Магнитостатика: Пособие к практическим занятиям по курсу ''Электродинамика''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАГНИТОСТАТИКА

Пособие к практическим занятиям по курсу "ЭЛЕКТРОДИНАМИКА" для студентов 3-го курса дневного отделения специальности Физика 010400

Воронеж 2003

2

Утверждено научно – методическим советом физического факультета 12.11.02. Протокол N9

Составитель: Запрягаев С.А.

Пособие подготовлено на кафедре теоретической физики физического фа культета Воронежского государственного университета. Работа выполнена при поддержке гранта VZ-010 Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF).

Рекомендуется для студентов 3-го курса дневной формы обучения.

Издание третье, добавленное и исправленное.

3

1 МАГНИТОСТАТИКА 1.1 Система уравнений Максвелла

Магнитостатика - это раздел электродинамики, в котором изучается част ный случай электромагнитного поля, создаваемого постоянными во времени токами. Описание такого поля и передаваемого посредством этого поля си лового взаимодействия токов основывается на частом случае системы урав нений Максвелла. Эта система уравнений может быть представлена как в дифференциальной, так и в интегральной формах. А. Дифференциальные уравнения:

div B = 0; rot H = 4c j; H = B 4M; div j = 0: (1) Здесь B -вектор индукции, H -вектор напряженности магнитного поля, M - магнитный момент единицы объема, j -плотность тока. Б. Интегральные уравнения: I I

4  4 Z (H
dl) = c I = c (j
ds):

(B
ds) = 0; Векторы B и H удовлетворяют принципу суперпозиции. S

L

(2)

S

B= H

 , В однородном изотропном магнетике где - магнитная проницаемость среды. На грани це раздела двух сред нормальные и тангенциаль ные составляющие поля удовлетворяют соотноше ниям:

Рис. 1:

B2n

B1n = 0;

H2t

H1t =

i= k k

4 i:

(3)

c

Здесь i - плотность поверхностного тока i , -единичный вектор. Ес ли обозначить единичный вектор нормали к поверхности раздела , а еди ничный вектор касательный к поверхности (по направлению тангенциаль ной составляющей) , то так определенные векторы образуют правый базис  . Пример 1.1.1. Вблизи границы раздела двух магнетиков 1 , 2 (рис. 1) магнитная индукция во втором магнетике равна 2. При этом век тор индукции наклонен к вектору нормали границы под углом 2 .

[n t] = k

n

t

B

4

Найти магнитную индукцию вблизи границы раздела внутри магне тика с проницаемостью 1 . q Величина искомого вектора индукции равна B1 B12 n B12 t где B1 n -нормальная и B1 t - тангенциальная составляющие вектора индукции вну три магнетика 1 . На границе раздела, в соответствии с (3), выполняются равенства:

=

+

B1 n = B2 n = B2 cos 2;  B1 t = 1H1 t = 1H2 t = 1B2 t =2 = 1 B2 sin 2: 2

В результате величина искомого вектора равна: v u !2 u  u 1 2 B1 B2t 2 sin22:

=

cos

+

(4)

2

Угол между направлением нормали и направлением вектора индукции мож но найти из выражения: !

tg 1 = B1 =B1 = 1 tg 2; t

.

n

1 = arctg

2

1 tg  2 2

Пример 1.1.2. Можно ли создать в пространстве постоянный ток с объемной плотностью 0 f r , где 0 - постоянный вектор, f r произвольная функция, r- модуль радиуса-вектора? В соответствии с системой уравнений (1), в случае постоянного тока плот . В свя ность тока должна удовлетворять условию стационарности в данном примере: зи с этим вычислим, чему равна

j=j ( )

j

div j div j = j0
grad f (r) = 1r @f (j
r) 6= 0: @r 0

()

div j = 0

(5)

Следовательно, создать такой постоянный ток в пространстве нельзя. Пример 1.1.3. Определить распределение объемной плотности то ка в пространстве, если напряженность магнитного поля тока име ет вид f ~  , где f - произвольная дифференцируемая функция, а ~ -постоянный вектор. Определить, при какой функции f плотность тока удовлетворяет условию стационарности? На основании уравнений (1) находим:  c c

H = (r)[

r]

(r)

(r)

j = 4 rot H = 4 [grad f  [~  r]] + f [5~  [~  r]] =

5

 c ~ = 4 ~(r
grad f ) r (~
grad f ) + f ~ div r f (~
5)r =   = 4c ~ (r
grad f ) r (~
grad f ) + 2f ~ : (6) В частном случае, если f зависит только от модуля радиуса вектора, то grad f (r) = fr r=r, в результате находим:  1 @f c j = 4 2f~ + r @r [r  [~  r]] : (7) Выражения (6),(7) удовлетворяют условию стационарности при любой f (r), 0

div rot H 0

 . т.к Пример 1.1.4. По бесконечному линейному проводнику протекает постоянный ток I . Определить магнитное поле, создаваемое этим током в любой точке пространства. Из условий симметрии системы очевидно, что век тор индукции может быть направлен лишь по ка сательной к окружности, лежащей в плоскости ор тогональной линии тока. Это вытекает из условия инвариантности физической системы относитель Рис. 2: но сдвига начала координат вдоль линии тока и вра щения системы координат вокруг оси, совпадающей с линией тока. Кроме того, ясно, что на окружности произвольного радиуса r величина вектора индукции постоянна. В результате на основании (2) находим: I I I  I B' dl B' dl B' r d I: ! B' : (8) L

(B l) =

окр r

=

r

=

2 = 4c

= 2cr

Комментарий: cоотношение (2) является в теории магнитостаиче ского поля аналогом теоремы Гаусса в электростатике. Применение соотношения (2) целесообразно при условии, если интегральный член можно вычислить на основании условий симметрии системы. Пример 1.1.5. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллель но его оси течет ток с объемной плотностью зависящей только от r. модуля радиуса вектора цилиндрической системы координат Найти напряженность поля внутри и снаружи цилиндра. Представив цилиндр с током как совокупность линейных проводников, на основании принципа суперпозиции и, повторяя рассуждения, приведен ные в примере 1.1.4, получим, что вектор напряженности лежит в плоскости

j = j( )

