Сибирский математический журнал Май—июнь, 2003. Том 44, № 3
УДК 517.5
О ХАРАКТЕРИСТИКАХ ТИПА BM O ОДНОГО КЛАССА ГОЛОМОРФНЫХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ Р. Ф. Шамоян
Аннотация: Приведены различные характеристики типа BM O для класса голоморфных функций со смешанной нормой. Даны критерии принадлежности произведений Бляшке аналитическим пространствам Бесова. Ключевые слова: Классы Бесова, произведение Бляшке, дифференциальные операторы, характеристики типа BMO классов, аналитические мультипликаторы
Введение Пусть D — единичный круг на комплексной плоскости C : D = {z : |z| < 1}, T = {z : |z| = 1} — его граница, H(D) — класс всех голоморфных в D функций. Известно (см. [1] или [2]), что аналитические пространства Бесоs s ва ABp,q (D) — подпространства классов Бесова Bp,q — допускают следующее n R1 s s (D) ∩ H p (D) = f ∈ H(D) : kf kqp,q,s = Mpq (f 0 , r)(1 − (D) = Bp,q описание: ABp,q 0 o q(1−s)−1 P r) dr < ∞, 0 < p, q < ∞, 0 < s < 1 , где H (D) — класс Харди в R круге D, Mpp (F, R) = |F (Rξ)|p dm(ξ), F ∈ H(D), 0 < p < ∞, с естественными T
модификациями при q = ∞ или p = ∞ (см., например, [3]). В недавно появившихся работах [4, 5] были получены характеризациитипа s BM O пространств ABp,q (D) при 1 ≤ σ ≤ p < ∞, 0 < q < ∞, s ∈ 0, σ1 , где σ — параметр (в [4] при p = q = 2, в [5] при p = q = ∞). Одна из основных целей данной работы — получить при некоторых ограничениях на p, q, α описания типа BM O пространств Hβp,q,α . Свойства классов Hβp,q,α , совпадающих при β = 0, p = q с известными пространствами Бергмана — Джрбашяна Apα , изучались многими авторами (см., например, [6]). Следует отметить, что многие пространства коэффициентных мультипликаторов, действующих из одного класса голоморфных в круге функций в другой, описываются в терминах именно этих классов (см., например, [6–9]). Легко заметить, что пространства Hβp,q,α s сводятся к аналитическим пространствам Бесова ABp,q . В § 1 будут указаны также характеризации типа BM O для классов Hβp,q,α , отличные от приведенных в [3, 4]. Отметим, что поиск эквивалентных квазинорм (норм) или характеризация посредством различных специальных функций тех или иных функциональных пространств на Rn — хорошо известная задача (см. [10]). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01–01–00992).
c 2003 Шамоян Р. Ф.
О характеристиках типа ВМО одного класса
687
О дальнейшей структуре работы можно сказать следующее. В § 2 рассмотрим случай p = q = ∞, а также, опираясь на утверждение о характериs стике типа BM O для пространства ABp,q , установленное в работе [3], получим критерии (необходимые и достаточные условия) на произведения Бляшке s B(z) = B(z{zk }) (см. [11]) такие, что B(z{zk }) ∈ ABp,q (D). Наконец, в § 3 устанавливаются условия на произведения B(z) (необходимые и достаточные, к примеру, в терминах нулей {zk }∞ k=1 ), при выполнении которых оператор свертки TB : Z √ √ 1 (TB f )(rt) = B(ξ¯ r)f ( rtξ) dm(ξ), r ∈ I, t ∈ T, 2π T
действует ограниченно из пространства BM OA(D) = BM O(T ) ∩ H 2 (D). Отметим, что в случае, когда g — произвольная аналитическая функция, ограниченность оператора T g устанавливалась в работах многих авторов (см. [7, 8] и указанную там литературу). Доказательства всех вспомогательных утверждений, которые используются нами при установлении основных результатов данной работы, приведены в последнем § 4. Автор благодарен рецензенту за ряд ценных замечаний, позволивших улучшить изложение. § 1. О характеристиках типа BM O для классов HÜp,q,Û (D) при p ≤ ë Для формулировки результатов параграфа введем классы Hβp,q,α голоморфных в круге D функций: ( Z1 p,q,α q e β f, r)(1 − r)α dr < ∞, Hβ (D) = f ∈ H(D) : kf kH p,q,α = Mpq (D β
0
) 0 < p, q < ∞, β > 0, α > −1 , e β — дифференциальный оператор: где D e β : H(D) → H(D), D
e β f )(z) = (D
X (k + β + 1)ak z k k≥0
f (z) =
X
ak z k ,
(k + 1) (β + 1)
e −β : H(D) → H(D), D
, β > 0,
e −β D e β f )(z) = f (z). (D
k≥0
Легко видеть, что шкала пространств Hβp,q,α содержит, в частности, аналитичеs s ские классы Бесова ABp,q (D), точнее, Hβp,q,α сводятся к классам ABp,q (D). При 1 ≤ σ ≤ p в [3] была получена характеризация типа BM O классов s ABp,q (D). В следующей теореме эта задача решается при p ≤ σ в пространствах p,q,α Hβ (D). Теорема 1. Пусть q ∈ H σ (D) и 1 1 + > 1, α > 1; p σ α+1 1 1 α+1 1 2 α+1 max 2q − 1, +2− − , +1+ − <β< +1 q p σ q p σ q g ≤ p,
1 ≤ p ≤ σ < 2p,
(S1 )
688
Р. Ф. Шамоян
или
1 2 2 q ≤ p, < p ≤ 1 ≤ σ < 2p, α > 1 + − , 2 p σ α+1 1 2 α+1 σ +1+ − <β< + 1. max σ, − 1, p q p σ q Тогда следующие условия равносильны: 1) g ∈ Hβp,q,α (D); Z1 Z Z 2) S = 0
T
(S2 )
q/p p/σ |g(ξ) − g(z)|σ dm(ϕ) dm(ξ) ¯ β+1 |1 − ξz|
T
× (1 − |z|)qβ(1/σ−1)+α d|z| < ∞,
z = |z|ϕ. (1.1)
Замечание. Условие (1.1) с параметром σ, дающее характеризации типа s BM O для классов Hβp,q,α ABp,q для p ≤ σ, совпадает с условием, дающим s при σ ≤ p, полуописание типа BM O для аналитических классов Бесова ABp,q ченным в [3] при частных значениях параметров α и β. Доказательство теоремы 1. 2) ⇒ 1). Из интегральной формулы Коши выводим, что Z Z (g(ξ) − g(z)) |g(ξ) − g(z)| β e . |D g(z) . dm(ξ). dm(ξ) (1 − ξ z¯)β+1 |1 − ξz|β+1 T
T
Далее, воспользовавшись неравенством Г¨ельдера, получим (β > 0, σ > 1) 1/σ Z 1/σ0 Z |g(ξ) − g(z)|σ dm(ξ) β e |D g(z)| . dm(ξ) ¯ β+1 ¯ β+1 |1 − ξz| |1 − ξz| T
T
Z .
1/σ |g(ξ) − g(z)|σ dm(ξ) (1 − |z|)β(1/σ−1) . (1.2) ¯ β+1 |1 − ξz|
T
Здесь и в дальнейшем запись A . B означает, что существует положительная константа c такая, что A ≤ cB, через c, c1 , c(α), c(p, q) мы будем обозначать константы, зависящие от α, p, q, β, и т. д. Из (1.2) легко вывести оценку Z1
e β g, |z|)(1 − |z|)α d|z| . S, Mpq (D
z = |z|ϕ.
0
Допустим, что выполнена цепочка неравенств (S1 ). Докажем обратную импликацию 1) ⇒ 2). Учитывая легко проверяемые равенства Z1 g(ξ) = c(α)
e α+1
D
α
g(ρξ)(1−ρ) dρ, α > −1,
0
Z1 g(z) = c(α)
e α+1 g(ρz)(1−ρ)α dρ, D
0
получаем Z1 |g(ξ) − g(z)| . 0
e α+1 g(ρ2 ξ) − D e α+1 g(ρ2 z)|ρ dρ. (1 − ρ2 )α |D
(1.3)
О характеристиках типа ВМО одного класса
689
Очевидно, что Z e α+1 e −1 ¯ D D g(ρϕ) α+1 2 e dm(ϕ) , D g(ρ ξ) = c˜1 (α) (1 − ρξϕ)2 T
Z e α+1 e −1 D D g(ρϕ) α+1 2 e D g(ρ z) = c˜1 (α) dm(ϕ) , (1 − ρϕz)2
ξ ∈ T, z ∈ D.
