Числовые ряды: Учебно-методическая разработка

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»

Числовые ряды Учебно-методическая разработка

Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 010700 «Физика».

Нижний Новгород 2005 г.

УДК 517 ББК В161.31 К-84 К-84 Числовые ряды. Учебно-методическая разработка. - Составители Круглова С.С., Шишина В.Т. - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2005. - 18 с. Рецензент: кандидат физико-математических наук доцент В.И. Перова.

Настоящая разработка содержит справочные сведения, решения примеров и задания для самостоятельной работы по теме “Числовые ряды”. Разработка предназначена для студентов физического факультета; может быть полезна также студентам химического факультета.

УДК 517 ББК В161.31 2

Глава 1. Основные понятия.

Рассмотрим числовую последовательность u1 , u2 ,..., un ,... . Выражение

u1 + u 2 + ... + u n + ... =

∞

∑ un

(1)

n =1

называется (бесконечным) числовым рядом, числа u1 , u2 ,..., un ,... - членами ря-

да, un - общим членом ряда, а сумма первых “n” членов u1 + u2 +...+ un = S n частичной суммой ряда. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм lim S n = S , а число S называется суммой ряда. n→∞

Если последовательность не имеет конечного предела, то говорят, что ряд расходится. Однако в случае, когда lim S n = ∞ , говорят, что ряд имеет бескоn →∞

нечную сумму. Ряд rn = u n +1 + u n + 2 + ... =

∞

∑ un + k

(2)

k =1

называется n-ым остатком ряда (1).

Свойства сходящихся числовых рядов.

1. Из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2) и обратно. 2. Если сходится ряд (1) и а - некоторое действительное число, то сходится и ряд

∞

∑ aun ,

и его сумма равна aS, т.е. справедливо равенство

n =1

3

∞

∞

n =1

n =1

∑ au n = a ∑ u n

(здесь S - сумма ряда (1)).

3. Если сходятся ряды (1) и v1 + v2 + ... + vn + ... =

∞

∑ vn ,

(3)

n =1

имеющие, соответственно, суммы S и σ, то сходится и ряд

∞

∑ (u n + vn ) , причём

n =1

сумма его равна (S +σ). 4. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд (1) сходится, то lim u n = 0 . n →∞

5. Ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии a + aq + aq 2 + ... + aq n −1 + ... =

∞

∑ aq n ,

n=0

сходится при q < 1, причём S = a , и расходится при q ≥ 1. Его называют 1− q рядом бесконечной геометрической прогрессии.

4

Глава 2. Ряды с положительными членами.

Рассмотрим ряды, все члены которых неотрицательны ( un ≥ 0 ). Следуя установившейся традиции, такие ряды будем называть рядами с положительными членами. 1. Первая теорема сравнения. Если (1) и (3) два ряда с положительными членами, для которых справедливо равенство u k ≥ vk ∀k ∈ N , то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (3). Замечание. В качестве ряда сравнения часто берут обобщённый гармонический ряд

∞

∑

1

n =1n

p

, который сходится при p>1 и расходится при p ≤ 1. При p=1

этот ряд называют гармоническим. 2. Вторая теорема сравнения. un = k (0 ≤ k ≤ ∞ ) , то: n → ∞ vn

Если существует конечный или бесконечный предел lim

а) если 0
vn =

1 n

p

и

lim u n ⋅ n p = k (k ≠ 0, ∞ ) , то есть

n→∞

un = 1 в этом случае говорят, что un эквивалентно kp при n→∞ и пиn →∞ ⎛ k ⎞ n ⎜ p⎟ ⎝n ⎠

(

lim

шут

un ∼

k np

). Написанные равенства означают, что un является бесконечно

n →∞

малой порядка p относительно 1 ( при n→∞). Из теоремы следует, что ряд (1) n 5

сходится, если p>1 и расходится если p ≤ 1. Если un ⋅ n p → 0 при p>1, то ряд n→∞

