Основы дискретной математики

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ýëåêòðîòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò ½ËÝÒÈ“

ÎÑÍÎÂÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî êóðñó ½ Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà“

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã Èçäàòåëüñòâî ÑÏá ÃÝÒÓ ½ËÝÒÈ“ 2002

ÓÄÊ 512 ÁÁÊ Â174 ÿ7 Ì19 Ìàëîâ Ñ.Â., Ïîçäíÿêîâ Ñ.Í., Ðûáèí Ñ.Â. Îñíîâû äèñêðåòíîé ìà òåìàòèêè: Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî êóðñó "Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà". ÑÏá. Èç äàòåëüñòâî ÑÏá ÃÝÒÓ ½ËÝÒÈ“ , 2002, 72 ñ.

Îõâàòûâàåò êàê òðàäèöèîííûå ðàçäåëû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè, òàê è ðÿä òåì, èíòåðåñ ê êîòîðûì âûðîñ áëàãîäàðÿ íîâûì ïðèëîæåíèÿì, ïîÿâèâ øèìñÿ çà ïîñëåäíåå äåñÿòèëåòèå â ñâÿçè ñ ðàçâèòèåì èíôîðìàöèîííûõ òåõ íîëîãèé. Ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ êàê äëÿ ñòóäåíòîâ äíåâíîé ôîðìû îáó÷åíèÿ, òàê è äëÿ âå÷åðíèõ è çàî÷íûõ ôàêóëüòåòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ.

Óòâåðæäåíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ

ISBN 5-7629

c

Ñ.-Ïá ÃÝÒÓ, 2002

 ó÷åáíîì ïîñîáèè ðàññìîòðåíî íåñêîëüêî êëàññè÷åñêèõ òåì êóðñà ìàòå ìàòèêè. ×àñòü ýòèõ òåì, òàêèõ êàê òåîðèÿ ãðàôîâ òðàäèöèîííî îòíîñèòñÿ ê êóðñó äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè, èíòåðñ ê äðóãèì îïðåäåëÿåòñÿ áóðíûì ðàçâèòèåì èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé. Ýòî èçáðàííûå âîïðîñû òåîðèè ÷èñåë (â òîì ÷èñëå, ñðàâíåíèÿ, ôóíêöèÿ Ýéëåðà, öåïíûå äðîáè, èãðàþùèå áîëüøóþ ðîëü â ñîâðåìåííîé êðèïòîãðàôèè) è âûñøåé àëãåáðû (â òîì ÷èñëå, àëãîðèòìû íàä öåëûìè ÷èñëàìè è ìíîãî÷ëåíàìè, ëåæàùèå â îñíî âå èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ êîìïüþòåðíîé àëãåáðû, è ýëåìåíòû òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ ïîíèìàíèÿ ïðîöåññîâ îáðàáîòêè èíôîðìà öèè). Îñíîâíûå ðàññóæäåíèÿ, ñîäåðæàùèå ãëàâíûå èäåè èçëàãàåìîãî ìàòåðè àëà, ïðèâîäÿòñÿ ïîëíîñòüþ, â òî æå âðåìÿ óòâåðæäåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ëèáî ñëèøêîì òðóäîåìêèìè äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (è íå íåñóùèå ïðèíöèïèàëüíî íîâûõ èäåé), ëèáî äóáëèðóþùèå óæå ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ, äàíû áåç äîêàçàòåëüñòâ (îíè îòìå÷åíû çíàêîì

✍)

èëè â ôîðìå óïðàæíåíèé.

1 Àðèôìåòèêà öåëûõ ÷èñåë 1.1

Äåëåíèå ñ îñòàòêîì

Òåîðåìà 1.1 (Î äåëèìîñòè ñ îñòàòêîì). b 6= 0

Äëÿ ëþáûõ

ñóùåñòâóþò, è ïðèòîì åäèíñòâåííûå

q, r ∈ Z ,

a, b ∈ Z,

òàêèå, ÷òî èìååò

ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå

0 6 r < |b|.

a = bq + r,

(1.1)

Äîêàçàòåëüñòâî. Óñòàíîâèì åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (1.1). Ïóñòü

a = bq + r = bq1 + r1 ,

0 6 r < |b|,

b(q − q1 ) = r1 − r. Íî |r1 − r| < |b|, òàêèì îáðàçîì q = q1 , r = r1 .

Òîãäà

×èñëî

q

|b(q − q1 )| > |b|.

â (1.1) íàçûâàåòñÿ öåëîé ÷àñòüþ äðîáè

Îïðåäåëåíèå 1.1. a k b),

à

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî

åñëè â ïðåäñòàâëåíèè (1.1) äëÿ

a, b

a

0 6 r1 < |b|.

a , b

äåëèòñÿ íà

îñòàòîê

r

Ïðîòèâîðå÷èå,

  a def 1 = q. b b

(è îáîçíà÷àòü êàê

ðàâåí íóëþ.

Ñôîðìóëèðóåì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà äåëèìîñòè, âûòåêàþùèå íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ 1

Çíàêîì

def

=

áóäóò íà÷èíàòüñÿ îáîçíà÷åíèÿ

3

Òåîðåìà 1.2.

Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ

a k b, b k c, òîãäà a k c (òðàíçèòèâíîñòü äåëåíèÿ) 2. a , a , . . . ak k c, òîãäà äëÿ ëþáîãî íàáîðà λ1 , λ2 , . . . , λk ∈Z ñïðàâåäëèâî Pk 1 2 i=1 ai λi k c 3. a k b, òîãäà ±a k ±b ✍ 1.

Çàìå÷àíèå 1.1.

Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò â âîïðîñàõ äåëèìîñòè

îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

1.2

Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü, íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå è èõ ñâîéñòâà

Îïðåäåëåíèå 1.2. ak ,

òî ãîâîðÿò, ÷òî

a1 , a2 , . . . , ak , c ∈ Z. Åñëè c k a1 , c k a2 , . . . , c k îáùåå êðàòíîå a1 , a2 , . . . , ak . Íàèìåíüøåå ñðåäè

Ïóñòü

c

åñòü

âñåõ êðàòíûõ íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì è îáîçíà÷àåòñÿ

M (a1 , a2 , . . . , ak )

èëè

{a1 , a2 , . . . , ak }.

Çàìåòèì, ÷òî

max{a1 , a2 , . . . , ak } 6 M (a1 , a2 , . . . , ak ) 6 a1 a2 · · · ak Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîå êðàòíîå äåëèòñÿ íà íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå.

Îïðåäåëåíèå 1.3. Ïóñòü a1 , a2 , . . . , ak , d∈Z. Åñëè a1 k d, a2 k d, . . . , ak k d, òî ãîâîðÿò, ÷òî

d

åñòü îáùèé äåëèòåëü

a1 , a2 , . . . , ak .

Íàèáîëüøèé ñðåäè

âñåõ äåëèòåëåé íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì è îáîçíà÷àåòñÿ

D(a1 , a2 , . . . , ak )

èëè

(a1 , a2 , . . . , ak ).

Çàìåòèì, ÷òî

1 6 D(a1 , a2 , . . . , ak ) 6 min{a1 , a2 , . . . , ak } d1 , d2 , . . . , dn îáùèå D(a1 , a2 , . . . , ak ) = M (d1 , d2 , . . . , dn ). Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè

äåëèòåëè

a1 , a2 , . . . , ak ,

òî

Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå äðóãîãî îïðåäåëå íèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ. Ââåäåì òåïåðü îäíî èç âàæíåéøèõ ïîíÿòèé òåîðèè äåëèìîñòè

Îïðåäåëåíèå 1.4. åñëè

×èñëà

a1 , a2 , . . . , ak

íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè,

D(a1 , a2 , . . . , ak ) = 1.

Óñòàíîâèì òåïåðü íåêîòîðûå ñâîéñòâà íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ è íàè ìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî.

Òåîðåìà 1.3. 1.

d=

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå  a a óòâåðæäåíèÿ ak  1 2 , ,..., = 1. D(a1 , a2 , . . . , ak ) ⇔ D

d d 4

d

2.

d = D(a1 , a2 , . . . , ak )

3. Åñëè 4.

c

- îáùèé äåëèòåëü

ab = D(a, b)M (a, b).

Âîïðîñ î íàõîæäåíèè

D(a1 b, a2 b, . . . , ak b) = db. a a ak  d 1 2 , ,..., = . a1 , a2 , . . . , ak , òî D c c c c

òîãäà

D(a, b)

✍

áóäåò ðåøåí äàëåå.(ñì. ðàçäåë 2.1.) Ïðåäïî

ëîæèì, ÷òî èìååòñÿ ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì åãî âû÷èñëåíèÿ. Ïîñòàâèì âî

D(a1 , a2 , . . . , ak ). Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ñëåäóþùàÿ

ïðîñ î âû÷èñëåíèè

Òåîðåìà 1.4. D(a1 , a2 , a3 ) = D(D(a1 , a2 ), a3 )) D(a1 , a2 ) = e, D(e, a3 ) = d. Òîãäà â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè äåëèìîñòè (òåîðåìà 1.2) èìååì a1 , a2 k d, íî è a3 k d, ñëåäîâàòåëüíî d îáùèé äåëèòåëü a1 , a2 , a3 . Ïóñòü d1 ïðîèçâîëüíûé îáùèé äåëèòåëü a1 , a2 , a3 . Òîãäà e k d1 , ñëåäîâàòåëüíî d1 - îáùèé äåëèòåëü e, a3 . Òîãäà d k d1 è ñëåäîâàòåëüíî d = D(a1 , a2 , a3 ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

Óïðàæíåíèå 1.1. 1.

ab k c

2. Åñëè

1.3

è

D(a, c) = 1,

D(a, c) = 1,

òîãäà

òî

b k c.

D(ab, c) = D(b, c)

Ïðîñòûå ÷èñëà

Îïðåäåëåíèå 1.5. |a|

Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

è íà

×èñëî

a

íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì åñëè äåëèòñÿ òîëüêî íà

±1.

Òåîðåìà 1.5. Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäå íèÿ 1. Ëþáîå ÷èñëî 2.

ab k p

a∈Z

äåëèòñÿ íà

p

èëè íà ÷èñëî âçàèìíî ïðîñòîå ñ

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

akp

èëè

p.

b k p.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.

Ëåììà 1.1.

Ëþáîå

a ∈ Z, a 6= 1

èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ïðîñòîé

äåëèòåëü.

d1 , d2 , . . . , dn âñå äåëèòåëè ÷èñëà a, êðîìå 1. Ïîëî æèì p = min{d1 , d2 , . . . , dn }. Åñëè áû p áûëî ñîñòàâíûì, òî åãî äåëèòåëü (ìåíüøèé, ÷åì ñàìî p) áûë áû äåëèòåëåì a. Ïðîòèâîðå÷èå ñ îïðåäåëåíèåì p. Ëåììà äîêàçàíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

5

Òåîðåìà 1.6 (Îñíîâíàÿ òåîðåìå òåîðèè äåëèìîñòè). a∈Z

Ëþáîå ÷èñëî

ðàñêëàäûâàåòñÿ è òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì íà ïðîñòûå ñîìíîæè

òåëè. Ñîåäèíèâ îäèíàêîâûå ìíîæèòåëè â ñòåïåíè, ïîëó÷àåì

êàíîíè÷å

ñêîå ðàçëîæåíèå

a = pα q β r γ · · · ,

ãäå

p, q, r −

ïðîñòûå ÷èñëà,

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ëåììå 1.1 ëþáîå ÷èñëî

a

α, β, γ > 1.

(1.2)

èìååò ïðîñòîé äåëèòåëü

p.

pa1 . Åñëè a1 ñîñòàâíîå, òî âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 1.1 äëÿ a1 . Çàìåòèì, ÷òî a1 < a, ïîýòîìó íà íåêîòîðì øàãå ïîëó÷èì ak ïðîñòîå. Ïðåäñòàâèì åãî â âèäå

Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå

a = p1 p2 p3 · · · pk ,

ãäå

p 1 , p 2 , p3 · · · p k

- ïðîñòûå.

Îáúåäèíÿÿ îäèíàêîâûå ìíîæèòåëè â ñòåïåíè, ïðèõîäèì ê (1.2). Äîêàæåì òåïåðü åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (1.2). Ïóñòü èìååòñÿ äâà ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿ

a = p 1 p 2 p 3 · · · p k = q1 q 2 q3 · · · qn

(1.3)

p1 p2 p3 · · · pk k q1 . Ïî òåîðåìå 1.5 îäèí èç ñîìíîæèòåëåé ñëåâà äåëèòñÿ íà q1 . Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, p1 k g1 . Íî p1 è q1 - ïðîñòûå ÷èñëà. Ïîýòîìó p1 = q1 . Òîãäà (1.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: Òîãäà

p 2 p 3 · · · p k = q2 q3 · · · q n Ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó ïðèõîäèì ê åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ (1.2).

1.4

Ðåøåòî Ýðàòîñôåíà. Ðàçëîæåíèå ÷èñëà íà ïðîñòûå

 ñâÿçè ñ ïîëó÷åííûì ïðåäñòàâëåíèåì (1.2) âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû äëÿ ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷: 1. Íàéòè âñå ïðîñòûå ÷èñëà â äàííîì èíòåðâàëå. 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà

a ∈ Z ïîëó÷èòü åãî ðàçëîæåíèå â âèäå (1.2).

Äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé çàäà÷è ðàññìîòðèì àëãîðèòì, íîñÿùé íàçâàíèå

øåòî Ýðàòîñôåíà.

Ðå

Îí ïîçâîëÿåò íàéòè âñå ïðîñòûå ÷èñëà â èíòåðâàëå

[1, N ]. Øàã 1: Âû÷åðêèâàåì âñå ÷èñëà êðàòíûå 2 (êàæäîå âòîðîå, êðîìå 2). Ïîëà ãàåì

p1 = 2, k = 1. 6

Øàã k+1: Ïîëàãàåì

pk−1 .

k =k+1

è

pk

- ïåðâîå íåâû÷åðêíóòîå ÷èñëî ïîñëå

Âû÷åðêèâàåì âñå ÷èñëà ñòîÿùèå íà ìåñòàõ êðàòíûõ

íåãî ñàìîãî. Ïîâòîðÿåì ýòîò øàã, ïîêà

Çàìå÷àíèå 1.2. ïðè ýòîì

p1 = 3.

pk ,

êðîìå

pk < N .

Äîñòàòî÷íî ðàáîòàòü òîëüêî ñ íå÷åòíûìè ÷èñëàìè, √ Àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ðàáîòó, êàê òîëüêî

Ïðèìåð 1.1 (íà ðåøåòî Ýðàòîñôåíà).

Ïóñòü

N = 50.

pk >

N.

Òîãäà ïîñëå ðà

áîòû àëãîðèòìà ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ êàðòèíó (íà ìåñòå âû÷åðêíóòûõ ÷èñåë ñòîèò çíàê

∗

)

2 3 5 7 9 11 13 ∗ 17 19 ∗ 23 ∗ ∗ 29 31 ∗ ∗ 37 ∗ 41 43 ∗ 47 49 Âîçíèêàåò âîïðîñ î òîì, ñêîëüêî æå ïðîñòûõ ÷èñåë? Îòâåò áûë ïîëó÷åí åùå Åâêëèäîì:

Òåîðåìà 1.7 (Åâêëèä).

Ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì êîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë:

p3 . . . pk }.

Ïîëîæèì

ïîñòðîåííîå ÷èñëî

p = p1 p2 p3 · · · pk + 1.

p

{p1 , p2 ,

Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèì îáðàçîì

íå äåëèòñÿ íè íà îäíî èç

pi .

Òàêèì îáðàçîì ëèáî

ïðîñòîå, ëèáî èìååò ïðîñòîé äåëèòåëü áîëüøå ëþáîãî èç

pi .

p

Ïîëó÷åííîå

ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðåøåíèþ âòîðîé ïîñòàâëåííîé çàäà÷è: ðàçëîæåíèþ ÷èñ ëà

a íà ïðîñòûå ñîìíîæèòåëè â âèäå

ìà, íîñÿùåãî íàçâàíèå

(1.2). Íà÷íåì ñ ïðîñòåéøåãî àëãîðèò

ìåòîä ïðîáíûõ äåëèòåëåé. Èñïîëüçóåì ïîñëåäî

âàòåëüíîñòü ïðîáíûõ äåëèòåëåé - ïðîñòûõ ÷èñåë

2 = p0 < p 1 < p 2 < · · · < p k 6 def

= k = 0, 1, 2, . . .

√

a.

Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

- íîìåð òåêóùåãî äåëèòåëÿ

pk

(èç ïðîáíîé ïîñëåäîâà

òåëüíîñòè),

def

= i = 0, 1, 2, . . . - íîìåðà íàéäåíûõ äåëèòåëåé ÷èñëà a (áóäåì îáîçíà÷àòü èõ di ).

Øàã 1:

k = 0, i = 0

Øàã 2: (Ïðîâåðêà îêîí÷àíèÿ). Åñëè

a = 1,

òî àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ðàáî

òó.

Øàã 3:

a = pk q + r

Øàã 4: Åñëè

r 6= 0

(òî åñòü

Øàã 5: (a äåëèòñÿ íà

pk ).

a

íå äåëèòñÿ íà

Ïîëàãàåì

pk ),

òî ïåðåõîäèì íà Øàã 6

di = pk , i = i + 1, a = q .

íà Øàã 2 7

Âîçâðàùàåìñÿ

Øàã 6: Åñëè Øàã 7:

a

q > pk ,

òî ïîëàãàåì

k =k+1

- ïðîñòîå ÷èñëî. Ïîëàãàåì

di = a.

è ïåðåõîäèì íà Øàã 3. Àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ðàáîòó.

Ïðèìåð 1.2 (íà ìåòîä "ïðîáíûõ äåëèòåëåé"). Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîáíûõ äåëèòåëåé

a = 6930. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, Ïîëîæèì

23, 29, 31} 1.

a = 2 · 3465, d0 = 2, i = 1, a = 3465

2.

a = 2 · 1732 + 1, k = 1

3.

a = 3 · 1155, d1 = 3, i = 2, a = 1155

4.

a = 3 · 385, d2 = 3, i = 3, a = 385

5.

a = 3 · 128 + 1, k = 2

6.

a = 5 · 77, d3 = 5, i = 4, a = 77

7.

a = 5 · 15 + 2, k = 3

8.

a = 7 · 11, d4 = 7, i = 5, a = 11

9.

a = 7 · 1 + 4, d5 = 11

a = 6930 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2 · 32 · 5 · 7 Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïèñàííûé àëãîðèòì ýôôåêòèâíî ðàáîòàåò, íà íåáîëü øèõ ÷èñëàõ. Ïðè èõ óâåëè÷åíèè áûñòðî ðàñòåò ÷èñëî "õîëîñòûõ"äåëåíèé. Ðàññìîòðèì ñåé÷àñ àëãîðèòì, êîòîðûé èñïîëüçóÿ òîëüêî îïåðàöèè óìíî

æåíèÿ è ñëîæåíèÿ (áåç äåëåíèé) ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü ëþáîå ÷èñëî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ (íå îáÿçàòåëüíî ïðîñòûõ) ñîìíîæèòåëåé.

Àëãîðèòì Ôåðìà

Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èñõîäíîå ÷èñëî

a ÿâëåòñÿ ÷åòíûì.

Âûäåëèòü ñòåïåíè äâîéêè äîñòàòî÷íî ëåãêî (ñäâèãàìè âïðàâî äâîè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñëà). Áóäåì èñêàòü ïðåäñòàâëåíèå

a

â âèäå

a = x2 − y 2 = (x − y)(x + y) R(x, y) = x2 − y 2 − a. Íàøà çàäà÷à ïîî÷åðåäíî 1 äîáèòüñÿ ðàâåíñòà R(x, y) = 0. Çàìåòèì, ÷òî

Ââåäåì îáçíà÷åíèÿ: ÷èâàÿ

x

è

y

íà

R(x + 1, y) = (x − y + 1)(x + y + 1) = R(x, y) + 2x + 1 R(x, y + 1) = (x − y − 1)(x + y + 1) = R(x, y) − (2y + 1)

8

óâåëè

Rx = 2x + 1, Ry = 2y+1. Çàìåòèì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè x èëè y íà 1, Rx èëè Ry óâåëè÷è âàþòñÿ ñîîòâåòñâåííî íà 2. Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ áóäåì ïðåäïîëàãàòü, √ a - îáîçíà÷èì åå ÷òî íàì èçâåñòíà ïðèáëèçèòåëüíàÿ îöåíêà öåëîé ÷àñòè ÷åðåç a ¯ ×òîáû ëèøíèé ðàç íå óìíîæàòü íà

Øàã 3:

R(x, y) 6 0,

ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

Rx = 2¯ a + 1, Ry = 1, R(x, y) = a ¯2 − a

Øàã 1: (Èíèöèàëèçàöèÿ). Øàã 2: Åñëè

2

òî ïåðåéòè íà Øàã 4

R(x, y) = R(x, y) − Ry, Ry = Ry + 2.

Øàã 4: (Ïðîâåðêà îêîí÷àíèÿ). Åñëè

Âîçâðàùàåìñÿ íà Øàã 2.

R(x, y) = 0,

òî àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò

ðàáîòó. Ïðè ýòîì

Rx − Ry a= · 2 Øàã 5:



 Rx + Ry −1 2

R(x, y) = R(x, y) + Rx, Rx = Rx + 2.

Ïðèìåð 1.3 (íà ìåòîä Ôåðìà).

Ïóñòü

1.

Rx = 29 Ry = 1 R(x, y) = −25

2.

Rx = 31 Ry = 1 R(x, y) = 4

3.

Rx = 31 Ry = 3 R(x, y) = 3

4.

Rx = 31 Ry = 5 R(x, y) = 0

Âîçâðàùàåìñÿ íà Øàã 2.

a = 221,

òîãäà

a ¯ = 14

a = 221 = 17 · 13 Êîìáèíèðóÿ ìåòîäû Ôåðìà è ïðîáíûõ äåëèòåëåé ìîæíî ïîñòðîèòü äîñòà òî÷íî ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ ðàçëîæåíèÿ ëþáîãî ÷èñëà

a íà ïðîñòûå

ñîìíîæèòåëè â âèäå (1.2).

1.5

Ïîçèöèîííàÿ çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Îïðåäåëåíèå 1.6. p-è÷íîé

Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð

çàïèñüþ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà

ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ èëè ïðîñòî

(an an−1 ...a1 a0 )p

íàçûâàåòñÿ

s (ïðåäñòàâëåíèåì ÷èñëà s â p-è÷íîé

p-è÷íûì

÷èñëîì), åñëè

S = pn an + pn−1 an−1 + · · · + pa1 + a0 , ãäå

p

- íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1,

9

0 6 ak < p

è

an 6= 0.

Çàìå÷àíèå 1.3. ×èñëà ak

p-è÷íîé çàïèñè íàçûâàþòñÿ öèôðàìè è îáû÷ îòäåëüíûìè ñèìâîëàìè, íàïðèìåð 10 = A, 11 = B è

íî îáîçíà÷àþòñÿ

â

ò.ä.

Òåîðåìà 1.8. Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìååò åäèíñòâåííóþ p -è÷íóþ çàïèñü.

s èìååò äâå bm bm−1 ...b1 b0 . Òîãäà

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

an an−1 ...a1 a0

è

ðàçëè÷íûõ

p-è÷íûõ

çàïèñè:


s = pn an + pn−1 an−1 + · · · + pa1 + a0 = p pn−1 an + · · · + a1 + a0 = ps1 + a0 ,
= pm bm + pm−1 bm−1 + · · · + pb1 + b0 = p pm−1 bm + · · · + b1 + b0 = ps2 + b0 p

Òàê êàê ÷àñòíîå è îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà

a0 = b 0

è

s1 = pn−1 an + · · · + a1 = pm−1 bm + · · · + b1 = s2

Ïðèìåíÿÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ê

Çàìå÷àíèå 1.4.

îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî,

s1

è

s2 ,

ïîëó÷èì

a1 = b 1

è ò. ä.

Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñïîñîáû ïîçèöèîííîé çàïèñè íà

òóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å. ïðåäñòàâëåíèå èõ óïîðÿäî÷åííûìè íàáîðàìè öèôð.

Ïðèìåð 1.4 (Ôàêòîðèàëüíàÿ çàïèñü). s = (an an−1 · · · a1 )! ⇔ s = an n! + an−1 (n − 1)! + · · · + a1 · 1!, ãäå 0 6 ak 6 k, an 6= 0.

Óïðàæíåíèå 1.2.

Äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü ôàêòîðèàëüíîé çàïèñè íà

òóðàëüíûõ ÷èñåë.

1.6

Àëãîðèòìû àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé ñ p -è÷íûìè çàïèñÿìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Àëãîðèòìû ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ ñòîëáèêîì è äåëåíèÿ óãîëêîì äëÿ

p-è÷íûõ

çàïèñåé ÷èñåë ñîâïàäàþò ñ èçâåñòíûìè àëãîðèòìà

ìè äëÿ äåñÿòè÷íûõ çàïèñåé, åñëè çàìåíèòü òàáëèöû ñëîæåíèÿ (âû÷èòàíèÿ) è óìíîæåíèÿ (äåëåíèÿ).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î âûïîëíåíèè îïåðàöèé â

p-è÷íîé

àðèôìåòèêå.

Ïðèìåð 1.5 (Òàáëèöû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ äëÿ 5-è÷íûõ ÷è ñåë).

