Оптика и атомная физика: Учебно-методическое пособие к контрольным работам по специальности ''Геологическая съемка, поиск и разведка месторождений полезных ископаемых''

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

О П Т ИКА И А Т О М Н А Я Ф ИЗИКА У ЧЕ БН О -М Е Т О Д И ЧЕ С К О Е П О С О БИ Е к контрол ьнымработам по по специал ьности геол огическая съ емка, поиск ираз в едкаместорож дений пол ез ных ископаемых – 130301 (080100)

В оронеж – 2005

2

У тв ерж дено научно-методическимсов етомф изического ф акул ьтета1 марта 2005 г., протокол № 3

С остав ител и: О .В . Рога зи н с ка я С .Д . М и лови д ова А .С . С и д орки н В .Б. Бруда н и н

У чебно-методическое пособие подготов л ено на каф едре экспериментал ьной ф изикиф изического ф акул ьтетаВ оронеж ского государств енного унив ерситета. Рекомендуется дл я студентов 1 курса з аочного отдел ения геол огического ф акул ьтета по специал ьности: геол огическая съ емка, поиск и раз в едка месторож дений пол ез ных ископаемых. Работа в ыпол нена при поддерж ке гранта VZ-010 Американского ф онда граж данских иссл едов аний и раз в ития (CRDF) и по программе « Ф ундаментал ьные иссл едов ания ив ысш ее образ ов ание»

3

С О Д Е Р Ж А Н ИЕ 1. М етодические указ ания к в ыпол нению иоф ормл ению контрол ьных работ… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .4 2. П римеры реш ения з адач … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… .8 3. Задачидл я самостоятел ьного реш ения. ..… … .… … … … … … … … … … … .19 4. В арианты контрол ьной работы N 1 … … … … … … … … … … … .… … … … ..20

4

М Е Т О Д ИЧ Е С КИЕ У КА ЗА Н ИЯ К ВЫП О ЛН Е Н ИЮ И О Ф О Р М ЛЕ Н ИЮ КО Н Т Р О ЛЬН ЫХ Р А БО Т 1.В соотв етств ии с учебным пл аном в 1-ом семестре 1 курса студенты в ыпол няютконтрол ьную работу по механике имол екул ярной ф изике, которую необходимо в ысл атьв деканатгеол огического ф акул ьтетадо 1 декабря. 2. В ыпол нять контрол ьную работу нуж но тол ько посл е изучения сл едующ их раз дел ов ф изики: 1. « Ф изические основ ы механики» , в кл ючая « К ол ебания ив ол ны» . 2. « М ол екул ярная ф изикаитермодинамика» . 3. П рирассмотрении раз л ичных раз дел ов ф изикив стречается множ еств о ф изических в ел ичин – дл ина, в ремя, сил а, импул ьс ит.д. Э типонятия имеютне тол ько числ енные з начения, они обл адают раз мерностями, а кроме того, единицей , в которой ф изическая в ел ичинаимеетданное з начение. Н етникакого смысл а в утв ерж дении, что самые бол ьш ие растения – гигантские секв ой и имеют в ысоту рав ную 100. В есьма сущ еств енно, что эта в ысота – 100 метров . М ел ьчай ш ие кл еткиимеют раз меры прибл изител ьно 10-6 м (а не просто 10-6). Т .е. максимал ьные отнош ения раз меров ж ив ых объ ектов состав л яют 108 ил и 100 мл н. 4.П риступая к реш ению з адач, необходимо: а) пол ностью написатьусл ов ие з адачив тетради; б) в ыписатьз аданные в ел ичины в букв енных в ыраж ениях с их числ енными з начениямиираз мерностями, аискомые в ел ичины – с в опросител ьными з наками; приреш енииз адач пол ьз ов аться системой С И ; в ) есл и это необходимо по усл ов ию з адачи, сдел ать чертеж ( с помощ ью чертеж ных принадл еж ностей ), нанемуказ атьнаправ л ение з аданных иискомых в ел ичин, самиэтив ел ичины обоз начитьбукв ами. 5.Реш ения з адач сопров ож датьобъ яснениями. 6.В се ф изические в ел ичины в ыраж аются в св оих единицах и в урав нениях, св яз ыв ающ их ф изические в ел ичины, как числ а, так и их единицы в обеих частях урав нений дол ж ны бытьодинаков ыми. 7. П ростые з адачи л учш е реш ать в общ ем в иде и тол ько в конечны х в ыраж ениях произв одить в ычисл ения. Е сл и з адача требует громоз дких в ычисл ений , то мож но произв одить их не в конечных, а в промеж уточны х ф ормул ах. 8. В конечных ф ормул ах обяз ател ьно указ ыв ать раз мерность в ел ичин, пол ученных в рез ул ьтате в ычисл ений . 9. О бяз ател ьно в ыписатьотв етз адачи. П оря док выполнения и оф ормления работ 1.Н а обл ож ке тетрадинуж но указ ать номер контрол ьной работы, номер з ачетной книж ки, в ариант, ф акул ьтет, курс, ф амил ию иинициал ы студента.

5

2. У сл ов ия з адач нуж но переписыв атьпол ностью, ареш ения их изл агатьпо прав ил ам, прив еденнымв ыш е. 3. Т екстконтрол ьной работы дол ж ен быть написан грамотно, раз борчив о иаккуратно. Н ебреж но оф ормл енные работы будутв оз в ращ ены без пров ерки. 4. П исать контрол ьную работу нуж но с остав л ением пол ей (3 ÷ 4 см) дл я з амечаний реценз ента. 5. В конце контрол ьной работы дол ж ен бытьуказ ан переченьл итературы, испол ьз ов анной прив ыпол ненииработы. 6. Закончив работу, нуж но в нимател ьно прочитать ее, исправ итьош ибки, подписаться ипостав итьдату. 7. Е сл иприв ыпол ненииконтрол ьной работы в процессе реш ения з адач и св яз анного с этимизучением теоретического материал ав стречаются отдел ьные з атруднения, которые самостоятел ьно преодол еть не удается, нуж но прий тина консул ьтацию к преподав ател ю, читающ ему курс ф изикинаф акул ьтете ил и (дл я иногородних) посл ать по почте з апрос в унив ерситет дл я пол учения необходимых указ аний . 8. П ров еренные контрол ьные работы сл едуетсохранятьипредъ яв л ять их на экз амене как документ о самостоятел ьно продел анной работе. Без предъ яв л ения контрол ьных работ студент к сдаче экз амена по ф изике не допускается. У мение реш ать з адачиприобретается систематическимиупраж нениями. Чтобы научиться реш ать з адачииподготов иться к в ыпол нению контрол ьных работ, нуж но посл е изучения очередного раз дел а учебника в нимател ьно раз обрать помещ енные в этом указ ании примеры реш ения типов ых з адач, реш ить з адачи, предл агаемые дл я самостоятел ьного реш ения, и посл е этого приступатьк в ыпол нению контрол ьной работы. О С Н О В Н Ы Е Е Д И Н И Ц Ы Ф И ЗИ ЧЕ С К И Х В Е Л И ЧИ Н М Е Ж Д У Н АРО Д Н О Й С И С Т Е М Ы С И Т абл ица1 Н аз в ание Н аименов ание единицы О боз начение Д л ина метр М асса кил ограмм В ремя секунда С ил аэл ектр. тока ампер Т ермодинамическая кел ьв ин температура К ол ичеств о в ещ еств а мол ь С ил асв ета кандел а Д опол нител ьные единицы системы С И П л оский угол радиан Т ел есный угол стерадиан

м кг с А К мол ь Кд Рад Ср

6

Е диницы в сех механических в ел ичин мож но в ыраз ить через три основ ные – единицы дл ины, массы ив ремени(табл ица1). К огдав в одятся такие в ел ичины, как сил а ил иэнергия, для удобств а единицам даются специал ьные наз в ания (ньютон ил и дж оул ь), но они определ ены как комбинации единиц дл ины, массы ив ремени. Э титриединицы • метр, • кил ограмм, • секунда – в се, что нам необходимо, так как л юбая механическая в ел ичина мож ет быть в ыраж еначерез этиединицы (табл ица2). Т абл ица2 В ыраж ение через основ ные и допол нител ьные единицы

Н аименов ание

Н аз в ание единицы

С окращ енное обоз начение

С ил а

Н ьютон

Н

Н =кг⋅м⋅с-2

Д ав л ение, механическое напряж ение, модул ьупругости

П аскал ь

Па

П а=Н /м2=м-1 кг⋅с-2

Э нергия, работа, кол ичеств о тепл оты

Д ж оул ь

Дж

Д ж =Н ⋅м=м2 ⋅кг⋅с2

М ощ ность М оментсил ы

в атт Н ьютон-метр

Вт Н ⋅м

В т=Д ж /с=м2 ⋅кг⋅с-3 Н ⋅м=м2 ⋅кг⋅с-2

И мпул ьс (кол ичеств о дв иж ения)

К ил ограммметр в секунду

м⋅кг⋅с-1

И мпул ьс сил ы Частота

Н ьютон-секунда Г ерц

Гц

Н ⋅с=м⋅кг⋅с-1 Г ц=с-1

Т епл оемкость

Д ж оул ьна кел ьв ин

Д ж /К

Д ж /К =м2 ⋅кг⋅с-2 ⋅К -1

О снов ная единица дл ины – метр. С тандарт дл ины – это дл ина в ол ны ж ел той л иниив спектре изл учения изотопакриптона. О снов ной единицей в ременисл уж ит секунда. П ериод кол ебания атомов цез ия принятз астандартв ремени. О снов ная единица массы – кил ограмм. П ока ещ е нет в ысокоточного стандарта массы в атомных терминах, поэтому испол ьз уемый этал он – это

7

определ енный брус хранил ищ е стандартов .

