Преобразование Радона: Учебно-методическое пособие

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Преобразование Радона

Учебно-методическое пособие по специальностям 010501, 010500 — Прикладная математика и информатика

ВОРОНЕЖ 2005

Утверждено научно–методическим советом факультета ПММ протокол N 4 от 12.12.2005г.

Составители: Мешков В.З., Астахов А.Т. Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений факультета ПММ Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 3-5 курса д/о и в/о и магистров факультета ПММ

Преобразование Радона на плоскости Рассмотрим сначала преобразование Радона на евклидовой плоскости. Интегральное преобразование, относящее функции f на плоскости ее интегралы по всевозможным прямым (относительно евклидовой длины), называют преобразованием Радона на евклидовой плоскости. Будем задавать прямые на плоскости уравнениями x1 cos ϕ + x2 sin ϕ − p = 0 или параметрическими уравнениями x1 = −t sin ϕ + p cos ϕ,

x2 = t cos ϕ + p sin ϕ;

евклидова мера на такой прямой равна dt . Параметрам (ϕ, p) и (ϕ0 , p0 ) отвечает одна и та же прямая тогда и только тогда, когда ϕ0 = ϕ + πκ,

p0 = (−1)κ p,

κ ∈ Z.

Преобразование Радона функции f (x1 , x2 ) задается следующим равенством: Z+∞ Rf (ϕ, p) = f (−t sin ϕ + p cos ϕ, t cos ϕ + p sin ϕ) dt.

(1)

−∞

Интеграл зависит от параметров ϕ и p ; однако так как Rf (ϕ + π, −p) = Rf (ϕ, p) , функция Rf опускается на многообразие прямых. Замечание. Часто определение преобразования Радона записывают в виде Z Rf (ϕ, p) = f (x1 , x2 )δ(x1 cos ϕ + x2 sin ϕ − p) dx1 dx2 = R2

=< δ(x1 cos ϕ + x2 sin ϕ − p), f (x1 , x2 ) >, где δ(·) - дельта функция Дирака от одного переменного. Здесь следует придать смысл δ(x1 cos ϕ + x2 sin ϕ − p) как обобщенной функции двух переменных x1 и x2 . Для этого мы переходим на плоскости к новым переменным u и υ , где u = x1 cos ϕ+x2 sin ϕ−p , и применяем обобщенную функцию δ(u) при фиксированном υ . Непосредственно проверяем, что результат не зависит от выбора второй координаты υ .

3

Рассмотрим вопрос о востановлении функции f ∈ D(R2 ) по ее преобразованию Радона Rf . Здесь D(R2 ) —пространство всех финитных бесконечно дифференцируемых функций. В этом случае преобразование Радона Rf есть финитная бесконечно дифференцируемая функция на многообразии прямых, т.е. бесконечно дифференцируемая функция от ϕ и p , финитная по p . Вывод формулы основывается на том, что преобразование Радона перестановочно с движениями евклидовой плоскости. Отсюда, во-первых, следует, что достаточно научиться восстанавливать функцию f в какой-либо одной точке, например, в точке (0, 0) , и, во-вторых, можно ограничиться радиально симметричными функциями. Рассмотрим функцию f (x1 , x2 ) = F (r) , зависящую только от рас1/2 стояния r = (x21 + x22 ) до точки (0, 0) . Нужно восстановить f (0, 0) = F (0) по Rf (ϕ, p) . Из перестановочности преобразования Радона с поворотами следует, что Rf зависит только от p : Rf (ϕ, p) = Fb(p) . В результате задача редуцируется к задаче об обращении некоторого интегрального преобразования F → Fb для функции от одного переменного. Из (1) непосредственно получаем: Z+∞ p Fb(p) = F ( t2 + p2 ) dt, −∞

т.е.

