電気のための基礎数学 (電気計算法シリーズ)

電 気 計算 法 シリーズ

本 書 の全 部 また は一 部 を無 断 で複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 での 例 外 を 除 き,禁 じ られて い ます.小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の 管 理 につ き委 託 を受 けて い ま す ので,本 書 か らの複 写 を希 望 され る場 合 は,必 ず 小 局(03-5280-3422)宛 ご連 絡 くだ さい,

序

文

  電 気 ・電 子 の 学 習 を進 め る上 で,計 算 力 の養 成 は 必 要 不 可 欠 な もの で あ る.多 くの 例 題 や 問 題 を解 く こ と に よ り,計 算 力 を上 げ る こ とが 電 気 ・電 子 に 関 す る知 識 習 得 の早 道 で あ る と考 え る.   本 電 気 計 算 法 シ リー ズ は,初

め て 電 気 系 科 目を学 ぶ 読 者 を対 象 と し,特 別 な 知

識 が な く と も読 み 進 め られ る よ う に,平 易 か つ て い ね い な解 説 に努 め,企 画 ・編 集 し た もの で あ る.「 基 礎 数 学 」,「電 気 理 論 」,「電 気 回路 」,「デ ィ ジ タル 回 路 ｣の 各 分 野 よ り基 本 重 要 事 項 を厳 選 し,例 題 ・問題 を解 きな が ら理 解 を 深 め られ る よ う に 構 成 した.具 例 題(2ペ

体 的 に は,各

ー ジ),練 習 問題(1ペ

項 目 を4ペ ー ジ 単 位 と し,解 説(1ペ

ー ジ),

ー ジ)の 構 成 と し て,各 章 末 に は理 解 度 を確認

す る た め の 章 末 問題 を 用 意 した.ま

た,本

シ リー ズ の ね らい よ り,略 解 は 用 いず

に解 を 導 く手 順 を 明 らか にす る 詳 しい解 説 を全 問 に付 した の で,計 算 手 順 の 理解 に お い て も役 立 つ で あ ろ う.   著 者 陣 は,教 育 現 場 や 企 業 に お け る実 践 指 導 に尽 力 を注 い で き た実 績 と ノ ウハ ウ を 有 す る ベ テ ラ ン達 で あ り,「 か ゆ い と こ ろ に手 が 届 く本 」 を 目指 し て 執 筆 し て 頂 い た.電 気,電 子,情 の 学 生,電

報 系 の 学 生 の み な らず,電 気 の入 門 書 と して,他 学 科

験 な ど の 資格 取 得 を 目指 す 方 な どに 幅 広 く活 用 さ れ る こ と を待 望 す る

し だ い で あ る.   最 後 に,本 企 画 を実 現 す る に あ た り,度 重 な る 打 ち合 わせ と多 大 な る ご尽 力 を 頂 い た東 京 電 機 大 学 出版 局 植 村 八 潮 氏,石

沢岳 彦 氏 に深 く感 謝 申 し上 げ る.

2003年1月

浅川毅

は じめ に   電 気 の 学 習 に お い て,上 達 が な か な か 進 ま な い の は計 算 力 が 弱 い,こ れ が 大 き な 理 由 の 一 つ で す.こ

れ を裏 返 して 言 え ば,計 算 力 が あ れ ば 電 気 の 知 識 向上 に は

大 い に役 立 つ こ とに な ります.   本 書 は計 算 力 向 上 の た め に数 学 の 基礎 か ら学 び 直 した い 方,電 気 計 算 に 自信 を 付 け た い 方,国

家 試 験 を め ざ した い 方 た ち を対 象 に数 学 の基 礎 か ら学 べ る よ う に

編 修 した もの で す.   本 書 の 構 成 は,「 第1章

式 の計 算 」,「第2章

数 と正 弦 波 交 流 」,「第4章 つ の 章 か ら な り ます.こ

方 程 式 と グ ラ フ」,「第3章

複 素 数 と交 流 計 算 」,「第5章

三角 関

微 分 ・積 分 の 基 礎 」 の5

れ らの 章 立 て か ら もわ か る よ うに 電 気 数 学 を学 ぶ 上 で 基

本 と な る分 野 は ほ とん ど含 まれ て い ます.   章 を構 成 す る 各 節 は,4ペ

ー ジで ま とめ て あ りま す.各

節 の 初 め の ペ ー ジ で,

この 節 で 学 習 す る内 容 を解 説 し,定 理 や 公 式 の 数 学 的 意 味,計 算 手 順 な ど を説 明 し ま し た.2∼3ペ した.最

ー ジ で は多 くの例 題 を 設 け て 計 算 の仕 方 を学 べ る よ う に しま

後 の ペ ー ジ で は練 習 問 題 を設 け て 実 力 が は か れ る よ う配 慮 し ま した.ま

た,各 章 の 最 後 に は章 末 問 題 を設 け て さ らに 学 習 の 習得 が は か れ る よ う に配 慮 し ま した.   本 書 を活 用 して 電 気 数 学 の 力 が 付 き,電 気 の 計 算 問 題 に 自信 が 持 て る よ うに な る こ と を期 待 し ます.   終 わ りに,本 書 を 出版 す る に あ た り,多 大 な ご尽 力 をい た だ い た 監 修 者 浅 川 毅 氏 お よ び東 京 電 機 大 学 出 版 局 植 村 八 潮 氏,石

沢 岳 彦 氏 に 深 く感 謝 申 し上 げ ます.

2003年10月 著 者 しる す

目

次

第1章  式の計算

 1

1.1  公 約 数 ・公 倍 数 の 計 算

 2

1.2  分 数 式 の 計 算

 6

1.3  整 式 の 四 則 計 算

 10

1.4  無 理 数 と平 方 根

 14

1.5  指 数 法 則 と電 気 計 算

 18

1.6  最 大 ・最 小 定 理 と近 似 式

章末 問題

  22   26

第2章  方程式 とグラフ

  27

2.1  一 次 方 程 式 の 解 き方

  28

2.2  連 立 方 程 式 の 解 き方

  32

2.3  行 列 式 の計 算

  36

2.4  二 次 方 程 式 の 解 法

  40

2.5  比 例 と 反 比 例

  44

2.6  一 次 関 数 の グ ラ フ

  48

2.7二

  52

次 関 数 の グ ラ フ と不 等 式

章末問題

  56

第3章  三角関数 と正弦波交流

  57

3.1  三 角 関 数 と は

  58

3.2  三 角 比 の 関係 とベ ク トル の 表 し方

  62

3.3  弧 度 法(ラ

  66

ジ ア ン)

3.4  正 弦 定 理 ・余 弦 定 理

  70

3.5  加 法 定 理

  74

3.6  加 法 定 理 か ら導 か れ る公 式

  78

3.7  三 角 関 数 の グ ラ フ と角周 波 数

  82

3.8  三 角 関 数 の グ ラ フ と位 相 差

  86

3.9  正 弦 波 交 流 の 平 均 値 ・実 効 値

  90

3.10  逆 三 角 関 数

  94

章末問題

第4章  複素数 と交流計算

 100

4.2  複 素 数 の 指 数 関数 表示

 104

4.3  複 素 数 の ベ ク トル 表示

 108

4.4  乗 算 ・除 算 の ベ ク トル 表 示

 112

4.5  イ ン ピ ー ダ ン ス の 複 素 数 計 算

 116

4.6 RLC直

列 回路の複素 数計算

 120

4.7 RLC並

列 回路の複素 数計算

 124

4.8  交 流 電 力 の複 素 数 表 示

 128

4.9  対 数 と利 得 計 算

 132

章末問題

 136

 137

5.1  微 分 係 数 と導 関 数

 138

5.2  い ろ い ろ な 関 数 の 導 関 数

 142

5.3  三 角 関 数 ・対 数 関 数 の 導 関数

 146

5.4  微 分 の 応 用

 150

5.5  不 定 積 分 の計 算

 154

5.6  定 積 分 と そ の応 用

 158

章末 問題

練習問題 ・章末問題の解答 引

  99

4.1  複 素 数 の 表 し方 と四則 演 算

第5章  微分 ・積分 の基礎

索

  98

 162

 163

  206

式の計算

キーワー ド

最 大 公 約 数,最

小 公 倍 数,等 式 の移 項,通 分,繁 分

数,指 数 法 則,最 似式

大 定 理,最

小 定 理,二

項 定 理,近

(a) 整 数 と は

  もの の 個 数 を数 え た り,順 位 を 付 け る と き,1,2,3,…

の 数 値 を用 い る が,

こ れ らの 数 を 自然 数 ま た は 正 の 整 数 とい う.自 然 数 に 負 の 符 号 を付 け た 数−1, −2,−3,…

を負 の 整 数 と い う.正 の 整 数 と負 の 整 数 に0を 合 わ せ た もの を整 数

と い う. (b) 有 理 数 と は   2つ の 整 数a,bを bは分 数 のb/1と

用 い て,分

数b/aの

形 に表 され る 数 を有 理 数 と い う.整 数

表 せ るか ら整 数 も有 理 数 で あ る.次 の 分 数 を小 数 で表 す と, ①

②

 式① は有 限 小 数 で,式 ② は 循 環 小 数 で あ る.

図1・1  有 理 数の 分 類 (c) 分 数 と は

 あ る値 を1と して,こ

れ をa等 分 す る.そ の う ち のb個 を 集 め た値 をb/aで

し た もの が分 数 で,次 式 の よ うに な る.

(d) 約 数 と倍 数   整 数a,bが

あ っ て,bはaで

(c:整 で あ れ ば,aはbの 24の

約 数,24は8の

割 り切 れ る と き,

数)

約 数,bはaの 倍 数 と な る.

倍 数 と い う.例

え ば,24=8×3の

場 合,8は

表

(e) 最 大 公 約 数  2つ 以 上 の 整 数 に 共 通 な約 数 を,そ れ ぞ れ の 公 約 数 と い う.公 約 数 の 中 で 最 大 の もの が 最 大 公 約 数 で あ る.16と24の

公 約 数 を 例 示 す る.

16の 約 数 の 集 合 は, 24の 約 数 の 集 合 は,  16と24の

公 約 数 は,2つ

  ゆ え に,最

に共 通 な 集 合 の 要 素

〓で あ る.

大 公 約 数 は4×2=8

で あ る.図1・2に

最大 公 約 数 の

求 め 方 を示 す. 図1・2  最 大 公約 数 の 求 め方

(f) 最 小 公 倍 数

  2つ 以 上 の整 数 に共 通 な倍 数 を,そ れ ぞ れ の公 倍 数 とい い,公 倍 数 の 中 で 最 小 の もの が 最 小 公 倍 数 で あ る.12と18の

公 倍 数 を例 示 す る.

12の 倍 数 の 集 合 は, 18の 倍 数 の 集 合 は,  12と18の

公 倍 数 は,2つ

  ゆ え に,12と18の 3×2×2×3=36で

に 共 通 な集 合 の 要 素〓

で あ る.

最 小 公 倍 数 は, あ る.図1・3に

最

小 公 倍 数 の 求 め 方 を 示 す.

題

例

図1・3  最小 公 倍 数 の求 め 方

1.1

 次 の 分 数 を小 数 で 示 せ(循

環 小 数 部 は ○.○○ ○の よ う に,数 字

の 上 の 〔  〕 ド ッ トで 範 囲 を 示 す).

(1)

 (2)

 (3)

  (4)

解  (2)

(3)

 (4)

題

(1)

例

1.2

 3つ の 整 数12,18,24の

最 大 公 約 数 と最 小 公 倍 数 を求 め よ.

解 答  最 大 公 約 数 は3×2=6,最

小 公 倍 数 は3×2×2×1×3×2=72

例 1.3

 次 の 分 数 を 通 分(共 通 の 分 母)す る た め,分 母 の 最 小 公 倍 数 を求 め よ.

(1)

 (2)

解  (2)

 (1)

  最 小 公 倍 数2×2×3×2×1=24,最

小 公 倍 数x×3×3×4y=36xy

答   (1)24

 (2)36xy

題 例

1.4

 次 の 小 数 を 分 数 に直 せ.

(1)1.2

解

 (2)0.45

(1)

 (12と10の

(2)

 (45と100の

最 大 公 約 数 は2)

最 大 公 約 数 は5)

題 例

1.5

 あ る抵 抗 に 電 圧80Vを

加 え た と き,流 れ る 電 流 が0.2Aで

あ っ た.

抵抗R〔 Ω〕を求 め よ.

解  オ ー ム の 法 則V=RIよ

り,

答   400Ω

題

練習 問 題 1.1  次 の 分 数 の 値 を 求 め よ.

(1)

  (2)

 (4)

 (3)

1.2  次 の各組 の最大 公約 数 と最小公 倍数 を求 め よ. (1)

 (2)

(3)

 (4)

1.3  次 の 小 数 を 分 数 に 直 せ.

(1)

 (2)

 (3)

  (4)

1.4  次 の 分 数 を通 分(共 通 の 分 母)す る た め,分

(1)

 (2)

母 の 最 小 公 倍 数 を求 め よ.

  (3)

 (4)

1.5  図 の よ う に 抵 抗 が 直 列 接 続 さ れ た 回 路 が あ る. 抵 抗R1に

生 じ る 電 圧 が50Vで

る 電 流I〔A〕 を 求 め よ.ま

あ る と き,回 路 を 流 れ

た 電 源 電 圧E〔V〕 を求 め よ.

ヒ ン ト  オ ー ム の 法 則 よ り電 流I=V1/R1で

計 算 す る.

電 源 電 圧 はE=I(R1+R2)よ

り求 め る.

1.6  図 の 回 路 に お い て,電

源 電 圧Vが200V,回

を 流 れ る 電 流 が4Aで に 生 じ る 電 圧V2を ヒ ン ト  R1に

あ る.抵

抗R1=40Ω

の と き,R2

求 め よ.

生 じ る 電 圧 をV1と

す る と,V1=IR1よ

り求 め る.   R2に

生 じ る電 圧V2は,V−V1よ

路

り求 め る.

 分 数 計 算 は,通 分 と約 分 に よっ て整 理 し,そ の 値 を分 数,ま

た は小 数 で 表 す

.分 数 が 文 字 式 で表 され る も の を分 数 式 とい う. (a) 分 数 の性 質   分 子b,分

母aに 同 じ数cを 掛 け て も,ま

た 同 じ数 で 割 っ て も そ の 値 は 変 わ ら

な い(こ の 性 質 を用 い て 通 分 や 約 分 が で き る).

(b) 分 数 の 加 減 算   分 数 ど う しの 計 算 で は,分 母 が 異 な る場 合 には 通 分 し,分 母 を 同 じに して か ら 計 算 す る.な お,分 子 と分 母 に約 数 が あ る場 合 は約 分 す る.   ①  通 分 とは,分 母 と分 子 に適 当 な 数 を掛 け て,各 分 数 の 分 母 を 同 じ値 にす る  〓 と

こ とで あ る.

〓の 通 分 は,

例  ②  約 数 とは,分 例 分 数4/10の

子,分

母 の 共 通 に割 り切 れ る数 の こ と.

約 数 は2

 ③  約 分 とは,約 数 で 分 子,分

母 を割 る こ と.例4/10=2/5

(c) 帯 分 数 の 計 算  帯 分 数 は整 数cと 分 数b/aを

加 え た 値 で 示 し,次 の よ う に表 す.

例  計 算 式 の 中の 帯 分 数 は,通 常 の 分 数 の 形 に 直 して 計 算 す る. (d) 繁 分 数 の 計 算   分 数 の 分 子,分 母 の 一 方 ま た は 両 方 が さ らに 分 数 の 形 に な っ た分 数 を繁 分 数 と い う.繁 分 数 の 分 子,分

母 の 中 に加 減 算 が 入 っ て い る場 合 に は,通 分 を行 い,そ

の あ と分 子 の 分 数 式 に分 母 の 分 数 式 を逆 に して掛 け 算 す る.

繁分数の例

〓(分母が分数)

〓 (分子が分数)

〓(分子 ・分母が分数)

題 例

1.6

 次 の 分 数(1)の 分 子,分 母 に2を 掛 け た 場 合 と,分 数(2)の 分 子,

分 母 を2で 割 っ た 場 合 の値 を計 算 せ よ.

(1)

例

 (1) 1.7

 次 の 分 数 を求 め よ(答 は帯 分 数 に し な い).

(1)

解

 (2)

題

解

 (2)

 (2)

(1)  (2)

例題 1.8 (1)

解 (1)

(2)

(3)

(4)

 次 の 繁 分 数 を求 め よ(答 は帯 分 数 に しな い).

 (2)

 (3)

 (4)

題

例題

1.9

 次 の 回 路 のab間

容 量C0〔

の合成 静 電

μF〕 は い く ら か.

ヒ ン ト  静 電 容 量 が 直 列 接 続 さ れ て い る場 合 の合 成 静 電 容 量C0は 次 式 で 求 ま る.

  上 式 に 数 値 を あ て は め て 計 算 す る.な C0の 単 位 も 〔μF〕と し,C1=20,C2=30と

おC1,C2と

も 単 位 が 〔μF〕で あ る か ら,

し て 計 算 す る.

解 答   12μF

例

1.10

 図 の 回 路 で,抵

抗R1〔 Ω〕に 流 れ る電 流

I〔A〕を 求 め よ.

ヒ ン ト  回路 の 合 成 抵 抗 をR0〔 Ω〕とす る と,回 路 全 体 に流 れ る電 流I〔A〕 は オ ー ム の 法 則 に よ り,次 式 で 表 せ る.

合 成 抵 抗R0〔 Ω〕は,

並 列接 続 の 合 成抵 抗=

解

答

積/で求 まる 和

問

習

と.

練

題

1.7  次 の 分 数 を 計 算 せ よ.

(1)

  (2)

 (3)

 (4)

1.8  次 の 分 数 式 を 計 算 せ よ.

(1)

 (2)

1.9  次 の 繁 分 数 の 計 算 を せ よ.

(1)

1.10 

 (2)

図 の 回 路 のR1=20Ω,R2=30Ω

 (3)

 (4)

の と きの 並 列 合 成 抵 抗R0〔 Ω〕を 求 め よ.

ヒ ン ト  並 列 合 成 抵 抗R0〔 Ω〕は 次 式 で 求 ま る.

1.11 

図 の 回 路 のC1=2μF,C2=3μF,C3=2μFの

ヒ ン ト  合 成 静 電 容 量C0〔μF〕 は次 式 で 求 ま る.

と き の 合 成 静 電 容 量C0〔μF〕

を求 め

  文 字 式 を含 む 整 式 の 四則 計 算 が 正 し くで き る よ うに す る. (a) 単 項 式 と整 式   数 量 や 文 字 を含 む 文 字 式 に つ い て(例 え ば,6x2,−3xy,2xy2),こ

れ らは数

と文 字 の 積 で 表 さ れ て お り,こ れ を 単 項 式 と い う.掛 け 合 わ さ れ て い る文 字 の個 数 を 単 項 式 の 次 数,数 を係 数 とい う(例 え ば,2xy2の

次 数 は文 字xyyの

数 で 三 次,

係 数 の 数 は2).   また,単 項 式 と単 項 式 の 和 や 差 と して 表 さ れ る 式 が 多 項 式 で あ る.こ の よ う に 単 項 式 と多 項 式 を合 わ せ て 整 式 と い う. (b) 数 式 の 整 理   ① 1つ の 整 式 に含 ま れ る項 の う ち 文 字 の 部 分 が 同 じ も の を同 類 項 とい う.例 え ば,2a−5b+3b+6a=8a−2bの

よ う に 同 数 項 は ま と め て計 算 す る.

  ② 整 式 を整 理 す る に は,次 数 の 高 い 項 か ら順 に並 べ る.こ れ を 降 べ きの 順 と い う. (c) 四則 計 算 の 順 序   数 や 文 字 の 足 し算(加 法),引

き算(減 法),掛

け算(乗 法),割

り算(除 法)の4

つ の 計 算 を ま とめ て 四 則 計 算 とい う.   四 則 計 算 の 順 序 は,次 の よ う に 決 め ら れ て い る.  ① 加 減 だ け,乗 除 だ け の 式 は,左 か ら順 に計 算 す る.  ② 加 減 と乗 除 が 混 じっ て い る式 は,乗 除 を先 に計 算 す る.  ③ か っ この あ る 式 は,か

っ こ の 中 を先 に計 算 す る.

(d) 等 式 の 計 算 法 則  整 式 で 表 さ れ る 等 式(28ペ

ー ジ参 照)は,次

の 法 則 が 成 り立 つ.

交換 法則

 (1・1)

結合 法則

 (1・2)

分配 法則

 (1・3)

題

(e) 乗 法 の 公 式 に よ る 式 の 展 開  整 式 の積 を展 開 す る に は,次 の 公 式 が 用 い られ る.  乗 法 の公 式 (1) 

(1・4)

(2) 

(1・5)

(3) 

(1・6)

(4) 

(1・7)

(5) 

(1・8)

(6) 

(1・9)

〈学 習 の ア ドバ イ ス 〉  乗 法 の 公 式 は た くさ ん あ るが,基

本 公 式 は(x+a)(x+b)=xa+(a+b)x+ab.

こ の 式 を分 配 の 法 則 に 基 づ い て展 開 して み る. 式 の展 開

  展 開 の 仕 方 を正 し く行 え ば,す べ て の 公 式 は この よ う に誘 導 で きる の で 忘 れ て し まっ て も心 配 は い らな い.し か し,こ れ らの 乗 法 公 式 は よ く使 わ れ る の で, い ち い ち 式 を展 開 して 導 くの で は な く公 式 を覚 え て お こ う.ま た,乗 法 の 公 式 を逆 か ら導 い た もの が,2.4節

「二 次 方 程 式 の解 法 」 で 学 ぶ 因 数 分 解 の 公 式 で

あ る.そ の こ とか ら も乗 法 の 公 式 は大 切 で あ る.

例

1.11

 次 の 整 式 の 同 類 項 を ま とめ,式

(1)

解

(1) (2)

 (2)

を整 理 せ よ.

1.12

 次 の各 組 の 前 の 式 か らあ と の式 を引 き算 せ よ.

(1)

 (2)

解 (1)

(2)

題

例 解

例題

1.13

 次 の 式 を展 開せ よ.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(1)

(2)

(3)

(4)

題

1.12  次 の 式 の か っ こ を はず し て 簡 単 にせ よ.

(1) (2)

(3) (4)

1.13  次 の 式 を 展 開 せ よ.

(1)

 (2)

(3)

(4)

1.14  次 の 式 を 展 開 せ よ.

(1)

  (2)

(3)

  (4)

1.15  図 の よ う な 自己 イ ン ダ ク タ ン スL1お の コ イ ル が あ る.bとcを bとdを

接 続 し た と きのad間

接 続 した と き のac間

ンスM〔mH〕

互 イ ン ダ ク タ ンスMを

の 合 成 イ ン ダ ク タ ンス が50mHで

の 合 成 イ ン ダ ク タ ン ス が18mHで

あ る.相

もつ2つ あ り,

互 イ ンダ クタ

の 値 を求 め よ.

ヒ ン ト  ad間

の 合 成 イ ン ダ ク タ ン ス をLab,ac間

成 イ ン ダ ク タ ン ス をLacと す る.bとcを のLadは

よびL2,相

の合

接 続 した とき

和 動 接 続(同 一 方 向 に 巻 か れ た コ イ ル の 接 続)

で あ る か ら,

①

Lacは 差 動接 続(逆 方 向に巻 かれ た コイル の接続)で あ るか ら,

と な る.相

互 イ ン ダ ク タ ン スMは,式

①‐ 式 ② よ り求 め る.

②

問

練習

  平 方 根 や 立 方 根,対

数 や 三 角 関 数 な どは無 理 数 に分 類 され る.こ

こで は 平 方 根

を含 む 式 の 計 算 方 法 につ い て 学 ぶ. (a) 数 の 分 類   数 は 数 量 や 個 数 を表 す の に 用 い られ,計 算 に都 合 の よい 文 字 記 号 と組 み 合 わ せ て 表 す もの で,図1・4の

よ うに 分 類 され る.有 理 数 は す で に学 ん だ よ う に,整 数

と 分 数(小 数)で 表 せ る 数 で あ る.実 で あ る.な お,複

数 は有 理 数 と こ れ か ら学 ぶ 無 理 数 を含 む 数

素 数 は4章 で 学 習 す る.

図1・4  数 の 分類

(b) 無 理 数 とは   無 理 数 を一 般 的 に 定 義 す る と,図1・4で

説 明 さ れ て い る よ うに 「循 環 し な い無

限 小 数 で分 数 で 表 せ な い 数 」の こ とで あ る.こ

こで は 無 理 数 の う ち 電 気 計 算 に よ

く出 て く る平 方 根 お よ び立 方 根 の 計 算 に つ い て取 り上 げ る(対 数 や 三 角 関 数 は 後 で 学 ぶ). (c) 平 方 根  あ る 数xを 二 乗 す る とaに な る数 の こ と を 「aの平方 根 」と い う.こ れ を等 式 で 表 す と,

(1.10)   式(1.10)は

二 次 方 程 式 で あ る か ら,xは

2つ の 根 を 持 つ.xの xの 負 の 根 は−√aで

正 の 根 は√a, あ る.

  2つ の 根 を 合 わ せ てx=±√aと

表 す.

図1・5

  こ の 関 係 を 図1・5を り,ま

使 っ て 説 明 す る.一

辺 の 長 さ が√aの

面 積 はa〔m2〕

た 一 辺 の 長 さ が 一√a〔m〕 の 面 積 は(−√a)×(−√a)×=a〔m2〕

に 一 辺 の 長 さ は,x=±√aで で,−√a〔m〕

あ る.た

だ し,長

であ

と な る.ゆ

え

さ は方 向 を もた な い 量 で あ る の

に つ い て は 考 え な い.

(d)  平 方 根 の 計 算   こ こ で は 無 理 数 の 中 の 根 号(ル う.平

ー ト)を 付 け た 数(平

方 根 の 積 と 商 の 計 算 で は,a＞0,b＞0の

方 根)に つ い て の 計 算 を 行

と き 次 式 で 表 す こ と が で き る. (1・11)

(1・12)

(e) 分 母 の 有 理 化   分 数 式 に お い て,分 母 に 根 号 が 含 まれ る場 合 を 考 え る と,例 え ば式(1・13)の 分 母 の値 は√aで,こ

の 分 母 に 同 じ√aを 掛 け る と,分 母 に は根 号 を含 ま な い式

に 変 形 す る こ とが で き る.こ の よ う な式 の変 形 の こ とを有 理 化 す る とい う. (1・13)

  次 の 式(1・14),(1・15)の の(a+b)(a−b)=a2−b2,す

よ う な,分

母 に 根 号 を 含 む 式 の 場 合 は,乗

な わ ち(√a+√b)(√a−√b)=a−bを

法の公式

用 いて分 母の有

理 化 を す る. (1・14)

(1・15)

題 例

1.14

 次 の 式 を簡 単 にせ よ(電 卓 を使 わ な い で 求 め る).

(1)

解

 (1)

 (2)

 (3)

(2)

題 例

(3)

1.15

 次 の 式 を簡 単 にせ よ.

(1)

解

 (2)

 (3)

 (4)

(1)

(2)

(3)

(4)

〈平 方 根 を含 む 計 算 〉   計 算 結 果 が 平 方 根 に な り,そ の 値 が 例 え ば√25だ に は,そ √2×102

の 数 が5の2乗 =10√2と

で 表 せ る の で√52=5と

とす る.ル

な る.√200を

ー ト25を 開 く 開 く場 合 は,

計 算 す る.数 学 の 問 題 な らこ の 答 で よい が,電

気計算 では

√2を 開 い て 計 算 す る こ とが 多 い.電 験 な どの 試 験 で は√ 機 能 付 電 卓 が 使 え る の で 手 計 算 に よ る ル ー トを 開 く必 要 は な い が,電 √2 や√3は,そ

気 計 算 で 頻 繁 に使 わ れ る

の 値 を覚 え て お か な い と実 際 に 困 る こ と に な る.次 の よ う な 語 呂

合 わ せ で 覚 え て お こ う.

入世 人世 に 人並 み に

富 士山麓

問

題

練習 1.16 

1.17 

次 の 式 を 簡 単 にせ よ(電 卓 を 使 わ ない で 求 め る).

(1)

 (2)

(3)

  (4)

次 の 式 の 分 母 を有 理 化 せ よ.

(1)

1.18  た.流

 (2)

抵 抗R=20Ω

に あ る電 流 を 流 し た と き,抵

れ る 電 流I〔A〕 は い く らか.な

ヒ ン ト  電 力 はP=I2R〔W〕

1.19 

よ り求 め る.

間 隔 で 平 行 に張 られ た2本 の 長 い 電 線 に 往 復 電 流 を

の2本 の 電 線 相 互 間 に1m当

た りF=5×10-3〔N〕

の 電 線 に 流 れ て い る 電 流I〔A〕 は い く ら か.た 〔H/m〕,√5=2.24と

だ し,真

の 電 磁 力 が 働 い た.こ

空 中 の 透 磁 率 μ0=4π ×10-7

す る.

ヒ ン ト  平 行 導 体 間 に働 く電 磁 力F〔N〕 の 式 は, よ りIを 求 め る と,

 題 意 よ り, 1.20 

〓と す る.

図 の よ う に 抵 抗R〔 Ω〕,リ ア ク タ ン スXL〔 Ω〕の 直 列

回 路 に交 流 電 源E〔V〕

で与 え られ る

あっ

して 計 算 す る.

で あ る.電 流 はI=√P/R〔A〕

真 空 中 に お い て,d=2cmの

流 した と き,こ

お,√2=1.41と

抗 が 消 費 す る 電 力 がP=4kWで

を加 え た と き流 れ る 電 流I〔A〕 は,

.〓の と きI〔A〕の 値 を 求 め よ.

