Электродинамика СВЧ: Курс лекций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра радиофизики

М. М. КАРЛИНЕР

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЧ Курс лекций Издание второе, исправленное

Новосибирск 2006

ББК В336 УДК 538.8 К 238

Карлинер М. М. Электродинамика СВЧ: Курс лекций. 2е изд. / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2006. — 258 с. ISBN 5-94356-325-3 Предлагаемый курс лекций “Электродинамика СВЧ” читался в течение ряда лет для студентов физического факультета НГУ, специализирующихся на кафедре радиофизики. Курс содержит теорию длинных линий, волноводов, резонаторов, невзаимных устройств: вентилей и циркуляторов. В данной работе представлены не только основные свойства элементов СВЧ-техники, но и методы их расчетов: квазистатический, метод частичных областей, вариационные методы и др. Применение этих методов иллюстрировано соответствующими примерами. Предназначен для студентов физических и физико-технических специальностей, а также для аспирантов и других специалистов, связанных с СВЧ-техникой.

Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ.

Рецензент канд. техн. наук В. Д. Шемелин ISBN 5-94356-325-3 c Новосибирский государственный ° университет, 2006 c М. М. Карлинер, 1999 ° c М. М. Карлинер, 2006, с изменениями ° c В. В. Тарнецкий, исправления, 2006 °

Оглавление Предисловие ко второму изданию 1. Общие сведения из теории электромагнитного поля 1.1. Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Система единиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Энергия электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . 1.5. Теорема единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Решения уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Скин-эффект и граничные условия . . . . . . . . . . . . 1.8. Электродинамическое подобие . . . . . . . . . . . . . . .

7 . . . . . . . .

2. Теория длинных линий 2.1. Поперечные волны в линии передачи . . . . . . . . . . . . 2.2. Напряжение, ток и мощность в TEM-линии . . . . . . . . 2.3. Телеграфные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Отражение от нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Трансформация сопротивлений и проводимостей . . . . . 2.6. Трансформация сопротивлений отрезками линии . . . . 2.7. Представление отрезка линии T-образным четырехполюсником . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Номограмма полных сопротивлений (диаграмма Смита) 2.8.1. Преобразование коэффициента отражения отрезком линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2. Номограмма полных сопротивлений . . . . . . . . 2.9. Многопроводные линии TEM . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Линия с малыми потерями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Волноводы 3.1. Выражение векторов поля через потенциальные функции. E- и H-моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Прямоугольные волноводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Волны H-типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Волны E-типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Круглые волноводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Магнитные моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Электрические моды . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Волноводные моды в коаксиальной линии . . . . .

. . . . . . . .

9 9 11 11 13 15 16 21 26

. . . . . .

28 28 31 37 39 41 45

. 46 . 48 . . . .

48 48 50 54 56

. . . . . . . .

56 66 66 72 75 75 80 83

3.4. Волноводы с сечением сложной формы и квазистатические волноводы . . . . . . . . 3.5. Энергетические соотношения для волноводов 3.6. Фазовая и групповая скорости . . . . . . . . . 3.7. Волны Бриллюэна . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Затухание в волноводах . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

84 89 91 94 95

4. Теория цепей в расчетах волноводов 104 4.1. Волноводная линия передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2. Телеграфные уравнения для H-волн в волноводе . . . . . . 106 4.3. Оконечное устройство (двухполюсник) . . . . . . . . . . . . 110 4.3.1. Полное сопротивление и проводимость . . . . . . . . 110 4.3.2. Волны в оконечном устройстве . . . . . . . . . . . . 111 4.4. Соединение нескольких волноводов . . . . . . . . . . . . . . 113 4.4.1. Матрицы сопротивления и проводимости . . . . . . 114 4.4.2. Симметрия матрицы сопротивления (проводимости)115 4.4.3. Многополюсное сочленение без потерь . . . . . . . . 116 4.4.4. Вариация матрицы сопротивления (проводимости) сочленения без потерь . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.4.5. Обобщение на случай волноводов, по которым могут распространяться волны нескольких мод . . 121 4.4.6. Матрица рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4.7. Свойства матрицы рассеяния . . . . . . . . . . . . . 123 4.4.8. Энергетические соотношения . . . . . . . . . . . . . 124 4.4.9. Преобразование матрицы рассеяния при переносе отсчетных плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4.10. Двойной тройник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5. Частотные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.5.1. Частотная зависимость матрицы сопротивления (проводимости) сочленения без потерь . . . . . . . . 130 4.5.2. Частотная зависимость матрицы рассеяния . . . . . 132 4.5.3. Оконечное устройство . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.6. Неоднородности в волноводах . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6.1. Представление неоднородности в виде четырехполюсника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.6.2. Скачкообразное изменение параметров вещества, заполняющего волновод . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.6.3. Диафрагмы в волноводе . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.6.4. Вариационные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.6.5. Приближенное вычисление проводимости . . . . . . 143 4.6.6. Вариационные методы. Метод Ритца . . . . . . . . . 144

4.6.7. 4.6.8. 4.6.9. 4.6.10.

Вариационные методы. Метод Галеркина . . . Диафрагмы в прямоугольном волноводе . . . . Соединение волноводов различного сечения . . Согласование волноводов многоступенчатыми переходами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 147 . . . 149 . . . 151 . . . 160

5. Возбуждение волноводов заданными токами 166 5.1. Лемма Лоренца. Электрические и магнитные токи . . . . . 166 5.2. Возбуждение волноводов электрическими и магнитными токами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3. Другой вывод формулы возбуждения электрическими и магнитными токами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6. Резонаторы 6.1. Свободные колебания в резонаторах . . . . . . . . . . . . 6.2. Собственные функции и собственные значения. Ортогональность собственных функций . . . . . . . . . . 6.3. Резонаторы, образованные из отрезков линии передачи . 6.4. Примеры резонаторов, образованных из отрезков линии передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Приближенные методы расчета частоты свободных колебаний резонаторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Квазистатический метод . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Примеры: тороидальный резонатор, резонатор типа “щель–отверстие” . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3. Метод частичных областей . . . . . . . . . . . . . 6.5.4. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.5. Вариационный метод. Формула возмущений . . . 6.6. Потери в резонаторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Примеры расчета добротности . . . . . . . . . . . 6.6.2. Потери в среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3. Потери на излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Вынужденные колебания в резонаторах . . . . . . . . . . 6.7.1. Возбуждение резонатора заданными токами . . . 6.7.2. Возбуждение резонатора потоком заряженных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3. Другие способы возбуждения резонаторов . . . . 6.8. Резонатор как элемент линии передачи . . . . . . . . . . 6.8.1. Входное сопротивление резонатора . . . . . . . . . 6.8.2. Применение резонаторов . . . . . . . . . . . . . . .

180 . 180 . 180 . 184 . 187 . 190 . 190 . . . . . . . . . .

191 193 195 198 202 207 210 210 211 212

. . . . .

216 221 223 223 230

7. Электромагнитные волны в гиромагнитной среде 231 7.1. Свойства ферритов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.2. Распространение плоских волн в намагниченном феррите 239 7.2.1. Продольно намагниченный феррит . . . . . . . . . . 239 7.2.2. Поперечно намагниченный феррит . . . . . . . . . . 242 7.3. Распространение волн в волноводе, частично заполненном ферритом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 7.4. Вентили и циркуляторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 7.4.1. Феррит в прямоугольном волноводе . . . . . . . . . 251 7.4.2. Коаксиальный вентиль . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.4.3. Циркуляторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Библиографический список

257

Предисловие ко второму изданию Настоящее учебное пособие “Электродинамика СВЧ” представляет собой курс лекций, читавшихся профессором, д-ром физ.-мат. наук Марленом Моисеевичем Карлинером на протяжении многих лет студентам физического факультета Новосибирского государственного университета. С 1967 г. в течение 25 лет М. М. Карлинер бессменно руководил кафедрой радиофизики физического факультета НГУ. Будучи руководителем большой лаборатории в Институте ядерной физики СО РАН, М. М.Карлинер плодотворно занимался воспитанием молодых кадров. Более 30 лет М. М. Карлинер читал в НГУ специальные курсы лекций, в том числе и данный курс. Марлен Моисеевич являлся выдающимся специалистом в области радиофизики. Диапазон его научных интересов и круг решенных проблем очень велик и разнообразен. Заметный вклад он внес в развитие СВЧ-техники, включая создание высокочастотных ускоряющих резонаторов для электрон-позитронных коллайдеров ВЭПП-2, ВЭПП-3, ВЭПП-4, в разработку нового класса СВЧ усилителей — Гирокон и Магникон. Велика роль М. М. Карлинера и в развитии теории взаимодействия коротких сгустков заряженных частиц с окружающими их в ускорителях структурами. Невозможно перечислить другие многочисленные разработки, которые Марлен Моисеевич проводил как самостоятельно, так и в большом коллективе коллег и учеников. Марлен Моисеевич неоднократно отмечался правительственными наградами. В 1998 г. ему присвоено почетное звание “Заслуженный деятель науки Российской Федерации”. По своему содержанию пособие “Электродинамика СВЧ” соответствует программе по направлению подготовки специальности 010700 и рассчитано, прежде всего, на организацию учебного процесса студентов, специализирующихся по направлениям “радиофизика и физика ускорителей заряженных частиц”. Книга содержит как общие теоретические сведения, так и специальные необходимые для решения практических задач современной высокочастотной и ускорительной техники. Основной принцип, которому следует автор — “от общего — к частному, от уравнений Максвелла — к конкретным задачам и их решению”, оправдал себя опытом воспитания М. М. Карлинером нескольких поколений 7

специалистов, занятых сегодня в различных областях физики и технике СВЧ. Книга содержит теорию длинных линий, волноводов и резонаторов, вопросы и методы расчета возбуждения волноводов, вынужденные колебания в резонаторах при возбуждении их заданными токами и потоками заряженных частиц. Рассматриваются также основные свойства элементов высокочастотной техники и такие методы их расчетов, как квазистатический, метод частичных областей, вариационные методы и др. Применение этих методов иллюстрируется конкретными примерами. Специальный раздел посвящен гиромагнитным свойствам ферритов при использовании их в сверхвысокочастотной технике. Первое издание учебного пособия “Электродинамика СВЧ” состоялось в 1999 году и пользовалось большой популярностью не только среди студентов, но также среди аспирантов и специалистов, связанных со сверхвысокочастотной техникой. Настоящее издание подготовлено после смерти автора и в стремлении максимально сохранить авторский вариант содержит лишь незначительные правки. Необходимо отметить также, что библиография первого издания несколько устарела, поэтому во второе издание добавлены ссылки на современную литературу и на последние издания. В целом данное учебное пособие, написанное М. М. Карлинером, представляет интерес для многих читателей. Декабрь 2005 г.

Ректор Новосибирского госуниверситета чл.-кор. РАН Н. С. Диканский

8

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 1.1.

Уравнения Максвелла

Электромагнитное поле в любой среде описывается четырьмя векто~ D, ~ H, ~ B, ~ из которых первые два характеризуют электричерами — E, ское поле, а вторые — магнитное. В уравнениях поля содержатся также величины: ρ — плотность заряда и векторная величина J~ — плотность тока. Уравнения Максвелла, связывающие между собой векторы поля, определяют электромагнитное поле: ~ ~ = − ∂B , rot E ∂t

~ ~ = ∂ D + J. ~ rot H ∂t

Плотность заряда и плотность тока связаны уравнением непрерывности ∂ρ + div J~ = 0, ∂t которое может быть получено из закона сохранения заряда. Как следствие из уравнений Максвелла и уравнения непрерывности могут быть получены еще два уравнения, которые иногда относят к системе уравнений Максвелла: ~ = 0, div B

~ = ρ. div D

Приведенных уравнений недостаточно для определения векторов по~ Данная система должна быть ля, если заданы источники поля ρ и J. дополнена так называемыми материальными уравнениями, описывающими влияние среды (для линейной среды): ~ = εE, ~ D

~ = µH, ~ B

~ J~пр = σ E.

Величины ε, µ и σ могут быть тензорными, а иногда дифференциальными или интегральными операторами. В дальнейшем эти величины будут рассматриваться как скалярные, кроме заранее оговоренных случаев. С учетом материальных уравнений система уравнений Максвелла становится полной. 9

В дальнейшем нас будут интересовать прежде всего гармонические процессы, когда зависимость полей от времени имеет вид ~ = E(r) ~ E · e jωt , ~ где E(r) — комплексная амплитуда, в общем случае зависящая от координат. Уравнения Максвелла линейны, если линейны материальные уравнения. Если зависимость от времени представлена множителем e jωt , то уравнения Максвелла могут быть записаны в комплексной форме: ~ = −jω B ~ , rot E

~ = jω D ~ + J, ~ rot H

где все векторы поля представляют собой комплексные амплитуды. Используя материальные уравнения, эти уравнения можно записать в виде ~ = −jωµH, ~ ~ = jωεE ~ + J. ~ rot E rot H ~ и E, ~ B ~ иH ~ может описываться дифференциТак как связь между D альными уравнениями (временными), ´ то в общем случае ε и µ следует считать комплексными числами (ε = ε0 − jε00 , µ = µ0 − jµ00 ). Ток J~ складывается из тока проводимости и стороннего тока, вызванного источниками: ~ + J~стор . J~ = J~пр + J~стор = σ E Подставляя J~ в уравнения Максвелла, получаем ~ = −jωµH, ~ rot E

~ = jωεE ~ + σE ~ + J~стор . rot H

Последнее уравнение может быть записано в следующем виде: ~ = jωεk E ~ + J~стор , rot H где σ εk = ε − j . ω Следует иметь в виду, что в теории гармонических полей уравнения, в которые входит плотность заряда, не имеют самостоятельного значения, так как плотность заряда однозначно определяется плотностью тока: ρ = −

1 div J~ . jω 10

1.2.

Система единиц

Приведенная выше система уравнений Максвелла записана в системе единиц СИ, которая была принята в 1960 г. на II Генеральной конференции по мерам и весам. В СССР система СИ введена в 1963 г. В системе СИ в качестве основных единиц приняты следующие: метр — длина, килограмм — масса, секунда — время; в качестве единицы силы тока принят ампер. В связи с этим величины ε и µ имеют размерность А2 · с4 Ф кг · м Гн = ; [µ] = 2 2 = . кг · м3 м м А ·с Удельная проводимость в этой системе имеет размерность [ε] =

А2 · с3 Сим . = кг · м3 м Следует отметить, что для вакуума ε и µ имеют определенные значения, а именно [σ] =

µ0 = 4π · 10−7

Гн ; м

ε0 =

10−9 Ф ≈ 0.884 · 10−11 . 36π м

Величина r ζ =

µ0 = 120π Ом ≈ 377 Ом ε0

имеет размерность сопротивления. Ее называют волновым сопротивлением вакуума; физический смысл этого названия будет ясен из дальнейшего. Другие единицы в системе СИ (производные) следующие: разность потенциалов — вольт, заряд — кулон, сопротивление — ом, сила — ньютон, энергия — джоуль, мощность — ватт. Единицы магнитного поля: поток — вебер, равный 108 максвелл, индукция — тесла, равный 104 гаусс. Напряженность электрического поля — В/м, магнитного поля — А/м (0.4π · 10−2 эрстед).

1.3.

Граничные условия

Граничные условия, т. е. условия для векторов поля на границе двух сред с различными характеристиками, имеют следующий вид:

11

~2 − B ~ 1 ) · ~n = 0, 1. (B ~1 и B ~ 2 — векторы индукции магнитного поля в средах 1 и 2, ~n — где B единичный вектор нормали к границе сред. Это условие можно сформу~ непрерывна лировать следующим образом: нормальная компонента B при переходе через границу. ~2 − D ~ 1 ) · ~n = σпов , 2. (D где σпов — поверхностная плотность заряда, т. е. заряд, отнесенный к единице площади поверхности, причем вектор нормали направлен из среды 1 в среду 2. Если на поверхности нет заряда, то нормальная ком~ непрерывна. понента D Поведение тангенциальных компонент определяется условиями ~2 − E ~ 1 ) = 0, 3. ~n × (E ~ непрерывна при переходе через грат. е. тангенциальная компонента E ницу. ~2 − H ~ 1 ) = K, ~ 4. ~n × (H ~ — поверхностная плотность тока, ~n — нормаль из среды 1 в срегде K ~ определяется следующим образом. Пусть токи проводу 2. Величина K димости сосредоточены в тонком слое толщиной ∆l около поверхности разрыва. Тогда ток на единицу длины линии, ортогональной линиям ~ равен J~ · ∆l. вектора K, Перейдем к пределу ∆l → 0. Если J~ → ∞, то произведение J~ · ∆l может стремиться к конечному пределу ~ = lim J~ · ∆l. K ∆l→0

Очевидно, что для этого проводимость одной из сред должна быть бесконечно большой. В случае конечной проводимости обеих сред ~2 − H ~ 1 ) = 0, ~n × (H ~ непрерывна. т. е. тангенциальная компонента H 12

1.4.

Энергия электромагнитного поля

Как известно, энергия электромагнитного поля складывается из энергии электрического поля и энергии магнитного поля: ¶ Z µ 2 εE µH 2 W = dV + 2 2 при условии, что µ и ε — вещественные величины, не зависящие от частоты. Из уравнений Максвелла можно получить теорему Пойнтинга: ∂ ∂t

Z µ

εE 2 µH 2 + 2 2

¶

Z dV +

V

I ~ · J~ dV = − E

V

~ × H) ~ · ~n dS, (E S

где V — некоторый объем электромагнитного поля; ~n — единичный вектор нормали, направленный наружу замкнутой поверхности S, ограничивающей объем. ~=E ~ ×H ~ называют вектором Пойнтинга. Его смысл следуВектор S ет из теоремы Пойнтинга: это плотность потока энергии через поверхность. Аналогичное соотношение может быть получено для комплексных амплитуд. Для этого будем исходить из уравнений Максвелла в комплексной форме: ~ = −jωµH, ~ rot E

~ = jωεE ~ + J. ~ rot H

Для вывода используем известное векторное тождество ~ ×H ~ ∗) = H ~ ∗ · rot E ~ − E ~ · rot H ~ ∗, div (E ~ ∗ — комплексно-сопряженная амплитуда. Подставляя сюда rot E ~ где H ~ ∗ из уравнений Максвелла, получаем и rot H ~ ×H ~ ∗) = H ~ ∗ · (−jωµH) ~ − E ~ · (−jωεE ~ ∗ + J~∗ ) = div (E ~ 2 − jωµ|H| ~ 2 − E ~ · J~∗ = jωε|E| в предположении, что ε и µ — вещественные величины. Проинтегрируем полученное равенство по объему V , ограниченному поверхностью S: 13

Z Ã

I ~ ×H ~ ∗ ) · ~n dS = 2jω (E S

~ 2 ~ 2 µ|H| ε|E| − 2 2

!

V

Z ~ · J~∗ dV, E

dV + V

где ~n — единичный вектор внутренней нормали. Предположим, что внутри объема V отсутствуют сторонние токи. ~ Подставляя в приведенное выше равенство, после делеТогда J~ = σ E. ния на 2 получаем 1 2

I

~ ×H ~ ) · ~n dS = 1 (E 2

S

Z Ã

Z ~ dV + jω σ|E|

∗

2

V

~ 2 ~ 2 µ|H| ε|E| − 2 2

! dV.

V

Выясним смысл слагаемых в правой части. Очевидно, что интеграл Z 1 ~ 2 dV P = σ|E| 2 V

представляет собой среднюю мощность, рассеиваемую внутри объема V вследствие наличия токов проводимости. Второй интеграл выражается через средние значения запасенной энергии электрического и магнитного полей Z

~ 2 µ|H| dV = 2WH , 2

Z

~ 2 ε|E| dV = 2WE , 2

V

V

где WH и WE — средние значения запасов магнитной и электрической энергии. Итак, I 1 ~ ×H ~ ∗ ) · ~n dS = P + 2jω (WH − WE ). (E 2 ~k = 1 (E ~ ×H ~ ∗ ) называют комплексным вектором ПойнВектор S 2 тинга. Его вещественная часть представляет собой среднюю плотность потока энергии через поверхность; мнимую часть этого вектора называют плотностью реактивной мощности.

14

1.5.

Теорема единственности

Задачи, решаемые в электродинамике СВЧ, делятся на два основных класса: внутренние и внешние. Во внутренних задачах рассматривается поле в некоторой области пространства, ограниченной заданной поверхностью S. Внутри S заданы сторонние токи, а на самой поверхности — либо тангенциальная компонента электрического поля Et (например, на S1 ), либо тангенциальная компонента магнитного поля Ht (на S2 ). Докажем теорему единственности для внутренней задачи. Предположим обратное: пусть при одинаковых токах и одинаковых значениях ~ 1, H ~ 1 — одно тангенциальных компонент полей на поверхности S E ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 удорешение, а E2 , H2 — другое. Тогда E = E2 − E1 и H = H2 − H влетворяют однородной системе уравнений Максвелла. Напомним, что ~1 и E ~ 2 имеют совпана S1 задано Et , а на S2 — Ht . Следовательно, E ~ ~ дающие тангенциальные компоненты на S1 , а H1 и H2 — на S2 . При ~ а на S2 этих условиях на S1 равна нулю тангенциальная компонента E, ~ — тангенциальная компонента H. Поэтому для объема V имеет место равенство P + 2jω (WH − WE ) = 0, так как на всей поверхности S либо Et = 0, либо Ht = 0. Из полученного равенства следует, что P = 0,

WH − WE = 0.

Первое равенство дает Z ~2 − E ~ 1 |2 dV = 0. σ|E V

Так как подынтегральное выражение неотрицательно, из этого равенства следует, что в любой точке внутри V ~2 − E ~ 1 |2 = 0. σ · |E Если σ 6= 0, то из этого следует ~2 − E ~ 1 = 0. E Далее WH − WE = 0. 15

Но так как WE = 0, то и WH = 0, откуда следует, что ~2 − H ~ 1 = 0. H Теорема единственности справедлива также в предположении, что потери отличны от нуля лишь в некоторой части объема V .

1.6.

Решения уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла ~ = −jωµH ~ , rot E

~ = jωεE ~ + J~ rot H

~ или H. ~ решаются путем исключения E ~ Например, из первого уравнения найдем H: ~ ~ = − 1 rot E H jωµ и подставим во второе уравнение (при µ = const): ~ = −ω 2 εµE ~ + jωµJ. ~ −rot rot E Обычно обозначают k 2 = ω 2 εµ . ~ в декартовых координатах имеет место тожДля составляющих E дество ~ = grad div E ~ − ∆E, ~ rot rot E ~ — вектор, декартовы составляющие которого равны ∆Ex , ∆Ey , ∆Ez . где ∆E ~ = ρ , получаем Подставляя и учитывая, что при ε = const, div E ε ρ ~ + k2 E ~ = grad + jωµJ. ~ ∆E ε Из уравнения непрерывности jωρ + div J~ = 0 следует ρ = −

1 ~ div J. jω

16

~ получаем уравнение Подставляя в приведенное выше уравнение для E, ~ + k2 E ~ = − ∆E

1 ~ (grad div + k 2 )J. jωε

Решение уравнения с правой частью затруднительно, поэтому таким уравнением пользуются лишь для областей, где J~ = 0. В этой области уравнение приобретает вид ~ + k2 E ~ = 0. ∆E Данное уравнение называют уравнением Гельмгольца. ~ магнитное поле H ~ может быть найПосле того как найдено поле E, дено с помощью уравнений Максвелла. ~ из второго уравнения Максвелла и подставАналогично, находя E ляя в первое, получаем (при ε = const) ~ = E

1 ~ − 1 J~ rot H jωε jωε

и ~ = ω 2 µεH ~ + rot J. ~ rot rot H Учитывая, что ~ = grad div H ~ − ∆H ~ = −∆H ~ rot rot H

~ = 0), (div H

получаем ~ + k2 H ~ = −rot J. ~ ∆H В области, где J~ ≡ 0, уравнение имеет тот же вид, что и уравнение ~ для E: ~ = 0. ~ + k2 H ∆H Иногда для решения уравнений Максвелла используют вспомогательные функции — векторный и скалярный потенциалы. Например, ~ таким образом, чтобы введем вектор A ~ = rot A ~ или B

~ = 1 rot A. ~ H µ

Подставим это в первое уравнение Максвелла: ~ = −jω rot A ~ rot E

~ + jω · A) ~ = 0, или rot (E 17

откуда ~ + jω · A ~ = −grad ϕ, E где ϕ — скалярный потенциал. Из этого равенства имеем ~ = −grad ϕ − jω A. ~ E ~ подставим H ~ иE ~ во второе уравнение: Для нахождения A ~ = −jωεµ · grad ϕ + ω 2 εµA ~ + µJ. ~ rot rot A Так как ~ = grad div A ~ − ∆A, ~ rot rot A то из предыдущего уравнения получаем ~ + k2 A ~ = −µJ~ + grad div A ~ + jωεµ grad ϕ. ∆A ~ = 1 rot A ~ векторный потенциал A ~ еще не опредеСоотношением H µ лен однозначно, так как к нему можно прибавить градиент произволь~ так (калибровка), чтобы ного скаляра. В частности, можно выбрать A ~ + jωεµϕ = 0. div A ~ примет вид Тогда уравнение для A ~ + k2 A ~ = −µJ. ~ ∆A Такое упрощение имеет место только в декартовых координатах. Особенно упрощается решение задачи в том случае, когда по каким-либо ~ имеет лишь одну компоненту (десоображениям заранее ясно, что A картову). ~ Соотношение калибровки позволяет выразить ϕ через A: ϕ =

j ~ div A. ωεµ

~ получаем Подставляя это в выражение для E, ~ = E

1 ~ (grad div + k 2 ) A, jωεµ 18

~ так и H ~ могут быть выражены через векторный иными словами, как E, ~ потенциал A. Легко показать, что скалярный потенциал ϕ удовлетворяет уравнению ρ ∆ϕ + k 2 ϕ = − . ε В некоторых случаях применяется кулоновская калибровка ~ = 0. div A ~ удовлетворяет уравнению Тогда A ~ + k2 A ~ = −µJ~ + jωεµ · grad ϕ, ∆A а ϕ удовлетворяет уравнению Пуассона, т. е. это — статический потенциал. Положим ~ = jωεµ Π ~ , A ~ — вектор Герца, функция, для синусоидальных полей отличающагде Π ~ лишь численным множителем. Тогда яся от векторного потенциала A из соотношения калибровки получим ~ ϕ = −div Π. ~ удовлетворяет уравнению В точках, где J~ = 6 0, Π ~ + k2 Π ~ = − ∆Π Заметим, что

J~ . jωε

J~ имеет размерность поляризации. Действительно, jω ~ = ε·E ~ + P~стор , D

откуда, подставляя это во второе уравнение Максвелла, получаем ~ = jωε · E ~ + jω (P~стор + rot H

J~ ), jω

где P~стор — сторонняя поляризация. ~ получаем Подставляя выражение в скобках в уравнение для Π, 19

à 2~

~ + k Π = − ∆Π

P~стор J~ + ε jωε

! .

~ является поляризация. Отсюда другое Таким образом, источником Π ~ — поляризационный потенциал. название вектора Π Электрическое и магнитное поля могут быть выражены через вектор ~ (электрический вектор Герца): Π ~ = ω 2 µε Π ~ + grad div Π, ~ E ~ = jωε · rot Π. ~ H Однородная система уравнений Максвелла симметрична с точно~ и H. ~ Поэтому можно получить решение стью до знака относительно E ~ = 0 при J~ = 0) однородной системы, полагая (так как div D ~ = −rot A ~0. D Аналогично предыдущему можно получить ~ = −jω A ~ 0 − grad ϕ0 , H

~0, ~ = − 1 rot A E ε

~ 0 и ϕ0 удовлетворяют уравнениям причем A ~0 ~ 0 + k2 A ∆A ∆ϕ0 + k 2 ϕ0 ~ 0 + jωµε · ϕ0 div A

= = =

0, 0, 0.

~ можно ввести магнитный вектор Герца с помощью По аналогии с Π соотношений ~ 0 = jωµε Π ~ 0, A

~ 0, ϕ0 = div Π

~ 0 удовлетворяет уравнению причем Π ~ 0 + k2 Π ~0 = 0 . ∆Π Через векторы Герца общее решение уравнений Максвелла записывается в виде суммы

20

~ = −jωµ · rot Π ~ 0 + (grad div + k 2 ) Π, ~ E ~ = jωε · rot Π ~ + (grad div + k 2 ) Π ~ 0. H Заметим, что потенциалы и векторы Герца удовлетворяют уравнениям, куда входит лапласиан. Выпишем его выражения в декартовых и цилиндрических координатах: ∂2 ∂2 ∂2 + + , 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 µ ¶ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 ∆ = r + 2 + . r ∂r ∂r r ∂θ2 ∂z 2 ∆ =

1.7.

Скин-эффект и граничные условия

Простейшим решением уравнений Максвелла в однородной изотропной среде является плоская волна. Например, плоская волна, распространяющаяся в положительном направлении оси z, поляризованная в плоскости x0z (рис. 1.1), может быть записана в виде Ex Ey Ez Hx Hy Hz

x E

z y

A · e−jkz + B · e jkz , 0, 0, 0, r r ε −jkz ε jkz = A ·e − B ·e , µ µ = 0,

= = = =

H Рис. 1.1

√ 1 ∂Ex где k = ω µε, Hy = − . jωµ ∂z Решение здесь записано в виде суммы двух волн, распространяю√ щихся в противоположных направлениях со скоростью v = 1/ µε. 21

Рассмотрим волну, распространяющуюся в одном направлении. Для нее Ex = A · e−jkz , r ε −jkz Hy = A ·e . µ Отношение Ex ζ = = Hy

r

µ ε

зависит только от параметров среды. Эту величину называют волновым сопротивлением среды. Для вещественных ε и µ амплитуда поля при распространении остается неизменной. Если ε или µ имеют мнимую составляющую, то вследствие потерь волна затухает в направлении распространения. Рассмотрим случай нормального падения волны на плоскую границу между двумя средами. Слева на границу падает 1 2 волна единичной амплитуды (рис. 1.2): Exпад = e−jk1 z , r ε1 −jk1 z 1 −jk1 z Hyпад = ·e = ·e . µ1 ζ1

z

0

Волна частично отражается, так что отраженная волна равна Рис. 1.2

r Exотр = R · e jk1 z ,

Hyотр = −R

ε1 R · e jk1 z = − · e jk1 z . µ1 ζ1

Прошедшая волна равна r −jk2 z

Ex = T · e

,

Hy = T

22

ε2 −jk2 z T ·e = · e−jk2 z . µ2 ζ2

В эти соотношения входят неизвестные величины R и T . Граничные условия — непрерывность Ex и Hy — дают возможность найти их. Совмещая границу с плоскостью z = 0 и приравнивая Ex и Hy справа и слева, получаем 1 + R = T,

1 1 (1 − R) = T. ζ1 ζ2

Из этих двух уравнений можно найти R и T : R =

ζ2 − ζ1 , ζ2 + ζ1

T =

2 ζ2 . ζ2 + ζ1

Если ζ2 → 0, то |R| → 1, а |T | → 0, т. е. волна полностью отражается. Этот случай является предельным, в частности если вторая среда представляет собой металл с очень большой проводимостью. В последσ нем случае можно считать, что µ1 = µ0 , ε1 = ε0 , а ε2 ≈ −j , так как ω проводимость металла много больше ε0 . Тогда r r r µ2 jωµ2 ωµ2 ζ2 = = = (1 + j) . ε2 σ 2σ Постоянная распространения равна

k2

p √ = ω µ 2 ε2 = −jµ2 ωσ = (1 − j)

r

ωσµ2 (1 − j) = . 2 δ

Волна при этих условиях записывается в виде z −j (1−j) δ

r

e

= e

−

z δ

·e

−j

z δ.

2 характеризует скорость убывания амплитуды ωµσ волны по мере распространения ее в среде 2 (толщина скин-слоя). Внутри металла имеет место соотношение компонент поля Величина δ =

Ex = ζ2 · Hx . Данное соотношение справедливо также на границе раздела, по обе стороны от нее, вследствие непрерывности тангенциальных компонент поля. 23

Теперь предположим, что волна вне проводника падает наклонно на плоскость раздела. В этом случае при переходе в оптически более плотную среду направление распространения приближается к нормали. Если |εµ| À ε0 µ0 , то направление распространения очень близко к нормали. Поэтому Ex и Hy внутри металла очень близки к тангенциальным компонентам. Поэтому и в этом случае на внешней стороне границы справедливо соотношение Et = ζ · Ht для тангенциальных компонент поля. Иначе это соотношение может быть записано следующим образом: ~ t = ζ · (H ~ × ~n), E где ~n — нормаль внутрь металла. Данное соотношение называют граничным условием Леонтовича. Оно справедливо при сильном скин-эффекте, когда толщина скин-слоя гораздо меньше всех характерных размеров, в том числе длины волны в свободном пространстве и наименьшего радиуса кривизны поверхности. В этом случае любую волну в малой области можно считать плоской. Толщина скин-слоя должна быть также много меньше толщины пластины металла. Условие применимости (т. е. сильный скин-эффект) имеет вид σ À ε0 . ω σ Вычислим, например, для меди и приравняем ε0 . Отсюда найдем ω предельную частоту:

σ = 5.7 · 107

Сим , м

ω =

σ 5.7 · 107 = · 36π = 6.4 · 1018 с−1 ; ε0 10−9

fпр ≈ 1018 Гц, что соответствует λ = 3 · 10−8 см. Однако проводимость уже в инфракрасной области длин волн сильно снижается, так что условие Леонтовича справедливо для длинноволновой инфракрасной области. Если устремить σ → ∞, то ζ → 0, а потому Et = 0. При этом поле внутри такой идеально проводящей среды равно нулю. Так как Bn непрерывна, то Bn = 0 (и Hn = 0) на внешней стороне границы. Тангенциальная компонента Ht имеет разрыв при переходе через границу, 24

так как поле внутри проводника равно нулю. Поэтому по поверхности идеального проводника текут поверхностные токи, плотность которых равна K = Ht по абсолютной величине. Направление определяется соотношением ~ = H ~ × ~n. K Если проводник не является идеальным, то поверхностные токи не могут существовать. Но можно ввести так называемые квазиповерхностные токи, определяемые следующим образом: Z∞ ~ = J~ · dz, K 0

причем ось z направлена перпендикулярно поверхности металла. В этом случае можно показать, что Ht = K на поверхности. Действительно, внутри металла ~ = jωεE ~ + J~ ≈ J. ~ rot H ~ имеет только y-ю составляющую. Тогда Пусть H ~ = − ∂Hy . Jx = rot x H ∂z Подставляя Jx в подынтегральное выражение, находим

Kx

¯∞ ¯ Z∞ Z∞ ¯ ¯ ∂Hy − Jx · dz = = dz = −Hy ¯¯ = Hy ¯¯ = Ht . ∂z 0 z=0 0

0

Таким образом, и в этом случае ~ = H ~ × ~n. K Согласно условию Леонтовича, ~ = ζ ·H ~ × ~n = ζ · K. ~ E Учитывая это соотношение, величину r ωµ2 1 + j ζ = (1 + j) = 2σ δσ 25

называют поверхностным сопротивлением. Условие Леонтовича, таким образом, связывает поверхностный ток с тангенциальной составляющей электрического поля на поверхности. Активная (вещественная) составляющая поверхностного сопротивления определяет мощность потерь в металле. Мощность потерь в единице поверхности определяется соотношением 1 ~ × H) ~ · ~n. Re (E 2

P1 = Так как

~ = ζ · (H ~ × ~n), E то P1 =

h i 1 ~ × ~n) × H ~ ∗ · ~n = 1 Re ζ|H|2 Re ζ (H 2 2

или P1 =

1 1 |Ht |2 = |K|2 , 2δσ 2δσ

K 1 1 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111

Рис. 1.3

1.8.

δ

т. е. мощность может быть выражена через плотность поверхностного то1 ка. Величина , имеющая размерδσ ность сопротивления, равна сопротивлению пластины в форме квадрата со стороной, равной единице, толщиной δ (рис. 1.3). Иначе говоря, потери таковы, как если бы ток K протекал в слое толщиной δ.

Электродинамическое подобие

В ряде случаев для исследования электродинамических систем применяется масштабное моделирование. Для этого необходимы критерии подобия. Геометрически подобные системы можно считать подобными электродинамически, если их можно описывать одинаковыми уравнениями при одинаковых граничных условиях. Так как геометрия границ подобна, но системы отличаются размерами, то уравнения Максвелла 26

~ = −jωµH ~ , rot E

~ = jωεE ~ rot H

следует привести к безразмерной форме. Для этого все линейные величины запишем в виде l = l0 · L, где L — безразмерное число, а l0 — некоторый характерный размер системы. Кроме того, запишем поле в виде ~ = e0 · E, ~ E

~ = h0 · H, ~ H ~ — безразмерные векторы. где e0 и h0 — размерные величины, а E~ и H Подставляя эти выражения в уравнения Максвелла, получаем h0 ~ ~ = jωε e0 l0 E, ~ l0 H, Rot H e0 h0 где Rot означает дифференцирование по безразмерным координатам. Полученные уравнения полностью характеризуются безразмерными числами — критериями подобия Rot E~ = −jωµ

h0 e0 , a2 = ωεl0 , e0 h0 которые для подобных систем должны быть одинаковыми. Так как величины e0 и h0 произвольны, то их отношение можно выбрать так, чтобы a2 = 1. Тогда a1 = ωµl0

h0 = ωεl0 . e0 Подставляя это соотношение в a1 , получаем a1 = ω 2 µε l02 = idem. Так как µ ω 2 µε = k 2 =

2π λ

¶2

то критерий подобия будет l0 = idem. λ Граничное условие Леонтовича имеет вид 27

,

r ωµ 1 + j Et = (1 + j) Ht , или Et = Ht . 2σ δσ Приводя это соотношение к безразмерной форме, получаем 1 + j h0 ~ Ht . E~t = δσ e0 h0 = ωε l0 , получаем e0 ωεl0 ~ E~t = (1 + j) Ht . δσ Критерий подобия отсюда и, подставляя сюда

ωεl0 = idem. δσ Домножая числитель и знаменатель на ωµм /µ, где µм — магнитная проницаемость материала стенок, получим µм ω 2 µεl0 δ µм = ω 2 µε l02 . µ δωµм σ l0 µ Так как a1 = ω 2 µεl02 = idem, то второй критерий примет вид δ µм = idem. l0 µ Если

µм = 1, то второй критерий подобия µ δ = idem. l0

idem — математическое сокращение от idempotent.

2. 2.1.

ТЕОРИЯ ДЛИННЫХ ЛИНИЙ Поперечные волны в линии передачи

Линией передачи электромагнитных волн обычно называют электродинамическую систему, однородную вдоль некоторой оси z. Найдем поля, которые могут существовать в такой системе. Для этого используем уравнения Максвелла. При этом предположим, что зависимость 28

от z описывается множителем e−γz , т. е. мы ищем решение в виде волн, распространяющихся в направлении оси z. Уравнения Максвелла имеют вид ~ rot E ~ rot H

~ = −jωµH, ~ = jωεE.

Будем искать волны, аналогичные по свойствам плоским волнам в свободном пространстве. Такие волны характеризуются своей поперечностью, т. е. для них Hz = 0, Ez = 0. Учитывая это, а также то, что ∂/∂z = −γ, запишем уравнения Максвелла для отдельных компонент: −jωµHx = γEy , −jωµHy = −γEx , ∂Ey ∂Ex 0 = − , ∂x ∂y

jωεEx = γHy , jωεEy = −γHx , ∂Hy ∂Hx 0 = − . ∂x ∂y

Из данных уравнений следуют такие пары уравнений: γEy + jωµHx = 0, jωεEy + γHx = 0,

γEx − jωµHy = 0, jωεEx − γHy = 0.

Это — однородные алгебраические уравнения, определяющие поперечные компоненты электромагнитного поля. Нетривиальные решения существуют, если определитель системы уравнений равен нулю. Приравнивая определители обеих систем нулю, получаем одно и то же уравнение, определяющее неизвестную пока величину γ: γ 2 + ω 2 µε = 0 . Из этого уравнения находим γ: √ γ = ±jω µε = ±jk . Если µ и ε — вещественны, то γ — чисто мнимая величина; распространение волны в этом случае происходит без затухания. Заметим, что в данном случае могут быть определены лишь отношения поперечных компонент поля: r r Ex µ µ Ey = , = − . Hy ε Hx ε 29

Заменяя в уравнении ∂Hy /∂x − ∂Hx /∂y = 0 Hx и Hy через Ex и Ey из этих соотношений, получаем ∂Ex ∂Ey ∂Ey ∂Ex + = 0, − = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y Второе уравнение может быть удовлетворено, если положить ∂ψ −γz ∂ψ −γz ·e , Ey = − ·e , ∂x ∂y где ψ — некоторая скалярная функция переменных x и y. Подставляя эти выражения в первое уравнение, получаем уравнение для ψ Ex = −

∂2ψ ∂2ψ + = 0. ∂x2 ∂y 2 ~ мы получаем соотношение Итак, для E ~ = −e−γz · grad ψ, E причем ψ удовлетворяет уравнению ∆ψ = 0, где ∆ — лапласиан. ~ имеют обычный вид (Et = 0 на поверхноГраничные условия для E сти, ψ = const). Таким образом, можно сделать вывод, что ψ удовлетворяет в поперечном сечении уравнению Лапласа, и, следовательно, электрическое поле совпадает по конфигурации с электростатическим полем. Рассмотрим теперь сечение линии. Оно может быть одно-, дву- или многосвязным. Для односвязного сечения электростатическое поле без продольной составляющей существовать не может. Математически это связано с тем, что функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа (гармоническая функция), постоянная на границе, постоянна внутри всей двумерной области. Поэтому в линиях с односвязным сечением поперечные волны существовать не могут, в то время как в многосвязных — могут, так как потенциал ψ различных проводников может различаться. Постоянная распространения поперечных волн (волн TEM) совпадает с постоянной распространения плоских волн в свободном простран√ стве. Фазовая скорость волн TEM не зависит от частоты: vф = 1/ µε. Распространение возможно для любых частот от 0 до ∞. После того как найдено электрическое поле, магнитное поле может быть получено из первого уравнения Максвелла: 30

~ = − 1 rot E. ~ H jωµ ~ выраженное через потенциал, и учитывая известПодставляя сюда E, ное соотношение векторного анализа rot (Φ · F~ ) = Φ · rot F~ + grad Φ × F~ , получаем r ~ = −grad ψ · e−γz , H ~ = − ε · e−γz · ~z0 × grad ψ. E µ Здесь ~z0 — единичный вектор в направлении оси z. ~ и Из полученного соотношения следует, в частности, что векторы E ~ в любой точке перпендикулярны друг другу. H

2.2.