(1) сходится, а если u n ⋅ n p → ∞ при p ≤ 1 , то ряд (1) расходится. n→∞

3. Признак Даламбера. u n +1 = L , то этот ряд сходится при n →∞ un

Если для членов ряда (1) существует lim

L>1 и расходится при L<1. При L=1 о сходимости ряда (1) ничего сказать нельзя (есть как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых L=1); в этом случае исследование на сходимость проводится каким-либо иным способом. 4. Признак Коши (радикальный). Если для членов ряда (1) существует lim

n

n→∞

u n = q , то этот ряд сходится при

L>1 и расходится при L<1. При L=1 о сходимости ряда (1) ничего сказать нельзя (есть как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых L=1); в этом случае исследование на сходимость проводится каким-либо иным способом. 5. Интегральный признак Коши-Маклорена. Пусть члены ряда (1) представляют собой значения в целых точках x = n непрерывной невозрастающей на полупрямой [1,+∞) функции f(x): un = f ( n ). То+∞

гда: 1) если сходится

∫ f (x )dx ,

то сходится и ряд (1); 2) если расходится

1

+∞

∫ f (x )dx , то расходится и ряд (1).

1

Решение примеров.

1. Найти сумму ряда

∞

1

∑ (3n − 2)(3n + 1) .

n =1

6

Подсчитаем S n :

( )( )

⎛ ⎛ ⎞⎞ 1 S n = 1 + 1 +...+ = 1 ⎜ 1 − 1 + 1 − 1 +...+ ⎜ 1 − 1 ⎟⎟ = 1⋅ 4 4 ⋅ 7 ( 3n − 2)( 3n + 1) 3 ⎝ 4 4 7 ⎝ ( 3n − 2) ( 3n + 1) ⎠ ⎠ ⎞ ⎛ = 1 ⎜1 − 1 ⎟ . 3 ⎝ ( 3n + 1) ⎠ 1⎛ 1 ⎞ 1 ⎜1 − ⎟= . (3n + 1) ⎠ 3 n→∞ 3 ⎝

По определению S = lim S n = lim n→∞

2. Найти сумму ряда

∞

∑(

)

n + 2 − 2 n +1 + n .

n =1

Решение.

(

Sn =

(

) ( 4 − 2 3 + 2)+ ( 5 − 2 n − 1) + ( n + 2 − 2 n + 1 + n ) = 1 −

3 − 2 2 +1 +

n +1 − 2 n +

)

4 + 3 = ... = 2 + n + 2 − n + 1.

Пользуясь определением суммы ряда и раскрывая неопределённость вида

( ∞ − ∞) , при вычислении предела, получим:

( n→∞

)

lim 1 − 2 + n + 2 − n + 1 = 1 − 2 + lim = 1 − 2 + lim

n →∞

n→∞

n + 2 − n −1 = n + 2 + n +1

1 = 1 − 2. n + 2 + n +1

3. Исследовать на сходимость ряд

∞

2 1 2 1 1 1 1 ⋅ n = + + + + + ... . 3 3 3 6 12 24 2 n=0

∑

Решение. Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической про2 грессии, в которой a = 2 , q = 1 . Следовательно, он сходится, S = 3 = 4 . 3 2 1− 1 3 2 4. Исследовать на сходимость ряд

∞

∑

n =1

1 2 3 4 n = + + + + ... 3n − 1 2 5 8 11

1 n = ≠ 0 . Ряд расходится, так как не n → ∞ 3n − 1 3

Решение. Рассмотрим lim u n = lim n→∞

выполняется необходимое условие сходимости ( un → 0 при n → ∞ ).

7

5. Исследовать на сходимость ряд

∞

1

1 1 1 1 = + + + + ... n 3 5 9 17 2 1 + n =1

∑

Решение. Исследуем ряд по первой теореме сравнения. Поскольку при n ≥ 1, а ряд

∞

∑

1

n n =12

1 2n + 1

<

1 2n

сходится как ряд бесконечно убывающей геометриче-

ской прогрессии, то исходный ряд тоже сходится. 6. Исследовать на сходимость ряд

∞

1 1 1 1 1 = + + + + ... . n =1 3n − 1 2 5 8 11

∑

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом

∞

1

∑n:

n =1

un n 1⎛ 1 ⎞ = lim = ⎜ 0 < < +∞ ⎟ . В силу второй теоремы сравнения он рас3 n → ∞ vn n → ∞ 3n − 1 3 ⎝ ⎠ lim

ходится (т.к.расходится гармонический ряд). 7. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Здесь u n =

2n n10

, u n +1 =

2n

∞

∑

10 n =1n

2 n +1

(n + 1)10

.

