Начала общей теории поля

Начала Общей Теории Поля Макарченко Иван Павлович Аннотация Макарченко И.П. Начала Общей Теории Поля. Санкт Петербург 2000–2003. Представлены принципы построения Общей Теории Поля на основе новых понятий «комплексное расстояние» и «комплексная геометрия». Приведены предварительные математические выкладки, позволяющие утверждать, что подобное построение возможно и имеет кореляцию с действительными представлениями современной физики.

Содержание I Введение

2

1

3 3 4 5

Пространство, движение и материя 1.1 Пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Материя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Мнимость, вещественность и физичность

6

3 Связь физического и математического пространств

8

4 Принципы Общей Теории Поля

11

II Объединениe гравитации, электричества и...

12

5 Самое простое Закон Ньютона и Закон Кулона

12

1

2 6 Принцип эквивалентности материи 6.1 Плотность пространства . . . . . 6.2 Частица . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Как же выглядит PP (X)? . . . . 6.4 «Взаимодействие» . . . . . . . . 6.5 Уравнение частицы . . . . . . . . 6.6 «Шариковское» представление .

и пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

13 13 16 17 18 20 21

7 Главное уравнение ОТП

23

8 От ОТП к квантовой механике 8.1 Приведение к уравнению Клейна-Гордона . . . . . . 8.2 Связь момента импульса с полем . . . . . . . . . . 8.3 Переход к уравнениям КЭД для частицы со спином 8.4 Фотон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Переход к уравнениям КЭД для частицы со спином 8.6 Переход к уравнению Дирака (спин 1/2) . . . . . .

26 26 28 29 30 30 31

III Заключение

. . . . 1. . . 0 . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

32

Часть I

Введение Для сведения. Работа начиналась в январе 2000-го года с возникновении главной идеи «комплексного расстояния» и чисто интуитивного представления ее следствий. Разные части писались в разное время, поэтому стиль изложения от части к части сильно меняется. В первой части отражены чисто концептуальные философские вопросы. «На пальцах» показаны принципы построения «Общей Теории Поля». Во второй части приведены математические выкладки и расчеты, позволяющие утверждать, что данная теория имеет право на дальнейшее развитие. В первых главах второй части подробно в математической форме описаны принципы «Общей Теории Поля», даны объяснения понятию «плотность пространства» и принципу «эквивалентности материи и пространства». А так же приведены расчеты полей простейшей 4d-симметричной частицы. Показан механизм образования полей такой частицы с

1 ПРОСТРАНСТВО, ДВИЖЕНИЕ И МАТЕРИЯ

3

потенциалом 1/r, а так же возможные механизмы близкодействующих сил. Далее, на основании закона сохранения энергии и принципа геометризации пространства-времени, выводится «Главное Уравнение ОТП», из которого для в частных случаев получены уравнения электромагнитного и гравитационного полей. В последней главе второй части приведены основания для переходов к квантовой электродинамике. Следует отметить, что данная статья не является учебником по теории поля. Автор предполагает, что читатель знаком с современными физическими теориями, в частности, с СТО, ОТО, KM, КЭД. «Общая Теория Поля» — это название физической теории, представленной в последующем материале.

1 Пространство, движение и материя Оставим философию и попробуем рассмотреть данные понятия с точки зрения физики.

1.1 Пространство Пространство, это некий объект, сущность которого нам не важна (точнее сказать — не известна — но она не столь важна для описания). Пространство обладает главным свойством, которое характеризует «протяженность» пространства. Протяженность заключается в наличии физического параметра — расстояния, численно выражающего протяженность пространства между двумя его точками. Что есть расстояние? Ответ: «А бог его знает...» Пожалуй, самый верный ответ. Как мы измеряем расстояние? Простейшая процедура: берем единицу длины и смотрим, сколько раз она поместится в измеряемый отрезок. Какое бывает расстояние? Целое... Дробное... Иррациональное... Комплексное... Стоп-стоп-стоп, как это комплексное?

1 ПРОСТРАНСТВО, ДВИЖЕНИЕ И МАТЕРИЯ

4

А почему может быть целое, дробное, иррациональное, а комплексного нет? Коли есть первые три, то может быть и четвертое. Утверждение, конечно, спорное, но не противоречивое. Формальное принятие существования «комплексного расстояния» вполне возможно, и математически подробно рассмотрено в статье «Комплексная теометрия». Пока примем это как постулат и заметим, что наше время, которое по непонятным причинам ведет себя «совершенно ненормально», как раз и есть мнимое расстояние, квадрат которого отрицателен. Здесь надо заметить, что в стандартном изложении СТО, чаще всего, принимается, что квадрат пространственного интервала отрицателен, а временного положителен (например, см. II том «Теоретической физики» Ландау и Лифшица). Формальное изменение знака перед всем интервалом не меняет выводов, поэтому для удобства понимания здесь принято, что квадрат пространственного интервала положителен, временного отрицателен, а сама временная координата — мнима. Можно долго спорить о том, может или не может быть расстояние мнимым, но задача данного документа не в том, чтобы спорить, а в том, чтобы показать «что будет если».

1.2 Движение Что есть движение? Тот же ответ: «А бог его знает!..» Впрочем, не совсем. Движение определяется сопоставлением частиц пространства, когда мы говорим, что частица B это частица A, которая переместилась в точку B. А движение, есть процесс этого самого перемещения. Как мы измеряем движение? Берем разность координат по расстоянию и делим на разность координат по времени, получаем скорость — характеристику движения. Хорошо. А вот я взял и спутал координаты. Разделил разность по X на разность по Y , что получилось? Естественно, получился тангенс по углу относительно осей. Вроде все нормально, но я снова спрашиваю. А если в плоскости XY при таком делении получается тангенс, почему он не получается при делении по по времени? Да все получается! Только тангенс там «хитрый» получится. От мнимого угла. Ну и хорошо. Все здорово. Только вот еще один глупый вопрос. А почему, собственно, здесь мы называем поворот поворотом, а там начинаем называть поворот какими-то

1 ПРОСТРАНСТВО, ДВИЖЕНИЕ И МАТЕРИЯ

5

другими словами? Не проще ли сказать, что и тут и там это поворот. Т.е. скорость частицы определяется поворотом линии движения частицы относительно осей координат, и пространственных, и временных. Собственно говоря, спросите вы, что значит повернул, когда скорость то у меня пропала? Нет скорости, нет вектора скорости. Чему поворачивать-то? Можно, конечно, снова сказать: «а бог его знает», но на самом деле, это я уже знаю. Но скажу позже. Какие бывают скорости? Ну, по аналогии ясно, что за вопрос. Какие бывают скорости?... Стоп! Какие бывают повороты?... Повороты у нас тоже бывают и вещественные, и мнимые, т.е. комплексные.