Напряжение, ток и мощность в TEM-линии

Так как в поперечном сечении двусвязной линии TEM поле статическое, то величина интеграла Z2 ~ · d~l, U = − E 1

где точки 1 и 2 расположены на одном и другом проводниках в одном сечении, не зависит от пути интегрирования при условии, что этот путь лежит целиком в плоскости поперечного сечения. Естественно назвать эту величину напряжением в линии. Далее, так как магнитное поле поперечно, токи в проводниках чисто продольны. Нетрудно показать, что интеграл I ~ · d~l I = H по контуру, охватывающему внутренний проводник и лежащему в плоскости поперечного сечения, равен полному току во внутреннем проводнике и не зависит от выбора этого контура. Нетрудно также показать, что ток во внешнем проводнике равен току во внутреннем проводнике с обратным знаком, поэтому можно однозначно ввести ток I в линии. Итак, в TEM-линии можно однозначно ввести такие понятия, как напряжение и ток, которые имеют, конечно, более узкий смысл, чем в теории цепей, так как интеграл берется обязательно по контуру, лежащему в поперечном сечении. Напряжения и токи в различных сечениях для бегущей волны при отсутствии потерь отличаются только фазой: 31

U = U0 · e−jkz , I = I0 · e−jkz . Величина отношения Z0 =

U U0 = I I0

постоянна во всех сечениях. Покажем, что при отсутствии потерь волновое сопротивление TEM-линии Z0 — вещественная величина, т. е. U и I имеют одинаковую фазу. Пусть потенциал ψ = ψ1 + jψ2 — комплексная функция. Тогда ψ1 и ψ2 должны по отдельности удовлетворять уравнению ∆ψ = 0 и граничным условиям ψ = const на периметре поперечного сечения. Поэтому от ψ они отличаются лишь множителем, и в качестве решения можно принять, например, вещественную функцию ψ1 или ψ2 . Отсюда следует, что во всех точках дан~ = −grad ψ · e−jkz имеет одну и ту же фазу. Так ного сечения z вектор E как r r Ex µ µ Ey = и = − , Hy ε Hx ε ~ также во всех точках сечения z имеет ту же фазу, что и то вектор H ~ вектор E. Так как напряжение U и ток I выражаются через интегралы от указанных векторов, то U и I находятся в сечении в одной фазе. Поэтому U/I = Z0 — вещественная величина. Найдем некоторые энергетические соотношения для волн в линии TEM. Для этого вспомним, что r r ε ε Hx = − Ey , Hy = Ex . µ µ 32

Отсюда Hx2 + Hy2 =

ε ε (E 2 + Ey2 ) = · E2. µ x µ

Следовательно, εE 2 µH 2 = , 2 2 т. е. плотности энергии электрического и магнитного полей в бегущей TEM-волне равны в любой точке. Запасы электрической и магнитной энергии в бегущей волне на единицу длины линии также равны. Для TEM-линии можно ввести понятия погонных емкости C1 и индуктивности L1 с помощью соотношений 1 C1 |U |2 , 2 1 L1 |I|2 , 2Wh = 2 где We и Wh — средние запасы электрической и магнитной энергий на единицу длины линии. Учитывая, что Wh = We , получаем 2We =

C1 |U |2 = L1 |I|2 , откуда r U L1 = Z0 = . I C1 Найдем теперь мощность волны, распространяющейся в TEM-линии: Z 1 ~ ×H ~ ∗ ) · ~z0 dS, P = Re (E 2 S

т. е. интеграл вектора Пойнтинга по сечению линии S. Имеем r r r ε ~ ~∗ ε ~ ~∗ ε ~ 2 ∗ ~ ~ Ex Ex + Ey Ey = (E × H ) · ~z0 = |E| . µ µ µ Подставляя это в подынтегральное выражение, получаем r Z Z 1 ε 1 εE 2 P = |E|2 dS = √ dS = 2 µ εµ 2 S

S

= 2vWe = 2vWh = v (We + Wh ) = vW, 33

где W — средний запас энергии на единицу длины линии, v — скорость распространения волн в линии. Далее будет показано, что скорость распространения может быть выражена через погонные параметры: v = √

1 . L1 C1

Подставляя это в выражение для мощности, получаем r 1 1 1 C1 1 |U |2 2 P = √ · C1 |U | = |U |2 = , 2 L1 2 Z0 L1 C1 2 или r 1 1 L1 2 1 2 1 |I| Z0 . P = √ |I| = · L1 |I|2 = 2 C1 2 L1 C1 2 Третье выражение для мощности бегущей волны имеет вид 1 Re U ·I ∗ . 2 Рассмотрим несколько конкретных примеров. Коаксиальная линия P =

Одной из наиболее распространенных линий TEM является коаксиальная линия, представляющая собой два коаксиально расположенных проводящих цилиндра (рис. 2.1). Решение электростатической задачи для такой системы известно:

1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 r 0000000000000 1111111111111 2 0000000000000 1111111111111 0000 1111 0000000000000 1111111111111 r 0000 1111 0000000000000 1111111111111 0000 1111 0000000000000 1111111111111 1 0000 1111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 2

ψ =

1

U r ln , r1 r2 ln r2

где U — разность потенциалов между цилиндрами. Отсюда

Er = −

Рис. 2.1

34

∂ψ U 1 U/r = − = , r1 r r ∂r ln ln 2 r2 r1

r Hϕ =

ε Er = µ

r

ε U/r . r µ ln 2 r1

Ток в проводнике равен r I = 2πr1 · Hr=r1 = 2π

ε µ

U . r ln 2 r1

Отсюда можно найти волновое сопротивление: r U 1 µ r2 Ом. Z0 = = ln I 2π ε r1 Если линия ничем не заполнена, то r 1 µ0 r2 r2 r2 Z0 = · ln = 60 ln = 138 lg Ом. 2π ε0 r1 r1 r1 Для определения погонной емкости и индуктивности можно использовать следующий прием. Имеем r L1 1 Z0 = Ом, v = √ . C1 L1 C1 Из этих соотношений получаем C1 =

1 Ф , vZ0 м

L1 =

Z0 Гн . v м

Если сюда подставить выражения для v и Z0 , то получим C1 =

2πε Ф , r м ln 2 r1

L1 =

µ r2 Гн ln . 2π r1 м

Следует отметить, что поперечная волна, строго говоря, существует в коаксиальной линии лишь при условии, что линия в сечении однородно заполнена. При частичном заполнении появляются продольные компоненты полей, в связи с чем появляется дисперсия и другие явления.

35

Двухпластинчатая линия Двухпластинчатая линия имеет сечение, представленное на рис. 2.2. Если размеры линии в сечении малы по сравнению с длиной волны, то в линии может распространяться только TEM-волна. Пусть a À b. Тогда поле между пластинами можно приближенно считать однородным. Напряжение между пластинами равно x y

000000000000 111111111111 010 H E1 b 0 1 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

U = b · Ex ; ток равен I = a · Hy ,

a

так как поле вне пластин весьма мало. Отсюда волновое сопротивление ли-

Рис. 2.2

нии Z0

U b Ex b = = = I a Hy a

r

µ Ом. ε

Емкость и индуктивность на единицу длины равны C1 =

1 a Ф , = ε0 vZ0 b м

L1 =

Z0 b Гн = µ0 . v a м

Двухпроводная линия Сечение двухпроводной линии имеет вид, представленный на рис. 2.3. Для этой линии электростатика дает величину погонной емкости в виде

11 00 a 11 00

11 00 00 11



C1 =

b ln  + 2a

b

πε sµ

b 2a

¶2

 . − 1

Данная формула при b À a упрощается:

Рис. 2.3

C1 ≈

πε . ln b/a 36

Зная емкость, можно найти также волновое сопротивление: r 1 1 µ b Z0 = = ln Ом. vC1 π ε a Во всех рассмотренных выше примерах рабочая среда в поперечном сечении линии является однородной.

2.3.

Телеграфные уравнения

Уравнения распространения волн в линиях TEM можно получить квазистатическим методом с учетом того, что в таких линиях могут быть введены понятия тока и напряжения. Линия может быть представлена в виде цепочки, размеры ячеек которой затем устремляются к нулю (рис. 2.4). dz Z 1 dz

U

I Y1 dz

U+dU I+dI

Рис. 2.4

Для такой цепочки могут быть составлены следующие уравнения: dU = −I Z1 dz,

dI = −U Y1 dz,

откуда dU dI = −I Z1 , = −U Y1 . dz dz Исключим из этих уравнений, например, ток I: d2 U − Z1 Y1 U = 0. dz 2 Обозначая γ 2 = Z1 Y1 , получаем d2 U − γ 2 U = 0. dz 2 37

Решение этого уравнения имеет вид U = Ae−γz + Beγz , т. е. представляет собой сумму волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Ток может быть получен из этого выражения с помощью телеграфного уравнения: I = −

1 dU γ −γz γ γz = A e − B e . Z1 dz Z1 Z1

Величина r Z1 Z1 Z1 = = √ γ Y1 Z1 Y1 является волновым сопротивлением, так как равна отношению напряжения к току в бегущей волне. Если линия не имеет потерь, то Z0 =

Z1 = jωL1 ,

Y1 = jωC1 ,

откуда следует, что γ =

p p −ω 2 L1 C1 = jω L1 C1 = jk.

Скорость распространения ω 1 = √ , k L1 C1 а волновое сопротивление вещественно: r L1 Z0 = . C1 v =

Напряжение и ток могут быть представлены соответственно в виде суммы и разности прямой и обратной волн U = Uпр + Uобр , I = Iпр − Iобр =

1 (Uпр − Uобр ), Z0

причем в линии без потерь Z0 — вещественная величина. Пользуясь этим, можно найти мощность, распространяющуюся в положительном направлении:

38

P = =

1 1 1 ∗ ∗ Re (U I ∗ ) = Re (Uпр + Uобр ) (Uпр − Uобр ) = 2 2 Z0

1 1 ∗ ∗ ∗ ∗ Re (Uпр Uпр − Uобр Uобр + Uпр Uобр − Uпр Uобр ) = 2 Z0

1 |Uобр |2 1 |Uпр |2 − = Pпр − Pобр , 2 Z0 2 Z0 т. е. мощность равна разности мощностей прямой и обратной волн. Это дает основание приписать каждой из волн мощность =

1 |U |2 2 Z0 и рассматривать данные волны как существующие независимо. Это справедливо, лишь если Z0 — вещественная величина (например, в линии без потерь или с малыми потерями). P =

2.4.

Отражение от нагрузки

Соотношение между прямой и обратной волнами определяется граничными условиями. Пусть в начале линии присоединен генератор, возбуждающий прямую волну (рис. 2.5). Если линию ограничить и наU грузить волновым сопротивлениI ем, то очевидно, что в линии будет существовать только бегущая Z волна. Если же нагрузка отлична от Z0 , то возникает отраженная волна, так как иначе невозможно Рис. 2.5 удовлетворить граничным условиям. Действительно, U/I = Z на границе. Подставляя U = Uпр + Uобр и 1 I= (U − Uобр ), получаем Z0 пр Uпр + Uобр Z0 · = Z Uпр − Uобр или Uпр + Uобр Z = . Uпр − Uобр Z0 39

Отсюда, обозначая

Uобр = Γ (Γ — коэффициент отражения), получаем Uпр 1 + Γ Z = 1 − Γ Z0

или, решая относительно коэффициента отражения Γ, Γ =

Z − Z0 . Z + Z0

Рассмотрим распределение напряжения и тока вдоль линии при наличии отраженной волны: U = Uпр e−jkz + Uобр e jkz , где Uпр и Uобр — напряжения в начале линии (у генератора) (рис. 2.6). Данное соотношение можно преобразовать:

U U

U = e−jkz (Uпр + Uобр e 2jkz ) . При перемещении вдоль линии от генератора вектор Uобр e 2jkz меняет свою фазу. При этом в некоторых точках фазы Uпр и Uобр совпадают, и они складываются. В этих точках напряжение максимально: Uмакс = |Uпр | + |Uобр | .

Рис. 2.6

Через четверть волны, т. е. через z = λ/4, напряжения вычитаются: Uмин = |Uпр | − |Uобр |. Такие волны называют стоячими (рис. 2.7). U

z λ 2

Рис. 2.7

40

Величина ρ =

|Uпр | + |Uобр | 1 + |Γ| = |Uпр | − |Uобр | 1 − |Γ|

называется коэффициентом стоячей волны напряжения (КСВН), характеризующим стоячесть волны. При чисто бегущей волне ρ = 1, а при стоячей волне ρ = ∞. Нетрудно видеть, что ток в линии со стоячей волной напряжения также образует стоячую волну, но максимум тока соответствует минимуму напряжения, и наоборот.

2.5. Трансформация сопротивлений и проводимостей Предположим, что мы имеем отрезок линии длиной l, нагруженный на конце линии некоторым сопротивлением Z. В произвольном сечении z ток и напряжение могут быть записаны в виде U (z) = Ae−jkz + Be jkz , 1 I(z) = · (Ae−jkz − Be jkz ). Z0 Для определения A и B воспользуемся условиями на конце линии (при z = l): U (l) = Ae−jkl + Be jkl , 1 I(l) = · (Ae−jkl − Be jkl ). Z0 Решая эти уравнения относительно A и B, получаем U (l) + Z0 · I(l) jkl ·e , 2 U (l) − Z0 · I(l) −jkl B = ·e . 2 A =

Полученными результатами можно воспользоваться для определения напряжения и тока в начале линии (z = 0): U (0) = A + B = U (l) cos kl + jZ0 ·I(l) sin kl, 1 j I(0) = · (A − B) = U (l) sin kl + I(l) cos kl. Z0 Z0 41

Данные соотношения позволяют решить задачу о входном сопротивлении отрезка линии, нагруженного сопротивлением Z(l): Z(0) =

U (0) U (l) cos kl + jZ0 · I(l) sin kl = = j I(0) U (l) sin kl + I(l) cos kl Z0 = Z0 ·

Z(l) + jZ0 tan kl . Z0 + jZ(l) tan kl

Итак, Z(0) = Z0

Z(l) + jZ0 tan kl . Z0 + jZ(l) tan kl

Короткозамкнутая линия При коротком замыкании линии Z(l) = Zн = 0. Согласно формуле трансформации, входное сопротивление отрезка равно Zвх = jZ0 · tan kl = jXвх , Γ0 = −1. Изменение входного сопротивления представлено на рис. 2.8. X

3λ 4

λ 2

ZH= 0

l λ 4

|U|

|I|

l

Рис. 2.8

В зависимости от длины отрезка его сопротивление меняется от 0 до ∞. Поэтому вблизи длины (2n + 1)λ/4 он может быть уподоблен параллельному резонансному контуру. Максимумы напряжения и тока сдвинуты на λ/4. 42

На отрезке длиной nλ/4 запасы электрической и магнитной энергий равны друг другу. Отрезки линии длиной λ/4, замкнутые на конце, применяются в качестве четвертьволновых изоляторов. Разомкнутая линия Для разомкнутой линии Zн = ∞ (рис. 2.9). Входное сопротивление отрезка равно Zвх = −jZ0 cot kl, Γ∞ = +1. X

l λ 4

|I|

ZH=

λ 2

8

3λ 4

|U|

l

Рис. 2.9

Линия, замкнутая на активное сопротивление В этом случае Zн = Rн (рис. 2.10): Zвх = Z0 ·

Rн + jZ0 tan kl . Z0 + jRн tan kl

Здесь при l = 2nλ/4 Zвх = Rн ; при l = (2n + 1)λ/4 Zвх = Z02 /Rн . Картина стоячих волн зависит от того, больше Rн чем Z0 или меньше. В точках максимумов и минимумов входное сопротивление является чисто активным и в зависимости от расстояния от нагрузки равно Rн или Z02 /Rн .

43

R

Z02

Z02

R

R

R |U| R > Z0 Γ> 0 |I|

R

Z02

Z02

R

R

|I|

R

R
0

Γ< 0 |U|

Рис. 2.10

Линия, замкнутая на реактивное сопротивление В этом случае Zн = jXн (рис. 2.11). Согласно трансформационной формуле, входное сопротивление равно Zвх = jZ0 ·

Xн + Z0 tan kl . Z0 − Xн tan kl

|U|

l

X>0 |Γ| = 1

|I|

|I|

l

X<0 |Γ| = 1

|U|

Рис. 2.11

Это выражение может быть преобразовано к виду:

44

Xн + tan kl Z0 Zвх = jZ0 · = jZ0 tan(kl + ϕ) , Xн · tan kl 1 − Z0 µ ¶ X π π где ϕ = arctan н , − 6 ϕ 6 . Z0 2 2 Таким образом, результат получается путем смещения всей картины при коротком замыкании на угол ϕ. Нетрудно видеть, что в этом случае входное сопротивление обращается в ∞ и 0 в точках, отстоящих друг от друга на λ/4. Положение ближайшего к нагрузке минимума зависит от знака Xн . Если Xн — положительная величина, то ближайший минимум отстоит от нагрузки на расстояние, большее λ/4, но меньшее λ/2; если же Xн отрицательно, то минимум отстоит от нагрузки на расстояние, меньшее λ/4.

2.6. нии

Трансформация сопротивлений отрезками ли-

С точки зрения трансформации сопротивления, наибольший интерес представляют полуволновый и четвертьволновый отрезки линии. Полуволновый отрезок Для полуволнового отрезка kl = π, tan kl = 0. Поэтому Zвх = Zн . Следовательно, полуволновый отрезок преобразует сопротивление с коэффициентом трансформации 1. Это свойство часто используется в технике. Четвертьволновый отрезок В этом случае kl =

π , tan kl = ∞. Поэтому 2 Zвх =

Z02 . Zн

Четвертьволновый отрезок преобразует индуктивность в емкость и, наоборот, резонанс — в антирезонанс и обратно.

45

Четвертьволновый отрезок используется для согласования линий с различным волновым сопротивлением. Такое применение основано на том, что если включить на конце четвертьволнового отрезка активное сопротивление, то входное сопротивление также будет активным. Рассмотрим такой пример. Необходимо согласовать линии с волновыми сопротивлениями Z01 и Z02 (рис. 2.12). Найдем волновое сопротивлеλ/4 ние четвертьволнового отрезка Z03 , Z Z Z согласующего эти линии из усло01 03 02 вия 2 Z03 = Z01 . Z02

Рис. 2.12

Отсюда Z03 =

11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111

p Z01 · Z02 .

Физически согласование можно объяснить тем, что волны, отраженные от двух стыков (рис. 2.13), во входной линии оказываются в противофазе, и если амплитуды их равны, то они униλ/4 чтожают друг друга. Отметим, что такое согласование будет Рис. 2.13 иметь место лишь в сравнительно узкой полосе частот. Для широкополосного согласования применяют многоступенчатые переходы, составленные из четвертьволновых отрезков.

11111111111111 00000000000000

2.7. Представление отрезка линии T-образным четырехполюсником Отрезок линии представляет собой четырехполюсник. Для расчетов часто бывает удобно его заменить T-образным четырехполюсником с сосредоточенными параметрами (рис. 2.14). Для этого вычислим входное сопротивление такого четырехполюсника:

46

Zвх = Z1

Z2 (Z1 + Zн ) + = Z1 + Z2 + Zн

Сравним это выражение с формулой для входного сопротивления отрезка линии, нагруженного на сопротивление Zн :

Zвх =

Z1 + 2Z2 Z1 + Z2 . Zн 1 + Z1 + Z2

Zн + Z1

Z1

Z1

Z2

Zн + jZ0 tan kl . j 1 + · Zн tan kl Z0

ZH

Рис. 2.14

Данные выражения совпадают, если jZ0 tan kl

=

j tan kl Z0

=

Z1 + 2Z2 , Z1 + Z2 1 . Z1 + Z2

Z1

Полученные уравнения могут быть решены относительно Z1 и Z2 (решение двузначно): Z1 = jZ0 tan kl при kl 6= (2n + 1)π; Z2 = −jZ0 csc kl Z1 = −jZ0 cot kl при kl 6= 2nπ. Z2 = jZ0 csc kl Следует иметь в виду, что эти соотношения обеспечивают эквивалентность лишь на одной частоте, так как реальные сосредоточенные сопротивления не могут изменяться в зависимости от частоты по указанному закону.

47

2.8. Номограмма полных сопротивлений (диаграмма Смита) 2.8.1. Преобразование коэффициента отражения отрезком линии Коэффициент отражения равен Γ =

Uотр . Uпад

Если перейти на расстояние l ближе к генератору, то в этом сечении будем иметь Uотр (l) = Uотр e−jkl , Uпад (l) = Uпад e jkl , поэтому Γ(l) =

Uотр −2jkl e = Γ e−2jkl . Uпад

Отсюда видно, что |Γ| = const, т. е. не зависит от длины отрезка, а фаза отстает на 2kl. 2.8.2.

Номограмма полных сопротивлений

Для пассивных цепей любое комплексное сопротивление может быть представлено точкой, лежащей в правой полуплоскости (рис. 2.15). X X = const

R

R = const

Рис. 2.15

48

Включение отрезка линии преобразует сопротивление нагрузки в сопротивление входа по приведенной ранее формуле, которая достаточно сложна. С другой стороны, при заданном волновом сопротивлении отрезка линии каждому сопротивлению Zн соответствует определенный коэффициент отражения Γ: Zн − 1 Zн − Z0 z − 1 Z0 = Γ = = . Zн Zн + Z0 z + 1 + 1 Z0 Преобразованию сопротивления соответствует преобразование коэффициента отражения. Однако преобразование коэффициента отражения производится по более простым формулам. Поэтому для графических построений выгодно перейти в плоскость коэффициентов отражения по приведенной выше формуле. Так как |Γ| 6 1, то коэффициент отражения любой нагрузки может быть изображен точкой внутри окружности единичного радиуса. Соотношение между Γ и Zн представляет собой дробно-линейное преобразование полуплоскости R > 0 на круг единичного радиуса. Это преобразование является конформным и преобразует прямые линии в окружности. Эти соображения позволяют построить линии X = const и R = const в плоскости коэффициентов отражения. X = const

to s our c

e

X>0

-1

X=0

+1 Z=

8

Z=0

to

loa d

R = const

0

R=

X<0

Рис. 2.16

На приведенной номограмме (рис. 2.16) нанесена сетка линий X = const и R = const. Пересечение двух таких линий определяет 49

сопротивление нагрузки, отнесенное к Z0 . В то же время коэффициент отражения по модулю и фазе определяется радиус-вектором точки пересечения. При переходе в другое сечение радиус-вектор поворачивается на угол l ϕ = 2kl = 4π . λ Его конец определяет преобразованное сопротивление. Такая номограмма или, как ее называют, диаграмма Смита (или круговая диаграмма) широко применяется при расчетах с длинными линиями. Отметим, что эта же диаграмма может быть использована для расчета проводимостей, но для этого диаграмму нужно повернуть на 180o , заменив X на B и R на G. Результат получается в виде проводимости, отнесенной к волновой поводимости Y0 .

2.9.

Многопроводные линии TEM

Кроме линий, состоящих из двух проводников, применяют также линии, состоящие из большего числа проводников, — многопроводные линии. В частности, такие линии применяют в направленных ответвителях. Теория многопроводных линий используется также при расчете некоторых типов замедляющих систем. Пример сечения многопроводной линии приведен на рис. 2.17. Распространение волн в многопроводной линии может быть описано с помощью телеграфных уравнений. Для этого вводятся погонные параметры с помощью соотношений (в статическом приблиРис. 2.17 жении) X X Qi = Cik · Uk , Us = Psm · Qm ,

11 00 11 00 00 00 00 11 00 11 11 11 11 00 00 11

m

k

где Qi — линейная плотность заряда на i-м проводнике; Us — потенциал s-го проводника; Cik — погонные частичные емкости (отрицательные при i 6= k); Psm — погонные потенциальные коэффициенты. Приведенные соотношения могут быть записаны в матричной форме: Q = C ·U ,

U = P ·Q ,

где Q = {Qi }, U = {Us }, C = {Cik }, P = {Psm } — соответствующие матрицы. 50

Матрицы C и P связаны соотношением C ·P = 1 , где 1 — единичная матрица, т. е. C и P — взаимно обратные матрицы: P = C −1 . С другой стороны, можно ввести также матрицу погонных индуктивностей с помощью соотношения X Φi = Lik · Ik , k

где Φi — магнитный поток на единицу длины линии, сцепленный с i-м проводником, Lik — погонные взаимные индуктивности. Матричная запись этого соотношения имеет вид Φ = L · I. Телеграфные уравнения составляются так же, как и в случае двухпроводной линии: dU = −jωL · I , dz dI = −jωC · U dz (запись в матричной форме). Для решения исключаем ток из первого уравнения: d2 U dI = −jωL · = −ω 2 LC · U , dz 2 dz где LC — матрица (произведение матриц L и C). Вычислим матрицу LC, найдя связь между матрицами L и P . Для этого рассмотрим два проводника с номерами i и k при i 6= k (рис. 2.18). Найдем потенциал k-го проводника, если потенциал i-го проводника равен Ui : Za Uki

Eix · dx,

= − 0

где Eix — x-я компонента электрического поля, создаваемого i-м проводником. Величину Eix можно определить из уравнения Максвелла 51

Eix =

1 ~ i, rot x H jωε

~ i — магнитное поле, создаваемое i-м проводником. где H

1 0 0x i 1 k 0 11 1 00 00 11 0 1 00 00 11 0 11 1 a 0 1 111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 y 111111111111 Рис. 2.18

Za

Uki = 0

Так как Hz = 0, то ~ i = − ∂Hiy rot x H ∂z

и Eix = −

1 ∂Hiy . jωε ∂z

Таким образом,

1 ∂ 1 ∂Hiy dx = jωε ∂z jωε ∂z

Za Hiy dx. 0

R Но −µ Hiy dx = Φik — поток, создаваемый i-м проводником, охватывающий k-й проводник. Этот поток Φik = Lki Ii , поэтому Uki = −

1 ∂Ii Lki . jωεµ ∂z

∂Ii Производную можно вычислить с помощью уравнения непре∂z рывности, которое в этом случае имеет вид ∂Q ∂I + = 0. ∂t ∂z Отсюда ∂Ii = −jωQi . ∂z Подставляя это в выражение для Uki , получаем Uki = −

Lki 1 Lki · (−jωQi ) = · Qi . jωεµ εµ

1 , где v — скорость распространения поперечных v2 волн в линии. Итак, имеем Величина εµ =

Uki = v 2 · Lki · Qi . Сравнивая с определением элементов матрицы P , находим 52

Pki = v 2 · Lki

при i 6= k.

Аналогичные рассуждения приводят к такому же соотношению при i = k. Поэтому P . v2 Подставляя это выражение в полученное выше дифференциальное уравнение, находим P = v2 L ,

L =

³ ω ´2 d2 U P C · U = −k 2 U . = − 2 dz v Уравнение приобретает вид d2 U + k 2 U = 0. dz 2 Это уравнение представляет собой краткую запись последовательности уравнений для Ui , причем в каждое уравнение входит лишь один потенциал Ui , т. е. переменные разделяются. Решение этих уравнений может быть записано в матричной форме U = Ae−jkz + Be jkz , где U , A, B — соответствующие матрицы. Для тока из предыдущих уравнений имеем I = −

¡ ¢ 1 −1 dU L = Z0 −1 Ae−jkz − Be jkz jω dz

или Z0 I = Ae−jkz − Be jkz . ω · L = Z0 (Z0 — вещественная матрица, k имеющая смысл матрицы волнового сопротивления). Воспользуемся полученными соотношениями для выяснения, как преобразуются напряжение и ток в многопроводной линии. Полагая z = 0, находим напряжение и ток в начале линии: Здесь введено обозначение

U (0) = A + B, Z0 I(0) = A − B. 53

Для определения A и B запишем условия в конце линии, т. е. при z = l: U (l) Z0 I(l)

= Ae−jkl + Be jkl , = Ae−jkl − Be jkl ,

откуда A B

U (l) + Z0 I(l) , 2 U (l) − Z0 I(l) = e−jkl . 2 = e jkl

Подставляя A и B в выражения для U (0) и I(0), находим U (0) = U (l) cos kl + jZ0 I(l) sin kl, I(0) = jZ0 −1 U (l) sin kl + I(l) cos kl. Таким образом, мы получили уравнения, аналогичные уравнениям для двухпроводной линии, записанные в матричной форме. Отметим, что в этих уравнениях разделение переменных уже не имеет места в отличие от исходного дифференциального уравнения. Нагрузка многопроводной линии определяется матрицей нагрузочного сопротивления, связывающего между собой потенциалы проводов на выходе и токи, протекающие в этих проводах.

2.10.

Линия с малыми потерями

Наиболее просто выяснить влияние малых потерь на распространение волн с помощью телеграфных уравнений. Постоянная распространения в этом случае будет равна p p γ = Z1 · Y 1 = (jωL1 + R1 )(jωC1 + G1 ) = s µ ¶µ ¶ R1 G1 = −ω 2 L1 C1 · 1 + 1 + = jωL1 jωC1 sµ ¶µ ¶ p R1 G1 = jω L1 C1 1 + 1 + . jωL1 jωC1 Если R1 ¿ ωL1 и G1 ¿ ωC1 , то приближенно получаем: 54

(

¶ µ ¶2 ) R1 G1 1 R1 G1 + γ ≈ jω L1 C1 + − = L1 C1 8ω 2 L1 C1 ( µ ¶2 ) µ ¶ 1 R1 G1 1 R1 G1 = jk 1 + − + + = jk 0 + α, 8ω 2 L1 C1 2 Z0 Y0 r r L1 C1 где Z0 = , Y0 = — волновые сопротивление и проводиC1 L1 мость линии без потерь. Здесь скорость распространения (v = ω/k 0 ) зависит от частоты, т. е. имеет место дисперсия. Кроме того, появляется затухание, соответствующее вещественной части постоянной распространения γ: µ ¶ 0 1 R1 G1 U = U0 e−αz · e−jk z , α = + . 2 Z0 Y0 p

1 1 + 2jω

µ

Наличие дисперсии приводит к появлению искажений импульсов в линии. Эти искажения могут быть особенно сильными в длинных линиях. Искажений нет в частном случае, когда R1 G1 = . L1 C1 В этом случае γ = jω

p

µ ¶ R1 R1 L1 C1 1 + = jk + . jωL1 Z0

Так как в телеграфных кабелях преобладают потери за счет сопротивления проводов (R1 ), то для уменьшения искажений на низких частотах увеличивают индуктивность, включая через некоторые интервалы катушки (катушки Пуппина). Если потери обусловлены только сопротивлением проводов, то при R1 ¿ ωL1 затухание равно R1 . 2Z0 Величина R1 определяется как сумма сопротивления прямого и обратного проводов с учетом толщины скин-слоя, по которому протекает ток. Наличие потерь приводит к тому, что волновое сопротивление становится комплексным. Исключение составляет лишь линия без искажеR G ний, для которой выполняется соотношение 1 = 1 . Нетрудно видеть, L1 C1 α =

55

что в этом случае волновое сопротивление равно вому сопротивлению линии без потерь.

p

L1 /C1 , т. е. волно-

Пример. Расчет затухания коаксиального кабеля. Исходные параметры: диаметры проводников d1 = 0.6 мм, d2 = 4.0 мм; волновое сопротивление Z0 = 75 Ом; частота f = 1000 МГц. l Отсюда сопротивление внутреннего проводника R10 = 0.0175 · , где S l — длина (1 м); S — площадь сечения внутреннего проводника, мм2 (S = πd1 · δ, δ — толщина скин-слоя). Толщина скин-слоя в меди для частоты f = 1000 МГц равна 2.1 · 10−3 мм. В результате получаем: R10 ≈ 4.46 Ом/м, аналогично сопротивление наружного проводника: R100 ≈ 0.65 Ом/м, итого R1 ≈ 5.1 Ом/м. 5.1 Отсюда α = = 0.031 непер/м = 0.031 · 8.69 = 0.29 дБ/м. 2 · 75

3.

ВОЛНОВОДЫ

3.1. Выражение векторов поля через потенциальные функции. E- и H-моды Кроме рассмотренных ранее чисто поперечных волн в линиях передачи x могут при некоторых условиях распространяться волны, имеющие продольную составляющую электрического или магнитного полей. В частноy сти, в линиях с односвязным сечениz ем (рис. 3.1) могут существовать только такие волны. В линиях с дву- или многосвязным сечением кроме поперечных волн могут распространяться также волны с Рис. 3.1 продольными составляющими поля, если частота превосходит некоторое критическое значение. Электромагнитное поле в волноводе удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла ~ = −jωµH, ~ rot E

~ = jωεE. ~ rot H

Исключая поочередно электрическое и магнитное поля, можно перейти к уравнениям Гельмгольца для каждого из полей: 56

~ + k2 E ~ = 0, ∆E

~ + k2 H ~ = 0. ∆H

Так как Ez и Hz — декартовы составляющие, то для них уравнения Гельмгольца дают ∂ 2 Ez + k 2 Ez = 0, ∂z 2 ∂ 2 Hz + + k 2 Hz = 0, ∂z 2

∆⊥ Ez + ∆ ⊥ Hz

где ∆⊥ — лапласиан, действующий лишь на поперечные координаты. Уравнения можно решать разделением переменных: Ez = E⊥ (x, y) · Ek (z),

Hz = H⊥ (x, y) · Hk (z).

Подставляя и разделяя переменные, получаем d2 Ek − γ 2 Ek = 0, ∆⊥ E⊥ + (k 2 + γ 2 )E⊥ = 0, dz 2 d 2 Hk − γ 2 Hk = 0, ∆⊥ H⊥ + (k 2 + γ 2 )H⊥ = 0, dz 2 где γ — постоянная разделения. Из этих уравнений следует, что зависимость поля от z экспоненциальна: e±γz . При этом γ 6= jk, так как в случае равенства поперечное поле должно быть статическим, как это следует из полученных уравнений. Кроме уравнений Максвелла, поля удовлетворяют граничным условиям, которые для идеально проводящих стенок имеют вид ~ t = 0, E

Hn = 0,

~ t — тангенциальная составляющая электрического поля на погде E верхности металла, Hn — нормальная составляющая магнитного поля на этой поверхности. Найдем решения уравнений Максвелла. Для этого запишем их для декартовых составляющих векторов поля, учитывая экспоненциальную зависимость их от z (дифференцированию по z соответствует умножение на −γ):

57

−jωµHx

=

−jωµHy

=

−jωµHz

=

jωεEx

=

jωεEy

=

jωεEz

=

∂Ez + γEy , ∂y ∂Ez −γEx − , ∂x ∂Ey ∂Ex − ; ∂x ∂y ∂Hz + γHy , ∂y ∂Hz , −γHx − ∂x ∂Hy ∂Hx − . ∂x ∂y

Записанные уравнения позволяют выразить поперечные компоненты Ex , Ey , Hx , Hy через продольные Ez , Hz . Для этого подставим в первое уравнение Ey , взятое из пятого. Тогда получим (ω 2 µε + γ 2 )Hx = jωε

∂Ez ∂Hz − γ ∂y ∂x

или (обозначая ω 2 µε = k 2 ) Hx =

jωε ∂Ez γ ∂Hz − 2 . k 2 + γ 2 ∂y k + γ 2 ∂x

Аналогично jωε ∂Ez γ ∂Hz − 2 , 2 2 + γ ∂x k + γ ∂y jωµ ∂Hz γ ∂Ez = − 2 − 2 , k + γ 2 ∂y k + γ 2 ∂x jωµ ∂Hz γ ∂Ez = 2 − 2 . k + γ 2 ∂x k + γ 2 ∂y

Hy = − Ex Ey

k2

Составляющие Ez и Hz должны удовлетворять уравнениям Гельмгольца: ∆Ez + k 2 Ez = 0, ∆Hz + k 2 Hz = 0, 58

или, учитывая, что

∂ = −γ, получаем ∂z

d2 Ez d2 Ez + + (k 2 + γ 2 )Ez = 0, 2 dx dy 2 d 2 Hz d 2 Hz + + (k 2 + γ 2 )Hz = 0. 2 dx dy 2 Данные уравнения могут быть получены и непосредственно из третьего и шестого из написанных выше уравнений, если подставить в них Ex , Ey , Hx и Hy . Введем следующие обозначения: Ez = (k 2 + γ 2 ) · φ(x, y) · e−γz , Hz = (k 2 + γ 2 ) · ψ(x, y) · e−γz , где φ(x, y), ψ(x, y) — некоторые скалярные функции поперечных переменных. Эти функции должны, очевидно, удовлетворять уравнениям ∆x,y φ + (k 2 + γ 2 )φ = 0, ∆x,y ψ + (k 2 + γ 2 )ψ = 0, или, обозначая k 2 + γ 2 = g 2 , ∆x,y φ + g 2 φ = 0, ∆x,y ψ + g 2 ψ = 0. Составляющие полей выражаются через функции φ и ψ: µ ¶ ∂φ ∂ψ jωε − γ · e−γz , ∂y ∂x µ ¶ ∂φ ∂ψ Hy = −jωε − γ · e−γz , ∂x ∂y µ ¶ ∂ψ ∂φ Ex = −jωµ − γ · e−γz , ∂y ∂x ¶ µ ∂φ ∂ψ − γ · e−γz , Ey = jωµ ∂x ∂y Hx =

59

Нетрудно проверить, что эти соотношения могут быть записаны в виде ~ = jωε · rot (φ · ~z0 · e−γz ) + grad div (ψ · ~z0 · e−γz ) + k 2 ψ · e−γz · ~z0 , H ~ = −jωµ · rot (ψ · ~z0 · e−γz ) + grad div (φ · ~z0 · e−γz ) + k 2 φ · e−γz · ~z0 , E где ~z0 — единичный вектор в направлении оси z. Действительно, если исходить из известных векторных тождеств grad (Ψ · Φ) = Φ · grad Ψ + Ψ · grad Φ, rot (Φ · F~ ) = Φ · rot F~ + grad Φ × F~ , div (Φ · F~ ) = Φ · div F~ + grad Φ · F~ , можно получить rot (φ · ~z0 · e−γz ) = e−γz · grad φ × ~z0 , grad div (ψ · ~z0 · e−γz ) = −γe−γz grad ψ + γ 2 ψ · ~z0 e−γz . Подставляя эти выражения, получаем ~ = jωε · e−γz grad φ × ~z0 + (k 2 + γ 2 )e−γz ψ · ~z0 − γe−γz grad ψ, H ~ = −jωµ · e−γz grad ψ × ~z0 + (k 2 + γ 2 )e−γz φ · ~z0 − γe−γz grad φ. E Данные соотношения, если их записать в декартовых составляющих, приводятся к полученным выше. Векторы ~ = φ · ~z0 · e−γz Π

~ 0 = ψ · ~z0 · e−γz и Π

— это векторы Герца. Таким образом, векторы поля выражаются через электрический и магнитный векторы Герца, имеющие в данном случае только продольные (z) составляющие. Найдем граничные условия на поверхности для потенциальных функций φ и ψ. Для этого необходимо выразить тангенциальную компоненту ~ t и нормальную магнитного поля Hn на поверхэлектрического поля E ности через φ и ψ. ~ t можно разложить на составляющую Тангенциальную компоненту E в направлении оси z и составляющую, лежащую в плоскости сечения, 60

т. е. касательную к контуру поперечного сечения. Обе составляющие должны быть равны нулю. Из равенства Ez = 0 на поверхности получаем φ = 0 на контуре сечения C. ~ s , ввеЧтобы найти касательную к контуру сечения составляющую E дем в произвольной точке контура два орта ~s и ~n, причем ~n направлен внутрь волновода (рис. 3.2). Тогда по аналогии с выражением для Ey (отождествляя направление y с s, а направление x — с n) получим

Es = jωµ

1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 n(x) 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 s (y 0000000000000 1111111111111

∂ψ ∂φ − γ . ∂n ∂s

Так как φ = 0 на C, то для того чтобы Es = 0, необходимо и достаточно, чтобы ∂ψ/∂n = 0 на контуре C. Покажем, что эти условия обеспечивают также равенство Hn = 0 на C. Для этого запишем выражение для Hn по аналогии с выражением для Hx :

)

Рис. 3.2

∂φ ∂ψ − γ . ∂s ∂n Итак, граничные условия для функций φ и ψ имеют вид Hn = −jωε

φ = 0 на C, ∂ψ = 0 на C, ∂n а сами функции удовлетворяют уравнениям ∆x,y φ + g 2 φ = 2

∆x,y ψ + g ψ

=

0, 0,

где g 2 = k 2 + γ 2 . Задача распадается на две: отдельно для φ и ψ. В итоге имеем две системы решений. Для одной поле выражается только через функцию φ, при этом отлична от нуля z-компонента электрического поля, для другой поле выражается через ψ-функцию, отлична от нуля z-компонента магнитного поля. 61

Известно, что такие задачи имеют нетривиальные решения при определенных значениях g 2 — собственных значениях задачи. В общем случае эти значения различны для φ и ψ функций. Функции φ и ψ, представляющие собой нетривиальные решения указанной выше задачи, называют собственными функциями. Можно показать, что собственные значения вещественны и положительны. Для этого можно исходить из формулы Грина для произвольных функций φ и ψ: Z I ∂ψ dC, (φ · ∆ψ + grad φ · grad ψ) dS = φ· ∂n S

C

где S — область на плоскости, C — контур, ограничивающий эту область. Заменим φ на ψ ∗ . Тогда Z I ∂ψ dC = 0 (ψ ∗ · ∆ψ + |grad ψ|2 ) dS = ψ∗ · ∂n S

C

вследствие граничных условий. Кроме того, ∆ψ = −g 2 ψ из уравнения. Подставляя это в равенство, полученное из формулы Грина, находим R |grad ψ|2 dS g2 = S R , |ψ|2 dS S 2

откуда следует, что g > 0. Полученная формула позволяет найти собственное значение, если известна соответствующая собственная функция. Собственные значения образуют возрастающую счетную последовательность положительных чисел, среди которых имеется отличное от нуля наименьшее число: g12 , g22 , . . . , gn2 , . . . . Эта последовательность не имеет точек сгущения, за исключением ∞. Каждому собственному значению соответствует одна или больше собственных функций. Можно показать, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на сечении волновода S: Z

Z ψn · ψm dS = 0,

S

φn · φm dS = 0, S

62

2 . если gn2 6= gm

Для доказательства воспользуемся второй формулой Грина: Z

I (φn · ∆φm − φm · ∆φn ) dS =

S

(φn ·

∂φm ∂φn − φm · ) dC. ∂n ∂n

C

Правая часть этого равенства обращается в нуль в силу граничных условий на контуре сечения волновода Z (φn · ∆φm − φm · ∆φn ) dS = 0. S 2 Подставляя сюда из уравнений ∆φn = −gn2 · φn , ∆φm = −gm · φm , получаем Z 2 2 (gn − gm ) φn · φm dS = 0. S 2 , то Так как по предположению gn2 6= gm Z φn · φm dS = 0. S

Аналогично доказывается, что Z ψn · ψm dS = 0. S

В случае вырождения, т. е. когда φn и φm соответствуют одному и тому же собственному значению, они могут и не быть ортогональны. Известно, что в этом случае возможен процесс ортогонализации, т. е. можно подобрать такие линейные комбинации из этих функций, которые будут ортогональны друг к другу, оставаясь при этом собственными функциями (соответствующими одному собственному значению). Постоянная распространения для данной моды γn может быть определена, если известно собственное значение gn2 : p γn2 = gn2 − k 2 , γn = ± gn2 − k 2 . Распространение без затухания имеет место, если γn — мнимая величина, т. е. если выполняется неравенство k 2 > gn2 . 63

Это условие можно записать иначе: ω 2 µε > gn2 или gn ω > √ = ωn µε — критическая частота для n-й моды. Если это условие выполняется, то постоянная распространения равна p γn = jβn = j k 2 − gn2 . Отсюда можно найти длину волны в волноводе и фазовую скорость. Действительно, βn =

2π , Λn

k =

2π , λ

где Λn — длина волны в волноводе, λ — длина волны в неограниченном пространстве с параметрами µ, ε. 2π Подставляя это в выражение для γn , получаем (gn = ): λn s 1 1 1 = − 2, Λn λ2 λn откуда λ

Λn = r

1 −

λ2 λ2n

.

Фазовая скорость может быть найдена по известной длине волны: vф =

ω ωΛn = = r βn 2π

c 1 −

λ2 λ2n

> c.

Итак, волны, распространяющиеся в волноводе, могут быть представлены в виде суммы электрических (E или TM, ψ ≡ 0) и магнитных (H или TE, φ ≡ 0) волн. Им соответствуют две системы векторных ~ n(h) . ~ n(h) , H ~ n(e) и магнитные — E ~ n(e) , H функций, электрические — E Отметим, что векторные функции взаимно ортогональны в том смысле, что 64

Z

Z ~n · E ~ m dS = 0, E

S

Z ~n · H ~ m dS = 0, H

S

~n × H ~ m ) · ~z0 dS = 0 (E S

2 при gn2 6= gm . Интегралы берутся по сечению волновода. Данное свойство позволяет рассматривать волны различных мод как независимые, так как благодаря ортогональности энергия и мощность складываются из энергии и мощности отдельных мод. Запишем выражение для H-волн через потенциальную функцию ψ:

~ = −jωµ · e−γz grad ψ × ~z0 , E ~ = −γ · e−γz grad ψ + (k 2 + γ 2 ) e−γz ψ · ~z0 . H Поперечные составляющие электрического и магнитного векторов перпендикулярны, что следует из равенства нулю их скалярного произведения ~ поп · H ~ поп = grad ψ · (grad ψ × ~z0 ) = 0. E Из приведенных выше формул следует, что поперечные составляющие поля связаны между собой соотношением (для каждой моды) ~ поп = Zh · H ~ поп × ~z0 , E где Zh = jωµ/γ. Для распространяющихся мод Zh вещественно: p µ/ε ωµ Zh = . = µvф = p β 1 − λ2 /λ2n Для E-волн поле может быть записано в виде ~ = −γe−γz grad φ + (k 2 + γ 2 ) e−γz φ · ~z0 , E ~ = jωε · e−γz grad φ × ~z0 . H ~ поп и H ~ поп также перпендикулярны. Кроме того, Здесь E ~ поп = Ze · H ~ поп × ~z0 , E причем Ze = γ/jωε. Для распространяющихся волн Ze вещественно: r s β λ2 1 µ Ze = = = 1 − 2. ωε vф · ε ε λn 65

Ранее было показано, что волна в волноводе может распространяться, если выполняется условие gn ω > ωn = √ , µε причем среди gn имеется наименьшее, например g1 . Отсюда следует, что по данному волноводу при заданной частоте может распространяться лишь конечное число мод; это число растет с ростом частоты. В частности, существует интервал частот, в котором в волноводе может распространяться лишь одна мода.

