Алгоритмы обнаружения сигналов с неизвестными параметрами: Методические указания по курсам ''Оптимальные методы различения сигналов'', ''Статистическая теория различения сигналов и оценки их параметров''

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т Ф и зи че ски й фа культе т Ка фе др а р а ди о фи зи ки

А лгори т м ы об н а руж ен и я си гн а лов с н еи звест н ы м и п а ра м ет ра м и М е то ди че ски е ука за ни я по кур са м “О пти ма льные ме то дыр а зли че ни я си гна ло в”, “Ста ти сти че ска я те о р и я р а зли че ни я си гна ло в и о це нки и хпа р а ме тр о в” д л я сту д е нто в 5 к у рса спе циал ьно сти 013800 “ Р ад ио физик а и эл е к тро ник а”и магистро в 6 к у рса направ л е ния 511500 “ Р ад ио физик а” Со ста ви л: до ц. Бе спа ло ва М .Б.

В о р о не ж 2002 г.

2

В веден и е В на сто яще е вр е мя счи та е тся о б щ е пр и зна нным, что в ста ти сти че ско й те о р и и связи сло ж и ли сь и и нте нси вно р а зви ва ю тся два о тно си те льно са мо сто яте льных на пр а вле ни я: р а зли че ни е си гна ло в на фо не по ме х, вклю ча ю щ е е ка к ча стные случа и за да чи о б на р уж е ни я си гна ло в, а та кж е фи льтр а ци я си гна ло в и з по ме х, вклю ча ю ща я о це ни ва ни е не и зме няю щ и хся во вр е ме ни па р а ме тр о в эти х си гна ло в. В ка ж до м и з эти х на пр а вле ни й р а зр а б о та ны ме то ды ка к си нте за со о тве тствую щ и х пр а ви л выб о р а р е ше ни й (а лго р и тмо в), та к и а на ли за ка че ства по луча е мых с и х по мо щ ью ста ти сти че ски х р е ше ни й. В по сле дни е 10 - 15 ле т по яви ло сь мно го р а б о т в о сно вно м в пе р и о ди че ски х и зда ни ях, в ко то р ых р а ссма тр и ва ю тся за да чи , не укла дыва ю щ и е ся в р а мки ука за нных двух на пр а вле ни й. О со б е нно стьи х со сто и тв то м, что на о сно ве о дни х и те х ж е р е зульта то в на б лю де ни й не о б хо ди мо со вме стно выне сти два р е ше ни я ука за ть о ди н и з во змо ж ных си гна ло в на б лю де ни я и о це ни ть е го па р а ме тр ы. М о ж но счи та ть, что со во купно сть р е зульта то в р е ше ни я та ки х за да ч со ста вляе т со де р ж а ни е но во го на пр а вле ни я ста ти сти че ско й те о р и и связи , по лучи вше го на зва ни е со вме стно е р а зли че ни е си гна ло в и о це ни ва ни е и х па р а ме тр о в. Это на пр а вле ни е вклю ча е тме то дыка к си нте за а лго р и тма со вме стно го р а зли че ни я – о це ни ва ни я, та к и а на ли за ка че ства по луча е мых со вме стных р е ше ни й. Ко не чно , и ме е тся глуб о ка я а на ло ги я ме ж ду ме то да ми р е ше ни я за да ч, о тно сящи хся к тр е м ука за нным на учным на пр а вле ни ям; о дна ко е сть и сущ е стве нные о со б е нно сти , ко то р ые пр и ве ли к то му, что до си х по р за да чи р а зли че ни я си гна ло в на фо не по ме х и о це ни ва ни я па р а ме тр о в р е ша ли сьр а зде льно . В ле кци о нных кур са х в си сте ма ти зи р о ва нно м ви де и зла га ю тся ме то ды р е ше ни я за да ч со вме стно го р а зли че ни я си гна ло в и о це ни ва ни я и х па р а ме тр о в на фо не по ме х. Ра ссма тр и ва ю тся ка к ста ти сти че ски й си нте з а лго р и тмо в р а зли че ни я – о це ни ва ни я, та к и а на ли з ка че ства ста ти сти че ски х р е ше ни й, фо р ми р уе мых та ки ми а лго р и тма ми . О сно вно е вни ма ни е уде ле но пр и е му ква зи де те р ми ни р о ва нных си гна ло в c по сто янными на ко не чно м и нте р ва ле вр е ме ни зна че ни ями па р а ме тр о в на фо не га уссо вско й по ме хи .

1.

