ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СА...
70 downloads
181 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
Л. А. Мироновский, В. А. Слаев
СТРИПМЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ И СИГНАЛОВ
2006
УДК 621.39 ББК 32.811 М 64 Рецензенты: доктор физикоматематических наук, профессор МГУ им. М. В. Ломоносова Н. А. Парусников; доктор технических наук, профессор, начальник сектора ЦНИИ «Электроприбор» Н. В. Колесов Утверждено редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия
Мироновский Л. А., Слаев В. А. М64
Стрипметод преобразования изображений и сигналов: Монография / СПб.: Политехника, СПб., 2006. 163 с.: ил. ISBN 5732504133
Рассмотрены матричные методы обработки непрерывных сигналов и изображений, использующие стриппреобразование. Решена задача оценки потенциальной помехоустойчивости и синтеза оптимального фильтра для случая импульсных помех. Исследованы возможности двумерного стриппреобразования для хранения и помехоустойчивой передачи изображений. Приведены примеры стриппреобразования изображений и описаны классы изображений, инвариантных относи тельно симметричных ортогональных преобразований. Для научных работников и специалистов, работающих в области компьютерной обработки изображений и сигналов, приборостроения и метрологии. Может использоваться в качестве учебного пособия маги странтами направлений 2301 «Информатика и вычислительная техни ка», 2103 «Радиотехника» и аспирантами технических вузов при изу чении компьютерных методов обработки изображений и сигналов.
УДК 621.39 ББК 32.811
ISBN 5732504133
2
© ©
ГОУ ВПО «СПбГУАП», 2006 Л. А. Мироновский, В. А. Слаев, 2006
ПРЕДИСЛОВИЕ Важной задачей при передаче сигналов по каналам связи являет ся уменьшение уровня помех и искажений, вносимых в различных звеньях канала, или, другими словами, повышение точности (или снижение погрешности) передачи сигнала по каналу. В монографии исследуется оригинальный метод повышения помехоустойчивости систем передачи и хранения информации, названный стрипметодом. Его суть заключается в предварительном преобразовании сигнала на передающем конце путем «разрезания» его на участки равной дли тельности, формирования их линейных комбинаций и обратного «склеивания» в единый сигнал той же (или большей) длительности. На приемном конце смесь сигнала с шумом, полученная из канала связи, подвергается обратной процедуре, в результате чего импульс ные помехи «растягиваются» по всей длительности сигнала с одно временным уменьшением их амплитуды. Это приводит к уменьше нию относительного уровня помех и, соответственно, к повышению помехоустойчивости. Аналогичное преобразование изображения сводится к его разбие нию на большое число одинаковых фрагментов (фрагментации), фор мированию их линейных комбинаций и обратному преобразованию (дефрагментации), в результате чего получается изображение, внеш не совершенно не похожее на исходное. Если оно в дальнейшем под вергнется воздействию импульсных помех, приводящих к искаже нию или полному пропаданию отдельных фрагментов, то после вос становления будет получено цельное исходное изображение, только несколько худшего качества. При изложении материала основное внимание уделено рассмотре нию следующих задач: – разработке метода изометрических предыскажений (стрипме тода), не изменяющего «объем» сигнала и повышающего его устой чивость к импульсным помехам, действующим в каналах связи, ко торый основан на прямом и обратном линейных преобразованиях сигнала, описываемых матрицами; – нахождению требований к операторам стриппреобразования, выполнение которых обеспечивает сохранение непрерывности и 3
«гладкости» преобразованного сигнала; равномерность распределе ния импульсных помех по длительности сигнала или площади изоб ражения; стационарность передаваемого сигнала по дисперсии; вы равнивание его информативности; сужение спектра передаваемого сигнала и сравнительную простоту технической реализации; – оценке потенциальной помехоустойчивости и эффективности стрипметода для случая однократных и r кратных помех и синтезу соответствующих оптимальных алгоритмов предыскажения; – исследованию возможностей введения в передаваемый сигнал информационной избыточности для обнаружения, локализации, идентификации и коррекции импульсных помех; – отысканию инвариантов и оптимальных матриц двумерного стриппреобразования для хранения и помехоустойчивой передачи изображений; – созданию технических средств для реализации стрипметода линейных предыскажений и фильтрации передаваемого сигнала. Естественно, что стрипметод является лишь одним из многих методов, направленных на повышение точности передачи сигналов и изображений по каналам связи. Вопросам повышения помехоустой чивости систем передачи информации посвящено большое количе ство публикаций [29, 32, 35, 37, 40–43, 50, 58, 60, 64, 65, 68, 73, 74, 77, 113, 114, 119, 120, 122–124, 137–139, 142–146, 148, 152, 154, 157 и др.]. Необходимо также упомянуть смежные работы по групповой си стеме передачи сообщений и линейным предыскажениям сигнала Д. В. Агеева, В. К. Маригодова, Д. С. Лебедева, Б. С. Цыбакова, Ю. Н. Бабанова, С. А. Суслонова, Л. П. Ярославского и др.; по мето ду избыточных переменных – М. Б. Игнатьева, А. П. Бурякова, Г. С. Бритова и др.; работы по линейному преобразованию и блочно му кодированию сигналов и изображений – американских исследо вателей Г. Р. Лэнга, У. Х. Пирса, Д. Костаса, Х. П. Крамера, М. В. Мэтьюса, У. К. Пратта, Г. К. Эндрюса и др. Методы предыскажений на основе линейного матричного преоб разования широко применяются для дискретных сигналов [11, 17, 18, 20, 50, 56, 72, 115, 117, 118, 141, 153 и др.], кроме того, в последнее время много внимания уделяется созданию различных алгоритмов помехоустойчивой обработки изображений [46, 63, 131, 155 и др.]. Таким образом, борьба с помехами на основе введения предыска жений при передаче сигнала и оптимальной обработки (коррекции помех) при его приеме широко используется в системах передачи ин 4
формации. Однако большинство работ посвящено методам предыс кажений и коррекции с использованием среднеквадратического кри терия, в то время как методы, удовлетворяющие требованиям опти мизации систем передачи информации по минимаксному критерию, разработаны в значительно меньшей степени. Поэтому представля ется целесообразной разработка и исследование новых методов борь бы с импульсными помехами, опирающихся на использование ми нимаксного критерия и современные возможности компьютерной обработки изображений и сигналов. Монография подводит итог многолетней работы авторов в указан ной области и опирается на их научные публикации по исследова нию стрипметода за последние 20 лет [13, 99–110, 126, 127 и др.]. В разд. 3 использованы результаты компьютерного моделирования, выполненного магистрантами И. С. Селяковым и С.В. Юдовичем под руководством одного из авторов [123, 159]. Приоритет в исследова ниях закреплен рядом авторских свидетельств [86–98, 111, 128– 130]. Основная часть исследований проводилась в Ленинградском ин ституте авиационного приборостроения ныне СанктПетербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения и Всероссийский научноисследовательский институт метрологии им. Д. И. Менделеева, где авторы работают более 40 лет.
5
ВВЕДЕНИЕ Одна из центральных задач теории связи состоит в повышении точности передачи сигналов по каналам информационных измери тельных систем (ИИС) и систем передачи информации (СПИ). Оно может быть обеспечено, в частности, за счет помехоустойчивого пре образования сигналов при их передаче и приеме. Известные методы и средства повышения помехоустойчивости систем передачи информации можно классифицировать по различ ным признакам (рис. 1.1). Один из важных признаков – вид помех, характерных для данной технической реализации системы. Тип и параметры помех задаются при проектировании из физических соображений и априорной ин формации, а также по данным, полученным в процессе эксплуатации аналогичных по принципу действия систем, либо в результате прове дения специальных исследований [134], позволяющих определить статистические свойства помех. На практике наиболее часто встречаются помехи трех типов: – импульсные помехи, имеющие вид кратковременных пропада ний сигналов или пиков большой амплитуды и малой длительности и обладающие широким спектром частот; – флуктуационные помехи, которые характеризуются некото рым законом распределения плотности вероятностей их значений и спектральной плотностью мощности или автокорреляционной функцией; – узкополосные помехи, в частности – гармонические, отличаю щиеся тем, что их спектр располагается в узкой полосе частот.