. По признаку Даламбера ряд расхо10

u n +1 2 n +1 ⋅ n10 ⎛ n ⎞ дится, поскольку lim = lim = 2 lim ⎜ ⎟ 10 n →∞ un n → ∞ (n + 1) ⋅ 2 n n → ∞⎝ n + 1 ⎠ 8. Исследовать на сходимость ряд

∞

n

∑

n =1

3

n

= 2 > 1.

.

Решение. По признаку Даламбера ряд сходится, так как u n +1 (n + 1) ⋅ 3 = lim = lim n →∞ un n →∞ n →∞ 3n +1 ⋅ n n

lim

9. Исследовать на сходимость ряд

n 32

⋅ (n + 1)

n +1 3 2 ∞

∑

(

n =1

= lim

n →∞

⋅n

)

n 2n + 1

n

1 n = 1 < 1. 3 3

1+

.

Решение. Общий член ряда представляет собой степенно-показательныю функ8

цию, поэтому для исследования ряда удобно применить радикальный признак n = 1 < 1, то ряд сходится. 2 n→∞ 3n + 1

Коши. Так как lim un = lim n→∞

( )

∞

10. Исследовать на сходимость ряд ∑ 1n 1 + 1 n n =1 2 Решение.

Аналогично

( )

lim un = lim 1 1 + 1 n n→∞ n→∞ 2

n

предыдущему

n2

.

примеру

вычислим

= e > 1. В соответствии с радикальным признаком Ко2

ши, ряд расходится. ∞

1 . ∑ ( n + 1) ln( n + 1)

11. Исследовать на сходимость ряд

n =1

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши-Маклорена. Рассмотрим функцию f ( x ) =

1 . Эта функция непрерывна, положительна и ( x + 1) ln( x + 1)

монотонно стремится к нулю при x → +∞ на полуоси [1,+∞) . Несобственный +∞

интеграл

∫

1

dx = ( x + 1) ln( x + 1)

+∞

∫

1

d ln( x + 1) = ln ln( x + 1) ln( x + 1)

+∞ 1

= ∞ , т.е. расходится.

Поэтому расходится и исходный ряд. ∞

( n !) 2

n =1

2n

∑

12. Исследовать на сходимость ряд

2

.

2 ( n + 1) !) ⋅ 2 n n + 1) ( un+1 ( Решение. Так как lim = lim = lim 2n+1 = 0 < 1 , то 2 2 n→∞ un n→∞ n→∞ 2 2( n+1) ⋅ ( n !) 2

2

по признаку Даламбера ряд расходится. 13. Исследовать на сходимость ряд

∞

∑

n =1

Решение. Поскольку

9

n

(

n+ 1 n

n+ 1 n

n

)

.

lim un = lim

n→∞

n→∞

n

1 ⎛ ⎞ 1 n ⎜ n ⎟ n = lim ⎜ ⋅ n n = lim ⎟ 1 n→∞ n→∞ ⎜ ⎟ 1 + 12 ⎝ n + n⎠ n

n+ 1 n n

(

n+ 1 n

n

)

(

n

)

= 1≠ 0,

то ряд расходится в силу необходимого условия сходимости. 14. Исследовать на сходимость ряд

∞

∑ ln(1n !) .

n=1

1 > 1 . Знаln( n !) n ln n

Решение. Так как ln( n !) = ln n + ln( n − 1) +...+ ln 2 < n ln n , то

чит, исходный ряд сходится согласно признаку сравнения, поскольку ряд ∞

∑ n ln1 n

расходится (см. пример 11).

n =1

15. Исследовать на сходимость ряд

∞

⎛ 1⎞ ⎟. nα ⎠

∑ sin⎜⎝

n =1

Решение. Ряд расходится при α ≤ 1 и сходится при α > 1, ибо sin 1α ∼ 1α при n n n → ∞.

