Математика. Пределы. Производная (сборник задач): Учебно-методическое пособие

М инисте р ство о б р а зо ва ния и на уки Р о ссийско й ф е д е р а ц ии Во р о не ж ский го суд а р стве нный униве р сите т

М АТЕМ АТИКА П р е д е лы. П р о изво д на я (сб о р ник за д а ч) П о со б ие д ля студ е нто в Cпе ц иа льно сти : 0203804 – ге о эко ло гия, 020304 –гид р о ге о ло гия и инж е не р на я ге о ло гия

Во р о не ж 2004

2

Утве р ж д е но на учно -ме то д иче ским со ве то м ма те ма тиче ско го ф а культе та 3 се нтяб р я 2004 го д а П р о то ко л № 1

Со ста вите ли: Са вче нко Ю .Б., Тка че ва С.А.

П о со б ие по д го то вле но на ка ф е д р е ур а вне ний в ча стных пр о изво д ныхи те о р ии ве р о ятно сте й ма те ма тиче ско го ф а культе та В о р о не ж ско го го суд а р стве нно го униве р сите та Р е ко ме нд уе тся д ля студ е нто в 1 кур са д не вно го о тд е ле ния ге о ло гиче ско го ф а культе та , о б уча ющ ихся по спе ц иа льно стям: ге о эко ло гия, гид р о ге о ло гия и инж е не р на я гид р о ге о ло гия.

3

В В Е Д Е НИ Е П ос об и е, напи с анное в с оответс тви и с дейс тву ю щ ей прог раммой ку рс а «М атемати ка» для с ту дентов 1 ку рс а г еолог и ч ес ког о ф аку льтета, с одержи т кратки е теорети ч ес ки е с ведени я и при меры решени я ти повых при меров по разделам «Теори я пределов», «П рои зводнаяи ди ф ф еренци алф у нкци и ». 1. П р е д е л пе р е ме нно й ве личины. 1.1. П р еделч и сло в о й по следо в ат ельно ст и . Чи с ло a называетс яп редел о м пос ледовательнос ти x1 , x2 ,..., xn ,… : lim xn = a , n→∞

ес ли длялю б ог о ε > 0 с у щ ес тву ет ч и с ло N = N (ε ) такое, ч то xn − a < ε при n > N . П ос ледовательнос ть, и мею щ аяпредел, называетс ясх о дя щ ейся . П ос ледовательнос ть {α n } называетс ябеско нечно м ал о й, ес ли lim α n = 0 n→∞

П ос ледовательнос ть {xn } называетс ябеско нечно бо л ьш о й, ес ли Д ля лю б ог о ч и с ла E > 0 с у щ ес тву ет номер N такой, ч то при n > N выполняетс я неравенс тво | xn |> E . Те о р е ма 1.1. Е с ли {xn } - б ес конеч но б ольшая пос ледовательнос ть, то 1  ,  xn 

( x n ≠ 0) -

б ес конеч но малая пос ледовательнос ть,

б ес конеч но малая пос ледовательнос ть, то б ольшаяпос ледовательнос ть.

ес ли

{α } n

-

1   , (α n ≠ 0) - б ес конеч но α n 

1.2. П р еделф унк ци и . Чи с ло A называетс я п редел о м ф у нкции f (x ) при x → a , ес ли для лю б ог о с коль у г одно малог о ε >0 найдетс я такое δ > 0 , ч то при 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) − A < ε . П и шу т lim f ( x) = A . x→a

Аналог и ч но

lim f ( x) = A ,

x→∞

ес ли | f ( x ) − A < ε при | x |> N (ε ) . Запи с ь lim f ( x) = ∞ означ ает, ч то x→a

- прои звольное положи тельное ч и с ло.

f ( x ) > E при

0 < x − a < δ (E ) , г де E

4

Одно ст о ро нние п редел ы. Е с ли x < a и x → a , то у с ловно пи шу т x → a − 0 ; аналог и ч но, ес ли x>a и x → a , то это запи с ываю т как x → a + 0 . Чи с ла f (a − 0) = lim f ( x) и f (a + 0) = lim f ( x) x →a −0

x →a + 0

называю тс я с оответс твенно п редел о м сл ева ф у нкци и f (x ) в точ ке a и п редел о м сп рава ф у нкци и f (x ) в точ ке a (ес ли эти ч и с ла с у щ ес тву ю т). Д ля с у щ ес твовани я предела ф у нкци и f (x ) при x → a необ ходи мо и дос таточ но, ч тоб ыи мело мес то равенс тво f ( a − 0) = f ( a + 0) . 1 = 0 . П ри каки х знач ени ях n > N б у дет n→∞ n

П ри мер 1. Д оказать, ч то lim выполнено неравенс тво

1 < 0,001? n

1 1 < ε б у дет выполнятьс я, ког да n > . В n ε 1 1  кач ес тве N можно взять целу ю ч ас ть   ч и с ла . Таки м об разом, для ε ε  1 1  1 лю б ог о ε > 0 можно у казать N =   , такое ч то длявс ех n ≥   + 1 > б у дет ε ε  ε  1 выполнятьс я неравенс тво < ε . Таки м об разом, с ог лас но определени ю , n 1 пос ледовательнос ть являетс я б ес конеч но малой. П у с ть ε = 0,001 , n 1 1 неравенс тво б у дет и меть мес то, ког да n > 1000 , с ледовательно, < n 1000 N = 1000 . 1  П ри мер 2. Д оказать, ч то lim  4 − n  = 4 . n→∞ 3  Р ешени е. В озьмем прои звольное ч и с ло ε > 0 и с ос тави м разнос ть 1 1 xn − a = 4 − n − 4 = − n . 3 3 П отреб у ем, ч тоб ы эта разнос ть по аб с олю тной вели ч и не б ыла меньше ε , 1 1 т.е., n < ε , < 3n . Л ог ари ф ми ру яоб е ч ас ти неравенс тва, полу ч и м 3 ε 1 lg 1 lg < n lg 3 , отку да n > ε . В кач ес тве ч и с ла N можно взять меньшее и з lg 3 ε 1 lg дву х целых ч и с ел, между которыми заклю ч ено ч и с ло ε . Тог да при вс ех lg 3 Р ешени е. Неравенс тво α n =

5

n>N

у казанное неравенс тво б у дет выполнятьс я, а это знач и т, ч то 1  lim xn = lim  4 − n  = 4 . n→∞ n →∞  3  1 Замеч ани е. О дновременно доказано, ч то lim n = 0 , т.е. вели ч и на n→∞ 3 1 1 α n = n ес тьб ес конеч но малая вели ч и на lim n = 0 . n→∞ 3 3 3x + 7 3 = . x →∞ 7 x 7 Р ешени е. Д лядоказательс тва дос таточ но у б еди тс я, ч то разнос тьмежду 3x + 7 3 переменной вели ч и ной y = и пос тоянной A = при x → ∞ ес ть 7x 7 вели ч и на б ес конеч но малая. П реоб разу ем эту разнос ть 3 x + 7 3 3x + 7 − 3x 1 − = = . 7x 7 7x x 1 Так как вели ч и на при x → ∞ являетс я б ес конеч но малой, то x 3x + 7 3 − =α, г де α - б ес конеч но малая. 7x 7 П ри мер 3. Д оказать, ч то lim

Ко нтр о льные пр име р ы 1. Нач и наяс каког о номера знач ени якаждой и зпос ледовательнос тей: 1 1 1 1) xn = ; 3) z n = 4 , ( n = 1,2,3,... ) 2) y n = 2 ; n n n с тановятс я и ос таю тс я меньше ε = 0,0001 ? П оказать, ч то каждая пос ледовательнос тьи меет пределом ну ль. 2. Д оказать, ч то каждаяи з пос ледовательнос тей 1 1 (−1) n xn = n , yn = − n , zn = n 2 2 2 и меет пределом ну ль. Нач и ная с каког о номера знач ени я каждой и зни х по аб с олю тной вели ч и не ос таю тс яменьше ε = 0,001 ? 3. Д анытри пос ледовательнос ти : 1 1 (−1) n xn = 2 − n ; y n = −3 + n ; zn = 7 + n . 4 5 6 Д оказать, ч то: 1) lim xn = 2 ; 2) lim yn = −3 ; 3) lim z n = 7 . n→∞

