Дифракция электронов и работа с электронным микроскопом: Методические указания к лабораторной работе

www.phys.nsu.ru 4. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ Лабораторная работа 4.2 А. Н. Зайцев Дифракция электронов и работа с электронным микроскопом Цель работы: знакомство с принципами работы электронного микроскопа, изучение волновых и корпускулярных свойств электронов. Краткая теория Основные принципы электронной микроскопии. Современный электронный микроскоп обладает разрешением на два и более порядка больше, чем оптический микроскоп. Он дает возможность рассмотреть субмикроскопические объекты, размеры которых не позволяют наблюдать их с помощью даже самых сильных оптических микроскопов (например, крупные отдельные молекулы сложных веществ, вирусы, коллоидные частицы, внутренняя структура бактерий и т.д.). Основной характеристикой, определяющей качество микроскопа, является разрешающая сила его оптической системы. Разрешающей силой или разрешающей способностью микроскопа называется величина, обратная предельному разрешающему расстоянию. Предельное разрешающее расстояние –

www.phys.nsu.ru это наименьшее расстояние между двумя точками, раздельное изображение которых может быть по-

лучено в микроскопе.

Для того чтобы оценить преимущество электронного микроскопа перед оптическим, сравним разрешающие способности микроскопов и выясним причины, ограничивающие разрешение этих приборов. Основные характеристики оптического микроскопа. Предельное разрешаемое расстояние d светового (оптического) микроскопа, обусловленное дифракцией световых волн, определяется критерием Рэлея 1:

d ≈ 0,61

λ n sin α

,

(1)

где n – показатель преломления среды, заполняющей пространство между объективом микроскопа и предметом; α – апертурный угол, равный половине расхождения пучка лучей, образующих изображение; λ – длина волны света, идущего от исследуемого объекта. Из формулы (1) видно, что разрешающая способность 1/ d тем больше, чем короче длина волны λ , чем больше апертурный угол α и показатель преломления n . Современные оптические микроскопы имеют объективы, апертурный угол которых около 90o , а величина sin α ≈ 0,95 . Предельное разрешаемое расстояние современного оптического микроскопа при использовании ультрафиолетового света с длиной волны λ = 3000 Α и иммерсионной среды бромнафталина с

достигает 0, 2 мкм.

Основные характеристики электронного микроскопа. Предельное разрешаемое расстояние,

получаемое при помощи электронного микроскопа, составляет в настоящее время 20–50 Α , для от-

www.phys.nsu.ru 1

В соответствии с критерием Рэлея пара точечных источников одинаковой яркости считается разрешенной, если расстояние между ними равно радиусу диска Эйри.

119

www.phys.nsu.ru дельных микроскопов новейших конструкций 10–15 А и менее. Таким образом, полезное увеличение

4 5 электронного микроскопа колеблется между значениями 4 ⋅ 10 и 2 ⋅ 10 раз и выше.

В отличие от светового прибора, в электронном микроскопе для получения увеличенного изобра-

жения объекта используется поток быстрых электронов, ускоренных в электрическом поле. Электронам сопутствуют волновые процессы с длиной волны, определяемой соотношением де Бройля (волны де Бройля):

h , p где h – постоянная Планка; p – импульс электрона.

λe =

Для численных оценок удобно использовать следующее соотношение:

λe [ нм ] =

1239,84 . pс [ эВ ]

Для изначально нерелятивистских электронов, ускоренных разностью потенциалов U в общем случае имеем

λe =

hc 2mc 2 eU + ( eU )

2

=

h2 2meU

eU ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ mc 2 ⎠ 2 ⎝

−1 2

,

(2)

где m и e – масса и заряд электрона соответственно. При переходе к нерелятивистскому пределу формула (2) принимает вид

www.phys.nsu.ru λe [ нм ] =

0,0387830 U [ кВ ]

.

