О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций

Алгебра и логика,, 39, N 1 (2000), 74—86

УДК 512.542

О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С АБЕЛЕВЫМИ ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ ИНВОЛЮЦИЙ*) В.Д.МАЗУРОВ Памяти Виктора Александровича Горбунова

Введение В работе указываются две характеризаций проективных линейных групп PGL2(P) над локально конечным полем Р характеристики 2, пер­ вая — в терминах групп подстановок, вторая — в терминах строения цен­ трализаторов инволюций. Одна из этих характеризаций используется для построения примеров бесконечных групп, распознаваемых по множеству порядков их элементов. Т Е О Р Е М А 1. Пусть G — трижды транзитивная группа, в кото­ рой стабилизатор двух точек коммутативен и не содержит

инволюций.

Тогда существует поле Р характеристики 2 такое, что группа G подоб­ на проективной линейной группе PGL2(P) в ее естественном

действии

на проекти&ной прямой Р U {оо}. С Л Е Д С Т В И Е 1. Пусть G — трижды транзитивная группа, в ко­ торой стабилизатор двух точек периодичен и не содержит

инволюций.

Если стабилизатор трех точек тривиален, то существует локально ко­ нечное поле Р характеристики 2 такое, что группа G подобна проектив­ ной линейной группе PGL/2{P) в ее естественном действии на проектив­ ной прямой. *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00550. ©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций

75

Следствие 1 обобщает хорошо известную теорему Цассенхауза [1] о конечных точно трижды транзитивных группах нечетной степени (см. так­ же [2, теор. XI.2.1]). В связи с теоремой 1 и ее следствием уместно задать ВОПРОС 1. Можно ли в теореме 1 ослабить условие ности стабилизатора двух точек до условия тривиальности

коммутатив­ трехточеч­

ного стабилизатора? Инволюция t группы G называется конечной (в G), если для любо­ го элемента g £ G порядок коммутатора [t,g] — ttg конечен. Это условие эквивалентно тому, что для любой инволюции г 6 G порядок элемента U конечен. Как легко понять, в периодической группе каждая инволюция конечна. Следствие 1 используется при получении абстрактной характеризации групп PGL2(P): ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа, содержащая конечную инво­ люцию t, и пусть централизатор любой инволюции из G — абелева 2-группа. 1. Если централизатор Co(t) инволюции t в G содержит инволю­ цию, отличную от t, то выполняется одно из следующих условий: 1.1. Подгруппа Сс{Ъ) нормальна в G; 1.2. Подгруппа CG(£) элементарная абелева. 2. Если Со (t) ~ элементарная абелева группа, то выполняется одно из следующих условий: 2.1. Имеет место равенство G = A(t), где А — абелева периодиче­ ская подгруппа без инволюций и а1 = а"1 для любого элемента а & А; 2.2. G является расширением абелевой 2-группы посредством груп­ пы без инволюций; 2.3. Существует локально конечное поле Р характеристики два та­ кое, что группа G изоморфна

PGL2(P).

Для конечных групп эта теорема — частный случай результата Сузуки [3]. Конечный аналог второй части теоремы 2 был доказан впервые Брауэром, Сузуки и Уоллом [4] (см. также [2, теор. XI.2.7]) с использо­ ванием теории характеров. Позднее Голдшмидт [5] нашел элементарное

76

В. Д. Мазуров

доказательство, в котором по-прежнему использовалась конечность груп­ пы. Условие существования конечной инволюции в формулировке тео­ ремы опустить нельзя, как показывает пример свободного произведения PGL2(P) * -X", где Р — произвольное поле характеристики 2, а X — про­ извольная группа без кручения. С другой стороны, легко заметить, что в условиях теоремы 2 группы из п. 1 и 3 локально конечны, но существуют не локально конечные группы из п. 2. Например, естественное полупрямое произведение аддитивной группы Р произвольного поля характеристики 2 на мультипликативную группу поля, действующую на Р умножением в по­ ле, удовлетворяет условиям теоремы 2. ВОПРОС 2. Верно ли, что простая группа с абелевыми заторами инволюций, в которой есть конечная инволюция,

централи­ изоморфна

группе PGL 1,г = 1,2,..., и пусть L = PGL-2{P). Если существует натуральное число s такое, что 28 не делит mi ни для какого г = 1,2,..., mo L распознается по u{L), любая группа G с u(G) = u(L) изоморфна L. Во всех остальных

т.е. случа­

ях существует бесконечно много попарно неизоморфных групп G таких, что

OJ(G)

= u(L).

