Оптимизационные задачи электроснабжения: Рабочая программа, задания на контрольные работы, методические указания к выполнению контрольной работы

МИНИСТЕРСТВО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Методические указания по выполнению контрольных работ

Факультет энергетический Специальность 1004 - электроснабжение

Санкт-Петербург, 2002

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 621.311. Оптимизационные задачи электроснабжения Рабочая программа, задания на контрольные работы, методические указания к выполнению контрольной работы. - СПб.: СЗТГУ, 2001, - 23 с. В методическом комплексе рассмотрены методы решения оптимизационных задач в области проектирования и эксплуатации систем электроснабжения промышленных предприятий. Задания на контрольные работы составлены с целью усвоения применения методов линейного и нелинейного программирования в задачах электроснабжения. Рабочая программа курса соответствует государственному стандарту специальности 100400 - электроснабжение и содержанию блока дисциплин "Исследования и эксперимент в системах электроснабжения" (СДБ.06). Рабочая программа разработана на основании плана издания кафедры на 2001 –02 учебный год. Рассмотрено на заседании кафедры электроснабжения «____» _______________ 200 г. Одобрено методической комиссией энергетического факультета «____» ______________ 200 г. Рецензенты: кафедра электроснабжения (зав. кафедрой, канд. техн. наук., профессор Г.З.Зайцев). директор НПЦ АПЭС канд. техн. наук М.И. Божков.

Составитель: В.Н. Костин, кандидат технических наук, доцент.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ (объем курса 143 часа) 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОПТИМИЗАЦИИ (3 часа) [1], с.3-17, [4], с. 9-29. Основные понятия и определения теории оптимизации. Переменные. Целевая функция. Условия - ограничения. Граничные условия. Критерии оптимизации. Локальные и глобальный экстремумы. Математическая модель. Математическое программирование. Общая характеристика методов оптимизации. Классические методы определения условных экстремумов функции. Общая характеристика методов линейного, нелинейного, динамического, целочисленного, стохастического программирования. Многопараметрическое программирование. 2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ МЕТОДАМИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (30 часов). [1], с. 28-51; [2], с. 24-27; [3], с. 31-34; [4], с. 87-104. Класс задач электроснабжения, сводимых к задачам линейного программирования. Основная задача линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования. Графический метод решения. Алгебраические преобразования систем линейных уравнений. Аналитический метод решения задачи линейного программирования (симплекс-метод). Формулировка транспортной задачи применительно к системе электроснабжения промышленного предприятия. Особенности математической модели. Получение допустимого решения. Метод потенциалов при решении транспортной задачи. Блокировка передачи мощности по линии. Учет ограничений пропускной способности линий. Решение транспортной задачи с промежуточной (транзитной) передачей мощности через узлы. Решение задач линейного программирования на персональных компьютерах. 3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ МЕТОДАМИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (20 часов). [1], с. 52-69; [2], с. 70-75; [4], с. 183-189. Класс задач электроснабжения, решаемых методами нелинейного программирования. Основная задача нелинейного программирования. Особенности решения задач с нелинейными зависимостями. Методы безусловной и условной оптимизации.

Графическая иллюстрация методов нелинейного программирования. Градиентные методы. Выбор оптимальной длины шага в градиентных методах. Метод скорейшего спуска. Метод покоординатного спуска. Учет ограничений. Метод проектирования градиента. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Метод Ньютона. Понятие о квадратичном программировании. Применение методов нелинейного программирования в задачах оптимизации режима системы электроснабжения. Оптимизация мощностей компенсирующих устройств в схеме электроснабжения. Решение задач нелинейного программирования на персональных компьютерах. 4. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ МЕТОДАМИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (10 часов). [1], c. 70-79; [3], с. 45-48. Класс задач электроснабжения, решаемых методами динамического программирования. Особенности динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана. Уравнение Беллмана. Рекуррентные уравнения поэтапного решения задач. Применение методов динамического программирования в задачах оптимизации управления режимом электроснабжения; оптимизации развития схем распределительных сетей; оптимизации профилактических ремонтов оборудования схем электроснабжения. Применение методов динамического программирования в задачах регулирования и управления качеством электроэнергии. Решение задач динамического программирования на персональных компьютерах. 5. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ МЕТОДАМИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО И ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (10 часов). [1], c. 79-87; [4], с. 156-174; [3], с. 219-221. Класс задач электроснабжения, решаемых методами целочисленного программирования. Методы решения целочисленных задач линейного и нелинейного программирования. Задачи с булевыми переменными. Задачи дискретного программирования. Применение метода ветвей и границ в оптимизационных задачах электроснабжения. Оптимизация структуры распределительной сети схемы электроснабжения. Решение задач целочисленного и дискретного программирования на персональных компьютерах.

6. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ МЕТОДАМИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (10 часов). [1], c. 87-89; c. 112-115; [4], с. 200-215. Класс задач электроснабжения, решаемых методами стохастического программирования. Математическая модель. Варианты постановки задачи стохастического программирования. Максимизация (минимизация) среднего значения целевой функции (М-постановка). Максимизация вероятности получения максимального (минимального) значения целевой функции (Рпостановка). Условия-ограничения. Граничные условия. Решение задач стохастического программирования на персональных компьютерах. 7. РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ПРИ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИИ (6 часов). [1], c. 87-90. Причины недетерминированной информации. Вероятностная и неопределенная информация. Решение оптимизационных задач при вероятностной информации. Платежная матрица. Критерий оптимальности – минимум математического ожидания приведенных затрат. Решение оптимизационных задач при неопределенной информации. Основные понятия теории игр. Составление платежной матрицы. Основные стратегии выбора решения. Стратегия минимума средних затрат. Миниминная стратегия. Минимаксная стратегия. Стратегия Гурвица. Выбор весового коэффициента. Анализ решений, полученных по различным стратегиям. 8. МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ (10 часов). [1], 115-120; [2], с. 237-260. Класс задач электроснабжения, в которых оптимизацию проводят по нескольким параметрам. Методы экспертных оценок. Определение коэффициентов веса. Непосредственное назначение коэффициента веса. Оценка важности параметров в баллах. Метод парных сравнений. Оптимизация по нескольким параметрам. Обобщенная целевая функция. Оптимизация по ресурсам. Оценка вариантов по обобщенному критерию. Методы решения задачи оптимизации по нескольким параметрам.

9. ОПТИМИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ (14 часов). [1], c. 91-111; [4], с. 360-379. Модели, подобие и моделирование. Основы теории обработки результатов эксперимента. Статистические гипотезы. Регрессионный анализ. Дисперсионный анализ. Планирование эксперимента. Определение аналитических зависимостей в задачах электроснабжения. Прогнозирование электрической нагрузки предприятий в перспективе развития. Определение параметров схем замещения линий электропередачи, асинхронных и синхронных машин. Определение параметров уравнений регрессии (линейной и нелинейной) на персональных компьютерах.

Литература. 1. Гончар В.С. Оптимизационные задачи энергетики: Конспект лекций.- СПб: СЗГТУ, 2000. 2. Щукин Б.Д., Лыков Ю.Ф. Применение ЭВМ для проектирования систем электроснабжения. - М.: Энергоатомиздат, 1982. 3. Применение числовых вычислительных машин в электроэнергетике /Под ред. Щербачева О.В. - Л.: Энергия, 1980. 4. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами EXCEL7.0.- СПб.: BHV - СПб, 1997.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ (12 часов). 1. Решение задачи выбора оптимального количества цеховых трансформаторов методом линейного программирования. 2. Решение транспортной задачи при оптимизации электрической сети схемы электроснабжения промышленного предприятия. 3. Решение задачи оптимизации распределения реактивной мощности компенсирующих устройств в радиальной схеме электроснабжения промышленного предприятия. 4. Решение задачи оптимизации распределения реактивной мощности компенсирующих устройств в магистральной схеме электроснабжения цеха.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ (20 часов). 1. Основные понятия и определения теории оптимизации. Математические модели. Методы оптимизации. Постановка задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования …………………………………….4 ч. 2. Аналитический метод решения задачи линейного программирования (симплекс-метод) ....................................…… 2 ч. 3. Транспортная задача в сетевой постановке. Допустимое решение. Метод потенциалов при решении транспортной задачи. Блокировка передачи мощности по линии. Ограничение пропускной способности линий. Учет транзита мощности через узлы……….. 4 ч. 4. Методы нелинейного программирования. Графическая иллюстрация. Градиентные методы решения. Метод неопределенных множителей Лагранжа. ……………………….... 4 ч. 5. Применение метода ветвей и границ при решении оптимизационных задач электроснабжения….………..…………. 2 ч. 6. Решение оптимизационных задач при вероятностной и неопределенной информации. Применение теории игр ................ 2 ч. 7. Основные сведения о динамическом, целочисленном, дискретном и стохастическом программировании……………….. 2 ч. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ. Контрольные работы служат для закрепления материала по курсу и включают в себя задачи по оптимизации как проектирования так и режима схемы электроснабжения с использованием аппарата линейного и нелинейного программирования. Контрольные работы выполняются в отдельной тетради, на обложке которой указываются фамилия и инициалы студента, название дисциплины, номер специальности и шифр. Номер варианта каждой задачи соответствует двум последним цифрам шифра студента. Текст работ должен быть изложен аккуратно, лаконично, четко, с обязательным приведением условий задач, необходимых формул, графиков, схем, единиц физических величин. Все расчеты должны быть легко проверяемыми, поэтому они должны содержать не только общее выражение и конечный результат, но и промежуточные записи, выполняемые при вычислениях.

