Измерение скорости движения и профиля уединенной внутренней волны: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Часть 2. Молекулярная физика

Новосибирск, 1988

3. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА Лабораторная работа 3.2 ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ И ПРОФИЛЯ УЕДИНЕННОЙ ВНУТРЕННЕЙ ВОЛНЫ Цель работы - знакомство с внутренними волнами в стратифицированной по плотности жидкости и определение параметров этих волн. Оборудование: осциллограф, самописец, устройство для измерения параметров волн, лабораторный канал, датчики электропроводности. Во многих разделах физики, в том числе и в гидродинамике, большое внимание уделяется изучений уединенных волн, или солитонов. Они представляют собой устойчивые волны, в которых нелинейные эффекты (тенденция волн конечной амплитуды к укручению и обрушению) уравновешивают явление дисперсии (распадение произвольной волны на цуг моногармонических волн разной длины, распространяющихся с разными скоростями) и которые при отсутствии диссипации энергии (например, из-за вязкости жидкостей) распространяются с постоянной скоростью, не меняя своего профиля. Открытые более 150 лет назад Дж.С. Расселом на поверхности неглубокого слоя однородной жидкости, они продолжают привлекать пристальное внимание исследователей. Большим шагом на пути изучения уединенных волн стало уравнение вида

η t + αη x + βηη x + γη xxx = 0 (1) где η= η(x,t) - отклонение границы раздела от положения равновесии; α, β, γ коэффициенты; нижний индекс обозначает дифференцирование по времени t и координате x. Уравнение (1) получено Кортевегом де Фрисом для описания распространения волн на мелкой воде пои отсутствии диссипации. Теперь оно встречается в теории решеток, физике плазмы и магнитогидродинамике. Перечень физических приложений и связанных с ними нелинейных уравнений чрезвычайно обширен и вряд ли стоит сомневаться в их физической значимости. Мы будем рассматривать волны на границе раздела двух слоев жидкости разной плотности со свободной поверхностью (рис.1).

Рис.1. Схема течения в двухслойной жидкости

Здесь h1, и h2, ρ1 и ρ2 - глубины и плотности верхнего и нижнего слоев соответственно, η0 - амплитуда волны, hm = h2 + η 0 -максимальное расстоянию от дна канала до гребня волны, v – скорость движения волны, g - ускорение силы тяжести. Для рассматриваемого случая двухслойной жидкости уравнение (1) имеет вид: v 0−1

dη dη 3  1 1  dη 1 d 3η + +  − η + h1 h2 3 = 0 , (2) dt dx 2  h2 h1  dx 6 dx

где v - скорость распространения бесконечно малых возмущений. В приближений Буссинеска (когда изменением плотности пренебрегают всюду, кроме членов уравнений, содержащих ускорение силы тяжести) солитонное решение уравнения (2) имеет вид /27/:  1 (h1 − h2 )η 0 η = η 0 sec h 2 k (x − vt ), v = v 0 1 + h1 h2  2

  , (3) 

где k2 =

µgh1 h2 ρ − ρ1 3 (h1 − h2 )η 0 , µ= 2 , v 02 = . (4) 2 2 ρ2 4 h1 h2 h1 + h2

При конечной разнести плотностей (когда приближение Буссинеска не используется) солитонное решение уравнения (2) будет иметь вид (3), но для k и vo получаются следующие выражения /11/: k2 =

(

)

µgh1 h2 ρ 2 3 ρ 2 h12 − ρ1 h22 η . (5) , v 02 = 2 2 4 h1 h2 (ρ 2 h2 + ρ1h1 ) h1 ρ 2 + h2 ρ 2

Покажите, что при ρ1 → ρ 2 уравнение (5) переходит в уравнение (4). Большинство работ (в том числе /11/ и /27/), кроме стандартного допущения теории мелкой воды о малости отношений глубины жидкости к длине волны, содержат дополнительное предположение о малости отношения амплитуды волны к глубине жидкости. И только недавно в работе Л.В. Овсянникова /21/ это ограничение было снято в рамках второго приближения теории мелкой воды. Для профиля волны и скорости ее движения здесь получена система уравнений:

