Деформация квазипрямоугольных импульсов линейным четырехполюсником: Учебное пособие

В.В. Каштанов ДЕФОРМАЦИЯ КВАЗИПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ ЛИНЕЙНЫМ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОМ /СГУ ../ Кафедра радиотехники и электродинамики / учебные пособия и монографии / Каштанов ДЕФОРМАЦИЯ КВАЗИПРЯМОУГОЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫМ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОМ

ИМПУЛЬСОВ

Учебное пособие для студентов специальностей 0138006, 071500 – «Радиофизика и электроника». Автор: Каштанов Виктор Владимирович, к.т.н., доцент кафедры радиотехники и электродинамики.

Оглавление Предисловие…………………………………………………………………2 Глава 1. Аппарат интегралов наложения (∗.doc)……………………….3 1.1 Переходные и импульсные характеристики цепей……………….……3 1.2 Интеграл Дюамеля, интегралы наложения……………………………..6 1.3 Расчет отклика цепи………………………………………………………7 1.4 Деформация элементарных сигналов интегрирующей и дифференцирующей цепями……………………………………………………….9 Глава 2. Линейный четырехполюсник третьего порядка (∗.doc)……13 2.1 Переходные характеристики четырехполюсника третьего порядка…13 2.2 Линейный трапецеидальный импульс………………………………….16 2.3 Деформация квазипрямоугольных импульсов четырехполюсника третьего порядка……………………………………...17 Литература (∗.doc)………………………..………………………………...22

1

Предисловие Исследование возможной деформации квазипрямоугольных электрических и магнитных импульсов является обязательной процедурой при разработке радиоэлектронной аппаратуры и электрофизического оборудования, так как только на его основе можно получить критерии правильного выбора необходимой элементной базы или требования к элементной базе. Одним из наиболее эффективных и удобных путей определения деформации является использование аппарата интегралов наложения, позволяющего на основе характеристик цепей, получаемых при элементарных воздействиях, находить с помощью разработанного интегрального аппарата отклики цепей при любых воздействиях. В частности такие воздействия могут быть импульсными. Данное учебно-методическое пособие предназначено для углубленного освоения аппарата интегралов наложения при практических расчетах импульсных цепей и сигналов. В первой главе рассматриваются основные вопросы построения и применения переходных характеристик и различных форм интегралов наложения. Приводятся примеры расчета передачи элементарных импульсов простыми линейными четырехполюсными цепями первого порядка. Во второй главе рассматривается переходная характеристика четырехполюсника третьего порядка и передачи квазипрямоугольных импульсов таким четырехполюсником в колебательном режиме на основе их линейно-трапецеидальной модели. Исследуется сглаживание наложенных колебаний вершины, определяющих ее неравномерность. Показано, что длительность фронта входного импульса существенно влияет на неравномерность вершины и имеет оптимальное значение, связанное с периодом наложенных колебаний.

2

Глава 1. Аппарат интегралов наложения 1.1 Переходные и импульсные характеристики цепей Переходные процессы, возникающие в линейных цепях при воздействии и передаче сигналов произвольной формы, могут быть исследованы и рассчитаны следующими основными методами: классическим, операторным, спектральным и методом интеграла Дюамеля. Последний метод особенно удобен в случае сложной формы воздействующего на цепь сигнала (ЭДС, напряжения или тока), так как позволяет определить токи и напряжения в любой ее ветви с помощью нескольких несложных аналитических выражений (форм интеграла Дюамеля – интегралов наложения) на основе сравнительно просто рассчитываемых переходных или импульсных характеристик. Переходной характеристикой (переходной функцией) или реакцией цепи h( t ) в общем случае называется отношение функции отклика X (t ) к скачкообразному воздействию A ⋅ 1( t ) при нулевых начальных условиях цепи: X (t ) , A ⋅ 1(t )

h(t ) =

где Aамплитуда воздействия (напряжения, ЭДС или тока), 1( t ) - единичная функция Хевисайда, определяемая как

1 t ≥ 0 ; 1( t ) =  0 t < 0. Физически скачкообразное воздействие на цепь можно осуществить с помощью устройств, схемы которых приведены на рис. 1. При включении ключа K (рис. 1а,б.) на выходных клеммах образуются скачкообразные ЭДС и напряжение постоянной величины, при выключении ключа (рис. 1в.) образуется скачкообразный ток.

