Вопросы спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных(Автореферат)

На правах рукописи УДК 517

Пузанкова Евгения Александровна

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.01. --- математический анализ АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: д.ф.-м.н., проф. В.В. Дубровский к.ф.-м.н., проф. М.В. Бушманова

Екатеринбург --- 2003

Работа выполнена на кафедре математики Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И.Носова Научные руководители:

--- доктор физико-математических наук, профессор В.В. Дубровский;

--- кандидат физико-математических наук, профессор М.В. Бушманова. Официальные оппоненты: --- доктор физико-математических наук, профессор И.В. Мельникова; --- доктор физико-математических наук, профессор Г.В. Хромова. Ведущая организация

--- Институт Математики и Механики Уральского отделения РАН

Защита диссертации состоится «___»___________200 г. в ___ ч. __мин. На заседании диссертационного Совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете им.А.М. Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, д. 51, комн. 248. С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Уральского государственного университета. Автореферат разослан «__»_______200__г. Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор В.Г.Пименов

Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòû Àêòóàëüíîñòü ïðîáëåìû. Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ ïðÿìûõ è îáðàòíûõ çàäà÷ ñïåêòðàëüíîé òåîðèè äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ìíîãèå âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ïðèâîäÿò ê ïðîáëåìå ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ. Õàðàêòåðíûì ïîäõîäîì â èññëåäîâàíèè ñïåêòðà äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå è âû÷èñëåíèå . Ïîñêîëüêó äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ ñïåêòðàëüíûé è ìàòðè÷íûé ñëåäû íå ñóùåñòâóþò, âîçíèêàåò ïîíÿòèå òàê íàçûâàåìûõ "ðåãóëÿðèçîâàííûõ ñëåäîâ". Ïðîáëåìà âû÷èñëåíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííûõ ñëåäîâ âîñõîäèò ê ðàáîòå È.Ì. åëüàíäà è Á.Ì. Ëåâèòàíà [5℄, îïóáëèêîâàííîé â 1953 ã. Îíè ðàññìîòðåëè îïåðàòîð ØòóðìàËèóâèëëÿ, ïîðîæäåííûé êðàåâîé çàäà÷åé:

àñèìïòîòèðåãóëÿðèçîâàííûõ ñëåäîâ

êè ñïåêòðàëüíîé óíêöèè

y00 (x) + q(x)y(x) = y(x); y(0) = y() = 0; x 2 [0; ℄;

(1)

ãäå q (x)  äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ íà îòðåçêå [0;  ℄. Àñèìïòîòèêà óïîðÿäî÷åííûõ ïî âîçðàñòàíèþ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ýòîãî îïåðàòîðà âûðàæàåòñÿ îðìóëîé

n = n2 +

1 

Z

0

q(x)dx + O



1 ; n2

(2)

ïåðâûé ðåãóëÿðèçîâàííûé ñëåä îïåðàòîðà)

 ñèëó ýòîãî ðÿä (

1

X

n=1

n

n2

1

0 ); ãäå 0 = 

Z

0

q(x)dx

ñõîäèòñÿ. È.Ì. åëüàíäîì è Á.Ì. Ëåâèòàíîì â [5℄ áûëà óñòàíîâëåíà ñëåäóþùàÿ îðìóëà:

1

X

n=1

(n

1 n2 0 ) = 0 2

q(0) + q() : 4

(3)

 ðàáîòå [7℄ Ë.À. Äèêèì áûëî ïîêàçàíî, ÷òî îðìóëà (3) ýêâèâàëåíòíà àáñòðàêòíîìó ðàâåíñòâó

1

X

n=1

(n

n2 (qvn ; vn )) = 0; 3

(4)

ãäå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå L2 [0;  ℄, vn  ñîáñòâåííûå îðòîíîðìèðîâàííûå óíêöèè îïåðàòîðà, ïîðîæäåííîãî êðàåâîé çàäà÷åé

v00 (x) = v(x); v(0) = v() = 0; x 2 [0; ℄:  60-å ãîäû òåîðèÿ ðåãóëÿðèçîâàííûõ ñëåäîâ ðåãóëÿðíûõ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ áûëà ïðàêòè÷åñêè çàâåðøåíà ðàáîòàìè Â.Á. Ëèäñêîãî è Â.À. Ñàäîâíè÷åãî [14℄, [17℄. Èì óäàëîñü âû÷èñëèòü ðåãóëÿðèçîâàííûå ñëåäû ïðîèçâîëüíûõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ëþáûõ ïîðÿäêîâ ñî ñëîæíûì âõîæäåíèåì ïàðàìåòðà. Çíà÷èòåëüíî ìåíåå èññëåäîâàííûìè ÿâëÿþòñÿ êëàññû îïåðàòîðîâ, ñîäåðæàùèå äèåðåíöèðîâàíèå ïî íåñêîëüêèì ïåðåìåííûì. àçëè÷íûå ðåçóëüòàòû â ýòîì íàïðàâëåíèè áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ À. . Êîñòþ÷åíêî [12℄, Ì. . àñûìîâà [3℄, Â. èéåìèíà [22℄ è äð. Òðóäíîñòü çàäà÷è ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ðåçîëüâåíòà èìååò ñëîæíîå ñòðîåíèå è íåèçâåñòíà òî÷íàÿ àñèìïòîòèêà âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë.  ðàáîòå Â.Â. Äóáðîâñêîãî [8℄ ïðåäëîæåí ïîäõîä ê ïðîáëåìå ñëåäîâ ÷åðåç ïîïðàâêè òåîðèè âîçìóùåíèé. Ïðîáëåìå âû÷èñëåíèÿ àñèìïòîòèêè ñïåêòðàëüíîé óíêöèè äèåðåíöèàëüíûõ è ïñåâäîäèåðåíöèàëüíûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ ïîñâÿùåíû ðàáîòû ìíîãèõ ìàòåìàòèêîâ (ñì., íàïðèìåð, [11℄, [20℄). Ñ ïîìîùüþ ìåòîäèêè, ïðåäëîæåííîé Ì. . àñûìîâûì â ðàáîòå [3℄, ìîæíî âû÷èñëÿòü ðåãóëÿðèçîâàííûå ñëåäû äèñêðåòíûõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ, èñïîëüçóÿ èõ ñïåêòðàëüíóþ óíêöèþ.  ðàáîòå Â.À. Ñàäîâíè÷åãî, Â.Â. Äóáðîâñêîãî, À.Â. Íàãîðíîãî [19℄ èçó÷åíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ñïåêòðàëüíîé óíêöèè ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäîâ òåîðèè âîçìóùåíèé. Ïóñòü íà îáëàñòè M çàäàí ïîëóîãðàíè÷åííûé ñíèçó ñàìîñîïðÿæåííûé äèñêðåòíûé îïåðàòîð T , äåéñòâóþùèé â H = L2 (M ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç j åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, çàíóìåðîâàííûå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè), à ÷åðåç vj (x)  ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå óíêöèè, îáðàçóþùèå îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó. îïåðàòîðà íàçîâåì óíêöèþ X

