Оснащения центропроективных многообразий: Учебное пособие

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.И. Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Калининград 2000

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.И. Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ Учебное пособие

Калининград 2000

УДК 514.75+514.76 ББК 22.151.6я7 Ш379

Рецензенты: кафедра высшей математики Балтийского военно-морского института, зав. кафедрой, кандидат физико-математических наук, доцент В.Е. Спектор кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Калининградского государственного технического университета Л.А. Жарикова Печатается по решению редакционного издательского Совета Калининградского государственного университета.

Шевченко Ю.И. Ш379 Оснащения центропроективных многообразий: Учебное пособие. Калинингр. гос. ун-т. Калининград, 1998. 113 с. ISBN 5-88874-154-X. В проективном пространстве рассматривается поверхность как семейство касательных плоскостей. Выясняется роль оснащений Бортолотти, Картана и Нордена при сведении связностей к подсвязностям, индуцировании и интерпретации связностей на поверхности. Вводятся понятия голономного и неголономного центропроективных многообразий – соответствующих гладких многообразий с центропроективными касательными пространствами. Классические оснащения поверхности непосредственно распространяются на подмногообразия центропроективных многообразий. Пособие предназначается для студентов и аспирантов, специализирующихся в дифференциальной геометрии. Может быть интересным для преподавателей и научных работников. Работа выполнена по теме гранта Минобразования РФ (СПбКЦ).

УДК 514.75+514.76 ББК 22.151.6я7 © Калининградский государственный университет, 2000 ISBN 5-88874-154-X

© Шевченко Ю.И., 2000

Учебное издание Юрий Иванович Шевченко ОСНАЩЕНИЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ Учебное пособие

Редактор Н.Н. Мартынюк Оригинал-макет подготовлен И.А. Хрусталевым

Лицензия № 020345 от 14.01.1997 г. Подписано в печать 22.05.2000 г. Бумага для множительных аппаратов. Формат 60×90 1/16. Гарнитура «Таймс». Ризограф. Усл. печ. л. 7,0. Уч.-изд. л. 5,5. Тираж 100 экз. Заказ . Калининградский государственный университет 236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

СОДЕРЖАНИЕ Введение ....................................................................................................... 5 I. Центропроективная связность ............................................................. 6 II. Оснащения центропроективного подмногообразия ........................ 9 III. Оснащения поверхности проективного пространства ................... 12 Глава I. Центропроективная связность §1. Центропроективное многообразие ................................................... 17 §2. Неголономное центропроективное многообразие .......................... 21 §3. Пространства центропроективной связности ................................. 23 §4. Нормализация и оснащения центропроективного многообразия ...................................................................................... 30 §5. Параллельные перенесения аналога нормали 2-го рода ................ 37 §6. Линейная связность центропроективного многообразия как отображение ................................................................................. 40 Глава II. Оснащения центропроективного подмногообразия §7. Подмногообразие центропроективного многообразия .................. 43 §8. Прикасающиеся пространства центропроективного подмногообразия ................................................................................ 45 §9. Связность в расслоении, ассоциированном с подмногообразием ........................................................................... 47 §10. Обобщение классических оснащений ............................................ 49 §11. Вырожденные параллельные перенесения .................................... 53 §12. Интерпретации касательной и нормальной линейных связностей ......................................................................................... 56 §13. Новые оснащения центропроективного подмногообразия ......... 58 3

Глава III. Оснащения поверхности проективного пространства §14. Структурные уравнения проективной группы .............................. 61 §15. Поверхность в проективном пространстве .................................... 68 §16. Расслоение, ассоциированное с поверхностью ............................. 73 §17. Связность в ассоциированном расслоении .................................... 76 §18. Ассоциированное пространство групповой связности ................ 78 §19. Классические оснащения поверхности .......................................... 81 §20. Групповая связность 1-го типа ....................................................... 86 §21. Задача оснащения в проективно-дифференциальной геометрии поверхности ................................................................... 91 §22. Тензоры неабсолютных перенесений ............................................ 93 §23. Групповые связности 2-го и 3-го типов ......................................... 95 §24. Подчиненные оснащения ................................................................ 98 §25. Интерпретации индуцированных связностей ............................... 102 Заключение .................................................................................................. 107 Темы для учебно-исследовательской работы студентов и аспирантов ................................................................................................ 108 Библиографический список ..................................................................... 109

4

ВВЕДЕНИЕ Работа имеет следующую структуру. В главе I введено понятие центропроективного многообразия, являющегося фундаментом для описания центропроективной связности. Различаются обычное (голономное) и общее (неголономное) центропроективные многообразия. В главе II, опирающейся на главу I, развивается теория оснащений подмногообразия центропроективного многообразия. В главе III, которую можно читать независимо от глав I и II, рассматриваются классические оснащения поверхности проективного пространства. Совпадение ряда формул и результатов глав II и III свидетельствует о том, что понятие центропроективного подмногообразия является непосредственным обобщением поверхности проективного пространства. Пусть дана некоторая структура S. Подструктуру S0 структуры S будем называть простой, если она не является объединением двух подструктур S1 и S2 структуры S, т.е. S0≠S1∪S2. Простую подструктуру S0 назовем простейшей, если она, в свою очередь, не обладает подструктурой, т.е. не существует S1⊂S0. В качестве структуры S и ее подструктур в работе рассматриваются главное расслоение и его подрасслоения, объект групповой связности и его подобъекты, тензор кривизны групповой связности и его подтензоры, оснащающий квазитензор и его подквазитензоры, тензор ковариантных производных оснащающего квазитензора и его подтензоры. При ссылках в квадратных скобках указываются начальные буквы фамилий авторов из библиографического списка. Если имеется несколько работ одного автора, то к буквам добавляется номер работы в авторском списке. При упоминании фамилии автора рядом в квадратных скобках пишется номер работы, либо начальные буквы фамилии, когда работа одна. Наконец, если у работы несколько авторов, то указываются первые буквы фамилий авторов. Нумерация формул, определений и теорем для каждого параграфа своя. Если идет ссылка на формулу или теорему другого параграфа, то к их номеру приписывается слева номер параграфа с точкой. Следующее ниже описание работа разбито на 3 части и 25 пунктов соответственно главам и параграфам. Выражаю благодарность К.В.Поляковой и О.С.Румянцевой за помощь в оформлении работы. 5

I. ЦЕНТРОПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ 1. В результате проективизации гладкого многообразия, при которой касательные линейные пространства всех порядков к многообразию превращаются в центропроективные пространства тех же размерностей, введено понятие центропроективного многообразия. Это понятие предшествует пространству проективной связности Картана, так как отображения соседних касательных пространств друг на друга не заданы. В основе аналитического описания центропроективного многообразия лежит деривационная формула – разложение дифференциала точки многообразия по базисным точкам касательного пространства 1-го порядка. Продолжение этой формулы в предположении полноты дифференциала точки многообразия приводит к деривационным формулам базисных точек касательного пространства 1-го порядка, в которых появляются симметричные базисные точки касательного пространства 2-го порядка, и т.д. В результате этого бесконечного процесса наряду с деривационными формулами подвижного репера центропроективного многообразия возникают две последовательности симметричных по нижним индексам линейных форм, одна из которых отвечает исходному гладкому многообразию. При обрезании последовательностей и фиксации точки центропроективного многообразия эти формы превращаются в структурные формы проективно-дифференциальной группы Лаптева, действующей в касательном пространстве соответствующего порядка. 2. Если отказаться от полноты дифференциалов точки центропроективного многообразия и базисных точек касательных пространств всех порядков, но сохранить деривационные формулы подвижного репера многообразия в предположении, что входящие в них точки и формы потеряли симметрию, то придем к неголономному центропроективному многообразию. Понятие неголономного центропроективного многообразия получается также в результате проективизации неголономного гладкого многообразия. В каждом касательном пространстве некоторого порядка к неголономному центропроективному многообразию действует неголономная проективнодифференциальная группа того же порядка, содержащая соответствующие голономную проективно-дифференциальную группу Лаптева и неголономную дифференциальную группу Лумисте, пересекающиеся по голономной дифференциальной группе Вагнера. 3. Введено специальное центропроективное многообразие Лемлейна. Показано, что голономное (неголономное) гладкое многообразие порождает голономное (неголономное) многообразие Лемлейна. 3. Рассматривается главное расслоение центропроективных реперов 1-го порядка над центропроективным многообразием с типовым слоем – 6

центропроективной группой, действующей в касательном пространстве (1-го порядка). Это расслоение содержит подрасслоение линейных реперов с той же базой и типовым слоем – линейной группой, действующей неэффективно в проективном пространстве направлений касательного пространства. Групповая связность в расслоении центропроективных реперов, называемая центропроективной связностью, задается способом Лаптева. Объекты линейного и центропроективного кручения на неголономном центропроективном многообразии образуют квазитензоры, а на голономном многообразии эти объекты – тензоры. Объект центропроективной (линейной) кривизны в неголономном случае является квазитензором лишь в совокупности с объектом центропроективной (линейной) связности, в голономном случае объект центропроективной (линейной) кривизны – тензор. Если база пространства центропроективной связности голономна, то оно называется ретроголономным. На ретроголономном пространстве центропроективной связности объекты линейного и центропроективного кручения, линейной и центропроективной кривизны образуют тензоры, поэтому выделяется 8 классов таких пространств. Пространства одной половины классов голономны, а другой половины – неголономны. Таким образом, понятия неголономности и связности пересекаются. Пространство коаффинной связности Картана является пространством центропроективной связности, в котором каждое касательное к базе центропроективное пространство превращено в линейное пространство путем задания гиперплоскости, не проходящей через центр, и адаптации ей подвижного репера. 4. Полунормализацией, или нормализацией 2-го рода, центропроективного многообразия называется задание в каждом касательном центропроективном пространстве аналога нормали 2-го рода Нордена – не проходящей через центр гиперплоскости. Полунормализация сводит центропроективную связность к линейной, иначе говоря, индуцирует пучок полунормализованных центропроективных связностей. Нормализация 2-го рода голономного центропроективного многообразия позволяет охватить тензор центропроективной кривизны тензором линейной кривизны. Оснащением Картана центропроективного многообразия называется присоединение к каждой его точке плоскости, составляющей в прямой сумме с касательным пространством соприкасающееся пространство – касательное пространство 2-го порядка. На аналог плоскости Картана и точку многообразия натянут аналог нормали 1-го рода Нордена – плоскость соприкасающегося пространства, пересекающая касательное пространство в его центре и дающая в сумме с касательным пространством соприкасающееся пространство. 7

Нормализацией центропроективного многообразия называется присоединение к каждой его точке аналогов нормалей 1-го и 2-го рода. Нормализация индуцирует линейную, а следовательно, и центропроективную связность, которые называются нормализованными. Центропроективная связность с нормализованной линейной подсвязностью называется линейно нормализованной. Композиционным оснащением центропроективного многообразия называется присоединение к нему полей аналогов плоскостей Картана и нормалей 2-го рода. Композиционное оснащение индуцирует нормализованную центропроективную связность и линейно нормализованную связность, называемую связностью Картана. Оснащением Бортолотти центропроективного многообразия называется присоединение к каждой его точке не проходящей через нее гиперплоскости соприкасающегося пространства. Аналог гиперплоскости Бортолотти пересекает касательное пространство по аналогу нормали 2-го рода. Оснащение Бортолотти задает пучок связностей Бортолотти, из которого с помощью нормализации 1-го рода выделяется линейно нормализованная связность. На нормализованном центропроективном многообразии находятся условия совпадения разных индуцированных связностей. Пучки полунормализованных центропроективных связностей и связностей Бортолотти совпадают лишь тогда, когда аналог гиперплоскости Бортолотти совпадает с продолженным аналогом нормали 2-го рода. Нормализованная центропроективная и линейно нормализованная связность Картана совпадают тогда и только тогда, когда аналог плоскости Картана есть пересечение аналога нормали 1-го рода и продолженного аналога нормали 2-го рода. Линейно нормализованные связности Бортолотти и Картана совпадают лишь в случае, когда аналог плоскости Картана есть пересечение аналогов нормали 1го рода и гиперплоскости Бортолотти. Три центропроективные связности – нормализованная связность, линейно нормализованные связности Бортолотти и Картана – совпадают тогда и только тогда, когда аналогом гиперплоскости Бортолотти является продолженный аналог нормали 2-го рода, а аналог плоскости Картана есть пересечение аналога нормали 1-го рода и продолженного аналога нормали 2-го рода. Показано, что нормализация 1-го рода многообразия Лемлейна порождает нормализацию 2-го рода. 5. При внесении форм центропроективной связности в дифференциальные уравнения полунормализующего квазитензора возникают его ковариантный дифференциал и ковариантные производные. Внешнее дифференцирование ковариантного дифференциала дает объект, компоненты которого есть линейные комбинации компонент объекта центропроективной 8

кривизны с коэффициентами – компонентами полунормализующего квазитензора. В голономном случае этот объект является тензором, обращение которого в нуль означает, что система дифференциальных уравнений, полученная приравниванием нулю компонент ковариантного дифференциала, вполне интегрируема не только вдоль любой линии, проходящей через рассматриваемую точку центропроективного многообразия, но и вдоль всего многообразия. Он называется тензором неабсолютных перенесений. Ковариантные производные полунормализующего квазитензора относительно центропроективной связности образуют тензор, а в полунормализованной связности равны нулю. Ковариантные производные определяют аналог гиперплоскости Бортолотти, который совпадает с продолжением аналога нормали 2-го рода при обращении их в нуль. Аналог нормали 2-го рода, соответствующий точке центропроективного многообразия, переносится параллельно в центропроективной связности вдоль проходящей через эту точку линии, если вдоль нее ковариантный дифференциал обращается в нуль. При параллельном перенесении он смещается в аналоге гиперплоскости Бортолотти. Аналог нормали 2-го рода при произвольном смещении вдоль любой линии переносится параллельно относительно полунормализованной связности, но, вообще говоря, не может переноситься параллельно в других связностях. Понятие плоскости параллельности позволяет уточнить последнюю формулировку. 6. Дополнением аналога нормали 2-го рода до продолженного аналога нормали называется плоскость, составляющая в прямой сумме с аналогом продолженный аналог. Задание линейной связности в расслоении линейных реперов над полунормализованным центропроективным многообразием эквивалентно заданию поля дополнений аналогов нормалей 2-го рода. Линейная связность характеризуется внутри продолженного аналога нормали 2-го рода проекцией смежного аналога на исходный из центра – порожденного линейной связностью дополнения аналога. II. ОСНАЩЕНИЯ ЦЕНТРОПРОКТИВНОГО ПОДМНОГООБРАЗИЯ 7. Подмногообразие центропроективного многообразия представляется первоначально как семейство меньшей размерности, описанное точкой многообразия. Уравнения подмногообразия являются линейными зависимостями части базисных форм многообразия от остальной части, независимой на подмногообразии. Коэффициентами этих зависимостей служат компоненты фундаментального объекта 1-го порядка центропроективного подмногообразия. Он определяет касательное центропроективное подпространство к подмногообразию. Производится адаптация подвижного репе9

ра касательного пространства касательному подпространству, в результате которой центропроективное подмногообразие рассматривается как семейство касательных центропроективных подпространств. 8. Деривационные формулы подвижного репера соприкасающегося пространства к центропроективному многообразию с учетом уравнений подмногообразия показывают существование для каждого касательного подпространства в неголономном случае четырех пространств X,Y,Y′,Z, называемых прикасающимися пространствами. Пространство X есть сумма касательного пространства и соприкасающегося подпространства. Пространства Y,Y′ пересекаются по подпространству Х, а в сумме дают пространство Z. В голономном случае имеются два прикасающихся пространства, так как X⊂Y= Y′=Z. Характеризуются основные прикасающиеся пространства Y,Y′. Пространство Y является линейной оболочкой пространств, смежных к касательному пространству вдоль подмногообразия. Пространство Y′ есть оболочка подпространств, полученных смещениями касательного подпространства вдоль многообразия. 9. Расслоение центропроективных реперов над многообразием сокращается над подмногообразием до главного расслоения с типовым слоем – подгруппой стационарности касательного центропроективного подпространства в касательном пространстве. Ассоциированное с центропроективным подмногообразием расслоение содержит 4 простых главных подрасслоения: касательных и нормальных линейных реперов, центропроективных реперов и подрасслоение, ассоциированное с соответствующим подмногообразием гладкого многообразия. Связность в ассоциированном расслоении задается способом Лаптева с помощью объекта групповой связности (G-связности), содержащего 4 простых подобъекта: касательной и нормальной линейных связностей, центропроективной связности и подобъект групповой связности (H-связности) для ассоциированного подрасслоения. 10. Классические оснащения Картана и Нордена поверхности проективного пространства непосредственно распространяются на подмногообразие центропроективного многообразия. Нормализация 2-го рода называется полунормализацией центропроективного подмногообразия. Вводится понятие сведения связности к подсвязности на подмногообразии с помощью продолженного оснащения, когда объект связности охватывается своим подобъектом, фундаментальным объектом, оснащающим квазитензором и его пфаффовыми производными. Возможны 5 специальных случаев сведения связности к подсвязности. При сведении связности можно говорить о пучке индуцированных связностей. Если подобъект связности является пустым, то связность называется индуцированной подмногообразием и продолженным оснащением. Выделяется 4 подслучая ин10

дуцирования связностей. Наконец, если объект связности охватывается фундаментальным объектом подмногообразия, то говорят о внутренней связности. Нормализация 1-го рода сводит Н-связность к касательной и нормальной линейным связностям. Полунормализация сводит центропроективную связность к касательной линейной связности. Оснащение Картана сводит G-связность к центропроективной и нормальной линейной связностям. Следовательно, композиционное оснащение (оснащение Картана и полунормализация) сводит G-связность к касательной и нормальной линейным связностям. Такая G-связность называется композиционной. 11. Внесением форм G-связности в дифференциальные уравнения компонент композиционно оснащающего квазитензора получаются разложения ковариантных дифференциалов компонент по базисным формам центропроективного подмногообразия с коэффициентами – ковариантными производными. Ковариантные производные оснащающего квазитензора относительно G-связности образуют тензор. Выясняется геометрический смысл обращения в нуль ковариантного дифференциала квазитензора, что эквивалентно обращению в нуль ковариантных производных. Параллельные перенесения плоскости Картана в G-связности вырождены: плоскость, отвечающая точке центропроективного подмногообразия, при произвольном смещении в прикасающемся пространстве Y переносится параллельно относительно G-связности вдоль соответствующей кривой на подмногообразии, если последняя существует. В случае композиционной G-связности это параллельное перенесение свободно вырожденное, т.е. его можно осуществить вдоль любой кривой, проходящей через рассматриваемую точку. Параллельные перенесения нормали 2-го рода относительно центропроективной связности вырождены: нормаль при произвольном смещении в прикасающемся пространстве Х переносится параллельно в центропроективной связности вдоль соответствующей кривой. В случае полунормализованной центропроективной связности это параллельное перенесение свободно вырожденное. 12. Внесением в дифференциальные уравнения точек, определяющих нормаль 2-го рода, форм касательной линейной связности получаются равенства, содержащие ковариантные дифференциалы и производные этих точек, а также несущественные слагаемые. Ковариантные производные позволяют для каждой нормали 2-го рода задать ее дополнение до продолженной нормали – плоскость, составляющую в прямой сумме с нормалью продолженную нормаль. Касательная линейная связность характеризуется внутри продолженной нормали 2-го рода с помощью проекции на нормаль смежной с ней нормали из центра – дополнения нормали. Внесением форм нормальной линейной связности в дифференциальные уравнения точек, определяющих плоскость Картана, находятся их ковари11

антные дифференциалы и производные. На полунормализованном центропроективном подмногообразии ковариантные производные дают возможность задать дополнение плоскости Картана до ее продолжения. Нормальная линейная связность композиционно оснащенного центропроективного подмногообразия характеризуется внутри продолженной плоскости Картана проекцией на плоскость Картана смежной с ней плоскости из центра – дополнения плоскости Картана. 13. Присоединение к каждому касательному подпространству плоскости F, составляющей в прямой сумме с ним соприкасающееся подпространство называется F-оснащением. F-оснащение полунормализованного центропроективного подмногообразия эквивалентно заданию центропроективной связности. Плоскость F в прямой сумме с точкой касания дает плоскость F. F-оснащение полунормализоыванного центропроективного подмногообразия равносильно заданию касательной линейной связности. L-оснащением называется присоединение к каждому касательному подпространству плоскости L, которая включает соприкасающееся подпространство, содержится в прикасающемся пространстве Y и имеет размерность менее, чем Y, на разность размерностей многообразия и подмногообразия. L-оснащение полунормализованного центропроективного подмногообразия эквивалентно заданию нормальной линейной связности. Дополнение нормали 2-го рода и плоскость F совпадают лишь тогда, когда центропроективная связность полунормализованного подмногообразия индуцирована F-оснащением и сведена к касательной линейной связности с помощью продолженной нормализации 2-го рода. Дополнение плоскости Картана лежит в плоскости L тогда и только тогда, когда нормальная линейная связность индуцирована L-оснащением полунормализованного подмногообразия. III. ОСНАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА 14. При дифференциально-геометрических исследованиях семейств фигур в проективном пространстве обычно используются деривационные формулы подвижного репера, структурные уравнения линейной группы и условие эквипроективности. Показывается, что этот аналитический аппарат не удобен для выделения аффинной подгруппы и подгруппы, действующей в подпространстве проективного пространства. Строится видоизмененный аналитический аппарат, лишенный этих недостатков и обладающий рядом достоинств. Например, с его помощью легко доказывается, что проективное пространство, рассматриваемое как гладкое многообразие, является голономным центропроективным многообразием. 12

15. В проективном пространстве поверхность рассматривается первоначально как семейство точек. Фундаментальный объект 1-го поряка поверхности определяет касательную плоскость в каждой точке поверхности. Адаптация подвижного репера касательной плоскости приводит к рассмотрению поверхности как семейства касательных плоскостей. Высказывается гипотеза о том, что поверхность проективного пространства, представляемая как семейство касательных плоскостей – центропроективных подпространств и являющаяся поэтому центропроективным многообразием, голономна. 16. Рассмотрение поверхности в проективном пространстве влечет разбиение базисных форм проективной группы на главные и вторичные. Из главных форм выделяются базисные формы поверхности, а вторичные формы называются слоевыми. Так над поверхностью возникает главное расслоение, типовым слоем которого является подгруппа стационарности центрированной касательной плоскости. Ассоциированное с поверхностью расслоение содержит 4 простых главных подрасслоения: касательных и нормальных линейных реперов, центропроективных реперов и подрасслоение с типовым слоем – линейной частью подгруппы стационарности касательной плоскости. 17. В ассоциированном расслоении задается групповая связность способом Лаптева. Объект групповой связности содержит 4 простых подобъекта, определяющих подсвязности: касательную линейную ( в классической терминологии – аффинную) связность, нормальную линейную связность, центропроективную связность и линейно-групповую связность. 18. При внесении форм касательной линейной связности в структурные уравнения базисных форм поверхности возникает объект линейного кручения. Вводится более общий объект центропроективного кручения. Эти объекты кручения оказываются тензорами. Ассоциированное расслоение с заданной групповой связностью есть пространство групповой связности, в структурные уравнения которого входят компоненты объекта кривизны. Доказывается, что объект кривизны групповой связности является тензором, содержащим 4 простых подтензора: тензоры кривизны касательной и нормальной линейных связностей, тензор кривизны центропроективной связности и тензор кривизны линейно-групповой связности. 19. Определяются классические оснащение Картана и нормализация Нордена поверхности. Даются их аналитические задания полями квазитензоров. Рассматривается композиционное оснащение, сочетающее в себе оснащение Картана и нормализацию 2-го рода Нордена. Структура композиционного оснащения выясняется с помощью понятия m-пары, используемого в теории композиций Нордена. Показано, что к структуре компо13

зиционного оснащения можно прийти с помощью корреляции в проективном пространстве. Определено оснащение Бортолотти поверхности. Получены условия принадлежности нормали 2-го рода и плоскости Картана гиперплоскости Бортолотти. Найдены формулы, связывающие подвижные реперы, адаптированные поверхности и композиционно оснащенной поверхности. 20. Показывается, что композиционное оснащение поверхности индуцирует в ассоциированном с ней расслоении групповую связность, называемую связностью 1-го типа. 21. Доказывается теорема Остиану, состоящая в том, что нормализация 1-го рода Нордена порождает оснащение Картана. Следовательно, нормализация Нордена индуцирует групповую связность 1-го типа. Видоизменяется задача оснащения в проективно-дифференциальной геометрии поверхности, сформулированная Лаптевым как построение внутренним образом оснащения Картана, в пользу нормализации Нордена. 22. Находятся ковариантные дифференциал и производные композиционно оснащающего квазитензора относительно групповой связности. При внешнем дифференцировании ковариантного дифференциала появляется объект, компоненты которого являются линейными комбинациями компонент тензора кривизны групповой связности с коэффициентами – компонентами композиционно оснащающего квазитензора. Этот объект оказывается тензором, содержащим 3 простых подтензора, которые названы тензорами неабсолютных перенесений в центропроективной связности, в линейно-групповой связности и в групповой связности. 23. Ковариантные производные композиционно оснащающего квазитензора образуют тензор, содержащий 3 простых подтензора. Обращение ковариантных производных в нуль дает формулы, описываемые следующими утверждениями. Нормализация 2-го рода Нордена сводит центропроективную связность к касательной линейной связности. Нормализация 1-го рода Нордена сводит линейно-групповую связность к касательной и нормальной линейным связностям. Оснащение Картана сводит групповую связность к центропроективной и нормальной линейным связностям. Композиционное оснащение сводит групповую связность к линейным связностям. Следовательно, нормализация Нордена сводит групповую связность к касательной и нормальной линейной связностям. Подставляя в указанные формулы сначала охваты объектов линейных подсвязностей, затем охваты объектов центропроективной и нормальной линейной подсвязностей групповой связности 1-го типа, получим еще 2 типа групповой связности. Значит, нормализация Нордена индуцирует групповые связности 2-го и 3-го типов. 14

24. Рассматриваются подчиненные оснащения Картана и нормализация 2-го рода Нордена при композиционном оснащении поверхности. Оснащение Картана называется подчиненным: 1) нормализации 1-го рода Нордена, если плоскость Картана смещается в натянутой на нее и точку касания нормали 1-го рода; 2) оснащению Бортолотти, если плоскость Картана смещается в гиперплоскости Бортолотти, натянутой на нее и нормаль 2-го рода. Нормализация 2-го рода называется подчиненной оснащению Бортолотти, если нормаль 2-го рода смещается в гиперплоскости Бортолотти. Если смещения плоскости Картана подчинены нормали 1-го рода Нордена, то новое оснащение Картана, порожденное в силу теоремы Остиану такой нормализацией 1-го рода, совпадает с исходным. Совпадение связностей разных типов зависит от подчиненности оснащений. Совпадение центропроективных связностей двух возможных типов эквивалентно подчинению нормализации 2-го рода Нордена оснащению Бортолотти. Совпадение линейно-групповых связностей двух возможных типов равносильно подчинению оснащения Картана нормализации 1-го рода Нордена. Совпадение групповых связностей 1-го и 3-го типов эквивалентно неподвижности плоскости Картана. Совпадение групповых связностей 2-го и 3-го типов равносильно подчинению нормализации 2-го рода оснащению Бортолотти. Совпадение групповых связностей 1-го и 2-го типов эквивалентно вырождению оснащения Картана в одну плоскость и подчиненности нормализации 2-го рода оснащению Бортолотти. Следовательно, совпадение связностей 1-го и 2-го типов равносильно совпадению групповых связностей трех типов. 25. Даются определения разнообразных параллельных перенесений плоскости Картана и нормали 2-го рода Нордена. Параллельным перенесением плоскости Картана в линейно-групповой связности 1-го типа называется ее смещение в нормали 1-го рода Нордена, а параллельным перенесением в линейной комбинации групповой связности 1-го типа называется ее смещение в гиперплоскости Бортолотти. Связанно вырожденным параллельным перенесением плоскости Картана в групповой связности 1-го типа называется ее неподвижность, а свободно вырожденными параллельными перенесениями в групповых связностях 2-го и 3-го типов – любые ее смещения. Параллельным перенесением нормали 2-го рода относительно центропроективной связности 1-го типа называется ее смещение в гиперплоскости Бортолотти, а свободно вырожденным параллельным перенесением в центропроективной связности 2-го типа – ее произвольное смещение. Параллельные перенесения в групповой связности 1-го типа и ее подсвязностях, вообще говоря, связанно вырождаются за исключением параллельного перенесения плоскости Картана в линейной комбинации связности, когда размерность поверхности больше половины размерности проек15

тивного пространства. В этом случае в касательной плоскости существует плоскость параллельности с размерностью, равной разности размерности пространства и поверхности. Вдоль линий поверхности, касающихся плоскости параллельности и проходящих через точку касания, осуществляется параллельный перенос в линейной комбинации групповой связности 1-го типа. Свободно вырожденные параллельные перенесения плоскости Картана и нормали 2-го рода относительно групповой связности 2-го типа и ее подсвязностей существуют вдоль любой линии поверхности. В групповой связности 3-го типа и ее подсвязностях свободно вырожденные параллельные перенесения плоскости Картана существуют вдоль произвольной линии, а параллельное перенесение нормали 2-го рода в общем случае не существует. Индуцированная касательная линейная связность характеризуется проекцией на нормаль 2-го рода смежной с ней нормали из центра – нормали 1-го рода. Индуцированная нормальная линейная связность интерпретируется проекцией на плоскость Картана смежной с ней плоскости из центра – касательной плоскости.