10

(+)5

0

1

2

3

4

(×)5

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

10

1

0

1

2

3

4

2

2

3

4

10

11

2

0

2

4

11

13

3

3

4

10

11

12

3

0

3

11

14

22

4

4

10

11

12

13

4

0

4

13

22

31

Àëãîðèòì 1. Ñëîæåíèå p-è÷íûõ ÷èñåë a = (an · · · a0 )p è b = (bm · · · b0 )p . Ðåçóëüòàò  ÷èñëî

c = (ck · · · c0 )p .

n < m ÒÎ a ↔ b; n ↔ m;

ÅÑËÈ

(òåì ñàìûì äëèíà ÷èñëà

a

ñòàíåò íå ìåíüøå äëèíû

b)

KE

i : = 0;

s : = 0;

(i- íîìåð ðàçðÿäà, s- âåëè÷èíà ïåðåíîñà

i6m ci : = (ai + bi + s) mod p; s : = (ai + bi + s) ÷ p; i := i + 1

â ñòàðøèé ðàçðÿä)

ÖÈÊË-ÏÎÊÀ

(âû÷èñëåíèå î÷åðåäíîé ñ êîíöà öèôðû ðåçóëüòàòà) (âû÷èñëåíèå âåëè÷èíû ìåæðàçðÿäíîãî ïåðåíîñà) (ïåðåõîä ê ñëåäóþùåìó ðàçðÿäó)

ÊÖ

i6n ci : = (ai + s) mod p; s : = (ai + s) ÷ p; i := i + 1

(ïðîäîëæåíèå ñëîæåíèÿ ÷èñëa ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ

s > 0 ÒÎ cn+1 : = s

(ôîðìèðîâàíèå ñòàðøåãî ðàçðÿäà ðåçóëüòàòà,

ÖÈÊË-ÏÎÊÀ

ñòàðøåãî ðàçðÿäà ÷èñëà ìåíüøåé äëèíû)

ÊÖ ÅÑËÈ

åñëè äëèíà ðåçóëüòàòà áîëüøå äëèíû ñëàãàåìûõ)

KE

Àëãîðèòì 2à. Ðåçóëüòàò

Óìíîæåíèå ÷èñëà

a = (an · · · a0 )p

íà öèôðó

b = (b0 )p .

a · b = c = (cm · · · c0 )p . s := 0

0 ÄÎ n ci := (ai · bi + s) mod p;

ÖÈÊË ÏÎ

i

ÎÒ

s := (ai · bi + s) ÷ p

ÊÖ; ÅÑËÈ

s > 0,

ÒÎ

m := n + 1; cm := s

ÈÍÀ×Å

Àëãîðèòì 2b. Óìíîæåíèå ÷èñëà a = (an ...a0 )p ðàçðÿäîâ). Ðåçóëüòàò

m := n

íà ÷èñëî

k

ap = c = (cm · · · c0 )p .

m = n + k; ÖÈÊË ÏÎ ÖÈÊË ÏÎ

i i

ÎÒ ÎÒ

nÄÎ 0 ci+k := ak k − 1 ÄÎ 0 ci := 0;

11

ÊÖ ÊÖ

pk

(ñäâèã íà

k

Àëãîðèòì 2. Óìíîæåíèå p-è÷íûõ ÷èñåë a = (an · · · a0 )p b = (bk · · · b0 )p .

Ðåçóëüòàò

è

ab = c = (cm · · · c0 )p .

c := 0; ÖÈÊË ÏÎ

i

0

ÎÒ

ÄÎ

k

i

c := c + (abi )p ;

(ïîðàçðÿäíîå óìíîæåíèå ñî ñäâèãîì

ÊÖ

âûïîëíÿåòñÿ ïî àëãîðèòìàì 2à è 2b)

Çàäàíèå 1.1.

Íàïèñàòü àëãîðèòìû âû÷èòàíèÿ è äåëåíèÿ íàöåëî, îñíî

âûâàÿñü íà òàáëèöàõ âû÷èòàíèÿ è äåëåíèÿ

p-è÷íûõ

÷èñåë.

Çàäàíèå 1.2. Äëÿ äâîè÷íûõ ÷èñåë àëãîðèòìû àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ìîæíî óïðîñòèòü. Ñäåëàòü ýòî.

Çàäàíèå 1.3.

Ñôîðìóëèðîâàòü àëãîðèòìû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà

òóðàëüíûõ ÷èñåë â ôàêòîðèàëüíîé çàïèñè.

1.7

Àëãîðèòìû ïåðåâîäà p-è÷íîé çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â q -è÷íóþ

Ïåðâûé èç ýòèõ àëãîðèòìîâ èñïîëüçóåò

q -è÷íóþ.

p-è÷íóþ

àðèôìåòèêó, âòîðîé -

 îñíîâå ïåðâîãî àëãîðèòìà ëåæèò òà æå èäåÿ, ÷òî è â äîêàçà

òåëüñòâå åäèíñòâåííîñòè

Àëãîðèòì 1.

(bm · · · b0 )q

â

p-è÷íîé

çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.

Ïåðåâîä ÷èñåë èç

p-è÷íîé

p-è÷íîé

çàïèñè

(an · · · a0 )p

â

q -è÷íóþ

àðèôìåòèêå.

i := 0; a 6= 0 bi := a mod q; a := a ÷ q i := i + 1

ÖÈÊË-ÏÎÊÀ

(äåëåíèå

a

íà

q

âûïîëíÿåòñÿ âp-è÷íîé àðèôìåòèêå)

ÊÖ

m := i − 1 Âòîðîé àëãîðèòì îñíîâàí íà òàê íàçûâàåìîé ñõåìå Ãîðíåðà:

a = (an an−1 · · · a0 )p = an pn + an−1 pn−1 + · · · + a1 p + a0 = ((...((an p + an−1 )q p + an−2 )q p + · · · + a1 )q p + a0 )q .

Àëãîðèòì 2. (bm · · · b0 )q

â

Ïåðåâîä ÷èñåë èç

q -è÷íîé

p-è÷íîé (an · · · a0 )p

çàïèñè â

(1.4)

q -è÷íóþ

àðèôìåòèêå.

b := 0; i ÎÒ n b := bp + ai ;

ÖÈÊË ÏÎ

ÄÎ

0 (äåéñòâèÿ âûïîëíÿþòñÿ â

ÊÖ

12

q -è÷íîé

àðèôìåòèêå)

Çàìå÷àíèå 1.5.

Ïðè

p>q

ïðèìåíåíèå ïîñëåäíåãî àëãîðèòìà ïîäðàçóìå

âàåò ïðåäâàðèòåëüíûé ïåðåâîä âñåõ öèôð â ïðè

p
çàïèñü. Àíàëîãè÷íî,

àëãîðèòì 1 ïîäðàçóìåâàåò äîïîëíèòåëüíûå äåéñòâèÿ ïî ïåðå

âîäó öèôð ïîðîæäàåìîé çàïèñè èç

1.8

q -è÷íóþ

p-è÷íîé

çàïèñè â

q -è÷íóþ.

Àëãîðèòì ýôôåêòèâíîãî âîçâåäåíèÿ ÷èñëà â íàòó ðàëüíóþ ñòåïåíü

Ñõåìà Ãîðíåðà (1.4) ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýôôåêòèâ íîãî àëãîðèòìà âîçâåäåíèÿ ÷èñëà

a â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü m. Ðàññìîòðèì

m.

äâîè÷íóþ çàïèñü ÷èñëà

m = (bn · · · b0 )2 = 2n bn + · · · + 2b1 + b0  m 2 (a 1 ) am = a2m1 +b0 = (am1 )2 ab0 = (am1 )2 a

Àëãîðèòì. c=a

m

.

Âîçâåäåíèå ÷èñëà

a

â ñòåïåíü

ïðè ïðè

b0 = 0 b0 = 1

m = (bn · · · b0 )2 .

Ðåçóëüòàò

c := 1; ÖÈÊË ÏÎ ÅÑËÈ

i

ÎÒ

n

bi = 0

ÄÎ

ÒÎ

0

c := c2

ÈÍÀ×Å

c := c2 a

ÊÅ

ÊÖ

Çàìå÷àíèå 1.6. âîçâåäåíèÿ

a

Ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì ëåãêî ìîäèôèöèðóåòñÿ äëÿ

â ñòåïåíü

m

â êîëüöå

Zk .

Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî îïåðàöèþ

óìíîæåíèÿ îñóùåñòâëÿòü â êîëüöå âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ

k.

Çàäàíèå 1.4.

Ñêîëüêî îïåðàöèé óìíîæåíèÿ (âîçâåäåíèå â êâàäðàò - ýòî 2k òîæå îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ) äåëàåò àëãîðèòì ïðè âû÷èñëåíèè à)a ; 2k−1 á) a .

Çàäàíèå 1.5. Äîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî óìíîæåíèé â àëãîðèòìå âîçâå äåíèÿ ÷èñëà â ñòåïåíü

Çàäàíèå 1.6. è

r

íå ïðåâûøàåò

2 [log2 m] .

Íàéòè ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ ÷èñëî óìíîæåíèé â àëãî

ðèòìå âîçâåäåíèÿ

m

m

a

â ñòåïåíü

m

÷åðåç

- ÷èñëî íóëåé â äâîè÷íîé çàïèñè

lm.

÷èñëî öèôð â äâîè÷íîé çàïèñè

2 Àëãîðèòì Åâêëèäà è öåïíûå äðîáè 2.1

Êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì Åâêëèäà

Âåðíåìñÿ ê ðàíåå ïîñòàâëåííîìó âîïðîñó, îá ýôôåêòèâíîì àëãîðèòìå âû÷èñëåíèÿ

D(a, b).

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî 13

a > b > 0.

Èäåÿ àëãîðèòìà Åâêëè

äà î÷åíü ïðîñòà: Åñëè

a = bq + r,

òîãäà

D(a, b) = D(a − bq, b) = D(b, r).

Òàêì îáðàçîì, äëÿ íàõîæäåíèÿ

D(a, b)

(2.1)

ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

äåéñòâèé, íàçûâàåìóþ êëàññè÷åñêèì àëãîðèòìîì Åâêëèäà:

 a = bq0 + r0 ,     b = r 0 q1 + r 1 ,    r = r q + r , 0 1 2 2  ···············     rk−2 = rk−1 qk + rk ,    rk−1 = rk qk+1 .

Çàìå÷àíèå 2.1.

(2.2)

Î÷åâèäíî, ÷òî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà

rk+1 = 0,

òàê êàê

r0 > r1 > r2 > · · · > rk > rk+1 = 0.

Ïðè ýòîì, â ñèëó (2.1):

D(a, b) = D(b, r0 ) = D(r0 , r1 ) = · · · = D(rk−2 , rk1 ) = D(rk−1 , rk ) = rk .

Ïðèìåð 2.1 (íà êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì Åâêëèäà). D(76501, 29719).

Íàéòè

Ñoãëàñíî (2.2) èìååì:

76501 = 29719 · 2 29719 = 17063 · 1 17063 = 12656 · 1 12656 = 4407 · 2 4407 = 3842 · 1 3842 = 565 · 6 565 = 452 · 1 452 = 113 · 4

+ + + + + + +

17063 12656 4407 3842 565 452 113

Ñõåìó (2.2) ëåãêî çàïèñàòü â âèäå àëãîðèòìà.

Øàã 1: (Ïðîâåðêà îêîí÷àíèÿ). Åñëè

b = 0,

òî

D(a, b) = a

è àëãîðèòì çà

êàí÷èâàåò ðàáîòó.

Øàã 2:

2.2

a = bq + r,

ïîëàãàåì

a = b, b = r .

Âîçâðàùàåìñÿ íà Øàã 1.

Áèíàðíûé àëãîðèòì Åâêëèäà

Êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì Åâêëèäà íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ñïîñî áîì äëÿ íàõîæäåíèÿ 14

íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ. Ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî áûë ïðåäëîæåí ñî âñåì èíîé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Ýòîò íîâûé àëãîðèòì íå òðåáóåò äåéñòâèé äåëåíèÿ. Îñíîâàíûé èñêëþ÷èòåëüíî íà îïåðàöèÿõ âû÷è òàíèÿ, îí ïðîâåðÿåò, ÿâëÿåòñÿ ëè ÷èñëî ÷åòíûì èëè íåò, è ñäâèãàåò âïðà âî äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèÿ ÷åòíîãî ÷èñëà (äåëåíèå ïîïîëàì). Áèíàðíûé

D(a, b) îñíîâàí íà íåñêîëüêèõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë a è b.   a b , . 1. a è b - ÷åòíû, òîãäà D(a, b) = 2D 2 2 a  2. a ÷åòíî è b - íå÷åòíî, òîãäà D(a, b) = D ,b . 2

àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ

3.

D(a, b) = D(a − b, b)

4. Åñëè 5.

ïðîñòûõ ñâîéñòâàõ

a

è

b

- ÷åòíû, òî

a−b

íå÷åòíî.

|a − b| < max{a, b}

Çàìå÷àíèå 2.2. Ñâîéñòâî 3 óæå èñïîëüçîâàëîñü â ñõåìå

(2.2) (cì. (2.1)).

Ðàññìîòðèì ðàáîòó àëãîðèòìà ïî øàãàì. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

def

• k = •

tmp

ñ÷åò÷èê äëÿ ñòåïåíè äâîåê, âûäåëÿåìûõ ïî ñâîéñòâó 1.

def

=

ðàáî÷àÿ ïåðåìåííàÿ àëãîðèòìà.

Øàã 1: (Èíèöèàëèçàöèÿ).

k = k + 1, a = a/2, b = b/2. Ïîâòîðÿåì

k = 0.

Åñëè

a

è

b

- ÷åòíû, òîãäà ïîëàãàåì

ýòó ïðîöåäóðó, ïîêà îáà ÷èñëà ÷åòíû. (Èñïîëüçó

åì ñâîéñòâî 1 äëÿ "âûäàâëèâàíèÿ"èç

a, b

îáùåé ñòåïåíè äâîéêè.)

Øàã 2: (Ïðîäîëæåíèå èíèöèàëèçàöèè). Ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èõ ÷èñåë íå÷åòíî. Åñëè

a

- íå÷åòíî, òî ïîëàãàåì

Øàã 4.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå Øàã 3: (Äèõîòîìèÿ tmp).

tmp = −b

a, b

è ïåðåõîäèì íà

tmp = a.

tmp = tmp/2.

(Èñïîëüçóåì ñâîéñòâî 2).

Øàã 4: Åñëè tmp ÷åòíî, òî âåðíóòüñÿ íà Øàã 3.

a = tmp, èíà÷å b = −tmp. (Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 5 ìû çàìåíÿåì max{a, b} íà |a − b|. Ïðè ýòîì çíàê tmp îïðåäåëÿåò áîëüøåå èç ÷èñåë a, b. Ïî ñâîéñòâó 3 D(a, b) ïðè ýòîì íå èçìåíèòñÿ).

Øàã 5: (Ñìåíà ìàêñèìóìà). Åñëè

tmp > 0,

15

òî ïîëàãàåì

Øàã 6: (Âû÷èòàíèå).

tmp = a − b.

Åñëè

tmp 6= 0,

òî ïåðåõîäèì íà Øàã 3.

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ðàáîòó.

D(a, b) = a · 2k

Ïðèìåð 2.2 (íà áèíàðíûé àëãîðèòì Åâêëèäà).

Ðàññìîòðèì ðàáîòó

àëãîðèòìà ñ äàííûìè èç ïðèìåðà 2.1. 1.

a = 76501 b = 29719 tmp = −29719

2.

a = 76501 b = 29719 tmp = 46782 → 23391

3.

a = 23391 b = 29719 tmp = −6328 → −31684 → −1582 → −791

4.

a = 23391 b = 791

tmp = 22600 → 11300 → 5650 → 2825

5.

a = 2825

b = 791

tmp = 2034 → 1017

6.

a = 1017

b = 791

tmp = 226 → 113

7.

a = 113

b = 791

tmp = −678 → −339

8.

a = 113

b = 339

tmp = −226 → −113

9.

a = 113

b = 113

tmp = 0

D(76501, 29719) = 113

2.3

Ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå íàèáîëüøåãî îáùåãî äå ëèòåëÿ

Äåéñòâóÿ â ñõåìå (2.2) îáðàòíûì õîäîì ñíèçó ââåðõ ïîëó÷àåì ïðåäñòàâ ëåíèå

D(a, b)

÷åðåç

a, b.

rk = rk−2 − rk−1 qk = rk−2 − (rk−3 − rk−2 qk−1 )qk = −rk−3 qk + rk−2 (1 + qk qk−1 ) = −rk−3 qk + (rk−4 − rk3 qk−2 )(1 + qk qk−1 ) = rk−4 (1 + qk qk−1 ) + rk−3 (−qk − qk−2 (1 + qk qk−1 )) = · · · = ax + by Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâî

Óòâåðæäåíèå 2.1. Äëÿ ëþáûõ a, b ∈ Z óðàâíåíèå ax + by = D(a, b) âñåãäà èìååò ðåøåíèå.

16

Íåòðóäíî ïîëó÷èòü ðåêóðåíòíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

y0 = 0, Òîãäà

{yi }

y1 = 1,

x, y .

Ââåäåì

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

yi+1 = yi−1 − qk+1−i yi ,

i = 1, 2, · · · , k + 1

(2.3)

D(a, b) = ayk+1 + byk+2 .

Ïðèìåð 2.3.

Íàéäåì ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî

äåëèòåëÿ èç ïðèìåðà 2.1.

y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 0 1 −1 7 −8 23 −31 54 −139 Òàêèì îáðàçîì

2.4

76501 · 54 − 29719 · 139 = 113.

Ðàçëîæåíèå ÷èñëà â öåïíóþ(íåïðåðûâíóþ) äðîáü

Çàïèøåì ñõåìó (2.2) â âèäå:

a r0  = q +  0  b b     b r 1   = q1 +   r0  r0 ··· ·········   r rk k−2   = q +  k  rk−1 rk−1    r    k−1 = qk+1 rk

(2.4)

Èç (2.4) ïîëó÷àåì

1 1 1 a = q 0 + = q0 + = · · · = q0 + b b 1 1 q1 + q1 + r0 r0 1 q2 + r1 1 ··· + qk+1

Îïðåäåëåíèå 2.1.

(2.5)

Âûðàæåíèå (2.5) íàçûâàåòñÿ öåïíîé èëè íåïðåðûâíîé

äðîáüþ. Äðîáè, âîçíèêàþùèå ïðè ðàçëîæåíèè (2.5) íàçûâàþòñÿ ïîäõîäÿùè ìè äðîáÿìè. Ïîñëåäíÿÿ ïîäõîäÿùàÿ äðîáü ðàâíà

qk+1

a/b.

×èñëà

q0 , q1 , q2 , · · · ,

íàçûâàþòñÿ çâåíüÿìè äðîáè. Áîëåå êîðîòêî (2.5) çàïèñûâàþò â âèäå

a = (q0 , q1 , g2 , · · · , qk+1 ) b 17

(2.6)

Çàìå÷àíèå 2.3. ÷àñòü äðîáè 1. Åñëè

a/b.

Çàìåòèì, ÷òî

q0

â ïðåäñòàâëåíèè (2.6) åñòü öåëàÿÿ

Òîãäà ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî

0 < a < b,

òî åñòü

a/b

- ïðàâèëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ äðîáü, òî

ïðåäñòàâëåíèå (2.6) äëÿ íåå èìååò âèä

(0, q1 , g2 , · · · , qk+1 ).

a/b < 0, òî a/b = (−(K +1), q1 , g2 , · · · , qk+1 ), ãäå K äðîáè a/b.

2. Åñëè äðîáü ÷àñòü 3. Ëþáîå

a∈Z

ÿâëÿåòñÿ öåïíîé äðîáüþ ñ îäíèì çâåíîì

- öåëàÿ

(a).

Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 2.1. Äëÿ ëþáûõ a, b ∈ Z, b 6= 0 äðîáü a/b ìîæíî îäíèì è òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì ïðåäñòàâèòü â âèäå (2.6), ãäå âñå çâåíüÿ ïîëîæèòåëüíû è ïîñëåäíåå çâåíî

Çàìå÷àíèå 2.4.

qi

íà÷èíàÿ ñ

q1 ,

qk+1 > 1

qk+1 > 1 â òåîðåìå îáåñïå÷èâàåò åäèíñòâåí íîñòü ðàçëîæåíèÿ (2.6), òàê êàê (q0 , q1 , · · · , qk+1 ) = (q0 , q1 , · · · , qk+1 −1, 1). Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â ñõåìå (2.2) rk−1 = rk qk+1 , ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ( rk−1 = rk (qk+1 − 1) + rk rk = rk · 1

Ïðèìåð 2.4.

Óñëîâèå

Ðàññìîòðèì äðîáü èç ïðèìåðà 2.1. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû

ïðèìåðà 2.1 ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèÿ (2.5) è (2.6)

76501 =2+ 29719

1

= (2, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 4)

1

1+

1

1+

1

2+

1

1+ 6+

1 1+

1 4

Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðèâåñòè ïîëó÷èâøóþñÿ öåïíóþ äðîáü îáðàòíî ê îáû÷íîé, òî ïîëó÷èòñÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü:

18

76501 677 = . 29719 263

2.5

Ñâîéñòâà ïîäõîäÿùèõ äðîáåé è èõ âû÷èñëåíèå

Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïîäõîäÿùèõ äðîáåé, îïðåäåëåííûõ â ïðåäûäó ùåì ðàçäåëå ïðè ðàçëîæåíèè (2.5)

def

δ0 = q0 ,

def

δ1 = q0 +

1 , q1

1

def

δ2 = q0 +

Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü

δk

··· ,

1 q1 + q2

÷åðåç

Pk

è

Qk

(2.7)

ñîîòâåòñòâåí

íî. Ïîëó÷èì ðåêóðåíòíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÷èñëèòåëåé

{Pk }

è çíàìåíàòåëåé

{Qk }.

Ïîëàãàÿ

P−1 = 1, Q−1 = 0

äàëåå

èìååì

q0 P0 = 1 Q0 1 q0 + q1 P0 + P−1 P1 q1 q 0 q1 + 1 δ1 = = = = 1 q1 + 0 q1 Q0 + Q−1 Q1

δ0 =

(ïîëàãàåì

P0 = q0 , Q0 = 1)

q2 P1 + P0 P2 = q2 Q1 + Q0 Q2 ························ Ps qs Ps−1 + Ps−2 = δs = qs Qs−1 + Qs−2 Qs δ2 =

Ñòàíîâÿòñÿ î÷åâèäíûìè ðåêóðåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ

Pk

è

( Ps = qs Ps−1 + Ps−2 Qs = qs Qs−1 + Qs−2

Ïðèìåð 2.5.

Qk : (2.8)

Ðàññìîòðèì äðîáü èç ïðèìåðà 2.1. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû

ïðèìåðà 2.1 ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäõîäÿùèõ äðîáåé.

s qs Ps Qs

-1

0

1

2

3

1 0

2 1 1 2 1 6 1 4 2 3 5 13 18 121 139 677 1 1 2 5 7 47 54 263

19

4

5

6

7

Òàêèì îáðàçîì

δ0 = 2,

5 δ2 = , 2

δ1 = 3,

δ3 =

13 , 5

δ4 =

18 , 7

δ5 =

121 , 47

δ6 =

139 , 54

677 76501 = 263 29719

δ7 =

Óñòàíîâèì âàæíîå ñâîéñòâî ïîäõîäÿùèõ äðîáåé. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü äâóõ ñîñåäíèõ ïîäõîäÿùèõ äðîáåé. Èìååì

Ps Ps−1 Ps Qs−1 − Ps−1 Qs hs − = = , ãäå Qs Qs−1 Qs Qs−1 Qs Qs−1 hs = Ps Qs−1 − Ps−1 Qs = (qs Ps−1 + Ps−2 )Qs−1 − (qs Qs−1 + Qs−2 )Ps−1 = −(Ps−1 Qs−2 − Ps−2 Qs−1 ) = −hs−1 .

δs − δs−1 =

Òàêèì îáðàçîì

s+1

hs = (−1)

hs = −hs−1 ,

íî

h0 = P0 Q−1 − P−1 Q0 = −1,

. Äîêàçàíà

Ëåììà 2.1.

Ps Ps−1 (−1)s+1 − = Qs Qs−1 Qs Qs−1

Ñëåäñòâèå 2.1. Ps , Qs

(2.9)

Ïîäõîäÿùèå äðîáè íåñîêðàòèìû.

Ps Qs−1 − Ps−1 Qs = (−1)s+1 , Òàêèì îáðàçîì D(Ps , Qs ) = 1.

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê äåëèòåëü

ñëåäîâàòåëüíî

ðàâåí 1.

Ñëåäñòâèå 2.2.

òî ëþáîé îáùèé

Ps Ps−1 =0 lim − s→∞ Qs Qs−1

(2.10)

qi ïîëîæè âñå Qs òàêæå

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1 âñå çâåíüÿ öåïíîé äðîáè òåëüíû (êðîìå, áûòü ìîæåò

q0 ).

Òîãäà èç (2.8) ñëåäóåò, ÷òî

ïîëîæèòåëüíû è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

Qs

âîçðàñòàåò. Èç (2.9) ïîëó÷àåì òðå

áóåìîå.

2.6

Áåñêîíå÷íàÿ öåïíàÿ äðîáü è åå âû÷èñëåíèå

Ïîïðîáóåì òåïåðü ïðåäñòàâèòü â âèäå öåïíîé äðîáè ïðîèçâîëüíîå âåùå ñòâåííîå ÷èñëî. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáè ýòîò ïðîöåññ ñîâïà äàåò ñ (2.2). Ïóñòü

α ∈ R.

Èìååì

α = q 0 + η1 = q 0 +

1 , α1 20

α1 > 1,

q0 = [α]

1 , α2 > 1, q1 = [α1 ] α2 ·············································· 1 , αs−1 > 1, qs−2 = [αs−2 ] αs−2 = qs−2 + ηs−2 = qs−2 + αs−1 αs−1 = qs−1 + ηs−1 α1 = q1 + η2 = q1 +

Èç (2.11) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå

(2.12)

1

q1 +

1

q2 + ··· + α

â íåïðåðûâíóþ äðîáü:

1

α = q0 +

Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè

α

(2.11)

1 qs−1 + ηs−1

íå ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ, òî ïðîöåññ (2.11)

ìîæíî ïðîäîëæàòü áåñêîíå÷íî. Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: 1. ×òî ïîíèìàòü ïîä òàêîé áåñêîíå÷íîé äðîáüþ. 2. Êàê åå ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿòü. Ïðåæäå, ÷åì îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû, ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëå íèå (2.11) íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå

Ïðèìåð 2.6.

Ïóñòü

α=

√

28.

α=5+

1 α1 1

Èìååì

√

28 + 5 1 =3+ α2 28 − 5 √ 3 3 28 + 4 1 α2 = √ = =2+ α3 28 − 4 √ 4 4 28 + 4 1 α3 = √ = =3+ 3 α4 28 − 4 √ 3 1 α4 = √ = 28 + 5 = 10 + α5 28 − 5 α1 = √

Çàìåòèì, ÷òî

α5 = α1

=

è ìû âîçâðàùàåìñÿ ê ïåðâîìó óðàâíåíèþ. Ïðîöåññ √

çàöèêëèâàåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå

28

â âèäå áåñ

êîíå÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñòðîãîå îáîñíîâàíèå ýòîìó ïðåäñòàâëåíèþ áóäåò äàíî íèæå. 21

Óñòàíîâèì òåïåðü íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàçëîæåíèÿ (2.11).

Òåîðåìà 2.2.

