Ограниченная алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли

Алгебра и логика, 44, № 3 (2005), 269—304

УДК 512.55+512.7

ОГРАНИЧЕННАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАД СВОБОДНОЙ АЛГЕБРОЙ ЛИ∗) Э. Ю. ДАНИЯРОВА, В. Н. РЕМЕСЛЕННИКОВ Введение Целью данной работы является создание основ алгебраической геометрии над свободной алгеброй Ли F над полем k. Одна из основных задач алгебраической геометрии над алгебраической системой состоит в описании алгебраических множеств над этой системой. Как правило, эта задача чрезвычайно трудна, поэтому при выборе в качестве алгебраической системы свободной алгебры Ли F над полем k она сводится к описанию алгебраических множеств над F множествами двух типов, а именно 1) алгебраическими множествами, определёнными системами уравнений от одной переменной; 2) ограниченными алгебраическими множествами, т. е. лежащими внутри n-мерного параллелепипеда (формальное определение n-параллелепипеда см. в § 2). В § 6 показывается, что классификация алгебраических множеств первого типа сводится к классификации множеств второго типа; исследование последних и является основным содержанием статьи. Классификация ограниченных алгебраических множеств над алгеброй F проводится в трёх эквивалентных языках: 1) в терминах алгебраиче∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект № 02-01-00192a.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

270

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

ских множеств, 2) в терминах их радикалов, 3) в терминах координатных алгебр алгебраических множеств. В § 1, следуя [1, 2], излагаются основы алгебраической геометрии над алгебраическими системами и приводятся базисные понятия и результаты алгебраической геометрии над группами. Элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли подробно изложены в [3]. Используемые результаты по алгебраической геометрии над метабелевыми алгебрами Ли содержатся в [4—6]. В § 2 вводится понятие n-мерного параллелепипеда и показывается, что это множество из F n = F {z. . . × F} является алгебраическим. | ×F × n

В § 3 вводится основное понятие статьи (ограниченное алгебраиче-

ское множество) и обсуждается эквивалентность разных способов определения этого понятия. Основным в статье является § 4, в нём рассматриваются связи между диофантовой геометрией основного поля k и алгебраической геометрией внутри фиксированного n-параллелепипеда V. Строятся необходимые трансляторы в разных языках. Основным обобщающим результатом является теорема 4.7, точно описывающая соотношения между алгебраической геометрией внутри V и диофантовой геометрией аффинного пространства k m , где m — натуральное число, зависящее от V. В § 5 развивается идея соответствия между ограниченными алгебраическими множествами над алгебрами F и алгебраическими множествами над полем k, но уже без явного указания параллелепипеда V. Основным результатом этого параграфа является теорема 5.3 о соответствии объектов категорий BAS(F ) и AS(k)•Aff (F ). Оказывается, что алгебраическая геометрия над алгеброй F не проще алгебраической геометрии над полем k и содержит её в себе как часть. Особенно просто описываются ограниченные алгебраические множества над алгеброй F в случае конечного поля k — это всевозможные конечные объединения точек. В § 6 даётся описание алгебраических множеств над свободной алгеброй Ли F , определённых системами уравнений от одной переменной

Ограниченная алгебраическая геометрия

271

(кратко, в размерности один). В теореме 6.2 показывается, что это либо ограниченные множества, либо вся алгебра F . В заключении приводится список свойств свободной алгебры Ли, которые были использованы в исследовании. Нетрудно проверить, что эти свойства верны и для свободной антикоммутативной алгебры, а следовательно, для неё верны и все результаты этой работы. Сведения об алгебрах Ли, в частности, о свободных, содержатся в [7, 8].

§ 1. Элементы алгебраической геометрии В этом параграфе приводятся основные сведения об алгебраической геометрии над алгебрами Ли. Пусть k — произвольное поле, A — фиксированная алгебра Ли над полем k. При построении алгебраической геометрии над алгеброй A её элементы служат коэффициентами при записи уравнений. Пусть X = {x1 , . . . , xn } — конечный набор неизвестных. Алгебра A[X] = A ∗ F (X) называется свободной A-алгеброй, порождённой алфавитом X. Здесь F (X) — свободная алгебра Ли, порождённая множеством X, а ∗ — знак свободного лиева произведения алгебр Ли. Элементы f = f (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn , a1 , . . . , ar ) ∈ A[X], где a1 , . . . , ar ∈ A — константы, называются полиномами (или многочленами) от переменных x1 , . . . , xn с коэффициентами из алгебры A. Приравнивая полином f к нулю, получаем уравнение над алгеброй A. Произвольное подмножество S алгебры A[X] назовём системой уравнений над алгеброй A. В этой работе уравнения f ∈ A[X] решаются в самой алгебре A, это так называемая диофантова геометрия над алгеброй A. Аффинным n-мерным пространством над алгеброй A называется множество An = {(b1 , . . . , bn ) | bi ∈ A}.

272

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

Точку p = (b1 , . . . , bn ) ∈ An назовём корнем многочлена f ∈ A[X], если f (p) = f (b1 , . . . , bn , a1 , . . . , ar ) = 0. Аналогично, точку p ∈ An назовём корнем (решением) системы S ⊆ A[X], если p — корень каждого многочлена из S. Алгебраическим множеством над алгеброй A, решающим систему S, называется множество V (S) = {p ∈ An | f (p) = 0 ∀ f ∈ S}. Говорим, что две системы уравнений S1 и S2 эквивалентны, если V (S1 ) = = V (S2 ). Система S несовместна над A, если V (S) = ∅. Пусть Y ⊆ An , тогда радикалом множества Y является множество Rad(Y ) = {f ∈ A[X] | f (p) = 0 ∀ p ∈ Y }. Очевидно, что радикал любого множества является идеалом алгебры A[X]. Говорят также о радикалах систем уравнений. Если S ⊆ A[X], то Rad(S) = Rad(V (S)). Таким образом, радикал системы S состоит из всех полиномов, которые обращаются в нуль на всех решениях системы S. Полином f ∈ A[X] назовём следствием системы S, если f ∈ Rad(S). В противном случае полином f является следствием системы S тогда и только тогда, когда система S ′ = S ∪ {f } эквивалентна S. Другими словами, Rad(S) — это максимальная система уравнений, эквивалентная S. Если же система S несовместна, то, по определению, её радикал — это вся алгебра A[X]. Радикал алгебраического множества однозначно определяет это множество. Другими словами, если Y1 , Y2 ⊆ An — алгебраические множества, то Y1 = Y2 ⇔ Rad(Y1 ) = Rad(Y2 ). Следующим важным понятием для алгебраической геометрии является понятие координатной алгебры. Фактор-алгебру Γ(Y ) = Γ(S) = A[X]/Rad(Y )

Ограниченная алгебраическая геометрия

273

назовём координатной алгеброй алгебраического множества Y (или системы S, Y = V (S)). В отличие от радикала, координатная алгебра определяет алгебраическое множество лишь с точностью до изоморфизма (определение изоморфизма алгебраических множеств см. ниже). Основной задачей алгебраической геометрии над алгеброй A является описание алгебраических множеств над A. Это описание можно проводить в трёх эквивалентных языках: 1) в терминах алгебраических множеств, 2) в терминах радикалов указанных множеств, 3) в терминах координатных алгебр алгебраических множеств. Доказательство эквивалентности этих подходов есть в [1, 3]. В данной работе основная задача алгебраической геометрии над свободной алгеброй Ли рассматривается во всех трёх языках. Категории. Одним из базовых результатов алгебраической геометрии над любой алгебраической системой является теорема об эквивалентности категорий алгебраических множеств и их координатных алгебр. Категория координатных алгебр является подкатегорией в категории A-алгебр Ли. Напомним, что алгебру Ли B над полем k называют Aалгеброй, если она содержит выделенную подалгебру, изоморфную алгебре A; гомоморфизм ϕ : B1 → B2 между A-алгебрами Ли B1 и B2 называются A-гомоморфизмом, если ϕ(a) = a для всех a ∈ A; класс A-алгебр Ли образуют категорию, морфизмами которой являются A-гомоморфизмы. Очевидно, координатная алгебра любой совместной системы уравнений S ⊂ A[X] является A-алгеброй Ли (если система S несовместна, то Γ(S) = 0). Таким образом, координатные алгебры непустых алгебраических множеств над A образуют полную подкатегорию в категории всех A-алгебр Ли. Обозначим её через CA(A). Объектами категории алгебраических множеств являются всевозможные алгебраические множества над алгеброй A. Морфизмы здесь определяются с помощью полиномиальных отображений. Более точно, для алгебраических множеств Y ⊆ An и Z ⊆ Ad отображение φ : Y → Z является морфизмом в категории алгебраических множеств, если суще-

