Симметрии графиков функций и элементарные уравнения

МАТЕМАТИКА СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И. И. ЧУЧАЕВ Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева, Саранск

GRAPHIC SYMMETRIES OF FUNCTIONS AND THE ELEMENTARY EQUATIONS I. I. CHUCHAEV

Graphic symmetries of functions are considered. A method of application of these symmetries in solving equations is described. Рассмотрены симметрии графиков функций, указаны способы применения этих симметрий при решении уравнений.

Хорошо известна роль симметрии в геометрии и алгебре. Многие сталкивались с задачами, решение которых значительно упрощается при использовании симметричности фигур или алгебраических выражений. Настоящая статья адресована преимущественно старшеклассникам. Ее цель – показать, что графики основных элементарных функций симметричны относительно преобразований, порожденных сдвигами, симметриями, гомотетиями и инверсиями прямой, и указать, как симметрии графиков функций могут быть использованы при решении уравнений. 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ Пусть X – непустое множество. Взаимно однозначное отображение f множества на себя называется преобразованием множества X. Ясно, что если f и g – преобразования множества X, то их суперпозиция f (g) и отображение f −1 (обратное к f ) также являются преобразованиями множества X. В этом разделе будут рассмотрены преобразования числовых множеств (преобразования движения, подобия, инверсии), имеющие основополагающее значение в геометрии. 1.1. Преобразование движения Преобразование f числовой прямой R называется движением на R, если оно сохраняет расстояния между точками R, то есть для любых x, y ∈ R справедливо равенство

© Чучаев И.И., 2000

| f (x) − f (y) | = | x − y |.

www.issep.rssi.ru

Справедлива Теорема 1 . Если функция f – движение на R, то либо f (x) = x + a при всех x, либо f (x) = a − x. Если функция f (x) = x + a при любых x ∈ R или f (x) = a − x, то f (x) – движение на R. Действительно, пусть функция f (x) – движение на R, f (0) = a и x > 0. Ясно, что | f (x) − a | = x. Убедимся, что

Ч У Ч А Е В И . И . С И М М Е Т Р И И Г РА Ф И К О В ФУ Н К Ц И Й И Э Л Е М Е Н ТА Р Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я

111

МАТЕМАТИКА функция f (x) − a не меняет своего знака на (0; ∞) и, значит, либо f (x) − a = x при всех x > 0, либо f (x) = a − x. Допустив противное, получим, что найдутся x1 > 0 и x2 > 0, такие, что f (x1) − a > 0, f (x2) − a < 0. Тогда | x1 + x2 | = | f (x1) − f (x2)| = |x1 − x2 |, и, значит, либо x1 = 0, либо x2 = 0, что невозможно. Аналогично убеждаемся, что или f(x) − a = x при всех x < 0, или f(x) = a − x. Так как функции f(x) = a + |x|,

f(x) = a − |x|

не взаимно однозначны, то либо f(x) = a + x при всех x ∈ R, либо f(x) = a − x. Напомним, что преобразование, задаваемое функцией f(x) = x + a, называется сдвигом прямой R на a единиц, а преобразование, задаваемое функцией f(x) = = a − x, – симметрией относительно точки a/2. Очевидно, что эти преобразования являются движениями на R. 1.2. Преобразование подобия Подобие на прямой – это преобразование на R, изменяющее все расстояния между точками R в одном и том же отношении k (иначе говоря, сохраняющее отношение расстояний между точками). Число k называется коэффициентом подобия. Имеет место Те ор е ма 2 . Если функция f(x) – преобразование подобия (с коэффициентом подобия k) на R, то либо f(x) = = kx + a при всех x ∈ R, либо f(x) = −kx + a. Если функция f(x) = kx + a при всех x ∈ R и k ­ 0, то f(x) – преобразование подобия на R с коэффициентом подобия |k|. Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1. Преобразование R, задаваемое функцией f(x) = kx, k > 0, называется гомотетией (растяжением) R с коэффициентом гомотетии k. Очевидно, что гомотетии на R суть подобия и любое подобие можно задать в виде композиции гомотетии, симметрии и сдвига. 1.3. Преобразование инверсии Пусть заданы точка a ∈ R и число r > 0. Каждой точке x ∈ R, отличной от a, поставим в соответствие лежащую по одну сторону от a точку f(x), такую, что произведение расстояний от a до x и от a до f(x) равнялось r 2. Легко заметить, что соответствие f(x) является преобразованием множества R\{a}. Оно называется инверсией R с центром в точке a радиуса r. Пусть f (x) – инверсия R с центром в точке a радиуса r. Поскольку точки x и f (x) лежат по одну сторону от a, то (f(x) − a)(x − a) = r 2. Отсюда следует, что