метал л а, находящ ий ся

в

меж дународном

Н Е К О Т О РЫ Е Ф И ЗИ ЧЕ С К И Е П О С Т О Я Н Н Ы Е С коростьсв етав в акууме

c

2,999⋅108 м/с

Г рав итационная постоянная

γ

6,67⋅10-11 Н ⋅м2/кг2

NA

6,022⋅1023 мол ь-1

R

8,314 Д ж /(мол ь⋅К )

Числ о Ав огадро У нив ерсал ьная постоянная

газ ов ая

П РИ С Т АВ К И К О БО ЗН АЧЕ Н И Я М Е Д И Н И Ц П ристав ка М ега К ил о Д еци С анта М ил л и М икро П ико

О боз начение М к д с м мк п

М нож ител ь 106 103 10-1 10-2 10-3 10-6 10-12

8

П Р ИМ Е Р Ы Р Е Ш Е Н ИЯ ЗА Д А Ч Задача1. Т очкав ращ ается в округнеподв иж ной осипо з акону, в ыраж аемому Ф ормул ой ϕ=А+В t–С t2 , где ϕ - угол пов орота, t – в ремя в ращ ения, А=10, В =20 с-1, С =2 с-2. Н ай тив ел ичину инаправ л ение пол ного ускорения точки, находящ ей ся нарасстоянии0,1 мотосив ращ ения дл я моментав ремениt=4 с. Д ано: 2 -1 -2 ϕ=А+В t–Ct , А=10, В =20 с , С =2 с , t=4 с, r=0,1 м. a=?, α=?, γ=? Реш ение: П ол ное ускорение точки, дв иж ущ ей ся по крив ой л инии, яв л яется r r r в екторной суммой тангенциал ьного a t инормал ьного a n ускорений : a = a t + a n Т ангенциал ьное ускорение направ л ено по касател ьной к траектории дв иж ения, нормал ьное направ л ение к центру крив изны траектории. С огл асно рис.1: a = a t2 + a n2 , (1) a t и a n св яз аны с угл ов ой скоростью и ускорением сл едующ ими соотнош ениями: at = β ⋅ r (2) an = ω 2 ⋅ r , (3) где β - угл ов ое ускорение в ращ ающ ей ся точки, ω - угл ов ая скорость в ращ ающ ей ся точки, r - расстояние точкиотосив ращ ения. О предел им ω иβ . У гл ов ая скорость ω рав на перв ой произв одной от угл а пов орота по в ремени ω=

dϕ d ( А + В t − С t 2 ) = = В − 2⋅С ⋅t dt dt

(4)

В моментв ремениt=4c угл ов ая скорость -1 ω = 20 с−1 – 2⋅2 с−2 4 с = 4 с . У гл ов ое ускорение в ращ ающ егося тел а рав но перв ой произв одной от угл ов ой скоростиω по в ремени: dω d ( В − 2С t ) = = −2C dt dt -2 -2 β = –2⋅2 c = –4 c . β =

(5)

В ычисл имтеперьпо ф ормул ам(2) и(3) a t иa n : 2 a t = −4 ⋅ 0,1 = −0,4 м/c ; а n = 4 2 ⋅ 0 ,1 = 1,6 м/c 2 . П одстав ив в ыраж ения дл я а t и а n в ф ормул у (1), определ яющ ую модул ь пол ного ускорения ив оспол ьз ов ав ш исьф ормул ами(2) и(3), пол учим:

9

а = r β 2 +ω4 ,

(6)

м/c = 1,65 м/c . Н аправ л ение пол ного ускорения определ им, есл инай дем угл ы, которые в ектор ускорения образ уетс касател ьной к траекторииил инормал ью к ней (см. рис.1): a = 0,1 ( −4) + 4 2

cos α =

аt а

4

2

,

cos γ =

2

an a

cos α = 0,4 /1,65= 0,242, cos γ = 1,6/1,65 = 0,97. П о тригонометрическим табл ицамнаходим α = 76 o , γ = 14 o . О тв ет: a = 1,65 м/с2 ; α = 76 o ; γ = 14 o . Задача2. П ул я массой m=0,01 кг, л етящ ая со скоростью V=800 м/с, попадаетв дерев о иугл убл яется нарасстояние s=0,1 м. Н ай тисил у сопротив л ения дерев аив ремя дв иж ения пул ив дерев е, считая дв иж ение рав ноз амедл еннымисил у трения постоянной . 1-й в ариантреш ения: К инетическая энергия пул и расходуется на преодол ение сил ы сопротив л ения дерев аF, т.е. по з акону сохранения энергииимеем mV 2 = F⋅s , 2 mV 2 F= 2s

откуда

О предел ить в ремя дв иж ения пул и в рав ноз амедл енного дв иж ения: где ускорение

(1)

дерев е мож но по ф ормул е пути

at 2 , 2 V − Vk V n a= n = , t t

s=

а Vn , Vk - начал ьные иконечные скоростидв иж ения пул и, Vk по усл ов ию рав но 0, тогда

откуда

V 2 ⋅t V ⋅t , s= t = 2 2 2s t= . V

иокончател ьно, пол учаем F=

0,01 ⋅ 800 = 32 ⋅ 10 3 (Н ), 20,1

(2) t=

2 ⋅ 0,1 = 25 ⋅ 10 −5 с. 800

2-й в ариантреш ения: И з менение импул ьса пул и рав но импул ьсу сил ы r сопротив л ения ∆p = F ⋅ ∆t . Д л я записи этого рав енств ав скал ярной ф орме в оз ьмемкоординатную ось, пол ож ител ьное направ л ение которой сов падает

10

с направ л ениемсил ы F. Т огдаэто ж е урав нение з апиш ется сл едующ имобраз ом: 0 – ( – mv) = F⋅ ∆ t, ил и m⋅v = F⋅ ∆ t, откуда F = mv/ ∆ t.

(3)

О предел ив по ф ормул е (2) в ремя t иподстав ив (3), пол учим: F=

mV mV 2 = , 2S / V 2S

т.е. пол учил иф ормул у (1). Задача3. С тал ьной ш арик массой m=0,02 кг, падая в ертикал ьно с в ысоты h 1 = 1 мнастал ьную пл иту, отскакив аетотнее нав ысоту h 2 = 0,81 м. Н ай ти: 1) импул ьс сил ы, пол ученный пл итой з ав ремя удара, 2) кол ичеств о тепл а, в ыдел ив ш егося приударе. Реш ение: И мпул ьс сил ы, пол ученный ш ариком от пл иты, определ ится из 2-ого з аконаН ьютона: r r r ∆V Fш = ma = m , ∆t

ил и

r Fш ∆t = ∆(mV ) ,

(1)

r где Fш ⋅ ∆t - импул ьс сил ы F, дей ств ующ ей наш арик в течение в ремени∆t .

О боз начим через V1 иV2 скоростиш арика в моменты непосредств енно до и посл е соударения с пл итой . П ерей дем к скал ярной з аписи этого урав нения. Н а рис. 3 пол ож ител ьное направ л ение координатной r r осиh сов падаетс направ л ением в ектора V2 , тогдапроекция в ектора V2 на ось h r есть V2 , а проекция в ектораV1 есть(– V1 ); з апиш ем теперь рав енств о (1) в скал ярной ф орме: Fш ⋅ ∆t = m ⋅ ∆V = m[V2 − ( −V1 )] = m(V2 + V1 ) , r

r

где V1 иV2 - модул искоростей V1 иV2 . П оскол ьку импул ьс Fш ∆t пол учил ся в ел ичиной пол ож ител ьной , он на рис. 3 направ л ен в в ерх. П о 3-му з акону Н ьютонасил аF , дей ств ующ ая напл иту со стороны ш арика, по модул ю рав на Fш , но направ л ена в против опол ож ную сторону. П оэтому импул ьс сил ы, пол ученный пл итой , направ л ен в низ. Д л я определ ения его модул я най демV1 иV2 . Д л я определ ения V1 испол ьз уем з акон сохранения энергии. Т ак как начал ьная скоростьприпаденииш арикас в ысоты h рав нанул ю, имеем mgh1 = mV12 /2, откуда V1 = 2gh1 . Анал огично определ им V2 , учитыв ая, что кинетическая энергия ш арика 2 ( mV2 )/2, которой он обл адает в момент сраз у посл е соударения, переходит в потенциал ьную энергию подъ еманав ысоту h2 : mV 22 / 2 = mgh2 , откудаV2 = 2gh2 .

