Математика: Учебно-методическое пособие по специальности ''Микроэлектроника и твердотельная электроника''

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю РО С С И Й С К О Й Ф Е Д Е РАЦ И И В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РС И Т Е Т

М А Т ЕМ А Т И К А У че б н о-м е тодиче ское пособ ие для студе нтовсре дне го профе ссионального образования спе циальности 210104 (2001) М ик роэле к троник аи тве рдоте льная эле к троник а

В ороне ж 2006

2

У тве рж де но научно-м е тодиче ск им от 27 января 2006 г. проток ол № 1.

сове том

физиче ск ого фак ульте та

С оставите льБы к адороваГ .В .

У че бно-м е тодиче ск ое пособие подготовле но на к афе дре физик и полупроводник ов и м ик роэле к троник и физиче ск ого фак ульте та В ороне ж ск ого государстве нного униве рсите та. Ре к ом е ндуе тся для студе нтов 2 к урса ве че рне го и 1 к урса дне вного отде ле ний физиче ск ого фак ульте та, обучаю щ ихся по програм м е сре дне го профе ссионального образования спе циальности 210104 (2001) "М ик роэле к троник аи тве рдоте льная эле к троник а".

3

С оде рж ание 1. Д иффе ре нциальное исчисле ние … … … … … ...… … … … … … … … … … … … … 4 1.1. Задачи, приводящ ие к понятию производной … … … … ...… … … … … … 4 1.2. О сновны е правилаи форм улы диффе ре нциального исчисле ния … … ... 7 1.3. Д иффе ре нциал функ ции … ....… … … … ...… … … … … ...… … … … … ...… 9 1.4. П роизводны е и диффе ре нциалы вы сш их порядк ов… … … … … ............. 10 1.5. Ч астны е производны е . П олны й диффере нциал … … … … … … … … … ... 11 1.6. П рилож е ние производны х к иссле дованию функ ций ..… … … … ... … … . 13 2. И нте гральное исчисле ние ..… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 19 2.1. П е рвообразная функ ция и не опре де ле нны й инте грал … … … … … … … . 19 2.2. И нте грирование способом подстановк и … … … … ...… … … … … … … … .. 21 2.3. И нте грирование по частям … … … … … … … … … .… … … … … … … … … .. 23 2.4. О пре де ле нны й инте грал … … … … … … … … … … … … .… … … … ............. 25 2.5. Ре ш е ние прик ладны х задач спом ощ ью опре де ле нного инте грала… .... 26 3. О бы к нове нны е диффе ре нциальны е уравне ния ...… … … … … … … ........ … … .. 29 3.1. Задачи, приводящ ие к диффе ре нциальны м уравне ниям … ...… … … … . 29 3.2. О сновны е опре де ле ния… … … … … ..… … … … … … … … … … … … … .… . 31 3.3. Д иффе ре нциальны е уравне ния пе рвого порядк аи пе рвой сте пе ни … ... 32 3.4. Д иффе ре нциальны е уравне ния пе рвого порядк асразде ляю щ им ися пе ре м е нны м и ...… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 32 4. П осле довате льности и пре де лы … … … … … … ..… … … … … … … … … … … . 33 4.1. П ре де л числовой после довате льности … … .… … ....… … … … … … … … .. 33 4.2. П ре де л функ ции … … … … … … … … .… … … ..… … … … … … … … … … … 34 5. Ряды … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … … 36 5.1. О сновны е понятия и свой ства… … … … … ....… … .… … … … … … … … … 36 5.2. П ризнак и сходим ости … … … … … ...… … … … … … … ..… … … … … … … . 37 6. О сновы диск ре тной м ате м атик и … … … … … … … … … … ..… … … … … … … ... 39 6.1. П онятие м нож е ства… … … … … … … .… … … … … … … … ..… … … … … .. 39 6.2. О пе рации см нож е ствам и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 42 6.3. О тнош е ния и свой стваотнош е ний … … … … … … … .… … … … ...… … … 46 6.4. О сновны е понятия те ории графов… … … … … … … … … … ...… … … … . 49 7. О сновы те ории ве роятносте й и м ате м атиче ск ой статистик и .............… … … . 54 7.1. С лучай ны е собы тия и их ве роятности .… … … … … … … … … … .… … … . 54 7.2. Классиче ск ое опре де ле ние ве роятности ..… … … … … … … … .… … … … 56 7.3. С татистиче ск ое опре де ле ние ве роятности … … … … … … … … … … … … 58 7.4. Ф орм уласлож е ния ве роятносте й … … … .… … … … … … … ..… … … … … 59 7.5. У словны е ве роятности. Ф орм улаум нож е ния ве роятносте й .… … . … ... 59 7.6. Зак оны распре де ле ния случай ны х ве личин ...… … … … … … … … ...… … 60 7.7. Ч исловы е харак те ристик и случайной ве личины … … … … … .… ....… .… 63 7.8. Н орм альны й зак он распре де ле ния ...… … … … … … … … … … … … … … .. 65 8. О сновны е числе нны е м е тоды … … … … … … … … … … … … … … … ....… .… … . 67 8.1. Ч исле нное диффере нцирование .… … … … … … … … … … … … … … .… … 67 8.2. Ч исле нное инте грирование .… … … … … … … … … … … … … … … .… … .. 70 8.3. Ч исле нное ре ш е ние обы к нове нны х диффе ре нциальны х уравне ний … 73 Л ите ратура … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … .. 77

4

1. Д иф ф е ре н циальн ое исчисле н ие 1.1. Задачи, приводящ ие к понятию производной М ож но установитьсре дню ю ск оростьне равном е рного движ е ния за не к оторы й пром е ж уток вре м е ни, но к ак най ти эту ск оростьдля данного м ом е нта? М ож но вы числитьсре дню ю плотностьлю бого не однородного те ла, но к ак опре де литье го плотностьв отде льно взятой точк е ? М ож но опре де литьугловой к оэффициент се к ущ е й, проходящ е й че ре здве данны е точк и к ривой, но к ак опре де лить угловой к оэффицие нт к асате льной к к ривой вданной точк е ? Ре ш е ние задач так ого харак те ра становится возм ож ны м лиш ь с пом ощ ью п роизв одной , являю щ е йся основны м понятие м м ате м атиче ск ого анализа, а изуче ние ф унк ций с пом ощ ью производной составляе т пре дм е т диффе ренциального исчисле ния. И зфизик и изве стно, что зак он паде ния м ате риальной точк и в пустоте не зависит от е е м ассы и вы раж ае тся форм улой s=

gt 2 , 2

где s –пройде нны й завре м я t путь; g –уск оре ние свободного падения. П устьвре м я возрастае т на ве личину ∆t . Н айде м сре дню ю ск орость υ с р заэтот пром е ж уток вре м ени к ак g (t + ∆t ) gt 2 − ∆s 2 2 = g t 2 + 2t∆t + ∆t 2 − t 2 = g (2t + ∆t ) . = υс р = ∆t ∆t 2 2 2

(

)

М гнове нная ск орость υ в м ом е нт вре м е ни t м ож е т бы ть найде на при ∆t → 0 : g (2t + ∆t ) = gt . ∆t → 0 2 В общ е м случае пусть задана ф унк ция y = f (x ) , график к оторой υ = lim

изображ ен нарис.1.1. y y = f (x)

y2 ∆y

y1

Рис.1.1. Г рафик ф унк ции y = f (x ) .

∆x

x1

x2

x

5

Д ля двух значе ний аргум е нта x1 и x2 разность ∆x = x2 − x1 назы вае тся п рира щ ением а ргум ент а , а разность ∆y = y 2 − y1 = f (x 2 ) − f (x1 ) п рира щ ением ф унк ции наотре зк е [ x1 , x2 ]. Д ля лю бого значе ния не зависим ой пе ре м е нной х м ож но найти пре де л отнош е ния приращ е ния ∆y ф унк ции к приращ е нию аргум е нта∆x вида ∆y f (x + ∆x ) − f (x ) = ∆x ∆x

при ∆x → 0 . Н ахож де ния этого пре де ла сущ е стве нны м образом связано с установле ние м основны х понятий в сам ы х различны х областях наук и и те хник и. П оэтом у в м ате м атиче ск ом анализе ук азанном у пре де лу уде ляе тся особое вним ание и присваивае тся спе циальное наим е нование п роизв одна я ф унк ции. Опре де ле н ие . Произв одной ф унк ции y = f (x ) по не зависим ой пе ре м е нной х в данной точк е х назы вае тся отнош е ние приращ е ния ∆y ф унк ции к приращ ению аргум е нта ∆x при стре м ле нии ∆x к 0. Д ля обозначе ния производной прим е няе тся сим вол y′ или f ′(x ) : y ′ = f ′(x ) = lim

∆x → 0

∆y f (x + ∆x ) − f (x ) . = lim ∆ x → 0 ∆x ∆x

П рим е р 1.1. Н айти производную ф унк ции y(x ) = 3x 2 + 5 производной вточк е х=3. Ре ш е ние . Н айде м приращ е ние ф унк ции

(

)

и значе ние

∆y = 3(x + ∆x ) + 5 − 3 x 2 + 5 = 3 x 2 + 6 x ⋅ ∆x + 3(∆x ) + 5 − 3 x 2 − 5 = 6 x ⋅ ∆x + 3(∆x ) . 2

2

2

Т огдапо опре де ле нию производная ф унк ции е сть ∆y 6 x ⋅ ∆x + (∆x ) = lim = lim (6 x + 3 ⋅ ∆x ) = 6 x . ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x Значе ние производной вточк е х=3 равно y′(3) = 6 ⋅ 3 = 18 . 2

y′ = lim

П рим е р 1.2. Зак он движ е ния точк и по прям ой вы раж ае тся зависим остью пути S (м ) от вре м е ни t (с ): S (t ) = 2t 3 − 5t + 1 . О пре де литьск орость точк и вм ом е нт вре м е ни t=2 с . Ре ш е ние . П устьв м ом е нт вре м е ни t точк а заним ае т полож е ние А, а в м ом е нт t + ∆t - полож е ние В. ∆S

А S

В S1

∆t

С ре дняя ск оростьυ с р за пром е ж уток вре м е ни ∆t е стьυ cp =

∆S . Т огда ∆t

при ∆t → 0 получим м гнове нную ск оростьυ м вм ом е нт вре м е ни t: υ м = lim υ cp = lim ∆t →0

∆t →0

∆S = S t′ . ∆t

6

С ле довате льно, ск орость в лю бой производная пути по вре м е ни. В условиях задачи

м ом е нт

(

вре м е ни

е сть

)

∆S = 2(t + ∆t ) − 5(t + ∆t ) + 1 − 2t 3 − 5t + 1 = 3

= 2t 3 + 6t 2 ∆t + 6t ⋅ (∆t ) + 2(∆t ) − 5t − 5∆t + 1 − 2t 3 + 5t − 1 = 2

3

= 6t 2 ∆t + 6t ⋅ (∆t ) + 2(∆t ) − 5∆t . 2

3

М гнове нная ск оростьυ м вм ом е нт вре м е ни t: 6t 2 ∆t + 6t ⋅ (∆t ) + 2(∆t ) − 5∆t ∆S = lim = ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t 2 = lim 6t 2 + 6t ⋅ ∆t + 2(∆t ) − 5 = 6t 2 − 5. 2

3

υ м = lim ∆t → 0

(

)

В м ом е нт вре м е ни t=2 с υ м = 6 ⋅ 2 2 − 5 = 19 м с . П рим е р1.3. Н ай ти нак лон к асате льной к к ривой y = 3x 2 + 5 вточк е (2;3). Ре ш е ние . Н ак лоном прям ой назы ваю т угловой к оэффицие нт k прям ой, заданной уравне ние м ная к к ривой в y = kx + b . Касате ль точк е M0 е сть пре де льное полож е ние M 0T се к ущ е й M 0 M , к огда точк а М , пе ре м е щ аясь вдоль по к ривой, стре м ится к совпаде нию с M 0 .

Y

y = f (x) M ∆y T M0

ϕ

0

k = tgα = lim

∆x → 0

N

y0

α

И зге ом е триче ск их соображ е ний

α

x0

∆x

х

∆y f (x0 + ∆x ) − f (x0 ) = lim = y′ . ∆ x → 0 ∆x ∆x

В прим е ре 1.1 бы ла найде на производная от ф унк ции y = 3 x 2 + 5 , а им е нно y ′ = 6 x . Т огда нак лон к асате льной в заданной точк е буде т k = y′(2) = 6 ⋅ 2 = 12 . 1.1.

1.2. 1.3.

Задания О пре де литьск оростьдвиж е ния точк и в к онце тре тьей се к унды , е сли путь в S м е тров, пройде нны й точк ой за t се к унд, вы раж ае тся зависим остью S = 2t 3 − 3 . Когда ск оростьточк и, движ ущ е йся по зак ону s = t 2 − 4t + 5 , равна нулю ? О пре де литьск оростьизм е не ния функ ции y = 3x 2 − 4 x + 2 при x =

2 . 3

7

f ( x ) = 3x 2 . Н айти f ′(2), f ′(− 3), f ′(− 1) .

1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.

x3 f (x ) = . Н айти f ′(0), f ′(1), f ′(− 2) . 3 Н ай ти производную от ф унк ции y = x 2 + 1 . Н ай ти производную от ф унк ции y = 2 x 2 − 4 x + 2 . Н ай ти нак лон к асате льной к к ривой y = x 2 − 4 в точк е , абсцисса к оторой равна2. Н ай ти нак лон к асате льной к к ривой y = x 2 − 2 x + 3 в точк е , абсцисса к оторой равна1. 1.2. О сновны е правилаи форм улы диффе ре нциального исчисле ния

П устьu и v – не к оторы е ф унк ции от х, им е ю щ ие производны е при рассм атривае м ы х значе ниях х, ас –постоянная. Ф орм улы диффере нцирования 2. (c ⋅ u )′ = c ⋅ u ′ ′  u  u ′v − uv ′ 5.   = v2 v

1. с =const, c ′ = 0 4. (u ⋅ v )′ = u ′v + uv ′

( )′ = e

′

3. (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ′ 6. (x n ) = n ⋅ x n −1 и x ′ = 1

7. (a x ) = a x ln a

x 8. e

′ 10. (sin x ) = cos x

11. (cos x )′ = − sin x

12.

13. (tgx )′ =

′ 14. (ctgx ) = −

′ 15. (arcsin x ) =

1 cos 2 x

′ 16. (arccos x ) = −

′ 9. (ln x ) =

x

1 sin 2 x

′ 17. (arctgx ) =

1

1 1+ x2

1 x

( x )′ = 2 1 x

′ 18. (arcctgx ) = −

1− x В следую щ их прим е рах найти производны е ф унк ций. 2

1 1− x2 1 1+ x2

П рим е р1.4. y = 3 x − 2 x 5 + e 2 . ′ ′ ′ ′ y ′ = (3 x − 2 x 5 + e 2 ) = (3 x ) − 2 ⋅ (x 5 ) + (e 2 ) = 3 x ln 3 − 10 x 4 .

П рим е р1.5. y = 2 x ⋅ x 3 . ′ ′ ′ y ′ = 2 x ⋅ x 3 = 2 x x 3 + 2 x x 3 = 2 x ln 2 ⋅ x 3 + 2 x ⋅ 3x 2 = 2 x x 2 ( x ⋅ ln 2 + 3) .

(

) ( ) 1 3

( )

1 2

П рим е р1.6. y = 3x + 2 x − x − 2 + 4 . ′ 1 2 1 2 1 −  13  − 1 − 1 − − 2 y ′ =  3 x + 2 x 2 − x + 4  = 3 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 2 + 2 x −3 = x 3 + x 2 + 2 x −3 . 3 2  

8

П рим е р1.7. y =

2

x . 2 − x2 ′ ′ ′  x2  x2 2 − x2 − x2 2 − x2  = =. y ′ =  2  2 2 − x2 2− x 

( )(

=

(

)

2 x ⋅ 2 − x 2 − x 2 (− 2 x )

(2 − x )

2 2

П рим е р 1.8. y =

=

x2 ⋅ 3 x2 2 + − 1. В x x

(

)

)

(

4 x − 2 x 3 + 2 x3

(2 − x )

2 2

)

=

4x

(2 − x )

2 2

.

данном прим е ре ф унк цию

м ож но

пре образоватьк боле е простом увиду, азате м продиффе ре нцировать: 2 + −1 − − x2 ⋅ 3 x2 2 + − 1 = x 3 + 2x 2 − 1 = x 3 + 2x 2 − 1 ; x x ′ 1 2 3 − −  53  5 y ′ =  x + 2 x 2 − 1 = x 3 − x 2 . 3   2

y=

1

5

1

Задания 1.10. Н ай ти производны е ф унк ций. 1.10.1. y = − x 3 + 9 x 2 + 4 x − 5 . 

2



2

x 1.10.4. y = 1 −  . 2  

1.10.7. y = x +

1 1 − 5. 2 x 5x

x3

1.10.10. y = 3

x

1.10.2. y = x + 2 x . 1.10.5. y =

bx + c . a

1.10.16. y = x 2 ctgx . 1.10.19. x(α ) = arctgα − α −2 .

x5 2x3 − + x. 5 3

1.10.6. y =

5 . x + 2x

1.10.8. y = 6 ⋅ 3 x − 4 ⋅ 4 x . 1.10.9. y =

+ x 2 x 3 − 2 7 . 1.10.11. y = x − tgx .

1.10.13. r (ϕ ) = ϕ 4 + arcsin ϕ .

1.10.3. y =

1 1 − 3. 2 2x 3x cos x 1.10.17. y = 2 . x

1.10.14. y =

1.10.20. y = x − sin x .

3

10 . x3

1.10.12. y =

8 4

1.10.18. ϕ (x ) =

2

x

.

cos x . 1 − sin x

1.10.21. x = a(t − sin t ) .

x3 − x 2 + x . В ы числить f ′(0 ), f ′(1), f ′(− 1) . 3 1 1.12. Д анаф унк ция f (x ) = x 2 − 2 . В ы числить f ′(2) − f ′(− 2) . 2x

)

6

1.10.15. y = x 2 cos x .

1.11. Д анаф унк ция f (x ) =

( 1.13. Д анаф унк ция f (x ) =

x

−3

x −1 . В ы числить0,01 ⋅ f ′(0,01) . x x 1.14. Д анаф унк ция f (x ) = . В ы числить f ′(0), f ′(2), f ′(− 2) . 2x − 1

9

П роизводная слож ной ф унк ции Е сли y = f (u ) , а u = ϕ (x ) , т.е. y = f (ϕ (x )) , то y назы вае тся ф унк цией от ф унк цииили с лож ной ф унк цией от х. П равило диффе ре нцирования слож ной ф унк ции буде т им е тьвид y ′x = f u′ ⋅ u ′x . В сле дую щ их прим е рах найти производную от слож ной функ ции. П рим е р1.9. y = (1 + x 2 ) . 5

П рим е р1.10. y = sin 2 x .

((

))

5 ′ 4 ′ 4 y′ = 1 + x 2 = 5 1 + x 2 1 + x 2 = 10 x ⋅ 1 + x 2 . ′ ′ y ′ = (sin 2 x ) = 2 sin x ⋅ (sin x ) = 2 sin x ⋅ cos x = sin 2 x .

(

)(

)

(

)

x П рим е р1.11. y = xe . 2

( )′ = (x)′e

y′ = xex

2

x2

( )′ = e

+ x ⋅ ex

2

x2

+ x ⋅ ex ⋅ 2x = ex (1+ 2x2 ) . 2

2

Задания 1.15. Н ай ти производны е от слож ны х ф унк ций. 1.15.2. y = (1 + x 4 ) . 3

1.15.1. y = 1 + x 2 . 1.15.4. y = 5

1+ x2 . 1− x2

1.15.5. y = 3

1.15.3. y = sin 6 x .

1− x2 . 1+ x2

1.15.6. y =

1.15.7. y = 3 (4 + 3x )2 .

1.15.8. y = x 2 ⋅ 1 − x 2 .

1.15.10. y = sin x .

1.15.11. y =

1 . tg 3 5 x

1.15.9. arctge − x .

2x − 1 . x

π 1.15.12. r = 2ϕ + cos 2  2ϕ +  . 

4

π 3π 1.16. Д анаф унк ция f (t ) = a 2 + b 2 − 2ab cos t . В ы числить f ′ , f ′(π ), f ′ . 2

 2 

1.17. Д анаф унк ция f (x ) = x + 2 x . В ы числить f ′(1).  π  2

1.18. Д анаф унк ция f (t ) = 1 + cos 2 t 2 . В ы числить f ′

 .  

1.3. Д иффере нциал ф унк ции С огласно опреде ле нию производной y ′ = ∆lim x →0

∆y , где y = f (x ) . ∆x

∆y = y ′ + α , где α - бе ск оне чно м алая ве личина, отсю дасле дуе т ∆x ∆y = y ′ ⋅ ∆x + α ⋅ ∆x . Т ак к ак ∆x → 0, ∆α → 0 , то ∆x ⋅ ∆α → 0 - бе ск оне чно

Т огда

м алая ве личинавторого порядк а, а y ′ ⋅ ∆x - главное слагае м ое .

10

y = f (x ) Опре де ле н ие . Д иф ф еренциа лом ф унк ции назы вае тся главное слагае м ое (главная часть) приращ е ния ф унк ции, лине йное относите льно ∆x .

О бозначим d – диффере нциал, тогда по опре де ле нию dy = y ′ ⋅ dx , dy сле довате льно, y ′ = , что читае тся dy по dx. dx В сле дую щ их прим е рах найти диффе ре нциалы ф унк ций. 3 П рим е р1.12. y = x cos x .

′ dy = (x 3 cos x ) ⋅ dx = (3x 2 cos x + x 3 (− sin x )) ⋅ dx = x 2 (3 cos x − x sin x )dx . 1− x2 . П ре образовав исходное вы раж е ние, получим 1+ x (1 − x )(1 + x ) = 1 − x ′ y . Т огда dy = (1 − x ) dx = − dx . 1+ x

П рим е р 1.13. y =

Задания 1.19. Н ай ти диффере нциалы ф унк ций. n 1.19.1. y = x .

1.19.4. s =

1.19.2. y = x 3 − 3x 2 + 3x . 1.19.3. y = 1 + x 2 .

gt 2 − 2t . 2

1.19.5. y =

1.19.7. r = 2ϕ − sin 2ϕ . 1.19.10. y =

x2 +1 x x − 5x 3 + x . 1.19.6. y = . x x

1.19.9. d (sin 2 t ) .

1.19.8. d (1 − cos u ) .

3x 2 − 2 x − 4 . 2x − 1

a x 1.19.11. d  + arctg  . 1.19.12. d (α + ln α ) .

3x

1.19.14. d (x 2 ⋅ cos x ) .

1.19.13. d (e ⋅ sin 2 x ) .

x

a

1.19.15. y = x 3 ⋅ 2 x .

1.4. П роизводны е и диффере нциалы вы сш их порядк ов Произв одна я в т орого п орядк а (вторая производная) от функ ции y = f (x )

е стьпроизводная от е е пе рвой производной: y ′′ = [ f ′( x )]′ . Произв одна я n-го п орядк а (n-я производная) от функ ции y = f (x ) е сть производная от е е (n-1)-й производной: y (n ) = [ f (n −1) (x )]′ . Д иф ф еренциа л в т орого п орядк а – это диффе ре нциал от диффе ре нциала пе рвого порядк а: d 2 y = y ′′dx 2 .

Д иф ф еренциа л n-го п орядк а – это диффе ре нциал от диффе ре нциала (n-1)-го порядк а: d n y = y (n ) dx n . П рим е р 1.14. Н айти тре тью производную от ф унк ции y = x ln 2 x в точк е х=2. Ре ш е ние. Н аходим сначала пе рвую производную : y ′ = ln 2 x + x ⋅

2 = ln 2 x + 1 . 2x

11

Д иффе ре нцируя

пе рвую

производную : y ′′ = ( y ′)′ =

производную

y ′ , находим вторую

1 1 ⋅ 2 = . Т ак им образом , тре ть я производная 2x x

1 1 1 ′ y ′′′ = ( y ′′) = − 2 . П ри х=2 им е е м y ′′′(2 ) = − 2 = − . 4 x 2

П рим е р1.15. Н айти диффере нциал второго порядк аот ф унк ции y = Ре ш е ние. y ′ =  5 y ′′ =  2  ( x + 5)

x . x+5

x+5− x 5 = . 2 (x + 5) (x + 5)2

′ 2 ′  − 5 ( x + 5) − 10(x + 5) 10 10  = =− = и d2y = − dx 2 . 4 4 3 3  ( ) ( ) ( ) ( ) 5 + 5 + 5 5 x + x x x + 

(

)

Задания 1.20. Н айти производны е второго порядк аот ф унк ций. 1.20.1. y = 3 x 3 − 5 x 2 + 2 x − 3 . 1.20.2. y = (2 x + 5)3 . 1.20.4. y = arctg 3 x .