12345673 1234 5627869 7 9
7 7 7 939
27 5627869 7 9
572
8394 56 2 2
9 939
5734 2 6 26
559696 9 6293 9
Рис. 1.1. Признаки классификации методов и средств повышения помехоустойчивости систем передачи информации 6
Помехи упомянутых типов могут быть как аддитивными, т. е. линейно складывающимися с полезным сигналом, так и мультипли кативными, т. е. зависящими от уровня полезного сигнала. Областями применения методов и средств борьбы с помехами (рис. 1.2) являются проводные каналы и радиоканалы связи, пред назначенные для передачи сигналов телефонной и телеграфной ин формации, фототелеграфных, телевизионных сигналов, а также дан ных телеметрии. Сюда же входят активные и пассивные радиолока ционные системы и устройства траекторных измерений и радио навигации. Кроме того, широкой областью применения методов борь бы с помехами является техника записи, хранения и воспроизведе ния информационных сигналов. К такого рода устройствам следует отнести электромеханические регистраторы и самопишущие изме рительные приборы, светолучевые осциллографы, аппаратуру маг нитной записивоспроизведения (АМЗ) на движущийся и неподвиж ный носитель и др. Эти устройства предназначены для регистрации в основном одно мерных сигналов, под которыми понимаются функции одного аргу
1234567 89 ! " 7
677 3 3237 3
3236 3
1234567839 34 3 7 8 8 5 8 7 53238
75753236 3 323 7 3
37 8 8 5 8 7 53238
3238356 34 3
7576 34 3
7274 7 3
7276 34 3
Рис. 1.2. Области применения методов и средств борьбы с помехами 7
мента, чаще всего времени. Примером такого сигнала может служить телефонный сигнал либо телевизионный сигнал при растровой раз вертке. Для регистрации многомерных сигналов используются мно гоканальная АМЗ, фотографические системы, устройства голо графической записивоспроизведения и др. Многомерные сигналы яв ляются функциями нескольких аргументов. Например, неподвиж ное чернобелое изображение на плоскости можно рассматривать как двумерный сигнал. Объемное изображение, изменяющееся во време ни, представляет собой четырехмерный сигнал и т. д. По способу представления входные и выходные сигналы системы передачи информации делятся на дискретные (импульсные, цифро вые) и аналоговые (непрерывные, континуальные). Дискретные сиг налы имеют вид импульсов или «ступенек» постоянного напряже ния. Зачастую они представляют собой (рис. 1.3) кодовые комбина ции, соответствующие значениям информативного параметра сообщения в фиксированные моменты времени при заданном основа нии системы счисления. При аналоговой форме входного сигнала выходной сигнал систе мы передачи информации может иметь как аналоговый, так и диск ретный вид. В первом случае система содержит в себе аналоговые (в частности, масштабные) преобразователи. Во втором – аналого цифровой преобразователь, осуществляющий операции дискретиза
56734 3
1234536 7895
1234567389
34 4567389
!7634 4 526
34365
6 343
!7634 4 76563
276 69
6 276
"34752 389 7567
3463386
3 63
52
4
67 47762 433 33
1
Рис. 1.3. Классификация каналов передачи информации по форме представления сигнала и его информативных параметров 8
ции и квантования реализации входного процесса. При дискретной форме входного сигнала выходной сигнал системы может иметь дис кретный или аналоговый вид. В первом случае в системе применяют ся цифровые кодеры, во втором – цифроаналоговые преобразовате ли, осуществляющие операции интерполяции и сглаживания выход ного сигнала. Информативными параметрами входного сигнала могут быть его мгновенные значения, амплитуда, частота, фаза, спектр или корре ляционная функция, а также их комбинации. Классификация методов преобразования информации в СПИ по поставленной цели приведена на рис. 1.4. Одной из целей преобразо вания является сжатие объема передаваемой информации, под кото
1234 5627869 7 9 5 ! "
#$ ! "
12345675 38 93
3 837 998 2
%& 1 '("(
)' & ! "
34 37 8 7 87 74 7 4
74
! 7
9343 939 75
7 73 6733 72 83 3 87
3 7
! 7
7 9 7
1
! 7
7 7 33 7923
987 72675 97 7 3 387 73 677
8383 3 4 87 743
3 3 3 4 87
94783 3 4 87
3 7 3 4733 87 33 " 7
Рис. 1.4. Классификация методов преобразования информации по поставленной цели 9
рым понимается произведение полосы частот, времени существова ния и динамического диапазона сигнала [147]. Такая задача акту альна при передаче сигналов, обладающих большой естественной информационной избыточностью [15, 44, 158 и др.], например дан ных телеметрии. Уменьшение объема сигнала приводит к увеличе нию скорости передачи информации. К тому же эффекту приводит декорреляция, т. е. устранение линейной стохастической зависимос ти элементов сигнала на передающем пункте и помех на приемном конце системы передачи информации. Другой важной целью является повышение помехоустойчивости систем передачи информации или борьба с помехами. Способы повы шения помехоустойчивости СПИ различны и включают в себя: изо ляцию канала от помех, сводящуюся к совершенствованию аппара туры; согласование характеристик сигнала и канала (по мощности, частоте, амплитуде); введение в передаваемый сигнал информацион ной избыточности (использование повторов, получение квитанций, применение избыточного помехоустойчивого кодирования); оптими зацию приема и обработки информации, которая предполагает при менение оптимальной фильтрации [1, 8] и коррекции принятого сиг нала. В частности, системы подавления импульсных помех по принци пу действия могут быть разделены на следующие шесть групп [52]: – ограничение амплитуды смеси помехи с сигналом; – прерывание прохождения смеси сигнала с помехой на приемном пункте во время действия помехи; – компенсация эффекта действия помехи; – сведение смеси сигнала с помехой с помощью регулирующего каскада к уровню сигнала, имеющемуся во время действия помехи; – ограничение в приемном устройстве скорости нарастания при нимаемых сигналов; – преобразование спектров сигналов с целью ослабления импульс ных помех при обратном преобразовании. Последняя из перечисленных групп основана на использовании достаточно универсального принципа введения предыскажений при передаче сигнала и обратного преобразования при его приеме. Это позволяет также решать часть других задач, таких как согласование характеристик сигнала и канала, фильтрацию и коррекцию помех, облегчает введение информационной избыточности и т. д. Эффект, получаемый от подавления помех, существенно зависит от выбираемого критерия оценки помехоустойчивости. На рис. 1.5 приведена классификация используемых критериев. Выбор крите 10
рия обусловливается задачами, решаемыми при передаче информа ции, из которых можно выделить две основные: – обнаружение сигнала или различение сигналов; – восстановление сигнала на приемном пункте или оценка его па раметров (идентификация). Вероятностные критерии [40, 50, 64, 74, 122, 142 и др.] находят широкое применение для решения первой задачи и строятся на осно ве условных плотностей вероятностей оценок принятого сигнала при условии реализации определенного сообщения, априорной плотнос ти вероятностей различных сообщений, а также совместной плотно сти вероятностей переданного и принятого сообщений. Известны раз личные виды критериев, в том числе критерии Байеса, Неймана– Пирсона, Гловера, Кузьмина, максимума правдоподобия и др. Так, при задании функции значимости совместной реализации сообщения и его оценки использование априорного распределения и условной плотности вероятности приводит к критериям Байеса и Неймана–Пирсона. Согласно критерию Байеса, минимизируется сред ний риск принятия неправильного решения (пропуска сигнала и лож ной тревоги). По критерию Неймана–Пирсона минимизируется ус ловная вероятность ошибочного принятия решения, соответствую щего вероятности пропуска сигнала при заданной условной
123456789 191
1234567 8 9 6 5 7 4 347 382
24 3 3 2 64532455
3 2 52 5 71 25 75265 577 3
42 5
36 2 5
!473 7 824 3 3
7 427 7 ! 3
42 22 687473526 2
36 2 52
823 7 824 3 3
1765
36 2 5
" 5238 5 9 47 55
Рис. 1.5. Классификация критериев, используемых при передаче информации 11
вероятности ошибочного принятия решения, соответствующего ве роятности ложной тревоги, и т. д. При передаче сигналов измерительной информации существенный интерес представляет критерий, характеризующий уменьшение ин формации в канале СПИ [62, 65, 112, 120, 137, 152]. Затруднение, связанное с равенством количества информации аналоговых сигна лов бесконечности, удается обойти с помощью понятия eэнтропии. Для решения задачи восстановления сигнала и оценки его пара метров наиболее приемлемым критерием служит норма ошибки или погрешности передачи в некотором функциональном пространстве [66]. Широкое распространение получил среднеквадратический кри терий, который характеризует норму ошибки в функциональном про странстве L2: s = [Е(х¢ – х)2]1/2 , где s – среднее квадратическое отклонение; Е – символ математиче ского ожидания; х¢, х – принятый и переданный сигналы. Средний модуль отклонения (средняя погрешность) D1 = Е |х¢ – х| является метрикой в пространстве L1. Оптимизация по этому крите рию приводит к использованию метода наименьших модулей [49]. Для алгоритмов обработки по методу наименьших модулей харак терно игнорирование сигналов или результатов измерений с боль шой величиной помех. Максимум модуля отклонения D¥ = mаx |х¢(t) – х(t)|, 0 £ t £ ¥ является метрикой в пространстве L¥ (или С). Часто этот критерий называют критерием Чебышева. Оптимизация системы по этому кри терию обеспечивает получение минимальной допустимой погрешно сти, поэтому он известен также как минимаксный критерий. Широко применяемый на практике критерий отношения сигнал/ шум обычно трактуется как отношение их средних мощностей и ха рактеризует разрешающую способность аппаратуры, под которой понимается обеспечение возможности различения пороговых сигна лов на фоне помех. Классификация методов помехоустойчивого преобразования пе редаваемых сигналов приведена на рис. 1.6. Как было отмечено, рас пространенным принципом повышения помехоустойчивости СПИ служит введение предыскажений в передаваемый сигнал и обратное преобразование при его приеме [2, 3, 10–12, 17, 18, 20, 23, 27, 30, 31, 38, 39, 56, 59, 69, 70–72, 78–82, 115, 117, 118, 125, 132, 135, 12
136, 149, 150, 153, 156]. Методы предыскажения сигнала можно разделить на два больших класса, включающих линейные и нели нейные предыскажения.
7 )74 563674 !