Е0=const

U0=const

Е01(t)

U01(t)

3

J0=const

J01(t)

а) б) в) Рис. 1. Схемы генераторов скачкообразных ЭДС, напряжения и тока Импульсной характеристикой или импульсной функцией цепи hδ (t ) называют производную от переходной характеристики: hδ ( t ) = h′( t ). В зависимости от вида отклика цепи X ( t ) (напряжения или тока) и вида воздействия A (ЭДС, напряжения или тока) различают следующие переходные характеристики: переходную проводимость Y ( t ) , переходное сопротивление R( t ) и переходную функцию h( t ) . Переходной проводимостью Y ( t ) называется отношение функции тока i( t ) какой-либо ветви цепи к скачкообразному воздействию ЭДС или напряжения на входных клеммах цепи:

Y( t ) =

i( t ) E0 ⋅ 1( t )

или

Y( t ) =

i( t ) . u0 ⋅ 1( t )

Так как функции токов ветвей различаются между собой, цепь имеет столько переходных проводимостей, сколько ветвей. Переходным сопротивлением называется отношение функции напряжения u( t ) на любом элементе или группе элементов цепи к скачкообразному воздействию тока на входных клеммах цепи: u( t ) R( t ) = . J 0 ⋅ 1( t ) Очевидно, цепь имеет столько различных R( t ) , сколько различных u( t ) . В случае совпадения размерности отклика и напряжений скачкообразного воздействия используется переходная функция h( t ) :

h( t ) =

u( t ) E0 ⋅ 1( t )

или

h( t ) =

i( t ) . J 0 ⋅ 1( t )

Как видно из определений переходных характеристик, отклики цепи X ( t ) представляют собой переходные токи ветвей или переходные напряжения элементов или группы элементов при включении на входные клеммы постоянных ЭДС, напряжения или тока в случае нулевых начальных условий, когда начальные напряжения всех емкостей и токи всех индуктивностей цепи равны нулю. Такие переходные токи и напряжения достаточно просто определяются классическим и операторным методами. Например, переходный ток i( t ) и одно из переходных напряжений u1 (t ) = u c (t ) RC - цепи, приведенной на рис. 2, получаемых при включении на входные клеммы постоянного напряжения u0 , имеют вид 4

t

u − i( t ) = 0 e τ , R

u1 ( t ) = u0 ( 1 − e

−

t τ

),

r U

0

где τ = RC - постоянная времени. Рис. 2

Схема RC - цепи

Очевидно, второе переходное напряжение RC - цепи – напряжение на сопротивлении R может быть получено как t u (t ) = u = R ⋅ i (t ) = u е τ . 2 R 0 −

Таким образом, t

i( t ) 1 −τ Y( t ) = e ; = u0 ⋅ 1( t ) R t

− u1 ( t ) h1 ( t ) = = 1 − e τ; u0 ⋅ 1( t ) t

− u2 ( t ) h2 ( t ) = = e τ. u0 ⋅ 1( t ) С помощью переходных характеристик легко определяются отклики цепей при воздействии на них многоступенчатых напряжений. Например, при воздействии на RC - цепь (рис. 2) трехступенчатого напряжения u (t ) , приведенного на рис. 3а, напряжение на емкости может быть получено с помощью переходной функции h1 (t ) .

5 b)

Рис. 3. Трехступенчатое напряжение u (t ) на три После разложения воздействующего напряжения ступенчатых напряжения: u1 ⋅ 1(t ) , начинающегося в t = 0 ; (u 2 − u1 ) ⋅ 1(t − t1 ) , начинающегося в t = t1 и (u 3 − u 2 ) ⋅ 1(t − t 2 ) , начинающегося в t = t 2 (рис.3б), напряжение на емкости получается суммированием откликов по методу суперпозиции: −

t τ

uc = u1 (1 − e ) −

при 0 ≤ t < t1

t τ

uc = u1 (1 − e ) + (u2 − u1 )(1 − e t − τ

u c = u1 (1 − e ) + (u 2 − u1 )(1 − e t2 ≤ t < ∞ .

t −t − 1 τ

−

t −t1 τ

)