(3)

Например, при ускоряющем напряжении U = 50 кВ длина волны электронов λe = 0, 0055 нм, т. е. она на пять порядков меньше длины волны видимого света. Это обстоятельство приводит, на первый взгляд, к возможности во столько же раз превзойти разрешающую силу электронных микроскопов. Однако реальная разрешающая сила лишь на два порядка выше, чем у оптических микроскопов. Такое ограничение обусловливается наличием не только дифракции волн де Бройля, но и влиянием геометрических и хроматических аберраций электронной оптики микроскопов, воздействием посторонних электрических магнитных полей на электронные пучки токов в магнитных линзах и т. д. Влияние аберраций электронно-оптических систем. В электронных линзах к геометрическим

аберрациям относятся: сферическая аберрация, кома, астигматизм, кривизна поля и дисторсия. Хроматические аберрации возникают из-за разброса значений скорости электронов. Как известно, в электронных микроскопах линзами служат электрические или магнитные поля с осевой симметрией. Геометрические аберрации электронных линз вызваны непараксиальностью электронных пучков, формирующих изображение. Хроматические аберрации электронных линз появляются вследствие того, что на показатель преломления в электронно-оптических системах влияют скорости электронов. Таким образом, фокусное расстояние линзы зависит от скорости электронов. В микроскопах просвечивающего типа хроматическая аберрация возникает, в частности, при изменении скоростей электронов, когда они проходят исследуемый объект. Для уменьшения этого эф-

www.phys.nsu.ru фекта и для обеспечения необходимого контраста в изображении следует выбирать оптимальную 120

www.phys.nsu.ru толщину исследуемого объекта. Дело в том, что электронный пучок, пронизывая объект, рассеивает-

ся, и часть электронов меняет свою первоначальную скорость. Следовательно, при большой толщине

объекта возрастает хроматическая аберрация, а при малой толщине падает контрастность изображе-

ния, так как рассеяние электронов мало. Подсчитано, что при ускоряющем напряжении U ≅ 50 кВ и относительном разбросе электронов по скоростям? не превышающем 0,01 %, толщина алюминиевого объекта должна быть не более 500 Å, а кварцевого –700 Å. Помимо влияния сферической аберрации, существенно ограничивающей полезное увеличение электронного микроскопа, следует учитывать влияние нарушения осевой симметрии электронных линз. Применение электронного микроскопа для исследования дифракции электронов. После откры-

тия волновых свойств электронного пучка электронография, наряду с рентгенографией, стала важным средством структурного анализа, особенно при изучении структуры тонких пленок и молекул газов. Дифракция электронов может дать существенные дополнительные сведения о структуре микроскопических объектов. Электронный микроскоп позволяет получить дифракцию электронов от объектов, толщина которых не превышает 0,01–0,03 µ , а для некоторых органических объектов – 0,1 µ . Рассмотрим принцип действия электронографа. Если пучок электронов падает на тонкую пластинку исследуемого кристаллического объекта, то благодаря волновым свойствам электронов в кристаллической решетке наблюдается дифракция как медленных, так и быстрых электронов. В основу

www.phys.nsu.ru расчета электронограмм можно положить закон Вульфа–Брегга, заимствованный из теории дифрак-

ции рентгеновских волн:

2 D sin θ = nλ ,

(4)

где D – межплоскостное расстояние; n – порядок дифракции; θ – угол падения электронной волны, равный углу отражения. Вывод этой формулы наглядно подтверждается рис. 1. Рассеяние рентгеновских электромагнитных волн (или пучка электронов) кристаллической решеткой следует рассматривать как отражение от межатомных плоскостей, проведенных через узлы кристаллической решетки, с соблюдением равенства угла падения и углу отражения θ . Электромагнитные волны, отраженные от различных параллельных межатомных плоскостей, только тогда усиливают друг друга, когда их фазы одинаковы. Названный закон – условие появления максимумов интерференции при отражении рентгеновских лучей в кристаллах – и служит основой анализа дифракционной картины, возникающей на экране.

www.phys.nsu.ru 121

www.phys.nsu.ru Рис. 1. Иллюстрация процесса рассеяния падающей волны на паре параллельных плоскостей (к выводу со-

отношения Вульфа–Брегга)