Примеры для самостоятельного решения.

Исследовать на сходимость следующие числовые ряды. ∞

n 1. ∑ 5 (сходится) n! n =1

4.

7.

∞

2. ∑ nn n =110 + n

∞

10 n ∑ 2n + 5 (расходится) 5. n =1 ∞

∑

n =1

4n

(2 + 1)

∞

n

2

9 (сходится) n n =1100 − 1

∑

∞

∑ 2n2n− 1 (расходится) n =1 8.

(расходится)

n 10. ∑ 2n + 1 (сходится) 11. n =1 5 + 1

(сходится) 3.

∞

∞

∑ ln1n (расходится) n =1

∞

⎛ 2 ⎞ ∑ ⎜⎝ 2n 2 + 2n + 1⎟⎠ n =1 5n + 2n + 1 10

6.

∞

2n + 1 2 n =1 n ( n + 1)

∑

9.

2

(сходится)

∞

2n ∑ n n =1 5 + 1

n

(сходится) 12.

∞

∑

(сходится)

( ) ⋅n

n =1

10 11

n

5

(сходит-

ся) ∞

13. ∑ n 2n − 1 n =1 16.

∞

∞

1 (расходится) (расходится) 14. ∑ 10n n =1

∑ nn+!1 (расходится) n =1 5

17.

∞

∑ nn! n =1 n

(сходится)

15. 18.

∞

n

∑

n =1 5

n −1

(сходится)

∞

1 (сходится). 1 n + n =1

∑

3

Глава 3. Произвольные числовые ряды.

Рассмотрим числовой ряд, члены которого могут быть как положительными, так и отрицательными: 11

∞

∑ an = a1 + a2 + ... + an + ...

,

(4)

n =1

и ряд, составленный из абсолютных величин его членов ∞

∑ an

n =1

= a1 + a 2 + ... + a n + ... .

(5)

1. Если ряд (5) сходится, то ряд (4) тоже сходится, и он в этом случае называется абсолютно сходящимся. 2. Если ряд (4) сходится, а ряд (5) расходится, то говорят, что ряд (4) сходится условно. 3. Для исследования рядов на абсолютную сходимость пользуются признаками сходимости положительных рядов. 4. Признак Лейбница. Рассмотрим знакочередующийся ряд ∞

∑ (− 1)n +1 vn = v1 − v2 + v3 − ... + (− 1)n +1 vn + ...

,

(6)

n =1

где v n > 0 ∀n . Ряд (6) сходится, если v n+1 < v n > 0 ∀n и lim v n = 0 . Ряд вида n→∞

(6), удовлетворяющий указанным условиям, называется рядом лейбницевского типа или лейбницевским рядом. Остаток лейбницевского ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине: rn < vn +1 . 5. Предположим, что ряд (4) представим в виде ∞

∑ (bn ⋅ cn ) ,

(7)

n =1

где {bn } и {cn } две числовые последовательности. Ряды такого типа можно исследовать на сходимость, если последовательности удовлетворяют некоторым условиям. Признак Абеля. Если 1) ряд

∞

∑ bn

n =1

сходится, а 2) {cn } - монотонная и ог-

раниченная последовательность, т.е. существует число K, такое, что cn ≤ K для любого n, то ряд (7) сходится. 12

n

Признак Дирихле. Если 1) частичные суммы Bn = ∑ bi в совокупности i=1

ограничены, т.е. найдётся такое число М, что Bn ≤ M для любого n, а 2) {cn } есть монотонная последовательность, стремящаяся к нулю, то ряд (7) сходится.

Решение примеров.

Исследовать сходимость знакопеременных рядов. 1.

∞

∑ ( −1)

n

n= 0

1 . 2n

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Ряд из абсолютных величин

∞

1 представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геоn n= 0 2

∑

метрической прогрессии. Следовательно, он сходится, а исходный ряд сходится абсолютно. 2.