Z∞ Fb(p) = 2 |p|

F (r) p r dr = r2 − p2

Z∞ p2

√ F ( t) p dt. t − p2

(2)

Заметим, что преобразование от F к Fb является преобразованием Абеля. Непосредственно получаем из (2) 1 F (r) = − π

Z∞ r

В частности, 1 F (0) = − π

Fb0 (p) p dp. p2 − r 2

Z∞ b0 F (p) dp. p

(3)

(4)

0

Ввиду гладкости Fb(p) и четности, под интегралом стоит регулярная функция и, значит, интеграл существует. 4

Перейдем от формулы (4) к формуле обращения для произволной функции f . Усредним f по окружности с центром в точке 0 , получим функцию, зависящую только от расстояния r до точки (0, 0) : 1 F (r) = 2π

Z2π f (r cos ϕ, r sin ϕ) dϕ. 0

Заметим, что F (0) = f (0, 0) . Пусть Fb — преобразование Радона функции F . Ввиду перестановочности преобразования Радона с вращениями имеем: Z2π 1 Fb(p) = Rf (ϕ, p) dϕ, 2π 0

т.е. Fb — среднее функции Rf по прямым, равноотстоящим от точки (0, 0) . На основании формулы (4) получаем: 1 f (0, 0) = − π

Z∞ b0 F (p) dp. p 0

Отсюда, пользуясь перестановочностью преобразования Радона со сдвигами, получаем: Теорема. Если Rf – преобразование Радона функции f ∈ D(R2 ) , то имеет место следующая формула обращения: 1 f (x1 , x2 ) = − π где 1 Fb(x1 , x2 ; p) = 2π

Z∞ b0 Fp (x1 , x2 ; p) dp, p

(5)

0

Z2π Rf (ϕ, p + x1 cos ϕ + x2 sin ϕ) dϕ,

(6)

0

т.е. Fb – среднее функции Rf по прямым, равноотстоящим от точки x = (x1 , x2 ) . Преобразование Радона на аффинной плоскости Для определения преобразования Радона на плоскости на самом деле не требуется евклидова структура, а вполне достаточно аффинной структуры. Будем задавать прямые уравнениями ξ1 x1 + ξ2 x2 − p = 0 5

и зададим на каждой прямой ξ1 x1 + ξ2 x2 − p = 0 меру dµξ такую, что dx1 dx2 = d(ξ1 x1 + ξ2 x2 − p)dµξ . Эта мера в координатах x1 , x2 имеет вид: dx1 dx2 dµξ = = . |ξ2 | |ξ1 | Определим преобразование Радона функции f на аффинной плоскости равенством: Z Rf (ξ1 , ξ2 ; p) =

¶ Z+∞ µ p − ξ1 x1 dx1 f (x1 , x2 ) dµξ = f x1 , . ξ2 |ξ2 | −∞

ξ1 x1 +ξ2 x2 =p

Полученная функция Rf удовлетворяет условию: Rf (ξ1 , ξ2 ; p) . λ Выражение для Rf часто пишут в виде: Z Rf (ξ1 , ξ2 ; p) = f (x1 , x2 )δ(ξ1 x1 + ξ2 x2 − p) dx1 dx2 , Rf (λξ1 , λξ2 ; λp) =

Rn

где определение δ(ξ1 x1 + ξ2 x2 − p) аналогично приведенному в предыдущем пункте. Теорема. Формула обращения преобразования Радона имеет следующий вид f (x1 , x2 ) =  +∞  Z Z 0 (Rf )p (ξ1 , ξ1 x1 + ξ2 x2 + p) 1 =− 2  dp (ξ1 dξ2 − ξ2 dξ1 ), 4π p Γ

−∞

где Γ –произвольный контур в R2 \0 , пересекающий в одной точке почти каждый луч, выходящий из точки 0 . Связь с обратным преобразованием Фурье Пусть F[f ](ξ1 , ξ2 ) – преобразование Фурье функции f (x1 , x2 ) , т.е. Z 1 F[f ](ξ1 , ξ2 ) = f (x1 , x2 )e−i(ξ1 x1 +ξ2 x2 ) dx1 dx2 . (7) 2π R2

Чтобы установить связь между преобразованием Фурье F[f ](ξ1 , ξ2 ) и преобразованием Радона Rf (ξ1 , ξ1 ; p) функции f , представим интеграл (7) при (ξ1 , ξ2 ) 6= 0 как повторный, где интегрирование ведется сначала по прямым ξ1 x1 + ξ1 x2 = p , а затем по p : 6

 Z+∞ 1  F[f ](ξ1 , ξ2 ) =  2π −∞



Z

 f (x1 , x2 ) dµξ  e−ip dp.

