Проблемы нелинейной динамики. Хаос

Ïðîáëåìû íåëèíåéíîé äèíàìèêè. I. Õàîñ À.Þ.Ëîñêóòîâ Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì.Ì.Â.Ëîìîíîñîâà

ÓÄÊ 517.9; 519.2; 531 Îïóáëèêîâàíà â Âåñòíèê ÌÃÓ, ñåð.ôèç.-àñòð., 2001, No2, c.321.

Àííîòàöèÿ Ðàáîòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâóþ ÷àñòü îáçîðà, ïîñâÿùåííîãî íåêîòîðûì ñîâðåìåííûì ïðîáëåìàì íåëèíåéíîé äèíàìèêè: õàîòè÷íîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è óïðàâëåíèþ òàêèìè ñèñòåìàìè.  äàííîé ÷àñòè ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå ñâåäåíèÿ ïî òåîðèè áèôóðêàöèé è ðÿä ðåçóëüòàòîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçâèòèþ õàîñà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Èçëîæåíû íåêîòîðûå âàæíûå ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ðàññìîòðåíû ìåòîäû èõ îïèñàíèÿ è äàíû íåêîòîðûå ïîëîæåíèÿ ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè.

Ñîäåðæàíèå 1 Ââåäåíèå

2

2 Áèôóðêàöèè è ðàçâèòèå õàîñà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ

4

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Îáùèå ïîëîæåíèÿ . . . . . . Óäâîåíèå ïåðèîäà . . . . . . Ïåðåìåæàåìîñòü . . . . . . . Ðàçðóøåíèå òîðà . . . . . . . Ãîìîêëèíè÷åñêèå ñòðóêòóðû

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3 Íåêîòîðûå ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì 3.1 3.2 3.3 3.4

Ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà è ýíòðîïèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì Õàðàêòåðèñòèêè õàîòè÷íîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . Õàîòè÷åñêèå àòòðàêòîðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îäíîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Çàêëþ÷èòåëüíûå çàìå÷àíèÿ

. . . .

4 7 11 12 14

16 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

16 19 20 22

25

1

1

Ââåäåíèå

Ãîâîðÿ î òàêîì øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííîì ÿâëåíèè êàê õàîñ â íàñòîÿùåå âðåìÿ èìåþò ââèäó íå òîëüêî ïðèíöèïèàëüíûå è ôóíäàìåíòàëüíûå âîïðîñû ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè, íî è âñåâîçìîæíûå ïðèëîæåíèÿ è êîíêðåòíûå çàäà÷è ìåõàíèêè, àñòðîôèçèêè, ôèçèêè ïëàçìû, îïòèêè, áèîëîãèè è ò.ä. Ïîÿâëåíèå õàîòè÷íîñòè â òîé èëè èíîé ñèñòåìå íå ñâÿçàíî ñ äåéñòâèåì êàêèõ-ëèáî àïðèîðè ñëó÷àéíûõ ñèë. Ïðèðîäà õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïîëíîñòüþ äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåì êðîåòñÿ â ñâîéñòâå ïðèîáðåòàòü ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíóþ íåóñòîé÷èâîñòü òðàåêòîðèé. Ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå èññëåäîâàíèé â ýòîé îáëàñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè âñêðûâàþò ïðèðîäó ñëó÷àéíîãî, äîïîëíÿÿ ãèïîòåçó ìîëåêóëÿðíîãî õàîñà ãèïîòåçîé äèíàìè÷åñêîé ñòîõàñòè÷íîñòè. Âïåðâûå íà ñâÿçü ìåæäó ñòàòèñòèêîé è íåóñòîé÷èâîñòüþ îáðàòèë âíèìàíèå åùå Àíðè Ïóàíêàðå [1].  òî æå âðåìÿ ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ñèñòåì ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû áûë ïðåäëîæåí Ë.Áîëüöìàíîì [2] . Îí âûäâèíóë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî äâèæåíèå ÷àñòèö â ðàçðÿæåííîì ãàçå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñëó÷àéíîå, è êàæäîé ÷àñòèöå äîñòóïíà âñÿ ýíåðãåòè÷åñêè ðàçðåøåííàÿ îáëàñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå î ñèñòåìàõ ìíîãèõ ÷àñòèö èçâåñòíî êàê ýðãîäè÷åñêàÿ ãèïîòåçà [2, 3, 4], êîòîðàÿ ñòàëà îñíîâîé êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Îäíàêî åå ñòðîãîå îáîñíîâàíèå äîëãîå âðåìÿ íå íàõîäèëî ïîäòâåðæäåíèÿ. Íåêîòîðîå ïðîäâèæåíèå â ýòîì íàïðàâëåíèè áûëî äîñòèãíóòî áëàãîäàðÿ èññëåäîâàíèÿì Ï.Ýðåíôåñòà [5, 6] (ñì. òàêæå [7, 8]), êîòîðûå ïîçâîëÿëè â òîì ÷èñëå óñòàíîâèòü ðàìêè ïðèìåíèìîñòè çàêîíîâ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Îäíàêî èçâåñòíàÿ ðàáîòà Ý.Ôåðìè, Äæ.Ïàñòà è Ñ.Óëàìà [9] (áîëåå ïîäðîáíî ñì. [10, 11]), ãäå âïåðâûå áûëà ïðåäïðèíÿòà ïîïûòêà ïðîâåðêè ýðãîäè÷åñêîé ãèïîòåçû, âíîâü âûäâèíóëà ïðîáëåìó îáîñíîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè íà ïåðâûé ïëàí. ×àñòè÷íîå ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû ìîæíî ïîëó÷èòü, îïèðàÿñü íà ðàáîòû À.Ïóàíêàðå (ñì. [12]), â êîòîðûõ îí ïîêàçàë, ÷òî â îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâûõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèå èìååò ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíûé õàðàêòåð. Ýòî ÿâèëîñü ïåðâûì óêàçàíèåì íà òî, ÷òî íåëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ìîãóò ïðîÿâëÿòü õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Âïîñëåäñòâèè Ä.Áèðêãîô [13] ïîêàçàë, ÷òî ïðè ðàöèîíàëüíîì îòíîøåíèè ÷àñòîò (ðåçîíàíñ) âñåãäà ñóùåñòâóþò óñòîé÷èâûå è íåóñòîé÷èâûå íåïîäâèæíûå òî÷êè. Ðåçîíàíñû áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïîñëåäîâàòåëüíî èçìåíÿþò òîïîëîãèþ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé è ïðèâîäÿò ê îáðàçîâàíèþ öåïè îñòðîâîâ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé, êàê îêàçàëîñü, íå îïèñûâàåò òàêèå ðåçîíàíñû, ïîñêîëüêó ðåãóëÿðíûå ðåøåíèÿ âáëèçè íèõ ñèëüíî âîçìóùåíû, à ýòî âëå÷åò ïîÿâëåíèå ìàëûõ çíàìåíàòåëåé è ðàñõîäèìîñòü ðÿäîâ. Ãëóáîêîå èññëåäîâàíèå ïðèðîäû ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîâ áûëî ïðîâåäåíî Í.Ñ.Êðûëîâûì [14]. Îí ïîêàçàë, ÷òî â åå îñíîâå ëåæèò ñâîéñòâî ïåðåìåøèâàíèÿ è ñâÿçàííàÿ ñ íèì ëîêàëüíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ïî÷òè âñåõ òðàåêòîðèé ñîîòâåòñòâóþùèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  ýòîé æå ñâÿçè Ì.Áîðí [15] (ñì. òàêæå [16]) âûñêàçûâàë ïðåäïîëîæåíèå î íåïðåäñêàçóåìîñòè ïîâåäåíèÿ ñèñòåì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ïîçäíåå äèíàìèêà ñèñòåì, âû-

2

çâàííàÿ òàêîãî ðîäà íåóñòîé÷èâîñòüþ, ñòàëà íàçûâàòüñÿ äèíàìè÷åñêîé ñòîõàñòè÷íîñòüþ èëè äåòåðìèíèðîâàííûì (äèíàìè÷åñêèì) õàîñîì. Ôèçè÷åñêè îñìûñëåííîå ïîíÿòèå äåòåðìèíèðîâàííîãî îïèñàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ïðîöåññà çàäàåòñÿ â ñèëó íåèçáåæíûõ ôëþêòóàöèé íåêîòîðûì âåðîÿòíîñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íà îñíîâàíèè èçâåñòíîãî íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñêàçàòü åãî ýâîëþöèþ. Åñëè ìàëûå âîçìóùåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íå íàðàñòàþò (ò.å. èìååò ìåñòî óñòîé÷èâîñòü), òî ïîâåäåíèå òàêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ïðåäñêàçóåìûì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðîöåññ ìîæåò áûòü îïèñàí òîëüêî âåðîÿòíîñòíûì îáðàçîì. Ïî-ñóùåñòâó èìåííî ýòè ñîîáðàæåíèÿ ëåãëè â îñíîâó ñîâðåìåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î äèíàìè÷åñêîì õàîñå. Íîâûé ýòàï â ðàçâèòèè ïîíèìàíèÿ õàîòè÷íîñòè è åå çàðîæäåíèÿ â äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåìàõ âîçíèê ïîñëå ðàáîò À.Í.Êîëìîãîðîâà è ß.Ã.Ñèíàÿ [17, 18, 19], ãäå äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå ýíòðîïèè. Ýòè ðàáîòû ïîëîæèëè íà÷àëî ñîçäàíèþ òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Áîëüøóþ ðîëü â ðàçâèòèè òåîðèè äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà ñûãðàëè ðàçíîãî ðîäà àáñòðàêòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè. Òàê, Ñ.Ñìåéë [20], ÷òîáû îïðîâåðãíóòü ãèïîòåçó î ïëîòíîñòè ñèñòåì òèïà Ìîðñà-Ñìåéëà â ïðîñòðàíñòâå C r -äèôôåîìîðôèçìîâ, ïîñòðîèë ïðèìåð ("ïîäêîâà Ñìåéëà"), ïîêàçûâàþùèé, ÷òî åñëè g  äèôôåîìîðôèçì ïëîñêîñòè, îáëàäàþùèé òðàíñâåðñàëüíîé ãîìîêëèíè÷åñêîé òðàåêòîðèåé, òî îí äîëæåí èìåòü èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî òèïà ïîäêîâû.  ñâîþ î÷åðåäü èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïîäêîâû âûòåêàåò, ÷òî îòîáðàæåíèå g äîëæíî èìåòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êàê ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê ðàçëè÷íîãî ïåðèîäà, òàê è íåñ÷åòíîå ÷èñëî àïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé [20, 21]. Âñëåä çà "ïîäêîâîé Ñìåéëà"ïîÿâèëèñü y -ñèñòåìû Àíîñîâà [22, 23], êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ íàèáîëåå âûðàæåííûìè ñâîéñòâàìè ïåðåìåøèâàíèÿ. Îáîáùåíèÿ òàêèõ ñèñòåì  ââåäåíèå "àêñèîìû À"Ñìåéëà [21] (ñì. òàêæå [24, 25, 26] è öèòèðóåìóþ òàì ëèòåðàòóðó) è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîæåñòâ [21, 25, 26, 27],  âûäåëèëî âàæíûé êëàññ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì ýêñïîíåíöèàëüíîé íåóñòîé÷èâîñòè òðàåêòîðèé. Ïðèìåðíî â òî æå âðåìÿ ñòàëè ïîÿâëÿòüñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû, ãäå íà îñíîâå èçó÷åíèÿ áèëüÿðäíûõ ñèñòåì áûëè ïðåäïðèíÿòû ïîïûòêè îáîñíîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè [28, 29]. Áèëüÿðäû âïåðâûå ïîÿâèëèñü êàê óïðîùåííûå ìîäåëè, íà êîòîðûõ ìîæíî èçó÷àòü ðÿä çàäà÷ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè [13] (ñì. òàêæå ññûëêè â [30, 31]). Èñïîëüçóÿ òàêèå ñèñòåìû, âïåðâûå áûëà ðåøåíà çàäà÷à Í.Ñ.Êðûëîâà î ïåðåìåøèâàíèè â ñèñòåìå óïðóãèõ øàðèêîâ [14]. Áîëåå òîãî, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ñèñòåìû, îòâå÷àþùèå áèëüÿðäàì ñ ðàññåèâàþùèìè ãðàíèöàìè, èìåþò ìíîãî îáùåãî ñ ãåîäåçè÷åñêèìè ïîòîêàìè â ïðîñòðàíñòâàõ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû, ò.å. ïîòîêàìè Àíîñîâà. Íåìíîãî ïîçæå êëàññ áèëüÿðäíûõ ñèñòåì, êîòîðûå ñïîñîáíû ïðîÿâëÿòü õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà, áûë çíà÷èòåëüíî ðàñøèðåí (ñì. [31, 32, 33] à òàêæå öèòèðîâàííóþ òàì ëèòåðàòóðó). Îïèðàÿñü íà îáîáùåíèå òàêèõ ñèñòåì  ìîäèôèêàöèþ äâóìåðíîãî ãàçà Ëîðåíöà, áûëî äîêàçàíî, ÷òî äâèæåíèå â ÷èñòî äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåìàõ ìîæåò áûòü ïîäîáíî áðîóíîâñêîìó [30, 31]. Ýòîò ðåçóëüòàò ÿâèëñÿ ïåðâûì ñòðîãèì ïîäòâåðæäåíèåì ïðîÿâëåíèÿ õàîòè÷íîñòè äèíàìè÷åñêèìè (ò.å. áåç êàêîãî-ëèáî ñëó÷àéíîãî ìåõàíèçìà) ñèñòåìàìè. 3

Äàëüíåéøèå êàê òåîðåòè÷åñêèå òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì ïîêàçàëè, íàñêîëüêî òèïè÷íûì è âñåîáùèì ÿâëåíèåì îêàçûâàåòñÿ õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå â ñèñòåìàõ ñ íåáîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ñòàëî î÷åâèäíûì, ÷òî õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ìîãóò ïðîÿâëÿòü ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå íåëèíåéíûå ñèñòåìû, è åñëè õàîñ íå îáíàðóæèâàåòñÿ, òî, âîçìîæíî ëèøü ïîòîìó, ÷òî ëèáî îí âîçíèêàåò â î÷åíü ìàëûõ îáëàñòÿõ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, ëèáî ïðè íåôèçè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ. Êàê æå âîçíèêàåò õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå? Êàçàëîñü áû, ïóòåé åãî âîçíèêíîâåíèÿ äîëæíî áûòü î÷åíü ìíîãî. Îäíàêî, âûÿñíèëîñü, ÷òî ÷èñëî ñöåíàðèåâ ïðîöåññà õàîòèçàöèè ñîâñåì íåâåëèêî. Áîëåå òîãî, íåêîòîðûå èç íèõ ïîä÷èíÿþòñÿ óíèâåðñàëüíûì çàêîíîìåðíîñòÿì, è íå çàâèñÿò îò ïðèðîäû ñèñòåìû. Îäíè è òå æå ïóòè ðàçâèòèÿ õàîñà ïðèñóùè ñàìûì ðàçíîîáðàçíûì îáúåêòàì. Óíèâåðñàëüíîå ïîâåäåíèå íàïîìèíàåò îáû÷íûå ôàçîâûå ïåðåõîäû âòîðîãî ðîäà, à ââåäåíèå ðåíîðìãðóïïîâûõ è ñêåéëèíãîâûõ ìåòîäîâ, èçâåñòíûõ â ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå, îòêðûâàåò íîâûå ïåðñïåêòèâû â èçó÷åíèè õàîòè÷åñêîé äèíàìèêè. Äàííàÿ ðàáîòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâóþ ÷àñòü îáçîðà, ïîñâÿùåííîãî òåîðèè õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è ïðîáëåìå óïðàâëåíèÿ òàêèìè ñèñòåìàìè. Îíà ñîñòîèò èç äâóõ ãëàâ. Ïåðâàÿ ãëàâà ñîäåðæèò îñíîâíûå ñâåäåíèÿ ïî òåîðèè áèôóðêàöèé. Âî âòîðîé ãëàâå èçëîæåíû íåêîòîðûå âàæíûå ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ðàññìîòðåíû ìåòîäû èõ îïèñàíèÿ è äàíû íåêîòîðûå ïîëîæåíèÿ ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè.

2

Áèôóðêàöèè è ðàçâèòèå õàîñà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ

Óñòàíîâëåíèå â äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ â ðåçóëüòàòå òîé èëè èíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áèôóðêàöèé ïðèíÿòî íàçûâàòü êàðòèíîé èëè ñöåíàðèåì ðàçâèòèÿ õàîñà.  äàííîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ íàèáîëåå òèïè÷íûå èç òàêèõ ñöåíàðèåâ. 2.1

Îáùèå ïîëîæåíèÿ

Ïóñòü M  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ îïðåäåëåííûì ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè è fT tg  ìíîæåñòâî îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðîñòðàíñòâà M â ñåáÿ òàêîå, ÷òî T t1 +t2 T t1 Æ T t2 T t2 Æ T t1 äëÿ ëþáûõ t1 ; t2 . Òîãäà T t ; M è fT t g íàçûâàþòñÿ îòîáðàæåíèåì ñäâèãà, ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì è äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñîîòâåòñòâåííî.  ìåòðè÷åñêîé òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ðàññìàòðèâàåòñÿ òàêæå ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé, ò.å. òðîéêà fM; S ; g, ãäå S   -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ M è   ìåðà, îïðåäåëåííàÿ òåì èëè èíûì îáðàçîì íà S . Ïðè ýòîì ìåðà  íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíîé ìåðîé îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ T , åñëè  C  T 1C äëÿ ëþáîãî C 2 S . Êîãäà ftg èìååò äèñêðåòíûé ðÿä çíà÷åíèé, t 2 , t  k, òî fT k g íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì èëè îòîáðàæåíèåì. Èçâåñòíûì ïðèìåðîì òàêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå èíòåðâàëà I â ñåáÿ: Ta I ! I; I ; ; Ta f x; a , ãäå a  íåêîòîðûé ïàðàìåòð è ; M . Òîãäà òðàåêòîðèÿ îòîáðàæåíèÿ Tak îïðå-

=

=

Z

[

( )= (

)

:

]=

4

=[

]

= ( )

= f Æ f Æ ::: Æ f äëÿ êàæäîãî k.  îáùåì ñëó÷àå çàäàíèå çàêîíà ïðåîáðàk çîâàíèÿ Ta = f(x; a) îïðåäåëÿåò òðàåêòîðèþ òî÷êè x èç M ïî îòíîøåíèþ ê f êàê ïîäìíîæåñòâî fTak j k 2 Zg. Êîãäà ìíîæåñòâî ftg ïðèíèìàåò íåïðåðûâíûé ðÿä çíà÷åíèé, òî ïðåîáðàçîâàíèå fT t g äåëèòñÿ êàê Tak

|

{z

}

íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì èëè ïîòîêîì.  ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå T ! Diff M ; t 7! T t. Ïîòîê T t M ! M îïðåäåëÿåò íà M êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå, ò.å. äëÿ ëþáîãî 2 M ðàâåíñòâî dT t =dt jt=0 ; a îïðåäåëÿåò êàñàòåëüíûé âåêòîð ; a 2 x M â òî÷êå 2 M , ãäå x M êàñàòåëüíîå ê M ïðîñòðàíñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì çàäàåò ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå ïðèâû÷íîì âèäå êàê

:R

( )

:

x v(x )  ( )

( (x) ) = v(x ) ( )

x

x_ = v(x; a) ; (1) x = fx ; x ; :::; xn g, v = fv ; v ; :::; vng, a 2 R, ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x(t )  x . Äëÿ 1

