Основы приборостроения: Рабочая программа, задание на контрольную работу и методические указания к ее выполнению

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра метрологии

ОСНОВЫ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ Рабочая программа Задание на контрольную работу и методические указания к ее выполнению

Факультет радиоэлектроники Направление и специальность подготовки дипломированного специалиста: 653800 – стандартизация, сертификация и метрология 190800 – метрология и метрологическое обеспечение Направление подготовки бакалавра 552200 – метрология, стандартизация и cертификация

Санкт – Петербург 2004

Утверждено редакционно - издательским советом университета УДК 53.08+681.2(075.8) Основы приборостроения: Рабочая программа, задание на контрольную работу и методические указания к ее выполнению. - СПб.: СЗТУ, 2004, 25с. Рабочая программа соответствует требованиям государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 653800 "Стандартизация, сертификация и метрология " (специальность 190800 "Метрология и метрологическое обеспечение" ) и направлению подготовки бакалавра 552200 - "Метрология, стандартизация и сертификация". В учебном плане специальности 190800 - "Метрология и метрологическое обеспечение" предусмотрена общепрофессиональная дисциплина по выбору ОПД.В.02 "Основы приборостроения". Дисциплина охватывает принципы построения приборов, функциональный и структурный анализ и синтез измерительных приборов, их точности, методы повышения точности и оптимизации метрологических характеристик. Приведены рабочая программа дисциплины, задание на контрольную работу и методические указания к ее выполнению. Рассмотрено на заседании кафедры метрологии 26 апреля 2004г., одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники 6 мая 2004г. Рецензенты: кафедра метрологии СЗТУ (зав. кафедрой И.Ф.Шишкин, д-р техн. наук проф.), Е.Н.Климов, д-р техн. наук, проф., зав.кафедрой СПб ГУВК. Составитель: В.М.Станякин, канд. техн. наук, доц.

©Северо-Западный государственный заочный технический университет,2004

ПРЕДИСЛОВИЕ Дисциплина «Основы приборостроения» в учебном плане специальности 190800 включена в число общепрофессиональных дисциплин по выбору и обеспечивает дальнейшую фундаментальную подготовку инженера-метролога к практической деятельности в области приборостроения. Цель изучения дисциплины - подготовка будущего инженера-метролога к решению научных и технических задач метрологической деятельности при построении измерительных приборов. Основная задача дисциплины - получение студентами теоретических знаний и практических навыков по основным вопросам построения измерительных приборов на уровне функциональных и структурных схем, а также с применением структурных матриц. В результате изучения дисциплины студент должен: - иметь представление о перспективных направлениях построения измерительных приборов, роли и месте метролога в этой деятельности; - знать и уметь использовать основные понятия и методы, применяемые при построении измерительных приборов, профессионально-ориентированные математические, физические и метрологические методы анализа, синтеза и оптимизации процессов и средств измерений; - иметь опыт (навыки) выбора (формирования) функциональных и структурных схем, характеристик преобразования (статических и динамических), оценки точности (погрешности) измерительных приборов и выбора методов повышения точности (конструкторско-технологических, структурных, алгоритмических), оптимизации метрологических характеристик. Изучение дисциплины базируется на соответствующих разделах дисциплин гуманитарного и естественно-научных циклов: философии, математики, информатики, физики, физических основ измерений, теоретической механики, химии, экологии, предшествующих общепрофессиональных дисциплин : теоретической метрологии, основ стандартизации, системного анализа и, в свою очередь, является базой для изучения принципов построения приборов и обеспечения их точности в специальных дисциплинах. 1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Рабочая программа (объем дисциплины 100 часов) Введение Предмет, задачи и содержание дисциплины, ее роль и место в формировании современного инженера-метролога, адекватного к требованиям времени. Краткий исторический обзор развития принципов приборостроения. Вклад отечественных и зарубежных ученых в формирование принципов построения измерительных приборов.

1.1.1.Принципы построения измерительных приборов 1.1.1.1. Функциональное описание измерительных приборов [1], с. 61-64; [2], с. 118-186 Информационная модель измерительного прибора. Функциональная блоксхема измерительного прибора. Функциональные измерительные операции и соответствующие им функциональные элементы (восприятие, масштабирование, воспроизведение, сравнение, счет, отображение величин). Характеристики измеряемых величин. Измерение как отражение свойств числами. Разновидности отражения свойств числами (по Кэмпбеллу): отношения эквивалентности, порядка, аддитивности. Разновидности измеряемых величин: эквивалентные, интенсивные, экстенсивные. Воспроизведение величин. Классификация мер. Способы формирования эталонных сигналов. Сравнение величин. Классификация устройств сравнения. Масштабирование величин. Способы согласования измеряемых величин с параметрами первичных измерительных преобразователей. Согласование параметров последующих преобразователей при образовании измерительных цепей приборов. Измерительные цепи: определение, принципы построения, классификация, методы измерений: прямого (неравновесного) преобразования (сравнения), уравновешивающего преобразования (сравнения). Измерительные цепи прямого преобразования. Измерительные цепи уравновешивающего преобразования. Измерительные цепи цифровых приборов. 1.1.1. 2. Структурное описание измерительных приборов [1], с. 64-66; [3], с. 18-88 Комплексное описание процедуры измерения. Этапы построения измерительного прибора: выбор функционального описания, составление структурной (блочной) схемы, составление принципиальной схемы (с учетом физической реализации функций преобразования), определение статических и динамических характеристик звеньев и прибора в целом, определение точностных характеристик прибора (соответствия требуемым характеристикам). Методы представления структуры систем: графы, структурные схемы и передаточные функции, аналитический, структурных матриц. Эквивалентные преобразования на графах, структурных схемах и матрицах. Элементы алгебры структурных матриц. Формула Мэзона для нахождения решения на графах. Нахождение решений на структурных схемах. Аналитический метод получения решений. Получение решений по структурной матрице. Понятие о матричных циклах. Кольцевая форма одноконтурной матрицы. Определение коэффициента передачи одноконтурной матрицы.

