Математические методы физики

Дж.Мэтьюз, Р.Уокер МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ФИЗИКИ В книге излагаются математические методы, наиболее часто используемые при решении физических. задач. В отличие от других учебников аналогичной тематики авторы делают ударение на обучение математическим методам посредством решения простых примеров. Во многих примерах содержатся нетривиальные трюки, дающие возможность бистро и красиво решить поставленную проблему. Научные сотрудники и аспиранты физических специальностей могут использовать эту книгу и как справочник, и как пособие для повторного изучения математических методов. Для студентов старших курсов инженерно-физических вузов книга может сложить пособием для самостоятельного изучения предмета. Содержание Предисловие к переводу 5 Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 8 1.1. Решение в замкнутой форме 8 1.2. Решения в виде степенных рядов 18 1.3. Приближенные методы 26 1.4. Метод ВКБ 30 Глава 2. Бесконечные ряды 42 2.1. Признаки сходимости 42 2.2. Общеизвестные ряды 44 2.3. Преобразование рядов 46 Глава 3. Вычисление интегралов 52 3.1. Элементарные методы 52 3.2. Вычисление интегралов с учетом симметрии 55 3.3. Интегрирование по контуру 58 3.4. Табулированные интегралы 65 3.5. Приближенные разложения 70 3.6. Методы седловой точки 73 Глава 4. Интегральные преобразования 81 4.1. Ряды Фурье 81 4.2. Преобразования Фурье 86 4.3. Преобразования Лапласа 92 4.4. Другие пары преобразований 95 4.5. Применения интегральных преобразований 95 Глава 5. Дальнейшие применения комплексных переменных 105 5.1. Конформные преобразования 105 5.2. Дисперсионные соотношения 110 Глава 6. Векторы и матрицы 118 6.1. Линейные векторные пространства 118 6.2. Линейные операторы 119 6.3. Матрицы 122 6.4. Преобразования координат 125

6.5. Задачи на собственные значения 6.6. Диагонализация матриц 6.7. Пространства бесконечной размерности Глава 7. Специальные функции 7.1. Функции Лежандра 7.2. Функции Бесселя 7.3. Гипергеометрическая функция 7.4. Вырожденные гипергеометрические функции 7.5. Функции Матье 7.6. Эллиптические функции Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных 8.1. Примеры 8.2. Общее рассмотрение 8.3. Разделение переменных 8.4. Методы интегральных преобразований 8.5. Метод Винера—Хопфа Глава 9. Собственные функции, собственные значения и функции Грина 9.1. Простые примеры задач на собственные значения 9.2. Общее рассмотрение 9.3. Решение краевых задач методом разложения по собственным функциям 9.4. Неоднородные задачи. Функции Грина 9.5. Функции Грина в электродинамике Глава 10. Теория возмущений 10.1. Обычная невырожденная теория 10.2. Преобразование рядов 10.3. Теория возмущений с вырождением Глава 11. Интегральные уравнения 11.1. Классификация 11.2. Вырожденные ядра 11.3. Ряды Неймана и Фредгольма 11.4. Теория Гильберта—Шмидта 11.5. Метод Винера—Хопфа и интегральные уравнения 11.6. Интегральные уравнения в дисперсионной теории Глава 12. Вариационное исчисление 12.1. Уравнение Эйлера—Лагранжа 12.2. Обобщение основной задачи 12.3. Решение задач на собственные значения с помощью вариационного исчисления Глава 13. Численные методы 13.1. Интерполяция 13.2. Численное интегрирование 13.3. Численное решение дифференциальных уравнений

128 136 139 143 143 153 161 168 172 177 184 184 185 192 202 208 216 216 218 221 222 232 237 237 241 243 247 247 248 250 254 259 262 264 264 268 275 282 282 286 290