6

ортогональной оси цилиндра и направлен по касательной к окружности с центром на оси цилиндра. Выберем в формуле (2) в качестве контура интегрирования окружность радиуса r, лежащую в плоскости ортогональной оси цилиндра (пусть это плоскость x,y), тогда I I Z Z d H dl H' dl H'
r
d : (9) L

(H l) =

r

=

2 = 4c

=

r

S

(j s)

Здесь H' -составляющая поля в направлении положительного изменения угла цилиндрической системы координат ', а S – круг, для которого окруж ность радиуса r является границей. Плоскость круга ортогональна оси ци j r , где - единичный вектор, направ линдра. Так как плотность тока ленный вдоль оси цилиндра и d ds rdrd', ток через круг радиуса r Z Z r Z 2 Zr равен: Z

j = ( )k k s=k =k j ds = j (r ) ds = 0 0 j (r )r dr d' = 2 0 j (r )r dr = 8 R < 2 0 j (r )r0 dr0; если r  R; = : 2 R j (r )r0 dr0; если r < R. 0 0

0

R

0

0

0

0

0

0

r

0

(10)

В результате находим окончательно для напряженности поля: 8 <  R0R j r r0 dr0 =rc; если r  R; (11) Hr H' H' : R r  0 j r r0 dr0 =rc; если r < R. Пример 1.1.6. В пространстве между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностя ми радиусов R1 и R2 , R1 < R2 течет ток плот ности r параллельно оси цилиндров ( r- мо дуль радиуса- вектора цилиндрической систе мы координат). Найти напряженность маг Рис. 3: нитного поля в любой точке пространства. Условия симметрии задачи аналогичны условиям симметрии в примерах 1.1.4, 1.1.5, то есть для окружности радиуса r, лежащей в плоскости x; y : I
d H'
r: (12)

=

= 0;

= 44 (( (( ))

) )

0

0

(

j( )

r

H l=

2

Соответственно для силы тока I находим: 8 > ; > > Z < I
d >  RRRr 1 j r r0 dr0 ; > R2 0 0 :

0 = j s= 2 ( 2(

( ) ) j (r )r dr ); 0

0

R1

)

если r < R1 ; если R1 < r < R2 ; если r > R2 .

(13)

7

На основании (2), (12), (13) получаем окончательно величины полей в раз . личных точках пространства. При этом Hr Hz Пример 1.1.7. Квадратная рамка со стороной a находится в одной плоскости с прямолинейным током I . На каком расстоянии от то ка расположена ближайшая сторона рамки, если поток магнитного поля через поверхность рамки равен 0 (задача N198 в [1]) Вектор индукции магнитного поля в любой точке рам ки ортогонален плоскости рамки и равен B' I=cr (см. пример 1.1.4), где r- кратчайшее расстояние от про извольной точки внутри рамки до линии тока. По опре делению поток вектора индукции через рамку определя Рис. 4: ется поверхностным интегралом по площади рамки: Z Z l+a Z a=2 Ia l a 0
d B y dy dz : (14)

=

=0

=2

= B s=

l

()

2

= 2 c ln +l

1

:

a=

Решая данное уравнение относительно l, находим:   c  1

l=a

0 exp 2Ia

(15)

Пример 1.1.8. Ток I течет по проводнику, намотанному плотно по винтовой линии на поверхность бесконечного цилиндра (солено ид). На единицу длины соленоида приходится n витков проводника. Опыт показывает, что для бесконечно длинного соленоида поле сна ружи отсутствует. Определить поле внутри соленоида. Из соображений симметрии ясно, что вектор индукции направлен вдоль оси соленоида. Выберем контур интегрирования в теореме Ампера (2) в виде прямоугольника, две стороны которого параллельны оси соленоида и распо ложены внутри и вне соленоида соответственно. При вычислении циркуля ции вектора индукции по внешней стороне контура и по линиям, ортогональ ным оси соленоида, получим результат, равный 0. Таким образом, ненулевой вклад в циркуляцию вектора индукции появляется лишь при интегрирова нии по внутренней стороне. Обозначим длину этой стороны прямоугольника через l. В результате: I
d B
l nl I ! B n I : (16)

B

L

B l=

=4

c

=4

c

Пример 1.1.9. Вычислить магнитное поле, создаваемое токовым торроидом (токовый торроид- металлический провод, плотно на

8

мотанный на каркас, имеющий форму тора, по которому протека ет ток I ).Полное число витков в торроиде n. Из соображений симметрии ясно, что вектор индукции отличен от нуля во внутренней части тора. При этом в каждой точке пространства вектор направлен по касательной к окружности с центром на оси тора. Поэтому для использования теоремы (2) в качестве контура интегрирования следует взять окружность с центром на оси тора, лежащую ортогонально оси. При этом если окружность расположена внутри торроида, то она охватывает ток силой nI . В результате:

B

I B
2r = 4n ; c

I B = 2n : cr

(17)

Из сравнения (17) c (8) видно, что внутри торроида магнитное поле совпа дает с полем прямолинейного бесконечного тока силы nI , текущего вдоль оси. Кроме того, устремив n и радиус тора к бесконечности (при постоян ном сечении тора) получим выражение, найденное в предыдущем примере для магнитного поля бесконечно длинного соленоида. Если выбранный круговой контур лежит вне торроида, то токов он не и это означает, что охватывает, поэтому для такого контура B
r поле вне торроида отсутствует. Комментарий: Представленное решение предполагает, что линии тока лежат строго в меридианальных плоскостях. У реальной си стемы это не так, что приводит к возникновению тока вокруг оси торроида. Эта составляющая тока приводит к возникновению по ля, аналогичного полю кругового тока. Пример 1.1.10. Вычислить магнитное поле бесконечной проводя щей плоскости, по которой в одном направлении течет равномерно распределенный ток с линейной плотностью i (линейная плотность тока - это ток, приходящийся на единицу длины). Разобъeм мысленно плоскость с током на тонкие нити с током. Рассма тривая пару таких нитей, симметричных относительно некоторой линии па раллельной направлению тока, в соответствии с принципом суперпозиции направлено параллельно можно установить, что результирующее поле плоскости с током и лежит в плоскости ортогональной плоскости тока. Учитывая симметрию системы, выберем квадратный контур L со сторо ной l параллельной , плоскость которого ортогональна плоскости с током

2 =0

B

B

9

и пересекает ее. В результате получим: I

B
dl = 2Bl = 4i cl ;

L

i B = 2 : c

(18)

Комментарий: 1) Из (18) следует, что магнитное поле с обеих сто рон плоскости однородно и противоположно направлено. Этот ре зультат справедлив и для ограниченной плоскости с током, но лишь для точек вблизи плоскости удаленных от ее границ. 2) Относительная легкость, с которой проведен расчет полей в приведенных выше примерах на основании (2), оказалась возможной благодаря наличию симметрий в системах. В общем случае возмож ность применения этой теоремы ограничена. Задание на дом: Решить задачи: 2.1-2.3. (стр. 25); 1.2 Векторный потенциал. Закон Био-Саввара-Лапласа.