1.20.3. y = cos 2 x . x 1.20.6. y = e cos x .

1.20.5. x = t sin 2t .

π   π 1.21. Д анаф унк ция f ( x ) = sin 3x . Н айти f ′′ − , f ′′(0 ), f ′′  . 2  2 x 1.22. Д анаф унк ция f ( x ) = xe . Н айти f ′′′(− 3), f ′′′(− 1), f ′′′(0) .

1.23. Д анаф унк ция r (ϕ ) = ϕ e . Н айти r ′′(− 1), r ′′(0) . 1.24. Н айти диффе ре нциалы второго порядк адля функ ций . 2

1.24.1. y = sin x ⋅ ln x .

−ϕ

1.24.2. y = cos x ⋅ 3 x .

1.24.3. y =

3x . x+2

1.24.6. y =

1 3 x + x −5 . 3

5

1 1 x 1.24.4. y = sin 2 x + e 3 x . 1.24.5. y = 5 + 4 x 2 . 2 3

1.5. Ч астны е производны е . П олны й диффе ре нциал Опре де ле н ие . П роизводная от функ ции двух пе ре м е нны х z (x, y ) = f (x, y ) по х, най де нная в пре дполож е нии, что y остае тся постоянны м , назы вае тся ∂z или f x′(x, y ) . Аналогично ∂x ∂z опре де ляе тся и обозначае тся ча с т на я п роизв одна я от z по y: = f y′ (x, y ) . ∂y

ча с т ной п роизв одной от z по х и обозначае тся

Ч астны е производны е от частны х производны х первого порядк а назы ваю тся частны м и производны м и 2-го порядк а:  ∂z  ∂  2  ∂x  = ∂ z ; ∂x ∂x 2

 ∂z  ∂  2  ∂x  = ∂ z - см е ш анная производная; ∂y ∂x∂y

12  ∂z   ∂z  ∂  ∂  2 2  ∂y  = ∂ z ;  ∂y  = ∂ z - см е ш анная производная. ∂y ∂y 2 ∂x ∂y∂x Е сли функ ция z (x, y ) = f (x, y ) им е ет в точк е (x; y ) не пре ры вны е частны е производны е , то главная частьполного приращ е ния dz назы вае тся п олны м ∂z ∂z диф ф еренциа лом пе рвого порядк а: dz = dx + dy . ∂x ∂y

П олны й диффе ре нциал второго порядк ае сть: d 2z =

∂2 z 2 ∂2 z ∂2z 2 dx + dxdy + dy . ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

П рим е р 1.16. Н айти частны е производны е пе рвого и второго порядк ов ф унк ции z (x, y ) = x3 y + x 2 y 4 . Ре ш е ние . Ч астны е производны е пе рвого порядк а: ∂z = 3x 2 y + 2 xy 4 ; ∂x

∂z = x3 + 4 x 2 y 3 . ∂y

Ч астны е производны е второго порядк а: ∂2 z = 6 xy + 2 y 4 ; 2 ∂x

∂2z = 12 x 2 y 2 ; 2 ∂y

∂2z = 3x 2 + 8 xy 3 ; ∂x∂y

С ле дуе т обратитьвним ание , что

∂2 z = 3x 2 + 8 xy 3 . ∂y∂x

∂2 z ∂2 z = . ∂x∂y ∂y∂x

П рим е р 1.17. Н айти полны е диффе ре нциалы пе рвого и второго порядк ов ф унк ции z (x, y ) = x3 y + x 2 y 4 . В ы числитьзначе ние dz при изм е не нии хот 1 до 1,1, ау –от 1 до 1,2. Ре ш е ние . В прим е ре 1.11 для данной функ ции бы ли найде ны частны е производны е пе рвого и второго порядк ов, сле довате льно: dz = (3x 2 y + 2 xy 4 )dx + (x 3 + 4 x 2 y 3 )dy ; d 2 z = (6 xy + 2 y 4 )dx 2 + 2(3x 2 + 8 xy 3 )dxdy + 12 x 2 y 2 dy 2 . dz (1;1) = (3 ⋅ 12 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 14 ) ⋅ 0,1 + (13 + 4 ⋅ 12 ⋅ 13 ) ⋅ 0,2 = 1,5 . Задания 1.25. Н ай ти частны е производны е пе рвого порядк а от сле дую щ их ф унк ций. 1.25.1. z = x 3 + 3x 2 y − y . 1.25.2. z = ln (x 2 + y 2 ) . x y 2x − t 1.25.5. u = . x + 2t y z x 1.25.7. u = + − . x y z

1.25.3. z = .

1.26. z = x sin

xy . x− y  1 1  1.25.6. u = ln −  . t  x y 1.25.8. z = tg . x

1.25.4. z =

y ∂z ∂z 1 . Д ок азать , что x + y = . ∂x ∂y 2 x

13

Ре ш е ние .  1 y  y   y  x sin + x cos  ⋅  − 2   + x  x   x  2 x

  y 1 z y x cos  ⋅  = ,  x x 2 

x y y y y y z z z sin − cos + cos = = . ⇒ x x 2 x 2 2 2 x x

1.27. z = ln ( x + y ). Д ок азать , что x

∂z ∂z 1 = . +y ∂y 2 ∂x 1.28. С огласно те оре м е Э йле ра, е сли z = f ( x, y ) - однородная ф унк ция n-го ∂z ∂z порядк а, то x + y = nz . П рове ритьэтуте оре м удля функ ций. ∂x ∂y

1.28.1. z = x 3 + xy 2 − 2 y 3 . 1.28.3. z =

x3 . x− y

1.28.2. z = x 2 + xy + y 2 . 1.28.4. z =

1 . x + y2 2

2

∂u   ∂u   ∂u   +   +   = 1 .  ∂x   ∂y   ∂z 

, что  1.29. u = x 2 + y 2 + z 2 . Д ок азать

2

2

1.30. Н айти полны е диффере нциалы пе рвого порядк адля функ ций . 1.30.1. z = x 2 y .

1.30.2. z =

xy . x− y

1.30.3. z = x 2 + y 2 .

1.31. В ы числить полны й диффе ре нциал пе рвого порядк а для ф унк ции z = xy при х=5, y=4, ∆x = 0,1 , ∆y = −0,2 . 1.32. П ри де форм ации цилиндра е го радиус R уве личился с 2 до 2,05 с м , а вы сота H ум е ньш илась с 10 до 9,8 с м . Н айти приближ е нно изм е не ние объе м аV. 1.33. П ри де форм ации к онуса радиусR е го основания уве личился с30 до 30,1 с м , авы сотаH ум е ньш иласьс60 до 59,5 с м . Н айти приближ е нно изм е не ние объе м аV. 1.34. К ате ты прям оугольного тре угольник а, изм е ре нны е с точностью до 0,1 с м , ок азалисьравны м и 7,5 и 18 с м . О пре де литьабсолю тную погре ш ностьпри вы числе нии гипоте нузы . 1.35. Н айти частны е производны е второго порядк а. x2 y2 . 1.35.2. z = 2 . 1− 2y x 2 ∂ z ∂2z t 1.36. z = 2 cos 2  x −  . Д ок азать, что 2 2 + = 0. ∂x∂t 2 ∂t 

1.35.1. z =

1.35.3. u = y ln x .

1.6. П рилож е ние производны х к иссле дованию функ ций Знание особенносте й поведе ния функ ций (областе й убы вания/возрастания, вы пук лости/вогнутости, точе к эк стре м ум а, пе ре гибов, асим птот) позволяе т им е тьполное пре дставле ние о харак те ре пове де ния функ ции, что дае т возм ож ностьправильно построитье е график . I. Э ле м е нтарное иссле дование I.1. У становитьобластьопре де ле ния функ ции.

14

Обла с т ью оп ределения D(f) ф унк ции f(х) назы вае тся м нож е ство все х де йствите льны х значе ний не зависим ой пе рем е нной х, при к оторой ф унк ция опре де ле на(им е е т см ы сл). I.2. О пре де литьобластьдопустим ы х значе ний ф унк ции. Обла с т ью доп ус т им ы х зна чений Е(f) ф унк ции f(х) назы вае тся м нож е ство все х де йствите льны х значе ний, к оторы е приним ае т зависим ая пе ре м е нная y. I.3. И ссле доватьфунк цию наче тность: - е сли f (− x) = f ( x) , то функ ция че тная, т.е . сим м е трична относите льно оси 0х; - е сли f ( − x ) = − f ( x) , то ф унк ция не че тная, т.е . сим м е трична относите льно точк и началак оординат; - е сли f ( − x) ≠ f ( x ) и f ( − x) ≠ − f ( x) , то ф унк ция ни че тная и ни не че тная. I.4. Н ай ти точк и пе ре се че ния сосям и: - сосью 0y: (0; f (0)) ; - сосью 0х: изусловия f ( x) = 0 . II. И ссле дование ф унк ции по пе рвой производной П о опре де ле нию производная е стьy ′ = ∆lim x →0

∆y . ∆x

II.1. О пре де лить области возрастания и убы вания функ ции y = f (x) из условия: - y ′ > 0 - функ ция возрастае т; - y ′ < 0 - функ ция убы вае т. II.2. Н айти эк стре м ум ы из условия y ′ = 0 . Корни этого уравне ния е сть к ритиче ск ие точк и I рода: - е сли при пе ре ходе че ре з точк у эк стре м ум а производная y ′ м е няе т знак с+ на- , то это точк ам иним ум а; - е сли при пе ре ходе че ре з точк у эк стре м ум а производная y ′ м е няе т знак с- на+ , то это точк ам ак сим ум а; - е сли производная y ′ не м е няе т знак , то это точк апе ре гиба. Д але е вы числитьзначе ния функ ции вк ритическ их точк ах I рода. III. И ссле дование функ ции по второй производной ′

В торая производная находится по пе рвой: y ′′ = ( y ′) . III.1. Д ля к ритиче ск их точе к I рода: - е сли y ′′ < 0 , то это точк ам ак сим ум а; - е сли y ′′ > 0 , то это точк ам иним ум а; - е сли y ′′ = 0 , то иссле довать пе рвую производную в ок ре стности данной точк и. III.2. О пре де ле ние пром е ж утк оввы пук лости/вогнутости график аф унк ции.

15

Кривая назы вае тся в ы п ук лой , е сли она це лик ом ле ж ит под к асате льной, прове де нной к не й в лю бой точк е инте рвала вы пук лости (рис.1.2,а). Кривая назы вае тся в огнут ой , е сли она це лик ом ле ж ит над к асате льной, прове де нной к не й в лю бой точк е инте рвалавы пук лости (рис.1.2,б). y

y

y(x+Δ x) dy

y(x+Δ x)

Δy

Δy y(x)

dy y(x)

x

x+Δ x x

x

x+Δ x

x

а) б) Рис. 1. 2. Х арак те р вы пук лости к ривы х: а) –к ривая вы пук ла; б) –к ривая вогнута. Е сли ф унк ция y = f (x) дваж ды диффе ре нцируе м а, то: - при y ′′ < 0 график функ ции вы пук лы й вданной диапазоне ; - при y ′′ > 0 график функ ции вогнуты й вданной диапазоне . III.3. О пре де ле ние к ритиче ск их точе к II рода. Т очк а хк , принадле ж ащ ая области опре де ления функ ции, назы вае тся к рит ичес к ой т очк ой II рода , е сли в этой точк е вы полняе тся одно из3 условий: либо y ′′(x к ) = 0 , либо y ′′(x к ) = ∞ , либо y ′′( xк ) не сущ е ствуе т. Е сли хк - к ритиче ск ая точк аII родаи в е е ок ре стности изм е нился знак второй производной, то хк - точк апе ре гиба. IV. Н ахож де ние асим птот график а IV.1. В е ртик альны е асим птоты . Е сли к ривая ф унк ции y = f (x) не ограниче нно приближ ае тся к ве ртик альной прям ой x = a при x → a , то этапрям ая, паралле льная оси 0y, назы вае тся в ерт ик а льной а с им п т от ой . П рям ая x = a являе тся ве ртик альной асим птотой, е сли вы полняе тся одно изтре х условий (рис.1.3): lim f (x ) = ∞ ,  x →a  lim f (x ) = ∞ ,  x→a −0  lim f (x ) = ∞ .  x→a + 0

IV.2. Н ак лонны е асим птоты . Е сли к ривая ф унк ции y = f (x) при x → +∞ ( x → −∞ ) не ограниче нно приближ ае тся к не к оторой прям ой y = kx + b , то эта прям ая

16

назы вае тся а с им п т от ой к ривой (рис.1.4), приче м при k ≠ 0 на к лонной а с им п т от ой , апри k = 0 - горизонт а льной а с им п т от ой . Д ля асим птот вы полняе тся раве нство: lim [ f (x ) − kx − b] = 0 . x →+∞

( x →−∞ )

y

y

а

а)

y

а

x

а

x

x

б) в) Рис. 1.3. В е ртик альны е асим птоты : а) при x → a ; б) при x → a − 0 ; в) при x → a + 0 .

Д ля нахож де ния к оэффицие нтаk разде лим данное раве нство нах:

b  f (x ) lim  − k −  = 0 , или x →+∞ x x ( x →−∞ )

lim

x →+∞

( x →−∞ )

f (x ) b f (x ) . − k − lim = 0 , отк уда k = lim x →+∞ x x →+∞ x x ( x → −∞ ) ( x →−∞ )

[ f (x ) − kx]. [ f (x ) − kx − b] = 0 находится и b: b = x→lim И зусловия x→lim +∞ +∞ ( x→ −∞ )

( x → −∞ )

y

y y=f(x)

y=f(x)

y=kx+b

y=kx+b

f(x)-kx-b

f(x)-kx-b

x

x

а)

б) Рис. 1.4. Н ак лонны е асим птоты : а) при x → +∞ ; б) при x → −∞ .

Е сли хотя бы один изпре де лов при вы числе нии k и b не сущ е ствуе т или бе ск оне че н, то к ривая не им е е т нак лонны х асим птот. П рим е р1.18. И ссле доватьф унк цию

y ( x) =

x2 + 4 и построитье е график . x

Ре ш е ние . Д анная функ ция пре дставляе т собой дробь, а значит, она не опре де ле на, е сли знам е нате ль x = 0 . С ле довате льно, область опре де ле ния x ∈ (− ∞;0) U (0;+∞ ) . Д анная ф унк ция являе тся не че тной: y (− x) =

(− x )2 + 4 = − x 2 + 4 = − y ( x) , −x

x

сле довате льно, онасим м е тричнаотносите льно началак оординат.

17

Т очк а пере се че ния с осью 0y отсутствуе т, т.к . х=0 не принадле ж ит области опре де ле ния функ ции. Т очк и пе ре се че ния сосью x2 + 4 = 0 долж но бы тьx 2 + 4 = 0 , x что ни при к ак их значе ниях хне вы полняе тся, поск ольку x 2 + 4 > 0 . x2 − 4 И ссле дуе м дале е функ цию по пе рвой производной y ′( x) = 2 . x И з условия y ′( x) = 0 находим к ритиче ск ие точк и I рода: x 2 − 4 = 0 ⇒

0х так ж е отсутствую т, т.к . изусловия

x1 = −2 , x2 = 2 .

О бласти возрастания находятся изусловия y ′( x) > 0 : x2 − 4 > 0 , (x − 2 )(x + 2 )x 2 > 0 ⇒ x ∈ (− ∞;−2 ) U (2;+∞ ) . x2 О бласти убы вания находятся изусловия y ′( x) < 0 : x2 − 4 < 0 , (x − 2 )(x + 2 )x 2 < 0 ⇒ x ∈ (− 2;0) U (0;2) . x2

П родолж им иссле дование ф унк ции с использование м второй 8 производной y ′′( x) = 3 . В к ритиче ск ой точк е I рода x1 = −2 x но, это точк а м ак сим ум а. Значе ние ф унк ции y ′′(−2) = −1 < 0 , сле довате ль в точк е м ак сим ум а y (−2) = x2 = 2

(− 2)2 + 4 = −4 . В к ритиче ск ой точк е I рода

−2 но, это точк а м иним ум а. Значе ние y ′′(2) = 1 > 0 , следовате ль

2 ( 2) + 4 ф унк ции вточк е м иним ум а y (2) = = 4.

2 ′ ′ И з условия y ( x) < 0 опре де лим область вы пук лости график а:

8 но, x ∈ (− ∞;0) . Аналогично, из условия < 0 при x < 0 , сле довате ль x3 8 >0 y ′′( x) > 0 опре де лим область вогнутости: при x > 0 , x3 сле довате льно, x ∈ (0;+∞ ) .

Д ля опре де ле ния ве ртик альны х ф унк ции

при

приближ е нии

к

точк е

x2 + 4 = −∞ . С ле довате ль но, прям ая x → −0 x lim

асим птот найде м х=0:

пре де лы x +4 = +∞ , x 2

lim

x → +0

х=0 являе тся ве ртик альной

асим птотой. И ссле дуе м наличие нак лонны х асим птот. П ре де л y ( x) 4   = lim 1 + 2  = 1 , тогда k = 1 ; x →+∞ x → +∞ x x    x2 + 4  4   4 b = lim [ y( x) − kx] = lim  − x  = lim  x + − x  = lim   = 0 . x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x   x  x  lim

Аналогично, пре дел xlim → −∞

y( x) 4   = lim 1 + 2  = 1 и k = 1 , b = 0 . x → −∞ x x  

18

С ле довате льно, нак лонная асим птотае стьпрям ая y ( x) = x . О бобщ ая данны е иссле дования функ ции, м ож но построитьграфик . 10 8 6 4 2

2

x +4 x 10

8

6

4

x

2

2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

x

Задания 1.37. О пре де литьобласти возрастания и убы вания ф унк ций. 1.37.1. y = x 2 − 2 x + 1 . 1.37.2. y = 4 x − x 2 . 1.37.3. y = x 2 + 4 x + 5 . −

x

1.37.5. y = xe 2 . 1.37.7. y = x 2 (1 − x ) .

1.37.4. y = 3 x 2 − 1 . 1.37.6. y = e− x . 1.37.8. y = x ln x . 2

1.37.10. y = e x − 1 . 1.37.9. y = sin x 2 . 1.38. Н айти эк стре м ум ы ф унк ций. 2

1.38.1. y = 4 x −

x3 . 3

x4 1.38.3. y = 1 + 2 x − . 4 1.38.5. y = x 1 − x . 1 1  1.38.7. y = 2 − 2  . x x  2

x3 − x2 − 3x . 3 x4 3 1.38.4. y = − x . 4 2 1.38.6. y = x 3 ( x + 2) .

1.38.2. y =

2 1.38.8. y = 3 3 (x + 1) − 2 x .

1.38.9. y = x + ln(cos x ) . 1.38.10. y = x (x + 2) . 1.39. Н айти эк стре м ум ы ф унк ции и области вы пук лости/вогнутости. 3 − x2 . x+2 2x 2 −1 1.39.3. y = . x4

1.39.1. y =

1.39.5. y = x − 2 ln x . 1.39.7. y =

4 x . x+2

1 x

1.39.2. y = x + . 1.39.4. y =

x

(x − 1)(x − 4) .

1.39.6. y = x 3 + 6 x + 9 x . 1.39.8. y =

x3 . x2 − 4

19

1+ ln x 1.39.9. y = . x

1.39.10. y = 4 x − tgx .

1.40. П остроитьграфик и функ ций. x2 1.40.1. y = 2 . x −4 x2 − x + 1 y = . 1.40.3. x2 − 2 x

4 − x3 1.40.2. y = 2 . x 2 x − 6 x + 13 1.40.4. y = . x−3

1.40.5. y = x 4 − 6x 2 .

1.40.6. y = 3 1 − x 2 .

3x 4 + 1 . x3 − 1 (x + 1)(x + 2) 1.40.9. y = . x2

1.40.7. y =

x3 + 2 x2 + 7 x − 3 . 2x2 12 1.40.10. y = x + 2 . x −4

1.40.8. y =

2. И н те гральн ое исчисле н ие 2.1.

П е рвообразная ф унк ция и не опре де ле нны й инте грал

П усть ф унк ция y = F (x ) им е е т производную y′ = f (x ) , тогда е е диффе ренциал dy = f ( x )dx . Ф унк ция F (x ) по отнош е нию к е е диффере нциалу f (x )dx назы вае тся п ервообра зной . Опре де ле н ие . Перв ообра зной ф унк цией для вы раж е ния f ( x )dx назы вае тся функ ция F (x ) , диффе ре нциал к оторой раве н f (x )dx . Н о диффе ре нциалу ф унк ции соотве тствуе т не е динстве нная пе рвообразная, а м нож е ство их, приче м они отличаю тся друг от друга постоянны м слагае м ы м :

(F (x ) + C )′ = F ′(x ) + C ′ = f (x ) + 0 = f (x ) .

Опре де ле н ие . С овок упностьвсе х пе рвообразны х функ ций F ( x ) + C для диффе ренциала f ( x )dx назы вае тся неоп ределенны м инт егра лом и обозначае тся ∫ f (x )dx . Т ак им образом ,

∫ f (x )dx = F (x ) + C ,

где

f (x )dx - поды нте гральное

f (x ) - поды нте гральная ф унк ция; С – произвольная вы раж е ние ; постоянная инте грирования. 2 П рим е р2.1. ∫ 2 xdx = x + C , так к ак (x 2 + c )′ = 2 x . П роце сс нахож де ния пе рвообразной ф унк ции назы вае тся инт егриров а нием . И нте грирование – это де йствие , обратное диффе ренцированию .

20

С войстване опре де ле нного инте грала 1. d ∫ f (x )dx = f ( x )dx - диффе ре нциал не опре де ле нного инте грала раве н поды нте гральном увы раж е нию . 2. ∫ dF ( x ) = F ( x ) + C - не опре де ле нны й инте грал от диффе ре нциала ф унк ции раве н этой функ ции, слож е нной спроизвольной постоянной. 3. ∫ a ⋅ f ( x )dx = a ⋅ ∫ f ( x )dx - где а –const, т.е . постоянны й м нож ите льм ож но вы не сти зазнак инте грала. 4. ∫ [ f1 (x ) + f 2 (x ) − f 3 (x )]dx = ∫ f1 (x )dx + ∫ f 2 (x )dx − ∫ f 3 ( x )dx - инте грал сум м ы или разности раве н сум м е или разности инте гралов. Ф орм улы инте грирования x n+1 + C , где n ≠ 1 . 2. ∫ x dx = n +1

1.

∫ dx = x + C .

3.

∫ x dx = ln x + C .

n

1

5. ∫ a x dx =

ax +C. ln a

7. ∫ cos xdx = sin x + C . 9.

1

∫ sin

2

dx = −ctgx + C .

x

1 ∫ 1 + x 2 dx = arctgx + C . 1 x dx = arcsin + C . 13. ∫ 2 2 a a −x

11.

∫

15.

1 x ±a 2

2

x x 4. ∫ e dx = e + C .

6. ∫ sin xdx = − cos x + C . 8.

1

∫ cos

2

x 1

dx = tgx + C .

10.

∫

12.

1 1 x dx = arctg +C . ∫ a2 + x2 a a

14.

∫x

1− x2

2

dx = arcsin x + C .

1 1 x−a dx = ln +C . 2 2a x + a −a

dx = ln x + x 2 ± a 2 + C .

П рим е р2.2. Н айти не опре де ле нны й инте грал:

∫ (5x

4

)

− 4 x 3 + 3x 2 − 1 dx = 5∫ x 4 d x − 4 ∫ x 3 d x + 3∫ x 2 dx − ∫ dx =x 5 − x 4 + x 3 − x + C .

′ П рове рк а: (x 5 − x 4 + x 3 − x + C ) = 5 x 4 − 4 x 3 + 3x 2 − 1 . П рим е р2.3. Н айти не опре де ле нны й инте грал:

x2 +1 1 1 x2  dx = x + dx = xdx + dx = + ln x + C .   ∫ x ∫ x  ∫ ∫x 2

П рим е р2.4. Н айти не опре де ле нны й инте грал:

cos 2 x cos 2 x − sin 2 x 1   1 ∫ cos 2 x sin 2 x dx = ∫ cos 2 x sin 2 x dx = ∫  sin 2 x − cos 2 x dx = 1 1 = ∫ 2 dx − ∫ dx = −ctgx − tgx + C sin x cos 2 x

21

Задания 2.1. Н айти не опре де ле нны е инте гралы . 2.1.2. ∫ x 4 dx . 2.1.1. ∫ xdx . 2.1.5. ∫ (2 − x )dx .

