Характеризация знакопеременных групп

Алгебра и логика, 44, № 1 (2005), 54—69

УДК 512.5

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ГРУПП∗) В. Д. МАЗУРОВ

Пусть I — множество мощности, не меньшей пяти. Обозначим через A(I) знакопеременную группу на множестве I, т. е. (локально конечную) группу всех почти тождественных чётных подстановок I. Если X — множество всех 3-циклов (i, j, k) ∈ A(I), i, j, k ∈ I, i 6= j 6= k 6= i, то X является классом сопряжённых элементов в A(I), hXi = A(I) и для любых неперестановочных x, y ∈ X подгруппа hx, yi изоморфна A4 или A5 , где An , для натурального числа n, означает знакопеременную группу степени n. Основная цель данной работы — охарактеризовать группу A(I) указанными свойствами класса X. ТЕОРЕМА 1. Пусть G — группа, порождённая таким классом X сопряжённых элементов порядка 3, что любые два неперестановочных элемента из X порождают подгруппу, изоморфную A4 или A5 . Тогда либо G = T hxi, где T — элементарная абелева нормальная 2-подгруппа, x ∈ X и CT (x) = 1, либо найдётся такое множество I мощности, не меньшей, чем 5, что G ≃ A(I). В частности, G локально конечна. Для конечных групп эта теорема, по существу, является частным случаем главного результата из [1], а в общем случае вытекает из следующего несколько более общего результата. ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проекты №№ 02-01-00495, 02-01-39005, гранта программы „Университеты России“, № УР.04.01.0202, а также Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-2069.2003.1). c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

Характеризация знакопеременных групп

55

ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа, X — подмножество элементов порядка 3 из G, инвариантное в G такое, что любые два неперестановочных элемента из X порождают подгруппу, изоморфную A4 или A5 . Тогда существует множество J множеств Ij , |Ij | > 5, j ∈ J, и множество K такое, что hXi =

Y k∈K

Gk ×

Y

A(Ij ).

j∈J

Здесь Gk = Tk hxk i для элементарной абелевой нормальной в Gk 2-подгруппы Tk , xk ∈ X и CTk (xk ) = 1. Отметим, что обратное к теореме 2 утверждение также верно: люQ Gk × бая группа G, содержащая нормальную подгруппу, изоморфную k∈K Q × A(Ij ), где Gk = Tk hxk i для элементарной абелевой нормальной в Gk j∈J

2-подгруппы Tk и такого элемента xk порядка 3, что CTk (xk ) = 1, k ∈ K, содержит G-инвариантное подмножество X с указанными в теореме условиями. Теорема 2 может быть использована для исследования групп, действующих локально свободно на абелевой группе. Пусть G — группа, действующая на аддитивно записанной абелевой группе V . Говорят, что G действует свободно на V , если vg 6= v для 0 6= v ∈ V , 1 6= g ∈ G. В теореме Цассенхауза [2], доказанной с использованием теории характеров конечных групп, дана классификация конечных групп, способных действовать свободно на нетривиальной абелевой группе. В частности, показано, что конечная группа, действующая свободно на нетривиальной абелевой группе и порождённая классом сопряжённых элементов простого порядка p, либо является циклической, либо изоморфна SL2 (5) (при p равном 5 или 3), либо изоморфна (при p = 3) группе SL2 (3). В [3] А. И. Созутов распространил эту теорему с конечных групп на группы, в которых любые два сопряжённых элемента простого порядка порождают конечную подгруппу. Существенного прогресса достиг в [4, 5] А. Х. Журтов, доказавший, что периодическая группа, порождённая элементами порядка три и действующая свободно на нетривиальной абелевой группе, конечна. В [6, 7] показано, что условие периодичности в этом ре-

56

В. Д. Мазуров

зультате Журтова можно ослабить до условия конечности порядка коммутатора любых двух сопряжённых элементов порядка 3. Методы, развитые в отмеченных работах, позволили дать простое короткое доказательство теоремы Цассенхауза, не использующее теорию характеров [8]. Наконец, в [9] упомянутый выше результат Созутова обобщён на случай, когда условие свободы действия накладывается только на подгруппы, порождённые двумя сопряжёнными элементами простого порядка. Следующий результат существенно расширяет класс исследуемых групп за счёт ослабления условия, накладываемого на 2-порождённые подгруппы. ТЕОРЕМА 3. Пусть G — группа, действующая точно на абелевой группе V . Предположим, что G порождена таким классом X сопряжённых элементов простого порядка p, что любые два элемента x, y из X либо перестановочны, либо порождают конечную подгруппу, действующую свободно на V . Тогда либо G является циклической группой порядка p, либо p = 5 и G ≃ SL2 (5), либо p = 3 и G является нерасщепляемым расширением группы порядка 2 посредством A(I) для некоторого множества I мощности, не меньшей, чем 4. Отметим, что при p = 3 условие конечности подгруппы hx, yi в теореме 3 можно заменить, как это следует из [7], на условие конечности порядка коммутатора [x, y]. Обратной к теореме 3 является следующая ТЕОРЕМА 4. Пусть I — множество мощности, не меньшей четырёх. Тогда существует абелева группа V без кручения, допускающая группу A автоморфизмов со следующими свойствами: а) центр Z группы A имеет порядок 2; б) A/Z ≃ A(I); в) если x, y — прообразы порядка 3 в A двух 3-циклов из A(I), то x, y либо перестановочны, либо порождают подгруппу, действующую свободно на V . § 1. Обозначения и предварительные результаты Если H — подгруппа группы G, x, y ∈ G, X, Y — подмножества из