T
Поэтому e α+1 g(ρ2 ξ)−D e α+1 g(ρ2 z)| . |D
Z
¯ e α+1 D e −1 g(ρϕ)| |1 − ξz| |D (|1−ρξϕ|+|1−ρϕz|) dm(ϕ), 2 2 |1 − ρξϕ| |1 − ρϕz|
T
(1.4) где e −1 (Dg)(z) e e −1 g)(z) = D = g(z) : (D
X k≥0
1 ak z k , k+1
g(z) =
X
ak z k , g ∈ H(D).
k≥0
Из (1.3) и (1.4) вытекает, что Z1 |g(ξ) − g(z)| . 0
(1 − ρ2 )α
Z
¯ e α+1 D e −1 g(ρϕ)| |1 − ξz| |D 2 2 |1 − ρξϕ| |1 − ρϕz|
T
× (|1 − ρξϕ| + |1 − ρϕz|) dm(ϕ)ρdρ = K1 + K2 . Оценим каждое из слагаемых в отдельности. Пусть e α+1 D e −1 g(ρϕ). f (ρϕ) = D Тогда σ 1 Z Z α (1 − ρ) |f (ρϕ)| dm(ϕ) ρdρ ¯ σ K1σ . |1 − ξz| |1 − ρξϕ| |1 − ρϕz|2 0 T Z σ (1 − |w|)α−1 |f (w)| dm2 (w) ¯ σ. . |1 − ξz| |1 − wz|2 D
Используя неравенство Г¨ельдера, получим (здесь и всюду ниже ε — достаточно малое положительное число) 0 σ/σ0 1 Z Z Z Z (α−1)σ σ dm(ϕ) dρ (1 − ρ) |f (ρϕ)| ¯ σ dm(ϕ)dρ K1σ . |1− ξz| |1 − ρϕz|2−εσ |1 − ρϕz|2+εσ 1 T 0 T 1 Z Z (α−1)σ σ (1 − ρ) |f (ρϕ)| ¯ σ (1 − |z|)−εσ . |1 − ξz| dm(ϕ)dρ . |1 − ρϕz|2−εσ 0 T
Тем самым при β > σ, α > 1 − 1/σ, σ ≤ 1 приходим к соотношению Z 1/σ |g(ξ) − g(z)|σ dm(ξ) ¯ β+1 |1 − ξz| T
690
Р. Ф. Шамоян
. (1 − |z|)
−εσ+σ−β σ
1 1/σ Z Z (α−1)σ σ (1 − ρ) |f (ρϕ)| dm(ϕ) dρ |1 − ρϕz|2−εσ 0 T
1 σ 1/σ Z Z Z α β+1 (1 − ρ) |f (ρϕ)| dρdm(ϕ) ¯ (σ− σ ) dm(ξ) = Se1 + Se2 . + |1 − z ξ| |1 − ρϕz| |1 − ρϕξ|2 (1.5) 0 T T Оценим второе слагаемое, используя соображения двойственности. Имеем Z Z1 Z Se2 =
σ−(β+1) (1 − ρ)α |f (ρϕ)| ρdρdm(ϕ) ¯ σ (ψ(ξ)) dm(ξ), ψ ∈ Lσ0 (dm(ξ)). |1−z ξ| 2 |1 − ρϕz| |1 − ρϕξ|
0 T
T
Используя теорему Фубини, неравенство Г¨ельдера, лемму 1, получим Z1 Z
Z 1/σ dm(ξ) (1 − ρ)α |f (ρϕ)| ρdρdm(ϕ) ¯ β+1−σ |1 − ρϕz| |1 − ρϕξ|2σ |1 − ξz| T T 1 Z Z α (1 − ρ) |f (ρϕ)| dρdm(ϕ) (1 − |z|)(1−β/σ) . |1 − ρϕz|3 0 T 1 Z Z 1 α+ σ −2 (1 − ρ) 1 |f (ρϕ)| dρdm(ϕ) + , α > 1 − , β > σ. (1.50 ) σ |1 − ρϕz|(β+1)/σ
Se2 . 0
0 T
Далее, предположив, что выполнены условия (S1 ), воспользуемся леммой 2(3). В силу неравенств 1 1 1 β+1 α > − , ε > 0, α + − 2 > − , (1 − ε)p > −1, > 2, σ ≥ 1, p ≥ 1 ρ σ ρ σ получим Z1 Z I1 = 0
Z1 .
q/p 1 p e (S2 (z)) dm(t) (1 − |z|)qβ ( σ −1)+α d|z| . (z = |z|t)
T β 1− σ
(1 − |z|)q(
0
)+qβ (
1 σ −1
q/p 1 Z Z p αp |f (ρϕ)| (1 − ρ) dρdm(ϕ) )+α−εq d|z| (1 − ρ|z|)1 + (1 − ε)p 0 T
Z1 + 0
1 q/p Z Z p (α+ σ1 −2)p dρdm(ϕ) |f (ρϕ)| (1 − ρ) (1 − |z|)qβ ( σ1 −1)+α−εq d|z|. 1+( β+1 −2−ε p ) σ (1 − ρ|z|) (1.500 ) 0 T
Остается воспользоваться леммой 3(а) в (1.500 ), теоремой Фубини, леммой 2 и заметить, что из оценки Z1 0
(1 − Rr)−λ (1 − r)t dr ≈ C(λ, t)(1 − R)−λ+t+1 ,
t > −1, λ > t + 1,
О характеристиках типа ВМО одного класса
691
следует q
q
((1 − ρ)(αp+2) p − p −1 )
Z1
(1 − |z|)α−εq+q−qβ d|z| . (1 − ρ)α+(α−β)q (1 − ρ|z|)q/p + (1 − ε)q
0 q 1 ×(1 − ρ)(α+ σ −2)q+ p −1
Z1
(1 − ρ|z|)
0
p < σ < 2p,
qβ
(1 − |z|) σ
−qβ+α−εq
q p +q
( β+1 σ −2−ε)
d|z| . (1 − ρ)α+(α−β)q ,
(1.6)
1 1 α+1 + > 1, 1 < α, q ≤ p, B < β < + 1, p σ q
где
(α + 1) 1 1 α+1 1 2 B = max 2σ − 1, +2− − , +1+ − , q p σ q p σ Далее, q q Z1 Z1 q Mp (f, p)(1 − ρ)(αp+2) p − p −1 q−qβ+α−εq I1 . (1 − |z|) dρd|z| (1 − ρ|z|)(1 + (1 − ε)p)q/p 0
p, σ ≥ 1.
0
Z1
1 qβ ( σ −1)+α−εq
Z1
(1 − |z|)
+ 0
q 1 Mpq (f, p)(1 − ρ)(α+ σ −2)q+ p −1
0
×
dρd|z| . kgkqH p,q,α . β+1 q +q −2−ε β ( ) σ (1 − ρ|z| p
Оценим теперь слагаемое Se1 : p/σ 1 Z Z (α−1)σ σ σ−β (1 − ρ) |f (ρϕ)| Se1p = (1 − |z|)(−ε+( σ ))p dm(ϕ) dρ |1 − ρϕz|2−εσ 0 T β . (1 − |z|)(−ε+1− σ )p
Z1 Z
2p
(1 − ρ)(α−1)p+ σ −2 |f (ρϕ)|p ρdρdm(ϕ) |1 − ρϕz|(2−εσ)p/σ
0 T
(мы воспользовались леммой 3(б)). Далее z = |z|t. Используя снова лемму 3(а), получим (q ≤ p) q/p Z1 Z 1 2p qβ ( σ −1)+α p I2 = (S1 (z)) dm(t) (1 − |z|) d|z| . >1 σ 0
T
Z1
(qβ ( σ1 −1)+α+q−qε− βq σ )
(1 − |z|)
. 0
Z1 0
2p
Mpp (f, ρ)(1 − ρ)αp−p+ σ −2 dρ
2p
(1 − ρ|z|)−ερ+ σ −1
0 −qβ+α+q−qε
Z1
(1 − |z|)
.
Z1
2q
0
(1 − ρ|z|)
q
Mpq (f, ρ)(1 − ρ)αq−q+ σ − p −1 dρ q −εq− p + 2q σ
q/p
,
α>
1 2 − + 1. p σ
Остается воспользоваться теоремой Фубини, оценкой (1.6) и леммой 2: Z1 1 1 I2 . Mpq (f, ρ)(1 − ρ)α+αq−βq dρ . kgkqH p,q,α , 1 ≤ p ≤ σ; q ≤ 2p, + > 1. β p σ 0
692
Р. Ф. Шамоян
Теорема 1 доказана при 1 ≤ p. Рассмотрим теперь случай p ≤ 1. Импликация 1 ⇒ 2 проверяется аналогично предыдущему случаю (β > 0, σ ≥ 1). Для доказательства обратной импликации заметим, что так же, как в предыдущем случае, можно получить неравенство (1.50 ). Учитывая, что β > σ, α > 1 − σ1 , σ ≥ 1, имеем 1/σ Z |g(ξ) − g(z)|σ . Se1 + Se2 dm(ξ) ¯ β+1 |1 − ξz| T
1 1/σ Z Z (α−1)σ σ −εσ + σ − β (1 − ρ) |f (ρϕ)| . (1 − |z|) dm(ϕ)dρ σ |1 − ρϕz|2−εσ 0 T 1 Z Z α β (1 − ρ) |f (ρϕ)| dρdm(ϕ) + + (1 − |z|)(1− σ ) |1 − ρϕz|3 0 T 1 Z Z 1 −2 α+ σ |f (ρϕ)| dρdm(ϕ) (1 − ρ) = M1 + M2 + M3 . (1.7) + β+1 |1 − ρϕz| σ 0 T
Возведем обе части неравенства в степень p, для оценки каждого из трех образовавшихся слагаемых в левой части неравенства (1.7) воспользуемся леммой 3 и получим (p ≤ σ, p ≤ 1, z = |z|t) p/σ Z Z |g(ξ) − g(z)|σ dm(ξ) dm(t) ¯ β+1 |1 − ξz| T
T
Z Z1 Z . T
2p
(1 − ρ)(α−1)p |f (ρϕ)|p (1 − ρ) σ −2 dρdm(ϕ)dm(t)(1 − |z|)(1−β/σ−ε)p |1 − ρϕz|(2−εσ)p/σ 0 T Z Z1 Z αp+2p−2 p β (1 − ρ) |f (ρϕ)| + dρdm(ϕ) dm(t)(1 − |z|)(1− σ )p 3p |1 − ρϕz| 0 T T Z Z1 Z (α+ σ1 −2)p |f (ρϕ)|p (1 − ρ)2p−2 (1 − ρ) + + dρdm(ϕ) dm(t) p |1 − ρϕz|(β+1) σ 0 T
T
(σ < 2p, p > 1/2, β > σ/p − 1). Воспользовавшись теоремой Фубини и оценкой Z dm(ξ) C(γ) ≤ , |1 − rξ|γ (1 − r)γ−1
γ > 1,
T
имеем Z1 S.