ξ1 x1 +ξ2 x2 =p

Таким образом, имеем: Теорема. Преобразование Радона Rf и обратное преобразование Фурье F−1 [f ](ξ1 , ξ2 ) функции f связаны следующим соотношением: 1 F−1 [f ](ξ1 , ξ2 ) = 2π

Z+∞ Rf (ξ1 , ξ2 ; p)eip dp

((ξ1 , ξ2 ) 6= 0).

−∞

Пользуясь однородностью функции Rf , можно переписать эту формулу так: 1 F−1 [f ](λξ1 , λξ2 ) = 2π

Z+∞ Rf (ξ1 , ξ2 ; p)eiλp dp. −∞

Итак, обратное двумерное преобразование Фурье является композицией преобразования Радона на плоскости и одномерного преобразования Фурье. Преобразование Радона в Rn Преобразование Радона R ( n –мерное) отображает функцию, определенную в Rn , во множество ее интегралов по гиперплоскостям в Rn . Точнее, если Θ ∈ S n−1 и s ∈ R1 , то Z Z Rf (Θ, s) = f (x) dx = f (sΘ + y) dy x·Θ=s

Θ⊥

представляет собой интеграл функции f , принадлежащей пространству Шварца S(Rn ) , по гиперплоскости, перпендикулярной вектору Θ и расположеной на расстоянии s (с учетом знака) от начала координат. Очевидно, что Rf — четная функция, определенная на единичном цилиндре Z = S n−1 × R1 в Rn+1 , т.е. Rf (−Θ, −s) = Rf (Θ, s) . Введем также обозначение RΘ f (s) = Rf (Θ, s). Лучевое преобразование P ( n –мерное) отображает функцию, определенную в Rn , во множество ее линейных интегралов. Точнее, если

7

Θ ∈ S n−1 и x ∈ Rn , то Z+∞ Pf (Θ, x) = f (x + tΘ) dt −∞

представляет собой интеграл функции f ∈ S(Rn ) по прямой, проходящей через точку x в направлении Θ . Очевидно, что величина Pf (Θ, x) не меняется при смещении точки x в направлении Θ . Поэтому мы, как правило, будем выбирать x из Θ⊥ , тем самым определяя Pf на касательном расслоении T = {(Θ, x) : Θ ∈ S n−1 , x ∈ Θ⊥ } сферы S n−1 . Введем также обозначение PΘ f (x) = Pf (Θ, x). Иногда PΘ f называют проекцией f на Θ⊥ . При n = 2 операторы P и R совпадают с точностью до обозначений аргументов. Очевидно, Rf (ω, s) можно представить в виде интеграла от Pf : для любого Θ ∈ S n−1 , для которого Θ ⊥ ω , Z Rf (ω, s) = Pf (Θ, x) dx. (8) x∈Θ⊥ ,x·ω=s

Веерное преобразование Z∞ Df (a, Θ) =

f (a + tΘ) dt 0

представляет собой интеграл функции f по лучу с началом a ∈ Rn направлением Θ ∈ S n−1 . Введем также обозначение Da f (Θ) = Df (a, Θ). Если f ∈ S(Rn ) , то функции RΘ f , PΘ f , Rf и Pf принадлежат пространствам Шварца, заданным на R1 , Θ⊥ , Z и T соответственно. Пространства на Z и T задаются либо с помощью локальных координат, либо просто путем ограничения функций из S(Rn+1 ) на Z и функций из S(R2n ) на T . Многие важные свойства введенных здесь интегральных преобразований формулируются с привлечением операций свертки и преобразования Фурье. Эти операции над функциями, определенными на Z или T , 8

всегда выполняются по второй переменной, т.е. Z h ∗ g(Θ, s) = h(Θ, s − t)g(Θ, t) dt, R1

Z b h(Θ, σ) = (2π)

−1/2

e−isσ h(Θ, s) ds R1

для h , g ∈ S(Z) и Z 0

h ∗ g(Θ, x) =

h(Θ, x − y)g(Θ, y) dy,

x ∈ Θ⊥ ,

Θ⊥

Z b h(Θ, ξ) = (2π)

(1−n)/2

e−ixξ h(Θ, x) dx ξ ∈ Θ⊥ ,

Θ⊥

для h , g ∈ S(T ) . Сформулируем проекционную теорему Теорема. Если f ∈ S(Rn ) , то (RΘ f )b(σ) = (2π)(n−1)/2 fb(σΘ), (PΘ f )b(η) = (2π)1/2 fb(η),

σ ∈ R1 ,

η ∈ Θ⊥ .