3.2. 3.2.1.

Прямоугольные волноводы Волны H-типа

y a b

Для H-волн в прямоугольном волноводе (рис. 3.3) имеет место уравнение ∂2ψ ∂2ψ + + g2 ψ = 0 2 ∂x ∂y 2

b x a Рис. 3.3

при условии на границах

∂ψ = 0. ∂n

Решение найдем по методу Фурье в виде произведения ψ(x, y) = X(x) · Y (y). Тогда уравнение может быть представлено в виде 1 ∂2X 1 ∂2Y + = −g 2 X ∂x2 Y ∂y 2 и переменные разделяются, т. е. уравнение распадается на два: ∂2X + gx2 X = 0 и ∂x2

∂2Y + gy2 Y = 0, ∂y 2

причем gx2 + gy2 = g 2 . Полученные уравнения имеют решения X = A cos gx x + B sin gx x, Y = C cos gy y + D sin gy y. 66

На границах имеем при x = 0

dX = 0, откуда следует, что dx

B = 0, X = cos gx x; при y = 0

dY = 0, откуда следует, что dy D = 0, Y = cos gy y;

dX = 0, т. е. sin gx a = 0, откуда dx nπ gx a = nπ и gx = ; n = 0, 1, 2, . . . ; a dY при y = b = 0, т.е. sin gy b = 0, откуда dy mπ gy b = mπ и gy = ; m = 0, 1, 2, . . . . b Теперь находим ψ(x, y): при x = a

nπ mπ x · cos y a b с точностью до произвольного множителя. 2 равны Собственные значения gnm ψ(x, y) = cos

2 gnm =

³ nπ ´2 a

+

³ mπ ´2 b

n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1, 2, . . . .

Заметим, что индексы n и m не могут одновременно обращаться в нуль, так как в этом случае ψ = const и все компоненты поля обращаются в нуль. Отсюда могут быть найдены критические длины волн (для вакуума):

λnm =

2π = sµ gnm

2π nπ a

¶2

µ +

2 ¶2 = sµ ¶2 µ ¶2 , mπ m n + b a b

т. е. критическая длина волны определяется размерами волновода и номером моды. После того как найдена функция ψ(x, y), можно найти все составляющие поля (без экспоненты e−γz ):

67

Hz = Hx = Hy = Ex = Ey =

¸ nπ ´2 ³ mπ ´2 nπ mπ (k + g )ψ(x, y) = + cos x cos y, a b a b ∂ψ nπ nπ mπ nπ nπ mπ −γ = γ sin x cos y = jβ sin x cos y, ∂x a a b a a b ∂ψ mπ nπ mπ mπ nπ mπ −γ = γ cos x sin y = jβ cos x sin y, ∂y b a b b a b ∂ψ mπ nπ mπ −jωµ = jωµ cos x sin y, ∂y b a b nπ nπ mπ ∂ψ = −jωµ sin x cos y. jωµ ∂x a a b 2

·³

2

В дальнейшем для определенности будем предполагать, что a > b. Рассмотрим структуру полей различных мод. Прежде всего, еще раз напомним, что n и m не могут одновременно принимать нулевые значения. Но одно из этих чисел может быть равно нулю. Нетрудно видеть, что если a > b, то наибольшую критическую волну имеет мода H10 : λ10 = 2a. Моду с наибольшей критической волной называют основной для данного волновода. Существует диапазон частот, в котором в данном волноводе может распространяться только основная мода, в отличие от высших мод. Моде H10 соответствуют следующие значения составляющих полей: Hz

=

Hx

=

Hy Ex

= =

Ey

=

³ π ´2

π x, a π π jβ sin x, a a 0, 0, π π −jωµ sin x. a a a

cos

Поля здесь определены с точностью до множителя, одинакового для всех компонент. Этот множитель определяется, если задана мощность волны, распространяющейся по волноводу. Структура волны H10 может быть выяснена с помощью графиков (рис. 3.4): 68

y

Ey

y

1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

Hx

1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111

Ey

Hz 1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111

x

x

Рис. 3.4

Для уяснения структуры поля следует также учитывать, что Hz и Hx сдвинуты во времени по фазе на 90o . Картина силовых линий магнитного поля представлена на рис. 3.5. распространение

Рис. 3.5

Структура поля моды Hn0 может быть получена путем n-кратного повторения структуры моды H10 в направлении оси x. Моды типа Hn0 характерны тем, что поле не зависит от координаты y. Кроме того, критическая длина волны и, следовательно, длина волны в волноводе не зависят от высоты волновода b: λn0 = 2 a/n; n = 1, 2, . . . . 69

В технике наибольшее применение нашли прямоугольные волноводы с волной H10 . При этом размеры их обычно выбираются так, чтобы в рабочем диапазоне частот высшие моды не могли распространяться. Рассмотрим теперь структуру волны H11 . В этом случае составляющие поля зависят также от y (рис. 3.6). Структура поля здесь более сложна, так как отличны от нуля все составляющие, кроме Ez .

Рис. 3.6

Структура полей типа Hnm может быть получена путем n-кратного повторения структуры H11 в направлении x и m-кратного повторения в направлении y. Имеет смысл рассмотреть также токи в стенках. Плотность тока в стенках может быть найдена из граничного условия ~ = H ~ × ~n, K где ~n — единичный вектор нормали, направленный в металл. Это значит, что поверхностная плотность тока численно равна тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля и направлена перпендикулярно магнитному полю, поэтому линии тока в стенках могут быть построены как линии, ортогональные семейству линий магнитного поля на поверхности волновода. Вначале построим линии тока для волны H10 (рис. 3.7). Для волны H11 линии тока на широкой и узкой стенках аналогичны линиям тока на широкой стенке для волны H10 . Линии тока для волн Hnm получаются путем повторения картины, полученной для волны H11 , n и m раз на различных стенках. Вычислим также мощность, распространяющуюся через волновод с 70

Рис. 3.7

волной H10 . Это позволит найти нормирующий множитель. Мощность определяется потоком вектора Пойнтинга через сечение волновода: P =

1 Re 2

Z

~ ×H ~ ∗ ) · ~z0 dS = 1 Re (E 2

S

Z (Ex Hy∗ − Ey Hx∗ ) dS. S

Для моды H10 отличны от нуля лишь Ey и Hx : π π sin x, a a π π = Ajβ sin . a a

Ey = −Ajωµ Hx

Подставляя Ey и Hx под интеграл, получаем ωµπ 2 β b · , 4 a откуда может быть определен нормирующий множитель: s 2 P a A = · . π ωµβ b P = A2

Мощность может быть выражена также через напряженность электрического поля в центре волновода E0 : s E02 λ2 P = ab 1 − 2 , 4ζ λкр p где ζ = µ/ε. 71

3.2.2.

Волны E-типа

Для функции φ, определяющей электрические волны, имеет место уравнение ∂2φ ∂2φ + + g2 φ = 0 2 ∂x ∂y 2 при условии на границе φ = 0. Решение уравнения найдем в виде φ(x, y) = X(x) · Y (y). Для функций X и Y аналогично предыдущему можно записать X = A cos gx x + B sin gx x, Y = C cos gy y + D sin gy y. Граничные условия теперь другие. А именно при x = 0 X = 0, откуда следует, что A = 0, X = sin gx x; при y = 0 Y = 0, откуда C = 0, Y = sin gy y; при x = a X = 0, т. е. sin gx a = 0, откуда nπ ; n = 0, 1, 2, . . . ; a при y = b Y = 0, т.е. sin gy b = 0, откуда gx a = nπ и gx =

gy b = mπ и gy =

mπ ; m = 0, 1, 2, . . . . b

Функция φ(x, y) равна nπ mπ x · sin y. a b Заметим, что ни один из индексов n и m в этом случае не может принимать нулевое значение, так как это приведет к тождественному обращению в нуль функции φ. Как и для магнитных мод, собственные значения определяются соотношением φ(x, y) = sin

72

³ nπ ´2

2 gnm =

a

+

³ mπ ´2 b

n = 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . . .

Отсюда могут быть найдены критические длины волн (для вакуума):

λnm =

2π = sµ gnm

2π 2 ¶2 µ ¶2 = sµ ¶2 µ ¶2 . nπ n mπ m + + a b a b

Теперь можно записать также выражения для составляющих поля: Hz Hx Hy Ez Ex Ey

=

0,

∂φ mπ nπ mπ = jωε sin x · cos y, ∂y b a b ∂φ nπ nπ mπ = −jωε = −jωε cos x · sin y, ∂x a · a b ³ nπ ´2 ³ mπ ´2 ¸ nπ mπ 2 2 · sin x · sin y, = (k + γ ) · φ(x, y) = + a b a b ∂φ nπ nπ mπ = −γ = −jβ cos x · sin y, ∂x a a b ∂φ mπ nπ mπ = −γ = −jβ sin x · cos y. ∂y b a b =

jωε

Так как n и m не могут принимать нулевые значения, то самой низкочастотной модой будет E11 , для которой критическая длина волны равна 2 2ab λ11 = sµ ¶ µ ¶2 = √a2 + b2 . 2 1 1 + a b Данная критическая длина волны меньше критической длины волны самой низкочастотной магнитной моды H10 , равной 2a. 2 Обратим внимание на то, что собственные значения gnm и соответственно критические длины волн λnm для высших электрических и магнитных мод совпадают. Таким образом, имеет место двукратное вырождение для мод с ненулевыми индексами. 73

Для волны E11 имеем Hz

=

0,

Hx

=

jωε

Hy

=

Ez

=

Ex

=

Ey

=

π π π sin x · cos y, b a b π π π −jωε cos x · sin y, b ·³ ´a ³ a´ ¸ π 2 π 2 π π + · sin x · sin y, a b a b π π π −jβ cos x · sin y, a a b π π π −jβ sin x · cos y. b a b

Рассмотрим структуру поля E11 (рис. 3.8–3.9). y

y

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000111111111111 111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 E x111111111111 000000000000

y

1111111111111111111111 0000000000000000000000 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00 11 0000000000000000000000 1111111111111111111111 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

111111111111111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111

x

Ey

x

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

x

Ez

Рис. 3.8 y

Поля высших мод получаются путем многократного повторения картины поля E11 . Найдем также линии токов в стенках. Так как магнитное поле для E-мод поперечно, то, очевидно, токи могут быть только продольными (рис. 3.10).

b

x a

Λ 2

Рис. 3.9

74

11111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111 Рис. 3.10

Пунктирными линиями на рисунках изображены силовые линии магнитного поля.

3.3. 3.3.1.

Круглые волноводы Магнитные моды

При исследовании круглого волновода лапласиан в уравнениях для функций ψ и φ удобно записывать в полярной системе координат: µ ¶ ∂ 1 ∂2 1 ∂ ∆xy = r + 2 . r ∂r ∂r r ∂ϕ2 Подставляя этот лапласиан в уравнение для ψ, получаем ∂2ψ 1 ∂ψ 1 ∂2ψ + + 2 + g 2 ψ = 0. 2 ∂r r ∂r r ∂ϕ2 Уравнение решается методом разделения переменных. Для этого полагаем, что ψ = R(r) · Φ(ϕ). Подставляя ψ в предыдущее уравнение и деля на R · Φ, получаем 1 d2 R 1 dR 1 d2 Φ + + 2 + g 2 = 0. 2 R dr rR dr r Φ dϕ2 Данное уравнение распадается на два:

75

1 Φ 1 R

d2 Φ = −κ2 , dϕ2 d2 R 1 dR κ2 + − + g 2 = 0. dr2 rR dr r2

Первое уравнение приводится к виду d2 Φ + κ2 Φ = 0. dϕ2 Решение такого уравнения имеет вид ½ sin κϕ, Φ = cos κϕ. Так как решение периодично по ϕ, то для ϕ = 2π должно выполняться условие 2πκ = 2πm, m = 0, 1, 2, . . . , откуда κ = m, где m принимает указанные значения. Уравнение для R принимает вид d2 R 1 dR m2 + + (g 2 − 2 ) = 0. 2 dr R dr r Это уравнение Бесселя. Его решениями являются функции Бесселя и Неймана Jm (gr) и Nm (gr). Второе решение должно быть отброшено, так как обращается в бесконечность в центре (при r = 0). Поэтому R = Jm (gr). Для ψ мы имели условие В данном случае

∂ψ = 0 на границе сечения волновода. ∂n

∂ψ ∂ψ = . Поэтому граничное условие требует, чтобы ∂n ∂r 0 (ga) = 0, Jm

где a — радиус волновода. Корни производной функции Бесселя обозначим через t0mn : 76

0 gmn a = t0mn ,

откуда t0mn , n = 1, 2, . . . . a Данная формула дает собственные значения задачи, которые зависят от двух индексов. Собственные функции ψmn в данном случае имеют вид 0 gmn =

0 ψmn = Jm (gmn r)

cos mϕ, sin mϕ.

0 соответствуют две собМы видим здесь, что каждому значению gmn ственные функции, кроме случая m = 0, т. е. имеет место двукратное вырождение. Имея выражение для функции ψ, мы можем найти теперь все компоненты полей. Для этого воспользуемся полученными ранее соотношениями для магнитных мод

~ = −γ · grad ψ + g 2 ψ · ~z0 , H ~ = −jωµ · grad ψ × ~z0 . E Учитывая, что составляющие в полярной системе координат функ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ ций grad ( , ) и grad × ~z0 ( , − ), получаем ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r Hz

=

Hr

=

Hϕ

=

Er

=

Eϕ

=

0 2 0 r) gmn · Jm (gmn

cos mϕ, sin mϕ;

∂ψ cos mϕ, 0 0 0 = −jβgmn · Jm (gmn r) sin mϕ; ∂r γ ∂ψ jβm sin mϕ, 0 − = ± Jm (gmn r) cos mϕ; r ∂ϕ r jωµ ∂ψ jωµm sin mϕ, 0 − = ± Jm (gmn r) cos mϕ; r ∂ϕ r ∂ψ cos mϕ, 0 0 0 r) (gmn jωµ · Jm = jωµgmn sin mϕ. ∂r −γ

Критическая длина волны может быть найдена по формуле 77

λmn =

2π 2πa = 0 . 0 gmn tmn

Основная мода соответствует наименьшей величине t0mn . Такой модой является мода H11 , для которой t011 ≈ 1.84. Это наименьший корень уравнения J10 (t) = 0 (табл. 3.1). Таблица 3.1

0 Корни уравнения Jm (t) = 0

m

0

n 1 2 3

1

3.83 7.016 10.17

1.84 5.33 8.53

2

3

4

5

3.05 6.71 9.972

4.20 8.01 11.355

5.32 9.286 12.68

6.42 10.52 13.99

При m = 1 и n = 1 получается мода H11 , по структуре поля родственная моде H10 в прямоугольном волноводе. Компоненты поля для этой моды равны cos ϕ, 0 2 0 Hz = g11 r) · J1 (g11 sin ϕ; Hr

0 0 = −jβg11 · J10 (g11 r)

Hϕ

= ±

Er Eϕ

cos ϕ, sin ϕ;

jβ sin ϕ, 0 r) J1 (g11 cos ϕ; r jωµ sin ϕ, 0 = ± J1 (g11 r) cos ϕ; r

0 0 = jωµg11 · J10 (g11 r)

cos ϕ, sin ϕ.

Структура поля H11 моды представлена на рис. 3.11. H 11 H

E

Рис. 3.11

78

Выше отмечено, что в круглом волноводе мода H11 является двукратно вырожденной. Ей соответствуют две пары векторных функций, отличающихся одна от другой поляризацией на 90o . Волна, произвольно поляризованная, может быть представлена в виде линейной комбинации двух основных собственных функций. Вырождение приводит к ряду неудобств при использовании круглых волноводов с модой H11 для передачи СВЧ-колебаний. При наличии неточностей и неоднородностей вырождение снимается, и постоянные распространения двух типов волн становятся различными. Это приводит к изменению фазовых соотношений составляющих и в результате к изменению вида и плоскости поляризации. Для того чтобы этого избежать, иногда преднамеренно сильно искажают поперечное сечение волновода (рис. 3.12), чтобы маРис. 3.12 лые неточности не могли существенно исказить картину. Волны типа Hm1 могут быть получены из волны H11 путем азимутальной деформации (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Волны H1n получаются наращиванием в радиальном направлении (рис. 3.14). Волны типа Hmn при m > 1, n > 1 получаются аналогичным образом. Особый интерес представляют симметричные моды, из которых первой является мода H01 (n = 1).

Рис. 3.14

79

Компоненты полей этой моды равны Hz Hr Hϕ Er Eϕ

= = = = =

2

0 0 g01 · J0 (g01 r), 0 0 0 0 0 −jβg01 · J0 (g01 r) = jβg01 J1 (g01 r), 0, 0, 0 0 0 0 −jωµg01 · J00 (g01 r) = jωµg01 J1 (g01 r).

Структура поля представлена на рис. 3.15. E H

Рис. 3.15

Отметим, что на стенках волновода магнитное поле имеет только продольную составляющую. Это значит, что токи в стенках имеют только поперечную составляющую и образуют замкнутые линии (рис. 3.16). Особенностью H01 моды являются очень малые потери в стенках, которые уменьшаются с ростом частоты. В связи с этим мода H01 представляет интерес для передачи энергии на большие расстояния (например, в волноводных лиΛ 2 ниях электропередачи). Однако ситуация осложняется тем, что мода H01 не Рис. 3.16 является основной в круглом волноводе. 3.3.2.

Электрические моды

Уравнение для функции φ имеет тот же вид, что и для функции ψ, поэтому решение аналогично, т. е.

80

ψ = Jm (gr)

cos mϕ, sin mϕ.

Граничное условие в этом случае имеет вид φ = 0 при r = a, т. е. Jm (ga) = 0, где a — радиус волновода. Корни функции Бесселя m-го порядка обозначим через tmn : gmn a = tmn , откуда gmn =

tmn , n = 1, 2, . . . . a

Отсюда имеем φmn = Jm (gmn r)

cos mϕ, sin mϕ.

Как видим, функции φ при m 6= 0 также двукратно вырождены. С помощью функции φ можно теперь получить составляющие поля для E-волн: Hz Hr Hϕ

= 0, jωε ∂φ jωεm sin mϕ, = = ∓ Jm (gmn r) cos mϕ; r ∂ϕ r ∂φ cos mϕ, 0 = −jωε = −jωε · gmn Jm (gmn r) sin mϕ; ∂r

Ez

=

2 2 Jm (gmn r) φ = gmn gmn

Er

=

−γ

Eϕ

=

cos mϕ, sin mϕ;

∂φ cos mϕ, 0 = −jβgmn Jm (gmn r) sin mϕ; ∂r γ ∂φ jβm sin mϕ, − = ± Jm (gmn r) cos mϕ. r ∂ϕ r

81

Наиболее простой структурой обладает симметричная E01 мода: Hz Hr Hϕ Ez Er Eϕ

= 0, = 0, = −jωε · g01 J00 (g01 r) = jωεg01 J1 (g01 r), 2 = g01 J0 (g01 r), = −jβg01 J00 (g01 r) = jβg01 J1 (g01 r), = 0.

Структура поля изображена на рис. 3.17.

E

01

Рис. 3.17

Структура полей типа E0n может быть получена сжатием по радиусу. Рассмотрим также структуру полей E11 моды (рис. 3.18).

Рис. 3.18

82

Таблица 3.2 Корни уравнения Jm (t) = 0

m n 1 2 3

0 2.40 5.52 8.65

1

2

3

4

5

3.83 7.016 10.17

5.14 8.42 11.62

6.38 9.76 13.015

7.59 11.06 14.37

8.77 12.34

Корни функции Бесселя Jm (x) приведены в таблице 3.2. 3.3.3.

Волноводные моды в коаксиальной линии

В коаксиальной линии наряду с TEM-волной могут распространяться также волноводные моды, имеющие продольную компоненту электрического или магнитного поля. Рассмотрим коротко H-волны в коаксиальной линии. Уравнение для функции ψ по-прежнему имеет вид ∂2ψ 1 ∂ψ 1 ∂2ψ + + 2 + g 2 ψ = 0. 2 ∂r r ∂r r ∂ϕ2 Данное уравнение распадается на два. В частности, для R(r) мы имели уравнение Бесселя d2 R 1 dR m2 2 + + (g − ) = 0. dr2 R dr r2 Так как сечение линии двусвязно и центр (r = 0) не входит в область поля, то решение должно быть представлено в виде линейной комбинации функции Бесселя Jm (gr) и функции Неймана Nm (gr): R = A · Jm (gr) + B · Nm (gr). Данная функция должна удовлетворять граничным условиям dR = 0 при r = a и r = b (b > a), т. е. dr 0 0 A · Jm (ga) + B · Nm (ga) = 0, 0 0 A · Jm (gb) + B · Nm (gb) = 0.

Полученная система однородных линейных уравнений относительно A и B совместна лишь при равенстве нулю определителя системы 83

0 0 0 0 Jm (ga) · Nm (gb) − Jm (gb) · Nm (ga) = 0. 0 Из данного уравнения можно найти корни gmn , определяющие собственные функции ψmn . Эти корни зависят от радиуса a и отношения b/a (рис. 3.19). Структура полей может быть получена из 2a структуры соответствующих мод в круглом волноводе. Аналогично этому, для электрических мод можно получить дисперсионное уравнение

11 00 00 11

Jm (ga) · Nm (gb) − Jm (gb) · Nm (ga) = 0. Представляет интерес иметь приближенную оценку для критической длины волны низших волноводных мод. Наибольшей критической длиной волны обРис. 3.19 ладает магнитная мода H11 , для которой

2b

a + b , 2 т. е. равна длине средней окружности. Для того чтобы волноводные моды в коаксиальной линии не распространялись, необходимо на коротких волнах уменьшать поперечные размеры этих линий. Данное требование ограничивает допустимые поперечные размеры коаксиальной линии в зависимости от рабочего диапазона длин волн. λ11 ≈ 2π

3.4. Волноводы с сечением сложной формы и квазистатические волноводы Кроме прямоугольных и круглых волноводов точное решение может быть получено также для эллиптических волноводов. Для всех остальных волноводов приходится пользоваться искусственными, приближенными или вычислительными методами. Разработаны вычислительные программы, позволяющие рассчитывать поля и критические частоты для некоторого числа мод низших порядков. В ряде случаев решение может быть получено из решения для круглого или прямоугольного волноводов путем введения в последние проводящих перегородок. Рассмотрим некоторые сечения, получаемые таким образом. 84

Квадратный волновод Нетрудно показать, что для такого типа волны электрические силовые линии перпендикулярны диагональным плоскостям, а линии магнитного поля касательны к этим плоскостям (рис. 3.20). Поэтому если ввести проводящие поверхности в диагональных плоскостях, то граничные условия не нарушаются, а волновод распадается при этом на волноводы треугольного сечения, имеющие ту же критическую волну, что и исходный волновод. Круглый волновод (рис. 3.21) H11

H11 Рис. 3.20

H01

Рис. 3.21

Коаксиальный волновод (рис. 3.22) H11

Рис. 3.22

85

E 11

Отдельный класс волноводов составляют волноводы с сечением, свернутым из сечения прямоугольного волновода (рис. 3.23).

a

Рис. 3.23

Таким образом могут быть получены волноводы, имеющие поперечное сечение, малое по сравнению с длиной волны. Наибольшее применение из этих волноводов получили Н- и П-образные волноводы (см. рис. 3.23).

Рис. 3.24

Наконец, имеются также квазистатические волноводы, образуемые из П-образных путем уменьшения зазора (рис. 3.24). Такие волноводы вдали от критической волны близки к плоской линии. Они имеют критическую волну много больше размеров поперечного сечения. Квазистатическими являются также щелевые волноводы. Так как такие волноводы имеют поперечное сечение, малое по сравнению с дли86

ной волны, то поле в них квазистационарно и для расчетов можно использовать телеграфные уравнения. Рассмотрим, например, щелевой волновод (рис. 3.25). В нем в щели поля поперечны, а в остальной части магнитное поле продольно и поперечно, а электрическим полем можно пренебречь. Эквивалентная схема ячейки будет иметь следующий вид (рис. 3.26).

Рис. 3.25

прод

L1

поп

L1

C1

Рис. 3.26

Здесь Z1

=

jωLпрод , 1

Y1

=

jωC1 +

1 . jωLпоп 1

Постоянная распространения равна s µ p прод γ = Z1 Y1 = jωL1 jωC1 + s =

µ прод

ωL1

1 jωLпоп 1

¶ =

¶ 1 − ωC1 . ωLпоп 1

Очевидно, что распространение имеет место при условии 1 1 − ωC1 < 0, т. е. ω > p поп = ωкр . поп ωL1 L1 C1 87

Если это условие выполнено, то s γ = j

прод

ωL1

µ ωC1 −

1 ωLпоп 1

s

¶ = jω

µ Lпрод C 1 − 1 1

1 ω 2 Lпоп 1 C1

¶ .

1 1 2 = ωкр , Lпрод C1 = 2 . 1 Lпоп c 1 C1 Подставляя эти выражения в формулу для γ, получаем s 2 ωкр ω γ = j 1 − = jβ. c ω2 В то же время

Длина волны в волноводе равна Λ =

2π = β

2π

s ω c

2

λ

= s

λ2 1 − 2 λкр

ω 1 − кр ω2

,

т. е. мы имеем соотношение, аналогичное обычному для волноводов. Применим полученное соотношение к П-образному волноводу с малым зазором (рис. 3.27). b

2a

b

g

h

Рис. 3.27

Здесь

88

C1 Lпоп 1 2 ωкр

ε0 S1 ε0 a = , g g = µ0 Sсеч = µ0 bh (l = 1) , g 1 gc2 = = = . ε0 a µ0 ε0 · abh abh · µ0 bh g =

Отсюда критическая длина волны равна s 2πc λкр = = 2π ωкр

abh . g

Из полученной формулы видно, что, уменьшая размер g, можно сколь угодно увеличить критическую длину волны. Отметим, что критическая волна соответствует резонансу емкости с поперечной индуктивностью. Это не случайность, критическая волна во всех случаях может быть определена как резонансная для поперечного сечения. Пример Мода H10 в прямоугольном волноводе (рис. 3.28).

a

λкр a = . 2 4

2

Таким образом, критическая длина волны для данной моды λкр = 2a. Рис. 3.28

3.5.

Энергетические соотношения для волноводов

Вычислим мощность волны, распространяющейся в волноводе: Z 1 ~ ×H ~ ∗ ) · ~z0 dS. P = Re (E 2 S

Вычислим мощность для H-мод. Для них

89

~ E ~ H

= −jωµ grad ψ × ~z0 · e−γz , = (−γ grad ψ + g 2 ψ~z0 ) · e−γz .

Подставляя это в подынтегральное выражение, вычисляем ~ ×H ~ ∗ ) · ~z0 = jωµγ ∗ [(grad ψ × ~z0 ) × grad ψ] ~z0 · e−γz · e−γ (E = jωµγ ∗ (grad ψ)2 · e−(γ+γ

∗

)z

∗

z

=

.

Подставляя это под интеграл, находим мощность Z ∗ 1 P = Re jωµγ ∗ · (grad ψ)2 · e−(γ+γ )z dS. 2 S

При λ < λкр γ — мнимая величина: γ = jβ, γ ∗ = −jβ. Тогда Z Z 1 1 2 P = ωµβ (grad ψ)2 dS = ωµβgm ψ 2 dS. 2 2 S

S

При λ > λкр γ — вещественная величина. Тогда P = 0. Для E-мод (электрических) аналогично Z 1 2 P = ωεβgm φ2 dS при λ < λкр . 2 S

Обратим внимание на то, что с приближением к критической волне ~ или H ~ β стремится к нулю, а мощность при постоянной амплитуде E убывает до нуля. Это значит, что для передачи заданной мощности напряженность полей приходится увеличивать, что приводит к пробоям и б´ольшему затуханию. Поэтому работа вблизи критической волны невыгодна. Рассмотрим соотношения для плотности энергии. Плотность электрической и магнитной энергии для H-мод равна ε|E|2 2 µ|H|2 2

= =

ε (ωµ)2 · (grad ψ)2 , 2 µ 4 {g · ψ 2 + β 2 (grad ψ)2 }. 2 m 90

Из этих соотношений видно, что плотность энергии магнитного и электрического полей не равны между собой в любой точке внутри волновода. В то же время можно показать, что запасы электрической и магнитной энергии на единицу длины волновода (т. е. в среднем по сечению) равны друг другу. Действительно, Z

Z Z ε|E|2 ε ε 2 dS = · (ωµ)2 (grad ψ)2 dS = (ωµ)2 · gm ψ 2 dS, 2 2 2 S S S Z Z Z µ|H|2 µ 4 µ Wh = dS = gm ψ 2 dS + · β 2 (grad ψ)2 dS = 2 2 2 S S S Z Z Z µ 4 µ 2 2 µ 2 2 2 2 = gm ψ dS + β gm ψ dS = gm (gm + β 2 ) ψ 2 dS. 2 2 2 We =

S

S

S

В то же время 2 gm = k 2 + γ 2 = k 2 − β 2 = ω 2 µε − β 2 .

Подставляя это в выражения для Wh , получаем Z Z µ 2 2 ε 2 Wh = gm ω µε ψ 2 dS = (ωµ)2 · gm ψ 2 dS. 2 2 S

S

Сравнение показывает, что действительно Wh = We . Для нераспространяющихся мод γ — вещественная величина, поэтому преобладает магнитная (для H-мод) или электрическая (для E-мод) энергия, и входное сопротивление оказывается реактивным.

3.6.

Фазовая и групповая скорости

Из полученных ранее соотношений можно найти фазовую скорость (зная длину волны):

vф = Λf = s 1 −

λf µ

λ λкр

c µ

¶2 = s 1 −

λ λкр

¶2 > c.

Таким образом, фазовая скорость больше скорости света, что, однако, не противоречит теории относительности. 91

Найдем групповую скорость. Она может быть определена как скорость перемещения максимума биений волн двух близких частот. Пусть мы имеем сумму двух волн близких частот n e j(ω1 t−β1 z) + e j(ω2 t−β2 z) = e j(ω1 t−β1 z) · 1 + e j[(ω2 −ω1 )t

− (β2 −β1 )z]

o .

Максимум соответствует условию (ω2 − ω1 ) t − (β2 − β1 ) z = 0. Отсюда, сближая ω и β и беря малые интервалы t и z, получаем в пределе ∆ω · ∆t = ∆β · ∆z = 0, откуда vгр =

dω dz = dt dβ

ω . β Найдем групповую скорость для волновода:

в отличие от фазовой скорости vф =

dω 1 = . dβ dβ/dω sµ s µ ¶2 ¶2 λкр λ 2π 2π 2π 1 − β = = = − 1 = Λ λ λкр λкр λ sµ ¶2 ω 2π = − 1. λкр ωкр vгр =

2 2ω/ωкр 2πω dβ 2π 1 sµ sµ = = = 2 ¶2 ¶2 dω λкр λкр ωкр ω ω 2 − 1 − 1 ωкр ωкр

=

2π ·s λкр ωкр

1 µ 1 −

ωкр ω

1 ¶2 = c · s

1 µ 1 −

Отсюда 92

λ λкр

¶2 .

s vгр = c

µ

1 −

λ λкр

¶2 < c.

Для волновода получаем простое соотношение, связывающее фазовую и групповую скорости (рис. 3.29): vгр · vф = c2 . Иногда употребляют другое определение групповой скорости: vгр =

v

P , W

Φ

c

v

где P — мощность в волноводе, W — средний запас энергии на единицу длины волновода. Используя полученные ранее соотношения, имеем (для H-волн) P

λkp

Рис. 3.29

Z

=

1 2 ωµβgm 2

=

ε 2 (ωµ)2 · gm 2

ψ 2 dS, S

W

Γp

Z ψ 2 dS. S

Отсюда vгр =

P β = . W ωµε

Фазовая скорость, как было определено выше, vф =

ω . β

Подставляя ω/β в выражение для vгр , находим vгр · vф =

1 = c2 . εµ

Сравнивая с найденным ранее соотношением, находим, что оба определения групповой скорости дают одинаковый результат. 93

3.7.

Волны Бриллюэна

Волны в волноводе можно рассмотреть еще в одном аспекте. Бриллюэном было отмечено, что существует связь между однородными плоскими волнами и волнами в прямоугольном волноводе. Эта связь может быть обнаружена также в волноводах другой формы. Например, для моды H10 в прямоугольном волноводе

Ey = −

jωµπ πx −jβz sin ·e a a

! !  πx −βz πx +βz   j −j jωµπ a = − e a − e ,  2a 

λ

т. е. является суммой двух плоских волн. Рассмотрим волну H10 в прямоугольном волноводе. В этом случае поле можно представить в виде двух плоских волн, распространяющихся под углом друг к Λ другу между двумя плоскостями (образованными широкими стенπ ками) (рис. 3.30). 2 θ θ Чтобы это показать, рассмотz рим две плоские волны, распроθ x страняющиеся между параллельными проводящими плоскостями под углами ±θ к оси z. Тогда неΛ λ трудно видеть, что = cos θ, Λпрод Рис. 3.30 λ = sin θ. Λпоп В то же время две волны в поперечном к z сечении дают стоячую волну, Λ причем расстояние между минимумами равно поп . Если угол θ выбран 2 так, чтобы расстояние между минимумами было равно a, то на линии минимума можно поместить проводящие стенки, не нарушая картину поля. Таким образом, получаем Λпоп λ = a, или sin θ = . 2 2a Очевидно, что такое соотношение можно выполнить лишь при условии, что 94

λ < 2a, т. е. λкр = 2a. Теперь можно определить длину волны в направлении оси z: Λпрод =

λ λ λ = p = s µ ¶2 . 2 cos θ 1 − sin θ λ 1 − λкр

Кроме того, следует отметить, что при приближении к критической π волне угол θ приближается к , т. е. вблизи критической волны рас2 пространение в основном поперечно. Полученные соотношения позволяют найти также и групповую скорость

vгр = c · cos θ = c ·

s

p

2

1 − sin θ = c ·

µ 1 −

λ λкр

¶2 .

Для волн Hmn и Emn в прямоугольном волноводе поле в общем случае может быть получено в виде суммы четырех плоских волн, распространяющихся под одинаковым углом к оси z. В случае более сложных волноводов поле может быть получено суммированием бесконечного числа плоских волн, направление распространения которых образуют конус с углом θ при вершине. Если заранее искать решение в виде суммы плоских волн, то можно получить интегральное уравнение для функций ψ и φ.

3.8.

Затухание в волноводах

В волноводе с металлическими, неидеально проводящими стенками часть мощности теряется в стенках. Это приводит к затуханию распространяющихся волн. Формально это выражается в том, что для частот выше критической величина постоянной распространения оказывается уже не чисто мнимой, а появляется вещественная часть, обусловливающая затухание. Изменяется также и мнимая часть вследствие проникновения поля в стенку на толщину скин-слоя. Изменение постоянной распространения γ вследствие потерь может быть вычислено приближенно в рамках теории возмущений. Предположим, что некоторая мода при отсутствии потерь описывается векторными функциями E~m · e−γ0 z , H~m · e−γ0 z . При появлении малых потерь 95

~ · e−γz , H ~ · e−γz . Предвекторные функции несколько изменяются: E положим, что при малом затухании эти функции мало отличаются от невозмущенных. Во всяком случае, это имеет место при отсутствии вырождения. Для вычисления γ воспользуемся тем, что векторные функции удовлетворяют уравнениям Максвелла: ~ m · e−γ0 z ) rot (E ~ m · e−γ0 z ) rot (H ~ · e−γz ) rot (E ~ · e−γz ) rot (H

~ m e−γ0 z , = −jωµ0 H ~ m e−γ0 z , = jωε0 E ~ −γz , = −jωµ0 He ~ −γz , = jωε0 Ee

Пользуясь тождеством rot (Φ · F~ ) = Φ · rot F~ + grad Φ × F~ , после сокращения экспонент получаем ~ ∗ + γ0 · ~z0 × E ~∗ rot E m m ∗ ∗ ~m ~m rot H + γ0 · ~z0 × H ~ − γ · ~z0 × E ~ rot E

=

~ − γ · ~z0 × H ~ rot H

=

= =

∗ ~m jωµ0 H , ∗ ~ m, −jωε0 E

~ −jωµ0 H, ~ jωε0 E.

Здесь γ0∗ = −γ0 , так как γ0 — мнимая величина. Составим выражение ∗ ∗ ~ + div (E ~ ×H ~m ~m ) = × H) div (E ∗ ∗ ∗ ∗ ~ · rot E ~m ~m ~ + H ~m ~ − E ~ · rot H ~m = H − E · rot H · rot E = ∗ ∗ ∗ ~ · (jωµ0 H ~m ~m ~m ~ + γ~z0 × H) ~ − = H − γ0 ~z0 × E ) + E · (jωε0 E ∗ ∗ ∗ ~m ~ + γ~z0 × E) ~ − E ~ · (−jωε0 E ~m ~m +H · (−jωµ0 H − γ0 · ~z0 × H ) = ∗ ∗ ∗ ∗ ~ ·(~z0 ×E ~m ~m ~ + γ·H ~m ~ + γ0 ·E·(~ ~ z0 ×H ~m = −γ0 ·H ) − γ·E ·(~z0 ×H) ·(~z0 ×E) ) = ∗ ∗ ∗ ∗ ~m ~ + γ·~z0 ·(E ~m ~ + γ·~z0 ·(E× ~ H ~m ~ H ~m = −γ0 ·~z0 ·(E ×H) ×H) ) − γ0 ·~z0 ·(E× ) = ∗ ∗ ~m ~ + E ~ ×H ~m = (γ − γ0 ) · (E ×H ) · ~z0 .

Проинтегрируем полученное равенство по сечению волновода: 96

I

Z ∗ ∗ ∗ ∗ ~ ~ ~ ~ ~m ~ + E ~ ×H ~m (Em × H + E × Hm ) · ~n dC = (γ − γ0 ) (E ×H ) · ~z0 dS,

C

S

откуда H γ = γ0 + RC S

∗ ∗ ~m ~ + E ~ ×H ~m (E ×H ) · ~n dC ∗ ×H ∗ )·~ ~m ~ + E ~ ×H ~m (E z0 dS

.

Здесь ~n — единичный вектор нормали, направленный в стенку; C — контур сечения волновода, S — сечение волновода. Интеграл I ∗ ~m ~ ~n dC = 0 (E × H) C ∗ ~m вследствие граничных условий для E . Далее, согласно условию Леонтовича,

~ t = ζ · (H ~ × ~n) ≈ ζ · (H ~ m × ~n) E на контуре поперечного сечения C. Последнее приближенное равенство связано с предположением, что наличие потерь мало изменяет поле. Второй интеграл в числителе равен I

I ∗ ~ ×H ~m (E ) ~n dC =

C

I h i ∗ ~ m × ~n) × H ~m ζ · (H ~n dC = ζ · |H~m |2 dC.

C

C

~ иH ~ могут быть приближенно заменены на E ~m и В знаменателе E ~ m: H Z

Z ∗ ∗ ~m ~ + E ~ ×H ~m (E ×H ) · ~z0 dS ≈

S

∗ ∗ ~m ~m + E ~m × H ~m (E ×H ) · ~z0 dS = S

Z ∗ ~m × H ~m (E ) · ~z0 dS .

= 2 Re S

Итак, окончательно имеем 97

γ ≈ γ0

H ~ m |2 dC ζ · |H C + . R ∗ )·~ ~m × H ~m 2 Re (E z0 dS S

В результате мы можем вычислить мнимую и вещественную добавки к γ вследствие потерь в стенках волновода:

α

=

H ~ m |2 dC Re ζ |H 1 C , R ∗ )·~ ~m × H ~m 2 Re (E z0 dS S

∆β

=

H ~ m |2 dC Im ζ |H 1 C . R ~m × H ~ ∗ ) · ~z0 dS 2 Re (E m S

Учитывая, что ζ =

1 + j , δσ

а также, что P1потерь =

1 2δσ

I ~ m |2 dC |H C

— мощность потерь на единицу длины волновода и Z 1 ∗ ~m × H ~m P = · Re (E ) · ~z0 dS 2 S

— мощность волны в волноводе, окончательно получаем P1пот . 2P Затухание может быть также представлено в виде α = ∆β =

α =

P1пот P1пот = , 2P 2vгр W

где W =

µ0 2

Z ~ m |2 dS |H S

98

— запас энергии на единицу длины в волноводе; s λ2 vгр = c · 1 − 2 λкр — групповая скорость в волноводе. Подставляя эти соотношения в выражение для α, получаем H 1 H ~ 2 ~ m |2 dC |Hm | dC |H 2δσ C 1 1 C s s α = = . R ~ m |2 dS 2δσµ c 2 2 0 R |H µ0 λ λ 2 ~ 2 |H | dSc 1 − 2 1 − 2 S 2 S m λкр λкр Однако σ =

1 . µм ωδ 2

Подставляя σ в последнее выражение для α, получаем H ~ m |2 dC |H π δ µм 1 C s α = ∆β = . R ~ m |2 dS 2 λ µ0 2 |H λ 1 − 2 S λкр Напомним условия, при которых получена эта формула. Предполагается, что в волноводе появление потерь мало изменяет поле. Это условие может быть нарушено в следующих случаях: а) близость к критической волне, б) наличие вырождения. Легко получить формулу, которая остается корректной в окрестности критической частоты. Для этого рассмотрим полученную ранее точную формулу H ∗ ∗ ~m × H ~ + E ~ ×H ~m (E ) · ~n dC C . γ = γ0 + R ∗ )·~ ∗ ×H ~ + E ~ ×H ~m ~m z0 dS (E S

Для определенности рассмотрим случай магнитных мод. В этом случае поперечная часть магнитного поля и электрическое поле связаны соотношением 99

поп ~m H =

γ0 ~ m. ~z0 × E jωµ0

Для критической частоты γ0 обращается в нуль. Поэтому при замене ~ поп на H ~ m знаменатель согласно теории возмущений в знаменателе H обращается в нуль, что и приводит к некорректности. Это можно из~ через E ~ по формуле, менить, выразив первоначально в знаменателе H аналогичной приведенной выше: ~ поп = H

γ ~ ~z0 × E. jω · µ0

~ на E ~ m в соответствии с теорией возмущений: После этого заменим E H ∗ ∗ ~m × H ~ + E ~ ×H ~m jω · µ0 (E ) · ~n dC C

γ − γ0 =

R H

~ m |2 + γ0 |E ~ m |2 ) dS (γ|E

=

S

∗ ∗ ~ + E ~ ×H ~m ~m jω · µ0 (E ×H ) · ~n dC C = . R ~ m |2 dS (γ + γ0 ) |E S

Умножая обе стороны равенства на γ + γ0 , получаем H ∗ ∗ ~m × H ~ + E ~ ×H ~m jω · µ0 (E ) · ~n dC γ 2 − γ02 =

C

R

~ m |2 dS |E

.

S

Данное соотношение остается корректным и для критической частоты. На критической частоте γ0 = 0. Поэтому постоянная распространения получается путем извлечения корня квадратного. В результате затухание на этой частоте резко увеличивается, но остается конечным. Аналогично решается задача и для электрических мод. Вычислим затухание для некоторых случаев. Прямоугольный волновод. Мода H10 Компоненты магнитного поля этой моды равны

100

³ π ´2

πx cos , a a jπβ πx = sin , a a = 0.

Hz

=

Hx Hy Отсюда |H|

2

=

³ π ´4 a

πx cos + a

µ

2

πβ a

¶2 sin2

πx . a

Интеграл по сечению волновода равен (

Z 2

|H| dS = b

a ³ π ´4 a + 2 a 2

µ

πβ a

¶2 )

· ¸ ab ³ π ´2 ³ π ´2 2 = = + β 2 a a

S

=

ab ³ π ´2 4π 2 , 2 a λ2

так как ³ π ´2

+ β 2 = g2 + β 2 = k2 =

a Интеграл по контуру сечения I |H|2 dC = 2

³ π ´4 a

4π 2 . λ2

" µ ¶2 # ¶ ³ π ´4 µ a ³ π ´4 πβ 4a3 = b + 2· + 2b + 2 = 2 a a a λ

C

=

³ π ´4 a

Ã

λ2кр 2b + a 2 λ

! .

Подставляя эти интегралы в выражение для α, получаем µ ¶4 µ ¶ λ2кр π 2b + a 2 a λ π δ µм 1 s α = · · = µ ¶2 2 2 λ µ0 ab π 4π λ2 1 − 2 2 a λ2 λкр 101

µ ¶ 2b λ2 1 + a λ2кр πδ µм s = . λb µ0 λ2 1 − 2 λкр Пример Прямоугольный волновод 10 × 23 мм2 , медь; λ = 3 см, µм = µ0 , b = 1 см, a = 2.3 см, λкр = 4.6 см, δ ≈ 0.64 · 10−4 см, f = 1010 Гц. ¡ 3 ¢2 2 · 4.6 π · 0.64 · 10−4 1 + 2.3 −4 · q α = ¡ 3 ¢2 ≈ 1.14 · 10 неп/см = 1·3 1 − 4.6 = 9.9 · 10−4 дБ/см = 9.9 · 10−2 дБ/м. Изменение затухания α в зависимости от частоты представлено на рис. 3.31.

