積分方程式入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シ リー ズ

編 集 の ことば  近 年 に お け る 科 学技 術 の 発 展 は,極 めて め ざ ま しい もの が あ る.そ の発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の応 用 も さる こ と なが ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基礎 的 な 考 え方 の 素 養 が必 要 なの で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な い で あ ろ う.   編 者 らは,こ の よ うな 事 実 を 考慮 し,数 学 の各 分 野 にお け る基 本 的知 識 を確 実 に 伝 え る こ とを 目的 と して 本 シ リー ズ の 刊行 を企 画 した の で あ る.   上 の 主 旨に した が って 本 シ リー ズ で は,重 要 な基 礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え方 を平 易 に 理 解 で きる よ う解 説 し て あ る.高 等 学 校 の 数学 に直 結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に 進 ん で 高等 数 学 の理 解 へ の 大道 に 容 易 に は いれ る よ う書 か れ て あ る.   これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に 携 わ る 人 た ち や技 術 関係 の 人 々 の 参 考書 と し て,ま た 学 生 の 入 門 書 と して,ひ ろ く利用 さ れ る こ とを 念 願 と して い る.   この シ リー ズ は,読 者 を数 学 とい う花壇 へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資 す ると と も に,つ ぎの 段 階 にす す む た め の 力 を 養 うに 役 立 つ こ とを 意 図 した もの で あ る.

ま

 今 世 紀 初 頭(1900年)フ

が

き

レ ドホ ル ム の1論 文 が 発 表 さ れ,積 分 方 程 式 が 解 析

学 の 理 論 と して 誕 生 した.つ

づ い て ヒル ベ ル ト等 の 仕 事 が 発 表 さ れ,こ

想 は ま た た く間 に成 長 した.そ 究 が 数 々 な さ れ,多

え

の思

れ 以 来 理 論 的 に も応 用 的 に も広 くか つ 深 い 研

くの 方 向 に 発 展 して き た.有 名 な クー ラ ン ・ヒル ベ ル ト

の((数 理 物 理 学 の 方 法))は こ れ ら の 思 想 を も と に して,多 種 多 様 な 結 果 を 見 事 に ま と め 上 げ た も の で あ る と も い え よ う.   本 書 の 前 半 は,ク ー ラ ン ・ヒル ベ ル トの 線 に 沿 っ て,出 来 る だ け や さ し く 微 分 方 程 式 に 対 す る 境 界 値 問 題 の 取 り扱 い 方 を 解 説 し,後 半 は,フ ム の 行 列 式 か ら 再 出 発 し て,多

少 趣 き の 異 な っ た 発 展 の模 様 を解 説 した .そ

して 最 後 の 章 で種 々の 具 体 例 を 挙 げ る と と も に,こ 生 じた2,3の

レ ドホ ル

れ ら の 発 展 に と も な って

概 念 に つ い て 説 明 し た.紙 数 の 制 限 も あ り,筆 者 の 執 筆 意 図 が

十 分 実 現 さ れ て い な い の を お そ れ て い る.   最 後 に,本 書 の 執 筆 を す す め ら れ た 小 堀 憲 教 授 な ら び に,原

稿 につ い て種

種 の 訂 正 を い た だい た 長 谷 川 要 二 郎 君 は じめ 大 学 院 の 諸 士 に,深

い 謝 意 を表

した い. 1968年11月

京都  嵯峨にて 溝

畑

茂

目

1. 

ベ ク トル 空 間 と 線 形 写 像

  1.1  序

  1  1

  1.2  線 形 写 像   1.3  共 役 空 間,転   1.4 

次

 2 置写像

  6

ク ラ メ ー ル の 定 理 

9

  1.5  線 形 写 像 に 対 す る2,3の

注意

  1.6  対 角 化 可 能 行 列

  13  21

  1.7  一 般 化 さ れ た 固 有 ベ ク トル

  24

  1.8  ベ ク トル 空 間

  33

  1.9 

内 積,直

交性

  1.10  シ ュ ミ ッ トの 直 交 法,正

 35 射影

  39

  1.11  エ ル ミー ト写 像

  42

  1.12  エ ル ミー ト写 像 の 対 角 化 可 能 性

  48

  1.13  3角 化 可 能 性  演 習 問 題1 

2. 

ヒ ル ベ ル ト空 間 と 線 形 作 用 素 

 51 54

61

  2.1  線 形 作 用 素

  61

  2.2  ヒ ル ベ ル ト空 間

  63

  2.3  リー ス の 定 理

  69

  2.4  絶 対 連 続 函 数 

74

  2.5  超 函 数 の 意 味 の 導 函 数 

77

  2.6  ヒル ベ ル ト空 間 の 例 

80

  2.7  超 函 数 の 定 義 

82

  2.8  共 役 作 用 素(Ⅰ) 

86

  2.9  共 役 作 用 素(Ⅱ) 

88

  2.10  函 数 空 間H1(I) 

91

  2.11  弱

94

位

相 

 演 習 問 題2 

3. 

98

対 称 完 全 連 続 作 用 素 

  3.1 

101

コ ン パ ク ト集 合 

101

  3.2  完 全 連 続 作 用 素 

105

  3.3  完 全 連 続 作 用 素 の 例(Ⅰ) 

108

  3.4  完 全 連 続 作 用 素 の 例(Ⅱ) 

111

  3.5  変 分 法(Ⅰ) 

113

  3.6 

116

ヒ ル ベ ル ト ・ シ ュ ミ ッ トの 展 開 定 理 

  3.7  逆 作 用 素 に 対 す る 展 開 定 理 

118

  3.8  固 有 函 数 系 の 完 全 性 

122

  3.9  変 分 法(Ⅱ) 

129

  3.10  一 般 展 開 定 理 

133

 3.11  フ レ ドホ ル ム の 交 代 定 理 

136

 演 習 問 題3 

4. 

139

一 般 完 全 連 続 作 用 素 

142

  4.1  序 

142

  4.2 

レ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 

145

  4.3 

フ レ ドホ ル ム の 第1定

  4.4 

D(λ)の

理 

性 質 

  4.5  積 分 核K(x,y)に

151 155

対 す る 仮 定 

157

  4.6 

フ レ ドホ ル ム の 第2定

理 

159

 4.7 

フ レ ドホ ル ム の 第3定

理 

163

 4.8  一 般 化 さ れ た 固 有 函 数    4.9  積 分 核 の 作 用 素 分 解   演 習 問 題4 

168 172 175

5. 

種 々 の 結 果 

  5.1 

179

直 交 多 項 式 系(Ⅰ) 

179

  5.2  直 交 多 項 式 系(Ⅱ) 

182

  5.3 

球 面 調 和 函 数 の 定 義 

186

  5.4  球 面 調 和 函 数 の 性 質 

191

  5.5 

シ ュ ミ ッ ト型 作 用 素 

192

  5.6 

核 型 作 用 素 

195

  5.7 

核 型 作 用 素 の 性 質 

197

  5.8 

ラ レ ス コ の 結 果 

198

  5.9 

固 有 値 の 最 大‐ 最 小 性 質(Ⅰ) 

200

  5.10  固 有 値 の 最 大‐ 最 小 性 質(Ⅱ) 

204

  5.11  マ ー サ ー の 定 理 

208

 演 習 問 題5 

212

演 習 問 題 略 解 

214

あ

き 

219

引 

221

索

と が

1. ベ ク トル 空 間 と線 形 写 像

  1.1 

序

  つ ぎ の 問 題 を 考 え る:区   (1.1) 

間[a,b]で

定 義 さ れた微 分 方 程 式

u″(x)+p(x)u′(x)+q(x)u(x)=0

を 満 足 す るu(x)で,x=a,x=bで

そ れ ぞ れ 与 え ら れ た 値c1,c2を

と る も の,

す な わち

u(a)=c1,   (1.2)

 { u(b)=c2

と な る も の が 存 在 す る か?こ

こ でp(x),q(x)は

連 続 と す る.

  こ の 問 題 は 微 分 方 程 式 に 対 す る 境 界 値 問 題 と よ ば れ て い る も の の 簡 単 な1例

で

あ る.   さ て こ の 問 題 で あ る が,常

微 分 方 程 式 に 対 す る解 の 存 在 定 理 だ け か ら は わ か ら

な い 問 題 で あ る こ と を 注 意 して お こ う.わ

れ わ れ は,x=aで(u(a),u′(a))を

指 定 す れ ば,(1.1)を

一 意 的 に 定 ま る こ と を 知 っ て い る.し

た が っ て,u(a)は お け る 曲 線u(x)の 丁 度c2と

み た す 解 が[a,b]で

は じ め か ら 指 定 さ れ て い る の で あ る か ら,u′(a)―x=aに 勾配―

を い ろ い ろ か え て い っ て,u(x)のx=bで

な る よ うな も の を さ が す こ と に な る.し

え る こ と は 難 か し い よ う に 思 わ れ る.後 ぎ の 通 り で あ る:(1.2)の

か しこ の 方 法 で 精 密 な 結 論 を

に 示 さ れ る よ う に,こ

の 問題 の解 答 はつ

代 りに 境 界 条 件 と し て

  (1.3) 

u(a)=u(b)=0

を み た す(1.1)の (1.2)を

の値が

解 がu(x)≡0し

か な い 場 合 に は,任

み た す 解 は 一 意 的 に 存 在 す る.そ

た すu(x)で,恒

等 的 に は0に

で な い あ る 定 数 の 組(γ1,γ2)が   (1.4) 

  慧 眼 な 読 者 は,こ

うで な い 場 合,す

な ら な い(1.1)の あ っ て,(c1,c2)が

存 在 す る.

の よ う な 形 の 条 件 が1次

対 して(1.1),

な わ ち(1.3)を

解 が あ る 場 合 に は,と

γ1c1+γ2c2=0

を み た す 場 合 に の み 解u(x)が

意 のc1,c2に

方程 式

み も に0

 (1.5)

の 場 合 に あ っ た こ と を 想 い 起 こ さ れ る で あ ろ う.

で あ る 場 合 に は,任

意 の(b1,…,bn)に

そ し てdetA=0の

場 合 に は,(1.5)に

も の が,自

明 で な い 解,す

も つ こ と が わ か り,ま っ て,(1.5)が (1.5)に

た 任 意 の(b1,…,bn)に

対 し て は 解 は 存 在 し な い.し

たが

対 して 解 を も つ た め の 必 要 十 分 条 件 と して, お い た も の が 自 明 な 解(trivial

外 に 解 が な い,と

solution)

い う表 現 の 仕 方 も で き る.

の 結 果 の 類 似 は種 々の 考 察 を 重 ね な け れ ば わ か らな い こ とで は あ る

言 で い え ば,無

連 続 作 用 素(completely

限 次 元 空 間 で の 線 形 作 用 素(linear continuous

operator)と

ら の 作 用 素 に 対 す る 種 々 の 結 果 は,有 mapping)の

お い た

で あ る よ う な 組(u1,u2,…,un)を

お い てbi=0(i=1,2,…,n)と

  上 記 の2つ

一 意 的 に 存 在 し た.

お い てb1=b2=…=bn=0と

な わ ち 

任 意 の(b1,…,bn)に

u1=u2=…=un=0以

が,一

対 し て(u1,…,un)が

operator)の

うち で 完 全

よ ば れ る ク ラ ス が あ っ て,そ

れ

限 次 元 ベ ク トル 空 間 で の 線 形 写 像(linear

場 合 の 結 果 と ほ とん ど同 じ も の に な る とい う 事 実 か ら の 帰 結 で あ る

と い え よ う.こ

の よ うな 事 情 を 考 慮 し て,有

限 次 元 ベ ク トル 空 間 に つ い て の 簡 単

な 解 説 か ら 始 め る こ と に す る.

  1.2 

線

形

写

像

  n個 の 数 の 組(α1,α2,…,αn)を1つ

の ベ ク トル と 考 え,

と か こ う.こ

の よ うな ベ ク トル の 集 ま り はn次

そ れ をVnで

表 わ す.ベ

ク トル 空 間Vnで

元 ベ ク トル 空 間 と よ ば れ て い る.

定 義 さ れ た 線 形 写 像(linear

mapping)

uと

は,任

意 のf∈Vnに

対 し て,u(f)∈Vnで

 (1.6) 

あ って

u(f1+f2)=u(f1)+u(f2).

  任 意 の 数 αに 対 して   (1.7) 

u(αf)=αu(f)

が み た さ れ て い る と き を い う.こ こ で 数 とい っ た が,複

素 数 の 範 囲,ま

たは 実数

の 範 囲 の い ず れ か を指 定 して 話 し を進 め る の が 普 通 で あ り,前 者 の 場 合 ベ ク トル を複 素 ベ ク トル(complex

vector),後

ぶ.以

数 の 範 囲 を ひ ろ げ て 複 素 数 と して お い た 方 が 都 合 が よ

い.例

後 の 考 察 で は,実

者 の 場 合 は 実 ベ ク トル(real

vector)と

え ば 固 有 値 を 使 って の 場 合 が そ うで あ る.以 後 と くに断 わ ら な け れ ば,ベ

ク トル は 複 素 ベ ク トル を 意 味 す る も の とす る.   以 後uの

表 現 につ い て 考 え る.

と し,{e1,e2,…,en}を

標 準 基 底(canonical

base)と

よ ぶ .こ

れ よ り,上

記 のfは

  (1.8) と か か れ る こ と を 注 意 し て お く.そ

こ で,e1,e2,…,enのuに

そ れ ら は   (1.9) と 表 現 で き る か ら,(1.8)を

し た が っ て,g=u(f)の

考 慮 す れ ば,

第i-成

  (1.10) す な わ ち,行

列 の 形 で ま と め れ ば,

分

βiは,

よ る 像 を 考 え る と,

よ

  (1.11)

あ るい は簡 単 に   (1.12) 

g=Af

と か か れ,標 像uの

準 基 底 に 対 応 す る 写 像uの

表 現 行 列 と い う.写

行 列 表 示 と よ ば れ て い る.ま

たAを

写

像 の 性 質 を し らべ る に は さ ら に進 ん で 以 下 に の べ る よ

う な 見 方 を す る.   あ る 数 λに 対 して   (1.13) 

u(f)=λf

と な る よ う な,0で (eigenvalue)と と よ ぶ.λ uに

な い ベ ク トルfが

い い,fを

が0で

固有 値

λ に 対 す る1つ

な い 実 数 で,fが

対 し て,方

存 在 す る と き,λ

を 写 像uの1つ

の固有 値

の 固 有 ベ ク トル(eigen

vector)

実 ベ ク トル の 場 合 に は,(1.13)はfが

写像

向 が 変 ら な い こ と を あ ら わ し て い る と い え よ う.

  λ が 固 有 値 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は, det(λI−A)=0 を み た す こ と で あ る.し

た が っ て λ はn次

め て 考 え る と,丁

あ る.一

で あ り,そ   1)  各 ち,あ

度n個

番 簡 単 な 場 合 は,根

λiに 対 す るuの

み た すfは,f=cfiと

い か え れ ば,固

― こ れ を 固 有 空 間(eigen-space)と

  証 明   f(λ)=det(λI−A)よ −A)の(i,i)-余

あ る.よ

い う―

は1次

こで

元 空 間 で あ る. こ こ で Δiiは 行 列(λI

で あ る か ら,Δii(λ1)(i=1,2,…,n)の

な い も の が あ る.し

た が っ て(λ1I−A)の

く知 ら れ て い る よ う に,こ

元 空 間 を な す.

か け る.こ

なわ

有 値 λiに 対 す る 固 有 ベ ク トル の 全

り, 

因 子 で あ る . 

う ち で 少 な く と も1つ0で

すfは1次

λiが す べ て 相 異 な る 場 合

固 有 ベ ク トル は 本 質 的 に は 一 意 的 に 定 ま る.す

あ っ て,u(f)=λifを

cは 任 意 の 複 素 数 で あ る.い

は(n−1)で

複 度 を含

の と き の 様 子 を 考 え て み る.

るfiが

体

方 程 式 の 根 と し て 定 ま り,重

の と き(λ1I−A)f=0を

階 数(rank) みた

  2)  各 λiに 対 す る 固 有 ベ ク トル を 勝 手 に1つ   (1.14) 

u(fi)=λifi 

こ の と き,{f1,f2,…,fn)は 底(base)を

え ら び,そ

す る:

(i=1,2,…,n)

互 い に1次

独 立 で あ り,し

た が っ てVnの1つ

の基

な す.

  証 明   帰 納 法 に よ る.  f1,…,fi−1,fiの1次

の1次

独 立 性 が し た が う こ と を 示 そ う.も

と な る よ う な 数 の 組(γ1,…,γi−1)が (1.14)を

れ をfiと

独 立 性 を 仮 定 す れ ば, し そ う で な け れ ば,

あ る こ と に な る が,両

辺 にuを

作 用 さ せ,

見 れ ば,

と な る が,前

の 式 に λiを か け て,fiを

消 去 す れ ば,

と い う式 が な り た ち,{f1,…,fi−1}の1次 が 導 き 出 さ れ る が,こ {f1,…,fi}は1次   {f1,f2,…,fn}を

独 立 性 を 仮 定 し た か ら,  れ よ りfi=0と

な り,矛

盾 で あ る .よ

独 立 で あ る. 

って

(証 終)

基 底 に と っ て,変

換 法 則 を し ら べ て 見 る と,

  (1.15)

に 対 して,

で あ り,し た が っ て,固 る 写 像uの

有 ベ ク トル の 系 を 基 底 に と っ た 場 合 に は,そ

れ に対応 す

行 列 表 現 は,

  (1.16)

と な り大 変 見 易 い 形 に な る.す

な わ ちfが

に 関 す る 成 分 に 分 解 す れ ば,写

像uは,fの

素 に 分 解 さ れ た と い え る で あ ろ う.な 底{f1,…,fn}に

対 す るfの

与 え ら れ た と き,fを 各成 分

お,(1.15)に

成 分(components)ま

αiを

基 底{f1,…,fn}

λi倍 す る と い う作 用

お い て,α1,α2,…,αnを た は 座 標(coordinates)と

基 よぶ.

  上 記 の 分 解 を 利 用 し て,複

素 パ ラ メ ー タ λを 含 む 方 程 式

  (1.17) 

λf−u(f)=g

を 考 え る.f,gを

そ れ ぞ れ{f1,…,fn}を

基 底 と す る 成 分 に 分 解 し, 

と す る と,(1.17)は

と な る.し

た が っ て, 

は(1.17)の

一 意 的 な 解 を 与 え る.こ

(λi−u)のfiに

れ に 反 して

対 す る 成 分 は つ ね に0に

な る.さ

f∈Vn,は{f1,f2,…,fi−1,fi+1,…,fn}で 一 致 す る .し

た が っ てgが

と が 必 要 十 分 で あ る.以   定 理1.1  gに

fn}に

λ=λiの

張 ら れ る(n−1)-次

λi−uの

  1.3 

  前 節 で1次

分 が0の

す べ て 相 異 な る 場 合,方

と き,し

程 式(1.17)が

任意の

と き に は,gの

か も そ の と き に の み 解fが

基 底{f1,… 存 在 す る.

置 写 像

と 分 解 し て 考 え た が,{f1,…,fn}系 ず2つ

つ ぎ の よ う に 定 義 す る.f*の (x1,x2,…,xn)と

あ るこ

であ る こ とが必要 十 分 で

独 立 な ベ ク トル の 組(基 底){f1,…,fn}を

に つ い て 説 明 す る.ま

元 空 間全体 に

像 と な っ て い る た め に は,βi=0で

の と き に は 解 は 一 意 的 に 定 ま る.λ=λiの

共 役 空 間,転

像

上 の 結 果 を ま と め る と,

固 有 値 λ1,…,λnが

対 す るfi成

と き に は,写

ら に く わ し く,(λi−u)(f),

対 し て 解 が 存 在 す る た め に は, 

あ り,そ

と お く と,

の と き に は, 

と っ て,

に 対 す る 座 標(α1,α2,…,αn)の1つ

の ベ ク トルf*,fの

ス カ ラ ー 積(scalar

標 準 基 底 に よ る 座 標 を(ξ1,…,ξn),fの

の見 方 product)を それを

した と き

  (1.18) を,f*,fの

ス カ ラ ー 積 と い う.

  さ て 基 底 か らf1を

と り去 っ て,{f2,f3,…,fn}に  は(n−1)-次

元 空 間 で あ る が,一

よ っ て 張 ら れ る 部 分 空 間: 般 に(n−1)-次

元 部 分空

間 を 原 点 を 通 る 超 平 面(hyperplane)と

よ ぼ う.そ

る 超 平 面 の 法 線 ベ ク トル の 方 向 を と り,そ

こ でf1*と

して は,今

考 えて い

の 向 き と 大 き さ は,

〈f1*,f1〉=1 と な る よ う に き め よ う(図 参 照).も 〈f1*,fi〉=0  が な り た つ.以 の 場 合,す

ち ろん

(i=2,3,…,n)

後 の 考 察 で は 読 者 は 例 え ば,n=3

な わ ち3次

元 空 間 で の 話 と し,ベ

は 実 ベ ク トル と し て,具

ク トル

体 的 な イ メー ジ を頭 に えが

い て 考 え て い か れ て 差 支 え な い.   同 様 に して,一

般 に,fiを

抜 き 出 し て,超

平 面{fi,…,fi−1,fi+1,…,fn}を

考 え る こ と に よ り,fi*を   (1.19)

で も っ て 定 義 す る.こ (dual

base)と

よ ぶ.共

の と き,{f1*,f2*,…,fn*}を{f1,f2,…,fn}の 役 と よ ん だ1つ

共 役基 底

の 理 由 はつ ぎ の 事 情 に よ る.fi*の

底 に 対 す る 座 標 を(ξ1(i),ξ2(i),…,ξn(i))と

し た と き,fの

標 準基

そ れ を(x1,…,xn)と

す る と, 〈fi*,f〉=ξ1(i)x1+…+ξn(i)xn=c は 超 平 面 を 表 わ す 方 程 式 で あ り(た だ し  f∈Vn→ はVnか

),写 〈fi*,f〉

ら 複 素 数 の 空 間 へ の 線 形 写 像,す

functional)を

像

な わ ち,Vnの

上 の 線 形 汎 函 数(linear

与 え る か ら で あ る.

  上 記 の 説 明 に 違 和 感 を 抱 か れ る 読 者 に,上

の 説 明 を逆 に た ど るや り方 を 説 明 し

て お く.   定 義1.1 φ(f)がVn上 と は,す べ て のfに +φ(f2),か   さ て,こ

の 線 形 汎 函 数,ま

た は1次

形 式(linear

form)で

ある

対 して 定 義 さ れ た 複 素 数 値 を と る 函 数 で,φ(f1+f2)=φ(f1)

つφ(αf)=αφ(f)を のφ(f)に

φ(f1),φ(f2),…,φ(fn)を

み た す と き を い う.

対 し て は,Vnの1つ 知 れ ば,任

の 基 底{f1,f2,…,fn}に 意 のfに

対 し,

関 し て,

に よ っ て 自 動 的 に き ま っ て し ま う こ と を 注 意 し よ う.逆 c2,…,cn)を

指 定 し,φ(fi)=ci(i=1,2,…,n)と

に 任 意 の 複 素 数 の 組(c1,

し て,上

式 よ り1つ

の1次

形

式 が 定 義 さ れ る こ と も 明 ら か で あ ろ う.   そ こ で,基 と,す

底 と して 標 準 基 底 を と っ た 場 合,φ(ei)=ξi(i=1,2,…,n)と

な わ ち φ がei上

と な り,f*と す る.こ

し て,標

で と る 値 を ξiと か く と, 

な ら な い.そ

に 対 し て,

準 基 底 に よ る 座 標 が(ξ1,…,ξn)と

の 見 地 よ りす れ ば,(1.18)はfの し て,共

す る

す る と(1.18)と

標 準 基 底 に 対 応 す る φ(f)の

役 ベ ク トル の 定 義 も,φiと

一致

表示 に他

して

 (1.19)′

を 採 用 す れ ば よい.   話 を も と に 戻 し,

と す る.fi*と

の ス カ ラ ー 積 を と り,共 役 基 底 の 定 義 式(1.19)を

  (1.20) 

参 考 に す れ ば,

αi=〈fi*,f〉

と な る.   転 置 写 像(transposed uに

mapping)と

い う考 え を こ こ で 導 入 し て お こ う.線

形写像

対 し て 転 置 写 像tuを,

  (1.21) 

〈tu(f*),f〉=〈f*,u(f)〉

で 定 義 す る.く

わ し くい え ば,ベ

ク トルf*を

は,f∈Vn,上

で 定 義 さ れ た1次

形 式 で あ る か ら,今

に 定 ま るg*が

あ っ て, φ(f)=〈g*,f〉, 

と 表 現 で き る.こ

のg*をtu(f*)の

  話 を も と に も ど し て,基

底{f1,f2,…,fn}に

説 明 し た こ と よ り,一

意的

f∈Vn

定 義 と す る.tuも

対 す る 固 有 ベ ク トル で あ る 場 合 を 考 え る.そ ま っ た が,各fi*は,

固 定 す れ ば,φ(f)=〈f*,u(f)〉

ま た 線 形 写 像 で あ る.

お い て,fiがuの

λ=λiに

の と き 共 役 基 底{f1*,…,fn*}が

求

  (1.22) 

tu(fi*)=λifi*

を 満 す こ と を 示 そ う.

で あ り,fと

し てf1,f2,…,fnを

が(1.19)か

ら わ か る が,fはf1,f2,…,fnの1次

−tu)(fi*),f〉=0が れ る.す

結 合 で 表 わ さ れ る か ら,〈(λi

任 意 のf∈Vnで

な わ ちfi*は

他 な ら な い.ま

な り た ち,し

転 置 作 用 素tuの

た 逆 に,f*が

が な りた つ こ と が わ か る.た   最 後 に 注 意 と して,つ をAと

入 れ る と,

す る((1.11)参

λ=λiに

λ=λiに

た が っ て(1.22)が

対 す る1つ

対 す るtuの

結論 さ

の 固 有 ベ ク トル に

固 有 ベ ク トル で あ れ ば,

だ し固 有 値 は す べ て 相 異 な る とす る.

ぎ の こ とが ら を 示 そ う.uの

照).そ

の ときtuの

標 準 基 底 に 対 す る表 現 行 列

そ れ はtA,す

い れ か え た も の に な る.実 際,(1.10),(1.18)よ

な わ ちAの

行 と列 と を

り,

と か け る か ら で あ る.

  1.4 

ク ラ メ ー ル の 定 理

  1.2で

は 線 形 写 像uの

除 い て 考 え る.そ

固 有 値 が す べ て 相 異 な る と 仮 定 し た が,こ

の 代 り に,前

節 で 導 入 し た 転 置 写 像(transposed

の 仮定 を と り mapping)の

考

え を 用 い る こ と に す る.   準 備 も か ね て,一

般 的 な 事 実 を2つ

  a)  Vp(p
与 え た と き,Vp上

元 部 分 空 間 と す る.Vpに で0に

よ う な 共 役 空 間 の ベ ク トルf0*が 〈f0*,f〉=0,    証 明   {f1,…,fp}∈VpをVpの1つ

の べ る.

な り,f0で

少 な く と も1つ f∈Vp, 

属 さ な い1つ

のベ ク

は 任 意 に 指 定 さ れ た 値cを 存 在 す る.式

で か け ば,

〈f0*,f0〉=c.

の 基 底 と し,他

に,{f0,fp+1,…,fn−1}

とる

を 適 当 に え ら び,{f1,…,fp,f0,fp+1,…,fn−1}がVnの1つ に す る.1次

形式

の基 底 とな る よ う

φ(f)を,φ(fi)=0(i=1,2,…,n−1),φ(f0)=cに

よっ

て 定 義 す れ ば よ い.    b)  p次 E*と

(証 終)

元 部 分 空 間 

す る .そ

上 で0に

の と き,E*の

な る 共 役 ベ ク トル 全 体 の 集 合 を

す べ て の 元 と 直 交 す るVnの

に 他 な ら な い.い

い か え れ ば,E*の

義 さ れ る か ら,こ

の こ と をE*=Vp⊥

ベ ク トルf*は

ベ ク トル の 全 体 はVp

〈f*,f〉=0,f∈Vp,で

定

と か く こ と に す れ ば, (Vp⊥)⊥=Vp.

  証 明   E*の

定 義 よ り,〈f*,f〉=0が

り た つ か ら,Vp⊂(E*)⊥.他 の 元f0*が

任 意 のf*∈E*,f∈Vp,に

方, 

を と れ ば,a)の

あ っ て,〈f0*,f0〉=1が

Vp=(E*)⊥

な り た つ.す

るE*

な わ ち, 

ゆえ に (証 終)

の 次 元 は(n−p)で

  証 明   {f1,…,fp}をVpの1次

あ る.

独 立 な ベ ク トル と し,別

当 に と っ て,{f1,…,fn}がVnの1つ

fn*}で

結 果 よ り,あ

で あ る. 

  c)  上 記E*=Vp⊥

(1.19)で

対 して な

の 基 底 を な す よ う に す る.そ

定 義 さ れ る 共 役 基 底{f1*,…,fn*}が 張 ら れ る(n−p)-次

にfp+1,…,fnを

の と き,

存 在 す る が,E*は{fp+1*,…,

元 空 間:{cp+1fp+1*+…+cnfn*}(cp+1,…,cnは

立 に 任 意 の 複 素 数 を う ご く),に

適

他 な ら な い こ と を 示 す.ま

ず,こ

独 の よ うな 形 の

ベ ク トル は

を み た し,し

た が っ て,任

べ き こ と は,f*が

意 のf∈Vpと

の ス カ ラ ー 積 は0に

〈f*,f〉=0,f∈Vpを

な る か ら,証

み た す な ら ば,f*はfp+1*,…,fn*

で 張 ら れ る 部 分 空 間 に 属 す る こ と で あ る.と

こ ろ で 〈f*,fi〉=0(i=1,2,…,p)

で あ り,〈f*,fi〉=ci(i=p+1,…,n)と

お く と,

が し た が い,し

に な る か ら,

た が っ て 

明す

と任 意 のf∈Vnと

の ス カ ラ ー 積 は0

(証終)   以 上 の 準 備 の も と に 一 般 な 線 形 写 像uに   (1.23) 

対 し,gが

与 え ら れ た とき

λf−u(f)=g

を 満 足 す るfが

存 在 す る た め の1つ

方 程 式(conjugate

equation,dual

の 必 要 十 分 条 件 を の べ よ う.そ

の ため に共 役

  (1.24) 

equation) λf*−tu(f*)=g*

を 同 時 に あ わ せ て 考 え る.   ま ず1.2の fが

場 合 と 同 様 に, 

定 ま る.ゆ

の と き に は,gに

え に 問 題 はdet(λI−A)=0の

す な わ ち λ がuの

固 有 値 の1つ

対 して 一 意 的 に

根 を λ1,λ2,…,λsと

に 一 致 す る と き で あ る.λ=λ1と

し た と き,

し よ う.

u(f)=λ1f を み た すfの ―

全 体 は 部 分 空 間―

の 次 元 数 を 

固 有 値 λ1に 対 応 す るuの と し ,そ

体 を 動 い た と き(λ1−u)(f)全

れ をEpで

固 有 空 間(eigen-space)

表 わ そ う.つ

体 の つ く る 部 分 空 間 をVと

ぎ にfがVn全

お く:

V={(λ1−u)(f);f∈Vn}.   1)  dim(V)=n−p,す の 最 大 数 は(n−p)で

な わ ちVの

中 で の 互 い に1次

あ る.

  証 明   {f1,…,fp}をEpの1次

独 立 な 基 底 と し,別

適 当 に と っ て,{f1,…,fp,fp+1,…,fn}がVnの と き{fp+1,…,fn}で で あ る.実

張 ら れ る(n−p)次

基 底 に な る よ う に す る.こ

の

元 部 分 空 間 上 で は 写 像(λ1−u)は1対1

で あ り,し

り,(λ1−u)は{fp+1,…,fn}で で あ る こ と が わ か り,Vの

  (1.25) 

に{fp+1,fp+2,…,fn}を

際

と す る と, 

  VをVn−pと

独 立 な ベ ク トル の 個 数

た が っ てf=0が

張 ら れ る 部 分 空 間 か らV全 次 元 は(n−p)で

し た が う.そ

れ よ

体 へ の1対1写

像

あ る こ と が し た が う. 

か く: Vn−p={(λ1−u)(f);f∈Vn}.

(証 終)

  2) 

uの

固 有 値 は 同 時 にtuの

固 有 値 で あ り,そ

等 し い.ま

た 逆 にtuの

有 値 は,そ

の 固 有 空 間 の 次 元 数 ま で 含 め て 一 致 す る.

  証 明   λ=λ1と

固 有 値 は 同 時 にuの

れぞ れの 固有 空間 の 次元 数 は

し,そ

  (1.26) 

れ に 対 す るuの

固 有 値 で あ る.す

な わ ちuとtuの

固 有 空 間 の 次 元 をpと

す る.基

固

本 関係 式

〈f*,(λ1−u)(f)〉=〈(λ1−tu)(f*),f〉

よ り,(λ1−tu)(f*)=0と,f*がVn−p={(λ1−u)(f);f∈Vn}と い る こ と は 同 等 で あ る こ と が わ か る.し はVn−p⊥

に 他 な ら な い.前

か ら,Vn−p⊥

項c)で

の 次 元 数 はpで

直 交 して

た が っ てtuの

λ=λ1に

示 し た よ う に,Vn−pの

あ る.逆

1つ の 固 有 ベ ク トル を 

に λ=λ0がtuの

対す る固有 空 間

次 元 は(n−p)だ 固 有 値 で あ れ ば,そ

の

と す れ ば,

0=〈(λ0−tu)(f0*),f〉=〈f0*,(λ0−u)(f)〉 し た が っ て,{(λ0−u)(f);f∈Vn}は,f0*と (n−1)以

下 で あ り,方

直 交 す る か ら,そ

程 式(1.23)は

任 意 のgで

は 解 け な い.し

の 次元 数 は た が っ て λ0は

uの 固 有 値 で も あ る.   さ て う え で 示 し た よ う に,λ=λ1に り,b)で c)に

対 す るtuの

示 し た 一 般 関 係 式 よ りVn−p=(E*)⊥

よ り,pで

固 有 空 間E*はVn−p⊥ で あ る.ま

たE*の

あ る. 

であ 次元 数 は (証 終)

  い ま え ら れ た 結 論: Vn−p={(λ1−u)(f);f∈Vn}=(λ=λ1に は い い か え れ ば,(1.23)に い う こ と はg∈Vn−pを

お い てgに

対 す るtuの 対 して 解fが

意 味 す る か ら,そ

固 有 空 間)⊥

少 な く と も1つ

存在 す る と

う で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

  直 交 条 件: 〈f*,g〉=0 が,λ=λ1に

対 す るtuの

す べ て の 固 有 ベ ク トルf*に

対 し て な り た つ と い う条

件 で 与 え ら れ る こ と を 示 して い る.   定 理1.2    1) 

λ がuの

(ク ラ メ ー ル の 定 理) 固 有 値 で な け れ ば,(1.23),(1.24)は

れ ぞ れ 一 意 的 な 解f,f*が   2)  uの 固 有 値 とtuの

任 意 のg,g*に

対 して そ

存 在 す る. そ れ と は,そ

れ ぞ れの 固有 空 間の 次元数 まで含 めて 一

致 す る.   3)  固 有 値 の1つ て

λ=λ1と

を λ1と

し た と き,右

し そ の 固 有 空 間 の 次 元 数 をpと

辺gに

対 して 少 な く と も1つ

必 要 十 分 条 件 は,〈f*,g〉=0がtuの f*に

λ=λ1に

対 して な りた つ こ と で あ り,そ

で 表 わ さ れ る.こ す るuの

こ にf0は

  ま た(1.24)に

お いて

の 固 有 ベ ク トルfと

  1.5 

存在 す るため の

対 す る す べて の 固 有 ベ ク トル

の 解 で あ り,(f1,…,fp)は

λ=λ1に

対

任 意 の 複 素 数 と す る.

λ=λ1の

す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,直

の 解fが

おい

の 場 合 一 般 解 は,

特 別 な1つ

固 有 空 間 の 基 底,ciは

す る.(1.23)に

と き,g*に

交関係

対 してf*が

〈g*,f〉=0が

少 な く と も1つ

λ=λ1に

存在

対 す る 任 意 のu

直 交 す る こ と で あ る.

線 形 写 像 に 対 す る2,3の

注 意

  今 ま で に と り扱 っ た 種 々 の 概 念 と 密 接 に 結 び つ いて い る2,3の

有 名 な事実 をの

べ る.   つ ぎ の 注 意 は 有 用 で あ ろ う.今

ま でVn全

例 え ば つ ぎ の 場 合 も 興 味 が あ る.Vnの2つ す る)が

あ り,Vpか

らVp′

体 で 定 義 さ れ た 線 形 写 像 を 考 え た が, の 部 分 空 間Vp,Vp′(と

へ の 線 形 写 像uを

ク トル と い う考 え は 棄 て な け れ ば な ら な い.し 要 十 分 条 件 は そ の ま ま な り た つ.そ

像uが1対1で

元 と

の場 合 明 らか に固有 ベ

か し写 像 が1対1で

れ に は,Vp,Vp′

そ れ ぞ れ{f1,f2,…,fp},{f1′,f2′,…,fp′}と

と お け ば,写

考 え る.こ

も にp次

あ るため の必

の 中 にそ れ ぞれ 基底 を と り す る.1.2と

同様 に

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

 (1.27) で あ る こ と が わ か る.   つ ぎ に射 影(projection)に つ いて 説 明 す る.   射影  

Vnの

中 に2つ の 部 分 空 間M,Nが

ベ ク トル を も た な い と し,か つ 任 意 のf∈Vnは,

あ り,MとNと

は0以 外 に 共 通

f=f′+f″, 

f′ ∈M, 

f″ ∈N

とベ ク トル の 和 と して 表 わ さ れ る とす る.こ の と き, Vn=M  と か き,Vnは2つ

の 部 分 空 間M,Nの

N 直 和(direct sum)と

して 表 わ さ れ る と い

う.こ の とき 上 記 の 分 解{f′,f″}は 一 意 的 で あ る こ とが 容 易 に わ か る.ま トル 和 の 分 解 の 存 在 を 仮 定 し た が,Mがp次 一 意 的 に存在 す る

.さ て,上

元,Nが(n−p)次

たベ ク

元 の とき には

記 のf′ ∈Mを

  (1.28) 

f′=pM(f)

で 表 わ し,pM(f)をfのNに

そ っ た,ま

た はNに

平 行 な,M上

へ の射 影 と

い う.   さて こ の 記 号 に よ れ ば, f=pM(f)+(f−pM(f)), f−pM(f)∈N と か か れ る こ と を 注 意 し よ う(図 参 照).   定 理1.3 

EをVnの1つ

る.Vn=M 

Nの

の 部 分 空 間 とす

と き,線 形 写 像 f∈E→pM(f)

が1対1写

像 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,E∩N={0}す

に 共 に 属 す る ベ ク トル は0以

外 に な い こ とで あ る.

  証 明   pM(f)=0とf∈Nと ら ば,f∈E,pM(f)=0よ りf=0が

な わ ちNとEと

は 同 等 で あ る.し りf=0(十

た が っ て,E∩N={0}な

分 性).逆

し た が うな ら ば,f∈E,f∈Nよ

にf∈E,pM(f)=0よ

りf=0が

した が う.し た が

って,E∩N={0}. 

(証終)

  写 像 の 階 数 と行 列 の 階 数   定 義1.2 

Vnで

{u(f);f∈Vn}の ρで あ る と は,Aの

定 義 さ れ た 線 形 写 像uの 次 元 数 がrで

あ る と き を い う.ま たn次

ρ次 の 小 行 列 式(minor)の

つ は 存 在 す る が,(ρ+1)次   以 上2つ

階 数(rank)がrで

中 で0で

の 小 行 列 式 は す べ て0で

あ る とは,像 の 行 列Aの

空間

階数 が

な い もの が 少 な く と も1

あ る と き を い う.

の 一 見 異 な る対 象 に 同 じ言 葉 が 用 い ら れ る の は 一 見 混 同 の お そ れ が あ

る よ うで あ る が,以 下 に 示 す よ うに,Aを 表 現 行 列 とす る と(2.2参 照),そ

写 像uの(例

え ば)標 準 基 底 に 対 応 す る

れ ぞ れ の 階 数 は 一 致 す る:r=ρ.

  理 解 を 容 易 に す る た め に ま ず3次

元 空 間 で 考 え る.こ の 場 合,(1.9),(1.11)

は つ ぎ の よ う に な る.   (1.29)

 (1.30)

こ こ でu(e1),u(e2),u(e3)の 列,第3列

にな ら ん で

そ れ ぞ れ の 標 準 基 底 に 対 す る 座 標 が 第1列,第2 いる こ と を 注 意 して お く.そ

と 考 え,Aの

縦 ベ ク トル と よ ぶ 場 合 が 多 い.こ

と し よ う.そ

の と きu(e1),u(e2),u(e3)の

う ち で1次

れ を 簡 単 の た め,u(e1),u(e2)と

す る.証

に な り,そ

の う ち で 少 な く と も1つ 1の 小 行 列 式 を 見 る と,つ

は0で

い.す

こ で 写 像uの

階 数(rank)rを2

独 立 な も の が2個

あること

明 す べ き こ と は,

な い こ と を 示 す こ と で あ る.と

こ ろ で,例

えば第

ぎ の 事 実 と結 び 合 せ て 考 え る と都 合 が よ い こ とが わ か

る.(α11,α12),(α21,α22)は 張 ら れ る2次

の よ うな 意 味 で

そ れ ぞ れu(e1),u(e2)を,e3に

平 行 に,{e1,e2}で

元 空 間 上 へ 射 影 し た も の の 基 底{e1,e2}に

な わ ちMを{e1,e2}で

対 す る 座 標 に 他 な らな

張 ら れ る 部 分 空 間 とす る と, pM(u(e1))=α11e1+α12e2, pM(u(e2))=α21e1+α22e2.

  と こ ろ で,い

まEを{u(e1),u(e2)}で

た わ ら な い と す る と,定 る.そ

理1.3に

張 ら れ た 部 分 空 間 と し,e3がE上 よ っ て,pMはEか

し て 両 者 の 次 元 は 等 し い か ら,M全

は じ め に の べ た よ う に,(1.27)に

らMへ

の1対1写

体 へ の 写 像 で も あ る.ゆ

相 当す る式

に横 像であ

えに この節 の

 (1.31)

が 結 論 さ れ る.と 少 な く と も1つ な り た ち,結 が ってAの

は あ る か ら,そ

局 上 の3つ

れ をeiと

う ち で,Eに

す る と,前

の 小 行 列 の 中 で0で

階 数 は2で

  逆 に(1.30)が と,Aの

こ ろ で 一 般 に は,e1,e2,e3の

にe3と

横 た わ らな い もの が して 行 な っ た 推 論 が

な い も の が あ る こ と が わ か る.し

た

あ る.

与 え ら れ た と き,(1.29)に

階 数(rank)が2で

よ っ て 確 定 す る 線 形 写 像uを

あ る 場 合 に は,{u(ei)}の

考 える

うち で 独 立 な も の が 丁 度2

個 と れ る こ と が わ か る.   つ い で な が ら,(1.31)の

仮 定 の も と に,α=(α1,α2,α3)に

関 す る方 程 式

 (1.32)

の1つ

の 特 解 を 具 体 的 に 求 め る 方 法 に つ い て 考 え る.今 示 し た こ と に よ り,(1.31)

はpM(u(e1)),pM(u(e2))が{e1,e2}で

張 ら れ る 部 分 空 間 で1つ

の基底 を なす

こ と を 意 味 す る か ら,

に よ っ て(α1,α2)が

一 意 的 に 確 定 す る.そ

を 満 足 し な くて は な ら な い.す こ れ は,像 て,こ

空 間 が{u(e1),u(e2)}で

の と き β3は

な わ ち,β3=α1α13+α2α23を

張 ら れ る と い う事 実 に 他 な ら な い.し

の 条 件 が み た さ れ て い る と き,α3=0と

(1.32)の

み た す 必 要 が あ る.

お い て,(α1,α2,0)と

たがっ

い う形 の,

特 解 が 求 ま る.

  さ て わ れ わ れ の 目 的 で あ っ た つ ぎ の 定 理 を 証 明 し よ う.   定 理1.4  と,uの

線 形 写 像uに

階 数rとAの

  証 明  r=0,nの

対 して,(1.11)に

よ っ て 定 義 さ れ る 行 列 をAと

階 数 ρ は ひ と し い. と き は 明 ら か だ か ら,0
場 合 に つ いて 考 え る.

す る

 1) 

の 証 明   ρの 定 義 よ り,0で

が あ る が,こ

れ よ りu(ei1),u(ei2),…,u(eip)が1次

し た が っ て 像 空 間 の 次 元 数rは   2) 

な い ρ次 の 小 行 列 式

ρ以 上 で あ る.

の 証 明   少 しや っ か い で あ る が,前

方 針 は 明 ら か で あ ろ う.ま の1次

ずrの

独 立 な も の が あ り,そ

e2,…,enの

…,u(eir)}で

れ をu(ei1),u(ei2),…,u(eir)と

張 ら れ る 像 空 間Erに

して い な け れ ばe2を て ゆ け ば よ い.こ

と り,そ

う で な け れ ば,と

際,e1が{u(ei1),

れ を と り,そ

うで な け

考 え,e2が

こ れ に属

ら な い と す る.こ

す る と,E∩N={0}.そ

の操作 を続 け

沿 っ たM上

す る.Vn=M  へ の 射 影pMを

ちろ ん

こ で{i1′,i2′,…,

対 す る 補 集 合 を{j1,j2,…,jr}と

元 部 分 空 間 をMと

い でe1,

れ ら と,u(ei1),

の よ う に し て え ら ん だ も の を{ei′1,…,ei′n−r}と す る.も

i′n−r}の{1,2,…,n}に

や っ た よ う に,Nに

属 して い な け れ ば,そ

ぎ に{u(ei1),…,u(eir),e1}を

こ の 基 底 で 張 ら れ る 部 分 空 間 をNと

で 張 ら れ るr次

れ は 可 能 で あ る.実

明の

う ち でr個 す る.つ

を と る こ と に よ っ て,そ

の 基 底 を つ く る .こ

れ ば と ら な い こ と に す る.つ

の 簡 単 な 場 合 を 見 れ ば,証

仮 定 よ り,u(e1),u(e2),…u(en)の

う ち か ら 適 当 に(n−r)個

…,u(eir)でVnの1つ

独 立 で あ る こ と が し た が い,

し,{ej1,ej2,…,ejr} Nで

あ る.そ

こ で,前

に

考 え る と,

f∈E→pM(f)∈M は1対1で

あ る こ と が 定 理1.3よ

基 底 はu(ei1),…,u(eir))を

が した が う.し た が ってAの   基 底 の変 更 が,他

り し た が い,こ

の 節 の 最 初 に の べ た こ と(Eの

考 慮 す れ ば,

階 数 はr以 上 で あ る. 

(証終)

  い ま ま で 主 と して 標 準 基 底{e1,e2,…,en}に

対 して 話 を し た

の 基 底 を と って 話 を す る場 合 もあ り,そ の と き の1つ

の基本 的 な事 実をの

べ る.   Aを 標 準 基 底 に 関 す る 線 形 写 像uの

行 列 表 示 とす る.す な わ ち1.2の

出発 点 で

あ った,

と す る.た

い て い の 書 物 で はAを

い る 点 は,本

定 義 す る αijが 本 書 の も の と順 序 が 異 な っ て

質 的 で は な い が 不 慣 れ な 読 者 の た め に 注 意 して お こ う.

  ま ず 基 底 を{f1,f2,…,fn}と,と を{f1,…,fn}で

表 現 し,そ

っ た さ い,座

標 の 間 の 対 応 を 求 めて お く.ei

れを

  (1.33)

とす る.x∈Vnが

 (1.34)

と 表 わ さ れ た と す る.す

な わ ち 同 一 の ベ ク ト ルxの

基 底{e1,…,en},{f1,…,fn}

に 対 す る そ れ ぞ れ の 座 標(coordinates)を(ξ1,…,ξn),(η1,…,ηn)と を(1.34)に

代 入 す れ ば,

と か け る か ら,

 (1.35)

ゆ え に,

す る.(1.33)

  (1.36)

と お く と,(1.35)は

 (1.37)

と か か れ る.す な わ ち 基 底 の 変 更(1.33)に さ て(1.34)よ

よ り,2.2の

対 す る 座 標 の 変 換 法 則 が え ら れ た.

り

最 初 に の べ た 通 り,u(x)の

標 準 基 底 に 対 す る 座 標 は,

す な わ ち,

で あ り,し

た が っ て 基 底{f1,…,fn}に

対 す るu(x)の

座 標 は(1.37)よ

り,

と す る と,

で あ る.し

た が っ て 線 形 写 像uの

  (1.38) 

基 底{f1,…,fn}に A′=TAT−1

で 与 え ら れ る.   つ ぎ に,(1.33)と   (1.33)′ を 用 い る と,

同値 な 関係 式

対 応 す る 行 列 表 示A′

は

を 用 い て,

が 導 か れ,し

た が っ て,A′=S−1ASが

え られ る.

  これよ り   定 理1.5(階 (rank)は

数 の 不 変 性)  行 列Aを

任 意 の 正 則 行 列Tで

変 換 して も,階 数

不 変 で あ る.す な わ ち rank(TAT−1)=rank(A).

  証 明   標 準 基 底{e1,…,en}に る.Tは Vnの

対 す る行 列 表 示 がAで

正 則 行 列 で あ り,T−1=Sと

基 底 を な す.い

列 表 示 はTAT−1で

こ ろ で,定

理1.4に

よ りAの

対 す る行

階 数 は 像 空 間V

次 元 数 に等 しい .像 空 間 の 次 元 数 は も ち ろ ん 基 底 の と り方

に 無 関 係 の もの だ か ら,定 理 が 示 さ れ た.な

お 定 理1.4は

標 準基 底 につ い て のべ

た が,一 般 な 基 底 に 対 して な りた つ こ とは 定 理 の 証 明 よ り明 ら か で あ ろ う.   行 ベ ク トル,列

ベ ク トル  

最 後 に行 列 の 具 体 的 な と り扱 い の さ い 必 要 な 事

実 を の べ る.行 列A

に お い て,縦

す

で 定 義 さ れ る{f1,…,fn}は

ま 説 明 した こ とに よ り,写 像uの{f1,…,fn}に あ る.と

={u(f);f∈Vn}の

し,(1.33)′

あ る 線 形 写 像 をuと

の1列

を と っ た もの

を 列 ベ ク トル(column

vector),ま

た は 縦 ベ ク トル と い う.ま

た 横 の1列

をとっ

た もの

を 行 ベ ク トル(row   定 理1.6 

vector)ま た は横 ベ ク トル とい う.

Aの 列 ベ ク トル の うち で1次

ル の そ れ は,と

も にAの

階 数(rank)に

独 立 な も の の 最 大 個 数,ま

ひ と しい.

  証 明   列 ベ ク トル に 対 す る命 題 は 定 理1.4の 個 数 は,Aか ∈Vn}の

ら逆 に(1.9)で

い い か え に す ぎ な い.実 際 上 記 の

定 義 さ れ る 線 形 写 像uに

対 す る像 空 間{u(f);f

次 元 数 に 他 な ら な い か ら で あ る.行 ベ ク トル に 関 して は つ ぎ の よ うに 考

え れ ば よ い.uの

で あ り,Aの

標 準 基 底 に 対 す る行 列 表 示 がAの

行 ベ ク トル はtAの

た よ うに(λ1=0と ∈Vn}の

た行 ベ ク ト

と き,tuの

列 ベ ク トル に他 な らな い.と

お い て 考 え る),{tu(f*);f*∈Vn}の

そ れは

こ ろ で1.3で

示 し

次 元 数 と{u(f);f

次 元 数 は ひ と しい(例 え ば,そ れ ぞ れ の 直 交 空 間 を 考 え て み れ ば よい).  (証終)

  1.6  対 角 化 可 能 行 列   1.2で 表 現Aに

は 線 形 写 像u,あ

る い は 同 じ こ とで あ る が,標

準 基 底 に 対 す るuの 行 列

対 す る 固 有 値 が す べ て 相 異 な る とい う仮 定 の も と で 考 察 した.く

く言 え ば,特

性 方 程 式det(λI−A)=0の

る と した.こ

の 場 合,固

に よ っ て 写 像uの 重(multiple)で

根 が す べ て 単 純 根(simple

有 ベ ク トル{f1,…,fn}が1つ

性 質 が見 易 い も の に な っ た((1.16)参

root)で あ

の基 底 をな し,こ の 基 底 照).と

ころで 固有 根 が多

あ っ て も,そ の よ うな 事 が お こ り うる 場 合 が あ る.そ

慮 して,こ の 節 で 固 有 ベ ク トル 全 体 でVnの

わし

の こ とを考

基 底 が つ く り うる た め の具 体 的 な 判

定 法 を の べ る.   ま ず 固 有 値 の 重 複 度(multiplicity)に 前 に 定 義 した さ い,標

つ い て で あ る が,線

準 基 底 に よ るuの 行 列 表 示Aを

形 写 像uの

固 有値 を

つ か っ て 定 義 し た.く

わ

し く い え ば,

のp1,p2,…,psで

も っ て λ1,…,λsの 重 複 度 と よ ん だ.こ

基 底 の と り か た,し

た が っ て そ れ よ り定 義 さ れ るuの

る こ と を 確 か め て お く必 要 が あ る.以   い ま 任 意 の 基 底{f1,f2,…,fn}を はTAT−1で

与 え ら れ た((1.38)参

表 現 行 列Aに

下 に 示 す よ う に,そ と る と,そ

照).と

の さ い 厳 密 に はpiが 無 関係 で あ

れ は 容 易 で あ る.

の 基 底 に 対 す るuの

表 現 行 列A′

こ ろで

λI−TAT−1=T(λI−A)T−1 と 考 え ら れ,有

名 な 行 列 の 積 の 行 列 式 に 対 す る基 本 関 係 式 det(AB)=det(A)det(B)

を つ か う と,

とな り,固 有 方 程 式 自 身 は 基 底 の え ら び 方 に 全 く無 関 係 で あ る こ と が わ か る.し た が っ て 重 複 度p1,p2,…,psはuの 多 項 式(characteristic   定 理1.7 

み に よ って き ま る.こ

polynomial)をdet(λ−u)と

線 形 写 像uに

対 して,そ

つ く り うる た め の 必 要 十 分 条 件 は,す (rank)が(n−pi)で

の よ うな 意 味 で 特 性

か く場 合 も あ る.

の 固 有 ベ ク トル だ け でVnの1つ

の基 底 を

べ て の λiに 対 して 行 列(λiI−A)の

あ る こ とで あ る.そ

の と きpiは

λ=λiに

階数

対 す るuの 固 有

空 間 の 次 元 数 を あ ら わ す.   証 明   や や 複 雑 で あ る の で 段 階 を 設 け て 考 え る.   1)  必 要 性   a)  一 般 に λiの重 複 度 をpiと 次 元 数 はpiを

こ え な い: 

  特 性 多 項 式 

す る と,λ=λiに

以 下 そ の 証 明 を 示 す. に つ い て, 

が な りた つ.と

対 す るuの 固 有 空 間Eiの

こ ろ で,

で あ る か ら,行

列 の 微 分 の 演 算 法 則 よ り φ(pi)(λi)は 行 列(λiI−A)の(n−pi)

次 の 小 行 列 式 の う ち の い くつ か の 和 と し て 表 わ さ れ る(1.2,1)の り  る.ゆ

で あ る か ら,(n−pi)次 え に 特 性 根 λ=λiの

項 参 照).仮

の 小 行 列 式 の う ち で0で

重 複 度piと,行

列(λiI−A)の

定 よ

な い ものが あ

階 数riの

間 につ ね に

  (1.39)

が な り た つ.と

こ ろ で1.4,1)で

空 間 の 次 元 数)=nが (1.39)よ

の べ た 関 係 式:(固

な り た つ が,定

理1.4よ

有 空 間Eiの

次 元 数)+(像

り左 辺 の 第2項

はriで

あ り,

り

が わ か る.   b)  上 の 関 係 式 で,も
し あ るiに

対 し て,ri>n−piが

お こ れ ば,dim(Ei)

あ り,

と い う こ と に な り,固

有 ベ ク トル だ け でVnの

  2)  十 分 性  ri=n−piと dim(Ei)=pi(i=1,2,…,s)が

す る と,必

値λ1,…,λsに

基 底 に つ く れ な い.

要 性 の 証 明 の と き に い っ た 関 係 式 よ り,

な り た つ .Σpi=nで

あ る か ら,異

対 す る 任 意 の 固 有 ベ ク トルfi∈Ei(i=1,2,…,s)は

独 立 で あ る こ と を 示 せ ば 証 明 は す む.と

な る固有 互 い に1次

こ ろ で こ の 証 明 は1.2,2)の

項 で与 え た

も の と 全 く同 様 に で き る.   最 後 に,く

わ し く い え ば,各

を え ら び 出 せ ば,こ

  さ て 定 理1.7の {f1,…,fn}を

れ ら は 全 体 と し てVnの1つ

λp1+1,…,λp1+p2と

な わ ち 

の1次

(証 終)

独 立 な 固 有 ベ ク トル 形 に な る.た

あ る と こ ろ を す べ て 同 一 の λ1で お き か え,

あ る と こ ろ を λ2で お き か え,以 方 か ら み れ ば,前

を み た すTが

の 固 有 ベ ク トル

れ に 対 応 す る 行 列 表 現 は(1.16)の

の 式 で λ1,…,λp1と

で こ の 事 実 を 行 列Aの

独 立 なpi個 の 基 底 を な す. 