274

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

ствуют полиномы f1 , . . . , fd ∈ A[x1 , . . . , xn ] такие, что для каждой точки (b1 , . . . , bn ) ∈ Y выполняется φ(b1 , . . . , bn ) = (f1 (b1 , . . . , bn ), . . . , fd (b1 , . . . , bn )) ∈ Z. Алгебраические множества Y и Z называются изоморфными, если существуют встречные морфизмы: φ : Y → Z и θ : Z → Y такие, что θφ = 1Y , φθ = 1Z . Категорию алгебраических множеств обозначим через AS(A). ТЕОРЕМА 1.1 (об эквивалентности категорий алгебраических множеств и координатных алгебр). Категория AS(A) алгебраических множеств над алгеброй Ли A эквивалентна категории CA(A) координатных A-алгебр Ли. В частности, алгебраические над A множества Y и Z изоморфны тогда и только тогда, когда A-изоморфны их координатные алгебры, т. е. Γ(Y ) ∼ =A Γ(Z). Доказательства теорем, приводимых в этом параграфе, имеются в [1, 3]. Соответствие, устанавливаемое в теореме об эквивалентности категорий, строится с помощью двух контравариантных функторов. При этом алгебраическому множеству сопоставляется его координатная алгебра, а по координатной алгебре алгебраическое множество восстанавливается с точностью до изоморфизма в категории алгебраических множеств. Координатные алгебры. Неоднозначность восстановления алгебраического множества по координатной алгебре связана с определением координатной алгебры как некоторой фактор-алгебры. Для ликвидации этой неоднозначности можно, например, перейти от абстрактного определения координатной алгебры Γ(Y ) к её конкретному представлению Γ(Y ) = hX, RiA в категории A-алгебр Ли с помощью множеств порождающих элементов X и определяющих соотношений R = Rad(Y ). В данной работе используется вполне определенная реализация координатных алгебр в некоторой алгебре A¯ (определение см. ниже). При такой реализации связь между Y и Γ(Y ) задаётся более явно. Следующее ниже представление для координатных алгебр получается из представления радикала Rad(S) алгебраического множества V (S)

Ограниченная алгебраическая геометрия

275

в виде Rad(S) =

\

Ker ϕp ,

p∈V (S)

где ϕp : A[X] → A — это A-гомоморфизм вычисления полиномов в фиксированной точке p ∈ An , действующий по правилу f ∈ A[X], ϕp (f ) = f (p) ∈ A, при этом A[X]/Ker ϕp ∼ = A. Q (i) Обозначим через A¯ = A декартово произведение копий алгебры i∈I

A, в котором множество индексов I имеет мощность max{ℵ0 , |A|}. Алгебра A¯ является A-алгеброй; будем считать, что A вкладывается в декартово произведение A¯ диагонально. ТЕОРЕМА 1.2. Пусть Y ⊆ An — алгебраическое множество над алгеброй A. Тогда координатная алгебра Γ(Y ) A-вкладывается в алгебру ¯ И наоборот, любая конечно порождённая A-подалгебра алгебры A¯ являA. ется координатной алгеброй для некоторого алгебраического множества над A. Теорема 1.2 даёт реализацию координатных алгебр в декартовом проQ (i) изведении A , которая используется в данной работе. Перепишем реi∈I

зультаты теорем 1.1 и 1.2 в более удобной для дальнейшего применения форме (теор. 1.3). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Y ⊆ An — алгебраическое множество над алгеброй Ли A. Будем говорить, что n-порождённая A-подалгебра ¯ C = hA, x1 , . . . , xn i, x1 , . . . , xn ∈ A, Q (i) алгебры A¯ = A является реализацией координатной алгебры Γ(Y ) в i∈I

¯ если полное множество соотношений R ⊂ A[X] на порождаюалгебре A, щих x1 , . . . , xn ∈ A¯ совпадает с Rad(Y ). В данном определении существенно то, что число n порождающих совпадает с размерностью аффинного пространства An , в котором реализуется само алгебраическое множество Y , и, кроме того, порождающие x1 , . . . , xn ∈ A¯ фиксируются так, что R = Rad(Y ). Даже эти ограничения

276

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

не гарантируют однозначности реализации координатной алгебры Γ(Y ) в ¯ а именно, справедливо декартовом произведении A, ЗАМЕЧАНИЕ. Пусть C = hA, x1 , . . . , xn i, C˜ = hA, x ˜1 , . . . , x ˜n i — n¯ R, R ˜ ⊂ A[X] — полные множества порождённые A-подалгебры алгебры A; соотношений на порождающих x1 , . . . , xn и x ˜1 , . . . , x ˜n , соответственно. Алгебры C и C˜ являются реализациями в A¯ координатной алгебры одного и того же алгебраического множества в том и только том случае, если ˜ R = R. ТЕОРЕМА 1.3. Пусть Y ⊆ An — алгебраическое множество над алгеброй Ли A. Тогда его координатная алгебра Γ(Y ) имеет реализацию Q (i) в качестве конечно порождённой A-подалгебры алгебры A : i∈I

Γ(Y ) = hA, x1 , . . . , xn i, x1 , . . . , xn ∈

Y

A(i) ,

i∈I (i)

причём порождающие x1 , . . . , xn можно выбрать так, что Y = {(x1 , . . . , (i)

xn ) | i ∈ I}. ¯ является конечно Обратно, если C = hA, x1 , . . . , xn i, x1 , . . . , xn ∈ A, Q (i) порождённой A-подалгеброй алгебры A¯ = A , то существует единi∈I

ственное алгебраическое множество Y над алгеброй A такое, что C яв¯ В этом слуляется реализацией координатной алгебры Γ(Y ) в алгебре A. (i)

(i)

чае Y ⊇ {(x1 , . . . , xn ) | i ∈ I}. § 2. Алгебраические множества: Параллелепипеды Пусть F — свободная конечно порождённая алгебра Ли над полем k. Через a ◦ b будем обозначать произведение элементов a, b ∈ F , через a1 ◦ ◦ a2 ◦ . . . ◦ an — произведение элементов a1 , a2 , a3 , . . . , an с левонормированной расстановкой скобок: (. . . ((a1 ◦ a2 ) ◦ a3 ) ◦ . . .) ◦ an . Умножение a ∈ F на коэффициенты поля k будем обозначать с помощью приписывания: αa, α ∈ k, или α · a. Для начала приведём несколько примеров алгебраических множеств над алгеброй F .

Ограниченная алгебраическая геометрия

277

Конечномерные аффинные пространства. Покажем, что любое конечномерное линейное подпространство V алгебры F является алгебраическим множеством, т. е. решением уравнения s(x) = 0 от одной переменной x над алгеброй F . Дадим подробное описание уравнений, решениями которых являются нуль-, одно- и двумерные линейные подпространства в F. Нульмерное подпространство является решением уравнения s0 (x) = = x = 0. Возьмем произвольный ненулевой элемент v1 ∈ F . Тогда решением уравнения s1 (x) = x ◦ v1 = 0, как известно, является одномерное подпространство V = link {v1 }. Пусть теперь v1 , v2 ∈ F — линейно независимая пара элементов, V = = link {v1 , v2 }. Построим уравнение s2 (x) = (x◦v1 )◦(v2 ◦v1 ) = 0. Проверим, что V = V (s2 ). Очевидно, все элементы из V удовлетворяют уравнению s2 (x) = 0. Элемент v2 ◦v1 отличен от нуля, т. к. v1 и v2 линейно независимы. Если v является решением уравнения s2 (x), то v ◦ v1 = α2 (v2 ◦ v1 ) для некоторого α2 ∈ k. Следовательно, (v − α2 v2 ) ◦ v1 = 0, откуда, v − α2 v2 = = α1 v1 для некоторого α1 ∈ k. Итак, v = α1 v1 + α2 v2 , т. е. v ∈ V . Для случая многомерных линейных подпространств введём следующие обозначения: s1 (x) = s1 (x, v1 ) = x ◦ v1 — уравнение над алгеброй F , зависящее от переменной x и константы v1 ∈ F ; s2 (x) = s2 (x, v1 , v2 ) = s1 (x, v1 ) ◦ s1 (v2 , v1 ) = (x ◦ v1 ) ◦ (v2 ◦ v1 ) — уравнение, зависящее от двух константных символов v1 , v2 ∈ F ; s3 (x) = s3 (x, v1 , v2 , v3 ) = s2 (x) ◦ s2 (v3 ) = ((x ◦ v1 ) ◦ (v2 ◦ v1 )) ◦ ((v3 ◦ ◦ v1 ) ◦ (v2 ◦ v1 )); ... sm (x) = sm (x, v1 , . . . , vm ) = sm−1 (x) ◦ sm−1 (vm ) = sm−1 (x, v1 , . . . , vm−1 ) ◦ sm−1 (vm , v1 , . . . , vm−1 ); .... Все уравнения sm (x) = 0 имеют в своей записи по одному вхождению переменной x, поэтому являются линейными относительно x. Кроме того, sm (0) = 0. Следовательно, решениями уравнений sm (x) = 0 являются

278

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

линейные подпространства в алгебре F . ЛЕММА 2.1. Пусть v1 , . . . , vm ∈ F — линейно независимые элементы. Тогда link {v1 , . . . , vm } = V (sm ), sm (x) = sm (x, v1 , . . . , vm ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведём индукцией по m. База индукции проверена выше. Покажем, что link {v1 , . . . , vm } ⊆ V (sm ). Уравнение sm (x) = 0 линейно относительно x, поэтому достаточно показать, что v1 , . . . , vm ∈ V (sm ). По индукционному предположению sm−1 (vi ) = 0 для i = 1, . . . , m − 1. Следовательно, sm (vi ) = sm−1 (vi ) ◦ sm−1 (vm ) = 0, i = 1, . . . , m − 1. При i = m имеем sm (vm ) = sm−1 (vm ) ◦ sm−1 (vm ) = 0. Таким образом, включение link {v1 , . . . , vm } ⊆ V (sm ) имеет место. Возьмём теперь произвольный элемент v ∈ V (sm ) и покажем, что v ∈ ∈ link {v1 , . . . , vm }. Поскольку vm ∈ / link {v1 , . . . , vm−1 } и по индукционному предположению, sm−1 (vm ) 6= 0. Из равенства sm (v) = sm−1 (v)◦sm−1 (vm ) = = 0 следует sm−1 (v) = αm sm−1 (vm ) для некоторого αm ∈ k. В силу линейности sm−1 (x) заключаем, что sm−1 (v − αm vm ) = 0. По индукционному предположению получаем v − αm vm ∈ link {v1 , . . . , vm−1 }, следовательно, v ∈ link {v1 , . . . , vm }. 2 Итак, все конечномерные линейные пространства в алгебре F являются алгебраическими множествами. Кроме того, алгебраическими будут и их аффинные сдвиги. Возьмём линейно независимые элементы v1 , . . . , vm ∈ F и произвольный элемент c ∈ F . По лемме 2.1, V = = link {v1 , . . . , vm } является алгебраическим множеством, т. е. состоит из решений уравнения sm (x) = 0. Тогда аффинное подпространство V + c является алгебраическим множеством, решающим уравнение sm (x − c) = 0. Параллелепипеды. Обобщая полученные результаты на случай систем уравнений от нескольких переменных, получаем ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Пусть Vi , i = 1, . . . , n, — конечномерные линейные подпространства алгебры F , c1 , . . . , cn ∈ F — произвольные элементы. Тогда декартово произведение аффинных пространств