Квазиодноконтурные матрицы. Перекрестные обратные связи. 1.1.2. Точность измерительных приборов 1.1.2.1. Статические характеристики измерительных приборов [1], с. 67-68; [4], с. 6-26, 42-139 Общие вопросы точности приборов и измерений. Функции преобразования и коэффициенты преобразования, их расчет для разных типов соединения звеньев (последовательного, параллельного, смешанного). Разновидности неопределенностей (погрешностей) функций преобразования: аддитивные, мультипликативные. Методы нормирования точности измерительных приборов. Расчет точности результата измерения по паспортным данным измерительного прибора. Вероятностное описание результатов измерений и измерительных приборов. Законы распределения показаний измерительных приборов, моменты распределений, композиция законов распределения. Оценка ширины закона распределения. Информационное описание измерения. Энтропийный интервал неопределенности. Соотношение между энтропийным интервалом неопределенности и среднеквадратическим отклонением. Аналитические модели и параметры законов распределения неопределенностей (погрешностей). Топографическая классификация законов распределения неопределенностей. Методы расчетного суммирования составляющих результирующей неопределенности. Основы теории расчетного суммирования. Методика расчета результирующего энтропийного интервала неопределенности. Методика расчета результирующей неопределенности с произвольным значением доверительной вероятности. Возможные упрощения методики суммирования неопределенностей. Примеры расчетов результирующей неопределенности измерительных приборов. 1.1.2.2. Динамические характеристики измерительных приборов [1], с. 100-108; [2], с.64-108 Режимы работы измерительного прибора: статический, динамический. Динамические характеристики звеньев измерительной цепи и их описание с помощью дифференциальных уравнений, передаточных функций, переходных и частотных характеристик. Динамические измерительные звенья первого, второго порядка, инерционные. Методы расчета динамических характеристик измерительного прибора.

1. 1.3. Оптимизация характеристик измерительных приборов 1.1.3.1. Методы повышения точности измерительных приборов [1], с. 133-160 Методы повышения точности: конструктивно-технологические (совместимость элементов и стабилизация условий работы), алгоритмические (избыточность временная), структурные (избыточность корректирующих элементов). Структурные методы повышения точности. Принципы инвариантности (многоканальности) как метод коррекции (компенсации) помех (возмущений) за счет снижения чувствительности. Способы коррекции: калибровка, аддитивная, мультипликативная, итерации образцовых сигналов. 1.1.3.2. Оптимизация структуры и характеристик приборов [1], с. 164-176; [3], 100-128 Задачи синтеза структуры и характеристик приборов. Критерии и уравнения близости характеристик реального и номинального (идеального) приборов. Методы синтеза оптимальных структур измерительных приборов. Оптимизация функции преобразования измерительного прибора: по минимуму математического ожидания результирующей неопределенности (методом наименьших квадратов); по минимуму дисперсии результирующей неопределенности (методом неопределенных множителей Лагранжа); по критериям динамической точности (операции с порядками полиномов передаточных функций); по минимуму стоимости. Структурный синтез измерительных приборов методом структурных матриц по критерию: структурной устойчивости, улучшения переходного процесса, обеспечения инвариантности. Заключение Подведение итогов изучения дисциплины. Перспективы самостоятельного углубления знаний. 1.2.Тематический план лекций для студентов очно-заочной формы обучения ( 16 часов) 1. Введение. Функциональное описание измерительных приборов ..........2 часа 2. Структурное описание измерительных приборов ...................................2 " 3. Общие вопросы точности измерительных приборов ..............................2 " 4. Вероятностное описание точности измерительных приборов ...............2 " 5. Динамические характеристики измерительных приборов......................2 " 6. Методы повышения точности измерительных приборов .......................2 " 7. Оптимизация функций преобразования ....................................................2 " 8. Структурный синтез измерительных приборов методом структурных матриц. Заключение ................................................................................... 2 "

1.3. Перечень лабораторных работ ( 12 часов) 1. Опытное получение законов распределения вероятности показаний отдельных преобразователей измерительной цепи ……… 4 часа 2. Опытное получение законов распределения вероятности показаний измерительной цепи (прибора) ……………… 4 " 3. Экспериментальное изучение структурных методов повышения точности …………………………………………………….. 4 " 2. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Боднер В.А., Алферов А.В. Измерительные приборы: Учебник для вузов: В 2 т. - М., Изд-во стандартов, 1986, Т.1. Теория измерительных приборов. Измерительные преобразователи. - 392 с . 2. Измерения в промышленности: Спр. изд.: В 3 Кн., кн.1: , Теоретические основы пер. с нем. под ред. П.Профоса - 2-е изд. перераб. и доп: М.: Металлургия, 1990. - 492 с. 3. Шатихин Л.Г. Структурные матрицы и их применение для исследования систем. - 2-е изд. , перераб. и доп. - М.: Машиностр., 1991. - 256 с. 4. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешности результатов измерений. 2-е изд., перераб. и доп. - Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1991. - 304 с. 5. ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ Целью контрольной работы является приобретение практических навыков расчета погрешности типового информационно-измерительного канала. При выполнении контрольной работы студенты используют нормативнотехнические документы (ГОСТ, справочники) и методики по расчету погрешностей. В расчетах должна быть использована международная система единиц СИ. 3.1. Содержание контрольной работы Для конкретной структурной схемы типового измерительного канала неэлектрической величины (рис.1) необходимо выполнить следующее: 1.Рассчитать результирующую погрешность измерительного канала, используя метод произвольного значения доверительной вероятности. 2.По величине результирующей погрешности выполнить грубое нормирование (согласно ГОСТ 8.401-80, назначить класс точности измерительного канала). Контрольная работа выполняется по заданию, номер которого определяется по последней цифре шифра студента (табл. 1 ).