Эта теорема отвечает положительно на вопрос Дена и Ши [6] о су­ ществовании бесконечной группы G, распознаваемой по u>(G). Отметим, что каждая группа G, распознаваемая по u>(G), будет периодической, по­ скольку для группы G, содержащей элемент бесконечного порядка, и про­ извольной группы X без кручения справедливо u(G) = OJ(G x X).

О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций

77

§ 1. Доказательство теоремы 1 Пусть М — множество, на котором действует группа G, и пусть оо — произвольный фиксированный элемент из М. По условию, стабилизатор Я = Goo точки оо действует дважды транзитивно на множестве М \ {оо}, и по [7] существует поле Р такое, что группа подстановок Н подобна аф­ финной группе поля Р . Иными словами, можно отождествить М с проек­ тивной прямой Р U {оо} так, что Я совпадет с группой дробно линейных

fa ()\ преобразований, соответствующих матрицам вида I

I. В частности,

\ь i) стабилизатор К = Goo,о изоморфен мультипликативной группе поля Р и действует регулярно на Р \ { 0 } . Следовательно, стабилизатор трех различ­ ных точек тривиален. Поскольку в К нет инволюций, характеристика поля Р четна. Так как группа G трижды транзитивна, G содержит подстановку s = (0,оо)(1) •••. Ясно, что s G NG(K),S2

оставляет неподвижными три

различные точки оо, 0,1, и поэтому s = 1. Пусть существует элемент к £ К, к ф 1 и такой, что ks = sk. Тогда , \ф\кф

M r 1 ф 1 и {lk)s = {ls)(ks) = l{sks) = Ifc. Аналогично, (lfc- 1 )^ =

= lfc" 1 . Следовательно, s оставляет неподвижными три различные точки и поэтому 5 = 1 , что неверно. Итак, CK(S) = 1. В силу коммутативности группы К для любого элемента к £ К верно равенство (к8к)* — кк8 = fc8fc, откуда к8 = к"1. Это означает, что (lk)s = (ls)ks = lfc* = lfc""1, т.е. s действует на М как дробно линейное преобразование, индуцированное матрицей Следовательно, (H,s) = PGL<2(P). Поскольку Н — максимальная под­ группа в G и s ф Я , то (Я, s) = G. Теорема доказана. При доказательстве следствия 1 нам потребуются следующие две хо­ рошо известные леммы, доказательства которых мы здесь для полноты приводим. Л Е М М А 1. Пусть i,j — инволюции в группе. 1. Инволюции г и j инвертируют (ij), т. е. х% = # J = х~г для любого элемента х £ (ij)-

78

В. Д. Мазуров 2. Если порядок элемента ij конечен и нечетен, то i,j

элементом из (ij), а также сопряжены инволюцией из

сопряжены

(i,j).

3. Если порядок элемента ij конечен и четен, то (ij)

содержит

инволюцию, перестановочную с i и j . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, (ij)4 = iiji = ji = ( у ) " 1 . Анало­ гично, (ij)t

= (ij)"1) что доказывает п. 1. Если порядок ij нечетен, то

существует элемент с £ (ij) такой, что с2 = ij. Далее, по п. 1 справедливо c~xic = ic2 — iij — j . Снова по п. 1, ic — инволюция и itc = ic = j . Это доказывает п. 2. Заключение п. 3 сразу следует из п. 1. Л Е М М А 2. Пусть а — автоморфизм порядка 2 группы В, оста­ вляющий неподвижным только тривиальный элемент из В, Если для любого элемента Ъ £ В порядок элемента b~lba конечен, то группа В абелева и Ьа = б""1 для всех Ь Е В. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G = В(а) - естественное полупрямое произведение, и пусть b £ В. Поскольку Са(а) = (а), порядок элемента аьа нечетен по лемме 1.3. По лемме 1.2 существует инволюция i 0 В такая, что аЬг = а, и поэтому Ьг = а. По лемме 1.1, а инвертирует (Ь). Если с £ JB, то Ьс = (Ь"" 1 ) 0 ^"" 1 ) 0 = (Ь"1С1)а

= ((сЬ)""1)0 = сЬ, и лемма доказана.

Чтобы доказать следствие 1, покажем, что стабилизатор К двух то­ чек, например, точек оо, 0, абелев. Как и в доказательстве теоремы 1, легко доказать, что элемент s = (0,оо)(1) • • • лежит в NG(K),S2

= 1 и Ск(з) = 1.