Широко применяемые способы описания магнитостатического поля осно ваны на использовании векторного потенциала и закона Био-Саввара-Лапласа, который естественно вытекает из определений для векторного потен циала. Вектор векторного потенциала определяется соотношением:

A

A B = rot A:

A

(19)

B A = A + grad

Вектор определен не однозначно, так как индукция не меняется, если выполнить градиентное преобразование потенциала: , где  - произвольная функция. Чтобы ограничить произвол в выборе векторного потенциала, обычно на накладывают дополнительное условие, например: 0

A

div A = 0:

(20)

A, с учетом (20), удовлетворя rot A  grad 1 + 1 52 A = 4 j: (21)

В магнитоизотропной, неоднородной среде ет уравнению:  





c

 – магнитная проницаемость среды  = (r). В однородной среде  = const и уравнение для векторного потенциала имеет вид неоднородного Здесь

уравнения Пуассона:

52A = 4c  j:

(22)

10

На границе раздела двух сред для векторного потенциала и его производных выполняются следующие граничные условия: @  @   ; (23)

1 A 1 @ n

i

1 A =4 i 1 2 @ n 2 c A1 = A2;

(24)

где поверхностная плотность тока. Решение уравнения (22), при отсутствии граничных условий, имеет вид:

j(r ) dv : (25) jr r j С учетом (19) на основании (25) для вектора B находим:  Z [j(r )  (r r )] B = rot A = c (26) j r r j3 dv : В случае линейного тока A и B могут быть вычислены из уравнений (25), (26) с заменой j(r )dv , I dl , где элемент dl направлен по току. В частно Z A(r) = c

0

0

0

0

0

0

0

0

сти, из (26) получаем:

0

0

0

Z B(r) = cI [dlj r (rr j3r )] : 0

0

0

(27)

Выражение (27) в соответствии с принципом суперпозиции эквивалентно закону Био-Саввара-Лапласа:

 I [dl  R] dB = ; (28) c R3 где R - расстояние от элемента тока dl до точки, в которой определяется 0

значение поля. Пример 1.2.1. Бесконечный цилиндр радиуса R с магнитной прони цаемостью  , равномерно заряженный с объемной плотностью  const, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоро стью ~! . Найти векторный потенциал внутри и снаружи цилиндра. (См. задачу 219 в [1]) Вращение цилиндра создает в пространстве ток с объемной плотностью    ~! . Таким образом, в цилиндрической системе координат:

=1

=

j = v = [r ] j = j = 0; r

z

j' =  ! r r  R;

j' = 0; r > R:

(29)

11

=

=0

Из условий симметрии ясно, что в цилиндрической системе Ar Az , а A' A' r . В цилиндрической системе координат компоненты векторного лапласиа на 4 имеют вид [3]:

= ()

A 4A j = 4A r

r

1A

r2

r

2 @A ; 4A j = 4A r2 @' 4A j = 4A : '

'

z

'

1 A + 2 @A ; r2 r2 @' '

'

(30)

z

Обозначим значения векторного потенциал во внутренней и внешней обла стях цилиндра следующим образом:

A'(r) = A1; r  R;

A' (r) = A2; r > R:

(31)

В результате на основании (22) находим:

4A1' r12 A1' = 4c !r; 4A2' r12 A2' = 0: (32) Подставляя явный вид оператора 4 в цилиндрической системе координат, получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:

d2A1' dA1' 4 !r3; 2 r + r A = 1 ' dr2 dr c d2A dA r2 22' + r 2' A2' = 0: dr dr

(33)

Уравнения (33) должны быть решены с учетом граничных условий:

dA1' dA2' j j : (34) r=R = dr dr r=R Общее решение уравнений (33) необходимо искать в виде: Ai' = const
rs . В результате для s имеем алгебраическое уравнение второго порядка s(s 1) + s 1 = 0, решение которого есть: s1 = 1; s2 = 1. Таким образом, A1'(R) = A2'(R);

общее решение однородных уравнений (33) имеет вид:

Ai' = C1ir + C2i=r:

(35)

Частное решение неоднородного уравнения (33) есть:

A' =

 !r3: 2c

(36)

В результате, с учетом (34) получаем окончательно:

A1r = A1z = 0;

 A1' =  ! r(R2 c

r2=2):

12

A2r = A2z = 0;

A2' =

  ! R4=r: 2c

(37)

Вычисленное значение векторного потенциала легко может быть исполь . зовано для нахождения вектора магнитной индукции, так как В данном примере следует обратить внимание на то, как определяется опе ратор Лапласа от компонент вектора в криволинейной системе координат (подробнее см. в [3],[5]). Пример 1.2.2. Заряд Q распределен по объему шара радиуса R с объ емной плотностью  0 rn. Здесь 0 – размерная константа, r – модуль радиус-вектора, а n – произвольное число. Найти индукцию магнитного поля в центре шара, который вращается с угловой ско ростью ~! . Поместим начало координат в центр шара, направив ось Z вдоль вектора ~!. В соответствии с (26) вектор индукции в центре шара имеет вид:

B = rot A

=

Z [r  j(r )] Z 1 1 B(0) = c dv = 0 r3 c 0

0

R

0

Z  Z 2

0 0

0

[r  j(r )] r 2dr sin  d r3 0

0

0

0

0

0

0

d' : 0

(38)

j(r ) = v(r ) =  [~!  r ]. В результате: Z Z Z2 1 r 2~! !z r B(0) = c 0 0 0 (r ) r 3 dv

Объемная плотность тока

R

0



0



0

0

0

0

0

0

(39)

0

Интегрирование в (39) подынтегральных функций, содержащих произведе ние декартовых координат x z 0 и y 0 z 0 , являющихся нечетными функциями по своим координатам, в симметричных пределах дает . Оставшиеся слагае мые определяют значение вектора : 0

!~ Z x2 +y2 B(0) = c (r ) r 3 dv 0

0

0

0

0

B

!~ Z R Z  Z 2 n+1 2 = c 0 0 0 0 r sin  r dr0 sin  d d' = 0 n+2 R ~!: (40) = 3(n8+ 2) cR 0

0

0

0

0

0

0

Пример 1.2.3. Найти поле в любой точке пространства, создавае мое круговым линейным током силы I , радиуса R. Плотность тока в такой системе можно представить в виде (ток расположен в плос кости x-y):

Æ(r j' = IÆ(cos 0)

0

R

R)

:

Здесь r  ' – переменные сферической системы координат.