2.1.4. ∫ 2 xdx .

∫ (4 x + 4 x − 3)dx . 2.1.11. ∫ 4(2 x − 1) dx .

2.1.7. ∫ 3(x − 2)dx .

∫

2.1.14.

∫2

2.1.19.

∫(

2.1.22.

∫

x−2 dx . x3

∫

x −1

3

x

.

2.1.17.

)

x

2

2.1.26. ∫

dx .

∫

(2

2

2

2

2.1.15.

∫

2.1.18.

∫

1 3

x4

dx .

x⋅ x

dx . x3 10 x 8 + 3 2.1.21. ∫ dx . x4  2 3 1.24. ∫  − 2 1− x2 1+ x

)

)

4

 1

3

x −1 dx . x 

2.1.27. ∫ 

 x

−



4

−x

 dx .  

1  dx . 3  x  −x

 dx . 

3 − 2ctg 2 x 1 dx . 2.1.33. ∫ 2 dx . 2 cos x cos x sin 2 x  2 1 4 2.1.35. ∫  x 2 + 2 x + dx . 2.1.36. ∫  2 − + 33 x 2 x x x  

2.1.32. ∫

2.2. Н айти инте гралы . 2

(

∫ (3x − x )dx . 2.1.9. ∫ x (1 + 2 x )dx . 2.1.12. ∫ x(1 − x ) dx . 2.1.6.

 e a 2.1.29. ∫ a x 1 + 3 dx . 2.1.30. ∫ e x 1 − 2 x x   

x 2 x 2.1.34. ∫ cos 2 dx . 2

2.2.4.

x

∫ 4 x dx .

(

2.1.31. ∫ sin 2 dx .

∫

x 2 dx .

x4 ∫ 1 + x 2 dx . 2 x2 +1 2.1.23. ∫ dx . x3

2.1.28. ∫ ctg 2 xdx .

2.2.1.

3

x + 3 x dx . 2.1.20.

3

(x

∫

5

2.1.16.

2.1.25.

2

x dx . xdx

2

2.1.8.

2.1.10. ∫ (x + 3)2 dx . 2.1.13.

2.1.3. ∫ 5dx .

− 1) dx . x3

 dx . 

 1 x−2 1  dx . 2.2.3. ∫ dx . 2.2.2. ∫  3 2 −  3

2

 x

)

2

x +1 dx . x2 

e−x 





2.2.7. ∫ e x 1 + 2 dx . cos x

x x

x

2

x x 2.2.5. ∫  sin − cos  dx . 2.2.6. ∫ tg 2 xdx . 

2

2



a −x 

2.2.8. ∫ a x 1 + 5 dx . x  

1 1 2.2.9. ∫  + 3 dx . x

x 

2.2. И нте грирование способом подстановк и О дин из сильне йш их прие м ов инте грирования – м ет од за м ены п ерем енной , или п одс т а нов к и. В основе е го ле ж ит свойство инвариантности форм ул инте грирования, к оторое зак лю чае тся в сле дую щ е м : е сли ∫ f (x )dx = F (x ) + C , то

∫ f (u )du = F (u ) + C , где u(x ) -

диффе ренцируе м ая ф унк ция от х.

22

С ам ы й распростране нны й прие м зам е ны пе ре м е нной е сть подстановк а вида z = ϕ (x) , где z – новая пе ре м е нная. В этом случае форм улазам е ны пе ре м е нной буде т им е тьвид

∫ f [ϕ (x )]ϕ ′(x )dx = ∫ f (z )dz .

В получе нном после инте грирования по пе ре м е нной z вы раж е нии надо пе ре й ти сновак аргум е нтух. 5 П рим е р2.5. ∫ (1 + x ) dx .

С де лае м зам е ну пе ре м е нной 1 + x = z . П родиффе ре нцируе м это раве нство: d (1 + x ) = dz ⇒ dx = dz .

С де лае м зам е нувинте грале : ∫ (1 + x )5 dx = ∫ z 5 dz = П рим е р2.6.

z6 1 6 + C = (1 + x ) + C . 6 6

x 2 dx 1 dz 1 1 3 ∫ 1 + x 3 = 3 ∫ z = 3 ln z + C = 3 ln 1 + x + C .

Зде сьбы лапрове де насле дую щ ая зам е напе ре м е нной: 1 + x 3 = z :

(

)

= −2∫

dz 2 2 = +C = +C. 2 z z 1− ex

d 1 + x 3 = dz

П рим е р2.7.

2e x dx

∫ (1 − e )

x 2

⇒ 3x 2 dx = dz ⇒ x 2 dx =

dz . 3

Зам е на: 1 − e x = z ⇒ d (1 − e x ) = dz ⇒ e x dx = dz . П рим е р2.8.

∫

sin 3 xdx 9 − cos 3 x 2

=∫

dt 3 = −1 3∫ 9 −t2

−

t d   3

1 1 cos 3 x t = − arcsin + C = − arcsin +C. 3 3 3 3 t 1−    3 2

Зам е на: cos 3 x = t ⇒ sin 3xdx = −

dt . 3

Задания 2.3.

Н ай ти не опре де ле нны й инте грал м е тодом зам е ны пе ре м е нной.

2.3.1.

∫

2 x + 3dx .

2.3.2. ∫ (3 + 5 x )4 dx .

2.3.3.

2.3.4.

∫

x + 2dx .

2.3.5. ∫ (x + 3)2 dx .

2.3.6. ∫ 4(2 x − 1)2 dx .

∫

10 + e x dx . ex

2.3.8. ∫ cos 3 xdx .

2.3.9. ∫ sin dx .

6 2.3.11. ∫ sin xdx .

2.3.12. ∫ e −3 x dx .

2.3.7.

2.3.10. ∫ cos 5 xdx . 2.3.13.

dx ∫ cos 2 5 x .

2.3.16.

∫

4 x − 1dx .



x

−

x

dx

∫ (3x + 1)

2

.

x 2



2.3.14. ∫  e 2 + e 2 dx .   4 2.3.17. ∫ (3 − 2 x ) dx .

2.3.15.

∫

2.3.18.

∫

dx 3 − 2x 3

.

5 − 6 x dx .

23

2.4.

Н айти

не опре де ле нны е инте гралы , используя зам е ну

∫

u ′dx du =∫ = ln u + C , u u

т.е . е сли числите ль поды нте гральной дроби е сть производная от знам е нате ля, то инте грал раве н логарифм ум одуля знам е нате ля. 2x − 5

∫ x − 5x + 7 dx . 2.4.4. ∫ ctgxdx .

2.4.1.

2.4.7.

2

x dx . x +1 2.4.5. ∫ sin 2 x cos xdx .

2.4.2. ∫

1

∫ 1 − 10 x dx . 2.4.6. ∫ tgxdx . 2.4.3.

e2x ∫ 1 − 3e 2 x dx .

2.4.8.

∫ 1 + 2 sin x dx .

2.4.9.

∫ sin x cos x dx .

cos x dx . 4 x

2.5.2.

∫ cos

sin x dx . 3 x

2.5.3.

∫

2.5. Н айти инте гралы . 2.5.1.

2

∫ sin

2.5.4. ∫ sin x cos xdx .

cos x

2.5.5. ∫ e cos x sin xdx .

cos 2 x

1 − 2 cos x dx . sin 2 x

∫

3

x 2 2.5.6. e x dx .

2.3. И нте грирование по частям П устьu и v –диффе ре нцируе м ы е ф унк ции от х. Т огда, к ак изве стно, d (uv ) = udv + vdu , отк удасле дуе т udv = d (uv ) − vdu . И нте грирование обе их часте й этого равенствадае т ∫ udv = ∫ d (uv ) − ∫ vdu , ∫ udv = uv − ∫ vdu .

Э то форм ула инте грирования по частям , позволяю щ ая пе ре ходитьот

∫

заданного инте грала ∫ udv к инте гралу vdu . П осле дний инте грал при удачном разбие нии поды нте грального вы раж е ния на u и dv м ож е т ок азаться боле е просты м , че м пе рвоначальны й. Э та форм ула часто прим е няе тся, к огда поды нте гральной ф унк цие й являе тся: - логарифм иче ск ая или обратная тригоном е триче ск ая ф унк ция; - произве де ние к аж дой изэтих ф унк ций наалге браиче ск ую ; - произве дение , соде рж ащ е е алге браиче ск ие , тригоном е триче ск ие, пок азате льны е ф унк ции, и вне к оторы х других случаях. Д ля инте гралов вида ∫ P (x )e ax dx , ∫ P (x )sin mxdx , ∫ P (x ) cos mxdx заu приним ае тся м ногочле н P(x ) , а для инте гралов вида

∫ P(x)lnxdx,

∫ P(x )arcsin xdx, ∫ P(x )arctgxdx заu приним ае тся ln x, arcsin x, arctgx .

П рим е р2.9. Н айти не опре де ле нны й инте грал ∫ ln xdx . Ре ш е ние . П рим е ним м е тод инте грирования по частям : dx u = ln x ⇒ du = ; dv = dx ⇒ v = x . x

24

П о форм уле инте грирования по частям

∫ ln xdx = x ln x − ∫ x

dx = x ln x − x + C . x

П рим е р2.10. Н айти не опре де ле нны й инте грал ∫ arcsin xdx . Ре ш е ние . П рим е ним м е тод инте грирования по частям : dx u = arcsin x ⇒ du = ; dv = dx ⇒ v = x . 1− x2 П о форм уле инте грирования по частям dx arcsin xdx = x arcsin x − x ∫ ∫ 1− x2 . И нте грал

dx

∫x

1− x

находится прим е не ние м подстановк и 1 − x 2 = z ,

2

к оторая дае т: − 2 xdx = dz ⇒

xdx = −

dz dx 1 dz =− ∫ = − z = − 1− x2 . , поэтом у ∫ x 2 2 2 z 1− x

∫ arcsin xdx = x arcsin x + 1 − x + C . П рим е р2.11. Н айти не опре де ле нны й инте грал ∫ (2 x − 5)e dx . В ре зультате получим

2

−3 x

Ре ш е ние . П рим е ним м е тод инте грирования по частям :

1 dv = e −3 x dx ⇒ v = − e −3 x . 3 П о форм уле инте грирования по частям u = 2x − 5 ⇒

∫ (2 x − 5) e

−3 x

du = 2dx;

1 (2 x − 5) e −3 x − ∫  − 2 e −3 x dx = − 1 (2 x − 5)e −3 x + 2 ∫ e −3 x dx = 3 3 3  3  1 2 13 − 6 x −3 x = − (2 x − 5) e −3 x − e −3 x + C = e +C. 3 9 9

dx = −

Задания 2.6. М е тодом инте грирования по частям най ти сле дую щ ие инте гралы . 2.6.1. ∫ xarctgxdx . 2.6.2. ∫ (x 2 − 3x + 2)cos 5 xdx . 2.6.3. ∫ 4 − x 2 dx .

∫ x ln xdx . 2.6.7. ∫ ln xdx .

2.6.4.

2.6.5. 2.6.8.

∫ xe

∫ (x

2.6.10. ∫ x ln(x − 1)dx . 2.6.11. 2 2.6.13. ∫ (ln x ) dx .

2.6.16.

x ∫ sin 2 x dx .

2

∫x

−2 x

dx .

− 3 x + 2 )cos 5 xdx . 2

cos xdx .

2.6.14. ∫ ln (x 2 + 1)dx . 2.6.17.

ln x ∫ x 2 dx .

2.6.6.

∫ x cos 2 xdx .

2.6.9.

∫

4 − x 2 dx .

2.6.12. ∫ e x sin xdx . 2.6.15. ∫ x 3 e − x dx . 2.6.18.

∫

arcsin x 1+ x

dx .

25

2.4.

О пре де ле нны й инте грал

Опре де ле н ие . П риращ е ние F (b ) − F (a ) лю бой из пе рвообразны х ф унк ций F (x ) + C при изм е не нии аргум е нта от x = a до x = b назы вае тся b

оп ределенны м инт егра лом и обозначае тся

∫ f (x )dx . a

b

Т ак им

∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ) ,

образом ,

где

а

– ниж ний

пре де л

a

инте грирования; b – ве рхний пре де л инте грирования. П осле дняя форм ула назы вае тся ф орм улой Н ьют она -Лей бница . b

Д ля вы числе ния опре де ле нного инте грала

∫ f (x )dx

нуж но най ти

a

соотве тствую щ ий не опре де ле нны й инте грал, в получе нное е го вы раж е ние подставить вм е сто х сначала ве рхний, а зате м ниж ний пре де лы опре де ле нного инте гралаи изпе рвого ре зультатавы че стьвторой: b

∫ f (x )dx = F (x )

b a

= F (b ) − F (a ) .

a

С войстваопре де ле нного инте грала b

b

a

a

1. ∫ A ⋅ f (x )dx = A∫ f (x )dx - где А –const. b

2.

a

b

3.

b

b

b

a

a

a

∫ [ f1 (x ) + f 2 (x ) − f 3 (x )]dx = ∫ f1 (x )dx + ∫ f 2 (x )dx − ∫ f 3 (x )dx . a

∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx . a

b

П рим е р2.12.

 x3  x + 1 dx =  + x   3 

∫( 1

−1

2

)

1

−1

2 1   1  =  + 1  −  − − 1 = 2 . 3 3   3 

П ри нахож де нии опре де ле нного инте грала м е тодом зам е ны пе ре м е нной не обходим о изм е нитьпре де лы инте грирования всоотве тствии сподстановк ой. 2

3

dt П рим е р2.13. ∫ 4(2 x − 1)dx = 4 ∫ t 1

1

2

= t2

3 1

= 3 2 − 12 = 9 − 1 = 8 .

Зде сьбы ласделаназам е на: 2 x − 1 = t ⇒ dx =

dt . 2

Задания 2.7. В ы числитьопре де ле нны й инте грал. 3

2

2.7.1.

∫ xdx . 1

2.7.2.

∫x 0

1

2

dx .

2.7.3.

∫ x dx . 3

1 2

26 1

∫ (2 x + 1)dx .

2.7.4.

∫ (3x 0

2.7.5.

+ 1)dx .

2.7.6. ∫ tgxdx .

−1

0

3

 1 2

3 2.7.7. ∫ x dx .

2.7.8. ∫  x 2 +

1

3

2

π 4

0

4

1  dx . x4 

2.7.9.

∫ π 6

π 4

x 3

2.7.10. ∫ e dx .

2.7.11. ∫ sin 4 xdx .

0

x dx .

1

2.7.12.

0

dx

∫ cos

π 8

2

x

.

2.5. Ре ш е ние прик ладны х задач спом ощ ью опре деле нного инте грала В ы числе ние площ аде й П устьнаотре зк е [a,b] опре де ленаф унк ция f (x ) . Разобьем отре зок [a,b] на n часте й точк ам и a = x0 < x1 < x 2 < ... < x n = b . Н а к аж дом отре зк е ( xi −1 , xi ) возьм е м произвольную

точк у ξ i и составим сум м у

n

∑ f (ξ )∆x i =1

i

i

, где

n

∆xi = xi − xi −1 . С ум м а вида ∑ f (ξ i )∆xi назы вае тся инт егра льной с ум м ой и i =1

им е е т см ы сл площ ади фигуры (рис.2.1), ограниче нной ф унк цие й f (x ) , прям ы м и х=а , x = b и ось ю 0х. Y

П ре де л инте гральной сум м ы при max ∆xi → 0 , е сли он сущ е ствуе т и к оне че н, е сть опре де ле нны й инте грал b

∫ f (x )dx = a

n

lim

max ∆xi →0

∑ f (ξ )∆x . i

i =1

y=f(x)

x = x a

i

х

b

Рис. 2.1. Г е ом е триче ск ий см ы сл опре де ле нного инте грала. П рим е р 2.14. О пре де литьплощ адьфигуры , зак лю че нной м е ж ду ве твью

x3 S = ∫ x dx = 3 0

3

=

2

0

33 0 3 − = 9. 3 3

y=x2

x=3

3

Y

x=0

2 к ривой y = x , осью 0хи прям ы м и x = 0 , x = 3 . Ре ш е ние .

0

3

х

П рим е р 2.15. О пре де литьплощ адьфигуры , зак лю че нной м е ж ду осью 0х и 2 к ривой y = x − 4 x .

27

Ре ш е ние. Как правило, не обходим о графиче ск и пре дставить условие задачи, чтобы проанализировать границы инте рвала и вид иск ом ой площ ади. Н айдем точк и пе ре се че ния к ривой y = x 2 − 4 x с осью 0х из условия y=0: x(x − 4) = 0 ⇒

x 2 − 4x = 0 ⇒

Y

y=x2 -4x 2

0

х

4

-

x1 = 0; x 2 = 4 .

И ск ом ая площ адь ограниче на све рху осью 0х, снизу y = x 2 − 4 x , сле ва x = 0 , справа x = 4 . Т ак к ак y<0, то

∫( 4

S=

0

)

x3 x − 4 x dx = − 2x2 3 2

4

= 0

64 1 2 2 − 32 = 21 − 32 = − 10 = 10 . 3 3 3 3

0

x4 S = ∫ x dx + ∫ x dx = 4 0 −1 3

2

3

0

x4 + 4

0

x=-1

2

x=2

3 П рим е р 2.16. Н айти площ адьфигуры , зак лю че нной м е ж ду к ривой y = x , прям ы м и x = −1 , x = 2 и осью 0х. Y y=x3 Ре ш е ние . И ск ом ая площ адьсостоит из двух часте й:

= −1

1 1 = 4+ 0− = 4 . 4 4

-

0

2

х

В ы числе ние пути, пройде нного те лом П ри не равном е рном

движ е нии со ск оростью

υ = f (t )

путь S,

t1

пройде нны й завре м я t1 раве н S = ∫ f (t )dt . 0

П рим е р 2.17. С к оростьте ла при не равном е рном движ е нии изм е няе тся по зак ону υ = (2t 2 + t ) с м /с . Н ай ти путь, прой де нны й те лом за6 с от начала движ е ния. 2 t2  2t + t dt =  t 3 +  2 3

Ре ш е ние . S = ∫ ( 6

0

2

)

6

= 0

2 3 62 ⋅6 + = 144 + 18 = 162 с м . 3 2

П рим е р 2.18. С к орость движ е ния те ла υ =  4t − пройде нны й те лом затре тью се к унду. Ре ш е ние. 6  S = ∫  4t − 2 t 2 3

3



6 ,  с м /с . Н ай ти путь t2 

6 6   2 6 −2 dt = ∫ (4t − 6t )dt =  2t +  = 2 ⋅ 9 + − 2 ⋅ 4 − = 18 + 2 − 8 − 3 = 9 , с м . t2 3 2   2 3

28

В ы числе ние длины дуги плоск ой к ривой Д иффере нциал

дуги плоск ой к ривой y (x) раве н ds = dx + dy = 1 + y ′ dx . Т огда длина L дуги, зак лю че нной м е ж ду 2

2

2

b

ве ртик альны м и прям ы м и x = a и x = b буде т L = ∫ 1 + y ′ 2 dx . a

П рим е р2.18. В ы ве сти форм улувы числе ния длины ок руж ности x 2 + y 2 = r 2 . Ре ш е ние . У равне ние дуги y = r 2 − x 2 , отк уда y ′ = −

x r − x2 2

.

В ы числим длинуок руж ности впе рвой че тве рти: L x2 x x π = ∫ 1+ 2 dx = ∫ dx = r ⋅ arcsin =r . 2 2 2 4 0 r0 2 r −x r −x 0 Т огдадлинавсе й ок руж ности L = 2π r . r

r

r

В ы числе ние объе м овте л вращ е ния П ри вращ ении вок ругоси 0х к риволине йной трапе ции, ограниче нной к ривой y(x) , осью 0х и прям ы м и x = a и x = b , получае тся те ло вращ е ния b

b

a

a

(рис.2.2,а), объе м V к оторого раве н инте гралу V = ∫ s( x)dx = π ∫ ( y( x) )2 dx . П ри вращ ении вок ругоси 0y к риволине йной трапе ции, ограниче нной к ривой y(x) , осью 0y и прям ы м и y = a и y = b , получае тся те ло вращ е ния b

b

a

a

(рис.2.2,б), объе м V к оторого раве н инте гралу V = ∫ s( y)dy = π ∫ (x( y) )2 dy . y s( x) = π ( y ( x) )

y b

2

s( y ) = π (x( y ))

2

0

а

b

а

x 0

x

а)

x

б)

Рис.2.2. Т е ла, образованны е вращ е ние м вок ругосе й 0х(а) и 0y (б). П рим е р 2.19. О пре де литьобъе м те ла, образованного вращ е ние м вок руг оси 0хк риволине йной трапе ции, ограниче нной линиям и: y 2 = 2 x и x = 2 . Ре ш е ние . Н айде м точк и пре се че ния к ривой y ( x) = 2 x спрям ы м и x = 2 и x = 0 из условий 2 x = x и 2 x = 0 : x1 = 2 , x2 = 0 . Т огда объе м тела 2

вращ е ния буде т раве н V = π ∫ 0

( 2 x ) dx = π x 2

2

= 4π .

2 0

29

Задания 2.8. Н айти площ адьфигуры , ограниче нной заданны м и линиям и. 2.8.1. xy = −6, y − x = 7 . 2.8.2. y = e x , y = 0, x = −1, x = 1 . 2.8.3. y = ln x, y = 0, x = e . 2.8.4. y = 4 − x 2 , y = 0 . 2.8.5. y = 3 − 2 x − x 2 , y = 0 . 2.8.6. xy = 4, y = 0, x = 1, x = 4 . 2 2 2.8.7. y = x , y = 2 − x . 2.8.8. y = x 2 + 4 x, y = x + 4 . 2.8.9 y = x 3 , y = 8, x = 0 . 2.9. В ы числить площ адь, ограниче нную линиям и y = x 2 + 4 x + 5, y = 0, x = 0 и м иним аль ной ординатой. 2.10. В ы числитьплощ адь, ограниче нную одной полуволной синусоиды y = sin x и y = 0 . 2.11. Н ай ти путь, пройде нны й те лом за 3 с от начала движ е ния, при ск орости υ = 3t 2 + 2t с м /с . 2.12. П ри ск орости не равном е рного движ е ния υ = 6t 2 − 2 с м /с опре де лить путь, пройде нны й те лом спятой по де сятую се к унды . 2.13. О пре де литьобъе м те ла, образованного вращ е ние м заданной фигуры сограничиваю щ им и линиям и: x2 y2 − = 1 и y = ±3 вок ругоси 0y; а) 4 9 б) xy = 4 , x = 1 , x = 4 и y = 0 вок ругоси 0х;

в) г) д) е)

( y − 2)2 = 2 x , x = 0 , y = 4 вок ругоси 0х; 3 y 2 = (x + 4 ) и x = 0 вок ругоси 0y; y 2 = 4 − x и x = 0 вок ругоси 0y;

y = x − x , x = −4 и y = 0 вок ругоси 0y;

x2 и x + y = 4 вок ругоси 0y; 4 y = sin x (одной полуволной) и y = 0 вок ругоси 0х; 1 y= , x = ±1 и y = 0 вок ругоси 0х; 1+ x2 y = x 3 , x = 0 , y = 8 вок ругоси 0y; x 2 − y 2 = 4 и x = ±4 вок ругоси 0x.

