Øóìàí Ã. Ãåéíö Øóìàí
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÅÉ Â ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÈÃÓÐÀÕ Ôóíêöèîíàëüíî...
15 downloads
255 Views
531KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Øóìàí Ã. Ãåéíö Øóìàí
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÅÉ Â ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÈÃÓÐÀÕ Ôóíêöèîíàëüíîå ìûøëåíèå êàê öåëü ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ áûëî ïðèçíàíî ïî÷òè 100 ëåò íàçàä (A. Ãóòöìåð [1]). Îíî áûëî òàêæå ïðèíÿòî â êà÷åñòâå öåíòðàëüíîé èäåè â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé äèäàêòèêå (ñì., íàïðèìåð, Ô. Øâàéãåð [2] «èäåÿ ôóíêöèîíàëüíîãî âàðüèðîâàíèÿ» èëè Ã. Õåéìàí [3] «èäåÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé»).  ñâîåé âåñüìà ñîäåðæàòåëüíîé äèññåðòàöèè «Âîñïèòàíèå ôóíêöèîíàëüíîãî ìûøëåíèÿ. Ê èñòîðèè äèäàêòè÷åñêîãî ïðèíöèïà» K. Êðþãåð [4] òùàòåëüíî ïðîàíàëèçèðîâàëà ñïåöèôè÷åñêóþ ñâÿçü ìåæäó ðàçâèòèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ è ðàçâèòèåì ýêîíîìèêè, òåõíîëîãèè è íàóêè â îáùåñòâå.  íàñòîÿùåå âðåìÿ èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðîâ â ïðåïîäàâàíèè è èçó÷åíèè ìàòåìàòèêè ñïîñîáñòâóåò ôóíêöèîíàëüíîìó ìûøëåíèþ, áëàãîäàðÿ âîçìîæíîñòè äèíàìè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è îáðàáîòêè ðàçíîîáðàçíûõ ãðàôè÷åñêèõ, ÷èñëîâûõ èëè àëãåáðàè÷åñêèõ äàííûõ è îáúåêòîâ. Íàïðèìåð, ïàêåò Äèíàìè÷åñêèå Ãåîìåòðè÷åñêèå Ñèñòåìû (DGS), ðàçðàáîòàííûé äëÿ ïëàíèìåòðèè, çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ïî ñâîèì âîçìîæíîñòÿì òðàäèöèîííûå ìåòîäû èçó÷åíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ïîäîáíûå ñèñòåìû îáëàäàþò òàêæå íîâûìè âîçìîæíîñòÿìè è â èçó÷åíèè ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé â ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóðàõ: ìû ìîæåì ïðîèçâîäèòü èçìåðåíèÿ â ôèãóðàõ, ïîñòðîåííûõ îïðåäåëåííûì îáðàçîì, ïðîâåðÿòü íà îñíîâå ýòèõ èçìåðåíèé êîëè÷åñòâåííûå ñîîòíîøåíèÿ (íàïðèìåð, ìåæäó äëèíàìè, ïëîùàäÿìè, óãëàìè è ò.ä.), âàðüèðóÿ ôèãóðû ñ ïîìîùüþ ìåòîäà drag-and-drop (Õ. Øóìàí [57]).
68
Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ÷ðåçâû÷àéíî ïîëåçíî äëÿ èõ ïîíèìàíèÿ. Ïîýòîìó òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì ìîìåíòîì â íàøåì ìåòîäå èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé â ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóðàõ. Îäíàêî ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ íå öåëüþ èññëåäîâàíèÿ, à ñêîðåå ñòèìóëîì äëÿ äàëüíåéøåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ýòîò ìåòîä ñîçäàåò íîâóþ ñâÿçü ìåæäó ãåîìåòðèåé è øêîëüíîé àëãåáðîé. Öåëü ìåòîäà áûëà óäà÷íî ñôîðìóëèðîâàíà Õ. Ìåðòåíñîì [9]: «Öåëü îáðàçîâàíèÿ ñîñòîèò íå òîëüêî â óñâîåíèè ïîíÿòèÿ ôóíêöèè, íî, ãîðàçäî áîëüøå, â äîñòèæåíèè òàêîé ãîòîâíîñòè ê âîñïðèÿòèþ è àíàëèçó, ïðè êîòîðîé äîñòàòî÷íî ïðîñòî âçãëÿíóòü íà ðåçóëüòàòû âàðüèðîâàíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ ïåðåìåííûõ, ÷òîáû óâèäåòü ñóùåñòâóþùóþ ìåæäó íèìè ñâÿçü». ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÃÎ ÌÅÒÎÄÀ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÅÉ Â ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÈÃÓÐÀÕ
1. Ïîñòðîåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû, äëÿ êîòîðîé çàäàííàÿ âåëè÷èíà (ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ èëè åãî ôóíêöèÿ) çàâèñèò îò âàðüèðóåìîé ïåðåìåííîé. 2. Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó çàâèñèìîé è íåçàâèñèìîé ïåðåìåííûìè â âèäå ãðàôèêà «ýìïèðè÷åñêîé» ôóíêöèè. 3. Èíòåðïðåòàöèÿ «ýìïèðè÷åñêîé» ôóíêöèè (òàêæå íàáëþäåíèå íàä èçìåíåíèåì õàðàêòåðèñòèê ãðàôèêà ïðè âàðüèðîâàíèè ïàðàìåòðîâ ôèãóðû è ñðàâíåíèå ñ äðóãèìè ãðàôèêàìè).