Z1 Z
0
2p
0 T
Z1 + 0
2p
(1 − ρ)αp−p+ σ −2 |f (ρϕ)|p (1 − ρ|z|) σ −εp−1
q/p dρdm(ϕ)
(1 − |z|)q(1−ε)+α−qβ d|z|
1 q/p Z Z αp+2p−2 p (1 − ρ) |f (ρϕ)| dρdm(ϕ) (1 − |z|)q−qβ+α d|z| (1 − ρσ|z|)3p−1 0 T
О характеристиках типа ВМО одного класса Z1 + 0
693
1 q/p Z Z αp+ p q −2 |f (ρϕ)|p 1 (1 − ρ) dρdm(ϕ) (1 − |z|)qβ ( σ −1)+α d|z|. βρ p + −1 (1 − ρσ|z|) σ σ 0 T
Применяя дважды лемму 3, трижды оценку Z1
(1 − Rr)−λ (1 − r)t dr ≤ C(λ, t)(1 − R)−λ+t+1 ,
t > −1,
λ > t + 1,
0
условия теоремы и рассуждая так же, как в предыдущем случае, получаем окончательно S . kgkHβp,q,α . В следующем утверждении для классов Hβp,q,α (D) указаны эквивалентные нормы (квазинормы) типа BM O другого вида. Теорема 2. Пусть f ∈ H 1 (D) и справедлива любая из цепочек неравенств, содержащихся в следующих пунктах: 1 α+1 (A) 0 ≤ p ≤ 1, q ≤ p, max α+1 q + p − 2, 0 < β < q , α > −1; (B) 0 < p ≤ 1, q > p, αq + p2 − 2 < β < α+1 , α > 0; q 1 α+1 (C) 1 < p < ∞, q ≤ p, max q − p , 0 < β < α+1 q , α > −1; , α > 0. (D) 1 < p < ∞, q > p, αq < β < α+1 q Тогда равносильны следующие условия: 1) f ∈ Hβp,q,α (D); p q/p R1 R R |f (w)−f (z)| 2) I = dm2 (w) dm(ξ) (1 − |z|)α d|z| < ∞, z = |z|ξ. |1−wz| ¯ β+2 0 T D
Замечание. Отметим, что в частном случае, когда p = q, β = 1, α = p − 2, 1 < p < ∞, описание типа BM O, подобное приведенному выше для классов Hβp,q,α (D), было установлено в [12] другим способом (см. также [13]). Доказательство импликации 1) ⇒ 2) в случаях (A)–(D) проходит единым образом. Действительно, учитывая формулу Коши, лемму 2, равенства 1 1 e (z) = (zf (z))0 ; D eβ cDf = , β > 0, ¯ ¯ β+1 1 − ξz (1 − ξz) получаем Z Z (f (ξ) − f (z)) dm(ξ) 1 β e (f (Rξ) − f (z)) dm(ξ) |D f (z)| . = lim β+1 β+1 ¯ R→1 (1 − Rξ z¯) (1 − ξz) T T Z 1 1 |f (w) − f (z)| dm2 (w) . R z )β+1 (1 − w¯ D Z 1 . |f (w) − f (z)| dm2 (w), f ∈ H 1 (D). z |β+2 |1 − w¯ D
Следовательно, при z = |z|ϕ имеем Z1 Z 0
q/p β p e |D f (z)| dm(ϕ) (1 − |z|)α dm(|z|) . I,
T
β ∈ (0, ∞),
α ∈ (−1, ∞),
0 < p, q < ∞.
694
Р. Ф. Шамоян
Покажем теперь, что из условия 2 следует условие 1. Пусть 0 < p ≤ 1. Воспользовавшись оценкой Z C dm2 (w) . , γ > 2, |1 − rw| ¯γ (1 − r)γ−2 D
получим Z1 Z Z I. 0
T
|f (z)| |f (w)| + ¯ β+2 ¯ β+2 |1 − wz| |1 − wz|
q/p p (1 − |z|)α d|z| dm2 (w) dm(ϕ)
D
Z1 Z Z . 0
T
Z1 Z + 0
|f (w)| dm2 (w) ¯ β+2 |1 − wz|
p
q/p (1 − |z|)α d|z| dm(ϕ)
D
q/p |f (z)| dm(ϕ) (1 − |z|)α−βq d|z| = I1 + I2 , p
β > 0. (1.8)
T
Используя лемму 3(1) и лемму 1(2), теорему Харди — Литтлвуда (см. [14]) для оценки I2 и условия теоремы, имеем I2 . kf kqH p,q,α Z1 Z Z I1 . 0
Z1 Z
|f (w)|p (1 − |w|)2p−2 ¯ (β+2)p |1 − wz|
D
q/p |f (w)|p |1 − |w||2p−2 dm (w) (1 − |z|)α d|z|, 2 (1 − |w| |z|)(β+2)p−1
. I1 = 0
T
α+1 , q q/p dm2 (w) dm(ϕ) (1 − |z|)α d|z|
при β <
β
β>
1 − 2, α > −1. p
D
Пусть q ≤ p. Тогда, учитывая лемму 3, выводим (β > (α + 1)/q + 1/p − 2) Z1 Z1 I1 = 0
Mpq (f, |w|)(1 − |w|)2q−q/p−1 d|w| (1 − |z|)α d|z|d|w| . kf kqH p,q,α . β (1 − |w| |z|)(β+2)q−q/p
0
Рассмотрим теперь случай q > p. Используя соображения двойственности, на0 ходим (ψ ∈ L(q/p) (d|z|)) Z1 Z Ie1 =
|f (w)|p (1 − |w|)2p−2 (1 − |z|)
αp q
(1 − |w|| |z|)(β+2)p−1 ψ(|z|) dm2 (w)d|z|
0 D
Z =
Z|w| Z1 (ψ(|z|))(1 − |z|)αp/q |f (w)|p (1 − |w|)2p−2 + d|z| dm2 (w)=S1 + S2 . (1 − |w| |z|)(β+2)p−1 0
D
|w|
Далее, Z
p
2p−2+ αp q +1−(β+2)p
|f (w)| (1 − |w|)
S2 . D
Z1 dm(ϕ) |w|
ψ(|z|)d|z|d|w|
О характеристиках типа ВМО одного класса
695
в силу неравенств α > 0, β > p1 − 2. Применяя неравенства Харди (см. [1]) и Г¨ельдера, получим окончательно 1 p/q Z αp q S2 . Mpq (f, ρ)(1 − ρ)(2p+ q −(β+2)p) p dρ 0
1 Z ×
1/p1
p1
Z1
1 (1 − ρ)
ψ(|z|) d|z|
dρ
ρ
0
1 p/q Z . Mpq (f, ρ)(1 − ρ)2q+α−(β+2)q dρ . kf kρH p,q,α , β
1 p + = 1, p1 = p1 q
0 q . p
0
Оценим S1 , используя снова неравенства Харди и Г¨ельдера (β > α/q + 2/p − 2): αp Z1 Z|w| +2−(β+2)p ψ(|z|)(1 − |z|) q d|z| d|w| S1 . Mpp (f, |w|)(1 − |w|)2p−2 (1 − |z|) 0
0
Z1 .
Mpp (f, |w|)(1
− |w|)
αp q −βp
0
Z|w|
ψ(|z|) d|z|d|w| 1 − |z|
0
Z1 =
ψ(r) 1−r
0
Z1 (1 − |w|)
αp q −βp
Mpp (f, |w|) d|w|dr
0
q/p p/q 1 1/p1 1 Z1 Z Z αp 1 dr . (ψ(r))p1 dr (1 − ρ) q −βρ Mpp (f, |w|) d|w| 1−r 0
r
0
Z1
.
p/q Mpq (f, ρ)(1 − ρ)α−βq dρ
. kf kpH p,q,α . β
0
При 0 < p ≤ 1 теорема доказана полностью. Пусть теперь 1 < p < ∞. Достаточно оценить величину I1 (см. (1.8)). По лемме 2 имеем Z1 Z Z I1 = 0
T
|f (w)| dm2 (w) ¯ β+2 |1 − wz|
q/p dm(ϕ) (1 − |z|)α d|z|
D
Z1 Z Z . 0
P
T
q/p |f (w)|p (1 − |z|)−εp dm (w) dm(ϕ) (1 − |z|)α d|z| 2 ¯ 2+(β−ε)p |1 − wz|
D
Z1 Z . 0
q/p |f (w)|p (1 − |z|)−εp dm (w) (1 − |z|)α d|z| = Ie1 . 2 (1 − |w| |z|)1+(β−ε)p
D
Как и в предыдущем случае, рассмотрим две возможности q ≤ p и q > p. Пусть
696
Р. Ф. Шамоян
q ≤ p. Тогда по лемме 3 выводим Z1 Z1
Mpq (f, |w|)(1 − |w|)q/p−1 d|w|(1 − |z|)α−εq d|z| (1 − |w| |z|)q/p+(β−ε)q Z . Mpq (f, |w|)(1 − |w|)α−βq d|w| . kf kqH p,q,α
Ie1 . 0
0
β
0 α+1 q
− p1 . Если q > p, то воспользуемся соображениями двойственности. 0 1 1 В силу того, что ψ ∈ L(q/p) (d|z|) (q/p) 0 + q/p = 1 , имеем при β >
Z1 Z
Ie1 =
αp
|f (w)|p (1 − |z|)−εp+ q dm2 (w)ψ(|z|)d|z| (1 − |w| |z|)1+(β−ε)p 0 D Z|w| Z1 Z −εp+ αp q ψ(|z|)(1 − |z|) = |f (w)|p + d|z| dm2 (w) = Se1 + Se2 . (1 − |w| |z|)1+(β−ε)p 0
D
|w|
Слагаемые Se1 и Se2 оцениваются так же, как и выше слагаемые S1 и S2 , с использованием неравенств Г¨ельдера и Харди: Z1 Se1 .