(41)

13

Нетрудно убедиться, что формула (41) действительно соответствует кру говому току силы I . Для этого проинтегрируем плотность тока по сечению, r  d dr , то после замены пе ортогональному току. Если выбрать ds ременной  x получим: Z Z1 I Z1 0

cos = I= 0

= sin 0

0

0

Æ(x) dx 0 Æ(r R)r dr = I: 1 В силу симметрии системы, т.к. j имеет лишь '-составляющую, отличную от нуля, то и A имеет лишь одну составляющую, отличную от нуля - A' . Од нако A' нельзя вычислить непосредственно, подставляя j' в (25), так как j ds S ' 0

0

=R

0

0

0

0

векторное уравнение Пуассона (22) сводится к трем независимым скаляр ным уравнениям лишь в декартовых координатах. В криволинейных ортого нальных координатах дифференциальный оператор связывает все составля ющие вектора (см. [3], [5]). Например, в цилиндрической системе координат компоненты вектора 4 представлены формулами (30), а в сферической системе координат компоненты вектора 4 приведены в упражнении 2.9 на стр 26. Поэтому выполним вычисления для декартовых компонент векто ра . Составляющие плотности тока в декартовых координатах имеют вид:

A

A

A

jx = j' sin ' ;

jy = j' cos ' ;

0

0

(42)

где величина плотности тока j' определена выражением (41). В силу цилиндрической симметрии задачи при вычислении векторного по тенциала можно выбрать точку наблюдения лежащей в плоскости xz , (т.е. ' ). Это не уменьшит общности решения. В этом случае x-составляющая j' и векторного потенциала Ax равна нулю, так как Ax  jx остается лишь y -составляющая векторного потенциала. В результате: I Z ' Ay r;  Æ  Æ r R r 2dr  d d' : (43)

=0

=

cos (cos ) ( jr r j 0

( ) = cR

0

)

0

0

0

2(r
r ) + r 2 = 0

0

r2

0

0

0

r r j равен: 2rr (cos  cos  + sin  sin  cos ' ) + r 2:

По определению модуль разности векторов j q q

r2

sin

0

sin 0 = 0

0

0

0

0

0

0

(44)

Подставляя (44) в (43), после интегрирования по d и dr находим: IR Z 2 q ' d' Ay r;  : (45) 0

( )=

cos 2 r R sin  cos ' + R2 0

c 0

r2

0

0

0

14

()

Данный интеграл выражается через полные эллиптические интегралы K x и E x [6]: Z =2 Z =2 q d p Kx Ex x2 2  d: (46) 2

() ( )=

1

0

x2 sin 

;

( )=

1

0

sin

Окончательно получим:

3 2 2 4 IR 2 x 2 4 K (x) 2 E (x)5 ; A (r; ) = p 2 2 2 x x c R + 2 r R sin  + r

(47)

y

где аргумент эллиптических интегралов определяется выражением: v u u rR  : xt

4 sin (48) R2 + r2 + 2rR sin  В силу цилиндрической симметрии имеем A = A . Составляющие век '

y

тора магнитной индукции определяются из:

Br =

1 @ (sin A ); r sin  @

1 @ (rA );

B =

'

r @r

B' = 0:

'

(49)

Решение этой же задачи можно найти, используя разложения модуля раз ности векторов по сферическим функциям. Рассматривая, аналогично пре , для Ay компоненты векторного дыдущему случаю, плоскость x z ' потенциала находим: I X Yl;m ; Z r
( = 0)

= Re 4cR

l;m

( 0) 2l + 1

(cos ) ( 0

r>

)

0

(

0

0

0

)

0

здесь r> ; r< большая, меньшая из двух переменных r; R и интегрирование проводится по всему пространству в переменных сферической системы ко i' в подынтегральном выражении в (50) ординат. Наличие множителя означает, что в сумме по m отличны от нуля лишь слагаемые с m . Дей m ' . Инте ствительно под интегралом по ' появится выражение и равен грал от данной функции в пределах от до  равен  при m нулю во всех остальных случаях. Выполняя интегрирования в (50), находим:

exp( ) 0

=1 exp(1 ) 2 =1

0

0

0 2

1 1 82IR Re X r  (  ; 0): Y ( ; 0) Y (51) 1 1 2 +1 c 2 l + 1 r =1 Используя явный вид сферической функции Y 1( 2 ; ' ) [6], получаем: v u u 2l + 1   Y 1( ; 0) = t P 1 (0): (52) 2 4l(l + 1) l <

Ay =

l

l >

l;

l;

l;

l;

l



0

15

Здесь Pl1 - присоединенный полином Лежандра [6]. С учетом свойств присо единенных полиномов Лежандра [6] находим:

1 ( 1)n(2n 1)!! r<2n+1 1 IR X A' =
r2n+2
P2n+1(cos ); (53) c n=0 2n(n + 1)! > где (2n 1)!! = 1
3
5
:::(2n 3)
(2n 1), r<, r> – меньшая - большая переменная из радиальной переменной r и радиуса окружности с током R.

Выражение (53) существенно проще для вычислений значения поля, чем результат, представленный формулой (47). Задание на дом: Решить задачи 2.4 - 2.8 на стр. 26. 1.3 Поле системы замкнутых токов на больших расстояниях. Магнитный момент системы токов.