11

Т огда F ⋅ ∆ t = 0,02 кг( 2 ⋅ 9,8 ⋅ 1 + 2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,81 ) м/с = 0,168 Н с. О предел им теперь кол ичеств о в ыдел ив ш егося приударе тепл а. С огл асно з акону сохранения энергии, изменение потенциал ьной энергии рав но кол ичеств у в ыдел ив ш егося тепл а. С учетом того, что потенциал ьная энергии ш ариканав ысоте h1 : Е n1 = mgh1 , анав ысоте h2 : Е n 2 = mgh2 , пол учим Е = Е n1 – Е n 2 =Q; Q = mg( h1 − h2 ). И окончател ьно: Q = 0,02 кг⋅9,8 м/с(1–0,81) м= 3,7⋅10 −2 Д ж . Задача4. С какой начал ьной скоростью надо броситьмяч с в ысоты h, чтобы он подпрыгнул на в ысоту 2h? У дар упругий , сопротив л ение в оз духа отсутств ует. Реш ение: Т ак как мяч, находящ ий ся на в ысоте h, бросают с начал ьной скоростью, он обл адает как потенциал ьной , так и кинетической энергией , и его пол ная энергия есть

mV 2 + mgh . 2

П осл е упругого удара о пол мяч, согл асно усл ов ию з адачи, поднял ся на в ысоту 2h, иего пол ная энергия сов падаетс потенциал ьной энергией mg⋅2h. С огл асно з акону сохранения энергии mV 2 + mgh = 2mgh , 2

Задача5.

откуда V = 2 gh .

Д иск радиусом R=1,5 м имассой m 1 =180 кг в ращ ается по инерции в округ в ертикал ьной оси, дел ая n=10 об/мин. В центре диска стоит чел ов ек массой m 2 =60кг. К акую л иней ную скорость относител ьно пол абудетиметьчел ов ек, есл ион перей детнакрай диска? Реш ение: Д л я системы чел ов ек-диск будет в ыпол няться з акон сохранения импул ьса: (1) (I 1 +I 2 ) ⋅ ω =(I 1 +I' 2 ) ⋅ ω ', где I 1 - момент инерции диска, I 2 - момент инерции чел ов ека, стоящ его в центре диска, ω - угл ов ая скоростьдиска с чел ов еком, стоящ им в ее центре, I' 2 - момент инерции чел ов ека, стоящ его на краю диска, ω ' - угл ов ая скорость дискас чел ов еком, стоящ имнакраю. В ел ичинал иней ной скоростичел ов ека, стоящ его накраю диска, св яз анас угл ов ой скоростью ω соотнош ениемV= ω '·R. И спол ьз уя (1), пол учимв ыраж ение дл я в ел ичины л иней ной скорости V=(I 1 +I 2 ) ⋅ ω .R/(I 1 +I' 2 ) . (2) 2 М омент инерциидиска определ им по ф ормул е I 1 = (1/2)m 1 R , момент инерции чел ов ека рассчитаем по ф ормул е, определ яющ ей момент инерции материал ьной точки массы m 2 . П оэтому дл я момента инерции чел ов ека,

12

находящ егося в центре диска, I 2 =0, а дл я момента инерции чел ов ека на краю диска - I' 2 = m 2 R2. У гл ов ая скоростьдискадо переходачел ов ека ω =2 π n. Заменив в ф ормул е (2) в ел ичины I 1 , I 2 , I' 2 иω их в ыраж ениями, пол учим V=

1 m1 R 2 2 1 m1 R 2 + m2 R 2 2

⋅ 2πnR

ил и V=

m1 ⋅ 2πnR m1 + 2 m 2

П одстав л яя числ енные з начения, пол учим: V=

180 кг 1 м ⋅ 2 ⋅ 3,14 ⋅ ⋅ 1,5 =1,18м/c. 180 + 2 ⋅ 60 кг 6 с

. Задача6.

С кол ько мол екул содерж ится в 1 м3 в оды? К аков а масса мол екул ы в оды? С читая, что мол екул ы имеютв ид ш ариков , соприкасающ ихся другс другом, най тидиаметр мол екул ы. Реш ение: И з в естно, что числ о мол екул в одном мол е л юбого в ещ еств а (тв ердого, ж идкого ил игаз ообраз ного) определ яется числ омАв огадро N A. С л едов ател ьно, числ о мол ей n, содерж ащ ихся в массе m, определ ится соотнош ением n=(m/ µ )NA, где µ - массаодного мол я. Т ак как m= ρ ⋅V, где ρ - пл отностьв оды и V – объ ем, з анимаемый в одой , то n=( ρ ⋅V/ µ ) NA. П одстав ив в ф ормул у числ ов ые з начения 3 3 3 26 -1 ρ =10 кг/м , V=1 м , NA=6,022⋅10 кмол ь , µ =18 кг/кмол ь, пол учим: n=(103/18)⋅6,022⋅1026 = 3,34⋅1028 (мол екул ). М ассаодной мол екул ы m1= µ / NA: m1 = 18 кг/кмол ь: 6,022⋅1026 кмол ь-1 = 2,99⋅10-26 кг. Е сл и мол екул ы в оды пол ностью прил егают друг к другу, то мож но считать, что на каж дую мол екул у приходится объ ем V1=d3, где d – диаметр мол екул ы. О тсюдаd = 3 V1 . Д л я определ ения объ ема V1, раз дел им мол ярный объ ем V0 на числ о мол екул в мол е V1=V0/NA, тогдаd = 3 V0 / N A . В ходящ ий в эту ф ормул у мол ярный объ емV0= µ / ρ , тогдаискомый диаметр мол екул ы: d= 3 µ /( ρ ⋅ N A ) , 18

d=

3

кг кмоль

кг 1 10 3 3 ⋅ 6,022 ⋅ 10 26 кмоль м

= 3,11 ⋅ 10 −10 м.

Задача7 Бал л он содерж ит m1=0,08 кгкисл орода иm2=0,3 кгаргона. Д ав л ение смесиР=1, 01 М П а, температура Т =288 К . С читая газ ы идеал ьными, определ ить объ ем бал л она. (М асса одного мол я кисл орода µ 1=32 кг/кмол ь, аргона µ 2=40 кг/кмол ь.)

13

Реш ение: П о з акону Д ал ьтона дав л ение смесирав но сумме парциал ьных дав л ений газ ов , в ходящ их в состав смеси. П арциал ьным дав л ением газ а наз ыв ается дав л ение, которое произв одил бы этот газ , есл и бы тол ько он находил ся в рассматрив аемомсосуде. П о урав нению М ендел еев а-К л ай перона парциал ьные дав л ения Р 1 и Р 2 кисл ородаиаргонарав ны Р 1=

m1 RT ⋅ , µ1 V

Р 2=

m 2 RT ⋅ . µ2 V

В рез ул ьтате суммарное дав л ение Р в ыраз ится

Р=Р 1+Р 2=

RT V

 m1 m 2  +  µ1 µ 2

  , 

 m1 m 2 +  µ1 µ 2

 RT  ⋅ ,  P 0,08 0,3  8,31 ⋅ 10 3 ⋅ 288 кг Д ж ⋅ К м2 V=  + ⋅ ≈ 0,0237 м 3 .  6 кг 32 40 К ⋅ мо ль Н 1,01 ⋅ 10   кмоль

V= 

откуда

Задача8. Рассчитатьсреднюю дл ину св ободного пробегамол екул в оз духапри температуре 290 К , дав л енииР=0,101 М П а. Э ф ф ектив ный диаметр d мол екул ы в оз духапринятьрав ным3⋅10-10 м. Реш ение: С редняя дл инасв ободного пробегарассчитыв ается по ф ормул е λ =1/ ( 2 ⋅ πd 2 ⋅ n 0 ) , где n0 – концентрация мол екул (числ о мол екул в единице объ ема). К онцентрация мол екул определ ится по ф ормул е n0=Р/(kТ ), где k – постоянная Бол ьцмана, рав ная 1,38.10-23 Д ж /К , Т – абсол ютная температура. В рез ул ьтате λ=

1

=

kT

,

P 2 ⋅ πd 2 ⋅ p 2 ⋅ πd ⋅ kT Д ж 1,38 ⋅ 10 − 23 290 К К = 0,01 ⋅ 10 −5 м . λ= Н 2 ⋅ 3,14 ⋅ (3 ⋅ 10 −10 ) м 2 1,01 ⋅ 10 5 2 м 2

Задача 9.