Ограниченная алгебраическая геометрия

279

V = (V1 + c1 ) × . . . × (Vn + cn ) ⊂ F n является алгебраическим множеством над F . Множество V решает распадающуюся систему уравнений S от n переменных x)}, S = {sm1 (¯ x), . . . , smn (¯ sm1 (¯ x) = sm1 (x1 − c1 , x2 , . . . , xn ) = sm1 (x1 − c1 ), m1 = dimk V1 , ... x) = smn (x1 , x2 , . . . , xn − cn ) = smn (xn − cn ), mn = dimk Vn . smn (¯ Такие множества, как V из предложения 2.2, называются n-параллелепипедами. В дальнейшем они будут играть важную роль. Часто речь будет идти о конкретном n-параллелепипеде, о котором требуется знать, какие ранги имеют аффинные пространства V1 + c1 , . . . , Vn + cn и какие у них базы. Введём соответствующие обозначения. Через V = (V1 + c1 ) × . . . × (Vn + cn ) ⊂ F n обозначается nпараллелепипед, причём Vi + ci , i = 1, . . . , n, — конечномерные аффинные подпространства алгебры F , а именно: V 1 + c1 :

1 }, V1 = link {v11 , . . . , vm 1

dimk V1 = m1 , c1 ∈ F,

V 2 + c2 :

2 }, V2 = link {v12 , . . . , vm 2

dimk V2 = m2 , c2 ∈ F,

V n + cn :

n }, link {v1n , . . . , vm n

... Vn =

dimk Vn = mn , cn ∈ F.

Согласно предложению 2.2, V является алгебраическим множеством над свободной алгеброй Ли F . Радикал Rad(V) порождается лиевыми многочленами sm1 (x1 − c1 ), . . . , smn (xn − cn ), выделяющими аффинные пространства V1 + c1 , . . . , Vn + cn , соответственно. Для более глубокого изучения n-параллелепипеда V опишем также его координатную алгебру. В этом параграфе приводятся первоначальные сведения о координатной алгебре Γ(V), более подробное её описание даётся в § 4 (предлож. 4.9). Q (i) Положим F¯ = F — декартово произведение копий алгебры F , i∈I Q (i) где множество индексов I имеет мощность |F |, k¯ = k . По теореме 1.3 i∈I

280

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

координатная алгебра Γ(V) имеет реализацию в виде n-порождённой F подалгебры алгебры F¯ : Γ(V) = hF, x1 , . . . , xn i, x1 , . . . , xn ∈ F¯ . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Пусть Γ(V) = hF, x1 , . . . , xn i — произвольная реализация координатной алгебры Γ(V) n-параллелепипеда V = Q (i) = (V1 + c1 ) × . . . × (Vn + cn ) в алгебре F¯ = F . Тогда порождающие i∈I

x1 , . . . , xn ∈ F¯ представимы как

1 ¯ x1 = t11 v11 + . . . + t1m1 vm + c1 , t11 , . . . , t1m1 ∈ k, 1

... n ¯ xn = tn1 v1n + . . . + tnmn vm + cn , tn1 , . . . , tnmn ∈ k. n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1.3 для любой реализации Γ(V) = (i)

(i)

= hF, x1 , . . . , xn i выполняется V ⊇ {(x1 , . . . , xn ) | i ∈ I}. Следовательно, порождающие x1 , . . . , xn ∈ F¯ имеют требуемые представления. 2

§ 3. Ограниченные алгебраические множества ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическое множество Y ⊂ F n называется ограниченным, если Y содержится в некотором n-параллелепипеде. Ясно, что все n-параллелепипеды являются ограниченными множествами, и если Y — ограниченное множество, то существует бесконечно много nпараллелепипедов, содержащих Y . Определение ограниченных алгебраических множеств на язык радикальных идеалов переводит ЛЕММА 3.1. Алгебраическое множество Y ⊂ F n ограничено тогда и только тогда, когда в радикале Rad(Y ) найдутся n лиевых многочленов вида sm1 (x1 − c1 ), . . . , smn (xn − cn ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, алгебраическое множество Y содержится в n-параллелепипеде V тогда и только тогда, когда sm1 (x1 − −c1 ), . . . , smn (xn − cn ) ∈ Rad(Y ). 2

Ограниченная алгебраическая геометрия

281

В категории AS(F ) всех алгебраических множеств над F определим полную подкатегорию BAS(F ), объектами которой являются только ограниченные алгебраические множества. ЛЕММА 3.2. Пусть Y ⊂ F n и Z ⊂ F d — два алгебраических множества над алгеброй F , между которыми существует эпиморфизм φ : Y → Z, а Y ограничено. Тогда Z также ограничено. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что V — n-параллелепипед, содержащий Y . Обозначим через f1 , . . . , fd ∈ F [x1 , . . . , xn ] лиевы многочлены, определяющие эпиморфизм φ, т. е. для каждой точки (b1 , . . . , bn ) ∈ Y φ(b1 , . . . , bn ) = (f1 (b1 , . . . , bn ), . . . , fd (b1 , . . . , bn )) ∈ Z. Так как Y ⊆ V, можно записать 1 1 b1 = α11 v11 + . . . + αm v 1 + c1 , α11 , . . . , αm ∈ k, 1 m1 1

... n n bn = α1n v1n + . . . + αm v n + cn , α1n , . . . , αm ∈ k. n mn n

Подставляя p = (b1 , . . . , bn ) ∈ Y в лиевы многочлены f1 , . . . , fd , получаем f1 (p) = β11 w11 + . . . + βl11 wl11 + r1 , β11 , . . . , βl11 ∈ k, ... fd (p) = β1d w1d + . . . + βldd wldd + rd , β1d , . . . , βldd ∈ k, где w11 , . . . , wl11 , r1 , . . . , w1d , . . . , wldd , rd ∈ F — элементы, не зависящие от точки p ∈ Y . От неё зависят только коэффициенты β11 , . . . , βl11 , . . . , β1d , . . . , βldd ∈ ∈ k. Пусть W = (W1 + r1 ) × . . . × (Wd + rd ) — это d-параллелепипед, где W1 = link {w11 , . . . , wl11 }, . . . , Wd = link {w1d , . . . , wldd }. Ясно, что φ(Y ) ⊆ W. Поскольку φ является эпиморфизмом, то φ(Y ) = Z, значит, Z содержится в W и Z ограничено. 2 СЛЕДСТВИЕ. Пусть Y и Z — изоморфные алгебраические множества над F . Если Y — ограниченное множество, то Z — также ограниченное алгебраическое множество. Таким образом, категория ограниченных алгебраических множеств BAS(F ) замкнута относительно изоморфизмов.

282

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников Описание алгебраических подмножеств внутри V зависит от основ-

ного поля k и приводится в § 4. Координатные алгебры ограниченных алгебраических мноQ (i) жеств. Обозначим через B(F¯ ) подалгебру в F¯ = F , |I| = |F |, состоi∈I

ящую из элементов, степени координат которых ограничены в совокупности. Подалгебру B(F¯ ) назовём ограниченной. Следующая лемма даёт дополнительную характеристику ограниченной подалгебры. ЛЕММА 3.3. Алгебра B(F¯ ) изоморфна тензорному произведению ∼F F ⊗k k, ¯ где k¯ = Q k (i) — декартово произведение копий поля k B(F¯ ) = i∈I

мощности |F |. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существует естественное F -вложение ϕ : F ⊗k k¯ → F¯ , при котором произвольный элемент ¯ t1 v1 + . . . + tm vm ∈ F ⊗k k,

¯ v1 , . . . , vm ∈ F, t1 , . . . , tm ∈ k,

переходит в (i)

w = t1 v1 + . . . + tm vm ∈ F¯ , w(i) = t1 v1 + . . . + t(i) m vm , i ∈ I. ¯ ⊆ B(F¯ ). Ясно, что при этом ϕ(F ⊗k k) Обратно, пусть w ∈ B(F¯ ) и степени всех элементов w(i) , i ∈ I (координат w), не превышают n. Тогда, в частности, каждая координата w(i) является линейной комбинацией над полем k правильных холловских мономов степени, не превосходящей n, число которых конечно. Иными словами, (i)

(i)

существуют элементы v1 , . . . , vm ∈ F такие, что w(i) = α1 v1 + . . . + αm vm (i)

для некоторых αj ∈ k, i ∈ I. Отсюда w = t1 v1 + . . . + tm vm , где ¯ т. е. w имеет прообраз в тензорном произведении F ⊗k k. ¯ 2 t1 , . . . , tm ∈ k, Как следует из теоремы 1.2, все координатные алгебры алгебраических множеств над F являются F -подалгебрами декартового произведения Q (i) F¯ = F . При этом одна и та же координатная алгебра имеет различные i∈I

