Стохастическое исчисление

С.В.Анулова, А.Ю.Веретенников, Н.В.Крылов, Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. — ВИНИТИ, 1989. Т. 49. С. 5—260

Изложены основные вопросы стохастического исчисления, относящиеся к: свойствам винеровского процесса и его связи с уравнениями в частных производных, рассмотрены сильные и слабые решения стохастических дифференциальных уравнений, эволюционные уравнения. Большое внимание уделено стохастическому интегрированию по семимартингалам и случайным: мерам, абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер, предельным теоремам для семимартингалов. Предисловие Глава 1. Введение в стохастическое исчисление (Н. В. Крылов) § 1. Броуновское движение и винеровский процесс § 2. Вероятностная конструкция решения уравнения теплопроводности. Связь винеровского процесса с оператором Лапласа § 3. Интеграл Ито и правила дифференцирования сложных стохастических функций § 4. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Теоремы Гирсанова § 5. Стохастические дифференциальные уравнения с граничными условиями Литература Глава 2. Стохастические дифференциальные и эволюционные уравнения I. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) (С.В.Анулова, А.Ю.Веретенников) § 1. Сильные решения стохастических дифференциальных уравнений § 2. Слабые решения стохастических дифференциальных уравнений с негладкими коэффициентами в Ed § 3. Дифференцирование решений СДУ по начальным данным § 4. Инвариантная мера диффузионного процесса § 5. Носитель диффузии § 6. Стохастические дифференциальные уравнения в областях Литература II. Стохастические эволюционные уравнения (А. Ю. Веретенников) § 1. Введение § 2. Мартингалы и стохастические интегралы в гильбертовых пространствах § 3. Формула Ито для квадрата нормы § 4. Стохастические дифференциальные уравнения монотонного типа в банаховых пространствах § 5. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных. I. Первая краевая задача для нелинейных уравнений параболического типа

7 9 9 18 21 30 37 40 42 42 42 54 59 62 64 68 77 80 80 81 86 87 90

§ 6. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных. II. Задача Коши для линейных уравнений второго порядка Литература III. Стохастическое исчисление вариаций (исчисление Маллявэна). Применения к стохастическим дифференциальным уравнениям (А.Ю.Веретенников) § 1. Введение § 2. Стохастические производные § 3. Правила исчисления Маллявэна § 4. Гладкость плотности (схема доказательства) § 5. Подход Висмута. 1. § 6. Подход Висмута. 2. Стохастические дифференциальные уравнения § 7. Стохастические дифференциальные уравнения (гладкость плотности по обратным переменным) Литература Глава 3. Стохастическое исчисление на вероятностных пространствах с фильтрациями (Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев) I. Элементы общей теории случайных процессов § 1. Аксиоматика Колмогорова и стохастический базис § 2. Моменты остановки, согласованные случайные процессы, опциональная и предсказуемая 0-алгебры. Классификация моментов остановки § 3. Мартингалы и локальные мартингалы § 4. Возрастающие процессы. Разложение Дуба-Мейера. Компенсаторы § 5. Случайные меры. Целочисленные случайные меры § 6. Локально квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратическая характеристика § 7. Разложение локальных мартингалов II. Семимартингалы. Стохастические интегралы § 1. Семимартингалы. Квадратическая вариация. Квазимартингалы § 2. Конструкция стохастических интегралов по семимартингалам § 3. Формула Ито § 4. Конструкция стохастических интегралов по случайным мерам § 5. Характеристики семимартингалов. (Триплет предсказуемых характеристик T=(B, C, ν). Проблемы мартингалов и семимартингалов. Примеры § 6. Интегральное представление локальных мартингалов § 7. Устойчивость класса семимартингалов относительно ряда преобразований III. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений § 1. Локальная плотность. Разложение Лебега § 2. Теорема Гирсанова и ее обобщение. Преобразование предсказуемых характеристик

92 94 95 95 96 100 102 104 105 111 113 114 114 114 116 120 122 124 126 127 128 128 130 133 134 136 140 141 142 142 144