 η sec h 2 kx η η = = , , g 0  2 − h h − 1 gth kx ∗ 2   2 3 (h∗ − h2 )η 0 H − hm , h∗ = H , k = µ − 4 r H hm  ∗  (6) η0  η0   v2  2   2   λ = − + + , r h h h h     1 2  ∗ µg  2 1 2 2         2 hm(H − hm ) µ = v , H = h1 + h2 , λ = 1 − µ g  H − hm При η 0 → 0 выражение для vo совпадает с уравнением (5). Следует отметить, что при h1 ≥ h2 может существовать только волна в виде бугра (выпуклостью вверх), а при h1 ≤ h2 в виде впадины (выпуклостью вниз). Методика проведения опытов Прежде чем начать опыты, необходимо внимательно осмотреть экспериментальную установку и идентифицировать обозначения на рис. 2, с тем, что есть в натуре. После этого с помощью поворотного винта (5) волнопродуктора добиться такого перемещения пластины (1), чтобы генерируемая волна визуально была похода на волну, изображенную на рисунке. Для этого нужно плавно повернуть винт(5), пластина (1) будет перемещаться вниз (при генерации волны в виде бугра) или вверх (при генерации волны в виде впадины). В исходное положение пластину следует возвращать медленно. После каждого опыта нужно дождаться, чтобы всякое волнение прекратилось (2-3 мин). Убедившись, что волнение прекратилось, приступите к измерению глубин слоев. Для этого используйте или обычную мерную линейку или координатное устройство (3). Перемещая с помощью винта (4) датчики (2), последовательно коснитесь одним из датчиков (который опущен ниже) и зафиксируйте координату последовательно свободой поверхности, границы раздела и дна канала. Вычислите глубины слоев. После этого нужно провести тарировку датчиков электропроводности.

Рис.2. Схема экспериментальной установки: I - волнопродуктор, 2 - датчики электропроводности, 3 - координатное устройство с линейкой -1 нониусом, 4 - винты координатного устройства, 5 - винт волнопродуктора Принцип действия датчиков основан на том, что слегка подсоленная вода хороший проводник, а керосин - диэлектрик. На рис.3 приведены схемы - работы (а) и чувствительный элемент датчика (б). Генератор (1) вырабатывает сигнал напряжением

Рис. 3. Схема датчика электропроводности: 1 - генератор, 2 - датчик, 3 детектор, 4 - регистрирующее устройство 24 В и частотой 150 кГц, который подается на датчик (2). Он является переменным сопротивлением, падение напряжение на котором связано с глубиной проникновения проволочек в проводящую жидкость. При прохождении волны с датчика (2) поступает амплитудно-модулированный сигнал, который подается на детектор (3). Низкочастотная составляющая сигнала проходит через детектор и попадает на регистрирующее устройство (4). В качестве регистрирующего устройства может использоваться самописец, запоминающий двухлучевой осциллограф или цифровой вольтметр. Для тарировки датчиков с помощью винтов (4) (рис.2) датчик перемещается с шагом 1 - 2 мм, фиксируются показания координатника и записывающего устройства и строится тарировочная кривая. Если она была линейной (а так должно быть), то довычисляется масштаб по вертикали M yi = ∆A ∆U i ; здесь ∆A - перемещение датчика по вертикали, ∆U i - значение электрического сигнала с записывающего устройства, i = 1,2 - номера датчиков. После чего чувствительный элемент датчика заглубляется в проводящий слой на глубину 3 - 4 мм при изучение волн в виде бугра и на 10 - 12 мм при изучении волны в виде впадины. Генерируется волна, которая записывается на ленту самописца. Опыт повторяется несколько раз с разными амплитудами волн. Для определения скорости движения волны скорость движения ленты самописца С выбирается равной 5 - 10 мм/с, а для определения профиля волны - 25 мм/с. Записанный на ленте самописца сигнал с помощью измерителя обмеряется. Для определения масштаба по горизонтали находится расстояние между гребнями (впадинами) на ленте самописца ∆L , и по известному расстоянию между датчиками ∆x определяется масштаб по горизонтали M x = ∆x ∆L . С помощью найденных Myi и Mx вычисляются амплитуда и профиль волны. Скорость волны определяется по Mx и скорости движения ленты самописца:

vэ = Mx c. Следует отметить, что из-за вязкости жидкостей амплитуда волны медленно уменьшается. Поэтому сравнение скорости нужно проводить со средним значением скорости, вычисленном при разных амплитудах. Задания 1. Поведите тарировку датчиков по методике, описанной выше. 2. Проведите два опыта ηo= 6 - 7 мм и ηo = 3 - 4 мм. Определите экспериментальные скорость движения, амплитуду и профиль волны, используя полученные масштабы Mx и Myi. 3. По измеренной амплитуде волны ηo по формулам (3) - (6) рассчитайте скорость движения и профиль волны. 4. Сравните теоретические и экспериментальные значения параметров волн. См. библиографический список: /11/, /21/, /27/, /29/, /35/. Интернет версия подготовлена на основе издания: Описание лабораторных работ. Часть2. Молекулярная физика. Новосибирск: Изд-во, НГУ, 1988  Физический факультет НГУ, 2000  Лаборатория молекулярной физики НГУ, 2000, http://www.phys.nsu.ru/molecules/