. Соответствующие решения, имеющиеся в литературе, различают при l / h > 3,64 и 1 £ l / h £ 3,64 .

2.4. Плоская деформация в полярных координатах Для плоского деформированного состояния при отсутствии объемных сил дифференциальные уравнения равновесия в полярной системе координат r , j принимают вид ¶ sr 1 ¶ t rj s r - sj + + =0 , ¶r r ¶j r ¶ t rj

1 ¶ sj 2t rj + + =0 . r ¶j r ¶r

39

(2.12)

В уравнения равновесия (2.12) входят три неизвестных напряжения s r , sj и trj . Добавив к этим уравнениям условие пластичности

(sr - sj ) 2 + 4t2rj = 4t2т

,

(2.13)

получим, как и в прямоугольной системе координат, три уравнения с тремя неизвестными. Общее решение уравнений (2.12) и (2.13) строится совершенно аналогично тому, как это было сделано при исследовании задачи о плоской деформации в прямоугольных координатах. Для частных задач решение в полярных координатах может быть упрощено с привлечением дополнительных условий, определяемых механической (физической) постановкой рассматриваемой задачи.

Задачи 2.3.

Задача о нагружении толстостенной трубы внутренним давлением.

Решение упругопластической задачи о нагружении толстостенной трубы внутренним давлением для случая, когда материал не имеет упрочнения, подробно рассмотрено в работе [10 ] , где получены соотношения, определяющие напряжения в предельном состоянии и значение предельной нагрузки. Получим эти же соотношения, используя представления о линиях скольжения. Напомним, что уравнения, определяющие линии скольжения a и b , имеют вид dy = tg q dx

и

dy = - ctg q . dx

Свяжем параметр линий скольжения (угол) q с переменной j . Угол q определяет положение площадки, где действует положительное максимальное касательное напряжение tmax , и связан с углом a , определяющим направление главного напряжения s1 = s max относительно оси x , соотношением q = a (рис. 2.15).

40

p 4

В рассматриваемой задаче напряжения s r и sj являются главными ( t rj = 0 ), причем sj > s r . Соответственно, будем иметь: q=a-

p p = j+ 4 4

. Рис. 2.15

Подставим полученное значение q в уравнение для линии скольжения a . После некоторых преобразований получим: dy pö æ = tg ç j + ÷ dx 4ø è

d y 1 + tg j = d x 1 - tg j

Þ

.

Поскольку y = r sin j , x = r cos j , то d y = dr sin j + r cos j d j , d x = dr cos j - r sin j d j ,

и уравнение для линии скольжения a принимает вид dr sin j + r cos j dj 1 + tg j = dr cos j - r sin j dj 1 - tg j

.

Выделяя слагаемые при dr и dj , будем иметь: 1 r

[ (1 - tgj)sin j - (1 + tgj)cos j]dr = - [ (1 + tgj)sin j + (1 - tgj)cos j]dj

или dr =r

[ (1 + tgj)sin j + (1 - tgj)cos j] dj [ (1 - tgj )sin j - (1 + tgj )cos j]

.

После некоторых преобразований в квадратных скобках и интегрирования уравнение, определяющее линию скольжения a , принимает вид ln

r =j Þ A

r = A ej .

где A - постоянная интегрирования.

41

Аналогичным образом получим уравнение для линии скольжения b . Будем иметь: r = Ae - j .

Таким образом, в задаче о нагружении толстостенной трубы внутренним давлением линии скольжения представляются семейством взаимно ортогональных логарифмических спиралей. Перейдем к определению напряжений и нагрузки в предельном состоянии. Решение поставленной задачи здесь можно существенно упростить, принимая во внимание, что касательное напряжение t rj равно нулю, а напряжения s r и sj являются функциями только переменной r , причем s j > s r . В этом случае условие пластичности (2.13) принимает вид

(s r - sj ) 2 + 4t2rj = 4t 2т

Þ

sj - s r = 2 tт

.

Добавив к полученному уравнению условие, выполняемое вдоль линии скольжения a , а именно: s - q = const = x 2tт

q = j + ( p / 4)

¾¾ ¾ ¾ ¾¾®

s r + sj r p = ln + x + A 4t т 4

,

где x - постоянная вдоль линий скольжения a , будем иметь два уравнения, которые рассматриваем как уравнения с двумя неизвестными s r и sj . Отметим, что вместо условия, выполняемого вдоль линии скольжения a , можно взять аналогичное условие вдоль линии b . Решение представленной системы уравнений позволяет получить: p 1ö æ r s r = 2 t т ç ln + x + - ÷ , 4 2ø è A p 1ö æ r s j = 2 t т ç ln + x + + ÷ . A 4 2ø è

Поскольку напряжения s r и sj являются функциями только переменной r , величина x постоянна для всех линий скольжения, т.е. во всей области поперечного сечения цилиндра. Выполняя граничное условие на внутреннем контуре при r = a , будем иметь:

42

s r r a = - p пр =

Þ

p 1ö æ a 2 t т ç ln + x + - ÷ = - p пр 4 2ø è A p пр a p 1 . x=- ln - + A 4 2 2 tт

Þ

Þ

С учетом найденного значения постоянной x напряжения принимают вид s r = - p пр + 2 t т ln

r a

,

æ r ö s j = - p пр + 2 t т ç ln + 1 ÷ . è a ø

Выполняя теперь граничное условие на внешнем контуре при r = b , получим соотношение, определяющее предельное давление p пр : s r r =b = 0

Þ

p пр = 2 t т ln

b a

.

Окончательно, для напряжений будем иметь: s r = 2 t т ln

r b

,

æ r ö s j = 2 t т ç ln + 1 ÷ , b è ø

æ r 1ö s z = 2 t т ç ln + ÷ . è b 2ø

Отметим, что полученные соотношения для напряжений полностью совпадают с теми, которые следуют из решения упругопластической задачи о нагружении толстостенной трубы внутренним давлением для случая, когда материал не имеет упрочнения.

2.4.

Тело с цилиндрической полостью, растягиваемое на бесконечности (решение Л.А. Галина).

Рассмотрим задачу о растяжении в направлении осей x и y бесконечного массива с цилиндрической полостью (рис. 2.16). В направлении оси x массив растягивается усилиями p (при r ® ¥ s x ® p ), в направлении оси y - усилия-

ми q ³ p (при r ® ¥ s y ® q ). Отверстие свободно от нагрузок. При небольших значениях усилий p и q массив целиком находится в упругом

43

Рис. 2.16

состоянии, и решение находится достаточно просто методом Колосова - Мусхелишвили1 с использованием функций комплексного переменного. При достаточной величине нагрузок p и q вокруг цилиндрического отверстия возникают пластические области (зоны). Не вникая в историю постепенного развития этих областей, рассмотрим случай, когда пластическая зона I полностью охватывает отверстие, тогда как остальная часть тела II остается в упругом состоянии. Поверхность, разграничивающую области I и II , обозначим через C . Решение поставленной задачи, как задачи о плоской деформации, сводится к изучению напряженного состояния в упругой и пластической областях в плоскости x y и определению формы кривой C , которая заранее неизвестна. Поскольку пластическая зона I расположена вокруг кругового отверстия, при рассмотрении напряженного состояния в пластической зоне целесообразнее применять полярную систему координат. Для плоского деформированного состояния при отсутствии объемных сил решение задачи в полярной системе координат r , j сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений равновесия ¶ s r 1 ¶ t rj s r - s j + + =0 ¶r r ¶j r ¶ t rj ¶r

+

,

1 ¶ s j 2 t rj + =0 r ¶j r

при выполнении условия пластичности

(s r - sj ) 2 + 4t2rj = 4t2т

.

Совместное решение представленных уравнений достаточно сложно, однако в рассматриваемой задаче оно существенно упрощается за счет того, что границей тела является круговой контур. Рассматривая прямолинейную свободную границу в прямоугольной системе координат (разд. 2.3), показали, что вблизи такой границы всегда имеет место равномерное одноосное растяжение или сжатие, параллельное линии границы. Точно так же легко доказать, что у круговой границы (свободной или равномерно нагруженной) всегда реализуется осесимметричное поле напряжений. Для осесимметричной задачи касательное напряжение t rj равно нулю, а напряжения s r и sj являются функциями только переменной r , причем s j > s r , и из трех уравнений остается только два: ________________________________________ 1

Сапунов В.Т. Прикладная теория упругости. Ч.2. М.: МИФИ, 2008. – 140 с.

44

d s r s r - sj + =0 dr r

,

sj - s r = 2 tт ,

совместное решение которых при выполнении граничного условия s r = 0 r= a позволяет получить: s r = 2 t т ln

r , a

æ r ö s j = 2 t т ç ln + 1 ÷ . a è ø

(2.14)

Отметим, что осесимметричное поле напряжений уже строилось при решении задачи о нагружении толстостенной трубы внутренним давлением, но с использованием свойств линий скольжения. Естественно, полученные там соотношения для напряжений совпадают с представленными при p пр = 0 . Введем в рассмотрение «пластическую» функцию напряжений F p . Напомним, что для осесимметричной задачи в полярных координатах компоненты напряжений через функцию напряжений представляются формулами: sr =

1 dF , r dr

sj =

d 2F dr 2

.

С учетом найденных значений s r и sj для пластической функции напряжений F p будем иметь: æ r r 2 ö÷ . F p = t т ç r 2 ln ç a 2 ÷ è ø

(2.15)

В упругой области II решение построим с использованием метода Колосова Мусхелишвили. Бигармоническая функция упругих напряжений Fe может быть представлена в виде F e = Re [ z j ( z ) + c ( z )] ,

где j ( z ) и c ( z ) - аналитические функции комплексной переменной z = x + iy ( z = x - iy - сопряженная комплексная переменная).

45

Компоненты упругих напряжений при этом вычисляются по формулам: s x + s y = 4 Re F1 ( z ) ,

[

]

s y - s x + 2 i t xy = 2 z F1¢ ( z ) + Y1 ( z ) ,

где F1 ( z ) = j¢( z ) , Y1 ( z ) = y ¢( z ) = c ¢¢( z ) . Для определения аналитических функций F1 ( z ) и Y1 ( z ) нужно использовать граничные условия на бесконечности и условия непрерывности напряжений на линии C , разграничивающей пластическую I и упругую II области. Можем записать: ì r ö æ ï 2 t ç 1 + 2 ln ÷ - на С , 4 Re F1 ( z ) = í т è aø ï - на ¥ ; p+q î

(2.16)

ìï 2 t т e -2ij - на C , 2 [ z F¢1 ( z ) + Y1 ( z )] = í ïî- ( p - q ) = q - p - на ¥ .

При записи представленных соотношений использовались известные формулы теории упругости: - формулы преобразования напряжений при замене системы координат s x + s y = sr + sj ,

(

)

s y - s x + 2 i t xy = s j - s r + 2 i t rj e - 2 i j ;

- граничные условия на бесконечности s x + s y = N1 + N 2 , s y - s x + 2 i t xy = - ( N1 - N 2 ) e - 2 i a ,

где N1 и N 2 - значения главных напряжений на бесконечности; a - угол между направлением N1 и осью x . Отметим, что поскольку линия раздела упругой и пластической зон (кривая C ) неизвестна и подлежит определению наряду с комплексными функциями, соотношений (2.16) недостаточно для решения упругой задачи. Решение Л.А. Галина строится несколько иначе, используя то обстоятельство, что введенная пластическая функция напряжений F p является бигармонической. Действительно, можем записать:

46

é æ z 1 öù F p = t т Re ê z z ç ln - ÷ ú ë è a 2 øû

,

æ z 1ö где принято, что j ( z ) = t т z ç ln - ÷ и c ( z ) = 0 . è a 2ø

Введем в рассмотрение новую бигармоническую функцию F = F e - F p , которая будет определять новое поле напряжений: sx =

¶2F ¶y

2

,

sy =

¶2F ¶x

t xy = -

,

2

¶2F ¶ x¶ y

.

Соответственно, можем записать: sx + sy =

s y - s x + 2i t xy =

¶2F ¶x

¶ 2F ¶x 2

2

-

+

¶2F ¶y 2

¶ 2F ¶y 2

= L (F ) ,

- 2i

¶2F = M (F ) , ¶ x¶ y

где операторы L (F ) и M (F ) введены для упрощения дальнейших записей. Очевидно, что вместо бигармонической функции упругих напряжений F e можем разыскивать новую бигармоническую функцию F . Учитывая соотношения (2.16), граничные условия для функции F будут иметь вид: - на бесконечности

rö æ L (F ) = p + q - 2 t т ç 1 + 2 ln ÷ , aø è M (F ) = q - p - 2 t т e - 2i j ; - на контуре C L (F ) = 0 , M (F ) = 0 .

Отметим, что без операторов L (F ) и M (F ) граничные условия для функции напряжений F (для определяющих ее аналитических комплексных функций F 2 ( z ) и Y 2 ( z ) ) имеют форму соотношений (2.16):

47

0 - на С , ì ï 4 Re F 2 ( z ) = í r ö æ ï p + q - 2 t т ç 1 + 2 ln a ÷ - на ¥ ; è ø î

[

(2.17)

]

0 ìï - на С , 2 z F¢2 ( z ) + Y 2 ( z ) = í 2 i j - на ¥ . ïî q - p - 2 t т e

Так же, как и раньше, представленных условий (2.17) недостаточно для решения задачи, поскольку контур C неизвестен. Проведем конформное отображение упругой области в плоскости z на плоскость z , так чтобы контур C перешел в окружность g единичного радиуса, а бесконечно удаленная точка плоскости z - в бесконечно удаленную точку плоскости z . В этом случае отображающая функция w ( z ) будет иметь структуру:

z = w (z) = b z +

¥

å

bn

n =1 z

n

,

где b - вещественная положительная постоянная; b n - коэффициенты, вещественные вследствие симметрии контура C относительно оси x . Преобразования граничных условий (2.17) при конформном отображении проведем, учитывая следующие соотношения теории упругости: F 2 [w ( z ) ] = F ( z ) , Y2 [ w ( z ) ] = Y ( z ) ,

F¢2 [w ( z ) ] = F¢ ( z ) / w¢ ( z ) .

Соответственно, для определения неизвестных функций F ( z ) , Y ( z ) и w ( z ) будем иметь: - на g , 0 ì ï 4 Re F ( z ) = í b æ 1 ö ï p + q - 4 t т çè 2 + ln a + ln z ÷ø - на ¥ î

( где ln

z bz r b ® ln ® ln ® ln + ln z ) ; a a a a

0 - на g , ù ìï é w (z) 2ê F¢ ( z ) + Y ( z ) ú = í j 2 i 1 ¢ - на ¥ û ïî q - p - 2 t т e ë w (z)

( j1 = arg z ) .

48

(2.18)

Соотношения (2.18) позволяют определить функции F ( z ) , Y ( z ) и w ( z ) . Не останавливаясь на промежуточных выкладках, приведем окончательный вид функции w ( z ) : æ kö w ( z ) = b çç z + ÷÷ zø è

k=

,

q- p , 2t т

æq+ p 1ö b = a exp çç - ÷÷ . è 4 tт 2 ø

Как известно, представленная функция отображает внешность эллипса. Следовательно, контур C , разграничивающий пластическую I и упругую II области, является эллипсом. Уравнение эллипса имеет вид

(

x2

b2 1 + k2

y2

) b 2 (1 - k 2 ) = 1 +

.

Поскольку решение задачи построено в предположении, что пластическая зона полностью окружает круговое отверстие радиусом a , необходимо выполнение условия: b (1 - k ) > a . Приведем некоторые результаты вычисления поля напряжений для случая p = 2,4 t т и q = 3,0 t т (рис. 2.17). В этом случае b = 2,34 a и полуоси эллипса будут, соответственно, равны 3,04 a и 1,64 a . Для сравнения пунктиром показана окружность радиусом R = = b 2,72 a , которая является линией раздела упругой и пластической зон при p = q = 3,0 t т . Сплошными линиями показаны распределения интенсивности касательных напряжений вдоль осей x и y для случая p = 2,4 t т и q = 3,0 t т . Пунктиром - распределение интенсивности касательных напряжений вдоль радиусавектора при p = q = 3,0 t т .