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2001 ã.
Êîìïüþòåðíûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé â ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóðàõ 4. Âûâîä àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ, çàäàþùåãî äàííûé «ýìïèðè÷åñêèé» ãðàôèê. 5. Ïðîâåðêà ñîãëàñèÿ ìåæäó àíàëèòè÷åñêîé è «ýìïèðè÷åñêîé» çàâèñèìîñòÿìè. ...â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé âûáðàí âíóòðåííèé óãîë 6. Îáñóæäåíèå ïîïàðàëëåëîãðàììà... ëó÷åííîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ (êðèòè÷åñêèå òî÷êè, òî÷êè ðûõ íàâûêîâ ðàáîòû ñ êîìïüþòåðíûìè èíýêñòðåìóìà è ò.ä.). ñòðóìåíòàìè. ÇÀÌÅ×ÀÍÈß
• Ôèãóðó íóæíî ñòðîèòü òàê, ÷òîáû ðàññìàòðèâàåìàÿ âåëè÷èíà çàâèñåëà òîëüêî îò îäíîé ïåðåìåííîé, îñòàëüíûå ïàðàìåòðû äîëæíû îñòàâàòüñÿ ôèêñèðîâàííûìè. • Ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé îäíîé ïåðåìåííîé, ïåðåìåùàåìàÿ òî÷êà (íàïðèìåð, âåðøèíà óãëà) äîëæíà äâèãàòüñÿ âäîëü íåêîòîðîé çàäàííîé ëèíèè òàê, ÷òîáû èçìåíÿëñÿ òîëüêî îäèí ïàðàìåòð. • Ãðàôèê íàçûâàåòñÿ ýìïèðè÷åñêèì, òàê êàê ïîðîæäàþùàÿ åãî ôóíêöèÿ íåèçâåñòíà. • Ïîäáîð ïîäõîäÿùåé ôóíêöèè òðåáóåò âëàäåíèÿ îïðåäåëåííûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè. • Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà íàéäåííîé ôóíêöèè òðåáóåò òîëüêî íåêîòî-
ÏÐÈÌÅÐÛ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß ÌÅÒÎÄÀ
 ýòîì ïàðàãðàôå íà ïðèìåðå ïàðàëëåëîãðàììà ìû îïèñûâàåì íåñêîëüêî çàäà÷, ðåøàåìûõ îïèñàííûì âûøå ìåòîäîì. Çàäà÷è ðåøàëèñü â ñðåäå Cabri Geometre 2 (Æ. Ëàáîðäå, Ô. Áåëìýéí [8]). Äëÿ âûâîäà ôóíêöèîíàëüíîãî âûðàæåíèÿ íåîáõîäèìî âëàäåòü îñíîâàìè òðèãîíîìåòðèè. Ïðèâåäåííûé íèæå íàáîð çàäà÷ íà èññëåäîâàíèå ôóíêöèé áûë ðàññìîòðåí Ó. Óîëòîì [10].  ñëåäóþùèõ ïÿòè çàäà÷àõ â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé âûáðàí âíóòðåííèé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà. Ïðèìåð 1. Êàê çàâèñÿò ïëîùàäü è ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà îò óãëà α, åñëè åãî ñòîðîíû a è b ïîñòîÿííû?