4. Д оказать, ч то:

n→∞

n→∞

6

4x + 5 4 = ; x →∞ 5 x 5 3) lim (5 x + 8) = 3 ;

2) lim(4 x − 7) = 5 ;

1) lim

x →3

4) lim(3 x 2 − 4 x + 6) = 10

x → −1

x→2

x → 2 с лева и

Найти однос торонни е пределы при с леду ю щ и х ф у нкци й: 4 8 1) f ( x ) = ; 2) f ( x ) = ; 2− x ( x − 2) 2 3)

f ( x) =

1 2 − 2 x;

4) f ( x ) = arctg

с права для

1 . 2−x

1.3. Н ахо ж дени е пр едело в П ракт ическо е вычисл ение п редел о в ос новываетс я на с леду ю щ и х т ео р емах: Е с ли с у щ ес тву ю т конеч ные пределы lim f ( x) и lim g ( x) , то x→a

1)

lim[ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x) + lim g ( x ) ;

2)

lim[ f ( x) ⋅ g ( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) ;

x→a

x→a

x →a

x→a

x→a

x →a

x →a

3)

lim[c ⋅ f ( x )] = c lim f ( x) , (c = const ) ;

4)

lim[ f ( x) ] = lim f ( x) , ( n - целое ч и с ло, n > 0 );

5)

lim

6)

lim n x →a

7)

lim c = c (c = const ) .

x→a

n

x→a

[

x→a

]

n

x→a

f ( x) f ( x ) lim = x→a (при lim g ( x) ≠ 0 ); x→a g ( x ) x→a lim g ( x) x→a

f ( x) = n lim f ( x) ; x →a

x→a

П ри мер 4. Найти lim(3 x 2 + 2 x − 4) . x→1

Так как предел алг еб раи ч ес кой с у ммы равен алг еб раи ч ес кой с у мме пределов, и конс танту можно вынос и тьза знак предела, то lim(3 x 2 + 2 x − 4) = 3 lim x 2 + 2 lim x − lim 4 = 3 ·12 +2·1-4=1. x→1

x→1

x→1

x→1

Замеч ани е 1. Чт о бы вычисл ит ь п редел м но го чл ена Pn ( x) = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n п ри x → a до стат о чно найти Pn (a ) , напри мер, lim (3 x 5 − 4 x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 + 4) =

x → −1

= 3( −1) 5 − 4( −1) 4 + 3( −1) 3 + 2( −1) 2 + 4 = −3 − 4 − 3 + 2 + 4 = −4 .

7

5x 2 + 4 x − 7 П ри мер 5. Найти lim 2 . x→1 x − 2 x + 3 Так как предел ч ас тног о равен ч ас тному пределов, 2 (5 x + 4 x − 7) 5 ⋅ 12 + 4 ⋅ 1 − 7 2 5 x 2 + 4 x − 7 lim x→1 = = 2. lim 2 = = 2 x→1 x − 2 x + 3 1 − 2 ⋅1 + 2 1 lim( x 2 − 2 x + 3)

то

x→1

и Q(x ) - цел ые м но го чл ены и P(a ) ≠ 0 и P( x) Q(a ) ≠ 0 , т о п редел рацио нал ьно й дро би lim нах о дит ся x→a Q ( x ) P( x) P(a ) = неп о средст венно , т .е. lim . x →a Q ( x ) Q (a) P( x ) рекоменду етс я с ократи ть Е с ли же P( a ) = Q( a ) = 0 , то дроб ь Q( x ) оди н и ли нес колько разна x − a . Замеч ани е 2. Е сл и P(x )

П ри мер 6. x2 − 4 x+2 ( x − 2)( x + 2) = lim = lim lim 2 = 4. x→2 x − 3 x + 2 x →2 ( x − 2)( x + 1) x→2 x − 1 Замеч ани е 3. П ри отыс кани и предела отношени я мног оч ленов n относ и тельно x , при x → ∞ об а ч лена отношени я раздели м на x , г де n наи выс шаяс тепеньэти хмног оч ленов. ∞ n>m n 2  an a + a1 x + a2 x + ... + an x lim R( x) = 0 =  ,n = m x →a b0 + b1 x + b2 x 2 + bm x m  bn n < m  0 П редел частно го дву х м но го чл ено в п ри x → ∞ равен о тно ш ению ко эф ф ициенто в п ри старш их чл енах , есл и ст еп ени числ ит ел я и знам енат ел я равны; п редел эт о т равен 0 ил и ∞ , есл и ст еп ень числ ит ел я со о т вет ст венно м еньш е ил и бо л ьш е степ ени знам енат ел я .

П ри мер 7. Найти Р ешени е.

lim

x →∞

(2 x − 3)(3x + 5)(4 x − 6) . 3x 3 + x − 1

3 5 6   2 − (3 + )(4 − ) (2 x − 3)(3x + 5)(4 x − 6) = lim  x  x 2⋅3⋅ 4 x lim = =8. 3 x →∞ x →∞ 1 1 3 3x + x − 1 3+ 2 − 3 x x

8

В ыражени я, и с пользу ю щ и е и рраци ональнос ти , раци ональному ви ду пу тем введени яновой переменной 1+ x −1 . П ри мер 8. Найти lim 3 x →0 1 + x − 1 Р ешени е. П олаг ая 1 + x = y 6 , И меем: y3 − 1 y 2 + y + 11 3 1+ x −1 = lim 2 = . lim 3 = lim x→0 1 + x − 1 y →1 y − 1 yx→1 2 y +1

при водятс я

к

sin 2 x П ри мер 9. Найти lim . x→π 1 + cos 3 x Р ешени е. Р азлаг ая ч и с ли тель и знаменатель на множи тели , с окращ ая на множи тель1 + cos x ≠ 0 , полу ч и м (1 + cos x)(1 − cos x) 1 − cos 2 x sin 2 x lim lim lim = = = x→π 1 + cos 3 x x→π 1 + cos 3 x x →π (1 + cos x)(1 − cos x + cos 2 x ) 1 − cos x 1 − (−1) 2 = . = = lim 2 2 x→π 1 − cos x + cos x 3 1 − (−1) + ( −1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) . П ри мер 10. Найти lim x →∞ 1 + 2 + 3 + ... + n Р ешени е. Чи с ли тель и знаменатель дроб и являю тс я с у ммой n ч ленов с оответс тву ю щ и х ари ф мети ч ес ки х прог рес с и й. Находя эти с у ммы, полу ч и м 1 + (2n − 1) ⋅n 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) 1 + ( 2n − 1) 2 lim = lim = lim = x →∞ x →∞ x →∞ 1+ n n 1 + 2 + 3 + ... + n + 1 ⋅n 2 2n 1 = lim = 2 lim = 2. x →∞ n + 1 x →∞ 1 1+ n И мею т мес то два замеч ательных предела sin α 1) lim = 1, (8) α →0 α 1 α

2) lim(1 + α ) = e ,

(9)

П ри нах о ж дении п редел о в вида φ ( x) lim[ϕ ( x)] =C

( 10 )

α →0

x→ a

с леду ет и метьв ви ду , ч то: 1) ес ли с у щ ес тву ю т конеч ные пределы lim[ϕ ( x)] = A и 2)

lim[φ ( x)] = B , x→a

x→a

9

то C = A B ; 3) ес ли lim[ϕ ( x )] = A ≠ 1 и

(11) lim[φ ( x )] = ±∞ , то вопрос о нахождени и

x→a

x→a

предела (10) решаетс янепос редс твенно; 4) ес ли lim[ϕ ( x)] = 1 и lim[φ ( x )] = ∞ , то полаг аю т ϕ ( x ) = 1 + α ( x ), x→a

x→a

г де α (x ) → 0 при x → a и , с ледовательно,

[

C = lim (1 + α ( x ) ) x→a

]

α ( x )φ ( x ) 1 α ( x)

П ри мер 11. Найти Р ешени е. П оложи м

lim α ( x )φ ( x )

= e x→a

sin αx . x →0 x

lim [ϕ ( x ) −1]φ ( x )

= e x→a

.