(a) 指 数 と は   あ る 数 の 何 乗 か を 示 す た め に,そ の 数 の肩 に付 け る数 の こ と を指 数 とい う.例 え ば103(10の3乗

と読 む)は 指 数 が3で10×10×10の

値 を 表 す.

(b) 指 数 法則  あ る 数a(aは

ゼ ロ で は な い)のa1,a2,a3…

を 総 称 し てaの

累 乗 と い う.こ

こで,指 数 計 算 をす る.

  m,nが

正 の 整 数 とす る と き,次 の指 数 法 則 が 成 り立 つ.

 指 数法則 (1・15)

 な お,式(1・15)のam÷an=am/an=am-nに

こ の こ と よ りa0は1に

な る こ と が わ か る.な

  ま た,式(1・15)のam÷an=am/an=am-nに

お い て,m=nの

お,a1をaと お い て,m=0の

と き を 考 え る.

表 す. と き を 考 え る.

この こ と よ り指 数 が マ イ ナ ス の と きは,累 乗 は分 数 で 表 され る.

(1・16)

(c) 累乗 根  nが正 の 整 数 の と き,n乗

す る とaに な る 方 程 式 は,

(aは 実 数)   で 表 さ れ,xの 根),n=3で

 (1・17)

根n√aをaのn乗

根 と い う.例

え ばn=2で

あ れ ば2乗 根(平 方

あ れ ば3乗 根(立 方 根)と い う.

  また,式(1・17)の

根 は 次 の よ う に指 数 を 分 数 で表 す. (1・18)

 な お,n=2の

〓と ル ー トの 前 の2を

と き は,

省 略 し て 書 く.

(d) 電 気 計 算 で 用 い る 接 頭 語 の 使 い方   電 気 の 単 位 で あ る 電 圧 ・電 流 ・抵 抗 の 単 位 に は,〔V〕,〔A〕,〔 わ れ る が,そ

Ω〕が 使

表1・1  接 頭 語

の 扱 う値 は1012∼10-12

と い う よ う に範 囲 が 広 い.   この よ うな大 きい値 や小 さな値 を 取 り扱 う と き に は,単 位 の 前 に 表1・1 の よ う な 接 頭 語 を付 け て そ の 値 を 表 す よ う に して い る.   例 え ば,2MΩ

の 抵 抗 値 を抵 抗 の基

本 単 位 に 直 す と,2×106Ω

に な る.電

気 計 算 を す る 場 合 は,接

頭 語 を指 数

に 直 し基 本 単 位 に して 計 算 す る の が 一 般的で ある.

題 例

1.16

 次 の 計 算 をせ よ.

(1)

解

(1) (2) (3)

 (2)

 (3)

題

例

1.17

 次 の 指 数 を 分 数 の形 で 表 せ.

(1)

 (3)

 (2)

 (4)

解 (1)

 (2)

(3)

 (4)

題

例

1.18

 漏 れ磁 束 の な い 空 心 環 状 ソ レノ イ ドが あ る.巻 数N=1000に

流I=200mAを

流 す と き,中

心 か ら ソ レ ノ イ ドの 平 均 半 径r=200mmの

周 上 に お け る 磁 束 密 度 〔T〕を 求 め よ,た

だ し,μ0=4π

電 円

×10-7と す る.

ヒ ン ト  半径rの 円周 上 の磁 束 密 度B〔T〕 の 式 は,

解 〓の 値 を代 入 す る.

 上式 に

答

例 1.19   抵 抗 率 ρ=2.66×10-8〔 r=0.2mm,長

さl=40cmの

抵 抗R〔

Ω ・m〕の ア ル ミ 線 が あ る.そ

の線 の半径

Ω 〕は い く ら か.

ヒン ト

解  上 式 に

〓の値 を代 入 す る.

答

題

次 の(ア)∼(コ)に

題 問

習 練

1.21 

適 当 な 指 数 を 書 き 入 れ よ.

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

1.22 

次 の(ア)∼(ケ)に

適 当 な 指 数 を書 き入 れ よ.

(1) (2) (3)

(4)

1.23 

真 空 中 にm1=0.5mWbとm2=−3mWbの

極 間 に生 じ る 磁 気 力F〔N〕

は い く らか.た

点磁 極 をr=5㎝

離 し てお い た と き,磁

だ し,真 空 中 の 透 磁 率 μ0は4π ×10-7とす る.

ヒ ン ト  磁 気 力F〔N〕 は 次 式 で 求 め られ る.

1.24 

電 極 の 面 積A=20cm2の

極 板 間 に,厚

を 挿 入 し た 平 行 板 コ ン デ ン サC〔pF〕 8.854×10-12で ヒン ト

あ る.

さd=0.5mm,比

を 求 め よ.た

だ し,真

誘 電 率 εs=10の 誘 電 体 空 中 の 誘 電 率 ε0は

  最 大 ・最 小 の 条 件 を求 め る 問題 は,一 般 に は微 分 を利 用 して求 め るが,こ

こで

は 代 数 法 に よっ て 解 け る 問 題 を取 り上 げ る.ま た,二 項 定 理 を利 用 した 近 似 式 を 用 い て 近 似 値 の 計 算 を行 う. (a) 最 大 定 理 と は   2つ の 正 の 整 数x,yが と きは,こ

の2数 のxyの

あ り,こ の2つ の 数 の和 がx+y=k(一 値 は,x=y=k/2の

定)の 条 件 に あ る

と き最 大 に な り,こ れ を最 大 定 理

と い う. [証 明] x+y=kよ

り,y=k−xと

な り,積xyを

求 め る と,

(1・19)

  式(1・19)の(x−k/2)=0と な お,x=k/2の

す れ ば,x=k/2でxyは

と き,yはy=k/2と

な る.す

最 大 に な る. な わ ちX=yの

と きx,yの

積 は最

 〈

最 大 に な る条 件 〉

  2つ の 正 の 整 数 が あ っ て,そ

の2数 の 和 が 一 定 で あ る場 合 に は,2数

の積 は

大 に な る.

そ の2数 が 等 しい と き に最 大 に な る.

(b) 最 小 定 理 と は  x,yの2つ x+yの

の 正 の 整 数 の 積 がxy=k(一

値 は,x=y=√kの

[証 明]

定)の 条 件 に あ る と き は,こ

と き 最 小 に な り,こ

 〓よ り

の2数

の和

れ を 最 小 定 理 と い う.

〓とな るの でx+yは,

(1・20)

  式(1・20)の

 な お,x=√kの

〓と す れ ば,x=√kで,x+yは

と き,y=√kと

な る.

最 小 に な る.

す な わ ちx=y=√kの

と きx+yの

値 は 最 小 に な る.

〈最 小 に なる 条 件 〉  2つ の正 の 整 数 溝 あ っ て,そ

の2数 の 積 が 一 定 で あ る 場 合 に は,2数

の和 は,

そ の2数 が 等 しい と き に最 小 に な る. (c) 二 項 定 理  す で に学 ん だ 乗 法 の公 式 を一 般 形 に して,nが

自然 数 の と き,(a+6)nの

展開

を与 え る公 式 を二 項 定 理 と い う. (1・21)

 (乗 法 の 公 式 は2乗

の場合

〓乗 の 場 合

〓で あ り,二 項 定 理 か ら導 び か れ る) (d) 近 似 式   (1+x)nに

お い て,二

項 は￨x｜≪1の る.そ

場 合,1に

項 定 理 を用 い て 式 を展 開 したxの2乗

よ り大 きい 高 次 の

比 べ て 非 常 に小 さ い値 と な る の で 無 視 す る こ とが で き

こで,次 の 近 似 式 が 得 られ る. (1・22)

題

  式(1・22)は,近

例

似 値 を 求 め る と き に 用 い ら れ る.

1.20

 全 長20mの

ひ もが あ る.こ の ひ もで 囲 め る 長 方 形 の 面 積 が 最 大

と な る 辺 の 長 さ 〔m〕は い く ら か. ヒ ン ト  最 大 定 理 を 用 い て 解 く.一 (20/2−x)〔m〕,長

解

辺 の 縦 の 長 さ をx〔m〕

方 形 の 面 積 はx×(20/2−x)で

 二 辺 の 長 さ の 和 は,x+(10−x)10と

と す る と,横

の長 さは

求 ま る.

な り定 数 で あ る.こ の 長 方 形 の面 積

は最 大 定 理 よ り二 辺 の 長 さが 等 しい と き最 大 に な る.す な わ ち,

の と き最 大 に な り,こ れ は 正 方 形 で あ る.答

題 例

1.21

 xy =9の

と き,x+yが

最 小 に な る 条 件 と,そ

の と き のx+yの

値

を 求 め よ.

解  ① 〓の と き で あ る.

式① が最小 にな る条件 は

 答

題

よ っ て,

例

 の と き,

1.22

 電 熱 器 の 電 熱 線 が 使 用 に よ り新 品 時 に比 べ,直

径 が2%減

少し

た.電 熱 器 の消 費 電 力 は,新 品 時 の お よ そ何 倍 に な る か. ヒ ン ト  電 熱 線 の 長 さl〔m〕,線

の 直径d〔m〕,抵

抗 率 ρ〔 Ω ・m〕,電 圧V〔V〕 と

す る と,抵 抗R〔 Ω〕と消 費 電 力P〔W〕 は 次 式 で 表 せ る.

解

 電 熱 線 が新 品 の と きの消 費 電 力P〔W〕 は,

次 に,電 熱 線 の 直 径 が2%減

少 した と きの 消 費 電 力P'〔W〕 は,

①

こ こで,式 ① を近 似 式 を用 い て 計 算 す る. を代 入 す る.

答   電 熱 線 が2%減

少 す る と,消 費 電 力 は0.96倍

に な る(減 少).

1.25 

次 の式 が 最 大 に な る と きのRの

1.26 

図 に お い て,電

問

値 と,そ

源 電 圧E=200V,内

題

習

練

の と きの 式 の 値 を求 め よ.

部 抵 抗r=0.5Ω

の 直 流 電 源 に可 変 負 荷 抵 抗R〔 Ω〕を 接 続 し た.R〔 Ω〕を 変 化 させ た と きの 負 荷 抵 抗 の消 費 電 力 の 最 大 値 〔kW〕 を 求 め よ. ヒ ン ト  抵 抗Rを

流 れ る 電 流I〔A〕 は,

 負 荷 の 消 費 電 力P〔W〕 は,

①

1.27 

タ ン グ ス テ ン電 球 の 光 束 は,供

105Vに

増 加 し た と き,光

ヒ ン ト  100Vの て,比

給 電 圧 の3.6乗

に 比 例 す る.電

圧 が100Vか

ら

と きの 光 束 をF2〔lm〕

とし

束 は お よ そ 何 倍 に な る か.

と き の 光 東 をF1〔lm〕(ル

例 定 数 をkと す れ ば,光

ー メ ン),105Vの

束 の 比 は 次 式 で 表 せ る.

よ っ て,

① 1.28 

600Wの

ニ ク ロ ム 線 の 長 さ を4%切

っ て 短 く して 使 用 し た.こ

の場合 の消 費電

力 〔W〕は お よそ い く らか. ヒ ン ト  ニ ク ロ ム 線 の 長 さl〔m〕,線 R〔 Ω〕は 次 式 で 表 せ る.

の 面 積S〔m2〕,抵

抗 率 ρ〔 Ω ・m〕とす る と ,抵 抗

第1章  章末問題 1.次

の 各 組 の 最 大 公 約 数 と最 小 公 倍 数 を 求 め よ.

(1)

2.次

 (2)

の 繁 分 数 を 計 算 せ よ.

(1)

3.次

 (2)

の 式 を簡 単 にせ よ

(1) 4.次

 (2)

の 回路 のab間

の合 成 抵 抗 を求 め よ.

(1)

5.図

100Vを

 (3)

 (2)

に お い て,抵

加 え た.流

抗10Ω,容

量 リ ア ク タ ン ス20Ω

れ る電 流 を求 め よ.

ヒン ト  回路 を 流 れ る電 流 は次 式 で 求 め る.

6.次

(1)

の 回 路 の 合 成 静 電 容 量 を 求 め よ.  (2)

の 直列 回路 に交流 電 圧

方程 式 とグラ フ

キー ワー ド

一次 方 程 式,二 反 比 例,因

次 方 程 式,連

数 分 解,根

立一 次 方 程 式,比 例,

の 公 式,不 等 式,一 次 関 数 の

グ ラ フ,二 次 関 数 の グ ラ フ

  未 知 数 を1つ 含 む 一 次 方 程 式 の 立 て方 と,解 の 求 め 方 に つ い て学 ぶ. (a) 方程 式 と は  2つ の 式 を等 号 の 符 号(=)で

結 び つ け た も の を 等 式,そ

の等 式 の う ち未 知 数 で

あ る文 字 を もつ もの を方 程 式 とい う.未 知 数 で あ る文 字 の値 を求 め る こ と を方 程 式 を解 く とい い,そ の 値 を根 とい う.方 程 式 は未 知 数 で あ る 文 字 の 種 類 がn個 あ れ ばn元

とい い,未

方 程 式 を,「n元m次

知 数 の 文 字 の 最 大 の 次 数 がmで

あ れ ばm次

で,こ

の ような

方 程 式 」とい う.

  例 え ば  y=x3−2x+5の

方 程 式 は,未 知 数 の 文 字x,y(二

元),そ

の最 大の次

数 はx3(三 次)な の で,「 二 元 三 次 方 程 式 」とい う. (b) 等 式 の 性 質   等 式 に は 次 の よ う な性 質 が あ る.こ れ ら を用 い る と式 の 整 理 が 簡 単 に な る.   (1)両 辺 に 同 じ数 を加 え て も,引 い て も等 式 は成 り立 つ. 例a=bの

と き,a+c=b+c,a−c=b−c

  (2)両 辺 に 同 じ数 を掛 け て も,割 っ て も等 式 は成 り立 つ. 例a=bの   (3)移 項:等

と き,a×c=b×c,a/c=b/c

式 の 中 に あ る 項 を,プ

ラス ・マ イ ナ ス の 符 号 を逆 に して 他 の辺 に

移 す こ と を移 項 とい う.

例 (−8の移 項)

(2xの 移 項)

(c) 一 次 方 程 式 を解 く手 順  ① か っ こ が あ れ ば か っ こ を はず す  ② 文 字 を含 む 項 を左 辺 に,数 値 の 項 を右 辺 に集 め る(移 項)  ③ 未 知 数 をxと す る と,ax=bの  ④ 両 辺 を係 数aで 割 る

形 にす る

題 例

2.1

 次 の 方 程 式 を解 け.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

解 (1)

(2) 両 辺 に4を 加 え る

両 辺 よ り2を 引 く(−2を 加 え る)

(−4を移 項 す る こ と と同 じ) 両 辺 よ り6xを 引 く(6xの 移 項) 両 辺 を2で 割 る

答 答

両 辺 を−9で 割 る

(3)

(4) 〓と

〓xを移 項 す る

左 辺 の 各 項 の 分 子 に3×2を 掛 け る

各 項 を 約 分 す る(分 母 は1)

左右 の分母 を揃 える か っこをはずす

を移 項 す る

両辺 に

〓を掛 け る

答

答

題 例 2.2   図 の 回 路 に お い て,R=10Ω R=8Ω

に す る とI=6Aと

な っ た.こ

の と き はI=5A, の 電 源 電 圧E〔V〕

の値 を 求 め よ.

ヒ ン ト  オ ー ム の 法 則 よ り,E=I(r+R)の

関 係 が 成 立 す る.し

た が っ て,次

式

 ①

解

よ りr〔Ω〕を 求 め て か らE〔V〕 を 計 算 す る.

答

題 例

2.3  内 部 抵 抗0.21Ω,最

て10Aを

大 目 盛2.5Aの

電 流 計 が あ る.分

流 器 を用 い

測 定 す る に は,分 流 器 の 抵 抗Rs〔 Ω〕を い く ら に した ら よい か.

ヒン ト  分 流 器 の抵 抗Rs〔 Ω〕は内 部 抵 抗rを 用 い て 次 の よ う に表 せ る.

 上式のmは 分流器 の倍率 で電流比 であるか ら

解

〓で表 せ る.(Iaは 最 大 目盛)

 分 流 器 の 倍 率 はm=I/Ia=10/2.5=4倍

この 値 をRs〔 Ω〕の式 に 代 入 す る.

答

〈単純計算 を侮 らない〉   電 気 計 算 で は,一 次 方 程 式 を立 て て 解 く問 題 が 非 常 に 多 い.問

題 文 を読 ん で

正 し く式 が 立 て られ れ ば あ とは 計 算 だ け で あ る.し か し,計 算 だ か ら とい って, こ こ で 安 心 して は い け な い.初 学 者 は往 々 に して 計 算躓

くこ とが あ る か らで

あ る.一 次 方 程 式 で い え ば移 項 な どで の単 純 ミス を しな い よ う注 意 し よ う.

題

問

習 練

2.1 

金 属 導 体 の 電 気 抵 抗 は 温 度 が 上 昇 す る と大 き くな る.t=20℃

線 がT=75℃

に な っ た と きの 抵 抗 値RTが123.6Ω

で あ っ た.導

線 の20℃

係 数α20〔 ℃‐1〕 は い くら か. ヒ ン ト  導 線 のt℃ の 温 度 係 数 をαtと す る と,次 式 が 成 り立 つ. (こ こ で はt=20と

2.2 

図 の よ う な ブ リ ッ ジ 回 路 が あ る.100Ω

り抵 抗 器 の 摺 動 子Aを

動 か して 検 流 計 の 針 を0に

した

と き(ブ リ ッ ジ の 平 衡)の す べ り抵 抗 器 の 抵 抗 値 は,r 〔 Ω〕と100−r〔 Ω〕に な っ た.抵

抗r〔Ω〕を 求 め よ.

ヒ ン ト  ブ リ ッ ジ が 平 衡 した と き は,対

辺 ど う しの 抵

抗 値 を掛 け 合 わ せ た 値 が 等 し くな る.

2.3 

図 の 回 路 に お い て,ab間

に 生 じる電 圧

V〔V〕 を 求 め よ. ヒ ン ト  図 の ル ー プ 電 流I〔A〕 は 次 式 で 計 算 す る. ル ー プ 電 流=

  次 に20Ω

ルー プ内 の合成 電圧 /ルー プ内 の合成 抵抗

に 生 じ る 電 圧 降 下V'〔V〕

電 圧V=8−V'〔V〕 (上 式 のV'は8Vか

を 求 め,

を 計 算 す る. ら流 れ 込 む 電 流 の 向 き を+

とす る 電 圧 降 下 で あ る.)

し て 計 算 す る)

のす べ

の と き100Ω

の導

の ときの温 度

  連 立 方 程 式 の 解 き方 に は代 入 法,加

減 法,行 列 式 な どが あ る が,こ

こ で は代 入

法 と加 減 法 につ い て学 ぶ. (a) 連 立 一 次 方 程 式   複 雑 な電 気 回 路 網 の 各 枝 路 を流 れ る未 知 電 流 が あ る 場 合,求

め る未 知 電 流 の 数

だ けの 方 程 式 を 立 て る.一 般 に2つ 以 上 の方 程 式 が1組 を な す と き,こ れ を連 立 方 程 式 とい い,例

え ば 次 式 の よ うに な る.

 上 式 の方 程 式 は,未 知 数 が2で 次 数 が1で あ るか ら二 元 一 次 方 程 式 とい う. (b) 連 立 方程 式 の 解 き方(代 入 法)  連 立 方 程 式 の 解 き方 の う ち,代 入 法 につ い て次 の 〔 例 〕で そ の解 き方 を解 説 す る. 〔 例 〕 次 の 連 立 方 程 式 を解 け.

① ②   代 入 法 は1つ の 方 程 式 か らx=ま た はy=で

表 す 方 程 式 を つ く り,そ れ を他 の 方

程 式 に代 入 して 解 を 求 め る方 法 で あ る.式 ① でxを 解 く と,

③  式③ の値 を式② へ代 入す る.

④  式 ④ の値 を式 ① へ 代 入 す る と,

 し た が っ て,x=2,y=−2と

な る.

(c) 連 立 方 程 式 の 解 き方(加 減 法)  連 立 方 程 式 の 解 き方 の う ち,加 減 法 につ い て 次 の 〔例 〕で そ の解 き方 を解 説 す る.

〔 例 〕次の連立 方程 式 を解 け ①

②

  加 減 法 は,2つ

の 未 知 数 の どち らか 一 方 の 係 数 をそ ろ え,そ

算 か 減 算 を して,そ

の 連 立 方 程 式 を加

の 未 知 数 を消 去 す る方 法 で あ る.〔 例 〕 につ い て,式

① ×3,

式 ② ×2と お い て 減 算 す る.

こ の 値 を式 ② に代 入 す る(代 入 法 と同 じ)

な る.

題

し た が っ て,x=2,y=−2と

2.4

 次 の連 立 方程 式 で表 さ れ る電 流I1〔A〕,I2〔A〕 を代 入 法 で 求 め よ.

①   式 ① よ りI2を 解 く と,

③

解

 ②

 式③ を式 ② に代 入 す る と,

④

 式④ の値 を式 ① に 代 入 す る と,

答 2.5

 次 の 連 立 方 程 式 を 加 減 法 で 求 め よ.

① 解  式 ① ×5,式

② ×7と お い て 減 算 を 行 う.

 ②

例

題 例

こ の値 を 式① に代 入 して,

答

例

題 2.6

②

 次 の 連 立 方 程 式 を代 入 法 で 求 め よ.

① 解   式 ②'よ

の 両 辺 を10倍 す る.

① ②

 計 算 を楽 に す るた め,式 ①,②

りxを 解 く と,

③  式 ③ の値 を式①'へ 代 入 す る と,

④

 式④ の 値 を式 ①'へ 代 入

答

練習 問 題 2.4  次 の 連 立 方 程 式 を 解 け.

(1)

(2)

(3)

(4)

2.5  図 の 回 路 で4Ω の 抵 抗 に流 れ る 電 流 I-I1〔A〕 を キ ル ヒ ホ ッ フ の 第2法

則 を用

い て 求 め よ. ヒ ン ト  キ ル ヒ ホ ッ フ の 第2法

則 と は,

「閉 回 路 中 の 起 電 力 の 和 は 電 圧 降 下 の 和 に 等 しい 」   ル ー プ[I]に

つ いて の方 程式 を立 てる

①  ル ー プ[Ⅱ]に

つ いて の方程 式 を立 てる

②

2.6  図 の 回 路 網 の 各 抵 抗 を流 れ る 電 流I1, I2,I1+I2〔A〕 プ[I]お

を 求 め よ.な

よ び[Ⅱ]は,キ

お,回

路 のル ー

ル ヒ ホ ッ フ の 第2

法 則 を適 用 し て 方 程 式 を立 て る こ と. ヒ ン ト  ル ー プ[I]に

つ い て の 方 程 式 を立

てる

①  ル ー プ[Ⅱ]に

つ いて の方程 式 を立 てる

②

 連 立 方 程 式 の 解 き方 の うち,こ

こ で は 行 列 式 を用 い る方 法 に つ い て 学 ぶ.

(a) 行 列 式 と は 次 の 連 立 方 程 式 で はxの 係 数 は2と3,yの 数 を 図2・1の よ う に2列2行 む.こ

係 数 は3と−2で

あ る.こ れ らの 係

で 表 して,そ れ を縦 線 で 囲

の よ うに 表 す 式 の こ と を二 次 の行 列 式 とい う.

図2・1  二次 の 行 列式

(b) 二 次 の行 列 式 の 計 算   式(2・1)の 方 程 式 の 係 数 列 及 び定 数 列 は 図2・2の よ うに 表 せ る.式(2・2)は 数 列 を 行 列 式 で 表 した もの で あ る.行 ラ ス),左

列 式 の 計 算 は,右

さが りの 掛 け 算 は+(プ

さ が りの 掛 け算 は‐(マ イ ナ ス)を つ け て 掛 け 算 す る.式(2・2)の

はa1b2−a2b1と

係

場合

な る.こ の よ う な計 算 式 を行 列 式 の 展 開 式 とい う. (2・1)

(2・2)

(展 開式) 左 さが り(−)右

図2・2  係 数 列 と定数 列 さが り(+)

  な お,係 数 列 を展 開 し た式 をDで

表 す.

  式(2・1)の 解 は行 列 式 を用 い て 以 下 の よ うに解 くこ とが で きる.   未 知 数xを 求 め る に は,係 数 行 列 の 行 列 式Dを

分 母 に,分 子 はxの 系 数 列 の 値

を定 数 列 の値 に 置 き換 え て 計 算 す る.未 知 数yを 求 め る に は,係 数 行 列 の 行 列 式 Dを 分 母 に,分 子 はy系 数 列 の 値 を 定 数 列 の 値 に 置 き換 え て計 算 す る.式(2・3) は そ の 解 で あ る. xの 係 数列 の代 わ り

yの 係 数 列の 代 わ り (2・3)

(c) 三 次 の 行 列 式 の 計 算   未 知 数x,y,zの

三 元 一 次 方 程 式(2・4)を

行 列 式 を 用 い て 解 く.

(2・4)

 係 数 列 の行 列 式Dは

式(2・5)の よ う に表 せ る.

(2・5)

 三 次 の 行 列 式 の展 開 は,二 ラ ス),左

次 の行 列 式 と同 じ よ う に 右 さ が りの 掛 け算 は+(プ

さが りの 掛 け算 は‐(マ イ ナ ス)を つ け て 掛 け算 し,展 開式 を求 め る.

右 さが りの掛 け算(+)

  未 知 数x,y,zを

左 さが りの掛 け算(−)

求 め る に は,二 次 の 行 列 式 の 解 き方 と 同様 に 係 数 行 列 式Dを

分 母 に,分 子 は そ の 未 知 数 の 係 数 列 の値 を定 数 列 の値 に 置 き換 え た 行 列 式 で 計 算 す る.式(2・6)は

三 次 の 未 知 数 を 求 め る行 列 式 で あ る.

(2・6)

例題

2.7

 図 の 回路 の各 抵 抗 を流 れ る

電 流I1,I2,I3〔A〕

を次 の 連 立 方 程 式 で

求 め よ.な お,方 程 式 の解 法 は 行 列 式 に よ っ て 計 算 す る.

係数列

解 分 母 の係 数 列 の 行列 式 をDと

して 求 め て か ら電流I1,I2,I3を

答

 定数列

求 め る.

練習 問 題 2.7 

次 の 連 立 方 程 式 の 未 知 数x,yを

行列 式 の

xの係 数列   yの 係 数 列  定数列

解 法 で 求 め よ.

ヒン ト  上 式 の係数列 及 び定 数列 は 図で表せ る.

2.8 

図 の 回路 の 各 枝 路 電 流I1,I2,

及 びI1+I2〔A〕 を キ ル ヒ ホ ッ フ の 法 則 を用 い て行列 式 に よ る計 算 で 求 め よ. ヒ ン ト  ル ー プ[Ⅰ]に

つ い て 第2

法則 を用 い る

① ル ー プ[Ⅱ]に

係数列

 定数列

つ い て 第2法 則 を 用 い る

② 式①,② の係 数列お よび定数 列 は図 で表せ る.

2.9 

図 の 回 路 の 各 枝 路 電 流I1,I2,お

よび

I3〔A〕 を キ ル ヒ ホ ッ フ の 法 則 を 用 い て 行 列 式 に よる 計 算 で 求 め よ. ヒン ト

① ②

③   式 ①,②,③ で 表 せ る.な

の係 数 列 お よび定 数 列 は図 お,抵

抗 の 単 位 は 〔kΩ〕で あ る

か ら,電 流 の 単 位 は 〔mA〕 と な る.

係数列

 定数列

 二 次 方 程 式 の 解 を求 め る 方 法 につ い て学 習 す る. (a) 二 次 方 程 式 と は  式(2・7)の よ うに 未 知 数(x)の2乗

の 項 を含 む 方 程 式 を二 次 方 程 式 とい う. は定 数 で,

 (2・7)

  二 次 方 程 式 は 未 知 数 が1つ の 場 合 を一 元 二 次 方 程 式,未

知 数 がn個 の 場 合 を

n元 二 次 方 程 式 とい う. (b) 二 次 方 程 式 の 解 き方   方 程 式 を満 た す 未 知 数 の値 を解 ま た は根 と い い,そ の 方 程 式 の 解 を求 め る こ と を,方 程 式 を解 く と い う.二 次 方 程 式 の解 法 に は,① 因 数 分 解 に よ って 解 く方 法 と,② 根 の 公 式 を用 い て解 く方 法 が あ る.① 場 合 に 用 い る.②

は方 程 式 の 因数 分 解 が 容 易 に で きる

は複 雑 な 形 を した 方 程 式 を解 くの に 用 い る.

(c) 因 数 分 解 に よ る解 き方   式(1・5)の 多 項 式 につ い て,乗 法 公 式(1.3節

の5参 照)を 逆 に使 う と次 の よ う

に変 形 で き る. (2・8)

  式(2・8)の よ うに,整 式 が い くつ か の 整 式 の積,例 さ れ る と き,式(a+b),式(a−b)を

え ば(a+b)(a−b)の

も との 式 の 因 数 とい う.1つ

形 で表

の 整 式 を い くつ

か の 因 数 の 積 で 表 す こ とを 因数 分 解 をす る とい う.   因数 分 解 は,整 式 の展 開(乗 法 公 式)の 逆 の 計 算 で あ るか ら次 の 関 係 が成 り立 つ. 因数分解 展

開

 次 式 は 因 数 分 解 の 基 本 公 式 の 例 で あ る. (1) 

(2)

(2・9)  (2・10)

(3) 

(2・11)

(4) 

(2・12)

(5) 

(2・13)

 な お,次

の よ う に 二 次 方 程 式 を解 くに は,因

数 分 解 した あ とに 各 因 数=0と

お

い て 未 知 数 を 求 め る.