О п т и м а льн ы е а лгори т м ы об н а руж ен и я

1.1. П о ста но вка за да чи . П устьна и нте р ва ле вр е ме ни [0, T ] до ступна на б лю де ни ю р е а ли за ци я случа йно го пр о це сса x (t ) , ко то р а я мо ж е т б ыть то лько шумо м (по ме хо й) n (t ) и ли ко мб и на ци е й сто ха сти че ско го си гна ла s (t ) и шума n(t ) . По на б лю да е мо й р е а ли за ци и x (t ) не о б хо ди мо выне сти

3

р е ше ни е о на ли чи и и ли о тсутстви и р е а ли за ци и сто ха сти че ско го си гна ла s (t ) в на б лю да е мых да нных. Ре ше ни е о на ли чи и и ли о тсутстви и си гна ла выно си тся в р е зульта те о б р а б о тки р е а ли за ци и на б лю да е мых да нных в со о тве тстви и с не ко то р ым а лго р и тмо м о б на р уж е ни я. Е сте стве нно , ж е ла те льно си нте зи р о ва ть а лго р и тм о б на р уж е ни я, о пти ма льный в смысле не ко то р о го кр и те р и я. За да чу о б на р уж е ни я си гна ла на фо не шума удо б но сфо р мули р о ва ть в те р ми на х пр о ве р ки ста ти сти че ски х ги по те з в си лу случа йно го ха р а кте р а на б лю да е мых да нных, си гна ла и шума . Т а к, по дле ж и тпр о ве р ке ги по те за H 0 : x (t ) = n (t ) (1.1) пр о ти в а льте р на ти вы H 1 : x (t ) = n (t ) ⊕ s (t ) . (1.2) Си мво л ⊕ о зна ча е т пр о и зво льную ко мб и на ци ю си гна ла и шума . Т е пе р ь си нте з а лго р и тма о б на р уж е ни я сво ди тся к о тыска ни ю пр а ви ла выб о р а р е ше ни я по на б лю да е мым да нным x (t ) в по льзу о дно й и з ги по те з H 0 и ли H 1 . В о спо льзуе мся в на ча ле ди скр е тным пр е дста вле ни е м на б лю да е мо го пр о це сса x (t ) , о б о зна чи в x = x(t1 )... x (tn ) - n - ме р на я выб о р ка в мо ме нты вр е ме ни tk ∈ T , где k =1,n , а T - и нте р ва л на б лю де ни я. По ла га е м, что выб о р ка x ∈ X , X - n - ме р но е выб о р о чно е пр о стр а нство на б лю да е мых да нных. Л ю б о й не р а ндо ме зи р о ва нный а лго р и тм о б на р уж е ни я пр и фи кси р о ва нно м и нте р ва ле на б лю де ни я выно си т о дно и з двух во змо ж ных р е ше ни й – ве р на ги по те за H 0 (1.1) и ли а льте р на ти ва H 1 (1.2). Сле до ва те льно , си нте з а лго р и тма о б на р уж е ни я сво ди тся к р а зб и е ни ю выб о р о чно го пр о стр а нства X на две не пе р е се ка ю щи е ся по до б ла сти X 0 и X 1 , та ки е , что X 0 ∪ X1 = X . (1.3) За те м, е сли x∈ X 0 ,

то пр и ни ма е тся р е ше ни е в по льзу ги по те зы H 0 (1.1), а е сли x∈ X 1 - то р е ше ни е в по льзу а льте р на ти вы H 1 (1.2). П р и си нте зе о пти ма льно го а лго р и тма о б на р уж е ни я р а зб и е ни е выб о р о чно го пр о стр а нства X на по до б ла сти X 0 и X 1 пр о и зво ди тся в со о тве тстви и с выб р а нным кр и те р и е м

о пти ма льно сти . 1.2. П р о ве р ка пр о стых ги по те з. П усть и ме е тся по лна я а пр и о р на я и нфо р ма ци я о си гна ле и шуме , т.е . за да но по лно е в ста ти сти че ско м смысле о пи са ни е на б лю да е мых да нных пр и о б е и х ги по те за х и и зве стны а пр и о р ные ве р о ятно сти Pi ка ж до й и з ги по те з H i , i = 0,1. В это м случа е мо ж но и спо льзо ва тькр и те р и й ми ни мума ср е дне го р и ска (б а йе со вски й

4

кр и те р и й) о пти ма льно сти о б на р уж е ни я. О пти ма льно е б а йе со вско е пр а ви ло о б на р уж е ни я о сно выва е тся на ми ни ми за ци и ср е дне го р и ска [1]

∑ P П ∫ W (x H )dx. (i , k = 0,1 ) - ма тр и ца по те р ь, а W (x H ) 1

R=

i ,k = 0

i

ik

i

(1.4)

Xk

- усло вна я пло тно сть Зде сь П ik , i ве р о ятно сти (функци я пр а вдо по до б и я) выб о р ки на б лю да е мых да нных в пр е дпо ло ж е ни и , что ве р на ги по те за H i . П о ло ж и м, ка к это о б ычно де ла е тся, что по те р и не о тр и ца те льны П ik ≥ 0 (1.5) и что не пр а ви льным р е ше ни ям со о тве тствую т по те р и б о льши е , че м пр а ви льным (1.6) П 00 < П 01 , П 11 < П 10 . У чи тыва я, что в си лу усло ви я но р ми р о вки

∫ W (x H ) dx = 1 i

X

и , и спо льзуя (1.3), мо ж е м за пи са ть

∫ W (x H ) dx = 1 − ∫ W (x H )dx , i

X1

i

(1.7)

X0

i = 0,1. П о дста вляя (1.7) в (1.4), пе р е пи ше м ср е дни й р и ск в ви де R = P0 П 01 + P1 П 11 +

∫ [P (П 1

10

− П 11 )W (x H 1 ) − P0 (П 01 − П 00 )W (x H 0 )]dx . (1.8)