На рис. 2 показаны некоторые отражающие плоскости, в образце с кубической кристаллической решеткой. При построении рис. 2 атомы веществ предполагались лежащими в плоскости чертежа, а соответствующие плоскости отражения – в перпендикулярных направлениях. На рис. 3 показаны различные плоскости отражения для кубического кристалла. На дифракционных кольцах это выразится в том, что будет различной интенсивность колец. Дифракционная картина электронных волн по сравнению с рассеянием рентгеновских лучей приобретает интересные и существенные особенности. Когда на кристалл падает волна, различные участки ее фронта вызывают колебания электронов в атомах вещества, и образуются соответственно рассеянные и отраженные волны. Дифракция от кубической решетки монокристалла есть результат интерференции от взаимно перпендикулярных атомных рядов, взятых по осям координат. Результат такой сложной интерференции (при наложении трех спектров) дает картину в виде точечной электронограммы. При дифракции от монокристалла медленных электронов закон Вульфа–Брегга в приведенной форме точно не удовлетворяется – необходимо учесть преломление электронных волн.

www.phys.nsu.ru

Рис. 2. Некоторые отражающие плоскости в образце, обладающем кубической кристаллической решеткой, с указанием их миллеровских индексов

Поликристаллические образцы дают записи, в которых нет каких-либо преобладающих колец различной интенсивности. Выберем прямоугольную систему координат h, k, l, связанную с решеткой. Тогда каждую из этих плоскостей отражения можно определить теми отрезками, которые отсекаются на соответствующих осях, т. е. ah , ak , al . Величины h = a ah , k = a a k , l = a a l носят название миллеровских индексов (а – постоянная решетки для данного кристалла). Рассмотрим для примера рис. 3, б. Здесь отрезки по осям h, k, l равны a , поэтому указанная плоскость отражения характеризуется 111. Плоскость отражения на Рис. 3в отсекает по осям h, k, l отрез-

www.phys.nsu.ru ки a / 2 , a и 0 соответственно, что дает набор 210. Плоскости, характеризуемые цифрами, получен122

www.phys.nsu.ru ными умножением на общий множитель, например 111 и 222, параллельны. Чем больше индексы,

тем меньше межплоскостное расстояние и тем меньше плотность атомов в данной плоскости.

Рис. 3. Различные плоскости отражения для кубического кристалла с указанием их миллеровских индексов

Межплоскостное расстояние для кубической решетки определяется выражением a . d hkl = 2 h + k2 + l2 Если решетка не кубическая, то и в этом случае можно выразить отрезки, отсекаемые на осях атомными плоскостями, в долях атомных расстояний, и сохранить так называемую миллеровскую систему индексов. При падении на поликристаллическое вещество электронная волна на своем пути встречает множество мелких кристаллов, беспорядочно ориентированных относительно координатных осей, т. е. достаточное количество кристаллических плоскостей в положениях, характеризуемых, как и в монокристаллах индексами h, k, l, удовлетворяющих закону Вульфа–Брегга. Дифрагированные лучи образуют серию конусов вокруг падающего пучка. Пересечение плоскости экрана или фотопластинки, перпендикулярной к падающему пучку, с конусами образует серию концентрических окружностей. Таким образом, лучи, рассеянные от всевозможных межатомных плоскостей, на экране дают от каж-

www.phys.nsu.ru дой системы плоскостей ( h, k , l ) окружности с радиусом Rhkl . В предположении о малости угла рассеяния θ , принимая во внимание соотношение (4), можно получить следующее выражение: Rhkl = ∆ tan 2θ ≈ ∆ ⋅ 2θ =

nλ∆ , d hkl

(5)

где ∆ – расстояние между объектом и фотопластинкой. Интенсивность интерференционной картины на электронограмме зависит от расположения и от строения атомов в кристалле. Теория электронной дифракции дает возможность установить связь между расположением и формой интерференционных максимумов на электронограмме, с одной стороны, и некоторыми структурными характеристиками исследуемых веществ – с другой. Так, определяя взаимное расположение отдельных кристаллов, симметрию решетки и размеры электронной ячейки, можно вычислить некоторые межатомные расстояния при изучении структуры молекул.

www.phys.nsu.ru Кинематическая теория дифракции от трехмерной решетки не рассматривает такие явления, как

потеря части энергии падающих волн на возбуждение атомных центров (абсорбцию), изменение ко123

www.phys.nsu.ru ординат атомов в решетке, связанное с их тепловым движением, а также рассеяние электронов поля-

ми, создаваемыми атомами, молекулами и кристаллической решеткой в целом. Все это – результат

несогласованности в некоторых случаях экспериментальных данных, полученных из электроно-