§ 3. Интеграл Хеллингера и процесс Хеллингера 146 § 4. Общие и предсказуемые критерии абсолютной непрерывности и 149 сингулярности вероятностных мер § 5. Частные случаи 151 Комментарий к главе 3 155 Литература 157 Глава 4. Мартингалы и предельные теоремы для случайных процессов 159 (Р.Ш. Липцер, А.Н.Ширяев) I. Теория: слабая сходимость вероятностных мер на метрических 159 пространствах § 1. Введение 159 § 2. Разные типы сходимостей. Топология Скорохода 161 § 3. Краткий обзор ряда классических предельных теорем теории 167 вероятностей § 4. Сходимость процессов с независимыми приращениями 180 § 5. Сходимость семимартингалов к процессам с независимыми 191 приращениями § 6. Относительная компактность и плотность семейств распределений 204 семимартингалов § 7. Сходимость семимартингалов к семимартингалу 206 § 8. О проблеме мартингалов 214 II. Применения: принцип инвариантности и диффузионная аппроксимация 217 § 1. Принцип инвариантности для стационарных и марковских процессов 217 § 2. Стохастический принцип усреднения в моделях без диффузии 232 § 3. Диффузионная аппроксимация семимартингалов. Принцип усреднения в 235 моделях с диффузией § 4. Диффузионная аппроксимация для систем с физическим белым шумом 239 § 5. Диффузионная аппроксимация для семимартингалов с нормальным 243 отражением в выпуклой области Комментарий к главе 4 250 Литература 251 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Биллингсли (Billingsley P.) 77, 250, Альдус (Aldous D. J.) 205, 250, 252 251 Алюшина Л. А. 80, 94 Биркгоф (Birkhoff G. D.) 221 Анулова С. В. 40 Баклан В. В. 80, 94 Висмут (Bisrnut J. M.) 95, 96, 103, Барлоу (Barlow М. Т.) 53, 54, 78 106, 107, 113 Бихтелер (Bichteler К.) 96, 113 Басе (Bass R. F.) 79 Благовещенский Ю. Н. 59, 61, 77 Башелье (Bachelier L.) 9 Белл (Bell D. R.) 95, 106, 111, 113 Бобров А. А, 176 Бернулли Я. (Bernoulli J.) 167 Боголюбов Н. Н. 232 Больман (Bohlmann G.) 115, 158 Бернштенн С. Н. 30, 40, 41, 115, 157 Боровков А. А. 250, 251

Броун (Brown R.) 9 Бутов А. А. 250, 251 Бхаттачария (Bhattacharya R. N.) 250, 252 Ван Шуппеп (Van Schuppen J. H.) 157, 159 Варадан (Varadhan S. R. S.) 47, 68, 72, 76 Ватанабэ (Watanabe S.) 30, 40, 41, 44 45 46, 47, 48, 52, 54, 64, 69, 79, 95, 96, 103, 104, 110, 111, 113, 114, 155, 156, 158, 185 Вентцель А. Д. 37, 41, 156, 157, 250, 251 Веретенников А. Ю. 33, 41, 46, 47, 48, 49, 52, 63, 77, 96, 106, 113 Винер (Wiener N.) 9, 96, 156 Вио (Viot M.) 88, 95 Вишик М. И. 92, 94 Волконский В. А. 250, 251 Вонг (Wong E.) 157, 159 Гаво (Gaveau B.) 113 Генис И. Л. 40, 41 Гильберт (Hilbert D.) 114, 158 Гирсанов И. В. 34, 35, 41, 144, 157 Гихман И. И. 30, 31, 40, 41, 47, 155, 156, 157, 250, 251 Гнеденко Б. В. 178, 179, 251 Голдштейн (Goldstein S.) 250, 252 Гордин М. И. 250, 251 Григелионис Б. И. 157, 250, 251, 252 Далецкий Ю. Л. 80, 94 Данфорд (Dunford N.) 81, 94 Деллашери К. (Dellacherie С.) 155, 156, 157, 158 Долеан-Дэд (Doleans-Dade С.) 155, 156, 158 Донскер (Donsker M.) 15, 188, 252 Досс (Doss H.) 52, 79, 250, 252 Дуб (Doob J.) 155, 157 Дьёндь (Gyongy I.) 52, 80, 94, 250, 252 Дюрр (Diirr D.) 250, 252