По лемме 2 группа JRT абелева. По теореме 1 группа G изоморфна PGL2(P) для некоторого поля Р характеристики 2, и мультипликативная группа по­ ля изоморфна К. Поскольку К — периодическая группа, поле Р локально конечно.

§ 2. Доказательство теоремы 2 Напомним, что инволюция t € G называется конечной (в G), если для любого элемента g E G порядок коммутатора [t,g] = tt9 конечен. Л Е М М А 3. Пусть t — инволюция из группы G. Следующие утвер­ ждения

эквивалентны:

О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций

79

а) инволюция t конечна в G; б) для любой инволюции ъ £ G порядок элемента ti конечен. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку t9 — инволюция, из п. б следует п. а. Если порядок элемента ti бесконечен, то порядок элемента [£, i] = (ti)2 бесконечен. Лемма доказана. Наше доказательство теоремы 2, по существу, является адаптацией к бесконечным группам метода, развитого для конечных групп в [1, 3, 8, 9] (см. также главу XI книги [2] и главу 13 книги [10]). Пусть G — группа, удовлетворяющая условиям теоремы 2, t — конечная инволюция из G, T^CG(t)nN^NG{T). Л Е М М А 4. Группа N/T не содержит инволюций, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если Ти - инволюция в N/T,

то (t,«) —

конечная 2-группа, поэтому (Т,и) содержится в централизаторе некото­ рой инволюции из Т. Таким образом, (Т, и) — абелева подгруппа группы Т = CG(t). Получили противоречие, что доказывает лемму. Итак, если N = G, то выполняется условие 1.1 или 2.2. В дальнейшем считаем, что N

фС

Л Е М М А 5. Для любой инволюции v £ Т верно равенство Т = = CG(v). Если u,v £ N,u — инволюция, и9 = v для g € G, mo g £ N. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если и £ ТПТ9 для g £ G и и ф 1, то CG{u) 9

-

9

абелева 2-группа, содержащая Т и Т . Поэтому Т = Т . По той же при­ чине, CG(u) = Т для любой инволюции и £ Т. Теперь, если w, v — инволю­ ции из N и v = и9 для ^ € G, то по лемме 1 справедливо и Е Г П Г 9 , что влечет Т = Т9 и g e N. Л Е М М А 6. Группа G содержит инволюцию i $ Т. Все инволюции из G сопряжены и, в частности, конечны. Все инволюции из Т сопряже­ ны в N. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если все инволюции из G содержатся в Т, то подгруппа Т нормальна в G вопреки условию. Пусть г — произвольная инволюция, отсутствующая в Г. По лемме 3 порядок элемента ti конечен. По лемме 1 элементы г и t сопряжены. Если v — инволюция вТ ид £ 9

G\N,

то, по лемме 5, v £ G\N и v сопряжена с t. Следовательно, все инволюции

80

В. Д. Мазуров

из G сопряжены с t. По лемме 5 инволюции из Г сопряжены в N. Лемма доказана. Л Е М М А 7. Если |Г| = 2, то имеет место утверждение 2.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если |Г| = 2, то Г = (t) = N. Тогда для каждого элемента g £ G\T

справедливо tg £ Г, а по лемме 1 существует

инволюция г, для которой t9% = £. Следовательно, #г £ C G ( * ) , И поэтому #г = 1 или #г = t. Для любой инволюции j e G элементы t и j сопряжены в (t,j).

Таким образом, либо g сопряжен с £, либо g = tth для некоторого

h £ G. В частности, G периодична. Положим J = {£h|ft 6 G } H A = G \ L Пусть а,6 б А. Тогда а = £г, 6 = tj для некоторых г, j £ / . Если аЬ" 1 = ij £ / , то г, j € Cg(ij),

что

противоречит равенству CG(£) = (*)• Поэтому ab~l £ А и Л — нормальная подгруппа в G. Ясно, что G = А{£), аг = а~г для любого элемента а 6 А и, значит, группа А абелева. Итак, имеет место п. 1 теоремы. Далее считаем, что Г содержит более одной инволюции. Л Е М М А 8. 1. Для любой инволюции i € G \Т

существует пе­

риодическая локально циклическая подгруппа К = Ki < N такая, что N = ТК} Г П К = 1 иг инвертирует К, т.е. к% = к"1 для всех к £ К. 2. Для любой пары инволюций г, j E G \Т

существует

элемент

и £ Т такой, что Kj = Jf". 3. Любой смежный класс Ng>g £ G, содержит инволюцию. 4. Для любого нетривиального элемента к £ К выполняется равен­ ство CQ (к) = А'. 5. Для любой инволюции i $ Т выполняется равенство G =

NuNiT.