БП

СН

Д

ЦВ

У

ЛС

Х

Сеть 220В

Рис. 1. Функциональная схема измерительного канала: БП - блок питания; СН - стабилизатор напряжения; Д - датчик; ЛС - линия связи; У - усилитель; ЦВ - цифровой вольтметр Контрольная работа выполняется на стандартных листах формата А4 с одной стороны листа. Листы нумеруются и сшиваются. В конце контрольной работы приводится перечень использованной литературы с указанием автора, названия, издательства и года издания. Титульный лист контрольной работы оформляется по установленным в СЗТУ правилам, остальной материал – в соответствии с требованиями ЕСКД. Работу надо датировать и подписать. Исправления в работе производятся так, чтобы рецензент мог сопоставить первоначальный и новый тексты. Переработки большого объёма могут производиться после первоначального текста. Окончательно оформленные работы представляются на собеседование с преподавателем. 3.2.

Методические указания к выполнения контрольной работы

В контрольной работе рассчитывают метрологические характеристики типового измерительного канала и проводят их грубое нормирование. Поскольку при расчете требуется принять целый ряд эвристических решений с привлечением дополнительных исходный сведений, то с целью сокращения объема методических указаний они даны в виде конкретного примера расчета типового измерительного канала. Типовой канал состоит из серийно выпускаемых узлов (реостатного датчика Д, линии связи ЛС, усилителя У, цифрового вольтметра ЦВ, блока питания БП, стабилизатора напряжения СН) и

Таблица 1. Задания на контрольную работу

100 400 100 0,05 190 1500 25 10

900 90 400 0,1 800 10 600

800 80 50 0,2 250 100 15

700 70 50 0,5 120 700 25

9

0,03

0,03

10

5

0,01

8

0,01

5

0,03

8

3

0.05

7

0,03

3

0,01

Ψθу, %/10°С

8

1

ΨUу,%/(10%ΔU/U)

6

0,01

600 60 300 0,1 700 800

Ку

1

10

500 50 250 0,02 2000 500

400 40 200 0,2 300 170

300 30 100 0,5 200

200 20 100

5

0,03

Кст

4

15

25

Eд, мВ

3

25

200

п, витков

300

500

γ mg,%

2

10

0,15

R ,Ом

0,05

100

R3, кОм

1000

10

Rд, Ом

1

15 350

0 100

Последняя цифра шифра

05/02 200 0,9

2

01/05 950 0,95

5

05/02 500 0,98

10

02/01 2

1800 10

800

02/01

2 500

0,9

01/05

5 900

01/05

05/02

1600 10

θлаб, °С

5

01/05

2

Vнав., мВ

класс точности ЦВ, c/d

2400

02/01

rсв, Ом

3600

+0,2

0,95

0,85

0,9

Рд

0,95

0,98

θ, °С

0,98

21±3 20±10

имеет следующие исходные данные: - сопротивление датчика Rд , Ом ................…………........................................ 200 - класс точности датчика

γ mg

, % ....................................…….……………...0,15

- число витков обмотки датчика п .............................................…………….... 500

- напряжение питания датчика Еg , мВ .....................................…………….......200 - коэффициент стабилизации СН Кст…………….. .............................................. 25 - коэффициент усиления У , Ку .............................………………........................ 1 - коэффициент влияния колебаний напряжения питания усилителя на коэффициент усиления Ку , ΨU ,%(10% Δ U U )..........…………….....…+ 0,3 - коэффициент влияния температуры на коэффициент усиления

ΨΘ у , %

10°C ………………………………………………………………….+ 0,2

- класс точности ЦВ , c/d.....................................................……….………….0,2/0,1 - количество знаков отсчета ЦВ ........................................………………........... 3 - напряжение сети Е , В ...........................................................……………….... 220 - нестабильность напряжения сети σс , % …......................................………....± 15 - сопротивление проводки линии связи датчика с усилителем rсв ,Ом…….…..2 - напряжение наводки частотой 50 Гц , измеренное с помощью электронного вольтметра с входным сопротивлением 1 МОм , Uнав, мВ....……………...….1600 - пределы изменения температуры в лаборатории Θлаб , °С……………..…..21±3 - закон распределения температуры в цехе нормальный с доверительной вероятностью Рд…………………………........………........................ .....................0,98 - изменения температуры в цехе, где установлен датчик Θ, °С..………..20 ± 15 3.3.

Основы теории и справочные данные

Результирующую погрешность информационно-измерительного канала можно найти как композицию (алгебраическую сумму) законов распределения погрешностей отдельных узлов, составляющих этот канал. При нахождении композиции надо учитывать 3 обстоятельства: 1) числовые характеристики законов распределения составляющих могут меняться в диапазоне измерения; 2) отдельные слагаемые суммы могут быть коррелированы между собой; 3) при суммировании случайных величин происходит изменение формы (деформация) законов распределения. Для учета первого обстоятельства погрешности составляющих делят на аддитивные и мультипликативные и суммирование их ведут раздельно. Второе обстоятельство учитывают введением коэффициентов корреляции в формулы результирующей дисперсии (СКО) . Третье обстоятельство учитывают с помощью параметров формы : контрэксцесса χ и энтропийного коэффициента k. Напомним, что четвертый центральный момент μ4 характеризует протяженность спадов распределения, а его относительное значение называется

эксцессом распределения :

ε=

μ4 , где σ - СКО σ4

(1)