lim

αx = α , отку да x =

α . Е с ли x → 0 , то и α → 0 , a

sin αx sin α sin α = lim = a lim = a ⋅1 = a . x→0 α →0 α αx→0 α x a sin αx П ри мер 12. Найти lim . x→0 sin bx Р ешени е. Р аздели в ч и с ли тель и знаменатель на x , (с м. при мер 11) полу ч аем sin αx sin αx lim sin αx x →0 x =a. lim = lim x = x→0 sin bx x→0 sin bx sin bx b lim x →0 x x x  k П ри мер 13. Найти lim 1 +  . x →∞  x  k полу ч аем x→∞ выражени е Р ешени е. П ри 1 +  → 1 , x  неопределеннос ть1∞ . k k В ведем нову ю переменну ю α по ф орму ле = α , отку да x = . x α Е с ли x → ∞ , то α → 0 , поэтому поэтому lim

k

x

k 1    k lim 1 +  = lim (1 + α )α = lim (1 + α )α  x →∞  α →0  x  α →0  П ользу яс ьс войс твом (4) и ф орму лой (9), полу ч и м k

k

1 1     lim (1 + α )α  =  lim(1 + α )α  = e k α →0   α →0  x  k  С ледовательно, lim 1 +  = e k . В ч ас тнос ти , при k = 3 , lim 1 + x →∞  x → ∞ x 

x

3 3  =e , x

10 x

 2 при k = −2 полу ч аем lim 1 −  = e −2 . x→∞ x ln(1 + x) . П ри мер 14. Найти lim x →0 x 1

ln(1 + x) 1 Р ешени е. Так как = ln(1 + x) = ln(1 + x) x , то на ос новани и x x ф орму лы (9) находи м 1 1     ln(1 + x) x = lim ln(1 + x)  = ln lim(1 + x) x  = ln e = 1. lim x →0 x →0 x →0 x      sin 3x  Найти lim  x →0 x 

П ри мер 14.

x+2

.

Р ешени е. Э то предел ви да (10), г де ϕ ( x) =

sin 3 x , ψ ( x) = x + 2 . Так как x

 sin 3x  lim  = 3, и lim( x + 2) = 2 , то в с оответс тви и с x→0 x→0 x  ф орму лой (11) полу ч аем x+2  sin 3x  2 lim  = 3 = 9. x →0 x  (с м. при мер 11),

Ко нтр о льные пр име р ы Найти пределы:  2 1. lim 1 +  n→∞  n

n

1

2. lim(1 − 3 x ) x x →0

 x +1  5. lim   x →∞  x − 3 

4. lim x[ln(1 + x) − ln x ] x →∞

 x+n 6. lim   x →∞  x + m  arctgx 9. lim x →0 x x sin 3 12. lim 3 2 x→0 x

sin

x

ln(1 + 4 x ) x →0 x

3. lim

x 5

x

x sin ax 10. lim x→0 tgbx

1 x →0 x arctgx 11. lim x →0 x

sin( x − 1) 13. lim 3 x →0 x − 1

1 − cos x − tg 2 x 14. lim x→0 x sin x

7. lim

x →∞

8. lim x sin

11

x   sin  2 15. lim x →0 x     

x+3

x →0

2

tg x

π 2

 2x −1  17. lim   x →∞  3 x + 4 

(

22. lim 1 + tg 2 x x →0

x2

1

19. lim(cos x ) x2

x →0

x→

x

1

1

18. lim(cos x ) x 21. lim (sin x )

 2x + 1  16. lim   x →∞  4 x − 3 

20. lim(1 + sin x ) x

)

x →0

2

2 ctg x

23. lim x→0

sin x . x+9 −3

1.4. Ср ав нени е беск о неч но малых в ели ч и н 1º. Беско нечно м ал ые. Е с ли limα ( x) = 0 , т.е. ес ли x →a

α (x ) < ε при 0 < x − a < δ (ε ) , то ф у нкци я α (x) называетс я беско нечно м ал о й при x → a . α (x) и β (x) б ес конеч но малые при x → a . Е с ли П у с ть α ( x) lim = 1, ( 12 ) x→a β ( x) то б ес конеч но малые называю тс я экви валентными . П и шу т: α ( x) ~ β ( x) .

Те о р е ма 1.3. Е с ли отношени е дву х б ес конеч но малыхи меет предел, то этот предел не и змени тс я при замене каждой и з б ес конеч но малых α экви валентной ей б ес конеч но малой, то ес ть ес ли lim = m,α ~ α 1 , β ~ β1 , x →a β то α α lim 1 = lim = m . ( 13 ) x →a β x →a β 1 П олезно и с пользовать экви валентнос ть с леду ю щ и х б ес конеч но малых: ес ли α → 0 , то sin α ~ α , tgα ~ α , arcsin α ~ α , arctgα ~ α ; ( 14 ) m α ln (1 + α ) ~ α , a − 1 ~ α ln a, (1 + α ) − 1 ~ α ⋅ m ; а также знач ени янекоторых пределов: ln(1 + α ) lim =1 , α →0 α

( 15 )

12

aα − 1 lim = ln a , α →0 α m ( 1+ α ) −1 lim = m. α →0 α Здес ь α = α (x) - б ес конеч но малаяф у нкци я. П ри мер 15. Найти

( 16 ) ( 17 )

sin ( x − 3) . x →3 x 2 − 4 x + 3

lim

sin( x − 3) ~ x − 3 Р ешени е. П ри x → 3 , x − 3 → 0 , с ледовательно, (с м. (14)) . И с пользу я (13) и теорему об экви валентнос ти б ес конеч но малых, и меем x −3 sin (x − 3) 1 1 lim 2 = lim = lim = . x →3 x − 4 x + 3 x →3 ( x − 3)( x − 1) x →3 x − 1 2 П ри мер 16. Найти

cos 4 x − cos 2 x . x →0 arcsin 2 3x

lim

Р ешени е. П о ф орму ле три г онометри и 4x + 2x 4x − 2x cos 4 x − cos 2 x = −2 sin sin = −2 sin 3 x sin x. 2 2 П ри x → 0 sin 3 x ~ 3x, sin x ~ x, arcsin 3x ~ 3x , то ес ть (arcsin 3x )2 ~ (3x )2 . П оэтому cos 4 x − cos 2 x 2 − 2 sin 3 x sin x − 2 ⋅ 3x ⋅ x lim lim lim = − = = . x →0 x →0 x →0 3 arcsin 2 3x arcsin 2 3x (3x )2 Ко нтр о льные пр име р ы 1. lim

n→∞

(

n +1 − n

)

sin x − sin a x→a x−a

3. lim

1 − cos 5 x x→0 1 − cos 3 x

6. lim

sin x − cos x π π − 4x x→

5. lim

sin 2 x x→0 ln(1 + x )

8. lim

4. lim 4

7. lim

2x + 3 10. lim x →+∞ x + 3 x

cos mx − cos nx x →0 x2

2. lim

x→1

x −1 x −1 3

11. lim x→1

tgπx x→−2 x + 2

9. lim 3

x 2 − 23 x + 1

(x − 1)2

x→1

x −1 x −1

4 + x + x2 − 2 12. lim x → −1 x +1

13

x 2 − 2x + 6 − x 2 + 2x − 6 13. lim x →3 x2 − 4x + 3  x  15. lim   x →∞  x + 1  arcsin x →0

5 x→0

sin 3 x ⋅ sin 5 x x→0 ( x − x 3 ) 2

17. lim

cos x − cos 2 x x →0 1 − cos x

20. lim

16. lim

x

ln x x→1 1 − x

x

1 − x2 ln(1 − x)

18. lim

21. lim

x

 x +8 14. lim   x →∞  x − 2 

1+ x −1 x

19. lim

1 −1 1 + x 22. lim x →0 x 3

ln(1 + ax) x →0 x

ln(3x 2 + 5 x − 21) x →2 x2 − 6x + 8

23. lim

2. П р о изво д на я и д иф ф е р е нц иа л 2.1. П р о и зв о днаяяв но й ф унк ци и П ро изво дно й ф у нкции y = f (x) в то чке x называет ся ко нечный п редел п ри ∆x → 0 о тно ш ения п риращ ения ф у нкции в это й то чке к п риращ ению аргу м ента (п ри у сл о вии, чт о эт о т п редел су щ еству ет ). f ( x + ∆x ) − f ( x) ∆f lim = lim (1) = f / ( x) . ∆x → 0 ∆x→0 ∆x ∆x Нахождени е прои зводной называетс яди ф ф еренци ровани ем ф у нкци и . П ри мер 1. Найти прои зводну ю ф у нкци и f ( x ) = x 2 . Р ешени е. Д авая арг у менту x при ращ ени е ∆x . Найдем с оответс тву ю щ ее при ращ ени е ф у нкци и ∆f = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) 2 − x 2 = x 2 + 2 x∆x + ( ∆x ) 2 С ос тави м отношени е ∆f 2 x∆x + ( ∆x ) 2 = ∆x ∆x Найдем пределэтог о отношени япри ∆x → 0 . ∆f 2 x∆x + (∆x) 2 lim = lim = 2x . ∆x→0 ∆x ∆x →0 ∆x С ледовательно, прои зводная ф у нкци и f ( x ) = x 2 равна 2 x , ч то можно запи с атьтак: ( x 2 )′ = 2 x. 1º. Осно вные п равил а нах о ж дения п ро изво дно й. П у с ть C = const , u = u (x), v = v(x) - ди ф ф еренци ру емые ф у нкци и .