112

ax + b f ( x ) = --------------- , x–a

(1)

где b = r 2 − a2 и, значит, a2 + b > 0. Верно и обратное. Дробно-линейная функция (1) задает инверсию R с центром в точке a радиуса r = 2

= a + b . Тем самым справедлива Теорема 3. Совокупность всех инверсий R совпадает с совокупностью всех дробно-линейных функций вида (1). Функция g(x) = 1/x задает инверсию с центром в нуле радиуса 1. Легко убедиться, что любую инверсию можно представить в виде суперпозиции двух сдвигов, гомотетии и инверсии с центром в нуле радиуса 1. Преобразование, обратное к инверсии f(x), является инверсией, совпадающей с f(x), а суперпозиция двух инверсий может и не быть инверсией. 1.4. Преобразования, задаваемые дробно-линейными функциями Дробно-линейная функция ax + b ϕ ( x ) = --------------- , cx + d

ad – bc ≠ 0,

где a, b, c и d – фиксированные числа, взаимно однозначна на области определения x ­ −d/c. Она, вообще говоря, не является преобразованием R\{d/c} (ϕ(x) ­ ­ a/c при всех x ­ −d/c). Дополним числовую прямую одной идеальной точкой ∞ (назвав ее бесконечностью и отождествив с +∞) и положим R = R ∪ { ∞ }. Доопределим функцию ϕ(x) на −d/c и ∞, приняв d ϕ  – --- = ∞,  c

a ϕ ( ∞ ) = --c

(в случае c = 0 полагаем ϕ(∞) = ∞). Из предыдущего следует, что доопределенная функция ϕ(x) на R является преобразованием R. Эти преобразования будем называть дробно-линейными преобразованиями R. Нетрудно заметить, что суперпозиция двух дробнолинейных преобразований R является дробно-линейным преобразованием, обратное преобразование к дробно-линейному – дробно-линейным. Совокупность всех дробно-линейных преобразований содержит как сдвиги, симметрии, подобия и инверсии R, так и их суперпозиции. 2. СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Напомним, что множество M ⊂ X называется симметричным (инвариантным) относительно преобразования F: X X, если F(M) = M, то есть если образ M совпадает с M. Пусть ϕ, ψ – дробно-линейные преобразования R. Тогда отображение F, которое каждой точке (x, y)

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 1 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА множества R × R ставит в соответствие точку (ϕ(x), ψ(x)) этого же множества, является его преобразованием. Пусть f – функция с областью определения D( f ) ⊂ R. Доопределим функцию f (если это возможно) во всех предельных точках α области определения D( f ) по правилу f ( α ) = lim f ( x ). x→α

Очевидна следующая Те ор е ма 4. График функции y = f(x) симметричен относительно преобразования F тогда и только тогда, когда ψ(x) ⊂ D( f ) при всех x ⊂ D( f ) и справедливо равенство f(ψ(x)) = ϕ(f(x)). Отсюда следует, что функция y = f(x) периодическая периода T в том и только том случае, если ее график симметричен относительно преобразования R × R, при котором точка (x, y) переходит в точку (x + T, y) ; график функции y = f(x) имеет ось симметрии x = a, если и только если 2a − x ∈ D( f ) для любого x ∈ D( f ) и f(2a − x) = f(x); точка (a, b) является центром симметрии графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда 2a − x ∈ D( f ) при всех x ∈ D( f ) и f(2a − x) = 2b − f(x). При помощи последнего утверждения нетрудно убедиться, что точка перегиба (−b/2a, f(−b/2a)) кубической параболы f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ­ 0, является центром ее симметрии. График функции y = (x2 − 1)/x симметричен относительно преобразования, которое точке (x, y) ставит в соответствие точку (1/x, − y). График функции y = (4 − − 2x2)/x симметричен относительно преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (4/x, 1/y). Используя теорему 4, легко доказать, что если график функции имеет или две вертикальные оси симметрии, или вертикальную ось симметрии и центр симметрии, то функция является периодической; если график функции y = f(x) имеет два центра симметрии, то найдутся линейная функция h(x) и периодическая функция g(x), такие, что f(x) = h(x) + g(x) при всех x ∈ D( f ). Функции линейная f(x) = x, показательная f(x) = a x, a > 0, a ­ 1, логарифмическая f(x) = loga x, a > 0, a ­ 1, степенная f(x) = x α относятся к основным элементарным функциям. Оказывается, их можно охарактеризовать при помощи совокупности рассматриваемых нами преобразований, относительно которых их графики симметричны. Те ор е ма 5 . Функция f линейная ( f(x) = x) на R тогда и только тогда, когда ее график симметричен относительно всех преобразований R × R, при которых точка (x, y) переходит в точку (x + a, y + a) либо точка (x, y) переходит в точку (b − x, b − y), a, b ∈ R.