При этом смежные классы Niu, Niv для различных u,v £ Т различны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем инволюцию г £ G \ Г, она су­ ществует по лемме 6. Пусть v — инволюция из Г. По лемме 1 найдется инволюция c v , для которой vCv = t%, и по лемме 5 имеет место icv £ N. По­ ложим К = {хи = ic u |l ф и £ Г). По леммам б и 5 подгруппа К является г-инвариантной в N и N = ТК. Подгруппа Го = Г П К — характеристиче­ ская и поэтому будет г-инвариантной в К. Если Го ф 1, то % централизует в Го нетривиальный элемент и, по лемме 5, содержится в Г, что неверно.

О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций

81

Итак, То = 1. Покажем, что К = {хи\1фиьТ}.

(1)

Поскольку любой элемент хи является произведением двух инволюций и, следовательно, имеет конечный порядок, достаточно показать, что пра­ вая часть равенства (1) замкнута относительно умножения. Пусть щ v — нетривиальные элементы из Т. Если tXuXv = z = tXz, то xuxvxj1 l

= Г. Отсюда xuxvx~

£ Co(t) =

£ Го = 1 и x w x v = xz, что и требовалось для дока­

зательства (1). В частности, К — периодическая группа. По (1) ъ инвертирует К и поэтому группа К абелева. Поскольку N = ТК, то, по леммам 5 и 6, К действует на Т при сопряжении как абелева периодическая группа регулярных автоморфизмов, транзитивная на множестве инволюций группы Г. Пусть Y — конечная подгруппа из К. Тогда (tjY) — конечная группа Фробениуса с дополнением У, и поэтому Y циклична. Таким образом, К — локально циклическая группа, и п. 1 верен. Очевидно, К = Сдг(^) для любого нетривиального элемента к £ К. Пусть j — инволюция из G\T

и х — нетривиальный элемент из Kj. Тогда

х = yfc, где v g T , 1фк £ К ~ К{. Ясно, что F = (v,fc)— конечная группа Фробениуса с дополнением (к) и ядром F П Т, содержащим v. Поэтому существует элемент и £ F П Г, для которого A;w = ufc = х. Отсюда ifj = = CN(X) = Сдг(&и) == i f . Итак, А",- и Kj сопряжены элементом из Г, и п. 2 доказан. Если д £ G \ N, то t9 £ Т, и по лемме 1 существует инволюция j £ (£, t9), для которой tw* = i. Значит, gj £ Т и д £ Tj. В частности, ]\Г
и ju" kuj

— uj для и £ Т v

= fc. С другой стороны, j инвертирует fc = wfc для некоторых

?;, w € Г, т.е. 1 = jwkjwk

= jw(jkuj)jwk

= w^kuwk и wJ G AT.

Если ад ^ 1, то по лемме б справедливо j £ N и д £Tj l

выбору элемента #. Следовательно, w = 1, У = k~ ,k

u

С N вопреки

J

= fc = Af1 и А;*"2 =

= [k> u] 6 Г. Это противоречит лемме 1. Итак, д # Сс{к), и п. 4 доказан.

82

В. Д. Мазуров Поскольку д £ Тj и элементы j , iv инвертируют Kv для некоторого

v £ Т, то jiv £ N,Nj

= iVi* и д £ Tj С Nv~liv

= iViv С ЛГгТ. Если

JViti = JViv для двух неравных элементов u,v £ Т, то (m;" 1 )* € iV, что противоречит лемме 5. Лемма доказана. Л Е М М А 9. Существует инволюция s £ G\T

и элемент d £ Т

такие, что sts = dsd~l.

(2)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть г - инволюция из G \ Г. Так как Ш & £ iV, по лемме 8 существуют элементы а, Ь £ Т, с £ Ki такие, что iti = = acib. Поскольку s — ic = c~li — инволюция и ic — c~2i, то sts = acsbc. Положим d = a c , e = Ьс. Тогда d, e £ T и ste = dse. Так как (sts) 2 = 1, то (ed)s = (ed)""*1. Если ed / 1, то s централизует инволюцию в (ed) и поэтому содержится в Г. Это невозможно, и е = d""1. Лемма доказана. Зафиксируем обозначения из леммы 9. Пусть х = £s, X = Со(#). Л Е М М А 10. Подгруппа X является абелевой периодической груп­ пой, не содержащей инволюций. Если х9 £ X для g £ G, то g £ Фактор-группа NQ{X)/X волюцией