14

Тог да: 1) C / = 0; 4) 6)

(Cu )/

2)

= Cu / ;

3)

(u ± v )/

/ /  u  u v − uv 5)   = ; v2 v u = u (x), и мею т

= u / ± v/ ;

/

(uv )

= u v + uv ;

/

/

/

y = f (u ),

ес ли

прои зводные,

то

y ( x) = y (u ) ⋅ u ( x) (прави ло ди ф ф еренци ровани яс ложной ф у нкци и ). 7) П у с ть y = f (x ) и x = ϕ ( y ) - взаи мно об ратные ф у нкци и , y = f (x ) и меет прои зводну ю ( f ′(x ) ≠ 0 ), тог да об ратная ф у нкци я и меет 1 . прои зводну ю x′y = y ′x 2º. Табл ица п ро изво дных о сно вных ф у нкций 1. ( x n )′ = nx n−1 . 1 2. ( x )′ = ( x > 0) . 2 x 3. (sin x)′ = cos x . 4. (cos)′ = − sin x . 1 5. (tgx)′ = . cos 2 x 1 6. (ctgx)′ = − 2 . sin x 1 7. (arcsin x)′ = (| x |< 1) . 2 1− x 1 (| x |< 1) . 8. (arccos x)′ = − 1 − x2 1 9. ( arctgx)′ = . 1 + x2 1 . 10. ( arctgx)′ = − 1 + x2 11. ( a x )′ = a x ln a . 12. (e x )′ = e x . 1 13. (ln x)′ = , ( x > 0) . x 1 14. (log a x)′ = , ( x > 0, a > 0) . x ln a 15. ( shx )′ = chx . 16. (chx )′ = shx . 1 17. (thx )′ = 2 . ch x /

/

/

15

1 . sh 2 x 1 ( Arshx )′ = 1 + x2 1 ( Archx)′ = − 2 , (| x |> 1) , x −1 1 ( Arthx )′ = , (| x |< 1) . 1 − x2 1 ( Arcthx)′ = − 2 , (| x |> 1) . x −1

18. (cthx )′ = − 19. 20. 21. 22.

3º. Про изво дная ст еп енно -п о казат ел ьно й ф у нкции.

(u )

v /

= v ⋅ u v −1 ⋅ u / + u v ⋅ ln u ⋅ v / , г де u = u ( x), v = v( x) - ди ф ф еренци ру емые ф у нкци и .

(2)

4º. Л о гариф м ическая п ро изво дная Л о гариф м ическо й п ро изво дно й ф у нкци и y = f (x ) называетс япрои зводная от лог ари ф ма этой ф у нкци и , т.е. y ′ f ′( x) (ln y )′ = = (3) y f ( x) 2.2. В ыч и слени е пр о и зв о дных Найти прои зводные ф у нкци й 1 2 5 П ри мер 1. y = x 6 − x 5 + x 3 + 2 x + 7 . 6 5 3 Р ешени е. П ользу яс ьправи лами нахождени япрои зводной, полу ч и м 1 2 5 y ′ = ( x 6 )′ − ( x 5 )′ + ( x 3 )′ + 2 x′ + (7)′ 6 5 3 3 П ри мер 2. y = x cos x . Р ешени е. П ри мени м ф орму лу дляпрои зводной прои зведени я y ′ = ( x 3 )′ cos x + x 3 (cos x )′ = 3 x 2 cos x − x 3 sin x . 2x 2 − 1 . cos x (2 x 2 − 1)′ cos x − ( 2 x 2 − 1)(cos x)′ 2 x cos x + ( 2 x 2 − 1) sin x Р ешени е. y ′ = = . cos 2 x cos 2 x 2 П ри мер 4. y = 3 x 2 − . x П ри мер 3. y =

16

′ ′ ′ 3 − 2 1  − 12  2 − 13  1   23  Р ешени е. y ′ = x − 2 .  =  x  − 2 x  = x + x 2 = 3 + 3 x x x  x     3 П ри мер 5. y = cos 2 x . Р ешени е. Э то с ложная ф у нкци я, ее можно предс тави ть в ви де: y = u 2 , г де u = cos x . Тог да по ф орму ле ди ф ф еренци ровани яс ложной ф у нкци и , полу ч и м y ′ = y ′(u)u ′( x) = −2 x cos x sin x = − sin 2 x .

( ) 3

2

′

П ри мер 6. y = earcsin x Р ешени е. u = arcsin x,

y = eu ;

y′ = eu ⋅ u ′ =

arcsin x

e

1 − x2

П ри мер 7. y = ctg 3 x 4 + 5 . y = u 3 , u = ctgv; v = w , w = x 4 + 5 .

Р ешени е.

С ледовательно,

  1 1 ⋅ y ′ = y ′(u )u ′(v )v ′( w) w′( x) = 3 ⋅ ctg 2 x 4 + 5 ⋅  − ⋅ 4 x3 .  2 4 4  sin x + 5  2 x + 5 П ри мер 8. y = x 3 cos 2 x 5 . Р ешени е. Э та ф у нкци я предс тавляет прои зведени е дву х ф у нкци й, одна и з которых – с ложная y ′ = ( x 3 cos 2 x 5 ) ′ = ( x 3 ) ′cos 2 x 5 + (cos 2 x 5 ) ′ x 3 = 3 x 2 cos 2 x 5 − 2 cos x 5 sin x 5 ⋅ 5 x 4 x 3 = = 3 x 2 cos 2 x 5 − 5 x 7 sin 2 x 5 = x 2 (3 cos 2 x 5 − 5 x 5 sin 2 x 5 ).

П ри мер 9. y =

sin 3 x

e

x

.

Р ешени е. Э та ф у нкци я предс тавляет ч ас тное дву х ф у нкци й, одна и зкоторых – с ложная. (sin 3 x) ′e x − ( e x ) ′sin 3 x e x (sin 3 x − 3 sin 2 x cos x) sin 2 x(sin x − 3 cos x) y′ = = = . e2x e2x ex 2

x П ри мер 10. y = arccos x + e . 2

Р ешени е. y ′ = (arccos x)′ + (e x )′ = −

1 1 − x2

2

+ 2x ⋅ e x .

П ри мер 11. y = arctg x 2 + 1 . 1 1 2x Р ешени е. y ′ = ⋅ ( x 2 + 1)′ = ⋅ 2 x = . 2 2 2 2 1 + x + 1 2 + x 1+ x +1

(

)

П ри мер 12. y = 1 + e 2 x ⋅ arccos x . Р ешени е. ′ y ′ = 1 + e 2 x ⋅ arccos x + 1 + e 2 x ⋅ (arccos x )′ =

(

)

П ри мер 13. y = x x .

2e 2 x 2 1 + e2x

arccos x −

1 + e2x 1 − x2

.