В ычисл ить дл я нормал ьных усл ов ий и дл я температуры 373 К среднее з начение кв адратичной скоростииэнергию поступател ьного дв иж ения мол екул угл екисл ого газ а. Н ай ти среднюю дл ину св ободного пробега мол екул принормал ьных усл ов иях, есл ичисл о стол кнов ений (Z0) каж дой мол екул ы с другими в среднем з а 1 с рав но 9,12⋅109 с-1. (Д л я угл екисл ого газ а µ =44 кг/кмол ь, ρ 0=1,98 кг/м3). Реш ение:

14

С редняя кв адратичная скорость мол екул усл ов иях определ ится по ф ормул е

газ а

при

нормал ьных

2

U0= V = 3Р 0/ ρ 0, з десь Р0 – нормал ьное атмосф ерное дав л ение, рав ное 5 760 мм рт. ст.=760·133 П а=1,01⋅10 П а, ρ 0 – пл отность газ а принормал ьных усл ов иях (нормал ьноматмосф ерномдав л ениииt=00С =273 К ). С редняя кв адратичная скоростьприз аданной температуре Т : 2

U= V = 3RT / µ . С реднее з начение энергиипоступател ьного дв иж ения мол екул 3 2

Е = kT , где k – постоянная Бол ьцмана. В наш ем сл учае нуж но в ычисл ить Е 0 – среднее з начение энергии поступател ьного дв иж ения мол екул угл екисл ого газ а дл я нормал ьных усл ов ий и Е – среднее з начение энергии поступател ьного дв иж ения мол екул угл екисл ого газ адл я Т =373 К . С редняя дл инасв ободного пробегамол екул принормал ьных усл ов иях λ 0=V/Z0, где V- cредняя ариф метическая скоростьмол екул газ а: V=

8RT ≈ 0,92⋅U, πµ

U=

U0=

3 ⋅ 1,01 ⋅ 10 5 Н / м 2 = 392 м / с , 1,98кг / м 3

3 ⋅ 8,31 ⋅ 10 3 ⋅ 373 Д ж ⋅ К / К ⋅ кмоль = 460 м / с . 44кг / кмоль

В ычисл имЕ 0, Е , λ 0.

3 ⋅ 1,38 ⋅ 10 −23 Д ж / К ⋅ 373К = 7,72 ⋅ 10 − 21 Д ж , 2 3 ⋅ 1,38 ⋅ 10 −23 Е 0= Д ж / К ⋅ 273К = 5,65 ⋅ 10 − 21 Д ж , 2 0,92 ⋅ 392 м / с −1 = 4,0 ⋅ 10 −8 м. λ 0= 9,12 ⋅ 10 9 с −1

Е=

Задача10. Н ай тисреднюю кинетическую энергию поступател ьного дв иж ения ипол ную среднюю кинетическую энергию мол екул гел ия иаз ота при температуре Т =300 К , а такж е кинетическую энергию в ращ ател ьного дв иж ения в сех мол екул , содерж ащ ихся в m=0,004 кг аз ота. Реш ение: Н а каж дую степень св ободы мол екул ы газ а приходится одинаков ая энергия, в ыраж аемая ф ормул ой 1 2

W= kT,

15

где k- постоянная Бол ьцмана, T – абсол ютная температурагаз а. П ол ная средняя энергия мол екул з ав исит не тол ько от температуры, но и отструктуры мол екул ы– отчисл астепеней св ободы. Г ел ий – одноатомный газ , числ о степеней св ободы с учетом тол ько поступател ьного дв иж ения i=3, поэтому пол ная средняя энергия мол екул ы гел ия рав наэнергииего поступател ьного дв иж ения, т.е. i 2

3 2

W= kT= kT, 3 2

WHe= ⋅ 1,38 ⋅ 10 − 23 Д ж / К ⋅ 300К = 6,21 ⋅ 10 − 21 Д ж . Аз от– дв ухатомный газ , дл я негоi=5, тогда WN=(5/2) ⋅1,38⋅10-23 Д ж /К ⋅300 К =10,35⋅10-21 Д ж . Т .к. пол ное числ о степеней св ободы дв ухатомной мол екул ы аз ота i=5, а на дол ю поступател ьного дв иж ения приходится i=3, то на дол ю в ращ ател ьного дв иж ения дв ухатомной мол екул ы приходится дв е степени св ободы. Т огда энергия в ращ ател ьного дв иж ения одной мол екул ы аз отаопредел ится ф ормул ой Wв ращ .=(2/2)kT; Wв ращ .=1,38⋅10-23 Д ж /К 300 К =4,14⋅10-21Д ж . К инетическая энергия в ращ ател ьного дв иж ения в сех n мол екул аз ота Wв ращ .=n⋅ Wв ращ ., где n = (m/ µ ).NA (см.реш ение з адачи6). Wв ращ .= (m/ µ )⋅NA ⋅Wв ращ . Д л я аз ота µ =28 кг/кмол ь, Wв ращ =(0,004 кг/28 кг/кмол ь)⋅6,022⋅10-26 кмол ь-1 ⋅ 4,14⋅10-21 Д ж =3,56⋅102 Д ж . Задача11. В ычисл итьудел ьные тепл оемкостиприпостоянномобъ еме сv ипри постоянном дав л ении сp неона и в одорода, считая эти газ ы идеал ьным. Реш ение: У дел ьные тепл оемкостиср исV идеал ьных газ ов в ыраж аются ф ормул ами i+2 R , 2 µ где i – числ о степеней св ободы мол екул ы газ а, µ – массакил омол я,

сv =

i R , 2µ

cр =

µ Ne =20 кг/кмол ь, µ

Н еон – одноатомный газ , поэтому i =3. сv=

H2

=2 кг/кмол ь.

3 8,31 ⋅ 10 3 Д ж /( К ⋅ кмоль) = 6,23 ⋅ 10 2 Д ж /( К ⋅ кг ) , 2 20кг / кмоль 3 + 2 8,31 ⋅ 10 3 ср= = 1,04 ⋅ 10 3 Д ж /( К ⋅ кг ). 2 20

Д л я в одорода(дв ухатомный газ ) i=5: сv=

5 8,31 ⋅ 10 3 = 1,04 ⋅ 10 4 Д ж / кгК , 2 2

16

ср=

5 + 2 8,31 ⋅ 10 = 1,45 ⋅ 10 4 Д ж / кгК . 2 2 3

Задача 12. В ычисл ить удел ьные тепл оемкостисv иср смесинеона ив одорода, есл имассанеонаm1 состав л яет80 % массы смеси, массав одородаm2 – 20%. Реш ение: Т епл оту, необходимую дл я нагрев ания смесина ∆ t градусов , в ыраз им дв умя способами: Q=cv(m1+m2) ⋅ ∆ t , (1) (2) Q=(cv1⋅m1+cv2⋅m2) ⋅ ∆ t , сv - удел ьная тепл оемкость смеси, сv1 – удел ьная тепл оемкость неона, сv – удел ьная тепл оемкостьв одорода. П рирав нив ая (1) и(2) , пол учим: сv(m1+m2) ⋅ ∆ t=(cv1⋅m1+cv2⋅m2) ⋅ ∆ t , откуда сv

=

с v 1 ⋅ m1 + c v 2 ⋅ m 2 m1 m2 = c v1 + cv 2 m1 + m 2 m1 + m 2 m1 + m 2

(3)

В ел ичины q1=m1/(m1+m2) и q2=m2/(m1+m2) показ ыв ают, какую дол ю массы смесисостав л яетмассанеонаив одорода. П ерепиш ем(3): cv=cv1⋅q1+cv2⋅q2. Анал огичными рассуж дениями пол учаем ф ормул у дл я определ ения удел ьной тепл оемкостисмесиприпостоянномдав л ении cp=cp1⋅q1+cp2⋅q2. Д л я в ычисл ения сv и ср смеси в оспол ьз уемся соотв етств ующ ими з начениямисv иср дл я неонаив одородаиз предыдущ ей з адачи сv=(6,23 ⋅102⋅0,8+1,04⋅104⋅0,2) Д ж /(кг⋅К ) = 2,58⋅103 Д ж /(кг⋅К ), ср=(1,04⋅103⋅0,8+1,45⋅104⋅0,2) Д ж /(кг⋅К ) = 3,73⋅103 Д ж /(кг⋅К ). Задача13. П ритемпературе 399,9 К идав л ении600 ммрт. ст. находится 15 л аз ота. О предел итькол ичеств о тепл оты, которое нуж но сообщ ить этой массе аз ота, чтобы при неизменном объ еме пов ысить ее температуру на1000С . Реш ение: Т ак как кол ичеств о тепл оты, необходимое дл я пов ыш ения температуры одного мол я газ ана1 градус припостоянномобъ еме, рав но мол ярной тепл оемкостисv, то дл я ув ел ичения температуры наТ некоторой массы газ аm/ µ (m – масса газ а, µ - мол ярная массагаз а) необходимо кол ичеств о тепл оты: ∆ Q = (m/ µ )⋅ сv⋅ ∆ T, где сv=(i/2) ⋅R (см.реш ение з адачи11) , тогда ∆ Q = (m/ µ )⋅ (i/2) ⋅R ∆ T=(5/2) (m/ µ )⋅R ∆ T. С огл асно урав нению М ендел еев а-К л ай перонаPV=(m/ µ ).RT, откуда

