Алгебра и логика, 39, N 6 (2000), 635-647
УДК 512.54.01
О КЛАССАХ ЛЕВИ, П О Р О Ж Д Е Н Н Ы Х НИЛЬПОТЕИТНЫМИ ГРУППАМИ*)
А.И.ВУДКИН
Введение
Для произвольного класса Ж групп обозначим через Ь(Ж) класс всех групп
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
636
А. К
Будкин
Ь(Ж) в случае, когда Ж содержит лишь нильпотентные группы, исследо вались в [1, 4—6, 8]. Всюду в работе: N — класс всех конечно-порожденных нильпотентных групп, No — класс всех конечно-порожденных нильпотентных групп без кручения. Условимся через q% (через qG, если ОС = {G}) обозначать квазимногообразие, порожденное классом ОС групп, через ОС — множество всех конечно-порожденных групп из ОС. Если Ж — нильпотентное квазимногообразие, то, как будет замечено далее, L(gM) = qL(M). Оказывается, аналогичное утверждение неверно для классов N и No* Основная цель работы — доказать, что справедливы строгие включения qJ^o С L(gNo) и {N С L(qTf), откуда, в частности, следуют неравенства L(qJfo) ф qL(No) и L(qJ^) ф qL(N). Покажем также, что квазимногообразия L(qtf\f), L(qN0) замкнуты от носительно свободных произведений и что каждое из этих квазимногооб разий содержит не более одного максимального собственного подквазимногообразия. Докажем, что если квазимногообразие Ж замкнуто относи тельно свободных произведений, то таковым же является квазимногооб разие Ь(Ж).
§ 1. Предварительные сведения Напомним некоторые определения и обозначения. Как обычно, гр(а, 6,...) — это группа, порожденная элементами а, 6 , . . . ; гр(а, 6,... ) G — нормальная подгруппа группы (У, порожденная элементами а, &,...; [а, Ь] = = a~~lb~lab; Z(G) — центр группы G; Z — множество целых чисел. Будем говорить, что группа Н вложима в группу G, если группа Н изоморфна некоторой подгруппе группы G. Группа называется локально свободной, если всякая ее конечнопорожденная подгруппа свободна, и локально нильпотентной, если всякая ее конечно-порожденная подгруппа нильпотентна. Через S0C, Ри0С, Р/1П0С обозначаются соответственно класс всех под групп групп из ОС, класс всех ультрапроизведений групп из ОС, класс всех
О классах Леви, порожденных нильпотентными группами
637
прямых произведений с конечным числом сомножителей групп из ЗС. Бу дем говорить, что квазимногообразие ОС замкнуто относительно свободных произведений, если свободное произведение любых двух групп из DC снова содержится в %, Нам понадобится следующий признак принадлежности конечно определенной группы G квазимногообразию qX, являющийся частным случаем теоремы 3 [9J: конечно определенная группа G принадлежит
квазимногообразию
q% тогда и только тогда, когда для любого иеедипичного элемента g € G существует гомоморфизм <р группы G в некоторую группу из % такой, что д^ ф 1. Пусть X = {ж1,Ж2,...} ~~ конечный или счетный алфавит, F(X) — свободная группа, свободно порожденная множеством X, и а: — гомомор физм группы F(X) на некоторую группу G. Если {Р, Q. Р , . . . } — множе ство определяющих слов группы G в алфавите X при отображении а, то соответствующее представление группы G можно задать в виде G = rp{xux2,...\\P,Q,R,...).
(!)
В дальнейшем отождествляем символы Xi и соответствующие им поро ждающие элементы х?. Элементы из X назовем образующими символами группы G- Если Т — групповое слово в алфавите X, то через oXi(T) обо значается сумма показателей по Х{ в Г. Пусть t E G и Т = T ( x i , . . . , хп) — групповое слово в алфавите X, для которого Т(х^...