X0

О тме ти м, что в си лу (1.5) и (1.6) пе р вые два сла га е мые в пр а во й ча сти (1.8) и мно ж и те ли пр и усло вных пло тно стях ве р о ятно сти по д зна ко м и нте гр а ла не о тр и ца те льны. О б о зна чи м X 0* - по до б ла сть выб о р о чно го пр о стр а нства X , для ко то р о й P1 (П 10 − П 11 )W (x H 1 ) − P0 (П 01 − П 00 )W (x H 0 ) < 0 , (1.9) а X 1* - по до б ла стьвыб о р о чно го пр о стр а нства X , для ко то р о й P1 (П 10 − П 11 )W (x H 1 ) − P0 (П 01 − П 00 )W (x H 0 ) > 0 . (1.10) Т а ки м о б р а зо м, к X 0* о тне се ны все то чки x∈ X , для ко то р ых по дынте гр а льно е выр а ж е ни е в (1.8) о тр и ца те льно . В р е зульта те р а зб и е ни е выб о р о чно го пр о стр а нства на по до б ла сти X 0* и X 1* , со гла сно (1.9) и (1.10), о б е спе чи ва е т ми ни мум ср е дне го р и ска (1.4). Ба йе со вски й а лго р и тм о б на р уж е ни я мо ж но пе р е пи са ть в б о ле е удо б но й для да льне йше го и спо льзо ва ни я фо р ме , вво дя в р а ссмо тр е ни е о тно ше ни е пр а вдо по до б и я [1,2] l [x ] = W (x H 1 ) / W (x H 0 ). (1.11) Т о гда р е ше ни е о на ли чи и си гна ла б уде тпр и ни ма ться, е сли (1.12) l [x ] > c * , где c * = P0 (П 01 − П 00 ) / P (П 10 − П 11 ).

5

О че ви дно , что на йти стр уктур у б а йе со вско го о б на р уж и те ля (1.12) по ср е дство м ми ни ми за ци и (1.4) мо ж но ли шь пр и на ли чи и до во льно б о льшо го чи сла а пр и о р ных све де ни й. Д о лж ны б ыть за да ны ма тр и ца по те р ь, а пр и о р ные ве р о ятно сти на ли чи я и о тсутстви я си гна ла и шума и спо со б и х ко мб и на ци и , о пр е де ляю щи е функци ю и ли о тно ше ни е пр а вдо по до б и я. П о это му в за да ча х о б на р уж е ни я на хо дят пр и ме не ни е кр и те р и и о пти ма льно сти , о тли чные о тб а йе со вско го . Т а к, пр и не и зве стных а пр и о р ных ве р о ятно стях на ли чи я и о тсутстви я си гна ла мо ж е т б ыть и спо льзо ва н ми ни ма ксный кр и те р и й. М и ни ма ксный а лго р и тм о б на р уж е ни я пр е дста вляе т со б о й ча стный случа й б а йе со вско го а лго р и тма для на и ме не е пр е дпо чти те льных зна че ни й а пр и о р ных ве р о ятно сте й P0* и P1* , пр и ко то р ых б а йе со вски й (ми ни ма льный) ср е дни й р и ск R ( P0* , P1* )≥ R ( P0 , P1 ) пр и лю б ых P0 + P1 = 1 . О тме ти м, что ми ни ма ксный по дхо д мо ж е т б ыть и спо льзо ва н и пр и др уги х фо р ма х а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти . Ко гда и зве стны а пр и о р ные ве р о ятно сти P0 и P1 , но не и зве стна ма тр и ца по те р ь, мо ж е тб ыть и спо льзо ва н кр и те р и й ма кси мума а по сте р и о р но й ве р о ятно сти . В со о тве тстви и с эти м кр и те р и е м р е ше ни е выно си тся в по льзу ги по те зы, ко то р а я о б ла да е т ма кси ма льно й а по сте р и о р но й ве р о ятно стью P[H i x ] = Pi W (x H i )[P0 W (x H 0 ) + P1W (x H 1 )] , i = 0,1. −1

Кр о ме пе р е чи сле нных кр и те р и е в о б на р уж е ни я ши р о ко е пр и ме не ни е на хо ди т кр и те р и й Н е йма на - П и р со на [1,2]. Д ля это го кр и те р и я фи кси р уе тся ве р о ятно стьло ж но й тр е во ги (1.13) α = ∫ W (x H 0 )dx X1

и ми ни ми зи р уе тся ве р о ятно стьпр о пуска си гна ла β = ∫ W (x H 1 )dx.

(1.14)