123456 782498 4
123456367839
34 456367839
42 334 4
46463
42 334 4
46463
38 73 34
3 39
73 39
38 3 4334 *648 66 4 4 3
68
6
6 43639
6 43639
2956 3 54 5 6344639
6344639
46463
67"
2956 3
38 464 46463 38 94"34 38 4 3%46
!94"39
#63 3 94"34
994"39
4"34 4
46463
+2 4 646
!3 67834 #63 3
,46 6263 4 646
&7 6" 1 54
#63 3
56
7 334 4
46463
6 6 54$%% 34 '%% 31 67834
#63 3
(43 "341 63434
#63 3
Рис. 1.6. Классификация методов помехоустойчивого преобразования передаваемых сигналов 13
Классическими примерами устройств нелинейного предыскаже ния являются компрессоры и экспандеры динамического диапазона, а также схемы автоматической регулировки усиления (АРУ) [114]. Сжатие динамического диапазона осуществляется компрессорами с нелинейной амплитудной характеристикой. Коэффициент переда чи компрессора различен для разных мгновенных значений сигнала. При этом сама форма кривой передаваемого сигнала изменяется, при чем большие мгновенные значения «сжимаются» (ограничиваются), а небольшие – проходят через компрессор почти без искажений. На приемном пункте СПИ применяется экспандер с амплитудной ха рактеристикой, обратной по отношению к характеристике компрес сора. Следует отметить, что происходящее изменение формы кривой приводит к изменению ширины спектра передаваемого сигнала. Другой способ воздействия на динамический диапазон сигнала состоит в применении схем АРУ, т. е. нестационарных устройств с памятью, обладающих определенной постоянной времени. Коэф фициент передачи схем АРУ меняется с изменением уровня (огибаю щей) сигнала и не зависит от мгновенного его значения. К недостат кам устройств нелинейного предыскажения и восстановления сигна ла надо отнести то, что изменение формы сигнала, обусловленное частотными и фазовыми искажениями в канале связи, неизбежно вызывает искажения сигнала даже в том случае, если амплитудная характеристика восстанавливающего устройства (экспандера) в точ ности обратна соответствующей характеристике компрессора. Методы линейного предыскажения сигналов весьма многообразны. Большая часть из них основана на следующей общей идее (рис. 1.7). На передающем пункте СПИ ставится предыскажающий четырехпо люсник, часто в виде фильтра [2, 149] с характеристикой Н(w) такой, чтобы на приемном пункте канала, обладающего шумовыми помеха 3
1
2
2
1
11
3
5
1
21
6
31 1
4
4 Рис. 1.7. Блок&схема канала системы передачи информации: 1 – кодер (предыскажающее устройство или блок прямого преобразования сигнала х); 2 – передатчик; 3 – среда (линия связи, АМЗ и т. п.); 4 – источник помех; 5 – приемник; 6 – декодер (фильтр или блок обратного преобразования принятого сигнала y¢)
14
ми, можно было бы выбором коэффициента передачи G(w) корректиру ющего четырехполюсника улучшить отношение сигнал/помеха. Наиболее простым и широко применяемым методом линейных предыскажений являются амплитудночастотные предыскажения. К примеру, известно, что амплитудночастотная характеристика (АЧХ) системы магнитная головка – лента – головка АМЗ с прямой записью и индукционными головками воспроизведения линейно на растает до сравнительно высоких частот. Для получения равномер ной АЧХ сквозного канала в усилителях записи АМЗ применяются амплитудночастотные предыскажения [126, 133], целью которых является «подчеркивание» низких частот входного сигнала. Метод фазочастотных предыскажений основан на использовании двух фильтров [73], один – на передающем, другой – на приемном пункте СПИ, с равномерными амплитудночастотными, но сложны ми по форме и взаимно сопряженными фазочастотными характерис тиками (ФЧХ). Сигнал, проходящий через оба фильтра, будет толь ко задерживаться на фиксированное время, в то время как частотные компоненты шума будут «разбросаны» во временной области. В работе [136] используется метод амплитуднофазовых предыс кажений, которые состоят из амплитудночастотных и фазочастот ных искажений, примененных последовательно. Задача введения амплитуднофазовых предыскажений рассматривается для детерми нированных сигналов с сохранением их формы при наличии помех в заданном динамическом диапазоне при максимальном отношении сигнал/помеха. Метод времячастотных предыскажений [31] основан на свойстве человеческого слуха не замечать сдвигов во времени воспроизведе ния отдельных частотных компонент сложного звукового сигнала, если только эти сдвиги не превосходят определенного порога. Аппа ратурная реализация метода заключается во введении различных временных задержек в узкополосные сигналы, полученные с помо щью полосовых фильтров из исходного. Задержанные с помощью линий задержки сигналы затем смешиваются, и на выходе смесите ля получается предыскаженный сигнал. В работе [125] решается задача минимизации среднего квадрати ческого значения погрешности передачи стационарного гауссовского процесса по каналу связи. При этом на передающем пункте канала применяется предыскажение в виде линейного преобразования свер точного типа с ядром K(t), которое является одной из варьируемых функций при оптимизации. Таким образом, здесь применяется пре дыскажение, описываемое интегральным уравнением. 15
Зачастую используют предыскажения, описываемые дифференци альными уравнениями (предыскажения дифференциального типа). Примером может служить запись широтномодулированных импуль сов на магнитную ленту. Оптимальным способом восстановления временного положения фронтов воспроизводимых импульсов служит метод обработки сигнала «по нулю производной» [28, 86], предпола гающий двукратное дифференцирование сигнала, поступающего с головки. При этом все высокочастотные помехи «подчеркивают ся». Чтобы избежать двойного дифференцирования воспроизводи мого сигнала, в режиме записи используют импульсы, полученные дифференцированием широтномодулированных импульсов прямо угольной формы, т. е. используют предыскажение дифференциаль ного типа. В работах [15, 69] описывается вокодер для передачи n непрерыв ных коррелированных сигналов по m каналам (m £ n). Каждый из m сигналов является линейной комбинацией исходных n сигналов. Коэффициенты этого линейного преобразования, составляющие мат рицу размера m´n, постоянны. В описываемом вокодере речь переда ется с использованием набора сигналов, пропорциональных энергии речевого сигнала в различных полосах частот. Эти сигналы сильно коррелированны, и результатом предыскажения является существен ное уменьшение числа сигналов, необходимых для передачи разбор чивой речи. Аналоговый метод предыскажения на основе линейного преобра зования, состоящий в получении предыскаженного сигнала как ли нейной комбинации фрагментов исходного, рассматривается в рабо те [70]. К недостаткам этого метода следует отнести необходимость использования многоканальной аппаратуры хранения и передачи сигнала, поскольку в результате предыскажения получается m сиг налов. Кроме того, фрагменты исходного сигнала, используемые в линейной комбинации, создаются путем пропускания исходного сигнала через полосовые фильтры, что усложняет аппаратуру и предъявляет к каналам связи различные требования по необходи мой полосе пропускания. Далее основное внимание уделяется стрипметоду преобразования сигналов и изображений [107, 110 и др.]. Сопоставляя его с перечис ленными, можно отметить следующие характерные черты. Предыс кажение в стрипметоде осуществляется за счет линейного комбини рования фрагментов исходного сигнала или изображения. Это при водит к тому, что каждый фрагмент передаваемого сообщения несет информацию обо всех без исключения фрагментах исходного сооб 16
щения, что позволяет в случае потери или повреждения одного из фрагментов восстановить все изображение без заметных искажений. При этом отпадает необходимость в использовании какихлибо фильтров или предыскажающих четырехполюсников. Здесь можно провести аналогию с голографическим преобразованием изображе ний, только роль отдельных точек (пикселей) играют конечные уча стки сигнала или фрагменты изображения, на которые оно разреза ется (как в детских играх типа «puzzle»). Следует подчеркнуть, что в процессе фрагментации сигналов и изображений не происходит поте ри информации, как при преобразовании Фурье или аппроксимации, поэтому в отсутствие помех восстановление информации происходит без методической погрешности. Таким образом, стрипметод относится к группе методов, осуще ствляющих линейное предыскажение и ориентированных в первую очередь на борьбу с импульсными помехами. Степень их ослабления естественно оценивать минимаксным критерием. Процедура предыс кажения (и восстановления) при использовании стрипметода тре бует задержки на время длительности сигнала. Более подробное опи сание этого метода – цель данной монографии.
17
1. СТРИПМЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
1.1. Стрипметод линейных предыскажений и решаемые им задачи Известно, что понятия памяти и связи тесно «переплетены» друг с другом. Если функция памяти – передача информации во времени, то функция связи – передача информации в пространстве. Обе функ ции имеют пассивный характер: информация лишь сохраняется и распространяется, но не подвергается активной, целенаправленной переработке [117]. Поэтому задачи, возникающие при разработке и эксплуатации систем передачи информации (каналов связи), с одной стороны, и хранения в аппаратуре записи информации – с другой сто роны, во многом схожи. В частности, и в том, и в другом случае боль шое значение имеет повышение помехоустойчивости, т. е. увеличе ние отношения сигнал/помеха, непосредственно влияющего на точ ностные параметры передачи сигнала. В технических приложениях довольно часто встречаются импуль сные помехи, которые имеют вид пиков шума малой длительности и большой амплитуды [66, 130, 142]. Другим видом импульсных по мех являются пропадания сигнала типа глубоких замираний при радиосвязи [27, 78] или «выпадений» сигнала изза дефектов маг нитного носителя при магнитной записивоспроизведении сигналов измерительной информации [45, 126]. Зачастую импульсные поме хи имеют спектр, близкий к спектру передаваемого или регистрируе мого сигнала, и не могут быть ослаблены традиционными способа ми, например методами оптимальной фильтрации [1, 3, 8, 26, 40]. Поэтому представляет интерес разработка метода, позволяющего уменьшить влияние импульсных помех без изменения полосы час тот, скорости передачи информации, средней мощности и длитель ности сигнала во временной области, т. е. без изменения «объема» передаваемого сигнала [147]. Как показано во введении, существует универсальный принцип борьбы с помехами канала связи путем предварительного преобразо вания (предыскажения) сигнала при передаче и обратного преобра зования его при приеме. Особенности применения этого принципа определяются конкретными ограничениями на предметную область и преследуемые цели. Рассмотрим возможности применения принципа предыскажения для решения следующей задачи. 18
Пусть имеется исходный сигнал х(t) Î X, предназначенный для передачи по каналу связи. Множество X содержит сигналы, характе ризующиеся следующими свойствами: – финитностью, т. е. ограниченностью во времени (0 £ t £ T) и по амплитуде (|x| £ D); – непрерывностью и дифференцируемостью (по крайней мере, от сутствием разрывов первого рода), обеспечивающими «гладкость» сигнала. Для передачи сигнала х(t) будем использовать систему связи (рис. 1.7). Применим в качестве кодера 1 устройство предыскажения, харак теризуемое оператором Ф, к которому предъявим следующие общие требования: – существование обратного оператора Ф–1, обеспечивающего точ ное восстановление сигнала при отсутствии помех; – сохранение непрерывности и «гладкости» сигнала; – достаточное количество варьируемых параметров для обеспече ния удобства настройки; – сравнительную простоту технической реализации. Оператор Ф, удовлетворяющий этим требованиям, можно исполь зовать для решения различных задач по согласованию характерис тик сигнала и канала связи, повышению помехоустойчивости пере дачи и т. д. Перейдем к описанию класса линейных предыскажающих опера торов Ф, удовлетворяющих перечисленным требованиям. Он был предложен в работах [86–88, 99, 102, 105, 123]; там же были рас смотрены вопросы технической реализации соответствующих опера торов. Отличительная особенность операторов этого класса – конеч номерный способ преобразования непрерывного сигнала. В соответ ствии с ним исходный скалярный сигнал х(t) разбивается на n участков одинаковой длительности и формируются n их линейных комбинаций, из которых составляется преобразованный сигнал у(t). При этом общая длительность сигнала не изменяется, однако те перь каждый из участков несет информацию обо всем сигнале х(t). На приемном конце происходит обратное преобразование (декодиро вание), в результате чего восстанавливается исходный вид сигнала. С точки зрения математики, оператор Ф описанного преобразова ния сигнала на передающем конце и обратный оператор Ф–1 восста новления сигнала на приемном конце описываются уравнениями Ф = S–1AS; Ф–1 = S–1A–1S,
(1.1) 19
где S – стрипоператор, осуществляющий преобразование исходного сигнала длительности Т в nмерную векторфункцию длительностью T/n; S–1 – обратный ему оператор; А – постоянная невырожденная n ´ n матрица, элементами которой служат коэффициенты линейных комбинаций участков преобразуемого сигнала. Схема, поясняющая процедуру линейных прямого и обратного пре образований аналогового (непрерывного) сигнала х(t), приведена на рис. 1.8. Ей соответствует цепочка равенств:
X 2 Sx,
Y 2 AX, y 2 S11 Y, y1 2 y 3 n,
Y 1 2 Sy1, X1 2 A 11 Y 1,
x 1 2 S11X1.