Рис. 2.17

При заданном значении, например, нагрузки q = 3,0 t т можно найти наименьшее значение нагрузки p ( p £ q ), которое следует из условия, что меньшая полуось эллипса будет равна a . В этом случае получим, что p = 1,95 t т .

49

3. Плоское напряженное состояние 3.1. Общие положения и определяющие уравнения В задаче о плоском напряженном состоянии будем рассматривать упругое тело в форме тонкой пластины постоянной толщины h , нагруженное по боковой поверхности силами, параллельными плоскости пластины и распределенными симметрично относительно ее срединной плоскости, которую совместим с координатной плоскостью x y . Будем считать, что объемные силы отвечают аналогичным условиям. Торцы (основания) пластины z = ± h / 2 свободны от нагрузки. Граничные условия на торцах в поставленной задаче принимают вид s z = t zx = t zy = 0 при z = ± h / 2 .

Если пластину считать тонкой, то при рассматриваемом нагружении с достаточной степенью точности можно принять напряжения s z , t zx и t zy равными нулю во всех точках пластины. Остальные компоненты тензора напряжений s x , s y и t xy можно считать функциями только переменных x и y , усреднив их по толщине пластины. Такое напряженное состояние пластины будем называть плоским напряженным состоянием. Очевидно, что при нагрузке на боковой поверхности, не меняющейся по толщине, процедуру усреднения напряжений можно опустить. Отметим, что при плоском напряженном состоянии имеем s z = 0 , а e z ¹ 0 (в отличие от плоской деформации, где e z = 0 , а s z ¹ 0 ). Наличие поперечной деформации e z влечет за собой искривление плоских оснований пластины, однако, поскольку задача симметрична, точки срединной плоскости после деформирования пластины остаются на месте. Данное обстоятельство позволяет утверждать, что при малой толщине пластины перемещение w будет весьма мало и что изменения перемещений u и v по толщине будут незначительны. Соответственно, можно считать, что переме50

щения u и v (и скорости перемещений v x и v y ) являются функциями только переменных x и y . Будем считать, что приложенные нагрузки таковы, что имеет место пластическое деформирование материала и что деформирование происходит по схеме жесткопластического тела. Упругопластические задачи будем оговаривать особо. Основные уравнения плоского напряженного состояния. Для плоского напряженного состояния при отсутствии объемных сил дифференциальные уравнения равновесия принимают вид ¶s x ¶t xy + =0 , ¶x ¶y ¶t xy ¶s y + =0 . ¶x ¶y

(3.1)

При решении задачи в скоростях деформаций (или в скоростях перемещений) будем использовать соотношения Сен-Венана - Леви - Мизеса для жесткопластического несжимаемого тела: xy hxy xx = = . s x - s s y - s 2t xy

(

)

Принимая во внимание, что s = s x + s y / 3 (поскольку s z = 0 ), и учитывая зависимости между скоростями деформаций и скоростями перемещений (зависимости типа Коши), соотношения СенВенана - Леви - Мизеса перепишем в виде ¶vy ¶ vx ¶ v y ¶ vx + ¶y ¶x ¶y ¶x = = 2 s x - s y 2s y - s x 6t xy

.

(3.2)

К уравнениям (3.1) и (3.2) необходимо добавить условие пластичности Треска - Сен-Венана или Мизеса - Генки. 51

Условие пластичности Мизеса - Генки s i = s т для плоского напряженного состояния принимает вид

s 2x - s x s y + s2y + 3t 2xy = s2т

(3.3)

или в главных осях

s21 - s1s 2 + s22 = s2т . В плоскости s 1 , s 2 последнее уравнение представляет эллипс, наклоненный под углом p / 4 к осям координат (рис. 3.1) и отсекающий на них отрезки s т ; при этом главные напряжения по величине не могут быть больше, чем 2s т / 3 = t т . Полуоси эллипса, соответственно, равны

Рис. 3.1

2 sт и

2 tт .

Отметим, что максимальные касательные напряжения tmax , входящие в условие пластичности Треска - Сен-Венана, в зависимости от знака главных напряжений s 1 , s 2 действуют на разных площадках. Так, если напряжения s 1 , s 2 имеют разные знаки, то подобно случаю плоской деформации максимальное касательное напряжение равно t max =

s1 - s 2 2

=

1 2

(s x - s y ) 2 + 4t2xy

и действует на площадках, нормальных к плоскости x , y ( 1 , 2 ) и делящих пополам угол между направлениями s 1 и s 2 (рис. 3.2, а). При этом на плоскости x , y будут два ортогональных семейства линий скольжения. 52

а

б Рис. 3.2

Если же главные напряжения s 1 , s 2 одинакового знака (например, s1 > 0 , s 2 > 0 , причем s 1 > s 2 ), то максимальное касательное напряжение равно tmax = s1 / 2

и действует на площадках, параллельных направлению s 2 и наклоненных под углом p / 4 к плоскости x , y ( 1 , 2 ) (рис. 3.2, б). Здесь будем иметь одно семейство линий скольжения, направление которых совпадает с направлением s 2 . Таким образом, условие пластичности Треска - Сен-Венана принимает вид

s1 - s2 = ± s т , s1 = ± s т или s 2 = ± s т ,

если если

s1 s 2 £ 0 ; s1 s 2 ³ 0 .

(3.3а)

Уравнения (3.3а) на плоскости s 1 , s 2 представляют шестиугольник, вписанный в эллипс Мизеса - Генки. Окончательно, для решения задачи пластического плоского напряженного состояния (для отыскания пяти неизвестных: трех напряжений s x , s y , t xy и двух скоростей перемещений v x , v y ) имеем пять уравнений: два дифференциальных уравнения равновесия (3.1), два соотношения Сен-Венана - Леви - Мизеса (3.2) и ус53

ловие пластичности Мизеса - Генки (3.3) или Треска - СенВенана (3.3а). Совместное решение полученной нелинейной системы уравнений представляет большие математические трудности. Однако, как и в случае задач плоской деформации, возможно разбиение системы уравнений на две группы, решаемых последовательно. В частности, если на границе тела заданы поверхностные силы, то дифференциальных уравнений равновесия (3.1) и условия пластичности (3.3) или (3.3а) достаточно для определения напряженного состояния независимо от определения деформированного состояния. Напомним, что задачи такого типа называют статически определимыми, однако добавим, что здесь статическая определимость - условная. После отыскания поля напряжений далее могут быть найдены скорости перемещений, причем система уравнений для их определения является линейной.

3.2. Построение решений с использованием условия пластичности Мизеса - Генки Рассмотрим решение задачи плоского напряженного состояния в напряжениях. Условие пластичности Мизеса - Генки в главных напряжениях

s21 - s1s 2 + s22 = s2т можно удовлетворить, полагая pö æ s 1 = 2t т cos ç w - ÷ , 6ø è

pö æ s1 = 2t т cos ç w + ÷ , 6ø è

(3.4)

где w = w ( x , y ) - новая (неизвестная) функция, характеризующая положение точки на эллипсе (рис. 3.3). 54

При условии s1 ³ s 2 угол w изменяется в пределах 0 £ w £ p (положительный угол w отсчитывается по часовой стрелке). Отметим, что введенные соотношения (3.4) представляют напряжения s 1 и s 2 через один параметр, определяющий полоРис. 3.3 жение точки на эллипсе. Поскольку в дифференциальные уравнения равновесия входят напряжения s x , s y и t xy , то перейдем к этим напряжениям, представляя их через главные с помощью известных формул сопротивления материалов: sx ü s1 + s 2 s1 - s 2 s - s2 cos 2a , t xy = 1 ± sin 2a , ý = sy þ 2 2 2

где a = a ( x, y ) - угол между направлением s 1 и осью x . С учетом соотношений (3.4) будем иметь:

sx ü = tт s y ýþ

(

)

3 cos w ± sin w cos 2a , t xy = t т sin w sin 2a .

Отметим, что, в отличие от случая плоской деформации, из полученных формул вытекают ограничения на значения напряжений: s x £ 2t т ,

s y £ 2t т

t xy £ t т .

Подставим найденные значения напряжений s x , s y и t xy в дифференциальные уравнения равновесия. Далее умножим первое уравнение на cos 2a , второе - на sin 2a и сложим получившиеся уравнения. Затем умножим первое уравнение на sin 2a , второе - на cos 2a и вычтем получившиеся уравнения. В результате преобра55

зований будем иметь два уравнения относительно двух неизвестных функций a = a ( x, y ) и w = w ( x , y ) :

(

3 sin w cos 2a - cos w ¶w 3 sin w sin 2a ¶x

(

) ¶¶wx +

3 sin w sin 2a

¶w ¶a - 2 sin w =0 , ¶y ¶y

)

¶w ¶a + 2 sin w 3 sin w cos 2a + cos w =0 . ¶y ¶x

(3.5)

Методы построения решений системы уравнений в частных производных (3.5) и свойства решений полностью определяются типом (гиперболическим, параболическим или эллиптическим) этой системы. Тип системы уравнений обычно выясняют с использованием «детерминантного» метода, который достаточно подробно рассматривался при установлении типа системы уравнений, полученной при решении задачи о плоской деформации (см. разд. 2.2.1). Не останавливаясь на деталях применения метода в рассматриваемом случае, приведем лишь некоторые окончательные результаты: - дифференциальные уравнения характеристических линий имеют вид dy 3 sin w sin 2a ± S ( w) = dx 3 sin w cos 2a - cos w

где введено обозначение S ( w) =

,

(3.6)

3 - 4 cos 2 w ;

- вдоль характеристических линий определяемые функции a = a ( x, y ) и w = w ( x , y ) связаны соотношением:

W ± a = const где W = -

,

1 w S ( w) dw , а функция S ( w) определена выше. ò 2 p / 6 sin w

56

(3.7)

Анализ дифференциальных уравнений характеристических линий показывает, что исходная система уравнений в частных производных (3.5) имеет два различных семейства вещественных характеристик, т.е. будет гиперболической, если

3 - 4 cos 2 w > 0

p 5p < w< 6 6

Þ

или

7p 11p < w< . 6 6

Значения w , соответствующие гиперболичности системы уравнений (3.5), на эллипсе (рис. 3.3) очерчены жирными линиями. Система уравнений (3.5) будет иметь лишь одно семейство вещественных характеристик, т.е. будет параболической, в случае

3 - 4 cos2 w = 0

Þ

w=

p 5p 7 p 11p ; ; ; . 6 6 6 6

Наконец, при

3 - 4 cos2 w < 0

Þ

0£ w<

p 6

или

5p < w£ p 6

система уравнений (3.5) не имеет вещественных характеристик, т.е. является эллиптической. Точки на эллипсе, соответствующие эллиптичности системы уравнений (3.5), очерчены тонкими линиями (см. рис. 3.3). Отметим, что тип системы уравнений (3.5) можно связать с величиной среднего нормального напряжения s , определив его как функцию угла w . Можем получить:

s = ( s1 + s2 ) / 3 Þ s = 2 t т cos w / 3 . Нетрудно видеть, что в области гиперболичности имеем, что s < t т , в параболических точках - s = t т , а в области эллиптичности - s > t т . Итак, при рассмотрении системы дифференциальных уравнений в частных производных (3.5) могут встретиться различные области 57

решений (гиперболичности, параболичности, эллиптичности), причем границы областей заранее неизвестны. Данное обстоятельство существенно затрудняет решение многих задач плоского напряженного состояния по сравнению с решением соответствующих задач плоской деформации. Рассмотрим более подробно свойства решений для каждой из трех областей отдельно. Область гиперболичности В области гиперболичности дифференциальные уравнения характеристических линий (3.6) можно записать в более простом виде, вводя новую функцию y = y ( x , y ) следующим образом: y=

p 1 ctg w - arccos 2 2 3

или

ctg w = - cos y , 3

причем угол y изменяется в пределах 0 < y < p / 2 . Действительно, после некоторых несложных преобразований можем получить: dy = tg ( a ± y ) . dx

Поскольку

S ( w =)

известно,

что

в

рассматриваемой

области

3 - 4 cos w > 0 ( 3 - 4 cos w > 0 ), функция W = W ( w ) и, 2

2

следовательно, функция W = W ( y ) легко вычисляются. Соответственно, для двух семейств характеристических линий, которые будем различать параметрами a и b , можем записать: семейство a

семейство b

dy = tg ( a - y ) dx W - a = const = x

dy = tg ( a + y ) dx W + a = const = h

58

Характеристики пересекаются под углом 2y и образуют неортогональную сетку кривых (рис. 3.4), не совпадающую, очевидно, с сеткой линий скольжения. Главные направления делят углы между характеристиками пополам.

Рис. 3.4

Характеристики обладают рядом свойств, аналогичных некоторым свойствам линий скольжения, рассмотренных в задаче о плоской деформации. Исходная система дифференциальных уравнений в частных производных (3.5) является приводимой и линеаризуется путем обращения переменных (аналогично уравнениям плоской деформации). Так же, как и в задаче о плоской деформации, здесь имеют место интегралы плоского напряженного состояния, соответствующие простому и равномерному напряженным состояниям. Можно показать, что в случае равномерного напряженного состояния ( x = x 0 , h = h 0 ) сетка характеристик образуется двумя неортогональными семействами параллельных прямых, пересекающихся под углом 2y . В простом напряженном состоянии ( x = x 0 или h = h 0 ) лишь одно семейство характеристик состоит из прямых линий. Так же, как и в задаче о плоской деформации, имеет место теорема: к области равномерного напряженного состояния может примыкать лишь область простого напряженного состояния. Области параболичности и эллиптичности В точках параболичности S ( w) =

3 - 4 cos 2 w = 0 и w имеет

постоянное значение p / 6 или 5p / 6 . Оба семейства характеристик сливаются в одно ( y = 0 ), но семейства различны при w , равном p / 6 и 5p / 6 . Действительно, имеем: 59

- при w = p / 6 dy sin 2a = Þ d x cos 2a - 1

dy = -ctga ; dx

- при w = 5p / 6

dy sin 2a = Þ d x cos 2a + 1

dy = tga . dx

Из исходной системы дифференциальных уравнений (3.5) следует a = const (поскольку w имеет постоянное значение). Соответственно, семейство характеристик является семейством параллельных прямых, и, таким образом, решение приводит к равномерным напряженным состояниям частного вида. В области эллиптичности построение решений исходной системы дифференциальных уравнений (3.5) связано с большими трудностями; общие методы решения здесь отсутствуют, имеются лишь решения для осесимметричных задач.