16

Глава 1. ЦЕНТРОПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ §1. Центропроективное многообразие Рассмотрим n-мерное многообразие Vn некоторого класса дифференцируемости. В любой точке А∈Vn имеется касательное векторное пространство Tn размерности n. Произведем следующее: 1) наделим [Ва] каждое векторное пространство Tn структурой аффинного пространства с центром А и обозначим его A ∗n ; 2) дополняя центроаффинное пространство A ∗n несобственной гиперплоскостью Ln-1, получим (см., например, [Ф,с.495]) расширенное пространство Pn∗ = A ∗n ∪ Ln-1; 3) расширим действие линейной (центроаффинной) группы GL(n), преобразующей центроаффинное пространство A ∗n , до действия коаффинной (центропроективной) группы GA`(n) в центропроективном пространстве Pn∗ ; 4) выполним аналогичные построения [Ры1] с касательными пространствами высших порядков. Этот процесс назовем проективизацией гладкого многообразия Vn, а его результат – центропроективным многообразием Wn [Ше10,11]. Таким образом, центропроективное многообразие Wn есть такое обобщение гладкого многообразия Vn, при котором касательные пространства многообразия Vn превращены в центропроективные пространства тех же размерностей. Замечание 1. Центропроективное многообразие Wn является особым случаем главного расслоенного пространства центропроективной структуры [О2]. На центропроективном многообразии не задано отображение соседних касательных пространств друг на друга, обычно называемое проективной связностью [Ка2; Ла2,5; Лу4]. Исследуем локально центропроективное многообразие Wn. Отнесем некоторое центропроективное пространство Pn∗ к подвижному реперу {A,AI}, тогда для дифференциала точки А имеем dA=ωA+ωIAI (I,J,K,L,M= 1,n ),

(1) 17

где не пишутся черточки над встречающимися в формуле аналитическими точками; ω,ωI – линейные дифференциальные формы, причем последние линейно независимы. В пространстве Pn∗ фиксирован центр А, поэтому формула (1) дает цепочку эквивалентностей A=const ⇔ dA=ωA ⇔ ωIAI=0 ⇔ ωI=0. Потребуем, чтобы система уравнений ωI=0, обеспечивающая фиксацию точки А, была вполне интегрируемой, т.е. внешние дифференциалы форм ωI имели вид: DωI=ωJ∧ ω IJ ,

(2)

где ω IJ – новые линейные формы. Используя равенство D(dA)=0,

(3)

продифференцируем уравнение (1) внешним образом ADω+(dAI- ω IJ AJ-ωAI) ∧ωI=0.

(4)

Для разрешения этого уравнения по лемме Картана требуется выполнение структурного уравнения вида: Dω=ωI∧ωI,

(5)

где ωI – новые линейные формы. Учитывая его в уравнении (4) и разрешая, получим dAI=ωAI+ ω IJ AJ+ωIA+ωJAIJ,

(6)

причем новые точки AIJ симметричны: A[IJ]=0.

(7)

Они принадлежат касательному центропроективному пространству 2-го порядка Р2⊃ Pn∗ , которое будем называть соприкасающимся пространством, dimP2=dim Pn∗ + C1n + C n2 = 1 n(n+3). 2

Подвижной репер {A,AI} с деривационными формулами (1,6) назовем репером 1-го порядка центропроективного многообразия Wn и обозначим R1. Возьмем внешние дифференциалы от обеих частей структурных уравнений (2,5) ωJ∧(D ω IJ - ω KJ ∧ω IK ) =0, ωI∧(DωI- ω IJ ∧ωJ) =0.

Разрешим полученные уравнения по обобщенной лемме Картана [Ла5] 18

D ω IJ = ω KJ ∧ω IK +ωK∧ω IJK ,

(8)

DωI= ω IJ ∧ωJ+ωJ∧ωIJ,

(9)

причем ω IJK ∧ωJ∧ωK=0, ωIJ∧ωI∧ωJ =0.

(10)

Условия (10) выполняются в голономном случае, когда формы ω IJK ,ωIJ симметричны: ω[I JK ] =0, ω[IJ]=0.

(11)

Однако равенства (11) не являются необходимыми [Ла5,с.142] для справедливости условий (10), поэтому в общем (неголономном) случае формы ω IJK , ωIJ несимметричны по нижним индексам. Учитывая, что D(dAI)=0,

(12)

dAIJ=ωAIJ+ ω IK AKJ+ ω KJ AIK+ωIAJ+ωJAI+ ω IJK AK+ωIJA+ωKAIJK,

(13)

продолжим уравнения (6) причем согласно лемме Картана точки AIJK симметричны по индексам J, K: AI[JK]=0.

(14)

Альтернируя уравнения (13) с использованием соотношений (7), найдем ω [KIJ ] AK+ω[IJ]A+ωKA[IJ]K=0, откуда вытекают равенства (11) и следующие A[IJ]K=0, которые вместе с соотношениями (14) дают симметричность точек AIJK по всем индексам. Точки AIJK принадлежат касательному центропроективному пространству 3-го порядка Р3⊃Р2, dimP3=dimP2+ C1n +2 C n2 + C 3n = 1 (n2+6n+11). 6

Подвижной репер {A,AI,AIJ} с деривационными формулами (1,6,13) назовем репером 2-го порядка центропроективного многообразия Wn и обозначим R2. Замечание 2. Формулы (1,6,13) незначительно отличаются от формул Лаптева [5,с.180-185]. Дальнейшие продолжения уравнений (13) вводят симметричные точки A I1...I p , принадлежащие касательному центропроективному пространству Рр порядка р. Размерность центропроективного пространства Рр совпадает с 19

размерностью [Ва,Ла5] линейного пространства Тр того же порядка, касательного к исходному гладкому многообразию Vn: dimPp=dimTp= C pn+ p -1. Точки A I1...I p входят в состав подвижного репера р-го порядка Rp={A, A I1 ,..., A I1...I p }

центропроективного многообразия Wn. Замечание 3. Для поверхности в проективном пространстве формулы вида (1,6,13,...) известны [Ла5, Шв]. П.И.Швейкин [Шв] назвал точки А, AI, AIJ,... фундаментальными точками поверхности. Пространство, определяемое фундаментальными точками до порядка р включительно, является касательным пространством р-го порядка поверхности. При достаточно большом р оно совпадает с проективным пространством, в котором рассматривается поверхность. При фиксации точки А центропроективного многообразия Wn уравнения (1,6,8,9) упрощаются

δA=πA, δAI=πAI+ π JI AJ+πIA,

(15)

D π IJ = π JK ∧ π IK , DπI= π JI ∧πJ,

(16)

где δ=d| ω I = 0 , π=ω| ω I = 0 . Равенства (15) являются деривационными формулами подвижного репера 0-го порядка R 10 ={A,AI} центропроективного пространства Pn∗ , в котором действует коаффинная (центропроективная) группа GA`(n) со структурными уравнениями (16). Пространство Pn∗ и группу GA`(n) обозначим P1 и PD1; они называются касательным центропроективным пространством и проективно-дифференциальной [Ла5] группой 1-го порядка, dimPD1=n(n+1). Продолжая структурные уравнения (8,9), получим L D ω IJK = ω JK ∧ ω IL − ω ILK ∧ ω JL − ω IJL ∧ ω LK + ω L ∧ ω IJKL ,

(17)

DωIJ= ω IJK ∧ ω K − ω IK ∧ ω JK − ω KJ ∧ ω IK + ω K ∧ ω IJK ,

(18)

причем ω IJKL ∧ωK∧ωL=0, ωIJK∧ωJ∧ωK=0.

Из уравнений (13,17,18) следует δAIJ=πAIJ+ π IK AKJ+ π JK AIK+πIAJ+πJAI+ π IJK AK+πIJA, 20

(19)

L D π IJK = π Jk ∧ π IL − π ILK ∧ π JL − π IJL ∧ π LK , DπIJ= π IJK ∧ π K − π IK ∧ π JK − π KJ ∧ π IK ,

(20)

где формы π IJK , πIJ симметричны по нижним индексам согласно условиям (11). Равенства (15,19) есть деривационные формулы подвижного репера 0го порядка R 20 ={A,AI,AIJ} центропроективного соприкасающегося пространства P2 (A∈P1⊂P2), в котором действует группа Ли со структурными уравнениями (16,20). Эта группа обозначается PD2 и называется [Ла5] проективно-дифференциальной группой 2-го порядка, 1

dimPD2=(n+1)dimP2= n(n+1)(n+3). 2

Продолжения структурных уравнений (17,18) и фиксация точки А∈Wn приведет к действующей в центропроективном пространстве Рр (A∈P1⊂...⊂Pp-1⊂Pp) проективно-дифференциальной группе Лаптева DPp порядка р. Базисные формы π IJ1 , π I1 ; π IJ1J 2 , π I1I2 ;...; π JI 1...J p , π I1...I p

(21)

группы Ли PDp симметричны по нижним индексам, поэтому dinPDp=(n+1)dimPp=(n+1)( C pn+ p -1). §2. Неголономное центропроективное многообразие

Если предположения (1.3,1.12,...) несправедливы, т.е. дифференциалы dA,dAI,... не являются полными (см., например, [Ла1,с.20; Ков; Ф,с.469; Ше7-14;V]), то получить уравнения (1.6,1.13,...) путем продолжений уравнения (1.1) не удастся. Тем не менее будем предполагать, что они имеют место, но точки AIJ,AIJK,... несимметричны. Тогда нельзя доказать симметричность форм ω IJK ,ωIJ; ω IJK ,ωIJK;... по нижним индексам. В этом общем случае будем говорить о неголономном центропроективном многообразии ~ Wn (n>1), в каждой точке А которого имеется неголономное касательное ~ центропроективное пространство P p порядка р, в котором действует неголономная проективно-дифференциальная группа NPDp. Неголономное ка~ сательное пространство P p натянуто на несимметричные точки А, A I1 , A I1I2 ,..., A I1...I p , поэтому ~ dim P p =n(1+n+...+np-1).

В неголономном случае формы (1.21) несимметричны по нижним индексам и являются базисными формами группы Ли NPDp, следовательно, 21

~ n ( n + 1) p dimNPDp=(n+1)dim P p = (n -1). n−1

Обозначая Dp и NDp голономную Вагнера [Ва] и неголономную Лумисте [3] дифференциальные группы [Ла6], приведем таблицу включений групп Dp, PDp, NDp, NPDp

GL(n )

=

GA′(n ) =

ND1

⊂

⊂K⊂

ND p ∪

⊂K

|| D1 ∩

ND 2 ∪

⊂

D2 ∩

⊂K⊂

Dp ∩

⊂K

PD 2

⊂K⊂

PD p

⊂K

PD1 ||

⊂

∩

NPD1 ⊂ NPD 2

∩

⊂ K ⊂ NPD p

,

⊂K

кроме того, NDp⊂ NPDp. В §1 рассматривалось центропроективное многообразие, которое естественно называть голономным. Обозначим голономное центропроективное 0 p

0

многообразие через W n , а его касательное пространство р-го порядка – P . Если в дальнейшем говорится о центропроективном многообразии Wn с касательными пространствами Pp, то подразумевается, что многообразие 0 ~ может быть как голономным W n , так и неголономным Wn . При обозначе0 p ~ нии подпространств P , P p можно не употреблять значки о и ∼, а для различия размерностей в голономном и неголономном случаях писать 0 p ~ DimPp=dim P p , dimPp=dim P

и говорить о неголономной и голономной размерностях касательного центропроективного пространства Pp. Голономное и неголономное центропроективные многообразия [Ше10,11] получаются в результате проективизации соответствующих гладких многообразий [Ше8,9,12-14]. Покажем существование специальных голономных и неголономных центропроективных многообразий, исходя из голономных и неголономных гладких многообразий. Базисные формы ωI имеют одинаковую структуру (1.2) для гладкого многообразия Vn и центропроективного многообразия Wn. Пусть дано гладкое многообразие Vn со структурными [Ла5] формами ωI. Их продолжения ω IJ удовлетворяют уравнениям (1.8), из которых следует D ω II =ωK∧ ω IIК . Сопоставляя это уравнение с уравнением (1.5), положим 22

ω= ω II , ωI= ω KKI .

(1)

Свертывая уравнения (1.17) по индексам I,J, найдем D ω IIK =- ω IIL ∧ ω LK +ωL∧ ω IIKL . Сравнивая это с уравнениями (1.9), убеждаемся в справедливости 2-й совокупности равенств (1), а также в необходимости соотношений ωIJ= ω KKIJ . Для произвольного порядка р нужно взять

ω I1...I p = ω KKI1...I p .

(2)

Определение. Если формы ω IJ1...J p +1 , ω I1 ...I p центропроективного многообразия Wn связаны зависимостями (2), то назовем его многообразием Лемлейна [Ле] и обозначим WnL . Теорема 1. Гладкое многообразие Vn порождает центропроективное многообразие Лемлейна WnL , причем из голономности (неголономности) многообразия Vn следует голономность (неголономность) многообразия WnL . Для поверхности пространства проективной связности Е.Т.Ивлев и Э.Н.Подскребко [ИП], следуя Клингенбергу [Kl], определили касательные пространства 1-го и 2-го родов произвольного порядка. Поверхность пространства проективной связности является неголономным центропроективным многообразием. Касательные пространства к такому центропроективному многообразию совпадают с касательными пространствами 2-го рода. Касательное подпространство 1-го рода (голономное касательное подпространство) возникает в касательном пространстве 2-го рода соответствующего порядка при симметрировании базисных точек последнего. §3. Пространства центропроективной связности

Над центропроективным многообразием Wn возникает главное расслоение центропроективных реперов С(Wn) со структурными уравнениями (1.2,1.8,1.9), типовым слоем которого является центропроективная (коаффинная) группа С=GA`(n), действующая в касательном центропроективном пространстве Pn∗ . Это расслоение содержит подрасслоение линейных реперов L(Wn) с уравнениями (1.2,1.8), базой которого служит многообразие Wn, а типовым слоем – линейная группа L=GL(n)⊂C, действующая неэффективно в (n-1)-мерном проективном пространстве направлений (см., например, [Ч2]) касательного центропроективного пространства Pn∗ . 23

~ С неголономным многообразием Wn ассоциируется расслоение него~ ~ лономных центропроективных реперов 2-го порядка C2 (Wn ) со структур~ ными уравнениями (1.2,1.8,.1.9,1.17,1.18), базой Wn и типовым слоем – неголономной проективно-дифференциальной группой 2-го порядка ~ С 2 =NPD2, действующей в неголономном соприкасающемся центропроек0 ~ тивном пространстве P 2 . Над голономным многообразием W n возникает расслоение голономных центропроективных реперов 2-го порядка 0

0

С 2 ( W n ) с теми же структурными уравнениями, к которым присоединены условия (1.11), и типовым слоем – проективно-дифференциальной группой 0

2-го порядка С 2 =PD2, действующей в голономном соприкасающемся цен0

тропроективном пространстве P 2 . Продолжения уравнений (1.17,1.18) приводит к структурным уравнениям главных расслоений голономных и неголономных центропроективных реперов высших порядков. Исследуем связность в расслоении центропроективных реперов 1-го порядка C(Wn), которую будем называть (см., например,[Ле]) центропроективной связностью. Групповая связность в главном расслоении C(Wn) задается способом Лаптева [ЕЛОШ,Ла5] с помощью форм I Ω IJ = ω IJ − ΓJK ω K , ΩI=ωI-ГIJωJ,

(1)

I , ГIJ – некоторые функции. Внешние дифференциалы форм (1) пригде ΓJK водятся к виду: I M I D Ω IJ = Ω JK ∧ Ω IK +ωK∧(Δ ΓJK + ω IJK )- ΓJK ΓML ωK∧ωL, ΩI= Ω JI ∧ΩJ+ωJ∧(Δ ГIJ+ ΓIJK ωK+ωIJ)- ΓIJL ГLKωJ∧ωK,

(2)

причем дифференциальный оператор Δ действует следующим образом: I I I I L Δ ΓJK =d ΓJK - ΓJL ω LK − ΓLK ω JL + ΓJK ω IL .

Согласно теореме Картана-Лаптева [ЕЛОШ] центропроективная связность в расслоении центропроективных реперов C(Wn) задается полем I ,ГIJ} на базе Wn объекта Г={ ΓJK I I Δ ΓJK + ω IJK = ΓJKL ωL, ΔГIJ+ ΓIJK ωK+ωIJ= ГIJKωK.

(3)

Из дифференциальных уравнений (3) видно, что объект центропроективI , опреденой связности Г содержит подобъект линейной связности ΓJK ляющий связность в подрасслоении линейных реперов L(Wn) расслоения C(Wn). 24

Определение 1. Объект Г назовем объектом центропроективной I ⊂Г связности или просто центропроективной связностью; подобъект ΓJK – объектом линейной подсвязности, или линейной подсвязностью. Учитывая уравнения (3) в системе (2), запишем структурные уравнения форм центропроективной связности (1) в виде:

D Ω IJ = Ω JK ∧ Ω IK + R IJKL ωK∧ωL, DΩI= Ω JI ∧ΩJ+RIJKωJ∧ωK,

(4) (5)

причем компоненты объекта кривизны R={ R IJKL , RIJK} центропроективной связности Г выражаются по формулам I R IJKL = ΓJI[ KL] − ΓJM[ K ΓML ],

(6)

RIJK=ГI[JK] - ΓIL[J ГLK],

(7)

где квадратные скобки обозначают альтернирование по крайним индексам в них. Внося формы центропроективной связности (1) в структурные уравнения (1.2,1.5), получим DωI=ωJ∧ Ω IJ +S IJK ωJ∧ωK,

(8)

Dω=ωI∧ΩI+SIJωI∧ωJ,

(9)

где компоненты объекта кручения S={ S IJK ,SIJ} [Ле,с.127] центропроективной связности Г имеют вид: S IJK = Γ[IJK ] , SIJ= Г[IJ]. В соответствии с этими формулами результат альтернирования дифференциальных уравнений (3) запишем следующим образом:

Δ S IJK + ω [IJK ] ≡0, Δ SIJ+S IJK ω K + ω [ IJ ] ≡0,

(10)

где символ ≡ означает сравнения по модулю базисных форм ωL центропроективного многообразия Wn. В голономном случае дифференциальные сравнения (10) упрощаются

Δ S IJK ≡0, Δ SIJ+S IJK ω K ≡0,

(11)

Определение 2. Объект кручения S центропроективной связности Г и I назовем объектом ценобъект кручения S IJK линейной подсвязности ΓJK тропроективного кручения и подобъектом линейного кручения. Из сравнений (10,11) следуют 25

Теорема 1. Объект центропроективного кручения S на неголономном ~ центропроективном многообразии Wn образует квазитензор, на голоном0

ном многообразии W n объект кручения – тензор. Теорема 2. Объект центропроективного кручения S содержит подобъект линейного кручения S IJK , который в неголономном случае является квазитензором, а в голономном случае – тензором. Определение 3. Расслоение центропроективных реперов C(Wn), в котором задана центропроективная связность Г, назовем пространством центропроективной связности и обозначим CWn. Иначе говоря, пространство центропроективной связности CWn есть центропроективное многообразие Wn, на котором задано поле объекта центропроективной связности Г. Аналитическое описание пространства центропроективной связности CWn произведено с помощью структурных уравнений (8) базисных форм ωI, структурных уравнений (4,5) форм центропроективной связности Ω IJ ,ΩI и структурного уравнения (9) вспомогательной формы ω. Уравнения (8) дают подобъект линейного кручения S IJK , уравнения (4,5) определяют объект кривизны R центропроективной связности Г, и уравнение (9) позволяет ввести функции SIJ, которые вместе с подобъектом кручения S IJK составляют объект центропроективного кручения S. На голономном центропро0

ективном многообразии W n объект кручения S является тензором, поэтому инвариантно его обращение в нуль. Это приводит к симметрической центропроективной связности, характеризуемой симметрией всех компонент I ΓJK ,ГIJ объекта связности Г по нижним индексам. Так можно объяснить целесообразность рассмотрения вспомогательного уравнения (9). Тем не менее в соответствии с определением 3 уравнение (9) не будет включаться в число структурных уравнений пространства центропроективной связности CWn, а функции SIJ, являющиеся антисимметрическими частями компонент ГIJ⊂Г, можно ввести вне зависимости от уравнения (9). Таким образом, пространство центропроективной связности CWn имеет структурные уравнения (4,5,8), которые включают структурные уравнения (4,8) пространства аффинной связности A n2 ,n [ Ше13]. Замечания

1. Структурные уравнения (5,8) пространства центропроективной связности CWn совпадают с 1-м и 3-м уравнением пространства проективной связности при проективной записи, а уравнение (4) отлично от 2-го уравнения [ЕЛОШ,с.111; Лу3,4; Car,с.234]. 26

2. Деривационная формула (1.1) центропроективного многообразия Wn совпадает с 1-й формулой пространства проективной связности при линейной записи [ЕЛОШ,с.118; Ка2,с.124]. Внесем формы центропроективной связности (1) в деривационные формулы (1.6) dA=ωAI+ Ω JI AJ+ΩIA+ωJ(AIJ+ ΓIJK AK+ГIJA). Эти формулы существенно отличаются от 2-й совокупности деривационных формул Картана. 3. Если уравнения (9) включить [Ле] в число структурных уравнений пространства центропроективной связности, то оно не будет особым случаем пространства фундаментально групповой связности Лаптева [2]. 4. Рассматривая наряду с формами (1) форму Ω=ω-ГIωI, можно прийти к проективной связности [Ла5,с.186], однако каноническая проективная связность (ГI=0), которую в нормальном случае изучал А.К.Рыбников [Ры1], не совпадает с центропроективной связностью. 5. Изложенное понятие центропроективной связности отличается от центропроективной связности Картана и ее обобщений (см., например, [Cr,R]). Продолжая уравнения (3), найдем I I I M M I I − ΓJM ωM Δ ΓJKL KL − ΓMK ω JL + ΓJK ω ML + ω JKL ≡0,

L L L ΔΓIJK-ΓIL ω JK − ΓLJ ω IK + ΓIJK ω L + ΓIJL ω LK + ω IJK ≡0,

откуда с помощью уравнений (3) и формул (6,7) получим I Δ R IJKL − ΓJM ω [MKL] + ω IJ[ KL] ≡0, L ΔRIJK- R IJK ω L − ΓIL ω [LJK ] + ω I[ JK ] ≡0.

(12)

В голономном случае дифференциальные сравнения (12) упрощаются L Δ R IJKL ≡0, ΔRIJK- R IJK ω L ≡0.

(13)

Определение 4. Объект кривизны R центропроективной связности Г и I назовем объектом объект кривизны R IJKL линейной подсвязности ΓJK центропроективной кривизны и подобъектом линейной кривизны. Из сравнений (12,13) вытекают Теорема 3. Объект центропроективной кривизны R на неголономном ~ центропроективном многообразии Wn образует квазитензор лишь в совокупности с объектом центропроективной связности Г, на голономном 0

многообразии W n объект кривизны R - тензор. 27

Теорема 4. Объект центропроективной кривизны R содержит подобъект линейной кривизны R IJKL , который в неголономном случае образуI ,ав ет квазитензор лишь вместе с подобъектом линейной связности ΓJK голономном случае подобъект R IJKL - тензор. Определение 5. Если база Wn пространства центропроективной связности CWn голономна (неголономна), то будем говорить о ретроголономном (ретронеголономном) пространстве центропроективной связности 0 ~ С W n (С Wn ) и голономной (неголономной) центропроективной связности. 0

На ретроголономном пространстве центропроективной связности С W n объекты линейного кручения S IJK , центропроективного кручения S, линейной кривизны R IJKL и центропроективной кривизны R являются тензорами. В зависимости от их обращения в нуль выделяются следующие классы 0

пространств С W n и голономных центропроективных связностей: 1) S IJK =0 – связность без линейного кручения, или полусимметрическая центропроективная связность (ПС); 2) S IJK =0, SIJ=0 – связность без центропроективного кручения, или симметрическая центропроективная связность (С); 3) R IJKL =0 – связность без линейной кривизны, или полуплоская центропроективная связность (ПП); 4) R IJKL =0, RIJK=0 – связность без центропроективной кривизны, или плоская центропроективная связность (П); 5) S IJK =0, R IJKL =0 – связность без линейных кручения и кривизны, или полусимметрическая и полуплоская центропроективная связность (ПС-ПП); 6) S IJK =0, R IJKL =0, RIJK=0 – связность без линейного кручения и центропроективной кривизны, или полусимметрическая и плоская центропроективная связность (ПС-П); 7) S IJK =0, SIJ=0, R IJKL =0 – связность без центропроективного кручения и линейной кривизны, или симметрическая и полуплоская центропроективная связность (С-ПП); 8) S IJK =0, SIJ=0, R IJKL =0, RIJK=0 – связность без центропроективных кручения и кривизны, или симметрическая и плоская центропроективная связность (С-П). Классификацию ретроголономных пространств центропроективной 0

связности С W n и соответствующих голономных центропроективных связностей (ГЦ) представим в виде: 28

ПС

С ПС - П

ГЦ

ПС - ПП

С-П С - ПП

ПП

П

Здесь стрелка → означает включение ⊃ одного класса связностей в другой. В общем случае ретронеголономные пространства центропроективной ~ связности С Wn и неголономные центропроективные связности не допускают выделение таких классов. Если выполняются условия I L ω [IJK ] ≡ 0, ω [IJ] ≡ −S IJK ω K , ω J[KL] ≡ 0, ω I[JK] ≡ − R IJK ωL,

то из дифференциальных сравнений (10,12) видно, что объекты центропроективных кручения S и кривизны R становятся тензорами, содержащими подтензоры линейных кручения S IJK и кривизны R IJKL . В этом случае ретронеголономные пространства и неголономные связности можно классифицировать аналогично ретроголономным пространствам и голономным связностям. Рассмотрим вопрос о голономности пространств центропроективной связности [Ше14]. Для ретроголономного пространства полусимметриче0

ской и полуплоской центропроективной связности С W n система (4,8) упрощается DωI=ωJ∧ Ω IJ , D Ω IJ = Ω JK ∧ Ω IK .

(14)

Отсюда вытекает Теорема 5. Ретроголономное пространство полусимметрической и полуплоской центропроективной связности (пространство ПС-ПП) является голономным гладким многообразием. Следствие. Пространства ПС-П, С-ПП и С-П голономны. Замечание. Структурные уравнения (5) не оказывают влияние на голономность пространства CWn, как гладкого многообразия. 0

При фиксации точки А∈ С W n , осуществляемой вполне интегрируемой системой дифференциальных уравнений ωI=0, система (5,14) принимает вид (1.16): D π I = π IJ ∧ π J , D π IJ = π KJ ∧ π IK . Это уравнения структуры центропроективного (коаффинного) пространства Pn∗ . Обобщая их в духе Картана [Ка2, Car], введем структурные уравнения пространства коаффинной связности 29

D π I = π IJ ∧ π J + SIJK π J ∧ π K , D π IJ = π KJ ∧ π IK + R IKL J πK ∧ πL .