Ðèñóíîê 1
ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ
69
Øóìàí Ã. íèÿ îò 0o äî 180o. Ìû ïîëó÷àåì ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü âèäà
F0 ), a0 sin α ãäå çíà÷åíèå ôóíêöèè ìèíèìàëüíî, êîãäà sin(α) ìàêñèìàëåí, òî åñòü ïðè α = 90°. u(α ) = 2(a0 +
Êàê çàâèñÿò ïëîùàäü è ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà îò óãëà a, åñëè åãî ñòîðîíû a è b ïîñòîÿííû? Òî÷êà D äâèæåòñÿ ïî ïîëóîêðóæíîñòè, α èçìåíÿåòñÿ îò 0° äî 180° (ðèñóíîê 1). Ýìïèðè÷åñêèé ãðàôèê ïîêàçûâàåò ïîñòîÿíñòâî ïåðèìåòðà, ãðàôèê ïëîùàäè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî α = 90°, ÷òî ïîäòâåðæäàåò âèä ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè: F = a0·b0·sin(α) ⇔ y = k·sin(α), k > 0, α ∈ [0o, 180o] è ò.ä. Ïðèìåð 2. Êàêîâ õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ïåðèìåòðà ïàðàëëåëîãðàììà îò óãëà α ïðè óñëîâèè, ÷òî ñòîðîíà a è ñîîòâåòñòâóþùàÿ âûñîòà (øèðèíà) îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé? Ýìïèðè÷åñêèé ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî α = 90°, èìååò ìèíèìóì ïðè ýòîì çíà÷åíèè α. Ïåðèìåòð âîçðàñòàåò äî áåñêîíå÷íîñòè, êîãäà α ïðîáåãàåò çíà÷å-
Êàêîâ õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ïåðèìåòðà ïàðàëëåëîãðàììà îò óãëà a ïðè óñëîâèè, ÷òî ñòîðîíà a è ñîîòâåòñòâóþùàÿ âûñîòà (øèðèíà) îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé?
Ðèñóíîê 2
70
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2001 ã.
Êîìïüþòåðíûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé â ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóðàõ Ïðèìåð 3. Êàê èçìåíÿþòñÿ äëèíû äèàãîíàëåé â çàâèñèìîñòè îò óãëà, åñëè ñòîðîíû a è b îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè? Íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàíû âçàèìíî ñèììåòðè÷íûå ãðàôèêè äëèí äèàãîíàëåé å è f, ïðè÷åì å = f òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðàëëåëîãðàìì ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëü- Êàê èçìåíÿþòñÿ íèêîì. Ôóíêöèÿ å(α) äëèíû äèàãîíàëåé ñòðîãî óáûâàþùàÿ, à â çàâèñèìîñòè îò f(α) ñòðîãî âîçðàñòà- óãëà, åñëè ñòîðîíû þùàÿ. Àáñîëþòíûå a è b îñòàþòñÿ ìàêñèìóìû è ìèíè- ïîñòîÿííûìè? ìóìû äîñòèãàþòñÿ íà ãðàíèöå ïðè α = 0î è α = 180î. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó êîñèíóñîâ, ïîëó÷àåì
ñèììåòðè÷íûå ãðàôèêè äëèí äèàãîíàëåé å è f, â êîòîðûõ å èëè f ïðèíèìàþò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå, êîãäà ÀÑ èëè, ñîîòâåòñòâåííî, ÂD îðòîãîíàëüíû ÀÂ. Åñëè α ïðèáëèæàåòñÿ ê 0 èëè 180, òî e è f ïðèáëèæàþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ôîðìóëà äëÿ e (àíàëîãè÷íî äëÿ f) èìååò âèä
e(α ) = a02 +
F0 F0 ( − 2a0 cosα ) , a0 sin α a0 sin α
å èìååò ìèíèìóì ïðè α = arctg(
F0 ). a02
e(α ) = a02 + b02 + 2 a 0b0 cos(α ) , f (α ) = a02 + b02 − 2a0b0 cos(α )
Ïðèìåð 4. Êàê èçìåíÿþòñÿ äëèíû äèàãîíàëåé â çàâèñèìîñòè îò óãëà α, åñëè ñòîðîíà à è âûñîòà ïîñòîÿííû? Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàíû âçàèìíî
Êàê èçìåíÿþòñÿ äëèíû äèàãîíàëåé â çàâèñèìîñòè îò óãëà a, åñëè ñòîðîíà à è âûñîòà ïîñòîÿííû?
f
e
Ðèñóíîê 3
ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ
71
Øóìàí Ã. Ïðèìåð 5. Êàê çàâèñèò îò α óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè, åñëè ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè? Ýìïèðè÷åñêèé ãðàôèê (ðèñóíîê 5) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî α=90°, ãäå èìååò ìåñòî ìèíèìóì. Âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè ε(α) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç òåîðåìû êîñèíóñîâ äëÿ òðåóãîëüíèêà ÀÂÅ. Èìååì e2 + f 2 ) ε (α ) = arccos( , 2ef ãäå âûðàæåíèÿ äëÿ å(α) è f(α) íóæíî âçÿòü èç ïðèìåðà 4.
Êàê çàâèñèò îò a óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè...