Теорема 6. График функции y = ax симметричен относительно всех преобразований R × R, при которых точка (x, y) переходит в точку (x + b, aby) или точка (x, y) переходит в точку (b − x, ab /y), b ∈ R. Если график функции y = f(x), определенной на R и принимающей положительные значения, симметричен относительно указанных преобразований, то f(x) = ax при всех x ∈ R. Теорема 7. График функции y = loga x симметричен относительно всех преобразований R × R, при которых точка (x, y) переходит в точку (abx, y + b) или точка (x, y) переходит в точку (ab /x, b − y), b ∈ R. Если график функции y = f(x), определенной на (0, ∞), симметричен относительно указанных преобразований, то f(x) = loga x для любого x ∈ R. Теорема 8. График функции y = x α симметричен относительно всех преобразований R × R, при которых точка (x, y) переходит в точку (kx, k αy) или точка (x, y) переходит в точку (k/x, k α /y), где k > 0. Если график функции y = f(x), определенной на (0, ∞) и принимающей положительные значения, симметричен относительно указанных преобразований, то f(x) = x α при всех x > 0. Доказательства приведенных теорем несложны. Докажем, например, теорему 7. Первая часть теоремы следует из свойств показательной функции и теоремы 4. Для доказательства второй части положим h(x) = loga f(x). Тогда функция h(x) определена на R и по теореме 4 при всех x, b ∈ R справедливы равенства h(x + b) = loga f(x + b) = loga ab f(x) = h(x) + b, h(b − x) = b − h(x). Согласно теореме 6, h(x) = x при всех x ∈ R и, значит, f(x) = x α. 3. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ Автоморфные функции являются обобщениями периодических и четных функций. Их теория, созданная в конце XIX и начале XX века, главным образом трудами А. Пуанкаре и Ф. Клейна, представляет собой в настоящее время обширную область комплексного анализа. Однако эти функции представляют интерес и при изучении функций действительного переменного. Пусть функция f определена на D( f ) так, как указано в предыдущем разделе. Назовем ее автоморфной (квазиавтоморфной), если существует дробно-линейное преобразование ϕ, такое, что ϕ(x) ò x, ϕ(x) ∈ D( f ) для любого x ∈ D( f ) и f(ϕ(x)) = f(x) (соответственно f(ϕ(x)) = f(x)). При этом функцию ϕ будем называть инвариантом (соответственно квазиинвариантом) функции f. Функцию ϕ(x) ≡ x будем считать тривиальным инвариантом.

Ч У Ч А Е В И . И . С И М М Е Т Р И И Г РА Ф И К О В ФУ Н К Ц И Й И Э Л Е М Е Н ТА Р Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я

113

МАТЕМАТИКА Иными словами, функция f автоморфна (квазиавтоморфна), если ее график симметричен относительно некоторого преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (ϕ(x), y) (соответственно (ϕ(x), −y)), причем ϕ(x) ò x. Ясно, что периодические функции (ϕ(x) = x + T, T – период), четные функции (ϕ(x) = ϕ(−x)) являются автоморфными, а антипериодические и нечетные функции – квазиавтоморфными. Функции x/(x2 + 1), ((x2 − 1)ln|x|)/x являются автоморфными, ϕ(x) = 1/ x – их инвариант; функция (x2 − − x + 1)3/(x(x − 1))2 имеет пять инвариантов: 1 − x, 1/x, 1/(1 − x), (1 − x)/x, x/(1 − x). Функции x/(x2 − 1), lnx, (x3 − 1)/(x3 + 1) квазиавтоморфные, ϕ(x) = 1/x – их квазиинвариант. Отметим, что дробно-линейная функция ϕ(x) является инвариантом (квазиинвариантом) многочлена ненулевой степени p(x) тогда и только тогда, когда ϕ(x) = m

= 2b − x и p ( x ) =

∑ a (b – x) k

2k

(соответственно p(x) =

k=0

=

∑ a (b – x) k

a + a 1 ≠ 0, 2

2

можно указать алгоритм их поиска. Положим s1 = bc1 − b1c,

s2 = ac1 − a1c,

s3 = ab1 − a1b.