грамм, с теорией. Разрешение электронограмм зависит от выбора исследуемого кристалла и разрешающей способности как пленки, так и электронографа. Для качественного разрешения электронограмм существен метод приготовления пленки-подложки. Она должна быть совершенно аморфной, достаточно тонкой и гладкой по всей поверхности. Иначе будет создаваться сильный рассеивающий отрицательный фон с посторонними рефлексами. Разрешающая способность электронографа принципиально определяется параметрами кристаллической решетки – протяженностью, абсорбцией, многократным рассеянием. Кроме того, на величину разрешающей силы влияют контролируемые, параметры прибора, например однородность пучка, его сечение и аберрация линз.

Описание установки

Работа выполняется на электронном микроскопе TESLA. Электронный микроскоп TESLA – вакуумный прибор с электромагнитной оптикой, позволяющей электронографические исследования. Подробно с устройством, порядком включения, методикой получения высокого вакуума и методом

www.phys.nsu.ru получения изображения, а также порядком выключения следует ознакомиться по заводской инструк-

ции по применению микроскопа.

Электронно-оптическая система смонтирована внутри колонны, установленной на стенде, и со-

стоит из источника электронов – электронной пушки, блока электромагнитных линз (объективной и проекционной), камеры объектов исследования, экрана и проекционного тубуса. В осветительное устройство микроскопа входят электронная пушка и конденсорная линза. Основные элементы пушки – катод, фокусирующий электрод и анод. Катодом служит нить накала, изготовленная из вольфрамовой проволоки. Катод находится внутри фокусирующего электрода, в выходной части которого помещена танталовая диафрагма с отверстием 0,5 мм. Благодаря малой величине отверстия диафрагмирование предохраняет прибор от загрязнения испаряющимся вольфрамом. Анод состоит из цилиндра, в котором закреплена диафрагма с отверстием 3,5 мм. Электроны, испускаемые раскаленной нитью, выходят узким расходящимся пучком из электронной пушки, попадают в длиннофокусную магнитную линзу (без полюсных наконечников), которая направляет ускоренный электронный пучок на объект. Пройдя через объект, находящийся вблизи главного фокуса объективной линзы, электроны попадают в преломляющее поле линзы-объектива. Объектив дает первое, увеличенное в 130 раз, изображение предмета на специальном промежуточном экране, покрытом флуоресцирующим материалом. Изображение можно наблюдать через окно в корпусе, сделанное из свинцового стекла для поглощения рентгеновских лучей, возникающих при торможении электронов веществом экрана. В центре промежуточного экрана есть небольшое отверстие (порядка 1 мм), через которое электроны, создающие центральную часть промежуточного изображения, проходят дальше. Эта часть изображения служит «объектом» для второй проекционной линзы. Проекционная линза дает еще раз увеличенное

www.phys.nsu.ru 124

www.phys.nsu.ru изображение (от 2 до 190 раз) предмета на флуоресцирующем экране или фотопластинке. Это окон-

чательное изображение и наблюдается через окно в нижней части микроскопа.

Сформированный пучок электронов попадает на образец, расположенный в камере объектов. Об-

разец изготавливается в виде тонкого поликристаллического слоя исследуемого вещества. Камера объектов представляет собой полый цилиндр с окнами в верхней части. Окно, обращенное к оператору, служит для наблюдения. Специальным механизмом объект может перемещаться в горизонтальной плоскости в двух взаимно перпендикулярных направлениях и вращаться вокруг оптической оси прибора. Смена фотокассеты осуществляется через специальный люк в фотокамере, расположенной в правой части тубуса. Вакуумная система микроскопа должна поддерживать на всем пути электронов давление не выше

10

−6

мм рт. ст., что обеспечивается непрерывным действием одновременно механического и паро-

масляного насосов.

Порядок выполнения работы

Прежде чем приступить к работе с микроскопом, необходимо ознакомиться с описанием прибора и инструкцией по его эксплуатации. Следует помнить, что в микроскопе применяется высокое на-

www.phys.nsu.ru пряжение – до 50 кВ, поэтому на него распространяются правила по технике безопасности при работе

с высоковольтными установками. Категорически запрещается открывать дверцы шкафа и электрон-

ной пушки во время работы микроскопа. Микроскоп должен быть надежно заземлен.