3.3. Построение решений с использованием условия пластичности Треска - Сен-Венана В разд. 3.1 получена система уравнений плоского напряженного состояния для решения в напряжениях, включающая условие пластичности Треска - Сен-Венана или Мизеса - Генки. Условие пластичности Треска Сен-Венана, записанное в форме уравнений (3.3а), в плоскости s1 , s2

Рис. 3.5

представляет

шестиугольник,

вписанный в эллипс Мизеса - Генки (рис. 3.5). Условимся внутренние точки отрезков AB , BC и т.д. (без самих точек A , B , C . . .) называть режимами 60

AB , BC и т.д. Вершины шестиугольника будем называть, соответственно, режимами A , B , C и т.д. Очевидно, что уравнения плоского напряженного состояния различны для различных режимов. Решение конкретных задач обычно требует рассмотрения пластического деформирования в разных режимах, реализующихся в тех или иных частях пластической зоны. При этом нетрудно ошибиться и выбрать неправильную компоновку различных областей напряженного состояния, что иногда приводит к неверным заключениям. Для выбора правильной конструкции решения необходимо тщательное построение согласованного поля скоростей деформаций. Проведем построение решений для разных режимов. Режимы AB и DE . Для режимов AB и DE главные напряжения имеют разные знаки ( s1s2 < 0 ) и условие пластичности принимает вид t max =

s1 - s 2 2

Þ

=

1 2

(s x - s y ) 2 + 4t2xy = tт

(s x - s y ) 2 + 4t2xy = 4t2т

Þ

,

т.е. тот же самый вид, что и в случае плоской деформации. Соответственно, все результаты, полученные при решении задачи о плоской деформации, полностью переносятся на случай тонкой пластинки. Отметим только, что в случае пластинки имеют место ограничения на величину главных напряжений, например, для режима DE : s1 < s т , s 2 < s т . Уменьшения толщины пластинки не происходит, поскольку xz = 0 . EF . Для режима CD имеем: s1 = s т , 0 < s 2 < s т . Положим s1 - s 2 = 2 s т c , где c = c ( x , y ) - неизвестная функция. Тогда сумму главных напряжений можем записать в форме уравнения

Режимы CD и

61

s1 + s 2 = 2 s т k ( 1 - c ) ,

где k = sign s1 = sign s 2 . Для режима CD имеем k = +1 , для режима EF - k = -1 . Выписанные два уравнения относительно s1 , s 2 действительно представляют значения главных напряжений на данных режимах. Так, на режиме CD имеем: 2s1 = 2 s т ( c + 1 - c ) Þ

2s 2 = 2 s т ( 1 - c - c ) Þ

s1 = s т ,

s 2 = s т ( 1 - 2c ) .

Таким образом, условие пластичности удовлетворено, если главные напряжения s1 , s 2 представлены посредством функции c = c ( x , y ) следующим образом:

s1 + s 2 = 2 s т k ( 1 - c ) , s1 - s 2 = 2 s т c .

(3.8)

Преобразование дифференциальных уравнений равновесия проведем по схеме, принятой в разд. 3.2. Перейдем к напряжениям s x , s y и t xy , используя их представления через главные напряжения s1 , s 2 . Будем иметь: sx ü ý = s т [ k (1 - c ) ± c cos 2a ] , t xy = s т c sin 2a , syþ

где a = a ( x, y ) - угол между направлением s 1 и осью x . Подставим найденные значения напряжений s x , s y и t xy в дифференциальные уравнения равновесия. После некоторых преобразований находим два уравнения относительно двух неизвестных функций c = c ( x , y ) и a = a ( x, y ) : 62

sin 2a

¶a ¶a - ( k + cos 2a ) =0 , ¶x ¶y

¶ ¶ ¶a sin 2a ln c - ( k + cos 2a ) ln c + 2 k =0 . ¶x ¶y ¶y

(3.9)

Исследование системы уравнений (3.9) с использованием общего (детерминантного) метода позволяет установить наличие только одного семейства действительных характеристик: k + cos 2a dy =dx sin 2a

,

da =0 . dx

Данное обстоятельство показывает, что система уравнений (3.9) является системой параболического типа. Интегрируя дифференциальные уравнения характеристических линий, получаем:

a = С1 , pù é y = x tg êa + ( k + 1) ú + C2 , 4û ë

(3.10)

где С1 , С2 - постоянные интегрирования. Согласно полученным уравнениям, характеристические линии являются прямыми, наклоненными к оси x под углом pù é êa + ( k + 1) 4 ú и, следовательно, совпадающими с линиями скольë û жения, т.е. с прямыми траекториями главных напряжений (см. разд. 3.1, рис. 3.2). Для режима CD характеристики совпадают с прямолинейными траекториями численно меньшего главного напряжения s 2 . Для режима EF имеем, что s 2 = - s т , k = -1 , и характеристики проходят по прямолинейным траекториям главного напряжения s1 . 63

Отметим, что система уравнений (3.9) допускает построение общего решения первого уравнения в форме:

pù é y = x tg êa + ( k + 1) ú + F ( a ) , 4û ë

(3.11)

где F ( a ) - произвольная функция, определяемая из граничных условий. Рассмотрение второго уравнения системы (3.9) с учетом уравнения характеристических линий (3.10) позволяет утверждать, что вдоль характеристической линии справедливо соотношение: d ln c = - 2k

¶a d x . ¶ x sin 2a

Вычислим производную ¶a / ¶x , дифференцируя общее решение первого уравнения (3.11) по x , внесем ее в последнее соотношение и выполним интегрирование. Описанная процедура позволяет получить общее решение второго уравнения: c=

Y (a ) , 2x + (1 - k cos 2a ) F¢ ( a )

(3.12)

где Y ( a) - произвольная функция, определяемая из граничных условий. Отметим очевидное решение a = const , c = const ,

определяющее равномерное распределение напряжений. Режимы C и F . Для рассматриваемых режимов можем записать, что s1 = s 2 = k s т , где для режима C имеем k = +1 , а для режима F - k = -1 . 64

Переходя к напряжениям s x , s y и t xy , получим: s x = s y = k sт ,

t xy = 0 .

Очевидно, что дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются, и рассматриваемые режимы отвечают равномерному гидростатическому напряженному состоянию в плоскости x , y . Режимы A и D . Для рассматриваемых режимов имеем s1 = k s т , s 2 = 0 (одноосное растяжение или сжатие). Определяя напряжения s x , s y и t xy , будем иметь: sx ü k sт ( 1 ± cos 2a ) , t xy = ksт sin 2a . ý = sy þ 2 2

Подставив найденные соотношения в дифференциальные уравнения равновесия, находим, что угол наклона главного напряжения s1 является постоянной величиной ( a = const ), что определяет поле однородного растяжения или сжатия. Результаты, полученные для рассмотренных режимов, без труда переносятся на оставшиеся режимы с внесением соответствующих изменений в обозначениях.

Задачи 3.1.

Бесконечная пластинка с круговым отверстием, растягиваемая симметрично относительно центра отверстия.

Решение с привлечением условия пластичности Мизеса - Генки. Очевидно, что для рассматриваемой задачи касательное напряжение t rj равно нулю, а нормальные напряжения s r и s j являются главными напряжениями. Условие пластичности Мизеса - Генки в главных напряжениях s 21 - s 1s 2 + s 22 = s 2т

можно удовлетворить, полагая

65

pö æ s1 = s j = 2 t т cos ç w - ÷ , 6ø è pö æ s 2 = s r = 2 t т cos ç w + ÷ . 6ø è

(3.13)

Подставив значения напряжений s r и s j в дифференциальное уравнение равновесия ds r s r - s j + = 0 dr r

и проведя некоторые преобразования, приходим к дифференциальному уравнению относительно функции w = w ( r , j ) º w ( r )

(

)

3 + ctg w w + 2

dr =0 , r

решение которого имеет вид r2 =

C e- w 3 sin w

,

где C - постоянная интегрирования. Если принять, что на бесконечности растягивающее усилие (напряжение) равно q , а контур кругового отверстия r = a свободен от нагрузки, то граничные условия будут иметь вид s r = 0 при r = a ,

s r ® q при r ® ¥ .

Рассмотрение соотношений (3.13) показывает, что напряжение s r будет равняться нулю только при w = p / 3 ( 0 £ w £ p ). Соответственно, граничное условие на контуре кругового отверстия позволяет определить постоянную интегрирования C : r2 =

C e- w 3 sin w r = a, w = p / 3

Þ

C=

3 2

a 2e p / 3

.

С учетом полученного значения постоянной C уравнение, определяющее функцию w = w ( r ) , принимает вид

66

æ r ö ç ÷ èaø

2

3

1 e = 2 sin w

æp ö 3 ç - w÷ è 3 ø

(3.14)

.

Отметим, что функция w = w ( r ) не должна менять знак; это следует из выписанного уравнения для w , поскольку ( r / a )2 > 0 . Определим значение w при r ® ¥ , представив (3.14) в более удобном виде: 3 æ a ç 2 è r

ö ÷ ø

2

=e

pö æ 3 çw- ÷ 3 ø sin w è

.

Поскольку функция w = w ( r ) конечна ( 0 £ w £ p ), то ясно, что при r ® ¥ должно быть w ® 0 (значение w ® p не подходит, так как в этом случае sr < 0 ). Соответственно, выполнение граничного условия при r ® ¥ и w ® 0 приводит к результату: sr = q = sт .

Отметим, что при r ® ¥ и w ® 0 имеем sj = s т . Распределение напряжений в пластине приведено на рис. 3.6. Сопоставление полученного решения с аналогичным упругим решением показывает, что если для упругой пластинки напряжение sj на круговом контуре равно 2q , т.е. коэффициент концентрации напряжений равен двум, то при переходе к пластическому состоянию он снижается до единицы.

Рис. 3.6

Перейдем к построению характеристических линий. Поскольку оси r и q главные, уравнения (3.7) принимают вид W ± q = const ,

где W = -

w

æ ö ç 3 - 4 cos 2 w / 2 sin w ÷ dw . Выписанные соотношения с учетом завиè ø p/6

ò

симости (3.14) определяют уравнения характеристик в параметрической форме. Для рассматриваемой задачи с ростом радиуса от r = a до r ® ¥ функция ) уменьшается от w = p / 3 до нуля ( p / 3 ³ w ³ 0 ). Соответственно, по

w = w (r

67

мере удаления от контура кругового отверстия угол между характеристиками двух семейств (область гиперболичности) убывает, и при w = p / 6 характеристики обеих семейств сливаются (точка параболичности). В интервале изменения w от p / 6 до нуля решение определяется теми же уравнениями, но вещественных характеристик нет (область эллиптичности). Построения характеристических линий показано на рис. 3.7. Слияние характеристик имеет место при æ r ö ç ÷ èaø

2

æp

pö

3ç - ÷ 3 2 e è 3 6 ø = 4,3 Þ r = 2,07a . = 2

На примере рассматриваемой задачи видно, что, действительно, в теории плоского напряженного состояния пластическое равновесие может описываться как гиперболическими уравнениями, так и эллиптическими.

Рис. 3.7

Решение с привлечением условия пластичности Треска - Сен-Венана. Поскольку нормальные напряжения s r и s j являются главными напряжениями, причем s j > s r , условие пластичности имеет вид s j = s т . Соответственно, дифференциальное уравнение равновесия ds r s r - s j + =0 dr r

можем разрешить относительно напряжения s r . Будем иметь: ds r dr =sr - s т r

Þ

ln ( s r - s т ) = - ln

r C

Þ

sr = sт +

C . r

Граничные условия имеют тот же вид sr = 0 при r = a , sr ® q при r ® ¥ .

Граничное условие на контуре кругового отверстия позволяет определить постоянную интегрирования С = - s т a и записать окончательный вид соотношения для напряжения s r : aö æ sr = sт ç 1 - ÷ . r ø è

68

Соответственно, выполнение граничного условия при r ® ¥ приводит к результату: sr = q = s т .

Распределение напряжений в пластине приведено на рис. 3.8. Можно видеть, что оно незначительно отличается от соответствующего распределения, полученного при использовании условия пластичности Мизеса - Генки. Система уравнений, рассматриваемая в данном решении, соответствует Рис. 3.8 режимам типа CD , EF и т.п. и является системой параболического типа. Единственное семейство характеристик представляет собой пучок прямых, исходящих из центра кругового отверстия (см. рис. 3.8). Очевидно, что если при r ® ¥ имеем q < s т , то, независимо от используемого условия пластичности, пластическая область будет заполнять не всю плоскость вне кругового отверстия, а только некоторое кольцо между окружностью радиусом r = a и окружностью радиусом r = с , разделяющей пластическую и упругую области. В этом случае задача решается с привлечением условий непрерывности напряжений на границе раздела.

3.2.

Бесконечная пластинка с круговым отверстием, по контуру которого действует равномерное давление.

Будем рассматривать бесконечную пластинку с круговым отверстием r = a , по контуру которого действует равномерное давление p . При небольшой величине давления p пластинка находится в упругом состоянии и в полярной системе координат r , j напряжения s r и s j ( trj = 0 ) будут определяться известными соотношениями: sr = - p ( a / r ) 2 ,

sj = p ( a / r ) 2 .

Первые пластические деформации появятся на контуре кругового отверстия r = a . Давление pт , соответствующее первым пластическим деформациям, определится из условия пластичности, записанного для r = a . Используя, например, условие пластичности Треска - Сен-Венана, получим: T = t max = p т ( a / r ) 2

r =a

= tт Þ

69

p т = tт .

Этот же результат получим и при использовании условия пластичности Мизеса - Генки. С возрастанием давления область пластического деформирования материала увеличивается и трансформируется в кольцо a £ r £ c , радиус c которого подлежит определению. Очевидно, что в упругой области r ³ c напряжения должны определяться соотношениями: s er = - t т ( c / r ) 2 ,

e sj = tт ( c / r ) 2 .

Построение решения задачи в пластической области a £ r £ c определяется используемым для этой цели условием пластичности. Решение с привлечением условия пластичности Мизеса - Генки. Поскольку пластическая зона примыкает к круговому контуру, нагруженному равномерно распределенной нагрузкой, то напряженное состояние в этой зоне - осесимметричное. Решение осесимметричной задачи с использованием условия пластичности Мизеса - Генки известно (см. задачу 3.1): pö æ s r = 2t т cos ç w + ÷ , 6ø è pö æ s j = 2 t т cos ç w - ÷ , 6ø è

Þ

r2 =

C e- w 3 , sin w

где C - постоянная интегрирования. На границе раздела r = c упругой и пластической областей из условий непрерывности напряжений следует: s er

s ej

r =c

r =c

= sr

r =c

, Þ

= sj

r=c

,

pö æ - t т = 2 t т cos ç w + ÷ , 6ø è pö æ t т = 2 t т cos ç w - ÷ , 6ø è

Þ w=

p . 2

Соответственно, условие w = p / 2 на контуре r = c позволяет определить постоянную интегрирования C : r2 =

C e- w 3 sin w r = c, w = p / 2

70

Þ

C = c 2e p 3 / 2

.

С учетом полученного значения постоянной C уравнение, определяющее функцию w = w ( r ) , принимает вид æ cö ç ÷ è rø

2

æp ö - 3 ç - w÷ 2 è ø sin w =e

(3.15) .

Определим значение функции w = w ( r ) при r = a , введя обозначение

w ( a ) = w a . Будем иметь:

æ cö ç ÷ è aø

2

æp ö - 3 ç - wa ÷ è2 ø sin w =e a

.

Оценку величины w a проведем, рассматривая давление на контуре отверстия, которое определяется напряжением s r , соответствующим данному состоянию: pö æ p = - 2 t т cos ç w a + ÷ . 6ø è

Можно показать, что w ³ p / 2 . Действительно, при c = a имеем w a = p / 2 и p = p т = t т . С увеличением c / a растет w a и, соответственно, растет давление

p , достигая максимума p max = 2 t т при w a = 5p / 6 . Максимальный радиус пластической зоны при этом будет равен 2

æ cö » 3,063 ç ÷ è a ø max

Þ

( c / a ) max » 1,75

.

Дальнейшее возрастание давления и расширение пластической зоны невозможно. Распределение напряжений в пластине при максимальном давлении p max = 2 t т приведено на рис. 3.9. Отметим, что при r = a для напряжений имеем, что s r = - 2t т , s j = - t т , а при r = c - sr = - tт , sj = tт . При максимальном давлении p max = 2 t т у края отверстия имеет Рис. 3.9

место неограниченное (в пределах малых

71

деформаций, естественно) утолщение пластинки. Действительно, записав соотношения (3.2) в полярной системе координат, можем связать скорости радиальной x r и окружной деформаций x j : xr +

sj - 2s r 2sj - s r

xj = 0 .