Преобразуя равенство f(x) = f(y), где y = ϕ(x), нетрудно получить, что (y − x)(s1 + s2(x + y) + s3xy) = 0.

s2 x + s1 -. ϕ ( x ) = y = – ----------------s3 x + s2

).

k=0

Те ор е ма 9 . Если непостоянная функция f(x) непрерывна на R, а линейная функция ϕ(x) = kx + a является инвариантом или квазиинвариантом f(x), то |k| = 1. Доказательство. Пусть ϕ(x) = kx + a – инвариант f(x). Ясно, что k ­ 0. Предположим, что |k| < 1. Поскольку a(1 – x ) (n) n ϕ ( x ) = k x + ---------------------1–x n

(ϕ(n)(x) – n-кратная суперпозиция ϕ(x)) – инвариант f(x), то при всех x ∈ R и любом n ∈ N справедливо равенство a(1 – k ) n f ( x ) = f  k x + ---------------------- .  1–k  n

Так как k n 0 при n ∞, то из непрерывности функции f(x) следует, что f(x) = f(a/(1 − k)). Это невозможно. Если предположить, что |k| > 1, то, заменив ϕ(x) на x–a –1 ϕ ( x ) = ----------k (ϕ−1(x) – функция, обратная к ϕ(x)), опять получим противоречие. Следовательно, |k| = 1. Если ϕ(x) – квазиинвариант функции f(x), то ϕ(2)(x) = k2x + ka + a есть инвариант f(x) и, значит, k2 = 1.

114

2

ax + bx + c -, f ( x ) = ----------------------------------2 a1 x + b1 x + c1

Отсюда следует, что

m

2k + 1

Следующая теорема характеризует инварианты и квазиинварианты непрерывной периодической функции. Теорема 1 0. Пусть f(x) – непрерывная периодическая функция на R периода T. Если ϕ(x) – инвариант (квазиинвариант) f(x), то ϕ(x) = x + nT + T/2, где n ∈ Z. Отыскание инвариантов функций – задача достаточно сложная. Однако для дробно-квадратичных функций

2

Заметим, что условие s 2 – s 1 s 2 = 0 равносильно тому, что квадратные трехчлены ax2 + bx + c и a1x2 + b1x + + c1 имеют общий корень. Дробно-квадратичная функция f(x) не может иметь других инвариантов, ибо каждое свое значение она принимает не более двух раз (решение уравнения f(x) = c сводится к решению квадратного уравнения). Если s3 = 0, то ϕ(x) = −x − s1 /s2 . Это означает, что прямая x = −s1 /(2s2) является осью симметрии функции f (x). Условие s3 = 0 равносильно условию − b /(2a) = = −b1 /(2a1)). Поэтому график дробно-квадратичной функции симметричен относительно некоторой вертикальной прямой тогда и только тогда, когда оси симметрий парабол y = ax2 + bx + c, y = a1x2 + b1x + c1 совпадают. 4. СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ И УРАВНЕНИЯ В этом разделе изложим способы применения симметрий графиков функций при решении уравнений и начнем с приемов использования инвариантов автоморфных функций. Применение инвариантов при решении уравнений вида f(g(x)) = f(h(x)),

(2)

где f, g, h – некоторые функции, основано на следующем очевидном факте. Если функция ϕ – инвариант f (в том числе и тривиальный), то решения уравнения

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 1 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА ϕ(g(x)) = h(x), содержащиеся в ОДЗ уравнения (2), являются корнями уравнения (2). Заметим, что спектр уравнений (2) достаточно широк – от хорошо знакомых по курсу математики средней школы до уравнений олимпиадного характера, предлагаемых и на Соросовских олимпиадах (см. пример 2). Перейдем к примерам. Пример 1. Решите уравнение 3

3

( x – x + 1) ( ( 2x – 6 ) – 2x + 7 ) ----------------------------- = -------------------------------------------------. 2 2 2 ( x( x – 1)) 4 ( x – 3 ) ( 2x – 7 ) 2

2

Решение. ОДЗ уравнения: x ­ 0; 1; 3; 7/2. Уравнение имеет вид (2), причем 3

( x – x + 1) -, f ( x ) = ----------------------------2 ( x( x – 1)) 2

g ( x ) = x,

h ( x ) = 2x – 6.