ψ(r) 1−r
0
Z1 (1 − |w|)
αp q −βp
Mpp (f, |w|) d|w|dr . kf kqH p,q,α β
β>
α , q
r
1 p/q 1 p1 1/p1 Z Z Z1 1 Se2 . Mpq (f, ρ)(1 − ρ)α−βq ψ(|z|) d|z| dρ 1−ρ 0
0
. kf kpH p,q,α , β
ρ
α+1 > β > 0. α > 0, q
Следовательно, получаем окончательно Ie1 . kf kqH p,q,α . β
Теорема 2 доказана полностью. § 2. О характеризациях типа BM O S аналитических классов Бесова ABp,q p,q,Û и пространств HÜ при p = q = ∞ Для формулировки результатов параграфа сформулируем следующее утверждение. Теорема А. Пусть 1 ≤ σ ≤ p < ∞, q ∈ (0, ∞), s ∈ 0, σ1 , f ∈ H p . Тогда следующие условия равносильны: R1 1) Mpq (f 0 , r)(1 − r)q(1−s)−1 dr < ∞; 0
2) S =
R1 R R 0 T T
|f (ξ)−f (z)|σ (1 ¯ 2 |1−ξz|
p/σ q/p − |z|)dm(ξ) dm(ϕ) (1 − |z|)−qs−1 d|z| < ∞.
Теорема А установлена в [3]. Доказательство существенным образом опирается на свойства специального диадического разбиения окружности T .
О характеристиках типа ВМО одного класса
697
В качестве приложения теоремы А мы установим условия (необходимые и достаточные) в терминах нулей функции B(z, {zk })), при которых произведение Бляшке ∞ Y |zk | zk − z B(z) = B(z, {zk }) = zk 1 − z¯k z k=1
(при некоторых дополнительных ограничениях на последовательность (zk )∞ k=1 ) принадлежит пространствам Бесова ABsp,q (D) (аналогичные утверждения могут быть выведены, конечно, и из теоремы 1). Задача нахождения тех или иных необходимых и достаточных условий на последовательность (zk )∞ k=1 , при которых произведение Бляшке B(z, {zk }) (или более общая внутренняя функция) принадлежит тем или иным классам аналитических функций, решались в работах многих авторов (см, например, [11, 15–18]). Для формулировки дальнейших результатов работы напомним, что последовательность (zi )∞ i=1 удовлетворяет условию (CN), если она представима в виде конечного объединения интерполяционных последовательностей (см. [11, 18]), Q |zk −zi | т. е. последовательностей, удовлетворяющих условию |1−zk zi | ≥ δ для некоk6=1
торого δ > 0. Будем говорить, что последовательность {zi }∞ i=1 удовлетворяет условию Rl (α, β), если ∞ X (1 − |z|)α (1 − |w|)β ≤ C, (1 − |z| |w|)l i=1 где C — некоторая положительная константа, α + β ≤ l; α, β > 0; l ∈ N. Напомним, что Z1 ABsp,q (D) = f ∈ H(D) : kf kqp,q,s = Mpq (f 0 , r)(1 − r)q(1−s)−1 dr < ∞ . 0
Введем классы типа BM OA: BM OAσp,q,s = f ∈ H σ (D) : kf kBM OAσp,q,s Z1 Z Z = 0
p/σ q/p |f (ξ) − f (z)|σ (1 − |z|) dm(ξ) dm(ϕ) ¯ 2 |1 − ξz| T T 1 × (1 − |z|)−qs−1 d|z| < ∞, 0 < p, q, σ < ∞, s ∈ 0, . (2.1) σ
Замечание. Классы типа BM OA, подобные введенным, изучались также в работе [19]. Теорема 3. 1. Пусть последовательность (zi )∞ i=1 удовлетворяет условиям (CN) и R2 (α, β), 0 < s <
1 1 1 , 1 < p < ∞, max(0, 1−p0 s) < β < min(p0 (1−s), 2), 0 + = 1. p p p
Тогда следующие условия равносильны: (A) B(z, {zk }) ∈ ABsp,p (D); ∞ P (B) (1 − |zi |)1−sp < ∞ ; i=1
698
Р. Ф. Шамоян
(C) B(z, {zk }) ∈ BM OApp,p,s (D). 2. Пусть последовательность (zi )∞ i=1 удовлетворяет условиям (CN) и R1 (α, β), 1 < q < ∞, 1q + q10 = 1, s ∈ (0, 1), max(1, 1 − q 0 s) < β < min((1 − s)q 0 , 1). Тогда следующие условия равносильны: (A) B(z, {zk }) ∈ ABs1,q (D); ∞ P (B) (1 − |zi |)q(1−s) < ∞ ; i=1
(C) B(z, {zk }) ∈ BM OA11,q,s (D). Следствие 1. Пусть s ∈ (0, 1) и последовательность (zk )∞ k=1 удовлетворяют условию (CN). Тогда следующие условия равносильны: 1) B(z, {zk }) ∈ BM OA11,1,s ; s 2) B(z, {zk }) ∈ AB1,1 (D); ∞ P 3) (1 − |zi |)−s+1 < +∞. i=1
Напомним, что последовательность (zi )∞ i=1 удовлетворяет слабому условию Ньюмена (WN) (см. [20, 21]), если n o X sup (1 − |zi |)−1 (1 − |zk |), i ∈ N < +∞, |zi | ≤ |zi+1 |, i ∈ N. i
k≥i
Следствие 2. Пусть s ∈ (0, 1), q ∈ (1, ∞), последовательность (zi )∞ i=1 удовлетворяет условию (WN). Тогда следующие условия равносильны: B(z, {zk }) ∈ ABs1,q (D);
B(z, {zk }) ∈ BM OA11,q,s (D);
∞ X
(1 − |zi |)(1−s)q < ∞.
i=1
(2.2) 1 1 p , p0
Следствие 3. Пусть 1 < p < ∞, 0 < s < min , последовательность удовлетворяет условию (WN). Тогда следующие условия равносильны: 1) B(z, {zk }) ∈ ABsp,p (D); ∞ P 2) (1 − |zi |)(1−s)p < ∞;
(Zk )∞ k=1
i=1
3) B(z, {zk }) ∈ BM OApp,p,s (D). Доказательство теоремы 3. 1. Импликации (A) ⇒ (C) и (C) ⇒ (A) следуют из теоремы A. Докажем, что из (C) вытекает (B), используя тот факт, что ∞ X 1 − |B(z, {zk })| (1 − |zi |) ≥C . (2.3) 1 − |z| |1 − z z¯i |2 i=1 Если последовательность (zi )∞ i=1 удовлетворяет условию Карлесона (см. [11]), то Z Z2π |B(z) − B(ξ)|p M= (1 − |z|)−sp dm(ξ)dm2 (z) |1 − z¯ξ|2 D 0 2π Z Z 1 & (1 − |B(z)|)p dm(ξ) (1 − |z|)−sp dm2 (z) |1 − z¯ξ|2 0
D
Z1 Z2π & 0
0
(1 − |B(z)|p (1 − |z|)−sp−1+p d|z|dm(ϕ) (1 − |z|)p
О характеристиках типа ВМО одного класса Z1 Z2πX ∞
&
0
0
i=1
(1 − |zi |) |1 − z z¯i |2
p
699
(1 − |z|)−sp−1+p d|z|dm(ϕ).
В последнем соотношении мы воспользовались неравенством !p ∞ ∞ X X |ak | ≥ |ak |p , p ≥ 1. k=1
(2.4)
k=1
Применяя снова оценку (1.6), получаем окончательно M&
Z1 X ∞ i=1
0
∞
X (1 − |zi |)p (1 − |z|)p−1−sp d|z| & (1 − |z|)1−sp . 2p−1 (1 − |zi | |z|) i=1
(2.5)
Покажем, что (B) ⇒ (A). Учитывая соотношение |B 0 (w, {zi })| .
∞ X (1 − |zi |) zi |2 |1 − w¯ i=1
и соображения (2.5) двойственности, получаем !p Z Z1 X ∞ 1 − |zi | p kBkAB P,P . (1 − |w|)(1−s)p−1 d|w|dm(ξ) 2 s |1 − w¯ z | i i=1 T 0 p Z Z1 X +∞ (1 − |zi |) = (ψ(|w|))(1 − |w|)1−s−1/p d|w| dm(ξ), 2 z |1 − w¯ | i i=1 T
p0
1 1 p0 + p
где ψ ∈ L (0, 1), выводим Z
kBkpABsp,p .
T
0
= 1. Используя неравенство Г¨ельдера и условие теоремы,
1 p/p0 Z X ∞ α β 0 (1 − |zi |) (1 − |w|) d|w| (ψ(|w|))p |1 − z¯i w|2 i=1 0
1 Z X ∞ (1−s)p−1 p−α(p/p0 ) −β(p/p0 ) (1 − |w|) (1 − |zj |) (1 − |w|) × d|w| 2 z |1 − w¯ | j j=1 0
.
Z1 X ∞ 0
j=1
0
0
(1 − |zj |)p−α(p/p ) (1 − |w|)(1−s)p−1−β(p/p ) d|w| |1 − |zj | |w|) .