(15)

Сопоставляя уравнения (4,5,8) пространства центропроективной связности CWn с уравнениями (15) пространства коаффинной связности Картана, видим, что пространство CWn превращается в пространство Картана при отождествлении форм ωI и ΩI. Точнее говоря, когда ωI=λIJωJ, тогда ΩI=(λIJ-ГIJ)ωJ, причем det(λIJ-ГIJ)≠0. Теорема 6. Пространство коаффинной связности Картана является пространством центропроективной связности CWn, в котором каждое касательное к базе Wn центропроективное пространство Pn∗ превращено в линейное пространство Ln путем задания гиперплоскости Pn-1, не проходящей через центр А∈ Pn∗ , и размещения в ней вершин АI подвижного репера 1-го порядка R1. Из структурных уравнений (4,8) с учетом теоремы 5 вытекает Теорема 7. Пространства центропроективной связности CWn неголономны за исключением пространств ПС-ПП. Эта теорема подтверждается тем, что пространство центропроективной связности CWn со структурными уравнениями (4,5,8), с одной стороны, является частным случаем пространства групповой связности Gr,n, с другой стороны, обобщает пространство аффинной связности A n 2,n , а пространства Gr,n и A n 2,n являются неголономными гладкими многообразиями [Ше13]. Вывод. Теоремы 5 и 7 показывают, что пространства центропроективной связности могут быть голономными и неголономными гладкими многообразиями. Неголономное гладкое многообразие, например главное расслоение, вообще говоря, не обладает связностью, а пространства со связностями обычно неголономны. Значит, понятия неголономности и связности пересекаются. §4. Нормализация и оснащения центропроективного многообразия

По аналогии с нормализацией 2-го рода Нордена [2,с.197] дадим Определение 1. Полунормализацией, или нормализацией 2-го рода, центропроективного многообразия Wn назовем задание в каждом касательном к нему центропроективном пространстве Pn∗ аналога нормали 2-го рода — гиперплоскости Nn-1, не проходящей через центр А. Зададим гиперплоскость Nn-1 совокупностью точек BI=AI+λIA. Их дифференциалы приводятся к виду: dBI=ωBI+ ω JI BJ+(ΔλI+ωI)A+ωJ(AIJ+λIAJ), 30

(1)

откуда вытекают дифференциальные уравнения ΔλI+ωI=λIJωJ,

(2)

обеспечивающие инвариантность гиперплоскости Nn-1 при фиксации точки А∈Wn. Назовем λI полунормализующим квазитензором. Продолжая уравнения (2), найдем ΔλIJ-λK ω IJK +ωIJ=λIJKωK,

(3)

λI[JK]=0.

(4)

причем Замечание. Для единообразия описания голономного и неголономного центропроективных многообразий в голономном случае будем считать функции λIJ симметричными, т.е. λ[IJ]=0. Учитывая уравнения (2) в равенствах (1) и преобразуя их, имеем

dBI=ωBI+( ω JI +λIωJ)BJ +ωJBIJ,

(5)

где BIJ=AIJ+(λIJ-λIλJ)A. Точки BIJ, симметричные в голономном случае, удовлетворяют сравнениям ΔBIJ≡ωBIJ+ ω KIJ BK +ωIBJ+ωJBI,

(6)

откуда видно, что они вместе с точками BK определяют продолженный аналог нормали 2-го рода N2(n)=[ BIJ,BK]: 1

Nn-1⊂ N2(n), A∉ N2(n) ⊂P2, Dim N2(n)=n2+n-1, dim N2(n)= 2 n(n+3)-1. Теорема 1. Продолженная полунормализация центропроективного многообразия Wn сводит центропроективную связность Г к линейной I . связности ΓJK Доказательство дается формулой N

Γ IJ = λ IJ + ΓIJK λ K ,

(7)

проверяемой с помощью соотношений (3.3,2,3). Определение 2. Центропроективную связность, задаваемую объекN

том { ΓIJK , Γ IJ }, назовем полунормализованной. N

Для заданной нормализации 2-го рода компоненты Γ IJ объекта N

{ ΓIJK , Γ IJ } являются функциями компонент ΓIJK , поэтому имеем пучок полунормализованных связностей. Теорема 2. Полунормализация центропроективного многообразия Wn индуцирует n3-параметрический пучок полунормализованных центропроективных связностей. 31

Решим проблему сведения центропроективной кривизны полунормалиN

зованной связности к линейной кривизне. Компоненты Γ IJ объекта полуN

нормализованной центропроективной связности { ΓIJK , Γ IJ } входящим в систему (3.3) удовлетворяют дифференциальным уравнениям N

N

Δ Γ IJ + ΓIJK ωK+ωIJ= Γ IJK ωK,

где N

L Γ IJK =λIJK+ ΓIJK λL+ ΓIJL λLK. N

(8)

N

Компоненты R IJK объекта кривизны { R IJKL , R IJK } полунормализованной связности согласно формуле (3.7) имеют вид: N

N

N

R IJK = Γ I[ JK ] - ΓIL[J Γ LK] .

Подставляя выражения (7,8), найдем N

L R IJK = λ I[ JK ] + ( ΓIL[ JK ] − ΓIM [ J ΓMK ] ) λ L .

Пользуясь соотношениями (3.6,4), получим N

L λL . R IJK = R IJK

(9)

Для выяснения условий инвариантности этих равенств введем объект N

N

L λL . T IJK = R IJK - R IJK

(10)

Из соотношений (3.12,2,7) найдем дифференциальные сравнения N

Δ T IJK - λ IL ω [LJK ] − λ L ω IL[ JK ] + ω I[ JK ] ≡0.

(11)

N

N

В голономном случае эти сравнения упрощаются Δ T IJK ≡0, т.е. объект T IJK N

становится тензором, тогда можно положить T IJK =0, что эквивалентно равенствам (9). 0

Теорема 3. Если голономное центропроективное многообразие W n полунормализовано, то тензор центропроективной кривизны охватывается тензором линейной кривизны и полунормализующим квазитензором, точнее говоря, в голономном случае инвариантна формула (9). Возьмем точки CIJ=AIJ+ μ IJK AK+μIJA, причем в голономном случае предполагается симметричность коэффициентов: μ [KIJ ] =0, μ[IJ]=0. Подействуем

оператором Δ 32

ΔCIJ≡ωCIJ+(Δ μ IJK + ω KIJ + δ IK ω J + δ JK ω I )AK+(ΔμIJ+ μ IJK ωK+ωIJ)A.

(12)

Совокупность точек CIJ инвариантна, если выполняются сравнения Δ μ IJK + ω KIJ + δ IK ω J + δ JK ω I ≡0, (13) ΔμIJ+ μ IJK ωK+ωIJ≡0. (14)

Квазитензор μ={ μ IJK ,μIJ} определяет аналог плоскости Картана [1] – плоскость C(n)=[CIJ]: C(n)⊕ Pn∗ =P2, DimC(n)=n2-1, dimC(n)= 21 n(n+1)-1. Определение 3. Оснащением Картана центропроективного многообразия Wn назовем присоединение к каждой его точке плоскости C(n), дополняющей касательное пространство Pn∗ до соприкасающегося пространства P2. Как показывают сравнения (13), функции μ IJK являются подобъектом квазитензора μ. Из сравнений (12) видно, что квазитензор μ IJK задает аналог нормали 1-го рода Нордена [2,с.197] – плоскость N1(n)=[CIJ,A]:

N1(n)=A⊕ C(n), DimN1(n)=n2, dimN1(n)= 21 n(n+1). Определение 4. Нормализацией центропроективного многообразия Wn назовем присоединение к каждой его точке A аналогов нормалей 1-го рода N`(n) и 2-го рода Nn-1:

N1(n)∩ Pn∗ =A, N1(n)+ Pn∗ =P2, A⊕Nn-1= Pn∗ , причем не предполагается существование плоскости Картана C(n)⊂N1(n). Многообразие Wn с заданной нормализацией будем называть нормализованным и обозначать NWn. Теорема 4. Нормализация центропроективного многообразия Wn индуцирует линейную связность в расслоении линейных реперов L(Wn). Доказательство вытекает из формулы N

Γ

K IJ

= μ IJK − δ IK λ J − δ JK λ I ,

(15)

справедливость которой подтверждают соотношения (3.3,2,13). Следствие 1 (Т.1,Т.4). Нормализация многообразия Wn индуцирует N

N

NN

NN

N

центропроективную связность Γ = {Γ IJK , Γ IJ } , где Γ IJ = λ IJ + Γ IJK λ K . N

Определение 5. Линейную связность с объектом Γ

K IJ

назовем норма-

N

лизованной, а центропроективную связность { Γ IJK , ГIJ} – линейно норма33

NN

лизованной. Если выполняются равенства ГIJ = Γ IJ , то линейно нормализованную связность будем называть нормализованной. N

Нормализованная центропроективная связность с объектом Γ входит в пучок полунормализованных связностей. Определение 6. Композиционным оснащением [Н3, Ше4] центропроективного многообразия Wn назовем присоединение к нему полей аналогов плоскостей Картана C(n) и нормалей 2-го рода Nn-1. Это оснащение порождает нормализацию, поэтому индуцирует нормализованную центропроективную связность. Теорема 5. Композиционное оснащение многообразия Wn индуцирует центропроективную связность, не являющуюся нормализованной. Доказательство дают формула (15) и следующая: С

Γ IJ =μIJ-λIλJ,

(16)

проверяемая с помощью соотношений (3.3,2,14). N

С

Определение 7. Центропроективную связность с объектом { Γ IJK , Γ IJ } назовем линейно нормализованной связностью Картана. Рассмотрим симметричные в голономном случае точки DIJ=AIJ+νIJA, для которых

ΔDIJ≡ωDIJ+( ω KIJ + δ IK ω J + δ JK ω I )BK+(ΔνIJ-λK ω KIJ -λIωJ-λJωI+ωIJ)A.

Если выполняются дифференциальные сравнения ΔνIJ-λK ω KIJ -λIωJ-λJωI+ωIJ≡0,

(17)

то инвариантна гиперплоскость B(n)=[DIJ,BK] соприкасающегося пространства P2, содержащая аналог нормали 2-го рода Nn-1 и не проходящая через центр А: Nn-1⊂B(n)⊂P2, A∉B(n), DimB(n)=n2+n-1, dimB(n)= 21 n(n+3)-1. Сравнения (17) показывают, что объект νIJ образует геометрический объект лишь в совокупности с квазитензором λI, определяющим аналог нормали 2-го рода Nn-1=B(n)∩ Pn∗ . Итак, аналог гиперплоскости Бортолотти [Ст1, Bor1] – гиперплоскость B(n) задается квазитензором {νIJ,λI}. Определение 8. Оснащением Бортолотти центропроективного многообразия Wn назовем присоединение к каждой его точке А гиперплоскости B(n) соприкасающегося пространства P2, дополняющей точку А до пространства P2,т.е. B(n)⊕A=P2. Аналог гиперплоскости Бортолотти B(n) пересекает касательное пространство Pn∗ по аналогу нормали 2-го рода Nn-1, который используется в 34

дальнейшем при совместном рассмотрении нормализации и оснащения Бортолотти. Теорема 6. Оснащение Бортолотти многообразия Wn сводит центроI проективную связность Г к линейной связности ΓJK . Доказательство следует из формулы B

Γ IJ = ν IJ + ΓIJK λ K + λ I λ J ,

(18)

справедливость которой подтверждают соотношения (3.3,2,17). Определение 9. Центропроективную связность, задаваемую объекB

том { ΓIJK , Γ IJ }, назовем связностью Бортолотти. Связности Бортолотти образуют n3-параметрический пучок. Центропроективная связность из пучка связностей Бортолотти с объектом N

BN

N

BN

{ Γ IJK , Γ IJ }, где Γ IJ = ν IJ + Γ IJK λ K + λ I λ J , является линейно нормализованной связностью Бортолотти. На нормализованном центропроективном многообразии NWn найдем условия совпадения нормализованной центропроективной связности, линейно нормализованных связностей Бортолотти и Картана. Другими словами, выясним условия совпадения разными способами охваченных (7,16,18) компонент ГIJ объекта центропроективной связности Г в предположении, что многообразие Wn и линейная связность ΓIJK нормализованы, т.е. заданы квазитензоры μ IJK , λI и выполняются равенства N

ΓIJK = Γ IJK . B

(19)

N

Для пары Γ IJ , Γ IJ имеем B

N

Γ IJ = Γ IJ ⇔ νIJ=λIJ-λIλJ ⇔ B(n)=N2(n),

причем этот случай не зависит от охвата (19). Теорема 7. Пучки полунормализованных центропроективных связностей и связностей Бортолотти совпадают тогда и только тогда, когда аналог гиперплоскости Бортолотти B(n) совпадает с продолженным аналогом нормали 2-го рода N2(n). Следствие 2. Нормализованная центропроективная связность и линейно нормализованная связность Бортолотти совпадают лишь в случае B(n)=N2(n). C

N

Для пары Γ IJ , Γ IJ имеем C

N

Γ IJ = Γ IJ ⇔ μIJ=λIJ+ μ IJK λK-λIλJ ⇔ C(n)=N1(n)∩N2(n). 35

Теорема 8. Нормализованная центропроективная связность и линейно нормализованная связность Картана совпадают тогда и только тогда, когда аналог плоскости Картана C(n) есть пересечение аналога нормали 1-го рода N1(n) и продолженного аналога нормали 2-го рода N2(n). B

C

Для пары Γ IJ , Γ IJ имеем B

C

Γ IJ = Γ IJ

μIJ=νIJ+ μ IJK λK ⇔ C(n)=N1(n)∩B(n) νIJ=μIJ- μ IJK λK ⇔ B(n)=Nn-1⊕C(n).

Теорема 9. Линейно нормализованные связности Бортолотти и Картана совпадают лишь в случае, когда аналог плоскости Картана C(n) является пересечением аналога нормали 1-го рода N1(n) и гиперплоскости Бортолотти B(n), иначе говоря, когда аналог гиперплоскости Бортолотти B(n) есть прямая сумма аналогов нормали 2-го рода Nn-1 и плоскости Картана C(n), принадлежащей аналогу нормали 1-го рода N1(n). Следствие 3 (Т.7-Т.9). Три центропроективные связности – нормализованная связность, линейно нормализованные связности Бортолотти и Картана – совпадают тогда и только тогда, когда аналогом гиперплоскости Бортолотти B(n) является продолженный аналог нормали 2-го рода N2(n), а аналог плоскости Картана C(n) есть пересечение аналога нормали 1-го рода N1(n) и продолженного аналога нормали 2-го рода N2(n), т.е.

B(n)= N2(n), C(n)= N1(n) ∩N2(n). Теорема 10. Нормализация 1-го рода многообразия Лемлейна WnL порождает нормализацию 2-го рода. Доказательство. Нормализация 1-го рода центропроективного многообразия Wn задается полем квазитензора μ IJK . Из сравнений (13) следует

Δ μ IIJ +ω IIJ +(n+1)ωJ≡0. На многообразии Лемлейна WnL имеем ω IIJ =ωJ, поэтому можно положить λJ =

1 n+2

μ IJI . Квазитензор λJ определяет аналог нормали 2-го рода Nn-1.

Замечания

1. В голономном случае А.К.Рыбников [1] называет аналог нормали 1-го рода N1(n) проективной нормалью, аналог нормали 2-го рода Nn-1 – касательным оснащением, аналог плоскости Картана C(n)⊂ N1(n) – оснащением нормали, аналог гиперплоскости Бортолотти B(n)⊃Nn-1 – оснащением соприкасающегося пространства. 36

2. Задание поля оснащенных проективных нормалей равносильно [Ры1] заданию проективной связности Картана без кручения; для центропроективной связности аналогичное утверждение несправедливо. 3. Структура голономного центропроективного многообразия посуществу совпадает с проективной структурой Лаптева [5], но отличается по форме аналитического описания, что вызывает различие при задании связностей [Ры1]. 4. Продолженный аналог нормали 2-го рода N2(n) в голономном случае фактически совпадает с продолженным касательным оснащением [Ры1]. 0

5. Если на голономном многообразии W n при n>1 функции λIJ не считать симметричными, то будут несимметричными точки BIJ и продолженный аналог нормали 2-го рода N2(n) заполнит соприкасающееся пространство P2, но формула (7) сохранится. §5. Параллельные перенесения аналога нормали 2-го рода

Параллельное перенесение фигуры относительно групповой связности аналитически описывается с помощью ковариантного дифференциала геометрического объекта, задающего фигуру [Ше5,13]. Рассмотрим параллельные перенесения аналога нормали 2-го рода Nn-1, который задается полунормализующим квазитензором λI. Внося формы центропроективной связности (3.1) в дифференциальные уравнения (4.2), получим ∇λI=∇JλIωJ,

(1)

причем ковариантный дифференциал ∇λI и ковариантные производные ∇JλI квазитензора λI относительно центропроективной связности Г выражаются по формулам ∇λI =dλI-λJ Ω JI +ΩI,

(2)

∇JλI =λIJ+λK ΓIJK -ГIJ.

(3)

Внешний дифференциал от ковариантного дифференциала (2) имеет вид: D∇λI = Ω JI ∧∇λJ+TIJKωJ∧ωK,

(4)

где L TIJK= RIJK- R IJK λL .

(5)

Как следует из соотношений (3.12,4.2), компоненты объекта TIJK удовлетворяют дифференциальным сравнениям ΔTIJK+( λ M ΓILM − ΓIL )ω [LJK ] − λ L ω IL[ JK ] +ωI[JK]≡0.

(6) 37

Эти сравнения в голономном случае упрощаются ΔTIJK≡0, т.е. объект TIJK становится тензором. Замечание 1. Частный случай объекта (5) уже встречался (4.10) при исследовании полунормализованной центропроективной связности, когда сравнения (6) имеют вид (4.11). Из структурных уравнений (4) видно, что система дифференциальных уравнений ∇λI=0 вполне интегрируема вдоль любой линии ρ⊂Wn, проходящей через точку А∈Wn. Линия ρ задается уравнениями ωI=ρIθ,

(7)

где ρI – функции на линии ρ, θ – параметрическая форма. 0

Если на голономном центропроективном многообразии W n выполняются равенства TIJK≡0, то система уравнений ∇λI=0 вполне интегрируема 0

не только вдоль любой линии ρ, но и вдоль всего многообразия W n . Соответствующее перенесение назовем абсолютным, а TIJK - тензором неабсолютных перенесений аналога нормали 2-го рода Nn-1 голономного много0

образия W n . Теорема 1. Ковариантные производные ∇JλI полунормализующего квазитензора λI относительно центропроективной связности Г образуют тензор, а в полунормализованной связности равны нулю. Действительно, с помощью соотношений (3.3,4.2,4.3) проверяются дифференциальные сравнения Δ∇JλI≡0, а равенства ∇JλI=0 согласно обозначению (3) эквивалентны формуле (4.7). Введем в формулу (4.5) ковариантный дифференциал (2) dBI=ωBI+( ω JI +λIωJ)BJ +∇λIA+ωJEIJ,

(8)

EIJ=BIJ-∇JλIA.

(9)

где В силу теоремы 1 точки EIJ удовлетворяют дифференциальным сравнениям (4.6) ΔEIJ≡ωEIJ+ω IJK BK+ωIBJ+ωJBI, из которых следует инвариантность гиперплоскости B(n)=[EIJ,BK] соприкасающегося пространства P2, являющейся аналогом гиперплоскости Бортолотти. Определение. Будем говорить, что аналог нормали 2-го рода Nn-1, задаваемый квазитензором λI, переносится параллельно в центропроективной связности Г вдоль линии ρ, если вдоль нее ковариантный дифференциал ∇λI квазитензора λI обращается в нуль. 38

Из формулы (8) виден геометрический смысл параллельного перенесения: аналог нормали 2-го рода Nn-1 переносится параллельно тогда и только тогда, когда он смещается в аналоге гиперплоскости Бортолотти B(n). Если центропроективная связность полунормализована, то ∇JλI=0. Тогда согласно формуле (9) EIJ=BIJ, B(n)=N2(n), т.е. любое смещение гиперплоскости Nn-1 есть ее параллельное перенесение в полунормализованной связности. Пусть центропроективная связность не является полунормализованной. В соответствии с формулой (4.5) гиперплоскость Nn-1 всегда смещается внутри своего продолжения N2(n). С другой стороны, из формулы (8) при ∇λI=0 вдоль линии ρ следует, что гиперплоскость Nn-1 должна переноситься в аналоге гиперплоскости Бортолотти B(n). Но B(n)∩ N2(n)= Nn-1, поэтому гиперплоскость Nn-1 не может переноситься параллельно. Теорема 2. Аналог нормали 2-го рода Nn-1, соответствующий точке А центропроективного многообразия Wn, при произвольном смещении вдоль проходящих через точку А линий многообразия Wn переносится параллельно относительно полунормализованной центропроективной связности, но, вообще говоря, не может переноситься параллельно в центропроективной связности, не являющейся полунормализованной. Уточним теорему. Уравнения параллельного перенесения ∇λI|ρ=0 согласно уравнениям (1,7) эквивалентны системе ∇JλIρJ=0.

(10)

Рассмотрим ее как систему n линейных однородных уравнений с n неизвестными ρJ, определяющими линию ρ, вдоль которой осуществляется параллельное перенесение. Обозначим r=rang(∇JλI), тогда 0≤r≤n. Система (10) определяет линию ρ (точнее, направление в касательном пространстве Pn∗ ) с произволом ∞ n-r-1, т.е. существует (n-r)-мерная плоскость Пn-r: A∈Пn-r⊂ Pn∗ , вдоль направлений которой гиперплоскость Nn-1 переносится параллельно. Назовем Пn-r плоскостью параллельности. В общем случае r=n, поэтому существует только тривиальное решение ρJ=0 системы (10), т.е. гиперплоскость Nn-1 нельзя переносить параллельно (Пn-r=П0=A) – параллельное перенесение связанно вырождается. В случае r=0 ⇔ ∇JλI=0 – любой набор ρJ является решением системы (10), т.е. смещение гиперплоскости Nn-1 вдоль произвольной кривой ρ является параллельным перенесением относительно полунормализованной связности (Пn-r=Пn= Pn∗ ) – параллельное перенесение свободно вырожденное. Как следует из уравнений (4), если параллельное перенесение свободно вырожденное (∇λI=0), то оно абсолютное (TIJK=0). В остальных случаях 0
ется, вдоль других нет, причем размерность и положение плоскости параллельности Пn-r зависит от структуры поля гиперплоскостей Nn-1 и характера центропроективной связности Г. Теорема 3. Аналог нормали 2-го рода Nn-1 центропроективного многообразия Wn можно перенести параллельно в центропроективной связности Г вдоль линий, касающихся плоскости параллельности Пn-r ⊂ Pn∗ , где r=rang(∇JλI). Следствие. В общем случае (r=n) параллельное перенесение свободно вырожденное, в особом случае (r=0) – абсолютное. Замечание 2. Вырожденные, абсолютные и относительные параллельные перенесения рассматривались в работах [П1-4,6; Ше3,5,13]. Связанное вырождение параллельного перенесения аналогично вырождению параллельности в поле связанных векторов, когда каждый вектор параллелен (точнее, равен) лишь самому себе. Свободно вырожденное, а следовательно, и абсолютное параллельное перенесение подобно параллельности во множестве свободных векторов, когда каждый вектор можно перенести параллельно вне зависимости от пути. Относительное параллельное перенесение аналогично параллельности во множестве скользящих векторов. §6. Линейная связность центропроективного многообразия как отображение I Объект центропроективной связности Г содержит подобъект ΓJK , задающий линейную связность в подрасслоении линейных реперов L(Wn) расслоения центропроективных реперов C(Wn). Объект Г охарактеризован в §5 с помощью параллельного перенесения аналога нормали 2-го рода Nn-1 вдоль линий центропроективного многообразия Wn. Дадим интерпретацию I с помощью отображений смежных аналогов нормалей 2-го подобъекту ΓJK рода. Согласно теореме 4.1 для полунормализованного центропроективного многообразия Wn линейная связность играет основную роль, так как порождает полунормализованную центропроективную связность. Внесем формы линейной связности Ω JI в уравнения (4.5)

dBI=ωBI+ Ω JI BJ+ωJ B`IJ ,

(1)

B`IJ =BIJ+λIBJ+ ΓIJK BK.

(2)

где Точки B`IJ , определяющие вместе с точками BK продолженный аналог нормали 2-го рода N2(n)=[ B`IJ ,BK], удовлетворяют сравнениям Δ B`IJ ≡ω B`IJ +ωJBI, 40

которые следуют из соотношений (3.3,4.2,4.5,4.6). Преобразуем точки (2) с помощью точек BI EIJ= B`IJ +λIBJ.

(3)

Они удовлетворяют сравнениям ΔEIJ≡ωEIJ. Значит, на точки EIJ натянута плоскость E(n)=[EIJ]: 1

Nn-1⊕E(n)=N2(n), DimE(n)=n2-1, dimE(n)= 2 n(n+1)-1. Внесем точки (3) в уравнения (1) dBI=(ω-λJωJ)BI+ Ω JI BJ+ωJEIJ.

(4)

Определение. Плоскость E(n) назовем порожденным линейной связностью дополнением аналога нормали 2-го рода Nn-1 полунормализованного центропроективного многообразия Wn до продолженного аналога N2(n). Произвольную плоскость ε(n), обладающую тем же свойством Nn-1⊕ε(n)=N2(n), назовем просто дополнением аналога нормали 2-го рода Nn-1. Теорема 1. Задание линейной связности в расслоении линейных реперов L(Wn) над полунормализованным центропроективным многообразием Wn эквивалентно заданию поля дополнений аналогов нормалей 2-го рода Nn-1. Доказательство. Если даны нормализующий 2-го рода квазитензор λI I и объект линейной связности ΓJK , то с их помощью строятся базисные точки дополнения E(n)

EIJ=BIJ+( ΓIJK + δ IK λ J + δ JK λ I )BK. Обратно, возьмем точки εIJ=BIJ+ ν IJK BK. Подействуем на них оператором Δ ΔεIJ≡ωεIJ+(Δ ν IJK + ω IJK + δ IK ω J + δ JK ω I )BK. При выполнении сравнений Δ ν IJK +ω IJK + δ IK ω J + δ JK ω I ≡0,

(5)

на точки εIJ натянута плоскость ε(n). Значит, задание плоскостей ε(n) равносильно заданию поля квазитензора ν IJK . Сопоставляя разложения точек EIJ и εIJ, получим ΓIJK = ν IJK − δ IK λ J − δ JK λ I . Теорема 2. Линейная связность полунормализованного центропроективного многообразия Wn характеризуется внутри продолженного аналога N2(n) проекцией смежного аналога нормали 2-го рода Nn-1+dNn-1 на ис41

ходный аналог Nn-1 из центра E(n) – порожденного линейной связностью дополнения аналога Nn-1. В символической записи ( n) I ΓJK : Nn-1+dNn-1 ⎯E⎯ ⎯→ Nn-1.

Доказательство следует из формулы (4), так как при проектировании из центра E(n)=[EIJ] 1-е слагаемое несущественно, 3-е слагаемое исчезает, а J во 2-е слагаемое входят формы линейной связности Ω JI = ω JI − ΓIK ω K , коJ торые определяются объектом линейной связности ΓIK . Замечание. Дифференциальные сравнения (4.13,5) совпадают, поэтому квазитензоры μ IJK и ν IJK можно отождествить. Следовательно, на нормализованном центропроективном многообразии NWn в качестве дополнения аналога нормали 2-го рода Nn-1 можно взять аналог плоскости Картана C(n)=N1(n)∩N2(n).

42

Глава II. ОСНАЩЕНИЯ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНОГО ПОДМНОГООБРАЗИЯ §7. Подмногообразие центропроективного многообразия Рассмотрим понятие m-мерного подмногообразия Wm в центропроективном многообразии Wn. Разобьем значения индексов на две серии I=(i,a); i,j,k=1, m ; a,b,c= m + 1, n . Подмногообразие Wm представим как m-параметрическое семейство, описанное точкой А центропроективного многообразия Wn. Уравнения центропроективного подмногообразия Wm запишем в виде: ω a = Λai ω i .

(1)

Дифференцируя уравнения (1) внешним образом и разрешая по лемме Картана, найдем Δ Λai − Λbi Λajω bj + ω ai = Λaijω j ,

(2)

причем выполняются условия симметрии

Λa[ ij] =0.

(3)

Дифференциальный оператор Δ действует следующим образом:

Δ Λai =∂ Λai - Λajω ij + Λbi ω ab , где ∂=d|W − символ дифференцирования вдоль подмногообразия Wm. m

Замечание 1. Обычно символ ∂ не вводят, а подразумевают соответствующее действие дифференциала d. Различные символы дифференцирования d и ∂ вдоль многообразия Wn и подмногообразия Wm позволят охарактеризовать прикасающиеся пространства в §8. Новые обозначения для форм ω вдоль подмногообразия Wm вводить не будем, так как это даст лишь несущественные изменения формул (8.1,8.2). Геометрический объект Λai называется фундаментальным объектом 1-го порядка центропроективного подмногообразия Wm, рассматриваемого как семейство точек. 43

Уравнение (1.1) для точки А∈Wm⊂Wn, смещающейся вдоль подмногообразия Wm, принимает вид:

∂A=ωA+ωiBi,

(4)

Bi=Ai+ Λai Aa.