(1.2)
Для моделирования и исследования этой схемы удобно использо вать пакет MATLAB [57, 121]. В нем, в частности, имеется команда strips, которая действует аналогично стрипоператору. Она обеспе чивает вывод на экран «длинного» графика функции, разрезая его на участки (англ. strip – полоска). К сожалению, для дальнейшей обра 1 122
1
3122
111
4122
111
2
112 5122
2
12324 56789
3334 122 1 122 1
3 122 1
112
111
4 122
5 122 1
1
212
111
1
Рис. 1.8. Стрип&метод линейных предыскажения, передачи и восста& новления сигнала: x(t) – исходный сигнал длительности Т; S – стрип&оператор «раз& резания» сигнала на участки длительности h=T/n; X(t) – вектор& функция длительности h; А, А–1 – прямой и обратный операторы матричного преобразования; Y(t) – вектор&функция преобразован& ного сигнала Y = AX; S –1 – обратный стрип&оператор («склеива& ния» сигнала); y(t) – сигнал длительности Т, передаваемый по каналу связи; y¢(t) – сумма сигнала y(t) и помехи n(t) на выходе канала связи; Y¢(t) – вектор&функция смеси сигнала с помехой; X¢(t) – вектор&функция сигнала после обратного линейного преоб& разования; x¢(t) – принятый сигнал длительности Т
20
ботки результат этой команды недоступен, поэтому для реализации стрипоператора необходимо писать пользовательскую функцию. Поясним действие стрипметода простым примером. Пример 1.1. На рис. 1.9, а показан график функции x(t) = e–0,1t + + 0,2sin6t, x(t) 1 e 10,1t 2 0,2sin6t, 0 3 t 3 8 c. «Разрезая» его на 8 участков длительностью 1 с каждый, получа ем векторфункцию X(t) Î R8 (рис. 1.9, б). Графики построены в па кете MATLAB с помощью команд t = 0:.01:8; x = exp(.1*t) + .2*sin(6*t); plot(t,x), grid, strips(x, 100).
Последней командой исходный сигнал x(t), заданный массивом из 801 отсчета, «разрезается» на 8 участков длиной по 100 отсчетов. В общем случае применение стрипоператора S эквивалентно раз биению «длинного» исходного сигнала х(t), 0 £ t £ T, на n участков равной длительности h = T/n и получению n «коротких» сигналов вида х1(t) = х(t), х2(t) = х(t + T/n), ..., хn(t) = х(t + (n–1)T/n), 0 £ t £ T/n. Из них формируется nмерная векторфункция 3 x1 (t) 4 X 1 t 2 7 55 1 66 , 0 £ t £ T/n. 58xn (t) 69
а)
2 5
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 2 1 9 1 7 1 5 1 3 1
(1.4)
1
б)
3
(1.3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 12
1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 2
Рис. 1.9. Пример стрип&преобразования: а – исходный скалярный сигнал х; б –векторный сигнал Х, полученный с помощью функции strips 21
При помощи неособенной квадратной матрицы А = [aij]1,n, элемен тами которой являются действительные числа, вектор Х(t) преобра зуется в вектор Y(t):
3 y1 (t) 4 Y 1 t 2 7 AX 1 t 2 7 55 1 66 , 0 £ t £ T/n. 58 yn (t) 69
(1.5)
Компоненты вектора Y(t) определяются формулами yi(t) = AiX(t); i = 1, 2, …, n,
(1.6)
где Аi – iя строка матрицы А. Оператор S–1 является обратным оператору S и производит опера цию «склеивания» сигналов yi(t), 0 £ t £ T/n, i = 1, 2, ..., n, в единый сигнал y(t) длительности Т. Этим завершается процедура кодирования (предыскажения) ис ходного сигнала. Далее сигнал у(t) передается по каналу связи с по мехами и на приемном конце подвергается процедуре декодирования, в которой используется матрица А–1 (см. рис. 1.8). Поскольку в основе описанного преобразования лежит использо вание стрипоператора, соответствующий метод предыскажения и восстановления сигналов был назван стрип&методом. Пример 1.2. Проиллюстрируем описанное преобразование, поло жив Т = 20, n = 4 и взяв в качестве исходного сигнала экспоненциаль 1 но затухающий синусоидальный сигнал x 2 e 10,1t sin t (рис. 1.10, а). 2 В результате стриппреобразования он превращается в векторный сигнал Х (рис. 1.10, б). Умножая его на матрицу А с единичным определителем 11 33 A53 34 3 362
1 1 12 3 2 144 , 3 2 14 4 2 2 147
получаем сигнал Y (рис. 1.10, в), который после преобразования обратным стрипоператором становится скалярным сигналом y (рис. 1.10, г). Этот сигнал передается по каналу связи и на приемном конце подвергается аналогичной цепочке преобразований с исполь зованием матрицы A–1 22
2 0 11 1 0 3 4 0 2 11 115 5. A 11 6 4 4 11 11 0 25 4 5 74 2 0 0 1185
(1.7)
При отсутствии помех он будет совпадать с исходным сигналом x(t). Реализация описанной процедуры в пакете MATLAB произво дилась с помощью следующей последовательности команд.
а)
б)
1
2
3
1
162
2
1 31 5162 53
32 1
2
31
32
в)
г)
2
41
1
177 3
4
8
9
2 11
3
9
1
4
72 1
31
54
32 177 3
4
8
9
2 11
59
1
2
31
32
41
1
Рис. 1.10. Преобразование исходного сигнала с помощью матрицы А (1.7): а – исходный сигнал x; б – векторный сигнал X=Sx; в – векторный сигнал Y=AX; г – передаваемый сигнал y=S–1Y 23
%Программа strip1 (предыскажение исходного сигнала) t=0:.01:20;tt=0:.01:5.01; x=sin(.5*pi*t).*exp(.1*t); % исходный сигнал x(t) figure(1);plot(t,x,ўLineWidthў,2),grid x1=x(1:500);x2=x(501:1000);x3=x(1001:1500);x4=x(1501:2000); % стриппреоб % разование X=[x1;x2;x3;x4]; figure(2);plot(tt,X) A =[1 1 1 1; 4 3 2 1; 3 3 2 1; 2 2 2 1]; Y=A*X; plot(tt,Y), y=[Y(:)ў 0]; % обратное стриппреобразование figure(3);plot(t,y,ўLineWidthў,2),grid % передаваемый сигнал y(t)
Заметим, что в результате выполненного преобразования инфор мация о значении сигнала x(t) в любой момент времени 0 £ t £ T/n содержится в каждой составляющей yi(t). Именно этот факт, полно стью аналогичный голографической записи изображения [12], обес печивает высокую помехоустойчивость преобразованной информа ции по отношению к импульсным помехам. Даже в случае полной потери информации с одного из участков yi(t) исходный сигнал мо жет быть восстановлен (с некоторой погрешностью) в процессе вы полнения обратного преобразования, которому подвергается вектор Y + DY , где DY – векторфункция помехи. При этом погрешность DX восстановления сигнала определяется по формуле n
DX = A–1DY или 3xj 1 t 2 4 5 bij 3yi 1 t 2, i 11
где bij, i, j = 1, 2, ..., n – элементы матрицы A–1. Если в результате действия импульсной помехи одна из составля ющих вектора DY окажется отличной от нуля, то это приводит, в общем случае, к появлению вектора DX, все компоненты которого отличны от нуля. Таким образом, вместо помехи по одной составля ющей появляются помехи по всем составляющим, т. е. происходит «растягивание» импульсной помехи по всей длительности сигнала. Если матрица А ортогональная, то амплитуда помехи уменьшается. Пример 1.3. Вновь возьмем в качестве исходного сигнала затуха 1 ющую синусоиду x(t) 2 e 10,1t sin t (рис. 1.11, а). Результат его пре 2 образования в сигнал у(t) с помощью ортогональной матрицы Ада мара четвертого порядка 24
11 1 1 12 3 4 1 31 51 1 514 A6 6 A 11 2 31 1 51 514 3 4 731 51 51 184
(1.8)
приведен на рис. 1.11, б. На рис. 1.11, в показан сигнал у¢(t), отличающийся от сигнала у(t) полным пропаданием сигнала на втором участке. Восстановлен ный сигнал x¢(t) (рис. 1.11, г) отличается от исходного сигнала x(t) уже на всех участках, однако степень его искажения сравнительно невелика, поскольку помеха равномерно распределилась по всем че тырем участкам. а)