Пуск прибора и его обслуживание производятся инженерно-техническим персоналом лаборатории. Упражнение 1. Получение дифракционной картины

Образцы, приготовленные в виде пленок, укладываются на специальных вкладышах в гнездах насадки. Одной рукояткой осуществляется смена образцов, две другие рукоятки служат для перемещения образцов в горизонтальной плоскости, перпендикулярной к лучу, и установки образца под углом к лучу. В работе получаются электронограммы золота и исследуемого металла. Межплоскостные расстояния у золота известны, дифракционные кольца отстоят друг от друга достаточно далеко, поэтому электронограмма золота используется для определения постоянной микроскопа. Соблюдая последовательность операций, согласно отдельно приложенной инструкции к микроскопу, получают электронограммы золота и исследуемого металла при ускоряющем напряжении 50 кВ. Упражнение 2. Обработка результатов эксперимента

Рекомендуется следующая последовательность операций. На компараторе МИР-12 или ИЗА-2 измеряют диаметры колец, подсчитывают dijk по формуле (5). Для золота a = 4,07 Å. Записывают все данные в таблицу, вычисляют константу микроскопа – произведение dijkDijk для каждого кольца, на-

www.phys.nsu.ru ходят среднее арифметическое значение. Затем, измеряя диаметры колец исследуемого образца, оп-

ределяют соответствующие dijk как частное от деления постоянной микроскопа на диаметры. Запол125

www.phys.nsu.ru няют таблицу для исследуемого образца. Определяют кристаллографические индексы Миллера i, j, k

для системы плоскостей, соответствующих измеренным дифракционным кольцам по всем получен-

ным снимкам.

Используя формулу (5), вычисляют длину волны электронов. Для микроскопа TESLA расстояние

∆ указано на рабочем месте. Полученную длину волны электронов при разных направлениях сравнивают с длиной волны де Бройля, вычисленной по формуле (3). Библиографический список

1.

Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Гостехиздат, 1957.

2.

Электронная микроскопия / Под ред. А. Лебедева. М.: Гостехиздат, 1955.

3.

Миркин Л. И. Справочник по рентгеноструктурному анализу поликристаллов. М.: Физмат-

гиз, 1961. 4.

Утевский Л.М. Дифракционная электронная микроскопия в металловедении. М., 1973.

5.

Хопс П. Электронная оптика и электронная микроскопия. Пер. с англ. М., 1974.

6.

Вайнштейн Б.К. Структурная электронография. М., 1956.

7.

Современная кристаллография / Под ред. Б. К. Вайнштейна. М.: Наука, 1979. Т. 1.

8.

Шпольский Э. В. Атомная физика. М.: Физматгиз, 1963.

9.

Томас Г., Гориндж М. Дж. Просвечивающая электронная микроскопия материалов. М.: Нау-

www.phys.nsu.ru ка, 1983.

Лабораторная работа 4.3 И. В. Суровцев

Определение удельного заряда электрона методом магнитной фокусировки Цель работы: изучение характера движения заряженных частиц в однородном магнитном поле и

определение удельного заряда электрона методом магнитной фокусировки. Введение

Удельный заряд электрона e / m представляет интерес для исследователей во всем мире уже более 100 лет. Именно работы 1897 г. известного английского физика Томсона по измерению удельного заряда q / m катодно-лучевых частиц – «корпускул», как он их назвал, по отклонению катодных лучей в электрическом и магнитном полях, считаются открытием электрона. Хотя следует отметить, что в действительности «открытие» электрона растянулось более чем на полстолетия и не завершилось в 1897 г.; в нем принимало участие множество ученых и изобретателей. Со времени открытия электрона были предложены различные методы измерения удельного заряда электрона. Внимание к этой величине объясняется тем, что электрон является самой «востребованной» частицей, особенно в области атомной физики. Поэтому величина e / m относится к фундаментальным физическим константам,

www.phys.nsu.ru определяющим общее мировоззрение. В настоящее время удельный заряд электрона e / m является одной из наиболее точно измеренных физических констант. 126

www.phys.nsu.ru Движение заряженных частиц в электромагнитном поле

На движущуюся заряженную частицу действуют сила Кулона (со стороны электрического поля) и

сила Лоренца (со стороны магнитного поля), и уравнение движения данной частицы в электромагнитном поле имеет вид

→

→ dp q ⎡→ → ⎤ = e E + ⎢ v× B⎥ c⎣ dt ⎦,

(1)

R

vII vI

α

v

B

λ

www.phys.nsu.ru Рис. 1. Движение частицы в однородном магнитном поле

r r r r здесь p , v , q – импульс, скорость и заряд частицы соответственно; с – скорость света; E и B – электрическое и магнитное поля.