α

ω

ω kp Рис. 3.31

Круглый волновод. Мода H01

Hz Hr Eϕ

2

0 0 r), · J0 (g01 = g01 0 0 = jβg01 · J1 (g01 r), 0 0 = −jωµg01 · J1 (g01 r).

102

На поверхности стенки магнитное поле имеет только z-ю компоненту (Hz 6= 0), поэтому I 0 4 2 0 |H|2 dC = 2πa · g01 J0 (g01 a). C

R Далее, вычисление |H|2 dS удобно заменить вычислением интеграS R ла |E|2 dS, так как E имеет только одну составляющую: S

Z |H|2 dS = S

ε0 µ0

Z

ε0 2 2 0 2 ω µ0 g01 µ0

|E|2 dS = S

2πω 2 0 2 = g c2 01

Z 0 J12 (g01 r)2πr dr = S

Za 0 J12 (g01 r)r dr. 0

Интеграл может быть вычислен и оказывается равным Za 0 J12 (g01 r)r dr = 0

a2 2 0 J (g a). 2 0 01

Подставляя эти интегралы в выражение для α, получаем Z πω 2 0 2 2 2 0 g a J0 (g01 a). |H|2 dS = c2 01 S

Теперь можно вычислить α (при µм = µ0 ): α =

πδ 2λ

s

4

1

2c 1 −

=

λ2 λ2кр

0 0 a) J02 (g01 2πa · g01 = 2 πω 0 2 2 2 0 g a J0 (g01 a) c2 01

πδ s λa

λ2 λ2кр λ2 1 − 2 λкр

.

Из данного соотношения следует, что с уменьшением длины волны затухание убывает как λ3/2 (так как δ ∼ λ1/2 ). Это убывание является 103

следствием того, что отсутствуют продольные токи в стенках, а поперечные токи убывают с ростом частоты. Коротко остановимся еще на потерях в среде, заполняющей волновод, предполагая, что потери малы. Как и прежде, α =

Pпот1 . 2vгр W

При этом Pпот1

σ = 2

Z |E|2 dS, S

где σ — проводимость среды. В то же время Z ε W = E 2 dS, 2 S

поэтому α =

σ = 2vгр ε

ω tan θ s 2c 1 −

2

λ λ2кр

=

π tan θ s , λ λ2 1 − 2 λкр

σ = tan θ. ωε Аналогичные вычисления могут быть проделаны и для других мод как в прямоугольном, так и в круглом волноводе. где

4. ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ В РАСЧЕТАХ ВОЛНОВОДОВ 4.1.

Волноводная линия передачи

До сих пор нас интересовала лишь структура полей различных мод и критические длины волн. Исследуем теперь распространение волн в волноводе. Рассмотрим волновод, работающий в области частот, где может распространяться лишь одна основная мода. Высшие моды предполагаются нераспространяющимися и быстро затухающими.

104

Как сказано ранее, решение состоит из двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и отличающихся множителями e±jβz . Существование той или иной из этих волн определяется условиями возбуждения (условие излучения). Если полубесконечный волновод возбуждается в начале генератором, то в нем существует лишь одна волна, распространяющаяся в направлении от генератора (рис. 4.1). Предположим, что в волноводе существует неоднородность, например проводник поперек волновода. Тогда вблизи проводника Рис. 4.1 основной моды недостаточно для удовлетворения граничным условиям, так как добавляется еще условие на проводнике. В общем случае граничным условиям можно удовлетворить, если записать решение в виде суммы прямой и обратной волн основной моды и высших мод с соответственно подобранными коэффициентами. Так как поля высших мод быстро затухают, то на некотором расстоянии от неоднородности волна вновь будет представлять собой основную моду. Но при этом слева от неоднородности теперь будет две волны: прямая и отраженная, а справа по-прежнему только прошедшая падающая волна. Таким образом, обратная волна возникает вследствие отражения от неоднородностей в волноводе. Отражение можно характеризовать коэффициентом отражения Γ, равным отношению комплексных амплитуд отраженной и падающей волн: b , a где a и b — амплитуды падающей и отраженной волн. Комбинация падающей и отраженных волн дает стоячую волну, характеризуемую коэффициентом стоячей волны напряжения (КСВН): Γ =

ρ =

|a| + |b| . |a| − |b|

Рассмотрим неоднородность, образуемую металлической пластиной, закрывающей все сечение волновода. На этой пластине поперечное электрическое поле равно нулю. Такому граничному условию можно удовлетворить с помощью суммы падающей и отраженной волн одинаковой амплитуды, взятых с обратным знаком для поперечного электрического 105

поля. Нетрудно видеть, что поперечные составляющие магнитного по∂ψ ∂ψ ля при этом на пластине складываются (Ey = −jωµ , Hx = −jβ ). ∂x ∂y При этом коэффициент отражения равен −1. Такую неоднородность естественно назвать “коротким замыканием” волновода. Разомкнутый волновод получить достаточно трудно, так как открытый конец волновода сильно излучает в пространство. Идеальный холостой ход можно было бы получить, замыкая конец волновода пластиной из идеального магнетика с µ = ∞. Того же можно достичь, закорачивая волновод пластиной на расстоянии Λ/4 от того сечения, где необходимо получить условие холостого хода. Анализируя волны в волноводе, мы встретимся с понятиями, которые прежде были введены для TEM-линий, описываемых телеграфными уравнениями. Эта аналогия может быть проведена значительно дальше. Проведение такой аналогии позволяет использовать для расчетов характеристик волноводных устройств результаты, полученные в теории цепей и TEM-линий.

4.2. Телеграфные уравнения для H-волн в волноводе Поля в волноводе удовлетворяют уравнениям Максвелла ~ rot E ~ rot H

~ = −jωµH, ~ = jωεE.

Путем разделения переменных из этих уравнений можно получить телеграфные уравнения. Для этого запишем поля H-мод в виде (учитывая, что Ez = 0 для H волн) ~ E ~ H

~ поп = V (z) · ~e(x, y), = E ~ поп + H ~ z = I(z) · ~h(x, y) + H ~ z, = H ~ причем векторные функции ~e и h имеют только поперечные составляющие и зависят только от поперечных координат. Подставляя эти поля в первое уравнение Максвелла и выделяя поперечные составляющие, получаем [rot (V · ~e )]поп = −jωµ · I · ~h. 106

Заметим, что rot (V · ~e ) = V · rot ~e + grad V × ~e. Первое слагаемое не dV имеет поперечных составляющих. Так как grad V = · ~z , то dz 0 dV · ~z0 × ~e = −jωµI · ~h. dz Умножим это уравнение на ~h: dV · (~e × ~h) · ~z0 = −jωµ · (~h)2 · I. dz Подставим теперь выражения для полей во второе уравнение Максвелла: dI ~ z ]поп = jωεV · ~e; · (~z0 × ~h) + [rot H dz так как ~h = −γ · grad ψ, то rot ~h = 0. ~ z имеет только поперечные составляющие. Кроме Заметим, что rot H того, ~z H ~ E

2 = gm ψ · ~z0 · e−γz ,

= −jωµ · rot (ψ · ~z0 · e−γz ),

поэтому ~ z, ~ = − jωµ rot H E 2 gm откуда 2 2 ~ z = − gm E ~ = − gm V · ~e. rot H jωµ jωµ

Подставляя это в соответствующее уравнение и умножая на ~e, получаем µ 2 ¶ dI gm ~ (~e × h) · ~z0 = − + jωε ~e 2 · V. dz jωµ Проинтегрируем полученные уравнения по сечению волновода S. Величины интегралов определяются условиями нормировки. Мощность падающей волны в волноводе равна 107

P =

Z Z 1 ~ ×H ~ ∗ ) · ~z0 dS = 1 Re V I ∗ (~e × ~h) ~z0 dS. Re (E 2 2 S

S

Исходя из последнего выражения для мощности, естественно принять нормировку ~e и ~h такой, чтобы Z (~e × ~h) ~z0 dS = 1. S

Далее, 1 |V |2 2

Z ε~e 2 dS = We =

C1 |V |2 2

S

— электрическая энергия на единицу длины волновода. Здесь Z C1 = ε~e 2 dS S

— эквивалентная емкость на единицу длины линии. Аналогично Z 1 2 Lпрод |I|2 Whпоп = |I| µ~h2 dS = 1 2 2 S

— магнитная энергия на единицу длины волновода, связанная с поперечными компонентами магнитного поля; здесь Z прод = µ~h2 dS L1 S

прод

— продольная индуктивность на единицу длины. Подставляя C1 и L1 в соответствующие уравнения, получаем dI dV V I, . = −jωLпрод = −jωC1 V − 1 2 C dz dz jωµε/gm 1 Но 1 µε = 2 = Lпоп 1 2 C gm ω C 1 m 1 — поперечная индуктивность на единицу длины. В этих обозначениях уравнения приобретают форму 108

dV dz dI dz

=

−jωLпрод I, 1

=

−(jωC1 +

1 ) V. jωLпоп 1

Это телеграфные уравнения для волн H-типа в однородном волноводе. Аналогичным образом можно получить уравнения для E-волн (вместо Lпоп нужно ввести C1прод ). 1 Из полученных уравнений следует, что Z1 = jωLпрод , 1

Y1 = jωC1 +

1 . jωLпоп 1

Необходимо отметить, что приведенное выше определение тока и напряжения в волноводе не определяет их однозначно. В самом деле, умножим напряжение на произвольный постоянный множитель, а ток разделим на такой же множитель. Тогда нормировка по мощности сохраняется. В телеграфных уравнениях Z1 и Y1 изменятся так, что их произведение остается прежним (т. е. постоянная распространения сохраняется), а отношение, т. е. волновое сопротивление, изменяется. Следовательно, волновое сопротивление определено неоднозначно. Например, для прямоугольного волновода (с модой H10 ) волновое сопротивление определяют следующими способами. Определим ток I как интеграл от продольной составляющей плотности тока на широкой стенке. Тогда волновое сопротивление определяется следующей формулой: 1 2 |I| · ZI . 2

P = Мощность равна

P =

1 2

Z Ex · Hy∗ dx dy = S

1 2

Z Aωµ sin S

=

ab 2 A ωµβ. 4

Ток равен

109

πx πx · Aβ sin dx dy = a a

Za I =

Za Hx dx =

0

Aβ sin 0

πx 2a dx = Aβ. a π

Отсюда волновое сопротивление равно ZI =

p µ/ε 2P π 2 b ωµ π2 b q = = . |I|2 8 a β 8 a 1 − λ2 /λ2 кр

Аналогично можно ввести волновое сопротивление через напряжение в центре волновода: p µ/ε |U |2 b ZU = = 2 q . 2P a 1 − λ2 /λ2 кр

4.3.

Оконечное устройство (двухполюсник) Предположим, что к концу волновода присоединено замкнутое электродинамическое устройство (рис. 4.2). Для замкнутой поверхности, окружающей оконечное устройство, справедлива теорема Пойнтинга

Рис. 4.2

1 2

I ~H ~ ∗ )~n dS = P + 2jω (Wh − We ). (E S

Так как поля везде, кроме сечения волновода, равны нулю, то поверхностный интеграл обращается в интеграл по сечению волновода. ~ иH ~ и учитывая условие нормировки, получим Подставляя E 1 U · I ∗ = P + 2jω(Wh − We ). 2 Данное соотношение аналогично полученному в теории цепей и позволяет ввести полное сопротивление и проводимость. 4.3.1.

Полное сопротивление и проводимость

Введем полное сопротивление и полную проводимость следующим образом: 110

U I , Y = . I U Полученное соотношение позволяет найти энергетические выражения для этих величин. А именно, подставляя U = Z I, получаем Z =

1 2 |I| Z = P + 2jω (Wh − We ), 2 откуда Z =

P + 2jω(Wh − We ) = R + jX. 1 2 |I| 2

Аналогично этому, подставляя I = Y U , получаем Y =

P + 2jω(We − Wh ) = G + jB. 1 |U |2 2

Из этих соотношений имеем Z ∗ (jω) = Z(−jω),

Y ∗ (jω) = Y (−jω),

Z(jω) + Z(−jω) , 2 Z(jω) − Z(−jω) , X = Im Z = 2j Y (jω) + Y (−jω) G = Re Y = , 2 Y (jω) − Y (−jω) B = Im Y = . 2j R = Re Z =

Отсюда следует, что R, G — четные функции частоты, X, B — нечетные функции частоты. Кроме того: 1) R > 0, так как P > 0; 2) Если P = 0, то Z — чисто мнимая величина; 3) Если Wh − We = 0, то X = 0 или B = 0, что соответствует резонансу. 4.3.2.

Волны в оконечном устройстве

Рассмотрим падающую и отраженную волны на зажимах оконечного устройства. Обозначим комплексные амплитуды падающей и отраженной волн через a и b. Коэффициент отражения определим как 111

b . a При этом мощности падающей и отраженной волн равны Γ =

1 2 1 2 |a| , Pотр = |b| . 2 2 Так как электрические поля падающей и отраженной волн складываются, а магнитные — вычитаются, то Pпад =

U = p (a + b) = p a(1 + Γ), 1 1 I = (a − b) = a(1 − Γ). p p Множители p и 1/p обратны в силу нормировки по отношению к мощности. Отсюда сопротивление оконечного устройства равно Z =

U 1 + Γ = p2 . I 1 − Γ

При Γ = 0 должно быть Z = Z0 , откуда p2 = Z0 . Решая относительно Γ, получаем Γ =

Z − Z0 . Z + Z0

Как указано выше, выбор волнового сопротивления неоднозначен. В ряде случаев удобно выбирать ток и напряжение так, чтобы волновое сопротивление было равно единице, т. е., по существу, нормировать сопротивление нагрузки на волновое сопротивление. Тогда 1 + Γ z − 1 , Γ = . 1 − Γ z + 1 Аналогично — для проводимости. При любом p, подставляя напряжение и ток в выражение для U · I ∗ , получаем z =

(1 + Γ)(1 − Γ∗ )

1 2 |a| = P + 2jω(We − Wh ), 2

откуда

112

(1 + Γ)(1 − Γ∗ ) =

P + 2jω(We − Wh ) . 1 2 |a| 2

Разделяя вещественные и мнимые части, получаем 1 − Γ · Γ∗ =

(Γ − Γ∗ ) =

P , 1 2 |a| 2

2jω(We − Wh ) . 1 2 |a| 2

Так как P > 0, то Γ·Γ∗ 6 1 и |Γ| 6 1. Полученные выше соотношения позволяют найти Γ: Γ =

√

1 − P 0 · e jϕ ,

причем sin ϕ =

Im Γ P . , P0 = 1 2 |Γ| |a| 2

Полученные результаты могут быть обобщены на случай, когда соединены несколько волноводных линий передачи, причем в общем случае волноводы могут иметь различные сечения.

4.4.

Соединение нескольких волноводов

Пусть дано соединение N волноводов. Это соединение поместим в замкнутую поверхность S, пересекающую все волноводы по плоскостям, перпендикулярным их осям (рис. 4.3). Использование комплексной теоремы Пойнтинга с учетом нормировки поперечных векторных функций дает в этом случае 1 X Un · In∗ = P + 2jω (Wh − We ), 2 n

113

S

Рис. 4.3

где P — средняя рассеиваемая в соединении мощность; Wh и We — средние запасы энергии магнитного и электрического полей; n — номер входа. 4.4.1.

Матрицы сопротивления и проводимости

Из линейности уравнений Максвелла следует линейная зависимость напряжений от токов X Znm Im . Un = m

Коэффициенты Znm образуют матрицу Z = {Znm } , называемую матрицей полного входного сопротивления многополюсника. Указанное выше соотношение может быть записано в матричной форме U = Z I, где U (U1 , U2 , . . . , UN ) и I (I1 , I2 , . . . , IN ) — совокупности напряжений и токов входов. Это соотношение может быть обращено: I = Y U, где Y = {Ynm } — матрица полной проводимости. Очевидно, что Y = Z −1 . Полученное выше соотношение может быть записано в виде 1 U I ∗ = P + 2jω (Wh − We ) 2 или, подставляя U = Z I, 114

1 ∗ I ZI = P + 2jω (Wh − We ). 2 4.4.2.

Симметрия матрицы сопротивления (проводимости)

Матрицы полного сопротивления и полной проводимости обладают важным свойством симметрии. Это свойство может быть доказано с помощью леммы Лоренца. Предположим, что в некоторой области V известны два решения однородных уравнений Максвелла при одной и той же частоте. Все величины, соответствующие этим решениям, будем обозначать индексами 1 и 2 сверху. Рассмотрим выражение ~ (1) × H ~ (2) ) − div (E ~ (2) × H ~ (1) ) = H ~ (2) rot E ~ (1) − E ~ (1) rot H ~ (2) − div (E ~ (1) rot E ~ (2) + E ~ (2) rot H ~ (1) . −H Правая часть в силу уравнений Максвелла равна ~ (2) µH ~ (1) − jω E ~ (1) εE ~ (2) + jω H ~ (1) µH ~ (2) + jω E ~ (2) εE ~ (1) −jω H и обращается в нуль, если µ и ε — скаляры или симметричные тензоры∗ . Итак, получаем равенство ~ (1) × H ~ (2) ) − div (E ~ (2) × H ~ (1) ) = 0, div (E которое является выражением леммы Лоренца в дифференциальной форме. Интегрируя по объему V , ограниченному поверхностью S, переводим эту лемму в интегральную форму (преобразуя объемный интеграл в поверхностный): I ~ (1) × H ~ (2) − E ~ (2) × H ~ (1) } ~n dS = 0. {E S

Выберем поверхность S так, чтобы она охватывала волноводное сочленение снаружи, пересекая волноводы по плоскостям, перпендикулярным оси волноводов. Выражая поле в волноводах через напряжения ∗ Величины µ и ε могут быть комплексными, если присутствуют потери в стенках и среде, заполняющей пространство.

115

и токи и учитывая нормировку векторных функций, получаем следующее равенство: X [Un(1) · In(2) − Un(2) · In(1) ] = 0. n

Здесь n — номер волновода. Данное уравнение справедливо для любых двух совокупностей напряжений, приложенных к зажимам соединения, и соответствующих токов. Полученное уравнение можно записать в матричной форме: U (1) I (2) − U (2) I (1) = 0. Здесь U и I — совокупности (матрицы) напряжений и токов, причем напряжения и токи связаны матричным соотношением U = Z I. Подставляя это в написанное выше уравнение, получаем I (2) Z I (1) − I (1) Z I (2) = 0. Переставляя сомножители в первом слагаемом, согласно известному свойству матриц, получаем I (1) Z T I (2) − I (1) Z I (2) = 0, где Z T — транспонированная матрица. Так как полученное соотношение выполняется для произвольных токов I (1) и I (2) , то из этого следует, что Z T = Z, т. е. матрица Z действительно симметрична. Условием этого является справедливость леммы Лоренца, для чего необходимо и достаточно, чтобы µ и ε среды были либо скалярами, либо симметричными тензорами. Симметрия матрицы полного сопротивления Z является выражением известного принципа взаимности. Аналогично может быть доказано свойство симметрии матрицы проводимости Y . 4.4.3.

Многополюсное сочленение без потерь

Во многих случаях сочленение обладает настолько малыми потерями, что ими можно пренебречь и рассматривать сочленение без потерь. В этом случае, как увидим дальше, все элементы матрицы сопротивления (и проводимости) представляют собой чисто мнимые величины. Будем исходить из найденного выше соотношения 116

1 ∗ 1 X ∗ I Znm Im = P + 2jω (Wh − We ). I ZI = 2 2 n,m n В случае устройства без потерь P = 0 и 1 X ∗ I Znm Im = 2jω (Wh − We ), 2 n,m n т. е. сумма является чисто мнимой. Покажем, что в этом случае все элементы Znm чисто мнимые. Для этого рассмотрим такой режим, когда все зажимы, кроме одного, разомкнуты, т. е. все In = 0, кроме одного тока Ik 6= 0. Тогда приведенная выше сумма сводится к одному слагаемому: 1 Zkk Ik∗ Ik = 2jω (Wh − We ), 2 откуда следует, что все диагональные элементы Zkk — чисто мнимые. Теперь рассмотрим режим, когда все In равны нулю, кроме двух токов Ik 6= 0 и Im 6= 0. Тогда в сумме остается четыре члена: 1 ∗ ∗ {Ik Ik∗ Zkk + Im Im Zmm + Im Zmk Ik + Ik∗ Zkm Im } = 2jω (Wh − We ). 2 Если Zmk = Zkm , то для выполнения этого равенства должно быть ∗ Re (Im Ik + Ik∗ Im )Zmk = 0. ∗ Так как сумма Im Ik + Ik∗ Im вещественна, то из этого равенства следует, что

Re Zmk = 0, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что в данном случае все элементы матрицы проводимости также мнимы. 4.4.4. Вариация матрицы сопротивления (проводимости) сочленения без потерь Элементы матрицы полного сопротивления (проводимости) являются функционалами векторных функций электрического и магнитного полей. Если варьировать функции полей, то элементы матрицы сопротивления также будут варьироваться. 117

Для вычисления их вариации будем исходить из соотношения Z I ∗ ZI = 4jω (Wh − We ) = jω (µ|H|2 − ε|E|2 ) dV, V

где Wh =

1 2

Z

1 µ|H|2 dV, We = 2 2

V

Z

ε|E|2 dV. 2

V

Здесь интеграл берется по объему V , ограниченному поверхностью S, совпадающей с внутренней поверхностью сочленения и пересекающей волноводы по плоскостям, перпендикулярным осям волноводов. Предположим, что варьируется только магнитное поле, а электрическое изменяется в зависимости от магнитного согласно второму уравнению Максвелла ~ = E

1 ~ rot H. jωε

Подставим это в приведенное выше соотношение Z ³ ´ ~ 2 − ε |rot H| ~ 2 dV = I ∗ ZI = jω µ|H| ω 2 ε2 =

j ωε

Z³

V

´ ~ 2 − |rot H| ~ 2 dV = k 2 |H|

Z ´ j ³ 2~ ~∗ ~ · rot H ~ ∗ dV. k H H − rot H ωε

V

V

Возьмем теперь вариацию правой и левой частей: δI ∗ ZI + I ∗ δZI + I ∗ ZδI =

j ωε

Z ³

~ · δH ~ ∗ + k2 δH ~ ·H ~∗ − k2 H

V

´ ~ · rot H ~ ∗ − rot H ~ · rot δ H ~ ∗ dV. − rot δ H Воспользуемся векторным тождеством ~ × δH ~ ∗ ) = δH ~ ∗ · rot rot H ~ − rot H ~ · rot δ H ~ ∗, div (rot H из которого следует, что ~ · rot δ H ~ ∗ = div (rot H ~ × δH ~ ∗ ) − δH ~ ∗ ·rot rot H, ~ −rot H 118

~ ∗ · rot δ H ~ = div (rot H ~ ∗ × δ H) ~ − δH ~ · rot rot H ~ ∗. −rot H Подставляя это в уравнение вариаций, получаем δI ∗ ZI + I ∗ δZI + I ∗ ZδI =

j ωε

Z h ~ − rot rot H) ~ · δH ~ ∗+ (k 2 H V

I h i i ~ ∗ − rot rot H ~ ∗ ) · δH ~ dV − ~ × δH ~ ∗ ) ~n + (rot H ~ ∗ × δ H) ~ ~n dS. + (k 2 H (rot H S

Здесь ~n — внутренняя по отношению к поверхности единичная нормаль. ~ = jωεE, ~ правую часть этого равенства можно преУчитывая, что rot H образовать: δI ∗ ZI + I ∗ δZI + I ∗ ZδI =

Z h ~ − rot rot H) ~ · δH ~∗ + (k 2 H

j ωε

V

i

~ ∗ − rot rot H ~ ∗ ) · δH ~ dV + + (k 2 H

I h

i ~ × δH ~∗ + E ~ ∗ × δH ~ ~n dS. E

S

~ удовлетворяет уравнению Покажем теперь, что если H ~ − rot rot H ~ = 0 k2 H и граничному условию ~ × ~n = 0, или E ~ × ~n = 0 rot H (что одно и то же), то вариация δZ = 0. Действительно, в этом случае объемный интеграл в правой части написанного выше равенства обращается в нуль. Часть поверхностного интеграла, взятая по внутренней поверхности сочленения, обращается в нуль в силу граничных условий, остальная часть этого интеграла превращается в сумму интегралов по поперечным сечениям волноводов. Выражая поле в волноводах через напряжения и токи, получим в итоге следующее равенство: δI ∗ ZI + I ∗ δZI + I ∗ ZδI = δI ∗ ZI − I ∗ Z ∗ δI. Но для сочленения без потерь Z ∗ = −Z. Подставляя в правую часть равенства и приводя подобные члены в правой и левой части, получаем искомое равенство 119

I ∗ δZI = 0. Вследствие произвольности токов отсюда следует δZ = 0. Итак, вариация матрицы сопротивления обращается в нуль при следующих условиях: ~ удовлетворяет уравнению Гельмгольца 1. Поле H ~ − rot rot H ~ = 0. k2 H ~ или, что равносильно, тан2. Тангенциальная составляющая rot H ~ равна нулю. генциальная составляющая электрического поля E ~ Но это значит, что H является решением уравнений Максвелла при стандартных граничных условиях. Следовательно, решение электродинамической задачи сообщает матрице сопротивления Z, рассматриваемой как функционал, стационарное значение. Заметим, что электродинамические граничные условия в данном случае являются естественными граничными условиями соответствующей вариационной задачи. Аналогично может быть рассмотрен случай вариации электрического поля. При этом получается соотношение, которое определяет вариацию матрицы сопротивлений: δI ∗ ZI + I ∗ δZI + I ∗ ZδI =

j ωµ

Z h ~ − rot rot E) ~ · δE ~∗ + (k 2 E V

~ ∗ − rot rot E) ~ · δE ~∗ + (k 2 E

i

I h i ~ × δE ~∗ + H ~ ∗ × δE ~ ~n dS. dV + H S

Для того чтобы в этом случае вариация δZ обратилась в нуль, элек~ должно удовлетворять уравнению Гельмгольца. Кротрическое поле E ~ должна обращатьме того, тангенциальная составляющая вариации δ E ся в нуль на поверхности сочленения. При этом, как видим, не накла~ Этому условию функция дывается граничное условие на само поле E. ~ E должна удовлетворять в силу требований электродинамики, но не обращения в нуль вариации матрицы сопротивления. В этом состоит различие с предыдущим случаем. Далее процедура та же, что и в предыдущем случае. Итак, в данном случае вариация матрицы сопротивления обращается в нуль при следующих условиях: ~ удовлетворяет уравнению Гельмгольца. 1. Электрическое поле E 120

~ имеет равную нулю на внутренней поверхности S 2. Вариация δ E сочленения тангенциальную составляющую. ~ Таким образом, удовлетворение граничным условиям функцией E не входит в число условий, необходимых для обращения в нуль вариации матрицы сопротивления. В данном случае электродинамические граничные условия не являются естественными граничными условиями вариационной задачи (а являются так называемыми главными граничными условиями). 4.4.5. Обобщение на случай волноводов, по которым могут распространяться волны нескольких мод До сих пор рассмотрение ограничивалось волноводами, по которым распространяется лишь одна (основная) мода. Возможно обобщение на случай любого числа распространяющихся мод. Данное обобщение производится путем введения напряжений и токов, соответствующих каждой распространяющейся моде. При этом основные соотношения не изменяются благодаря тому, что поля различных мод в волноводе ортогональны, что приводит к исчезновению перекрестных интегралов типа Z ~m × H ~ k ) ~z0 dS при m 6= k, (E S

где S — поперечное сечение волновода; ~z0 — единичный вектор в направлении оси z. Волновод, по которому может распространяться N различных мод, эквивалентен N парам зажимов. 4.4.6.

Матрица рассеяния

Кроме описания поля в многополюснике с помощью напряжений и токов, возможно также волновое описание, т. е. описание с помощью амплитуд входящих и выходящих волн. Напряжения и токи могут быть выражены через сумму и разность амплитуд входящей и выходящей волн: Un

=

In

=

pn (an + bn ), 1 (an − bn ). pn 121

Величина pn связана с волновым сопротивлением волновода. Действительно, как показано ранее, p2n = Z0n ,

√

откуда pn = Z0n . В дальнейшем мы будем предполагать, что все волновые сопротивления выбраны равными единице. Тогда Un

=

an + bn ,

In

=

an − bn ,

откуда an

=

bn

=

1 (Un + In ), 2 1 (Un − In ). 2

Между напряжениями и токами имеет место соотношение X Un = Znm Im . m

Подставляя это в выражения для an и bn , находим an bn

= =

1 2

à X

Znm Im + In

m

à 1 X

2

! =

1X (Znm + δnm ) Im , 2 m

=

1X (Znm − δnm ) Im , 2 m

! Znm Im − In

m

где ½ δnm =

0 при n = 6 m, 1 при n = m.

В матричной форме эти соотношения записываются следующим образом: a = b =

1 (Z + 1) I, 2 1 (Z − 1) I. 2 122

Найдем из первого соотношения ток I: I = 2(Z + 1)−1 a. Подставляя это в выражение для b, получаем b = (Z − 1)(Z + 1)−1 a. Матрица S = (Z − 1)(Z + 1)−1 , связывающая выходящие волны с входящими, называется матрицей рассеяния. Можно показать, что матрица рассеяния может быть выражена также через матрицу проводимости: S = (1 − Y )(1 + Y )−1 . Диагональные элементы матрицы рассеяния — это коэффициенты отражения при отсутствии входящих волн во всех волноводах, кроме данного, т. е. когда все волноводы, кроме питаемого, нагружены на согласованные нагрузки. Недиагональные элементы — это коэффициенты передачи при тех же условиях. 4.4.7.

Свойства матрицы рассеяния

Симметрия Умножим матрицу рассеяния слева на (Z + 1): (Z + 1) · S = (Z + 1)(Z − 1)(Z + 1)−1 . Нетрудно видеть, что матрицы Z + 1 и Z − 1 коммутативны. Это можно проверить умножением. Переставляя сомножители в правой части равенства, получаем (Z + 1) S = (Z − 1)(Z + 1)(Z + 1)−1 или, объединяя два последних множителя, (Z + 1) S = Z − 1. Умножая теперь слева на (Z + 1)−1 , находим S = (Z + 1)−1 (Z − 1). 123

Таким образом, матрицы Z − 1 и (Z + 1)−1 коммутативны. Отметим, что эти матрицы симметричны. Из теории матриц известно, что матрица, являющаяся произведением двух симметричных матриц, коммутирующих между собой, симметрична. Следовательно, матрица рассеяния также симметрична, что записывается в виде соотношения S T = S, где S T — транспонированная матрица. Симметрия матрицы рассеяния является следствием симметрии матрицы сопротивления (или матрицы проводимости). 4.4.8.

Энергетические соотношения

Подставляя в найденное ранее соотношение выражения напряжений и токов через амплитуды волн, получаем 1X (an + bn )(a∗n − b∗n ) = P + 2jω (Wh − We ) 2 n или, раскрывая скобки, 1 X (an a∗n − bn b∗n + a∗n bn − an b∗n ) = P + 2jω (Wh − We ). 2 n Разделяя вещественную и мнимую части, получаем X (an a∗n − bn b∗n )

=

2P,

=

4jω (Wh − We ).

n

X (a∗n bn − an b∗n ) n

Данные соотношения могут быть записаны в матричной форме: a · a∗ − b · b∗ a∗ · b − a · b∗

= 2P, = 4jω (Wh − We ).

Если в сочленении отсутствуют потери, т. е. P = 0, то первое соотношение может быть записано в виде |a|2 = |b|2 , 124

что выражает закон сохранения энергии: мощность входящих волн равна мощности выходящих. В первом соотношении амплитуды выходящих волн могут быть выражены через амплитуды входящих с помощью матрицы рассеяния: a · a∗ − Sa · S ∗ a∗ = 2P. Перестановка во втором слагаемом с заменой S ∗ на S ∗T , т. е. на транспонированную матрицу, дает a∗ (1 − S ∗T · S)a = 2P. Здесь 1 — единичная матрица, элементы которой равны δik (символ Кронекера). Если P = 0, то 1 − S ∗T · S = 0, или S ∗T · S = 1. Матрицу, удовлетворяющую такому соотношению, называют унитарной. Перечислим основные свойства унитарной матрицы: 1. Как показано выше, матрица сохраняет сумму квадратов входящих и выходящих волн: X X |an |2 = |bn |2 . n

n

2. Из равенства S ∗T · S = 1 следует X X ∗T ∗ (S ∗T · S)ik = Sim · Smk = Smi · Smk = δik . m

m

Аналогично можно показать, что X ∗ Sim · Skm = δik . m

3. Модуль определителя равен 1. 4. Обратная матрица равна эрмитово сопряженной. Заметим, что эти соотношения получены без предположения о симметрии матрицы рассеяния. Они справедливы, в частности, для ферритовых циркуляторов. 125

Второе соотношение дает a∗ · Sa − a · S ∗ a∗ = 4jω (Wh − We ) или после перестановки во втором слагаемом в правой части a∗ · (S − S ∗T )a = 4jω (Wh − We ). В частности, если S — симметричная матрица, то получим a∗ · (S − S ∗ )a = 4jω (Wh − We ). Матрица S − S ∗ — чисто мнимая. 4.4.9. Преобразование матрицы рассеяния при переносе отсчетных плоскостей

an

, bn

Рассмотрим перенос отсчетных плоскостей во всех волноводах на расстояния ln в сторону от сочленения к генератору (рис. 4.4). До переноса мы имеем соотношение b = Sa. Для новых плоскостей отсчета аналогичное соотношение примет вид b0 = S 0 a0 . Для an , bn , a0n , b0n имеем

an , b n

ln Рис. 4.4

a0n = an e jβn ln , b0n = bn e−jβn ln , откуда a0n = an e jβn ln , bn = b0n e jβn ln . Введем диагональную матрицу L:  L = 

e jβ1 l1

0 ···

 .

e jβn ln

0

С помощью этой матрицы запишем приведенные выше соотношения: a0 = La, b = Lb0 , или a = L−1 a0 , b = Lb0 . 126

Подставляя это в соотношение, связывающее амплитуды входящих и выходящих волн, получаем Lb0 = S · L−1 a0 или b0 = L−1 S · L−1 a0 . Отсюда следует, что S 0 = L−1 SL−1 . Данная формула дает преобразование матрицы рассеяния при переносе отсчетных плоскостей. 4.4.10.

Двойной тройник

В измерительной технике часто при2 4 меняется двойной тройник, составленный из прямоугольных волноводов с основной модой H10 (рис. 4.5). Такой 1 тройник обладает некоторыми интересными свойствами. Для выяснения этих свойств воспользуемся матрицей рассеяния с уче3 том свойств симметрии двойного тройника. Двойной тройник является восьРис. 4.5 миполюсником и имеет, следовательно, матрицу рассеяния четвертого порядка. Так как предполагается, что стенки волноводов идеально проводящие, то матрица рассеяния двойного тройника унитарна. Из симметрии двойного тройника следует S11 = S22 , S13 = S23 , S14 = −S24 , S34 = S43 = 0. Кроме того, из симметрии матрицы рассеяния следует, что S12 = S21 , S13 = S31 , S14 = −S41 , S23 = S32 , S24 = S42 , S34 = −S43 . Таким образом, матрица ° ° S11 ° ° S12 ° ° S13 ° ° S14

рассеяния имеет вид ° S12 S13 S14 ° ° S11 S13 −S14 ° °. ° S13 S33 0 ° −S14 0 S44 ° 127

Так как матрица рассеяния унитарна, то X X Sik · Sil∗ = δkl , Ski · Sli∗ = δkl . i

i

Установим некоторые свойства двойного тройника. 1. Если тройник согласован со стороны плеч 3 и 4, то между боковыми плечами отсутствует непосредственная связь. В этом случае боковые плечи также согласованы. Чтобы показать это, составим суммы произведений элементов первой и третьей строк, а также произведений элементов второй и четвертой строк: ∗ ∗ ∗ S11 S13 + S12 S13 + S13 S33 = 0, ∗ ∗ ∗ S12 S14 − S11 S14 − S14 S44 = 0.

Отсюда получаем два уравнения: S11 + S12 S11 − S12

S13 ∗ ∗ S33 , S13 S14 ∗ = − ∗ S44 , S14 = −

откуда S11 S12

¶ µ S14 ∗ 1 S13 ∗ + S S 33 44 , ∗ ∗ 2 S13 S14 ¶ µ S14 ∗ 1 S13 ∗ S − S = − 33 44 , ∗ ∗ 2 S13 S14

= −

Если S33 = S44 = 0, то из этого следует, что S11 = 0 и S12 = 0. Выбором плоскостей отсчета в плечах 3 и 4 всегда можно сделать S13 и S14 вещественными величинами. Тогда S11

=

S12

=

1 ∗ ∗ ), + S44 − (S33 2 1 ∗ ∗ − (S33 − S44 ). 2

Отсюда следует, что S11 и S12 одновременно равны нулю только при условии, что S33 = 0 и S44 = 0. Если S33 и S44 отличны от нуля, то в нуль можно обратить лишь одну из указанных величин. 128

2. Возьмем теперь суммы квадратов модулей третьей и четвертой строк матрицы рассеяния (при условии S33 = S44 = 0): |S13 |2 + |S13 |2 |S14 |

2

+ |S14 |

2

=

1,

=

1.

Отсюда получаем 1 |S13 | = |S14 | = √ . 2 Этот результат можно сформулировать следующим образом: при условии S33 = S44 = 0 в двойном тройнике мощность волны, поданной в боковое плечо, делится поровну между плечами 3 и 4. Двойной тройник, у которого S33 = S44 = 0 и, следовательно, S11 = 0, S22 = 0 и S12 = S21 = 0, называют согласованным. В этом случае матрица рассеяния имеет особенно простой вид, так как S11 = S22 = S33 = S44 = S34 = S43 = 0 и 1 S13 = √ , 2

1 S14 = √ . 2

Тогда имеем ° ° ° 1 ° S = √ ° 2 ° ° °

0 0 1 1

0 0 1 −1

1 1 1 −1 0 0 0 0

° ° ° ° °. ° ° °

Согласованный двойной тройник находит применение в измерительной технике, так как позволяет производить измерение коэффициента отражения оконечных устройств. Предположим, что волна амплитуды a3 подается в плечо 3. К плечу 2 присоединим согласованную нагрузку, а к плечу 1 — измеряемую. Найдем амплитуду волны, поступающей в плечо 4: 1 b4 = √ (a1 − a2 ). 2 В то же время a2 = 0, так как к плечу 2 присоединена согласованная нагрузка. Величина a1 определяется коэффициентом отражения от нагрузки Γ: 129

a1 = Γ b1 . Но 1 b1 = √ (a3 − a4 ). 2 Предположим, что в плече 4 установлен согласованный индикатор. Тогда a4 = 0 и 1 b1 = √ a3 . 1 Подставляя это в выражение для a1 , получаем 1 1 a1 = Γ √ a3 , и b4 = Γ a3 . 2 2 Таким образом, амплитуда волны на выходе 4-го плеча пропорциональна коэффициенту отражения в плече 1. Можно показать, что если к плечам 1 и 2 присоединены одинаковые (хотя бы и не согласованные) нагрузки, то волна на выходе плеча 4 равна нулю. Это свойство используется для измерения полных сопротивлений.

4.5.

Частотные свойства

4.5.1. Частотная зависимость матрицы сопротивления (проводимости) сочленения без потерь Для сочленения без потерь уравнения Максвелла имеют вид ~ = −jωµH, ~ rot H ~ = jωεE. ~ rot E Предполагается, что µ и ε не зависят от частоты. Продифференцируем эти уравнения по частоте: rot rot

~ ∂E ∂ω ~ ∂H ∂ω

= =

~ ∂H , ∂ω ~ ~ + jωε ∂ E . jεE ∂ω ~ − jωµ −jµH

~ ∗ , а второе — на E ~ ∗ и вычтем Умножим первое равенство скалярно на H первое из второго. Тогда (предполагая µ и ε скалярами или симметричными тензорами) получим 130

~ ~ ~ ∗ · rot ∂ E − E ~ ∗ · rot ∂ H = −j(µ|H| ~ 2 + ε|E| ~ 2) − H ∂ω ∂ω ~ ~ ~ ∗ ∂ H + rot H ~ ∗ ∂E . − rot E ∂ω ∂ω Далее, перенося последние два слагаемых из правой части в левую, получаем Ã div

~ ∂E ~∗ ×H ∂ω

!

Ã

~ ~ ∗ × ∂H + div E ∂ω

! ~ 2 + ε|E| ~ 2 ). = −j(µ|H|

Проинтегрируем теперь это равенство по объему внутри поверхности, охватывающей все сочленение и пересекающей волноводы по плоскостям, перпендикулярным их осям. При этом объемный интеграл от дивергенции переходит в поверхностный. Меняя внешнюю нормаль на внутреннюю, получаем ! Ã !) I (Ã ~ Z ~ ∂E ∂ H ∗ ∗ ~ ~ × ~ 2 + ε|E| ~ 2 ) dV. ×H + E · ~n dS = j(µ|H| ∂ω ∂ω S

V

Здесь ~n — внутренняя нормаль. Если теперь выразить поля через напряжения и токи, то найдем, что ∂U ∗ ∂I I + U∗ = 4j (WH + WE ). ∂ω ∂ω Здесь U и I — совокупности напряжений и токов во всех волноводах, 1 R µ|H|2 1 R ε|E|2 WH = dV и WE = dV — средние запасы магнитной 2V 2 2V 2 и электрической энергии в объеме сочленения. Напряжения выражаются через токи с помощью матрицы сопротивления U = Z I, откуда ∂U ∂Z ∂I = I +Z . ∂ω ∂ω ∂ω Подставляя это в записанные выше уравнения, получаем 131

∂Z ∂I ∂I ∗ ∗ I + I ∗Z + Z I = 4j (WH + WE ) ∂ω ∂ω ∂ω или, учитывая что Z ∗ = −Z для сочленения без потерь, I∗

∂I ∂I ∂Z I + I ∗Z − ZI ∗ = 4j (WH + WE ). ∂ω ∂ω ∂ω С учетом симметрии матрицы сопротивлений два последние слагаемые в левой части равенства взаимно уничтожаются, в результате чего получаем I∗

∂Z I = 4j (WH + WE ). ∂ω Аналогичное соотношение можно получить для матрицы проводимостей: I∗

∂Y U = 4j (WH + WE ). ∂ω ∂Y ∂Zmn ∂Z Заметим, что матрицы и составлены из элементов и ∂ω ∂ω ∂ω U∗

∂Ymn . ∂ω 4.5.2.

Частотная зависимость матрицы рассеяния

Будем исходить из полученного выше соотношения: ∂U ∗ ∂I I + U∗ = 4j (WH + WE ). ∂ω ∂ω Так как U = a + b, I = a − b, то, подставляя это, получаем µ

∂a ∂b + ∂ω ∂ω

¶

µ (a∗ − b∗ ) + (a∗ + b∗ )

∂a ∂b − ∂ω ∂ω

¶ = 4j (WH + WE ).

Раскрывая скобки и сокращая, находим ∂a ∂b − b∗ = 2j (WH + WE ). ∂ω ∂ω ∂b ∂S ∂a Далее, b∗ = S ∗ a∗ , = a+S . Подставляя это, получаем ∂ω ∂ω ∂ω a∗

µ ¶ ∂a ∂a ∂a ∂S ∂a ∗ ∗ ∂S a − S a a + S = a∗ − a S ∗ a∗ − S ∗ a∗ S . ∂ω ∂ω ∂ω ∂ω ∂ω ∂ω ∗

132

∂S — симметричные матрицы, то в последних двух ∂ω слагаемых в правой части можно совершить перестановку: Так как S и

∂a ∂a ∂S ∂S − a∗ S ∗ a − SS ∗ a∗ = −a∗ S ∗ a, ∂ω ∂ω ∂ω ∂ω так как S · S ∗ = 1 для сочленения без потерь. Итак, для сочленения без потерь имеем соотношение, определяющее частотную зависимость матрицы рассеяния: a∗

∂S a = 2j (WH + WE ). ∂ω ∂Z ∂Y Как и в предыдущем случае, матрицы и составлены из эле∂ω ∂ω ∂Ymn ∂Zmn и . ментов ∂ω ∂ω −a∗ S ∗

4.5.3.