при t1 ≤ t < t2

) + (u 3 − u 2 )(1 − e

t −t − 2 τ

Разностные аргументы времени t − t1 и запаздывание скачков напряжения u 2 − u1 и u 3 − u 2 . 1.2

)

t − t2

при

учитывают

Интеграл Дюамеля, интегралы наложения

В общем случае отклики цепей при воздействиях сигналов произвольной формы определяются с помощью выражений, называемых формами интеграла Дюамеля или интегралами наложения. Основная форма интеграла Дюамеля при определении тока какой либо ветви и воздействии на цепь напряжения u1 ( t ) имеет вид: t

i( t ) = u1 ( 0 )Y ( t ) +

∫ Y ( t − x )u′ ( x )dx, 1

(1)

0

где u1 ( 0 ) – начальное напряжение u1 ( t ) при t = 0 , Y (t ) - переходная проводимость. При расчете напряжения на элементах u 2 (t ) используется переходная характеристика h( t ) : t

u 2 (t ) = u1 (0)h(t ) + ∫ h(t − x)u1′ ( x) dx . 0

Как видно из приведенных выражений, конкретный вид используемой переходной характеристики определяется размерностями отклика и воздействия. При совпадении размерностей отклика и воздействия используется переходная функция, в противном случае – переходная проводимость или переходное сопротивление (размерность числителя характеристики соответствует отклику, размерность знаменателя – воздействию). Поэтому для определения напряжения на элементах цепи при 6

воздействии на нее тока сопротивление R( t ) :

необходимо использовать переходное

J (t )

t

u (t ) = J (0) R (t ) + ∫ R (t − x ) J ′( x )dx 0

Используя математические преобразования, можно получить и другие формы интеграла Дюамеля, называемые интегралами наложения. При определении тока для воздействующего напряжения u1 ( t ) они имеют вид: t

i( t ) = u1 ( 0 )Y ( t ) +

∫ u′ ( t − x )Y ( x )dx;

(2)

∫ Y ′( t − x )u ( x )dx;

(3)

∫ Y ′( x )u ( t − x )dx;

(4)

1

0 t

i( t ) = Y ( 0 )u1 ( t ) +

1

0 t

i( t ) = Y ( 0 )u1 ( t ) +

1

0

d t i(t ) = ∫ u (t − x)Y ( x)dx; dt 0 1

d i( t ) = dt

t

∫ u ( x )Y ( t − x )dx; 1

0

Третья и четвертая формы интеграла (3), (4), использующие импульсную Yδ ( t ) = Y ′( t ) , удобны при большом числе разрывов характеристику непрерывности первого рода у функции воздействия u1 ( t ) . 1.3

Расчет отклика цепи Расчет отклика цепи с помощью интеграла Дюамеля разбивается на

два этапа: 1. Определение переходной характеристики соответствующего вида: Y ( t ), R( t ) или h( t ) . 2. Составление и интегрирование выбранной формы интеграла Дюамеля для получения функции нужного отклика. В качестве примеров применения интеграла Дюамеля найдем выходные напряжения дифференцирующих и интегрирующих цепей, позволяющих получать токи и напряжения, близкие к производным и интегралам от функции входного напряжения. Дифференцирующие цепи имеют схемы, изображенные на рис.4а; интегрирующие цепи – на рис 4б. 7

Покажем, что выходные напряжения этих цепей приближаются к производным и интегралам от входных напряжений.

iL

ic R

Uвх

ic

Uвых

R

L

Uвх

Uвых

a iL

R

Uвх

Uвых

Uвх

L R

Uвых

б рис 4. Схемы дифференцирующих (а) и интегрирующих (б) цепей Для цепей (рис.4а) справедливы соотношения:

u вх = u c + u вых ; u вх = u R + u вых ; u вых = u R = R ⋅ ic = RC

du c ; dt

di L ; dt − и вых ; u R = u вх − u вых = i L R ,

u вых = u L = L u c = u вх поэтому

iL = u вых u вых

u вх − u вых ; R d ( u вх − u вых ) ; = RC dt L d ( u вх − u вых ) . = R dt

Таким образом, для обеих цепей выходное напряжение:

8

d ( u вх − u вых ) , dt

u вых = τ

(5)