2

1

2

0

0

òàêîé ñèñòåìû äåéñòâèå îòîáðàæåíèÿ ñäâèãà T t çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà M ïîä äåéñòâèåì T t ïðåîáðàçóåòñÿ â òî÷êó ; t , êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ

x 2 0

ðåøåíèåì ñèñòåìû (1). Òàêèì îáðàçîì, T t

x(x ) x = x(x ; t). 0

0

0

Âàæíûì ïîíÿòèåì òåîðèè äèññèïàòèâíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîð.  íàñòîÿùåå âðåìÿ èìååòñÿ íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé àòòðàêòîðà, êîòîðûå, ïî-âèäèìîìó, íå ñâîäÿòñÿ äðóã ê äðóãó (îáçîð ïî ýòîìó âîïðîñó ìîæíî íàéòè â ïóáëèêàöèÿõ [34, 35, 36, 37]). Ñëåäóÿ [37], áóäåì îïèðàòüñÿ â îïðåäåëåíèè àòòðàêòîðà íà ïîíÿòèå ïîãëîùàþùåé îáëàñòè. Îáëàñòü U  M íàçûâàåòñÿ ïîãëîùàþùåé, åñëè T t U  U äëÿ t > , ãäå U  T çàìûêàíèå U . Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî T t U íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì àòòðàêòîðîì â





0

t>0

ïîãëîùàþùåé îáëàñòè U . Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ àòòðàêòîðîì, åñëè ñóùåñòâóåò ïîãëîùàþùàÿ îáëàñòü U , â êîòîðîé A ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì àòòðàêòîðîì. Îáëàñòü B A íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ àòòðàêòîðà A, åñëè îíà ñîñòîèò èç òàêèõ òî÷åê, ÷åðåç êîòîðûå ïðîõîäÿò ïîëîæèòåëüíûå ïîëóòðàåêòîðèè, ñòðåìÿùèåñÿ ê A. Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ, î÷åâèäíî, óñòîé÷èâûå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû è óñòîé÷èâûå òîðû ÿâëÿþòñÿ àòòðàêòîðàìè ñèñòåìû (1). Øèðîêî èçâåñòíûì òèïîì áèôóðêàöèè ÿâëÿþòñÿ áèôóðêàöèè óñòîé÷èâûõ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê (ò.å. ïîëîæåíèé óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì). Ñðåäè íèõ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííàÿ  áèôóðêàöèÿ Àíäðîíîâà-Õîïôà (ñì., íàïðèìåð, [36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]), âîçíèêàþùàÿ ïðè ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè òèïà ôîêóñ. Äîïóñòèì, ÷òî ïîëå èìååò ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó 0 a äëÿ a a0 , ò.å. . Îïðå0 a0 äåëèì îïåðàòîð ëèíåàðèçàöèè êàê íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå êàñàòåëüíîãî ê M ïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ: d @vi =@xj jx=x0 . Ïðè ýòîì 0 ; a0 x0 M ! x0 M , ãäå d 0 ; a0

( )

v

x( )

v(x

):

=

v(x ( )) = 0



v(x ) = ( ) _ ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü âèä: ~ = dv(x ; a )~, ~ 2 x M , è îòîáðàæåíèå dv(x ; a ) êîîðäèíàòíî íåçàâèñèìî. Îòâåò íà âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè òî÷êè x äàåò 0

0

0

0

0

0

èçâåñòíàÿ òåîðåìà Ëÿïóíîâà (ñì., íàïðèìåð, [37, 39, 42, 43]). Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå, åñëè ñîâîêóïíîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (ñïåêòð) # fi g îïåðàòîðà d 0 ; a0 ïðèíàäëåæèò ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, # d  fz 2 j z < g, òî òî÷êà 0 ÿâëÿåòñÿ 0 ; a0

( v(x

))

5

= C Re

0

v(x

x

)

( v(x

)) ( v(x

Re C Re 0

0

óñòîé÷èâîé; åñëè ñóùåñòâóåò  2 # d  > , òî òî÷êà 0 ; a0 , äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ  fz 2 j z  g è ñóùåñòâóåò 0 íåóñòîé÷èâà. Íàêîíåö, âîçìîæíî, ÷òî # d 0 ; a0  2 # d 0 ; a0 ñ  . Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåòèïè÷íîé, è óñòîé÷èâîñòü òî÷êè 0 íå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñïåêòðó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà d 0 ; a0 .  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [43, 44, 45]). Äîïóñòèì, ÷òî ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà 0 ïîëÿ óñòîé÷èâà äëÿ a < a0 è íåóñòîé÷èâà äëÿ çíà÷åíèÿ a > a0 . Òîãäà ïðè a a0 íåêîòîðûå èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé fi g ïåðåéäóò â ïðàâóþ ïîëóïëîñêîñòü.  ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî áèôóðêàöèÿ ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè òî÷êè 0 , è îñíîâíîé âîïðîñ ñîñòîèò â èññëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû ïðè a > a0 . Áèôóðêàöèîííàÿ òåîðåìà Àíäðîíîâà-Õîïôà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè äâà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ ;  óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ  a aa > , d  a =da a=a > , à îñòàëüíàÿ 0 0 0 0 ÷àñòü ñïåêòðà îñòàåòñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, òî ïðîèñõîäèò ðîæäåíèå ïðåäåëüíîãî p öèêëà ñ ïåðèîäîì 0 =j a0 j è ðàäèóñîì, ðàñòóùèì êàê a a0 . Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ðîæäàþùåãîñÿ ïðè ýòîì öèêëà ðåøàåòñÿ ïóòåì îïðåäåëåíèÿ çíàêà ïåðâîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû L1 , ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèÿ êîòîðîé äîñòàòî÷íî ñëîæíà è ïîäðîáíî îïèñàíà â ðàáîòàõ [38, 39, 46]. Åñëè L1 < , òî öèêë óñòîé÷èâ. Åñëè æå L1 > , òî ðîæäàþùèéñÿ öèêë ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì.  ñëó÷àå, êîãäà L1 , òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ d  a =da a=a > èìååò ìåñòî ëîêàëüíàÿ åäèíñòâåííîñòü ðîæäàþùåãî0 ñÿ öèêëà, óñòîé÷èâîñòü êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì âòîðîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû L2 [37, 38, 46]. Åñëè æå Li ; i ; ; :::, òî ïðè a a0 ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî íåèçîëèðîâàííûõ öèêëîâ [38, 47]. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ëèøü óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû, ïîñêîëüêó íåóñòîé÷èâûå öèêëû îáû÷íî íåíàáëþäàåìû. Ïîýòîìó áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå áèôóðêàöèè Àíäðîíîâà-Õîïôà ðîäèëñÿ óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë. Áèôóðêàöèè ôàçîâûõ ïîðòðåòîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì â îêðåñòíîñòè óñòîé÷èâîãî öèêëà ïîëíîñòüþ îïèñûâàþòñÿ áèôóðêàöèÿìè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîíîäðîìèè îòîáðàæåíèÿ òðàíñâåðñàëüíîé öèêëó ïëîùàäêè â ñåáÿ. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ÷àñòî íàçûâàþò îòîáðàæåíèåì Ïóàíêàðå. Äëÿ åãî ïîñòðîåíèÿ ðàññìîòðèì óñòîé÷èâûé öèêë

a ïîòîêà, ïîðîæäàåìîãî âåêòîðíûì ïîëåì ; a . Âûáåðåì òî÷êó 0 2 a è íåêîòîðóþ òðàíñâåðñàëüíóþ ñåêóùóþ S , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç 0 . Îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå Pa ïåðåâîäèò ëþáóþ òî÷êó èç ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè 0 2 S â òó òî÷êó, ãäå ïîòîê Tat ïåðåñåêàåò S . Öèêë a ïîòîêà Tat ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè # dPa 0  fz 2 j jzj < g è íåóñòîé÷èâûì, åñëè íàéäåòñÿ  2 # dPa 0 òàêîå, ÷òî jj > . Ñòàëî áûòü, ïîñëåäóþùàÿ ýâîëþöèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðîì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (ìóëüòèïëèêàòîðîâ) ïðåîáðàçîâàíèÿ dPa öèêëà â ñåáÿ. Çäåñü âîçìîæíû òðè îñíîâíûõ ñëó÷àÿ, êîãäà íà åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü âûõîäÿò ëèáî îäèí ìóëüòèïëèêàòîð, ðàâíûé èëè , ëèáî äâà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ìóëüòèïëèêàòîðà.  ïåðâîì ñëó÷àå â îòîáðàæåíèè èìååò ìåñòî ðîæäåíèå èëè èñ÷åçíîâåíèå ïàðû íåïîäâèæíûõ òî÷åê, óñòîé÷èâîé è ñåäëîâîé, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå M ñîîòâåòñòâóåò ïîÿâëåíèþ èëè

x

( v(x x

)) Re = 0

))

v(x

=

x

)

v

x

Re ( )

0 Re ( ) =2

( ) 0 [ (Re ( )) ]

= 0 Re ( )

( )

0

[ (Re ( )) ]

0

=

()

v(x )

x ()

1

+1

0

=0

=0 =12

C

0

( (x ))

1

6

x x

x

()

( (x )) 1

èñ÷åçíîâåíèþ óñòîé÷èâîãî è ñåäëîâîãî ïðåäåëüíûõ öèêëîâ. Ñ áèôóðêàöèåé ðîæäåíèÿ (èñ÷åçíîâåíèÿ) ïðåäåëüíîãî öèêëà ñ ìóëüòèïëèêàòîðîì ñâÿçàíî ðîæäåíèå õàîñà ÷åðåç ïåðåìåæàåìîñòü (ñì. íèæå). Ïðè ïîÿâëåíèè ìóëüòèïëèêàòîðà, ðàâíîãî , ðåàëèçóþòñÿ äâà êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ. Åñëè ïåðâîíà÷àëüíî â ãðàíèöó îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ èñõîäíîãî öèêëà ïåðèîäà 0 âõîäèë ñåäëîâîé öèêë ïðèáëèçèòåëüíî óäâîåííîãî ïåðèîäà 0 , òî ñ ïðîõîæäåíèåì ìóëüòèïëèêàòîðà ÷åðåç ýòè öèêëû ñëèâàþòñÿ. Ïðè ýòîì â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè íå îñòàåòñÿ óñòîé÷èâûõ òðàåêòîðèé, à èñõîäíûé öèêë ñòàíîâèòñÿ ñåäëîâûì.  îòîáðàæåíèè dPa ýòîò ïðîöåññ âûãëÿäèò êàê ñëèÿíèå óñòîé÷èâîé è äâóõ ñåäëîâûõ òî÷åê â îäíó ñåäëîâóþ.  äðóãîì ñëó÷àå îò òåðÿþùåãî óñòîé÷èâîñòü öèêëà ïåðèîäà 0 îòâåòâëÿåòñÿ öèêë ïðèáëèçèòåëüíî óäâîåííîãî ïåðèîäà, 1 0 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì. Äàëüíåéøåå óâåëè÷åíèå óïðàâëÿþùåãî ïàðàìåòðà ìîæåò ïðèâåñòè ê ñèòóàöèè, êîãäà íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà ïðîèçîéäåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ ïåðèîäà óñòîé÷èâîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà. Ýòîò êàñêàä áèôóðêàöèé èìååò ìåñòî â òèïè÷íîì ñåìåéñòâå, è ïðèâîäèò ñèñòåìó îò óñòîé÷èâîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ðåæèìà ê õàîñó (ñì. íèæå). Äîïóñòèì, ÷òî ïðè a a1 åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü ïåðåñåêàþò äâà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ìóëüòèïëèêàòîðà îòîáðàæåíèÿ dPa , ïðè÷åì dj a j=da > , à îñòàëüíàÿ a=a1 ÷àñòü ñïåêòðà # dPa îñòàåòñÿ âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè. Òîãäà ïðè a > a1 â îòîáðàæåíèè dPa èç òåðÿþùåé óñòîé÷èâîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè ðîæäàåòñÿ èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòü. Òåì ñàìûì â èñõîäíîé ñèñòåìå ðîæäàåòñÿ èíâàðèàíòíûé òîð ñ ïëîòíîé îáìîòêîé. Ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà, âîîáùå ãîâîðÿ, ÷èñëî âðàùåíèÿ íà òîðå ìåíÿåòñÿ, îí èñïûòûâàåò ðåçîíàíñû, ÷òî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ è èñ÷åçíîâåíèþ â áåñêîíå÷íîì êîëè÷åñòâå ïðåäåëüíûõ öèêëîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà òîðå. Ñ äàëüíåéøèì ðîñòîì ïàðàìåòðà òîð òåðÿåò ãëàäêîñòü è ìîæåò ïðåâðàòèòüñÿ â ñòðàííûé àòòðàêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé õàîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, áèôóðêàöèè äàæå òàêîãî äîñòàòî÷íî ïðîñòîãî îáúåêòà êàê ïðåäåëüíûé öèêë ïðèâîäÿò ê ðîæäåíèþ íåòðèâèàëüíûõ ìíîæåñòâ (íàïðèìåð, èíâàðèàíòíûõ òîðîâ, ñîñòîÿùèõ èç áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òðàåêòîðèé). Ïðè èçìåíåíèè óïðàâëÿþùåãî ïàðàìåòðà èññëåäîâàíèå âîçìîæíûõ áèôóðêàöèé òàêèõ ìíîæåñòâ ñèëüíî ðàçâåòâëÿåòñÿ (ñì. îá ýòîì [37]). Îäíàêî íàñ èíòåðåñóþò, â îñíîâíîì, áèôóðêàöèè, ïðèâîäÿùèå ê âîçíèêíîâåíèþ õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.

+1

1

2

1

=2

=

()

( )

2.2

0

Óäâîåíèå ïåðèîäà

Ïðåæäå âñåãî, îñòàíîâèìñÿ íà áèôóðêàöèè óäâîåíèÿ ïåðèîäà [36, 37, 41, 48, 49, 50]. Ýòà áèôóðêàöèÿ èìååò ìåñòî ïðè ïðîõîæäåíèè ìóëüòèïëèêàòîðà  a0 öèêëà a0 ïåðèîäà 0 ÷åðåç : ñ äîñòèæåíèåì çíà÷åíèÿ a a1 öèêë a0 ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì, è îò íåãî îòâåòâëÿåòñÿ íîâîå óñòîé÷èâîå ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå 0 a1 ïåðèîäà 1 0 . Ñ 0 äàëüíåéøèì óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà, a > a1 , çíà÷åíèå  a ìåíÿåòñÿ, íî ïðè a a2 0 ìóëüòèïëèêàòîð  a2 è ïîÿâëÿåòñÿ öèêë ïåðèîäà 2 1 0 . È òàê äàëåå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé óäîâëåòâîðÿåò ìàñøòàáíîìó ñîîòíîøå-

1

=

( )

( )

( )

() =2 =4

( )= 1

7

( )

=2

=

=

const

= 4 6692016091

íèþ an a1
Æ m (ãäå Æ ; :::  ïåðâàÿ ïîñòîÿííàÿ Ôåéãåíáàóìà) è èìååò ïðåäåë a a1 . Ïðè ýòîì áèôóðöèðóþùèå öèêëû ñõîäÿòñÿ ê m!1 m íåêîòîðîìó èíâàðèàíòíîìó ìíîæåñòâó (àòòðàêòîðó Ôåéãåíáàóìà), ñòðóêòóðà êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ êàíòîðîâñêîé è íå çàâèñèò îò ðàññìàòðèâàåìîãî ñåìåéñòâà óðàâíåíèé. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå, a > a1 , â ëþáîé ïîëóîêðåñòíîñòè ýòîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî èíòåðâàëà èìåþòñÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ èíâàðèàíòíàÿ ìåðà, ò.å. äèíàìèêà ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ õàîòè÷åñêîé. Óíèâåðñàëüíîñòü áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ ïåðèîäà îáúÿñíÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ðåíîðìãðóïïîâîãî ïîäõîäà [51, 52, 53]. Ðàññìîòðèì ÷åòíîå óíèìîäàëüíîå îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà I â ñåáÿ, îïðåäåëÿåìîå ñåìåéñòâîì f a; x . Äîïóñòèì, ÷òî â äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ ïàðàì (2k ) åòðîâ îò ak äî ak+1 ïðîèçâîäíàÿ df x; a =dx (1) ìîíîòîííî óáûâàåò îò äî

lim

=

( )

1, ãäå xa

( )

x=xa

2

(

)

~

1

k . Ñëåäîâàòåëüíî,

 îäíà èç òî÷åê ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèè ïåðèîäà   k â èíòåðâàëå ak ; ak+1 íàéäåòñÿ ak òàêîå, ÷òî df (2 ) x; ak =dx (1) (1)

( ~)

x=xa~k

= 0. Ýòî ïàðàì-

åòðè÷åñêîå çíà÷åíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî òî÷êè ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèè ÿâëÿþòñÿ (2k 1 ) ñâåðõóñòîé÷èâûìè. Ïîýòîìó â îêðåñòíîñòè x x(1) x; ak a~k 1 ãðàôèê ôóíêöèè f (2k ) àñèìïòîòè÷åñêè âûãëÿäèò òàê æå, êàê è ãðàôèê äëÿ f x; ak+1 ïðè k ! 1 ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ôàêòè÷åñêè, îäíàêî, ñîâïàäàþò öåëûå k 1 k ñåìåéñòâà: f (2 ) x; a â an  a  an+1 è f (2 ) x; a â an+1  a  an+2 . Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíî óäâàèâàÿ ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé è ïðîèçâîäÿ ìàñøòàáíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì â ïðåäåëå ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåííûõ îïåðàöèé è íå çàâèñÿùåå îò âûáîðà íà÷àëüíîãî îòîáðàæåíèÿ. Ýòî óíèâåðñàëüíîå îòîáðàæåíèå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ÷åðåç ïðåîáðàçîâàíèå óäâîåíèÿ T . Ïóñòü x  òî÷êà ìàêñèìóìà f . Îáîçíà÷èì êàê  f f =f f . Òîãäà 1 1 1 èíòåðâàë  ;  ïîä äåéñòâèåì T ïåðåéäåò â f  ; f .  ñâîþ î÷åðåäü, ýòîò 1 èíòåðâàë îòîáðàçèòñÿ íà èíòåðâàë f f ;f f  . Ïóñòü  > ; f f  1 <  1 ;  1 < T f  1 ; f > .  ýòîì ñëó÷àå f f ; f f  1   1 ;  1 , è f  1 ; f  1;  1 ;. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ h x f f  1 x áóäåò âíîâü ôóíêöèåé, êîòîðàÿ ïîðîæäàåò óíèìîäàëüíîå îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà I â ñåáÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå óäâîåíèÿ T îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: T f x f f  1 x ;  f =f f . Îíî èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó g x , è ñïåêòð ëèíåàðèçîâàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ýòîé òî÷êå, T g , ëåæèò âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî ïåðâîé ïîñòîÿííîé Ôåéãåíáàóìà Æ . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî U , ñîñòîÿùåå èç ÷åòíûõ óíèìîäàëüíûõ îòîáðàæåíèé èíòåðâàëà. Äîïóñòèì, ÷òî f 0 f f < b f  > f b f 2  < . Ïóñòü H îáîçíà÷àåò áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ÷åòíûõ ôóíêöèé f z , à H0  åãî ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé f , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñîîòíîøåíèÿì f f0 ; H1 H0 . Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü [52, 53, 54], ÷òî ñóùåñòâóåò ÷åòíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ g x , ïðåäñòàâèìàÿ êàê g x ; x2 ; x4 : x6 ::: è èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ óäâîåíèÿ T . Ïðè ýòîì   g ; :::  âòîðàÿ óíèâåðñàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Ôåéãåíáàóìà. Áîëåå òîãî, ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Vg òî÷êè g â ïðîñòðàíñòâå H1 òàêàÿ, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå óäâîåíèÿ T îòîáðà-