X0

Кр и те р и й Н е йма на - П и р со на не тр е б уе тзна ни я а пр и о р ныхве р о ятно сте й на ли чи я и о тсутстви я си гна ла , а та кж е ма тр и цыпо те р ь. В се а лго р и тмы о б на р уж е ни я, о пти ма льные в смысле пе р е чи сле нных кр и те р и е в, сво дятся к вычи сле ни ю о тно ше ни я пр а вдо по до б и я (1.11) по выб о р ке на б лю да е мыхда нных и по сле дую ще му ср а вне ни ю е го с по р о го м, а на ло ги чно (1.12). Д ля кр и те р и я ма кси мума а по сте р и о р но й ве р о ятно сти по р о г р а ве н о тно ше ни ю а пр и о р ных ве р о ятно сте й P0 / P1 , а для кр и те р и я Н е йма на - П и р со на по р о г cα выб и р а е тся и з усло ви я о б е спе че ни я тр е б уе мо го зна че ни я ве р о ятно сти ло ж но й тр е во ги (1.13). Т а ки м о б р а зо м, си нте з о б на р уж и те ля, о пти ма льно го в смысле лю б о го и з упо мянутых кр и те р и е в, тр е б уе т, ка к ми ни мум, на ли чи я а пр и о р ных да нных, по зво ляю щи хпо стр о и тьфункци и пр а вдо по до б и я W (x H 1 ) и W (x H 0 ) и ли о тно ше ни е пр а вдо по до б и я (1.11) . Бо ле е по др о б ный о б зо р пр и ве де нных зде сьи др уги х кр и те р и е в о пти ма льно сти о б на р уж е ни я мо ж но на йти в [1,2,4] .

6

Ра не е пр е дпо ла га ло сь, что о б р а б а тыва е тся ди скр е тна я выб о р ка x и з р е а ли за ци и а на ло го во го случа йно го пр о це сса x (t ) . Это по зво ляе т ли шь пр и б ли ж е нно пр е дста ви ть случа йный пр о це сс. Е сли ж е для о б на р уж е ни я и спо льзуе тся р е а ли за ци я x (t ) (а не ди скр е тна я выб о р ка x ), то с по р о го м ср а вни ва е тся функци о на л о тно ше ни я пр а вдо по до б и я (Ф О П ) [1,2,4] l = l [x (t )] = lim l [x ] n→∞

max t i +1 − t i → 0

Ч а сто о ка зыва е тся б о ле е удо б ным и спо льзо ва тьло га р и фм Ф О П ср а вни ва я е го с по р о го м кр и те р и е м о пти ма льно сти .

L = ln l [x (t )] , c = ln C , где

C

(1.15) о пр е де ляе тся выб р а нным

1.3. П р о ве р ка сло ж ных ги по те з. За да ча о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го си гна ла , все ста ти сти че ски е ха р а кте р и сти ки ко то р о го а пр и о р и и зве стны, встр е ча е тся ве сьма р е дко . Ре а льные усло ви я пр и е ма си гна ла на фо не шума , ка к пр а ви ло , пр и во дят к не о б хо ди мо сти р е ше ни я за да чи о б на р уж е ни я в усло ви ях а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти . А пр и о р на я не о пр е де ле нно сть о тно си те льно си гна ла и шума мо ж е ти ме ть р а зли чную фо р му. Со о тве тстве нно , ве сьма р а зно о б р а зным о ка зыва ю тся ме то ды пр е о до ле ни я а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти [1,2,4] . Ра ссмо тр и м случа й па р а ме тр и че ско й а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти о тно си те льно о б на р уж и ва е мо го сто ха сти че ско го си гна ла . П о ло ж и м, что по лно е ста ти сти че ско е о пи са ни е си гна ла и зве стно с то чно стью до не и зве стных па р а ме тр о в θ = θ 1 ⋅ ⋅ ⋅θ m , по сто янных в те че ни е и нте р ва ла на б лю де ни я [0, T ] и р а спр е де ле нных с пло тно стью ве р о ятно сти W (θ H 1 ) в о б ла сти θ ∈Θ . П р и и зве стно й а пр и о р но й пло тно сти ве р о ятно сти W (θ H 1 ) не и зве стных па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла и спо льзуе м кла сси че ски й б а йе со вски й по дхо д. То гда не тр удно на йти а лго р и тм о б на р уж е ни я, о пти ма льный в смысле ка ко го ли б о и з р а ссмо тр е нных в пункте 1.2 кр и те р и е в. Д е йстви те льно , за пи са в ср е дни й р и ск пр и не и зве стных случа йных па р а ме тр а х сто ха сти че ско го си гна ла , о пять пр и хо ди м к фо р муле (1.4), куда на до по дста ви тьфункци ю пр а вдо по до б и я (1.16) W (x H 1 ) = ∫ W (x θ , H 1 )W (θ H 1 )dθ . Θ

Зде сь W (x θ , H 1 ) - усло вна я пло тно сть ве р о ятно сти выб о р ки в пр е дпо ло ж е ни и , что си гна л пр и сутствуе т и е го не и зве стные па р а ме тр ы пр и няли зна че ни е θ . Та ки м о б р а зо м, уср е дне ни е в (1.16) и склю ча е т случа йные па р а ме тр ы и де ла е т ги по те зу H 1 пр о сто й. По вто р яя да ле е выкла дки п.1.2, по луча е м, что о пти ма льный о б на р уж и те ль сто ха сти че ско го си гна ла до лж е н вме сто (1.15) выр а б а тыва ть ло га р и фм уср е дне нно го Ф О П

7

L = ln ∫ exp [L(θ )]W (θ H 1 )dθ

(1.17)

Θ

и ср а вни ва тье го с по р о го м c . Зде сь

L(θ ) = ln l (θ )

(1.18)

- ло га р и фм, а l (θ ) = lim n →∞

W (x θ , H 1 ) W (x H 0 )