Используя инварианты f, выписанные в предыдущем разделе, получим, что решения совокупности уравнений x = 2x – 6,

1 – x = 2x – 6,

1 ----------- = 2x – 6 , 1–x

x–1 ----------- = 2x – 6, x

1 -- = 2x – 6, x x ----------- = 2x – 6, x–1

корни соответствующих уравнений. Очевидно, что при k # 0 уравнения совокупности не имеют требуемых решений. Уравнение tgx = sinx + 1 имеет такой корень, равный π ⁄ 2 + arcsin ( 1 – 2 ⁄ 2 ). Ясно, что этот корень требуемый. Совокупность уравнений, порожденных всеми инвариантами функции f, вообще говоря, неравносильна уравнению (2) (см. пример 3). В некоторых случаях можно указать процедуру, позволяющую находить потерянные корни. Пусть автоморфная функция f(x) каждое свое значение принимает не более n раз и ϕ1 , ϕ2 , …, ϕn – совокупность различных ее инвариантов (ясно, что в этом случае функция не может иметь более n инвариантов). Очевидно, что если x0 – решение уравнения (2), не являющееся решением совокупности уравнений ϕi(g(x)) = h(x), то либо g ( x 0 ) ∉

∩ D(ϕ ),

i = 1, 2, …, n,

n

i

либо найдутся номера i и j,

i=1

такие, что i ­ j и ϕi(g(x0)) = ϕj(g(x0)) (в противном случае функция примет значение f(x0) n + 1 раз). Пример 3. Решите уравнение

содержащиеся в ОДЗ исходного уравнения, являются

(3x − 4)(x2 − 1)ln|x| = x(9x2 − 24x + 15)ln|3x − 4|.

его корнями. Следовательно, 6, 7/3, ( 3 ± 11 ) ⁄ 2,

Решение. ОДЗ уравнения: x ­ 0; 4/3. Уравнение можно записать в виде (2), полагая

( 4 ± 2 ) ⁄ 2, ( 7 ± 41 ) ⁄ 4, ( 9 ± 33 ) ⁄ 4 суть решения уравнения. Поскольку уравнение сводится к алгебраическому уравнению десятой степени, то оно других решений не имеет. Пример 2. Найдите наименьший положительный корень уравнения

( x – 1 ) ln x f ( x ) = ------------------------------, x 2

f(x) = {x},

g(x) = tgx,

h(x) = sinx.

Функция f периодическая периода 1 и строго возрастающая на [0, 1), поэтому уравнение на (0; π/2) равносильно совокупности уравнений tgx = sinx + k, где k ∈ Z. Поскольку tgx − sinx – строго возрастающая на (0; π/2) функция, то каждое уравнение совокупности может иметь не более одного корня, при этом если k1 < k2 (k1 , k2 ∈ Z), то таким же неравенством связаны

h ( x ) = 3x – 4.

Как было отмечено в предыдущем разделе, функция ϕ(x) = 1/x является инвариантом функции f(x). Поэтому решения уравнений

{tgx} = sinx, где {a} – дробная часть a [1, задача 11.1.1]. Решение. Ясно, что искомый корень уравнения содержится в одном из промежутков (0; π/2) и (π/2; π]. Будем искать его (если он есть) в интервале (0; π/2). В этом случае уравнение имеет вид (2) (sinx = {sinx}), причем

g ( x ) = x,

x = 3x – 4,

1 -- = 3x – 4. x

то есть 2 и ( 2 ± 7 ) ⁄ 3 , являются корнями исходного уравнения. 1 1 Если x > 0, то f ' ( x ) =  1 + ----2 ln x + 1 – ----. Ясно, что 2  x x f '(x) > 0 при x > 1 и f '(x) < 0 при 0 < x < 1. Отсюда следует, что функция f(x) строго убывает на (0, 1], строго возрастает на [1, ∞) и f(x) > f(1) = 0 при x > 0, x ­ 1. Поскольку функция f(x) нечетная, то из предыдущего следует, что она каждое свое значение принимает дважды. Поэтому если есть потерянный корень, то он является решением уравнения x = 1/x. Проверкой убеждаемся, что 1 является решением исходного уравнения, а −1 нет. В итоге получим, что корнями исходного уравнения являются 1, 2, ( 2 ± 7 ) ⁄ 3.