Жако Д. (Jacod J.) 96, 113, 155, 156, 157, 158, 180, 250, 252 Закаи (Zakai M.) 95, 96, 97, 98, 99, 100, 102, 103, 104, 105, 107, 114 Звонкий А. К. 33, 41, 45, 46, 47, 53 77 Зеликурт (De Zelicourt С.) 251, 252 Золотарев В. М. 176, 251 Ибрагимов И. А. 250, 251 Икэда (Ikeda N.) 30, 40, 41, 46, 52, 54, 55, 56, 64, 69, 71, 76, 77, 103, 104, 110, 111, 113 Ито (Ito К.) 22, 31, 36, 37, 41, 77, 96, 113, 133, 155, 158 Йорп (Yoeurp Ch.) 156, 159 Кабанов Ю. М. 156, 157 Казамаки (Kazamaki N.) 41 Какутани (Kakutani S.) 157, 158 Картан (Cartan H.) 51, 77 Клепцына М. Л. 48, 49, 50, 52, 77 Коган Я. А. 250, 251 Колмогоров А. Н. 31, 41, 115, 157, 177, 179, 251 Конвей (Conway E. D.) 56, 79 Красносельский М. А. 51, 53, 65, 78, 240, 250, 251 Крылов Н. В. 40, 41, 47, 50, 53, 54, 59, 60, 61, 64, 77, 78, 80, 85, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 96 Кунита (Kunita H.) 156, 158 Курреж (Courrege Ph.) 156, 158 Кусуока (Kusuoka S.) 96, 106 Ладыженская О. А. 47, 78 Лаплас (Laplace P. S.) 168, 173 Лебег (Lebesgue H.) 142 Лебедев В. А. 56, 79, 251 Леви П. (Levy P.) 182, 184, 252 Лизе (Liese F.) 158 Линдвалл (Lindvall Т.) 252 Линдеберг (Lindeberg J. W.) 175, 176, 252 Линник Ю. В. 250, 251 Лионе (Lions P. L.) 40, 41, 74, 79

Липцер Р. Ш. 42, 43, 44, 69, 75, 78, 156, 157, 158, 180, 250, 251, 253 Лифшиц Б. А. 250, 251 Ломиицкий (Lomnicki A.) 115, 158 Ляпунов А. М. 173, 175 Маккин (McKean H. Р.) 77, 78 Малютов М. Б. 40, 41 Маллявэ» (Malliavin P.) 95, 96, 113 Манабе (Manabe S.) 49, 79 Марков А. А. 173 Мацкявнчюс В. 52, 78, 250, 251 Мейер (Меуег Р. А.) 155, 156, 158, 253 Мельников А В. 50, 78, 79 Мсмэн (Memin J.) 156, 158, 180, 252 Метпвье (Metivier M.) 88, 95, 155, 158 Мизсс (von Mises R.) 115, 159 Микулявичюс P. 250, 251, 252 Мишел (Michel D.) 96, 106, 113, 114 Муавр (de Moivre A.) 168 Накао (Nakao S.) 46, 79 Нисио (Nisio M.) 48, 79 Никольский С. М. 41, 90, 94 Новиков А. А. 34, 41 Норрис (Morris N.) 96, 106, 111, 114 Нуалар (Nualart D.) 96, 114 Олейник О. А. 95, 113 Ори (Orey S.) 156, 159 Нарду (Pardoux E.) 79, 80, 85, 95 Петтис (Pettis В. J.) 81 Покровский А. В. 51, 53, 65, 78, 240, 250, 251 Портепко Н. И. 40, 41 Прохоров Ю В. 172 Пуассон (Poisson S. D.) 170, 185 Радкевич E. A. 95, 113 Райков Д. А. 176 Рао (Rao К. М.) 156, 159 Рейман (Reiman M.) 70, 71, 79 Розовский Б. Л. 80, 85, 87, 88, 89, 92, 93, 94 Розанов Ю. А. 250, 251 Розенблатт (Rosenblatt M.) 250, 253