17

mR/ µ = PV/T и(1) перепиш ется сл едующ имобраз ом ∆Q =

5 PV ∆T . 2 T

Д л я в ычисл ения Q в системе С И учтем, что V=15 л =15⋅10-2 м3 , и в ыраз им дав л ение в П а, как это сдел ано в з адаче 9. 5 60 ⋅ 13,33П а ⋅ 15 ⋅ 10 −3 м 3 ⋅ 100гра д ∆Q= ≈ 3Н ⋅ м = 3 Д ж . 2 2(126,9 + 100 + 273) гра д

Задача14. Т епл ов ая маш инаработаетпо обратному цикл у К арно. Т емпература нагрев ател я 500 К . О предел ить к.п.д. цикл а η и температуру Т 2 тепл ов ой маш ины, есл и з а счет каж дого кил одж оул я тепл оты, пол ученной отнагрев ател я, маш инасов ерш аетработу 350 Д ж . Реш ение: К .п.д. тепл ов ой маш ины рав ен отнош ению пол ез ной работы к з атраченной : η=А/А1=А/Q, А – работа, сов ерш енная рабочим тел ом тепл ов ой маш ины; Q – тепл ота, пол ученная отнагрев ател я η = 350/1000=0,35=35%. Зная к.п.д. цикл а, мож но по ф ормул е η =(Т 1–Т 2)/Т 1 определ ить температуру Т 2 хол одил ьника(Т 1 – температуранагрев ател я). Т 2=Т 1(1– η) , Т 2=500⋅ (1–0,35)=500 ⋅0,65=325 К . Задача15. М атериал ьная точкас массой m=0,02 кгсов ерш аетгармонические кол ебания по з акону синусас периодомТ =2 с иначал ьной ф аз ой , рав ной нул ю. П ол ная энергия кол ебл ющ ей ся точкиW=1 ⋅10-3 Д ж . Н ай ти: а) ампл итуду кол ебаний А, б)написатьурав нение данных кол ебаний , в ) най тинаибол ьш ее з начение сил ы Fмах , дей ств ующ ей наточку. Реш ение: У рав нение гармонических кол ебаний без начал ьной ф аз ы имеетв ид x = A sinω t, (1) откудаскоростькол ебл ющ ей ся точкирав на: x=

dx =A⋅ ω ⋅cosω t dt

К инетическая энергия кол ебл ющ ей ся точки 1 2

1 2

Wк= mV2= m(Aω cosω t)2 =

1 mA2 ω 2 cos2ω t 2

П ол ная энергия кол ебл ющ ей ся точкиопредел ится из урав нения A= отсюдаампл итудакол ебаний

1 mA2 ω 2, 2

18

А=

1 ω

2W m

К ругов ая (цикл ическая) частотасв яз анас периодомкол ебаний Т : ω =

тогда

А=

А=

1 2π T

2W T = m 2π

2π , T

2W m

2 2 ⋅ 10 −4 1 1 1 = = ≈ 0,03 (м). −2 2 2 ⋅ 3,14 2 ⋅ 10 3,14 10 10 ⋅ 3,14

Н ай дем ω : ω = 2π/2 = π (c-1). Зная А и ω , согл асно (1), урав нение кол ебл ющ ей ся точкибудет: x = 0,03 sin πt. Fмах определ имиз 2-ого з аконаН ьютона: Fmах = m⋅аmах , а=

dV = – А ⋅ ω 2 ⋅sin ω t , dt

аmах = Аω 2 ,

Fmax = – mАω 2.

Fmax = – 0,02⋅0,03(π)2 (кг⋅м)/с2 = –5,9⋅10-3 Н . Знак минус указ ыв ает на то, что направ л ение сил ы против опол ож но направ л ению смещ ения.

19

ЗА Д А Ч И Д ЛЯ С А М О С Т О Я Т Е ЛЬН О ГО Р Е Ш Е Н ИЯ 1.Т очка дв иж ется по окруж ности радиуса 8 м. Закон ее дв иж ения в ыраж ается урав нением s=a+bt2, где а=20 м, b=2 м⋅с-2. Н ай ти, в какой момент в ременинормал ьное ускорение точкиan будетрав но 3 м⋅с-2. (О тв ет: 1,21 с) 2.С какой средней сил ой F дав ит при стрел ьбе ручной пул емет, есл и масса пул и m=0,01 кг, ее скорость при в ыл ете v=800 м/с искорострел ьность пул еметаn=600 в ыл етов в минуту? (О тв ет: 80 Н ) 3. С тал ьной ш арик, упав ш ий с в ысоты 1 м на стал ьную доску, отскакив ает от нее со скоростью V2=0,75V1, где V1 – скорость, с которой он подл етел к доске. 1) Н а какую в ысоту он поднимется? 2) С кол ько в ремени прой детотначал адв иж ения ш арикадов торичного его падения надоску? (О тв ет: h=0,84 м, t=1,4 с) 4.Н а скамье Ж уков ского сидит чел ов ек и держ ит на в ытянутых руках гири по 10 кг каж дая. Расстояние от каж дой гири до оси в ращ ения скамьи l1=0,75 м. С камья в ращ ается, дел ая n=1 об/с. К ак изменится скорость в ращ ения скамьиикакую работу произв едет чел ов ек, есл ион сож метрукитак, что расстояние откаж дой гиридо осиуменьш ится до l2=0,2 м? С уммарный момент инерции чел ов ека и скамьи относител ьно оси в ращ ения I0=2,5 кг⋅м2. (О тв ет: ω =4,2 об/с, А=870 Д ж ) 5.К акое кол ичеств о мол екул находится в комнате объ емом 80 м3 при температуре 17 0С идав л ении750 ммрт. ст.? (О тв ет: 2⋅1027) 6.Н ай ти среднюю дл ину св ободного пробега атомов гел ия в усл ов иях, когдапл отностьгел ия ρ=2,1⋅10-2 кг/м3. (О тв ет: 1,8⋅10-6 м) 7.Рассчитатьпол ную энергию в сех мол екул кисл орода, з анимающ его при дав л енииР=0,2 М П а, объ емV=30 л . (О тв ет: 1,5⋅104 Д ж ) 8. 160 г кисл орода нагрев аются от 50 до 600С . Н ай ти кол ичеств о погл ощ енной тепл оты и изменение в нутренней энергии в сл учаях, есл и 1) процесс происходитприпостоянномобъ еме, 2) припостоянномдав л ении. (О тв ет: 1) Q1=U1=1040 Д ж , 2) U2=1040 Д ж , Q2=1400 Д ж )

20

9.Работа изотермического расш ирения 10 г некоторого газ а от объ ема V1 до объ ема V2 =2V1 рав на 575 Д ж . Н ай ти среднюю кв адратичную скорость мол екул газ априэтой температуре. (О тв ет: 500 м/с). 10.Г аз сов ерш аетцикл К арно. Абсол ютная температуранагрев ател я в три раз а в ыш е, чем температура охл адител я. Н агрев ател ь передал газ у Q1=10 ккал тепл оты. К акую работу сов ерш ил газ ? (О тв ет: 2,81⋅104 Д ж ).

В А Р ИА Н Т Ы КО Н Т Р О ЛЬН О Й Р А БО Т Ы N 1 (М еханикаимол екул ярная ф изика) Е сл и нет допол нител ьных указ аний преподав ател я, то каж дый студент в ыпол няет контрол ьную работу, номер в арианта которой соотв етств ует посл едней циф ре номераз ачетной книж кистудента. К онтрол ьная работа начинается с указ ания номера в арианта и номера з ачетной книж ки. Н апоминаем, что усл ов ие з адачипереписыв ается пол ностью. В ариант