 答

〔 例 〕

(d) 根 の 公 式 に よ る解 法  一 般 形 の 二 次 方程 式 は次 式 で 表 さ れ る.

 こ の 式 の 解 を求 め る た め に,根

の 公 式 を誘 導 す る.ま ず,定

数 項 を 移 項 し て,

両 辺 をaで 割 る.

 両 辺 に(b/2a)2を

加 え て,左 辺 を平 方 の形 に 直 す.

(2・14)

題

 式(2・14)は,一

例

般 形 の 二 次 方 程 式 の 根 を求 め る式 で根 の 公 式 とい う.

2.8

 因 数 分 解 して,次 の 二 次 方 程 式 を解 け.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(3)

  (和 が10x,積

(積)

(4)

が24)(因

 (和)

  (和 が−7x,  積が6)

(積)

数)

 (因数)

 (和)

解 答

(1)

答

(2)

(3) 答 (4) 答

題 2.9

(1)

解

 根 の 公 式 を用 い て,次 の 二 次 方 程 式 を解 け.  (2)

(1)

答

(2)

答

例

ヒン ト

2.10 

 (2)

 (4)

  (3)

次 の 二 次 方 程 式 を根 の 公 式 を 用 い て 因 数 分 解 せ よ.

(1)

2.12 

題

次 の 二 次 方 程 式 を解 け.

(1)

2.11 

問 習

練

 (2)

図 のR‐L直

cosθ=0.6で

 (3)

列 回路 にお い て,Lの

あ っ た.こ

  (4)

リ ア ク タ ン スXLが40Ω

で,回

路の力率が

の と きの 抵 抗R〔 Ω〕を求 め よ.

ヒ ン ト  力 率 は 次 式 で 求 め ら れ る.

2.13 

1Ω とR〔 Ω〕の 抵 抗 を 図1の

よ う に 並 列 接 続 し た 場 合 の 消 費 電 力P1〔W〕 は,図2

の よ う に 直 列 接 続 し た場 合 の 消 費 電 力P2〔W〕

の6倍

に な っ た.こ

抗 の 値 は い く らか.

図1

図2

ヒ ン ト  電 力 を求 め る 式 は, R1,R2の

の よ う に3つ の 式 で 表 せ るが,こ

並 列の合 成 抵抗 直列 の合 成 抵抗

こ で は,

合 成 抵 抗 をR0と す る

〓を用 い る.

の と きのR〔 Ω〕の 抵

  電気 の 計 算 問 題 に は,比 例 の 考 え方 や比 例 式 を用 い て解 く もの が 多 い.こ

こで

は比 例 ・反 比 例 の 計 算 が で き る よ う にす る. (a) 比 と は   あ る数aが,他 a:b(aた

の 数bの 何 倍 で あ る か を表 す 関係 をaのbに

いbと 読 む)で 表 す.ま

た,a:bをa/bと

対 す る 比 と い い,

表 す.

(b) 比例 式   2つ の 比a:bとc:dの

相 等 しい こ と を表 す こ と を比 例 式 とい う.

内項  また は〓

 (2・15)

 外項   比 例 式 で は,比

例 式 の 内 項 の 積 と外 項 の 積 に 等 しい と い う性 質 が あ る.

式(2・15)は 次 式 で 表 せ る. (2・16)

(c) 比 例 配 分  1つ の 量Aを3つ

に 分 け,そ

こ と を 比 例 配 分(按 分 比 例)と

xはa,yはb,zはcに

の3つ

の 部 分 の 比 が,a:b:cに

い う.3つ

に 分 け た 部 分 をx:y:2と

な る よ うに す る す る と,

比 例 す る の で あ る か ら,

比 例 配 分 の 関係 か ら次 式 が 成 り立 つ.

(2・17)

(d) 比 例 定 数   一 次 方 程 式y=ax+bの で 表 す と,aは

場 合,aをxの

比 例 定 数 とい う.こ の 方 程 式 を グ ラ フ

直 線 の傾 きを 表 す 値 で あ る.

  オ ー ム の 法 則 は,「 導 体 に流 れ る 電 流 は,加 え た 電 圧 に 比 例 す る」で あ る.   電圧 をE〔V〕,電 流 をI〔A〕 とす れ ば,

(∽ は比 例 を表 す 記 号) とい う比 例 式 で 表 す こ とが で き る.こ こ で比 例 定 数 をRと

とな り,上 式 は オ ー ム の 法則 の 基 本 式 で,比 例 定 数Rは

お け ば,

電 気 抵 抗 を指 す.

(e) 反 比 例   前 に 述 べ たa:bの と は,逆

比 に 対 し て,そ

数 に 比 例 す る こ と で,次

題 例

  比 例 式a:b=a/6に

対 し,(反

の 逆 のb:a=b/aを

反 比 と い う.反

比例

式 の よ う な 関 係 に な る. 比 例)b:a=b/a(逆

数 に 比 例)

2.10

  90Ω の 抵 抗 線 が あ る.こ そ れ の 抵 抗 値 の 比 を5:2:8に

の 抵 抗 線 を3つ の 部 分 に 分 け て,そ

れ

した い.各 抵 抗 の値 を求 め よ.

解   3つ

に 分 け た 抵 抗 をr1,r2,r3と

す る と,

題

答

2.11

 図 の並 列 抵 抗 回路 に,4Aの が 流 れ て い る.各 を 求 め よ.た

電流

抵 抗 を 流 れ る 電 流I1,I2

だ し,r1=2Ω,r2=3Ω

と す る.

 オ ー ム の 法 則 に よ り,加 わ る電 圧 が 一 定 で あ る と電 流 は抵 抗 値 に反 比 例 す る か ら,

上 式 の 内項 の 積 は外 項 の積 に等 しいか ら,

①

あ る か ら,

②

ま た各 枝 路 を 流 れ る電 流 の和 は4Aで

式 ① と式 ② を 連 立 方 程 式 と して 解 くと,式 ① よ り,

③

例 解

式③ を式 ② へ 代 入 す る と,

①

(別解)電 流 は抵抗 の逆 数 に比例 す るか ら,

②

式(2.17)よ

り

式 ② よ り,

答

例題 2.12

  図 の よ う に3つ

の 抵 抗R1,

R2,R3を

直 列 に つ な ぎ,電

圧Vを

と き,各

抵 抗 に 生 じ る 電 圧V1,V2,V3

を 求 め よ.た

だ し,R1=4Ω,R2=6Ω,

R3=10Ω,V=50Vと

す る.

解

加 えた

 オ ー ム の 法 則 よ り,流 れ る 電 流 が 一 定 で あ れ ば抵 抗 の 電 圧 降 下 は 抵 抗 値 に

式(2・17)に

① ②

比 例 す る か ら,

よ り,

答

練習問 題 2.14 x:y=5:6,v:z=4:3よ

り,x:y:zを

ヒ ン ト  2つ の 式 に 共 通 す るyの 値 は6と4で,こ

求 め よ. の 値 の 最 小 公 倍 数 を 求 め て か ら計 算

す る.

2.15 

次 のx,yの

関 係 を 式 で 表 せ.

  (1)yはxに

正 比 例 し,x=−2の

  (2)yはxに

反 比 例 し,x=3の

と きy=6で

あ る.

と きy=−6で

あ る.

ヒン ト   (1)比 例 定 数 をaと す る と,y=axの   (2)比 例 定 数 をaと す る と,y=a/xの

2.16 

図 の よ う に3つ

式 で あ る. 式 で あ る.

の 抵 抗 が 並 列 接 続 した 回 路

に 電 流I〔A〕 を 流 し た と き の各 抵 抗 を流 れ る電 流I1, I2,I3を

求 め よ.た

R3=6Ω,I=24Aと

だ し,R1=2Ω,R2=3Ω,

す る.

ヒ ン ト  オ ー ム の 法 則 よ り,電 圧が 一 定 の と き各 抵 抗 に 流 れ る電 流 は,抵 抗 値 に反 比 例 す る か ら,

① ②

2.17 

図 の よ う な 回 路 の 端 子a,bに

加 え た と き,電

流 が5A流

れ た.こ

r2に 流 れ る 電 流 の 比 を1:2に は,r1とr2の

の と き抵 抗r1,

な る よ う にす る に

値 を い く ら に す れ ば よ い か.

ヒン ト

端 子ab間 の 回路 の抵 抗R0は, r1,r2の

電 圧20Vを

合 成 抵 抗 は,

(a) 一 次 関 数 と は   一 般 にyがxの

一次式で表 され る とき

,yはxの

一 次 関 数 で あ る と い う.

は 定 数,   式(2・18)のb=0の

〓 (2・18)

と き は,y=axと

な り,こ

れ は 正 比 例 の 関 係 で あ る.

(b) 一 次 関 数 の グ ラ フ   一 次 関 数 の式(2・18)の グ ラ フ は 図2・3 の よ う に傾 きa,y軸

を切 るy切 片bを 通

る直 線 と な る.   図2・4の ① ∼ ④ は 一 次 関 数 の グ ラ フ で,①,②

の よ うに傾 きaが 正 の と き は,

右 上 が りの 直 線 で,③

の よ う にaが 負 の 図2・3  y=ax+bの

グラフ

と きは右 下 が りの 直 線 とな る.   ま た,①

の よ う にy切 片bが0の

とき

は原 点 を通 る直 線 とな る.   ④ の よ う に,傾

きaが0でy=定

数 の形

で 示 さ れ る グ ラ フ はx軸 と平 行 の グ ラ フ で あ る.   ⑤ の よ う に,x=定 グ ラ フ は,y軸

数 の形 で 示 され る

と平 行 の グ ラ フで あ る. 図2・4 

(c) 反 比 例 の グ ラ フ  yがxの

一 次 関数 の グ ラ フ

関 数 で,そ の 関 係 が (2・19)

で 表 さ れ る と き,yはxに   式(2・19)は,次

反 比 例 す る と い い,aを

比 例 定 数 と い う.

式 の よ う に 書 き 直 す こ と が で き る.

(2.20)   反 比 例 の 関 係 と は,積xyが   図2・5(a)は

常 に 一 定 の 値 を 取 る 関 係 で あ る と い え る.

比 例 定 数a=1,図2・5(b)は

こ の よ う な 曲 線 を 直 角 双 曲 線 と い う.

比 例 定 数a=−1の

と き の グ ラ フ で,

  こ こ で,直

角 双 曲線 は,xの

て い く.ま た,xの

値 を 大 き く して い く と 限 りな く直 線x軸 に近 づ い

値 を0に 近 い 値 にす る と直 線y軸

な直 線 を双 曲 線 の 漸 近 線 とい う.図2・5の

(a)a=1の

とき

に近 づ い て い く.こ の よ う

場 合 の 漸 近 線 はx軸 とy軸 で あ る.

(b)a=−1の

図2・5  反比 例 の グ ラ フ(直 角双 曲 線)

例 ①

2.13

 次 の 条 件 を 満 た す 一 次 式 の グ ラ フ を描 け. 傾 き−0.5,切

片2の

グ ラフ

②3x−2y−4=0 ③y=1

④x=1.5 解

 ① ∼ ④ の グ ラ フ は 図 の よ う に な る.

とき

題

例題

2.14

 点(3,−2)を

(1)傾

き が2

 (2)傾

ヒ ン ト  点(x1,y1)を

解

通 り,次 の 条 件 を満 た す 直 線 の 方 程 式 を求 め よ. き が〓

通 り,傾

 (1)

題

2.15

き がmの

直 線 の 方 程 式 は,

 (2)

 次 の 分 数 式 の グ ラ フ を 描 け.た だ しx＞0の

(1)

範 囲 とす る.

 (2)

解  (1)y=2/xに

次 のxの

値 を 代 入 す る.

  こ れ ら の 値 を 座 標 点 と し て グ ラ フ を 書 く と, 図1の

よ う に な る.

  (2)y=1/x+2に

次 のxの

値 を 代 入 す る.

図1

  こ れ ら の 値 を 座 標 点 と して グ ラ フ を書 く と, 図2の

よ う に な る.

図2

例

練習問 題 2.18 

図 に 示 す グ ラ フ① ∼ ⑤ の 直 線 の 方 程 式 を

示 せ.

2.19 

t=0℃

の と き の 抵 抗 がR0=20Ω

ニ ウ ム線 が あ る.T=50℃ を 求 め よ.た

だ し,ア

のアルミ

の と きの 抵 抗 値R50〔 Ω〕 ル ミ ニ ウ ム 線 の0℃

に おけ

る抵 抗 温 度 係 数 を α0=0.0039℃‐1と

す る.

ヒ ン ト  RT=Rt{1+αt(T−t)},こ

こ で はt=0と

2.20 

して 計 算 す る.

1日 の 負荷 持 続 曲線 が 下式 で 表 され る工 場

が あ る.こ の工 場 で は 自社 の水 力 発 電 所 の 出力 が 1000kW一

定 で供 給 され,不 足 電力 を電 力会 社 か

ら受電 して いる.こ の 場合,受 電最 大 電力PM〔kW〕 お よ び受 電 電 力 量W〔kWh〕

た だ し,Pは

は い く らか.

負 荷 電 力 〔kW〕,tは

時 間 〔h〕で あ る.

ヒ ン ト  上 式 の 時 間tをx軸(0∼24h),負

荷電力

Pをy軸

に グ ラ フ を 描 く と 図 の よ う に な る.

2.21 

図 の よ うなA,B2つ

の コ イ ル が あ り,コ

相 互 イ ン ダ ク タ ン ス はM=40mHで 電 流 をΔt=5msの

あ る.Bコ

間 にΔIB=20A変

イル 間 の

イル に流 れ る

化 さ せ た と き,Aコ

イ

ル に 発 生 す る起 電 力eA〔V〕 を求 め よ. ヒ ン ト  Aコ イ ル に 誘 導 す る 起 電 力e〔V〕 は 次 式 で 求 め ら れ る.

(a) 二 次 関 数 の グ ラ フ   式(2・21)に

示 す よ う に,yがxの

二 次 式 で 表 さ れ る と き は,yはxの

二次関 数

で あ る と い う.

は定 数,   式(2・21)に

お い て,b=c=0の

  (2.21)

と き,y=ax2と

な り,図2・6に

次 関 数 の グ ラ フ は 原 点 を 通 る 放 物 線 と な る.図2・6の 線 は 下 に 凸 の グ ラ フ に な る.ま

た,a＜0の

と き は,放

示す ように二

場 合,a＞0の

と き は放 物

物 線は上 に凸の グラフ に

な る.

(a)a＞0の

(b)a＜0の

とき 図2・6  y=ax2の

とき

グ ラフ

(b) 一 般 的 な 二 次 関 数 の グ ラ フ   式(2・21)を

変 形 す る と,次

式 の よ う に 表 せ る. (2・22)

  式(2・22)の

グ ラ フ は,図2・7の

よ う にy=ax2

の グラ フを

頂点 の座標

に平 行 移 動 して 得 られ る放 物 線 で あ る.

図2・7

(c) 不 等 式 と は  aがbよ

り 大 き い こ と をa＞b(a

た はa=bで

Greater

あ る こ と をa≧bあ

≧,＜,≦

を 不 等 号 と い い,不

Than

bと 読 む)と 表 す.a＞bま

る い はb≦aと

等 号 を 含 む 式,例

表 す.こ

こ で 記 号＞,

えば

  4a＞3a,2x+1≧0 な ど を 不 等 式 と い う. (d) 不 等 式 の 性 質   不 等 式 に は 次 に 示 す 性 質 が あ る. ら ばa＞

c (2.23)

②a＞bな

ら ばa±c＞b±c

 (2.24)

③a＞bの

と きc＞0な

ら ばca＞cb,a/e＞b/c

 (2.25)

④a＞6の

と きc＜0な

ら ばca＜cb,a/c＜b/c

 (2.26)

①a＞b,b＞cな

※④ にお い て,cが

負 の 数 の と き は符 号 が 逆 に な る こ と に注 意 す る.

題 2.16

 次 の 二 次 関数 の グ ラ フ を描 け.

(1) (3)

 (2)  (4)

解 (1)y=2x2の

のグ ラフ

放 物 線 で 頂 点(1,0)

(2)y=x2の

グ ラフ

放 物 線 で 頂 点(2,1)の

例

(3)y=−x2の

放 物 線 で 頂 点(2,1)

のグ ラフ

(4)y=3x2の

放 物 線 で 頂 点(−1,−2)

の グラフ

題 例 2.17

 次 の 不 等 式 を同 時 に満 た すxの 値 の 範 囲 を 求 め,x軸

上 に範囲 を

示 せ.

(1)

 (2)

解 ①

 (1)式 の 移 項 をす る

②  式① と式 ② を 図 で 示 す と下 図 の よ うに な る.

答 −2＜x＜3

① ②

(2)式 の 移 項 をす る

 式 ① と式 ② を 図 で示 す と下 図 の よ う に な る.

答  x≧1

練習 問 題 2.22 

次 の 不 等 式 を 解 け.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

2.23 

グ ラ フ を 用 い て,次

(1)

の 二 次 不 等 式 を解 け.

(2)

 ① ②

ヒン ト (1)上 式 をyの 関 数 とす る と, (2)上 式 をyの 関 数 とす る と,   ① 式 の 放 物 線 は 下 向 き の 凸 の グ ラ フ で,x軸 き の 凸 の グ ラ フ で,x軸

次 の 二 次 関 数 の グ ラ フ に つ い て,軸

①

2.25 

初 速 度30m/sで

がt秒 後 にh〔m〕 は,次

次の ように変 形す る

真 上 に投 げ られ た物体

の 高 さ に な るtとhと

式 で 表 さ れ る(空

通 る.②

式 の放物 線 は 下 向

の方 程 式 と 頂 点 の座 標 を求 め よ.

 ②

ヒ ン ト  y=ax2+bx+cを

は2と−1を

通 る.

 ③

2.24 

は5と−2を

の 関係

気 抵 抗 を無 視 す る も の

と す る).

① tとhの 関 係 を 図 の グ ラ フ 用 紙 に表 せ.

第2章  章末問題 1.内

部 抵 抗r=100kΩ,最

い てV=500Vの

大 目 盛100Vの

電 圧 計Vυ 〔V〕が あ る.倍

電 圧 を測 定 す る に は,倍 率 器 の 抵 抗Rm〔kΩ

率 器 を用

〕を い く らに す れ ば

よい か. ヒ ン ト  倍 率 器 の 倍 率m=V/Vυ,倍

2.図2・8の

回 路 で,5Ω

率 器 の 抵 抗Rm=r(m−1)

の抵抗 に流

れ る 電 流 を 求 め よ. ヒ ン ト  5Ω に 流 れ る 電 流 をI1+I2,電 源44V側 52V側

の 回 路 を ル ー プ[I],電 の 回 路 を ル ー プ[Ⅱ]と

ル ヒ ホ ッ フ の 第2法

3.電

た.次

し て,キ

則 で 式 を 立 て る.

図2・8

線 の 抵 抗 は,導 体 の 半 径 の2乗 に反 比 例 し,長 さ に比 例 す る.こ

の 半 径 を1/2倍,長

4.あ

源

の電 線

さ を2倍 にす る と,も との 抵 抗 の何 倍 に な る か.

る 電 源 電 圧 を 内 部 抵 抗Rυ 〔Ω〕の 電 圧 計 で 測 定 し た 値 がV1〔V〕

で あっ

に 電 圧 計 に 抵 抗R〔 Ω〕を直 列 接 続 して 電 源 電 圧 を 測 定 した と こ ろ,電 圧 計

の 指 示 はV2〔V〕

5.200Vの

に な った.こ

の 電 圧 計 の 内 部抵 抗Rυ 〔Ω〕を求 め よ.

電 源 に抵 抗 を 接続 した 回 路 が あ る.こ の 回路 に流 れ る 電 流 を5A以

下 にす る た め に は,何

Ω 以 上 の 抵抗 を使 用 す れ ば よい か.

キ ー ワー ド

正 弦,余 示,加

弦,正 接,三

法 定 理,三

角比,ベ

平 方 の 定 理,弧

ク トル の 直 交 座 標 表

弦 波 交 流 波 形,実 効 値,平

度 法,瞬

均 値,逆

時 値,正

三 角関 数

 直 角 三 角 形 の 三 角 比 よ りサ イ ン,コ サ イ ン,タ ン ジ ェ ン トの 三 角 関 数 計 算 の 求 め 方 を学 ぶ. (a) 鋭 角 の 三 角 比   図3・1の き,そ

よ う に 鋭 角 ∠YAX=∠

の 一 辺AY上

BC,B1C1を

の 点B,B1か

引 く と,点B,B1がAYの

て も △ABC,△AB1C1は

θが 与 え ら れ た と ら他 の 辺AXに

垂線

どの 点 にあ っ

相 似 で あ る か ら,

図3・1  鋭 角 の三 角比

  この よ うに θが 一 定 の 直 角 三 角 形ABCの2辺

の 比BC/ABは

 す な わ ち,比BC/ABは

∠ θの 大 き さ で 定 ま り,同

直 角 三 角 形ABCの

に比AC/AB,BC/ACも

一 定 で あ る. じよ う

∠ θの 大 き さで 定 ま る.

比BC/ABを

∠ θの 正 弦 と い い,sinθ(サ

イ ン ・シ ー タ)と 表 す.

比AC/ABを

∠ θの 余 弦 と い い,cosθ(コ

サ イ ン ・シ ー タ)と 表 す.

比BC/ACを

∠ θの 正 接 と い い,tanθ(タ

ン ジ ェ ン ト ・シ ー タ)と 表 す.

(b) 三 角 関 数  三 角 比 は,∠

θの 値 に よ っ て 定 ま る の で,∠

と も い う.図3・2よ

θの 関 数 で あ る こ とか ら三 角関 数

り 三 角 関 数 を 表 す と,

対辺 /斜辺 底辺 /斜辺

(3.1)

対辺 /底 辺 斜辺 /対辺

図3・2  直 角 三 角形

 (コ セ カ ン トθ)

斜辺 /底辺

 (セ カ ン トθ)

底辺 /対辺

 (コ タ ン ジ ェ ン トθ)

(3.2)

(c) 三 平 方 の定 理   直 角 三 角 形 の 辺 の 長 さ を求 め る に は三 平 方 の 定 理(別 名 を ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 と もい う)を 用 い て 計 算 す る.   図3・2の よ う な直 角 三 角 形 に お い て,直 角 を は さ む二 辺 の 長 さ をa,b,斜

辺

の 長 さ をcと す る と,

(3.3) (3.4) と な り,式(3・3)を

三 平 方 の 定 理 とい う.電 気 の 交 流 回 路 で は,電 圧,電

ン ピ ー ダ ンス の 大 き さ を求 め る と き に こ の式 を用 い る. 〈三 角 関 数の覚え方 〉   サ イ ン,コ サ イ ン,タ

ンジェ ン ト

に 対 す る 直 角 三 角 形 の 辺 の 比 の 関係 を 次 の よ うに 表 すと 覚 え や す い.

例題

3.1

 図 の 直 角 三 角 形 が あ る.斜

〔cm〕 を 求 め よ.ま

た,sinθ,cosθ,tanθ

辺の長 さ を 求 め よ.

ヒ ン ト  三 平 方 の 定 理 と三 角 関 数 を用 い る.

解  斜辺 の長 さ 対辺 /斜 辺 対辺 /底 辺

底辺 /斜 辺

流,イ

題 例 3.2

の2つ

 直 角 以外 の 角 の1つ

が

そ れ ぞ れ60゜,45゜, 30゜の 図 の3つ の 直 角 三 角 形 に お い て,各 辺 の 長 さ が 与 え ら れ て い る と き の 三 角 関 数sinθ,cosθ,tanθ

を 求 め よ.

解 〓の と き,〓

〓の と き,〓

〓の と き,〓

例題

3.3

 電 柱 よ り12m離

30° で あ っ た.こ

れ た と こ ろ か ら,そ

の 上 端 を仰 い だ 仰 角 が

の 電 柱 の 高 さ 〔m〕を 求 め よ.た だ し,地 表 面 は水 平 と し,

観 測 者 の 目の 高 さ は地 表 か ら1.6mと ヒ ン ト  tan30゜=1/√3,直

す る.

角 三角形 の 図形

解

を 描 く とわ か りや す くな る.  図形 で 表 す と,図 の よ うに な る.

ゆ え に 電 柱 の 高 さ は6.9+1.6=8.5

答  8.5m

練 習問 題 3.1 

∠Cが

直 角 の 三 角 形 △ABCに

つ い て,次

の問 に 答 え よ.

  (1)∠Aが

鋭 角 で,cosA=4/5の

と き,sinA,tanAを

求 め よ.

  (2)∠Bが

鋭 角 で,sinB=1/2の

と き,cosB,tanBを

求 め よ.

ヒン ト   (1)題

意 の 直 角 三 角 形 を描 く 

(2)題 意 の 直 角 三 角 形 を描く

3.2  次 の三角 関 数の 角度 θを電卓 を使 わ ない で求め よ. (1)

 (2)

 (3)

 (4)

3.3  次 の 三角 関数 の値 お よび角 度 θを電卓 を用 いて求 め よ.

(1)

 (2)

 (3)

ヒ ン ト  三 角 関 数 付 電 卓 を 用 い て,次

(1)

の 順 に キ ー を押 す.

 (2)

 (3)

3.4 

交 流 回 路 の 有 効 電 力 をP〔W〕,無

ば,こ

れ ら の 大 き さはSを

ま た,直

 (4)

効 電 力 をQ〔var〕,皮

斜 辺 と す る 直 角 三 角 形 で 表 せ る.

角 三 角 形 に つ い て 力 率cosθ は,

こ れ ら の 関 係 に お い て,力 120kV・Aの を 求 め よ.

率0.6の

回路 で皮相電 力

と きの 有 効 電 力 〔kW〕お よ び 無 効 電 力 〔kvar〕

 (4)

相 電 力 をS〔V・A〕 とす れ

(a) 三 角 比 と平 方 の 関係   図3・3は 原 点 を 中心 とす る 半 径1の 描 い た もの で あ る.半 円AB上 と し,∠AOP=θ

半円 を

の 点 をP(a,b)

とす る と,

(3.5)   と な る,こ

のaとbの

間 には三 平 方 の定理 図3・3

よ り,a2+b2=1と

い う 関 係 が あ る か ら,次

式

が 成 り立 つ.

(3.6)   図3・3に

お い て,tanθ=b/aで

あ る か ら,こ

の 関 係 に 式(3・5)を

代 入 す る と,

次 式 が 成 り 立 つ.

(3.7)   次 に,式(3・6)の

両 辺 をcos2θ で 割 れ ば,次

式 が 得 ら れ る.

(3.8) (b) 鈍 角 の 三 角 比 の 関 係  ①

θと180°− θの 関 係

  図3・4に

お い て,∠AOP=θ

となる よ

う な 点P(a,b)を

と る と,

 次 に 点Pのy軸

に つ い て の 対 称 点 を〓

と し,〓

 こ こ で,〓

図3・4

とな る か ら

と お く と,〓

で あ るか ら次 式 が 成 り立 つ.

(3.9)

  上 式 の よ う に θ+φ=180° の 関 係 が あ る と き,θ

と φは 互 い に 補 角 で あ る い う.

(c) ベ ク トル と は   速 度 や 力 な どの よ うに 大 き さ と方 向 を もつ 量 をベ ク トル と い う.ま た,長

さや 時 間 な どの 大 き さ だ け

を もつ 量 を ス カ ラ と い う.   ベ ク トル は 図3・5の よ うに 線 分OAの 大 き さ を表 し,Oか の と きの 点Oを

長 さで そ の 図3・5 

らAへ の 向 きで 方 向 を 表 す.こ

始 点,Aを

終 点 とい う.大

ベ ク トル の 表 し方

きさ と方 向 が 等 しい2つ の ベ ク トル は

平 行 に移 動 し て も等 しい 量(図3・5)で あ る.そ の 関 係 は,次 式 で 表 せ る.

(3.10)   ベ ク トル を 示 す 場 合 は,量 て 表 す.な

お,ベ

記 号 の 上 に→(矢 印),ま

た は 〔・〕(ド ッ ト)を 付 け

ク トル の 大 き さ を示 す 場 合 は,絶 対 値￨￨で

表 す か,ま た は 量

記 号 の 上 に 〔・〕を付 け な い で 表 す. (d) 直 交 座 標 で 表 す ベ ク トル   ベ ク トル量 を図 示 す る に は,図3・6の う に 直 交 座 標 の 原 点Oを と定 め,終

よ

ベ ク トル の 始 点

点 の 座 標(a,b)で

ベ ク トルA

を 表 す 方 法 を直 交座 標 表 示 とい う.こ の 場 合 のaをx成

分,bをy成

分,θ を偏 角 とい

う.ベ ク トルAは 次 式 で表 せ る.

図3・6  直 角座 標 表 示

(3.11)

例題

3.4  sinθ=√3/2の

θ＜180°

解

と す る.

  式(3・6)よ

り

と き,cosθ,tanθ

の 値 を 求 め よ.た

だ し,90°

＜

こ こ で,90°＜

式(3・7)よ

θ＜180°

で あ る か ら,cosθ＜0

り,

答

例題

3.5

 次 の問 に答 え よ.

  (1)あ 10km/hの

る 登 山 列 車 が 傾 斜 角30°

速 度 で 進 ん で い る と き,水

の 速 度υx〔km/h〕 〔 ㎞/h〕

の軌 道 を 平方向

と 鉛 直 方 向 の 速 度υy

を求 め よ.