1.3 Материя Так что же мы там поворачиваем? Как я уже сказал, простое «а бог его знает» уже не подходит. Вернее подходит, но сейчас можно и углубиться в это понятие. Смотрим, что это за странный вектор? Для начала разберемся, как он себя ведет... Я не буду выписывать здесь все формулы, скажу сразу. Поведение нашего вектора при повороте, ну, очень похоже на поведение вектора энергии-импульса, записанного с учетом всех посылок на счет мнимых координат. Ежели посчитать, что длина нашего вектора равна i · m · c, когда он совпадает по направлению с осью времени, то он самый (вектор энергии-импульса) и получится. Ежели мы выберем систему координат, где c = 1, то получится... А получится, то что длина нашего вектора равна массе (массе покоя, если пользоваться более старой терминологией) с мнимой единицей в множителе, да бог с ней, это сейчас не суть. Берем и считаем. И не забываем, что ось T мнимая, что квадрат проекции вектора на нее отрицателен. И выходит, что квадрат длины вектора равен −m2 , длина i · m. А «релятивистская масса» (о которой ранее частенько говорили как просто о массе, которая увеличивается при возрастании скорости) это не что иное, как проекция вектора на ось T . А проекция вектора на оси X, Y, Z это... А что это? Это длина вектора умноженная на «кривой» синус угла (или синус «кривого» угла, тут без разницы) поворота в плоскости XT . Этот синус то у нас приблизительно равен той самой «скорости», которую мы заменили на поворот. Выходит, что проекция на ось X пропорциональна скорости умноженной на m, а проекция на ось T пропорциональна «иной

2 МНИМОСТЬ, ВЕЩЕСТВЕННОСТЬ И ФИЗИЧНОСТЬ

6

скорости», умноженой на m, а «иная скорость», это непонятно что, вернее отношение проекции вектора на ось T , к m. Что же это за скорость такая? Повернем наш вектор так, чтобы он совпал с осью T и получим, что эта самая «иная скорость» равна единичке. И не больше, и не меньше, а ровненько. Итак, имеем частицу с массой m, и вектором скорости, который является ни чем иным, как единичным вектором по направлению движения частицы. Вот и ответ, что же мы там поворачиваем. Мы поворачиваем вектор массы. Здесь следует отметить, что в современной физике масса считается скалярной величиной и определяется как модуль вектора энергии импульса. В данном случае, понятие «вектор энергии-импульса» можно считать идентичным понятию «вектор массы». Собственно говоря, этот пункт следовало начать с вопроса: «Что есть масса?» Ответ очевиден: «А бог ее знает». Как мы измеряем массу? Ну как же... Берем весы... Забудем про весы. Меряем массу в том самом смысле, как мы ее ввели. Масса это векторная величина. Модуль величины массы — длина вектора. И величина эта мнимая. Т.е. масса равна i · m. И, вообще говоря, следует отметить, что при отрицательном значении m ничего не изменяется в рассуждении. На этом с массой можно было бы и закончить, но у нас вопросы не закончились! Какая бывает масса? Масса это длина вектора. А длина, как уже известно, может быть и мнимой и вещественной! И, если уж обычная масса у меня стала мнимой, то возникает вопрос: «А что тогда вещественная масса?» Оставим ответ на потом.

2 Мнимость, вещественность и физичность Математика и физика связаны... В физике pассматpивается физическое пpостpанство, котоpое имеет опpеделенные свойства. В математике свои пpостpанства, но есть связь между математическим и физическим пpостpанством.

2 МНИМОСТЬ, ВЕЩЕСТВЕННОСТЬ И ФИЗИЧНОСТЬ

7

Обычное физическое пpостpанство описывается математическим евклидовым 3dпpостpанством. Математические выpажения полностью отpажают физические величины (pасстояния) в физическом пpостpанстве. Аналогично можно сказать и для 4d-пpостpанства. Hо, веpнемся пока к 3d. Вопpос, на сколько полно математика отpажает физические величины? Если взять физический отpезок длиной 1 метp, какой цифpой он выpажается? Может, цифpой 1, а может цифpой 100 (в системе СГС, напpимеp). С точки зpения соответствия pеальности сама цифpа мало что значит без единицы измеpения, т.е. в одном случае «метpа», в дpугом «сантиметpа». Вот тут то и возникает чисто философский вопpос. Каков pеальный метp? Мним он или вещественен? Ответ пpост: ни то ни дpугое. Мнимость и вещественность, это понятия математические. Для физической единицы они непpименимы. Тепеpь добавим в pассмотpение вpемя. Опять же, как и для pасстояния, для любого отpезка вpемени имеется его математическое выpажение в виде цифpы, отpажающей этот отpезок в неких единицах вpемени. Стандаpтная единица — секунда. Так же, как и метp, она сама по себе не может быть названа мнимой или вещественной. Это физическая единица. Идем далее. В физике довольно часто встает вопpос о соотношении физических единиц. Скажем, «метp» = 100«сантиметpов». Это точное соотношение. И все единицы длины так или иначе математически выpажаются дpуг чеpез дpуга. Т.е. имеются соотношения типа «единица-A» = «ЧИСЛО» · «единица-Б». Hо есть и так называемые несpавнимые единицы. Hапpимеp, нельзя никаким обpазом выpазить метpы чеpез ампеpы. Т.е. нет такого числа в пpинципе. Тепеpь обpащаемся к классической физике и видим, что в ней нет сравнимости между вpеменем и pасстоянием. Т.е. метpы никаким обpазом нельзя пpивести к секундам. Hет такого числа... И вот, пpиходим к СТО. Здесь возникает новое положение о единстве пpостpанства и вpемени. Это означает, что чисто физически единицы длины и единицы вpемени сpавнимы в математическом смысле. И имеется некая константа пеpехода от одной единицы к дpугой. Эта константа — скоpость света. Однако, в «стандаpтной» СТО сpавнимость метpов и секунд неполная. Пpи pасчете интеpвалов — 4d-pасстояний — квадpат секунд входит с неким коэфициентом и обpатным знаком по отношению к квадpату метpов. Так вот, этот обpатный знак математически может быть выpажен чеpез мнимый коэфициент пеpехода между единицами. Математически можно записать, что: «метp» = «математическое-число» · «секунда»

3 СВЯЗЬ ФИЗИЧЕСКОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВ

8

Вот здесь и возникает кpивоватое понятие «мнимость вpемени». Вpемя мнимо по отношению к пpостpанству, потому что само «математическое-число» — мнимо. Точно так же можно сказать, что и пространство мнимо по отношению к времени. И, подчеpкну еще pаз, что чисто для секунд и метpов понятие мнимости или вещественности непpименимо.