∞ X
0
(1 − |zj |)p−1+(1−s)p−(p/p )(α+β) .
j=1
∞ X
(1 − |zj |)1−sp .
j=1
Первая часть теоремы доказана. Вторая часть теоремы устанавливается с помощью аналогичных соображений. Эквивалентность (А) и (C) легко вывести из теоремы А. Покажем, что из (C) следует (B). Аналогично предыдущему случаю имеем Z1 Z Z I= 0
T T
|B(ξ) − B(z)| |1 − z¯ξ|2
q
(1 − |z|)(1−s)q−1 d|z|
700
Р. Ф. Шамоян Z1 Z ≥ 0
q 1 − |B(z)| dm(ϕ) (1 − |z|)(1−s)q−1 d|z|, 1 − |z|
z = |z|ϕ.
T
Используя тот факт, что последовательность (zj )∞ j=1 удовлетворяет условию (CN), и оценки (1.6) и (2.4), получаем q Z1 X ∞ (1 − |z |) j (1 − |z|)(1−s)q−1 d|z| I& 1 − |z | |z| j j=1 0
&
Z1 X ∞ 0
j=1
∞
X (1 − |zj |)q (1 − |z|)(1−s)q−1 d|z| & (1 − |zj |)q(1−s) . q |1 − |zj | |z|) j=1
Для установления импликации (B) ⇒ (A) воспользуемся оценкой (2.5), неравенством Г¨ельдера, соображениями двойственности, оценкой (1.6) и учтем условия теоремы: 1 q 1/q Z X ∞ (1 − |z |) j (1 − |w|)(1−s)q−1 d|w| kBkABs1,q (D) . (1 − |w| |zj |) j=0 0
=
Z1 X ∞ 0
j=0
(1 − |w|)(1−s)−1/q (1 − |zj |) ψ(|w|)d|w|, 1 − |w| |zj |
kBkAB 1,q (D) .
Z1 X ∞ 0
j=0
β
0
ψ ∈ Lq (0, 1),
1 1 + 0 = 1, q q
1/q0
α
0 (1 − |w|) (1 − |zj |) ψ(|w|)q d|w| (1 − |w| |zj |)
1 1/q Z X ∞ −β(q/q 0 ) −α(q/q 0 ) (1 − |w|) (1 − |zj |) × (1 − |w|)(1−s)q−1 d|w|(1 − |zj |)q (1 − |w| |z |) j j=0 0
∞ X
0
(1 − |zj |)q−α(q/q )
j=0
Z1 0
−β(q/q 0 )+(1−s)q−1
1/q
(1 − |w|) d|w| (1 − |w| |zj |) ∞ X . (1 − |zj |)q(1−s) . (2.6) j=0
Теорема 3 доказана. Для установления утверждения следствия 1 достаточно положить p = 1 и повторить рассуждения, проведенные в доказательстве первой части теоремы 3. Доказательство следствия 2. Учитывая, что −q 0 s < 1, выберем β ∈ (0, 1) так, что 1 − q 0 s < β < (1 − s)q 0 . Положим α = 1 − β. Тогда (см. [21]) ∞ X (1 − |zj |)α (1 − |w|)β j=1
1 − |zj | |w|
≤ C,
∞ так как (Zj )∞ j=1 удовлетворяет условию (WN). Далее, последовательность (zj )j=1 удовлетворяет также условию (CN) (см. [20, 21]). Остается воспользоваться утверждением п. 2 теоремы 3.
О характеристиках типа ВМО одного класса
701
Доказательство следствия 3 можно провести аналогично, используя первую часть теоремы 3 и подбирая β ∈ (0, 2), 1 − p0 s < β < p0 − p0 s, α = 2 − β. Замечание. Вышеприведенные результаты анонсированы в [22]. В следующей теореме мы получаем описание типа BM O для пространств Hβp,q,α в случае p = q = ∞, e β f, r)(1 − r)α < ∞, α ≥ 0, β ∈ R}. Hβ∞,∞,α = {f ∈ H(D) : sup M∞ (D r∈I
Теорема 4. Пусть f ∈ H σ , σ ≥ 1, 0 < α < β < α + 1, σ < Тогда следующие условия равносильны: 1) f ∈ Hβ∞,∞,α ; 1/σ R |f (ξ)−f (z)|σ 0 2) S = sup (1 − |z|)α−β/σ < ∞. ¯ β+1 dm(ξ) |1−ξz|
β 1 β−α , σ 0
+
1 σ
= 1.
|Z|<1 T
Замечание. В частных случаях при α = 1, β = 1, σ = 1 или σ = 2 и при начальном предположении f ∈ A = (C(T )) ∩ H(D) (C(T ) — класс всех непрерывных функций на T ), но для пространств с более общим «весом» типа Липшица (1 − r) ∞,∞,1 0 e Hω = f ∈ H(D) : M∞ (f , r) <∞ , ω(1 − r) где ω — регулярная весовая функция (в частности, ω(r) = rγ , γ ∈ 0, 21 ), утверждение теоремы 4 установлено в [5] другим методом. Доказательство теоремы 4. Доказательство импликации 2) ⇒ 1) является следствием интегральной формулы Коши и неравенства Г¨ельдера и проходит аналогично доказательству соответствующей импликации в теореме 1. Докажем обратное. Имеем Z Z e σ |f (ξ) − f (z)|σ |F (ξ) − F (R)| e z ∈ D, I= dm(ξ), z = Rϕ, dm(ξ) = ¯ β+1 e β+1 |1 − ξz| |1 − ξ¯R| T
T
где F (ω) = (fϕ )(ω) = f (ϕω), ϕ ∈ T , ω ∈ D, F ∈ H σ . Далее, Z I= T
Z e σ e σ |F (ξ) − F (R)| |F (Rξ) − F (R)| dm(ξ) = lim dm(ξ). ¯ R| e β+1 e β+1 R→1 |1 − ξ¯R| |1 − ξR
(2.7)
T
e (z)| ≤ C(1 − |z|)β−α−1 , По лемме 3 из соотношения f ∈ Hβ∞,∞,α следует |Df e (z)| ≤ C(1 − |z|)β−α−1 , β < α + 1. Легко видеть, что β < α + 1. Поэтому |DF справедливы равенства Z1 F (z) =
e (rz) dr = 1 DF |z|
0
Z|z| e (uξ) du, DF
z ∈ D.
(2.8)
0
e R такие, что Возьмем числа R, учитывая (2.8), получаем
1 2
e < R < 1, и любую точку ξ ∈ T . Тогда,
ZR e ≤ C (1 − r)−(1+α−β) dr ≤ c(1 − R) e β−α , |F (ξR) − F (ξ R)| e R
β > α.
702
Р. Ф. Шамоян
e eiψ = ξ справедливо неравенство Далее, при |ψ| < 1 − R, e ≤ |F (ξR) − F (ξ R)| e + |F (ξ R) e − F (R)| e |F (ξR) − F (R)| e β−α + C1 |ψ|(1 − R) e β−α−1 ≤ C2 (1 − R) e β−α . ≤ C(I − R) e зафиксируем число V > 0, V < R, R e так, чтобы V > 1 − |ψ|. При |ψ| > 1 − R Тогда e ≤ |F (ξR) − F (V ξ)| + |F (V ξ) − F (V )| + |F (V ) − F (R)| e |F (ξR) − F (R)| ≤ C((1 − V )β−α + |ψ|(1 − V )β−α−1 ) ≤ C(V, α, β)|ψ|β−α , Учитывая полученные оценки, имеем (σ <
β β−α ,
β − α < 1, β > α.