Òî÷íîå çíà÷åíèå ÷èñëà

α∈R

âñåãäà íàõîäèòñÿ ìåæäó ñî

ñåäíèìè ïîäõîäÿùèìè äðîáÿìè, ïðè÷åì îíî áëèæå ê ïîñëåäóþùåé, ÷åì ê ïðåäûäóùåé äðîáè. Äîêàçàòåëüñòâî. Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå ïîäõîäÿùåé äðîáè (2.7) íåòðóä íî ïîêàçàòü, ÷òî â (2.11) Èñêëþ÷åíèåì (â ñëó÷àå,

δs < α ïðè ÷åòíîì s è δs > α ïðè íå÷åòíîì s. êîãäà α - ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è ïðîöåññ (2.11)

ñîîòâåòñòâåííî êîíå÷åí) ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïîñëåäíÿÿ ïîäõîäÿùàÿ äðîáü, êî òîðàÿ ðàâíà ñàìîìó ÷èñëó. Äåéñòâèòåëüíî,

ηs

δs

ïîëó÷àåòñÿ îòáðàñûâàíèåì

â (2.12). Î÷åâèäíî, ÷òî îò òàêîãî îòáðàñûâàíèÿ

 αs−1 óìåíüøèòüñÿ     α s−2 óâåëè÷èòüñÿ  αs−3 óìåíüøèòüñÿ   ················ · · Òàêèì îáðàçîì

α

ïðè íå÷åòíîì èíäåêñå

s

óìåíüøàåòñÿ, à ïðè ÷åòíîì óâå

ëè÷èâàåòñÿ. À ýòî è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ó÷èòûâàÿ òåîðåìó 2.2 è ñâîéñòâî (2.9) ïîëó÷àåì

Ñëåäñòâèå 2.3. |a − δs | 6

Çàìå÷àíèå 2.5. îíàëüíàÿ äðîáü, à

1 Qs Qs+1

Ðàâåíñòâî â (2.13) äîñòèãàåòñÿ òîëüêî êîãäà

δs

(2.13)

α

- ðàöè

- ïîñëåäíÿÿ ïîäõîäÿùàÿ äðîáü.

Ïåðåéäåì ê ôîðìàëüíîìó îïðåäåëåíèþ áåñêîíå÷íîé öåïíîé äðîáè. Ðàçî áüåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäõîäÿùèõ äðîáåé íà äâå ïîäïîñëåäîâàòåëüíî ñòè ñ ÷åòíûìè è íå÷åòíûìè íîìåðàìè. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïîñëåäîâà òåëüíîñòü çíàìåíàòåëåé

{Qk }

âîçðàñòàåò. Ïðèìåíÿÿ (2.9) èìååì:

P2m P2m−1 1 P2m P2m+1 1 − = > − = > Q2m Q2m−1 Q2m Q2m−1 Q2m Q2m+1 Q2m Q2m+1 P2m+2 P2m+1 1 − = >0 Q2m+2 Q2m+1 Q2m+2 Q2m+1 Èç ïîñëåäíåé öåïî÷êè ðàâåíñòâ ïîëó÷àåì:

P2m−1 P2m+1 < , Q2m−1 Q2m+1 22

P2m P2m+2 > Q2m Q2m+2

 Òàêèì îáðàçîì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü

P2m+1 Q2m+1

 âîçðàñòàåò è ïî (2.9) îãðà

δ 2 ), ñëåäîâàòåëüíî èìååò ïðåäåë. Àíàëîãè÷íî ïîä P2m óáûâàåò è îãðàíè÷åíà ñíèçó (íàïðèìåð 0), ñëå Q2m

íè÷åíà ñâåðõó (íàïðèìåð

 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

äîâàòåëüíî òàêæå èìååò ïðåäåë. Â ñèëó (2.10) ýòè ïðåäåëû ñîâïàäàþò.

Îïðåäåëåíèå 2.2.

Áåñêîíå÷íîé öåïíîé äðîáüþ áóäåì íàçûâàòü ïðåäåë

ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîäõîäÿùèõ äðîáåé. Ïåðåéäåì ê âîïðîñó âû÷èñëåíèÿ áåñêîíå÷íîé öåïíîé äðîáè.

Óòâåðæäåíèå 2.2.

Áåñêîíå÷íóþ öåïíóþ äðîáü ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ëþ

áîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè

ε.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (2.13) è âîçðàñòàíèå ïîñëåäîâà òåëüíîñòè

{Qk }

ïîëó÷àåì îöåíêó

|α − δm | <

1 <ε Q2m

(2.14)

Òàêèì îáðàçîì äëÿ äîñòèæåíèÿ íóæíîé òî÷íîñòè âû÷èñëÿåì ïîäõîäÿùèå äðîáè

{δm },

äî òåõ ïîð ïîêà

Ïðèìåð 2.7.

Q2m 6

1 ε

Âåðíåìñÿ ê âû÷èñëåíèþ

√

28.

 ïðèìåðå 2.6 áûëà ïîëó÷åíà

ñëåäóþùàÿ áåñêîíå÷íàÿ öåïíàÿ äðîáü:

√

def

28 = (5, 3, 2, 3, 10, 3, 2, 3, 10, . . . , 3, 2, 3, 10, . . .) = (5, (3, 2, 3, 10)) √ Âû÷èñëèì 28 ñ òî÷íîñòüþ äî ε = 10−4 . Èñïîëüçóÿ (2.8) ïîëó÷àåì

ïî

ñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäõîäÿùèõ äðîáåé.

s 0 1 2 3 4 5 6 qs 5 3 2 3 10 3 2 Ps 1 5 16 37 127 1307 4048 9403 Qs 0 1 3 7 24 247 765 1777 Âî âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäèì êîíòðîëü òî÷íîñòè ïî çíàìåíàòåëþ. 1.

P1 16 = = 5, 3(3), Q1 3

òî÷íîñòü

1 = 0, 1(1) 32

- ãàðàíòèðîâàíà îäíà çíà

÷àùàÿ öèôðà. 2.

P2 37 = = 5, 2857 . . . , Q2 7

òî÷íîñòü

öèôðû ãàðàíòèðîâàíû. 23

1 = 0, 02048 . . . 72

- äâå çíà÷àùèå

3.

127 P3 = = 5, 2916(6), Q3 24

òî÷íîñòü

1 = 0, 0017 . . . 242

- òðè çíà÷àùèå

öèôðû ãàðàíòèðîâàíû. ( äàííîì ñëó÷àå ðåàëüíî ïîëó÷àåì ÷åòûðå, òàê êàê îöåíêà (2.14) äîñòàòî÷íî ãðóáàÿ). 4.

P4 1307 = = 5, 2911500 . . . , Q4 247

òî÷íîñòü

1 = 0, 000016 . . . 2472

- ïîëó÷à

åì ïÿòü çíà÷àùèõ öèôð(à ðåàëüíî øåñòü). Äîñòèãíóòà íóæíàÿ îöåíêà. Îñòàíàâëèâàåì ïðîöåññ âû÷èñëåíèé. √

28 ' 5, 2911500.

2.7

Íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ

Îïðåäåëåíèå 2.3. ëó

Äðîáü

a b

íàçûâàåòñÿ íàèëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì ê ÷èñ

α, åñëè íå ñóùåñòâóåò äðîáè

x , ó êîòîðîé 0 < y 6 b è α − y

x < α− y

a . b

Çàìå÷àíèå 2.6. Çíàìåíàòåëè äðîáåé, íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ñ÷èòàåì ïî ëîæèòåëüíûìè.

Çàìå÷àíèå 2.7. Íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ åäèí ñòâåííûì. Ó èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà íàèëó÷øèõ ïðèáëèæåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî.

Ïðèìåð 2.8.

Ïóñòü

α =

6 , 17

òîãäà

1 1 4 5 , , , 2 3 11 14

ÿâëÿþòñÿ íàè

ëó÷øèìè ïðèáëèæåíèÿìè, ïðè÷åì äðóãèõ íåò.

Òåîðåìà 2.3. Ðàññìîòðèì ïðîìåæóòîê



 a c ; b d

îáëàäàþùèé ñâîéñòâîì

c a 1 − = . Òîãäà, çíàìåíàòåëè âñåõ ðàöèîíàëüíûõ d b ab ÷èñåë, ëåæàùèõ âíóòðè ïðîìåæóòêà, áîëüøå çíàìåíàòåëåé åãî êîíöîâ,   x a c ò.å. åñëè ∈ ; , òî y > b è y > d. y b d bc − ad = 1

ò.å.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü

x a xb − ay − = > y b by x a c ñòîðîíû, − < − y b d

x a − > 0 y b

:

1 , ò. ê. xb − ay - áîëüøåå íóëÿ öåëîå. Ñ äðóãîé by a bc − ad 1 1 1 − = = . Îòñþäà > , ñëåäîâàòåëüíî y > d. b bd bd bd by äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî y > b. 24

Àíàëîãè÷íî

Ñëåäñòâèå 2.4. Òà èç äâóõ ãðàíèö x , y

a b

è

c , d

êîòîðàÿ ëåæèò áëèæå ê ÷èñëó

ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì ê íåìó.

Ñëåäñòâèå 2.5. Âñå ïîäõîäÿùèå äðîáè äëÿ ðàçëîæåíèÿ ÷èñëà α â öåïíóþ (íåïðåðûâíóþ) äðîáü, íà÷èíàÿ ñî âòîðîé, ÿâëÿþòñÿ íàèëó÷øèìè ïðèáëè æåíèÿìè ê

α.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäõîäÿùèõ äðîáåé ê

α:

Pn Pn+1 P 0 P1 , ,... , , ,.... Q0 Q1 Qn Qn+1

Òàê êàê

Pn+1 Qn −Pn Qn+1 = (−1)n , òî ëþáûå äâå ïîäõîäÿùèå äðîáè, âçÿòûå

â íóæíîì ïîðÿäêå, îáëàäàþò ñâîéñòâàìè êîíöîâ ïðîìåæóòêà, îïèñàííîãî

α âñåãäà íàõîäèòñÿ ìåæäó ïî ñëåäîâàòåëüíûìè ïîäõîäÿùèìè äðîáÿìè. Ïîýòîìó áëèæàéøàÿ ê α ãðàíèöà

â òåîðåìå. Ïî ñâîéñòâàì ïîäõîäÿùèõ äðîáåé

ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì. Ïî ñâîéñòâàì ïîäõîäÿùèõ äðîáåé ýòî âñåãäà äðîáü ñ áîëüøèì íîìåðîì. Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.

Óïðàæíåíèå 2.1. 2.8

Íàéäèòå òðè íàèëó÷øèõ ïðèáëèæåíèÿ ê

π.

Äèîôàíòîâû óðàâíåíèÿ

Îïðåäåëåíèå 2.4.

Ïóñòü

a, b, c, x, y ∈ Z.

ax + by = c,

ãäå

Óðàâíåíèå âèäà

x, y −

íåèçâåñòíûå

(2.15)

íàçûâàåòñÿ äèîôàíòîâûì. Óñòàíîâèì êðèòåðèé ðàçðåøèìîñòè äèîôàíòîâîãî óðàâíåíèÿ. Ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 2.4.

d = D(a, b). Óðàâíåíèå (2.15) ðàçðåøèìî òîãäà è c k d. Ïðè ýòîì âñå ìíîæåñòâî ðåøåíèé îïèñûâà

Ïóñòü

òîëüêî òîãäà, êîãäà åòñÿ óðàâíåíèÿìè:

b a t, y = y0 + t d d ðåøåíèå (2.15), à t - ïðîèçâîëüíîå

x = x0 − ãäå

x 0 , y0

- ëþáîå ÷àñòíîå

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê

d = D(a, b),

(2.16)

öåëîå ÷èñëî.

òî ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2.15)

d. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ðàçðåøèìîñòè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû è ïðàâàÿ ÷àñòü äåëèëàñòü íà d. Ïóñòü c = de. Êàê áûëî ïîêàçàíî â óòâåðæäåíèè 2.1 óðàâíåíèå ax + by = d âñåãäà èìååò ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì

äåëèòñÿ íà

25

åãî ÷åðåç

x 1 , y1 .

x0 = x1 e, y0 = y1 e

Òîãäà

- ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.

Íàéäåì òåïåðü îáùèé âèä ðåøåíèÿ. Ïóñòü

x, y

- ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå

(2.15). Ïîêàæåì, ÷òî îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå (2.16). Èìååì

a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0,

òîãäà

a b (x − x0 ) = − (y − y0 ) d d



 a b , = 1. Òîãäà ñîãëàñíî óïðàæíåíèþ 1.1 (y − Ñîãëàñíî òåîðåìå 1.3 D d d a a − y0 ) k , ñëåäîâàòåëüíî y = y0 + t. Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåíîå çíà÷åíèå y d d b â óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì x = x0 − t. Òàêèì îáðàçîì, åñëè x, y ðåøåíèå d (2.15), òî îíî èìååò âèä (2.16). Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ïðîâåðÿååòñÿ íåïî ñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé. Òåîðåìà äîêàçàíà.

Ñëåäñòâèå 2.6. 1.Åñëè

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ

D(a, b) = 1,

òî óðàâíåíèå (2.15) âñåãäà ðàçðåøèìî.

2.Ïðè ýòîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé

ax+by = 1 è a|x|+b|y| = 1 îòëè÷àþòñÿ

òîëüêî çíàêàìè.

x, y - ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ a|x| + b|y| = 1.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïóñòü óðàâíåíèÿ

ax + by = 1,

à

x 1 , y1

ñîîòâåòñòâåííî

Òîãäà âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñèòóàöèè: 1.

a > 0, b > 0,

òîãäà

x = x1 , y = y1

2.

a < 0, b < 0,

òîãäà

x = −x1 , y = −y1

3.

a > 0, b < 0,

òîãäà

x = x1 , y = −y1

4.

a < 0, b > 0,

òîãäà

x = −x1 , y = y1

Îïèøåì òåïåðü àëãîðèòì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.15). Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî

|a| > |b|.

Øàã 1: Íàõîäèì

Èìååì

def

d = D(a, b). Åñëè c íå äåëèòñÿ íà d, òî óðàâíåíèå íå èìååò

ðåøåíèé.

Øàã 2: Ïðèâîäèì óðàâíåíèå (2.15) ê âèäó

b1 =

b c , c1 = . d d

Ïðè ýòîì

a1 x + b 1 y = c 1 ,

D(a1 , b1 ) = 1. 26

ãäå

a1 =

a , d

|a1 |x + |b1 |y = 1 ýòî x ˜1 , y˜1

Øàã 3: Íàõîäèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íûå ñîîòíîøåíèÿ (2.3). Ïóñòü

èñïîëüçóÿ ðåêóðåíò

Øàã 4: Èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå 2.6 îïðåäåëÿåì çíàêè äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ

a1 x + b1 y = 1.

x1 , y1 . Òîãäà ÷àñòíîå ðåøåíèå = x1 c1 , y0 = y1 c1 . Ïîäñòàâëÿÿ â

Îáîçíà÷èì ðåøåíèå êàê

èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä:

x0

(2.16) ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå.

Ïðèìåð 2.9. 1.

Ðåøèòü óðàâíåíèå

D(126, 102) = 3.

126x − 102y = 18.

Èìååì:

Óðàíåíèå ðàçðåøèìî.

2. Ïðèâîäèì èñõîäíîå óðàâíåíèå ê âèäó: 3. Ðåøàåì óðàâíåíèå Åâêëèäà (2.2) äëÿ ÷àåì

21x − 17y = 3.

21x + 17y = 1. Èñïîëüçóÿ êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì 21 , à çàòåì ðåêóðåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (2.3), ïîëó 17

s 0 1 2 3 qs 1 4 1 ys 0 1 4 5 4. Òîãäà

x˜1 = 4, y˜1 = 5.

21(−4) − 17(−5) = 1. Ïîëó÷àåì x0 = −4 · 3 = −12, y0 = −5 · 3 = −15. Îáùåå ðåøåíèå

5. Îïðåäåëåì çíàêè:

x = −12 + 17t,

y = −15 + 21t,

t∈Z

Òåîðåìó 2.4 ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ñïðàâåä ëèâà

Òåîðåìà 2.5.

a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = c c k D(a1 , a2 , . . . , an ).

Óðàâíåíèå

òîëüêî òîãäà, êîãäà

ðàçðåøèìî, òîãäà è

d = D(a1 , a2 , . . . , an ). Òàê êàê a1 , a2 , · · · , an k d, òî è a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn k d. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè c íå äåëèòñÿ íà d, òî ðåøåíèé íåò. Ïóñòü c = de. Äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî óðàâíåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = D(a1 , a2 , . . . , an ) âñåãäà ðàçðåøèìî. Áàçà èíäóêöèè (ïðè

n = 2)

âûòåêàåò èç òåîðåìû 2.4.

Ïðåäïîëîæèì ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ýòîò ôàêò äëÿ

n + 1.

(2.17)

n

è äîêàæåì

Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå:

a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un + an+1 un+1 = D(a1 , a2 , . . . , an , an+1 ) 27

ïðè ýòîì ñîãëàñíî òåîðåìå 1.4

D(a1 , a2 , . . . , an , an+1 ) = D(D(a1 , a2 , . . . , an ), an+1 ) = D(d, an+1 ) Îáîçíà÷èì

def

δ = D(d, an+1 ).

Òîãäà, ïî òåîðåìå 2.4 óðàâíåíèå

dy + an+1 un+1 = δ ðàçðåøèìî. Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî

δ → a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + an x n

ïîëó÷àåì

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

a1 (x1 y) + a2 (x2 y) + · · · + an (xn y) + an+1 un+1 = δ Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä äîêàçàí. Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå (2.17) ðàçðå

n. Âñïîìèíàÿ, ÷òî c = de ïîëó÷àåì a1 (x1 e) + a2 (x2 e) + · · · + an (xn e) = c

øèìî äëÿ âñåõ óðàâíåíèÿ

ðåøåíèå èñõîäíîãî

3 Ñðàâíåíèÿ 3.1

Êëàññû âû÷åòîâ è ìîäóëüíàÿ àðèôìåòèêà

Îïðåäåëåíèå 3.1. b ïî ìîäóëþ (a − b) k m.

íèìî ñ

Òåîðåìà 3.1. 1. 2. 3.

a, b, m ∈ Z, m > 0. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî a ñðàâ m ( = a ≡ b mod m, èëè ñîêðàùåííî a ≡ b (m)), åñëè Ïóñòü

def

Äëÿ îòíîøåíèÿ ñðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâî:

a ≡ b (m), òîãäà b ≡ a (m) (ñèììåòðè÷íîñòü) a ≡ b (m), b ≡ c (m), òîãäà a ≡ c (m) (òðàíçèòèâíîñòü) a ≡ a (m) (ðåôëåêñèâíîñòü)

Çàìå÷àíèå 3.1. Èçâåñòíûå íàì áèíàðíûå îíîøåíèÿ (>, <, 6, >, k) òàêè ìè ñâîéñòâàìè íå îáëàäàþò.

Îïðåäåëåíèå 3.2.

Êëàññîì âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ

m

æåñòâî ÷èñåë ñ îäèíàêîâûì îñòàòêîì ïðè äåëåíèè íà

Òåîðåìà 3.2. äóëÿ íà

m

Âñå ÷èñëà èç

Z

áóäåì íàçûâàòü ìíî

m.

ðàñïðåäåëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíî äàííîãî ìî

íåïåðåñåêàþùèõñÿ êëàññîâ âû÷åòîâ ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâà

ìè: a) Âñå ÷èñëà îäíîãî êëàññà ñðàâíèìû äðóã ñ äðóãîì ïî ìîäóëþ b) ×èñëà èç ðàçíûõ êëàññîâ äðóã ñ äðóãîì íå ñðàâíèìû.

28

m.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

0 6 r < m.

a ∈ Z.

Òîãäà ïî òåîðåìå 1.1

Î÷åâèäíî, ÷òî êëàññîâ âû÷åòîâ ðîâíî

m

a = mq + r, è âñå ÷èñëà èç îäíîãî

êëàññà ñðàâíèìû äðóã ñ äðóãîì. Âîçüìåì ÷èñëà èç ðàçíûõ êëàññîâ:

a≡

≡ r (m), b ≡ r1 (m), r 6= r1 . Òîãäà a 6 ≡b (m). Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü (a−b) k m, íî a = qm+r, b = q1 m+r1 , òîãäà (r −r1 ) k m, ñëåäîâàòåëüíî r = r1 .

Îïðåäåëåíèå 3.3. Åñëè âçÿòü ïî îäíîìó ïðåäñòàâèòåëþ èç êàæäîãî êëàñ ñà âû÷åòîâ, òî ýòè

m ÷èñåë îáðàçóþò ïîëíóþ

ñèñòåìó âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ

m.

Ïðèìåð 3.1.

Ïðîñòåéøèå ïîëíûå ñèñòåìû âû÷åòîâ:

1.

{0, 1, 2, · · · , m − 1}

2.

{0, −1, −2, · · · , −(m − 1)}

- íàèìåíüøèå ïîëîæèòåëüíûå âû÷åòû,

3. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî 4. Åñëè

D(a, m) = 1,

Òåîðåìà 3.3.

- íàèìåíüøèå îòðèöàòåëüíûå âû÷åòû,

a ∈ Z {a, a + 1, a + 2, · · · , a + (m − 1)}

òî

{0, a, 2a, · · · , (m − 1)a}.

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñðàâíåíèé:

1.

a ≡ b (m), m k k,

2.

a ≡ b (k1 ), a ≡ b (k2 ), · · · , a ≡ b (kn )

3.

a ≡ b (m),

òîãäà

òîãäà

a ≡ b (k). òîãäà

a ≡ b (M (k1 , k2 , · · · , kn ))

ac ≡ bc (mc)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñâîéñòâî 1 î÷åâèäíî èç îïðåäåëåíèÿ. Ñâîéñòâî 2 ñëåäó åò èç òîãî, ÷òî

(a − b) îáùåå êðàòíîå ÷èñåë k1 , k2 , · · · , kn . À ëþáîå êðàòíîå

äåëèòñÿ íà íàèìåíüøåå (ñì.ðàçäåë 1.2). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà 3 çà ìåòèì, ÷òî

ac − bc a − b = . mc m

Ñëåäñòâèå 3.1. a ≡ b (m),

òîãäà

ac ≡ bc (m)

Òåîðåìà 3.4 (Àðèôìåòèêà ñðàâíåíèé).

Ñðàâíåíèÿ ïî îäíîìó ìîäóëþ

ìîæíî ïî÷ëåííî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü è ïåðåìíîæàòü. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

a ≡ b (m), a1 ≡ b1 (m).

((a−b)+(a1 −b1 )) = ((a+a1 )−(b+b1 )) k m, Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê

a ≡ b (m),

ñëåäîâàòåëüíî

a+a1 ≡b+b1

(m)

−a ≡ −b (m). Ïî a − a1 ≡ b − b1 (m). Äàëåå,

ïî ñëåäñòâèþ 3.1

âòîðÿÿ ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷àåì 29

Òîãäà

èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå 3.1 äëÿ ñðàâíåíèÿ

a ≡ b (m), ïîëó÷àåì aa1 ≡ ba1 (m), ïðèìåíÿÿ ýòî æå ñëåäñòâèå äëÿ ñðàâíå íèÿ a1 ≡ b1 (m), èìååì ba1 ≡ bb1 (m). Òîãäà ïî òðàíçèòèâíîñòè ñðàâíåíèé (òåîðåìà 3.1) aa1 ≡ bb1 (m). Òåîðåìà äîêàçàíà.

Ñëåäñòâèå 3.2.

Óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3.4 ìîæíî îáîáùèòü íà ëþáîå n n êîíå÷íîå ÷èñëî ñðàâíåíèé.  ÷àñòíîñòè, åñëè a ≡ b (m), òî a ≡ b (m)

∀n ∈ Z, n > 0 Òåîðåìà 3.4 îïðåäåëÿåò äåéñòâèÿ íàä êëàññàìè âû÷åòîâ ïî äàííîìó ìîäóëþ

m. Åñëè a ∈ A, b ∈ B , òîãäà A + B - êëàññ âû÷åòîâ, ê êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò a + b, à AB - ýòî êëàññ, ê êîòîðîìó ïðîèíàäëåæèò ab. Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 3.5.

def

( = Z/(m))

Ìíîæåñòâî êëàññîâ âû÷åòîâ

ÿâëÿåòñÿ êîììó

òàòèâíûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé

Çàìå÷àíèå 3.2.

Åñëè ìîäóëü

m

íå ÿâëåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì, òî

íå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

p1 , p2 < m.

m = p1 p2 ,

ãäå

Z/(m) p 1 , p2 > 1 è

Òîãäà ñïðàâåäëèâî



(p1 + 1)p2 = p2 1 · p2 = p2

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ñîñòàâíîì ìîäóëå

Z/(m)

íå ÿâëÿåòñÿ öåëîñò

íûì êîëüöîì (åñòü äåëèòåëè íóëÿ), îäíàêî, êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå (ñìîòðè çàìå÷àíèå 3.6), äëÿ ïðîñòûõ ìîäóëåé

Z/(m)

èçîìîðôíî

GF(m)

- ïîëþ Ãàëóà.

Ïðèìåð 3.2. Êýëè) äëÿ

Ðàññìîòèì òàáëèöû àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé (òàáëèöû

Z/(6). + 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

Èìååì

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

∗ 0 1 2 3 4 5

5 5 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

Z/(6) èìåþòñÿ äåëèòåëè íóëÿ. Äåéñòâèòåëüíî: 2 · 3 = 0, 3 · 4 = 0. Äëÿ ýëåìåíòîâ {2, 3, 4} íåò îáðàòíûõ.

Â

Çàìå÷àíèå 3.3.

Êàê ëåãîêî çàìåòèòü èç ïîñëåäíåãî ïðèìåðà, òàáëèöà

Êýëè ïî ñëîæåíèþ â

Z/(6)

ÿâëÿåòñÿ ëåâîöèðêóëÿðíîé ìàòðèöåé. Ýòîò

ôàêò íåòðóäíî äîêàçàòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìîäóëÿ. 30

Ïåðåéäåì òåïåðü ê äåëåíèþ ñðàâíåíèé. Ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 3.6.

Ïóñòü

ac ≡ bc (m), D(c, m) = d,

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

x = c1 d, m = m1 d,

òîãäà

òîãäà

  m a≡b d

ac − bc = lm,

òàêèì

îáðàçîì

ac − bc (a − b)c1 = m m1 ñëåäîâàòåëüíî (a − b)c1 k m1 , íî (c1 , m1 ) = 1, òåì   m . ÷òî òîæå ñàìîå a ≡ b d l=

Ñëåäñòâèå 3.3.

ñàìûì

(a − b) k m1

èëè,

Ðàññìîòðèì äâà âàæíûõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ òåîðå-

ìû 3.6. 1. Åñëè

m k c,

2. Åñëè

D(m, c) = 1,

òîãäà èç

ac ≡ bc (m)

òîãäà èç

ñëåäóåò

ac ≡ bc (m)

  m . a≡b c

ñëåäóåò

a ≡ b (m).

Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ýòîì ðàçäåëå ìîæíî îáîáùèòü â ñëåäóþùåì âè äå:

Òåîðåìà 3.7. Ïóñòü F (a, b, . . .) - ïðîèçâîëüíàÿ öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíê a, b, . . . ∈ Z, òî åñòü X F (a, b, . . .) = Ck aαk bβk · · · ,

öèÿ îò

ãäå

Ck , αk , βk , . . . ∈ Z, αk , βk , . . . > 0

k Åñëè

a ≡ a1 (m), b ≡ b1 (m), . . . ,

òî

F (a, b, . . .) ≡ F (a1 , b1 , . . .)(m)

 êà÷åñòâå ïðîñòåéøåãî ïðèëîæåíèÿ òåîðåìû äîêàæåì

Óòâåðæäåíèå 3.1. äóëþ

Êâàäðàò âñÿêîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà ñðàâíèì ñ

1

ïî ìî

8.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîå íå÷åòíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòà âèòü â âèäå

4k ± 1.

Òîãäà

(4k ± 1)2 = 16k 2 ± 8k + 1 ≡ 1

31

mod 8

3.2

Ôóíêöèÿ Ýéëåðà è åå ñâîéñòâà

Îïðåäåëåíèå 3.4.

def

Ôóíöèÿ Ýéëåðà ( =

m êîëè÷åñòâî ϕ(1) = 1.

äîìó íàòóðàëüíîìó

m.

Áóäåì ïîëàãàòü

ϕ(m))

ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæ

÷èñåë ìåíüøèõ

m

è âçàèìíîïðîñòûõ ñ

Âû÷èñëÿòü ôóíêöèþ Ýéëåðà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàòðóäíèòåëüíî. Âûâå äåì îáùóþ ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî àðãóìåíòà.

Ëåììà 3.1.

Ïóñòü

m = pn ,

ãäå

p

- ïðîñòîå ÷èñëî. Òîãäà

ϕ(m) = p

n



1 1− p



(0, pn ) íà p äåëÿòñÿ òîëüêî ÷èñëà êðàòíûå n−1 âñåãî p − 1. Îñòàëüíûå ÷èñëà èç äàííîãî

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç èíòåðâàëà n

p.

Ýòî

p, 2p, 3p, · · · , p − p.

Èõ

èíòåðâàëà âçàèìíî ïðîñòû ñ

n

p.

Ïîýòîìó

n

ϕ(m) = ϕ(p ) = p − 1 − (p

n−1

− 1) = p

n



1 1− p



Äëÿ äàëüíåéøåãî íàì ïîòðåáóåòñÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ

Òåîðåìà 3.8. Ïóñòü x ïðîáåãàåò ïîëíóþ ñèñòåìó âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ a, à

y

ñîîòâåòñòâåííî ïî ìîäóëþ

1.

z = ay + bx

2.

D(z, ab) = 1

b.

Ïðè ýòîì

D(a, b) = 1.

Òîãäà

ïðîáåãàåò ïîëíóþ ñèñòåìó âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

ab.

D(x, a) = 1, D(y, b) = 1.

x ïðèíèìàåò a çíà÷åíèé, y - b çíà÷åíèé, ñëåäîâàòåëüíî z ïðèíèìàåò ab çíà÷åíèé. Ïîêàæåì, ÷òî íèêàêèå äâà çíà÷åíèÿ z íå ñðàâíèìû äðóã ñ äðóãîì ïî ìîäóëþ ab. Ïóñòü

Äîêàçàòåëüñòâî.

z1 = ay1 + bx1 , z2 = ay2 + bx2

è

ay1 + bx1 ≡ ay2 + bx2 mod ab

òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 3.3

ay1 + bx1 ≡ ay2 + bx2 mod a, ay1 + bx1 ≡ ay2 + bx2 mod b D(a, b) = 1) èìååì x1 ≡ x1 (a) è y1 ≡ y2 (b). Íî x1 , x2 èç ïîëíîé ñèñòåìû âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ a, à y1 , y2 èç ïîëíîé ñèñòåìû âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ b. Ñëåäîâàòåëüíî x1 = x2 , y1 = y2 , z1 = z2 . Òàêèì îáðàçîì ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû äîêàçàíà. Ïóñòü D(z, ab) = 1, òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî D(ay +bx, a) = 1, D(ay +bx, b) = 1. Ñëåäîâàòåëüíî z−ay = bx âçàèìíî ïðîñòî ñ a, à z−bx = ay âçàèìíî ïðîñòî ñ b. Òàê êàê D(a, b) = 1, òî D(a, x) = 1, D(b, y) = 1. Ïîâòîðèâ ïîñëåäíèå

Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 2 ê òåîðåìå 3.6 (òàê êàê

ðàññóæäåíèÿ â îáðàòíóþ ñòîðîíó, ïîëó÷àåì äîñòàòî÷íîñòü ïóíêòà 2. 32

Ñëåäñòâèå 3.4. D(a, b) = 1,

òîãäà

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)

(3.1)

a ñóùåñòâóåò ϕ(a) çíà÷åíèé x òàêèõ, ÷òî D(a, x) = 1. Àíàëîãè÷íî äëÿ ìîäóëÿ b ïîëó÷àåì ϕ(b) çíà÷åíèé y òàêèõ, ÷òî D(b, y) = 1. Ñëåäîâàòåëüíî âñåãî èìååòñÿ ϕ(a)ϕ(b) çíà÷åíèé z âçàèìíî ïðîñòûõ ñ ab. Íî çíà÷åíèÿ z îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ ab è ÷èñåë âçàèìíî ïðîñòûõ ñ ab â íåé ϕ(ab). Äîêàçàòåëüñòâî.  ïîëíîé ñèñòåìå âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ

Çàìå÷àíèå 3.4.

Ðàâåíñòâî (3.1) ëåãêî îáîáùèòü íà ñëó÷àé íåñêîëüêèõ

ïîïàðíî âçàìíî ïðîñòûõ ñîìíîæèòåëåé.

Ñëåäñòâèå 3.5.

Ïóñòü

m = pα q β · · · ,

m ∈ Z.

ãäå

Ñîãëàñíî (1.2)

p, q, . . . −

m

ïðåäñòàâèìî â âèäå

ïðîñòûå ÷èñëà,

α, β, . . . > 1.

Òîãäà



1 ϕ(m) = pα−1 (p − 1)q β−1 (q − 1) · · · = m 1 − p Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê

  1 1− ··· q

(3.2)

pα , q β , . . . ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòû, òî ïðèìåíÿÿ

ïîñëåäîâàòåëüíî ïðåäûäóùåå ñëåäñòâèå è ëåììó 3.1 ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.

Ðàññìîòðèì âàæíîå ïðèìåíåíèå ôîðìóëû (3.2)

Òåîðåìà 3.9 (Ôîðìóëà Ãàóññà). Ïóñòü d ïðîáåãàåò âñå äåëèòåëè ÷èñëà m.

Òîãäà

m=

X

ϕ(d)

d Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äåëèòåëÿ

d

m

ïðåäñòàâèìî â âèäå (1.2). Òîãäà äëÿ ëþáîãî

ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå

d = pχ q λ · · · ,

ãäå

0 6 χ 6 α, 0 6 λ 6 β, . . .

Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå

[1 + ϕ(p) + ϕ(p2 ) + · · · + ϕ(pα )][1 + ϕ(q) + ϕ(q 2 ) + · · · + ϕ(q β )] · · · Ïåðåìíîæàÿ âñå ñêîáêè èìååì

X

ϕ(pχ )ϕ(q λ ) · · · =

χ,λ ...

X χ,λ ...

ϕ(pχ q λ · · · ) =

X

ϕ(d)

d

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî ëåììå 3.1 êàæäóþ ñêîáêó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

1 + ϕ(p) + ϕ(p2 ) + · · · + ϕ(pα ) = 1 + (p − 1) + (p2 − p) + · · · + (pα − pα−1 ) = pα Ïåðåìíîæàÿ, ïîëó÷àåì

pα q β · · · = m.

Òåîðåìà äîêàçàíà.

33

Óñòàíîâèì åùå îäíî ñâîéñòâî ôóíêöèè Ýéëåðà.

Òåîðåìà 3.10 (Ýéëåðà-Ôåðìà). Ïóñòü

D(a, m) = 1,

òîãäà

aϕ(m) ≡ 1

(m)

def

D(a, m) = 1, ϕ(m) = µ. Òîãäà êëàññîâ âû÷åòîâ âçàèìíî ïðîñòûõ ñ m áóäåò µ. Ïóñòü {a1 , a2 , . . . aµ } - ïðåäñòàâèòåëè ýòèõ êëàññîâ. Òîãäà {aa1 , aa2 , . . . aaµ } òàêæå âçàèìíî ïðîñòû ñ m. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî aai ≡ aaj (m), òîãäà ai ≡ aj (m). Ñëåäîâàòåëüíî ÷èñëà aai òàêæå ïðåä ñòàâèòåëè âñåõ êëàññîâ âû÷åòîâ, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ m. Òîãäà êàæäîå aai ñðàâíèìî ñ îäíèì è òîëüêî îäíèì ak , òî åñòü Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

aa1 ≡ aα

(m), aa2 ≡ aβ

(m) . . . , aaµ ≡ aθ

(m)

ãäå

1 6 α, β, θ 6 µ.

µ ñðàâíåíèé, èìååì a1 a2 · · · aµ aµ ≡ aα aβ · · · aθ (m). Çàìåòèì, ÷òî aα , aβ , · · · , aθ ýòî òå æå ÷èñëà, ÷òî è a1 , a2 , · · · , aµ , òîëüêî â äðóãîì ïîðÿäêå. Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ (â ñèëó D(ai , m) = 1) ïîëó÷àåì íóæíîå

Ïåðåìíîæàÿ ïîñëåäíèå

ñðàâíåíèå.

Ñëåäñòâèå 3.6 ("Ìàëàÿ"òåîðåìà Ôåðìà).

Åñëè

p

- ïðîñòîå, òî

p

a ≡ a (p)

Çàìå÷àíèå 3.5.

Ýòîò ÷àñòíûé ñëó÷àé óñòàíîâèë Ôåðìà â XVII âåêå, à

ïîëíîñòüþ òåîðåìà 3.10 áûëà äîêàçàíà Ýéëåðîì.

3.3

Ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ýéëåðà â êðèïòîãðàôèè. Ñè ñòåìà øèôðîâàíèÿ RSA.

Ðàçâèòèå òåëåêîììóíèêàöèé ïðèâåëî ê ïîâûøåíèþ ðîëè àëãîðèòìîâ øèôðîâêè èíôîðìàöèè, è ðàçâèòèþ íîâîãî íàïðàâëåíèÿ â êðèïòîãðàôèè íàóêå î ñïîñîáàõ ïðåîáðàçîâàíèÿ (øèôðîâàíèÿ) èíôîðìàöèè ñ öåëüþ åå çà ùèòû îò íåçàêîííûõ ïîëüçîâàòåëåé. Öåíòðàëüíûì ïîíÿòèåì ýòîãî íàïðàâ ëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå îäíîñòîðîííåé ôóíêöèè.

Îïðåäåëåíèå 3.5. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ îäíîñòîðîííåé, åñëè ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíûé (ïîëèíîìèàëüíûé) àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ åå çíà÷åíèé íî äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ

f (x),

f (x) = a (îáðàùåíèÿ ôóíêöèè f ) ýôôåêòèâíîãî

àëãîðèòìà íå ñóùåñòâóåò. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ïîñòðîåííûå íà ïîíÿòèè îäíîñòîðîííåé ôóíêöèè êðèïòîãðàôè÷åñêèå ñèñòåìû óæå ðàáîòàþò è ïîíÿòèÿ ýëåêòðîííîé ïîäïè ñè è ýëåêòðîííûõ äåíåã âîøëè â ýêîíîìè÷åñêóþ ïðàêòèêó è çàêðåïëåíû çàêîíîäàòåëüíî, ìàòåìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî ýòè ôóíêöèè 34

äåéñòâèòåëüíî îäíîñòîðîííèå, ïîêà íå ïîëó÷åíî. Ïîýòîìó ïîêà íåèçâåñò íî, ñóùåñòâóþò ëè îäíîñòîðîííèå ôóíêöèè. Ýëåêòðîííàÿ ïîäïèñü è ýëåêòðîííûå äåíüãè îñíîâàíû íà òàê íàçûâàå ìîé ôóíêöèè ñ ñåêðåòîì (èëè ëîâóøêîé).

Îïðåäåëåíèå 3.6. Ôóíêöèåé ñ ñåêðåòîì K ñÿùàÿ îò ïàðàìåòðà

K

K ñóùåñòâóåò âû÷èñëåíèÿ fK ; íèÿ

fK , çàâè

è îáëàäàþùàÿ òðåìÿ ñâîéñòâàìè:

1. ïðè ëþáîì

2. ïðè íåèçâåñòíîì

íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ

K

ýôôåêòèâíûé (ïîëèíîìèàëüíûé) àëãîðèòì

íå ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà îáðàùå

fK ;

3. ïðè èçâåñòíîì

K

ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì îáðàùåíèÿ

fK .

Íàèáîëåå èçâåñòíîé è ïîïóëÿðíîé îäíîñòîðîííåé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

f (x) = xe mod m,

ëåæàùàÿ â îñíîâå øèôðà RSA(Rivest, Shamir,

Adleman). Ðàññìîòðèì ýòó ñèñòåìó øèôðîâàíèÿ áîëåå ïîäðîáíî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî øèôðóåìûå ñîîáùåíèÿ ïðåäñòàâëåíû (çàêîäèðîâà íû) äëèííûìè öåëûìè ÷èñëàìè.

f , îñóùåñòâëÿþùàÿ øèôðî e âàíèå, îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì f (x) = x mod m. e Äëÿ äåøèôðîâàíèÿ ñîîáùåíèÿ íóæíî ðåøèòü ñðàâíåíèå x ≡ a (m). Äëÿ âîçâåäåíèÿ x â ñòåïåíü e (â êîëüöå Zm ) åñòü ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì Ïóñòü

m

è

e

íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ôóíêöèÿ

(ñì. âûøå). Äëÿ ðåøåíèÿ æå îáðàòíîé çàäà÷è  íàõîæäåíèÿ ðèòìà ïðåäïîëîæèòåëüíî íåò. Ïîýòîìó,

f

x

ïî

e

è

a

òàêîãî àëãî

îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ.

Îêàçûâàåòñÿ, ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà

m

è

e

ôóíêöèþ

f

ìîæíî èñ

ïîëüçîâàòü êàê ôóíêöèþ ñ ñåêðåòîì. Íàéäåì ýòè óñëîâèÿ. Ïóñòü ÷èñëî

e

âçàèìíî ïðîñòî ñ

ϕ (m),

ϕ

ãäå

 ôóíêöèÿ Ýéëåðà, à

d



ðåøåíèå ñðàâíåíèÿ.

de ≡ 1 (ϕ(m)) èëè de = 1 + kϕ (m) , Òàêîå ÷èñëî

d

d

ñóùåñòâóåò, òàê êàê

ìåíüøå ìîäóëÿ ñðàâíåíèÿ ×èñëî

d

k ∈ Z, 1 6 d < ϕ (m) .

D (e, ϕ (m)) = 1

è åäèíñòâåííî, òàê êàê

ϕ (m).

ìîæåò ñëóæèòü ñåêðåòîì. Äåéñòâèòåëüíî,

d

e d

ed

a = (x ) = x = x òàê êàê ïî òåîðåìå Ýéëåðà

d

ãäå

1+kϕ(m)

h

=x· x

xϕ(m) ≡ 1 (m) .

ϕ(m)

i

≡ x (m) ,

Òàêèì îáðàçîì, çíàíèå ñåêðåòà

ïîçâîëÿåò äåøèôðîâàòü ñîîáùåíèå, òî åñòü íàéòè

35

k

x

ñ ïîìîùüþ òîãî æå

ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà  âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, êîòîðûì îñóùåñòâëÿëîñü øèôðîâàíèå. Àâòîðû øèôðà RSA ïðåäëîæèëè âûáèðàòü ÷èñëî

m

â âèäå ïðîèçâåäå

p è q , ïðèìåðíî îäèíàêîâûõ ïî âåëè÷èíå. Òîãäà ϕ (m) = ϕ (pq) = ϕ (p) · ϕ (q) = (p − 1) (q − 1) è óñëîâèå âçàèì íîé ïðîñòîòû e ñ m ñâîäÿòñÿ ê óñëîâèÿì âçàèìíîé ïðîñòîòû e ñ p − 1 è ñ q − 1.

íèÿ äâóõ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé

Èòàê, ëèöî, çàèíòåðåñîâàííîå â îðãàíèçàöèè øèôðîâàííîé ïåðåïèñêè ñ ïîìîùüþ øèôðà RSA, âûáèðàåò äâà äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïðîñòûõ ÷èñåë

p

q è ïåðåìíîæàåò èõ m = pq . Çàòåì âûáèðàåòñÿ ÷èñëî e, âçàèìíî ïðîñòîå ñ p − 1 è ñ q − 1; âû÷èñëÿåòñÿ ϕ (m) è d. ×èñëà m è e ïóáëèêóþòñÿ, à ÷èñëî d äåðæèòñÿ â ñåêðåòå. Òåïåðü ëþáîé ìîæåò îòïðàâèòü øèôðîâàííîå ñîîáùåíèå ëèöó, îïóáëèêîâàâøåìó m è e, ðàñøèôðîâàòü êîòîðîå ñìîæåò è

òîëüêî ïîñëåäíèé.

Ïðèìåð 3.3. Äëÿ èëëþñòðàöèè ñâîåãî ìåòîäà àâòîðû RSA çàøèôðîâàëè ôðàçó "The magic words are squeeamish ossifrage", ïðåäâàðèòåëüíî çàìåíèâ åå ñèìâîëû íàáîðàìè èç äâóõ äåñÿòè÷íûõ öèôð: 00  ïðîáåë, 01  a, 02  b, . . . , 26  z. Ïðè ýòîì

m

áûëî ðàâíî ÷èñëó . . . , êîòîðîå ïîëó÷èëîñü ïåðåìíîæåíè

åì ïðîñòûõ ÷èñåë, çàïèñûâàåìûõ ñîîòâåòñòâåííî 64 è 65 äåñÿòè÷íûìè çíàêàìè. ×èñëî

e = 9007.

Ýòî ñîîáùåíèå

q

f (x) = ...

æäàëî ñâîåé ðàñøèôðîâêè 17 ëåò. ×èñëà

p

è

îêàçàëèñü ðàâíûìè (ñì. [11] ñ. 90) Äëÿ äåøèôðîâêè ñîîáùåíèÿ ïðèøëîñü èñêàòü ðàçëîæåíèå íà ìíîæè

òåëè 129-çíà÷íîãî äåñÿòè÷íîãî ÷èñëà. Ýòî áûëî íå ïðîñòî, ïîñêîëüêó äëÿ ðàçëîæåíèÿ ÷èñëà íà ìíîæèòåëè äî ñèõ ïîð íå íàéäåíî ýôôåêòèâíî ãî àëãîðèòìà. Âñå èçâåñòíûå àëãîðèòìû, â òîì ÷èñëå è èñïîëüçîâàííûé â ðåøåíèè ìåòîä êâàäðàòè÷íîãî ðåøåòà, îñíîâàíû íà ìåòîäå ïîëíîãî ïå ðåáîðà. Èíòåðåñíî, ÷òî íàõîæäåíèå ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñòàëî, ïî-âèäèìîìó, ïåðâûì ñåðüåçíûì ñåòåâûì ïðîåêòîì.  ðàáîòå, âîçãëàâëÿâøåéñÿ ÷åòûðüìÿ àâòîðàìè ïðîåêòà, è ïðîäîëæàâøåéñÿ 220 äíåé ó÷àñòâîâàëî 660 ÷åëîâåê è 1600 êîìïüþòåðîâ, îáúåäèíåííûõ ñåòüþ Èíòåðíåò.

3.4

Äðóãèå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ RSA.

1. Ýëåêòðîííàÿ ïîäïèñü. Ýëåêòðîííàÿ ïîäïèñü ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïðèâû÷íîé. Åå ñìûñë - òàê çàøèôðîâàòü ïåðåäàâàåìîå ñîîáùåíèå, ÷òîáû ðàñøèôðîâàòü åãî ìîæ 36

íî áûëî òîëüêî ñ ïîìîùüþ îòêðûòîé ÷àñòè êîäà, ïðèíàäëåæàùåé ëèöó, ïî ñòàâèâøåìó ïîäïèñü. Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåðÿåòñÿ ïðèíàäëåæíîñòü ïèñüìà ïðåäïîëàãàåìîìó àâòîðó. Èñïîëüçîâàíèå øèôðà RSA äëÿ ýëåêòðîííîé ïîäïèñè: ñîîáùåíèå

x

øèôðóåòñÿ

ìîùüþ îòêðûòîé ÷àñòè

y ≡ xd (m), òîãäà äåøèôðîâêà y e de êîäà e è m: y = x ≡ x (m).

ïðîèñõîäèò ñ ïî

2. Ýëåêòðîííûå äåíüãè. Ýëåêòðîííûå äåíüãè òàêæå ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ îò îáûêíîâåííûõ. Ýëåê òðîííûå êóïþðû ìîæåò ïå÷àòàòü ëþáîé ÷åëîâåê, íî äåéñòâèòåëüíûìè îíè ñòàíîâÿòñÿ òîëüêî ïîñëå ýëåêòðîííîé ïîäïèñè áàíêà, à èõ äåéñòâèå ïðåêðàùàåòñÿ òåì, ÷òî áàíê çàíîñèò èõ â ñïèñîê èñïîëüçîâàííûõ (àíà ëîã ñæèãàíèþ áóìàæíûõ êóïþð). Ñèñòåìà ýëåêòðîííûõ ïëàòåæåé äîëæíà îáåñïå÷èòü áåçîïàñíîñòü áàíêà (îò ïîääåëêè êóïþð) è áåçîïàñíîñòü àáîíåí òîâ áàíêà (îò ïðîñëåæèâàíèÿ áàíêîì ïåðåìåùåíèÿ ýëåêòðîííûõ êóïþð îò ïîêóïàòåëÿ ê ïðîäàâöó). Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ îïåðàöèþ ïîêóïêè ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííûõ äåíåã, â êîòîðîé ó÷àñòâóþò ïðîäàâåö, áàíê è ïîêóïàòåëü.

À. Ïîêóïàòåëü:

☞

âûáèðàåò ÷èñëî

x<m

(íîìåð êóïþðû åäèíè÷íîãî äîñòîèíñòâà, òà

êèõ êóïþð â ïðåäëîæåííîé ñõåìå ïðèäåòñÿ âûïèñûâàòü ìíîãî);

☞

ñ

☞

f (x), ãäå f  îäíîñòîðîííÿÿ ôóíêöèÿ, îáúÿâëåííàÿ áàíêîì, îòêðûòîé ÷àñòüþ øèôðà m è e;

âû÷èñëÿåò

âûáèðàåò çàòåìíÿþùèé ìíîæèòåëü

r

(÷òîáû áàíê íå óçíàë î íîìåðå

ñîçäàííîé êóïþðû);

☞

ïîñûëàåò â áàíê ÷èñëî

y = f (x) re , ñòàâÿ íà íåãî äëÿ èäåíòèôèêàöèè

ñâîþ ýëåêòðîííóþ ïîäïèñü.

Â. Áàíê: ☞

èäåíòèôèöèðóåò ïî ýëåêòðîííîé ïîäïèñè êëèåíòà, ïðîâåðÿåò ñ÷åò è ñíèìàåò ñ íåãî äåíåæíóþ åäèíèöó;

z = yd;

☞

ïîäïèñûâàåò çàòåìíåííóþ êóïþðó:

☞

îòñûëàåò ïîäïèñàííóþ êóïþðó ïîêóïàòåëþ.

Ñ. Ïîêóïàòåëü: ☞

ïîëó÷àåò ïîäïèñàííóþ áàíêîì êóïþðó

z = y d = (f (x) · re )d = f d (x) · red ≡ f d (x) · r (m) è ñíèìàåò çàòåìíÿþùèé ìíîæèòåëü  äåëèò íà 37

r;

☞

ïîñûëàåò ïðîäàâöó ïîäïèñàííóþ áàíêîì êóïþðó


x; f d (x) .

D. Ïðîäàâåö: ☞

ïðîâåðÿåò ïîäëèííîñòü ïîëó÷åííîé êóïþðû çîì:

☞

(x; y)

ñëåäóþùèì îáðà

e

y ≡ f (x) (m);

ïðîâåðÿåò, íå áûëà ëè êóïþðà ïîòðà÷åíà ïîêóïàòåëåì ðàíåå, äëÿ ýòîãî îí ïîñûëàåò åå íà ïðîâåðêó â áàíê.

Å. Áàíê: ☞

ñðàâíèâàåò êóïþðó

(x; y)

ñ âûäàííûìè ðàíåå; åñëè êóïþðà íå èñïîëü

çîâàëàñü, òî ïðîäàâöó ïîñûëàåòñÿ ïîäòâåðæäåíèå, à êóïþðà çàíîñèò ñÿ â ñïèñîê èñïîëüçîâàííûõ (çàìåòèì, ÷òî áëàãîäàðÿ çàòåìíÿþùåìó ìíîæèòåëþ, áàíê íå çíàåò êîìó áûëà âûäàíà, òî÷íåå ïîäïèñàíà, ýòà êóïþðà);

☞

íà ñ÷åò ïðîäàâöà íà÷èñëÿåòñÿ äåíåæíàÿ åäèíèöà.

3.5

Ðåøåíèå ñðàâíåíèé ïåðâîé ñòåïåíè

Îïðåäåëåíèå 3.7. Ñðàâíåíèåì ïåðâîé ñòåïåíè íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå ñëå äóþùåãî âèäà:

ax ≡ b

mod m,

ãäå

a, b, x, m ∈ Z

(3.3)

Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (3.3) ÿâëÿþòñÿ êëàññû âû÷åòîâ, ïîýòîìó ñðàâíåíèå ìîæåò èìåòü íå áîëåå

m ðåøåíèé. Óñòàíîâèì êðèòåðèé

ðàçðåøèìîñòè ñðàâíåíèÿ (3.3).

Òåîðåìà 3.11.

Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå

1. Ñðàâíåíèå (3.3) ðàçðåøèìî 2. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò



d

def

⇔ b k d = D(a, m).