13.4. Корни уравнений 293 13.5. Суммирование рядов 297 Глава 14. Вероятность и статистика 302 14.1. Введение 302 14.2. Основные законы теории, вероятностей 302 14.3. Комбинации и перестановки 305 14.4. Биноминальное распределение, распределения Пуассона и Гаусса 306 14.5. Общие свойства распределений 310 14.6. Обработка экспериментальных данных 314 Глава 15. Тензорный анализ и дифференциальная геометрия 323 15.1. Декартовы тензоры в трехмерном пространстве 323 15.2. Кривые в трехмерном пространстве. Формулы Френе 329 15.3. Общий тензорный анализ 330 Глава 16. Введение в группы и представления групп 342 16.1. Определения 342 16.2. Подгруппы и классы 344 16.3. Представления групп 346 16.4. Характеры 349 16.5. Физические применения 358 16.6. Бесконечные группы 367 16.7. Неприводимые представления SU(2), SU(3) и O+(3) 376 Литература 387 Предметный указатель 389 Предметный указатель Абелева группа 342 Бесселя интеграл 159 Абсолютный минимум 276 - уравнение 17, 153 Алгебра группы 343 - - второе решение 155 - Ли 374 Бесселя производящая функция 158 Антилинейность 127 - интегральное представление 158 Антисимметричная матрица 123 Бесселя фундции 153 Антисимметричный символ Леви- - модифицированные 161 Чивита 327 - - ортогональность и нормировка 156 Антисимметричный тензор 334 - - рекуррентные соотношения 154 Апостериорная вероятность 302 - - сферические 161 Априорная вероятность 302 Биноминальное распределение 307 Асимптотический ряд 71 Биноминальный коэффициент 305 Аффинор 329 Бинормаль 330 Базис векторного пространства 119 Блоха волновые функции 174 Бейеса теорема 304 Бора-Зоммерфельда условие ber n(x), bein(x) 161 квантования 41 Борцовское приближение 251 Бернулли дифференциальное Брахистохрона 267 уравнение 10 Бэшфорта-Адамса-Милна метод 291 - числа 45 Вариации постоянных метод 14 Бесконечная группа 367

Вариационное исчисление 264 - - для задач на собственные значения 275 - - для интегральных уравнений 281 - - для изопериметрических задач 272 Вариационная производная 266 Вейерштрасса эллиптические функции 183 Вектор-столбец 125 Вектор-строка 127 Векторы 118 - ортонормированные 128 - собственные 129 - базисные 119 Вещественная матрица 123 Вероятностей теория 302 Винера-Хопфа метод 208, 259 ВКБ-метод 30 ВКБ-фукции 33 Возмущений теория 237 Волновая функция в импульсном пространстве 91 Волновое уравнение 188 Вольтерра интегральное уравнение 247 Вырожденная гипергеометрическая функция 169 - теория возмущений 243 Вырожденное гипергеометрическое уравнение 168 Вырожденное собственное значение 130 - ядро интегрального уравнения 248 Гамильтона вариационный принцип 266 Ганкеля функции 160 - - сферические 194 Гамма-функция 53 - асимптотическое разложение 74 Гаусса распределение 306 Гельмгольца уравнение 193 Генераторы группы 369 Гиббса явление 83 Гильберта преобразование 95, 262

Гильберта-Шмидта теория 254 Гильберта пространство 141 Гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных 188 Гипергеометрическая функция 163 - - интегральное представление 165 Гипергеометрический ряд 43, 161 Гипергеометрическое уравнение 163 Главная нормаль 330 Гомографическое преобразование 163 Гомоморфные группы 346 Горнера метод для корней полиномов 295 Грама-Шмидта ортогонализация 131 Грина функции 223 - - для колеблющейся мембраны 226 - - для колеблющейся струны 224 - - для обыкновенного дифференциального уравнения 223 - - для уравнения Лапласа и волнового уравнения 231 Грегори ряд 83, 300 Группа 342 - абелева или коммутативная 342 - бесконечная 367 - знакопеременная 355 Группа класс 345 - подгруппа 344 - порядок 342 - представление 346 - симметрическая 343 - физические применения 358 - характеры 349 Даламбера признак сходимости 42 Двоякопериодическая функция 179 Декартовы тензоры 323 Дельта-символ Кронекера 85 Дельта-функция Дирака 87 - трехмерная 91 Диагонализация матриц 136 Диагональная матрица 123 Диада 329