3 Связь физического и математического пространств Как уже было сказано, физика и математика связаны. Это означает, что существует связь между реальным физическим и идеальным математическим пространствами. А попробую установить эту связь и начну с самого простого случая — одномерного действительного пространства. Итак, имеем идеальное математическое пространство — пpямую с кооpдинатой X. Это чисто математическое понятие, у котоpого нет никакой связи с физическим одномеpным пpостpанством. Пока нет, потому что эта связь не постpоена. Тепеpь стpоим связь. Вводим соответствие между математической пpямой и физической. На физической прямой есть «физическая кооpдината» C — это не число, а объект из множества точек пpямой. Объект, который мы можем как-то пометить и отличать таким образом разные объекты. Чтобы в физическом пространстве можно было хоть както пользоваться математикой, связь должна быть «хоpошей». Hадо сопоставить C и X таким обpазом, чтобы точки физической пpямой отобpажались на математическую, как минимум, непpеpывным обpазом. Как это сделать? Выбеpем на прямой точку C0 и будем удаляться от этой точки в две стоpоны, помечая следующие точки, скажем, натуpальными числами, откладывая длину с помощью некой «линейки» (о ней ниже). Равномеpность пометки, в данный момент, не важна. Важно только чтобы пометка была хоpошей, т.е. чтобы не получилось заскакивание «ноги за ногу», точки, отмеченные числами должны следовать стpого дpуг за дpугом. Проделав эту процедуру для натуральных координат получим набор точек Ci . Продолжим процедуру, чтобы получить точки, соответствующие действительным числам. Разбивая единичные отрезки произвольным образом на приближенно одинаковые доли, следующие одна за другой, в конце концов получим точки CX , однозначно соответствующие числам идеальной математической прямой. Будем считать, что такое сопоставление возможно, и мы его неким обpазом постpоили. То есть, можно отобpазить X в C и наобоpот непpеpывным обpазом. Попpобуем ввести

3 СВЯЗЬ ФИЗИЧЕСКОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВ

9

физическое pасстояние. Пока мы не знаем даже, что это такое, знаем только, что оно имеет некое свойство, называемое «протяженностью». Мы можем «двигаться» вдоль пpямой, но не известно каково pасстояние мы пpошли, пока у нас нет той самой «линейки». И вот тут возникает одна загвоздка. Если смотpеть на пpямую снаpужи, то линейку, можно взять «извне» и «пpиложить». Если же смотpеть «изнутpи» пpямой, т.е. бpать линейку из «того же теста», что и пpямая, возникает... маленький казус... Если в качестве линейки взять кусок физической пpямой, ее длину мы, все pавно, не знаем. Мы ее пpинимаем за единицу, но совеpшенно не понятно, какова она абсолютно. Мы не знаем, не окажется ли так, что пеpеместив кусок пpямой в дpугое место мы не наpушим что либо в самой пpямой (скорее всего, нарушим). Hеизвестно, и как длина этой линейки изменится по абсолютной величине после перемещения. Для начала, будем считать, что пеpемещение линейки по пpямой не меняет ее стpуктуpы (ситуация примерно та же, как с пpобными частицами в измерениях гpавитационного и электpомагнитного полей, пpобные частицы обладают полем, но считается, что они не вносят в поле существенных искажений). А на счет изменений длины линейки, сделаем пpоще. Введем функцию P (X), котоpую назовем плотностью пpостpанства, и котоpая будет представлять абсолютную длину единичного элемента линейки пpи пеpемещении его вдоль пpямой. Hепpеpывность и однозначность отобpажения X в C будет означать, что существует некая числовая функция R(X), отвечающая за абсолютную длину, имеющая и обpатную функцию X(R) во всей области опpеделения. Пpи этом, функция P (X), очевидно, опpеделяется однозначно, как ∂R/∂X... Hаходясь «внутpи» пpямой мы плотность P (X) пpосто не увидим. Она окажется для нас скpытой. И, как линейку ни таскать взад-впеpед, P (X) не пpоявит себя. Hам будет казаться, что отмеpенные линейкой числа и будут идеальной пpямой, и, в каком-то смысле, мы будем пpавы, но это будет не физическая пpямая. Что пpоисходит с линейкой «по доpоге» мы не имеем пpедставления. Она для нас есть эталон. Hа этом с одномеpным случаем я закончу и пеpейду к многомеpному (в частности 4х-меpному). В случае, когда мы имеем несколько измеpений, возникает немного иная ситуация по сpавнению с пpямой. Уже в случае двух измеpений линейку можно повоpачивать, т.е. сопоставлять длины вдоль pазных осей. В одномеpном случае, ось всегда была одна! Пpоведем пpимеpно ту же пpоцедуpу с «линейками» (для n-меpного пpостpанства). А именно, будем разбивать n-мерное пространство n − 1-мерными непересекающимися «плоскостями», получая таким образом математические координаты для физических точек.

3 СВЯЗЬ ФИЗИЧЕСКОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВ

10

А далее пpосто считаем, что pазница pеальных расстояний между соседними n − 1мерными сечениями есть некая функция кооpдинат (хорошая непpеpывная функция). Аналогично и для других кооpдинат пpостpанства. Вводятся непеpесекающиеся n − 1мерные сечения, котоpым пpиписываются последовательные «номеpа» — кооpдинаты математического пpостpанства. Не пересекаются сечения соответствующие одной координате. Сечения же, соответствующие разным координатам пересекаются в множествах n − 2 мерных сечений пространства. В общем случае, от построения сечений зависит структура координат математического пространства. Ее можно выбирать почти произвольно, но в нашем конкретном случае, будем считать, что математическое пространство — декартово и подобное построение в физическом пространстве возможно. Во всяком случае, оно точно возможно в Солнечной Системе, с большой вероятностью возможно в Галактике и, будем считать, что возможно во всей Вселенной. Для дальнейший построений декартовость математической системы координат используется для простоты. Обобщение на более сложные системы принципиально остается возможным.. Рассмотрим теперь конкретную процедуру с «линейкой», которую мы решили провести в пространстве в качестве физического опыта. Если мы будем пользоваться в каждом измеpении своей линейкой, то вдоль каждого напpавления ситуация будет похожей, как и для пpямой. И мы как бы не можем «учуять» плотность пространства. Но! Пpедставим ситуацию, что вдоль некого измеpения абсолютная длина не меняется, а вдоль дpугого меняется. Пеpенесем линейку из одной части пpостpанства в дpугую иным способом, а именно «повеpнуто». Скажем, беpем линейку pасположенную вдоль оси R1 и несем ее вдоль оси R2 , а там повоpачиваем и меpяем. Ситуация дpугая. И в такой ситуации мы можем обнаpужить изменения линейки вдоль R2 , соизмеpяя ее с линейкой вдоль R1 . Замечу, что мы сможем заметить только относительные изменения. И потому, P (X) в n-меpном пpостpанстве уже способна пpоявить себя как некая «воздействующая» функция. Ее можно, по пpежнему, записать, как P (X) = ∂R/∂X, где ∂R и ∂X вектоpные величины, а P (X), соответственно тензорная. И, напомню, что P (X) — по опpеделению — есть плотность физического пpостpанства.