,#£) = t, тогда,
по определению, полагаем: oXi(t) =
Р(У), которое элементу и — х]1 .. ,х\т (st = ±1) из F(X) ставит в соответствие элемент т(и) = уриХ1 .. -Уе8^Хг из Р(У), где SJ = ж^1 .. . а^*7"*,
638
А. И. Будкин
если 6j; = 1, и 5j = я?1 .. .ж^, если Sj = - 1 . Заметим, что ограничение г на /1" является гомоморфизмом (см. [10, док-во теор. 2.8]). Представление группы
Н
относительно отображения
ys,x
—>
—» (s#sir ~ 1 ) Q ' получается, если воспользоваться теоремой о представле нии подгрупп [10, теор. 2.4]. Именно, в качестве множества образующих группы Н возьмем У, а в качестве множества определяющих слов — мно жество {T(SPS'1),T{8Q8"1),...
| se S}U{y8yX
\SX = SXB
F(X)}.
В частности, если Н = гр(х2, ж 3 ,.. .)G и G/H — бесконечная ци клическая группа, то в качестве шрейеровой системы представителей пра вых смежных классов группы F(X) по подгруппе К возьмем множество 5 = {х± | k £ Z}. Тогда по теореме о представлении подгрупп выполняется Н = гр({у^ >Х1 , yxkiX2,..
• h e z || {yx*>jri, г(а£Ра?-*),...
}keZ).
В дальнейшем будем использовать также одно следствие [10, след ствие 4.10.2] из теоремы Магнуса о свободе: если Е = гр(ж, с,... , t || Д(жр, с,... , *)), р ^ 0, т о подгруппа G группы Е, порожденная элементами жр, с , . . . , t, имеет представление G = i p ( b , c , . . . , t | | Д(6,с,... ,*)), г
О классах Леви1 порожденных нильпотентными группами
639
§ 2. Основные результаты Л Е М М А 1. Пусть конечно определенная группа С имеет пред ставление
С = 1р(аДсД...,/||6-*М[М...[Ь,/]),
p^-l,peZ.
Тогда М = гр(Ь, с, d,... , / ) с является локально свободной группой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку С/М — бесконечная циклическая группа, то по теореме о представлении подгрупп имеем: {yak,aiT(akpa~k)}kez),
M = r p ( { y a * j 0 , y a * i b , . . . , yaK,/}jfc€Z II
где Р = Ь~р[6, a][6, с ] . . . [6, / ] . Переобозначим yakJb, . . . , ya*}/ через 6 fc ,... , Д соответственно. Пусть Р& — слово, полученное из r(akPa~k)
вычеркивани
ем всех символов уак а (к Е Z). Удалив при помощи преобразований Тице из множества образующих группы М символы уан а (fc6Z), получим: М - гр({Ь,-, c i , . . . , fi}iez
ii { Я } * z ) ,
(2)
где 6t: соответствует элементу 6j = агЬа~\ С{ — элементу с,- — агса~\ . . . . . . , /,• -- элементу /,- = а% far1 группы М. В силу равенства r(a<Pa~') = r(o , V p [b,a]a~>(a^6,c]a- t )-..r(a 1 '[b,/]a'- 1 ") имеем Р, = bjp~lbi-x[bi,
с,-]... |>ь /,-].
Для каждого г = 0 , 1 , 2 , . . . зададим группу М,- образующими и опре деляющими соотношениями следующим образом. В качестве множества St образующих возьмем множество образующих группы М в представлении (2), кроме тех символов 6^? у которых к < —г — 1 или к > г, а в каче стве множества Е,- определяющих слов - множество { Р _ ; , . . . , Р»}. Таким образом, М,- = гр({Ь*}_,-_1^,-, {ъ,...