Характеризация знакопеременных групп

57

G, то xy = y −1 xy, X y = {y −1 xy | x ∈ X}, [x, y] = x−1 xy , xY = {xy | y ∈ ∈ Y }, X Y = {xy | x ∈ X, y ∈ Y }, NH (X) = {g ∈ H | X g = X}, hXi — подгруппа, порождённая X, [X, Y ] = h[x, y] | x ∈ X, y ∈ Y i, CH (X) = = {h ∈ H | [h, x] = 1 для всех x ∈ X}, Z(G) = CG (G). Для простого числа p через Op (G) обозначается произведение всех нормальных p-подгрупп из G, через Am и Sm — знакопеременная и симметрическая группы степени m, соответственно. ЛЕММА 1. Пусть F — свободная группа ранга 4 со свободными порождающими x, y, z, d и H = F/hAG i для A = {x3 , y 3 , z 3 , d3 , (xy)2 , (xz)2 , (yz)2 , (xd)2 , (yd)2 } ∪ R. а) Если R = {zd−1 )2 } или R = {[z, d]}, то H является расширением конечной 2-группы посредством A5 ; б) если R = {(zd)5 , (z d z)2 , (z xd z x )m }, где число m равно 2, 3 или 5, то H = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычисления с помощью алгоритма перечисления смежных классов [10] показывают, что в случае „а“ выполняется |H| = 2s · 60 для s = 4 или s = 0, а в случае „б“ имеем |H| = 1. В случае „а“ отображение x → (1, 2, 3), y → (1, 2, 4), z, d → (1, 2, 5) продолжается до гомоморфизма H на A5 , поэтому H содержит нормальную 2-подгруппу, фактор-группа по которой изоморфна A5 . Лемма доказана. ЛЕММА 2. 1. Пусть x, y — элементы порядка 3, порождающие A4 . Тогда (xy)2 = 1 или (xy −1 )2 = 1. 2. а) Если x, y — элементы порядка 3, порождающие A5 , то (xy)5 = = (xy x)2 = 1; б) группа A5 изоморфна hx, y | x3 = y 3 = (xy)5 = (xy x)2 = 1i. 3. Пусть I — непустое множество, не содержащее 1 и 2, K = = {1, 2} ∪ I. Тогда отображение xi → (1, 2, i), i ∈ I, продолжается до изоморфизма hxi , i ∈ I | x3i = (xi xj )2 = 1, i, j ∈ I, i 6= ji на A(K). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Без потери общности можно считать, что x = (1, 2, 3), y = (1, 2, 4)±1 , а затем все соотношения проверяются прямыми вычислениями.

58

В. Д. Мазуров 2а). Можно считать, что x = (1, 2, 3), y = (3, 4, 5). 2б). Вычисления по упомянутому выше алгоритму перечисления

смежных классов показывают, что порядок группы hx, y | x3 = y 3 = = (xy)5 = (xy x)2 = 1i равен 60, и по п. „а“ получаем требуемое. 3. Очевидно, что отображение ϕ : xi → (1, 2, i), i ∈ I, продолжается до гомоморфизма hxi , i ∈ I | x3i = (xi xj )2 = 1, i, j ∈ I, i 6= ji на A(K). Предположим, что ядро этого гомоморфизма содержит нетривиальный элемент y. Тогда y — некоторое слово от порождающих xi . Пусть xi1 , . . . , xit — все порождающие, входящие в запись этого слова. Ограничение ϕ на hxi1 , . . . , xit i является изоморфизмом на A({1, 2, i1 , . . . , it }) (см. [11, с. 172]), поэтому y = 1. ЛЕММА 3 [9, лемма 5]. Если a, b — элементы порядка 5 из знакопеременной группы A5 степени 5, порождающие A5 , то для одной из пар (i, j) ∈ I = {(1, 1), (1, 3), (3, 3), (2, 1)} порядок ab−i равен 3, а порядок bi aj равен 2. Наоборот, если (i, j) ∈ I, то найдутся элементы a, b порядка 5, порождающие A5 такие, что порядок ab−i равен 3, а порядок bi aj равен 2. ЛЕММА 4 [9, лемма 6]. Пусть F — свободная группа ранга 3 с порождающими x, y, z. Положим A = {x5 , y 5 , z 5 , (xy −1 )3 , (xy)2 , (xz −1 )3 , (xz)2 }; B1 = {(yz −1 )3 , (yz)2 }; B2 = {(yz −3 )3 , (y 3 z 3 )2 }; B3 = {(yz −1 )3 , (y 3 z)2 }; B4 = {(yz −2 )3 , (yz 2 )2 }. Пусть Ci получается из Bi заменой y на u = xy , i = 1, . . . , 4, и F i равен 60, пусть Rij = A ∪ Bi ∪ Cj , i, j = 1, . . . , 4. Тогда порядок F/hRij