=

( ) ~

=0 [

( ) (0) 0

( ) ~

()

( )( ) =

((

(0) = 0; (0) = 1; (1) =

=

+1

()

( ~ ) ~

= ( ) = (0) ( (0)) [ ( ) (0)] [ ( (0)) ( ( ))] 0 ( ( )) [ ( (0)) ( ( ))] [ ] [ ( ) (0)] [ ( ) = ( ( ))

]

D ()

~

( ~)

))

=

0; = ( )

(0) ( (0))

()

; ()= ( )

( ) = 1 1 52763 + 0 104815

2 5029078750

8

(0) = (0) = 0

0 0267057 + = ()=

]=

D ()

æàåò Vg â H1 . Ëèíåàðèçîâàííîå ïðåîáðàçîâàíèå óäâîåíèÿ, T g , èìååò ðàñòÿãèâàþùååñÿ îäíîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî è ñæèìàþùååñÿ ïîäïðîñòðàíñòâî êîðàçìåðíîñòè 1.  ðàñòÿãèâàþùåìñÿ ïîäïðîñòðàíñòâå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà T g ðàâíî Æ . Ýòèìè ñâîéñòâàìè îáúÿñíÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîñòü óäâîåíèÿ. Áîëüøîå ÷èñëî ýêñïåðèìåíòàëüíûõ è ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé (ñì., íàïðèìåð, [55, 56, 57, 58, 59, 60] è öèòèðîâàííóþ òàì ëèòåðàòóðó) ïîêàçàëè, ÷òî óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ âñòðå÷àþòñÿ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, íå èìåþùèõ ñâÿçè ñ îòîáðàæåíèÿìè èíòåðâàëà. Ýòîò ôàêò óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ìíîãîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ óñòðîåíû òàê, ÷òî ïî îäíîìó íàïðàâëåíèþ îíè êà÷åñòâåííî îïèñûâàþòñÿ ñåìåéñòâîì îïðåäåëåííûõ îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé, à ïî îñòàëüíûì íàïðàâëåíèÿì èìååò ìåñòî ñèëüíîå ñæàòèå. Òî÷íàÿ ôîðìóëèðîâêà îïèñàííîãî ñâîéñòâà äàíà â ðàáîòàõ [52, 61]. Óíèâåðñàëüíîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü è èíûì ñïîñîáîì [62, 63, 64], èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè. Òàêîé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ íå ñòîëü àáñòðàêòíûì, è ìîæåò áûòü m+1  êàê y ïîäòâåðæäåí ýêñïåðèìåíòàëüíî. Îáîçíà÷èì öèêë ïåðèîäà m+1 1 m+1 t , ãäå t  âðåìÿ, âûðàæåííîå â òåðìèíàõ èñõîäíîãî öèêëà y1 t ïåðèîäà 1 , t=1 ; ; :::; m+1. Öèêë ym+1 t îòâåòâëÿåòñÿ îò öèêëà ym t â ðåçóëüòàòå áèôóðêàöèè óäâîåíèÿ, êîãäà ïàðàìåòð a äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ am+1 . Îí óñòîé÷èâ â èíòåðâàëå a 2 am+1 ; am+2 . Íà ïëîñêîñòè Ïóàíêàðå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè òàêîãî öèêëà îïðåäåëèì êàê

D ()

()

+1

=2

()

()


m (t) = ym (t)

=

2

+1

=2

() =1 2 2

[

ym+1 (t + m ) ;

)

(2)

m ãäå m m+1 = . Ðàññìîòðèì ñêåéëèíãîâóþ ôóíêöèþ [65], îïðåäåëÿþùóþ ëîê1 àëüíîå èçìåíåíèå ìàñøòàáà (ñêåéëèíã) âáëèçè m-ãî öèêëà ïðè êàæäîì óäâîåíèè ïåðèîäà:


m (t) :
m (t) Ïîñêîëüêó
m (t + m ) =
m (t), òî m (t + m ) = m (t) =

(3)

+1

 (t).

Òåïåðü ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå îá àìïëèòóäàõ ãàðìîíèê â ÷àñòîòíîì ñïåêòðå, êîãäà ïåðèîä óäâàèâàåòñÿ. Ñïåêòð öèêëà ym t ïåðèîäàm ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç Ôóðüå-êîìïîíåíòû bm l : +1

+1

()

ym (t) =

( + 1)

X

l

2ilt bml exp 

!

(4)

:

m

=

 ðåçóëüòàòå m -îé áèôóðêàöèè â òàêîì ñïåêòðå â äîïîëíåíèå ê ÷àñòîòàì l!m ; l ; ; :::; ïîÿâèâøèìñÿ ê m-îé áèôóðêàöèè, íà ÷àñòîòàõ k!m = ; k ; ; ; ::: âîçíèêm àåò íîâûõ ñóáãàðìîíèê. Ïðåäñòàâèì öèêë ym+1 t ñëåäóþùèì îáðàçîì: ym+1 t = m+1 t , ãäå m+1 t îïðåäåëÿåòñÿ èç (2). Òîãäà m+1 t ym+1 t m+1 t ym+1 t m . Î÷åâèäíî, m+1 t m m+1 t . Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè m+1 t áóäåò ñîäåðæàòü òîëüêî ÷àñòîòû l!m , ïîñêîëüêó

12

2 (1 2)[
( ) + ( + ) ()

=

=1


() ( + )=

2ikt = 

m+1 2m

()= ()+

!

m+1

Z

() =

()

dt m+1 (t) exp m+1 1 Z dt  (t) exp ikt ! = m+1 2m Z0 m h i  m 1 dt m+1 (t) + ( 1)k m+1 (t + m ) exp 2m 0

bmk +1

=

( )]

()

2 = 135

0

9

ikt m

!

(5) =0:

 òî æå âðåìÿ, àìïëèòóäà êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè

bml

= 1

m

= 21 m

Z

m

0

0

2ilt

dt exp

!

m

ym (t) :

(6)

= 2m , íàéäåì, ÷òî

Ïîñëå óäâîåíèÿ ïåðèîäà, m+1

bml +1

m

Z

l!m îñòàíåòñÿ òîé æå, òàê êàê

dt ym+1 (t) + (

1)

h

m+1

(t + m ) exp

Åñëè l  ÷åòíîå, òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèé â (7) ðàâíà m+1

 

= 21 m

0

(7)

(t). Ñëåäîâàòåëüíî,

2ilt  

m

Z

dt m+1 (t) exp m 1 Z m dt y (t) exp 2ilt !  m+1 m 0 m 1 Z m dt y (t) exp 2ilt ! = bl : m m m 0 m

bm2l +1

!

ilt : m

i

ly

!

(8)

()


()

 ïðîòèâîïîëîæíîñòü ôóíêöèè m+1 t , ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ôóíêöèè m+1 t ñîäåðæèò òîëüêî ñóáãàðìîíèêè k!m = . Ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü ýòèõ ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò äàåòñÿ èíòåãðàëîì Im+1

m (t), íàéäåì:

Im+1

= 21 m

m

Z 2

2 m = (1=m )
m (t)dt: Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ âåëè÷èíó R+1

+1

2

1 m (t)
m (t)dt =  2

Êàê èçâåñòíî [65], ïðè áîëüøèõ ñîîòíîøåíèåì

m

m

Z

2

m

0

+1

0

0

m2 (t)
2m (t)dt :

ìàñøòàáíàÿ ôóíêöèÿ m

8 > <

m (t) = > :

1=; 1= ;

(t) õîðîøî ïðèáëèæàåòñÿ

0 < t < m =2 ; m =2  t < m ;

2

(9)

(10)

ãäå   âòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ Ôåéãåíáàóìà. Çíà÷èò, ìîæíî îöåíèòü èíòåíñèâíîñòü ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò êàê

Im+1 Èëè, îêîí÷àòåëüíî

= 12 1 + 1 1 m 



2

4

Im

Im+1

m

Z 0


m (t)dt = 12 1 + 1 

2

2

= 2 1 + 1 

2

4

 1

:

4



Im :

(11) (12)

Òàêèì îáðàçîì, èíòåíñèâíîñòü íîâûõ ñïåêòðàëüíûõ ñóáãàðìîíèê, ïîÿâëÿþùèõñÿ â ðåçóëüòàòå áèôóðêàöèè óäâîåíèÿ, âñåãäà â ïîñòîÿííîå ÷èñëî ðàç ìåíüøå, ÷åì èíòåíñèâíîñòü ñóáãàðìîíèê, âîçíèêøèõ â ïðåäûäóùóþ áèôóðêàöèþ, è íå çàâèñèò îò íîìåðà áèôóðêàöèè. Åñëè â ñèñòåìå èìååòñÿ âíåøíèé øóì, òî, ÷òîáû ñëåäóþùàÿ áèôóðêàöèÿ óäâîåíèÿ áûëà íàáëþäàåìà, åãî äèñïåðñèÿ, ïî îöåíêàì, äàííûì â ðàáîòàõ [66, 67, 68], äîëæíà áûòü â 6,619... ðàç ìåíüøå, ÷åì àìïëèòóäà ñóáãàðìîíèê.

10

2.3

Ïåðåìåæàåìîñòü

Äðóãîé ïóòü ê õàîñó ðåàëèçóåòñÿ ÷åðåç ïåðåìåæàåìîñòü. Ñòðîãèé ïîäõîä ê ýòîìó ÿâëåíèþ ìåíåå ðàçâèò, ïîñêîëüêó íåâîçìîæíî òî÷íî îïðåäåëèòü, ïðè êàêèõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ äîñòèãàåòñÿ ðàçâèòûé õàîòè÷åñêèé ðåæèì. Âïåðâûå ïåðåõîä ê õàîñó ÷åðåç ïåðåìåæàåìîñòü èññëåäîâàí íà ïðèìåðå ñèñòåìû Ëîðåíöà [69, 70, 71], îäíàêî íåñêîëüêî ðàíåå âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ êàñàòåëüíîé áèôóðêàöèè áûëà ïîäðîáíî îïèñàíà è ñòðîãî îáîñíîâàíà â ðàáîòàõ [72, 73]. Ïåðåìåæàåìîñòü ñâèäåòåëüñòâóåò î ðîæäåíèè õàîòè÷åñêîãî àòòðàêòîðà ïîñðåäñòâîì èñ÷åçíîâåíèÿ ïîëóóñòîé÷èâîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà. Ýòî ïðîèñõîäèò, êîãäà a a1 è ìóëüòèïëèêàòîð öèêëà èìååò äåéñòâèòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå .  ýòîò ìîìåíò ïðîèñõîäèò ñëèÿíèå óñòîé÷èâîãî è íåóñòîé÷èâîãî öèêëîâ â ïîëóóñòîé÷èâûé.  îòîáðàæåíèè Ïóàíêàðå òàêàÿ áèôóðêàöèÿ âûãëÿäèò êàê ñëèÿíèå óñòîé÷èâîé è íåóñòîé÷èâîé íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Ñ ïåðåõîäîì ÷åðåç êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå a1 ; a > a1 , ïîëóóñòîé÷èâûé öèêë èñ÷åçàåò. Òèïè÷íîå ïîâåäåíèå ñèñòåìû âáëèçè çíà÷åíèé a > a1 ; a ' a1 , áóäåò ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèì, íî ïðåðûâàþùèìñÿ êîðîòêèìè õàîòè÷åñêèìè âñïëåñêàìè. Ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà ÷èñëî õàîòè÷åñêèõ ïóëüñàöèé óâåëè÷èâàåòñÿ è ïîñòåïåííî íàñòóïàåò ðàçâèòûé õàîñ. Îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå ïî òðàåêòîðèÿì, ïðîõîäÿùèì â îêðåñòíîñòè ïîëóóñòîé÷èâîãî öèêëà â íåêîòîðûõ êîîðäèíàòàõ x; y ; x 2 ; 2 n 1 çàïèñûâàåòñÿ êàê [48]: xk+1 f xk ; " xk x2k bx3k "; k+1 A xk ; " k q xk ; k ; " , ãäå q  íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, jij < ; i 2 # A ; ; " c a a1 ::: ; c > . Ïåðâîå ñîîòíîøåíèå îïèñûâàåò äèíàìèêó îòîáðàæåíèÿ íà öåíòðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè. Ðàññìîòðèì åãî ïîäðîáíåå. Ïðè " < ïî÷òè âñå òðàåêòîðèè ïðèòÿãèâàþòñÿ ê åäèíñòâåííîé óñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êå îòîáðàæåíèÿ. Ïðè " ! ê íåé ïðèáëèæàåòñÿ íåóñòîé÷èâàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà.  ìîìåíò " â íà÷àëå êîîðäèíàò x ïðîèñõîäèò ñëèÿíèå óñòîé÷èâîé è íåóñòîé÷èâîé òî÷åê â îäíó ïîëóóñòîé÷èâóþ. Ñ ïðåâûøåíèåì áèôóðêàöèîííîãî çíà÷åíèÿ, " > , ýòà òî÷êà èñ÷åçàåò. Äîïóñòèì, ÷òî îäíîìåðíîå îòîáðàæåíèå èìååò ó÷àñòîê, ïîðîæäàþùèé ñëîæíóþ äèíàìèêó. Òîãäà ïðè a  a1 (íî ïðè " > ) äèàãðàììà Ëàìåðåÿ òàêîãî îòîáðàæåíèÿ áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé äëèííûé ïåðèîäè÷åñêèé ó÷àñòîê, ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîõîäó â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè U íà÷àëà êîîðäèíàò è õàîòè÷åñêèé âñïëåñê, êîòîðûé çàâåðøàåòñÿ ïðè íîâîì ïîïàäàíèè â U . È òàê äàëåå. Ïîâåäåíèå, âîçíèêàþùåå â ñèñòåìàõ ïðè îáðàòíîé êàñàòåëüíîé áèôóðêàöèè, íàçûâàåòñÿ ïåðåìåæàåìîñòüþ 1-ãî ðîäà. Ïåðåìåæàåìîñòü ìîæåò âîçíèêàòü è â äðóãèõ ñëó÷àÿõ [63, 71, 74].  ÷àñòíîñòè, åñëè îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå íà öåíòðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè (â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ) èìååò âèä rn+1 " rn brn3 n+1 n c, òî ñèñòåìà ïðîÿâëÿåò ïåðåìåæàåìîñòü 2-ãî ðîäà. Îñíîâíîå îòëè÷èå îò ïåðåìåæàåìîñòè 1-ãî ðîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñëèÿíèÿ óñòîé÷èâîé è íåóñòîé÷èâîé íåïîäâèæíûõ òî÷åê îíè íå èñ÷åçàþò, à ïðîèñõîäèò ïåðåäà÷à íåóñòîé÷èâîñòè îò íåóñòîé÷èâîé òî÷êè ê óñòîé÷èâîé. Ïåðåìåæàåìîñòü 3-ãî ðîäà âîçíèêàåò, åñëè îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå çàïèøåòñÿ êàê xn+1 " xn bx3n .  ýòîì ñëó÷àå èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ïîäõîäèò ïî ñïèðàëè ê åäèíñòâåííîé óñòîé÷èâîé íåïîäâ-

+1

=

( ) R y R ) = + + + y = ( )y + ( y ) 1 ( (0 0)) = ( )+ 0

(

0

=0

0

=

=0

0

0

= (1+ ) + ;

= +

= (1 + )

11

èæíîé òî÷êå, à ïåðåìåæàåìîñòü ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè: ëåñòíèöà Ëàìåðåÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåäëåííî ðàñêðó÷èâàþùóþñÿ ñïèðàëü. Ïåðåìåæàåìîñòü òàêæå ïîääàåòñÿ îïèñàíèþ â ðàìêàõ ðåíîðìàëèçàöèîííîãî ïîäõîäà.  îòëè÷èå îò ñöåíàðèÿ óäâîåíèÿ ïåðèîäà, ýòîò ïîäõîä äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ôóíêöèîíàëüíîãî Ðà óðàâíåíèÿ [75, 76]. Îáîáùèì ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ äèíàìèêó îòîáðàæåíèÿ íà öåíòðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè òàê, ÷òîáû ïðè x ! îíà èìåëà âèä: f x x bjxjz . Òîãäà â åäèíè÷íîì èíòåðâàëå, I ; , âòîðàÿ èòåðàöèÿ, ò.å. ôóíêöèÿ f f x , ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ äåìîíñòðèðóåò òî æå ïîâåäåíèå, ÷òî è èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ f x . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî çàïèñàòü ñîîòíîøåíèå óíèâåðñàëüíîñòè ÷åðåç îïåðàòîð óäâîåíèÿ, ïðèìåíÿåìûé ê íåïîäâèæíîé òî÷êå g x êàê T g x f f  1x ; T g x g x . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: g ; g0 . Ïðåäñòàâèì îòîáðàæåíèå x0 f x â íåÿâ0 0 1 íîì âèäå, F x F x a, ò.å. x x F F x a f x , ãäå a  ïàðàìåòð. 00 0 00 0 Òîãäà x x x x . Ïîýòîìó F x F x x F x a. Òàêèì îáðàçîì, 00 =F x = F x a. Äëÿ òîãî, ÷òîáû F ñîîòâåòñòâîâàëî óðàâíåíèþ óäâîåíèÿ, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà = F  x F  x . Îíî àâòîìàòè÷åñêè ó÷òåòñÿ, åñëè âûáðàòü F  x jxj (z 1);  1=(z 1) . Ñëåäîâàòåëüíî, g x F  1 F  x a jxj (z 1) a 1=(z 1) . Ïðè a b z ôóíêöèÿ g x áóäåò óäîâëåòâîðÿòü çàäàííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïåðåìåæàåìîñòè îòîáðàæåíèå íåïîäâèæíîé òî÷êè ñâÿçàíî ñ òðàíñëÿöèåé F x0 F x a. Ðà óðàâíåíèå äëÿ ìàëîãî âîçìóùåíèÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè òàêæå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå [77]. Áîëüøîå çíà÷åíèå èññëåäîâàíèå ðåíîðìàëèçàöèîííûõ óðàâíåíèé ïåðåìåæàåìîñòè ïðèîáðåëî ïîñëå òîãî, êàê áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ñ èõ ïîìîùüþ ìîæíî óíèâåðñàëüíûì îáðàçîì îáúÿñíèòü ïðîèñõîæäåíèå ôëèêêåð-øóìà â íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ [63, 78, 79].