где τ - постоянная времени цепи. Из выражения (5) следует, что дифференцирование входного напряжения u вх тем точнее, чем меньше u вых по сравнению с u вх , то есть необходимо выполнение условия: u вх >> u вых . Для цепей (рис. 4 б) справедливы соотношения: u вх = u R + u вых ; u вх = u L + u вых ; t

u вых

1 = u c = ∫ ic dt c0

u вых

R = u R = R ⋅ i L = ∫ u L dt ; L0

ic =

u вх − u вых ; u L = u вх − u вых , R

t

поэтому t

u вых =

1 (u вх − u вых )dt ; RC ∫0 t

u вых

R = ∫ (u вх − u вых )dt. L0

Как видно из полученных выражений, для обеих цепей выходное напряжение определяется как

u вых

1 = τ

t

∫ (u

вх

− u вых )dt ,

(6)

Из выражения (6) следует, что интегрирование входного напряжения u вх тем точнее, чем меньше u вых по сравнению с u вх , как и в случае дифференцирующих цепей. 1.4 Деформация элементарных дифференцирующей цепями

сигналов

интегрирующей

и

Используя интеграл Дюамеля, найдем выходные напряжения дифференцирующих и интегрирующих цепей u 2 (t ) для входных напряжений u1 ( t ) вида: 9

u 1 ( t ) = u m e − αt ;

(7)

u1 ( t ) = u m ( 1 − e − αt ).

(8)

Для u1 ( t ) , определяемого выражением (7): d u 1 ( t ) = − αu m e − αt ; dt

(9) t

∫ u (t )dt = 1

0

uт (1 − е −αt ). α

(10) Для u1 ( t ) , определяемого выражением (8): d u1 (t ) = αu m e −αt ; dt (11) t

∫ u (t )dt = u 1

0

m

 1 −αt  t − α (1 − e ) .

(12) При выполнении условия u1 >> u 2 выражения u 2 ( t ) цепей (рис. 4) должны приближаться к выражениям (9) – (12). Так как размерности воздействия u1 ( t ) и отклика u 2 ( t ) одинаковы, используем в качестве переходной характеристики переходную функцию h( t ) .

h( t ) = e

Для цепей, показанных на рис. 4 а:

−

t τ. −

t τ.

Для цепей, показанных на рис. 4 б: h( t ) = 1 − e Используя первую форму интеграла Дюамеля, u 1 ( t ) = u m e − αt , получаем для дифференцирующей цепи: t

u 2 (t ) = u1 (0)h(t ) + ∫ h(t − x)u1′ ( x)dx = u m e 0

= ume

−

t τ

−

t τ

t

− αu m ∫ e

t

− ατ + um ( e τ − e − αt ) 1 − ατ

0

−

t−x τ

при

⋅ e −αx dx =

(13)

Нетрудно убедиться, что при достаточно малой постоянной времени ( τ → 0 ) выходное напряжение u 2 ( t ) , определяемое выражением (13), приближается к выражению u 2 (t ) ≅ −τ ⋅ α ⋅ u m e − αt

(14) 10

Таким образом u 2 ( t ) , определяемое выражением (14), отличается от выражения (9) лишь постоянным множителем τ, что подтверждает возможность использования цепей, изображенных на рис. 4а, для дифференцирования входного напряжения u1 ( t ) . При малой величине τ раз коэффициент ατ << 1 , вследствие чего напряжение u 2 ( t ) в 1 ατ меньше напряжения u1 ( τ ) , условие u1 >> u 2 выполняется. Аналогично, при входном напряжении (7) в случае интегрирующей цепи получаем: u (t ) = u m (1 − e 2

−τt

x t −τt −t − d −αx 1 − t α τ −e ) dx = u m (e ) + u m ∫ (1 − e ) e dx 1 − ατ 0

(15)

τ( τ → ∞ ) Выражение (15) при достаточно большой величине приближается к выражению, отличающемуся от (10) на постоянный множитель 1 : τ u2 ( t ) ≅

1 um ⋅ ( 1 − e − αt ). τ α

При большой величине τ коэффициент ατ >> 1 и выходное напряжение u 2 ( t ) в ατ раз меньше по величине входного напряжения u1 ( t ) . В случае входного напряжения дифференцирующей цепи имеем t

u2 ( t ) =

∫e 0

−

t−x τ

u 1 ( t ) = u m ( 1 − e − αt )

для

t

− d ατ ⋅ ( 1 − e − αx )dx = u m ( e − αt − e τ ). dx 1 − ατ

При τ → 0 выходное напряжение приближается к выражению:

u (t) ≅ ѓї ⋅ τ ⋅ u e m 2 Для интегрирующей цепи имеем:

11

− ѓїt

.