NG(X),

является абелевой группой с единственной ин­

Xt.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как, по лемме 1, хь = а г 1 и (х) - нетри­ виальная группа нечетного порядка, то в X нет инволюций и Cx(t) = 1Поскольку подгруппа X является ^-инвариантной, по лемме 2 группа X — абелева периодическая. Если ж» G X, то X» я

X

= -X*. Если Хг — инволюция из NG(X)/X,

< Са(х) ТО

= X и, значит,

2

г = 1, и, по лемме 2,

-1

ж* = х , откуда Хг = Х£. Лемма доказана. По лемме 8 справедливо N = Т К , где К — абелева ^-инвариантная подгруппа, и k8 = fc~J для любого элемента к £ К. Зафиксируем эти обозначения до конца параграфа. Л Е М М А 11. Для любого нетривиального f £ Т существуют од­ нозначно определенные о?(/),/3(/) £ T,y(f) 8f8

£ К такие, что

= а(/)7(/)«/5(Л = (*(f)sy(f)-lP(f)

(3)

О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций и для Д = a(f)/3(f)

83

выполняется равенство sfis = fsK18f.

(4)

2? частности, если Д = 1, то f — инволюция. Если же Д ф 1, то

a{hmh) = /•

(5)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование и единственность разложения (3) следуют из леммы 8. Выражая sa(f) и /3(/)s из (3), а затем, перемно­ жая полученные равенства, приходим к (4). Переписывая (3) для f\ вместо / и используя (4), получаем (5). Лемма доказана. Л Е М М А 12. Пусть f £ Т и / 2 = t. Тогда, в обозначениях мы 11, 7 ( / ) = 1 и a(f)/3(f)f

лем­

= 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По леммам 9 и 11 dsd~l = sts = (sfs)2 =

a(f)j(f)8/3(f)a(fh{f)80(f)

и поэтому d = а(/)а(Л)^)-1,

(6)

1 = 7(/)T(/i) 2 ,

(7)

l

иг1

d~ = 0(АУ Ш)-

(8)

Перемножая (б) и (8), с использованием (5), получаем

Я^-^/Г1-

(9)

С другой стороны, применяя (9), убеждаемся, что <*(Д)7(Л)$/3(Д) =

= sflS = 8(f-i)TUrl8 1

да Т(Л)

=

= (sf-W)

= WrW/rM/)

- 1

-1

)

7

^ отку­

т ( / ) - Сравнивая это равенство с (7), получаем j(f) = 1.

Теперь из (9) вытекает / Д = 1. Это доказывает лемму. Л Е М М А 13. Пусть f £T,f2

= t. Тогда f £

NG(X).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По леммам 11 и 12 xxf = tsf-hsf

= tsfsf

=

ta(f)sP(f)f,

84

В. Д. Мазуров

По лемме 12, а ( / ) / 3 ( / ) / = 1, откуда жа^ = xfx. Таким образом, х* £ X и, по лемме 10, / € NQ(X).

Лемма доказана.

Л Е М М А 14* Подгруппа Т является элементарной абелевой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Поскольку все ин­ волюции из Т сопряжены в iV, найдется элемент / £ Т такой, что / 2 = t. По предположению существует инволюция г Е Т, отличная от t. Очевид­ но, ( г / ) 2 = t. Пусть Y = ( г , / ) . По лемме 13, У = ( г / , / ) < NG(X).

По

лемме 10 это невозможно, поскольку Y содержит более одной инволюции, а группа YX/X

изоморфна У. Лемма доказана.

Рассмотрим действие группы G посредством умножения справа на множестве смежных классов по N. Легко заметить, что это действие яв­ ляется точным. Стабилизатор точки N равен подгруппе JV, и N действует транзитивно на множестве остальных смежных классов, поскольку по лем­ ме 8.5 каждый такой класс имеет вид Nsv для некоторого элемента v E Г . Стабилизатор точек N и Ns равен К. Поскольку sK = Ks и К действует транзитивно на множестве нетривиальных элементов из Т при сопряже­ нии, К действует транзитивно на множестве точек вида Nsu,l

ф и € Г,

а стабилизатор точек N, Ns, Nst тривиален. Итак, действие группы G удовлетворяет условиям следствия 1, и теорема доказана.