(5)

где Точки Bi удовлетворяют дифференциальным уравнениям

ΔBi=ωBi+ Λai ω aj Bj+(ωi+ Λai ωa)A+ωjBij,

(6)

Bij=Aij+ Λaij Aa+ Λaj Aiа+ Λai (Aaj+ Λbj Aab).

(7)

где Совокупность точек А,Bi определяет касательное центропроективное подпространство Pm∗ =[А,Bi]⊂ Pn∗ к центропроективному подмногообразию Wm в точке А. Произведем частичную канонизацию подвижного репера {А, Аi, Аa} центропроективного пространства Pn∗ , помещая точки Аi в касательное подпространство Pm∗ . Тогда из деривационной формулы (4) центропроективного подмногообразия Wm и разложения (5) следует(2) следует Bi=Ai ⇔ Λai =0. Соотношения (1,2,6,7) упрощаются

ω a =0,

(8)

ω ai = Λaij ω j ,

(9)

ΔАi=ωAi+ωiA+ ω j Bij,

(10)

Bij=Aij+ Λaij Aa.

(11)

Уравнения (8,9) составляют систему уравнений центропроективного подмногообразия Wm, рассматриваемого как семейство касательных центропроективных подпространств Pm∗ . Замыкание системы (8) подтверждает условия (3), а продолжение подсистемы (9) дает Δ Λaij + ω aj ≡0,

(12)

где сравнение теперь производим по модулю базисных форм ω i подмногообразия Wm. Квазитензор Λaij является фундаментальным объектом 2-го порядка центропроективного подмногообразия Wm, рассматриваемого как семейство точек, или фундаментальным объектом 1-го порядка подмногообразия Wm, представляемого как специальное семейство центропроективных подпространств Pm∗ . 44

Замечание 2. В формуле (11) 1-е слагаемое симметрично в голономном случае и несимметрично в неголономном случае, а 2-е слагаемое симметрично всегда. Альтернирование сравнений (12) дает

ω [aij] ≡0,

(13) 0

что справедливо на голономном центропроективном многообразии W n , а ~ на неголономном многообразии Wn , вообще говоря, не выполняется. С целью единообразного описания подмногообразий голономного и неголономного центропроективных многообразий нужно предполагать выполнение сравнений (13), хотя мы не будем пользоваться ими. ~ Замечание 3. Подмногообразие Wm неголономного центропроективно~ го многообразия Wn естественнее трактовать как m-мерное семейство центропроективных m-подпространств, не являющихся касательными к подмногообразию, описанному центрами m-подпространств. Тогда подмного~ образие Wm будет иметь уравнения (1,9), причем объект Λaij утратит симметрию, что позволит избежать ограничений (13). Такое подмногообразие назовем неголономным подмногообразием в отличие от рассматриваемого центропроективного подмногообразия. Точки Bij удовлетворяют дифференциальным сравнениям

ΔBij≡ωBij+ωiAj+ωjAi+θ ijk Ak+θijA, где θ ijk = ω ijk + Λaij ω ak , θij=ωij+ Λaij ωa.

(14)

Совокупность точек Bij, Ак, А определяет касательное подпространство 2-го порядка к подмногообразию Wm − соприкасающееся подпространство P(m)⊂P(n)=P2, причем DimP(m)=m(m+1), dimP(m)= 1 m(m+3). 2

Замечание 4. Голономная и неголономная размерности соприкасающегося подпространства P(m) совпадают лишь при m=1, когда DimP(1)=dimP(1)=2. Это размерность соприкасающейся плоскости кривой. §8. Прикасающиеся пространства центропроективного подмногообразия

Из деривационных формул (1.13) с учетом уравнений (7.8,7.9) центропроективного подмногообразия Wm следует 45

ΔAij≡ωAij+ωiAj+ωjAi+ ω ijk Ak+ ω aij Аа+ωijA, ΔAai≡ωAai+ ω aj Aji+ωaAi+ωiAa+ ω aij Aj+ ω aib Ab+ωaiA, ΔAia≡ωAia+ ω aj Aij+ωiAa+ωaAi+ ω iaj Aj+ ω iab Ab+ωiaA. Значит, инвариантны совокупности точек {Аij, Аi, Aa, A}, {Aai, Aij, Аi, Aa, A}, {Aia, Аij, Аi, Aa, A}, {Aia, Aai, Aij, Аi, Aa, A}, определяющие, вообще говоря, 4 подпространства, которые обозначим X, Y, Y′, Z соответственно. В неголономном случае имеем:

A ∈ Pm*

Pn*

Y

X

Z ⊂ P(n ) ,

P(m)

Y′

Pn∗ ∩P(m)= Pm∗ , Pn∗ +P(m)=X, Y∩Y′=X, Y+Y′=Z,

DimX=n+m2, DimY=DimY′=n(m+1), DimZ=n+m(2n-m). В голономном случае таблица включений упрощается, так как X⊂Y=Y′=Z, причем 1 2

1 2

dimX=n+ m(m+1), dimY=n+ m(2n-m+1). Определение. Подпространства X, Y, Y′, Z соприкасающегося пространства P(n) назовем прикасающимися пространствами подмногообразия Wm центропроективного многообразия Wn в точке А∈ Wm. Выясним геометрическую характеристику прикасающихся пространств Y и Y′, которые являются основными в неголономном случае, т.к. через них выражаются остальные соприкасающиеся пространства X и Z. В голономном случае достаточно охарактеризовать прикасающееся пространство Y. Предварительно найдем 2-й дифференциал точки А∈Wn вдоль многообразия Wn:

d2A=d(ωA+ωIAI)=(d ω I +2ωωI+ ω J ω IJ )AI+ +(dω+ω2+ ω I ωI)A+ ω I ω J AIJ∈P(n)=[ Pn∗ +d Pn∗ ]. Соприкасающееся пространство P(n) является линейной оболочкой множества пространств Pn∗ +d Pn∗ , смежных с касательным пространством Pn∗ вдоль многообразия Wn. Аналогично, для подмногообразия Wm: 46

∂2A=∂(ωA+ωiAi)=(∂ ω i + 2ωωi+ ω jω ij )Ai+ +(∂ω+ω2+ωi ωi)A+ ω i ω j Aij∈P(m)=[ Pm∗ +∂ Pm∗ ]. Соприкасающееся подпространство P(m) есть оболочка подпространств Pm∗ +∂ Pm∗ , смежных с касательным подпространством Pm∗ вдоль подмногообразия Wm. Для смещений 2-го порядка возможны еще два варианта. Во-первых, ∂(dA)=∂(ωA+ωiAi + ω a Aa)= (∂ω+ω2+ωi ωi+ ω a ωa)A+ + ω i ( ω j Bji+ω a Aai)+( ∂ ω i + 2ωωi+ ω jω ij + ω a ω ia )Ai+

(1)

+(∂ ω a + ω a ω+ ω b ω ab )Aa ∈Y=[P ∗n +∂P ∗n ]. Прикасающееся пространство Y является линейной оболочкой пространств Pn∗ +∂ Pn∗ , смежных касательному пространству Pn∗ вдоль подмногообразия Wm. Во-вторых, d(∂A)=d( ωA+ωiAi)= (dω+ω2+ωi ωi)A+(d ω i +2ωωi+ ω jω ij )Ai+ +(ω ω a + ω i ω ai )Aa+ωi( ω j Aij+ ω a Aia)∈Y′=[ Pm∗ +d Pm∗ ].

(2)

Прикасающееся пространство Y′ есть оболочка подпространств Pm∗ +d Pm∗ , смежных к касательному подпространству Pm∗ вдоль многообразия Wn. Замечание. Прикасающиеся пространства подмногообразия гладкого многообразия характеризуются аналогично [Ше9,13]. §9. Связность в расслоении, ассоциированном с подмногообразием

Структурные уравнения (1.2,1.8,1.9) расслоения центропроективных реперов C(Wn) c учетом уравнений (7.8,7.9) подмногообразия Wm и обозначений (7.14) принимают вид: D ω i = ω j ∧ ω ij ,

(1)

D ω ij = ω kj ∧ω ik + ω k ∧ θijk ,

(2)

Dωi= ω ij ∧ωj+ωj∧θij,

(3)

D ω ab = ω ñb ∧ω añ + ω i ∧ θ abi ,

(4)

D ω ia = ω aj ∧ω ij + ω ba ∧ ω ib + ω j ∧ω iaj ,

(5)

Dωa= ω ba ∧ωb+ ω ia ∧ωi+ωi∧ωai,

(6)

где

47

θ abi = ω abi - Λaijω bj .

(7)

Расслоение центропроективных реперов C(Wn) сократилось до главного расслоения G(Wm), базой которого является центропроективное подмногообразие Wm, а типовым слоем служит [n(n+1)-m(n-m)]-членная подгруппа стационарности G⊂С касательного центрированного подпространства Pm∗ в касательном пространстве Pn∗ . Расслоение G(Wm) содержит 4 простых главных подрасслоения над той же базой Wm со следующими структурными уравнениями: (1,2) − расслоение касательных линейных реперов L m2 (Wm), типовой слой − линейная группа L m2 =GL(m)⊂G, действующая неэффективно в (m-1)-мерном проективном пространстве направлений (см., например, [Ч2]) касательного подпространства Pm∗ ; (1,4) − расслоение нормальных линейных реперов L ( n− m)2 (Wm), типовой слой − линейная группа (факторгруппа) L ( n− m)2 =GL(n-m), действующая неэффективно в факторпространстве Pn∗ ⁄ Pm∗ , являющимся (n-m-1)-мерным проективным пространством; (1−3) − расслоение центропроективных реперов Cm(m+1)(Wm), типовой слой − центропроективная (коаффинная) группа Cm(m+1)=GA`(m): GL(m) ⊂GA`(m)⊂G, действующая в касательном центропроективном подпространстве Pm∗ ; (1,2,4,5) − расслоение H(Wm), ассоциированное [Ше9,13] с соответствующим подмногообразием Vm гладкого многообразия Vn, типовой слой − (m2-mn+n2)-членная подгруппа стационарности H (линейная часть подгруппы G) касательного линейного подпространства Tm в касательном пространстве Tn. Групповая связность в главном расслоении G(Wm) со структурными уравнениями (1-6) задается по Лаптеву с помощью форм Ω ij = ω ij - Π ijk ω k , Ωi=ωi-Πijωj, Ω ab = ω ab - Π abi ω i , Ω ia = ω ia - Π iaj ω j , Ωa=ωa-Πaiωi,

(8)

причем компоненты объекта связности П={ Π ijk ,Πij, Π abi , Π iaj , Πai} удовлетворяют сравнениям Δ Π ijk + θ ijk ≡0, ΔΠij+ Π ijk ωk+θij≡0, Δ Π abi + θ abi ≡0, Δ Π iaj - Π ikjω ak + Π ajbω ib + ω iaj ≡0, ΔΠai+ Π aij ωj+ Π bai ωb-Πji ω aj +ωai ≡0. 48

(9)

Объект групповой связности П содержит 4 простых подобъекта, задающих связности в указанных подрасслоениях: объекты касательной и нормальной линейных связностей Π ijk и Π abi , объект центропроективной (коаффинной) связности { Π ijk ,Πij} и подобъект групповой связности { Π ijk , Π abi , Π iaj } для ассоциированного подрасслоения H(Wm). Определение. Групповую связность ассоциированного расслоения G(Wm) назовем G-связностью, а связность подрасслоения H(Wm) – H-связностью. Замечания

1. Объект G-связности П можно получить из объекта центропроективной связности Г, ограничивая уравнения (3.3) на подмногообразие Wm, расписывая их подробно для существенных на Wm компонент Γjki , Γbia , Γaji , Γija , Γij , Γai , адаптируя центропроективную связность Г центропроективному подмногообразию Wm ( Γija = Λaij ) и переобозначая коренную букву с Г на П. 2. Структурные уравнения (1-3) показывают, что подмногообразие Wm центропроективного многообразия Wn является центропроективным многообразием. Из обозначений (7.14) видно, что неголономность многообразия Wn порождает неголономность подмногообразия Wm, а голономность многообразия Wn, видимо, порождает голономность подмногообразия Wm. §10. Обобщение классических оснащений

Распространим классические оснащения Картана [1] и Нордена [2] поверхности Xm проективного пространства Pn на подмногообразие Wm центропроективного многообразия Wn. Определение 1. Оснащением Картана подмногообразия Wm центропроективного многообразия Wn назовем присоединение к каждой его точке (n-m-1)-плоскости Cn-m-1, образующей в прямой сумме с касательным подпространством Pm∗ касательное пространство Pn∗ , т.е. Pm∗ ⊕ Cn-m-1= Pn∗ . Плоскость Cn-m-1 зададим точками Ca=Aa+ λia Ai+λaA. Применим к ним оператор Δ: ΔСa=≡ωCa+(Δ λia + ω ia )Ai+(Δλa+ λia ωi+ωa)A, откуда получим уравнения 49

Δ λia + ω ia = λiaj ωj,

(1)

Δλa+ λia ωi+ωa=λaiωi,

(2)

обеспечивающие инвариантность плоскости Cn-m-1. Продолжая их, найдем Δ λiaj - λib θ ajb + λka θ ikj + ω iaj ≡ 0,

(3)

Δλai-λb θ aib + λ ja θ ji + λ jai ωj+ωai≡0.

(4)

Определение 2. Нормализацией Нордена подмногообразия Wm центропроективного многообразия Wn назовем поле двух плоскостей на подмногообразии Wm: 1) нормали 1-го рода – плоскости Nn-m размерности n-m, пересекающей касательное подпространство Pm∗ лишь в точке A и принадлежащей касательному пространству Pn∗ , т.е. Pm∗ ∩Nn-m=A, Pm∗ +Nn-m = Pn∗ ; 2) нормали 2-го рода − плоскости Nm-1 размерности m-1, принадлежащей касательному подпространству Pm∗ , но не проходящей через точку A, т.е. A∉Nm-1⊂ Pm∗ . Поле нормалей 2-го рода будем называть полунормализацией центропроективного подмногообразия Wm. Подобъект λia оснащающего по Картану квазитензора { λia ,λa} задает нормаль 1-го рода Nn-m=[A,Aa+ λia Ai], натянутую на точку А и плоскость Картана Cn-m-1: Nn-m=A⊕ Cn-m-1. Если функции λia заданы, а функции λa не заданы, то нормаль 1-го рода Nn-m существует, а плоскость Картана Cn-m-1 нет. Плоскость Nm-1 определим точками Ni=Ai+λiA. Применим к ним оператор Δ

ΔNi≡ωNi+(Δλi+ωi)A, откуда Δλi+ωi=λijωj,

(5)

причем для единообразия описания подмногообразий голономного и неголономного центропроективных многообразий в голономном случае предполагается симметрия функций λij: λ[ij]=0. Продолжая уравнения (5), найдем Δλij- λ k θ ijk +θij≡0.

(6)

Определение 3. Пусть Λ – фундаментальный объект некоторого порядка центропроективного подмногообразия Wm, λ – квазитензор, задающий оснащающий элемент, λ`- объект из пфаффовых производных осна50

щающего объекта λ, т.е. {λ,λ`}- продолженный оснащающий объект, Г – объект связности, Г1⊂Г – подобъект, задающий подсвязность. Будем говорить, что связность сводится к подсвязности на подмногообразии с помощью продолженного оснащения, если объект связности Г охватывается подобъектом Г1, фундаментальным объектом Λ, оснащающим квазитензором λ и его пфаффовыми производными λ`, т.е. Г=Г(Г1, Λ,λ,λ`). Правая часть этой формулы может иметь 10 специальных видов: Г(Г1, Λ, λ) – связность сводится к подсвязности на подмногообразии с помощью оснащения, Г(Г1,λ,λ`) – связность сводится к подсвязности с помощью продолженного оснащения (Т.4.1, Т.1-Т.3, С.1, Т.23.2-Т.23.5), Г(Λ,λ,λ`) – связность индуцируется подмногообразием и его продолженным оснащением (С.21.1, Т.23.6), Г(Г1, Λ) – связность сводится к подсвязности на подмногообразии, – связность сводится к подсвязности с помощью оснащения Г(Г1,λ) (Т.4.6), Г(λ,λ`) – связность индуцируется продолженным оснащением (С.4.1), Г(Λ,λ) – связность индуцируется подмногообразием и его оснащением (Т.20.1), Г(Г1) – связность сводится к подсвязности, Г(Λ) – внутренняя связность подмногообразия, Г(λ) – связность индуцируется оснащением (Т.4.4, Т.4.5). Изобразим все случаи на схеме

Г(Г1 , Л, λ, λ′) Г(Г1 , λ, λ′)

Г(Г1 , Л, λ ) Г(Г1 , λ )

Г(Г1 , Л) Г(Г1 )

Г( Л, λ, λ′) Г(λ, λ′)

Г( Л, λ ) Г( Л )

Г (λ )

Здесь стрелка показывает переход от общего к частному случаю. Замечания

1. С одной стороны, некоторые случаи, изображенные на схеме, не встречались в конкретных исследованиях. С другой стороны, нормальная проективная связность Картана [Ры1], для которой Г=Г(Г1, Γ1` ), где Γ1` – 51

пфаффовы производные подобъекта связности Г1, не укладывается в схему. 2. Если в охвате присутствуют пфаффовы производные λ` оснащающего объекта λ, то обычно говорят о сведении, либо индуцировании связности с помощью оснащения, а не продолженного оснащения. 3. Если в охвате присутствует фундаментальный объект Λ рассматриваемого подмногообразия, то для краткости можно не упоминать о подмногообразии при сведении, либо индуцировании связности. 4. Если в охвате отсутствует фундаментальный объект Λ, то соответствующие ситуации возникают на непогруженном многообразии и на погруженном пространстве фигур. 5. При сведении связности к подсвязности можно говорить [П3] о пучке связностей. Теорема 1. Продолженная нормализация 1-го рода центропроективного подмногообразия Wm сводит Н-связность к касательной и нормальной линейным связностям. Доказательство дается формулой Π iaj = λiaj + λib Π baj − λka Π ik j ,

(7)

проверяемой с помощью соотношений (9.9,1,3). Теорема 2. Продолженная нормализация 2-го рода центропроективного подмногообразия Wm сводит центропроективную связность к касательной линейной связности. Доказательство следует из формулы Π ij = λ ij + λ k Π ijk ,

(8)

проверяемой с помощью соотношений (9.9,5,6). Теорема 3. Продолженное оснащение Картана центропроективного подмногообразия Wm сводит G-связность к коаффинной и нормальной линейной связностям. Доказательство вытекает из формулы (7) и следующей Π ai = λ ai + λ b Π aib − λja Π ji , (9) проверяемой с помощью соотношений (9.9,1,2,4,7). Определение 4. Композиционным оснащением [Н3, Ше4] центропроективного подмногообразия Wm назовем его оснащение Картана и полунормализацию. Следствие 1 (Т.2,Т.3). Продолженное композиционное оснащение центропроективного подмногообразия Wm сводит G-связность к коаффинной и нормальной линейной связностям. 52

Определение 5. G-связность, которая порождена по формулам (7-9) двумя линейными связностями с помощью продолженного композиционного оснащения, назовем композиционной G-связностью, или CG-связностью. Определение 6. Если на подмногообразии Wm подсвязность Г1 индуцирована оснащением: Г1=Г1(Λ,λ), а оснащающий объект λ охватывается фундаментальным объектом Λ и объектом подсвязности Г1: λ=λ(Λ,Г1), то будем говорить, что на подмногообразии подсвязность эквивалентна оснащению. Вывод. Нормализация подмногообразия Wm центропроективного многообразия Wn сводит Н-связность и центропроективную связность к касательной и нормальной линейным связностям, но всю G-связность свести с ее помощью к линейным связностям не удается. Это позволяет сделать лишь более сильное композиционное оснащение. Нормализация Нордена поверхности Xm проективного пространства Pn дает возможность не только свести соответствующую связность к линейным связностям, но и индуцирует последние (Т.20.1, С.23.1). §11. Вырожденные параллельные перенесения

Внося в уравнения (10.1,10.2,10.5) формы G-связности (9.8), получим ∇λia = ∇ j λiaω j , ∇λ a = ∇ i λ aω i , ∇λ i = ∇ j λ i ω j ,

(1)

где ковариантные дифференциалы компонент композиционно оснащающего квазитензора λ ={ λia , λ a , λ i } относительно G-связности имеют вид: ∇λia = ∂λia − λib Ω ba + λja Ω ij + Ω ia ,

(2)

∇λ a = ∂λ a − λ b Ω ab + λia Ω i + Ω a ,

(3)

∇λ i = ∂λ i − λ j Ω ij + Ω i ,

(4)

а ковариантные производные выражаются по формулам ∇ j λia = λiaj + λib Π baj − λka Π ikj − Π iaj ,

(5)

∇ i λ a = λ ai + λ b Π aib − λja Π ji − Π ai ,

(6)

∇ j λ i = λ ij + λ k Π ijk − Π ij .

(7)

С помощью соотношений (9.9,10.1-10.6) найдем дифференциальные сравнения ковариантных производных 53

Δ∇ j λia ≡ 0, Δ∇ i λ a + ∇ i λjaω j ≡ 0, Δ∇ j λ i ≡ 0.

(8)

Из сравнений (8) следует Теорема 1. Ковариантные производные (5-7) компонент композиционно оснащающего квазитензора λ образуют тензор, содержащий 3 простых подтензора ∇ j λia , ∇ jλ i , { ∇ j λia , ∇ i λ a }. Попытаемся выяснить геометрический смысл обращения в нуль ковариантных дифференциалов (2-4). Согласно уравнениям (1) это эквивалентно обращению в нуль ковариантных производных (5-7). Возможность последнего обеспечивается теоремой 1. Дифференциалы точек Ca, задающих плоскость Картана Cn-m-1, имеют вид:

∂Сa=ωCa+( ω ba + λia ω ib )Сb+(Δ λia + ω ia - M iaj ω j )Ai+ +(Δλa+ λia ωi+ωa-Maiωi)A+ωiAai+ λiaω j Aij,

(9)

где

M iaj = λib λka Λbkj − δ ijλ a , Mai= λ a λ jb Λbji .

(10)

Из равенств (9) видно, что с точностью до дифференциалов 1-го порядка плоскость Картана Cn-m-1 смещается внутри прикасающегося пространства Y. Пользуясь оператором Δ и дифференциальными уравнениями (10.1,10.2), преобразуем равенства (9)

ΔСa=ωCa+ λia ω ib Сb+( λiaj - M iaj )ω j Ai+ +(λai-Mai)ωiA+ωiAai+ λia ω j Aij,

(11)

Дифференциальные сравнения функций (10) запишем в виде:

Δ M iaj − λib ( − Λbkjω ak − λka ω bkj ) + λka ( Λbkjω ib − δ ijω k ) − δ ijω a ≡ 0 , ΔMai- λ b ( − Λbji ω aj − λ ja ω bji ) + λ ja ( Λbijω b ) + M aij ω j + λ a ω i ≡ 0. Сопоставляя их со сравнениями (10.3,10.4) и учитывая обозначения (7.14,9.7), видим, что в общем случае имеют место неравенства

λiaj ≠ M iaj , λai≠Mai,

(12)

т.е. выражения в круглых скобках равенства (11) не обращаются в нуль. Преобразуем равенства (11) с помощью формул ковариантных производных (5,6) и уравнений (1)

ΔСa=ωCa+ λia ω ib Сb+∇ λia Ai+∇λaA+( Π iaj − λib Π ajb + λka Π ikj − M iaj )ωjAi+ +( Π ai − λ b Π aib + λ ja Π ji − M ai )ωiA+ωiAai+ λia ω j Aij.

54

(13)

В силу формул (10.7,10.9) и неравенств (12) можно утверждать, что выражения в круглых скобках не обращаются в нуль. Если выполняются равенства

∇ λia =0, ∇λa=0,

(14)

эквивалентные в силу уравнений (1) равенствам

∇j λia =0, ∇jλa=0,

(15)

которые дают формулы (10.7,10.9), то равенства (13) принимают вид (11). При описании параллельного перенесения плоскости Картана Cn-m-1 в G-связности вдоль линии ρ центропроективного подмногообразия Wm равенства (14) нужно рассматривать вдоль ρ, тогда равенства (15) и формулы (10.7,10.9) лишь достаточны для их выполнения. При этом из равенств (13) видно, что дифференциалы точек Ca будут разлагаться по всем базисным точкам прикасающегося пространства Y, т.е. при параллельном перенесении плоскости Картана Cn-m-1 не возникнет ограничений на ее смещения. Теорема 2. Параллельные перенесения плоскости Картана Cn-m-1 относительно G-связности вырождены: плоскость Cn-m-1, отвечающая точке А центропроективного подмногообразия Wm, при произвольном смещении в прикасающемся пространстве Y переносится параллельно в G-связности вдоль соответствующей кривой ρ (A∈ρ⊂Wm), если последняя существует. В случае композиционной G-связности это параллельное перенесение свободно вырожденное, т.е. его можно осуществлять вдоль любой кривой ρ. Дифференциалы точек Ni, определяющих нормаль 2-го рода Nm-1, имеют вид:

∂ Ni=ωNi+( ω ij + λ i ω j − λ ja ω ai )Nj+ ω ai Ca+(Δλi+ωi-Mijωj)A+ωjAij,

(16)

Mij= Λaij ( λ a − λka λ k ) +λiλj.

(17)

где Из равенств (16) видно, что с точностью до дифференциалов 1-го порядка нормаль 2-го рода Nm-1 смещается внутри прикасающегося пространства X. Пользуясь оператором Δ и дифференциальными уравнениями (10.5), преобразуем равенства (16)

ΔNi=ωNi+ ( λ i ω j − λ ja ω ai )Nj+ ω ai Ca+(λij -Mij)ωjA+ωjAij.

(18)

Дифференциальные сравнения функций (17) запишем в виде:

ΔMij − λ k ( Λaijω ak + λka ω aij − δ ik ω j − δ kj ω i ) + Λaijω a + λ a ω aij ≡ 0 .

55

Сопоставляя их со сравнениями (10.6) и учитывая обозначения (7.14), видим, что в общем случае имеют место неравенства

λij ≠Mij,

(19)

т.е. выражения в последних круглых скобках равенств (18) не обращаются в нуль. Преобразуем равенства (18) с помощью формул ковариантных производных (7) и уравнений (1)

ΔNi=ωNi+ ( λ i ω j − λ ja ω ai )Nj+ ω ai Ca+∇λiA+(Пij- λ k Π ijk -Mij)ωj A+ωjAij, (20) В силу формулы (10.8) и неравенства (19) можно утверждать, что выражения в последних круглых скобках не обращаются в нуль. Если выполняются равенства

∇λi=0,

(21)

эквивалентные в силу уравнений (1) равенствам

∇jλi=0,

(22)

которые дают формулу (10.8), то равенства (20) принимают вид (18). При рассмотрении параллельного перенесения нормали 2-го рода Nm-1 в центропроективной связности вдоль линии ρ центропроективного подмногообразия Wm равенства (21) нужно рассматривать вдоль ρ, тогда равенства (22) и формулы (10.8) лишь достаточны для их выполнения. При этом из равенств (20) видно, что дифференциалы точек Ni будут разлагаться по всем базисным точкам прикасающегося пространства X, т.е. при параллельном перенесении нормали 2-го рода не возникнет ограничений на ее смещения. Теорема 3. Параллельные перенесения нормали 2-го рода Nm-1 относительно центропроективной связности вырождены: нормаль Nm-1, отвечающая точке А центропроективного подмногообразия Wm, при произвольном смещении в прикасающемся пространстве X переносится параллельно в центропроективной связности вдоль соответствующей кривой ρ (A∈ρ⊂Wm), если последняя существует. В случае полунормализованной центропроективной связности это параллельное перенесение свободно вырожденное. §12. Интерпретации касательной и нормальной линейных связностей

Нормаль 2-го рода Nm-1 натянута на точки Ni, дифференциальные уравнения которых имеют вид:

ΔNi-ωNi=Nijωj, 56

(1)

где Nij=Bij+λijA+λiAJ. Точки Nij удовлетворяют сравнениям

ΔNij≡ωNij+ωjNi+ θ ijk Nk и определяют вместе с точками Ni продолженную нормаль 2-го рода N2(m)=[Nij,Ni] подмногообразия Wm: Nm-1⊂N2(m), A∉N2(m)⊂X, DimN2(m)=m2+m-1, dimN2(m)= 21 m(m+3)-1. Внесем в уравнения (1) формы касательной линейной связности Ω ij :

∇Ni-ωNi=ωj∇jNi,

(2)

где

∇Ni=∂Ni-Nj Ω ij , ∇jNi=Nij+ Π ijk Nk. Определение 1. Формы ∇Ni и точки ∇jNi назовем ковариантными дифференциалами и ковариантными производными точек Ni относительно касательной линейной связности. Замечание 1. Введенные понятия ковариантного дифференциала ∇Ni и ковариантных производных ∇jNi совокупности базисных точек Ni нормали 2-го рода Nm-1 не совсем соответствуют общей концепции ковариантных дифференциала и производных геометрического объекта [Ше5,13], так как в дифференциальных уравнениях (1) и (2) присутствуют одинаковые слагаемые ωNi. Но в деривационных формулах проективного подпространства Nm-1 эти слагаемые не играют существенной роли при дифференцировании точек Ni. В аналогичной ситуации К.В.Полякова [1] говорит о проективноковариантном дифференциале ∇Ni-ωNi и проективно-ковариантных производных ∇jNi. Точки ∇jNi удовлетворяют сравнениям Δ∇jNi≡ω∇jNi+ωjNi. Возьмем точки Eij=∇jNi+λjNi, тогда ΔEij≡ωEij. Они задают плоскость E(m)=[Eij] – порожденное касательной линейной связностью дополнение нормали 2-го рода Nm-1 до продолженной нормали N2(m):

Nm-1⊕E(m)=N2(m), DimE (m)=m2 -1, dimE(m)= 21 m(m+1)-1. Уравнения (2) запишем в виде:

∇Ni+(λjωj-ω)Ni=ωjEij. Теорема 1. Касательная линейная связность полунормализованного центропроективного подмногообразия Wm эквивалентна заданию поля до57

полнений E(m) нормалей 2-го рода Nm-1 и характеризуется внутри продолженной нормали N2(m) c помощью центральной проекции ( m) Π ijk : N m−1 + ∂N m−1 ⎯E⎯ ⎯→ N m−1 .