êëàññîâ ðåøåíèé

m m m x0 , x0 + , x0 + 2 , · · · , x0 + (d − 1) d d d



Äîêàçàòåëüñòâî. î÷åâèäíî, ÷òî ðàçðåøèìîñòü ñðàâíåíèÿ (3.3) ýêâèâàëåíò íî ðàçðåøèìîñòè äèîôàíòîâîãî óðàâíåíèÿ

ax − my = b.

Ïðèìåíèâ òåîðå

ìó 2.4 óñòàíàâëèâàåì ïóíêò 1. Äàëåå, âñå ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî äèî ôàíòîâîãî óðàâíåíèÿ (à íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî íåèçâåñòíîå ñîãëàñíî (2.16) ñëåäóþùèì îáðàçîì ñðåäè íèõ ðîâíî

d.

x = x0 −

Ïóíêò 2 óñòàíîâëåí.

38

x) îïèñûâàþòñÿ

b t. Ðàçëè÷íûõ ïî ìîäóëþ m d

Çàìå÷àíèå 3.6.

Èç ïîñëåäíåé òåîðåìû ñëåäóåò:

ax ≡ b mod m ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèîôàíòîâîãî ax − my = b.

1. Ðåøåíèå ñðàâíåíèÿ óðàâíåíèÿ

p ïðîñòîå ÷èñëî, òî ñðàâíåíèå ax ≡ b mod p âñåãäà èìååò åäèí ñòâåííîå ðåøåíèå (êðîìå ñëó÷àÿ a = 0). Òàêèì îáðàçîì (ñìîòðè çà ìå÷àíèå 3.2) â ñëó÷àå ïðîñòîãî ìîäóëÿ äëÿ ëþáîãî a∈Z/(m), a 6= 0(p) −1 ñóùåñòâóåò îáðàòíûé ýëåìåíò a , òî åñòü Z/(m) ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.

2. Åñëè

Ñ ïðìîùüþ ñðàâíåíèé óñòàíîâèì ñåé÷àñ êðèòåðèé ïðîñòîòû ÷èñëà. Èìååì

Òåîðåìà 3.12 (Âèëüñîí). ×èñëî p∈Z ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

(p − 1)! ≡ −1 mod m.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

p > 3.

Òîãäà äëÿ ëþáîãî

p ïðîñòîå. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ñ÷èòàåì, a ∈ Z, íå äåëÿùåãîñÿ íà p ñðàâíåíèå ax ≡ 1

(p)

÷òî

(3.4)

x ≡ b (p), ãäå b íåêîòîðûé âû÷åò èç {1, 2, . . . , p − 1}. Çàìåòèì, ÷òî b 6= 0, òàê êàê, åñëè x ≡ 0 (p), òî x k p. Äëÿ ñðàâíåíèÿ (3.4) áóäåì áðàòü a âçàèìíî ïðîñòûå ñ p èç òîé æå ñèñòåìû âû÷åòîâ, ÷òî è ðåøåíèÿ (3.4). Ðàññìîòðèì âñå ïàðû {a, b}, òàêèå, ÷òî ab ≡ 1 (p). Ïóñòü a = b. Èìååì a2 ≡ 1 (p), òîãäà (a + 1)(a − 1) k p, ñëåäî âàòåëüíî ëèáî a ≡ 1 (p) ëèáî a ≡ −1 (p), òî åñòü a = 1 èëè a = −1. Òàêèì îáðàçîì äëÿ ïàð {a, b}, òàêèõ, ÷òî 2 6 a, b 6 p − 2 ñïðàâåäëèâî a 6= b. Òàêèõ ïàð âñåãî (p − 3)/2. Ïåðåìíîæèâ (p − 3)/2 ñðàâíåíèÿ âèäà ab ≡ 1 (p), ïîëó÷èì 2 · 3 · · · · (p − 2) ≡ 1 mod m. Äîìíîæàÿ íà òðèâèàëüíîå ñðàâíåíèå p − 1 ≡ −1 mod p ïîëó÷àåì êðèòåðèé Âèëüñîíà. Ïóñòü òåïåðü p - ñîñòàâíîå ÷èñëî. Òîãäà D((p − 1)! , p) > 1, ñëåäîâàòåëüíî (p − 1)! + 1 íå ìîæåò äåëèòüñÿ íà p. Òåîðåìà äîêàçàíà.

èìååò åäèíñòâåííûé êëàññ ðåøåíèé

Ïåðåéäåì òåïåðü ê ñèñòåìàì ñðàâíåíèé ïåðâîé ñòåïåíè. Ðàññìîòðèì âàæ íûé ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ìîäóëè ñðàâíåíèé ñèñòåìû ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòû.

Òåîðåìà 3.13 (Êèòàéñêàÿ òåîðåìà îá îñòàòêàõ). Ñèñòåìà ñðàâíåíèé x ≡ c1 ãäå

D(mi , mj ) = 1

äëÿ

(m)1 , x ≡ c2 i 6= j

(m)2 , · · · , x ≡ ck

(m)k

èìååò åäèíñòâåííîå (ïî ìîäóëþ

ðåøåíèå.

39

(3.5)

m1 m2 · · · mk )

Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

def

def

m1 m2 · · · mk = M, M/ml = Ml .

D(Mk , mk ) = 1, òî ñîãëàñíî òåîðåìå 3.11 êàæäîå def Ml x ≡ 1(ml ) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ( = xl ). Òîãäà Òàê êàê

ñðàâíåíèå ëåãêî ïîñòðîèòü

ðåøåíèå ñèñòåìû (3.5)

∗

x ≡

k X

Ml xl cl

mod M

(3.6)

l=1 Ïîäñòàâëÿÿ

x∗

â êàæäîå ñðàâíåíèå (3.5), óáåæäàåìñÿ, ÷òî (3.6) - ðåøå

x∗ â ïåðâîå óðàâíåíèå (3.5). Òîãäà M2 x2 c2 + M3 x3 c3 + · · · + Mk xk ck ≡ 0 mod m1 , íî M1 x1 ≡ 1 mod m1 , ñëåäî ∗ âàòåëüíî M1 x1 c1 ≡ c1 mod m1 , è x ≡ c1 mod m1 .

íèå ñèñòåìû. Ïîäñòàâèì, äëÿ ïðèìåðà,

Çàìå÷àíèå 3.7. x

Íàáîð

∗

Ïðèìåð 3.4.

c 1 , c2 , . . . , c k

íàçûâàåòñÿ êèòàéñêèì êîäîì ÷èñëà

Ðåøèì ñèñòåìó ñðàâíåíèé:

x ≡ 2 (3), x ≡ 4 (5), x ≡ 0 (8).

Èìååì 1.

40x ≡ 1 (3),

x1 = 1

2.

24x ≡ 1 (5),

x2 = 4

3.

15x ≡ 1 (8),

x3 = 7

Òîãäà

x∗ ≡ 104 mod 120

4 Ìíîãî÷ëåíû 4.1

Àðèôìåòèêà ìíîãî÷ëåíîâ.

Îïðåäåëåíèå 4.1. Àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå ñ ïåðåìåííîé x íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàä ïîëåì

K,

åñëè îíî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå

p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,

ãäå

ai ∈ K, an 6= 0.

Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

def

K[x] = ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò ïåðåìåííîé x íàä def l(p) = ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ìíîãî÷ëåíà, l(p) = an , def deg p = ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà, deg p = n.

ïîëåì

K,

Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ ìíîãî÷ëåíàìè â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðîùå îïåðàöèé ñ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè, òàê êàê îïåðàöèè ìåæðàçðÿäíîãî ïå ðåíîñà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ îòñóòñòâóþò. 40

êîýôôèöèåíòîâ:

n îïðåäåëÿåòñÿ óïîðÿäî÷åííûì íàáîðîì ñâîèõ n + 1 {an an−1 · · · a0 }.

Çàìå÷àíèå 4.1.

Ìåæäó ìíîãî÷ëåíàìè è ïîçèöèîííûìè çàïèñÿìè íàòó

Ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè

ðàëüíûõ ÷èñåë åñòü î÷åâèäíàÿ àíàëîãèÿ. Ýòà àíàëîãèÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà àëãîðèòìû âûïîëíåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä ìíîãî÷ëåíà ìè.

Çàìå÷àíèå 4.2.  äàëüíåéøåì, êîãäà ýòî íå âûçûâàåò ðàçíî÷òåíèé, âìå ñòî

p(x)

p.

áóäåì ïèñàòü

Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ÷èñëî îñóùåñòâëÿåòñÿ êàê ñëîæåíèå-âû÷èòàíèå âåêòîðîâ.

Àëãîðèòì ñëîæåíèÿ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ: pn (x) = an xn + · · · + a0

è

qm (x) = bm xm + · · · + b0 ,

n>m

i : = 0; ÖÈÊË ÏÎ ÖÈÊË ÏÎ

i i

ÎÒ ÎÒ

0 ÄÎ m c i : = ai + b i m + 1 ÄÎ n ci : = ai

ÊÖ ÊÖ

Óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Ïðîèçâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ pn ñòåïåíè n è qm

ñòåïåíè

m

âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

p n · qm =

n+m X



 X

k=0

i+j=k

Àëãîðèòì óìíîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ. ýôôèöèåíòû

ci

ai b j  x k



Ñ÷èòàåì, ÷òî èçíà÷àëüíî âñå êî

ðåçóëüòèðóþùåãî ìíîãî÷ëåíà

ÖÈÊË ÏÎ

i

ÎÒ

ÖÈÊË ÏÎ

j

0

p n qm

ðàâíû 0.

n+m 0 ÄÎ i ci : = ci + aj · bi−j

ÄÎ

ÎÒ

ÊÖ

ÊÖ

Çàìåòèì, ÷òî

l (pq) = l (p) · l (q)

è

deg (pq) = deg (p) + deg (q).

Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Îïðåäåëåíèå 4.2. Ïóñòü m, n∈K [x] è m = n·q +r, ïðè÷åì deg r < deg n. Òîãäà

q

íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì îòäåëåíèÿ

Ñóùåñòâîâàíèå

m

è

r

m

íà

n,

à

r

 îñòàòêîì.

ìîæíî îáîñíîâàòü êîíñòðóêòèâíî. Ïîñòðîèì äëÿ

ýòîãî àëãîðèòì, àíàëîãè÷íûé äåëåíèþ ÷èñåë óãîëêîì.

41

Àëãîðèòì äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ. r : = m, q : = 0; ÖÈÊË ÏÎÊÀ deg r > deg n l(r) deg r−deg n t := ·x ; q : = q + t; l(n)

r : = r − t · n;

ÊÖ

r óìåíüøàåòñÿ, íî ðàâåíñòâî m = nq+r ñîõðàíÿåòñÿ. Êîãäà ñòåïåíü r ñòàíåò ìåíüøå ñòåïåíè n, àëãîðèòì Ïîñëå êàæäîãî øàãà öèêëà ñòåïåíü

ñâîþ ðàáîòó çàêàí÷èâàåò.

K[x]

Äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ â äëÿ ÷èñåë èç

èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå àíàëîãè÷íîå (1.1)

Z.

Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü m, n ∈ K[x], òîãäà, åñëè n 6= const, òî ñóùåñòâóþò q è r, òàêèå, deg r < deg n.

è åäèíñòâåííû ìíîãî÷ëåíû

m = nq + r,

ïðè÷åì

÷òî ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå äîêàçàíî âûøå. Åäèíñòâåííîñòü äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü

m = n · q1 + r 1 , m = n · q2 + r 2 . n(q1 − q2 ) = r1 − r2 . Ñòåïåíü ëåâîé ÷àñòè íå ìåíüøå deg n, åñëè òîëüêî q1 íå ñîâïàäàåò ñ q2 ; ñòåïåíü æå ïðàâîé ÷àñòè ìåíüøå deg n, òàê êàê deg r1 < deg n è deg r2 < deg n. Èòàê, ðàâåíñòâî áóäåò èìåòü ìåñòî òîëüêî ïðè q1 = q2 è, ñëåäîâàòåëüíî, r1 = r2 .

Òîãäà, ïîñëå âû÷èòàíèÿ ðàâåíñòâ, ïîëó÷èì

4.2

Ñõåìà Ãîðíåðà.

Ðàññìîòðèì ðåçóëüòàò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà

p(x) ∈ K[x]

íà ìíîãî÷ëåí

g(x) = x − a ∈ K[x]: p(x) = (x − a)q(x) + r(x), òî åñòü

deg r(x) = 0

è

ãäå

deg r(x) < deg(x − a) = 1,

r(x) = const = r.

Çàìå÷àíèå 4.3. deg q(x) = deg p(x) − 1 Òåîðåìà 4.2 (Áåçó). Îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà p(x) íà x−a ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà Äîêàçàòåëüñòâî.

p(a).

p(x) = (x − a)q(x) + r

42

ñëåäîâàòåëüíî

p(a) = r.

Ñëåäñòâèå 4.1. òîãäà, êîãäà

Ìíîãî÷ëåí

x−a

äåëèò ìíîãî÷ëåí

p(x)

òîãäà è òîëüêî

p(a) = 0.

Çàìå÷àíèå 4.4.

Òåîðåìà Áåçó ñâÿçûâàåò äâà ðàçíûõ âçãëÿäà íà ìíîãî

÷ëåíû  àëãåáðàè÷åñêèé (äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ, îñòàòîê) è àíàëèòè÷åñêèé (âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ìíîãî÷ëåíà êàê ôóíêöèè

r).

Íà îñíîâàíèè òåîðåìû Áåçó â îñíîâó âû÷èñëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà ìîæåò áûòü ïîëîæåí àëãîðèòì äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íà äâó÷ëåí. Ýòîò àëãîðèòì íàçûâàåòñÿ ñõåìîé Ãîðíåðà. Ðàññìîòðèì åãî ïîäðîáíåå, ïîëîæèâ

p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + ak xk + a1 x + a0 q(x) = bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + bk xk + b1 x + b0 . Òîãäà èç ðàâåíñòâà

p(x) = (x − a)q(a) + r

ïîëó÷àåì:

an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 = (x−a)(bn−1 xn−1 +bn−2 xn−2 +· · ·+b1 x+b0 )+r Ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèâåäÿ ïîäîáíûå, ïîëó÷èì:

an xn + an−1 xn−1 + · · · + ak xk + a1 x + a0 = bn−1 xn +(bn−2 −abn−1 )xn−1 +· · ·+(bk−1 −abk )xk +· · ·+(b0 −ab1 )x+b0 +(r−ab0 ).  ñèëó åäèíñòâåííîñòè êàíîíè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà ïîëó ÷àåì:

  an = bn−1    an−1 = bn−2 − abn−1      ··············· ak = bk−1 − abk   ···············     a1 = b0 − ab1    a = r − ab 0 0

îòêóäà âûðàæàÿ

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïåðâûå

n

bk ,

èìååì

  bn−1 = an    bn−2 = an−1 + abn−1      ··············· bk−1 = ak + abk   ···············     b0 = a1 + ab1    r = a + ab 0 0

ðàâåíñòâ ïîçâîëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî (îò

ñòàðøèõ ê ìëàäøèì) íàõîäèòü êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà ãî îò äåëåíèÿ îñòàòêà

p(x)

íà

x − a.

q(x)

 ÷àñòíî

Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî  ôîðìóëà âû÷èñëåíèÿ

r.

Ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âû÷èñëåíèÿ îïèñûâàåò ñëåäóþùàÿ ðåêóððåíò íàÿ ôîðìóëà.

bn−1 = an ; ïðè ýòîì

b−1

bk−1 = ak + abk ,

îáîçíà÷àåò îñòàòîê

ãäå

r. 43

k

ìåíÿåòñÿ îò

n−1

äî

0,

Çàìå÷àíèå 4.5.

Ïðè ðó÷íûõ âû÷èñëåíèÿõ ïðîìåæóòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ

ñõåìû Ãîðíåðà óäîáíî ïîìåùàòü â ñëåäóþùåé òàáëèöå:

an an−1 an−2 · · · a1 a0 bn−1 bn−2 bn−3 · · · b0 b−1 = r Êàæäîå ñëåäóþùåå âû÷èñëåíèå èñïîëüçóåò òîëüêî çíà÷åíèå

a

è ÷èñëà,

ïîìåùåííûå â ñîñåäíèõ (ëåâîé è âåðõíåé) êëåòêàõ.

··· ak ··· bk bk−1 = ak + abk · · ·

Ñëåäñòâèå 4.2. Ñõåìó Ãîðíåðà ìîæíî ïðèìåíÿòü ìíîãîêðàòíî: ê ÷àñò íîìó

q(x)

q1 (x)

è ò.ä.

îò äåëåíèÿ

p(x)

íà

x − a,

çàòåì ê ïîëó÷èâøåìóñÿ ÷àñòíîìó

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþòñÿ êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà

p(x)

ïî ñòåïåíÿì

x−a

(îò ìëàäøèõ ñòåïåíåé ê ñòàðøèì):

p(x) = (x − a)q(x) + r0 = (x − a)[(x − a)q1 (x) + r1 ] + r0 = (x−a)2 q1 (x)+r1 (x−a)+r0 = · · · = rn (x−a)n +rn−1 (x−a)n−1 +· · ·+r1 (x−a)+r0

Çàìå÷àíèå 4.6.

Ïðè âûïîëíåíèè âû÷èñëåíèé âðó÷íóþ, ïðîòîêîë âû÷èñ

ëåíèé óäîáíî âåñòè â ñëåäóþùåé òðåóãîëüíîé òàáëèöå:

an an−1 an−2 bn−1 bn−2 . . . cn−2 . . . ... ...

...

...

...

... ... ...

a1 a0 b0 b−1 = r0 c−1 = r1

...

...

rn Òàáëèöà çàïîëíÿåòñÿ ñëåâà íàïðàâî è ñâåðõó âíèç ïî ïðàâèëó, óêàçàííîìó âûøå.

Óïðàæíåíèå 4.1.

Íàïèøèòå àëãîðèòì ãåíåðàöèè êîýôôèöèåíòîâ ìíî

r(x) : r0 , r1 , . . . , rn , ïîëó÷åííîãî èç ìíîãî÷ëåíà p(x) åíòàìè an , an−1 , . . . , a0 ðàçëîæåíèåì ïî ñòåïåíÿì x − a.

ãî÷ëåíà

4.3

ñ êîýôôèöè

Àëãîðèòì Åâêëèäà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ. Ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå ÍÎÄ.

1. Àëãîðèòì Åâêëèäà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ íå îòëè÷àåòñÿ îò àëãîðèòìà äå ëåíèÿ äëÿ ÷èñåë, åñëè ïðèäàòü âõîäÿùèì â íåãî ïåðåìåííûì è îïåðàöèÿì ñîîòâåòñòâóþùóþ èíòåðïðåòàöèþ. 44

Ñðàâíèì îïðåäåëåíèÿ äåëåíèÿ íàöåëî, êîòîðûå ëåæàò â îñíîâå àëãîðèò ìà Åâêëèäà, äëÿ ÷èñåë è ìíîãî÷ëåíîâ

n=m·q+r p(x) = g(x) · q(x) + r(x) 0 6 r < |m| 0 6 deg r(x) < deg g(x) q  ÷àñòíîå, r  îñòàòîê. q(x) ÷àñòíîå, r(x)  îñòàòîê. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèÿ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî òåì, êàêèå õàðàêòåðèñòè êè (àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ÷èñëà, ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà) ïîëîæåíû â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ îñòàòêà è ÷àñòíîãî. Íå ñìîòðÿ íà òî, ÷òî ÷àñòíîå è îñòàòîê ïðè äåëåíèè êàê öåëûõ ÷èñåë, òàê è ìíîãî÷ëåíîâ, îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî, ÍÎÄ ìíîãî÷ëåíîâ îäíîçíà÷ íî íå îïðåäåëÿåòñÿ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü îïðåäåëÿåòñÿ êàê îáùèé äåëèòåëü íàèáîëüøåé ñòåïåíè, à òàêèõ ìíîãî÷ëå íîâ áåñêîíå÷íî ìíîãî (åñëè òî

cd(x)

ïðè

c 6= 0

d(x)  íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü p(x) è g(x),

òàêæå áóäåò íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì ýòèõ ìíîãî

÷ëåíîâ). Ìîæíî áûëî áû ñðåäè âñåõ íàèáîëüøèõ îáùèõ äåëèòåëåé âûáðàòü ìíîãî÷ëåí ñ åäèíè÷íûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì, òîãäà ÍÎÄ áóäåò îïðå äåëåí åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Îäíàêî äëÿ âû÷èñëåíèé ýòî íå âñåãäà óäîá íî. Íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìîòðåòü ìîäèôèêàöèþ ñòàíäàðòíîãî àëãîðèòìà Åâêëèäà ñ äîìíîæåíèåì ïðîìåæóòî÷íûõ ðåçóëüòàòîâ íà íåíóëåâóþ êîí ñòàíòó, ÷òî ïîçâîëèò, íàõîäÿ ÍÎÄ öåëî÷èñëåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ, èçáåæàòü äðîáíûõ êîýôôèöèåíòîâ.

Ïðèìåð 4.1.

Íàéòè

D(2x2 + x + 1, 3x2 + 2x − 1).

1.

D(2x2 + x + 1, 3x2 + 2x − 1) = D(6x2 + 3x + 3, 3x2 + 2x − 1)

2.

D(6x2 + 3x + 3, 3x2 + 2x − 1) = D(−x − 1, 3x2 + 2x − 1)

3.

D(−x − 1, 3x2 + 2x − 1) = D(−x − 1, 0)

4.

D(−x − 1, 0) = −x − 1.

Îïðåäåëåíèå 4.3.

Ìíîãî÷ëåíû

p

è

g

íàçûâàþò âçàèìíî ïðîñòûìè, åñëè

îíè íå èìåþò îòëè÷íûõ îò êîíñòàíòû îáùèõ äåëèòåëåé. 2. Ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ ìíîãî÷ëåíîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ðàñøèðåííîìó àëãîðèòìó Åâêëèäà:

p · a + g · b = d,

ãäå

d = D(p, g),

à

a

è

b

 ìíîãî÷ëåíû, ïîëó÷àþùèåñÿ â

ðåçóëüòàòå ðàáîòû ðàñøèðåííîãî àëãîðèòìà Åâêëèäà.

Óïðàæíåíèå 4.2.

Äîêàæèòå, ÷òî

deg a < deg g

45

è

deg b < deg p.

Çàìå÷àíèå 4.7.

Åñëè

p

è

g

âçàèìíî ïðîñòû, òî â ðåçóëüòàòå ðàáîòû

ðàñøèðåííîãî àëãîðèòìà Åâêëèäà ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ ðàçëîæåíèå, â êî òîðîì

d = const 6= 1.

Ïðèìåð 4.2.

Íàéòè ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå

x3 − 1 x2 + 1 (1 ; 0) −x − 1 x2 + 1 (1 ; −x) −x − 1 2 (1 ; −x)

D(x3 − 1; x2 + 1).

(0 ; 1) (0 ; 1)
x − 1 ; −x2 + x + 1

(x3 − 1)(x − 1) + (x2 + 1)(−x2 + x + 1) = 2

4.4

Êèòàéñêàÿ òåîðåìà îá îñòàòêàõ äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà.

Àíàëîãè÷íî àëãîðèòìó Åâêëèäà, íà ìíîãî÷ëåíû ïåðåíîñèòñÿ è êèòàé ñêàÿ òåîðåìà îá îñòàòêàõ.

Òåîðåìà 4.3.

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñðàâíåíèé

p ≡ r1 (m1 ), p ≡ r2 (m2 ), . . . p ≡ rn (mn ) Åñëè ìíîãî÷ëåíû

p≡

n X

m 1 , m2 , . . . , m n

ci di ri (m),

ãäå

ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòû, òî

m = m1 m2 · · · mn , c i =

i=1

Çàìå÷àíèå 4.8.

m , di ci ≡ 1(m). mi

1. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïîëíîñòüþ èäåíòè÷íî

äîêàçàòåëüñòâó àíàëîãè÷íîé òåîðåìû äëÿ ÷èñåë (ñì. òåîðåìó 3.13). 2. Ðåøåíèå ñðàâíåíèÿ

di ci ≡ 1(m)

îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèåì ðàñøè

ðåííîãî àëãîðèòìà Åâêëèäà ê âçàèìíî ïðîñòûì ìíîãî÷ëåíàì

ci a + mi b = const 6= 0,

òîãäà

ci

a ≡ 1 (mi ), const

îòêóäà

di ≡

a (mi ). const

Òåîðåìà 4.4 (èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà). deg p = n

è èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ìíîãî÷ëåíà

p

â

n+1

Ïóñòü

ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ:

p(x0 ) = y0 , p(x1 ) = y1 , . . . , p(xn ) = yn , òîãäà

n X (x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn ) p(x) = yi (x − x ) · · · (x − x )(x − x ) · · · (x − x ) i 0 i i−1 i i+1 i n i=0 46

c i , mi :

Äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåðïðåòèðóåì çàäà÷ó â òåðìèíàõ àðèôìåòèêè ìíîãî ÷ëåíîâ. Ïî òåîðåìå Áåçó:

p(x) = yi

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

p(x) ≡ yi mod (x − xi ). Ìíîãî÷ëåíû mi = x − xi ïîïàðíî âçàèìíî è p ìîæíî íàéòè ïðèìåíåíèåì êèòàéñêîé òåîðåìû îá îñòàòêàõ: ri = y i ; m =

n Y k=0

òîãäà

di

ïðîñòû

n Y m Y = (x − xk ), mi = (x − xk ); ci = mi k6=i

k=0

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

ci di + mi b = 1,

ãäå

deg di < deg mi = deg(x − xi ) = 1,

deg di = 0, ò.å. di (x) = const. Ïîäñòàâèâ ci (xi )di + mi (xi )b(xi ) = 1, íî mi (xi ) = xi − xi = 0, 1 . ñëåäîâàòåëüíî di = ci (xi ) îòñþäà

â (4.1)

x = xi ,

(4.1) ïîëó÷èì

Îòêóäà ïî êèòàéñêîé òåîðåìå îá îñòàòêàõ

p≡

n X

ci di ri =

i=0

4.5

n X i=0

Q

(x − xi ) n X ci k6=i Q · yi = yi . ci (xi ) (x − x ) i k i=0 k6=i

Èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä Íüþòîíà

Ïðè äîáàâëåíèè óçëîâ èíòåðïîëÿöèè ìåòîä Ëàãðàíæà, îïèñàííûé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, òðåáóåò çàíîâî ñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí. Ðàññìîòðèì äðóãîé ïîäõîä, ïîçâîëÿþùèé ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü âû÷èñëå íèÿ ïðè äîáàâëåíèè óçëîâ èíòåðïîëÿöèè.

n

Ïóñòü çàäàíî

òî÷åê èíòåðïîëÿöèè. Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî ñòðîèòü

èíòåðïîëÿöèöèîííûå ïîëèíîìû

S1 (x), S2 (x), . . . , Sn (x)

äëÿ

m = 1, 2, . . . , n

òî÷åê.