仮 定 が み た さ れ て い る と き,n個

基 底 に と れ ば,そ

だ し も ち ろ ん,そ

固 有 空 間Eiに1次

下 同 様 な 修 正 を す る .と

節 で の べ た よ う に,あ

あ っ て,TAT−1が

す な わ ち 主 対 角 線 上 に な い 要 素 は す べ て0と

ころ

る 正 則 行 列T,す

対 角 行 列(diagonal

matrix)

い う形 の 行 列 に な る こ とを 意 味 して

い る.こ

の よ う な と き 行 列Aは

し た が っ て 定 理1.7は

対 角 化 可 能(diagonalizable)で

行 列Aが

対 角 化 可 能 で あ る た め の1つ

あ る と い わ れ る. の具体 的な 必要 十

分 条 件 を 与 え て い る と い え る.   と こ ろ で,一 う.最

般 に は 固 有 ベ ク トル だ け で 基 底 は つ く れ な い こ と を 注 意 し て お こ

も 簡 単 な 例 と して,標 u(e1)=0, 

u(e2)=e1, 

で 与 え ら れ る 線 形 写 像uを

と な り,固

有 値 は0だ

f∈Vn}は,容

対 し て,

u(e3)=e2,…, 

考 え る.uの

け で そ の 重 複 度 はnで

た が っ てAの

対 す るuの

合,fにuを2回

階 数 は(定

固 有 空 間 は1次

あ る.こ

理1.4よ

元 でe1は

般 にp回

の 場 合uの

像 空 間{u(f);

張 ら れ る(n−1)次

り)(n−1)で

元空

あ る.し

た が って

固 有 ベ ク トル で あ る.ま

た この 場

ほ ど こ し た も のu(u(f)),あ

し た も の をu2(f),一

u(en)=en−1

表現 行列 は

易 に わ か る よ う に,{e1,e2,…,en−1}で

間 で あ り,し λ=0に

準 基 底{e1,e2,…,en}に

る い は 記 号 を か え てu°u(f)と

つ づ け て ほ ど こ し た も の をup(f)と

か け ば,

u2(e2)=u(u(e2))=u(e1)=0, 一 般 に ,ui(ei)=0が

い え る.こ

れよ り

un(f)=0,  が な り た つ.実

際un=u°u°

f∈Vn

…°uは 線 形 写 像 で あ り,un(ei)=0(i=1,2,…,n)

が な り た つ か ら で あ る.

  1.7  一 般 化 さ れ た 固 有 ベ ク トル   前 節 の は じめ に 注 意 した よ うに,線 形 写 像uに そ れ はuの

み に よ って き ま り,uの

係 で あ る.し

た が って,uに

対 して 特 性 方 程 式 を 考 え る と,

表 現 行 列Aす

な わ ち基 底 の と りか た に 無 関

関す る特性 方 程 式 を

 (1.40)

と し た と き,{λi,pi}はuの

み に よ っ て き ま る.こ

の 節 で は,piが

何 を 示 して い

る か を考 え る.前 節 の お わ りに の べ た よ うに,piは の 次 元 数 と は 一 般 に は 一 致 せ ず,た

が え ら れ た に す ぎ な か っ た.前

ん に不 等 式 関係

節 の お わ り に あ げ た 例 か ら 示 唆 さ れ る よ う に,上

の 不 等 式 で 等 号 が な り た た な い 場 合 は,つ ク トル と い う考 え を 導 入 す れ ば,う   定 義1.3 

λ=λiがuの

ぎ に の べ る よ うな 一 般 化 さ れ た 固 有 ベ

ま く説 明 が つ く.

固 有 値 の と き, 

れ た 固 有 ベ ク トル(generalized る 正 の 整 数mが

λiに対 す るuの 固 有 空 間Ei

が λiに 対 す るuの一

eigenvector)ま

た はroot

vectorで

般化 さ

あ る と は,あ

存 在 し て, (λi−u)mf=0

が な り た つ と き を い う.ま (Vnの

部 分 空 間)を

た こ の よ う なf全

λ=λiに

対 す るuのroot

  注 意   上 の 式 でm=1で

λ=0に

固 有 値 が た だ1つ る.す

vectorで

対 す るroot

λ0よ

も,上

vectorに

い う.

節 で あ げ た 例 で は,任

な っ て い る.じ

記 の 定 義 に よ るfは

意のベ ク

つ は こ の 性 質 は,

を も と に 戻 し て,上

か し こ の よ う にmを

す べ て,(λi−u)pif=0を

subspaceが1つ

の定 義 で

ひ ろ くと って 定 義 して み た す こ とが 後 に 示 さ れ

の ベ ク トル 空 間 を な す こ と は 明 ら か で あ ろ う.実

f1,f2が(λ1−u)m1f1=0,(λ1−u)m2f2=0を

み た す と,mをm1とm2と

大 数 とす れ ば,(λ1−u)mfi=0(i=1,2)と

たが

対 して つ ね に な りたつ こ と な の で あ

つ ね に な り た つ.話

よ っ て 変 わ っ て も よ い.し

る.root

あ る.前

りな る 線 形 写 像uに

な わ ち(λ0−u)nf=0が

mはfに

subspaceと

つ け加 え た集 合

な りた つ と き が 固 有 ベ ク トル の 場 合 で あ る.し

っ て 固 有 ベ ク トル は 勿 論root トル が 固 有 値

体 の 集 ま り に0を

際, の最

な る こ と を 注 意 す れ ば,

が 任 意 の 複 素 数 α1,α2に 対 し て な り た つ.   さ てFiで

も って

λ=λiに

対 す るuのroot

subspaceを

表 わ す と,

  (1.41)

が な りた つ.す を な す.実

な わ ち 各Fiは

際,f∈Fiよ

=u(λi−u)mf=u(0)=0が

写 像uに

対 し て 不 変 部 分 空 間(invariant

り(λi−u)mf=0で

あ る が,こ

な りた つ か ら で あ る .

subspace)

れ よ り,(λi−u)mu(f)

  不 変 部 分 空 間 を 考 え る 利 点 を 行 列 の 方 か ら 見 れ ば つ ぎ の よ う に な る.Fpを

写

像uに

独

対 す る1つ

の 不 変 部 分 空 間 と し,そ

立 な 基 底f1,…,fpをえ

ら び,他

fp+1,…,fn}がVnの1つ

の 次 元 をpと

にfp+1,…,fnを

す る.Fpの

適 当 に え ら ん で{f1,…,fp,

の 基 底 を な す よ う に す る.

と す る と,Fpが

不 変 部 分 空 間 で あ る こ と は, 

に 対 し て, 

が な り た つ こ と と 同 等 で あ る.ゆ 対 す るuの

行 列 表 現 は(1.2参

と い う形 に な っ て,左

と{fp+1,…,fn}で

え に{f1,…,fn}に

照),

下 方 の ブ ロ ッ ク の 要 素 は0で

い た ブ ロ ッ ク の 要 素 は 一 般 に は0で

い っ て く る.し

中 に1次

な い.写

あ る.つ

像uに

い で な が ら,Bと

関 し て い え ば,い

か

ま のま ま だ

張 ら れ る 部 分 空 間 に 属 す る ベ ク トル の 像 が 一 般 に はFpに た が っ てBの

ブ ロ ッ ク の 要 素 が す べ て0に

u(fp+1),…,u(fn)が{fp+1,…,fn}で

は

な る と い う こ と は,

張 ら れ る 部 分 空 間 に 属 す る こ と で あ り,

い い か え れ ば こ の 部 分 空 間 も ま た 不 変 部 分 空 間 に な っ て い る こ と と 同 等 で あ る. ま と め れ ば,Vn=Fp 

Gn−pと

直 和 に わ け た と き,Fp,Gn−pの

れ{f1,…,fp},{fp+1,…,fn}と1組

中 に,そ

の 基 底 を え ら ん で{f1,…,fn}と

れぞ

き,uの

した と

表現 行 列 が

とい う形 に な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Fp,Gn−pが と も にuに 対 す る不 変 部 分 空 間 で あ る こ とで あ る.   以 後 の 目的 は つ ぎ の2つ uの

λ=λiに

1)Vn=F1    (1.42)

 {

  2) 

  証 明 に と り か か る 前 に1)に

の 事 実 を 示 す こ と に あ る.

対 す るroot F2 

subspaceをFiと

す る と,

…  Fs,

dim(Fi)=pi.

つ い て 説 明 し て お く.1)は,任

f=f1+f2+…+fs, 

fi∈Fi

意 のf∈Vnが

と 一 意 的 に 分 解 さ れ る こ と を 意 味 し て い る.こ sum)で

あ る とよば れ る .分

の と きVnはFiの

直 和(direct

解 が 一 意 的 で あ る と い う こ と は,f1+f2+…+fs=0

か ら,f1=f2=…=fs=0が

し た が うこ と と同 等 で あ る.ま

た基 底 の 方 か ら

い え ば,直

任 意 に基 底 を え ら ん だ さ い,そ

れ らを集 め れば

Vnの

和 分 解 で は,各Fiに

基 底 に な る こ と を 意 味 し て い る .と

言 葉 で い え ば,す

べ て のiに

れ る 部 分 空 間 と,0以

張 ら

外 に 共 通 ベ ク トル を も た な い 場 合 で あ る.し

場 合,F1,F2を

そ れ ぞ れe1,e2で

た が っ て,た

張 ら れ る1次

元 空 間 と し,F3と

対 す る 座 標(ξ1,ξ2,ξ3)が

で 定 義 さ れ る 平 面 と す る と,明

ら か にFi∩Fj={0} 

が な りた っ て い

和 分 解 で は な い.

  話 を も と に 戻 し,(1.42)に る が,本

の 直和 分解 の

と い う 条 件 だ け で は 直 和 分 解 に な っ て い な い.例

し て は,{e1,e2,e3}に

る が,直

の べ た2つ

つ い て,Fiが,{F1,…,Fi−1,Fi+1,…,Fs}で

ん にFi∩Fj={0},  え ばn=3の

こ ろ で1.5で

つ い て 考 え る.こ

れ ら の 証 明 は純 代 数 的 に 遂 行 で き

書 で は 後 に の べ る 一 般 な 場 合(無 限 次 元 ベ ク トル 空 間 の 場 合)も 考 慮 して

複 素 解 析 的 方 法 に よ っ て 証 明 す る.   複 素 パ ラ メ ー タ λ に 対 し て,線 をVn全

体 に1対1に

わ そ う.f∈Vnに

の と き はVn

の 逆 写 像(線 形 写 像 で あ る)を(λ−u)−1で お く と,υλ(f)は

除 い た と こ ろ で λ の 正 則 函 数(holomorphic

わ し くい え ば,Vn内 数 に な っ て い る.さ

た だ し, 

写 す か ら,そ

対 し て,υλ(f)=(λ−u)−1fと

ら{λ1,…,λs}を

に 対 す るuの

形 写 像(λ−u)は 

に1つ

function)で

の 基 底 を と っ て 考 え る と,υλ(f)の

ら に 具 体 的 に 示 せ ば つ ぎ の よ う に な る.標

行 列 表 示 をAと

複 素平 面 か あ る.く

各 成 分 は正 則 函 準 基 底{e1,…,en}

す る と,

と す る.ク

表

ラ メ ー ル の 公 式 よ り,

と か け る.こ

こ でg(λ)は(1.40)で

は 行 列(λI−A)の(i,j)余 の 多 項 式 で あ る.す

定 義 さ れ たuの

因 子(cofactor)で

特 性 多 項 式 で あ り,Δij(λ)

あ る.Δij(λ)は(n−1)次

以下 の λ

な わ ち,

 (1.43)

が 線 形 写 像(λ−u)−1の

標 準 基 底 に 関 す る 表 現 行 列 で あ る.あ

の 各 要 素 は 

の と き 正 則 で あ り,か

つ{λ1,…,λs}で

つ 可 能 性 が あ る が,λ=λiに

お け る そ の 位 数 はpi次

  な お(λ−u)−1fの

分ξi(λ)は

第i成

で 示 さ れ る か ら,ξi(λ)も え る こ と に よ り,そ   定 理1.8 

Cを

る も の と す る.そ

そ うで あ り,複

き ら か に 行 列Γ(λ) 極(pole)を

も

以 下 で あ る.

素 解 析 で の 諸 定 理 が,各

成 分 ご と に考

の ま ま な りた つ こ と が わ か る. λ1,…,λsを

内 部 に 含 む 任 意 の 単 一 閉 曲 線 と し,正

の 向 きに 回

の とき

 (1.44)

  証 明   ま ず 左 辺 が 定 理 の 条 件 を み た す か ぎ り積 分 路Cに

無 関 係 で あ る こ と は,

被 積 分 函 数(む しろ 被 積 分 ベ ク トル 値 函 数)が λの 正 則 函 数 で あ る こ とか ら 明 ら か で あ ろ う.し た が っ てCと し, 

と す る. 

を 考 慮 す れ ば,(1.44)の

して 十 分 大 き い 半 径Rを と お い て,積

もつ 原 点 を 中 心 とす る 円 と

分 変 数 を μで お き か え,

左辺は

と な る.積 分 路 は や は り正 の 向 き に と る.と

こ ろ で,

と,μ の 一 様 収 束 べ き級 数 に 展 開 さ れ る.実 際,一

般 にg∈Vnに

対 して 標 準 基

底 に よ る 成 分(ξi)を 考え,  も の に す ぎ な い),任

意 のfに

で 定 義 す れ ば(全 く便 宜 的 な 対 して, 

とな る よ うな 定 数Cが

る が,  た ち,し

あ

がな り た が って 

とな る よ うに と って お け ば,う

えの級 数 は一様 収 束 で

あ る.そ の とき,右 辺 の 左 か ら,(1− μu)を 作 用 さ せ る と,fに

な る.

  最後に

と分 け て 考 え る と,第2項

は, 

で μ の 正 則 函 数 で あ り,し た が って,積

分 を と る と 消 え て, (証終)

  そ こ で,各 一 曲 線Ci

λiに 対 して,λiの

,例え

f∈Vnに

み を内部 に含 む単

ば λiを 中 心 と す る 小 さ い 円 を と り,

対 して

 (1.45)

と す る.積

分 は 正 の 向 き に と る.(1.44)よ

り,

た だ ち に,  (1.46)

を え る.υi(f)は

い ず れ も 線 形 写 像 で あ る.(1.46)が

直 和 分 解 で あ る こ と を示 そ

う.   定 理1.9 

(1.45)で

定 義 さ れ たυi(f),(i=1,2,…,s)の

間 に,

 (1.47)

が な りた つ.   証 明   ま ず レ ゾ ル ベ ン トの 関 係 式 と よ ば れ る,恒

等式

 (1.48)

を 示 す.左

辺 の 線 形 写 像 をυ とお き,左 か ら(λ−u)を

作 用 さ せ る と,

が え ら れ る が,こ

の 関 係 式 の 両 辺 に(λ−u)−1を

  さ て 定 理 の 証 明 で あ る が,  j=2と

す る.そ

作 用 さ せ れ ば(1.48)を

の と き を 考 え る.i,jは

え る.

任 意 だ か らi=1,

の とき

と な る が(1.48)を

用 い れ ば,

と な り,

が な り た つ か ら,υ1(υ2(f))=0が   つ ぎ に 

を 示 そ う.そ

上 の 計 算 に お い て,C2の か つ{λ2,…,λs}が

だ か ら,明

示 さ れ た.

代 り にC1′

の と き に は,

と して,C1を

す べ て 外 部 に あ る も の を と る と(図 参 照)

ら か に 

が な り た つ. 

  よ く 知 ら れ て い る よ う に,(1.46),(1.47)は 式 に な っ て い る.す

(証 終)

直 和 分 解 を 写 像 υiか ら 定 義 す る

な わ ち,

  (1.49) 

Fi={υi(f);f∈Vn}

と 定 義 す れ ば,υiはFi上

へ の,F1,…,Fi−1,Fi+1,…,Fsで

に 平 行 な 射 影 と な っ て い る.ゆ

と な る が,わ

含 み,

えに

れ わ れ の つ ぎ の 目 的 は,Fiが

に 対 す るuのroot

subspaceに

張 ら れ る部 分 空 間

定 義1.3で

定 義 し た と こ ろ の,λ=λi

他 な ら な い こ と を 示 す こ と で あ る.

  準 備 と し て 一 般 的 な 定 理 を の べ る.

  定 理1.10  φ(λ)をCで

Cを1つ

の 閉 じ た単 一 閉 曲線,た

だ し 

とす る.

か こ ま れ た 領 域 で 周 ま で 含 め て 正 則 な任 意 の 函 数 とす る と,

が な りた つ.   証 明  左 辺 を考 え る.か つ こ の 中 は 有 限 和 

の極 限 で

あ る こ と を 考 慮 し,こ の 近 似 和 にuを 作 用 さ せ,つ づ い て 極 限 を とる と,

と か け る こ と が わ か る.と

で 第1項

は −fで

こ ろが

あ る か ら,左 辺 は

と な り,φ(λ)の 正 則 性 か ら第1項   系   同 一 の 仮 定 の も とで,λ

は き え る. 

の 多 項 式p(λ)に

(証終) 対 して,

が な り た つ.

 証明

以 下 同 様 に や れ ば よ い. 

(証 終)

  これよ り   定 理1.11 

f∈Vnが

λ=λiに

対 す るuのroot

要 十 分 条 件 は,fがFi={υi(f);f∈Vn}に

subspaceに

属す るた め の必

属 す る こ と で あ る.な

おその と

き,(λi−u)pif=0.   証 明   f∈Fiと

と こ ろ で,(1.43)の

す る.f=υi(f)だ

か ら,前

後 で 説 明 し た よ う に,(λi−

定 理 の 系 よ り,

λ)pi(λ −u)−1fは,λ=λiの

近

傍 で 正 則 で あ る.し

た が っ て 積 分 は0で

  逆 に,あ

あ っ て,(λi−u)mf=0と

るmが

に 対 して,前

あ る. な るfを

考 え る. 

と し て,

定 理 の 系 を適 用 す れ ば,

が い え る. 

よ り,(1.46)か

らf=υi(f)す

な わ ちf∈Fi

が わ か っ た. 

(証 終)

  最 後 に(1.42),2)を   定 理1.12 

示 す.

dim(Fi)=piで

  証 明  uをFiに

制 限 し た 写 像 をuiと

に 注 意 さ れ た い).基

で あ り,uiの

あ る.

底 を 各Fiか

す る(各Fiは

不 変 部分 空 間 で あ るこ と

ら え ら ぶ こ と に よ り,容

易 に わ か る よ う に,

固 有 値 は λi以外 に あ りえ な い か ら,ま さ し く

で な くて は な ら な い.し

た が っ て,dim(Fi)=pi. 

  注 意   具 体 的 に 考 え て み る と,(λ −u)−1を

を え る が,υi(f)=b1(f)で 列 Γ(λ)((1.43)参

あ る.さ

照)の

各要 素 を

(証 終) λ=λiの

近 傍 で ロ ー ラ ン 展 開 し,

ら に 具 体 的 に い え ば,(λ λ=λiの

−u)−1の

表現 行

近 傍 で ロ ー ラ ン 展 開 し て,  を え る が,biの

現 行 列 がBiに

な る.こ

の さ いn2個

け る 零 点 の 位 数(order)の ら,m=pi−rで

あ る.つ

の 多 項 式{Δij(λ)}i,j=1,…,nの

最 小 の も の をrと ぎに

す る と,g(λ)の

λ=λiに

位 数 がpiで

表 お

あ るか

で あ る.(1.48)を

考 慮 し,定

理1.9の

証 明 と 同 様 に や れ ば,

bp°bq(f)=bp+q−1(f)  を

(p,q=1,2,…,m)

え る.

  1.8  ベ ク   第2節 た が,こ

トル 空 間

で ベ ク トル 空 間 を導 入 した さ い,n個

の 数 の 組(α1,…,αn)か

れ は 理 解 を 容 易 に す るた め で もあ っ た が,実

か らで も あ っ た.し み え る の で,こ   定 義1.4 

ら出発 し

際 上 こ の よ うな 場 合 が 多 い

か し こ れ だ け に限 った の で は 一 見 適 用 範 囲 が せ ま い よ うに も

こ で 一 般 ベ ク トル 空 間 の定 義 を の べ る.

(ベ ク トル 空 間)  あ る 集 合Eが

ベ ク トル 空 間 を な す とは,つ

ぎの

諸 条 件 が み た さ れ て い る と き を い う.   A.  加 法 に 関 す る法 則   任 意 のx,y∈Eに

対 し て加 法x+y∈Eが

一意的

に 定 義 さ れ て お り,そ れ が つ ぎ の 条 件 を み た す.   1)  x+y=y+x 

(交 換 可 能 性),

  2)  x+(y+z)=(x+y)+z,   3)  Eの

す べ て のxに 対 して,x+0=xと

  4)  任 意 のx∈Eに

対 して,x+(−x)=0と

な る よ うなEの

元0が

な る よ うなEの

存 在 す る.

元(−x)が

存

在 す る.   B.  乗 法 に 関 す る 法 則   任 意 の 数 α と任 意 のx∈Eに

対 して,αx∈Eが

一

意 的 に定 義 さ れ て お り,つ ぎ の 諸 条 件 が み た さ れ て い る.   1′) 1x=x,   2′)   3′)

  こ の と き,α い,Eの き,複

と して 実 数 全 体 を と っ て 考 え ら れ て い る と き 実 ベ ク トル 空 間 と い

元 を 実 ベ ク トル と い う.ま 素 ベ ク トル 空 間 と い う.

  3)  で い っ た0を 2つ

た α と して 複 素 数 全 体 を と っ て 考 え て い る と

あ っ た と し,そ

零 ベ ク トル と も い う.こ れ を0,0′

と か き,0+0′

の よ うな0は

一 意 的 に 定 ま る.実

と 考 え れ ば,ま

ず0′

を3)に

際, い う

xと

み な せ ば こ れ は0に

い か ら で あ る.つ

ぎ に4)で

あ っ た と し,そ 1),2)よ

等 し く,ま

た0を3)に

い うxと

あ る が,(−x)も

れ をy,zと

す れ ば,す

ま た 一 意 的 に 定 ま る.実

な わ ちx+y=0,x+z=0と

り し た が う 恒 等 式(x+y)+z=(x+z)+yか

わ ちz=yが =0も

み な せ ば0′

にひ と し 際,2つ す れ ば,

ら0+z=0+y,す

い え る か ら で あ る.x+(−y)をx−yと

か く.ま

な

た0・x=0,α

・0

容 易 にわ か る.

 い ま ま で 出 会 わ な か っ た ベ ク トル 空 間 の 例 を2つ あ げ る.   例1 

n次 以 下 の 多 項 式 全 体 の 集 合 をEと

で,αn,αn-1,…,α0は 意 味 に と る.も

任 意 の 複 素 数 で あ る.加

ち ろ ん2つ

の 基 底 を な し,こ

の 基 底 に 対 す るP(x)の

元 数 は(n+1)で

あ る.こ

の 全 体 の 集 合 はEの

座 標 は(α0,α1,…,αn)と

こ でaを1つ

形 と い う言 葉 を 省 略 し て,た

subspace)で

とか け,座 標(αn,αn-1,…,α0)に 対 す る1次 れ を 

な るP(x)は,基

か ら で あ る.同

底 の う ち の1に

様 に し て,a,bを

ま たx=aで0に 際,P(a)=0は,

方 程 式 で あ り,そ の 係 数 は(an,an−1, た,基

対 す る 座 標 が0と

底 と して

の と きP(a)

い う条 件 で い わ れ る

相 異 な る 複 素 数 と し,P(a)=P(b)=0と 部 分 空 間 を な す.な

べ て の 多 項 式 の 集 合 は ベ ク トル 空 間 を な す が,そ

な い.す

な わ ち,無

  例2 

a,bを 実 数 と し,有 限 区 間[a,b]で

C°[a,b]は

際,P1(x),

と っ て 考 え て み て も よ い.そ

る よ う な 多 項 式 全 体 は 次 元 数 が(n−1)の つ け ず,す

あ る(い ま ま で 簡 単 の た め

の 座 標 と思 え ば よ い.ま

{1,(x−a),(x−a)2,…,(x−a)n}を =0と

あ る.実

次

な るP(x)

ん に 部 分 空 間 と よ ん で き た).実

の 部 分 空 間 の 次 元 数 はnで

あ る か ら,こ

な る.Eの

の 複 素 数 と し,x=aで0に

な る と す れ ば,αP1(x)+βP2(x)も

な る か ら で あ る.こ

…,a,1)で

素 数 α との 乗 法 は 普 通 の

の と き{1,x,x2,…,xn}はEの1つ

線 形 部 分 空 間(linear

P2(x)をx=aで0に

法,複

の 多 項 式 が 同 一 で あ る と は,xi(i=0,1,2,…,n)の

係 数 αiが す べ て 一 致 す る と き と す る.こ

に,線

す る.す な わ ち

お,次

な 数 に制 限 を

の次 元数 は有限 で は

限 次 元 ベ ク トル 空 間 で あ る.

ベ ク トル 空 間 を な す.こ

定 義 された複 素 数値 連続 函数 の全体

の と き 加 法 と し て はf(x),g(x)∈C°[a,b]

に 対 し て,(f+g)(x)=f(x)+g(x)で と の 乗 法 を 定 義 す る.も f(x)=g(x)が

定 義 し,(αf)(x)=αf(x)で

ち ろ ん,f=gと

な り た つ.し

ク トル 空 間 で あ る.そ

は,す

複 素数 α

べ て のx∈[a,b]に

対 し て,

か も そ の と き の み と す る.C°[a,b]は

れ は{1,x,x2,…,xn,…}の

独 立 で あ る こ と か ら も わ か る.実

際,複

無限 次元 ベ

う ち 任 意 有 限 個 は 互 い に1次

素 数αn,αn-1,…,α0に

が な り た つ の は,α0=α1=…=αn=0の

対 して

と き に か ぎ る か ら で あ る .読

者 自身

こ の 事 実 を 証 明 さ れ た い.   同 様 な 理 由 で,例

え ば2回

トル 空 間 で あ る.し

連 続 的 微 分 可 能 な 函 数 全 体C2[a,b]も

か し,1.1で

無限 次 元 ベ ク

考えた

u″(x)+p(x)u′(x)+q(x)u(x)=0 を み た すu(x)の

集 ま り は,C2[a,b]の2次

底 と して,u1(x),u2(x)を,上

元 部 分 空 間 を な す .そ

れ は例 え ば基

式 の 解 で, u1(a)=1, 

u1′(a)=0,

u2(a)=0, 

u2′(a)=1

{ を み た す も の を と れ ば よ い.

  1.9    3次

内 積,直

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間R3で

{e1,e2,e3}と す る2つ

交 性

す る.か

つ そ の 長 さ は い ず れ も1で

の ベ ク トルf,gを

と す る と,そ

互 い に 垂 直 な1組

と り,そ

の 座 標 軸 を え ら び,そ

あ る と し て お く.原

れを

点 を起 点 と

の 座 標 を そ れ ぞ れ(ξ1,ξ2,ξ3),(η1,η2,η3)

の内積 は

で 定 義 さ れ る.fの

長 さ￨f￨は

で あ る か ら,f,gの

な す 角 を θ と す る と, (f,g)=￨f￨￨g￨cosθ.

こ こ で￨f￨cosθ

は,ベ

ク トルfの

ベ ク トルg上

へ の(向

き も 考 慮 し た)正

射影

(orthogonal

projection)で

あ る こ と を 注 意 し よ う(図 参 照).と

説 明 は 直 観 的 な も の で あ り,た

と え ば2つ

こ ろで いま まで の

の ベ ク トル の な す 角 と い う考 え も,そ

の 定義 はむ しろ

を 採 用 す べ き で あ ろ う.と こ ろ で 内 積 の 性 質 を 調 べ て み る と,

  (1.50)

{1) 

(f,g)=(g,f) 

2) 

(αf,g)=α(f,g) 

3) 

(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g),

(対 称 性),

4) 

(α は 実 数),

か つ 等 号 が な りた つ の はf=0の

とき にか ぎ る

(正値性) が な り た つ こ と が わ か る.そ

こ で わ れ わ れ は こ の 性 質 を も と に し て,逆

に一般 な

実 ベ ク トル 空 間 の 内 積 を 定 義 す る.   定 義1.5 

実 ベ ク トル 空 間E(有

限 次 元 で あ る 必 要 は な い)で 定 義 さ れ た,有

限 値 を と る 実 数 値 函 数E×E→R1が

上 記 の1)∼4)を

積(inner

し て 

product)で

あ る と い う.そ

み た す と き,1つ

の内

を ベ ク トルfの

長 さ

と い う.   と く にEが

有 限 次 元 の 場 合 を 考 え,そ

の 次 元 数 をnと

を 具 体 的 に 表 現 し よ う.{f1,…,fn}をEの1つ …,ξn) ,(η1,…,ηn)と

す る.内

す る.1つ

の 内 積(x,y)

の 基 底 と し,x,yの

座 標 を(ξ1,

積 の 対 称 性 を 考 慮 す れ ば,(fi,fj)=gijは

  (1.51) gij=gji を み た す.ゆ

えに

  (1.52)

ゆ え に4)は   (1.53)

か つ 等 号 が な りた つ の は る.こ

の こ と は,ξ

がRnの

ξ=(ξ1,…,ξn)が0の

と き に か ぎ る,と

単 位 球 ξ12+…+ξn2=1を

が 正 の 最 小 値 を も つ と い う こ と に 他 な ら な い.一

い う性 質 が あ

う ご い た と き,  般 に 

(gijは

実数 値

で,gij=gji)と

い う2次

形 式(quadratic

つ と き,正

定 値(positive

  逆 に,実

ベ ク トル 空 間 に お い て 基 底{f1,…,fn}と

正 定 値 行 列(gij)が

definite)で

form)が

単位 球 面 上 で正 の最 小値 を も

あ る とよば れ る. 正 定 値 形 式 で あ る よ うな,

与 え ら れ た と き, 

に 対 し て(1.52)

の 右 辺 で 定 義 さ れ る 実 数 値 函 数 は(1.50)を

み た し,し

た が っ て1つ

の 内 積 を定

義 し て い る.   2つ

の ベ ク トルf,gが(f,g)=0を

(orthogonal)と い う.と

い う.く

い う の は,内

の で あ り,こ

み た す と きf,gは

わ し く は,内

積(f,g)に

積 と よ ば れ る も の は,(一

れ が 変 わ れ ば,直

な く な る か ら で あ る.ま

互 い に 直 交 して い る

対 し て 直 交 ベ ク トル で あ る と 般 に は)い

く らで も考 え ら れ る も

交 し て い る ベ ク トル も 新 し い 内 積 で は 直 交 し て い

た ベ ク トル の 長 さ と い う 概 念 も,内

積 に付 随 して 考 え ら

れ た も の で あ る.   実 ベ ク トル 空 間 の1例

と し て 有 限 区 間[a,b]で

定 義 さ れた実 数係 数 を もつ 多項

式 全 体 の 集 合 を 考 え る. そ こに

と い う 量 を 導 入 す る と,こ

れ は1つ

の 内 積 で あ る.問

題 は,(1.50)の4)で

あ

る が,

か ら,P(x)≡0,x∈[a,b]が 数 が0で

し た が い,こ

あ る こ と が し た が う.す

な わ ちP=0が

  つ ぎ に 内 積 の 定 義 さ れ た 実 ベ ク トル 空 間Eに う1列

れ よ り多 項 式P(x)の

す べ て の係

し た が う. お い て,{φ1,φ2,…,φn,…}と

い

の ベ ク トル が

 (1.54)

を み た す と き,正

規 直 交 系(orthonormal

  正 規 直 交 系 を 使 え ば,内

system)で

積 は 簡 単 に な る.す

の 基 底 と し て 正 規 直 交 系{φ1,…,φn}を

あ る と い う.

な わ ち,Eが

有 限 次 元 の 場 合,そ

と れ ば(こ れ は つ ね に 可 能 で あ る こ と が 後

に 対 して

に 示 さ れ る), 

と な る.   最 後 に 複 素 ベ ク トル 空 間E(有 product)の

限 次 元 で あ る か 否 か を 問 わ な い)で の 内 積(inner

定 義 を の べ る.

  定 義1.6 

複 素 ベ ク トル 空 間Eで

定 義 さ れ た 函 数E×E→C1(す

なわ ち複 素

数 値 函 数)が   1)  (x,y)=(y,x) 

(エ ル ミー ト性),

  2)  (αx,y)=α(x,y) 

(α は 複 素 数),

  3)  (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y),   4)  の4条

か つ 等 号 が な り た つ の はx=0の 件 を み た と き(x,y)は1つ

  注 意   ま ず1),2)よ

の 内 積 で あ る と い う.

り,(x,αy)=α(x,y),つ

y2)=(x,y1)+(x,y2)が

場 合 にか ぎる

し た が う.ま

づ い て1),3)よ

た 任 意 のx∈Eに

ね に 実 数 値 函 数 で あ る こ と を 注 意 し よ う.最

り(x,y1+

対 して,(x,x)は

つ

後 に,

 (1.55)

と か き,fの

長 さ,ま

た は ノ ル ム(norm)と

  複 素 ベ ク トル 空 間 の 場 合 の 内 積 と,実 差 は 余 り な い.例

い う. ベ ク トル 空 間 の そ れ と は,と

え ば{f1,…,fn}を1つ

の 基 底 と し,(fi,fj)=gijと

内 積 の エ ル ミ ー ト性 よ り, gij=gji が し た が い, 

が し た が う.と

と な る.

に 対 し て,

く に{f1,…,fn}が

正 規 直 交 系 の 場 合 に は,

り扱 い 上 の す る と,

 1.10 

シ ュ ミ ッ ト の 直 交 法,正

 {ψ1,ψ2,…,ψn}を

射 影

ベ ク トル 空 間Eに

お け る1次

独 立 な ベ ク トル と す る .

 (1.56)

と い う 形 のφ1,φ2,…,φnを tem)を

な す よ う に 係 数λijを

る.ま

た{ψ1,…,ψp}で

一致 す る   まず

.こ

逐 次 と っ て,{φ1,…,φn}が

直 交 系(orthogonal

き め う る こ と を 示 そ う .なおλijは

張 ら れ る 部 分 空 間 と,{φ1,…,φp}で

sys

一 意的 に定 ま

張 られ る部 分空 間 は

の よ う な 直 交 系 を つ く る 操 作 を シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 と い う.

λ21で あ る が,(1.56)の

で あ り, 

第2式

と φ1(=ψ1)と

の 内 積 は,

だ か ら,λ21を

に よ っ て 定 義 す れ ば,(φ2,φ1)=0が   一 般 に

φ1

な り た つ .な

お ψ1,ψ2の1次

独 立 性 よ り,

,…,φpを,(φi,φi)>0と

な る よ うに

き め ら れ た とす る.

で,右 辺 は 仮 定 よ り 

だ か ら,

に よ っ て 定 義 す れ ば,(φp+1,φi)=0{i=1,2,…,p)が

成 法 か ら,φ1,…,φpは{ψ1,…,ψp}で

が わ か る .ゆ え に 操 作 の 可 能 性 が

す る に 上 記 の 操 作 は,φiと

分 空 間 の 中 に あ って,{ψ1…,ψi−1}で よ うに き め る1つ の 方 法 で あ る.な

し て,構

張 ら れ る 部 分 空 間 に ぞ く し て お り,ψp+1

は そ の 部 分 空 間 に ぞ くさ な い か ら,  示 さ れ た.要

な り た つ.そ

し て,{ψ1,…,ψi}で

張 ら れ るi次

元部

張 ら れ る部 分 空 間 の す べ て の 元 と直 交 す る お 容 易 に わ か る よ うに,こ

の操 作 は 実ベ ク ト

ル,複

素 ベ ク トル 空 間 の 何 れ に も 共 通 に 適 用 で き る 方 法 で あ る.

  正 射 影   Eを

有 限 次 元 の 実 ま た は 複 素 ベ ク トル 空 間 と し,内

ら れ て い る と す る.Eの1つ と 直 交 す るEの

の 部 分 空 間Mが

元 は1つ

空 間(orthogonal

与 え ら れ た と き,Mの

の 部 分 空 間 を つ く る.こ

complement)と

積(f,g)が

れ をM⊥

与 え

すべ て の元

と か き,Mの

直交 余

よ ぶ.

M⊥={f;(f,g)=0,g∈M}, こ の と き,M⊂(M⊥)⊥

は 明 ら か だ が,

 (1.57) 

M=(M⊥)⊥

が な り た つ.す る.そ

な わ ちMはM⊥

の た め に は, 

の 直 交 余 空 間 で あ る.(1.57)を を 任 意 に と っ て く れ ば,あ

が な り た つ こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.こ 交 法 か ら た だ ち に わ か る.す 立 系{ψ1,…,ψp,f0}に φp,φp+1}と …,p)は

の こ と は,う

な わ ちMの1つ

るM⊥

の 基 底{ψ1,…,ψp}を

題 意 に 適 す る.実

明 ら か だ が(ψiは{φ1,…,φp}で

よ り, 

の 元gが

あ っ て,

え に の べ た シ ュ ミ ッ トの 直

シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 を 行 な い,え

す る.g=φp+1が

以 下 に証 明す

と り,1次

独

ら れ た 直 交 系 を{φ1,…,

際,(ψi,φp+1)=0(i=1,2,

張 ら れ る か ら),

が わ か る.

  な お,  (1.58) 

M∩M⊥={0}.

実 際,x∈M∩M⊥   さ て,p次

は(x,x)=0を 元 空 間Mが

別 に ψp+1,…,ψnをEか

み た す か ら で あ る.

与 え ら れ た と き,Mの

基 底 ψ1,…,ψpを1つ

ら と っ て,{ψ1,…,ψn}がEの1つ

え ら び,

の 基 底 とな る よ う

に す る.こ の 系 列 に シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 を ほ ど こ し,え ら れ た 直 交 系 を{φ1,…,φn} と す る.Mは{φ1,…,φp}で こ う.

と分 解 し,

張 ら れ る 部 分 空 間 に 他 な ら な い こ と を注 意 して お

と お く と, f=f′+f″, 

と か け る.ゆ

え に(1.58)を

f′ ∈M, 

f″ ∈M⊥

考 慮 す れ ば,

  (1.59)

  f∈Eに gonal

対 して,f′=pM(f)と

お き,f′

をfのM上

projection)と い い,線 形 写 像pMをM上

へ の 正 射 影(ortho

へ の 正 射 影 作 用 素(orthogonal

projector)と い う.   正 射 影 とい う考 え は,内 積 が 与 え ら れ て は じめ て 考 え ら れ る もの で あ る こ と を 注 意 して お く.ま と してM⊥

た こ の 場 合 は1.5で

空 間N

を と って い る こ と に 注 意 さ れ た い .

  つ ぎ の 注 意 も必 要 で あ ろ う.ψ1と ベ ク トルfの

い う0で な い ベ ク トル が 与 え ら れ た と き,

ψ1で 張 られ る1次 元 空 間M1上

あ る部 分 空 間M上 え てM1上

説 明 した 一 般 な 場 合 とち が い,補

へ 正 射 影pM(f)を

へ の 正 射 影pM

ま ず と り,つ い でpM(f)をMの

へ 正 射 影 を と った もの と一 致 す る.な

る3垂 線 の 定 理 の1つ

有 限 区 間(α,β)で

を ほ ど こ して み よ う.{φ0,φ1,φ2…}を

と こ ろ で,xiの

中で 考

お こ の こ とは 初 等 幾 何 学 に お け

定 義 さ れ た 多 項 式 全 体 の つ くる

内積

を 導 入 し て 考 え,{1,x,x2,…,xn,…}と

i次 の 多 項 式 で,xiの

含む

の解 釈 で あ る .

  シ ュ ミ ッ ト直 交 法 の例   複 素 ベ ク トル 空 間Eに

1(f)は,ψ1を

係 数 は1で,あ

係 数 が0で

い う1次

独 立 系 に シ ュ ミ ッ トの 直 交 法

え ら れ た 直 交 系 とす る .こ ら ゆ る(i−1)次

な い よ う なi次

の と き φiは,

の 多 項 式 と直 交 して い る .

の 多 項 式 で あ っ て,(i−1)次

の任 意

の 多 項 式 と 直 交 す る よ うな もの は 定 数 倍 を 除 い て 一 意 的 に 定 ま る こ と は 明 ら か で あ り,こ

の 見 方 か ら φi(x)を

か き 表 わ す こ と が で き る.実

際,

 (1.60)

が,求

め る も の で あ る.な ぜ こ の よ うな 形 で 考 え ら れ る か とい う と,直 交 条 件:

に お い て 部 分 積 分 を 行 な っ た 場 合,も

し φi(x)の

べ き 定 数 を え ら ん で い っ て,そ

ま で の も の が す べ てx=α,x=β

な る な ら ば,上 の 係 数 が1で

  1.11 

の 関 係 式 は み た さ れ る か ら で あ る.φi(x)がi次 あ る こ と に よ り,φi(x)が(1.60)で

エ ル ミー

  内 積(f,g)が

で0に の 多 項 式 でxi

あ る こ と が わ か る.

ト写 像

与 え ら れ た 実 ま た は 複 素 ベ ク トル 空 間Eで

uが 任 意 のf,gに

定 義 された線 形 写像

対 して

  (1.61) 

(u(f),g)=(f,u(g))

を み た す と き,エ (symmetric

のi次

逐 次 の原始 函 数 を適 当 に加 え る

ル ミ ー ト写 像(hermitian

operator)と

い う.こ

transformation)ま

こ で 注 意 す べ き は,内

ト写 像 と い う ク ラ ス も 変 り う る も の で あ っ て,こ

た は対 称 作 用 素

積 を 変 え れ ば,エ

の よ うな 意 味 で,与

ル ミー

え られ た 内

積 に 関 し て エ ル ミー ト的 で あ る と い うい い 方 も す る.   Eが

複 素 ベ ク トル 空 間 の 場 合 を 以 後 考 え る.こ

(u(f),f)はE上

の と きuが

で 定 義 さ れ た 実 数 値 函 数 で あ る.実

エ ル ミー トで あ れ ば

際,

(u(f),f)=(f,u(f))=(u(f),f) が な りた つ か らで あ る.じ   定 理1.13 

つ は こ の 逆 が 実 際 上 有 用 で あ る.

複 素 ベ ク トル 空 間Eに

め の 必 要 十 分 条 件 は,任

意 のfに

お い て 線 形 写 像uが

対 して,(u(f),f)が

  証 明   必 要 な こ とは 前 に の べ た.十 分 性 を示 す.そ

エ ル ミー ト的 で あ る た

実 数 値 で あ る こ とで あ る. の た め に任 意 の 線 形 写 像 に

対 してな りたつ基本恒等式   (1.62)

を 用 い る.読

者 は 筆 を と っ て こ の 式 を 検 証 さ れ た い.い

実 数 値 で あ る と し て い る か ら,そ し て い る.と な り た つ が,そ 4(u(g),f)の

こ ろ で4(u(g),f)を

の 場 合 第1行

ま 仮 定 は(u(f),f)が

は 実 数 部,第2行

は 虚 数 部 を表 わ

式 でfとgと

を交 換 し た 式 が

考 え る と,上

の さ いg+if=i(f−ig),g−if=−i(f+ig)と 虚 数 部 だ け が,符

号 が 変 わ る に す ぎ な い.す

4(u(g),f)=4(u(f),g),

考 え れ ば, な わ ち,

し た が っ て,(u(f),g)=(f,u(g))が   Eを

な り た つ. 

有 限 次 元 の 場 合 に 限 っ て 考 え る.内

{φ1,…,φn}を

と ろ う(nはEの

て 保 証 さ れ て い る.す

次 元 数).こ

な わ ち,ま

積(f,g)に

(証 終) 対 す る1つ

の 存 在 は シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 に よ っ

ず 直 交 基 底 が つ く ら れ,お

適 当 な 複 素 数 を か け て ノ ル ム が1に

の正 規 直交 系

の お の の ベ ク トル に

な る よ う に 修 正 す れ ば よ い(こ

の こ とを 規 格

化 と い う).   と こ ろ で,

と し,1.2で

や っ た よ う に,

 (1.63)

と お く と,

  の(ζ1,…,ζn)は

 (1.64)

と か け る か ら,

また

(f,u(g))=(u(g),f) で あ る か ら,

  こ れ よ り つ ぎ の こ と が わ か る.関 に 関 す るuの   (1.65) 

係 式(1.61)は,1つ

表 現 行 列Hが αij=αji 

(i,j=1,2,…,n)

の 正 規 直 交 系{φ1,…,φn}

を み た して い る こ と と 同 等 で あ る.な Hは

エ ル ミー ト行 列(hermitian

お 一 般 に 行 列Hが(1.65)を

matrix)で

あ る と よ ば れ る .ま

み た す と き, たEがn次

元実

ベ ク トル 空 間 の 場 合 に は,(1.65)は,   (1.65)′

  αij=αji

と な り,Hは

対 称 行 列(symmetric

と よ ば れ る.も

と に も ど っ て(1.65)を

を エ ル ミー ト形 式(hermitian が,い

matrix)あ

ま の 場 合,く

み た す 行 列Hに

form)と

わ し く言 え ば,上

る い は も っ と く わ し く実 対 称 行 列

よ ぶ.こ

対 して

れ は 通 常 よ く使 わ れ る 言 葉 で あ る

の 表 現 は(u(f),g)の

正 規 直 交 系{φ1,…,φn}

に 関 す る も の で あ る こ と を 注 意 して お こ う.   じつ は,い

ま ま で の 逆 を た ど る や り方 も 多 く使 わ れ る.(1.65)を

す な わ ち エ ル ミー ト行 列 と 正 規 直 交 系{φ1,…,φn}が よ っ てuを

に1対1の

固 定 す る こ と に よ っ て,エ

な わ ち,正

規 直 交 系{φ1,

ル ミー ト写 像 と エ ル ミ ー ト行 列 と の 間

対 応 が あ る.

  エ ル ミ ー ト写 像 の1例

 

の つ く る ベ ク トル 空 間 をEと

を 与 え よ う.Eで

を 考 え る.こ

与 え ら れ た と き(1.63)に

定 義 す れ ば そ れ は エ ル ミー ト写 像 で あ る.す

… ,φn}を1つ

み た す 行 列,

有 限 区 間[a,b]で す る.Eに

定 義 され た 複 素 数 値 連 続 函 数 全 体

内 積 と して

定 義 され た線形 写 像

こ でK(x,y)は(x,y)∈I×I(I=[a,b])で

函 数 で あ る と す る.uがEの

線 形 写 像 で あ る こ と は 容 易 に わ か る.u(f)が

の 内 積 に 関 して エ ル ミ ー ト的 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は   (1.66) 

で あ る こ と を示 そ う.

定 義 され た連続

K(x,y)=K(y,x)

上記

だ か ら,u(f)が

エ ル ミー トで あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

とな る が,K(x,y)−K(y,x)≡0で

あ る こ と が,こ

れ が な りた つ た め 必 要 十 分

条 件 で あ る こ と が 容 易 に た しか め ら れ る.   こ れ に 反 して,Eに

を 与 え る とす る.こ

別 の内積

こ で 重 み を 表 わ す 函 数 ρ(x)はIで

の 点 を 除 い て 正 で あ る とす る.(f,g)1は (f,f)1=0か 1.6参

照),容

件 は,前

らf=0が

連 続 で,た

や は り内 積 で あ る.そ

か だか有 限 個

れ を み る に は,

し た が うこ と を 確 か め て お く必 要 が あ る が(1.9定

易 に わ か る こ とで あ る.こ の と きuが

義

エ ル ミー トで あ る た め の 条

の 計 算 か ら わ か る よ うに,

す な わ ち, ρ(x)K(x,y)=ρ(y)K(y,x) と な る.   つ ぎ の こ と は 単 な る 注 意 に す ぎ な い が 定 理 と して の べ て お く.   定 理1.14 

u1,u2を

任 意 の エ ル ミー ト写 像,α

を 任 意 の 実 数 と す れ ば,u1+u2,

αu1は

と も に エ ル ミー ト写 像 で あ る .し

い.エ

ル ミー トで あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,u1とu2が

か しu1°u2は

わ ちu1°u2=u2°u1が

な り た つ こ と で あ る.

  注 意   u2°u1は,写

像f→u2(u1(f))を

  証 明   最 初 の 部 分 は 明 ら か で あ ろ う.さ

ゆ え に,u2°u1=u1°u2が

一 般 に は エ ル ミー トで は な 可 換 で あ る こ と,す

意 味 す る. て,

必 要 十 分 条 件 で あ る.一

般 に こ の よ うな 関 係 が な り

な

た た な い こ と は,

を み れ ば わ か る.右 辺 の 行 列 は エ ル ミー トで は な い.し

た が っ て 左 辺 の2つ

ル ミー ト行 列 は 可 換 で は な い.    うえ に 可 換 で な い 行 列,し

のエ

(証終)

た が って 写 像 の 例 を 与 え た が,こ

れ に 関 して つ ぎ の

定 理 を 証 明 して お く.   定 理1.15  可 換,す

n次 元 複 素 ベ ク トル 空 間Eに

な わ ちu1°u2=u2°u1,で

  1)  少 な く と も1つ

お い て 定 義 さ れ た 線 形 写 像u1,u2が

あ る と す る.そ

の 固 有 ベ ク トル を 共 有 す る.

  2)  u1の 固 有 値 が す べ て 単 純 な ら ば,し 1次 元 な ら ば,u1の   3)  u1,u2が

たが って各 固有 値 に対 す る固 有空 間 が

各 固 有 ベ ク トル はu2の

固 有 ベ ク トル で も あ る.

両 方 と も 対 角 化 可 能 な ら ば(す な わ ち,1次

トル を も つ な ら ば),2つ る.い

の とき

い か え れ ば,あ

の 写 像 に 共 通 なn個 る 基 底{f1,…,fn}が

の1次

独 立 なn個

の固 有 ベ ク

独 立 な 固 有 ベ ク トル が と れ

と れ て,こ

の 基 底 に 対 す るu1,u2の

表 現 行 列 が 同 時 に 対 角 行 列 に な る よ う に で き る(同 時 対 角 化 可 能).  証 明   1)  u1の

固 有 値 の1つ

を λ1と し,そ

の 固 有 空 間 をE1と

す る.f∈E1な

らば

(λ1−u1)(f)=0 で あ る が,u2を

作 用 さ せ,u1とu2と

の 交 換 可 能 性 よ り,

(λ1−u1)(u2(f))=0 が し た が う.し

た が っ てu2(f)∈E1い

い か え れ ばE1はu2に

不 変 部 分 空 間 に な っ て い る.E1が1次

ら そ の 中 へ の 線 形 写 像 に な っ て い る.し

  2)  fiと

が 存 在 す る .こ

のfが

う え の 証 明 か ら 明 ら か.す す れ ば,1)と

だ か ら,u2(fi)=μifiと

の

元 な ら ば 証 明 は こ れ で 終 り だ が,1次

以 上 の と き は つ ぎ の よ う に 考 え れ ば よ い.u2をE1に

ベ ク トル 

対 し て も1つ

制 限 し て 考 え る と,E1か

た が っ て,少

な く と も1つ

のu2の

固有

題 意 に 適 す る.

なわ ち

λ=λiに

同 様 に(λi−u1)(u2(fi))=0.と か け る.

元

対 す るu1の

固 有 ベ ク トル を

こ ろ で 各 固 有 空 間 は1次

元

  3)  u1の

固 有 値 を λ1,…,λsと

固 有 値 λiに 対 す るu1の =piで

あ り,EはEiの

し,そ

固 有 空 間 をEiと

の 重 複 度 を そ れ ぞ れ,p1,…,psと す る.そ

の と き 定 理1.7よ

直 和 で あ る .Eiは1)で

空 間 で あ る こ と に 着 目 し よ う.こ

り,dim(Ei)

示 し た よ う にu2の

不変 部 分

こ で よ く知 ら れ た つ ぎ の 事 実 を 用 い る.

f=f1+f2+…+fs,  をfの

す る.

直 和 分 解 とす る.fi=pi(f)と

fi∈Ei す る.各Eiがu2の

不 変部 分 空 間 であ る

な ら ば,   (1.67) 

pi°u2=u2°pi

が な り た つ.実

際,

で あ り,u2(fj)∈Ejよ

り,上

式 の 右 辺 はu2(fi)=u2°pi(f)で

あ り(1.67)が

示 さ れ た.   さ てfをu2の1つ

の 固 有 ベ ク トル と す る: μf−u2(f)=0.

左 辺 にpiを

作 用 さ せ,(1.67)を

考 慮 す れば μfi−u2(fi)=0.

す な わ ちfi(∈Ei)は,も u2の

し0で

な け れ ばu2の

固 有 値 μ に 対 す る 固 有 ベ ク トルfの

,お

の お の のfiは0か,さ

す る に,

直和 分 解

f=f1+f2+…+fs,  にお い て

固 有 ベ ク トル で あ る.要

fi∈Ei も な け れ ばu2の

固 有 値 μ に 対 す る固 有 ベ

ク トル に な っ て い る.   そ れ ゆ えu2をEiに

制 限 し て 考 え たu2(i)の

す べ ての 固有 値 に対 す る固有 ベ

ク トル 全 体 で 張 ら れ る 部 分 空 間 の 次 元 数 を  れ ば,上

記 の 事 実 よ り任 意 のu2の

こ ろ でu2も す る.こ

が な り た つ.し る.す

独 立 なn個

な く て は な ら ず,し

た が っ て,各Eiにu2の1次

な わ ち 全 体 と し て,u1,u2に

さ れ た. 

固 有 ベ ク トル は,q次

対 角 化 可 能 と し た か ら,1次

れ よ りq=nで

と し,q=q1+…+qsと

のu2の

す

元 空 間 に ぞ く す る .と 固 有 ベ ク トル が 存 在

た が っ て,qi=pi(i=1,2,…,s) 独 立 な 固 有 ベ ク トル がpi個

共 通 なn個

とれ

の 固 有 ベ ク トル が と れ る こ と が 示 (証 終)

  1.12 

エ ル ミ ー ト写 像 の 対 角 化 可 能 性

  い ま ま で に見 て き た よ う に一 般 写 像 に 対 して は,対 雑 な 様 相 を 呈 す る が,エ

角 化 が 一 般 に は で き ず,複

ル ミー ト写 像 は つ ね に 対 角 化 可 能 で あ る.こ の 事 実 を 示

そ う.ま ず 重 要 な 注 意 と して   定 理1.16 

エ ル ミー ト写 像uの

固 有 値 は す べ て 実 数 で あ り,か つ 異 な る 固 有

値 に 対 す る(任 意 の)固 有 ベ ク トル は 直 交 す る.   証 明   u(f)=λf,  数 だ か ら,λ

と す る と,(u(f),f)=λ(f,f)で,(u(f),f)は

も 実 数 で あ る.つ

実

ぎ に λi,λjを異 な るuの 固 有 値 と し,fi,fjを

そ

れ ぞ れ の 固 有 空 間 に ぞ くす る 固 有 ベ ク トル とす る.こ の と き,

ゆ え に,(λi−

λj)(fi,fj)=0,す

な わ ち,(fi,fj)=0. 

  注 意   証 明 か ら 明 ら か な よ う に,空 も な り た つ.ま   Eを

と し,そ り,λiは

  定 理1.17 

特 性 方 程 式det(λ

−u)=0の

エ ル ミー ト写 像uの

定

根 を 

れ ぞ れ の 重 複 度(multiplicity)をp1,…,psと

す べ て 実 数 で あ る.つ

と 直 交 分 解 さ れ る.な

す る.

ぎ の 定 理 は 基 本 的 で あ る.

固 有 値 λiに 対 す る 固 有 空 間 をEiと

す る と,

お,dim(Ei)=pi.

 証明

 す な わ ち,各Eiに

わ さ れ る ベ ク トル の つ くる 部 分 空 間 のEに 表 わ そ う.E0={0}で

ぞ くす る ベ ク トル の1次 結 合 で 表 対 す る 直 交 余 空 間 

あ る こ と を 以 下 に 示 す.ま

の 不 変 部 分 空 間 で あ る.実 =0で

の い ず れ の ベ ク トル 空 間 で

元 の 実 ま た は 複 素 ベ ク トル 空 間 と し,uをEで

義 さ れ た エ ル ミー ト写 像 と す る.uの

E0で

素,実

た 空 間 の 次 元 数 は 有 限 で あ る 必 要 は な い.

内 積 が 与 え ら れ た,n次

定 理1.16よ

間 は,複

(証 終)

際,f∈E0と

を

ずE0はuに

す る と,fi∈Eiに

対 す る1つ

対 し て,(f,fi)

あ る が, (u(f),fi)=(f,u(fi))=λi(f,fi)=0

よ り,u(f)∈E0.と と,E0がuの

こ ろ で, 

の と き は,uをE0に

不 変 部 分 空 間 で あ る こ と よ り,E0内

制 限 して 考 え る

に 少 な く と も1つ

の固 有 ベ ク

トル が 存 在 す る こ と に な り,仮

定 に 反 す る.よ

 よ り明 ら か(定 理1.7参

  最 後 の 等 式 は,一 般 に  さ て,各Eiの

中 に 正 規 直 交 基 底{φi1,φi2,…,φi,pi}を

に な ら べ,φ11,…,φ1,p1,φ2,1,…,φ2,p2,…,番

と す る.う

っ てE0={0}. 照).

え ら び,こ

れ ら を1列

号 を つ け か え て,{φ1,φ2,…,φn}

え の 定 理 よ り,

 (1.68)

そ れ に 応

じ て,μ1=μ2=…=μp1=λ1,μp1+1=…=μp1+p2=λ2,…

と お

く と

  (1.69)   (1.68)よ

 と し た と き,αi=(f,φi)で

り,

あ る か ら,

 (1.70)

  (1.71) を え る.(1.69),(1.70)よ

り

  (1.72)

さら に   (1.73)

を え る.最 後 の 式 の 右 辺 は,fの

各 座 標(f,φi)の

絶 対 値 の2乗

け て 加 え 合 わ せ る とい うこ と を示 して い る.μi(固 有 値)は   上 記 の 種 々 の 表 現 式 か ら導 か れ る2,3の

を 重 み μiを つ

も ち ろ ん 実 数 で あ る.

事 柄 を定 理 の 形 で の べ る と,

  定 理1.18   1)  固 有 値 が 

が 任 意 のfに 対 して な りた つ た め の 必 要 十 分 条 件 は,uの で あ る こ とで あ り,と

くに,(u(f),f)>0が 

な りた つ 条 件 は,μi>0(i=1,2,…,n)で  2)  fが

単 位 球 面:￨f￨=1を

に 対 して

あ る.