Оконечное устройство

Для оконечного устройства (двухполюсника) из предыдущего находим ∂Z W ∂Y W = 2j = 2j , . 1 ∗ ∂ω 1 ∂ω II UU∗ 2 2 Соотношения для матрицы рассеяния переходят в следующие: S = Γ = e jϕ ,

если оконечное устройство без потерь,

∂S ∂Γ dϕ a = −a∗ Γ∗ a = −a∗ e−jϕ je jϕ a = 2j (WH + WE ). ∂ω ∂ω dω Отсюда имеем

−a∗ S ∗

dϕ W = − , dω P 1 ∗ aa — мощность падающей волны. 2 Последнее соотношение имеет простой физический смысл. Предположим, что на вход оконечного устройства подана сумма двух волн близких частот e jω1 t и e jω2 t . Тогда отраженная волна также будет состоять из двух волн этих частот, но с различными сдвигами фазы: где P =

133

b = e j(ω1 t+ϕ1 ) + e j(ω2 t+ϕ2 ) = e j(ω1 t+ϕ1 {1 + ) ( o ∆ϕ ) j∆ω(t+ j[(ω2 −ω1 )t+(ϕ2 −ϕ1 )] j(ω1 t+ϕ1 ) ∆ω +e = e 1 +e . Таким образом, максимум отраженной волны сдвинут по времени относительно падающей волны на время dϕ . dω Эта величина, как видно из предыдущего, отрицательна, т. е. представляет собой задержку. Эту задержку называют групповой. Следовательно, время групповой задержки равно τ =

dϕ W = − . dω P Таким образом, импульс, поданный на зажимы оконечного устройства, отражается через промежуток времени, равный запасенной энергии на единицу мощности (аналогия с сосудом, заполняемым жидкостью через трубу). τгр =

4.6.

Неоднородности в волноводах

4.6.1. Представление неоднородности в виде четырехполюсника

l1

Если в регулярном волноводе имеется неоднородность, то возникает отраженная волна. Волновод, в котором имеется неоднородность (рис. 4.6), может быть представлен в виде четырехполюсника, характеризуемого матрицей рассеяния

l2

Рис. 4.6

° ° S11 S = ° ° S21

° S12 ° ° , S12 = S21 . S22 °

При рассмотрении неоднородностей будем пренебрегать потерями. Так как в этом случае матрица рассеяния унитарна, то |S11 |2 + |S12 |2 = 1, 134

|S12 |2 + |S22 |2 = 1. Отсюда следует, что |S11 | = |S22 |. Выберем сечения отсчета в волноводе так, чтобы S11 = S22 . Третье соотношение, следующее из унитарности, будет таким: ∗ ∗ S11 S12 + S12 S22 = 0.

Если, как выбрано, S11 = S22 , то ∗ ∗ S11 S12 + S12 S11 = 0, ∗ откуда Re (S11 S12 ) = 0. Если, например, сечения отсчета выбраны так, что S11 = S22 вещественны, то Re S12 = 0, т. е. S12 = S21 — чисто мнимые. В результате получаем, что q p 2 . S12 = j 1 − |S11 |2 = j 1 − S11

Таким образом, чтобы полностью охарактеризовать неоднородность в волноводе, достаточно задать |S11 | и расстояния l1 и l2 , определяющие сечения, в которых S11 = S22 вещественны, т. е. всего требуется три параметра. Если расстояния не представляют интереса, то достаточно одного параметра S11 . Вместо этого параметра может быть введена шунтирующая проводимость B, связанная с S11 соотношением S11 =

1 − (1 + jB) −jB = 1 + 1 + jB 2 + jB

или jB = −

2S11 . 1 + S11

Здесь S11 — коэффициент отражения в плоскости включения проводимости B. Если четырехполюсник симметричен, то число параметров уменьшается до двух. Наконец, при определенном расположении плоскостей отсчета нужен лишь один параметр. Неоднородности, встречающиеся в волноводах, можно разделить на два класса: скачкообразные неоднородности и протяженные неоднородности. Первые — это такие, у которых длина нерегулярного участка близка к нулю, т. е. границей является плоскость, перпендикулярная 135

направлению оси волновода. У протяженных неоднородностей нерегулярный участок имеет некоторую длину в направлении оси волновода. Для первых граничные условия следует выполнить лишь на одной граничной плоскости. Во втором случае необходимо найти общее решение для поля на нерегулярном участке и удовлетворить граничным условиям на двух граничных плоскостях. 4.6.2. Скачкообразное изменение параметров вещества, заполняющего волновод Предположим, что задана амплитуда падающей волны; необходимо I II найти прошедшую и отраженную волны в изображенном на рис. 4.7 волноводе. При этом предполагается, что Рис. 4.7 плоская граница перпендикулярна к осям обоих волноводов, а волновод II представляет собой продолжение волновода I. При этих условиях оказывается возможным удовлетворить граничным условиям при наличии только волн типа падающей без высших мод. Граничные условия сводятся к сохранению поперечных составляю~ и H. ~ В силу одинакового сечения волноводов, их собственные щих E функции совпадают (с точностью до постоянных множителей). В волноводе I поперечное электрическое поле (предполагая амплитуду падающей волны равной единице) равно e1m 1

e2 m 2

11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111

поп −jβ1 z ~ Iпоп = E ~m E (e + Γe jβ1 z ),

а поперечное магнитное поле равно поп ~m ~z0 × E поп ~ Iпоп = (e−jβ1 z − Γe jβ1 z )H ~m H = (e−jβ1 z − Γe jβ1 z ) . ZI

В волноводе II присутствует лишь падающая волна: поп ~ II E

=

поп ~m T ·E · e−jβ2 z ,

поп ~ II H

=

поп ~m ~z0 × E поп ~m T ·H · e−jβ2 z = T · e−jβ2 z . ZII

Приравнивая поля слева и справа при z = 0 (во втором уравнении умножая на ~z0 векторно левую и правую части) получаем 136

поп ~m E (1 + Γ) = поп ~ Em (1 − Γ) = ZI

поп ~m TE , поп ~ E T m , ZII

или 1 + Γ 1 − Γ ZI

= T, T = . ZII

Деля одно уравнение на другое и решая относительно Γ, получаем ZII − ZI . ZII + ZI Коэффициент прохождения T равен Γ =

2ZII . ZII + ZI Волновые сопротивления ZI и ZII , используемые здесь, представляют собой отношения поперечных компонент электрического и магнитного полей. Для магнитных мод это сопротивление равно T = 1 + Γ =

Z

H

p µ/ε ωµ ωµ ωµ = = p = p = p = 2 2 2 2 2 /ω 2 µε β k − gm ω µε − gm 1 − gm p µ/ε . = q 1 − λ2 /λ2кр

Аналогично для электрических мод q p β = µ/ε 1 − λ2 /λ2кр . ωε Легко распространить это решение на случай диэлектрика с потеряσ ми. Тогда ε = ε0 − j — комплексная величина. ω ZE =

4.6.3.

Диафрагмы в волноводе

Диафрагмой называют тонкую металлическую пластинку с отверстием, устанавливаемую в волноводе перпендикулярно его оси. 137

Граничные условия на диафрагме сводятся к равенству нулю тангенциальной составляющей электрического поля на поверхности диафрагмы S1 и совпадению в области отверстия S2 поперечных компонент поля слева и справа (рис. 4.8). Для выполнения граничных условий необходимо привлечение высших мод в данном волноводе. Для определенности будем предII z полагать, что в волноводе может расI пространяться лишь основная мода; все высшие моды предполагаются S2 нераспространяющимися. Тогда неодS1 нородность может быть представлена четырехполюсником. Обратим внимание на то, что достаточно наложить граничные условия лишь на поперечные компоненРис. 4.8 ты полей, так как совпадение поперечных компонент обеспечивает выполнение граничных условий также и для продольных компонент. Поперечное электрическое поле в области I можно записать в виде ~ I = (e−jβz + Γe jβz ) E ~1 + E

∞ X

~ n e γn z , An E

n=2

а в области II ~1 + ~ II = T e−jβz E E

∞ X

~ n e−γn z , Bn E

n=2

~ 1, E ~ 2, . . . , E ~ n — собственные поперечные векторные функции где E волновода; суммирование ведется по всем высшим модам в волноводе, как магнитным, так и электрическим. Поперечное магнитное поле может быть найдено с помощью соответствующих волновых сопротивлений: ~I H ~ II H

= (e−jβz − Γe jβz ) = T e−jβz

∞ X ~1 ~n ~z0 × E ~z0 × E + −An e γn z , Z1 Z n n=2

∞ X ~1 ~n ~z0 × E ~z0 × E + e−γn z . Bn Z1 Z n n=2

Полагая z = 0 и приравнивая электрические поля слева и справа, получаем 138

~1 + (1 + Γ) E

∞ X

~n = T E ~1 + An E

n=2

∞ X

½ ~ = Bn E

n=2

~ E(x, y) на отверстии, 0 на диафрагме.

~ Здесь E(x, y) — неизвестная векторная функция, имеющая только поперечные компоненты. Эта функция может быть разложена по поперечным собственным функциям волновода: ~ = E

∞ X

Z ~n E

n=1

~ ·E ~ n∗ dS, E S

~ n нормированы так, что причем функции E Z ~n · E ~ n∗ dS = 1. E S

Здесь и выше интеграл берется по сечению волновода. Сравнивая коэффициенты слева и справа, получаем Z ~ ·E ~ 1∗ dS, 1 + Γ = T = E S2

Z

~ ·E ~ n∗ dS. E

An = Bn = S2

Здесь интегралы взяты по отверстию, так как вне отверстия функция ~ E(x, y) ≡ 0. Далее следует приравнять магнитные поля слева и справа с учетом того, что 1+Γ = T и An = Bn . Заметим, что приравнивание справедливо только на отверстии (S2 ): ∞

(1 − Γ)

∞

X X ~1 ~n ~1 ~n ~z0 × E ~z0 × E ~z0 × E ~z0 × E + −An = (1 + Γ) + An . Z1 Zn Z1 Zn n=2 n=2

Если теперь умножить левую и правую части векторно на ~z0 и собрать все слагаемые слева, то получим уравнение Γ

∞ X ~1 ~n E E + An = 0. Z1 Zn n=2

139

Подставляя сюда интегральные выражения для Γ и An , получаем ин~ тегральное уравнение для неизвестной функции E(x, y): ∞ ~ Z X ~1 En ~ ~ ∗ E E · En dS = . Z Z1 n=1 n S2

Еще раз напомним, что данное уравнение справедливо на отверстии S2 . Это уравнение с правой частью. Но можно получить также однородное интегральное уравнение, выразив коэффициент отражения Γ через эквивалентную проводимость jB (нормированную относительно волнового сопротивления волновода), а именно: 1 − (1 + jB) −jB = , 1 + 1 + jB 2 + jB

Γ = откуда −jB =

1 2Γ или Γ = − jB(1 + Γ). 1 + Γ 2

Учитывая, что Z ~ ·E ~ 1∗ dS, E

1 + Γ = S2

находим, что 1 Γ = − jB 2

Z ~ ·E ~ 1∗ dS. E S2

Подставляя это выражение для Γ в исходное интегральное уравне~ ние, получаем однородное уравнение для E(x, y): Z Z ∞ X 2Z1 ~ ∗ ~ ~ ~ ~ ·E ~ 1∗ dS = 0. En E · En dS − B E1 E jZ n n=2 S2

S2

~ Векторная функция E(x, y) кроме соответствующего уравнения должна удовлетворять также граничному условию на краю диафрагмы, а именно ее тангенциальная составляющая должна обращаться в нуль на краю идеально проводящей диафрагмы. Последнее (однородное) уравнение имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее граничному условию, лишь при некоторых значениях B, которые являются собственными значениями для данного уравнения. Далее будет показано, что это 140

уравнение обладает лишь одним собственным значением (как это следует из физического смысла задачи). Можно получить явное выражение для B. Для этого умножим ска~ ∗ (x, y) и проинтегрируем по S2 . Тогда лярно последнее уравнение на E Z Z Z Z ∞ X 2Z1 ~ ·E ~ ∗ dS = 0. ~ ·E ~ n∗ dS − B E ~ ∗· E ~ 1 dS E ~ ∗· E ~ n dS E E 1 jZ n n=2 S2

S2

S2

S2

Решая это равенство относительно B, получаем ¯ ¯2 ¯R ¯ ¯ ~∗ ~ ¯ E · E dS ¯ ¯ n ∞ ¯ ¯ X 2Z1 S2 B = ¯ ¯2 . jZn ¯ R ¯ n=2 ¯ ~∗ ~ ¯ ¯ E · E1 dS ¯ ¯S2 ¯ Отметим, что для электрических мод ZnE = γn /jωε, для магнитных мод ZnH = jωµ/γn , Z1 — вещественная положительная величина. Поэтому слагаемые в последней сумме, соответствующие электрическим модам, дают положительный (емкостной) вклад в B, а члены, соответствующие магнитным модам, — отрицательный (индуктивный). В большинстве случаев точное решение полученных уравнений получить невозможно, поэтому используют те или иные приближенные методы или искусственные приемы для решения задачи. 4.6.4.

Вариационные методы

Полученное ранее выражение для B ¯ ¯2 ¯R ¯ ¯ ~∗ ~ ¯ ¯ E · En dS ¯ ∞ ¯ X 2Z1 ¯S2 B = ¯ ¯2 jZn ¯ R ¯ n=2 ¯ ~∗ ~ ¯ ¯ E · E1 dS ¯ ¯S2 ¯ обладает некоторым вариационным свойством. Будем рассматривать ~ это соотношение как функционал от функции E(x, y). Покажем, что ~ функция E(x, y), удовлетворяющая найденному в разделе 4.6.3 интегральному уравнению, обращает в нуль вариацию B, т. е. сообщает B стационарное значение. Для этого перепишем приведенное выше выражение в виде 141

Z Z Z Z ∞ X 2Z1 ~∗ · E ~ n dS E ~ ·E ~ n∗ dS − B E ~∗ · E ~ 1 dS E ~ ·E ~ 1∗ dS = 0 E jZ n n=2 S2

S2

S2

S2

~ и будем варьировать функцию E: Z Z Z Z ∞ ∞ X X 2Z1 2Z1 ~∗ ·E ~ n dS E ~ ·E ~ n∗ dS + ~∗ ·E ~ n dS δ E ~ ·E ~ n∗ dS − δE E jZ jZ n n n=2 n=2 S2

S2

S2

S2

 ¯ ¯2 ¯Z ¯ Z Z ¯ ¯ ~∗ · E ~ 1 dS E ~ ·E ~ 1∗ dS ¯ − B ~ ·E ~ 1∗ dS + δ E − δB ¯¯ E ¯  ¯ ¯ S2 S2 S2  Z Z  ~∗ · E ~ 1 dS · δ E ~ ·E ~ 1∗ dS + E = 0.  S2

S2

Перегруппируя слагаемые, полученное равенство можно переписать следующим образом: Z S2

  Z Z ∞  X 2Z1 ~ ∗ ~ ∗ ~ ~∗ · E ~ 1 dS + ~ 1∗ E ~· dS δ E En E · En dS − B E   jZn n=2 S2

S2

  Z Z Z ∞ X  2Z1 ~ ~∗ · ~ ·E ~ n∗ dS − B E ~1 E ~ ·E ~ 1∗ dS − + dS δ E En E   jZn n=2 S2

S2

S2

¯ ¯2 ¯Z ¯ ¯ ¯ ∗ ~ ~ ¯ − δB ¯ E · E1 dS ¯¯ = 0. ¯ ¯ S2

Для того чтобы вариация δB была равна нулю при произвольной ~ необходимо и достаточно, чтобы выражения в фигурных вариации δ E, скобках были равны нулю. Заметим, что при вещественном B (как это следует из физического смысла B) скобки комплексно сопряжены одна другой и обращаются в нуль одновременно. Итак, условием стационарности B является уравнение, которому должна удовлетворять функция ~ E: 142

Z Z ∞ X 2Z1 ~ ~ ·E ~ ∗ dS − B E ~1 E ~ ·E ~ 1∗ dS = 0. En E n jZ n n=2 S2

S2

Это уравнение в точности совпадает с полученным выше (из условий сшивания полей на диафрагме) уравнением, что и требовалось доказать. ~ должна дополНужно отметить при этом, что векторная функция E нительно удовлетворять указанным выше граничным условиям (так как граничные условия не входят в условия стационарности). Это накладывает ограничения на выбор пробных функций при решении вариационной задачи. 4.6.5.

Приближенное вычисление проводимости

Стационарность функционала B в окрестности решения позволяет использовать для вычисления B не только точное решение, которое обычно заранее неизвестно, но и некоторое приближение, выбранное из тех или иных соображений. Благодаря стационарности функционала это дает малую ошибку. Пример. Индуктивная диафрагма в прямоугольном волноводе (рис. 4.9). y В этом случае, для того чтобы удовлетворить граничным условиям, в силу условий симметрии, достаточ00000 11111 но использовать только высшие моd 00000 11111 00000 11111 ды типа Hn0 . Для этих мод отлична 00000 11111 00000 11111 000 111 00000 11111 от нуля только y-я компонента элек000 111 00000 11111 000 111 00000 11111 ~ трического поля E: 000 111 00000 11111 z 000 111 00000 11111 000 111 x r 0 000 111 000 111 2 nπx a Eny = sin x ab a — нормированная функция. Рис. 4.9 Для вычисления B в первом приближении можно аппроксимировать функцию Ey (x) полупериодом синусоиды: ( Ey =

cos

π(x − x0 ) d

0

на отверстии, вне отверстия.

Для дальнейшего нужно вычислить интеграл 143

x0 +

Z

In =

d 2

cos x0 −

π(x − x0 ) nπx sin dx. d a

d 2

Этот интеграл равен In =

2 1 nπx0 nπd sin cos . 2 2 2 πd 1/d − n /a a 2a

jωµ ωµ Подставляя в выражение для B (учитывая, что Zn = , Z1 = ), γn β получаем

B ≈ −

n=∞ X n=2

2γn (1/d2 − 1/a2 )2 β (1/d2 − n2 /a2 )2

nπd nπx0 cos2 a 2a , πd 2 πx0 sin cos2 a 2a

sin2

p 2π , γn = (nπ/a)2 − k 2 . Λ Данное выражение справедливо, если n/a 6= 1/d ни для какого n. 0 В противном случае необходимо раскрыть неопределенность вида для 0 nπd того члена, где n/a = 1/d (так как тогда cos = 0). Для расчетов 2a a достаточно ограничиться числом членов ∼ , так как дальше члены d ряда быстро убывают. где β =

4.6.6.

Вариационные методы. Метод Ритца

Метод Ритца является приближенным прямым методом решения вариационной задачи на экстремум функционала, в данном случае B. Он состоит в следующем. ~ Неизвестное поперечное поле на отверстии E(x, y) представляют в виде разложения в ряд по некоторой полной ортогональной системе векторных функций, определенной на отверстии. Для обеспечения удовлетворения граничным условиям функции должны удовлетворять граничным условиям на границе отверстия. При этом ограничиваются некоторым конечным числом членов в этом ряду. Затем сумму, представ~ подставляют в выражение для B, причем B оказываетляющую E, ся функцией коэффициентов разложения. Коэффициенты подбираются 144

так, чтобы функция B имела стационарное значение. Для этого приравнивают нулю производные от B по коэффициентам. Полученная система уравнений позволяет найти коэффициенты разложения. Полной ортогональной системой функций, удовлетворяющей граничным условиям на границах отверстия, является система собственных поперечных векторных функций волновода, сечение которого совпадает с отверстием диафрагмы. Обозначим эти функции через ~en (x, y). Тогда N X

~ ≈ E

am~em .

m=1

Вычислим интеграл Z

Z

N X

~ ·E ~ ∗ dS = E

In =

m=1

S2

~ ∗ dS = ~em E n

am

N X

am bmn ,

m=1

S2

где Z ~ n∗ dS. ~em E

bmn = S2

Подставляя в выражение для B, получаем ¯ ¯2 ∞ N ¯ P 2Z1 ¯¯ P am bmn ¯¯ ¯ jZ n m=1 B = n=2 ¯ . ¯2 N ¯P ¯ ¯ ¯ am bm1 ¯ ¯ m=1

Перепишем это равенство в следующем виде: B

N X

am bm1

m=1

N X

a∗s b∗s1 =

s=1

N ∞ N X X 2Z1 X am bmn a∗s b∗sn . jZ n m=1 n=2 s=1

Теперь будем варьировать коэффициенты am , a∗s (в предположении δB = 0): ) ( N N N N X X X X B δam bm1 a∗s b∗s1 + am bm1 δa∗s b∗s1 = m=1 ∞ X 2Z1 = jZn n=2

(

s=1 N X

m=1

δam bmn

m=1 N X

a∗s b∗sn

s=1

+

s=1 N X m=1

145

am bmn

N X s=1

) δa∗s b∗sn

,

или, иначе (

N X

δam

m=1

+

N X

B bm1

B

a∗s b∗s1

s=1

(

δa∗s

N X

b∗s1

s=1

N X m=1

am bm1

∞ N X X 2Z1 − bmn a∗s b∗sn jZ n n=2 s=1

)

∞ N X 2Z1 ∗ X − bsn · am bmn jZn n=2 m=1

+ ) = 0.

Вследствие произвольности вариаций δam и δa∗s это равенство может выполняться, лишь если равны нулю выражения в фигурных скобках. Так как Z1 — вещественно, а Zn — чисто мнимые величины (n > 1), то выражения в фигурных скобках комплексно сопряжены друг другу и достаточно, чтобы в нуль обращалось одно из них, например, N X

B b∗s1

am bm1 −

m=1

N ∞ X 2Z1 ∗ X bsn am bmn = 0 для s = 1, 2, . . . , N. jZn m=1 n=2

Данные равенства могут быть переписаны в виде (при перестановке порядка суммирования) N X

( am

m=1

∞ X 2Z1 ∗ bsn bmn − B b∗s1 bm1 jZ n n=2

) = 0 при s = 1, 2, . . . , N.

Мы получили систему из N однородных линейных алгебраических уравнений для N неизвестных коэффициентов am . Эта система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю. Приравнивая нулю определитель, получаем алгебраическое уравнение для определения неизвестной пока проводимости B. По смыслу задачи эта величина должна быть вещественной, а решение — единственным. Можно показать, что это действительно так. Для этого вначале предположим, что ни один из коэффициентов b∗s1 не равен нулю. Разделим каждое из уравнений системы на соответствующее b∗s1 . Тогда получим систему N X m=1

( am

∞ X 2Z1 b∗sn bmn − B bm1 jZn b∗s1 n=2

) = 0 при s = 1, 2, . . . , N.

Уравнение для B в этом случае приобретает вид 146

( Det cms = Det

∞ X 2Z1 b∗sn bmn − B bm1 jZn b∗s1 n=2

) = 0.

В определителе в правой части слагаемое B bm1 не зависит от номера строки s. Если вычесть первую строку из всех остальных строк, то B останется только в первой строке. Разлагая определитель по элементам первой строки, получаем линейное относительно B уравнение с вещественными коэффициентами, что и требовалось доказать. 4.6.7.

Вариационные методы. Метод Галеркина

Рассмотрим неоднородное интегральное уравнение для поля на от~ верстии диафрагмы E: ∞ ~ Z X ~ En ~ ·E ~ n∗ dS − E1 = 0. E Z Z1 n=1 n S2

Решение этого уравнения может быть представлено в виде разложения по некоторой полной системе ортогональных векторных функций, удовлетворяющих граничным условиям на контуре отверстия. Такими функциями являются собственные векторные функции ~em волновода, сечение которого совпадает с отверстием диафрагмы: E =

∞ X

am~em ,

m=1

где am — неизвестные коэффициенты. Метод Галеркина позволяет приближенно вычислить любое число этих коэффициентов. Для этого оставим в сумме N членов E ≈

N X

am~em

m=1

и подставим это выражение в интегральное уравнение. Так как эта сумма представляет решение приближенно, то правая часть уравнения при подстановке не обращается в нуль: Z ∞ ~ N X ~ En X ~ n∗ dS − E1 = ∆. am ~em · E Z Z1 n=1 n m=1 S2

147

Согласно методу Галеркина, коэффициенты am выбирают так, чтобы ∆ была ортогональна всем функциям e~s (s = 1, 2, . . . , N ) на S2 :   Z X Z ∞ ~ N  X ~ En ~ n∗ dS − E1 ·~es ∗ ·dS = 0, s = 1, 2, . . . , N. am ~em · E  Z Z1  n=1 n m=1

S2

S2

Обозначим Z

Z ~ n∗ dS и bsn = ~em E

bmn = S2

~ n∗ dS. ~es E S2

Тогда уравнения приобретают вид ∞ N X b∗sn X b∗ am bmn = s1 , Z Z1 n=1 n m=1

или N X m=1

am

∞ X b∗ b∗sn bmn = s1 , s = 1, 2, . . . , N. Zn Z1 n=1

Мы получили систему N линейных уравнений относительно N коэффициентов am . Решая ее, мы найдем приближенное выражение для ~ что позволяет вычислить B, используя ранее полученную формулу. E, Аналогичным способом можно решать также однородное уравнение Z Z ∞ X 2Z1 ~ ~ ·E ~ n∗ dS − B E ~1 E ~ ·E ~ 1∗ dS = 0. En E jZ n n=2 S2

S2

Для этого вновь запишем E ≈

N X

am~em .

m=1

Подставляя это в интегральное уравнение, получаем ∞ N N X X 2Z1 ~ X ~1 En am bmn − B E am bm1 = ∆. jZn n=2 m=1 m=1

148

Умножая это уравнение на ~e∗s и интегрируя по S2 (с учетом требования ортогональности) получаем N N ∞ X X 2Z1 ∗ X bsn am bmn − B b∗s1 am bm1 = 0 jZn m=1 m=1 n=2

или N X

( am

m=1

∞ X 2Z1 ∗ bsn bmn − B · b∗s1 bm1 jZ n n=2

) = 0 при s = 1, 2, . . . , N.

Данное уравнение в точности совпадает с аналогичным уравнением, полученным с помощью метода Ритца, что дает основания отнести метод Галеркина к классу вариационных методов. 4.6.8.

Диафрагмы в прямоугольном волноводе

Выше мы уже рассматривали индуктивную диафрагму в прямоугольном волноводе. Там было найдено соотношение для проводимости с помощью приближенного метода, основанного на стационарности функционала проводимости. С помощью квазистатического метода может быть получено более компактное выражение (хотя и не более точное) B = −

Λ πd πd πx0 cot2 (1 + sec2 cot2 ). a 2a 2a 2a

Теперь рассмотрим емкостную диафрагму (рис. 4.10). Такая диафрагма имеет положительную реактивную проводимость и, следовательно, эквивалентна емкости. В случае симметричного отверстия проводимость определяется приближенным соотношением B =

111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

4b πd ln csc . Λ 2b

d

Рис. 4.10

График этой проводимости как функции от b/Λ приведен на рис. 4.11. 149

B

b Λ Рис. 4.11

Сочетание индуктивной и емкостной диафрагм позволяет получить шунтирующий резонансный контур (рис. 4.12). Было найдено, что резонанс имеет место для волны, определяемой уравнением s s µ ¶2 µ ¶2 a λ a0 λ 1 − = 0 1 − . b 2a b 2a0

b

111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 b‘ a‘ 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111

L

C

a Рис. 4.12

Отсюда, в частности, следует, что если устремить b0 к 0, то резонанс имеет место при λ = 2a0 , т. е. при a0 = λ/2. В этом случае щель можно рассматривать как короткозамкнутую с двух концов щелевую линию. Проводимость резонансного контура с присоединенным к нему волноводом имеет вид Y = 1 + jQ

2∆ω , ω0

где ω0 — резонансная частота. Значения Q для диафрагм невелики (порядка 10) и возрастают с уменьшением b0 . 150

Металлический штырь малого диаметра применяется для согласования волноводов. Нетрудно видеть, что штырь может быть представлен последовательно соединенными емкостью и индуктивностью (рис. 4.13).

11 00 00 11 00 11

L C

Рис. 4.13

При малой глубине погружения преобладает емкостная проводимость. При глубине погружения, примерно равной λ/4, имеет место резонанс. При этом волновод оказывается закороченным и перестает пропускать волны. При еще большем погружении преобладает индуктивность, и, хотя имеется отражение, волна частично проходит. Возможны также другие резонансные комбинации, например индуктивная диафрагма с емкостным штырем, позволяющим осуществлять настройку резонансной диафрагмы. 4.6.9.

Соединение волноводов различного сечения

Рассмотрим сочленение двух волноводов различного сечения — S1 и S2 , причем в обоих волноводах могут распространяться только по одной моде. Общее отверстие волноводов обозначим через A. Тогда для поперечных составляющих электрического поля на границе имеют место условия ~1 + (1 + Γ) E

∞ X

½ ~n = An E

n=2

~ E(x, y) 0

на A, на S1 − A

слева и ~ 10 + T ·E

∞ X

½ ~ n0 = Bn E

n=2

~ E(x, y) 0

на A, на S2 − A

~ n — собственные поперечные нормированные векторсправа. Здесь E ~ n0 — то же для волновода II; E(x, ~ ные функции волновода I; E y) — неизвестная пока функция распределения поперечного электрического поля на отверстии. Если указанные собственные функции нормированы к единице, то 151

R R ~ ·E ~ ∗ dS, An = E ~ ·E ~ n∗ dS, 1 + Γ = E 1 A A R R ~ ·E ~ 0∗ dS, ~ ·E ~ n0 ∗ dS. T = E Bn = E A

A

Поперечные составляющие магнитного поля на отверстии слева и справа равны друг другу: ~1 − (1 − Γ) · H

∞ X

~n = T · H ~ 10 + An H

n=2

∞ X

~ n0 , Bn H

n=2

или ∞ ∞ X X ~1 ~0 ~n ~ n0 ~z0 × E ~z0 × E ~z0 × E ~z0 × E 1 (1 − Γ) − An = T· + Bn . 0 0 Z1 Zn Z1 Zn n=2 n=2

Здесь Z1 , Zn , Z10 , Zn0 — отношения поперечных составляющих электрического и магнитного полей. Умножая это уравнение векторно на ~z0 и раскрывая двойные векторные произведения, получаем уравнение ∞ ∞ X X ~1 ~n ~0 ~0 E E E E 1 (1 − Γ) − An = T 0 + Bn n0 . Z1 Zn Z1 Zn n=2 n=2

Если теперь заменить Γ, T , An и Bn их выражениями в виде интегралов, то можно получить интегральное уравнение относительно неиз~ вестной функции E(x, y): ∞ ~ Z ∞ ~0 Z X X ~1 En ~ ~ ∗ En ~ ~ 0 ∗ 2E E · E dS = E · En dS + . n Z Z0 Z1 n=1 n n=1 n A

A

Возможен, однако, другой путь преобразования уравнения. Для это~ ∗ и проинтегрируем го умножим левую и правую части уравнения на E по отверстию. Получим 1 − Γ Z1

Z ~∗ · E ~ 1 dS − E A

∞ ∞ X X 1 |Bn |2 |An |2 . = |T |2 0 + Zn Z1 Zn0 n=2 n=2

и разделим первое слагаемое в левой части на 1 + Γ = RУмножим ~E ~ ∗ dS: = E 1 A

152

1 − Γ 1 · 1 + Γ Z1

¯ ¯2 ¯Z ¯ ∞ ∞ X X ¯ ¯ |An |2 |Bn |2 2 1 ~ ·E ~ 1∗ dS ¯ − ¯ E = |T | + , ¯ ¯ Zn Z10 Zn0 ¯ ¯ n=2 n=2 A

откуда 1 − Γ = 1 + Γ

|T |2

∞ ∞ P P Z1 Z1 Z1 2 |An |2 + 0 + 0 |Bn | Z Z1 Z n n=2 n=2 n . ¯ ¯2 ¯R ¯ ~ ·E ~ ∗ dS ¯ ¯ E 1 ¯ ¯ A

1−Γ = Y — входная проводимость сочленения, нагруженного с 1+Γ другой стороны на согласованную нагрузку. Таким образом, получаем выражение для проводимости Y : Но

|T |2

Z1 Z10

Y = ¯ ¯2 ¯R ¯ ~ ·E ~ ∗ dS ¯ ¯ E 1 ¯ ¯ A

∞ ∞ P P Z1 Z1 2 |An |2 + 0 |Bn | jZ jZ n n n=2 n=2 + j . ¯ ¯2 ¯R ¯ ~ ·E ~ ∗ dS ¯ ¯ E 1 ¯ ¯ A

jωµ γ Напомним, что для H-мод ZnH = , для E-мод ZnE = n — вещеγn jωε ственные для распространяющейся и чисто мнимые для нераспространяющихся мод. Отсюда, если S1 → S2 , можно получить выражение для проводимо~ n0 → E ~ n и Zn0 → Zn ). сти диафрагмы (при E

n:1 Z0 =1 jB

Z 0=1

Рис. 4.14

Первое слагаемое в полученной формуле — вещественная часть, второе — мнимая. Первое слагаемое представляет проводимость второго волновода, нагруженного на согласованную нагрузку, второе — реактивную проводимость сочленения. Эквивалентная схема сочленения имеет вид, представленный на рис. 4.14. 153

При сочленении двух волноводов особый интерес представляет случай, когда волноводы мало отличаются один от другого. В этом случае ~ можно подставить поле E ~1 в качестве первого приближения вместо E в первом волноводе. Рассмотрим в качестве примера соединение двух прямоугольных волноводов, в которых может распространяться только мода H10 . Изменение сечения в плоскости H. Рассматривается симметричное сочленение, приведенное на рис. 4.15. y a‘

a‘

a z

b

x

x a

Рис. 4.15

В этом случае граничные условия могут быть удовлетворены с использованием лишь магнитных мод Hn0 . Для использования симметрии ось y поместим посередине волновода. При вычислении проводимости сочленения в качестве функции поля ~ ~ 1 электрического E(x, y) в отверстии примем приближенно функцию E ~ 1 симметрична относительполя основной моды в волноводе I. Так как E но оси y, то при вычислении интегралов несимметричные собственные функции дают нуль, и в разложении остаются только симметричные. Симметричные собственные функции электрического поля в волноводе I (нормированные к единице) имеют вид r 2 πx Eym = cos(2m + 1) , ab a а в волноводе II r 2 πx 0 Eym = cos(2m + 1) 0 . 0 ab a Нетрудно видеть, что в этом случае ½ Z 0 при m 6= 0, ∗ ~ ~ E · Em dS = 1 при m = 0. A

154

Поэтому A2m+1 = 0 при m 6= 0. Далее, r

Z 0 ∗ ~ ·E ~m E dS =

B2m+1 =

a π cos(2m + 1)θ , 0 2 a π /4 − (2m + 1)2 θ2

θ =

πa . 2a0

A

При m = 0 имеем r T =

a π · cos θ . a0 π 2 /4 − θ2

Z β0 Z γ0 Подставляя в формулу для Y и учитывая, что 10 = , 10 = − n , β jZn β Z1 получаем β0a Y = βa0

µ

π · cos θ 2 π /4 − θ2

¶2

µ ¶2 ∞ 0 a X γ2m+1 π cos(2m + 1)θ − j 0 . a m=1 β π 2 /4 − (2m + 1)2 θ2

Полученное соотношение показывает, что сочленение действует как трансформатор с коэффициентом трансформации, равным T . Эквивалентная схема представлена на рис. 4.16.

n:1 Y0 =1

L

Y0 =1

Рис. 4.16

s Здесь n =

β0a βa0

µ

π cos θ π 2 /4 − θ2

¶2 .

Формула упрощается, если скачок размера невелик: чем α ¿ 1. Тогда 

a = 1 − α, приa0

2  2 πα πα ∞ sin(2m + 1) 0 X γ2m+1  β  2  2  Y ≈   − j   . πα β β π m(m + 1) m=1 2 0

sin

155

Изменение сечения в плоскости E (рис. 4.17) y

b

b‘

y z

b‘ b

x

a

Рис. 4.17

Сочленение предполагается симметричным. Благодаря симметрии в разложении по высшим модам остаются только моды, четные в направлении y. Чтобы удовлетворить граничным условиям, в данном случае необходимо использовать как электрические, так и магнитные моды. Однако задача упрощается благодаря тому, что, исходя из симметрии, можно ~ Прежде получить информацию относительно неизвестной функции E. ~ ~ всего, E имеет только y-ю компоненту. Далее, зависимость E от x такая же, как и для основной моды, так как граничные условия не зависят от x. Так как Ex = 0, то при вычислении интерес представляют только y-е составляющие собственных функций, причем вклад дают лишь собственные функции с n = 1, т. е. зависящие от x так же, как и основная мода. Кроме того, из симметрии следует, что вклад дают только те собственные функции, для которых m четно (m = 2l). Нормированные собственные функции, представляющие интерес, имеют следующий вид (с учетом расположения осей): Магнитные моды (m = 2l) Слева

Справа

2π√ πx 2πly E2ly = sin cos a b a · g2l ab При l = 0 r πx 2 E0y = sin ab a

156

0 E2ly =

2π√ πx 2πly sin cos 0 0 a b a · g2l ab0 r

0 E0y

=

πx 2 sin a ab0

Электрические моды (m = 2l) E2ly =

4πl√ πx 2πly sin cos a b b · g2l ab

0 E2ly =

4πl√ πx 2πly sin cos 0 , 0 0 a b b · g2l ab 0

при этом r g2l =

π2 4π 2 l2 0 + , g2l = 2 a b2

r

π2 4π 2 l2 + . 2 a b0 2

~ которая, как указано выше, имеет только y-ю В качестве функции E, компоненту и зависит от x так же, как основная мода, примем функцию πx с компонентами: Ex = 0, Ey = E(y) sin . a При этом вещественная составляющая проводимости равна ¯ ¯2 ¯R ¯ ~ ·E ~ 0 ∗ dS ¯ ¯ E 1 ¯ ¯ Z 1 G = ¯A ¯2 0 . ¯R ¯ Z1 ~ ·E ~ ∗ dS ¯ ¯ E 1 ¯ ¯ A

r

Здесь Z1 = Z10 (так как зависит лишь от a), E1y = r 2 πx 0 E1y = sin . a ab0 При подстановке E интегралы сокращаются:

πx 2 sin , ab a

µ

¶2 √2 b ab0 G = µ ¶2 = 0 . b √2 ab Мнимая (реактивная) составляющая проводимости равна ¯ ¯2 ∞ ∞ ¯ P P Z1 ¯¯R Z1 ∗ E · E2l dS ¯¯ + 0 ¯ jZ 2l A l=1 l=1 jZ2l B = ¯ ¯2 ¯R ¯ ¯ E · E ∗ dS ¯ 1 ¯ ¯

¯ ¯2 ¯R ¯ ¯ E · E 0 ∗ dS ¯ 2l ¯ ¯ A

.

A

~ примем поле основной моды В качестве первого приближения для E в первом волноводе 157

r

2 πx sin . ab a Все An для магнитных и электрических мод содержат множитель Ey =

Zb/2 cos

2πly dy = 0 (l 6= 0), b

−b/2

поэтому все An = 0. Вычислим теперь Bn = B2l для магнитных и электрических мод. Магнитные моды

r H B2l

=

2 2π √ 0 ab ag2l ab0

Za/2

πx dx sin a

Zb/2

2

−a/2

−b/2

√ 2πly 2π 2 ab0 √ cos 0 dy = × b a2 bb0 2πl

√ r πlb π 2 b sin lϕ × sin 0 = , 0 b ag2l b0 lϕ где ϕ =

πb . Квадрат b0 H 2 (B2l )

b0 2π 2 = · 2 0 2 b a g2l

µ

sin lϕ lϕ

¶2 .

Электрические моды

E B2l

r √ µ ¶2 2 2πl b sin lϕ b 8π 2 l2 sin lϕ E 2 = , (B2l ) = 0 · 02 0 2 . 0 b0 g2l b0 lϕ b b g2l lϕ

Вычислим сумму P2l =

Z1 Z1 H 2 E 2 0 H (B2l ) + jZ 0 E (B2l ) . jZ2l 2l

γ0 ωµ 0 H jωµ 0 E = 2l . , Z2l = 0 , Z2l β jωε γ2l Подставляя это в выражение для P2l , получаем

Здесь Z1 =

158

ª 1 © 2 E 2 0 2 H 2 k (B2l ) − γ2l (B2l ) = 0 βγ2l µ ¶2 ½ ¾ 2 2 2 sin lϕ b 1 2 8π l 0 2 2π = k − γ = 2l 0 0 2 0 2 βγ2l lϕ b0 b02 g2l a2 g2l µ ¶2 ½ ¾ 0 2 2 γ2l 1 b 2π 2 sin lϕ 2 4l = k − . 0 b0 g 0 2 βγ2l lϕ b02 a2 2l P2l =

0 2 0 2 Так как γ2l = g2l − k 2 , то

P2l

1 b 2π 2 = 0 b0 g 0 2 βγ2l 2l

µ

sin lϕ lϕ

¶2 µ ¶ 2 1 0 2 2 4l 2 k 02 − 2 (g2l − k ) . b a

Выражение в последних скобках равно 4l2 k 2 02 b

µ 2 ¶ 0 2 0 2 0 2 1 0 2 1 g2l g2l 2 2 4l 2 g2l − 2 (g2l − k ) = k + − = k − = a b02 a2 a2 π2 a2

0 2 g2l π2 g0 2 (k 2 − 2 ) = 2l2 β 2 . 2 π a π Подставляя, получаем

=

¶2 sin lϕ P2l . lϕ R Подставляя в выражение для B (с учетом того, что EE1∗ dS = 1, A R ∗ EE2l dS = 0), получаем 1 b 2π 2 = 0 b0 g 0 2 βγ2l 2l

µ

sin lϕ lϕ

¶2

0 2 g2l β 2b β2 = 0 0 π2 γ2l b

A

B =

∞ X

∞

P2l

2b X 1 = β 0 0 b γ2l l=1

l=1

µ

sin lϕ lϕ

¶2

Отсюда проводимость равна µ ¶2 ∞ b b X 1 sin lϕ Y = 0 + 2jβ 0 , 0 b b γ2l lϕ l=1

где ϕ =

q πb 0 0 2 − k2 . , γ = g2l 2l b0 159

µ

.

n:1 Y0 =1

C

Y0 =1 Рис. 4.18

Так как B > 0, проводимость имеет емкостной характер и эквивалентная схема r имеет вид, представленный на рис. 4.18. b Здесь n = . b0 При уменьшении размера скачка емкость стремится к нулю как квадµ ¶2 ∆b рат скачка ∼ , добавка к G — как первая степень, поэтому при b малых скачках емкостью можно пренебречь. В этом случае отражение определяется отношением волновых проводимостей волноводов b/b0 . 4.6.10. Согласование волноводов многоступенчатыми переходами Здесь рассматривается согласование волноводов при изменении размеров в плоскости E, когда можно пренебречь реактивностью скачка и отражение определяется только соотношением волновых сопротивлений, поэтому результаты могут быть применены также к TEM линиям. Кроме того, мы будем предполагать скачки малыми. Пренебрегаем также многократными отражениями. Следует отметить, что все эти ограничения вводятся для простоты расчета, но аналогичный результат может быть получен и в более общем случае, когда скачки велики и реактивностями пренебрегать не следует. Рассмотрим многоступенчатый переход между двумя волноводами, состоящий из отрезков равной длины, но различного волнового сопротивления (рис. 4.19).