ж ) y = 4− з) и) к) л)

3. Об ы кн ове н н ы е диф ф е ре н циальн ы е уравн е н ия 3.1. Задачи, приводящ ие к диффере нциальны м уравне ниям П рим е р 3.1. Н айти уравне ние к ривой y(x), у к оторой угловой к оэффицие нт к асате льной в лю бой точк е раве н удвое нной абсциссе и к оторая проходит че ре зточк уск оординатам и (0;0). Ре ш е ние . У гловой к оэффицие нт к асате льной е сть пе рвая производная, и по условию онаравна2х: dy = 2 x или dy = 2 xdx . dx

30

П е рвое раве нство соде рж ит производную , а второе – диффе ренциал, поэтом утак ие раве нстваназы ваю т диф ф еренциа льны м и ура внениям и. В отличие от алге браиче ск их уравне ний, к орням и к оторы х являю тся числа, ре ш е ние м диффе ре нциальны х уравне ний являю тся ф унк ции, к оторы е при подстановк е их в исходное уравне ние обращ аю т е го втож де ство. П ри инте грировании данного диффе ре нциаль ного уравне ния получае тся 2 ∫ dy = ∫ 2 xdx + C или y = x + C , где С –произвольная постоянная. П ри лю бом С диффе ре нциал d (x 2 + C ) = 2 xdx , т.е . получае тся тож де ство. В общ е м случае ре ш е ние м исходного диффе ре нциального уравне ния являе тся не одна, а бе счисле нное м нож е ство функ ций, назы вае м ы х с ем ей с т в ом ф унк ций или инт егра льны м ик рив ы м и. В данном случае получе но се м ейство параболиче ск их ф унк ций , график и к оторы х при различны х С приве де ны нарис. 3.1. 7 6 5 y(x)

4 3 2 1 2

1

0 x

1

2

Рис. 3.1. С е м е йство парабол. Н о не обходим о вы братьтолько одну параболу, к оторая проходит че ре зточк у с к оординатам и (0;0). И зэтого начального условия y(0)=0 2 находится значе ние постоянной С : 0 + C = 0 ⇒ C=0. С ле довате льно, ре ш е ние м поставле нного диффе ре нциального 2 уравне ния являе тся параболиче ск ая функ ция y ( x) = x . Э то ре ш е ние назы вае тся ча с т ны м реш ением . П рим е р 3.2. Н айти зак он движ е ния s(t) м ате риальной точк и с м ассой m, брош е нной ве ртик ально вве рх с начальной ск оростью υ0. С опротивле ние м воздухапре не бре чь. Ре ш е ние. П усть полож ите льное направле ние оси 0s направле но вве рх и совпадае т с трае к торие й движ е ния, а начальное полож е ние точк и совпадае т сначалом оси 0s. Н а точк у де йствуе т сила тяж е сти mg (g – уск оре ние силы тяж е сти). Д виж е ние точк и происходит с уск оре ние м a, к оторое е сть вторая производная s ′′ . П о втором узак онуН ью тона

ms ′′ = − mg или s ′′ = g .

31

П ри t=0 точк а находится в начале к оординат и им е е т начальную ск орость υ0 ( s ′ = υ ), т.е . иск ом ая функ ция долж на удовле творять начальны м условиям : s (0) = 0 и s ′(0) = υ 0 . Т ак к ак s ′ = υ ⇒ s ′′ = υ ′ , то υ ′ = − g

или

dυ = −g , dt

отк уда dυ = − gdt ⇒ ∫ dυ = − g ∫ dt ⇒ υ = − gt + C1 . И з второго начального условия находим постоянную υ 0 = − g ⋅ 0 + C1 ⇒ C1 = υ 0 . С ле довате льно, υ = υ 0 − gt . Т огда ds = υ 0 − gt или dt

С 1:

ds = υ 0 dt − gtdt .

И нте грирование м получе нного уравне ния находится зак он движ е ния м ате риальной точк и:

∫ ds = υ 0 ∫ dt − g ∫ tdt ⇒ s = υ 0 t −

gt 2 + C2 . 2

И зпе рвого начального условия находится постоянная С 2: 0 = 0⋅t −

g ⋅0 + C2 2

⇒ C2 = 0 .

С ле довате льно, зак он движ е ния точк и опре де ляе тся уравне ние м gt 2 s (t ) = υ 0 − . 2 3.2. О сновны е опре де ле ния Д иф ф еренциа льное ура в нение - это раве нство, связы ваю щ е е м е ж ду собой пе ре м е нную х, ф унк цию y(x) и е ё производны е или диффере нциалы различны х порядк ов. Е сли иск ом ая ф унк ция y(x) зависит только от одной пе ре м е нной, то диффе ре нциальное уравне ние назы вае тся обы к нов енны м . О бщ ий вид обы к нове нного диффере нциального уравне ния первого порядк а F ( x, y , y ′) = 0 . У равне ние м ож е т не соде рж атьв явном виде х и y, но обязате льно соде рж ит y ′ . Е сли уравне ние м ож но записатьв виде y ′ = f ( x, y ) , то получае тся диффе ренциальное уравне ние 1-го порядк а, разре ш е нное относите льно производной. Реш ение диф ф еренциа льного ура в нения - всяк ая ф унк ция, удовле творяю щ ая этом ууравне нию . Порядок диффе ре нциального уравне ния е сть наивы сш ий порядок производной (диффе ре нциала), соде рж ащ е йся вуравне нии. Н априм е р, уравне ние y ′′ + y = 0 е стьуравне ние второго порядк а. Ре ш е ние или инте грал диффе ре нциального уравне ния соде рж ит столько произвольны х постоянны х, к ак ов порядок уравне ния. Т ак ое ре ш ение назы вае тся общ им реш ением .

32

Ре ш е ние , к оторое получае тся из общ е го при опре де ленны х числе нны х значе ниях произвольны х постоянны х, назы вае тся ча с т ны м реш ением . Задача нахож де ния частного ре ш е ния уравне ния, удовле творяю щ е го начальном уусловию y = y 0 при x = x0 назы вае тся за да чей К ош и. Задания 3.1. О пре де литьуравне ние к ривой, проходящ е й че ре з точк у (-1;1), е сли угловой к оэффицие нт к асате льной в лю бой точк е к ривой раве н к вадратуординаты точк и к асания. 3.2. В сле дую щ их диффе ре нциальны х уравне ниях най ти общ ий инте грал, построитьне ск олько инте гральны х к ривы х и най ти частны й инте грал по начальны м условиям при х=2, y=4. 3.2.1. y ′ = y . 3.2.2. xy ′ − y = 0 . 3.2.3. xy ′ + y = 0 . x 3.2.4 yy ′ + x = 0 . 3.3.5. y ′ = 2 x . 3.2.6. y ′ = 3e − 1 . 2 3 2 3.2.7. y ′y = x − 2 x + x . 3.3. Д иффе ре нциальны е уравне ния пе рвого порядк аи пе рвой степе ни С т еп енью диффе ре нциального уравне ния пе рвого порядк аназы вае тся сте пеньсодерж ащ е йся вне м производной. В общ е м случае диффере нциальное уравне ние пе рвого порядк а пе рвой сте пе ни записы вае тся ввиде P ( x, y )dy + Q ( x, y ) dx = 0 , где Р(x,y), Q(x,y) –функ ции от двух пе ре м е нны х. Н априм е р: (x 2 − y 2 )dy + 1 + x − y dx = 0 .

(

)

3.4. Д иффе ре нциальны е уравне ния пе рвого порядк а сразде ляю щ им ися пе ре м е нны м и Е сли Р(x,y) е стьфунк ция одной пе ре м е нной y: P=f(y), а Q(x,y) – ф унк ция одной пе ре м е нной х: Q=g(x), то уравне ние видаf ( y ) dy + g ( x )dx = 0 назы вае тся ура в нением с ра зделяющ им ис я п ерем енны м и. О бщ ий инте грал записы вае тся ввиде ∫ f ( y )dy + ∫ g ( x ) dx = C .

2 П рим е р3.3. Ре ш итьуравне ние ydy − x dx = 0 . Ре ш е ние. П е ре м е нны е уж е разде ле ны и путе м

получае тся:

∫ ydy − ∫ x

2

dx = C ⇒

2

инте грирования

3

y x − =C. 2 3

Э то инте грал данного уравне ния. Ре ш ив получе нное соотнош е ние относите льно y, получае тся общ е е ре ш е ние y = ± C +

2x3 . 3

М е тодом разде ле ния пе ре м е нны х ре ш аю тся диффе ре нциальны е уравне ния пе рвого порядк а, к оэффицие нты Р и Q к оторы х разлагаю тся на м нож ите ли, зависящ ие только от хили только от y.

33

Задания 3.3. М е тодом разде ле ния пе ре м е нны х найти общ ие инте гралы уравне ний. 2 3.3.1. x y ′ + y = 0 . 3.3.2. x + xy + y ′( y + xy ) = 0 . 3.3.3. ϕ 2 dr + (r − 3)dϕ = 0 . 3.3.4. 2st 2 ds = (1 + t 2 )dt . 3.3.5. y ′ =

y −1 . x

3.3.6. yy ′ =

1 − 2x . y

3.3.7. y ′y 2 + 2 x = 1 .

3.4. Н ай ти общ ий и частны й инте гралы по начальны м условиям . 3.4.1. 2 y ′ x = y , y=1 при х=4. 3.4.2. y ′ = (2 y + 1)ctgx , y=0,5 при х=π/4. 3.4.3. x 2 y ′ + y 2 = 0 , y=1 при х=-1. 3.5. Ре ш итьуравне ния. 3.5.1. y ′x 2 = 2 y . 3.5.2. (x 2 + x )y ′ = 2 y + 1 . 3.5.3. y ′ a 2 + x 2 = y . 2 3.5.4. y ′ 1 + x = y . 3.5.5. y ′ = 2 y ln x , y=1 при х=е.

(

)

3.5.6. (1 + x 2 )y ′ + y 1 + x 2 = xy , y=1 при х=0. 3.5.7. dr + rtgϕ = 0 , r=2 при ϕ = π .

4. После довате льн ости и пре де лы 4.1.

П ре де л числовой после довате льности

Е сли к аж дом у натуральном у числу n поставле но в соотве тствие число a n = f (n) , то получе нны й пронум е рованны й ряд чисе л назы ваю т чис лов ой п ос ледов а т ельнос т ью: a1, a2, a3,… , ai,… , an-1, an, или {an}. П рим е р 4.1. Ф орм ула a n = 2n − 1 числам натурального ряда n = 1, 2, 3, … ставит всоотве тствие после довате льностьне че тны х чисе л 1, 3, 5, … . П риве де нная в прим е ре 4.1 после довате льность являе тся в озра с т а ющ ей , приче м не ограниче нно возрастаю щ е й , т.к . к аж ды й е е после дую щ ий эле м е нт больш е пре ды дущ е го. Е сли к аж ды й после дую щ ий эле м е нт м е ньш е пре ды дущ е го, то так ая после довате льностьназы вае тся убы в а ющ ей . О собы й инте ре спре дставляю т огра ниченны е п ос ледов а т ельнос т и, у к оторы х эле м е нты хотя и возрастаю т (убы ваю т), но остаю тся м е ньш е (больш е ) не к оторого числа. Т ак ие после довате льности им е ю т пре де лы эле м е нтовпри возрастании их ном е ра. Опре де ле н ие . Ч исло А назы вае тся п ределом п ос ледов а т ельнос т и {an}, е сли для лю бого, ск ольугодно м алого полож ите льного числа ε (эпсилон) м ож но ук азатьтак ой ном е р N, что при всяк ом n≥N абсолю тная ве личина разности a n − A < ε . М ате м атиче ск и данное опре де ление м ож но записатьввиде : lim a n = A , или a n → A , или a n − A < ε при n≥ N. n→∞

34

П рим е р 4.2. Н айти пре де л числовой после довате льности a n =

2n + 1 . 4n − 5

1 2n + 1 n =2=1. a n = lim = lim Ре ш е ние. nlim n →∞ 4 n − 5 n →∞ →∞ 5 4 2 4− n 2+

4.2. П ре де л ф унк ции И зучае м ы е в м ате м атиче ск ом анализе ф унк ции им е ю т в к аче стве аргум е нтане только це лочисле нны е значе ния. О ни м огут бы тьопреде ле ны наинте рвале де й ствите льной оси 0х: a<x
f1 ( x) f 1 ( x) lim = x→a . f 2 ( x) lim f 2 ( x) x→a

С войствапре де лов 1. П ре де л постоянной раве н этой постоянной: lim A = A. x →a c ⋅ f ( x) = c lim f ( x) (с = const). 2. П остоянная вы носится зазнак пре де ла: lim x→a x→a

Е сли пре де л ф унк ции раве н нулю : lim f ( x) = 0 , то она назы вае тся x→a бес к онечно м а лой в еличиной . Е сли преде л ф унк ции раве н бе ск оне чности: lim f ( x) = ∞ , то онаназы вае тся бес к онечно больш ой в еличиной . x →a 1 0

= ∞ и lim С ле довате льно, вы полняю тся раве нства: lim x →a x →a

1 = 0. ∞

Задания 4.1. Записатьпосле довате льностьчисе л, задавае м ы х форм улой. 4.1.1. a n = n 2 + 1 . 4.1.2. a n = 3n − 2 . 4.1.3. a n = 2n 2 − 1 . 4.1.4. a n = (n − 1) 2 − 4 . 4.1.5. a n = 3(n − 2) + 2 . 4.1.6. a n = 2(n − 1) − 1 . 4.2. Н ай ти пре де л числовой после довате льности. 4.2.1. a n =

2n − 1 . 3n − 5

4.2.2. a n =

n . 4n − 100

4.2.3. a n =

n2 −1 . 2n

35

4.2.4. a n =

2 − 2n . 3n − 1

4.2.5. a n =

n2 . 3 − 4n

4.3. Н ай ти пре де лы : 4.3.1. lim (x 3 − x 2 + 3) . 4.3.2. lim(2 x 3 + x 2 − 7 x + 4) . x → −1

x →0

4.2.6. a n =

n2 −1 . 3− n

4.3.3. lim(x 3 − 2 x 2 + 2) . x →1

−1

 x2 − 3    . 4.3.6. lim x →2  x 4 + x 2 − 1    0 4.4. Н ай ти пре де лы , раск ры вне опре де ле нностьвида . 0 2 x −4 . 4.4.1. lim x →2 x − 2 x −3 3x + 2 x − x − 1 4.3.4. lim 4 2 . 4.3.5. lim . x →0 x→ 3 x + x − 1 3x 2

3

2

Ре ш е ние. Раве нство нулю числите ля и знам е нате ля пок азы вае т, что при разлож е нии м ногочле нов на м нож ите ли им е ю тся так ие , к оторы е обращ аю тся внольпри данном пре де ле аргум е нта. Разлож ив числитель и знам е нате льна м нож ите ли, надо сок ратитьобращ аю щ ие ся в ноль м нож ите ли, азате м най ти пре де л: lim x→2

4.4.2. lim x →0

x 1− x +1

x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) = lim = lim( x + 2) = 4 . x → 2 x→2 x−2 x−2

.

Ре ш е ние. У м нож им числите ль и знам е нате ль на вы раж е ние , сопряж е нное знам е нате лю : lim x →0

x(1 + x + 1) (1 − x + 1)(1 + x + 1)

4.4.3. lim x →5

= lim x →0

x 2 − 7 x + 10 . x 2 − 9 x + 20

[

4.4.4. lim x →1

3x + x . x 3x 3 − 11x + 6 . 4.4.9. lim x →3 2 x 2 − 5 x − 3

]

x (1 + x + 1) x(1 + x + 1) = lim = lim − (1 + x + 1) = −2 . x →0 x →0 −x 1 − ( x + 1) x3 −1 . x2 −1

x −9 . 2 x − 2x − 3 x +1 −1 4.4.10. lim . x →0 x

4.4.5. limπ x→

4

sin x − cos x . cos 2 x

x2 − 4 . x+2 x−5 4.4.11. lim . x →5 2 − x −1 ∞ 4.5. Н ай ти пре де лы , раск ры вне опре де ле нностьвида : ∞ 4 2 x −x +2 4.5.1. lim . x →∞ x 3 − x + 1 ∞ Ре ш е ние . Д ля раск ры тия не опреде ле нности вида не обходим о ∞ 3

2

4.4.6. lim x →0

4.4.7. lim x →3

4.4.8. xlim → −2

числите ль и знам е натель разде лить на пе ре м е нную сте пе ни, вданном прим е ре на x 4 :

в наибольш ей

1 2 + 4 2 x −x +2 x x = 1 = ∞. lim 3 = lim x →∞ x − x + 1 x →∞ 1 1 1 0 − 3+ 4 x x x x3 − 2x + 6 x3 −1 3n 4.5.2. lim . 4.5.3. lim 2 . 4.5.4. lim . 3 2 x →∞ 3 x + x − 26 x →∞ x + 1 n →∞ 1 − 2 n 4

2

1−

36 1  5x 2  x   2 + 4.5.5. lim . x →∞  1 − x 2  

4.6.

Н ай ти преде лы , sin x lim =1: x →0 x

4.6.1. lim x →0

→0

4.6.2. lim x →0

пе рвы й

зам е чате льны й

пре де л

sin 5 x . x

sin 3 x 3 sin 3 x = lim = 3. x → 0 x 3x tgx sin 5 x lim . 4.6.4. 4.6.3. lim . x →0 x x → 0 sin 3 x

4.6.5. lim x →0

sin 5 x . cos 5 x

Д ок азатьсвойствапе рвого зам е чате льного пре де ла.

4.7.1. lim x →0 4.8.

используя

10 x 4 − 8 x 2 + 3 4.5.7. lim 4 . x →∞ 5 x + 3 x 3 + 5

sin 3 x . x

Ре ш е ние. lim x

4.7.

5 x 2 − 3x + 2 4.5.6. lim 2 . x →∞ 2 x + 4 x + 1

sin ax a = . bx b

4.7.2. lim x →0

tgax a = . bx b

4.7.3. lim x →0

sin ax a = . sin bx b

Н ай ти пре де лы , используя второй зам е чате льны й пре де л: x

x

1 1 1 lim(1 + x ) x = e или lim1 +  = e или lim 1 +  = e . x →0 x → −∞ x →∞





x

x

x

 3 1 +  . 4.8.1. lim x →∞  x 3

x    3  x    1   3 3 Ре ш е ние . lim 1 +  = lim 1 +   = e . → ∞ x →∞ x x x        3   

(1 + 4 x )5 x . 4.8.2. lim x →0 3

(1 + 4 x ) Ре ш е ние. lim x →0  4.8.3. lim 1 + x →∞ 

2x

5   . 3x 

(1 + 2 x ) . 4.8.6. lim x→0 5 x

3 5x

1   = lim (1 + 4 x ) 4 x  x →0  

 4.8.4. lim 1 + x →∞ 

3⋅4 5

12 5

=e . x

5x

2  . 3x  1− x x

(1 + 4 x ) 4.8.7. lim x →0

 1 4.8.5. lim 1 +  . x →∞ 

.

x

4  4.8.8. xlim 1 +  → −∞ 

x

x+3

.

5. Ряды 5.1.

О сновны е понятия и свойства

Т е ория рядов составляе т основу числе нны х м е тодов и алгоритм ов к ом пью те рной м ате м атик и. П устьзадана числовая после довате льность a1, a2, a3,… , ai,… , an-1, an, обозначае м ая {an}, сэле м е нтам и ai (n –число эле м е нтов).

37

О бразуе м новую сум м {Sn} пе рвы х

числовую после довате льность частичны х n эле м е нтов исходной после довате льности: S n = a1 + a 2 + a3 + ... + ai + ... + a n −1 + a n . {Sn} назы вае тся чис лов ы м рядом , асам ряд обозначае тся ∞

a1 + a 2 + a3 + ... + ai + ... + ...

∑a

или

n =1

n

.

Е сли после довате льность{Sn} сходится к числу S, то ряд назы вае тся с ходящ им с я, ачисло S назы вае тся е го с ум м ой и записы вае тся ввиде

lim S n = S n →∞

∞

или

∑a n =1

n

.

Е сли после довате льность {Sn} расходится, то ряд назы вае тся ра с ходящ им с я. П рим е р5.1. Н айти сум м уряда

1 1 1 + + ... + + ... . 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ⋅ (n + 1)

Ре ш е ние . Н айде м сум м у n пе рвы х чле нов, пре дставив к аж дое слагае м ое ввиде разности дробе й: 1 1 1  1 1   1 1   1 1   1 S n =  −  +  −  +  −  + ... +  − + − = 1 2   2 3   3 4   n −1 n   n n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + + ... + − + − = 1− . 1 2 2 3 3 4 4 n −1 n n n +1 n −1 1  Н аходим пре де л lim S n = lim1 −  = 1. n →∞ n →∞  n +1

5.2. П ризнак и сходим ости Д ля сходим ости ряда не обходим о (но не достаточно!), чтобы эле м е нт ряда a n → 0 при n → ∞ . С ущ е ствуе т ряд признак ов сходим ости рядов. Рассм отрим не к оторы е изних. И нт егра льны й п ризна к сходим ости рядасполож ите льны м и убы ваю щ им и эле м е нтам и. Е сли эле м е нты ряда a n = f (n) , где f (n ) - убы ваю щ ая ф унк ция, то ∞

 A, рядсходится, рядрасходится.

∫ f ( x)dx = ∞, 1

Призна к Д а ла м бера сходим ости ряда с полож ите льны м и Е сли

эле м е нтам и.

< 1, т о ряд с ходит с я, a n+1  lim = r = > 1, т о ряд ра с ходит с я, n →∞ a n = 1, воп рос ос т а ет с я нереш енны м . 

С ра в нение рядов с п олож ит ельны м ичлена м и: u1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ...

υ1 + υ 2 + υ 3 + ... + υ n + ...

а) е сли u n ≤ υ n и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

(1) (2)

38

б) е сли u n ≥ υ n и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1). Ряд с чередующ им ис я зна к а м и u1 − u 2 + u 3 − u 4 + ... сходится, е сли u1 > u 2 > u 3 ... и lim u n = 0 . n →∞ Абс олют на я с ходим ос т ь: ряд u1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ... (3) сходится, е сли сходится ряд u1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ... . (4) В этом случае ряд (3) назы вае тся а бс олют но с ходящ им с я. Е сли ж е ряд (3) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) назы вае тся ус лов но (неа бс олют но) с ходящ им с я. Задания 5.1.

Н ай ти сум м уряда:

1 1 1 1 + + ... + + ... . 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n − 1) ⋅ (2n + 1) 1 1 1 1 5.1.2. + + ... + + ... . 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅10 (n + 1) ⋅ (3n + 1)

5.1.1.

5.2.

В ы полняе тся ли не обходим ое условие сходим ости ряда:

5.2.1.

1 3 5 7 + + + + .... 2 4 6 8

Ре ш е ние. Э ле м е нты ряда зависят от ном е ра n к ак

2n − 1 . П рове рим , 2n

вы полняе тся ли не обходим ое условие сходим ости ряда: 1  2n − 1  = lim1 −  = 1 . n →∞ 2n n →∞  2n 

lim a n = lim n →∞

Н е обходим ое условие сходим ости рядане вы полняе тся. 5.2.2.

1 1 1 1 + + + + .... . 1 3 5 7

5.2.3.

2 4 6 8 + + + + .... . 3 9 27 81

5.3. И ссле доватьпо инте гральном упризнак усходим остьряда: 1 3

1 5

1 7

1 9

5.3.1. 1 + + + + + .... . Ре ш е ние. Э ле м е нты ряда зависят от ном е ра n к ак

f (n) =

1 . 2n − 1

Ф унк ция f (n) - убы ваю щ ая, т.к . отнош е ние после дую щ е го эле м е нта к пре ды дущ е м ум е ньш е 1: 1 1 2n − 1 + 1 − 1 2 n + 1 − 2 2 : = = = 1− < 1. 2( n + 1) − 1 2n − 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 ∞

∞

1 1 dy 1 dx = ∫ = ln y В ы числим инте грал ∫ 2 x − 1 2 y 2 1 1

∞

= 1

1 (∞ − 0) = ∞ . 2

П ри вы числе нии инте гралабы ласде ланазам е на2х-1=y. Т ак к ак значе ние инте грала равно ∞ , то по инте гральном у признак у ряд расходится.

39

5.3.2. 1 + 5.3.4. 5.3.5. 5.3.6. 5.3.7.

1 4

+

1

+

1

+ .... .

7 10 1 1 1 1 + + + + .... . 2 2 2 1+1 1+ 2 1 + 3 1 + 42 1 2 3 4 + .... . + + + 2 2 2 1+1 1+ 2 1 + 3 1 + 42 1 1 1 1 + .... . + 2 + 2 + 2 2 3 −1 5 −1 7 −1 9 −1 1 1 1 1 + + + + .... . 2 2 2 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4 5 ln 2 5

5.3.3.

1 2 3 4 + 3 + 3 + 3 + .... . 3 2 3 4 5

5.4. П о признак уД алам бе раиссле доватьсходим остьрядов. 2 4 6 8 2 4 8 + + + + .... . 5.4.2. 1 + + + + .... . 3 9 27 81 2! 3! 4! 3 32 33 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 5.4.3. 1 + + + + .... . 5.4.4. 1 + + 2 + 3 + .... . 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2⋅3 2 ⋅5 2 ⋅7 1 3! 5! 7! + + + .... . 5.4.5 + 2 2⋅ 4 2⋅ 4⋅6 2 ⋅ 4⋅6⋅8 1 5 9 13 + + + .... . 5.4.6. + 2 3 3 2⋅3 3⋅3 4 ⋅ 34

5.4.1.