動 い た とき の 函 数(u(f),f)の

は,実 軸 上 の 区 間[min(μi),max(μi)]で (μi)の 固 有 空 間 の 元 で あ る と き,し

あ り,最 大 値 はfが

か も そ の と き に か き 〓.最

とる値 の集 合 最 大 固 有 値max 小値 につ い て も

同 様 で あ る.   3)  fが 単 位 球 面 を動 い た と き の￨u(f)￨の

最 大 値 と,￨(u(f),f)￨の

そ れ とは

一 致 す る:  (1.74)

ま た,こ

の 最 大 値 は,max￨μi￨を

与 え る μmaxに

対 す るuの

固 有 ベ ク トル で 達 せ

ら れ る.   証 明   上 記 の こ と が ら は,￨α1￨2+…+￨αn￨2=1を

満 足 す る 任 意 の α=(α1,…,

αn)に 対 す る函 数 の 命 題 で あ り,ほ   注 意1 

 の と る値 に つ い て と ん ど 明 ら か な こ と な の で 省 略 す る. 

エ ル ミー ト形 式(u(f),f)が

あ る い は 簡 単 に 正(positive)で を み た す と き,正   注 意2 

負 に な ら な い と き,非

あ る と い う.こ

定 値(positive

positive)で

見 よ う.(1.70)を

こ と が わ か る.イ

メ ー ジ を 定 め る た め に3次

つ い て 考 え る.そ

の と きuが

負(non

negative)

れ に 反 して,(u(f),f)>0, 

definite,strictly

エ ル ミー ト写 像(1.72)を

(証 終)

あ る と よ ば れ る.

参 照 す れ ば 容 易 につ ぎ の

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 線 形 写 像uに

エ ル ミー ト写 像 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,適

当

な 直 交 軸(e1′,e2′,e3′)が と れ て, u(ei′)=μiei′ 

(i=1,2,3)

が な り た つ こ と で あ る(図 参 照).μiは

もち ろ ん

実 数 で あ る.   こ れ よ り 見 れ ば,例

え ば2次

元 ユ ー ク リッ ド

空 間(平 面)の 場 合,原 点 を 中 心 と す る 回 転(rota tion)と

い う線 形 写 像 は,そ

の 回 転 角 が πの 倍

数 で な い か ぎ り,エ ル ミー トで な い こ とは 明 ら か で あ ろ う.実 際 そ の 場 合 に は 不 動 軸(正 確 に は 回 転 に 対 して 不 動 な 直 線)が な い か ら で あ る.な お 回 転 角 θに 対 す る 回 転 の 標 準 直 交 基 底 に対 す る表 現 行 列 は

で 与 え ら れ る こ と を 注 意 しよ う(読 者 は こ の 表 現 か ら 出 発 す る推 論 を試 み られ た い).   最 後 に方 程 式   (1.75) 

(λ−u)(f)=g

の 解 に つ い 考 える と,(1.72)を  1) 

考 慮 す れ ば,

の と き,

 (1.76)

が 一 意 的 な 解 で あ り,   2)  λ=λi0の

と き は,解fが

存 在 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,gが

λi0に対

す る 固 有 空 間 の す べ て の ベ ク トル と直 交 す る こ とで あ り,そ の と き 解fは  (1.77)

の 形 を と る.こ は

μi=λi0に

  1.13    Eをn次

3角

こ でΣ′

は 

を み た す あ ら ゆ る μiに わ た る も の と し,Σ"

応 ず る 固 有 ベ ク トル の 任 意 の1次

化 可 能 性

元 ベ ク トル 空 間 と し,uをEの

な っ た が,つ

結 合 を 与 え る も の と す る.

線 形 写 像 とす る.の べ る順 序 が 逆 に

ぎ に の べ る 操 作 は 一 般 線 形 写 像 の 構 造 を し らべ る さ い に 基 本 的 な 役

目 をす る.   写 像uの1つ

の3角 化 を 行 な う と は,あ

る1組 の 基 底{f1,…,fn}を

と っ て,

u(f)が

 (1.78)

の 形 に 表 現 さ れ る よ う に す る こ と を い う.す

な わ ち,uの

基 底{f1,…,fn}に

対

す る表現行列 が

 (1.79)

と い う形 を と る よ うに す る こ とで あ る.こ の よ うな 行 列 は3角 行 列 と よ ば れ て い る.

  す べ て の 写 像 は3角 化 可 能 で あ る こ と を 示 そ う.ま ずf1をuの1つ

の 固有 ベ

ク トル と す る. u(f1)=λ1f1.

f1で 張 ら れ る1次 元 空 間 に 対 して 適 当 に 部 分 空 間Mを

とれ ば,

E={αf1} 

M

と で き る.f∈Mに

般 に はMに

対 し てu(f)は

は は い ら な い,す

u(f)のM上

へ の,f1に

一

な わ ちMはuの

不 変 部 分 空 間 で は な い.そ

平 行 な 射 影 作 用 素pMを

こで

と り,

f∈M→pM°u(f)∈M を 考 え る(図 参 照).こ つ の 固 有 値,固

れ はM上

の 線 形 写 像 で あ る.し た が って,少

有 ベ ク トル を も つ.す

な く と も1

なわち

pM°u(f2)=λ2f2, 

f2∈M.

こ れ よ り, u(f2)=λ2f2+f2′; 

が な りた つ.つ

ぎ にMの

中 に(n−2)次

f2′=α21f1

元 部 分 空 間Nを

M=N  と な る とす る.し

{αf2}

た が っ て, E=N 

で あ る.u(f)をf∈Nに 射 影 作 用 素pNを

と り,

{αf1}α

∈C1 

制 限 して 考 え,こ

{αf2}α

∈C1

の 直 和 分 解 に 対 応 す る,N上

への

と り,写 像 f∈N→pN°u(f)∈N

を 考 え る.こ

の線 形 写 像 の1つ

の 固 有 ベ ク トル をf3と

u(f3)=λ3f3+α31f1+f32f2, 

が な り た つ.以

す る と,

f3∈N

下 こ の 操 作 を つ づ け て ゆ け ば,(1.78)が

  う え の 操 作 を み る と,も

しEに

余 空 間 と と る こ と に よ り,(f1,f2)=0と

な り た つ こ と が わ か る.

内 積 が 与 え ら れ た と き に は,Mをf1の で き る.つ

ぎ にNをMに

に 対 す る 直 交 余 空 間 と す る こ と に よ り,(f1,f3)=0,(f2,f3)=0と ま たfiを

す べ て 長 さ1に

と る こ と も で き る.ゆ

え に,{f1,f2,…,fn}を

直交 お け るf2 で き る. 正規直

交 系 と し て え ら ぶ こ と が で き る.え   定 理1.19  て,適

ら れ た 結 果 を ま と め る と,

n次 元 複 素 ベ ク トル 空 間Eで

当 な 基 底{f1,…,fn}を

う に で き る.さ

ら にEに

定 義 さ れ た 任 意 の 線 形 写 像uに

え ら ぶ こ と に よ っ て,uを(1.78)の

対 し

形 を とる よ

内 積 が 与 え ら れ て い る と き に は,{f1,…,fn}と

して 正

規 直 交 系 を え ら ぶ こ と が で き る.

  こ の 定 理 に 関 連 して,ユ 素n次 ∈Eに

ニ タ リ変 換 につ い て 説 明 し よ う.内 積 が与 え ら れ た 複

元 ベ ク トル 空 間Eに

お い て 定 義 さ れ た 線 形 写 像u(f)が,任

意 のf,g

対 して,

  (1.80) 

(u(f),u(g))=(f,g)

を み た す と き,す (unitary

な わ ち 内 積 を か え な い 線 形 写 像 で あ る と き,uを

transformation)と

(orthogonal

よ ぶ.ま

transformation)で

を 他 の 正 規 直 交 系 に 写 す が,こ {φ1,φ2,…,φn}に

対

ユ ニ タ リ変 換

た 実 ベ ク トル 空 間 の 場 合 に は,直

あ る と い う.ユ の 逆 も 正 し い.す

ニ タ リ変 換 は1つ な わ ち,あ

交変 換

の正規 直交 系

る 特 定 の 正 規 直交 系

し て,

  (1.81)

が な り た つ と き,uは(1.80)を

み た す.実

際,

と す る と,

が な り た つ か ら で あ る.   (1.80)はuの

共 役 作 用 素 をu*と

  (1.82)  と 同 等 で あ る(u*の

係式

u*u=1 くわ し い 説 明 は,2.8で

  (1.83)  と 同 等 で あ る.ま

す る と,関

与 え る).さ

ら に こ の 関 係 式 は,

u*=u−1 た,実

ベ ク トル 空 間 の 場 合 に つ い て も 同 様 で,上

式 は,u*=tu

を 考 慮 す れ ば, tuu=1

,

 { tu=u−1

 (1.84)

と か け る.(1.84)よ =det(u)だ

り,det(tu)det(u)=1(1.6参

と き,uは

か ら,det(u)=±1で

照).さ

あ る.直

ら に,det(tu)

交 変 換uがdet(u)=1を

原 点 の ま わ り の 回 転 で あ る と よ ば れ る.

  い ま ま で の 事 実 を 行 列 の 言 葉 で い い 直 す こ と が で き る.n次   (1.85) 

ユ ニ タ リ行 列 で あ る と よ ば れ る.ま

たUが

実 係数 の場合 に

交 行 列 と よ ば れ る.

  さ て 任 意 のn次

の 行 列Aが

与 え ら れ た と し よ う.そ

を そ な え た)の 正 規 直 交 系{φ1,…,φn}を1つ をuと

の 正 方 行 列Uが

U*U=I

を み た す と き,Uは は,直

み たす

す る.そ

の と き,定

  定 理1.20 

理1.19よ

任 意 の 行 列Aに

の と き,n次

固 定 し,Aを

元 空 間(内 積

表 現 行 列 とす る 写 像

り

対 し て 適 当 な ユ ニ タ リ行 列Uが

あ っ て,

A=UTU−1 と で き る.Tは(1.79)の

形 を し た3角

演

習

行 列 で あ る.

問

題1

と す る.

 1. 

を確 か め よ.た

 ⅰ )   ⅱ )  ad−bc=0の

と き,方

程 式Aξ=η,す

だ し 

と す る.

な わ ち,

aξ1+bξ2=η1, cξ1+dξ2=η2

が 少 な くと も1つ

の 解 ξを もつ た め の,η

に 関 す る 必 要 十 分 条 件 を 求 め よ.

  2.  V2(2次

元 複 素 ベ ク トル 空 間)に お け る線 形 写 像u(f)に

基 底{f1,f2}が

あ っ て, u(f1)=λ1f1, 

当 な1次

独立な

u(f2)=λ2f2

と 表 現 さ れ る(対 角 化 可 能 の)た め の 必 要 十 分 条 件 を,u(f)の に 対 して 求 め よ.

対 し て,適

標 準 基 底 に対 す る 表 現 行 列A

 3. 

l,m,nが

と す る.こ

実 数 でl2+m2+n2=1と

し,

の とき

 ⅰ)  Aξ=0を  ⅱ )  Aξ=η

αは 任 意 の 実 数,で

み たす 実 ベ ク トル は  が 少 な くと も1つ

の 解 ξ を も つ た め の η に対 す る必 要 十 分 条 件 は 何 か.

  4.  前 問 と 同 じ仮 定 の も と で 考 え る.Aを3次 に 対 す る 写 像u(f)の る(1.9参

照).つ

あ るこ とを示 せ .

表 現 行 列 と み よ う.そ

元 実 ベ ク トル 空 間V3の し てV3に

標 準 基 底{e1,e2,e3}

ふ つ うの 意 味 の 内 積 を 導 入 して 考 え

ぎ の こ と を 示 せ.

 ⅰ) 

f0=le1+me2+ne3と

をMと

す る と,f∈Mよ

し,f0に

直 交 す る ベ ク トル 全 体 の 集 合(f0の

直 交 余 空 間)

り,u(f)∈M.

 ⅱ)  任 意 のf∈V3に

対 し て, (u(f),f)=0.

 ⅲ )  任 意 のf∈Mに  こ れ よ り,写 +f′,f′

対 し て,￨u(f)￨=￨f￨.

像uは

∈Mと

何 を あ ら わ し て い る か?(ヒ

直 和 分 解 し て 考 え,ⅱ),ⅲ)の

  5.  Vnをn次

ン ト:u(f0)=0を

す る.こ

ル の 組{b1,…,br}が

の と きVnに

0

結 果 を 用 い る) .

元 の 実 ま た は 複 素 ベ ク トル 空 間,u(f)をVnの

の 階 数(rank)をrと

考 慮 し,f=αf

任 意 の 線 形 写 像 と し,そ

適 当 な 基 底{a1,a2,…,an}と1次

独 立 な ベ ク ト

と れ て, u(ai)=bi 

(i=1,2,…,r),

u(ai)=0 

(i=r+1,…,n)

と で き る こ と を示 せ.   6.  うえ の 問 の 結 果 よ り,Aをn次 正 列U,Vが あ っ て,

と で き る こ と を 示 せ.1rは

次 数rの

 7.  (ア ダ マ ー ル の不 等 式) 

の 行 列 で そ の 階 数 がrと

す る と,適

で 定 義 す る.つ

ぎの ことを示せ.

の正 則

単 位 行 列 とす る. と し,aijは

複 素 数 と す る.そ

を 示 せ.

 8.  n次 の 行 列 

当 な2つ

に 対 し て,Aの

ト レ ー ス(trace)を,

のとき

 ⅱ

 ⅰ)  Aに は1.6参

対 す る特 性 方 程 式 の 根 を 重 複 度 も考 慮 し て,μ1,…,μnと

照).そ

 ⅱ )  Tを

す る(重 複 度 に つ い て

の と き,

任 意 の 正 則 行 列 と し,B=TAT−1と

す る と,

Tr(B)=Tr(A)   (ヒ ン ト:1.6に

の べ た こ と を 考 慮 せ よ).

 ⅲ)  ⅳ )  任 意 の2つ

の 行 列A,Bに

=[X,Y]=Iと

対 し て,Tr(AB)=Tr(BA),こ

な る よ うな 行 列X,Yは

  9.  Aをn次

の 行 列 と し,あ

零(nilpotent)と

よ ぶ.べ

存 在 し な い こ と を 示 せ.

る 正 の 整 数mが

あ っ て,Am=0と

な る と き,Aを

Aの

固 有 値 が す べ て0で

 ⅱ) 

Tr(A)=Tr(A2)=…=Tr(An)=0

あ る.

の 何 れ か が な り た つ こ と で あ る.こ

 10.  n次 元 ヒル ベ ル ト空 間Eに

で 定 義 す る.{e1,e2,…,en}を

れ を 示 せ.

お い て 定 義 さ れ た線 形 写 像uに

正 規 直 交 系 と し,こ

対 してuの

の 基 底 に 対 す るuの

の と き,

(シ ュ ミ ッ ト評 価),

 ⅰ ) 

と す る と,

) 

(ホ ル ム グ レン評 価) が な り た つ.  11.  前 問 と 同 じ仮 定 の も と で, u(ei)=e1+e2+…+ei  で 定 義 さ れ る 線 形 写 像uに

と な る もの で あ る.こ

つ い て 考 え る.す

(i=1,2,…,n) な わ ちuの

の とき

 ⅰ)  uの 固 有 値 は何 か,ま  ⅱ)  A2,A3を

べ き

き 零 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

 ⅰ) 

と す る.そ

れ よ りXY−YX

た 固 有 空 間 を 求 め よ.

求 め よ.

 ⅲ)  ‖u‖ の 評 価 を 前 問 を 適 用 して 考 え よ.

表 現行列 が

ノルム を

表 現 行 列 をA=(αij)

 12. 1.7の

と す る.つ

最 後 に の べ た事 実 に 対 す る考 察 を つ づ け る.

ぎ の こ と を 証 明 せ よ.

 ⅰ) 

任 意 のfに

 ⅱ) 

(λ−u)−1が

=0で  ⅲ) 

対 し て,(λi−u)°bm(f)=0. λ=λiで1位

あ る こ と で あ る .(ヒ λ=λiに

件 はb2=0で

対 す るroot

の 極(simple

ン ト:b2=0か subspace

あ る こ と で あ る.(ヒ

pole)を

らb3=b4=…=bm=0が Fiが

ン ト:一

  13.  (ハ ミル ト ン ・ケ ー リ ー の 定 理) 

般 にb2(f)=(λi−u)°vi(f)が

uをn次

あ る.(ヒ

し た が う).

固 有 ベ ク トル の み か ら な る た め の 必 要 十 分 条 な り た つ).

元 複 素 ベ ク トル 空 間 の 線 形 写 像 と し,

 と す る.こ な わ ち,un+a1un−1+…+an=0で

も つ た め の 必 要 十 分 条 件 は,b2

の と き,g(u)=0が

な りた つ.す

ン ト:(1.45),(1.46)な

ら び に 定 理1.10の

系 を 参 照 せ よ).   14.  前 問 と 同 じ仮 定 の も と で,f(u)=0が 数 の も の を 最 小 多 項 式(minimal て お く.つ  ⅰ) 

な り た つ よ う な 多 項 式f(λ)の

polynomial)と

い う.こ

うち で 最 低 次

の と き 最 高 次 数 の 係 数 は1と

きめ

ぎ の こ と を 示 せ.

λ=λiに

お け る レ ゾ ル ベ ン ト(λ −u)−1の

極 の 位 数(order)をmiと

す れ ば,最

小

多 項 式は

で 与 え ら れ る.  ⅱ)  さ ら に 写 像uの =1,2,…,n)の

表 現 行 列 をAと

し た と き,(λI−A)の(i,j)‐

最 大 公 約 多 項 式 をd(λ)(最

高 係 数 は1)と

余 因 子 Δij(λ)(i,j

す れ ば,

で あ る.  ⅲ)  写 像uが

対 角 化 可 能 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

で あ る こ と で あ る(ヒ ン ト:問12の   15. n次

行 列Aの

項 式 とす れ ばf(A)の

結 果 を 用 い よ).

固 有 値 を 重 複 度 も合 わ せ て 考 え て λ1,…,λnと す る.f(x)をxの 固 有 値 はf(λ1),…,f(λn)で

与 え ら れ る こ と を 示 せ(フ ロベ ニ ウ ス の

定 理).  16. 値 を あ るn次

元 複 素 ベ ク トル 空 間Vnに

多

もつ 常 微 分 方 程 式

 ⅰ

の 解f(t)∈Vnに

つ い て 考 え る.こ

こ でu(f)はVnの

線 形 写 像 で あ る.

) で 定 義 す れ ば,う

えの解 は f(t)=exp(tu)(f(0))

で あ ら わ さ れ る こ と を 示 せ.  ⅱ )  線 形 写 像uの Fi上

固 有 値 λ=λiに

へ の 制 限 をuiと

す れ ば(1.7参

対 す るroot

subspace

Fiへ

の 射 影 作 用 素 をυi,uの

照),

とか け る こ と を示 せ.  ⅲ)  写 像uiに

対 し てFiの

中 に 適 当な 基 底 を と れ ば(dim(Fi)=piと

す る),uiの

表

現 行列 は

と と れ る こ と を 示 し,Ai=λiI+Niと

お く と,

とか け る こ と を た しか め よ(ヒ ン ト:Niは

べ き零 で あ る こ と に注 目せ よ.問9参

  17. 前 問 と 同 じ仮 定 の も とで 考 え る.1.9の

照).

結 果 な ら び に推 論 を 用 い る.

 ⅰ)

とか け る こ と を 示 せ.こ

こ でCはuの

固 有 値 をす べ て 含 む よ うな(任 意 の)1つ

の 閉 曲線

で あ る.  ⅱ)  さ ら に 右 辺 は

で あ り,こ の お の お の は

と い う形 に か け る こ と を 示 せ.た は(λ −u)−1の  ⅲ) 

λ=λiが

と き は,う

λ=λiに

だ し αi,jは 定 数,υi,jはFi上

お け る 極 の 位 数miで

レ ゾ ル ベ ン トの 単 純 極(simple

あ る.し pole)で

の 線 形 写 像 で あ り,mi

たが って あ る と き,す な わ ち1位

の極 で あ る

えの表 現 は eλitυi(f(0))

と な る.こ

の 場 合 はυi(f(0))は

も ち ろ ん 固 有 ベ ク トル で あ る(問12,ⅲ)参

照).

  18.  問16と

同 じ仮 定 の も と で 考 え る.uの

な い と し,実

部 が 正 の も の と 負 の も の と に 分 け,そ

る.し

た が っ て 

固 有 空 間(root

(複 号 同 順)で

固 有 値 λ1,…,λsの

あ る.そ

subspace)をFi+(Fi−)と

と す る.た

し,さ

れ ぞれ

うち で 純 虚 数 に な る もの が

λ1+,…,λp+,λ1−,…,λq−

し て λi+(λi−)に 対 す るuの

とす

一 般 化 された

ら に 

と え ば,E+={f=f1++…+fp+;fi+∈Fi+}で

あ る.つ

ぎの こ と

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,f(0)∈E−

であ

を 示 せ.

の 解f(t)で,t→+∞ る こ と で あ る.(ヒ

  19. Vnを1つ トル で,1次

の と きf(t)→0で ン ト: 

と 分 解 し て 考 え よ).

の 実 ま た は 複 素 ベ ク トル 空 間 と し,f1*,…,fp*をVnの 独 立 と す る(1.3参

の 数 の 組(γ1,…,γp)に

照).べ

つ にEをVnの1つ

共 役 空間 のベ ク

の 線 形 部 分 空 間 と す る.任

意

対 し て, 〈f,f1*〉=γ1,…,〈f,fp*〉=γp

を み た すfがE上

に 一 意 的 に み い だ さ れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,dim(E)=p,か

〈f,fi*〉=0(i=1,2,‥,p)が0以

外 の 解 をE上

め よ.こ

に 任 意 に1つ

れ よ り つ ぎ の こ と を 示 せ.E上

た が っ てdim(E)=pは

仮 定 す る),う

つ

に も た な い こ と で あ る こ と を た しか の 基 底{f1,…,fp}を

と っ た と き(し

え の こ と が な り た つ た め の 必 要 十 分 条 件 は,

が な りた つ こ とで あ る.   20.  (境 界 値 問 題) 

問16と

同 じ仮 定 の も と で 考 え る.f1*,…,fp*を1次

任 意 の 複 素 数 の 組(γ1,γ2,…,γp)に

〈f(0),fi*〉=γi 

をみ た し,か つt→+∞

の と きf(t)→0と

(i=1,2,…,p)

な る よ うな

 の解 が 

で 一 意 的 に 存 在 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,1)dim(E−)=p,2)E− {f1,…,fp}を

上 に1つ

の基底

とった とき

が な りた つ こ と で あ る.(こ   21. Vnを 複 素n次 て 一 意 的 にVnのp次

の 条 件 は ロパ チ ン ス キ ー の 条 件 と よ ば れ る 場 合 が 多 い).

元 ベ ク トル 空 間 とす る.Ω をRmの あ る領 域 と し,各 ξ∈ Ω に対 し 元 部 分 空 間Ep(ξ)が 対 応 して い る と す る.Ep(ξ)が ξ0∈Ω で 連 続 で

あ る と は,ξ0の あ る 近 傍:  が と れ て,こ

独 立 と す る.

対 し て,

れ が 

う.つ い で Ω の 各 点 でEp(ξ)が 連 続 的 に 変 わ る とい う.つ

で 定 義 さ れ た連 続 な ベ ク トル の 組{f1(ξ),…,fp(ξ)} でEp(ξ)の

基 底 を なす よ うに す る こ とが で き る と き をい

連 続 の と き,Ep(ξ)は

ぎ の こ と を示 せ.Vnの

つ パ ラ メ ー タ ξの連 続 函 数 で あ る と す る.そ

Ω で 連 続 で あ る と い う.あ る い は

線 形 写 像uξ(f)は

の と き 問18と

ξ∈ Ω で定 義 さ れ,か

同 じ仮 定 を お く.す な わ ちuξ

の 固 有 値 の うち で純 虚 数 に な る も の が い か な る ξ∈ Ω に 対 して も な い とす る.uξ るE−

をE−(ξ)と

  注 意   任 意 のfに

す る と,E−(ξ)は 対 し て, 

Ω で 連 続 的 に変 わ る こ と を 示 せ. が な りた つ と き,さ

の 固 定 さ れ た基 底(た と え ば 標 準 基 底)に 対 す るuξ(f)の し た と き,各aij(ξ)が

に対 す

ξ0で連 続 で あ る と き,uξ(f)は

ら に具 体 的 に,1つ

表 現 行 列 をA(ξ)=[aij(ξ)]と ξ0で 連 続 で あ る とい う.Ω の す べ

て の 点 で 連 続 で あ る と きuξ は Ω で ξ の 連 続 函 数 で あ る とい う.同 様 に し て,A(ξ)がm 回 連 続 的 微 分 可 能,正

則 函 数 で あ る と き,uξ が そ うで あ る と よば れ る.

2.  ヒ ル ベ ル ト空 間 と線 形 作 用 素  2.1  線

形

作

用

素

 つ ぎ の 問 題 を 考 える.g(x)を[0,L]で

定 義 さ れ た 連 続 函 数 と して,

  (2.1)

を[0,L]で

満 足 す るf(x)でf(0)=f(L)=0を

満 足 す る解 は 一 意 的 に 存 在 す

る か?   こ の 問 題 の 解 は つ ぎ の よ うに して 求 め ら れ る.ま

ず 解f(x)が

あ っ た とす れ

ば,

し た が っ て,f(0)=0を

で あ る.f(L)=0よ

考 慮 す れ ば,

り

す な わ ち,  (2.2)

で な くて は な らな い が,逆

に(2.2)でf′(0)を

定 義 してf(x)の

式 をみ る と,こ

れ が 条 件 を み た して い る こ と が わ か る.ま た 解 が 一 意 的 で あ る こ と も わ か っ た. 実 際(f(0),f′(0))を

指 定 す れ ば,(2.1)の

解 は 一 意 的 に定 ま る か ら で あ る.

  と こ ろ で,上 記 の 見 方 と全 く別 の 見 方 が あ る.そ て,第1章

れ は フー リエ の 考 え で あ っ

で の べ た 有 限 次 元 空 間 に お け る線 形 写 像uの

固 有 ベ ク トル に よ る分 解

と本 質 的 に 同 じ で あ る.  (2.1)に が,fと

お いて, 

とい う作 用 素 をuと

か こ う.u(f)を

して は2回 連 続 的 微 分 可 能 で,f(0)=f(L)=0を

考 え るの であ る み た す もの を と る.

uは 線 形 で あ る .す な わ ち u(f1+f2)=u(f1)+u(f2),

  (2.3)

 {u(αf)=αu(f),α

をみ た して い る.そ

は 複 素 数

こ で,有 限 次 元 の 場 合 と 同 様 に,

を み た す よ う な λ をuの

固 有 値,fを

λ に 対 す る1つ

の 固 有 函 数(eigenfunction)

と よ ぶ.   u(f)は

負(negative)の

エ ル ミー ト作 用 素 で あ る.実

際f(0)=f(L)=0を

考

慮 し て 部 分 積 分 を 行 な え ば,

で あ り,最 後 の 積 分 が0に な る の は,境 に か ぎ る か ら で あ る.し

界 条 件 を 考 慮 す れ ば,f(x)≡0の

とき

た が って 固 有 値 は,も しあ る とす れ ば,す べ て 負 で あ る.

  ところ で

の 解 は,境

界 条 件 を 考 慮 し な け れ ば,一

あ り,f(0)=f(L)=0で

般 解 は 

で

あ る た め に は, C1+C2=0,

を み た す 定 数C1, 

が 存 在 す る こ とが 必 要 十 分 で あ る .す な わ

ち, 

で あ る こ と,す な わ ち 

が な りた つ こ と

が 必 要 十 分 で あ る.こ れ よ り,

が わ か り,結 局,固

有 値 とそ れ に 対 応 す る 固 有 函 数 の 列(直 交 系):

 (2.4)

の す べ て が 求 め ら れ た.最 数 で あ り,計

算 に よ り,

後 の 定 数cnは

φnを 規 格 化(normalize)す

る ため の定

とす れ ば よい こ と が わ か る.  そ こ で 有 限 次 元 の 場 合 に な ぞ ら え て(1.12参

照),

 (2.5)

と展開できると仮定す れば,解fは

形式的 に

と 表 現 で き る で あ ろ う(u(φi)=λiφiよ

ま ず(2.5)で

り).も

っ と具 体 的 に

あ る が,フ ー リエ 級 数 の 理 論 で そ の 正 当 性 は 示 さ れ て い る.し か し

そ の と き 普 通 の 意 味 の 収 束(各 点 収 束)を い うに はg(x)に 定(例 え ばC1ク

ラ ス)が 必 要 で あ る.fに

み た す こ とは 明 ら か だ が,C2ク 用 素uの

連 続 よ り も少 し強 い 仮

つ い て も 同 様 でf(0)=f(L)=0を

ラ ス に は い って い る こ と を見 る の は 困 難 で,作

定 義 範 囲 を は じめ か ら拡 張 して 考 え る 方 が 無 難 で あ る.こ の よ うな 見 方

に つ い て,以 下 に 説 明 を 試 み る こ と に す る.

  2.2 

ヒ ル ベ ル ト空 間

  内 積 の 定 義 は す で に第1章 か く こ と に す る.す

  fの

義1.5,1.6).以

なわ ち

ノ ル ム に 関 して 基 本 的 な 不 等 式 を 示 す.

 定 理2.1 

実 ま た は 複 素 ベ ク トル 空 間 に お け る 内積 に 関 して,

 1)  シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式,   (2.6)  2) 

で 与 え た(1.9定

3角 不 等 式

  (2.7) が な りた つ.

後￨f￨を

‖f‖で

  証 明   1)  と す る.λ=teiθ,tは

が な り た つ.t(実

実 パ ラ メ ー タ,と

す る と,

パ ラ メ ー タ)は 任 意 で あ る か ら(2.6)が

示 さ れ た.

 2) 

に シ ュ ワ ル ツの 不

等 式 を 用 い る と,右

辺 は(‖f‖+‖g‖)2で

評 価 さ れ る か ら,(2.7)が

わ か っ た.  (証 終)

  そ こ で,2つ み た す.距

の 元f,gの

離dis(f,g)の

距離を

‖f−g‖

で 定 義 す る と,こ

公 理 と は,1)dis(f,g)=dis(g,f),2)  3) 

る の はf=gの   定 義2.1 

れ は距 離 の公理 を

か つdis(f,g)=0に

と き に か ぎ る,の3つ (ヒ ル ベ ル ト空 間)内

な

で あ る.

積 を 与 え ら れ た 実 ま た は 複 素 ベ ク トル 空 間E

に 距 離dis(f,g)を

で も って 定 義 した 距 離 空 間 が 完 備(complete)で

あ る と き,Eを

ヒル ベ ル ト空 間 と

い う.   注 意   上 記 の 完 備 性 を くわ し くい う と,列{fn}が  を み た す と き―

コー シ ー 列 とい う ―f0∈Eが

存 在 して, 

が な りた つ と き を い う.つ い で な が らつ ぎ の 注 意 も有 用 で あ ろ う.い ま の よ うな ベ ク トル 空 間 の 位 相 で は 問 題 な い が,一 般 に は 完 備 な 距 離 空 間 で あ って も, 位 相 を か え な い よ うに して 距 離 を つ け か え た 場 合,も あ る.実 際,区

間(0,1]に

普 通 の 距 離dis(x,y)=￨x−y￨を

は な い(コ ー シ ー列{1/n}を −1/y￨に

は や 完 備 で な くな る 場 合 も

考 え て み る と よ い).し

与 え た場合 完備 で

か し距 離dis(x,y)=￨1/x

対 して 完 備 に な る .

  実 例 に よ って 完 備 性 を し ら べ る こ とに す る.[a,b]で

定義 さ れ た多項 式 全体 か

ら な る 複 素 ベ ク トル 空 間 に,内 積   (2.8)

を 導 入 した 空 間 を 考 え る.ま ず 多 項 式 全 体 とせ ず に,n次

以 下 の多 項 式全 体 のつ

く る ベ ク トル 空 間 は 完 備 で あ る こ とを 注 意 し よ う.こ の こ とは,有

限次 元 のベ ク

トル 空 間 は つ ね に 完 備 で あ る こ と に 着 目 す れ ば よ い.証 トの 直 交 法 に よ っ て,正

規 直 交 系{φ1,…,φn}を

明 し て お く と,シ

ュ ミッ

基 底 に と る こ と が で き る が,

に お い て,

が な り た つ.αi=(f,φi)で

あ り,

iに つ い て, 

 よ り,各

と お け ば,

が 求 め る極 限 で あ る.   と こ ろ で 最 初 の 問 題 で あ っ た,多 項 式 全 体 の 空 間 は,完 備 で は な い.そ に,(2.7)か

ら した が う不 等 式

を 用 い る.ま

ず わ れ わ れ は,sinx,cosx,exな

どの初等 函 数 は任意 の区 間 の上 で

一 様 収 束 テ イ ラ ー 展 開 を も つ こ とを 知 っ て い る

そ こ で,

の ため

.

 と す る と,m>nと

して

と こ ろ で,

こ れ よ り,{fn}は 連 続 函 数 空 間C0[a,b]で

コ ー シ ー 列 で あ る .と

→ ∞)が

な り た つ .と

の 内 積 に も な っ て お り,そ こ ろ で,一

で あ る こ と を 注 意 し よ う.実 =(f−fn)−(g−fn)よ

こ ろ で,い

り

際, 

般 に 列{fn}の

ま 与 え ら れ て い る 内 積 は, の 空 間 で,‖fn−ex‖

極 限 は,も

→0(n

しあ るな ら ば 一 意 的 か らf−g

が した が い,f=gが

導 か れ る.と

は 例 え ば,多 項 式 は,適

こ ろ でexは

多 項 式 で は な い.こ

れ を見 る に

当 な 階 数 の 導 函 数 が 恒 等 的 に0と い う性 質 で 特 長 づ け ら

れ る こ と に着 目す れ ば よい.   同 様 な 考 察 を つ づ け る と,C0[a,b]に(2.8)で も,完 備 で な い こ とが わ か る.そ

定 義 さ れ る 内積 を 与 え て 考 え て

れ を見 る に は,(2.8)を

数 に ま で ひ ろ げ て 考 え て ゆ く と よい.さ

ら に 考 え を 進 め て,リ

函 数 全 体 の つ くる ベ ク トル 空 間 で 考 え て も,完 明 は や っ か い で あ る).結

論 を い え ば,ル

リー マ ン積 分 可 能 な 函

備 で な い こ と が示 され る(そ の 証

ベ ー グ の 意 味 で2乗

空 間 ま で ひ ろ げ て 漸 く完 備 性 が な りた つ,図

ー マ ン積 分 可 能 な

可積 分 函数 全体 の

式 的 に い う と,

(多 項 式 の 全 体)⊂(連 続 函 数 の 全 体)⊂(リ ー マ ン 可 積 分 函 数 の 全 体) ⊂(ル ベ ー グ の 意 味 で2乗 積 分 可 能 函 数 の 全 体) と な る.こ

の と き,内 積 は ル ベ ー グ積 分 の 意 味 で と る 必 要 が あ る.ま た,何

れの

空 間 も そ れ に つ づ く空 間 の 中 に 稠 密 に は い って い る こ と も示 さ れ る.  弱収 束   定 義2.2 

列{fj}がf0に

弱 収 束 す る とは,任

意 の φ ∈Eに

が な りた つ と き を い う.な お こ の と きfj→f0(弱)と

対 して,

か く.

  弱 収 束 列 は 無 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 に な っ て は じめ て 新 しい 概 念 とな る.す な わ ち 上 の 定 義 を い い 直 して み る と,任 意 有 限 次 元 部 分 空 間Mへ gonal

projection)がMの

の 正 射 影(ortho

収 束 列 に な る こ と を 意 味 して い る.こ の と き,各 成 分

に つ い て 別 々 に 考 え た と き,成 分 ご とに 収 束 列 に な っ て い る とい わ れ る.実 際, Mの

中 に 正 規 直 交 系{φ1,…,φn}を

基 底 と して と る と,

と か け る か ら で あ る.も ち ろ ん い ま ま で 定 義 した ノ ル ム の 意 味 の 収 束 列 は 弱 収 束 列 に な っ て い る.し で あ る が,強

か し逆 は 真 で は な い.す

な わ ち,無 限 次 元 空 間 で は 弱 収 束 列

収 束 列 に な らな い も の が 必 ず あ る.

  例   無 限 次 元 空 間 の 場 合 に は シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 に よ って{φ1,φ2…,φn…}と い う1列 の 無 限 正 規 直 交 系 が とれ る.と 列{φn}は

強 収 束 列 で は な い.強

こ ろ で 

で あ り,

収 束 列 とい っ た が,弱 収 束 列 との 差 を明 らか に

す る た め で あ って,強

収 束 列 と は ノ ル ム の 意 味 に お け る収 束: 

を意 味 す る.   と こ ろ で 列{φn}は 弱 収 束 列 で あ る.そ れ は   ベ ッセ ル の 不 等 式   (2.9)

か ら わ か る よ うに,任 意 のf∈Eに ら,{φn}は0に

対 して, 

が い え るか

弱 収 束 す る.

  ベ ッセ ル の 不 等 式 の 証 明 は 容 易 で あ る.任 意 のpに

つ いて

が な り た つ か ら で あ る.   正 射 影(orthogonal と す る.(こ MをEの

projection)Eを

の と きEは

準 ヒ ル ベ ル ト空 間(pre-hilbert

部 分 空 間 と す る.そ

 (2.10) 

の と き,有

f=f′+f″, 

と な る よ う な 分 解 を 考 え る.こ f″,f′

∈M,f″

=0,ゆ gonal

∈M⊥

え にf′=0が projection)と

内 積 を 具 え た 複 素 ま た は 実 ベ ク トル 空 間 よ ば れ て い る) .

限 次 元 の 場 合 と 同 様 に し て,

f′ ∈M, 

f″ ∈M⊥

の よ うな 分 解 は 一 意 的 で あ る .実

と す れ ば,f′

際,0=f′+

と の 内 積 を 考 え る こ と に よ り,(f′,f′)

わ か る か ら で あ る.f′ い い,有

space)と

をfのM上

へ の 正 射 影(ortho

限 次 元 の 場 合 と 同 様 に, f′=pM(f)

で あ ら わ す.pMをM上   さ てMが

へ の 正 射 影 作 用 素(orthogonal

有 限 次 元 の 場 合 は,Mの

projector)と

い う.

中 に 基 底 と し て 正 規 直 交 系{φ1,…,φn}を

え ら び,

とす れ ば,f′ が 求 め るM上 はMが

へ の 正 射 影 で あ る こ と は容 易 に わ か る .ゆ え に 問 題

無 限 次 元 の 場 合 で あ る.そ の た め に,ユ ー ク リ ッ ド空 間 で よ く使 わ れ る

垂 線 の 足 とい う考 え を 使 う.   f0∈Mが

垂 線 の 足,す

な わ ちf−f0がM⊥

に ぞ くす る た め の 必 要 十 分 条 件

は,‖f−f0‖

が,fか

らM上

の ベ ク トル へ の 長 さ の,最 小 値 で あ る こ とで あ る*(図 参 照).  実 際,gをMの

任 意 の ベ ク トル と し,パ

ラ メ ー タ λ を つ か っ て,

こ れ よ り,f0がfのM上 ‖f−f0‖

がfか

へ の 垂 線 の 足 で あ れ ば,(f−f0,g)=0だ

らM上

へ の 最 短 距 離 を 示 す.と

値 を 与 え る と す る と,す

と す る と,う (tは

こ ろ で こ ん ど はf0が,最

実 の パ ラ メ ー タ)と

す る と,右

し,λ=teiθ

辺 は,

十 分 近 くで 考 え,正,負

‖f−f0‖2よ

小

な わ ち,

え の 等 式 に お い て,(f−f0,g)=eiθ￨(f−f0,g)￨と

と な り,tを0の

か ら,

り 小 な 値 に な り う る.ゆ

の 値 を と り う る か ら,負

え に,(f−f0,g)=0.g∈Mは

と す る と, 任意で

あ っ た か ら, f−f0∈M⊥

が した が う.と こ ろ で,最

小 値 を と る よ うなf0の

存 在 は い え る.も

う少 し一 般

な 形 で その 原理 をのべ る と   定 理2.2 

Mを

空 間Eの

凸 集 合 と し,か つ 内 積 に関 して 完 備 な 空 間 に な って

い る とす る.そ の と き,任 意 のf∈Eか

らM上

へ の 距 離 の 最 小 値 が 存 在 す る.

  注 意   Mが

∈Mよ

り,任 意 の 

凸 集 合 で あ る とは,f′,f″

に 対 して,    証 明   f′ がM上 値 の 下 限 をdと

で あ る と き を い う. を うご い た と き の

す る.証

明 す べ き こ と は,あ

が あ っ て,‖f−f0‖=dが の 定 義 よ り,{fn}∈Mが

  {fn}が *  f

0は(も

‖f−f′ ‖ の と る るf0∈M

な り た つ こ と で あ る.下 あ って

限

‖f−fn‖ →d.

コ ー シー 列 で あ る こ とを,中 線 定 理 を用 い て 示 す(図 参 照). しあ る な ら ば)fに

対 して 一 意 的 で あ る こ とは い ま 示 した こ とで あ る.

 す なわち

左 辺 は2d2に

近 づ き, 

ゆ え に,Mの

で あ る か ら, 

完 備 性 を 仮 定 し た か ら,f0∈Mが

あ っ て,fn→f0(n→

ち ろ ん, 

∞).も (証 終)

  え ら れ た 結 果 を ま と め て お く.   定 理2.3 

部 分 空 間MがEで

任 意 のf∈Eに M上

与 え ら れ た 内 積 に 関 して 完 備 で あ る とす る.

対 して(一 意 的 に)M上

の 元f0が

定 ま り,‖f−f0‖

がfか

ら

へ の 距 離 の 最 小 値 を与 え る.そ の と き, f=f0+(f−f0)

はfのMに

  2.3 

対 す る 直 交 分 解 を 与 え る:f0=pM(f).

リー ス の 定 理

  線 形 汎 函 数(linear

functional)に つ い て 説 明 し よ う.Eを

た は 複 素 ベ ク トル 空 間,す f∈Eに

な わ ち 準 ヒル ベ ル ト空 間(pre-hilbert

対 して 一 意 的 に 複 素 数l(f)が

l(f)をE上

内 積 をそ な えた 実 ま

の 線 形 汎 函 数 ま た は1次

定 義 さ れ,か つlが 形 式(linear

space)と す る.

線 形 で あ る と き,

form)と い う.lが

線形 であ

る とは l(f1+f2)=l(f1)+l(f2),  (2.11)

 { l(αf)=αl(f),α

が な り た つ と き を い う.な す べ て のf∈Eに

お(2.11)を

対 し てl(f)=0の

=l1(f)+l2(f),(αl)(f)=l(αf)で の ベ ク トル 空 間 をE*と

か き,Eの

か し 実 際 に 興 味 が あ る の は,汎

る.す

な わ ち,fj→f0(j→

数Cが

あ っ て,

み た す よ う なlの 場 合 と き め,加 き め れ ば,ベ

う.し

の 線 形 性(2.11)を

は 複 素 数

∞)か

考 慮 す れ ば,連

集 合 は,l=0と 法,乗

らl(fj)→l(f0)が

法 を(l1+l2)(f)

ク トル 空 間 を な して い る

代 数 的 双 対 空 間(algebraic 函 数l(f)が

は,

dual

.こ

space)と

い

連 続 性 を も って い る と き で あ し た が う 場 合 で あ る .l

続 性 は つ ぎ の よ う に い い 表 わ さ れ る.あ

る定

  (2.12)

が 任 意 の ベ ク トルf∈Eに

対 して な りた つ.こ

も 同 じこ とで あ る.l(f)が た と き,l(f)が ￨l(f)￨の

の 不 等 式 は つ ぎ の よ うに い って

連 続 で あ る と は,f∈Eが

単 位 球 

複 素 平 面 で と る値 の 集 合 が 有 界 で あ る と き を い う.こ

と る 値 の 上 限 を ‖l‖で 表 わ し,lの

を動 い の と き,

ノ ル ム とい う.式 で か け ば,

  (2.13)

 こ れ よ り,(2.12)は,   (2.14)

とか か れ る.  実 例 を あ げ よ う.Eを ちC0[0,1]で,内

区 間[0,1]で

なわ

積

が 与 え ら れ た 場 合 を 考 え る.こ 意 味 だ が,不

定 義 さ れ た連 続 函 数 全 体 の 空 間,す

の と き任 意 の2乗

可 積 分 函 数 α(x)(ル

ベー グの

慣 れ な 読 者 は リー マ ン の 意 味 で 考 え ら れ て も よい)に 対 して

で 定 義 さ れ る も の は,連 続 線 形 汎 函 数 で あ る.実 際,シ

ュ ワ ル ツ の 不 等 式(2.6)

よ り(直 接 に証 明 して お い た 方 が よ い),

が な りた つ か ら で あ る.と

くに 積 分 平 均

は 連 続 線 形 汎 函 数 で あ る.   つ ぎ にaを

区 間[0,1]の

任 意 の1点

と し,対

応

f(x)→f(a) を 考 え る.こ

れ は デ ィ ラ ッ ク(Dirac)の

  (2.15)  と か か れ る.δ(a)は

δ 函 数 で あ っ て,

δ(a)(f)=f(a) あ き ら か に 線 形 汎 函 数 で あ る が,連

続 性 を も た な い.そ

れ

 と か ぎ っ て も,f(a)の

は,

値 は本 質 的 には なん らの

制 約 も うけ ず,￨f(a)￨が

い くら で も大 き い よ うな 連 続 函 数 が あ る か ら で あ る.も

っ と くわ し く,f(a)の

値 を 任 意 に 指 定 した と き, 

をみ たす 連続 函 数 が

と れ る か ら で あ る.   つ ぎ にC1[0,1]の

空 間(す な わ ち,f(x),f′(x)が

つ くる 函 数 空 間)に,内

積

を 与 え た 空 間 をE1と

す る.‖f‖12=(f,f)1と

ル ベ ル ト空 間 で あ る.し

δ(a)はE1上

な わ ち与 え られ た内積

ぎ の こ と が い え る.

内 点 と し て 証 明 す る.a=0,1の

様 で あ る.δ

を 小 に と り,[a−

で,ζ(a)=1,か

つ[a−

δ,a+δ]⊂[0,1]と

δ,a+δ]の

定 して 考 え る.そ

で あ り,シ

ュ ワ ル ツ の 不 等 式 を 用 い れ ば,

と き も証 明 は 全 く同

す る.C1ク

外 で は 恒 等 的 に0と

え ら び,固

る よ う に,右

同様 に準 ヒ

の 連 続 線 形 汎 函 数 で あ る.

  証 明   aを 区 間[0,1]の

が え ら れ る.こ

か こ う.E1はEと

か し ヒ ル ベ ル ト空 間 で は な い.す

か ら 定 義 さ れ る 距 離 に 関 し て 完 備 で は な い.つ   定 理2.4 

連 続 で あ る よ うなf(x)の

ラ ス の 函 数 ζ(x)

な る よ う な も の を1つ

の と き,

こ で,

 とす る.容

易 にわ か

辺 は,

で 評 価 さ れ る か ら,δ(a)のE1上   つ ぎ の 定 理 は リー ス(F.Riesz)の

で の 連 続 性 が 示 され た. 

(証終)

定 理 と よ ば れ る も の で あ り,ヒ ル ベ ル ト空 間

で の 種 々 の 問 題 の と り扱 い に 重 要 な 役 割 を 果 して い る.   定 理2.5 

(連 続 線 形 汎 函 数 の表 現 定 理)Eを

ヒル ベ ル ト空 間 とす る.E上

の

連 続 線 形 汎 函 数l(f)に

対 し て.一

  (2.16) 

意 的 に 定 ま るEの

元gが

あ っ て,

l(f)=(f,g)

と 表 現 さ れ る.こ

の とき

 (2.17)

が な り た つ.   証 明   l=0の =0が

場 合,す

な わ ち 任 意 のf∈Eに

求 め る 唯 一 の も の で あ る . 

対 し て,l(f)=0の

場 合 はg

と す る.

M={f;l(f)=0} と す る.MはEの

閉 部 分 空 間 で あ る.実

ば,l(fj)=0,l(fj)→l(f0)(j→ 完 備 で あ る か ら,M自 て,Eの

∞)よ

際,fj∈Mがf0∈Eに

身 もEの

りl(f0)=0で

閉 集 合 と し て,完

収束すれ あ り,f0∈M.Eは

備 で あ り定 理2.3が

適用でき

直交 分 解

が で き る.f=f′+f″,f′   Nは1次

∈Mと

元 空 間 で あ る.実

う か ら,lはNか

際,f″

ら 複 素 平 面C1上

す る. ∈N,  へ1対1の

よ り, 

が した が

写 像 で あ り,dim(N)=1が

し

た が う.   さ て(2.16)よ

り,求

き だ か ら*,g∈N.そ

め るgは,も

し あ る な ら ば,Mの

こ でg∈Nと

元 と 直 交 して い る べ

す る と,f=f′+f″,f′∈M,f″

∈N

よ り,   (2.18) 

l(f″)=(f″,g).

逆 にg∈Nが

こ の 条 件 を み た せ ば(2.16)が

空 間 だ か ら,Nの (2.18)が

な り た つ.と

中 に 規 格 化 さ れ た 基 底φ(‖ φ‖=1)を

な り た つ よ う にg∈Nを

き め れ ば よ い が,あ

こ ろ で,Nは1次 と り,f″=φ

元 の とき

き ら か に,

g=l(φ)φ が こ の 要 請 を み た す も の で あ る.   不 等 式(2.17)を

*  Mの

定 義 よ り

示 そ う. 

,f∈Mの

と き,(f,g)=l(f)=0.

で あ り, 

よ

り, 

で の￨l(f)￨の

最 大 値 は,f′=0,‖f″

こ の と き,f″=cφ,￨c￨=1だ が,他

方

か ら,￨l(f)￨の

‖g‖=￨l(φ)￨で

あ る か ら(2.17)が

  gの 一 意 性 は,も

し2つ

け ば,(f,g)=0が

任 意 のfに

=0が

あ っ た と し,そ

‖=1の

場 合 に 達 せ ら れ る.

最 大 値 は￨l(φ)￨に

他 な らな い

示 さ れ た. れ をg1,g2と

対 し て な り た つ.し

して,g=g1−g2と た が っ てf=gと

し た が う. 

  リー ス の 定 理 は,つ (anti-linear)で

お い てg (証 終)

ぎ の 形 で 適 用 さ れ る 場 合 が 多 い.汎

函 数l(f)が

反線 形

あ る と は, l(f1+f2)=l(f1)+l(f2),

 (2.19)

 { l(αf)=αl(f)

が な り た つ と き を い う.α   連続 な―

お

は α の 複 素 共 役 数 で あ る.

す な わ ち(2.12)を

み たす―

反 線 形 汎 函 数l(f)が

与 え られた とき

l(f)=l(f) で も っ て,lを

定 義 す る と,線

と な る よ う なgが

形 に な り,リ

一 意 的 に 定 ま る.し

ー ス の 定 理 に よ っ て,l(f)=(f,g)

た が っ て,両

l(f)=(g,f)

辺 の 複 素 共 役 数 を と れ ば,

.

ゆえに   定 理2.5の

系   反 線 形(anti-linear)連

続 汎 函 数l(f)に

対 し て 一 意 的 にg∈E

が 定 ま り, l(f)=(g,f),  と 表 現 で き る.な

お 

f∈E が な り た つ.

 つ ぎ の 定 理 は 有 名 な ア ス コ リ ・ア ル ツ ェ ラ(Ascoli-Arzela)の ト空 間 へ の1拡   定 理2.6 

張 で あ る. ヒ ル ベ ル ト空 間Eに

な 部 分 列{fjp}p=1,2,…

お け る 有 界 な 列{fj}が

が と れ て,Eの1つ

  注 意   {fj}が 有 界 列 で あ る と は,あ   (2.20)

定 理 の ヒル ベ ル

の 元f0に

るKが

と れ て,

与 え ら れ た と き,適

当

弱 収 束 す る よ う に で き る:

と な っ て い る と き を い う.   証 明   ま ず{fj}か p=1,2,…

ら 適 当 な 部 分 列 を と れ ば,任

意 の φ に 対 し て,{(fjp,φ)}

が 収 束 列 に な る こ と を 示 す.

  1)  {fj}の

う ち の 任 意 有 限 個 で 張 ら れ るEの

部 分 空 間 の 閉 包(closure)をM

と す る.Mの

中 に 稠 密 な 点 列{g1,…,gn,…}を

と る.{(fj,g1)}j=1,2,…

界 列 だ か ら,収

は有

束 部 分 列 を と り, (f11,g1),(f12,g1),…,(f1n,g1),…

と す る.つ

い で{(f1j,g2)}j=1,2,…

か ら 収 束 部 分 列 を と り,

(f21,g2),(f22,g2),…,(f2n,g2),… と す る.以

下 同 様 に して い っ て,{fjj}j=1,2,…

こ と を 示 す.こ

の 部 分 列 を,{fjp}p=1,2,…

  2)  任 意 のg∈Mに

を と る とこれ が求 め る もの であ る と す る.

対 し て{(fjp,g)}は

え る と, 

収 束 列 で あ る.実

と な る よ う なgi0∈Mが

際,ε(>0)を

あ り,

と 考 え れ ば,第2項

は シ ュ ワ ル ツ に よ り ε よ り小 で あ る こ と か ら,

ε は 任 意 だ か ら,左

辺 は0で

  つ ぎ に,φ φ0∈M⊥

∈Eに

あ る.

対 し て は,Mに

で あ り,fjp∈Mだ

{(fjp,φ)}の

与

対 す る 直 交 分 解 を 用 い れ ば,φ=g+φ0,

か ら,(fjp−fjq,φ)=(fjp−fjq,g)と

な り,

収 束 が わ か っ た.

 3)

と お く と,l(φ)は

よ り連 続 で あ る.ゆ

反 線 形 汎 函 数 で あ る が,

え に,前 定 理 よ り,l(φ)=(f0,φ)と

か け る. 

(証 終)

  2.4  絶 対 連 続 函 数   ヒル ベ ル ト空 間 を使 って 問 題 を考 え る さい に ル ベ ー グ積 分 の 初 歩 的 な 知 識 は 不 可 欠 の も の で あ る.紙

数 の 制 限 も あ り,こ

れ に 関 して 説 明 す る こ と は で き な い

が,こ

の シ リー ズ に 積 分 論 に 関 す る も の も 予 定 さ れ て い る こ と で も あ り,ま た 必

要 が あ れ ば,た

と え ば 拙 著 「ル ベ ー グ積 分 」(岩波 全 書)を 参 照 さ れ た い.こ

こで

絶 対 連 続 函 数 に 対 す る 性 質 を 若 干 の べ る.   定 義2.3  意 の ε(>0)に

区 間[a,b]で

定 義 され た連続 函

対 して δ(>0)が

数f(x)が

と れ て, 

絶 対 連 続 で あ る とは,任 をみ たす互 い に重な

り合 わ な い 有 限 個 の 部 分 区 間{In}.(In=[xi,xi′])に

対 して

が な りた つ と き を い う.   こ れ よ り,例 え ばf(x)が

リプ シ ッ ツ条 件 を み た して い る と き は 絶 対 連 続 で あ

る.実 際, 

よ り,

とな り,ε に 対 して δ を ε/Lよ り小 とな る よ うに え らん で お け ば よ い .し か し リ プ シ ッ ツ条 件 を み た さ な くて も,絶 を[0,1]で い.こ

対 連 続 に な る こ とは あ る .例

考 え れ ば,絶 対 連 続 で あ る が,リ

え ば, 

プ シ ッツの条件 はみ た さな

れ ら の 関 係 は,

(連 続 函 数)⊃(連 続 有 界 変 動 函 数)⊃(絶 対 連 続 函 数)⊃(リ プ シ ッ ツ条 件 を み た す 函 数) とい う よ うに な って い る.こ

の さ い,⊃

は 真 部 分 集 合 を意 味 して い る.連 続 有 界

変 動 で あ る が,絶 対 連 続 で な い 函 数 の 実 例 を 示 す こ と は,大 変 厄 介 な こ と で あ る . しか しこ の よ うな 函 数 は あ る の で あ る.解 は,算

析 学 に お け る若 干 の 問題 は,本 質 的 に

出 さ れ た 有 界 変 動 函 数 が 絶 対 連 続 で あ る こ と を示 す 問 題 に帰着 せ ら れ る .

  つ い で な が ら,一 様 ヘ ル ダ ー(Holder)条 で 指 数 α, 

件 と い う も の が あ る.f(x)が[a,b]

の ヘ ル ダ ー 連 続 性 を もつ とは,

が な りた つ こ と を い う.こ の 場 合,0<α<1だ

と有 界 変 動 性 も一 般 に は な りた た

な い こ と を注 意 して お く.   絶 対 連 続 函 数 と い う考 え の 重 要 さは,つ

ぎ の ル ベ ー グ の 定 理 か ら 明 らか で あ ろ

う*.

*  た とえ ば 拙 著 「ル ベ ー グ 積 分 」(岩 波 全 書)定

理5 .4参 照.

  定 理2.7 

f(x)が[a,b]で

ろ 有 限 な 微 係 数f′(x)を

絶 対 連 続 で あ る と き,f(x)は も ち,か

つf′(x)は

ほ とん ど至 る と こ

可 積 分 で あ っ て,

  (2.21)

が な り た つ.逆

にg(x)が[a,b]で

と お くと,f(x)は

可 積 分 の と き,

絶 対 連 続 で あ っ て,ほ

と ん ど至 る と こ ろf′(x)=g(x)が

な

りた つ.   注 意   (2.21)はf(x)が1回

連 続 的 微 分 可 能 の とき 微 積 分 の 基 本 公 式 と よば

れ る も の で あ る.定 理 は,こ は,f(x)が

な りたつ た め の 必 要 十 分 条 件

絶 対 連 続 で あ る こ と を い って い る.た

分 の 意 味 で と る.し る の に,こ

の基 本 公 式(2.21)が

だ し右 辺 の 積 分 は ル ベ ー グ積

か し具 体 的 な 函 数 に つ い て(2.21)が

な りた つ か ど うか を 知

の よ うな 定 理 に た よ ら な け れ ば わ か らな い こ と は ま ず な い で あ ろ う.