Z0

Z1 Γ0

Z2

d

Γ1

Zn

Z Γn

Рис. 4.19

160

Величины Γ0 , Γ1 , . . . , Γn — местные коэффициенты отражения: Γi =

Zi+1 − Zi . Zi+1 + Zi

Пусть для определенности n — четное число. Отраженная волна в начале перехода равна, очевидно, сумме волн, отраженных от отдельных сочленений (в пренебрежении многократными отражениями): b =

n X

Γm e−2jmϕ = e−jnϕ

m=0

n X

Γm e j(n−2m)ϕ =

m=0

n o = e−jnϕ Γ0 e jnϕ + Γ1 e j(n−2)ϕ + . . . + Γn/2 + . . . + Γn e−jnϕ , где 2πd . Λ Предположим, что переход выполнен симметрично, так что Γm = Γn−m . Тогда ϕ =

½ b = 2e

−jnϕ

¾ 1 Γ0 cos nϕ + Γ1 cos(n − 1)ϕ + . . . + Γn/2 , 2

т. е. выражается через косинусы кратных дуг. Так как косинусы кратных дуг могут быть выражены через степени cos ϕ, то амплитуда отраженной волны выражается через полином от cos ϕ. Обозначив cos ϕ = x, можем записать |b| = M Pn (x), где Pn (x) — полином степени n с коэффициентом при x, равным единице. Переходы, у которых коэффициент отражения выражается через некоторый полином с вещественными коэффициентами от cos ϕ, называются полиномиальными. Условием для этого служат равенство отдельных отрезков по длине и симметрия коэффициентов отражения. Подбирая коэффициенты полинома определенным образом, можно получить хорошее согласование в широкой полосе частот. Если местные коэффициенты подобраны так, что исчезают все степени x, кроме высшей, то такой переход называют биномиальным или переходом с максимально плоской характеристикой (рис. 4.20). 161

|b|

x= cos ϕ Рис. 4.20

Для этого местные коэффициенты отражения должны быть пропорциональны коэффициентам бинома Ньютона: Γm = α Cnm . Тогда

b =

n X

¡ ¢n = α 2n cosn ϕ = 2n α xn . Γm e j(n−2m)ϕ = α e jϕ + e−jϕ

m=0

Величина α определяется при x = 1 (ϕ = 0): X b(ϕ = 0) = Γm = 2n α, m

P Γ Γm — коэффициент отражения при соедиоткуда α = nT , где ΓT = 2 m нении согласуемых линий без перехода. Отсюда b = ΓT xn . 1 1 6x6 t t при t > 1, то максимальный коэффициент отражения в этой полосе будет равен Если x в заданной полосе частот изменяется в пределах −

bмакс = 162

ΓT . tn

Величину K = tn в этом случае называют выигрышем, так как она показывает, во сколько раз в заданной полосе уменьшается коэффициент отражения. Чем уже полоса, тем больше выигрыш. Заметим, что π середина диапазона определяется тем, что x = 0, т. е. ϕ = . Тогда 2 Λ d = , т. е. отрезки должны быть четвертьволновыми для средней 4 длины волны. Другой вариант может быть следующим. Выберем местные коэффициенты отражения так, чтобы суммарный коэффициент отражения описывался полиномом, наименее уклоняющимся от нуля в данном диапазоне. Для этого используются полиномы Чебышева Tn∗ (y): Tn∗ (y) =

1 2n−1

Tn (y),

где Tn (y) = cos(n arccos y). Чебышевым было показано, что полином Tn∗ (y) является полиномом с коэффициентом при старшем члене, равном 1, наименее уклоняющимся от нуля при изменении y в пределах −1 < y < +1. Ниже приведены первые пять полиномов Tn (y) (рис. 4.21): T0 T1 T2 T3 T4

= = = = =

1, y, 2y 2 − 1, 4y 3 − 3y, 8y 4 − 8y 2 + 1.

Полиномы удовлетворяют рекуррентному соотношению

1

T (x) n 1 2

n=

n=

Tn+1 = 2Tn y − Tn−1 .

n=4

Так как x изменяется в преде1 1 лах (− , ), то необходимо ввеt t сти масштабный множитель

x 1

n=3

-1

-1

b = M Tn∗ (tx). 163

Рис. 4.21

Величина M находится так же, как и выше. При x = 1 b = ΓT . Γ Поэтому M = ∗T . Отсюда получаем Tn (t) Tn (tx) T ∗ (tx) = ΓT . |b| = ΓT n∗ Tn (t) Tn (t) Наибольшее значение Tn (tx) в рабочем диапазоне равно 1, поэтому ΓT . Tn (t)

bмакс =

Отсюда выигрыш равен K = Tn (t). Можно показать, что этот выигрыш заметно превышает выигрыш для биномиального перехода (примерно в 2n−1 раз). Ниже приведены соотношения местных коэффициентов отражения для чебышевского перехода: 1 1 1 1 2(1 − 1/t2 ) 1 3(1 − 1/t2 )

1 3(1 − 1/t2 )

1,

т. е. более плавный переход, чем биномиальный. Определим теперь диапазон, т.е. величину t. Длина ступеньки определяется углом ϕ =

2πd . Λ

На краях диапазона (рис. 4.22) ϕmin

2πd 1 = arccos , Λмакс t µ ¶ 2πd 1 ϕмакс = = arccos − = Λмин t = π − ϕмин .

ϕмин = ϕmin

Разделим одно соотношение на другое: Λмакс π − ϕмин = = q Λмин ϕмин — заданное отношение. Рис. 4.22

164

Отсюда ϕмин =

π πq ; ϕмакс = . 1 + q 1 + q

Масштабный множитель выражается через q: t =

1 = cos ϕмин

1 cos

π 1 + q

.

Можно найти также длину ступени: π 2πd = , Λмакс 1 + q

ϕмин = откуда

d =

Λмакс Λмин q Λмин Λмакс /Λмин = = = 2(1 + q) 2(1 + q) 2(1 + Λмакс /Λмин ) µ

= 2

1 1 1 + Λмин Λмакс

¶ =

Λср , 4

где 1 1 = Λср 2

µ

1 Λмин

+

1

¶

Λмакс

.

1 f = , поэтому Λ c λср c c d = = = , 2(fмакс + fмин ) 4fср 4

Для TEM-линии

т. е. четверти волны на средней частоте. Для волновода длина d равна четверти длины волны на некоторой средней волне диапазона. Пример: ΓT = 0.5; q = 2; n = 4. Тогда t =

1 cos

π 3

= 2.

Выигрыш (для чебышевского перехода) равен 165

K4 = T4 (2) = 97. Максимальный коэффициент отражения в заданном диапазоне равен b =

0.5 = 0.005. 97

Биномиальный переход при этих условиях дает выигрыш K4 = 24 = 16.

5. ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛНОВОДОВ ЗАДАННЫМИ ТОКАМИ До сих пор рассматривалась однородная задача, соответствующая распространению свободных волн. Но интерес представляет также задача о вынужденных колебаниях, иначе говоря, задача о возбуждении волн в волноводе. Различают два способа возбуждения: возбуждение заданными (сторонними) токами и возбуждение заданным полем на границе (неоднородные граничные условия). Возбуждение волноводов токами встречается в СВЧ-электронике, когда волновод возбуждается потоками заряженных частиц. В СВЧ-метрике чаще встречается возбуждение полем на границе. Как мы увидим ниже, формально возбуждение через границу может быть сведено к возбуждению поверхностными токами.

5.1. Лемма Лоренца. Электрические и магнитные токи Исходными для решения задачи являются уравнения Максвелла ~ = −jωµH, ~ rot H ~ = jωεH ~ + J. ~ rot E В таком виде уравнения Максвелла записаны несимметрично. Однако при решении краевых задач часто оказывается удобной симметричная запись уравнений Максвелла. Симметризация достигается путем введения магнитных токов. Эти токи являются фиктивными; они служат для того, чтобы, отбрасывая некоторую часть поля вне интересующей нас области, заменить его магнитными токами, текущими на границе. Способ такой замены мы рассмотрим несколько позднее. 166

При этом условии уравнения Максвелла можно записать в следующей форме: ~ = −jωµH ~ − J~m , rot H ~ = jωεH ~ + J~e , rot E — плотность магнитного тока, J~e — плотность электрического

где J~m тока. Существенную роль в задачах о вынужденных колебаниях играет лемма Лоренца. Ранее была получена лемма Лоренца при отсутствии токов. Рассмотрим выражение ~ (1) × H ~ (2) ) − div (E ~ (2) × H ~ (1) ) = H ~ (2) rot E ~ (1) − E ~ (1) rot H ~ (2) − div (E ~ (1) rot E ~ (2) + E ~ (2) rot H ~ (1) . −H ~ (1) , H ~ (1) и E ~ (2) , H ~ (2) — два решения уравнений Максвелла, запиЗдесь E (1)

(1)

(2)

(2)

санных выше и соответствующих токам Je , Jm , Je , Jm . Учитывая это и подставляя rot из данных уравнений, получаем h i (1) ~ (1) × H ~ (2) ) − div (E ~ (2) × H ~ (1) ) = H ~ (2) −jωµH ~ (1) − J~m − div (E h i h i (2) ~ (1) jωεE ~ (2) + J~e(2) − H ~ (1) −jωµH ~ (2) − J~m −E + h i (2) (1) ~ (2) jωεE ~ (1) + J~e(1) = E ~ (2) ·J~e(1) − E ~ (1) ·J~e(2) + H ~ (1) ·J~m ~ (2) ·J~m +E −H . Данное равенство представляет собой лемму Лоренца в дифференциальной форме. Интегрируя по объему V , ограниченному поверхностью S, получаем I ~ (1) × H ~ (2) − E ~ (2) × H ~ (1) ) · ~n dS = (E Z

S (1) (2) ~ (2) · J~m ~ (1) · J~m ~ (1) · J~e(2) + H ~ (2) · J~e(1) − E ) dV, − H (E

= V

где интеграл слева взят по поверхности S, ограничивающей объем V , ~n — наружная нормаль к поверхности. Это равенство называют леммой Лоренца в интегральной форме. (2) (2) Предположим, что J~e (~r) = ~a · δ(~r − ~r0 ), J~m ≡ 0, где ~a — некоторый единичный вектор; ~r — точка наблюдения; ~r0 — точка истока (внутри 167

~ (2) , H ~ (2) мы предполагаем созданныобъема). Таким образом, поля E ми электрическим диполем, расположенным в точке ~r0 , электрический момент которого равен ~a/jω. Обозначим это поле индексом “a”: ~ (2) = E ~ a (~r, ~r0 ), H ~ (2) = H ~ a (~r, ~r0 ). E Индексом “(1)” обозначим поля и токи ~ (1) = E(~ ~ r), H ~ (1) = H(~ ~ r), J~(1) = J~e (~r), J~(1) = J~m (~r). E e m В этих предположениях и с принятыми обозначениями из выражения для леммы Лоренца (~n — наружная нормаль) получаем I

Z ~ ×H ~a + H ~ ×E ~ a ) ~n dS = −E(~ ~ r0 ) · ~a + (E

S

~ a − J~m · H ~ a ) dV, (J~e · E V

откуда находим ~ r0 ) · ~a = E(~

Z h i ~ a (~r, ~r0 ) − J~m · H ~ a (~r, ~r0 ) dV + J~e · E V

I ~a × E ~ − E ~ a × H)~ ~ n dS = (H

+ S

Z

~ a − J~m · H ~ a ) dV + (J~e · E

= V

I h

i ~ × ~n) · H ~ a + (H ~ × ~n) · E ~ a dS. (E

S

Если считать, что поле вне поверхности S равно нулю, то на самой поверхности следует ввести поверхностные токи ~e = H ~ × ~n, K ~ m = −E ~ × ~n, K где ~n — наружная нормаль. Тогда поле в точке ~r0 выражается через поверхностные токи: Z ~ r0 ) · ~a = E(~

Z ~ a − J~m · H ~ a ) dV + (J~e · E

V

~e · E ~a − K ~m · H ~ a ) dS. (K S

Данное соотношение показывает, что заданные на поверхности S ~ и H ~ могут быть заменены соответтангенциальные составляющие E ствующим образом распределенными токами. 168

Найденные выше соотношения позволяют найти проекцию векто~ на направление вектора ~a. Чтобы найти векторную функцию E ~ ра E полностью, необходимо задать три ортогональных вектора ~a, найдя со~ a . Совокупность трех векторных функответствующие решения для E ~ ций Ea (~r, ~r0 ) образует тензорную функцию, которую называют тензором Грина. Знание тензора Грина позволяет найти решения уравнений Максвелла по заданным объемным и поверхностным токам. Следует отметить, что граничные условия для тензора Грина устанавливаются произвольно. Проще всего найти поле диполя в свободном пространстве, но в этом случае для нахождения решений уравнений Максвелла по заданным токам должны быть заданы тангенциальные составляющие на поверхности S как электрического, так и магнитного полей (или соответствующие поверхностные токи). Если же для тензора Грина задать специальные граничные условия, то задача может ~ a, H ~a быть упрощена. Например, найдем поле электрического диполя E с граничным условием ~ at = 0 на S, E т. е. равенство нулю тангенциальной составляющей электрического поля на поверхности S (как на идеально проводящей поверхности). Тогда один из поверхностных интегралов, а именно содержащий электрический поверхностный ток, обращается в нуль. Искомое решение уравнений Максвелла в этом случае выражается только через поверхностный магнитный ток или через тангенциальную составляющую электрического поля на поверхности S: Z ~ r0 ) · ~a = E(~

I ~ a − J~m · H ~ a ) dV + (J~e · E

V

S

Z

I ~ a − J~m · H ~ a ) dV − (J~e · E

=

~ × ~n) · H ~ a dS = (E

V

~m · H ~ a dS. K S

Для идеально проводящих поверхностей тангенциальная составляющая электрического поля равна нулю и отличается от нуля лишь на прорезанных в стенках отверстиях. Из предыдущего следует, что отверстия могут быть заменены соответствующим распределением магнитных токов на стенках.

169

Если отверстие перерезает поверхностные токи, то между краями отверстия возникает электрическое поле (рис. 5.1). Заменяя это поле магE нитными токами, граничную задачу можно заменить задачей о нахождении поля, определяемого токами. Рис. 5.1

5.2. Возбуждение волноводов электрическими и магнитными токами Предположим, что все источники поля в волноводе расположены в области z1 < z < z2 (рис. 5.2). Вне этой области поле удовлетворяет однородz =0 z1 z2 ным уравнениям Максвелла и однородным граничным услоРис. 5.2 виям на стенках волновода. Для того чтобы задача решалась однозначно, поля следует также подчинить условию излучения, которое требует, чтобы слева от z1 волны распространялись только в сторону отрицательных z, а справа от z2 — в сторону положительных z. Решение справа может быть записано в виде X ~ пр = ~ m e−γm z , E Am E

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

m

~ пр = H

X

~ m e−γm z , Am H

m

а слева ~ лев = E

X

~ −m e γm z , H ~ лев = Bm E

m

X

~ −m e γm z . Bm H

m

~ m, H ~ m — векторные функции сечения, соответствующие расЗдесь E ~ −m , H ~ −m — в сторону −z. Поперечные пространению в сторону +z, а E и продольные компоненты этих функций удовлетворяют соотношениям

170

поп = E поп , ~ −m ~m E

поп = −H поп , ~ −m ~m H

прод ~ прод = −E ~m E , −m

прод ~ прод = H ~m H . −m

Кроме того, отметим, что поперечные векторные функции можно считать вещественными, поскольку их начальная фаза может заключаться в Am и Bm . Для определения коэффициентов Am и Bm может быть использова~ (1) , H ~ (1) — на лемма Лоренца. Для этого в лемме Лоренца положим E поля, возбуждаемые заданными токами J~e , J~m : (2) ~ (2) = E ~ −n e γn z , H ~ (2) = H ~ −n e γn z , J~e(2) ≡ 0, J~m E ≡ 0.

Поверхность S выберем, как показано на рис. 5.3 (S = S1 + S2 + S3 ). Интеграл по поверхности стенок S1 S2 S3 (S3 ) обращается в нуль, так как на 00000000 11111111 ~ (1) ней тангенциальные составляющие E 00000000 11111111 00000000 11111111 ~ (2) равны нулю. Остаются только иE n n 00000000 11111111 00000000 11111111 интегралы по S1 и S2 :

00000000 11111111

Z " X ~ −m × H ~ −n )~z0 e γm z eγn z + − Bm (E S1

z1

z2

Рис. 5.3

m

+

+

Z "X S2

X

# ~ −n × H ~ −m )~z0 e Bm (E

γm z γn z

e

dS +

m

~m × H ~ −n )~z0 e γn z e−γm z − Am (E

m

− Z

X

# −γm z γn z ~ ~ Am (E−n × Hm )~z0 e e dS =

m

~ −n J~e e γn z − H ~ −n J~m eγn z ) dV. (E

= V

Учитывая условия ортогональности и соотношения между поперечными составляющими полей противоположного направления распространения, нетрудно видеть, что слагаемые, содержащие интегралы по 171

S1 , исчезают (слагаемые с m 6= n — вследствие ортогональности, слагаемые с m = n взаимно уничтожаются). Слагаемые с интегралами по S2 ~n × H ~ −n )~z0 = −(E ~ −n × H ~ n )~z0 . складываются, так как (E В результате получаем Z

Z ~n × H ~ n )~z0 dS = An (E

−2 S

~ −n J~e e γn z − H ~ −n J~m e γn z ) dV. (E V

Интеграл слева берется по произвольному сечению волновода, так как подынтегральное выражение не зависит от z. Интеграл Z ~n × H ~ n )~z0 dS (E S

~ nпоп = 1 (~z0 × E ~ nпоп ), то определяется нормировкой. Так как H Zn R ~ поп )2 , откуда следует, что (E ~n × H ~ n )~z0 dS = ~n × H ~ n )~z0 = 1 (E (E Zn S 1 R ~ поп 2 = (E ) dS. Zn S n Если принять нормировку для поперечных функций Z ~ nпоп )2 dS = 1, (E S

R

~n × H ~ n )~z0 dS = то (E S

1 . Zn

Тогда 1 An = − Zn · 2

Z ~ −n J~e e γn z − H ~ −n J~m e γn z ) dV. (E V

Аналогично можно найти величины Bn : 1 Bn = − Zn 2

Z ~ n J~m e−γn z ) dV. (E~n J~e e−γn z − H V

172

Полученные формулы справедливы для полей вне области, в которой имеются токи. В области, занятой токами, необходимо учитывать поля, создаваемые непосредственно зарядами и токами (так как в этой ~ 6= 0). области div E Если поля в волноводе возбуждаются только электрическими токами, то 1 An = − Zn 2

Z E~−n J~e e γn z ) dV, V

Bn

1 = − Zn 2

Z E~n J~e e−γn z dV.

V

Из полученных формул видно, что наиболее эффективно возбуждаются те волны, для которых распределение электрических токов, их направление и фаза совпадают с распределением электрического поля. Аналогично этому направление щели в стенке волновода для эффективного возбуждения должно совпадать с направлением магнитного поля (так как магнитный ток течет вдоль щели) (рис. 5.5).

Et

Km Рис. 5.4

Так как токи в стенках до прорезания щели перпендикулярны магнитному полю, то щель должна перерезать линии токов в стенках (рис. 5.4). Возбуждение волноводов осуществляют также с помощью антенны и петли. Антенна (штырь) представляет соРис. 5.5 бой стержень, по которому текут токи, поэтому антенну помещают в максимум электрического поля (см. рис. 5.5). 173

Петля эквивалентна магнитному диполю. Ее необходимо помещать в максимуме магнитного поля, причем плоскость петли должна быть перпендикулярна магнитному полю (см. рис. 5.5). Щель прорезают перпендикулярно токам в стенке, где токи максимальны. Нередко волновод бывает закорочен с одной стороны. В этом случае слева от S1 имеются волны, распространяющиеся в обе стороны, удовлетворяющие граничным условиям на замыкающей перемычке: ~ лев = E

X

~ −m e γm z − E ~ m e−γm z ), Bm (E

m

X

~ лев = H

~ −m e γm z − H ~ m e−γm z ). Bm (H

m

Данное поле удовлетворяет граничному условию на короткозамыкающей перемычке при z = 0. В этом случае при вычислении An следует положить ~ (2) = E ~ −n e γn z − E ~ n e−γn z , E ~ (2) = H ~ −n e γn z − H ~ n e−γn z . H Нетрудно видеть, что в этом случае интеграл по S1 обращается в нуль. Интеграл по S2 имеет тот же вид, поэтому Z h 1 ~ −n e γn z − E ~ n e−γn z ) · J~e − An = − Zn (E 2 V

i ~ −n e γn z − H ~ −n e−γn z ) · J~m dV. − (H Пусть, например, волновод возбуждается антенной, расположенной на расстоянии l от закорачивающей перемычки. Тогда можно считать, что токи J~e сосредоточены в плоскости z = l и поэтому (γn = jβn ): Z 1 ~ −n e jβn l − E~n e−jβn l ) · J~e dV. An = − Zn (E 2 V

Так как токи текут только в поперечной плоскости, то играют роль только поперечные компоненты En ; поэтому можно заменить En на E−n . Тогда получим Z 1 ~ −n · J~e dV = An = − Zn (e jβn l − e−jβn l ) · E 2 V

174

Z ~ −n · J~e dV. E

= −jZn sin βn l V

Очевидно, что возбуждение будет наиболее эффективно при π Λ βn l = , т. е. l = . 2 4 Если проинтегрировать плотность тока по сечению антенны, то получим ток I~e . Тогда Z ~ −n I~e dl, An = −jZn sin βn l E l

где интеграл берется вдоль антенны. В качестве примера рассмотрим возбуждение прямоугольного волновода штырем, в котором задано распределение тока (рис. 5.6). Нормированная функция E10 имеет вид

a

r E10y =

b

2 πx sin . ab a

h

Волновое сопротивление рав-

x0

но

Z10 =

ωµ ζ , = p β 1 − (λ/2a)2

Рис. 5.6

где r ζ =

µ . ε

Подставляя E10y в интеграл, получаем величину A10 : A10 = −j p

ζ sin βl 1 − (λ/2a)2

Обозначим

175

r

2 πx0 sin ab a

Zh I~e d~l. 0

Zh I~e d~l = I0 hд , 0

где I0 — ток у основания штыря, hд — действующая высота штыря. Тогда r ζ sin βl 2 πx0 A10 = −j p sin I 0 hд . 2 ab a 1 − (λ/2a) Электрическое поле равно

E = A10 E10 = −j p

ζ sin βl 1 −

(λ/2a)2

2 πx0 πx sin I0 hд sin . ab a a

5.3. Другой вывод формулы возбуждения электрическими и магнитными токами Заданы токи в волноводе в области z1 < z < z2 (рис. 5.7).

S1

n

S2

S3

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

z1

n

z2

z

S Рис. 5.7

Поля можно записать следующим образом: 1. В сечении S ~ E(x, y, z) =

o Xn поп поп ~m ~ −m ~z . Am (z) · E (x, y) + A−m (z) · E (x, y) + E m

176

2. В сечении S1 ~ E(x, y, z) =

X

поп ~ −m ~z. A−m (z) · E (x, y) + E

m

3. В сечении S2 ~ E(x, y, z) =

X

поп ~m ~z. Am (z) · E (x, y) + E

m

поп , E поп — поперечные собственные функции волновода при ~m ~ −m Здесь E распространении соответственно в положительном и отрицательном направлении оси z. Аналогично для магнитного поля:

1. В сечении S ~ H(x, y, z) =

X

~ поп (x, y) + A−m (z) · H ~ поп (x, y) + H ~ z. Am (z) · H m −m

m

2. В сечении S1 ~ H(x, y, z) =

X

поп ~ −m ~ z. (x, y) + H A−m (z) · H

m

3. В сечении S2 ~ H(x, y, z) =

X

поп ~m ~ z. Am (z) · H (x, y) + H

m

Коэффициенты Am и A−m могут быть найдены с помощью леммы Лоренца I

Z ~ (1) × H ~ (2) − E ~ (2) × H ~ (1) ) · ~n dS = (E

S

~ (2) · J~(1) − E ~ (1) · J~(2) ) dV. (E V

Здесь S — произвольная замкнутая поверхность, ограничивающая объ~ (1) , H ~ (1) , ем V ; ~n — внешняя относительно поверхности S нормаль; E ~ (2) , H ~ (2) — поля, удовлетворяющие уравнениям Максвелла с токами E J~(1) , J~(2) . ~ (1) , H ~ (1) — искомые поля. Пусть E 1.

~ (2) = E ~ −n · e γn z , H ~ (2) = H ~ −n · e γn z , J~(2) = 0. E 177

~ −n · e γn z и H ~ −n · e γn z — собственные функции n-й моды пустого Здесь E волновода, соответствующие отрицательному направлению распространения. Область интегрирования — участок волновода от S до S1 . Интеграл по S3 обращается в нуль как при отсутствии, так и при наличии потерь. Поэтому слева в лемме Лоренца остаются лишь инте~z и H ~ z исчезают: гралы по S1 и S, причем E

−

Z (X

поп ~ −m ~ −n )~z0 e γn z − A−m (E ×H

m

S1

X

) поп ~ −n × H ~ −m A−m (E )~z0 e γn z

dS +

m

Z Xn o ~ поп × H ~ −n )~z0 e γn z + A−m (E ~ поп × H ~ −n )~z0 e γn z dS − + Am (E m −m m

S

Z Xn o поп поп ~ −n × H ~m ~ −n × H ~ −m )~z0 e γn z + A−m (E )~z0 e γn z dS = − Am (E S

m

Интегралы, содержащие произведения собственных функций с различными индексами, исчезают вследствие ортогональности. В результате в суммах под интегралами остается по одному слагаемому

= −

Z n o ~ −n × H ~ −n )~z0 e γn z − A−n (E ~ −n × H ~ −n )~z0 e γn z dS + A−n (E S1

Z n o ~n × H ~ −n )~z0 e γn z + A−n (E ~ −n × H ~ −n )~z0 e γn z dS − + An (E S

Z n o ~ −n × H ~ n )~z0 e γn z + A−n (E ~ −n × H ~ −n )~z0 e γn z dS = − An (E S

В интеграле по S1 слагаемые взаимно уничтожаются, в интеграле по S уничтожаются второе и четвертое слагаемые. Первое и третье слагаемые в интеграле по S, наоборот, складываются при замене −n на n с одновременной переменой знаков в соответствии с правилом H−n = −Hn , E−n = En Z Z γn z ~ −n e γn z dV. ~ ~ J~ · E = −2An · e (En × Hn )~z0 dS = S

V (z1 ,z)

Отсюда находим 178

R

~ −n e γn z dV J~ · E

1 V (z1 ,z) An (z) = − e−γn z R . ~ n )~z0 dS ~n × H 2 (E S (2)

−γn z

(2)

2. Пусть E = En e , H = Hn e−γn z . Область интегрирования — участок волновода от S до S2 . Аналогично получаем R ~ n e−γn z dV J~ · E 1 γn z V (z,z2 ) A−n (z) = − e . R ~n × H ~ n )~z0 dS 2 (E S

Продольные компоненты находятся с помощью уравнений Максвелла ~ = −jωµH, ~ rot H ~ = jωεE ~ + J. ~ rot E Из второго уравнения

Ez = =

1 ~ − 1 J~z = 1 rot z H ~ поп − 1 J~z = rot z H jωε jωε jωε jωε

o 1 Xn 1 ~ поп поп ~m ~ −m Jz . Am (z)rot z H + A−m (z)rot z H − jωε m jωε

поп не содержит диф~m Такое выражение получается потому, что rot z H ференцирования по z, поэтому Am (z) и A−m (z) выходят из-под знака rot z . Собственные функции удовлетворяют уравнению

~ m · e−γm z ) = jωε · E ~ m e−γm z , rot (H откуда ~ m = jωε · E ~ mz . rot z H Таким образом, Ez =

X

[Am (z)Emz + A−m (z)Emz ] −

m

1 Jz . jωε

Складывая поперечное и продольное поля, находим полное поле: 179

~ E(x, y, z) =

i Xh ~ m + A−m (z) · E ~ −m − Am (z) · E m

1 ~ Jz . jωε

Аналогично для магнитного поля получаем ~ H(x, y, z) =

i Xh ~ m + A−m (z) · H ~ −m . Am (z) · H m

6. 6.1.

РЕЗОНАТОРЫ Свободные колебания в резонаторах

При очень коротких волнах колебательные системы, состоящие из индуктивностей и конденсаторов, осуществимы с трудом вследствие малых размеров. Кроме того, в них становятся слишком большими потери, поэтому в этой области частот основную роль играют объемные резонаторы, прежде всего закрытые. Простейший объемный резонатор представляет собой объем, ограниченный со всех сторон металлической оболочкой. В первом приближении можно предположить, что стенки являются идеально проводящими. Если в таком объеме возбуждены электромагнитные колебания, то они будут постоянно там существовать.

6.2. Собственные функции и собственные значения. Ортогональность собственных функций Свободные колебания в резонаторе описываются однородными уравнениями Максвелла ~ = −µ rot E

~ ~ ∂H ~ = ε ∂E . , rot H ∂t ∂t

~ иH ~ должны удовлетворять граничным условиям на При этом поля E поверхности металла (идеально проводящего) ~ = 0, то есть E ~ t = 0, ~n × E ~ ~n · H = 0, то есть Hn = 0, 180

где n — вектор нормали. Будем искать решение уравнений в виде ~ = E(x, ~ E y, z) e jωt , ~ = H(x, ~ H y, z) e jωt , где ω — пока неизвестная величина. Подставляя эти поля в уравнение Максвелла, получаем ~ = −jωµH, ~ rot H ~ = jωεE. ~ rot E ~ и учитывая, что div E ~ = 0, получаем уравнение для E ~ Исключая H ~ = 0, ~ + k2 E ∆E где k 2 = ω 2 εµ, ∆ – лапласиан, применяемый к декартовым составля~ В общем случае произвольных координат уравнение имеет ющим E. вид ~ − k2 E ~ = 0. rot rot E Данное уравнение должно быть решено при указанных ранее граничных условиях. Нетривиальное решение существует лишь при некото2 рых определенных значениях km постоянной k 2 , входящей в уравнение. Эти значения называют собственными. Соответствующие им решения ~ m (x, y, z) называют собственными функциями. ~ m (x, y, z) и H E Аналогичному уравнению удовлетворяет магнитное поле: ~ − k2 H ~ = 0. rot rot H Собственные значения, как можно показать, составляют бесконечную счетную последовательность, не имеющую конечных точек сгущения. Покажем, что собственные значения вещественны и положительны. Для этого вычислим следующее выражение: ∗ ∗ ∗ ~m ~ m ) = rot H ~ m · rot H ~m ~m ~m = div (H × rot H − H · rot rot H 2 ~ m |2 − km · |H~m |2 . = |rot H

Интегрирование по объему резонатора дает Z

Z ~ m |2 dV = |H

2 km V

I ~ m |2 dV − |rot H

V

∗ ~m ~ m )~n dS. (H × rot H S

181

Второй интеграл справа обращается в нуль в силу граничных условий и тогда R ~ m |2 dV |rot H 2 = VR km . ~ m |2 dV |H V

Полученное соотношение доказывает, что собственные значения ве2 щественны и положительны. Так как km = ω 2 µε, то ω 2 > 0 и ω — вещественное число. Таким образом, решения уравнения Максвелла для резонатора с идеально проводящими стенками представляют собой незатухающие электромагнитные колебания. Частоты и длины волн этих колебаний определяются следующим образом: 2π km . ωm = ckm = √ , λm = µε km 2 может соответствоОдному и тому же собственному значению km вать несколько собственных функций. Такие решения называют вырожденными. Собственные функции обладают свойством ортогональности в том 2 смысле, что при km 6= kn2 имеют место равенства Z Z ~ ~ ~m · H ~ n dV = 0, Em · En dV = 0, H V

V

причем интегралы берутся по всему объему резонатора. Чтобы это показать, запишем два уравнения, которым удовлетворя~m и E ~ n: ют E 2 ~ ~ m − km Em = 0, rot rot E 2~ ~ rot rot En − kn En = 0.

Вычислим выражение ~ n ×rot E ~ m ) − div (E ~ m ×rot E ~ n ) = rot E ~ m·rot E ~n − E ~ n·rot rot E ~m − div (E ~ n · rot E ~m + E ~ m · rot rot E ~n = E ~ m · rot rot E ~n − E ~ n · rot rot E ~ m. − rot E ~m и E ~ n , получаем Учитывая уравнения, которым удовлетворяют E

182

~ m ) − div (E ~ m × rot E ~ n ) = (k 2 − k 2 )E ~ n × rot E ~m· E ~ n. div (E n m Интегрируя по объему резонатора, получаем Z (kn2

−

I ~ n × rot E ~m − E ~ m × rot E ~ n )~n dS. (E

~m · E ~ n dV = E

2 km ) V

S

Справа интеграл равен нулю в силу граничных условий: Z 2 2 ~m· E ~ n dV = 0, (kn − km ) E V 2 2 , то 6= km Так как по условию km Z ~m · E ~ n dV = 0 . E V

~m и E ~ n соответАналогично доказывается второе равенство. Если E ствуют одному и тому же собственному значению, то эти функции, вообще говоря, не ортогональны, но можно получить ортогональные функции с помощью процесса ортогонализации. ~m и H ~ m — решения, соответствующие некотоПредположим, что E ~m и рому собственному числу, причем вырождение отсутствует. Если E ~ m — комплексные функции, то их можно представить в виде суммы H вещественной и мнимой частей (i) (r) (i) (r) ~m ~m = H ~m ~m ~m = E ~m . + H , H + E E

Нетрудно видеть, что в резонаторе без потерь граничным условиям ~m и должны удовлетворять отдельно вещественная и мнимая части E ~ Hm , т. е. (r) (i) (r) (i) ~ mt ~ mt E = 0, E = 0, Hmn = 0, Hmn = 0

на S.

~m и H ~ m в уравнения Максвелла и разделяя вещественПодставляя E ные и мнимые части, получаем (r)

~m rot E

(i)

(i)

~m , = −jωm µ · H (r)

~ m = jωm ε · E ~m , rot H

(i)

(r)

~m , ~ m = −jωm µ · H rot E (r)

~m rot H 183

(i)

~m . = jωm ε · E

(r) (i) ~m ~m Таким образом, E иH также удовлетворяют уравнениям Максвелла и граничным условиям и, следовательно, при отсутствии вырож~m и H ~ m только постоянным множителем. дения могут отличаться от E (i) (r) ~m ~m То же можно сказать относительно E и H . Так как множитель несуществен, то в качестве собственных функций можно принять, на(r) (i) ~m ~m пример, E иH . Это означает, что электрическое поле во всех точках резонатора колеблется в одной и той же фазе. Магнитное поле также колеблется во всех точках в одной фазе, но со сдвигом на 90o относительно электрического поля. Сказанное справедливо лишь при отсутствии вырождения. Если имеет место вырождение, то это, вообще говоря, несправедливо. Пример — резонаторы бегущей волны. 2 Вернемся теперь к выражению для km :

Z

Z ~ m |2 dV = |H

2 km V

~ m |2 dV. |rot H V

2 ~ m = jωm εE ~ m и k 2 = ωm · µε, получаем Подставляя сюда rot H

Z

µ|Hm |2 dV = 2

V

Z

ε|Em |2 dV, 2

V

т. е. средние запасы электрической и магнитной энергий в резонаторе без потерь равны. Тот же вывод можно сделать из фазовых соотношений для электрического и магнитного полей в случае отсутствия вырождения. Заметим, что приведенный выше вывод пригоден и при наличии вырождения.

6.3. Резонаторы, образованные из отрезков линии передачи Простейшие резонаторы получаются, если перегородить линию передачи металлическими перегородками в двух сечениях. Легко показать, что в такой системе возможны свободные колебания. Действительно, пусть на стенку, закорачивающую волновод, падает волна. При этом вследствие полного отражения возникает стоячая волна, в которой имеются сечения, где Ex = 0 и Ey = 0. Если в такое сечение поместить металлическую перегородку, то ничего не изменится. Волна будет многократно отражаться, не затухая (при идеальной 184

проводимости стенок). Очевидно, что это возможно, когда длина резонатора кратна длине полуволны (Λ/2) в волноводе (рис. 6.1). В таких волноводных резонаторах L колебательные моды делятся, как и в волноводах, на электрические и магнитные, и для их описания можно польz зоваться тем же аппаратом потенциальных функций φ и ψ. При этом, однако, зависимость от z описывается уже z=0 не множителями e±jβz , а множителяРис. 6.1 ми sin βz и cos βz. Это связано с тем, что поля получаются путем суммирования прямой и обратной волн равной амплитуды. Найдем, например, поля магнитных мод. Для волновода (прямая волна) Hz = (k 2 − β 2 )ψ e−jβz . Поле в резонаторе получается путем вычитания падающей и отраженной волн (чтобы удовлетворить граничному условию при z = 0):

Hz =

1 2 (k − β 2 )ψ (e−jβz − ejβz ) = −j(k 2 − β)ψ sin βz. 2

Далее, для волновода Hx = −jβ

∂ψ −jβz ∂ψ −jβz e , Hy = −jβ e . ∂x ∂y

Для резонатора соответственно 1 ∂ψ −jβz ∂ψ Hx = − jβ (e + e jβz ) = −jβ cos βz, 2 ∂x ∂x 1 ∂ψ −jβz ∂ψ Hy = − jβ (e + e jβz ) = −jβ cos βz. 2 ∂y ∂y Для волновода Ex = −jωµ ·

∂ψ −jβz ∂ψ −jβz e , Ey = jωµ · e . ∂y ∂x

Для резонатора соответственно 185

1 ∂ψ −jβz ∂ψ Ex = − jωµ (e − e jβz ) = −ωµ sin βz, 2 ∂y ∂y Ey =

1 ∂ψ −jβz ∂ψ jωµ (e − e jβz ) = −ωµ sin βz. 2 ∂x ∂x

Чтобы удовлетворить граничному условию на второй перегородке, должно быть sin βL = 0, откуда βL = lπ, т. е. Λ 2π = lπ, L = l , l = 1, 2, . . . . Λ 2 Можно получить также собственные значения, учитывая, что µ β

2

= k

2

−

0 2 gmn ,

2

2

β L

2 2

= l π , β

2

=

πl L

¶2 .

Подставляя β 2 в предыдущее выражение, получаем µ 2 0 2 = gmn kmnl +

πl L

¶2 .

Нетрудно видеть, что при l = 0 поле исчезает, так как для этого необходимо, чтобы β = 0 (так как L 6= 0). Электрические моды в резонаторе могут быть записаны в следующем виде: Ez = (k 2 − β 2 ) · φ cos βz, ∂φ Ex = −β · sin βz, ∂x ∂φ Ey = −β · sin βz, ∂y ∂φ cos βz, Hx = jωε · ∂y ∂φ cos βz. Hy = −jωε ∂x

186

Граничные условия при z = L выполняются также при sin βL = 0, т. е. при βL = lπ, откуда µ 2 kmnl

=

2 gmn

+

πl L

¶2 .

В этом случае при l = 0 (т. е. при β = 0) поле не исчезает. Обращаются в нуль лишь Ex и Ey . Это значит, что поле оказывается чисто продольным. Собственные значения при этом равны 2 2 kmn0 = gmn ,

т. е. резонансные частоты совпадают с критическими частотами волновода и не зависят от длины резонатора.

6.4. Примеры резонаторов, образованных из отрезков линии передачи Прямоугольный резонатор Для прямоугольного волновода 2 gnm =

³ nπ ´2 a

+

³ mπ ´2 b

,

откуда 2 knml =

³ nπ ´2 a

+

³ mπ ´2 b

µ +

lπ L

¶2 .

Как видно, все размеры резонатора входят симметрично, что вполне естественно, так как в таком резонаторе любая из осей может быть принята за ось z. (E) (H) Так как gnm = gnm для прямоугольного волновода, то каждая из собственных мод резонатора является дважды вырожденной (магнитные и электрические моды). Кроме того, в таком резонаторе нет различия между магнитными и электрическими модами, так как это зависит от выбора осей. Исключение в смысле вырождения составляют моды с одним из индексов, равным нулю, так как электрические моды с нулевым индексом отсутствуют. Для вырожденных мод свободные колебания могут быть представлены в виде суперпозиции двух собственных функций.

187

Круговой цилиндрический резонатор В данном случае различают магнитные и электрические моды колебаний: µ (H) kmnl 2

= µ

(E)

kmnl 2 =

t0mn a tmn a

¶2

µ +

¶2

µ +

lπ L lπ L

¶2 , ¶2 .

При этом, как и в круглом волноводе, при m 6= 0 моды дважды вырождены (поляризационное вырождение). Вырождение отсутствует для симметричных мод, т. е. для мод с m = 0. Наибольший интерес представляют резонаторы с модами E010 и H01n . Для первого резонансная частота зависит не от длины резонатора, а 2.4 (E) только от его радиуса. Величина t01 ≈ 2.4. Поэтому k010 ≈ , откуда a 3 2.4 2π и λрез ≈ 2.6 a = 1.3 d, или d ≈ 0.75 λрез = λрез следует, что = λрез a 4 (точнее 0.764 λрез ), где d — диаметр резонатора. Такой резонатор (рис. 6.2) очень удобен в ускорительной технике, так как на оси продольная компонента электрического поля максимальна, а длина резонатора может быть выбрана оптимальной для ускорения частиц в зависимости от их скорости. Для моды E010 имеем следующие соотношения для составляющих поля: Ez = J0 (kr), r 1 dEz k 0 ε Hϕ = = J0 (kr) = j J1 (kr). jωµ dr jωµ µ

Рис. 6.2

Для резонатора с модой H01 имеем µ (H)

k011 2 =

t001 a

¶2 +

³ π ´2 L

µ =

3.83 a

¶2 +

³ π ´2 L

.

Как видим, резонансная частота в этом случае зависит от длины резонатора. Благодаря малым потерям такой резонатор может иметь большую добротность. 188

Коаксиальные резонаторы Отличие коаксиальных резонаторов от волноводных состоит в том, что в коаксиальной линии легче осуществить не только короткое замыкание, но и холостой ход. Поэтому здесь мы имеем тройной набор резонансных мод. Возможны три сочетания граничных условий, показанные на рис. 6.3. Условие резонанса: λрез λрез = 2n, 2 4 n = 1, 2, 3, . . . .

L = n·

L

Условие резонанса: λрез (2n + 1), 4 n = 0, 1, 2, . . . . L =

L

Условие резонанса: λрез 2n, 4 n = 1, 2, 3, . . . . L =

L

Рис. 6.3

В резонаторах с холостым ходом на одном или двух концах иногда необходимо учитывать концевую емкость. Учет концевой емкости приводит к удлинению резонансной волны или укорочению самого резонатора при заданной резонансной длине волны, поэтому емкость называют укорачивающей (рис. 6.4). Концевую емкость можно искусственно увеличить, чтобы уменьшить длину резонатора. При очень сильном укорочении основная часть запасенной электрической энергии находится в зазоре, а магнитной — в коаксиальной части, т. е. электричеРис. 6.4 ская и магнитная энергии пространственно разделены. 189

Рис. 6.5

Такой резонатор называют квазистатическим (рис. 6.5). Его размеры много меньше длины волны, а поля можно рассчитывать по уравнениям статических полей. Такие резонаторы применяют в ускорительной технике и СВЧ-электронике.

6.5. Приближенные методы расчета частоты свободных колебаний резонаторов Точный расчет резонансных частот резонаторов в большинстве случаев невозможен, чаще возможен приближенный расчет с помощью численных методов. Существуют также приближенные аналитические методы, которые будут рассмотрены в данном подразделе, а именно квазистатический метод, метод сшивания, или метод частичных областей, вариационные методы и метод возмущений. 6.5.1.

Квазистатический метод

Большое число объемных резонаторов принадлежит классу квазистатических резонаторов. Такие резонаторы содержат две четко разделенные области, в одной из которых существенно преобладают запасы магнитной энергии, а в другой — запасы электрической энергии. Это возможно лишь в том случае, когда размеры резонатора малы по сравнению с длиной волны. Сказанное выше позволяет при определении электрического поля ∂H в электричепренебречь в первом уравнении Максвелла членом µ ∂t ской области и тем самым свести задачу к электростатической. При определении же конфигурации магнитного поля в магнитной области 190

∂E можно отбросить член ε , и тогда магнитное поле описывается ста∂t тическим уравнением ~ = J. ~ rot H Итак, квазистатический метод состоит в том, что при определении конфигурации электрического и магнитного полей эти поля считаются не зависящими друг от друга и вследствие этого статическими. Условие резонанса состоит в том, что запасы энергии электрического и магнитного полей равны друг другу. Такой метод может быть применен при условии малости размеров резонатора по сравнению с длиной волны. 6.5.2. Примеры: тороидальный резонатор, резонатор типа “щель–отверстие” В качестве примера рассмотрим некоторые квазистатические резонаторы. Тороидальный резонатор образуr ется вращением плоской области S вокруг оси, лежащей в этой же плосd S кости, но не пересекающей область S (рис. 6.6). Электрическое поле сосредоточено в зазоре шириной d, маг2a dS нитное поле — в полости S. Энергия электрического поля в зазоре равна

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

Рис. 6.6

WE

ε0 E 2 ε0 E 2 = V = πa2 d = 2 2 =

πa2 ε0 U 2 CU 2 = , d 2 2

πa2 ε0 , U = d E. d Магнитная энергия равна

где C =

Z WH =

µ0 H 2 dV, 2

VH

причем H =

I , dV = 2πr dS. Интегрируя, получаем 2πr 191

Z W =

µ0 H 2 2πr · dS = 2

SH

где L =

Z

µ0 I2 I 2 µ0 · 2 2 2πr · dS = 2 4π r 4π

SH

Z

dS LI 2 = , r 2

SH

µ0 R dS . 4π SH r

Резонансная длина волны резонатора может быть вычислена по емкости и индуктивности C и L: v v Z u πa2 ε µ Z dS u1 dS u 0 u 0 λрез = 2πc LC = 2πct · = 2πat . d 2π r 2d r √

SH

Z Интеграл SH

SH

dS S = . r rср

Подставляя сюда L и C, находим s λрез = 2πa

S . 2d rср

Условие применимости квазистационарного метода в данном случае S À 1, 2d rср т. е. зазор d должен быть мал по сравнению с поперечными размерами области S (площадь d rср ¿ S). Другой пример — резонатор типа “щель–отверстие”, применяемый в магнетронах (рис. 6.7). Этот резонатор также является квазистатическим. Если высота резонатора h значительно больше диаметра отверстия (как это обычно бывает), то магнитное поле в отверстии можно приближенно считать однородным. Магнитное поле равно H = 192

I . h

Магнитный поток Φ = L I = µ0 H S = µ0

I πa2 πa2 = µ0 I. h h

Отсюда индуктивность получается равной πa2 . h Емкость конденсатора (щели) равна L = µ0

C = ε0

lh . d

Резонансная длина волны выражается через индуктивность и емкость:

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 a 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000 111 00000000 11111111 000 111 00000000 11111111 000 l 111 d

r λрез = 2πc

µ0

πa2 lh ε0 = 2πa h d

r

πl . d

Рис. 6.7

Напомним, что длина волны должна быть много больше размеров резонатора. 6.5.3.