  (2)図 の よ う に 電 流I1とI2の

位 相 差 が60°

の と きの 合 成 電 流I0を 求 め よ.た だ し,電 流 の 大 き さ は,I1=4A,I2=3Aと

解

す る.

(1)

答

(2)I0のx成 I0のy成

分 分

I0の 大 き さ

答  I0の 大 き さ=6.1A

練 習問 題 3.5  次 の 三 角 比 を 計 算 をせ よ.

(1)

(2)

3.6

〓の 値 を 求 め よ.た

〓の と き,

だ し,〓

と す る.

3.7  鉄塔 の高 さを知 るた め に,あ る地 点の地 面か ら鉄塔 を見 上 げた角 度 が30°,そ の地 点 か ら20m鉄

塔 に近 づ い て地 面 か ら見 上 げた ときの角 度 が45° であ っ た.鉄 塔 の高 さ

を求 め よ.

3.8 

真 空 中 に お い て,図

の よ うな直角 三角 形 の頂点

a,b,cに

そ れ ぞ れ10μC,−10μC,10μCの

る.点cに

働 く力 の 大 き さ と 向 き を求 め よ.

ヒ ン ト  電 荷Q1,Q2間

に 働 く力F〔N〕

電荷 が あ

は,次

式で求

ま る. 〓(r:距 離)

  問 題 で は,ac間 力,bc間

の 静 電 力F〔N〕

の 静 電 力F〔N〕

は 同極 性 な の で 反 発

は異 極 性 な の で 吸 引 力,合

成

の 静 電 力F0〔N〕 は 図 の よ う に な る.

3.9 

400kWで,遅

れ 力 率80%の

三 相 負 荷 に 電 力 を 供 給 して い る配 電 線 路 が あ る.負

荷 と並 列 に 電 力 用 コ ンデ ン サ を接 続 して 線 路 損 失 を最 小 に す る た め に 必 要 な コ ンデ ンサ の 容 量 〔kvar〕は い く ら か. ヒ ン ト  皮 相 電 力 をS〔kV・A〕,有 電 力 をQ〔kvar〕

とす る と,図

効 電 力P〔kW〕,無

効

の よ う な 電 力 の ベ ク トル 図

が 描 け る.   な お,Qc〔kvar〕 ンサ の 容 量 で あ る.

は 無 効 電 力 を補 償 す る 電 力 用 コ ン デ

(a) 角 度

 角 度 の単 位 に は 図3・7に 示 す よ う に60分 法 と弧 度 法 が あ る.60分 分 度 器 に 合 わ せ た と き測 定 で き る値 で,直

角 な ら90°(90度

法 は角 度 を

と読 む),円

周角 な

ら360° とな る角 度 で あ る.  弧 度 法 で 角 度 を表 す 場 合 は,360°

を 円周 角2π 〔rad〕と して 表 す の で,次

例 式 に 当 て は め て 計 算 す る.〓

の比

と す る と,

(3.12)

図3・7  角 度 の 単位 表3・1  角 度 の 換 算

(b) 一般 角   図3・8に 示 す よ う に,角 度 を測 る と きに は始 線 上 に 置 か れ た動 径OPを 回 りに 回 転 させ た と きの 角 度 は,正(+)の

符 号 を付 け て表 す.ま

時 計 回 りに 回転 させ た と きの 角 度 は,負(−)の

図3・8  角度 の正負

た,動 径OP'を

符 号 を付 け て 表 す.

図3・9 

第1∼

第4象

逆 時計

限

  ま た,動 径 は1回 転 以 上,つ

ま り2π 〔rad〕よ り大 きい角 度 に な る場 合 も あ り,

この よ うな 広 い範 囲 の 角 度 まで 考 え る と き,こ れ を一 般 角 と い う.動 径OPが

始

線 と なす 角 を θとす る と,一 般 角 θは 〓(n:動 径 の 回 転 数) で 表 され る.な お,n=0の

 (3.13)

と き θ=α で あ る.ま た 一 般 角 は 図3・9の よ う に 動 径

の 属 す る象 限 に よ っ て○ ○ 象 限 の 角 とい う. (c) 一 般 角 の三 角 関 数   今 ま で は0∼ π/2〔rad〕の 三 角 関 数 を 中 心 に扱 っ て きた が,こ

こ で は,π/2を

超 過 した 角 や 負 の 角 につ い て 考 え て み る.   図3・10に 示 す よ う に,動 径 が 第2象 下 ろ し,そ

の 点 をMと

す る.こ

限 に な る 場 合 で,点Pか

こ で,斜

辺 をr,垂

線 をy,底

らx軸 に垂 線 を 辺 をxと す る と,

第2象 限 の 三 角 関 数 は次 式 の よ う に な る.

(3.14)

図3・10  一 般 角 の三 角 関数

  ま た,図3・11に

示 す 第4象

限 の 角 度(− θ)の 場 合 は,三

角 関 数 は 式(3・15)で

表 さ れ る.

(3・15)

図3・11

題

例

3.6

 次 の 角 度 を弧 度 法 に 直せ.

(1)

 (2)

 (3)

 (4)

解  (1)

 (2)

(3)

題

例

 (4)

3.7

 次の三角 関数の値 を分数 の形 で示せ. (1)

(2)

(3)

(4)

ヒン ト

解  (1)

(3)

 (2)

 (4)

練 習問 題 3.10 

次 の 弧 度 法 の 角 度 を60分

(1)

3.11 

 (2)

∠Cが

法 に 直 せ.  (4)

 (3)

直 角 の 三 角 形 △ABCが

あ る.角

度 〔rad〕お よ び 一 辺 の 長 さ 〔m〕が 与 え

られ て い る と き,対 応 す る辺 の 長 さ 〔m〕 を 求 め よ.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

3.12 

図 の よ う な 支 持 物 の 高 さ が8mの

にT=9.8kN(キ

点

ロ ニ ュ ー トン)の 水 平 張 力 を

受 け て い る と き,支 持 物 の 支 線 に 加 わ る張 力 P〔kN〕 を求 め よ. ヒ ン ト  水 平 張 力T〔kN〕 張 力P〔kN〕 の 分 力T'〔kN〕

3.13 

高 さ2.5mの

は,支

とつ り合 う.

光 源Lの

(カ ンデ ラ)で あ る と き,図 線 面 の 照 度En〔lx〕(ル

線 に加 わ る

光 度Iが1000cd の よ う な 点Pの

法

ッ ク ス)と 水 平 面 照 度

Eh〔lx〕 を 求 め よ. ヒ ン ト  照 度E〔lx〕 は 光 度I〔cd〕 に 比 例 し, 距 離l〔m〕 の2乗

に 反 比 例 す る.

(a) 三 角形 の 要 素   △ABCの

頂 点 に お け る 頂 角 の 大 き さ を そ れ ぞ れA,B,

Cで 表 し,対 辺 の 長 さ を そ れ ぞ れa,b,cで

表 す.3つ

の

頂 角 の 大 き さ と3つ の 対 辺 の 長 さ を三 角形 の 要 素 と い う. (b)正

弦定理 図3 12

  図3・13(a),(b)の

よ う に△ABCの

た は そ の 延 長 上 に 垂 線CDを

頂 点Cか

ら辺ABま

下 ろす と,

〓の と き,垂

線〓

  図(a)

〓の と き,垂

線〓

 図(b)

ま た,垂 線CDを

辺aで 表 す と,

垂線〓

  図(a)

ゆ え に,〓   次 に,図3・13(c)の

よっ て,次

頂 点Aか

ら辺BCに

垂 線AEを

下 ろ す と,

式 が 成 り立 つ.

(3･16)   式(3・16)を

正 弦 定 理 と い う.

(a)

(b)

(c)

図3・13

(c) 余 弦 定 理   図3・14の △ABCの 線ABをx軸 る 場 合,B,Cの

頂 点Aを

に と る.△ABCが

原 点 に と り,直 第 一象 限 にあ

座 標 は, 図3・14

で あ る.2点

間BCの

長 さaは,三

平 方 の 定 理 よ り,

他 の 辺 につ い て も 同様 に して,次 の 等 式 が 成 り立 つ.

(3･17)

式(3・17)を

余 弦 定 理 と い う.

な お,式(3・17)か

ら 次 の 公 式 が 求 め られ る.

(3･18)

例

3.8  図 の 三 角 形 に お い て,辺b,cの

長 さ 〔cm〕,

お よ び 頂 角 ∠Bを 求 め よ(関 数 電 卓 を使 用 す る).

解 正 弦 定 理 の 式(3・16)を 用 い て 〓よ り〓

〓よ り〓

電卓計 算〓

題

題

例

3.9

 図 の 三 角 形 に お い て,辺 頂 角 ∠B,∠Cを

解

用 い て〓

よ り,

り,

題

例

求 め よ.

  余 弦 定 理 の 式(3・17)を

式(3・16)よ

の 長 さaお よ び

3.10

 △ABCで〓 の と き の 辺 の 長 さc〔cm〕

を 求 め よ.

解   題 意 の 値 よ り,△ABCを

描 く と 図 の よ う に な る.式(3・17)よ

り

練 習問 題 3.14  角A,Bを

3.15  合,支

図 の 三 角 形 に お い て,辺

の 長 さa〔cm〕 お よ び 頂

求 め よ.

図 に お い て 電 線 の 水 平 張 力P=20kNで 線 の 張 力T〔kN〕

は い く らか.

ヒ ン ト  電 線 の 張 力P〔kN〕,支 働 く圧 縮 力Q〔kN〕

あ る場

線 の 張 力T〔kN〕

電柱 に

は 図 の 三 角 形 の よ うにバ ラ ンス す

る.

3.16 

図 の よ う に 抵 抗R〔 Ω〕と3個 の 電 流 計 お

よび負 荷 を接 続 した 回路 にお いて,電 流 計〓 〓お よ び〓 の指 示 値 が そ れ ぞ れ〓 〔A〕,お よ びI3〔A〕 で あ る と きの 負 荷 の 消 費 電 力 〔W〕の 式 を 示 せ. ヒ ン ト  電 源 電 圧Vを 流 計A1,A2,A3の

基 準 ベ ク トル と して,電

電 流 値I1,I2,I3の

ベ ク ト

ル 図 を 描 く と 図 の よ う に な る.   こ の ベ ク トル 図 よ り負 荷 の 電 力Pは,

① 式 ① をI1,Ｉ2,Ｉ3で

表 す と,求

め る 式 に な る.

  整 式 の 分 配 法 則 で はm(α+β)=mα+mβ で 求 ま る.し

か し,三

角 関 数 のsinα

の よ う に,mと は,sinと

の よ う に は計 算 で き な い.sin(α+β)の

α,mと

βの 積 の 計 算

αが 積 の 関 係 で は な い の で,

計 算 は以 下 の よ うに し て 求 め る.

(a) 加 法 定 理 の 公 式   角 度 α,β の 足 し算 の 三 角 関 数 を加 法 定 理 とい い,次 式 で 表 さ れ る.

 (3･19)

(3式 す べ て 複 号 同順)

図3・15

[証 明]   図3・15よ

り,

〓で あ る か ら,

① 同様 に して

②

ま た,タ

ン ジ ェ ン トに対 して は,次 式 の よ う に計 算 し て求 め る.

③ こ こ で,式 ① ∼③ の βを−βで 置 き換 え る と,次 式 の よ う に な る.

① ② ③   なお,複

合 同 順 とは,+,−

の 複 合 記 号 ±の 計 算 の こ と で,符

号の並 ぶ順序 で

計 算 す る こ とで あ る. 〈加 法 定 理 の 大 切 さ 〉   電 気 計 算 で は,加 ぶ 倍 角 の 公 式,半

法 定 理 が そ の ま ま利 用 され る こ とは 少 な い が,こ

れ か ら学

角 の 公 式,積 和 の 公 式 な ど を誘 導 す る た め に 大 切 な定 理 で あ

る.   こ れ らの 公 式 は 暗 記 して お か な くて も加 法 定 理 か ら必 要 な と き に導 き 出せ る.誘 導 の 基 で あ る 加 法 定 理 は大 切 なの で しっ か り覚 え て お こ う. (b) 二 倍 角 の 公 式  加 法 定 理 の 式(3・19)で β=α とお け ば,次 式 の よ う な倍 角 の 公 式 に な る.

(3･20)

題

例

3.11

 θが 鋭 角 の と き,次

の 等 式 が 成 り立 つ こ と を加 法 定 理 を用 い て

示 せ.

(1)

(2)

(3)

(4)

解 (1)

(2)

(3)

(4)

題

例

3.12

 △ABCの3つ

の 内 角 をA,B,Cと

す る と き,次 の 等 式 が 成 り

立 つ こ と を加 法 定 理 を用 い て示 せ.

解

 〓 で あ る か ら,

答

練 習問 題 〓を利 用 して次 の計算 をせ よ.

3.1 7

(1)

3.18 

 (2)

倍 角 の 公 式 を用 い て,次

(1)

の 計 算 をせ よ.た

だ し,〓

 (2)

3.19

 〓の と き,次

の 計 算 をせ よ.た

の 角 とす る.

(1)

 (2)

 (3)

ヒン ト

〓よ り〓

 ま た,タ

3.20 

と す る.

ン ジ ェ ン ト に つ い て は,〓

図 に 示 す よ う に,空

石 が あ る.磁

気 中 に 長 さ20cmの

極 の 強 さ が4mWbで

棒磁

あ る と き,点Pの

磁 界 の 大 き さ を求 め よ. ヒ ン ト  磁 極N,Sか り求 め る.次

にN極

磁 界 の 強 さHN,  HSは

ら 点Pま お よ びS極

で の距 離 を正弦 定理 よ か ら点Pに

磁 極 の 強 さ をmと

お よ ぼす 置 き, N極

に 対 し て 反 発 力,S極

に 対 し て 吸 引 力 と し,公

6.33×104m/r2〔A/m〕

よ り計 算 す る.合

向 きは,図

の ベ ク トル 図 よ り求 め る.ま

の 大 き さ は,三

式

成 磁 界Hの た,磁

平 方 の 定 理 よ り計 算 す る.

界 のH

だ し,α,β

は第 一象 限

  こ こで は加 法 定 理 か ら半 角 の 公 式,積

を和 に 直 す 公 式,和

を積 に直 す 公 式,三

角 関 数 の 合 成 の 式 を導 く. (a) 半 角 の 公 式 から

 倍 角 の公 式〓

 こ こ で,α

を α/2に 置 き換 え る と,

① の 式(3・20)か

 ま た,〓

 こ こ で,α

ら

を α/2に 置 き換 え る と,

②  さ らに,式 ① を式 ② で 割 る と,

③  式 ① ∼③ よ り,半 角 の 公 式 は次 の よ う に な る.

(3･21)

(b) 三 角関数の積 を和 に直 す公 式

④ ⑤ ⑥ ⑦ こ こ で,式

④+式

⑤ は,

⑧

式④−式 ⑤ は,

⑨ 式 ⑥+式 ⑦ は,

⑩ 式 ⑥−式 ⑦ は,

⑪ 式 ⑧ ∼ 式 ⑪ は,次 式 に書 き直 せ る.

(3･22)

 式(3・22)は 三 角 関 数 の 積 を和 に直 す 公 式 で あ る. (c) 三 角 関 数 の和 を積 に 直 す 公 式  式 ⑧ ∼ 式⑪ にお い て,α+β=A,α−

β=Bと お け ば,

と な る.こ れ らの 値 を 式⑧ ∼ 式 ⑪ へ 代 入 す る と,

(3・23)

 式(3・23)は,三

角 関 数 の和 を 積 に 直 す 公 式 で あ る.

例題 3.13

 〓 の と き,次

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

の 値 を 求 め よ.

解 (1)半 角 の公 式 よ り 答 

(2)

答  0.8

(3) (4)倍

0.2

答   0.25

角の公式 より 答   0.96 答 −0.28

(6)

答  −3.43

題

(5)

例

3.14

(1)

 次 の 三 角 関 数 の和(差)を 積 の 形 に 直 せ.  (2)

解 (1)

例

(2) 3.15

 次 の 三 角 関 数 の積 を和(差)の 形 に直 せ.

(1)

 (2)

解 (1)

(2)

題

練 習 問題 3.21 

次 の 式 を加 法 定 理 を用 い て 計 算 せ よ.

(1)

3.22 

 (2)

 (4)

 (3)

半 角 の 公 式 よ り,次 の 値 を 計 算 せ よ.

(1)

  (2)

ヒン ト

(1)

3.23 

 (2)

次 の 回 路 は 三 相 電 力 測 定 の2電 力 計 法 で あ る.単 相 電 力 計 の 指 示 値P1,P2〔W〕

を 次 の ベ ク トル 図 よ り求 め よ.ま 三 相 電 力P=P1+P2〔W〕

た,三

の 式 を 求 め よ.た

相 回 路 の 線 間 電 圧 をVl,線

電 流 をIlと し て,

だ し,θ は 負 荷 の 力 率 角 とす る.

ヒン ト   電 力P1の

計 算 式 は,線

間 電 圧Vab× 線 電 流Ia×cos(30°+θ)

 電 力P2の

計 算 式 は,線

間 電 圧Vcb× 線 電 流Ic×cos(30°− θ)

(a) y=sinθ の グ ラ フ   図3・16の

よ う に,

動 径(半 径)OAを1と す る 円 を 描 く.動

径

OAは,x軸

を始線 と

し て,逆

時計方 向に

回 転 す る.こ

のとき 図3・16 

の 回 転 角 に 対 す るAB の 長 さ をy軸

に と っ た も の がy=sinθ

y=sinθ

のグラフ

の グ ラ フ で あ る.グ

〔rad〕 ご と に 同 じ変 化 を 繰 り返 す の で,2π

ラ フ よ り,sinθ

は2π

〔rad〕 をsinθ の 周 期 と い う. (3・24)

(b) y=cosθ

の グラフ

  図3・17の

よ う に,

動 径OAを1と

す る円

を 描 く.動 径OAは, y軸 を始 線 と し て,逆 時 計 方 向 に 回 転 す る. こ の と きの 回転 角 に 対 す るABの

長 さ をy

図3・17 

軸 に と っ た も の がy=cosθ

の グ ラ フ で あ る.こ

ご と に 同 じ 変 化 を 繰 り返 す の で,2π

y=cosθ

の グ ラ フ

の グ ラ フ よ り,cosθ

は2π 〔rad〕 〕

〔rad〕 をcosθ の 周 期 と い う. (3・25)

(c) 正 弦 波 交 流 起 電 力  磁 界 中に置か れた方形 コイルが逆時 計 方 向 に 角 速 度 ω〔rad/s〕で 回転 す る と,コ

イ ル 辺1,2に

次式 で表 される

起 電 力e〔V〕 が 発 生 す る. 図3・18

(3・26)

  式(3・26)は,誘 3・19は,式(3・26)を Emか

導 起 電 力 の 瞬 時 値 とい い,Emを

起 電 力 の 最 大 値 と い う.図

波 形 で 表 し た もの で あ る.正 弦 波 交 流 起 電 力 の 正 の 最 大 値

ら負 の 最 大 値 −Emま で の 電 圧 を ピ ー ク ピー ク値 とい い,Vpp〔V〕

で 表 す.

瞬 時 値 の 角 度 ωt〔rad〕は式(3・24)の 角 度 θに対 応 し,次 式 の 関係 が あ る. (3・27)

  式(3・27)の

ｆを 周 波 数 〔Hz〕 と い う.ま

た,周

期T〔s〕 と 周 波 数 の 関 係 は,次

式 の よ う に な る. (3・28)

図3・19 e=Emsinωtの

波形

題 例 3.16

 次 の 式 で 表 さ れ る 三 角 関 数 を グ ラ フで 表 せ.

(1)

解

 (2)

題

例

3.17

 次 の 式 で 表 さ れ る正 弦 波起 電 力 を グ ラ フで 表 せ.

(1)

 (2)

解 題 例 3.18

 次 の値 で 示 され る正 弦 波 交 流 起 電 力e〔V〕の 式(瞬 時 値)を 求 め よ. (1)最

大 値√2E〔V〕,周

(2)最

大 値200〔V〕,周

解

波 数50〔Hz〕,位 期4〔ms〕,位

相 差0〔rad〕

相 差0〔rad〕

(1) (2)

題

例

3.19

 線 路 上 の 電 圧,電 路 上 で60Hzの

流 の 伝 搬 速 度 を300m/μ

ｓと し た と き,こ の線

交 流 波 長 〔km〕は い く らか.

ヒ ン ト  電 流 の 伝 搬 速 度 は電 気 の 伝 わ る速 さ で,光 の 速 さc〔m/s〕 と同 じで あ る.

 波 長 λ 〔m〕は次 式 で 求 ま る. 〓(c:伝

搬 速 度,f:周

波 数)

解  波長〓 答

練習 問 題 3.24  次の 式 で表 され る瞬時値 に おい て,時 間tが 与 え られ た ときの瞬 時値 を求 め よ.   (関数 電卓 を使 用 しないで解 答す る こ と)

(1)

 (2)

3.25 

周 波 数 が50Hzと60Hzの

3.26 

周 波 数2500kHzの

3.27 

図 の 正 弦 波 交 流 起 電 力e〔V〕 の 波 形 よ り,次 の 値 を求 め よ.

  (1)周

正 弦 波 交 流 起 電 力 の 周 期T〔 μs〕お よ び 波 長 λ〔m〕を 求 め よ.

期  

(3)Vpp  (5)2.5msの

3.28 

と きの 瞬 時 値  

(2)周

波数

(4)瞬

時式

(6)15msの

と きの 瞬 時 値

4極 の 交 流 発 電 機 の 電 気 角 が π 〔rad〕の と き,回 転 角 は 何 度 か.

ヒ ン ト  電 気 角=回

3.29 

正 弦 波 交 流 の 角 周 波 数 ω 〔rad/s〕を求 め よ.

転 角 ×P/2(た

周 波 数200MHzの

を 求 め よ.

だ し,Pは

極 数 の こ と)

テ レ ビ電 波 が あ る.こ

の 電 波 の 周 期T〔 μs〕お よ び 波 長 λ〔m〕

(a) y=tanθ

の グラフ

  図3・20に 示 す よ う に,円 の 中 心Oか を通 る接 線TT'を

ら動 径OP=1の

円 を 描 き,x軸

引 く.動 径 が θだ け進 ん だ と きのOPの

上 の 点B

延 長 線 と接 線TT'と

の

交 点 をAと す る と,

と な る か ら,tanθ と,tanθ'は

はABで

表 さ れ る.同

負 と な り,tanθ'=A'Bと

で,y=tanθ

は 図3・20の

は,π

な る.な

お,ABはy軸

なる

を 平 行 移 動 した 値

グ ラ フ に な る.

図3・20 

  グ ラ フ よ り,tanθ

様 に,θ が π/2〔rad〕 を 越 え,θ'と

y=tanθ

のグラフ

〔rad〕ご と に 同 じ 変 化 を 繰 り返 す の で π 〔rad〕をtanθ

の 周 期 と い う.

(3.29)   正 接 関 数 の θは,− π/2,π/2,3/2π 近 づ く と,tanθ θ=π/2,θ=3/2π

… で は 値 を も た な い.θ

の 絶 対 値 は 限 り な く 大 き く な る.y軸

が そ れ らの 値 に

に 平 行 な 直 線 θ=− π/2,

… はtanθ の 漸 近 線 で あ る.

(b)  正 弦 波 交 流 の 位 相 差   図3・21の

よ う に 平 等 磁 界 中 に 方 形 コ イ ルA,Bが

だ け 位 置 を ず ら し て 置 か れ て い る.方

点Oを

中 心 軸 に し て,θ 〔rad〕

形 コ イ ル は 角 速 度 ω 〔rad/s〕 の 速 度 で 逆 時

計 方 向 に 回 転 さ せ た と き の 方 形 コ イ ル の 起 電 力eA,eBを

考 え て み る.

図3・21  2つ の 交 流電 圧 の発 生

  コ イ ルAが

図3・22  2つ の正 弦 波 波 形

現 在 の 位 置 か らπ/2〔rad〕進 ん だ と き,コ イ ルが 切 る磁 束 密 度 は最

大 に な り,最 大 起 電 力Em〔V〕 が 発 生 す る.こ

の と き コ イ ルBは

〔rad〕だ け遅 れ て い るか ら,そ の と きの起 電 力〓

コ イ ルAよ

りθ

と な る.そ れ ぞ

れ の コ イ ル は角 速 度 ω 〔rad/s〕で 回転 してい るか らコ イ ル の起 電 力 を式 で 表 す と, (3・30) (3・31)

と な る.2つ い,こ

の 位 相 の 差 は〓

の 場 合,eBはeAよ

題

例

た,eAはeBよ

で あ る.θ

〔rad〕を 位 相 差 と い

り θ 〔rad〕だ け 遅 れ て い る(負 符 号 の と き)と い う.ま

り θ 〔rad〕だ け 進 ん で い る(正 符 号 の と き)と い う.

3.20

 〓 の瞬 時 式 の グ ラ フ を描 け.ま た,e1を

基 準 と した と き の位 相 差 θ 〔rad〕を求 め よ.

解

e1基 準 でe2と

の 位 相 差 θ〔rad〕は,

答  〓 の遅れ

題 例

3.21

 あ る 回路 の 電 圧 と電 流 が 図 の よ うな 正 弦 波 交 流 で あ っ た.電 圧e

〔V〕を基 準 とす る と き,電 流i〔A〕 を表 す 瞬 時 式 を求 め よ.

解   電 圧e=100sinωt〔V〕

を 基 準 と す る と,電

流 の 初 期 位 相 θ は,進

み角で

〓 で あ る か ら,

答

題

例

3.22

 図(1)の

〔V〕を抵 抗R=10Ω

回路 に お い て,図(2)の

よ う な波 形 の正 弦 波 交 流 電 圧υ

に加 え た と き,流 れ る 電 流 の 瞬 時 値i〔A〕を 表 す 式 を 求 め

よ.た だ し,電 源 の 周 波 数 を50Hzと

す る.

図(1)

解

図(2)

 交 流 電 圧 波 形 よ り,〓,初

期位相

〓した が っ て,電 圧υ の 瞬 時 式 は,

  抵 抗R〔 Ω〕に 流 れ る 電 流i〔A〕 は 電 圧 と 同相,電 て 求 め る.

答

流 の 最 大 値 は〓

とし

練 習 問題  〓の起 電力 と

3.30

〓の電 流 との位

相 差(電 圧基 準)を 求 め よ.

3.31 

周 波 数60Hz,実

電 圧 が あ る.t=5.2sに

3.32 

効 値100V,時

と き の 位 相 角 π/4〔rad〕 の 正 弦 波 交 流

お け る 電 圧 の 瞬 時 値 〔V〕は い く ら か.

電 圧υ=√2Vsinωt〔V〕

が 流 れ た.こ

間t=0の

を あ る負 荷 に加 え た と き,電 流

の 負 荷 の 力 率 〔%〕は い く ら か.

ヒン ト  電流〓

を 正 弦 波(sin)に

直 す.cosはsinよ

り π/2〔rad〕

だ

け進 ん だ波形 で あ るか ら,

3.33 

1つ の 正 弦 波 電 流(I1sinωt)と,こ

大 値I1/√3)が

あ る.次

の(a)お

よ び(b)に

の 電 流 よ り位 相 が90° 遅 れ た 正 弦 波 電 流(最 答 え よ.

  (a) 2つ の 電 流 を 合 成 した 場 合 の 最 大 値 は い くら か.   (b) 2つ の 電 流 を 合 成 した 場 合 の 瞬 時 値 の 値 の 式 を 求 め よ. ヒ ン ト  題 意 よ り正 弦 波 交 流I1sinωtを トルI1,に と り,こ ルI2と

れ よ り90° 遅 れ た 電 流 の ベ ク ト

し て 描 く と,図

で き る.電 流I2は,

基準 ベ ク

の よ う な 合 成 ベ ク トルI0が

  交 流 の大 き さ を表 す に は,最 大 値 に よ る表 し方 の他 に,平 均 値 や 実 効 値 が 用 い られ る. (a) 正 弦 波 交 流 の平 均値   交 流 波 形 の 瞬 時 値 を時 間 に 対 して平 均 し た 値 を 平 均 値 と い う.図3・23の

よ う に,

波 形 の1周 期 に つ い て平 均 値 を と る と,値 は0に な っ て し ま う.そ こで 交 流 の 平 均 値 を 求 め る に は,交 流 の瞬 時値 の 半 周 期 間 の 平 均 を と る.図3・23に

お い て,周 期T/2

〔s〕 間 の 交 流 電 圧 の 平 均 値 をEaと す る と, Eaと 時 間T/2に

よ る面 積 は長 方形abcdの

図3・23

面 積 に等 し く,半 周 期 間 の交 流 波 形e〔V〕 と時 間 軸 に 囲 まれ た面 積 に 等 し い.   正 弦 波 交 流 起 電 力e〔V〕 の 平 均 値Ea〔V〕 を最 大 値Em〔V〕 と の 関 係 で 表 せ ば次 の よ う に な る. (3・32)

(b) 正 弦 波 交 流 の 実 効 値   交 流 電 流 の 大 き さ を 表 す 場 合,交

流 電 流i〔A〕 で 生 じた熱 と同 じ熱 量 を生 じる

直 流 電 流I〔A〕 とが 等 しい と き,こ れ を交 流 の 実 効 値 とい う.こ の こ とは 交 流 の 1周 期 間 の 平 均 の 電 力 と 直流 の 電 力 が 等 しけ れ ば,発 生 す る熱 エ ネ ル ギ ー は等 し くな るか ら,こ の と きのIを 交 流iの 実 効 値 とい うわ けで あ る.こ の と き,i2Rの 1周 期 の平 均=I2Rは,

〓周期 間の平均 の 関 係 が あ る.こ の こ とか ら,交 流 の実 効 値 は そ の 瞬 時 値 の2乗 の1周 期 間 の 平 均 の平 方 根 で表 され る.   こ こで,瞬

時値iが 正 弦 波 交 流 の 場 合,そ

の 実 効 値I〔A〕は次 式 の よ う に な る. (3・33)

  な お,交

流 の 平 均 値 ・実 効 値 と最 大 値 との 関係 は,5.5節

理 論 的 に求 ま る 式 で あ る.