∞

∑ ( −1)

n =1

n

3n − 2 . 3n − 1

Решение. Ряд расходится, так как lim 3n − 2 = 1 ≠ 0 (не выполнено необn→∞ 3n − 1 ходимое условие сходимости ряда.) 3.

∞

∑

n =1

( −1) n−1 ( n + 1) . n2 + n + 1

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин

∞

∑

n =1

n + 1 можно n + n +1 2

∞

∑ 1n . В самом деле, так как

сравнить с (расходящимся) гармоническим рядом

n=1

2 ⎛ ⎞ lim ⎜ 2 n + 1 : 1 ⎟ = lim 2n + n = 1 , то ряд n→∞ ⎝ n + n + 1 n ⎠ n→∞ n + n + 1

13

∞

∑

n =1

n + 1 расходится, а исходn + n +1 2

ный ряд абсолютно не сходится. Исследуем его на условную сходимость. Это можно сделать с помощью признака Лейбница: 1) ряд знакочередующийся; n +1 = 0; n→∞ n + n + 1

2) lim 3)

2

n +1 > n+2 2 n + n + 1 ( n + 1) + ( n + 1) + 1

для

2

любого

n,

так

как

n +1 − n+2 n +1 − n + 2 = n 2 + 3n + 1 > 0. = n 2 + n + 1 ( n + 1) 2 + ( n + 1) + 1 n 2 + n + 1 n 2 + 3n + 3 n 2 + n + 1 n 2 + 3n + 3

(

)(

)

Таким образом, ряд сходится условно. 4.

∞

∑ ( −1)

n

n =1

6n − 5 . (10) n

Решение. Ряд из абсолютных величин

∞

∑ 6n −n5 n =1 (10)

сходится по признаку Да-

6n + 1)10 n un+1 ( = lim n+1 = 1 < 1. Значит, данный ряд схоламбера, так как lim n→∞ un n→∞ 10 ( 6n − 5) 10 дится абсолютно. 5.

∞

∑ ( −1)

n +1

n =1

1 . n4

Решение. Ряд сходится абсолютно, так как сходится обобщенный гармонический ряд 6.

∞

1 (p=4>1). 4 n =1 n

∑

∑ ( −1)

n =1

∞

n +1

1 . ln( n + 1)

Решение. По признаку Лейбница данный ряд сходится, так как 1 1 > ln( n + 1) ln( n + 2) ∞

∑ ln( n1+ 1)

и

1 = 0 . Но ряд из абсолютных величин n→∞ ln( n + 1) lim

расходится по первой теореме сравнения, ибо

n =1

14

1 > 1 , а ряд ln( n + 1) n + 1

∞

∑

n =1

1 является расходящимся, что нетрудно показать путём сравнения его с n +1

гармоническим рядом. Итак, данный ряд сходится. n −1) ( . 7. ∑ n n = 2 n + ( −1) ∞

Решение.

( −1) n = −1 n ( ) n n + ( −1)

Представим

общий

член

ряда

n − ( −1) n n − 1 . Так как ряд = ( −1) n −1 n −1 n −1 n

признаку Лейбница сходится, а ряд

∞

∑ n 1− 1

в ∞

∑

n= 2

( −1) n

виде n

n −1

по

расходится (что нетрудно показать

n= 2

путём сравнения его с гармоническим рядом), заключаем, что данный ряд также расходится. 8.

∞

sin n ⋅ sin n 2 . ∑ n n =1

Решение. Так как n

∑ sin k ⋅ sin k 2 =

k =1

1 2

n

1

∑ (cos k (k − 1) − cos k (k + 1)) = 2 1 − cos n(n + 1) ≤ 1

k =1

и 1 → 0 при n → ∞ , то, согласно признаку Дирихле, ряд сходится. n 9.