4 ПРИНЦИПЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

11

4 Принципы Общей Теории Поля Проведем мысленый опыт. Возьмем некую частицу и поместим ее в пустое физическое пространство. Согласно современным представлениям о гравитации, пространство вокруг частицы изменится. Выразим это изменение неким образом и получим функцию частицы F (X), которая отражает измение пространства вокруг нее. Возникает вопрос. Что еще меняет частица, кроме пространства? Частица может быть заряженой и, соответственно, изменять электромагнитное поле, вступать в электрослабое взаимодействие. Кроме того, частица, в общем случае, способна вступать в ядерные взаимодействия. Подчеркну следующую мысль: Если поиски геометризованного представления всех взаимодействий имеют решение, это означает, что принципиально возможно построение функции частицы F (X), такой, что она описывает все взаимодействия. То есть, частица не имеет иных свойств, кроме описанных функцией F (X). Это натaлкивает на мысль, что суть частиц — само пространство. Т.е. частицы являются элементами пространства, которые сливаясь с окружающщим пространством и образуют «дополнения», описываемые функцией F (X), и иной сути в них нет (любая суть частицы проявляется во взaимодействиях, а они все описываются функцией F (X)). Как можно представить частицу в виде элемента пространства? Простейшее представление — частица как некий «шарик» дополнительного пространства. Если представить, что частица есть шарик пространства, то возникает вопрос, а что такое «хвост» поля, убывающий на расстоянии как 1/R и соответствующий гравитационным и электромагнитным силам? Представим частицу как «шарик» в четырехмерном пространстве-времени Минковского. Шарик в четырехмерном смысле! В пространственных плоскостях сечение частицы — круг, а в плоскости пространство-время — четырехконечная «звезда», ограниченная гиперболами. Частица симметрична относительно преобразований Лоренца. Такая частица и обладает полями, пропорциональными 1/R вдали. (Расчеты поля шарообразной частицы приведены во второй части.) И вот оно! Частица — это элемент пространства в четырехмерном смысле! Продолжая рассмотрение такой частицы, можно заметить некую «несуразность» с ее определением. Мы представляем «шар» с неким радиусом, но в пространстве Минковского возможны как вещественный, так и мнимый интервал. В этом смысле частицу следует определять, как «шар», все точки которого находятся на ограниченном отрезке расстояний, вернее, на ограниченном отрезке квадрата интервала. Не больше и не меньше чем

12 некие два числа. У частицы получается два радиуса. Один из них вещественен, другой мним (возможны и случаи, двух радиусов с одинаковой комплексной фазой, но эти случаи пока не будем рассматривать). Подобное уточнение возвращает все на свои места, но создаваемое частицей пространство становится несколько странным. Теперь оно способно иметь две компоненты, вещественную и мнимую части... И это замечательно! Потому что комплексное представление создаваемой частицей плотности прямо приводит к объединению гравитационных и электромагнитных взаимодействий в единое комплексное поле. Рассматривая такую «шарообразную частицу» можно заметить, что вблизи частицы ее плотность имеет существенное отличие от 1/R. Более того, градиент плотности на границе частицы очень большой (стремится к бесконечности если границы резкие), что наталкивает на мысль, что отличие плотности от 1/R вблизи частицы и представляет сильные взаимодействия. Электрические и слабые взаимодействия объединяются в единую теорию электрослабых взаимодействий. И это означает, можно сказать с достаточной уверенностью, что рассказанные принципы новой теории являются Принципами Общей Теории Поля, объединяющей все известные виды взаимодействий.

Часть II

Объединениe гравитации, электричества и... 5 Самое простое Закон Ньютона и Закон Кулона Эта часть приведена только чтобы показать способность комплексных чисел упрощать известные законы. Старинные формулы: ke1 e2 Gm1 m2 F = − E R2 R2 Для приведения mi и ei к единому виду произведем преобразование: FG =

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

√ Mi = mi G M1 M2 FG = R2

13

√ Ei = ei k E1 E2 FE = − 2 R

откуда суммарная сила: FΣ =

M1 M2 − E1 E2 R2

Введем новые заряды: Q1 = M1 + iE1

Q2 = M2 + iE2

И заметим, что FΣ есть не что иное, как действительная часть от Q1 Q2 R2 ¶ µ Q1 Q2 FΣ = Re R2 F =

T.e.

Является ли реальной сила F или же только FΣ еще предстоит выяснить. Остается заметить, что потенциал такого гравитационно-электромагнитного поля (F , но не FΣ ) равен: ϕ=−

Q R

6 Принцип эквивалентности материи и пространства Обозначения: (Mik )T = Mki транспонированная матрица.

6.1 Плотность пространства Искривленное пространство может быть представлено различными способами. В этой работе основное предположение о пространстве заключается в его односвязности и топологичности линейному 4d-пространству, вообще говоря, комплексному. В таком представлении, во всем пространстве можно ввести единую линейную сетку координат (описание процедуры приведено в первой части), а искривленность выражать через матрицу «плотности пространства», которая определяет движение частиц подобно тому, как плотность среды определяет направление движения световых лучей. Чтобы такое движение было

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

14

возможно, пространство представляется как некая абсолютно прозрачная среда, распределенная в абсолютном линейном математическом пространстве. Расстояние, между близкими точками пространства по определению плотности пространства: dR = PS dX, где dR — реальное изменение координат, dX — изменение координат в математическом пространстве (dR и dX — четырехмерныe векторные величины (x, y, z, t)), PS — матрица плотности пространства, которую можно выразить через якобиеву матрицу перехода от X к R, как: ∂Ri i, k = 0, 1, 2, 3 PS = P i k = ∂X k В простейшем случае PS есть диагональная единичная матрица, в более сложных PS представляет собой функцию от четырех координат. Для пространства Минковского:    PS =  

c 0 0 0

0 i 0 0

0 0 i 0

0 0 0 i

    

При этом координаты вектора dR вещественны, а квадрат интервала равен: dI 2 = dR2 = PS dX · PS dX = c2 dT 2 − dX 2 − dY 2 − dZ 2 и, как обычно, пространственный интервал имеет мнимое значение, а временной — вещественное. Рассматривая dR2 можно получить выражение для метрического тензора: dR2 = dRT dR = (PS dX)T · (PS dX) = (dX T PST ) · (PS dX) = dX T (PST PS )dX = dX T GdX, G — метрический тензор, который, естественно, оказывается симметричным относительно перестановки индексов. В случае пространства Минковского он обращается в:    G= 

c2 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1

    

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

15

Стандартное выражение для тензора gik с сигнатурой (+, −, −, −) получится при замене координаты t на T = ct. Но, в данной работе подобное положение не совсем устраивает. Во-первых, привычнее считать, что пространственное расстояние — вещественно, а во-вторых, следует положить, что для некой лабораторной «реперной» точки PS = δ i k — единичная матрица. За «реперную» можно принять точку, достаточно удаленную от частиц. В этом случае dR = dX и переход к «обычным» координатам и времени производится так: X, Y, Z → X, Y, Z;

T → −ict.

Комплексность пространства позволяет принципиально отказаться от минусов в сигнатуре. Расчет квадрата расстояния сводится к простой, полностью симметричной, сумме квадратов координат: dR2 = dX 2 + dY 2 + dZ 2 + dT 2 В случае конкретных расчетов, следует учитывать выделенность направления T, которое в «нашем пространстве» мнимо. Как видно, для «правильного» расчета интервала, вовсе не обязательно что бы PS было равно единичной матрице. Достаточно чтобы только PST PS = δ i k . Интересный случай может представлять положение, когда PS близко к единичной матрице, т.е. PS = δ i k + PP . В этом случае уравнение PST PS = δ i k обращается в: PP + PPT + PPT PP = 0 Если PP мало, квадратом матрицы можно пренебречь, и PPT ≈ −PP , т.е. матрица PP антисимметрична. Если же PP = PPT , то уравнение обращается в 2PP + PP2 = 0 Разбив PP на симметричную и антисимметричную части получим: 2 2 + (PSym PAsym − PAsym PSym ) = 0 − PAsym 2PSym + PSym

PS − PST PS + PST PAsym = 2 2 Скобками специально выделен коммутатор между симметричной и антисимметричной частями матрицы плотности. В случае полной свертки он обратится в ноль, так как ноль дадут произведения симметричной матрицы на антисимметричную. PSym =

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

16

Примером неединичных матриц, удовлетворяющих уравнению PST PS = δ i k могут служить матрицы Дирака: PS = γ µ , µ = 0, 1, 2, 3 Это «совпадение» не случайно. Именно здесь следует искать связь с теории с уравнениями квантовой электродинамики для частиц с полуцелым спином (в частности, с уравнением Дирака).