で学 ぶ積分 に よって

  交 流 波 形 に は,正 弦 波 交 流 以 外 に も方 形 波,三

角 波,整

流 波 な どい ろ い ろ な波

形 が あ る.こ れ らの 波 形 の 実 体 を数 値 で 表 す もの に 波 形 率 や 波 高 率 が あ る.   波 形 率 は,交 流 の 実 効 値 と平 均 値 と の比 を い い,波 高 率 は,交 流 の 最 大 値 と実 効 値 との比 を い う.こ れ ら の 関係 を式 で 表 せ ば,次 の よ う に な る.

例

実 効 値/ 平均値

 (3・34)

波 高 率=

最 大 値/ 実効値

 (3・35)

3.23

 の正 弦波交流 の実効値I〔A〕お よび平均

値Ia〔A〕

解

波 形 率=

を 求 め よ.

  最 大 値Im=20Aで

あ る か ら,

答 I=14.1A

答 

題

題 解

(c) 波 形 率 と波 高 率

例

3.24

 正弦波 交流 電圧 の瞬時値が〓

Ia=12.7A

の とき,波 形 率 と波

高 率 を求 め よ.

 正 弦波交流 電圧 の実効値 は〓,平

均 値 は〓

であ る

か ら,こ れ を公 式 に当 て は め て 計 算 す る.

例

波 形 率=

実 効 値/ 平 均 値〓

波 高 率=

最 大 値/ 実 効 値〓

3.25

 波 形 率 が1.11の

流 の 実効 値V〔V〕 を 求 め よ.

正 弦 波 交 流 電 圧 の 平 均 値 が50Vの

と き,そ の 交

解 波 形 率

は,波 形 率=実 効 値／ 平 均 値 で あ る か ら,こ の 式 に 数 値 を代 入 す る.

答

例題

3.26

 図 の よ うな 電 流 波 形 が あ る.

こ の 電流 の 最 大 値Im〔A〕,実 効 値I〔A〕, 平 均 値Ia〔A〕,波

形 率 お よび 波 高 率 を 求

め よ.

解

 電 流 の最 大 値Imは 波 形 よ り求 ま る.

答 実 効 値I〔A〕 は, I=√i2の1周

期の平均

i2の1周

期 の 面 積S

1周 期 の角 度

答 平 均 値Ia〔A〕 は,

答 実効値 波 形 率= /平 均 値

答 最大値 波 高 率= /実効 値

答

練 習問題 3.34 

次 の 瞬 時 値 の 式 よ り,最 大 値,実

(1)

効 値,周

波 数 を 求 め よ.

  (2)

(3)

 (4)

3.35 

〓が抵

図 にお い て電 源 電圧

抗R〔 Ω〕に 加 え ら れ て い る.回

路 を 流 れ る 電 流I〔A〕

(実 効 値)を 求 め よ.

3.36 

最 大 値 が100Vの

が1.155で 値Va〔V〕

3.37 

形率

あ る と き,電 圧 の 実 効 値V〔V〕 お よ び 平 均 を求 め よ.

ヒ ン ト  三 角 波 電 圧 は,図 値Vaは

三 角 波 電 圧 が あ る.波

の よ う な 波 形 で あ る.平

三 角 形 の 面 積 の 平 均 で あ る か ら,

図 の よ う な 最 大 値 が10Aの

が あ る.こ

半波 整流 電流

の 波 形 の 波 形 率 が π/2で あ る と き,電

流 の 実 効 値 を求 め よ. ヒ ン ト  半 波 整 流 波 形 の 平 均 値Iaは,正 流 の 平 均 値(2/π)Imの

半 分 で あ る か ら,

弦 波交

均

(a) 逆 関 数 と は   一 般 に 変 数x,yが

あ っ て,y=f(x)で

解 く とx=f-1(y)と

な る.こ

  こ れ をy=f(x)の   例 え ば,次

表 さ れ る と き,こ

こ でx,yを

の 方 程 式 をxに

ついて

入 れ 替 え る と,

逆 関数 とい う.

の 一 次 関数 の 逆 関 数 を求 め

て み る.

① 式 ① のxに つ い て解 く と,

② 式 ② のxとyを

入 れ 替 え る と,

③ 図3・24

  式 ①,③

は 互 い に逆 関 数 の 関 係 に あ る.こ

3・24の よ う に な る.図 か ら わ か る よ う に,元

こで 式 ①,③

の グ ラ フ を描 くと,図

の 関 数 とそ の 逆 関 数 は,y=xの

ラ フ に 対 称 図形 に な る. (b) 逆 三 角 関 数 と は  例 え ば,三 と き,角

の

角 関 数〓

度x〔rad〕

は,図3・25の

よ

な どの 値

う に,〓 を と る.  一 般 に

き,角 の〓

のと

,〓

度xを

キ ー を用 い て計 算 す るが,こ

 三角関数〓

図3・25

求 め るに は関数 電 卓

の こ と をxに つ い て解 く と い う.

をxに つ い て 解 く と, 〓ま た は,〓

と 書 き,x,yを

入 れ 替 え る と,

〓④

グ

式 ④ を 逆 正 弦 関 数 を い う.な こ こ で,cosx,tanxを

お,sin-1xを

ア ー ク サ イ ンxと

読 む.

含 め た 逆 三 角 関 数 を 次 式 で 表 す.

〓 の と き, 〓の と き,

(3・36)

〓の と き,

  式(3・36)を 総 称 して 逆 三 角関 数 と い う. (c) 逆 三 角 関 数 の 主値 と グ ラ フ   図3・25で 求 め たsinx=√3/2の

と きの 角 度xは,無

しま うの で取 り扱 い上 都 合 が 悪 い.そ

数 に多 くの値 が 対 応 して

こ で,次 式 の よ うな 制 限 を設 け てxの 値 が

た だ1つ だ け定 ま る よ う にす る.

(3・37)

  こ の よ う な 制 限 の も と に あ る 逆 三 角 関 数 の 値 を 主 値 と い う.な は,特 tan-1xの

に 断 ら な い 限 り,主

お,逆

値 を と る も の と す る.図3・26は,sin-1x,cos-1x,

主 値 の グ ラ フ で あ る.

(a)y=sin-1x

(b)y=cos-1x

(c)y=tan-1x

図3・26  逆三 角 関 数 の グ ラ フ(主 値 は太 線 の 部分)

三角 関数

題

例

3.27

 次 の 逆 三 角 関 数 の 角 度 〔rad〕,〔度 〕(主値)を 求 め よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

解  (1)

 (2)

(4)関

数 電 卓 よ り〓

(5)関

数 電 卓 よ り〓

(6)関

数 電 卓 よ り〓

 (3)

題

例

3.28

ン スXCが

 図 の よ う に抵 抗R=10Ω

と容 量 リ ア ク タ

直 列 接 続 さ れ て お り,そ

の合成 イ ンピー

ダ ン ス は,Z=14.1Ω

で あ る.こ

の回路 の力率 角 を

求 め よ.

解  図 の よ う な イ ン ピ ー ダ ン ス 三 角 形 を描 く.ZとR を挟 む 角 が 力 率 角 θで あ る.ゆ

え に θは 次 式 で 求 まる.

答

3.38 

次 の 逆 三 角 関 数 の 角 度 〔rad〕,〔度 〕(主値)を 求 め よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

3.39 

図 の よ う に 抵 抗 お よ び 誘 導 リア ク タ ン ス が 直 列 に

接 続 さ れ て お り,抵 抗 と リ ア ク タ ン ス と の 比 は√3:1で る と い う.回

路 を 流 れ る電 流 の 位 相 は,電

あ

圧 に 対 して 何 度

遅 れ る か. ヒ ン ト  イ ン ピ ー ダ ン スZ〔 Ω〕の 大 き さ は,図 角 三 角 形 の 斜 辺 の 長 さ で あ る.底

の よう な直

辺 と 高 さ の 比 は,√3:1

で あ る か ら そ の 比 の 大 き さで 三 角 形 を描 く.   力 率 角 θ は,tan-1(XL/R)で

求 ま る.な

お,電

圧 と電

流 の 位 相 角 は 力 率 角 と等 し い.

3.40 

図 のRLC直

100〔V〕

列 回 路 で,電

の と き,R,L,Cに

VL,Vc〔V〕 は い く ら か.

を 求 め よ.ま

源 電 圧 の 大 き さが

加 わ る電 圧 の 大 き さVR, た,1とVと

の 位 相 差 θ°

第3章  章末問題 1.次 の 三 角 関 数 の 値 につ い て,関 数 電 卓 を使 わ ない で 求 め よ.

(1)

2.次

 (2)

の式 を 加 法 定 理 を用 い て θの 三 角 関 数 で 表 せ.

(1)

3.次

 (3)

 (2)

の 和 の式 を積 の形 に 直 せ.

(1)

4.電

 (2)

圧 の 瞬 時 値 が〓,

が〓

,,回路 を流 れ る電流 の瞬時値 の と き,電 圧 を基 準 と した と きの 位 相 角 θ〔rad〕を

求 め よ.

5.図3・27の

よ う な 一 辺 が3mの

2つ の 頂 点A,Bに3mCの Cに −1mC負

正三角形 の

正 電 荷 を,他

電 荷 を 置 い た と き,頂

の頂点

点Cが

受 け

る 力 〔N〕を 求 め よ.

図3・27

6.図3・28の

圧 が〓

よ う な 回 路 に お い て,電

源 電

で あ る と き,

回 路 を流 れ る 電 流 の 瞬 時値i〔A〕 を求 め よ.

図3・28

キ ー ワー ド

実 数,虚 数,複

素 平 面,複 素 数 表 示,極

指 数 関 数 表 示,複

座 標 表 示,

素 イ ン ピー ダ ン ス,複 索 ア ド ミタ

ン ス,有 効 電 力,無 効 電 力,力 率,デ シ ベ ル,対 数, 利 得計算

(a) 虚 数 と は  実 数aを 一 辺 と す る 正 方 形 の 面 積Sは, の と きは

の と き は,〓

〓と な り,面 積 が 負 に な る こ と は な い(図4・1).し

か し,実

数 を2乗

し 図4・1 

て負 に な る数 を扱 う場 合 が あ る.  例 え ば,二 次 方 程 式 フ に な る.こ

〓に つ い て,グ

こ で,y=0の

一 辺aの 面 積

ラ フ を 描 く と 図4・2の

実線 の グラ

と きxの 根 を 求 め よ う と す る と,

① と な り,xに

どの よ う な実 数 を入 れ て も2乗 す る

と正 に な る ので,こ な い.そ

の 式 を満 足 させ る こ とは で き

こ で2乗 して 負 に な る数 を 虚 数 と定 義 し

て 扱 う.   虚 数 は, (4・1)

と して 表 す.  式(4・1)の√−1を 虚 数 単 位,jを

虚 数 記 号 とい

う.な お 虚 数 単 位√−1は 一 般 にimaginary〔 虚 の〕 のiで 表 さ れ る が,電

の グラフ

気 に お い て は電 流 の 量 記 号

にiが 使 わ れ て い る の で,混  例 え ば,√−3は

図4・2 〓

同 しな い よ う にjが 用 い られ る.

虚 数 で あ り, 〓と な る.

 次 に式 ① に つ い て,xの

根 を求 め る と,

②  xの 根(式 ②)を 図4・2の グ ラ フ上 で 考 え る.〓 れ た 放 物 線 とな る.そ こで〓

の グ ラ フ は,破 線 で 描 か

の グ ラ フ と比 較 す る と,〓

下 対 称 な グ ラ フ で あ る.こ の こ と か ら〓

の 根 は,〓

の 軸 に対 して 上 の 根√2,

−√2 に 虚 数 符 号 を付 け れ ば 求 ま る こ とが わ か る. (b) 複 素 数 と は  実 数 と虚 数 の 和 で 示 さ れ る式 を複 素 数 と い う.例

え ば,実 数R,虚

数jXの

と

きの 複 素 数Zは, (4・2)

と な る.こ

の と き,Rを

複 素 数Zの 実 部,Xを

複 素 数Zの 虚 部 とい う.な お 複 素

数 はZの よ う に記 号 の 上 に ドッ トを付 け て 表す. (c) 複 素 数 の加 減 乗 除   複 素 数 の 四 則 演 算 は 次 の よ う に 実 数+虚 数 と な る よ う に ま と め る.jの 文 字 と同 じ よ う に扱 い,j2は−1に

計算 は

置 き換 えて 計 算 す る.

加算

〓(4・3)

減算

〓(4・4)

乗算 〓(4・5)

除算

〓(4・6)

(4) 共 役 複 素 数   複 素 数Z=a+jbに 複 素 数 とい い,Zで

対 して,虚 表 す.複

部 の 符 号 だ け が 異 な る複 素 数a−jbをZの

共役

素 数 と共 役 複 素 数 の 和 お よ び積 を 求 め る と,次 の よ

う に な る.

  以上 の よ うに 互 い に 共 役 な複 素 数 の和 と積 は,と

も に実 数 と な る.な お,複 素

数 の 除 算 の 式(4・6)で は,共 役 複 素 数 の積 を用 い て求 め て い る.

題 4.1

 次 の 複 素 数 の計 算 をせ よ.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(5)

 (6)

 (1)

題

例

 (2)

(3)

 (4)

(5)

 (6)

4.2

 次 の 複 素 数 の 計 算 をせ よ.

(1)

 (2)

 (3)

 (4)

解  (1)

(2) (3) (4)

題

解

例

例

4.3

 〓に な る こ と を証 明せ よ.

解

 左 辺=〓

ゆ え に,左 辺 は 右 辺 と等 しい.ま

た,

右 辺=〓 と な る.こ の よ うな 証 明 問 題 は,両 辺 の どち らか で 証 明 す れ ば よい.

練 習問 題 4.1  次 の 複 素 数 の 計 算 を せ よ.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(5)

 (6)

4.2  次 の 虚 数 を簡 単 に せ よ.

(1)

 (2)

 (3)

 (4)

4.3  次 の複素 数 の共役 複素 数 を求 め よ. (1)

4.4 

 (2)

図 の〓

〓の 直列 合 成 イ ン ピ 一 ダ ン ス〓

4.5 

を複素 数 で求 め よ.

抵 抗5Ω,誘

導 リ ア ク タ ンス8Ω,容

量 リ ア ク タ ン ス2Ω が 直 列 接 続 さ れ て い る.

こ の 回 路 の 合 成 イ ン ピ ー ダ ンスZ〔 Ω〕を 複 素 数 で 求 め よ. ヒ ン ト  誘 導 リ ア ク タ ンス は 正 の 虚 数,容

4.6 

交 流 電 圧100Vの

る.回

路 を 流 れ る電 流I(複

量 リア ク タ ンス は負 の 虚 数 と して 計 算 す る.

回 路 に〓

の負荷 イ ンピー ダ ンス が接 続 され て い

素 数)を 求 め よ.

ヒ ン ト  図 の よ う な 回 路 を 描 き,電 流 を オ ー ム の 法 則 で 計 算 す る.

(a) 複 素 平 面   図4・3の よ う な直 交 座 標 を 考 え る.複

素数 の

実 部 をx軸 に,虚 部 をy軸 に と る と,複 素 数 は 図4・3の 座 標 上 の一 点 を表 す こ とが で き る.   例 え ば,

の 複 素 数 は 図4・3のA,B,C点

で 表 され る.

  この よ う に平 面 上 の 各 点 が 複 素 数 を 表 す 平 面 を複 素 平 面 と い い,横

軸 を実 軸,縦

軸 を虚 軸 と 図4・3  複 素 平 面

い う. (b) 三 角 関 数 表 示  〓 の 複 素 数 が あ り,こ

に 表 した場 合,原 点Oか 実 軸 に対 して のOZな

れ を 図4・4の

よう

ら点Zま で の 長 さOZをZ,

す 角 を θとす る. が 成 り立 つ こ と

 こ の と き,〓 か ら,

(4・7)

と表 さ れ る.こ れ を三 角 関 数 表 示 とい う.こ Zの 大 き さ は〓

で あ る.な

お,Zの

こ で,

図4・4  三角 関数表 示

大 き

さ は絶 対 値 表 示￨Z￨第 で も表 せ る.   ま た,図4・4の

θを偏 角 とい い (4・8)

が 成 り立 つ.な

お,偏 角 θは逆 時 計 回 りの 向 き を正 と定 め る.

(c) 指 数 関 数 表 示 と極 座 標 表 示   数 学 の マ ク ロー リ ンの級 数 展 開 に よる と,

①

②

③ こ こで,式 ③ は 次 の よ うに展 開 で きる.

④ と な る.式

④ を 式(4・7)に

代 入 す る と, (4・9)

と な り,こ

れ を 複 素 数 の 指 数 関 数 表 示 と い う.な

と 呼 ば れ て い る.な

お,式(4・9)の

お,式(4・9)は

εは 自 然 対 数 の 底 で,ε

オイラーの公 式

≒2.718で

あ る.

 こ こで,複 素 数Zは (4・10)

と表 す こ と もあ る.こ の よ うな 表 し方 を 極 座 標 表 示 と い う.図4・5は,複 Z=a+jbを

素数

指 数 関 数 表 示 と極 座 標 表 示

した もの で あ る.

例題

解

4.4

図4・5  Zの 極座 標 表 示

 次 の複 素数 を三角関数表示 で表せ.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(1)

(2) (∵θは 第4象 限 の 角)

(3)

 (実 数 が0,虚

数 が−j)

(4)  (∵θは第2象 限 の 角)

例 4.5

 次 の複 素数 を指数 関数表示で表せ. (1)

 (2)

解  (1)

(2)

題

例

4.6

 次 の複素数 を極座標 表示 で表せ. (1)

 (2)

解  (1)

 (∵θは 第3象 限 の 角)

(2)

題

練 習問 題 4.7  次 の 複 素 数 の 絶 対 値 お よ び偏 角 〔rad〕を 求 め よ.

(1)

  (2)

 (3)

 (4)

4.8  次 の複 素数 を三角 関数 表示 お よび指 数関 数表示 で表 せ.

(1)

 (2)

4.9 

 (3)

 (4)

図 の 複 素 平 面 上 に 表 さ れ て い るA,B,

C,Dの

大 き さ お よび 偏 角 〔 度 〕を 求 め よ.

と な る こ と を確 か め よ.

4.10 〓

ヒン ト 〓よ り求 め る.

4.11  る.回

図 の よ う に イ ン ピ ー ダ ンス は,〓 路 に次 の よ う な 電 流I〔A〕 が 流 れ る と き,イ

ダ ン ス の 両 端 電 圧V〔V〕(大 き さ)は い く らか. (1) 電 流〓 (2) 電 流〓

の場 合 の場合

であ ンピー

(a) 複 素 平 面 上 の ベ ク トル 表 示   複 素 数 平 面 上 の〓

と原 点 を結 ん だ 直 線 は,原 点 に起 点 を もつ ベ ク トルZ

で 表 さ れ る.図4・6(a)の

複 素 数 平 面 上 で はZを 実 軸 成 分xと 虚 軸 成 分yで 表 す.

(b)ベ ク トル 表 示

(a)複 素 平 面 上 の点Z 図4・6

  図4・6(b)は

極 座 標 表 示 で ベ ク トルZは 大 き さZ(ま た は￨Z￨)と 偏 角 θで 表 す.

(b) 加 減 算 の ベ ク トル 表 示   複 素 数〓

の和〓

をベ ク トル 図 で 表 す 方 法 を考 え る.

図4・7の よ う に,ベ

ク トルAの 先 端 にベ ク トルBを 平 行 移 動 す れ ば,図 の よ うに

合 成 ベ ク トル〓

が 得 られ る.〓

は,そ

の 大 き さ(〓

の こ と)お よ び偏 角 θ

れ ぞ れ 次 式 で 表 せ る.

図4・7 

ベ ク トル の 加 算

図4・8 

ベ ク トル の 減 算

  次 に,ベ

ク トル の 差〓

は,図4・8の

よ う に ベ ク トルBを180°

回 転 させ−B

を 求 め た後,ベ

ク トルAの 先 端 に−Bを 並 行 移 動 す れ ば,合 成 ベ ク トル〓

られ る.A−Bの

大 き さお よび 偏 角 θは,そ れ ぞ れ 次 式 で 表 せ る.

が得

〓 の 大 き さ=〓

(c) 虚 数jの 意 味 と〓  j と は,〓

と書 き表 せ る.こ れ を指 数 関 数 表 示 で表 す と,

で あ る か ら,jと が っ て,jは

い うの は大 き さが1で 偏 角 が π/2の 単 位 ベ ク トル で あ る.し

「大 き さが1の ベ ク トル を 逆 時 計 回 り に〓

た

だ け 回 転 さ せ る も の 」で

あ る.   次 にj2,j3,j4に

つ い て 考 え る.〓,つ

ま りj2と は

180° 進 ませ る働 き を す る.以 下 同様 にj3は270゜,j4は360° る.図4・9は,そ

進 ませ る 働 きを す

の 関係 を単 位 ベ ク トル で 表 した もの で あ る.な お,−jと は,時

計 方 向 に90° 回転 させ る働 き をす る.

図4・9 〓

  次 にベ ク トル〓

にjを 乗 じた 場 合 の ベ ク

トルjAを 計 算 す る と,〓 な り,図4・10の

の 単位 ベ ク トル 図

よ う に ベ ク トルAを90゜

と 進 ませ

たベ ク トル と な る.

図4・10 

ベ ク トルAにjを

掛け る

題 例

4.7

 次 の 式 を簡 単 にせ よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

解 (1) (時 計 方 向 へ180°)

(2)〓 (3)〓

(逆時 計 方 向へ2回 転)

(4)〓

(逆時 計 方 向 へ270°)

(−j-1 と同 じ値)

(5)〓

(6)

例 4.8

 次 の 複 素 数A,Bお た,合 成 ベ ク トルA+Bの

よび そ の 複 素 数 の和 をベ ク トル図 で描 け.ま

大 き さお よ び偏 角 θを 求 め よ.

解  図 の複 素 数 平 面 にベ ク トルA・Bを 描 く.次 に,ベ トル和A+Bを

求 め る た め,BをAの

先 端 に並 行 移 動 し て

合 成 す る.

偏角〓

ク

(負の実軸 方向)

題

練 習 問題 4.12 

次 の 式 を 簡 単 に せ よ.

(1)

 (2)

 (3)

4.13 

2つ の 複 素 数A=10−j20 

4.14 

図 の ベ ク トルA,Bに

お よ び ベ ク トル 差B−Aを

4.15 

 (4)

B=−20+j15の

和 お よ び 差 を 求 め よ.

つ い て ベ ク トル 和A+B グ ラ フ に 描 け.

図 の 回 路 の 各 枝 路 に流 れ る電 流 が 〓で あ る.

 合 成電 流 の大 きさI0〔A〕お よび位相 角 θ 〔度〕を求 め よ. ヒン ト  電流 の 指数 関数 表示 を複素 数表示 で 表す.

4.16  IL,ICお 電 圧Eを

図 の 回 路 の 各 技 路 を流 れ る 電 流IR, よ び,合

成 電 流I0を 求 め よ.ま

た,

基 準 と す る 電 流 ベ ク トル 図 を描 け.

ヒ ン ト  各 技 路 を 流 れ る電 流 は,電

圧 を抵 抗

お よ び リ ア ク タ ンス で 割 れ ば よ い.な

お,コ

イ ル の 誘 導 性 リ ア ク タ ン ス はj10〔 Ω〕,容 量 性 リ ア ク タ ン ス は−j20〔Ω〕と し て 計 算 す る.

(a) 乗 算 の ベ ク トル 表 示   複 素 数A=a1+jb1,B=a2+jb2の   ベ ク トルA,Bの

と な り,こ

積A・Bを

大 き さ をA,B,偏

ベ ク ト ル で 表 す 方 法 を 考 え る.

角 θを θ1,θ2と す る と,三

角 関 数 表 示 で は,

の乗算 は

(4.10)   式(4・10)を

用 いて グ ラ フを描 くと図

4・11の よ う に な り,ベ さ は,各

ク トル積 の 大 き

ベ ク トル の 大 き さの 積ABで,

ま た,偏

角 は各 ベ ク トル の 偏 角 の 和

θ1+θ2で表 さ れ る.   次 に ベ ク トル積 を指 数 関 数 表 示 お よ び 極 座 標 表 示 で 表 す と,

図4・11 

ベ ク トル の 乗 算

 上 式 の 指 数 関 数 の積 お よび 極 座 標 表 示 は次 式 の よ う に な る.

(4.11) (b) 除算 の ベ ク トル 表 示  複 素 数A=a1+jb1,B=a2+jb2の   まず,A,Bを

商B/Aを

ベ ク トル 図 で 表 す 方 法 を考 え る.

指 数 関 数 表 示 を用 い て

とす れ ば 除 算 は,

(4.12) と な る.す

な わ ち図4・12に 示 す よ うに,ベ

ク トル の大 き さの 商 で,偏

ク トル の 除 算 の 商 の 大 き さ は,各 ベ

角 は各 ベ ク トル の偏 角 の 差 で 表 さ れ る.

図4・12 

ベ ク トル の 除 算

(c) 交 流 の 複 素 数 表 示  正 弦 波 交 流 電 圧 はe=Emsin(ωt+θ)の

瞬 時 式 で 表 され る(3.4節

瞬 時 式 の 波 形 よ り,回 転 ベ ク トル を求 め る と,図4・13の

よ うに 表 され る.

図4・13  瞬 時値 の波 形 と回転 ベ ク トル

  回 転 ベ ク トル は 大 き さがEmで,角

速度 ω

〔rad/s〕の 速 度 で 逆 時 計 方 向 に 円 運 動 す る. こ こ で,瞬 t=0と

時 式 の 回 転 位 相 ωtに お い て,

した と き の ベ ク トル は 静 止 ベ ク トル に

な る.交

流 回路 で は,図4・14の

ように静止

ベ ク トル が 用 い られ る.な お,静 止 ベ ク トル の こ と を 単 に ベ ク トル と い い,そ (絶 対 値)は 実 効 値 を示 す.

の 大 きさ

参 照).こ

図4・14

の

例題

4.9

 次 の複 素 数(指 数 関 数 表 示)の ベ ク トル積A・Bを 求 め,合

成ベ ク

トル を 描 け.

解

例題 4.10

 次 の 電 流i1,i2の

合 成 電 流 に 関 す る実 効 値I0〔A〕 と位 相 角 θを求

め よ.

解

 各 電 流(実 効 値)を 三 角 関数 表示 で 計 算 す る.

合 成 電 流I0は,

I0の 大 き さ(実 効 値)は,

こ れ らの ベ ク トル 図 は 図 の よ うに な る 答 

7.8A,26.3゜

練 習問題 4.17 

図 の 回 路 の 合 成 イ ン ピ ー ダ ン スZ0の 大 き さ を求 め よ.

ヒ ン ト  並 列 回路 の 合 成 イ ン ピ ー ダ ンス は,次 で 求 ま る.な

お,誘

式(和 分 の 積)

導 リ ア ク タ ン ス は,j4〔 Ω〕(複 索 量)で あ

る.

4.18 

次 の極 座 標 表 示 の 複 素 数 を 三 角 関 数 表 示 で 表 せ.

  (1)V=100∠−30°

〔V〕  

(2)I=25∠

4.19 

図 の 回 路 を 流 れ る 電 流1の

圧V,電

流Iの ベ ク トル 図 を描 け.た

π/4〔A〕

大 き さ を 求 め,電 だ し,電 圧Vは

実 効 値 を表 す.

4.20  次 の正 弦 波交 流電 流 を極 座標 表 示お よび三角 関数表示 で 表せ.

4.21 

電 圧V=80−j60〔V〕

の 回路 に イ ン ピ ー ダ ン スZ=4+j3〔

Ω〕を接 続 した.流

れる

電 流I〔A〕 を求 め よ. ヒ ン ト  交 流 回路 で は,複

素 数 を用 い るこ とに よって直流 回路 と同様 に オー ムの法則 を

適 用 す る こ とが で き る.し

た が っ て,

(a) 複 素 イ ン ピ ー ダ ン ス   図4・15の よ う に,電 素 量 の 比V/Iを 記 号 にZ,単

圧 の 複 素 量Vと

電 流Iの 複

複 素 イ ン ピー ダ ン ス とい い,そ

の

位 に Ω(オ ー ム)を 用 い る.

(4.13)

図4・15

  式(4・13)を 交 流 回 路 の オ ー ム の 法 則 とい う. (b) 抵 抗 の み の 回 路   図4・16の

よ う に,正

弦 波 交 流,電

イ ン ピー ダ ンスZ=R〔

圧Vに

Ω〕の 抵 抗 を接 続 す る

と流 れ る電 流I〔A〕 は,次 式 で 表 せ る.な お, 電 流Iの ベ ク トル は,電

源 電 圧Vと

同 相(位

相 差 は0)と な る.

(a)回 路 図

(b)ベ ク トル 図

図4・16  抵 抗 だ けの 回 路

(4.14) (c) 自己 イ ン ダ ク タ ン ス だ け の 回 路   図4・17の 電 圧Vに

よ う に,正

弦波 交流

イ ン ピー ダ ンスZ=jωL

の 自己 イ ン ダ ク タ ンスL〔H〕 を接 続 す る と流 れ る電 流I〔A〕 は,次 式 で 表 せ る.な お,電

流Iの ベ ク

トル は,電

対 し て−j,

源 電 圧Vに

(a)回 路 図

(b)ベ ク トル 図 図4・17 

Lだ け の 回 路

す な わ ち90゜ 遅 れ 位 相 とな る.