На больших расстояниях от области, где протекают замкнутые токи, век торный потенциал и индукция магнитного поля принимают вид:

n=r

r

A  [~ r3 r] ; B = rot A  3(~
nr)3
n

~

;

(54)

где =r; - радиус вектор точки наблюдения в системе координат, в которой определена система токов , а ~ - магнитный момент системы за мкнутых токов: Z I ~ (55)  dv , I d :

j

= 21c [r j] V

Для замкнутого линейного тока равен:

2c [r L

l]

I на основании (55) магнитный момент

Z IS ~ = n; S = S ds: c

(56)

Интеграл в (56) вычисляется по произвольной поверхности S , границей ко торой является линейный ток I . Если ток лежит в плоскости, то направление связано с направлением тока I правилом "правого винта". Пример 1.3.1. Установить связь магнитного момента с механиче ским для заряженной частицы массы m, заряда q , движущейся по за мкнутой траектории. Механический момент или момент импульса определяется в классиче ской механике как вектор следующего вида:  , где - радиус вектор, а -импульс частицы. Подставим в (55) величину плотности тока

n

l

p

l = [r p]

r

16

j(r) = v = v(r) (r r )

v

точечной заряженной частицы  qÆ -ско q . Здесь рость движения, а q - радиус-вектор положения заряда в пространстве. В результате: Z q q  qÆ : ~ (57) q dv q 

r

= 21c [r v (r r )] = 2mc [r p] = 2mc l V

Данное соотношение выполняется и для системы N частиц с одинаковы ми зарядами и массами:

q M = 2mc L; M = X ~; L = X l: N

N

=1

=1

i

i

Пример 1.3.2. Доказать, что для замкнутых токов определение магнитного момента не зависит от выбора начала координат. Определения магнитного момента системы замкнутых токов в системах координат S и S следующие: 0

Z Z 1 1 ~ = 2c [r  j] dv; ~ = 2c [r  j] dv : Пусть r = r + a , с учетом (58) получим: 1 Z [(r a)  j] dv = 1 Z [r  j] dv + 1 [a  Z j dv]: ~ = 2c 2c 2c 0

V

0

V

(58)

0

V

V

V

(59)

Последнее слагаемое в (59) обращается в ноль в силу Z I N I N X X

j dv = lim I dl = lim I dl = 0: !1 =1 !1 =1 Таким образом, ~ = ~ и определение магнитного момента не зависит от V

N

i

Li

N

i

Li

0

выбора начала отсчета системы координат. Пример 1.3.3. В сферических координатах компоненты вектора объемной плотности тока в одном из возбужденных состояний ато ма водорода равны:

eh 3 2r ) sin  cos2 '; jr = j = 0 j' = 8 r exp( (60) 3 ma7 3a  -постоянная Планка, m и e - масса и заряд где a -боровский радиус, h электрона. Вычислить магнитный момент такого тока. По определению (55) магнитный момент тока равен: 2 3 r  ' Z Z 6 66 j j j 777 dv; ~  dv c V c V 4 r  '5

= 21 [r j] = 21

a a a

rr r r'

(61)

17

a a a

где r ;  ; ' - единичные векторы сферической системы координат, jr , j , j' -компоненты плотности тока в сферической системе координат, rr ; r ; r' -компоненты радиус-вектора в сферической системе координат. Таким об разом, получаем: Z ~ (62)  r j' dv:

= 21c a V

Интегрирование в (62), включающее все пространство, удобно выполнить в r2dr  d d'. При этом сферической системе координат, в которой dv следует иметь в виду, что базис сферической системы координат меняется от точки к точке, поэтому запишем  в декартовой системе координат:

=

sin

a a = i cos  cos ' + j cos  sin ' k sin ;

(63)



ijk

где ; ; -базис декартовой системы координат. При интегрировании (62) по углу ' вклад слагаемых при единичных векторах ; равен нулю, так как интегрируется периодическая функция на полном периоде. В результате: Z eh Z 1 6 r Z 2 eh 2  d 2 d' ~ r dr  : (64) 8 7

ij

 = 2c3 ma

exp( 32a )

0

0

sin cos

0

k k = 2mc

Пример 1.3.4. Согласно классической модели, электрон заряда e и массы m представляет собой однородно заряженный шар радиуса r0 e2=mc2. Здесь c – скорость света. Рассматривая магнитный спи новый момент как результат вращения электрона вокруг своей оси симметрии, определить с какой угловой скоростью должен вращать ся электрон, чтобы его магнитный момент был бы равен экспери ментально измеряемой величине  eh= mc. Какова при этом будет линейная скорость точек электрона, лежащих на его диаметре? Вычислим магнитный момент шара, заряженного с постоянной объемной плотностью, который вращается с угловой скоростью ! . Из-за вращения шара произвольная точка шара движется с линейной скоростью v' r 
!. Таким образом, возникает перенос заряда с плотностью тока j' !r . Рассуждения, аналогичные тем, что были выполнены в примере 1.3.3 для магнитного момента шара, дают: Z

=

= 2

r

sin sin

= =

~ = (

1 2c

V

rj' sin  dv) k;

здесь V – объем шара. Таким образом, Z ! Z r0

=

2c

0

r4 dr

Z 2 1 !er02 2 sin  sin  d 0 d' = 0 5 c :

(65)

18

По условию задачи вычисленный магнитный момент должен быть равен экс периментально измеренному значению:

1 !er02 = eh : 5 c 2mc

(66)

Отсюда можно найти величину угловой скорости, с которой должен вра щаться электрон, чтобы возникший из-за вращения ток привел к экспери ментально измеренному значению магнитного момента электрона:

=



5 h 5 mc2 != 2mr02 = 2 h 

1 137

2;

(67)

-постоянная тонкой структуры. Подставляя числен где  e2 =hc  = ные значения фундаментальных констант, находим !  25 сек 1. Так как 13см, линейная скорость классический радиус электрона r0 e2 =mc2  движения точек электрона, лежащих на его диаметре, будет иметь порядок величины v !r  12 см/сек, что на два порядка больше скорости света. Таким образом, данная модель не может рассматриваться в качестве аде кватной модели при изучении спинового магнитного момента Пример 1.3.5. Линейный ток I протекает по проводнику в форме половины окружности, замкнутой на три стороны прямоугольни ка, длины которых равны, R, R и R, соответственно. Сторона R параллельна диаметру основания полуокружности. Определить по ле на больших расстояниях от тока. На основании (54) индукция магнитного поля определяется магнитным моментом тока. Для плоского тока, в соответствии с (56), вектор магнитного момента равен ~ IS
=c, где S -площадь фигуры, ограниченной рассма триваемым током, -нормаль к плоскости, направленная в сторону так, что бы выполнялось условие - при наблюдении против направления нормали ток направлен против часовой стрелки (это известно в классической элек тродинамике как правило "буравчика"). В данном примере : # R2 " 2 2 S R R = : (68)

=

=

10

10

10

2

= n

2

n

2 = 2 1 + 4

=2 +

Следовательно

B = 3(~
n ) n 0

r3

0

~

= IcS

3(n
n ) n n ; 0

r3

0

(69)

19

n

где - единичный вектор в направлении на точку наблюдения из выбран ного начала координат, совпадающего с центром полуокружности. Задание на дом: Решить задачи 2.9 на стр. 26, 2.13 - 2.17 на стр. 27. 1.4

0

Энергия и силы в магнитном поле. Энергия тока во внешнем поле.