Плоскость Картана Cn-m-1 натянута на точки Са, дифференциальные уравнения которых имеют вид:

ΔСа-ωСа=ωiСаi,

(3)

где Саi=Aai+ λ jai Aj+ λ ja Bij+λaiA+λaAi. Эти точки удовлетворяют сравнениям

ΔСаi≡ωСаi+ωiСа+ θ aib Cb, т.е. определяется продолженная плоскость Картана C=[ Саi, Са]: Cn-m-1⊂C⊂Y, DimC=dimC=(m+1)(n-m)-1. Внесем формы нормальной линейной связности Ω ab в уравнения (3):

∇Са-ωСа=ωi∇iСа,

(4)

где

∇Са=∂Са-Сb Ω ab , ∇iСа=Саi+ Π aib Сb. Определение 2. Формы ∇Са и точки ∇iСа назовем ковариантными дифференциалами и ковариантными производными точек Са в нормальной линейной связности. Точки ∇iСа удовлетворяют сравнениям Δ∇iСа≡ω∇iСа+ωiСа. Возьмем точки Kai=∇iСа+λiСа, тогда ΔKai ≡ωKai. Возникает порожденное нормальной связностью дополнение плоскости Картана Cn-m-1 до ее продолжения С – плоскость К=[Kai]:

Cn-m-1⊕K=C, DimK=dimK=m(n-m)-1. Уравнения (4) запишем в виде:

∇Са+(λiωi-ω)Са=ωiKai. Теорема 2. Нормальная линейная связность композиционно оснащенного центропроективного подмногообразия Wm равносильна заданию поля дополнений К плоскостей Картана Cn-m-1 и интерпретируется внутри продолженной плоскости Картана С центральной проекцией K Π abi : C n− m−1 + ∂C n− m−1 ⎯⎯ → C n− m−1 .

58

Замечание 2. Плоскости E(m) и K, характеризующие касательную и нормальную линейные связности, сами определяются с помощью объектов Π ijk и Π abi соответственно. Значит, для окончательной интерпретации ли-

нейных связностей нужно охватить объекты Π ijk и Π abi внутренним образом или с помощью других оснащений. §13. Новые оснащения центропроективного подмногообразия

В рамках трактовки А.К.Рыбникова [1] понятия связности, ассоциированной с полями плоскостей, введем ряд оснащений. Рассмотрим точки Fij=Bij+ μ ijk Ak+μijA. Применим оператор Δ:

ΔFij≡ωFij+(Δ μ ijk + δ ik ω j + δ kj ω i + θ ijk )Ak+(Δμij + μ ijk ωk+θij)A. Если выполняются сравнения

Δ μ ijk + δ ik ω j + δ kj ω i + θ ijk ≡0,

(1)

Δμij + μ ijk ωk+θij≡0,

(2)

то задано дополнение касательного подпространства Pm до соприкасающегося подпространства P(m) – плоскость F=[Fij]: Pm⊕F=P(m), DimF=m2-1, dimF= 21 m(m+1)-1. Поле плоскостей F на центропроективной подмногообразии Wm назовем F-оснащением. Теорема 1. F-оснащение полунормализованного подмногообразия Wm центропроективного многообразия Wn эквивалентно заданию центропроективной связности { Π ijk , Π ij }. Доказательство следует из формул

Π ijk = μ ijk − δ ik λ j − δ kj λ i , Π ij = μ ij − λ i λ j ,

(3)

проверяемых с помощью соотношений (9.9,10.5,1,2). F-оснащение подмногообразия задается полем объекта { μ ijk , μij}, содержащим подобъект μ ijk , который определяет дополнение нормали 2-го рода Nm-1 до соприкасающегося подпространства P(m) – плоскость F=[Fij,A]: Nm-1⊕ F =P(m), Dim F =m2, dim F = 21 m(m+1).

59

Следствие (Т.1). F-оснащение полунормализованного центропроективного подмногообразия Wm равносильно заданию касательной линейной связности Π ijk . Замечание. Это следствие не противоречит теореме 12.1, так как F =А⊕E(m), E(m)= F ∩N2(m). Возьмем точки Lai=Aai+ μ aib Ab и применим оператор Δ:

ΔLai≡ωLai+ ω aj Bji+( δ ijω a + ω aij + μ aib ω bj )Aj+ +(Δ μ aib + δ ab ω i + θ aib )Ab+( μ aib ωb+ωai)A. Если справедливы сравнения

Δ μ aib + δ ab ω i + θ aib ≡0,

(4)

то определяется плоскость L=[Lai,Bij,Ai,A]: P(m)⊂L⊂Y, DimL=m(n+1), dimL= 21 m(2n-m+3). Теорема 2. L-оснащение полунормализованного подмногообразия Wm эквивалентно заданию нормальной линейной связности Π abi . Доказательство вытекает из формулы

Π abi = μ abi − δ ab λ i ,

(5)

проверяемой с помощью соотношений (9.9,10.5,4). Теорема 3. Плоскости E(m) и F совпадают лишь тогда, когда центропроективная связность полунормализованного подмногообразия Wm индуцирована F-оснащением и сведена к касательной линейной связности с помощью продолжения нормализации 2-го рода. Доказательство. Совпадение плоскостей E(m)=F возможно лишь в случае выполнения равенств Eij=Fij, из которых следует

μ ijk = Π ijk + δ ik λ j + δ kj λ i , μ ij = λ ij + λ i λ j + Π ijk λ k . Это формулы (3) при условиях (10.8). Теорема 4. Плоскость К лежит в плоскости L тогда и только тогда, когда нормальная линейная связность индуцирована L-оснащением полунормализованного подмногообразия Wm. Доказательство. Разложения точек Kai преобразуем к виду: Kai=Lai+ λ jai Aj+ λ ja Bji+λaiA+λaAi+( Π aib + δ ab λ i − μ aib )Ab+ +( Π aib + δ ab λ i )( λ jb Aj+λbA). Точки Kai разлагаются по базисным точкам пространства L лишь при условиях (5). Тогда K⊂L. 60

Глава III. ОСНАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА §14. Структурные уравнения проективной группы Рассмотрим n-мерное проективное пространство Pn , которое можно представлять как факторпространство L n +1 /~, где L n +1 - линейное пространство размерности n+1, а отношение эквивалентности ~ относит в один класс ненулевые коллинеарные векторы, т.е. A ~ B ⇔ A = λ B ( A, B ∈ L n +1 , λ ≠ 0) .

Значит, точкой А проективного пространства Pn является класс эквивалентности {A} , порожденный вектором A . Часто говорят о геометрической точке А и аналитической точке A , представляющей геометрическую точку А. Мы не будем пользоваться этой терминологией и писать черточку над аналитическими точками, так как в формулах используются аналитические точки, а в рассуждениях – соответствующие геометрические точки. Не будем использовать и так называемую единичную точку. Отнесем проективное пространство Pn к подвижному реперу R = {A I′ } , причем индексы принимают n+1 значений: I′, J ′, K ′ = 0, n . Деривационные формулы (см., например, [A,C.22;Ла 2,с.354;Лу 1,с.18;Ст 2,с.65;Ч 2,с.12]) вершин репера R имеют вид: dA I′ = ωJI′′ A J′ ,

(1)

где d – символ обычного дифференцирования в пространстве Pn , ωJI′′ - линейные дифференциальные формы. Продифференцируем уравнения (1) внешним образом D(dA I′ ) = DωJI′′ A J′ + dA J′ ∧ ωJI′′ ,

где D – символ внешнего дифференцирования. В проективном пространстве Pn дифференциалы dA I′ полные, т.е. D(dA I′ ) = 0 , поэтому с использованием уравнений (1) имеем 61

′ (DωJI′′ + ωJK′ ′ ∧ ωK I′ ) A J′ = 0 ,

откуда в силу линейной независимости базисных точек A J′ и антикоммутативности внешнего умножения получаются структурные уравнения Картана ′ J′ DωJI′′ = ωK I′ ∧ ω K′ .

(2)

Это структурные уравнения линейной группы GL(n + 1) , действующей эффективно в линейном пространстве L n +1 и неэффективно в проективном пространстве Pn . Из линейной группы GL(n + 1) выделяют эффективно действующую в пространстве Pn специальную линейную группу SGL(n+1) с помощью условия (см., например, [A,c.22]) ωII′′ = 0 .

(3)

Размерности линейной и специальной линейной групп равны числу независимых форм, входящих в структурные уравнения (2): dim GL(n + 1) = (n + 1) 2 , dim SGL(n + 1) = n (n + 2) .

Структурные уравнения (2,3) специальной линейной группы SGL(n+1) называют (см., например, [A,c.22;Ст 2,с.66]) уравнениями структуры проективного пространства Pn . Замечание. Равенство (3) по внешней аналогии с условием эквиаффинности называют условием эквипроективности (см., например, [Ла2,с.355; Ст 2,с.65]). Лучше называть его условием проективности, так как оно выделяет специальную линейную группу SGL(n+1), изоморфную проективной группе GP(n), действующей эффективно в пространстве Pn . Отметим. Что экви-проективность Трейси Томас [Th] и эквипроективность Нордена [2,с.169] имеют другие значения. Покажем, что аналитический аппарат (1-3) неудобен для выделения подгрупп. Во-первых, проективное пространство Pn является обобщением аффинного пространства A n , но уравнения структуры аффинного пространства, иначе говоря, структурные уравнения действующей в аффинном пространстве A n аффинной группы GA(n)

D ω I = ω J ∧ ωJI , D ωIJ = ωIK ∧ ωKJ

(I, J, K, L = 1, n ) ,

(4)

непосредственно не получаются из структурных уравнений (2,3) специальной линейной группы SGL(n+1), действующей в пространстве Pn . Отметим, что размерность аффинной группы dim GA(n)=n(n+1). Во-вторых, рассмотрим подпространство Pm проективного пространства Pn . Произведем разбиение значений индексов 62

I′ = (i′, a ); i′, j′, k ′ = 0, m; a = m + 1, n . Поместим вершины A i′ репера R = {A i′ , A a } в подпространство Pm . Запишем для них деривационные формулы (1) dA i′ = ωij′′ A j′ + ωia′ A a ,

(5)

откуда вытекают уравнения стационарности подпространства Pm ωia′ = 0 .

(6)

δA i′ = π ij′′ A j′ ,

(7)

Формулы (5) упрощаются

где δ – дифференцирование при фиксации подпространства Pm , π = ω ⏐ (6) . Напишем структурные уравнения (2) для форм ωij′′ Dωij′′ = ωik′′ ∧ ωkj′′ + ωia′ ∧ ωaj′ . Используя уравнения (6), получим

Dπ ij′′ = π ik′′ ∧ π kj′′ .

(8)

Из условия (3) имеем ωii′′ + ωaa = 0 , откуда π ii′′ = − π aa ≠ 0 .

(9)

Таким образом, деривационные формулы (7) и структурные уравнения (8) для подпространства Pm аналогичны формулам (1) и уравнениям (2) для пространства Pn , но условия (9) не аналогичны равенствам (3). Результат сформулируем в двух равносильных утверждениях. Теорема 1. При ограничении аналитического аппарата (1-3) проективного пространства Pn на подпространство Pm получается другой аналитический аппарат (7-9). Теорема 2. Если в проективном пространстве Pn действует специальная линейная группа SGL(n+1), то в подпространстве Pm действует линейная группа GL(m+1). Построим аналитический аппарат, лишенный указанных недостатков. Воспользуемся деривационными формулами (1) и структурными уравнениями (2) в предположении, что условие проективности (3) не выполняется. Введем новые формы [Ла 2,с.354;Лу 1,с.10,18;Ст 2,с.66;Ч2, с.12] θ IJ′′ = ωIJ′′ − δ IJ′′ ω00 .

(10)

Выделим значение 0 индекса J ′ = {0, J} . Формы (10) запишем подробнее 63

θ I = ω0I , θ IJ = ωIJ − δ IJ ω00 , θ I = ω0I (θ 00 = 0) ,

(11)

где опущен нулик у форм θ 0I ,θ 0I . Эти формы независимы, их число равно n(n+2), поэтому они являются базисными формами проективной группы GP(n), действующей эффективно в проективном пространстве Pn . Выведем структурные уравнения для базисных форм (11) проективной группы GP(n). Дифференцируя их внешним образом с использованием структурных уравнений (2), получим

Dθ I = ω ∧ θ I + θ J ∧ ωIJ , Dθ I = ωJI ∧ θ J + θ I ∧ ω , Dθ IJ = θ J ∧ θ I + ωKJ ∧ ωIK − δ IJ θ K ∧ θ K . где ω = ω00 . Подставляя выражения форм ωIJ из обозначений (11), найдем Dθ I = θ J ∧ θ IJ ,

(12)

Dθ IJ = θ J ∧ θ I + θ KJ ∧ θ IK − δ IJ θ K ∧ θ K ,

(13)

Dθ I = θ JI ∧ θ J .

(14)

Это структурные уравнения проективной группы GP(n). Они используются реже [Коб,с.173;Лу 1,с.10,18;Ст 2,с.66;Ч 2,с.12;Саr,с.121], чем структурные уравнения (2,3) специальной линейной группы SGL(n+1), но более удобны. Запишем деривационные формулы (1) подробнее dA = ωA + ω0I A I , dA I = ω0I A + ωJI A J , где A = A 0 . Внесем в них базисные формы (11) проективной группы GP(n) dA = ωA + θ I A I , dA I = ωA I + θ JI A J + θ I A .

(15)

Это деривационные формулы подвижного репера R = {A, A I } проективного пространства Pn . Отметим, что в формулы (15) наряду с формами (11) входит форма ω , но слагаемые с ней не играют существенной роли в проективном пространстве Pn . Развивая понятие рассеченного пространства [Н 3], для специальных проективных пространств введем названия и обозначения, часть которых будем использовать и для аффинных пространств. Определение. Проективное пространство Pn назовем: 1) центропроективным Pn∗ , если в нем фиксирована точка P0 ; 2) m-проективным Pnm , если в нем фиксировано m-мерное подпространство Pm ( Pn0 = Pn∗ ); 3) коцентропроективным 64

∗

Pn = Pnn −1 , если в нем фиксирована гиперплоскость

Pn −1 ; 4) парапроективным ∗ Pn∗ , если в нем фиксирована пара ( P0 , Pn −1 ), где P0 ∉ Pn −1 ; 5) разрезанным, если фиксированная фигура удалена: Pn∅ = Pn∗ \ P0 , ∅ Pn = ∗ Pn \ Pn −1 , ∅ Pn∅ = ∗ Pn∗ \ (P0 ∪ Pn−1 ) ; 6) полуразрезанным парапроективным, если удалена лишь одна фигура фиксированной пары: ∗ ∅ ∗ ∗ Pn = Pn \ P0 , ∅ Pn∗ = ∗ Pn∗ \ Pn −1 . Покажем достоинства аналитического аппарата (12-15). Рассмотрим коцентропроективное пространство ∗ Pn . Расположим на гиперплоскости Pn −1 вершины A I подвижного репера R, тогда из второй формулы (15) найдем уравнения стационарности гиперплоскости Pn −1 θI = 0 .

(16)

Из структурных уравнений (14) видно, что эта система дифференциальных уравнений вполне интегрируема. Учитывая уравнения (16) в структурных уравнениях (12,13), получим уравнения (4), в которых ω = θ ⏐ (16) . Теорема 3. Структурные уравнения (12-14) проективной группы GP(n) обобщают структурные уравнения (4) аффинной группы GA(n). Теорема 4. Коцентропроективное пространство ∗ Pn является расширенным аффинным пространством, в котором Pn −1 играет роль несобственной гиперплоскости. Разрезанное коцентропроективное пространство ∅ Pn есть аффинное пространство A n , т.е. A n = ∅ Pn . Рассмотрим центропроективное пространство Pn∗ . Поместим в точку P0 вершину А подвижного репера R, тогда из первой формулы (15) найдем уравнения стационарности точки P0 θI = 0 .

(17)

Из структурных уравнений (12) видно, что эта система дифференциальных уравнений вполне интегрируема. Учитывая уравнения (17) в структурных уравнениях (13,14), получим D θJI = θJK ∧ θKI , D θI = θIJ ∧ θJ ,

(18)

где θ = θ ⏐ (17 ) . Это структурные уравнения центропроективной или коаффинной группы GA ′(n ) с размерностью dim GA ′(n ) =n(n+1). Теорема 5. Структурные уравнения (12-14) проективной группы GP(n) обобщают структурные уравнения (18) коаффинной группы GA ′(n ) . Теорема 6. Центропроективное пространство Pn∗ является расширенным коаффинным пространством, в котором P0 играет роль несобст-

65

венной точки. Разрезанное центропроективное пространство Pn∅ есть коаффинное пространство A ′n , т.е. A ′n = Pn∅ .

Рассмотрим парапроективное пространство ∗ Pn∗ . Совместив вершину А подвижного репера R с точкой P0 и поместив вершины A I на гиперплоскость Pn −1 , получим уравнения стационарности (16,17) пары ( P0 , Pn −1 ). Учитывая эти уравнения в структурных уравнениях (13), найдем D θJI = θJK ∧ θKI ,

(19)

где θ = θ ⏐ (16,17 ) . Это структурные уравнения линейной группы GL(n) с размерностью dim GL(n)= n 2 . Теорема 7. Структурные уравнения (12-14) проективной группы GP(n) обобщают структурные уравнения (19) линейной группы GL(n). Теорема 8. Парапроективное пространство ∗ Pn∗ является расширением разрезанного центроаффинного пространства A ∅ n , для которого P0 и Pn −1 играют роли несобственных точки и гиперплоскости. Разрезанное парапроективное пространство

∅

Pn∅ есть разрезанное центроаффинное

∅ ∅ ∅ пространство A ∅ n , т.е. A n = Pn . Полуразрезанное парапроективное

пространство

∅

Pn∗ совпадает с центроаффинным пространством A ∗n ,

т.е. A ∗n = ∅ Pn∗ . Отметим, что линейная группа GL(n) действует как в центроаффинном пространстве A ∗n , так и в линейном пространстве L n векторов пространст-

ва A ∗n . Подгруппы проективной группы GP(n) связаны отношениями включения GA(n ) GL(n )

GP(n ) . GA′(n )

Рассмотрим m-проективное n-пространство Pnm . Произведем разбиение значений индексов I = (i, a ); i, j, k = 1, m; a = m + 1, n . Поместим вершины А, A i репера R в подпространство Pm . Запишем для них деривационные формулы (15) dA = ωA + θi A i + θ a A a , dA i = ωA i + θij A j + θia A a + θi A , 66

(20)

откуда вытекают уравнения стационарности подпространства Pm

θ a = 0, θia = 0 .

(21)

δA = πA + ν i A i , δA i = πA i + ν ij A j + ν i A ,

(22)

Формулы (20) упрощаются

где ν = θ ⏐ ( 21) . Запишем структурные уравнения (12-14) для форм θi , θ ij , θ i Dθi = θ j ∧ θij + θ a ∧ θia , Dθi = θij ∧ θ j + θia ∧ θ a , Dθij = θ j ∧ θi + θ kj ∧ θik + θ aj ∧ θia − δ ij (θ k ∧ θ k + θ a ∧ θ a ) . Используя условия (21), получим Dν i = ν j ∧ ν ij , Dν ij = ν j ∧ ν i + ν kj ∧ ν ik − δ ijν k ∧ ν k , Dν i = ν ij ∧ ν j .

(23)

Это структурные уравнения проективной группы GP(m)⊂GP(n) с размерностью dimGP(m)=m(m+2), действующей в подпространстве Pm . Таким образом, деривационные формулы (22) и структурные уравнения (23) для подпространства Pm аналогичны формулам (15) и уравнениям (12-14) для пространства Pn . Теорема 9. При ограничении аналитического аппарата (12-15) проективного пространства Pn на подпространство Pm получается аналогичный аналитический аппарат (22,23). Формы θ I являются структурными формами проективного пространства Pn , так как при θ I =0 фиксируется точка А∈ Pn , поэтому уравнения (12) являются структурными уравнениями проективного пространства Pn , рассматриваемого как гладкое многообразие точек. Уравнения (13), являющиеся продолжениями структурных уравнений (12), запишем в виде: I K I Dθ IJ = θ K J ∧ θ K + θ ∧ θ JK ,

(24)

где θ IJK = −δ IJ θ K − δ IK θ J

(25)

симметричные по нижним индексам формы. С помощью уравнений (14) дифференцируем формы θ IJK внешним образом Dθ IJK = θ LK ∧ (−δ IJ θ L ) + θ LJ ∧ (−δ IK θ L ) .

Внесем в них формы (25) 67

Dθ IJK = θ LJK ∧ θ IL − θ ILK ∧ θ LJ − θ IJL ∧ θ LK .

Можно считать, что продолжения форм θ IJK - формы θ IJKL равны нулю, поэтому симметричны при перестановках нижних индексов и т.д. Теорема 10. Проективное пространство Pn , рассматриваемое обычно как пространство точек – многообразие Грассмана G r (0, n ) , является голономным гладким (точнее, центропроективным, или коаффинным) многообразием [Ше 8-14]. В силу двойственности структурных уравнений (12-14) имеет место Теорема 11. Проективное пространство Pn , рассматриваемое как пространство гиперплоскостей – многообразие Грассмана G r (n − 1, n ) , является голономным гладким (точнее, аффинным) многообразием. Вывод. Структурные уравнения (12-14) проективной группы GP(n) подходят для описания расслоений. Они показывают, что над проективным пространством Pn имеется расслоение центропроективных (коаффинных) реперов C(P n )- главное расслоение с типовым слоем – центропроективной (коаффинной) группой С = GA ′(n ) , действующей в центропроективном пространстве Pn∗ , возникающем при фиксации точки А∈ Pn . Из структурных уравнений (12,24) видно, что проективное пространство Pn служит базой расслоения линейных реперов L n 2 (Pn ) , типовым слоем которого является линейная группа L n 2 = GL(n ) , действующая в пучке прямых, называемых направлениями, с центром A ∈ Pn . §15. Поверхность в проективном пространстве

Проективное пространство Pn размерности n отнесем к подвижному реперу R = {A, A I } , деривационные формулы (14.15) которого запишем в виде: dA = θA + ω I A I , dA I = θA I + ω JI A J + ω I A ,

(1)

где форма θ играет роль множителя пропорциональности, а базисные формы ωI , ωJI , ωI проективной группы GP(n), действующей в пространстве Pn , удовлетворяют структурным уравнениям (14.12-14.14) DωI = ωJ ∧ ωIJ , DωI = ωJI ∧ ωJ , DωJI

68

=

ωKI

∧

ωJK

J

+ ωI ∧ ω +

δ JI ωK

K

∧ω .

(2)

В проективном пространстве Pn рассмотрим m-мерную поверхность X m (1 ≤ m
(3)

где Λai - некоторые функции. Это уравнения поверхности X m в репере R 0 . Продолжим уравнения (3). Дифференцируем их внешним образом (ΔΛai − Λaj Λbi ωbj + ωia ) ∧ ωi = 0,

(4)

причем дифференциальный оператор Δ действует следующим образом: ΔΛai = dΛai − Λajωij + Λbi ωab .

(5)

Разрешаем квадратичные уравнения (4) по лемме Картана ΔΛai − Λaj Λbi ωbj + ωia = Λaijω j ,

(6)

где новые функции Λaij симметричны по нижним индексам Λa[ij] = 0.

(7)

Совокупность функций Λ1 = {Λai } называется фундаментальным объектом 1-го порядка, а совокупность Λ2 = {Λai , Λaij } – фундаментальным объектом 2-го порядка поверхности X m , рассматриваемой как семейство точек. Замечание 1. В формулах (1) символ d означает дифференцирование в проективном пространстве Pn , а в формуле (5) – дифференцирование вдоль поверхности X m ⊂ Pn . В главе III мы традиционно не будем вводить новый символ дифференцирования. Сохраним также прежнее обозначение для ограничений базисных форм проективной группы GP(n) на поверхность Xm . Из деривационных формул (1) с помощью дифференциальных уравнений (3) поверхности X m получим dA = θA + ωi Bi ,

(8)

где 69

Bi = A i + Λai A a .

(9)

Из формулы (8) видно, что при ωi = 0 фиксируется точка А поверхности X m , более того, касательная плоскость Tm к поверхности X m в точке А натянута на точки А, Bi . Найдем дифференциальные уравнения для точек Bi . Из формул (1) имеем ΔA i = θA i + ωia A a + ωi A ,

(10)

ΔA a = θA a + ωia A i + ωa A .

(11)

Применим оператор Δ к точкам (9,10,11) и используем дифференциальные уравнения (6) ΔBi = θBi + Λai ωaj B j + (ωi + Λai ωa ) A + ω j Bij ,

(12)

где Bij = Λaij A a .

(13)

Уравнения (12) показывают инвариантность касательной плоскости Tm = [ A, Bi ] при фиксации точки А поверхности X m . Симметричные в силу равенств (7) точки Bij вместе с точками А, Bi определяют касательную плоскость 2-го порядка – соприкасающуюся плоскость T 2 ⊃ Tm , причем в общем случае dim T 2 = dim Tm + C 2m + m = 12 m( m + 3) .

Если выполняется неравенство

1 m( m + 3) 2

< n , то соприкасающаяся плос-

кость T 2 существует, в противном случае, когда

1 m( m + 3) 2

≥ n , плоскость

T 2 вырождается, так как заполняет все проективное пространство Pn . В трехмерном проективном пространстве P3 для кривой X 1 , в общем

случае существует соприкасающаяся плоскость T 2 , так как dim T 2 = 12 1(1 + 3) = 2 < 3 ,

а для поверхности X 2 ее нет, так как dim T 2 = 12 2 (2 + 3) = 5 > 3 .

70

Теорема 1. В каждой точке 2-мерной поверхности Х 2 проективного пространства Pn (n ≥ 6) существует в общем случае 5-мерная соприкасающаяся плоскость Т 2 . Специализируем подвижной репер R 0 , помещая вершины А i на каса-

тельную плоскость Tm . Так получается репер 1-го порядка R 1 . В репере R 1 имеем Bi = А i , что в силу обозначений (9) эквивалентно равенствам Λai =0. С учетом этих равенств упрощаются уравнения (3,6,12) ωa = 0 ,

(14)

ωia = Λaijω j ,

(15)

ΔBi = θBi + ωi A + ω j Bij .