б) 3
1
3
152
152
1
1
6152
6152
63
1
2
31
32
г)
41 3
63
2
1
2
31
32
41 3
в) 2 3
1 3
152
152
1
1
1
1
6152
6152 63
1
2
31
32
41 3
63
1
2
31
32
41 3
Рис. 1.11. Иллюстрация стрип&метода (пример 1.3): а – исходный сиг& нал x; б – передаваемый сигнал y; в – принятый сигнал y¢; г – восстановленный сигнал x¢ 25
Графики построены в пакете MATLAB с помощью программы strip1, в которой использовалась матрица А (1.8) и программа istrip1, текст которой приводится ниже. %Программа istrip1 (восстановление исходного сигнала на приемном конце) ye=y.*(1(t>5&t<10)); % внесение помехи (обнуление сигна % ла на втором участке) figure(1);plot(t,ye,ўLineWidthў,2),grid y1=ye(1:500);y2=ye(501:1000);y3=ye(1001:1500);y4=ye(1501:2000); Ye=[y1;y2;y3;y4]; % стриппреобразование принятого % сигнала Xe=inv(A)*Ye; Xe=Xeў;xe=[Xe(:)ў 0]; % обратное стриппреобразование figure(2);plot(t,xe,ўLineWidthў,2),grid % восстановленный сигнал
Геометрический смысл ослабления помехи при обратном преобра зовании состоит в следующем. Однократная помеха DY представляет собой вектор в пространстве Rn, имеющий направление одной из ко ординатных осей. При иcпользовании изометрического преобразова ния вектор DY поворачивается в nмерном пространстве на некото рый угол без изменения своей величины, превращаясь в вектор DХ. Помехи Dxj являются его проекциями на координатные оси x1, x2, ..., xn ; следовательно, каждая из них меньше Dyi. Коэффициенты aij яв ляются направляющими косинусами вектора DХ. Описанный оператор Ф (1.1) обладает следующими свойствами: – является линейным; – отображает функциональное пространство L¥(0, Т) в L¥(0, Т), т. e. сохраняет континуальность сигнала; – конечномерен, так как имеет n2 свободных параметров; – множество операторов Ф изоморфно общей линейной группе GL(n) невырожденных квадратных матриц. Поясним последнее свойство. Если зафиксировать длительность участков сигнала h = T/n, то набор операторов Ф, задаваемых невы рожденными n ´ n матрицами, образует группу по умножению (пос ледовательное применение Ф1 и Ф2 дает некоторый оператор Ф3; имеются единичный и обратный операторы). Таким образом, множе ство операторов Ф представляет собой n2параметрическую группу Ли. Это дает возможность при многоступенчатой передаче, когда пос ледовательно используются разные наборы предыскажающих уст ройств и каналов передачи сигнала, на приемном пункте применить единственное восстанавливающее устройство, характеризующееся 26
оператором, обратным к произведению предыскажающих операто ров. Если вместо квадратной матрицы А прямого преобразования ис пользовать прямоугольную (n + k) ´ n матрицу, появляются допол нительные возможности уменьшения уровня помех в восстановлен ном сигнале, а также их диагностики и коррекции за счет введения избыточности в сигнал, передаваемый по каналу связи [108]. Полезно рассмотреть, во что превращается линейное преобразо вание, описываемое формулами (1.1) – (1.6), при стремлении дли тельности участка h к нулю. В этом случае, применяя предельный переход при n® ¥ в равенстве n
yj 1 t 2 3 4 aij xj 1 t 2,
(1.9)
j 11
получим T
y 1 t5 2 6 8 K 1 t5, t 2 x 1 t 2 dt; t5, t 7 30, T 4.
(1.10)
0
Из (1.10) видно, что линейное преобразование в пределе превра щается в линейный интегральный оператор Фредгольма первого рода [5, 66] с ядром K(t¢, t). Для того чтобы обратная операция была также линейным интегральным преобразованием вида Т
x 1 t 2 4 5 L 1 t3, t 2 y 1 t3 2 dt3, t¢, t Î [0, T],
(1.11)
0
необходимо предъявить к ядру L(t, t¢) следующее требование:
7 L 1 t, t32 K 1 t3, t 2 dt3 4 5 1 t 6 t32,
(1.12)
где 4 1 t 5 t3 2 – дельтафункция Дирака. При этом в отсутствие помех операция восстановления превраща ется в тождественное преобразование T T 3T 4 x 1 t 2 6 L 1 t, t5 2 y 1 t5 2 dt5 6 7 L 1 t, t5 2 K 1 t5, t 2 dt 8 x 1 t 2 dt5 6 8
0 0 7 90 T
6 1 t t5 2 x 1 t 2 dt5 x 1 t 2.
(1.13)
0
27
Ядро L(t, t¢) называется взаимным ядром, ассоциированным с яд ром K(t¢, t). Важным частным случаем является пара следующих преобразо ваний: L[x(t)] = y(t); (1.14) x 1 t 2 4 5 K 1 t, t3 2 y 1 t3 2 dt3,
(1.15)
t
где L – дифференциальный оператор; K(t, t¢) – функция Грина для линейной краевой задачи (1.14) [116]. Основная проблема в рамках стрипметода состоит в исследова нии требований к операторам прямого и обратного преобразований аналогового сигнала и поиск операторов Ф, удовлетворяющих этим требованиям. Требования к операторам будут различными в зависи мости от поставленных задач. Перечислим основные из них. 1. Сохранение непрерывности и «гладкости» передаваемого сиг нала y(t) (несмотря на наличие элементов «разрывности» в процеду ре преобразования). 2. Согласование свойств сигнала с каналом: – обеспечение стационарности сигнала y(t) по дисперсии; – сужение частотного спектра преобразованного сигнала; – выравнивание «информативности» каждого участка сигнала yi(t), выражающееся в максимальной коррелированности участков сигнала y(t) с участками сигнала x(t). 3. Повышение помехоустойчивости передачи сигнала без введе ния в него информационной избыточности: – получение равномерного распределения импульсной помехи по длительности выходного сигнала x¢(t) («растягивание» помехи); – оптимизация предыскажения и фильтрации сигналов по чебы шевской норме. 4. Борьба c помехами с введением информационной избыточности: – уменьшение мощности помех в восстановленном сигнале x¢(t); – обнаружение, локализация, идентификация и коррекция по мех. Остановимся отдельно на каждой из этих задач. 1.2. Обеспечение непрерывности преобразованного сигнала Если исходный сигнал x(t) был непрерывным на интерва ле 0 1 t 1 T, то после выполнения преобразования у(t) = Фх(t) при ис пользовании матрицы А размера n ´ n сигнал y(t) будет иметь, в об 28
щем случае, (n – 1) разрывов на границах участков yi(t). На практике это приведет к тому, что в выходном сигнале появятся дополнитель ные помехи изза конечной полосы пропускания реального канала связи. Поэтому возникает вопрос о выделении класса матриц А, не при водящих к появлению таких разрывов, т. е. сохраняющих непре рывность сигнала. Условия, накладываемые на выбор матрицы А для получения не прерывной на [0, T] функции y(t), могут быть записаны в виде yi(T/n) = yi+1(0); i = 1, 2, ..., n – 1.
(1.16)
Согласно равенствам (1.3)–(1.5), фрагменты преобразованного сигнала формируются по формулам n
yi 1 t 2 3 4 aij xj 1 t 2; i = 1, 2, ..., n.
(1.17)
i 11
Поэтому условия (1.16) можно переписать следующим образом: n
3T 4
n
aij xj 68 n 79 5 ai11,j xj 1 02; i = 1, 2, ..., n – 1. j 21
j 21
Учитывая, что х1(0) = х(0), xn(T/n) = x(T) и xj(T/n) = xj+1(0) при i = 1, 2, ..., n–1, получим совокупность равенств n
1
2
ai,nx(T) – ai+1,1x(0) + 5 ai,j 11 3 ai 21,j xj 1 0 2 4 0; j 22
i = 1, 2, ..., n–1. (1.18) Для их выполнения при произвольном сигнале x(t) необходимо, чтобы элементы матрицы А удовлетворяли следующим условиям: ai, j–1– ai+1,j = 0; i = 1, 2, ..., n – 1; j = 2, ..., n,
(1.19)
ai,n x(T) – ai+1,1x(0) = 0; i = 1, 2, ..., n – 1.