Н омераз адач

№ 1

101 111

121

131

141

151

161

171

181

191

2

102

112

122

132

142

152

162

172

182

192

3

103

113

123

133

143

153

163

173

183

193

4

104

114

124

134

144

154

164

174

184

194

5

105

115

125

135

145

155

165

175

185

195

6

106

116

126

136

146

156

166

176

186

196

7

107

117

127

137

147

157

167

177

187

197

8

108

118

128

138

148

158

168

178

188

198

9

109

119

129

139

149

159

169

179

189

199

10

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

21

101. Н ай ти угл ов ое ускорение кол еса, есл и изв естно, что через 2 секунды посл е начал а рав ноускоренного дв иж ения в ектор пол ного ускорения точки, л еж ащ ей на ободе, состав л яет угол 600 с направ л ением л иней ной скоростиэтой точки. 102. Н ай ти, в о скол ько раз нормал ьное ускорение точки, л еж ащ ей на ободе в ращ ающ егося кол еса, бол ьш е ее тангенциал ьного ускорения дл я того момента, когда в ектор пол ного ускорения этой точки состав л яет угол 300 с в екторомее л иней ной скорости. 103. К ол есо радиусом r=0,1 м в ращ ается с постоянным угл ов ым ускорением β =3,14 рад/с2. Н ай ти дл я точек на ободе кол еса к концу перв ой секунды посл е начал адв иж ения 1) угл ов ую скорость, 2) л иней ную скорость, 3) тангенциал ьное ускорение, 4) нормал ьное ускорение,5) пол ное ускорение, 6) угол , состав л яемый направ л ением пол ного ускорения с радиусом кол еса. 104. К ол есо в ращ ается с постоянным угл ов ым ускорением β =2 рад/с2. Через 0,5 секунды посл е начал а дв иж ения пол ное ускорение кол еса стал о рав нымa=0,136 м/с2. Н ай тирадиус кол еса. 105. Т очка дв иж ется по окруж ности радиуса r=0,2 м с постоянным тангенциал ьным ускорением a t =0,05 м/с2. Через скол ько в ременипосл е начал а дв иж ения нормал ьное ускорение a n точкибудет: 1) рав но тангенциал ьному, 2) в дв ое бол ьш е тангенциал ьного? 106. Д в е материал ьные точки дв иж утся согл асно урав нениям x 1 =at+bt2–ct3 (a=4 м/c, b=8 м/c2, c=16 м/c3) иx 2 =a 1 t–b 1 t2+c 1 t3 (a 1 =2 м/c, b 1 =4 м/c2, c 1 =1 м/c3 ). В какой момент в ремени ускорения этих точек будут одинаков ыми? 107. Д в иж ение дв ух материал ьных точек в ыраж ается урав нениями: x 1 = a+bt–ct2 (a=20 м, b=2 м/c, c=0,5 м/c2) иx 2 =a 1 +b 1 t+c 1 t2 (a 1 =20 м, b 1 =2 м/c, c 1 =4 м/c2). В какой моментв ременискоростиэтих точек будутодинаков ыми? Чему рав ны скоростииускорения в этотмомент? 108. Т очка дв иж ется по окруж ности радиуса 4 м. Закон ее дв иж ения в ыраж ается урав нениемs=a–bt2, (a=8 м, b=2 м/c2). Н ай ти: 1) в какой моментв ременинормал ьное ускорение точкиa n =9 м/c2, 2) чему рав ны скорость, тангенциал ьное и пол ное ускорения точки в этотмоментв ремени?

22

109. Т ел о массой 2 кг дв иж ется прямол иней но по з акону s(t)=at2+bt+c (a=1 м/c2, b=1 м/c, c=1 м). Н ай ти: 1) дей ств ующ ую сил у, 2) кинетическую энергию тел ачерез 2 секунды посл е начал адв иж ения. 110. М ахов ик, з адерж ив аемый тормоз ом, з а t c пов орачив ается на угол φ(t)=at–bt2 (a=4 рад/с, b=0,3 рад/с2). О предел ить: 1) угл ов ую скоростьω (t) в ращ ения махов икав моментв ремениt=2 c, 2) в какой моментв ременив ращ ение махов икапрекратится? 3) Чему рав ны по в ел ичине пол ное, тангенциал ьное и нормал ьное ускорения, есл ирадиус окруж ностимахов икарав ен 0,1 м? 111. В каком направ л енииис какой горизонтал ьной скоростью дол ж ен л ететь в дол ь экв атора самол ет, чтобы скомпенсиров ать уменьш ение в еса, обусл ов л енное в ращ ениемЗемл и? 112. О предел ить ускорение g сил ы тяж ести на в ысоте h=20 км над Земл ей , принимая ускорение сил ы тяж естинапов ерхностиЗемл иg o =981 см/с2, арадиус Земл иR=6400 км. 113. Н акаком расстоянииотпов ерхностиЗемл иускорение сил ы тяж ести рав но 1м/c2? 114. Н а экв аторе некоторой пл анеты тел а в есят в дв ое меньш е, чем на пол юсе. П л отностьв ещ еств апл анеты ρ=3⋅103 кг/м3. О предел итьпериод обращ ения пл анеты окол о собств енной оси. 115. Н ай ти среднюю пл отность пл анеты, у которой на экв аторе пруж инные в есы показ ыв ают в ес тел а на 10 % меньш е, чем на пол юсе. С утки напл анете состав л яютТ =24 ч. 116. К акой продол ж ител ьностидол ж ны быть суткина Земл е, чтобы тел а наэкв аторе был инев есомы? 117. Н ай тиз ав исимостьв есател аотгеограф ической ш ироты. 118. Н ай ти среднюю угл ов ую и л иней ную скорости орбитал ьного дв иж ения искусств енного спутника Земл и, есл ипериод обращ ения его в округ Земл исостав л яет105 мин. 119. К аков а перв ая космическая скорость дл я пл анеты, масса ирадиус которой в дв араз абол ьш е, чему Земл и?

23

120. П ри в ыв оде спутника на кругов ую орбиту, проходящ ую в бл изи пов ерхностиЗемл и, был асов ерш енаработаА=3,2⋅1010 Д ж . Н ай тимассу спутника. Радиус Земл и R принятьрав ным6400 км. 121. Т ел о массой 20 кг, падая с в ысоты 11,5 м, у пов ерхности з емл и имел о скорость 15 м/с. Н ай тиработу по преодол ению сопротив л ения в оз духа, считая сил у сопротив л ения постоянной . 122. Т ел о массой 10 кг св ободно падает с в ысоты 20 м из состояния покоя. Чему рав на кинетическая энергия в момент удара о з емл ю? В какой точке траекториикинетическая энергия в трое бол ьш е потенциал ьной ? 123. Ракета массой 0,2 кг в ыл етел а из ракетницы в ертикал ьно в в ерх со скоростью 50 м/с. О предел ить кинетическую ипотенциал ьную энергииракеты через 1 секунду посл е в ыстрел а, считая, что масса ракеты з а это в ремя не изменил ась. 124. Т ел о массой 4,9 кг брош ено под некоторым угл ом к горизонту со скоростью 20 м/с. К аков а будет потенциал ьная энергия тел а в момент, когда скорость его станетрав ной 16 м/с? Н акакой в ысоте будеттел о в этотмомент? 125. Т еннисный мяч, л етящ ий со скоростью v 1 , отброш ен ударом ракетки в против опол ож ном направ л ениисо скоростью v 2 . П риэтом его кинетическая энергия изменил асьна ∆ W k . Н ай тиизменение кол ичеств адв иж ения мяча. 126. Т ел о брош ено в ертикал ьно в в ерх со скоростью v 0 =16 м/c. Н а какой в ысоте h кинетическая энергия тел арав наего потенциал ьной энергии? 127. Т ел о был о брош ено горизонтал ьно в пол е тяготения Земл и со скоростью 10 м/с. Чему рав на скорость тел а через 1 секунду посл е начал а бросания? 128. К акую кинетическую энергию нуж но сообщ ить тел у массой 0,5 кг, чтобы оно поднял ось в ертикал ьно в в ерх на 10 м? С опротив л ением в оз духа пренебречь. 129. Т ел о, брош енное в ертикал ьно в низ с в ысоты 75 м со скоростью 10 м/c, в моментударао з емл ю обл адал о кинетической энергией 1600 Д ж . О предел ить массу тел а искорость тел ав моментудара. С опротив л ением в оз духапренебречь.

24

130. С какой скоростью метал л ический ш арик достигает дна сосуда в ысотой 0,92 м, напол ненного ж идкостью, есл и его кинетическая энергия в момент соприкоснов ения с дном сосуда в 2 раз а меньш е потенциал ьной энергии на пов ерхности ж идкости? В о что прев ратится пол ов инапотенциал ьной энергииш арика? 131. Чел ов ек стоит в центре скамьи Ж уков ского и в месте с ней в ращ ается, сов ерш ая 30 об/мин. М омент инерциител а чел ов ека относител ьно осив ращ ения окол о 1,2 кг⋅м2. В в ытянутых руках у чел ов екадв е гиримассой 3 кгкаж дая. Расстояние меж ду гирями1,6 м. К ак станет в ращ аться система, есл ичел ов ек опустит рукиирасстояние меж ду гирями станет рав ным 0,4 м? М омент инерции скамьи 0,6 кг⋅м2. И з менениеммоментаинерциирук итрениемпренебречь. 132. Д иск радиусом r=1,5 м имассой m 1 =180 кг в ращ ается по инерции окол о в ертикал ьной оси, дел ая n=10 об/мин. В центре диска стоит чел ов ек массой m 2 =60 кг. К акую л иней ную скорость будет иметь чел ов ек, есл и он перей дет на край диска? 133. Д иск в ращ ается по инерции окол о в ертикал ьной оси, дел ая n 1 =15 об/мин. Н а краю диска стоит чел ов ек. К огда чел ов ек переш ел в центр диска, он стал дел атьn 2 =25 об/мин. М ассачел ов екаm=70 кг. О предел ить массу диска. М омент инерции дл я чел ов ека рассчитыв ать, как дл я материал ьной точки. 134. Н акраю дискарадиусомr=2 мстоитчел ов ек. М ассадискаМ =200 кг, масса чел ов ека m=80 кг. Д иск будет в ращ аться в округ в ертикал ьной оси, проходящ ей через его центр. П ренебрегая трением, най ти, с какой угл ов ой скоростью будетв ращ аться диск, есл ичел ов ек будет идтив дол ь края со скоростью v=2 м/c относител ьно оси диска (момент инерции чел ов ека рассчитыв ать, как дл я материал ьной точки). 135. О предел ить в ел ичину момента импул ьса L кол еса в ел осипеда массы 1 кгидиаметра0,6 м, едущ его со скоростью 30 км/час. К акой момент сил М нуж но прил ож ить, чтобы пов ернуть рул ь на 1 рад з а0,1 секунды? 136. Н а скамье Ж уков ского стоит чел ов ек и держ ит в руках стерж ень, распол ож енный в ертикал ьно по оси в ращ ения скамьи. С камья с чел ов еком в ращ ается с угл ов ой скоростью ω 1 =1 об/с. С какой угл ов ой скоростью ω 1 будетв ращ аться скамья с чел ов еком, есл и пов ернуть стерж ень так, чтобы он з анял горизонтал ьное пол ож ение?