Рассмотрим простейший случай – движение заряженной частицы (электрона с зарядом e) в одноr родном магнитном поле. Считаем, что электрическое поле отсутствует ( E = 0), и что вектор начальr ной скорости частицы произвольным образом ориентирован относительно вектора B . Разложим вектор начальной скорости на две составляющие – параллельную магнитному полю vII = vcosα и перпендикулярную к нему v⊥ = vsin α (см. рис. 1). В процессе движения величина vII остается постоянной, поскольку сила Лоренца не имеет составляющей вдоль магнитного поля. Сила Лоренца лежит в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, и равна по модулю e F = v⊥ B. c Эта сила перпендикулярна к v⊥, а потому только искривляет траекторию частицы, не меняя вели-

чины скорости. Поскольку сила постоянна по величине, траекторией частицы в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, будет окружность, а сила Лоренца будет в таком случае центростремительной силой:

mv⊥2 e = v⊥ B. R c

www.phys.nsu.ru Отсюда нетрудно найти радиус кривизны траектории или, точнее говоря, радиус окружности R, а

также период обращения T и круговую частоту ω:

127

www.phys.nsu.ru R=

mv⊥ c , eB

(1)

T=

2π mc , eB

(2)

eB . (3) mc Окружность, по которой движется частица под действием поперечного магнитного поля, принято

ω=

называть ларморовской окружностью, а величину R – ларморовским радиусом, по имени английского физика (Лармор), изучавшего движение частиц в магнитных полях. Частоту ω называют циклотронной частотой. Сложение равномерного движения вдоль силовой линии поля с равномерным вращением в перпендикулярной плоскости приводит в результате к движению частицы по винтовой линии. Шаг винтовой линии λ равен расстоянию, на которое перемещается частица в направлении поля за время одного оборота по окружности: 2π mcvII (4) . eB Поскольку частота вращения частицы ω не зависит от величины поперечной скорости частицы,

λ = vIIT =

однородное магнитное поле обладает фокусирующим действием как по отношению к пучкам заряженных частиц, лежащим в плоскости, перпендикулярной к направлению поля (см. лаб. работу 4.1),

www.phys.nsu.ru так и по отношению к пучкам, образующим малый угол с направлением поля. Особенности движения электрона в магнитном поле позволяют определить отношение e / m.

Определение e / m для электрона методом магнитной фокусировки

В данной работе используется электронно-лучевая трубка осциллографа, помещенная внутри соленоида, создающего магнитное поле, направленное вдоль оси трубки. Электроны, эмитируемые раскаленным катодом трубки, ускоряются вдоль ее оси приложенным напряжением U до энергии mv||2 2

и приобретают скорость

= eU

v|| = 2eU m .

(5)

При отсутствии магнитного поля электронный пучок разворачивается на экране осциллографа в линию под действием электрического поля внутри пластин горизонтального отклонения, на которые подано переменное напряжение пилообразной формы. Проходя отклоняющие пластины в различные моменты времени, электроны приобретают поперечную скорость v⊥, величина которой изменяется от нулевой до некоторой v⊥макс скорости. При этом на экране осциллографа появляется линия, длина которой определяется выражением b0 =

v⊥ max L , v||

(10)

где L – расстояние от отклоняющих пластин до экрана.

www.phys.nsu.ru 128

www.phys.nsu.ru Для простоты рассмотрения можно считать, что имеется точечный источник пучка электронов, у

всех электронов есть одинаковая продольная скорость (вдоль магнитного поля) vII и есть небольшой

разброс горизонтальной (поперечной) составляющей v⊥ в пределах от 0 до v⊥макс.