Доказательство. Имеем Z (RΘ f )b(σ) = (2π)

−1/2

e−iσs RΘ f (s) ds = R1

Z −1/2

Z −iσs

e

= (2π)

R1

f (sΘ + y) dy ds.

Θ⊥

Для новой переменной интегрирования x = sΘ + y получим s = Θ · x , dx = dyds , следовательно, Z −1/2 (RΘ f )b(σ) = (2π) e−iσΘ·x f (x) dx = (2π)(n−1)/2 fb(σΘ). Rn

Аналогично, Z (PΘ f )b(η) = (2π)−(n−1)/2 Θ⊥

9

e−iη·y PΘ f (y) dy =

Z

Z

−(n−1)/2

e−iη·y

= (2π)

f (y + tΘ) dt dy = R1

Θ⊥

Z

e−iη·x f (x) dx = (2π)1/2 fb(η).

= (2π)−(n−1)/2 Rn

В качестве простого приложения получим формулу RΘ Dα f = Θα D|α| RΘ f, где дифференциальный оператор D|α| действует по второй переменной функции Rf . Для доказательства воспользуемся доказанной теоремой и свойством обратимости преобразования Фурье в S0 (R1 ) . Получим (RΘ Dα f )b(σ) = (2π)(n−1)/2 (Dα f )b(σΘ) = (2π)(n−1)/2 i|α| σ |α| Θα fb(σΘ) = = i|α| σ |α| Θα (RΘ f )b(σ) = Θα (D|α| RΘ f )b(σ). Для того чтобы найти производные Rf по Θ , воспользуемся эквивалентным определением преобразования Радона через одномерную δ функцию. Введем Zb 1 ei(t−s) ds. δ b (t) = 2π −b

Известно, что δ b поточечно сходится к δ в S0 . Следовательно, для f ∈S Z Z Z b lim f (x)δ (s − x · Θ) dx = lim f (tΘ + y) dyδ b (s − t) dt = b→∞ Rn

b→∞ R1 Θ⊥

Z =

f (sΘ + y) dy. Θ⊥

В этом смысле можно утверждать, что Z Rf (Θ, s) = f (x)δ(s − x · Θ) dx Rn

Формула (*) задает естественное продолжение функции Rf на (R − {0}) × R1 , так как при r > 0 Z Rf (rΘ, rs) = f (x)δ(rs − rx · Θ) dx = n

Rn

10

(∗)

Z = r−1

f (x)δ(s − x · Θ) dx = r−1 Rf (Θ, s),

(∗∗)

Rn

т.е. продолжение Rf представляет собой однородную функцию степени -1. Ее можно дифференцировать по первой переменной: ∂ Rf (Θ, s) = ∂Θk

Z

∂ f (x) δ(s − x · Θ) dx = − ∂Θk

Rn

∂ =− ∂s

Z f (x)xk δ 0 (s − x · Θ) dx =

Rn

Z f (x)xk δ(s − x · Θ) dx = −

∂ (R(xk f ))(Θ, s). ∂s

Rn

Для обоснования этого формального приема и преобразований (**) можно воспользоваться приближенной δ -функцией δ b . Имеем также κ DΘ Rf

∂ |κ| = (−1) R(xκ f ), |κ| ∂s |κ|

где κ - мультииндекс, а DΘ означает производную по Θ . Из доказанной теоремы следует Теорема. Если f, g ∈ S(Rn ) , то RΘ (f ∗ g) = RΘ f ∗ RΘ g, PΘ (f ∗ g) = PΘ f ∗ PΘ g. что

Введем двойственные операторы R]Θ , R] , P]Θ , P] . Сначала заметим, Z

Z Z RΘ f (s)g(s) ds =

R1

f (sΘ + y)g(s) dy ds =

f (x)g(x · Θ) dx. Rn

R1 Θ⊥

Введем Тогда

Z

R]Θ g(x) = g(x · Θ). Z

Z f (x)R]Θ g(x) dx.