e < R < 1) 1/2 < R
2π
Z T
Z e σ |F (Rξ)F (R)| e + C(V )|ψ|)σ(β−α)−β−1 dψ dm(ξ) . ((1 − R) + (1 − R) ¯ R| e β+1 |1 − ξR 0
Zπ ≤2
e e σ(β−α)−β−α . ((1−R)+(1−R)+C(V )ψ)σ(β−α)−β−1 dψ ≤ C1 ((1−R)+(1−R))
0
Перейдем к пределу при R → 1 в полученном неравенстве: Z e σ |F (ξ) − F (R)| e σ(β−α)−β . I= dm(ξ) ≤ (1 − R) e β+1 |1 − ξ¯R| T
Теорема 4 доказана. Методы, применяемые при доказательстве теорем 1–4, могут быть использованы для получения характеризаций типа BM O пространств, отличных от классов Hβp,q,α (D). Приведем примеры такого рода. В работе [23] введены классы типа BM O: Z k q (k−s)q−1 ∞,q ∞,q HFs = f ∈ H(D) : kf kFs = sup |R f (z)| (1 − |z|) w∈D
D
(1 − |w|)β dm2 (z) × |1 − z¯w|β+1
1/q
<∞ ,
где q ∈ (0, ∞), k — любое натуральное число, k > s, s ∈ R, β — некоторое t фиксированное положительное число, R — дифференциальный оператор: X X t t R : H(D) → H(D); (R f )(z) am (m + 1)0 z m , f (z) = am z m , t ≥ 0. m≥0
m≥0
Легко видеть (см. [11, 24]), что Fs∞,2 = BM OA = BM O ∩ H 2 (D), где BM OA — аналитическое подпространство класса BM O, играющее важную роль в различных вопросах комплексного анализа (см., например, [11]). Нетрудно проверить, что классы HFs∞,q от k, β не зависят (см. [23, 11]). Теорема 5. Пусть f ∈ H 1 (D) и a) − q10 < s < 1 при 21 < q ≤ 1, q10 = 1 − 1q ; b) q10 < s < 1 при q > 1, 1q + q10 = 1. Тогда следующие условия эквивалентны:
О характеристиках типа ВМО одного класса 1) f ∈ HFs∞,q (D); q R R |f (ξ)−f (rϕ)| 2) L = sup dm(ξ) k+2 ¯ |1−ξrϕ| w∈D D T
703
(1−r)(k+1−s)q−1 drdm(ϕ)(1−|w|)β |1−rϕw| ¯ β+1
< ∞ , где
0 < β < (1 − s)q, k — любое число, k ∈ N. Доказательство теоремы 5. Докажем 1) ⇒ 2). Обратное легко можно вывести так же, как и в предыдущих случаях. Пусть q ≤ 1, тогда, рассуждая, как в теореме 1, выводим неравенство Z Z1 Z |f (ξ) − f (z)| e α f (ρϕ)| e dm(ξ) . I= (1 − ρ)α |D ¯ k+2 |1 − ξz| T 0 T T 1 1 dρdm(ϕ) e dm(ξ) × + . A + B. ¯ k+1 1 − ρξ ϕ| e |1 − ρϕz| e 2 |1 − ρϕz| e |1 − ρξ ϕ| e2 |1 − ξz| Z
Из теоремы Фубини и леммы 1 следует, что Z1 Z2π B. 0
0
e α f (ρϕ)| (1 − ρ)α |D e |1 − ρϕz| e
(1 − ρ)−1 (1 − |z|)−k + |1 − ρϕz| e k+1 |1 − ρϕz| e 2 Z
.A=
dρdm(ϕ) e
e α f (w)|(1 − |w|)α−1 |D dm2 (w)(1 − |z|)−k . ¯ 2 |1 − wz|
D
Значит, учитывая, что I . 3A, и лемму 3, получаем (0 < q ≤ 1, z = rϕ) Z Z L. D D
e α f (ρϕ)| (1 − ρ)αq+q−2 |D e q (1 − ρ)(1−s)q−1 dρdϕ e dρdm(ϕ)(1 − |w|)β . 2q ¯ β+1 |1 − ρϕz| e |1 − rϕw|
Снова воспользуемся теоремой Фубини и легко выводимой оценкой (см. лемму 5): Z D
(1 − ρ)1−sq−q (1 − |z|)(1−s)q−1 d|z|dϕ . , β+1 2q ¯ |1 − z w| |1 − ρϕz| e |1 − ρϕw| e β+1
z = |z|ϕ = rϕ,
1−q 1 < s < 1, < q ≤ 1, 0 < β < (1 − s)q. q 2 Тем самым Z Z1 e α |D f (ρϕ)| e q (1 − ρ)αq−1−sq L. dρdm(ϕ)(1 − |w|)β . |1 − ρϕw| e β+1 T
0
Положим α = k + 1, L . kf kqFs∞,q . Рассмотрим теперь случай 1 < q < ∞. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, нетрудно вывести оценку q Z Z1 Z α−1 e α (1 − ρ) | D f (ρ ϕ)| e L. dρdm(ϕ) e |1 − ρϕz| e 2 D
0 T
×
(1 − |z|)(1−s)q−1 dm2 (z) (1 − |w|)β , |1 − z w| ¯ β+1
z = |z|ϕ = rϕ.
704
Р. Ф. Шамоян
Воспользовавшись леммой 2, имеем (α = k + 1) Z Z1 Z e k+1 f (ρϕ)| (1 − ρ)qk |D e q (1 − |z|)−εq−1+(1−s)q dm2 (z) L. dρdm( ϕ) e (1−|w|)β . ¯ β+1 |1 − ρϕz| e 2−εq |1 − z w| D 0 T
В силу теоремы Фубини и оценки (см. лемму 5) Z c(1 − ρ)(1−s)q−1 (1 − |z|)(1−s)q−1−εq dm2 (z) . , 2−εq β+1 ¯ ¯ β+1 |1 − ρϕz| e |1 − z w| |1 − ρϕ ew|
1 < s < 1, 0 < β < (1 − s)q, q0
D
получаем Z1 Z L. 0 T
e k+1 f (ρϕ)| (1 − ρ)(k+1−s)q−1 |D e q dm(ϕ) e dρ(1 − |w|)β . kf kqFs∞,q . β+1 |1 − ρϕw| e
Теорема 5 доказана полностью. Замечание. «Вес» (1 − |w|)β в теореме 5, очевидно, можно заменить более общей весовой функцией, например, регулярной весовой функцией ω (см. [5]). Отметим, что BM O — образные описания — возможны и для пространств с порядком гладкости больше единицы. При этом разности первого порядка |f (ω) − f (z)| заменяются разностями высших порядков (см. [25]). Учитывая, что HFs∞,2 = BM OA, из теоремы 5 легко получить новое описание класса BM OA. Следствие 4. Функция f принадлежит BM OA тогда и только тогда, когда f ∈ H 1 (D) и 2 Z Z |f (ξ) − f (rϕ)| dm(ξ) (1 − r)2(k−s)−1 drdm(ϕ) L = sup (1 − |w|)β < ∞, ¯ k+1 ¯ β+1 |1 − rϕw| |1 = ξrϕ| w∈D D T где k > 1 любое, k ∈ N, β — некоторое число, 0 < β < 2(1 − s), s ∈ 12 , 1 . По поводу других различных характеристик класса BM OA см. [11, 26] и указанную там литературу. Из теоремы 4 при σ = 2 можно получить описание внешних функций из пространств H1∞,∞,α (D) в терминах модулей граничных значений. Аналогичная задача решалась в недавно появившихся работах [3,R5]. Напомним, что ξ+z log ϕ(ξ) dm(ξ) , внешняя функция Oϕ (см. [11]) имеет вид Oϕ (z) = exp ξ−z T R где ϕ ≥ 0, log ϕ ∈ L1 (T ). Известно, что условие log ϕ dm(ξ) > −∞ характеT
ризует модули ненулевой функции класса H p (см. [11]). Учитывая, что если |f (ξ)| = ϕ(ξ), f ∈ H p , то |Oϕ (ξ)| = |f (ξ)|, Oϕ ∈ H p (см. [11]), и принимая во внимание очевидное равенство Z Z |f (ξ) − f (z)|2 dm(ξ) (1 − |z|) = |f (ξ)|2 dµz (ξ) − |f (z)|2 , z ∈ D, ¯ 2 |1 − ξz| T
T
где µz (ξ) =
1−|z|2 ¯ 2, |1−ξz|
и теорему 4 при σ = 2, получаем
Следствие 5. Пусть ϕ ≥ 0, log ϕ ∈ L1 (T ), ϕ ∈ H 2 , α ∈ следующие условия равносильны: 1) Oϕ ∈ RH1∞,∞,α (D); 2) sup |Oϕ (ξ)|2 dµz (ξ) − |Oϕ (z)|2 (1 − |z|)2α−1 < ∞. |z|<1 T
1 2, 1
. Тогда
О характеристиках типа ВМО одного класса
705
§ 3. Произведения Бляшке и ограниченность операторов TB (f ) в классе BM OA(D) Пусть X и Y — подпространства H(D). В последнее время появилось большое количество работ, в которых при некоторых ограничениях описывались внутренние функции θ (см. [11]) (или пары (f, θ)) такие, что для любой функции f (фиксированной функции f ), f ∈ X, функция g равна Lθ f = f θ ∈ Y (см., например, [15–18] и указанную там литературу). Естественно ставить подобные задачи и по отношению к другим операторам, например, по отношению к оператору Tθ свертки Z √ √ 1 ¯ dm(ξ). f ( rξ)θ( rξt) (Tθ f )(rt) = 2π t
В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда внутренняя функция — произведение Бляшке B(z) = B(z, {zk }) =
∞ Y |zk |zk − z , zk (1 − z¯k z)
k=1
а класс X совпадает с аналитическим подпространством класса BM O — пространством BM OA. Напомним, что (см. [11, 24]) класс BM OA определяется через норму Гарсиа следующим образом: 1s Z |f (ξ) − f (z)|s dm(ξ)(1−|z|) BM OA(D) = f ∈ H 1 (D) : sup , 1 ≤ s < ∞. |1 − ξ z¯|2 |z|<1 T
В дальнейшем нам понадобится следующее важное утверждение, установленное в работе [18]. Теорема 6. 1. Следующие условия равносильны: (a) последовательность (zk )∞ k=1 удовлетворяет условию (WN); b (b) B(k) = 0 k1 ; 0 (c) M , r) ≤ C(1 − r)1/p−1 для некоторого p, 1 < p < ∞; R p (B 00 (d) |B (rξ)| dm(ξ) ≤ C1 (1 − r)−1 . T 2. Если αp ∈ 12 , 1 , 1 ≤ p < ∞, и последовательность (zk )∞ k=1 не касательно сходится к 1, то Mp (B 0 , r) ≤ C(1 − r)α−1 в том и только в том случае, если 1 − |zk | = O(k −αp/(1−αp ). Определение. Пусть X и Y , как и выше, подпространства H(D). Будем говорить, что последовательность (bk )k∈Z+ — мультипликатор из X в Y , если P P для любой функции f , f ∈ X, f (z) = ak z k , функция (T gf )(z) = bk ak z k k≥0
k≥0
принадлежит Y . Пространство всех мультипликаторов из X в Y в дальнейшем будем обозначать через MT (X, Y ). Напомним, что e α f, r)(1 − r)β < ∞, β > 0, α ∈ R}. Hα∞,∞,β (D) = {f ∈ H(D) : sup M∞ (D r∈I
Легко видеть (см. [6]), что Hα∞,∞,α (D) = Bl(D), Hβ∞,∞,β−α = α A (D), β > α > 0, где Bl(D) и α (D) — известные пространства Блоха и Липшица — Зигмунда A (см. [11]).