5.5.С равне ние м субы ваю щ е й прогре ссие й иссле доватьсходим остьряда 1+

1 1 1 + + + .... . 2 2⋅5 3⋅5 4 ⋅ 53

5.6. И сследоватьсходим остьрядов. 5.6.1. 1 −

1 2

+

1

−

1

+ .... .

3 4 1 1 1 5.6.3 − − + .... . 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4

5.6.2. 1 −

1 1 1 1 + 2 − 2 + 2 − .... . 2 3 5 7 9

5.7. И сследоватьсходим остьрядов. 5.7.1. 1 +

1 3 3

+

1

+

1

+ .... .

5 5 7 7 1 2 3 4 + + + + .... . 5.7.3. 4 4 4 1+1 1+ 2 1 + 3 1 + 44 1 1 1 5.7.5. 1 + 2 + 2 + 2 + .... . 4 7 10 21 41 61 81 5.7.7. + + + + .... . 3 9 27 81

1 1 1 1 + + + + .... . 101 201 301 401 3 5 7 9 5.7.4. 1 + + + + + .... . 4 9 16 25 1 3 5 7 5.7.6. + 2 + 3 + 4 + .... . 2 2 2 2 2 4 6 8 10 5.7.8. + + + + + .... . 1 3! 5! 7! 9!

5.7.2. 1 +

6. Осн овы дискре тн ой м ате м атики 6.1. П онятие м нож е ства Опре де ле н ие . М нож ес т в о М е сть совок упность не к оторы х объе к тов, к оторы е назы ваю тся э лем ент а м им нож е стваМ . П ринадле ж ностьэле м е нта х м нож е ству М обозначае тся к ак x ∈ M , а е сли эле м е нт хне принадле ж ит м нож е ствуМ , то x ∉ M .

40

Е сть два способа задания м нож е ства: пе ре числе ние м принадле ж ащ их е м у эле м е нтов или аналитиче ск и (алге браиче ск и) с ук азание м свойств, к оторы м эле м е нты м нож е ствадолж ны удовле творять. Е сли x1 , x 2 ,..., x n - эле м е нты м нож е стваМ , то записы ваю т M = {x1 , x 2 ,..., x n } . Е сли е стьм нож е ство А, эле м е нты к оторого м огут обладатьили не обладатьсвой ством Р, то м нож е ство М , состоящ е е изэле м е нтовм нож е ства А со свойством Р, м ож е т бы тьзаписано всле дую щ их пре дставле ниях:

M = {x ∈ A x обла да ет с в ой с т в ом Р}

или M = {x x обла да ет с в ой с т в ом Р}, M = {x P(x )}, M = {x}P ( x ) , е сли из к онте к стаясно, о к ак ом м нож е стве А иде т ре чь. Д ля числовы х м нож е ствиспользую тся сле дую щ ие обозначе ния: N = {1, 2, 3, … } –м нож е ство натуральны х чисел; Z = {0, ±1, ±2, ±3, … } – м нож е ство це лы х чисе л; Q = p q p, q ∈ Z , q ≠ 0 –м нож е ство рациональны х чисе л;

{

}

R –м нож е ство ве щ е стве нны х чисе л. П устое м нож е ство не соде рж ит ни одного эле м е нта и обозначае тся сим волом ∅. П рим е р 6.1. М нож е ство М арабск их цифр м ож но записать двум я способам и: пере числе ние м M = {0,1, 2, 3, ..., 9} или с описание м свойства M = { x x − а ра бс к а я циф ра }. П рим е р6.2. Задатьалге браиче ск и м нож е ство че тны х чисе л {0, ± 2, ± 4, ... }. Ре ш е ние . M = { x x = 2k для k ∈ Z }. Э ле м е нтам и м нож е ства сам и м огут являться м нож е ства, к оторы е назы ваю тся п одм нож ес т в а м и. Опре де ле н ие . М нож е ство В назы вае тся п одм нож ес т в ом м нож е ства А, е сли все эле м е нты м нож е стваВ принадле ж ат А: B ⊆ A ⇔ ∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A) ,

где ⊆ - отнош е ние вк лю че ния. Э та записьозначае т, что для лю бого эле м е нта ∀ х, е сли x ∈ B , то x ∈ A . П ри этом говорят, что м нож е ство В соде рж ится в м нож е стве А, или им е е тся вк лю че ние м нож е стваВ вА. Опре де ле н ие . М нож е ства А и В назы ваю тся ра в ны м иили с овп а да ющ им и А=В, е сли они состоят изодних и те х ж е эле м ентов. В этом случае B ⊆ A и A ⊆ B . П рим е р6.3. П ок азать, что м нож е ства М 1 = {x sin x = 1 } и М 2 = {x x = совпадаю т.

π + 2kπ , k ∈ Z } 2

41

Ре ш е ние . Е сли x ∈ M 1 , то х являе тся

ре ш е ние м

sin x = 1 , т.е . х м ож но пре дставитьв виде x =

x ∈ M 2 . С ле довательно, M 1 ⊆ M 2 .

уравне ния

π + 2kπ , k ∈ Z . П оэтом у 2

π Е сли ж е x ∈ M 2 , т.е . x = + 2kπ , k ∈ Z , то sin x = 1 , т.е . M 2 ⊆ M 1 . 2

С ле довате льно, M1 = M 2 . В лю бой им е ю щ е й см ы сл задаче обы чно рассм атриваю т подм нож е ства не к оторого “наибольш е го” м нож е ства, к оторое назы ваю т универс а льны м или унив ерс ум ом и обозначаю т че ре зU. С овок упность все х возм ож ны х подм нож е ств м нож е ства А, соде рж ащ е го n эле м е нтов, назы вае тся е го булеа ном или м нож ес т в ом с т еп енью и обозначае тся P(А): P(А)= { B B ⊆ A}. Буле ан соде рж ит 2n эле м е нтов. П рим е р6.4. Н айти буле ан для м нож е стваA={1, 2, 3}. Ре ш е ние . P(А)= {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A} . Г е ом е триче ск и м нож е ства обы чно изображ аю т к ак не к оторы е подм нож е ства точе к плоск ости, к оторы е назы ваю тся диа гра м м а м и Э й лера -Венна (рис. 6.1). U A

B

Рис. 6.1. Д иаграм м аЭ йле ра-В е нна: униве рсум U, м нож е ство А и подм нож е ство В⊆А. Н е сле дуе т см е ш иватьотнош е ние принадле ж ности ∈ и отнош е ние вк лю че ния ⊆. Н априм е р, 0∈ {0} и {0}∈ {{0}}, но 0 ∉ {{0}} , поск ольку е динстве нны м эле м е нтом м нож е ства {{ 0}} являе тся эле м е нт {0} . Задания 6.1. Задатьспом ощ ью пе ре числе ний : а) м нож е ство дне й вне деле ; б) м нож е ство м е сяце ввгоду; в) м нож е ство м е сяце в, число дне й вк оторы х 31; 30; 29 или 28; г) м нож е ство к вадратоварабск их цифр д) м нож е ство де йствите льны х к орне й уравне ния x 2 − 9 = 0 ; е ) м нож е ство чисе л Ф ибоначчи, задавае м ы х алгоритм ом : а 1=а 2=1, а i=ai-1+ai-2 для 3 ≤ i ≤ 7 . 6.2. Задатьпосре дством описания свойств: а) м нож е ство не че тны х натуральны х чисе л; б) м нож е ство че тны х натуральны х чисе л;

42

6.3.

6.4.

6.5. 6.6.

в) м нож е ство к вадратов це лы х чисе л; г) м нож е ство эле м е нтоварифм е тиче ск ой прогре ссии; д) м нож е ство эле м е нтовге ом е триче ск ой прогре ссии; е ) м нож е ство де йствите ль ны х к орней уравне ния x 2 − 9 = 0 ; ж ) м нож е ство де йствите льны х к орне й уравне ния x 2 + 9 = 0 ; ж ) м нож е ство чисел Ф ибоначчи, задавае м ы х алгоритм ом : а 1=а 2=1, а i=ai-1+ai-2 для 3 ≤ i ≤ 10 ; з) м нож е ство просты х чисе л, м е ньш их 23. Д ано м нож е ство A={0, 1, 5, 9, 10, 13, 18, 20}. Как ое из м нож е ств являе тся подм нож е ством м нож е стваА: а) A1={4, 8, 12}; б) A2={0, 1, 4, 5, 9}; в) A3={∅}; г) A4={9, 10, 18, 20}? Н ай ти буле ан для сле дую щ их м нож е ств: а) A={0, -1}; б) В={13, 20}; в) С ={-10, 13}; г) С 1={1, 5, 9}; д) В3={9, 10, 18}; е ) В7={0, 13, 18}; ж ) A1={m, n, p}; з) A2={7, n}; и) A3={sun}; к ) A4={∅}; л) A5={♠, ♣ , ♥, ♦ }; м ) A6={∅, 0, 1}. С пом ощ ью диаграм м Э йле ра-В е ннаизобразитьм нож е стваU, А, В: U –униве рсум и А ≠ В ( A, B ∈ P (U)). П ок азать, что сле дую щ ие м нож е ствасовпадаю т: М 1 ={x sin x = 1 } и М 2 = {x x =

π + 2kπ , k ∈ Z }. 2

6.7. С овпадаю т ли м нож е ства: а) С 1={x х2=25} и С 2 = {-5, 5}? б) В1={x х3=25} и В2 = {-5, 5}? 6.8. Ч е м у равно число все х подм нож е ств из k эле м е нтов для не к оторого м нож е ства? Рассчитать число все х подм нож е ств для м нож е ства, состоящ е го: а) из2 эле м е нтов; б) из4 эле м е нтов; в) из7 эле м е нтов. 6.2. О пе рации см нож е ствам и О сновны м и опе рациям и над м нож е ствам и являю тся пе ре се че ние , объе дине ние и разность. Опре де ле н ие . Объединением или с ум м ой м нож е ств А и В назы вае тся м нож е ство С, состоящ е е изэле м ентов, принадле ж ащ их хотя бы одном у из м нож е ствА и В. О бъе дине ние м нож е ств обозначае тся сим волам и + и U . Е сли А,В∈P (U), то объе дине ние АUВ м нож е ствА и В опре де ляе тся раве нством АUВ = { x x ∈ A или x ∈ B} . U А

В

Г е ом е триче ск и объе дине ние изображ е но нарис. 6.2.

м нож е ств

Рис.6.2. О бъе дине ние двух м нож е ств АUВ.

43

П рим е р 6.5. Н айти объе дине ние м нож е ств A={0, -1, 9, -10, 13, 20} и В={0, 1, 5, 9, 10, 13, 18,}. Ре ш е ние . С ={-10, -1, 0, 1, 5, 9, 10, 13, 18, 20}. Опре де ле н ие . Перес ечением или п роизв едением м нож е ств А и В назы вае тся м нож е ство С, состоящ ее из эле м е нтов, принадле ж ащ их одновре м е нно и м нож е ствуА, и м нож е ствуВ. П е ре се че ние м нож е ств обозначае тся сим волам и · и ∩ . Е сли А,В∈P (U), то объе дине ние А∩ В м нож е ствА и В опре де ляе тся раве нством А∩ В = { x x ∈ A и x ∈ B}. U А

Г е ом е триче ск и пе ре се че ние изображ е но нарис. 6.3.

В

м нож е ств

Рис.6.3. П е ре се че ние двух м нож е ствА∩ В. П рим е р 6.6. Н ай ти пе ре се че ние м нож е ств A={0, -1, 9, -10, 13, 20} и В={0, 1, 5, 9, 10, 13, 18}. Ре ш е ние . С ={0, 9, 13}. Опре де ле н ие . Ра знос т ью м нож е ств А и В назы вае тся м нож е ство С , состоящ ее изэлементовмнож естваА, к оторы е не принадлеж ат множ ествуВ. Разностьм нож е ств обозначае тся сим волам и - и \ . Е сли А,В∈P (U), то разностьА\В м нож е ствА и В опре де ляе тся раве нством А\В = { x x ∈ A и x ∉ B}. Д оп олнением м нож е стваА вU е стьм нож е ство A = U \ A Г е ом е триче ск и разностьм нож е ств (а) и дополне ние м нож е стваА в U (б) изображ ены нарис. 6.4. П рим е р 6.7. Н айти разностьм нож е ствA={0, -1, 9, -10, 13, 20} и В={0, 1, 5, 9, 10, 13, 18}. Ре ш е ние . С ={-10, -1, 20}. U

U А

А

В

A

а) б) Рис. 6.4. Разностьм нож е ствА\В (а) и дополне ние A = U \ A м нож е стваА вU (б). Задания 6.9. Н ай ти объе дине ние м нож е ств и изобразитьре ш ение в виде диаграм м Э йле ра-В е нна:

44

а) A={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и В={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}; б) M 1 = { x x = k для k ∈ Z п ри− 10 ≤ k ≤ 20} и M 2 = { x x = 2k для k ∈ Z п ри0 < k < 10}, атак ж е записать

аналитиче ск ое пре дставле ние М 1U М 2; в) C1 = { c c = k для k ∈ Z п ри0 ≤ k ≤ 20}и

C 2 = { c c = 2k для k ∈ Z п ри− 10 < k < 10} , атак ж е записать

аналитиче ск ое пре дставле ние С 1U С 2; г) A={-2, 7, 6, -10, 11, 14, -17}, В={-1, 4, 7, -12, 11, -17, 20} и С ={0, 1}; 6.10. Н айти пе ре се че ние м нож е ств и изобразитьре ш е ние в виде диаграм м Э йле ра-В е нна: а) A={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и В={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}; б) M 1 = { x x = k для k ∈ Z п ри− 10 ≤ k ≤ 20} и M 2 = { x x = 2k для k ∈ Z п ри0 < k < 10}, атак ж е записать аналитиче ск ое пре дставле ние М 1∩ М 2; в) C1 = { c c = k для k ∈ Z п ри0 ≤ k ≤ 20}и

C 2 = { c c = 2k для k ∈ Z п ри− 10 < k < 10} , атак ж е записать аналитиче ск ое пре дставле ние С 1∩ С 2; г) A={-2, 7, 6, -10, 11, 14, -17}, В={-1, 4, 7, -12, 11, -17, 20} и С ={0, 1}; 6.11. Н айти разностьм нож е ств и изобразитьре ш ение в виде диаграм м Э йле ра-В е нна: а) A={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и В={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}; б) M 1 = { x x = k для k ∈ Z п ри− 10 ≤ k ≤ 20} и M 2 = { x x = 2k для k ∈ Z п ри0 < k < 10}, атак ж е записать аналитиче ск ое пре дставле ние М 1\ М 2; в) C1 = { c c = k для k ∈ Z п ри0 ≤ k ≤ 20}и

C 2 = { c c = 2k для k ∈ Z п ри− 10 < k < 10} , атак ж е записать аналитиче ск ое пре дставле ние С 1\ С 2; г) A={-2, 7, 6, -10, 11, 14, -17}, В={-1, 4, 7, -12, 11, -17, 20} и С ={0, 1}; 6.12. Н ай ти дополне ние м нож е ству А в униве рсум е U = { X X = n и0 ≤ n ≤ 20} и изобразить ре ш е ние в виде диаграм м Э йле ра-В е нна: а) A={0, 3, 9, 10, 13, 20}; б) A={1, 4, 5, 9, 10, 17, 19}; в) A = { X X = n и0 ≤ n ≤ 10}; г) A = { X X = n и5 < n ≤ 15};

д) A = { X X = 2 n + 1 и 0 ≤ n ≤ 20}; е ) A = { X X = 2 n и0 ≤ n ≤ 20}; 6.13. Д аны м нож е ства А={1,3,5,7,9} и В={2,4,6,8}. Ч е м у равно число эле м е нтоввобъе дине нии м нож е ствА и В? 6.14. М нож е ство A ⊕ B = ( A \ B ) U (B \ A) назы вае тся к ольцев ой с ум м ой или с им м ет ричес к ой ра знос т ью м нож е ств А и В. И зобразитьм нож е ство A ⊕ B ввиде диаграм м Э йле ра-В е нна.

45

6.15. Д ля м нож е ств A={0, 3, 9, -10, 13, 20} и В={0, 1, 5, 9, -10, 13, 18} найти дополне ние , пе ре се че ние , разностьи к оль це вую сум м у. 2 6.16. П усть А - м нож е ство к орне й уравне ния x − 3 x + 2 = 0 , B={0,2}. Н айти м нож е ства A U B , A I B , A \ B , B \ A . О сновны е свойстваобъе дине ния, пе ре се че ния и дополне ния 1. К ом м ут а т ив нос т ь опе раций объе дине ния и пе ре се че ния: AU B = B U A,

AI B = B I A.

2. Ас с оциа т ив нос т ь опе раций объе дине ния и пе ре се че ния: A U (B U C ) = ( A U B ) U C ,

A I (B I C ) = ( A I B ) I C .

3. Зак оны иде м поте нтности: A U A = A , 4. Зак оны дистрибутивности:

AI A = A.

A U (B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) ,

A I (B U C ) = ( A I B ) U ( A I C ) .

A I (A U B) = A . 5. Зак оны поглощ е ния: A U ( A I B ) = A , 6. Зак оны де М органа: AU B = AI B, AI B = AU B 7. Зак оны нуля и е диницы : полож им 0 = ∅ , 1=U, тогда AU 0 = A,

AI0 = 0,

A U1 = 1,

A I 1 = A , A U A = 1,

AI A = 0.

8. Зак он двойного отрицания: A = A . В се эти зак оны м ож но проиллю стрировать с пом ощ ью диаграм м Э йле ра-В е нна. У порядоченная после довате льность из n эле м е нтов обозначае тся ( x1 , x 2 , ..., x n ) или x1 , x2 , ..., xn , где xi - i-я к оордината. Т ак ая после довате льность назы вае тся уп орядоченны м на бором длины n, к орт еж ем длины n или просто n-к ой . Д вак орте ж а x = (x1 , x 2 , ..., xn ) и y = ( y1 , y 2 , ..., y n ) равны x = y тогдаи только тогда, к огда x1 = y1 , x2 = y 2 , . . . , xn = y n . Н априм е р, пары (1, 2) и (2, 1) не совпадаю т, хотя м нож е ства{1, 2} и {2, 1} равны . Д ек а рт ов ы м (п рям ы м ) п роизв едением м нож ес т в А1, А2, … , Аn, назы вае тся м нож е ство n

∏A i =1

i

= A1 × A2 × ... × An = {( x1 , x2 ,..., xn ) x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 , ..., x n ∈ An ,}.

Е сли А1= А2= … = Аn=А, то их прям ое произве де ние Аn назы вае тся n-й дек а рт ов ой с т еп енью м нож е стваА. П рим е р 6.8. Д ля м нож е ств А={1,2} и В={3,4} найти де к артовы произве де ния A × B , B × A , А2. Ре ш е ние . A × B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ; B × A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} ; A 2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} .

46

Задания 6.17. П роиллю стрироватьс пом ощ ью диаграм м Э йле ра-В е нна основны е свойстваобъе дине ния, пе ре се че ния и дополне ния. 6.18. Д ля м нож е ствА и В найти де к артовы произве дения A × B , B × A , А2: а) А={0, 2} и В={3, 5}; б) А={10, 20} и В={3, 4}; в) А={a, b} и В={c, d}; г) А={m, n} и В={7, 9}; д) А={1, 2, 3} и В={3, 4}; е ) А={a, b} и В={m, n, k}. 6.3. О тнош е ния и свойстваотнош е ний Ч асто при ре ш е нии задач не обходим о вы биратьэле м е нты , связанны е не к оторы м соотнош е ние м . П рим е рам и так их связе й м е ж ду эле м е нтам и м огут служ итьф унк циональны е зависим ости или отнош е ния типа<, =. Опре де ле н ие . n-М ес т ны м от нош ением или n-м ес т ны м п редик а т ом Р на м нож е ствах А1, А2, … , Аn назы вае тся лю бое подм нож е ство прям ого произве де ния A1 × A2 × ... × An . x1 ∈ A1 , x 2 ∈ A2 , ..., x n ∈ An , x1 , x 2 , ..., xn , Э ле м е нты где связаны соотнош е ние м Р (обозначае тся P( x1 , x2 , ..., xn ) ) тогда и только тогда, к огда (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ P . П ри n=1 отнош е ние Р являе тся подм нож е ством м нож е ства А1 и назы вае тся уна рны м отнош е ние м или с вой с т в ом . Н аиболе е часто встре чаю тся двухм е стны е отнош е ния, к огдаn=2. Э то бина рны е отнош е ния или с оот в ет с т вия. Т ак им образом , соотве тствие м Р м е ж ду м нож е ствам и А и В являе тся подм нож е ство A × B . Е сли P ⊆ A × B и (x, y ) ∈ P , то пиш ут xPy. P ⊆ An О тнош е ние назы вае тся n-м ес т ны м от нош ением (п редик а т ом ) нам нож е стве А. П рим е р6.9. Н айти бинарное отнош е ние Р={(x,y) | x,y ∈ A, x делит y иx≤3} для м нож е стваА={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Ре ш е ние . Р={(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6)}. Бинарны е отнош е ния P ⊆ A × B м ож но пре дставлятьграфиче ск и. П рим е р 6.10. И зобразитьграфиче ск и в де к артовой систе м е к оординат бинарное отнош е ние Р изприм е ра6.9: Р={(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6)}. Ре ш е ние . П о осям Ох и Оy отм е чаю тся эле м е нты м нож е ств А и В соотве тстве нно. О тнош е нию Р буде т соотве тствовать м нож е ство точе к .

y

•

8 7

•

6 5

•

•

4

•

3 •

2 1 0

1

2

3

4

x

47

П рим е р 6.11. С оединитьстре лк ам и эле м е нты x ∈ A и y ∈ B , связанны е бинарны м и отнош е ниям и Р 1={(а , 2), (b, 1), (c, 2)}, Р 2={(а , b), (b, b), (c, a)} для А={а , b, c} и В={1, 2, 3}. Ре ш е ние . 1 ● a●

b b

c

3 ●

●

● A

●

● 2 B

●

a●

c

A

отнош е ние Р 1

отнош ение Р 2

Д адим не ск олько опре де ле ний для отнош е ний. Опре де ле н ие . Д ля лю бого м нож е ства А отнош ение id A = {(x, x ) x ∈ A} назы вае тся т ож дес т в енны м от нош ением или диа гона лью. Опре де ле н ие . Д ля лю бого м нож е ства А отнош е ние U A = A 2 назы вае тся универс а льны м от нош ением или п олны м от нош ением . Обла с т ью оп ределения отнош е ния Р назы вае тся м нож е ство δ P = {x (x, y ) ∈ P для нек от орого y}; обла с т ью зна чений отнош е ния Р назы вае тся м нож е ство ρ P = {y ( x, y ) ∈ P для нек от орого x}. Обра зом м нож е стваХ относите льно пре дик ата Р назы вае тся м нож е ство P( X ) = {y ( x, y ) ∈ P для нек от орого x ∈ X }; п рообра зом м нож е ства Х относите льно Р назы вае тся м нож е ство P −1 ( X ) или, другим и словам и, образм нож е стваХ относите льно пре дик ата P −1 . П рим е р 6.12. Д ля отнош е ния Р={(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6)} и м нож е стваХ ={3} им е е м : - областьопре де ле ния: δ P = {2, 3}; - областьзначе ний: ρ P = {2, 3, 4, 6, 8} ; - обратное к Р отнош е ние : Р -1 ={(2,2), (4,2), (6,2), (8,2), (3,3), (6,3)}; - образм нож е стваХ относите льно Р: P( X ) = {3, 6} ; −1 - прообразм нож е стваХ относите льно Р: P ( X ) = {3} . С войствабинарны х отнош е ний К наиболе е важ ны м свойствам бинарны х отнош е ний относятся реф лек т ив нос т ь, с им м ет ричнос т ь и т ра нзит ивнос т ь.

48

Опре де ле н ие . О тнош е ние R в м нож е стве М назы вае тся реф лек с ив ны м , е сли для к аж дого эле м е нта mi ∈ M справе дливо (mi , mi ) ∈ R :

(∀mi ∈ M ) ((mi , mi ) ∈ R ) . Опре де ле н ие . О тнош е ние R в м нож е стве М назы вае тся с им м ет ричны м , е сли из (mi , m j )∈ R сле дуе т (m j , mi )∈ R , mi ≠ m j :

(∀m , m (m i

j

i

≠ m j ) ∈ M ) ((mi , m j ) ∈ R → (m j , mi ) ∈ R ) .