реализации в алгебре F¯ (см. теор. 1.3). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Y — алгебраическое множество над алгеброй F . Координатная алгебра Γ(Y ) называется ограниченной, если суще-

283

Ограниченная алгебраическая геометрия

ствует её реализация в алгебре F¯ , лежащая в ограниченной подалгебре B(F¯ ). Тот факт, что ограниченность координатной алгебры Γ(Y ) не зависит от реализации, показывает ЛЕММА 3.4. Пусть C1 и C2 — F -изоморфные конечно порождённые F -подалгебры алгебры F¯ : C1 ∼ =F C2 , причём C1 является подалгеброй ограниченной алгебры B(F¯ ). Тогда C2 также является подалгеброй B(F¯ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ϕ — это F -изоморфизм между алгебрами C1 и C2 , ϕ : C2 → C1 . Рассмотрим произвольный элемент w ∈ C2 ¯ Поскольку ϕ(w) ∈ C1 и C1 ⊂ F ⊗k k, ¯ сущеи покажем, что w ∈ F ⊗k k. ствуют элементы v1 , . . . , vm ∈ F , для которых ϕ(w) = t1 v1 + . . . + tm vm , ¯ ¯ j = 1, . . . , m. Тогда w = t˜1 v1 + . . . + t˜m vm для некоторых t˜j ∈ k, tj ∈ k, j = 1, . . . , m. Действительно, рассмотрим лиев многочлен sm (x, v1 , . . . , vm ), определённый в § 2. Ясно, что sm (ϕ(w)) = 0, откуда ϕ(sm (w)) = 0 и (i)

sm (w) = 0. Следовательно, для каждого i ∈ I найдутся такие αj (i)

∈ k,

(i)

что w(i) = α1 v1 + . . . + αm vm . Отсюда получаем требуемое. 2 СЛЕДСТВИЕ 1. Если C1 и C2 — две реализации координатной алгебры Γ(Y ) в алгебре F¯ , причём C1 лежит в ограниченной подалгебре B(F¯ ), то C2 также лежит в B(F¯ ). Таким образом, координатная алгебра Γ(Y ) алгебраического множества Y над F ограничена тогда и только тогда, когда любая её реализация в алгебре F¯ содержится в B(F¯ ). Воспользовавшись теоремой 1.1 получаем СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть Y и Z — изоморфные алгебраические множества над F . Если координатная алгебра Γ(Y ) ограничена, то координатная алгебра Γ(Z) также является ограниченной. Выделим полную подкатегорию BCA(F ) ограниченных координатных алгебр в категории CA(F ) всех координатных алгебр алгебраических множеств над алгеброй F . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5. Алгебраическое множество Y ⊂ F n над свободной алгеброй Ли F является ограниченным тогда и только тогда,

284

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

когда его координатная алгебра Γ(Y ) ограничена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Γ(Y ) = hF, x1 , . . . , xn i. В силу следствия 1 из леммы 3.4 ограниченность координатной алгебры Γ(Y ) не зависит от выбора её реализации в алгебре F¯ . Согласно теореме 1.3 порождаю(i)

(i)

щие x1 , . . . , xn можно выбрать так, чтобы Y = {(x1 , . . . , xn ) | i ∈ I}. Ясно, что координатная алгебра Γ(Y ) является ограниченной тогда и только ¯ тогда, когда её порождающие x1 , . . . , xn принадлежат B(F¯ ), B(F¯ ) = F ⊗k k. Предположим, что Y — ограниченное множество, Y ⊆ V, V = (V1 + +c1 )×. . .×(Vn +cn ) — n-параллелепипед. Тогда каждая точка (b1 , . . . , bn ) ∈ ∈ Y имеет вид 1 1 ∈ k, b1 = α11 v11 + . . . + αm v 1 + c1 , α11 , . . . , αm 1 m1 1

... n n ∈ k. v n + cn , α1n , . . . , αm bn = α1n v1n + . . . + αm n n mn (i) (i) ¯ Следовательно, x1 = {b1 | i ∈ I}, . . . , xn = {bn | i ∈ I} ∈ F ⊗k k. ¯ Обратно, пусть x1 , . . . , xn ∈ F ⊗k k: i ¯ i = 1, . . . , n. xi = ti1 v1i + . . . + timi vm + ci , ti1 , . . . , timi ∈ k, i

Тогда (b1 , . . . , bn ) ∈ V, т. е. Y ⊆ V. 2 В заключение § 3 приведём описание координатной алгебры Γ(Y ) данного ограниченного алгебраического множества Y . В доказательстве предложения 3.5 приводилось некоторое представление Γ(Y ) в F¯ , но речь (i)

(i)

шла о конкретной реализации, при которой Y = {(x1 , . . . , xn ) | i ∈ I}. Тем не менее видно, что описание Γ(Y ) близко описанию координатной алгебры n-параллелепипеда (см. предлож. 2.3). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.6. Пусть Y ⊂ F n — ограниченное алгебраическое множество над свободной алгеброй Ли F , V = (V1 + c1 ) × . . .× (Vn + +cn ) — некоторый n-параллелепипед. 1) Если Y ⊆ V, то при любой реализации Γ(Y ) = hF, x1 , . . . , xn i координатной алгебры Γ(Y ) в алгебре F¯ порождающие x1 , . . . , xn имеют представление i ¯ i = 1, . . . , n. xi = ti1 v1i + . . . + timi vm + ci , ti1 , . . . , timi ∈ k, i

(i)

285

Ограниченная алгебраическая геометрия

2) Если для какой-то реализации Γ(Y ) = hF, x1 , . . . , xn i порождающие x1 , . . . , xn имеют представление (i), то Y ⊆ V. (i)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Y ⊆ V. По теореме 1.3, Y ⊇ {(x1 , . . . , (i)

(i)

(i)

xn ) | i ∈ I}. Следовательно, V ⊇ {(x1 , . . . , xn ) | i ∈ I}. Отсюда получаем требуемое представление для порождающих x1 , . . . , xn . Пусть теперь у координатной алгебры Γ(Y ) существует реализация Γ(Y ) = hF, x1 , . . . , xn i такая, что порождающие имеют представление (i). Тогда лиевы многочлены sm1 (x1 − c1 ), . . . , smn (xn − cn ), выделяющие аффинные пространства V1 + c1 , . . . , Vn + cn , соответственно, являются соотношениями на порождающих x1 , . . . , xn ∈ F¯ . Следовательно, sm1 (x1 − c1 ), . . . , smn (xn − cn ) ∈ Rad(Y ) и Y ⊆ V. 2 Предложение 3.5 еще не даёт полного описания координатной алгебры Γ(Y ) ограниченного множества Y , т. к. о коэффициентах t11 , . . . , t1 , . . . , tn , . . . , tn ∈ k¯ пока ничего не сказано. Более полно структура m1

1

mn

Γ(Y ) описывается в § 4 (предлож. 4.8).

§ 4. Алгебраическая геометрия внутри параллелепипеда Данный параграф посвящён детальному изучению ограниченных алгебраических множеств над алгеброй F из фиксированного n-параллелепипеда V. Устанавливается связь между алгебраической геометрией над алгеброй F внутри n-параллелепипеда V и диофантовой алгебраической геометрией над основным полем k. Для начала рассмотрим случай n = 1. Зафиксируем 1-параллелепипед V, т. е. конечномерное аффинное пространство V = V + c ⊂ F , где V = link {v1 , . . . , vm } — линейное пространство над полем k размерности m, c ∈ F . Ниже показано, что существует взаимнооднозначное соответствие между алгебраическими над F и над k множествами, лежащими в V + c и в аффинном пространстве k m , соответственно, YF ⊆ V + c ↔ Yk ⊆ k m .

286

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников Соответствие алгебраических множеств. Прежде всего, опре-

делим два соответствия между алгебраическими множествами: 1) YF ⊆ V + c → Yk ⊆ k m ; 2) Yk ⊆ k m → YF ⊆ V + c. 1) Пусть YF ⊆ V + c — ограниченное алгебраическое множество. Положим Yk = {(α1 , . . . , αm ) ∈ k m | α1 v1 + . . . + αm vm + c ∈ YF }, Yk ⊆ k m . 2) Пусть Yk — алгебраическое множество над полем k в размерности m. Положим YF = {α1 v1 + . . . + αm vm + c | (α1 , . . . , αm ) ∈ Yk }, YF ⊆ V + c. Форма соответствий YF → Yk и Yk → YF определена так, что их композиция в любом порядке тождественна. То, что эти соответствия сопоставляют алгебраическим множествам алгебраические, будет доказано ниже в леммах 4.1 и 4.2. Предварительно сделаем несколько замечаний. Соответствие радикальных идеалов. Как известно, любое алгебраическое множество однозначно определяется своим радикалом. В данном случае будет удобно параллельно с соответствиями YF → Yk и Yk → YF между множествами построить аналогичные соответствия между их радикалами. Ниже радикалу Rad(YF ) ограниченного алгебраического множества YF ⊆ V +c сопоставляется радикальный идеал Rad(Sk ) кольца k[y1 , . . . , ym ] и доказывается, что Rad(Sk ) — это в точности радикал множества Yk . Обратно, радикалу Rad(Yk ) ограниченного алгебраического множества над полем k сопоставляется радикальный идеал Rad(SF ) алгебры F [x] и доказывается, что Rad(SF ) — это в точности радикал множества YF . Определение сопоставлений между радикалами начнём с соответствия между отдельными многочленами алгебры F [x] и кольца k[y1 , . . . , ym ]. Произвольному лиеву многочлену f (x) ∈ F [x] сопоставим конечную систему уравнений Sf ⊂ k[y1 , . . . , ym ] такую, что f (x) ∈ Rad(YF ) ⇔ Sf ⊂ Rad(Yk ).