если (i, j) ∈ {(3, 1), (3, 2), (4, 2)}, и 1 для остальных пар. ЛЕММА 5. Пусть F — свободная группа ранга 3 с порождающими x, y, z. Положим A = {x5 , y 5 , z 5 , (xy −1 )3 , (xy)2 , [x, z]}. Пусть Ri = A ∪ Bi , i = 1, . . . , 4, где множества Bi , i = 1, . . . , 4, такие же, как в лемме 4. Тогда |F/hRiF i| = 60, i = 1, . . . , 4.

Характеризация знакопеременных групп

59

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО представляет собой вычисления с помощью алгоритма перечисления смежных классов. ЛЕММА 6. Пусть K — конечная группа, H — её нетривиальная нормальная подгруппа, x ∈ K — элемент порядка 3 такой, что CH (x) = = 1. Если h ∈ H, то подгруппа H0 = hh, hx i является x-инвариантной и H0 = hhi × hhx i. Кроме того, hH0 , xi = hh, xi = hx, xh i. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Централизатор x в Hhxi равен hxi, и все подгруппы порядка 3 сопряжены в Hhxi. Если h ∈ H, то hxhi — абелева подгруппа, порядок которой делится на 3. Поэтому (xh)3 = 1. Отсюда следует, что 1 = (xh)3 = xhx−1 x−1 hxh, т. е. 2

(h−1 )x = hhx .

(1)

2

Аналогично, 1 = (hx−1 )3 = hhx hx и 2

(h−1 )x = hx h.

(2)

Из (1) и (2) вытекает, что hh, hx i — абелева подгруппа, инвариантная относительно x. Лемма доказана. ЛЕММА 7. Пусть H — конечная группа, x — элемент порядка 3 из H. Предположим, что H = hxH i и для любого h ∈ H подгруппа hx, xh i либо является циклической, либо изоморфна одной из групп A4 , A5 . 1. Если |H/O2 (H)| = 3, то O2 (H) — элементарная абелева группа и CO2 (H) (x) = 1. 2. Если H/O2 (H) ≃ A5 , то O2 (H) = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть H — соответствующий пример наименьшего порядка, а N — минимальная нормальная подгруппа группы H, содержащаяся в O2 (H). Предположим вначале, что неверен п. 1. По предположению E = O2 (H)/N — элементарная абелева группа, и CE (x) = 1. Пусть h — элемент порядка 4 в O2 (H). Если CO2 (H) (x) = 1, то, по лемме 6, h принадлежит подгруппе hx, xh i, которая по условию не содержит элементов порядка 4. Итак, N ≤ C(x) и поэтому N = hti, где t2 = 1. По лемме 6 элемент N h фактор-группы H/N содер-

60

В. Д. Мазуров

жится в подгруппе hN x, N xh i порядка 4 и, значит, h ∈ hx, xh , N i = hx, xh i. Это по условию невозможно. Теперь предположим, что неверен п. 2. Тогда N = O2 (H) и H = N A, где A ≃ A5 ≃ SL2 (4). Поскольку N — неприводимый A5 -модуль над полем порядка 2, |N | = 16 и N либо является естественным SL2 (4)-модулем, либо его можно получить из естественного 5-мерного подстановочного модуля группы A5 над полем порядка 2 факторизацией по одномерному подмодулю. В первом случае x действует при сопряжении без неподвижных точек на некоторой силовской 2-подгруппе из H, которая по п. 1 должна быть элементарной абелевой, что невозможно и, следовательно, N — фактор-модуль подстановочного модуля. Значит, порождающие элементы v1 , . . . , v4 группы N могут быть выбраны так, чтобы для каждого элемента a из группы A, которая отождествляется с A5 , выполнялось равенство via = via , i = 1, . . . , 5, где v5 = v1 v2 v3 v4 . Без ограничения общности можно считать, что x = (1, 2, 3) ∈ A. Положим y = (1, 2, 4) ∈ A, v = v1 v3 . Тогда hx, yi ≃ A4 . Далее, (vx)3 = 2

= vxvxvx = vv x v x = v1 v3 v3 v2 v2 v1 = 1 и v xy = v3 v4 6= v, поэтому (vxy)2 = = vv xy 6= 1 и, следовательно, vxy — элемент порядка 4. С другой стороны, все элементы порядка 3 сопряжены с x и в силу предположения hvx, yi не может содержать элементов порядка 4. Это противоречие завершает доказательство леммы.