17

Р ешени е. Л ог ари ф ми ру ем по ос новани ю e . ln y = x ln x . Д и ф ф еренци ру я, находи м y′ 1 y′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ ; = ln x + 1 . y x y О тку да y ′ = x x (ln x + 1) . П ри мер 14. y = x cos x . Р ешени е. ln y = cos x ln x ;

y′ 1 = − sin x ⋅ ln x + cos x ⋅ , y x

с ледовательно, y ′ = − x cos x ⋅ ln x sin x + e cos x−1 cos x . Ко нтр о льные пр име р ы 3 ( ax + b) 10 . 1. y = (ax + b) . 2. y = c 3. y = ( 2 x 2 + 3)10 . 4. y = 1 − x 2 . 5

 x +1  5. y =   x+ x 1 1 7. y = − . 3 3 cos x cos x

9. y = sin 9 (7 x + 9) 11. y = cos x 5 . 13. y = 3 sin 2 x +

1 . cos 3 x

6. y = 3 x + x + 1 8. y = cos 5 (3 x + 1) . x sin 3x + 9 3 sin x − 2 cos x . 12. y = 5

10. y =

14. y = sin 2 x + 5

15. y = 1 + arcsin x .

16. y = tg 5 ( 2 x 2 − 1) .

17. y = ln 3 (5 x + 1) .  1 1 19. y = ln1 −  + . x x  2+ x 21. y = ln . 2− x 3x − x 3 23. y = arctg . 1 − 3x 2

18. y = arctgx − (arcsin x) 3 . 20. y = ln( x 2 + 1) . 22. y = ln sin xtg x − x . 24. y = arcctg

1− x . 1+ x

18

1 − x3 25. y = arccos . 1 + x2 27. y = arcsin(ln x) . 29. y = arctg

3 sin α . 1 − x cosα

31. y = ln(arcsin 5 x) . 33. y =

arccos x 1 − x2

.

35. y = arccos 1 − 2 x . 37. y = e cos 39. y = 3

2

ctg

x

1 x

47. y = x

x

49. y = x x

x

2.3.

.

2

36. y = sin 2 x ⋅ e 2 cos x . 1 38. y = ⋅ e − x (3 sin 3x − cos 3x) 10 2

x −3 cos x

.

42. y = (ctgx )x . 3

1 ln x x.

 1 45. y = 1 +  x 

28. y = arcsin(1 − x) + 2 x − x 2 . x 5tg + 4 2 2 30. y = arctg . 3 3 tgx 32. y = − 2arcctg − x. 2 1 1  x − x2 . 34. y =  x −  arcsin x + 2 2 

40. y = 2 cos

.

41. y = x arcsin x . 43. y =

26. y = 2 x ⋅ tg 2 x + ln cos 2 x − 2 x 2 .

44. y = x sin x . x

46. y = ( arctgx ) x . 2

48. y = x x . 50. y = (cos x) sin x

П р о и зв о дные неяв ных ф унк ци й

Е сл и диф ф еренциру ем ая ф у нкция y = y(x ) у до вл ет во ря ет у равнению F ( x, y ) = 0 , (4) т о п ро изво дная y ′ = y′(x ) эт о й нея вно й ф у нкции нах о дя т , диф ф еренциру я о бе части у равнения (4), рассм атривая y как ф у нкцию о т x d ( F ( x, y )) = 0 . dx П ри мер 1. Найти прои зводну ю неявной ф у нкци и x 3 + y 3 − 3xy = 0 . Р ешени е. Д и ф ф еренци ру я, полу ч и м 3x 2 + 3 y 2 y′ − 3( y + xy ′) = 0 , x 2 + y 2 y ′ − y − xy′ = 0 , отку да

19

x2 − y . x − y2 П ри мер 2. Найти y ′x при x = 1 , ес ли x ln y − y ln x = 1 . Р ешени е. Э то у равнени е определяет y как неявну ю ф у нкци ю x . Д и ф ф еренци ру ем по x x y ln y + y ′ − y ′ ln x − = 0 y x  y x  y ′x  − ln x  −  − ln y  = 0 .   x y О тку да y   − ln y  x . y ′x =  x   − ln x  y  Чтоб ы найти y ′x при x = 1 необ ходи мо ещ е определи ть знач ени е y , с оответс тву ю щ ее данному знач ени ю x . П одс тавляязнач ени я x , y в ф орму лу дляпрои зводной, полу ч и м (e − ln e) , y′ = (e − 1) , y ′x = e(e − 1) . y ′x = x 1 1   − ln1 e e  П ри мер 3. В ыч и с ли ть знач ени е прои зводной ф у нкци и , заданной неявно xy 2 = 4 в точ ке М (1,2). Р ешени е. Найдем прои зводну ю : y 2 + 2 xyy ′ = 0 , отку да y′ =

y . 2x П одс тавляя в праву ю x = 1, y = 2 , полу ч аем 2 y′ = − , y ′ = −1 . 2 ⋅1 y′ = −

ч ас ть пос леднег о

равенс тва

знач ени е

x2 y2 П ри мер 4. Найти прои зводну ю ф у нкци и + = 1 .. 4 9 9x x 2 yy ′ = 0. y′ = − . Р ешени е. + 4y 2 9 П ри мер 5. Найти прои зводну ю y ′x , ес ли r = aϕ (с пи ральАрхи меда). Р ешени е. Так как x = ρ cos ϕ ; y = ρ sin ϕ , то 1 = ρ ′x cos ϕ − ρ sin ϕϕ ′x dy = ρ ′x sin ϕ + ρ cosϕϕ ′x , dx

20

отку да

dρ x + yy ′ dϕ xy ′ − y = ; = . ρ dx dx ρ2

П роди ф ф еренци ру ем об е ч ас ти у равнени япо x x + yy ′ xy ′ − y =a , ρ ρ2

dρ dϕ =a , полу ч и м dx dx

тог да

( ρy − ax ) y ′ = − ρx − ay . В ырази м отс ю да y ′x

y′ =

ρx +

ρx + ay , ax − ρy

y′ =

ρ y ϕ

, ρ x − ρy ϕ tgϕ + ϕ ϕx + y ϕ cosϕ + sin ϕ y′ = = , y′ = , x − ϕy cos ϕ − ϕ sin ϕ 1 − tgϕ

y ′ = tg (ϕ + arctgϕ )

Ко нтр о льные пр име р ы Найти прои зводные неявныхф у нкци й. 1. 2 x − 5 y + 10 = 0 . 2. x 2 + y 2 − 4 xy = 0 3. xy 2 + x 2 y = 2 . 4. x + sin y = 0 . 2 2 x y 5. 2 − 2 = 1 . 6. x 3 + y 3 = a 3 a b 3 7. x + x 2 y + y 2 = 0 8. e y + x = y . 2 3

2 3

y = a. x− y 11. y 3 = . x+ y 13. ln y − 2 x = 0 .

10. x + y = a .

15. tgy = xy .

16. a cos 2 ( x + y ) = b

x . y y 1 19. arctg = ln( x 2 + y 2 ) . x 2

18. arctg ( x + y ) = x .

9.

x+

2 3

17. xy = arctg

21. ln x + e

−

y x

= c.

12. y − 0,3 sin y = x . 14. y 2 + x 4 = x 2 .

20.

x 2 + y 2 = c ⋅ arctg

22.

ln y +

x =c y

y . x

21

23. Найти y ′x в точ ке М (1,1), ес ли 2 y = 1 + xy 3 . x 24. Найти y ′x в точ ке А(1,1), ес ли + xy = 2 . y 25. Найти y ′x при x = 2 и y = 1 , ес ли ( x + y ) 3 = 27( x − y ) . 26. Найти y ′x при x = 0 и y = 1 , ес ли ye y = e x +1 . y 27. Найти y ′x при x = 1 и y = 1 , ес ли y 2 = x + ln . x * 28 . Найти y ′x при y = 0 , ес ли x cos y − sin y + sin 2 y = 1 .

2.4.