S1 (x) = y1 . Ïóñòü óæå ïîñòðîåíû èíòåðïîëÿöèîííûå ïî ëèíîìû äëÿ m = 1, 2, . . . , k − 1 òî÷åê. Ïðîâåäåì ïîñòðîåíèå äëÿ m = k . Çàìåòèì, ÷òî ïîëèíîì Sk (x) − Sk−1 (x) ïî óñëîâèþ îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè x = x1 , x2 , . . . , xk−1 . Ñëåäîâàòåëüíî Sk (x) − Sk−1 (x) äåëèòñÿ íà (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xk−1 ). Íî deg(Sk (x) − Sk−1 (x)) < k , òàêèì îáðàçîì Î÷åâèäíî, ÷òî

Sk (x) − Sk−1 (x) = Ak (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xk−1 ) Ïîëàãàÿ

x = xk ,

ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ

Ak =

Ak

yk − Sk−1 (x) (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xk−1 ) 47

Äëÿ ïîñëåäíåãî ïîëèíîìà

Sn (x)

ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå:

Sn (x) = A1 + A2 (x − x1 ) + · · · + An (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn−1 )

Ïðèìåð 4.3. x −1 0 1 y 3 −1 2 S3 (x) = A1 + A2 (x + 1) + A3 (x + 1)x 1.

x1 = −1 → A1 = 3

2.

x2 = 0 → A1 + A2 = −1 → A2 = −4

3.

x3 = 1 → A1 + 2A2 + 2A3 = 2 → A3 = 7/2

7 7 1 (x + 1)x = x2 − x − 1 2 2 2 Äîáàâèì åùå îäèí óçåë èíòåðïîëÿöèè {x4 = 3, y4 = 0}. S4 (x) = S3 (x) + A4 (x + 1)x(x − 1) S3 (x) = 3 − 4(x + 1) +

Òîãäà

x4 = 3 → A1 + 4A2 + 12A3 + 24A4 = 0 → A4 = −29/24

4.

S4 (x) = −

4.6

29 3 7 2 17 x + x + x−1 24 2 24

Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ñâîáîäíûå îò êâàäðà òîâ ìíîæèòåëè

Îïðåäåëåíèå 4.4.

Ïðåäñòàâëåíèå ìíîãî÷ëåíà

p = p1 · p22 · p33 · · · pnn , ãäå

pi

â âèäå

p1 p2 · · · pn ∈ K[x],

- åñòü ïðîèçâåäåíèå ðàçëè÷íûõ íåïðèâîäèìûõ íàä

ïðè÷åì

p

p ∈ K[x]

pi

âçàèìíî ïðîñò ñ

pj (j 6= i)

K

ìíîãî÷ëåíîâ,

íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ìíîãî÷ëåíà

íà ñâîáîäíûå îò êâàäðàòîâ ìíîæèòåëè

p 1 , p2 , . . . , p n .

Åñëè äëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè ýôôåê òèâíîãî àëãîðèòìà, ïî-âèäèìîìó íåò, òî äëÿ ðàçëîæåíèÿ íà ñâîáîäíûå îò êâàäðàòîâ ìíîæèòåëè òàêîé àëãîðèòì ñóùåñòâóåò è îñíîâàí íà èñïîëüçî âàíèè àëãîðèòìà Åâêëèäà. Äëÿ äàëüíåéøåãî áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîãî÷ëåíû íàä ïîëåì âåùå ñòâåííûõ ÷èñåë.

Ëåììà 4.1. R[x]

Åñëè

p = q k · m,

ãäå

p, q, m ∈ R[x], à q - íåïðèâîäèìûé â 0 ñ m, òî ïðîèçâîäíàÿ p ìîæåò áûòü

ìíîãî÷ëåí è âçàèìíî ïðîñòîé k−1 çàïèñàíà â âèäå q · n, ãäå q è n - âçàèìíî ïðîñòû. 48

Äîêàçàòåëüñòâî.


0 p0 = q k · m = k · q k−1 · q 0 · m + q k · m0 = q k−1 · (kmq 0 + qm0 ) n = kmq 0 + qm0 . Äîêàæåì, ÷òî q è n âçàèìíî ïðîñòû. Òàê êàê q íåïðèâîäèì â R [x], òî âçàèìíàÿ ïðîñòîòà q è n ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî n íå äåëèòñÿ íà q . 0 0 Íî n = kmq + qm . Åñëè áû n äåëèëîñü íà q , òî íà q äåëèëîñü áû è m. 0 0 Íî q íà q íå äåëèòñÿ, òàê êàê deg q < deg q , ïîýòîìó íà q äîëæíî äåëèòüñÿ m, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ïóñòü

Ñëåäñòâèå 4.3. òî

0

p =

q1k1 −1

·

k1 k Åñëè p = q1 · · · qnn , ãäå q1 , . . . , qn - íåïðèâîäèìû â · · · · qnkn −1 · q , ãäå q - âçàèìíî ïðîñò ñ q1 , . . . , qn .

R[x],

Àëãîðèòì ðàçëîæåíèÿ íà ñâîáîäíûå îò êâàäðàòîâ ìíîæèòåëè. j := 1 ÖÈÊË-ÏÎÊÀ

p 6= const {p = q1k1 · · · qnkn } (k = q1k1 −1 q2k2 −1 · · · qnkn −1 =

k : = D(p, p0 );

Y

qiki −1 )

i

(l = q1 q2 · · · qn =

l : = p/k

Y

qi )

i

m : = D(l, p0 );

(m =

Y

qi )

ki >1

pj : = l/m; j : = j + 1;

(pj =

Y

qi )

ki =1

p := k

(ïîâòîðåíèå àëãîðèòìà äëÿ ìíîãî÷ëåíà, ó êîòîðîãî ñòåïåíè íåïðèâîäèìûõ

ÊÖ

ìíîæèòåëåé óìåíüøåíû íà 1)

5 Òåîðèÿ ìíîæåñòâ è êîìáèíàòîðèêà 5.1

Êîäèðîâàíèå ñ èñïðàâëåíèåì îøèáîê. Ãðàíèöà Õåììèíãà

Îïðåäåëåíèå 5.1.

Êîäèðóåì êàæäûé ñèìâîë

è÷íûìè ðàçðÿäàìè,

ai = 0, 1, i ∈ 1 : m. Îïðåäåëèì áèíàðíóþ îïåðàöèþ íà

a = (a1 , a2 , . . . am ) − m

äâî

ìíîæåñòâå êîäîâûõ ñèìâîëîâ:

def

a ⊕ b = c = (c1 , c2 , . . . cm ),

ãäå

ci =< ai + bi >2 .

Ââåäåì ïîíÿòèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîäîâûìè ñèìâîëàìè: ïîçèöèé

i : ai 6= bi . 49

def

d(a, b) =

÷èñëî

Ïðèìåð 5.1. a = (0, 1, 1, 1), b = (1, 0, 1, 0),

òîãäà

a ⊕ b = (1, 1, 0, 1),

d(a, b) = 3 Î÷åâèäíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå

Óòâåðæäåíèå 5.1. d(a, b)

- åñòü ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ, òî åñòü

1.

d(a, b) > 0, d(a, b) = 0

2.

d(a, b) = d(b, a),

3.

d(a, b) + d(b, c) > d(a, c).

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

a = b,

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñâîéñòâà 1,2 î÷åâèäíû. Óñòàíîâèì ñâîéñòâî 3. Åñëè

ai = c i ,

òî

d(a, c)

íå ìåíÿåòñÿ, à âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà

ìîæåò âîçðàñòè. Åñëè æå

ai 6= ci ,

òî ëèáî

ai 6= bi ,

ëèáî

bi 6= ci .

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè ïðèåìå êîäèðóåìûõ ñèìâîëîâ âîçìîæíî ïîÿâëåíèå îøèáîê íå áîëåå, ÷åì â

r 6 m

ðàçðÿäàõ. Ïîñòàâèì çàäà÷ó èñïðàâëåíèÿ

îøèáîê â ðàçðÿäàõ, çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ ÷èñëà êîäîâûõ ñèìâîëîâ. Ïóñòü

A = {a(1) , a(2) . . . a(p) }

- ìíîæåñòâî âûáðàííûõ êîäîâûõ ñèìâîëîâ,

p 6 2m .

Ñïðàâåäëèâî

Óòâåðæäåíèå 5.2. Åñëè d(a(i) , a(j) ) > 2r+1, òî ìîæíî èñïðàâëÿòü îøèá êè, âîçíèêàþùèå íå áîëåå, ÷åì â

r

ðàçðÿäàõ.

a(i) íå áîëåå ÷åì â r ðàçðÿ äàõ âîçíèêëè îøèáêè. Òîãäà ïðèíÿòûé ñèìâîë b ïîïàäàåò â îêðåñòíîñòü (i) (i) ñèìâîëà a ðàäèóñà r , òî åñòü ñïðàâåäëèâî d(a , b) 6 r . Îáîçíà÷èì ñî def (i) îòâåòñòâóþùóþ îêðåñòíîñòü Ai = {a|d(a , a) 6 r}. Òîãäà Ai ∩ Aj = ∅. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü w ∈ Ai ∩ Aj , òîãäà Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïðè ïðèåìå ñèìâîëà

d(a(i) , w) 6 r, d(a(j) , w) 6 r, d(a(i) , a(j) ) 6 d(a(i) , w) + d(a(j) , w) 6 2r Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.

Îïðåäåëåíèå 5.2. íèÿ ñèìâîëà ëÿåì ñ

a

(i)

a

(i)

Ìíîæåñòâî

Ai

áóäåì íàçûâàòü îáëàñòüþ äåêîäèðîâà

. Ëþáîé ïðèíÿòûé ñèìâîë

b,

ïîïàäàþùèé â

Ai

îòîæäåñòâ

.

Ai ? Ýòî ÷èñëî ñïîñîáîâ âûáîðà íåêîòîðûõ k (0 6 k 6 r) êîìïîíåíò êîäîâîãî ñèìâîëà a(i) , òî åñòü ÷èñëî ñèìâîëîâ (i) îòëè÷àþùèõñÿ îò ñèìâîëà a â 0, 1, 2, . . . r ðàçðÿäàõ. Òîãäà Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå

|Ai | =

C0m

+

C1m

+ ··· +

Crm

=

r X k=0

50

Ckm

Òåïåðü ëåãêî îöåíèòü ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå âûáðàíûõ ñèìâîëîâ

A = {a(1) , a(2) . . . a(p) }.

2m

Òàê êàê âñåãî

êîäèðóåìûõ ñèìâîëîâ, òî äëÿ

p

ïîëó÷àåì îöåíêó (ãðàíèöà Õåììèíãà):

p

r X

Ckm

m

62 ,

p 6 Pr

m k=0 Ck

k=0

Ïðèìåð 5.2.

5.2

Ïóñòü

m = 3, r = 1.

2m

Òîãäà

p 6 23 /(C03 + C13 ) = 2

a(0) = (0, 0, 0),

A0 = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 0)}

a(1) = (1, 1, 1),

A1 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}

Êîä Øåííîíà-Ôýíî è àëãîðèòì Õàôôìåíà

 ïðåäûäóùåì ðàçäåëå íà êàæäûé êîäîâûé ñèìâîë îòâîäèëîñü îäèíàêî

2

âîå ÷èñëî äâîè÷íûõ ðàçðÿäîâ. Øåííîí è Ôýíî

ïðåäëîæèëè êîíñòðóêöèþ

êîäà ïåðåìåííîé äëèíû. Ïðè òàêîì êîäå ó êàæäîãî ñèìâîëà ñâîÿ äëèíà êî äîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïîáåñïîêîèòüñÿ î òîì, êàê îïðåäåëÿòü êîíåö êîäà îòäåëüíîãî ñèìâîëà. Ïðåäëàãàåòñÿ òàêîå îãðàíè÷å íèå íà êîä: íèêàêàÿ êîäîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì

äðóãîé êîäîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì ïðåôèêñà, à êîä îáëàäàþùèé òàêèì ñâîéñòâîì áåñïðåôèêñíûì êîäîì.

{p1 , p2 , . . . , pn } - ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ(èñïîëüçîâàíèÿ) êîäèðóåìûõ ñèìâîëîâ, à {s1 , s2 , . . . , sn } äëèíû èõ êîäîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Áóäåì Ïóñòü

ñòðåìèòüñÿ óìåíüøèòü ñðåäíåå ÷èñëî äâîè÷íûõ ðàçðÿäîâ, ïðèõîäÿùèõñÿ íà îäèí êîäîâûé ñèìâîë, òî åñòü âåëè÷èíó

n X

p i si

i=1 Øåííîí è Ôýíî äàëè ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîäà, áëèçêîãî ê îïòèìàëüíîìó: ðàçáèòü âñå ñèìâîëû íà äâå ãðóïïû ñ ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâîé ñóììàð íîé ÷àñòîòîé ïîÿâëåíèÿ, êîäû ïåðâîé ãðóïïû íà÷àòü ñ ñ

0,

à âòîðîé ãðóïïû

1. Âíóòðè ãðóïïû äåëàòü òîæå ñàìîå, ïîêà â êàæäîé ãðóïïå íå îñòàíåòñÿ

òîëüêî ïî îäíîìó ñèìâîëó. Ýëåãàíòíûé àëãîðèòì äëÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðåäëîæèë Ä.Õàôôìåí. Ýòîò àëãîðèòì îñíîâûâàåòñÿ íà íåñêîëüêèõ î÷åâèäíûõ ñâîé ñòâàõ îïòèìàëüíîé êîäîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

Ëåììà 5.1. 2

Åñëè

p1 > p2 > · · · > pn ,

òî

s1 6 s2 6 · · · 6 sn

ïðè èçëîæåíèè ýòîãî ïàðàãðàôà áóäåì ñëåäîâàòü ìîíîãðàôèè [9, ðàçäåë 4.2]

51

Ëåììà 5.2.

 ïðåäïîëîæåíèÿõ ëåììû 5.1ñïðàâåäëèâî

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

sn > sn−1

sn−1 = sn

è, ñëåäîâàòåëüíî

n-àÿ

êîìáèíàöèÿ - ñàìàÿ äëèííàÿ. Òàê êàê íèêàêàÿ êîäîâàÿ êîìáèíàöèÿ íå ÿâ ëÿåòñÿ íà÷àëîì íèêàêîé äðóãîé, òî ñîêðàòèâ

(n − 1)-îé,

n-óþ

êîìáèíàöèþ äî äëèíû

ìû ïîëó÷èì ñíîâà óíèêàëüíóþ êîäîâóþ êîìáèíàöèþ è áîëåå

êîðîòêóþ, ÷åì ðàíüøå. Ïðîòèâîðå÷èå. Îïèøåì òåïåðü ñîáñòâåííî àëãîðèòì: äâà ñèìâîëà êîäèðóåì

0 è 1, à åñëè

ñèìâîëîâ áîëüøå, òî ñîåäèíÿåì äâà ñàìûõ ðåäêèõ ñèìâîëà â îäèí íîâûé ñèìâîë, ðåøàåì ïîëó÷èâøóþñÿ çàäà÷ó, à çàòåì âíîâü ðàçäåëÿåì ýòîò íîâûé ñèìâîë íà äâà, ïðèïèñàâ ñîîòâåòñòâåííî

0 è 1 ê åãî êîäîâîé ïîñëåäîâàòåëü

íîñòè.

Ïðèìåð 5.3.

Ïóñòü èìååòñÿ øåñòü êîäîâûõ ñèìâîëîâ

a, b, c, d, e, f

ñ ÷à

ñòîòàìè ïîÿâëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî

0.32(a), 0.25(b), 0.14(c), 0.12(d), 0.10(e), 0.07(f ) Ïðîâîäÿ îáúåäèíåíèå ïîëó÷àåì: 1.

0.32(a), 0.25(b), 0.17(ef ), 0.14(c), 0.12(d)

2.

0.32(a), 0.26(cd), 0.25(b), 0.17(ef )

3.

0.42(bef ), 0.32(a), 0.26(cd)

4.

0.58(acd), 0.42(bef )

Ðàñùåïëÿåì ñèìâîëû è ïðèïèñûâàåì

0

è

1

ê êîäîâûì ïîñëåäîâàòåëüíî

ñòÿì: 1.

0(acd), 1(bef )

2.

00(a), 01(cd), 1(bef )

3.

00(a), 01(cd), 10(b), 11(ef )

4.

00(a), 010(c), 011(d), 10(b), 11(ef )

5.

00(a), 010(c), 011(d), 10(b), 110(f ), 111(f )

52

5.3

Ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê. Ãåíåðèðîâàíèå ê-ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ

k - ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ äàííîãî n - ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà X = {x1 , x2 , . . . , xn }. Î÷åâèäíî, ÷òî âñåãî èõ Ckn . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî X = {1, 2, . . . , n}. Îïðåäåëèì Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ãåíåðàöèè âñåõ

óïîðÿäî÷åííîñòü ê-ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ íà îñíîâå óïîðÿäî÷åííîñòè ýëåìåíòîâ.

Îïðåäåëåíèå 5.3.

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî

{x1 , x2 , . . . , xk } ëåêñèêîãðàôè÷åñêè {y1 , y2 , . . . , yk } åñëè ∃m 6 n : xm < ym

1. ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâó

2. ïîäìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâó

ïðåäøåñòâóåò ïîä è

xi = yi ∀i < m

{x1 , x2 , . . . , xk } àíòèëåêñèêîãðàôè÷åñêè ïðåäøåñòâóåò {y1 , y2 , . . . , yk } åñëè ∃m 6 n : xm > ym è xi = yi

∀i > m

Çàìå÷àíèå 5.1. {à,á,â,ã, . . .},

Åñëè â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ

òî ñëîâà äëèíû

k

X

âçÿòü áóêâû àëôàâèòà

ïîÿâëÿþòñÿ â ñëîâàðå â ëåêñèêîãðàôè÷å

ñêîì ïîðÿäêå. Ïîñòðîèì òåïåðü àëãîðèòì ãåíåðàöèè ê-ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ

X

â

ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå. Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðâîå ïîäìíîæåñòâî ýòî

{1, 2, 3, . . . , k}. À çà {b1 , b2 , . . . , bk }, ãäå

ìíîæåñòâîì

{a1 , a2 , . . . , ak }

èäåò ìíîæåñòâî

{b1 , b2 , . . . , bk } = {a1 , a2 , . . . , ap−1 , ap + 1, ap + 2, . . . , ap + k − p + 1}, p = max{i | ai < n − k + 1}. {c1 , c2 , . . . , ck }, ïðè ýòîì

ãäå

Áîëåå òîãî, çà ýòèì ìíîæåñòâîì ñëåäóåò

{c1 , c2 , . . . , ck } = {d1 , d2 , . . . , dp˜−1 , dp˜ + 1, dp˜ + 2, . . . , dp˜ + k − p˜ + 1},  p − 1, åñëè dk = n ãäå p ˜= k, åñëè dk < n Çàïèøåì òåïåðü ñàì àëãîðèòì. ÖÈÊË ÏÎ

i

ÎÒ

1

ÄÎ

k

ai : = i;

ÊÖ

p := k p>1 ÅÑËÈ ak = n TO p : = p − 1 ÈÍÀ×Å p : = k ÅÑËÈ p > 1 ÖÈÊË ÏÎ i ÎÒ k ÄÎ p ai : = ai + i − p + 1;

ÖÈÊË-ÏÎÊÀ

ÊÖ

53

ÊÖ

Ïðèìåð 5.4.

Ïóñòü

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, k = 4.

Òîãäà

p = 4 → {1, 2, 3, 4} (ïåðâîå ïîäìíîæåñòâî) p = 4 → {1, 2, 3, 5}, p = 4 → {1, 2, 3, 6}, p = 3 → {1, 2, 4, 5}, p = 4 → {1, 2, 4, 6}, p = 3 → {1, 2, 5, 6}, p = 2 → {1, 3, 4, 5}, p = 4 → {1, 3, 4, 6}, p = 3 → {1, 3, 5, 6}, p = 2 → {1, 4, 5, 6}, p = 1 → {2, 3, 4, 5}, p = 4 → {2, 3, 4, 6}, p = 3 → {2, 3, 5, 6}, p = 2 → {2, 4, 5, 6}, p = 1 → {3, 4, 5, 6}, p=0 (ãåíåðàöèÿ çàêîí÷åíà)

5.4

×èñëà Ñòèðèíãà ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà

Îïðåäåëåíèå 5.4.

×èñëîì Ñòèðëèíãà âòîðîãî ðîäà

çûâàòü ÷èñëî ðàçáèåíèé

n

ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà íà

def

= S(n, k) áóäåì íà k íåïåðåñåêàþùèõñÿ

ïîäìíîæåñòâ. Î÷åâèäíî, ÷òî

Ëåììà 5.3.

Äëÿ

S(n, k) = 0 S(n, k)

äëÿ

k > n.

Ïîëîæèì

S(0, 0) = 1.

ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:

1.

S(n, 0) = 0, n > 0

2.

S(n, n) = 1, n > 0

3.

˙ − 1, k), 0 < k < n S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k S(n

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóíêòû 1 è 2 î÷åâèäíû. Óñòàíîâèì ñâîéñòâî 3. Ðàññìîò ðèì ìíîæåñòâî âñåõ ðàçáèåíèé

n

ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà

1, 2, . . . , n

íà

k

íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ. Ýòè ðàçáèåíèÿ ðàñïàäàþòñÿ íà äâå ãðóï ïû: 1. ðàçáèåíèÿ, êîòîðûå ñîäåðæàò 2. ðàçáèåíèÿ, ãäå

n

{n},

êàê îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî,

ñîäåðæèòñÿ â ñîñòàâå ïî êðàéíåé ìåðå äâóõýëåìåíò

íûõ ìíîæåñòâ.

S(n−1, k −1) âàðèàíòîâ ðàçáèåíèé, òî åñòü ðàçáèåíèé ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , n−1} íà k −1 íåïåðåñåêàþùååñÿ ïîäìíîæå ñòâî. Äëÿ âòîðîé ãðóïïû êàæäîìó ðàçáèåíèþ ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , n − 1} íà k íåïåðåñåêàþùååñÿ ïîäìíîæåñòâ (S(n − 1, k) âàðèàíòîâ) ñîîòâåòñòâóåò k ðàçáèåíèé , ïîëó÷àþùèõñÿ ïîî÷åðåäíûì äîáàâëåíèåì ýëåìåíòà n ê êàæ äîìó ïîäìíîæåñòâó. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé ãðóïïå kS(n − 1, k) âàðèàíòîâ Äëÿ ïåðâîé ãðóïïû ñóùåñòâóåò

ðàçáèåíèé. 54

Ýòè ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò ëåãêî âû÷èñëÿòü ÷èñëà Ñòèðëèíãà äëÿ ïðîèç âîëüíûõ

n

è

k. nk 1 2 3 4 5 6

Îïðåäåëåíèå 5.5. áèåíèé

n

1 2 3 4 5 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 3 1 0 0 1 7 6 1 0 1 15 25 10 1 1 31 90 65 15

æåñòâ, òî åñòü Ïîëîæèì

Pn

Bn =

def

= Bn áóäåì íàçûâàòü ÷èñëî âñåõ ðàç íà 1, 2, . . . , n íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíî

×èñëîì Áåëëà

ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà

6 0 0 0 0 0 1

k=0 S(n, k)

B0 = 1.

Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðåêóðåíòíîå ñîîòíîøåíèå

Ëåììà 5.4. Bn+1 =

Pn

n i=0 Ci Bi

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì

(n + 1)

ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî

{1, 2, . . . , n, n + 1} è ôèêñèðóåì â íåì ýëåìåíò n + 1. Áóäåì âûáèðàòü ïðî èçâîëüíûå i ýëåìåíòîâ èç ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , n}. Îñòàâøèåñÿ n + 1 − i ýëåìåíòû ðàññìàòðèâàåì, êàê îäíî ïîäìíîæåñòâî. Òàê êàê 0 6 i 6 n, òî â ïîñëåäíåì ïîäìíîæåñòâå ìîæåò áûòü îò 0 äî n + 1 ýëåìåíòà. Äëÿ êàæ äîé âûáîðêè i ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóåò Bi ðàçáèåíèé, à ñàìè ýëåìåíòû ìîæíî n âûáðàòü Ci ñïîñîáàìè. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïîíÿòèå ôàêòîðèàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ.

Îïðåäåëåíèå 5.6.

Ôàêòîðèàëüíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè

k,

def

[x]k = x(x − 1) · · · (x − k + 1), òî åñòü

[x]1 = x, [x]2 = x(x − 1), [x]3 = x(x − 1)(x − 2), · · ·

Î÷åâèäíî, ÷òî

è.ò.ä.

{1, [x]1 , [x]2 , . . . [x]n , . . .} - áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëå

íîâ. Ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 5.1. n

x =

n X

S[n, k][x]k

(5.1)

k=0 òî åñòü ÷èñëà Ñòèðëèíãà âòîðîãî ðîäà ýòî ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà {1, x, x2 , . . . xn , . . .} ê áàçèñó ôàêòîðèàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ

{1, [x]1 , [x]2 , . . . [x]n , . . .}. 55

Îïðåäåëèì òåïåðü îáðàòíóþ ñâÿçü ýòèõ áàçèñîâ.

Îïðåäåëåíèå 5.7.

×èñëà Ñòèðëèíãà ïåðâîãî ðîäà ýòî ìàòðèöà ïåðåõîäà

îò áàçèñà ôàêòîðèàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ

2

n

{1, x, x , . . . x , . . .},

{1, [x]1 , [x]2 , . . . [x]n , . . .}

ê áàçèñó

òî åñòü

[x]n =

n X

s[n, k]xk

k=0

Ëåììà 5.5. Äëÿ ââåäåííûõ ÷èñåë Ñòèðëèíãà ïåðâîãî ðîäà s(n, k) ñïðàâåä ëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1.

s(n, 0) = 0, n > 0

2.

s(n, n) = 1, n > 0

3.

s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k), 0 < k < n

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñâîéñòâà 1 è 2 î÷åâèäíû. Äîêàæåì ïóíêò 3. Èìååì def [x]n = [x]n−1 (x − n + 1), òîãäà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 5.7

n X

k

s(n, k)x = (x − n + 1)

k=0

− (n − 1) − (n − 1)

n−1 X k=0 n−1 X

n−1 X

k

s(n − 1, k)x =

k=0 n−1 X

s(n − 1, k)xk =

n−1 X

s(n − 1, k)xk+1

k=0

s(n − 1, k − 1)xk + s(n − 1, n − 1)xn

k=1 k

s(n − 1, k)x − s(n − 1, 0)(n − 1) =

k=1

n−1 X

(s(n − 1, k − 1)

k=1 k

n

− (n − 1)s(n − 1, k))x + s(n, n)x − (n − 1)s(n − 1, 0) s(n, n) = 1, s(n − 1, 0) = 0. Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ x ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.