§ 2. Граф, связанный с A-подмножеством Пусть G — группа. Подмножество X из G будем называть A-подмножеством, если X состоит из элементов порядка 3, инвариантно в G и любые два неперестановочных элемента из X порождают подгруппу, изоморфную A4 или A5 . Если X — A-подмножество в G и H ≤ G, то, очевидно, X ∩ H — A-подмножество в H. Подгруппу H из G будем называть A-подгруппой, если H = hH ∩ Xi. Пусть X — A-подмножество в G. Определим A-граф группы G как неориентированный граф Γ(G) с множеством вершин X, в котором две

Характеризация знакопеременных групп

61

вершины смежны в том и только том случае, если они порождают подгруппу, изоморфную A4 . Пусть C — компонента связности графа Γ(G) и H = hCi. ТЕОРЕМА 5. Если H ∩ X не содержит пары элементов, порождающих A5 , то H содержит нормальную элементарную абелеву 2подгруппу индекса 3 и подгруппу порядка 3, совпадающую со своим централизатором в H. В противном случае H ≃ A(I) для некоторого множества I, |I| > 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО разобъём на ряд лемм. ЛЕММА 8. 1. Пусть x, y, z ∈ X, (xy −1 )2 = (xz −1 )2 = 1. Тогда выполняются условия: а) если hy, zi ≃ A5 , то hx, y, zi ≃ A5 ; б) если (yz −1 )2 = 1, то hx, y, zi содержит нормальную 2-подгруппу индекса 3; в) если yz = zy, то hx, y, zi ≃ A4 . 2. Пусть x, y, z, d ∈ X, (xy)2 = (xz)2 = (xd)2 = (yz)2 = (yd)2 = 1. Тогда D = hx, y, z, di изоморфна A5 или A6 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1a). По п. 2 „a“ леммы 2, (yz)5 = (y z y)2 = 1. По той же лемме (xz y)m = 1 для m, равного 2, 3 или 5. Перечисление смежных классов показывает, что порядок группы hx, y, zi равен единице при m = 3 и не превосходит 60 при m, равном 2 или 5. Очевидно, что A5 удовлетворяет требуемым соотношениям, если x = (1, 2, 3), y = (1, 4, 2), z = (2, 5, 3) при m = 2 и z = (1, 3, 5) при m = 5. 1б). Перечислением смежных классов получаем, что порядок группы R = ha, b, c | a3 = b3 = c3 = (ab−1 )2 = (ac−1 )2 = (bc−1 )2 = 1i равен 3 · 25 . Дополнительное соотношение a = b = c превращает R в группу порядка 3, поэтому R содержит нормальную подгруппу индекса 3. 1в). Тот же метод показывает, что порядок R = ha, b, c | a3 = b3 = = c3 = (ab−1 )2 = (ac−1 )2 = [b, c] = 1i равен 12. Группа A4 удовлетворяет требуемым соотношениям при a = (1, 2, 3), b = c = (1, 4, 2). 2. По п. 1 леммы 2 либо (zd)2 = 1, либо (zd−1 )2 = 1, либо [z, d] = 1,