(4.15)

(d) 静 電容 量 だ けの 回 路   図4・18の

よ う に,正

弦

波 交 流 電 圧Vに

イ ン ピー ダ

ンスZ=1/jωC〔

Ω〕の 静 電

容 量C〔F〕 を接 続 す る と, 流 れ る 電 流I〔A〕 は,次

式 (b)ベ ク ト ル 図

(a)回路 図

で 表 さ れ る.な

お,電

流I 図4.18 

Cだ け の 回 路

の ベ ク トル は,図4・18(b) の よ う に電 源 電 圧Vに 対 して+j,す

な わ ち90° 進 み位 相 と な る.

(4.16)

〈電 気 回 路 の3要 素 〉 R,L,Cを

電 気 回 路 の3要 素 と い う.回 路 要 素 と イ ン ピー ダ ン ス(位 相 関係)

との 関 係 を整 理 す る と次 の よ う に な る. (位相 差0°) (90°進 み 要 素) (90°遅 れ 要 素)

例題

4.11

200V,周

 図 の 回 路 に お い て,電 波 数 は100/n〔Hz〕

ン ピ ー ダ ン スZ〔 め よ.ま

解

た,電

Ω〕 と,流

源Vの

電圧 は

で あ る.回

路 の イ

れ る 電 流I〔A〕

を求

圧 と電 流 の ベ ク トル 図 を 描 け.

答  電 流 の 大 き さI=5A,電

例題

流 の 位 相 は90゜ 遅 れ

4.12

 図 の よ う な 回路 に 流 れ る 電 流I〔A〕 の

大 き さ を 求 め よ.ま た,電 圧 と電 流 の ベ ク トル 図 を描 け.

解

答  電 流 の 大 き さI=6.28A,電

例題

流Iは 電圧Vに

対 して90゜ 進 み位 相

4.13

 図 の 回 路 に お い て,自 タ ン ス の リ ア ク タ ン ス が40Ω,流 I =2∠−(π/2)〔A〕

己 イ ンダク れ る電 流が

で あ る .電 源 電 圧Vを

求 め よ.

解

答

電 圧V=80V,位

相 差0゜

題

練 習問 4.22 

次 の よ う に 電 圧V〔V〕,電

流I〔A〕 が 与 え ら れ て い る と き,イ

ン ピ ー ダ ン スZ

〔 Ω〕を 求 め よ.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

4.23  あ る.イ

図 の よ う な ベ ク トル で 表 さ れ る 電 圧V,電

流Iが

ン ピ ー ダ ン スZ〔 Ω〕(三角 関 数 表 示)を 求 め よ.

4.24 〓

の3つ の イ ン ピ ー ダ ン ス が 直

列 接 続 さ れ て い る.合

4.25 

Z=4+j3〔

子 電 圧V〔V〕

4.26 

成 イ ン ピ ー ダ ンスZ0〔 Ω〕の 大 き さ と位 相 角 〔゜ 〕を求 め よ.

Ω〕の 回 路 にI=2−j3〔A〕

100mHの

イ ン ダ ク タ ン ス を も つ コ イ ル に50Hz,V=70+j70〔V〕

20μFの

コ ンデ ンサ に50Hz,V=100∠60。

図 の よ う に,抵 抗50Ω

〔V〕を加 え た と きの 電 流I〔A〕 を 極

と リ ア ク タ ン ス40Ω

を並 列

接 続 した と き の 合 成 ア ド ミ タ ンスY0〔S〕 を 求 め よ.な ア ド ミ タ ン スY〔S〕 る.

の 電圧 を加

だ し,コ イ ル の 抵 抗 は 無 視 す る も の とす る.

座 標 表 示 で 求 め よ.

4.28 

の イ ン ピ ー ダ ンス の 端

を 求 め よ.

え た と き に 流 れ る 電 流I〔A〕 を 求 め よ.た

4.27 

の 電 流 が 流 れ た.こ

お,

は イ ン ピ ー ダ ン スZ〔 Ω〕の 逆 数 で あ

(a) RL直 列 回 路   図4・19(a)のRL直

列 回 路 に 流 れ る電 流 をI〔A〕 と す る と,全 電 圧V〔V〕 は,

次 式 で 表 され る.

  図4・19(a)の

回 路 の イ ン ピ ー ダ ン スZ〔 Ω〕は,

(4.17)   式(4・17)の

イ ン ピ ー ダ ン スZお

よ び 電 圧V,電

流Iの

ベ ク トル 図 は 図4・19(b),

(c)の よ う に 表 せ る.

(a)回

路図

(b)Zの 図4・19 

(b) RC直

ベ ク トル 図 RL直

(c)V,Iの

ベ ク トル 図

列 回路

列回路

  図4・20(a)のRC直

列 回 路 に 流 れ る 電 流 をI〔A〕 とす る と,全 電 圧V〔V〕 は,

次 式 で 表 さ れ る.

 図4・20 (a)の イ ン ピ ー ダ ン スZ〔 Ω〕は,

(a)回 路 図

(b)Zの

ベ ク トル 図

図4・20  RC直 列 回路

(c)V,Ｉ

の ベ ク トル 図

(4.18)   式(4・18)の

イ ン ピ ー ダ ンスZお

よ び 電 圧V,電

流Iの

ベ ク トル 図 は 図4・20(b),

(c)の よ う に 表 せ る. (c) RLC直

列回路

  図4・21(a)のRLC直

列 回 路 に 流 れ る 電 流 をIと

す る と,全

電 圧V〔V〕

は,次

式 の よ う に な る.

  図4・21(a)の

イ ン ピ ー ダ ン スZ〔

Ω〕は,

(4.19)   式(4・19)の た,イ

場 合,抵

抗 分 はR,リ

ア ク タ ン ス 分 は{ωL−1/(ωC)}で

あ る.ま

ン ピ ー ダ ン スZ〔 Ω 〕の 大 き さ お よ び イ ン ピ ー ダ ン ス 角 θ 〔rad〕は,次

の よ

う に な る.

(4.20)   式(4・19)の

イ ン ピ ー ダ ン スZお

よ び 電 圧V,電

流Iの

ベ ク トル 図 は 図4・21(b),

(c)の よ う に 表 せ る.

(a)回 路 図

(b)Zの

ベ ク トル 図

図4.21  RLC直

列 回路

(c)V,Iの

ベ ク トル 図

例題

4.14

 図 の よ う に,抵 抗 が4Ω,コ

リ ア ク タ ンス が8Ω の 直 列 回 路 に,電

イルの誘導 源 電 圧100V

が加 わ っ て い る.回 路 を流 れ る電 流I〔A〕 の大 き さ, 位 相 角 お よ び力 率cosθ を求 め よ.

解

 イ ン ピ ー ダ ン ス はZ=4+j8〔

力 率cosθ

×100=cos63.4゜

Ω〕で あ る か ら,

×100=45% 答 

例題

11.2A,63.4゜,45%

4.15  図 の よ う にR=9Ω,XC=12Ω

回路 が あ る.V=105Vの

のRC直

列

正 弦 波 交 流 電 圧 を加 え た と

き,回 路 を流 れ る 電 流I〔A〕 を 求 め よ.

解

  容 量 リ ア ク タ ン ス は,XC=−jXCで

あ る か ら,

答  4.2+j5.6〔A〕

練 習問 題 4.29 

図 の よ う にR=10Ω,L=20mHのRL直

V=100V,f=50Hzの

列回路 に

正 弦 波 交 流 電 圧 が 加 え ら れ て い る.

流 れ る 電 流 の 大 き さお よび 力 率cosθ 〔%〕を求 め よ.

4.30 

あ る イ ン ピ ー ダ ンス の 負 荷 に,V=200Vを

れ た.こ

加 え る と,I=12−j4〔A〕

の電流 が流

の イ ン ピ ー ダ ンス の 抵 抗R〔 Ω〕お よ び リ ア ク タ ン スX〔 Ω〕を 求 め よ.ま

た,リ

ア ク タ ンス は 誘 導 性 か 容 量 性 か を調 べ よ. ヒ ン ト  求 め たZ=R+jXの ス,マ

虚 数 部 が プ ラ ス な ら イ ン ピ ー ダ ンス は 誘 導 性 リ ア ク タ ン

イ ナ ス な ら容 量 性 リ ア ク タ ンス で あ る.

の電圧 を〓

4.31 〓

の イ ン ピー ダ ン ス に 加 え た.

流 れ る電 流I〔A〕 の 大 き さ を 求 め よ. ヒ ン ト  電 圧Vを

4.32 

複 素 数 で 計 算 し,電 流 を求 め る.

図 の 回 路 に 電 流I=6Aを

に 生 じ る 電 圧VR,VL,VCお

4.33 

流 した.RLCの

よ び 合 成 電 圧Vを

図 の 回路 に 流 れ る 電 流 は10Aで

ク タ ン スXL〔 Ω〕は い く らか.た

各端子 求 め よ.

あ る.誘 導 リ ア

だ し,回 路 の 負 荷 は容

量 性 とす る. ヒ ン ト  Rに 生 じ る 電 圧VRを を 描 く.そ

の 図 よ り,XLに

流 れ る 電 流 か らXLを

求 め て,電

圧 ベ ク トル 図

生 じ る 電 圧VLを

求 め る.

求 め た 後,

(a) 複 素 ア ドミ タ ン ス   複 素 イ ン ピー ダ ンスZの 逆 数 を複 素 ア ドミ タ ン ス,あ と い い,そ

の 量 記 号 にY,単

る い は 単 に ア ドミ タ ン ス

位 に 〔S〕(ジー ス メ ン ス)を 用 い る.ア

ドミ タ ンスY

は 複 素 数 の 形 と して 一 般 に次 式 で 表 す.

(4.21)   式(4・21)の ア ドミ タ ンスYの 実 部 を コ ン ダ ク タ ン スG〔S〕,虚 部 の 絶 対 値 を サ セ プ タ ン スB〔S〕 と呼 ぶ.ま

た,ア

ド ミ タ ンスYの 大 き さ,お

よ び位 相 角 θを 次

式 で 表 す.

(4.22) (b) 並 列 イ ン ピ ー ダ ン ス の 合 成   図4・22の よ う に,イ 続 して,正

ン ピ ー ダ ン スZ1,Z2を

弦 波 交 流 電 圧Vを

並列接

加 えた ときの回路の合成

イ ン ピ ー ダ ンスZ〔 Ω〕を 求 め る.全 電 流I〔A〕 は,

図4・22  Zの 並 列 回路

とな る,電 圧 の複 素 量Vと 電 流 の 複 素 量Iの 比 が イ ン ピー ダ ンスZで あ るか ら,

(4.23)

と な る.こ

こ で,Z1お

よ びZ2に

流 れ る 電 流I1,I2は

次 式 で 求 ま る.

(4.24)

(4.25)   式(4・23),(4・24),(4・25)は,直

流 回 路 で の 並 列 抵 抗 の 関 係 と 同 様 で あ る.

(c) RL並 列 回 路   図4・23の よ う に,RとLが

並 列 に接 続 され て い るRお

よ びLに 流 れ る電 流IR,

ILお よび 全 電 流I〔A〕 は,次 式 で 表 せ る.

(4.26)

  電 圧Vを

基 準 とす る ベ ク トル 図 は,図4・23(b)の

(a)

よ う に な る.

(b) 図4・23  RL並 列 回路

(d)  RC並

列 回路

  図4・24(a)の

よ う に,RとCが

ICお よ び 全 電 流I〔A〕 は,次

並 列 に 接 続 さ れ て い るR,Cに

流 れ る 電 流IR,

式 で 表 せ る.

(4.27)

  電 圧Vを

基 準 と す る ベ ク トル 図 は,図4・24(b)の

(a)

よ う に な る.

(b) 図4・24  RC並 列 回路

題 例

4.16

  Z=4+j3の

タ ン スB〔S〕

ア ド ミ タ ン スY〔S〕,コ

を 求 め よ.

解

題

例

答

4.17   図 の 並 列 回 路 で,I1=3Aの

の 各 値 を 求 め よ.た

だ し,〓,

〓と す る. (1)合

成 ア ド ミ タ ン スY〔S〕

(2)合

成 イ ンピ ー ダ ンス 〔 Ω〕

(3)端 子 電 圧V〔V〕 (4)全 電 流I〔A〕

(1)

(2)

(3) (4)

と き,次

ン ダ ク タ ン スG〔S〕,サ

セプ

解

練 習問 題 4.34 

図 の 回 路 に お い て,Y1=0.1S,Y2=

−j 0.2〔S〕,Y3=j0.1〔S〕 V=50Vを

加 え た と き,各

流I1,I2,I3,Iを

4.35 

と し,電

圧

枝 路 を流 れ る電

求 め よ.

図 のRLC並

IL=12A,IC=6Aの

列 回 路 に お い て,IR=8A, 電 流 が 流 れ て い る と き,

合 成 電 流I〔A〕 の 大 き さ お よ び 位 相 角 θ 〔゜ 〕を 求 め よ.

4.36 

コ イ ルL〔H〕 に コ ン デ ン サC〔F〕 を 並 列 接 続 し

た 場 合,コ

イ ル は抵 抗R〔 Ω〕を含 む の で,図

価 回 路 に な る.こ

の よ うな等

の 回 路 の 合 成 イ ン ピ ー ダ ンスZ〔 Ω〕

は 次 式 で 表 せ る.

  Zの 虚 部 が0に ヒ ン ト  虚 部=0と

4.37 

な る と き の 周 波 数f0〔Hz〕 を 求 め よ. お く と,

図 の 回 路 に 電 圧Vを

加 え る と,抵

3Ω と コ イ ル4Ω の 枝 路 に5Aが き の 全 電 流I〔A〕 と電 源 電 圧Vを

流 れ た.こ

抗 のと

求 め よ.

ヒ ン ト  抵 抗3Ω と コ イ ル4Ω の 両 端 の 電 圧V' を 求 め て,コ 算 す る.

ン デ ンサ5Ω に流 れ る 電 流I2を 計

(a) 瞬 時 電 力 と交 流 電 力   交 流 電 力 は,直 流 電 力 と同様 に電 圧 と電 流 の積 で 求 め る こ とが で きる.交 流 電 力 は時 間 と と も に 変 化 す る量 で あ る か ら瞬 時 電 力 と呼 ば れ る.   図4・25の 回路 にお い て,電 圧e〔V〕 よ りi〔A〕が θ〔rad〕だ け位 相 が 遅 れ て い る とす れ ば,瞬 時 電 力p〔W〕 は次 式 の よ う に な る.

(4.28)  図4・26は,式(4・28)に

よ る 電 圧υ,電

流i,瞬

図4・25

時 電 力pの

波 形 で あ る.

図4・26

  こ こ で,式(4・28)の

第 一 項 は 時 間 に無 関 係 で,瞬

わ ち交 流 電 力P〔W〕 を 表 す.ま

時 電 力pの 平 均 電 力,す

な

た,第 二 項 は電 源 電 圧 の2倍 の 周 波 数 で,こ れ を

1周 期 に わ た っ て 平 均 す る と0に な る.ゆ え に 交 流 電 力P〔W〕 は,

(4.29)   こ こ で,式(4・29)で にW(ワ

表 さ れ る 電 力 を 有 効 電 力,ま

ッ ト)を 用 い る.ま

〔Ω〕に 対 す る 抵 抗 の 比 で,力

た,式(4・29)のcosθ 率 と い い,次

た は 単 に 電 力 と い い,単 は,負

位

荷 の イ ン ピ ー ダ ン スZ

式 で 表 さ れ る.

(4.30) (b)  電 力 の ベ ク トル 表 示   図4・27(a)のRL直 Iは 図4・27(b)の を 有 効 電 流,Isinθ

列 回 路 に 電 圧V〔V〕

ベ ク トル 図 の よ う に 実 部Icosθ を 無 効 電 流 と い う.こ

を 求 め る.図4・27(c)よ 〔var〕は,次

を 加 え る と 電 流I〔A〕

効 電 力P〔W〕

流

に 分 け ら れ,Icosθ

れ ら の 電 流 に 電 圧Vを

り皮 相 電 力S〔V・A〕,有

式 で 表 さ れ る.

と 虚 部Isinθ

が 流 れ る.電

掛 けて交流 電力 お よ び 無 効 電 力Q

皮相 電力〓 (4.31)

有効 電力〓 無効 電力〓 式(4・31)の

関 係 は 次 の よ う に な る.

(4.32)

(a)

(c)

(b) 図4・27  交 流 回路 の 電力 ベ ク トル 図

  次 に 電 力 を 複 素 数 の 指 数 関 数 表 示 で 求 め る.図4・28の ZにV=Vεjθ1の

電 圧 を 加 え る と,I=Vεjθ2の

路 の 皮 相 電 力S,有 31)よ VとIの

効 電 力P,無

りP=VIcosθ,Q=VIsinθ

効 電 力Qの

電 流 が 流 れ る 回 路 が あ る.こ 求 め 方 を 考 え る.交

で 表 さ れ,θ

位 相 差 で 計 算 さ れ る.図4・28(b)の

は 図4・28(b)の

ベ ク トルV,Iの

で 求 め る と,

(a)

よ う に イ ン ピ ー ダ ンス

(b) 図4.28  交流 回路 と電圧 ・ 電 流 ベ ク トル図

の 回

流 電 力 は 式(4・ ベ ク トル 図 よ り, 皮相 電力 を複素数

と な り,電 圧 と電 流 の 位 相 の和 で 計 算 さ れ て し ま う.こ れ で は正 し く電 力 が 求 ま ら ない.   そ こで,電 圧 か 電 流 の ど ち らか の 共役 複 素 数 を用 い て計 算 す る.こ こ で は,電 流 の 共 役 複 素 数Iを 用 い る.

 ① (有効 電力) 

(無効 電 力)

(4.33)   す な わ ち,式(4・33)よ 和 で 表 せ る.な

り,皮 相 電 力Sは 有 効 電 力Pと

無 効 電 力Qの

ベ ク トル

お,共 役 複 素 数 を用 い て電 力 を計 算 す る と,式 ① の 無 効 電 力 を示

す 虚 数 符 号 が 実 際 の 無 効 電 力 の 位 相 を正 し く表 せ ない.そ

こで,電

流 を共 役 複 素

数 に取 る場 合 は 遅 れ 無 効 電 力 を 正 符 号,電 圧 を共 役 複 素 数 に取 る場 合 は 遅 れ無 効 電 力 を負 符 号 と して示 され る.

例題

4.18

 図 の 回 路 に お い て,有 効 電 力P〔W〕 お よ び 無 効 電 力Q〔var〕 を 求 め よ.

解

  こ こ で,電

流Iの

共 役 複 素 数I=1.2+j1.6を

め る と,実 部 が 有 効 電 力P〔W〕,虚

用 い て,皮

部 が 無 効 電 力Q〔var〕

相 電 力S〔V・A〕

を求

に な る.

 な お,計 算 結 果 の 虚 部 が 正 符 号 で あ る か ら,Q〔var〕 は遅 れ 無 効 電 力 で あ る. 答  P=120W,Q=160var(遅

れ)

練習 問 題 4.38 

あ る 負 荷 に100Vの

交 流 電 圧 を加 え る と5Aが

流 れ,消 費 電 力 が433Wで

あ っ た.

電 圧 と電 流 の位 相 差 θ 〔rad〕を 求 め よ.

4.39 

図 の 回 路 に お い て,消

費 さ れ る 電 力 が500W

で あ る と き,コ ン デ ン サ に流 れ る 電 流I2〔A〕 を求 め よ. ヒ ン ト  回 路 電 力Pは,抵 P=I12R〔W〕

の 式 で 求 ま る.こ

い て 端 子 電 圧Vと,I2を

4.40 

抗 で す べ て 消 費 され る の で, の 式 よ り求 め たI1を 用

求 め る.

図 の 回 路 に お い て,電

圧V〔V〕

お よ び 電 流I

〔A〕 が 次 式 で 表 さ れ る と き抵 抗R〔 Ω〕で 消 費 す る 電 力P〔W〕

4.41 

を 求 め よ.

図 の 交 流 回 路 に お い て,抵 抗R2で

消 費 さ れ る 電 力 〔W〕の 値 を求 め よ.

4.42 

図 の 回 路 に 交 流 電 圧 を加 え た と き,回 路 の 力 率cosθ を求 め よ.

ヒ ン ト  各 枝 路 の 電 流 を 計 算 し,電 流 ベ ク トル 図 を 描 く,電 圧 と電 流 位 相 差 θよ り力 率 を 求 め る.

(a) 対 数 と は  〓の と き,正 の 数yに 対 す る指 数 関 数 は,

(4.34) と な る(1.5節

参 照).こ

の 式 をxに

つ い て 求 め る と,次

の よ う に な る.  (4.35)

(対数)    式(4・35)のaを xはaを

底,xを

底 とす る対 数,yは

  指 数 関 数y=2xを に な る.例 あ り,対

(底)(真数) 対 数,yを 対 数xの

真 数 と 呼 び,

真 数 と い う.

グ ラ フ で 表 す と 図4・29の

え ば,y=2x=8を

よ う

満 た す 実 数 はx=3で

数 で 表 現 す る とx=log28=3と

な る.

(b) 対 数 の 性 質   対 数 に は 次 の よ う な 性 質 が あ る. (1)〓

で あ る か ら〓

(4.36)

(2)〓

で あ るか ら〓

(4.37)

(3)aが1で

な い 正 の 数,M,Nが

図4・29  指 数 関 数 グ ラ フ

正 の 数 の と き,

(4.38) (4.39) (4)式(4・39)でM=1と

す る と,

(4.40) (5)rが

有 理 数 の と き,

(4.41) (6)底 の変 換 公 式:底

をbに 変 換 す る と,

(4.42) (c) 常 用 対 数 と 自然 対 数  10を 底 とす る対 数log10xを

常 用 対 数 とい い,底

るが 本 書 で は 省 略 しな い 記 述 とす る.

を略 してlogxと

書 くこ と もあ

  これ に 対 し,ε=2.718… は,微

を底 とす る 対 数logεxを 章然 対 数 と い う.自 然 対 数

分 や 積 分 計 算 に 用 い ら れ る(5.3節

(exponentialのe)を

参 照).数

学 で は 自然 対 数 の 底 にe

用 い る が,電 気 で は起 電 力e(electromotive

force)と 混 同

す る お そ れ が あ る の で ε(イ プ シ ロ ン)を 用 い る. (d) 電 気 工 学 へ の 応 用   電気 工 学 で 取 り扱 う式 に は対 数 を含 む 計 算 も多 い.例 イ ン ダ ク タ ンス,静

えば架空線 やケーブルの

電 容 量 を表 す 式 は そ の 一 例 で あ る.ま た,電 子 工 学 に お い て

は,広 範 囲 の 数 値 を取 り扱 う もの が 多 く,例 え ば 増 幅 器 の 利 得 な どは 対 数 的 単 位 の デ シベ ル 〔dB〕が 用 い られ る.

〈有理数 と無理数 〉   有 理 数 は 整 数 と分 数 で 表 せ る数 の こ とで あ る.そ れ に対 し分 数 で は 表 せ な い 数,例

え ば√2=1.414…

は 分 数 に は な らな い,π な ど も分 数 で は 表 せ な い.

こ れ らの 数 の こ と を無 理 数 とい う.対 数log102=0.3010…

の 値 も無 限 小 数 に な

る の で 無 理 数 で あ る.

例題

4.19

  次 の 指 数 を 用 い た 等 式 を対 数y=logaxの

(1)

解

 (1)

例題

 (2)

 (3)

 (4)

 (3)

 (4)

4.20

 次 の 対 数 を求 め よ.

(1)

解

 (2)

形 で 表 せ.

 (1)

 (2)

 (2)

 (3)

 (3)

例題

4.21

 対 数 の底 の 変 換 公 式 を用 い て,次

(1)

 (2)

解

 (1)

例題

4.22

 (2)

 次 の 式 を簡 単 に せ よ.

(1)

解

の対 数 計 算 をせ よ.

 (2)

 (1)

(2) 例題

4.23

 図 の よ う に ブ ロ ッ ク で 示 す2つ の 増 幅 器 を 縦 続 接 続 した 回 路 が

あ り,増 幅 器1の 電 圧 増 幅 度A1は10で 0.4mVの

あ る.い

ま入 力 電 圧υiの 値 と して,

記 号 を加 え た と き,出 力 電 圧υoの 値 は0.4Vで

あ っ た.増

幅 器2の

電 圧 利 得 〔dB〕はい く らか. υi→

増 幅 器1

→

増 幅器2

→υo

ヒ ン ト  電圧 利 得Gυ 〔dB〕を求 め る 式 は,

〓出力 電圧 /入力 電圧

解

  増 幅 器1の

出 力 電 圧 をυ2と す る と,υ2=A1υi=10×0.4=4mVと

した が って,増 幅 器2の 電圧 利 得Gυ 〔dB〕は,ヒ

な る.

ン トの式 を用 い て 計 算 す る と,

答

練 習問題 4.43 

次 の 式 の 値 を 求 め よ.

(1)

 (2)

4.44 

 (3)

次 の 式 の 値 を 求 め よ.

(1)

 (2)

4.45 〓

と し て次 の 値 を求 め よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

4.46 

次 の(ア)∼(オ)に

(1)

 〓 (ウ)

4.47 〓

〓(イ) (エ)〓

(オ)

を真 数 とす る常 用 対 数 を求 め よ

. 4.48 

図 の よ うな トラ ン ジス タ増 幅 回路 にお い 力 側 の 電 圧〓

と き,出 た.こ

適 当 な 数 字 ま た は 記 号 を入 れ よ.  〓 (ア)

(2)

て,入

 (4)

力 側 の 電 圧〓,電

電 流〓

である

流〓

であっ

の 増 幅 回 路 の 電 力 利 得 〔dB〕は い く ら か.た

だ し,〓

とす る.

ヒ ン ト  入 力 電 力 を〓,出 力 利 得Gp〔dB〕

力 電 力 を〓

は 次 の よ う に な る.

と す る と,電

力 増 幅 度AP〔 倍 〕,電

4章  章末問題 1.次

の 計 算 を せ よ.

(1)

 (2)

2.イ

ン ピ ー ダ ン ス〓

圧 を 加 え た と き,流

3.図4・30の 圧Vの

 (3)

〔Ω〕の 直 列 回 路 に,〓

れ る 電 流Iの

回 路 に6Aの

大 き さ 〔A〕を 求 め よ.

電 流 が 流 れ て い る.電

源電

大 き さ 〔V〕を 求 め よ.

図4・30

4.図4・31の

並 列 回 路 に〓

の 電 圧 を 加 え た.各

枝 路 の 電 流IR,IL,ICお

よ びIo〔A〕 を 求 め よ. 図4・31

5.図4・32の と き,イ で あ る.有

回 路 に お い て,電

ン ピ ー ダ ン スZに 効 電 力P〔W〕

源 電 圧 が100Vの

流 れ る 電 流 が〓

お よ び 無 効 電 力Q〔var〕

求 め よ.

図4・32

6.図4・33の

トラ ン ジ ス タ 増 幅 回 路 に お い て,

〓を 流 し た と き のic〔A〕 流 利 得 〔dB〕 を 求 め よ.た 200と

を

す る.

だ し,電

を 計 算 し,電 流 増 幅 率 βが 図4・33

の電

微 分 ・積 分 の基 礎

キ ー ワー ド

平 均 変 化 率,微

分 係 数,導

関 数,接 線 の 方 程 式,指

数 関 数 の 導 関 数,対 数 関数 の 導 関 数,三

角 関 数 の導

関 数,極 大 ・極 小,不 定 積分,積 分 定数,置 換積 分, 定積 分

(a) 極 限 値   関 数f(x)に お い て,xが あ る値 か らaに 限 りな く近 づ くに伴 っ て,f(x)の 値 が 一 定 の値 αに 限 りな く近 づ く な ら ば ,x→aの と き のf(x)の 極 限 値 は αで あ る と い う.こ れ を記 号 で 表 す と,

(5.1) と な る.式(5・1)のlimは  こ こ で,例

極 限(limit)の

略 号 で あ る.

え ば,

と す る と,xが

限 り な く1に 近 づ く と き,x2+4xは5に

限 り な く近 づ く か ら,

と 表 せ る. (b) 平 均 変 化 率   関 数f(x)の え る.グ

グ ラ フ が 図5・1の

ラ フ 上 の 点A,Bを

よ うな場合 を考

と り,そ

〓と す る.図5・1よ AHはxの

増 分 でΔxで

増 分 でΔyで

表 す.ま

の座 標 を り,長

さ

た 長 さHBはyの

表 す.

  こ こ で,x,y座

標 よ り,

図5・1

と な る.こ

こ で,Δxに

対 す るΔyの

比 を と る と,

(5.2)   式(5・2)の 値 をAか

らBま で の平 均 変 化 率 とい う.

(c) 微 分 係 数   図5・2の 関 数〓 が 固 定 さ れ て い て,点Bが の 座 標 を,〓

の グ ラ フ上 の 点,〓

を考 え る.点A

グ ラ フ線 上 を 動 い てAに とす れ ば,線 分ACの

近 づ き,点Cま

傾 き は,

で きた と き

と な る.さ

ら に,CがAに

Δ xは,Δx→0で

近 づ く と き のxの

増分

あ る か ら そ の 極 限 値 は,

(5.3) と な り,こ れ を関 数〓 分 係 数,ま

にお け る微

た は変 化 率 とい い,f'(x)で

表 す. 図5・2

(d) 導 関数   微 分 係 数 は式(5・3)で 計 算 さ れ る が,定 数〓

数x1を 変 数xで 置 き換 え れ ば,元 の 関

と は異 な っ た 別 の 関 数 が 得 られ る.こ れ は,元 の 関数〓

か ら導

か れ た もの で あ るか ら導 関 数 と い う.導 関 数 は式(5・3)よ り次 式 の よ う に な る.