Однако, поскольку для различных законов распределения эксцесс может иметь значение от 1 до ∞, для классификации распределений по их форме удобнее пользоваться величиной контрэксцесса χ , изменяющейся для любых законов распределения в пределах от 0 до 1:

χ=

1 ε

(2)

Для оценки величины разброса случайных погрешностей относительно центра, т.е. ширины распределения, на практике используется ряд различных приемов. Предельная (максимальная) оценка случайной погрешности теоретически правомерна только для ограниченных распределений (равномерного, трапецеидального, треугольного, арксинусоидального и т.п.). Для этих распределений теоретически существует такое значение ± χ m , которое ограничивает с обеих сторон возможные значения случайной величины. Кривые плотности реальных распределений, за редкими исключениями, не имеют четко выраженных границ. И поэтому указание для них предельных (максимальных) значений неправомерно. Очевидна бессмысленность арифметического суммирования таких предельных значений, так как получаемая сумма может превышать действительные погрешности в несколько раз. Основным достоинством оценки разброса случайных величин средним квадратическим значением σ является возможность определения дисперсии суммы статистически независимых величин n

как DΣ = ∑ Di или σ Σ i =1

2

= ∑ σ i2 безотносительно

к

разнообразию

законов

распределения каждой из суммируемых величин и деформации законов распределения при образовании композиций. Таким образом, для того чтобы отдельные составляющие погрешности СИ можно было суммировать расчетным путем, они должны быть предварительно представлены своими средними квадратическими значениями σ . Дальнейшим развитием теории вероятностей является вероятностная теория информации. В понятии теории информации смысл измерения состоит в сужении интервала неопределенности. При практическом использовании информационного подхода для оценки точности результатов измерений рационально оперировать с понятием энтропийного значения погрешности Δ Э . Соотношение значениями

между энтропийным

ΔЭ

и средним квадратическим

σ

погрешности

различно для

разных

законов

распределения,

и

удобно характеризовать значением энтропийного коэффициента к =

его

Δэ σ

Δm ,ε,χ и к приведены в табл.2 для σ равномерного, арксинусоидального, трапецеидального и треугольного распределений. В общем случае СКО суммы равно σ Σ = σ 12 + 2ρσ 1 σ 2 + σ 22 , (3)

данного закона распределения. Значения

где ρ σ 1 σ 2 - взаимный корреляционный момент. Если σ 1 и σ 2 между собой не коррелированы, то ρ = 0 и σ Σ = σ 12 + σ 22 , т. е. , СКО составляющих суммируются геометрически. Если случайные величины жестко и положительно коррелированы между собой (ρ = + 1 ) , то всякое положительное отклонение одной величины сопровождается также положительным отклонением второй, т огда σ Σ = σ 1 + σ 2 . Если же при возрастании одной величины вторая линейно убывает, то ρ = - 1 и σ Σ = σ 1 − σ 2 . Таким образом, оценки жестко коррелированных погрешностей (ρ = ±l) должны суммироваться не геометрически, а алгебраически с учетом их знаков. При решении вопросов расчетного суммирования погрешностей обычно интересуются разграничением сильной и слабой корреляционной связи суммируемых погрешностей (ρ > 0,7). Таким образом, практические правила расчетного суммирования составляющих результирующей погрешности следующие: 1. Должны быть учтены взаимные корреляционные связи различных составляющих погрешности (принадлежащих часто различным узлам канала). 2. Для каждой составляющей должно быть найдено СКО. В большинстве случаев для этого необходимо знание или предположение о виде закона распределения каждой из составляющих. 3. Все составляющие подразделяются на аддитивные и мультипликативные и суммируются раздельно. 4. Из суммируемых составляющих выделяются группы сильно коррелированных между собой составляющих погрешности и внутри этих групп производится алгебраическое суммирование их оценок. 5. После того, как все группы сильно коррелированных погрешностей выделены и внутри их произведено алгебраическое суммирование, суммарные по группам и оставшиеся вне групп погрешности можно считать уже некоррелированными и складывать их по правилу σ Σ2 = ∑ σ i2 .Для определения СКО при х = 0 складываются лишь аддитивные составляющие, а для определения СКО погрешности в конце диапазона измерений - все суммируемые составляющие.

Таблица 2. Значение коэффициентов для пяти видов распределений № Вид распределения b/а Δm/σ ε χ

К

P(x) 1

0 x -Δm

1,8

0,745

1,73

2,016

0,704

1,94

2,184

0,677

2,00

2,4

0,645

2,02

+Δm

0 P(x)

a-b 2

1/3 x -Δm

3≈ ≈ 1 ,73

4 ,8 ≈

≈ 2 ,19

+Δm

a+b P(x)

3

1/2 x -Δm

5 ,2 ≈

≈ 2 ,32

+Δm

0 P(x)

4

1

6≈ ≈ 2 ,45

0

2≈ ≈ 1,41

x -Δm

+Δm

0 P(x)

5 x -Δm

0

+Δm

π

1,5

0,816

≈ 2 2 ≈ 1 ,11

6. Для перехода от СКО погрешности к энтропийному Δэ = кσi или доверительному Δд = tσΣ значениям должно быть тем или иным путем вынесено суждение о форме закона распределения результирующей погрешности и, значит, выбрано значение энтропийного коэффициента кΣ или квантильного множителя tΣ . 7. При определении энтропийного значения погрешности для него также может быть указано соответствующее значение доверительной вероятности (4) Pэ = 0,899 +0,1818/ε ≈ 0,899 + χ2 /5,5 При этом значении доверительной вероятности энтропийное и доверительное значения погрешности совпадают. Для перехода к интервальной оценке в виде доверительного Δ д = t Σ σ Σ или энтропийного Δ э = к Σ σ Σ значений необходимо знание лишь его одного числового параметра в виде квантильного множителя tΣ или энтропийного коэффициента кΣ (определение энтропийного значения результирующей погрешности является наиболее точным методом расчетного суммирования погрешностей). Рассмотрим часто встречающиеся случаи. При суммировании двух случайных величин, распределенных нормально, их композиция представляет собой также нормальное распределение. Поэтому энтропийный коэффициент композиции в этом частном случае просто равен энтропийным коэффициентам суммируемых составляющих. При суммировании двух равномерно распределенных случайных величин энтропийное значение суммарной погрешности