706
Р. Ф. Шамоян Теорема 7. Пусть g ∈ H(D), g(z) =
bk z k . Тогда следующие условия
P k≥0
равносильны: 1) g ∈ MT (BM OA(D), Hα∞,∞,β (D)), α ∈ R, β > 0; R U e g(rξ)| dm(ξ) (1−r)V < ∞ для некоторых U, V , V > 0, U ∈ R, 2) sup |D r∈(0,1) T
V − β = U − α. Замечание. Описание пространств коэффициентных мультипликаторов, действующих из класса BM OA или в класс BM OA, было, по-видимому, начато в статье [27]. Теорема 7 дополняет результаты этой работы. Следствие 6. Имеют место равенства MT BM OA(D), βl(D) α
= {g ∈ H(D) : sup M1 (R g, r)(1 − r)α < ∞, α ∈ (0, ∞)}, r∈(0,1)
MT BM OA(D), α A (D) γ
= {g ∈ H(D) : sup M1 (R g, r)(1 − r)γ−α < ∞, γ > α > 0}. r∈(0,1)
Замечая, что f ∈ MT (BM OA(D), Bl(D)), f = вложение BM OA ⊂ Bl (см., например, [11]).
1 1−z ,
получаем хорошо известное
e −α (D e αf ) = f Доказательство теоремы 7. В дальнейшем, как и выше, D для α > 0. Для доказательства импликации 2) ⇒ 1) заметим, что из леммы 4 следует Z 1 2 −1 1 e e ¯ |h(rρ ξ)| = D gξr (ρt)D f (tρ) dm(t) 2π T
Z ≤ c(ρ)
e 2D e −1 gξr (w)| |D e 1 f (w)| (1 − |w|) dm2 (w), |D
(3.1)
D
c(ρ) → c1 , ρ → 1, gw (z) = g(wz), w, z ∈ D, Z 1 2 h(rρ ξ) = gξr (ρt¯)f (tρ) dm(t), ξ ∈ T, ρ, r ∈ (0, 1). 2π T
Переходя в (3.1) к пределу при ρ → 1 и принимая во внимание соотношение e 2D e −1 D e −1 g)rξ (w) ∈ H ∞ (D) и лемму 4, приходим к неравенству (D Z 2 e −1 e −1 e e 2D e −1 D e −1 g(rξ)| dm(ξ). |h(rξ)| ≤ ck(D D D g)rξ (w)kH 1 (D) . |D T
e 1D e 1 Rα g(z), α > e 1D e 1 Rα h(z), D Вместо h(z), g(z) возьмем далее соответственно D 0, повторим проведенные рассуждения и получим Z α 2 1 e1 α e e g(r, t)| dm(t). |D D R h(rξ)| . |R D T
Следовательно, e 1D e 1 Rα h(rξ)| (1 − r)β+2 . sup sup |D r∈I
Z
r∈I T
2 e |R D g(rξ)| dm(ξ) (1 − r)β+2 . α
О характеристиках типа ВМО одного класса
707
Остается применить леммы 1 (п. 2) и 3 (п. 1): Z Z α 2 e g(rξ)| dm(ξ) (1 − r)β+2 . sup |Rα R2 g(rξ)| dm(ξ) (1 − r)β+2 sup |R D r∈I
r∈I T
T
Z . sup
|R g(rξ)| dm(ξ) (1 − r)β < ∞, α
β > 0.
r∈I T α
Аналогично применяя леммы 1 (п. 2) и 3 (п. 1) слева, выводим sup |R h(rξ)| (1− rξ∈D
r)β < C. Поэтому Z sup
U |R g(rξ)| dm(ξ) (1 − r)v < ∞.
r∈I T
e m gw )(z), Докажем обратную импликацию. Заметим, что h(wz) − hw (z) = (D w ∈ D, где X X X 1 = ak (zw)k . h(z) = bk ak z k , g(z) = bk z k , fw (z) = m+1 (1 − wz) k≥0
k≥0
k≥0
∞
Ввиду теоремы о замкнутом графике с учетом вложения H ⊂ BM OA (см. [11]) выполняется неравенство
1 m e
kD gw (z)kHα∞,∞,β (D) ≤ C , m ∈ N, w ∈ D.
∞ m+1 (1 − wz) H
(D)
Из леммы 1 (п. 2) в силу неравенства 1 1 kfw (z)kH ∞ (D) ≤ , fw (z) = , w ∈ D, |1 − wz0 |m+1 (1 − wz)m+1 находим C m , |z0 | = 1. kR gw (z)|Hα∞,∞,β (D) ≤ |1 − wz0 |m+1 Следовательно, используя снова лемму 1, получаем C α+m kR g(wrξ)| (1 − r)β ≤ , w ∈ D, β > 0. |1 − wz0 |m+1 Положим w = rϕ. Тогда, интегрируя обе неравенства по T и учитывая R части α лемму 3, выводим окончательно, что |R g(rξ)| dm(ξ) (1 − r)β < ∞, β > 0, T
α ∈ R. Остается еще раз воспользоваться леммой 3. Теорема 7 доказана полностью. Из теоремы 6 и теоремы 7 следует Теорема 8. 1. Следующие условия равносильны: (a) последовательность (zk )∞ k=1 удовлетворяет условию (WN); ∞,∞,B (b) оператор TB ограниченно действует из BM OA(D) в Hβ+1 (D), β > 0; 1 b (c) B(k) = O k . 2. Пусть α ∈ 12 , 1 и последовательность (zk )∞ k=1 не касательно сходится к 1. Тогда следующие условия равносильны: (a) 1 − |zk | = O(k −α/(1−α) ); (b) оператор TB действует ограниченно из BM OA(D) в Hβ∞,∞,β−α (D), β > α. Замечание. Легко видеть, что предложенный выше подход можно использовать и в других ситуациях, когда пространство мультипликаторов имеет удобный вид и применима теорема 6.
708
Р. Ф. Шамоян § 4. Формулировки и доказательства вспомогательных утверждений Лемма 1. 1. Пусть γ1 , γ2 > 1. Тогда Z C1 (1 − |z|)1−γ1 C2 (1 − |w|)1−γ2 dm(ξ) ≤ + , M= γ 2 ¯ γ2 |1 − z w| ¯ |1 − z w| ¯ γ1 |1 − zξ|γ1 |1 − wξ|
w ∈ D.
T α
2. Пусть α > 0. Тогда R f ∈ H0p,q,s в том и только в том случае, если e α f ∈ H p,q,s , s > 1, 0 < p, q ≤ ∞, где D O Hβp,∞,α = {f ∈ H(D) : sup Mp (Dβ f, r) (1 − r)α < ∞, β ∈ R, α ≥ 0, 0 < p ≤ ∞}; r∈I Z1 Hβ∞,q,α = f ∈ H(D) : (M∞ (Dβ f, z))q (1 − r)α dr < ∞, α > −1, β ∈ R . 0
Доказательство леммы 1. Имеем Z Z M= (. . . ) dm(ξ) + ξ|1−ξ z¯|≥σ|1−z w| ¯
f1 + M f2 . (. . . ) dm(ξ) = M
ξ|1−ξ z¯|≥σ|1−z w| ¯
Легко видеть, что если число σ выбрать достаточно близким к нулю, то в силу ¯ < C1 |1 − w¯ ¯ будем иметь C2 |1 − w¯ z | < |1 − wξ| z |, неравенства |1 − ξ z¯| < σ|1 − z w| ξ ∈ T , w, z ∈ D. Следовательно, получаем Z C3 (1 − |w|)1−γ2 dm(ξ) f1 = ≤ , M ¯ γ1 |1 − ξw| ¯ γ2 z |γ1 |1 − w¯ |1 − ξz| |1−ξ z¯|>σ|1−w¯ z|
Z f2 = M ¯ |1−ξz|≤σ|1−w¯ z|
dm(ξ) C4 (1 − |z|)1−γ1 ≤ . ¯ γ1 |1 − ξw| ¯ γ2 z |γ2 |1 − w¯ |1 − ξz|
Утверждение второй части леммы установлено в работе [9]. Лемма 1 доказана. Лемма 2. Справедливы следующие оценки: R1 e α+1 D e −1 g, ρ) (1 − ρ)α+αq−βq dρ ≤ Ckgkq p,q,α , где g ∈ H p,q,α , 0 < p, 1) Mpq (D β H β
0
q < ∞, α(1 + R q) − βq > −1, R α ¯ (1−|w|)α−1 dm2 (w), α > 0, 2) lim g(Rξ)f (Rξ) dm(ξ) ≤ C |R g(w)| |f (w)| R→1 T D P P s f, g ∈ H(D), g(z) = bk z k , R g(z) = (k + 1)s bk z k , s ∈ R; 3) N =
R D
k≥0 |f (w)| (1−|w|)α |1−wz|β
k≥0
q R dm2 (w) ≤ C D
|f (w)|q (1−|w|)αq (1−|z|)−δq dm2 (w) , |1−wz|2+(β−2−δ)q
q ≥ 1,
f ∈ H(D), αq > −1, δ > 0, z ∈ D. Доказательство леммы 2. 1. Для доказательства воспользуемся леммой 1 (п. 2) и теоремой Харди — Литтлвуда (см., например, [14]): Z1 0
e α+1 D e −1 g, ρ) (1 − ρ)α(1+q)−βq dρ Mpq (D
О характеристиках типа ВМО одного класса Z1 .
Mpq (R
α+1
R
−1
709
g, ρ) (1 − ρ)α(1+q)−βq dρ
0
Z1 .