При оформлении контрольных работ оставляются поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя. Оформление контрольных работ, графическая часть, сокращения и обозначения должны соответствовать требованиям действующих ГОСТ и ЕСКД. Студенты заочного отделения допускаются к зачету по курсу только после рецензирования, допуска к защите и защиты контрольных работ. Задача 1. От шин 10 кВ главной понизительной подстанции ГПП предприятия осуществляется электроснабжение цеха с расчетными нагрузками Рр и Qр. (рис. 1). Определить оптимальное количество цеховых трансформаторов напряжением 10/0,4 кВ с заданными номинальной мощностью Sтн и коэффициентом загрузки kз при условии, что со стороны питания потребляемая реактивная мощность не должна превышать значения Qэ. Устройства для компенсации реактивной мощности могут быть установлены как на шинах 10 кВ ГПП Q10, так и на шинах 0,4 кВ цеховых трансформаторов Q04.

Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 1.

Затраты на единицу мощности трансформаторов и компенсирующих устройств обозначены через z.

Таблица 1 Параметр 0 20 18 8 0,7

.

Рр, МВ А Qр, Мвар Qэ, Мвар kз, о.е. Параметр

0 .

Sтн, кВ А zт, у.е./кВ.А z04,у.е./квар z10,у.е./квар

Последняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8 25 30 33 35 18 28 33 26 20 25 29 30 15 24 25 20 9 10 11 12 6 10 12 8 0,75 0,8 0,85 0,9 0,7 0,75 0,8 0,85 Предпоследняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8

9 22 18 7 0,9 9

1000 1600 2500 1000 1600 2500 1000 1600 2500 1000

9 10 4

10 9 4,5

9 8 4

10 8,5 5

9 10 5

12 9 4

11 8,5 4,5

12 9,5 4

11 8 4,5

12 10 5

Методические указания к решению задачи 1. По заданным расчетным активной Рр и реактивной Qр нагрузкам определяется полная расчетная нагрузка ______ Sр = √ Рр2+Qр2 . (1)

Шины10кВ ГПП

Q <= Qэ Цех промышленного предприятия

Q10

Цеховые трансформаторы Шины 0,4 кВ Рр

Qр

Q04

Рис. 1

По величине Sр и заданному коэффициенту загрузки kз определяется максимальное количество цеховых трансформаторов с заданной номинальной мощностью Sтн Nmax = Sр /( Sтн* kз).

(2)

При полной компенсации реактивной мощности на шинах 0,4 кВ (Qр = Q04) количество цеховых трансформаторов будет минимальным Nmin = Рр /( Sтн* kз).

(3)

Значения Nmax и Nmin округляются до ближайших больших целых чисел. Оптимальное количество цеховых трансформаторов N, подлежащее определению, будет лежать в пределах Nmax >= N >= Nmin.

(4)

Величина мощности компенсирующих устройств на шинах 0,4 кВ, позволяющая сократить количество трансформаторов на единицу составит Q041 = Qр / ( Nmax - Nmin) (5) Для определения оптимального количества трансформаторов необходимо найти минимум целевой функции

Z = zт * Sтн * N + z04 * Q04 + z10 * Q10 ,

(6)

представляющей собой суммарные затраты на цеховые трансформаторы и компенсирующие устройства на 0,4 и 10 кВ. Минимум целевой функции (6) ищется при следующих ограничениях: величина мощности компенсирующих устройств на напряжение 0,4 кВ не должна превышать расчетную реактивную нагрузку (перекомпенсация не допускается) Q04 <= Qр ;

(7)

величина мощности компенсирующих устройств на напряжение 10 кВ должна удовлетворять условию, что со стороны питания потребляемая реактивная мощность не должна превышать значения Qэ

Qр - Q10 <= Qэ ;

(8)

суммарная мощность компенсирующих устройств также должна удовлетворять этому условию Qр - Q10 - Q04 <= Qэ ;

(9)

искомое количество трансформаторов, уменьшаемое за счет установки компенсирующих устройств на шинах 0,4 кВ, определится условием N >= Nmax - Q04 / Q041.