, /i} i € z II P-i • • • ,-R)-
При г = 0 группа MQ является одноопределенной: М 0 = rp(b_i, boi {с,-,... , /.-}i€z} II Ь~р~1Ъ„г[Ь0} со] • • • |>о, /о])-
640
Л. И. Будкин
Удаляя при помощи преобразований Тице элемент 6_i, видим, что М 0 — свободная группа. По индукции полагаем, что Мг — свободная группа, свободно порожденная элементами b t , {ci}ieZn • • • » {/«}iezДля каждого г = 0 , 1 , 2 , . . . рассмотрим отображение щ множества Si = {bk}-i-i^k^i
U {cfc}fcez U . . . U { A h e z порождающих элементов груп
пы М{ во множество порождающих элементов группы М,4-ъ при котором каждому порождающему элементу группы М, соответствует одноименный элемент группы M,-+i. Покажем, что отображение у?,- можно продолжить до вложения Тр{ группы Mi в группу Mi+\. Удалим, пользуясь преобразо ванием Тице, из множества S t +i образующих группы M l + i символ 6_г_25 а из множества определяющих соотношений слово P_,-_i. Новое представ ление группы M, + i отличается от представления группы Mi добавлени ем во множество образующих символов элемента fcJ+i и во множество определяющих соотношений — слова bj^
b,[6,-+i, 0,4-1]... [6t-+1, /,+i]. Пусть
F — свободная группа со свободными порождающими 6 г + ъ c«+i? • • * > Л+ь тогда группа Mt-+i изоморфна свободному произведению групп Mi и F с объединенными свободными подгруппами гр(Ьг, ct-+i, ...,/«41) и rp(b^'11[cl-+i, b t - + i]... [Л+1Л-+1], c,- + i,... , / t - + i), т. е. М,-+1 £* М,- * F (Ь{ = ЬР+i1 [/,•+!, 6,-+i]... [с,-+1, 6,-+1], СгЧ-1 = C|+i, . . . , /«-fi = / i 4 l ) .
В силу свойств свободного произведения с объединенной подгруппой су ществует естественное вложение Tpi : М,- —> М ^ ь Отображение ^ про должает отображение <#, и группа М, + 1 является свободной группой со СВобоДНЫМИ ПОрОЖДаЮЩИМИ Ь;+1, {Ci}; € z, • • • > {/e}i€Z-
Итак, существует возрастающая последовательность 5о С 5i С 52 С С •.. множеств образующих символов и возрастающая последователь ность Ео С Si С ^2 С . . . отвечающих им множеств определяющих слов. Кроме того, определенное выше отображение у?,- продолжается до вложе ния Tpi : Mi -* Mj4i Для каждого г = 0,1,2,
Отождествим подгруппу
Mf группы M,4i с группой Mi. При этом группа, представимая в виде оо
сю
оо
гр( (J Si || U Ej), изоморфна группе G = (J M,- (см. [10, § 1.3, задача 18]),
О классах Леви, порожденных нильпотентными группами
641
т. е. М = G. Группа G является объединением возрастающей последо вательности свободных групп, и поэтому она будет локально свободной. Лемма доказана. Л Е М М А 2. Пусть конечно определенная группа В имеет пред ставление В = гр(о, 6, с , . . . , / || Ь-"[Ь, аГ][Ь, а~*с][Ь, d\...[b, /]), где р ф Q, г£ > 0, р, г, i G Z. Тогда N — гр(6, с , . . . , / ) 5 является свободной группой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Схема доказательства совпадает со схемой до казательства леммы 1, поэтому подробности опускаем. Не ограничивая общности, можно предполагать, что г ^ 1. Подгруппа N имеет следующее представление: ЛГ = rp({6t-, c i ; . . . , fi}ieZ где hi соответствует элементу 63 = агЬа~\...
||
{Pi}iez), , /,- — элементу ft =
alfa~l
группы N,
Определим группу ЛГ,- так: JV; = rp({bk}~i~r^k
(3)
При г = О группа No является одноопределенной. Удаляя при помо щи преобразований Тице элемент bt) замечаем, что iV0 — свободная группа. Для каждого г = 0 , 1 , 2 , . . , рассмотрим отображение <# множества порождающих элементов группы Nt в представлении (3) во множество порождающих элементов группы iV,-+i, при котором каждому порожда ющему элементу группы iV, соответствует одноименный элемент группы N,•+1. Покажем, что отображение <р{ можно продолжить до изоморфизма Tpi группы N{ на группу Ni+\. Удалим, пользуясь преобразованием Тице, из множества Sj+i образующих группы iVt-+i символы b__^_i_r, b t - +1+t , a из множества определяющих соотношений слова P_,-_i,Pf*+1. Новое пред ставление группы iV^i совпадает с представлением группы iVt. Поэтому отображение Л^+i.