(1.19)

max t i +1 − t i → 0

- Ф О П сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми θ . П е р е йде м к случа ю , ко гда и ме е т ме сто па р а ме тр и че ска я а пр и о р на я не о пр е де ле нно сть не то лько о тно си те льно о б на р уж и ва е мо го сто ха сти че ско го си гна ла , но и о тно си те льно по ме хи . П усть по дле ж и т пр о ве р ке сло ж на я ги по те за H 01 : x (t ) = n (t ) ⊕n1 (t ) (1.20) пр о ти в сло ж но й а льте р на ти вы (1.21) H 11 : x (t ) =n (t )⊕ n1 (t )⊕ s(t ). Зде сь n(t ) , ка к и в (1.1) , (1.2) – шум, по лно е ста ти сти че ско е о пи са ни е ко то р о го а пр и о р и и зве стно ; n1 (t ) - по ме ха , ста ти сти че ско е о пи са ни е ко то р о й и зве стно с то чно стью до m1 па р а ме тр о в v = v1 ⋅ ⋅ ⋅ v m1 , s(t ) сто ха сти че ски й си гна л, по лно е ста ти сти че ско е о пи са ни е ко то р о го и зве стно с то чно стью до па р а ме тр о в θ ∈Θ . По ло ж и м, что не и зве стные па р а ме тр ы по ме хи v р а спр е де ле ны с а пр и о р но й пло тно стью ве р о ятно сти W (v H i1 ) в о б ла сти v∈V , ко гда ве р на ги по те за H i1 (i = 0,1) . Буде м счи та ть, что не и зве стные па р а ме тр ы по ме хи и сто ха сти че ско го си гна ла ста ти сти че ски не за ви си мы, пр и че м по сле дни е р а спр е де ле ны с а пр и о р но й W (θ H 11 ) пло тно стью ве р о ятно сти в о б ла сти θ ∈Θ . П р и и зве стных а пр и о р ных пло тно стях ве р о ятно сти па р а ме тр о в си гна ла и по ме хи о пять и спо льзуе м кла сси че ски й б а йе со вски й по дхо д. То гда не тр удно на йти а лго р и тм о б на р уж е ни я, о пти ма льный в смысле ка ко го - ли б о и з кр и те р и е в, р а ссмо тр е нных в п.1.2. Д е йстви те льно , за пи са в ср е дни й р и ск пр и пр о ве р ке ги по те з (1.20 ) и (1.21), о пять пр и хо ди м к выр а ж е ни ю (1.4), куда сле дуе т по дста ви тьфункци и пр а вдо по до б и я (1.22) W (x H 11 ) = ∫ ∫ W (x θ , v, H 11 )W (θ H 11 )W (v H 11 )dθ dv, Θ V

W (x H 01 ) = ∫ W (x v, H 01 )W (v H 01 )dv . V

(1.23)

Зде сь W (x θ , v, H 11 ) - усло вна я пло тно сть ве р о ятно сти выб о р ки в пр е дло ж е ни и , что ве р на ги по те за (1.21), а не и зве стные па р а ме тр ы си гна ла и по ме хи и ме ю т зна че ни я θ и v со о тве тстве нно ; W (x v,H 01 ) - усло вна я пло тно стьве р о ятно сти выб о р ки в пр е дло ж е ни и , что ве р на ги по те за (1.20),

8

а не и зве стные па р а ме тр ы по ме хи пр и няли зна че ни е v . О че ви дно , уср е дне ни е в (1.22), (1.23) и склю ча е т не и зве стные па р а ме тр ы си гна ла и по ме хи и де ла е т пр о ве р яе мые ги по те зы пр о стыми . П о вто р яя да ле е выкла дки п.1.2, по луча е м, что о пти ма льный о б на р уж и те ль пр и не и зве стных па р а ме тр а х си гна ла и по ме хи до лж е н вме сто (1.11) выр а б а тыва тьо тно ше ни е пр а вдо по до б и я ви да

∫ ∫ W (x θ ,v,H )W (θ H )W (v H )dθ dv l [x ]= . ( ) ( ) W x v H W v H dv , ∫ 11

11

11

Θ V

01

(1.24)

01

V

Ч то б ыпр е дста ви ть(1.24) в б о ле е удо б но й фо р ме , о б о зна чи м l1 [x ] = W (x θ , v , H 11 )/W (x H 0 ) , l 0 [x ] = W (x v, H 01 )/W (x H 0 ) .

Зде сь W (x H 0 ) - усло вна я пло тно сть ве р о ятно сти выб о р ки на б лю да е мых да нных в пр е дло ж е ни и , что ве р на ги по те за H 0 (1.1) . Т е пе р ь (1.24) пе р е пи ше тся ка к

∫ ∫ l [x ]W (θ H )W (v H )dθ dv l [x ] = ∫ l [x ]W (v H )dv 1

11

11

Θ V

0

.