普 通 や っ て い る よ うに,例 え ば  {ξn}でな い と き連 続 な 導 函 数f′(x)を

とい う点 列 が あ り,xが も つ 場 合,各

ξnの 近 傍 でf′(x)が

どの

よ うな 行 動 を す る か は 問 題 で は な く,

を た し か め さ え す れ ば,微

積 分 の 基 本 公 式 は 保 証 さ れ て い る.

  部 分 積 分 法   f(x),g(x)が f(x)g(x)も

と も に[a,b]で

ま た 絶 対 連 続 で あ り,f(x)が0に

絶 対 連 続 で あ れ ば,αf(x)+βg(x), な ら な け れ ば, 

もま た絶

対 連 続 で あ る.   f(x)g(x)の

絶 対 連続 性 は

f(x)g(x)−f(x′)g(x′)=(f(x)−f(x′))g(x)+f(x′)(g(x)−g(x′)) よ り わ か る.同

を 見 れ ば,   定 理2.8 

様 に し て,

の 絶 対 連 続 性 が わ か る. (部 分 積 分 法 の 公 式)  f(x)を

可 積 分,g(x)を

絶 対 連 続 とす る.

そ の と きf(x)の

原 始 函数 を

Cは

お く と,

任 意 定 数,と

 (2.22)

が な りた つ.   証 明   F(x)g(x)は 本 公 式(2.21)が

うえ に 説 明 した よ うに 絶 対 連 続 で あ る.ゆ

え に 微 積 分 の基

適 用 で きて

(証 終)

  2.5 

超 函 数 の意 味 の 導 函 数

  微 分 方 程 式 を ヒ ル ベ ル ト空 間 で と り扱 う さ い に,偏

導 函 数 の 解 釈 に つ い て,古

典 的 な 定 義 に 固 執 し て い た の で は 非 常 に 苦 し くな る 場 合 が 多 い.   R3の

開 集 合 Ω で 定 義 さ れ た ベ ク トルu(x,y,z)=(u1(x,y,z),u2(x,y,z),

u3(x,y,z))がdivu=0を

み た す と は,

が な りた つ こ とで あ る.こ 可 能 な 函 数 で,Ω

の と き,φ(x,y,z)を

の 境 界 の 近 くで は 恒 等 的 に0に

界 で な い 場 合 に は,  と き,φ(x)と

Ω で 定 義 さ れ た1回 連 続 的 微 分 な っ て い る とす る(ま た Ω が 有

と い うxの 集 合 は 有 界 集 合 で あ る とす る).そ

の

上 式 と の ふ つ う の 意 味 の 内 積 を と り,部 分 積 分 を行 な う と,

 (2.23)

が な り た つ こ と が わ か る.逆 上 式 が,う

にu=(u1,u2,u3)が1回

連 続 的 微 分 可 能 で あ れ ば,

え に い っ た よ う な 任 意 のφ に つ い て な り た つ な ら ば,divu=0を

た す こ と も 明 ら か で あ る.そ 定 義 す る こ と に す る と,以 た の は ワ イ ル(Weyl)で

こ でdivu=0と

い う定 義 を ゆ る め て,(2.23)で

後 の 推 論 が 円 滑 に ゆ く場 合 が あ る .こ

あ る.こ

み

の よ う に す れ ば,u∈L2(Ω),す

の事実 を指摘 し な わ ち,

に 対 して,(2.23)の

意 味 でdivu=0を

み た すuの

集 合 はL2(Ω)の

閉 じた 部 分

空 間 に な って い る こ とが わ か る.   超 函 数 を 使 う とい う考 え は,ソ

ボ レフ(Sobolev),フ

リー ド リ ッ ク ス(Friedri

chs)な どの 人 々 に よ って 行 な わ れ て き た が,組 織 的 な 研 究 は シ ュ ワ ル ツ(Schwar tz)に 負 う所 が 多 い.超 っ た と き,そ

函 数 の 考 え を使 って 論 ず る 場 合,解 が 超 函 数 の 意 味 で 求 ま

の解 が 古 典 的 な 意 味 で の 解 に な って い る か ど うか を 吟 味 す る必 要 が

お こ って くる 場 合 が 多 い.そ

の よ うな 意 味 で,超

扱 い が,い わ ゆ る古 典 的 手 法 に くらべ て,す な い が,問

函 数 の 適 用 に よ って 問 題 の と り

っ か り簡 単 に な った とい うわ け で は

題 の 困 難 さ を 各 操 作 に わ た って 平 均 して ば らま く とい う利 点 が あ る.

  超 函 数 の 意 味 の 導 函 数 に つ い て の べ る.そ 単 の た め に 開 区 間(a,b)=Iで f(x)がIで

局 所 可 積 分(locally

界 閉 区 間K上

の た め に 用 語 に つ い て 説 明 す る.簡

考 える.a=−

∞,b=+∞

summable)で

あ る とは,Iに

で も よい.函

数

含 まれ る任意 の 有

で 可 積 分 で あ る と き を い う.記 号 で, f(x)∈L1loc,ま

た はf(x)∈L1loc(I)

と か く.   定 義2.4 

f(x)∈C0m(I)あ

る い は 簡 単 にf(x)∈C0m(m=0,1,2,…)で

あ る とは,f(x)はIでm回  がIの (a,b)の

境 界 点 ―aま

恒 等 的 に0に き は,十

連 続 的 微 分 可 能 で,か

つf(x)の

コ ン パ ク ト集 合 に な っ て い る とき を い う.い た はbが

な り,(a,b)が

い か え れば

± ∞ の と き に は 考 え な くて よ い ―

無 限 区 間 の と き は,例

分 大 き い と こ ろ で はf(x)は

台(support):

恒 等 的 に0に

の近傍 で

え ばaが 有 限,bが+∞

のと

な って い る こ と を 要 請 す る.

  こ れ だ け 用 語 を 準 備 して お い て,超 函 数 の 意 味 の 導 函 数 を定 義 す る.   定 義2.5 

(超 函 数 の 意 味 の 導 函 数)  f(x)が

所 可 積 分 とす る.も

しあ る局 所 可 積 分 函 数g(x)が

区 間I=(a,b)で

定 義 さ れ,局

あ って,任 意 の φ(x)∈C01(I)

に対 して   (2.24)

が な りた つ とき,g(x)はf(x)の

超 函 数 の 意 味 の 導 函 数 で あ る とい う.

  注 意   うえ の 積 分 は つ ね に 存 在 す る.そ れ は 積 分 区 域 と して(a,b)と る が,実 際 に はφ(x)の

台,す

な わ ち 

かい て あ

の うえ の 積 分 で あ る か ら

で あ る.

  こ の 定 義 は初 学 者 を 困 惑 さ せ る お そ れ が あ る か も知 れ な い の で,つ

ぎの定 理 を

示 して お く.   定 理2.9 

(2.24)が

対 連 続 で あ っ て,ほ

な りた つ と き,f(x)は

区 間Iの

とん ど至 る と こ ろ,f′(x)=g(x)が

任 意 有 界閉 区 間上 で絶 な りた つ.ま

た逆 も

な りた つ.   注 意   (2.24)の

左 辺 を み る と,f(x)は

て 測 度(Lebesgue

measure)ゼ

い.そ

の よ うな 意 味 で,定

に 測 度0上

積 分 と して あ ら わ れ て い る.し

ロ の 集 合 上 の 値 を か え て も,積

たがっ

分 の値 は 変 わ らな

理 は つ ぎ の よ うに い う方 が 正 確 で あ る:f(x)は

の 値 を修 正 す れ ば,絶

  証 明   1)  ま ずg(x)≡0の

対 連 続 で あ り,f′(x)=g(x)が

適当

な りた つ.

場 合,

  (2.25)

な ら ばf(x)は

定 数 で あ る こ と を 示 す.と

こ ろ で,ζ(x)∈C01(I)が,

 を み た す な らば,   で あ り,φ

れ る か ら で あ る.こ

と か け る.こ

固 定 し て 考 え る と,

辺 の 第1項

こ で,

′(x)=ζ(x)で

の こ と に 着 目 し,ψ0(x)∈C01(I)を

を み た す も の と し,1つ

と分 解 す れ ば,右

 が な り た つ.実

の 積 分 は0で

あ る.ゆ え に,

あ り,(2.25)が

際, 用 い ら

で φ(x)と

は 無 関 係 な 定 数 で あ る.φ(x)はC01(I)で

か ら,f(x)は

ほ と ん ど至 る と こ ろ 定 数Cに

  2)  定 理 の 証 明 を す る.(2.24)の 照).c∈(a,b)を

と し,(2.24)の 区 間K上

あ る か ぎ り任 意 で あ っ た

ひ と し い.

右 辺 に 部 分 積 分 法 を 適 用 す る(定 理2.8参

と り,

右 辺 の積 分 は

の 積 分 で あ り,そ

φ(x)の

台 の 上 で あ り,し

の 両 端 で φ(x)は0に

た が っ て,あ

る有 界 閉

な る か ら,

ゆ え に,

が 任 意 の φ(x)∈C01(I)に =C(f(x)を

対 し て な り た つ.1)が

測 度 ゼ ロ の 集 合 上 で 修 正 す れ ば)と

ど 至 る と こ ろ な り た つ(定 理2.7参   逆 を 示 す.(2.24)の

適 用 さ れ て,f(x)−G(x) な り,f′(x)=g(x)が

ほ とん

照).

左 辺 に お い て,f(x)は

絶 対 連 続 だ か ら,定

理2.8を

適用

す れ ば,

こ れ よ り,ほ

と ん ど 至 る と こ ろ,f′(x)=g(x). 

  2.6 

ヒ ル ベ ル

  2.2で

説 明 し た よ う に,ル

(証 終)

ト空 間 の 例 ベ ー グ 積 分 の 考 えを 用 い な い で は 諸 々 の 函 数 空 間 が

ヒ ル ベ ル ト空 間 に な ら な か っ た.す

な わ ち 完 備 性 が な り た た な か っ た.こ

こでル

ベ ー グ 積 分 を 用 い て ヒ ル ベ ル ト空 間 の 例 を 示 す.   I=(a,b)と

す る.a,bは

フ ィ ッ シ ャ ー(Riesz-Fischer)の

有 限 で な く て も よ い とす る.つ

ぎ の 定 理 は リー ス ・

定 理 と よ ば れ る も の で 基 本 的 な も の で あ る.証

明

な しに 認 め る こ と にす る.   定 理2.10 

p(x)(重

み の 函 数)>0,をIで

定 義 さ れ た 連 続 函 数 と し,可 測 函

数,f(x)で,

をみたす函数全体の空間は,内 積

に よ っ て ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.

  つ ぎ に 有 名 な 古 典 的 問 題 で あ る と こ ろ の,ス

トル ム ・ リ ュ ビ ー ル(Sturm-Liou

ville)の 方 程 式 u(f)=−(p(x)f′(x))′+q(x)f(x)− に 附 随 し て 考 え ら れ る 形 式 を 考 え る.こ p(x)は1回

連 続 的 微 分 可 能,r(x)は

  定 義2.6 

I上

で あ り,す

λr(x)f(x)

こ でp(x)>0,r(x)>0(x∈I)で, 連 続 と し よ う.

で 定 義 さ れ た 函 数f(x)で,Iの

な わ ち 局 所 絶 対 連 続 で あ っ て,か

任意 有 界 閉 区間 上 で絶対 連 続 つ

をみたす函数全体の空間に,内 積

を 与 え た 空 間 をE1と   定 理2.11 

E1は

か く. 完 備 で あ り,ヒ

  証 明   {fn}をE1の

と す る.定

理2.10(L2の

ル ベ ル ト空 間 に な る.

コ ー シ ー 列 とす る.す

完 備 性)よ

り,

なわち

を み た すg(x),f0(x)が

が な り た つ.ゆ

あ り,

え に,f0(x)が

局 所 絶 対 連 続 で あ っ て,f′0(x)=g(x)が

ど 至 る と こ ろ な り た つ こ と を 示 せ ば よ い.と

が な りた つ.第1式 ら 第3式

か ら第2式

こ ろ で,φ(x)∈C01(I)を

へ の 移 行 は 部 分 積 分(定 理2.8)で

へ の 極 限 移 行 は,φ ′(x)の 台 が コ ン パ ク トKで

ほ とん と れ ば,

あ り,第2式

か

あ り,

が な りた つ か ら で あ る.   他 方,同

様 な 理 由 で,

が な り た ち,結

局,

が な り た つ.φ(x)∈C01(I)は

任 意 だ か ら,定

理2.9に

よ り,f0′(x)=g(x)が

ほ と ん ど 至 る と こ ろ な り た つ. 

  2.7 

(証 終)

超 函 数 の 定 義

  わ れ わ れ の 推 論 に 便 利 な 考 え で あ る 超 函 数 と い う も の の 定 義 を の べ て お く.考 え を 定 め る た め に 空 間1次   定 義2.7 

T(φ)が

さ れ た 位 数(order)mの

元 の 場 合 に つ い て の べ る.

区 間I=(a,b)(a,bが

無 限 大 に な る こ と も 許 す),で

超 函 数(distribution)で

  1)  T(φ)は,φ(x)∈C0m(I)に

定 義

あ る と は,

対 し て 定 義 さ れ て お り,線

形 で あ る.す

なわ

ち,

は複素数   2)  KをIの

任 意 有 界 閉 区 間 と した と き,台

の 函 数 の 空 間C0m(K)上

にT(φ)を

をKの

制 限 し た場 合,Kに

中 に もつ よ うなC0m(I) よ って き ま る あ る 定

数CKが

と れ て,

  (2.26)

が な りた つ.   注 意   n次 元 空 間 の 場 合 は,開 (2.26)に

お い て,右

区 間Iと

い う と こ ろ を 開 集 合 Ω で お き か え,

辺 に あ ら わ れ る 導 函 数 φ(j)(x)を,偏

導 函 数 で お き か え る.

す な わ ち,  (2.27)

とす る.  話 を1次

元 の 場 合 に も ど して 考 え よ う.局 所 可 積 分 函 数 は 位 数0の

超 函数 であ

る.実 際,

が な り た ち,(2.26)が,m=0, 

と して な りた つ 場 合 で あ

る.

 超 函 数 の 導 函 数 に つ い て 説 明 し よ う.f(x)をIで って 位 数0の

は 位 数1の

局 所 可 積 分 とす る.し

たが

超 函 数 に な って い る.

超 函 数 で あ る.こ の 超 函 数 をf(x)の

を そ の ま ま 用 い てf′(x)で あ ら わ す.こ い の は,f(x)が1回

導 函 数 とい い,い

ま まで の符 号

の 記 号 を用 い て も大 した 混 乱 が お こ らな

連 続 的 微 分 可 能 な 場 合 は,上 式 の 右 辺 は 

な り,い ま ま で の 導 函 数 と 一 致 す る か ら で あ る.さ

ら に くわ し く定 理2.9が

と 示さ

れ て い る.上 式 を

と か く.左 辺 は,φ

が 属 して い る 函 数 空 間 上 の 線 形 汎 函 数 を あ ら わ す 記 号 で あ り

一 般 には積 分 の形 には かけ ない

.

  こ の 定 義 を 順 次 適 用 す れ ば,f(x)のm次

の 導 函 数f(m)(x)は,

で 定 義 さ れ る.f(m)(x)は   一 般 に 超 函 数Tに

位 数mの

対 して,p次

超 函 数 で あ る. の 導 函 数T(p)を

  (2.28)

で 定 義 す る.Tの   つ ぎ にTを

位 数 がmの

位 数mの

場 合,T(p)は

位 数(m+p)の

超 函 数 と し,p(x)∈Cm(I)と

超 函 数 で あ る. した と き,p(x)Tを

  (2.29)

で 定 義 す る.p(x)Tは

位 数mの

超 函 数 で あ る.実

際,φ(x)∈C0m(K)に

対 し

て,

で あ り,p(x)φ(x)のj次

の 導 函 数 を ラ イ プ ニ ッツ の 法 則 に よ っ て か き くだ す こ

と に よ っ て,

が な りたつ か ら で あ る.   こ の よ うに 拡 張 して も定 理2.9は   定 理2.12 

TをI=(a,b)で

あ る局 所 可 積 分 函 数g(x)が

が 任 意 の φ(x)∈C0m+1(I)に 所 絶 対 連 続 函 数f(x)に

そ の ま ま な りた つ.す

なわち

定 義 さ れ た 位 数m(mは

任 意)の 超 函 数 と し,

あ っ て,

対 し て な りた つ と す る.そ ひ と し く,f′(x)=g(x)が

の と き,じ

つ はTは

局

ほ と ん ど 至 る と こ ろ な りた

つ.

  証 明   定 理2.9の ま ず

場 合 と 同 じ で あ る.1)の

ψ0(x)∈C0m+1(I)と

が な りたつ.以

し て と り,φ(x)の

部 分 を つ ぎ の よ う に 変 え れ ば よ い. 分 解 に 対 して

下 の 推 論 は 全 く同 じで あ る の で 省 略 す る. 

  応 用 と して,つ

ぎ の 事 実 を 示 そ う.

(証 終)

  定 理2.13 

f(x)をI=(a,b)で

定 義 さ れ た 局 所 可 積 分 函 数 と す る.そ

き,p2(x)f″+p1(x)f′+p0(x)fは

位 数2の

し て,あ

る 局 所 可 積 分 函 数h(x)に

f′(x)は

絶 対 連続 で

超 函 数 で あ る が,こ

の と

れ が超 函 数 と

ひ と し け れ ば,f(x)∈C1(I)で

あ り,か

つ

p2(x)f″(x)+p1(x)f′(x)+p0(x)f(x)=h(x) がIの

ほ と ん ど 至 る と こ ろ で な り た つ.と

C2(I)で

あ る .た

く にh(x)が

連 続 で あ れ ばf(x)∈

p2(x)はIで0に

だ し 係 数 に つ い て は,pi(x)∈Ci(I)(i=0,1,2)で

あ っ て,

な ら な い と す る.

  証 明  p2(x)は0に

な ら な い か ら, 

を関 係 式 に 乗 ず る こ と に

よ り, f″+p(x)f′+q(x)f=g(x) が 位 数2の

超 函 数 と し て な り た つ.も

ち ろ ん 

で あ る .こ

れ よ り,

超 函 数 と して (f′+p(x)f)′=g(x)+p′(x)f−q(x)f が な り た つ.右

辺 は 局 所 可 積 分 函 数 で あ る か ら,前

f′+p(x)f(x)は

絶 対 連 続 函 数 に ひ と しい.こ

定 理 が 適 用 で き て,

れ を ψ(x)と

お く と,

f′=ψ(x)−p(x)f(x) と か け,も

う一 度 前 定 理 を 適 用 す れ ば,fが

絶 対 連 続 函 数 で,上

る と こ ろ ひ と し い と い う意 味 で な り た つ .そ 連 続 函 数 で あ り,も

ち ろ ん 連 続 だ か ら,上

た が っ てf(x)∈C1(I)で

あ る .最

式 は ほ とん ど至

う して 右 辺 を 見 直 す と,右

辺 は絶 対

式 は 至 る と こ ろ で な り た っ て お り,し

後 に 超 函 数 と して の 最 初 の 関 係 式

(f′(x))′=g(x)−p(x)f′(x)−q(x)f(x) よ り,定

理 の 主 張 が な り た っ て い る こ と が わ か る . 

  う え の 定 理 か ら 導 か れ る1つ で あ る.す   (2.30)  がIの

の 事 実 を 示 し て お く.仮

なわち p2(x)f″+p1(x)f′+p0(x)f=h(x)

超 函 数 の 意 味 と し て な り た つ と し,さ

ら に,

(証 終) 定 と して は 前 定 理 と 同 じ

 3) はIで

  (2.31)

有 界 連 続 な 第1次

導 函 数 を もち,

4) はIで 有界連続 であ る と す る.つ

ぎ の 定 理 が な り た つ.

  定 理2.14  (2.30)を

I=(a,b)を

有 限 区 間 と し,f(x)∈L2(I)が

み た す と す る.(2.31)の

  1)  り,し

仮 定 の も と で,つ

超 函 数 の意 味で ぎ の こ と が ら が な り た つ.

は と も に 有 限 確 定 で あ る.x=bで

も 同様 で あ

た が っ てf(x)∈C1[a,b].

  2)  f′(x)は[a,b]で

絶 対 連 続 で あ り,(2.30)が

ほ と ん ど至 る と こ ろ で な り

た つ.   証 明   (2.30)をp2(x)で

割 り, f″+p(x)f′+q(x)=g(x)

と す る.定

理2.13を

考 慮 す れ ば,c∈(a,b)を

で あ り,被

積 分 函 数 が(a,b)で2乗

積 分)で あ る こ と よ り,X→a,X→bの

と り,X∈(a,b)と

可 積 分(し た が っ て,Iは

し て,

有 限 区 間だ か ら可

と き,

ψ(x)=f′(x)+p(x)f(x) は有 限 確定 な極限 値 絶 対 連 続 で あ る.と

ψ(a+0),ψ(b−0)を

こ ろ で,f′(x)=ψ(x)−p(x)f(x)は2乗

同 様 な 理 由 に よ っ て,f(x)は[a,b]で [a,b]で

も つ こ と が わ か り,ψ(x)は[a,b]で 可 積 分 だ か ら,

絶 対 連 続 で あ る.こ

れ よ り,p(x)は

連 続 で あ る か ら, f′(x)=ψ(x)−p(x)f(x)

がx=a,x=bで で あ る(p′(x)がIで

有 限 な 極 限 値 を も つ.と

こ ろ で,p(x)は[a,b]で

有 界 だ か ら)か ら,f′(x)も

ま た[a,b]で

絶対 連続 絶 対 連 続 で あ る.  (証 終)

  2.8  共 役 作 用 素(Ⅰ)   Eを

ヒル ベ ル ト空 間 とす る.uを,E全

体 で 定 義 さ れ た線 形 写 像 で あ って 有 界

(bounded)で

あ る と す る.す

な わ ち,

  (2.32)

が な り た つ と す る.こ の と きg∈Eが

与 え ら れ た と き,任

意 のf∈Eに

対 し て,

(u(f),g)=(f,g*) と な る よ うなg*が

一 意 的 に 定 ま る .実

線 形 汎 函 数 で あ り,リ

operator)と

適 用 で き る か ら で あ る.

mapping)ま

た はuの

ま た 有 界 線 形 作 用 素 で あ る .線

界 性 は リー ス の 定 理 か ら わ か る.実

に,(2.32)を

の連 続

(u(f),g)=(f,u*(g))

共 役 写 像(adjoint

い う.u*も

だ が,有

応:f→(u(f),g)はE上

ー ス の 定 理(定 理2.5)が

g*=u*(g);  と か き,u*をuの

際,対

適 用 す れ ば よ い.な

  (2.33) 

際,(2.17)よ

共 役 作 用 素(adjoint 形 で あ る こ とは 明 ら か り

お こ の と き, (u*)*=u

が な りた つ.   有 限 次 元 の 場 合 のu*の リ ッ ド空 間 と し,線 る.gを1つ をfと

形 写 像uを,原

定 め て お い て,内

積(Sθ(f),g)

θ だ け 逆 に 回 転 さ せ た ベ ク トル を

し て と れ ば よ い こ と が わ か る(図 参 照). (Sθ(f),g)=(f,S−

θ(g)).

ゆ え に,   (2.34) 

(Sθ)*=S−

  つ ぎ に一 般n次

g∈Eに

対 し て,

と し た と き,

θ.

元 の 場 合 を 考 え る.正 規 直

交 系{φ1,…,φn}を1つ

と し て,Eを2次

元 ユー ク

点 を 中 心 と す る 回 転 角 θ の 回 転 写 像Sθ を と

の 内 積 と して 表 現 し よ う と す れ ば,あ

き ら か にgを g*と

定 め 方 を の べ て お こ う.例

固 定 し,与

え られた

が 求 め る も の で あ る.   も っ と具 体 的 に は,第1章

と し た と き,写

像uの

で 説 明 した よ うに や れ ば よい.す

基 底{φ1,…,φn}に

対 す る 表 現 行 列 をAと

な わ ち,

す る:

そ の と き,   (2.35) 

(u(f),g)=(f,u*(g))

の 関 係 は, 

とお く と

 (2.36)

と 表 現 で き る.ゆ

え に,u*の{φ1,…,φn}に

に 他 な ら な い.す

な わ ち, u→Aな

  2.9 

対 す る 表 現 行 列 はtAす

な わ ちA*

ら ばu*→A*.

共 役 作 用 素(Ⅱ)

  2.6,2.7で2階

の微 分 作 用素

  (2.37) 

u(f)=p2(x)f″(x)+p1(x)f′(x)+p0(x)f(x)

を と り 扱 っ た が,こ

の 作 用 素 をL2(I)(I=(a,b))で

つ い て 説 明 す る.ま

ずuは

れ る 範 囲,す

考 え た場 合 の 共 役 作 用 素 に

有 界 作 用 素 で は な い.そ

な わ ち 定 義 域(definition

る.し

か し,Iの

あ る 有 界 閉 区 間Kに

な2回

連 続 的 微 分 可 能 函 数f(x)の

domain)Dは

の 理 由 を 示 そ う.uの

と り扱 う問 題 に よ っ て 異 な

対 す るC02(K)―Kの 全体 ―

中 に 台 を もつ よ う

を 一 応 含 ん で い る と 考 え よ う.す

わ ち, C02(K)⊂D.   α(x)をC02(K)の1つ

の 函 数 と し, 

定義 さ

と す る.そ

し て,

な

fn(x)=α(x)einx∈C02(K) 

(n=1,2,…)

と い う 列 を 考 え る と,

と 考 え,fn″(x)=−n2fn(x)+2inα

と い う 関 係 式 がnが な い.C02(K)は な る.Dと

′(x)einx+α

″(x)einxを

十 分 大 き い と こ ろ で な りた つ.ゆ の 定 義 域 の 一 部 分 で あ っ た か らuの

し て は,例

え ば つ ぎ の2通

え に,(2.32)は

な りた た

非 有 界 性 が 示 さ れ た こ とに

り が あ る.

  (Ⅰ) 

D1={f;f(a)=f(b)=0,f∈C2[a,b]},

  (Ⅱ) 

D2={f;f′(a)=f′(b)=0,f∈C2[a,b]}.

  さ て 一 般 に 線 形 作 用 素 が 有 界 で な い 場 合,uの る)をDと

考 慮 す れ ば,

定 義 域(Eの

部 分 空間 は仮 定す

し, (u(f),g)=(f,g*)

が,任

意 のf∈Dに

こ の 場 合gに

対 して な り た つ よ う な あ ら ゆ る{g,g*}の

対 し て,g*が

一 意 的 で あ る こ と も 要 請 す る.こ

で 稠 密 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.以

下,DはEで

と き,gの

応:

と り う る 範 囲 をD*と

し,対

集 合 を 考 え る. の た め に はDがE

稠 密 で あ る とす る.こ

の

g∈D*→g*∈E を,

  (2.38) 

g*=u*(g), 

とか き,作 用 素u*をuの

g∈D*

共 役 作 用 素 と よ ぶ.容

易 に わ か る よ うに,D*はEの

部 分 空 間 で あ り,u*は 線 形 で あ る.要 す る に 定 義 式 と して は,有 界,非

有 界 を問

わ ず,   (2.39) 

(u(f),g)=(f,u*(g)), 

f∈D,g∈D*

とか か れ る こ と に な る.   上 の定 義 は 大 変 一 般 的 で あ り,理 解 に 苦 しむ 読 者 も 多 い と思 わ れ るの で,具 体 例(2.37)に

つ い て 説 明 す る.歴 史 的 に い え ば,共 役 作 用 素 ―

微分 作 用 素 ― う場 合,最

とい う考 え は,ず

と い う よ り共 役

っ と古 い もの で あ り,普 通 微 分 方 程 式 を あ つ か

初 か ら 上 記 の 定 義 に忠 実 に考 え る よ うな こ と を しな い で,い

わ ゆ る形

式 的 共 役 作 用 素(formally

adjoint

  f(x),g(x)∈C2[a,b]と

operator)を

考 え る.

し て,

の右辺 に部分積分 を行な うと,   (2.40)

ここで   (2.41) 

u*(g)=(p2(x)g(x))″

で あ り,形

−(p1(x)g(x))′+p0(x)g(x)

式 的 共 役 作 用 素 と よ ば れ る.こ

と,[…]ba=0と

な り,(2.39)を

の と きf(x)∈C02(I)⊂Dと

み れ ば,(2.41)が

す る

ま さ し く求 め る も の で あ る

こ とがわ か る.   と こ ろ で(2.39),(2.40)を

し ら べ て み る と,つ

[a,b]の

場 合,g∈C2[a,b]がD*に

f(x)∈Dに

対 し て0に

つ の 場 合,こ

の 条 件 は,

ぞ くす る た め に は,[…]baの

な る こ と が 必 要 十 分 で あ る.と

  (Ⅰ)*  x=a, 

と な る.こ

のg(x)に

x=bで(p2(x)g(x))′

対 す る 境 界 条 件(Ⅰ)*,(Ⅱ)*を boundary

  こ れ でg(x)∈C2[a,b]と

し た 場 合 の,g∈D*で

共 役 境 界 条 件 と し て 求 め ら れ た が,問 と く ら べ て み た 場 合,g∈C2[a,b]の

condition)と

題 は,う

  定 理2.15 

よ ぶ. あ るた めの必 要 十分 条件 が

仮 定 を と り除 い て 考 え る 必 要 が あ る こ とで し ら べ る 困 難 さ は 倍 加 す る.

りつ ぎ の こ と が い え る.

微 分 作 用 素(2.37)に

そ れ ぞ れ 定 義 域 と す るuの

∈C1[a,b],か

そ れ ぞ れ(Ⅰ),(Ⅱ)に

え の 一 般 な 定 義 に よ る共 役 作 用 素

く に 偏 微 分 作 用 素 の と き に はD*を

  し か し定 理2.14よ

  (Ⅰ)* 

え に あ げ た2

−p1(x)g(x)=0

対 す る 共 役 境 界 条 件(adjoint

D2を

こ ろ で,う

項 が任 意 の

p2(a)g(a)=p2(b)g(b)=0,

  (Ⅱ)* 

あ る.と

ぎ の こ と が わ か る.D⊂C2

つg′(x)も

対 し て(2.31)を 共 役 作 用 素u*の

絶 対 連 続 で あ っ て,そ g(a)=g(b)=0,

仮 定 す る.そ

の と きD1,

定 義 域D1*,D2*は,g(x) れ ぞ れの境 界 条件

 (Ⅱ)* 

g′(a)+ρ(a)g(a)=g′(b)+ρ(b)g(x)=0

を み た す も の と して 定 義 され る.こ   証 明   (2.39)が Di*は,超

こで

ρ(x)={p2′(x)−p1(x)}/p2(x).

任 意 のf∈C02(I)(⊂D)に

対 し て な り た つ か らg(x)∈

函数 の 意味 で (p2(x)g(x))″

を み た す.定

理2.14が

−(p1(x)g(x))′+p0(x)g(x)=g*(x)

適 用 で き て,g(x)∈C1[a,b],g′(x)は

こ れ を 考 慮 す れ ば(2.40)が

に お い て,{p2(x)g(x)}′

絶 対 連 続 で あ る.

そ の ま ま な り た つ こ と が わ か る.実

は[a,b]で

絶 対 連 続 で あ り,右

際,

辺 の 第2項

は さ らに 部

分 積 分 が で き て,

 とな る

か ら で あ る.   逆 にg(x)が

定 理 の 条 件 を み た す な ら ば,g(x)∈Di*で

あ る こ とは明 らかで

あ ろ う.

  2.10 

函 数 空 間H1(I)

  以 後 の 推 論 の 便 宜 の た め に,い を 導 入 して お く.以

ま ま で 扱 って き た ヒ ル ベ ル ト空 間 の1つ

後 に の べ る も の は,2.6,定

義2.6で

の も の で あ る.説 明 の 便 宜 の た めI=(a,b)を   定 義2.8 

f(x)∈C1[a,b]を,内

で 完 備 化 し た 空 間 をH1(I)と

がL2(I)の

有 限 区 間 とす る.

わ し く い え ば,f(x)∈H1(I)と

と れ て,‖fj−f‖L2→0(j→

コ ー シ ー 列 を な す と き を い う .そ

限g(x)をf(x)の

特別

積 か ら 定 義 され た ノル ム

か く.く

る 函 数 列{fj(x)}∈C1[a,b]が

の べ た 空 間E1の

に記 号

∞),か

し てfj′(x)のL2(I)の

は,あ つ{fj′(x)} 意 味 での 極

  注 意   (a,b)が

導 函 数 と み な す と い う意 味 で あ る.

と して は,C1[a,∞)の

有 限 区 間 で な い 場 合,た

元 で あ っ て,各fj(x)はxの

な る も の を と っ て く る.す あ る と し て よ い.し

と え ばb=+∞

な わ ち 各fj(x)はx=+∞

か しx=+∞

の 場 合 に は,{fj(x)} 十 分 大 き い と こ ろ で は0に の 近 傍 で 恒 等 的 に0で

の あ る 固 定 さ れ た 近 傍 で 一 せ い に0に

なる と

い う意 味 で は な い.   さ て 上 の 定 義 は 無 難 な よ う だ が,明 よ っ て,H1(I)と

して,つ

ぎ の3つ

快 な も の で は な い.し

か し今 ま で の 準 備 に

の 定 義 の 何 れ を 採 用 して も 同 じ で あ る.定

理

の 形 で の べ て お く.   定 理2.16 

つ ぎ の3つ

  1)  f(x)∈L2(I)の

の 条 件 は す べ て 同 等 で あ る. 超 函 数 の 意 味 の 導 函 数 が ま たL2(I)に

  2)  f(x)は[a,b]で

絶 対 連 続 で あ っ て,そ

f′(x)が

ぞ くす る.

ま たL2(I)に

  3)  {fj(x)}∈C1[a,b]と な り た ち,か

の(ほ

と ん ど 至 る と こ ろ の)導

い う列 が と れ て,fj(x)→f(x)がL2(I)の

つ 導 函 数 の 列{fj′(x)}もL2(I)で

  証 明   1)〓2)は

定 理2.9で

ぞ くす る.

あ る.ま

函数

意味で

の コ ー シ ー 列 を つ く る.

ず3)→1)を

示 す.φ(x)∈C01(I)に

対

し て,

  ゆ え に 超 函 数 の 意 味 でg(x)=f′(x)が   2)→3)の

証 明f(x)の

aの 近 く で 考 え る.f(x)の を 考 え る.す

な わ ちx(
対 応 さ せ る.bの f(2b−x)を

な り た つ.

定 義 は ん い を 全 区 間R1に グ ラ フ を 直 線x=aを

拡 張 す る こ と を 考 え る.点 対 称 軸 と し て 折 り返 し た 函 数

対 し て,a+(a−x)に

近 くで も 同 様 で,x(>b)に

対 応 さ せ る(図 参 照).つ

お け るfの

対 し て,b−(x−b)に

δ,b+δ]の

0と な る 函 数 を1つ   (2.42)  と お く.た

で あ る.

(x∈[a−

f(x) 

(x∈[a,b]),

f(2b−x) 

(x∈[b,b+δ])

{

外 で は恒 等的 に

F(x)=ζ(x)f(x)

f(2a−x) 

で は恒 等

と り 固 定 す る.

だ し, δ,a]),

値

と え ば δ を(b

り 小 に え ら び,[a,b]上

的 に1で,[a−

f(x)=

お け るfの

ぎ に ζ(x)∈C01(R1)を,た −a)よ

  (2.43) 

値f(2a−x)を

  f(x)が ζ(x)を

絶 対 連 続 な ら ば,F(x)も 固 定 し て 考 え た 場 合,上

 (2.44) 

ま た 絶 対 連 続 で あ る.さ 記 の つ く り方 か ら,対

ら に い え る こ と は,

応:

f(x)∈L2(I)→F(x)∈L2(R1)

は 線 形 作 用 素 で あ り,か

つ 連 続 で あ る.さ

ら に くわ し く,

 (2.45)

が な り た つ.こ

こ で,右

辺 はL2(I)の

の 元 と し て の ノ ル ム で あ る.ま   最 後 にF(x)を

元 と し て の ノ ル ム で あ り,左

たCはf(x)に

辺 はL2(R1)

無 関 係 な 正 の 定 数 で あ る.

な め ら か な 函 数 で 近 似 す る こ と を 考 え る.ρ(x)∈C01(R1)を

つ ぎ の 条 件 の も と に え ら ぶ:

  ε(>0)を0に

近 づ くパ ラ メ ー タ と し て

 と お く.そ

の と き,

 (2.46)

が な り た つ.

と す る.Fε(x)∈C01(R1)で

あ る.実

際,

が な りた つ.さ

ら に こ れ は,部 分 積 分 に よ り,

と も か け る.さ

て,

 (2.47) 

がL2(R1)の ま ず(2.46)よ

Fε(x)→F(x), 

Fε ′(x)→F′(x) 

意 味 で な り た つ こ と を 示 そ う.原 り,

(ε→0)

理 は 同 じ だ か ら,第1式

を 示 す.

で あ り,シ

ュ ワ ル ツ の 不 等 式 を 用 い て,

が な り た つ.最

を え る.と

こ ろ で,よ

は,ξ →0の ら,上

後 の 積 分 は1で

あ り,xに

関 し て 積 分 を と り,

く知 ら れ た 性 質 に よ っ て,

と き,0に

近 づ く.ρ

ε(ξ)は 

の と き に の み0に

な らない か

式 の 右 辺 は,

で 評 価 さ れ る こ と よ り,ε

と と も に0に

  Fε(x)∈C1(R1)をx∈[a,b]に

近 づ く. 制 限 し て 考 え た 函 数 をfε(x)と

fε(x),fε

′(x)は,f(x),f′(x)に

  2.11 

弱

位

そ れ ぞ れL2(I)の

位 相 で 近 づ く.  (証 終)

相

  弱 収 束 と い う考 え は2.2で

の べ た が,ヒ

い に 重 要 な 役 割 を も っ て い る の で,そ   ヒル ベ ル ト空 間Eで

ル ベ ル ト空 間 で の諸 々 の 問 題 の と り扱

れ に つ い て2,3の

の 弱 収 束 の定 義(定 義2.2)を

義 す る と い う こ と は,い い 直 せ ば,Eに

弱 位 相(weak

く弱 め ら れ た 位 相 を 与 え る こ と に 他 な ら ず,そ 任 意 にEか

す れ ば,

注 意 を の べ る.

想 い 起 こ そ う.弱 topology)あ

収 束 を定

る い は くわ し

の基 本 近 傍 系 は,ψ1,ψ2,…,ψpを

ら え らん で 定 義 さ れ る集 合

 (2.48) 

{f∈E;￨(f,ψi)￨<1,i=1,2,…,p}

の 族 で 与 え られ る.   こ こ で1つ

の 疑 問 は,い

っ そ の こ と,こ の 弱 位 相 に 対 して 適 当 な ノ ル ム が つ け

ら れ な い か,あ

る い は距 離 が 導 入 で き な い か とい う こ と で あ る が,こ れ は 以 下 に

示 す よ う にEが

無 限 次 元 で あ る か ぎ り常 に 否 定 的 で あ る.こ

の 近 傍 系(2.48)と

れ をい うに は,上 記

同 等 で あ る よ うな 如 何 な る基 本 近 傍 系 も可 算 個 で は な い こ と

を 示 せ ば よ い.   矛 盾 法 に よ って 証 明 し よ う.い ま,か

りに 可 算 個 の 基 本 近 傍 系 が と れ た とす る

と,一

般 性 を 失 な う こ と な く,そ

る1列

のEの

れ は,つ

元 ψ1,ψ2,…,ψn,…

近 傍 系V1⊃V2⊃

… ⊃Vn⊃

ぎ の よ う な 形 で あ る と 仮 定 で き る:あ

が あ っ て,互

…

い に1次

独 立 で あ り,0の

基本

は,

Vn={f;￨(f,ψi)￨<εn,i=1,2,…,mn} で あ る.こ

こ で εnは 単 調 に0に

収 束 す る 適 当 な 正 数 列 で あ り,{mn}はn→

∞ の

と き ∞ に 近 づ く増 大 列 で あ る.   と こ ろ で,{ψ1,ψ2,…,ψn,…}に 交 系 を{φ1,φ2,…,φn,…}と

シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 を 行 な っ て え ら れ る 正 規 直

す れ ば,単

調 に0に

近 づ く正 数 列{εn′}を 適 当 に え ら

ぶ こ と に よ り, Vn′={f;￨(f,φi)￨<εn′,i=1,2,…,mn} も ま た0の

基 本 近 傍 系 と な る べ き で あ る こ と が わ か る.実

際,

よ り,

が え ら れ,し

た が っ てf∈Vn′

と な る よ う に{εn′}を =1,2,…)を

で あ れ ば,右

辺 は, 

き め て ゆ け ば,f∈Vnを

え る.す

を こ え ず,

な わ ち,Vn′

⊂Vn(n

え る.

と こ ろ で, (i=1,2,…), 

と な る 定 数 列 に 対 して,

を定 義 し,弱 位 相 の1つ の 近 傍

を 考 え る と,Vn′

⊂Vと

な る よ うなVn′ は 存 在 しな い.実

の 複 素 数 λに 対 して,λ φmn+1∈Vn′  こ れ は{Vn′}が0の1つ 盾 で あ る.よ

っ てEが

で あ る が,あ

際Vn′

き らかに

に対 し,任 意

λ が大 き くな る と

の 基 本 近 傍 系 で あ る とい う仮 定 に 反 し矛

無 限 次 元 の とき に は,弱 位 相 の 基 本 近 傍 系 と して 可 算 個

の も の を と る こ とは で き な い .   弱 収 束 列 の 有 界 性   つ ぎ に 弱 収 束 列{fj}は

有 界 列 で あ る こ と を 示 し た い.す

な わ ち,あ

るMが

あ って, ‖fj‖<M<+∞ 

が な り た つ こ と で あ る .そ   定 義2.9 

空 間Eが

(j=1,2,…)

の た め に 準 備 を す る.

距 離 空 間(metric

に 対 して 距 離 ρ(x,y)が

space)で

定 義 さ れ て お り,そ

あ る と は,任

意 の2点x,y∈E

れ が 距 離 に 関 す る 公 理:

 1)   2)  ρ(x,y)=ρ(y,x),  3) を み た す と き を い う.   距 離 空 間Eが (n,m→

∞)に

完 備(complete)で

あ る と は,任

対 し て,x0∈Eが

意 の コ ー シー 列

存 在 し て,ρ(xn,x0)→0(n→

ρ(xn,xm)→0 ∞)が

な りた つ

と き を い う.   完 備 な 距 離 空 間 に 関 す る つ ぎ の 定 理 は,ベ

ー ル の カ テ ゴ リ ー 定 理 と よ ば れ,基

本 的 な も の で あ る.   定 理2.17 

Eを

完 備 な 距 離 空 間 と し,こ

合 併 と して 表 わ さ れ た と す る.す

と す る.そ

の と きEnの

なわち

う ち の 少 な く と も1つ

あ るEn0とx0∈En0が

あ っ て,十

  証 明   矛 盾 に よ って 示 す.す 盾 で あ る こ と を示 す.ま

ぎ にx1を

共 通 点 を も た な い.こ

中 心 に 半 径r1/2の

共 通 点 を も た な い.以

球 の 列K1⊃K2⊃

対 して,

小 さ く と る と,閉 れ はE1が

開 球 を考 え る と,そ

の 点 を1つ

と りx2と

わ し く い え ば,

内 点 を も た な い と す る と矛

を と り,r1を

x2を 中 心 とす る,半 径r2(
と き,閉

分 小 さ い ε(>0)に

ず 

い 点 が少 な く と も1つ あ る が,そ

す れ ばE2と

は 開 球 を 含 む.く

な わ ち 如 何 な るEnも

も ま たE1と で あ る.つ

れ が あ る 可 算 個 の 閉 集 合 の 列{En}の

球 

閉集合だから

の 中 にE2に

す る. 

球 

属 しな だ か ら,

は,r2を

下 同 様 に無 限 につ づ け る こ と が で き る.そ

… ⊃Kn⊃

… が で き,各KiはEiと

小に の

共通点をも

た ず,か

つKiの

0(n→

∞)と

中 心xiは

っ て,x0は

い うx0が 何 れ のEnに

コ ー シ ー 列 を な す.Eは

完 備 だ か ら,ρ(xn,x0)→

あ る が,x0は{Kn}の(唯 も 属 さ ず,仮

一 の)共 通 点 で あ り,し

定 と 矛 盾 す る. 

(証 終)

  うえ の 定 理 を利 用 して,任 意 の 弱 収 束 列 は 有 界 集 合 で あ る こ とを 示 す.そ め,仮

定 を や や 一 般 に して 証 明 す る.ヒ

ル ベ ル ト空 間Eの

位 相 の 意 味 で 有 界 で あ る と は,任 意 のf∈Eに

たが

中 で の 集 合Bが

のた 弱

対 して,

 (2.49)

が な り た つ と き を い う.

  定 理2.18 

ヒ ル ベ ル ト空 間 に お い て は,弱

位 相 の 意 味 で の 有 界 集 合 は,強

相 の 意 味 の 有 界 集 合 で あ る.す な わ ち(2.49)か

位

ら,

が し た が う.

 証 明 仮定 より

は い た る と こ ろ 有 限 値 で あ る.と こ ろ で, 

は閉 集 合 で あ る.

実 際,

が な りた ち,右 辺 の お の お の の 集 合 は,内 積 の 連 続 性 よ り,閉 集 合 で あ り,Enは 閉 集 合 族 の 共 通 集 合 だ か ら閉 集 合 で あ る.あ

だ か ら,前

定 理 に よ っ て,f0∈En0と

と こ ろ で,Enの た ち,か

ε(>0)が

定 義 か ら 明 ら か な よ う に,f0∈En0か

つf1,f2∈En0か

を 考 慮 す れ ば,

きらか に

ら,

あ っ て,

ら

−f0∈En0が

な り

ゆえに

と考 え れ ば,

 こ れ よ り任 意 の

が な りた ち,こ

f,‖f‖<ε に 対 して,

れ より

が 導 か れ る. 

(証終)

 最 後 に 注 意 と して,つ   定 理2.19 

ぎ の 定 理 を の べ て お く.

ヒル ベ ル ト空 間Eの

弱 収 束 列{fj}に

対 して そ の 弱 極 限 をf0と

す

る と,  1)

  2) 

と く に 

が な り た つ と き,{fj}はf0に

強 収 束 す る.

 証明   1)

に お い て,f=f0と

お け ば よ い.

 2) よ り 明 ら か. 

(証 終)

演

  1.  微 分 作 用 素u(f)=−f″(x)に

習

問

題2

対 して 境 界 条 件f(0)=f′(L)=0を

つ けて考 え

た 場 合 の 固 有 値 な ら び に 固 有 函 数 を す べ れ 求 め よ(2.1参 照).   2. 

複 素 数 の 数 列x=(x1,x2,…,xn,…)で

も の 全 体 を 考 え,こ

れ をl2ま

‖x‖2=￨x1￨2+￨x2￨2+…<+∞

た はL2(N)(Nは

を み た す

自 然 数 の 集 合 を 表 わ す)と か く.l2は

内積

(x,y)=x1y1+x2y2+…+xnyn+…

に よ っ て ヒル ベ ル ト空 間 に な る こ と を た しか め よ.   3.  E1,E2,…,En,… と し て,f=(f1,f2,…,fn,…)と

を ヒ ル ベ ル ト空 間 の 列 と す る.こ か こ う.こ

の よ う なfの

の と き,fi∈Ei(i=1,2,…) 集 合の 間に和 な らび にス カ ラ

ー 倍 を 各 成 分 ご との そ れ と定 義 し,ま た0で 義 す れ ば ベ ク トル 空 間 を な し て い る.そ

を み た す も の 全 体 を と る.そ

あ る と は 各 成 分fiが

こ でEと

す べ て0で

し て,

し て(f,g)=(f1,g1)+(f2,g2)+…

ベ ル ト空 間 に な る こ と を 示 せ.こ

あ る と き と定

の と き 

と 定 義 す れ ば,Eは と か き,Eは

ヒル

ヒ ル ベ ル ト空 間{Ei}の

直 和 で あ る とい わ れ る.  4.  ヒ ル ベ ル ト空 間 に お け る シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式,3角 る.そ

の さ い 内積 と して, 

(定 義1.6).そ

か つ 等 号 が な りた つ の はx=0に

こ で こ の あ と の 条 件 を と り除 い て,た

も定 理2.1は

そ の ま ま な りた つ こ と を 示 せ.ま

を 示 せ.こ

の とき

か らx=0は

不 等 式 は 定 理2.1で

ん に 

示 されてい

か ぎ る,と とす る.こ

した

の ときに

た中線定 理

 は セ ミ ノ ル ム(semi-norm)と

一 般 に は い え な い か ら で あ る.I=(a,b)(有

い わ れ て い る.‖x‖=0 限 区 間)と

し,H1(I)で

定 義

の と き(λ −u)は

λが

さ れ た エ ル ミー ト型 式

は セ ミノ ル ム を定 義 す る.   5.  u(f)を

ヒル ベ ル ト空 間Eの

実 数 で な い か ぎ りEか

らE全

有 界 エ ル ミー ト写 像 とす る.そ

体 へ の1対1写

像 で あ る こ と をつ ぎ の 要 領 で 示 せ.

 ⅰ)  ⅱ)  像M={(λ  ⅲ)  MはE全 Mの

−u)(f);f∈E}はEの

直 交 余 空 間 に ぞ くす る,0で

 6.  2.9で

閉 部 分 空 間 で あ る.

体 に一 致 す る(ヒ ン ト:矛 盾 に よ って 示 す.MがEに な い ψ ∈Eが

の べ た 考 察 に お い て(2.37)に

っ た 場 合 の 共 役 作 用 素u*の   7.  E,Fを 全 体L(E,F)に

定 義 域D*を

あ る こ とに な る) .

対 す る作 用 素 の 定 義 域Dと

してC2[a,b]を

と

決 定 せ よ.

と も に ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,Eを つ ぎ の 位 相 を 考 え る.un→0(強)と

が な り た つ と き を い う.こ

一 致 しな け れ ば,

無 限 次 元 と す る.Eか は,任

らFへ

意 のf∈Eに

の 位 相 は 距 離 づ け 可 能 で は な い こ と を 示 せ.(ヒ

の 連 続 写 像u

対 し てun(f)→0 ン ト:2.11を

参 考 に し て 考 え よ).   8.  Ω をRnの

開 集 合 と し,C1(Ω)(C01(Ω))を

で 完 備 化 した ヒル ベ ル ト空 間 をH1(Ω)(H10(Ω))と を あ ら わ す).つ

ぎ の こ と を 示 せ.

ノル ム

す る(Hは

ヒル ベ ル ト空 間 で あ る こ と

 ⅰ)  f(x)∈H1(Ω)な

ら ば,f(x)の

超 函 数 の 意 味 の 第1次

偏 導 函 数 は す べ てL2(Ω)に

ぞ くす る.  ⅱ)  と くにΩ が 球 の と き を考 え る と,f(x)∈H1(Ω)な 近 づ くと き,球 らば,そ

らば,半

径 に そ っ てxが 球 面 に

面 上 の ほ とん で 至 る と こ ろ有 値 な 極 限 値 を も ち,も

れ は0で

しf(x)∈H10(Ω)な

あ る.

 ⅲ)  Ω が 有 界 の と き,f(x)∈H10(Ω)に

対 し て,ポ

ア ン カ レー の 不 等 式

が な り た つ.

 9.  (デ ィ リク レ の 原 理)平 とす る.周

面 上 の な め らか な 単 一 閉 曲 線 Γ で か こ ま れ た 有 界 領 域 を Ω

で あ らか じめ 与 え ら れ た な め ら か な 函 数 ψ(s)に 対 して,周

上 で ψ(s)に 一 致 す

る 函 数f(x,y)で,

を 最 小 に す る よ うなf0(x,y)が

あ る な ら ば Δf0(x,y)=0が

な り た つ.こ

ベ ル ト空 間 の 言 葉 で い え ば つ ぎ の よ う に な る.h(x,y)∈H1(Ω)を

の事 実 を ヒル

周 上 で ψ(s)と

一致 す

る 函 数 と し,

を考 え る.こ

こでφ はH10(Ω)(粗

くい っ て周 で0に

な る函 数)全 体 を うご く とす る.つ

ぎ

の こ と を 示 せ.  ⅰ)  下 限 は 到 達 さ れ る.す

な わ ちφ0∈H10(Ω)が

が な り た つ.か

つ こ の よ う なφ0は

で あ り(問4参

照),こ

考 慮 す れ ば,セ

ミ ノ ル ム はH10(Ω)上

 ⅱ) 

(h− φ0,φ)1=0が

 ⅲ) 

Δ(h−φ0)=0が

 10.  E,Fを

はEか

らFへ

すべ ての

φ ∈H10(Ω)に

セ ミノル ム の さ い,前

問 を

対 し て な り た つ.

超 函 数 の 意 味 で な り た つ.

らFへ

る い は も う少 し 一 般 に し て,と

の 連 続 線 形 写 像 の 列 と し,任

コ ー シ ー 列 を な し て い る と す る.そ

の連 続 写 像 で あ る.(ヒ

と して 考 え よ.φ(f)がEの

ン ト:‖f‖1はH1(Ω)の

推 論 が そ の ま ま な り た つ.そ

で は ノ ル ム と な る こ と を 考 慮 せ よ).

と も に ヒ ル ベ ル ト空 間,あ

間 と す る.{un(f)}をEか {un(f)}はFの

一 意 的 で あ る.(ヒ

れ に 関 し て 定 理2.3の

あ っ て,

意 のf∈Eに

の とき

ン ト:定 理2.18を

考 慮 せ よ. 

単 位 球 上 で 有 界 で あ る こ とが わ か る).

もに バ ナ ッハ 空 対 して

3. 対称 完全 連続作 用素   3.1 

コ ン パ ク ト集 合

  一 般 的 な 定 義 か ら は じめ よ う.距 離 空 間 の 定 義 は,す 2.9).Eを

完 備 な 距 離 空 間 とす る.集 合A(⊂E)が

compact)で

あ る とは,つ

義

相 対 コ ンパ ク ト(relatively

ぎ の 条 件 の うち の い ず れ か を み た す と き をい う.

{1)  任 意 の ε(>0)に て,Aの

で に 前 章 で の べ た(定

対 し て,有

任 意 の 点 は,こ

限 個 の 点x1,x2,…,xp∈Aが

とれ

れ ら の う ち の 何 れ か の ε近 傍 に あ る よ う

に で き る.

  (3.1) 

2)  Aの 任 意 の 点 列{xn}に

対 して,適

当 な部分 列 をえ らび 出 せば コ

ー シー 列 に な る.   注 意   い ま ま で もそ うで あ っ た が,Aの

点 列{xn}と

い う と き に は,{xn}の

中に

同 じ も の が 何 度 も く り返 して 表 わ れ て く る場 合 も含 め て 考 え る.そ れ ゆ え,Aの 点 列 とは,難

し くい え ば,値

をAに

も つ と こ ろ の,自

然 数 の上 で定 義 され た函

数 とい う意 味 で あ る.   さ て う え の2条 件 は 同 等 な 条 件 で あ る.そ れ を 示 す た め に も,ま た応 用 上 で も 重 要 な 事 実 を の べ る.   定 理3.1  Aの

集 合Aが(3.1),2)の

点 列{xn}が

性 質 を もつ た め の 必 要 十 分 条 件 は,任

与 え ら れ た と き,任 意 の ε(>0)に 対 して,ε

部 分 列 が え ら び だ せ る こ とで あ る.す な わ ち,ε(>0)が

意の

を除 いて コー シー

与 え ら れ る ご とに,そ

れ

に応 じて

を み た す よ う な 部 分 列 が 存 在 す る こ と で あ る.   証 明   上 記 の 条 件 が み た さ れ て い る と す る.ε1>ε2>… ま ず ε1に 対 し て,ε1を x1n,…}と

す る.す

つ ぎ に{x1n}の

→0と

除 い て コ ー シ ー 部 分 列 が あ る か ら,そ

な る 列 を と る.

れ を{x11,x12,…,

な わ ち,

部 分 列 を 適 当 に と る こ と に よ り,ε2を

除 い て コ ー シー 列 が で き

る.こ

れ

を{x21,x22,…,x2n,…}と

す る.

以 下 こ の 操 作 を つ づ け て い っ て,{x11,x22,…,xnn,…}を ー 列 をつ くる こ と は 明 らか で あ ろ う   そ こ で,(3.1)に

わ ち,1)が

(証 終)

同 等 性 を 示 そ う.ま

え に2)⇒1)を

示 す.こ

な り た た な い と す る と,あ

る ε0(>0)が

個 の ε0近 傍 で も 覆 わ れ る こ と が な い.そ

こ でx1∈Aを

を 

と な る も の を と る.つ

れ を 矛 盾 に よ っ て 示 す.す あ っ てAは

な

如何 な る有 限

と り,つ

を み た す .実

す る と, 

だ の だ か ら.{xn}は

うえ の 定

ぎ にx2∈A

の よ う な 操 作 は 無 限 に つ づ け ら れ る が,

点 列{x1,x2,…}は 

m>nと

ず,1)⇒2)は

ぎ に,x3∈Aを, 

と な る よ う に と る.こ Aの

れ は コー シ

. 

お け る1),2)の

理 か ら 明 ら か で あ ろ う.ゆ

と れ ば,こ

際,た

とえば

と な る よ う にxmを

え らん

如 何 な る 部 分 列 を と っ て も コ ー シ ー 列 に な ら な い か ら,わ

れ わ れ の 仮 定 に 反 し,矛

盾 で あ る.

  具 体 的 な ヒ ル ベ ル ト空 間 に お け る 相 対 コ ン パ ク ト集 合 に つ い て 例 を あ げ て 説 明 す る.   例1 

I=(a,b)を

が,H1(I)の

有 限 区 間 と す る.H1(I)は

意 味 で の 有 界 集 合 はL2(I)の

の 証 明 を の べ る.{fj(x)}をH1(I)の

こ の と き,{fj(x)}は す.ま

前 章(2.10,定

義2.8)で

相 対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る.以

意 味 で の 有 界 列 と す る.す

一 様 有 界 か つ 同 等 連 続(equi-continuous)で

のべた 下そ

な わ ち,

あ る こ とを 示

ず

  (3.2)

で あ る.最 後 の 評 価 式 は シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式 を 適 用 した.さ

と評 価 さ れ る か ら,{fj}の

ら に,最 後 の 項 は,

同 等 連 続 性 が 示 さ れ た.