Полная энергия магнитного поля в объеме V определяется выражением: Z
dv: " (70)

B

= 81 (B H) V

H

Здесь - индукция, а - напряженность магнитного поля. Интегрирова ние в (70) осуществляется по всему пространству, где есть поле. В частном случае объемного тока, текущего в ограниченной области пространства V , энергия магнитного поля системы может быть представлена в виде: Z " (71)
dv:

= 21c (j A) V

A

j

Здесь -векторный потенциал поля, создаваемого током . Для системы N штук проводников:

"= где

N X k

=1

Wkk +

N X

=1;k
k;n

Wkn;

(72)

1 Z (j
A ) dv; 2c k k -собственная магнитная энергия "k "-го проводника объема V , а W взаимодействия "k "-го и "n"-го проводников. Z Z 1 1 W = 2c (jk
An) dv + 2c (jn
Ak) dv: Wkk =

Vk

kn -энергия

k

kn

Vk

(73)

Vn

(74)

Интегрирование проводится по объему проводников. Интегралы в (74) оди наковы, поэтому: Z Z
n dv dv $ Ik In I I d k
d n : (75) k Wkn 2 2

= c1

(j (r) j (r )) jr r j 0

Vk

Vn

0

0

c

Lk Ln

(l l) jr r j 0

Собственную энергию и энергию взаимодействия представляют в виде:

Ik2 II Wkk = 2 Lkk ; Wkn = k 2 n Lkn; 2c c

(76)

где Lkk  Lk - называется коэффициент самоиндукции, а Lkn- коэффициен ты взаимоиндукции.

20

Для системы токов, находящихся во внешнем слабо неоднородном поле, Z
dv  ~
::: " (77)

= 1c (j(r) A(r + R))

( B) + Сила действующая в магнитном поле на элемент dl с током I вычисляется V

с использованием закона Ампера:

dF =

I [dl  B]: c

(78)

Для нахождения силы, действующей на проводник конечной длины, необхо димо проинтегрировать выражение (78) по линии проводника. Для точечно го заряда выражение (78) имеет вид:

F = qc [v  B]: Для объемного тока плотности j в объеме dv 1 dF = [j  B] dv: c

Силы в магнитном поле могут быть вычислены также с использованием тензора натяжений Максвелла Mk i . Так, для проекции силы Fi на декартову ось i имеем: I X 3 Fi Mk i nk ds; Mki BiBk Æik B 2 ; i 2 ; ; : (79)

"" =

S

k

= 81 [

=1

1 2

n

]

123

Здесь nk проекции вектора нормали к поверхности S на декартовы оси, а S – поверхность тела, для которого вычисляется сила действия со стороны магнитного поля индукции . Æik –символ Кронекера. Пример 1.4.1. Доказать, что вид формулы (71) не изменится в ре зультате градиентных преобразований векторного потенциала . По определению: Z Z

B

A= 0

A + grad

1 (j
A ) dv = 1 (j
(A grad)) dv = 2c 2c Z Z Z Z = 21c (j
A) dv 21c (j
grad ) dv = 21c (j
A) dv 21c div (j) = Z I 1 1 = 2c (j
A) dv 2c  (j
ds): "=

V

0

V

V

V

V

V

S

V

21

Для ограниченных токов нормальная составляющая тока равна нулю на поверхности S , ограничивающей систему токов. Таким образом, поверхност ный интеграл в последнем выражении равен нулю, и следовательно, инвари антность формулы (71) относительно градиентных преобразований доказа на. Пример 1.4.2. Шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью , вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью ~! . Вычислить энергию магнитного поля шара (см. задачу 221 в [1]). Решением задачи о поле шара являются следующие выражения для то чек, лежащих внутри шара r  R : 0 2 0 2 51 21 r r R R A A ; B @ ; B' : Br @ (80)

(

=

)

5 cos

3

=

2 5

3 sin

=0

Здесь Br , B , B' - составляющие вектора индукции магнитного поля вдоль !=c. Для то единичных векторов сферической системы координат, чек вне шара поле равно :

=4

=

B = 3(~
nr)3
n

15

~

;

(81)

R5= -магнитный момент шара, направленный вдоль оси враще где  ния. Подставляя (80), (81) в (70), находим: 20 3 1 0 2 2 12 2 Z R Z  Z 2 6@ R2 r2 A2 2 r R 2 75 r2 dr  d d' A 4 " f  @

= 8

0 0 0

+

Z 1Z R



0

2 cos + sin 3 5 5 3 sin 2 Z 2 0 R5 12 3 cos2  + 1 2 dr sin  d d'g = 10 : @ A r 0 15 r6 7R3 

+

(82)

Пример 1.4.3. По двум концентрическим бесконечным цилиндриче ским поверхностям текут одинаковые, но противоположно направ ленные токи силы I . Радиусы цилиндров R1 и R2 , R1 < R2 . Вычислить энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилин дров. Поле внутри цилиндров B I=cr, где r -радиальная переменная цилин дрической системы координат, c-скорость света. В других точках поле рав но нулю. В результате на основании (70) находим для энергии поля внутри

(

=2

)

22

цилиндров высоты H :

Z 1 "= 8

R2

Z

H

0

R1

Z 2

0

2I !2 r dr dz d' = I 2H ln R2 : c2

cr

R1

Таким образом, энергия, приходящаяся на единицу длины цилиндров, рав на:

" H

I 2 R2 = c2 ln R : 1

(83)