(10)

Решение задачи должно выполняться при граничных условиях N >= 0, Q04 >= 0, Q10 >= 0.

(11)

Ограничения (7-10) запишем в виде, где искомые переменные будут в левых частях, а известные величины – в правых Q04 <= Qр , Q10 < = Qр - Qэ, Q04 + Q10 >= Qр - Qэ , N + Q04 /Q041 >= Nmax.

(12)

Имея три искомые переменные Q04, Q10 и N, введем дополнительные неотрицательные переменные x4, x5, x6 и x7 для перехода от ограничений неравенств к ограничениям равенствам Q04 + х4 = Qр , Q10 + х5 = Qр - Qэ, Q04 + Q10 - х6 = Qр - Qэ , N + Q04 /Q041 - x7 = Nmax.

(13)

Все семь переменных x4, x5, x6, x7, N, Q04 и Q10 делятся на базисные и свободные. Количество базисных переменных равно количеству ограничений, т.е. четырем. Остальные три переменные – свободные. Коэффициенты при базисных переменных должны быть равны +1, а сама базисная переменная должна быть записана в системе ограничений только один раз. В качестве базисных переменных удобно принять переменные x4, x5, x6 и х7, поскольку они удовлетворяют указанным условиям. Переменные N, Q04 и Q10 будут свободными. Систему (13) запишем в виде х4 + Q04 = Qр , х5 + Q10 = Qр - Qэ, х6 - Q04 - Q10 = - Qр + Qэ , х7 - N - Q04 /Q041 = - Nmax.

(14)

После ввода дополнительных переменных граничные условия (11) дополнятся до следующего вида N >= 0, Q04 >= 0, Q10 >= 0, х4 >= 0, х5 >= 0, х6 >= 0, х7 >=0.

(15)

Итак, математическая модель решаемой задачи включает в себя целевую функцию (6), ограничения – равенства (14) и граничные условия (15). Целевая функция и ограничения линейны относительно искомых переменных, поэтому задача решается методом линейного программирования, а именно, симплексметодом, алгоритм которого излагается ниже. Перейдем к табличной форме записи выражений (6) и (14) (см. табл.2). При равенстве нулю свободных переменных (N = 0, Q0,4 = 0 и Q10 = 0) значения базисных переменных составят x4 = Qр, x5 = Qр - Qэ, x6 = - Qр + Qэ, х7 = - Nmax (см. систему (14) и табл. 2).

x4 0 1 0 0 0

x5 0 0 1 0 0

x6 0 0 0 1 0

x7 0 0 0 0 1

N zт*Sтн 0 0 0 -1

Q04 z04 1 0 -1 -1 /Q041

Таблица 2 Q10 z10 -Z 0 Qр 1 Qр - Qэ -Qр + Qэ -1 0 - Nmax

Начальное значение целевой функции согласно выражению (6) Z = 0. В дальнейшем значение целевой функции будет накапливаться в ячейке Z с противоположным знаком. Итак, начальное решение Q04 = 0, Q10 = 0, N =0, x4 = Qр, x5 = Qр - Qэ, x6 = - Qр + Qэ, х7 = - Nmax, Z = 0. (16) Это решение не является допустимым, т.к. среди коэффициентов последнего столбца есть отрицательные величины, а именно - Qр + Qэ (поскольку Qр > Qэ) и - Nmax. Соответствующие базисные переменные x6 и x7 будут отрицательными, что противоречит граничным условиям (15). Выберем любую из этих переменных, например x7, и эту переменную будем переводить в разряд свободных. Соответствующая строка табл. 2 будет разрешающей и выделена пунктиром. Из этой строки выбираются отрицательные коэффициенты при свободных переменных. Это коэффициенты –1 и – 1/Q04 при переменных N и Q04 соответственно. Выберем любую из этих переменных, например переменную N, и эту переменную будем переводить в разряд базисных. Соответствующий столбец табл. 2 будет разрешающим и выделен пунктиром. Коэффициент на пересечении разрешающих строки и столбца будет разрешающим коэффициентом. Процесс перевода базисной переменной в разряд свободных и свободной переменной в разряд базисных называется шагом Жорданова преобразования. Этот шаг выполняется по следующим правилам: 1. Коэффициенты разрешающего столбца, кроме разрешающего коэффициента, заменяются нулями. 2. Коэффициенты разрешающей строки, кроме разрешающего коэффициента, делятся на разрешающий коэффициент. 3. Остальные коэффициенты табл. 2 пересчитываются по выражению