Ïðèìåð 6. Êàê çàâèñèò äëèíà îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó S âíóòðè ïàðàëëåëîãðàììà ñ òî÷êîé Ò, äèãàþùåéñÿ ïî ñòîðîíàì ïàðàëëåëîãðàììà, îò óãëà AST? Ýìïèðè÷åñêèé ãðàôèê (ðèñóíîê 6à, á) ñîäåðæèò 4 âåòâè (ãîðèçîíòàëüíàÿ ëèíèÿ âîçíèêëà ïðè âîçâðàòå îò 360° ê 0°).
 óãëàõ äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè íàðóøàåòñÿ. Êàêèå èç ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèé èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ òî÷êè S è ôîðìû ïàðàëëåëîãðàììà? Åñëè ïîëîæåíèå òî÷êè S îïðåäåëåíî óãëîì SAB, ìîæíî âû÷èñëèòü ST ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ñèíóñîâ è òåîðåìû êîñèíóñîâ. e
f
Ðèñóíîê 4
72
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2001 ã.
Êîìïüþòåðíûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé â ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóðàõ
Ðèñóíîê 5
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ìîãóò áûòü èññëåäîâàíû ìíîãî÷èñëåííûå ôóíêöèîíàëüíûå çàâèñèìîñòè â ïàðàëëåëîãðàììå èëè ëþáîé äðóãîé ôèãóðå. Ìû ïðèîáðåòàåì øèðîêîå ïîëå äëÿ èññëåäîâàíèé, íà êîòîðîì ñîåäèíÿþòñÿ ãåîìåòðèÿ è øêîëüíàÿ àëãåáðà â äóõå ìåòîäà «ñâîáîäíîãî èññëåäîâàíèÿ» (open-ended approach, Becker & Shimada, 1997).
Êàê çàâèñèò äëèíà îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó S ïàðàëëåëîãðàììà ñ òî÷êîé Ò, äâèãàþùåéñÿ ïî ñòîðîíàì ïàðàëëåëîãðàììà, îò óãëà?
Ëèòåðàòóðà. 1. Gutzmer A. Äîêëàä î ïðåïîäàâàíèè ìàòåìàòèêè â øêîëàõ-äåâÿòèëåòêàõ. Zeitschrift fur den Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht (36), 1905, p.543553. 2. Schweiger F. Ôóíäàìåíòàëüíûå èäåè ýññå îá èñòîðèè äèäàêòè÷åñêèõ èäåé â ïðåïîäàâàíèè ìàòåìàòèêè. Journal fur Mathematikdidaktik (13), 1992, ð.199214. 3. Heymann H.-W. Îáùåå îáðàçîâàíèå è ìàòåìàòèêà. Weinheim:Beltz, 1996. 4. Kruger K. Âîñïèòàíèå ôóíêöèîíàëüíîãî ìûøëåíèÿ. Ê èñòîðèè îäíîãî äèäàêòè÷åñêîãî ïðèíöèïà. Äèññåðòàöèÿ. Óíèâåðñèòåò Ãåòå, Ôðàíêôóðò-íà-Ìàéíå, 1999. 5. Schumann H.Ïîñòðîåíèÿ ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà â êóðñå øêîëüíîé ãåîìåòðèè, Øòóòãàðò. Teubner, 1991. 6. Schumann H. Ïðåäñòàâëåíèå è èññëåäîâàíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ñâîéñòâ ôèãóð â êóðñå øêîëüíîé ãåîìåòðèè ñ ïîìîùüþ Cabri 2 â TI-92. 7. Schumann H. Èçó÷åíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ñîîòíîøåíèé â ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóðàõ ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà. Mathematik in der Schule, (38) 2000, 2, ð. 109119. 8. Laborde J.-M., Bellemain F. Cabri Geometre 2. Óíèâåðñèòåò Æ.Ôóðüå, Ãðåíîáëü. 9. Mehrtens H. Ñîâðåìåííûé ÿçûê ìàòåìàòèêè. Ôðàíêôóðò, Suhrkamp, 1990, p.359. 10. Walsch W. «Ñåìåéñòâà çàäà÷». Ïðèìåðû è Äèäàêòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ, ÷àñòè 1,2. Mathematik in der Schule (33) , 1995, 3, p.7882, 142152. 11. Becker J.P. & Shimada S. «The Open-ended approach» íîâûé ïîäõîä â îáó÷åíèè ìàòåìàòèêå. Reston VA: NTCM, 1997.
ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ
73
Øóìàí Ã. à)
á)
Ðèñóíîê 6
Ãåéíö Øóìàí, ïðîôåññîð ôàêóëüòåòà ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè, ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, Ãåðìàíèÿ.
74
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2001 ã.