(16)

t

u 2 (t ) = ∫ (1 − e

−

t−x τ

)

0

d (1 − e −αx )dx = dx

t

− ατ 1 ⋅e τ − ⋅ e −αt ). = u m (1 + 1 − ατ 1 − ατ

(17)

При τ → ∞ выражение (17) приближается к выражению:

1  1  u 2 (t ) ≅ u m t − (1 − e −αt ). τ  α 

(18)

Выражения (16) и (18) отличаются от соответствующих выражений (11) и (12) производной и интеграла входного напряжения (8) на постоянные множители τ и 1 , что также подтверждает возможность использования τ цепей, изображенных на рис. 4, для дифференцирования и интегрирования входного сигнала.

12

Глава 2. Линейный четырехполюсник третьего порядка 2.1 Переходная характеристика четырехполюсника третьего порядка При исследовании деформации квазипрямоугольных импульсов практически важными цепями, входящими в состав эквивалентных схем различных импульсных устройств, можно применять широко используемые функции выходного напряжения при скачкообразном входном напряжении [10-12]. Достаточно хорошо отвечает требованиям практики при формировании фронтов микросекундных импульсов, усиливаемых мощными усилителями или трансформируемых импульсными трансформаторами, четырехполюсник третьего порядка. Схема четырехполюсника приведена на рис 5.

рис.5 Схема четырехполюсника третьего порядка Для импульсного трансформатора элементы приведенной схемы имеют следующий физический смысл: L–индуктивность рассеяния; R-сопротивление обмоток, включающее приведенное сопротивление вторичной обмотки; Rгсопротивление генератора импульсов; Rн-приведенное сопротивление нагрузки; С1-эквивалентная емкость первичной обмотки, включающее выходную емкость генератора; С2- эквивалентная приведенная емкость вторичной обмотки; включающее приведенную емкость нагрузки. Для импульсного усилителя: L-паразитная индуктивность выходной цепи; R-сопротивление корректирующей цепи вершины; С1-выходная емкость коммутирующей лампы или коммутирующего транзистора; С2-паразитная емкость нагрузки. Rг-сопротивление генератора импульсов; Rн-сопротивление нагрузки. Как показано в [12] характер переходной характеристики в этом случае зависит от обобщенных параметров диаграммы Вышнеградского А и В. Диаграмма Вышнеградского приведена на рис. 6.

рис.6. Диаграмма Вышнеградского

13

Зависимость переходной характеристики от параметров А и В приведена на рис. 7

рис 7. Переходные характеристики четырехполюсника третьего порядка

Для прямоугольных импульсов область апериодических процессов П как правило не представляет практического интереса, так как соответствует пологому фронту с большой длительностью. При наклонном фронте входного импульса (т.е. при квазипрямоугольном импульсе) его длительность в этом режиме может только возрасти. Интерес представляет колебательный режим, так как в этом случае возможно уменьшение наложенных колебаний при относительно крутом фронте. Переходная характеристика h(t ) четырехполюсника третьего порядка в колебательном режиме имеет вид [12]: (19) h(τ ) = 1 − C ⋅ exp( −γ ⋅ τ ) − D ⋅ exp( −δ ⋅ τ ) ⋅ sin(ω ⋅ τ − θ ) , где 1 1 , , С= D = 2 2 2 2 γ ⋅ (δ − γ ) 2 + ω 2 ω ⋅ (δ + ω ) ⋅ (γ − δ ) + ω

[

]

[

]

θ = arctg( −ω / δ ) + arctg [ω /( γ − δ )] ,

γ - действительный корень характеристического уравнения p3 + B ⋅ p 2 + A ⋅ p + 1 = 0 , δ , ω - действительная и мнимая составляющие комплексных корней характеристического уравнения, 2δ 1 1 A= 2 + δ 2 + ω 2 ; B = 2δ + 2 ; γ = 2 2 2 δ +ω δ +ω δ +ω2