Аij’ =Аij - Аir*Аrj /Аr,

(17)

где Аij’ - пересчитанное значение коэффициента Аij , А r – разрешающий коэффициент, Аir и Аrj – коэффициенты табл. 2, полученные проведением перпендикуляров от пересчитываемого коэффициента на разрешающую строку и разрешающий столбец. Пересчету подвергаются все коэффициенты табл. 2, выделенные жирной линией. 4. Разрешающий коэффициент заменяется единицей. После пересчета табл. 2 вновь проверяются коэффициенты последнего столбца, кроме коэффициента Z. Если среди этих коэффициентов есть отрицательные, то описанная выше процедура повторяется. Если среди этих коэффициентов нет отрицательных, то полученное решение будет допустимым. В этом решении все свободные переменные равны нулю, а базисные – соответствующим коэффициентам последнего столбца. Значение целевой функции с противоположным знаком будет находиться в ячейке Z . После получения допустимого решения проверяются коэффициенты строки целевой функции (коэффициенты верхней строки выделенной части табл. 2). Если эти коэффициенты, кроме значения целевой функции в ячейке Z, неотрицательны, то полученное решение будет оптимальным. Если среди этих коэффициентов есть отрицательные, то берется любой из них, и соответствующий столбец будет разрешающим. Вычисляются отношения коэффициентов последнего столбца к положительным коэффициентам разрешающего столбца. Строка, соответствующая минимальному из этих отношений, будет разрешающей. Выполняется шаг Жорданова преобразования по правилам 1-4, изложенным выше. Далее вновь проверяются коэффициенты строки целевой функции. Вычислительная процедура заканчивается, когда все коэффициенты строки целевой функции будут неотрицательны. В этом случае полученное решение будет оптимальным. В этом решении все свободные переменные равны нулю, а базисные – соответствующим коэффициентам последнего столбца. Минимальное значение целевой функции будет в ячейке Z с противоположным знаком. Полученное оптимальное количество трансформаторов N округляется до целого числа.

Задача 2. Для промышленного предприятия с ГПП, расположенной в узле 1, и цехами, расположенными в узлах 2, 3 и 4 (рис. 2), требуется найти оптимальную схему электрической сети. Мощности всех узлов Si и затраты zij на передачу единицы мощности по линии между узлами i и j приведены в табл. 3. Решение задачи выполнить методом потенциалов с учетом транзита мощности через нагрузочные узлы. Методические указания к решению задачи 2. Целевая функция в поставленной задаче имеет вид m

m

Z = Σ Σ zij * S ij,

i ≠ j,

(1)

i=1 j=1

где S ij - мощность, протекающая между узлами i и j, m = 1,2,3,4. Таблица 3 МВ А

0

Последняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7

S1 S2 S3 S4 Сij

15 6 4 5

16 6 4 6

Si

.

.

у.е./МВ А

0 1,0 1,0 2,2 1,8 2,1 1,0

z12 z13 z14 z23 z24 z34

17 4 7 6

18 6 5 7

19 9 5 5

20 6 8 6

21 8 6 7

22 7 6 9

Предпоследняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 1,0 2,1 1,0 2,4 1,5 1,0

2,1 1,0 1,0 2,3 1,0 1,2

1,0 1,0 2,1 1,4 1,0 2,3

2,2 1,0 1,0 1,0 2,1 1,5

3,4 1,0 2,3 1,2 1,0 1,0

1,0 2,3 3,3 1,0 1,4 1,0

2,2 3,3 1,0 1,0 1,0 1,3

8

9

23 6 8 9

24 7 9 8

8

9

1,0 3,4 2,3 1,2 1,0 1,0

3,3 2,1 1,0 1,0 1,3 1,0

S1 1 2 S2

4 S4

S3 3 Рис. 2 Ограничения – балансы мощности в узлах электрической сети.