В свою очередь, условие несжимаемости материала x r + x j + x z = 0 позволяет определить скорость относительного утолщения пластинки x z : x z = - xr - xj

Þ xz = -

sj + s r 2s j - s r

xj .

Поскольку при давлении p max = 2 t т на контуре r = a имеем, что s r = - 2t т , sj = - t т , и соответственно, x z ® ¥ .

Система уравнений, описывающих пластическое состояние материала в рассматриваемой задаче, является гиперболической. Слияние характеристик (точка параболичности) имеет место на контуре отверстия r = a при w a = 5p / 6 и максимальном давлении p max = 2 t т . На границе раздела характеристики ортогональны. Решение с привлечением условия пластичности Треска - Сен-Венана. В данном случае главные напряжения s r и s j ( s j > s r ) имеют разные знаки и у контура отверстия реализуется режим DE . Соответственно, условие пластичности имеет вид s j - s r = 2t т = s т .

Из дифференциального уравнения равновесия ds r s r - s j + =0 dr r

и условий непрерывности напряжений на границе раздела r = c упругой и пластической областей получаем: cö æ s r = - t т ç 1 + 2 ln ÷ , rø è

cö æ s j = t т ç 1 - 2 ln ÷ . rø è

72

Согласно условию пластичности Треска - Сен-Венана радиальное напряжение s r по величине не может превысить предел текучести s т = 2t т , что соответствует максимальному давлению p max = 2 t т . Отсюда можно найти максимальный радиус пластической зоны: é ù æ cö - 2 t т = - t т ê 1 + 2 ln ç ÷ ú a è ø max ûú ëê

( c / a ) max » 1,65

Þ

.

Построение распределения напряжений в пластической и упругой зонах пластины при заданном отношении c / a не составляет труда.

3.3.

Растяжение полосы, ослабленной круговыми вырезами.

Решение задачи построим с использованием условия пластичности Мизеса Генки. Пусть полоса ослаблена симметричными круговыми вырезами радиусом a (рис. 3.10). Вблизи круговой части контура возникают осесимметричные поля напряжений. Следовательно, напряжения в этих зонах определяются уже известными формулами (3.13): pö æ s r = 2 t т cos ç w + ÷ , 6ø è pö æ s j = 2 t т cos ç w - ÷ . 6ø è

Рис. 3.10

Расстояние r от центра O кругового выреза до рассматриваемой точки в пластической зоне и функция w = w ( r ) связаны уравнением (3.14):

æ r ö ç ÷ èaø

2

æp

=

ö

3 ç - w÷ 3 1 è3 ø . e 2 sin w

Продольная растягивающая сила P уравновешивается напряжениями s j , действующими на линии, соединяющей центры вырезов (как нормальными напряжениями на этой линии):

73

P=2

a +h

ò sj dr

.

a

Принимая во внимание дифференциальное уравнение равновесия ds r s r - s j + =0 dr r

Þ

d ( r s r ) = sj dr

и обозначая через w 0 значение функции w = w ( r ) в точке C , для продольной растягивающей силы P будем иметь: pö æ P = 2 t т ( a + h ) cos ç w0 + ÷ , 6ø è

где значение w0 определяется соотношением: æp

ö

2 3 ç - w0 ÷ 3 1 hö æ è3 ø e ç 1+ ÷ = aø 2 sin w 0 è

.

Напомним, что для осесимметричного поля напряжений, примыкающего к круговому контуру получили, что по мере удаления от контура угол между характеристиками двух семейств убывает от w = p / 3 и при w = p / 6 характеристики обеих семейств сливаются. Соответственно, имеем, что p / 3 ³ w0 ³ p / 6 . Другими словами, полученное решение справедливо, если h £ h 0 . Наибольшие значения величины h = h 0 и предельной продольной растягивающей силы P* соответствуют значению w0 = p / 6 : h 0 = 1,07 a ,

P* = 2,07 t т a .

Результат, полученный для h 0 ( h 0 = 1,07 a ), соответствует утверждению, что осесимметричное поле напряжений может распространяться не далее, чем на расстояние r = c 1 = 2,07 a . Предельная продольная растягивающая сила Pт* , вычисленная по ослабленному сечению, очевидно, имеет значение: Pт* = sт × 2h =

74

3 t т h . Коэффициент

усиления (отношение предельной продольной силы P* к значению Pт* ) в этом случае будет равен: Р* Pт*

=

2,07 t т a 1,07 3 t т a

= 1,117 .

Если h > 1,07 a , осесимметричные пластические области имеют те же размеры, но при предельной нагрузке P1* они соединяются по оси x шейкой, вдоль которой имеем: s r = tт ,

s j = 2t т .

Легко получить, что

(

P1* = P* + 2t т h - h 0

)

.

Коэффициент усиления в этом случае будет равен: Р1* Pт*

= 1,15 - 0,04

a h

.

В заключение отметим, что решение рассмотренной задачи, как задачи плоской деформации, приводит к несколько большим значениям коэффициентов усиления.

75

4. Экстремальные принципы и энергетические методы решения задач теории пластичности В теории пластичности, как и в теории упругости, большое значение имеют общие теоремы. К ним, прежде всего, относятся теоремы о единственности решения, об экстремальных свойствах решения, теоремы приспособляемости упругопластических конструкций при действии циклических нагрузок. Теоремы об экстремальных свойствах решения (экстремальные теоремы), помимо общего значения, открывают путь прямого построения решений, минуя интегрирование дифференциальных уравнений. В нелинейных задачах теории пластичности подобная возможность является весьма заманчивой. В деформационной теории пластичности экстремальные принципы и теоремы являются обобщениями соответствующих принципов и теорем для упругого тела: принципа возможных работ; теорем о минимуме потенциальной энергии (принципа Лагранжа) и о минимуме дополнительной работы (принципа Кастильяно). Для приближенного решения частных задач здесь используются те же энергетические методы (главным образом, метод Рэлея – Ритца). В последнее время при решении задач пластичности с использованием теории течения широкое распространение получило применение схемы (модели) жесткопластического тела. Модель жесткопластического тела подразумевает полное пренебрежение упругими деформациями. В такой постановке тело остается совершенно недеформируемым («жестким»), пока напряженное состояние в нем (или в какой-либо его части) не станет удовлетворять условию пластичности (текучести) и не возникнет возможность пластического течения. При этом некоторые части тела могут оставаться жесткими, и нужно найти такие решения в пластических зонах, чтобы скорости (деформаций или перемещений) соответствовали скоростям движения жестких частей. Отметим, что модель жесткопластического тела не всегда пригодна - условия ее пригодности существенно зависят от характера рассматриваемой задачи. Тем не менее, концепция жесткопластического тела уже позволила построить ряд новых решений и скорректировать формулировки многих задач теории пластичности. 76

Соответственно, получили свое развитие и экстремальные принципы в теории жесткопластического тела.

4.1. Экстремальные принципы для жесткопластического тела Поскольку внутренние усилия (напряжения) в жесткопластическом теле не могут где-либо превысить локальный предел пластичности (текучести), внешние нагрузки на тело не могут увеличиваться беспредельно. При достижении нагрузками некоторых критических значений наступает неограниченное возрастание деформаций1 при постоянных нагрузках (предельное состояние или пластическое разрушение), вследствие которого тело становится неспособным воспринимать дальнейшее увеличение внешних сил. Такие критические нагрузки называют обычно предельными нагрузками, а теоремы, определяющие предельные нагрузки, - теоремами о пластическом разрушении. Отметим, что предельное состояние жесткопластического тела определяется конечной комбинацией нагрузок в момент возникновения неограниченного пластического течения. Очевидно, что путь нагружения выпадает из рассмотрения, так же как и начальные напряжения и деформации. В этом смысле можно говорить о независимости предельной нагрузки от пути нагружения и начальных напряжений. Экстремальные принципы (теоремы) для жесткопластического тела приводят к эффективным способам определения предельной нагрузки. 4.1.1. Основное энергетическое уравнение Рассмотрим тело, занимающее объем V и ограниченное поверхностью S = S F + Sv . На части поверхности S F заданы поверхностные силы, составляющие которых по координатным осям x , y , z обозначим, как обычно, через X , Y и Z . На оставшейся час_____________________________ Следует помнить, что речь идет о малых деформациях и данное определение относится к начальной стадии пластического течения. 1

77

сти поверхности Sv заданы скорости перемещений, составляющие которых обозначим через v 0 x , v 0 y , v 0 z . Будем полагать, что объемные силы отсутствуют. Пусть задано некоторое поле напряжений s x , s y , . . . , t zx , удовлетворяющее дифференциальным уравнениям равновесия ¶s x ¶t yx ¶t zx =0 , + + ¶z ¶y ¶x ...

(4.1)

и граничным условиям на части поверхности S F X = s x l + t yx m + t zx n , ...

(4.2)

С другой стороны, введем некоторое непрерывное поле скоростей v x , v y , v z , удовлетворяющее заданным условиям на части поверхности S v : v x = v 0x , v y = v 0 y , v z = v0z .

Введенному полю скоростей перемещений однозначно соответствует поле скоростей деформаций:

¶ vx , ¶x ..., ¶ v y ¶ vx = + ¶x ¶y ...

xx =

h xy

(4.3) ,

Отметим, что введенные поля напряжений и скоростей перемещений в остальном произвольны и, вообще говоря, не связаны между собой. 78

Докажем, что для всякой сплошной среды справедливо следующее основное энергетическое уравнение:

òòò ( s x x x + s y x y + . . . + t zx h zx ) dV = òò ( X v x + Y v y + Z vz ) d S V

S

. (4.4)

Заменяя составляющие поверхностных сил X , Y и Z на их значения в соответствии с граничными условиями (4.2), представим поверхностный интеграл в виде

òò ( X vx + Y v y + Z vz ) d S = òò [ (s xv x + t yx v y + t zx vz ) l + S

(

S

)

) ]

(

+ t yx v x + s y v y + t yz v z m + t zx v x + t zy v y + s z v z n d S .

Преобразуем поверхностный интеграл в объемный, используя формулу Остроградского - Гаусса: æ ¶P ¶Q ¶R ö ÷÷ d V . + + ¶ ¶ ¶ x y z è ø V

òò ( P l + Q m + R n ) d S = òòò çç S

Будем иметь: é æ ¶s x ¶t yx ¶t zx ö ÷ vx + + + ÷ ¶ ¶ ¶ x y z ê ø è ë V

òò ( X v x + Y v y + Z v z ) d S = òòò ê çç S

æ ¶t yx ¶s y ¶t yz ö ÷ vy + çç + + ¶y ¶ z ÷ø è ¶x + sx

¶t zy ¶s z æ ¶t + + çç zx + ¶z ¶y è ¶x

ö ÷ vz + ÷ ø

¶v y ö ¶vy æ ¶v ¶v ¶ vx ÷+ + sy + s z z + t xy çç x + ¶x ÷ø ¶z ¶x ¶y è ¶y

æ ¶ v y ¶ vz ö æ ¶v ¶ v öù ÷ + t zx çç z + x ÷÷ ú d V . + t yz çç + ÷ ¶z ø ûú ¶y ø è ¶x è ¶z

79

Учитывая, что поле напряжений s x , s y , . . . , t zx удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия (4.1) и что скорости перемещений и скорости деформаций связаны зависимостями типа Коши (4.3), основное энергетическое уравнение (4.4) считаем доказанным. Уравнение (4.4) без особых затруднений может быть обобщено на случай жесткопластического тела и на случай разрывных полей напряжений и скоростей. Опуская доказательства, отметим: - основное энергетическое уравнение сохраняет свой вид для тела, имеющего жесткие (недеформируемые) области; - наличие разрывов в напряжениях не сказывается на форме основного энергетического уравнения; - при наличии разрывов поля скоростей перемещений на некоторых поверхностях S l ( l = 1, 2 , 3 , . . . ), а именно, разрывов в касательной составляющей скорости (лежащей в плоскости, касательной к S l ) при непрерывной нормальной составляющей, основное энергетическое уравнение принимает вид

òò ( X v x + Y v y + Z v z ) d S S

+å

(

)

= òòò s x x x + s y x y + . . . + t zx h zx dV + V

òò t [ v ] d S l

l Sl

,

(4.5)

где t - касательная составляющая напряжения на поверхности S l в направлении оси x ; [ v ] - скачок скорости или относительная скорость ( [ v ] = v t+ - v t- = vотн ) ; ось x направлена по вектору относительной скорости. Отметим, что энергетическое уравнение (4.5) справедливо для любой сплошной среды, находящейся в равновесии. Обратим внимание, что при построении основного энергетического уравнения (4.4) использовали поле напряжений s x , s y , . . . ,

t zx , удовлетворяющее дифференциальным уравнениям равновесия 80

и граничным условиям на части поверхности S F , где заданы поверхностные нагрузки. Такое поле напряжений будем называть статически возможным. Будем различать безопасное статически возможное поле напряжений, если во всех точках тела напряжения ниже предела текучести, и допустимое статически возможное если во всех точках тела напряжения ниже предела текучести или равны ему. Соответственно, поле скоростей v x , v y , v z , удовлетворяющее заданным условиям на части поверхности S v , будем называть кинематически возможным. 4.1.2. Минимальные свойства действительного поля скоростей перемещений Будем считать, что величины s x , s y , . . . , t zx , x x , x y , . . . , h zx , v x , v y , v z являются действительным решением задачи; при этом напряжения и скорости деформаций связаны соотношениями Сен-Венана - Леви - Мизеса и удовлетворяют всем условиям равновесия и сплошности. Поле скоростей перемещений удовлетворяет заданным условиям на части поверхности S v и имеет разрывы

на некоторых поверхностях S l ( l = 1, 2 , 3 , . . . ). Наряду с действительным полем скоростей перемещений рассмотрим кинематически возможное v¢x , v¢y , v¢z , удовлетворяющее заданным условиям на части поверхности S v и имеющее разрывы на некоторых поверхностях S ¢l ( l = 1, 2 , 3 , . . . ). Скоростям v¢x , v¢y , v z ¢ отвечают скорости деформаций x¢x , x¢y , . . . , h¢zx , которым, в

свою очередь, будет соответствовать девиатор напряжений s *x , s*y , . . . , t*zx , причем компоненты девиатора напряжений, вообще говоря, не будут удовлетворять уравнениям равновесия. Напряжениям s *x , s*y , . . . , t*zx отвечают некоторые поверхностные силы

X * , Y * и Z * , определенные с точностью до гидростатического давления. 81

Таким образом, можно провести сопоставление действительного напряженно-деформированного состояния с возможным, построенным на использовании кинематически возможного поля скоростей перемещений. Очевидно, что по отношению к действительному напряженнодеформированному состоянию энергетическое уравнение (4.5) справедливо, но, поскольку в силу соотношений Сен-Венана - Леви - Мизеса имеем, что s x x x + s y x y + . . . + t zxh zx =

(

)

= ( s x - s) x x + s y - s x y + . . . + t zxh zx = t т H ,

можем представить его в виде

(

)

t т òòò H dV - òò X v x + Y v y + Z v z d S + å V

òò t [ v ] d S l = 0

.

(4.6)

l Sl

S

Запишем энергетическое уравнение для действительного распределения напряжений и кинематически возможного поля скоростей перемещений:

òò ( X v¢x + Y v¢y + Z v¢z ) d S = òòò ( s xx¢x + s y x¢y + . . . + t zx h¢zx ) dV S

+

V

+å

òò t [ v¢ ] d S ¢l

.

l S l¢

В рассматриваемом случае s x x¢x + s y x¢y + . . . + t zxh¢zx = = ( s x - s) x¢x + s y - s x¢y + . . . + t zxh¢zx £ t т H ¢

(

)

и энергетическое уравнение принимает вид t т òòò H ¢ dV V

òò ( X v¢x + Y v¢y + Z v¢z ) d S

SF

82

+å

òò t [ v¢ ] d S ¢l

l S l¢

³0 .