14

Для удобства на кривые областей наложены сетки кривых δ = const и ω = const , что позволяет определить значения δ и ω по обобщенным параметрам А и В. Как показывает анализ кривых h(t ) (19) в зависимости от расположения А, В в колебательной области можно выделить пять характерных видов колебательных деформаций ступенчатого сигнала: 1. Колебания фронта. Область малых В. Колебания имеются на фронте и начале вершины с высокой частотой. 2. Промежуточные колебания. Область близких значений А и В. Колебания имеются лишь в верхней части фронта и частично переходят в вершину с большим затуханием. 3. Колебания вершины с большим затуханием. Область больших В с большой δ . Колебания имеются на вершине и быстро затухают. 4. Колебания вершины с малым затуханием. Область больших В и малых А с малой δ . Колебания с большой амплитудой имеются на вершине и медленно затухают. У прямоугольного импульса относительно малой длительности плоская вершина практически отсутствует. 5. Монотонная область с небольшими колебаниями фронта и начальной части вершины. Каждая из указанных областей диаграммы Вышнеградского по своему деформирует фронт конечной длительности . При этом удобно использовать коэффициент λ = δ / ω , характеризующий затухание за период колебаний. Зависимость отношения h(t + T ) / h(t ) от λ приведена на рис. 8 . На рис. 9 приведена диаграмма Вышнеградского с наложенной сеткой кривых λ = const .

Рис. 8 Влияние параметра λ

15

рис. 9 Диаграмма Вышнеградского λ = const Используя приведенные сведения по переходной характеристике эквивалентной схемы третьего порядка, удобно анализировать деформацию входного фронта U 1 (τ ) . 2.2 Линейный трапецеидальный импульс

Наиболее широко в современной радиоэлектроники и прикладной физики применяется микросекундные квазипрямоугольные электрические импульсы. Аналитические выражения реальных практически применяемых микросекундных импульсов сложны и часто не могут быть найдены в явном виде из-за большого числа паразитных элементов реальных формирующих цепей, поэтому при расчетах передачи квазипрямоугольных импульсов используется их упрощенные модели, прежде всего линейная и экспоненциальная модели. 16

Линейный трапецеидальный импульс единичной амплитуды приведен на рис. 10.

1.0

τф

τи

τф + τи

τф + τи + τс

рис.10 Линейный трапецеидальный импульс Как видно из рис.10 напряжение или ток такого импульса изменяется во время фронта с длительностью τф (0 ≤ τ ≤ τф) и среза с длительностью τс (τф + τи ≤ τ ≤ τф + τи + τс) по линейному закону. Используя принцип суперпозиции, такой импульс можно представить как сумму четырех линейных сигналов, смещенных во времени как показано на рис. 10. Поэтому достаточно рассчитать передачу линейного сигнала чтобы с помощью суммирования соответствующих откликов определить общую картину деформации импульса в целом и его отдельных частей. При этом вершина выходного импульса при τ > τф находиться как разность отклика от первого линейного положительного сигнала, начинающегося при τ = 0 и отклика второго линейного отрицательного сигнала, начинающегося при τ = τф. Срез выходного импульса находится как суперпозиция откликов первых трех линейных сигналов. Послеимпульсные процессы определяются суперпозицией откликов всех четырех линейных сигналов, изображенных на рис 10.

2.3 Деформация квазипрямоугольных четырехполюсником третьего порядка

импульсов

Рассмотрим передачу линейного фронта единичной амплитуды вида: τ −τф τ (20) U 1 (τ ) = ⋅ 1(τ ) − ⋅ 1(τ − τ ф ) ,

τф

где

τф

1(τ ) - единичная функция Хевисайда, τ ф - нормированная длительность фронта. 17

Решение интеграла наложения с приведенным U 1 (τ ) имеет вид: 1  τ ф U вых (τ ) =   1 + 

L=

  C D ⋅ e −δτ ⋅  L + τ + ⋅ е −γτ + ⋅ sin(ωτ + α ), для 0 ≤ τ ≤ τ ф 2 2 γ   δ +ω C ⋅ е −γτ (1 − е

γτ ф

D ⋅ sin(θ − ϕ )

δ +ω 2

М 1 = 1 − 2е

2

δτ ф

−

C

γ

γτ ф

)