(1.20)
Согласно условиям (1.19), элементы матрицы А, лежащие на каж дой из диагоналей (на главной или параллельных ей), должны быть равны. Матрицы, удовлетворяющие этому свойству, называются тёп лицевыми [22, 34, 61, 83]. Выполнение условий (1.19) необходимо, но недостаточно для по лучения непрерывной функции y(t), так как требуется еще выполне 29
ние краевых условий (1.20), которые связывают значения сигнала x(t) на краях интервала [0, T]. Здесь можно выделить четыре различ ных случая: x(0) = x(T) = 0; (1.21) x(0) = x(T) ¹ 0;
(1.22)
x(0) = ax(T), a = const ¹ 1;
(1.23)
x(0), x(T) – произвольные. (1.24) Практический интерес представляют два первых из них. В случае (1.21), когда сигнал x(t) начинается и заканчивается в нуле, крае вые условия (1.20) превращаются в тождества и применение тёпли цевой матрицы оказывается не только необходимым, но и достаточ ным условием обеспечения непрерывности y(t). В случае (1.22), когда начальное и конечное значения сигнала со впадают, но не равны нулю, краевые условия (1.20) принимают вид ai,n = ai+1,1, i = 1, ..., n – 1, т. е. последний элемент каждой строки матрицы А должен совпадать с первым элементом следующей стро ки. В сочетании с требованием (1.19) это означает, что все строки матрицы А должны получаться из ее первой строки циклическим сдви гом вправо. Матрицы такого вида называются циклическими (цир кулянтами); они обладают рядом специальных свойств [34]. Следует отметить, что условия непрерывности производных фун кции y(t) требуют идентичных ограничений на выбор матрицы А, т. е. обеспечение условий непрерывности сигнала y(t) автоматически гарантирует и сохранение непрерывности его первых производных. Более точно этот результат формулируется в виде следующей тео ремы [106, 127]. Теорема 1. Пусть функция х(t) и ее первые k производных непре рывны на интервале [0, T] и равны нулю на краях интервала. Тогда для непрерывности на том же интервале функции y(t), получаемой из х(t) при помощи линейных преобразований (1.5), и непрерывности ее первых k производных необходимо и достаточно, чтобы матрица А была тёплицевой. Доказательство. Для доказательства рассмотрим равенства (1.16), (1.17) для первых k производных от сигнала y(t): n
yi(r ) 1T / n 2 3 yi(1r1) (0); yi( r ) (t) 3 4 aij xi(r ) (t); i 3 1, ..., n; r 3 1, ..., k. i 21
Если сигнал х(t) вместе со своими k производными обращается в нуль на краях интервала, то условия (1.20) и их аналоги выполня 30
ются тождественно, поэтому условия тёплицевости (1.19) являются необходимыми и достаточными. Таким образом, применение тёплицевых матриц для преобразова ния сигналов х(t), удовлетворяющих условиям теоремы, обеспечи вает сигналу y(t) такую же степень «гладкости», как и у сигнала х(t). Заметим, что начальное и конечное значения сигнала y(t) совпада ют, т. е. он будет непрерывным (вместе с производными) и после «склейки» его в кольцо. Пример 1.4. Матрицы А (1.7), (1.8), использованные в примерах 1.2, 1.3, не удовлетворяли условиям теоремы, поэтому графики сиг нала y(t) (см. рис. 1.10, г, рис. 1.11, б) имели разрывы на границах участков. Вновь возьмем в качестве исходного сигнала функцию 1 x(t) 2 e 10,1t sin t, (см. рис. 1.11, а) и преобразуем ее в сигнал у(t) с 2 помощью матрицы 2 11 1 1 13 4 5 1 4 1 11 1 15 A6 . 2 4 1 1 11 15 4 5 47 1 1 1 1158
(1.25)
Она симметричная, тёплицева, ортогональная и циклическая од новременно, т. е. полностью удовлетворяет условиям теоремы. Сформированный с ее помощью сигнал y(t) (рис. 1.12) непреры вен, причем его начальное и конечное значения совпадают (равны 0,2). Однако в нем есть изломы на границах участков, т. е. разрывы первой производной. Это объясняется ненулевыми значениями пер вых производных сигнала х(t) на краях интервала. Пример 1.5. Чтобы обеспечить нулевые краевые условия по пер вой производной, умножим входной сигнал предыдущего примера на 1 весовую функцию t(20–t), т. е. возьмем x(t) 2 t(20 3 t)e 10,1t sin t, 2 0 1 t 1 20. Благодаря этому не только сигнал x(t), но и его первая про изводная обращаются в нуль на краях интервала (рис. 1.13, а). Те перь график сигнала y(t), сформированный с применением матрицы А (1.25), не имеет изломов, т. е. непрерывен вместе со своей произ водной (рис. 1.13, б). Заметим, что на практике для выполнения условий теоремы дос таточно дополнить исходный сигнал короткими участками в начале и конце, доопределив на них функцию х(t) должным образом. 31
1
3 162 1 5162 53
1
2
31
32
41 2
Рис. 1.12. Сигнал y(t) (пример 1.4) непрерывен, но имеет точки излома
а)
21
2
42 1 542 521
б)
61
1
2
31
32
2
31
32
41
1
2
41 1 541 561
1
41
1
Рис. 1.13. Сохранение непрерывности и гладкости (пример 1.5): а – исходный сигнал x(t); б – преобразованный сигнал y(t) 32
1.3. Выравнивание дисперсии нестационарного сигнала Дисперсия аналоговых сигналов, передаваемых по каналам свя зи, обычно меняется во времени. Такая неcтационарность сигнала приводит к заметным перепадам мощности на входе канала и не по зволяет рационально использовать его динамический диапазон. Желательно выполнить предварительное преобразование исходного сигнала таким образом, чтобы передаваемый сигнал был внутренне стационарен по дисперсии. Это позволит при той же средней мощно сти сигнала уменьшить перепады его колебаний. Рассмотрим реализацию случайного центрированного процесса x(t) конечной длительности 0 £ t £ T в предположении, что дисперсия Dх(t) этого сигнала меняется во времени, т. е. сигнал является суще ственно нестационарным. При этом автокорреляционная функция и интервал корреляции процесса также будут зависеть от времени. Обо значим максимальное значение интервала корреляции t0(t) на про межутке 0 £ t £ T через tmax. Тогда можно считать, что E[x(t)x(t + tmax)] = 0,
(1.26)
где Е – символ математического ожидания. Поставим задачу выравнивания дисперсии нестационарного сиг нала в рамках стрипметода. Она сводится к отысканию матрицы А, обеспечивающей равенство дисперсий Dyi (t) на всех участках преоб разованного сигнала y(t). Решение этой задачи дается следующей те оремой [13, 99, 100, 108]. Теорема 2. Пусть сигнал y(t) сформирован путем операции линей ного предыскажения исходного сигнала х(t) в соответствии с форму лами (1.1)–(1.5). Для того чтобы дисперсии отдельных участков yi(t) сигнала y(t) были равны между собой, необходимо и достаточно, что бы все элементы матрицы А были равны по абсолютной величине. n Доказательство. Поскольку на основании (1.5) yi (t) 1 2 aij xj (t), j 11 то для дисперсии Dyi (t) получим n 1 2 1n 2 Dyi 3 E 5 9 aij2 xj2 (t) 6 4 E 5 9 aij aik xj (t)xk (t) 6 . (1.27) 57 k, j 11, k 2 j 57 j 11 86 86 При выборе длительности участка t = T/n ³ tmax из (1.26) следует, что второе слагаемое формулы (1.27) равняется нулю. Поэтому из (1.27) получаем
n
Dyi (t) 1 2 aij2 Dxj (t).
(1.28)
j 11
33
Заметим, что математическое ожидание 1 yi (t) iго участка преоб разованного сигнала связано с математическим ожиданием исходно го процесса формулой n
1 yi (t) 2 3 aij 1 xj (t),
(1.29)
j 11
из которой видно, что если исходный процесс центрирован (mx = 0), то и преобразованный сигнал будет центрированным. Для получения сигнала с одинаковой дисперсией по участкам не обходимо выбирать коэффициенты aij так, чтобы
Dy1 1 Dy2 1 ... 1 Dyn 1 Dy .
(1.30)
Из (1.28) следует, что для выполнения условия (1.30) при произ вольных Dxi необходимо и достаточно равенство квадратов элемен тов каждого столбца матрицы А между собой, т. е. a1j2 = a2j2 = … = a nj2 = c; j = 1, 2, ..., n. (1.31) Это означает, что в сигнал у1(t) все компоненты хi(t) войдут с оди наковыми весами; с теми же весами они войдут и во все остальные сигналы уi(t): yi (t) 3 c1 4x1 (t) 4 x2 (t) 4 1 4 xn (t) 2, i 3 1, n.
Поскольку при вычислении дисперсии знаки сигналов не играют роли, то средняя дисперсия на всех участках будет одинакова. Усло вие (1.31) с необходимостью приводит к тому, что матрица А должна иметь равные по абсолютной величине элементы. При этом она не должна быть вырожденной. Важным примером матриц, удовлетворяющих обоим этим усло виям, служат матрицы Адамара – ортогональные матрицы с элемен тами ±1. К сожалению, они существуют только для значений n, крат ных четырем. В пакете MATLAB есть функция hadamard, обеспечи вающая построение матрицы Адамара для случаев, когда n, n/12 или n/20 являются степенями двойки. Первые 17 чисел этого перечня таковы: 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 64, 80, 96, 128, 160, 192. Например, для n = 2, 4, 8 матрицы Адамара имеют вид 11 12 31 514 , 6 7 34
11 1 1 12 31 1 51 514 3 4, 31 51 1 514 3 4 631 51 51 174
11 31 3 31 3 31 31 3 31 31 3 631
1
1
1
51 1 5 1 1 51 51 51 51 1 51
1
1 1 1 51
1 51 51 51 51
1
1 1 12 1 51 1 5144 1 1 51 514 4 1 51 51 14 . 51 51 51 514 4 51 1 51 14 51 51 1 14 4 51 1 1 5174 1
Дополнительные сведения о матрицах Адамара, а также некото рые другие невырожденные матрицы, близкие к ним по свойствам, приведены в приложении. Если исходный сигнал стационарен по дисперсии и строки матри n
цы А нормированы (т. е.
2 aij2 1 1; i 1 1, ..., n ), то преобразование сиг j 11
нала х(t) с использованием таких матриц приводит к сигналу у(t), также стационарному по дисперсии: n
Dyi 1 Dx 2 aij2 1 Dx .