Ограниченная алгебраическая геометрия

287

Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть V

=

= link {a1 , a2 }, где a1 , a2 — два различных свободных порождающих алгебры F , c = 0, YF ⊆ V . Возьмём лиев многочлен f (x) = (x ◦ a1 ) ◦ x − (a2 ◦ ◦ a1 ) ◦ a2 − (a2 ◦ a1 ) ◦ a1 . Тогда f (α1 a1 + α2 a2 ) = (α22 − 1) · (a2 ◦ a1 ) ◦ a2 + (α1 α2 − 1) · (a2 ◦ a1 ) ◦ a1 . В качестве системы Sf положим {g1 (y1 , y2 ) = y22 − 1, g2 (y1 , y2 ) = y1 y2 − 1}. Элементы a2 a1 a2 , a2 a1 a1 ∈ F линейно независимы (см. [7, 8]), поэтому f (α1 a1 + α2 a2 ) = 0 ⇔ g1 (α1 , α2 ) = g1 (α1 , α2 ) = 0. В общем случае повторяются те же самые рассуждения. А именно, возьмём многочлен f (x) ∈ F [x] и выполним подстановку x = p, p = α1 v1 + . . . + αm vm + c, α1 , . . . , αm ∈ k, предполагая при этом, что коэффициенты α1 , . . . , αm являются переменными. Раскрывая скобки и приводя подобные, получим: f (p) = g1 (α1 , . . . , αm )u1 + . . . + gs (α1 , . . . , αm )us , где u1 , . . . , us ∈ F — некоторые линейно независимые элементы, не зависящие от точки p ∈ Y , g1 , . . . , gp ∈ k[y1 , . . . , ym ] — многочлены. Ясно, что в этом случае f (α1 v1 + . . . + αm vm + c) = 0 ⇔ g1 (α1 , . . . , αm ) = . . . = gs (α1 , . . . , αm ) = 0. Поэтому полагаем: Sf = {g1 , . . . , gs } ⊂ k[y1 , . . . , ym ]. Определим обратное соответствие. Рассмотрим произвольный многочлен g ∈ k[y1 , . . . , ym ]: g(y1 , . . . , ym ) =

X ¯i

im , α¯i ∈ k, ¯i = (i1 , . . . , im ) ∈ Nm ; α¯i y1i1 · . . . · ym

288

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

пусть M1 = max{i1 }, . . . , Mn = max{im }. С многочленом g(¯ y ) связываем лиев полином fg (x) так, чтобы g(¯ y ) ∈ Rad(Yk ) ⇔ fg (x) ∈ Rad(YF ). Для построения fg (x) введём дополнительные обозначения: fm (x) = sm−1 (x − c, v1 , . . . , vm−1 ), где sm−1 — лиев многочлен из § 2; fm−1 (x) = sm−1 (x − c, v1 , . . . , vm−2 , vm ); ... f1 (x) = sm−1 (x − c, v2 , . . . , vm−1 , vm ). При подстановке в f1 (x), . . . , fm (x) точки x = p, где p = α1 v1 + . . . + αm vm + c, α1 , . . . , αm ∈ k, получаем fm (p) = αm bm , fm−1 (p) = αm−1 bm−1 , . . . , f1 (p) = α1 b1 , где b1 , . . . , bm ∈ F — ненулевые элементы. Подберём элемент a ∈ F такой, чтобы степень a была больше степеней всех элементов b1 , . . . , bm . Тогда всевозможные произведения вида ab1 . . . b1 b2 . . . b2 . . . bm . . . bm отличны от нуля. Лиев многочлен fg (x) определим как fg (x) =

X ¯i

α¯i a ◦ f1 (x) ◦ . . . ◦ f1 (x) ◦ b1 ◦ . . . ◦ b1 ◦ . . . {z } | {z } | M1 −i1

i1

. . . ◦ fm (x) ◦ . . . ◦ fm (x) ◦ bm ◦ . . . ◦ bm . {z } | {z } | im

Mm −im

Подставив в fg (x) точку x = p, получим fg (p) = g(α1 , . . . , αm ) · a ◦ b1 ◦ . . . ◦ b1 ◦ . . . ◦ bm ◦ . . . ◦ bm = g(α1 , . . . , αm ) · e, | {z } | {z } M1

Mm

где e ∈ F — ненулевой элемент. Отсюда вытекает fg (α1 v1 + . . . + αm vm + c) = 0 ⇔ g(α1 , . . . , αm ) = 0. Таким образом, получено сопоставление между отдельными многочленами алгебры F [x] и кольца k[y1 , . . . , ym ].

Ограниченная алгебраическая геометрия

289

Определим сопоставления Rad(YF ) → Rad(Sk ) и Rad(Yk ) → Rad(SF ) между радикальными идеалами, положив Rad(YF ) → Sk = {Sf | f ∈ Rad(YF )}, Rad(Yk ) → SF = {fg (x) ∈ F [x] | g ∈ Rad(Yk )} ∪ sm (x − c, v1 , . . . , vm ), где sm (x − c, v1 , . . . , vm ) = 0 — уравнение, выделяющее аффинное пространство V + c. Вернемся к соответствиям YF → Yk и Yk → YF . ЛЕММА 4.1. Пусть YF ⊆ V + c — ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F , Yk — определённое выше подмножество аффинного пространства k m . Тогда Yk является алгебраическим множеством над полем k и Yk = V (Sk ), где Sk ⊆ k[y1 , . . . , ym ] — определённая выше система уравнений. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что Yk = V (Sk ). Действительно, точка (α1 , . . . , αm ) ∈ k m принадлежит Yk тогда и только тогда, когда точка p = α1 v1 +. . .+αm vm +c принадлежит YF . Включение p ∈ YF эквивалентно тому, что f (p) = 0 для любого f (x) ∈ Rad(YF ). В свою очередь, f (p) = 0 в том и только том случае, если g(α1 , . . . , αm ) = 0 для каждого g ∈ Sf . Следовательно, p ∈ YF тогда и только тогда, когда (α1 , . . . , αm ) ∈ V (Sk ). 2 ЛЕММА 4.2. Пусть Yk ⊆ k m — алгебраическое множество над полем k, YF — определённое выше подмножество аффинного пространства V + c. Тогда YF является алгебраическим множеством над алгеброй F , причём YF = V (SF ), где SF ⊆ F [x] — определённая выше система уравнений. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что YF = V (SF ). Действительно, точка p = α1 v1 + . . . + αm vm + c принадлежит YF тогда и только тогда, когда (α1 , . . . , αm ) ∈ Yk . Включение (α1 , . . . , αm ) ∈ Yk эквивалентно тому, что g(α1 , . . . , αm ) = 0 для каждого многочлена g ∈ Rad(Yk ). В свою очередь, g(α1 , . . . , αm ) = 0 в том и только том случае, если fg (p) = 0. Следовательно, (α1 , . . . , αm ) ∈ Yk тогда и только тогда, когда p ∈ V (SF ). 2

290

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников Таким образом, соответствия YF → Yk и Yk → YF алгебраическим

множествам сопоставляют алгебраические. Их композиция в любом порядке тождественна: YF → Yk → YF = idAS(F ) , Yk → YF → Yk = idAS(k) . В итоге, доказана следующая ТЕОРЕМА 4.3. Отображения YF → Yk и Yk → YF устанавливают взаимнооднозначное соответствие YF ↔ Yk между алгебраическими над F подмножествами конечномерного аффинного пространства V + c ⊂ F , V = link {v1 , . . . , vm }, c ∈ F , и алгебраическими множествами над полем k, лежащими в аффинном пространстве k m . СЛЕДСТВИЕ 1. Посредством YF ↔ Yk аффинному пространству V + c сопоставляется аффинное пространство k m . СЛЕДСТВИЕ 2. Посредством Rad(YF ) ↔ Rad(Yk ) устанавливается взаимнооднозначное соответствие между радикальными идеалами кольца k[y1 , . . . , ym ] и радикальными идеалами алгебры F [x], содержащими лиев полином sm (x − c, v1 , . . . , vm ). Алгоритм этого сопоставления может быть упрощён в следующем смысле. 1) Пусть YF ⊆ V + c — ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F , YF = V (SF′ ), где SF′ — некоторая система уравнений. Положим Sk′ = {Sf | f ∈ SF′ }, тогда Sk′ ⊆ Sk , но Rad(Sk′ ) = Rad(Sk ) = Rad(Yk ). Упрощение заключается в том, что для определения радикала Rad(Yk ) достаточно использовать только те лиевы полиномы, которые порождают радикал Rad(YF ). 2) Пусть Yk ⊆ k m — алгебраическое множество над полем k, Yk = = V (Sk′ ), где Sk′ — некоторая система уравнений. Положим SF′ = {fg (x) | g ∈ Sk′ } ∪ sm (x − c), тогда SF′ ⊆ SF , но Rad(SF′ ) = Rad(SF ) = Rad(YF ). СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть YF ⊆ V +c — ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F , S ⊆ F [x] — система уравнений для YF : YF =