+

D ⋅ e −δτ

τф ⋅ δ 2 +ω2

ϕ = arctg

⋅ cos ωτ ф + е

2δτ ф

ω δ

⋅ М 1 ⋅ sin(ωτ + ψ ), дляτ ф < τ < ∞

ψ =α + y

α =ϕ −θ

y = arctg

e

δτ ф

1− е

,

(21)

⋅ sin ωτ ф

δτ ф

⋅ cos ωτ ф

Как видно из соотношений (21), затухающие колебания U н (τ ) накладываются как на фронт выходного импульса ( τ < τ ф ) , так и на вершину ( τ > τ ф ). Колебания фронта уменьшаются с ростом длительности входного фронта τ ф . Колебания вершины являются результатом суперпозиции двух смещенных на τ ф

взаимообратных линейных напряжений и на их амплитуду

влияет не только τ ф , но и множитель М 1 , зависящий от соотношения τ ф и периода колебаний Т = 2π / ω . Величина множителя М 1 максимальна при τ ф = (2к − 1) ⋅ π / ω и минимальна при

M 1max = 1 + е ( 2 к −1)πδ / ω , к=1,2,……. , τ ф = 2к ⋅ π / ω = кT

M 1min = 1 − е 2 кδπ / ω = 1 − еδкT , к=1,2,……. . M 1min → 0 при δ → 0 , то есть амплитуда наложенных Причем колебаний вершины уменьшается (сглаживается) особенно интенсивно у колебаний h(t ) с малым затуханием. Сглаживание колебаний удобно и наиболее просто оценивать с помощью коэффициента сглаживания ψ , определяемого как отношение амплитуды h(t ) - D к амплитуде колебаний U н (τ ) в начале вершины входного сигнала U1 (τ ) при τ = τ ф . Поскольку длительность фронта U н (τ ) не равна τ ф и зависит от многих параметров, строгий расчет сглаживания требует полного расчета U н (τ ) для каждой комбинации параметров и поэтому мало пригоден и для общей и тем более для инженерной оценки сглаживания. Кроме того, следует учитывать, что реальная форма фронтов деформируемых импульсов всегда отличается от линейной, особенно в области скачка производной U 1 (τ ) , поэтому такой строгий расчет не имеет смысла. 18

Коэффициент сглаживания ψ имеет вид:

ψ=

е

δτ ф

⋅ 1 − 2е

δτ ф

⋅ cos ωτ ф + е

τф ⋅ δ + ω 2

2δτ ф

2

(22)

При x = ωτ ф , λ = δ / ω имеем:

ψ=

x ⋅ е λx ⋅ 1 + λ2 λx

1 − 2е ⋅ cos x + е

2 λx

(23)

Величина ψ имеет максимумы при τ ф = кT = 2кπ / ω , x = 2кπ . На рис. 11 приведено семейство кривых ψ (x) . Как видно из рис.11, для малых значений λ сглаживание наложенных колебаний весьма интенсивно (в сотни раз) и не может не учитываться при расчете неравномерности вершины трансформируемых импульсов.

рис. 11 Коэффициент сглаживанияψ (x) Расчет и анализ кривых U н (τ ) с учетом (23) для различных областей диаграммы Вышнеградского показывает, что сглаживающее влияние линейного 19

фронта U 1 (τ ) особенно эффективно проявляется при малых значениях параметра В (колебания фронта) и параметра А (малозатухающие колебания вершины), так как в этих областях мало относительное затухание, определяемое малым λ . В областях промежуточных колебаний и колебаний вершины с большим затуханием эффект взаимной компенсации колебаний, возбуждаемых противодействующими линейными напряжениями, проявляется значительно слабее, но из-за большого затухания наложенные колебания имеют малую амплитуду. В монотонной области величина λ велика (см. рис. 11 ), колебания h(t ) изначально имеют малую амплитуду и быстро затухают, поэтому «эффект линейного фронта» проявляется незначительно. Из приведенного следует, что совершенно непригодный для практического применения часто встречающийся режим интенсивных малозатухающих колебаний вершины, исключающих, например, трансформацию идеального прямоугольного импульса, вполне может использоваться на практике, если при этом будет обеспечена линейная форма фронта входного импульса нужной длительности. При экспоненциальной модели входного фронта: −τ / θ U 1 (τ ) = 1 − е ф . (24) Решение интеграла наложения с U1 (τ ) по (24) в колебательном режиме h(t ) имеет вид: U н (τ ) = 1 − е