Δ э = 3σ1е отсюда

энтропийный

коэффициент

σ2

2 σ1

результирующего

(5) распределения

к Σ = 3е С /(1 + С 2 ) , где C = σ1 / σ 2 при σ1 ≤ σ 2 и C= σ 2 / σ 1 при σ1 ≥ σ 2 . Сводка зависимостей энтропийного коэффициента кΣ от соотношения суммируемых составляющих и их энтропийных коэффициентов может быть представлена в виде семейства графиков (рис.2), где по оси абсцисс отложены

σ 22

значения относительного веса дисперсии распределений в полной дисперсии p = σ 2 2

энтропийного коэффициента

(σ

2 1

+ σ 22

второго из суммируемых

) , по оси ординат - значение

кΣ образующейся при этом композиции.

Рис. 2. Зависимости энтропийного коэффициента кΣ от соотношения суммируемых составляющих p и их энтропийных коэффициентов кΣ : а) композиция двух распределений: 1 - для композиции двух нормальных распределений; 2 - для равномерно распределенной погрешности ( кΣ1 = 1,73) с нормально распределенной ( кΣ 2 = 2,066); 3 - для двух равномерных распределений ; 4 - для арксинусоидального и равномерного распределений; б) композиция трех распределений: 1-3 - для композиции равномерного, треугольного и нормального распределений с дискретным двузначным распределением; 4-6- для композиции нормального распределения соответственно с арксинусоидальным, равномерным и экспоненциальным. Несмотря на то, что кривые рис.2 построены только для нескольких видов законов распределения, их сетка настолько густа, что позволяет на глаз интерполировать значения кΣ для любых законов распределения с известным энтропийным коэффициентом. При расчете результирующей погрешности с произвольным значением заданной доверительной вероятности необходимо пользоваться соотношением для вычисления эксцесса распределения суммы двух независимых случайных величин по их эксцессам ε(х) и ε(у) : ε Σ = ε(x )p 2 + 6p(1 − p ) + ε (y )(1 − p 2 ), (6) где вес дисперсии первого распределения в общей дисперсии находится по формуле

(

p = σ 2x σ 2x + σ 2y

)

(7)

Таким образом, для расчета результирующей погрешности этим методом для каждого из суммируемых составляющих надо знать оценки ε(x) ,σ(x) и ε(у),σ(у). Далее находится σ Σ = σ 2x + σ 2y , по (7) определяется вес дисперсии одной из составляющих, а по (6) находится оценка ε Σ суммарной погрешности. Если суммируемых составляющих больше двух, то суммирование и определение ε Σ производится последовательно - первой со второй, затем полученной с третьей и так далее. 3.4.

Пример расчета

При расчете результирующей погрешности канала необходимо каждой из составляющих погрешности приписать соответствующий закон распределения, найти СКО и подразделить погрешности на аддитивные и мультипликативные. Все расчеты как максимальных погрешностей, так и СКО следует вести в относительных приведенных значениях и сохранять при промежуточных округлениях один лишний недостоверный знак в их значениях с тем, чтобы округление произвести лишь над окончательным результатом. 1. Погрешность от наводки на линию связи может быть приближенно рассчитана следующим образом. При присоединении к линии электронного вольтметра с входным сопротивлением Rвх = 1 МОм падение напряжения на этом сопротивлении составляет 1600 мВ , т. е. через него проходит ток I=

U нав 1600 × 10 −3 = = 16 × 10 − 7 А . 6 R вх 10

При замыкании линии связи на сопротивление датчика

Rд =200 Ом падение

напряжения на нем от этого тока составит U = I × R д = 16 × 10 −7 × 200 = 0 ,32мВ .

Таким образом, приведенная погрешность от наводки при максимальном сигнале с датчика, равном 200 мВ, будет γ нав =

U 0 ,32 = × 100% = 0 ,16%. Eд 200

Поскольку исходное значение наводки U нав = 1600мВ было отсчитано по шкале вольтметра, т.е. являлось действующим (средним квадратическим ) значением, то полученная оценка погрешности от наводки и есть её СКО σ нав =0,16% .

Погрешность от наводки на вход прибора или линии связи синусоидального напряжения силовых цепей с частотой 50 (400) Гц имеет арксинусоидальное распределение. Следовательно (табл.2), энтропийный коэффициент этого распределения Кнав = 1,11 , контрэксцесс χ = 0,816 , эксцесс ε =1,5. Максимальное значение погрешности от наводки γ max нав = σ 2 = 0 ,16 2 = 0 ,225%.