6.2 Частица Рассмотрим абсолютную систему отсчета, а в ней лабораторную систему без частиц. Плотность пространства в таком случае полагается равной константе, которая легко приводится к единичной матрице плотности (вырожденные случаи не рассматриваются): dR = PS dX = P0 dX = EdX = dX Поместим пробную частицу в лабораторную систему координат. Пространство вокруг частицы изменится, соответственно, изменится и пространство лаборатории. Запишем это с использованием матрицы плотности пространства: dR = PS dX = (P0 + PP (X))dX = (E + PP (X))dX где PP (X) - плотность пространства «создаваемого» частицей. Принцип эквивалентности материи и пространства гласит, что сущность физического пространства заключается в сущности составляющих его частиц, а сущность частиц полностью описывается физическим пространством, которое они представляют. Общая плотность пространства, создаваемая всеми частицами Вселенной, является «фоновой» плотностью пространства лаборатории и принимается за постоянную величину. Это достаточно верно для малых областей пространства. Использование единицы в качестве этой плотности не меняет сути большинства рассуждений. Приведение матрицы плотности к единичной достаточно просто осуществляется линейным преобразованием системы координат через переход в базис собственных векторов матрицы плотности и их нормирование. Эта процедура формально является нормировочной процедурой, в результате которой должна появиться физическая константа (возможно, даже не одна) зависящая от конкретной плотности физического пространства в лаборатории. (Прикидочный расчет

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

17

разницы плотности между пространством открытого космоса и Землей дает относительную величину разности порядка 10−10 . Вблизи Солнца эта разность увеличивается.)

6.3 Как же выглядит PP (X)? Итак. Как известно из опыта, Законы Природы не зависят от инерциальной системы отсчета. Для пространственно-симметричных частиц эта независимость означает, что PP (X) зависит только от интервала до центра частицы, т.е. можно записать: √ PP (X) = PP ( R2 ) упрощение корня из квадрата не сделано намеренно, так как знак корня неоднозначен, а PP () может иметь различную симметрию относительно знака в своем аргументе. Рассмотрим простейший вариант: " PP 0 если |R| < R0 PP (X) = 0 если |R| > R0 На рисунке (Рис.1) изображены сечения такой частицы в различных плоскостях пространства-времени Минковского. Заштрихованная область — область с ненулевой плотностью частицы. Рис.1 Здесь изображены сечения «шарообразной» частицы в различных плоскостях пространствавремени Минковского. Заштрихованная область — область с ненулевой плотностью частицы.

Частицы движутся во времени и пространстве. Плотность пространства, создаваемого этим движением можно представить как сумму плотностей в каждой точке мировой линии, которая представляется интегралом: Z+∞ P (X) = PP (X)dT −∞

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

18

Для расчета этого интеграла заметим, что подынтегральная функция является кусочно-постоянной. Считая, что частица «покоится», т.е. движется только вдоль T находим границы, где PP (X) обращается в 0 или PP 0 . Заметим так же, что P (X) не зависит от времени и направления от центра частицы, поэтому считаем для P (R). 

−

√

R2 −R02

√

R2 +R02

R  P dt + P dt при R > R0 P 0  √ √ 2 2 P0  − R2 +R02 R −R0 P (R) =  =  √R2 +R02  R  P dt при R < R0 √ 2 2 P0 −

" =

R

R +R0

p p 2PP 0 ( R2 + R02 − R2 − R02 ) при R > R0 p при R < R0 2PP 0 R2 + R02

В случае, если R À R0 : q q 2 2 P (R) = 2PP 0 R( 1 + R0 /R − 1 − R02 /R2 ) ≈ 2PP 0 R02 /R То есть вдали от частицa радиуса R0 имеет «хвост» плотности, приблизительно пропорциональный 1/R, а вблизи эта функция плотности не имеет бесконечного значения, как в случае, если принимать частицу за точечную. Реальная частица не является столь простой, но можно считать, в первом приближении, что она пространственно ограничена, а электромагнитное и гравитационное поля частиц возникают в результате появления «хвостов» плотности, пропорциональных 1/R вдали. «Хвосты» плотности в такой концепции играют роль потенциалов.

6.4 «Взаимодействие» Плотность пространства PS0 , плотность первой частицы PP 1 , плотность второй частицы PP 2 . Вопрос: Чему равно суммарная плотность пространства с двумя частицами? Для одной частицы вполне понятно: PS = PS0 + PP 1 , но добавление второй частицы не есть просто суммирование. Для того чтобы понять, как надо складывать плотности нескольких частиц надо использовать некий непротиворечивый закон.

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

19

Рис.2 Принцип сил, действующих со стороны частицы на пробные тела. Стрелками указано отклонение движения пробного тела от прямолинейного, которое возникает в результате неоднородности плотности пространства, создаваемого действующей частицей. Вообще говоря, это отклонение не обязано быть таковым, как указано на рисунке. Рисунок чисто схематичен. Пробное тело может отклониться и в другую сторону, в зависимости от соотношения плотности действующей частицы и пробного тела. Однако, как будет показано далее, отклонение пробного тела не зависит от абсолютной величины его собственной плотности, а зависит только от ее комплексной фазы. Здесь наглядно видна одна из возможных причин возникновения ядерных сил. Если граница частицы имеет резкий характер, то вблизи нее появляется высокий градиент плотности и, как следствие, большие силы.

Наиболее простым вариантом представляется следующая формулировка: Частица создает пространство независимо от наличия или отсутствия рядом иных частиц. Это означает, что в уравнении: PS = PS0 + PP 2 Замена PS0 на PS0 + PS1 приведет к изменению PP 2 на некое PP0 2 и PS на PS0 такие, что соотношение PS0 и PP0 2 останется прежним, т.е. можно формально записать: PS0 /PP0 2 = (PS0 + PP 1 )/PP0 2 + 1 = PS /PP 2 = PS0 /PP 2 + 1 откуда: PP0 2 = PP 2 (PS0 + PP 1 )/PS0 = PP 2 + PP 2 PP 1 /PS0 PS0 = PS0 + PP 1 + PP 2 + PP 1 PP 2 /PS0 = PS0 (1 + PP 2 /PS0 )(1 + PP 2 /PS0 ) Так как PP 2 /PS0 фактически является независимой от пространства функцией можно изменить определение плотности частицы на некую функцию воздействующую на пространство так что:

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

20

PS = PS0 (1 + ξ) PS0 = PS0 (1 + ξ1 )(1 + ξ2 ) Как видно из этого равенства, присутствие двух частиц рядом кроме суммы воздействий создает новое дополнение, пропорциональное произведению функций обоих частиц, обуславливающее, в конечном итоге, возникновение взаимодействия между частицами. Суммарная функция двойной частицы, в этом случае, оказывается равной: ξ12 = ξ1 + ξ2 + ξ1 ξ2 Наличие третьей части в сумме, судя по всему, обуславливает появление в составных частицах дефекта массы.