25

С уммарный момент инерциичел ов ека и скамьи J=6 кг⋅м2. Д л ина стерж ня l=2,5 м, его массаm=8 кг. 137. Н ай тимоментинерцииимоменткол ичеств адв иж ения з емного ш ара относител ьно осив ращ ения (R 3 =6,37⋅106 м, М 3 =5,98⋅1024 кг). 138. М ахов ое кол есо начинает в ращ аться с постоянным угл ов ым ускорением 0,5 рад/с2 и через t 1 =15 c посл е начал а дв иж ения приобретает момент кол ичеств а дв иж ения, рав ный 73,5 (кг⋅м2)/c. Н ай ти кинетическую энергию кол есачерез t=20 с посл е начал ав ращ ения. 139. Г оризонтал ьная пл атф ормаm=100 кгв ращ ается в округв ертикал ьной оси, проходящ ей через центр пл атф ормы, дел ая 10 об/мин. Чел ов ек массой 70 кгстоитприэтомнакраю пл атф ормы. С какой скоростью начнет в ращ аться пл атф орма, есл ичел ов ек перей дет от края пл атф ормы к ее центру? С читать пл атф орму кругл ым однородным диском, ачел ов ека– материал ьной точкой . 140. Чел ов ек массой 60 кгнаходится на неподв иж ной пл атф орме массой 100 кг. К акое числ о оборотов в минуту будет дел ать пл атф орма, есл и чел ов ек будет дв игаться по окруж ностирадиусом 5 м в округ осив ращ ения ? С корость дв иж ения чел ов екаотносител ьно пл атф ормы 4 км/час, радиус пл атф ормы 10 м. С читатьпл атф орму однороднымдиском, ачел ов ека– точечной массой . 141. Н ай ти скорость течения по трубе угл екисл ого газ а, есл и изв естно, что з а пол часа через поперечное сечение трубы протекает 0,51 кг газ а. П л отностьгаз апринятьрав ной 7,5 кг/м3. Д иаметр трубы 2 см. 142. В дне цил индрического сосудаимеется кругл ое отв ерстие диаметром d=1 см. Д иаметр сосудаD=0,5 м. Н ай ти 1) з ав исимость скоростиv пониж ения уров ня в оды в сосуде от в ысоты h этого уров ня. 2) числ ов ое з начение этой скорости дл я в ысоты h=0,2 м. 143. В сосуд л ьется в ода, причем з а 1 секунду нал ив ается 0,2 л в оды. К аков дол ж ен быть диаметр d отв ерстия в дне сосуда, чтобы в ода в нем держ ал асьнапостоянном уров не h=8,3 см? 144. К акое дав л ение соз дает компрессор в краскопул ьте, есл и струя ж идкой краски в ытекает из него со скоростью 25 м/с? П л отность краски0,8 г/см3. 145. К акой наибол ьш ей скорости мож ет достичь дож дев ая капл я диаметромd=0,3 мм, есл идинамическая в яз костьв оз духарав на1,2.10-4 П ?

26

146. С тал ьной ш арик диаметром 1мм падает с постоянной скоростью 0,185 см/с в бол ьш ом сосуде, напол ненном касторов ым масл ом. Н ай ти динамическую в яз костькасторов ого масл а. 147. П робков ый ш арик радиусом 5 мм в спл ыв ает в сосуде, напол ненном касторов ым масл ом. Чему рав ны динамическая и кинематическая в яз кости касторов ого масл а в усл ов иях опыта, есл и ш арик в спл ыв ает с постоянной скоростью 3,5 см/c? 148. В трубе с суж ением течет в ода. В трубу пущ ен эл астичный рез инов ый мячик. К ак изменится его диаметр при прохож дении уз кой части трубы? 149. И з брандспой та бьет струя в оды. Расход в оды Q=60 л /мин. К аков а пл ощ адь поперечного сечения струи S 1 на в ысоте h=2 м над концом брандспой та, есл ив бл изинего сечение рав но S o =1,5 см2? 150. Т ел о, имеющ ее массу m=2 кгиобъ ем V=1000 см3, находится в оз ере нагл убине h=5 м. К акая работа дол ж на быть сов ерш ена приего подъ еме на в ысоту H=5 м над пов ерхностью в оды? Рав на л и сов ерш енная при этом работа изменению потенциал ьной энергиител а? О бъ ясните рез ул ьтат. 151. В бал л оне емкостью V=15 л находится смесь, содерж ащ ая m 1 =10 г в одорода, m 2 =54 гв одяного параиm 3 =60 гокисиугл ерода. Т емпературасмеси t=27 0С . О предел итьдав л ение. 152. К акой объ ем V з анимает смесь аз ота массой m 1 =1 кг и гел ия m 2 =1 кгпринормал ьных усл ов иях? 153. Бал л он емкостью V=50 л з апол нен кисл ородом. Т емпература кисл орода t=20 0С . К огда часть кисл орода израсходов ал и, дав л ение в бал л оне понизил осьна ∆ P=2 атм. О предел итьмассу израсходов анного кисл орода. 154. С осуд емкостью V=0,01 м3 содерж ит аз от массой m 1 =7 г ив одород массой m 2 =1 гпритемпературе t=70С . О предел итьдав л ение смесигаз ов . 155. Бал л он емкостью V=15 л содерж ит смесь в одорода и аз ота при температуре t=27 0С идав л енииP=12,3 атм. М асса смесиm=145 г. О предел ить массу m 1 в одородаимассу m 2 аз ота.

27

156. В бал л оне емкостью V=110 л помещ ено 0,8 кг в одорода и 1,6 кг кисл орода. О предел ить дав л ение смеси на стенки сосуда, есл и температура окруж ающ ей среды 27 0С . 157. Д о какой температуры нуж но нагреть з апол ненный ш ар, содерж ащ ий 17,5 гв оды, чтобы ш ар раз орв ал ся, есл иизв естно, что стенкиш ара в ыдерж ив аютдав л ение 100 атм, аобъ емш ара1 л ? 158. С осуд, содерж ащ ий m 1 =2 г гел ия, раз орв ал ся при температуре 400 С . К акое максимал ьное кол ичеств о аз ота мож ет храниться в таком сосуде при300С иприпятикратномув ел ичениидав л ения? 0

159. Г аз придав л ении8 атм итемпературе 12 0С з анимает объ ем 855 л . К аков о будет дав л ение, есл иэта ж е масса газ а притемпературе 47 0С з ай мет объ ем800 л ? 160. О бъ емгаз апридав л ении0,72 М П аитемпературе 15 0С рав ен 0,6 м3. П рикакой температуре эта ж е масса газ а з ай мет объ ем 1,6 м3, есл идав л ение станетрав ным0,225 М П а? 161. С кол ько стол кнов ений з а 1 с испытыв ает мол екул а неона при температуре 600 К идав л ении1 мм рт.стол ба(эф ф ектив ный диаметр мол екул ы неона2,04⋅10-10 м)? 162. Д л я в одорода принормал ьных усл ов иях дл ина св ободного пробега -5 λ =1,28⋅10 см. Н ай тиэф ф ектив ный диаметр мол екул ы в одорода. 163. С кол ько стол кнов ений z з а 1 секунду испытыв аетмол екул аС О 2 при нормал ьном дав л ении и температуре (эф ф ектив ный диаметр мол екул ы С О 2 рав ен 10-9 м). 164. Н ай тиэф ф ектив ный диаметр мол екул ы в одорода, есл идл я него при нормал ьных усл ов иях дл инасв ободного пробегамол екул λ =1,12⋅10-7 м. 165. Н ай тисреднюю дл ину св ободного пробега мол екул ы кисл орода при нормал ьных усл ов иях (эф ф ектив ный диаметр мол екул ы кисл орода2,7⋅10-10 м.). 166. В ычисл ить среднюю дл ину св ободного пробега мол екул кисл орода принормал ьных усл ов иях, есл иизв естно, что з а 1 секунду каж дая мол екул а стал кив ается с другимив среднем6,5⋅109 раз . С дел ать такой ж е подсчет дл я мол екул гел ия, есл и среднее числ о соударений с другимимол екул амиз а1 с рав но 6,5⋅109 раз .