Cïåêòðàëüíîé óíêöèåé

(x; y; ) =

j 

4

vj (x)vj (y):

Ïóñòü P  ñàìîñîïðÿæåííûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð â H .  [19℄ îïðåäåëåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âåðíî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî

lim kT +P (x; y; ) T (x; y; )k2 = 0;

!1

(5)

ãäå T +P è T  ñïåêòðàëüíûå óíêöèè îïåðàòîðîâ T è T + P , ñîîòâåòñòâåííî. Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò îïåðàòîðû, ïîëó÷åííûå èç îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ðåçóëüòàòå "ìàëîãî"âîçìóùåíèÿ, ïîýòîìó òðåáóåòñÿ ïîëó÷èòü àñèìïòîòèêó ñïåêòðàëüíîé óíêöèè, à òàêæå ðåãóëÿðèçîâàííûé ñëåä äëÿ äàííîãî îïåðàòîðà. Îäíàêî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò (5) ïåðåíîñèòñÿ òîëüêî íà ñòåïåíü îïåðàòîðà Ëàïëàñà  3=2. Åñòåñòâåííûì îáðàçîì âñòàåò çàäà÷à î íàõîæäåíèè àñèìïòîòèêè ñïåêòðàëüíîé óíêöèè è ðåãóëÿðèçîâàííîãî ñëåäà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà êàê ìîæíî áîëåå áëèçêîé ê åäèíèöå. Íàðÿäó ñ "ïðÿìûìè"çàäà÷àìè, âàæíóþ ðîëü èãðàþò Ïîä îáðàòíûìè çàäà÷àìè ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà ïîíèìàþò çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ îïåðàòîðà ïî òåì èëè èíûì åãî ñïåêòðàëüíûì õàðàêòàðèñòèêàì: ñïåêòðàì (ïðè ðàçëè÷íûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ), ñïåêòðàëüíîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, è äðóãèå. ×òî êàñàåòñÿ ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, òî äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè íåò êðèòåðèåâ ãëîáàëüíîãî ðåøåíèÿ ýòîãî âîïðîñà, ÷òî ñâÿçàíî ñî çíà÷èòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè â èññëåäîâàíèè óðàâíåíèé, êàê ïðàâèëî íåëèíåéíûõ, ê êîòîðûì ñâîäÿòñÿ îáðàòíûå çàäà÷è. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîãèå îáðàòíûå çàäà÷è èìåþò íååäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ïîýòîìó îäíèì èç îñíîâíûõ ìîìåíòîâ â èññëåäîâàíèè ïðîáëåìû åäèíñòâåííîñòè íåêîððåêòíûõ îáðàòíûõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ âûÿâëåíèå äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, íàêëàäûâàåìûõ íà ðåøåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèõ èõ åäèíñòâåííîñòü. Íàèáîëåå ïîëíûå ðåçóëüòàòû â òåîðèè îáðàòíûõ çàäà÷ ïîëó÷åíû äëÿ äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ØòóðìàËèóâèëëÿ

îáðàòíûå çàäà÷è ñïåêòðàëüíîé òåîðèè äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ.



y00 (x) + q(x)y(x) = y(x); 0 y (a) hy(a) = 0; y0 (b) + Hy(b) = 0

(6)

â ñëó÷àå, êîãäà óíêöèÿ q (x) íåïðåðûâíà íà êîíå÷íîì îòðåçêå [a; b℄. Ïåðâûé ðåçóëüòàò â ýòîì íàïðàâëåíèè ïðèíàäëåæèò Â.À. Àìáàðöóìÿíó [21℄. Èì äîêàçàíî, ÷òî åñëè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ 

y00 + q(x)y = y (q(x) 2 C [0; ℄); 0 y (0) = y0 () = 0; 5

(7)