(4.7)

Сопоставление соотношений (4.6) и (4.7) позволяет записать: t т òòò H dV V

òò ( X vx + Y v y + Z vz ) d S

SF

(

)

+ tт å

£ t т òòò H ¢dV - òò X v¢x + Y v¢y + Z v¢z d S + t т å V

òò [ v ] d S l £

l Sl

S

òò [ v¢ ]

l Sl¢

d S ¢l .

(4.8)

Отметим, что заменив t [ v¢] на t т [ v¢] , только усилили неравенство. Знак равенства достигается только в том случае, когда кинематически возможное поле скоростей перемещений v¢x , v¢y , v¢z совпадает с действительным v x , v y , v z . Правую часть соотношения (4.8) называют полной мощностью. Соответственно, само соотношение (4.8) можно представить следующей формулировкой: полная мощность достигает минимума для действительного поля скоростей перемещений. 4.1.3. Максимальные свойства действительного поля напряжений Будем считать, что величины s x , s y , . . . , t zx , x x , x y , . . . , h zx , v x , v y , v z являются действительным решением задачи; при этом напряжения и скорости деформаций связаны соотношениями Сен-Венана - Леви - Мизеса и удовлетворяют всем условиям равновесия и сплошности. Поле скоростей перемещений удовлетворяет заданным условиям на части поверхности S v и имеет разрывы на некоторых поверхностях S l ( l = 1, 2 , 3 , . . . ). Наряду с действительным полем напряжений s x , s y , . . . , t zx введем допустимое статически возможное напряженное состояние s¢x , s¢y , . . . , t¢zx , удовлетворяющее дифференциальным уравнениям равновесия ¶s¢x ¶t¢yx ¶t¢zx + =0 , + ¶z ¶x ¶y ... ,

83

граничным условиям на части поверхности S F X = s¢x l + t¢yx m + t¢zx n , ...

и не превосходящее во всех точках тела предела текучести: T ¢ £ t т . Для действительного напряженно-деформированного состояния энергетическое уравнение (4.5) справедливо. Поскольку статически возможное напряженное состояние s¢x , s¢y , . . . , t¢zx является равновесным, соответствующее энергетическое уравнение можем записать в виде

òò ( X ¢v x + Y ¢v y + Z ¢v z ) d S = òòò ( s¢xx x + s¢y x y + . . . + t¢zx h zx ) dV S

+

V

+å

òò t¢ [ v ] d S l ,

(4.9)

l Sl

где X ¢ = X , Y ¢ = Y и Z ¢ = Z на части поверхности S F , а на части поверхности S v поверхностные силы X ¢ , Y ¢ и Z ¢ определяются соотношениями: X ¢ = s¢xl + t¢yx m + t¢zx n ,

... Величина t¢ является касательной составляющей статически возможного поля напряжений на поверхности разрыва S l действительных скоростей перемещений в направлении оси x . Вычитая из (4.9) уравнение (4.5), получим:

òòò [ ( s¢x - s x ) x x + ( s¢y - s y ) x y + . . . + (t¢zx - t zx ) h zx ] dV V

=

=

òò [ ( X ¢ - X ) v 0 x + (Y ¢ - Y ) v 0 y + ( Z ¢ - Z ) v 0 z ] d Sv +

Sv

+

å òò (t т - t¢) [ v ] d S l l Sl

84

.

(4.10)

Используя представление о выпуклости поверхности пластичности, можно доказать, что ( s¢x - s x ) x x + ( s¢y - s y ) x y + . . . + (t¢zx - t zx ) h zx £ 0 ,

и, таким образом, правая часть уравнения (4.10) отрицательна. Соответственно, разбивая первый интеграл в правой части, можем утверждать:

òò ( X v 0 x + Y

)

v 0 y + Z v 0 z dSv ³

Sv

òò ( X ¢ v 0 x + Y ¢ v 0 y + Z ¢ v 0 z ) d Sv +

Sv

+

å òò (t т - t¢) [ v ] d S l

.

(4.11)

l Sl

Величина разрыва [ v ] действительного поля скоростей перемещений неизвестна, однако t т ³ t¢ , а t т [ v ] > 0 и, следовательно, второе слагаемое в правой части неотрицательно. Отбрасывая это слагаемое и, тем самым, усиливая неравенство (4.11), будем иметь:

òò ( X v 0 x + Y

)

v 0 y + Z v 0 z dSv ³

Sv

³

òò ( X ¢ v 0 x + Y ¢ v 0 y + Z ¢ v 0 z ) d Sv

(4.12) .

Sv

Полученное соотношение (4.12) представляется следующей формулировкой: мощность действительных поверхностных сил на заданных скоростях перемещений больше мощности, развиваемой поверхностными силами, соответствующими любой другой допустимой статически возможной системе напряжений. 4.1.4. Теоремы о коэффициенте предельной нагрузки Левая часть соотношения (4.8) может быть представлена в несколько иной форме. Действительно, в силу соотношений (4.5) имеем: 85

t т òòò H dV V

òò ( X vx + Y v y + Z vz ) d S

+ tт å

SF

=

òò [ v ] d S l =

l Sl

òò ( X v 0 x + Y v 0 y + Z v 0 z ) d Sv

(4.13)

.

Sv

Соответственно, из скорректированного неравенства (4.8) и неравенства (4.12), определяющих минимальные свойства действительного поля скоростей перемещений и максимальные свойства действительного поля напряжений, вытекает двусторонняя оценка мощности действительных поверхностных сил на заданных скоростях перемещений: t т òòò H ¢dV V

(

òò ( X v¢x + Y v¢y + Z v¢z ) d S

SF

)

³ òò X v0 x + Y v0 y + Z v0 z d S v ³ Sv

+ tт å

òò [ v¢ ]

l S l¢

d S ¢l ³

òò (X ¢v0 x + Y ¢v0 y + Z ¢v0 z ) d Sv

(4.14) .

Sv

Для вычисления левой части неравенства необходимо взять кинематически возможное поле скоростей перемещений, для вычисления правой - допустимое статически возможное напряженное состояние. Неравенства (4.14), так же как (4.8) и (4.12) в отдельности, открывают возможность вычисления предельных нагрузок путем последовательного сближения верхней и нижней оценок. Простые и важные результаты можно получить в случае пропорционального (простого) нагружения, когда поверхностные силы, действующие на части поверхности S F , возрастают пропорционально одному параметру m > 0 :

X = m X 0 , Y = mY 0 , Z = m Z 0 , 86

где X 0 , Y 0 , Z 0 - некоторое фиксированное распределение нагрузок на S F . Дополнительно принимаем, что на части поверхности S v скорости перемещений равны нулю: v 0 x = v 0 y = v 0z = 0 .

Будем считать, что предельное состояние тела достигается при некотором значении параметра нагружения m = m * , который назовем коэффициентом предельной нагрузки. Теорема о верхней оценке коэффициента предельной нагрузки Верхняя оценка предельной нагрузки m* следует из соотношения (4.8), скорректированного с помощью равенства (4.13):

òò ( X v¢x + Y v¢y + Z v¢z ) d S

SF

£ tт òòò H ¢dV + t т å

òò [ v¢ ]

l Sl¢

V

d S ¢l ,

причем кинематически возможное поле скоростей перемещений v¢x , v¢y , v¢z обращается в нуль на части поверхности S v . При пропорциональном нагружении получаем:

òòò H ¢dV + å òò [ v¢ ] m* £ t т

V

òò ( X

d S ¢l

l S l¢ 0 ¢ v x + Y 0 v¢y + Z 0 v¢z

) dS º mk

.

(4.15)

SF

Безразмерное число m k условимся называть кинематическим коэффициентом. Соответственно, имеем: коэффициент предельной нагрузки m* не может быть больше кинематического коэффициента m k . 87

Теорема о нижней оценке коэффициента предельной нагрузки Нижняя оценка коэффициента предельной нагрузки вытекает из второго экстремального принципа, определяющего максимальные свойства действительного поля напряжений. Рассмотрим статически возможное напряженное состояние s¢x , s¢y , . . . , t¢zx , удовлетворяющее дифференциальным уравнениям равновесия и несколько измененным граничным условиям на части поверхности S F :

X ¢ = m s X 0 , Y ¢ = m sY 0 , Z ¢ = m s Z 0 , где m s - некоторое значение параметра m (статический коэффициент). Граничные условия введены вместо прежних условий, которые в данном случае имеют вид: X = m * X 0 , Y = m * Y 0 ,

Z = m* Z 0 . Теперь вместо уравнения (4.10) получим:

òòò [ ( s¢x - s x ) x x + ( s¢y - s y ) x y + . . . + (t¢zx - t zx ) h zx ] dV

(

V

= m s - m*

) òò ( X 0v x + Y 0v y + Z 0v z ) d S F

+

=

å òò (t т - t¢) [ v ] d S l

.

l Sl

SF

Поскольку ( s¢x - s x ) x x + ( s¢y - s y ) x y + . . . + (t¢zx - t zx ) h zx £ 0

и левая часть равенства, вообще говоря, отрицательна, будем иметь:

å òò (t т - t¢) [ v ] d S l

m* - m s ³

òò (

l Sl X 0v x + Y 0v y

)

+ Z 0v z d S F

SF

88

.

(4.16)

Так как числитель не отрицателен ( t¢ £ t т , t т [ v ] > 0 ), а знаменатель положителен, можем утверждать: коэффициент предельной нагрузки m* не может быть меньше статического коэффициента m s . Следствия из теорем об оценке коэффициента предельной нагрузки Приведем без доказательств некоторые следствия, вытекающие из теорем об оценке коэффициента предельной нагрузки: - коэффициент предельной нагрузки m* единственен; - добавление к телу материала не может понизить предельную нагрузку; - удаление материала не может увеличить предельную нагрузку; - увеличение предела текучести t т в некоторых частях тела не может понизить предельную нагрузку; - из двух кинематически возможных решений более приемлемо решение, приводящее к меньшей предельной нагрузке; - из двух статически возможных решений более приемлемо решение, приводящее к большей предельной нагрузке. Последние два утверждения известны еще как критерии выбора.

Задача 4.1.

Кручение круглого стержня (вала) переменного диаметра.

Рассмотрим вопрос о предельном значении момента при скручивании круглого стержня переменного диаметра. Задачу будем решать с использованием цилиндрической системы координат, направив ось z по оси стержня и расположив оси r и j в плоскости поперечного сечения. Как и при упругом кручении, примем, что поперечные сечения вала остаются плоскими, однако дополнительно введем возможность искривления радиусов. В этом случае составляющие скорости перемещения можем записать в виде

89

vj = vj ( r , z ) º v .

vr = v z = 0 ,

Представленное поле скоростей перемещений позволяет определить поле скоростей деформаций: x r = x j = x z = hr z = 0 , h rj =

¶v v ¶r r

Þ

h rj = r

¶ ævö ç ÷ ¶r è r ø

¶v ¶z

Þ

hj z = r

¶ ævö ç ÷ . ¶z è r ø

hj z =

,

Напряженное состояние можно вычислить, используя ту или иную теорию течения. В частности, применение теории пластичности Сен-Венана - Леви - Мизеса позволяет получить: s r = sj = s z = tr z = 0 ,

t rj =

1 h rj , 2 l¢

tj z =

1 hj z . 2 l¢

где l¢ = H / 2 t т ; H - интенсивность скоростей деформаций сдвига. Отличные от нуля напряжения t rj и tj z должны удовлетворять дифференциальному уравнению равновесия ¶ tr j ¶r

+

¶ tj z ¶z

+

2 tr j r

=0

и условию пластичности, например, Мизеса - Генки: si = s т

Þ

2 = t2 t 2r j + tj z т

.

Можно видеть, что поставленная задача является условно статически определимой. Условие пластичности будет удовлетворено, если положить t rj = t т sin q ,

tj z = t т cos q ,

где q = q ( r , z ) .

90

Уравнение для определения функции q = q ( r , z ) следует из дифференциального уравнения равновесия при подстановке в него напряжений, представленных через функцию q . Таков «обычный» путь решения задачи о кручении круглого стержня (вала) переменного диаметра. Рассмотрим поставленную задачу, используя возможности определения предельной нагрузки с применением теорем об экстремальных свойствах решений для жесткопластического тела. На основании представленных выше соотношений легко получить уравнение, определяющее скорость перемещения v . Действительно, будем иметь: h rj hj z

=

tr j tj z

Þ

=

sin q cos q

Þ

h rj cos q = hj z sin q

Þ

¶ ævö ¶ ævö ç ÷ cos q ç ÷ sin q = 0 . ¶r è r ø ¶z è r ø

Полученное уравнение имеет очевидное решение v = C r ( C - произвольная постоянная), определяющее вращение вала или его части, как жесткого целого. Введем в рассмотрение кинематически возможное поле скорости перемещения, когда плоскость z = const является плоскостью разрыва скорости. Выше и ниже этой плоскости справедливо решение v = C r при разных значениях произвольной постоянной C . На плоскости разрыва скорости z = const (плоскости «среза») имеем, что h rj ® 0 , hjz ® ¥ . Соответственно, для касательных напряжений t rj и tj z при беспрепятственном течении материала (при достижении предельной нагрузки) получаем: t rj = 0 ,

tjz = t т .

Здесь, поскольку одно из касательных напряжений равно нулю, второе должно быть равно t т . Полученному решению для напряжений отвечает крутящий момент: a

a

0

0

M = ò ( 2p r dr ) tj z r = 2pt т ò r 2 dr =

2 3 pa t т . 3

где a - радиус рассматриваемого поперечного сечения. Построенное решение соответствует кинематически возможному полю скорости перемещения, поэтому полученное значение момента M = 2 pa 3 t т / 3 - верх-

91

няя граница предельной нагрузки. Естественно считать, что a - наименьший радиус вала, поскольку из всех кинематически возможных полей скорости перемещения должно быть выбрано наименьшее. С другой стороны, статически возможное поле напряжений, не нарушающее условие пластичности (текучести), легко построить, вписывая в вал круговой цилиндр постоянного радиуса a . Действительно, в качестве такого поля можно принять предельное поле напряжений t rj = 0 , tjz = t т в цилиндре, считая, что при r > a напряжения равны нулю. Предельное значение момента для кругового цилиндра постоянного радиуса a известно - M = 2 pa 3 t т / 3 , и это значение будет нижней границей предельной нагрузки (добавление к телу материала не может понизить предельную нагрузку). Поскольку в рассматриваемой задаче верхняя и нижняя границы предельной нагрузки совпадают, найденное значение момента M является точным (полным) решением.

4.2. Минимальные принципы и энергетические методы решения в деформационной теории пластичности В теории упругости большое значение имеют энергетические методы решения задач, построенные на использовании теорем о минимуме потенциальной энергии (принцип Лагранжа) и о минимуме дополнительной работы (принцип Кастильяно). Аналогичные теоремы об экстремальных свойствах решения в рамках деформационной теории пластичности строятся как обобщения соответствующих принципов и теорем, полученных для упругого тела. 4.2.1. Работа внешних сил (обобщение теоремы Клапейрона) В теории упругости теорема Клапейрона определяет работу внешних сил на соответствующих им перемещениях как удвоенную потенциальную энергию деформации тела и представляется соотношением: A = 2 òòò W dV , V

(

)

где W = s xe x + s y e y + . . . + t zx g zx / 2 . Связь между напряжениями и деформациями определяется линейным физическим законом. 92

Рассмотрим обобщение теоремы Клапейрона на случай нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями. Пусть деформируемое тело занимает объем V , ограниченный поверхностью S = S F + Su . На части поверхности S F заданы поверхностные силы, составляющие которых по координатным осям x , y , z обозначим, как обычно, через X , Y и Z . На оставшейся части поверхности Su заданы перемещения. Будем полагать, что объемные силы отсутствуют. Будем считать заданным поле напряжений s x , s y , . . . , t zx , удовлетворяющее дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям на части поверхности S F . С другой стороны, введем некоторое непрерывное поле перемещений u , v , w , удовлетворяющее заданным условиям на части поверхности Su . Введенному полю перемещений однозначно соответствует поле деформаций e x , e y , . . . , g zx . Отметим, что введенные поля напряжений и перемещений в остальном произвольны и, вообще говоря, не связаны между собой. Легко доказать (см. разд. 4.1.1), что для всякой сплошной среды справедливо уравнение:

òò ( X u + Y v + Z w) d S = òòò ( s x e x + s y e y + . . . + t zx g zx ) dV S

.