28

167. С редняя дл ина св ободного пробега мол екул ы в одорода при нормал ьных усл ов иях рав на 1,6⋅10-7 м. П одсчитать числ о стол кнов ений каж дой мол екул ы с другимиз а1 секунду. С дел ать такой ж е подсчетдл я мол екул аз ота, есл иизв естно, что средняя дл инасв ободного пробегапринормал ьных усл ов иях рав на6⋅10-8 м . 168. С редняя дл ина св ободного пробега мол екул ы кисл орода при нормал ьных усл ов иях λ =10-5 м. В ычисл ить 1) среднюю ариф метическую скоростьv мол екул 2) числ о соударений z в секунду дл я одной мол екул ы. 169. К аков а дл ина св ободного пробега мол екул ы гел ия притемпературе t=2000С и дав л ении 0,01 мм рт.стол ба? К аков о числ о соударений в секунду каж дой мол екул ы? (Э ф ф ектив ный диаметр мол екул ы He d=1,9⋅10-10 м.) 170. Н ай тиэф ф ектив ный диаметр мол екул ы в одорода, есл идл я него при нормал ьных усл ов иях дл инасв ободного пробегамол екул λ =1,12⋅10-7 м. π 6

171. У рав нение дв иж ения точки дано в в иде x=sin t. Н ай ти моменты в ремени, в которые достигаются максимал ьная скорость и максимал ьное ускорение. 172. Чему рав но отнош ение кинетической энергииточки, сов ерш ающ ей гармоническое кол ебание, к ее потенциал ьной энергиидл я моментов в ремени: 1) t=T/12, 2) t=T/8, 3) t=T/6? Н ачал ьная ф аз акол ебаний рав нанул ю. 173. Ампл итуда гармонических кол ебаний материал ьной точкиА=2 см, пол ная энергия кол ебаний W=3 ⋅10-7 Д ж . П рикаком смещ енииот пол ож ения рав нов есия накол ебл ющ уюся точку дей ств уетсил аF=2,25 ⋅10-5 Н ? 174. Т очка участв ует однов ременно в дв ух в з аимно перпендикул ярных кол ебаниях x=2sinω t миy=2cosω t м. Н ай титраекторию дв иж ения точки. 175. Л огариф мический декремент з атухания математического маятника рав ен 0,2. Н ай ти, в о скол ько раз уменьш ится ампл итуда кол ебаний з а одно пол ное кол ебание маятника. 176. Чему рав ен л огариф мический декрементз атухания математического маятника, есл из а 1 мин ампл итуда кол ебаний уменьш ил ась в дв а раз а ? Д л ина маятника1 м. 177. О предел ить дл ину в ол ны кол ебаний , есл ирасстояние меж ду перв ой ичетв ертой пучностямистоячей в ол ны рав ной 15 см.

29

178. Н ай ти скорость распространения з в ука в в оз духе при о о температурах: 1) –20 С , 2) 0 тС , 3) 20 оС . 179. Чел ов еческое ухо мож ет в оспринимать з в уки частотой прибл изител ьно от 20 до 20 000 Г ц. М еж ду какими дл инами в ол н л еж ит интерв ал сл ыш имостиз в уков ых кол ебаний ? С корость з в ука в в оз духе считать рав ной 340 м/с. 180. В о скол ько раз скорость распространения з в ука в в оз духе л етом (температура 27 оС ) бол ьш е скорости распространения з в ука з имой (температура–33 оС )? 181. Н ай тисоотнош ение сp /c v дл я газ ов ой смеси, состоящ ей из 8 ггел ия и16 гкисл орода. 182. О предел ить удел ьные тепл оемкости c v и сp газ а, состоящ его по массе из 85 % кисл орода (О 2 ) и15 % оз она (О 3 ). С читать, что трехатомные мол екул ы имеют6 степеней св ободы. 183. О предел ить удел ьные тепл оемкости c v и сp смеси, содерж ащ ей m1=3 кгаз отаиm2=1 кгв одяного пара, принимая этигаз ы з аидеал ьные. 184. Раз ность удел ьных тепл оемкостей некоторого дв ухатомного газ а c v =260 Д ж /(кг.К ). Н ай ти массу одного кил омол я газ а и его удел ьные тепл оемкости. 185. Н екоторый газ принормал ьных усл ов иях имеетпл отность ρ =0,0894 кг/м . О предел итьего удел ьные тепл оемкости c v исp , атакж е най ти, какой это газ . 3

186. У дел ьные тепл оемкости некоторого газ а сp =1,04⋅104 Д ж /(кг⋅К ) и c v = =1,46⋅104 Д ж /(кг⋅К ). О предел итькил омол ьные тепл оемкости. 187. Н ай ти дл я кисл орода отнош ение удел ьной тепл оемкости при постоянномдав л ениииудел ьной тепл оемкостиприпостоянномобъ еме. 188. Д л я некоторого одноатомного газ а удел ьная тепл оемкость при постоянном дав л ениирав на 1,04⋅104 Д ж /(кг⋅К ). Чему рав на масса 1 кил омол я этого газ а? 189. Н ай ти удел ьные тепл оемкости c v и сp некоторого газ а, есл и изв естно, что масса 1 кил омол я этого газ а µ =30 кг/кмол ь иотнош ение сp /c v =1,4.

30

190. Чему рав ны удел ьные тепл оемкости сp и c v некоторого дв ухатомного газ а, есл ипл отность этого газ а принормал ьных усл ов иях рав на 1,43 кг/м3? 191. П риадиабатном расш иренииаз ота с массой m сов ерш ается работаА. Н аскол ько уменьш ил ась в нутренняя энергия ипонизил ась температура аз ота, есл иего удел ьная тепл оемкостьприпостоянномобъ еме рав наc v ? 192. П риизобарическом расш ирениидв ухатомного газ а был а сов ерш ена работаА. К акое кол ичеств о тепл оты сообщ ено газ у? 193. М асса m=2 газ ота, находящ егося притемпературе t=0 0С идав л ении Р=0,2 М П а, изотермически расш иряется з а счет пол ученного изв не тепл а до объ емаV=2 л . Н ай ти: 1) работу, сов ерш енную газ омприрасш ирении, 2) кол ичеств о сообщ енной газ у тепл оты. 194. В одород з анимает объ ем V 1 =10 м3 при дав л енииР 1=0,1 М П а. Г аз нагрел иприпостоянномобъ еме до дав л ения Р 2=0,3 М П А. О предел ить изменение ∆ U в нутренней энергии газ а, работу А, сов ерш енную газ ом, тепл оту Q, сообщ енную газ у. 195. К исл ород при неизменном дав л ении Р=0,08 М П а нагрев ается. Е го объ емув ел ичив ается отV 1 =1 м3 до V2=3 м3. О предел ить изменение в нутренней энергии U кисл орода, работу, сов ерш енную имприрасш ирении, атакж е тепл оту, сообщ енную газ ом. 196. Г аз сов ерш аетцикл К арно. Абсол ютная температуранагрев ател я в n раз в ыш е, чемабсол ютная температураохл адител я. К акую дол ю тепл оты, пол учаемой з аодин цикл отнагрев ател я, газ отдает охл адител ю. 197. С ов ерш ая цикл К арно, газ пол учил отнагрев ател я тепл оту Q1=103Д ж исов ерш ил работу А=200Д ж . Т емпературанагрев ател я t1=100 0С . О предел итьтемпературу охл адител я. 198. С ов ерш ая цикл К арно, газ отдал охл адител ю тепл оту Q2=4⋅103 Д ж . Работа цикл а А=1000 Д ж . О предел ить температуру нагрев ател я, есл и температураохл адител я t=27 0С . 199. И деал ьная тепл ов ая маш ина работает по цикл у К арно. П ри этом 80 % тепл а, пол учаемого от нагрев ател я, передается охл адител ю. К ол ичеств о тепл а, пол учаемого отнагрев ател я, рав но 300 Д ж . Н ай ти: 1) коэф ф ициентпол ез ного дей ств ия (к.п.д.) цикл а,

31

2) работу, сов ерш енную при

пол номцикл е.

200. И деал ьная тепл ов ая маш ина, работающ ая по цикл у К арно, сов ерш ает з а один цикл работу 7,35⋅104 Д ж . Т емпература нагрев ател я 100 0С , температурахол одил ьника0 0С . Н ай ти: 1) коэф ф ициентпол ез ного дей ств ия (к.п.д.) маш ины, 2) кол ичеств о тепл а, пол учаемого маш иной з а один цикл от нагрев ател я, 3) кол ичеств о тепл а, отдав аемого з аодин цикл хол одил ьнику.

С остав ител и: Р ога зи н с ка я О льга В ла д и ми ровн а М и лови д ова С ветла н а Д ми три евн а С и д орки н А лекс а н д р С тепа н ови ч Бруда н и н В и ктор Бори с ови ч Редактор Ти хоми рова О .А ..