+ ( ( ))

( )= ( (

= [0 1]

0

()=

()

))

( )= ( ) (0) = 0 (0) = 1 ( )= () ()= ( () )= () ()= ( ) ( ) = ( ( )) = ( ) 12 ( )=12 () 12 ()= ( ) ( )= =2 ( )= ( ) = ( 1) ()

()

= ()

( ()

)=

( )= ( )

2.4

Ðàçðóøåíèå òîðà

Áèôóðêàöèè äâóìåðíîãî òîðà, ðîäèâøåãîñÿ â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà ïàðû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé öèêëà ÷åðåç åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü, òàêæå ìîãóò ïðèâåñòè ê ïîÿâëåíèþ õàîñà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ïðè ýòîì ïëîñêîñòü ïàðàìåòðîâ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ðàçáèâàåòñÿ íà ðåçîíàíñíûå ÿçûêè, îòâå÷àþùèå íàëè÷èþ ó âåêòîðíîãî ïîëÿ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà òîðå. Òîð ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì íåóñòîé÷èâûõ ìíîãîîáðàçèé ñåäëîâûõ öèêëîâ ñ óñòîé÷èâûìè öèêëàìè. Ïðåæäå ÷åì â òàêîé ñèñòåìå ïðîèçîéäåò ïåðåõîä ê õàîòè÷åñêèì êîëåáàíèÿì, òîð äîëæåí ïîòåðÿòü ãëàäêîñòü: ñóùåñòâóþò òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ íåóñòîé÷èâîå ìíîãîîáðàçèå ñåäëîâîãî öèêëà íà÷èíàåò "ãîôðèðîâàòüñÿ", ëèáî ó ñåäëîâîãî öèêëà âîçíèêàåò íåãðóáàÿ ãîìîêëèíè÷åñêàÿ êðèâàÿ, ëèáî óñòîé÷èâûé è íåóñòîé÷èâûé öèêëû íà òîðå ñëèâàþòñÿ è èñ÷åçàþò íà íåãëàäêîì òîðå. Ýòîò ðåçóëüòàò èçâåñòåí êàê òåîðåìà î ðàçðóøåíèè òîðà. Ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé ðàçðóøåíèå òîðà ïðèâîäèò ê ðîæäåíèþ õàîñà [37, 48, 59, 60, 63, 71, 80, 81]. Íàðóøåíèå ãëàäêîñòè òîðà óäîáíî ðàññìîòðåòü íà ïðèìåðå îòîáðàæåíèÿ êîëüöà â ñåáÿ, êîòîðîå ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ èìååò ãëàäêóþ èíâàðèàíòíóþ 12

êðèâóþ. Ïðè ýòîì êîíêðåòíûé âèä îòîáðàæåíèÿ íå èãðàåò ðîëè [37, 48]. Ïåðåñòðîéêè ôàçîâûõ ïîðòðåòîâ â òàêîì êîëüöå èìåþò ìåñòî è â îáùåé ñèòóàöèè [82, 83, 84], ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ìîäåëüíîå îòîáðàæåíèå. Ïóñòü a;b xn+1 e a xn b n ; n+1 n a xn b n ; ; a > ; b > : Ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì è ïåðåâîäèò êîëüöî     , jxj  x0 ; x0 > be a = e a â ñåáÿ. Åñëè a  , òî èç îòîáðàæåíèÿ êîëüöà ïîëó÷èì îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè, 'a;b n+1 n a b k ;  , êîòîðîå äîñòàòî÷íî èíòåíñèâíî èçó÷àëîñü (ñì., íàïðèìåð, [85, 86, 87, 88] è öèòèðîâàííóþ òàì ëèòåðàòóðó).  ÷àñòíîñòè, åãî ïðîñòðàíñòâî ïàðàìåòðîâ ñîäåðæèò áèôóðêàöèîííóþ êðèâóþ, ïðè ïåðåñå÷åíèè êîòîðîé äèíàìèêà îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé b. Åñëè b < , òî ïðè èððàöèîíàëüíîì ÷èñëå âðàùåíèÿ âñå òðàåêòîðèè îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòè êâàçèïåðèîäè÷åñêèå. Ïðè ðàöèîíàëüíîì çíà÷åíèè ÷èñëà âðàùåíèÿ â îòîáðàæåíèè îêðóæíîñòè èìååòñÿ ðàâíîå ÷èñëî óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê îäèíàêîâîãî ïåðèîäà. Êîãäà b > , âîçíèêàåò õàîòè÷åñêîå ìíîæåñòâî [86, 87, 88]. Äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ êîëüöà âî ìíîãîì àíàëîãè÷íà äèíàìèêå îòîáðàæåíèÿ îêðóæíîñòè. Ïðè b e a < ýòî îòîáðàæåíèå èìååò èíâàðèàíòíóþ çàìêíóòóþ êðèâóþ, êîòîðàÿ âêëþ÷àåò íåïîäâèæíûå òî÷êè, îäíà èç êîòîðûõ óñòîé÷èâà, à äðóãàÿ ñåäëîâàÿ, ïðè÷åì åå íåóñòîé÷èâûå ñåïàðàòðèñû çàìûêàþòñÿ íà óñòîé÷èâóþ òî÷êó (è îáðàçóÿ òåì ñàìûì çàìêíóòóþ êðèâóþ).  ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ a; b òàêàÿ ñèòóàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé áèôóðêàöèîííûìè êðèâûìè. Ïðè ïåðåñå÷åíèè ýòèõ êðèâûõ ïîâåäåíèå îòîáðàæåíèÿ êîëüöà èçìåíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [80]: à) âîçíèêàåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òðàåêòîðèé ñî ñ÷åòíûì ÷èñëîì íåóñòîé÷èâûõ ñåäëîâûõ öèêëîâ, ïðè ýòîì èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà îñòàåòñÿ â ìàëîé îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè; á) ïðîèñõîäèò áèôóðêàöèè óäâîåíèÿ ïåðèîäà; â) ñåäëî è óçåë ñëèâàþòñÿ, ïîÿâëÿåòñÿ ñåäëî-óçåë, ïðè÷åì èíâàðèàíòíóþ êðèâóþ â ýòîò ìîìåíò îáðàçóåò åãî íåóñòîé÷èâàÿ ñåïàðàòðèñà; åñëè ýòà êðèâàÿ ãëàäêàÿ, òî ïîñëå èñ÷åçíîâåíèÿ ñåäëî-óçëà ðîæäàåòñÿ ãëàäêàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ, ê êîòîðîé ïðèòÿãèâàþòñÿ âñå òî÷êè â êîëüöå; ã) åñëè â ñëó÷àå â) â ìîìåíò ñëèÿíèÿ ñåäëà è óçëà ñåïàðàòðèñà íåãëàäêàÿ, òî âîçíèêàåò èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî òèïà ïîäêîâû Ñìåéëà, ò.å. õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. Ïîñëåäíèå äâà ñëó÷àÿ (â è ã) ðåàëèçóþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b. Êîëè÷åñòâåííûå çàêîíîìåðíîñòè ïåðåõîäà îò ðåæèìà äâóõ÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé ê õàîñó óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðè ïîìîùè ðåíîðì-ãðóïïîâîãî ïîäõîäà [89, 90]. Ïóñòü f r;  S 1 ! S 1  ãëàäêîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè, èìåþùåå òî÷êó ïåðåãèáà p. Äëÿ ïåðåõîäà îò êâàçèïåðèîäè÷íîñòè ê õàîñó íåîáõîäèìî èçìåíÿòü äâà ïàðàìåòðà, ÷òîáû ñîõðàíÿòü ÷èñëî âðàùåíèÿ  f n x0 x0 =n, ðàâíûì çàäàííîìó n!1 èððàöèîíàëüíîìó ÷èñëó. Èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå ÷èñëà âðàùåíèÿ çíà÷åíèå çîëîòîãî ñðåp = ; ::: , ìîæíî îáíàðóæèòü óíèâåðñàëüíûå çàêîíîìäíåãî,   åðíîñòè ïðè ïåðåõîäå ê õàîñó. ×èñëî  åñòü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû

( + + + sin ) mod 2 0 sin

2

0

0

 :

=

(1

)

mod 2

( + sin )

:

=

=

1 + +

1

1

+

1

( )

( ):

= lim ( ( )

)

= = ( 5 1) 2 = 0 618034

T = 11 10

13

!

(13)

ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì

(

 ; 1)T . Êðîìå òîãî, T n  ýòî ìàòðèöà n+1 n n n 1

!

(14)

;

( = 0,  = 1). Òàêèì îáðàçîì, n

ãäå i  i-å ÷èñëî Ôèáîíà÷÷è 0 Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî çàïèñàòü

1

(R )n ()

 = n  ;

1

n

=(

 )n .

mod 1;

(15) ãäå R îáîçíà÷àåò îáîðîò âäîëü îêðóæíîñòè ñ ÷èñëîì  .  ñèëó ýòîãî ïîëó÷èì j(R )n ( ) j = ( )n . Äàëåå, èñïîëüçóÿ ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ÷èñåë Ôèáîíà÷÷è, íàéäåì, ÷òî âåëè÷èíà (R )n ïîðîæäàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êîìïîçèöèé (R )n = (R )n Æ (R )n . +1

1

Äëÿ ïîèñêà ôèêñèðîâàííîé òî÷êè ðåíîðìàëèçàöèîííîãî îïåðàòîðà íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü òàê íàçûâàåìîå ïîäíÿòèå f ! ôóíêöèè f , óäîâëåòâîðÿþùåå ñîîòíîøå   íèþ if  f i . Òîãäà îïåðàòîð ðåíîðìàëèçàöèè îïðåäåëèòñÿ êàê

~: R R

exp 2 ~( ) = exp(2 ) "

T1 èëè

"

T2

u() v ()

u() v ()

#

#

=

=

"

"

u(v ( 2)) u()

#

(16)

;

2 v ( 1 u( 1 )) u()

#

(17)

;

(~ ~ )

(~

~ )

÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîäó îò ôóíêöèé f n ; f n 1 ê ôóíêöèÿì f n+1 ; f n ñ ìàñøòàáíûì ìíîæèòåëåì . Ëèíåàðèçàöèÿ êàæäîãî îïåðàòîðà Ti â ñîîòâåòñòâóþùåé íåïîäâèæíîé òî÷êå g èìååò íåóñòîé÷èâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, êîòîðîå îòâå÷àåò ñêåéëèíãîâîìó ïîâåäåíèþ ñ òàêèì ñâîéñòâîì, ÷òî f  "n èìååò ÷èñëî âðàùåíèÿ n 1 =n. Ïðè ýòîì ìàñøòàáíûå ïîñòîÿííûå ðàâíû Æ ; :::,  ; ::: .

( )+ = 2 83362

2.5

= 1 28857

Ãîìîêëèíè÷åñêèå ñòðóêòóðû

Ïîìèìî ïåðå÷èñëåííûõ ïóòåé ðàçâèòèÿ õàîñà, â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ âîçìîæåí ïåðåõîä ê õàîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ ÷åðåç ãîìîêëèíè÷åñêèå áèôóðêàöèè. Ïóñòü Ta M ! M  íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå ìíîæåñòâà M â ñåáÿ. Òî÷êà p 2 M íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ Ta , åñëè Ta p p è Ta jp íå èìååò ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíîãî åäèíèöå. Ïðè ýòîì óñòîé÷èâîå è íåóñòîé÷èâîå ìíîãîîáðàçèÿ òî÷êè p îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèì îáðàçîì: W s p f 2 M j Tat ! p; t ! 1g è W u p f 2 M j Tat ! p; t ! 1g. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî p  ãèïåðáîëè÷åñêàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ Ta . Òî÷êà q íàçûâàåòñÿ ãîìîêëèíè÷åñêîé ê òî÷êå p, T åñëè p 6 q 2 W s p W u p . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî T t q p. t!1 Îäíîìåðíîå îòîáðàæåíèå èìååò ãîìîêëèíè÷åñêèå òî÷êè, åñëè îíî îáëàäàåò ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòîé, ïåðèîä êîòîðîé îòëè÷åí îò i ; i ; ; ; : : : [91, 92, 93].  ñâîþ î÷åðåäü, íàëè÷èå ãîìîêëèíè÷åñêèõ òî÷åê ãàðàíòèðóåò ïîëîæèòåëüíîñòü ýíòðîïèè [93], ò.å. ñóùåñòâîâàíèå õàîòè÷íîñòè. Áîëåå òîãî, íåäàâíî áûëè ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íî îáùèå

:

=

+

( )= x

=

()

D

( )= x

x

()

lim

2

14

=

=0 1 2

x

óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ñëîæíîãî ïîâåäåíèÿ äâóìåðíûõ îòîáðàæåíèé [94, 95, 96]. Îñíîâíîé èõ ñìûñë êðàòêî ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó. Îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî äèôôåîìîðôèçìîâ ïîâåðõíîñòè, èìåþùåå ãîìîêëèíè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, íà ìíîæåñòâå çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ïîëîæèòåëüíîé ìåðû ïîðîæäàåò ñòðàííûå àòòðàêòîðû. Ïóñòü Ta  îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî äèôôåîìîðôèçìîâ êëàññà C 1 , çàäàííûõ íà ïîâåðõíîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T0 èìååò ãîìîêëèíè÷åñêîå êàñàíèå â íåêîòîðîé ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êå p0 . Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî îáùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ ëåáåãîâà ìåðà ìíîæåñòâà Ac ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé, áëèçêèõ ê a , òàêèõ, ÷òî äëÿ a 2 Ac äèôôåîìîðôèçì Ta ïðîÿâëÿåò õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, îáóñëîâëåííîå íàëè÷èåì ñòðàííîãî àòòðàêòîðà. Ñëåäñòâèå èç ýòîãî âàæíîãî óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâî äëÿ îäíîìåðíûõ êàñêàäîâ äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà [96]: Ïóñòü Ta  ãëàäêîå îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà I èëè îòîáðàæåíèå îêðóæíîñòè S 1 è òî÷êà p0  ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà äëÿ T0 . Äîïóñòèì, ÷òî îòðèöàòåëüíàÿ îðáèòà òî÷êè p0 ïåðåñåêàåò íåóñòîé÷èâîå ìíîæåñòâî íåâûðîæäåííîé êðèòè÷åñêîé òî÷êè îòîáðàæåíèÿ T0 . Òîãäà, åñëè òàêàÿ ãîìîêëèíè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà èìååò ìåñòî â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ, òî ìåðà ìíîæåñòâà ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé a, áëèçêèõ ê a , äëÿ êîòîðûõ Ta ïðîÿâëÿåò õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå,

=0

=0

ïîëîæèòåëüíà.

Äðóãîé âàæíûé ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí Íüþõàóçîì [97, 98], êîòîðûé ïîêàçàë, ÷òî ñåìåéñòâî äâóìåðíûõ äèôôåîìîðôèçìîâ, èìåþùåå ãîìîêëèíè÷åñêîå êàñàíèå óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ ñåïàðàòðèñ, îáëàäàåò ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíûì ïîâåäåíèåì. Òàêàÿ äèíàìèêà äåéñòâèòåëüíî áûëà îáíàðóæåíà íà ïðèìåðå óðàâíåíèÿ Äþôôèíãà [36, 99, 100] ïîñðåäñòâîì îáîáùåííîé òåîðèè Ìåëüíèêîâà [101]. Áîëåå òîãî, ôîðìèðîâàíèå ãîìîêëèíè÷åñêèõ òðàåêòîðèé âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿ ãëóáîêèìè ïåðåñòðîéêàìè äèíàìèêè, êîòîðûå âêëþ÷àþò ïîÿâëåíèå ïîäêîâ Ñìåéëà [21], êàñêàäîâ óäâîåíèÿ ïåðèîäà [102], ñåäëî-óçëîâûõ öèêëîâ [103], íåîãðàíè÷åííîãî êîëè÷åñòâà ñîñóùåñòâóþùèõ ïåðèîäè÷åñêèõ àòòðàêòîðîâ [97, 104]. Îáîáùåíèå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ íà ñåìåéñòâî äèôôåîìîðôèçìîâ ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè áûëî îïèñàíî â ðàáîòàõ [103, 105, 106, 107]. Îñíîâíîå óòâåðæäåíèå, ïîëó÷åííîå â ýòîì íàïðàâëåíèè, ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó. Ïóñòü Ta  ñåìåéñòâî äèôôåîìîðôèçìîâ ìíîãîîáðàçèÿ M , M  , èìåþùåå ãîìîêëèíè÷åñêîå êàñàíèå ïðè a a. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî Ac  òàêîå, ÷òî Ta îáëàäàåò ñòðàííûì àòòðàêòîðîì äëÿ êàT æäîãî a 2 Ac è Ac a "; a " èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ìåðó Ëåáåãà äëÿ âñåõ " > . Åñëè ðàññìàòðèâàòü âìåñòî îòîáðàæåíèé ïîòîêè, òî ìîæíî ïîëó÷èòü íîâûå èíòåðåñíûå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ðàçâèòèÿ õàîòè÷åñêîé äèíàìèêè. Îäèí èç ïåðâûõ ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè áûë ïîëó÷åí Ë.Ï.Øèëüíèêîâûì [108]. Ïóñòü ïîòîê T t â ïðîñòðàíñòâå 3 èìååò ðàâíîâåñíóþ òî÷êó â íà÷àëå êîîðäèíàò ñ äåéñòâèòåëüíûì ïîëîæèòåëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 1 è ïàðó êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé 2;3 ñ îòðèöàòåëüíûìè äåéñòâèòåëüíûìè ÷àñòÿìè. Òîãäà, èñïîëüçóÿ òåîðåìó îá óñòîé÷èâîì ìíîãîîáðàçèè [36], ìîæíî ââåñòè êîîðäèíàòû òàê, ÷òî îñü z áóäåò ñîäåðæàòü ëîêàëüíî íåóñòîé÷èâîå ìíîãîîáðàçèå, à ïëîñêîñòü x; y áóäåò ñîäåðæàòü ëîêàëüíî óñòîé÷èâîå ìíîãîîáðàçèå. Äîïóñòèì, ÷òî òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ãîìîê-

dim

[~

2

=~

R ~+ ]

0

R

( )

15

0

(0)

ëèíè÷åñêîé (ê òî÷êå ) òèïà ñåäëî-ôîêóñ, ò.å. ïðè 2 W u îíà èìååò âûõîäÿùóþ èç íåóñòîé÷èâóþ ñåïàðàòðèñó, êîòîðàÿ ïðè t ! 1 ïî ñïèðàëè ñòðåìèòñÿ ê â ïëîñêîñòè x; y . Òîãäà ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé òî÷íûé ðåçóëüòàò [36, 108]: Åñëè j 2;3 j < 1 , òî ñóùåñòâóåò âîçìóùåíèå ïîòîêà T t òàêîå, ÷òî âîçìóùåííûé ïîòîê T1t áóäåò èìåòü ãîìîêëèíè÷åñêóþ îðáèòó 1 âáëèçè , à îòîáðàæåíèå, ïîðîæäàåìîå ïîòîêîì T1t , áóäåò èìåòü ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïîäêîâ. Îáîáùåíèå ýòîãî ðåçóëüòàòà ïðèâåëî ê ñóùåñòâåííîìó óãëóáëåíèþ ïîíèìàíèÿ áèôóðêàöèé â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, èìåþùèõ ãîìîêëèíè÷åñêèå ñòðóêòóðû, è ïóòåé ðàçâèòèÿ â íèõ õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [36, 37, 95, 99, 109] è ïðèâåäåííóþ òàì ëèòåðàòóðó). Òàêèì îáðàçîì, èìåþòñÿ äîñòàòî÷íî ìîùíûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ðàçâèòèÿ õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Îäíàêî êðîìå ñöåíàðèåâ ðîæäåíèÿ õàîñà â òåõ èëè èíûõ ñèñòåìàõ íåìàëîâàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î ñâîéñòâàõ õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è ñïîñîáàõ èõ èçó÷åíèÿ.