Ч У Ч А Е В И . И . С И М М Е Т Р И И Г РА Ф И К О В ФУ Н К Ц И Й И Э Л Е М Е Н ТА Р Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я

115

МАТЕМАТИКА Пример 4. Решите уравнение

то уравнение можно записать в виде f(x) = 1/f(t(x)). Поскольку

{ x} – 1 4[ x ] – 2 --------------------, = -----------------------------------------2 2 { x } + 3 4 [ x ] + 4 [ x ] + 13

x

где {x} – дробная часть x, [x] – целая часть. Решение. Приняв x–1 -, f ( x ) = ------------2 x +3

1 h ( x ) = [ x ] + --- , 2

g ( x ) = { x },

замечаем, то уравнение имеет вид (2). Функция f(x) является дробно-квадратичной, поэтому она каждое свое значение принимает не более двух раз. Инвариантом функции f будет функция x+3 ϕ ( x ) = ------------ . x–1 Так как g(x) ­ 1 при любом x и уравнение ϕ(g(x)) = g(x), то есть уравнение { x} + 3 ------------------ = { x } { x} – 1 решений не имеет, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений 2[ x ] + 7 -------------------- = { x }. 2[ x ] – 1

1 { x } = [ x ] + --- , 2

Очевидно, что корнем первого уравнения семейства будет 1/2. Поскольку 0 # {x} < 1, то, решив неравенство 2t + 7 0 # -------------- < 1, 2t – 1 получаем, что корни второго уравнения совокупности должны удовлетворять неравенству [x] # −4. Теперь, используя тождество x = [x] + {x}, легко заметить, что корнями уравнения являются x = n + (2n − 7)/(2n − 1), где n ∈ Z и n # −4. Ясно, что корни уравнений совокупности образуют решения исходного уравнения. Теперь приведем примеры использования симметрий графиков функций более общего вида. Пример 5. Решите уравнение 3 +2 +1 36 + 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 4 --------------------------x = --------------------------------------------. x x x x 6 +3 +2 2⋅9 +3⋅4 +6 x

x

x

x

x

Решение. Положим x

x

(график функции f симметричен относительно преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (−x, 1/y)) и f(x) ­ 0 при любом x, то уравнение равносильно уравнению f(x) = f(−t(x)). Нетрудно проверить, что f ' < 0 при всех x и, значит, является убывающей на R. Тогда уравнение эквивалентно уравнению x = −t(x), то есть уравнению x = 1 − 2x. Отсюда получаем, что уравнение имеет единственное решение x = 1/3. Пример 6. Решите уравнение x+1 x – 2 -----------2

3x = 1 – 3x – 1 – 2 ------ , 2

где [a] – целая часть a. Решение. Приняв x+1 f ( x ) = x – 2 ------------ , 2

t ( x ) = 3x – 5,

уравнение можно записать в виде f(x) = 1 − f(t(x)). Если |x| < 1, то [(x + 1)/2] = 0 и, значит, f(x) = |x|. Кроме того, при всех x x+1 f ( x + 2 ) = x + 2 – 2  ------------ + 1 = f ( x ).  2  Следовательно, функция четная и периодическая периода 2. Построив график функции, замечаем, что точка (1/2, 1/2) является центром симметрии графика, поэтому справедливо равенство f(1 − x) = 1 − f(x). Отсюда получаем, что уравнение записывается в виде f(x) = f(1 − t(x)). Поскольку функция f является возрастающей на [0, 1], то уравнение равносильно совокупности уравнений ±x = 1 − (3x − 5) + 2n, где n ∈ Z. Поэтому решениями исходного уравнения являются x = n/2, где n ∈ Z. ЛИТЕРАТУРА 1. Третья Соросовская олимпиада школьников, 1996–1997. М.: МЦНМО, 1997. 512 c.

Рецензент статьи В.А. Ильин ***

x

3 +2 +1 -, f ( x ) = -------------------------x x x 6 +3 +2

t ( x ) = 2x – 1.

Так как 2⋅9 +3⋅4 +6 -, f ( 2x – 1 ) = -------------------------------------------x x x 36 + 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 4 x

116

x

1 6 +3 +2 - = ----------f ( – x ) = -------------------------x x f ( x) 3 +2 +1

x

Иван Иванович Чучаев, кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа Мордовского государственного университета. Область научных интересов – теория полуупорядоченных пространств, спектральный анализ операторов. Автор и соавтор учебно-методического пособия и более 50 научных работ.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 1 , 2 0 0 0