62

В. Д. Мазуров

либо (zd)5 = (z d z)2 = 1. Кроме того, (z x d)m = 1 для m, равного 2, 3 или 5. Если (zd)2 = 1, то D изоморфна A6 по п. 2 леммы 2. Если (zd)2 6= 1, то, по лемме 1, D является расширением 2-группы посредством A5 . По лемме 7, D ≃ A5 . Лемма доказана. Предположим, что любые два неперестановочных элемента из C порождают подгруппу, изоморфную A4 . В этом случае верна следующая ЛЕММА 9. Пусть x, y ∈ C, A = hx, yi ≃ A4 . 1. Если z ∈ C, то z нормализует O2 (A). 2. Если z, u ∈ C, B = hz, ui ≃ A4 , то [O2 (A), O2 (B)] = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Можно считать, что [x, z] 6= 1. Тогда hx, zi ≃ A4 и без ограничения общности справедливы равенства (xy −1 )2 = = (xz −1 )2 = 1. Если [y, z] = 1, то, по п. 1 „в“ леммы 8, hx, y, zi ≃ A4 , поэтому hy, zi ≃ A4 . Если (yz)2 = 1, то из п. 3 леммы 2 при I = {3, 4, 5}, x3 = x, x4 = y −1 , x5 = z −1 вытекает, что D = hx, y, zi является гомоморфным образом A5 , поэтому D ≃ A5 . Все элементы порядка 3 из A5 сопряжены и два из них порождают A5 . Это противоречит условию, откуда следует, что (yz −1 )2 = 1, и по п. 1 „б“ леммы 8, D содержит нормальную 2-подгруппу индекса 3, которая по лемме 7 является элементарной абелевой. 2. По п. 1, O2 (A), O2 (B) — минимальные нормальные подгруппы в H = hCi, поэтому они поэлементно перестановочны. Лемма доказана. Пусть T = hO2 (A) | A = hx, yi, x, y ∈ Ci. По п. 2 леммы 9, T — элементарная абелева, и требуется только доказать, что |H/T | = 3 и CT (x) = 1 для x ∈ C. Пусть x, y ∈ C. По определению C существуют такие элементы x0 = x, x1 , . . . , xn = y ∈ C, что Bi = hxi−1 , xi i ≃ A4 , i = 1, . . . , n. Отсюда O2 (Bi )hxi−1 i = O2 (Bi )hxi i и T hxi−1 i = T hxi i, i = 1, . . . , n. Итак, T hxi = T hyi для всех x, y ∈ C, откуда |H : T | = 3. Предположим, что CT (x) 6= 1 для x ∈ C, и выберем 1 6= t ∈ CT (x). Тогда t = v1 · · · vn для некоторых 1 6= vi ∈ O2 (hxi , yi i), xi , yi ∈ C, i = 1, . . . , n. Поскольку xi x−1 централизует T , элемент x действует при сопряжении на O2 (hxi , yi i) без неподвижных точек для всех i = 1, . . . , n, поэтому x действует без неподвижных точек на O2 (hx1 , y1 i) · · · O2 (hxn , yn i). Итак, CT (x) = 1, и первая часть теоремы 5 доказана.

Характеризация знакопеременных групп

63

Предположим теперь, что C содержит пару элементов, порождающую подгруппу, изоморфную A5 . Поскольку все элементы порядка 3 в A5 сопряжены, каждый элемент из C сопряжён в H со своим обратным. По лемме 2, C содержит такие элементы a, b, c, что (ab)2 = (ac)2 = (bc)2 = 1. Пусть D — максимальное подмножество в C такое, что a, b, c ∈ D и (xy)2 = 1 для произвольных x, y ∈ D. Тогда |D| > 3 и, по п. 3 леммы 2, hDi ≃ A(D ∪ {1, 2}) (считаем, что D не содержит 1 и 2), поэтому достаточно показать, что C ⊆ hDi. Предположим противное. Из связности C вытекает существование такого z ∈ C \ hDi, что [z, hDi] 6= 1, следовательно, найдется x ∈ D такой, что [x, z] 6= 1. Если hx, zi ≃ A5 , то по п. 3 леммы 2 существуют a, b ∈ hx, zi ∩ C такие, что x, a, b порождают hx, zi и hx, ai ≃ hx, bi ≃ A4 , значит, можно заменить z на один из элементов a, b. Итак, можно выбрать z ∈ C \ hDi, чтобы (xz)2 = 1 для некоторого x ∈ D. Пусть y ∈ D, y 6= x. Если hy, zi ≃ A5 , то, по п. 1 „a“ леммы 8, с элементами y −1 вместо y и z −1 вместо z справедливо hx, y, zi ≃ A5 . Поскольку A4 максимальна в A5 , имеет место равенство hDi ∩ hx, y, zi = hx, yi, поэтому z можно выбрать так, чтобы (yz)2 = 1. Предположим (dz)2 6= 1 для некоторого d ∈ D. По лемме 2 либо [z, d] = 1, либо (zd−1 )2 = 1, либо (zd)5 = (z d z)2 = 1 и (z xd z x )m = 1 для m, равного 2, 3 или 5. По лемме 1, hx, y, z, di — расширение конечной 2-группы посредством A5 , а по лемме 7, hx, y, z, di ≃ A5 . Поэтому z ∈ hx, y, di ≤ hDi вопреки выбору элемента z. Отсюда (dz)2 = 1, что противоречит выбору D и z. Теорема 5 доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2. Пусть теперь G — группа с Aподмножеством X, {Cl | l ∈ L} — множество всех связных компонент Aграфа Γ(G) и Hl = hCl i, l ∈ L. Если [Cl , Cm ] 6= 1 для некоторых l, m ∈ L, то существуют x ∈ Cl и y ∈ Cm такие, что подгруппа R = hx, yi изоморфна A4 или A5 . В первом случае x, y смежны, откуда l = m. Если R изоморфна A5 , то без потери общности можно считать, что при этом изоморфизме x, y соответствуют циклам (1, 2, 3), (3, 4, 5) ∈ A5 . Положим z = [x, y]. Тогда z соответствует циклу (1, 3, 4), следовательно, z сопряжён