0

3

( )

0 Re

Íåêîòîðûå ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì

Ñâîéñòâà õàîòè÷åñêèõ ñèñòåì äàþòñÿ òàêèìè èíâàðèàíòàìè êàê õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà, ðàçìåðíîñòü ñòðàííîãî àòòðàêòîðà, ýíòðîïèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (ñì., íàïðèìåð, [25, 27, 31, 51, 55, 60, 63, 64, 110, 111, 112, 113, 114, 115] è ïðèâîäèìûå òàì ññûëêè) è ðÿäîì äðóãèõ. Êðîìå òîãî, âàæíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ ýðãîäè÷íîñòü è ïåðåìåøèâàíèå [25, 31, 42, 51, 74, 116, 117], K ñâîéñòâî [31, 51, 114, 116, 118], áåðíóëëèåâîñòü [31, 114, 116, 118, 119, 120], âûïîëíåíèå öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé [117, 120, 121], ýêñïîíåíöèàëüíîå óáûâàíèå êîððåëÿöèé [74, 117, 120, 122]. Óñòàíîâëåíèå ïîñëåäíèõ ñâîéñòâ â äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ïîëîæåíû â îñíîâó ñîâðåìåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î äåòåðìèíèðîâàííîì õàîñå. Îïèñàíèå õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âîçìîæíî òàêæå ÷åðåç èññëåäîâàíèå õàðàêòåðèñòèê èõ õàîòè÷åñêèõ àòòðàêòîðîâ èëè ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ ïîâåäåíèÿ òèïè÷íûõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé. 3.1

Ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà è ýíòðîïèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì

x(t)  òèïè÷íàÿ ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (1) è x (t)  áëèçêàÿ ê íåé òðàåêx (t) = x(t) + ~(t). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ 1 ln j~(t)j ; (18) (~(0)) = tlim !1 t j~(0)j êîòîðàÿ îïðåäåëåíà íà âåêòîðàõ íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ ~(0) òàêèõ, ÷òî j~(0)j = ", ãäå " ! 0. Òîãäà, â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ~(0) ôóíêöèÿ (~(0)) áóäåò ïðèíèìàòü êîíå÷íûé ðÿä çíà÷åíèé fi g, i = 1; 2; :::; n, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè Ïóñòü òîðèÿ,

1

1

ïîêàçàòåëÿìè Ëÿïóíîâà

(ñì., íàïðèìåð, [42, 55, 64, 74, 111, 112, 113] è äàííûå òàì

ññûëêè). 16

Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà ñëóæàò ìåðîé õàîòè÷íîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  ÷àñòíîñòè, åñëè èìåþòñÿ ïîëîæèòåëüíûå ïîêàçàòåëè, òî ïîâåäåíèå ñèñòåìû áóäåò õàîòè÷åñêèì. Ñòðîãîå îáîñíîâàíèå òåîðèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà ïîëó÷èëà ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà èçâåñòíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé ýðãîäè÷åñêîé òåîðåìû [123, 124, 125], êîòîðàÿ óñòàíàâëèâàåò ñóùåñòâîâàíèå òàê íàçûâàåìûõ ïðàâèëüíûõ ïî Ëÿïóíîâó òðàåêòîðèé â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ðàññìîòðèì èçìåðèìûé ìóëüòèïëèêàòèâíûé êîöèêë îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ T , ò.å. èçìåðèìóþ ôóíêöèþ m; , 2 M , ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà j  òàêóþ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ k + m k; m; T k; . Òîãäà âåëè÷èíà ; q jj m; qjj, n!1 =n 1 1 q 2  , ãäå   ñëîé íàä 2 M , íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîêàçàòåëåì Ëÿïóíîâà ïðåîáðàçîâàíèÿ T ñ êîöèêëîì m; . Òåïåðü, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî P íîðìàëüíîãî áàçèñà f i g èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî + ; i m; j, m!1 j

( x) x

( + x) = ( x) ( x) (x) (x) x

1 (x ) = lim

x

(1 ) ln ( x)

( x) (x e (x)) = lim i

e (x)

ln det ( x)

òî òî÷êà 2 M íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé âïåðåä. Ñîîòâåòñòâóþùèé õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîêàçàòåëü  ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé âåðõíåãî ïðåäåëà ïðè n ! 1 íà âåðõíèé ïðåäåë ïðè n ! 1. Òî÷êà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé íàçàä, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé âïåðåä äëÿ ïîêàçàòåëÿ  . Äâóñòîðîííèå òðàåêòîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì (1) (ò.å. òðàåêòîðèè, ñóùåñòâóþùèå äëÿ t > è t < ) ïðèâîäÿò ê ïîíÿòèþ (ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ [126]) ïðàâèëüíûõ òî÷åê ïî Ëÿïóíîâó ñ ñîãëàñîâàííûìè çíà÷åíèÿìè ïîêàçàòåëåé + è  . Äàëåå, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè  ïðàâèëüíàÿ ïî Ëÿïóíîâó òî÷êà, òî T k áóäåò ïðàâèëüíîé ïî Ëÿïóíîâó òðàåêòîðèåé. Ïóñòü X0  M  ìíîæåñòâî ïðàâèëüíûõ ïî Ëÿïóíîâó òðàåêòîðèé. Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî X0 èìååò ïîëíóþ ìåðó. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà, êîòîðûå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû äëÿ ïî÷òè âñÿêîãî 2 M . Äëÿ îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé, ïîðîæäàåìûõ ôóíêöèåé f , èìååòñÿ åäèíñòâåííûé ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà, êîòîðûé ìîæíî çàïèñàòü êàê

+

x

0

0

x

x

x

1  = Nlim !1 N

N

X

i=1

ln





df : dxi

(19)

Äðóãèìè âàæíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñëóæèò ýíòðîïèÿ [111, 114, 115, 116], êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò îáðàòíóþ âåëè÷èíó ñðåäíåãî âðåìåíè ïðåäñêàçóåìîñòè ïîâåäåíèÿ õàîòè÷åñêîé ñèñòåìû è õàðàêòåðèçóåò åå ñëîæíîñòü [42, 64, 122, 127], è ðàçìåðíîñòü èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû [63, 111, 115, 128]. Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà íåêîòîðûõ ïîëîæåíèÿõ òåîðèè. Ôîðìàëüíî ýíòðîïèÿ h äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû M; S ; ; T ââîäèòñÿ êàê âåðõíÿÿ ãðàíü ïî âñåì êîíå÷íûì èçìåðèìûì ðàçáèåíèÿì  : h T fh T;  g. Òàêèì îáðàçîì, ýíòðîïèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàèáîëüøóþ âîçìîæíóþ ñêîðîñòü ñîçäàíèÿ èíôîðìàöèè ïðåîáðàçîâàíèåì T ñ ïîìîùüþ êîíå÷íûõ ðàçáèåíèé ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïîñêîëüêó ýíòðîïèÿ  êîëè÷åñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî (äîïîëíèòåëüíî ê ïðî÷èì âàæíûì èíâàðèàíòàì) îïèñàòü îòäåëüíûå ñòîðîíû õàîòè÷íîñòè, îíà îêàçûâàåòñÿ òåñíî ñâÿçàííîé ñ äðóãèìè õàðàêòåðèñòèêàìè

( ) ( ) = sup ( )

17

ïîâåäåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  ÷àñòíîñòè, ýíòðîïèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà ñëåäóþùèì îáðàçîì [125]:

h(T ) =

Z

X

M i 0

i (x)d :

Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæåò áûòü â ðÿäå ñëó÷àåâ óïðîùåíî. Èìåííî, åñëè T  äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå êîíå÷íîìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ è   ýðãîäè÷åñêàÿ âåðîÿòíîP ñòíàÿ ìåðà äëÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû M; S , òî h  i [111, 125]. Ðàâåíñòâî â ýòîì i >0 âûðàæåíèè èìååò ìåñòî, åñëè ðàññìàòðèâàòü îäíó õàîòè÷åñêóþ êîìïîíåíòó äâèæåíèÿ, ò.å. åñëè ìåðà   ìåðà Ñèíàÿ-Ðþýëÿ-Áîóýíà [111]. Âåëè÷èíà ýíòðîïèè h íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Êðîìå òîãî, åñëè äâå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû èìåþò ðàâíûå ýíòðîïèè, òî èõ ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíû äâèæåíèÿ îäèíàêîâû [118, 129]. Ðàçìåðíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ìîãóò ââîäèòüñÿ ïî ðàçíîìó (ñì., íàïðèìåð, [63, 112, 130, 131, 132, 133] è ïðèâåäåííûå òàì ññûëêè). Îäíàêî îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû òîëüêî äëÿ íåêîòîðûõ èç íèõ [128, 134, 135, 136, 137]. Ïóñòü M  êîìïàêòíîå ïðîñòðàíñòâî è A  M . Äîïóñòèì, ÷òî N "  ìèíèìàëüíîå ÷èñëî øàðîâ ðàäèóñà ", íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîêðûòèÿ ìíîæåñòâà A. Òîãäà ïðåäåëû ="  C A è "!0 N " = ="  "!0 N " = C A íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé) åìêîñòüþ ìíîæåñòâà A. Åñëè èõ C A  C A , òî âåëè÷èíà C A íàçûâàåòñÿ åìêîñòüþ çíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò, C A [128] èëè ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ [115, 138, 139] ìíîæåñòâà A. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà, ýíòðîïèÿ è ðàçìåðíîñòü äàþò âîçìîæíîñòü ïîñðåäñòâîì èçó÷åíèÿ íàáëþäàåìûõ (ò.å. ñèãíàëà èëè îïðåäåëåííîé ðåàëèçàöèè, ïî êîòîðûì ñóäÿò î õàðàêòåðå ïðîöåññà â èññëåäóåìîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìå) îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, îäíîçíà÷íî îïèñûâàþùèõ ñîñòîÿíèå ñèñòåìû è òåì ñàìûì óñòàíîâèòü êîíå÷íîìåðíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ÿâëåíèÿ. Áîëüøèíñòâî ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè îñíîâàíû íà òåîðèè Òàêåíñà [140, 141] (ñì. òàêæå [115] è ïðèâåäåííûå òàì ññûëêè) è èñïîëüçóþò òîò ôàêò, ÷òî ñâîéñòâà àòòðàêòîðà ìîæíî îïðåäåëèòü èç âðåìåíí
îé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäíîé ñîñòàâëÿþùåé. Èìåííî, åñëè ñîñòàâèòü âåêòîðíóþ ôóíêöèþ y fxi t ; xi t  ; : : : ; xi t n g, ãäå xi t  ïðîèçâîëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïåðåìåííîé , òî ìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà èñõîäíîãî n-ìåðíîãî è ïîñòðîåííîãî n -ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâ áóäóò îäèíàêîâû. Îïèðàÿñü íà òåîðèþ Òàêåíñà, â ïðèíöèïå ìîæíî îòëè÷èòü äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ îò ÷èñòî ñëó÷àéíîãî, ò.å. íåäåòåðìèíèðîâàííîãî. Íàáëþäàåìàÿ y fyi g1 i=0 íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííî ïîðîæäåííîé, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ [115, 140, 141]: ñóùåñòâóåò êîíå÷íîìåðíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà fT g, òî÷êà x0 è ëèïøèö-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ  òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ  T i x0 yi äëÿ âñåõ i ; ; ; : : :, ïðè÷åì t t 0 t 0 T x; T x 
e x; x , ò.å. ìàêñèìàëüíûé ëÿïóíîâñêèé ïîêàçàòåëü äëÿ fT g ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì. Ââåäåì ïðîñòðàíñòâî B âñåõ íàáëþäàåìûõ êàê ìíîæåñòâî

(

()

)

lim ln ( ) ln(1 )

( )

( )= ( )

^=

(2 + 1)

( )

() ( + )

x

( ) lim ln ( ) ln(1 ) ( )

( +2 )

()

^=

dist(

)

const

dist(

)

( ( )) =

= 012

1

^ = fy ; y ; y ; : : :g, i jyij=2i < 1. Òîãäà ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ââå-

ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé y

P

0

1

2

=0

äåíèè íîðìû ïðîñòðàíñòâî B áóäåò ïîëíûì íîðìèðîâàííûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Çàäàäèì â B äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ïîñðåäñòâîì îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ ñäâèãà 18

y^

7! T y^,

^=(

)

ãäå T y y1 ; y2; y3 ; : : : . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì óíèâåðñàëüíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, ïîðîæäàþùóþ ëþáóþ îãðàíè÷åííóþ íàáëþäàåìóþ. Ðàññìîòðèì ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî A y è ïðåäåëüíóþ åìêîñòü (ò.å. ðàçìåðíîñòü) C A íàáëþäàåìîé. Ýòè èíâàðèàíòû ëåãêî ââåñòè, åñëè ðàññìîòðåòü ïðîèçâîëüíóþ íàáëþäàåìóþ y êàê íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå óíèâåðñàëüíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå B . Òîãäà   k 1 Ay fT ygk=0 , ãäå fT k yg1k=0  ïîëóòðàåêòîðèÿ, çàäàâàåìàÿ îòîáðàæåíèåì T . Åñëè C A < 1, òî äàííîé íàáëþäàåìîé ñîîòâåòñòâóåò êîíå÷íîìåðíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïðè âûïîëíåíèè äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ îá îãðàíè÷åííîñòè ìàêñèìàëüíîãî ëÿïóíîâñêîãî ïîêàçàòåëÿ íàáëþäàåìàÿ áóäåò äåòåðìèíèðîâàííî ïîðîæäåííîé. Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëåííàÿ îáðàáîòêà íàáëþäàåìîãî ñèãíàëà ìîæåò äàòü îòâåò íà ïðèíöèïèàëüíûé âîïðîñ î êîíå÷íîìåðíîñòè èññëåäóåìîãî ïðîöåññà. Íåêîòîðûå àëãîðèòìû îáðàáîòêè íàáëþäàåìûõ ïðèâåäåíû â ðàáîòàõ [42, 63, 84, 112, 115, 130, 131, 132].

(^)

(^) = clos ( )

3.2

( )

^

^

^

Õàðàêòåðèñòèêè õàîòè÷íîñòè

Îïèøåì òåïåðü èåðàðõèþ âàæíûõ ñâîéñòâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíî óñèëèâàþùèå äðóã äðóãà ñâîéñòâà õàîòè÷íîñòè [142]. 1) Ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîé ìåðû [25, 27, 51, 120, 143]. Ìíîæåñòâî ñ ââåäåííîé íà íåì ìåðîé ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíî êàê ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.  ýòîì ñëó÷àå êàæäàÿ ôóíêöèÿ, òåì èëè èíûì îáðàçîì îïðåäåëåííàÿ íà ýòîì ìíîæåñòâå, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åå èòåðàöèé, ïîëó÷àåìûõ ÷åðåç íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå fT g, ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîýòîìó ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîé ìåðû äëÿ êîíêðåòíîãî ñåìåéñòâà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì èìååò ñëåäñòâèåì åãî õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå. 2) Ïåðåìåøèâàíèå [25, 51, 63, 64, 74, 116, 117, 122]. Åñëè àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêR öèÿ b t ! ïðè t ! 1 äëÿ ëþáîé ôóíêöèè , j j2 dP < 1, ãäå P  èíâàðèàíòíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî â ñèñòåìå èìååò ìåñòî ïåðåìåøèâàíèå. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåìåøèâàíèÿ âëå÷åò íåîáðàòèìîñòü è íåïðåäñêàçóåìîñòü äèíàìèêè. 3) K -ñâîéñòâî [27, 51, 114, 126, 144]. Åñëè äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ K -ñèñòåìîé, òî îíà îáëàäàåò ïåðåìåøèâàíèåì âñåõ ñòåïåíåé è èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ýíòðîïèþ. K ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî äåòåðìèíèðîâàííóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ìîæíî çàêîäèðîâàòü â ðåãóëÿðíûé ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 4) Áåðíóëëèåâîñòü [27, 116, 120, 144]. Ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû òåì ñëó÷àéíåå, ÷åì îíà áëèæå ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Åñëè êîäèðîâêà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â ðåãóëÿðíûé ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ áåðíóëëèåâñêîé. 5) Âûïîëíåíèå óñëîâèé öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû [24, 120, 145]. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè , îïèñûâàþùåé òîò èëè èíîé äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ, íàéäåòñÿ òàêàÿ äèñïåðñèÿ   , ÷òî

()

0

f

f 



f = (f)

pn 1 lim  x : n!1 n (

"

n

X

k=1

f( (x)) f Tk

#

)


= p21

a

Z

1

e

u2 =2 d

;

Z

f = f d :

Ñìûñë âûïîëíåíèÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû ñîñòîèò â òîì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ìåð òàêèõ îáëàñòåé , âðåìåííûå ôëþêòóàöèè êîòîðûõ íå ïðåâûøàþò îïðåäåëåííîãî ÷èñëà a, ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâñêèì. 6) Ñêîðîñòü óáûâàíèÿ êîððåëÿöèé [120, 145]. Åñëè äëÿ ôóíêöèè åå ñðåäíåå , òî íàéäóòñÿ òàêèå p > ; < q < , ÷òî

x

0 0

Z

f

1 f(T k (x))f(x)d  pqjkj :

f =0



 ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî ýêñïîíåíöèàëüíîå óáûâàíèå êîððåëÿöèé, ÷òî äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé ãîâîðèò î áëèçîñòè ñèñòåìû ê êîíå÷íîé öåïè Ìàðêîâà. Õàîòè÷åñêèå äèññèïàòèâíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ìîæíî èçó÷àòü ïóòåì èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ è ñòðóêòóðû ñòðàííûõ àòòðàêòîðîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îáðàçîì õàîòè÷åñêèõ êîëåáàíèé.

f

3.3

Õàîòè÷åñêèå àòòðàêòîðû

Àòòðàêòîð äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ñòðàííûì, åñëè îí îòëè÷åí îò êîíå÷íîãî îáúåäèíåíèÿ ãëàäêèõ ïîäìíîãîîáðàçèé ïðîñòðàíñòâà M [37, 146]. ×àñòî ïîä÷åðêèâàåòñÿ, ÷òî äèíàìèêà ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ õàîòè÷åñêîé áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ â åå ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñòðàííîãî àòòðàêòîðà.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ïîíÿòèå ñòðàííûé àòòðàêòîð èìååò ñîáèðàòåëüíûé ñìûñë, è åãî èíîãäà çàìåíÿþò ñëîâîñî÷åòàíèåì õàîòè÷åñêèé àòòðàêòîð. Ïîä õàîòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì ìîæåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ íåñêîëüêî òèïîâ àòòðàêòîðîâ, îäíàêî ãèïåðáîëè÷åñêèå àòòðàêòîðû, ñòîõàñòè÷åñêèå (èëè êâàçèãèïåðáîëè÷åñêèå) àòòðàêòîðû, ïåðåìåøèâàþùèå àòòðàêòîðû è êâàçèñòîõàñòè÷åñêèå àòòðàêòîðû (èëè êâàçèàòòðàêòîðû) ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè. Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì àòòðàêòîðîì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîðîì è îäíîâðåìåííî ãèïåðáîëè÷åñêèì ìíîæåñòâîì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, ò.å. åå êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçëàãàåòñÿ íà äâà ïîäïðîñòðàíñòâà, E s è E u , êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî áåñêîíå÷íî áëèçêèå òðàåêòîðèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòðàíñòâó E s , ýêñïîíåíöèàëüíî ñõîäÿòñÿ äðóã ê äðóãó ïðè t ! 1, à â ïðîñòðàíñòâå E u ýêñïîíåíöèàëüíî áûñòðî ñõîäÿòñÿ ïðè t ! 1. Áîëåå òî÷íî, ñëåäóÿ [51] (ñì. òàêæå [31, 35, 36, 37, 143, 145, 147] è öèòèðóåìóþ òàì ëèòåðàòóðó), îïðåäåëèì ãèïåðáîëè÷åñêóþ òðàåêòîðèþ T n  n äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü êàæäàÿ èòåðàöèÿ, T n , ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé â îêðåñòíîñòè 2 M . Òîãäà ñóùåñòâóåò äèôôåðåíöèàë @Txn îòîáðàæåíèé êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà xn â êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî T xn . Òðàåêòîðèÿ n íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóþò ïîäïðîñòðàíñòâà ETs k x è ETu k x êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà T k x ,  k < 1 òàêèå, ÷òî T k x ETs k x ETu k x è @TT k x ETs k x ETs k+1 x , @TT k x ETu k x ETu k+1 x , jj@TT k x ejj  cjjejj, e 2 ETs k x , jj@TT k x ejj  c 1 jjejj, e 2 ETu k x , ETs k x ; ETu k x  , < k < 1, ãäå c  íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì ìíîæåñòâîì, åñëè îíî çàìêíóòî è ñîñòîèò èç òðàåêòîðèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì ãèïåðáîëè÷íîñòè. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ t ãèïåðáîëè÷åñêèì àòòðàêòîðîì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû fT g, (t 2 èëè t 2 ), åñëè T  çàìêíóòîå òîïîëîãè÷åñêè òðàíçèòèâíîå (ò.å. äëÿ U; V 2 âûïîëíÿåòñÿ T t U V 6 ;)

x x

x

(

)= 

dist(

x





 0 ( )= ) const 0





20

=

R

+



Z

=



ãèïåðáîëè÷åñêîå ìíîæåñòâî è ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü



U

 , ÷òî  = t T t (U ). T

0

Òàêèì îáðàçîì, ãèïåðáîëè÷åñêèé àòòðàêòîð  çàìêíóòîå ïðèòÿãèâàþùåå ìíîæåñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû fT t g. Ãèïåðáîëè÷åñêèé àòòðàêòîð õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûì ìíîæåñòâîì. Ñèñòåìû ñ ãèïåðáîëè÷åñêèì àòòðàêòîðîì èìåþò íàèáîëåå âûðàæåííûå õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Ìàëûå âîçìóùåíèÿ òàêèõ ñèñòåì íå ìîãóò ïðèâåñòè ê êà÷åñòâåííûì ïåðåñòðîéêàì êàê ñàìîãî àòòðàêòîðà òàê è ïîâåäåíèÿ ñèñòåì â öåëîì. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ ãèïåðáîëè÷åñêèì òèïîì àòòðàêòîðà ÿâëÿþòñÿ ìîäåëÿìè ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûõ ñèñòåì ñî ñòðîãî õàîòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè [35, 117]. Îäíàêî â íàñòîÿùåå âðåìÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ àòòðàêòîðîâ ïîñòðîåíî íåìíîãî. Ýòî èçâåñòíûé ñîëåíîèä Ñìåéëà-Âèëüÿìñà (ñì., íàïðèìåð, [21, 25, 26, 31, 35, 42, 55], àòòðàêòîð Ëîçè [35, 51, 143, 148, 149, 150], àòòðàêòîð Ïëûêèíà [25, 35, 36, 147, 151] è àòòðàêòîð Áåëûõ [143, 152, 153]. Àòòðàêòîð A ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáîé àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé èíâàðèàíòíîé ìåðû  â U åå ñìåùåíèå t C  T t C ïðè t ! 1 ñõîäèòñÿ (ñëàáî) ê ïðåäåëüíîé èíâàðèàíòíîé ìåðå  , êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò , è äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà A; ; fT tg îáëàäàåò ñâîéñòâîì ïåðåìåøèâàíèÿ [117, 143, 145]. Ñòîõàñòè÷åñêèé àòòðàêòîð ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îáðàçîì íàáëþäàåìîãî ðàçâèòîãî õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû. Èçâåñòíûé ïðèìåð ñòîõàñòè÷åñêîãî àòòðàêòîðà  àòòðàêòîð Ëîðåíöà ïðè b =;  ; r [153, 154, 155]. Ìàëûå âîçìóùåíèÿ ñèñòåì ñî ñòîõàñòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì ìîãóò ïðèâîäèòü ê ìîäèôèêàöèÿì òàêîãî àòòðàêòîðà, íî â òî æå âðåìÿ äèíàìèêà ñèñòåìû áóäåò îñòàâàòüñÿ õàîòè÷åñêîé. Âñÿêîå ãèïåðáîëè÷åñêîå ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì.  òî æå âðåìÿ ñòîõàñòè÷åñêèå àòòðàêòîðû íåîáÿçàòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ñòðàííûìè (ñì. [34, 35, 37, 143, 153]). Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî àòòðàêòîðîâ õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðèíàäëåæàò ê êâàçèñòîõàñòè÷åñêîìó òèïó (ò.å. ÿâëÿþòñÿ êâàçèàòòðàêòîðàìè) [156, 157]. Êâàçèñòîõàñòè÷åñêèå àòòðàêòîðû ñîäåðæàò â ñåáå ïîìèìî ñåäëîâûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ åùå è óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû, ïåðèîä êîòîðûõ äîñòàòî÷íî âåëèê, à îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ ìàëà. Ñëàáûå âîçìóùåíèÿ ñèñòåì ñ êâàçèñòîõàñòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì âåäóò ê ñëîæíûì êà÷åñòâåííûì ïåðåñòðîéêàì êàê â äèíàìèêå ñèñòåìû, òàê è â ñòðóêòóðå ñàìîãî àòòðàêòîðà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå äëÿ áîëüøèíñòâà ñèñòåì èõ îáëàñòè õàîòè÷íîñòè âñåãäà ñîäåðæàò äîñòàòî÷íî ìàëûå ïîäîáëàñòè ñ ðåãóëÿðíîé (ïåðèîäè÷åñêîé) äèíàìèêîé.  ïðèëîæåíèÿõ, îäíàêî, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íå èãðàåò ñóùåñòâåííóþ ðîëü, ïîñêîëüêó óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû, ñîäåðæàùèåñÿ â êâàçèñòîõàñòè÷åñêîì àòòðàêòîðå íå âûÿâëÿþòñÿ ÷èñëåííî. Äèíàìèêà ñèñòåìû ñ êâàçèñòîõàñòè÷åñêèì àòòðàêòîðîì òàêæå âûãëÿäèò õàîòè÷åñêîé. Íàïðèìåð, àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû òåîðèè áèôóðêàöèé ïîêàçûâàþò, ÷òî â ñèñòåìå Ëîðåíöà ñ ïàðàìåòðàìè, áåñêîíå÷íî áëèçêèìè ê çíà÷åíèÿì b =;  ; ; r ; , ñóùåñòâóþò óñòîé÷èâûå ïðåäåëüíûå öèêëû [158, 159]. Íî íèêàêèå ÷èñëåííûå ìåòîäû äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè íå âûÿâèëè ýòè öèêëû. Ïàðàëëåëüíî ñ èçó÷åíèåì îñîáåííîñòåé è òèïîâ àòòðàêòîðîâ õàîòè÷åñêèå ñâîéñòâà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ìîæíî èññëåäîâàòü ïîñðåäñòâîì àíàëèçà ôàçîâûõ òðàåêòîðèé. Â

()= ( )

(

)

=83

=8 3

= 10

= 28

= 10 2 = 30 2

21

ýòîì îòíîøåíèè íàèáîëåå ðàçâèòîé ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé. 3.4

Îäíîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ

Îäíîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò àíàëèòè÷åñêè ïîëó÷èòü ðÿä âàæíûõ ñâîéñòâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü îáîáùåíû íà ñèñòåìû á
îëüøèõ ðàçìåðíîñòåé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîãîìåðíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ÷àñòî ñâîäÿòñÿ ê îäíîìåðíûì. Òàê, õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè èçâåñòíîãî ñîëåíîèäàëüíîãî äèôôåîìîðôèçìà Ñìåéëà-Âèëüÿìñà D 2  S 1 ïîëíîñòüþ îïèñûâàþòñÿ îòîáðàæåíèåì îêðóæíîñòè ñòåïåíè äâà. Ãåîäåçè÷åñêèå ïîòîêè íà ãèïåðáîëè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè èìåþò ìíîãî îáùåãî ñ îäíîìåðíûìè äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè. Íàêîíåö, áèôóðêàöèîííàÿ ñòðóêòóðà ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ïîñðåäñòâîì êà÷åñòâåííûõ ïåðåñòðîåê, âñòðå÷àþùèõñÿ â îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèÿõ. Ïî ýòèì ïðè÷èíàì îäíîìåðíûå îòîáðàæåíèÿ èíòåíñèâíî èññëåäóþòñÿ è â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îòâåòâèâøèéñÿ è áûñòðî ðàçâèâàþùèéñÿ ðàçäåë òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Îäíèì èç ñàìûõ çàìå÷àòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà À.Í.Øàðêîâñêîãî î ñîñóùåñòâîâàíèè öèêëîâ [160]. Ýòà òåîðåìà óêàçûâàåò, öèêëû êàêèõ ïåðèîäîâ èìååò îòîáðàæåíèå, åñëè îíî îáëàäàåò öèêëîì ïåðèîäà k  . Äëÿ ïîÿñíåíèÿ ðåçóëüòàòà Øàðêîâñêîãî ðàñïîëîæèì íàòóðàëüíûå ÷èñëà ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1

1 / 2 / 2 / 2 /


/ 2n /


/ 2
9 / 2
7 / 2
5 / 2
3 /





/2
9/2
7/2
5/2
3/


/2
9/2
7/2
5/2
3/


/9/7/5/3 : 1

2

2

2

3

3

2

3

3

3

2

Òàêîå ðàñïîëîæåíèå íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì Øàðêîâñêîãî. Òåðåìà Øàðêîâñêîãî óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà èìååò öèêë ïåðèîäà k , òî òî îíî èìååò òàêæå öèêëû êàæäîãî ïåðèîäà k 0 òàêîãî, ÷òî k 0 / k â ñìûñëå ïîðÿäêà Øàðêîâñêîãî.  ÷àñòíîñòè, åñëè îòîáðàæåíèå èìååò öèêë ïåðèîäà 3, òî îíî èìååò òàêæå öèêëû âñåõ ïåðèîäîâ. Ýòî ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, äîêàçàííîå â ðàáîòå Ò.Ëè è Äæ.Éîðêà [161] ìíîãî ïîçæå À.Í.Øàðêîâñêîãî, ñòàëî èçâåñòíî êàê ïåðèîä òðè ïîäðàçóìåâàåò õàîñ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé èñïîëüçóþòñÿ ñâîéñòâà òîïîëîãè÷åñêîé òðàíçèòèâíîñòè, ïëîòíîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé (öèêëîâ) èëè ñâîéñòâî ïåðåìåøèâàíèÿ, êîòîðûå ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ íà îäíîìåðíûé ñëó÷àé. Ïóñòü  êîìïàêòíîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî îòíîñèòåëüíî T . Òîãäà ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ òîïîëîãè÷åñêè òðàíçèòèâíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ T t ;. Ãîâîðÿò, ÷òî îòîáðàæåíèå T t èìååò 1; 2 íàéäåòñÿ ÷èñëî t òàêîå, ÷òî T 1 2 6 ÷óâñòâèòåëüíóþ çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé íà , åñëè ñóùåñòâóåò  > òàêîå, ÷òî x 2 è ëþáîé îêðåñòíîñòè U òî÷êè x ñóùåñòâóåò y 2 U è t > , äëÿ êîòîðûõ jT tx T t yj > . Ñâîéñòâî ïëîòíîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé îçíà÷àåò, ÷òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè â ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà (è, ñëåäîâàòåëüíî, áåñêîíå÷íî ìíîãî) ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé. Îòîáðàæåíèå T íàçûâàåòñÿ õàîòè÷åñêèì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ [162]:







( ) =





22



0

0

a)

 

T

ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêè òðàíçèòèâíûì íà ; á) öèêëû îòîáðàæåíèÿ T ÿâëÿþòñÿ ïëîòíûìè â ; â) T èìååò ÷óâñòâèòåëüíóþ çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Òàêèì îáðàçîì, õàîòè÷åñêîå îòîáðàæåíèå äîëæíî îáëàäàòü òðåìÿ âàæíûìè ñâîéñòâàìè: íåïðåäñêàçóåìîñòüþ, íåðàçëîæèìîñòüþ è ýëåìåíòîì ðåãóëÿðíîñòè. Îäíàêî íå òàê äàâíî áûëî îáíàðóæåíî [163], ÷òî â äàííîì îïðåäåëåíèè õàîòè÷íîñòè óñëîâèå ÷óâñòâèòåëüíîé çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íûì. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè îòîáðàæåíèå T ! íåïðåðûâíî è òðàíçèòèâíî, à öèêëû ïëîòíû â , òî T îáëàäàåò ñóùåñòâåííîé çàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Íåìíîãî ïîçæå áûëî ïîêàçàíî [164], ÷òî â îïðåäåëåíèè õàîòè÷íîñòè íè òðàíçèòèâíîñòü íè ïëîòíîñòü öèêëîâ íå ñëåäóþò èç îñòàâøèõñÿ äâóõ óñëîâèé. Áîëåå òîãî, òðàíçèòèâíîñòü è ÷óâñòâèòåëüíàÿ çàâèñèìîñòü óñòîé÷èâû ïî îòíîøåíèþ ê çàìûêàíèþ, à òàêæå ïðè îãðàíè÷åíèè íà ïëîòíûå èíâàðèàíòíûå ïîäìíîæåñòâà [165]. Òàêèì îáðàçîì, ïîâèäèìîìó, îòîáðàæåíèå, çàäàííîå íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå, ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî êàê õàîòè÷åñêîå, åñëè îíî îáëàäàåò ÷óâñòâèòåëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé è èìååò ïëîòíûå öèêëû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îäíîìåðíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ïðîÿâëÿþò õàîòè÷åñêóþ äèíàìèêó, åñëè îáëàäàþò ñâîéñòâîì ïåðåìåøèâàíèÿ. Äàäèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ïåðåìåøèâàþùèì ìíîæåñòâîì, åñëè äëÿ îòêðûòîãî ïîäìíîæåñòâà U â è ëþáîãî êîíå÷íîãî ïîêðûòèÿ fj g ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò m m U; è

:







 = r  1, çàâèñÿùåå òîëüêî îò  è òàêîå, ÷òî T m

rS1



i=0

T iU

 = ( ) j 6= ; äëÿ âñåõ j . Åñëè äèíàì-



è÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåøèâàþùåé è îíà èìååò àòòðàêòîð, òî àòòðàêòîð òàêîãî òèïà íàçûâàåòñÿ ïåðåìåøèâàþùèì. Áîëåå òî÷íî, ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ïåðåìåøèâàþùèì àòòðàêòîðîì, åñëè ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîðîì, ò.e. èìååòñÿ V  òàêîå, ÷òî T V 6 ; TV  è TV , è îäíîâðåìåííî  ïåðåìåøèâàþùåå ìíîæåñòâî äëÿ T .

=



t>0

=











Ñâîéñòâî ïåðåìåøèâàíèÿ íà îïðåäåëåííîì ïðèòÿãèâàþùåì ìíîæåñòâå èìååò ñëåäñòâèåì òîïîëîãè÷åñêóþ òðàíçèòèâíîñòü.  ñâîþ î÷åðåäü, òîïîëîãè÷åñêàÿ òðàíçèòèâíîñòü ýêâèâàëåíòíà òîìó ôàêòó, ÷òî â èìååòñÿ âñþäó ïëîòíàÿ òðàåêòîðèÿ. Áîëåå òîãî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [93]: åñëè f 2 C 0 I; I è I  èíòåðâàë, òî ïåðåìåøèâàþùèé àòòðàêòîð ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ïîäûíòåðâàëîâ, êîòîðûå öèêëè÷åñêè îòîáðàæàþòñÿ äðóã â äðóãà, è ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ïëîòíû íà íåì. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå èíòåðâàëà I â îáùåé ôîðìå: Ta I ! I , I ;



Ta : x 7

( )

:

! f (a; x) ;

[

=[

]

]

(20)

ãäå a  óïðàâëÿþùèé ïàðàìåòð. Îòîáðàæåíèå T èíòåðâàëà ; îáëàäàåò õàîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì (èëè õàîòè÷åñêîé äèíàìèêîé), åñëè îíî èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ V èíâàðèàíòíóþ ìåðó , ïî îòíîøåíèþ ê êîòîðîé  -àëãåáðà T t S ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî t

( )

[

]

( )

÷èñëà àòîìîâ, ãäå S   -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ èíòåðâàëà ; è T t S   -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ, èìåþùèõ âèä T t C , C 2 S [51, 52]. Îñòàíîâèìñÿ íåìíîãî ïîäðîáíåå íà ýòîì îïðåäåëåíèè [52]. Êàê èçâåñòíî, ýíäîìîðôèçì T T ïðîñòðàíñòâà M â ñåáÿ íàçûâàåòñÿ òî÷íûì, åñëè Mn S0 , ãäå S0   -àëãåáðà ïîäìn

23

=

0

1

íîæåñòâ M êîòîðûå èìåþò ìåðó èëè . Äîïóñòèì, ÷òî â ïðèâåäåííîì îïðåäåëåíèè  -àëãåáðà ñîñòîèò èç r àòîìîâ. Òîãäà ñóùåñòâóåò r ïîäìíîæåñòâ C1 ; C2 ; :::; Cr , êîòîðûå T äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: Ci Cj ; äëÿ i 6 j , Ci+1 T Ci ; i < r; è T Cr  C1 . Ïðè ýòîì ýðãîäè÷åñêèìè êîìïîíåíòàìè îòîáðàæåíèÿ T r ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà Cj ,  j  r.  ñâîþ î÷åðåäü, îòîáðàæåíèå T r jCi áóäåò òî÷íûì ýíäîìîðôèçìîì è, òàêèì îáðàçîì, ïðîÿâëÿòü ñâîéñòâî ïåðåìåøèâàíèÿ (ñì. [116]). Èçâåñòíûé ïðèìåð îòîáðàæåíèÿ ñ õàîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì  êâàäðàòè÷íîå îòîáðàæåíèå ïðè a , T x 7! x x . Ýòî îòîáðàæåíèå èìååò èíâàðèàíòíóþ ìåðó,  q  êîòîðàÿ íåïðåðûâíà ïî îòíîøåíèþ ê ìåðå Ëåáåãà,  dx dx=  x x . Îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå èíâàðèàíòíóþ ìåðó â ÿâíîì âèäå íàéòè íå óäàåòñÿ, è åå ïîñòðîåíèå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé çàäà÷åé.  òåîðèè îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé âàæíóþ ðîëü èãðàåò ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà Sf ôóíêöèè f : Sf f 000 =f 0 f 00 =f 0 2 = .  ÷àñòíîñòè, óíèìîäàëüíîå îòîáðàæåíèå Ta ñ óñëîâèåì Sf < ìîæåò èìåòü íå áîëåå ÷åì îäèí óñòîé÷èâûé öèêë [166]. Áîëåå òîãî, îòîáðàæåíèå ñ îòðèöàòåëüíîé ïðîèçâîäíîé Øâàðöà èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ èíâàðèàíòíóþ ìåðó, åñëè îðáèòà åãî êðèòè÷åñêîé òî÷êè xc ïîïàäàåò íà îòòàëêèâàþùåå êàíòîðîâî ìíîæåñòâî èëè êîãäà îðáèòà ýòîé òî÷êè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé èòåðàöèè, ñîâïàäàåò ñ íåóñòîé÷èâûì öèêëîì êîíå÷íîãî ïåðèîäà. Áîëåå òî÷íî [167, 168], ïóñòü îòîáðàæåíèå (20) ÿâëÿåòñÿ óíèìîäàëüíûì îòîáðàæåíèåì èíòåðâàëà I â ñåáÿ, à ôóíêöèÿ f èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ Øâàðöà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

=

=

=

1

=4

=

:

4 (1

3(

0

)

( )=

(1

)

) 2

Tal Tam xc = Tam xc ;

(21)

T 0 T m xc
T 0 T m+1 xc
: : :
T 0 T m+l+1 xc > 1 ;



( )=0



a a

a a

a a

0

ãäå Ta0 xc è m; l >  íåêîòîðûå öåëûå ÷èñëà. Òîãäà íà èíòåðâàëå I ñóùåñòâóåò àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ èíâàðèàíòíàÿ ìåðà. Ýòîò ðåçóëüòàò èçâåñòåí êàê òåîðåìà ÎãíåâàÌèñþðåâè÷à. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî åñëè óíèìîäàëüíîå îòîáðàæåíèå ñ õàîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ Øâàðöà, òî îíî íå ìîæåò èìåòü óñòîé÷èâûõ öèêëîâ. Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé a, ñîîòâåòñòâóþùèõ õàîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ îòîáðàæåíèÿ Ta , ÷åðåç Ac . Äëÿ íåêîòîðûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, îïðåäåëåííûõ íà èíòåðâàëå, ìåðà òàêèõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé ïîëîæèòåëüíà (ñì. [51, 52, 169, 170, 171]).  ÷àñòíîñòè, áûë ïîëó÷åí çàìå÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò î òîì ÷òî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a, äëÿ êîòîðûõ êâàäðàòè÷íîå îòîáðàæåíèå Ta x 7! ax x èìååò ïîëîæèòåëüíûé ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà, îáëàäàåò ïîëîæèòåëüíîé ìåðîé Ëåáåãà (ñì. [169, 170, 171]). Ñëåäñòâèåì èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âàæíàÿ òåîðåìà ßêîáñîíà [172]: Ïóñòü F  îäíîìåðíîå îòîáðàæåíèå, áëèçêîå â C 3 íîðìå ê îòîáðàæåíèþ x 7! x x è a0  çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a òàêîå, ÷òî a0 F xc . Òîãäà ìåðà ìíîæåñòâà Ac fa 2 ; a0 j Fa x 7! aF x èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ èíâàðèàíòíóþ ìåðó}, ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé.

