Теория представлений групп

М.А.Наймарк ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП В книге в доступной форме, но без снижения математической строгости, излагаются основы теории конечномерных представлений групп, в частности, представлений конечных групп, компактных групп и классических групп, а также излагаются основные понятия и предложения теории групп Ли и их конечномерных представлений. Монография рассчитана на студентов старших курсов и аспирантов математических, физических и химических факультетов, научных работников: математиков и физиков-теоретиков. ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I Алгебраические основы теории представлений § 1. Основные понятия теории групп § 2. Основные понятия и простейшие предложения теории представлений Глава II Представления конечных групп § 1. Основные предложения теории представлений конечных групп § 2. Групповая алгебра конечной группы § 3. Представления симметрической группы § 4. Индуцированные представления § 5. Представления группы SL (2, Fq) Глава III Основные понятия теории представлений топологических групп § 1. Топологические пространства § 2. Топологические группы § 3. Определение конечномерного представления топологической группы; примеры § 4. Общее определение представления топологической группы Глава IV Представления компактных групп § 1. Компактные топологические группы § 2. Представления компактных групп § 3. Групповая алгебра компактной группы Глава V Конечномерные представления связных разрешимых групп; теорема Ли § 1. Связные топологические группы § 2. Разрешимые и нильпотентные группы § 3. Теорема Ли Глава VI Конечномерные представления полной линейной группы § 1. Некоторые подгруппы группы G § 2. Описание неприводимых конечномерных представлений группы GL(n,C)

7 7 27 62 62 82 98 111 117 132 132 139 150 157 165 165 181 209 226 226 233 237 241 241 248

§ 3. Разложение конечномерного представления группы GL(n,C) на неприводимые представления Глава VII Конечномерные представления комплексных классических групп § 1. Комплексные классические группы § 2. Конечномерные непрерывные представления комплексных классических групп Глава VIII Накрывающие пространства и односвязные группы § 1. Накрывающие пространства § 2. Односвязные пространства и принцип монодромии § 3. Накрывающие группы § 4. Односвязность некоторых групп Глава IX Основные понятия теории групп и алгебр Ли § 1. Аналитические многообразия § 2. Алгебры Ли § 3. Группы Ли Глава Х Алгебры Ли § 1. Некоторые определения § 2. Представления нильпотентных и разрешимых алгебр Ли § 3. Радикалы алгебры Ли § 4. Теория реплик § 5. Форма Киллинга. Критерии разрешимости и полупростоты алгебры Ли § 6. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли § 7. Полупростые алгебры Ли § 8. Подалгебры Картана § 9. Структура полупростых алгебр Ли § 10. Классификация простых алгебр Ли § 11. Группа Вейля полупростоя алгебры Ли § 12. Линейные представления полупростых комплексных алгебр Ли § 13. Характеры конечномерных неприводимых представлений полупростой алгебры Ли § 14. Вещественные формы полупростых комплексных алгебр Ли § 15. Общие теоремы об алгебрах Ли Глава XI Группы Ли § 1. Формула Кемпбелла — Хаусдорфа § 2. Теорема Картана § 3. Третья теорема Ли § 4. Некоторые свойства групп Ли в целом § 5. Разложение Гаусса § 6. Разложение Ивасавы

264 275 275 285 292 292 295 301 305 314 314 328 331 357 357 362 370 374 378 382 390 396 399 417 439 442 450 471 487 491 491 500 505 510 520 526

§ 7. Универсальная накрывающая полупростой компактной группы Ли [ § 8. Комплексные полупростые группы Ли и их вещественные формы Глава XII Конечномерные неприводимые представления полупростых групп Ли § 1. Представления комплексных полупростых групп Ли § 2. Представления вещественных полупростых групп Ли Литература Предметный указатель

533 538 546 546 552 555 558

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — вещественная ортогональная 178 Автоморфизм группы 17, 146 — вращений окружности 21 Алгебра 62, 85 — — трехмерного пространства 179 — Ли компактная 472 — линейная 142 — — нильпотентная, разрешимая 362 — локально компактная 169 —' — полупростая, простая 372 — полупростая 236 — типа An, Bn, Cn, Dn 423, 428, 430. — преобразований 19, 147 437 — присоединенная 352 — gl(n,K), sl(n,K), so(n,K), sp(2m,K) — производная ?34, 236 330 — простая 11, 236 — — и(p,q), su(p,q), su*(2n), — симметрическая 18 so(p,q), so*(2n), sp(p,q), sp(2n) 484 — топологическая 139 — тензорная 382 — унитарная 176 — функций 172, 175 — циклическая 10 Вейля базис 417 — Rn, Сn — группа 441 — GL(п,C), GL(n,R), SL(п,C), SL(n,R) Вектор весовой 248, 285, 546 9 — касательный 317 — SL(n,C), So(n,C), Sp(n,C) 275 — старшего веса 248, 264, 285, 546 Двойственность относительно формы — старший 444 33 Векторное поле 323 — — левоинвариантное 333 Диаграмма Юнга 100 Вес вектора 258, 285, 546 Дифференциал отображения 320 Дифференцирование алгебры Ли 357 — представления 368 — старший 248, 258, 285, 445, 547 Дынкина схема 419 Вещественная форма 171, 538 Идеал 83, 329 Гомеоморфизм 137 — максимальный 83, 512 Гомоморфизм алгебр 84 Идемпотент 93 — — Ли 329 Изоморфизм алгебр 84 — — — сопряженный 359 — - Ли 329 — аналитический 336 — групп 15 — групп 14 — локальный 301 — локальный 300 Изоморфизм накрывающих — непрерывный 144 пространств 295 Группа 7 — полей 117