В данном случае напряжение наводки возрастает линейно с ростом входного сигнала, т. е. погрешность от наводки оказывается мультипликативной. 2. Определим СКО Д , исходя из следующих соображений. Основная погрешность Д нормирована по паспорту максимальным значением γ mД = 0,15% . Для того, чтобы от этого значения перейти к СКО, необходимо знание вида закона распределения погрешности. Одной из составляющих погрешности Д является погрешность дискретности, обусловленная конечным числом витков его обмотки, по которым скользит подвижный контакт. Эта типовая погрешность имеет нормальное распределение. Абсолютная погрешность дискретности Δ при п = 500 составляет ± 0,5 вит. Относительная погрешность дискретности σΔ =

Δ 0 ,5 = × 100% = 0 ,1% . n 500

Однако для Д нормируется погрешность 0,15%. Следовательно, есть еще какие-то составляющие, которые нам неизвестны (погрешность линейности, т. е. неравномерность намотки, люфт в опорах оси подвижного контакта и т.п.). Но так как они незначительно увеличили результирующую погрешность, то превалирующей, видимо, является погрешность дискретности и поэтому общее распределение погрешности можно считать близким к равномерному. Тогда γ mД = 0,15% можно считать половиной ширины этого равномерного распределения. Тогда СКО составит σ Д =

γ mД 3

=

0 ,15 3

= 0 ,087% . В соответствии с

табл. 2 для равномерного распределения k = 1,73, χ = 0,745 и ε = 1,8. 3. Определим температурную погрешность Д, исходя из следующих соображений. Датчик с R Д = 200 Ом включен последовательно с двумя жилами медной линии сопротивления rсв =2 Ом каждая. Абсолютное изменение сопротивления каждой из жил составит Δrсв = Δθα θ × rсв = 15 ×

4 × 2 = 0 ,12Ом , где αθ = + 4%/10°С - температурный 100 × 10

коэффициент меди. Относительная температурная погрешность Д

σ mθ Д =

Δrсв 0 ,12 = × 100% = 0 ,06% . RД 200

Поскольку закон распределения температуры в испытательном цехе нормальный, то по таблице нормального распределения находим, что вероятности Pд = 0,98 соответствуют границы ±2,3σ [2]. Отсюда СКО

σ θД =

σ mθД

= 0,026% . Параметры закона распределения k=2,066; ε =3; 2,3 χ = 0,577. 4.Определим погрешность Д от колебаний напряжения питания. Она мультипликативна и распределена по тому же закону, что и отклонения напряжения сети от своего номинального значения 220 В. Распределение напряжения сети близко к треугольному с пределами ± 15%.Стабилизатор снижает размах колебаний напряжения в Кст =25 раз, т.. на выходе стабилизатора распределение так же треугольное, но с размахом 15% /25= = 0,6%. Поэтому максимальное значение этой погрешности γ mUД = 0 ,6% . Согласно табл.2 СКО для треугольного распределения σ uД =

γm 6

=

0 ,6 6

= 0 ,245% .

Параметры этого распределения : k = 2,02; ε = 2,4; χ = 0,65. 5. Погрешность коэффициента усиления У является чисто мультипликативной и распределена также по треугольному закону, так как вызывается колебаниями напряжения питания. Максимальное значение погрешности γ mUД = 0 ,03 × 10 −2 × 15 =0,45%. СКО составляет σ UД =

γ mUД 6

=0,184%.

Параметры распределения приведены выше ( в п.3) . 6. Погрешность смещения нуля У при колебании температуры является аддитивной, а закон ее распределения повторяет закон распределения температуры в лаборатории, где установлены У и ЦВ. Поскольку закон распределения температуры в лаборатории в пределах от 18 до 24 ° С можно считать равномерным со средним значением 21° и размахом ±3° С , то максимальное значение этой погрешности при ψθу = 0,2% / 10°С составляет γ mθу = ψθу ×

Δθ =

2× 3 = 0 ,06% . СКО 10

σ θy =

0 ,06 3

= 0,034%. Параметры этого

распределения k=1,73, χ =0,745 и ε = 1,8. 7. Погрешность цифрового вольтметра ЦВ нормирована двучленной формулой. Ее приведенное значение равно 0,15 при Х = 0 и линейно возрастает до 0,2% в конце шкалы. Но при использовании в измерительном канале ЦВ возникает ситуация, которая требует особого рассмотрения. Максимальный сигнал датчика в данном случае равен 200 мВ. При номинальном коэффициенте усиления У К e = 1 , выходное напряжение У также равно 200 мВ. Пределы же измерений ЦВ, как правило, кратны 10 (например, 100, 10 и 1 В). При

использовании в рассматриваемом канале измерений на пределе 1В=1000 мВ он обеспечивает удобный отсчет измерений непосредственно в мВ, но расчет его погрешности в этом случае имеет некоторые особенности, ввиду неполного использования шкалы. Особенность расчета погрешности в таком случае состоит в том, что приведенное значение погрешности должно рассчитываться для предела измерений именно 200 мВ , в то время как приведенная погрешность ЦВ дана для предела измерений Хк = 1000 мВ. Для этого должна быть вычислена абсолютная погрешность в точках начала и конца этого нового диапазона и отнесена к его концу. Абсолютная погрешность при Х = 0 ЦВ класса c/d d 0 ,1 × Xк = × 1000 = 1мВ . 100 100

Δ0 =

Приведенное значение погрешности к пределу измерений Хк кан. данного Δ 0 × 10 2 1 × 10 2 канала γ нцв = = = 0 ,5% . Абсолютная погрешность ЦВ при Х= 200 200 c−d ⎞ ⎛ 0 ,2 − 0 ,1 ⎞ 200мВ Δ 200 = Δ 0 + ⎛⎜ × 200 ⎟ = 1 ,2мВ .Приведенное к пределу × X⎟ = 1 + ⎜ ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 Δ 1,2 × 10 2 = 0 ,6% . измерений канала значение погрешности γ кцв = 200 = Х кан 200

Таким образом, неполное использование диапазона ЦВ приводит к существенному возрастанию приведенной погрешности измерения, в данном случае с 0,2 /0,1 до 0,6 / 0,5. Для перехода от максимальной погрешности ЦВ к СКО необходимо знание вида закона распределения этой погрешности. Будем считать, что распределение погрешности ЦВ является композицией равномерного распределения (ряд узлов) и экспоненциального с показателем степени а = 0,5 и с дисперсией, составляющей 1/13 общей дисперсии. Тогда погрешность ЦВ содержит две части при Х = 0;