§ 3. Доказательство теоремы 3 Наши рассуждения основываются на следующем результате (лемма 1 из [11]): Л Е М М А 15. Пусть А — периодическая группа, действующая на абелевой 2-группе Г. Если каждый нетривиальный элемент из А остав­ ляет в Т неподвижным только тривиальный элемент, то любой элемент порядка 3 из А лежит в центре группы А. Очевидно, что любая группа G с w{G) = u{L) удовлетворяет усло­ виям теоремы 2. В первом случае пусть s — максимальное целое неотри­ цательное число, для которого 2* делит одно из чисел rat-, и пусть г —

О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций

85

минимальное число, для которого 29 делит ш,. Положим га = га,. Если s = 0, то 3 не делит 2т» - 1 , г = 1 , 2 , . . . , и ( ? н е содержит элементов порядка 3(2 т «'-1) > 3. Если* > 0 , то 3 не делит 2 т + 1 е u(L) и 3 ( 2 т + 1) £и>(£).По лемме 15 случаи 1 и 2 заключения теоремы 2 для группы G невозможны. Поэтому G изоморфна PGL2(Q), где мультипликативные группы полей Р и Q изоморфны. Тогда поле Р изоморфно полю Q, и в этом случае теорема доказана. В оставшихся случаях UJ(L) = {2}Uu;(P*), где РЙ означает мультипли­ кативную группу поля Р. Естественные полупрямые произведения прямых сумм г копий аддитивных групп Р посредством P$,r ~ 1,2,..., образуют бесконечное семейство неизоморфных групп G, для которых u(G) = u{L). Теорема доказана. П р и м е ч а н и е . Из теоремы 2.2 вытекает справедливость гипотезы Шункова о локальной конечности периодической группы, содержащей сильно вложенную подгруппу Фробениуса с ядром периода 2 (вопрос 10.76 (а) из Коуровской тетради [12]). Доказательство этой гипотезы первым по­ лучил А.И.Созутов (пока не опубликовано). Первоначальная формулиров­ ка теоремы 2.2 включала условие периодичности группы. Познакомившись с доказательством автора, Созутов заметил, что оно годится и для более общего случая, а затем совместно с Н.М.Сучковым подготовил препринт [13], содержащий сведение теоремы 2.2 к гипотезе Шункова. Недавно Суч­ ков анонсировал результат, близкий к теореме 2.

ЛИТЕРАТУРА 1. Н. Zassenhaus,

Kennzeichnung

endlicher

linearen

Gruppen

als

Permuiationsgruppen, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., 11 (1936), 17— 40. 2. B.Huppert, N.Blackburn, Finite groups III, Berlin a.o., Springer-Verlag, 1982. 3. M. Suzuki, On characterizations of linear groups, I. Trans. Am. Math. Soc, 92 (1959), 191-219. 4. R. Brauer, M. Suzuki, G. E. Wall, A characterization of the one-dimensional unirnodular projective groups over finite fields, 111. J. Math., 2, N 3 (1958), 718-742.

86

В. Д .

Мазуров

5. D. Goldshmidt, Elements of order two in finite groups, Delta (Waukesha), 4 (1974/75), 45-58. 6. H.Deng,

W.Shi, The characterization of Ree groups 2F4(q) by their element

orders, J. Algebra, 217, N 1 (1999), 180-187. 7. В.Д. Мазуров, О дважды транзитивных группах подстановок, Сиб. матем. ж., 3 1 , N 4 (1990), 102-104. 8. M.Suzuki,

On a class of doubly transitive groups, Ann. Math. (2), 75, N 1

(1962), 105-145. 9. M. Suzuki, On a class of doubly transitive groups, II, Ann. Math. (2), 80 N 1 (1964), 58-77. 10. D. Gorenstein, Finite Groups (Harper's Series in Modern Mathematics), New York a.o., Chelsea, 2nd ed., 1980. 11. А.Х.Журтов,

В.Д.Мазуров,

О распознавании конечных простых групп

m

L2(2 ) в классе всех групп, Сиб. матем. ж., 40, N 1 (1999), 75—78. 12. Нерешенные задачи теории групп. Коуровская тетрадь, Новосибирск, Ин-т математики СО РАН, 1999. 13. А. И. Созутов, Н. М. Сучков, О некоторых дважды транзитивных группах, Препринт ИВМ СО РАН, Красноярск, 1998.

Адрес автора: М А З У Р О В Виктор Данилович, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики С О РАН. e-mail: [email protected]

Поступило 6 октября 1998 г. Окончательный вариант 3 марта 1999 г.