ñóòü n = n2 , n = 0; 1; 2; : : : , òî q (x)  0. Îäíàêî, â îáùåì ñëó÷àå îäèí ñïåêòð îïåðàòîðà ØòóðìàËèóâèëëÿ óíêöèþ q (òî åñòü îïåðàòîð) íå îïðåäåëÿåò.  ðàáîòå [4℄ È.Ì. åëüàíäà, Á.Ì. Ëåâèòàíà áûë óêàçàí ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ îïåðàòîðà ØòóðìàËèóâèëëÿ ïî ñïåêòðàëüíîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ () è óêàçàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû çàäàííàÿ ìîíîòîííàÿ óíêöèÿ ÿâëÿëàñü ñïåêòðàëüíîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ØòóðìàËèóâèëëÿ (íà ïðÿìîé èëè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå).  äàëüíåéøåì ðàáîòà È.Ì. åëüàíäà, Á.Ì. Ëåâèòàíà [4℄ ïîñëóæèëà îáðàçöîì äëÿ ýåêòèâíîãî ðåøåíèÿ äðóãèõ îáðàòíûõ çàäà÷. Îáðàòíûì çàäà÷àì äëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è èõ ïðèëîæåíèÿì ïîñâÿùåíî äîñòàòî÷íî ìíîãî ðàáîò.  ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå îáðàòíûå çàäà÷è èññëåäîâàëèñü À.Ì.Áóõãåéìîì, Ì.Ì.Ëàâðåíòüåâûì, Â. .îìàíîâûì è äð. (ñì. [1℄, [13℄, [15℄).  ðàáîòå Â.À. Ñàäîâíè÷åãî è Â.Â. Äóáðîâñêîãî [18℄ äîêàçàíà òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ àáñòðàêòíûõ îïåðàòîðîâ òîëüêî ïî îäíîìó ñïåêòðó è ïðè óñëîâèè "ìàëîñòè"âîçìóùàþùåãî îïåðàòîðà. åçóëüòàòû ïðèìåíÿþòñÿ ê ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîãî íà ïðÿìîóãîëüíèêå  ñ ïîòåíöèàëîì èç L2 (). Ê ýòîé ðàáîòå ïî ñâîåé òåìàòèêå è ìåòîäàì ïðèìûêàþò ðàáîòû [9℄, [10℄. àññìîòðèì â L2 () îïåðàòîð T , ïîðîæäåííûé êðàåâîé çàäà÷åé Äèðèõëå: 

ãäå


u = u; u j  = 0;

ïðÿìîóãîëüíèêà  =
 îïåðàòîð Ëàïëàñà,    ãðàíèöà 2

f(x; y) j 0  x  a; 0  y  bg; ( ab

îïåðàòîð T

=

1

Z

0

2

 dE (). Ïóñòü P

 èððàöèîíàëüíî). Ââåäåì

 îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà íåêî-

ïîòåíöèàëîì

).  [9℄ ðàçðàáîòàí ìåòîä òîðóþ óíêöèþ p (íàçîâåì åå âîññòàíîâëåíèÿ ïîòåíöèàëà èç C () è äîêàçàíà åãî åäèíñòâåííîñòü äëÿ îïåðàòîðà T + P . B [10℄ àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à ðåøåíà â êëàññå ïîòåíöèàëîâ èç L2 (). Îäíàêî äàííûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû â ëó÷øåì ñëó÷àå äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà > 5=2. Òàêèì îáðàçîì, êàê è â "ïðÿìûõ"çàäà÷àõ, âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà êàê ìîæíî áîëåå áëèçêîé ê åäèíèöå.  ñèëó ñêàçàííîãî, òåìà èññëåäîâàíèÿ äàííîé äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé.

6

Öåëü ðàáîòû:

1. Èññëåäîâàòü àñèìïòîòèêó ñïåêòðàëüíîé óíêöèè è âû÷èñëèòü ïåðâûé ðåãóëÿðèçîâàííûé ñëåä îïåðàòîðà T + P , äëÿ , âîçìîæíî áîëåå áëèçêîé ê åäèíèöå. 2. åøèòü îáðàòíóþ çàäà÷ó äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà, âîçìîæíî áîëåå áëèçêîé ê åäèíèöå, çàäàííîãî ëèáî íà ïðÿìîóãîëüíèêå, ëèáî íà N ìåðíîì ïàðàëëåëåïèïåäå, ñ ïîòåíöèàëîì èç L1 . Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.  ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû òåîðèè âîçìóùåíèé, ñïåêòðàëüíîé òåîðèè îïåðàòîðîâ, ðàçëè÷íûå ìåòîäû óíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, òåîðèè óíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Íàó÷íàÿ íîâèçíà. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è ñîñòîÿò â ñëåäóþùåì:

1. Äëÿ âîçìóùåííîé ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà T + P , çàäàííîãî íà êâàäðàòå èëè íà ðàâíîáåäðåííîì ïðÿìîóãîëüíîì òðå13 äîêàçàíà òåîðåìà îá îöåíêå ðàçíîñòè óãîëüíèêå, ïðè > 1 80 ñïåêòðàëüíûõ óíêöèé îïåðàòîðîâ T + P è T . 2. Ïîëó÷åíà îðìóëà ïåðâîãî ðåãóëÿðèçîâàííîãî ñëåäà äëÿ îïå13 . ðàòîðà T + P ïðè > 1 80 3. Ïðè > 1 ðåøåíà îáðàòíàÿ çàäà÷à ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà î âîññòàíîâëåíèè ïîòåíöèàëà äëÿ âîçìóùåííîé ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîãî íà ïðÿìîóãîëüíèêå. 4. Ïðè > N=2 ðåøåíà çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ïîòåíöèàëà äëÿ âîçìóùåííîé ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà íà N ìåðíîì ïàðàëëåëåïèïåäå. Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü. àáîòà íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. Åå ðåçóëüòàòû ìîãóò íàéòè ïðèìåíåíèå â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, â íåëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè, â ñïåêòðàëüíîé òåîðèè îïåðàòîðîâ, â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå. Àïðîáàöèÿ ðàáîòû è ïóáëèêàöèè. åçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü è îáñóæäàëèñü íà Âñåðîññèéñêèõ íàó÷íî-ïðàêòè÷åñêèõ êîíåðåíöèÿõ âóçîâ Óðàëüñêîé çîíû (ã. Ìàãíèòîãîðñê, 1999 ã.,