П р о и зв о дные в ысш и х по р ядк о в

П ро изво дные высш их п о ря дко в о т

ф у нкции y = f (x ) о п редел я ю т ся

п о сл едо ват ел ьно со о тно ш ения м и f n ( x ) = ( f ( n+1) ( x ))′, n = 2,3,... М е ха ниче ский смысл вто р о й пр о изво д но й. Е сл и y = f (x ) зако н п ря м о л инейно го движ ения т о чки, то y ′′ = f ′′(x) - у ско рение это го движ ения . П ри мер 1. Найти прои зводну ю второг о порядка ф у нкци и y = cos 2 x . Р ешени е. Д и ф ф еренци ру я, полу ч и м перву ю прои зводну ю y ′ = 2 cos x (− sin x ) = − sin 2 x . Д и ф ф еренци ру я ещ е раз, полу ч и м и с кому ю прои зводну ю второг о порядка ′ ′ ′ y = (− sin 2 x) = −2 cos x . Фо рм у л а Л ейбница дл я п ро изво дно й n -го п о ря дка дл я п ро изведения дву х ф у нкций n(n − 1) ( n−2 ) (u ⋅ v) ( n ) = u ( n ) v + nu ( n−1) v′ + u v′′ + ... + nu ′v ( n−1) + uv ( n ) . 2! П ри мер 2. Найти прои зводну ю третьег о порядка ф у нкци и 2 y = 5 x + 4 x − 28 . Р ешени е. y ′ = 10 x + 4, y ′′ = 10, y′′′ = 0. П ри мер 3. Найти прои зводну ю ч етвертог о порядка ф у нкци и y = sin x . Р ешени е. y ′ = cos x, y ′′ = − sin x, y ′′′ = − cos x, y ( 4) = sin x. П ри мер 4. Найти прои зводну ю ч етвертог о порядка ф у нкци и y = a x . Р ешени е. y ′ = a x ln a,

y ′′ = a x (ln a ) 2 ,

y ′′′ = a x (ln a ) 3 ,

y ( 4) = a x (ln a ) 4 .

Замеч ани е. (a x ) ( n ) = a x (ln a ) n . П ри мер 5. Найти прои зводну ю дес ятог о порядка дляф у нкци и порядка ф у нкци и y = e x ( x 3 − 2) . Р ешени е. П ри меняяф орму лу Л ейб ни ца, полу ч и м

22

y (10 ) = 10 ⋅ 9 x (8) 3 10 ⋅ 9 ⋅ 8 x ( 7 ) 3 (e ) ( x − 2)′′ + (e ) ( x − 2)′′′. 2 1⋅ 2 ⋅ 3 В с е пос леду ю щ и е с лаг аемые равны ну лю , так как вс е выс ши е прои зводные 3 от ф у нкци и ( x − 2) , нач и ная с ч етвертой, об ращ аю тс я в ну ль. Так как прои зводные лю б ог о порядка от e x ес ть e x , то = (e x ) (10) ( x 3 − 2) + 10(e x ) (9) ( x 3 − 2)′ +

y (10) = e x ( x 3 − 2) + 30 ⋅ e x x 2 + 45 ⋅ e x ⋅ 6 x + 120 ⋅ e x ⋅ 6; y (10) = e x ( x 3 + 30 x 2 + 270 x + 718).

П ри мер 6. Найти f (0), f ′(0), f ′′(0), f ′′′(0), f ( 4) (0) , ес ли f ( x) = cos 2 x . Р ешени е. Находи м прои зводные первог о, второг о, третьег о и ч етвертог о порядков: ′ f ( x) = −2 sin 2 x, f ′′( x) = −4 cos 2 x, f ′′′( x) = 8 sin 2 x, f ( 4) ( x) = 16 cos 2 x. П ри давая x знач ени е, равное ну лю , находи м f ( 0) = 1, f ′( 0) = 0, f ′′(0) = −4, f ′′′(0) = 0, f ( 4 ) (0) = 16 Ко нтр о льные пр име р ы Найти прои зводные 2-г о порядка от с леду ю щ и х ф у нкци й : 8 6 1. y = x + 7 x − 5 x + 4 . 2. y = ( x 2 − 1) 2 . 3. y = ln x . 4. y = tgx . 5. y = ctgx . 6. y = a x 2

7. y = e x .

(

9. y = ln x + a 2 + x 2 2

)

8. f ( x ) = (1 + x 2 )arctgx . 2

10. y = sin x

11. y = (arcsin x) x 12. y = ln 3 1 + x 2 . x 13. y = a ⋅ ch . a Найти прои зводные 3-г о порядка от с леду ю щ и х ф у нкци й : 14. r = a (ϕ − sin ϕ ) . 15. r = a (1 − cos ϕ ) 16. s = a sin 4t 17. s = a cos 3t x 2 + 2x + 2 18*. П оказать, ч то ф у нкци я y = у довлетворяет 2 ди ф ф еренци альному у равнени ю 1 + y ′ 2 = 2 yy ′′ .

23

1 2 x xe у довлетворяет 2 ди ф ф еренци альному у равнени ю y ′′ − 2 y ′ + y = e x . 20*. П оказать, ч то ф у нкци я y = C1e − x + C 2 e x при лю б ых пос тоянных С 1 и С 2 у довлетворяет у равнени ю y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 0 . 19*.

П оказать,

ч то

ф у нкци я

y=

21*. П оказать, ч то ф у нкци я y = e 2 x sin 5 x ди ф ф еренци альному у равнени ю y ′′ − 4 y ′ + 29 y = 0 .

у довлетворяет

22. Найти y ′′′ , ес ли y = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 4 23. Найти f ′′′(3) , ес ли f ( x ) = ( 2 x − 3) 5 24. Найти y ( 5 ) от ф у нкци и y = ln(1 + x) 25. Найти y ( 6 ) от ф у нкци и y = sin 2 x 26. Найти f (0), f ′(0), f ′′(0), f ′′′(0) , ес ли f ( x ) = e x sin x П ри меняя ф орму лу Л ейб ни ца, найти прои зводну ю n -г о порядка от ф у нкци й: 27. y = sin x ; 28. y = cos 2 x ; 29. y = e −3 x ; 1 1+ x 30. y = ln(1 + x) ; 31. y = 32. y = 1+ x 1− x 2 x 33. y = sin x 34. y = xe 35. y = x 2 e −2 x 36. y = (1 − x 2 ) cos x

37. y = x 3 ln x .

П р о и зв о дные ф унк ци и , заданно й пар амет р и ч еск и x = ϕ (t ) Сист ем а у равнений  (α < t < β ) , y = φ (t )  где ϕ (t ) , φ (t ) - диф ф еренциру ем ые ф у нкции и ϕ (t ) ≠ 0 , о п редел я ет y как о дно значну ю диф ф еренциру ем у ю ф у нкцию о т x y = φ (ϕ −1 ( x )) , п ричем п ро изво дная эт о й ф у нкции м о ж ет быт ь найдена п о y′ ф о рм у л е y ′x = t . xt′ П ри мер 1. Найти y ′x , ес ли x = R cos t ; y = R sin t (0 ≤ t ≤ π ) . Р ешени е. x R cos t cos t x R , ( x ≠ ± R) . y ′x = =− =− =− − R sin t t =arccos t 1 − cos 2 t t =arccos t x2 R2 − x2 1− 2 R R R 2.5.

24

Е с ли вос пользоватьс я явным выражени ем для ф у нкци и

y от x :

y = R 2 − x 2 , то полу ч и м тот же резу льтат 2x x ( x ≠ ± R) . y ′x = − = − 2 R2 − x2 R2 − x2 П у сть су щ ест вую т вт о рые п ро изво дные ф у нкций ϕ (t ) и φ (t ) в неко то ро й т о чке t . То гда м о ж но вычисл ит ь вто ру ю п ро изво дну ю ф у нкции, y′ заданно й п арам ет рически. Зам ет им , чт о ф у нкция y ′x = t , задана xt′ п арам ет рически у равнением y′ и x = x(t ) , y ′x = t xt′ сл едо ват ел ьно ,

′ y ′′ ⋅ x′ − y ′ ⋅ x ′′  ′  y y ′′( x ) = y ′xx′ = ( y ′( x ))′x =  t  = . ( x ′)  x′   tx tt

t

t

tt

3

t

П ри мер 2. Найти y ′′(x ) , ес ли x = cos t ; y = sin t (0 ≤ t ≤ π ) . Р ешени е. y ′(t ) = cos t ; y ′′(t ) − sin t ; x′(t ) = − sin t ; x′′(t ) = − cos t. − sin t ( − sin t ) − ( − cos t ) cos t y ′′( x) = (− sin t ) 3 =−

1 sin 2 t

=− t =arccos x

1 (1 − x ) 2

3

t =arccos x

sin 2 t + cos 2 t = ( − sin t ) 3

= t =arccos x

. 2

Ко нтр о льные пр име р ы Найти прои зводну ю y ′x дляф у нкци й, заданныхпараметри ч ес ки : 1  2at  x = , x= ,   t +1  x = 2t − 1,   1+ t2 1.  2.  3.  2 3 2 y = t . t    y =   y = a(1 − t ) .  .   1+ t2  t + 1 3at   x = t 2 + 1,  x = 1 + t 3 ,  x = t ,  5.  6.  4.  t −1 2 3 y = . 3 at  y = t . y =  2  . t + 1   1+ t3