Опре де ле н ие . О тнош е ние R в м нож е стве М назы вае тся т ра нзит ив ны м , е сли из (mi , m j )∈ R и (m j , mk )∈ R сле дуе т (mi , mk ) ∈ R , mi , m j , mk ∈ M ,

mi ≠ m j , m j ≠ mk , mi ≠ mk . П рим е р 6.13. Записатьрефле к сивное бинарное отнош е ние в м нож е стве М ={1, 2, 5}. Ре ш е ние . R={(1,1), (2,2), (5,5)}. П рим е р 6.14. Записатьсим м е тричное бинарное отнош е ние в м нож е стве М ={а , b, c}. Ре ш е ние . R={(a,b), (b,a), (a,c) (c,a), (b,c), (c,b)}. П рим е р 6.15. Я вляе тся ли транзитивны м бинарное отнош е ние R={( m1, m2), (m2, m3), (m3, m1)} вм нож е стве М ={m1, m2, m3}? Ре ш е ние . Н е т, так к ак для вы полне ния условия транзитивности тре тья дугам нож е стваR долж набы ть(m1,m3), т.е . е ё начало долж но совпадать сначалом пе рвой дуги, а к оне ц ск онцом второй дуги. Задания 6.19. Записатьбинарное отнош е ние Р для заданного м нож е ства: а) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} и P = {(x, y ) x, y ∈ A, x − нечет ное, y − чет ное}; б) A = { x x ∈ N , x ≤ 7} и P = {(x, y ) x, y ∈ A, 2 x ≤ y}; в) A = { x x ∈ Z , − 2 ≤ x ≤ 2} и P = {(x, y ) x, y ∈ A, x > y}; г) A = {x x ∈ Z , x 2 ≤ 4} и P = {(x, y ) x, y ∈ A}. 6.20. Д ля эле м е нтов м нож е ства А изобразитьграфиче ск и в де к артовой систе м е к оординат бинарное отнош е ние Р : а) A = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} и P = {(2, 8), (3, 9), (6, 3), (7, 2), (4, 4), (4, 9)}; б) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и P = {( x, y ) x, y ∈ A, x − нечет ное, y − чет ное}; в) А={2, 4, 3} и P = {(x, y ) x ∈ A, x ≥ y}. 6.21. С оединить стре лк ам и эле м е нты м нож е ств А и B, связанны е бинарны м и отнош е ниям и: а) A = {a1 , a 2 }, B = {b1 , b2 , b3 }, P = {(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a 2 , b1 ), (a 2 , b2 ), (a 2 , b3 )}; б) A = {1, 2}, B = {b1 , b2 , b3 }, P = {(1, b1 ), (1, b3 ), (2, b1 ), (2, b3 )}; в) A = {n, m}, В={♠, ♣ , ♥, ♦ }, Р={(n, ♠), (n, ♣ ), (m, ♠), (m, ♥), (n, ♥)}; г) A = {@, %, $ }, B = {∀, I, U}, P = {(@, ∀), (@, U ), (@, I ), (@, ∀), (%, ∀), ($, ∀)} ; д) А={а , b, c}, B = {b b ∈ N , 2 ≤ b ≤ 5} и P = {(x, y ) x ∈ A, y ∈ B}.

49

6.22.

Д ля заданного бинарного отнош е ния Р и м нож е ства Х най ти областьопре де ле ния и областьзначе ний Р, обратное к Р отнош е ние , образи прообразм нож е стваХ относите льно отнош е ния Р: а) Р={(1,3), (1,4), (3,4), (3,6), (1,6), (4,2), (4,6), (0,5), (2,6)} и Х ={1}; б) Р={(0,2), (1,2), (0,4), (3,4), (3,7), (2,4), (3,6), (2,7), (0,6)} и Х ={0}; в) Р={(2,3), (2,5), (2,7), (4,3), (4,5), (4,7), (8,3), (8,5), (8,7)} и Х ={4}. 6.4. О сновны е понятия те ории графов

Г рафы пре дставляю т собой наиболе е абстрак тную струк туру, с к оторой приходится сталк иваться вте ории Э В М . Г рафы использую тся для описания алгоритм ов автом атиче ск ого прое к тирования, в диаграм м ах м аш ин к оне чны х состояний, при ре ш е нии задач м арш рутизации поток ов и т.д. Л ю бая систе м а, пре дполагаю щ ая наличие диск ре тны х состояний, объе к тов или наличие узлов и пе ре ходов м е ж ду ним и, м ож е т бы ть описанаграфом . О бъе к ты в графах назы ваю тся 2 ● в ерш ина м и и отм е чаю тся точк ам и, а связи 3 м е ж ду ним и назы ваю тся дуга м и и ● отм е чаю тся стре лк ам и м е ж ду соотве тствую щ им и точк ам и (рис.6.5). 1● Г раф м ож е т изображ ать се ть улиц в ● городе : ве рш ины графа – пе ре к ре стк и, а 4 дуги – улицы с разре ш е нны м направле ние м Рис. 6.5. И зображ е ние движ е ния. графа. Опре де ле н ие . Г ра ф ом G = M ; R назы вае тся пара двух к оне чны х м нож е ств: м нож е ство М точе к и м нож е ство R линий, сое диняю щ их не к оторы е пары точе к . Э ле м е нты м нож е стваМ назы ваю тся в ерш ина м и или узла м играфаG, аэле м е нты бинарного отнош е ния R ⊆ M 2 - дуга м и. Т ак ом образом , дугам и являю тся пары ве рш ин (a, b )∈ R . П ри этом дуга (a, b ) назы вае тся ис ходящ ей из верш ины а и за ходящ ей в в ерш ину b. И зображ е ние графа G = M ; R получае тся путе м располож е ния различны х точе к на плоск ости для к аж дой ве рш ины a ∈ M , приче м , е сли (a, b )∈ R , то проводится стре лк а(дуга) изве рш ины а вве рш инуb. П рим е р 6.16. И зобразить граф G = M ; R с 2 ● M = {1, 2, 3, 4} и м нож е ством ве рш ин м нож е ством дуг 3 ● R = {(1, 1), (1, 2 ), (2, 3), (3, 4 ), (4, 3), (4, 1)} . 1 ●

Ре ш е ние .

●

4

50

П ри задании графа природа связи м е ж ду ве рш инам и не им е е т а b значе ния, важ но только то, что связь ● ● сущ е ствуе т и информ ация о связях соде рж ится во м нож е стве R. О днак о часто возник ае т ситуация, к огда так ой информ ации не достаточно, наприм е р, в Рис. 6.6. И зображ е ние случаях, к огда им е е тся не ск олько дуг, м ультиграфа. исходящ их из ве рш ины а в ве рш ину b (рис. 6.6). Т ак ие дуги назы ваю тся к ра т ны м и и для описания так их графов используе тся понятие м ультиграфа. Опре де ле н ие . М ульт игра ф ом G назы вае тся трой к а M ,U , P , в к оторой М – м нож е ство ве рш ин, U – м нож е ство дуг, а P ⊆ M × M × M - тре хм е стны й пре дик ат, назы вае м ы й инцидент ором и пре дставляе м ы й к ак : (a, u, b ) ∈ P тогда и только тогда, к огда дуга u исходит из ве рш ины а и заходит в ве рш инуb. Г раф G = M , R назы вае тся ориент иров а нны м (оргра ф ом ), е сли найде тся дуга (a, b ) ∈ R так ая, что (b, a ) ∉ R . Е сли отнош е ние R сим м е трично, т.е . из (a, b ) ∈ R сле дуе т (b, a ) ∈ R , то граф G назы вае тся неориент иров а нны м или неогра ф ом . Е сли одновре м е нно пары (a, b ) и (b, a ) принадле ж ат R (рис. 6.7,а), то информ ацию об этих дугах м ож но представить м нож е ством [a, b] = {(a, b), (b, a )}, назы вае м ы м ребром , сое диняю щ им ве рш ины а и b. П ри этом верш ины а и b назы ваю тся к онца м иребра [a, b] . Ре браизображ аю тся линиям и бе зстре лок , сое диняю щ им и ве рш ины (рис. 6.7,б). а

●

b ●

а

b ●

●

а) б) Рис. 6.7. Э ле м е нт не ографа(а) и ре бро [a, b] (б). Е сли в м ультиграфе вм е сто дуг рассм атриваю тся ре бра, то так ой м ультиграф так ж е назы вае тся не ориентированны м . Ре бро графа являе тся инцидент ны м по отнош е нию к ве рш инам , к оторы е оно сое диняе т. П ри этом инциде нтны е ре бру ве рш ины назы ваю тся с м еж ны м и (рис.6.8,а). Д ва ре бра являю тся см е ж ны м и, е сли они им е ю т общ ую ве рш ину. Е сли начало и к оне ц ре бра совпадаю т, то так ое ре бро являе тся п ет лей (рис.6.5).

51

М е ж ду двум я ве рш инам и м ож е т бы тьне ск олько ре бе р (ре бра x3 , x 4 , x5 на рисунк е 6.8,а), и их число назы вае тся к ра т нос т ью ребра . Ре бро АВ им е е т к ратность, равную 3. Ч исло ре бе р, инциде нтны х ве рш ине , назы вае тся с т еп енью в ерш ины и обозначае тся deg(A). Н априм е р, ве рш ина А на рис. 6.8,а им е е т сте пе нь deg(А)=5. В е рш ина являе тся чет ной (нечет ной ), е сли е е сте пе ньче тное (не че тное ) число. В е рш ина графа, им е ю щ ая сте пе нь, равную нулю , назы вае тся изолиров а нной , а граф, состоящ ий из изолированны х ве рш ин, назы вае тся нуль-гра ф ом . В е рш инаграфа, им е ю щ ая сте пе нь1, назы вае тся в ис ячей . Г раф назы вае тся п олны м , е сли лю бы е две е го различны е ве рш ины сое дине ны одним и только одним ре бром . Д оп олнением графа G = M ; R являе тся граф G = M ; R ′ с те м и ж е ве рш инам и М и им е ю щ ий те и только те ре бра R ′ , к оторы е не обходим о добавитьк граф уG, чтобы он стал полны м (рис.6.8,в,г). c А • • • • х5 d x1 b •• • • • • x4 x3 x2

• В

С•

a•

•e

•

•

•

•

б) в) г) Рис. 6.8. Г раф со см е ж ны м и ве рш инам и (а), полны й граф (б), графы (в) и (г), дополняю щ ие другдруга. a)

П осле довате льность ре бе р не орие нтированного графа, в к оторой вторая ве рш ина пре ды дущ е го ре бра совпадае т с пе рвой ве рш иной сле дую щ е го, назы вае тся м а рш рут ом . Ч исло ре бе р м арш рута е стьдлина м арш рута. Е сли начальная ве рш ина м арш рута совпадае т с к оне чной, то так ой м арш рут являе тся за м к нут ы м или цик лом . Е сли ре бро встре тилосьтолько один раз, то м арш рут назы вае тся цеп ью. Ра с с т оянием м е ж ду двум я ве рш инам и назы вае тся м иним альная длина из все х возм ож ны х м арш рутов м е ж ду этим и ве рш инам и: d(a,b)=min|a… b| . В орграфе м арш рут являе тся орие нтированны м и назы вае тся п ут ем . П ри этом направле ние к аж дой дуги долж но совпадатьс направле ние м пути и ни одно ре бро не долж но встре чаться дваж ды . Д ругим и словам и, путь–упорядоче нная после довате льностьдугорие нтированного графа. Ц е пь, путьи цик л в орие нтированном графе назы ваю тся п рос т ы м и, е сли они проходят че ре злю бую ве рш инуне более одного раза.

52

Н е ограф назы вае тся с в язны м , е сли м е ж ду лю бы м и е го ве рш инам и е стьм арш рут. П ри этом две ве рш ины являю тся связны м и, е сли м е ж ду ним и сущ е ствуе т м арш рут. Ре бро связного графаявляе тся м ос т ом , е сли после е го удале ния граф становится не связны м и распадае тся надвасвязны х графа. П ри графовом задании бинарного отнош е ния ре фле к сивность для к аж дой ве рш ины пре дставляе тся пе тле й (рис.6.9,а). С ле дствие м сим м е тричности являе тся наличие м е ж ду всяк ой парой ве рш ин двух противополож но направле нны х дуг (рис.6.9,б), а при транзитивности для всяк ой пары дуг, так их, что к оне ц пе рвой совпадае т с началом второй, сущ е ствуе т тре тья дуга, им е ю щ ая общ е е начало спе рвой и общ ий к оне ц со второй (рис.6.9,в). m •mk i

•

mi •

mj

mi •

mj •

а)

•

б)

в)

Рис.6.9. Г рафы эле м е нтов ре фле к сивны х (а), сим м е тричны х (б) и транзитивны х (в) бинарны х отнош е ний. Задания 6.23. И зобразитьграф G = M ; R ,заданны й м нож е ствам и M и R: а) M = {a, b, c, d } и R = {(a, a ), (a, b ), (b, c ), (c, d ), (d , c ), (d , a )}; б) M = {a, b, c} и R = [a, b] U [b, b] U [b, c ] U {(a, c )}; в) M = {1, 2, 3, 4} и R = [1, 2] U [3, 4] U {(1, 3), (2, 4 ), (3, 2 ), (4, 1)}; 6.24. В аналитиче ск ой форм е пре дставитьграфы , изображ е нны е ниж е : 2● 1●

●

2 ●

4● а)

3 ●

a2 ●

a3 ●

a1 ●

a4●

3

2●

4 ●

● a5

1●

●3 в)

б) 3 ●

1● ● 1 г)

2 ●

4● д)

Как ой из графов являе тся связны м ? К ак ие из данны х графов являю тся орие нтированны м и?

53

6.25. И зобразитьне ограф см остом . 6.26. В приве де нны х графах а) и б) ук азатьи пе ре числить: - м нож е ство ве рш ин, дуг, ре бе ри пе тель; - ре бра, инциде нтны е ве рш инам а , с , е; - см е ж ны е ве рш ины для ре бра[a,c], дуги (e,g); - см е ж ны е ре брадля ве рш ин с , d, m; - м нож е ство ре бе р ск ратностью больш е или равной 2; - сте пе ньвсе х ве рш ин; - м нож е ство изолированны х ве рш ин сук азание м их сте пе ни; - м нож е ство висячих ве рш ин сук азание м их сте пе ни; - м нож е ство че тны х (не че тны х) верш ин; - являе тся ли данны й граф полны м ; - являе тся ли данны й граф связны м (не связны м ); - м нож е ство м остов, просты е це пи, пути и цик лы . k ● p

l● ● n

●

● m

● a ●

a

•

а)

t

•

• s

•

● f ● e

p

•

h ●

s

● d

b

d

g ●

c ●

b ●

c•

n

f•

•

• • m

б)

•g

e•

6.27. Н арисоватьдополне ние к сле дую щ им графам : 2 ●

а● ● 3

1●

4

● d

b●

5 ●

● ●3

2●

● c

1●

а)

б) 3 ●b

а

в) 4 ●

●

a●

●

2 ●

●

г)

1

e

c

●

● 5

д)

b●

d● е)

●

54

7. Осн овы те ории ве роятн осте й и м ате м атиче ской статистики 7.1.

С лучайны е собы тия и их ве роятности

В основе те ории вероятносте й ле ж ит понятие случай ного собы тия, т.е . ре зультата эк спе рим е нта, к оторы й м ож е т зак ончиться лю бы м исходом из возм ож ны х, но не изве стно заране е к ак им им е нно. Т ак , бросая игральную к ость, м ож но гарантировать, что вы паде т к ак ое -либо число от 1 до 6, но не льзя заране е бы ть уве ре нны м , что вы паде т граньсном е ром , наприм е р, 5. Опре де ле н ие . Прос т ра нс т в ом э лем ент а рны х ис ходов Ω назы вае тся м нож е ство все х взаим но иск лю чаю щ их (к оторы е не м огут произой ти одновре м е нно) исходовэк спе рим е нта. С обы тие м ож е т состоятьиз одного или не ск ольких исходов, а так ж е м ож е т вк лю чать сче тное или даж е не сче тное число исходов. С обы тия обозначаю тся боль ш им и бук вам и A, B, C, … или описы ваю тся словам и. Г оворят, что собы тие А наступило, е сли эк спе рим е нт зак анчивае тся одним изисходов, входящ их всобы тие А. П рим е р 7.1. П ри бросании игральной к ости м нож е ство исходов Ω={1,2,3,4,5,6}. Ре ш е ние . С обы тие А={вы пало не че тное число} состоит из тре х исходов, т.е. А={1,3,5}. Д ля графиче ск ого изображ е ния пространств исходов прим е няю тся диаграм м ы Э йле ра-В е нна (рис.7.1). Зде сь изображ е но пространство исходовΩ, вк лю чаю щ е е подм нож е стваА и В. А

Ω

Рис. 7.1. П ространство исходовΩ.

В

Опре де ле н ие . С ум м ой A ∪ B (А+В; А или В) назы вае тся собы тие , состоящ е е извсе х исходов, принадле ж ащ их либо А, либо В (рис.7.2). Опре де ле н ие . Произв едением A ⋅ B двух собы тий назы вае тся собы тие , состоящ е е изте х исходов, к оторы е входят вА и В одновре м е нно (рис.7.3). Опре де ле н ие . Ра знос т ью A − B двух собы тий назы вае тся собы тие , состоящ е е из исходов, входящ их вА , но не входящ их вВ (рис.7.4). П рим е р 7.2. П ри бросании игральной к ости ре ализованы два собы тия: А={1,3,5}={вы пало не че тное число} и В={3,6}={вы пало число, к ратное тре м }. Т огдаА+В={1,3,5,6}, A ⋅ B ={3}, A − B ={1,5}, B-A={6}. Опре де ле н ие . Прот ив оп олож ны м (дополните льны м ) для собы тия А назы вае тся собы тие A , состоящ е е из все х исходов, не входящ их в А: A = Ω − A (рис.7.5).

55 Ω А

А

В

Рис. 7.2. С ум м а собы тий А+В.

Ω В

Ω А

Рис. 7.3. П роизве де ние собы тий A ⋅ B .

В

Рис. 7.4. Разность собы тий A − B .

Опре де ле н ие . С обы тие Ω назы вае тся дос т ов ерны м , т.к . оно обязате льно происходит. С обы тие Ω = ∅ назы вае тся нев озм ож ны м (∅ - знак пустого м нож е ства). Опре де ле н ие . С обы тия А и В назы ваю тся нес ов м ес т ны м и, е сли они не м огут наступать одновре м е нно. Е сли A ⋅ B =∅, то собы тия А и В обязате льно не совм е стны . Опре де ле н ие . С обы тие А соде рж ится в собы тии В ( A ⊂ B ), е сли все исходы собы тия А входят всобы тие В (рис.7.6). Ω А

А

Ω В

A

Рис. 7.5. С обы тия А и A .

Рис.7.6. Н е совм е стны е собы тия.

Н е к оторы е свойстваопе раций над собы тиям и 2. A ⋅ B = B ⋅ A . 5. A ⋅ B ⊂ A. 8. A − B = A B. 11. A ⋅ B = A + B.

1. A + B = B + A . 4. A ⋅ Ω = A . 7. A = A. 10. A ⋅ B ⊂ B.

3. A + A = Ω . 6. A ⋅ A = ∅. 9. ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C . 12. ( A − B ) ⋅ C = A ⋅ C − B ⋅ C .

Задание 7.1. И спользуя диаграм м ы Э йле ра-В е нна, док азатьсвойства1-12. Ре ш е ние для свойства5. Ω А

А⋅В

В

⇒ A ⋅ B ⊂ A.

7.2. В группе 25 студе нтов, из к оторы х 19 че лове к изучаю т английск ий язы к , 4 – не м е цк ий, 2 – французск ий. П ри этом дваче лове к а изучаю т

56

одновре м е нно и английск ий и не м е цк ий язы к и. И зобразить пре дставле нны е м нож е стваввиде диаграм м ы Э йле ра-В е нна. 7.2. Классиче ск ое опре де ле ние ве роятности П усть дано м нож е ство (пространство) эле м е нтарны х исходов Ω = {ω1 , ω 2 ,..., ω n } , где n≤∞. П оставим в соотве тствие к аж дом у исходу ω i не отрицате льное число p(ω i ) , так чтобы вы полнялосьусловие норм ировк и n

∑ p(ω ) = 1 . i

i =1

Т ак задае тся ра с п ределение в ероят нос т ей . Опре де ле н ие . Вероят нос т ью собы тия A = {ω l , ω l ,...ω l } назы вае тся число, равное сум м е ве роятносте й исходов, составляю щ их собы тие А: P( A) = ∑ p(ωl ) . 1

2

k

ωl ∈ A

В к лассиче ск ой схе м е те ории ве роятносте й рассм атриваю тся равновозм ож ны е исходы . В этом случае ве роятность к аж дого исхода одинак оваи равна1/n: p (ω1 ) = p (ω 2 ) = ... = p (ω n ) = p =

1 n

⇒

p + p + ... + p = n

1 = 1. n

К лассиче ское опре де ле н ие ве роятн ости. Е сли собы тие А соде рж ит m эле м е нтов, то ве роятностьэтого собы тия равна отнош е нию числа m благоприятны х исходовк общ е м учислуn исходов: P ( A) =

m . n

П рим е р 7.3. В ящ ик е находятся че ты ре к расны х м ячаи два белы х. Как ова ве роятностьвы нутьнаугад к расны й м яч? Как оваве роятностьвы нуть наугад бе лы й м яч? Ре ш е ние . В се го возм ож ны х исходов4+2=6. В е роятностьР(А) собы тия А вы нутьк расны й м яч равна P ( A) =

4 2 = , 6 3

аве роятностьР(В) собы тия В вы нутьбе лы й м яч равна P (B ) =

2 1 = . 6 3

П рим е р7.4. И зтре х к лассовспортивной ш к олы надо составитьк ом андупо одном у уче ник у от к ласса. С к олько различны х к ом анд м ож но составить, е сли вк лассах 18, 20 и 22 уче ник асоотве тстве нно? Ре ш е ние . И з пе рвого к ласса одного уче ник а м ож но вы брать 18 способам и, извторого – 20, изтре тьего – 22. В се го м ож но составить 18·20·22=7920 к ом анд. П рим е р 7.5. С к олько тре хзначны х чисе л с не повторяю щ им ися цифрам и м ож но составитьизтре х эле м е нтов{1,2,3}? Ре ш е ние . Э то задача о числе пе ре становок изn эле м е нтов: Pn=n!, где n!=1·2·3·… ·n. Т огдаР=3!=1·2·3=6 вариантов.

57

Ре ш е ние так ой де ре вавозм ож носте й.

1-я цифра

задачи м ож но

изобразить с пом ощ ью

*

1

2

3

2-я цифра

2

3

1

3

1

2

3-я цифра

3

2

3

1

2

1

П олуче ны сле дую щ ие пе ре становк и-числа: 123, 132, 213, 231, 312, 321. П рим е р 7.6. С к оль к о им е е тся вариантов занятия тре х призовы х м е ст 8 спортсм е нам и одного уровня? Ре ш е ние . Л ю бой из восьм и м ож е т занять пе рвое м есто – это 8 возм ож носте й, дале е лю бой изоставш ихся се м и м ож е т занятьвторое м е сто –7 возм ож носте й, и лю бой изоставш ихся ш е сти м ож е т занять тре тье м е сто –6 возм ож носте й: 8·7·6=336 вариантов. Э то задача о числе разм е щ е ний из n эле м е нтов по k, к оторое опре де ляе тся форм улой Ank = n(n − 1)(n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) =

n! . В этом (n − k ) !

случае ре чьиде т об уп орядоченны х(различим ы х) эле м е нтах. В условиях данной задачи A83 =

8! 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 . (8 − 3)! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

П рим е р 7.7. В ф утбольном турнире участвую т 6 к ом анд. Каж дая к ом анда долж насы гратьск аж дой однуигру. С к олько игр сы грано втурнире ? Ре ш е ние . Ч исло возм ож ны х вариантов вы бора пе рвой к ом анды из двух 6, число возм ож ны х вариантоввы боравторой к ом анды - 5, итого игр 6·5=30. Н о зде сьучте ны варианты спорядк ом (вариант к ом анд А и В и вариант к ом анд В и А одно и то ж е ). П оэтом упе ре становк и внутри вы борк и надо иск лю чить. П е ре становок внутри вы борк и 2!=2, сле довате льно, игрбуде т в2 разам е ньш е : 30:2=15 игр. В случае неуп орядоченны х наборов вы борк и изn эле м е нтов по k назы ваю тся с очет а ниям и n эле м е нтов по k и вы числяю тся по форм уле Ank n! C = = . Pk k!(n − k )! k n

В условиях данной задачи C nk =

6! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 6 ⋅ 5 = = = 15 игр. 2!(6 − 2 )! 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2

Задания 7.3. С к ольким и способам и м ож но составитьтре хцве тны й полосаты й флаг изтре х цве тов: к расны й, синий, зе ле ны й?