7

ã.×åëÿáèíñê, 2001 ã.), íà êîíåðåíöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ è êðàåâûì çàäà÷àì â Ñ ÒÓ (ã. Ñàìàðà, 2000 ã.), íà íàó÷íîèññëåäîâàòåëüñêîì ñåìèíàðå ïîä ðóêîâîäñòâîì äîêòîðà èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîåññîðà Äóáðîâñêîãî Â.Â., â Ìàãíèòîãîðñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå (ã. Ìàãíèòîãîðñê, 19962000 ã.), íà 62-é íàó÷íî-òåõíè÷åñêîé êîíåðåíöèè â Ì ÒÓ (ã. Ìàãíèòîãîðñê, 2003 ã.), à òàêæå íà ñåìèíàðå ïî äèåðåíöèàëüíî - îïåðàòîðíûì óðàâíåíèÿì ïîä ðóêîâîäñòâîì äîêòîðà èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîåññîðà Ìåëüíèêîâîé È.Â. â Óðàëüñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [23℄  [29℄. Âûñòóïëåíèå àâòîðà íà êîíåðåíöèÿõ îòðàæåíî â òåçèñàõ äîêëàäîâ [30℄  [33℄. Èç ðàáîò, îïóáëèêîâàííûõ â ñîàâòîðñòâå, â äèññåðòàöèþ âîøëè òîëüêî ðåçóëüòàòû àâòîðà. Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, äâóõ ãëàâ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû èç 98 íàèìåíîâàíèé. Îáùèé îáúåì äèññåðòàöèè  92 ñòðàíèöû.

Êðàòêîå ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè Âî ââåäåíèè äàåòñÿ îáçîð ðàáîò, ñâÿçàííûõ ñ òåìîé äèññåðòàöèè, è îðìóëèðóþòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè. Ïåðâàÿ ãëàâà ñîñòîèò èç òðåõ ïàðàãðàîâ è ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ àñèìïòîòèêè ñïåêòðàëüíîé óíêöèè âîçìóùåííîé ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîé íà êâàäðàòå èëè íà ðàâíîáåäðåííîì ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå , ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëå è äåéñòâóþùåé â ïðîñòðàíñòâå L2 (): Ïóñòü   ðàâíîáåäðåííûé ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê èëè êâàäðàò èç R2 : àññìîòðèì â L2 () îïåðàòîð T , ïîðîæäåííûé êðàåâîé çàäà÷åé Äèðèõëå:


' = '; u



ãäå

1

Z

0

= 0;

   ãðàíèöà ,
 îïåðàòîð Ëàïëàñà. Ââåäåì îïåðàòîð T =

 dE (), ãäå E ()  ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå åäèíèöû îïåðàòî-

ðà T; > 0. Ïóñòü P  ñàìîñîïðÿæåííûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, 1 äåéñòâóþùèé â L2 (). Îáîçíà÷èì ÷åðåç fn g1 n=1 , fn gn=1 ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðîâ T è T + P ñîîòâåòñòâåííî, çàíóìåðîâàííûå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èõ âåëè÷èí ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè; ÷åðåç vn è un 8

 îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå óíêöèè îïåðàòîðîâ T è T + P ñîîòâåòñòâåííî, îòâå÷àþùèå n ì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì. Ïåðâûé ïàðàãðà ãëàâû I íîñèò ðååðàòèâíûé õàðàêòåð.  íåì, ñîãëàñíî [16℄, [6℄, ïðèâåäåíû ðàçëè÷íûå ñïåêòðàëüíûå ñâîéñòâà ñàìîñîïðÿæåííûõ äèñêðåòíûõ îïåðàòîðîâ. Âî âòîðîì ïàðàãðàå, èñïîëüçóÿ äâà ÷ëåíà àñèìïòîòèêè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà Ëàïëàñà, à òàêæå ðåçóëüòàòû î ÷èñëå öåëûõ òî÷åê â êðóãå, äîêàçàíû ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà T . Äëÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà T âåðíà ñëåäóþùàÿ àñèìïòîòèêà: (8) n = C1 n + C2 n 1=2 + O(n 27=40 );

C1 > 0, C2 > 0  íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Ïóñòü13=40+ fn g1 n=1  ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà T . Æ ; ãäå C > 0, 0 < Æ  27=40, òîãäà Åñëè jk nj  C3n 3 jk n j  onst
maxfk 27=40+Æ ; n 27=40+Æ g; onst > 0 (9) ãäå

Òåîðåìà 1.

 òðåòüåì ïàðàãðàå ñîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà îñíîâíàÿ òåîðåìà äàííîé ãëàâû  îá îöåíêå ðàçíîñòè ñïåêòðàëüíûõ óíêöèé îïåðàòîðîâ T è T + P . Ïóñòü fnm g1 m=1  òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà T , ÷òî

nm +1 nm ãäå

C1

 C1 nm 1;

(10)

 íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ (ñì.[8℄).

Òåîðåìà 2. Ïóñòü T  ñòåïåíü îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîãî íà , P  ñàìîñîïðÿæåííûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð. Åñëè ( 1)(k + 1) > 13=80, 1  q  2, òîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:

nm X j =1

uj (x)uj (y) =

ïðè÷åì

nm X j =1

vj (x)vj (y) +

k X l=1

l (x; y; nm ) + 'k+1 (x; y; nm ) ; (11)

lim k'k+1 (x; y; nm )kq = 0:

m!1

Çäåñü l(x; y; nm) è 'k+1 (x; y; nm)  ïîïðàâêè òåîðèè âîçìóùåíèé. Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü T +P (x; y; ) = uk (x)uk (y); T (x; y; ) = X

X

k 

k  vk (x)vk (y)  ñïåêòðàëüíûå óíêöèè îïåðàòîðîâ T + P è T ñî-

îòâåòñòâåííî. Åñëè > 1 8013 , 1  q  2 è  2 (nm + kP k; nm+1 9

kP k); òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå: lim kT +P (x; y; ) T (x; y; )kq = 0: !1 Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò è ìåòîäèêó, ïðåäëîæåííóþ Ì. . àñûìîâûì ( ì. [3℄), óäàëîñü âû÷èñëèòü ïåðâûé ðåãóëÿðèçîâàííûé ñëåä äëÿ ýòèõ îïåðàòîðîâ. Çàäà÷à ðåøåíà äëÿ ñòåïåíè > 1 13 80 .