(4.17)

V

Соотношение (4.17) определяет работу внешних сил на соответствующих им перемещениях и является обобщением теоремы Клапейрона на случай произвольных зависимостей между напряжениями и деформациями, в том числе и в рамках деформационной теории пластичности. 4.2.2. Принцип минимума полной энергии Будем считать, что деформируемое тело, находящееся в равновесии, занимает объем V , ограниченный поверхностью S = = S F + Su . На части поверхности S F заданы поверхностные силы 93

X , Y и Z , а на части поверхности Su - перемещения. Полагаем, что объемные силы отсутствуют. Реализуем принцип возможных работ1 для деформируемого тела при получении его точками возможных перемещений du , dv , dw , отвечающих граничным условиям (кинематически возможных перемещений). В соответствии с упомянутым принципом сумма работ внутренних сил (напряжений) и поверхностных сил X , Y , Z , заданных на части поверхности S F , на возможных перемещениях около состояния равновесия равна нулю:

òò (X du + Y dv + Z dw) d S - òòò ( s x de x + s y de y + . . . + t zx dg zx ) dV

SF

=0 .

V

Напомним, что гипотеза о потенциале упругих сил позволяет определить работу внутренних сил на возможных перемещениях соотношением dU = òòò s x de x + s y de y + . . . + t zx dg zx dV , где dU -

(

)

V

вариация (изменение) потенциальной энергии деформации при получении телом возможных перемещений. В деформационной теории пластичности вводится понятие о потенциале деформации, или потенциале работы деформации П = П e x , e y , . . . , g zx , частные производные от которого по деформациям равны соответствующим напряжениям:

(

)

¶П ¶П = sx , . . . , = t zx . ¶ ex ¶ g zx

В рамках деформационной теории пластичности потенциал деформации имеет вид e

П=

i 9 K e 20 + ò si d ei , 2 0

_____________________________ 1 Сапунов В.Т. Прикладная теория упругости: Учебное пособие. Ч. 2. М.: МИФИ, 2008.

94

где K = E / 3 (1 - 2n ) - объемный модуль упругости; e0 - средняя линейная деформация. Первое слагаемое определяет удельную потенциальную энергию изменения объема, второе - удельную потенциальную энергию изменения формы. Второе слагаемое соответствует площади, ограниченной (расположенной под) обобщенной диаграммой деформирования материала si = si ( ei ) . Соотношения типа s x = ¶ П / ¶ e x и т.д. легко проверяются непосредственно дифференцированием функции П = П e x , e y , . . . , g zx .

(

)

Использование представления о потенциале деформации позволяет записать работу внутренних сил (напряжений) в виде æ ¶П ö ¶П ¶П ç de x + de y + . . . + dg zx ÷ dV ç ¶ ex ÷ ¶ey ¶ g zx V è ø

òòò

Þ

òòò d П dV

.

V

Поскольку внешние силы не варьируются, работа поверхностных сил X , Y , Z можно представить в форме:

òò (X du + Y dv + Z dw) d S

Þ

d òò (X u + Y v + Z w) d S = d A . SF

SF

Окончательно принцип возможных работ принимает вид

òòò d П dV - d A = 0

Þ

V

æ ö d ç òòò П dV - A ÷ = 0 . ç ÷ èV ø

Величина в скобках называется полной энергией системы. Вводя обозначение Э = òòò П dV - A , приходим к уравнению: V

dЭ = 0 .

(4.18)

Поскольку определение второй вариации полной энергией системы показывает, что знак ее положителен, уравнение dЭ = 0 представляется формулировкой: 95

действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что сообщает полной энергии системы минимальное значение. 4.2.3. Принцип минимума дополнительной работы Будем считать, что деформируемое тело, находящееся в равновесии, занимает объем V , ограниченный поверхностью S = = S F + Su . На части поверхности S F заданы поверхностные силы

X , Y и Z , а на части поверхности Su - перемещения. Полагаем, что объемные силы отсутствуют. Наряду с действительным напряженным состоянием s x , s y , . . . , t zx , являющимся решением задачи, рассмотрим все близкие напряженные состояния, определяемые компонентами напряжений s x + ds x , s y + ds y , . . . , t zx + dt zx , удовлетворяющие дифференциальным уравнениям равновесия

(

)

¶ ( s x + d s x ) ¶ t yx + dt yx ¶ ( t zx + dt zx ) =0 , + + ¶z ¶y ¶x ...

и граничным условиям на части поверхности S F

(

)

X + dX = ( s x + ds x ) l + t yx + dt yx m + ( t zx + dt zx ) n . ...

Такие напряженные состояния будем называть статически возможными. Ясно, что вариации напряжений d s x , ds y , . . . , dt zx и вариации внешних поверхностных сил dX , dY , dZ образуют уравновешивающуюся систему. Следовательно, в соответствии с принципом возможных работ сумма работ этих вариаций напряжений и поверхностных сил на всяких возможных перемещениях должна быть равна нулю. Если же взять в качестве возможных перемещений действительные перемещения, будем иметь: 96

òò (u dX + v dY + w dZ ) d S - òòò ( e x ds x + e y ds y + . . . + g zx dt zx ) dV

Sv

=0 .

V

Введем понятие о плотности дополнительной работы, или просто дополнительной работе R = R s x , s y , . . . , t zx как функции, частные производные которой по напряжениям равны соответствующим деформациям:

(

)

¶R ¶R = ex , . . . , = g zx . ¶ sx ¶ t zx В рамках деформационной теории пластичности дополнительная работа имеет вид R=

s 20 2K

si

+ ò ei d s i , 0

где K = E / 3 (1 - 2n ) - объемный модуль упругости; s0 - среднее нормальное напряжение. Первое слагаемое определяет удельную потенциальную энергию изменения объема, второе - удельную потенциальную энергию изменения формы. Второе слагаемое соответствует площади, расположенной над обобщенной диаграммой деформирования материала si = s i ( ei ) . Соотношения типа e x = ¶ R / ¶ s x и т.д. легко проверяются непосредственно дифференцированием функции R = R s x , s y , . . . , t zx . Использование представления о дополнительной работе позволяет записать работу внутренних сил (напряжений) в виде

(

òòò ( e x ds x + e y ds y + . . . + g zx dt zx ) dV

)

=

V

æ ¶R ö ~ ¶R ¶R = òòò ç ds x + ds y + . . . + dt zx ÷ dV = d òòò R dV = d R , ÷ ç ¶ sx ¶sy ¶ t zx V è ø V

где

~

òòò R dV = R

- дополнительная работа для всего тела.

V

97

Соответственно, с введением понятия о дополнительной работе принцип возможных работ представляется уравнением:

òò (u dX + v dY + w dZ ) d S

~ = dR .

(4.19)

Su

Важное значение имеет более узкий круг вариаций напряженного состояния, характеризуемый равенством нулю работы вариаций внешних сил на действительных перемещениях тела:

òò (u dX + v dY + w dZ ) d S = 0

.

Su

Этот вариант реализуется, если, например, поверхностные силы заданы по всей поверхности тела S или на части поверхности S u заданы перемещения, равные нулю. В таком случае имеем: ~ dR = 0 .

(4.20)

Определение второй вариации дополнительной работы показы~ ~ вает, что d 2 R > 0 . Соответственно, уравнение dR = 0 представляется формулировкой: из всех статически возможных напряженных состояний только действительное напряженное состояние сообщает дополнительной работе тела минимальное значение. 4.2.4. Метод Рэлея - Ритца Метод Рэлея – Ритца может быть построен как на использовании принципа минимума полной энергии, так и на использовании принцип минимума дополнительной работы. С применением принципа минимума полной энергии задача решается в перемещениях. Пусть u 0 , v 0 , w 0 - заданные перемещения на S u . Перемещения u , v , w задаются в форме рядов, содержащих специально 98

подбираемые аппроксимирующие функции, удовлетворяющие нулевым граничным условиям на S u , и неизвестные параметры:

u = u0 + v = v0 +

¥

å am f m ( x , y , z )

,

å bm jm ( x , y , z )

,

å cm y m ( x , y , z )

.

m =1 ¥ m =1 ¥

w = w0 +

(4.21)

m =1

Здесь f m ( x , y , z ) , j m ( x , y , z ) , y m ( x , y , z ) - линейно независимые аппроксимирующие функции; am , bm , cm - постоянные коэффициенты (параметры), подлежащие определению. Далее, с использованием перемещений, заданных в виде рядов (4.18), преобразуется соотношение для полной энергией системы Э , с представлением его как функции параметров am , bm , cm . Поскольку в состоянии действительного равновесия полная энергия системы Э должна иметь минимальное значение, для определения параметров am , bm , cm используются условия ее минимизации:

¶Э =0 , ¶ am

¶Э =0 , ¶bm

¶Э =0 . ¶ cm

Для упругого тела полная энергия является квадратичной формой параметров am , bm , cm , и условия ее оптимизации образуют систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно am , bm , cm . При пластическом деформировании для определения коэффициентов am , bm , cm будем иметь уже нелинейную систему уравнений. Составление и решение этой системы уравнений даже при небольшом значении m (небольшом числе аппроксимирующих функций) связано с большими вычислительными трудностями. 99

В связи с этим при решении различных инженерных задач широкое распространение получила одночленная аппроксимация при нулевых условиях на S u :

u = a f ( x , y , z ) , v = b j ( x , y , z) , w = c y ( x , y , z) , где за функции f ( x , y , z ) , j ( x , y , z ) , y ( x , y , z ) обычно принимается решение соответствующей линейной (упругой) задачи. При этом не следует забывать о возможной значительной погрешности подобных решений. Метод Ритца нетрудно применить и к задаче минимизации дополнительной работы.

Задача 4.2.

Упругопластическое кручение бруса произвольного поперечного сечения.

Предположение о том, что при кручении призматических (цилиндрических) стержней (валов, брусьев) сечения не остаются плоскими, а искривляются, причем все одинаково, независимо от состояния материала (упругое или чисто пластическое), ведет к следующим соотношениям для перемещений ( z - ось бруса): u = -J z y

,

v = Jzx

,

w = Jj ( x, y )

,

где J - относительный угол закручивания (степень закручивания) бруса; функция j (x, y ) представляет собой форму искривленной поверхности поперечного сечения и носит название функции кручения, или функции депланации. Определяя напряженное состояние, получим: s x = s y = s z = 0 , t xy = 0 , ö ö æ ¶j æ ¶j t yz = mJ çç + x ÷÷ , t zx = mJ çç - y ÷÷ . y x ¶ ¶ ø ø è è

Решение задачи кручения в напряжениях сводится к отысканию функции напряжений F = F ( x, y ) , которая вводится так, чтобы тождественно удовлетворить дифференциальные уравнения равновесия:

100

t zx =

¶F ¶y

,

tzy = -

¶F ¶x

.

Выполнение граничного условия в напряжениях на боковой поверхности или, что то же самое, на контуре поперечного сечения бруса L (поскольку рассматриваемые величины не зависят от переменной z ) приводит к требованию: d F / d s = 0 Þ F = C на L

,

однако в рассматриваемом случае односвязной области постоянная C может быть принята равной нулю ( C = 0 ). Выполнение граничных условий на торце бруса приводит к соотношению, связывающему крутящий момент М и функцию напряжений F : М = 2 òò F ( x, y ) d x d y .

Определение функции напряжений F = F ( x, y ) путем решения соответствующего дифференциального уравнения, следующего либо из уравнений Бельтрами - Митчелла (упругое решение), либо из условия пластичности (пластическое решение), достаточно сложно. Рассмотрим упругопластическое решение поставленной задачи с применением принципа минимума дополнительной работы в форме (4.19). Вариации касательных напряжений определяются вариацией функции напряжений: d t zx =

¶ ( dF ) , ¶y

dt zy = -

¶ ( dF ) . ¶x

Поскольку функция напряжений на контуре равна нулю, то и вариация d F в этих точках обращается в нуль. Вычислим работу поверхностных сил (объемные силы равны нулю). На закрепленном торце z = 0 имеем, что l = m = 0 , n = -1 . Соответственно, для вариаций поверхностных сил получаем: dX = ds x l + dt xy m + dt xz n = - dt xz = -

¶ (dF ) , ¶y

dY = d t yx l + ds y m + d t yz n = - d t yz =

¶ ( dF ) , ¶x

d Z = d t zx l + d t zy m + d s z n = 0 ,

101

однако работа поверхностных сил равна нулю за счет равенства нулю перемещений u = v = 0 . На свободном торце z = l имеем, что l = m = 0 , n = 1 и, соответственно, ¶ dX = dt xz = ( d F ) , dY = dt yz = - ¶ ( dF ) , dZ = 0 . Работа поверхностных сил ¶y ¶x будет равна: ù é ¶ ¶ dA = òò u dX + v dY + w dZ d x d y = -Jl òò ê y ( dF ) + x ( dF )ú d x d y = y x ¶ ¶ û ë

(

)

ù é¶ ¶ = - Jl òò ê ( x dF ) + ( y dF)ú d x d y + 2Jl òò dF d x d y x y ¶ ¶ û ë

.

Первый из полученных интегралов (интеграл по площади поперечного сечения) с применением формулы Грина æ ¶Q

òò çç ¶x S è

-

¶P ö ÷dxd y = ¶y ÷ø

ò Pd x + Q d y

L

преобразуется в контурный интеграл é

ù

ë

û

¶ ¶ òò ê ¶x ( xdF) + ¶ y ( y dF )ú d x d y Þ ò dF (- ydx + xdy ) , L

который равен нулю, поскольку в точках контура равна нулю вариация функции напряжений d F . Окончательно работа поверхностных сил равна: dA = 2Jl òò dF d x d y .

(4.22)

Поскольку распределение напряжений во всех сечениях бруса - одинаковое, дополнительная работа для всего бруса будет определяться соотношением: ~ R = òòò R dV = l òò R d xd y

.

V

В рамках деформационной теории пластичности плотность дополнительной работы в общем случае имеет вид R=

s 20 2K

si

+ ò e i ds i . 0

102

При кручении бруса реализуется состояние чистого сдвига. В этом случае s 0 = 0 , si = t 3 , ei = g / 3 ( t = дополнительной работы имеем:

t 2zx + t 2zy , g =

g 2zx + g 2zy ), и для плотности

t 3

ò gd t

R=

.

0

Соответственно, дополнительная работа для всего бруса будет определяться соотношением: ~ R = l

æt 3 ö ç ÷ g d t òò ç ò ÷ d xd y ç 0 ÷ è ø

.

(4.23)

С учетом полученных представлений для работы поверхностных сил (4.22) и дополнительной работы (4.23) уравнение (4.19) принимает вид ù é æt 3 ö ÷ ç d ê òò ç ò g d t - 2JF ÷ d x d y ú = 0 ú ê ç ÷ úû êë è 0 ø

(4.24)

.