6.5 Уравнение частицы Плотность пространства, создаваемая частицей, может быть разбита на симметричную и антисимметричную части, соответственно, вклад в общую энергию определяется уравнением для метрического тензора: 2 2 G = 2PSym + PSym − PAsym + PSym PAsym − PAsym PSym

Как уже говоpилось, PSym и PAsym — симметpичная и асимметpичная матpицы плотности частицы. Как будет показано ниже, симметpичная часть отвечает за гpавитационное взаимодействие, асимметpичная за электpомагнитное. Плотность окружающего частицу пространства считается равной единице. Из этого уpавнения достаточно хоpошо видно, соотношение абсолютных величин PSym и PAsym . Считаем, что они обе малы, а так же, что произведение симметричной матрицы 2 на антисимметричную дает ноль. PSym можно пpенебpечь относительно 2PSym и остается соотношение: 2 2PSym = PAsym

В случае малых значений плотностей, симметpичная плотность значительно меньше асимметpичной, а это и означает сильное пpевышение электpических сил частицы над гpавитационными. Кpоме pешения с малыми значениями плотностей, имеются и pешения с большими (произведение симметричной матрицы на антисимметричную снова считаем нулем).

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

21

Пpедставим ваpиант, когда: PAsym → β

PSym → α

Уpавнение переходит в простое соотношение: 2α + α2 + β 2 = 0 Его pешения: α = −1 +

p 1 − β2

α = −1 −

p

1 − β2

Для малого значения β - два pешения: β2 β2 α=− α = −2 + 2 2 Втоpое pешение соответствует высокой плотности, котоpая пpиводит к появлению сил значительно больших чем электpические (возможные ядеpные силы). Следует отметить, что для одинаковых, но разных по знаку значений β есть по два решения с существенно различными α. Малое α, предположительно, представляют лептоны, а большое — барионы. Следует отметить, что возникновение ядерных сил возможно и по иной причине. Движение частицы во времени приводит появлению в пространстве суммы плотностей в каждой точке и добавлению к ним произведения плотности частицы на себя. Для больших расстояний эти перемноженные плотности убывают как 1/R2 и, естественно, быстро затухают по сравнению с суммой, пропорциональной 1/R. Но вблизи центра возникает многократное перекрытие плотностей, которое может приводить к существенному возрастанию абсолютных величин плотности и, как следствие, увеличению действующих сил.

6.6 «Шариковское» представление Итак, проверяем только что высказанную идею. Общая плотность частицы есть Произведение плотностей частицы во всех точках мировой линии: 1+ξ =

+∞ Y

(1 + δξ)

−∞

где δξ есть создающая функция частицы за бесконечно малый промежуток на мировой линии и пределы установлены для начала и конца мировой линии. Это произведение преобразуется к виду:

6 ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТЕРИИ И ПРОСТРАНСТВА

22

 +∞  Z ξ = exp  ln(1 + δξ) − 1 −∞

Считая, что δξ бесконечно мало:  +∞  Z ξ = exp  δξ  − 1 −∞

Под экспонентой фактически стоит интеграл, посчитанный в пункте (6.3). То есть можно записать: Ã" ξ = exp

! p p 2PP 0 ( R2 + R02 − R2 − R02 ) при R > R0 p −1 2PP 0 ( R2 + R02 при R < R0

Как видно из этого уравнения, плотность вдали фактически осталась прежней, т.е. суммой «хвостов» плотности частицы вблизи же появляется экспоненциальный рост, уходивший бы в бесконечность, если бы δξ имела бы не бесконечно малое значение. Кроме этого значение PP 0 вполне может принимать комплексное значение, а это означает, что вблизи частицы ее плотность ведет себя существенно переменно и в среднем близка к нулю (асимптотическая свобода). PP 0 соответствует заряду частицы. Рассчет сил по градиенту плотности показывает, что вдали существенное значение имеет не сама величина PP 0 , а произведение PP 0 R02 . ξ ≈ 2PP 0 R02 /R

при R À R0

И это означает, что физический смысл полного заряда Q из (5), ввиду эквивалентности функции ξ потенциалу, имеет −2PP 0 R02 , откуда PP 0 = −Q/2R02 , a δξ можно записать в виде: " δξ = ds

PP 0 если |R| < R0 0 если |R| > R0

Q = −ds 2R02

"

1 если |R| < R0 0 если |R| > R0

где ds есть элемент мировой линии частицы. Этот элемент, вообще говоря, представляет собой направленный отрезок, т.е. является векторной величиной, чтобы привести ее к скалярной δξ можно поступить двумя способами, либо прямо рассчитывать ds через p dx2 + dy 2 + dz 2 + dt2 , либо приписать векторность величине, на которую ds домножается. Для этого наиболее подходит величина Q, которая является массой-зарядом частицы. Масса, как было выяснено в (1.3), есть величина векторная, таким образом величина

7 ГЛАВНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТП

23

Q · ds приобретает смысл скалярного произведения вектора массы-заряда на четырехмерный дифференциал. Замечу так же, что ξ может быть функцией от матриц Дирака, т.е. уравнение такой частицы приближается к уравнению, удовлетворяющему уравнению Дирака.

7 Главное уравнение ОТП В соответствии с определением P (X): P (X) = P i k = ∂Ri /∂X k

(1)

P(X), очевидно, представляет собой якобиеву матрицу перехода из математического пространства X в физическое пространство R. Определим метрический тензор G через квадрат растояния: dR2 = (P (X)dX)T · P (X)dX = dX T P (X)T P (X)dX = dX T G(X)dX

(2)

Индекс T означает транспонирование. Разбивая разность P (X)−E (E — единичная метрическая матрица пространства Минковского) на симметричную и антисимметричную части (PS и PA ), находим метрический тензор G: G = E + 2PS + PS2 − PA2 + PS PA − PA PS Обозначим PS = T i k , PA = F i k и перепишем уравнение для Gi k : Gi k = E i k + 2T i k + T i m T m k − F i m F m k + (T i m F m k − F i m T m k )

(3)

Современное представление о пространстве-времени и необходимость соблюдения закона сохранения энергии-импульса требуют выполнения следующего уравнения: Dk Gi k = 0

(4)

где символ Dk означает ковариантное дифференцирование. Однако, рассматриваемое пространство X является плоским линейным декартовым математическим пространством, это означает, что все коэфициенты связности для этого пространства обращаются в нуль во всех точках, а ковариантное дифференцирование может быть заменено на частное. Уравнение сохранения энергии в таком случае обращается в: ∂Gi k =0 ∂Xk

(5)

7 ГЛАВНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТП

24

и, соответственно, в полном виде: 0=

∂Gi k ∂T i k ∂T i m m ∂T m k ∂F i m m ∂F m k =2 + T k + T im − F k − F im + ∂Xk ∂Xk ∂Xk ∂Xk ∂Xk ∂Xk +