Пример 1.4.4. Вычислить коэффициенты взаимной индукции двух прямых параллельных линий токов I . Расстояние между проводника ми равно h. Длина проводников l. На основании (76) Z Z d 1
d 2 Z lZ l dy1dy2 q L12

=

(l l)= j r1 r2 j 0 0 (y1 y2)2 + h2 = q Z ( l yp ) + (l y)2 + h2 dy: = 0 ln y2 + h2 y

L1

L2 l

Интегрируя (84) по частям, получаем: ! p

L12 = l ln

p2 h2 l +h

2(

l

l2 + h2

h) + l ln

p2 l 2 l +h

(84)

!

l

: (85)

Пример 1.4.5. Однородно заряженный цилиндр произвольной высо ты и радиуса R вращается вокруг своей оси симметрии с угловой ско ростью ~! . Определить энергию взаимодействия цилиндра с внешним магнитным полем . На основании (55) вычислим магнитный момент цилиндра:

B

1Z ~ = 2c 0

R

QR2 r  r ~! r dr dz d' = 0 0 4c ~!;

Z

H

Z 2

(86)

где  -плотность заряда. На основании (77 ) энергия магнитного момента во внешнем поле определяется скалярным произведением вектора индукции и вектора магнитного момента. В результате " QR2 ~!
= c. Пример 1.4.6. Оценить по порядку величины самоиндукцию тонко го замкнутого проводника радиуса R и длины l  R. На расстояниях r  l от оси проводника его поле мало отличается от поля прямого проводника. Считая распределение тока равномерным по се

=

( B) 4

23

чению, магнитная энергия внутри проводника равна : ZR Z Z R Z l Z 2 B 2 I !2

W1 = 0 0 0

1 r dr dz d' = 8 8

2

r2 r dr

cR2

0

I 2l dz 0 d' = 2 : 0 4c l

(87)

Для энергии вне проводника получаем : Z 1 B2

W2 =

R

Z 2

I 2 Z 1 dr 8 r dr dz d' = c2 l R r :

(88)

Подынтегральное выражение (88) правильно описывает поле только на рас стояниях r  l. При r  l поле убывает быстрее, так как на больших рас стояниях B  =r3. В результате можно получить оценку W2, если интегри рование ограничить областью r  l: I2 l! W2  2 l : (89)

1

c

ln

R

В результате для коэффициента самоиндукции находим: " !# 2

 2Ic2 W2  2 4l + l ln

l! L  2l ln R : (90) Пример 1.4.7. Два равномерно заряженных шара радиуса R враща ются с угловыми скоростями ~!1 и ~!2. Заряды шаров q1 и q2 . Шары на ходятся на расстоянии l  R друг от друга. Определить энергию l R

взаимодействия шаров. На основании (54) поле, создаваемое первым шаром в точке расположе ния второго шара, равно:

B = 3(~1
nl)3 n

n=l

~1

;

(91)

=l -единичный вектор в направлении от первого шара ко второму, где ~1-магнитный момент первого шара. Энергия взаимодействия магнитного момента второго шара с полем, создаваемым первым шаром, равна : " = (~2
B) =

3(~1
n)(~2
n) (~1
~2) :

Магнитные моменты шаров равны (65): ~i энергии взаимодействия шаров находим : 0 2 12 R ~!
~!2
" @ A q1q2 1

= 5c

(

n)(

l3

=

R2qi~!i=5с В результате для

n) (~!1
~!2) :

l3

(92)

(93)

24

Пример 1.4.8. Два длинных параллельных провода (сопротивление которых пренебрежимо мало) замкнуты с одной стороны на сопро тивление R, а с другого конца подключены к источнику постоянно раз меньше го напряжения. Радиус сечения каждого провода в  расстояния между осями проводов. Определить значение сопротив ления R, при котором сила взаимодействия проводов обращается в нуль. На каждом из проводов (протекает по ним ток или нет) имеются поверх ностные заряды противоположных знаков (в соответствии со знаками полю сов источника постоянного напряжения). Следовательно, кроме силы взаи модействия токов посредством магнитного поля Fm , необходимо еще учесть электрическую силу Fe , действующую на провод со стороны другого про вода. Обозначим величину заряда на единицу длины  , а расстояние меж ду проводами l. По теореме Гаусса в электростатике, выбирая произволь ную поверхность S в виде цилиндра высоты h соосно с проводником, можно определить напряженность электрического поля, создаваемое заряженным проводником на произвольном расстоянии r от него. Тогда: I (94)
d E r h q   h:

= 20

S

E s= 2

=4 =4

Таким образом, величина электрической силы взаимодействия проводни ков, приходящаяся на единицу длины провода, равна:

Fe

2  2 2 = E =  = l

l

(95)

Магнитная составляющая силы, приходящаяся на единицу длины провода, вычисляется на основании формул (8), (78). В результате величина магнит ной силы Fm, приходящейся на единицу длины проводника, есть:

Fm

2 I2 = c2 l :

(96)

Отметим, что обе силы, электрическая и магнитная, направлены в противо положные стороны. Электрическая сила вызывает притяжение проводни ков, т.к. обусловлена взаимодействием зарядов противоположных знаков, а магнитная сила вызывает отталкивание проводников. Отношение этих сил равно:

Fm Fe

2

= cI2 2 :

(97)

25

В свою очередь, между величинами I и  существует связь, если определить  . Взаимная емкость проводников, приходящуюся на единицу длины C U емкость двух проводников определяется как коэффициент C в соотношении q C '2 '1 C '. Для определения ' по принципу суперпозиции j ' j, где j ' j - разности потенциалов представим ' j '+ j на поверхностях проводников, создаваемые зарядами  проводников. По определению, для j '+ j находим:

=

= (

)=

=
+









j
'+ j=

Z

E dr =

l R0 R0

Z

l R0 R0

2 dr = 2 ln l r

где R0 -радиус проводников. Очевидно, что j зом, с учетом l R0 , получим:

=




' j=j

R0

; (98) R0
'+ j. Таким обра

= j
' j = 14 ln l RR0 = 41 ln( 1):

(99)

= C U = 4 ln(1 1) U = 4 ln(RI :  1)

(100)

C В результате:

( )

0



На основании последнего равенства находим:

I 

= R4 ln( 1):

(101)

Подставляя (101) в (97), для отношения сил получим:

Fm Fe

2 ( 1) 16 ln = :

(102)

c2R2

Очевидно, что результирующая сила взаимодействия обращается в нуль, когда соотношение (102) равно единице. Обозначим величину сопротивле ния, при котором силы равны и уравновешены, через Rc . На основании (102) имеем: Rc  =c. Таким образом, если сопротивление R < Rc, то Fm > Fe и провода отталкиваются, если же R > Rc, то Fm > Fe и провода притягиваются. Задание на дом: Решить задачу 2.18 на стр. 28.