(1.25)

01

V

П е р е хо дя в (1.25) к пр е де лу пр и n → ∞ , max ti +1 − ti → 0 , по луча е м, что для о б на р уж е ни я по не пр е р ывно й р е а ли за ци и x (t ) о пти ма льный о б на р уж и те льдо лж е н выр а б а тыва тьуср е дне нный ло га р и фм Ф О П ви да (1.26) L10 = L1 − L0 , где

∫ exp [L (θ , v )]W (θ H )W (v H )dθ dv , L = ln ∫ exp[L (v )]W (v H )dv ,

L1 = ln ∫

1

11

11

Θ V 0

0

01

(1.27)

V

L1 (θ , v ) = ln l1 (θ ,v ), L0 (v ) = ln l 0 (v ) , l 1(θ , v ) = lim l 1 [x ], l 0 (v ) = lim l 0 [x ]

пр и n → ∞ и max t i +1 − ti → 0 . Ре ше ни е о на ли чи и си гна ла пр и ни ма е тся, е сли уср е дне нный ло га р и фм Ф О П (1.26) пр е выша е т по р о г c , о пр е де ляе мый выб р а нным кр и те р и е м о пти ма льно сти . Кла сси че ски й б а йе со вски й по дхо д, пр и ме не нный зде сь для пр е о до ле ни я па р а ме тр и че ско й а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти о тно си те льно сто ха сти че ско го си гна ла и по ме хи , о б ла да е т и зве стными не до ста тка ми . В о -пе р вых, да ле ко не все гда мо ж е т б ыть о б о сно ва на ко нце пци я случа йно сти не и зве стных па р а ме тр о в, сле до ва те льно , не все гда сущ е ствую т и ли мо гут б ыть о б о сно ва но пр е дло ж е ны а пр и о р ные р а спр е де ле ни я не и зве стных па р а ме тр о в; во -вто р ых, да ж е е сли ко нце пци я случа йно сти не и зве стных па р а ме тр о в о б о сно ва на , и х а пр и о р ные

9

р а спр е де ле ни я ча ще все го не и зве стны; в тр е тьи х, да ж е пр и и зве стных а пр и о р ных р а спр е де ле ни ях не и зве стных па р а ме тр о в б а йе со вски й по дхо д не все гда мо ж е т б ыть пр и ме не н, та к ка к во зни ка ю т тр удно сти в выпо лне ни и и нте гр и р о ва ни я по не и зве стны па р а ме тр а м (ка к а на ли ти че ски , та к и а ппа р а тур но ); в-че тве р тых, суще стве нные тр удно сти вызыва е та на ли з б а йе со вски х о б на р уж и те ле й, т.е . о пр е де ле ни е и х р а б о чи х ха р а кте р и сти к. О тме ти м, что в ка че стве р а б о чи х ха р а кте р и сти к а лго р и тма о б на р уж е ни я (в за ви си мо сти о т выб о р а кр и те р и я о пти ма льно сти ) мо гут и спо льзо ва ться за ви си мо сти ср е дне го р и ска (1.4) и ли ве р о ятно сте й ло ж но й тр е во ги (1.13) и пр о пуска си гна ла (1.14) о ти схо дных па р а ме тр о в си гна ла и шума . Ч а щ е все го ка че ство о б на р уж е ни я ха р а кте р и зую т ве р о ятно стями о ши б о чных р е ше ни й (1.13) и (1.14). Д е йстви те льно , ср е дни й р и ск все гда мо ж но выр а зи ть че р е з эти ве р о ятно сти [1,2] . Кр о ме то го , для и х р а сче та не т не о б хо ди мо сти в зна ни и а пр и о р ных ве р о ятно сте й на ли чи я и о тсутстви я си гна ла и в за да ни и ма тр и цы по те р ь, что не о б хо ди мо для р а сче та ср е дне го р и ска (1.4). 2. О б н а руж ен и е п о м ет оду м а кси м а льн ого п ра вдоп одоб и я 2.1. В р яде за да ч пр е о до ле ни е па р а ме тр и че ско й а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти на о сно ве кла сси че ско го б а йе со вско го по дхо да не це ле со о б р а зно и ли не во змо ж но . Т о гда и спо льзую т др уги е по дхо ды, ср е ди ко то р ых за ме тно е ме сто за ни ма е т а да пти вный по дхо д [1,2] . Ра ссмо тр и м е го суть на пр и ме р е о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми . Е сли а пр и о р но е р а спр е де ле ни е не и зве стных па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла и зве стно , то о пти ма льный о б на р уж и те ль до лж е н выр а б а тыва ть ло га р и фм уср е дне нно го Ф О П (1.17). Ра ссмо тр и м и зме не ни е стр уктур ы о б на р уж и те ля (1.17), е сли а пр и о р и то чно и зве стно и сти нно е зна че ни е па р а ме тр о в θ 0 . В это м случа е а пр и о р на я пло тно сть ве р о ятно сти па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла выр о ж да е тся в де льта – функци ю и пр и ни ма е тви д W (θ H 1 ) = δ (θ − θ 0 ) . (2.1) П о дста вляя (2.1) в (1.17) и выпо лняя и нте гр и р о ва ни е , по луча е м стр уктур у о пти ма льно го о б на р уж и те ля сто ха сти че ско го си гна ла с а пр и о р и и зве стными па р а ме тр а ми . Это т о б на р уж и те ль до лж е н выр а б а тыва ть ве ли чи ну (2.2) Lθ = L(θ 0 ) , где L(θ ) - ло га р и фм Ф О П (1.18). Ре ше ни е о на ли чи и и ли о тсутстви и сто ха сти че ско го си гна ла пр и ни ма е тся в р е зульта те ср а вне ни я (2.2) с по р о го м c , о пр е де ляе мым выб р а нным кр и те р и е м о пти ма льно сти . А да пти вный по дхо д к о б на р уж е ни ю си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми за клю ча е тся в то м, что пр и не зна ни и и сти нно го зна че ни я па р а ме тр о в си гна ла θ 0 , для пр и б ли ж е нно го о пр е де ле ни я (2.2), в (1.18) 0