Ротарь В. И. 176, 251 Сам Лазаро (Sam Lazaro J.) 253 Сафонов М. В. 64, 78 Севастьянов Б. А. 63, 78 Серфлинг (Serfling R. J.) 250, 253 Скороход А. В. 30, 40, 41 47 49, 56 62, 63, 69, 78, 96, 113, 155, 156, 157, 250, 251 Смолуховский (Smoluchowski) 9 Смородинский А. В. 250, 251 Солонников В. А. 47, 78 Статулявичюс В. А. 250, 252 Стерлинг (Stirling) 169 Стоун (Stone C.) 250, 253 Стрикер (Stricker C.) 156, 159 Струк (Strook D. W.) 47, 58, 66, 68, 72, 76, 79, 95, 96, 106, 111, 114 Сусмап (Sussman H. J.) 52, 79 Танака (Tanaka H.) 40, 42, 53, 74, 79, 253 Тихонов А. Н. 20 Торонджадзс Т. А. 50, 78, 79 Траубер (Trauher P.) 113 Туати (Touati A.) 250, 253 Уральцев а II. II. 47, 78 Фсдоренко И. В. 50, 78 Фиск (Fisk D. L.) 156, 158 Фрейдлин М. И. 40, 41, 59, 61, 77, 250, 251 Харрисон (Harrison M.) 70, 71, 79 Хаусман (Haussmann U.) 105, 113 Хейде (Heyde С. С.) 250, 252 Хеллингер (Hellinger E.) 146, 147, 148 Хёрмандер (Hormander L.) 95, 96, 106, 113 Хида (Hida T.) 96, 113 Хинчин А. Я. 176, 177, 218, 221, 252 Холл (Hall P.) 250, 252 Цирельсон Б. С. 44, 53 Чебышев П. Л. 171, 172, 173 Ченцов Н. Н. 250 Чикин Д. О. 250, 252 Читашвили Р. Я. 53, 78, 79

Шалейо-Морей (Chaleyot-Maurel M.) Шницман (Sznitman A. S.) 40, 41, 74, 106 79 Шварц (Schwartz J. T.) 81, 94 Шрёдингср (Schrodinger E.) 96 Шига (Shiga Т.) 49, 79 Эйнштейн (Einstein A.) 9 Шигекава (Shigekawa I.) 95, 100, 114 Эллиот (Elliott R. J.) 155, 156, 158 Ширяев А. Н. 42, 43, 44, 69, 75, 78, Ямада (Yamada T.) 44, 45, 46, 48 49, 156, 157, 158, 180, 250, 251, 252, 79 253 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Замена времени случайная 142 σ-алгебра инвариантных множеств Интеграл стохастический 130, 134 217 — Хелингера 146 σ -алгебра опциональная 117 Интервалы стохастические 116 σ -алгебра предсказуемая 117, 193 Квазимартингал 129 Анализ прямой 174 Ковариация квадратическая 129 Базис стохастический 115, 192 — — предсказуемая (квадратическая Вальда тождества 27 характеристика) 126 Вариация квадратическая 128 Компенсатор 123, 125 Величина случайная (терминальная) — случайной меры 125 81, 120 — предсказуемый 123 Возвратность винеровского процесса — процесса 123 21 Коэффициент равномерно сильного Время локальное 38 перемешивания 2i24 График 117 — сильного перемешивания 224 — момента остановки 117 Кумулянта 196 Группа преобразований, Мартингал 82, 120, 160, 192 сохраняющая меру 220 — в гильбертовом пространстве 82 Движение броуновское 9 — квадратично интегрируемый 121 Дифференциал стохастический 25 — локально квадратично Дифференцирование в нормах Lp 59 интегрируемый 126 — по начальным данным 59 — непрерывный со значением в H 85 — — параметру 60 — ортогональный 127 — поточечное 59 — равномерно интегрируемый 120 Единственность решения СДУ Мартингала локального интегральное — — — в области 74 представление 141 — — — — — сильная 74 — — непрерывная составляющая 127 — — — — — слабая 77 — — чисто разрывная составляющая — — — по распределению 43 127 — — — — траекториям 43, 74 Мера инвариантная 62, 228 — — — сильная 43, 74 — локально абсолютно непрерывная — — — слабая 43 143 — стационарной меры 62 — пуассоновская расширенная 125 Задача Скорохода 70 — случайная 124 Закон повторного логарифма 12