642
А. И. Вудкин Итак, существуют возрастающая последовательность So С Si С S2 С
С . . . множеств образующих символов и возрастающая последователь ность So С Si С 22 С . . . отвечающих им множеств определяющих слов. Кроме того, определенное выше отображение (pi продолжается до изомор физма Tpi : Ni -* JVj+i для каждого г — О,1,2, оо
При этом группа, пред-
со
ставимая в виде rp((J 5,- || \J S,), изоморфна группе iV0 (см. [10, §1.3, задача 18]) и поэтому является свободной. Лемма доказана. Т Е О Р Е М А 1. Для класса No всех конечно-порожденных
ниль
потентных групп без кручения справедливо строгое включение g!No С С£(
b-»[b, а][Ь, с]... [Ь, /]),
где р ф 0, ~ 1 , р G Z. Сначала покажем, что С € Z(#N 0 ), а затем — С $ £ qJ^Q. Пусть g — произвольный элемент из С. Тогда он представим в виде g = alcrd8u, где t , r , 5 E Z, <7а(^) = 0, crc(u) — 0, сг^(гг) = 0. Если t = 0, то (<7)с < М = гр(&, с , . . . ) с \ Свободная группа изоморф но вложима в декартово произведение нильпотентных групп без кручения (см, например, [5]) и поэтому принадлежит квазимногообразию qd^o. Из вестно также [12], что группа принадлежит данному квазимногообразию, если все ее конечно-порожденные подгруппы принадлежат этому квазим ногообразию. Отсюда и из леммы 1 получаем, что М £ 0, либо £s > 0, ли бо rs > 0. Предположим, что tr > 0, остальные случаи рассматриваются аналогично. Возьмем конечно-порожденные группы А и J3, имеющие пред ставления: А = гр(а, 6, с, d, е , . . . , / || b'p[b, ar][b, с]... [6, /]), В = гр(а, 6, с , . . . , / || &-*[Ь, аг][Ь, а ~ < ф , <*]... [6, /]).
О классах Леви, порожденных нильпотентными группами
643
По ранее сформулированному следствию 4.10.2 [10] теоремы Магнуса о свободе отображение a —> а г , Ь -> 6,... , / -» / продолжается до вложения (р : С ~> А. Тогда отображение а -> а, Ь ~> 6, с —> а" f с, d —> d,... , / -> / продолжается до изоморфизма -0 : А -» В. Поскольку oa(g^)
— 0, то
< ^ £ дг = гр(6,с,... , / ) в . Значит, группа (<9)с вложима в подгруппу N группы 23, и в силу леммы 2 выполняется (g)c G дЗЧо- Таким образом, Осталось убедиться, что С £ qNo. Пусть, напротив, С Е дКо- По сформулированному выше признаку принадлежности существует гомо морфизм £ :С -± G группы С в подходящую нильпотентную группу G без кручения, при котором Ь^ ф 1. Среди множества таких групп G возьмем группу наименьшей ступени нильпотентности, которую снова обозначим через G. Пусть G = G/Z(G),
ф : G ~» G — естественный гомоморфизм.