σ нцв

⎛γ = ⎜⎜ нцв ⎝ 3

σ 2нцв

2

⎞ 12 ⎟⎟ × = 0 ,278% ; ⎠ 13

⎛γ = ⎜⎜ нцв ⎝ 3

2

⎞ 1 ⎟⎟ × = 0 ,08% ; ⎠ 13

в конце диапазона измерений канала σ 1кцв

⎛γ = ⎜⎜ кцв ⎝ 3

2

⎞ 12 ⎟⎟ × = 0 ,332% ; ⎠ 13

σ 2кцв

⎛γ = ⎜⎜ кцв ⎝ 3

2

⎞ 1 ⎟⎟ × = 0 ,096% . ⎠ 13

Параметры экспоненциального распределения с α = 0,5 [4, с. 58] к =1,35, χ =0,2, ε = 25,2. Таким образом, после выполнения пп. 1 - 7 все составляющие разделены на аддитивные и мультипликативные, им приписаны законы распределения и вычислены СКО. Этот результат для наглядности представлен на рис. 3, где буквами А и М в кружках отмечены соответственно аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности. 8. Произведем суммирование погрешностей, т. е. расчет результирующей погрешности канала. Результирующая погрешность канала сводится к вычислению приведенной погрешности при Х = 0 (которая складывается из аддитивных составляющих) и в конце диапазона (которая складывается из всех составляющих - аддитивных и мультипликативных). Выбор метода суммирования (складывать алгебраически или геометрически) зависит от того, являются ли суммируемые погрешности коррелированными или независимыми. Следовательно, целесообразно сразу выделить коррелированные погрешности и произвести их алгебраическое сложение. Коррелированными являются те погрешности, которые вызываются одной и той же общей причиной, а поэтому имеют одинаковую форму закона распределения, которая остается справедливой для их алгебраической суммы. В данном примере это погрешность датчика Д и усилителя У от колебаний напряжения питания U , имеющая треугольный закон распределения, а также погрешность У и ЦВ от колебаний температуры в лаборатории, имеющая равномерный закон распределения. Однако погрешность от колебания температуры Д и У – это некоррелированные погрешности, так как их вызывают разные температуры (в цехе и в лаборатории). Для алгебраического суммирования коррелированных погрешностей необходимо установить их знаки. Так, коэффициент влияния на погрешность Ку от колебаний напряжения питания является положительным ΨUу = +0 ,3% / (10%ΔU / U ) , т.е. коэффициент усиления с ростом напряжения питания возрастает. Также положительным является коэффициент влияния на погрешность от колебания напряжения питания датчика. Поэтому результирующее значение этих погрешностей равно просто их сумме σ U (Д + У ) = σ UД + σ UУ = 0,245+0,184 = 0,429 ≅ 0,43%, а закон распределения этой суммарной погрешности сохраняется треугольным. Уточним правила пренебрежения малыми составляющими при геометрическом суммировании погрешностей. Могут быть опущены одна малая составляющая, если она в 5 раз меньше наибольшей из суммируемых составляющих, две составляющие, если они в 6 раз меньше наибольшей из суммируемых составляющих, три составляющих, если они в 7 раз меньше. Но делать такое заключение можно только после суммирования коррелируемых составляющих и приведенных числовых значений погрешности к СКО

В данном случае погрешность начала диапазона канала будет складываться из двух составляющих погрешности ЦВ ( с равномерным распределением с σ 1нцв = 0,278% и с экспоненциальным распределением σ 2нцв = 0,080%) и σД = 0,087%. погрешности Д с равномерным распределением и Составляющими же σ θД = 0,026% и σ θУ = 0,034% можно пренебречь,так как даже большая из них в 8 раз меньше, чем σ 1нцв = 0,278%. Начнем суммирование с двух равномерно распределенных составляющих. Тогда σ Д + ЦВ = σ 2Д + σ 12нцв = (0 ,087 )2 + (0 ,278 )2 = 0 ,291% . Вес дисперсии второй составляющей

P=

определим по (6):

σ 2ЦВ

=

σ 2Д + ЦВ

(

(0 ,287 )2 (0 ,291)2

= 0 ,91 .

)

Эксцесс

этого

распределения

ε Д + ЦВ = ε(x ) × p 2 + 6p(1 − p ) + ε(y ) 1 − p 2 =1,8(0,91) + 6×0,91(1 -91)+ 1,8(1 - 0,91 = 2,0

Контрэксцесс распределения χ Д + ЦВ =

2

1 ε Д + ЦВ

=

2)

1 2

= 0 ,7 . По кривой 3 ( рис. 2а)

определим значение энтропийного коэффициента к Д + ЦВ = 1,83 . Для суммирования этого распределения с экспоненциальной составляющей погрешности Р с α = 0,5 и k = 1,35 соответствующей кривой на рис. 2а нет. На рис. 2б при Р = 0 она должна начинаться в точке k = 1,83, а заканчиваться при Р = 1 в точке k = 1,35. При Р = 0,1 - 0,2 она пойдет вверх, как и все кривые на рис. 2б, но достигает максимума в области при Р > 0,3 аналогично кривой 4 (рис. 2а), имеющей максимум при Р = 0,7. Этот максимум .по-видимому, не должен превышать К = 2,02 , характерного для максимума кривой 3 на рис. 2а, а спад ее в области Р = 0,9 - 1 должен быть аналогичен спаду кривых 4 и 5 на рис. 2б. Этих соображений достаточно, чтобы ориентировочно провести эту кривую. С.к.о. погрешности в начале диапазона канала σ н = σ 2Д +1ЦВ + σ 22 ЦВ =

(0 ,291)2 + (0 ,08)2

Вес экспоненциальной составляющей P = распределения χ=

1 εн

σ 22нцв σ н2

=

= 0 ,302 ≈ 0 ,3% .