Çàìåòèì, ÷òî îäèíàêîâûõ

Äëÿ ââåäåííûõ ôàêòîðèàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 5.2 (Ôàêòîðèàëüíàÿ òåîðåìà Âàíäåðìîíäà). [(x + y)]n =

n X k=0

56

Ckn [x]k [y]n−k

5.5

Ðàçáèåíèÿ ÷èñåë

Ïóñòü

n ∈ Z, n > 0.

Îïðåäåëåíèå 5.8.

Ðàçáèåíèåì ÷èñëà

n

íàçûâàåòñÿ íàáîð ÷èñåë

{a1 , a2 , . . . , ak }, ai ∈ Z, a1 > a2 > · · · > ak > 0

Ïðèìåð 5.5.

Ïóñòü

n = 7.

è

n = a1 + a2 + · · · + ak

Çàïèøåì âñå ðàçáèåíèÿ â àíòèëåêñèêîãðàôè

÷åñêîì ïîðÿäêå:

{7} {6, 1} {5, 2} {5, 1, 1} {4, 3} {4, 2, 1} {4, 1, 1, 1} {3, 3, 1} {3, 2, 1, 1} {3, 1, 1, 1, 1} {2, 2, 2, 1}{2, 2, 1, 1, 1} {2, 1, 1, 1, 1, 1} {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}

Îïðåäåëåíèå 5.9.

Äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ

{a1 , a2 , . . . , ak }

ìîæíî ïîñòðî

èòü äèàãðàììó Ôåððåðñà. Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàáëèöó èç

ai

ñòðîêà êîòîðîé ñîäåðæèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç

k

ñòðîê, i-àÿ

òî÷åê. Ëþáîìó ðàçáèå

íèþ ñîîòâåòñòâóåò ñîïðÿæåííîå ðàçáèåíèå, ïîëó÷àåìîå òðàíñïîçèöèåé äèà ãðàììû Ôåððåðñà.

Ïðèìåð 5.6. t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t t

16 = 6 + 4 + 4 + 2

16 = 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1

Î÷åâèäíî, ÷òî òðàíñïîçèöèÿ äèàãðàììû Ôåððåðñà îïðåäåëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ðàçáèåíèåì ÷èñëà æå ðàçáèåíèåì ñ íàèáîëüøèì ñëàãàåìûì ðàâíûì

Òåîðåìà 5.3.

×èñëî ðàçáèåíèåé

÷èñëó ðàçáèåíèé

n

n

ñëàãàåìûõ è åãî

k.

íà ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñëàãàåìûå ðàâíî

íà íå÷åòíûå ñëàãàåìûå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå ÷èñëà

b1 , b2 , . . . , bp ,

n íà k

ãäå ñëàãàåìîå

bi

n

íà íå÷åòíûå ñëàãàåìûå

ïîÿâëÿåòñÿ â ðàçáèåíèè

ri

ðàç.

n = b|1 + b1 + · · · + bp {z· · · + b}1 + |b2 + b2 + {z· · · + b}2 + · · ·+ b|p + bp + {z } r1

r2

rp

57

(5.2)

Çàïèøåì äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå

ri = 2q1 + 2q2 + · · · + 2qs , q1 > q2 > · · · >

qs > 0. Çàìåíèì ri ñëàãàåìûõ bi â (5.2) íà ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñëàãàåìûå bi 2q1 , bi 2q2 , . . . , bi 2gs . î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ ñóììà ðàçáèåíèÿ. Ïîâòîðÿÿ ýòó îïåðàöèþ äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . , p è óïîðÿäî÷èâàÿ ñëàãàåìûå q q ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ïðåäñòàâëåíèå, òàê êàê bi 2 l 6= bj 2 m â ñèëó íå÷åòíîñòè bi , bj .

Ïðèìåð 5.7. 26 = 7+5+5+3+3+1+1+1 = 7·20 +5·21 +3·21 +1·(21 +20 ) = 10+7+6+2+1

6 Îñíîâû òåîðèè ãðàôîâ 6.1

Ïðîñòåéøèå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà

Îïðåäåëåíèå 6.1.

Ãðàôîì

def

G = (V, E),

áóäåì íàçûâàòü ïàðó ìíîæåñòâ

def

def

V = {a1 , a2 , . . . , ak }  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí, è E = {(a, b) | a, b ∈ ∈ V}  íåóïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ïàð âåðøèí, íàçûâàåìûõ ð¼áðàìè.

Îïðåäåëåíèå 6.2. Çàìå÷àíèå 6.1.

Ðåáðî

(a, a)

íàçûâàåòñÿ ïåòëåé.

Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãðàôû áåç ïåòåëü.

Îïðåäåëåíèå 6.3.

r = (a, b) ∈ E. Òîãäà âåðøèíû a, b íàçûâàþòñÿ êîíöàìè èëè êîíöåâûìè òî÷êàìè ðåáðà r . Ïðè ýòîì áóäåì ãî âîðèòü, ÷òî ðåáðî r èíöèäåíòíî âåðøèíàì a, b. Âåðøèíû a, b íàçûâàþòñÿ Ðàññìîòðèì ðåáðî

ñìåæíûìè.

Îïðåäåëåíèå 6.4.

Çâåçäîé âåðøèíû a íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî ðåáåð def def {(a1 , a2 ) ∈ E | a1 = a èëè a2 = a} = δ(a). ×èñëî |δ(a)| = deg(a) íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ âåðøèíû a. Åñëè deg(a) = 0, òî âåðøèíà íàçûâàåòñÿ èçîëèðî âàííîé, ïðè

deg(a) = 1

êîíöåâîé èëè âèñÿ÷åé.

Ëåììà 6.1. |E| =

1X deg(a). 2 a∈V

Äîêàçàòåëüñòâî. Â ãðàôå

G

íåò ïåòåëü è êàæäîå ðåáðî ó÷èòûâàåòñÿ äâà

æäû.

Ñëåäñòâèå 6.1 (ê ëåììå 6.1). Ó ëþáîãî ãðàôà G ÷èñëî âåðøèí íå÷¼òíîé ñòåïåíè  ÷¼òíî.

58

Îïðåäåëåíèå 6.5. åñëè

0

Ãðàô

G0 = (V0 , E0 )

íàçûâàåòñÿ ïîäãðàôîì ãðàôà

G,

0

V ⊆ V, E ⊆ E.  ÷àñòíîñòè, ïîäãðàôàìè G ÿâëÿþòñÿ ïóñòîé ãðàô è

ñàì ãðàô . Âñå îñòàëüíûå ïîäãðàôû íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäãðàôàìè.

Îïðåäåëåíèå 6.6.

Ïóòåì (äëèíû l ) íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

a0 , x1 , a1 , x2 , . . . , al−1 , xl , al , ãäå xi  ðåáðî (ai−1 , ai ), ai ∈V. Ïðè a0 6= al ïóòü íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì (íåçàìêíóòûé ), ïðè a0 = al  öèêëè÷åñêèì (çà ìêíóòûì ). Åñëè xi 6= xj (i 6= j)  ïóòü íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì. Îòêðûòûé ïóòü, ãäå ai 6= aj (i 6= j) íàçûâàåòñÿ öåïüþ, èëè (a0 − al ) öåïüþ. Çàìêíóòûé ïðîñòîé ïóòü, ãäå ai 6= aj (i 6= j) íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì öèêëîì èëè ïðîñòî öèêëîì.

Òåîðåìà 6.1.

Åñëè ñóùåñòâóåò ïóòü èç âåðøèíû

òî èç ð¼áåð ýòîãî ïóòè ìîæíî ïîñòðîèòü Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïóòü: ñìîòðèì âñå ïóòè èç

a

â

b

(a − b)

a

â âåðøèíó

b (a 6= b),

öåïü.

a = a0 , x1 , . . . , xl , al = b.

ñîñòîÿùèå èç ð¼áåð, âõîäÿùèõ â â ýòîò ïóòü.

a = a0 , x01 , a01 , . . . , a0k−1 , x0k , a0k = b. a0i = a0j , òîãäà ïóòü

Ñðåäè íèõ âûáåðåì ñàìûé êîðîòêèé

00 êàæåì, ÷òî ai

6=

a00j

(i 6= j).

Ðàñ

Ïóñòü

Ïî

a = a0 , x01 , . . . , a0i , x0j+1 , a0j+1 , . . . , a0k = b, èìååò äëèíó íîñòè ïóòè

k − (j − i) < k .

Ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðåäïîëîæåíèåì î ìèíèìàëü

a.

Òåîðåìà 6.2 (àíàëîã òåîðåìû 6.1 äëÿ çàìêíóòûõ ïóòåé).

Åñëè ñó

ùåñòâóåò çàìêíóòûé ïðîñòîé ïóòü, òî èç åãî ð¼áåð ìîæíî ñîñòàâèòü

✍

öèêë.

Çàìå÷àíèå 6.2. Òðåáîâàíèå ïðîñòîòû ïóòè â òåîðåìå 6.2 ñóùåñòâåííî: à) Ðàññìîòðèì ïóòü á) Äëÿ ïóòè

a0 , x, a1 , x, a0 .

Èç ðåáðà

a0 , x1 , a1 , x2 , a0 (x1 6= x2 ),

x

öèêë ïîñòðîèòü íåëüçÿ.

ïàðàëåëüíûå ð¼áðà

x1 , x 2

îáðàçó

þò öèêë.

Òåîðåìà 6.3.

Ïóñòü

G = (V, E)

ãðàô, âñå âåðøèíû êîòîðîãî, èìåþò

÷¼òíóþ ñòåïåíü. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ðåáðà

x1 ∈ E

ñóùåñòâóåò çàìêíóòûé

ïðîñòîé ïóòü ñîäåðæàùèé ýòî ðåáðî.

x1 = (a0 , a1 ). Ïî ïðåäïîëîæåíèþ òåîðåìû deg(a1 ) ÷èñëî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåáðî x2 ∈ E (x2 6= x1 ) : x2 = (a1 , a2 ). Åñëè

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ÷¼òíîå

a2 = a0 , òî ïîñòðîåíèå òðåáóåìîãî ïóòè çàêîí÷åíî.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå deg(a2 )  ÷¼òíî è íàéäåòñÿ ðåáðî x3 ∈ E : x3 = (a2 , a3 ) . . . è ò. ä. Òàê êàê ìíîæåñòâî âåðøèí V êîíå÷íî è êàæäûé ðàç ìû áåð¼ì íîâîå íåèñïîëüçî âàíîå ðåáðî, èíöèäåíòíîå ai , òî â êîíöå êîíöîâ ñíîâà ïðèä¼ì â âåðøèíó a0 . 59

Òåîðåìà 6.4.

 ïðåäïîëîæåíèè òåîðåìû 6.3, åñëè

E 6= ∅,

òî

E

åñòü

îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâà ð¼áåð íåêîòîðûõ öèêëîâ, íèêàêèå äâà èç êîòîðûõ

✍

íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð.

Ñëåäñòâèå 6.2.

 ïðåäïîëîæåíèè òåîðåìû 6.4 äëÿ ëþáîãî ðåáðà

ñóùåñòâóåò öèêë åãî ñîäåðæàùèé.

xi ∈ E ✍

Ñëåäñòâèå 6.3. Åñëè â ãðàôå G ñóùåñòâóþò äâå ðàçëè÷íûå öåïè P1 è P2 , ñîäåðæàùèå îäíè è òå æå ðàçëè÷íûå âåðøèíû ïîäìíîæåñòâà ð¼áåð

6.2

P1

è

P2

a

è

b,

òî èç íåêîòîðîãî

✍

ìîæíî ïîñòðîèòü öèêë.

Ñâÿçíîñòü

Îïðåäåëåíèå 6.7.

G = (V, E) íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè ∀ai , aj ∈ V (ai = 6 aj ) ñóùåñòâóåò (ai − aj ) öåïü. (Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.1 ìîæíî Ãðàô

ãîâîðèòü î ïóòè.)

Îïðåäåëåíèå 6.8. Ðàññìîòðèì íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî âåðøèí S⊆V. Îáî E(S) ⊆ E ïîäìíîæåñòâî ðåáåð, êîíöåâûå âåðøèíû êîòîðûõ 0 ïðèíàäëåæàò S. Ãðàô G = (S, E(S)) íàçûâàåòñÿ ïîäãðàôîì G, ïîðîæä¼í íûì S. çíà÷èì ÷åðåç

Îïðåäåëåíèå 6.9. øèí ãðàôà

Îïðåäåëèì áèíàðíîå îòíîøåíèå

G(V, E) : a ≡ b,

Óòâåðæäåíèå 6.1. à)

a ≡ b;

á)

a ≡ b,

â)

a ≡ b, b ≡ c,

åñëè ñóùåñòâóåò

Îòíîøåíèå

íà ìíîæåñòâå âåð

öåïü.

åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè:

b ≡ a;

òîãäà

ñîåäèíÿÿ äâå öåïè

V V1 , V2 , . . . , Vk .

Òîãäà ìíîæåñòâî âåðøèí ýâèâàëåíòíîñòè

≡

(a − b)

≡

Îïðåäåëåíèå 6.10.

ïîëó÷àåì öåïü

(a − c).

ðàçáèâàåòñÿ íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû

Ïîäãðàôû, ãðàôà

(V1 , E(V1 ), . . . Vk , E(Vk ))

G,

îïðåäåëÿåìûå

V1 , . . . , Vk

:

íàçûâàþòñÿ ñâÿçíûìè êîìïîíåíòàìè èëè êîì

ïîíåíòàìè ñâÿçíîñòè ãðàôà

Çàìå÷àíèå 6.3.

(a − b), (b − c),

G,

à

k

 ñòåïåíüþ ñâÿçíîñòè ãðàôà

G.

Ëþáàÿ âåðøèíà è ëþáîå ðåáðî ïðèíàäëåæèò îäíîé è

òîëüêî îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè.

Îïðåäåëåíèå 6.11. Ïóñòü G = (V, E), x∈E. Ãðàô G−x = (V, Er{x}). def

Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì êîíöåâûå òî÷êè ðåáðà

60

x

îñòàþòñÿ â ãðàôå.

Òåîðåìà 6.5.

Åñëè â ñâÿçíîì ãðàôå

íåêîòîðîìó öèêëó, òî ãðàô

G−x

G = (V, E),

ðåáðî

x

ïðèíàäëåæèò

îñòà¼òñÿ ñâÿçíûì.

a0 , x, a1 , y2 , . . . , yl , al (= a0 ) öèêë ñîäåðæàùèé x. Òîãäà ïðè óäàëåíèè ðåáðà x, ëþáîé ïóòü, ïðîõîäÿùèé ïî x a0 → a1 ìîæíî çàìåíèòü íà a0 = al , yl , . . . , y2 , a1 .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå:

Òåîðåìà 6.6.

Ïóñòü

G = (V, E)

 ñâÿçíûé ãðàô,

òàêæå ñâÿçíûé ãðàô, òî ñóùåñòâóåò öèêë â

Îïðåäåëåíèå 6.12.

Ðåáðî

x

Åñëè

ñîäåðæàùèé

x.

G−x ✍

G = (V, E) íàçûâàåòñÿ ìîñòîì èëè ñâÿçíîñòè G − x áîëüøå ñòåïåíè ñâÿç

ãðàôà

ðàçäåëÿþùèì ðåáðîì, åñëè ñòåïåíü íîñòè

G

x ∈ E.

G.

Çàìå÷àíèå 6.4.

Åñëè ãðàô

G

íåñâÿçíûé, òî ïðè óäàëåíèè ðåáðà

èçìåíÿåòñÿ ëèøü êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ñîäåðæàùàÿ

x

âèäî

x.

Îïèðàÿñü íà òåîðåìó 6.5 è òåîðåìó 6.6 ëåãêî ïîëó÷èòü êðèòåðèé ìîñòà.

Òåîðåìà 6.7. G

Ðåáðî ãðàôà

G, x

 ìîñò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â

íåò öèêëîâ ñîäåðæàùèõ ýòî ðåáðî.

Ïðèìåð 6.1.

t H  HH  HH a2 Ht t  HH    H  HH  Ht

t H  HH

 t HH H Ðåáðî

HH a1 Ht     HH  Ht 

(a1 , a2 )

✍

ÿâëÿåòñÿ ìîñòîì ãðàôà.

Îïðåäåëåíèå 6.13.

Ðàçîìêíóòîé (çàìêíóòîé) ýéëåðîâîé öåïüþ ãðàôà

íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé ðàçîìêíóòûé (çàìêíóòûé) ïóòü âêëþ÷àþùèé âñå ð¼á ðà ãðàôà.

Òåîðåìà 6.8. Â ãðàôå G = (V, E) ñóùåñòâóåò çàìêíóòàÿ ýéëåðîâà öåïü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà à) Ãðàô ñâÿçíûé; á) Âñå åãî âåðøèíû èìåþò ÷¼òíóþ ñòåïåíü.

✍

Ñëåäñòâèå 6.4. Ãðàô G = (V, E) èìååò îòêðûòóþ ýéëåðîâó öåïü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà à)

G

 ñâÿçíûé ãðàô;

á) Ñóùåñòâóåò ðîâíî äâå âåðøèíû íå÷¼òíîé ñòåïåíè. 61

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî íå÷¼òíóþ ñòåïåíü èìåþò êîíöåâûå âåð øèíû ãðàôà. Ñîåäèíÿÿ èõ ôèêòèâíûì ðåáðîì ïîïàäàåì â óñëîâèÿ òåîðå ìû 6.8, ñëåäîâàòåëüíî â íîâîì ãðàôå ñóùåñòâóåò çàìêíóòàÿ ýéëåðîâà öåïü. Óäàëÿÿ ôèêòèâíîå ðåáðî ïîëó÷àåì îòêðûòóþ ýéëåðîâó öåïü äëÿ èñõîäíîãî ãðàôà.

6.3

Äåðåâüÿ

Îïðåäåëåíèå 6.14.

Ñâÿçíûé ãðàô íå ñîäåðæàùèé öèêëîâ íàçûâàåòñÿ äå

ðåâîì. Ïðîèçâîëüíûé ãðàô íå ñîäåðæàùèé öèêëîâ íàçûâàåòñÿ ëåñîì.

Òåîðåìà 6.9. Ãðàô ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ åãî ðàçëè÷íûìè âåðøèíàìè ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî

✍

îäíà öåïü.

Òåîðåìà 6.10. Äåðåâî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå äâóõ âåðøèí èìååò ïî êðàé íåé ìåðå äâå êîíöåâûå âåðøèíû.

a0 , x1 , a1 , . . . , xl , al  öåïü ìàêñèìàëüíîé äëèíû â ãðàôå. Ïîêàæåì, ÷òî deg(a0 ) = deg(al ) = 1. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ðåáðî xl+1 6= = xl , òàêæå èíöèäåíòíîå al , è al+1 åãî âòîðàÿ êîíöåâàÿ òî÷êà. Íî â äåðåâå íåò öèêëîâ, òîãäà al+1 6= ai i = 0, 1, . . . , ñëåäîâàòåëüíî a0 , x1 , a1 , . . . , xl , al , xl+1 , al+1  öåïü. Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ìàêñèìàëüíîñòè äëèíû öåïè. Àíàëîãè÷íîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïðîâåñòè äëÿ äëÿ âåðøèíû a0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

Ëåììà 6.2.

Ïîñëå óäàëåíèÿ èç äåðåâà êîíöåâîé âåðøèíû, âìåñòå ñ èíöè

✍

äåíòíûì åé ðåáðîì, ïîëó÷àåòñÿ âíîâü äåðåâî.

Òåîðåìà 6.11.

Äåðåâî ñ

p

âåðøèíàìè èìååò

p−1

ðåáðî.

p. Ïðè p = 1 p 6 k . Ïî òåîðå

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâîäèì èíäóêöèþ ïî ÷èñëó âåðøèí óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïóñòü òåîðåìà âåðíà äëÿ âñåõ ìå 6.10 äåðåâî ñ

k+1 > 2

âåðøèí èìååò êîíöåâóþ âåðøèíó. Èñêëþ÷àÿ

å¼, ïî ëåììå 6.2 ïîëó÷àåì äåðåâî ñ ïðåäïîëîæåíèþ) èìååò

k−1

G

ùèì ãðàô

âåðøèíàìè. Îíî (ïî èíäóêöèîííîìó

ðåáðî.

Îïðåäåëåíèå 6.15. G = (V, E) ãðàôîì

k

ñâÿçíûé ãðàô. Äåðåâî, ÿâëÿþùååñÿ ïîä

è ñîäåðæàùåå âñå åãî âåðøèíû íàçûâàþòñÿ äåðåâîì ïîêðûâàþ

G

(ñòÿãèâàþùèì äåðåâîì, êàðêàñîì ).

Ïðèìåð 6.2. t

t @ @ @t

t

t

d -

d

d

d

d 62

Òåîðåìà 6.12.

 ñâÿçíîì ãðàôå

G

âñåãäà ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå

îäíî ñòÿãèâàþùåå åãî äåðåâî.

G íåò öèêëîâ, òî òåîðåìà äîêàçàíà.  ïðî òèâíîì ñëó÷àå èñêëþ÷àåì ëþáîå ðåáðî x, ïðèíàäëåæàùåå öèêëó. Ïî òåîðå ìå 6.5 ïîëó÷èâøèéñÿ ãðàô G r {x} ñâÿçíûé. Ïðîäîëæàåì ýòó ïðîöåäóðó, Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè â ãðàôå

ïîêà â ãðàôå åñòü öèêëû.

Ñëåäñòâèå 6.5. G = (V, E), F ⊆ E, F : ∀ öèêëà ãðàôà G âñå ð¼áðà ýòîãî F,òîãäà

öèêëà íå ëåæàò ïîëíîñòüþ â G0 = (V, E0 ) : F ⊆ E0 .

ñóùåñòâóåò ñòÿãèâàþùåå äåðåâî

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 6.12 âñåãäà ìîæíî èñêëþ ÷àòü ð¼áðà íå ëåæàùèå â

Ñëåäñòâèå 6.6.

F,

ïîýòîìó ð¼áðà

Ñâÿçíûé ãðàô ñ

p

F

îñòàíóòñÿ â êàðêàñå.

âåðøèíàìè è

p−1

ð¼áðàìè ÿâëÿåòñÿ

✍

äåðåâîì.

Ñëåäñòâèå 6.7.

Åñëè ñâÿçíûé ãðàô èìååò

p

âåðøèí è

q

ð¼áåð, òî

✍

q − p + 1 > 0 (q > p − 1).

Îïðåäåëåíèå 6.16.

G = (V, E) èìååò p ðàâíî k . Òîãäà

Ïóñòü ãðàô

÷èñëî åãî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè

def

ϕ = p−k

âåðøèí è

q

ð¼áåð è

 êîðàíã ãðàôà;

def

µ = q−p+k

 öèêëîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà.

(V1 , E1 ), . . . , (Vk , Ek )  êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðàôà èìåþùèå p1 , . . . , pk âåðøèí è q1 , q2 , . . . , qk  ð¼áåð. Òàêèì îáðàçîì äëÿ êàæäîé êîì Ïóñòü

ïîíåíòû ñâÿçíîñòè

ϕi = pi − 1, µi = qi − pi + 1,

i = 1, . . . , k.

Î÷åâèäíî, ÷òî

ϕ=

k X

ϕi , µ =

i=1

k X

µi ,

i=1

Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 6.13. 2) Ãðàô

G

1)

µ>0

äëÿ ëþáîãî ãðàôà

G;

 äåðåâî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

(Â ïóíêòå 2 ãðàô

G

ïðåäïîëàãàåòñÿ ñâÿçíûì.)

63

µ = 0.

Îïðåäåëåíèå 6.17.

Ïóñòü

G = (V, E)

p

ñâÿçíûé ãðàô ñ

âåðøèíàìè è

0

q

0

T = (V, E )  ñòÿãèâàþùåå äåðåâî äëÿ G. мáðà x ∈ E íàçûâà 0 þòñÿ âåòâÿìè, ð¼áðà y ∈ E r E õîðäàìè. Åñëè ê äåðåâó T äîáàâèòü õîðäó x ∈ E r E0 : x = (a, b), òî x è T îáðàçóþò ãðàô ñ öèêëîì êîòîðûé îïðåäåëÿ åòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì öåïüþ, ñîåäèíÿþùåé âåðøèíû a, b. Ýòîò öèêë íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì öèêëîì, îïðåäåëÿåìûé õîðäîé x.

ð¼áðàìè è

Çàìå÷àíèå 6.5.

Âåòâåé â ãðàôå

ñëåäîâàòåëüíî âñåãî ñóùåñòâóåò

p − 1, õîðä q − (p − 1) = q − p + 1 = µ, µ ãëàâíûõ öèêëîâ.

Ïðèìåð 6.3. Ïóñòü x1 , x2 , x3 , x4 , x5 äû. Òîãäà ãëàâíûå öèêëû ãðàôà et  @  c t  y1 x@4 @y2 @ @ @tf x2 d t    x  5     x3  b t   x 1  y 3   a t Ïóñòü

x0

- âåòâè ãðàôà

G,

à

y 1 , y2 , y3

- åãî õîð

G: y1 : c, y1 , e, x4 , d, x3 , b, x2 , c y2 : e, y2 , f, x5 , d, x4 , e y3 : a, y3 , f, x5 , d, x3 , b, x1 , a

ïðîèçâîëüíàÿ âåòâü ãëàâíîãî öèêëà, îïðåäåëÿåìîãî õîðäîé

T

ëè ê äåðåâó

äîáàâèòü õîðäó

x,

x.

Åñ

òî åäèíñòâåííûì ïðîñòûì öèêëîì íà

0

èñêëþ÷èòü âåòâü

(V, E ∪ {x}) áóäåò öèêë, îïðåäåëÿåìûé x. Åñëè èç íåãî x , òî îáðàçóåòñÿ íîâîå äåðåâî (V, E0 ∪ {x} r {x0 }) ñòÿãè

G.

Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ïðåîá

ïîëó÷åííîì ãðàôå âàþùåå ãðàô

0

ðàçîâàíèåì äåðåâà.

Ïðèìåð 6.4.

a d

t

t

t

td

−x0 = (c, d) +x = (a, b)

x0 t

d

c

t

t

t

dd

d

c

b

a t

x

t

b

Ò. î. ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 6.14.