(16)

Уравнения (14,15) являются уравнениями поверхности X m в репере 1-го порядка R 1 . Эти уравнения задают поверхность X m , фактически, как семейство центрированных касательных плоскостей [Ла 2,с.353], для которого R 1 является репером 0-го порядка, а Λaij – фундаментальным объектом 1-го порядка. Такое представление поверхности X m будет использоваться в настоящей главе. Замечание 2. Уравнения (14,15) можно получить непосредственно из деривационных формул (1). Продолжая уравнения (15), получим ΔΛaij = Λaijk ω k ,

(17)

Λai[ jk ] = 0 .

(18)

причем Замечание 3. В дальнейшем обычно не будем ссылаться на дифференциальные уравнения (17) компонент фундаментального тензора Λaij и условия его симметрии (7), но будем часто пользоваться ими. Симметрируя уравнения (17) по нижним индексам, имеем Λa[ij]k ωk = 0 ,

откуда в силу независимости базисных форм ωk найдем Λa[ij]k = 0 , что в совокупности с равенствами (18) дает симметрию функций Λaijk по всем нижним индексам. Совокупность функций Λ3 = {Λaij , Λaijk } называется фундаментальным объектом 3-го порядка поверхности X m как семейства точек и фундаментальным объектом 2-го порядка поверхности X m как семейства касательных плоскостей. 71

Запишем дифференциальные уравнения для точек (13), применяя к ним дифференциальный оператор Δ и пользуясь уравнениями (11,17), ΔBij = θBij + Λaij (ωak A k + ωa A) + ω k Bijk ,

(19)

где Bijk = Λaijk A a . Уравнения (19) показывают инвариантность соприкасающейся плоскости T 2 = [ A, A i , Bij ] при фиксации точки А на поверхности X m . Симметричные точки Bijk вместе с точками A, A i , Bij определяют касательную плоскость 3-го порядка T 3 ⊃ T 2 , причем в общем случае dim T 3 = dim T 2 + C 3m + 2C 2m + m = 16 m(m 2 + 6m + 11) . Если выполняется неравенство 16 m(m 2 + 6m + 11) < n , то касательная плоскость 3-го порядка T 3 существует, в противном случае, когда 1 m( m 2 + 6m + 11) ≥ n , плоскость T 3 вырождается, так как заполняет все 6 пространство Pn . Для кривой X1 dim T 3 = 16 1(1 + 6 + 11) = 3 ,

а для двумерной поверхности X 2 dim T 3 = 16 2 (4 + 12 + 11) = 9 .

Теорема 2. В каждой точке кривой X1 проективного пространства Pn (n≥4) существует 3-мерная касательная плоскость 3-го порядка T 3 , а в каждой точке двумерной поверхности X 2 проективного пространства Pn (n≥10) существует в общем случае 9-мерная касательная плоскость 3-го порядка T 3 . Сформулируем результат для касательных плоскостей p-го порядка T p , который доказан выше для p=2,3. Теорема 3. Если существует касательная плоскость T p порядка p к поверхности X m в точке А, то она определяется фундаментальным объектом p-го порядка Λp поверхности X m , рассматриваемой как семейство точек. Уравнения (2,14) дают структурные уравнения базисных форм ωi поверхности X m , рассматриваемой как семейство касательных плоскостей Dωi = ω j ∧ ωij .

(20)

Из уравнений (2,14,15) следуют структурные уравнения форм ωij – продолжений базисных форм ωi 72

Dωij = ω kj ∧ ωik + ω k ∧ ωijk ,

(21)

ωijk = Λajk ωia − δ ijω k − δ ik ω j .

(22)

где Найдем внешние дифференциалы форм ωijk – продолжений форм ωij Dωijk = ωlk ∧ Λajl ωia + ωlj ∧ Λalk ωia + Λajk ωla ∧ ωil − δ ij (ωlk ∧ ωl + ωak ∧ ωa ) − − δ ik (ωlj ∧ ωl + ωaj ∧ ωa ) + ωl ∧ (Λajkl ωia − δ il Λajk ωa ).

Пользуясь равенствами (15,22), получим Dωijk = ωljk ∧ ωil − ωilk ∧ ωlj − ωijl ∧ ωlk + ωl ∧ ωijkl ,

где ωijkl = Λajkl ωia − (δ ij Λakl + δ ik Λalj + δ il Λajk )ωa .

(23)

В силу симметрии функций Λaij , Λaijk по нижним индексам формы ωijk , ωijkl также симметричны по ним. Видимо, симметрия сохраняется и при дальнейших продолжениях. Гипотеза. Поверхность X m проективного пространства Pn , рассматриваемая как семейство касательных плоскостей, является голономным гладким многообразием. Доказательство этой гипотезы анонсировано К.В.Поляковой [5]. Замечание 4. Поверхность X m ⊂ Pn можно представить как многообразие геометрических элементов EF [Ла 2,с.302] двумя способами: 1) E= Pn , F= Tm =( Pm ,A), где А∈ Pm ; 2) Е= Pm , F=А. §16. Расслоение, ассоциированное с поверхностью

Запишем таблицу всех базисных форм проективной группы GP(n) в виде: ωi ωa ω j ωij ωaj ωb ωib ωab .

Формы ωi , ωa , ωaj , находящиеся над главной диагональю, являются главными формами поверхности X m , которую здесь и в дальнейшем будем рассматривать как семейство касательных плоскостей. Остальные формы ωij , ω j , ωab , ωib , ω b обычно называются вторичными. Итак, при исследовании 73

поверхности X m все формы проективной группы GP(n) разбиваются на главные и вторичные. Из главных форм выделяются базисные формы ωi , так как согласно (15.14) ωa = 0 , а формы ωaj линейно выражаются (15.15) через базисные формы. В связи с предлагаемым методом исследования вторичные формы естественно называть слоевыми. С помощью уравнений (15.14,15.15) поверхности X m преобразуем структурные уравнения (15.2) для базисных и слоевых форм. Базисные формы ωi и слоевые формы ωij удовлетворяют уравнениям (15.20,15.21). Запишем их вместе со структурными уравнениями остальных слоевых форм [Ше 1] Dωi = ω j ∧ ωij ,

(1)

Dωij = ω kj ∧ ωik + ω k ∧ ωijk ,

(2)

Dωi = ωij ∧ ω j + ω j ∧ ωij ,

(3)

Dωab = ωcb ∧ ωac + ωi ∧ ωabi ,

(4)

Dωia = ωaj ∧ ωij + ωab ∧ ωib + ω j ∧ ωiaj ,

(5)

Dωa = ωia ∧ ωi + ωab ∧ ωb .

(6)

Здесь формы ωijk определяются формулой (15.22). Запишем ее совместно с другими обозначениями ωijk = Λajk ωia − δ ijωk − δ ik ω j ,

(7)

ωij = Λaijωa ,

(8)

ωabi = − Λaijω bj − δ ab ωi ,

(9)

ωiaj = −δ ijωa .

(10)

Получили структурные уравнения (1-6) главного расслоения G r (X m ) , ассоциированного с поверхностью X m . Базой главного расслоения G r (X m ) является поверхность X m , а типовым слоем – подгруппа стационарности G r ⊂ GP(n) центрированной касательной плоскости Tm , причем r = dim G r = n (n + 1) − m(n − m) .

Ассоциированное расслоение G r (X m ) содержит 4 простых подрасслоения [Ше 6] со структурными уравнениями: 74

1) (1,2) – подрасслоение касательных линейных реперов L m 2 (X m ) с типовым слоем – линейной группой L m 2 = GL( m) ⊂ G r , действующей неэффективно в пространстве направлений касательной плоскости Tm , т.е. касательных прямых, проходящих через точку А; 2) (1-3)- подрасслоение центропроективных (коаффинных) реперов C m ( m +1) (X m ) с типовым слоем – центропроективной (коаффинной) группой C m ( m +1) = GA ′(m) ⊂ G r , действующей эффективно в касательной плоскости Tm = (Pm , A) ;

3) (1,4) – подрасслоение нормальных линейных реперов L ( n −m )2 (X m ) с типовым слоем – линейной группой (точнее, факторгруппой) L ( n −m )2 = GL(n − m) , действующей неэффективно в (n-m-1)- мерном проективном пространстве Pn −m−1 = Pn / Pm , возникающем при факторизации по коллинеарности из (n-m)-мерного линейного факторпространства L n −m = L n +1 / L m+1 , причем линейное пространство L n +1 и его подпространство L m+1 порождают проективное пространство Pn и нецентрированное подпространство Pm ; 4) (1,2,4,5) – подрасслоение H m 2 −mn + n 2 (X m ) с типовым слоем – линейной частью H m2 −mn + n 2 подгруппы G r проективной группы GP(n) – подгруппой стационарности множества касательных направлений в множестве направлений проективного пространства. Подгруппы группы G r связаны следующим отношением: C m ( m+1) ∩ H m 2 −mn +n 2 = L m 2 . Замечания 1. При исследовании [Сы ] m-поверхности аффинного пространства A n подгруппой стационарности центрированной касательной плоскости является группа H m2 −mn + n 2 , поэтому она может называться [П 3] аффинной частью проективной подгруппы G r . 2. Структурным уравнениям (1-6) ассоциированного расслоения G r ( X m ) удовлетворяют формы, определяющие поверхность X m как многообразие геометрических элементов Лаптева [2,с.317] при 1-м способе представления (Замечание 15.4). Найдем внешние дифференциалы форм (8) – продолжений форм ωi Dωij = (dΛaij + Λbijωab ) ∧ ωa + Λaijωak ∧ ωk .

Воспользуемся дифференциальными уравнениями (15.17) и обозначениями (7) 75

Dωij = ωijk ∧ ωk − ωik ∧ ω kj − ω kj ∧ ωik + ω k ∧ ωijk ,

где ωijk = Λaijk ωa . В силу симметрии функций Λaij , Λaijk по нижним индексам формы ωij ,ωijk также симметричны. Вероятно, симметрия сохраняется и при дальнейших продолжениях. С учетом формул (15.22,15.23) формулируется Гипотеза. Поверхность X m , рассматриваемая как семейство центропроективных касательных подпространств и являющаяся поэтому центропроективным многообразием, голономна. §17. Связность в ассоциированном расслоении Согласно способу Лаптева [ЕЛОШ,Ла 5] задания групповой связности в главном расслоении рассмотрим преобразование слоевых форм ассоциированного расслоения G r ( X m ) с помощью базисных форм ~ i = ωi − Г i ω k , ω ~ = ω − Г ωj, ω j j jk i i ij ~ a = ω a − Г a ωi , ω ~ i = ωi − Г i ω j , ω ~ = ω − Г ωi , ω b b bi a a aj a a ai

(1)

где Г ijk , Г ij , Г abi , Г iaj , Г ai - некоторые функции, а знак минус перед ними удобен для дальнейших преобразований. Возьмем внешние дифференциалы форм (1) ~ i = ωk ∧ ωi + ωk ∧ (dГ i − Г i ωp + ωi ), Dω j j k jk jp k jk ~ = ω j ∧ ω + ω j ∧ (dГ − Г ωk + ω ), Dω i

i

j

ij

ik

j

ij

~ a = ωc ∧ ωa + ωi ∧ (dГ a − Г a ω j + ωa ), Dω b b c bi bj i bi ~ i = ω j ∧ ωi + ωb ∧ ωi + ω j ∧ (dГ i − Г i ωk + ωi ), Dω a a j a b aj ak j aj ~ = ωi ∧ ω + ωb ∧ ω + ωi ∧ (dГ − Г ω j ). Dω a a i a b ai aj i Во внешние произведения слоевых форм подставим их выражения из формул (1) через преобразованные слоевые формы

76

~i = ω ~k ∧ ω ~ i + Г k ωp ∧ ω ~i + ω ~ k ∧ Г i ωq + Г k ω p ∧ Г i ωq + Dω j j k jp k j kq jp kq + ω k ∧ (dГ ijk − Г ijp ω pk + ωijk ), ~ =ω ~j ∧ω ~ + Г j ωp ∧ ω ~i + ω ~ j ∧ Г ωq + Г j ω p ∧ Г ωq + Dω j jq i i j ip i jq ip + ω j ∧ (dГ ij − Г ik ω kj + ωij ), ~a = ω ~c ∧ ω ~ a + Г c ωp ∧ ω ~a + ω ~ c ∧ Г a ωq + Г c ω p ∧ Г a ωq + Dω b b c bp c b cq bp cq + ωi ∧ (dГ abi − Г abj ωij + ωabi ), ~i = ω ~j ∧ω ~i + ω ~b ∧ ω ~ i + Г j ωp ∧ ω ~i + ω ~ j ∧ Г i ωq + Г j ω p ∧ Г i ωq + Dω a a j a b ap j a jq ap jq ~i + ω ~ b ∧ Г i ωq + Г b ω p ∧ Г i ωq + + Г b ωp ∧ ω ap

b

a

bq

ap

bq

+ ω j ∧ (dГ iaj − Г iak ω kj + ωiaj ), ~ =ω ~i ∧ ω ~ +ω ~b ∧ ω ~ + Г i ωp ∧ ω ~ +ω ~ i ∧ Г ωq + Г i ω p ∧ Г ωq + Dω a a i a b ap a iq ap iq i b ~ +ω ~ b ∧ Г ωq + Г b ω p ∧ Г ωq + + Г ap ωp ∧ ω b a bq ap bq + ωi ∧ (dГ ai − Г ajωij ).

В слагаемых, содержащих внешние произведения базисных и слоевых форм, вернемся к исходным слоевым формам ~i = ω ~k ∧ ω ~ i − Г k ωp ∧ Г i ωq + ωk ∧ (ΔГ i + ωi ), Dω j j k jp kq jk jk ~ =ω ~j ∧ω ~ − Г j ωp ∧ Г ωq + ω j ∧ (ΔГ + Г k ω + ω ), Dω ij ij k jq i i j ip ij ~a = ω ~c ∧ ω ~ a − Г c ωp ∧ Г a ωq + ωi ∧ (ΔГ a + ωa ), Dω b

b

c

bp

cq

bi

bi

~i = ω ~j ∧ω ~i + ω ~b ∧ ω ~ i − Г j ω p ∧ Г i ωq − Г b ω p ∧ Г i ωq + Dω a a j a b ap jq ap bq

(2)

+ ω j ∧ (ΔГ iaj + Г ajb ωib − Г ikjωak + ωiaj ), ~ =ω ~i ∧ ω ~ +ω ~b ∧ ω ~ − Г i ω p ∧ Г ωq − Г b ω p ∧ Г ω q + Dω a a i a b ap iq ap bq + ωi ∧ (ΔГ ai + Г aij ω j + Г aib ωb − Г ji ωaj ). По теореме Картана-Лаптева формы (1) задают групповую связность в ассоциированном расслоении G r ( X m ) лишь тогда, когда их внешние дифференциалы есть суммы внешних произведений этих же форм и внешних произведений базисных форм, Поэтому нужно задать поле объекта связности Г = {Г ijk , Г ij , Г abi , Г iaj , Г ai }

на поверхности X m со следующими дифференциальными уравнениями компонент: 77

ΔГ ijk + ωijk = Г ijkp ω p ,

(3)

ΔГ ij + Г ijk ωk + ωij = Г ijk ωk ,

(4)

ΔГ abi + ωabi = Г abijω j ,

(5)

ΔГ iaj + Г ajb ωib − Г ikjωak + ωiaj = Г iajk ω k ,

(6)

ΔГ ai + Г aij ω j + Г aib ωb − Г ji ωaj = Г aijω j .

(7)

Объект групповой связности Г содержит 4 простых подобъекта: 1) Г ijk - объект касательной линейной ( в классической терминологии – аффинной) связности; 2) Г1 = {Г ijk , Г ij } - объект центропроективной (коаффинной) связности; 3) Г abi - объект нормальной линейной связности; 4) Г 2 = {Г ijk , Г abi , Г iaj } – объект линейно-групповой связности. Эти подобъекты задают групповые связности в подрасслоениях ассоциированного расслоения G r ( X m ), отмеченных в §16. Замечания 1. Из дифференциальных уравнений (3-7) в силу обозначений (16.7-16.10) следует, что объект групповой связности Г образует геометрический объект (точнее, квазитензор) лишь вместе с фундаментальным тензором Λaij поверхности X m . 2. Касательную линейную связность Г ijk на нормализованной поверхности X m проективного пространства Pn ввел под названием аффинная связность Норден [1] в 1945г. с помощью классического тензорного исчисления. В 1976 г. он дал [Н 2] монографическое описание нормальной линейной связности Г abi . Одновременно более общую нормальную центропроективную связность { Г abi , Г ai } определил А.В.Чакмазян [1]. В 1977 г. рассмотрена [Ше 1] групповая связность Г на поверхности X m . 3. Подобъект { Г abi , Г ai } ⊂Г не образует геометрический объект даже вместе с фундаментальным тензором Λaij , но на нормализованной 1-го рода поверхности X m становится квазитензором при адаптации подвижного репера полю нормалей 1-го рода. 4. Расслоение G r (X m ) , ассоциированное с поверхностью X m , есть частный случай расслоения G ( Wm ) , ассоциированного с центропроективным подмногообразием Wm , поэтому групповая связность Г – специальный случай G-связности (§ 9). 78

§18. Ассоциированное пространство групповой связности ~ i в структурные Внесем формы касательной линейной связности ω j уравнения (16.1) поверхности X m ~ i + Si ω j ∧ ω k , Dω i = ω j ∧ ω j jk

(1)

где Sijk = Г[i jk ] - объект кручения касательной линейной связности, короче, объект линейного кручения. Введем величины Sij = Г[ij] и рассмотрим более общий объект центропроективного кручения {Sijk , Sij } . Альтернируя уравнения (17.3,17.4) с учетом обозначений (16.7,16.8), получим ΔSijk ≡ 0, ΔSij + Sijk ωk ≡ 0 .

Теорема 1. Объект центропроективного кручения {Sijk , Sij } на поверхности X m является тензором, содержащим подтензор линейного кручения Sijk . Понятие кручения для более общих, чем центропроективная, связностей на поверхности X m ввести не удается. Напротив, понятие кривизны определяется для любой групповой связности. Подставим дифференциальные уравнения (17.3-17.7) в структурные уравнения (17.2) ~i = ω ~k ∧ ω ~ i + R i ωk ∧ ωp , Dω (2) j j k jkp ~ =ω ~j ∧ω ~ + R ω j ∧ ωk , Dω i j ijk i a c a ~ ~ ~ Dω = ω ∧ ω + R a ω i ∧ ω j ,

b b c bij ~i = ω ~j ∧ω ~i + ω ~b ∧ ω ~i + Ri ωj Dω a a j a b ajk i b ~ ~ ~ ~ ~ Dωa = ωa ∧ ωi + ωa ∧ ω b + R aijωi

(3) (4)

∧ ωk ,

(5)

∧ ωj ,

(6)

причем компоненты объекта кривизны R = {R ijkp , R ijk , R abij , R iajk , R aij }

групповой связности Г выражаются по формулам R ijkp = Г ij[ kp ] − Г qj[ k Г iqp ] , R ijk = Г i[ jk ] − Г ip[ j Г pk ] , R abij = Г ab[ij] − Г cb[i Г acj] , R iajk

=

Г ia[ jk ]

− Г ap[ j Г ipk ]

− Г ab[ j Г ibk ] ,

R aij =

Г a[ij] − Г ak[i Г kj]

− Г ab[i Г bj] ,

(7)

где альтернирование выполняется по крайним индексам в квадратных скобках. Продолжим дифференциальные уравнения (17.3-17.7) 79

ΔГ ijkp − Г ijq ωqkp − Г iqk ωqjp + Г qjk ωiqp + Λajkp ωia + Λajk ωiap − δ ijωkp − δ ik ω jp ≡ 0, p ΔГ ijk − Г ip ωpjk − Г pjωikp + Г ijk ωp + Г ijp ωpk + Λaijk ωa ≡ 0,

ΔГ abij − Г abk ωijk − Г aci ωcbj + Г cbi ωacj − Λaikjωkb − Λaik ωkbj − δ ab ωij ≡ 0, b p b ΔГ iajk − Г iap ωpjk − Г ibjωak + Г ajp ωipk − Г ipjk ωap − Г ipjωak + Г ajk ωib + Г ajb ωibk ≡ 0, k b ΔГ aij − Г ak ωijk − Г bi ωajb + Г aij ωk + Г aik ωkj + Г aij ωb − Г kijωak − Г ki ωajk ≡ 0. Альтернируем эти сравнения по двум последним нижним индексам, пользуемся обозначениями (16.7-16.10) и симметрией компонент Λaij , Λaijk фун-

даментального объекта 3-го порядка Λ3 по нижним индексам ΔГ ij[ kp ] − Г iq[ k ωqjp ] + Г qj[ k ωiqp ] ≡ 0, ΔГ i[ jk ] − Г p[ jωikp ] + Г ip[ jk ]ωp + Г ip[ jωpk ] ≡ 0, ΔГ ab[ij] − Г ca[i ωcbj] + Г cb[i ωacj] ≡ 0,

(8)

b p i i p i p b i b i ΔГ ia[ jk ] − Г ib[ jωak ] + Г a [ j ω pk ] − Г p[ jk ] ωa − Г p[ j ωak ] + Г a [ jk ] ω b + Г a [ j ω bk ] ≡ 0,

ΔГ a[ij] − Г b[i ωajb ] + Г ak[ij]ωk + Г ak[i ωkj] + Г ab[ij] ωb − Г k[ij]ωak − Г k[i ωajk ] ≡ 0. Исходя из формул (7), найдем дифференциальные сравнения свернутых и проальтернированных произведений соответствующих компонент объекта групповой связности Г и их сумм

ΔГ qj[ k Г iqp ] − Г iq[ k ωqjp ] + Г qj[ k ωiqp ] ≡ 0, ΔГ ip[ j Г pk ] − Г p[ jωikp ] + Г ip[ j (Г qpk ]ωq + ωpk ] ) ≡ 0, ΔГ cb[i Г acj] − Г ac[i ωcbj] + Г cb[i ωacj] ≡ 0, Δ(Г ap[ j Г ipk ] + Г ab[ j Г ibk ] ) + (Г ab[ jωpb − Г qp[ jωqa + ωap[ j )Г ipk ] − b p i b c i i q i − Г ib[ jωak ] + Г a [ j ω pk ] + Г a [ j ( Г bk ] ωc − Г qk ] ω b + ω bk ] ) ≡ 0,

Δ(Г ak[i Г kj] + Г ab[i Г bj] ) + (Г ab[i ωkb − Г qk[i ωqa + ωak[i )Г kj] + + Г ak[i (Г qkj]ωq + ωkj] ) − Г b[i ωajb ] + Г ab[i (Г kbj] ωk + Г cbj]ωc − Г kj]ωkb ) ≡ 0. Вычитая эти сравнения из соответствующих сравнений (8), получим дифференциальные сравнения для компонент объекта кривизны R p b ΔR ijkp ≡ 0, ΔR ijk + R ijk ωp ≡ 0, ΔR iajk − R ipjk ωap + R ajk ωib ≡ 0,

ΔR abij

80

≡ 0, ΔR aij +

k R aij ωk

+

b R aij ωb

−

R kijωak

≡ 0.

(9)

Теорема 2. Объект кривизны R групповой связности Г является тензором, содержащим 4 простых подтензора: 1) тензор кривизны R ijkp касательной линейной связности Г ijk ; 2) тензор кривизны {R ijkp , R ijk } центропроективной (коаффинной) связности Г1 ; 3) тензор кривизны R abij нормальной линейной связности Г abi ; 4) тензор кривизны {R ijkp , R abij , R iajk } линейно-групповой связности Г 2 . Расслоение G r (X m ) над поверхностью X m с заданной групповой связностью Г назовем пространством групповой связности и обозначим G r ,m .

Тензор линейного кручения Sijk и компоненты тензора кривизны R входят в структурные уравнения (1-6) пространства групповой связности G r ,m , ассоциированного с поверхностью X m . Ассоциированное пространство групповой связности G r ,m содержит 4 простых подпространства со структурными уравнениями: 1) (1,2) – пространство касательной линейной (аффинной) связности L m 2 ,m ; 2) (1-3) – пространство центропроективной (коаффинной) связности C m ( m+1),m ; 3) (1,4) – пространство нормальной линейной связности L ( n −m )2 ,m ; 4) (1,2,4,5) – пространство линейно-групповой связности H m2 −mn + n 2 ,m . §19. Классические оснащения поверхности

Понятие оснащения состоит в присоединении к каждой фигуре рассматриваемого семейства оснащающей фигуры, поэтому изучение оснащенного многообразия фигур эквивалентно исследованию семейства пар исходной и оснащающей фигур. Чаще всего оснащениями пользуются для индуцирования связностей, когда они не возникают внутренним образом. В проективно-дифференциальной геометрии поверхности широко известны оснащение Картана [1] и нормализация Нордена [1,2], которые обычно используются для индуцирования классической проективной и касательной аффинной (линейной) связностей. В теории оснащений погруженных многообразий выделим 3 проблемы: 1) выяснение структуры оснащения, индуцирующего связность аналитически; 2) определение роли оснащения при геометрической характеристике связности; 3) построение оснащения внутренним образом. В настоящей главе разрешаются 1-я и 2-я проблемы для поверхности X m проективного пространства Pn , рассматриваемой как семейство касательных плоскостей. Другие взгляды на поверхность приводят к другим оснащениям [Ш 1]. Ре-

81

шению 3-й проблемы в дифференциальной геометрии поверхности посвящено много работ (см., например, [Ла 2,4; О 1]). Определение 1. Оснащением Картана поверхности X m проективного пространства Pn называется присоединение к каждой ее касательной плоскости Tm плоскости С n −m−1 размерности n-m-1, дополнительной по отношению к касательной плоскости Tm , т.е. Tm ⊕ С n −m−1 = Pn . Зададим плоскость Картана С n −m−1 совокупностью следующих линейных комбинаций базисных точек пространства Pn С a = A a + λia A i + λ a A .

(1)

Для нахождения дифференциальных уравнений коэффициентов λia ,λ a возьмем дифференциалы точек (1), пользуясь деривационными формулами (15.1) и уравнениями (15.14) dC a = θC a + (dλia + λja ωij + ωia + λ a ωi )A i + + (ωab + λia ωib )A b + (dλ a + λia ωi + ωa )A.

Подставим выражения точек A b из равенств (1) dC a = θC a + (ωab + λia ωib )C b + ( Δλia + ωia + λ a ωi − λib λja ωbj )A i + + (Δλ a + λia ωi + ωa − λ b λia ωib ) A.

(2)

Используем уравнения (15.15) и перейдем к сравнениям по модулю базисных форм ω j dC a ≡ θC a + ωab C b + (Δλia + ωia )A i + (Δλ a + λia ωi + ωa )A .

(3)

Откуда вытекают дифференциальные уравнения Δλia + ωia = λiajω j ,

(4)

Δλ a + λia ωi + ωa = λ ai ω j ,

(5)

обеспечивающие инвариантность плоскости Картана С n −m−1 при фиксации точки А. Итак, плоскость Картана С n −m−1 задается квазитензором {λia , λ a } , содержащим квазитензор λia . Из сравнений (3) видно, что квазитензор λia определяет (n-m)-мерную плоскость N n −m = [ N a , A] , где N a = A a + λia A i . Плоскость N n −m является нормалью 1-го рода Нордена, порожденной плоскостью Картана С n −m−1 , т.е. N n −m = С n −m−1 ⊕А. В общем случае для определения нормали 1-го рода N n −m не требуется задавать плоскость Карта82

на С n −m−1 . Действительно, если квазитензор λia задан, а функций λ a нет, то нормаль N n −m определена, а плоскость С n −m−1 не определена. Определение 2. Нормализацией Нордена поверхности X m проективного пространства Pn называется присоединение к каждой касательной плоскости Tm двух плоскостей: 1) нормали 1-го рода N n −m , пересекающей касательную плоскость Tm лишь в точке касания А, т.е. N n −m I Tm = A ; 2) нормали 2-го рода N m−1 , принадлежащей касательной плоскости Tm , но не проходящей через точку А, т.е. A ∉ N m−1 ⊂ Tm . Нормаль 2-го рода N m−1 зададим совокупностью точек Ni = Ai + λi A .

(6)

Дифференцируем эти равенства обычным образом с помощью деривационных формул (15.1) и уравнений (15.14) dN i = θN i + (ωij + λ i ω j ) A j + ωia A a + (dλ i + ωi )A .

Подставим выражения точек A j из равенств (6) dN i = θN i + (ωij + λ i ω j ) N j + ωia A a + ( Δλ i + ωi − λ i λ jω j )A .

(7)

Отсюда с учетом уравнений (15.15) вытекают сравнения dN i ≡ θN i + ωij N j + (Δλ i + ωi )A .