(0 ,08)2 (0 ,3)2

= 0 ,07 . Эксцесс

ε н = 2 × (0 ,07 ) + 6 × 0 ,07 × 0 ,93 + 25 ,2 × 0 ,995 = 25 ,47 . 2

этого

Контрэксцесс

= 0 ,198 .Отсюда значение энтропийного коэффициента по построенной

нами кривой составляет Кн = 2,02 и энтропийное значение погрешности в начале диапазона канала с цифровым регистратором γ н = к н × σ н = 2 ,02 × 0 ,302 = 0 ,61% . Для определения погрешности в конце диапазона канала нужно к составляющим погрешности ЦВ в конце диапазона с равномерным ( σ 1кцв =0,332%) и экспоненциальным( σ 2 кцв =0,096%) распределением прибавить мультипликативные погрешности от колебаний

напряжения питания ( σ U (Д + У ) =0,429%)

с треугольным распределением и

погрешностью от наводки ( σ нав =0,16 % ) с арксинусоидальным распределением. В данном случае погрешностью датчика можно пренебречь, так как отношение σ U (Д + У ) σУ

=

0 ,429 ≈ 5 . Просуммируем сначала самые низкоэнтропийные из этих 0 ,087

составляющих ( σ нав

=0,16% с кнав =1,11 и σ 2 ЦВ =0,96% с к2цв =1,35)

(0 ,16)2 + (0 ,096)2

σ нав + 2цв =

= 0 ,187% .

Вес дисперсии экспоненциальной составляющей P =

σ 22цв 2 σ нав + 2 цв

2 ( 0 ,096 ) = (0 ,187 )2

= 0 ,26 .

Эксцесс 2

ε нав + 2цв = 1,5 × (0,74) + 6 × 0,74 × 0,26 + 25,2 × (0,932) = 25,47.

Контрэксцесс γ нав + 2цв =

1 25 ,47

= 0 ,198

Для определения значения энтропийного коэффициента воспользуемся кривой 4 ( рис. 2а ), соответствующей суммированию арксинусоидальной (k = 1,11) и равномерной (k=1,73) составляющих. Нужная нам кривая в своей начальной части совпадает с этой кривой, а при Р 1 проходит несколько ниже. При малых значениях Р (Р = 0,26) расхождение будет малым. Отсюда к нав + 2цв =1,94. Теперь возьмём треугольное распределение с σ U =0,429% и к U = 2,02 и сложим с ним полученную составляющую. Вес дисперсии второй составляющей Р = 0,48 / 0,2188 = 0,16. Эксцесс ε U + нав + 2 цв = 2,4 ×(0,84)2 +6×0,84× 0,16 +3,7× (0,16)2 =2,6 Контрэксцесс χ = 0,62 При столь малом весе второй составляющей для суммирования можно воспользоваться начальным участком кривой 2 рис.2б), откуда к U + нав + 2цв =2,04. Последнее суммирование будем рассматривать как сложение равномерно нормальной распределённой составляющей σ 1кцв = 0,332 % с близкой к составляющей с k = 2,04. σк =

СКО

погрешности в конце

(σ 1кцв )2 + (σ U +нав+ 2цв )2

=

(0 ,332)2 + (0 ,486)2

= 0 ,57% .

Вес близкой к нормальному распределению составляющей равен

диапазона

P=

(σ U +нав+ 2цв )2 σ

2 К

=

0 ,2188 = 0 ,66 . Эксцесс 0 ,3290

ε к = 1,8 × (0.34)2 + 6 × 0,34 × 0,66 +

2,6 × (0,66)2 = 2,7. Контрэксцесс = 0,61ч. На кривой 2 (рис.2а) такому весу соответствует энтропийный коэффициент, почти совпадающий с K нормального распределения, следовательно, и в нашем случае К будет почти совпадать с K= 2,04. Энтропийное значение погрешности в конце диапазона канала будет γ к = К к × σ к = 2 ,04 × 0 ,57 ≈ 1,2% . Общая формула для вычисления приведенной погрешности результатов измерения при любом Х может быть записана ⎤ ⎡x ⎤ ⎡x γ (x ) = γ к + γ н ⎢ r − 1⎥ = 1,2 + 0 ,6⎢ к − 1⎥ . ⎦ ⎣ x ⎦ ⎣x

Пределы допускаемых погрешностей канала при его ежегодных поверках сделаем не менее чем с 25%-ным запасом по отношению к вычисленным погрешностям. Для внесения в официальные документы в соответствии с ГОСТ 8.401-80 класс точности канала должен быть указан как 1,5/1,0 . СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.Рабочая программа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Принципы построения измерительных приборов . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Точность измерительных приборов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Оптимизация характеристик измерительных приборов . . . . . 6 1.2. Тематический план лекций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Перечень лабораторных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 2. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЕЕ ВЫПОЛНЕНИЮ . . . . . . 7 3.1. Содержание контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Методические указания к выполнению контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3. Основы теории и справочные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4. Пример расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Редактор: А.В.Алехина Сводный темплан 2004г. Лицензия ЛР №020308 от 14.02.97 Санитарно-эпидемиологическое заключение № 78.01.07.953.П.005641.11.03 от 21.11.2003г.

Подписано в печать Б.кн.-журн.п.л.

2004

Формат 60х84

1/16

П.л. 1,75 Б.л.0,875 РТП РИО СЗТУ

Тираж 50

Заказ

Северо-Западный государственный заочный технический университет РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации вузов Санкт-Петербурга 191186, Санкт-Петербург, ул.Миллионная, 5