64

В. Д. Мазуров

с x и hx, zi ≃ hz, yi ≃ A4 . Итак, x, y соединены путём в Γ(G), поэтому снова l = m. Итак, [Hl , Hm ] = 1 для l 6= m, l, m ∈ L. По теореме 5 каждая подгруппа Hl либо является циклической, либо имеет тривиальный центр, откуда hXi =

Y

Hl .

(3)

l∈L

Теперь теорема 2 вытекает из теоремы 5. Если все элементы из X сопряжены и hXi = G, то из (3) следует, что |L| = 1. Отсюда уже вытекает теорема 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 3. Будем считать G подгруппой в мультипликативной полугруппе кольца эндоморфизмов абелевой группы V . Если все элементы из X перестановочны, то G абелева и поэтому циклическая порядка p. Предположим, что [x, y] 6= 1 для некоторых x, y ∈ X. По [2] либо p = 5 и подгруппа K = hx, yi изоморфна SL2 (5), либо p = 3 и K изоморфна SL2 (3) или SL2 (5), при этом в любом случае центр K порождён инволюцией −1, лежащей в центре G. Рассмотрим вначале случай p = 5. Если K 6= G, то найдётся z ∈ ∈ X \ K, для которого [z, K] 6= 1. Предположим, что существует элемент a ∈ K ∩ X, для которого [a, z] = 1. Можно отождествить K с A5 так, чтобы a = (1, 2, 3, 4, 5). Пусть b = (1, 4, 5, 3, 2). Тогда ha, bi = K, ab−1 имеет порядок 3 и ab — порядок 2. По лемме 3 группа ha, b, zi = hK, zi является гомоморфным образом некоторой группы F/hRiF i, i = 1, . . . , 4, из леммы 5 и поэтому её порядок делит 60. Это невозможно, поскольку z 6∈ K. Итак, [z, x] 6= 1 для произвольного x ∈ X ∩ K и любого такого z ∈ ∈ X \ K, что [z, K] 6= 1. Пусть L = ha, z1 i для некоторых a ∈ K ∩ X, z1 ∈ ∈ X \ K таких, что [z1 , K] 6= 1. Как в предыдущем абзаце, L ≃ A5 и можно выбрать z ∈ L так, чтобы (xz −1 )3 = (xz)2 = 1 и hx, zi = L. Поскольку z 6∈ K и [z, K] 6= 1, имеем [z, y] 6= 1 для любого y ∈ K. Выберем y ∈ K ∩ X удовлетворяющим равенству (xy −1 )3 = (xy)2 = 1. Тогда K = hx, yi и [y, z] 6= 1 6= [xy , z]. По условию hy, zi ≃ A5 ≃ hxy , zi и, по лемме 3, M = F i, i, j = 1, . . . , 4, = hx, y, zi — гомоморфный образ некоторой группы F/hRij

из леммы 4. По этой лемме порядок M делит 60, т. е. z ∈ K, что невоз-

Характеризация знакопеременных групп

65

можно. Пусть теперь p = 3. Тогда G = G/h−1i удовлетворяет условиям теоремы 1 и либо справедливо заключение теоремы 3, либо G содержит нормальную 2-подгруппу индекса 3. Рассмотрим этот последний случай. Пусть x ∈ G — элемент порядка 3 и Q = O2 (G) 6= 1. Если h ∈ Q \ h−1i, то R = hx, xh i ≃ SL2 (3). По лемме 6, R содержит h, поэтому −1 будет единственной инволюцией в Q. Следовательно, любая нециклическая конечно порождённая подгруппа из Q изоморфна группе кватернионов порядка 8. Итак, G ≃ SL2 (3) и G ≃ A4 . Теорема 3 доказана.

§ 3. Проективный модуль для A(I) Этот параграф посвящён доказательству теоремы 4, которое в несчётном случае использует аксиому выбора. Пусть I — вполне упорядоченное множество мощности, не меньшей, чем 2, которое не содержит 1 и 2. Для любого J ⊆ I и любого неотрицательного целого числа t обозначим через Pt (J) множество всех возрастающих последовательностей длин, не больших t, составленных из элементов J, т. е. Pt (J) = {(α1 , . . . , αs ) | ∞ S Pt (I), V — векα1 , . . . , αs ∈ J, α1 < . . . < αs , 0 6 s 6 t}. Пусть P (I) = t=0