Ограниченная алгебраическая геометрия

291

= V (S). Тогда существует конечная подсистема S0 ⊆ S такая, что YF = = V (S0 ∪ sm (x − c, v1 , . . . , vm )). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим следующую систему уравнений над полем k: Sk′ = {g ∈ k[y1 , . . . , ym ] | g ∈ Sf , f ∈ S}. Согласно следствию 2, системы Sk′ и Sk эквивалентны. В силу нётеровости по уравнениям поля k существует конечная подсистема Sk,0 ⊆ Sk′ , эквивалентная Sk′ . Таким образом, Yk = V (Sk,0 ). Для каждого многочлена g ∈ Sk,0 зафиксируем по одному лиеву полиному f ∈ S такому, что g ∈ Sf , и положим в качестве системы S0 набор зафиксированных полиномов. Точка p = α1 v1 + . . . + αm vm + c принадлежит Y = V (S) тогда и только тогда, когда p ∈ V (S0 ). Следовательно, YF = V (S0 ∪ sm (x − c)). 2 СЛЕДСТВИЕ 4. Если основное поле k конечно, то любое подмножество MF ⊆ V + c аффинного пространства V + c является алгебраическим над F . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, в случае конечного поля k любое подмножество Mk ⊆ k m является алгебраическим. 2 Соответствие координатных алгебр. Выше нами построены взаимно однозначные соответствия YF ↔ Yk и Rad(YF ) ↔ Rad(Yk ) алгебраических множеств и радикальных идеалов. Дадим описание этого же соответствия на языке координатных алгебр. Координатные алгебры алгебраических множеств над F считаются Q (i) реализованными в декартовом произведении F¯ = F , а координатные i∈I

кольца алгебраических множеств над полем k — в декартовом произведеQ (i) нии k¯ = k , в котором выделяется диагональное подполе, изоморфное k.

i∈I

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Yk ⊆ k m — алгебраическое множество над полем k. Будем говорить, что m-порождённое k-подкольцо кольца k¯ ¯ Ck = hk, t1 , . . . , tm i, t1 , . . . , tm ∈ k, ¯ если полное является реализацией координатного кольца Γ(Yk ) в кольце k,

292

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

множество соотношений Rk ⊂ k[y1 , . . . , ym ] на порождающих t1 , . . . , tm ∈ k¯ совпадает с Rad(Yk ). Пусть YF ⊆ V + c — ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F . Предложение 3.6 утверждает, что при любой реализации Γ(YF ) = hF, xi, x ∈ F¯ , координатной алгебры Γ(YF ) в алгебре F¯ порождающий x ∈ F¯ записывается в виде суммы x = t 1 v 1 + . . . + t m vm + c

(∗)

¯ И наоборот, если CF = для некоторых коэффициентов t1 , . . . , tm ∈ k. = hF, xi — некоторая F -подалгебра алгебры F¯ с порождающим x ∈ F¯ в форме (∗), то CF является реализацией координатной алгебры ограниченного алгебраического множества YF над F , причём YF ⊆ V + c. Через RF обозначается полное множество соотношений с порождающим x ∈ F¯ : RF = {f (x) ∈ F [x] | f (t1 v1 + . . . + tm vm + c) = 0}. Следующая лемма устанавливает взаимнооднозначное соответствие между координатными алгебрами ограниченных алгебраических множеств YF ⊆ V + c над F и координатными алгебрами алгебраических множеств Yk ⊆ k m над полем k. ЛЕММА 4.4. F -алгебра CF = hF, xi, где x ∈ F¯ , x = t1 v1 + . . . + ¯ будет реализацией координатной алгебры Γ(YF ) +tm vm +c и t1 , . . . , tm ∈ k, тогда и только тогда, когда k-подкольцо Ck = hk, t1 , . . . , tm i является реализацией координатного кольца Γ(Yk ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Повторяя все рассуждения, проводимые при построении соответствия Rad(YF ) ↔ Rad(Yk ) с заменой коэффициентов ¯ получим поля α1 , . . . , αm ∈ k коэффициентами кольца t1 , . . . , tm ∈ k, RF = Rad(YF ) ⇔ Rk = Rad(Yk ). Отсюда следует требуемое. 2 Следствие из этой леммы запишем в виде предложения, дающего описание координатной алгебры Γ(YF ) ограниченного алгебраического множества YF ⊆ V + c.

Ограниченная алгебраическая геометрия

293

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.5. Пусть YF ⊆ V + c — ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F , Yk ⊆ k m — соответствующее ему алгебраическое множество над полем k. F -алгебра CF = hF, xi, x ∈ F¯ , будет реализацией координатной алгебры Γ(YF ) тогда и только тогда, когда 1) порождающий x ∈ F¯ представим в виде суммы ¯ x = t1 v1 + . . . + tm vm + c, t1 , . . . , tm ∈ k; 2) полное множество соотношений Rk на коэффициентах t1 , . . . . . . , tm ∈ k¯ совпадает с Rad(Yk ). В частности, все такие алгебры F -изоморфны. В качестве следствия из предложения 4.5 дадим описание координатной алгебры Γ(V + c) аффинного пространства V + c. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6. Пусть V + c ⊂ F — конечномерное аффинное пространство. F -алгебра CF = hF, xi, x ∈ F¯ , будет реализацией координатной алгебры Γ(V + c) тогда и только тогда, когда 1) порождающий x ∈ F¯ представим в виде суммы ¯ x = t1 v1 + . . . + tm vm + c, t1 , . . . , tm ∈ k; 2) коэффициенты t1 , . . . , tm ∈ k¯ таковы, что: (i)

(i)

а) {(t1 , . . . , tm ) | i ∈ I} = k m , если поле k конечно; б) hk, t1 , . . . , tm i является кольцом многочленов от переменных t1 , . . . , tm (или, другими словами, t1 , . . . , tm алгебраически независимы над k) в противном случае. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимо показать, что в случае YF = V +c условия пп. 2 в предложениях 4.5 и 4.6 эквивалентны. Согласно следствию 1 из теоремы 4.3 имеем Yk = k m . Если |k| = ∞, то Rad(k m ) = 0, откуда следует требуемое. Если |k| < ∞, то |k m | < ∞ и любое подмножество Y ⊆ k m является алгебраическим, а Rad(Y ) < Rad(k m ) при Y < k m . 2 Общий случай. Трансляция между алгебраическими множествами возможна и для произвольной конечной размерности n > 1. Все про-

294

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

ведённые выше рассуждения повторяются дословно, усложняются лишь обозначения. Пусть V = (V1 +c1 )×. . .×(Vn +cn ) — фиксированный n-параллелепипед. Подобно одномерному случаю, определим соответствие YF ↔ Yk между ограниченными алгебраическими множествами из V и алгебраическими множествами из аффинного пространства k M (здесь M = m1 + . . . + mn ): 1 n YF = {(α11 v11 + . . . + αm v 1 + c1 , . . . , α1n v1n + . . . + αm v n + cn )} ⊆ V n mn 1 m1 n 1 , . . . , α1n , . . . , αm )} ⊆ k M . ↔ Yk = {(α11 , . . . , αm n | {z } {z }1 | m1

mn

Верна аналогичная теореме 4.3

ТЕОРЕМА 4.7. Пусть Vi + ci , i = 1, . . . , n, — конечномерные аффинные подпространства алгебры F (размерностей m1 , . . . , mn , соответственно), V = (V1 + c1 ) × . . . × (Vn + cn ) ⊂ F n — n-параллелепипед. Тогда сопоставление YF ↔ Yk является взаимнооднозначным соответствием между алгебраическими множествами над F , лежащими в nпараллелепипеде V, и алгебраическими множествами над полем k, лежащими в аффинном пространстве k M , где M = m1 + . . . + mn . Следствия также повторяют следствия из теоремы 4.3 и доказываются аналогично. СЛЕДСТВИЕ 5. Соответствие YF ↔ Yk всему n-параллелепипеду сопоставляет всё аффинное пространство k M . СЛЕДСТВИЕ 6. Существует взаимнооднозначное соответствие 1 , . . . , yn , между радикальными идеалами кольца многочленов k[y11 , . . . , ym 1 1 n ] и радикалами ограниченных алгебраических над F множеств, ле. . . , ym n

жащих в n-параллелепипеде V. Последние можно охарактеризовать как радикальные идеалы алгебры F [x1 , . . . , xn ], содержащие лиевы полиномы sm1 (x1 −c1 ), . . . , smn (xn −cn ), которые выделяют аффинные пространства V1 + c1 , . . . , Vn + cn , соответственно. СЛЕДСТВИЕ 7. Пусть YF — произвольное ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F . Тогда существует конечная система уравнений S0 ⊂ F [X] такая, что YF = V (S0 ).

Ограниченная алгебраическая геометрия

295

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, каждое ограниченное алгебраическое множество YF содержится в некотором n-параллелепипеде V. Внутри V алгебраическое множество Y можно определить с помощью конечного числа уравнений так же, как это делалось в одномерном случае. Затем к этим уравнениям следует добавить n уравнений sm1 (x1 − −c1 ), . . . , smn (xn − cn ), задающих n-параллелепипед V, в результате получится искомая конечная система S0 . 2 СЛЕДСТВИЕ 8. Если основное поле k конечно, то любое подмножество MF ⊆ V n-параллелепипеда V является алгебраическим над F . СЛЕДСТВИЕ 9. Пусть YF ⊆ V — ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F , Yk ⊆ k M — соответствующее ему алгебраическое множество над полем k. F -алгебра CF = hF, x1 , . . . , xn i, x1 , . . . , xn ∈ F¯ , i ¯ i = 1, . . . , n, + ci , ti1 , . . . , timi ∈ k, xi = ti1 v1i + . . . + timi vm i

будет реализацией координатной алгебры Γ(YF ) тогда и только тогда, когда k-подкольцо Ck = hk, t11 , . . . , t1m1 , . . . , tn1 , . . . , tnmn i является реализацией координатного кольца Γ(Yk ). Как в одномерном случае, верны следующие два предложения. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8. Пусть YF ⊆ V — ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F , Yk ⊆ k M — соответствующее ему алгебраическое множество над полем k. F -алгебра CF = hF, x1 , . . . , xn i, x1 , . . . , xn ∈ F¯ , будет реализацией координатной алгебры Γ(YF ) тогда и только тогда, когда 1) порождающие x1 , . . . , xn ∈ F¯ представимы в форме i ¯ i = 1, . . . , n; xi = ti1 v1i + . . . + timi vm + ci , ti1 , . . . , timi ∈ k, i

t1m1

2) полное множество соотношений Rk на коэффициентах t11 , . . . , , . . . , tn , . . . , tn ∈ k¯ совпадает с Rad(Yk ). 1

mn

В частности, все такие алгебры F -изоморфны.