Электроны, имеющие разные скорости в поперечном направлении, через период T из соотношения (5) вернутся к тем же поперечным координатам. Поскольку продольная скорость у них одинакова, это произойдет на расстоянии vIIT (далее снова на nvIIT). Зная это расстояние можно определить удельный заряд электрона. Проследим, как будет трансформироваться линия на экране при появлении магнитного поля, направление которого совпадает с осью трубки осциллографа (рис. 2). По мере увеличения магнитного поля уменьшается радиус R (1) и шаг спирали λ (4), по которой электроны движутся в магнитном поле до экрана. При одном и том же магнитном поле электроны с разными скоростями v⊥макс будут двигаться по винтовым линиям, оси которых вертикально смещены от начала линии на экране на радиус окружности R, пропорциональный поперечной скорости v⊥: R ∼ v⊥. При этом частота вращения ω одинакова для всех электронов, так как не зависит от их скорости (3).

www.phys.nsu.ru Рис. 2. Траектории электронов в трубке осциллографа при наличии и отсутствии магнитного поля.

На рис. 3 точками приведены проекции траекторий электронов, имеющих v⊥ = v⊥макс для некоторых значений магнитного поля. Угол поворота ϕ, набираемый электронами за время движения до экрана,

ϕ=

2π L

λ

=

eB L . mc vII

(11)

www.phys.nsu.ru 129

www.phys.nsu.ru Рис. 3. Изображение светящейся полосы на экране осциллографа для некоторых значений магнитного поля в соленоиде (при В = Вфок происходит первая фокусировка электронов в точку). Светлыми кружками изображены проекции траекторий электронов на экран, имеющих v⊥ = v⊥макс, темными – наблюдаемые светящиеся точки на экране осциллографа

Угол поворота одинаков для всех электронов с различными скоростями v⊥. Следовательно, линия, высвечиваемая на экране осциллографа, сохранится, повернувшись на угол ψ = ϕ / 2 (см. рис. 3). Используя выражения (5) и (7), нетрудно связать угол поворота линии ψ с величиной магнитного поля и ускоряющего напряжения U:

ψ= или

1 e B⋅L 2 m 2U ⋅ c

(8a)

e U ⋅ c2 = 8 ⋅ψ 2 2 2 . (8b) m B ⋅L Отсюда легко определить отношение е / m, добившись изменением магнитного поля B хорошо из-

www.phys.nsu.ru меряемого угла поворота Ψ = π/4, π/2 или π, когда происходит фокусировка электронов в точку. Та-

ким образом, измеряя угол поворота линии на экране осциллографа для заданной величины магнит-

ного поля, можно определить удельный заряд электрона по наклону зависимости ψ(B). Кроме этого из уравнений (4), (10), (11) следует, что длина линии на экране осциллографа b(ψ) изменяется следующим образом:

sinψ

b(ψ) = b0

. (9) ψ Это уравнение спирали, называемой кохлеоидой. Очевидно, что при ψ = πk, или при ϕ = 2πk, где k – целое число, происходит фокусировка электронов в точку. Первая фокусировка электронов происходит при величине магнитного поля, для которого электрон за время движения до экрана успеет описать полный круг в перпендикулярной к магнитному полю плоскости. Эта величина определяется следующим равенством

mvII c (10) eL Необходимо обсудить еще один момент, касающийся пролета электронов между отклоняющими Bфок = 2π

пластинами, где движение происходит, вообще говоря, в скрещенных полях. Рассмотренная выше картина будет справедлива, если угол α = v⊥ / v||, получаемый в отклоняющих пластинах, не зависит от величины магнитного поля. Условием пренебрежимости влияния магнитного поля на движение в отклоняющих пластинах является малость фазы ϕ, набираемой при прохождении пластин, длина которых для трубки «8ЛОЧИ» равна l = 3 см. Поскольку величина фазы, равная 2π, набирается на длине, равной шагу спирали λ, то отмеченное выше условие можно записать в виде ϕ = 2πl / λ << 1

www.phys.nsu.ru или

130

www.phys.nsu.ru l << λ / 2π = mv || c / eB.

(11)

Расстояние до экрана L = 23 см, то есть в точке первой фокусировки λ = 23 см, и условие (11) при-

мет вид l << 4 см, что, очевидно, не выполняется.