Ïóñòü > 1 1380 , P  îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà âåùåñòâåííóþ óíêöèþ p 2 L1().Òîãäà Òåîðåìà 3.

nm X

lim (j nm !1 j =1

j

(P vj ; vj )) = 0:

Âòîðàÿ ãëàâà ñîñòîèò èç ïÿòè ïàðàãðàîâ è ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ îáðàòíîé çàäà÷è ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ïîòåíöèàëîì èç L1 , çàäàííîãî íà ïðÿìîóãîëüíèêå ëèáî íà N ìåðíîì ïàðàëëåëåïèïåäå. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èñïîëüçóåòñÿ ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé.  ïåðâîì ïàðàãðàå ââîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå îïåðàòîðû è íà ïîòåíöèàëû íàêëàäûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ: ñèììåòðè÷íîñòè è ðàâåíñòâà íóëþ íåêîòîðûõ êîýèöèåíòîâ Ôóðüå. Îáîçíà÷èì  = f(x; y ) j 0  x  a; 0  y  bg 2  ïðÿìîóãîëüíèê, ãäå a > 0; b > 0; ab2  èððàöèîíàëüíî; 4 = 

a b (x; y) j 0  x  ; 0  y   âñïîìîãàòåëüíûé ïðÿìîóãîëüíèê. 2 2 Ïóñòü îïåðàòîð T  ñòåïåíü îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîãî íà ïðÿìîóãîëüíèêå , ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëå. Ïóñòü P  îïåðà-

òîð óìíîæåíèÿ íà, âîîáùå ãîâîðÿ, êîìïëåêñíîçíà÷íóþ, èçìåðèìóþ ïî Ëåáåãó, ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åííóþ ïî ìîäóëþ óíêöèþ p(x; y ) ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ  (ýòó óíêöèþ ìû áóäåì íàçûâàòü ). Äîïóñòèì, ÷òî ïîòåíöèàë óäîâëåòâîðÿåò åùå äâóì äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì:

ïîòåí-

öèàëîì

p(a x; y) = p(x; y) = p(x; b y) ZZ



p(x; y) os =

ZZ





äëÿ ïî÷òè âñåõ(x; y ) 2 ;

(12)



2mx dxdy = a

p(x; y) os





2ny dxdy = 0; m; n = 0; 1; : : : ; 1: (13) b 10

Îáîçíà÷èì ÷åðåç k ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà T + P , çàíóìåðîâàííûå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé ñ ó÷åòîì àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè, k = 1; 2; : : : ; 1; uk  ñîîòâåòñòâóþùèå îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå óíêöèè ýòîãî îïåðàòîðà.  ïåðâîì ïàðàãðàå òàêæå ñîðìóëèðîâàíà òåîðåìà Ë. Êàðëåñîíà îá èíòåðïîëÿöèè [2, ñ.285℄, èñïîëüçóåìàÿ â äàëüíåéøåì. Âî âòîðîì ïàðàãðàå ïîëó÷åíà âàæíàÿ îöåíêà ÿäåðíîé íîðìû îïåðàòîðà (T E ) 1 , êîòîðàÿ áóäåò èñïîëüçîâàíà ïðè äàëüíåéøåì ðåøåíèè îáðàòíîé çàäà÷è. Ïóñòü fkl g1 l=1  òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà T , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ (10). Òåîðåìà 4 (Îöåíêà ÿäåðíîé íîðìû îïåðàòîðà

(T

E ) 1 ).

Ïóñòü 0 < Æ < 1; (1 Æ)( 1=2) < 1, òîãäà íà âåðòèêàëüíûõ ïðÿìûõ kl =  j  = kl +2kl +1 + i âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 



k(T E ) 1 k1 

1

X

k=1



j k j 1  jj + C5 kl

1



Æ

  o kl1=2 (1 Æ)( 1) +

 Æ   + jj + C5 kl 1=2 O kl1 (1 Æ)( 1=2) ; C5 > 0: (14) 

 òðåòüåì ïàðàãðàå ñîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà ëîêàëüíàÿ òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â îáðàòíîé çàäà÷å ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà > 3=2, çàäàííîãî íà ïðÿìîóãîëüíèêå. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçóåòñÿ îöåíêà ÿäåðíîé íîðìû îïåðàòîðà (T E ) 1 è òåîðåìà Ë. Êàðëåñîíà îá èíòåðïîëÿöèîííîé ïîñëåäîâà1 òåëüíîñòè, ñîðìóëèðîâàííàÿ â ïåðâîì ïàðàãðàå. Ïóñòü fks gs=1 èíòåðïîëÿöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â ñìûñëå Ë. Êàðëåñîíà ñïåêòðà  (T ) îïåðàòîðà T â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè Re > 0, òî åñòü ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî  =  (fks g) > 0, ÷òî

1





ks kj  ;  +  kj j =1;j 6=s ks Y

äëÿ ëþáîãî s = 1; 1:

Òîãäà ïî òåîðåìå Ë. Êàðëåñîíà ñóùåñòâóþò òàêèå àíàëèòè÷åñêèå, îãðàíè÷åííûå â ñîâîêóïíîñòè â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè óíêöèè, ÷òî

fks (kj ) = Æjs ;

kfks k1 = sup jfks ()j   (1 ln  ); Re>0

11

ãäå Æjs - ñèìâîë Êðîíåêåðà. Ïîëîæèì 'ks () = Îáîçíà÷èì 





Z

0

fks (z ) dz .