  つ い で 一 様 有 界 性 で あ る が,定

理2.16に

用 い た 方 法 を 借 用 す れ ば わ か る.あ

る い は 定 理2.4の

証 明 を み れ ば よ い.実

際,定

理2.4よ

り

  (3.3)

が し た が い,そ

れ とx∈[a,b]に

対 し て,

を 用 い る と,

が わ か る.こ

れ よ り,ア

ス コ リ ・ア ル ツ ェ ラ の 定 理 が 適 用 で き て,{fj(x)}の

か ら[a,b]で

一 様 収 束 す る 部 分 列 が と れ る か ら,そ

の 部 分 列 は 勿 論L2(I)で

中 の

コ ー シ ー 列 で あ る.   つ ぎ にIが

無 限 区 間 の 場 合 を 考 え る.簡

ま え と 同 様 でH1(I)で

単 の た め にI=R1と

の 有 界 集 合 を 考 え る.そ

同 等 連 続 性 を も つ こ と が い え る.一

し よ う.仮

の と き も{fj(x)}は

様 有 界 性 を 示 そ う.x>aと

定 は

一 様 有 界,

して

で あ る が,右 辺 は 絶 対 値 に お い て,

で評 価 さ れ る.aを

が な り た つ.も

で も と れ ば,任

ち ろ ん, 

性 が わ か っ た.な し か し,Iが

例 え ば0と

よ い.こ

お,各fj(x)はx→

± ∞ で0に

無 限 の と き は 一 般 に は,H1(I)の

一様有界

収 束 す る こ と も 容 易 に わ か る.

有 界 集 合 がL2(I)の

え ば,f(x)∈C01(0,1)を1つ

意 味 での相 対 固 定 し,こ

け 平 行 移 動 さ せ て で き る 函 数 列,fj(x)=f(x−j)を

の と きfj(x)は

互 い に 直 交 す る か ら, 

が 成 立 す る か ら で あ る.こ の 事 情 を考 慮 して,つ   例2 

対 して,

が な りた つ か ら,{fj(x)}の

コ ン パ ク ト集 合 に は な ら な い .例 数 を 右 へjだ

意 のx∈R1に

前 章 定 義2.6で

の函

考 えて み る と

の と き,

ぎ の 事 情 の も とで 考 え る.

定 義 さ れ た ヒル ベ ル ト空 間E1を

考 え る.簡

単 のた め に

I=(−

∞,+∞)と

す る .こ

の と きp(x),r(x)に

設 け た仮定 の他 に

  (3.4)

を 仮 定 す る.こ 合 はL2(R1)の

の と き あ き ら か にL2(R1)⊃E1で 相 対 コ ン パ ク ト集 合 に な る.く

あ る が,E1−

ノル ムで有 界 な集

わ し くい え ば,{fj(x)}∈E1が,

 (3.5)

を み た す な ら ば,適

当 な 部 分 列{fjp(x)}が

と れ て,

が な り た つ.   こ の 証 明 に は 定 理3.1を (3.4)よ

り,Lを

用 い る の が 便 利 で あ る.ε(>0)を

大 き く と る と, 

任 意 に 与 え よ う.

で,

 (3.6)

と で き る.(3.5)よ

り,

が な り た ち,(3.6)を

考 慮 す れ ば,

 (3.7)

  と こ ろ で{fj(x)}を 同 じ で あ る.そ

有 限 区 間I=(−L,L)で

れ は{fj(x)}がH1(I)で

実 際,p(x),r(x)はIで {fjp(x)}はL2(I)の

考 え る と き の 事 情 は 全 く例1と の 有 界 列 に な っ て い る か ら で あ る.

正 の 下 限 を も つ か ら で あ る.ゆ コ ー シ ー 列 を な す.こ

え に,適

当な部 分列

れ よ り,

と分 解 して 考 え 最 後 の 項 は 

と(3.7)を

考 慮 す れ ば,ε2よ

り小 で あ る こ とが わ か る か ら,

が な り た つ.ε

は 任 意 で あ っ た か ら,定

理3.1が

適 用 で き て,結

局{fj(x)}が

L2(R1)の

相 対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る こ と が 示 さ れ た .

  3.2    uを

完 全 連 続 作 用 素 ヒ ル ベ ル ト空 間Eで

  定 義3.1 

uが

定 義 さ れ た 有 界 線 形 作 用 素 と す る.

完 全 連 続 作 用 素(completely

コ ン パ ク ト作 用 素(compact のuに

operator)で

よ る 像 集 合u(B)がEの

continuous

あ る と は,Eの

operator),あ 単 位 球 

相 対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る と き を い う.

  注 意   う え の 定 義 は 簡 単 す ぎ る よ う な の で 説 明 を つ け 加 え る.一

般 に相 対 コン

パ ク ト集 合 の 任 意 の 部 分 集 合 は ま た 相 対 コ ン パ ク トで あ る((3.1),2)よ か).ま

たu(B)が

相 対 コ ン パ ク トで あ れ ば,写

意 の 球  対 コ ン パ ク トで あ る.し

的,記

りあ き ら

像u(f)の

有 界 線 形 性 か ら,任

の 像 集 合u(Bc)は,cu(B)に

ひ と し く,相

た が っ て 上 記 の 定 義 は,任

が 相 対 コ ン パ ク トで あ る,と

るい は

意 有 界 集 合 のuに

い っ て も 同 じ こ と で あ る.あ

る い は,も

よ る像 集 合 っ と具 体

号的 に

  (3.8)

と い って よ い.   ま た 上 記 の 定 義 は,uと

して,E1→E2と

い う2つ の ヒル ベ ル ト空 間 の 間 の 有

界 線 形 写 像 と した 場 合 も そ の ま ま 適 用 さ れ る.   つ ぎ の 定 理 は よ く知 ら れ て い る.   定 理3.2 

Eを

ヒル ベ ル ト空 間 とす る.有

た め の 必 要 十 分 条 件 は,fj→0(弱)(j→ て,u(fj)→0(強)(j→

界 線 形 写 像 がEで

完全 連続 で あ る

∞)で あ る よ うな 任 意 のEの

列 に対 し

∞)が な りた つ こ とで あ る.

 証 明   1)  必 要 性   uを 完 全 連 続 とす る.一 般 にfj→0(弱)か が な りた つ.実

際,任

意 のg∈Eに

対 し,

(u(fj),g)=(fj,u*(g))→0  が し た が うか らで あ る.こ

ら,u(fj)→0(弱)

の こ とは,強

(j→ ∞)

収 束 列 の 意 味 の(す な わ ち,ノ ル ム の 意

味 の)極 限 は 弱 収 束 の 意 味 の 極 限 で も あ る こ と か ら,{u(fj)}の 分 列 も0に 収 束 す る こ とを 示 して い る.つ

ぎに

如 何 な る収 束 部

と す れ ば,適

当 な 部 分 列{fjp}が

の 完 全 連 続 性 か ら,こ

が な り た つ が,u

の 部 分 列 の 適 当 な 部 分 列 が と れ て,そ

が コ ー シ ー 列 を な す が,そ り,g=0で

あ っ て, 

の 極 限gは,‖g‖=α

れ のuに

を み た す.前

よる像 の列

にい った こ と よ

な くて は な ら な い か ら,α=0.

  2)  十 分 性   有 界 線 形 写 像uが {fj}, 

を 考 え る.ヒ

定 理 の 条 件 を み た す と す る.単

理(定 理2.6)よ

り,{fjp}が

  fjp−f0→0 

(弱)(p→

位 球 の任 意 の列

ル ベ ル ト空 間 に お け る ア ス コ リ ・ア ル ツ ェ ラ の 定 と れ て,fjp→f0(弱)が

∞).ゆ

い え る.す

な わ ち,

えに

u(fjp)−u(f0)→0 

(p→ ∞)

が 示 さ れ た. 

(証 終)

  つ ぎ に 完 全 連 続 作 用 素 の 間 の 関 係 に つ い て の べ る が,そ 間 が 無 限 次 元 と な る た め に,作

用 素 列 の 収 束 に つ い て も,種

の さ い,ヒ

ル ベ ル ト空

々の 定 義 が 考 え ら れ

る.

  作 用 素 列 の 収 束   ヒル ベ ル ト空 間Eで

定 義 され た有 界線形 作 用 素 につ い て考

え る.   定 義3.2 

列{un}がuに

ノ ル ム の 意 味 で 収 束 す る,あ る い は 一 様 収 束 す る と は

 (3.9)

で あ る と き を い う.こ

れ に 反 し て,f∈Eを

 (3.10) 

un(f)→u(f) 

が な り た つ と き,作   注 意1 

をvの

用 素 列{un}はuに

強 収 束 す る と い う. 対 し て,

ノ ル ム とい う.こ の 言 葉 に よ れ ば,上 者 の 方 は,い

わ ゆ る 単 純 収 束(す

記 の 定 義 は ‖un−u‖→0(n→

∞)と

な わ ち,函 数 で い え ば,fn(x)が

各 点 収 束 す る場 合 に相 当 す る)で あ り,強

象 で は 相 当 強 い よ うに 思 わ れ る が,そ

んに

(n→ ∞)

一 般 に 有 界 線 形 作 用 素υ(f)に

い え る.後 f(x)に

固 定 す る ご と に,た

収 束 と い う言 葉 か ら受 け る 印

うで は な い.後

者 は 前 者 に くら べ て,は

る

か に 寛 大 な 収 束 で あ り,し た が っ て 適 用 範 囲 が 広 く,重 要 な 役 割 を 演 じて い る.

そ れ ゆ え,ヒ

ル ベ ル ト空 間 自 身 で の 強 収 束 が,作

用 素 では ノル ムの意 味 の収 束 に

相 当 し,弱 収 束 が作 用 素 で は 強 収 束 とい う概 念 に相 当 す る と思 っ て い て も差 支 え な い で あ ろ う.   注 意2 

両 者 の 収 束 が あ き ら か に 違 う とい う例 を あ げ て お く.Eの1つ

直 交 系{φ1,φ2,…,φn,…}を

を 考 え る.す

と り,f∈Eに

な わ ち{φ1,φ2,…,φn,…}で

上 へ の 正 射 影pM(f)を

の正 規

対 して,

張 ら れ る 部 分 空 間 の 閉 包(closure)M

考 え よ う.

とい う射 影 作 用 素 の 列{pn}はpMに

強 収 束 す る が,他

方

で 一 様 収 束 列 で は な い.   話 を も と に戻 して,完   定 理3.3 

全 連 続 作 用 素 に か ぎ る.

線 形 作 用 素uが

し て 考 え られ る な ら ば,uは

ノル ム の 意 味 で の 完 全 連 続 作 用 素 列{un}の

極限 と

完 全 連 続 で あ る.

  証 明   相 対 コ ン パ ク トの 定 義 か ら 出 発 して,直 接 証 明 で き る が,ヒ ル ベ ル ト空 間 の 場 合 に な りた つ 定 理3.2を

使 え ば,証 明 は 容 易 で あ る.{fj}∈Eを0に

収 束 す る 列 とす る.定 理2.18よ で,ε(>0)が

り,‖fj‖<M(j=1,2,…)が

与 え ら れ た と き,unを 

弱

した が う.そ こ と な る よ うに え ら び 固 定

して 考 え る.ま ず, ‖u(fj)−un(fj)‖<ε

 (j=1,2,…)

が な り た つ が,

と し て 考 え る と,右

辺 の 第1項

εは 任 意 だ か ら,左

辺 は0で

は0で あ る .す

あ り,し

た が っ て,右

な わ ちu(fj)→0(j→

辺 は εを こ え な い . ∞)が

示 さ れ た. (証 終)

  定 理3.4 

1)  u1,u2が

 2)  u1°u2は,u1,u2の

完 全 連 続 な ら ば,αu1+βu2も

そ う で あ る.

う ち の 何 れ か 一 方 が 完 全 連 続 で あ り,他

方 が有 界 な ら

ば,完

全 連 続 で あ る.

  3)  uが 完 全 連 続 な ら ば,u*も   証 明   定 理3.2を

完 全 連 続 で あ る.

使 え ば,1),2)は

あ き ら か だ か ら,3)を

示 す.{fj}を0に

弱 収 束 す る 列 とす る.

で あ り,u°u*は2)に よ り,u*(fj)→0が

よ り完 全 連 続 だ か ら,u°u*(fj)→0(強).他

方 ‖fj‖<M

示 さ れ た. 

(証 終)

  3.3  完 全 連 続 作 用 素 の 例(Ⅰ)   積 分 核 で 定 義 さ れ る積 分 作 用 素 に つ い て の べ る.  例1 

シ ュ ミ ッ ト核  簡 単 の た め にI=(a,b)(a,bは

と し,K(x,y)は,(x,y)∈I×Iで2変

有 限 で あ る必 要 は な い)

数 の 可 測 函 数 で あ っ て,

 (3.11)

を み た す と き,す

はL2(I)の

な わ ちK(x,y)∈L2(I×I)の

完 全 連 続 作 用 素 で あ る.ま

と お く と,Φ(x)はIの Φ(x)はIで

が な り た つ.す

ばL2(I)に

 ゆ え に,ル

ず(3.11)よ

り

ほ と ん ど 至 る と こ ろ 意 味 が あ り,フ

ビ ニ の 定 理 よ り,

可 積 分 で あ る.

  さ て,{fj(x)}を0に

れ て い る.か

とき

弱 収 束 す る 列 と す る と, 

な わ ち,￨gj(x)￨2=￨u(fj)(x)￨2は,一 つfj(x)→0(弱)の

ぞ くす る(ほ

で あ り,

様 に可 積 分函 数 で評価 さ

定 義 と,K(x,y)はxを

と ん ど 至 る と こ ろ のxに

ベ ー グの積 分 定理 が使 え て

つ い て)か

と め てyの ら,

函 数 とみ れ

が な り た つ.   つ ぎ の 例 に 移 る 前 に,有 空 間Rnの

用 な 一 般 定 理 を の べ て お く.Ω

集 合 と し(厳 密 に は,可

をn次

元 ユー ク リ ッ ド

測 集 合),K(x,y)は,(x,y)∈

Ω×Ω で の

可 測 函 数 で あ っ て,

 (3.12)

が と も に Ω の ほ とん ど至 る と こ ろ で 存 在 し,有

界 函 数 で あ る と仮 定 す る.そ の

と き,

はL2(Ω)の

有 界 作 用 素 に な る.こ

て い る.そ

れ は ホ ル ム グ レ ン(Holmgren)の

定 理 とよば れ

の と き,

  定 理3.5 

上 記 の 仮 定 の も と で のu(f)のL2(Ω)で

の 作 用 素 ノ ル ム は,

で 評 価 さ れ る.  証 明   シ ュワル ツの不等 式 よ り

が な り た つ が,両

式 をxに

  注 意   K(x,y)が

つ い て Ω 上 で 積 分 す れ ば よ い. 

エ ル ミ ー ト対 称 で あ る と き,す

が な りた つ と き は,上

式 は,K(x)=H(x)で

(証 終)

な わ ち,K(x,y)=K(y,x)

あ り,し

た が っ て,

 (3.13)

と な る.   例2 

K(x,y)はRn×Rnの

の 可 測 函 数 で あ って,

有 界 な 開 集 合 Ω ×Ω で 定 義 さ れ た2変 数(x,y)

とい う形 の 評 価 を も つ な ら ば,

はL2(Ω)の

完 全 連 続 作 用 素 で あ る.

  注 意   K(x,y)は,く

わ し く書 け ば,K(x1,…,xn;y1,…,yn)で

￨x−y￨は2点x,yの

を 意 味 す る.ま

あ り,

距離

たK(x,y)は

可 測 とい っ た が応 用 上 は 

の と き2変 数 の 連

続 函 数 で あ る 場 合 が 多 く,こ の 場 合 は 可 測 に な って い る.例2は

例1の

特別 の場

合 とは み な さ れ な い こ とは 明 ら か で あ ろ う.例 え ば1次 元 の 場 合 Ω=(a,b)と

を 考 え れ ば, =yの

 の 場 合 は シ ュ ミ ッ ト核 で は な い.K(x,y)が

近 傍 で 有 界 で な い 場 合 に 有 用 な 定 理 で あ って,そ

し

対 角 線x

の よ うな 意 味 で は,上

記 の 条 件 を も 少 しゆ る め て,

と し,Φ(ξ)は(0,α]で

連 続 な 正 の 函 数 で,ξ →0の

と き+∞

に近 づい て も よ

い が,

を 要 請 す る だ け で よ い.ま

たn次 元 の 場 合 に は,

で お き か え て よ い.   も と に 戻 っ て,u(f)の

と お く.Kj(x,y)は

完 全 連 続 性 を示 す.

有 界 で あ り,Ω

は 有 界 と し た か ら,シ

ュ ミ ッ ト核 で あ り,

は 完 全 連 続 で あ る.と

こ ろ で, ‖u−uj‖ →0 

が な り た つ.実

際,(u−uj)(f)に

が な り た つ か ら で あ る.こ 3.3よ

りuは

  3.4 

(j→

定 理3.5を

こ にSはn次

∞)

適 用 す れ ば,

元 単 位 球 の 表 面 積 で あ る.ゆ

え に定 理

完 全 連 続 で あ る.

完 全 連 続 作 用 素 の 例(Ⅱ)

  作 用 素 の 立 場 か ら 見 た 例 を あ げ よ う.   例1 

{e1,e2,…,en,…}を

ヒ ル ベ ル ト空 間Eに

別 に 有 界 な 数 列{μ1,μ2,…,μn,…}を

を 定 義 す る.uは

お け る1つ

任 意 に え ら び,そ

の 正 規 直 交 系 と し,

れ ら に よ っ て,線

形 作用 素

有 界 作 用 素 で あ る.実 際

ベ ッ セ ル の 不 等 式(2.9)よ

り,

が な りた つ か ら で あ る.な

お,

も 容 易 に た しか め ら れ る.   さ て つ ぎ の こ と を示 そ う.uが {μi}の 集 積 値 が た か だ か0し

完 全 連 続 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,数

か な い こ とで あ る .す な わ ち,任

を 固 定 した と き,そ れ に 応 じて ε(>0)が す な わ ちi0が

定 ま って, 

とれ て,iを

列

意 の 複 素 数 

十 分 大 き く とれ ば,

が な りた つ こ とで あ る.

  こ の 条 件 が 必 要 で あ る こ と を 示 そ う.い 値 で あ っ た と す る と,部 き,正

分 列{μip}p=1,2,…

規 直 交 系{eip}p=1,2,…

で あ り,{u(eip)}は0に

は0に

列{μi}の

る と,{μi}の

中 で,￨μi￨>ε

と分 け る.こ

こで 第1項

が 数 列{μi}の

が あ っ て,μip→

弱 収 束 す る が(2.2参

強 収 束 し な い.ゆ

  十 分 性 を 示 そ う.数

第1項

ま か り に 

えにuは

集 積 値 は0以

後 の 項 は, 

た か ら,uは 3.3に

方

有 限 個 しか な い.そ

を み た す よ うなiに

で あ る か ら,ε2‖f‖2を

与 え

こで

つ い て の 和 で あ る.

こ ろで

こ え な い.ε

は任意 であ っ

ノ ル ム の 意 味 で 完 全 連 続 作 用 素 で い く ら で も近 似 で き る か ら,定 理

よ り,uは

  例2 

の と

完 全 連 続 で は な い.

は 有 限 和 で あ る か ら,完 全 連 続 作 用 素 で あ る.と

で あ り,最

照),他

∞).そ

外 に な い と す る と,ε(>0)を

を み た す よ う なiは

は,￨μi￨>ε

ζ0(p→

集積

第2章

完 全 連 続 に な る. 定 義2.6で

定 義 さ れ た ヒル ベ ル ト空 間E1を

考 える.い ま

  (3.14)

を 考 え る.左

辺 はE1の

連 し た こ と は,3.1の

内 積(f,φ)1に 例2で

す な わ ち 

の べ た の で,そ

の 結 果 を 用 い る.そ

れ に関

の た め に(3.4),

を 仮 定 す る.

  さ て 問 題 は,g(x)∈L2(R1)を み た さ れ る よ う なf(x)∈E1を る.実

他 な ら な い こ と を 注 意 し よ う.こ

際,g(x)が

与 え て(3.14)が

任 意 の φ(x)∈E1に

も と め る こ と で あ る が,こ

与 え ら れ た と き,写

対 して

の こ とは 容 易 に わ か

像

φ→(g(x),φ(x)) はE1上 2.5の

の 反 線 形 連 続 汎 函 数 で あ る.し 系)を

ヒ ル ベ ル ト空 間E1で

た が っ て リ ー ス の 定 理(く

わ し くは 定 理

定 義 さ れ た 反 線 形 連 続 汎 函 数(g,φ)=l(φ)に

適 用 す れ ば, (f,φ)1=(g,φ)

と な る よ う なf∈E1が →fは

一 意 的 に 定 ま る.す

な わ ち(3.14)が

な り た つ .対

応g

あ き ら か に 線 形 で あ り,

 (3.15) 

f=Gg

と か き,Gを

グ リー ン 作 用 素 と い う.GはL2(R1)か

が,E1⊂L2(R1)で

あ る か ら,L2(R1)か

連 続 に な る.こ

の こ と を 示 そ う.ま

が な り た つ.こ

こ でsupは

らE1へ

らL2(R1)へ

の線 形写 像 で あ る

の 写 像 と み る とGは

完全

ず リー ス の 定 理 か ら

φ(x)がE1の

単 位 球 を う ごい た と き の 上 限 で あ る .

す な わ ち,

と こ ろ で,

が な り た つ か ら,

 ゆ え に,結

局,

 (3.16) が な り た つ.ゆ

え にgがL2(R1)の

有 界 集 合 で あ る.と L2(R1)の

こ ろ で,3.1の

例2で

示 し た よ う に,E1の

位 相 で 相 対 コ ン パ ク トな 集 合 を つ く る .ゆ

GはL2(R1)の

  3.5 

単 位 球 を う ご い た と き のf=Ggは,E1の

え に,定

有 界集 合 は

義 そ の も の よ り,

完 全連 続作 用 素 で あ る.

変

分

法(Ⅰ)

  ヒ ル ベ ル ト空 間Eで こ の と き φ(f)=(u(f),f)は ‖f‖=1}を 場 合 に は,有

定 義 さ れ た 完 全 連 続 エ ル ミー ト作 用 素uに 実 数 値 函 数 で あ る.fがEの

動 い た と き のsupφ(f),infφ(f)を 限 次 元 の 場 合(定 理1.18)と

単 位 球 面 上S={f;

問 題 に し よ う.Eが 異 な り,

つ い て 考 え る.

無限 次 元 の

が な り た つ.実 で あ り,uが 0(k→

をEの1つ

の 正 規 直 交 系 と す れ ば,ek→0(弱)

完 全 連 続 で あ る こ と よ り,u(ek)→0(強).し

∞)が

し た が う か ら で あ る .こ

  定 理3.6  =1}を

際,{ek}k=1,2,…

た が っ て(u(ek),ek)→

の こ と を 注 意 し て お い て,

uを 完 全 連 続 エ ル ミー ト作 用 素 と す る.fが

単 位 球 面S={f;‖f‖

う ご い た と き の,sup(u(f),f),inf(u(f),f)は,そ

限 り到 達 さ れ る.す

な わ ち,た

と え ば 前 者 が0で

の 値 が0で な い と す る と,あ

ない

るf0∈Sが

あ っ て,  (3.17)

  証 明   Eが

有 限 次 元 の と き は な り た っ て い る か ら(定 理1.18),無

に 限 っ て 証 明 す る.(3.17)を Sの

列{fn}が

示 そ う.す

限 次元 の場 合

な わ ち,sup(u(f),f)=M>0と

す る.

あ っ て, (u(fn),fn)→M 

と な る が,必

(n→ ∞)

要 あ れ ば 部 分 列 を と る こ と に よ り(定 理2.6参

列 で あ る と 仮 定 で き る.そ →u(f0)(強)が

の 弱 極 限 をf0と

な り た つ(定

理3.2).し

か こ う.uは

照),{fn}は

弱収束

完 全 連 続 だ か らu(fn)

た が って

と 分 解 し て 考 え れ ば, (u(fn),fn)→(u(f0),f0)  が な り た つ.結

(n→ ∞)

局, (u(f0),f0)=M

が わ か る.と

ころで

‖f0‖=1で

あ る.一

理2.19),い

ま の 場 合 も し ‖f0‖<1で

般 に は 

し か い え な い が(定

あ る と す れ ば,

 が な りた ち,M(>0)が

を と れ ば,

上限

で あ る とい う仮 定 に 反 す る か らで あ る.   下 限mに

つ い て も 同 様 で あ る. 

(証終)

  つ ぎ の 定 理 は ユ ー ク リ ッ ド空 間 で よ く知 ら れ た 性 質 で あ る.そ れ ゆ え 乱 用 の き

ら い も あ る が,そ   定 理3.7  る.単

の 用 語 を そ の ま ま 用 い て 説 明 す る.

u(f)を

位 球 面S上

ヒ ル ベ ル ト空 間Eで

定 義 さ れ た 有 界 エ ル ミー ト作 用 素 と す

で 定義 され た 実数値 函 数

φ(f)=(u(f),f)がf0で(ゆ

意 味 で)極 値 μ を と る な ら ば,f0はuの1つ  (3.18) 

るい

の 固 有 ベ ク トル で あ っ て,

u(f0)=μf0

が な り た つ.   証 明   f0に

お け るSの1つ

gを(f0,g)=0を

の 接 線 に そ う φ(f)の 微 小 変 化 を 考 え る.す

満 足 す る 単 位 ベ ク トル と し,接

線f0+λg(λ:パ

なわち

ラ メ ー タ)

に そ う φ の 変 化 を み る.

と な る が,(u(f0),g)=eiθ￨(u(f0),g)￨と く と,右

し,λ=teiθ(t:実

パ ラ メ ー タ)と

お

(ピ タ ゴ ラ ス)だ

か

辺 は さ ら に φ(f0)+2t￨(u(f0),g)￨+t2(u(g),g)

と な る.そ

こ で,(f0,g)=0よ

ら,f0+λgを

規 格 化 して 単 位 ベ ク

し た が っ て,S上 =0が

り  トル に 直 し て 考 え る と,

で 考 え た φ(f)がf=f0で

極 値 で あ る た め に は,(u(f0),g)

な りた つ こ とが 必 要 で あ る.

  gは(f0,g)=0を

み た す 任 意 の も の で あ っ た か ら,u(f0)=0か,そ

け れ ば 方 向 がf0と

一 致 し な くて は な ら な い.い

な りた た な け れ ば な ら な い が,こ す な わ ち(3.18)を   う え の2つ

ず れ に し て もu(f0)=γf0が

の 関 係 を φ(f0)=μ

に 代 入 す る と,γ=μ.

え る. 

の 定 理 か ら つ ぎ の 結 果 を え る.こ

うで な

(証 終) の こ と は,1章

有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 に お け る 線 形 写 像 を 扱 う と き に は,つ

で 示 し た よ う に, ね に な りたつ 基 本 的

な 事 柄 で あ っ た.   定 理3.8  と も1つ

0で

は も つ.

な い 完 全 連 続 エ ル ミー ト作 用 素uは,0で

ない 固 有値 を少な く

  証 明   写 像uが0で

な い こ とか ら 

を 用 い れ ば よ い.実

で あ る.そ れ は 基 本 恒 等 式

際(u(f),f)≡0か

ら 任 意 のgに

対 し て,(u(f),g)=0が

導 か れ る か ら で あ る.   ゆ え に φ(f)=(u(f),f)の い.ゆ

え に 少 な く と も1つ

理3.6).こ

  3.6 

は,最

れ に 定 理3.7を

ヒル ベ ル

  Eを

な

で 到 達 さ れ る(定

用 い れ ば よ い. 

(証 終)

ト ・ シ ュ ミ ッ トの 展 開 定 理

と す る と,0で

有 値 の 集 合 は,た

限 の う ち 何 れ か は0で

大 値 ま た は 最 小 値 と してS上

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,u(f)をEで

ま ず 

で,固

単 位 球 面 上 の 上 限,下

の 完 全 連 続 エ ル ミー ト作 用 素 と す る.

な い 固 有 値 は 少 な く と も1つ

か だ か 可 算 個 で あ り,か

有 値 の 集 合 は,集

は あ る が,0で

ない 固

つ そ れ ら の 固 有 空 間 の 次 元 数 は有 限

積 点 を も っ た と して も0以

外 に は な い.こ

の こ とを以下

に 示 す.   1)  固 有 値 は す べ て 実 数 で あ り,か 互 い に 直 交 す る.こ   2) 

つ 相 異 な る 固 有 値 に 対 す る 固 有 ベ ク トル は

の こ と は 定 理1.16で

示 した.

0で な い 固 有 値 に 対 す る 固 有 空 間 の 次 元 数 は 有 限 で あ る.実 に 対 す る 固 有 空 間 が 無 限 次 元 だ と す る と,そ

{ψ1,ψ2,…,ψn,…}を ら,u(ψn)→0(n→   3) 

と る と,{ψn}は0に ∞).こ

0で な い 固 有 値

→ μ0(i→ ∞)  =1,2,…)と u(φi)→0.こ

な るφiを

と れ ば,{φi}は

れ は, 

方,各

完 全連 続 だ か

際 そ う で な い と す れ ば,μi

と れ る が,u(φi)=μiφi,‖ 正 規 直 交 系 を な し,前

φi‖=1(i

と 同 じ 理 由 よ り,

と 矛 盾 す る. な い 固 有 値 の 集 合 に,絶

の さ い 同 じ固 有 値 に 対 し て,そ

束 す る.他

方uは

ψnと 矛 盾 す る.

す べ て 孤 立 点 で あ る.実

と な る 列{μi}が

  以 上 の 結 果 か ら,0で け,そ

μ0は

有 値 

の固 有空 間 の 中 に正規 直交 系

弱 収 束 す る が,他

れ はu(ψn)=μ

際,固

対 値 の 大 き さ に よ って 番 号 を つ

の 固 有 空 間 の 次 元 数 だ け 重 複 して と る と約

固 有 空 間 に 適 当 に 正 規 直 交 系 をえ ら ぶ こ と に よ っ て,1列

で な い 固 有 値 の 列{μ1,μ2,…,μn,…}, 

の0 と,

そ れ ぞ れ に 対 応 す るuの 固 有 ベ ク トル の 列(正 規 直 交 系){φ1,φ2,…,φn,…}が

え

ら れ,   (3.19)

が な り た つ.   定 理3.9 

(ヒ ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 展 開 定 理) 

のf∈Eに

対 して,

上 記 の 規 約 の も と に,任

意

  (3.20)

が な り た つ.さ

ら にu(f)=0か

らf=0が

し た が うな ら ば,任

意 のf∈Eに

対 し て,   (3.21)

が な り た つ(固 有 ベ ク トル 系 の 完 全 性).   証 明   (3.20)を

u(f)とu(f)と

辺 をu(f)と

お く.す

は, 

一 致 す る .実 2,…)が

示 す.右

際,u,uは

な わち

で 張 ら れ る 部 分 空 間 の 閉 包Mの と も に 有 界 作 用 素 で あ り,か

上では

つu(φi)=u(φi)(i=1,

な り た つ か ら で あ る.

  つ ぎ にMの

直 交 余 空 間M⊥

をE0と

す る と,

E0={f;u(f)=0} で あ る こ と を 示 そ う.ま

ずf∈E0と

す る と, 

だ か らu(f)∈E0す ゆ え に,も

しE0上

で 

で あ れ ば,定

値 に 対 す る 固 有 ベ ク トル がE0の で はu(f)≡0.逆

不 変 部 分 空 間 で あ る.

理3.8に

よ り,uの0で

中 に あ る こ と に な り仮 定 に 反 す る.ゆ

にu(f)=0で

(f,φi)=0(i=1,2,…)で   ゆ え に,uとuと

な わ ちE0はuの

あ れ ば, 

な い 固有 え にE0 よ り,

あ り,f∈E0. は,と

のf∈E(=M E0)に   最 後 に,(3.19),(3.20)よ

も にE0上

で0で

あ り,上

記 の 結 果 と 合 わ せ て,任

対 し て 一 致 す る こ と が わ か る. り

意

が し た が う が,u(f)=0⇒f=0を   (3.20) 

仮 定 す れ ば(3.21)が

な り た つ. 

(証 終)

よ りた だ ち に

 (3.22)

  一 般 に 有 界 エ ル ミー ト作 用 素uが  あ る い は 厳 密 に,負

で な い(non

て,(u(f),f)>0の 値(negative

を み た す と き 正 値(positive)

negative)で

と き 正 定 値(positive definite)で

らf=0が

し た が う,す

ら に 

に対 し

definite),(u(f),f)<0の

あ る と い う.(3.22)よ

で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ り,uが u(f)=0か

あ る と い い,さ

り,uが

とき負 定

正 値 で あ る た め に は, 

正 定 値 で あ る た め に は,μi>0で な わ ち0はuの

か つ,

固 有 値 で な い こ と,が

必

要 十 分 で あ る こ と が わ か る.   定 義3.3  (3.20)を

uを 完 全 連 続,正

の エ ル ミ ー ト作 用 素 と す る.そ

の と き 

を,

用 いて

  (3.23)

で 定 義 す る. 

も ま た 正 の 完 全 連 続 エ ル ミー ト作 用 素 で あ り,そ の 固 有 値 は,

重 複 度 も 含 め て 

固 有 函 数 系 は{φi}と,uの

固 有 値0に

対 す る固有 空 間

で 与 え ら れ る.  

で あ る こ と を み る の は 容 易 で あ る.実 際,fと f0∈E0と

い う 元 は,Eで

稠 密 で あ る が,こ

して, 

の よ うな 元 に 対 し

て両者は一致するか らであ る.

  3.7  逆 作 用 素 に 対 す る展 開定 理  われわれ にとって前節の展開定理が有用なのは,本 質的には 1)  Eが 無 限 次 元 で あ り,   (3.24) 

2)  u(f)=0か

{

場 合 で あ る.こ た つ.こ

らf=0が

した が う(こ の と きuは 閉 じて い る

とい わ れ る) の と き に は 固 有 値 は 可 算 無 限 個 か ら な り,￨μi￨→0(i→

の こ と は(3.21)に

他 な ら な い が,も E=M 

∞)が

う一 度 証 明 を く り返 す と,一 E0

な り

般 には

と 直 和 分 解 さ れ る が,2)よ

りE0={0}で

す な わ ち{φ1,…,φn,…}はEで   一 般 に,ヒ

完 全(complete)で

ル ベ ル ト空 間Eの

(f,φi)=0(i=1,2,…)か {φ1,…,φn,…}の

あ る. 完 全 で あ る と は, い か えれ ば,

結 合 で 張 ら れ る 部 分 空 間 の 閉 包 をM

な わ ちM=Eと

任 意 の 元 が{φ1,…,φn,…}の

な る.

し た が う と き を い う.い

う ち の 任 意 有 限 個 の1次

る と い う こ と で あ る.ま

た が っ てF=Mと

正 規 直 交 系{φ1,…,φn,…}が らf=0が

と す れ ば,M⊥={0},す ば,Eの

あ り,し

な る と き を い う.さ 適 当 な 有 限1次

らに いい か えれ

結 合 で い く らで も近 似 で き

た こ の と き に は,

  1)  展 開 可 能 性   任 意 のf∈Eに

  2)  パ ー シ バ ル(Parseval)の

対 して,

等 式   任 意 のf∈Eに

対 し て,

 (3.25)

が と も に な り た つ.   こ の こ と を 示 し て お く.   fと

有 限 個 の 正 規 直 交 系{φ1,…,φn}が

与 え ら れ た 場 合,φ1,…,φnで

るn次

元 部 分 空 間 をMと

の 距 離,す

え る φ0∈Mは,2.2の た 垂 線 の 足,す

で あ る.こ れ て い る.こ

す る.fとMと

な わ ち, 

正 射 影 の と こ ろ で 示 し た よ う に,fか

な わ ち 正 射 影pM(f)で

の こ と は,函

あ り,し

数 空 間 の 言 葉 で,最

れ よ り,fが{φ1,…,φn,…}の

左 辺 を み る と,

らM上

へ おろ し

良 近 似(best

approximation)と

任 意 有 限1次

結 合 で い く ら で も近 似

 (3.26)

  つ ぎ に,(3.26)の

を与

た が っ て,

で き る と い う こ と と,

とが 同 等 で あ る こ と が わ か った.す

張 られ

な わ ちfは 展 開 可 能 で あ る .

よば

で あ る こ と よ り,(3.25)を え に い っ た1),2)の る.証

え る.ま

た あ き ら か に こ の 逆 も 正 し い.す

何 れ か が な り た て ば,{φ1,…,φn,…}は

な わ ち,う

完 全 正規 直交 系 であ

明 は 容 易 で あ る の で 省 略 す る.

  (3.24)の

仮 定 の も と で,

  定 理3.10 

uに

よ るEの

な い.g∈u(E)で

像u(E)はEで

稠 密 で あ る.し

か しEに

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,gの{φ1,…,φn,…}に

フ ー リ エ 係 数{(g,φi)}i=1,2,…

は一 致 し 対す る

が,

  (3.27)

を み た す こ と で あ り,そ

の と きgの

原 像f=u−1gは,

 (3.28)

で あ ら わ さ れ る.   証 明   稠 密 性 は あ き ら か.実 り, 

のuの

  仮 定 よ りuは1対1で

際,有

限1次

像 に な っ て い る か ら で あ る.

あ り,gがu(f)で (g,φi)=μi(f,φi) 

で あ る.し

結 合c1φ1+…+cnφnは,(3.20)よ

あ る と す れ ば, (i=1,2,…)

た が っ て,

が え ら れ る.逆

にgが

こ の 条 件 を み た す とき,フ ー リエ 係 数 が 

で 定 義 され る形 式 和

はEの

元 とな り,uの

が な り た つ. 

連 続 性 を考 慮 す れ ば,

(証 終)

  注 意  (3.24)の な おu−1の

仮 定 の も と で,逆

定 義 域 は,u(E)で

定 義 域 をD(u−1)と   定 理3.11 

作 用 素u−1は

あ り,そ

決 し て 有 界 作 用 素 に な ら な い.

れ が(3.27)で

特 徴 づ け ら れ た.u−1の

か こ う.

(3.24)の

仮 定 の も と に,

が な り た つ.   証 明   (3.28)よ

り,

で あ り,内 積 の 連 続 性 か ら,

が な りた つ. 

(証終)

  最 後 に,複 素 パ ラ メー タ λを含 む 方 程 式   (3.29) 

(λ−u−1)f=g

を 考 え よ う.こ こ でg∈Eが

与 え られ た元 で あ り,f∈D(u−1)が

求 め る もの

で あ る.   (3.29)の

両 辺 の φiに 対 す る フ ー リ エ 係 数 を ひ と し い と お く と,

で あ り,し

た が っ て, 

で な くて は な ら な い が,フ よ り,こ

と す る と,

ー リエ 係 数{(f,φi)}i=1,2,…

の 右 辺 を 係 数 と す る フ ー リエ 級 数 はD(u−1)に

が(3.27)を

みたすこ と

ぞ くす る こ と が 容 易 に わ

か る.   よ っ て,つ   定 理3.12 

ぎ の 定 理 を え る. (3.29)は 

で あ る か ぎ り,一

意 的 な 解fをも

ち,

で 与 え ら れ る.さ

ら に 

十 分 条 件 は,gが

μiに 対 す るuの 固 有 空 間 と直 交 す る こ とで あ る.

  3.8 

で あ る と き,解

を 少 な く と も1つ

もつ た め の 必 要

固有 函数 系 の完全性

  前 節 の 結 果 を微 分 作 用 素 に適 用 して み よ う.そ の 事 情 を 実 例 に よ って 示 す.   例1 

3.4例2に

つ い て 考 察 を つ づ け よ う.し た が って 仮 定 は そ の ま ま とす る.

と こ ろ で 以 後 の 推 論 で は,C01(R1)― 函 数―

がE1で

台 が コ ン パ ク トで あ る よ うなC1ク

稠 密 に な って い る こ と が 必 要 な の で,そ

が 十 分 大 き い と こ ろ で は,あ

る δ(>0)が

ラスの

の た め に た とえ ば,￨x￨

とれ て

 (3.30)

と い う 条 件 を つ け 加 え る*.こ

の と きC01(R1)のE1で

に 示 さ れ る.ζj(x)(j=1,2,…)と あ り, 

で は1, 

で は, 

と り,f∈E1に

と な る が,右

し て, 

の 稠 密 性 は,つ

し た が っ てj→

∞

は(3.30)よ

の と き0に

で は0で と な る よ うな も の を

対 し て,fj=ζj(x)f(x)と

辺 第2項

ぎの よ う

す る と,f−fj=(1−

り, 

近 づ く か ら,こ

ζj)fよ

り,

で 評 価 さ れ, れ よ り容 易 に, 

が わ か る.   話 を も と に 戻 し て 考 え よ う.3.4で 件 の も と に,g∈L2(R1)に  (3.31) 

示 し た よ う に, 

対 して, (Gg,φ)1=(g,φ), 

*  この よ うな 条 件 は 問 題 の と り扱 い に 必 要 な も の で は な い E1の 定 義 を か え て,C01(R1)を

の条

φ ∈E1

.こ の種 類 の条 件 をつ け な い 場 合 に は,

ノ ル ム‖f‖1で 完 備 化 した 空 間 をE1と

す れ ば よ い.

を みた す グ リー ン 作 用 素GはL2(R1)の   1) GをE1か

らE1へ

  2) GをL2(R1)の

作 用 素 と みて も エ ル ミー ト作 用 素, お いて,g∈E1と

 (3.32) 

し,φ=gと

お く と,

(Gg,g)1=(g,g)

が な りた ち,右

辺 は〓0で

あ る が,(3.32)よ

あ る(し た が っ て 勿 論 実 数 値)こ

と に 注 目 す れ ば よ い.

り,

 (3.33) 

(Gg,g)=(GG(g),g)1=(Gg,Gg)1

で あ り,E1がL2(R1)で

稠 密 で あ る こ と,お

用 素 で あ る こ と を 考 慮 す れ ば,極 い こ と が わ か る.と り),(3.33)よ さ れ,前

こ ろ で,

の 作 用 素 と み れ ば 有 界 エ ル ミー ト作 用 素,

で あ る.1)は(3.31)に

2)で

完 全 連 続 作 用 素 で あ っ た.と

限 移 行 に よ り,こ

こ ろ で,Gg=0か

りGは

よ び,GがL2か

と し(い ま の 場 合 は,後

の連 続 作

の 式 は 任 意 のg∈L2で

正 し

し た が う か ら(Gの

定義 よ

らg=0が

正 定 値 で あ る こ と が わ か る.し

節 に あ げ た 結 果 が す べて 適 用 で き る.ゆ

らE1へ

た が って 前 節 の 仮 定 が み た

え にGの

固有 値 を

で 示 す よ うに 固 有 空 間 は た か だ か2次 元 で あ る),そ

れぞ

れ 対 応 す る規 格 直 交 化 さ れ た 固 有 函 数  (3.34)

を と る と, 

はL2(R1)の

 と こ ろ で,(3.34)  (3.31)を

完 全 正 規 直 交 系 を な し て い る.

に φ ∈E1とE1の

内 積 を と り,Gの定義

式

考 慮 す れ ば,

  (3.35)

を え る.か

き か え れ ば,任

意 のφ

∈E1に

対 して,

  (3.36)

が な りた つ.逆

も 真 で あ る.す

た て ば,(3.34)が

な り た つ.

  さ て,(3.36)で

あ る が,φ(x)と

な わ ち,(3.36)が

の意 味 で  (3.37)

し て,と

任 意 の φ ∈E1に

く にC01(I)の

対 して な り

元 を と る と,超

函数

が な りた つ.し

た が って 例 え ば,定

とが わ か る が,い

理2.13を

適 用 す れ ば,φi(x)∈C2で

ま の 場 合 は 自 明 で あ る.す な わ ち,定 理2.9を

が な りた っ て お り,φi(x)∈C0は

使 え ば,

す で に わ か っ て い る か ら,φi′(x)の

微 分 可 能 性 が 同 時 に し た が う.し

た が っ て(3.37)は

あるこ

連 続 性,

普 通 の 意 味 で な り た つ.

  そ こ で,  (3.38) 

L(f)=−(p(x)f′(x))′+r(x)f(x)

と お け ば(3.37)は,

  (3.39)

で あ る.こ

こでφi∈C2∩E1で

あ っ た.φiは

微 分 作 用 素Lの

固 有 値1/μiに

対

す る 固 有 函 数 で あ る.   と こ ろ で こ の 逆 も 正 しい.す  (3.40) 

なわ ち L(f)=λf

を み た すf∈E1∩C2は  (3.41)  を み た す.実

λGf=f 際(3.40)の

両 辺 と φ ∈C01(R1)と

のL2(R1)で

の 内 積 を と り,

部 分 積 分 に よ っ て,

を え る が,C01(R1)がE1で

稠 密 で あ る こ と を仮 定 した か ら,極 限 移 行 に よ って,

こ の 関 係 式 は 任 意 の φ ∈E1で な りた つ.な

お 

な りた つ.ゆ

とす る と,φ=fと

した が って1/λ は{μn}の

え に 前 に注 意 した よ うに,(3.41)が お く こ と に よ って,λ>0も

何 れ か で な くては な ら な い.し

わ か る.

た が って,

  (3.42)

と お くと

が,Lの

す べ て の 固 有 値 で あ り,{φ1,φ2,…,φn,…}が

そ れ ぞれ に対 応す る固有 函

数 列 で,φi(x)∈E1∩C2で 式L(f)=λfを

あ っ た.こ こ で 注 意 を 与 え て お く.た ん に微 分 方 程

満 足 す る とい う こ と だ け で は,い

も,い つ で も0で な い 解f(x)∈C2が

か な る パ ラ メ ー タ λに 対 して

あ る(微 分 方 程 式 の解 の存 在 定 理) .し か

しわ れ わ れ は 固 有 函 数 に 対 す る 条 件 と して,本 質 的 に は 無 限 遠 の 挙 動 に 関 す る制 限 と して,そ の 列{λn}が

れ がE1に

ぞ くす る とい う制 限 を お い た結 果,う

え の よ うな 固 有 値

で て き た の で あ る.

  固 有 空 間 は た か だ か2次 元 で あ る.例 固 有 函 数f1(x),f2(x)が

で あ り,こ

え ば,λ=λiに

あ っ た とす る と,1次

れ よ り,L(f)−

λif=0の

対 す る1次 独 立 な2つ

の

独 立性 よ り

任 意 の 解 はf1,f2の1次

結 合 で表 わ され

る こ と が わ か る.   問 題 と して は 微 分 作 用 素(3.40)か 定 義 域D(L)が 味 でLを

ら 出 発 す る の が 普 通 で あ る.そ

問 題 に な る が,D(L)と

と り,L(f)∈L2(R1)と

f(x)∈C1∩E1で

して,f(x)∈E1で,か

な る よ う なfの

あ り,か

つf′(x)が

の と き,D(L)は か らD(L)の

作 用 素Gの

値 域(range)に

上 へ の1対1写

つ 超 函数 の意

全 体 を と る.も

絶 対 連 続 で あ っ て,ほ

ろ の 意 味 で 定 義 さ れ るL(f)(x)がL2(R1)に

ぞ くす る よ う なfの 他 な ら ず,し

像 で あ る こ と か ら,GとLと

の と きLの

っ と 具 体 的 に, とん ど至 る と こ 全 体 で あ る .こ

た が っ てGがL2(R1) は 互 い に逆 写 像 で あ

る:L=G−1.   い ま ま で の 結 果 と,定   定 理3.13 Lの

理3.12を

あ わ せ れ ば,

固 有 函 数 系{φ1,φ2,…,φn,…}はL2(R1)の

完 全正 規 直交 系

を な す. (λ−L)(f)=g∈L2(R1) の 解f(x)∈D(L)は, 

の と き 一 意 的 に 存 在 し,

 (3.43)

と表 現 で き る.λ=λiの るLの

と き,解

固 有 函 数 φi(x)とg(x)と

を も つ た め の 必 要 十 分 条 件 は,λ=λiに が 直 交 す る こ とで あ る:(g,φi)=0.

対す

  注 意   (3.43)の ばf∈D(L)に

収 束 の 意 味 に つ い て 説 明 して お く.ま ず 定 理3.11を 対 して,

が な り た つ こ と が わ か る.と おい て

φ=φjと

で あ る.す

こ ろ で 左 辺 は(f,f)1に

な わ ち, 

し て い る.仮

はE1で

にD(L)(⊃C02(R1))はE1で

空 間 がE1で

方,(3.35)に

の 正 規 直 交 系 を な して い る .

元 に 対 す る パ ー シ バ ル の 等 式 が な りた つ こ と を 示

定 よ り,C01(R1),し

た つ こ と は,し

ひ と し い.他

お く と,

ゆ え に う え の 等 式 は,D(L)の

E1の

適用すれ

た が ってC02(R1)はE1で 稠 密 で あ る .パー

た が っ て,{φ1,φ2,…,φn,…}の

稠 密 で あ り,ゆ

シ バ ル の 等 式 がD(L)で

任 意 有 限1次

え な り

結 合 で 張 ら れ る部 分

稠 密 で あ る こ と を示 して お り,こ れ よ り, 

完 全 正 規 直 交 系 を な す こ とが わ か っ た(3.7参

が

照) .ゆ え に,E1に

お け るパ

ー シバ ル の等 式

 (3.44)

が 示 さ れ た.こ

の結 果(3.43)の

右 辺 の 収 束 はE1の

位 相 で の収束 列 に な って い る

こ と が わ か る.実 際,

が な り た つ か ら で あ る.ゆ 強 い か ら(定 理2.4の

  例2(正

え に,E1の

証 明 参 照),(3.43)は

  (3.45) 

則 境 界 値 問 題)  I=(a,b)を

任 意 有 限 区 間 で 一 様 収 束 で あ る.

有 限 区 間 と し,

L(f)=−(p(x)f′(x))′+r(x)f(x)

と す る.p(x)∈C1[a,b],p(x)>0,と と す る.例1で

収 束 は任 意 有限 区間 の一様 収 束位 相 よ り

はr(x)>0と

しr(x)は[a,b]で し た が,こ

連 続 な実 数 値 函数

れ は 簡 単 の た め で あ っ た.実

際,r(x)

>−cと

す る と,(L+c)(f)をL(f)の

て,(λ−L)(f)=gを

考 え る さ い に は,{(λ+c)−(L+c)}(f)=gと

て ゆ く こ と に す れ ば,固 間E1に

有 値,固

有 函 数 な ど,本

ぞ くす る と い う こ と は,cの

3.13は,そ

し

して 考 え

質 的 な も の に は,例

え ば,空

と り方 に 無 関 係 で あ る こ と が わ か り,定

理

の ま ま な り た つ こ と が わ か る(読 者 は こ れ を 確 か め ら れ た い) .

  さ て も と に 戻 っ て,こ で,f(x),f′(x)が の を と ろ う.こ

の 場 合,内

理3.13が

  こ こ で1.1で

して,[a,b]で

あ り,か

絶 対 連 続 な 函 数f(x)

つf(a)=f(b)=0を

みた す も

積 と して,

完 備 で あ り,ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.な おcは,い

よ うにr(x)+c>0と た ち,定

こ で は 空 間E01と

と も にL2(I)で

を 導 入 す る.E01は

な る よ うに え らぶ.こ

の と き,例1と

まい った

全 く同 じ推 論 が な り

そ の ま ま な りた つ.

提 出 した 問 題 の 部 分 的 解 決 を 与 え て お く.部 分 的 とい っ た が,作

用 素Lが

うえ の 形,す

  λ=0が

作 用 素Lの

=0が

代 り に と っ て 考 え て ゆ け ば よ い.そ

な わ ち,形

式 的 自 己 共 役 の 場 合 に限 っ た か ら で あ る.

固 有 値 で あ る と き と,そ

固 有 値 で あ る とは,境

うで な い と き に 分 け て 考 え る.λ

界値 問題 L(f(x))=0 

{

,

f(a)=f(b)=0

がC2ク

ラ ス の 函 数 

を 解 と して もつ こ と で あ る.す

な わ ち,斉

次境 界

れ わ れ の 問 題 は,c1,c2を

任意に

値 問題 L(f)=g,

{

 (3.46) 

  f(a)=f(b)=0

に 対 して,解

の 一 意 性 が な りた た な い 場 合 で あ る.

  λ=0がLの

固 有 値 で な い と き を 考 え る.わ

与 え て, L(f)=0,

{

 (3.47) 

f(a)=c1, 

を 満 足 す るC2ク v(b)=c2と

ラ ス の 函 数f(x)を

f(b)=c2

求 め る こ と で あ る.そ

な る よ う なv(x)∈C2[a,b]を1つ

の た め に,v(a)=c1,

と る(例 え ば,1次

函 数 と して よ

い).そ

こ で f(x)=u(x)+v(x)

と お く と,(3.47)は, L(u)=−L(v(x)),

{

 (3.48) 

  u(a)=u(b)=0

を み た す,u(x)を

求 め る こ と に 帰 着 さ れ,(3.46)の

で な い か ら,定 理3.13に ∈C0[a,b]よ

形 に な る.λ=0が

よ っ て 一 意 的 な 解u(x)∈D(L)が

り,u(x)∈C2[a,b]で

あ る .ゆ

固 有値

定 ま る が,L(v(x))

え に,f(x)=u(x)+v(x)と

して

解 が 求 め ら れ た.   λ=0が

固 有 値 の 場 合 を 考 え る.ま

元 で あ る.実

際,任

ず 注 意 と し て,こ

意 の 固 有 函 数 は 

一 意 性 か らf(x)≡0と

な って し ま う)

の 場 合 は 固 有 空 間 は1次

を み た す(そ .し

う で な け れば,解

た が って,f0(x)を1つ

の

の 固有函 数

と し,

を 考 え れ ば,こ わ ち,固

れ は,aに

有 空 間 は1次

お け る 導 函 数 が0で

元 で あ る.定

理3.13を

あ る か ら 恒 等 的 に0で 適 用 し よ う.(3.48)が

あ る.す

な

解 を もつ た

め の 必 要 十 分 条 件,  (3.49) 

(L(v),f0(x))=0.

部 分 積 分 に よ って,(p(x)v′(x),f0′(x))+(r(x)v(x),f0(x))=0,さ が

λ=0に

ら にf0(x)

応 ず る 固 有 函 数 で あ る こ と よ り,

を え る.f0(x)は

実 数 値 函 数 と して 一 般 性 を 失 わ な い か ら,そ

に,v(a)=c1,v(b)=c2よ

う仮 定 し た.ゆ

え

り,

 (3.50) が,(3.49)が

な り た つ た め の 必 要 十 分 条 件 で あ る.

  よ っ て(3.48)が,し

た が っ て(3.47)が

要 十 分 条 件 が 求 め ら れ た.

少 な く と も1つ

の解 を もつ ため の必

  3.9 

変

分

法(Ⅱ)

  前 節 の 例1,例2を

直 接,変

分 学 的 方 法 に よ っ て あ つ か う こ とが で き る の で こ

れ を 示 そ う.そ の さい

は つ ぎ の 性 質 を も っ た.   1)  E1の

有 界 集 合 はL2(I)の

  2)  E1はL2(I)の   そ こ で,こ E1が

稠 密 な 部 分 空 間 を な す.

の 事 情 の も と で 一 般 的 に 考 え る.ヒ

与 え ら れ,E1自

て い る と す る.E0は く.仮

位 相 で 相 対 コ ン パ ク ト,

身 は 内 積(f,g)1に

ル ベ ル ト空 間E0の

よ っ て,1つ

前 節 の 例 で はL2(I)で

の ヒ ル ベ ル ト空 間 に な っ

あ っ た.E0の

内 積 を(f,g)0と

か

定 と し て,

1)  E1の 単 位 球 はE0の

{

  (3.51) 

 2)  E1はE0の

も ち ろ ん,こ

の と きE1の

し た い.な

位 相 で 相 対 コ ン パ ク ト,

稠 密 な 部 分 空 間 で あ る.

位 相 はE0よ

が な りた つ こ と を示 した が,上

り強 い.前

節 の 例 で は,

の仮 定 の も と で,こ

お ‖f‖1はデ ィ リク レ ノル ム(Dirichlet

の 関 係 式 が な りた つ こ と を 示 norm)と

よ ば れ る 場 合 が 多 い.

  こ こ で は,‖f‖12に 変 分 学 的 方 法 を適 用 す る の で あ る が,E1で E0で

部 分 空間

は 弱 位 相 で 考 え,

は 普 通 の 位 相(強 位 相)で 考 え る.

  fがE0の

単 位 球 面 上 

を うご い た と き の,‖f‖12の

と る値 の 下 限 を λ1(>0)と す る. 