(1.32)
j 11
Следует отметить, что значения автокорреляционной функции многих реальных сигналов с возрастанием времени асимптотически стремятся к нулю, но не достигают его ни при каких конечных t. В этом случае равенство (1.26) выполняется лишь приближенно: E 39 x 1 t 2 x 1 t 5 6 2 4 7 8Dmax ,
где Dmax – максимальное значение дисперсии сигнала x(t); e – малая величина. Изза этого средние дисперсии участков сигнала будут несколько отличаться друг от друга. Если учитывать только корреляционные связи между соседними участками, пренебрегая корреляционными связями между осталь ными (более удаленными участками), то можно показать [123], что разброс средних дисперсий составит примерно 2e. Следовательно, при достаточно малом e колебания дисперсии будут незначительными. Например, при e = 0,01 отклонения дисперсии от среднего значения не превысят 2 %. Отметим, что это касается только средних диспер 35
сий участков и не относится к поведению функции внутри каждого участка. Пример 1.6. Выполним преобразование нестационарного сигнала 31 x 2 e 10,08t sin t, 0 1 t 1 21 (рис. 1.14, а) с помощью матрицы 7
2 11 1 4 1 11 4 4 11 11 4 A64 1 1 4 11 1 4 4 1 1 44 11 11 7
11 1 11 1 113 11 1 1 11 1155 1 1 11 11 15 5 1 11 11 11 115 . 11 11 1 11 15 5 11 11 11 1 15 1 11 1 1 11558
(1.33)
Она получена из симметричной матрицы Адамара восьмого поряд ка отбрасыванием первой строки и первого столбца. Разбивая исходный сигнал на семь участков и подвергая его стрип преобразованию, получим сигнал у (рис. 14, б). Вычисления прово дились с помощью следующей MATLABпрограммы: t = 0:.1:21;x = sin(3*pi*t/7).*exp(.08*t);figure(1);plot(t,x),grid
% исходный % сигнал x1 = x(1:30);x2 = x(31:60);x3 = x(61:90);x4 = x(91:120);x5 = x(121:150);x6 = x(151:180); x7 = x(181:210);X = [x1;x2;x3;x4;x5;x6;x7]; % стриппреобразование % исходного сигнала
а)
б)
3
4
4 183
4 183
182
182
1
1
7182
7182
7183
1
2
3
45
46
51
12
7183
1
2
3
45
46
51 12
Рис. 1.14. Выравнивание дисперсии (пример 1.6): а – исходный сигнал x; б – преобразованный сигнал y 36
A = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = A/norm(A); Y = A*X; y = Y(:);plot(t,y),grid
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1];
% укороченная матрица Адамара % сигнал с выравненной диспер % сией
Анализ графиков показывает, что амплитуда и средняя диспер сия сигнала x(t) на первом и последнем участках отличаются при мерно в семь раз, в то время как те же характеристики сигнала y(t) практически одинаковы. 1.4. Выравнивание информативности нестационарного сигнала Выравнивание информативности участков преобразованного сиг нала y(t) сводится к выполнению требования, чтобы каждый учас ток yi(t) содержал максимальную информацию о всех участках ис ходного сигнала x(t). При этом предполагается, что все участки xj(t) равноценны по количеству содержащейся в них информации. Други ми словами, каждый участок yi(t) должен быть максимально корре лирован (максимально линейно стохастически зависим) со всеми участками сигнала x(t). Эта постановка задачи противоположна задаче сжатия данных путем устранения их коррелированности [154]. При сжатии данных отыскивается такой набор базисных функций, чтобы разложение по нему содержало максимум информации (и мощности) при ограничен ном числе членов ряда. Критерием оптимальности выбираемого ба зиса служит минимальность (в среднеквадратическом смысле) поме хи в выходном сигнале, обусловленной отбрасыванием остальных членов разложения. Для стационарных процессов оптимальное ре шение дается разложением Карунена–Лоэва [9, 76] по собственным функциям автокорреляционного ядра исходного сигнала. Оно пред ставляет собой разложение случайной векторфункции на взаимно ортогональные некоррелированные составляющие. В случае стриппреобразования автокорреляционная матрица ана логового сигнала может быть приближенно построена как матрица, элементами которой являются значения взаимной корреляции участ ков сигнала длительности T/n: 37
Rxx 3 1rijxx 2 3 E 1X(t)XT (t) 2 , (1.34) 4 5 4 5 xx где rij 3 E 14xi (t)xj (t) 25 , i, j = 1, 2, ..., n; X(t) – векторфункция, состав ленная из участков сигнала х(t). Разложение Карунена–Лоэва диагонализирует автокорреляцион ную матрицу путем линейного преобразования Y = HX, где Н – орто нормальная матрица, составленная из собственных векторов матри цы Rxx. При этом корреляционная матрица подвергается конгруэнт ному преобразованию R yy 1 HRxx HT 1 HRxx H11
(1.35)
и принимает вид
R yy
211 0 0 0 3 40 1 0 0 55 2 4 6 , 41 1 1 1 5 4 5 47 0 0 0 1n 58
(1.36)
где li – собственные числа матрицы Rxx. Поставленная здесь цель прямо противоположна и состоит в том, чтобы получить автокорреляционную матрицу с максимально воз можными и внедиагональными элементами (в идеале – матрицу с еди ничными элементами). Для этого подвергнем матрицу Ryy преобразо ванию подобия с помощью некоторой ортонормальной матрицы U, что даст новую матрицу Rzz:
Rzz
n 1n 2 4 9 3i u1i 9 3i u1i u2i i 11 4 i 11 4n n 4 9 3i u2i u1i 9 3i u22i T 6 UR yy U 6 4 i 11 i 11 4 1 1 4 n 4n 4 9 3i uni u1i 9 3i uni u2i 47 i 11 i 11
1
n
2
9 3iu1iuni 5
5 5 1 9 3i u2i uni 5 5 , (1.37) i 11 5 1 1 5 n 5 2 5 1 9 3i uni 58 i 11 i 11 n
T 11 где uij – элементы матрицы U; Z = UY = UHX; U 1 U 1 [uji ]1,n – транспонированная матрица U.
38
В частности, если U – матрица Адамара (ортогональная матрица с 2 = u 2 = … = u 2 = 1 и все диагональные определителем, равным n), то u1i 2i ni элементы матрицы Rzz будут одинаковы: n
n
n
n
i 11
i 11
i 11
i 11
2 nriizz 1 3 2i u12i 1 3 2i u22i 1 ... 1 3 2i uni 1 3 2i .
Внедиагональные элементы будут вычисляться по формулам rijzz 1 231 2 32 2 1 2 3n
при различных сочетаниях знаков, причем число положительных и отрицательных слагаемых всегда будет одинаковым. Если одно из собственных чисел будет заметно больше других, то все внедиаго нальные элементы окажутся достаточно большими и близкими по величине, т. е. цель выравнивания информативности окажется до стигнутой. Для строгой постановки задачи выравнивания информативности необходимо ввести критерий, подлежащий максимизации. Будем считать, что преобразование исходного сигнала x(t) в сиг нал у(t) происходит по формулам стриппреобразования (1.1): T . n Обозначим через Rxx, Ryy, Rxy автокорреляционные матрицы век торфункций X(t), Y(t) и их взаимнокорреляционную матрицу. Они связаны очевидными соотношениями X( 1) 2 Sx(t), Y (1) 2 AX(1), y(t) 2 S11 Y (1), 0 3 t 3 T, 0 3 1 3
R yy 1 AR xx AT , R yx 1 AR xx . yx
Элемент rij матрицы Ryx характеризует информацию о jй компо ненте вектора Х, содержащуюся в iй компоненте вектора Y. Для до стижения равномерной информативности нужно добиться, чтобы модули всех элементов были примерно равны, т. е. максимизировать среднее значение элементов матрицы Ryx. Поэтому в качестве максимизируемого критерия можно взять сум му модулей элементов матрицы Ryx, деленную на нормирующий мно житель, который учитывает дисперсии сигналов х, у и число участ ков разбиения. Это приводит к следующему критерию [125]: n
12
где
3
i, j 11
rijyx ,
(1.38)
ntrR xx trR yy 39
n
n
n
i 11
i 11
n
2 trRxx 1 3 riixx 1 3 2i , trR yy 1 33 aij 2 j .
(1.39)
i 11 j 11
Исходя из равенства Y = AX и учитывая (1.34) и (1.36), для вза имнокорреляционной матрицы Ryx получаем
R yx 6 2rijyx 3 7 81, n
2 a1111 4a 1 6 4 21 1 4 1 4 47an111
a12 12 1 a1n 1n 3 a2212 1 a2n 1n 55 . 1 1 1 5 5 an212 1 ann 1n 58
(1.40)
Требуется найти значения параметров akm, которые максимизи руют выбранный критерий r: n
1max 2 max akm
где F 1
n
2
i,j 11
3
i,j 11
rijyx
ntrRxx trR yy
F 2 max , akm C
(1.41)
rijyx и C 1 ntrRxx trR yy .
Чтобы найти экстремум, продифференцируем критерий по akm и приравняем производные нулю:
d 2F3 4 dakm 57 C 68
dF dC C1 F dakm dakm C2
4 0; k, m 4 1, 2, ..., n.
(1.42)
Очевидно, что С2 ¹ 0, так как исходный сигнал x(t) 1 0 и линейное преобразование (1.5) – невырожденное. Поэтому уравнение (1.42) можно переписать в виде dF dakm F 1 1 2max ; k, m 1 1, 2, ..., n. dC C dakm
Из соотношений (1.40) и (1.41) следует, что
40
(1.43)
dF d 1 n yx 3 5 9 rij dakm dakm 57 i,j 21
2 d 1 n aij 114 j 63 5 6 dakm 5 i,9 8 7 j 21
2 d akm 3 4m signakm , 6 3 4m 6 dakm 8
k, m = 1, 2, ..., n. На основании формул (1.39) и (1.41) находим dC d 3 dakm dakm 3
1
(1.44)
2
ntrRxx trR yy 3
n d 4 6 ntrRxx aij2 8 j dakm 6 i, j 11 9
5 ntrRxx 7 3 8m akm , 7 trR yy
k, m = 1, 2, ..., n. (1.45) Подставляя выражения (1.44) и (1.45) в формулу (1.43), после преобразований получим
akm 1
1
trR yy
2max
ntrRxx
1 a 1 const; k, m = 1, 2, ..., n.