∞

∑

sin

n =1

n

πn 4 . p

Решение. Если p ≤ 0 , то ряд расходится ввиду невыполнения необходимого условия сходимости ряда. Если p > 0 , то ряд сходится по признаку Дирихле, т.к. πn ⎞ π 2π ⎛ π (1 + 2n )π π + ... + sin ⎟ sin ⎜ sin + sin cos − cos πk 1 4 4 4 ⎠ 8 8 8 = ≤ , ∑ sin 4 = ⎝ π π π k =1 sin 2 sin sin 8 8 8 n

15

а последовательность 1p монотонно убывает при n → ∞ и lim 1p = 0 . n→∞ n n Для исследования характера сходимости воспользуемся вначале признаsin πn 4 ≤ 1p , то ряд сходится абсолютно при p > 1. Хаком сравнения. Так как p n n рактер сходимости ряда на промежутке 0 < p ≤ 1 определяет неравенство sin πn sin 2 πn 1 − cos πn cos πn 4 1 4 2 2 . Ряд ≥ = = − p p p p p n n 2n 2n 2n знаку Дирихле, как и исходный ряд, а ряд

cos πn ∑ p2 сходится по приn =1 2 n ∞

∞

1 расходится при p ≤ 1 . Поэтоp n=1 2 n

∑

му исходный ряд для 0 < p ≤ 1 сходится условно. Итак, данный ряд сходится абсолютно при p > 1, условно при 0 < p ≤ 1 . В примерах 10 и 11 найти сумму ряда. sin πn 2 . 10. ∑ n n =1 2 ∞

Решение.

Так

⎧ 0, n = 2k , ⎪ sin nπ = ⎨ 1, n = 1 + 4k , 2 ⎪−1, n = 3 + 4k , ⎩

как

то

ряд

sin πn ∑ n2 = 12 + 2−⋅14 + 1 2 −... представляет собой сумму членов геометриче2⋅ 4 n =1 2 ∞

ской прогрессии с первым членом a1 = 1 и знаменателем q = − 1 . Следователь4 2 1 но, ряд сходится и сумма S = 2 = 2 . 1+ 1 5 4 11.

∞

∑

n=0

2 n + ( −1) 3n

n

.

16

Решение. Очевидно, что ∞

∑

ных рядов

()

n= 0

2 3

n

и

∞

( −1) n

n= 0

3n

∑

2 n + ( −1)

n

3n

()

= 2 3

n

n −1) ( + , а каждый из получен-

3n

представляет собой сумму членов бесконечно

убывающих геометрических прогрессий с a1 = a 2 = 1, q1 = 2 , q2 = − 1 . Сумма 3 3 ряда S = S1 + S 2 , где S1 =

∞

∑

()

n= 0

2 3

n

= 3, а S 2 =

∞

∑

( −1) n

n= 0

3

n

= 3 . Следовательно, 2

S = 3+ 3 = 9 . 2 2

Примеры для самостоятельного решения.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость.

1.

∞

∑

n =1

2.

( −1)

n ( n −1) 2

∞

∑ ( −1)

n

n =1

3.

∞

∑ ( −1)

(

n

n =1

4.

∞

∑ ( −1) ∞

∑ ( −1)

n

n =1

6.

∞

∑

( −1)

7.

∑

n =1

(сходится абсолютно)

(сходится условно)

1 (сходится абсолютно при p > 1 , сходится условно при 0 < p ≤ 1 ) 2n

n −1⋅ 1 n + 1 100 n

2n

( −1) n−1 2 n n

)

n

n n + 100

n ( n −1) 2

n =1 ∞

2n + 100 3n + 1

n −1

n =1

5.

(сходится абсолютно)

2n

n100

(сходится условно)

(сходится абсолютно)

(расходится) 17

8.

∞

∑ sin 2nα

9.

∞

( −1) n+1

n =1

n ⋅ 2n

∑

10.

∞

∑ ( −1)

n +1

n =1

11.

(сходится абсолютно)

n

n =1

(сходится абсолютно)

n +1 n

∞

( −1) n+1 n 3

n =1

2n

∑

(расходится)

(сходится абсолютно)

18

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Светлана Серафимовна Круглова Валентина Тимофеевна Шишина Учебно-методическая разработка

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского» 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

19