торное пространство над Q с базисом P (I). Обозначим через Et (J) линейную оболочку множества Pt (J). Если γ = (α1 , . . . , αs ) ∈ P (I) и β ∈ I таков, что β > αs , то будем использовать выражение (γ, β) вместо (α1 , . . . , αs , β). Если β > α для любого α из конечного подмножества J множества I и P P δ= aγ γ ∈ Es (J), то положим (δ, β) = aγ (γ, β). γ∈Ps (J)

γ∈Ps (J)

Для любого α ∈ I определим линейное преобразование V (обозначим его снова через α) с помощью следующего правила его действия на базис: ()α = (α)

(4)

(здесь () — последовательность длины 0); если действие α на линейной оболочке Es всех последовательностей длин, не превосходящих s, определена так, что Es (J)α ⊆ Es+1 (J ∪ {α}) для любого подмножества J ⊆ I, то

66

В. Д. Мазуров

для (β1 , . . . , βs+1 ) ∈ P (I) положим (β1 , . . . , βs+1 )α = (β1 , . . . , βs+1 , α), если α > βs+1 ;

(5)

(β1 , . . . , βs+1 )α = −(β1 , . . . , βs ) − (β1 , . . . , βs , α), если α = βs+1 ;

(6)

(β1 , . . . , βs+1 )α = −(β1 , . . . , βs ) − (β1 , . . . , βs , α) − (β1 , . . . , βs , βs+1 ) − ((β1 , . . . , βs )α, βs+1 ), если α < βs+1 .

(7)

ЛЕММА 10. Для любого α ∈ I справедливы равенства α2 + α + 1 = 0,

(8)

α3 = 1,

(9)

и α — невырожденное преобразование. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если γ(α2 + α + 1) = 0 для некоторого γ ∈ V , то γα3 = γα2 α = −γ(α + 1)α = −γ(α2 + α) = γ. Поэтому достаточно доказать (8). По (4) и (6), ()α2 = (α)α = −() − (α), значит, ()(α2 + α + 1) = 0. Предположим, что γ(α2 + α + 1) = 0 для любого γ ∈ Es , и пусть β = = (δ, βs+1 ) ∈ Ps+1 , где δ = (β1 , . . . , βs ) ∈ Ps (I) и βs < βs+1 . Если α > βs+1 , то, по (5), βα = (β, α), и, по (6), βα2 = (β, α)α = = −β − (β, α), откуда β(α2 + α + 1) = 0. Если α = βs+1 , то, по (5), β = δα, следовательно, βα2 = δα3 = γ и, по (6), β(α2 + α + 1) = δ + βα + β = 0. Предположим, что α < βs+1 . По (7), βα = −δ − δα − β − (δα, βs+1 ), и значит, β(α2 +α+1) = (−δ−δα−β−(δα, βs+1 ))α+βα+β = −δ(α+α2 )−βα− −(δα, βs+1 )α + βα + β = δ + β − (δα, βs+1 )α = δ + β + δα + δα2 + (δα + +δα2 , βs+1 ) = β − (δ, βs+1 ) = β − β = 0. Лемма доказана. ЛЕММА 11. Для всех α, β ∈ I таких, что α 6= β, справедливо αβ + βα + α + β + 1 = 0.

(10)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Симметрия равенства (10) позволяет считать, что α < β. Обозначим через θ левую часть этого равенства. По (4), (5) и (7), ()θ = (α, β) − () − (α) − (β) − (α, β) + (α) + (β) + () = 0.

Характеризация знакопеременных групп

67

Предположим, что γθ = 0 для любого γ ∈ Es , и пусть η = (δ, βs+1 ) ∈ ∈ Ps+1 , где δ = (β1 , . . . , βs ) ∈ Ps (I) и βs < βs+1 . Если βs+1 < β, то, по (5) и (7), ηβα = (η, β)α = −η − ηα − ηβ − ηαβ. Складывая обе части этого равенства с η(αβ + α + β + 1), получим ηθ = 0. Предположим, что βs+1 = β. По (5) верно η = (δ, β) = δβ.

(11)

По (11) и (7) имеем ηα = (δ, β)α = −δ − δα − (δ, β) − (δα, β) = −δ − δα − δβ − δαβ.

(12)

По (12) и (8), ηαβ = (−δ − δα − δβ − δαβ)β = −δβ − δαβ + δ + δβ + +δα + δαβ. Итак, ηαβ = δ + δα.

(13)

По (11) и (8) выполняется ηβ = δβ 2 = −δ − δβ.

(14)

Из (14) и индуктивного предположения вытекает равенство ηβα = (−δ − δβ)α = −δα + δ + δα + δβ + δαβ = δ + δβ + δαβ.