2mx 4 2ny

os ; m; n = 1; 1; k(m;n) (x; y ) = p os a b ab

(15)

ãäå óíêöèè çàíóìåðîâàíû â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè

2 m2 2 n2 + 2 îïåðàòîðà T . a2 b a2 Òåîðåìà 5. Ïóñòü 2  èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ñòåïåíü îïåðàòîðà Ëàïëàñà > 3=2, bfks g1s=1  èíòåðïîëÿöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà ñóùåñòâóåò " > 0, çàâèñÿùåå îò  =  (fks g) > 0, òàêîå, ÷òî åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fs g âûïîëk(m;n) =





íÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

p

abk

1

X

s=1

s

ks

k1 < ";

(16)

òî â çàìêíóòîì øàðå U (0; ")  L1() , ñóùåñòâóåò îäèí è òîëüêî îäèí ïîòåíöèàë p(x; y), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì (12), (13) è ZZ

4

p(x; y) k (x; y) dxdy = 0 ïðè k 6= ks ; k = 1; 2; : : : ; 1;

òàêîé, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà j îïåðàòîðà T + P óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì kl

q X

j =1

'ks (j )

kl

q X

j =1

'ks (j ) = s ; s = 1; 2; : : : ; 1; klq 1 < ks  klq :

Çäåñü fklq g  ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, âûáèðàåìàÿ ñïåöèàëüíûì îáðàçîì.  ÷åòâåðòîì ïàðàãðàå äîêàçàíà òåîðåìà î âîññòàíîâëåíèè ïîòåíöèàëà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà > 1. Êðîìå òîãî, óäàëîñü îñëàáèòü îãðàíè÷åíèÿ, íàêëàäûâàåìûå íà ïîòåíöèàë: íà íåãî íàëîæåíû òîëüêî óñëîâèÿ ñèììåòðèè. Òàêèì îáðàçîì, óäàëîñü ñóùåñòâåííî óñèëèòü ðàíåå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ([9℄, [10℄). 12

Ïóñòü îïåðàòîð T  ñòåïåíü îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîãî íà ïðÿìîóãîëüíèêå  ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëå, P  îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà âåùåñòâåííóþ , èçìåðèìóþ ïî Ëåáåãó, ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åííóþ óíêöèþ p(x; y ) ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ . Äîïóñòèì, ÷òî óíêöèÿ p(x; y ) óäîâëåòâîðÿåò åùå äâóì îãðàíè÷åíèÿì:

p(a x; y) = p(x; y) = p(x; b y) äëÿ ïî÷òè âñåõ

(17)

(x; y) 2  è ZZ

p(x; y) dxdy = 0:



(18)

Ââåäåì öåëûå, îãðàíè÷åííûå ïî ìîäóëþ (íî íå â ñîâîêóïíîñòè) â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè Re > 0 óíêöèè fk (), òàêèå, ÷òî

fk (j ) = Æjk ; sk = sup (jfk ()j
jj2 ) < 1; Re>0

ãäå Æjk - ñèìâîë Êðîíåêåðà,

j; k = 1; 2; : : : ; 1: Ïîëîæèì

'k () = Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü k

X

=

j bnl

ïðåäñòàâëåíà â âèäå

Z

0

fk (z ) dz: X

'k (j )

j bnl

'k (j )

ìîæåò áûòü

k = m + n + m;n ; ãäå

1

X

m=1

jm j2 < 1;

1

X

n=1

jn j2 < 1;

1

X

m;n=1

(19)

j m;n j2 < 1:

Çäåñü bnl  íåêîòîðàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, âûáèðàåìàÿ ñïåöèàëüíûì îáðàçîì ïî ñïåêòðó îïåðàòîðà T , bnl ! 1 ïðè l ! 1.

Ïóñòü > 1, a2=b2  èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, fk g  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà (19), äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 1 Òåîðåìà 6.

X

k

k=1

( k

m n ) 13

k

k1  ":

Òîãäà â øàðå

U (0; ") = fp(x; y) j kpk1  "g è òîëüêî îäèí ïîòåíöèàë p,

ñóùåñòâóåò îäèí óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì(17), (18) òàêîé, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà j îïåðàòîðà T + P óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì X

j bnl

ïðè k  bn l (

1)

'k (j )

X

j bnl

'k (j ) = k ;

; k = 1; 2; : : : 1.

.  ïÿòîì ïàðàãðàå çàäà÷à î âîññòàíîâëåíèè ïîòåíöèàëà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà ðàññìîòðåíà íà N ìåðíîì ïàðàëëåëåïèïåäå è òåîðåìà äîêàçàíà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà > N=2. Îáîçíà÷èì

N = fx = (x1 ; x2 ; : : : ; xN ) j 0  xj  aj ; j = 1; N g  N ìåðíûé ïàðàëëåëåïèïåä.Ïóñòü îïåðàòîð T  ñòåïåíü îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîãî íà ïðÿìîóãîëüíèêå N ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëå; P  îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà âåùåñòâåííóþ, èçìåðèìóþ ïî Ëåáåãó, ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åííóþ óíêöèþ p ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ N . Äîïóñòèì, ÷òî ïîòåíöèàë óäîâëåòâîðÿåò åùå äâóì îãðàíè÷åíèÿì:

p(a1 x1 ; x2 ; : : : ; xN ) = p(x1 ; a2 x2 ; : : : ; xN ) = = p(x1 ; x2 ; : : : ; aN xN ) = p(x1 ; x2 ; : : : ; xN )

(20)

äëÿ ïî÷òè âñåõ Z

(x1 ; : : : ; xN ) 2 N è

Z




p(x1 ; : : : ; xN ) dx1 : : : dxN =

N

= =

Z






Z

N Z






N

Z



2mjk xjk p(x1 ; : : : ; xN ) os ajk NY1





dx1 : : : dxN = : : :

2mjk xjk p(x1 ; : : : ; xN )

os ajk k=1 14



dx1 : : : dxN = 0;

(21)

ãäå jk

2 f1; 2; : : : ; N g; jk 6= jp ïðè k 6= p; mjk 2 N . Îáîçíà÷èì k(m) (x1 ; : : : ; xN )

=

N

pa1 a22 : : : aN

N Y j =1

os



ãäå m = (m1 ; m2 ; : : : ; mN )  ìóëüòèèíäåêñ, mj óíêöèè f k(m) g çàíóìåðîâàíû îäíèì èíäåêñîì ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè îïåðàòîðà T

2 m2i k = a2i i=1 N X



!