296

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.9. Пусть V = (V1 + c1 ) × . . . × (Vn + cn ) ⊂ ⊂ F n — n-параллелепипед. F -алгебра CF = hF, x1 , . . . , xn i, x1 , . . . , xn ∈ F¯ , будет реализацией координатной алгебры Γ(V) тогда и только тогда, когда 1) порождающие x1 , . . . , xn ∈ F¯ представимы в форме i ¯ i = 1, . . . , n; xi = ti1 v1i + . . . + timi vm + ci , ti1 , . . . , timi ∈ k, i

2) коэффициенты t11 , . . . , t1m1 , . . . , tn1 , . . . , tnmn ∈ k¯ таковы, что а) {((t11 )(i) , . . . , (t1m1 )(i) , . . . , (tn1 )(i) , . . . , (tnmn )(i) ), | i ∈ I} = k M , если поле k конечно; б) hk, t11 , . . . , t1m1 , . . . , tn1 , . . . , tnmn i является кольцом многочленов от переменных t11 , . . . , t1m1 , . . . , tn1 , . . . , tnmn (или, другими словами, t11 , . . . , t1m1 , . . . , tn1 , . . . , tnmn алгебраически независимы над k) в противном случае. В чём же отличие n-мерного случая от одномерного при m = M , M = m1 + . . . + mn ? И в том, и в другом случае ограниченные алгебраические множества над алгеброй F находятся во взаимнооднозначном соответствии с алгебраическими над k подмножествами из k M . Поэтому при m = M имеется столько же одномерных алгебраических множеств из аффинного пространства V + c, сколько ограниченных алгебраических множеств внутри n-параллелепипеда V. Отличие состоит в том, что в nмерном случае соответствие YF ↔ Yk строится при изначальной расста1 | . . . |y n , . . . , y n , новке в k M „перегородки“ между переменными y11 , . . . , ym mn 1 1

разделяющей множество переменных на n частей. Для алгебраических множеств различие между рассортированным и монолитным многообразием k M несущественно. Оно проявляется при рассмотрении категории AS(k) алгебраических множеств над полем k в целом, т. к. понятие расстановки перегородок не описывается на языке морфизмов алгебраических множеств. § 5. Классификация ограниченных алгебраических множеств В этом параграфе развивается идея соответствия между ограниченными алгебраическими множествами над алгеброй F и алгебраическими

Ограниченная алгебраическая геометрия

297

множествами над полем k, но уже без привязки к изначально фиксированному n-параллелепипеду. Основной целью является описание объектов категории BAS(F ) (категории всех ограниченных алгебраических множеств над алгеброй F ) через трансляцию в категорию AS(k) (категорию алгебраических множеств над полем k). По определению любое ограниченное алгебраическое множество YF над алгеброй F содержится в некотором n-параллелепипеде V. Внутри V ограниченному множеству YF однозначно соответствует алгебраическое множество Yk ⊆ k M над полем k. Однако сопоставление YF → Yk • V ограниченному множеству YF пары „n-параллелепипед V и алгебраическое множество Yk“ неудобно: сопоставление неоднозначно, поскольку V не является единственным n-параллелепипедом, в котором содержится YF . Эту ситуацию можно обойти путем определения минимального nпараллелепипеда ограниченного алгебраического множества YF . Минимальные n-параллелепипеды. Пусть YF ⊂ F n — произвольное ограниченное алгебраическое множество размерности n над алгеброй F . Обозначим через VY пересечение всех n-параллелепипедов, содержащих YF . Ясно, что VY а) также является n-параллелепипедом; б) содержит в себе YF ; в) содержится в любом n-параллелепипеде V таком, что V ⊇ YF . Назовем VY минимальным n-параллелепипедом ограниченного алгебраического множества YF . Сохраним для VY те же обозначения, которые были введены в § 2 для V. Определение минимального n-параллелепипеда неконструктивно, поэтому здесь дополнительно приводится процедура нахождения минимального n-параллелепипеда, которая представляет из себя простейший Q (i) алгоритм по модулю кольца k¯ = k . i∈I

Пусть YF ⊂ F n — произвольное ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F . Говоря о том, что задано ограниченное множество, предполагается: вместе с YF задан какой-либо n-параллелепипед V ⊇ YF ,

298

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

а также согласованная с V реализация координатной алгебры Γ(YF ) в алгебре F¯ (см. § 3): Γ(YF ) = hF, x1 , . . . , xn i, i ¯ i = 1, . . . , n. xi = ti1 v1i + . . . + timi vm + ci , ti1 , . . . , timi ∈ k, i

Покажем, как „уменьшить“ порождающие x1 , . . . , xn ∈ F¯ , чтобы „уместить“ их в минимальном n-параллелепипеде. Для этого воспользуемся стандартным аппаратом линейной алгебры. Согласно лемме 3.3 ограниченная алгебра B(F¯ ) изоморфна алгебре ¯ значит, B(F¯ ) является свободным модулем над кольцом k¯ с базой F ⊗k k, состоящей, например, из правильных холловских слов. Возьмём произвольный элемент x ∈ B(F¯ ) и запишем его в виде ¯ v1 , . . . , vm , c ∈ F. x = t1 v1 + . . . + tm vm + c, t1 , . . . , tm ∈ k,

(1)

Скажем, что записи элемента x соответствует конечномерное аффинное пространство V +c в алгебре F , где V = link {v1 , . . . , vm }. Понятно, что для элемента x запись (1) не единственна. В частности, её можно сократить, уменьшив число слагаемых, в двух случаях: 1) если элементы v1 , . . . , vm , c линейно зависимы над k; 2) если элементы t1 , . . . , tm аффинно зависимы над k. Применяя стандартные рассуждения линейной алгебры, получаем, что для любого элемента x ∈ B(F¯ ) существуют запись вида (1) (называемая несократимой) и соответствующее ей аффинное пространство (называемое минимальным), обладающие следующими свойствами: 1) элементы v1 , . . . , vm , c линейно независимы над k; 2) элементы t1 , . . . , tm аффинно независимы над k (кроме того, несократимая запись единственна с точностью до перестановки слагаемых в ней, следовательно, минимальное пространство также единственно); 3) какая бы ни была задана сократимая запись элемента x ¯ v ′ , . . . , v ′ , c′ ∈ F, x = t′1 v1′ + . . . + t′n vn′ + c′ , t′1 , . . . , t′n ∈ k, 1 n

(2)

число слагаемых в ней больше, чем в несократимой записи, и, при необходимости избавляясь в любом порядке от линейной зависимости между

Ограниченная алгебраическая геометрия

299

элементами v1′ , . . . , vn′ , c′ и от аффинной зависимости между коэффициентами t′1 , . . . , t′n , неизбежно получаем единственную несократимую запись; 4) если V ′ + c′ — аффинное пространство, соответствующее произвольной записи (2), то V ′ + c′ содержит в себе минимальное пространство V + c. Таким образом, алгоритм состоит в том, чтобы, имея какую-либо реализацию координатной алгебры Γ(YF ) в алгебре F¯ , Γ(YF ) = hF, x1 , . . . , xn i, для порождающих x1 , . . . , xn ∈ B(F¯ ) найти минимальные пространства V1 + c1 , . . . , Vn + cn . Ясно, что V = (V1 + c1 ) × . . . × (Vn + cn ) будет минимальным n-параллелепипедом ограниченного множества YF . В силу единственности минимального n-параллелепипеда процедура его построения не зависит от стартовой реализации координатной алгебры Γ(YF ). Пусть YF ⊂ F n — ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F . Как отмечалось выше, неоднозначность сопоставления YF → Yk •V. связана с неоднозначным определением n-параллелепипеда V ⊇ YF . Положим теперь в качестве V минимальный n-параллелепипед VY ограниченного множества YF и определим сопоставление YF → Yk • VY , где Yk — алгебраическое множество над полем k, соответствующее ограниченному множеству YF как подмножеству n-параллелепипеда VY . Тот факт, что сопоставление YF ↔ Yk производится внутри минимального n-параллелепипеда VY , накладывает на алгебраическое множество Yk ⊆ k M следующее условие максимальности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Yk ⊆ k M — алгебраическое множество над полем k. Будем говорить, что Yk удовлетворяет условию максимальности относительно разбиения M = m1 + . . . + mn , если в радикале Rad(Yk ) ⊂ 1 , . . . , y n , . . . , y n ] нет нетривиальных уравнений вида ⊂ k[y11 , . . . , ym mn 1 1 1 y 1 + γ = 0, β 1 , . . . , β 1 , γ ∈ k, β11 y11 + . . . + βm 1 m1 1 1 1 m1

...