(5.4)  関 数〓

か らの導 関 数 の 表 し方 に は,f'(x)の

ほ か に,

題

例

な ど の記 号 も用 い られ る. 5.1

 次 の 極 限 値 を 求 め よ.

(1)

 (2)

解 (1) (2)分 母 が0に な るの を避 け る た め に 約 分 す る.

答

解

例題

5.2  関 数y=x2+3x-4に

つ い て,次

(1)xが1か

ら3ま で 変 化 した と き

(2)xが2か

ら2+hま

解

  f(x)=x2+3x−4と

の 場 合 の 平 均 変 化 率 を 求 め よ.

で 変 化 した と き お く.

(1) (2)

答 (1)7(2)7+h

例題

5.3

 関 数f(x)=x3のx=1に

お け る微 分 係 数 を求 め よ.

答  3

例題

5.4  関 数y=2x2−3x+4の

導 関 数 を 求 め よ.

解

で あ る か ら,求 め る 導 関 数 は,

答  4x−3

練習 問 題 5.1  次 の 極 限 値 を求 め よ.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(5)

 (6)

(7)

 (8)

5.2  次 の関数 につ い て,xが−1か (1)

ら2ま で変化 す る ときの平均 変化 率 を求め よ.

 (2)

5.3  次 の関数 に対 して括 弧 内 に示 されたxの 値 にお け る微 分係 数 を求 め よ. (1)

 (2)

5.4  次 の 関数 の導 関 数 を求 め よ.ま た,そ の結 果 か らnが 正 の整 数 の ときの〓

の

導 関 数 を推 定せ よ.

(1)

 (2)

 (3)

5.5 〓

の 導 関 数 は,〓

で 求 ま る.こ

の 定 理 を用 い て 次 の 関 数 を 微 分 せ よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

(a) 導 関 数 の基 礎 定 理   導 関数 を 求 め る こ と を微 分 す る とい う.   導 関数 の性 質 か ら,次 の定 理 が 導 か れ る. ① 定 数 の 導 関 数〓

が 定 数 の 導 関 数 は,

(5.5) ② 定数倍 の導 関数〓kが

定数の導 関数は, (5.6)

③ 関 数 の 和 ま た は差 の 導 関 数xの

関 数〓

の 和 また は差 の 関数

〓の導関数 は, (5.7) ④ 関 数 の 積 の 導 関 数xの

関 数〓

の積 の 関 数 で 結 ば れ た 関 数

〓の導 関数は, (5.8) ⑤ 関 数 の 商 の 導 関 数xの

関 数〓

の 商 の 関 数 で結 ば れ た 関 数〓,

〓の 導 関 数 は,

(5.9)  ま た,〓

の場 合 の 導 関数 は,

(5.10) ⑥ xnの 導 関 数(nが

正 の 整 数 の と き)

(5.11) ⑦ 〓 の導関数(nが 正 の整数の とき) (5.12) ⑧ 〓

の と きの 導 関 数(nが

正 の整 数 の と き)

(5.13)

の ような合成 関数 の微 分法 (5.14)

(b) 接 線 の 方 程 式   図5・3の 関 数y=f(x)上 接 線 は,こ

の 点A(x1,y1)に

お ける

の点 を通 り,傾 きがf'(x)の 直 線 で あ る.

した が っ て,そ

の接 線 の 方 程 式 は 次 の よ うに な る.

(5.15)

図5.3  点Aの 接 線

題 例 5.5

 次 の 式 を微 分 せ よ.

(1)

 (2)

 (3)

(1)

 (式5・9)

(2)

 (式5・12)

(3)

 (式5・7)

答  (1)

例

解

⑨ 〓

題 5.6

 次 の 式 を微 分 せ よ.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(5)

 (6)

 (2)

 (3)

解  (1)

 (式5・13)

(2)

 (式5・13)

(3)

 〓 と す る と,〓

 (式5・14)

(4)

 (式5・9)

(5)

 (式5・12)

(6)

 (式5・8)

例

題 5.7

 次 の 方 程 式 の 曲線 上 の 点x=2に

(1)

解

お け る接 線 の 方 程 式 を求 め よ.

 (2)

 (1)〓

と お け ば,〓

を 通 る,〓

し

た が って,f'(2)=−1→傾き−1 よ って,求

め る接 線 は 点(2,2)を

通 り,傾 き−1の 直 線 で あ る か ら方 程 式 は,

答   (2)〓

と お け ば, 〓

を 通 る.〓

し

た が っ て,f'(2)=4→傾き4 よ っ て,求

め る 接 線 は 点(2,1)を

通 り,傾

き4の

直 線 で あ る か ら方 程 式 は,

答

練習 問 題 5.6  次 の 式 を微 分 せ よ.

(1)

 (2)

(3)

 (4)

5.7 

  (a,bは

次 の 関 数 を導 関 数 の 式y'=u'υ+uυ'を

定 数)

用 い て 微 分 せ よ.

(1)

 (2)

 (3)

5.8 

  (a,b,cは

定 数)

 (4)

次 の 関 数 を微 分 せ よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

5.9  次 の放物 線 上 のx=−2で あ る点 にお ける接線 の 方程式 を求め よ. (1)

 (2)

ヒ ン ト (1)f(x)

(2)f(x)=−5x−x2と

5.10 

速 度15m/sで

〓と お け ば,f(−2)=2 f'(x)=x,し

お け ば, f(−2)=6 f'(x)=−5−2x,し

た が っ てf'(−2)=−2

た が っ てf'(−2)=−1

地 面 か ら真 上 に 投 げ 上 げ ら れ た 物 体 のt秒 後 の 高 さh〔m〕 は,

で 与 え られ る とい う.た だ し,重 力 の 加 速 度g=9.8m/s2と

す る.

  (1)投

げ 上 げ られ て か ら1秒 後 の 速 度υ 〔m/s〕 を 求 め よ.

  (2)こ

の 物 体 が 地 面 に落 下 す る と きの 速 度υ'〔m/s〕 を求 め よ.

ヒ ン ト (1)f(t)=15t−4.8t2と   (2)h=15t−4.8t2=0の

お き,f'(t)を と き のtを 求 め る.

求 め る.

(a) 三 角 関 数 の 導 関 数   sinθ/θ の 極 限 値 成 り立 つ.こ

θを 限 り な く0に

こ で,θ →0の

近 づ け る と き,〓

と きcosθ →1に

の 関係 が

な る の でsinθ/θ の 極 限 値 は1で

あ る.

す な わ ち,

① 正 弦 の 導 関 数〓

をxで 微 分 す る.導 関 数 の 定 義 よ り,

上 式 を三 角 の公 式 を用 い て展 開 し,Δx→0に

す る と次 式 が 得 られ る.

(5.15) ② 余 弦 の 導 関 数〓

  こ こ で,〓 り,次

をxで 微 分 す る.ま ず,次 式 の よ う に展 開す る.

と お く と,〓

と な り,合

成 関 数 の微 分 に よ

式 が 得 ら れ る.

(5.16) ③ 正 接 の 導 関 数〓

を微 分 す る.式(5・15)お

よ び式(5・16)

  を 用 い れ ば,次 式 が 得 られ る.

(5.17) (b) 対 数 関 数 と指 数 関 数 の 導 関 数 ① 対 数 の 導 関 数xの

関 数〓

limの 中身 を変 形 す る と,

をxに つ い て微 分 す る.導 関 数 の定 義 よ り,

こ こ で,〓

と お く と,

  ま た,Δx→0の に収 束 す る.こ

と き,h→

∞ とな る か ら上 式 の〓

の 値 を ナ ピ ー ア の 定 数 とい い,ε で 表 す.し

の一定値 た が っ て,〓

の 導 関数 は 次 式 で 表 せ る.

(5.18) 対 数 関数 の底aが

εの場 合 の 導 関数 は,

(5.19) と簡 単 な 形 で表 せ る.微 分 ・積 分 で は εを底 とす る対 数 が 重 要 で あ る.こ の 対 数 を 自然 対 数 とい い,定

数 εを 自然 対 数 の 底 とい う.な お,本 書 で は 自然 対 数 の底

を省 略 して 単 にlogxと

書 く(関 数 電 卓 で は 自然 対 数 の キ ー をlnと 表 記 し て い

る). ② 指 数 関 数 の 導 関 数〓

の導 関 数 を求 め る た め,両 辺 の 自然 対 数 を と る.

logaは 定 数 で あ る か ら,両 辺 をxで 微 分 す る.

分 母 を払 う と,次 式 が 得 られ る.

(5.20)  次 に,ε を底 とす る指 数 関 数〓

の 導 関 数 は,

題

例

(5.21) 5.8

 次 の 極 限値 を求 め よ.

(1)

解  (1)

(2)

 (2)

題

例

5.9

 次 の 関 数 を微 分 せ よ.

(1)

 (2)

解  (1)〓

とお くと,〓

(2)〓

と お く と,〓

で あ る.合 成 関数 の微 分 法 を用 い て,

で あ る.

題 例 5.10

 次 の 関 数 を微 分 せ よ.

(1) 解 

 (2)

(1)〓

と お く と,〓

(2)〓

と お く と,〓

題 例

5.11

 次 の 関 数 を微 分 せ よ.

(1)

解

 (1) 〓

(2)

 (2)

と お く と〓

を 微 分 す る と,

練 習 問題 5.11

 〓を 求 め よ.

5.12

 〓を求 め よ.

5.13 〓

をtで

ヒ ン ト 〓

5.14 〓

(3)

 (4)

ヒ ン ト (4)〓

と お く.

次 の 関 数 をtで 微 分 せ よ.

(1)

 (2)

5.17 〓

を 微 分 せ よ.

5.18  次 の式 をxで 微分 せ よ. (1)

 (2)

ヒ ン ト (1)〓2と

(1)

だ しnは 定 数 と す る.

次 の 三 角 関 数 をxで 微 分 せ よ.  (2)

5.19 

は 定 数 と す る.

お く と,〓

(1)

5.16 

だ し,A,ω,θ

と お く と,u'=ω

をxで 微 分 せ よ.た

ヒ ン トu=sinxと

5.15 

微 分 せ よ.た

お く と,〓

次 の 式 をxで 微 分 せ よ.  (2)

 (3)

(a) 関 数 の 極 大 ・極 小   図5・4のy=f(x)の 曲線 は,xの 値 が 増 加 す る と き,f(x)は 増 加 → 極 大 → 減 少 → 極 小 → 増 加 を示 す グ ラ フ で あ る .図5・4に は描 か れ て い な い がf(x)の 曲線 が, 増 加 → 傾 き0→ 増 加,ま

た は減 少 → 傾 き0→ 減 少 の よ う な 曲 線 に な る場 合,傾

き

0の 点 を変 曲 点 と い う.   図5・4の グ ラ フ に つ い て,y=f(x)の

増 加 ・減 少 の 関 係 は,yを

微 分 してf′(x)

の 正 負 の 値 か ら判 断 す る こ とが で き る.   f(x)が 増 加 す る 区分 で はf′(x)＞0  f(x)が 減 少 す る区 間 で はf′(x)＜0 (b) 極 大 ・極 小 の 求 め 方   あ る 関f(x)の

極大 また は極小 は

次 の 手 順 に よ り求 め る こ とが で き る. ① f(x)を 微 分 してf′(x)を 求 め る. ② f′(x)=0と お い て,そ

の 根aを

求

め る. ③ f′(x)をさ ら に 微 分 してf″(x)を 求 め る.

図5・4  極 大 ・極 小

④ f″(a)＞0な

らf(a)は 極 小 値 で あ る.

  f″(a)＜0な

らf(a)は 極 大 値 で あ る.

  f″(a)=0な

ら 点{a,f(a)}は

変 曲 点 で あ る.

(c) 速 度 ・加 速 度

  一 般 に物 体 の運 動 は,外 部 か ら力 が 加 わ る と き速 度 が 変 化 す る.物 体 の 位 置x を 時 刻tの 関 数 とす れ ば,

で 表 され る.物 体 の 位 置xの 時 間tに 対 す る 変 化 率dx/dtは

速 度υ 〔m/s〕を表 し,

ま た,速 度υ の 時 間tに 対 す る 変 化 率 は 加 速 度a〔m/s2〕 を 表 す.

(5.22) (5.23)

(d) 電 流  導 体 の 断 面 をΔt〔s〕の 間 に 通 過 す る 電 気 量 をΔqと す る と きの 平 均 の 電 流i 〔A〕は,Δt→0の

極 限値 を と り次 式 で 表 す.

(5.24) (e) 静 電 容 量   コ ンデ ンサ に蓄 え られ た 電 荷 をq〔C〕,両 の 関 係 が あ り,Cは

端 の 電 圧 をυ 〔V〕とす れ ば,q=Cυ

定 数 で 静 電 容 量 〔F〕とい う.qを

表 す 式 を 時 間t〔s〕で 微 分 す

る と,平 均 電 流i〔A〕 が 得 られ る.

(5.25) (f) 自 己誘 導   コ イ ル に 流 れ る 電 流 が 変 化 す る と,コ イ ル の 両 端 に逆 方 向 の 誘 導 起 電 力e〔V〕 を生 じる.こ のeは,コ イ ル に流 れ る 電 流i〔A〕の 時 間 的変 化 に 比 例 す る.す な わ ち,

(5.26) とな る.Lは

例題

定 数 で 自 己 イ ン ダ ク タ ン ス 〔H〕とい う.

5.12   f(x)=2x3+3x2−12x−4の

極 値 を 求 め よ.

解 〓と お く と,〓

x =1の

と き極 小

x=−2の と き極 大

 x =1の

答

と き極 小 値 は−11

 x =−2の と き極 大 値 は16

題

例

5.13   次 の 回 路 に お い て,i=Imsinωtの

eとiと

解

の 関 係 を 示 せ.た

だ し,e=L(di/dt)で

  電流iの 変 化 率(di/dt)は,電流iを

ゆ え に,eはiよ

あ る.

時 間tで 微 分 す る.

り π/2〔rad〕 だ け 位 相 が 進 ん で い る.逆

は π/2〔rad〕 だ け 位 相 が 遅 れ る.ま

例題

と き,

た,電

にeを 基 準 に 考 え る と,i

圧 の 最 大 値 はEm=ωLImで

あ る.

5.14

 起 電 力E〔V〕,内

部 抵 抗r〔 Ω〕の 電 源 に 抵 抗

R〔Ω〕の 負 荷 を接 続 した と き,負 荷 の 電 力 が 最 大 に な る に は,Rを

解 

い く らに した ら よ いか.

Rで 消 費 さ れ る 電 力P〔W〕 は,

  上 式 に お い て,Rの

値 が 変 わ る と,Pが

変 化 す る.そ

こ でPをRに

ついて微分

す る.

こ こ で,

ゆ え に,R=rの な お,1.6節

〓と お く と,R=r(極

値)

と き消 費 電 力 は 最 大 に な る. で は微 分 を使 わ な い で 最 大 ・最 小 定 理 が 説 明 さ れ て い る.

練習問題 5.20 y=x3+3x2−9x−2の

関 係 に つ い て,x=−4,x=0の

5.21 y=x3−6x2+9x−3の

極 値 を を 求 め よ.

5.22 

初 速 度υ0〔m/s〕 で 真 上 に 投 げ た物 体 のt〔s〕後 に お け る 高 さh〔m〕 は,

で あ る.υ0=30m/s,t=2sの

5.23 

と き の 速 度υ 〔m/s〕 を 求 め よ.た

1辺 が20cmの

正 方 形 の 厚 紙 が あ る.そ

隅 か ら 正 方 形 の 部 分 を切 り取 り,箱 積 を 最 大 に す る に は,切 何cmと

の四

をつ くる.箱

の容

り取 る 正 方 形 の1辺 の 長 さ は

した ら よ い か.

ヒ ン ト  切 り取 る 辺 の 長 さ をxと す る と,そ

の 体 積V

〔cm3〕は,V=x(20−2x)2

5.24 

図 の よ う に,相

i1=Imsinωt〔A〕

互 イ ン ダ ク タ ン スMの

の 電 流 を 流 し た.二

回 路 に,

次 回 路 の 起 電 力e2

〔V〕を 求 め よ.

5.25 

と き の 増 減 を 調 べ よ.

図 の よ う にab間

も つ 抵 抗 が あ る.電 cを 移 動 し た と き,全

の 抵 抗 がR〔 Ω〕で,接

触 子cを

源 電 圧E〔V〕 を 一 定 に して,接

触子

回 路 を 流 れ る 電 流I〔A〕 を 最 小 に

す る接 触 子cの 位 置 を求 め よ. ヒ ン ト  ac間 の 抵 抗 をx〔 Ω〕,  cd間 の 抵 抗 をR−x〔 と し て,電

流 をI〔A〕 を求 め る式 は,

Ω〕

だ し,g=9.8m/s2と

す る.

(a) 不 定 積 分 と積 分 定 数   関 数y=x2を

微 分 す る と,y'=2xに

な るが,こ

こ で2xが

与 え られ た と き,微

分 す る前 の 関 数yを 求 め る こ と を積 分 す る と い う.こ こ で は,微 分 す る こ との逆 の 演 算 に つ い て 考 え る.微 分 す る とf(x)に な る 関 数 の1つ

をF(x),定

数 をCと

す る と,

で 表 せ る.微 分 す る とf(x)と な る 関 数 を 関数f(x)の 不 定 積 分 とい い,記 号

で 表 す.不

定積 分 は,

(5.27) と書 くこ とが で き,Cを

積 分 定 数 とい う.な お,∫ は積 分 記 号 で イ ンテ グ ラ ル と

読 む, (b) 積 分 の 基本 公 式   微 分 の 基 本 公 式 を 逆 演 算 して 求 め た もの が 次 の よ うな積 分 の 公 式 で あ る. ①(kx)'=kよ

  (5.28)

り

②(xn+1)'=(n+1)xnよ

り

③(cosx)'=−sinxよ

り

④(sinx)'=cosxよ

り

⑥(logx)'=1/xよ ⑦(εx)'=εxよ

り り

  (5.30)

 (5.31)

り

⑤(tanx)'=sec2 xよ

  (5.29)

 (5.32)

 (5.33)

 (5.34)

(c) 置換積 分  置換積分 は微 分法 の中の合成 関数の微分 法 と同 じ考 え方で,積分 変換 を別の積 分 変 数 に 替 え て,基 本 公 式 に あ て はめ て求 め る 方 法 で あ る.つ ま り,F(x)=∫f(x)dx

解

よ り,xで

微 分 す る と,F'(x)=f(x)

  ま た,x=g(u)と

お く と,F(x)=F{g(u)},こ

れ をuで

微 分 す る と,

(5.35)   式(5・35)をuに

つ い て 積 分 す る と,

(5.36)

例題

5.15

 次 の不 定積 分 を求 め よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

解

(1) (2) (3) (4) (5)

(6)

例題

5.16

 次 の不 定積 分 を求 め よ.

(1)

 (1)

 (2)

 (2)

例題

5.17  ∫(a+bx)3dxを

解

 a

例題

+bx=uと

積 分 せ よ.

お く と,x=u/b−a/bよ

5.18  ∫sin(ωt+θ)dtを

解

 ωt+θ=uと

例題

解

例

解

お い て,微

積 分 せ よ. 分 す る と,

5.19

 次 の 不 定 積 分 を求 め よ.

  5−x=uと

お い て,両 辺 を微 分 す る.

題 5.20

 次の不定積 分 を求 め よ.

  3−x=uと

お い て,微

分 す る と,

り,

題

練習 問 5.26 

次 の 不 定 積 分 を求 め よ.

(1)  (4)

5.27 

 (2)

 (3)

 (5)

 (6)

次 の 不 定 積 分 を 求 め よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

5.28 

次 の 関 数 を積 分 せ よ.

ヒ ン ト(3)

(5)

5.29

5.30

〓を利 用 す る.

〓を利 用 す る.

 〓を 求 め よ.

 〓 を求 め よ.

(a) 定 積 分 の 計 算 法   図5・5に 示 す 関数y=f(x)が

区 間 〔a,b〕でf(x)≧

0で あ る と き,曲 線f(x)とx軸

お よ び二 直線x=a,

x =bで

囲 まれ た面 積Sは,

(5.35) で 表 さ れ る.す F(x)と

な わ ち,f(x)の

不 定 積 分 の1つ

す る と き 面 積Sは,F(b)−F(a)か

を 図5・5

ら計 算

で き る.定 積 分 の 式 は,

(5.36) で 表 され る.な

お,こ

い う.な お,a,bを

の 定 積 分 を 求 め る こ と をf(x)をaか

積 分 限 界,aを

らbま で 積 分 す る と

下 限, bを 上 限 とい う.

(b) 定 積 分 の性 質   定 積 分 に つ い て も,不 定 積 分 の場 合 と 同様 に次 の性 質 が あ る.

①

例題

  (k:定 数)

②

 (5.38)

③

 (5.39)

5.21  図 の よ う に,y=x2の

る.曲

線y=x2とx軸

x =2で

囲 ま れ た 面 積Sを

解

 (5.37)

グ ラ フが あ

お よ び 二 直 線x=1, 求 め よ.

題

例

5.22

正 弦 波 の上 半 分 とx軸 とで

囲 ま れ た 部 分 の面 積 を求 め よ.

解  図 の よ う に,積 分 限界 は0か ら πまで で,sinx≧0で

あ る.面 積Sは,

例 5.23

 次 の 定 積 分 を計 算 せ よ.

(1)

解

 (2)

 (3)

(1) (2) (3) (4)

題 例 5.24

 次 の 定 積 分 を計 算 せ よ.

(1)

解 (1) (2)

 (2)

 (4)

題

題 例 5.25

 瞬 時値i=Imsinθ

で 表 さ れ る 正 弦 波 交 流 の 平均 値Iaを 求 め よ.

解  正 弦波交流 は対称波 であ るか ら平均値 を求 める場 合,半 周期 につ いて計算 す る.半 周 期 の 面 積Aは,

ゆ え に,平 均値Iaは,

答

5.26

 瞬時値〓

 交 流 の 実 効 値 は,そ

で表 される正 弦波交流 の実効値Iを 求め よ. の瞬

時 値 の2乗 の1サ イ ク ル 間 の平 均 の平 方根 で 表 さ れ る.ゆ え に, 〓の2乗 は,

こ れ を積 分 を用 い て求 め る.〓

とす る と,

①

② 式 ② を式 ① へ 代 入 す る と,

答

解 例

練 習問 題 5.31 

次 の 定 積 分 を計 算 せ よ.

(1)

 (2)

 (3)

 (4)

(5)

 (6)

 (7)

 (8)

5.32  図の ような三角 波 の実効 値 を求 め よ. ヒ ン ト  実 効値 は1/4周 期 で 計算 す る.図 の 直 線 の方程 式 は, 傾 きが

5.33 

図1の

Esinθ で,制

よ う に,サ

イ リス タ を 用 い た 単 相 半 波 整 流 回 路 が あ る.電

御 角 を α と し た と きの 負 荷 の 平 均 電 圧Edを

ヒ ン ト  半 波 整 流 波 形 は 図2の

求 め よ.

よ う に な る.

図1

5.34  図 の よ う なサ イ リス タ を用 い た単相 ブ リッ ジ順 変換 回路 が あ り,純抵 抗 負荷 が接続 されて い る. 制御 角α の と きの負 荷 の平 均電圧Edを 求 め よ.

図2

源 電 圧〓

5章  章末問題 1.次

の 関 数 を 導 関 数 の 式〓

を用 い て 微 分 せ よ.ま

た式 を展 開 して

微 分 した と きの 値 に 一 致 す る こ と を確 か め よ.

(1)

2.次

 (2)

の 式 を微 分 せ よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

3.次

の 関 数 を微 分 せ よ.

(1)

4.次

 (2)

の 関 数 を微 分 せ よ.

(1)

5.次

 (3)

 (2)

 (3)

の不 定積 分 を求 め よ.

(1)

 (2)

 (3)

(4)

 (5)

 (6)

(7)

 (8)

6.曲

線〓

と 直 線y=xで

囲 まれ た図形 の

面 積 を求 め よ. ヒ ン ト  2つ の 方 程 式 の グ ラ フ は 図 の よ う に 表 せ る.求 め る面 積 は〓

の部 分 で あ る. 図5・6

第1章 練習問題 1.1  (1)0.75  1.2 

(2)0.46  最 大公約 数  

(3)2.85714 

(4)3.16

最小 公倍 数

(1) 

12 

144

(2) 

3 

180

(3) 

3ab2 

18a2b3

(4) x(x−3) x2(x−3)(x+1) 1.3  (1)

 〓 (25と100の

(2)

 〓 (165と10の

(3)

答

(3)

答 1.5

最 大 公 約 数 は5)

 〓 (248と100の

(4) 1.4  (1)

最 大 公 約 数 は25)

最 大 公 約 数 は4)

(2)

答 (4)

答 答   0.25A   答   125V

1.6

答  40V 1.7  (1) (2)

(3)

(4)

1.8  (1)

(2)

1.9  (1)

(2)

(3)

(4)

1.10

答  R0=12Ω

答

1.11

1.12 

(1)

(2)

(3) (4) 1.13 

(1) (2)

(3)

(4)

1.14 

(1) (2) (3) (4)

1.15 

相 互 イ ン ダ ク タ ンスMは,ヒ

ン トよ り,

答  M=8mH 1.16 

(1) (2)

(3)

(4)

1.17 

(1)

(2)

1.18

1.19

答   14.1A

答   22.4A 1.20

1.21 

答   1.41A (ア)5 

(イ)2 

(ウ)−6 

(エ)−6 

(オ)−4

(キ)−9 

(ク)1 

(ケ)4 

(コ)−5

(ア) 

(イ) 

(ウ) 

(エ) 

(オ) 

(カ) 

(キ) 

(ク) 

(ケ)

 (カ)3  1.22 

1.23

〓の値 を下 式 に代 入 す る.

答  38N(符

号 が− であ るか ら吸引力)

1.24

〓の値 を下式 に代 入す る.

答   354pF 1.25 

分 子,分

母 をRで

割 る と,

① 式① の分母 のRと〓

の積 はR×〓

(一 定)と

な る の で2数 の 和 は,

② 式② が最 小 に な る条件 は〓

R=4の

で あ る か ら,

と き,式 ① の 分 母 が 最 小 に な るの で,式

① の 最 大 値 は,

答

1.26 

式 ① の 分 子,分

母 をRで

割 る と,

②  式 ② の 分 母 につ い て,2数 と き最 小 と な り,Rが

の積 はR×0.52/R=0.25(一

定)で あ る か ら,R=0.52/Rの

こ の 値 の と きPは 最 大 に な る.

し た が っ て,R=√0.25=0.5の

と きのP〔W〕

は,

答  20kW 1.27〔

ヒ ン ト〕 で 求 め た 式 ① の 近 似 式 の 第2項

まで 求 め る と,

答   1.19倍 1.28

  4%短

い ニ ク ロ ム 線 の 長 さl'=l(1−0.04)の

と きの 電 力P'〔W〕

は,

答  624W

章末問題 1.(1)最

大公 約数  12  最 小 公倍 数 288

(2)最 大公 約数  6 

2.(1)

(2)

3.(1)

最 小公 倍 数 72

(2)

(3) 4.(1)抵

抗 の 合 成 は,直

列 は和,並

側 の 抵 抗 か ら 合 成 す る の で,1Ω

列 は 和 分 の 積 で 求 め る.こ

の 直 列 で2Ω.次

の 回 路 の 場 合 は,右

に2Ω の 並 列 で1Ω.1Ω

の 直 列 で2Ω.

最 後 は2Ω の 並 列 で1Ω. 

答   1Ω

(2)6Ω と12Ω の 和 分 の 積 で4Ω.4Ω

の 直 列 で8Ω.8Ω

の 並 列 で4Ω 答4Ω

5. 答   4.47A 6.

答   0.48μF (2)静

電 容 量 の 合 成 は,並

合 成 は,回

列 は 和,直

列 は 和 分 の 積 で 求 め る.こ

路 の 右 側 か ら合 成 して い く.ま ず1μFの

合 成 は1μF.こ

の 回路 の 静電 容量 の

並 列 合 成 は2μF.次

に2μFの

の よ う に して 合 成 し て い く と最 後 は2μFと な る. 

直列

答   2μF

第2章 練習 問題 2.1 

t=20,T=75,Rt=100,RT=123.6の

値 を ヒ ン ト の 式 に 代 入 す る.

(一 次 方 程 式) 両 辺 を100で

割 り,左 辺 と右 辺 を 入 れ 替 え る.

1を 移 項 し,両 辺 を55で

割 る.

答 

2.2  平 衡 条 件 よ り,

2600と40rを

移 項 す る.

4.3×10-3〔

℃-1〕

両 辺 を−60で 割 る.

答   13.3Ω 2.3  ル ー プ 電 流I〔A〕 を求 め,次

に20Ω に 生 じる 電 圧 降 下V'〔V〕 を計 算 す る.

答6V 2.4(1)

  ①② 式 ① ×2,式

(2)

② ×3と す る.

  ①②

式 ① ×3,式

② ×2と す る.

③

③ 式 ③ を式① へ代 入す る.

式③ を式① へ代 入す る.

答 x=4,y=−2

(3)

答 x=1,y=3

  ①②

(4)

 ① ②

式 ② よ り,I1を

解 く と,

式 ① よ り,I2を

解 く と,

③

③

式 ③ を式① へ代 入す る.