Следовательно, инвариантность плоскости N m−1 обеспечивается дифференциальными уравнениями Δλ i + ωi = λ ijω j .

(8)

Таким образом, нормализация Нордена задается полем квазитензора содержащим два подквазитензора: квазитензор λia , определяющий нормаль 1-го рода N n −m , и квазитензор λ i , определяющий нормаль 2-го рода N m−1 . Определение 3. Композиционным оснащением [Ше 4], или сильной нормализацией [Н 2,с.206], поверхности X m назовем оснащение Картана и нормализацию 2-го рода Нордена. Композиционное оснащение задается полем квазитензора i λ = {λ a , λ a , λ i } . Квазитензор λ содержит 3 простых подквазитензора λ i , λia ,{λia , λ a } , определяющих соответственно нормаль 2-го рода N m−1 , нормаль 1-го рода N n −m , плоскость Картана С n −m−1 . Простейшие подквазитензоры λ i ,λia задают нормализацию Нордена. {λia , λ i } ,

83

Структура композиционного оснащения легко выясняется с помощью понятия m-пары [Ро, с.378], используемого в теории композиций [Н 3]. В самом деле, нормаль 2-го рода N m−1 дополняет точку А до 0-пары внутри касательной плоскости Tm , а плоскость Картана С n −m−1 дополняет касательную плоскость Tm до m-пары в пространстве Pn . К структуре композиционного оснащения можно прийти с помощью корреляции (см., например, [А, с.45]) в проективном пространстве Pn . Пусть подпространству Pm пространства Pn поставлено в соответствие подпространство дополнительной размерности Pn −m−1 , не пересекающееся с исходным подпространством: Pm → Pn −m−1 , Pn −m−1 ∩ Pm = ∅ . Если пространство Pm , в свою очередь, содержит подпространство Ph , то выполняется отношение обратного включения, при котором образ Pn −m−1 пространства Pm содержится в образе Pn −h −1 подпространства Ph :

Pm → Pn −m−1 ∪ ∩ Ph → Pn −h −1 Поверхность X m рассматривается как семейство центрированных касательных плоскостей Tm . Касательную плоскость представим в виде пары Tm =( Pm ,A), причем точка А содержится в m-мерной нецентрированной плоскости Pm . Воспользуемся корреляцией, имея ввиду, что точка А есть 0-мерная плоскость: Pm → Pn −m−1

(Pn −m−1 ∩ Pm = ∅)

∩ A → Pn −1

(A ∉ Pn −1 ).

Получили плоскость Pn −m−1 и содержащую ее гиперплоскость Pn −1 . Первая есть плоскость Картана С n −m−1 , а вторая в пересечении с касательной плоскостью Tm дает нормаль 2-го рода N m−1 = Pn −1 I Tm . Гиперплоскость Pn −1 является оснащающей гиперплоскостью Бортолотти, проходящей через плоскость Картана С n −m−1 . Определение 4. Оснащением Бортолотти [Ст 1,Bor 1], или гармонической нормализацией [И.К.] поверхности X m проективного простран-

84

ства Pn называется присоединение к каждой ее точке А гиперплоскости Pn −1 , не проходящей через нее, т.е. Pn −1 ⊕А= Pn . Зададим гиперплоскость Бортолотти совокупностью точек BI = A I + μ I A .

(9)

Дифференцируем их обычным образом с помощью деривационных формул (15.1) dB I = θB I + (ωJI + μ I ωJ ) A J + (dμ I + ωI )A .

Подставим выражения точек A J из равенств (9) dB I = θB I + (ωJI + μ I ωJ ) B J + (Δμ I + ωI − μ I μ J ωJ )A .

Пользуясь уравнениями (15.14), получим сравнения dB I ≡ θB I + ωJI B J + (Δμ I + ωI )A ,

Откуда вытекают сравнения Δμ I + ωI ≡ 0 ,

обеспечивающие инвариантность гиперплоскости Pn −1 .Запишем их подробнее и воспользуемся уравнениями ( 15.15) Δμ i + ωi ≡ 0 ,

(10)

Δμ a − μ i ωia + ωa ≡ 0 .

(11)

Сопоставляя сравнения (10) с уравнениями (8), убеждаемся в возможности равенств μi = λi ,

(12)

которые означают, что гиперплоскость Бортолотти Pn −1 содержит нормаль 2-го рода N m−1 , т.е. N m−1 = Tm I Pn −1 . Выясним, когда гиперплоскость Бортолотти Pn −1 проходит через плоскость Картана C n −m−1 . Перейдем к уравнениям плоскостей Pn −1 , C n −m−1 в репере R 1 , обозначая через x , x I однородные координаты текущей точки. Гиперплоскость Pn −1 , натянутая на точки (9), определяется уравнением x = μIx I ,

(13)

а плоскость C n −m−1 , натянутая на точки (1), определяется системой m+1 уравнений 85

x = λ a x a , x i = λia x a .

(14)

Запишем уравнение (13) подробнее и подставим выражения координат x , x i из системы (14) λ a x a = (μ i λia + μ a ) x a .

Это равенство обращается в тождество при условии λ a = μ i λia + μ a ,

(15)

характеризующем принадлежность плоскости Картана C n −m−1 данной гиперплоскости Бортолотти Pn −1 . Равенства (15) перепишем в виде: μ a = λ a − λia μ i .

(16)

Это условие того, что гиперплоскость Бортолотти Pn −1 проходит через заданную плоскость Картана C n −m−1 . Из системы (12,16) следуют равенства μ a = λ a − λia λ i .

(17)

Равенства (12,17) означают, что гиперплоскость Бортолотти Pn −1 проходит через данные нормаль 2-го рода N m−1 и плоскость Картана C n −m−1 . Иначе говоря, оснащение Бортолотти порождается композиционным оснащением, так как Pn −1 = C n −m−1 ⊕ N m−1 . Замечание. Оснащение Бортолотти играет основную роль при задании связностей на поверхности X m , рассматриваемой как семейство точек [П 6, Ше 1]. В подвижном репере R 1 = {A, A i , A a } , адаптированном поверхности X m . Геометрически определены вершина А – точка касания и совокупность вершин {A,A i }, так как на них натянута касательная плоскость Tm = [A, A i ] . Формулы (1,6) являются формулами перехода от репера R 1 к

реперу R 10 = {A, N i , C a } , адаптированному композиционно оснащенной поверхности X m . В репере R 10 охарактеризованы выделенные совокупности базисных точек, так как N m−1 = [ N i ] , C n −m−1 = [C a ] . Подставим формулу (6) в формулу (1) С a = A a + λia N i + μ a A ,

(18)

где используются функции (17), удовлетворяющие дифференциальным сравнениям (11) при условии (12) 86

Δμ a − λ i ωia + ωa ≡ 0 .

(19)

Ai = Ni − λiA ,

(20)

Из равенств (6,18) находим A a = C a − λia N i − μ a A .

(21)

Это формулы обратного перехода от репера R 10 к реперу R 1 . §20. Групповая связность 1-го типа

Выясним роль композиционного оснащения для задания групповой связности в расслоении G r (X m ) , ассоциированном с поверхностью X m . Поверхность X m определяется прежде всего фундаментальным тензором Λ2 = {Λaij } . Групповая связность в ассоциированном расслоении G r (X m )

задается объектом Г, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (17.3-17.7). В эти уравнения входят формы ωijk , ωij , ωabi , ωiaj , определенные по формулам (16.7-16.10). Композиционное Xm осуществляется полем элемента поверхности {C n −m−1 , N m−1} , который задается квазитензором λ с уравнениями компонент (19.4,19.5,19.8). Покажем, что объект связности Г охватывается фундаментальным тензором Λ2 и композиционно оснащающим квазитензором λ , т.е. Г=Г( Λ2 , λ ). 1. Построим охват объекта касательной линейной связности Г ijk . Запи-

оснащение

шем дифференциальные уравнения его компонент (17.3) в виде сравнений: Δ Г ijk + ωijk ≡ 0 ,

(1)

где формы ωijk определены равенствами (16.7) ωijk = Λajk ωia − δ ijωk − δ ik ω j . 0

Произведя в этом равенстве формальную замену: слева ω – на Г , справа ω – на λ , получим 0 Г ijk

= Λajk λia − δ ijλ k − δ ik λ j ,

(2)

87

где нулик показывает, что объект Г ijk охвачен. С помощью уравнений (19.4,19.8) убеждаемся, что функции

0 Г ijk

удовлетворяют сравнениям (1).

2. Найдем охват компонент Г ij объекта центропроективной (коаффинной) связности

0 { Г ijk

, Г ij }. Компоненты Г ij удовлетворяют диффе-

ренциальным уравнениям (17.4), которые запишем следующим образом: 0

ΔГ ij + Г ijk ωk + ωij ≡ 0 ,

(3)

где формы ωij определены равенствами (16.8) ωij = Λaijωa .

(4)

В соответствии с формальной заменой, описанной в п.1, выдвинем гипотезу 0

Г ij = Λaijλ a .

(5)

С помощью уравнений (19.5) найдем сравнения 0

Δ Г ij + Λaijλka ωk + ωij ≡ 0 .

Внесем в них выражения Λaijλka из формулы (2) 0 Δ Г ij + Г ijk 0

ωk + λ i ω j + λ jωi + ωij ≡ 0 .

(6)

Для уничтожения суммы λ i ω j + λ jωi выдвинем новую гипотезу 1

0

Г ij = Г ij − λ i λ j .

(7)

В силу соотношений (19.8,6) эти функции удовлетворяют сравнениям (3). Итак, нашли охваченный объект центропроективной связности

0 { Г ijk

1

, Г ij }.

Подставляя выражения (5) в формулу (7), имеем 1

Г ij = Λaijλ a − λ i λ j .

(8)

3. Получим охват объекта нормальной линейной связности Г abi . Запишем дифференциальные уравнения его компонент (17.5) в виде: ΔГ abi + ωabi ≡ 0 ,

88

(9)

где формы ωabi определены равенствами (16.9) ωabi = − Λaijωbj − δ ab ωi .

(10)

В соответствии с формальной заменой п.1 имеем 0 Г abi

= −Λaijλjb − δ ab λ i .

(11) 0 Г abi

удовлетворяют сравУравнения (19.4,19.8) показывают, что функции нениям (9). 4. Отыщем охват компонент Г iaj объекта линейно-групповой связности 0 { Г ijk

,

0 Г abi

, Г iaj }. Компоненты Г iaj удовлетворяют уравнениям (17.6), которые

запишем в виде сравнений ΔГ iaj

0 − Г ikj ωak

0 + Г ajb ωib

+ ωiaj ≡ 0 ,

(12)

где формы ωiaj определены равенствами (16.10) ωiaj = −δ ijωa .

(13)

Согласно формальной замене из п.1 выдвинем 1-ю гипотезу (1) Г iaj

= −δ ijλ a .

(14)

С помощью уравнений (19.5) найдем сравнения (1) Δ Г iaj − δ ijλka ωk

+ ωiaj ≡ 0 .

(15)

Для уничтожения слагаемых δ ijλka ωk выдвинем 2-ю гипотезу ( 2) Г iaj

=

(1) Г iaj + δ ijλka λ k .

(16)

Эти функции в силу соотношений (19.4,19.8,15) удовлетворяют сравнениям ( 2) Δ Г iaj + δ ijλ k ωak

+ ωiaj ≡ 0 .

Подставим выражения функций – δ ijλ k из формулы (2) ( 2) 0 i Δ Г aj − Г ijk

ωak + Λbjk λib ωak − λ jωia + ωiaj ≡ 0 .

(17) 89

Для ликвидации слагаемого Λbjk λib ωak выдвинем последнюю гипотезу 1 Г iaj

=

( 2) Г iaj − Λbjk λib λka .

(18)

Эти функции в силу соотношений (19.4,11,17) удовлетворяют сравнениям (12). Итак, нашли охваченный объект линейно-групповой связности 0

0

1

{ Г ijk , Г abi , Г iaj }. Подставляя в формулу (18) формулу (16), а в последнюю – формулу (14), найдем 1 Г iaj

= −δ ijμ a − Λbjk λib λka ,

(19)

где используется обозначение (19.17) μ a = λ a − λka λ k .

(20)

5. Построим охват компонент Г ai объекта групповой связности 0 { Г ijk

0 Г ij , Г abi 1

1 , Г iaj

, , Г ai }. Компоненты Г ai удовлетворяют уравнениям (17.7), которые запишем в виде сравнений def

Г ai =

1 ΔГ ai + Г aij

0 ω j + Г aib

1

ωb − Г ji ωaj ≡ 0 .

(21)

В этом случае, принципиально отличающемся от предыдущих, выдвинем 1-ю гипотезу (1)

Г ai =

1 Г aij

0 λ j + Г aib

1

λ b − Г ji λ ja ,

(22)

которая позволит получить нужную часть в дифференциальных сравнениях. С помощью соотношений (19.4,19.5,19.8,3,9,12) получим (1)

0

0

0

0

Г ai + (Г aib ωbj − Г kij ωak + ωaij )λ j + λ b ωaib + Г aib λ jb ω j − (Г kji ωk + ω ji )λ ja ≡ 0.

Воспользуемся формулами (2,4,10,11,13) (1)

Г ai − Λbij (λ ja ω b + λ b ωaj ) − λ a ωi − λ i ωa + λ j (λ ja ωi + λ i ωaj ) − − Λbijλkb λ k ωaj ≡ 0 .

(23)

Выдвинем 2-ю гипотезу, направленную на уничтожение похожих слагаемых ( 2)

(1)

Г ai = Г ai + Λbijλja λ b + λ a λ i − λ jλ ja λ i .

С помощью соотношений (19.4,19.5,19.8,23) получим сравнения 90

(24)

( 2)

Г ai − Λbij (λja λkb ω k + λkb λ k ωaj + λ ja λ k ω kb ) ≡ 0 .

(25)

Выдвинем последнюю гипотезу ( 2)

1

Г ai = Г ai + Λbijλja λkb λ k .

(26)

Эти функции в силу соотношений (19.4,19.8,25) удовлетворяют сравнениям (21). Таким образом, нашли охваченный объект групповой связности 1

Г ={

0i Г jk

,

0 Г ij , Г abi 1

1 , Г iaj

1

, Г ai }.

Подставляя в формулу (26) формулу (24), а в последнюю – формулу (22) и учитывая формулы (8,11,19), найдем 1

Г ai = −μ a λ i − λ b λ ja Λbij ,

(27)

где используется обозначение (20). Теорема 1. Поверхность X m и ее композиционное оснащение индуцируют в ассоциированном расслоении G r (X m ) групповую связность (1-го 1

типа) с объектом Г [Ше 1], компоненты которого охвачены по формулам (2,8,11,19,27). Замечания

1. Из формул (2,8) видно, что объект центропроективной связности 1-го 0i

1

1

типа { Г jk , Г ij }⊂ Г охвачен симметричным образом, т.е. он задает симметрическую центропроективную связность. 2. Для поверхности в пространстве аффинной связности охват объекта 0i Г jk

1

⊂ Г осуществлен Лаптевым [3]. В афкасательной линейной связности финном пространстве вид охвата сохраняется [Ры 2,с.143]. §21. Задача оснащения в проективнодифференциальной геометрии поверхности

Плоскость Картана C n −m−1 задается квазитензором {λia , λ a } , компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (19.4,19.5). Этот квазитензор содержит квазитензор λia , определяющий нормаль 1-го рода 91

Нордена N n −m , натянутую на плоскость Картана C n −m−1 и не принадлежащую ей точку А, т.е. N n −m = C n −m−1 ⊕А. Решим обратную задачу: покажем, что поле нормалей 1-го рода N n −m порождает поле некоторых плоскостей Картана C′n −m−1 . Нормаль 1-го рода Нордена N n −m определяется квазитензором λia , компоненты которого удовлетворяют уравнениям (19.4) Δλia + ωia = λiajω j ,

(1)

причем функции λiaj называются пфаффовыми производными функций λia . Продолжая уравнения (1) с помощью структурных уравнений (16.1,16.2,16.4,16.5), получим Δλiaj − λib ωajb + λka ωikj + ωiaj ≡ 0 .

(2)

Подставим выражения трехиндексных форм (16.7,16.9,16.10) Δλiaj + Λbjk (λib ωak + λka ωib ) − δ ij (λka ω k + ωa ) ≡ 0 .

(3)

Построим с помощью продолженного объекта {λia , λiaj } функции λ a , удовлетворяющие уравнениям (19.5) Δλ a + λia ωi + ωa = λ ai ωi .

(4)

Тогда совокупность функций {λia , λ a } даст оснащающий по Картану квазитензор. Рассмотрим вспомогательные величины O iaj = λiaj − Λbjk λib λka ,

(5)

которые в силу соотношений (19.4,3) удовлетворяют сравнениям ΔO iaj − δ ij (λka ω k + ωa ) ≡ 0 .

Следовательно, свернутые величины O a = O iai

(6)

удовлетворяют сравнениям ΔO a − m(λka ω k + ωa ) ≡ 0 .

Сопоставляя эти сравнения с уравнениями (4), определим искомые функции λ a = − m1 O a .

92

(7)

Подставляя в формулу (7) формулу (6), а в последнюю – формулу (5), найдем [О1,с.257] λa =

1 ( Λb λi λ j ij b a m

− λiai ) .

(8)

Таким образом, функции λ a выражаются через фундаментальный тензор Λbij , нормализующий 1-го рода квазитензор λia и пфаффовы производные его компонент λiaj . Из формулы (8) вытекает Теорема Остиану. Поверхность и ее продолженная нормализация 1-го рода Нордена порождают оснащение Картана. Замечание. Построенную плоскость Картана можно охарактеризовать геометрически [И 1,ЛО]. Следствие (Т.20.1,Т.Остиану). Поверхность X m , продолженная нормализация 1-го рода и нормализация 2-го рода Нордена индуцируют групповую связность 1-го типа в ассоциированном расслоении G r (X m ) . Выводы

1. Роль нормализации Нордена поверхности X m , рассматриваемой как семейство касательных плоскостей, состоит в том, что она позволяет индуцировать групповую связность Г = {Г ijk , Г ij , Г abi , Г iaj , Г ij }

в ассоциированном расслоении G r (X m ) . В частности, нормализация индуцирует: 1) касательную линейную (аффинную) связность Г ijk , 2) нормальную линейную связность Г abi , 3) центропроективную (коаффинную) связность Г1 = {Г ijk , Г ij } , 4) линейно-групповую связность Г 2 = {Г ijk , Г abi , Г iaj } . 2. Для поверхности проективного пространства существуют две конструкции – оснащение Картана и нормализация Нордена. Оснащение Картана индуцирует классическую проективную связность на поверхности [Ка 1, Ш 6]. Оно введено, вероятно, в результате распространения оснащения Бортолотти [Bor1] семейства плоскостей проективного пространства на многообразие касательных плоскостей поверхности. Но касательные плоскости являются центрированными, поэтому оснащение Картана не является удовлетворительным для поверхности, рассматриваемой как семейство касательных плоскостей. Нормализация Нордена, во-первых, учитывает наличие точки касания в касательной плоскости, во-вторых, индуцирует групповую связность, включающую классические касательную и нормальную линейные связности, в-третьих, порождает оснащение Карта93

на. Это дает возможность видоизменить [Ше 7] задачу оснащения в проективно-дифференциальной геометрии поверхности, сформулированную Лаптевым [4,с.39] как построение внутренним образом оснащения Картана, в пользу нормализации Нордена. §22. Тензоры неабсолютных перенесений

Композиционное оснащение поверхности X m задается полем нормалей 2-го рода Нордена N n −m и плоскостей Картана C n −m−1 , которые определяются квазитензором λ = {λ i , λia , λ a } . Компоненты композиционно оснащающего квазитензора λ удовлетворяют дифференциальным уравнениям (19.4,19.5,19.8) Δλ i + ωi = λ ijω j ,

(1)

Δλia + ωia = λiajω j ,

(2)

Δλ a + λia ωi + ωa = λ ai ωi .

(3)

Записывая эти уравнения без помощи дифференциального оператора Δ и внося формы групповой связности (17.1), представим их в виде: ∇λ i = ∇ j λ i ω j ,

(4)

∇λia = ∇ jλia ω j ,

(5)

∇λ a = ∇ i λ a ωi .

(6)

В левых частях уравнений стоят ковариантные дифференциалы [Ше 3,5,13] компонент квазитензора λ относительно групповой связности Г ~j +ω ~ , ∇ λ i = dλ i − λ j ω i i

(7)

~ b + λj ω ~i ~i ∇λia = dλia − λib ω a a j + ωa ,

(8)

~ b + λi ω ~ ~ ∇λ a = dλ a − λ b ω a a i + ωa ,

(9)

а в правых частях перед базисными формами – ковариантные производные

94

∇ jλ i = λ ij + λ k Г ijk − Г ij ,

(10)

∇ jλia = λiaj + λib Г ajb − λka Г ikj − Г iaj ,

(11)

∇ i λ a = λ ai + λ b Г aib − λja Г ji − Г ai .

(12)

Ковариантный дифференциал (7) и ковариантные производные (10) нормализующего 2-го рода квазитензора λ i определяются в центропроективной связности Г1 . Ковариантный дифференциал (8) и ковариантные производные (11) нормализующего 1-го рода квазитензора λia определяются в линейно-групповой связности Г 2 . Ковариантные дифференциалы (8,9) и ковариантные производные (11,12) компонент оснащающего по Картану квазитензора {λia , λ a } определяются в групповой связности Г. Найдем внешние дифференциалы от ковариантных дифференциалов (7-9) с помощью структурных уравнений (18.2-18.6) ~ j + T ω j ∧ ωk , D∇λ i = −∇λ j ∧ ω ijk i ~ i − ∇λi ∧ ω ~ b + T i ω j ∧ ωk , D∇λia = ∇λja ∧ ω j b a ajk ~ − ∇λ ∧ ω ~ b + T ωi ∧ ω j , D∇λ = ∇λi ∧ ω a

a

i

b

a

(13)

aij

где p i b b Tijk = R ijk − λ p R ijk , Tajk = R iajk − λib R ajk + λpa R ipjk , Taij = R aij − λ b R aij + λka R kij . i , Taij } В силу соотношений (18.9,1-3) компоненты объекта T = {Tijk , Tajk

удовлетворяют дифференциальным сравнениям i k ΔTijk ≡ 0, ΔTajk ≡ 0, ΔTaij + Taij ωk ≡ 0,

т.е. Т является тензором, содержащим три простых подтензора i i Tijk , Tajk ,{Tajk , Taij } .

(14)

Из структурных уравнений (13) видно, что вдоль любой линии ρ на поверхности X m с уравнениями ωi = ρ i ω система дифференциальных уравнений ∇λ i |ρ = 0, ∇λia |ρ = 0, ∇λ a |ρ = 0

вполне интегрируема. Эта система содержит 3 простых вполне интегрируемых подсистемы ∇λ i |ρ = 0;

(15)

∇λia |ρ = 0;

(16)

∇λia |ρ = 0, ∇λ a |ρ = 0 .

(17)

95

Если тензор Т обращается в нуль, то система дифференциальных уравнений ∇λ i = 0, ∇λia = 0, ∇λ a = 0

вполне интегрируема не только вдоль произвольной линии ρ, но и вдоль поверхности X m . Условием полной интегрируемости вдоль поверхности X m подсистем ∇λ i = 0;

(18)

∇λia = 0;

(19)

∇λia = 0, ∇λ a = 0

(20)

является равенство нулю соответствующих простых подтензоров (14). Назовем их (ср. [П 6, Ше 15]) тензорами неабсолютных перенесений: 1) Tijk – i – в линейно-групв центропроективной (коаффинной) связности Г1 ; 2) Tajk i , Taij } – в групповой связности Г. повой связности Г 2 ; 3) {Tajk

Поясним название. Параллельное перенесение вдоль линии ρ на поверхности X m будет описываться одной из систем (15-17). Если один из тензоров неабсолютных перенесений равен нулю, то можно рассматривать многомерное параллельное перенесение вдоль всей поверхности X m вне зависимости от линии ρ. В этом случае будем говорить об абсолютном параллельном перенесении, которое задается соответствующей из систем (18-20). §23. Групповые связности 2-го и 3-го типов

Продолжим дифференциальные уравнения (22.1,22.3) с помощью структурных уравнений (16.1-16.4,16.6) и уравнения (22.2) Δλ ij − λ k ωijk + ωij ≡ 0 ,

(1)

Δλ ai + λjai ω j + λja ω ji − λ b ωaib ≡ 0 .

(2)

Используя соотношения (17.3-17.7,21.2,22.1-22.3,1,2), найдем дифференциальные сравнения для ковариантных производных (22.10-22.12) Δ ∇ jλ i ≡ 0, Δ ∇ jλia ≡ 0, Δ ∇ i λ a + ∇ i λja ω j ≡ 0 .

Теорема 1. Ковариантные производные компонент композиционно оснащающего квазитензора λ образуют тензор, содержащий три простых подтензора ∇ jλ i , ∇ jλia ,{∇ jλia , ∇ i λ a } . 96

Отсюда вытекает инвариантность обращения в нуль ковариантных производных ∇ jλ i = 0,

∇ jλia = 0,

∇iλa = 0 .

(3)

Отметим. Что эти равенства в силу уравнений (22.4-22.6) влекут уравнения (22.18-22.20). Из равенств (3) с учетом обозначений (22.10-22.12) вытекают формулы [Ше 5] Г ij = λ ij + λ k Г ijk ,

(4)

Г iaj = λiaj + λib Г ajb − λka Г ikj ,

(5)

Г ai = λ ai + λ b Г aib − λ ja Г ji .

(6)

Из формулы (4) следует Теорема 2. Продолженная нормализация 2-го рода Нордена сводит центропроективную связность Г1 к касательной линейной связности Г ijk . Иначе говоря, нормализация 2-го рода индуцирует m 3 - параметрический пучок центропроективных связностей Г1 . Из формулы (5) следует Теорема 3. Продолженная нормализация 1-го рода Нордена сводит линейно-групповую связность Г 2 к касательной и нормальной линейным связностям Г ijk , Г abi . Иначе говоря, нормализация 1-го рода индуцирует

m[ m 2 + (n − m) 2 ]- параметрический пучок линейно-групповых связностей Г2 . Из формул (5,6) следует Теорема 4. Продолженное оснащение Картана сводит [Ш 7] групповую связность Г к центропроективной связности Г1 и нормальной линейной связности Г abi . Иначе говоря, оснащение Картана индуцирует m[ m 2 + m + (n − m) 2 ]- параметрический пучок групповых связностей Г. Из формул (4-6) следует Теорема 5. Продолженное композиционное оснащение сводит групповую связность Г к касательной и нормальной линейным связностям Г ijk , Г abi . Иначе говоря, композиционное оснащение индуцирует m[ m 2 + (n − m) 2 ]- параметрический пучок групповых связностей Г. Следствие 1 ( Т. Остиану, Т. 5). Дважды продолженная нормализация 1-го рода и продолженная нормализация 2-го рода Нордена сводят групповую связность Г к линейным связностям Г ijk , Г abi . Иначе говоря, норма-

97

лизация Нордена индуцирует m[ m 2 + (n − m) 2 ]-параметрический пучок групповых связностей Г. Подставляя формулы (20.2,20.11) в равенства (4-6), запишем результат в виде: 2

Г ij =

0 λ ij + λ k Г ijk

2

,

(7)

0

0

Г iaj = λiaj + λib Г ajb − λka Г ikj , 2

Г ai =

0 λ ai + λ b Г aib − λja

(8)

2

Г ji .

(9)

Из формул (20.2,20.11,7-9) вытекает Теорема 6. Продолженное композиционное оснащение поверхности X m индуцирует в ассоциированном расслоении G r (X m ) групповую связность 2-го типа 2

Г

0 0 2 2 2 i a = {Г jk , Г ij , Г bi , Г iaj , Г ai } .

Следствие 2 (Т.Остиану,Т. 6). Дважды продолженная нормализация 1-го рода и продолженная нормализация 2-го рода Нордена индуцируют групповую связность 2-го типа. Подставляя в равенство (6) формулы (20.8,20.11), запишем результат в виде: 3

Г ai =

0 λ ai + λ b Г aib − λja

1

Г ji .

(10)

Из формул (20.2,20.8,20.11,8,10) вытекает Теорема 7. Продолженное композиционное оснащение поверхности X m индуцирует в ассоциированном расслоении G r (X m ) групповую связность 3-го типа 3

0

1

0

2

3

Г = {Г ijk , Г ij , Г abi , Г iaj , Г ai } .