Для i-го узла нагрузки Σ Sji - Sii = Si . j

i Sii

Σ Sji j

(2)

Si

Для i-го узла источника Σ Sij - Sii = Si j

i Sii

Σ Sij

(2’)

j

Si Отметим, что транзитные мощности Sii через узлы i входят в математическую запись задачи со знаком минус. Для решения задачи строим транспортную матрицу табл. 4. Эта матрица будет квадратной размерности m. В каждой клетке матрицы справа располагаем удельные стоимости передачи мощности с учетом того, что zij = zji. В диагональных клетках транспортной матрицы ставим нули (zii = 0), поскольку эти клетки соответствуют транзитным мощностям в узлах, а стоимость передачи транзитной мощности через узел учитывается в стоимостях передачи этой мощности между узлами. Справа от матрицы располагаем дополнительный столбец заданных мощностей источников питания Si. В этом столбце мощности нагрузочных узлов равны нулю. Снизу – дополнительную строку заданных мощностей нагрузок цехов Si. В этой строке мощность источника питания равна нулю. Одним из допустимых решений задачи будет радиальная сеть (см. рис. 3), для которой выполняются балансы мощности в узлах. Значение целевой функции определится по выражению (1). Транспортная матрица, отвечающая этому решению приведена в табл. 4. Оптимизацию допустимого решения выполним методом потенциалов. Для этого присвоим каждому столбцу транспортной матрицы потенциал Vi (i=1,2,3,4), а каждой строке – потенциал Uj (j=1,2,3,4). Эти потенциалы таковы, что для каждой базисной переменной, т.е. переменной не равной нулю, должно выполнятся условие zij = Vi + Uj (3) Таблица 4

V1=0 0

U1 = 0

0 U2 = -z12

0

U3 = -z13

0

z21 z31 U4 = -z14

0 z41 S1=0

V2= z12 S12 =S2 z12 0 0 0 z32 0 z42 S2

V3= z13 V4= z14 S13=S3 S14=S4 z13 + z14 0 0 z23 z24 0 0 0 z34 0 0 0 + z34 S3 S4

S1=S2+S3 +S4 S2 =0 S3=0 S4=0

S1 1 2 S2

4 S4 3 S3

Рис. 3

Переменные, отвечающие диагональным (транзитным) клеткам транспортной матрицы, независимо от того, какие они имеют значения (нулевые или ненулевые), считаются базисными. Для этих переменных также должно выполняться условие (3). Имеем семь базисных переменных S12, S13, S14, S11, S22, S33 и S44. Количество неизвестных потенциалов восемь. Для решения системы (3) следует задаться значением одного из потенциалов, например U1 = 0. Тогда остальные потенциалы однозначно определятся из системы уравнений (3) (см. табл. 4). Для всех свободных переменных, т.е. переменных равных нулю, проверяется условие zij >= Vi + Uj (4) При выполнении этого условия допустимое решение будет оптимальным. При невыполнении условия (4), например для свободной переменной S43, эта переменная вводится в разряд базисных. Соответственно одна из базисных переменных перейдет в разряд свободных. Указанная процедура выполняется следующим образом:

1. Свободная переменная S43 увеличивается и становится базисной. Для сохранения баланса по столбцу 3 базисную переменную S13 нужно уменьшать. 2. Для сохранения баланса по строке 1 базисную переменную S14 нужно увеличивать. 3. Для сохранения баланса по столбцу 4 и строке 4 базисную транзитную переменную S44 нужно уменьшать. 4. В транспортной матрице получен цикл, показанный в табл. 4 пунктиром. В вершинах цикла, отмеченных знаком плюс, переменные увеличиваются. В вершинах цикла, отмеченных знаком минус, переменные уменьшаются. 5. Увеличение переменной S43 в плюсовой вершине цикла возможно до достижения переменной S13 нулевого значения в минусовой вершине цикла. При этом базисная переменная S13 становится свободной. После выполнения пунктов 1-5 получается новая транспортная матрица, показанная в табл. 5. Этой матрице соответствует схема, приведенная на рис. 4. Из матрицы и схемы видно, что свободная переменная S43 вошла в состав базисных и в схеме появилась линия между узлами 4 и 3. Базисная переменная S13 стала свободной и в схеме исчезла линия между узлами 1 и 3. Через узел 3 идет транзит мощности, равный мощности нагрузки S3. В транспортную матрицу транзитная мощность входит со знаком минус в соответствии с выражениями (2). Для новой транспортной матрицы по системе уравнений (3) определяются потенциалы Ui и Vi строк и столбцов и для всех свободных переменных проверяется условие (4). При невыполнении этого условия для какой-либо свободной переменной вся вычислительная процедура повторяется. Выполнение условия (4) указывает на то, что найдено оптимальное решение. Значение целевой функции рассчитывается по выражению (1). Таблица 5 V1= V2= V3= V4= S12 =S2 0 S14 =S4 S1 U1 = 0 0 z12 z13 z14 U2 = 0 0 0 0 S2 =0 z21 0 z23 z24 U3 = 0 0 0 0 S3=0 z31 z32 0 z34 U4 = 0 0 S43=S3 -S44 =-S3 S4=0 z41 z42 z34 0 S1=0 S2 S3 S4