式③ を式② へ代 入 す る.

④

④

式 ④ を式② へ代 入す る.

式④ を式① へ代 入 す る.

⑤

⑤

答  I1=4,I2=2

答 I1=3,I2=2

2.5 

ヒ ン トの 式 ② を 整 理 す る と,

②' 式 ① ×2,式

②'×1に

して か ら減 算 す る.

③ 式 ③ の値 を式 ②'に 代 入す る.

答 I−I1=3.6−2.4=1.2A

2.6 

ヒ ン トの 式 ①,式

② を整 理 す る.次

に 式 ① ×1,式

② ×2に し て か ら減 算 す る.

この値 を式① に代入 す る と,

答 I1=1A,I2=1A,I1+I2=2A

2.7 x,yを

求 め る 行 列 式 は 次 式 を展 開 して 求 め る.

答 x=8,y=17

2.8  電 流I1,I2,お

よ びI1+I2は

次 式 の 行 列 式 に な る の で 展 開 し て 求 め る.

答  I1=1A,I2=1A,I1+I2=2A

2.9  電 流I1,I2,お

よ びI3は 次 式 の行 列 式 に な る の で 展 開 して 求 め る.

答  I1=30mA,I2=10mA,I3=40mA 2・10 

(1)

(2)

答 x=5,x=−1 答 x=4,x=−4 (3) (x−1)(x−1)=0 答 x=1(重

2.11 

(1)

複 解)

(4)  (x−2)(x+2)=0 答 x=2,x=−2

(2)

答

答 (x−4)(x+5)

(3)

(4)

(重複解)

答

答

2.12  力率 の式 に題意 の数 値 を代 入 す る.

両 辺 を2乗 して,式 を移項 す る.

答  R=30Ω(負 2.13 

の 抵 抗 は な い)

図(1)の 電 力

 〓 ①

図(2)の 電 力

〓②

よ り

答 R=3.73Ω,R=0.27Ω(問

題 の 条 件 に 当 て は ま る抵 抗 値 は2つ あ る)

2.14 

6と4の

最 小 公 倍 数 は12で

あ る.

答  2.15 

(1)ヒ

ン ト よ りy=axで,x=−2の

と きy=6で

よ っ てy=−3x  (2)ヒ

答  y=−3x

ン ト よ りy=a/xで,x=3の

と きy=−6で

あ る か ら,

答

よって 2.16 

10:12:9

あ る か ら,

ヒ ン トの 式 ①,②

よ り,

答 I1=12A,I2=8A,I3=4A

2.17 

オ ー ム の 法 則 よ り,電 圧 が 一 定 に 加 わ っ て い る と,抵 抗 の 比 は 流 れ る電 流 に 反

比 例 す るか ら,

内項 の積 は外 項 の積 に等 しい か ら,

① r1,r2の

並 列 合 成 抵 抗 は(r1r2)/(r1+r2)=2Ω

で あ る か ら,

式 ① を 代 入 す る と,

 こ の 値 を式 ① へ 代 入 す る と,∴   r1=6  2.18 

①y=x−1 

② 

④ 

⑤

答  r1=6Ω,r2=3Ω

③

2.19 

ヒ ン トの 式 を グ ラ フ で 表 す と 図 の よ う に な る.

答 

2.20 

最 大 電 力 は,与

R50=23.9Ω

最 小 電 力 は,t=24と

え られ た 式P=1700−50tか

らt=0と

して,

し て,

受電 最大 電力 は,

受電 時 間は負 荷電 力 と 自社供 給電 力 と等 し くな る時 間tで 求 め る.

受 電 電 力 量W=700×14×(1/2)=4900kWh(ヒ

ン トの グ ラ フ に 示 す 斜 線 部 の 面 積) 答   PM=700kW,W=4900kWh

 〓を次式 に代 入す る.

2.21

答   160V 2.22  (1)式 を移 項 して

(2)式 を 移 項 し て

答 x＜6

答 x≦−1 (4)式 を 移 項 して

(3)式 を 移 項 して

答

答 2.23   

(1)① 式 の グ ラ フ は 図1の yの 値 がy＞0に

よ う に な る.

な るxの 範 囲 は, 答−1＞x,2＜x

(2)② 式 の グ ラ フ は 図2の yの 値 がy≦0に

よ う に な る.

な るxの 範 囲 は, 答−2≦x≦5

図1

図2

2.24   (1) 答 x=−2,頂

点(−2,−1)

(2) 答 x=1,頂

点(1,2)

(3)

答〓 2.25 

t=0∼6sの

し て 計 算 す る.tとhの 図 の よ う に な る.

と き のhの 値 を 式 ① に代 入 関係 をグ ラ フに す る と

頂点

章末問題 〓5倍

1.

答   400kΩ

①

2.

② 式① ×7− 式 ② ×5の 計 算 をす る.

③ 式 ③ を 式 ① へ 代 入 す る と,I2=6A  3.電

答I1+I2=8A

線 の 抵 抗R〔 Ω〕は, (ρ:抵

rを1/2倍,lを2倍にし

抗 率 〔Ω ・m〕,l:長

さ 〔m〕,r:半

径 〔m〕)

た と き の抵 抗 をR'〔Ω〕とす る と,

答 8倍 4.電 比 は,抵

源 電 圧V1〔V〕

の 電 圧 分 布 は 図 の よ う に な る.電

圧

抗 比 で あ る か ら,

答

5.

両 辺 にRを 掛 け て 答   R≧40Ω(40Ω

第3章 練習問題 3.1(1)

(2)

以 上 の 抵 抗)

3.2 

3.3  3.4 

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(1) 

0.342 

(2) 

力 率cosθ=P/Sよ

0.342 

(3) 

76゜  

(4) 

55゜

り,

無効 電力Qは,

答  72kW,96kvar 3.5 

(1) (2)

3.6

こ こ で,270゜＜

式(2・7)よ

θ＜360゜ で あ るか らsinθ＜0

り,

答 3.7  角 度 と高 さの 関 係 は,図 BCの

距 離 は,xtan45゜

3.8 

ac間,bc間

の よ う に な る.

で あ る.

答   27.3m の 距 離r〔m〕

を 求 め る.

ac間,  bc間 の 電 荷 に よ る 静 電 力F〔N〕 を 求 め る.

2つ の 静 電 力 の 合 成F0は,次

式 で 求 ま る.

答   0.64N 3.9 答   300kvar

3.10 

3.11 

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)

 (2)

(3)

 (4)

3.12 答   19.6kN 3.13 

光 源 か ら点P間

で の 距 離l〔m〕 は,

距離〓 こ こで法 線面 照 度Enを 求め る.

水 平 面 照 度Ehは,解

き方 の ヒ ン トの 図 よ り,

∴  水 平 面照 度Eh=20  3.14 

式(3・16)よ

り,

答 20lx

答 3.15 

求 め るT〔kN〕 は ヒ ン トの ベ ク トル 図 お よ び 正 弦 定 理 よ り,

答   30.6kN 3.16 

電 流 ベ ク トル 図 よ り,電 流I3を 求 め る と,

負 荷 の 電 力P〔W〕 は,

答

3.17 

(1)

答   0.966

(2)

答   0.259

3.18  (1)倍

角 の 公 式 よ り,

(2)倍

角 の 公 式 よ り,

答   0.933

答   0.067 電 卓 で の 検 算(1)〓   (2)〓

3.19 (1) 答   -0.26

(2) 答   第0.26

(3) 答   -3.73

3.20 

磁 極N,Sか

磁 界HN,HSは,

ら点Pま

で の 距 離r1,r2は,

点Pに

お け る 合 成 の 磁 界 の 大 き さH〔A/m〕

は,三

平 方 の 定 理 よ り,

答2.67×104〔A/m〕 3.21 

(1)

(2)

(3)

(4)

3.22 

(1)を

α=45°

と す る と,

(2)を

α=30°

と す る と,

関数 電卓 で の検 算

3.23 

電 力 計P1,P2〔W〕

線 間 電 圧Vl,線

の 計 算 式 は,

電 流Ilと す る と,

上 式 の 関 係 よ り,三 相 電 力P〔W〕 は,次

式 の よ う に な る.

答 3.24 

(1)

答  5A

(2)

答   6.1A 3.25 

答 

100π

〔rad/s〕

答 

120π

〔rad/s〕

答   0.4μs

3.26 

答   120m 3.27 

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

3.28 

3.29

回 転 角=電

気 角 ×〓

答  90°

  答  0.005μs

答   1.5m

3.30

答 3.31 

正 弦 波 交 流 の 瞬 時 式e〔V〕

〓 〔rad〕 進 み

は 次 式 で 表 せ る.

〓を上 式 に代 入 す る と,

題 意 よ り,

〓と同 じ値

答   100V 3.32 

電 圧υ 〔V〕の 位 相 に 対 す る 電 流 の 位 相 の 比 を 力 率 角 θ 〔rad〕と い う.

ヒ ン トの 式 よ り, θ=

電 流 の位相 /電圧 の位相 ∠0〓

よ っ て 負 荷 の 力 率cos〔%〕 は,

答  86.6%進 3.33 

み

(a)ヒ ン トの ベ ク トル 図 よ り合 成 値I0〔A〕 は,

答 (b)ヒ ン トの ベ ク トル 図 よ り,

〓(遅 れ 位 相 な の で−30° と な る)

答 3.34 

(1)

(2)

(3)

(4)

3.35 

電 源 電 圧 の 実 効 値V〔V〕 は,

回路 を流 れ る電流I〔A〕(実効 値)は, 答  4A 3.36 

平 均 電圧Va〔V〕

は, 答  Va=50V

波 形 率=実

効 値V/平

均 値Vaよ

り,実 効 値V=波

形 率 ×Va 答  V=57.8V

3.37 

波 形 率 の 式 を移 項 して,実

(波形率)〓

効 値 を 求 め る.

(実効 値)I /(平均 値)

答  5A 3.38 

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(5)

関数 電 卓 よ り〓

(6)

関数 電 卓 よ り〓

答  0.1〔rad〕(5.7°)

答  2.3〔rad〕(134°)

3.39 

R:XL=√3:1の

形 は 図 の よ う に な る.力

関係 の イ ン ピ ー ダ ン ス 三 角 率 角 θは,次

式 で 計 算 さ れ る.

答  30°

  電圧Vと 電流Iの ベ ク トル はZとRに そ れぞ れが平 行 に なる よ うに描 く.題 意 よ り, 電 圧Vを 基 準 ベ ク トル とす る と電流Iの ベ ク トル は時計 方 向(遅 れ位相)に30° ず れ て いる.力率 角 は 電圧 と電流 の位 相 角に等 しい. 3.40

答 章末問題 1.図

の 三 角 形 よ り,

(1) (2) (3) 2.加

法 定 理 を 用 い て 計 算 す る.

(1) 答  sinθ

(2) 答   sinθ

3.(1) 答 √3cos20°

(2) 答 √2×cos5°

答

4. 5.CA間

の 力FCAとCB間

  FCA,FCBは

の 力FCBは

ク ー ロ ンの 法 則 よ り,次 の よ う に 求 ま る.

負 の 値 で 吸 引 力 と し て働 き,図

ル 図 で 表 さ れ,そ

 〓 (進み位 相)

の ようなベ ク ト

の 合 成 ベ ク トルF〔N〕 は,

答  5.2×103〔N〕 6.回

路 の イ ン ピー ダ ンスZ〔 Ω〕 は,

電 流 の 実 効 値I〔A〕 は,

誘 導 リア ク タ ンスXL〔 Ω〕 に お い て,電

流 の 位 相 θ〔rad〕は,電

(遅れ位相)

答

第4章 練習問題 4.1 

(1)

(2) (3) (4) (5) (6) 4.2 

(1)

(2)

圧e〔V〕 よ り遅 れ る.

(3) (4) 4.3  そ れ ぞ れ の 共 役 複 素 数 をI,Zと

(1)

す る.

 (2)

4.4

答 4.5

答 4.6

答 4.7 

(1)

 〓 rad(第1象

限)

関数電卓〓 (2)

 〓 (第2象 限)

(3)

 〓 (第3象 限)

(4)

4.8 

 〓 (第4象 限)

(1)

答 (2)

答 (3) 答

(4)

答 4.9 

(1)

(2)

(3)

(4)

4.10

4.11 

 〓 で あ るか ら,

(1)イ

ン ピー ダ ン ス の 両 端 電 圧V〔V〕

は,

Vの 大 き さ〓

  答   125V

Vの 大 き さ〓

 答  50V

(2)

4.12 

(1) (2)

(3)

(4)

4.13

4.14 

合 成 ベ ク トルA+B,B−Aは

それ ぞれ

図 の よ う に な る.

4.15

I0の 大 き さ=〓 答  29.2A,39.9°

4.16

4.17

答  1.8Ω 4.18 

(1)

答  87−j50〔V〕

(2) 答  17.5+j17.5〔A〕

4.19

答  25A   ベ ク トル 図 は 図 の よ う に 電 圧 を 基 準 ベ ク トル と し,電 流 の 位 相 は90° 遅 れ る.

4.20 

グラ フ よ り

これ を三角 関 数表 示 で表せ ば,

答 〓

(極座 標表 示)〓

(三角 関数 表示)

4.21

答  4.22 

(1)

(2)

5.6−j19.2〔A〕

(3)

(4)

4.23 

座 標 表 示 で 表 す と,

イ ン ピ ー ダ ンスZは,

答 

6.25+j6.25√3〔

Ω〕

4.24

Z0の

大 き さ=√182+122≒21.6

答  21.6Ω,33.7°

4.25 答  17−j6〔V〕

4.26

答  2.23−j2.23〔A〕

4.27

答  0.63∠150°

4.28 

抵 抗Rの

ア ド ミ タ ン ス をYR,リ

ア ク タ ン ス の ア ドミ タ ンス をYLと

〔A〕

す る と,合

成 ア ド ミ タ ンスYoは,

答  0.02−j0.025〔S〕

4.29

力 率cosθ=cos32°

≒0.85 

答8.5A,85%

4.30

Zの

リ ア ク タ ン ス 分 は,+ｊ

で あ る か ら誘 導 リ ァ ク タ ン ス で あ る. 答 R=15Ω,XL=5Ω(誘

導 性)

4.31

答  10A 4.32

答

4.33 

で あ る.

図 よ り電 圧 は,〓  〓の ベ ク トル 図 を 描 く.電 流Iを 基 準 と し,ベ

ク トル 図 よ り,三 角 形 の

高 さVxは,

ゆ え にVL=100−80=20V 求 め るXL〔 Ω〕の 大 き さ は,

答  2Ω

4.34

答 4.35

答 

4.36 

虚 部=0の

な お,f0をLC並

と き の ωを ω0と して 計 算 す る.

列 回 路 の 共 振 周 波 数 と い う.

10A,36.9°

4.37

答  1+j3〔A〕,25+j50〔V〕 4.38 

電 力   P=VIcosθ

4.39 

抵 抗5Ω で500W消

〔W〕 よ り,

答  V=100V,π/6〔rad〕

費 さ れ る の で,

抵 抗5Ω と コ イ ル12Ω の 両 端 電 圧Vは,

答  ｊ5〔A〕

4.40  電流 の共役複 素 数〓

と な り,P=24W,Q=7var(遅

を 用 い る と,

れ 無 効 電 力)

答  24W 4.41 

抵 抗R1に 生 じる 電 圧V〔V〕 は,V=I1R1=10×10=100V

  抵 抗R2を

流 れ る電 流 Ｉ2〔A〕 は,

R2で 消 費 す る 電 力P〔W〕 は,

答  400W 4.42

Iの 大 き さ

答  0.6又 は60% 4.43 

4.44 

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(1)

(2) 4.45 

(1)

(2) (3)

(4)

(5) (6) 4.46  (ア)−5 

(イ)−2 

(ウ)2 

(エ)103 

(オ)−1

4.47 4.48 

電 力 増 幅 度APの

式 よ り, 〓2500倍

電 力 利 得GP〔dB〕

の 式 よ り,

答   34dB

章末問題 1. 

(1)

(2)

(3)

2.

答   15.8A 3.

答  60V 4.

答 5.電

流 の共役複 素 数〓

を用 いて電 力 の計 算 をす る.

皮相電力〓 答 P=800W,Q=600var 6.

答   46dB

第5章 練習問題 5.1  (1)

(2) (3) (4) (5)   分 母 が ∞ の と き,分 数 の値 は 限 りな く0に 近 づ く. (6)分 母 が0に な る の で 分 数 の 値 は 無 限大 と な る.

x→−2の

と きx＞−2の

側 か ら近 づ く か,あ

るい はx＜−2の

側 か ら近 づ くか

に よ っ て ± が 決 ま る.

(7) (8) 答 

(1)0,   (5)0, 

5.2  (1)f(x)=2x+5と

(2)f(x)=2x2−x+4と

(2)−4, 

(3)3, 

(6)±

(7)1,(8)1/2

∞, 

お く

お く

答  5.3  (1)

(2)

(4)1/3

(1)2,(2)1

答 (1)8,(2)5

5.4 (1) (2) (3) (1)∼(3) 

よ り,〓

ゆ え に〓

と な る. 答  (1)1 

5.5 

(2)2x 

(3)3x2

(1) (2) (3)

(4)

(5)

(6)

答  (1)−4−6x  5.6 

5.7 

(2)3−14x 

(3)2x+2 

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(1) (2) (3) (4)

(4)6−3x2 

(5)6x−2 

(6)2

5.8 

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

5.9  (1) ヒ ン トよ り求 め る 接 線 は 点(−2,2)を

通 り,傾

き−2の 直 線 で あ る か ら, 答  y=−2x−2

(2)  f(x)=−5x−x2と

お け ば,f(−2)=6

f'(x)=−5−2x,し

た が っ て,f'(−2)=−1

ヒ ン ト よ り 求 め る 接 線 は 点(−2,6)を

通 り,傾

き−1の

直 線 で あ る か ら,

答   y=−x+4 5.10 

(1) f(t)=15t−4.8t2よ

り  f'(t)=15−9.8tで

あ る か ら,

答  上 向 き に5.2m/s (2)  h=15t−4.8t2=0の t＞0で

と き のtを

求 め る.h=15t−4.8t2=0す

あ る か ら,

し た が っ て,f'(3.1)=15−9.8×3.1=−15.4m/s 

5.11 5.12

な わ ちt(15−4.8t)=0

答  下 向 き に15.4m/s

5.13 

ヒ ン ト よ り,u=ωt+θ

5.14 

ヒ ン ト よ り,u=sinx

5.15 

(1)

(2) (3) (4)

(∵ 倍 角 の 公 式sin2α=2sinα  5.16 

cosα

を 用 い る)

(1)

(2)

(3) 5.17 u=2x−1と

5.18 

お く と,u'=2,y=εu

(1)

(2)

5.19 

(1 ) 

5.20 xで

(2)

微 分 す る と,〓

  題 意 よ りx=−4とx=0をy'に

代 入 す る. 〓よ り,増 加 〓よ り,減 少 答  yの グ ラ フ はx=−4で

増 加 し,x=0で

減 少 す る.

 y

5.21 y'=0の

と きx=1,3で

あ る.

x＜1で

'＞0で あ り

 yは増加

1＜x＜3

'＞0で あ り

 yは減少

 y'＞ 0で あ り

 yは増加

3＞xで

答 x=1,y=1(極

5.22 

大 値),x=3,y=−3(極

tに つ い て 微 分 す る と 速 度υ が 求 ま る.

上 式 に 数 値 を 代 入 す る と,υ=30−9.8×2=10.4 

5.23 

体 積Vをxで

答10.4m/s

微 分 す る.

題 意 よ り,0＜x＜10で

5.24 

あ る か ら,x=10/3≒3.33 

二 次 回 路 の誘 導 起 電 力e2〔V〕 は,次

 一 次 回 路 の 電 流i1=I

msinωtを

答3.33cm

式 で 表 せ る.

代 入 し て, tで 微 分 す る と,

e2は,i1よ 5.25 

小 値)

りπ/2だ け 遅 れ 位 相 で あ る.

ヒ ン トの 式 よ りIを 最 小 に す る に は,分 母 を最 大 に す れ ば よ い.ゆ

と し て,dy/dx=0の

え に,

条 件 を 求 め れ ば,

答 接 触 子Cを 抵抗Rの 中心 にお く. 5.26 

(1)

(2)

(3) (4)

(5) (6)

5.27 

(1)

(2) (3) (4) (5)

(6) 5.28 

(1)

(2) (3) (4) (5) (6) 5.29

5.30

5.31 

(1)

(2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8)

5.32 

(実 効 値)〓

答 5.33

答 5.34

章末問題 1. 

(1)

展 開後

(2)〓

展 開後 2.  (1)

(2)

(3) (4)

(5)

(6)

3.  (1)

(2) (3) 4.  (1)

(2)

(3) 5.  (1)

(2)

(3) (4)

(5)

(6) (7)  3x−4=uと

お き,両 辺 を微 分 す る.

(8)  2−3x=uと

お き,両 辺 を微 分 す る.

6.2  曲線 の支 点 の座 標 の方程 式

を解 く と,交

点 は 点(−1,−1),点(2,2)で

あ る.区

間[−1,2]でx≧x2−2で

ある

か ら,求 め る 図 形 の 面 積 は,

答  4.5

索

引 加減法

■英数字

傾き

2乗 根

  19

3乗 根

 19

60分 法

  66

加 法 定理

 32   48  74

逆関数

  94

cos 

58

逆 三角 関数

  95

cos-1 

95

逆 正弦 関数

 95

147

共役 複 素 数

  101

log 

n元m次

方程 式

 28

n元 二 次方 程式

  40

極限

 138

  19

極 限値

 138

n乗根

行列 式

  36

sin 

58

極座 標 表 示

sin-1 

95

虚軸

  104

tan 

58

虚数

  100

tan-1 

95

虚数 記 号

  100

■あ行 ア ー ク コサ イ ン

 95

ア ー クサ イ ン

  95

ア ー ク タ ンジ ェ ン ト

 

ア ド ミ タ ンス

95

 124

複 素―

  124

按 分 比例

  44

虚数 単位

  100

虚部

 101

近似 値

  23

係数

  10

結 合 法則

 10

交 換 法則

 10

公倍数 移項 位相差 一 元 二次 方 程式 一 次 関数

  28  87  40   48

一 般角

 67

因数

  40

因 数分 解

 40   105

■か行 解

 3

最小―

  3

降べ きの 順

 10

公 約数

  3

最大― コサ イ ン

弧 度法 根

  3  58

 66  28,40

コ ン ダ ク タ ンス

オ イ ラー の公 式

 105

根 の公 式

 124

 40

■さ行   40

最小 公 倍 数

 3

最小定理

  22

静 電 容量

  151

最大公約数

  3

正の整数

  2

正比例

 48

最大値

  83

最大定理

  22

不 定―

 154

サ イン

 58

積分限界

  158

サ セプ タ ンス

  124

積分定数

 154

三角関数

  58

接頭語

逆―

 95

三 角 関 数 表示

  104

三平方の定理

 59

 48

漸近線 ■

自 己 イ ン ダク タ ン ス 指数

  151

 19

切片

  49,86

た行

対数

 18

  132

自然―

 133,147

常 用―

  132

次数

  10

指 数 関 数 表示

  105

代入法

指数法則

 18

帯分数

 6

自然 数

  2

多項式

  10

自然 対 数

  133,147

四則 計 算

 10

実効値

 104

実部

  101

周期

 82

主値 循環小数 瞬 時値 瞬 時電 力

単項 式 タ ンジ ェ ン ト

  10   58

直角 双 曲線

  48

  90

実軸

周波数

  32

 83

直交 座 標 表 示

 63

通分

 6

  95  2   83

底

  132

展 開式

 36  139

  128

常用対数

  132

導 関数

真数

  132

等式

 28

同 類項 スカラ

 63

ドッ ト

正弦

  58

■

正 弦定 理

  70

ナ ー ピ アの 定 数

整式 静 止ベ ク トル 整数 正 の― 負 の― 正接

 10  

101

な行  147

 10   113

二 元一 次 方 程 式

 2

二 項定 理

 2

二 次 関数

 2

二 次方 程 式

 58

n元―

 32   23  52   40  40

一元―

  40

二倍角

  75

■ は行 倍数

偏角

  91

波高率

  91

半 角 の公 式

 78   45,48

繁分数

 6

比

 44

ピ ー ク ピ ー ク値

変 曲点

 150

方程 式

  28

n元m次―

  28

n元 二 次― 一元 二 次―

  40  40

二元 一 次―

  32

 83

補角

  59

■ ま行

  142

無効 電流

微 分係 数

  139

無理 数

比 例式

  62

  128   14

 44

比 例 定数

  44,48

比 例 配分

  44

複 合 同順

複 素数

 40

連立― 28,32

  128

ピ タゴ ラス の定 理

複 素 イ ン ピー ダ ンス

  63   139

微分

複 素 ア ドミ タンス

63

変化 率

二次―

皮 相 電力

 

 2

波形率

反比例

ベ ク トル

■ や行 約数

  2,6

約分

 6

 75

有 限小数

 2

116

有 効 電流

 128  128

  124  

  101

有 効 電力

共役―

 101

有理化

 15

複素平面

 104

有理数

  2

不 定積 分

 154

不等号

  53

不等式

 53

負 の整 数

 2

分数

 2

分数式 分 配 法則 平均値 平 均 変化 率 平方根

余弦

 58

余 弦 定理

 71

■ ら行

 6

力 率 

128

  10

立 方根

  19

  90

累乗

  18

  138   14,19

連 立 方程 式

 28,32

〈監修 者 ・著 者 紹介 〉

浅 川 毅 学 歴

 東京都立大学大学 院 工学研究科博士 課程修了  博士(工 学)

職 歴

 東 海大 学 情 報 理 工 学 部 コ ン ピュ ー タ応 用 工学 科 助 教 授  第 一種 情 報 処 理技 術 者   「図解 や さ しい論 理 回路 の設 計 」 オ ー ム社   「PICア セ ンブ ラ入 門 」 東京 電 機 大学 出版 局   「基礎 コ ン ピュ ー タ工 学」 東 京 電 機大 学 出版 局  ほか

著 書

熊谷文宏 学 歴  神奈川大学 工学部 電気工学科卒業 職 歴  東京都 立工業高等専 門学校 嘱託員 著 書   「絵 と きで わか る 電 気 電 子 計測 」 オー ム社   「絵 と き 電 気学 入 門早 わ か り」 共 著,オ ー ム社 ほか

電気計算法 シリーズ 電気の ための基礎 数学 2003年11月20日 2007年1月20日

  第1版1刷   第1版3刷

発行 発行

監修者 浅 川 毅 著 者 熊谷文宏 学校法人  東京電機大学

発行所 東 京電 機大 学 出版局 代 表者   加 藤 康 太 郎 〒101‐8457 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2‐2 振 替 口 座   00160‐5‐71715

印刷 三立工芸(株) 製本 渡辺製本(株) 装 丁  高 橋壮 一

電 話  (03)5280‐3433(営

業)

(03)5280‐3422(編

集)

Asakawa Takeshi, Kumagai Fumihiro Printed in Japan C

*無 断 で 転 載す る こ と を禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁本 はお 取 替 え い た し ます。 ISBN  978‐4‐501‐11130‐4 C‐3054

2003

電気工学図書 詳 解付

詳解付

電 気基 礎  上 直流 回路 ・電気 磁気 ・基本交流 回路 川 島純 一／斎藤広吉 共著  A5判 368頁

電 気 基礎  下

本書 は,電 気を基礎か ら初 めて学ぶ人のため に, 理解 しやす く,学 びやすい こ とを重点におい て編 集。 豊富な例題 と詳 しい解答。

上 ・下巻を通 して学ぶ こ とによ り,電 気の知識が 身 につ く。各章 には,例 題 や問,演 習問題が多数 入 れてあ り,詳 しい解答 も付 けてある。

交流回路 ・基本電気計測 津村栄一／宮崎登／菊池諒 共著  A5判  322頁

4訂版 電 気 設 備 技 術 基 準   審 査 基 準 ・解 釈

電気 法規 と 電気 施 設 管理

東京電機大学 編  B6判  458頁 電気設備技術基準 およびその解釈を読み やす く編 集。関連す る電気事 業法 ・電気工事士法 ・電気工 事業法を併載 し,現 場技 術者お よび電気 を学ぶ学 生にわか りやす いと評判。

竹 野正二 著  A5判  352頁 大学生か ら高校 までが理解 できるよ うに平易 に解 説 。電気施設管理 につ いては,高 専や短大の学生 および第2∼3種電験受験者 が習得 しておかなけれ ばな らない基本的な事項 をまとめてある。

基礎 テキス ト

基礎 テキ ス ト

電気 理 論

回 路 理 論

間邊幸三郎 著 

B5判 224頁

間邊 幸三郎 著 

B5判 274頁

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直流 回路 ・交流 回路の基礎 から三 相回路 ・過渡現 象 までを平易に解説。難解 な数式 の展開をさけ, 内容 の理 解に重点を置い た。

基礎 テキス ト

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電 気 ・電 子 計 測

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三好正二 著 

前 田隆文/吉野利広/田中政直 共著  B5判 296頁

B5判 256頁

初級技術者や高専 ・大学 ・電験受験者 のテキス ト として,基 礎理論 か ら実務に役立つ応用計 測技術 までを解説。

発電 ・変電 ・送電 ・配電等の電力部 門および電気 材料 部門を,基 礎に重点をお きな が ら,最 新の内 容を取 り入 れて まとめた。

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理工 学講 座

電 気応 用 と情 報 技 術

基 礎 電 気 ・電 子 工 学   第2版

前 田隆 文 著 

宮入 庄太/磯部直吉/前 田明志 監修 A5判 306頁

B5判  192頁

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EA‐002