2mj xj aj

2

k



(22)

N (j = 1; N )

â ñîîòâåòñòâèè ñ

:

Ïóñòü > N=2; aj 2 (j=1,...,N) ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, fk g1k=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó Òåîðåìà 7.

p

Ak

1

X

k=1

k

k

k1  "(1

p

AÆ");

(23)

p

ãäå ÷èñëî Æ = Æ(") óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó AÆ" < 1 (A = N aj ). Òîãäà â øàðå U (") = fp(x1 ; : : : ; xN ) j kpk1  "g ñóùåñòâóåò j =1 îäèí è òîëüêî îäèí ïîòåíöèàë p, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì(20), (21) òàêîé, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà j îïåðàòîðà T + P óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì Y

X

j bnl

ïðè k  bn l (

1)

'k (j )

X

j bnl

'k (j ) = k ;

(24)

(k = 1; 2; : : : 1):

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1℄ Áóõãåéì À.Ë. Ââåäåíèå â òåîðèþ îáðàòíûõ çàäà÷. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà. Ñèá. îòä-íèå, 1988. [2℄ àðíåòò Äæ. Îãðàíè÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå óíêöèè. Ì.: Ìèð, 1984. 15

[3℄ àñûìîâ Ì. . Î ñóììå ðàçíîñòåé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äâóõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ // ÄÀÍ ÑÑÑ. 1963. Ò.150, 6. Ñ.12021205.

N

[4℄ åëüàíä È.Ì., Ëåâèòàí Á.Ì. Îá îïðåäåëåíèè äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïî åãî ñïåêòðàëüíîé óíêöèè.// Èçâ.ÀÍ ÑÑÑ, ñåð. ìàò. 1951. Ò.15. Ñ.309360. [5℄ åëüàíä È.Ì., Ëåâèòàí Á.Ì. Îá îäíîì ïðîñòîì òîæäåñòâå äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà âòîðîãî ïîðÿäêà //ÄÀÍ ÑÑÑ. 1953. Ò. 88, 4. Ñ. 593596.

N

[6℄ îõáåðã È.Ö., Êðåéí Ì. . Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ì.: Íàóêà, 1965. [7℄ Äèêèé Ë.À. Ôîðìóëû ñëåäîâ äëÿ äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ Øòóðìà  Ëèóâèëëÿ //ÓÌÍ. 1958. Ò.13, 3. Ñ. 111143.

N

[8℄ Äóáðîâñêèé Â.Â. Î îðìóëàõ ðåãóëÿðèçîâàííûõ ñëåäîâ ñàìîñîïðÿæåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõ äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ âòîðîãî ïîðÿäêà //Äèåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1984. Ò.20, 11. Ñ. 19951998.

N

[9℄ Äóáðîâñêèé Â.Â., Íàãîðíûé À.Â. Ê îáðàòíîé çàäà÷å äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ íåïðåðûâíûì ïîòåíöèàëîì //Äèåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1990. Ò.26, 9. Ñ.15631567.

N

[10℄ Äóáðîâñêèé Â.Â., Íàãîðíûé À.Â. Îáðàòíàÿ çàäà÷à äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ïîòåíöèàëîì èç L2 //Äèåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1992. Ò.28, 9. Ñ.15521561.

N

[11℄ Êîñòþ÷åíêî À. . Àñèìïòîòèêà ñïåêòðàëüíîé óíêöèè ñèíãóëÿðíîãî äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ïîðÿäêà 2m //ÄÀÍ ÑÑÑ. 1966. Ò.168, 2. Ñ. 276279.

N

[12℄ Êîñòþ÷åíêî À. . Î íåêîòîðûõ ñïåêòðàëüíûõ ñâîéñòâàõ äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ //Ìàòåì. çàìåòêè. 1967. Ò.1, 3. Ñ. 365378.

N

[13℄ Ëàâðåíòüåâ Ì.Ì., îìàíîâ Â. ., Âàñèëüåâ Â. . Ìíîãîìåðíûå îáðàòíûå çàäà÷è äëÿ äèåðåíöèàëíûõ óðàâíåíèé. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1969.

16

[14℄ Ëèäñêèé Â.Á., Ñàäîâíè÷èé Â.À. åãóëÿðèçîâàííûå ñóììû êîðíåé îäíîãî êëàññà öåëûõ óíêöèé //ÄÀÍ ÑÑÑ. 1967. Ò.176, 2. C.259262.

N

[15℄ îìàíîâ Â. . Îáðàòíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Ì.: Íàóêà, 1984. [16℄ Ñàäîâíè÷èé Â.À. Òåîðèÿ îïåðàòîðîâ. Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1986. [17℄ Ñàäîâíè÷èé Â.À. Äçåòà-óíêöèÿ è ñîáñòâåííûå ÷èñëà äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ //Äèåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1974. Ò.10, 4. Ñ.12761285.

N

[18℄ Ñàäîâíè÷èé Â.À., ÄóáðîâñêèéÂ.Â. Î íåêîòîðûõ ñâîéñòâàõ îïåðàòîðîâ ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì //Äèåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1979. Ò.15, 7. Ñ.12061211.