RΘ f (s)g(s) ds = R1

Rn

Интегрируя по сфере S n−1 , получим Z Z Z Rf (Θ, s)g(Θ, s) ds dΘ = f (x)R] g(x) dx, Rn

S n−1 R1

11

Z R] g(x) =

g(Θ, x · Θ) dΘ. S n−1

Аналогично,

Z

Z f (x)P]Θ g(x) dx,

PΘ f (x)g(x) dx = Rn

Θ⊥

Z Z

Z f (x)P] g(x) dx,

Pf (Θ, x)g(Θ, x) dx dΘ = Rn

S n−1 Θ⊥

где

Z P]Θ g(x)

= g(Θ, EΘ x),

P] g(x) =

g(Θ, EΘ x) dΘ, S n−1

а EΘ -ортогональная проекция на Θ⊥ . Операторы R и R] образуют двойственную пару в смысле интегральной геометрии: оператор R задает интегрирование по всем точкам плоскости, а оператор R] задает интегрирование по всем плоскостям, проходящим через данную точку. На этом основано обобщение преобразования Радона. Такая же связь существует между операторами P и P] . Формулы обращения Получим формулы обращения для операторов R и P . Для α < n определим линейный оператор Iα , который называется потенциалом Рисса: (Iα )b(ξ) = |ξ|−α fb(ξ). Когда оператор Iα применяется к функциям, определенным на Z или T , он действует по второй переменной. Если f ∈ S , то (Iα f )b∈ L1 (Rn ) , следовательно, Iα имеет смысл и I−α Iα f = f . Теорема. Пусть f ∈ S(Rn ) . Тогда для любого α < n (2π)1−n −α ] α−n+1 I RI g, f= 2

g = Rf,

(2π)−1 −α ] α−1 f = n−2 I P I g, g = Pf. |S | Доказательство. Рассмотрим формулу Z Iα f (x) = (2π)−n/2 eix·ξ |ξ|−α fb(ξ) dξ. Rn

12

Вводя полярные координаты ξ = σΘ , получим Z Z∞ Iα f (x) = (2π)−n/2 eiσx·Θ σ n−1−α fb(σΘ) dσ dΘ. S n−1 0

Выразим fb через (Rf )b: Z Z∞ Iα f (x) = (2π)−n+1/2 eiσx·Θ |σ|n−1−α (Rf )b(Θ, σ) dΘ dσ. S n−1 0

Заменяя Θ на −Θ и σ на −σ и пользуясь четностью (Rf )b, получим формулу, в которую вместо интеграла по (0, ∞) входит интеграл по (−∞, 0) . Сложив обе формулы, получим Z Z∞ 1 Iα f (x) = (2π)−n+1/2 eiσx·Θ |σ|n−1−α (Rf )b(Θ, σ) dσ dΘ. 2 S n−1 −∞

Внутренний интеграл можно выразить через потенциал Рисса. Тогда Z 1 Iα f (x) = (2π)−n+1 Iα+1−n Rf (Θ, x · Θ) dΘ = 2 S n−1

1 = (2π)−n+1 R] Iα+1−n Rf (x). 2 −α Применив оператор I , получим формулу обращения для R . Для вывода второй формулы обращения вернемся к формуле Z Iα f (x) = (2π)−n/2 eix·ξ |ξ|−α fb(ξ) dξ. Rn

Применив интегральную формулу Z Z Z 1 h(ξ) dξ = n−2 |η|h(η) dη dΘ |S | Rn

S n−1 Θ⊥

к интегралу Iα f (x) = (2π)−n/2

Z Z

1

eix·η |η|1−α fb(η) dη dΘ

|S n−2 | S n−1 Θ⊥

Выразив fb через (Pf )b, получим Z Z 1 α −(n+1)/2 eix·η |η|1−α (Pf )b(η) dη dΘ. I f (x) = (2π) n−2 |S | S n−1 Θ⊥

13

Внутренний интеграл можно выразить через потенциал Рисса. Тогда Z 1 α −1 I f (x) = (2π) Iα−1 Pf (Θ, EΘ x) dΘ = n−2 |S | S n−1

= (2π)−1

1 |S n−2 |

P] Iα−1 Pf (x),

откуда следует формула обращения для P .

14

Составители: Мешков Виктор Захарович, Астахов Александр Тимофеевич Редактор Тихомирова О.А.