とい う{fj}(∈S0)が

当 な 部 分 列 を と り,そ れ を あ らた め て,{fj}と す る.と

あ る が,適

か き,fj→f0∈E1(弱,E1)と

こ ろ で ノ ル ム‖f‖1の 弱 収 束 列 に 関 す る 下 半 連 続 性(定 理2.9)に

よ り,

  (3.52)

が な り た つ.他 ら,必

方{fj}は(3.51)に

要 あ れ ば,さ

こ の と き,g=f0で

よ り,E0の

位 相 で 相 対 コ ン パ ク トで あ る か

ら に 部 分 列 を と る こ と に よ り,fj→g(強,E0)が あ る.実

際,列{fj}はE0の

弱 収 束 列 で あ り,弱

な り た つ. 極 限 の一

意 性 か ら,g=f0を

え る.ゆ

え に,‖f0‖0=1で

あ り,ゆ

え に,λ1の

定義から

等 号 に お い て な り た つ.

  fはE0の

ノル ム で 規 格 化 した が,こ

で あ って    φ ∈E1を

れ を や め れ ば,

で 等 号 が な りた つ. 任 意 に1つ

して,f=f0+λφ

え ら ん で お い て λ を0の 近 傍 を動 く複素 パ ラ メー タ と

と して,

 (3.53)

を 考 え る と,い ま ま で 何 度 もや っ た よ う に,λ=0の め に は,左

辺 を λで 展 開 し,λ の1次

を え る が,λ

の 偏 角 を(f0,φ)1−

λ=teiθ(tは実

と な る.ゆ

が 必 要 で あ る.こ

の 係 数 と して

λ1(f0,φ)0=eiθ￨(f0,φ)1−

パ ラ メ ー タ)と

え に,t=0の

近 傍 で こ の 式 が な りた つ た

す れ ば,こ

近 傍 で(3.53)が

λ1(f0,φ)0￨と

し た と き

の 式 は,

な り た つ た め に は,

こ で 記 号 を か えて,f0=φ1と

す れ ば,

 (3.54)

を え る.こ

こ で,φ

∈E1は

  つ ぎ に,(f,φ1)0=0の

任 意 で あ っ た. 仮 定 の も と で,fがE0の

‖f‖12の 下 限 を λ2と す る.こ 意 さ れ た い. 

の さ い 直 交 条 件 はE0の

で あ る.前

ゆ え に 

内積 の意 味 であ る こ とに注

と 同 様 な 推 論 に よ っ て,E1の

fj→f0(弱,E1),fj→f0(強,E0),  φ1)0=0(j=1,2,…)で

単 位 球 を う ごい た と き の

あ る が,極 が な り た つ.そ

列{fj}が

が な り た つ.と 限 移 行 に よ っ て,(f0,φ1)0=0が こ で 前 と 同 様 に して,こ

が,(φ,φ1)0=0を

み たす任 意 の

  以 下 こ の 方 法 を く り返 せ ば,

φ ∈E1に

こ ろ で,(fj, な り た つ.

のf0をφ2と

  (3.55)

対 し て なり た つ.

とれ て

お くと

 

と, 

限 次 元 と して お く),各nに

とい うE1の

列 が とれ て(E0は

無

対 して,

 (3.56) 

{た だ し, が な り た つ.ま

た 各 λnに 対 して,

 (3.57)

が な り た ち,か φ1,…,φn−1と

つf=φnの

と き 等 号 が な り た つ.実

直 交 し て い る か ら,こ

  {φ1,…,φn,…}はE0の

際, 

は,

れ は λnの 定 義 に 他 な ら な い.

内 積 の 意 味 で 正 規 直 交 系 を な す よ う に と っ た が,(3.56)

よ り

  (3.58)

が え ら れ る.し た が っ て

 

はE1の

内積 の意 味で の正 規 直交 系

を な す.   (3.57)に

対 して 注 意 を 与 え て お こ う.E0の

は 同 時 にE1の 照).し

意 味 で の 正 射 影 に は な っ て い な い(射 影 に は な っ て い る)(1.5参

か しpM(f)と{φ1,…,φn−1}はE1の

実 際(3.54)の

つ ぎ に(3.55)と,こ

フ ー リエ 係 数 の 関 係 を み れ ば

の 結 果 を み れ ば,

以 下 順 次 に や って ゆ け ば よい.ゆ

 (3.59)

が な り た つ.

内積 の意味 で の 正射 影

え に,

内 積 の 意 味 で も 直 交 して い る.

  つ ぎ に λn→+∞ あ り,仮 E0の

で あ る.も

定 よ り{φn}はE0の

しλn→μ(<+∞)と

が え ら れ る.す

固 定 して,n→

∈E0に

て(3.57),(3.59)よ

と す る と,λn→+∞

対 し て{φi}に

照).ゆ

り,(f,φ2)0=0,以 ゆ え にf=0.す

{φ1,φ2,…,φn,…}はE0の

の 展 開 可 能 性 は 任 意 のf

完 全 正 規 直 交 系 を な す.

み た す と す る.ま

適 用 し て,(f,φ1)0=0.つ 下 順 次 に や っ て ゆ く と,結 な わ ち,{φi(x)}のE1で

  定 理3.15

よ り,

えに

  つ ぎ に,f∈E1が(f,φi)1=0(i=1,2,…)を φ1)1=0に(3.54)を

り,

対 す る 展 開 可 能 性 が 示 さ れ た.

稠 密 で あ る と し た か ら,こ

対 し て な り た つ(3.7参

  定 理3.14 

∞

な わ ち,f∈E1に

仮 定 と し て,E1はE0で

で

位 相 で 相 対 コ ン パ ク トで あ る べ き だ が,{φn}は

正 規 直 交 系 で あ る か ら 矛 盾 で あ る.さ

を え る が,f∈E1を

す る と, 

 はE1で

ぎ に,こ

ず(f,

の こ と と,(3.55)よ

局,(f,φi)0=0(i=1,2,…). の 完 全 性 が 示 さ れ た.

の完 全 正 規 直 交 系 を な す.任 意 のf∈E1

に対 し て,  (3.60)

が な りた ち,パ ー シ バ ル の 等 式 は

と な る.   証 明   (3.56)と{φi}のE0お

よ びE1に

お け る 直 交 性 を 考 慮 す れ ば, 

(証終)   うえ の 論 法 で{λn}と い う列 が 定 ま っ た が,そ で あ る こ と を示 して お く.ま ず   1)

れ は 前 節 の 例 で 示 した も の と同 じ

 (3.61)

が任意の

φ ∈E1に

対 し て な り た つ な ら ば 

の い ず れ か に 一 致 し,λn=μ

と な る よ う なnを,n1,n1+1,…,n1+p,と

ば,f0は{φn1,…,φn1+p}で

フ ー リエ 係 数 は(3.60)に

で あ る.ゆ

λiの

れ と{φi}がE1の   2)  f∈E0と

すれ

張 ら れ る 部 分 空 間 に ぞ くす る.

  [証 明]  f0の

えに

μ は い ま え ら れ た{λn}

よ り,

う ち で μ と 一 致 し な い フ ー リエ 係 数 は す べ て0で

あ り,こ

完 全 系 で あ る こ と を 考 慮 す れ ば よ い.  す る.反

線 形写 像

て,(f,φ)0=(Gf,φ)1が

φ ∈E1→(f,φ)0に

え ら れ る が,こ

  (3.62) 

のGを

(証 終) リー ス の 定 理 を 適 用 し

用 い れ ば,(3.61)は

f0=μGf0

と 同 等 で あ る.証

明 は 容 易 で あ ろ う.

  3)  以 上 よ り,{λn−1}n=1,2,…

はGの

固 有 値,{φn}n=1,2,…

は対応 す る固有 ベ

ク トル に 他 な ら な い.

  3.10 

一 般 展 開 定 理

  ヒ ル ベ ル ト空 間Eで

定 義 さ れ た 完 全 連 続 作 用 素uに

て エ ル ミ ー ト性 を 仮 定 し な い 場 合,つ こ と が で き る.こ   定 理3.4 

つ い て 考 え る.uに

ぎ に の べ る よ う な 方 法 で,展

つい

開定 理 をえ る

の 事 実 は シ ュ ミ ッ トに 負 う.

に よ り,uu*,u*uは

(u*uf,f)=‖uf‖2と ト作 用 素 で あ る.し

して,と

と も に 完 全 連 続 で あ り,(uu*f,f)=‖u*f‖2, も に 正 の(く わ し く は 負 で な い)完 全 連 続 エ ル ミー

た が っ て ヒ ル ベ ル ト ・ シ ュ ミ ッ トの 展 開 定 理 が な り た つ(定

理3.9):

こ こ で,μi,νi>0で

あ り,{φi},{ψi}は

と も にEの

正 規 直 交 系 を な す .ま

μi,νiは そ の 重 複 度 ま で 含 め て 一 致 す る こ と を 注 意 し よ う.実 し て,μiの

重 複 度,す

な わ ち μ に 対 す る 

際 μ を μiの1つ

の 固 有 空 間 の 次 元 をpと

ず と

す る.

そ して{φi0,…,φi0+p−1}を 有 値 で あ り,固

の と き,両

固 有 空 間 の 基 底 と し よ う.と

有 空 間 は 一 致 す る.そ

辺 にu*を

こ ろ で,μ2はuu*の

固

こ で,

作 用 さ せ, u*u(u*φi)=μ2u*φi

で あ り,か

つ 

だ か ら,{u*(φi)}はu*uの

次 独 立 な 固 有 ベ ク トル で あ る.し

た が っ て,と

何 れ か に 一 致 し な く て は な ら な い.い

μ2に 対 応 す る1

く に μ2はu*uの

ま の 推 論 を,u*uか

に よ っ て 同 様 な 結 論 を え る か ら,{μi},{νi}は か る.さ

固 有値

固 有 値{νi2}の

ら 出 発 して 行 な うこ と

重 複 度 も含 め て 一 致 す る こ とが わ

らに

で あ る か ら,ψiと

し て,あ

らた めて

  (3.63)

を採 用 す る こ とに よ っ て,う

え に の べ た 展 開 は,

  (3.64)

と い う 形 で あ る と し て よ い.   こ の よ う に し て お い て,u(f)の る と,(3.63)に

正 規 直 交 系{φi}に

対 す る フー リエ 係 数 を 求 め

よ り,

  (3.65)

を え る.さ はu*(f)=0を

ら に{φ1,φ2,…,φn,…}で み た すfの

  (3.66) 

張 ら れ る 部 分 空 間 の 閉 包Mの

直交 余 空 間

全 体 で あ る: M⊥={f;u*(f)=0}.

同 様 に し て,{ψ1,ψ2,…,ψn,…}で

張 ら れ る 部 分 空 間 の 閉 包M1の

直 交 余 空 間M1

⊥

は,   (3.67)  で あ る.実 =0}に

M1⊥={f;u(f)=0} 際,‖u*(f)‖2=(uu*(f),f)よ

ひ と し い が,定

理3.9の

り,(3.66)の

証 明 で の べ た よ う に,こ

右 辺 は{f;uu*(f) の 部 分 空 間 はM⊥

に他

な ら な い.(3.67)に

つ い て も 同 様 で あ る.こ

  (3.68) 

u(f)∈M; 

こ れ よ り,(3.65)な

れ より

u*(f)∈M1.

ら び に, 

し た が っ て,

(u*(f),ψi)=μi(f,φi) を 考 慮 す れ ば,   定 理3.16 

任 意 のf∈Eに

対 して,

  (3.69)

が な り た つ.   一 般 に,f→(f,ψ)φ (3.69)の

と い う線 形 作 用 素 を(φ 

ψ)(f)と

か く こ と に す る と,

最 初 の 式 は,

 (3.70)

と 表 現 さ れ,完

全 連 続 作 用 素 の 極 形 式(polar

が な りた つ が,p→

∞ の と き μp+1→0で

form)と

あ る か ら,つ

よ ば れ て い る.こ

の と き,

ぎ の 定 理 を え る.

  定 理3.17  (近 似 定 理)  uを ヒ ル ベ ル ト空 間 に お け る完 全 連 続 作 用 素 とす る. 任 意 の ε(>0)に

対 して,適

当 にpを

とれ ば,

が な り た つ.   こ の こ と を,uは

有 限 階 数(finite

rank)の

写 像 で,い

くら で も近 似 で き る とい

う.   最 後 に 展 開 定 理3.16の   (3.71) 

も う1つ {に 対 し て,  に 対 し て,

の 見 方 に つ い て の べ る.線

形 作 用 素w(f)を

と定 義 す る.く わ し くい え ば  で 定 義 す る.そ

に 対 して, 

の と き,

  (3.72)

と い う 分 解 が え ら れ る.こ

れ は も っ と 一 般 にuが

閉 作 用 素 と して な りた つ もの の

特 別 な 場 合 で あ り,完 全 連 続 作 用 素 に 対 す る 標 準 分 解(canonical と よ ば れ て い る も の で あ る.な て お り,M1⊥

で はw(f)=0に

用 素(partially

isometric

  3.11 

お,wはM1か

らM上

な っ て い る.こ operator)と

decomposition)

へ の ユ ニ タ リ変 換 に な っ

の よ うな と きwは

準 等距 離 作

よ ば れ て い る.

フ レ ドホ ル ム の 交 代 定 理

  uを ヒル ベ ル ト空 間Eで

定 義 さ れ た 完 全 連 続 作 用 素 と し,方 程 式 μf−u(f)=g

を 考 え る.μ は 複 素 パ ラ メー タ で あ る.こ れ に 関 連 して, u(f)=μf が0で

な い 解fを

だ か0に

の み 集 積 点 を も ち,し

元 で あ る.た 3.6で

もつ と き μ をuの 固 有 値 と よ ぶ.こ

だ し μ=0の

の よ うな μ の 集 合 は,た

か

た が って 可 算 個 で あ り,か つ 各 固 有 空 間 は 有 限 次

と き は 一 般 に は 何 も い え な い.こ

の こ とは,す

でに

示 した.

  そ こ で,う

え の 方 程 式 で μ を 固 定 して,可 解 性 を しら べ る. 

い て で あ る.そ れ ゆ え,両 辺 を μ で 割 った 方 程 式 に つ い て 考 え る.わ 的 は,1.2で

示 した ク ラ メ ー ル の 定 理 が そ の ま ま,い

の 場 合 につ れわ れの 目

ま の 場 合 に も な りた つ こ と

を 示 す こ と に あ る.   定 理3.18 

(フ レ ドホ ル ム の 交 代 定 理) (E) 

を 考 え る.つ

f−u(f)=g, 

(E*) 

f*−u*(f*)=g*,

(E0)  f−u(f)=0, 

(E0*) 

f*−u*(f*)=0

ぎ の 場 合 に わ け ら れ る.

  1)  (E0),(E0*)の

い ず れ か が,0以

外 の 解 を も た な い と き は,す

な わ ち(E)

ま た は(E*)の あ り,そ

い ず れ か に 対 し て 解 の 一 意 性 が な り た つ と き に は,他

の と き,(E),(E*)は

と も に 任 意 のg,g*に

方 もそ うで

対 し て 一 意 的 な 解f,f*

を も つ.   2)  (E0),(E0*)の

い ず れ か が0以

零 空 間 の 次 元 数 は ひ と し い.そ

外 の 解 を も つ と き に は 他 方 も そ うで あ り,

の と き(E)が

の 必 要 十 分 条 件 は,gが(E0*)の

少 な く と も1つ

す べ て の 解f*に

の 解f0を

もつ た め

対 して 直 交 条 件

(g,f*)=0 を み た す こ と で あ る.そ

で 表 わ さ れ る.こ 間(null

space)―

の と き(E)の

一 般 解 は,

f=f0+c1f1+…+ckfk 

(ciは 任 意 定 数)

こ で{f1,…,fk}は(E0)の

解 の 空 間―

の1つ

写 像(1−u)の

零空

の基 底 で あ る.

  証 明   相 当 長 い の で 段 階 を 設 け て 行 な う.   1)  定 理3.7に

よ っ て ε を1よ

定 理 で は 

り 小 に え ら び,uを

と な っ て い る が 

下 の 推 論 で は,{φ1,…,φp},{ψ1,…,ψp}が よ い.も

有 限 階 数 の 写 像 で 近 似 す る.

と で も 考 え れ ば よ い .以 と も に1次

独 立 で あ れ ば 何 で あ って も

ち ろん

を 意 味 す る.

は,‖uε

‖<ε

だ か ら 可 逆 で あ る.同

様 に1−uε*も

可 逆 で あ る .実

際,

(1−uε)−1=1+uε+uε2+…+uεn+… だ か ら で あ る.と

こ ろ で,(E),(E*)は,

と そ れ ぞ れ 同 等 で あ る.   さ ら に こ れ ら は,左

辺 に(1−uε)−1,(1−uε*)−1を

作 用 さ せ て え られ る方 程 式

と 同 等 で あ る.た

だし

 (3.73)

で あ る.こ

の と き{φ1′,…,φp′},{ψ1′,…,ψp′}も

ま た と も に1次

独 立 で あ る.ま

た(E0),(E0*)は

と 同 等 で あ る.   2)  (φi′,ψj)=cijと

お く.そ

の とき   が な り た つ.(ξ),(ξ*)の

形 よ り,

  (3.74)

と お い て,(ξ),(ξ*)に

い れ る と,

  (3.75) 

xi=c1ix1+c2ix2+…+cpixp+gi 

  (3.76) 

yi=ci1y1+ci2y2+…+cipyp+gi* 

を え る.こ

(i=1,…,p), (i=1,…,p)

こ で,

  (3.77) 

gi=(g,ψi), 

gi*=(g*,φi) 

(i=1,…,p)

で あ る.

  3)

と お く.ク

ラ メ ー ル の 定 理 よ りつ ぎ の こ と が な り た つ.

  A) のと

き,(3.75),(3.76)は

て 解(x),(y)を

も ち,し

  B)  det(Δ)=0の (g)=0,(g*)=0と と も にk次

と き,Δ

た が っ て,(ξ),(ξ*)は

と も に,任

の 階 数 をp−kと

意 の(g),(g*)に

解f,f*を

も つ.

す る.(3.75),(3.76)に

お い て え ら れ る 斉 次 方 程 式 の 解(x)∈Cp,(y)∈Cpは

元 部 分 空 間 を な す.し

た が っ て,

対 し

お い て,

に よ っ て 対 応 す る,f,f*の

集 合 は と も にk次

解 の 全 体 を つ く し て い る.ゆ

え に 零 空 間 はk次

  さ て(g)=(g1,…,gp)が

与 え ら れ た と き(3.75)が

を も つ た め に は,(3.76)に の 解(y)と

 (3.77) 

よ り,こ

少 な く と も1つ

の 解(x)

お い てえ られ る斉 次 方程式 の任 意

な わ ち,

れ は

こ こ で  し,上

元 で あ る.

お い て(g*)=0と

直 交 す る こ と で あ る.す

元 部 分 空 間 を な し,(ξ0),(ξ0*)の

が(ξ0*),し

た が っ て(E0*)の

任意 の 解 であ る こ とを考慮

式 をか き直 せ ば 0=(g,(1−uε*)f*)=((1−uε)g,f*) =(g,f*)

と な り,定

理 に い う 直 交 条 件 が 示 さ れ た. 

演

 1.  K(x)が

1)に

題3

有界 作 用素 であ るが完全連 続 でない こ とを示せ .

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し,{e1,e2,…,en,…}を

含 ま れ る0で

完 全 正 規 直 交 系,{μ1,μ2,…}を(−1,

な い 有 理 数 の 全 体 とす る.

で 定 義 さ れ る有 界 作 用 素uに  ⅰ)  λ∈(−1,1)の がEで 稠 密 で あ る.  ⅱ) 

問

可 積分 函数 の とき

で 定 義 さ れ る 積 分 作 用 素 はL2(R1)の

  2.  Eを

習

(証 終)

つ い てつ ぎ の 問 に 答 え よ.

と き,λ

が 無 理 数 な ら ば 像 集 合(λ −u)(E)はE全

体 に一 致 しな い

λが 有 理 数 な らば ど うか.

 ⅲ)  λが どん な と き有 界 な 逆(λ −u)−1を  3.  f(x)∈H1(I)(I=(a,b):有

もつ か.

限 区 間)が

任 意 のφ(x)∈H1(I)に

対 して

,

を み た す とす る.こ

こ でq(x)は[a,b]で

(*) 

連 続 と す る.f(x)は

u(f)=−f″(x)+q(x)f(x)=g(x)

の ふ つ うの 意 味 の 解 で2回

連 続 的 微 分 可 能 で あ る こ と を示 せ .た

続 で あ る とす る.こ

の と きf(x)は

  4.  前 問 の(*)を

満 足 し,境 界 条 件f′(a)=f(b)=0を

がf(x)≡0し うで な い 場 合,す

な わ ちu(f)=0が 

み た す 解 を考 え る.u(f)=0 対 し て解 が 存 在 し,そ

とい う解f0(x)を

対 す る 条 件 を あ げ よ.た

  5.  (リ ー ス の 定 理 の1拡

連

い か な る境 界 条 件 を 満 足 す る か.

か 解 を も た な い と き に は 任 意 のg(x)∈C0[a,b]に

す る た め のg(x)に

B[f,g]が

だ しg(x)は[a,b]で

張)  Eを

だ しq(x)は

も つ とき,解

が存在

実 数 値 函 数 と して 考 え よ.

複 素 ヒル ベ ル ト空 間 と し,E×Eで

定 義 され た

つ ぎ の条 件 を み た す とす る:

  1)  B[f,g]はgを

固 定 した 場 合fに

に つ い て 反 線 形(anti-linear)汎   2)  δ>0,M>0が

  こ の ときE上

つ い て線 形 汎 函 数 で あ り,fを

固 定 した 場 合,g

函 数 で あ る((2.19)参 照).

とれ て,

で 定 義 さ れ た 任 意 の連 続 な 反 線 形 汎 函 数l(f)に

対 して,

l(f)=B[g,f] と な る よ うなg∈Eが

が な り た つ.こ

一 意 的 に定 ま る.ま

た こ の とき

の こ と を つ ぎ の 段 階 に わ け て 証 明 せ よ.

 ⅰ )  B[f,g]=(f,g)1+i(f,g)2.こ

こで

  で あ る.(f,g)1,(f,g)2は で あ る.す  ⅱ) 

Eに

な わ ち(f,g)i=(g,f)i(i=1,2). 内 積(f,g)1を

導 入 し た 空 間 をHと

同 等 で あ る こ と よ りHはEと  ⅲ) 

と も に エ ル ミー ト形 式

と‖f‖

とは

集 合 な ら び に 位 相 が 一 致 す る ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.

リ ー ス の 定 理 よ り,Hの

が 任 意 のf∈H(=E)に

す る と, 

有 界 エ ル ミー ト作 用 素uが

対 し て な り た つ.こ

あ っ て,(g,f)2=(u(g),f)1

れ よ り

((1+iu)(g),f)1=l(f) を み た すgを な るg*が

求 め る こ と に 帰 着 さ れ る.す 定 ま り,つ

い で(1+iu)(g)=g*と

な わ ち,リ

ー ス の 定 理 よ り,(g*,f)1=l(f)と

な る よ う なgが

定 ま る.(ヒ

ン ト:2章

5参 照).   な お こ の 定 理 は ラ ッ ク ス ・ ミル グ ラ ム(Lax-Milgram)の

  6.  L(f)=−f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=g(x)の

定 理 と よ ば れ る こ と が 多 い.

解 で 境 界 でf(a)=f(b)=0

問

を 満 足 す るf(x)を 確 か め よ.(ヒ

求 め る 問題 に つ い て3.8例2で

ン ト:φ(x)∈H01(I)に

の べ た 結 果 が そ の ま ま な りた つ こ と を

対 して,

が な りた つ こ とを 考 慮 し,前 問 の 結 果 を 用 い よ).   7. 

I=(0,1)と

し,

そ の他 の ところ と 定 義 す れ ば,φ1(x),φ2(x),…

とす れ ば,K(x,y)は

に 対 し て,フ   8. 

はL2(I)の

対 称 核 で あ る が,積

分 方程 式

レ ドホ ル ム の 定 理 は な りた た な い.こ

(可 積 分 核 で あ ら わ せ な いL2(I)の

  I=(0,π)と

正 規 直 交 系 を つ く る.

し,f(x)∈L2(I)に

で 定 義 さ れ る作 用 素 はL2(I)の と す る.つ

で あ る こ とを 利 用 し て,u(f)は

の こ と を確 か め よ.

完 全 連 続 作 用 素 の 例).

対 して,

完 全 連 続 作 用 素 で あ る こ と を た しか め よ.た だ し,  い で,x=0の

近傍 で

可 積 分 核 す な わ ちK(x,y)∈L1(Ω

に よ る積 分 作 用 素 の 形 に は か け な い こ と を 示 せ. を 変 形 し,つ い で  で一 様 収 束 で あ る こ と に 着 目せ よ).

(ヒ

ン

×Ω)で あ る よ うな 核

ト: 

は(0,2π)の

完 全 内 部 に あ る任 意 の 区 間

4.  一 般 完 全 連 続 作 用 素   4.1  序   歴 史 的 に い って 今 日 の 積 分 方 程 式 論 の も と に な っ た フ レ ド ホ ル ム(Fredholm) の 方 法 に つ い て,以 下 数 節 に わ た って の べ る こ と に す る.   連 続 核K(x,y)に

対 す る積 分 方 程 式

  (4.1)

を 考 え る.こ る.簡

こ で λ は 複 素 パ ラ メ ー タ で あ り,f(x)は

単 の た め に,[a,b]=[0,1]と

等 分 し て,そ y)を

す る.K(x,y)は

の 部 分 区 間 

をIiと

つ ぎ の よ うな 階 段 函 数(step

す る.そ

連 続 だ か ら,[0,1]をn

お き(n=1,2,…,n−1,n),K(x,

function)で

お き か え る.

とい う近 似 値 で お き か え た核 をKn(x,

の と き,K(x,y)を  y)と

与 え られ た 連 続 函 数 で あ

の と き,(4.1)に

お い てK(x,y)をKn(x,y)で

お きか えて え

ら れ る近 似 方 程 式 は,   (4.2)

と な る.φ(x)−f(x)=ψ(x)と

お く と,ψ(x)は

各 区 間Iiで

定 数 と な る か ら,

そ の 値 を ψiと お く と こ の 式 は,

すなわち   (4.3) と な る.す

な わ ち ψ(x)と

る.fiはf(x)の  (ψ1,ψ2,…,ψn)は

れ ば,そ

の 分 母 は,

区 間Iiに

し て は,区

連 立1次

間Iiで

ψiと い う値 を と る 階 段 函 数 で あ

お け る 積 分 平 均 で あ る. 方 程 式 の 解 と し て 求 ま り,ク  と お く と,

ラ メー ル の 解 法 を 用 い

  (4.4)

で あ り, 

で あ れ ば,一

意 的 な 解 を も ち,ψiは

  (4.5)

で 与 え ら れ る.n→

∞ の と き の 極 限 が 問 題 に な る が,フ

レ ドホ ル ム は 極 限 移 行 を

直 接 や らず に,巧 み な 方 法 で 解 の 具 体 的 な 表 現 を え た.   と こ ろ で,Δn(λ)に つ い て は,n→

∞ の と き の 極 限 が 容 易 に 求 ま る.ま

ず 行列

式 の 展 開 定 理 か ら わ か る よ うに,

で あ る.こ

こで一 般 に

  (4.6)

で あ る.こ

こ で 上 の 係 数 の 一 般 項 に つ い て 考 え て み る と,i1
制 限 を 除 い て 考 え た 場 合,(i1,…,ip)と を か え て も,行 i1,…,ipの

列 式 の 行,列

い う順 序 の 組 合 せ はp!あ

の 同 時 交 換 と な り,行

う ち 何 れ か が 一 致 す る 場 合 は,対

い う り,か

列 式 の 値 は 変 ら な い.ま

応 す る 行 列 式 は0と

な り,結

つ順 序 た, 局,

に ひ と し い こ と が わ か る.こ 値 を と る も の とす る.こ

こ でi1,i2,…,ipは,互

の よ う に 考 え れ ば,n→

い に 独 立 に(1,2,…,n)の ∞

の 極 限 は,

で あ る こ と が わ か る.   他 方, 

と す る と,ア

問 題1問7参

ダ マ ー ル(Hadamard)の

不 等 式 よ り(演 習

照),

と お く と,

  (4.7)

で あ り,し ∞)で

た が っ てnに

あ る .あ

で あ る か ら,結

無 関 係 な 定 数 で お さ え ら れ て お り,か

つap(n)→ap(n→

き ら か に,

局,任

意 の λ に 対 して, 

が わ か る.こ

こ で,

 (4.8)

で あ る.   と く にK(x,y)=X(x)Y(y)の

と きは

  (4.9)

で あ る.実

際,例

え ば,

で あ る.同 様 に して    (4.5)のn→

の 係 数 は す べ て0で

∞ の 極 限 移 行 は,容

あ る よ うな λ0に対 して,(4.5)で

あ る.

易 で は な い が 可 能 で あ って, 

定 義 さ れ る階 段 函 数 ψn(x)はn→

で ∞ の とき 一

様 収 束 す る こ と が 示 さ れ る.し か し こ こ で は こ の極 限 移 行 を や ら な い で,次 節 で

の べ る レ ゾ ル ベ ン ト(resolvent)の

  4.2 

考 え を 用 い る こ と に す る.

レ ゾ ル ベ ン ト方 程 式

  原 理 は 一 般 的 で あ る の で,一 要 も あ っ て,バ

の た め に も,ま

た今 後 の必

ナ ッ ハ 空 間 の 定 義 を の べ て お く.

  ベ ク トル 空 間Eが 対 し て,つ

般 な 定 義 を 与 え る.そ

バ ナ ッハ 空 間(Banach

ぎの諸 条件 をみ たす ノ ルム

space)で

あ る と は,任

意 のf∈Eに

‖f‖ が 定 義 さ れ て お り,こ

っ て 定 義 さ れ る 距 離 ρ(f,g)=‖f−g‖

の ノル ム に よ

に 関 し て 完 備 に な っ て い る と き を い う.

ノ ル ム の 条 件 は,   1) 

かつ

  2)  任 意 の ス カ ラ ー(実 数,ま

た は 複 素 数)に 対 し て,

  3)

の3つ

で あ る.あ

で は な い.ヒ

き らか に ヒル ベ ル ト空 間 は バ ナ ッハ 空 間 で あ る.し か し逆 は 真

ル ベ ル ト空 間 は,そ

の わ く内 で の 解 析 学 的 考 察 に さい して 理 想 的 な

条 件 を み た す も の で あ り,ま た 重 要 な 基 礎 的 問 題 の 大 半 は,い

ま まで の ところ ヒ

ル ベ ル ト空 間 の わ く内 で 論 じ られ て き た こ とは 注 目す べ き こ とで あ ろ う.   ヒル ベ ル ト空 間 に な らな い バ ナ ッハ 空 間 の1例 IはRnの

集 合,く

と して,L1(I)が

あ る.こ

わ し くは 可 測 集 合 とす る が.実 用 上 は 開 集 合 と して よい.I上

で 定 義 さ れ た 可 積 分 函 数 全 体 の 空 間 に,ノ

ルム

を 導 入 し た 空 間 で あ る.f=0と

ほ と ん ど 至 る と こ ろ0で

て お く.簡

単 の た め にI=(0,1)と

で 定 義 さ れ るL1(I)の 弱 収 束 列 に な ら な い.一 L1(I)上

こで

は,Iの して,

函 数 列{fn}は,‖fn‖=1で 般 に{ψn(x)}がL1(I)の

の 連 続 線 形 汎 函 数l(f)に

あ る と規 約 し

あ る が,如

何 な る部 分 列 も

弱 収 束 列 で あ る と は,任

対 し て,{l(ψn)}n=1,2,…

意 の

が コー シー列 をなす

と き を い う.2章 ば,適

で 示 した よ うに(定 理2.6),ヒ

当 な 部 分 列{ψnp}が

l(ψnp)→l(ψ0)(p→ φ(x)∈C0(I)と

ル ベ ル ト空 間 に な って い れ

あ り,そ れ が 弱 極 限 ψ0に 弱 収 束 す る,す

∞)が 任 意 のlに 対 して な りた っ た.と

す る と,φ(x)は0の

近 傍 で 恒 等 的 に0で

こ ろ で,い

な わ ち, ま の 場 合,

あ る か ら,L1(I)の

連

続 線形汎函数

に つ い て 考 え る と,l(fn)→0(n→

∞)で

あ る.こ の こ とは,も

る とす れ ば, 

(ほ とん ど至 る と こ ろ0)で

て い る(φ(x)∈C0(I)は

任 意 で あ っ た か ら).他

し弱 極 限f0が

あ

な けれ ば な らない こ とを示 し

方φ(x)と

して 恒 等 的 に1に

ひ

と しい 函 数 を とれ ば,

で あ り,{fn}の

如 何 な る部 分 列 も0に 弱 収 束 しえ な い.ゆ

え にL1(I)は

ヒル ベ

ル ト空 間 で は な い.   C0[a,b]も

ま た バ ナ ッハ 空間 の1例

の 空 間 に,ノ

ルム

で あ る.[a,b]で

定義 され た連続 函 数 全体

を 導 入 した 空 間 で あ る.こ れ も ヒ ル ベ ル ト空 間 に は な りえ な い.前 つ くれ る.す

な わ ち,図

の よ う に, 

と同様 な列 が

で は,

 で決定 され る1次 函数

fn(0)=1, と し,

  で は,fn(x)≡0と

と同 様 に す れ ば,適 と す れ ば,f0(x)≡0で

す る.前

当な部 分列 の弱極 限 があ る な け れ ば な ら な い が,

〈δ,fn(x)〉=fn(0)=1

で あ っ て,{fn(x)}の   バ ナ ッハ 空 間Eで あ る とい うの は,

如 何 な る部 分 列 も0に 弱 収 束 しな い. 定 義 され た 有 界 線 形 作 用 素Tに

つ い て 考 え る.Tが

有界で

と な る よ うな 正 の 定 数Cが

を 定 義 し,Tの

とれ る こ とで あ る が,こ

ノ ル ム と い い,上

の さ い,さ

らに くわ し く,

式 を,

  (4.10)

で 表 現 す る.あ

き ら か に, 

(α は ス カ ラー).  が な りた つ.ま

全 体 の つ くる 空 間―

こ れ をL(E;E)と

たEで

定 義 され た有 界線 形作 用 素

か く場 合 が 多 い―

に,こ

の ノル ム を

導 入 した 空間 が 完 備 で あ り,し た が って バ ナ ッハ 空間 に な っ て い る こ と も容 易 に わ か る.  さ て,方

程式

 (4.11) 

(1− λT)(φ)=f

を 考 え る.こ

こ で,fは

与 え ら れ たEの

λ は 複 素 パ ラ メ ー タ と す る.し

元 で,φ

た が っ て,Eは

  ま ず わ か る こ と は,‖ λT‖<1,す

が 求 め るべ き 元 で あ る.ま

た

複 素 ベ ク トル 空 間 で あ る と す る .

な わ ち,

 (4.12)

で あ れ ば,(4.11)は で あ る こ と は,(1−

任 意 のfに λT)(φ)=0,す

い. 

対 して 一 意 的 に解 け る こ とで あ る.解 が一 意 的 な わ ちφ=λTφ が 

の 両 辺 の ノル ム を み れ ば よ

な ら ば な りた つ か ら で あ る.つ

ぎ に 解 は,

で 与 え ら れ る こ と を み る の は 容 易 で あ る.こ の こ とは, と き,1+z+…+zn+… (4.12)の

仮 定 の も と に,

 (4.13)

で あ り,そ  (4.14)

の さ い,

と 展 開 で き る こ と と,原

 が￨z￨<1で

理 的 に は 同 じ で あ る .ゆ

あ る え に,

が な り た つ.(4.13)は っ て,基

ノ イ マ ン 級 数(Neumann

series)と

よば れ て い る も の で あ

本 的 な 役 目 を す る.

  (4.13)の

右 辺 は,

と か か れ る か ら,か

っ こ の 中 を Γ(λ)と

か け ば,

 (4.15)

と な る.こ

の と き,Γ(λ)をTの

レ ゾ ル ベ ン ト(resolvent)と

で あ る こ と を 注 意 し て お く.λ=0の 在 は わ か っ た が,一

よ ぶ.Γ(0)=T

近 傍(く わ し く は(4.12))で

の逆 作用 素 の存

般 の λ に 対 し て は ど うな る で あ ろ う か?Tが

た んに有 界作

用 素 と い う だ け で は,ま

と ま っ た 結 果 は あ ま りな い.し

が 完 全 連 続 の と き に は,よ

い 結 果,す

か し以 後 に 示 す よ う にT

な わ ち フ レ ドホ ル ム の 交 代 定 理(定 理3.18

参 照)が え ら れ る.   話 を も と に 戻 して,複 場 合,こ

れ がEか

のfに

素 パ ラ メ ー タ λ を 固 定 し て,線

らEの

対 し て,(4.11)に

上 へ の1対1写 一 意 的な解

っ て レ ゾ ル ベ ン トΓ(λ)を 定 義 す る.こ Γ(0)=Tと

定 義 し て お く.こ

を い わ な か っ た が,じ る.し

か し,有

形 写 像(1−

像 に な っ て い る と き,す φ が 存 在 す る と き,(4.15)の の さ い,λ=0だ

の さ い(1−

λT)−1が

λT)を 考 えた な わ ち,任

意

関係式でも

と Γ(λ)は 定 ま ら な い が, ま た有 界作 用 素 であ るこ と

つ は こ の こ と は バ ナ ッハ の 定 理 か ら し た が う こ と な の で あ

界 な 逆(1−

λT)−1が

あ っ て,と

い うよ うに して お い た 方 が 無 難

で あ ろ う.   う え の こ と は,い

い か え れ ば,有

界 作 用 素 Γ(λ)が

あ っ て,

 (4.16)

が な りた つ とい うこ とで あ る.か

き か え れ ば,

 (4.17)

を み た す 有 界 作 用 素 Γ(λ)をTの   つ ぎ に(4.17)を (4.17)を

レゾ ル ベ ン トと い う.

特 別 の 場 合 と して 含 む 一 般 式 が あ る こ とを 注 意 して お く.

λ,μと い う2つ の値 に 対 して Γ(λ),Γ(μ)の存 在 を 仮 定 す る.例 え ば,

μ=0の

近 傍 で は つ ね に そ うで あ る.そ の と き

  (4.18)

が な り た つ.実

際,(4.17)か

らT・ Γ(λ)=Γ(λ)・Tが

な りた つ こ と を 注 意 して

お い て,

が え ら れ る が,第1式 用 さ せ,辺

の 右 か ら μΓ(μ)を,第2式

に 対 して は 左 か ら λΓ(λ)を作

々 相 引 くと,

が え ら れ る が,右 辺 に 対 して,も

との 方 程 式 を考 慮 す れ ば,そ

れ は Γ(μ)−Γ(λ)

に 他 な らな い こ と が わ か る.   注 意1 

(4.16)の

第1式

を み る と,φ=(1+λ

Γ(λ))fは,

(1− λT)φ=f を み た す か ら,存 在 定 理 を 示 して い る とい え よ う.し か し,解 の 一 意 性 ま で 含 め て の 可 解 性 を 問 題 に す る か ら,第2式 示 さ れ る.し ら第2式

が 必 要 で あ る.第2式

に よ り解 の 一 意 性 が

た が って 解 の一 意 性 が 別 の 方 か ら わ か って い る と き に は,第1式

か

が し た が う.

  注 意2 

(4.16)の

第1式

だ け を満 足 す る Γ(λ)は あ る が,す な わ ち(1−

の 右 側 か ら の 逆 は あ る が,解 た た な い1例

の 一 意 性 が な りた た ず,し

を 示 して お く.こ の 事 実 は,空

た が っ て,第2式

λT)

がな り

間 が無限 次元 にな ったた め にお こ る

現 象 で あ る.   可 算 個 の 完 全 正 規 直 交 系{e1,e2,…,en,…}を あ るい は,パ

考 え る.

ー シ バ ル の 等 式 を 考 慮 す れ ば,可 算 個 の 数 の 列 

で  と よぶ).Tと

もつ ヒル ベ ル ト空 間Eで

を み た す も の の 全 体 とい っ て も 同 じで あ る(こ の 空 間 をl2 して, T(e1)=0,

{

  (4.19) 

  T(ei)=ei−1(i=2,3,…)

とす る.Tは

有 界 作 用 素 で あ る.そ

  (4.20) 

を 考 え る と,￨λ￨>1の

こで

(1− λT)φ=f

と き,任 意 のfに

対 して 解φ を も つ が,解

は一 意 的で は

な い.い

い か え れ ば,￨λ￨>1を

み た す 任 意 の λを と っ て き た と き,そ れ に 応 じ

て  (4.21) 

(1−

λT)φ=0

を み た す よ うな φが 存 在 す る(こ の よ うな φ は つ ね に1次 元 で あ る).

と し て,(4.20)に

代 入 す る と.

を み た さ な け れ ば な ら な い.す

な わ ち,

  (4.22)

を み た す こ と が 必 要 で あ る.と 場 合 を 考 え る と,ξ1=1と

こ ろ で,α1=α2=…=0.す

な わ ち,(4.21)の

と し て 一 意 的 に 定 ま る.あ

固 定 す る と,  き ら か に,

で あ る か ら,

は(4.21)の

解 で あ り,ま

  つ ぎ に(4.22)を き,容

ξ1=0と

た(4.21)の

解 は1次

元 空 間 で あ る こ と も わ か っ た.

固 定 す る と,ξ2,…,ξn,…

は 一 意 的 に 定 ま って ゆ

易 に わ か る よ う に,

 (4.23)

で あ る.こ い えば,パ

の と き 線 形 写 像(α1,α2,…)→(0,ξ2,ξ3,…)は ー シ バ ル の 等 式 を 考 慮 して,

連 続 に な る.く

わ し く

が な りた つ.   連 続 性 は あ き ら か だ が 示 して お く.原 (定 理3.5)と

して の べ た.す

理 的 に は,す

で に ホル ム グ レンの定理

なわち

で 定 義 され るl2空 間 の 作 用 素 に 対 して,

が な りた つ と き は 有 界 作 用 素 で あ る. 実 際,

よ り,

が な りた つ.い

ま の 例 で は, 

  結 果 と して は,fに

で あ る こ と に 着 目す れ ば よ い .

対 して,

とい う形 の 解 が 一 意 的 に 定 ま り, 

  4.3 

フ レ ド ホ ル ム の 第1定

 (4.1)に

が な りたっ た .

理

も どっ て 考 え る.

 (4.24)

こ の と き,作 vent

用 素 

equation)に

 まず

つ いて考 え る.

に 対 す る レ ゾ ル ベ ン ト方 程 式(resol

で あ る か ら,T2を

定 義す る積分 核 は

で あ る.一

般 に,Tp(φ)=T°T°

で あ り,容

易 に わ か る よ う に,

が な り たつ.￨λ￨が

… °T(φ)を

定 義 す る 積 分 核 は,

十 分 小 の と き(4.15)は,

  (4.25)

で 表 わ さ れ る.さ

ら に(4.17)は,

 (4.26)

の 形 を と り,(4.24)の Γ(x,y;λ)の

一 意 可 解 性 は,こ

の レ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 を 満 足 す る 積 分 核

存 在 を示 す こ とに 帰 着 さ れ る .

  さ て(4.5)に

た ち も ど り,n→∞

の とき 

で あ る こ と を 考 慮 し て,

Γ(x,y;λ)を

 (4.27)

と い う形 で 求 め て み よ う.D(λ)は(4.8)で 求 め よ う と す る も の で あ る.簡

と お い て(4.27)を(4.26)の

と な る.両

辺 の1,λ,λ2,…

定 義 さ れ た も の で あ り,A0,A1,…

単 の た め に,

第1式

に 代 入 す れ ば,

に 対 す る 係 数 を ひ と しい と お く と,

は

  (4.28)

を え る.ま

ず

つ ぎに

で あ り.(4.6)を

参 照 す れ ば,

右 辺 は,

に ひ と し い.そ

こ で,

  (4.29)

をpに

他方

関 す る 帰 納 法 で 示 す.p−1で(4.29)が

な り た つ とす る.(4.28)よ

り

  (*)

よ り,右 辺 を 第1行

で 展 開 す れ ば,

で あ り,他 方 行 列 式 の 行 に 関 す る 交 換 法 則 よ り,

で あ るか ら

を え る.ゆ   つ ぎ に,こ

え に,(4.29)が

証 明 さ れ た.

の よ う に し て 求 め ら れ た Г(x,y;λ)が

み た す こ と を 示 す.そ

れ を み る に は,(4.29)で

同 時 に(4.26)の

第2式

を

定 義 さ れ るApが,

  (4.30)

を み た す こ とを 示 せ ば よい.(*)を

で あ り,さ

ら に 第2項

で あ る か ら,こ

 (4.31)

み れ ば, 

は,

れ よ り(4.30)が

示 さ れ る.

の 第1列

に よ る展 開 は

はD(λ)と

同 様,λ

の べ き 級 数 と し て 無 限 大 の 収 束 半 径 を も つ .ゆ

と し て 全 平 面 で 正 則 で あ る.い

い か え れ ば λ の 整 函 数(entire

え に λの 函 数

function)で

あ る.

し た がっ て   (4.32)

は λ の 有 理 型 函 数(meromorphic さ れ た(4.25)の

function)で

あ る .ゆ

えに

λ=0の

近傍 で定 義

λの 函 数 と して の 解 析 的 延 長 が え ら れ た こ と に な る.

  え ら れ た 結 果 を ま と め て お く.   定 理4.1 

の と き,任

で 与 え ら れ る.こ

意 のfに

こ でf(x)はL1(I)(Iで

  注 意   上 記 のφ の 一 意 性 は,L1(I)の で あ る.fが

対 し て 一 意 的 な 解φ が 存 在 し て,

可 積 分 で あ る函 数 の 空 間)か ら と る. 函 数 の 中 で も 一 意 的 に定 ま る と い う こ と

連 続 だ と解φ も ま た 連 続 で あ り,解 も 連 続 函 数 の 範 囲 内 で一 意 的 で

あ る.   4.4 

D(λ)の

 (4.31)に

性 質

お い てx=yと

お き,両 辺 をxに つ い てI上

で 積 分 す れ ば,

  (4.33)

が な り た つ.と

ころ で

で あ る か ら,右

辺 は 

にひ と し い .ゆ

え に,

が な り た つ.よ

を え る.こ

って

の 右 辺 は 積 分 核Γ(x,y;λ)のI上

本 的 な 関 係 式 で あ る.と (4.25)で

こ ろ で,λ

で の ト レー ス(trace)で

が0の

近 傍 で は,Γ(x,y;λ)は

あ り,基

ノ イ マ ン級 数

示 さ れ る か ら,

  (4.34)

と お け ば,

で あ り,他

方 左 辺 は 

で あ り,log

D(0)=log1=0を

考慮 す れ

ば,

が え ら れ る.ま   定 理4.2 

とめれ ば

(ト レー ス の 公 式) 

で あ る よ うな 任 意 の 複 素 数 λに 対 し

て   (4.35)

が な り た つ.ま ば,￨λ￨が

たKの

反 復 核Kp(x,y)(p=1,2,…)の

ト レ ー ス をtpと

十 分 小 で あ れ ば,

  (4.36)

が な りたつ.   こ の定 理 を用 い て 導 か れ るD(λ)の1性

質 に つ い て の べ る.

K(x,y)=K1(x,y)+K2(x,y) と2つ の 連 続 核 の 和 と して 分 解 さ れ,つ   (4.37)

ぎの意 味 で の直交 関 係 式

すれ

が な り た つ と す る.こ れ る.つ

の と き,K1,K2は

半 直 交(semi-orthogonal)で

あ る とよば

ぎ の 定 理 が な り たつ.

  定 理4.3  D2(λ)と

K,K1,K2に

す る.(4.37)の

対 す る フ レ ドホ ル ム の 行 列 式 を そ れ ぞ れD(λ),D1(λ), 仮 定 の も と で,

が な り た つ.   証 明   K(x,y),K1(x,y),K2(x,y)のp− Kp(1)(x,y),Kp(2)(x,y)と

反 復 核 を そ れ ぞ れKp(x,y), す る .

で あ る が,こ

れ を ば ら ば ら に 分 解 して2p個

交 性(4.37)を

考 慮 す れ ば,そ れ は

に ひ と し い こ と が わ か る.ゆ

の 積 分 の 和 と して 考 え た場 合,半

え に,

tr(Kp)=tr(Kp(1))+tr(Kp(2))  こ の 関 係 式 を(4.36)に

  4.5 

代 入 す れ ば,定

積 分 核K(x,y)に

  い ま ま で の 推 論 は,そ Rnの

(p=1,2,…)

らC0(Ω)へ

の ま ま 高 次 元 の 場 合 に 拡 張 さ れ る.ユ

の と き,

の 連 続 作 用 素 で あ り,もっ

仮 定 を ゆ る め て,つ

ー ク リ ッ ド空 間

し た と き,K(x,y)が(x,y)

と 一 般 にL1(Ω)か

へ の 連 続 作 用 素 に も なっ て い る .   さ て,K(x,y)の

(証 終)

対 す る仮 定

は Ω の 閉 包)で 連 続 と す る.そ

は,C0(Ω)か

.

理 が え ら れ る. 

有 界 な 開 集 合 Ω を と り,x=(x1,…,xn)と

∈ Ω × Ω(Ω

直

ぎ の 仮 定 を お く:

らC0(Ω)

1)  K(x,y)は

 (4.38) 

{

Ω × Ω で2変

数(x,y)=(x1,…,xn,y1,…,yn)

の 有 界 可 測 函 数 で あ る.

2)  さ ら にK(x,x)はxの

函 数 と し て Ω で 有 界 可 測 函 数 で あ る.

  こ の 仮 定 に 関 して 説 明 し て お く.仮 定1)に x∈

Ω−exで

はK(x,y)はyの

で あ っ て,こ

集 合exが

函 数 と し て 有 界 可 測 で あ る(フ

ゆ え に,う え の 積 分 は,任 意 のf(x)∈L1(Ω)に か つu(f)∈L1(Ω)で

よ り,あ る 測 度0の

あ る.実

対 し て,x∈

ビ ニ の 定 理).

Ω−exで

際 フ ビ ニ の 定 理 よ りu(f)(x)は

可 測 で あ り,

有 界 性 と Ω の 有 界 性 を 考 慮 す れ ば よ い.

  2) に 関 して で あ る が,こ

れ はK(x,y)をL1(Ω)の

有 界作 用素 を定義 す る と

い う要 請 の 見 地 よ りみ れ ば不 用 の も の で あ る.ま の 集 合 上 で 値 を か え て も,u(f)(x)の て 同 じL1(Ω)の

元 とな る.し

たK(x,y)を

値 は 測 度0の

Ω ×Ω の 測 度0

集 合 上 しか 変 らず,し

考 える こ とが で き な い.そ

人 工 的 で は あ る が,例

連 続 で あ れ ば,そ

え ば,K(x,x)が

が 定 義 さ れ て い な い 場 合 で あ る とか,あ ≡0と

定 義 を か え て お い て,こ

下,そ

の よ うに して あ る とす る.

るい は,不

れ をK(x,y)と

  さ て こ れ だ け の 注 意 を して お い て,(4.38)の た る と こ ろ とい う と こ ろ を,ほ

は,両

理4.2が

たが っ

か しフ レ ドホ ル ム の 方 法 で は,K(x,x)がxの

数 と して 可 測 で な い と,例 え ばD(λ)を

定 理4.1,定

定 義 さ れ,

れ よ り

が な りた ち,K(x,y)の

が,い

あ り,

れ ゆ え,少

函 し

れ で よ い が,K(x,x)

連 続 な 場 合 に は,K(x,x)

思 い 直 して 考 え る と よ い.以

仮 定 の も と で,い

まま での推 論

とん ど至 る と こ ろ とい う意 味 で 解 釈 す る と

そ の ま ま な りた つ こ とが わ か る.例

え ば,

式 の 函 数 が ほ とん ど至 る と こ ろ ひ と しい とい う意 味 で 解 釈 す る の で あ る.

な お こ の 推 論 に は,フ   こ こ で,注

ビ ニ の 定 理 が 中 心 的 な 役 割 を果 す こ と は 言 うま で もな い.

意 深 い 読 者 は つ ぎ の 点 に 疑 問 を も た れ るで あ ろ う.例 え ば 極 端 な 場

合 と して,K(x,y)が

連 続 核 の 場 合,対

角 線y=x上

で の 値 を わ ざわ ざ変 え て,

K(x,x)≡0と と,λ

お い た 場 合,た

し か に,D(λ)は, 

の 係 数 に た し か に 大 き な 差 が 表 わ れ,以

し こ の こ と は,Γ(x,y;λ)の と し て,Γ

に は,変

下 の 項 も 一 般 に 同 様 で あ る.し

分 子 で あ るD(x,y;λ)も

更 が な い と み れ ば,矛 か し,ま

こ ろ を,例

お き か えて え ら れ る 核 をK1(x,y)と

行 列 式 をD1(λ)と =0の

す る.そ

だ 疑 問 は 残っ て い る.く

の と き,λ

か し,以

わ し くい え ば,対 し,そ

に 対 し てD(λ)=0の

零 点 と が くい 違 う よ う で は,定

あ ろ う.し

変 更 を う け て お り,結

理4.1は

果

角線 の と

の フ レ ドホ ル ム 零 点 とD1(λ)

そ の 意 味 の 大 半 を 失っ て し ま う で

後 の 推 論 か ら み ら れ る よ う に,D(λ)とD1(λ)の

重 複 度 ま で 含 め て 一 致 す る の で あ る.こ

か

盾 が 起っ て い る と い う疑 問 は 一 応 解 消

さ れ る で あ ろ う.し え ば0で

の場合 だ

零点 はそ の

こ に フ レ ドホ ル ム の 行 列 式 の 重 要 さ が あ

る.

  4.6 

フ レ ドホ ル ム の 第2定

  K(x,y)は

理

有 界 集 合 Ω で 連 続 で あ る か,あ

た 仮 定(4.38)を   D(λ0)=0で

るい は もっ と一 般 に,前

み た す も の とす る. λ0はD(λ)のm次

の零 点 で あ る とす る.す な わ ち,

 (4.39)

とす る.つ  定 理4.4 

ぎ の 定 理 が な りたつ. (フ レ ドホ ル ム の 第2定 理)

 方 程 式  (4.40)

は,0で

な い 解φ(x)∈L1(Ω)を

も つ.ま

  (4.41)

に つ い て も 同様 で あ る.  証 明

を λ0の ま わ り で 展 開 し,そ

れを

た共役 方程 式

節 で のべ

と す る.こ 合,λ−

こ で 

と す る.す

λ0に 関 す る0次,1次,2次,…

を 順 次 み て いっ て,恒

す る.実

− λ0)nと

際,も

き 級 数 展 開 した 場

の べ き の 係 数 が あ ら わ れ る が,そ

等 的 に0で

は な い(あ

集 合 上 の 値 を 修 正 し て も 恒 等 的 に0に をB0(x,y)(λ

な わ ち 一 般 に は,べ

る い は 厳 密 に は,ど

ん な に 測 度0の

は な ら な い)係 数 の 最 初 の も の を と り,そ れ

し た. 

で あ る か ぎ り,こ

し そ う で な け れ ば,Γ(x,y;λ)≡0と

よ りK(x,y)≡0と

な り矛 盾 で あ る.

  こ の と き,n<mで

あ る.実

際,ト

の係数

の よ うなnは

な り,し

レー ス の 公 式(4.35)よ

存在

た がっ て(4.25)

り,(4.39)を

考慮

し て,

で あ る が,右

辺 が λ=λ0で

い で な が ら,こ

の 式 は,両

極 を も つ た め に は,n<mで 辺 の 留 数(residu)を

な くて は な ら な い.つ

と る と,

  (4.42)

が 導 か れ る こ とを 注 意 して お こ う.n<mで

が な り た つ が,た (4.26)に

だ しB0(x,y)=B0(x,y)/D1(λ0),こ

代 入 し,(λ − λ0)n−mの

を え る が,B0の

仮 定 よ り,あ

=B0(x0,y)は

と も に,恒

測 で あっ て,  φ(x),ψ(y)が

が わ かっ た.厳 が,積

等 的 に0で

少 な く と も,そ

密 に は,い

と厳 密 に は,φ(x)は

つ い て も 同 様 で あ る.ゆ

ら び に(4.41)に

し ろ λ0u(f)=fと

後 固 有 値 と い え ば,こ

有 界可

え に 定 理 に い う よ うな

あ る こ と が 示 さ れ た. 

ま ま で だ とu(f)=μfと

分 作 用 素 の 場 合 に は,む

る の が 普 通 で あ る の で,以

あっ て,φ(x)=B0(x,y0),ψ(y)

は な い.もっ

れ ぞ れ1つは

零 点 は,(4.40)な

れ を レ ゾ ルベ ン ト方 程 式

係 数 を 比 較 す れ ば,

るy0,x0が

ψ(y)に

  注 意  D(λ)の

あ る か ら,

対 す る,固

(証 終)

有値 で あ る こ と

い う形 で 固 有 値 を 定 義 し た い う形 で 固 有 値

λ0を 定 義 す

の 意 味 で と る.λ0は

固 有 値 また

は 特 異 値(singular

value)と

よ ば れ て い る.

 こ こ で 共 役 方 程 式 に つ い て 注 意 して お き た い.  (4.43)

を(4.24)の

共 役 方 程 式(adjoint

(transposed

equation)と

た は,転

置方 程 式

対 し て,N(y,x)を

転 置 核 と よ ぼ う.転

置核 とい う

置 写 像 の 核 表 現 に 他 な ら な い こ と を 示 し て お く.

と し,K(x,y)はΩ L1(Ω)に

equation)ま

よ ぶ.

  一 般 に 積 分 核N(x,y)に の は,転

equation,dual

×Ω で 有 界 可 測,Ω

対 し て,Ω

は 有 界 と す る と,u(f)(x)は,f∈

の 有 界 可 測 函 数 で あ る こ と に 注 意 し,f(x),g(x)∈L1(Ω)

と す る と,

で あ る が.フ

ビ ニ の 定 理 に よ っ て,こ

れ は,

で あ り,積 分 変 数 を か え て か け ば,

が え ら れ る.   さ て 

と す る.レ

あ る が,

の 転 置 核 を と る と,

ゾ ル ベ ン ト方 程 式(4.26)を

み た すΓ(x,y;λ)が

と な る が,こ

こ で 記 号 を 導 入 し,K′(x,y)=K(y,x),Γ

λ)と す る と,う

と な る.す

え の 関 係 式 は,第1式

な わ ち核

に 他 な ら な い.ゆ

Γ ′(x,y;λ)は,転

え に(4.43)の

  定 理4.5 

と 第2式

の 順 序 を か え て か け ば,

置 核K′(x,y)に

対 す る レ ゾ ル ベ ン ト核

一 意 可 解 性 が 示 さ れ た.ま

の と き,(4.43)は

的 な 解 ψ(x)を

′(x,y;λ)=Γ(y,x;

と め て お く と,

任 意 のg(x)∈L1(Ω)に

対 して 一 意

も ち,

で 表 わ さ れ る.  つ ぎに   定 理4.6 

(4.40)の1次

独 立 な 解 の 個 数rはmを

こ え な い.(4.41)に

つい

て も 同 様 で あ る.   証 明   mに

関 す る 帰 納 法 で 証 明 す る.m=0の

る.つ

ぎ にm−1ま

り,た

し か に0で

φ0(x)と

す る.別

で 正 し い と す る.と な い(4.40)の に 函 数(い

す な わち

  (4.44)

す な わ ち,

こ ろ で 

解 が 少 な く と も1つ

ま の 場 合,例

K1(x,y)=K(x,y)− と,φ0(x)ω(y)と

と き は,た

し か にr=0で

の と き に は 定 理4.4に あ る か ら,そ

え ばC0(Ω))ω(y)を

と り,

φ0(x)ω(y)

が 半 直 交 と な る よ う に き め る((4.37)参

れ を1つ

照).