25

 x =  9.  y = 

 x = a cos 2 t , 7.   y = b sin 2 t.

 x = a cos 3 t , 8.   y = b sin 3 t.

 x = e −t , 10.  2t y = e .

t   x = a (ln tg + cos t − sin t ), 11.  2  y = a(sin t + cos t ).

cos 3 t , cos 2t sin 3 t . cos 2t

 x = a(t − sin t ), π , ес ли  2  y = a(1 − cos t ).  x = t ln t ,  13. В ыч и с ли ть y ′x при t = 1 , ес ли  ln t  y = t .  x = e t cos t , π 14. В ыч и с ли ть y ′x при t = , ес ли  4  y = e t sin t. 15*. Д оказать, ч то ф у нкци я y , заданнаяпараметри ч ес ки у равнени ями  x = 2t + 3t 2 ,  2 3  y = t + 2t , у довлетворяет у равнени ю y = ( y ′x )2 + ( y ′x )3 . 12. В ыч и с ли ть y ′x при t =

Найти y′xx′ от с леду ю щ и х ф у нкци й:  x = ln t , 16.  3 y = t .

x = arctgt , 17.  2  y = ln(1 + t ).

 x = arcsin t , 18.   y = 1 − t 2 .

 x = a cos t , 19.   y = a sin t.

 x = a(t − sin t ), 20.   y = a(1 − cos t ).

 x = cos 2t , 22.  2  y = sin t.

 x = arctgt ,  23.  1 2  y = 2 t .  x = e t cos t , 26.   y = e t sin t.

 x = a cos 3 t , 21.   y = a sin 3 t.  x = ln t ,  24.  1  y = 1 − t .  x = a(sin t − t cos t ), 27.   y = a(cos t + t sin t ).

 x = e − at , 25.  at y = e .

 x = ln(1 + t 2 ), 28. Найти y′xx′ при t = 0 , ес ли   y = t 2 .

26

2.6.

Ди ф ф ер енци алф унк ци и

Диф ф еренциал о м ф у нкции y = f (x ) называет ся гл авная часть ее п риращ ения , л инейная о тно сит ел ьно п риращ ения ∆x независим о й п ерем енно й x dy = f ′( x )∆x . (1) В част но ст и, п ри y = x п о л у чим dx = 1 ⋅ ∆x; dx = ∆x , т .е. диф ф еренциал независим о й п ерем енно й равен п риращ ению эт о й п ерем енно й, и ф о рм у л у (1) м о ж но п ереп исат ь dy = f ′( x )dx (2) П ри м ал ых ∆x сп раведл ива п рибл иж енная ф о рм у л а (3) f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≈ f ′( x )∆x ил и f ( x + ∆x ) ≈ f ′( x )∆x + f ( x ) (4) Найти ди ф ф еренци алы ф у нкци й П ри мер 1. y = cos x . Р ешени е. П о ф орму ле (2) находи м dy = d (cos x) = (cos x)′dx = − sin xdx dy = − sin xdx П ри мер 2. r = a (ϕ − cosϕ ) Р ешени е. dr = r ′dϕ = a(ϕ − cos ϕ )′dϕ = a(1 − sin ϕ )dϕ П ри мер 3. В ыч и с ли тьзнач ени е ди ф ф еренци ала ф у нкци и y = x 3 + 5x 2 , ког да x и зменяетс яот 1 до 1,1. Р ешени е. Находи м ди ф ф еренци ал ф у нкци и dy = ( x 3 + 5 x 2 )′dx = (3x 2 + 10 x )dx . П одс тавляя знач ени е x = 1, dx = 1,1 − 1 = 0,1 в пос ледню ю ф орму лу , полу ч и м и с комое знач ени е ди ф ф еренци ала dy = (3 ⋅ 12 + 10 ⋅ 1) ⋅ 0,1 = 13 ⋅ 0,1 = 1,3 . П ри мер 4. Заменяя при ращ ени е ф у нкци и ди ф ф еренци алом, при б ли женно найти arctg1,02 . 1 π ⋅ 0,02 = + 0,02 ≈ 0,795 . Р ешени е. arctg ( x + ∆x ) ≈ arctgx + 2 1+1 4 П ри мер 5. В ыч и с ли ть ∆y и dy ф у нкци и y = 3x 2 − x при x = 1 и ∆x = 0,01 . Р ешени е. ∆y = 3( x + ∆x ) 2 − ( x + ∆x ) − 3x 2 + x = (6 x − 1)∆x + 3( ∆x ) 2 . П одс тави м знач ени я x = 1 и ∆x = 0,01 в полу ч енну ю ф орму лу ∆y = 5 ⋅ 0,01 + 3(0,01) 2 = 0,0503 и dy = ( 6 x − 1)∆x = 5 ⋅ 0,01 = 0,0500 .

27

П ри мер 6. Найти dy , ес ли x 2 + 2 xy − y 2 = a 2 . Р ешени е. П ользу яс ь и нвари антнос тью ф ормы ди ф ф еренци ала, полу ч и м: 2 xdx + 2( ydx + xdy ) − 2 ydy = 0 . О тс ю да x+ y dy = − dx. x− y П ри мер 7. Найти при б ли женно знач ени е sin 31° . π π Р ешени е. П олаг ая, x = arcsin 30° = и ∆x = arcsin1° = , и зф орму лы 6 180 π π 3 cos 30° = = 0,500 + 0,017 ⋅ = 0,515 . (4) и меем: sin 31° ≈ sin 30° + 180 6 2 Ко нтр о льные пр име р ы Найти ди ф ф еренци алы ф у нкци й:

9. y = tg 2 2 x .

x2 −1 . x2 x 4. y = . 1− x x 6. y = arctg . a 1− x . 8. y = ln 1+ x 10. y = x 3 + 6x 2 .

11. y = e sin 4 x .

12. r = ϕ cosϕ − sin ϕ .

1. y = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x . 3. y =

1 . xm

x 5. y = arcsin . a 7. y = e − x . 2

2. y =

13. s = b sin 3 t . 14. s = arcctget . 15. y = x 3 , x = t 2 − 1 . 16. r = ctgϕ + cos ecϕ . 4 17. Д ана ф у нкци я y = x + 4 x . Найти ∆y и dy , с равни ть и х между с об ой, ес ли : 1) x = 1, ∆x = 1; 2) x = 1, ∆x = 0,1 . 18. В ыч и с ли ть при б ли женно при ращ ени е ф у нкци и y = x 2 + 2 x + 3 , ког да x меняетс яот 2 до 1.98. Заменяяпри ращ ени е ф у нкци и ди ф ф еренци алом, при б ли женно найти : 19. arctg1,05 . 20. e 0, 2 . 21. ln1,01 . 22. sin 46° . 23. cos 61° . 24. tg 44° . 25. ln 0,9 . 2 26. Найти ди ф ф еренци алф у нкци и y = при x = 9 и ∆x = −0,01. x π π 27. В ыч и с ли тьди ф ф еренци ал ф у нкци и y = tg x при x = и ∆x = . 3 180

28

Найти ди ф ф еренци алы с леду ю щ и х ф у нкци й, заданных неявно: −

x y

28. ( x + y ) (2 x + y ) = 1 . 29. y = e . y 30. ln x 2 + y 2 = arctg . x * 31 . Найти dy в точ ке (1;2), ес ли y 3 − y = 6x 2 . 2