10

по дста вляю твме сто θ 0 не ко то р ую о це нку не и зве стных па р а ме тр о в. Та ки м о б р а зо м, а да пта ци я за клю ча е тся в за ме не не и зве стно го и сти нно го зна че ни я па р а ме тр о в θ 0 в (2.2) на р е зульта ти х и зме р е ни я (о це нку). И та к, ~ - не ко то р а я о це нка θ 0 , то а да пти вный о б на р уж и те ль е сли θ ∈Θ выр а б а тыва е тве ли чи ну ~ L θ~ = L(θ ) (2.3) ~

и ср а вни ва е те е с по р о го м c . О це нка θ мо ж е то пр е де ляться в р е зульта те не ко то р ых пр е два р и те льных на б лю де ни й сме си си гна ла и по ме хи , а мо ж е т о пр е де ляться по то й ж е р е а ли за ци и x (t ) , по ко то р о й пр о и зво ди тся о б на р уж е ни е . О гр а ни чи мся р а ссмо тр е ни е м по сле дне го случа я. Сущ е ствуе т р яд ме то до в о це ни ва ни я па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла [3,4] . Ср е ди ни х о дни м и з на и б о ле е р а спр о стр а не нных и ши р о ко и спо льзуе мых являе тся ме то д ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я. Сво йства м по луча е мых эти м ме то до м о це но к ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я (О М П ) по свяще на о б ши р на я ли те р а тур а , на чи на я с р а нни х р а б о тпо кла сси че ско й ма те ма ти че ско й ста ти сти ке . Со гла сно о пр е де ле ни ю , О М П не и зве стных па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла о пр е де ляе тся со о тно ше ни е м ∧

θ = arg sup L(θ ) θ ∈Θ

(2.4)

О тсю да сле дуе т, что для по луче ни я О М П до ста то чно зна тьло га р и фм Ф О П (1.8) и о б ла сть во змо ж ных зна че ни й не и зве стных па р а ме тр о в Θ . О це нки ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я мо ж но , в о тли чи е о т б а йе со вски х о це но к, и спо льзо ва ть, ко гда па р а ме тр ы хо тя и не и зве стны, но и не случа йны. П е р е чи сли м кр а тко не ко то р ые по ле зные сво йства О М П: о на со впа да е т с эффе кти вно й (и ме ю щ е й на и ме ньше е р а ссе яни е ) о це нко й, е сли по сле дняя сущ е ствуе т; с р о сто м а по сте р и о р но й то чно сти О М П схо ди тся к и сти нно му зна че ни ю о це ни ва е мо го па р а ме тр а и ча сто являе тся а си мпто ти че ски эффе кти вно й и а си мпто ти че ски га уссо вско й; О М П являе тся а си мпто ти че ски б а йе со вско й для ши р о ко го кла сса функци е й по те р ь и а пр и о р ных р а спр е де ле ни й; О М П и нва р и а нтна к вза и мно о дно зна чно му б е зыне р ци о нно му пр е о б р а зо ва ни ю ло га р и фма Ф О П (1.18), что в р яде за да ч сущ е стве нно о б ле гча е т те хни че скую р е а ли за ци ю о це нки ; а на ли ти че ско е о пр е де ле ни е ка че ства О М П связа но , ка к пр а ви ло , с ме ньши ми ма те ма ти че ски ми тр удно стями , че м пр и и спо льзо ва ни и др уги х ме то до в о це нки . П е р е чи сле нные зде сьи б о ле е ча стные до сто и нства ме то да ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я о б усло ви ли е го ши р о ко е пр и ме не ни е в за да ча х о б на р уж е ни я и о це нки . У чи тыва я высо ки е до сто и нства О М П, а та кж е уни ве р са льно сть и о тно си те льную пр о сто ту ме то да ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я, б ла го да р я ко то р ым мо гут б ыть р а зр а б о та ны до во льно ∧

пр о стые пр о це дур ыпо луче ни я О М П θ (2.4), о гр а ни чи мся и спо льзо ва ни е м О М П пр и си нте зе а да пти вно го о б на р уж и те ля сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми .

11

И та к, а лго р и тм ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я (А М П ) о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми по луча е м, за ме няя в ∧

~

(2.3) о це нку θ на О М П θ . У чи тыва я (2.4), на хо ди м, что А М П фо р ми р уе т ве ли чи ну ∧

L =sup L (θ )

(2.5)