あ よ とり

と な る よ う に す る.(4.9)を

考 慮 し て,定

す る フ レ ドホ ル ム の 行 列 式 をD1(λ)と

が な り た つ こ と が わ か る.ゆ に な っ て い る.ゆ

の1次

対 して

λ=λ0は(m−1)次

す る と, 

で あ る.そ

あ った か ら, 

の 解 φ(x)を

独 立 な解 を

と っ て こ よ う.

は,

考 慮 す る).ゆ

え に,

と か け る.ゆ え に,φ(x)は

任意で

が 示 さ れ た.共 役 方 程 式 に つ い て も 同 様 に 証 明 で き

る. 

(証終)

フ レ ドホ ル ム の 第3定

理

  前 節 の 考 察 をつ づ け よ う.λ0をKの1つ す る.そ

の1次

す る.

と か け,結 局, 

  4.7 

の零 点

た が っ て 

を み た す((4.44)を

対

え に 帰 納 法 の 仮 定 か ら,

  さ て(4.40)の1つ

と か け,し

適 用 す れ ば,K1(x,y)に

す れ ば,

え にD1(λ)に

独 立 な 解 の 最 大 数 をsと

ψ1(x),…,ψs(x)と

理4.3を

の とき

の 固 有 値,す

な わ ち,D(λ0)=0と

を 考 え,こ

の よ う なφ(x)の

と す る.こ

の とき

空 間 の 次 元 数 を ψ(x)の

  (4.45) 

r=ρ

で あ る こ と を 以 下 に 示 す.記 く.う

そ れ を 

号 を 簡 単 に す る た め,λ0K(x,y)=k(x,y)と

お

え の 式 は,

  (4.46)

  (4.47)

と な る.そ

こ で(4.46),(4.47)の

解 の1次

独 立 系 を そ れ ぞ れ 任 意 に え ら ん で,

そ れ を{φ1(x),…,φr(x)},{ψ1(x),…ψρ(x)}と (biorthogonal

system)を

す る.つ

ぎ の よ うに双 直 交 系

え ら ぶ.

 (4.48)

 (4.49)

こ の よ うな{fi(x)},{gi(x)}の

存 在 を 示 す こ と は,み

か け は 容 易 そ うで あ る が,

一 般 的 な 原 理 か ら 導 こ う と 思 う と大 変 厄 介 な 問 題 で あ る(ハ 理 に よ ら な い と い け な い).こ え よ う が,1つ

に は,こ

さ に も よ っ て い る.し さ れ る.ま

の よ うな{fi(x)}は か し,い

ず{ψ1(x),…,ψ

う.当

然ψi(x)∈L2(Ω)で

f1(x)の

き め 方 は,つ

の 問 題 の 困 難 さ は,無

と も にΩ

あ る か ら,シ

ぎ の よ う に 考 え れ ば,問

ュ ミ ッ トの 直 交 法 が 使 え る.す

ぎ の よ う に す れ ば よ い.ψ2(x),…,ψρ(x)に

き ら か に 

題 は解 決

で 有 界 可 測 で あ る こ と に着 目 し よ

直 交 法 を ほ ど こ し て え ら れ る 正 規 直 交 系 をΨ2(x),…,Ψ

と お こ う.あ

限 次 元 空 間 に起 因 す る とい

あ き ら か に 一 意 的 で な い と い う不 定

ま の 場 合 は,つ

ρ(x)}は

ー ン ・バ ナ ッハ の 定

ρ(x)と

なわ ち

シ ュ ミ ッ トの し,

で あ る.cを

ψ1(x)dx=1な

る よ う に と っ て お け ば よ い.

  双 直 交 系 の 一 方 の 系 と し て,{f1(x),…,fρ(x)}は1次

独 立 で あ る こ と を注 意

し て お く.   ま ず 

を 示 す.r<ρ

と 仮 定 す れ ば 矛 盾 で あ る こ と を 示 す.そ

準 レ ゾ ル ベ ン ト(pseudo-resolvent)と

と お く.L(x,y)は

と を 示 す.実

い う考 え を 用 い る.

有 界 可 測 で あ り,K(x,y)と

よ う にk(x,y)を

修 正 す る と,も

の ため に

はや

同 様 に(4.38)を

λ=1はL(x,y)の

み た す.こ

の

特異 値 で はな い こ

際,

すなわち

と す る.両 辺 に ψj(x)を か け て 積 分 し,そ の さい

 (4.50)

で あ る こ と に 着 目 す れ ば,(4.48)よ

り

 (4.51)

が し た が う.ゆ え に,も が 導 か れ る が,こ

う一 度 こ の 条 件 を つ け て 考 え る と, 

れ を も う一 度 も と の 方 程 式 に 入 れ,(4.49)を

ゆ え に,c1=c2=…=cr=0.す

な わ ち φ(x)=0が

に フ レ ドホ ル ム の 交 代 定 理(定 理4.1と

は 一 意 的 な 解u(x)を 照 し,0=1と

も つ が,両

定 理4.4を

辺 に ψr+1(x)を

な り矛 盾 で あ る .ゆ

え に 

考 慮 す る と,

し た が う .積

分 核L(x,y)

合 せ た も の)を 使 え ば,

かけ て積 分 す れ ば が 示 さ れ た.

,(4.50)を

参

  つ ぎ に  ば で き る.こ

を 示 す.こ

の た め にr>ρ

と仮 定 して 矛 盾 に 導 く.同 様 に や れ

ん どは 転 置 核

か ら 出 発 す る.直

接,同

じ よ う に や っ て も よ い が,L(y,x)に

特 異 値 に な ら な い こ と は,わ

が 一 意 的 な 解υ(x)を に し て,0=1を   さ てr=ρ

か っ て い る(定 理4.5).ゆ

も つ が,両

辺 にφ

ρ+1(x)を

と い う こ と は わ か っ た が,証

み た す も の で あ る.レ

れ を γ(x,y)と

ゾ ル ベ ン ト方 程 式 は,

  (4.53)

さ ら に くわ し くか け ば,

  (4.54)

とな る が,両 辺 にψj(x)を

か け て 積 分 す れ ば,

す な わ ち,

こ の 関 係 式 を(4.54)に

を え る.

え に,

か け て 積 分 す れ ば,前

と同様

明 の 途 中 で え た こ と を 使 う と,

 (4.52)

 (4.55)

λ=1は

え て 矛 盾 で あ る.

の レ ゾ ル ベ ン トが 存 在 す る.こ

で あ る.(4.52)は

対 して

い れ る と,

か く.γ(x,y)は(4.38)の

条件 を

 つ ぎ に(4.53)にφj(y)を

か け,yに

関 し て 積 分 す れ ば,

ゆ えに

で あ り,

  (4.56)

を え る.(4.55),(4.56)は

積 分核

γ(x,y)が,修

ン トの 核 に な る 方 程 式 を み た して い る の で,準

正 項 を 無 視 す れ ば,レ

ゾル ベ

レ ゾ ル ベ ン ト と よ ば れ て い る.

  これよ り   定 理4.7 

(フ レ ドホ ル ム の 第3定

分 作 用 素 の1つ

理) 

λ0を 積 分 核K(x,y)で

の 固 有 値 と す る.λ0K(x,y)=k(x,y)と

定 義 さ れ る積

お く.

 (4.57)

が 少 な く と も1つ の 解φ(x)∈L1(Ω)を

もつ た め の 必 要 十 分 条 件 は,

 (4.58)

が な り た つ こ と で あ る.そ

の と き 一 般 解 は,

  (4.59)

で あ らわ さ れ る.   証 明   必 要 性 は あ き ら か.実 際,(4.57)の

両 辺 にψi(x)を か け 積 分 を とれ ば,

左 辺は

と な る か ら で あ る.十 =cr=0と

分 性 を 示 そ う.(4.58)を

仮 定 す る.こ

お い た も の が 解 で あ る こ と を 示 す .(4.59)よ

り,

の と き,c1=…

で あ り,(4.55)よ

り,こ

と な る((4.58)よ

り).ゆ

れ は

え に,φ(x)−f(x)に

ひ と し い. 

(証 終)

 注 意  共 役方程 式

に 対 して も全 く同 様 で あ る.

が 解 を もつ た め の 必 要 十 分 条 件 で あ り,そ の と き一 般 解 は,

で 与 え ら れ る.

  4.8 

一般化 され た固有函 数

  以 下 に の べ る の は,い

わ ゆ る グ ル サ ー(Goursat)の

一 部 分 で あ る .そ れ は す で に1.7で,有

理 論 とよば れて い るもの の

限 次 元 ベ ク トル 空 間 の 場 合 に の べ た も の

の 拡 張 で あ る.前 節 ま で の べ た 仮 定 は そ の ま ま 保 存 す る.し

か し以 下 の 推 論 は,

も っ と広 い 範 囲 に ま で 一 般 に通 用 す る こ とで あ り,そ の 意 味 も あ って 記 号 を簡 単 化 す る.す な わ ち,一 般 に仮 定(4.38)を

み た す よ うな 積 分 核A(x,y)が

与えら

れ た と き,

に よ って,一

意 的 にL1(Ω)の

連 続 作 用 系 が 対 応 す る.じ つ は,Afは

函 数 に も な って い る こ と も 注 意 す べ き で あ ろ う.同 A°B(f)は,

を 意 味 す る も の とす る.

様 に し て,AB(f)ま

Ω の有 界 たは

は λ の 解 析 函 数(analytic は,く

わ し くい えば,任

function),く

わ し く は 有 理 型 函 数 で あ っ た.こ

意 のg(x)∈L1(Ω)に

対 し て,

が ふ つ うの 意 味 の 有 理 型 函 数 で あ る こ と を 意 味 す る.こ 解 析 学 で 使 わ れ て い る定 理 が,そ 意 で あ る こ とを 考 慮 して,結

の こと

の よ うに 考 え れ ば,複 素

の ま ま 〈Γ(λ)f,g〉 に 対 して 適 用 さ れ,gが

果 的 に は,gが

任

は い っ て い な い そ の ま ま の 表 現 に,

複 素 解 析 学 の 種 々 の 定 理 が 適 用 で き る こ とが わ か る.Kの

固 有 値 を λ1,λ2,…,

λn,… と し,   (4.60)

と お く.Ciは る.い

λiを 中 心 とす る 小 さ い 円 周 で あ り,積

ま の 場 合,レ

分 は 負 の 向 き に と る とす

ゾ ル ベ ン トの 方 程 式(4.18)

 (4.61)

が 中 心 的 な 役 割 を 果 す.こ

れ を用 い れ ば,定

理1.9の

証 明 と全 く同 様 に,

 (4.62)

が 導 か れ る.λiの

う ち の1つ

を 固 定 し,そ

れ を λ0と し,λ0に

し ら べ よ う.   (4.63)

と す る. 

で あ る.そ

の と き,

 (4.64)

で あ る.さ

らに一 般 に

  (4.65)

も あ き ら か で あ ろ う*.こ

れ よ り,

*  積 分 路 は λ 0を 中 心 とす る小 さい 円周 に そ っ て 正 の 向 き に と る.

対 す るυ の 性 質 を

と な る が((4.61)よ ば こ の2重

り),C1,C2を

図 の よ う に と り,定

積 分 は,−Bp+q−1(f)に

  (4.66) 

理1.9の

ひ と し い こ と が わ か る.ゆ

Bp°Bq(f)=−Bp+q−1(f) 

証 明 を参照 す れ え に,

(p,q=1,2,…,k).

つ ぎ に レ ゾ ル ベ ン トの 定 義 式 よ り,

で あ る が,こ

れ よ り,

  (4.67)

が し た が い,ゆ

え に,m=1,2,…

が な り た つ.(4.63)を   定 理4.8 

に 対 し て,

考 慮 す れ ば,つ

任 意 のfに

ぎ の 定 理 を え る.

対 し て, (1− λ0K)kυ(f)=0

が な り た つ.   証 明   (λ− λ0)kΓ(λ)f/λkは

λ=λ0の

近 傍 で λ の 正 則 函 数 で あ り,コ

積 分 定 理 を 適 用 す る と 積 分 は0.    (4.66)に

(証 終)

お い てp=q=1と

お く と.

)

B1f=−B1(B1f

が な り た つ. 

で あ る.実

  (4.68) 

際 そ う で な い と す れ ば,(4.66)よ

Bp=−B1°Bp 

るfに

対 して, 

り,

(p=1,2,…,k)

が な り た つ こ と と 合 わ せ る と,Bp=0(p=1,2,…,k)と に,あ

ー シー の

な り矛 盾 す る.ゆ

え

す な わ ち,

 (4.69)

は,0で

な い 解 を も つ.そ

の1次

独 立 な も の を え ら び,{φ1(x),…,φp(x)}と

す

る.そ

こ で,Ψ1(x),…,Ψp(x)を

と な る よ うに え ら ぶ(前 節 参 照).さ

ら に,

と す れ ば,

 (4.70)

が な り た つ.こ

れ を 示 そ う.

を 想 い 起 そ う.こ

れ よ り,

 つ ぎ に,f∈L1(Ω)に (B1f=−B1(B1f)よ

対 し て, り)Ψi(x)を

す な わ ち,(4.70)の2)が

 で あ る が か け て 積 分 す れ ば,

示 さ れ た.

  記 号 の 悪 い せ い も あ る の で 注 意 を 与 え て お く.{φ1,…,φp}はKの は 一 般 に は い え な い が,(4.64)で {φ1,…,φp}で

張 ら れ るp次

般 化 さ れ た 固 有 函 数 で あ る.じ

定 義 さ れ た 部 分 空 間{υ(f);f∈L1(Ω)}は, 元 空 間 に 他 な ら な い .定

い.そ

の こ と を 認 め れ ば,つ

  定 理4.9 

λ0をD(λ)の1つ

理4.8よ

つ は 後 に 示 す よ う に(定

に 対 す る 一 般 化 さ れ た 固 有 函 数 は,φ1,…,φpの1次 て,{υ(f);f∈L1(Ω)}は,固

固 有 函数 と

りφ1,…,φpは

理4.10),Kの

一

固 有 値 λ0

結 合 で表 わ さ れ るので あ っ

有 値 λ0に 対 す るKのroot

subspaceに

他 な らな

ぎ の 定 理 を え る. の 零 点 と し,そ

の 重 複 度 をmと

す る .す

な わ ち,

 と す る.mは 化 さ れ た 固 有 函 数 の 空 間(root

subspace)の

  証 明   (4.42)と(4.70),2)と

λ=λ0に

対 す るKの

次 元 数 に ひ と しい.す

一般

な わ ちp=m.

を 結 び 合 わ せ れ ば よ い.

(証終)

  4.9  積 分 核 の 作 用 素 分 解  前節の記号をそのまま保存す る.

と す る.こ

の と き(4.66)を

考 慮 す れ ば,( 

こ れ よ り,   (4.71)

が 導 か れ る.す

な わ ち,k(λ)は,

 (4.72)

に 対 す る レ ゾ ル ベ ン トで あ る.   とこ ろで  (4.73)

で あ る((4.67)参

照).実

で あ る(留 数 定 理).そ

際,

して 右 辺 は,

に も 注 意 し て),

だ か ら で あ る.さ

てKυ=υK,υ2=υ

  (4.74) 

を 考 慮 す れ ば,

Kυ °K(1−υ)=K(1−υ)°Kυ=0

が わ か る.K(1−υ)=Hと

か け ば,

  (4.75) 

K=k+H; kH=Hk=0

と 分 解 さ れ た こ と に な る.一

般 に 直 交 核 が あ っ た と き,そ

の レ ゾ ル ベ ン トに 関 し

て,  (4.76)

と い う 関 係 が な り た つ.実

だ か ら で あ る.他

で あ る((4.63)参

で あ る か ら,

照). と し,あ

の1次

るjが

あ っ て,(1−

結 合 で あ ら わ さ れ る.そ

  証 明   分 解(4.75)を

の と き,(1−

こ ろ で,1−

近 傍 で 正 則 で あ る(Γ(λ)の

分 を と っ た も の で あ る か ら).ゆ

と な る.実

λ0k)jfを

え に,

際,(4.68),(4.70)よ

分 解 す れ ば,

り,

λ0Hは

λ=λ0に

(1− λ0k)jf=0 が し た が う が,(1−

λ0K)jf=0な

ら ば,fは 

λ0K)k(f)=0.

利 用 す る.

関 す る 帰 納 で 示 さ れ る.と

は λ=λ0の

近傍 で

方, 

  定 理4.10 

がjに

際,λ=0の

可 逆 で あ る.実

際,ΓH(λ)

お け る ロ ー ラ ン展 開 の 正 則 部

とい う形 に か け る か ら, 

と い う形 を して い る か らで あ る.ま

た こ の こ と は,   (4.77) kf=υ

°K(f)

か ら 明 ら か. 

(証 終)

  う え に え ら れ た 結 果 を ま と め て お く.   定 理4.11 

f=υ(f)+(1−υ)(f)と

直 和 分 解 し た と き,

Kυ(f)=kυ(f); 

K(1−υ)(f)=H(1−υ)(f).

  1) 

  2)  こ の 分 解 はKに   3) kをroot

対 す る 不 変 部 分 空 間 へ の 分 解 に な っ て い る.

subspace

有 値 と し て も つ.ゆ

F(dim(F)=m)に

え に 写 像 は1対1で

  証 明   1) 前 半 は(4.73).後 Hの

唯1つ

の固

あ る.

半 は,射

影 の 性 質(1−υ)2=1−υ

定 義 よ り, 

  2)  (4.77)よ る.く

制 限 し た 場 合,λ0を

を 用 い れ ば,

が し た が うか ら で あ る. り,F={υ(f);f∈L1(Ω)}はKに

対 す る不 変 部 分 空 間 で あ

り か え し て い う と, 

よ り,

ま た,H(1−υ)f=K(1−υ)(1−υ)f=(1−υ)K(1−υ)f=(1−υ)Hf.   3) kの

レ ゾ ル ベ ン トは,定

義 よ り,k(λ)で

あ っ た.ゆ

え に λ=λ0を

つ の 固 有 値 と し て も つ. 

(証 終)

  最 後 に 注 意 を 与 え て お く.(4.60)に   (4.78) 

も ど っ て,有

限 個 の λiを と り,

f=υ1(f)+υ2(f)+…+υn(f)+rn(f)

と し た 場 合 を 考 え る.こ   (4.79) 

唯1

れ は 直 和 分 解 で あ る.ま

Kυi=υiK=ki 

た

(i=1,2,…,n)

と す る と,   (4.80) 

Kf=k1f+k2f+…+knf+Krn(f)

と か け る.有 限 階 数 の 写 像ki(f)を

固有値

λiに 対 す る 主 要 核(principal

kernel)

と い う.kiはKの

レ ゾ ル ベ ン ト Γ(λ)の

部 分(principal

part)をki(λ)と

意 さ れ た い.な

お

が な り た つ.第1式 第2式

λ=λiに

お け る ロ ー ラ ン展 開 の 主 要

す る と,ki=ki(0)と

い う関 係 が あ る こ とに 注

は,ki°kj=(Kυi)°(Kυj)=(υi°υj)K2=0((4.62)参

はrn=(1−υ1−

  こ の と き,ヒ

… −υn)と

照).

お い て み れ ば 明 ら か で あ ろ う.

ル ベ ル ト ・ シ ュ ミ ッ トの 展 開 定 理 に な ぞ ら え て,

 (4.81)

が な りた つ で あ ろ うか とい う疑 問 が 生 ず る が,こ ら ず,相

れは一 般 には否 定 され るの みな

当 一 般 な 十 分 条 件 も わ か っ て い な い よ うで あ る.

演

習

問

題4

 1.  積 分 方 程 式

を と け.(ヒ

ン ト:φ(x)−f(x)=λcsinxと

に フ レ ドホ ル ム の 行 列 式 がD(λ)=1−2λ

お い てcを

求 め る こ と に 帰 着 さ せ る.つ

い で

で あ る こ と も 示 せ).

  2.

にお い て

 の とき,フ

,

と な る こ とを 示 せ.た   3.  K(x,y;λ)は

レ ドホ ル ム 行 列 式 は

だし 有 界 開 集 合 Ω,複 素 平 面 の あ る領 域 をDと

で 定 義 さ れ た 連 続 函 数 で か つ 有 界 とす る.さ λの 正 則 函 数 に な っ て い る とす る.

して, 

らに,K(x,y;λ)は(x,y)を

固定 す れば

を考 え る.こ

の とき 本 文 と の 類 似 で,フ

を 定 義 し よ う.D(x,y;λ)に て 考 え る.つ

レ ドホ ル ム の 行 列 式((4.8)参

つ い て も同 様 で あ る.こ

照)

の さいD(λ)≡0と

な る場 合 を除 い

ぎ の こ と を 示 せ.

 ⅰ)  D(λ0)=0と

な る λ0を特 異 値(singular

value)と

よぶ.特

異 値 の 集 合 は 領 域Dの

内 部 に 集 積 点 を も た な い.  ⅱ)  λ0が特 異 値 の と き

は 恒 等 的 に は0で

  4.  u(f)を

な い よ う な 連 続 解 φ(x)を

も つ.

ヒ ル ベ ル ト空 間 あ る い は バ ナ ッ ハ 空 間E全

u(f)=0か

らf=0が

D(A)={u(f);f∈E}と

し た が う と す る.u−1をAと す る.uの

体 で定 義 され た有界作 用 素 と し す る .す

な わ ちAの

レ ゾ ル ベ ン トを Γ(λ)と す る と(4.2参

定 義 範 囲 を 照),つ

ぎの

こ と が な りた つ.  ⅰ) 

(A−

λ)(f)=0と(1−

λu)(f)=0と

 ⅱ) 

(A−

λ)(f)=gと(1−

λu)(f)=u(g)と

 ⅲ) 

(A−

λ)−1=Γ(λ)が

  5.  K(x,y)を

をL1(Ω)で

は 同 等 で あ る. は 同 等 で あ る.

な り た つ.

連 続 ま た は(4.38)を

み た す 核 と す る.そ

の 作 用 素 とみ て もL2(Ω)で

の とき

の作 用 素 とみ て も,固 有 値 な ら び に 固 有 函 数 は 全

く 一致 す る こ と を 示 せ(Ω は 有 界 開 集 合).   6.  前 問 と 同 じ仮 定 を お く.u(f)がL1(Ω)の 要 十 分 条 件 はK(x,y)の

作 用素 とみて固有値 を もたない ため の必

逐 次 反 復 核 に 対 す る トレー ス((4.34)参

照)が,

t3=t4=…=tp=…=0 を み た す こ と で あ る(ラ レス コ).(ヒ ー リ ング の 公 式

ン ト:(4.7)がapに

 に よ り,D(λ)は

対 す る 評 価 を与 え る こ と と,ス タ

位 数 が た か だ か2の

整 函 数 で あ り,整

函 数 の 理 論 よ り,

と か け る こ と に 着 目 し,こ

れ に(4.35)を

用 い よ).

  7.

を 考 え る.こ

こ で 

とす る.K(x,y)は

連 続 核 で あ る が,

 に 対 して,ⅰ)uの 0が

し た が う,こ

と を 示 せ.(ヒ

固 有 値 は 存 在 しな い.ⅱ)u(f)=0か

ン ト:

らf=

 (n=0,±1,±2,…)はL2(0,2π)の

完 全 正

規 直 交 系 をつ くる こ とに 着 目せ よ).   注 意  u−1=Aと

す る と,(A−

λ)−1は任 意 の λに 対 して 有 界 作 用 素(L2(I)の)で

あ り,

固 有 値 は 存 在 しな い.   8.  Ω を 有 界 開 集 合,K(x,y)はL1(Ω)の K2(x,y),K3(x,y),… の と き4.7で  ⅰ) 

有 界 作 用 素 を 定 義 す る と す る.Kの

を 考 え 

の と きKi(x,y)は

の べ た 事 実 は や は りな り た つ.こ

反復 核

す べ て 有 界 核 に な る と す る.こ

れ を つ ぎ の 段 階 に わ け て 示 せ.

作 用 素 の 記 号 で か け ば, 

は 核K(x,y)に

対 す る レ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 を み た す.こ

れ よ り Γ(λ)は 有 理 型 函 数 で あ る.(ヒ

ン ト:λ=0

の 近 傍 で テ ー ラ 展 開 を 行 な っ て み れ ば よ い).  ⅱ) 

Γ(λ;Kn)をKn(x,y)の

Γ(λ)の

λ=λ0に

レ ゾ ル ベ ン ト と す る.Γ(λn;Kn)の

有 界 可 測 核 で あ る.ま

(4.64)参

ン ト:4.8,4.9の

たBi(x,y)に

るnが

あ っ てKnが

0,1,0,…)と

つ い て も そ の ま ま な り た つ.

完 全 連 続 作 用 素 に な れ ば な り た つ.

  9. 何 回 反 復 し て も 完 全 連 続 に は な ら な い が,フ 界 作 用 素 の1例

つ い て も 同 様 で あ る((4.63),

推 論 を た ど れ).

  注 意   こ の 結 果 は ヒ ル ベ ル ト空 間 に お け る 有 界 作 用 素Kに す な わ ち,あ

を λ0と し,

お け る ロ ー ラ ン展 開 を 考 え,

よ り,B1(x,y)は 照).(ヒ

極 の1つ

に つ い て 考 え る.l2の

標 準 基 底 をe1,e2,…

す る.{e1},{e2,e3},{e4,e5,e6},…

組 の 標 準 基 底 を{en,1,en,2,…,en,n}と

レ ドホ ル ム の 諸 定 理 が す べ て な り た つ 有

す る.こ

と す る.す

と 組 分 け し,番

な わ ちen=(0,…,

号 を つ け か え て,n番

の 基 底 で 張 ら れ る 空 間 をEnと

す る と 

で あ る.   Enに

線 形 写 像unを

で 定 義 す る.最

後 に u(f)=u1(f1)+u2(f2)+…+un(fn)+…

と 定 義 す る.fnはf∈l2のEnへ

の 正 射 影 で あ る.つ

目の

ぎ の 順 に そ っ て 考 え よ.

 ⅰ) 

を 示 し,u(f)はl2の

ト: 

ン

を 示 す).

 ⅱ )  uは 完 全 連 続 で は な い.(ヒ

{φn}は

有 界 作 用 素 で あ る こ と を た しか め よ.(ヒ

ン ト:各Enに 

正 規 直 交 系 で あ る が,u(φn)は0に

を と れ ば,

収 束 し な い.実

際, 

で あ る か ら).  ⅲ) 

フ レ ドホ ル ム の 諸 定 理 が な り た つ.す の と き 有 界 な 逆 を も ち,λ=nの

 ⅳ) 

ど ん な にp(正

u1p+u2p+…+unp+… 示 す).

な わ ち,(1−

λu)(f)=gに

と き は フ レ ド ホ ル ム の 第3定

の 整 数)を 大 き く と っ て も,upは

お い て,  理 が な り た つ.

完 全 連 続 で は な い(ヒ

で あ る こ と に 着 目 し{unp(φn)}n=1,2,…

は0に

ン ト:up=

収 束 し な い こ とを

5. 種

  5.1 

々 の 結

果

直 交 多 項 式 系(Ⅰ)

  {1,x,x2,…,xn,…}をI=(−1,+1)で

定 義 さ れ たL2の

シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 を 行 な っ て え ら れ る 直 交 多 項 式 系 を,ル (Legendre

polynomial)と

い う.1.10で

説 明 し た よ う に,n次

函 数 と み な し て, ジ ャ ン ド ル 多 項式 の ル ジ ャ ン ドル 多

項式 は

で 与 え ら れ た.こ あ る.こ

こ で 定 数 はPn(1)=1と

い う条 件 に よ っ て 定 め ら れ た も の で

れ ら の 直 交 多 項 式 系{Pn(x)}がL2(I)で

完 全(complete)で

す な わ ち 任 意 のf(x)∈L2(I)が{Pn(x)}で は,ワ

展 開 可 能 で あ る こ と(3.7参

イ ア ー ス トラ ー ス の 定 理―

様 近 似 で き る―

任 意 の 有 限 区 間 で の 連 続 函 数 は,多

に よ っ て 知 ら れ て い る が,こ

ず 

あ る こ と, 照)

項式 で一

こ で は 別 の 立 場 か ら 説 明 す る.ま

は,

  (5.1) 

(x2−1)y″(x)+2xy′(x)=n(n+1)y(x)

を み た す.実

際,(x2−1)n=uと

れ ば よ い.と

こ ろ で こ の 関 係 式 は,

  (5.2) 

お き,(x2−1)u′=2nxuを(n+1)回

u(f)=(x2−1)f″+2xf′=λf

と お い た と き,λ=n(n+1)が

作 用 素uの

固 有 値 に な っ て い る こ と を示 して い

る.じ

つ は こ の 逆 が い え る の で あ っ て,そ

は,固

有 函 数 の み た す べ き 条 件 を つ け な け れ ば な ら な い(3.8の

れ を 以 後 に 示 す .固

こ こ で,(x2−1)f″+2xf′=−((1−x2)f′)′ は,f(x)はIで

微 分す

有 値 と い う場 合 に 例1の

項 参 照) .

で あ る こ と を 考 慮 し て,f∈E1と

局 所 的 に 絶 対 連 続 で あ っ て,か

つ

 (5.3)

と な る も の 全 体 を と る.そ

し て 固 有 函 数 もE1に

ぞ く し て い て,(5.2)を

み たす

も の と す る.こ

の 制 限 は,以

下 に 示 す よ う に(5.2)の

解f(x)のx=−1,+1

の 近 傍 に お け る 挙 動 に 関 す る 制 限 で あ る.   定 理5.1 

f(x)∈E1と

す る.JをIの

完 全 内 部 に 含 ま れ る 閉 区 間 とす る

と,   (5.4)

が な り た つ.ま

たx→

±1の

と き,

 (複号同順)

  (5.5)

で あ る.す

な わ ち,例

え ばx→1の

  証 明   ζ(x)∈C01(I)を,J上

と き,y=1−xと

=[−1+ε,1−

で は1で,か

ε]の 完 全 内 部 にJが はIε

の 外 で は0と

つ ε(>0)を

十 分 小 に と り,Iε

含 ま れ る よ う に え ら ん で お い て,  な る よ う に す る.x∈Jの

シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式 を用 い れ ば,第2項 が,他

お く と,

と き,

 で評価 される

は,

方,

で あ る か ら,(5.4)が

示 さ れ た.つ

ぎ に α(x)=1−

ζ(x)と

し て,x=±1の

近

傍 で は,

と か け る が,第1項

と な る か ら,(5.5)が   注 意  f(x)∈E1だ

は 問 題 で は な く,第2項

な り た つ.  け か ら,f(x)のIで

は,例

えばx→1の

と き,

(証 終) の 有 界 性 は 結 論 さ れ な い.た

とえ

ば,f(x)={log(1−x)−1}α

で あ れ ばE1に

は, 

 フ ッ ク ス の 理 論 に よ れ ば,(5.2)の

ぞ くす る.

一 般 解 は,x∈Iで

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn+… と 展 開 さ れ,そ

れ はx=0に

て,a0=1,a1=0と 与 え る.と

お け る 初 期 値 に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.し

お い た 解 とa0=0,a1=1と

お い た 解 が1次

たが っ

独 立 な解 を

こ ろ で,

で あ る か ら,λ=n(n+1)と

い う形 を とる と き に の み1次

が 多 項 式 とな っ て あ ら わ れ る.ま

独 立 な 解 の うち の1つ

た こ れ よ り多 項 式 解 でm次

の ものは定 数 倍 を

除 い て 一 意 的 に定 ま る こ と も わ か る.と こ ろ で, 

とし

よ う.そ の と き,

を順 次 く り返 せ ば,

と な る が,kを

十 分 大 き く と っ て お け ば,[]は

で あ る か ら,容 易 に わ か る よ うに,た

す べ て 正 で あ り,か つ

とえ ば,ak>0と

す れ ば,f(x)は

有限 個

を除 い て,

よ り大 き く な り,し

た が っ て,x→1の

と な る.ゆ

理5.1よ

  定 理5.2 

え に,定

り, 

(5.2)をx∈Iで

ン ドル 多 項 式 に か ぎ る.ゆ

と き,

ゆ えに

み た す 解f(x)で,E1に え に,λ

は,n(n+1)と

ぞ くす る も の は ル ジ ャ い う形 の と び と び の 値 し か と

り え な い*. *  うえ の 推 論 よ り ,各 固 有 空 間 は1次

元 で あ る こ とが した が う.

  つ ぎ にE1の

単 位 球 

あ る こ と を 示 す.ま

はL2(I)の

ず(5.5)に

よ り,任

位 相 で 相 対 コ ン パ ク トで

意 の ε(>0)に

対 して

δ(>0)を

小に と

る と,

がf∈Bに

対 し て 同 時 に な り た つ.つ

用 す れ ば,{f(x)}f∈Bは

ぎ にJ=[−1+δ,1−

一 様 有 界 で あ り,か

に よ り 同 等 連 続 で あ る.ゆ

え に{fj}をBの

の コ ー シ ー 部 分 列 を と り 出 せ る.ゆ

δ]に(5.4)を

適

つ

任 意 の 列 と す れ ば,ε

え に 定 理3.1よ

り,BはL2(I)の

を 除 い てL2(I) 位 相 で相 対

コ ン パ ク ト集 合 に な る.   さて

とす れ ば,任 意 の φ ∈E1に

が な り た ち,逆 定 理3.14を

plete

も 正 し い.こ

参 照 す れ ば,結

  定 理5.3  system)を

対 して

の こ と に 着 目 す れ ば,3.8の

例1,あ

るい は む しろ

局 つ ぎ の 定 理 が 示 さ れ た.

ル ジ ャ ン ドル 多 項 式 系{Pn(x)}n=0,1,…

は,L2(I)の

完 全 系(com

な す.

 5.2  直 交 多 項 式 系(Ⅱ)   I=(0,∞)で の 全 体 をE0と

局 所2乗 す る.E0は

可 積 分 函 数 で, 

を み たすf(x)

内積 が

で 与 え ら れ て い る ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.{1,x,…,xn,…}をE0の

元 と み て,シ

ュ ミ ッ トの 直 交 法 を 行 な っ て え ら れ る 直 交 多 項 式 系 を ラ ゲ ー ル 多 項 式(Laguerre polynomial)と  (5.6)

い う.具

体 的 に は,

計 算 に よ っ て,Ln(x)は   (5.7) 

xy″(x)+(1−x)y′(x)+ny(x)=0

を み た す こ と が 確 か め ら れ る.そ   (5.8) 

こ で 問 題 を 一 般 化 し て,

xy″(x)+(1−x)y′(x)+λy(x)=0

を み た すy(x)を

考 え る.(5.8)は,

  (5.9) 

(xe−xy′(x))′+λe−xy(x)=0

と か か れ る こ と を 考 慮 し て.前

節 同 様 に,E1と

し て,

  (5.10)

を み た す も の を と り,(5.8)の

解y(x)でE1に

うに 解 の 挙 動 に 制 限 を加 え れ ば,(5.8)の

ぞ くす る もの を 考 え る.こ

解 は,出

のよ

発点 で あ った ラゲー ル 多項 式

以 外 に は な い こ と が 以 下 の 要 領 で 示 さ れ る.   (5.8)に

お い て,x=0は

特 異 点 で あ るが,フ

重 特 性 根 で あ る こ とを 考 慮 す れ ば,x=0の

ッ ク ス の 理 論 よ り,r=0が2

近 傍 に お け る1次 独 立 な 解 は,

{

y1(x)=1+a1x+a2x2+…, y2(x)=y1(x)logx+H(x)

とな る.H(x)は な い こ とが,前 ∈E1か

原 点 の 近 傍 で 正 則 な 函 数 で あ る.ま ず,y2(x)はE1に 節 の 推 論 を 少 し修 正 す れ ば 結 論 さ れ る.く

属 しえ

わ し くい え ば,f(x)

ら,原 点 の近 傍 で は,

で あ る こ と が し た が う か ら で あ る.つ

ぎ にy1(x)で

あ る が,

 (5.11)

とな る が, 

の と き は,y1(x)は

分 大 き い と こ ろ で は 定 符 号 と な り,(5.11)か

無 限 級 数 とな り(収 束 半 径 ∞),十 ら, 

を考慮

すれば

と な る こ と が わ か り,

  ラ ゲ ー ル の 多 項 式 系 がE0で

完 全 直 交 系 で あ る こ と を 以 下 に 示 そ う.そ れ に は,

前 節 と 同 様 に,(5.10)で

定 義 さ れ るE1空

間 の 単 位 球 

がE0

の 位 相 で 相 対 コ ン パ ク トで あ る こ と を 示 せ ば よ い.   f(x)∈E1と

す る.列{αj(x)}を

で は 恒 等 的 に1で

つ ぎ の よ う に え ら ぶ:αj∈C1で, 

あ っ て, 

か つ 

αjは コ ン パ ク トな 台 を も つ と す る.そ

の と き,

fj(x)=αj(x)f(x)→f(x)  がE1の

位 相 で な り た つ.す

列fjで

近 似 で き る.実 際,{(1−

を み た し,各

(j→ ∞)

な わ ちf(x)はx→+∞ αj(x))f(x)}′=(1−

の と き0に

な る よ うな 函 数

αj(x))f′(x)−

αj′(x)f(x)

で あ る が,

で,第2項

は 問 題 な く,第1項

で 評 価 さ れ, 

は,

よ りj→

∞

の と き,こ

の 積 分 は0に

近 づ くこ と が

わ か る.   こ れ よ り, u(f)=−(xe−xf′(x))′+e−xf(x) と お く と,f∈E1,u(f)∈E0の

が な り た つ.す

と き,任

意 の φ(x)∈E1に

対 し て,

な わ ち, (u(f),φ)=(f,φ)1.

こ こ で 右 辺 は ヒ ル ベ ル ト空 間E1(⊂E0)の   さ てE1の

単 位 球 をBと

す る.一

内 積 で あ る.

般 に,f(x)∈E1に

対 し て, 

と お く と,

 (5.12)

が な りた つ.実

際,う

え の 注 意 に よ って,f(x)∈E1はx→+∞

る と して 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.ま

た 実 数 値 函 数 と して よい.そ

の と き0に な の とき

だ か ら,

で あ る が,部 (5.12)が

に ひ と しい.ゆ

分 積 分 に よ り,最 後 の 項 は, 

えに

示 さ れ た.

  (5.12)よ

り,f∈Bか

が し た が う.す お け るL2ノ

ら

な わ ち,Lさ

ル ム は 一 様 に 小 に と れ る.ゆ

果 が 使 え て,定

理3.1が

適 用 で き る.ゆ

コ ン パ ク ト性 が 示 さ れ た .ゆ   定 理5.4 

え 十 分 大 で あ れ ば,  え にI=(0,L)に

お い て は,前

え に 

のE0で

節 の結 の相 対

え に 前 節 と 同 様 に し て,

ラ ゲ ー ル 多 項 式 系 はE0で

  最 後 に エ ル ミ ー ト多 項 式(Hermite に な る ヒ ル ベ ル ト空 間 は,局

の[L,∞)に

完 全 で あ る.

polynomial)に

所2乗

つ い て 説 明 して お く.基

礎

可 積 分 函 数 で,

と な る も の 全 体 を と り こ れ をE0と

す る.{1,x,x2,…}をE0の

トの 直 交 法 を 行 な っ て え ら れ るE0の

元 と して シ ュ ミ ッ

直 交 多 項 式 系 を エ ル ミー ト多 項 式 系 と い う.

 (5.13)

で 与 え ら れ る.Hn(x)は,   (5.14)  の

λ=2nに

u(f)=−(e−x2f′(x))′=λe−x2f(x) 応 ず る 解 で あ る こ と が 計 算 に よ っ て 認 め ら れ る.こ

こ で,解

の空 間

解 は エ ル ミー ト多 項 式 に 限 る こ と が,ラ

ゲー ル

と し て,

と い う制 限 を 加 え る と,(5.14)の

多 項 式 の 場 合 と 同様 に 示 さ れ る.E1の る こ とは 容 易 に わ か る.ま

ず,E1の

単 位 球 がE0の 中 でC01(コ

が 稠 密 で あ る こ と は 容 易 に わ か る.こ

位 相 で 相 対 コ ンパ ク トで あ

ン パ ク トな 台 を も つC1函

の こ と を考 慮 す れ ば,f∈E1に

数)

対 して,

 と お け ば,

が な り た つ こ と が 示 さ れ る.こ で き る.ゆ

え に,エ

れ よ り,前

ル ミ ー ト多 項 式 系 はE0で

  最 後 に 注 意 を 与 え て お く.直 る こ と が で き る.し

と同 様 に して 求 め る性 質 を 示 す こ とが

か し,こ

完 全 で あ る.

交 多 項 式 系 の 完 全 性 は,別 こ で は,場

合,場

の方 法 で簡 単 に証 明す

合 に よ ら ず に,統

一 した原理 か ら

導 か れ る も の で あ る こ と を 強 調 し た か っ た の で あ る.

  5.3 

球 面 調 和 函 数 の 定 義

  R2(平

面)の 単 位 円 周 上x12+x22=1で

sinθ

に よ り,f(θ)で

f(2π)と

く に 連 続 で あ る と い う こ と は,f(0)=

い う条 件 を ふ つ う の 連 続 函 数 の 定 義 に つ け 加 え て 考 え る.f(θ)が

ら か な ら ば,一 い る.と

あ ら わ さ れ る.と

定 義 さ れ た 函 数 は,x1=cosθ,x2=

様 収 束 フ ー リ エ 級 数 でf(θ)が

こ ろ で3角

函 数 系{1,cosθ,sinθ,…,cos

なめ

あ らわ さ れ る こ と は よ く知 ら れ て nθ,sin nθ,…}は,微

分作 用 素

 (5.15)

に 対 す る 固 有 函 数 系 と して え ら れ た も の で あ る.す な わ ち   (5.16)  を満 足 す るf(θ)は,微

u(f)=λf(θ) 分 方 程 式 の 解 と して,ま

次 独 立 な 解 が 定 ま る が,円 周 上 の 連 続 函 数,し い う,要 請 か ら, (n=0,1,2,…)と

ず, 

が(局 所 的)1

た が って 周 期2π

な り,し た が っ て,{einθ,e−inθ}が

こ の 問 題 に 対 す る 固 有 函 数 の 全 体 を与 え る.こ の 場 合 は,い 的 に 同 じで あ り,む

しろ 最 も簡 単 な 場 合 で あ る.E1と

ま ま で の 場 合 と本 質

して は,f(θ)が

で あ り(周 期2π の 函 数 で あ る こ と も こ れ に 含 め て 考 え る),か ぞ くす る も の 全 体 を と り,

の 函数 で あ る と

絶 対連続

つf′(θ)がL2に

と す る.と

こ ろ で,f(θ)∈E1,u(f)(θ)∈L2の

場 合,任

意 の φ(θ)∈E1に

対

し て,

が な り た つ(部 分 積 分 に よ る)か ら, (u(f)+f,φ)=(f,φ)1 が な り た つ.ま

たE1の

あ る こ と は,こ

れ こ そ い ま ま で の 推 論 の 出発 点 で あ っ た こ と を 想 い 起 さ れ た い

(一 様 有 界,か L2(S)で

単 位 球 

意 味 で 相 対 コ ン パ ク トで

つ 同 等 連 続 の 集 合 で あ る か ら で あ る).し

完 全 で あ る(Sは

  こ の 事 実 の1つ に よ る,球

がL2の

た が っ て,3角

函数 系は

単 位 円 の 周).

の 拡 張 が,こ

れ か ら の べ る 球 面 調 和 函 数(spherical

harmonics)

面 上 で 定 義 さ れ た 函 数 の 展 開 で あ る.

 (5.15)で

考 え た 作 用素 

の 高 次 元 へ の 拡 張 は や っ か い で あ る.直

角座 標

系 の 場 合 は,  (5.17)

がn次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnへ

と よ ば れ て い る.現

の 拡 張 に な っ て お り,ラ

プ ラ シ ア ン(laplacian)

在 解 析 学 の 問 題 の と り扱 い に さ い し て,し

ば しば 登 場 す る も

の で あ る.   n次 元 空 間Rnの

単 位 球 面 を Ω と す る. Ω={x∈Rn;x12+x22+…+xn2=1}.

以下

Ω の 点 を ω で あ ら わ し,そ

元 の 集 合 で あ り,局 か え れ ば,Ω

の 座 標 を 

所 的 に は(n−1)-次

の 点 は 局 所 的 に は,(n−1)-個

の 函 数 と し て,1対1に

と す る.Ω

は(n−1)-次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と 同 相 で あ る.い の 独 立 パ ラ メ ー タ(u1,u2,…,un−1)

表 現 さ れ る.

  く わ し い こ と は リー マ ン 幾 何 学 の 初 等 的 な 教 科 書 に ゆ ず る こ と に し て,必 結 果 だ け を の べ よ う.   Rnに

い

曲線 座標 xi=xi(u1,u2,…,un) 

(i=1,2,…,n)

要な

を 導 入 した とき,

た だ し,  (5.18)

に よ っ て リー マ ン の 基 本 計 量 テ ン ソ ル{gjk}を   (5.19)  と お く.前

(gij)=(gij)−1;  者 は,正

値 対 称 行 列(gij)の

定 義 す る. ￨g￨=det(gij)

逆 行 列 を 意 味 す る.そ

の と き(5.17)で

定 義 さ れ る Δ は,  (5.20)

の 形 と な る こ と が わ か っ て い る.   そ こ で,Rnの

曲 線 座 標 系 と し て 極 座 標 を と る.

  (5.21) 

xi=rωi(u1,u2,…,un−1) 

こ こ で(u1,…,un−1)は r)が

単 位 球 面 上 の 局 所 座 標 で あ る.し

曲 線 座 標 に な る.

で あ り,

と こ ろ で,

実 際,    (5.22) こ こ で,

  (5.23)

(i=1,2,…,n).

ゆえに

た が っ て(u1,…,un−1,

は 単 位 球 面 Ω 上 の リ ー マ ン 計 量 を 与 え る.   ゆ え に,(5.20)を

適 用 す れ ば,

  (5.24)

と か か れ る.こ

こで

  (5.25)

は,単

位 球 面 上 で 定 義 さ れ た 作 用 素 で あ り,ラ

(Laplace-Beltrami's

operator)と

な わ ち 局 所 座 標(u1,…,un−1)の

プ ラ ス

よ ば れ て い る.Λfは

・ ベ ル トラ ミ の 作 用 素

ス カ ラ ー で あ る こ と,す

と り方 に 無 関 係 な 作 用 素 で あ る こ と も わ か って

い る.   Ω の 面 積 要 素 は 

で あ り,E0=L2(Ω)に

と る.す

なわ

ち,

と す る.f(ω)∈C2(Ω)に

対 し, 

で そ の 台 が1つ

の局 所座 標 に よ

っ て あ らわ さ れ て い る場 合 は,

が な りたつ*.こ

の 式 は Ω 上 の 単 位 分 解: 

か つ 各 

は そ の 台 を1つ の 局 所 座 標 で あ ら わ さ れ る よ うに と っ

て あ る とす る,を 用 い る こ と に よ っ て,任 意 の    E1と

で な りたつ.

して

  (5.26)

を み た すfの

集 合 を と る.厳 密 に はC2(Ω)を

間 で あ る.な お(5.26)の

右 辺 は,局 所 座 標 系 の と り方 に よ らな い こ と を 注 意 し

て お く. *  gij=gjiを

考慮す れば よい

ノル ム ‖f‖1によ って 完 備 化 した 空

.

  定 義5.1 f(ω)∈E1で,  (5.27)

を み た す 

を,す な わ ちΛ の 固 有 函 数 を球 面 調 和 函 数 とい う.

  さ て(5.27)が

な りたつ こ と は,任 意 の φ ∈E1に

対 して,

 (5.28)

が な りた つ こ と と 同 等 で あ る.ゆ え に3.8で に 定 理3.14が

適 用 で き る た め に は,E1の

集 合 で あ る こ と を 示 せ ば よい.こ と に よ って,つ   定 理5.5 

の べ た と同 様 な 考 察,あ 単 位 球 がE0の

るいは 直接

位相 で相 対 コンパ ク ト

れ を示 す に はΩ の 単 位 分 解αkuに

着 目す る こ

ぎ の 一 般 定 理 を用 い れ ば 十 分 で あ る. DをRnの

有 界 開 集 合 とす る.C01(D)の

を み た す も の 全 体 の 集 合 はL2(D)の

元 で,

  証 明   有 名 な ポ ア ソ ン(Poisson)の

位 相 で 相 対 コ ン パ ク トで あ る. 公 式 を 用 い る:f(x)∈C01(D)に

対 し て,

H0はRnの

 (5.29) 

球 の表面積 に 対 し て,Δg(x)=f(x)が

な り た つ.た

だ し,n=2の

 (5.30)

と す る.と

こ ろ で,(5.29)の

で あ り,さ

らに

ゆ え に ポ ア ソ ン の 公 式 よ り,

が な り た つ.す

な わ ち,

場 合( 

の 場 合),

と き は,

単位

が な り たつ.こ

こ で3.3,例2で

示 した 事 実 を適 用 す れ ば,定 理 が な りた っ て い

る こ とが わ か る.   n=2の

場 合 も 同 様 に して 示 さ れ,ま

たn=1の

場 合 は,い

ま ま で しば しば 用

いた よ う に,ア ス コ リ ・ア ル ツ ェ ラの 定 理 で あ る .    さて − Λの 固 有 値 の 最 小 は0で

(証終)

あ り,そ の 固 有 函 数 空 間 は1次

元 で 恒 等 的 に1

と い う函 数 が 固 有 函 数 で あ る.   定 理5.6 

Ω で 定 義 さ れ た− Λ に 対 して, 

固 有 値 の 列 と,そ

れ に 対 応 す る 固 有 函 数,す

とい う な わ ち 球 面 調 和 函 数 の 列, 

が あ り,こ れ ら は 完 全 正 規 直 交 系 を な す.す

  注 意   上 記 の 推 論 で Ω が 単 位 球 で あ る 必 要 は 少 し も な い.し 一 般 に コ ン パ ク ト,方

な わ ち,

た が っ て 定 理 は,

向 づ け 可 能 な リー マ ン 多 様 体 上 で の ラ プ ラ ス ・ベ ル トラ ミ

作 用 素 に 対 し て な り た つ.

  5.4 

球 面 調 和 函 数 の 性 質

  Pm(x)=Pm(x1,x2,…,xn)をm次 す る.す

斉 次 多 項 式 で ΔPm(x)=0を

な わ ち 調 和 多 項 式(harmonic

へ の 制 限 をfm(ω)と

fm(ω)は1つ

す る.Pm(x)の

単 位 球面 上

す る:

の 球 面 調 和 函 数 で あ る.実

ΔPm=0よ

polynomial)と

み たす もの と

り,(5.24)を

際,Pm(x)=rmfm(ω)で

あ る か ら,

考 慮 す れ ば, Λfm+m(m+n−2)fm=0

を え る.す

な わ ち,fmは−

で あ る.こ

の と き 逆 も な り た つ こ と を 示 そ う.

と す る.λ1=0の

場合は

き 適 当 な 正 の 数knが 示 す.実

際,前

Λ の 固 有 値m(m+n−2)に

対 す る1つ

φ1は 定 数 で あ る の で,λn>0の

あ っ て,f(x)=rknφn(ω)が

と同 様 にす れ ば

の 固有 函 数

場 合 を 考 え る.こ

Δf(x)=0を

の と

み た す こ とを

で あ る か ら,kn(kn+n−2)−  で な りた つ.と

と と れ ば,こ C02(Rn)の

λn=0を

と れ ば,Δf(x)=0が

方f(x)=rknφn(ω)の

形 よ り,任

こ ろ で,

の 条 件 が な り た つ.他 元

み た す よ う にknを

ψ(x)に

対 し て, 〈f(x),Δ

ψ(x)〉=0

が な りた つ こ と が わ か り,こ れ よ りf(x)はC∞ こ ろ で Δf(x)=0が

な りた つ.す

で あ る.他 方,f(x)を と,Dαf(x)は

函 数 とな り,し た が っ て 至 る と

な わ ち,x=0はf(x)の

十 分 大 き な 階 数 ま で,例

負 の 次 数 の 斉 次 函 数 と な る が,そ

る た め に は,Dαf(x)≡0,  る こ とが,空

見 かけ 上 の特 異点

え ばN=[kn]+1回

微分する

の 函 数 が 原 点 の 近 傍 でC∞ で あ

が い え る.こ れ よ り,f(x)は

間 の 次 元 数 に 関 す る 帰 納 法 で 示 さ れ る.ゆ

あ り,rknφn(x)は

意の

次 数kn次

多項 式 で あ

え に,knは

の 斉 次 調 和 多 項 式 で あ る.ゆ

正 の整 数 で

え に つ ぎ の こ とが わ

か っ た.   定 理5.7 

−Λ の 固 有 値 は,mが0,1,2,…

の と る値 に 他 な らな い.固

有 値m(m+n−2)に

の 球 面 調 和 函 数 と よ ば れ,Ym(ω)と の 制 限 と して え られ る.し

を うご い た と き の,m(m+n−2) 応 ず る固 有 函 数(こ れ は 位 数m

か か れ る)はm次

斉次 調 和多 項 式の Ω 上 へ

た が っ て そ の 固 有 空 間 の 次 元 数 は,m次

斉 次調 和多

項 式 の 空 間 の 次 元 数 と一 致 す る.

  5.5 

シ ュ ミ ッ ト型 作 用 素

  3.3,例1で

を満足す る積分核で定

示 し た よ う に, 

義 さ れ る 積 分 作 用 素 は 完 全 連 続 で あ っ た.こ シ ュ ミ ッ ト型 作 用 素 で あ る.一 を 簡 単 に す る た め に,Eの ちEは

可 分(separable)で

トの 直 交 法 を 行 な っ て,完

般

れ を一 般 化 した も の が 以 下 に の べ る

ヒ ル ベ ル ト空 間Eを

中 に 稠 密 な 可 算 個 の 元{ξi}が

考 え る.問

あ る と す る.そ

は あ る.

と れ る と す る.す

の と き,{ξ1,ξ2,…,ξn,…}に

全 正 規 直 交 系{e1,e2,…,en,…}が

完 全 正 規 直 交 系 は 少 な く と も1つ

題 の と り扱 い なわ

シ ュ ミッ

構 成 さ れ る.ゆ

えに

  完 全 連 続 作 用 素uが

シ ュ ミ ッ ト型 で あ る と は,あ

る1つ の 完 全 正 規 直 交 系{ei}

に対 して  (5.31)

を み た す と き を い う.そ

の とき

よ ぶ.ま

全 正 規 直 交 系 の と り か た に 無 関 係 で あ る こ と を 示 そ う.

ず(5.31)が,完

‖u‖2を シ ュ ミ ッ ト ・ ノ ル ム(Schmidt

norm)と

そ の た め に,

  (5.32)

を 示 す.ま

ず パ ー シ バ ル の 等 式 よ り,任

意 のf,g∈Eに

対 し て,

  (5.33)

が な り た つ こ と を 注 意 し よ う.こ

 つ ぎ に,{ei′}i=1,2,…

が な り た つ.こ

れ を 用 い れ ば,

を 別 の 完 全 正 規 直 交 系 と す れ ば,

こ で 最 後 の 等 式 は(5.33)を

つ か っ た.ゆ

え に,

  (5.34)

が 示 さ れ た.   定 理5.8 

 υ,wをEの ト型 で,   (5.35) が な り た つ.

(シ ュ ミ ッ ト ・ ノ ル ム の 性 質)

有 界 作 用 素 と し,uを

シ ュ ミ ッ ト型 と す れ ば,υ

°u°wは シ ュ ミ ッ

  証 明   {ei}を 完 全 正 規 直 交 系 とす る. 

の

両 辺 を2乗

し,iに つ き 和 を と れ ば,右 辺 は 

で あ り,シ

ュ ワ ル ツ の 不 等 式 よ り,こ

さ れ る.(5.35)を

で評価

れ は 

示 す. 

こ れ と, 

(5.32)よ

(有 界 作 用 系 に 対 す る 一 般 に な り た つ 性 質)よ

が 示 さ れ た.    3.10で

り

り,(5.35) (証 終)

示 し た よ う に,正

値 完 全 連 続 作 用 素uu*, 

に 対 す る 表 現 を,

 (5.36)

と す れ ば,   (5.37) が な り た つ.   例 

は の シ

の と き, 

ュ ミ ッ ト型 作 用 素 で あ り,

が な り た つ.ま

ず 仮 定 よ り,m(ex)=0と

き,K(x,y)はyの L2(Ω)の1つ

函 数 と し てL2(Ω)に の 完 全 正 規 直 交 系 と す る. 

な る よ うなexが ぞ くす る(フ

あ っ て, 

ビ ニ の 定 理).{φi(x)}を

と し て,

に パ ー シバ ル の 等 式 を 用 い れ ば,

が な りた つ が,こ

の 両 辺 をxに つ い て Ω 上 で 積 分 す れ ば 求 め る等 式 を え る.

の と

  5.6 

核

型

作

用

素

  シ ュ ミ ッ ト型 作 用 素 よ り さ ら に 条 件 の 強 い ク ラ ス と し て 以 下 に の べ る 核 型 作 用 素(nuclear

operator)ま

そ れ は(5.36)に

た は ト レー ス ク ラ ス(trace

お け る 

class)と

よ ば れ る も の が あ る.