58

7.4. С к ольким и способам и м ож но вы братьтри различны е к раск и изим е ю щ ихся пяти? 7.5. С к олько словаре й надо издать , чтобы м ож но бы ло не посре дстве нно вы полнять пе ре воды с лю бого из пяти язы к ов – русск ого, английск ого, французск ого, не м е цк ого и итальянск ого – на лю бой из этих пяти язы к ов? 7.6. С оставляю тся знак и, состоящ ие из ге ом е триче ск их фигур: тре угольник , ок руж ность, к вадрат, ш е стиугольник . С к олько так их знак овм ож но составить? 7.7. С оставляю тся знак и, состоящ ие из ге ом е триче ск их фигур: тре угольник , ок руж ность, к вадрат, ш е стиугольник , и из двух бук в. С к олько так их знак овм ож но составить? 7.8. П ри составле нии иде нтифик аторов (им е н пе ре м енны х) в систе м ах програм м ирования м ож но использоватьбук вы английск ого алфавита и арабск ие цифры , приче м на пе рвом м е сте долж на бы тьбук ва, а так ж е строчны е и прописны е бук вы не различим ы . С к олько различны х иде нтифик аторов из ш е сти знак ов м ож но составить? С к олько иде нтифик аторовслю бы м числом знак овот 1 до 3 м ож но составить? 7.9. С туде нт знае т отве ты на40 вопросовиз60, вк лю че нны х в програм м у. Н айти ве роятностьтого, что студе нт отве тит на три вопроса из тре х, соде рж ащ ихся вэк зам е национном биле те . 7.10. В одном ак вариум е находятся 5 бе лы х, 4 к расны х и 3 полосаты х ры бк и. Д вух случайно вы бранны х ры бок пе ре носят в другой ак вариум . Как ова ве роятностьтого, что обе ры бк и бе лы е ? обе ры бк и к расны е ? обе ры бк и полосаты е ? однабелая, другая полосатая? 7.11. И зде сяти биле товлоте ре и вы игры ш ны м и являю тся два. О пре де лить ве роятностьтого, что сре ди взяты х наудачупяти биле тов: а) один вы игры ш ны й; б) двавы игры ш ны х; в) хотя бы один вы игры ш ны й. 7.3. С татистиче ск ое опре де ле ние ве роятности В эк спе рим е нте условие равновозм ож ности установитьпрак тиче ск и не возм ож но, поэтом у для опре де ле ния ве роятности того или иного собы тия используе тся с т а т ис т ичес к ий п одход. Опре де ле н ие . Вероят нос т ью Р(А) собы тия А назы вае тся объе к тивно сущ е ствую щ ая ве личина, ок оло к оторой группирую тся относите льны е частоты

mA наступле ния этого собы тия при не ограниче нном уве личе нии n

mA , где mA –частотаили число испы таний, n вк оторы х собы тие А произош ло.

числаиспы таний n: P( A) = lim n →∞

С войстваве роятносте й 1. P(Ω ) = 1 всилуусловия норм ировк и.

59

2. Р(∅)=0, так к ак не т ник ак их исходов. 3. 0 ≤ P( A) ≤ 1 . 4. P (A) = 1 − P( A) . П осле дне е свойство оче нь важ но, так к ак позволяе т вы числить ве роятность собы тия А, е сли изве стна ве роятность противополож ного собы тия A . 7.4. Ф орм уласлож е ния ве роятносте й Д ля лю бы х собы тий А и В ве рнаф орм ула с лож ения в ероят нос т ей : P ( A + B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ⋅ B ) . Э та форм ула ле гк о док азы вае тся на основе диаграм м Э йле ра-В енна (рис.7.2,7.3), инте рпре тируя ве роятности собы тий к ак площ ади соотве тствую щ их им изображ е ний. Е сли собы тия нес овм ес т ны , т.е . не м огут происходитьодновре м е нно, P то ( A + B ) = P ( A) + P(B ) . П рим е р 7.8. В м арте 7 дне й ш е л сне г, 10 – дож дь, из них 4 дня – сне г с дож де м . Н айти вероятностьтого, что в наугад вы бранны й де ньш е л сне гили дож дь. Ре ш е ние . П устьА={ш ел с нег}, В={ш ел дож дь}, Р(АВ)={ш ел с нег с дож дем }. В се го дне й вм арте 31, сле довате льно, P ( A) =

7 10 4 , P(B ) = , P( AB ) = . 31 31 31

Т огда ве роятность Р(ш ел дож дь или с нег) по форм уле слож е ния ве роятносте й е сть: P( A + B ) =

7 10 4 13 + − = . 31 31 31 31

7.5. У словны е ве роятности. Ф орм улаум нож е ния ве роятносте й Ч асто рассм атривае тся вопрос об опре де ле нии ве роятности к ак оголибо собы тия А при условии, что уж е произош ло другое собы тие В: Р(А/В). Опре де ле н ие . У с лов на я в ероят нос т ь Р(А/В) собы тия А при условии, что произош ло собы тие В сР(В)>0, вы числяе тся по форм уле P( A B ) =

P( A ⋅ B ) . P (B )

Ф орм ально это м ож но объяснить сле дую щ им образом : так к ак собы тие В произош ло, то в к аче стве нового пространства эле м е нтарны х исходов служ ат все исходы , к оторы е принадле ж ат В, а благоприятствую щ им и наступле нию собы тия А считаю тся исходы , входящ ие вА и В одновре м е нно (рис.7.3). И зопре де ле ния сле дуе т форм улаум нож е ния ве роятносте й: P ( A ⋅ B ) = P ( A) ⋅ P ( B A) = P (B ) ⋅ P ( A B ) . П рим е р 7.9. Как ова ве роятностьтого, что из к олоды из 36 к арт наугад будут вы браны дватуза? Ре ш е ние . В е роятностьР(А) того, что пе рвая к арта–туз, равна

4 1 = . 36 9

П осле этого вк олоде остались3 тузаи все го 35 к арт. С ле довате льно,

60

условная ве роятность Р(В/А) собы тия В буде т

(вы бор второго туза)

3 . Т огда, ве роятностьP( A ⋅ B ) собы тий А и В буде т 35 1 3 1 P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B A) = ⋅ = . 9 35 105

Задания 7.12. Н а к лум бе растут 20 к расны х, 30 синих и 40 бе лы х астр. Как ова ве роятностьсорватьв те м ноте цве тную астру, е сли сры ваю т один цве ток ? 7.13. С туде нт приш е л на заче т, зная толь 24 вопроса из 30. Как ова ве роятность сдать заче т, е сли после пе рвого отк аза отве чать на пе рвы й вопрос, пре подавате льзадае т е щ е один вопрос? 7.14. В читальном зале 6 уче бник ов по те ории ве роятносте й, изк оторы х 3 в пе ре пле те . Библиоте к арь взял наугад 2 уче бник а. Н ай ти ве роятностьтого, что обауче бник аок аж утся впере пле те . 7.15. Д ва стре лк а стре ляю т по м иш е ни. В е роятностьпопадания в м иш е нь при одном вы стре ле для 1-го стре лк а равна 0,7, а для второго – 0,8. Н ай ти ве роятностьтого, что при одном залпе в м иш е ньпопаде т только один изстре лк ов. 7.16. С туде нт знае т 20 из 25 вопросов програм м ы . Н ай ти ве роятность того, что студе нт знае т пре длож е нны е е м уэк зам е натором 3 вопроса. 7.17. В лаборатории работае т 7 м уж чин и 3 ж е нщ ины . П о табе льны м ном е рам отобраны 3 че лове к а. Н айти ве роятность того, что все отобранны е лицаок аж утся м уж чинам и. 7.18. Н е к то написал 3 письм а, запе чатал их в к онве рты , азате м наугад на к аж дом изних написал адре са. О пре де литьве роятностьтого, что на все х к онве ртах написаны правильны е адре са. 7.6.

Зак оны распре де ле ния случайны х ве личин

С лучайное собы тие е стьк аче стве нная харак те ристик а испы тания, а случайная ве личинаявляе тся к оличе стве нной харак те ристик ой. П рим е ры случайны х ве личин: вре м я бе зотк азной работы лю бого те хниче ск ого устрой ства, погре ш ность лю бого изм е ре ния, прибы ль пре дприятия за лю бой фик сированны й отре зок вре м е ни, отк лоне ние парам е тровданного устройстваот ном инальны х значе ний и т.д. Д ля полной харак те ристик и случайной ве личины не обходим о знать: - м нож е ство е е возм ож ны х значе ний ; - к ак часто, т.е . с к ак ой ве роятностью , случайная ве личина приним ае т те или ины е значе ния. Т ак ая харак те ристик а случай ной ве личины назы вае тся за к оном ра с п ределения. Зак он распре де ле ния м ож е т бы ть в разны х форм ах в зависим ости от типа случай ной ве личины . Д ля те хниче ск их прилож е ний важ ны случай ны е ве личины диск ре тного и не пре ры вного типа.

61

Опре де ле н ие . С лучайная ве личина назы вае тся ве личиной дис к рет ного т ип а , е сли она м ож е т приним ать к оне чное или сче тное м нож е ство значе ний. Опре де ле н ие . С лучайная ве личина назы вае тся ве личиной неп реры в ного т ип а , е сли онам ож е т приним атьлю бы е значе ния в одном или не ск ольких заданны х инте рвалах. Зак он распре де ле ния ве роятносте й диск ре тной случайной ве личины Зак он распре де ле ния случайной ве личины Х с к оне чны м или сче тны м м нож е ством значе ний x1 , x 2 ,..., x n задан, е сли изве стны все ве роятности P ( X = xi ) = p i , i = 1,2,..., n . П ри этом вы полняе тся условие норм ировк и

∑p

i

= 1.

i

С овок упностьхi и их ве роятносте й pi назы вае тся рядом распре де ле ния, к оторы й м ож е т бы тьзадан таблично: Х

x1

x2

. . .

xn

P( X = xi )

p1

p2

. . .

pn

Зак он распре де ле ния диск ре тной случайной ве личины м ож но задавать с пом ощ ью инте грального зак она распре де ле ния или ф унк ции распре де ле ния. Опре де ле н ие . Ф унк цией ра с п ределения F(x) случайной ве личины Х назы вае тся ве роятностьтого, что ве личина Х прим е т значе ние , м е ньш е е че м х: F (x ) = P( X < x ) , где х–произвольное ве щ е стве нное число. Д ля диск ре тной случайной ве личины F ( x ) = ∑ pi xi < x

П рим е р 7.10. П остроитьфунк цию распре де ле ния диск ре тной случайной ве личины Х , е сли изве сте н е е ряд распре де ле ния: хi P( X = xi )

0

1

2

0,3

0,2

0,5

Ре ш е ние . Е сли х≤0, F(x)≡ 0, поск ольку в данном случае собы тие {X<x} являе тся не возм ож ны м . Е сли 0<x≤1, то собы тие {X<x} равносильно собы тию {X=0}. П оэтом удля данного пром е ж утк аF(x)=P(X=0)=0,3. Аналогично, 1<x≤2, то F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0,5. Н ак оне ц, е сли х>2, то то F(x)≡ 1, поск ольку те пе рьсобы тие {X<x} становится достове рны м . И так , функ цию распре де ле ния и е е график м ож но пре дставитьввиде :

62 F(x) 1.0

x ≤ 0, 0, 0,3, 0 < x ≤ 1,  F (x ) =  0,5, 1 < x ≤ 2, 1, x > 2.

0,5 0,3

0

1

2

x

Ф унк ция распре де ле ния и плотностьве роятности не пре ры вной случайной ве личины С лучайная ве личина считае тся заданной, е сли изве стна е е функ ция распре де ле ния, т.е . ф унк ция F (x ) = P( X < x ) (рис.7.7). F(x) 1

0

α

β

x

Рис.7.7. Ф унк ция распре де ле ния не пре ры вной случай ной ве личины .

С пом ощ ью ф унк ции распре де ле ния F(x) все гда м ож но опре де лить ве роятность попадания случай ной ве личины Х в пром е ж уток [α;β): P(α ≤ X < β ) = F (β ) − F (α ).

Ф унк ция распре де ле ния для не пре ры вной случайной ве личины не позволяе т вы числитьве роятностьзначе ний х, поск ольку все ве роятности получаю тся равны м и нулю . Ч тобы пре одоле ть эту трудность вводится понятие плотности ве роятности. Опре де ле н ие . Плот нос т ью в ероят нос т и, или диф ф еренциа льны м за к оном ра с п ределения ве роятносте й случайной ве личины Х назы вае тся ф унк ция f (x ) , опре де ляе м ая раве нством P ( x < X < x + ∆x ) . ∆x → 0 ∆x

f (x ) = lim

Рассм отрим основны е свойстваплотности ве роятности. 1. f (x ) >0, так к ак ве роятностьне отрицате льна. 2. Т ак к ак P(x ≤ X < x + ∆x ) = F (x + ∆x ) − F (x ) , то на основании опре де ления производной f ( x) = F ′(x ) . 3. В е роятностьпопадания случайной ве личины Х в пром е ж уток [α;β) равна β

P(α ≤ X < β ) = ∫ f ( x)dx = F (β ) − F (α ) . α

63

4. Зам е няя в после дне м раве нстве β на х и устре м ляя α→ − ∞, м ож но найти ф унк цию распре де ления по изве стной плотности ве роятности: x

F ( x) =

∫ f ( x)dx .

−∞

5. Е сли ве рхний пре де л ф унк ции распре де ле ния устре м итьк ∞, то получим ∞

∫ f ( x)dx = 1 .

−∞

Э то означае т, что площ адь , ограниче нная осью абсцисс и график ом плотности вероятности, равна1. П рим е р 7.11. Д ана ф унк ция распре деле ния не пре ры вной случайной ве личины x ≤ 0, 0,  F (x ) = sin x, 0 < x ≤ π 2 , 1, x > π 2. 

Н айти плотностьве роятности f (x ) . Ре ш е ние .

x ≤ 0, 0,  f ( x) = F ′(x ) = cos x, 0 < x ≤ π 2 , 0, x > π 2. 

Задания 7.19. Д ля заданной плотности распре де ления ве роятности найти F(х). x ≤ 0, 0,  7.19.1. f ( x) = sin x, 0 < x ≤ π 2 , 0, x > π 2. 

x ≤ 1, 0,  7.19.2. f ( x) =  x − 1 2 , 1 < x ≤ 2, 0, x > 2. 

x ≤ π 6, 0,  7.19.3. f ( x) = 3 sin 3x, π 6 < x ≤ π 3 , 0, x > π 3. 

x ≤ 0, 0,  7.19.4 f ( x) = cos x, 0 < x ≤ π 2 , 0, x > π 2. 

7.20. Н е преры вная случайная ве личина Х задана плотностью ве роятности f ( x) =

2 в инте рвале 3 sin 3 x

(0; π 3) , вне этого инте рвала f(x)=0. Н ай ти

ве роятностьтого, что Х прим е т значе ние , принадле ж ащ е е инте рвалу (π 6 ; π 3) . 7.7. Ч исловы е харак те ристик и случайной ве личины Д ля полной харак те ристик и распре де ле ния случайной ве личины Х не обходим о знатье е ф унк цию распре де ле ния или, в случае не пре ры вной Х , е е плотностьве роятности. Н о вбольш инстве прак тиче ск их задач бы вае т достаточно знать: - прим е рное полож е ние того инте рвала значе ний, в к отором находится основная м асса ве роятности случайной ве личины Х , а так ж е полож ение «це нтра группирования» на числовой оси – это харак те ристик и полож е ния;

64

- наск олько ш ирок о разбросаны значе ния случайной ве личины Х по к аж дую сторону от «це нтра группирования» - это харак те ристик а рассе ивания. Н аиболе е часто употре бляе м ой харак те ристик ой полож е ния являе тся м а т ем а т ичес к ое ож ида ние случай ной ве личины Х , к оторое обозначае тся к ак М (Х ). Опре де ле н ие . М ате м атиче ск ое ож идание диск ре тной случайной ве личины е сть сум м а произве де ний все х е е возм ож ны х значе ний на n

соотве тствую щ ие им ве роятности: M ( X ) = ∑ xi pi . i =1

М ате м атиче ск ое ож идание не пре ры вной случайной ве личины е сть ∞

инте грал M ( X ) = ∫ x f ( x)dx . −∞

Н аиболе е употре бите льной харак те ристик ой рассе ивания случайной ве личины Х являе тся дис п ерс ия, к оторая обозначае тся к ак D(Х ). Опре де ле н ие . Д ис п ерс ией случайной ве личины назы вае тся м ате м атиче ск ое ож идание к вадрата отк лоне ния Х от свое го м ате м атиче ск ого ож идания: D( X ) = M ( X − M ( X ))2 . М ате м атиче ск ое ож идание не пре ры вной случайной величины е сть ∞

инте грал M ( X ) = ∫ x f ( x)dx . −∞

n

Д ля диск ре тной случай ной ве личины D( X ) = ∑ (xi − M ( X ))2 pi , а для i =1

∞

не пре ры вной случай ной величины D( X ) = ∫ (x − M ( X ))2 f ( x)dx . −∞

В вы числительном отнош е нии боле е удобна не диспе рсия, а другая м е ра рассе ивания случай ной ве личины Х , к оторая чащ е все го используе тся, - это к оре нь к вадратны й из диспе рсии, взяты й с полож ите льны м знак ом , - к оторая назы вае тся с редним к ва дра т ичны м от к лонением или с т а нда рт ны м от к лонением случай ной ве личины : σ ( X ) = D( X ) . Задания 7.21. С лучай ная ве личинаХ заданаф унк цие й плотности ве роятности x ≤ 0, 0,  f ( x) = 2 x, 0 < x ≤ 1, 0, x > 1. 

Н ай ти м ате м атиче ск ое ож идание ве личины Х . 7.22. С лучайная ве личинаХ заданаф унк цие й плотности ве роятности x ≤ 3, 0, 3 45  f ( x) =  x 2 + 6 x − , 3 < x ≤ 5, 4 4 x > 5. 0,

65

Н ай ти м ате м атиче ск ое ож идание ве личины Х . 7.23. С лучай ная ве личинаХ заданаф унк цие й плотности ве роятности 0, x ≤ −3,  1  f ( x) =  , − 3 < x ≤ 3, 2 π 9 − x 0, x > 3. 

Н ай ти диспе рсию ве личины Х . 7.24. П лотность ве роятности случайной ве личины распре де ле нной наотре зк е [a,b] заданаф унк цие й

Х,

равном е рно

x ≤ a, 0,  1  f ( x) =  , a < x ≤ b, b − a x > b. 0,

Н ай ти: а) ф унк цию распре де ле ния F(x) и наче ртитье е график ; б) м ате м атиче ск ое ож идание , диспе рсию и сре дне к вадратичное отк лоне ние случайной ве личины Х . 7.8. Н орм альны й зак он распре де ле ния С ре ди не пре ры вны х распре де ле ний наиболе е важ ную роль играе т норм а льное ра с п ределение, к оторое е щ е назы вае тся за к оном Г а ус с а . К норм альном у зак ону распре де ле ния при ве сьм а часто встре чаю щ ихся условиях приближ аю тся другие зак оны распре де ле ний. С лучайная ве личина, распре де ле нная по норм альном у зак ону, им е е т плотностьве роятности вида f (x ) =

− 1 e 2π σ

( x − a )2 2σ 2

, где постоянны е а и σ –

парам е тры распре де ле ния. Г рафик плотности ве роятности, подчине нной зак онуГ аусса, приве де н нарис.7.8. y

(σ

a-3σ

a-2σ

a-σ

a

2π

a+σ

)

−1

a+2σ

a+3σ

x

Рис.7.8. П лотностьве роятности норм ального распре де ле ния.

66

Л е гк о виде ть, что f (a − x ) = f (a + x ) , так что к ривая x = a . М е тодам и плотности сим м е трична относите льно прям ой диффе ренциального исчисле ния м ож но установить , что к ривая плотности им е е т один е динстве нны й м ак сим ум при x = a и две точк и пере гиба при x = a ±σ . В е роятностны й см ы сл парам е трова и σ вы ясняе тся после нахож де ния м ате м атиче ск ого ож идания и диспе рсии. О к азы вае тся, что 2 M ( X ) = a, D ( X ) = σ . О пре де ле нны й инте грал спе ре м е нны м ве рхним пре де лом вида x

t2

− 1 Φ(x ) = e ∫ 2 dt 2π 0 носит название норм ированной ф унк ции Ла п ла с а или просто ф унк ции Л апласа. Ф унк ция Л апласаобладае т сле дую щ им и свойствам и: Φ(0 ) = 0; Φ (∞ ) = 0,5; Φ (− x ) = −Φ (x ) . Ф унк ция распре де ле ния случай ной ве личины , подчине нной норм альном у зак ону распре де ле ния, м ож е т бы тьвы раж е наче ре зфунк цию

x−a .  σ 

Л апласа: F (x ) = + Φ 1 2

В е роятностьпопадания случайной ве личины Х в пром е ж уток (α , β ) равна P(α < X < β ) = F (β ) − F (α ) = Φ((β − a ) δ ) − Φ((α − a ) δ ) . Е сли пром е ж уток сим м е триче н относите льно точк и а =М (Х ), то получим форм улувида: P{ X − a < ε } = 2Φ(ε σ ) .

П ри ε = tσ получим P{ X − a < tσ } = 2Φ(t ) . В частности, при t=1,2,3 получим P{ X − a < σ } = 2Φ (1) = 0,6827, P{ X − a < 2σ } = 0,9545, P{ X − a < 3σ } = 0,9973

.

П осле дне е раве нство дае т основание к сле дую щ е м у прак тиче ск ом у правилу, к оторое часто назы ваю т п ра в илом «3σ »: все прак тиче ск и возм ож ны е значе ния случайной ве личины , подчине нной норм альном у зак онураспре де ле ния, зак лю че ны винте рвале (a − 3σ , a + 3σ ) . Задания 7.25. М асса заготовк и вы пуск ае м ого изде лия являе тся норм ально распре де ле нной случайной ве личиной со сре дним значе ние м 100 к г и стандартны м отк лоне ние м 8 к г. Н аудачу вы бираю т заготовк у. Н ай ти ве роятности сле дую щ их собы тий : а) м ассазаготовк и м е ньш е 90 к г; б) м ассазаготовк и больш е 110 к г; в) м ассазаготовк и находится винте рвале от 95 до 105 к г; г) м ассазаготовк и находится винте рвале от 97 до 112 к г.