Метод частичных областей

Данный метод состоит в том, что весь резонатор разбивают на отдельные области, поля в которых известны или легко рассчитываются. Затем решения для отдельных областей “сшиваются” на поверхностях раздела между областями. Сшивание состоит в приближенном удовлетворении граничных условий на поверхностях раздела. При этом получаются уравнения, из которых могут быть определены резонансные частоты. Известны различные варианты условий на границе. Простейшее из них — условие для сопротивления на границе, которое может быть получено следующим образом. Вся область разделена на области 1 и 2 (рис. 6.8). Как известно, при резонансе средние запасы электрической и магнитной энергии равны друг другу, т. е. WE1 + WE2 = WH1 + WH2 . 193

Это равенство может быть записано в виде (WH1 − WE1 ) + (WH2 − WE2 ) = 0.

2

i2

1

Z1 i1

i1

Разности в скобках могут быть выражены через входные сопротивления:

Z2 i2

Рис. 6.8

WH1 − WE1 =

1 1 Z1 |I1 |2 , 2jω 2

WH2 − WE2 =

1 1 Z2 |I2 |2 . 2jω 2

Приравнивая сумму нулю, получаем уравнение сшивания Z1 · |I1 |2 + Z2 · |I2 |2 = 0, причем Z1 и Z2 — полные сопротивления частичных областей на граничной поверхности. Дополнительное условие на границе состоит в том, что |I1 | = |I2 |, так как линии тока непрерывны. Поэтому условие на границе сводится к следующему (для двух областей): Z1 + Z2 = 0. Другой вид такого граничного условия Y1 + Y2 = 0. Вычисление Z1 и Z2 часто производится приближенно, без учета высших мод на границе. При этом результат также получается приближенным. В случае необходимости можно учесть и высшие моды, что позволяет уточнить результат.

194

6.5.4.

Примеры

Коаксиальная линия, нагруженная емкостью Коаксиальная линия характеризуется волновым сопротивлением Z0 . Пусть короткозамкнутый отрезок линии нагружен на емкость. Найдем резонансные частоты такого резонатора (рис. 6.9). Входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии равно

11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 l 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111

Zвх = jZ0 tan kl, так как k =

ω , то c

Zвх = jZ0 tan

ω l. c

C

Рис. 6.9

Условие резонанса ω 1 + jZ0 tan l = 0. jωC c Это условие можно иначе записать в виде cot Если обозначить

ω l = Z0 ωC. c

ω l = x, то уравнение примет вид c cot x = Ax.

Z0 C c C = , где C1 — погонная емкость линии. l C1 l Полученное трансцендентное уравнение решается графически (рис. 6.10). Найдя корни x1 , x2 , . . . , можно определить резонансные длины волн, исходя из соотношения Здесь A =

λn =

2π l. xn

x x1

Отметим, что это решение теряет силу там, где емкость C рассматривается не как чистая емкость, а как радиальная линия.

x2

Рис. 6.10

195

x3

Две коаксиальные линии с различными волновыми сопротивлениями Устройство резонатора из двух коаксиальных линий с различным волновым сопротивлением показано на рис. 6.11.

Z 01

Z 02

l1

l2

l1

l2

Рис. 6.11

Здесь условие резонанса имеет вид jZ01 tan

ωl1 ωl2 + jZ02 tan = 0 c c

или Z02 ωl2 ωl1 tan = − tan . Z01 c c Обозначив ωl1 = x, c преобразуем уравнение к виду Z02 l2 tan · x = − tan x. Z01 l1 Данное уравнение также может быть решено графически (рис. 6.12). Найдя корни уравнения x, найдем резонансные длиx2 x ны волн. x1 При таком решении не учитывается поле, возникающее вблизи скачкообразного изменения сечения. Это поле можно считать электростатическим. Оно эквивалентРис. 6.12 но некоторой емкости, включенной параллельно линии в месте скачка (рис. 6.13). С учетом емкости условие резонанса может быть записано в виде (сумма проводимостей) 196

1 jZ01 · tan

+

ωl1 c

1 jZ02 · tan

Z 01

+ jωC = 0.

ωl2 c

C Z 02 Рис. 6.13

Цилиндрический резонатор, частично заполненный ферритом Рассмотрим цилиндрический резонатор на моде E01 , частично заполненный ферритом, т.е. непроводящим магнетиком (рис. 6.14). В области 1 симметричная мода имеет электрическое поле

2

h

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 2a 2b

Ez = J0 (k1 r). Магнитное поле равно Hϕ =

1

Рис. 6.14

1 ∂Ez k1 0 k1 = J0 (k1 r) = − J1 (k1 r). jωµ1 ∂r jωµ1 jωµ1

На радиусе r = a ток равен I = 2πa Hϕ = −2πa

k1 J1 (k1 a). jωµ1

Входное сопротивление для области 1 будет Z1 =

Ez h h jωµ1 J0 (k1 a) = − . I 2πa k1 J1 (k1 a)

Для области 2 Ez = A J0 (k2 r) + B N0 (k2 r). Отношение постоянных A/B определяется из условия на внешнем радиусе 197

A J0 (k2 b) + B N0 (k2 b) = 0, откуда B J0 (k2 b) = − . A N0 (k2 b) Подставляя это в выражение для Ez , получаем Ez = A

J0 (k2 r) N0 (k2 b) − J0 (k2 b) N0 (k2 r) . N0 (k2 b)

Магнитное поле равно

Hϕ =

1 ∂Ez k2 J00 (k2 r) N0 (k2 b) − J0 (k2 b) N00 (k2 r) = A . jωµ2 ∂r jωµ2 N0 (k2 b)

Входное сопротивление области 2 равно

Z2

¯ h Ez ¯¯ h jωµ2 J0 (k2 a) N0 (k2 b) − J0 (k2 b) N0 (k2 a) = = . 2πa Hϕ ¯r=a 2πa k2 J00 (k2 a) N0 (k2 b) − J0 (k2 b) N00 (k2 a)

Условие резонанса имеет вид Z1 + Z2 = 0, подставляя сюда Z1 и Z2 , получаем резонансное уравнение r

µ2 J0 (k2 r) N0 (k2 b) − J0 (k2 b) N0 (k2 r) − ε2 J00 (k2 r) N0 (k2 b) − J0 (k2 b) N00 (k2 r)

r

µ1 J0 (k1 a) = 0. ε1 J1 (k1 a)

Решая это уравнение, можно найти резонансные частоты резонатора и электромагнитное поле. Сочетания функций, входящие в эти уравнения, табулированы, что позволяет найти решения. 6.5.5.

Вариационный метод. Формула возмущений

Вариационный метод основан на вариационных свойствах формулы R |rot H|2 dV 2 , k = R |H|2 dV где интегралы взяты по всему объему резонатора. 198

Если рассматривать данное соотношение как функционал относи~ то можно показать, что этот функтельно функции магнитного поля H, ~ если данная ционал стационарен относительно малых изменений H, функция удовлетворяет уравнению ~ − k2 H ~ = 0 rot rot H ~ = 0. Иначе говоря, функципри условии на границе области ~n × rot H ~ онал стационарен, если H является решением уравнений Максвелла и удовлетворяет обычным электродинамическим граничным условиям. Доказательство. Запишем соотношение в виде Z Z ~ 2 dV. k 2 |H|2 dV = |rot H| V

V

~ предполагая для упрощения H ~ веБудем варьировать функцию H, щественной функцией координат. Заметим, что аналогично можно доказать стационарность (несколько более громоздко) и не делая этого предположения. Получаем Z Z Z 2 2 2 ~ ~ ~ rot δ H ~ dV. δk |H| dV + 2k H δ H dV = 2 rot H V

V

V

Теперь воспользуемся тождеством векторного анализа ~ × rot H) ~ = rot H ~ · rot δ H ~ − δH ~ · rot rot H, ~ div (δ H откуда ~ · rot δ H ~ = δH ~ · rot rot H ~ + div (δ H ~ × rot H). ~ rot H Подставляя это в ранее найденное уравнение, получаем Z δk

2

Z Z 2 2~ ~ ~ × rot H) ~ dV. ~ ~ |H| dV = 2 (rot rot H − k H) · δ H dV + div (δ H

V

V

V

Заменяя интеграл от дивергенции поверхностным интегралом, имеем Z

Z ~ 2 dV = 2 |H|

δk 2 V

I ~ − k 2 H) ~ · δH ~ dV − (rot rot H

V

~ · δH ~ dS. (~n × rot H) S

199

Из полученного соотношения следует, что δk 2 = 0 вследствие произ~ только при следующих условиях: вольности δ H ~ − k2 H ~ = 0 во всем объеме V ; 1) rot rot H ~ = 0 на поверхности S, ограничивающей этот объем. 2) ~n × rot H Таким образом, электродинамическое граничное условие является в данном случае естественным граничным условием вариационной задачи. Поэтому функции сравнения не обязательно должны удовлетворять граничным условиям. ~ являющейся одной из собМы доказали, что k 2 стационарно при H, ственных функций резонатора. Свойство стационарности позволяет применить метод Ритца, например, для нахождения собственных функций и собственных значений. Другой вариант — подстановка в функционал приближенной функции поля. В этом случае стационарность дает возможность уменьшить погрешность. В частности, таким образом можно получить так называемую формулу возмущений. Пусть, например, резонатор деформирован так, что его объем V превратился в объем V1 за счет исключения малого объема V2 (рис. 6.15). Выясним, как изменится собственное значение V k12 : V2 V1 R ~ (2) |2 dV |rot H

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111

k2 =

V1

R

~ (2) |2 dV |H

,

V1

~ (2) — собственная функция деформирогде H ~ (2) подванного резонатора. Пользуясь стационарностью k 2 , вместо H (1) ~ ставим H — собственную функцию недеформированного резонатора. Тогда получим R ~ (1) |2 dV |rot H Рис. 6.15

k2 ≈

V1

R

~ (1) |2 dV |H

V1

200

=

R =

V

R

~ (1) |2 dV − |rot H R

~ (1) |2 dV |rot H

V2

R

~ (1) |2 dV − |H

V

~ (1) |2 dV |H

=

V2

 R (1) 2 R ~ | dV ~ (1) |2 dV |H |rot H   V2 V2 2 = k1 1 + R − R ~ (1) |2 dV ~ (1) |2 dV  |H |rot H  V

    

=

V

µ ¾ ∆WE − ∆WH = k12 1 + , W0 где ∆WH = −

Z

µ 2

~ (1) |2 dV — приращение запасов магнитной энергии; |H V2

∆WE = −

ε 2

Z ~ (1) |2 dV — приращение запасов электрической энергии, |E V2

~ = jωεE); ~ W0 — полный запас энергии в резонаторе. (так как rot H Полученное соотношение позволяет качественно, а в некоторых случаях и количественно оценивать изменения резонансной частоты при малых деформациях резонатора. Оно дает возможность получить еще одно важное соотношение. Прежде всего, полученную формулу можно записать в виде ∆WE − ∆WH k 2 − k12 = k12 W0 или, учитывая, что k 2 = ω 2 µε, k 2 − k12 2∆ω ∆WE − ∆WH ≈ = . k12 ω1 W0 Изменения энергии могут быть выражены через плотности электрической и магнитной энергий вблизи стенки wE и wH : ∆WE − ∆WH = (wE − wH ) · ∆V, где ∆V — изменение объема резонатора. 201

1 (w − wE ) = p (p — среднее давление на стенку 2 H резонатора со стороны электромагнитного поля). Таким образом, Однако величина

∆WE − ∆WH = −2p ∆V, но p·∆V = −∆W0 , где ∆W0 есть изменение запасенной энергии электромагнитного поля при адиабатической деформации резонатора. Поэтому ∆WE − ∆WH = 2∆W0 . Подставляя, получаем ∆ω ∆W0 = , ω0 W0 откуда, интегрируя, получаем соотношение W0 = const. ω0 W0 , которая остается постоянной при медленной (адиабатиω0 ческой) деформации стенок, является адиабатическим инвариантом. Величина

111 000 000 111 000 111

11 00 00 1010 11 0010 1010 1011 1010 1010 1010 1010 10 10 10 10 Рис. 6.16

Наличие адиабатического инварианта позволяет в ряде случаев определять уходы частоты при деформации стенок (рис. 6.16).

6.6.

Потери в резонаторах

Если стенки резонатора не являются идеально проводящими, то свободные колебания будут затухающими. Математически это проявляется в том, что собственные значения приобретают мнимую часть (обычно 202

малую). Ее величину можно вычислить с помощью соотношения, полученного ранее: Z

Z ~ m |2 dV = |H

2 km V

I ~ m |2 dV − |rot H

V

∗ ~m ~ m )~n dS. (H × rot H S

~ m = jωεE ~ m , то это соотношение может быть записано Так как rot H в виде Z

Z ~ m |2 dV = |H

2 km V

I ∗ ~ m |2 dV + jωε (E ~m × H ~m |rot H )~n dS.

V

S

При неидеальной проводимости поверхностный интеграл в нуль не 2 : обращается. Из этого соотношения можно найти km R H ∗ ~ m |2 dV ~m × H ~m |rot H (E )~n dS V S 2 km = R + jωε , R ~ m |2 dV ~ m |2 dV |H |H V

V

Разделяя вещественную и мнимую части второго слагаемого, получаем H ~m × H ~ ∗ )~n dS Re (E 2 0 2 km = km + jωε

S

m

R

~ m |2 dV |H

,

V 0 2 km

где — собственное значение с малой поправкой за счет вещественной части добавочного члена. Второе слагаемое дает мнимую добавку, обусловливающую затухание свободных колебаний в резонаторе. В пер0 2 0 2 0 ≈ ωm . вом приближении km = ωm µε, ωm Учитывая малость мнимой поправки, можно записать   H ∗ ~m × H ~m  Re (E )~n dS    ωm ε S 0 1 + j 0 2 = km ≈ km R ~ m |2 dV   2km |H   V

  H 1 ∗  ~m × H ~m   )~n dS  Re (E   2 S 0 = km 1 + j . Rµ  ~ m |2 dV    2ωm |H   2 V 203

В скобках I

1 Re 2

∗ ~m × H ~m (E )~n dS = P S

— поток энергии, направленный в стенки, т. е. мощность потерь в стенках; Z µ ~ 2 |Hm | dV = W 2 V

— запас энергии в резонаторе. Отношение ωm W = Q P называют добротностью резонатора, величину Pr = ωm W — реактивной мощностью в резонаторе. Добротность, таким образом, равна отношению реактивной мощности к мощности потерь. В этих обозначениях получаем 0 (1 + j km = km

1 ). 2Q

Отсюда находим, что затухание происходит по экспоненциальному закону e jωm t e−ωm t/2Q . Приведем вывод этого результата другим, более прозрачным способом. Изменение запаса энергии за время dt равно dW = −P dt. Мощность потерь, в свою очередь, пропорциональна запасу энергии в резонаторе, причем коэффициент пропорциональности имеет размерность обратного времени. Его можно записать в виде ωm /Q, причем ωm — частота свободных колебаний. Подставляя, получаем dW = −

ωm W dt, Q

откуда W = W0 e−ωm t/Q , причем Q =

ωm W . P 204

Вычисление потерь в стенках требует знания тангенциальной состав~ mt , она может ляющей электрического поля на поверхности стенки E быть найдена с помощью граничного условия Леонтовича, справедливого при сильном скин-эффекте. Действительно, I I 1 1 ∗ ∗ ~m × H ~m ~ m )H ~m P = Re (E )~n dS = Re (~n × E dS. 2 2 S

S

Согласно граничному условию Леонтовича, ~m = ζ · H ~ m, ~n × E 1+j — поверхностное сопротивление. Подставляя это под ингде ζ = σδ теграл, находим I I 1 ~ m |2 dS = 1 ~ m |2 dS. P = Re ζ |H |H 2 2σδ S

S

Подставляя мощность в выражение для Q, получаем Rµ R ~ m |2 dV ~ m |2 dV |H |H 2 V V . = ωm µδσ H ~ m |2 dS 1 H ~ 2 |H |Hm | dS 2σδ S S

ωm Q =

2 Учитывая, что ωm σ = 2 , где µМ — магнитная проницаемость δ µМ металла стенки, получаем R ~ m |2 dV |H 2µ V . Q = H ~ m |2 dS δµМ |H S

Если известно распределение поля в резонаторе, то добротность может быть вычислена по полученной формуле. Однако определенный интерес представляет возможность сравнительно грубо производить оценку добротности. Такая оценка может быть получена, если интегралы выразить через средние значения: Q =

2µ V |Hm |2V , δµМ S |Hm |2S 205

где V — объем резонатора; S — поверхность резонатора; |Hm |2V — средний квадрат магнитного поля по объему резонатора; |Hm |2S — средний квадрат магнитного поля по поверхности резонатора. Введем коэффициент формы резонатора A согласно следующему соотношению: 2 |Hm |2V = A |Hm |2S . При таком определении для резонаторов, имеющих близкие размеры во всех направлениях, величина A близка к единице. В этих обозначениях V µ V µ A = A, δ S µМ Vδ µМ где Vδ — объем скин-слоя. Особенно просто выглядит эта формула, если V µ = µМ и A = 1. Тогда добротность равна Q = . Заметим, что эта Vδ упрощенная формула не дает приличной точности, если A сильно отличается от единицы. Например, для мод типа H0mn в круглом волноводе эта формула неприменима, так как при большом диаметре (λ ¿ λкр ) поле на стенках мал´о по сравнению с полем в объеме, благодаря чему A À 1. Для резонаторов, имеющих примерно одинаковые размеры во всех направлениях, эту формулу можно еще упростить. Например, для куба Q =

V = a3 , S = 6a2 , для шара

1 V = a, S 6

πd3 V 1 , S = πd2 , = d. 6 S 6 Приближенно можно положить V =

V 1 = aср . S 6 Подставляя это отношение в выражение для добротности, получаем оценку 1 aср µ A. 6 δ µМ p Учитывая, что aср ∼ λрез и δ ∼ λрез , находим, что Q ≈

Q ∼ λ1/2 , т. е. с уменьшением длины волны добротность падает. 206

6.6.1.

Примеры расчета добротности

Расчет добротности резонатора с модой E010 Магнитное поле в таком резонаторе не зависит от координаты z. Зависимость от r имеет вид Hϕ = J1 (kr). Интеграл по объему равен Z

Za ~ m |2 dV = |H

Za J12 (kr) 2πr h dr

0

V

J12 (kr)r dr = 2πh

= 2π h 0

a2 2 J (ka) = 2 1

= πha2 J12 (ka). Поверхностный интеграл складывается из удвоенного интеграла по торцевой поверхности и интеграла по боковой цилиндрической поверхности: Za

I ~ m |2 dS = 2 |H S

J12 (kr) 2πr dr + 2πah J12 (ka) = 2 · 2π 0

a2 2 J (ka) + 2 1

+ 2πah J12 (ka) = 2πa(a + h) J12 (ka). Подставляя это в выражение для добротности (при µМ = µ) получаем Q =

2 πha2 J12 (ka) 1 ah = . δ 2πa(a + h) J12 (ka) δ a + h

Численный пример Пусть, например, резонатор из меди имеет следующие параметры: a = 30 см, h = 30 см, λ = 80 см, δ = 2.9 · 10−4 см. Тогда Q=

1 a·h = 5 · 104 . δ a+h 207

Добротность резонатора, образованного из отрезка линии, закороченного на концах Если длина такого резонатора велика по сравнению с поперечным размером, то в первом приближении можно пренебречь потерями в замыкающих перемычках. Тогда учитываются только потери в боковых стенках. Ранее для затухания в волноводе мы имели: H ~ m |2 dC |H π δ µм 1 C s α = ∆β = . µ ¶2 R |H ~ m |2 dS 2 λ µ λ S 1 − λкр Отношение интегралов, необходимое для вычисления добротности, можно вычислить следующим образом: R R ~ m |2 dV ~ m |2 dS |H |H 2 µ V 2 µ S Q = = . R H ~ m |2 dS ~ m |2 dC δ µМ |H δ µМ |H S

C

В то же время из соотношения для затухания находим R ~ m |2 dS |H π δ µМ 1 S s = H µ ¶2 . ~ m |2 dC 2α λ µ |H λ C 1 − λкр Подставляя это отношение в выражение для добротности, получим Q =

1 µ

π s αλ 1 −

λ λкр

¶2 .

Полученное соотношение позволяет непосредственно оценить добротность, если известно затухание волновода, из которого образован резонатор. Для иллюстрации вычислим добротность резонатора, образованного ~ 01 , для которой из круглого волновода с модой H

208

µ

¶2 λ λкр πδ s α = µ ¶2 . αλ λ 1 − λкр Подставляя это в выражение для добротности, получаем Q =

a δ

µ

λкр λ

¶2 ,

т. е. при постоянной величине λкр (при постоянном размере) добротность растет с уменьшением длины волны как λ−5/2 . Потери в торцевых стенках с ростом частоты растут, поэтому имеется оптимум, когда добротность обусловлена в основном потерями в торцах. Численный пример Пусть λ = 10 см, a = 20 см, λкр = 1.64a = 33 см, δ ≈ 10−4 см (для меди). Пользуясь приведенной выше формулой, получаем Q = 2 · 106 . Пример В качестве другого примера вычислим добротность отрезка коаксиальной линии, для которой α =

R1 , Z0

где R1 — сопротивление единицы длины линии. Подставляя в формулу, получаем Q =

πZ0 . R1 λ

Характерно, что вычисленная таким образом (без учета потерь в торцах) добротность не зависит от числа полуволн в резонаторе. Причина очевидна.

209

6.6.2.

Потери в среде

Если резонатор заполнен проводящей средой, то добротность определяется также потерями в этой среде. Потери энергии равны Z σE 2 P = dV, 2 V

а полная энергия в резонаторе выражается интегралом Z εE 2 W = dV, 2 V

поэтому добротность равна Q =

ωW ωε = . P σ

Величина σ/ω ε00 = 0 = tan θ ε ε — тангенс угла потерь в среде, поэтому 1 . tan θ Если потери есть и в стенках и в среде, то общая добротность будет Q =

Q =

ωW Pср + Pст

или Pср Pст 1 1 1 = + = + . Q ωW ωW Qср Qст Таким образом, суммируются обратные величины добротностей. 6.6.3.

Потери на излучение

Если в стенках резонатора имеются отверстия, то через них может излучаться электромагнитная энергия. Излучение может происходить в свободное пространство или волновод.

210

Наибольший интерес представляет излучение в согласованную линию передачи. Так как мощность излучения пропорциональна запасенной энергии, то излучение может быть охарактеризовано некоторой добротностью, которую называют внешней добротностью ωW . Pизл

Qвн =

Добротность резонатора, нагруженного согласованной линией, называют нагруженной добротностью Qн , а добротность собственно резонатора (определяемую потерями в резонаторе) называют собственной добротностью Q0 . Очевидно, что 1 1 1 = + . Qн Q0 Qвн Иногда для вычисления добротности используют понятие “геометрический фактор”. По определению, геометрическим фактором называют величину, вычисляемую по формуле R |H|2 dV G = ω µ0 VR . |H|2 dS S

Эта величина имеет размерность сопротивления. Поскольку аналогичное сочетание интегралов имеет место также в выражении для собственной добротности, то добротность может быть выражена следующим образом: Q =

G , ζ

где r ζ =

ωµ 2σ

— поверхностное сопротивление.

6.7.

Вынужденные колебания в резонаторах

Ранее рассматривались свободные колебания, которые в реальном резонаторе затухают. Незатухающие колебания могут существовать в

211

резонаторе, если мощность потерь компенсируется независимым источником. Возбуждение резонатора может осуществляться заданными токами или через границу от внешнего генератора. Последний способ может быть сведен к возбуждению поверхностными токами. При решении задачи о вынужденных колебаниях мы будем предполагать, что известно решение задачи о свободных колебаниях для данного резонатора с обычными граничными условиями на всей поверхности, ограничивающей объем резонатора. 6.7.1.

Возбуждение резонатора заданными токами

Предположим, что внутри объема резонатора заданы плотности электрического (J~e ) и магнитного (J~m ) токов. Если возбуждение осуществляется через границу, на которой задана тангенциальная составляющая электрического поля, то задача сводится к возбуждению резонатора поверхностным магнитным током с плотностью ~ m = −E ~ × ~n, K где ~n — внешняя нормаль. Решение задачи найдем в виде разложения по собственным векторным функциям резонатора. Однако одних собственных функций, вообще говоря, недостаточно. Действительно, собственные функции удовле~ s = 0 и div H ~ s = 0, которому полное поле может творяют условию div E не удовлетворять (так как при наличии токов имеются и заряды). Поэтому решения следует записать в виде X X ~ = ~ s − grad ϕe , H ~ = ~ s − grad ϕm . E As E Bs H s

s

~ иH ~ следует, что на поверхности, ограниИз граничных условий для E чивающей объем резонатора, ¯ ∂ϕm ¯¯ ϕe |S = 0, = 0. ∂n ¯S Кроме того, потенциальные слагаемые поля обладают свойством ортогональности по отношению к собственным функциям. Чтобы это по~ s × grad ϕe ): казать, вычислим div (H ~ s × grad ϕe ) = grad ϕe · rot H ~ s = jωs εE ~ s · grad ϕe . div (H Интегрируя по объему резонатора, получаем 212

Z

I ~ s × grad ϕe ) · ~n dS = jωε (H S

~ s · grad ϕe · dV. E V

Отсюда (в силу граничных условий левая часть равна нулю) Z ~ s · grad ϕe · dV = 0. E V

Аналогично этому Z ~ s · grad ϕm · dV = 0. H V

Найдем уравнения для функций ϕe и ϕm . Для этого запишем уравнения Максвелла ~ = −jωµH ~ − J~m , rot E ~ = jωεE ~ + J~e rot H и возьмем дивергенцию от обоих уравнений. Получим 0

=

~ − div J~e , −jωµ · div H

0

=

~ + div J~m . jωε · div E

~ и H: ~ Дивергенция отлична от нуля только для потенциальной части E jωµ · div grad ϕm

=

div J~m ,

jωε · div grad ϕe

=

div J~e ,

или ∆ϕm =

div J~m div J~e , ∆ϕe = . jωµ jωε

В то же время имеют место уравнения непрерывности

откуда

∂ρe + div J~e = 0, ∂t div J~e = −jωρe , 213

и ∂ρm + div J~m = 0, ∂t

откуда

div J~m = −jωρm . Подставляя это в уравнение, убеждаемся, что ϕe и ϕm удовлетворяют статическим уравнениям Пуассона: ∆ϕe = −

ρe ρm , ∆ϕm = − . ε µ

Чтобы найти As и Bs , вычислим следующие выражения: ~ ∗ × H) ~ = H ~ · rot E ~∗ − E ~ ∗ · rot H, ~ div (E s s s ~ ×H ~ s∗ ) = H ~ s∗ · rot E ~ − E ~ · rot H ~ s∗ . div (E ~ ~ При этом следует учесть, что Es и Hs удовлетворяют уравнениям ~ s = −jωs µH ~ s , rot H ~ s = jωs εE ~ s. rot E ~s и H ~ s , получаем Учитывая эти уравнения для E ~ s∗ × H) ~ = H ~ · (jωs µH ~ s∗ ) − E ~ s∗ · (jωεE ~ + J~e ) = div (E ~ ·H ~ s∗ − jωεE ~ ·E ~ s∗ − J~e · E ~ s∗ , = jωs µH ~ − J~m ) − E ~ · (−jωs εE ~ s∗ ) = ~ s∗ · (−jωµH ~ ×H ~ s∗ ) = H div (E ~ ·H ~ s + jωεE ~ ·E ~ s∗ − J~m H ~ s∗ . = −jωµH Интегрируя по объему резонатора и учитывая, что тангенциальные ~ и E ~ s равны нулю на всей поверхности S (с учетом составляющие E ~ ~ замены Et магнитным током на возбуждающей границе), заменяя E ~ их разложением в ряд и учитывая соотношения ортогональности, иH получаем Z

Z ~s · H ~ s∗ dV − jωεAs H

jωs µBs

Z ~s · E ~ s∗ dV = E

~ s∗ dV, J~e E

V

V

V

Z

Z

Z

~s · H ~ s∗ dV + jωs εA H

−jωµBs V

~s · E ~ s∗ dV = E V

214

~ s∗ dV. J~m H V

Ранее мы получили Z Z ~s · E ~ s∗ dV = µ H ~s · H ~ s∗ dV. ε E V

V

Подставляя, получаем систему из двух уравнений jω · As − jωs Bs = as , jωs As − jω · Bs = bs , где R V

R

~ s∗ dV J~e E

V

~ s∗ dV J~m H

as = − R , bs = . R ~s · H ~ ∗ dV ~s · H ~ ∗ dV µ H µ H s s V

V

Решая эту систему относительно As и Bs , получаем As =

ωas − ωs bs ωs as − ωbs , Bs = . j(ω 2 − ωs2 ) j(ω 2 − ωs2 )

Если резонатор не имеет потерь, то ωs — вещественная величина. Поэтому As и Bs обращаются в бесконечность при ω = ωs , т. е. при резонансе. Реально рост амплитуды ограничивается потерями в резонаторе. При наличии потерь ωs2 = ωs0 2 (1 +

j ), Qs

поэтому ω 2 − ωs2 = ω 2 − ωs0 2 − j

ωs0 2 . Qs

Так как ω — вещественная величина, то знаменатель в выражениях для As и Bs не может обратиться в нуль. При ω = ωs получим As = Qs

as − bs as − bs , Bs = Q s , 0 ωs ωs0

т. е. As = Bs .

215

Из полученных соотношений следует, что если частота близка к одной из собственных частот, то амплитуда соответствующих полей особенно велика. Так как добротность Qs обычно весьма большая величина, то вблизи резонанса можно пренебречь всеми нерезонансными ~ и H. ~ модами в разложении E Запишем зависимость амплитуд вблизи резонансной частоты. При этом можно полагать ω ≈ ωs0 везде, кроме разностного члена в знаменателе. Тогда

As ≈ Bs ≈

ωs0 (as − bs ) 2

j(ω 2 − ωs0 2 ) + =

ωs0 Qs

=

Qs (as − bs )/ωs0 = Q 1 + j 0 s2 (ω 2 − ωs0 2 ) ωs

Qs (as − bs )/ωs0 , 1 + jQs x

где x =

ω ω0 2∆ω − s ≈ . 0 ωs ω ωs0

Это резонансная зависимость с узкой полосой, определяемой величиной Qs . Следует отметить, что As и Bs точно равны друг другу при резонансной частоте. На частоте, не равной резонансной, эти коэффициенты не равны, что обусловливает неравенство запасенной электрической и магнитной энергий. 6.7.2. Возбуждение резонатора потоком заряженных частиц В электронных приборах СВЧ и ускорителях сквозь резонатор проходит поток заряженных частиц, сгруппированных в сгустки, благодаря чему в резонаторе могут возбуждаться электромагнитные поля. Поток заряженных частиц представляет собой электрический переменный ток. Предположим, например, что частота сгустков, пролетающих через резонатор, равна резонансной частоте. Тогда R ~ s∗ dV J~e E Qs Qs V As = . as = − R ~s · H ~ s∗ dV ωs ωs µ H V

216

Предположим, что пучок достаточно тонкий, так что в его сечении ~ s = const. Тогда E Z Z ~ ∗ dV = ~ s∗ · I~e dl, E J~e E s

L

V

R где I~e = J~e dS — ток пучка (интеграл по сечению пучка). Предположим также, что зазор, через который пролетает пучок, гораздо меньше, чем расстояние между сгустками. Тогда можно принять, что I~e = const во всем зазоре резонатора и Z Z ∗ ~ ~ ~ s∗ d~l = −Ie Us∗ , Es · Ie dl = Ie E L

L

где Us — напряжение на зазоре при единичной амплитуде (As = 1). Подставляя, получаем As =

Qs Us∗ R Ie . ωs µ|Hs |2 dV V

В то же время мы имели ~ = As · E ~ s. E ~ вдоль пучка, получаем Интегрируя E U = As Us . Подставляя сюда найденное выше выражение для As , для напряжения, возбуждаемого пучком на резонаторе, получаем U =

Qs |Us |2 R Ie . ωs µ|Hs |2 dV V

В то же время Z µ|H|2 dV = 2Ws , V

где Ws — запас энергии в резонаторе при единичной амплитуде, поэтому U — тормозящее напряжение на резонаторе равно U = Qs

Us2 Us2 I = Q Ie , e s 2ωs0 Ws 2Prs 217

где Prs = ωs0 Ws — реактивная мощность в резонаторе при единичной амплитуде. Величина Us2 Us2 U2 = = 2Prs 2ωs0 Ws 2ωs0 W имеет размерность сопротивления и носит название характеристического сопротивления резонатора (отнесенного к определенному пути движения пучка). Через характеристическое сопротивление может быть выражена реактивная мощность: ρs =

Pr =

U2 . 2ρs

Величина Rш = Qs ρs носит название шунтового сопротивления резонатора. Иначе шунтовое P сопротивление (учитывая, что Qs = a ) может быть определено следуPr ющим образом: Rш =

Pr U 2 U2 = . Pa 2Pr 2Pa

Через шунтовое сопротивление выражается активная мощность (мощность потерь) Pa =

U2 . 2Rш

Если длина зазора составляет заметную долю расстояния между соседними сгустками, то напряжение выражается через ток несколько сложнее. В этом случае ток равен Ie = Iem e−jke l , где ke =

ω , v — скорость движения электронов. Тогда ve e Z Z ~ ~ ~ s · e−jke l dl. Es · Ie dl = Iem E L

L

Пусть, например, Es = const. Тогда

218

Zd/2

Z ~ s · I~e dl = Iem Es E L

e−jke l dl = Iem Es

−d/2

= Iem Es

1 (e jke d/2 − e−jke d/2 ) = jke

2 sin ke d/2 sin θ/2 = Iem Us , ke θ/2

где Us = Es d, θ = ke d — угол пролета. Поэтому напряжение на зазоре U = Iem Rш

sin θ/2 . θ/2

Обозначим, что α =

sin θ/2 θ/2

— пролетный фактор, и запишем U = Iem Rш α и U α = Iem Rш α2 . Обозначим теперь, что Uэфф = U · α — эффективное напряжение и Rш эфф = Rш · α2 . Тогда мощность может быть выражена через эффективные значения: P =

2 Uэфф U2 U 2 α2 = = . 2Rш 2Rш α2 2Rш эфф

Характеристическое сопротивление также умножается на квадрат пролетного фактора ρэфф = ρ α2 . Если частота следования сгустков в пучке не равна резонансной частоте, но близка к ней, то появляется частотный множитель U =

Uрез . 1 + jQs x 219

Пример. Четвертьволновый отрезок TEM-линии (рис. 6.17). Здесь распределение напряжения вдоль линии имеет вид U = Um sin kz. Запас энергии dW в элементе dz равен

U λ

dW =

4

2 Um sin2 kz C1 dz. 2

Полная запасенная энергия выража-

Рис. 6.17

ется через интеграл Zλ/4 2 2 Um sin2 kz C1 Um W = C1 dz = λ. 2 16 0

Теперь можно вычислить характеристическое сопротивление ρ =

2 2 Um Um 8 = = . 2 λ/16 2ω0 W 2ω0 C1 Um ω0 C1 λ

Так как λ = c/f , то 8 4 = Z0 , 2π C1 c π где Z0 — волновое сопротивление линии. Предположим, что резонатор имеет длину 2n+1 четвертьволновых отU резков (рис. 6.18). Тогда при том же напряжении запас энергии возрастаРис. 6.18 ет в 2n + 1 раз. Это приводит к уменьшению характеристического сопротивления также в 2n + 1 раз. Так как добротность при этом почти не изменяется, то шунтовое сопротивление также уменьшается в 2n + 1 раз. ρ =

Пример. Резонатор E010 Вычислим характеристическое сопротивление ρ =

Us2 . 2ωs Ws 220

t01 2.4 ≈ . В центре (r = 0) Ez = 1, a a поэтому Us = h. Вычислим энергию, запасенную в резонаторе:

Здесь Ez = J0 (g01 r), причем g01 =

Ws

εh = 2

Za

Za J02 (g01 r) 2πr dr

0

J02 (g01 r) r dr =

= πεh 0

πεha2 2 J1 (g01 a). 2

Кроме того, g01 t01 ω01 = √ = √ . µε a µε Подставляя, получаем ρ010

h2 = = t πεha2 2 2 √01 J1 (t01 ) a µε 2

r

µ h 1 . ε a πt01 J12 (t01 )

Далее, t01 ≈ 2.4, J1 (t01 ) ≈ 0.52, откуда r r r µ h µ h µ h ρ010 ≈ 0.49 = = . ε a ε 2a ε d Пример. Для иллюстрации примем: a = 7.5 см, h = 2.5 см, λ = 20 см, 1 δ = 1.41 · 10−4 см, ρ010 = 0.49 · 377 · ≈ 62 Ом. 3 Добротность 1 ah 1 7.5 · 2.5 = ≈ 13 · 103 . −4 δ a + h 1.4 · 10 10 Отсюда находим шунтовое сопротивление Q =

Rш = 62 · 13 · 103 ≈ 0.8 · 106 Ом = 0.8 МОм. 6.7.3.

Другие способы возбуждения резонаторов

Резонаторы, так же как и волноводы, можно возбуждать штырем, петлей и через отверстие. Если устройство для возбуждения представляет собой тонкий проводник, то амплитуда поля выражается через интеграл от тока по проводнику:

221

Z ~ s · I~e dl, E L

т. е. R

~ s · I~e dl E

L

As = − R

µ|Hs |2 dV

.

V

Ie

В качестве примера рассмотрим возбуждение резонатора петлей (рис. 6.19). Если петля коротка, то в первом приближении ток вдоль петли можно считать постоянным. Тогда имеем Z I ~ ~ ~ s d~l = Es · Ie dl = Ie E Z

L

Z

~ s · ~n · dS = −jωµIe rot E

= Ie

Рис. 6.19

L

S

~ s · ~n · dS, H S

где S — поверхность, натянутая на петлю, ~n — единичный вектор нормали к этой поверхности. Если петля настолько мала, что Hs ≈ const, то Z ~ s · I~e dl = −jωs µ · H ~ s · ~n S Ie . E L

Таким образом, интенсивность возбуждения пропорциональна площади петли и перпендикулярной к ней составляющей векторной функ~ s . Поэтому для эффективного возбуждения петля должна быть ции H помещена в пучности магнитного поля перпендикулярно магнитным силовым линиям. Аналогично можно показать, что штырь (антенну) следует помещать в пучности электрического поля так, чтобы направление штыря совпадало с направлением электрических силовых линий. Отверстие необходимо размещать так, чтобы оно пересекало линии токов на поверхности.

222

6.8.

Резонатор как элемент линии передачи

Резонатор, присоединенный к линии передачи, можно рассматривать как оконечное устройство — двухполюсник, для которого может быть найдено входное сопротивление. 6.8.1.

Входное сопротивление резонатора

Рассмотрим резонатор — объем, S S1 ограниченный идеально проводящей поверхностью S, связанный с волноz водом через отверстие (рис. 6.20). Поместим в волноводе короткозамыкающую пластину в сечении S1 . Расстояние этой пластины от отверстия Рис. 6.20 выберем так, чтобы на отверстии имело место равенство нулю тангенциальной компоненты электрического поля. Тогда одновременно в этом же месте будет равна нулю нормальная составляющая магнитного поля, т. е. выполняются граничные условия на идеально проводящей поверхности. Поэтому частота свободных колебаний сложного резонатора, состоящего из собственно резонатора и отрезка волновода с короткозамыкающей пластиной в сечении S1 , будет равна частоте свободных колебаний резонатора без отверстия. ~s и Собственные векторные функции такого резонатора обозначим E ~ Hs . Сечение S1 при этом должно быть на таком расстоянии от отверстия, чтобы возникшие у отверстия высшие моды были близки к нулю в этом сечении. В процессе свободных колебаний электромагнитное поле проникает из резонатора в волновод, причем вблизи от короткозамыкающей пластины оно практически совпадает с полем основной моды в волноводе. В силу сказанного для сечения S1 , собственные функции равны ~ st = 0, H ~ st = jκ1s · ~h(x, y), E где ~h(x, y) — поперечная векторная функция для основной моды в вол~ st , H ~ st — тангенциальные составляющие электрического и магноводе; E нитного поля на короткозамыкающeй пластине, κ1s — величина, характеризующая связь резонатора с волноводом. Заметим, что κ1s предпо~ st — мнимая величина. лагается вещественной величиной. Тогда H Удалим теперь пластину и рассмотрим возбуждение резонатора через волновод. В сечении S1 (в волноводе) поле имеет вид 223

~ поп = U1 · ~e(x, y), H ~ поп = I1 · ~h(x, y). E Электромагнитное поле в резонаторе можно теперь вычислять по этому полю, заданному на поверхности сечения S1 . Для этих вычислений поле справа от сечения S1 может быть заменено электрическим и магнитным поверхностными токами на S1 : ~e = H ~ поп × ~n = −H ~ поп × ~z0 , K ~ m = −E ~ поп × ~n = E ~ поп × ~z0 , K где ~z0 — единичный вектор в направлении резонатора. Если обратиться к разделу 6.7, то возбужденное поверхностными токами магнитное поле в резонаторе равно ~ = Bs · H ~ s. H Здесь Bs — коэффициент в разложении поля по собственным функциям: Bs =

as ω − bs ωs , j(ω 2 − ωs2 )

где R S1

R

~ eE ~ s∗ dS K

S1

~ mH ~ s∗ dS K

as = − R , bs = . R ~ sH ~ s∗ dV ~ sH ~ s∗ dV µ H µ H V

V

~s = E ~ st = 0 на S1 . В то же время Заметим, что as = 0, так как E магнитное поле H на поверхности S1 может быть найдено с учетом того, что ~ поп = Bs H ~ s = Bs H ~ st = Bs jk1s ~h(x, y). H ~ поп , находим Сравнивая это с предыдущим выражением для H I1 = j Bs κ1s . Вычислив Bs через U1 , мы найдем связь между током и напряжением, что позволит найти входную проводимость резонатора в сечении S1 . Чтобы найти Bs , нужно подставить в выражение для bs поверхност~m = E ~ поп × ~z0 : ную плотность магнитного тока K 224

R bs =

S

R

~ mH ~ s∗ dS K

1 = R ~ sH ~ s∗ dV µ H

S1

V

R

~ поп × ~z0 )H ~ s∗ dS (E

S1

=

R ~ sH ~ s∗ dV µ H

~ поп × H ~ s )~z0 dS (E

V

R ~ sH ~ s∗ dV µ H

=

V

R

jk1s U1 (~e × ~h)~z0 dS S1

=

.