— — интегрируемая 124 — — опциональная 124 — — предсказуемая 124 — — целочисленная 125 Метод стохастических экспонент 198 Момент марковский 27, 116 — — вполне достижимый 119 — остановки 27, 116, 192 Мост броуновский 32 Непрерывность абсолютная локальная 14 — — мер (сингулярность мер) 151 — — — в случае дискретного времени 151, 152 — — — для марковских процессов со счетным множеством состояний 154, 155 — — — — процессов с независимыми приращениями 153, 154 — — — — семимартингалов с гауссовой мартингальной частью 152 — — — — — с условием локальной единственности 155 — — — — точечных процессов 152, 153 Неравенство Харнака 64 Нерегулярность траекторий 12 Оператор инфинитезимальный 228 — полугруппы 227 Отображение измеримое 81 — сильно измеримое 81 — слабо измеримое 81 Плотность локальная 143 Подмножество вполне измеримое 81 Последовательность предвещающая марковских моментов 118 — слабо сходящаяся к мере 15 Правила исчисления Маллявэна 100 L-предел 59 LB-предел 59 Представление каноническое 183

Пренебрежимость асимптотическая 176 Принцип инвариантности 218 — отражения 16 — усреднения Боголюбова стохастический 232 Проблема субмартингальная 139 Проблемы мартингалов 55, 136 Проекция дуально предсказуемая 123 — опциональная 117, 119 — предсказуемая 117, 193 Произведение характеристических функций 174 Производная Маллявэна 96 — по направлению 98 L-производная 60 3? LB-производная 60 Пространство вероятностное 115 — польское 163 — Соболева 90 Процесс F-адаптированный 117 — винеровский 9, 10, 23, 126 — — одномерный 9 — возрастающий 12!2 — вполне измеримый 81 — действительный случайный простой 23 — диффузионный 31 — квазинепрерывный слева 119 — локальной плотности 143 — мультивариантный точечный 126 — опциональный 117, 119 — Орнштейна — Уленбека 31 — предсказуемый 117, 118, 119, 193 — произвольный 203 — случайный 117 — — простой 23 — стандартный 10 — Хеллингера порядка а 147 — — порядка нуль 148 Процессы марковские общие 62 — случайные неразличимые 118 Разложение Дуба — Майера 123

— каноническое 128, 183 193 — Лебега 143 — локальных мартингалов 127 Распределений процессы 15 Решение единственное по траекториям 43 — СДУ в области 71 — — — — сильное 71 — — — — слабое 71 — — потраекторное 43, 52 — — сильное 43 — — слабое 55 — — строгое 43 Свойство строго марковское 19 Семимартингал 128, 193 Скорость сходимости 63 Снос сингулярный 69 Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) 31, 42 — — — в области 68 — — — с отражением 70 — — — — последействием 42 Субмартингал 120 Супермартингал 120, 160 Существование винеровского процесса 10 — предельного процесса 30 Теорема Гирсанова 144 — о квадратичной вариации 13 — функциональная предельная 15 Теоремы сравнения 49

— существования сильного решения 50 Тождества Вальда 27 Топология Скорохода 164 Траектория наиболее вероятная 67, 68 Тренд 183 Триплет предсказуемых характеристик 137, 183, 194 Уравнение Долеан-Дэд 133 — Ланжевена 32 — теплопроводности 18 Условие Линдеберга 175 — Ляпунова 175 — полной интегрируемости 51 — сильной параболичности 91 Фильтрация 115 Форма билинейная 98 Формула замены переменных 133 — Ито 25, 26, 28, 133 — Стирлинга 169 Функция интегрирования по частям 104 — переходная 227 — «урезания» 178 — характеристическая 174 Характеристика квадратическая 126 Чисто разрывная составляющая М 127 Экспонента мартингальная 33 — обобщенная 181 — стохастическая 134