Известно [5, упр. 16.2.10], что G — группа без кручения. Следовательно, по выбору группы G имеем Ь^ = 1, т.е. Ь^ £ Z(G). Тогда (ЬР)« = [Ь€,а«]...[Ь«,/«] = 1. Поскольку G — группа без кручения, то Ь^ = 1, получаем противоречие с предположением. Теорема доказана. Полагая р = 1 в определении группы С и повторяя доказательство теоремы 1, получаем, что C ' ^ N B ЭТОМ случае. Значит, справедливо сле дующее С Л Е Д С Т В И Е 1. Для класса N всех конечно-порожденных
нилъ-
потеншных групп справедливо строгое включение qN С L(qN). В силу [5, теор. 18.1.2] произведение двух нормальных нилыютентных подгрупп произвольной группы является нильпотентной подгруппой, поэтому £(N) содержится в классе локально нильпотентных групп. Зна чит, <j0\f = gL(N) и qJ^0 = gL(No). Из теоремы 1 и следствия 1 теперь вытекает
644
А. И. Будкин С Л Е Д С Т В И Е 2. Справедливы следующие неравенства: L(qJ^o) ф
фдЦЩ
иЦЯЛ)фчЬ{К).
Для нильпотентных квазимногообразий имеет место следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ нилъпотентным.
1. Пусть квазимногообразие
Ж
является
Тогда Ь(цЖ) ~ gL(M).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку Ь(Ж) С L(qM) и класс
ЩЖ)
является квазимногообразием, то gL(Jvt) С Ь(дЖ). Для доказательства обратного включения достаточно проверить, что всякая конечно-порож денная группа из L(qM) принадлежит дЬ(Ж). Пусть G € L(qM)} G — конечно-порожденная группа, х Е G. По определению (x)G
£ qЖ =
— Ж. Поскольку Ь(Ж) является локально нильпотентным квазимногооб разием и G — конечно-порожденной группой, то G будет нильпотентной. Следовательно, (x)G — конечно-порожденная нильпотентная группа из М, поэтому (ж)^ € Ж. Отсюда G 6 £(ЗУС). Предложение доказано. Л Е М М А 3. Пусть квазимногообразие Ж замкнуто
относитель
но свободных произведений. Тогда квазимногообразие Леей Ь(Ж) также замкнуто относительно свободных произведений. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Ж — нетривиальное квазимногообра зие групп, А , В 6 Ь(Ж), G = А * Я, h 6 А * В, h ф 1, N = (/i) G . По теореме Куроша о подгруппах (см. [10]) группа N является свободным произведением своих подгрупп: N — П ЛГ,-, где iV,- — это либо бесконечг
ная циклическая группа, либо группа вида N П А9 для некоторого g £ G} либо группа вида Ат П В9 для некоторого g £ G. Поскольку N < G, то ЛГ п А^ £ ЛГ п А, Лг П Б^ £ ЛГ П В. Рассмотрим проектирование тг : G -» А, при котором а* — а для лю бого a G А и 67Г = 1 для любого be В. Поскольку (NnA9)*
= ((ЛТП А)5)71" =
= ЛГ П А, то ЛГ Г> А < JV* = ((Л) 0 )* = ( ^ ) A . Учитывая (h*)A € 3VC, имеем ЛГ п А 5 = Лг П A £ М. Аналогично показывается включение N П В9 Е М. Бесконечная циклическая группа содержится в М, следовательно, все со множители в разложении N в свободное произведение своих подгрупп при надлежат квазимногообразию Ж. Замкнутость Ж относительно свободных
О классах Леви, порожденных нильпотентными группами
645
произведений влечет, что все конечно-порожденные подгруппы группы N содержатся в Ж. Поэтому N Е М и, значит, G Е Ь(Ж). Лемма доказана. Т Е О Р Е М А 2. Квазимногообразия Леви L(qJ4) и L(gNo) замкнуты относительно свободных произведений. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 3 достаточно проверить за мкнутость относительно свободных произведений квазимногообразий gN и дКо. В [9] показано, что для любого класса Ж групп справедлива формула qЖ = S P u P / i n M . Поскольку P/mN = N, P/; n No = No, то gN - 3P U N, gN 0 = SP U N 0 . Пусть 3? Е {К, No}. Возьмем произвольные группы А, Л Е 3?. В силу равенств gN — SP U N, ^XQ = SP^No группы А, В вложимы в подходя щие ультрапроизведения Д Д 7 ^ ъ ^,
JBJ
6 к ( i e IJ
П Bj/rD2 групп, соответственно, где
eJ).