Дирака дельта-функция 87 - трехмерная 91 Дирихле краевое условие 186 Дисперсионные соотношения 110, 262 - - с вычитанием 117 Дисперсия 311 Дифференциальная геометрия 323 Дифференциальные уравнения 8 - - ВКБ-метод для решения 30 - - в полных дифференциалах 9 - - в частных производных 184 - - - - методы интегральных преобразований 202 - - - - методы разделения переменных 192 - - - - метод Винера-Хопфа 208 - - изобарические 11 - - графическое решение 27 - - линейные 12 - - однородные 10 - - решения в виде степенных рядов 18 - - численные решения 290 Диффузии уравнение 184 Дуальное пространство 127 Замкнутости свойство 221 Знакопеременная группа 355 Идемпотентная матрица 124 Изображений метод 208 Изоморфный 344 Изопериметрические задачи 272 Инвариант матрицы 133 Инвариантная подгруппа 346 Интеграл вероятности ошибок 68 Интегральная показательная функция 67 Интегральное преобразование 81 Интегральные уравнения 247 - - вариационный подход к решению 281 - - в дисперсионной теории 262 Интегральные уравнения линейные 247

- - неоднородные 249 - - однородные 249 - - с вырожденным ядром 248 - - транспонированные 249 Интегральные синус и косинус 55 Интервал 337 Интерполяция 282 Интегрирующий множитель 9 Квадрупольный магнит 107 Классы в группе 345 Клеро уравнение 10 Ковариантная производная 338 Ковариантный вектор 332 Ковариантный тензор 332 Когредиентный 126 Колебание круглой мембраны 245 Комбинации 305 Коммутативная группа 342 Коммутация операторов 120 Компоненты линейного вектора 120 Конгруэнтное преобразование Константы структуры группы Ли 374 Контравариантный вектор 331 - тензор 332 Контратредиентный 126 Контурное интегрирование 58 Конформное преобразование 105 Координатные преобразования 125 - - конгруэнтные 134 - - подобие 126 Координатные преобразования унитарные 338 Корни уравнений 293 Косинус-преобразование Фурье 89 Коши краевое условие 186 - интегральная формула 110 Коши-Римана дифференциальные уравнения 105 Коши теорема 105 Краевые условия для уравнений в частных производных 185 Кривизна кривой 330 Кристоффеля символы первого и второго рода 338

Кронекера дельта-символ 85 Кручение 330 Куммера преобразование 171 - функция 169 Лагерра полином 170 Лагранжа множитель 272 Лапласа интегральное представление для полиномов Лежандра 144 - преобразование 92 Лежандра дифференциальное уравнение 19, 143 - функции 143 Ли алгебра 374 - группа 368 Линейная векторная функция 119 - скалярная функция 126 Линейное векторное пространство 118 - интегральное уравнение 247 - дифференциальное уравнение 12 Лиенара-Вихерта потенциал 236 Ложного положения метод 294 Матье функции 171 Матрица 128 Матрицы преобразование 125 Меллина преобразование 95 Метрика векторного пространства 127 Метрический Тензор 337 Наискорейшего спуска метод 73 Наименьших квадратов метод 318 Невырожденная теория возмущений 237 Невырожденный оператор 121 Неголономные условия 273 Неймана ряд 250 Неймана краевое условие 186 Неоднородное интегральное уравнение 249 Неполная гамма-функция 73 Несобственное вращение 327 Неприводимое представление 347 Неопределенных коэффициентов метод 13

Неточное представление 347 Нормальная матрица 138 - подгруппа 346 - форма гиперболического уравнения 188 Нормальное распределение 308 Нормальные колебания 135, 197 Обобщенная сила 335 Обратная матрица 123 Обратный оператор 121 Общий тензорный анализ 330 Обыкновенная, точка дифференциального уравнения 18 Однородная функция 10 Однородное интегральное уравнение 247 - обыкновенное дифференциальное уравнение 10 Особое решение дифференциального уравнения 11 Определяющее уравнение 20 Ортогональная матрица 123 Ортогональности теорема 348 Относительный тензор 334 Отношений закон 335 Ошибок функция 68 Параболическое уравнение в частных производных 188 Парсеваля теорема 88 Паули спиновые матрицы 384 Перевала методы 73 Перестановки 305 Плоский источник 206 Плотности функция 220 Плотность тензора 334 Подгруппа 344 Подобия преобразование 126 Полиада 329 Полнота базиса собственных функций 221 Порядок дифференциального уравнения 8 Постоянная разделения 192 Правдоподобия функция 315