− τ /θ

ф

+

1

δ +ω 2

2

− τ /θ ф ) −е D − γτ ф − 1 θ ф (δ − 1 / θ ф ) 2 + ω 2

− γτ

C=

где

γ =

С (е

1 γ (δ − γ ) 2 + ω 2

[

, ϕ = arctg (

]

,

 − τ /θф ⋅ sin(ϕ − θ ) − е − δτ ⋅ sin(ωτ − θ + ϕ ) е 

D=

1

[

ω (δ 2 + ω 2 ) (γ − δ ) 2 + ω 2

ω ⋅ cos θ − (δ − 1 / θ ф ) ⋅ sin θ ω ⋅ sin θ + (δ − 1 / θ ф ) ⋅ cos θ

) , θ = arctg (−

]

(25)

]

ω ω ) + arctg ( ) δ γ −δ

Как видно из выражения (25), составляющая наложенных колебаний U н (τ ) обратно пропорциональна величине ψ е :

где

ψ е = θ ф ⋅ (δ − 1 / θ ф ) 2 + ω 2 = y 2 + (λy − 1) 2 , y = ωθ ф , λ = δ / ω .

(26)

По сравнению с колебаниями h(t ) , амплитуда наложенных колебаний U н (τ ) уменьшается в ψ е раз, поэтому ψ е имеет смысл коэффициента y → 0,ψ е → 1, что сглаживания для экспоненциального фронта. При 20

соответствует переходу экспоненциального фронта в скачкообразный. Так же U1 (τ ) сглаживает как и линейный фронт экспоненциальный фронт наложенные колебания, хотя и с меньшей эффективностью из-за отсутствия эффекта взаимной компенсации колебаний. Сглаживание возрастает с увеличением θ ф во всех режимах колебаний. Можно показать, что влияние взаимной компенсации наложенных колебаний особенно эффективно проявляется при ступенчатой форме входного фронта U1 (τ ) [13], когда наложенные колебания на вершине U н (τ ) устраняются полностью. При практическом использовании ступенчатого фронта необходимы, однако, весьма крутые перепады входного напряжения, что при малой длительности импульсов не всегда достижимо. Проще формировать фронт, приближающийся к линейному, поэтому такая его форма может найти более широкое применение. Полученные результаты исследования деформации квазипрямоугольных импульсов, в частности, показывает, что проектирование ИТ на основе критического или околокритического режимов формирования фронта [10,11] рационально лишь при диапазонной трансформации импульсов с разными длительностями фронтов. При фиксированной длительности входного фронта (это значительно чаще встречается на практике) и его форме, приближающейся к линейной, с резким скачком производной напряжения в начале вершины, следует использовать колебательный режим, так как это может обеспечить меньшие искажения и большую крутизну выходных импульсов ИТ.

21

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 1, 2 М., «Энергия», 1967, 1975, 1981 г.г. 522 с. 2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники., М., «Энергия», 1966, 1970, 1978 г.г. 592 с. 3. Хохлов А.В. Теоретические основы радиоэлектроники. Саратов, изд. Саратовского госуниверситета, 2005. 256с. 4. Татур Т.А., Татур В.Е. Установившиеся и переходные процессы в электрических цепях. М., Высшая школа, 2001, 407с. 5. Прянишников В.А. Теоретические основы электротехники, Сп-б, “КОРОНА принт”, 2000, 368 с. 6. Демирчян К.С., Нейман Л.Р. и др. Теоретические основы электротехники. В 3-х т. 4 изд. -СПб., «Питер», 2003 г. 586 с. 7. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. М., «Высшая школа», 1972, 1981, 1986 г.г. 335 с. 8. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1975. 751 с. 9. Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. М., «Высшая школа», 1987 г. 511 с. 10. Матханов П.Н. , Гоголицин Л.З. Расчет импульсных трансформаторов. Л. : Энергия, 1980. 109с. 11. Вдовин С.С. Проектирование импульсных трансформаторов. Л.: Энергия, 1991.208 с. 12. Каштанов В.В. Анализ фронта выходных импульсов трансформатора // Радиотехника. 1995. №12, С.38-40. 13. Каштанов В.В., Климов В.А. Устранение колебаний на вершине мощных трансформируемых импульсов // ПТЭ. 1982. №4, С. 114-115.

22