1

S1

2 4 S2

S4 Рис. 4

3 S3

Задача 3. Электроснабжение промышленного предприятия выполнено по радиальной схеме от шин U=10 кВ главной понизительной подстанции ГПП (рис. 5). Требуется оптимально распределить компенсирующие устройства заданной суммарной мощности Qk между линиями-радиусами с активными сопротивлениями ri и реактивными нагрузками Qi (i=1,2,...n). Критерий оптимальности минимум потерь активной мощности. Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 6. Таблица 6

Параметр

0

Последняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,4 0,5 0,5 0,5 0,6 0,6 0,6 0,7 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,4 0,3 0,2 Предпоследняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8

2000 1000 3000 4000

1500 2000 3000 5000

0 0,2 0,3 0,1

r1, Ом r2, Ом r3, Ом

Параметр Q1, квар Q2, квар Q3, квар Qk, квар

2500 1200 3600 4500

3000 1300 1000 3800

3100 1400 1000 4800

1000 1400 2700 4100

1500 1300 3000 4900

3000 1200 2300 4400

2800 1100 3600 6000

Шины 10 кВ ГПП

r1

r2

ri

rn

Q1 Qk1 Q2 Qk2

Qi Qki

Qn Qkn

Рис. 5

9 0,7 0,7 0,5 9 1800 1000 3300 5100

Методические указания к решению задачи 3 Потери активной мощности в радиальной схеме электроснабжения от реактивных нагрузок Qi при установке у каждой нагрузки компенсирующего устройства мощностью Qki определяются выражением n ∆Р = Σ (Qi - Qki)2*ri / U2. (1) i=1 Необходимо найти минимум ∆Р при условии (ограничении) n n Σ Qki = Qk или Σ Qki - Qk = 0. (2) i=1 i=1 Следуя методу неопределенных множителей Лагранжа, вместо минимума функции (1) при ограничении (2) будем искать минимум функции Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа в виде n n 2 2 L = Σ (Qi -Qki) * ri / U + λ * (Σ Qki - Qk), (3) i=1 i=1 где λ - неопределенный множитель Лагранжа. Из курса математики известно, что в точке минимума функции ее частные производные по всем переменным равны нулю, т.е. n dL/dλ = (Σ Qki - Qk) = 0, i=1 dL/dQki = -2 * ri * (Qi - Qki) / U2 + λ = 0, i = 1,2,....n. (4) Решение системы линейных уравнений (4) даст искомые значения переменных Qki . После получения численных значений переменных Qki необходимо дать анализ полученных результатов. В частности необходимо отметить, как связаны реактивные нагрузки после компенсации (Qi - Qki) с величинами активных сопротивлений ri. Задача 4. Схема электроснабжения цеха промышленного предприятия выполнена магистральным шинопроводом от шин U = 0,4 кВ цеховой трансформаторной подстанции ТП (рис. 6). Вдоль шинопровода расположены нагрузки, реактивные составляющие которых равны Qi, а сопротивления шинопровода между точками подключения нагрузок равны ri (i=1,2,.....n). Определить в какой из точек 1,2,...i,...n подключение компенсирующего устройства заданной мощности Qk обеспечит минимум потерь активной мощности от протекания реактивных нагрузок. Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 7.

Таблица 7

Параметр r1, Ом*103 r2, Ом*103 r3, Ом*103

0 2 3 3

Параметр Q1, квар Q2, квар Q3, квар Qk, квар

0 200 100 300 400

Шины 0,4 кВ цеховой ТП r1 1

Последняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 3 4 4 5 5 6 4 5 5 5 6 6 6 7 2 3 4 5 5 4 3 2 Предпоследняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8 100 300 400 300 300 400 300 400 300 200 100 200 300 200 400 200 200 100 200 300 200 300 200 400 400 400 500 500 500 600 600 700