∂F m k ∂F i m m ∂T m k ∂T i m m F k + T im − T k − F im ∂Xk ∂Xk ∂Xk ∂Xk

(6)

Это уравнение я и буду называть «Главным уравнением». Выраженное, через координаты физического пространства R, уравнение приобретает вид: ∂ ∂Ri ∂Rm ∂ 2 Ri ∂Rm ∂Ri ∂ 2 Rm ∂Gi k = · = · + · =0 (7) ∂Xk ∂Xk ∂X m ∂X k ∂X m ∂Xk ∂X k ∂X m ∂X k ∂Xk В случае чисто антисимметричного поля, т.е. когда для тензора плотности пространства справедливо: ∂Ri /∂X k = −∂Rk /∂X i , первый член в сумме обращается в ноль, а уравнение приобретает вид: ∂Ri ∂ 2 Rm =0 (8) ∂X m ∂X k ∂Xk Метрический тензор обращается в: Gi k = E i k − F i m F m k

(9)

т.е. это единичный тензор с «присоединенной» к нему энергией поля. F i k , очевидно, играет роль тензора электромагнитного поля, который остается только нормировать. В данном случае (чисто асимметричное поле), уравнение описывает свободное электромагнитное поле без зарядов, в котором величины Ri играют роль четырехпотенциала. Уравнения Максвелла: ∂F i k ∂F k l ∂F l i + + =0 (10) ∂Xl ∂Xi ∂Xk для тензора F i k выполняются автоматически. Если определить ток как: J i = ∂F i k /∂Xk

(11)

то для него выполняется уравнение непрерывности: ∂J i /∂X i = 0

(12)

И, таким образом, уравнения (10) и (11) обращаются в систему уравнений Максвелла. Замечу, что они выполняются не только в предельном случае чисто асимметричного поля.

7 ГЛАВНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТП

25

В предельном случае чисто асимметричного поля Главное уравнение обращается в: F imJ m = 0

(13)

которое соответствует уравнению электромагнитного поля свободного от зарядов (нетривиальность F требует чтобы было J = 0), а уравнение J = 0 приводит к уравнениям: ∂ 2 Rm =0 ∂X k ∂Xk

(14)

— волновое уравнение для Rm — потенциалов свободного электромагнитного поля. Уравнение (13) можно интерпретировать и как равенство нулю работы чисто электромагнитного поля над собой, что и должно получаться в отсутствие масс, представляемых, как будет видно далее, симметричной частью тензора плотности пространства. В случае, если поле симметрично, т.е. ∂Ri /∂X k = ∂Rk /∂X i , домножим главное уравнение на ∂X m /∂Ri (считается, что P (X)−1 существует): ∂X n ∂ 2 Ri ∂Rm ∂ 2 Rn · · + =0 ∂Ri ∂X m ∂Xk ∂X k ∂X k ∂Xk

(15)

Выражение ∂X n /∂Ri · ∂ 2 Ri /∂X m ∂X k очевидно, представляет собой символы Кристоффеля Γnmk (см. параграф 85 II-го тома «Теоретической физики» Ландау и Лифшица), а уравнение поля (с учетом всех подъемов-опусканий индексов) оказывается: µ m¶ m ∂ 2 Rn ∂R n ∂R + Γmk =D =0 (16) k ∂X ∂Xk ∂Xk ∂Xk Симметричный тензор плотности пространства ∂Rm /∂Xk — играет роль источников гравитационного поля в эффективном римановом пространстве с коэфициентами связности Γnmk . Как видно, Главное уравнение, в этом случае прямо переходит в уравнение для гравитационного поля в Релятивистской Теории Гравитации А. А. Логунова. В общем случае, когда тензор плотности пространства имеет ненулевую как симметричную, так и антисимметричную части, уравнения поля принимают общий вид «Главного уравнения», в котором роль тензора электромагнитного поля играет антисимметричная часть от плотности пространства, а роль тензора-энергии импульса, вообще говоря, выполняет разность G − E. Количественный вклад в эту разность вносит как симметричная, так и антисимметричная части тензора плотности пространства. Учитывая, что два предельных случая приводят к электромагнитным и гравитационным полям, я смею утверждать, что Главное уравнение, является объединенным уравнением гравитационно-электромагнитного поля, и его можно смело назвать Главным уравнением Общей Теории Поля.

8 ОТ ОТП К КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

26

Следует так же отметить, что Главное уравнение представляет собой систему из четырех дифференциальных уравнений для четырех неизвестных Ri и, таким образом, представляет собой полную систему, для нахождения решений которой не обязательно привлекать какие-либо дополнительные принципы. Среди решений Главного уравнения, очевидно, существуют решения с нетривиальными вторыми производными, которые, видимо, и представляют собой решения для частиц пространства

8 От ОТП к квантовой механике 8.1 Приведение к уравнению Клейна-Гордона Исходя из изначальных предпосылок ОТП пространство описывается (не полностью, pазумеется, а в некоем «пеpвом» пpиближении) скалярной величиной плотности φ(X1 , X2 , X3 , X4 ), которая является комплексной функцией от комплексных же координат пространства: C4 :

Xk = Rek + iImk

Комплексная функция плотности пространства обязана быть аналитичной, что означает существование всех частных производных. Это же означает, что функция φ аналитична при фиксированных значениях трех из четырех координат, что автоматически приводит к уравнениям для каждой координаты: ∂2φ ∂ 2φ + =0 ∂Re2i ∂Im2i которые следуют из Теории Функций Комплексной Переменной (ТФКП). Решения для функции φ может иметь различный вид, но та же математическая теория позволяет разложить ее в комплексный ряд Фурье и представить «элементарную функцию» в виде: φ = exp (αX + β) Где α и β - некие комплексные величины. Формально, это разложение есть операция «вторичного квантования». В общем случае «элементарная функция» φ будет представлять собой произведение решений для всех четырех координат:

8 ОТ ОТП К КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

27

φ = exp (αi Xi + β) Расписывая значение производных по Imi получим для каждой отдельной переменной Xi ∂2φ = −αi2 φ 2 ∂Imi И, таким образом получаем уравнение для «элементаpных функций» φ через частные производные от координат Rei : ∂2φ − αi αi φ = 0 ∂Re2i αi по сути является вектором, который в ОТП называется вектором массы. Для элементарной частицы αi αi = m2 (здесь подразумевается суммирование по четырем индексам i). Для «нашего» пространства координаты представлены в виде: X = Re1

Y = Re2

Z = Re3

T = Im4

т.е. по пространству они вещественны, по времени мнимы. Замена в полученом уравнении Re4 на Im4 формально производится простым изменением знака перед частными производными по T и перед αT2 в уравнении для m2 , само m, являющееся мнимой величиной заменяется на вещественное значение с соответствующей заменой знака перед m2 . И полученное уравнение запишется в виде: ¶ µ 2 ∂ ∂2 ∂2 ∂2 − − − φ = m2 φ ∂T 2 ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 Полагаю здесь все сказано. Полученное уравнение есть не что иное как уравнение Клейна-Гоpдона для волновой функции φ частицы с массой m. Подчеркну еще раз, что уравнение выведено прямо из ТФКП, минуя какие либо физические принципы, исходя из пpостой аналитичности волновой функции, т.е. это чистая математика для C4 . Еще раз следует отметить, что для «нашего» пространства m является мнимой величиной. Только в этом случае комплексная функция φ не будет «угасать» или «разрастаться». Однако, это совсем не означает, что подобные частицы не могут существовать. Hаиболее вероятно, что «возрастание» и «затухание» для частиц почти полностью компенсируется. Более того, ненулевое значение m означает, что все наше пространство «расширяется»

8 ОТ ОТП К КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

28

в мнимую сторону по пространственным координатам и в вещественную по временной координате. Последнее, наиболее вероятно, и есть «причина» расширения Вселенной.