:

(1 ) = (0 ]

:

( )=1

()

24

(1

)

Îòìåòèì åùå îäèí ãëóáîêèé ðåçóëüòàò [173], êàñàþùèéñÿ îäíîìåðíîãî îòîáðàæåíèÿ (20), ïîðîæäàåìîãî êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé f x; a ax x , a 2 ;  A. Äîëãîå âðåìÿ ñóùåñòâîâàëà ãèïîòåçà, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ñîîòâåòñòâóþùèå óñòîé÷èâîìó ïåðèîäè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ òàêîãî îòîáðàæåíèÿ, âñþäó ïëîòíû â îáëàñòè A. ×èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì a äîëÿ òåõ åãî çíà÷åíèé, êîòîðûå îòâå÷àþò õàîòè÷åñêîé äèíàìèêå, óâåëè÷èâàåòñÿ.  ðàáîòå [173] áûëî äîêàçàíî, ÷òî åñëè äâà êâàäðàòè÷íûõ îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè, òî îíè ÿâëÿþòñÿ è êâàçèñèììåòðè÷íî ñîïðÿæåííûìè. Òîãäà èç îáùåé òåîðèè îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé (ñì. [169]) ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå, ÷òî ìíîæåñòâî ïàðàìåòðè÷åñêèõ çíà÷åíèé, äëÿ êîòîðûõ îòîáðàæåíèå èìååò îäíó è òó æå íåïåðèîäè÷åñêóþ íèäèíã-ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìååò òîëüêî îäèí ýëåìåíò. Ýòî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, äëÿ êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå îáëàäàåò óñòîé÷èâûì öèêëîì, ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì è ïëîòíûì. Îäíèì èç ïðîñòåéøèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé ñ ñèëüíûìè ñòàòèñòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ÿâëÿþòñÿ ðàñòÿãèâàþùèå îòîáðàæåíèÿ. Ïóñòü f  íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ íà 1 , îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (a) f 2 C 1+ äëÿ  > ; (á) f 0 x  0 > ; (â) f x f x r äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî r; (ã) f . Òîãäà îòîáðàæåíèå T x 7! f x ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ýíäîìîðôèçìîì, èìååò R èíâàðèàíòíóþ ìåðó , ýêâèâàëåíòíóþ ìåðå Ëåáåãà, è ýíòðîïèÿ h T f 0 x d x . Ýòè ñâîéñòâà ðàñòÿãèâàþùèõ îòîáðàæåíèé áûëè îïèñàíû â ðàáîòàõ [174, 175, 176]. Ïîçæå áîëåå îáùèå ðåçóëüòàòû î ñâîéñòâàõ èíâàðèàíòíûõ ìåð íåñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé (íî íåîáÿçàòåëüíî îäíîìåðíûõ) áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòå [177], êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, áûëè îáîáùåíû íà øèðîêèé êëàññ êóñî÷íî-ìîíîòîííûõ ðàñòÿãèâàþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé, âêëþ÷àþùèõ äîñòàòî÷íî ïîïóëÿðíûé ïðèìåð x 7! x ñ èððàöèîíàëüíûì > [178].

( ) = (1

(0) = 0

0

()

:

1

R

( + 1) = ( ) + ()

(0 4]

( ) = ln ( ) ( )

(mod 1)

1

4

)

Çàêëþ÷èòåëüíûå çàìå÷àíèÿ

 äàííîì îáçîðå íà äîñòàòî÷íî ñòðîãîì óðîâíå îïèñàíû îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñîâðåìåííîé òåîðèè õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî èññëåäîâàíèå õàîòè÷åñêèõ êîëåáàíèé â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñèëüíî ðàçâåòâèëîñü. Ïîÿâèëèñü íîâûå íàïðàâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ òåîðèåé èíâàðèàíòíîé ìåðû [25, 27, 111, 120, 143, 145, 169], èçó÷åíèåì ãîìîêëèíè÷åñêèõ ñòðóêòóð [36, 37, 94, 95, 96, 98, 99, 106], ñâîéñòâîì ãèïåðáîëè÷íîñòè [25, 26, 31, 94, 95, 111, 144], òåîðèåé ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà [43, 110, 111, 113, 125, 136, 137] è äðóãèìè õàðàêòåðèñòèêàìè (ñì., íàïðèìåð, [24, 25, 27, 31, 36, 51, 93, 103, 105, 109, 118, 127, 162, 169, 179, 180] è ïðèâåäåííóþ òàì ëèòåðàòóðó). Ïîýòîìó êîëè÷åñòâî ðàáîò â ýòîé îáëàñòè ïðàêòè÷åñêè íåîáúÿòíî. Òàê, áèáëèîãðàôèÿ ïî äèíàìè÷åñêèì ñèñòåìàì [181] âêëþ÷àåò áîëåå 4400 ïóáëèêàöèé, à ïî õàîòè÷åñêèì êîëåáàíèÿì [182]  îêîëî 7000 (!). Êðîìå òîãî, âíóøèòåëüíûå ñïèñêè ëèòåðàòóðû ïî ïðàêòè÷åñêè âñåì ñîâðåìåííûì íàïðàâëåíèÿì íåëèíåéíîé äèíàìèêè è åå ïðèëîæåíèÿì ñîáðàíû â ìîíîãðàôèÿõ [25, 27, 31, 36, 42, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 64, 84, 111, 112]. 25

Ïåðåõîä ê õàîòè÷åñêèì êîëåáàíèÿì â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êà÷åñòâåííûõ ïåðåñòðîåê â èõ ïîâåäåíèè. Îñíîâíûå òèïû òàêèõ ïåðåñòðîåê ïðè ïëàâíîì èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû è ìåòîäû èõ îïèñàíèÿ ïðè ïîìîùè ðåíîðìãðóïïîâîãî àíàëèçà ñîñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíûé ðàçäåë íåëèíåéíîé äèíàìèêè  òåîðèþ áèôóðêàöèé. Áîëüøîé èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ âîçíèêíîâåíèÿ õàîòè÷åñêèõ êîëåáàíèé ïðåäñòàâëÿþò ïåðåñòðîéêè ñèñòåì â öåëîì, èõ ïîäìíîæåñòâ è àòòðàêòîðîâ. Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ â ïðèëîæåíèÿõ òèïû òàêèõ áèôóðêàöèé îïèñàíû ⠟2. Èç ëèòåðàòóðû ïî òåîðèè áèôóðêàöèé ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà äîñòàòî÷íî ïîëíûå îáçîðû [37, 47], ìîíîãðàôèè [36, 38, 39, 40, 183] è ðàáîòû, âêëþ÷àþùèå èñòîðèþ âîïðîñà [184, 185].  íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ïîäõîäîâ ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâ õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ðÿä òàêèõ ïîäõîäîâ äàí ⠟3, ãäå íà ñòðîãîì óðîâíå ïðåäñòàâëåíû îñíîâíûå êîíöåïöèè ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè è òåîðèè îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé, îòíîñÿùèåñÿ ê õàîòè÷åñêîé äèíàìèêå.  êà÷åñòâå äàëüíåéøåãî îçíàêîìëåíèÿ ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ðàáîòû [13, 21, 23, 25, 27, 51, 111, 118, 125, 126, 144, 162].  çàêëþ÷åíèå íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ãëàâíîé öåëüþ äàííîãî îáçîðà ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ðàçëè÷íûõ ïîäõîäîâ, èñïîëüçóåìûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðè àíàëèçå íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Åñòåñòâåííî, ÷òî ðÿä ìåòîäîâ è ïðîáëåì îñòàëîñü çà ïðåäåëàìè íàøåãî ðàññìîòðåíèÿ. Îäíàêî ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî îòðàæåíî â ðàáîòàõ, ó÷åáíûõ ïîñîáèÿõ è ìîíîãðàôèÿõ, ïðèâåäåííûõ â ñïèñêå ëèòåðàòóðû.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] A.Poincar
e. Calcul des Probabilities. Paris, Gauthier-Villars, 1912.  [2] L.Boltzman. Uber die mechanischen Analogien des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Journ. f. Mathem., 1887, bd.100, s.201-212. [3] L.Boltzmann. Vorlesungen u ber Gastheorie. Leipzig, 1896. [4] Ë.Áîëüöìàí. Ñòàòüè è ðå÷è. Ì., Íàóêà, 1970. [5] P.Ehrenfest, T.Ehrenfest. Enzyklopaedie d. Math. Wiss., Bd.IV, Tl.32. Leipzig, 1911. [6] Ï.Ýðåíôåñò. Ñáîðíèê ñòàòåé. Ì., Íàóêà, 1972. [7] Ì.Êàö. Âåðîÿòíîñòü è ñìåæíûå âîïðîñû â ôèçèêå. Ì., Ìèð, 1965. [8] The Bolzmann Equation: Theory and Application. Ed. E.G.D.Cohen and W.Thirring. Springer, Berlin, 1973. [9] E.Fermi, J.Pasta and S.Ulam. Studies of Nonlinear Problems. Los Alamos Scientific Report, LA-1940, 1955. [10] J.Ford. Equipartion of energy for nonlinear systems. J. Math. Phys., 1961, v.2, No3, p.387-393. [11] E.A.Jackson. Nonlinear coupled oscillators. Perturbation theory: ergodic problem. J. Math. Phys., 1963, v.4, No4, p.551-558 [12] À.Ïóàíêàðå. Èçáðàííûå òðóäû. Òîì 1. Ì., Íàóêà, 1973.

26

[13] G.D.Birkhoff. Dynamical Systems. American Mathematical Society, N.Y., 1927. [14] Í.Ñ.Êðûëîâ. Ðàáîòû ïî îáîñíîâàíèþ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.-Ë., Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1950. [15] Ì.Áîðí. Âîçìîæíî ëè ïðåäñêàçàíèå â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå? Óñïåõè ôèç. íàóê, 1959, ò.69, âûï.2, ñ.173-187. [16] J.Ford. Foreword to Symbolic dynamics and hyperbolic dynamic systems by V.M.Alekseev and M.V.Yakobson. Phys. Rep., 1981, v.75, No5, p.288-289. [17] À.Í.Êîëìîãîðîâ. Íîâûé ìåòðè÷åñêèé èíâàðèàíò òðàíçèòèâíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è àâòîìîðôèçìîâ ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1958, ò.119, No5, ñ.861-864. [18] À.Í.Êîëìîãîðîâ. Îá ýíòðîïèè íà åäèíèöó âðåìåíè êàê ìåòðè÷åñêîì èíâàðèàíòå àâòîìîðôèçìîâ. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1959, ò.124, No4, ñ.754-755. [19] ß.Ã.Ñèíàé. Î ïîíÿòèè ýíòðîïèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1959, ò.124, No4, ñ.768-771. [20] S.Smale. Diffeomorphisms with many periodic points. In: Differential and Combinatorial Topology, ed. S.S.Cairns. Princeton University Press, 1965, p.63-80. [21] Ñ.Ñìåéë. Äèôôåðåíöèðóåìûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1970, ò.25, âûï.1, ñ.113-185. [22] Ä.Â.Àíîñîâ. Ãðóáîñòü ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà êîìïàêòíûõ ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1962, ò.145, No4, ñ.707-709; Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà çàìêíóòûõ ìíîãîîáðàçèÿõ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû. ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1963, ò.151, No6, ñ.1250-1252. [23] Ä.Â.Àíîñîâ. Ãåîäåçè÷åñêèå ïîòîêè íà çàìêíóòûõ ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû. Ì., Íàóêà, 1967. [24] Ð.Áîóýí. Ìåòîäû ñèìâîëè÷åñêîé äèíàìèêè. Ì., Ìèð, 1979. [25] A.Katok, B.Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995. [26] Ç.Íèòåöêè. Ââåäåíèå â äèôôåðåíöèàëüíóþ äèíàìèêó. Ì., Ìèð, 1975. [27] A.Lasota, M.C.Mackey. Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics. Springer, Berlin, 1994. [28] ß.Ã.Ñèíàé. Ê îáîñíîâàíèþ ýðãîäè÷åñêîé ãèïîòåçû äëÿ îäíîé äèíàìè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1963, ò.153, No6, ñ.1261-1264.

ñèñòåìû

[29] ß.Ã.Ñèíàé. Îá îäíîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìå, èìåþùåé ïîëîæèòåëüíóþ ýíòðîïèþ. Âåñòíèê Ìîñê. óí-òà, ñåð. Màòåì.Måõ., 1963, ò.5, ñ.6-12. [30] L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatters. Commun. Math. Phys., 1981, v.78, No4, p.479-497. [31] Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Òîì 2. Ñåðèÿ: Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. ÂÈÍÈÒÈ, 1985. [32] L.A.Bunimovich. Conditions of stochasticity for two-dimensional billiards. Chaos, 1991, v.1, No2, p.187-193. [33] A.Tabachnikov. Billiards. France Mathematical Soc. Press, 1995. [34] J.Milnor. On the concept of attractor. Commun. Math. Physics, 1985, v.99, No2, p.177-196. [35] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷. Îá àòòðàêòîðàõ.  êí. Íåëèíåéíûå âîëíû. Äèíàìèêà è ýâîëþöèÿ. Ðåä. À.Â.Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ, Ì.È.Ðàáèíîâè÷. Ì., Íàóêà, 1989, ñ.16-29.

27

[36] J.Guckenheimer, P.Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer, Berlin, 1990 (Third printing). [37] Â.È.Àðíîëüä, Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, Þ.Ñ.Èëüÿøåíêî, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Òåîðèÿ áèôóðêàöèé.  êí. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. Òîì 5. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, 1986, ñ.5-218. [38] Í.Í.Áàóòèí, Å.À.Ëåîíòîâè÷. Ìåòîäû è ïðèåìû êà÷åñòâåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè. Ì., Íàóêà, 1990. [39] Äæ.Ìàðñäåí, Ì.Ìàê-Êðàêåí. Áèôóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ öèêëà è åå ïðèëîæåíèÿ. Ì., Ìèð, 1980. [40] Á.Õýññàðä, Í.Êàçàðèíîâ, È.Âýí. Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ áèôóðêàöèè ðîæäåíèÿ öèêëà. Ì., Ìèð, 1985. [41] Â.È.Àðíîëüä. Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì., Íàóêà, 1978. [42] À.Þ.Ëîñêóòîâ, À.Ñ.Ìèõàéëîâ. Ââåäåíèå â ñèíåðãåòèêó. Ì., Íàóêà, 1990. [43] J.P.La Salle, S.Lefschetz. Stability by Lypunov's Direct Method. Academic Press, New York, 1961. [44] Ë.Ã.Õàçèí, Ý.Ý.Øíîëü. Óñòîé÷èâîñòü êðèòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ. Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, Ïóùèíî, 1985. [45] Ý.Äæóðè. Èííîðû è óñòîé÷èâîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ì., Íàóêà, 1979. [46] Í.Í.Áàóòèí. Ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âáëèçè ãðàíèö îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè. Ì., Íàóêà, 1984. [47] À.À.Àíäðîíîâ, Å.À.Ëåîíòîâè÷, È.È.Ãîðäîí, À.Ã.Ìàéåð. Òåîðèÿ áèôóðêàöèé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè. Ì., Íàóêà, 1967. [48] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷. Âíóòðåííèå áèôóðêàöèè è êðèçèñû àòòðàêòîðîâ.  êí. Íåëèíåéíûå âîëíû. Ñòðóêòóðû è áèôóðêàöèè. Ðåä. À.Â.Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ, Ì.È.Ðàáèíîâè÷. Ì., Íàóêà, 1987, ñ.189213. [49] M.J.Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 1978, v.19, p.25-52. [50] M.J.Feigenbaum. Universal metric properties of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 1979, v.21, p.669-706. [51] ß.Ã.Ñèíàé. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè. Ì., Íàóêà, 1995. [52] Å.Á.Âóë, ß.Ã.Ñèíàé, Ê.Ì.Õàíèí. Óíèâåðñàëüíîñòü Ôåéãåíáàóìà è òåðìîäèíàìè÷åñêèé ôîðìàëèçì. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1984, ò.39, âûï.3 (237), ñ.3-37. [53] P.Collet, J.-P.Eckmann. Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems. Birkhauser, Boston, 1980. [54] O.E.Lanford III. A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures. Bull. Amer. Math. Soc., 1982, v.6, p.427-434. [55] Þ.È.Íåéìàðê, Ï.Ñ.Ëàíäà. Ñòîõàñòè÷åñêèå è õàîòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Ì., Íàóêà, 1987. [56] Ô.Ìóí. Õàîòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Ì., Ìèð, 1990. [57] M.S. El Naschie. Stress, Stability and Chaos in Structural Engineering: An Energy Approach. McGraw-Hill, London, 1990. [58] E.A.Jackson. Perspectives of Nonlinear Dynamics. Vol.I, II. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989, 1990.

28

[59] Chaos II, ed. Hao Bai-Lin. Worls Sci., 1990. [60] P.Manneville. Dissipative Structures and Weak Turbulence. Academic Press, London, 1990. [61] P.Collet, J.-P.Eckmann, H.Koch. Period doubling bifurcations for families of maps on Phys., 1980, v.25, p.1-14.

Rn. J. Stat.