の 固 有 値{λi}が

 (5.38)

を 満 足 す る も の で あ っ て,‖u‖1は,ト る.こ

の と き(3.69)を

レー ス ノ ル ム(trace

norm)と

よばれ てい

み れ ば,

 (5.39)

が な りた つ こ と を 注 意 して お こ う.ま た{λi}はu自 で あ る こ と も注 意 す べ き で あ ろ う.ト

身 の 固 有 値 列 と一 応 無 関 係

レー ス ク ラ ス の 作 用 素 の 歴 史 的 な 起 源 は,

つ ぎ の 定 理 で あ る.   定 理5.9 

uが 核 型 作 用 素 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,uが2つ

の シ ュ ミッ

ト型 作 用 素 の 積 で あ ら わ さ れ る こ とで あ る.   証 明   ま ず 十 分 性 を示 す.u=u1°u2と あ る と す る.ま ず(3.63) 

して2つ の シ ュ ミ ッ ト型 作 用 素 の 積 で に 着 目す れ ば,

ゆ え に,

 す な わ ち,  (5.40)

を え る.   つ ぎ に 必 要 性 で あ る が,uを

核 型 と す る .(3.70)に

お い て,

 と す る と,u=u1°u2で

 で あ り,

あ る.実

際,

と な り,u(f)に

ひ と し い.と

で あ り,‖u2‖22に

こ ろ で,

つ い て も 同 様 で あ る.し

た が っ て い ま の 場 合 は,

  (5.41)

(証終)

を え る.    定 義5.2 

uを

ト レー ス ク ラ ス と す る.{ei}i=1,2,…

をEの1つ

の完 全 正規 直

交 系 と し た と き,   (5.42)

で も っ てuの

トレー ス と定 義 す る.

  こ の 定 義 につ い て は 注 意 が 必 要 で あ る.ま ず 右 辺 が 意 味 を も つ た め に は 絶 対 収 束 で あ る こ と が 必 要 で あ る が,そ れ は つ ぎ の よ う に して 確 か め られ る.u=u1°u2 と シ ュ ミ ッ ト型 作 用 素 の 積 と して 分 解 す れ ば,  で あ り,シ

ュ ワ ル ツ の 不 等 式 と(5.32)を

用 い れ ば よ い.つ

が 完 全 正 規 直 交 系 の と り 方 に よ ら な い こ と を 示 そ う.uの わ さ れ る{φi}と,直 と す る と,パ

で あ る.実

りu*(φj)=0だ

全系

か ら,右

辺 の 第2項

は 消 え る.と

こ ろ で,

に シ ュワル

れ は 

 で あ る か ら で あ る.ゆ

は 絶 対 収 束 級 数 と して,和

と っ て,完

よ り,

際, 

ツ の 不 等 式 を 用 い れ ば,こ

右辺

シ ュ ミ ッ ト分 解 に あ ら

交 余 空 間 に 適 当 な 完 全 正 規 直 交 系{φi}を

ー シ バ ル の 等 式(5.33)に

と な る が,(3.66)よ

ぎ に(5.42)の

で 評 価 さ れ,仮

定 より

え に2重 級 数

の 順 序 の 交 換 が 許 さ れ,iに  と な る.ゆ

方 に 無 関 係 で あ る こ と が 示 さ れ た.な

つ き 和 を と る と,

え に,(5.42)の

お(3.70)よ

り,

右 辺 は{ei}の

とり

 (5.43)

ま た こ れ よ り,   (5.44)

を え る.

 5.7  核 型 作 用 素 の 性 質  まず   (5.45)

を 示 す.こ ら,定

こ で,υ,wは

理5.9に

任 意 の 有 界 作 用 素 で あ る.uは

い う 分 解 を 用 い る.u=u1°u2と

で あ り((5.40)参  で 評 価 さ れ る.他 ま た,こ

照),さ 方(5.41)が

トレー ス ク ラ ス で あ る か

し て, 

ら に(5.35)よ

り,こ

の 右 辺 は,

な り た っ て い る か ら,(5.45)を

え る.

れよ り

 (5.46) も 導 か れ る.u1,u2は の 分 解(3.72)を

wは

と も に

ト レ ー ス ク ラ ス と す る.実

用 い る と,u1+u2=w°

際,u1+u2に

υ, 

で あ る.

準 等 距 離 作 用 素 で あ る こ と を 考 慮 す れ ば,υ=w*°(u1+u2)で

こ こ で(5.44)を

  定 理5.10 

つ か っ た.‖w*‖=1で

uを

シ ュ ミ ッ ト

あ る か ら,(5.45)を

ト レ ース ク ラ ス と す る.u*も

あ る.

え る.

そ う で あ っ て,Tr(u*)=Tr(u).

υ を 有 界 作 用 素 と す る と, Tr(uυ)=Tr(υu)  が な り た つ.さ

ら にu,υ

(可 換 性)

が と も に エ ル ミー トな ら ば,Tr(uυ)は

  証 明   可 換 性 を 示 そ う.uの

標 準 分 解 を 用 い る.

実 数 で あ る.

よ り,Tr(u°

υ)=Tr(υ

°u)を え る.最

後 の 性 質 は 

か ら し た が う. 

  5.8 

(証 終)

ラ レス コ の 結 果

  5.6,5.7で

ト レー ス ク ラ ス の 作 用 素 を と り扱 っ た が,ラ

究(1907年)が

レ ス コ(Lalesco)の

こ の 方 面 の 仕 事 と し て は 最 初 の も の で あ ろ う.彼

は(4.1)に

研

お いて

積 分 核K(x,y)が,  (5.47)

を み た す 場 合 を 考 え た.そ はpが

の と き フ レ ドホ ル ム の 行 列 式 

十 分 大 で あ れ ば,

とい う評 価 を も つ こ と を示 した.す  を こ え な い.ゆ

る.整

え に,と

くに

α>1/2の

と き に は 位 数 ρ は1よ

函 数 の 理 論 で よ く知 ら れ て い る よ う に,D(λ)の と す る と,任

る.と

な わ ちD(λ)の 整 函 数 と して の 位 数(order)は

意 の ε(>0)に

で あ る.た

く に 

が っ て 固 有 値 λiに 対 応 す るKのroot の とす る.ま

た,こ

零 点 を{λi}と

subspaceの

次 元 数)だ

し, 

であ

対 し て, 

だ し,λiはD(λ)の

り小 で あ

零 点 の 重 複 度(し た け 重 複 して と る も

の と き の 整 函 数 の 一 般 論 よ り,

 (5.48)

が な り た つ こ と が わ か る.こ

が

λ=0の

の 表 現 式 と(4.35)を

近 傍 で な り た つ.ゆ

えに

λ=0と

考 慮 して,

お け ば,

 (5.49)

が な りた つ.ま

た 上 式 を λに 関 して 項 別 微 分 して,

 (5.50)

が な りた つ.こ

れ ら の 式 は 行 列 の 場 合 に は よ く知 ら れ た 関 係 で あ る.す

な わ ちA

をn次

の 行 列 と した と き, 

とす れ ば 上 式 が な りた つ.

  こ こ で 疑 問 が 生 ず る.K(x,y)が な い の か?解

連 続 とい う こ と だ け か ら(5.49)が

答 は 否 定 的 で あ る.そ

ら, 

の 理 由 は,K(x,y)が

した が わ

連 続 とい う こ と か

で あ る こ とが 一 般 的 に は し た が わ な い か ら で あ る.例

う.[0,2π]で

を示 そ

定 義 さ れ た,周 期2π を も ち有 界 変 動 で か つ 連 続 で あ る函 数 の フー

リエ 級 数 は 一 様 収 束 列 で あ る こ と は よ く知 ら れ て い る.そ の よ うな も の で,  で, 

と な る 例 も あ る.こ の{an}に

を 考 え る と,K(x,y)は

連 続 で あ る.実

で あ る か ら で あ る.{an}は

際

実 数 値 で あ り,し

作 用 素 で あ る が,そ の 固 有 値 は  と な り,(5.49)は

対 し て,

た が っ てK(x,y)は

で あ る.ゆ

意 味 を 失 な う.と

対 称完 全 連続

え に, 

こ ろ で ラ レス コ はK(x,y)が2つ

の連続核の合成積 からな る場合,す な わち  場 合 に,  Chang),ワ

の

が な り た つ こ と を 示 し(1915年),つ イ ル(Weyl)(1947-1949年)ら

づ い て チ ャ ン(S.H.

が こ れ ら の 結 果 を 拡 張 した .

  さて 一 般 論 に た ち か え りま た 前 節 ま で の 記 号 も か え て 考 え る.ヒ Eで

定 義 さ れ た 完 全 連 続 作 用 素Kに と し,そ

こ の と き,3.11で

れ ら は,root

こ こ で,λiに

とす る と,Mは

subspaceの

固 有 値 を{λi}, 

次 元 数 だ け 重 複 して と る とす る .

え ら れ た 結 果 を 考 慮 す れ ば,4.7,4.8,4.9で

ほ と ん ど そ の ま ま な り た つ.検 ま な り た つ.し

つ い て 考 え よ う .Kの

た が っ て,完

対 す るroot

subspace

作 用 素Kに

底{ψ1,ψ2,…ψm}を

討 は 読 者 に 委 せ よ う.と 全 連 続 作 用 素Kの

と る と,

ル ベ ル ト空 間

え られ た結 果 が く に4.9の

推 論 は その ま

直 交 分 解(4.80)を

Fi={υi(f);f∈E}に

考 え よ う.

対 して

対 す る不 変 部 分 空 間 に な っ て い る.Mの

な かに基

と な る が,定 φm}が

理1.19を

適 用 す る こ と に よ り,Mの

な か に 正 規 直 交 系{φ1,φ2,…,

と れ て,

と す る こ と が で き る.こ

れよ り

  定 理5.11   1)  Kが

シ ュ ミ ッ ト型 作 用 素 で あ る と き, (シ ュ ア ー の 定 理)

 (5.51) 

が な り た つ.   2)  Kが

ト レ ー ス ク ラ ス の と き,

(ラ レス コ の 定 理)

 (5.52) 

が な り た つ.   証 明   λi−1=(K(φi),φi)だ

に 定 理5.9に

か ら,

の べ た シ ュ ミ ッ ト型 作 用 素 に よ る 分 解K=A・Bを

は 

で あ り,シ

で 評 価 さ れ る が,  ((5.41))よ

  5.9 

り(5.52)を

辺

ュワル ツに よ り

((5.23)参 え る.実

用 い れ ば,右

際mは

照),か

つ 

任 意 で あ っ た か ら で あ る. 

(証 終)

固 有 値 の 最 大‐最 小 性 質(Ⅰ)

  uを ヒル ベ ル ト空 間Eで

定 義 さ れ た 正 の 完 全 連 続 エ ル ミー ト作 用 素 とす る.

固 有 値 を大 き さ の 順 に,ま

た 固 有 空 間 の 次 元 数 だ け 重 複 して と り,  とす る.こ の と きn番

目の 固 有 値 μnを 特 長 づ け る 実 際

的 な 見 方 が あ る.各 固 有 値 μiに固 有 函 数 φiを対 応 さ せ,{φi}は る と して お く.(3.22)に

正 規 直交 系 で あ

より

で あ り,か つ  f0は 固 有 値0に

で あ る. 対 す る 固 有 空 間E0へ

を み た し な が ら,単 大 値 で あ る.こ

のfの 正 射 影 で あ る.こ

位 球 面B={f;‖f‖=1}を

の と き,φ1,…,φn−1の

の こ と よ り,μnは

う ご い た と き の(u(f),f)の

か わ り に,勝

手 な1組

最

の ψ1,…,ψn−1を

と

っ て き て,  (5.53)

と い う条 件 の も とで,fが え る と,つ

単 位 球 面Bを

うご い た と き の(u(f),f)の

上限 を考

ぎ の 事 実 が な りた つ.

  定 理5.12 

(固 有 値 の 最 大 ‐最 小 性 質)

  (5.54)

  証 明   (5.53)を

み た す 単 位 ベ ク トルfで, 

る こ と を 示 せ ば よ い.そ

こ で,fを{φ1,…,φn}で

で さ が す.f=c1φ1+…+cnφn,と

と な る が,方 と も1つ る.ゆ

え にf∈Bで

あ る か ら,自

れ ら の う ち の1つ あ る.と

張 ら れ るn次

元 部 分空 間 の 中

す る と,(5.53)は,

程 式 の 数 が(n−1)で

あ り,そ

をみ た す も のが あ

を と り,か

こ ろ で,そ

のfに

明 で な い 解(c1,…,cn)は

少な く

つ 規 格 化 し て 

とす

対 し て は,{φi}が

正規 直交 系 で

あ る こ と よ り,

が し た が う. 

(証 終)

  う え の 定 理 は ワ イ ル(Weyl),ク さ い の1つ

す る.す

とす る.そ μmと

負 う.固

有 値 の 分 布 を導 く

の 指 導 原 理 で あ る.

  定 理   5.13  knと

ー ラ ン(Courant)に

uは

前 定 理 と 同 様 と し,別

に 勝 手 な 階 数nの

エ ル ミー ト作 用 素 を

なわち

の と き,u=u−knのm番

目 の 固 有 値 μm(>0)と,u自

身 の固 有値

の 間 に,

 (5.55)

が な り た つ.   証 明   前 定 理 を 適 用 す れ ば よ い.{φi}を{μi}に 交 系)と す る.(5.53)と

対 応 す る 固 有 元 の 列(正

規直

し て,

(f,f1)=…=(f,fn)=(f,φ1)=…=(f,φm−1)=0 を と れ ば,(5.54)よ

り,(kn(f)=0を

考 慮 す れ ば),

他 方,

を 考 慮 す れ ば(5.55)を   定 理5.14  る.u,u1,u2の …}

u1,u2を

え る. 

(証 終)

と も に 完 全 連 続 エ ル ミー

ト作 用 素 と し,u=u1+u2と

す

正 の 固 有 値 を そ れ ぞ れ 大 き さ の 順 に{μ1+,μ2+,…},{μ11+,μ12+,

,{μ21+,μ22+,…}と

お け ば

  (5.56)

が な りたつ.ま

た 負 の 固 有 値 に つ い て も 同様 な 規 約 を す れ ば,

  (5.57)

が な り た つ.   証 明   う え に い っ た 固 有 値 の 列 に 対 応 す る 固 有 元 の 列 を そ れ ぞ れ{φ1+,φ2+, …},{φ11+,φ12+,…},{φ21+,φ22+,…}と

が 定 理5.12に

よ りな りた つ.た

す る .

だ しmax12はfが 

の 直 交 余 空 間 の 単 位 球 面 を うご い た と き の 上 限 を さ す.と

ころで

右 辺 は,max1(u1(f),f)+max2(u2(f),f)=μ1p++μ2q+を max1は,f(‖f‖=1)が{φ11+,…,φ1 上 限 を さ す.max2に

こ え な い.こ ,p−1+}の

直 交 余 空 間 を うご い た と き の

つ い て も 同 様 で あ る.(5.57)の

証 明 も 同 様 で あ る .  (証 終)

  こ の 定 理 に つ い て 注 意 し て お こ う.u1,u2の 値 を 有 限 個 し か も た な い と き に は,そ な よ う に,max12と

こで

い ず れ か,た

の 個 数 をlと

と え ばu2が

す る と,証

し て 

正 の固 有

明 を みれ ば明 らか と と れ ば,

  (5.58)

を え る.(5.57)に

つ い て も 同 様 で あ る.

  さ て 記 号 を か か え てKを

シ ュ ミ ッ ト型 エ ル ミー ト作 用 素 と す る.

 (5.59) 

K=K−kn

と お く と,K=K+knで な くknは 個 数 をlと

あ る.こ

階 数 が 丁 度nの

こ で 前 定 理 を 適 用 し よ う.一

エ ル ミー ト作 用 素 で あ る と で き る.knの

す る.u1=K,u2=knと

し て,(5.58)を

般 性 を失 うこ と 正 の 固 有値 の

用いれば

 (5.60)

が な りた つ.{μp+},{μq−}を

絶 対 値 の 大 き さ に な ら べ,{μi}と

で あ る か ら,容

易 に わ か る よ う に,(5.60)を

す る と,  用 い れ ば,

 (5.61)

が な り た つ.こ れ た 第1次

偏 導 函 数 と と も に 連 続 な 函 数 と し,K(x,y)=K(y,x)と

こ ろ でK(x,y)を よ り,1辺

の 不 等 式 の 応 用 例 を 示 そ う.K(x,y)を[0,1]×[0,1]で

近 似 す る 核 を つ ぎ の よ う に す る .[0,1]をn等

1/ のn2個 の長 さが n

中 心 を(x0,y0)と

で お き か え る.こ

の 正 方 形 を え る が,そ

定義 さ す る .と 分 す るこ とに

の お の お の に お い て,そ

し,K(x,y)を

の よ う に し て え ら れ た 核 をk2n(x,y)と

す る .と

そ の 他 の と こ ろ,

そ の他 の とこ ろ

ころ で

の

と す る と,

と い う形 で 表 現 さ れ る.と

こ ろ で お の お の の 正 方 形 で は, で あ る か ら,

が な り た つ.と

こ ろ で5.5の

例 よ り左 辺 は

‖K−k2n‖22に

ひ と し い か ら,(5.61)

よ り

が な りた つ.こ

が え ら れ,{μn}の

れ よ り 

単

調 性 を 考 慮 す れ ば つ ぎ の 定 理 が え ら れ る.   定 理5.15  る.そ

K(x,y)を[a,b]×[a,b]で

の と き,固

定 義 さ れ たC1ク

ラ ス の 対 称 核 とす

に 対 し て,

有 値 

が な りた つ.

  5.10 

固 有 値 の 最 大 ‐最 小 性 質(Ⅱ)

  3.9で の べ た 方 法 は そ の ま ま エ ル ミー ト形 式H[f,g]で

つ ぎ の条件 をみ たす も

の に ま で 拡 張 さ れ る.   (5.62)

こ こ で,c0,c1>0,δ0,δ1>0と そ れ が(f,g)∈E1×E1で

す る,H[f,g]が

エ ル ミー ト形 式 で あ る と は,

定 義 さ れ た 複 素 数 値 を と る 函 数 で,

  1) 

H[αf,g]=αH[f,g],H[f1+f2,g]=H[f1,g]+H[f2,g],

  2) 

H[f,g]=H[g,f] 

(エ ル ミ ー

を み た す と き を い う.1)と2)か

ト性)

らH[f,g1+g2]=H[g1+g2,f]=H[g1,f]

+H[g2,f]=H[f,g1]+H[f,g2],H[f,αg]=αH[f,g]が 注 意 し よ う.ま

たH[f,f]は

実 数 値 で あ る.3.9で

した が うこ と を は 

に つ い て

考 え た が,こ

ん ど は,た

と え ば, 

につ い て 考 え て ゆ け

ば よ い.   さ てf∈E1がψ1,…,ψn∈E1に

を み た しな が らE0の

対 し て,

単 位 球 面 上 を うご い た と き のH[f,f]の

と か く こ と に す る.H[f,f]に

対 し て え ら れ た 固 有 値,固

下限 を

有 ベ ク トル の 列 を*, 

φ1 ,φ2,… と す る.{φi}はE0の

正規

直 交 系 で あ る が,

  (5.63)

が な り た つ**.定   定 理5.16 

理5.12に 任 意 の

対 応 し て,

ψ1,…,ψn−1∈E1に

対 して

 (5.64)

  証 明 

(f,ψi)=0(i=1,2,…,n−1)を

で￨c1￨2+…+￨cn￨2=1を (5.63)よ

み た す も の が 少 な く と も1つ

あ る が,そ

み た すf れ を と る と,

り

が な り た つ.    系  (5.62)の

(証 終) 仮 定 の も と に,3.9で

の べ た{λn}と

の 間 に,

  (5.65)

が な りたつ.   証 明   1)  を 示 そ う. *  λ がHに

の φ∈E1に ル とい う. ** 

{φi}はE

対 す る 固 有 値 で あ る とは ,0で

な いf0∈E1が

対 して な りた つ とき と定 義 す る.こ の ときf0を

0な ら び にE1で Hδ0[f,f]=H[f,f]+δ0‖f‖02を

あ っ て,H[f0,φ]=λ(f0,φ)0が

固 有 値 λに対 す る(1つ

完 全 系 で あ る.こ れ を み る に はHの か わ りに((5.62)参 と っ て,3.9で の べ た 方 法 を 適 用 す れ ば よい .

任意

の)固 有 ベ ク ト 照),

と こ ろ で,(5.62)よ

り,

(右 辺)   他 方,c0>0で

  2)は1)か

あ る か ら,

ら た だ ち に し た が う. 

(証 終)

  こ の 系 を あ る 意 味 で 精 密 化 す る こ と が で き る.   定 理5.17 

B[f,g]を(f,g)∈E1×E1で

つ ぎ の 条 件 を み た す とす る:任

意 の ε(>0)に

定 義 さ れ た エ ル ミー ト形 式 と し, 対 し て 適 当 に γ(ε)を 大 き く と れ

ば,  (5.66) が な り た つ.こ

の と き,H[f,g]=(f,g)1+B[f,g],し

=‖f‖12+B[f,f]に

た が っ て,H[f,f]

対 し て,

 (5.67)

が な りた つ.   証 明   ま ず 

を考 慮 す れ ば,

が な りた つ.他

方, 

が な り た つ.ゆ

えに

を 考 慮 す れ ば,

  (5.68)

で あ り,ε(>0)は

任 意 で あ っ た か ら 容 易 に(5.67)が

  や さ し い 応 用 例 を 示 し て お こ う.

示 さ れ る. 

(証 終)

  (5.69) 

L(f)=−f″(x)+r(x)f(x).

こ こ でr(x)は

有 界 な 函 数 で あ り,有

f(a)=f(b)=0を

限 区 間[a,b]でL(f)を

み た す も の と す る.こ

考 え,f(x)は,

の 場 合 の 固 有 値{λn}の

分 布 につ い て

考 え る.

と し,

と す る. 

と す る と,定

c0=c1=1,δ0=δ1=Mと

理5.16の

と れ ば,そ

系 が 適 用 で き て,(5.62)に し て,(2.4)を

お い て,

考 慮 す れ ば,L=b−a

と し て,

 (5.70)

を え る.も

っ と 粗 くい え ば,

 (5.71)

が な り た つ.さ

ら に 一 般 に,

  (5.72)  と す る.こ

L(f)=−(p(x)f′(x))′+r(x)f(x) こ でp(x)∈C1で,[a,b]で

正 と す る.そ

し て 固 有 函 数,固

有値を

少 し一 般 に し て,   (5.73)  と す る.こ

L(f)=λ こ で ρ(x)も[a,b]で

はf(a)=f(b)=0を

ρ(x)f(x)

正 の 函 数 で1回

み た す も の と す る.変

連 続 的 微 分 可 能 と す る.f(x)

数変換

を 同 時 に 行 な う こ と に よ り,(5.73)は,   (5.74) 

−u″(t)+r(t)u(t)=λu(t), 

  u(0)=u(L)に

変 換 さ れ る.こ

こ でr(t)は

t∈[0,L]. 有 界 で あ り,

で あ る.こ

れ よ り(5.71)が

  定 理5.18 

(5.73)に

適 用 で き て, 対 す る 固 有 値 の 列{λn}は,

  (5.75)

を み た す.

  注 意   (5.73)か く.ま

ら(5.74)の

ずt=t(x)と

移 行 は よ く知 ら れ て い る 事 実 で あ る が 説 明 して お

し た 場 合,(5.73)の

とな るた めの

左 辺 が 

必要十分条件 は,

と な る こ と で あ り,こ

表 現 した 場 合,そ =ψ(x)u(x)と

れ よ り変 換 の 第1式

の ま ま だ と  し,u(t)に

の 係 数 が0と と,L(f)は

を え る.と

こ ろ で,L(f)をt変

の 項 が あ ら わ れ て くる.そ

数で

こ で 一 般 に,f(x)

関 す る 微 分 方 程 式 に か き か え て み た と き, 

な る よ うに ψ(x)が

え らべ る こ と を 示 そ う. 

とお く

本質的に

と な る.こ

こ で,

を 用 い た.さ

ら に 上 式 のut′ の 係 数 は 

な る こ と が わ か り,こ れ を0と α(x)ψ(x)2=c(定

数)で

お く と,2α(x)ψ

あ る. 

c=1と

と ′(x)+α ′(x)ψ(x)=0す

な わ ち,

お け ば, 

を え る.

  5.11    Ω をRnの

マ ー サ ー の 定 理 有 界 開 集 合 と し,K(x,y)を(x,y)∈

対 称 核 と す る.す

な わ ちK(y,x)=K(x,y)を

Ω ×Ω で 定 義 さ れ た 連 続 な み た す と す る.

はL2(Ω)の き,す

完 全 連 続 エ ル ミ ー ト作 用 素 で あ る が,と

な わ ち 固 有 値 が 

  定 理5.19 

で あ る と き は,つ

(Mercer)う

  1)  uは

く にu(f)が

正値 で あ る と

ぎ の 定 理 が な り た つ.

え の 仮 定 の も と で,

ト レー ス ク ラ ス で あ る.す

なわち

 2)  フ レ ドホ ル ム 行 列 式 は,

と な る.ゆ

えに

が な りた つ.   証 明  ま ず 正 値 で あ る連 続 エ ル ミー ト核P(x,y)に

対 して, 

が

な りた つ こ と を注 意 し よ う.実 際,

が 任 意 のf(x)∈L2(Ω)に

対 し て な り た つ が,x0∈

で あ る とす る と,P(x,y)の

連 続 性 よ り,δ(>0)を でP(x,y)は

の 特 性 函 数 をf(x)に

Ω に 対 し て,P(x0,x0)<0 小 に と れ ば, 

負 と な る が,こ

の 集 合 

と る と,う え の 不 等 式 と矛 盾 す る .さ て 

と

お こ う.一 般 完 全 連 続 作 用 素 に 対 して な りた つ 関 係 式

に 着 目 し よ う.こ る.ゆ

え に,任

が な り た つ.こ

こ で{φi(x)}は{λi}に

意 のnに

対 す る 固 有 函 数 系(正 規 直 交 系)で あ

対 して

こ で φi(x)は

す べ て Ω で 連 続 だ か ら,い

ま い っ た こ と よ り,

  (5.76)

ゆ え に Ω 上 で 積 分 し,μi>0で

かつnは

任 意 で あ っ た か ら,

が な り た つ.し

た が っ て1)が

示 さ れ た.そ

こで

 (5.77)

を 考 え る.こ

で あ り,右

れ が 意 味 が あ る こ とは,

辺 は(5.76)よ

り, 

を こ え な い か ら で あ る.ま

た 同 じ理 由 に よ っ て,

で あ る か ら,yを る.ゆ

固 定 す る ご と に(5.77)の

え にN(x,y)は,任

な っ て い る.ま

意 のy∈

Ω に 対 し て,xの

た 同 一 の 理 由 に よ っ て,x∈

て も 連 続 函 数 で あ る.と

こ ろ で,ヒ

右 辺 はxの

函 数 とみ て 一 様 収 束 で あ 函 数 とみ れ ば 連 続 函 数 に

Ω を 固 定 す る ご と に,yの

函 数 とみ

ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 展 開 定 理(3.20)に

よ り,

で あ る が,も

と も と右 辺 はL2(Ω)の

意 味 で の 展 開 とみ るべ き も の だ が,い

まの

場 合 は,

よ り一 様 収 束 で あ る.ゆ べ て のx∈Ω

た.そ 式 よ り

こ でx=x0を

連 続 函 数 で あ る こ と を 考 慮 す れ ば,す

に対 して な りた って い る.こ れ よ り,

が 任 意 のf(x)∈L2(Ω)に し て な り た つ,こ

え にu(f)(x)が

対 し て,xの

の と き(5.77)に

連 続 函 数 と し て,す

べ て のx∈Ω

に対

対 して 項 別 積 分 の 定 理 が な りた つ こ と を使 っ

任 意 に と り,f(y)=K(x0,y)−N(x0,y)と

す る と,上

が い え る が,被

積 分 函 数 はyの

連 続 函 数 だ か ら,K(x0,y)=N(x0,y).ゆ

え に,

  (5.78)

が す べ て の 

に 対 し て な り た つ.y=xと

す る と,

 (5.79)

が な り た つ が,K(x,x)は

Ω で 連 続 函 数 だ か ら,デ

右 辺 は 一 様 収 束 列 で あ る.こ

ィ ニ(Dini)の

定 理 に よ って

れ よ り,

と して み る こ と に よ り,(5.78)の

右 辺 は Ω ×Ω で 一 様 収 束 で あ る.し

たが って

Ω ×Ω で も ち ろ ん 一 様 収 束 で あ る.   以 上 よ り定 理 の2)の

とす る と,ま ずKnに

で あ る.実

部 分 を 示 す こ と が で き る.

対 す る フ レ ドホ ル ム の 行 列 式Dn(λ)は

際,φi(x)φi(y)と

し た が っ て 定 理4.3が   他 方4.1で

φj(x)φj(y)は(4.37)の

な り た ち,こ

れ と(4.9)を

示 し た こ と を 考 慮 す れ ば,す

ば,Kn(x,y)→K(x,y)(一

様)よ

意 味 で 直 交 核 で あ り,

考 慮 す れ ば よ い.

な わ ち ア ダ マ ー ル の不 等 式 を 考 慮 す れ

り, Dn(λ)→D(λ)

が 任 意 の 複 素 平 面 の 有 界 集 合 上 で 一 様 収 束 し て い る こ と が わ か る(広 束),実

際,テ

ー ラ ー 展 開 の 係 数 を み く ら べ て み る と よ い.そ

の テ ー ラ ー 係 数 が 一 様 評 価 を も つ こ と を 注 意 す れ ば よ い.他

義 一 様 収

れ と,Dn(λ),D(λ) 方,

が 広 義 一 様 の 意 味 で な りた つ.ゆ

が 示 さ れ た.な

え に,

お 定 理 の 最 後 の 関 係 式 は(5.48),(5.49)で

す で に 示 し た.  (証 終)

演

  1.  E1を はE1で

本 文5.1で

習

問

定 義 さ れ た ヒ ル ベ ル ト空 間 と す る(と

稠 密 な 部 分 空 間 を な す こ と を 示 せ.(ヒ

は そ の ま ま と し,そ

題5

くに(5.3)参

ン ト:f(x)∈E1と

の 外 側 で は そ れ ぞ れf(−1+ε),f(1−

照).C1[−1,1]

し,[−1+ε,1−

ε]で

ε)でお き か え て え ら れ る 函 数 を

ま ず 考 え よ).

  2.  E1は

集 合 をE10と

前 問 と 同 様 と す る.E1の

す る.E10はE1の

に な ら な い こ とを 示 せ.(ヒ す れ ば,任

函 数f(x)で, 

を み た す もの 全 体 の

閉 部 分 空 間 に な らな い こ と,し た が っ て ヒル ベ ル ト空 間 ン ト:E10はE1で

意 のC1[−1,+1]の

元 が,E10の

稠 密 で あ る こ と を 示 す.前

問 の 結 果 を参 照

元 で 近 似 で き る こ と を 示 せ ば よい.定

理5.1

の 後 に あ る注 意 の 項 参 照).   3.  (ベ ッセ ル 微 分 方 程 式)区

間I=(0,1]で

考 えられ た微分 方程式

 (1) の 解 で,f(1)=0を

み た し,か つ

を み た す 

が 存 在 す る よ うな λ(固 有 値)の 集 合 は 離 散 的 で あ る こ と を た し か め よ.

こ こ でn=0,1,2,…

とす る.ま

た 固 有 函 数 の 全 体 は ヒ ル ベ ル ト空 間E0:

で 完 全 直 交 系 を な す こ と を 示 せ.  注 意  (2) を 位 数(order)nの

ベ ッ セ ル 微 分 方 程 式 と い う.y(x)が(2)の

は(1)の

  4.  Ω をRnの

解 で あ り,逆

解 で あ れ ば, 

も 正 し い.

開 集 合 と し,K(x,y)∈L2(Ω

× Ω)と

す る.K(x,y)を

積 分 核 とす る

L2(Ω)の

完 全 連 続 作 用 素 の 固 有 値 を,重

が な り た つ.(ヒ

ン ト:定

理5.11参

複 度 も 含 め て,{λi}i=1

,2,…

照).

  5.  K(x,y)=K(x1,x2;y1,y2)は

Ω × Ω(Ω=[0,1]×[0,1])で

的 微 分 可 能 な 対 称 核 と す る.そ

と す る と,

の と き,Kの

定 義 さ れ た1回

連続

固 有 値 を 絶 対 値 の 大 き さ の 順 に な ら べ,{λn}

とす る と,

が な りた つ.(ヒ   6.  Ω をRnの

ン ト:定 理5.15の

有 界 開 集 合 と し,KをL2(Ω)の

さ ら に あ る正 の 整 数pが 核Kp(x,y)で

証 明 を み よ).

あ っ て,Kをp回

定 義 さ れ る とす る.つ

正 値 完 全 連 続 エ ル ミー ト作 用 素 とす る.

反 復 し た 作 用 素Kpが

Ω ×Ω に お け る連 続 積 分

ぎ の こ と を 示 せ. 

をKの(重

複度

も含 め て 考 え た)固 有 値 の 列 とす れ ば,

が な り た つ.(ヒ   7.  定 理5.15に

ン ト:マ

ー サ ー の 定 理 を 考 慮 せ よ).

お い てK(x,y)をh回

が な り た つ こ と を 示 せ.(ヒ

ン ト:K(x,y)の

適 用 せ よ.εn→0, 

θ(n)=knp(k,pは が な り た つ).

連 続 的 微 分 可 能 と す れ ば,

テ ー ラ ー 展 開 を 用 い よ.そ

が な り た つ と す る.た

と し, 

正 の 整 数)と

す る.そ

してつ ぎの定理 を

の と き, 

と し て, 

だ し, 

演 習 問 題 略 解

演   1. ⅱ)a,b,c,dの

習

問

と な る.し

(pp.54-60)

は0で

な い と す る.定

う ち 少 な く と も1つ

程 式aξ1*+cξ2*=0,bξ1*+dξ2*=0の

た が っ て,た

の と き 第2の

題1 

解(ξ1*,ξ2*)と

と え ば 

の と き は 第1の

条 件 は 自 動 的 に み た さ れ て い る).ま

理1.2を

の直交 条件

適 用 す る.共

役 方

η1ξ1*+η2ξ2*=0は

条 件cη1−aη2=0を

と れ ば よ い(そ

たa=b=c=d=0の

と き は,η=0

が 条 件 で あ る.   2.  固 有 値 が 相 異 な る か(定 理1.1).そ 列).実

際,固

=λ0fを

有 値 が2重

根

う で な け れ ばA=λ0I(λ0は

λ0で か つ 対 角 化 可 能 で あ れ ば,す

み た す こ と に な る か ら,fと

  3. ⅱ) 

定 理1.2を

そ れ に 他 な ら ず,し

し て と く にe1,e2を

適 用 す る.tA=−Aを たが って

なわ ち

単位行

とれ ば よ い.

考 慮 す れ ば,tA・

〈η,ξ〉=0,す

複 素 数,Iは

べ て の ベ ク トル はu(f)

ξ=0を

み た す ξ はⅰ)の

η1l1+η2l2+η3l3=0が

求 め る もの で

あ る.   4. ⅰ),ⅱ)は

容 易 で あ ろ う.ⅲ)を

示 す.f=α1e1+α2e2+α3e3の

α2−mα3)2+(−nα1+lα3)2+(mα1−lα2)2で

あ り,か

が な り た っ て い る こ と を 考 慮 す れ ば よ い.写

つf∈Mよ

と き,￨u(f)￨2=(n り,lα1+mα2+nα3=0

像u(f)はf0を

軸 とす る 回 転 角

± π/2の 回 転

を 示 す.   5.  1.4で

の べ た 事 実 を 参 照 す る.そ

0},Vr={u(f);f∈Vn}と

こ で λ1=0と

つ の 基 底 と し,{a1,…,ar,…,an}がVnの1つ   6.  標 準 基 底{e1,…,en}に 問 よ り,2組

お い て 考 え る と,N={f;u(f)=

す る とdim(N)=n−rで

あ り,{ar+1,…,an}をNの1 の 基 底 に な る よ う にa1,…,arを

対 す る 表 現 行 列 がAで

の 基 底{a1,…,an},{b1,…,bn}が

あ る 線 形 写 像u(f)を

あ っ て,5が

な り た つ.こ

と る. 考 え る と,前

れ に(1.37)を

参 照 せ よ.   7.  ￨a1j￨2+…+￨anj￨2=1(j=1,2,…,n)と す る.正

の エ ル ミー ト行 列A*A(1.11参

角 線 の 要 素 は す べ て1で

あ り,そ

と す る と,det(A*A)=μ1μ2… で あ る こ と を 考 慮 す れ ば,有 さ れ る.実 ら.

照)を

こ でA*Aの μn.こ

れ と,つ

仮 定 し て 一 般 性 を 失 わ な い の で,そ

う仮 定

考 え る と,こ

の主 対

の 仮 定 の も と で は,そ

固 有値 を 重 複 度 も 合 せ て 考 え て,μ1,μ2,…,μn ぎ の 問8のⅰ)よ

名 な 不 等 式 

際,det(A*)=det(A),det(A*A)=det(A*)det(A)=￨det(A)￨2で

り μ1+μ2+…+μn=n に 不 等 式 は帰 着 あ るか

  8. ⅲ)  (1.13参

A=TA′T−1の

と き,Ap=TA′pT−1.A′

と し て3角

行 列 を え らべ ば よい

照).

  9. ⅰ) 

Aを3角

行 列 に 変 換 し て 考 え る.3角

は 主 対 角 線 の 要 素 が す べ て0で

行 列 が べ き零 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件

あ る こ と で あ る.ⅱ)Aの

固有値 を

Tr(Ap)=λ1p+λ2p+…+λnp=0(p=1,2,…,n),代 …=λn=0が

λ1,…,λnと

す る と,

数 学 の 基 本 的 定 理 よ り,λ1=λ2=

した が う

 10. ⅰ)は

容 易,ⅱ)は

本 文4.2の

 11. ⅰ)固

有 値 は1.固

有 空 間 は{αe1}(1次

 ⅲ ) 

最 後 の 部 分 を 参 照. 元).

な お ホ ル ム グ レ ン評 価 で は

 12. ⅰ)

は0で

あ る.実

際 こ の と き被 積 分 函 数 は

 ⅱ)  b3=b2°b2,b4=b3°b2,…  ⅲ) 

Fi={υi(f);f∈Vn}で

λ=λiで

正 則.

を 適 用. あ る こ と を 想 い 起 こ せ ば よ い.

 13.

で あ り,   14.

よ り被 積 分 函 数 は い た る と こ ろ 正 則.

 ⅰ )

と こ ろ で φ(u)が0で

あ る た め に は,各

項 が す べ て0で

あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.実

で あ る か ら.最 後 に こ れ が0写 =λiでmi位

以 上 の 零 点 を もつ こ とが 必 要 十 分.実

が な り た ち,   ⅱ)  Δij(λ)は =λiに

際,そ

際 

像 で あ る た め に は φ(λ)が λ

の 零 点 をki<miと

す る と,

だ か ら, λ=λ1,…,λi以

外 に 共 通 の 零 点 を も た な い こ と に 着 目 せ よ.そ

お け る Δij(λ)の 零 点 の 位 数 の う ち で 最 小 の も の をsiと

す れ ば,mi=pi−siで

して

λ あ

る こ と に 着 目.  ⅲ)   15. 

問12とⅰ)の Aを3角

f(A′)も  16. ⅱ) 

結 果 を 合 わ せ て 考 え る. 行 列A′

ま た3角

行 列 で,そ

u°υi=ui°

て,exp(tu)をFi上

に 変 換 す る:A=TA′T−1.そ

υiよ

の と きf(A)=Tf(A′)T−1.

の 主 対 角 線 の 要 素 はf(λ1),…,f(λn). りun° υi=uin°

に 制 限 す れ ば,exp(tui)と

υiが

任 意 のnに な る.

対 し て な り た ち,し

たが っ

を ま ず 用 い る.  ⅲ) 

一 般 に2つ

の 線 形 写 像 が 可 換 で あ れ ば,exp(t(u+υ))=exp(tu)°exp(tυ)で

あ

る.   17. ⅰ) 

右 辺 の 積 分 はt=0の

と きf(0)で

あ り,

を 用 い る.  ⅱ )  =λiの

と 考 え,(λ

−u)−1の

λ

近 傍 の ロー ラ ン展 開 を

と す れ ば,eλt(λ

−u)−1(f)の,(λ

− λi)−1の

係 数 は,

と な る.   18.  う え の 表 現 を み れ ば, 

の と き,あ

る 正 の 数 δが と れ て, 

方,Fi+の

独 立 性 か ら,あ

が な り た つ.他

が 任 意 のfi+∈Fi+(i=1,2,…,p)に   19.  f=c1f1+…+cpfpと

る 定 数c0(>0)が

あ っ て,

対 し て な り た つ. お く と,

である   21.  f∈E−(ξ)で

あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は

が な り た つ こ と で あ る.こ λp+(ξ)の て,う

こ で 積 分 は λ1−(ξ),…,λq−(ξ)を

す べ て 内 部 に 含 み,λ1+(ξ),…,

い ず れ も 含 ま な い よ う な 単 一 曲 線 に そ っ て と る.つ

え の 積 分 で あ ら わ さ れ る ベ ク トル はE−(ξ)に

い で 任 意 のf∈Vnに

含 ま れ る(E−(ξ)の

対 し

定 義 か ら した が

う).   そ こ で ξ=ξ0に

で 定 義 す る.こ

対 し て,{f10,…,fp0}をEp(ξ0)の

基 底 に な る よ うに と り,つ

い で

こ で 積 分 は λ1−(ξ0),…,λq−(ξ0)を す べ て 内 部 に 含 み,λ1+(ξ0),…,λp+(ξ0)の

い ず れ を も 含 ま な い よ う な 単 一 曲 線 に そ っ て と る.こ は,{f1(ξ),…,fp(ξ)}はEp(ξ)の

  具 体 的 に 考 え よ う.1つ

基 底 で あ り,か

のと き,ξ

が ξ0の 十 分 近 い と こ ろ で

つ 連 続 的 に 変 わ る.も

ち ろん

の 固 定 さ れ た 基 底 に 対 す るuξ の 表 現 行 列 をA(ξ)=(aij(ξ))と

す る と, 

とな る

がci(ξ)は

す べ て 連 続 函 数 で あ る.ξ=ξ0で 

とす る.複

素 平 面 に,λi0を

中 心 と す る 十 分 小 さ い 円Ciを

え が く.そ

ば￨ξ − ξ0￨<ε を み た す 任 意 の ξ に 対 し て,gξ(λ)=0の 各Ci内 て,う

に 丁 度pi個

あ る.そ

こ で,(λ

−uξ)−1の

根 は,重 表 現 行 列(本

の と き,ε

を小 にす れ

複 度 を 含 め て 考 え れ ば, 文(1.43)参

照)を つ か っ

え の 積 分 を 考 え て み る と よ い.

演

習

問

題2 

(pp.98-100)

 1.

  5. ⅰ) 

uの エ ル ミ ー ト

性 よ り,(f,u(f))=(u(f),f)は

実 数 値 で あ り,し

た が っ て, 

と わ け,シ  ⅱ) 

と す る と,ⅰ)よ

よ りfj→f0∈Eで

あ る.こ

 ⅲ) 

り{fj}は

ュ ワ ル ツ の 不 等 式 を 用 い よ. コ ー シ ー 列 で あ り,Eの

完備性

れ よ り, よ り,(λ

−u)(ψ)=0.こ

れ にⅰ)の

不 等 式 を適 用 す る と ψ

=0.   6.  定 理2.15に

お い て,g(x)∈C1[a,b],g′(x)が[a,b]で

∈L2(a,b),g(a)=g′(a)=g(b)=g′(b)=0と   7.  矛 盾 に よ っ て 示 す.も 正 規 直 交 系 と{εn}と

な る.

し可 算 個 の0の

基 本 近 傍 系 が と れ る な ら ば,{φn}と

い うEの

い う正 数 列 が あ っ て,

と い う形 で と れ る は ず で あ る.と し れ も,uがVnを

絶 対 連 続,g″(x)

こ ろ で ψ0を 本 文 の よ う に 定 義 す る と,如

う ご い た と き 

は 有 界 に は な ら な い.実

何 な るnに

対

際Vnを1つ

固 定 す る.

でunは0と

定 義 す る.

 と い う部 分 空 間 に 対 し て  で も っ てMn上

でun(f)を

す な わ ち,f=f′+f″,f′

線 形 写 像 と し て 定 義 し,Mn⊥

∈Mn,f″

意 の λ に 対 し て λun∈Vn.し

∈Mn⊥,un(f)=un(f′)と

か し 

演

習

問

き ら か に,任

と な り有 界 で は な い .

題3 

  1.  有 界 性 は 定 理3.5を 適 用 して も よ い が,直 い,す な わ ち  とす る と,容 易 に  の 整 数 とす る と,

す る .あ

(pp.139-141)

接 や って も 簡 単 で あ る.K(x)が0で と な るf0が あ る が ,jを

な 正

に 対 し て,f0(y)の   2. ⅱ) 

と こ ろ にf0(y−j)を

λ=μi0の

  3.  定 理2.14を  

い わ れ る と,g0(x−j)と

と き,(μi0−u)(E)はei0の

な る こ と に 着 目 せ よ.

直 交 余 空 間 で の 稠 密 な 集 合 を な す.ⅲ)

考 慮 せ よ.f′(a)=f′(b)=0.

4.

  6.

を考 慮 す れ ば,必

要 あ れ ば 適 当 な 正 の 定 数cを

と り,B[f,φ]+c(f,φ)が

前問 の条件 をみ

たす こ とが わ か る.

に 対 し,f=Gc(g)と た微 分 作 用 素(L+c)の

す る と,GcはL2(I)の

完 全 連 続 作 用 素 で あ り,境 界 条 件 を 考 慮 し

逆 作 用 素 で あ る. 演

  9. ⅲ) 

習

の とき の とき

問

題4 

(pp.175-178)

‖(1− λun)−1‖ がnの

‖(μ−un)−1‖

有 界 数 列 で あ る こ と を 示 す. 

の 有 界 性 を 示 せ ば よ い.Enに

(μ −un)(fn)=gn, 

と お き(nμ

−1)−1=εnと

つ い て 考 え る. お

く と,

とか け る か ら,

と な る.こ

れ よ り,nに

無

関 係 な 正 の 定 数Cが

と な る こ と が 確 か め ら れ る(演  ⅳ) 

sn=1+2+…+n, 

+sn(p−1),…

で あ る.

と 定 義 す る と, 

習 問 題1問10,ⅱ)参 sn(2)=s1+s2+…+sn, 

あ り,

照). …, 

で あ る.と

sn(p)=s1(p−1)+s2(p−1)+

こ ろ で,

…

あ

と

が

き

  本 書 を 編 む に 当 っ て 参 考 に し た 書 物 な らび に,本 書 に 関 係 あ る書 物 を 思 い つ く ま ま に 挙 げ て お く.な お 最 近 の ソ ビエ ト学 派 の こ の 方 面 の 書 物 な ら び に 研 究 論 文 が 数 多 くあ る が,筆 者 の不 勉 強 の せ い も あ って す べ て 割 愛 し た.   ま ず 積 分 方 程 式 に 関 す る 邦 書 と して は,   1.  竹 内

端 三:積

分 方 程 式 論,共

立 出版

  2.  吉 田

耕 作:積

分 方 程 式 論,岩

波全書

  3.  福 原 満 洲 雄:積

分 方 程 式,共

立 出版

  4.  小 松

分 方 程 式,廣

川書店

勇 作:積

な どが あ る.い ず れ も お の お の 特 色 が あ り好 著 で あ る.と

くに2,3は

本書 の 内容

と密 接 な 関 係 が あ る.   つ ぎ に 外 国 書 で あ る が,   5. 

T.Lalesco:Introduction

a

la

theorie

des

equations

integrales,Paris,

1912   6. 

E.Goursat:Cours

  7. 

D.Hilbert:Grundzuge

d'analyse,Ⅲ,1923 einer

allgemeinen

Theorie

der

linearer

Inte

gralgleichungen,Leipzig,1912   8. 

R.Courant-D.Hilbert:Methods

  9. 

I.G.Petrowsky:Vorlesungen gen(独

 10. 

訳),Physica

uber

Mathematical die

Theorie

der

Integralgleichun

equations,Cambridge,1958

定 評 の あ る 書 物 で あ る.と

く に5は,す

で に 古 い も の で あ る が,簡

潔

に し て 要 を 得 た 入 門 書 と い う 点 で 現 在 で も そ の 存 在 価 値 は 大 き い .8は,は

しが

き に の べ た よ う に 本 書 の 前 半 を か く 直 接 的 動 機 と な っ た も の で あ る.10は

フ レ

ド ホ ル ム の 行 列 式 を 現 代 風 に の べ た も の で あ っ て,一 で の べ た 準  

Physics,Ⅰ,1953

Verlag,Wurzburg,1953

F.Smithies:Integral

  5,6,7は

of

読 を す す め た い.な

お4章

レ ゾ ル ベ ン ト と い う 考 え は,

W.A.Hurwitz:On

the

pseudo-resolvent

to

the

kernel

of

an

integral

equation,Trans.Amer.Math.Soc.,13(1912),405-418 に し た が っ た.つ

い で な が ら,4章

で は バ ナ ッハ 空 間 あ る い は も っ と一 般 な 位 相

ベ ク トル 空 間 に お け る リ ー ス ・ シ ャ ウ ダ ー(Riesz-Schauder)の り で あ っ た が,紙

数 の 制 限 上 割 愛 せ ざ る を え な か っ た.こ

学 に 関 す る 書 物 を 見 ら れ た い.ま

T.Carleman:Sur et

la

れ に 関 し て は 函 数 解 析

た こ こ で は の べ ら れ な か っ た,完

一 般 積 分 方 程 式 に興 味 を お も ち の 方 は   11. 

理 論 を の べ る つ も

,ワ

イ ル(Weyl)の

theorie

des

articles

de

全 連 続 で な い

初 期 の 仕 事 とな ら ん で

equations

integrales

a

noyau

reel

symetrique,Uppsala,1923

な ら び に,   12. 

Edition

complete

des

Torsten

Carleman(カ

ル レ マ ン 全 集),

1960 を み ら れ る の も よ い で あ ろ う.   積 分 方 程 式 の 応 用 に 関 す る 書 物 も 数 多 く あ る が,そ   13. 

W.D.Kupradse:Randwertaufgaben tegralgleichungen(独

を あ げ て お こ う.ま   14. 

der

の 代 表 と し て, Schwingungstheorie

und

In

訳),1956

た 完 全 連 続 作 用 素 に 関 す る 比 較 的 新 し い 専 門 書 と し て,

R.Schatten:Norm

ideals

of

completely

continuous

operators,Sprin

ger-Verlag,1960   15. 

N.Dunford-J.Schwartz:Linear terscience

  16. 

operators Ⅰ(1958),Ⅱ(1963),In

Publisher.

K.Yosida:Functional

analysis,Springer-Verlag,1965

を あ げ て お く.   最 後 に,1章 よ う だ が,筆

で の べ た ベ ク トル 空 間 と 線 形 写 像 に つ い て は 数 多 く の 名 著 が あ る 者 が 参 考 に し た も の,ま

  17. 

古 屋

  18. 

奥 川 光 太 郎:線

  19. 

Godement:Cours

を あ げ て お

茂:行

く.

列 と 行 列 式,培

た 初 学 者 に お す す め す る も の と し て, 風 館

形 代 数 学 入 門,朝

倉 書 店,(基

d'algebre,Paris,1963

礎 数 学 シ リ ー ズ)

索

ア

引

共 役 ―(dual

行

base)  7

標 準 ―(canonical ア ダ マ ー ル(Hadamard)の

不 等 式   55

base)  3

球 面 調 和 函 数   186 境 界 値 問 題   59,126

1次 形 式(linear form)  7 一 般 展 開 定 理   133

強 収 束   65 共

役 ―

基 底(dual

base)  7

―

境 界 条 件   90

―

行 列   44

―

空 間(dual

―

写 像   42

―

方 程 式   11 ,161

―

多 項 式   186

エ ル ミー ト

共 役 作 用 素   87,89

エ ル ミー ト形 式   44,50,204 正値 ― 正 定値 ―

  50,118

行

階 数(rank) ― の 不 変 性   20

写像 の―

  14

有限 ― 回

化 可 能 性   51

3角 ―

  51

表 現―

 4

距 離 空 間   96 ― の 完 備 性   96

転   50,54

ク ラ メー ル の 定 理   9 グル サ ー の 理 論   168

核 型 作 用 素(nuclear

operator)  195

91

完 全 正 規 直 交 系   119 完 全 連 続 作 用 素   105 ― に 対 す る近 似 定 理   135 ―

の3角

局 所 可 積 分 函 数   78

の 写 像   135

函 数 空 間H1(I) 

  90

列 ―

カ

  14

形 式的 ― 行

  50,118

行列 の ―

space)  6

の 標 準 分 解   136

コ ー シ ー 列  64 固 有 函 数   62 ― 系 の 完 全 性   122 一般 化 され た―

完 備 性   64

固有空 間 4 一般 化 され た―

基

固 有 値   4,160 ― の 重 複 度  21

―

底 5 の 変 更   17

固 有 ベ ク トル  4

  168

  25

一般 化 され た―

  25

セ ミ ・ ノ ル ム   99

コ ンパ ク ト作 用 系   105 相 対 コ ン パ ク ト  101

サ 最 小 多 項 式(minimal

行

双 直 交 系   164

polynomial) 

57 タ

座 標 の 変 換 法 則   19 作 用 系列 の ― 強 収 束   106 ―

台(support) 

行

78

対 角 化 可 能(diagonalizable) 

ノル ム の 意 味 の 収 束   106

エ ル ミ ー ト写 像 の ―

21,24

性   48

対 角 行 列   23

射

影   13

写

対

像 ―

の交 換 可 能 性   46

―

の シ ュ ミ ッ ト評 価   56

―

の ホ ル ム グ レン評 価   56

線形 ―

有限 階数 の―

行 列   44

―

作 用 素  42

超 函数

 2   135

弱 位 相  94

称 ―

―

の 意 味 の 導 函 数   78

―

の 定 義   82

超 平 面 7

弱 収 束(ヒ ル ベ ル ト空 間)  65

調 和 多 項 式(harmonic

シ ュ ア ー(Schur)の

直

定 理  200

―

型 作 用 素   192

―

の 直交 法  39

―

の 展 開 定 理   135

―

ノ ル ム   193

―

評 価   56

余 空 間   40

直 交 変 換  53 直

和   14,27

デ ィ リ ク レ(Dirichlet)

kernel)  174

準 等 距 離 作 用 素(partially

polynomial) 

交   37 ―

シ ュ ミッ ト

主 要 核(principal

,83

isometric

―

の 原 理   100

―

ノ ル ム   129

転 置 写 像  6

operator)  136 準 レゾ ル ベ ン ト 165

特 異 値(singular

value) 

特 性 多 項 式   22

スカ ラー積 6

正 規 直交 系   37 正 射 影  40,67 ― 作 用 素   41 ,67 絶 対 連 続 函 数   74

ト レー ス(trace)  ―

ク ラ ス   195

―

の 公 式   156

―

ノ ル ム   195

行 列の ―

  55

55,156

161

191

ナ 内

行

積   36

―

空 間   33

―

の 規 格 化   43

―

の 座 標  5

―

の成 分 5

行―

2次 形 式   37

  20

固有 ― ノ イ マ ン 級 数  148

実―

ノ ル ム   38

複素 ―

 4   3,33

列―

  3,33

ハ

行

  20

ベ ッセ ル の 不 等 式   67 変 分 法   113

パ ー シ バ ル の 等 式   119 バ ナ ッ ハ 空 間   145

ポ ア ン カ レー の 定 理   100

ハ ミル トン ・ケ ー リー (Hamilton-Cayley)の

ホ ル ム グ レン

定 理   57

汎 函 数 ―

の ノ ル ム   70

線形 ―

―

の 定 理   109

―

評 価   56

  7,69

マ

反 線 形(anti-linear)―

行

  73

半 直 交(semi-orthogonal) 

マ ー サ ー の 定 理   208

157

ヤ

行

表 現 行 列  4

有界集 合 ― 強 位 相 の 意 味 で   97

ヒ ル ベ ル ト空 間   64 ―

の 直 和  99

準 ―

―

  67

ヒ ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 展 開 定 理   116

弱 位 相 の意 味 で   97

有 限 階 数(finite rank)の 写 像   135 ユ ニタ リ

不 変 部 分 空 間(invariant

subspace) 

フ レ ドホ ル ム ―

交 代 定 理   136

―

第1定

理   155

―

第2定

理   159

―

第3定

理   167

フ ロ ベ ニ ウ ス(Frobenius)の

ベ ク トル

―

行 列  54

―

変換  53

ラ

行

ラ ゲ ー ル 多 項 式   182 ラ ッ ク ス ・ ミル グ ラム の定 理   140 定 理  57

ベ ー ル の カ テ ゴ リー 定 理   96 べ き 零(nilpotent) 

25

ラ プ ラ ス ・ベ ル トラ ミの 作 用 素   189 ラ レス コ(Lalesco)  ― の 定 理  200

198

56

リー ス(Riesz)の

定 理   69

レ ゾ ル ベ ン ト(resolvent) 

root

―subspace  ―vector 

25 25

―

の 関 係 式  29

―

方 程 式  4 ,26

148

ル ジ ャ ン ドル 多 項 式   179 ロ パ チ ン ス キ ー(Lopatinski)の

条 件  59

著者略歴 溝

畑

茂

1924年  大阪市 に生 れる 1947年  京都大学理学部卒 業   元京都大学教授 ・理 学博士

基礎数学シリーズ14 積 分方程 式入門

定価 は カバー に表示

1968年12月15日

  初 版 第1刷

2004年12月1日

  復 刊 第1刷

2008年1月25日

 

第2刷

著 者 溝

畑

発行者 朝

倉

発行所

 株式 会社 朝

茂 邦

倉

造

書 店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵便番号   電

話 

FAX 

〈 検 印省略 〉 C1968〈 ISBN 

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

中央 印刷 ・渡辺 製本

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 978-4-254-11714-1 

162-8707

03(3260)0141

C3341

Printed

in Japan