N

[19℄ Ñàäîâíè÷èé Â.À., Äóáðîâñêèé Â.Â., Íàãîðíûé À.Â. Àñèìïòîòèêà ñïåêòðàëüíîé óíêöèè îïåðàòîðà ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì â Lp .//Òðóäû ñåìèíàðà èì.È. .Ïåòðîâñêîãî. 1991. Âûï.16. Ñ.182 185. [20℄ Õ¼ðìàíäåð Ë. Àíàëèç ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ò.3(Ïñåâäîäèåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû).Ì.:Ìèð, 1987. [21℄ Ambar umian V.A. Ueber eine Frage der Eigengwerttheorie // Zeits.f. Phisik. 1929. 53. S. 690695.

N

[22℄ Guillemin V. Some spe tral results for the Lapla e operator with potential on the n-sphere //Adv. math. 1978. V.27, 3. P. 273 286.

N

Ñïèñîê ðàáîò àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè [23℄ Äóáðîâñêèé Â.Â., Ïóçàíêîâà Å.À. Îöåíêà ðàçíîñòè ñïåêòðàëüíûõ óíêöèé ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîãî íà òðåóãîëüíèêå, â Lp ïðè 1  p  2// ÄÀÍ. 1999. Ò.365, 3. Ñ.311 313.

N

17

[24℄ Äóáðîâñêèé Â.Â., Ïóçàíêîâà Å.À. Îöåíêà ðàçíîñòè ñïåêòðàëüíûõ óíêöèé è îðìóëû ðåãóëÿðèçîâàííûõ ñëåäîâ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîãî íà òðåóãîëüíèêå èëè êâàäðàòå, â Lp , 1  p  2.// Äèåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1999. Ò.35, 4. Ñ.14

N

[25℄ Ñàäîâíè÷èé Â.À., Äóáðîâñêèé Â.Â., Ïóçàíêîâà Å.À. Îá îáðàòíîé çàäà÷å ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ïîòåíöèàëîì.// ÄÀÍ. 1999. Ò.367, 3. Ñ.307309.

N

[26℄ Ñàäîâíè÷èé Â.À., Äóáðîâñêèé Â.Â., Ïóçàíêîâà Å.À. Îáðàòíàÿ çàäà÷à ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà íà ïðÿìîóãîëüíèêå.// Äèåðåíö. óðàâíåíèÿ. 2000. Ò.36, 12. Ñ. 16951698.

N

[27℄ Ñàäîâíè÷èé Â.À., Äóáðîâñêèé Â.Â., Äóáðîâñêèé Â.Â.-ìë., Ïóçàíêîâà Å.À. Î âîññòàíîâëåíèè ïîòåíöèàëà â îáðàòíîé çàäà÷å ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà.// ÄÀÍ. 2001. Ò.380, 4. Ñ.462464.

N

[28℄ Ïóçàíêîâà Å.À. Îáðàòíàÿ çàäà÷à ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ïîòåíöèàëîì â ïðîñòðàíñòâå RN .// Äåï. â ÍÈÈ ÂÎ 27.02.02 182002. 8ñ.

N

[29℄ Ïóçàíêîâà Å.À. Îáðàòíàÿ çàäà÷à ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà äëÿ âîçìóùåííîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà.// Ìàòåìàòèêà. Ïðèëîæåíèå ìàòåìàòèêè â ýêîíîìè÷åñêèõ, òåõíè÷åñêèõ è ïåäåãîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ. Ñá. íàó÷. òðóäîâ ïîä ðåä. Ì.Â. Áóøìàíîâîé. Ìàãíèòîãîðñê: Ì ÒÓ, 2003. Ñ.1622. [30℄ Ïóçàíêîâà Å.À. Îöåíêà ðàçíîñòè ñïåêòðàëüíûõ óíêöèé è îðìóëû ðåãóëÿðèçîâàííûõ ñëåäîâ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà, çàäàííîãî íà ïðÿìîóãîëüíîì ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå èëè íà êâàäðàòå// Ìàòåð. Âñåðîñ. íàó÷.-ïðàêòè÷. êîí. 1618 ìàðòà 1999ã. Ïðîáëåìû èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ â ïåäàãîãè÷åñêèõ âóçàõ ñòðàíû íà ñîâðåìåííîì ýòàïå. Ìàãíèòîãîðñê.: Ì ÏÈ., 1999. Ñ.2627. [31℄ Äóáðîâñêèé Â.Â., Ïóçàíêîâà Å.À. Îáðàòíàÿ çàäà÷à ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà íà ïðÿìîóãîëüíèêå.// Òðóäû äåñÿòîé ìåæâóçîâñêîé êîíåðåíöèè "Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è êðàåâûå çàäà÷è", 2931 ìàðòà 2000 ã. Ñàìàðà, 2000. ×àñòü 3. Ñ.5153.

18

[32℄ Ñàäîâíè÷èé Â.À., Äóáðîâñêèé Â.Â., Äóáðîâñêèé Â.Â.-ìë., Ïóçàíêîâà Å.À. Î âîññòàíîâëåíèè ïîòåíöèàëà ïî ñïåêòðó äëÿ ñòåïåíè îïåðàòîðà Ëàïëàñà íà ïðÿìîóãîëüíèêå. // Òåçèñû äîêëàäîâ íàó÷íî-ïðàêòè÷åñêîé êîíåðåíöèè âóçîâ Óðàëüñêîé çîíû, 26  29 ìàðòà 2001 ã. ×åëÿáèíñê: × ÏÓ, 2001. Ñ.2930. [33℄ Ïóçàíêîâà Å.À. Âîññòàíîâëåíèå ïîòåíöèàëà ïî ñïåêòðó äëÿ âîçìóùåííîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà. // Ìàòåðèàëû 62-é íàó÷íîòåõíè÷åñêîé êîíåðåíöèè ïî èòîãàì íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîé ðàáîòû çà 20022003 ãã.: Ñá. äîêë. ïîä ðåä. .Ñ. óíà. Ìàãíèòîãîðñê: Ì ÒÓ, 2003. Ñ.219221.

19