3

2.7. П р ав и ло Ло пи т аля– Бер нулли р аск р ыт и янео пр еделенно ст ей 0 ∞ І. Раск р ыт и е нео пр еделенно ст ей в и да и 0 ∞ П у сть ф у нкции y = f (x ) и y = ϕ (x ) диф ф еренциру ем ы п ри 0 <| x − a |< h , п ричем п ро изво дная ϕ ′(x ) ≠ 0 . Е сл и f (x ) и ϕ (x ) - о бе беско нечно м ал ые ил и о бе беско нечно бо л ьш ие f ( x) п ри x → a , т .е. есл и част но е п редставл я ет в т о чке x=a ϕ ( x) ∞ 0 нео п редел енно ст ь т ип а ил и , т о ∞ 0 f ( x) f ′( x) lim = lim x →a ϕ ( x ) x→a ϕ ′( x ) п ри у сл о вии, чт о п редел о тно ш ения п ро изво дных су щ ест ву ет (п равил о Л о п ит ал я -Берну л л и). П равил о это п рим еним о и в сл у чае, ко гда a = ∞ . f ′( x ) Е сл и частно е вно вь дает нео п редел енно ст ь в то чке x = a ϕ ′( x ) о дно го из дву х у п о м я ну т ых т ип о в и f ′(x ) и ϕ ′(x ) у до вл ет во ря ю т всем т ребо вания м , ранее сф о рм у л иро ванным дл я f (x ) и ϕ (x ) , т о м о ж но п ерейт и к о тно ш ению вто рых п ро изво дных и т. д. Зам ечание 1. Предел о тно ш ения ф у нкций м о ж ет су щ ест во ват ь в т о врем я , ко гда о тно ш ения п ро изво дных не стрем я т ся ни к како м у п редел у . ІІ. Раск р ыт и е нео пр еделенно ст ей в и да 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 1∞ , 0 0 , ∞ 0 0 ⋅ ∞ нео бх о дим о 1. Дл я раскрыт ия нео п редел енно стей т ип а п рео бразо вать со о т вет ст ву ю щ ее п ро изведение f ( x) ⋅ ϕ ( x) , где lim f ( x) = 0, limϕ ( x) = ∞ , в частно ст и, x →a

x →a

f ( x) ϕ ( x) ∞ 0 ﴾вид ﴿ ил и ﴾вид .﴿ 1 1 ∞ 0 ϕ ( x) f ( x) 2. В сл у чае нео п редел енно ст и вида п рео бразо вать со о т вет ст ву ю щ у ю разно ст ь

∞ − ∞ нео бх о дим о f ( x) − ϕ ( x) , где

29

 ϕ ( x)  и раскрыт ь lim f ( x) = ∞, limϕ ( x) = ∞ , в п ро изведение f ( x )1 − x →a x →a f ( x )   ϕ ( x) ϕ ( x) сначал а нео п редел енно ст ь ; есл и lim = 1 , то сл еду ет п ривести x →a f ( x ) f ( x) ϕ ( x) 1− 0 f ( x) выраж ение к виду ﴾вид ﴿. 1 0 f ( x) 3. Н ео п редел енно сти видо в 1∞ , 0 0 , ∞ 0 раскрываю т ся с п о м о щ ью п редварит ел ьно го л о гариф м иро вания и нах о ж дения п редел а ст еп ени ϕ ( x) [ f ( x )] . Э т и нео п редел енно ст и сво дя т ся к сл у чаю нео п редел енно сти 0 ⋅ ∞ , п ри эт о м исп о л ьзу ет ся т о ж дество [ f ( x)]ϕ ( x ) = eϕ ( x ) ln f ( x ) . Зам ечание 2. Выраж ение «раскрыт ь нео п редел енно ст ь т ип а 0 0 » ϕ ( x) о значает найти п редел lim[ f ( x)] п ри у сл о вии lim f ( x) = lim ϕ ( x) = 0 . x→a

x→a

x →a

sin x ⋅ e − 5 x . x→0 4x2 + 7x Р ешени е. П ри x → 0 ч и с ли тель и знаменатель дроб и об ращ аю тс я в 0 ну ль, полу ч аем неопределеннос ть . 0 П ри меняяправи ло Л опи таля-Б ерну лли , находи м sin x ⋅ e x − 5 x (sin x ⋅ e x − 5 x)′ cos x ⋅ e x + sin x ⋅ e x − 5 4 . = = lim lim lim = − x→0 x→0 x →0 8x + 7 7 4x2 + 7x ( 4 x 2 + 7 x )′ x

П ри мер 1. Найти предел lim

sin x ⋅ e 2 x − x П ри мер 2. Найти lim . x→0 5x 2 + x3 Р ешени е. В данном с лу ч ае прави ло Л опи таля- Б ерну лли ну жно при мени ть дважды, так как отношени е первых прои зводных с нова 0 предс тавляет неопределеннос ть . 0 Д ейс тви тельно, sin x ⋅ e 2 x − x (sin x ⋅ e 2 x − x)′ cos x ⋅ e 2 x + 2 sin x ⋅ e 2 x − 1 lim = lim = lim . x→0 x→0 x →0 5x 2 + x3 (5 x 2 + x 3 )′ 10 x + 3x 2 0 П ри x → 0 с нова полу ч аем неопределеннос ть . П ри меняя ещ е раз 0 прави ло Л опи таля-Б ерну лли , находи м

30

cos x ⋅ e 2 x + 2 sin x ⋅ e 2 x − 1 (cos x ⋅ e 2 x + 2 sin x ⋅ e 2 x − 1)′ lim = = lim x →0 x →0 10 x + 3 x 2 (10 x + 3 x 2 )′ − sin x ⋅ e 2 x + 4 cos x ⋅ e 2 x + 4 sin x ⋅ e 2 x − 1 4 2 = = . = lim x →0 10 + 6 x 10 5 1 1   П ри мер 3. Найти lim − . x→0 x sin x  Р ешени е. П ри x → 0 полу ч аем неопределеннос ть ви да ∞ − ∞ . 0 Р ас кроем эту неопределеннос ть, при водя ее к неопределеннос ти и 0 при меняя прави ло Л опи таля-Б ерну лли : 1  sin x − x cos x − 1 − sin x 1 lim − = lim = lim = 0.  = lim x→0 x x →0 sin x + x cos x x →0 cos x + cos x − x sin x sin x  x→0 x sin x 3 2 lim(cos 2 x) x x →0

П ри мер 4. Найти

(неопределеннос тьти па 1∞ ).

Р ешени е. Л ог ари ф ми ру я и при меняя прави ло Л опи таля-Б ерну лли , полу ч и м: 3 2 lim ln(cos 2 x) x x →0

3 ln cos 2 x tg 2 x = −6 lim = −6 . 2 x →0 x →0 2 x x

= lim

3

С ледовательно,

2 lim(cos 2 x) x x →0

= e −6 .

Ко нтр о льные пр име р ы Найти у казанные пределы ф у нкци й x cos x − sin x . x →0 x3

1. lim

tgx − sin x . x→0 x − sin x πx 5. lim(1 − x)tg . x→1 2

3. lim

ln x . x →∞ 3 x

7. lim

a 9. lim x sin . x →∞ x

1− x . x→1 sin πx 1− 2

2. lim

4. lim arcsin x ⋅ ctgx . x→0

ex . x→∞ x 5 π 8. lim x x →0 πx ctg 2 6. lim

10. lim ln x ⋅ ln( x − 1) . x→1

31

5  1  − 2 11. lim . x →3 x − 3 x − x − 6

 x π   . 12. lim  − 2 cos x π  ctgx  x→ 2

13. lim

x→+∞

15. lim x

1 xx

sin x

x →0

17. lim(1 + x →0

19.

.

14.

3 4 + lim x ln x x→0

.

16. lim(1 − x)

.

cos

πx 2

x→1

1 2 x x ) .

18. lim x→1

πx πx tg 2 lim(tg ) . x→1 4 tgx

20.

1 21. lim  . x →0 x 

.

1 1 − x x.

1 ln lim(ctgx) x . x→0

22. lim(ctgx ) sin x . x →0

Испо льзуе ма я лите р а тур а 1. Б аври н И .И . В ыс шая математи ка / И .И .Б аври н. – М . : И зд. центр «Академи я» ; В ыс ш. шк., 2000. – 616 с . 2. Ш и пач ев В .С . В ыс шая математи ка / В .С .Ш и пач ев. – М . : В ыс ш. шк., 2001. – 479 с . 3. Ш и пач ев В .С . С б орни к задач по выс шей математи ке / В .С .Ш и пач ев. – М . : В ыс ш. шк., 1998. – 304 с . Э лектронный каталог (htpp://www.lib.vsu.ru)

Нау ч ной

б и б ли отеки

В ГУ

–

32

С ос тави тели : С авч енко Ю ли яБ ори с овна Ткач ева С ветлана Анатольевна

Р едактор Ти хоми рова О .А.