θ ∈Θ

и пр и ни ма е тр е ше ни е , ср а вни ва я (2.5) с по р о го м c . В не ко то р ых случа ях р е а ли за ци я пр о це дур ы о тыска ни я ма кси мума ло га р и фма Ф О П в (2.5) на та лки ва е тся на а на ли ти че ски е и ли а ппа р а тур ные тр удно сти . Кр о ме то го , во змо ж ны си туа ци и , ко гда о тсутствуе т до сто ве р на я и нфо р ма ци я о р а зме р а х о б ла сти во змо ж ных зна че ни й не и зве стных па р а ме тр о в Θ . В эти х и не ко то р ых др уги х случа ях мо ж е т о ка за ться по ле зным выр о ж де нный ва р и а нт а да пти вно го о б на р уж и те ля – ква зи пр а вдо по до б ный о б на р уж и те ль (КП О ). Это т о б на р уж и те ль фо р ми р уе тло га р и фм Ф О П (1.18) в не ко то р о й фи кси р о ва нно й то чке θ * ∈Θ L* = L(θ * ) (2.6) * и пр и ни ма е т р е ше ни е , ср а вни ва я L с по р о го м c . Это т а лго р и тм ∧

о б на р уж е ни я пе р е хо ди тв А М П, е сли по ло ж и тьθ * = θ (2.4). О че ви дным о б р а зо м (2.5) и (2.6) о б о б ща ю тся на случа й о б на р уж е ни я пр и не и зве стных па р а ме тр а х сто ха сти че ско го си гна ла и по ме хи . Д ля это го по дста ви м в (1.27) О М П не и зве стныхпа р а ме тр о в. θ∧ , v∧  = arg sup L (θ , v )   1   θ ∈Θ, v ∈V

(2.7)

- пр и ги по те зе H 11 (1.21) и ∧

v 0 = arg sup L 0 (v ) v ∈V

(2.8)

- пр и ги по те зе H 01 (1.20). П о дста вляя за те м р е зульта тв (1.26) вме сто L 1 и L 0 , на хо ди м, что А М П о б на р уж е ни я пр и не и зве стных па р а ме тр а х сто ха сти че ско го си гна ла и по ме хи до лж е н выр а б а тыва тьве ли чи ну ∧

L 10 =

sup L 1 (θ ,v ) − sup L 0 (v )

θ ∈ Θ , v ∈V

v ∈V

(2.9)

и ср а вни ва тье е с по р о го м c . А на ло ги чным о б р а зо м по луча е м, что КП О в это м случа е выр а б а тыва е тве ли чи ну * L 10 = L 1 (θ *,v * ) − L 0 (v * ) , (2.10) * * где θ , v - не ко то р ые фи кси р о ва нные зна че ни я не и зве стных па р а ме тр о в си гна ла и по ме хи . Си нте зи р о ва нные А М П о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми (2.5) и (2.9), стр о го го во р я, не являю тся о пти ма льными в смысле ка ко го - ли б о о б ще пр и зна нно го кр и те р и я. Те м не ме не е , эти А М П о б ла да ю тр ядо м по ле зных сво йств. И ме нно : (2.5) и (2.9) являю тся функци ями до ста то чных ста ти сти к, е сли о ни суще ствую т; фо р ми р уе мые А М П си гна лыявляю тся та кж е ми ни ма льно до ста то чными

12

ста ти сти ка ми ; А М П о б ла да е тхо р о ши ми а си мпто ти че ски ми сво йства ми – по ме р е уве ли че ни я а по сте р и о р но й то чно сти О М П (2.4), (2.7), (2.8), А М П схо ди тся к б а йе со вско му о б на р уж и те лю для ши р о ко го кла сса сто ха сти че ски х си гна ло в и и х па р а ме тр о в. Стр уктур а А М П о тно си те льно пр о ста с то чки зр е ни я те хни че ско й р е а ли за ци и . Кр о ме то го , а на ли з А М П , т.е . о пр е де ле ни е ка че ства функци о ни р о ва ни я о б на р уж и те ля, связа н с ме ньши ми ма те ма ти че ски ми тр удно стями , че м а на ли з о пти ма льных о б на р уж и те ле й. Е сте стве нно , для р е ше ни я во пр о са о це ле со о б р а зно сти пр и ме не ни я А М П не о б хо ди мо о пр е де ли ть е го ха р а кте р и сти ки . О ко нча те льный выб о р ме ж ду А М П , о пти ма льным о б на р уж и те ле м и КП О о че ви дно за ви си т о т и ме ю щ е йся а пр и о р но й и нфо р ма ци и , а та кж е о т тр е б о ва ни й, пр е дъ являе мых к ка че ству функци о ни р о ва ни я и к сте пе ни пр о сто тые го те хни че ско й р е а ли за ци и .

Ли т ера т ура 1. В а н Тр и с Г. Т е о р и я о б на р уж е ни я, о це но к и мо дуляци и / П е р .с а нгл. по д р е д. В .Н .Ти хо но ва -М .: Со в. Ра ди о , 1972.-Т .1-744 с. 2. Т е о р и я о б на р уж е ни я си гна ло в-М .: Ра ди о и связь, 1984.-440 с. 3. Кули ко в Е .И ., Тр и фо но в А .П . О це нка па р а ме тр о в си гна ло в на фо не по ме х-М .: Со в.Ра ди о , 1978.-296 с. 4. Т р и фо но в А .П., Ш и на ко в Ю .С. Со вме стно е р а зли че ни е си гна ло в и о це нка и х па р а ме тр о в на фо не по ме х-М .: Ра ди о и связь, 1986.-264 с.

Со ста ви те ль Бе спа ло ва М а р и на Бо р и со вна Ре да кто р Т и хо ми р о ва О .А .