α
Mpq (R g, ρ) (1 − ρ)α(1+q)−βq dρ . kgkqH p,q,α . β
0
2. Оценка следует непосредственно из легко проверяемого тождества Литтлвуда — Пэли: Z
2m−1 f (rt)g(rt) dm(t) = 2 r (m − 1)!π
Zr Z
r m−1 m R dRdm(ξ). f (Rξ)R g(R, ξ) log R
0 T
T
3. Воспользуемся неравенством Г¨ельдера: Z Z q/q0 |f (w)|q (1 − |w|)αq dm2 (w) dm2 (w) N. . ¯ 2+δq |1 − wz| |1 − wz| ¯ 2+((β−2)−δ)q D
D
Остается использовать легко выводимую (см. (1.6)) оценку q/q0 dm2 (w) . (1 − |z|)−δq , z ∈ D, δ > 0, |1 − wz|2+δq D Z |f (w)|q (1 − |w|)αq (1 − |z|)−δq dm2 (w). N. |1 − w¯ z |2+((β−2−δ)q
Z
D
Лемма 2 доказана полностью. Лемма 3. Имеют место следующие оценки: 1. HVp,q,α = HUp,q,β , α, β ≥ 1, u, v ∈ R, u − v = β − α, 0 < q, p ≤ ∞, где e s f )(z) = (D
X (k + 1) (s + 1) k≥0
(k + s + 1)
ak z k
s < 0, f (z) ∈ H(D), f (z) =
X
ak z k .
k≥0
2. Выполнены соотношения 1 q/p RR R1 (a) |f (rϕ)|p (1 − r)α dm(ϕ)rdr . Mpq (f, |w|)(1 − |w|)t dm2 (w), где 0 T
0
0 < p, q < ∞, f ∈ H(D), q ≤ p, α > −1, f ∈ H0q,p,t , t = (α + 1)q/p − 1; 1 s RR R (b) |(f (rϕ))|p (1 − r)α r drdm(ϕ) ≤ C |f, (w)|ps (1−|w|)(α+2)s−2 dm2 (w), 0 T
D
ps,ps,r где s ≤ 1, α > 1−2s , r = (α + 2)s − 2. s , 0 < p < ∞, f ∈ H0 Доказательство леммы 3. 1. Это утверждение установлено в работе [6]. 2. Для доказательства второй части леммы нам потребуется диадическое разбиение круга D:
Djk = {z = rξ, 2−k−1 < 1 − r ≤ 2−k , πj2−k < θ ≤ π(j + 1)2−k , j = −2k , . . . , 2k − 1};
710
Р. Ф. Шамоян
∗ Djk = {z = rξ, 2−k−2 < 1 − r ≤ 2−k+1 ,
π(j − 1/2)2−k < θ ≤ π(j + 1/2)2−k , j = −2k , . . . , 2k − 1}. Нам также потребуется оценка Z max |f (z)|p ≤ C22k |f (z)|p dm2 (z), z∈Dk,l
0 < p < ∞, f ∈ H(D),
(3.2)
Dk,l
установленная, например, в [28]. (а) Имеем Z q/p X K= |f (w)|p (1 − |w|)α dm2 (w) =
k 2X −1
k≥0
l=2−k
D
K.
X X k≥0
l
!q/p
Z
p
α
|f (w)| (1 − |w|) dm2 (w) Dk,l
( max |f (w)|p )2−k(α+2)
q/p
w∈Dk,l
.
∗ ∗ Далее, учитывая оценку (3.2) и тот факт, что дуги Ik,l = {ξ ∈ T : z = rξ ∈ Dk,l } конечнократно покрывают окружность T , получаем
K.
X X Z k≥0
l
.
∗ Ik,l
sup z∈(1−2−k+1 ,1−2−k−2
XZ k≥0
q/p −k(α+1) |f (z)| dm(ξ) 2 p
q/p Z1 −k(q/p)(α+1) |f (r0 ξ)| dm(ξ) 2 . Mpq (f, ρ)(1 − ρ)t dρ. p
0
T
Оценка (b) установлена в [28] (см. также [29]). Лемма 3 доказана полностью. Лемма 4. 1. Пусть f, g ∈ H(D), α > 0. Тогда Z Z e α g(w)| (1 − |w|)α−1 dm2 (w), f (rt¯)g(rt) dm(t) ≤ C |f (w)| |D
r>
1 . 2
D
T
2. Функция f принадлежит BM OA(D) в том и только в том случае, если для любой функции g, g ∈ H 1 (D), справедлива оценка Z e (w)| |Dg(w)| e |Df (1 − |w|) dm2 (w) ≤ ckgkH 1 (D) . D
Утверждения 1 и 2 леммы содержатся соответственно в [29, 30]. Лемма 5. Пусть s > −1, r, t ≥ 0, r + t − s > 2, ξ, w ∈ D. Тогда ( C Z , r − s, ts < 2, (1 − |z|)s |1−ξw|r+t−s−2 dm2 (z) ≤ C ¯ r |1 − z w| ¯t |1 − z ξ| (1−|ξ|)r−s−2 |1−ξ w| ¯ t , t − s < 2 < r − s. D
Доказательство см. в [24].
,
О характеристиках типа ВМО одного класса
711
ЛИТЕРАТУРА 1. Стейн Е. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 2. Пеллер В. В., Хрущев С. В. Операторы Ганкеля, наилучшие приближения и стационарные гауссовские процессы // Успехи мат наук. 1982. Т. 37, № 1. С. 53–124. 3. Dyakonov K. M. Besov spaces and outer functions // Mich. Math. J.. 1998. V. 45. P. 143–157. 4. Aleman A. Hilbert spaces of analytic functions between the Hardy space and the Dirichlet space // Proc. Amer. Math. Soc.. 1992. V. 115. P. 97–104. 5. Dyakonov K. M. Equivalent norms on Lipschitz-type spaces of holomorphic functions // Acta Math.. 1997. V. 178. P. 143–167. 6. Tevtiˆ c M., Pavloviˆ c M. Coefficient multipliers on spaces of analytic functions // Acta Sci. Math.. 1998. V. 64. P. 531–545. 7. Шамоян Р. Ф. Непрерывные функционалы и мультипликаторы степенных рядов одного класса голоморфных в полидиске функций // Изв. вузов. Математика. 2000. № 7. С. 84–87. 8. Blasco O. Multipliers on spaces of analytic functions // Canad. J. Math.. 1995. V. 47. P. 44–64. 9. Buckley S. M., Koskela P., Vukotiˆ c D. Fractional integration, differentiation, and weighted Bergman spaces // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.. 1999. V. 126, N 2. P. 377–385. 10. Трибель X. Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986. 11. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. 12. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces. New York: Springer-Verl., 2000. 13. Zhu K. Operator theory in function spaces. New York: Springer, 1990. 14. Duren P. L. Theory of H p spaces. New York: Acad. Press, 1970. 15. Дьяконов К. М. Гладкие функции и коинвариантные подпространства оператора сдвига // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4, № 5. С. 117–147. 16. Ahern P., Jeviˆ c M. Inner multipliers of the Besov spaces, 0 < p ≤ 1 // Rocky Mountain J. Math.. 1990. V. 20, N 3. P. 753–764. 17. Dyakonov K. M. Multiplication by Blaschke products and stability of ideals in Lipschitz algebras // Math. Scand.. 1993. V. 73. P. 246–258. 18. Вербицкий И. О коэффициентах Тейлора и Lp -модулях непрерывности произведений Бляшке // Зап. науч. семинаров ЛОМИ/ Мат. ин-т им. В. А. Стеклова. Ленингр. отд-ние.. 1982. Т. 107. С. 27–35. 19. Шамоян Р. Ф. Об ограниченности операторов Теплица в пространствах типа BM OA // Тез. докл. междунар. конф. «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках». Воронеж, 2000. С. 232. 20. Виноградов С. А., Хавин В. П. Свободная интерполяция в H ∞ и в некоторых других классах // Зап. науч. семинаров ЛОМИ/ Мат. ин-т им. В. А. Стеклова. Ленингр. отд-ние.. 1976. Т. 56. С. 12–59. 21. Виноградов С. А. Базисы из показательных функций и свободная интерполяция в банаховых пространствах с p-нормой // Зап. науч. семинаров ЛОМИ/ Мат. ин-т им. В. А. Стеклова. Ленингр. отд-ние.. 1976. Т. 65. С. 17–69. 22. Шамоян Р. Ф. О произведениях Бляшке в пространствах Бесова и в классах типа BM OA // Тез. докл. междунар. конф. «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж, 2001. С. 283. 23. Ortega J. M., Fabrega J. Hardy’s inequality and embeddings in holomorphic Triebel — Lizorkin spaces // Illinois. J. Math.. 1999. V. 43, N 4. P. 733–751. 24. Ortega J. M., Fabrega J. Pointwise multipliers and corona type decomposition in BM OA // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1996. V. 46. P. 111–137. 25. Dorronsoro J. R. Mean oscillation and Besov spaces // Canad. Math. Bull.. 1985. V. 28. P. 474–480. 26. Шведенко С. В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге и шаре // Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 23. С. 3–123. (Итоги науки и техники). 27. Mateljeviˆ c M., Pavloviˆ c M. Multipliers of H p and BM OA // Pacific J. Math.. 1990. V. 146, N № 1. P. 71–84. ` Shamoyan F. A. Topics in the theory of Apα spaces. Leipzig: Teubner-Verl., 28. Djrbashian A. E, 1988. (Teubner Texte zur Math.; 105).
712
Р. Ф. Шамоян
29. Шамоян Р. Ф. О мультипликаторах из пространств типа Бергмана в пространства Харди в поликруге // Укр. мат. журн.. 2000. № 10. С. 405–415. 30. Шамоян Ф. А. Теплицевы операторы в некоторых пространствах голоморфных функций и новая характеристика классов BM OA // Изв. АН Арм. ССР. 1987. № 2. С. 122–132. Статья поступила 16 августа 2001 г., окончательный вариант — 14 мая 2002 г. Шамоян Роми Файзоевич Брянский гос. университет, ул. Бежицкая, 14, Брянск 241036
[email protected]