(15)

Складывая равенства (11)–(15), получаем ηθ = 0. Наконец, пусть βs+1 > β. Из (5)–(7) и индуктивного предположения ηαβ = (δβs+1 α)β = −(δ + δα + δβs+1 + δαβs+1 )β = −δβ − δαβ − δβs+1 β + +δα + δαβ + δαβs+1 + δαββs+1 . Итак, ηαβ = −δβ − δβs+1 β + δα + δαβs+1 + δαββs+1 .

(16)

Аналогично ηβα = −δα − δβs+1 α + δβ + δββs+1 + δβαβs+1 . Складывая (16), (17) и очевидные равенства η = δβs+1 , ηβ = δβs+1 β, ηα = δβs+1 α,

(17)

68

В. Д. Мазуров

получаем равенство ηθ = (δ + δα + δβ + δαβ + δβα)βs+1 = (δθ)βs+1 . По индукции δθ = 0, поэтому ηθ = (δθ)βs+1 = 0. Лемма доказана. ЛЕММА 12. Для всех α, β ∈ I таких, что α 6= β, справедливо (αβ)2 = −1.

(18)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применяя последовательно (10), (8) и (9), получаем αβ = −(βα + β + α + 1) = −(−β − 1)(−α − 1) = −β 2 α2 . Отсюда (αβ)2 = (αβ)αβ = (−β 2 α2 )αβ = −β 2 α3 β = −β 3 = −1. Лемма доказана. Пусть G = hα | α ∈ Ii. По (18), Z = h−1i содержится в G. Положим H = G/Z. По (9), (18) и п. 3 леммы 2 отображение ϕ : (1, 2, α) → Zα можно продолжить до гомоморфизма A(K), где K = I ∪ {1, 2} на H. Поскольку A(K) проста для |I| > 2, то в этом случае H ≃ A(K). Если I = {α, β}, то по (18) порядок αβ равен 4, поэтому H ≃ A4 и G ≃ SL2 (3). Если x, y — прообразы порядка 3 некоторых 3-циклов из A(K) относительно ϕ и [x, y] 6= 1, то hx, yi сопряжена с hα, βi ≃ SL2 (3) или с hα, β, γi ≃ SL2 (5) для некоторых различных α, β, γ ∈ I, поэтому достаточно доказать, что любой элемент z простого порядка из этих групп действует на V без неподвижных точек. Если z порядка 2, то z = −1 и из равенства vz = v для v ∈ V следует, что v = 0. Если z порядка 3, то z сопряжён с α±1 . Пусть v ∈ V , причём vα = v. Тогда vα = vα2 = −vα − v и vα = −v/2 = v, откуда v = 0. В частности, hα, βi действует свободно на V . Поскольку каждое обыкновенное неприводимое действие группы SL2 (5), при котором элементы порядка 2 и 3 действуют без неподвижных точек, является свободным (см. [12, c. 2]), теорема 4 доказана.

ЛИТЕРАТУРА 1. B. Stellmacher, Einfache Gruppen, die von einer Konjugiertenklasse von Elementen der Ordnung drei erzeugt werden, J. Algebra, 30 (1974), 320—354.

Характеризация знакопеременных групп

69

2. H. Zassenhaus, Kennzeichnung endlicher linearen Gruppen als Permutationsgruppen, Abhandl. math. Semin. Univ. Hamburg, 11 (1936), 17—40. 3. А. И. Созутов, О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса, Сиб. матем. ж., 35, № 4 (1994), 893—901. 4. А. Х. Журтов, О квадратичных автоморфизмах абелевых групп, Алгебра и логика, 39, № 3 (2000), 320—328. 5. А. Х. Журтов, О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса, Сиб. матем. ж., 41, № 2 (2000), 329—338. 6. В. Д. Мазуров, В. А. Чуркин, О группе, свободно действующей на абелевой группе, Сиб. матем. ж., 42, № 4 (2001), 888—891. 7. В. Д. Мазуров, В. А. Чуркин, О свободном действии группы на абелевой группе, Сиб. матем. ж., 43, № 3 (2002), 600—608. 8. V. Mazurov, A new proof of Zassenhaus theorem on finite groups of fixed-pointfree automorphisms, J. Algebra, 263, N 1 (2003), 1—7. 9. А. Х. Журтов, О группе, действующей локально свободно на абелевой группе, Сиб. матем. ж., 44, № 2 (2003), 343—346. 10. M. Sch¨ onert, et al., Groups, Algorithms and Programming, Lehrstuhl D f¨ ur Mathematik, RWTH Aachen, 1994. 11. R. D. Carmichael, Introduction to the theory of groups of finite order, Boston, Gime & Co., 1937. 12. J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of finite groups, Oxford, Clarendon Press, 1995.

Поступило 18 февраля 2004 г. Адрес автора: МАЗУРОВ

Виктор

Данилович,

Институт

математики

пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]

СО

РАН,