G = (V, E)  ñâÿçíûé ãðàô, T = (V, E0 )  ïî 0 0 êðûâàþùåå åãî äåðåâî. Ïóñòü x ∈ E âåòâü ãëàâíîãî öèêëà, îïðåäåëÿåìîãî 0 0 0 õîðäîé x∈ErE . Òîãäà ãðàô (V, E ∪{x}r{x }) åñòü ñòÿãèâàþùåå äåðåâî äëÿ G. Ïóñòü

64

6.4

Êîöèêëû

Îïðåäåëåíèå 6.18. Ðàññìîòðèì ñâÿçíûé ãðàô G = (V, E). Ïóñòü ìíîæå C ⊆ E : ãðàô (V, E r C) óæå íåñâÿçåí. Òàêîå ìèíèìàëüíîå íàçûâàåòñÿ êîöèêëîì ãðàôà G.

ñòâî

ìíîæåñòâî

Êàê ïîíèìàòü ìèíèìàëüíîñòü òàêîãî ìíîæåñòâà:

C

(V, E r C) C ⊂ C, ãðàô (V, E r C0 )

 êîöèêë, åñëè ãðàô

ïîäìíîæåñòâà

0

Ïðèìåð 6.5.

x1

t  x3 

 tH  HH HH Ht

Ïóñòü

íåñâÿçåí, à ëþáîãî ñîáñòâåííîãî óæå ñâÿçåí.

t

{x1 , x2 } - êîöèêë {x1 , x2 , x3 } - íåò

x2

t

G = (V, E)

ñâÿçíûé ãðàô, à

C

åãî êîöèêë. Òîãäà

(V, E r C)

íåñâÿçíûé ãðàô. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åãî ñòåïåíü ñâÿçíîñòè áîëüøå 2. Ïóñòü

(V1 , E1 ), (V2 , E2 ), (V3 , E3 ), . . . , êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè (V, E r C). Ò. ê. ãðàô G ñâÿçåí, òî ñóùåñòâóåò x ∈ C ñîåäèíÿþùåå âåðøèíû èç Vi è Vj (i 6= = j). Äëÿ ïðîñòîòû ñ÷èòàåì, ÷òî i = 1, j = 2. Òîãäà C0 = C r {x}  ñîá 0 ñòâåííîå ïîäìíîæåñòâî C, íî ãðàô (V, E r C ) íåñâÿçåí. Äåéñòâèòåëüíî âåðøèíû èç V1 è V2 íåñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëü íîñòüþ ìíîæåñòâà C, ñëåäîâàòåëüíî, åñëè C êîöèêë, òî ñòåïåíü ñâÿçíîñòè ãðàôà (V, E r C) ðàâíà 2. Ïóñòü C êîöèêë ñâÿçíîãî ãðàôà G = (V, E), à (V1 , E1 ), (V2 , E2 ) êîìïî íåíòû ñâÿçíîñòè (V, E r C). Î÷åâèäíî, ÷òî â C íåò ð¼áåð, êîòîðûå ñîåäè íÿëè áû äâå âåðøèíû â V1 èëè äâå âåðøèíû V2 Îáîçíà÷èì ÷åðåç E(V1 , V2 ) ìíîæåñòâî ð¼áåð èç E : (vi , vj ), ãäå vi ∈ V1 , vj ∈ V2 . Òîãäà C = E(V1 , V2 ). Ò. î. óñòàíîâëåíà

Òåîðåìà 6.15. ñâÿçíîñòè ñâÿçíîñòè

C  êîöèêë ñâÿçíîãî ãðàôà G = (V, E), òî ñòåïåíü ãðàôà (V, E r C) = 2. Ïóñòü (V1 , E1 ), (V2 , E2 ) êîìïîíåíòû ãðàôà (V, E r C), òîãäà C = E(V1 , V2 ). Åñëè

Ñëåäñòâèå 6.8.

Ëþáîé öèêë è ëþáîé êîöèêë ñâÿçíîãî ãðàôà èìåþò ÷¼ò

✍

íîå ÷èñëî îáùèõ ð¼áåð.

Îïðåäåëåíèå 6.19.

G = (V, E) ñâÿçíûé ãðàô, à T = (V, E0 ) ñòÿ 0 ãèâàþùåå åãî äåðåâî. Ðàññìîòðèì x ∈ E âåòâü ýòîãî äåðåâà. Ò. ê. (ïî òåî 0 ðåìå 6.7) x ìîñò, òî ãðàô (V, E r {x}) íåñâÿçåí. Ò. î. ìíîæåñòâî {x} ýòî 0 0 0 êîöèêë äåðåâà T. Ïóñòü (V1 , E1 ), (V2 , E2 ) êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè (V, E r {x}). Îáîçíà÷èì ÷åðåç E00 ð¼áðà, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ õîðäàìè ãðàôà G è Ïóñòü

65

E00 = (E r E0 ) ∩ E(V1 , V2 ). Î÷å 00 00 âèäíî, ÷òî {x} ∪ E êîöèêë ãðàôà G. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî E ýòî ìíîæåñòâî 00 õîðä, ãëàâíûå öèêëû êîòîðûõ âêëþ÷àþò âåòâü x. Ýòîò êîöèêë {x} ∪ E íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì êîöèêëîì, îïðåäåëÿåìûì ðåáðîì x. Ò. ê. ÷èñëî âåò âåé ðàâíî ϕ = p − k (p  ìíîæåñòâî âåðøèí, k ñòåïåíü ñâÿçíîñòè), òî ñóùåñòâóåò ϕ ãëàâíûõ êîöèêëîâ.

ñîåäèíÿþò âåðøèíû èç

V1

è

V2 ,

òî åñòü

Ïðèìåð 6.6. Ðàññìîòðèì ãðàô G èç ïðèìåðà 6.3. Òîãäà ãëàâíûå êîöèêëû ãðàôà

G:

et  @  x@4 @y2 c t  y1 @ @ @tf x2 d t    x  5 x   3  b t   x 1  y 3   a t

Îïðåäåëåíèå 6.20.

x1 x2 x3 x4 x5

: : : : :

{x1 , y3 } {x2 , y1 } {x3 , y1 , y3 } {x4 , y1 , y2 } {x5 , y2 , y3 }

 òåîðåìå 6.4 áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå îáúåäèíåíèÿ ñî

âîêóïíîñòè ð¼áåð öèêëîâ, íèêàêèå äâà èç êîòîðûõ íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð. Íåïóñòîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ ð¼áåð íåêîòîðîãî ÷èñëà öèêëîâ, íèêà êèå äâà èç êîòîðûõ íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð íàçûâàþòñÿ ãðàíèöåé. Íåïóñòîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ ð¼áåð íåêîòîðîãî ÷èñëà êîöèêëîâ, íè êàêèå äâà èç êîòîðûõ íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð íàçûâàþòñÿ êîãðàíèöåé.

Ëåììà 6.3. ⊆E

Ïóñòü

G = (V, E)

ñâÿçíûé ãðàô è ìíîæåñòâî ðåáåð

B⊆

íå ñîäåðæèò öåëèêîì íè îäíîãî êîöèêëà. Òîãäà ñóøåñòâóåò äåðåâî,

ñòÿãèâàþùåå

G,

êîòîðîå ñîäåðæèò òîëüêî ð¼áðà èç

E r B.

T = (V, E0 ) êàðêàñ ãðàôà G, ñîäåðæàùèé 0 íàèáîëüøåå ÷èñëî ð¼áåð èç E r B. Ïîêàæåì, ÷òî E ⊂ E r B. Ïóñòü ñóùå 0 ñòâóåò ðåáðî x ∈ E r B. Ðàññìîòðèì ãëàâíûé êîöèêë, îïðåäåë¼ííûé x (x ÿâëÿåòñÿ âåòâüþ êàðêàñà T). Ò. ê. íåò êîöèêëîâ, ïîëíîñòüþ ëåæàùèõ â B (ïî ïðåäïîëîæåíèþ), òî 0 ñóùåñòâóåò õîðäà x ∈ E r B, êîòîðàÿ âõîäèò â ýòîò êîöèêë. Äðóãèìè ñëî 0 âàìè: ãëàâíûé öèêë, îïðåäåëÿåìûé õîðäîé x ñîäåðæèò âåòâü x. Ñäåëàåì âêëþ÷. âûêë. 0 ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå äåðåâà T ( −→ x è x −→ , ñòð. 64). Òîãäà ó íîâîãî äåðåâà ÷èñëî ð¼áåð èç E r B íà 1 áîëüøå ÷åì ó T. Ïðîòèâîðå÷èå, 0 ñëåäîâàòåëüíî E ⊂ E r B. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì

Òåîðåìà 6.16. Ïóñòü B 6= ∅, B ⊂ E, ãäå G = (V, E), è B èìååò ÷¼òíîå G. Òîãäà B ýòî îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ íåêî äâà èç êîòîðûõ íå èìåþò îáùèõ ð¼áåð (ò. å. B ✍

÷èñëî ð¼áåð ñ ëþáûì öèêëîì òîðûõ êîöèêëîâ, íèêàêèå êîãðàíèöà).

66

Ñëåäñòâèå 6.9. Çâåçäà δ(a) ïðîèçâîëüíîé âåðøèíû ÿâëÿåòñÿ êîãðàíèöåé. Äîêàçàòåëüñòâî. Çâåçäà ëèáî èìåþò

2

δ(a)

è ëþáîé öèêë ãðàôà ëèáî íåïåðåñåêàþòñÿ,

îáùèõ ðåáðà.

Òåîðåìà 6.17.

Ïóñòü

G = (V, E)

B ⊆ E, B èìååò êîöèêëîì G. Òîãäà B åñòü

ñâÿçàííûé ãðàô;

÷¼òíîå ÷èñëî îáùèõ ð¼áåð ñ ïðîèçâîëüíûì

îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ íåêîòîðûõ öèêëîâ, íèêàêèå äâà èç êîòîðûõ íå

✍

èìåþò îáùèõ ð¼áåð (ò. å.B êîãðàíèöà).

6.5

Äâóäîëüíûå ãðàôû

G = (V, E) ñâÿçíûé ãðàô. Ââåä¼ì ïîíÿòèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó âåðøèíàìè ãðàôà. ∀a, b ∈ V : ρ(a, a) = 0, ρ(a, b) äëèíà ñàìîé êîðîòêîé (a − b) öåïè. Ïóñòü

Óòâåðæäåíèå 6.2. ρ(a, b)

 åñòü ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ.

1.

ρ(a, b) > 0,

2.

ρ(a, b) = ρ(b, a);

3.

ρ(a, b) + ρ(b, c) > ρ(a, c).

ïðè ýòîì

ρ(a, b) = 0

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

a = b;

Äîêàçàòåëüñòâî. Ï. ï. 1, 2  î÷åâèäíû. Äîêàæåì ï. 3.  ñèëó îïðåäåëåíèÿ

(a − b) äëèíû ρ(a, b) è (b − c) äëèíû ρ(b, c). Òîãäà ñóùåñòâóåò ïóòü èç a â c äëèíû ρ(a, b) + ρ(b, c). Íî äëèíà ñàìîé êîðîòêîé (a−c) öåïè (ïî îïðåäåëåíèþ ρ ðàâíàÿ ρ(a, c)) î÷åâèäíî íå áîëüøå, ÷åì äëèíà (a − c) ïóòè.

ôóíêöèè

ρ

ñóùåñòâóþò öåïè

Îïðåäåëåíèå 6.21. a ∈ V, V0 ⊂ V , V0 , V00 ⊂ V ,

Îïðåäåëåíèå 6.22.

def

ρ(a, V0 ) = min0 ρ(a, b). b∈V

00 def

ρ(V0 , V ) =

Ðàññìîòðèì ãðàô

min

a∈V0 , b∈V00

G(V, E).

Ïóñòü

ρ(a, b).

V = V1 ∪ V2 :

V1 ∩ V2 = ∅, V1 , V2 6= ∅. Ïðè ýòîì êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò V1 ñ âåðøèíîé èç V2 . Òàêîé ãðàô íàçûâàåòñÿ äâóäîëüíûì.

Òåîðåìà 6.18.

âåðøèíó èç

Ãðàô, èìåþùèé áîëåå îäíîé âåðøèíû, ÿâëÿåòñÿ äâóäîëü

íûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî öèêëû ñîäåðæàò ÷¼òíîå ÷èñëî

✍

ð¼áåð.

67

Îïðåäåëåíèå 6.23.

Ðàñêðàøèâàíèåì ãðàôà áóäåì íàçûâàòü ïðîöåññ ñî

ïîñòàâëåíèÿ åãî âåðøèíàì öâåòîâ, òàê, ÷òîáû ñìåæíûå âåðøèíû áûëè ðàç íîöâåòíûìè. Ìèíèìàëüíîå ÷èñëî öâåòîâ äëÿ òàêîé ðàñêðàñêè íàçûâàåòñÿ

õðîìàòè÷åñêèì ÷èñëîì ãðàôà.

Òåîðåìà 6.19.

Äëÿ ïðîöåññà ðàñêðàøèâàíèÿ ãðàôà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþ

ùèå ñâîéñòâà: 1. Õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ãðàôà ðàâíî

2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãðàô

äâóäîëüíûé. 2. Ò. ê. äåðåâüÿ è ëåñà íå èìåþò öèêëîâ, òî îíè ìîãóò áûòü ðàñêðàøå íû íå áîëåå ÷åì äâóìÿ öâåòàìè. 3. Ãðàô äîïóñêàþùèé ðàñêðàñêó îäíèì öâåòîì ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ èçîëèðîâàííûõ âåðøèí, íå èìåþùèõ íè îäíîãî ðåáðà.

6.6

Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ

Îïðåäåëåíèå 6.24.

Åñëè ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà ðåáåð

E

ÿâëÿþòñÿ óïî

{a, b}, òî ãðàô íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàíûì èëè ~ ~ .  ýòîì ñëó÷àå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà V îðãðàôîì è îáîçíà÷àåòñÿ G(V, E) íàçûâàþòñÿ óçëàìè, à ýëåìåíòû E äóãàìè. Äëÿ äóãè ~ x = [a, b] óçåë a  íà÷àëî, à óçåë b  êîíåö äóãè. + − Äëÿ êàæäîãî óçëà èìååòñÿ äâå çâåçäû: δ (a), δ (a)  ìíîæåñòâà âûõî + − äÿùèõ è âõîäÿùèõ â a äóã; ïðè ýòîì |δ (a)|  ïîëîæèòåëüíàÿ, |δ (a)|  îòðèöàòåëüíàÿ ñòåïåíü óçëà a. ðÿäî÷åííûå ïàðû âåðøèí

Óòâåðæäåíèå 6.3. ~ = |E|

X

+

|δ (a)| =

a∈V

X

|δ − (a)|.

a∈V

Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäîìó ðåáðó íóæíî ñîïîñòàâèòü åãî íà÷àëî èëè åãî êîíåö.

Îïðåäåëåíèå 6.25. òåëüíîñòü

Íàïðàâëåíûì ïóò¼ì äëèíû

a0 , ~x1 , a1 , ~x2 , . . . , al−1 , ~xl , al ,

ãäå

~xi

l

 äóãè

íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâà

[ai−1 , ai ].

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèÿ îòêðûòîãî, çàìêíóòîãî, ïðîñòîãî ïó òè, öåïè è öèêëà. Äëÿ îðãðàôîâ èìåþò ìåñòî òåîðåìû àíàëîãè÷íûå Òåîðåìå 6.1 è Òåîðå ìå 6.2.

68

Òåîðåìà 6.20. ñóùåñòâóåò

Åñëè ðàçëè÷íûå óçëû

(a → b)

{a, b}

ñîåäèíåíû

(a → b)

ïóò¼ì, òî

öåïü, ïîñòðîåííàÿ èç äóã ýòîãî ïóòè.

Òåîðåìà 6.21. Åñëè ñóùåñòâóåò çàìêíóòûé îðèåíòèðîâàííûé ïóòü, òî èç äóã ýòîãî ïóòè ìîæíî ïîñòðîèòü îðèåíòèðîâàííûé öèêë.

Çàìå÷àíèå 6.6.

Äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íû äîêàçàòåëüñòâàì òåîðå

ìû 6.1 è òåîðåìû 6.2, íî òðåáîâàíèå ïðîñòîòû äëÿ òåîðåìû 6.2 â òåîðå ìå 6.21 íå íóæíî. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå íåò

a0 , x, a1 , x, a0 . ~x = [a0 , a1 ], ~y = [a1 , a0 ], ~x 6= ~y .

çàìêíóòûõ ïóòåé, ïîäîáíûõ ïóòè: äâå äóãè

 ïóòè

a0 , ~x, a1 , ~y , a0



Òåîðåìå 6.3 ñîîòâåòñâóåò

Òåîðåìà 6.22. óçëà

~ = (V, E) ~ îðèåíòèðîâàííûé ãðàô è äëÿ ëþáîãî G ~ ñó a ∈ V ñïðàâåäëèâî |δ + (a)| = |δ − (a)|. Òîãäà äëÿ ëþáîé äóãè ~x ∈ E Ïóñòü

ùåñòâóåò çàìêíóòûé ïðîñòîé îðåíòèðîâàííûé ïóòü, ñîäåðæàùèé ýòó äóãó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò ïîâòîðèòü ðàññóæäåíèÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåî ðåìû 6.3. Íåîáõîäèìî òîëüêî ó÷åñòü, ÷òî âñåãäà ñëåäóåò äâèãàòüñÿ ñîãëàñíî

~x = [a0 , a1 ]. Ò. ê. |δ + (a1 )| = |δ − (a1 )|, ~x2 6= ~x1 , èñõîäÿùÿÿ èç a1 , è ò. ä.

îðèåíòàöèè äóã: ïóñòü äóãà ñòâóåò äóãà

òî ñóùå

Àíàëîã òåîðåìû 6.4 ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ñ÷èòàòü âñå äóãè ïðè äîêàçà òåëüñòâå îðèåíòèðîâàííûìè:

Òåîðåìà 6.23. óçëà ãðàôà

~ = (V, E) ~ îðèåíòèðîâàííûé ãðàô è äëÿ ëþáîãî G ~ 6= ∅, òî îíî åñòü a ∈ V ñïðàâåäëèâî |δ + (a)| = |δ − (a)|. Åñëè E Ïóñòü

îáúåäèíåíèå äóã íåêîòîðîãî ÷èñëà îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ, íèêàêèå äâà èç êîòîðûõ íå èìåþò îáùèõ óçëîâ.

Ñëåäñòâèå 6.10.

(â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.23) äëÿ ëþáîé äóãè

~ ~x ∈ E

ñóùå

ñòâóåò îðèåíòèðîâàííûé öèêë å¼ ñîäåðæàùèé.

~ = (V, E) ~ îðèåíòèðîâàííûé ãðàô. Åñëè ñîîò Îïðåäåëåíèå 6.26. Ïóñòü G âåòñòâóþùèé åìó íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô òî

~ G

G = (V, E) ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì,

íàçûâàåòñÿ ñëàáîñâÿçíûì (ò. å. ìîæíî ïîïàñòü èç ëþáîé âåðøèíû â

ëþáóþ, åñëè íå îáðàùàòü âíèìàíèÿ íà îðèåíòàöèþ).

~ íàçûâàåòñÿ ñèëüíîñâÿçíûì, åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû óçëîâ a, b ∈ V G ñóùåñòâóþò (a → b) è (b → a) öåïè. Ãðàô

Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ýéëåðîâîãî ïóòè: ðàçîìêíóòûé (çàìêíó òûé) ïðîñòîé îðèåíòèðîâàííûé ïóòü, ñîäåðæàùèé âñå äóãè ãðàôà. Ñïðàâåäëèâà òàêæå òåîðåìà àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 6.8 69

Òåîðåìà 6.24.

Îðèåíòèðîâàííûé ãðàô èìååò çàìêíóòóþ ýéëåðîâó öåïü

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 1.

~ G

2.

|δ + (a)| = |δ − (a)|, ∀a ∈ V.

 ñëàáîñâÿçíûé;

Ñëåäñòâèå 6.11.

Îðèåíòèðîâàííûé ãðàô èìååò ðàçîìêíóòóþ ýéëåðîâó

öåïü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 1.

~ G

ñëàáî ñâÿçàí,

2. ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííûé óçåë |δ + (a0 )| = |δ − (a0 )| + 1,

a0 ∈ V :

3. cóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ óçåë |δ − (a1 )| = |δ + (a1 )| + 1,

a1 ∈ V :

4. äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ óçëîâ ãðàôà âûïîëíåíî Äîêàçàòåëüñòâî. Äîáàâëÿåì ôèêòèâíóþ äóãó

|δ + (a)| = |δ − (a)|. ~x = [a1 , a0 ]

è ïðèìåíÿåì

òåîðåìó 6.24.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] À.Àõî, Äæ.Õîïêðîôò, Äæ.Óëüìàí, Ïîñòðîåíèå è àíàëèç âû÷èñëèòåëü íûõ àëãîðèòìîâ, Ìîñêâà, 1979. [2] È.Ì.Âèíîãðàäîâ, Îñíîâû àðèôìåòèêè, Ìîñêâà, 1972. [3] Äæ.Äýâåíïîðò, È.Ñèðý, Ý.Òóðíüå, Êîìïúþòåðíàÿ àëãåáðà, Ìîñêâà, 1991. [4] Ò.Êàñàìè, Ò.Ôóäçèñàâà, Ìàòåìàòèêà äëÿ ðàäèîèíæåíåðîâ, Ìîñêâà, 1984. [5] Ä.Êíóò, Èñêóññòâî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ ÝÂÌ, ò.2, Ìîñêâà, 1977. [6] Î.Ï.Êóçíåöîâ, Ã.Ì.Àäåëüñîí-Âåëüñêèé, Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ èíæåíåðà, Ìîñêâà, 1988. [7] Â.Ëèïñêèé, Êîìáèíàòîðèêà äëÿ ïðîãðàììèñòîâ, Ìîñêâà, 1988. [8] Ô.À.Íîâèêîâ,

Äèñêðåòíàÿ

ìàòåìàòèêà

äëÿ

ïðîãðàììèñòîâ,

Ñ.-Ïåòåðáóðã, 2001. [9] È.Â.Ðîìàíîâñêèé, Äèñêðåòíûé Àíàëèç, Ñ.-Ïåòåðáóðã, 1999. 70

[10] Ì.Ñèáóÿ, Ò.ßìîìîòî, Àëãîðèòû îáðàáîòêè äàííûõ, Ìîñêâà, 1986. [11] Ââåäåíèå â êðèïòîãðàôèþ, ïîä îáù. ðåä. Â.Â.ßùåíêî, Ìîñêâà, 1998.

Îãëàâëåíèå 1

Àðèôìåòèêà öåëûõ ÷èñåë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1

Äåëåíèå ñ îñòàòêîì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü, íàèìåíüøåå îáùåå êðàò íîå è èõ ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Ïðîñòûå ÷èñëà

5

1.4

Ðåøåòî Ýðàòîñôåíà. Ðàçëîæåíèå ÷èñëà íà ïðîñ-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

òûå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

Ïîçèöèîííàÿ çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë . . . . . . . .

9

1.6

Àëãîðèòìû àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé ñ ïèñÿìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

1.7

Àëãîðèòìû ïåðåâîäà ëà â

1.8 2

3

q -è÷íóþ

. . . . . . . . . . . . . . .

10

p-è÷íîé çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Àëãîðèòì ýôôåêòèâíîãî âîçâåäåíèÿ ÷èñëà â íàòóðàëü íóþ ñòåïåíü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Àëãîðèòì Åâêëèäà è öåïíûå äðîáè . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1

Êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì Åâêëèäà . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Áèíàðíûé àëãîðèòì Åâêëèäà . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ

16

2.4

Ðàçëîæåíèå ÷èñëà â öåïíóþ(íåïðåðûâíóþ) äðîáü

. .

17

2.5

Ñâîéñòâà ïîäõîäÿùèõ äðîáåé è èõ âû÷èñëåíèå . . . .

19

2.6

Áåñêîíå÷íàÿ öåïíàÿ äðîáü è åå âû÷èñëåíèå . . . . . .

20

2.7

Íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ

. . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.8

Äèîôàíòîâû óðàâíåíèÿ

. . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Ñðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.1

Êëàññû âû÷åòîâ è ìîäóëüíàÿ àðèôìåòèêà . . . . . . .

28

3.2

Ôóíêöèÿ Ýéëåðà è åå ñâîéñòâà

32

3.3

Ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ýéëåðà â êðèïòîãðàôèè. Ñèñòå ìà øèôðîâàíèÿ RSA.

4

p -è÷íûìè çà

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.4

Äðóãèå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ RSA.

. . . . . . . . .

36

3.5

Ðåøåíèå ñðàâíåíèé ïåðâîé ñòåïåíè . . . . . . . . . . .

38

Ìíîãî÷ëåíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.1

Àðèôìåòèêà ìíîãî÷ëåíîâ. . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2

Ñõåìà Ãîðíåðà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

71

4.3

Àëãîðèòì Åâêëèäà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ. Ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå ÍÎÄ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

Êèòàéñêàÿ òåîðåìà îá îñòàòêàõ äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ. Èí òåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà. . . . . . . . . . .

46

4.5

Èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä Íüþòîíà

47

4.6

Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ñâîáîäíûå îò êâàäðàòîâ ìíîæèòåëè

5

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Òåîðèÿ ìíîæåñòâ è êîìáèíàòîðèêà . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.1

Êîäèðîâàíèå ñ èñïðàâëåíèåì îøèáîê. Ãðàíèöà Õåììèíãà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

Êîä Øåííîíà-Ôýíî è àëãîðèòì Õàôôìåíà

5.3

Ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê. Ãåíåðèðîâàíèå ê-ýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ

6

44

. . . . . .

49 51

. . . . . . . . . . . . . . .

53

5.4

×èñëà Ñòèðèíãà ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà . . . . . . . .

54

5.5

Ðàçáèåíèÿ ÷èñåë

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Îñíîâû òåîðèè ãðàôîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.1

Ïðîñòåéøèå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà . . . . . . . . . .

58

6.2

Ñâÿçíîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.3

Äåðåâüÿ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6.4

Êîöèêëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.5

Äâóäîëüíûå ãðàôû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

6.6

Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ . . . .

68

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ðåäàêòîð Ëèöåíçèÿ ËÐ  020617 îò 10.08.92

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü ......02. Ôîðìàò

60 × 84 1/16.

Áóìàãà îôñåòíàÿ

Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë.... Ó÷.-èçä. ë.... Òèðàæ 500 ýêç. Çàêàç ... Èçäàòåëüñòâî ÑÏá ÃÝÒÓ ½ËÝÒÈ“

197376, Ñ.-Ïåòåðáóðã, óë. Ïðîô. Ïîïîâà, 5

72

70