— топологический 145 Импримитивности система 116 Инвариантное среднее 62, 181 Инволюция 86 Индекс подгруппы 11 Казимира элемент 387 Картана критерий 179 — числа 410 Класс сопряженных элементов 21 Коммутант 233. 235 Коммутатор 328 Комплексная- оболочка 360 Компонента 228, 292 Корень алгебры Ли 396 — — — положительный, простой 409 Матрица регулярная 243 Множество замкнутое 134 — компактное 165 — открытое 132 — связное 226, 230 — упорядоченное 408 Нормальный делитель 11 Носитель функции 167 Область 226 Образ век-юриого поля 326 Однородное пространство 19, 25, 149 Окрестность t33 — каноническая 345 — координатная 314 Оператор дифференциальный левоинвариантный 389 — непрерывный 158 — представления 28. 87, 161 — сплетающий 57 — унитарный 50 Ортогональные векторы 33 Отображение 14 — аналитическое 317 — непрерывное 136 — обратное 14 — открытое 142 — регулярное в точке 321 —, — всюду 325

— экспоненциальное 342 Парсеваля равенство 205 Подалгебра 82 Подалгебра Ли 329 Подгруппа 9 — аналитическая 335 — Ли 335 Подмногообразие 326 — открытое 326 Подпространство 136, 158 — корневое 300 Поле 117 Поливектор 272 Полная система неприводимых представлений 69, 186 Полунорма 130 Полупростоты критерий 381 Полупрямая сумма (зацепление) представлений 41 Порядок группы 8 — схемы Дынкина 419 Предел последовательности 134 Представление алгебраически неприводимое 162 — алгебры 37 — — Ли присоединенное 331 — — симметричное 88 — аналитическое 262, 267, 339, 544 — антианалитическое 262, 270, 544 — базисное 271 — вполне приводимое 39 — группы 27 — индуцированное 111 — контрагредиентное 37, 358 —, кратное неприводимому 40, 201 — невырожденное 214 — непрерывное 151, 161 — неприводимое 29, 162 — присоединенное 348 — регулярное 20, 66, 87, 161, 185 — сопряженное 35, 88 — тензорное 157 — унитарное 50, 162 Представления размерность 28, 331 — унитарно эквивалентные 52

— эквивалентные 30, 162 Преобразование 18, 147 — Фурье 73 Прикосновения точка 134 Проекция многообразия 317 — множества 168 Проектор 52 Произведение групп Ли 332 — — — скрещенное 506 — — прямое 26 — многообразий 317 — отображений 14 — полупрямое 507 Производная группа 234, 236 — по направлению 318 Произвольный идеал алгебры Ли 362 Производящая функция 286, 547 Пространство евклидово 49 — касательное 318, 327 — компактное 165 — локально выпуклое 160 — — компактное 169 — — односвязное 303 — — связное 292 — накрывающее 292 — нормальное 170 — нормированное 159 — односвязное 295 — предгильбертово 49 — представления 28, 87, 161 — с группой преобразований 19 — смежных классов 11, 142 — топологическое 132 — — линейное 157 Пространство топологическое связное 226 Прямая сумма алгебр 83 — — замкнутая 223 — — представлении 38 Разложение Гаусса 244. 259, 278, 523, 52Я — Грама 248, 279 — Картана 443 — Крамера 233

Ранг алгебры Ли 397 Реплика оператора 374 Ряд Жордана — Гёльдера 361 Сдвиг 19, 20, 62 Сигнатура 262, 287 Скалярное произведение 49 Симметризатор Юнга 103 След оператора 55 Смежный класс 10 — — регулярный 263 Соотношения ортогональности 69, 74, 186, 192 Структурные постоянные 329 Сумма алгебр Ли 330 Таблица Кэли 8 Тензорное представление 157 — произведение представлений 45, 46, 358 Теорема Адо 490 — Г. Вейля 392, 537 — Леви — Мальцева 448 — Ли 237, 366 — Пуанкаре — Биркгофа — Витта 384 — Энгеля 365 Топологическое произведение 139 Топология 132, 1Э7 — естественная 133, 146 Top 17, 27 Унитарный прием Г. Вейля 539 Упорядоченге лексикографическое 101, 408 Упорядоченное множество 408 Фактор-алгебра 84, 429 Фактор-группа 12, 142, 338 Форма билинейная 33 — — инвариантная 378 — — эрмитова 49 Формула Вейля для характеров 464 — для кратности веса 465 — Кемпбелла — Хаусдорфа 493 — Планшереля 73, 191 Функция аналитическая 314 — антианалитическая 269 — непрерывная 137, 150

— равномерно непрерывная 170 — финитная 167 Характер 32 — индуктивный 252, 285, 547 — конечномерного представления 56 Центр алгебры 86 — — Ли 331 — группы 13 Центральный ряд 362 Эйлеровы углы 180 Элемент единичный 7, 85 — однородный 390 — положительный 408 — — эрмитов 86 Ядро гомоморфизма 15, 84 Якоби тождество 325, 328