(1.46)
Таким образом, для оптимизации матрицы Ryx по выбранному критерию необходимо и достаточно, чтобы элементы матрицы А были равны по абсолютной величине. Тогда критерий r достигает своего максимального значения, равного единице. Минимального значения, равного 1/ n, критерий достигает, когда матрица А диагональна и элементы ее главной диагонали равны по абсолютной величине. Полученные требования (1.46) к элементам матрицы А имеют сле дующую геометрическую интерпретацию. Поскольку элементы akm играют роль направляющих косинусов для новых координатных осей nмерного пространства, то преобразование сигнала с помощью по лученной матрицы А эквивалентно выбору таких координатных осей, которые равно наклонены к координатным осям, выбранным в раз ложении Карунена–Лоэва. В этом смысле линейное преобразование с матрицей А, удовлетворяющей требованию (1.46), можно образно назвать разложением «антиКарунена–Лоэва». Заметим, что при этом одновременно выполняется условие (1.30) стационарности дисперсии передаваемого сигнала, т. е. требования выравнивания дисперсии и выравнивания информативности неста ционарного сигнала приводят к одинаковым требованиям, предъяв ляемым к элементам матрицы А. 41
1.5. Сужение спектра предыскаженного сигнала «Объем» сигнала, передаваемого по каналу связи, определяется как произведение его динамического диапазона, полосы частот и дли тельности существования [143]. Для сохранения этого объема необ ходимо, чтобы преобразованный сигнал y(t) имел частотный спектр не шире, чем спектр исходного сигнала x(t). Поскольку для финитного во времени сигнала [151] частотный спектр принципиально не ограничен (а сигналы x(t) и y(t), t 3 10, T 2 – заведомо финитны во времени), то под сужением спектра будем пони мать уменьшение числа перемен знаков в сигнале y(t) по сравнению с сигналом x(t). По теореме Винера–Хинчина [58], спектральная плот ность мощности сигнала связана с ее автокорреляционной функцией парой преобразований Фурье, поэтому задачу сужения спектра мож но сформулировать на языке корреляционного анализа. Известно [36], что если процесс характеризуется непрерывным частотным спек тром, то его автокорреляционная функция имеет вид затухающего колебания, причем скорость затухания этого колебания зависит от ширины спектра: чем шире спектр, тем быстрее затухание; чем уже спектр, тем медленнее затухает автокорреляционная функция. Та ким образом, требование сужения спектра эквивалентно условию замедления затухания автокорреляционной функции, т. е. увеличе нию коррелированности участков преобразованного сигнала. Тем самым решение задачи сужения спектра сводится к выяснению тре бований, которые надо наложить на матрицу А для того, чтобы авто корреляционная матрица предыскаженного сигнала Ryy была опти мальной в смысле выбранного в работе [127] критерия b, отражаю щего протяженность интервала корреляции: n
23
4
i,j 11
rijyy 1 trR yy trR yy
.
(1.47)
В числителе этой дроби стоит сумма модулей внедиагональных элементов матрицы Ryy, а в знаменателе – сумма ее диагональных элементов. Таким образом, критерий b характеризует относитель ный вес внедиагональных элементов автокорреляционной матрицы по сравнению с диагональными. Линейное преобразование сигнала x(t) с помощью ортогональной матрицы А приводит к конгруэнтному преобразованию его автокор реляционной матрицы: 42
1
2 1
2
R yy 3 E YYT 3 E AXXT AT 3 ARxx AT .
(1.48)
Из выражения (1.37) видно, что автокорреляционная матрица предыскаженного сигнала не диагональна, что означает появление корреляционных связей между участками yi(t). Осуществим поиск таких элементов akm матрицы А, которые бы максимизировали выбранный критерий:
5max
1 n yy 2 3 ruj 4 3 i,j 11 4 6 max 3 7 1 4. akm trR yy 3 4 3 4 8 9
(1.49)
Для того чтобы найти максимум, выполним дифференцирование по akm и приравняем производные нулю:
1 n yy 3 8 rij d 3 i,j 11 dakm 3 trR yy 3 3 6
2 4 4 4 5 0, k, m = 1, 2, ..., n. 4 4 7
(1.50)
В результате преобразований, аналогичных (1.41) – (1.43), и учи тывая, что trRyy > 0, получим d 3 n yy 5 rij dakm 57 i,j 11
1
d trR yy dakm
2
4 6 6 8 9
max ,
k, m = 1, 2, ..., n.
(1.51)
Элементы матрицы Ryy можно записать в следующем виде: n
rijyy 1 3 ail ajl 2l 1 Ai AjT ,
(1.52)
l 11
где Ai 5 1 ail 6l 2 5 3 ai161, ai262 , ..., ain 6n 4; AjT 3 15 ajl 4 l 26
T
и
1l 2 3l , l = 1, 2, ..., n.
Вычислим отдельно числитель и знаменатель дроби (1.51): 43
d 3 n yy 9 rij dakm 9 i,j 11
4 d 3 n n
7 9 ail ajl 8l
dakm 9 i,
j 11 l11
n 4 T 6 ,
7 28m 5a pm sign A p Am
p 11
1
k, m = 1, 2, ..., n;
(1.53)
d d 3 n 2 4 trR yy 5 7 aij 6 j 8 5 26m akm , k, m = 1, 2, ..., n. 8 dakm dakm 79 i,j 11
1
2
2
(1.54)
Подставляя полученные выражения для производных в формулу (1.51), получим
9 35apm sign 1 A p AmT 2 46 n
akm 7
p 11
8max
, k, m = 1, 2, ..., n.
(1.55)
Это означает, что числа akm не зависят от k (номера строки матри цы А), т. е. в любом столбце все элементы одинаковы. Следователь но, матрица А должна иметь следующий вид: 1 a1 3a A53 1 3.... 3 36 a1
a2 a2 .... a2
.... .... .... ....
an 2 an 44 . ....4 4 an 47
(1.56)
Очевидно, что матрица (1.56) является особенной (имеет ранг, равный 1) и поэтому на практике неприменима. Необходимо искать класс неособенных матриц, достаточно близких по своим свойствам к матрицам вида (1.56). n
Заметим, что для любой матрицы А сумма 2 ail ajl 1l (а следова l 11
тельно, и значение критерия b) будет больше в том случае, если все элементы этой матрицы имеют один знак, например, все они поло жительные. Существует класс матриц, у которых замена знаков всех элементов на один не приводит к вырождению. Более того, можно указать на положительные матрицы (т. е. матрицы с положитель ными элементами [34]), которые, оставаясь неособенными, могут сколь угодно близко приближаться к матрице с одинаковыми эле ментами. Примером такой матрицы служит циркулянта, элемента ми которой является конечное число членов арифметической про 44
грессии a1 = a, a2 = a+h, a3 = a+2h, … . Очевидно, что для такой мат рицы aij 1 a при h 1 0. Таким образом, положительные матрицы являются представите лями класса неособенных матриц, достаточно близких по свойствам к матрицам вида (1.56). Полученный результат является частным случаем теоремы Шенберга [21, 48], смысл утверждения которой со стоит в следующем: «Для того чтобы число перемен знака в сигнале y(t), получаемом из сигнала x(t) с помощью линейного преобразования (1.6), было меньше или равно числу перемен знака в сигнале x(t), необ ходимо и достаточно, чтобы матрица А была знакоопределенной». Под знакоопределенной матрицей понимается такая матрица, у которой все отличные от нуля миноры рго порядка имеют один и тот же знак ep. Если при этом все миноры ргo порядка отличны от нуля, то такая матрица называется строго знакоопределенной. В частности, при e1 = e2 = … = en = 1 строго знакоопределенная матрица является положи тельной, что и соответствует рассмотренному выше случаю. Подводя итог изложенному, можно сделать вывод о том, что клас сом матриц, наилучшим образом сужающим спектр преобразованно го сигнала, т. е. максимизирующим критерий b (0 1 2 3 1) , оставаясь неособенными, является класс знакоопределенных матриц. К сожа лению, эти матрицы могут быть плохо обусловленными, что может приводить к проблемам при их обращении. В заключение остановимся на частотной (спектральной) интер претации стрипметода. Мгновенные значения преобразованного сигнала получаются здесь как результат скалярного произведения iй строки матрицы А на век торстолбец, составленный из отсчетов исходного сигнала х(t). Дру гими словами, они получаются как коэффициенты обобщенного пре образования Фурье. За систему базисных функций берется набор, получаемый из линейно независимых векторов, координаты кото рых составляют строки матрицы преобразования. Базисные функ ции представляют собой, тем самым, кусочнопостоянные и, в об щем случае, разрывные функции. Число разрывов первого рода та ких базисных функций может достигать (n – 1), не считая граничных. В линейном преобразовании сигнала берется заведомо конечное число членов ряда n. Для получения взаимнооднозначного соответ ствия сигналов x(t) и y(t), т. е. оригинала и изображения, коэффици енты разложения в ряд Фурье yi(t) с необходимостью должны быть функциями времени, а не постоянными величинами. В этом смысле такое разложение представляет собой функциональный ряд с конеч ным числом членов. 45
На примере использования матриц Адамара можно дать частот ную интерпретацию линейного преобразования, используя понятие обобщенной частоты, введенное в работах [7, 140], где под обобщен ной частотой понимается половина числа пересечений нулевого уров ня за секунду. В этом случае для матрицы Адамара под частотой понимается по ловина числа изменений знака вдоль каждой строки [127]. Можно построить матрицы Адамара порядка n = 2m, частоты которой пред ставляют собой все числа от нуля до n/2, следующие через 1/2. Та кая частотная интерпретация строк матрицы Адамара позволяет го ворить об эквивалентности ее строк прямоугольным колебаниям с амплитудой 1 и периодом 2/n. Такие функции называются функци ями Уолша [24] и могут быть сведены к функциям Радемахера [19]. Функции Уолша wal(0, Q), cal(i, Q), sal(i, Q) составляют полный
t 1 1 12 5 6 , . Преобразо T 79 2 2 8
1 1 вание Фурье–Уолша функции x(Q), заданной на интервале 1 2 3 4 , 2 2 выглядит следующим образом: 1 x 1 5 2 6 a 1 0 2 7 wal 1 0, 5 2 8 39 ac 1 i 2 7 cal 1 i, 5 2 8 as 1 i 2 7 sal 1 i, 5 2 4 , i 21 ортонормированный базис на интервале 3 4
где a 1 0 2 3 as 1 i 2 3
12
12
6
11 2
x 1 4 2 5 wal 1 0, 4 2 d4, ac 1 i 2 3
12
6 x 1 4 2 5 cal 1 i,4 2 d4,
11 2
6 x 1 4 2 5 sal 1i,4 2 d4.
11 2
Таким образом, с точки зрения частотной интерпретации, стрип преобразование с использованием матриц Адамара дает разложение исходного сигнала в ряд Фурье–Уолша с конечным числом членов, причем это разложение точное, а не приближенное. Подводя итоги разд. 1, отметим, что в нем были исследованы воз можности стрипметода при решении различных задач. Они каса лись выбора матрицы А, обеспечивающей «гладкость» преобразо ванного сигнала, выравнивание его дисперсии, равномерную инфор мативность и сужение частотного спектра. Во всех случаях получены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетво рять матрица А, либо установлен ее конкретный вид. Следующий раздел посвящен исследованию и решению группы задач, связанных с достижением максимальной помехоустойчивос ти передачи сигнала в рамках стрипметода. 46