67

8. Осн овн ы е числе н н ы е м е тоды 8.1. Ч исле нное диффе ре нцирование В больш инстве прак тиче ск их задач, наприм е р, при ре ш е нии диффе ренциальны х уравне ний или нахож де нии диффе ре нциалов от таблично заданны х ф унк ций, использую тся прие м ы числе нного диффе ренцирования. Э ти прие м ы основы ваю тся на опре де ле нии производной и диффе ре нциала. П усть не обходим о найти производную y ′(x) от ф унк ции y(x) . Разобьем областьдиффе ре нцирования точк ам и xi с постоянны м ш агом h (рис.8.1,а). М нож е ство {xi } назы ваю т ра знос т ной с ет к ой , а xi - узлам и се тк и. y y(xi-1) y(xi)

• • x• i

xi-1 y(xi)

•

•

• • •

y(xi-1) y(xi) y(xi+1)

• x•i x• i+1

xi-1

x

б)

•

• x• • x• • x• i+2 x i+1 i-1

xi-2

x

i

y(xi-1) y(xi) y(xi+1)

x

• • • • xi-1 xi xi+1 x в)

a)

Рис.8.1. Разбие ние области диффе ре нцирования: а) –общ е е разбие ние ; б) –двухточе чны е ш аблоны ; в) –тре хточе чны й ш аблон. Н ахож де ние производной в лю бой узловой точк е сводится к вы числе нию отнош е ния y ′( xi ) ≈

y ( x i ) − y ( xi −1 ) x i − x i −1

или y ′( xi ) ≈

y ( x i ) − y ( xi −1 ) . h

В этом случае использую тся только две точк и се тк и (xi −1 , xi ) , т.е . производная находится на двухточе чном ш аблоне (рис.8.1,б). П олуче нная двухточе чная форм ула для пе рвой производной ре ализуе т диффе ренцирование назад (ле вая разностная производная). Аналогично находится правая разностная производная. Боле е точной для пе рвой производной на двухточе чном ш аблоне (x i −1 , x i +1 ) являе тся це нтральная разностная производная, к оторая е сть полусум м але вой и правой разностны х производны х: y ( x i +1 ) − y ( x i ) y ( x i ) − y ( xi −1 ) + x i +1 − x i x i − x i −1 y ( xi +1 ) − y ( x i −1 ) y ц′ ( x i ) ≈ = . 2 2h

68

Д ля нахож де ния второй разностной производной используе тся тре хточе чны й ш аблон (рис.8.1,в). С начала найде м правую и ле вую разностны е производны е : y ′л( x i ) ≈

y ( x i ) − y ( x i −1 ) ; h

y п′ р ( x i ) ≈

y ( x i +1 ) − y ( x i ) . h

В торая производная по опре де ле нию равна y ( xi +1 ) − y ( xi ) y ( xi ) − y ( xi −1 ) − y ( xi +1 ) − 2 y ( xi ) + y ( xi −1 ) h h = . y′′( xi ) ≈ h h2

П огре ш ность числе нного диффе ре нцирования ум е ньш ае тся с ум е ньш е ние м ш агаразностной се тк и, и при h → 0 разностны е производны е стре м ятся к истинны м значе ниям производны х. П рим е р8.1. Н айти правую , ле вую и це нтраль ную разностны е производны е пе рвого порядк аот ф унк ции y( x) = x 2 −

1 вточк е х=2 на двухточе чном x

ш аблоне разностной се тк и сш агом h=0,1. С равнить поуче нны е данны е с те оре тиче ск им пе рвой производной взаданной точк е . 22 −

Ре ш е ние . y′п р =

значе ние м

1  2 1  1  2 1 − 1,9 −  2,12 − − 2 −  2  1,9  2,1  2 = 4,163 ; y′л = = 4,338 ; 0,1 0,1 1  2 1  − 1,9 −  2,12 − 2,1  1,9  yц′ = = 4,251 . 2 ⋅ 0,1

Т е оре тиче ск ое значе ние пе рвой производной вточк е х=2: 1 1 , y′(2) = 2 ⋅ 2 + 2 = 4,25 . 2 x 2 Абсолю тны е погре ш ности ∆ разностны х производны х при числе нном y′( x) = 2 x +

диффе ре нцировании составляю т сле дую щ ие значе ния: ∆ п р = y ′п р − y ′ = 4,163 − 4,25 = 0,087; ∆ п р = y ′л − y ′ = 4,338 − 4,25 = 0,088; ∆ п р = y ц′ − y ′ = 4,251 − 4,25 = 0,001.

П рим е р 8.2. Н а тре хточе чном ш аблоне разностной се тк и с ш агом 0,2 вы числитьвторую разностную производную в точк е х=1 для ф унк ции y ( x) = e 2 x − x 3 и сравнить е е с те оре тиче ск им значе ние м второй производной взаданной точк е . Ре ш е ние . В торая разностная производная вточк е х=1 равна: y′ра′ зн(1) =

(

) (

)

e(2⋅1, 2 ) − 1,23 − 2 e 2⋅1 − 13 + e 2⋅0,8 − 0,83 = 23,952 . 0,2 2

Т е оре тиче ск ое значе ние второй производной взаданной точк е : ′ y′(x ) = 2e 2 x − 3 x 2 ; y′′(x ) = ( y′(x )) = 4e 2 x − 6 x ; y′′(1) = 2e 2⋅1 − 6 ⋅ 1 = 23,556 . О тносите льная погре ш ность∆ числе нного диффере нцирования равна: ∆=

y′ра′ зн(1) − y′′(1) 23,952 − 23,556 ⋅ 100% = ⋅ 100% = 1,681% y′′(1) 23,556

69

Задания 8.1. Н айти правую , ле вую и це нтральную разностны е производны е первого порядк а на двухточе чном ш аблоне и сравнитьпоуче нны е данны е с те оре тиче ск им значе ние м пе рвой производной взаданной точк е : а) от функ ции y ( x) = x 2 + 7 x − 3 вточк е х=5 при h=0,1; б) от ф унк ции y ( x) = 2 x + x(x + 1) вточк е х=0 при h=0,05; x3 + 5x вточк е х=2 при h=0,2; 2x г) от функ ции y( x) = 4 x 2 − 5 x вточк е х=0,3 при h=0,3;

в) от ф унк ции y ( x) =

e 2 + 2 x(2 x − 3) вточк е х=1 при h=0,1; x е ) от функ ции y ( x) = ln x 2 + 6 вточк е х=2 при h=0,25;

д) от ф унк ции y ( x) =

( )

ж ) от функ ции y ( x) = (1 − x 2 ) вточк е х=0,5 при h=0,15; з) от ф унк ции y ( x) = x 2 cos x вточк е х=-1 при h=0,05; 2

x вточк е х=-2 при h=0,3; x +6 к ) от ф унк ции y ( x) = x − tgx вточк е х=0,5 при h=0,1;

и) от функ ции y ( x) =

2

л) от ф унк ции y ( x) = sin 6 x вточк е х=1 при h=0,02. 8.2. И ссле довать зависим ость абсолю тной погре ш ности числе нного диффере нцирования на двухточе чном ш аблоне от ш ага разностной се тк и для правой , ле вой и це нтральной разностной производной пе рвого порядк а, оце нивая абсолю тную погре ш ность к ак ∆(h ) = y ′ра зн − y ′ : а) ф унк ции y ( x) = x 2 + 7 x при h = {0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=4; б) функ ции y( x) = 3 sin 2 x при h = {0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,025} вточк е х=π/6; в) функ ции y ( x) = 3 x при h = {0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=1; г) ф унк ции y ( x) = ln cos x при h = {0,8; 0,4; 0,2; 0,1; 0,05; 0,01} вточк е х=0,5; д) функ ции y ( x) = x sin 2 x при h = {0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02} вточк е х=2. П остроитьграфик и зависим осте й ∆(h ) = f (h) . 8.3. Н а тре хточе чном ш аблоне разностной се тк и с ш агом h вы числить вторую разностную производную для ф унк ции y(x) и сравнитье е с те оре тиче ск им значе ние м второй производной взаданной точк е х: а) y ( x) = sin 2 x вточк е х=-1 при h=0,05; б) y ( x) = 1 + x 2 вточк е х=3 при h=0,1; 1 вточк е х=1 при h=0,5; x2 г) y( x) = x sin x вточк е х=-0,5 при h=0,2; д) y ( x) = xe − x вточк е х=2 при h=0,06;

в) y ( x) =

е ) y( x) = sin 2 x вточк е х=π/2 при h=0,01; ж ) y ( x) = x 2 ln x вточк е х=3 при h=0,3.

70

8.4.

И ссле довать зависим ость относите льной погре ш ности числе нного диффе ре нцирования от ш ага разностной се тк и для разностной производной второго порядк а на тре хточе чном ш аблоне , y′ра зн − yт′ еор ⋅ 100% : yт′ еор

оце нивая относите льную погре ш ностьк ак ∆(h ) =

а) ф унк ции y ( x) = x 2 + 7 x при h = {0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=4; б) функ ции y ( x) = x 2 sin 2 x при h = {0,4; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=1; x2 + 7x при h = {0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=2; x2 г) ф унк ции y ( x) = x 3 + 4 x 2 − 3x при h = {0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,025} вточк е х=0.

в) функ ции y ( x) =

П остроитьграфик и зависим осте й ∆(h ) = f (h) . 8.5. Н аинте рвале [0;5] таблично заданаф унк ция y(x) : xi yi

0,0 0,1

0,5 0,7

1,0 0,9

1,5 1,2

2,0 1,5

2,5 1,6

3,0 1,7

3,5 1,9

4,0 2,0

4,5 2,1

5,0 2,2

Рассчитать и построить график и все х разностны х производны х пе рвого и второго порядк ов. С равнитьре зультаты числе нного диффе ре нцирования с график ам и те оре тиче ск их производны х y ′(x ) =

1 2 x

и y ′′(x ) = −

1 4 x3

.

8.2. Ч исле нное инте грирование В больш инстве научны х и те хниче ск их задач нахож де ние опре де ле нного инте грала от эле м е нтарны х ф унк ций, или от ф унк ций, заданны х таблично, не м ож е т бы тьсве де но к аналитиче ск им вы раж е ниям . В этих случаях прим е няе тся приближ е нное инте грирование . b

П усть надо вы числить опре де ле нны й инте грал I =

∫ f ( x)dx

для

a

ве щ е стве нной функ ции f(x), к оторая опре де ле на и ограниче на на зам к нутом инте рвале [a,b]. С огласно ге ом е триче ск ом у см ы слу, опре де ле нны й инте грал I е стьплощ адь, ограниче нная к ривой f(x), осью 0х и прям ы м и х=а и х=b (рис.8.2). Разбив инте рвал [a,b] на n y часте й, найде м инте гральную f(ξi)

n

сум м уS: S = ∑ f (ξ i )( xi +1 − xi ) , i =1

f(x)

x0= a x1

x2

xi ξi xi+1

Рис. 8.2.

xn-1 xn= b

x

к оторая при стре м ле нии ∆ x = x инте рвалов i i +1 − x i к нулю для не пре ры вны х ф унк ций стре м ится к точном у значе нию инте грала:

lim

max ∆xi →0 i

S=I.

71

В ы числе ние инте гральной сум м ы S е стьпросте й ш ий способ числе нного инте грирования. П ри этом ве рхняя SM и ниж няя Sm границы сум м ы S опре де ляю т ве личинупогреш ности вы числе ния инте гралаI: n −1

S M = ∑ M i ( xi +1 − xi ) , где M i = max f ( x) ; x i ≤ x ≤ x i +1

i =0 n −1

mi = min f ( x) ;

S m = ∑ mi ( xi +1 − xi ) , где

xi ≤ x ≤ x i +1

i =0

I − S = SM − Sm .

Ч ащ е все го поды нте гральная функ ция на к аж дом отре зк е ( xi , xi +1 ) зам е няе тся не к ой приближ е нной ф унк цие й, инте грал от к оторой вы числяе тся аналитиче ск и. В общ е м случае отре зок [a,b] разбивае тся на че тное число n=2m отре зк ов длины h=(b-a)/n и на к аж дом из отре зк ов длины 2h зам е няю т ф унк цию вспом огате льной ф унк цие й. Е сли ф унк ция зам е няе тся е е значе ние м в сере дине отре зк а (рис.8.3,а), то площ адь к риволине йной фигуры зам е няе тся на площ адь прям оугольник а. Е сли функ ция зам е няе тся лине йной ф унк цие й (рис.8.3,б), то площ адьк риволине йной фигуры зам е няе тся на площ адьтрапе ции. А е сли ф унк ция зам е няе тся параболой, проходящ е й че ре з точк и (xi,f(xi)), (xi+1,f(xi+1)), (xi+2,f(xi+2)) (рис.8.3,в), то площ адь к риволине йной фигуры зам е няе тся наплощ адьк риволине йной трапе ции. y

xi

y

f(x)

f(ξi)

xi+1

x

xi

y

f(x)

f(ξi)

xi+1

x

f(x)

f(ξi)

xi

xi+1

x

а) б) в) Рис. 8.3. Аппрок сим ация исходной поды нте гральной функ ции по м е тоду: а) прям оугольник ов; б) трапе ций; в) С им псона. Н а се тк е с к оординатам и xi=a+ih, где i=0,1,2,… ,2m, составны е форм улы для приближ е нного вы числе ния инте грала и оце нк и погре ш ности вы числе ний по правилуРунге им е ю т вид: - форм улапрям оугольник ов b

∫ a

(

)

n −1 h  f ( x)dx = h∑ f  xi +  + R1 , где R1 = I h 2 − I h 3 ; 2  i =0

- форм улатрапе ций b h n−1 f ( x ) dx = ∑ ( f (xi ) + f (xi+1 )) + R2 , где R2 = (I h 2 − I h ) 3 ; ∫a 2 i =0 - форм улаС им псона

72

(

)

h m−1 ∑ ( f (x2i ) + 4 f (x2i +1 ) + f (x2i +2 )) + R3 , где R3 = I h 2 − I h 15 . ∫a 2 i =0 Н а прак тик е задае тся начальное значе ние n и проводится вы числе ние приближ е нного значе ния инте грала Ih. Зате м n ← 2n, и проводится вы числе ние Ih/2. Е сли погре ш ность R м е ньш е заданной точности вы числе ний ε, то за ок ончате льны е значе ния инте грала приним аю тся сле дую щ ие ве личины : I ≅ I h 2 + (I h 2 − I h ) 3 - для форм улы прям оуголь ник ов; I ≅ I h 2 − (I h 2 − I h ) 3 - для форм улы трапе ций; b

f ( x)dx =

I ≅ I h 2 − (I h 2 − I h ) 15 - для форм улы С им псона.

Е сли погре ш ностьR больш е заданной точности вы числе ний ε, то снова уве личивае тся значе ние n вдваразаи процессвы числе ний продолж ае тся. П рим е р 8.3. С пом ощ ью составны х форм ул прям оугольник ов, трапе ций и 2

x С им псонавы числитьинте грал I = ∫ xe dx сточностью ε = 0,001 . 0

Ре ш е ние. MathCAD2003.

Н иж е

приве де но

ре ш е ние

задачи

в

сре де

73

Анализре зультатов пок азы вае т, что наиболе е точной являе тся форм ула С им псона. О на обе спе чивае т заданную точностьвы числе ний при оце нк е по правилуРунге уж е при m=2, тогдак ак форм улатрапе ций дае т ре зультат сзаданной точностьпри m=12, аформ улапрям оугольник ов- при m=14. Задания 8.6. В ы числитьопре де ле нны е инте гралы с точностью ε = 0,05 по форм уле прям оугольник ов. 3

8.6.1. ∫ ( x + 1)dx . 3

0

4

8.6.4. ∫ ( x + 1)dx . 3

1

8.6.2. ∫ ln(x + 2)dx . 1

2

−1

π

8.6.3. ∫ sin x 2 dx . −π

2,5

1

8.6.5. ∫ ( xe − x )dx . 2x

8.6.6.

∫ (x

2

− 3 x 3 )dx .

−0,5

0

8.7. В ы числитьопре деле нны е инте гралы с точностью ε = 0,01 по форм уле трапе ций. 2

4

dx . x

8.7.2.

∫ x cos xdx .

8.7.5.

8.7.1. ln 2 = ∫ 1

∫ (1 + 1

π 2

8.7.4.

5

dx x

)

2

.

∫

∫ 1

xdx 4x + 5

.

1

2

0

8.7.3.

2 − x 2 dx .

1

8.7.6. ∫ ln( x + 1)dx . 0

8.8. В ы числитьопре де ленны е инте гралы сточностью ε = 0,001 по форм уле С им псона. 8.8.2.

1

π 2

8.8.4.

2 ∫ x cos xdx . 0

π dx =∫ . 4 0 1+ x2 1

5

8.8.1. ∫ x 3 dx .

1

8.8.3. π = 6∫ 0

∫

4 − x2

.

π 2

2

8.8.5.

dx

1 + x 2 dx .

8.8.6.

0

∫

3 − cos 2 x dx .

0

8.3. Ч исле нное ре ш е ние обы к нове нны х диффере нциальны х уравне ний Рассм отрим исходную задачу Кош и в виде обы к нове нного диффе ренциального уравне ния пе рвого порядк а y ′( x) = f (x, y ) с начальны м условие м y(x0 ) = y 0 . Д анное уравне ние наразностной се тк е {xi }0≤i ≤n им е е т вид dy (xi ) = f ( xi , y i ) , dx

y (x0 ) = y 0 .

И спользуя правую , ле вую и це нтраль ную разностную производную , получим :

y i +1 − y i = f ( xi , y i ) , 0 ≤ i ≤ n − 1 , y (x 0 ) = y 0 ; h y i − y i −1 = f ( xi , y i ) , 1 ≤ i ≤ n , y ( x 0 ) = y 0 ; h y i +1 − y i −1 = f ( xi , y i ) , 1 ≤ i ≤ n − 1 , y ( x 0 ) = y 0 . 2h

74

П е рвая форм ула назы вае тся яв ной ра знос т ной с хем ой , поск ольку дае т возм ож ностьвы числитьзначе ние yi +1 в сле дую щ е й точк е се тк и по явной форм уле yi +1 = yi + hf (xi , yi ) . Д ве другие форм улы пре дставляю т неяв ны е ра знос т ны е с хем ы . М е тодЭ йлера О снову м е тода Э йле ра составляе т явная разностная схе м а на равном е рной разностной се тк е . И нте рвал инте грирования [a,b] обы к нове нного диффе ре нциального уравне ния пе рвого порядк а разбивае тся на n часте й узловы м и точк ам и xi = x0 + ih , i = 1,2,..., n , и значе ния yi вэтих точк ах вы числяе тся по форм уле yi +1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0,1,2,..., n − 1 . М е тод Э йле ра относится к группе однош аговы х м е тодов, в к оторы х для расче та точе к (xi +1 , yi +1 ) не обходим а информ ация о пре ды дущ е й вы числе нной точк е (xi , yi ) . Н а прак тик е для оце нк и погре ш ности расче та функ ции y(x ) используе тся правило Рунге . С начала проводится вы числе ние y ih с ш агом h = (b − a ) n . Зате м число инте рвалов разбие ния удваивае тся (n ← 2n ) , и h 2 i

проводятся вы числе ния y . Заоце нк у погре ш ности вы числе ний насе тк е с h 2 2i

y −y . ш агом h 2 приним ае тся ве личина 1max ≤i ≤ n −1 h i

П рим е р 8.4. Н айти м е тодом Э йле ра числе нное ре ш е ние задачи Кош и y ′ = e x −1 при y(1) = 1 в инте рвале [1;3] с ш агом 0,5. П ри к ак ом числе разбие ний буде т обе спе че напогре ш ностьε = 0,1 ? Ре ш е ние . П рове де м ре ш е ние данной задачи всре де MathCAD.

75

И ссле дование

погре ш ности ре ш е ния пок азало, что при числе

y −y разбие ний 2n=64 1max ≤ i ≤ n −1 h i

h 2 2i

< ε = 0.1 .

М е тоды Рунге -К утта Г руппа м е тодов Рунге -К утта разного порядк а позволяю т проводить числе нное ре ш е ние диффе ре нциальны х уравне ний с хорош е й точностью бе зиспользования производны х. Т ак , м е тод Э йле ра – м е тод Рунге -К утта пе рвого порядк а. М е тод Рунге -К утта второго порядк а записы вае тся в сле дую щ е й форм е : h   y i +1 = y i + 2 (k1 + k 2 ), 0 ≤ i ≤ m − 1,  k1 = f (xi , y i ), k = f ( x + h, y + hk ) . i i 1  2 

П рим е р 8.5. М е тодом Рунге -К утта второго порядк а ре ш итьзадачу Кош и dy = x2 + y2 , dx

y (0 ) = 1, 0 ≤ x ≤ 0,2 сш агом h = 0,1 .

Ре ш е ние . Н аходим ре ш е ние вузловы х точк ах 0, 0,1, 0,2: y0 = 1; 0,1   y1 = 1 + 2 (k1 + k 2 ) = 1,111,  k1 = 1,  2 2 k 2 = (0,1) + (1 + 0,1) = 1,22;   y 2 = 1,111 + 0,05(k1 + k 2 ) = 1,2515307,  2 2 k1 = (0,1) + (1,111) = 1,244321,  2 2 k 2 = (0,2 ) + (1,111 + 0,1244321) = 1,5662924.

76

П одче рк нуты пре дполагае м ы е ве рны е значащ ие цифры точного ре ш ения y(0,1) , y(0,2) . Н аиболе е популярны м сре ди м е тодов Рунге -К утта являе тся м е тод че тве ртого порядк а, соотве тствую щ ие форм улы к оторого им е ю т вид:  h  y i +1 = y i + (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), 0 ≤ i ≤ m − 1, 6  k1 = f (xi , y i ),  h h    k 2 = f  xi + , y i + k1 , 2 2     h h   k 3 = f  xi + , y i + k 2 , 2 2    k 4 = f (xi + h, y i + hk 3 ) . 

В ы полним один ш агдля задачи Кош и, поставле нной вприм е ре 8.5: y0 = 1; 0,1   y1 = 1 + 6 (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) = 1,114 629,  k1 = 1,  2 2 k 2 = (0,05) + (1 + 0,05) = 1,105,  2 2 k 3 = (0,05) + (1 + 0,05 ⋅ 1,105) = 1,1160525, k = (0,1)2 + (1 + 0,1 ⋅ 1,116 )2 = 1,2456663.  4 

Д ля оце нк и погре ш ности расче та ф унк ции y(x ) используе тся правило Рунге , согласно к отором у для м е тода Рунге -К утта второго порядк а за оце нк у погре ш ности вы числе ний на се тк е с ш агом h 2 приним ае тся ве личина max

1≤i ≤ n −1

h

h

y ih − y 22i

y ih − y 22i

3

, адля че тве ртого порядк а - max

1≤i ≤ n −1

15

.

Задания 8.9. М е тодом Э йле ра найти числе нное ре ш е ние задачи Кош и. П ри к ак ом числе разбие ний буде т обе спе че напогре ш ностьε = 0,1 ? x 8.9.1. y ′ = e при y (0) = 1 винте рвале [0;2] сш агом 0,5. 2 8.9.2. y ′ = y − x + 2 x при y (0) = 0 винте рвале [0;1] сш агом 0,1. −2 8.9.3. y′ = − x при y (1) = 0 винте рвале [1;3] сш агом 0,5. 8.9.4. y ′ = 2 y − 2 x( x − 1) при y (0) = 2 винте рвале [0;1] сш агом 0,2.

1 при y(0) = 0 винте рвале [0;2] сш агом 0,4. x +1 8.9.6. y ′ = 2 y ⋅ ctgx при y(0) = 0 винте рвале [0;π/2] сш агом π/10.

8.9.5. y′ =

77

8.10. М е тодом Рунге -К утта второго порядк а ре ш ить задачу К ош и с заданной точностью . 2 8.10.1. y ′ = − y + 2 y − 1 винте рвале [1;2] при y (1) = 2 и ε≤ 0,01.

8.10.2. y ′ = 2 y − 2 x( x − 1) винте рвале [0;1] при y (0) = 1 и ε≤ 0,05. 8.10.3. y′ =

1 2 x cos 2

(

) винте рвале [1;2] при y(1) = 0 и ε≤ 0,1.

x −1

2x винте рвале [8;10] при y (8) = 2 и ε≤ 0,02. x + 36 3y 8.10.5. y′ = винте рвале [1;3] при y (1) = 2 и ε≤ 0,1. 2x 8.10.6. y′ = 2 x − 1 винте рвале [1;2] при y(1) = 1 и ε≤ 0,01. 8.11. М е тодом Рунге -К утта че тве ртого порядк а ре ш ить задачу Кош и с заданной точностью . 2x y (0) = 0 и ε≤ 0,05. 8.11.1. y ′ = 1 − (x + 1)2 винте рвале [0;2] при 8.11.2. y′ = y винте рвале [0;1] при y (0) = 2 и ε≤ 0,01. 8.10.4. y′ =

2

8.11.3. y ′ = y − x + 1 винте рвале [0;2] при y (0) = 0 и ε≤ 0,1. 8.11.4. y′ =

3( y + 6) винте рвале [2;4] при y (2) = 2 и ε≤ 0,05. x

2 8.11.5. y′ = 1 − y винте рвале [π 2; π ] при y (π 2) = 1 и ε≤ 0,02.

8.11.6. y ′ = − y + 10 винте рвале [1;3] при y (1) = 10 и ε≤ 0,1.

78

Л ите ратура 1. Ф илим онова Е .В . М ате м атик а : уче бн. пособие для ср. спе ц. уч. заве де ний / Е .В . Ф илим онова. –Ростовн/Д : Ф е ник с, 2003. 2. О сновы вы сш е й м ате м атик и / И .В .П авлуш к ов [и др.]. – М . : Г Э О Т АР, 2004. 3. С пирина М .С . Д иск ре тная м ате м атик а: уче бник для студ. учре ж де ний сре д. проф. образования / М .С . С пирина, П .А. С пирин. –М . : Ак аде м ия, 2004. 4. Калинина В .Н . М ате м атиче ск ая статистик а / В .Н . К алинина, В .Ф . П анк ин. –М . : В ы сш . ш к ола, 1998.

79

С оставите льБы к адороваГ алинаВ ладим ировна Ре дак тор: Т ихом ироваО .А.