Правильная особая точка 19 Представления группы 346 Преобразование конформное 105 - рядов 46, 241 Присоединенная функция Лежандра 26, 149 Присоединенное дифференциальное уравнение Лежандра 149 Проекционный оператор 121 Производящая функция 145 - - для функций Бесселя 158 - - для полиномов Лежандра 145 Простейшие дроби 48 Псевдоскаляр 328 Псевдотензор 328 Пауссона распределение 308 Расходящиеся волны 196 Регулярное представление 354 Резольвенты ядро 252 Римана символ 163 Римановой кривизны тензор 340 Родрига формула 144 Рунге-Кутта метод 291 Рэлея-Ритца вариационный принцип 278 Свертки теорема 98 Связи формулы в ВКБ-методе 32 Седловой точки методы 73 Секулярное уравнение 129 Симметрическая группа 343 Симметричная матрица 123 Симметричное ядро 254 Симметричный тензор 334 Симпсона правило 286 Синус-преобразование Фурье 89 Скалярное произведение 127 Сложения теорема для сферических гармоник 150 Смежный класс группы 344 Смещения ядро 259 Собственное вращение 327 Собственные векторы 129 - - матрицы 216

Собственные векторы свойства ортогональности 217 Собственные значения 28, 129 - - вырожденные 130 - - интегрального уравнения 248 - - эрмитовой матрицы 130 Собственные функции 216 Соприкасающиеся параметры 14 Сопряженная линейность 127 Сопряженное представление группы SU( 3, 380 Специальные функции 143 Спиновые матрицы Паули 384 Спинорное представление 386 Среднее значение 310 Стандартное отклонение 310 Стационарной фазы метод 80 Стирлинга формула 74 Стокса области 37 - явление 36 Суммирование рядов 297 Субматрица 124 Существенно особая точка 19 Сферические гармоники 150 Сходимости признаки 42 Таблица группы 344 Тензор 326 - декартов 323 - антисимметричный 334 - метрический 337 - относительный 334 - римановой кривизны 340 Тензорный анализ 323 Теплопроводность в кубе 199 - в бесконечной среде 205 - в полубесконечноп среде 207 - в слое 201 Точечный источник 206 Точечное представление 346 Транспонированная матрица 123 Транспонированное интегральное уравнение 249 Трапеций правило 286 Триада 329

Уиттекера функция 171 Унитарная матрица 123 Унитарное представление 348 Условная вероятность 303 Флоке теорема 172 Фредгольма интегральные уравнения 247 - решение 253 - теоремы 249 Френе формулы 330 Френеля интегралы 68 Фундаментальное решение 229, 232 Фундаментальный тензор 336 Функционал 264 Функциональная производная 266 Фурье-Бесселя преобразование 95 Фурье-преобразование 86 - в трех измерениях 91 Фурье-ряд 81 - в комплексной форме 85 Характеристики уравнения в частных производных 187 Характеристическая функция распределения 311 Характеры группы 349 Хевисайда ступенчатая функция 93 Хи-квадрат распределение 321 Хилла уравнение 174 Центральная предельная теорема 313 Цепная дробь 176 Циклоида 268 Частный интеграл 12 Численное дифференцирование 285

- решение дифференциальных уравнений 290 Численные методы 282 Шварца принцип симметрии 113 Шлефли интегральное представление для полиномов Лежандра 144 - интегральное представление для функций Бесселя 158 Штурма-Лиувилля дифференциальное уравнение 219, 275 Шура лемма 348 Эйлера-Маклорена формула 298 Эйлера-Лагранжа уравнение 264 Эйлера преобразование 50, 301 - углы 324 Эйри интеграл 102 Эквивалентность представлений групп 347 Элементы матрицы 122 Эллиптические интегралы 69 - уравнения в частных производных 186 - функции Вейерштрасса 183 Эллиптические функции Якоби 177 Эрмита дифференциальное уравнение 24 - полиномы 24 Эрмитов линейный оператор 218 Эрмитово сопряженная матрица 123 - ядро 254 Якоби полиномы 167 - эллиптические функции 177