[62] M.J.Feigenbaum. The onset spectrum of turbulence. Phys. Lett. A, v.74, p.375-378. [63] Ã.Øóñòåð. Äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ. Ââåäåíèå. Ì., Ìèð, 1988. [64] À.Ëèõòåíáåðã, Ì.Ëèáåðìàí. Ðåãóëÿðíàÿ è ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. Ì., Ìèð, 1984. [65] Ì.Ôåéãåíáàóì. Óíèâåðñàëüíîñòü â ïîâåäåíèè íåëèíåéíûõ ñèñòåì. Óñïåõè ôèç. íàóê, 1983, ò.141, âûï.2, ñ.343-374. [66] J.Crutchfield, M.Nauenberg, J.Rudnick. Scaling for external noise at the onset of chaos. Phys. Rev. Lett., 1981, v.46, No14, p.933-935. [67] M.J.Feigenbaum, B.Hasslacher. Irrational decimations and path integrals for external noise. Phys. Rev. Lett., 1982, v.49, No9, p.605-609. [68] J.-P.Eckmann. Roads to turbulence in dissipative dynamical systems. Rev. Mod. Phys., 1981, v.53, No4, Part 1, p.643-654. [69] Y.Pomeau, P.Manneville. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. Commun. Math. Phys., 1980, v.74, No7, p.189-197. [70] P.Manneville, Y.Pomeau. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems. Physica D, 1980, v.1, No2, p.219-226. [71] Ï.Áåðæå, È.Ïîìî, Ê.Âèäàëü. Ïîðÿäîê â õàîñå. Ì., Ìèð, 1991. [72] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Î íåêîòîðûõ ãëîáàëüíûõ áèôóðêàöèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ èñ÷åçíîâåíèåì íåïîäâèæíîé òî÷êè òèïà ñåäëî-óçåë. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1974, ò.219, No3, ñ.1281-1285. [73] Â.È.Ëóêüÿíîâ, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Î íåêîòîðûõ áèôóðêàöèÿõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ãîìîêëèíè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1978, ò.243, No1, ñ.26-29. [74] A.Yu.Loskutov, A.S.Mikhailov. Complex Patterns. Springer, Berlin, 1991. [75] B.Hu. Functional renormalization-group equations approach to the transition to chaos. In: Chaos and Statistical Methods, ed. Y.Kuramoto. Springer, Berlin, 1984, p.72-82. [76] B.Hu, J.Rudnick. Exact solutions to the Feigenbaum renormalization-group equation for intermittency. Phys. Rev. Lett., 1982, v.48, No24, p.1645-1648. [77] B.Hu. Introduction to real-space renormalization-group methods in critical and chaotic phenomena. Phys. Rep., 1982, v.91, No5, p.233-295. [78] P.Manneville. Intermittency, self-similarity and 1=f -spectrum in dissipative dynamical systems. J. de Phys., 1980, v.41, No11, p.1235-1243. [79] I.Procaccia, H.G.Schuster. Functional renormalization group theory of universal 1=f -noise in dynamical systems. Phys. Rev. A, 1983, v.28, No2, p.1210-1212. [80] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Èíâàðèàíòíûå äâóìåðíûå òîðû, èõ ðàçðóøåíèå è ñòîõàñòè÷íîñòü.  êí.: Ìåòîäû êà÷åñòâåííîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ãîðüêèé, 1983, ñ.326. [81] K.Kaneko. Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative Systems. World Sci., Singapore, 1986.

29

[82] D.G.Aronson, M.A.Chory, G.R.Hall, R.P.McGehee. A discrete dynamical systems with subtly wild behavior. In: New Approach to Nonlinear Problems in Dynamics. Philadelphia, SIAM, 1980, p.339360. [83] J.Carry, J.A.Yorke. A transition from Hopf bifurcation to chaos: computer experiments with maps on 2 . In: Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1978, v.470, p.48-66.

R

[84] Â.Ñ.Àíèùåíêî. Ñëîæíûå êîëåáàíèÿ â ïðîñòûõ ñèñòåìàõ. Ì., Íàóêà, 1990. [85] J.Belair, L.Glass. Universality and self-similarity in the bifurcations of circle maps. Physica D, 1985, v.16, p.143-154. [86] S.Newhouse, J.Palis, F.Takens. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms. Publ. Math. IHES, 1983, No57, p.5-72. [87] K.Kaneko. Supercritical behavior of disordered orbits of a circle map. Progr. Theor. Phys., 1984, v.73, No6, p.1089-1103. [88] P.L.Boyland. Bifurcations of circle maps: Arnol'd tongues, bistability and rotation intervals. Commun. Math. Phys., 1986, v.106, p.353-381. [89] M.J.Feigenbaum, L.P.Kadanoff, S.J.Shenker. Quasiperiodicity in dissipative systems: a renormalization group analysis. Physica D, 1982, v.5, p.370-386. [90] S.J.Shenker. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: empirical results. Physica D, 1982, v.5, p.405-411. [91] À.Í.Øàðêîâñêèé. Î ïðîáëåìå èçîìîðôèçìà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  êí.: Òðóäû V Ìåæäóíàð. êîíô. ïî íåëèíåéíûì êîëåáàíèÿì. Êèåâ, Íàóê. äóìêà, 1970, ò.2, ñ.541-545. [92] L.Block. Homoclinic points of mappings of the interval. Proc. Amer. Math. Soc., 1978, v.72, p.576580. [93] À.Í.Øàðêîâñêèé, Þ.Ë.Ìàéñòðåíêî, Å.Þ.Ðîìàíåíêî. Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ. Êèåâ, Íàóêîâà äóìêà, 1986. [94] J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and creation of homoclinic orbits. Ann. of Math., 1987, v.125, p.337374. [95] J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and Sensitive-Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations. Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1993. [96] L.Mora, M.Viana. Abundance of strange attractors. Acta Math., v.171, p.1-71. [97] S.E.Newhouse. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms. Publ. Math. IHES, 1979, v.50, p.101-151. [98] S.E.Newhouse. Lectures on dynamical systems. In: Progress in Mathematics, No8. Birkhauser, Boston, 1978, p.1-114. [99] S.Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Springer, Berlin, 1990. [100] P.J.Holmes, F.C.Moon. Strange attractors and chaos in nonlinear mechanics. Trans. ASME, Ser. E, 1983, v.50, No4, p.1021-1032. [101] Â.Ê.Ìåëüíèêîâ. Óñòîé÷èâîñòü öåíòðà ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïî âðåìåíè âîçìóùåíèÿõ. Òð. Ìîñê. ìàòåì. îá-âà, 1963, ò.12, ñ.3-52. [102] J.A.Yorke, K.A.Alligood. Cascades of period doubling bifurcations: a prerequisite for horseshoes. Bull. AMS, 1983, v.9, p.319-322.

30

[103] M.Viana. Chaotic dynamical behaviour. Proc. of XIth Int. Congress of Math. Phys. (Paris, 1994). Internat. Press, Cambridge, MA, 1995, p.1142-1154. [104] C.Robinson. Bifurcation to infinitely many sinks. Commun. Math. Phys., 1983, v.90, p.433-459. [105] M.Viana. Strange attractors in higher dimensions. Bull. Braz. Math. Soc., 1993, v.24, p.13-62. [106] N.Romero. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions. Thesis IMPA, 1992. [107] J.Palis, M.Viana. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors. Ann. of Math., 1994, v.140, p.207-250. [108] Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Îá îäíîì ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé. Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1965, ò.160, No3, ñ.558-561. [109] L.Perko. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer, Berlin, 1996. [110] Á.Ô.Áûëîâ, Ð.Ý.Âèíîãðàä, Ä.Ì.Ãðîáìàí, Â.Â.Íåìûöêèé. Òåîðèÿ ïîêàçàòåëåé Ëÿïóíîâà è åå ïðèëîæåíèÿ ê âîïðîñàì óñòîé÷èâîñòè. Ì., Íàóêà, 1966. [111] J.-P.Eckmann, D.Ruelle. Ergodic theory of chaos and strange attractors. Rev. Mod. Phys., 1985, v.57, No3, Part 1, p.617-656. [112] Ò.Ñ.Àõðîìååâà, Ñ.Ï.Êóðäþìîâ, Ã.Ã.Ìàëèíåöêèé, À.À.Ñàìàðñêèé. Íåñòàöèîíàðíûå ñòðóêòóðû è äèôôóçèîííûé õàîñ. Ì., Íàóêà, 1992. [113] Lyapunov Exponents. Lect. Notes in Math., No 1186. Springer, Berlin, 1986. [114] Í.Ìàðòèí, Äæ.Èíãëåíä. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýíòðîïèè. Ì., Ìèð, 1988. [115] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, À.Ì.Ðåéìàí. Ðàçìåðíîñòü è ýíòðîïèÿ â ìíîãîìåðíûõ ñèñòåìàõ.  ñá. Íåëèíåéíûå âîëíû. Äèíàìèêà è ýâîëþöèÿ. Ðåä. À.Â.Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ, È.Ì.Ðàáèíîâè÷. Ì., Íàóêà, 1989, ñ.238-262. [116] È.Ï.Êîðíôåëüä, ß.Ã.Ñèíàé, Ñ.Â.Ôîìèí. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ. Ì., Íàóêà, 1980. [117] ß.Ã.Ñèíàé. Ñòîõàñòè÷íîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  ñá. Íåëèíåéíûå âîëíû. Ðåä. À.Â.ÃàïîíîâÃðåõîâ. Ì., Íàóêà, 1979, ñ.192-212. [118] Ä.Îðíñòåéí. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ, ñëó÷àéíîñòü è äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Ì., Ìèð, 1978. [119] P.Shields. The Theory of Bernoulli Shifts. Univ. of Chicago Press, Chicago and London, 1973. [120] ß.Ã.Ñèíàé. Êîíå÷íîìåðíàÿ ñëó÷àéíîñòü. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1991, ò.46, âûï.3, ñ.147-159. [121] Â.Ôåëëåð. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. Ò.1,2. Ì., Ìèð, 1984. [122] Ã.Ì.Çàñëàâñêèé Ñòîõàñòè÷íîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ì., Íàóêà, 1984. [123] Â.È.Îñåëåäåö. Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Òðóäû Ìîñê. ìàòåì. îá-âà, 1968, ò.19, ñ.179-210. [124] Â.Ì.Ìèëëèîíùèêîâ. Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè âåðîÿòíîñòíîãî ñïåêòðà ëèíåéíûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ðåêóððåíòíûìè êîýôôèöèåíòàìè è êðèòåðèé ïî÷òè ïðèâîäèìîñòè ñèñòåì ñ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè. Ìàòåì. ñá., 1969, ò.78, No2, ñ.179-201. [125] ß.Á.Ïåñèí. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà è ãëàäêàÿ ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1977, ò.32, âûï.4, ñ.55-111. [126] È.Ï.Êîðíôåëüä, ß.Ã.Ñèíàé. Ïåðâîíà÷àëüíûå ïîíÿòèÿ è îñíîâíûå ïðèìåðû ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè.  ñá. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Ò.2. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, 1985, ñ.7-35.

31

[127] V.M.Alekseev, M.V.Yakobson. Symbolic dynamics and hyperbolic dynamic systems. Phys. Rep., 1981, v.75, No5, p.287-325. [128] À.Í.Êîëìîãîðîâ, Â.Ì.Òèõîìèðîâ. "-ýíòðîïèÿ è "-åìêîñòü ìíîæåñòâ â ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1959, ò.14, âûï.2, ñ.3-86. [129] Ï.Áèëëèíãñëåé. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ è èíôîðìàöèÿ. Ì., Ìèð, 1969. [130] P.Grassberger, I.Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D, 1983, v.9, No1-2, p.189-208. [131] J.Farmer, E.Ott, J.A.Yorke. The dimension of chaotic attractors. Physica D, 1983, v.7, No1-3, p.153180. [132] H.G.E.Hentschel, I.Procaccia. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors. Physica D, 1983, v.8, No3, p.435-444. [133] G.Paladin, A.Vulpiani. Anomalous scaling laws in multifractal objects. Phys. Rep., 1987, v.156, No4, p.147-225. [134] L.-S.Young. Capasity of attractors. Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1981, v.1, No3, p.381-388. [135] F.Ledrappier. Some relations between dimension and Lyapunov exponents. Commun. Math. Phys., 1981, v.81, No2, p.229-238. [136] L.-S.Young. Dimension, entropy and Lyapunov exponents. Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1982, v.2, No1, p.109-124. [137] Ya.B.Pesin. On the relation of the dimension with respect to a dynamical system. Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1984, v.4, No3, p.405-420. [138] B.B.Mandelbrot. Fractals: Form, Chance and Dimension. San Francisco, Freeman and Co, 1977. [139] Ôðàêòàëû â ôèçèêå. Ñá. ñòàòåé. Ðåä. Ë.Ïüåòðîíåðî, Ý.Òîçàòòè, ß.Ã.Ñèíàé, È.Ì.Õàëàòíèêîâ. Ì., Ìèð, 1988. [140] F.Takens. Detecting strange attractors in turbulence. In: Lect. Notes in Math., v.898. Springer, Berlin, 1980, p.336-382. [141] F.Takens. Distinguishing deterministic and random systems. In: Nonlinear Dynamics and Turbulence. Ed. G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph. New York, Pitman, 1983, p.314-333. [142] ß.Ã.Ñèíàé. Ñòîõàñòè÷íîñòü ãëàäêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ýëåìåíòû òåîðèè ÊÀÌ.  ñá. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Ò.2. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, 1985, ñ.115-122. [143] Å.À.Ñàòàåâ. Èíâàðèàíòíûå ìåðû äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé ñ îñîáåííîñòÿìè. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1992, ò.47, âûï.1, ñ.147-202. [144] R.Ma n
e. Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer, Berlin, 1987. [145] Ì.Ë.Áëàíê. Ìàëûå âîçìóùåíèÿ õàîòè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1989, ò.44, âûï.6, ñ.3-28. [146] Ñòðàííûå àòòðàêòîðû. Ñá. ñòàòåé. Ì., Ìèð, 1981. [147] Ð.Â.Ïëûêèí. Î ãåîìåòðèè ãèïåðáîëè÷åñêèõ àòòðàêòîðîâ ãëàäêèõ êàñêàäîâ. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1984, ò.39, âûï.6, ñ.75-113. [148] R.Lozi. Un attracteur etrange du type attracteur de Henon. J. de Phys., 1978, v.39, Coll.C5, p.9-11. [149] M.Misiurewicz. Strange attractors for the Lozi mappings. In: Nonlinear Dynamics. Ed. R.G.Helleman. New York, New York Acad. Sci., 1980, v.357, p. 348-358.

32

[150] P.Collet, Y.Levi. Ergodic properties of the Lozi mappings. Commun. Math. Phys., 1984, v.93, No4, p.461-482. [151] Ð.Â.Ïëûêèí. Èñòî÷íèêè è ñòîêè A-äèôôåîìîðôèçìîâ ïîâåðõíîñòåé. Ìàòåì. ñá., 1974, ò.94, No6, ñ.243-264. [152] Â.Ï.Áåëûõ. Ìîäåëè äèñêðåòíûõ ñèñòåì ôàçîâîé ñèíõðîíèçàöèè.  ñá. Ñèñòåìû ôàçîâîé ñèíõðîíèçàöèè. Ðåä. Â.Â.Øàõãèëüäÿí, Ë.Í.Áåëþñòèíà. Ì., Ðàäèî è ñâÿçü, 1982, ñ.161-176. [153] Ë.À.Áóíèìîâè÷. Ñèñòåìû ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ îñîáåííîñòÿìè.  ñá. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Ò.2. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, 1985, ñ.173-204. [154] Ë.À.Áóíèìîâè÷, ß.Ã.Ñèíàé. Ñòîõàñòè÷íîñòü àòòðàêòîðà â ìîäåëè Ëîðåíöà.  ñá. Íåëèíåéíûå âîëíû. Ðåä. À.Â.Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ. Ì., Íàóêà, 1979, ñ.212-226. [155] L.A.Bunimovich. Statistical properties of Lorenz attractors. In: Nonlinear Dynamics and Turbulence. Ed. G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph. New York, Pitman, 1983, p.71-92. [156] V.S.Afraimovich, L.P.Shilnikov. On strange attractors and quasiattractors. In: Nonlinear Dynamics and Turbulence. Ed. G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph. New York, Pitman, 1983, p.1-34. [157] R.Carrido, L.Sim
o. Some ideas about strange attractors. In: Lect. Notes in Phys., 1983, v.179, p.1-28. [158] Â.Ñ.Àôðàéìîâè÷, Â.Â.Áûêîâ, Ë.Ï.Øèëüíèêîâ. Î ñóùåñòâîâàíèè óñòîé÷èâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé â ìîäåëè Ëîðåíöà. Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1980, ò.35, âûï.5, ñ.164-165. [159] Â.Â.Áûêîâ. Î áèôóðêàöèÿõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, áëèçêèõ ê ñèñòåìàì ñ ñåïàðàòðèñíûì êîíòóðîì, ñîäåðæàùèì ñåäëî-ôîêóñ.  ñá. Ìåòîäû êà÷åñòâåííîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ãîðüêèé, ÃÃÓ, 1980, ñ.44-72. [160] À.Í.Øàðêîâñêèé. Ñîñóùåñòâîâàíèå öèêëîâ íåïðåðûâíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîé â ñåáÿ. Óêð. ìàòåì. æóðí., 1964, No1, ñ.61-71. [161] T.-Y.Li, J.Yorke. Period three implies chaos. Am. Math. Monthly, 1975, v.82, p.985-992. [162] R.L.Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. New York, Amsterdam, AddisonWesley Publ. Co., 1993 (Second Edition). [163] J.Banks, J.Brooks, G.Cairns, G.Davis, P.Stacey. On Devaney's definition of chaos. Am. Math. Monthly, 1992, v.99, p.332-334 [164] D.Assaf IV, S.Gadbois. Definition of chaos. Am. Math. Monthly, 1992, v.99, p.865-869. [165] C.Knudsen. Chaos without periodicity. Am. Math. Monthly, 1994, v.101, p.563-565. [166] D.Singer. Stable orbits and bifurcations of maps of the interval. SIAM J. Appl. Math., 1978, v.35, No2, p.260-267. [167] À.È.Îãíåâ. Ìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà íåêîòîðîãî êëàññà îòîáðàæåíèé îòðåçêà â ñåáÿ. Ìàòåì. çàìåòêè, 1981, ò.30, No5, ñ.723-736. [168] M.Misiurewicz. Absolutely continuous measures for certain maps of an interval. Publ. Math. I.H.E.S., 1981, v.53, p.17-51. [169] W.de Melo, S.van Strien. One-Dimensional Dynamics. Springer, Berlin, 1993. [170] M.Tsudjii. A proof of Benedicks-Carleson-Jakobson theorem for the quadratic family. Preprint, Kyoto Univ., 1992; Positive Lyapunov exponents in families of one-dimensional dynamical systems. Preprint, Kyoto Univ., 1992. [171] M.Benedicks, L.Carleson. On iterations of

1

ax2 on ( 1; 1). Annals of Math., 1985, v.122, p.1-25.

33

[172] M.V.Jakobson. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of onedimensional maps. Commun. Math. Phys., 1981, v.81, No1, p.39-88.
atek. Hyperbolicity is dense in the real quadratic family. Preprint Stony Brook, 1992. [173] G.Swi [174] A.Renyi. Representations of real numbers and their properties. Acta Math. Sci. Hungarian, 1957, v.8, p.477-493. [175] Â.À.Ðîõëèí. Òî÷íûå ýíäîìîðôèçìû ïðîñòðàíñòâ Ëåáåãà. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, ñåð. ìàòåì., 1961, ò.25, ñ.499-530. [176] A.Lasota, J.Yorke. On the existence of invariant measures for piecewise monotone transformations. Trans. Amer. Math. Soc., 1973, v.186, p.481-488. [177] P.Walters. Invariant measures and equilibrium states for some mappings which expand distances. Trans. Amer. Math. Soc., 1978, v.236, p.121-153. [178] F.Hofbauer, G.Keller. Equilibrium states for piecewise monotonic transformations. Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1982, v.2, p.23-43. [179] W.Parry, M.Pollicott. Zeta Functions and the Periodic Orbit Structure of Hyperbolic Dynamics. Soc. Math. de France, 1990. [180] D.Ruelle. Dynamical Zeta Functions for piecewise Monotone Maps of the Interval. Americal Math. Soc., 1994. [181] K.Shiraiva. Bibliography of Dynamical Systems. Nagoya Univ., Preprint No1, 1985. [182] Z.Shu-yu.Bibliography on Chaos. World Sci., 1991. [183] S.N.Chow, J.K.Hale. Methods of Bifurcation Theory. Springer, Berlin, 1982. [184] Â.È.Àðíîëüä. Òåîðèÿ êàòàñòðîô.  êí.: Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, ò.5. Ì., ÂÈÍÈÒÈ, ñ.219-277. [185] Ð.Ãèëìîð. Ïðèêëàäíàÿ òåîðèÿ êàòàñòðîô. Ò.1,2. Ì., Ìèð, 1984.

Problems of Nonlinear Dynamics. I. Chaos

Alexander Loskutov Physics Faculty, The Lomonosov Moscow State University

34