Кроме того, необходимо отметить, что все выше приведенные формулы написаны в системе СГС. В системе СИ, использующей практические единицы (такие, как ампер, вольт), выражения несколько изменятся. В частности, в системе СГС векторы H и B имеют одинаковую размерность и для вакуума совпадают (B = H), а в системе СИ они не только не совпадают, но и имеют разную размерность (B = µ0H, где µ0 = 4π ⋅ 10–7 ≈ 1,256 ⋅ 10–6 Г/м). Поэтому при вычислениях нужно соблюдать известную осторожность и четко представлять, какая система единиц используется. Например, используемая для опe U ределения удельного заряда формула (10) в системе СИ будет следующей: = 8ψ 2 2 2 . m B L Подробнее о различиях в электрических единицах СГС и СИ смотри [4, 6]. Практическая часть

1. Собрать схему по рис. 4.

3 1

4

2

5

www.phys.nsu.ru ∼220 В

∼

mA

−

Рис. 4. Схема установки: 1 – источник питания соленоида, 2 – амперметр, 3 – соленоид, 4 – электроннолучевая трубка, 5 – корпус осциллографа С1-49

2. Включить приборы и дать им прогреться в течение 10 мин. 3. При выключенном магнитном поле добиться четкой развертки пучка по какой-либо из координат. 4. Изменяя магнитное поле в соленоиде, получить положение линии с хорошо измеряемым значением ψ. Если в работе используется источник Б5-47, то выставить максимальный ток и менять его, варьируя напряжение (но не 0!), при этом величина тока отсчитывается по амперметру. Если в работе используется источник ТЕС-4, то обе ручки регулировки напряжения выставить на максимум, ток установить грубо на 0 (или ≈ 0,07), ручкой точной настройки увеличивать ток от 0. Построить зависимость ψ = ƒ(B) (шаг по углу не более 10 °). Следует помнить, что магнитное поле B на оси соленоида конечной длины, имеющего заметную толщину (рис. 5), отличается от поля бесконечно длинного соленоида, которое задается выражением ‰Џ ђ”‰ ] I [Aмпер]. –“ Поле на оси реального соленоида определяется выражением b + b 2 + h12 b + b 2 + h22 h 1 ⎡ h Bz(z)= B0 ⎢ 1 ln + 2 ln 2 ⎢ b - a a + a 2 + h12 b - a a + a 2 + h22 ⎣ B0[Гс]=0,4πn [

⎤ ⎥, ⎥⎦

www.phys.nsu.ru 131

www.phys.nsu.ru где h1, h2, – расстояние до одного и другого края соленоида; a и b – внутренний и внешний радиусы соленоида соответственно; B0 – поле бесконечного соленоида.

Рис. 5. «Толстый» соленоид и распределение магнитного поля вдоль оси соленоида (h = 34 см, b = 6,5 см, а =

5 см, n = 150 витков/см)

r Поэтому в качестве B следует взять среднее значение B поля вдоль электронной траектории: z2 B ( z )dz Bэф = ∫ . z2 − z1 z1

Для значений, используемых в работе (h = 34 см, b = 6,5 см, а = 5 см, n = 150 витков/см), верно соотношение

www.phys.nsu.ru Bэф ≈ 0,85B0.

5. Используя полученную ранее формулу (8), связь B и H (в зависимости от используемых единиц)

и учитывая, что расстояние до экрана L = 23 см, а ускоряющее напряжение U = 2,5 кВ, определить

среднюю величину e / m и ее погрешность по зависимости ψ = ƒ(B). Чем может быть обусловлена погрешность? 6. Проверить справедливость формулы (9), связывающей длину первоначальной развертки b0 c длиной развертки при некотором поле B. Построить зависимость b = ƒ(B). Контрольные вопросы

1.

Чем вызвано отклонение измеренной зависимости ψ = ƒ(B) от прямой линии?

2.

Какие существуют способы определения удельного заряда электрона?

Библиографический список

1. Арцимович Л. А., Лукьянов С. Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1978. С. 51–57. 2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1985. С. 78–81. 3. Парселл Э. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1983. с. 411–413. 4. Портис А. Физическая лаборатория. М.: Наука, 1978. с. 2–38, 266. 5. Сивухин Д. В. Электричество. М.: Наука, 1983. с. 370–382.

www.phys.nsu.ru 132