R ~ s∗ dV ~ sH µ H V

~ s∗ = −H ~ s , так как H ~ s — чисто мнимая величина. Здесь учтено, что H ~ Учитывая нормировку ~e и h, для bs получаем bs =

jκ1s U1 . ~ sH ~ s∗ dV µ H R

V

Подставляя это в выражение для Bs , получаем Bs = −

U1 κ1s ωs 1 . R 2 2 ~ sH ~ s∗ dV ω − ωs µ H V

Учитывая приведенное ранее выражение для тока, имеем I1 = j Bs κ1s =

1 κ21s ωs U . R 2 2 ~ ~ s∗ dV 1 j(ω − ωs ) µ Hs H V

Данное соотношение позволяет найти проводимость резонатора, рассматриваемого как оконечное устройство (или нагрузка) волновода: Y1 =

I1 κ21s ωs 1 . = R ~ sH ~ s∗ dV U1 j(ω 2 − ωs2 ) µ H V

Учитывая высокую добротность, это выражение можно привести к виду Y1 =

1 Qs κ21s . R ~ sH ~ s∗ dV 1 + jQs x ωs µ H V

Можно показать, что величина G1 =

Qs κ21s R ~ sH ~ s∗ dV ωs µ H V

225

вещественна и положительна. Вещественность и положительность следуют из того, что κ1s – вещественная величина. Последнее следует из соотношения, приведенного выше: ~ st = jκ1s · ~h(x, y). H Так как при свободных колебаниях в резонаторе поле во всех точках колеблется в одной фазе (или противофазе), то можно считать, что Hst — мнимая функция, ~h — вещественная функция, тогда κ1s вещественна. Итак, в сечении S1 G1 . 1 + jQs x Такой проводимостью обладает последовательный резонансный контур, который может быть принят в качестве эквивалентной схемы резонатора в сечении S1 (рис 6.21). Перейдем теперь к сечению S2 , отстоящему от S1 на расстояние Λ/4, т. е. четверть волны в волноводе. Входное сопротивление в этой плоскости

Y1 =

C1 L1 G1

Рис. 6.21

Z2 =

Z02 Z02 G1 R2 = Z02 Y1 = = . Z1 1 + jQs x 1 + jQs x

Таким сопротивлением обладает параллельный резонансный контур, который может быть принят в качестве эквивалентной схемы резонатора в сечении S2 (рис. 6.22). Можно найти бесконечное число чередующихся плоскостей, в которых резонатор моC L R жет быть представлен эквивалентной схемой последовательного или параллельного резонансного контура вблизи частоты ωs0 . Эти плоскости называют плоскостями эквивалентРис. 6.22 ного представления. Пользуясь эквивалентной схемой, можно выяснить ряд свойств резонатора, присоединенного к линии. Если линия согласована, то для свободных колебаний имеет место схема, представленная на рис. 6.23. При этом энергия рассеивается в сопротивлении R — потери внутри резонатора, и в сопротивлении Z0 — потери на излучение в линии. Отношение этих мощностей равно 2

2

2

226

C

L

R

Z0

Рис. 6.23

PZ0 R Y0 = = . PR Z0 G В то же время PZ0 Q0 = . PR Qвн Следовательно, Q0 R Y0 = = . Qвн Z0 G Данное отношение называют коэффициентом связи β: β =

Q0 R Y0 PZ0 = = = . Qвн Z0 G PR

Нагруженная добротность определяется соотношением 1 1 1 1 Q0 1 = + = (1 + ) = (1 + β), Qн Q0 Qвн Q0 Qвн Q0 откуда Qн =

Q0 . 1 + β

Найдем коэффициент отражения параллельного резонансного контура, присоединенного к линии передачи с волновой проводимостью Y0 : Y0 − Yk , Y0 + Yk где проводимость параллельного контура Yk равна Γ =

Yk = G (1 + jQ0 x), причем G = 1/R. 227

При резонансе x = 0, и коэффициент отражения равен Y0 − G Y0 /G − 1 β − 1 = = . Y0 + G Y0 /G + 1 β + 1

Γ0 =

Данная формула позволяет определить КСВН в линии при резонансе: ρ0 =

1 + |Γ0 | β + 1 + |β − 1| = . 1 − |Γ0 | β + 1 − |β − 1|

При β > 1 (сильная связь) ρ0 =

β + 1 + β − 1 = β. β + 1 − β + 1

При β < 1 (слабая связь) ρ0 =

1 β + 1 − β + 1 = . β + 1 + β − 1 β

Мощность падающей волны рассеивается полностью в резонаторе (без отражений) при ρ0 = 1, т. е. при β = 1. При этом внешняя добротность равна собственной. При x 6= 0 коэффициент отражения резонатора равен

Γ = =

Y0 − G (1 + jQ0 x) 2Y0 − [Y0 + G (1 + jQ0 x)] = = Y0 + G (1 + jQ0 x) Y0 + G (1 + jQ0 x) 2Y0 2Y0 − 1 = − 1, Y0 + G (1 + jQ0 x) Y0 + G + jGQ0 x)

или Γ0 + 1 − 1, 1 + jQн x 2Y0 Y Q0 где Γ0 + 1 = , 0 = β, Qн = — нагруженная добротность. Y0 + G G 1+β Представим теперь зависимость коэффициента отражения от частоты в комплексной плоскости коэффициента отражения (рис. 6.24). Формулу для коэффициента отражения можно записать следующим образом: Γ =

Γ + 1 =

Γ0 + 1 . 1 + jQн x

228

ω

Γ+

1 Γ x=0

1 Γ0

P0 = 1/2P (x = x ) 1/2

Рис. 6.24

Левая часть этого равенства пропорциональна напряжению на зажимах резонатора в плоскости S2 . Зависимость Γ + 1 от частоты может быть представлена на круговой диаграмме. Если β > 1, то Γ0 > 0 и окружность охватывает начало координат. Если же β < 1, то Γ0 < 0 и окружность не охватывает начало координат. При β = 1 окружность проходит через начало координат (Γ = 0). Найдем мощность, рассеиваемую в резонаторе: ¯ ¯ Γ0 |Γ|2 = ¯¯

P = Pпад (1 − |Γ|2 ). ¯2 + 1 − 1 − jQн x ¯¯ Γ2 + Q2н x2 . = 0 ¯ 1 + jQн x 1 + Q2н x2

Подставляя это в выражение для P , находим P = Pпад (1 −

1 − Γ20 Γ20 + Q2н x2 ) = P = пад 1 + Q2н x2 1 + Q2н x2 =

P0 . 1 + Q2н x2

Здесь P0 = Pпад (1 − Γ20 ) — мощность, рассеиваемая в резонаторе при резонансе. Мощность уменьшается вдвое, если Qн x = ±1, 229

чему соответствует относительная расстройка x1/2 =

6.8.2.

2∆f1/2 1 = . f0 Qн

Применение резонаторов

Резонаторы применяются в качестве элементов СВЧ электровакуумных приборов во входных и выходных цепях, а также в качестве фильтров и волномеров. Когда резонатор применяется в качестве фильтра, то он имеет две связи (рис. 6.25). Важным требованием при этом применении является передача энергии 1 2 из одной линии в другую на резонансной частоте с малыми потерями. Для этого резонатор должен быть согласован со стороны входа, т. е. коэффициент связи со стороны входа должен быть равен Рис. 6.25

β10 =

Q00 = 1. Qвн1

Величина Q00 определяется величинами Q0 и Qвн2 : 1 1 1 1 Q0 1 + β2 = + = (1 + ) = . 0 Q0 Qвн2 Q0 Q0 Qвн2 Q0 Отсюда получаем Q00 =

Q0 . 1 + β2

Таким образом, условие согласования входа может быть записано в виде Q0 = 1, Qвн1 (1 + β2 ) или β1 = 1. 1 + β2 230

Здесь β1 и β2 — коэффициенты связи для соответственно первого и второго входов. Если β1 À 1 и β2 À 1, то условие согласования имеет вид β1 ≈ β2 . Однако даже при выполнении условия согласования часть мощности рассеивается в стенках самого резонатора. Отношение этой мощности к мощности, передаваемой через второй вход на полезную нагрузку, равно Q0 = β2 . Qвн2 Отсюда коэффициент передачи по мощности резонансного фильтра равен β2 β2 = . 1 + β2 β1 Если выполнены условия β1 À 1, β2 À 1 и β1 ≈ β2 , то коэффициент передачи по мощности η близок к 1. Полоса пропускания фильтра определяется нагруженной добротностью, удовлетворяющей соотношению η =

1 1 1 1 1 = + + = (1 + β1 + β2 ), Qн Qвн1 Qвн2 Q0 Q0 откуда Q0 . 1 + β1 + β2 Резонаторы применяются также в качестве волномеров. При этом они должны быть оборудованы механизмом градуированной перестройки. Чаще всего волномер имеет две связи, причем одна служит для возбуждения, а другая — для индикации, в нее ставится детектор. Обе связи в этом случае выбирают слабыми, чтобы обеспечить максимальную добротность. Qн =

7. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ГИРОМАГНИТНОЙ СРЕДЕ В СВЧ-технике находят применение ферримагнетики — ферриты, имеющие высокую магнитную проницаемость и в то же время очень 231

малую проводимость. Благодаря этому в них могут распространяться с малым затуханием электромагнитные волны.

7.1.

Свойства ферритов

Известно, что магнитные свойства ферритов обусловлены спиновым магнитным моментом электрона. Каждая ячейка кристаллической решетки феррита содержит нескомпенсированный момент электрона. Намагниченность феррита связана с ориентацией магнитного момента электрона. Кроме магнитного момента электрон имеет также механический момент. Векторы магнитного и механического моментов электрона направлены в противоположные стороны вследствие отрицательного заряда: ~ m ~ e = −γ K, e ≈ 1.76 · 1011 Кл/кг — гиромагнитное отношение для элекгде γ = m трона. ~ то на него действует Если электрон находится в магнитном поле H, вращающий момент ~ T~ = µ0 · (m ~ e × H), под действием которого происходит изменение механического момента со скоростью ~ dK ~ = T~ = µ0 · (m ~ e × H). dt ~ то получим (после перестановки соЕсли подставить сюда m ~ e = −γ K, множителей) ~ dK ~ × K. ~ = µ0 γ H dt ~ вращается около наДанное соотношение показывает, что вектор K ~ правления H с угловой частотой (частота однородной прецессии) ~ ω0 = µ0 γ |H|, ~ правый винт. причем вращение образует с магнитным полем H

232

Если теперь умножить левую и правую части уравнения на −nγ, где n — число электронов – магнитных диполей в единице объема, то ~ (M ~ = nm получим уравнение движения вектора намагниченности M ~ e ): ~ dM ~ ×M ~ ). = µ0 γ (H dt Таким образом, в присутствии постоянного магнитного поля вектор намагниченности прецессирует вокруг магнитного поля с частотой ω0 . Если бы не было затухания, то прецессия продолжалась неограниченно долго. Однако благодаря взаимодействию прецессирующего спина с кристаллической решеткой и другими спинами имеет место затухание, и вращение происходит по свертывающейся спирали. Такую модель ферромагнетика можно рассматривать как колеба~ тельную систему с собственной частотой ω0 . Действительно, если H ~ направить вдоль оси z, из уравнения для K легко получить dKx = −ω0 Ky , dt dKy = ω0 Kx , dt откуда, исключая поочередно Kx и Ky , получаем d2 Kx + ω02 Kx = 0, dt2 d2 Ky + ω02 Ky = 0, dt2 т. е. уравнения колебаний без затухания. Аналогичные уравнения имеют ~. место для составляющих M Рассмотрим случай, когда феррит намагничен однородно, т. е. магнитные моменты всех электронов параллельны. При этом можно не учитывать обменные силы между спинами электронов. Реально намагниченность не бывает однородной, но если длина неоднородности много больше расстояния между атомами, то обменные силы можно не учитывать и при неоднородном намагничении. ~ 0 через некоторое В указанных условиях вектор намагниченности M ~ 0, время будет ориентирован вдоль приложенного постоянного поля H что соответствует намагничению до насыщения.

233

Если теперь воздействовать на феррит слабым переменным магнитным полем ~h, то оно вызовет малые отклонения моментов от их положения равновесия, что приведет к появлению соответствующей переменной намагниченности m. ~ Связь между m ~ и ~h определит магнитную восприимчивость феррита на некоторой частоте ω. ~ 0 . Тогда результирующее Пусть ось z совпадает с направлением H магнитное поле будет равно ~ = ~h + H ~ 0, M ~ = m ~ 0, H ~ + M ~0 и M ~ 0 имеют только z-е составляющие. Так как все величины причем H изменяются синусоидально, то производная по времени означает умножение на jω. Тогда, отбрасывая члены высшего порядка малости, из ~ получаем уравнения для M jωmx = −µ0 γ(my H0 − hy M0 ), jωmy = µ0 γ(mx H0 − hx M0 ), jωmz = 0. Данную систему уравнений можно решить относительно mx и my : µ20 γ 2 M0 H0 ωµ0 γM0 hx − j 2 hy , ω 2 − µ20 γ 2 H02 ω − µ20 γ 2 H02 µ20 γ 2 M0 H0 ωµ0 γM0 h − hy , = j 2 x ω − µ20 γ 2 H02 ω 2 − µ20 γ 2 H02 = 0.

mx = − my mz

Если обозначить ω0 = µ0 γ H0 , ωM = µ0 γ M0 , то эти формулы можно записать в виде ω0 ωМ ωω hx − j 2 М 2 hy , ω 2 − ω02 ω − ω0 ωω ω0 ωМ = j 2 М 2 hx − 2 hy , ω − ω0 ω − ω02 = 0.

mx = − my mz

234

Отсюда могут быть найдены составляющие вектора магнитной индукции, учитывая, что ~b = µ0 (~h + m). ~ Обозначив µ = µ0 (1 −

ω0 ωМ ) − ω02

ω2

и k = µ0

ω ωМ , ω 2 − ω02

для составляющих магнитной индукции получим bx = µ hx − jk hy , by = jk hx + µ hy , bz = µ0 hz . В последней строке вместо µ0 обычно пишут µz , которое может быть отлично от µ0 . Связь между ~b и ~h может быть записана через тензор магнитной проницаемости µ ˆ: ~b = µ ˆ ~h, причем тензор магнитной проницаемости µ ˆ равен ° ° ° µ −jk 0 ° ° ° µ 0 ° µ ˆ = ° ° jk °. ° 0 0 µz ° Составляющие тензора магнитной проницаемости зависят от частоты резонансным образом. Резонанс имеет место при ω = ω0 = µ0 γ H0 . Однако при определенных условиях магнитную проницаемость можно представить в виде скаляра. Это можно сделать, если поперечное высокочастотное поле является вращающимся. Можно различать пра~ правый винт, и левое, образующее с H ~ вое вращение, образующее с H левый винт. Для правого вращения, как нетрудно видеть (рис. 7.1), hy = −jhx

(или hx = jhy ). 235

Подставляя это в выражение для bx и by , получаем bx = µhx − jkhy = µhx − khx = (µ − k) hx , by = jkhx + µhy = −khy + µhy = (µ − k) hy . Таким образом, в данном случае магнитная проницаемость является диагональным тензором

z Ho

µ ˆ+

hy y

hx

° ° µ−k ° = ° ° 0 ° 0

0 µ−k 0

0 0 µz

° ° ° °, ° °

а если высокочастотное магнитное поле не имеет z-й составляющей, то µ ˆ+ становится скаляром:

x Рис. 7.1

µ+ = µ − k = µ0 (1 −

ωω ωМ ω0 ωМ − 2 М 2 ) = µ0 (1 − ). ω 2 − ω02 ω − ω0 ω − ω0

В случае левого вращения hy = jhx

(или hx = −jhy ).

Подставляя это в выражение для bx и by , получаем bx = µhx − jkhy = µhx + khx = (µ + k) hx , by = jkhx + µhy = khy + µhy = (µ + k) hy , откуда µ ˆ−

° ° µ+k ° = ° ° 0 ° 0

0 µ+k 0

0 0 µz

° ° ° ° ° °

и µ− = µ + k = µ0 (1 −

ω0 ωМ ωω ωМ + 2 М 2 ) = µ0 (1 + ). ω 2 − ω02 ω − ω0 ω + ω0 236

µ+ , µ m µ 0 (1 + ω ω ) 0

µ-

µ0

ω ω0

Рис. 7.2

В зависимости от частоты µ+ и µ− можно представить в виде графиков, показанных на рис. 7.2. Как видно, µ+ имеет разрыв, когда частота вращения поля совпадает с частотой свободной прецессии. В действительности разрыв ограничен потерями и нелинейностью. Благодаря потерям магнитная проницаемость приобретает мнимую составляющую. Потери в феррите могут быть описаны дополнительным членом в уравнении для намагниченности: ~ dM ~ ×M ~ ) + R. ~ = µ0 γ (H dt Существует несколько форм диссипативного члена. Простейшая была предложена Ландау в 1935 г.: ~ = − µ0 γ α (M ~ × (H ~ ×M ~ )). R ~| |M Такая форма записи учитывает потери чисто феноменологически. При этом вектор намагниченности приближается по направлению к вектору намагничивающего поля (к равновесию) со скоростью, пропорциональной скорости вращения и углу отклонения от равновесия. Величина α — феноменологическая константа, описывающая затухание. Величина вектора намагниченности при этом предполагается неизменной. Если решить уравнение с учетом затухания, то с точностью до малых порядка выше α2 получим µ+ = µ0+ − jµ00+ , где 237

ωМ (ω 2 − ω02 )(ω + ω0 ) ), (ω 2 − ω02 )2 + 4ω 2 ω02 α2

µ0+ = µ0 (1 − µ00+ = µ0

αωωМ (ω + ω0 )2 . (ω 2 − ω02 )2 + 4ω 2 ω02 α2

Для левого вращения µ− = µ0− − jµ00− , где ωМ (ω 2 − ω02 )(ω − ω0 ) ), (ω 2 − ω02 )2 + 4ω 2 ω02 α2

µ0− = µ0 (1 − µ00− = µ0

(ω 2

αωωМ (ω − ω0 )2 . − ω02 )2 + 4ω 2 ω02 α2

Графически это представлено на рис. 7.3. µ+ , µ+ µ+ µ+

0

ω ω0

1

µ-

µ− 0

1

ω ω0

Рис. 7.3

Таким образом, только µ+ носит резонансный характер, а µ− — нерезонансный. 238

7.2. Распространение плоских волн в намагниченном феррите 7.2.1.

Продольно намагниченный феррит

Будем в дальнейшем предполагать, что феррит намагничен вдоль оси z. Рассмотрим распространение плоской волны в направлении оси z. Поле волны примет вид ~e = ~e0 · e−γz , ~h = ~h0 · e−γz , ~b = ~b0 · e−γz , причем для плоской волны в неограниченном пространстве имеем ∂ ∂ ∂ = 0, = 0, = −γ. ∂x ∂y ∂z Распространение описывается уравнениями Максвелла: rot ~e = −jω ~b, rot ~h = jωε ~e. Исключая ~e, получаем уравнение rot rot ~h − ω 2 ε · ~b = 0. Запишем это уравнение для составляющих в декартовой системе координат: grad div ~h − ∆h − ω 2 ε · ~b = 0. Далее, div ~h =

∂hx ∂hy ∂hz + + . ∂x ∂y ∂z

Но в плоской волне ∂ ∂ ∂ = 0, = 0, = −γ, ∂x ∂y ∂z поэтому div ~h = −γhz . 239

Так как grad имеет только z-ю составляющую, то уравнение может быть расписано по декартовым составляющим в следующем виде: γ 2 hx + ω 2 εbx = 0, γ 2 hy + ω 2 εby = 0, −γ 2 hz + γ 2 hz + ω 2 εbz = 0. Из последнего уравнения следует, что bz = µz hz = 0, откуда hz = 0, т. е. все продольные составляющие поля равны нулю. Следовательно, в случае распространения в продольно намагниченном феррите поле является поперечным. Если в первые два уравнения подставить выражения для bx и by через hx и hy : bx = m hx − jk hy , by = jk hx + µ hy , то получим уравнения (γ 2 + ω 2 µε) hx − jω 2 εk hy = 0, jω 2 εk hx + (γ 2 + ω 2 µε) hy = 0. Данная однородная система линейных уравнений относительно hx , hy имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю определителя (γ 2 + ω 2 µε)2 − (ω 2 εk)2 = 0, откуда γ 2 + ω 2 µε = ±ω 2 εk, или γ 2 = −ω 2 ε (µ ∓ k), т. е. γ = ±jω

p

ε(µ ∓ k) = ±jβ± , 240

где β+ = ω

p

(µ − k)ε, β− = ω

p

(µ + k)ε.

Для β+ из первого уравнения получаем соотношение ω 2 εk hx − jω 2 εk hy = 0, откуда hx = j hy . Такое соотношение соответствует волне с круговой поляризацией, образующей правый винт с Hz . При этом

Для β− = ω ·

µ+ = µ − k.

p

(µ + k)ε имеем hx = −j hy ,

т. е. это — левополяризованная волна. Таким образом, решениями уравнений Максвелла являются плоские волны с круговой поляризацией, причем скорости распространения (и затухания) волн с противоположным направлением вращения различны. Для исследования распространения линейно поляризованной волны ее следует разложить на две с круговой поляризацией с различными постоянными распространения. В связи с этим накапливается разность фаз ∆ϕ = −l (β+ − β− ). За счет этого происходит поворот плоскости поляризации на угол ∆ϕ l = − (β+ − β− ). 2 2 Если ω0 < ω, ωМ < ω, что соответствует слабому намагничению, то θ =

ωМ ) ω ωМ ≈ µ0 (1 + ) ω

µ+ ≈ µ0 (1 −

;

µ−

;

√ √

ωМ ); 2ω ωМ √ ≈ µ0 (1 + ). 2ω

µ+ ≈ µ−

√

µ0 (1 −

Тогда θ ≈ −

lh √ ω ω i √ ω µ0 ε(1 − М ) − ω µ0 ε(1 + М ) = 2 2ω 2ω 241

l √ ω µ0 ε, 2 М т. е. не зависит от частоты. Отметим, что здесь ε — электрическая проницаемость ферритовой среды. Поворот плоскости поляризации при слабом намагничении составляет правый винт с направлением намагничивающего поля независимо от направления распространения. Если изменить направление магнитного поля, то поворот плоскости поляризации изменит знак, но по-прежнему составляет с намагничивающим полем правый винт. Это свойство иногда используется для создания невзаимных элементов СВЧ-техники. Если учесть затухание, то по мере распространения линейно поляризованная волна превращается в поляризованную по эллипсу, так как правополяризованная волна затухает быстрее. В конце концов линейно поляризованная волна может превратиться в поляризованную по кругу. Особенно быстро это происходит вблизи резонанса. В магнитном поле, большем резонансного значения, вращение плоскости поляризации происходит в обратном направлении. =

7.2.2.

Поперечно намагниченный феррит Рассмотрим теперь распространение в направлении оси y, т.е. перпендикулярно намагничивающему полю (рис. 7.4). В этом случае

z Ho y

~e = ~e0 ·e−γy , ~h = ~h0 ·e−γy , ~b = ~b0 ·e−γy . ∂ ∂ ∂ = 0, = 0, = −γ. ∂x ∂z ∂y

x Рис. 7.4

Уравнение электромагнитного поля имеет прежний вид rot rot ~h − ω 2 ε · ~b = 0 или ∆~h + ω 2 ε · ~b − grad div ~h = 0. Отметим, что grad div ~h в этом случае имеет y-ю составляющую, равную γ 2 hy . Уравнение записывается в прямоугольных координатах 242

γ 2 hx + ω 2 εbx = 0, γ 2 hy + ω 2 εby − γ 2 hy = 0, γ 2 hz + ω 2 εbz = 0. Подставим теперь составляющие ~b. Получим hx (γ 2 + ω 2 εµ) − jω 2 εk hy = 0, jk hx + µ hy = 0, hz (γ + ω 2 εµz ) = 0. Подставляя hy из второго уравнения в первое, получаем ω 2 εk 2 ) = 0, µ + ω 2 εµz ) = 0.

hx (γ 2 + ω 2 εµ − hz (γ 2

Если положить hx 6= 0, то из первого уравнения следует ω 2 εk 2 = 0, µ

γ 2 + ω 2 εµ − или s γ1 = ±jω

ε

µ2 − k 2 . µ

Из второго уравнения при этом следует, что hz = 0, т. е. волна поляри~ 0 (электрический вектор). Заметим, что зована линейно в плоскости H в этом случае эффективная магнитная проницаемость равна µ⊥ =

µ2 − k 2 . µ

В другом случае hz 6= 0, hx = hy = 0. Постоянная распространения в этом случае определяется уравнением γ 2 + ω 2 εµz = 0, откуда 243

√ γ = ±jω µz ε. ~ 0. Данная волна поляризована перпендикулярно H Итак, в случае поперечного намагничения феррита имеет место эффект двойного лучепреломления. Одна — необыкновенная — волна не является чисто поперечной, так как кроме hx имеется продольная составляющая напряженности магнитного поля hy , сдвинутая по фазе на 90o относительно hx . Для необыкновенной волны µ2 − k 2 (µ − k) (µ + k) µ+ µ− = = . µ µ µ Другая — обыкновенная — волна поперечна и ничем не отличается от плоских волн в других средах. Для этой волны имеем µk = µz . µ⊥ =

7.3. Распространение волн в волноводе, частично заполненном ферритом A S

11 00 00 11 00 11 Рис. 7.5

Предположим, что некоторая часть сечения волновода заполнена намагниченным ферритом (рис. 7.5). Вследствие этого заполнения постоянная распространения и собственные векторные функции волновода несколько изменяются. ~ m, H ~ m , γ0 — векторные функции Пусть E и постоянная распространения невозму~ H, ~ γ — то же для щенного волновода, E, возмущенного волновода. Если пренебречь

потерями, то γ0 = jβ0 , γ = jβ. Подставляя это в уравнения Максвелла и учитывая векторное тождество rot (Φ · F~ ) = Φ · rot F~ + grad Φ × F~ , после сокращения экспонент e jβz и e−jβz получаем ∗ ∗ ∗ ~m ~m ~m rot E + jβ0 · ~z0 × E = jωµ0 H , ∗ ∗ ∗ ~m ~m ~m rot H + jβ0 · ~z0 × H = −jωε0 E ,

~ − jβ · ~z0 × E ~ = −jωµ · H, ~ rot E ~ − jβ · ~z0 × H ~ = jωε · E. ~ rot H 244

При этом ½ µ = ½ ε =

µ0 − µ ˆ −

вне сечения феррита A, на A;

ε0 − εˆ −

вне A, на A.

Для получения формулы, удобной для использования в теории возмущений, составим выражение ∗ ∗ ∗ ∗ ~m ~ + div (E ~ ×H ~m ~ · rot E ~m ~m ~ + div (E × H) ) = H − E · rot H

~ ∗ · rot E ~ − E ~ · rot H ~∗. +H m m Подставляя сюда rot из написанных выше уравнений, получаем ∗ ∗ ∗ ~ + div (E ~ ×H ~m ~ ~m ~m ~∗ × H) ) = H(jωµ z0 × E )− div (E 0 Hm − jβ0 ~ ∗ ∗ ~m ~ + jβ~z0 × H) ~ + H ~m ~ + jβ~z0 × E) ~ − (jωεE (−jωµH −E ∗ ∗ ∗ ~ ~∗ ~m ~m ~ − jω E ~m ~− − E(−jωε z0 × H ) = −jω H (µ − µ0 )H (ε − ε0 )E 0 Em − jβ0 ~

~ ∗ (~z0 × H) ~ − j(β − β0 )E(~ ~ z0 × H ~ ∗ ). − j(β − β0 )E m m Данное равенство проинтегрируем по сечению волновода. При этом интеграл от дивергенций преобразуется в интеграл по периметру сечения и обращается в нуль вследствие граничных условий. В результате получаем равенство 0 = −ω

Z h i ∗ ∗ ~ dS + ~ + E ~m ~m · (ε − ε0 ) · E · (µ − µ0 ) · H H S

Z h

+ (β − β0 )

i ∗ ∗ ~m ~ + E ~ ×H ~m E ×H · ~z0 dS,

S

откуда, с учетом того, что µ − µ0 6= 0 и ε − ε0 6= 0 лишь на сечении феррита A, находим

β = β0

i Rh ∗ ∗ ~ m · (ˆ ~ + E ~m ~ dS H µ − µ0 ) · H · (ˆ ε − ε0 ) · E i + ωA . Rh ∗ ×H ∗ ·~ ~m ~ + E ~ ×H ~m E z0 dS S

245

Полученная формула является точной, но требует знания возмущен~ и H. ~ Их можно определить приближенно, поэтому форных функций E мула пригодна в качестве первого приближения для слабозаполненного волновода. Пользуясь этой формулой, рассмотрим важный частный случай: распространение моды типа H11 в круглом волноводе, на оси которого расположен тонкий круглый ферритовый стержень, намагниченный продольно. Обозначения приведены на рис. 7.6. Отметим, что в знаменателе полученной 2b формулы в первом приближении можно пренебречь отличием возмущенного поля от ~ ≈ H ~ m, невозмущенного, т. е. положить H ~ ≈E ~ m , так как интеграл в знаменателе беE рется по всему сечению волновода, так что поправка будет малой. Тогда знаменатель преобразуется следующим образом:

111 000 000 111 000 111

Z ³

2a Рис. 7.6

Z ³

≈ S

Z ³ = 2Re

´ ~∗ × H ~ + E ~ ×H ~ ∗ · ~z0 dS ≈ E m m

S

´ ∗ ∗ ~m ~m + E ~m × H ~m E ×H · ~z0 dS =

´ ∗ ~m × H ~m ~z0 dS = E

S

2 · Zm

Z 2

поп | dS, |Em S

где Zm =

jωµ0 ωµ0 = γ0 β0

— вещественная величина. Для нахождения возмущенного поля в феррите при малом по сравнению с длиной волны поперечном размере феррита можно воспользоваться квазистатическим приближением. При внесении магнетика во внешнее однородное магнитное поле в магнетике устанавливается поле, определяемое размагничивающим фактором: ~hi = ~he − N ˆ · m. ~ i ~ ~ Здесь h — внутреннее поле в магнетике; he — поле, которое было до ˆ — размагничивающий внесения магнетика; m ~ — намагниченность; N фактор — симметричный тензор. 246

В частности, для цилиндра в поперечном поле тензор размагничи1 вающего фактора диагонален, причем Nxx = Nyy = , Nzz = 0. На2 магниченность связана с внутренним полем в магнетике через восприимчивость: m ~ = χ ˆ · ~hi , причем восприимчивость в данном случае также имеет тензорный характер: µ ˆ − µˆ0 . µ0 Подставляя эти соотношения в исходную формулу, получаем χ ˆ =

~hi = ~he − N ˆ ·χ ˆ~hi . Решая это соотношение относительно ~hi , получаем ~hi = (1 + N ˆ · χ) ˆ −1 · ~he . В нашем случае в качестве внешнего поля мы должны принять невоз~ m , а в качестве внутреннего — возмущенное поле H, ~ мущенное поле H т. е. внутри феррита поле равно ~ = (1 + N ˆ · χ) ~ m. H ˆ −1 · H Для упрощения будем искать постоянные распространения для волн с круговой поляризацией (правой и левой), так как для них тензоры проницаемости диагональны: ° ° ° ° ° µ± 0 ° χ± 0 0 ° 0 ° ° ° ° ° ° ˆ± = ° 0 χ± 0 ° , µ ˆ± = ° ° 0 µ± 0 ° , χ ° ° ° 0 ° 0 0 µz ° 0 χz ° причем µ ˆ − µˆ0 . µ0 Так как оба тензора диагональны, то ° ° 1 ° χ± 0 ° 2 ° ˆ 1 N ·χ ˆ± = ° 0 χ ° 2 ± ° ° 0 0 χ ˆ =

247

° ° 0 ° ° ° . 0 ° ° ° 0 °

Отсюда имеем соотношения

Hx =

1 1 1 + χ± 2

1

Hmx , Hy = 1 +

1 χ 2 ±

Hmy , Hz = Hmz .

Так как 1 1 1 + χ± 2

=

1 2µ0 = , 1 µ± − µ0 µ± + µ0 1 + 2 µ0

то

Hx =

2µ0 2µ0 · Hmx , Hy = · Hmy , Hz = Hmz . µ± + µ0 µ± + µ0

Аналогично для электрического поля получим Ex =

2ε0 2ε0 Emx , Ey = Emy . ε + ε0 ε + ε0

Для невозмущенной моды H11 в круглом волноводе поперечные составляющие магнитного и электрического поля имеют вид 0 0 r) J10 (g11 Hr = −jβ0 g11

cos ϕ, sin ϕ;

jβ0 sin ϕ, 0 J1 (g11 r) cos ϕ; r jωµ0 sin ϕ, 0 = ± J1 (g11 r) cos ϕ; r

Hϕ = ± Er

0 0 Eϕ = jωµ0 · g11 J10 (g11 r)

cos ϕ, sin ϕ.

Нас интересуют поля вблизи центра, где они практически однород0 0 r) r) и J10 (g11 ны. Эти поля могут быть найдены путем разложения J1 (g11 по степеням r с оставлением в выражениях для компонент поля не зависящих от r членов:

248

1 cos ϕ, 0 Hr = − jβ0 g11 sin ϕ; 2 1 sin ϕ, 0 Hϕ = ± jβ0 g11 cos ϕ; 2 1 sin ϕ, 0 Er = ± jωµ0 g11 cos ϕ; 2 1 cos ϕ, 0 Eϕ = − jωµ0 g11 sin ϕ. 2 Так как мы хотим иметь дело с вращающимися полями, то следует скомбинировать записанные выше поля. Тогда получаем 1 0 ±jϕ e Hr = − jβ0 g11 , 2 1 0 ±jϕ Hϕ = ± β0 g11 e , 2 1 0 ±jϕ Er = ± jωµ0 g11 e , 2 1 0 ±jϕ Eϕ = − ωµ0 g11 e . 2 Переход к декартовым составляющим может быть произведен по формулам Hx Hy Ex Ey

= = = =

Hr cos ϕ − Hϕ sin ϕ, Hr sin ϕ + Hϕ cos ϕ, Er cos ϕ − Eϕ sin ϕ, Er sin ϕ + Eϕ cos ϕ.

Это дает 1 0 Hx = − jβ0 g11 , 2 1 0 Hy = ± β0 g11 , 2 1 0 Ex = ± jωµ0 g11 , 2 1 0 . Ey = − ωµ0 g11 2 249

Мы нашли, таким образом, приближенные выражения для невозмущенного поля в центральной области круглого волновода. Заметим, что знаки “+” и “−” соответствуют левому и правому вращениям. Отсюда с помощью полученных выше формул находим поле в феррите: Hx = −

0 jµ0 β0 g11 , µ± + µ0

Hy = ∓

0 µ0 β0 g11 , µ± + µ0

Ex = ∓

0 jε0 ωµ0 g11 , ε + ε0

Ey = −

0 ε0 ωµ0 g11 . ε + ε0

Теперь мы имеем возможность вычислить интегралы, входящие в формулу для нового значения постоянной распространения β. Учиты0 вая, что g11 = 1.84/a и подставляя интегралы, получаем β± ≈ β0

b2 + 2.1 · β0 2 a

µ

µ± − µ0 k 2 ε − ε0 + 02 µ± + µ0 β0 ε + ε0

¶ , k02 = ω 2 µ0 ε0 .

Таким образом, фазовые скорости для правого и левого вращения различны, поэтому плоскость поляризации линейно поляризованной волны вращается при распространении. Угол поворота может быть вычислен на основании предыдущей формулы:

θ = −

l (β+ − β− ) b2 k µ0 = 4.2 · β0 l 2 . 2 a (µ+ + µ0 )(µ− + µ0 )

Заметим, что µ+ + µ0 = µ0 (2 −

ωМ ωМ µ0 ω ω ), µ− + µ0 = µ0 (2 + ), k = 2 М2 . ω − ω0 ω + ω0 ω − ω0

При слабо намагниченном феррите (ω À ω0 ) ω2 ω kµ0 ≈ µ20 М ; (µ+ + µ0 ) (µ− + µ0 ) ≈ µ20 (4 − М ). ω ω2 250

Подставляя это в выражение для θ, для слабо намагниченного феррита получаем b2 θ ≈ 4.2 · β0 l 2 a

ωМ ω µ20 (4 −

2 ωМ ) ω2

≈ β0 l

b2 ωМ . a2 ω

ω , то вдали от критической частоты θ слабо зависит от vф частоты, но почти линейно от намагниченности (ωМ ).

Так как β0 =

7.4.

Вентили и циркуляторы

Введение намагниченного феррита в волновод позволяет создать устройства, не удовлетворяющие принципу взаимности. Простейшие из них пропускают волны в одном направлении и поглощают — в другом. Такое устройство называют вентилем (или изолятором). Более сложные передают сигнал из одного входа в другой по кругу (циркулятор). Здесь мы рассмотрим некоторые виды этих устройств. 7.4.1.

Феррит в прямоугольном волноводе

Для того чтобы феррит проявил свои невзаимные свойства, его следует помещать в такой области волновода, где высокочастотное магнитное поле имеет круговую поляризацию. В прямоугольном волноводе магнитное поле основной моды H10 имеет две составляющие:

Hx

³ π ´2

πx , a a jπβ πx = · sin . a a

Hz =

· cos

Эти составляющие ориентированы под углом 90o друг к другу и сдвинуты на 90o по фазе. Это значит, что магнитное поле поляризовано по эллипсу. Поляризация становится круговой в точке, где амплитуды ортогональных составляющих равны ³ π ´2 a

cos

πx πβ πx = ± sin . a a a

Отсюда находим 251

tan

πx π Λ = ± = ± , a aβ 2a

где Λ — длина волны в волноводе. Координата x, для которой магнитное поле поляризовано по кругу, равна x =

a π a Λ arctan = arctan , π aβ π 2a

или второе значение x x =

a π a Λ (π − arctan ) = (π − arctan ). π aβ π 2a

Здесь значение arctan берется в пределах от 0 до π/2. В этом месте волновода помещается ферритовая пластина, намагниченная поперечно относительно волновода. Правое или левое вращение магнитного поля в феррите зависит от направления распространения волны, поэтому величина магнитной проницаемости µ± зависит от направления распространения. Если постоянное магнитное поле выбрано так, чтобы ω0 = µ0 γH0 ≈ ω, то потери для волны с правым вращением резко возрастают, в то время как для волны с левым вращением потери остаются малыми. Потери в прямом направлении обычно составляют 0.5–0.7 дБ, а в обратном достигают 25–30 дБ. Для расширения полосы намагничивающее поле делают неоднородным в продольном направлении. Кроме того, эффект невзаимности усиливается, если рядом с ферритом поместить диэлектрическую пластину с большой величиной ε. Такой вентиль называют резонансным. В других вентилях используют эффект смещения электрического поля в устройстве с ферритом. Для этого подмагничивающее поле должно быть значительно меньше резонансного значения. Подмагничивающее поле определяется условием µ+ = µ0 (1 −

ωМ ) ≈ 0, ω − ω0

откуда ω0 = ω − ωМ , т. е. значительно меньше, чем ω0 = ω для резонансного вентиля. 252

Для прямой волны µ+ равно нулю, поэтому магнитное и электрическое поля вблизи феррита очень малы. Для обратной волны, наоборот, поле концентрируется вблизи феррита (рис. 7.7). Если на феррит наклеить Ey H0 диэлектрическую пластину, Прямая покрытую полупроводящим покрытием, то затухание обОбратная ратной волны будет существенно больше затухания прямой X волны. Прямое затухание в таких вентилях составляет 0.5– Поглощающая пластина 1 дБ, обратное — 20–30 дБ. Вес таких вентилей мал блаРис. 7.7 годаря малой величине необходимого поля. 7.4.2.

Коаксиальный вентиль

Коаксиальные вентили могут быть созданы, если добиться в них H0 получения вращающегося магнитФеррит Диэлектрик ного поля. Это достигается путем введения в коаксиальную линию диэлектрика, заполняющего некоторый сектор сечения (рис. 7.8). Тогда в линии появляется продольная составляющая магнитного поля, которая вместе с поперечной составляющей образует вращаюРис. 7.8 щееся магнитное поле. Ферритовую пластину помещают на боковой поверхности диэлектрика в поперечное подмагничивающее поле. 7.4.3.

Циркуляторы

Идеальный циркулятор определяется как невзаимное устройство без потерь с числом входов больше двух, в котором сигнал, поданный на любой из входов, передается полностью на один из соседних (на другие входы при этом не поступает ничего). Существуют различные типы циркуляторов. Чаще всего встречаются трех- и четырехплечные циркуляторы. Трехплечные построены на 253

основе ферритового резонатора, четырехплечные волноводные — на основе невзаимного фазовращателя. Рассмотрим трехплечный волноводный циркулятор на основе резонатора с намагниченным ферритом. Его устройство представлено на рис. 7.9. Основой циркулятора является круглый резонатор типа E110 , у которого электрическое поле имеет лишь одну составляющую Ez . На оси электрическое поле равно нулю, но линейно возрастает при удалении от оси. Магнитное поле имеет две составляющие: Hr и Hϕ . В центральной области магнитное поле близко к однородному. Центральная область резонатора заполнена ферритом, намагниченным в направлении оси резонатора. z Ho 2a b

Рис. 7.9

К резонатору присоединены три прямоугольных волновода. На рис. показана структура электромагнитного поля рабочей (дипольной) моды E110 резонатора. В изотропном приближении эта мода дважды вырождена. В частности, линейно поляризованная мода может быть разложена на две моды с круговой поляризацией, вращающиеся в противоположном направлении. Для этих мод магнитное поле в центре резонатора имеет круговую поляризацию, которая преобразуется в эллиптическую с ростом радиуса. На границе резонатора поляризация линейна, так как направление магнитного поля фиксировано граничными условиями. В резонаторе, частично заполненном намагниченным ферритом, собственные частоты циркулярно поляризованных мод E110 становятся различными благодаря различию магнитной проницаемости для правого и левого вращения. Принцип действия циркулятора с таким резонатором может быть объяснен путем рассмотрения вынужденных колебаний в этом резонаторе. Предположим, что волноводы, связанные с резонатором, присоединены с угловым расстоянием 120o между ними, и возбуждающее поле приложено к одному из них. 254

В изотропном приближении линейно поляризованное поле моды E110 будет возбуждено в резонаторе так, что возбуждающий волновод находится в максимуме электрического поля. Структура этого поля показана на рис. 7.10. Это поле возбуждает линии II и III аналогичным образом.

III

III

II I

II I

Рис. 7.10

Когда постоянное магнитное поле включено, плоскость поляризации возбужденной моды E110 поворачивается. На рис. показана структура поля этой моды при повороте плоскости поляризации на 30o . В этом случае волновод II оказывается в узле электрического поля и не возбуждается. Если линия согласована, то вся мощность из волновода I будет передана в волновод II. Устройство будет работать как циркулятор. Обсудим условия поворота плоскости поляризации. Когда постоянное магнитное поле включено, происходит расщепление частот вырожденных мод с круговой поляризацией. Резонансная частота одной моды увеличивается, другой — уменьшается. В соответствии с этим возникают сдвиги по фазе возбужденных вращающихся мод относительно поля в возбуждающей линии ±ϕ. Моды, вращающиеся в противоположном направлении, складываясь, дают стоячую волну, т. е. фактически линейно поляризованную структуру поля. Но плоскость поляризации оказывается повернутой на угол ϕ. Угол ϕ в резонаторе равен, как известно, ϕ = − arctan Qx, где Q — нагруженная добротность резонатора; x = 255

2∆ω — относительω

ная расстройка; ∆ω = ω − ω0 ; ω0 — резонансная частота. Заметим, что нагруженная добротность определяется в основном связью с волноводами, так как потери в намагниченном феррите малы. Схема циркулятора на основе невзаимного фазовращателя показана на рис. 7.11. В качестве примера здесь приведен циркулятор на двойных тройниках.

Компенсатор фазы H1

1

E1

E2

2

1

H2

2

Феррит(180о)

Рис. 7.11

Волна, поданная на вход, в плечо H1 первого тройника, делится поровну в боковые плечи, соединенные двумя волноводами с боковыми плечами второго двойного тройника. В один из волноводов помещен невзаимный фазовращатель (сдвиг фазы в прямом направлении на 180o меньше, чем в обратном). В другой помещен обычный фазовращатель (вносимый сдвиг фазы равен сдвигу фазы невзаимного фазовращателя в прямом направлении). При распространении волн в волноводах в прямом направлении сдвиги фазы в обоих волноводах одинаковы, поэтому волны, складываясь, проходят в плечо H2 второго тройника. При подаче волны на вход H2 второго тройника волны, распространяясь по волноводам в обратном направлении, приобретают разность фаз 180o . Поэтому они, складываясь, проходят в плечо E1 первого тройника. Нетрудно видеть, что циркуляция происходит по схеме H1 −H2 −E1 −E2 −H1 −. . . и т. д. В реальных циркуляторах с невзаимным фазовращателем вместо двойных тройников для деления волны часто используют 3-дБ направленные ответвители, которые более широкополосны и компактны.

256

Библиографический список Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. Теория линий передачи сверхвысоких частот. М.: Сов. радио, 1951. Каценеленбаум Б. З. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука, 1966. Микаэлян А. Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1963. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма. М.; Л.: ОГИЗ: — Гостехиздат, 1948. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. Альтман Дж. Устройства СВЧ. М.: Мир, 1968. Левин П. Современная теория волноводов. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

257