Уравнение (4.24) и является вариационным уравнением кручения бруса произвольного поперечного сечения при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями. Примем, что скручивается брус квадратного поперечного сечения со стороной 2a . Материал бруса - сталь, поведение которой при кручении аппроксимируется диаграммой сдвига без площадки текучести с линейным упрочнением: модуль сдвига G , предел текучести t т , модуль упрочнения G т . Представление диаграммы сдвига в форме уравнений имеет вид

(

t=Gg

при g £ g т ,

t = l tт + G т g

при g ³ g т ,

(4.25)

)

где l = 1 - G т / G . Перейдем к безразмерным координатам x = x / a , h = y / a . Будем иметь: t zx =

¶F ¶h

,

t zy = -

¶F ¶x

,

где F = F ( x , h) - функция напряжений в безразмерных координатах.

103

Вариационное уравнение (4.24) перепишем в виде dJ = 0 ,

где ö ò ç 2G - 2aJF ÷÷ dx dh , k ø 00è 11æ 2 ç t

J =ò

Gk = t 2 /

t 3

ò g dt

.

0

Очевидно, что в пределах упругости g = t / G и Gk = G . За пределами упругости соотношение для Gk определяется с использованием уравнений (4.25). Выберем функцию напряжений F = F ( x , h) в виде F = C1F1 + C2 F 2 ,

где C1 и C2 - постоянные коэффициенты, а F1 и F 2 - функции x и h :

(

)(

)

F1 = x2 - 1 h2 - 1 ,

(

)(

)(

)

F2 = x 2 - 1 h2 - 1 x 2 + h2 .

Функции F1 и F2 выбраны так, чтобы они обращались в нуль на контуре квадрата при x = ± и h = ±1 . Отметим, что если использовать выбранную функ-

цию F = F ( x , h) для решения упругой задачи, то полученные результаты будут достаточно близки к точному решению.

В рассматриваемой задаче коэффициенты C1 и C2 должны определяться из условий минимизации интеграла J : ¶J =0 , ¶ C1

¶J =0 , ¶ C2

которые после преобразований принимают вид A11C1 + A12C2 = Q1 , A12 C1 + A 22C 2 = Q 2 ,

Коэффициенты полученных уравнений представляются через функции F1 и F 2 следующим образом:

104

11

A11 = ò

ò

00

11

A12 = ò ò

00

1 Gk

11

A22 = ò

1 Gk

ò

00

é æ ¶F ö 2 æ ¶F ö 2 ù ê ç 1 ÷ + ç 1 ÷ ú dx dh , ê çè ¶x ÷ø çè ¶h ÷ø ú ë û

æ ¶F1 ¶F 2 ¶F1 ¶F 2 ö çç ÷ dx dh + ¶h ¶h ÷ø è ¶x ¶x

1 Gk

,

2 2ù éæ ê ç ¶F 2 ö÷ + æç ¶F 2 ö÷ ú dx d h , ê çè ¶x ÷ø çè ¶h ÷ø ú ë û

11

Q1 = 2 a J ò ò F1 dx dh , 00 11

Q 2 = 2 a J ò ò F 2 dx dh

.

00

Коэффициенты Q1 и Q 2 вычисляются без особых трудностей: Q1 = 8 a J / 9 ,

Q 2 = 16a J / 45 . Коэффициенты A11 , A12 и A 22 определяют методом последовательных приближений. В нулевом приближении принимается Gk(0 ) = G и вычисляются

(0)

(0) (0) (0) (0) сначала коэффициенты A11 , A12 и A22 , а затем и постоянные C1 , C2 нулевого приближения. После этого по соответствующим формулам определяются напряжения в различных точках поперечного сечения и устанавливаются границы упругих ( t < t т ) и пластических ( t ³ t т ) областей. Для построения первого при-

(1) ближения вычисляются значения Gk в разных точках поперечного сечения: в 1 0 упругих областях Gk(1) = G , в пластических - Gk( ) = G × æç t*( ) / t (0) ö÷ , где t (0 ) è ø

касательное напряжение в нулевом приближении, а t*(0 ) - касательное напряжение в этой же точке, соответствующее угловой деформации g 0 = t 0 / G , но най-

(1) денное по диаграмме сдвига. После отыскания значений Gk интегралы, опреде-

(1) , A(1) и A(1) , вычисляются численно. Далее процесс ляющие коэффициенты A11 12 22 повторяется по схеме, рассмотренной выше. Практика расчетов показывает, что уже третье приближение обеспечивает достаточно высокую точность.

105

5. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности 5.1. Поведение упругопластических тел при циклическом нагружении в условиях линейного напряженного состояния Все рассмотренные до сих пор законы и уравнения теории пластичности построены для расчета элементов конструкций, работающих при статическом однократном нагружении. Однако нередко машины и сооружения испытывают воздействие многократных нагружений, в том числе и с переменой знака. При расчете на прочность элементов конструкций, работающих в условиях многократного (циклического) нагружения, необходимо учитывать изменение упругопластических свойств материала в зависимости от цикла нагружения. Наиболее важными являются характеристики, связанные с изменением диаграммы циклического деформирования (петли гистерезиса). Различают диаграммы, построенные при постоянном значении амплитуды напряжений (мягкое нагружение) и при постоянной амплитуде деформаций (жесткое нагружение). Диаграммы циклического деформирования при мягком нагружении позволяют получить кинетику деформаций, которая необходима для определения деформационных свойств материала, а при жестком - кинетику напряжений. По характеру изменения свойств при циклическом упругопластическом деформировании материалы разделяются на три основных типа: - циклически стабильные, у которых характеристики сопротивления упругопластическому деформированию не зависят от числа циклов нагружения; - циклически упрочняющиеся, у которых упомянутые характеристики возрастают с ростом числа циклов нагружения; - циклически разупрочняющиеся, у которых характеристики сопротивления упругопластическому деформированию падают с ростом числа циклов нагружения. 106

Очевидно, что на характер процесса циклического деформирования существенное влияние оказывают и другие факторы: состояние материала, скорость деформирования, температура, форма цикла изменения напряжения и т.д. При многократных нагружениях элементов конструкций за пределом упругости различают три основных вида деформирования: - знакопеременная пластическая деформация; - одностороннее нарастание пластической деформации; - прекращение роста пластических деформаций после первого или нескольких начальных циклов нагружения. При знакопеременной пластической деформации обычно после небольшого числа циклов наступает разрушение как результат пластической, или малоцикловой усталости. Нарастание пластической деформации одного знака (прогрессирующая деформация) приводит к недопустимому накоплению пластических деформаций и, в конечном итоге, к исчерпанию пластических свойств и разрушению. Случай, когда после первого или нескольких циклов нагружения прекращается рост пластических деформаций, означает, что материал благодаря возникновению благоприятного поля («обратного» знака) остаточных напряжений переходит в упругое состояние, и при дальнейшем многократном нагружении пластические деформации уже не возникают. Число циклов нагружения, при котором наступает разрушение материала, называется предельным. Зависимость между числом циклов до разрушения и величиной пластической деформации за один цикл (зависимость Мэнсона - Коффина) имеет вид

e pN a = M , где e p - пластическая деформация за цикл; N - число циклов до разрушения; M , a - постоянные (характеристики) материала. Зависимость Мэнсона - Коффина принимается как основная для определения предельного числа циклов при одноосном напряженном состоянии. Однако ее применение ограничивается циклически 107

стабильными материалами, поскольку предполагается, что пластическая деформация не изменяется от цикла к циклу. В общем случае с увеличением числа циклов пластическая деформация за цикл уменьшается или увеличивается, и здесь рекомендуется зависимость более общего вида: e = MNa +

B -g N , E

где M , a , B , g - постоянные материала, которые определяются либо по результатам испытаний, либо по соответствующим соотношениям, включающим в себя некоторые статические механические характеристики (модуль упругости, предел текучести, временное сопротивление и др.). Как пример второго варианта, приведем зависимость, позволяющую определить предельное число циклов для пластичных материалов: æ 1 ö -0,5 2s т ÷÷ N e = 0,5 ln çç , + E è 1- y ø

где y - характеристика материала при разрыве. Приведенные зависимости построены с использованием параметров статического повреждения (пластической или полной деформации). Аналогично строятся зависимости, определяющие предельное число циклов, с использованием параметров усталостного повреждения. В качестве таких параметров принимаются, например, энергия, накопленная за счет пластического деформирования, или энергия, связанная с процессом упрочнения.

5.2. Поведение упругопластических тел при циклическом нагружении в условиях сложного напряженного состояния Рассмотрение даже основных свойств упругопластического деформирования материалов при циклическом нагружении указывает на их большое разнообразие. Естественно, учесть это разнообразие 108

при построении уравнений теории циклической пластичности в условиях сложного напряженного состояния практически невозможно. Соответственно, здесь используются следующие допущения (гипотезы), справедливые для любого цикла многократного нагружения: - если материал элемента конструкции нагружен за предел упругости (текучести), то его разгрузка и последующее повторное нагружение происходит по линейному закону (рис. 5.1); - принятая прямая разгрузки и последующего повторного нагружения параллельна соответствующей прямой упругого нагружения; - при повторном нагружении за предел упругости нагружение происходит так же, как и в отсутствие разгрузки, т.е. по кривой, характеризующей упругопластические свойства материала в исходном Рис. 5.1 состоянии; - при знакопеременном нагружении до появления пластических деформаций обратного знака разгрузка происходит по прямой, параллельной прямой упругого нагружения. Вследствие эффекта Баушингера в зависимости от направления нагружения пределы текучести s т сж и s¢т сж принимают различные значения. Перечисленные упрощения поведения материала при циклическом нагружении позволяют в рамках деформационной теории построить уравнения, описывающие состояние материала при разгрузке и при повторном нагружении. Отметим, что при повторном нагружении необходимо различать два случая: - повторное нагружение проводится силами обратного знака по сравнению с силами при первом нагружении (переменное нагружение); - силы при повторном нагружении имеют тот же знак, что и при первом нагружении. 109

Однако очевидно, что решение полной нелинейной системы уравнений представляет большие математические трудности. При расчете элементов конструкций, работающих в условиях многократного нагружения, важное значение имеют общие теоремы циклической пластичности: - теорема о простом нагружении, определяющая условия, при выполнении которых обеспечивается простое нагружение при наличии знакопеременных пластических деформаций; - первая теорема о переменном нагружении, позволяющая определить компоненты напряжений и деформаций при повторном знакопеременном нагружении, если известно решение соответствующей задачи при первом нагружении тела, находящегося в естественном ненапряженном состоянии; - вторая теорема о переменном нагружении, позволяющая определить компоненты напряжений и деформаций при новом нагружении упругопластического тела после его разгрузки из состояния, в котором оно находилось под действием знакопеременных объемных и поверхностных сил; - теорема о вторичных пластических деформациях, позволяющая определить остаточные напряжения и деформации, появляющиеся в теле после его упругопластического деформирования и последующей разгрузки (если при разгрузке вторичные пластические деформации не появляются, теорема формулируется как теорема Ильюшина А.А. об упругой разгрузке). Задача 5.1.

Упругопластическое деформирование толстостенного цилиндра под действием переменного внутреннего давления.

Будем считать, что циклическое изменение внутреннего давления p происходит по схеме 0 ® p ® 0 ® p ® . . . Задачу рассмотрим в простейшей постановке, принимая, что цилиндр выполнен из несжимаемого идеального упругопластического материала, и пренебрегая эффектом Баушингера. Упругопластическое решение задачи построим в предположении [10 ] , что в цилиндре реализуется состояние плоской деформации ( e z = 0 ).

110

Распределение напряжений в упругой трубе описывается известными формулами Ламе: æ pç sr = - ~ ç è

(

)

b2 r2

где ~ p = pa 2 / b 2 - a 2 ; a и

ö - 1÷ , ÷ ø

æ pç sj = ~ ç è

b2 r2

ö + 1÷ , ÷ ø

(5.1)

b - внутренний и наружный радиусы цилиндра.

Осевое напряжение s z , соответственно, равно:

(

)

s z = sr + sj / 2 = ~ p

.

Интенсивность касательных напряжений в упругой задаче будет определяться соотношением: T=

1 6

( s1 - s 2 ) 2 + ( s2 - s3 ) 2 + ( s3 - s1 ) 2

Þ

(

)

T = sj - s r / 2 = ~ p b2 / r 2 .

Поскольку интенсивность касательных напряжений принимает наибольшее значение при r = a , первые пластические деформации появятся именно на внутренней поверхности цилиндра. Реализуя условие пластичности Мизеса - Генки при r = a , определим давление p т , при котором появятся первые пластические деформации: T r = a = tт

Þ

æ pт = tт ç 1 ç è

a 2 ö÷ . b 2 ÷ø

При p > p т имеет место пластическая зона при a £ r £ с , в которой T = æç s jp - s rp ö÷ / 2 = t т Þ è ø

s jp - s rp = 2t т .

Внося полученное соотношение в дифференциальное уравнение равновесия p

p

ds rp s r - s j + =0 dr r

и выполняя интегрирование при граничном условии s rp r = a = - p , находим распределение напряжений в пластической зоне:

111

s rp = - p + 2 t т ln

r , a

æ r ö p s j = - p + 2 t т ç ln + 1÷ . è a ø

(5.2)

Полученное распределение напряжений в пластической зоне позволяет определить предельное давление p* , при котором пластические деформации распространяются на все сечение. Будем иметь: p* = 2 t т ln

b . a

Напряжения в упругой зоне c £ r £ b определяются формулами Ламе с заменой радиуса a на c и давления ~ p на q~ : æ s er = - q~ ç ç è

(

b2 r2

ö - 1÷ , ÷ ø

æ s ej = q~ ç ç è

b2 r2

ö + 1÷ , ÷ ø

(5.3)

)

где q~ = qc 2 / b 2 - c 2 ; q - радиальное давление на границе раздела пластической и упругой зон r = с . Неизвестные радиус c и давление q определим из условий непрерывности напряжений s r и s j на границе раздела пластической и упругой зон при r = с . Для определения радиуса c получим уравнение: ln

c 1 æç c2 + 1ç a 2 b2 è

ö ÷= p , ÷ 2tт ø

которое решается численно или графически. Очевидно, что предельное давление p* следует из полученного уравнения при c = b и имеет значение, полученное выше. При найденном значении c давление q определяется соотношением: s rp r = c = - q = - p + 2 t т ln

c a

Þ

q = p - 2 t т ln

c a

.

Таким образом, упругопластическое решение задачи построено полностью, и это решение определяет напряженное состояние рассматриваемого толстостенного цилиндра при первом нагружении 0 ® p . После разгрузки p ® 0 в цилиндре появляются остаточные напряжения, которые равны разностям напряжений упру-

112

гопластического состояния (5.2) , (5.3) и упругого (5.1). Наибольшее (сжимающее) окружное остаточное напряжение будет действовать на внутренней поверхности цилиндра. Определим интенсивность касательных остаточных напряжений T 0 в зоне a £ r £ с . Напряжения в этой зоне будут описываться соотношениями: ö r ~ æç b 2 +p - 1÷ , 2 ÷ çr a è ø 2 æ ö b æ r ö pç s 0j = - p + 2 t т ç ln + 1÷ - ~ + 1÷ . 2 ç ÷ è a ø èr ø s 0r = - p + 2 t т ln

Соответственно, для интенсивности T 0 получим: T0 =

0 sj - s r0

2

Þ

b2 pa 2 b 2 = tт T 0 = tт - ~ p × r2 b2 - a2 r 2

.

Наибольшее значение интенсивность касательных остаточных напряжений достигает на внутренней поверхности цилиндра при r = a :

pb2 0 Tmax = tт 2 b - a2

.