9 7 7 5 9 300 400 300 700

Qk r2

2

ri

i

rn

n Рис. 6

Q1

Q2

Qi

Qn

Методические указания к решению задачи 4 В магистральных схемах внутрицехового электроснабжения, как правило, выбирают одну точку подключения компенсирующего устройства заданной мощности Qk. В рассматриваемой задаче имеется n возможных точек подключения компенсирующего устройства Qk. Это точки 1, 2,....n. Выбор точки подключения компенсирующего устройства может быть выполнен различными методами, два из которых рассмотрены ниже. Метод простого перебора возможных вариантов (рис.6). В этом случае компенсирующее устройство мощностью Qk поочередно подключается к каждой i-ой точке магистрального шинопровода. В каждом i-ом случае рассчитывается потокораспределение реактивных мощностей в ветвях магистральной схемы и определяются суммарные потери активной мощности по выражению n ∆ Рi = Σ Qj2* rj /U2, j=1

(1)

где Qj - поток реактивной мощности в j-ой ветви магистрального шинопровода; rj – сопротивление j-ой ветви магистрального шинопровода. Из всех значений ∆ Рi (i=1,2,....n) выбирается вариант с минимальным значением потерь активной мощности. Метод оптимального распределения заданной мощности Qk между всеми точками подключения нагрузок Qi (рис. 7). Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности в схеме электроснабжения цеха. Шины 0,4 кВ цеховой ТП r1 1

Q1

Qk1 r2

Qk2 2

Q2

Qki ri

i

Qkn rn

Qi

n

Qn

Рис.7

Потери активной мощности в магистральной схеме электроснабжения от реактивных нагрузок Qi при установке у каждой i-ой нагрузки компенсирующего устройства мощностью Qki определяются выражением ∆Р = (Q1 - Qк1)2 * r1 / U2 + (Q2 - Qк2)2 * (r1+r2) / U2 + ..... + i n + (Qi - Qкi)2 * Σ ri / U2 + ..... + (Qn - Qкn)2 * Σ ri / U2. i=1 i=1

(2)

Необходимо найти минимум ∆Р при условии (ограничении) n Σ Qкi = Qк. i=1

(3)

По аналогии с предыдущей задачей запишем функцию Лагранжа L = (Q1 - Qк1)2 * r1 / U2 + (Q2 - Qк2)2 * (r1+r2) / U2 + ..... + (Qi - Qкi)2 * i=i i=n i=n * Σ ri / U2 + …..+(Qn - Qкn)2 * Σ ri / U2 + λ ∗ (Σ Qкi - Qк). i=1 i=1 i=1

(4)

Вычислим частные производные от функции Лагранжа по переменным λ и Qкi и приравняем их к нулю n dL/dλ = ( Σ Qki - Qk) = 0, i=1 dL/dQk1 = - 2 * ri * (Q1 – Qk1) / U2 + λ = 0, dL/dQk2 = - 2 * (r1 + r2) * (Q2 – Qk2) / U2 + λ = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i dL/dQki = - 2 * Σ ri * (Qi - Qki) / U2 + λ = 0, i=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n dL/dQkn = - 2 * Σ ri * (Qn - Qkn) / U2 + λ = 0. i=1

(5)

Решение системы линейных уравнений (4) даст численные значения переменных Qki (i = 1,2,....n), установленных в каждой точке ответвления от шинопровода, и обеспечивающих минимум потерь активной мощности от протекания в схеме электроснабжения цеха реактивных нагрузок. Из анализа величин Qki можно сделать выбор точки шинопровода, в которой целесообразно установить всю мощность компенсирующих устройств Qk. Как правило, это точка с наибольшим значением Qki . В технической литературе даются рекомендации по выбору места установки заданной мощности компенсирующего устройства Qk в магистральной схеме электроснабжения. Это некоторая точка i, для которой выполняется условие Qi >= Qk /2 >= Qi+1 ,

(6)

где Q i и Q i+1 - потоки реактивной мощности в ветвях шинопровода до точки i и после нее без учета компенсации реактивной мощности.

После решения задачи методами 1 и 2 следует определить потоки реактивной мощности в ветвях магистральной схемы при отсутствии компенсации реактивной мощности и проверить выбранную точку подключения компенсирующего устройства по условию (6). Дать анализ полученных результатов.

Содержание

Стр.

1. Рабочая программа ………………………………………………3 2. Задание на контрольную работу ………………………………..7

ЛР

от

Редактор В.В. Рачеева

Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Б.кн.-журн. П.л. 1,5 Б.л. 0,7 РТП РИО СЗГТУ Тираж 150 Заказ Редакционно-издательский отдел Северо-Западный государственный заочный университет 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5.

технический