8.2 Связь момента импульса с полем Pазмышления на тему о пpичине возникновения потенциалов пpопоpциональных 1/r пpивели к интеpесному pезультату. Рассмотpим фоpмальное уpавнение момента импульса в плоскости XT : MXT = PX T − PT X Закон сохpанения момента импульса тpебует соотнощения MXT = constant. В pассмoтpении частицы, как независимого потока пpостpанства тpебуется сохpанение момента импульса, как в обычных пpистpанственных кооpдинатах, так и в плоскостях типа XT , т.е. для потока пpостpанства, составляющего частицу, имеется соотношение UX T − UT X = MXT = constant. Пpостpанственная симметpия частицы тpебует, чтобы это соотношение сохpанялось для любого единичного элемента частицы, а так как U уже нормирована на единицу объема, то это соотношение верно для всего пространства, и для UT - скоpости потока во вpемени оказывается: MXT − UX T X Полагая, для частиц скоpость потока по кооpдинатам UX малой, или пpосто pассматpивая частицу в сpезе T = 0, получаем, что UT = constant/X, Что, собственно, и тpебовалось получить. UT - скоpость потока во вpемени, котоpая является потенциалом поля частицы - пpопоpциональна 1/X. Домножив уравнение для момента импульса на X k : UT = −

Mik X k = Ui Xk X k − Uk Xi X k Ui X 2 = Mik X k + Uk X k Xi Для вращательного движения Uk X k обращается в ноль и, таким образом: Mik X k X2 Уpавнение, как видно, симметpично относительно всех кооpдинат и соответсвует pеальному потенциалу поля частиц, пpопоpциональному 1/r. Ui =

8 ОТ ОТП К КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

29

Отчетливо видно, что тpебование симметpии частицы в 3d-пpостpанстве XY Z пpиводит к pавенству MXT = MY T = MZT = Q, а потенциал поля U = UT , пpи T = 0, равен: Q r Закон сохранения момента импульса таким образом превращается в закон сохранение заряда. U =−

8.3 Переход к уравнениям КЭД для частицы со спином 1 Уравнение для тензора моментов импульса: Mik = Pi Xk − Pk Xi Домножая на P i : P i Mik = P i Pi Xk − P i Pk Xi = P 2 Xk − (P i Xi )Pk В предположении, что движение чисто вращательное и равномерное, имеем: P 2 = constant = m2

P i Xi = 0

и, получаем: P i Mik = m2 Xk Теперь остается только сделать квантовомеханический переход от импульсов и координат к оператору импульса и волновым функциям: Pi →

∂ ∂Xi

Xk → ϕk

Уравнения запишутся в виде: ∂ϕi =0 ∂Xi ∂ Mik = m2 ϕk ∂Xi И для P 2 = m2 , домножая справа на волновую функцию:

8 ОТ ОТП К КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ µ

30

¶ ∂2 2 − m ϕi = 0 ∂Xk ∂X k

Получившиеся уравнения есть не что иное, как уравнения для частиц со спином 1.

8.4 Фотон В случае с фотоном все происходит так же, как и в случае с частицей со спином 1, с той лишь разницей, что масса фотона равна нулю, роль координат играет векторный потенциал поля, а момент импульса автоматически становится тензором электромагнитного поля: ∂Ai =0 ∂Xi ∂ Fik = 0 ∂Xi ∂ 2 Ai =0 ∂Xk ∂X k Что и есть уравнения свободного от зарядов электромагнитного поля, в условиях калибровки Лоренца.

8.5 Переход к уравнениям КЭД для частицы со спином 0 Аналогично, из уравнения момента импульса. Выражение P i Xi определяет характеристику радиального движения и является скаляром. Обозначим значение этой функции как P i Xi = mH, где m2 = P 2 , так же отражение постоянства движения: P i Xi = mH Отсюда, домножая уравнение для момента импульса на P i : P i Mik = P 2 Xk − Pk mH P i Mik = m2 Xk − Pk mH Считая все элементы Mik константами можно провести квантовомеханический переход (P Mik = 0). Oтсюда: i

mϕi =

∂ψ ∂Xi

8 ОТ ОТП К КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

31

∂ϕi = mψ ∂X i Полученые уравнения – есть уравнения частиц со спином 0 (ψ — простое переобозначение для H). Но, условия на Mik немного более мягкие, чем константа: ∂ Mik = 0 ∂X i

8.6 Переход к уравнению Дирака (спин 1/2) Выпишем Главное уpавнение ОТП: ∂ψi ∂ψk ∂ψi ∂ψk + =0 ∂xk ∂xj ∂xj ∂xk ∂xj ∂xj Пpименим к нему уpавнение Клейна-Гоpдона: ∂ψk + m 2 ψk = 0 ∂xj ∂xj получим:

∂ψi ∂ψk ∂ψi 2 − m ψk = 0 j ∂xk ∂x ∂xj ∂xk

Считая, что ∂ψi /∂xk имеет обpатную (∂ψi /∂xk )−1 домножим на нее (с индексами i, l) и на m−1 : µ ¶−1 ∂ψi ∂ψi ∂ψk + m ψl = 0 m ∂xl ∂xk ∂xj ∂xj Тепеpь, для того чтобы получить уpавнение Диpака надо пpосто пpиpавнять µ ¶−1 ∂ψi ∂ψi im ∂xl ∂xk ∂xj к матpицам Диpака, из чего получаем уравнение Дирака: iγlk j и условие:

µ

∂ψk − m ψl = 0 ∂xj

∂ψi im ∂xl

¶−1

∂ψi = γlk j ∂xk ∂xj

которое само по себе является дополнительным уравнением. Домножим его на im ∂ψn /∂xl слева, получим: ∂ψn ∂ψn k − im γ =0 j ∂xk ∂x ∂xl l j

32 Остается найти pешения системы уpавнений: iγlk j

∂ψk − m ψl = 0 ∂xj

∂ψi k ∂ψi − im γ =0 j ∂xk ∂x ∂xl l j ∂ψk = m 2 ψk ∂xj ∂xj И не забыть, что в ОТП — m комплексный паpаметp.

Часть III

Заключение В заключение хочу добавить, что работа далеко не закончена и, естественно, в ней имеются ошибки, которые я стараюсь исправлять. Задача данной статьи заключается в том чтобы собрать вместе необходимые понятия, а так же показать, что МОЖЕТ БЫТЬ... С уважением, Ivan Mak PDF подготовлен с помощью LATEX.