Следствие 3 (Т.Остиану,Т. 7). Дважды продолженная нормализация 1-го рода и продолженная нормализация 2-го рода Нордена индуцируют групповую связность 3-го типа. 1 2

Групповые связности 1-го и 2-го типов Г, Г содержат общие касатель0

0

ную и нормальную линейные связности Г ijk , Г abi . Групповые связности 1-го 1 3

0

1

и 3-го типов Г, Г содержат общие центропроективную связность {Г ijk , Г ij } и 98

нормальную линейную связность

0 Г abi

. Групповые связности 2-го и 3-го ти0 0 2 i a {Г jk , Г bi , Г iaj } .

2 3

пов Г, Г содержат общую линейно-групповую связность Групповые связности трех типов содержат общие линейные связности 0 0 i Г jk , Г abi

, поэтому можно говорить об индуцированных касательной и нормальной линейных связностях, не указывая тип. Индуцированные центропроективные и линейно-групповые связности могут быть двух типов [Ше 5]: 0 1 {Г ijk , Г ij } ,

1 2 0 0 0 0 0 2 i i a a i i {Г jk , Г ij } , {Г jk , Г bi , Г aj } , {Г jk , Г bi , Г iaj } .

Замечания

1. Следствие 1 дает пример функции Г( Г1 , Λ, λ, λ ′, λ ′′ ), а следствия 2,3 – примеры функций Г( Λ, λ, λ ′, λ ′′ ), не учтенных в схеме § 10. 2. Продолженная нормализация Нордена индуцирует групповую связность 4-го типа [Ше 7], которая отличается от связности 2-го типа охватом компонент Г ai . §24. Подчиненные оснащения

Рассмотрим специальные оснащения Картана и нормализацию 2-го рода Нордена при композиционном оснащении поверхности X m . Плоскость Картана C n −m−1 и нормаль 2-го рода N m−1 задаются совокупностями точек (19.1,19.6). Их дифференциалы (19.2,19.7) с помощью уравнений (19.4,19.5,19.8) принимают вид: dN i = θN i + (ωij + λ i ω j ) N j + ωia A a + (λ ij − λ i λ j )ω j A, dC a = θC a + (ωab + λia ωib )C b + (λiaj + δ ijλ a − λib λka Λbkj )ω j A i + + (λ ai − λ b λja Λbji )ωi A. Воспользуемся формулами (19.20,19.21) dN i = θN i + (ωij + λ i ω j − λja ωia ) N j + ωia C a + t ijω j A ,

(1)

dC a = θC a + (ωab + λia ωib )C b + t iajω j N i + t ai ωi A ,

(2)

где 99

t ij = λ ij − λ i λ j − Λaijμ a ,

(3)

t iaj = λiaj + δ ijλ a − λib λka Λbkj ,

(4)

t ai = λ ai − λ b λja Λbji − λ j t aij .

(5)

Используя соотношения (16.7-16.9,19.4,19.5,19.8,19.19,21.3,23.1,23.2), найдем дифференциальные сравнения функций (3-5) Δt ij ≡ 0, Δt iaj ≡ 0, Δt ai ≡ 0 .

(6)

Следовательно, функции (3-5) являются тензорами. Равенства t ij = 0, t iaj = 0, t ai = 0

дают соответственно условия λ ij = λ i λ j + Λaijμ a ,

(7)

λiaj = λib λka Λbkj − δ ijλ a ,

(8)

λ ai = λ b λ ja Λbij + λ j t aij .

(9)

Из формул (1,2) видно, что при характеристическом условии: 1) (7) – нормаль 2-го рода N m−1 смещается в гиперплоскости Бортолотти Pn −1 = C n −m−1 ⊕ N m−1 ; 2) (8) – плоскость Картана C n −m−1 смещается в нормали 1-го рода N n −m = C n −m−1 ⊕ A ; 3) (9) – плоскость Картана C n −m−1 смещается в гиперплоскости Бортолотти Pn −1 ; 4) (8,9) – плоскость Картана C n −m−1 неподвижна, причем равенство (9) при условии (8) упрощается λ ai = λ b λ ja Λbij .

(10)

Определение. Нормализацию 2-го рода Нордена назовем подчиненной оснащению Бортолотти, если нормаль 2-го рода N m−1 смещается в гиперплоскости Pn −1 = C n −m−1 ⊕ N m−1 . Оснащение Картана назовем подчиненным: 1) нормализации 1-го рода Нордена, если плоскость C n −m−1 смещается в нормали 1-го рода N n −m = C n −m−1 ⊕ A ; 2) оснащению Бортолотти, если плоскость C n −m−1 смещается в гиперплоскости Pn −1 . Из формулы (8) следует формула (21.8), поэтому справедлива [ П 7] Теорема 1. Если смещения плоскости Картана C n −m−1 подчинены нормали 1-го рода Нордена N n −m = C n −m−1 ⊕ A , то новое оснащение Картана с помощью поля плоскостей С′n −m−1 , порожденных такой нормализацией 1-го рода, совпадает с исходным, т.е. С′n −m−1 = C n −m−1 . 100

Покажем, что совпадение связностей разных типов зависит от подчиненности оснащения Картана и нормализации 2-го рода Нордена. Выпишем формулы охватов компонент (20.2,20.8,20.11,20.19,20.27) объекта 1

групповой связности 1-го типа Г 0 Гijk

= Λajk λia − δijλ k − δik λ j ,

(11)

1

Г ij = Λaijλ a − λ i λ j ,

(12)

0

Г abi = −Λaijλjb − δ ab λ i , 1 Гiaj

(13)

= −δijμ a − Λbjk λib λka ,

(14)

Г ai = −μ a λ i − λ b λ ja Λbij .

(15)

1

Преобразуем формулы компонент (23.7-23.10) объектов групповых связно2 3

стей 2-го [Ше 5] и 3-го типов Г, Г с помощью формул (11-13) 2

Г ij = λ ij + λ k Λaijλka − 2λ i λ j , 2 Г iaj

(16)

= λiaj − 2λib Λbjk λka + δ ijλka λ k ,

2

Г ai = λ ai − λja Λbij (λ b + λkb λ k ) − λ a λ i − λja λ ji + 2λja λ i λ j , 3

Г ai = λ ai − 2λ b Λbijλja − λ i μ a .

(17) (18) (19)

Получим условия совпадения соответствующих компонент разных типов: 1

2

1

2

1

3

Гij = Гij ⇔ (7), Гiaj = Гiaj ⇔ (8), Г ai = Г ai ⇔ (10) , 2

1

3

компоненты Г ai совпадают с компонентами Г ai , Г ai лишь при выполнении соответственно условий λ ai = λja (Λbijλ b + t ji ) ,

(20)

λja t ji = 0 .

(21)

Выясним, когда эти равенства инвариантны. Введем обозначение 101

λ′ai = λja (Λbijλ b + t ji ) и найдем дифференциальные сравнения функций λ′ai с помощью соотношений (22.2,22.3,3,6) Δλ′ai + λka Λbik λjb ω j + λja Λbijωb + (λ ji − λ i λ j + Λbijλkb λ k )ωaj ≡ 0 .

(22)

С учетом обозначений (16.8,16.9) сравнения (23.2) принимают вид: Δλ ai + (λjai + δ ijλ a )ω j + λja Λbijωb + λ b Λbijωaj ≡ 0 .

(23)

Сравнения (22, 23) совпадают лишь при выполнении условий (7,8). Равенство (20) при условии (7) принимает вид (10), поэтому 1

2

Г ai = Г ai ⇔ (7,8,10) . В левой части равенства (21) квазитензор λja свернут с тензором t ji , поэтому равенство нулю свертки инвариантно лишь в случае t ji =0, т.е. при условии (7). Следовательно, 2

3

Г ai = Г ai ⇔ (21) ⇔ (7) . Теорема 2. Совпадение центропроективных связностей двух возможных типов

0 0 1 2 i {Г jk , Г ij } = {Г ijk , Г ij }

эквивалентно подчинению нормализации 2-

го рода Нордена оснащению Бортолотти. Теорема 3. Совпадение линейно-групповых связностей двух возможных типов

2 0 0 1 0 0 a i i a i { Г jk , Г bi , Г aj} = {Г jk , Г bi , Г iaj}

равносильно подчинению оснащения

Картана нормализации 1-го рода Нордена. 1

3

2

3

1

2

Теорема 4. Совпадение групповых связностей 1-го и 3-го типов Г = Г эквивалентно неподвижности плоскости Картана C n −m−1 . Теорема 5. Совпадение групповых связностей 2-го и 3-го типов Г = Г равносильно подчинению нормализации 2-го рода Нордена оснащению Бортолотти. Теорема 6. Совпадение групповых связностей 1-го и 2-го типов Г = Г эквивалентно вырождению оснащения Картана в одну плоскость и подчиненности нормализации 2-го рода Нордена оснащению Бортолотти. Следствие (Т.4-Т.6). Совпадение групповых связностей 1-го и 2-го типов равносильно совпадению связностей трех типов. 102

§25. Интерпретации индуцированных связностей

Параллельный перенос вектора в евклидовом пространстве является его специальным движением. Вектор можно перенести параллельно в любую точку пространства, причем для этого не нужно задавать кривую, а затем переносить вектор вдоль нее. Перенос не зависит от таких кривых, соединяющих начала исходного и параллельно перенесенного векторов, поэтому параллельный перенос вектора абсолютен. Будем рассматривать обобщения параллельного переноса вектора, называя некоторые смещения плоскостей их параллельными перенесениями в соответствующих связностях. В качестве параллельно переносимых плоскостей возьмем плоскость Картана C n −m−1 и нормаль 2-го рода Нордена N m−1 , которые задаются композиционно оснащающим квазитензором λ . Выразим ковариантные производные компонент квазитензора λ относительно групповых связностей трех типов. Для обозначения ковариантной производной в групповой связности каждого типа будем писать номер типа над символом ковариантной производной. Подставляя формулы (24.11-24.19) в выражения ковариантных производных (22.10-22.12), в силу обозначений (24.3-24.5) имеем 1

1

1

∇ j λ i = t ij , ∇ j λia = t iaj , ∇ i λ a = t ai + λ j t aij ; 2

(1)

2

2

∇ j λ i = 0, ∇ j λia = 0, ∇ i λ a = 0 ; 3

∇ j λ i = t ij ,

3

∇ j λia

(2)

3

= 0, ∇ i λ a = 0 .

(3)

Внося выражения (1) в формулы (24.1,24.2) и используя уравнения (22.4-22.6), найдем 1

dN i = θN i + (ωij + λ i ω j − λja ωia ) N j + ωia C a + ∇ λ i A , 1

1

1

dC a = θC a + (ωab + λia ωib )C b + ∇ λia N i + (∇ λ a − λ j ∇ λja )A .

(4) (5)

Формула (4) позволяет дать 1

Определение 1. Параллельным перенесением ( ∇ λ i = 0 ) нормали 2-го 0 1 i {Г jk , Г ij }

рода Нордена N m−1 в центропроективной связности 1-го типа называется [Ше 3] ее смещение в гиперплоскости Бортолотти Pn −1 = C n −m−1 ⊕ N m−1 . Исходя из формулы (5), дадим

103

1

Определение 2. Параллельным перенесением ( ∇ λia = 0 ) плоскости Картана C n −m−1 в линейно-групповой связности 1-го типа

0 0 1 i a {Г jk , Г bi , Г iaj}

называется [Ше 3] ее смещение в нормали 1-го рода Нордена N n −m = [C n −m−1 , A] . 1

1

Определение 3. Параллельным перенесением ( ∇ λ a − λ j ∇ λja = 0 ) плоскости Картана C n −m−1 в линейной комбинации групповой связности 1-го 1

типа Г называется [Ше 5] ее смещение в гиперплоскости Бортолотти Pn −1 . Определение 4. Связанно вырожденным параллельным перенесением 1

1

( ∇ λia = 0, ∇ λ a = 0 ) плоскости Картана C n −m−1 в групповой связности 1-го 1

типа Г называется [Ше 3] ее неподвижность. Формулы (2,3) позволяют дать Определение 5. Свободно вырожденными параллельными перенесениями плоскости Картана C n −m−1 в групповых связностях 2-го и 3-го типов и нормали 2-го рода Нордена N m−1 в центропроективной связности 2-го типа

0 2 2 {Г ijk , Г ij } ⊂ Г

называются любые их смещения.

Выясним существование введенных параллельных перенесений. Системы уравнений четырех параллельных перенесений (О.1-О.4) в связностях 1-го типа и ее подсвязностях вдоль линии ρ ( ωi = ρ i ω ) имеют вид: 1

∇ j λ iρ j = 0 ;

(6)

1

∇ j λia ρ j = 0 ; 1

(7)

1

(∇ j λ a − λ i ∇ j λia )ρ j = 0 ; 1

1

∇ j λia ρ j = 0, ∇ j λ a ρ j = 0 . Введем обозначения: 1

1

r1 = rang(∇ j λ i ), r2 = rang(∇ j λia ), r3 = rang(∇ jλ a − λ i ∇ jλia ), r4 = rang(∇ j λia′ ), 104

(8) (9)

где i′ = {0, i}, λ0a = λ a , индекс j нумерует столбцы, а остальные индексы – строки. Из систем линейных однородных уравнений (6-9) соответственно следует, что линия ρ определяется с произволом: 1) ∞ m−r1 −1 , т.е. существует (m-r 1 ) – мерная плоскость параллельности П m−r1 ⊂ Tm , для центропроективной связности 1-го типа; 2) ∞ m−r2 −1 , т.е. существует (m-r 2 ) -мерная плоскость параллельности П m−r2 ⊂ Tm для линейно-групповой связности 1-го типа; 3) ∞ m−r3 −1 , т.е. существует (m-r 3 )-мерная плоскость параллельности П m−r3 ⊂ Tm для линейной комбинации групповой связности 1-го типа; 4) ∞ m−r4 −1 , т.е. существует (m-r 4 )-мерная плоскость параллельности П m−r4 ⊂ Tm для групповой связности 1-го типа. Между плоскостями параллельности имеются следующие отношения: П m−r2 ⊃ П m−r4 ⊂ П m−r3 . В общем случае r1 = r2 = r4 = m , m ≤ n2 , ⎧⎪m, r3 = min{m, n − m} = ⎨ ⎪⎩n − m, m > n2 , т.е. плоскости параллельности П m−r1 , П m−r2 , П m−r3 (m ≤ n2 ), П m−r4 вырождаются в точку А. Теорема 1. Параллельные перенесения в групповой связности 1-го типа 1

Г , вообще говоря, не существуют за исключением параллельного перене1

сения плоскости Картана С n −m−1 в линейной комбинации связности Г при m > n2 , когда есть (n-m)-мерная плоскость параллельности П n −m ⊂ Tm . Для групповой связности 2-го типа в силу равенств (2) уравнения вида (6-9) обращаются в тождества, следовательно, справедлива Теорема 2. Свободно вырожденные параллельные перенесения плоскости Картана С n −m−1 и нормали 2-го рода Нордена N m−1 в групповой связности 2-го типа и ее подсвязностях существуют вдоль любой линии ρ. Для групповой связности 3-го типа в силу равенств (3) уравнения (6) остаются, а уравнения вида (7-9) исчезают, поэтому справедлива Теорема 3. В групповой связности 3-го типа и ее подсвязностях свободно вырожденные параллельные перенесения плоскости Картана С n −m−1 существуют вдоль любой линии ρ, а параллельное перенесение нормали 2-го рода Нордена N m−1 в общем случае не существует. 105

Используя формулы § 24, дадим интерпретацию индуцированных касательной и нормальной линейных связностей

0 0 i Г jk , Г abi

с помощью централь-

ных проектирований нормалей 2-го рода N m−1 и плоскостей Картана 0

~ i = ωi − Г i ωk в С n −m−1 . Внесем формы касательной линейной связности ω j j jk формулу (24.1) 0

~ j N + ωa C + t ω j A , dN i = (θ − λ jω ) N i + ω i j i a ij j

откуда следует Теорема 4. Индуцированная касательная линейная связность

0 Г ijk

ха-

рактеризуется [И 2,с.18] проекцией на нормаль 2-го рода Нордена N m−1 смежной с ней нормали N m−1 +d N m−1 из центра – нормали 1-го рода Нордена N n −m =[ С a , A ]. В символической записи 0 Г ijk

Nn −m

: N m−1 + dN m−1 → N m−1 . 0

0

~ a = ωa − Г a ωi в форВнесем формы нормальной линейной связности ω b bi b мулу (24.2) 0

~ b C + t i ω j N + t ωi A , dC a = (θ − λ i ω )C a + ω a b aj i ai i

откуда вытекает 0 Г abi

Теорема 5. Индуцированная нормальная линейная связность интерпретируется [И 2,с.19,Bor 2] проекцией на плоскость Картана С n −m−1 смежной с ней плоскости С n −m −1 +d С n −m −1 из центра – касательной плоскости Tm = [ N i , A] . Символически 0 Г abi

Tm

: C n −m−1 + dC n −m−1 → C n −m−1 .

Вывод. В общем случае параллельные перенесения нормали 2-го рода Нордена N m−1 и плоскости Картана С n −m−1 относительно групповых связностей трех типов и их подсвязностей вырождены связанно, либо свободно. Исключение составляет параллельное перенесение плоскости С n −m−1 в

линейной комбинации групповой связности 1-го типа при m> n2 . 106

Замечания

1. Обычно рассматривают параллельные перенесения касательных и нормальных направлений, т.е. прямых, проходящих через точку А и лежащих в касательной плоскости Т m и нормали 1-го рода Нордена N n −m = C n −m−1 ⊕ A . Такие направления задаются точками N ∈ N m−1 и C ∈ C n −m−1 . Параллельные перенесения направлений часто определяются с помощью специальных смещений задающих их точек N и C, при этом возникает больше возможностей, чем при параллельных перенесениях плоскостей N m−1 и С n −m −1 . 2. Индуцированные касательная и нормальная линейные связности 0 Г ijk

0 , Г abi

обычно интерпретируются с помощью параллельных перенесений

касательных и нормальных направлений [Н 2, Ше 2,Ч 2]. 3. К.В.Полякова [1-6] исследовала параллельные перенесения произвольных направлений, а также касательных и нормальных направлений вдоль поверхности, рассматриваемой с трех точек зрения. 4. Параллельные перенесения многомерных нормальных направлений исследованы в ряде работ (см., например, [Ч 2]). Они занимают промежуточное место между параллельными перенесениями одномерных нормальных направлений и плоскостей Картана.

107

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа является продолжением учебного пособия «Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий» [Ше13]. Главной целью было распространение метода нормализации Нордена поверхности проективного пространства на подмногообразие гладкого многообразия. Обобщениями метода нормализации занимались В.И. Ведерников [Ве], Ю.Г.Лумисте [Лу2], A.Goetz [G] и др., однако непосредственного обобщения не было получено, Понятие центропроективного многообразия позволило разрешить эту проблему. Отметим ряд возможных направлений дальнейших исследований: 1) разработка теории неголономных подмногообразий, или распределений на центропроективных многообразиях; 2) исследование семейств линейных фигур в проективном пространстве и центропроективном многообразии, выяснение структуры их нормализаций и оснащений; 3) изучение связностей высших порядков в соответствующих ассоциированных расслоениях с помощью нормализаций и оснащений высших порядков; 4) введение понятия проективного многообразия при другой проективизации (см., например, [V]) касательных линейных пространств гладкого многообразия, когда они становятся проективными пространствами на единицу меньшей размерности; 5) развитие теории связностей проективного многообразия и его подмногообразий, установление отношения с пространством проективной связности Картана.

108

Темы для учебно-исследовательской работы студентов и аспирантов

1. Голономное и неголономное центропроективные многообразия. 2. Центропроективная связность как связность в расслоении над центропроективным многообразием. 3. Классификация пространств голономной центропроективной связности, их голономность и неголономность. 4. Нормализация и оснащения центропорективного многообразия, совпадение индуцированных ими связностей. 5. Параллельные перенесения аналога нормали 2-го рода. 6. Линейная связность центропроективного многообразия как отображение. 7. Центропроективное подмногообразие и его прикасающиеся пространства. 8. Ассоциированное с центропроективным подмногообразием расслоение и связность в нем. 9. Обобщение классических оснащений на центропроективном подмногообразии и их роль. 10. Вырождение параллельных перенесений на центропроективном подмногообразии. 11. Интерпретации касательной и нормальной линейных связностей на центропроективном подмногообразии. 12. Новые оснащения центропроективного подмногообразия. 13. Структурные уравнения проективной группы. 14. Поверхность в проективном пространстве. 15. Ассоциированное с поверхностью расслоение и связность в нем. 16. Пространство групповой связности, ассоциированное с поверхностью. 17. Классические оснащения поверхности. 18. Групповая связность 1-го типа. 19. Задача оснащения в проективно-дифференциальной геометрии поверхности. 20. Тензоры неабсолютных перенесений. 21. Групповые связности 2-го и 3-го типов. 22. Подчиненные оснащения поверхности. 23. Совпадение групповых связностей разных типов. 24. Интерпретации индуцированных связностей на поверхности. 109

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК [А]

Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977. 84 с. [Ва] Вагнер В. В. Теория дифференциальных объектов и основания дифференциальной геометрии // Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М., 1949. С.135-223. [Ве] Ведерников В. И. Обобщение метода нормализации А. П. Нордена на случай расслоенного пространства //Уч. зап. Казан. ун-та. 1963. Т.123. №1. С.3-23. [ЕЛОШ] Евтушик Л. Е.,Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. /ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. С.5-247. [И] Ивлев Е.Т. 1. О подмногообразии E(0,n-m,m) в n-мерном проективном пространстве Pn (m>2, n<m(m+1)) // Сиб. мат. журн. 1967. Т.8. N5. С.1143-1155. 2. Об инвариантных связностях расслоения Pm,n. Томск, 1983. 35 с. Деп. в ВИНИТИ, N137-84. [ИК] Ивлев Е.Т., Кулеш В.А. О распределениях Δ2,m расслоения Pm,n. Томск, 1982. 30 с. Деп. в ВИНИТИ, N1257-83. [ИП] Ивлев Е.Т., Подскребко Э.Н. О некоторых геометрических образах многомерной поверхности пространства проективной связности. Томск, 1976. 18 с. Деп. в ВИНИТИ, N 2041-76. [Кар] Картан Э. 1. Пространства проективной связности // Тр. семин. по век. и тенз. анализу. М., 1937. Вып.4. С.160-173. 2. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962. 210 с. [Коб] Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986. 224 с. [Ков] Кованцов Н. И. Неголономные пространства со связностью // Тр. 1й Респ. конф. математиков Белоруссии. Минск, 1965. С.196-218. [Лап] Лаптев Г. Ф. 1. О внутренних геометриях многообразий, вмещенных в многомерное аффинное пространство: Дис.... канд. физ.-мат. наук. М., 1941. 103 с.

110

[ЛО] [Ле] [Лу]

[Н]

[Ос]

[П]

2. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т.2. С.275-382. 3. Об инвариантном оснащении поверхности в пространстве аффинной связности // ДАН СССР. 1959. Т.126. N 3. С.409-413. 4. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Итоги науки и техн. Геометрия (1963) / ВИНИТИ. М., 1965. С.5-64. 5. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.139-189. 6. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия // Там же. 1969. Т.2. С.161-178. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семин.// ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С.49-83. Лемлейн В.Г. Локальные центропроективные пространства и связности в дифференцируемом многообразии // Литов. мат. сб. 1964. Т.4. N 1. С.41-132. Лумисте Ю. Г. 1. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуского ун-та. 1965. Вып.177. С.6-41. 2. Однородные расслоения со связностью и их погружения // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.191-237. 3. Связности в однородных расслоениях // Мат. сб. 1966. Т.69. С. 434-469. 4. Проективная связность // Мат. энцикл. М., 1984. Т.4. С.671673. Норден А. П. 1. Аффинная связность на поверхностях проективного и конформного пространства // ДАН СССР. 1945. Т.48. №8. С.567-569. 2. Пространства аффинной связности. М., 1976. 432 с. 3. Теория композиций // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т.10. С.117-145. Остиану Н. М. 1. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М.,1966. Т.1. С.239-263. 2. Дифференциально-геометрические структуры на расслоенных пространствах. М.,1973. 32 с. Деп. в ВИНИТИ, N 5813-73. Полякова К. В. 1. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1996. Вып.27. С.63-70. 2. Параллельные перенесения на многообразии соприкасающихся плоскостей поверхности // Там же. 1997. Вып.28. С.59-64. 111

[Ро] [Ры]

[Ст]

[Сы] [Ф] [Шв] [Шев]

112

3. Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием пар касательной и соприкасающейся плоскостей поверхности// Тр. геом. семин. Казань, 1997. Вып.23. С.99-112. 4. Параллельные перенесения, заданные не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып.29. С.48-53. 5. О голономности поверхности проективного пространства // XXX науч. конф. проф.-преп. состава, науч. сотр., асп. и студ. Тез. докл. Калининград,1999. Ч. 6. С.7-8. 6. Вырожденные параллельные перенесения на поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып.30. С.64-68. 7. Специальные оснащения Бортолотти и Картана на поверхности // Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики. М, 1999. С.36-37. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.,1966. 648 с. Рыбников А. К. 1. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Мат. 1986. №1. С.60-69. 2. Аффинные связности, индуцируемые на многомерных поверхностях аффинного пространства // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М.,1974. Т.6. С.135-155. Столяров А. В. 1. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1976. Т.8. С.25-46. 2. Системы уравнений Пфаффа в инволюции. Классические пространства. Чебоксары, 1998. 132 с. Сыроквашина А.Н. Параллельные перенесения нормали поверхности аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып.30. С.84-88. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии/ Пер. с франц. М., 1960. 560 с. Швейкин П. И. Приложение нормальных объектов к геометрии поверхности в проективном пространстве // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1974. Т.6. С.157-170. Шевченко Ю. И. 1. Об оснащении многомерной поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1977. Вып.8. С.135-150. 2. Параллельные перенесения на поверхности // Там же. 1979. Вып.10. С.154-158. 3. Геометрическая характеристика некоторых индуцированных связностей поверхности // Там же. 1981. Вып.12. С.126-130. 4. Структура оснащения многообразия линейных фигур // Тез. докл. VI прибалт. геом. конф. Таллин, 1984. С.137-138.

[Ч]

[Bor]

[Car] [Cr] [G] [Kl] [R]

5. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1987. Вып.18. С.115-120. 6. О проективной связности Картана, индуцированной на поверхности // Там же. 1988. Вып.19. С.121-126. 7. Об основной задаче проективно-дифференциальной геометрии поверхности // Там же. 1989. Вып.20. С.122-128. 8. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Там же. 1994. Вып. 25. С.110-121. 9. Оснащения подмногообразий голономного и неголономного дифференцируемых многообразий // Там же. 1995. Вып.26. С.113-126. 10. Связности голономных и неголономных центропроективных многообразий // Там же. 1996. Вып. 27. С.122-135. 11. Оснащения подмногообразий голономного и неголономного центропроективных многообразий // Там же. 1997. Вып.28. С.86-98. 12. Линейные связности голономного и неголономного гладких многообразий // Тр. геом. семин. Казань, 1997. Вып.23. С.175-186. 13. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998. 83с. 14. Примеры неголономных гладких многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып.29. С.91-101. 15. Две проективные связности на неголономной поверхности // Там же. 1999. Вып.30. С.102-112. Чакмазян А.В. 1. Подмногообразие проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения // Всес. науч. конф. по неевкл. геом.: 150 лет геом. Лобачевского. Казань, 1976. С.209. 2. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990. 116 с. Bortolotti E. 1. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 1933. N 3. P.81-89. 2. Sulle connessioni proettive // Rend. Circ. Matem. Palermo. 1932. T.56.P.1-57. Cartan E. Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937. 308 p. Cruceanu V. Structures et connexions classiques sur une variete differentiable // An. Sti. Univ. Iasi, 1976. Sec. 1a. T.22. N2. P.181-190. Goetz A. On induced connection // Fundam. math. 1964. Vol.55. N2.P.149-174. Klingenberg W. Uber das Einspannungsproblem in der projektiven und affinen Differentialgeometrie // Math. Z. 1952. B.55. N.1. S.321-345. Radziszewski K. Projective operator of centre-projective connection. On projective connection locally. Part II // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math., astr. et phys. 1974. Vol.22. N4. P.403-407. 113

[Th] [V]

114

Thomas T.Y. On the projective and equiprojective geometries of paths // Proc. Nat. Acad. Sc. 1925. Vol.11. N4. P.199-203. Vaisman I. Asupra geometriei directiilor de pe o varietate differentiabila // An. Univ. Timisoara. Ser. Stiinte mat.-fiz. 1964. N2. P.249-263.