= ln(

2

1)

УПРАЖНЕНИЯ к гл.1.

2.1. Определить распределение объемной плотности тока в пространстве, если напряженность поля равна: ~
~  . (см. задачу 140а [1]).

H = ( r)[

r]

26

j

2.2. Доказать, что для замкнутого тока с плотностью выполняется ра R , где интегрирование проводится по всему объему с током, венство dv а функция непрерывна внутри данного объема (см. задачу 144 [1]). 2.3. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллель но ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью 0 . Найти ин дукцию магнитного поля в любой точке пространства (см. задачу 144 [1]). 2.4. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси те чет ток с объемной плотностью, зависящей только от модуля радиуса векто 3 ра цилиндрической системы координат r, 0 r ( 0 - постоянный вектор). Найти напряженность магнитного поля в любой точке пространства. 2.5. В цилиндре радиуса R1 протекает однородный постоянный ток с плот ностью 1 . В цилиндрическом слое, охватывающем цилиндр R1 с в противопо внешним радиусом R2 , протекает постоянный ток 2 ложном направлении. При каком соотношении между токами поле вне про водника равно нулю? 2.6. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью . Вычислить поток вектора напряжен ности магнитного поля через квадратную рамку со стороной a > R, если одна из сторон рамки совпадает с осью цилиндра. 2.7. Ток I течет по длинному прямому проводнику в форме полуцилиндри ческой поверхности радиуса R. Найти магнитную индукцию на оси данной поверхности (решение см. в [2], стр 148 ). 2.8. Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения име ется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси прово да и смещена относительно последней на расстояние . По проводу течет постоянный ток плотности . Найти магнитную индукцию внутри полости (решение см. в [2], стр 148 ). 2.9. Шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью , ~. вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью ! Найти векторный потенциал в любой точке пространства (решение см. в [1], задача 221). При решении потребуется вид векторного лапласиана 4 в сферической системе координат (см. в [3]).

j =0 j

i

j=j

j = const

j

j = const

j = const

l

j

A

 4A jr = 4Ar r22 Ar r22 @A @

2 cos  A r2 sin 



2 @A ; r2 sin  @' '

27

4A j = 4A 4A j'= 4A'

1 A + 2 @A 2 cos  @A ; r2 sin2  r2 @ r2 sin  @' 1 A + 2 @A + 2 cos  @A : r2 sin  @' r2 sin2  @' r2 sin2  

r

'

r

'



2.10. В сферических координатах компоненты вектора плотности тока в одном из возбужденных состояний атома водорода равны:

1 eh r3 exp( 2r ) sin3 ; 2 38 ma7 3a где a = h  2=me2-Боровский радиус, h -постоянная Планка, m- масса элек jr = j ; j' =

трона, e - его заряд. Найти индукцию магнитного поля в начале координат 2.11. Решить задачи, рассмотренные в упражнениях 2.4 – 2.6, 2.8 –2.10, методом, основанным на использовании закона Био-Саввара-Лапласа. 2.12. Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода 2r , где a -Боровский радиус (см. упражнение 2.10), e равна  a3 a r-расстояние от протона, e-заряд электрона. Если поместить атом во внеш нее однородное поле с индукцией , то электронное облако придет во вращение (теорема Лармора), которое создаст в пространстве объемную e плотность тока 2mc  . Определить, на какую величину изменится вектор индукции поля в центре атома? (см. задачу 173 в [1]). 2.13. Шар радиуса R заряжен равномерно с постоянной плотностью  до величины заряда Q. Одна половина шара вращается с постоянной угловой скоростью !1, а другая, с угловой скоростью !2 в противоположном направ лении. Найти магнитное поле в центре шара. 2.14. По тонкому кольцу радиуса R течет ток I . Определить вектор индук ции магнитного поля на оси кольца. (См. задачу 189 в [1]). и вектор индукции магнитного по 2.15. Найти векторный потенциал ля на больших расстояниях от шара радиуса R, заряженного с постоянной объемной плотностью , вращающегося с угловой скоростью ~! . 2.16. Ток течет по тонкой трубке в форме окружности радиуса R . Опреде лить индукцию магнитного поля на больших расстояниях от тока. Сравнить ответ с результатом, полученным в упражнении 2.3. 2.17. Два цилиндра высоты H и радиуса R заряжены с постоянной объем ной плотностью  и вращаются вокруг осей симметрии с угловыми скоростя ми ~!1 и ~!2. Оси цилиндров находятся в одной плоскости и расположены под

=

exp( )

B = const

j=

[r B]

A

28

углом  друг к другу. Найти поле, создаваемое такой системой на больших расстояниях. 2.18. Определить энергию магнитного поля тока, протекающего по цилин r. дрическому проводнику радиуса R с плотностью тока

j = j( )

Список литературы [1] Алексеев А.И. Сборник задач по классической электродинамике. -М.:,Наука,1977. -318с. [2] Иродов И.Е. Основные законы электродинамики. -М.:, Высш. шк., 1983, -279с. [3] Арфкен Г. Математические методы в физике. -М.:, Физматгиз, 1970. -712 с. [4] Джексон Дж. Классическая электродинамика. -М.:, Мир, 1965. -804с. [5] Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. -М.:, Изд-во Иностр. лит., 1958. -1054с. [6] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М., Наука, 1971. -1108 с. [7] Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. / Сборник задач по электродинами ке. -М.: Наука, 1970. -503 с. Содержание 1 МАГНИТОСТАТИКА 1.1 Система уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Векторный потенциал. Закон Био-Саввара-Лапласа. . . . . 1.3 Поле системы замкнутых токов на больших расстояниях. Маг нитный момент системы токов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Энергия и силы в магнитном поле. Энергия тока во внешнем поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2

25

УПРАЖНЕНИЯ к гл.1.

3 3 9 15

29

.

Составитель: профессор Запрягаев Сергей Александрович редактор: Тихомирова Ольга Александровна