Пусть Ck (k E A"), G — произвольное множество групп, D — любой ультрафильтр над К, С = JJ C^/D — соответствующее ультрапроизведение. Элементы из С принято записывать в виде с2), где с — элемент декартова произведения Д С*. Для каждого g £ G через дЪ будем обозначать такой элемент из JJ (С& * G)/D, для которого #(&) = g при всех к £ К. Поскольку D — ультрафильтр над К, то отображение вида ci*Dgic2T>g2 . ..cn'Dgn -> cxgic2g2.
-.спдпЪ
является вложением группы С * G в группу Д (С^ * G)/V. кек Таким образом, группа JJ Ai/*D\ * П ^j/^2 вложима в группу Я = •'€/
= П ( П (А' * В^)/Ъ2)/Ъ\.
jeJ
Если At-, J5j E No, TO>
как
показано в [13], их
«'€/ .?€*/
свободное произведение А* * J3j вложимо в подходящее декартово произ ведение групп из No, и тогда Я Е (/No. Если A{,Bj E N, то в силу [14] группа Ai * Bj вложима в подходящее декартово произведение конечных нильпотентных групп, и, значит, Я Е QN. Группа А * Я вложима в группу Я , поэтому А * В Е
А, И. Будкин
646
содержит не более одного максимального собственного подквазимногообразия. Отсюда и из теоремы 2 вытекает следующее С Л Е Д С Т В И Е 3. Каждое из квазимногообразий
Леей X(g3sf) и
L(qJ^o) содержит не более одного максимального собственного подквазимногообразия.
ЛИТЕРАТУРА 1. L. С. Карре, On Levi-formations, Arch. Math., 23, N 6 (1972), 561-572. 2. F. W, Levi, Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic conditions, J. Indian Math. Soc, 6 (1942), 87—97. 3. R. F. Morse, Levi-properties generated by varieties, in: The mathematical legacy of Wilhelm Magnus. Groups, geometry and special functions (Contemp. Math., 169), Providence, RI, Am. Math. Soc, 1994, 467-474. 4. А. И. Будкин, Квазимногообразия Леви, Сиб. матем. ж., 40, N 2 (1999), 266-270. 5. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1982. 6. L. С. Карре, W.P.Kappe, On three-Engel groups, Bull. Aust. Math. Soc, 7, N 3 (1972), 391-405. 7. K. W. Weston, ZA-groups which satisfy the m-th Engel condition, 111. J. Math., 8, N 3 (1964), 458-472. 8. L. C. Kappe, R. F. Morse, Levi-properties in metabelian groups, in: Combina tional group theory (Contemp. Math., 109), Providence, RI, Am. Math. Soc, 1990, 59-72. 9. А. И. Будкин, В, А.Горбунов, К теории квазимногообразий алгебраических систем, Алгебра и логика, 14, N 2 (1975), 123—142. 10. В.Магнус,
В.Каррас, Д. Солитэр, Комбинаторная теория групп, М., Нау
ка, 1974. 11. В. А, Горбунов, Алгебраическая теория квазимногобразий, Новосибирск, Научная книга (ИДМИ), 1999. 12. А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М., Наука, 1970. 13. А. Л. Шмелькин, Сплетения алгебр Ли и их приложения в теории групп, Труды Моск. матем. о-ва, 29 (1973), 247-260.
О классах Леви, порожденных нилыютентными группами
647
14. К. W. Gruenherg, Residual properties of infinite soluble groups, Proc. Lond. Math. Soc, III. Ser., 7, N 25 (1957), 29-62. 15. А. И, Будкин, Квазимногообразия групп, замкнутые относительно сплете ний и Z-сплетений, Алгебра и логика, 38, N 3 (1999), 257—268.
Адрес автора: ВУДКИН Александр Иванович, РОССИЯ, 656064, г. Барнаул, ул. Павловский тракт, д. 60а, кв. 168. Тел. (дом.): 42-81-98. e-mail: [email protected]
Поступило 14 апреля 1999 г. Окончательный вариант 15 сентября 1999 г.