(3)

n y n + γ = 0, β n , . . . , β n , γ ∈ k. β1n y1n + . . . + βm n mn n 1 n mn

Иными словами, если записать алгебраическое множество Yk в виде декартова произведения Yk = Y 1 × . . . × Y n , где Y 1 ⊂ k m1 , . . . , Y n ⊂ k mn , то

300

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников

каждое из множеств Y i не будет содержаться в аффинном пространстве размерности, меньшей mi , i = 1, . . . , n. ЛЕММА 5.1. Пусть YF ⊂ F n — ограниченное алгебраическое множество над алгеброй F , VY — минимальный n-параллелепипед для YF , а Yk ⊆ k M — алгебраическое множество над полем k, соответствующее YF внутри VY . Тогда Yk удовлетворяет условию максимальности относительно разбиения M = m1 + . . . + mn . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО повторяет рассуждения из алгоритма для нахождения минимального n-параллелепипеда. Пусть, напротив 1 β1 y11 + . . . + βm1 ym + γ1 ∈ Rad(Yk ), β1 6= 0. 1 1 , . . . , αn , . . . , αn ) ∈ Y верно Тогда для любой точки (α11 , . . . , αm k mn 1 1 1 − (γ1 : β1 ). α11 = −(β2 : β2 ) · α21 − . . . − (βm1 : β1 ) · αm 1

Следовательно, для любой точки (b1 , . . . , bn ) ∈ YF справедливо 1 b1 = α11 v11 + . . . + αm v 1 + c1 1 m1 1 1 = α21 · (v21 − (β2 : β1 ) · v11 ) + . . . + αm · (vm − (βm1 : β1 ) · v11 ) + (c1 − (γ1 : β1 ) · v11 ), 1 1

что противоречит минимальности n-параллелепипеда VY . 2 Обращая рассуждения в доказательстве леммы 5.1, получаем ЛЕММА 5.2. Пусть V — n-параллелепипед, Yk ⊆ k M и YF ⊂ F n — соответствующие друг другу внутри V алгебраические множества. Если Yk удовлетворяет условию максимальности относительно разбиения M = m1 + . . . + mn , то V является минимальным n-параллелепипедом для YF . Из лемм 5.1 и 5.2 следует, что сопоставление YF → Yk • VY обратимо и взаимнооднозначно. Обозначим через Aff (F ) подкатегорию в категории BAS(F ), объектами которой являются всевозможные n-параллелепипеды, n ∈ N. Определим категорию AS(k) • Aff (F ), положив в качестве её объектов множество всех согласованных пар вида Yk • VY , где

301

Ограниченная алгебраическая геометрия

1) VY — n-параллелепипед (с рангами m1 , . . . , mn и базами образующих его аффинных пространств, определёнными в § 2); 2) Yk (⊆ k M ) — алгебраическое множество над полем k, удовлетворяющее условию максимальности относительно разбиения M = m1 +. . .+mn . Морфизмы категории AS(k) • Aff (F ) определим естественным наследованием морфизмов с категорий AS(k) и Aff (F ). Из лемм 5.1 и 5.2 вытекает ТЕОРЕМА 5.3. Объекты категорий BAS(F ) и AS(k) • Aff (F ) находятся во взаимнооднозначном соответствии. СЛЕДСТВИЕ. Если основное поле k конечно, то ограниченные алгебраические множества над алгеброй F — это в точности всевозможные конечные наборы точек. Несмотря на взаимнооднозначное соответствие объектов категорий BAS(F ) и AS(k)•Aff (F ), сами категории не изоморфны. Причина состоит в том, что при таком определении категории AS(k) • Aff (F ) в ней морфизмов больше, чем в категории BAS(F ). Категории BAS(F ) и AS(k)•Aff (F ) будут изоморфными, если переопределить морфизмы в одной из них или в обеих.

§ 6. Алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли в размерности один Выясним, какие имеются неограниченные алгебраические множества Y ⊆ F в размерности один. Согласно теореме 1.3 координатная алгебра Q (i) Γ(Y ) имеет реализацию в декартовом произведении F¯ = F : i∈I

Γ(Y ) = hF, xi, x ∈ F¯ . Если порождающий x ∈ F¯ принадлежит ограниченной подалгебре B(F¯ ), то Γ(Y ) и Y — ограниченные координатная алгебра и алгебраическое множество, соответственно. Поэтому будем считать, что x ∈ / B(F¯ ).

302

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников ЛЕММА 6.1. Если x ∈ / B(F¯ ), то координатная алгебра Γ(Y )

F -изоморфна свободной алгебре Ли с порождающими a1 , . . . , ar , x, где a1 , . . . , ar — свободные порождающие алгебры F . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что Γ(Y ) ∼ =F F [x]. Пусть, напротив, существует ненулевой лиев полином f (x) ∈ F [x], имеющий корни сколь угодно большой степени. Найдём корень x0 ∈ F полинома f (x) такой, что степень x0 больше степени f (x) как элемента свободной алгебры Ли F [x]. Равенство f (x0 ) = 0 влечёт включение f (x) ∈ idhx − x0 i, где idhx − x0 i — идеал алгебры F [x], порождённый элементом (x − x0 ). Поскольку степень произвольного ненулевого элемента идеала idhx − x0 i не меньше степени порождающего его элемента (x − x0 ) (см. [8]), то в силу выбора x0 ∈ F полином f (x) не может принадлежать идеалу idhx − x0 i. 2 СЛЕДСТВИЕ. Для случая x ∈ / B(F¯ ) алгебраическим множеством Y ⊆ F , соответствующим координатной алгебре hF, xi, является вся алгебра F . Таким образом, верна следующая ТЕОРЕМА 6.2. Произвольное алгебраическое множество Y в размерности один (Y ⊆ F ) над свободной алгеброй Ли F — это а) либо ограниченное множество, б) либо вся алгебра F . Напомним, что в случае конечного поля k ограниченные алгебраические множества — это всевозможные конечные наборы точек.

Заключение Как уже отмечалось во введении, результаты данной работы полностью переносятся на случай, когда F — это свободная антикоммутативная алгебра над полем k. Ниже приводится список свойств свободной алгебры Ли, которые использовались в работе. СВОЙСТВО 1. Пусть v ∈ F — ненулевой элемент. Тогда решением уравнения s(x) = x ◦ v = 0 является в точности одномерное линейное пространство, натянутое на вектор v.

Ограниченная алгебраическая геометрия

303

Отсюда вытекает, что n-параллелепипеды являются алгебраическими множествами над F . СВОЙСТВО 2. Пусть a1 , . . . , ar — свободные порождающие алгебры F . Тогда в F существует линейный базис, состоящий из слов, составленных из букв a1 , . . . , ar ; для каждого элемента a ∈ F определяется степень n относительно a1 , . . . , ar ; для любого натурального n множество базисных элементов, степени которых не превосходят n, конечно. Для свободной алгебры Ли примером такого базиса может служить базис Холла. СВОЙСТВО 3. Пусть a, b ∈ F , a ◦ b 6= 0. Тогда степень произведения a ◦ b больше степеней элементов a и b. Если a, b1 , . . . , bn ∈ F — ненулевые элементы и степень a больше степеней bi , i = 1, . . . , n, то a ◦ b1 ◦ . . . ◦ bn 6= 0. Это свойство используется при транслировании уравнений над полем k в уравнения над алгеброй F . СВОЙСТВО 4. Пусть a ∈ F — ненулевой элемент, idhai — идеал алгебры F , порождённый элементом a. Тогда степень произвольного ненулевого элемента идеала idhai не меньше степени элемента a (см. [8]). На свойство 4 ссылается доказательство леммы 6.1, благодаря которой получено описание всех алгебраических множеств над F в размерности один (n = 1). Целью этой работы не являлось нахождение всех алгебр, удовлетворяющих свойствам 1–4, отметим лишь, что свободная антикоммутативная алгебра удовлетворяет им, а следовательно, для неё верны все результаты этой статьи.

ЛИТЕРАТУРА 1. G. Baumslag, A. G. Myasnikov, V. N. Remeslennikov, Algebraic geometry over groups I: algebraic sets and ideal theory, J. Algebra, 219, No. 1 (1999), 16—79. 2. A. G. Myasnikov, V. N. Remeslennikov, Algebraic geometry over groups II: logical foundations, J. Algebra, 234, No. 1 (2000), 225—276. 3. Э. Ю. Даниярова, Элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли, препринт № 131, Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2004.

304

Э. Ю. Даниярова, В. Н. Ремесленников 4. Э. Ю. Даниярова, И. В. Казачков, В. Н. Ремесленников, Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли I: U-алгебры и универсальные классы, Фундам. приклад. матем., 9, № 3 (2003), 37—63. 5. Э. Ю. Даниярова, И. В. Казачков, В. Н. Ремесленников, Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли II: случай конечного поля, Фундам. приклад. матем., 9, № 3 (2003), 65—87. 6. Э. Ю. Даниярова, И. В. Казачков, В. Н. Ремесленников, Полуобласти и метабелевы произведения метабелевых алгебр Ли, в сб. „Современная математика“ (Итоги науки техн.), М., ВИНИТИ, в печати. 7. Ю. А. Бахтурин, Тождества в алгебрах Ли, М, Наука, 1985. 8. А. И. Ширшов, Избранные труды, Кольца и алгебры, М, Наука, 1984.

Поступило 20 апреля 2004 г. Окончательный вариант 6 декабря 2004 г. Адреса авторов: ДАНИЯРОВА Эвелина Юрьевна, Омский филиал Ин-та математики СО РАН, ул. Певцова, 13, г. Омск, 644099, РОССИЯ. Тел.: (3812) 23-22-39. e-mail: evelina− [email protected] РЕМЕСЛЕННИКОВ Владимир Никанорович, Омский филиал Ин-та математики СО РАН, ул. Певцова, 13, г. Омск, 644099, РОССИЯ. Тел.: (3812) 24-09-14. e-mail: [email protected]