Очевидно, что вторичные пластические деформации возникнут, если будет выполняться условие: 0 Tmax ³ tт Þ

æ a2 p ³ 2 tт ç 1 ç b2 è

ö ÷º p . 1 ÷ ø

В этом случае при циклическом нагружении в зоне, примыкающей к отверстию, будут иметь место пластические деформации разного знака, что приведет к разрушению из-за «пластической усталости». Отметим, что поскольку давление p не должно превосходить предельное давb ление p* = 2 t т ln , то вторичные пластические деформации могут возникнуть a только в достаточно толстостенной трубе, например b ³ 2,5 a . Если p < p1 , то при повторном нагружении 0 ® p будем иметь только упругие деформации. Это объясняется тем, что в цилиндре имеются остаточные деформации обратного знака, которые как бы повышают предел упругости. В таком

113

случае говорят, что конструкция приспособилась к циклическому нагружению благодаря возникновению благоприятного поля остаточных напряжений. Неравенство p < p1 определяет область приспособляемости (область допустимых изменений нагрузки).

5.3. Приспособляемость упругопластических тел при циклическом нагружении К общим теоремам циклической пластичности относят и теоремы приспособляемости упругопластических конструкций при действии циклических нагрузок. Как уже отмечалось, понятие «приспособляемость» связано с возможностью прекращения роста пластических деформаций в том или ином элементе конструкции после первого или нескольких начальных циклов нагружения. Пластическое деформирование на ранней стадии нагружения может привести к возникновению остаточных напряжений, сумма которых с напряжениями, соответствующими упругому поведению тела при последующем воздействии нагрузок (изменяющихся в заданных пределах), ни в одной точке не нарушает условия пластичности (не превышает предела текучести). Соответственно возникает задача об определении таких максимальных интервалов изменения внешних нагрузок, при которых возможна приспособляемость конструкции. Очевидно, что выяснение условий приспособляемости (области допустимых изменений нагрузок) должно опираться на анализ упругопластического равновесия рассматриваемого тела, который весьма затруднителен для более или менее сложных задач. Теоремы приспособляемости устраняют эту трудность, поскольку позволяют найти верхнюю и нижнюю границы нагрузок для области приспособляемости. При этом необходимость анализа упругопластического состояния элемента конструкции отпадает; здесь достаточно использовать решение соответствующей упругой задачи, что значительно проще. 5.3.1. Статическая теорема приспособляемости Рассмотрим идеальное упругопластическое тело, находящееся под действием объемных X , Y , Z и поверхностных X , Y , Z 114

сил, медленно меняющихся (так, что можно пренебречь динамическими эффектами) с течением времени в любой последовательности в заданных пределах. Поверхностные силы считаем распределенными на части поверхности тела S F . Заданные на части поверхности S u перемещения принимаются равными нулю. Если известна история нагружения, то можем определить напряжения s x , s y , . . . , t zx и деформации e x , e y , . . . , g zx , имеющие место в рассматриваемом упругопластическом теле, для некоторого момента нагружения. Примем, что значения напряжений и деформаций при действии нагрузки в этот же момент нагружения в соответствующем идеально упругом теле равны s*x , s*y , . . . , t*zx и e*x , e*y , . . . , g *zx . Остаточные напряжения s 0x , s0y , . . . , t0zx и деформации e 0x ,

e 0y , . . . , g 0zx , появляющиеся в упругопластическом теле после полной разгрузки, при отсутствии вторичных пластических деформаций вычисляются как разности: s 0x = s x - s*x , s 0y = s y - s*y , . . . , t0zx = t zx - t*zx ;

(5.4)

e0y = e y - e*y , . . . , g 0zx = g zx - g *zx .

(5.4а)

e 0x = e x - e*x ,

Дополнительно введем в рассмотрение упругие деформации e 0x e , e 0ye , . . . ,

g 0zxe , соответствующие остаточным напряжениям. Поскольку нагрузки переменны, все перечисленные напряжения и деформации являются медленно меняющимися функциями времени.

Действительные деформации e x , e y , . . . , g zx складываются из упругих и пластических составляющих: e x = e ex + e xp ,

p e y = e ey + e yp , . . . , g zx = g ezx + g zx .

Следовательно, можем записать: e 0x = e xp + e 0x e ,

p e 0y = e yp + e 0ye , . . . , g 0zx = g zx + g 0zxe .

115

(5.5)

С учетом полученных соотношений (5.5) из (5.4а) следует: p . e x = e 0x e + e*x + e xp , e y = e0ye + e*y + e yp , . . . , g zx = g 0zxe + g *zx + g zx

Допустим теперь, что найдено некоторое фиктивное поле остаточных напряжений s x , s y , . . . , t zx , не зависящее от времени. В качестве такого поля напряжений можно принять любое нетривиальное решение однородных дифференциальных уравнений равновесия, удовлетворяющее нулевым граничным условиям на части поверхности тела S F . Через e x , e y , . . . , g zx обозначим деформации, отвечающие фиктивным напряжениям s x , s y , . . . , t zx в соответствии с обобщенным законом Гука. Поле напряжений s sx = s x + s*x , s sy = s y + s*y , . . . , t szx = t zx + t*zx

(5.6)

условимся называть безопасным, если при любых изменениях нагрузок в заданных пределах условие текучести не достигается (поведение материала является упругим). Поле напряжений s ax = s x + s*x , s ay = s y + s*y , . . . , t azx = t zx + t*zx

(5.7)

условимся называть допустимым, если при изменениях нагрузок в заданных пределах условие текучести может достигаться. Статическая теорема приспособляемости (теорема Мелана) утверждает: приспособляемость наступит, если можно найти такое не зависящее от времени поле фиктивных остаточных напряжений s x , s y , . . . , t zx , что при любых изменениях нагрузки в заданных 116

пределах сумма этого поля с полем напряжений в идеально упругом теле s*x , s*y , . . . , t*zx безопасна (достаточное условие); приспособляемость невозможна, если не существует никакого не зависящего от времени поля фиктивных остаточных напряжений s x , s y , . . . , t zx , так чтобы сумма этого поля с полем напряжений в идеально упругом теле s*x , s*y , . . . , t*zx была допустима (необходимое условие). Необходимое условие очевидно: если не существует никакого не зависящего от времени поля фиктивных остаточных напряжений s x , s y , . . . , t zx , то нет никакого допустимого распределения остаточных напряжений s ax , say , . . . , t azx и приспособляемость в принципе не может возникнуть. Допустим теперь, что надлежащее поле фиктивных остаточных напряжений s x , s y , . . . , t zx существует. ~ Рассмотрим фиктивную упругую энергию П , определяемую напряжениями s 0x - s x , s0y - s y , . . . , t0zx - t zx и деформациями e0xe - e x , e 0ye - e y , . . . , g 0zxe - g zx , связанными между собой соотношениями обобщенного закона Гука:

~ 1 П= 2

òòò [(s x - sx )(e x 0

0e

) (

)(

) ]

- e x + s0y - s y e 0ye - e y + . . . d V .

V

Поскольку величины s x , s y , . . . , t zx и e x , e y , . . . , g zx не зависят от времени, то, переходя к соответствующей мощности, получим: ~ é ù d e 0ye dП d e 0xe 0 0 ê = òòò s x - s x + sy - sy + . . .ú d V . dt dt dt ê ú V ë û

(

)

(

)

Сопоставляя соотношения (5.4а) и (5.5), будем иметь: 117

p . e 0x e = e x - e*x - e xp , e 0ye = e y - e*y - e yp , . . . , g 0zxe = g zx - g *zx - g zx

В этом случае ~ dП = s 0x - s x x x - x*x - x xp + s 0y - s y x y - x*y - x yp + . . . d V . dt òòò

[(

)(

) (

) ]

)(

V

Полученный интеграл разобьем на два: ~ dП = dt

òòò [ (s x - s x )(x x - x x ) + (s y - s y )(x y - x y ) + . . .] d V *

0

V

-

òòò [(s x - s x ) x x

p

0

*

0

(

]

)

-

(5.8)

+ s 0y - s y x yp + . . . d V .

V

Рассмотрим мощность внутренних сил, определяемую первым слагаемым. Разности напряжений s 0x - s x , s0y - s y , . . . , t0zx - t zx удовлетворяют уравнениям равновесия при нулевых внешних силах, а скорости деформаций x x - x*x , x y - x*y , . . . , h zx - h*zx отвечают условиям совместности скоростей деформаций и являются кинематически возможными. Мощность соответствующих внешних сил равна нулю: внешние силы на S F равны нулю, а на S u равны нулю скорости перемещений v x - v*x , v y - v*y , v z - v*z . Следовательно, равна нулю и мощность внутренних сил, определяемая первым слагаемым соотношения (5.8). Соответственно, имеем: ~ dП = dt

òòò [(s x - s x ) x x 0

p

(

]

)

+ s 0y - s y x yp + . . . d V .

(5.9)

V

Учитывая соотношения (5.4) и (5.6), уравнение (5.9) перепишем в форме:

~ dП =dt

òòò [ (s x - s x ) x x s

p

(

)

]

+ s y - s sy x yp + . . . d V .

V

118

(5.10)

Используя представление о выпуклости поверхности нагружения (пластичности) для идеального упругопластического тела, можно показать, что p ( s x - s sx ) x xp + ( s y - s sy ) x yp + . . . + ( t zx - t szx ) h zx >0 ,

Таким образом, правая часть уравнения (5.10) отрицательна, пока скорости деформаций отличны от нуля. Поскольку упругая ~ энергия П неотрицательна, то наступит момент, когда пластическое течение прекратится (скорости деформаций равны нулю, ~ d П / dt = 0 ). Остаточные напряжения не будут далее изменяться во времени; при изменении нагрузок тело будет испытывать только упругие деформации. Теорема приспособляемости Мелана используется для определения нижних границ допустимых изменений циклических нагрузок, поскольку поле остаточных напряжений s x , s y , . . . , t zx выбирается так, чтобы область допустимых изменений нагрузок была наибольшей. В этом плане отыскание оптимального поля остаточных напряжений, максимально расширяющего область приспособляемости, составляет отдельную задачу. Заметим также, что при определении допустимых нагрузок следует рассматривать только нагрузки, которые меньше предельных. 5.3.2. Кинематическая теорема приспособляемости Как и при рассмотрении статической теоремы приспособляемости, примем равными нулю перемещения, заданные на части поверхности S u , а поверхностные силы, медленно изменяющиеся в заданных пределах, считаем распределенными на части поверхности тела S F . Возьмем некоторое произвольное поле скоростей пластической p p p деформации x x0 , x y0 , . . . , h zx0 . Будем называть его допусти-

119

мым, если приращения пластических деформаций за некоторый интервал времени t t

Dx xp0 = ò x xp0 dt , 0

t

Dx yp0 = ò x yp0 dt , . . . 0

образуют кинематически возможное поле, т.е. приращения дефорp p маций Dx x0 , Dx y0 , . . . удовлетворяют условиям совместности, а соответствующие перемещения - нулевым граничным условиям на части поверхности S u . p p p Полю скоростей x x0 , x y0 , . . . , hzx0 отвечает поле напряжений s x0 , s y 0 , . . . , t zx0 .

Учитывая, что полные скорости деформаций складываются из упругих и пластических, и принимая во внимание соотношения (5.4а), получим: x0x = x ex - x*x + x xp , x0y = x ey - x*y + x yp , . . . p на компоненты Заменив здесь компоненты x xp , x yp , . . . , hzx p p p , x y0 , . . . , hzx0 будем иметь: x x0

x0x 0 = x ex - x*x + x xp0 , x 0y 0 = xey - x*y + x p , . . . y0

Скорости деформаций x ex , xey , . . . и x*x , x*y , . . . связаны законом Гука со скоростями напряжений s& x , s& y , . . . и s& *x , s& *y , . . . ; следовательно, тем же законом связаны разности скоростей деформаций xex - x*x º xex 0 , xey - x*y º xey 0 , . . . и скоростей напряжений

s& x - s& *x º s& 0x 0 , s& y - s& *y º s& 0y 0 , . . . Таким образом, можно утверждать, что скорости упругих деформаций xex0 , xey0 , . . . определя120

ются скоростями остаточных напряжений s& 0x 0 , s& 0y 0 , . . . , а скорости деформаций x0x0 , x0y 0 , . . . связаны со скоростями напряжений

s& 0x 0 , s& 0y 0 , . . . неоднородными линейными зависимостями (скороp p сти деформаций x x0 , x y0 , . . . играют роль дополнительных «наложенных» деформаций). Рассматривая равновесие тела при нулевых нагрузках на S F и нулевых перемещениях на S u и при наличии упомянутых неоднородных линейных зависимостей как физического закона, найдем единственное распределение сопровождающих остаточных напряжений s& 0x 0 , s& 0y 0 , . . . , скоростей остаточных деформаций x0x0 ,

x0y 0 , . . . и скоростей остаточных перемещений v x 0 , v y 0 , v z 0 . Приращения перемещений за интервал времени t определяются соотношениями: t

t

t

0

0

0

Du 0 = ò v x 0 dt , Dv 0 = ò v y 0 dt , Dw0 = ò v z 0 dt .

Поскольку за интервал времени t приращения пластических p p деформаций Dx x0 , Dx y0 , . . . образуют кинематически возможное поле, кинематически возможны и приращения сопровождающих упругих деформаций Dxex0 , Dxey0 , . . . Остаточные напряжения

s0x 0 , s0y 0 , . . . в конце цикла t = t возвращаются к своим начальным значениям , т.е. s0x0

t =0

= s0x 0

t =t

,

s 0y 0

t =0

= s 0y 0

t =t

В этом случае t

ò

0

xex 0 dt = 0 ,

t

e

ò x y 0 dt = 0 0

121

, ...

, ...

Кинематическая теорема приспособляемости (теорема Койтера) утверждает: приспособляемость никогда не наступит вплоть до разрушения, если можно найти допустимый цикл скоростей пластической p p p , x y0 , . . . , h zx0 и соответствующую программу деформации x x0 изменения внешних нагрузок в заданных пределах, для которого выполняется условие t

tæ é ù ö ç & dV ÷ dt , ê ú + + > X v Y v Z v d S d t A 0 0 0 x y z F ò ê òò ò ç òòò ÷ úû 0 ë S 0è V ø

(

)

(5.11)

где A& = s x0 x xp0 + s y0 x yp0 + . . . - мощность пластической деформаp p p ции на допустимых скоростях x x0 , x y0 , . . . , h zx0 ; приспособляемость наступит, если при всех допустимых циклах скоростей пластических деформаций и любых нагрузках, изменяющихся в заданных пределах, можно найти число k > 1 , так что t é tæ ù ö k ò ê òò X v x 0 + Y v y 0 + Z v z 0 d S F ú dt £ ò ç òòò A& dV ÷ dt . ç ÷ 0 êë S 0è V ûú ø

(

)

(5.12)

Доказательств первой и второй части теоремы Койтера приводить не будем. Выбирая допустимый цикл скоростей пластических деформаций p p p , x y0 , . . . , hzx0 и записывая соотношение (5.11) со знаком x x0 равенства, можно использовать теорему Койтера для определения верхних границ допустимых изменений циклических нагрузок (верхних границ приспособляемости). Отметим, что применение теоремы Койтера связано с бóльшими трудностями, чем применение теоремы Мелана. Заметим, что из теорем приспособляемости, если заданные пределы изменения нагрузок совпадают, вытекают теоремы о предельной нагрузки.

122

Список литературы 1. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 2. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 3. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968. 4. Бурлаков А.В. Основы теории пластичности и ползучести. Харьков: Изд-во ХГУ, 1968. 5. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 6. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 7. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. 8. Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1981. 9. Мирсалимов В.М. Неоднородные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987. 10. Сапунов В.Т. Основы теории пластичности и ползучести: Учебное пособие. М.: МИФИ, 2008.

123

Владимир Тимофеевич Сапунов

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ Плоская задача. Экстремальные принципы и энергетические методы решения. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности Учебное пособие

Редактор М.В. Макарова Оригинал-макет изготовлен В.Т. Сапуновым Подписано в печать 10.12.2010. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. л. 7,75. Печ. л. 7,75. Тираж 110 экз. Изд. № 1/4/82. Заказ № 18 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское шоссе, 31 ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42